/
Author: Заманский М.
Tags: анализ математика математический анализ алгебра естественные науки
Year: 1974
Text
М.ЗАМАНСКИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В СОВРЕМЕННУЮ
АЛГЕБРУ
И АНАЛИЗ
Перевод с французского
Е. И. СТЕЧКИНОЙ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 19 7 4
517.2
3-26
УДК 517
COLLECTION UNIVERSITAIRE DE MATHEMATIQUES
MARC ZAMANSKY
professeur et Doyen de la Faculte
des sciences de Turiiversite de Paris
INTRODUCTION
A
L'ALGEBRE et L'ANALYSE
MODERNES
DEUXIEME EDITION
ENTIEREMENT REFONDUE
DUNOD
PARIS
1963
Перевод на русский язык, Издательство «Наука», 1974,
_20203-066_
053(01)-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции
Г П ABA /• ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ФУНКЦИИ.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. ПОРЯДОК
Раздел 1. Операций над множествами 9
§ 1. Терминология, символы, исходные определения (9). § 2.
Подмножества, дополнения, пустое множество (10). § 3.
Объединение (11). § 4. Пересечение (12). § 5. Произведение (12). § 6.
Свойства операций над множествами (12).
Раздел 2. Функции, или отображения 13
§ 1. Исходные определения (13). § 2. Отображение во множество,
отображение на множество, взаимно однозначное отображение (15).
§ 3. Расширение функции на множества подмножеств (16). § 4.
Обратное отображение (17). § 5. Композиция отображений (19). § 6.
Последовательности (20). § 7. Операции над семействами множеств (21).
Раздел 3. Эквивалентность 23
§ 1. Бинарные отношения (23).
Раздел 4. Порядок 26
ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Раздел 1. Внутренние законы композиции 31
§ 1. Определение и обозначение внутреннего закона композиции (31).
§ 2. Ассоциативность (32). § 3. Коммутативность (32). § 4.
Регулярные элементы (33). § 5. Нейтральный элемент (33). § 6.
Симметричные элементы (34). § 7. Понятие изоморфизма двух внутренних
законов (36). § 8. Дистрибутивность одного закона относительно
другого (37).
Раздел 2. Специальные внутренние законы композиции: группы, кольца,
тела 38
§ 1. Группы (38). § 2. Кольца (41). § 3. Тела (42). § 4.
Отношение эквивалентности на абелевой группе. Факторгруппа (44). § 5.
Отношения эквивалентности на коммутативном кольце. Идеалы (45).
§ 6. Упорядоченные группы. Группы Рисса (46).
Раздел 3. Симметризация множества, наделенного ассоциативным и
коммутативным законом. Поле частных кольца без
делителей нуля 52
§ 1. Первая задача. Симметризованное множество (54). § 2.
Целые рациональные, положительные рациональные числа (57). § 3.
Умножение на множестве целых рациональных чисел, сложение на
множестве положительных рациональных чисел (58). § 4. Вторая задача.
Поле частных кольца без делителей нуля (59).
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 4. Внешние законы. Векторные пространства 61
§ 1. Общие понятия (61). § 2. Векторное пространство над телом
(полем) (62). § 3. Построение векторных пространств. Примеры (66).
Раздел 5. Законы и отношения на множестве функций . 71
ГЛАВА III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Раздел 1. Векторные пространства 74
§ 1. Линейно независимые элементы. Базисы (74). § 2.
Конечномерное векторное пространство (76). § 3. Алгебры над полем (79).
Раздел 2. Линейные отображения. Линейные формы 82
§ 1. Определения (82). § 2. Операции над линейными
отображениями (82). § 3. Свойства линейных отображений (83). § 4. Случай
конечномерных векторных пространств (87). § 5. Прямая сумма. Факторпро-
странетво (88). § 6. Ранг линейного отображения (91). § 7. Линейные
формы. Сопряженные пространства (93). § 8. Транспонирование
линейного отображенця (95). § 9. Линейные уравнения (98).
Раздел 3. Матрицы над полем 104
§ 1. Определение прямоугольных матриц (104). § 2. Алгебраические
операции с матрицами (106). § 3. Представление линейного
отображения посредством произведения матриц (109). § 4. Квадратные
матрицы (109). § 5. Ранг матрицы. Транспонированная матрица (111).
§ 6. Применение матриц к линейным уравнениям (112).
Г Л ABA IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Раздел 1. Билинейные отображения. Тензорное произведение. ... 114
§ 1. Билинейные отображения (114). § 2. Тензорное произведение
двух векторных пространств (116). § 3. Обобщения (120).
Раздел 2. Внешняя степень векторного пространства. Внешнее
произведение элементов 121
§ 1. Внешняя степень порядка 2 (121). § 2. Обобщения (124).
Раздел 3. Внешние степени линейного отображения. Определители . . 128
§ 1. Внешние степени линейного отображения (128). § 2.
Определители (130). § 3. Определители матриц, определители векторов (131).
§ 4. Вычисления определителей. Решение линейных уравнений.
Обратимые матрицы (132).
Г Л А В А V. ТОПОЛОГИЯ
Раздел 1. Фундаментальные семейства . 136
§ 1. Определения. Примеры (136). § 2. Свойства (138). § 3.
Сравнение фундаментальных семейств (140).
Раздел 2. Топологические пространства 141
§ 1. Определение топологического пространства. База открытых
окрестностей. База топологии (141). § 2. Сравнение и построение
топологий (150). § 3. Топологии, определяемые счетными семействами (153).
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Раздел 3. Отделимые компактные, локально компактные и связные
пространства 155
§ 1. Отделимые пространства, регулярные пространства (156).
& 2. Компактные пространства (158). § 3. Локально компактные
пространства (163). § 4. Связные пространства (167).
Раздел 4. Пределы, сходимость 168
§ 1. Понятие фильтра (169). § 2. Пределы в топологических
пространствах (172). § 3. Пределы в отделимом пространстве, в
компактном пространстве, в пространстве со счетной базой (179).
Раздел 5. Непрерывность 182
§ 1. Определения и общие свойства (182). § 2. Гомеоморфизм (185). -
§ 3. Непрерывные функции, компактные пространства, связные
пространства (186).
ГЛАВА VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Раздел 1. Множество рациональных чисел 188
§ 1. Множество Z целых рациональных чисел (188). § 2. Краткий
перечень определений и свойств множества рациональных чисел (189).
§ 3. Топология на Q (190).
Раздел 2. Построение R и основные свойства 195
§ 1. Определение R (195). § 2. Сложение, порядок и абсолютное
значение на R (196). § 3. Поле R (198). § 4. Топология на R. Два
основных свойства (199).
Раздел 3. Числовая прямая 203
§ 1. Основные элементы топологии множества R (203). § 2.
Компактные множества, связные множества в R (207). § 3. Свойства
непрерывной числовой функции. Гомеоморфизм на R. Расширенная
прямая Я" (212).
Раздел 4. Числовые функции на множестве 217
§ 1. Грани, оболочки, верхние и нижние пределы (217). § 2.
Числовые функции на счетном множестве. Бесконечные суммы. Ряды (226).
ГЛАВА VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. НОРМИРОВАННЫЕ
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА.
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Раздел 1. Метрические пространства 239
§ 1. Расстояние (239). § 2. Топология метрического
пространства (241). §3. Компактные метрические пространства (249). §4. Связные
метрические пространства (250). § 5. Полные метрические пространства.
Пополнение метрического пространства (250). § 6. Полуметрические
пространства и ассоциированные метрические пространства (258).
§ 7. Отображения метрического пространства в метрическое
пространство. Непрерывность, равномерная непрерывность, продолжение по
непрерывности (259).
Раздел 2. Метрические группы, метрические векторные пространства,
банаховы пространства, гильбертовы пространства
§ 1. Метрические группы. Нормированные группы Рисса (264).
§ *. Метрические векторные пространства. Нормированные
пространства. Банаховы пространства (272). § 3. Гильбертовы пространства (282).
263
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ
И ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Раздел 1. Понятие функционального пространства 291
§ 1. Простая сходимость семейства функций (291). § 2. Топология
на множестве функций со значениями в метрическом пространстве (292).
Раздел 2. Ступенчатые функции. Приближение ступенчатыми функциями 298
§ 1. Ступенчатые функции (298). § 2. Равномерное приближение
ступенчатыми функциями (303).
Раздел 3. Непрерывные числовые функции на компактном
пространстве 306
§ 1. Теорема Дини (307). § 2. Теорема Вейерштрасса (309).
Раздел 4. Полунепрерывные функции 317
§ 1. Определение и общие свойства (317). § 2. Полунепрерывные
функции на локально компактном или полном метрическом
пространстве (323). § 3. Оболочки полунепрерывных функций (325). § 4.
Полунепрерывные функции — оболочки непрерывных функций. Теорема Уры-
сона (327).
ГЛАВА IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
Раздел 1. Полные метрические векторные пространства 335
Раздел 2. Полунормированные и нормированные пространства .... 342
§ 1. Теорема Хана — Банаха (342). § 2. Непрерывные линейные
отображения (344). § 3. Теорема Банаха — Штейнгауза (350). § 4.
Примеры (352).
ГЛАВАХ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Раздел 1. Числовые меры на пространстве Рисса 369
§ 1. Введение и отыскание исходных условий (369). § 2.
Положительная мера на пространстве Рисса числовых функций. Аксиома (У) (371).
§ 3. Положительная мера на пространстве ступенчатых функций (373).
§4. Положительная мера Радона (377). § 5. Обобщение понятия меры (381).
Раздел 2. Построение пространства Jg* 384
§ 1. Пренебрежимые множества. Новая форма аксиомы Sf (385). § 2.
Построение пространств J%? и L (389). §3. Теорема об
интегрировании (392).
Раздел 3. Свойства пространства J2? . . . . 395
§ 1. Пренебрежимые функции (395). § 2. Последовательности
Коши в J^P (396). § 3. Интегрирование последовательности функций
из £> (398).
Раздел 4. Измеримые множества 405
§ 1. Общие определения (405). § 2. Случай меры на клане (408).
§ 3. Случай меры Радона (411).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Раздел 5. Пространства ^р 413
§ 1. Неравенства Гёльдера и Минковского (413). § 2.
Построение и свойства пространства J?p (1 < р < + оо) (416). § 3.
Соотношения между пространствами J?p (1 <р < + оо) (420). § 4.
Пространства ^°° и L°° (424).
Раздел 6. Теорема Лебега — Никодима*. Разложение меры.
Непрерывные линейные формы на Jgp 429
§ 1. Теорема Лебега — Никодима (429). § 2. Разложение меры (433).
§ 3. Непрерывные линейные формы на пространствах 9?р (43,6).
Раздел 7. Теорема Лебега — Фубини 440
§ 1. Произведение двух кланов (440). § 2. Мера — произведение (442).
§ 3. Теорема Лебега — Фубини (443).
Раздел 8. Меры на числовой прямой 446
§ 1. Монотонные функции, функции ограниченной вариации (447).
§ 2. Определения мер на числовой прямой (451). § 3. Производные мо-
х
нотонных функций (456). § 4. Изучение / (t) dtt где f — интегри*
а
руема (467). § 5. Абсолютно непрерывные функции и каноническое
разложение монотонной функции (472). § 6. Примитивные. Интегрирование
по частям. Замена переменного (478).
Предметный указатель . . . . , 484
ОТ РЕДАКЦИИ
Книга М. Заманского является современным введением в важнейшие
разделы математики, составляющие основу общего математического
образования — алгебру и анализ. Эти науки, равно как и их преподавание, подверглись
за последние десятилетия коренным изменениям. Одна из замечательных
особенностей книги М. Заманского состоит в последовательном изложении
важнейших приемов применения алгебраических идей и средств в математическом
анализе. На очень простых и важных примерах, таких, как множество рацио*
нальных чисел или числовая прямая, автору удается наглядно показать, как
выглядят в конкретных ситуациях общие алгебраические понятия и какую
роль эти понятия играют при постановке и решении аналитических задач. На
протяжении всей книги автор пользуется любым случаем, чтобы подчеркнуть
наличие алгебраической структуры в аналитическом объекте и указать
способы использования этой алгебраической структуры.
Но ценность книги далеко не исчерпывается этой методической
особенностью. Книга М. Заманского содержит изложение важнейших понятий
целого ряда математических теорий — от общей топологии и теории
упорядоченных групп до функционального анализа и теории интегрирования.
Несмотря на большой объем материала, изложение сохраняет высокий уровень
лекционной наглядности.
Книга М. Заманского может служить полезным учебным пособием для
любого инженера или студента технического или экономического вуза, — для
каждого, кто знаком хотя бы с элементарным курсом математического
анализа, — как средство ознакомления с плодотворными и мощными
инструментами современной математики, изучение которых он может продолжить при
работе над систематическими курсами общей алгебры и функционального
анализа.
Л. Штерн
ГЛАВА I
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ФУНКЦИИ.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. ПОРЯДОК
РАЗДЕЛ 1
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
§ 1. Терминология, символы, исходные определения
Множества и составляющие их элементы обозначаются
буквами, заимствованными из различных алфавитов, но главным
образом из латинского.
Иногда, руководствуясь соображениями удобства,
обозначают множество прописной буквой, скажем, Е или Л, а
элемент, ему принадлежащий, строчной буквой, х или а. Из тех
же соображений принимают алфавитный порядок при записи
двух или трех множеств: £, F, G, и их элементов: х, у, z.
Элемент множества называют также точкой. .
В некоторых случаях для лучшего запоминания принимается
более точное специальное обозначение: N — множество
натуральных чисел, А — кольцо, R — множество действительных
чисел и т. п.
Выражения «х принадлежит множеству £», или «х есть
элемент множества £», или «л; есть точка из Е» все имеют
одинаковый смысл и могут быть представлены символически как
х^Е, где е есть знак принадлежности. Его отрицание
изображается символом ф\ выражение «х не принадлежит Е»
записывается: х фЕ.
Говорят, что множество Е содержится во множестве Z7, если
любой элемент л; из £ является элементом множества F.
Символически это свойство изображается как Е cz F. Выражение
«F содержит Е» равнозначно тому, что «Е содержится в F», и
обозначается FzdE. Символы с:, zd являются знаками
включения.
Символ = представляет собой равенство или тождество.
Запись х = у означает, что х совпадает с у\ по соглашению, это
может рассматриваться как тождественное равенство между х
и У, это может также означать, что некоторый элемент х
обозначается по-новому, через у. Разъясним последнее на примере.
Пусть имеются два действительных числа а и Ь\ обозначим
10
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
сначала наибольшее из них через max (a, 6), а затем, упрощая,
буквой с, и тогда будем говорить: «пусть с = max (а, Ь)».
Отрицанием символа = служит символ Ф, который
означает: «отлично от».
Символ =^> означает логическое следствие. Если Р и Q — два
свойства относительно элементов одного множества, то запись
P=?Q означает, что свойство Р влечет свойство Q, т. е. что
свойство Q верно всякий раз, как верно Р.
Если же имеет место и обратное, т. е. всякий раз, как верно
Q, верно и Р, то это записывается: Р^ Q.
Символ 4Ф означает логическую эквивалентность. Он
читается как «необходимо и достаточно», т. е. запись РФФС?
читается так: для того чтобы было верно Р, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось Q, или: необходимым и достаточным
условием справедливости Р является выполнение Q.
Однако символ фф может применяться в формулировке
определения (что не прибавляет ничего нового к предыдущему).
Например, фраза определения «две дроби p/q и р \qr
называются равными, если pqr = p'q» может быть записана как
pIq = p'Iq'&pq' = p'q-
При помощи этих символов можно для трех множеств Е,
F, G записать:
EczF и FczG =ф £c=G,
EczF и FczE фф £ = /7.
§ 2. Подмножества, дополнения, пустое множество
Всякое множество, составленное из элементов заданного
множества Е, называется подмножеством, или частью
множества Е. Подмножество определяется заданием некоторого
свойства Р, которому удовлетворяют (или которому не
удовлетворяют) элементы множества Е.
Так, если Е — множество N натуральных чисел 1, 2, 3, ...,
а Р — свойство четности, то ему удовлетворяют некоторые
натуральные числа, множество которых составляет часть
множества N. Если же Р-—свойство, состоящее в том, что «квадрат
натурального числа равен двум», то оно не выполняется ни для
какого элемента множества N.
Если свойство Р не имеет места ни для какого элемента
из Е, то подмножество множества Е, определяемое этим
свойством, называется пустым подмножеством, или пустым
множеством. Пустое множество обозначается 0. Говорят также,
что такое множество пусто, или что множество элементов,
удовлетворяющих Р, пусто.
Подмножество, содержащее лишь один элемент х,
обозначается {х}.
1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
И
Множество всех подмножеств множества Е обозначается
через &*(Е). Соотношения Е<=!?(Е) и 0е^(£) верны всегда.
Запись Х^£Р(Е) означает, что X есть элемент множества
подмножеств множества Е, т. е. является подмножеством
множества Е, и значит, можно также записать, что X cz Е.
Пусть Е есть некоторое множество, а X — его подмножество,
определенное свойством Р. Дополнением множества X (до Е)
называется множество элементов из Е, не принадлежащих X,
т. е. элементов, для которых свойство Р не выполняется.
Дополнение множества X обозначается через СХ или, в
случае необходимости уточнения, через СЕХ.
Наряду с этим обозначением используется также
обозначение «разности»: Е — X.
Дополнением пустого множества является все множество Е,
и обратно. Записывается:
0=С£, £ = С0, или Е-Е = 0.
Если X есть подмножество множества £, то
С(СХ) = Х.
Пусть Е — некоторое множество, X — его подмножество и
У— подмножество множества X. Тогда У есть подмножество
множества Е. Следовательно, можно рассматривать СЕУ и
СХУ- Обозначение X—У для двух подмножеств из Е часто
используется для записи дополнения У относительно X/
Очевидно, что
XczY^CXidCY.
§ 3. Объединение
Объединением двух множеств, £ и f, называется множество
элементов, принадлежащих Е или F. Союз или имеет смысл:
«безразлично». Он является отрицанием союза и, означающего:
«одновременно». Объединение двух множеств £, F обозначается
Е U F. Символ U называется символом объединения. Имеем
E\)F = F\)E.
В объединении двух множеств, Е и Z7, мы можем
рассмотреть элементы из Е, не принадлежащие F, элементы из F, не
принадлежащие Е, и элементы принадлежащие Е и F.
Пусть X, У — произвольные подмножества из Е. Тогда
X\]YczE, или X[)Ye=$>(E).
Для любого Х<=&>(Е) имеем X U 0 = X.
12
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
§ 4. Пересечение
Пересечением двух множеств, Е и F, называется множество
элементов, принадлежащих Е и F. Пересечение двух множеств
обозначается Е Г) F. Имеем Е [) F = F О Е. Символ П есть
символ пересечения.
Таким образом, множество Е (] F составлено из элементов,
для которых выполняется свойство «х е Е и х е Z7». Если ему
не удовлетворяет ни один элемент, множество Е П F пусто.
Тогда записывают Е Л F = 0 и говорят, что Е и F дизъюнктны,
или не имеют общих точек, или не пересекаются. Каково бы ни
было X €= 9 (Е), всегда X П 0 = 0.
Если E[\F Ф 0, т. е. если Е и F имеют общий элемент, то
говорят, что пересечение множеств Е и F непусто, что Е
пересекает F, или F пересекает Е, или что Е и F пересекаются.
Пример. Если Е — множество таких действительных
чисел х, что а ^ х ^ Ь, /7 — множество таких действительных
чисел х, что fr ^ л; ^ с, G — множество таких действительных
чисел л:, что b < х ^ с, где а, &, с — заданные действительные
числа, то множества Е [J F и Е U G тождественны и состоят из
чисел х, удовлетворяющих условию а ^ х ^ с, £ Л /7 состоит из
единственного числа &, а Е П G пусто.
§ 5. Произведение
Пусть Е и F — два множества, различные или нет.
Произведением множества Е на множество F называется множество
всех элементов, получаемых путем составления пар из двух
элементов, первый из которых, х, принадлежит Е, а второй, у,
принадлежит F. Произведение множества Е на множество F
обозначается £ X Z7; элемент этого произведения обозначается
(х,у), где х^Е, y^F. Множества Ey^F и /7 X £> вообще
говоря, различны. В случае, когда Е = F, произведение Е X F
содержит, в частности, элементы (х, х), где х^Е. Множество
элементов (х, х) составляет часть множества ЕуЕ и
называется его диагональю.
Если Е = F, то вместо £ X £ пишут также Е2.
§ 6. Свойства операций над множествами
Объединение и пересечение, рассматриваемые как операции
над множествами Е, F, G,
коммутативны, т. е.
E[)F = F[}E, E(]F = F(]E;
ассоциативны, т. е.
(El}F)[)G = E[)(F)JG), (E(]F)(]G = E(](Ff]G);
тогда можно писать Е U F U G без скобок.
2. ФУНКЦИИ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ
13
Пересечение дистрибутивно относительно объединения, т. е.
E(](F[iG) = (E(\F)[i(E(]Q).
Объединение дистрибутивно относительно пересечения, т. е.
E[)(F(\G) = (E[)F)()(E[)G).
Если X, У — подмножества множества Et то
1) XczY&X[)Y = Y&X()Y = X,
2) XaXljY,
3) X П Y cz X, X П Y c= Yt
4) ZUCX = £, xnCX=0,
5) С(*иК) = С*ПС1\
6) C(X[)Y) = CX[)CY.
Все эти свойства без труда получаются непосредственно из
определений.
РАЗДЕЛ 2
ФУНКЦИИ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Исходные определения
Пусть Е, F — два множества. Обозначим через х
произвольный элемент из £, а через у — произвольный элемент из F.
Говорят, что определено отображение множества Е во
множество F, если указан способ, посредством которого каждому
х е Е ставится в соответствие некоторый элемент из F.
Отображение Е в F обычно обозначается строчной
латинской буквой (чаще всего /).
Пусть у есть элемент из F, соответствующий элементу х е Е
при отображении /. Это записывается так: y = f(x). Элемент х
называется переменным, а элемент у, или f{x), из F называется
значением этого отображения /, или образом f(x) элемента х
при отображении f.
В качестве термина «переменное» употребляются также
термины «индекс» и «параметр» (см. § 6).
Отображение множества Е во множество F называется
также функцией, определенной на £, со значениями в F, или
Функцией /.
Иногда вместо «функции» говорят о преобразовании
множества Е в F или об операторе. Все эти названия
употребляются в одинаковом смысле, и их использование диктуется
соображениями удобства или желанием подчеркнуть
интуитивный аспект.
14
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
Если задано отображение f множества Е в Т7, то это
записывается в виде
x->f(x)
и может быть прочитано так: «х переходит в f(x)». Обратно,
можно посредством некоторых правил выразить значение у
через значение х и говорить, что / есть функция, определяемая
как х-+у.
Наконец, иногда удобно вместо f(x) писать fx. Это
обозначение называется индексным, так как переменное записывается
как индекс. В некоторых случаях употребляются оба
обозначения. Если множество определения функции само является
произведением Е X F двух множеств £ и f, а переменное
обозначается через (x,t/)e£X^ и если G — множество, в
котором функция / принимает значения, то в соответствии с первым
соглашением следует писать f((x,y)), но эту запись упрощают
и пишут f(x,y). Когда из конкретных соображений хотят в паре
(х, у)^ Е X F различать, что xg£, a y^F, то вместо f{x,y)
пишут также fx(y)-
Важные замечания. 1) Следует тщательно различать
символы х, f(x) и f, так как х есть элемент из Еу f(x) —
элемент из F, a f — математическое понятие, отличное от х и
от f(x).
Если обозначить через FE множество всех отображений Е
в F, то f есть элемент этого множества: f е FE.
2) Иногда бывает выгодно обозначать функции не через /,
g, /i, а, скажем, буквами х, у, z (обозначая в этом случае
переменное через t или и). Мы, как правило, будем предпочитать это
обозначение в главе, где* операции над функциями как
элементами множества FE определяются свойствами, аналогичными
тем, которые излагаются в предшествующих ей главах для
чисел, обозначавшихся буквами ху у, г.
3) Одной из характерных черт современной математики
является как раз изучение свойств множеств, элементами которых
служат функции. Таковы множество непрерывных отображений
одного метрического пространства в другое, множество
операторов в гильбертовом пространстве и т. д.
Частные случаи функций. Пусть f — отображение
Е в F. Если для любого х е Е значение f(x) есть один и тот же
элемент а е Е, то / называется постоянной.
Если Е = F, то отображение, которое каждому х е Е
ставит в соответствие тот же элемент х, называется тождественным
отображением.
Пусть f — отображение множества Е в F и А —
подмножество из Е. Отображение, которое каждому j^g/1,
рассматриваемому как элемент из £, ставит в соответствие f(x)^F, на-
2. ФУНКЦИИ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ
15
зывается сужением (или ограничением) f на А. Его иногда
обозначают !а-
Равенство. Два отображения f и g одного и того же
множества Е в одно и то же множество F называются равными,
если f(x) = g(x) для любого х е Е.
§ 2. Отображение во множество, отображение
на множество, взаимно однозначное отображение
Пусть / есть отображение множества Е во множество F.
Выражение «f определено на Е» означает, что каждому х е Е
соответствует при отображении / некоторое у е F. Выражение «/
есть отображение Е в F» только это и означает, т. е. каждому
х е Е соответствует некоторый элемент из F.
Но множество значений f(x) не обязано включать все
элементы множества F. Так, функция sin есть отображение
множества R действительных чисел в /?, и множество значений,
принимаемых функцией sin при всех х е R, состоит из
действительных чисел уу удовлетворяющих условиям
-К</<1.
Если множество всех значений f(x), принимаемых функцией
f, есть все множество F, то / называется отображением Е на F,
или сюръективным отображением. В этом случае для любого
y^F найдется хотя бы одно х^Е, для которого y = f(x).
(Пример: отображение / множества R в /?, имеющее вид
f(x)= я3— Зл;.)
Выражение «отображение на» употребляется только при
необходимости уточнения; если же в рассматриваемом вопросе
безразлично, будет ли / «отображением на», то достаточно
бывает говорить об «отображении в».
Утверждение, что / есть отображение Е на F, означает, что
каждое у е F есть образ при отображении / хотя бы одного
х е £, или, еще, что уравнение у — f(x) имеет по крайней мере
одно решение при любом у е F.
Пус^ь f есть отображение Е на F. Если любой элемент у е F
является при отображении / образом единственного элемента
х е £, то отображение f называется взаимно однозначным, или
биективным-, говорят также, что / есть биекция. Стало быть,
утверждение о том, что f есть взаимно однозначное отображение,
означает прежде всего, что / — отображение на и что уравнение
У = f(x) имеет при любом у е F единственное решение в Е.
Если Е = F и f есть взаимно однозначное отображение Е на
себя, то / называется перестановкой.
Для того чтобы / было взаимно однозначным отображением
Е на F, необходимо и достаточно, чтобы / было отображением Е
16
ГЛ. Т. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
на F и чтобы для любых *i и х2 из £, удовлетворяющих условию
Xi ф %2, всегда \{х\) ф f(x2) в F.
Если f есть отображение Е в F и если для любых л: е £,
х'^Е имеет место соотношение я =5^= *'=#>/(*) =5^/(я'), то /
называется инъективным отображением, или инъекцией. Если
Ff — множество всех f(x) (ср. ниже, § 3), то утверждение о
том, что / есть инъективное отображение £ в F, означает, что
оно является взаимно однозначным отображением Е на F\
§ 3. Расширение функции на множества подмножеств
Пусть / есть отображение Е в F и X есть подмножество из
E. Множество образов f(x) всех х е X есть подмножество из
F, обозначаемое через f{X). Таким образом, любому
подмножеству из £, т. е. любому элементу Xg^(£) можно поставить в
соответствие некоторый элемент f(X)^&(F). Тем самым
определяется функция, роль переменного в которой играет элемент
из 3*(Е) (из множества подмножеств множества £), а роль
значения— элемент из £P(F) (из множества подмножеств
множества F): X-+f(X). Эта функция снова обозначается через / и
называется расширением (исходной функции /) на множества
подмножеств.
Свойства. Это расширение на множества подмножеств
обладает некоторыми простыми свойствами:
1) Если ХФ0, то 1(Х)Ф0- если X = 0, то f(X) =
= /(0) =0.
2) Если X и Y — такие два подмножества из Е, что X cz У,
rof(X)czf(Y).
3) Каковы бы ни были 1е^(£) и Уе#(£),
Однако для операций П и С (ср. раздел I) простых свойств
не существует; имеет место только
f(X[\Y)<=f(X)[\f(Y).
Среди подмножеств из Е фигурирует само £, a f(E) есть
подмножество множества F. Тогда условие, что f — отображение Е
на F, может быть определено равенством f(E)= F.
Если рассматривать f(E), являющееся подмножеством
множества F, как множество, в котором / принимает свои значения,
то можно утверждать, что / является отображением Е в F и
отображением Е на f(E).
Примеры. Пусть Е = F = R — множество
действительных чисел, R+—множество неотрицательных действительных
чисел. Отображение х-^х3 множества R в R есть взаимно
однозначное отображение R на R. Отображение х —► х2 множества
R в R не является отображением на; если обозначить его через
2. ФУНКЦИИ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ
17
f, то f (R) = R+> т- е- множество действительных чисел
преобразуется посредством f во множество неотрицательных
действительных чисел; f есть отображение R на R+y но не является
взаимно однозначным отображением R в R.
Пусть g" — отображение R в R, определенное следующим
образом: если х ^ 0, то g"(x) — х/(1 + *); если л; ^ 0, то
g(x)= х/(1—х). Множество значений, принимаемых g, есть
множество действительных чисел, заключенных между —1 и
+ 1, причем —1 и +1 исключаются. Это множество
обозначается ]—1, +\[. Функция g есть отображение R на g(R) =
= ]—1,+1[; она является взаимно однозначным отображением
R на ]—1, -И [> или взаимно однозначным отображением R в R.
§ 4. Обратное отображение
Пусть f есть отображение множества Е во множество F.
И пусть у — точка из F\ если f не является отображением на Z7,
то не для всякого у существует х е £, для которого f{x)= у, а
если существует, то их может быть несколько, так что
множество элементов из £, имеющих образом при отображении f один
и тот же элемент у е F, составляет часть множества Е и может
быть как пустым, так и состоять из нескольких точек.
Следовательно, если задана функция f, то вообще говоря, нельзя
устроить обращение от F к Е. Напротив, рассмотрим
расширение функции / на множества подмножеств £Р(Е) и ^(F). Для
большей ясности обозначим это расширение через ф. Пусть
Х0 е ^(Е) есть подмножество из £ и пусть У = ф(^о) — образ
в <?(Е) множества Х0 при отображении ф; У есть множество
всех y = f(x)^F, для которых х е X. Обратно, зададим
подмножество Ус/7; рассмотрим все те хе£, для которых
/МбУ; множество всех этих х образует подмножество X из
Е (которое содержит подмножество Х0). Если любому Fe^(f)
поставить в соответствие таким способом определенный элемент
^е^(£), то будет установлено отображение £P(F) в &*(£),
которое называется обратным отображением к ф и
обозначается через ф-1.
Следовательно, это есть отображение множества
подмножеств (из F) во множество подмножеств (из £), как и само
отображение ф.
В обычной записи между f и ф-не делается различия, и
отображение ф-1 обозначается /Н Стало быть, используется
символическое обозначение f(x), f(X), f~l(Y). Однако важно
отметить, что f(x) есть элемент из F, f(X) есть подмножество
из F9 f~l(Y) есть подмножество из Е и что, вообще говоря, f~]
определено не как отображение множества F во множество Я,
а только как отображение !P(F) р !Р(Е).
18
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
Если У есть подмножество из £, то X = /ч (У) есть
подмножество в £ тех х <= £, для которых f(*)e У cz £, и называется
прообразом множества У.
Пусть, в частности, подмножества из F сводятся к
единственному элементу у. Прообразом элемента y^F будет f~*(y),
т. е. подмножество из £ (которое может содержать один или
несколько элементов, или же быть пустым). Для того, чтобы f-1
было функцией переменного у е £, имеющей в качестве
значения некоторый элемент х е £, необходимо прежде всего, чтобы
любое у е F было образом некоторого х е £ при отображении
f, и следовательно, чтобы f было отображением £ яа £. Далее,
необходимо, чтобы для любого y^F его прообраз f~l(y) был
подмножеством из £, сводящимся к единственному элементу,
или, иными словами, чтобы каждое у е F было образом
единственного х ^ Е. Это условие означает, что f должно быть
взаимно однозначным отображением множества £ на
множество F.
Итак, для того чтобы /-1 определяло отображение F в £, ие-
обходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным
отображением Е на F. Тогда отображение f'1 тжже взаимно одно-
значно.
Примеры. 1) Пусть f есть отображение х-+хг множества
£ = /? во множество F = R. Обратное отображение f~l ставит
в соответствие каждому множеству действительных чисел
другое множество действительных чисел. Например, если [0, 1] = Xq
означает множество действительных чисел х, удовлетворяющих
условию 0 < * < 1, то f(X0) — Х0= У е £.
Обратно, подмножество тех хе£, для которых /(л;)е[0, 1],
есть [—1, +1]-
Образом интервала [—1, 0] при отображении f будет [0, 1], но
f~l([—\> 0]) сводится к единственному элементу 0;
f-4[-2,-l])=0.
2) Пусть Е = F = R+-— множество неотрицательных
действительных чисел и пусть g есть отображение х —► х2
множества /?+ в /?+. Легко показать, что это отображение взаимно
однозначно. Тогда отображение g~l будет взаимно однозначным
отображением /?+ в /?+; оно записывается: х-+хЧ> или х-> ]/х.
Свойства обратного отображения. Если У и
У' —подмножества из F, а / — отображение £ в £, то
УсгУ'^ГЧПсгГЧП,
г1(^ип=г1(пиг1(п,
г^пп-г'тпгЧп,
гЧсп-сгЧп.
Г1 (0) = 0.
2. ФУНКЦИИ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ
19
Заметим, что свойства отображения /_1 относительно
подмножеств из F и Е более просты, чем соответствующие свойства
отображения f. Однако если f есть взаимно однозначное
отображение Е в F, то для подмножеств X, X' из Е справедливо
равенство f(XriX') = f(X)()f(X') (см. § 3, свойства).
§ 5. Композиция отображений
Пусть заданы три множества: Еу F, G и пусть / —
отображение Е в F, a g — отображение F в G.
Каждому х е £ отображение / ставит в соответствие
f(x)<=F. Отображение g переводит f(x) в g(f(x))<=G.
Следовательно, определено отображение /г множества Е во
множество G:
x->g(f(x)).
Это отображение называется композицией отображения f на g
и обозначается: h = g °f.
Важно отметить, что если можно определить gof, то символ
fog может не иметь смысла; этот символ должен определять
отображение У -+ f(g(y))\ где y^F (поскольку g есть
отображение F в G) и где g(y) (который, по определению, есть
элемент из G) для существования f(g(y)) должен быть элементом
множества Е. Операция fogt вообще говоря, не коммутативна;
она неотделима от порядка, в котором она производится. Кроме
того, отметим, что символы fog", gof должны читаться справа
налево.
Если Еи E2i ..., Еп — заданные множества, /ч —
отображение Ei в £2, h — отображение Е2 в Е3у .. ., fn_i — отображение
£n-i в Еп, то тем самым определена композиция отображений
fn-i ° fn-2 °. •. © /г ° f 1, переводящая £4 в £w.
Операция композиции, в общем случае не коммутативная,
ассоциативна, т. е. /3° {fz °fi) = (/з о/г) °fu композиция f2°/i на
/з дает то же отображение, что и композиция /ч на (/з ° /г) - Это
свойство справедливо, очевидно, для любого конечного числа
отображений.
Если f есть отображение Е в F, g есть отображение £ в G и
^ = g°f> то для любого подмножества Л с G его прообраз
S~l(A) есть подмножество из F, a /_1(ff-1(^)) есть
подмножество из Е. Следовательно,
f-l{g~l(A))=h-l(A), AaG,
g(f(X)) = h(X), Ic£.
Если f — взаимно однозначное отображение Е на F и g —
взаимно однозначное отображение F на G, то go/ будет взаимно
однозначным отображением £ на G.
20
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
§ 6. Последовательности
Мы предполагаем известным множество N натуральных
чисел 1, 2, 3, . . ., а также его свойства.
Множество X называется счетным, если существует хотя бы
одно взаимно однозначное отображение множества N на
множество X.
Определение. Последовательностью называется отображение
множества N в некоторое заранее заданное множество Е.
Обозначения. Итак, последовательность есть
отображение / множества N во множество Е. Если элементы множества
N обозначены через ft, /?, qy fe, ..., то значение / есть f(n) и
является элементом множества Е. Как уже говорилось (§ 1),
переменное, называемое индексом или параметром, может
при записи располагаться по-разному, и в частности, можно
писать fn.
Однако, из соображений удобства, значение
последовательности п^ N обозначается через хп, где х означает элемент,
характеризующий Е.
Сама последовательность обозначается через (хп) или, для
большей точности, через (xn)ne=N* Это'соглашение не включает
обозначения, принятого для функций.
Чтобы отметить, что последовательность принимает значения
в £, говорят также: «последовательность в £»,
«последовательность элементов из Е» или «последовательность из Е».
Значение хп называется членом с номером я, членом с
индексом ft, п-м членом.
Имеется еще один способ записи последовательности,
позволяющий выделять любые конкретные значения: (хи х2, ...
. • • > хп> . ..).
Множество значений. Пусть X есть множество
значений последовательности из £, которое не следует смешивать с
понятием самой последовательности. Множество значений
может быть конечным или счетным. Если в Е задано конечное или
счетное подмножество X, то можно многими способами
определить последовательность, для которое X было бы множеством
значений (необходимо предположить, что X состоит по крайней
мере из двух элементов, ибо в случае одного элемента
определяемая последовательность будет постоянной). Таким образом,
если X счетно, то существует, по определению, по крайней мере
одно взаимно однозначное отображение множества N на
множество Х\ это отображение и есть последовательность (хп).
Возьмем теперь перестановку множества N, т. е. взаимно
однозначное отображение N на N: п-+рп. Композиция этих двух
отображений дает новую последовательность (*рп)яеДГ»
множеством значений которой снова будет Х\ эта последовательность,
2. ФУНКЦИИ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ
21
вообще говоря, отличается от первой, так как две
последовательности (хп), (Уп) (являющиеся отображениями) равны,
если при любом п имеем хп = уп (здесь уп = хРпУ
Подпоследовательность заданной
последовательности. Пусть (хп) есть заданная последовательность
из Е. И пусть задано строго возрастающее отображение
множества N в iV, т. е. задана последовательность {пц) натуральных
чисел, в которой k < kf влечет пи < п^. Последовательность
(уk) k^Ny определяемая равенством уи = хПк при любом k,
называется подпоследовательностью последовательности (хп).
Понятие это не содержит ничего нового. В самом деле,
если обозначить через ф (строго возрастающее) отображение
к-+Пк> через / — множество всех nk, через / — отображение,
определяемое последовательностью (хп), а через fi — сужение
f на /, то подпоследовательность (хпЛ1 последовательности
(хп) есть отображение fioy множества N во множество Е.
Двойные последовательности. Двойной
последовательностью в Е называется отображение множества N X N во
множество Е и обозначается (xPtq){ g)(=NX N- Множество
значений двойной последовательности является конечным или
счетным подмножеством из Е.
Замечание. Иногда называют конечной последователь-
ностью в Е отображение конечного подмножества- из N в Е.
§ 7. Операции над семействами множеств
Мы ограничимся несколькими указаниями, достаточными
для дальнейшего изложения.
Пусть имеется множество 8 и множество $?(8) его
подмножеств. И пусть, с другой стороны, задано множество /,
называемое множеством индексов. Рассматривается отображение
множества / во множество ^(8), и для i е / соответствующий
элемент из У (8) обозначается через £*• Множество, состоящее из
Ей где i'g/, обозначается (£*) или (£*)*е/ *) и называется
семейством подмножеств множества 8. Если Г есть подмножество
из /, то Еи где i е /', составляют подсемейство предыдущего
семейства.
Нам часто будут встречаться счетные семейства (Еп)у
которые, в соответствии с терминологией § 6, являются
последовательностями элементов из £Р(8).
Объединение. Объединением семейства £* называется
множество тех х е 8, которые принадлежат хотя бы одному
*) Там, где это не вызывает путаницы, используется также обозначе-
22
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
из Ei. Это объединение обозначается
Если / = Л/, то используется также обозначение
оо
(J Et или (J Et.
i е JV /=1
Два семейства, имеющие одно и то же множество значений
в 3>(<S), имеют одно и то же объединение. В случае I — N
можно утверждать, что порядок, в котором берутся множества
Ei при образовании объединения, не играет роли.
Объединение подсемейства содержится в объединении
семейства, т. е., если Г с: /, то
U Е' cz (J Et.
i е= /' is/
Пересечение. Пересечение семейства Е\ есть множество
тех х е <%, которые принадлежат всем Eit Оно обозначается
П Ь.
При I = N используется также обозначение
ио
f) Е{ или f)£,.
i €= N i=\
Два семейства, имеющие одно и то же множество значений
в ^(<§Г), имеют одинаковые пересечения. Если / = /V, то можно
утверждать, что порядок, в котором берутся множества при
образовании пересечения, не играет роли.
Пересечение подсемейства содержит пересечение семейства,
т. е. если /' с /, то
/е/' i е= /
Покрытие; разбиение. Пусть Ei есть семейство
подмножеств из (% и пусть А есть подмножество из &. Говорят, что
семейство Ei покрывает А (или является его покрытием), если
А o:\JEl
Примеры. Множество кругов заданного, отличного от
нуля, радиуса, с центром в произвольной точке плоскости,
покрывает плоскость; множество интервалов j д 2 , — ^, где
neJV, покрывает интервал ]0, 1[.
3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
23
Говорят, что семейство Ех есть разбиение множества Л, если
оно удовлетворяет следующим условиям:
а) семейство £; покрывает Л;
б) любое множество Ех семейства непусто {Е{Ф 0);
в) множества Ei попарно не пересекаются, т. е.
1ф1^Е1[\Е1 = (д.
Пример. На прямой семейство полуоткрытых интервалов
Г.—!—~ — , где n^N, является разбиением интервала ]0, 1[;
L п + I и L
ия плоскости семейство параллельных прямых одного направлен
ния определяет разбиение плоскости.
РАЗДЕЛ 3
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Понятие отношения эквивалентности принадлежит к
основным понятиям математики и будет использоваться всюду в
дальнейшем.
§ 1. Бинарные отношения
Определение бинарного отношения. Пусть Е — некоторое
множество и пусть А — подмножество из Е X E-f говорят, что
два элемента х, у е Е связаны бинарным отношением,
определяемым посредством Л, если (х,у)^А.
Пусть, например, Е = N есть множество натуральных чисел.
Рассмотрим в N X N подмножество Л, полученное следующим
образом: А есть множество натуральных пар (р, q), для
которых р -)- q — четное число. Если Е — множество кругов на
плоскости, то бинарное отношение между двумя кругами может быть
установлено, скажем, так: радиус одного круга вдвое больше
другого.
Равенство является бинарным отношением: если Е —
некоторое множество, а Д — диагональ множества Е X Е, т. е.
множество элементов (х, х), где х^Е, то отношение (^1/)е4 есть
не что иное, как х = у.
Обозначение. Обозначения, приведенные в определении,
вообще говоря, не находятся в употреблении, а применяются
Другие, более удобные обозначения, подчеркивающие тот факт,
что два элемента из Е могут быть связаны бинарным
отношением. В общем случае пишут хЭ1у\ в более конкретных случаях
используется запись х ~ у, х = у, х е= у, и т. д.
Отметим, что задание бинарного отношения Я для пар
элементов из Е не означает, что это отношение выполняется для
любой пары.
24
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
Пусть 52 есть бинарное отношение на Е. Обозначим снова
через Л подмножество из Е X Е> которое определяет 52 или
которое определяется посредством 52.
Отношение 52 называется рефлексивным, если x9tx
справедливо для любого х е Е, т. е. если для любого х е Е всегда
(х, х)е/1, и значит, если Л содержит диагональ множества
ЕХЕ-
Отношение 52 называется симметричным, если х91у ФФ #52#,
т. е. если (х,у)^А влечет (у, х)еЛ.
Отношение 52 называется транзитивным, если #52*/ и y9lz=$>
^x9tz, т. е. если (х,//)е/1 г/ ((/,2)еД=Ф(х,2)е/1; можно
также сказать, что 52 транзитивно, если из того, что х связано с
у отношением 52 и у связано с z отношением 91, следует, что х
связано с z отношением 52.
Отношение 52 называется антисимметричным, если x9ty и
y9tx =Ф х = у.
1. Определение. Бинарное отношение 9t на множестве Е
называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Примеры. 1) Пусть в плоскости задано направление D и
пусть 52 есть отношение между двумя точками М и М\
введенное следующим образом:
М91М'Щ прямая ММ' параллельна D.
52 есть отношение эквивалентности.
2) Между двумя парами (р, q), {p',q') натуральных чисел
устанавливается отношение 52:
(р, q)9l{p',q')4$pq' = p'q
или отношение 9¥\
{p,q)W{p',q')&p + q'=p' + q.
91 и 91' являются отношениями эквивалентности; первое служит
для определения рациональных чисел, а второе — для
определения целых относительных чисел. Здесь множество Е = N X N.
Обозначения. Пишут х91у, или х ~ у, или х ~ у{91),
а также х = у mod 52, причем последнее читается как «х равно
у по модулю 52 или по 52». Говорят, что х и у эквивалентны.
В случае, если рассматривается только одно отношение
эквивалентности, мы будем чаще всего пользоваться обозначением
х ~ у.
2. Классы эквивалентности. Классом эквивалентности в Е
по отношению эквивалентности 52 называется множество всех
элементов из Е, эквивалентных некоторому заданному
элементу х.
3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
25
Будем обозначать класс через с1(л;) или Я (эти обозначения,
как мы увидим, будут нужны довольно редко) и будем говорить,
что х есть представитель класса Я.
Класс эквивалентности является подмножеством из £, в то
время как отношение эквивалентности определяется некоторым
подмножеством из Е X Е.
Пусть х есть элемент из Ег Я — класс, определяемый
посредством х по 91, и пусть у есть элемент из Я. Если z ~ у, то z ~ х,
так как у ~ х (транзитивность); обратно, если z ~ ху то z ~ у.
Следовательно, если задан класс эквивалентности, то для его
определения может быть взят любой его элемент.
Точно так же пусть Я, у — два класса эквивалентности. Если
существует элемент 2, общий этим двум классам, то Я = //, т. е.
Я и у состоят из одних и тех же элементов множества Е.
Действительно, если z ^ Я и z ^ у, то 2 ~ л; и 2 ~ г/. Если / —
произвольный элемент из Я, то / ~ х ~ z ~ у; следовательно,
/ е у. Получаем следующее фундаментальное свойство.
Два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо
совпадают.
3. Фактормножество. Фактором или фактормножеством
множества Е по отношению эквивалентности 9t называется
множество классов эквивалентности.
Это множество обозначается E/ffi. v
Множество классов эквивалентности определяет разбиение
множества Е. Обратно, пусть имеется разбиение множества Е
посредством некоторого семейства Е{ подмножеств из Е.
Отношение х91у, определяемое как «я и у принадлежит одному и
тому же £г», есть отношение эквивалентности; легко видеть, что 91
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример. Добавим к предыдущим примерам еще один,
часто встречающийся.
Пусть Е и F — два множества и / есть отображение Е в F.
Установим между двумя типичными элементами из Е
отношение 91 вида
x9ly4$f{x) = f(y).
Очевидно, что 91 есть отношение эквивалентности. Пусть Е' =
= /(5) есть подмножество в F, состоящее из образов элементов
х е Е. Любому х' е Ег может быть отнесено множество /^(^),
являющееся, по определению, множеством элементов х^Е, для
которых х' = f(x). Стало быть, два элемента х, у из f~l{x')
связаны отношением 91. Но, с другой стороны, пусть х —
заданный элемент из Е и пусть x' = f(x)\ если у связано с х
отношением <%, то f(y) = f(x) = x', т. е. ye=f~l(x'). Следовательно,
' есть взаимно однозначное отображение множества f(E)
иа Е/я.
26
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
4. Факторизация отображений. Пусть множество Е наделено
отношением эквивалентности 91, а множество Е' наделено
отношением эквивалентности 91'. Пусть, далее, / есть
отображение Е в Е' и пусть
x9ly=$f(x)9L'f(y).
При этих условиях определим отображение ф множества Е/91 во
множество Е'/91' следующим образом: элементу х е Е/91
соответствует f (х)^ E'/9t\ т.е. класс элемента f(x) в Е' по Ж'.
Говорят, что отображение ф получено из отображения f
факторизацией.
Пример. Пусть f есть отображение множества Е во
множество Е'. Рассмотрим на Е отношение 91 между элементами х
и у из Е, определенное следующим образом;
x9ly4=$f(x) = f(y).
Очевидно, что 9t есть отношение эквивалентности.
Пусть со — отображение Е в Е/91, ставящее в соответствие
элементу х е Е класс эквивалентности х, определяемый х.
Пусть, далее, ф есть отображение Е/91 в Е\ определяемое как
ф(л:)== f(x), где х — представитель класса х. Если хг — другой
представитель класса х, то f(x)= f(x'), и следовательно,
значение <р(х) отображения ф в Е' не зависит от представителя х
класса х\ тем самым определена функция на Е/91.
Так как х = со (х), то ф (со (х)) = f(x), и значит, f = cpoo.
Можно еще заметить, что отображение ф инъективно, т. е.
х Ф #=Фф(*) Фу{у)\
в самом деле, два различных класса эквивалентности не имеют
общих элементов.
Наконец, если положить F = f(E), то ф будет взаимно
однозначным отображением Е/91 на f(E). Стало быть, если
обозначить через ф1 отображение Е\91 в f(E), определенное
равенством <pi(x) = /(#), а через / — тождественное отображение
f(E) в Е', то
f = I о ф1 о со.
РАЗДЕЛ 4
ПОРЯДОК
Определение. Говорят, что бинарное отношение 91 на
множестве Е есть отношение порядка, если 91 рефлексивно, тран-
зитивно и антисимметрично, т. е.
х91х справедливо при любом х^Е,
хЖу и y9tz^x9tz, х91у и у91хфх = у.
4. ПОРЯДОК
27
Обозначения. Терминология. 1) Будем обозначать
отношение 91 символом ^ (как и для действительных чисел).
2) х ^ у читается как «л: меньше у».
3) Если 91 есть отношение порядка, то отношение у91х
между х и у тоже есть отношение порядка, называемое отношением,
противоположным 91, и обозначаемое ^.
4) х ^ у читается как «л: больше у».
5) Считается, что х ^ у логически эквивалентно у ^ х.
6) Если задано отношение порядка, то символическая
запись х < у означает, что х ^у и х Ф у. В этом случае будем
говорить, что х строго меньше у или что у строго больше х.
7) Если множество Е наделено отношением порядка, то
говорят, что Е— упорядоченное множество, или множество,
наделенное порядком, или что на Е введен порядок.
Замечание. Если на Е задано отношение порядка, то это
не должно обязательно означать, что для любой пары (х, у)
элементов из Е выполняется одно из отношений х91у или у91х.
Если 91 есть отношение порядка на Е и если для любой
пары (ху у) всегда либо х91у либо у91х, то множество называется
линейно упорядоченным.
Примеры. Множество N натуральных чисел упорядочено
отношением р ^ q. Отношение включения А а В есть
отношение порядка на множестве 9>(Е) подмножеств множества Е.
Наименьший элемент; наибольший элемент.
Пусть Е — упорядоченное множество. Если существует такой
элемент а <= £, что а ^ х (соответственно х ^ а) для любого
х е £, то а называется наименьшим (соответственно
наибольшим) элементом.
Если в Е имеется наименьший элемент, то этот элемент —
единственный, так как если бы их было два, скажем, а и &, то
должно было бы выполняться а ^ b и b ^ а, что требует a = b
(антисимметричность отношения порядка ^).
Если а — наименьший элемент в Е (предполагаемый
существующим) для отношения порядка ^, то он будет наибольшим
Для противоположного отношения порядка ^.
Пример. Пусть @{Е) есть множество подмножеств
некоторого множества, упорядоченного отношением включения cz.
Для любого А е 9*(Е) имеем 0 cz A cz Е; следовательно, пустое
множество будет наименьшим элементом в &*(Е)У а Е —
наибольшим.
Замечание. Упорядоченное множество может не иметь
наименьшего или наибольшего элемента. Так, во множестве R
Действительных чисел не существует ни наибольшего, ни
наименьшего элемента Для множества Е действительных чисел,
Удовлетворяющих условию 0 < х ^ 1, наибольший элемент ра-
вен 1, а наименьшего не существует (см. Числовая прямая).
28
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
Мажоранты и миноранты подмножества
упорядоченного множества. Пусть Е — упорядоченное
множество и Л — его подмножество. Мажорантой
(соответственно минорантой) множества А называется любой элемент ае£,
для которого х ^ а (соответственно а ^ х) при всех xgA
В этом случае говорят, что а мажорирует (соответственно мино-
рирует) А или А мажорируется (соответственно минорируется)
элементом а. Если а мажорирует А относительно порядка ^, то
а минорирует А относительно порядка ^. Если а есть
мажоранта множества А и если существуют такие элементы b е Еу
что b ^ а, то любое b тоже может служить мажорантой для А.
С соответствующими заменами это замечание верно для
минорант.
Если подмножество А одновременно мажорировано и мино-
рировано, то оно называется ограниченным.
Верхняя и нижняя грани. Пусть Е — упорядоченное
множество и Л — его подмножество. Верхней (соответственно
нижней) гранью называется наименьшая (соответственно
наибольшая) мажоранта (соответственно миноранта)
множества Л.
Пример. Пусть Л есть подмножество действительных
чисел, состоящее из —1 и из чисел х, О ^ х < 1. Любое число,
большее или равное 1, является мажорантой множества Л,
а любое число, меньшее или равное —1, его минорантой.
Верхняя грань равна 1, а нижняя грань равна —1. Если
рассматривать множество только рациональных чисел г, 0^г< ]/2,
то его верхней гранью будет V2, если считать Л
подмножеством действительных чисел; но если считать Л подмножеством
только рациональных чисел Q, то Л будет мажорировано в Q,
но верхней грани иметь не будет (поскольку |^2 не является
рациональным числом).
Если А имеет в Е верхнюю грань, то эта верхняя грань
обозначается sup Л. Нижняя грань обозначается inf Л. Когда
необходимо уточнение, пишут supEA, inf я А
Следующие утверждения очевидны.
Если подмножество Л имеет наибольший элемент а, то а =
= sup Л.
Верхняя грань подмножества Л является его нижней гранью
для противоположного порядка.
Если Л не пусто, то inf Л ^ sup Л.
Если подмножества Л и В упорядоченного множества Е
имеют верхние грани и Л с В, то sup Л ^ sup В (и inf В ^
^ inf Л, если таковые существуют).
Когда рассматривается подмножество упорядоченного
множества Е, состоящее из двух элементов х и у, верхняя грань
4. ПОРЯДОК
29
этого подмножества (если она существует) обозначается
svp(x,y)\ соответственно нижняя грань обозначается inf(A', у).
В более общем случае, через sup(xi, x2f ..., xv) и
inf(*i> *2, ..., хр) обозначаются верхняя и нижняя грани
подмножества, составленного из конечного числа элементов. Это
обозначение представляет некоторое неудобство, несмотря на
его преимущества, ибо через (х, у) обычно записывается
элемент произведения Е X £> где х есть первый, а у — второй эле-
мент пары. В обозначении же sup(xb ..., хр) порядок, в
котором записаны элементы х, не играет никакой роли, т. е. sup есть
знак, отнесенный к подмножеству в целом.
Иными словами, sup (х, у) = sup (у, х); операция sup комму-
тативна. То же самое относится к операции inf.
Операция sup также и ассоциативна, т. е. если А —
подмножество упорядоченного множества Е, имеющее верхнюю грань
sup Л, и если (Лг) — такое его покрытие, что каждое из Aid А
имеет верхнюю грань sup Лг-, то sup Л = sup (sup At).
В самом деле, так как Лг- cz Л, то sup Л* ^ sup Л. С другой
стороны, каждое х е Л принадлежит по крайней мере одному
Аг\ а так как для любого х е Л* имеем а: ^ sup Л^, то
sup (sup Ai) есть мажоранта множества Л всех х, и
i
sup Л ^ sup (sup Л/),
откуда и следует утверждение.
Из предыдущих предложений вытекает, что если / —
подмножество из N, а / — подмножество из /, то
sup (xt) <! sup (*/) и inf (xt) ^ inf (xt);
fs/ i €= / ie/ i ее I
в частности,
SUp(^i, #2, ..., #я) ^S SUp (#], %2> •••> xm xn + \)
И
1П1(#1, #2> •••> XnJ^lRl \Xii %2> •••» -^, -^rt + l)'
Имеем также
SUp (sup (*„ ..., Xn), X« + 1) = SUp(x„ *2, •••> *я> */i + i)-
Обозначение. Если Л—счетное подмножество,
элементы которого обозначаются х\, х2, хъ, ..., то пишут также
suPte, дс2, ..., xn, ...), или sup(^), или, еще, sup(^), если это
не вызывает путаницы.
Упорядоченные множества и функции. Пусть
и F —, дВа множества, упорядоченные одним и тем же отно-
1^нием порядка, обозначаемым символом ^:. Отображение f
30
ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ
множества Е во множество F называется возрастающим
(соответственно убывающим), если х ^ у =Ф f(x) ^ f (у)
(соответственно f{x)^f(y)). Возрастающее или убывающее
отображение называется монотонным. Отображение называется строго
возрастающим (соответственно строго убывающим), если
х < y^f(x) <f(y) (соответственно f(x)>f(y)). Строго
возрастающее или строго убывающее отображение называется строго
монотонным.
Если f есть монотонное отображение Е в F и если оно
взаимно однозначно, то оно строго монотонно.
Если f есть отображение какого-либо множества Е в
упорядоченное множество F, то / называется мажорированным
(соответственно минорированным), если мажорировано
(соответственно минорировано) подмножество f (Е) множества F.
Если f(E) имеет в F верхнюю грань, то эта верхняя грань
называется верхней гранью отображения f и обозначается
supf(x).
Нижняя грань отображения f обозначается
inf f(x). J
I
l
I
ГЛАВА II
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Задание способа отнесения двум элементам множества Е
некоторого элемента из Е определяет внутренний закон. Тем
самым определяется отображение Е\Е в Е. Говорят также, что
некоторый элемент из Е получается действием элемента из Е на
элемент из Е.
Если для получения элемента из Е элемент из Е подвергается
действию элемента множества F, отличного от Е или
рассматриваемого как отличное, то тем самым определяется внешний
закон, т. е. задается отображение множества Е X F в Е. Элементы
из F называются также операторами, а само множество F
называется множеством операторов.
Теоретически различие между внутренним и внешним
законами делать не следовало бы, так как первый есть частный
случай второго при Е — F. Практически же такое различие
желательно; достаточно сопоставить сложение целых чисел и
умножение векторов на число.
Когда на одном и том же множестве определено несколько
законов, то определяются или отыскиваются свойства одного из
них через другие. Пример: в сложении и умножении
действительных чисел дистрибутивность умножения относительно сложения.
В этой главе законы сначала будут предполагаться
определенными всюду, т.е. справедливыми для любой пары элементов
из Е и F.
РАЗДЕЛ 1
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
§ 1. Определение и обозначение внутреннего
закона композиции
Внутренний закон композиции на множестве Е есть
отображение множества Ex Е во множество Е.
Таким образом, это есть функция, переменным которой слу-
Жит (х* У)^Е X £, а значением — элемент z из Е.
Примеры. 1) На множестве натуральных чисел определено
•ложение, которое двум числам пу п' ставит в соответствие число,
32
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
представимое в виде п + п' или, лучше, (я + я'), так как скобки
уточняют свойство (/г-(-/г') быть элементом множества Е. Таким
образом, здесь вместо f(n, п') пишется п-\-п' или (п-\-п').
2) На том же множестве определено умножение, которое
элементам п и п' ставит в соответствие элемент, представимый в
виде пп' или (шг').
Поскольку мы хотим дать различные определения и свойства,
справедливые для различных законов, а в то же время
пользоваться будем лишь небольшим числом законов, то, с одной
стороны, мы отказываемся от обозначения f(x,y) для внутреннего
закона как отображения Е X Е в Е в пользу более
употребительных, а с другой стороны, чтобы определения могли быть
применимы к уже известным законам с установившимся обозначением,
мы будем пользоваться некоторым символом, который будет
употребляться только для обобщений.
Будем представлять f{x,y) посредством х Т у или х J_ у.
Таким образом, запись z = х Т у означает, что z есть композиция
х на у для закона, обозначаемого Т.
2 п
Если х = у, то пишут Т х или, вообще, Т х> вместо записи
хТхТх...Тх (п раз). Это обозначение заменяется на хп для
закона, изображаемого-(умножение) и на пх для закона,
изображаемого-!- (сложение).
§ 2. Ассоциативность
Так как мы рассматриваем только те законы, которые
определены всюду, то мы можем, взяв композицию элемента х на у,
составить композицию полученного элемента х Т у на некоторый
другой элемент z е Е.
Определение. Внутренний закон композиции на Е называется
ассоциативным, если для любых х, у, z из Е выполняется
{xjy)jz = xj{yjz). :
Это означает, что последовательная композиция сначала х й
у, а затем результата с z, приводит к тому же элементу, что и
композиция элемента х с композицией элементов у н z.
Если условиться читать слева направо, то ассоциативный
закон позволяет писать
xj у J z вместо (х J у)Т z.
Примеры. Сложение, умножение целых чисел.
§ 3. Коммутативность
Определение. Внутренний закон композиции на Е называется
коммутативным, если для любых х, у е Е выполняется
xj у = у J х.
1. ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
33
Это означает, что композиция х с у или у с х дает один и тот
же элемент из Е.
Пример. Сложение и умножение целых чисел являются
коммутативными законами.
Контрпример. Обычное векторное произведение не
коммутативно; то же относится к показательной функции: в общем
случае не выполняется равенство аь = Ьа (например, а = 2,
ft==3).
Если внутренний закон ассоциативен и коммутативен, то
композиция нескольких элементов из Е может производиться в
любом порядке. Доказательство этого свойства не представляет
трудности.
§ 4. Регулярные элементы
Определение. Элемент а е £ называется регулярным относи-
телъно внутреннего закона Т, если для любых х,у^Е
соотношения аТх = аТуихТа=:уТа влекут х = у.
Это означает, что в равенствах типа а Т х = а Т у возможно
«сокращение» на а.
Пример. Любое натуральное число есть регулярный
элемент относительно сложения, т. е. п + п! = п + п" влечет nr = п"\
напротив, для умножения регулярно всякое натуральное
число, кроме нуля (если условиться относить его к* натуральным
числам).
§ 5. Нейтральный элемент
Определение. Элемент е^Е называется нейтральным
элементом относительно внутреннего закона Т на £, если для
любого х е Е выполняется
е J х = х J е — х.
Пример. Во множестве целых чисел нуль является
нейтральным элементом относительно сложения (для любого п
имеем я + 0 = 0 + я = я), 1 есть нейтральный элемент
относительно умножения (для любого п имеем п-1 = 1 >п = п).
Теорема. Если е есть нейтральный элемент относительно
внутреннего закона Т, то этот элемент — единственный.
Действительно, допустим, что существуют два таких
элемента е, е'.
Так как для любого х выполняется е Т х = х J е = х, то,
взяв х = е\ получим е~т е'— е'J е = е'. А так как e'jx =
= хТе' = х для любого х, то взяв х = е, получим е'те =
= e~Y ef = е. Следовательно, е = е'.
34
ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
§ 6. Симметричные элементы
Определение. Пусть Т есть внутренний закон на Е,
обладающий нейтральным элементом е. Говорят, что элемент х е Е имеет
симметричный элемент относительно этого закона, если
существует такой элемент х/ е Е, что
xj х' = х' J х = е.
Теорема 1. Если закон Т, обладающий нейтральным
элементом е, ассоциативен, и элемент х е Е имеет симметричный
элемент х', то этот симметричный элемент — единственный, а
элемент х регулярен относительно закона Т.
Допустим, что х имеет два симметричных элемента х'\ х"
Тогда х~\х' = е, а так как е — нейтральный элемент, то
х"т(хтх') = х"те = *"• В силу ассоциативности x//j(xjx/) =
= (х" т х) Т х\ причем х" J х = е, поскольку х" симметричен х.
Следовательно,
х"Т (хТ х') = (х"Т х)Т х* = еТ х' = х* = х".
Предположим теперь, что х имеет симметричный элемент х'
и для у е Е и 2е Е выполняется
хТу = хТ z.
Тогда
*Т{хТу) = х'Т{хТг),
а так как закон ассоциативен, то
(х' J х)Ту = (х' Т д:) Т 2,
е Т у = е Т z,
У = г.
Тем самым доказано, что х — регулярный элемент.
Замечания. 1) Если х имеет симметричный элемент xr, то
он сам будет симметричным для х'.
2) Если закон Т обладает нейтральным элементом и
ассоциативен, то предыдущая теорема показывает, что если х имеет
симметричный элемент х\ то х' тоже регулярен.
3) Симметричным для е является сам элемент е.
4) В определении нейтрального элемента и симметричного
элемента мы допускали, что хТ е ^== еТ х. Но можно было
рассматривать, скажем, только равенство еТ х = х или х' Т х = е
и говорить о левом нейтральном элементе и левом симметричном
элементе. Это было бы еще большим обобщением, не имеющим
применения в дальнейшем.
1. ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
35
Примеры. Относительно сложения натуральных чисел с
добавлением нуля ни одно число, кроме нуля, не имеет
симметричного.
Относительно сложения целых чисел каждое число имеет
симметричное, а именно, числу п ставится в соответствие такое
число (—л), чтобы п + (—л) = 0.
Целые отрицательные числа именно так и вводятся — с целью
получения множества, наделенного внутренним законом, где
каждый элемент имел бы симметричный.
Относительно умножения натуральных чисел с добавлением
нуля ни один элемент, кроме единицы, не имеет симметричного.
Относительно же умножения строго положительных
рациональных чисел (т.е. без нуля) любой элемент имеет симметричный.
Здесь также рациональные числа строятся именно с целью
получения этого результата.
Однако относительно умножения неотрицательных
рациональных чисел число 0 не имеет симметричного (т. е. не
существует такого рационального числа г, для которого было бы
Ог = гО = 1).
Обозначение симметричного элемента. Элемент,
симметричный к л:, в случае, если он существует, обозначается иногда Т""1*.
Для закона, обозначаемого знаком +, симметричный к х
элемент обозначается (—х) и читается, как «минус я». Для закона,
обозначаемого знаком •, симметричный к х элемент
обозначается 1/лс, или лг1, и читается как «единица на л:», или «х в
минус первой степени». Здесь значки 1, — 1, — являются символами
записи. В соответствии с предыдущим (Замечания, 1)), можем
записать, что (—(—х)) = х или (лг1)-1 = х.
Теорема 2. Если закон Т ассоциативен, обладает
нейтральным элементом е и если элементы х и у имеют
симметричные, то элемент х Т у тоже имеет симметричный.
Пусть х' и у' — симметричные элементы соответственно для
х и у. Рассмотрим у' Т х'. В силу ассоциативности
(у'Т х')Т (хТ у) = ((у'Т х')Т х)Т у = (у'Т (х*Т х))Т у,
Но х' ~Т х = хТ х' = е. Следовательно,
(у'Тх*)Т(хТу) = (у'Те)Ту.
Так как е — нейтральный элемент, то у'~Те = у\ Значит,
(у'Тх')Т(хТу) = у'Ту.
у° у' ^симметричен элементу у, то есть у' Т у = е\ поэтому
\У Т х') Т {х Т у) = е. Следовательно, если х и у имеют
симметричные элементы х' и у', то хТ у имеет симметричный
элемент, равный у'Т х\
2*
36
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
По предыдущей теореме 1 у/ Т х' и х Т у являются
регулярными элементами.
Этот результат без труда распространяется по индукции на
число элементов более двух. Для получения элемента,
симметричного элементу х Т у, нужно учитывать порядок, в котором
должны следовать элементы, симметричные к х и к у.
Симметричным к у Т х будет элемент х' Т у'. Очевидно, что в случае
коммутативного закона Т этот порядок не играет роли.
§ 7. Понятие изоморфизма двух внутренних законов
Весьма важное понятие изоморфизма принадлежит к тем
понятиям, которые необходимы при первом же знакомстве
с алгеброй.
Так, пусть Е — множество натуральных чисел, наделенное
законом сложения (обозначаемым + ). Пусть F есть множество
натуральных степеней двойки, наделенное законом умножения
целых чисел (обозначаемым •).
Если п^Е и /г' е £, то закон + ставит в соответствие
элементам п и п' элемент п + п!.
Элементам 2п и 2п закон • ставит в соответствие 2п • 2п =
= 2п+п. С другой стороны, отображение п-±2п множества Е
во множество F взаимно однозначно, ибо если 2п = 2п\ то
п = п'. Обозначим это отображение через / и запишем 2n = f(n).
Следовательно, f{n-\-n')=f(n)-f(nf). Отображению /,
обладающему этим специальным свойством, дается название
изоморфизма.
Пусть снова Е — множество строго положительных чисел,
наделенное законом •, и пусть F есть множество всех
действительных чисел, наделенное законом +. Если х е £, то отображение
х—*\пх множества Е во множество F взаимно однозначно и
\п(х-х')=\пх-\-\nx'. Отображение In множества Е во
множество F есть изоморфизм. На этих двух примерах видно,
насколько несущественно теоретически, какое обозначение
принимается для законов.
Определение. Пусть Е — множество элементов х, х', ...,
наделенное внутренним законом, обозначаемым Т, a F есть
множество элементов у, у', ..., наделенное внутренним законом,
обозначаемым _1_. Предположим, что существует взаимно
однозначное отображение f:x-+y = f(x) множества Е на множество F.
Если для любых х, х' е Е
f(xTx')=-f(x)±fM9
то Е и F называются изоморфными (подразумевается, что
относительно закона Т в Е и закона _L в F), a f называется
изоморфизмом Е на F.
1. ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
37
Это означает, что для получения в F композиции у Му' двух
элементов из F относительно закона J_ можно сначала взять в £,
относительно закона Т, композицию прообразов х и х'
элементов у и у' (х = /-1 (у), х' = /_1 (у')), а затем взять в F образ
элемента х Т х' при изоморфизме /.
Важные замечания. 1) Если в Е существует
нейтральный элемент е закона Т, то f(x Т e) = f(x) 1 f(e). Но f(x Т е) =
= f(x). Следовательно, f(x) J_ f{e) = f(x). Точно так же
f (е) 1-f (х) = f (х). Стало быть f(e) есть нейтральный элемент
закона i. во множестве F. Иными словами, если f есть
изоморфизм множества Е на F и если Е обладает нейтральным
элементом, то F обладает нейтральным элементом, который является
образом при изоморфизме нейтрального элемента множества Е.
2) Отображение /_1 тоже есть изоморфизм F на Е.
§ 8. Дистрибутивность одного закона
относительно другого
Пусть Е есть множество, наделенное двумя внутренними
законами Т и JL; в этом случае можно, например, взять
композицию элементов х^Е и у^Е относительно закона Т, а затем
взять композицию результата (который принадлежит Е) с
некоторым другим элементом 2ё£ посредством другого закона JL.
Получится (xTy)Lz или zL(xTy), в зависимости от
порядка, в котором производились операции.
Определение. Внутренний закон _]_ называется
дистрибутивным слева и справа относительно закона Т, или (равносильное
выражение) вдвойне дистрибутивным, или, сокращенно,
дистрибутивным относительно закона Т, если для любых x,y,z^E
(xTy)±z = (x±_z)T{y±.z) и zJ_(*T у) = (г±х)Т(г±у).
Примеры. Е есть множество целых чисел, Т есть закон *+\
-L есть закон •. Умножение дистрибутивно относительно
сложения, т. е. для любых х, у, z
(x + y)*z = x-z + y*z и z • (х + у) = г • x + z • у.
Однако сложение не дистрибутивно относительно умножения,
так как соотношение ху + z = (х + z) • (у + z) не может
выполняться для любых ху у, z.
Напротив, возведение в степень, не будучи коммутативным
законом (см. § 3 этого раздела), дистрибутивно справа
относительно умножения, так как для любых положительных а, 6, с
имеем (aby = асЬс.
38
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
РАЗДЕЛ 2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ:
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
В этом разделе мы будем рассматривать внутренние законы
на множестве Е, обладающие многими из свойств, определенных
в первом разделе. Множества, в которые превращают Е такие
законы, постоянно встречаются в математике. При этом
множество Е, наделенное одним или двумя из этих законов, принимает
специальное название; это будет группа (Е наделено
единственным законом, обладающим некоторыми свойствами), кольцо или
тело (два закона, каждый из которых обладает своими
специальными свойствами и свойствами по отношению к другому закону).
§ 1. Группы {
1. Определение. Множество G называется группой, если оно
наделено внутренним законом Т, обладающим тремя
следующими свойствами:
А) Закон ассоциативен: (х Т у) Т z = х Т (у Т z).
N) Закон обладает нейтральным элементом е: е Т х =
= х Т е = х.
S) Всякий элемент х е G имеет симметричный элемент х'\
хТ х' = х' Т х — е.
Этот закон называется законом группы.
Если, к тому же, закон Т коммутативен (х Т у = у Т х), то
группа называется коммутативной, или абелевой.
По теореме 1 (раздел 1, § 6) все элементы группы регулярны
относительно закона группы.
Примеры. 1) Множество положительных, отрицательных
чисел и нуля вместе с законом сложения + составляют группу
(относительно этого закона). Роль е играет нуль. Эта группа
коммутативна.
Однако то же самое множество, наделенное законом
умножения, уже не будет группой, поскольку свойства А и N
выполняются, а свойство S не выполняется для нуля и напротив, это
же множество без нуля становится группой относительно
умножения. Нейтральным элементом служит 1.
2) В элементарной геометрии рассматриваются вращения
плоскости вокруг точки А. Такое вращение определяется
ориентированным углом х, а вращения на угол ох + 2fcrt (k — целое
число, положительное, отрицательное или нуль) представляют
собой одинаковые геометрические преобразования.
Рассмотрим теперь во множестве действительных чисел
отношение между двумя действительными числами х, х',
определяемое так: разность между х и х' равна 2fcri; это отношение будет
записываться х = л:/(то(12йя) и читаться: х конгруэнтно х' по
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
39
модулю 2kn. Полученное отношение есть отношение
эквивалентности, ибо оно рефлексивно (при х = х' нужно брать k = 0),
симметрично (так как х — х' = 2kn, х' — х = 2(—&)я), транзи-
тивно (так как если х = х' -\- 2kn и х' = х" + 2й'я, то х =
^x" + 2(k + k')n).
Пусть 6 есть класс эквивалентности для х\ 6 определяет
вращение вокруг А. Пусть, далее, 0 есть класс эквивалентности для
х = 0. Обозначим через 6 + 6' класс для х-\-хг, через (—6) —
класс для (—х). Тогда 6 + (-6) = 0, (6+ 6')+ 6" = 6 +
+ (6' + 6"), 6 + 0 = 6, 6 + 6' = 6' + 6.
Таким образом, закон, который классам 6 и 6' ставит в
соответствие 6 + 6', есть закон абелевой группы.
Обозначим теперь через р, р', ... вращения, определяемые
классами 6, 6', ... (р означает геометрическое преобразование),
а через е — вращение, определяемое классом 0. Закон
композиции между вращениями р есть закон абелевой группы. Принято
говорить о произведении преобразований. В соответствии с этим,
композиция двух вращений р и р' по предыдущему закону
записывается в виде рр', и, если обозначить через р"1 вращение,
симметричное к р, то
(рр')р" = р(р'р")> ре = ер = р, рр"1=8, рр' = р'р.
Этот геометрический пример показывает, что можно говорить
о произведении вращений р, р', несмотря на то, что это
произведение было представлено суммой 6 + 6', так что обозначение
закона диктуется всего-навсего соображениями удобства.
2. Подгруппа. Множество всех целых чисел образует группу
по сложению. Возьмем в этом множестве подмножество,
состоящее из четных чисел и нуля, с сохранением того же закона.
Снова получим группу. Для нечетных чисел это уже не так.
Этим примером иллюстрируется следующее определение.
Определение. Пусть G есть группа относительно внутреннего
закона Т; подгруппой группы G называется такое
подмножество G' множества G, что если применить к двум элементам
из G/ (которые являются элементами из G) тот же закон Т,
то С, наделенное этим законом, составляет группу.
Закон полученной таким путем группы G/ называется
законом, индуцированным на G/ законом группы G.
Теорема 1. Если G' есть подгруппа группы G, то ее
нейтральный элемент совпадает с нейтральным элементом группы
^, а симметричным в G' для элемента х е G; является тот же
самый элемент, который симметричен в G элементу х как эле-
Менту группы G.
Для упрощения записи будем использовать мультипликатив-
У*о запись законов в G и G'. Пусть е — единственный нейтраль-
ыи элемент группы G, а е' — нейтральный элемент группы G\
40
ГЛ. И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Имеем е'е' = е'. Если рассматривать е' как элемент группы G,
то е'е = е'. Следовательно, е'е' = е'е. Но так как любой элемент
из G регулярен относительно закона группы, то е' = е. Отсюда
следует, что симметричным элементом для х в G и в G' является
один и тот же элемент (разумеется, при условии, что х
принадлежит и G, и G').
Характеризация подгруппы. Пусть G есть группа с
аддитивной записью и с нейтральным элементом, обозначаемым 0. Если
х е G, то (—х) означает его симметричный элемент; имеют
место равенства —х = (—я), — (—х) = х.
Пусть G' есть подгруппа группы G. Если х е G', //g G', то
x + I/eC и —л: е G'. Обратно, пусть G' есть такое
подмножество множества G, что если igC и у е G', то х + у ^ G' и
-XG G'. Докажем, что G'— подгруппа. Закон, индуцированный
из G на G', определен всюду, поскольку xgG' и //gG/:^x +
+ #^G', а ассоциативность очевидна. Если взять у = —х для
xgC, то л; + (—x)^G', т. е. OgG'. Но симметричный (—-я)
к х в G обладает также тем свойством, что в G' выполняется
х -\-(—х) = 0g G'\ стало быть, он является симметричным в G',
и притом единственным (теорема 1), чем и завершается
доказательство.
Но, с другой стороны, если G' есть подгруппа группы G, то
x^lG' и у е G' =Ф х — у ^ G'. Обратно, пусть G' есть такое
подмножество из G, что xgCh^/gG'^^- у ^ G'. Докажем, что
х -\- у ^ G' и —х е G'. В самом деле, если взять у = я, то 0 е G'.
Далее, взяв 0 и у, находим, что 0 — у = —-jre G';
следовательно, у ^ G' =½ —у е G'. Стало быть, взяв х и у е G, получаем
—у е G', х — (—y)^G'y т. е. x-\-y^G'. Итак, справедлива
Теорема 2. Для того чтобы непустое подмножество G'
группы G было ее подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось одно из следующих условий:
a) xe=G' и у e=G'=$x +yezG' и — xe=G';
b) xe=G' и yezG'=$>x — ye=G'.
Обозначения. При аддитивной записи группового
закона сумма конечного числа п элементов х\, х%, ..., хп
записывается в виде
п
*1 + *2+ • • • +Хп= S Xk.
При мультипликативной записи произведение конечного
числа п элементов х\, х2, ..., хп записывается в виде
п
Х>\%2* • • Хп === II Xь
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
41
Индекс k, фигурирующий в выражениях
п п
2, П,
есть так называемый немой индекс и может быть заменен любой
другой буквой. Так, в записи
п п п п
jLJ %k — 2j xi == 2j Xf = 2j xa
&=I i=l /=1 a=l
все выражения равноправны.
Пример. Группа перестановок множества. Взаимно
однозначное отображение множества £ на себя называется
перестановкой. Обозначим множество перестановок множества Е через
5. Если sgS и t^S, то tos снова есть взаимно однозначное
отображение £ на £ и значит, принадлежит 5. Будем вместо tos
писать /5 и через и будем обозначать перестановку,
определяемую тождественным отображением множества £, т.е. такую,
которая каждому элементу х е£ ставит в соответствие х е £. Этот
закон ассоциативен (гл. I, § 2); для любого s^S выполняется
su = us = s, а так как s есть взаимно однозначное отображение
£ на £, то s~l тоже будет таким отображением и ss~l = s~ls = и.
Следовательно, этот закон есть групповой закон (вообще говоря,
не коммутативный).
§ 2. Кольца
Определение. Кольцом называется множество А, наделенное
двумя внутренними законами, первый из которых есть закон абе-
левой группы, а второй ассоциативен и дистрибутивен
относительно первого.
Примем для первого закона аддитивную запись, а для
второго — мультипликативную. Тогда свойства двух законов,
превращающие множество в кольцо, записываются следующим
образом:
1 закон:
A) (х + у) + г = х + (у + г)\
N) х + е = е + х = х;
S) х + (-х) = е;
С) x + y==y + Xt
2 закон:
Свойство, присущее этому закону:
A) (Xy)z = x(ljz).
42
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Свойства этого закона относительно первого:
D) (* + y)z = xz + yz и z(x + y) = zx + zy,
причем все эти равенства справедливы для любых х, у, z.
Если второй закон к тому же коммутативен (ху = ух), то А
называется коммутативным кольцом. Если второй закон
обладает нейтральным элементом е (хг = гх = х), то этот элемент
называется единицей кольца Л, а само кольцо называется
унитарным. Чаще всего е обозначается через 0, а е — через I.
Замечание. Применим свойство D, положив у = е. Тогда
(х + е) z = xz -f ez. Но так как х + е = х, то xz -f- ez = xz, a
в силу единственности нейтрального элемента имеем ez = е.
Точно так же ze = е.
Пример. Множество всех целых чисел, наделенное законом
сложения и законом умножения, является коммутативным
унитарным кольцом. Здесь е = 0, е = 1.
§ 3. Тела
Определение. Пусть К есть кольцо, е есть нейтральный
элемент первого закона (закона абелевой группы) и пусть К* есть
множество элементов из /С, отличных от е. Если второй закон на
К есть закон группы для /С*, то К называется телом.
Таким образом, это определение предполагает существование
элемента е, нейтрального относительно второго закона на К*.
Будем снова записывать первый закон аддитивно, а второй
мультипликативно. Тогда свойства двух законов, превращающие
К в тело, будут иметь вид:
1 закон:
А) (х + у) + z = х + (у + z)\
N) x + e = e + x = x\
S) х + (-х) = е;
C) х + у = у + х\
2 закон:
Свойства, присущие этому закону:
A) (xy)z — x(yz) для любых х, у, zeA'.
N) х& = гх~х для любого х е /(*;
S) хх"1 =х~1х = г для любого х^К*.
Свойства этого закона относительно первого:
D) (х + y)z = xz + yz и z (х + у) = zx + zy для любых Ху у,
ZEE К.
Если второй закон коммутативен, то К называется
коммутативным телом, или полем.
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
43
Свойство N) второго закона в определении формулируется
для любого х е К*. Но оно верно и для х = е. В самом деле, из
^xj^y)z = xz-{-yz вытекает (х -f- e)z = xz -f- ez, а так как
x + e = х,чо
xz = xz + ez.
Но относительно первого закона, который является законом
группы, всякий элемент регулярен. Тогда xz = xz + е = xz -f- ez.
Получаем e = ег для любого z, и в частности, для z = е. Точно
так же ге = в, а значит, ге = ее = е.
Следовательно, нейтральный элемент второго закона на /С*
будет таковым и для нейтрального элемента в первого закона.
Возникает вопрос о том, почему уславливаются, что второй
закон обладает свойством S) для /С*, но не для /С. Это
соглашение означает, что любой элемент из К* имеет симметричный
элемент относительно второго закона. Но е принадлежит /С*, и,
значит, е отлично от е, т.е. два нейтральных элемента различны.
Допустим теперь, что существовало бы соглашение, по которому
свойства второго закона справедливы на /С, а не только на /(*.
Это означало бы, что существует элемент, симметричный к е
относительно второго закона, т. е. такой элемент е~\ что ee~l =
= е = е~1е. Но тогда
е~~1 (х + е) = е~~1х + г = е~хх = е~1х + е.
Значит, должно быть е = е, и в силу этого должно выполняться
ху = (х + е) у = ху + еу = ху + у,
так как е = е.
Следовательно, ху == ху + у, откуда у = е. Таким образом,
К может состоять только из одного элемента е. Это и есть
основание, по которому второй закон формулируется для К*.
Заметим, что если е' есть симметричный элемент для е
относительно закона +, то
е + е' = е, х -\- г'х = гх -\- г'х = (е + е') х = ех = е>
и значит, г'х = (—а;). Но имеет место также хе + хг' = хе — е,
и следовательно, хъ' = г'х.
Примеры. 1) Множество Q рациональных чисел,
наделенное законами сложения и умножения, является телом. Это есть
поле рациональных чисел.
2) То же самое имеет место для множества R
действительных чисел, наделенного теми же законами: это есть поле
действительных чисел.
3) Наоборот, множество Z целых чисел есть кольцо, но не
44
ГЛ. П. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
§ 4. Отношение эквивалентности на абелевой
группе. Факторгруппа
Пусть, в наиболее общей трактовке, Е есть множество,
наделенное внутренним законом Т, и пусть отношение
эквивалентности 91 на Е обозначено через ~. Практический интерес
представляют только те отношения эквивалентности, которые
обладают следующим свойством:
х ~ х' и у ~ у'фхТу ~ х'Ту'.
■ В этом случае говорят, что отношение эквивалентности 91
согласуется с внутренним законом.
Если на фактормножестве Ej9t определен внутренний закон,
который классам эквивалентности элементов х и у ставит в
соответствие класс элемента хТ у, то этот закон снова
обозначается через Т.
Наконец, если на Е определены несколько законов, то в этом
случае будут рассматриваться только те отношения
эквивалентности, которые согласуются с каждым из этих законов.
Найдем отношения эквивалентости, согласующиеся с
законом коммутативной, или абелевой, группы. Пусть 91 есть
отношение эквивалентности на абелевой группе G. Примем
аддитивную запись группы; тогда закон будет изображаться знаком -}-,
нейтральный элемент — через 0, а отношение 91— символом ~,
Предположим, что 91 согласуется с законом группы G, т. е.
х~х' и у ~ у'=$х + у~ х' + у'.
Так как у ~ у, то х + у ~ х' + у для любых х ~ х' и у.
Возьмем у = — х'; тогда х — х' ~ 0. Следовательно,
х ~ х' =$х — х' ~ 0.
Обратно, если х — х' ~ 0, то
(а: — х') + х' ~ 0 + х' или х ~ х'.
Стало быть
х ~ х'^х — х' ~ 0.
С другой стороны, если х' ~ 0, то х' — х' ~ 0 — х' или 0 ~ — х'
а значит, — х' ~ 0 (так как 91 симметрично). Отсюда следует,
что *~0 и л/~0=фл;~0 и — х'~0=$х — х'~ 0.
Пусть теперь G' есть класс элемента 0 по отношению 91.,
Последний результат имеет вид
х е= G', х' е= G' =Ф х — х' е= G'.
Следовательно (§ 1, теорема 2), G' есть подгруппа группы G.
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
45
Стало быть, если Ж есть отношение эквивалентности на G, то
найдется такая подгруппа G', что
Обратно, пусть G' есть некоторая подгруппа группы G.
Установим между двумя элементами х, х' из G отношение Я вида
Это отношение рефлексивно, так как если х'— х, то 0 е G',
поскольку G' есть подгруппа. Оно симметрично, ибо из того,
что G' есть группа, следует, что —(х — /)gG' и —(х — х') =
= ,¥'— х. Транзитивность вытекает из того, что
х — х'€= G', х' — х" GG^fx- *') + (х' — *") €= G',
т. е. л: — f еС. Пусть л: ~ л/, т. е. х-^/еС. Тогда
л: — *' = a: + # — у — х' = х + у — (л/ + у) е G',
т. е. х + у ~ х' + у. А поскольку G — абелева группа, то
х + у = У + х> х' + у = у + х' и х ~ х/=$у + х~у-\-х/. Точно
так же,
У ~ У'=ФУ + х' ~ у' + х\
а так как отношение транзитивно, то у + х ~ yf + л/. Тем
самым доказана
Теорема. Всякое отношение эквивалентности на абелевой
группе G, согласующееся с ее законом, определяется
соотношением x — x'<=l G', где G' — подгруппа группы G.
Теперь легко видеть, что фактор группы G по отношению i%
есть абелева группа. Эта группа называется факторгруппой, и
на основании характеристического свойства любого отношения
эквивалентности на G эта факторгруппа обозначается G/G'.
§ 5. Отношения эквивалентности на коммутативном
кольце. Идеалы
Пусть Л есть коммутативное кольцо, а 31 есть отношение
эквивалентности. Предположим, что 01 согласуется с двумя
законами кольца Л, т.е.
х ~ х' и у ~ у'Фх + у ~ х' + у' и ху ~ х'у\
Как и в предыдущем параграфе, найдем все отношения
эквивалентности, согласующиеся с законами кольца Л.
Если рассматривать лишь структуру абелевой группы в Л,
^всегда найдется такая подгруппа / группы Л, что х ~ х' Щ
^ х — х'^1. Если, кроме того, должно выполняться х ~ х'
и у ъ у'=$>ху ~ х'у\ то, взяв, например, у'=у, получим ху~х'у,
46
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
т. е. (х — х')у^1. Таким образом, мы пришли к
предположению, что для любых ае/и6б/1 всегда ab е /.
Определение. Идеалом коммутативного кольца А называется
такая его аддитивная подгруппа /, что для любых а<^ I и Ь е Л
всегда ab е /.
Следовательно, для любого отношения эквивалентности на Л,
согласующегося с законами кольца Л, существует такой идеал
/, что х31х' Щх — x'^L
Обратно, если / есть идеал, то отношение 31 вида
хЖх'Щх — *'«=/
есть отношение эквивалентности на множестве А и согласуется
со структурой абелевой группы кольца Л (§ 4). А так как /—
к тому же идеал, то
х — х' е / =Ф ху — х'у е /, у — у' <= I =$х'у — х'у' е /,
и значит,
ху — xfy + х'у — х'у' «= /,
т. е.
ху — х'у' е / или хуЖх'у'.
Фактор коммутативного кольца Л по отношению 31
обозначается А/1. Легко видеть, что этот фактор снова является
коммутативным кольцом, а именно, имеет место
Теорема. Всякое отношение эквивалентности 31 на
коммутативном кольце Л, согласующееся с законами кольца Л,
определяется как х — дс'е/, где I есть идеал кольца Л. Фактор
кольца А по I есть коммутативное кольцо.
§ 6. Упорядоченные группы. Группы Рисса
Как и в предыдущих параграфах, где мы вводили
одновременно один или несколько алгебраических законов и отношение
эквивалентности, мы будем изучать множества, в которых
определены одновременно алгебраические законы и порядок.
Вводимые здесь понятия являются весьма важными и
иллюстрируются в дальнейшем множествами числовых функций,
интегрированием и т. д. Группы будут записываться аддитивно, а
отношение порядка будет обозначаться символом ^ или ^.
1. Определение. Упорядоченной группой называется
множество G, наделенное структурой абелевой группы, а также
структурой порядка, и удовлетворяющее следующему условию:
для любого zeG отношение х ^ у влечет х + z ^ у -f- г.
Это определение иллюстрируется примерами аддитивных
групп — группы Z целых чисел, группы Q рациональных чисел,
группы R действительных чисел.
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
47
Замечания. 1) В определении упорядоченной группы
прежде всего предполагается, что группа абелева, или
коммутативная.
2) Свойство x^y=^x-\-z^.y-{-z иногда выражается как
свойство порядка быть инвариантным относительно любого
переноса (сдвига).
Положительные элементы. Положительным элементом в
упорядоченной группе называется любой элемент х этой группы,
удовлетворяющий условию О ^ х.
2. Простейшие свойства. Пусть G — упорядоченная группа
и 0 — ее нейтральный элемент.
1) Допустим, что для некоторой пары х, у <= G при некотором
zgG выполняется неравенство х-{-z <^ у-}-z. Прибавив к
обеим его частям (—-г), получим х^.у. Таким образом, в
упорядоченной группе
x^yt=$x + z^y + z.
2) Покажем, что
х^у^О^у — х^х—г/^ОФ^ — у ^ — х.
Эти свойства вытекают из предыдущего. Действительно, если
х^у9 то х — х^у — х или О^у — х и х — У^У — У = 0;
далее, О^у — л; =ф — у^ — у + У — # = — х. Обратное
доказывается тем же способом.
3) Допустим, что для элементов из G выполняются
неравенства х^.х' и у^у'. Тогда
х^х'=$х + у^.х'-{-у = у-\-х'
и
У<у'=$У + х'^у' + х' = х' + у'.
Следовательно, х^х' и у ^.у'^фх + у^. х' + у'.
Легко доказать по индукции, что если для п пар элементов
из G, скажем, х\ и у\ (7 = 1, 2, ..., м), при любом i
выполняются неравенства Xi^.yu то Х\ + ... + хп ^ ух +. •. +Уп
(сложение неравенств). Обратное неверно.
4) Если G/ есть подгруппа группы G, то отношение порядка,
индуцированное на G/ из G, превращает G' в упорядоченную
подгруппу.
3. Верхние и нижние грани. Понятия верхней и нижней
граней вводятся для упорядоченного множества. Операции sup и
lnf коммутативны и ассоциативны. Будучи введены в
упорядоченной группе G, эти операции обладают следующими
свойствами:
1) Пусть х\ есть семейство элементов из G, определенное при
помощи множества индексов /. Предположим, что существует
48
ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
верхняя грань sup (xi) элементов х\. Это означает, что
существует наименьшая мажоранта среди всех мажорант а
подмножества из G, состоящего из х\. Но
Следовательно,
SUp (z + Xt) = 2 + SUp (Xi).
2) Если элементу x e G поставить в соответствие —л:, to
на G будет определен противоположный порядок ^ и
inf (— xt) = — sup (х^.
4. Группы Рисса. Это специальные упорядоченные группы,
важность которых очевидна в связи с ролью, которую они
играют в теории интегрирования.
Определения. 1) Группой Рисса называется упорядоченная
группа G, которая вместе с элементами хеО и у е G содержит
sup(х, у) и inf (х, у).
2) Положительной (соответственно отрицательной) частью
элемента х е G называется и обозначается х+ (соответственно
х~) элемент sup (л:, 0) (соответственно sup(—х, 0)).
3) Абсолютным значением элемента х, называется и
обозначается |лг|, элемент sup (л:,—х).
Отметим, что х+у лг, \х\ являются неотрицательными
элементами и \—х\ = \х\.
Примеры. 1) Упорядоченная аддитивная абелева группа
действительных чисел есть группа Рисса.
2) Забегая вперед (ср. гл. VI), укажем, что множество
числовых функций, определенных на заданном множестве, есть
группа Рисса; будет показано также, что множество
непрерывных функций с числовыми значениями, например, на некотором
интервале числовой прямой, есть группа Рисса. Напротив,
множество действительных многочленов от одного действительного
переменного не является группой Рисса, ибо если х и
у—многочлены, то sup (хуу)у вообще говоря, может не существовать.
Свойства, 1) Пусть г — произвольный элемент из G. Так
как
sup (х + г, у + г) = z + sup (х, у) и sup (—х, —у) = — inf (*, у)
то
sup (z — х, z — у) = z + sup (—x, — y) = z — inf (x, y).
Если взять z = x-\-y, TO
x + у = sup (*, y) + inf (*, y).
2) В силу 1) имеем x~ = (—x)+ =— inf (x, 0) и x = sup(x, 0) +
+ inf (x, 0), Отсюда
X — X X 9
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА
49
Элементы х+ и лг являются положительными элементами,
поскольку sup (х, у) будет ^х и ^у для любых х, у и, в
частности, sup(x,0) >0.
Таким образом, всякий элемент группы Рисса записывается
в виде разности двух положительных элементов,
3) Имеем inf (х+, х~~) = 0. Действительно, пусть m —
миноранта элементов х+ и х~, т. е. пг^х+ и т^л:". Но из
х = л;+— х" следует лГ = л;+—х; значит, из т^.х~ = х+ — х
следует х^х+ — т. В то же время т ^ х+, значит, х+ — m ^ 0.
А так как х < х' =# sup (я, z/)^ sup(xf, у), и так как для х^О
имеем sup (л:, 0) = *, то
х^х+ — т =Ф sup (л:, 0) < sup (х+ — т, 0),
т. е. х+^х+ — т, а значит, т<0.
Таким образом, все миноранты пары (х+, х~) неположительны.
Но х+^0, х~^0, и стало быть, наибольшая миноранта, т. е,
inf (х+, лг), равна нулю.
4) Обратно, предположим, что некоторый элемент x^G
записывается в виде х = 1 — т|, где 1^0, г^О, и что inf (g, л) = 0.
Тогда утверждается, что 1==х+, у\ = х~.
Действительно, ri = £ —*>0, и значит, £>лг. Но £>0.
Следовательно, | есть мажоранта элементов х и 0, а стало
быть, g]>sup(.x;, 0) = *+, поскольку sup(x, 0), по определению,
является наименьшей из всех мажорант. С другой стороны,
х = 1 — у] = 1 — х++х+—х- + х- — у\ =1—х+ + х~ — г\ + X.
Поэтому I — х+=У] — х". Теперь можем записать, что
0 = inf (х+, х-) = inf (1-(1- х+), (л - (л - *-)) =
= -(l-x+) + lnf(l,i\) = -(l-x+)9
откуда | = х+, а у\ = х".
5) Если х^.у, то одновременно х+^у+ и х~^у~, и
обратно. В самом деле, *<у =^ sup (х, 0)<sup(#, 0), и значит,
Х+^У+. А так как х^у=$> — у ^ — х и х~ = (—х)+, то у~^.х~.
Обратно, если *+<//+ и */-<*-, то *+<г/+, — лг< — у-,
откуда, складывая неравенства, получаем х+—х~^.ц+ — у,
т' е- х*^у.
6) Ял/ввж| л: | = я+ + дг\ Пусть] х |= sup(x, —х)и Х=Х+—Х~~ш
А аккак — х" ^ х" и — *+ ^ х+, то, прибавив соответственно *+
и х , получаем *+— х~^х+4-х~, —х+ + х~^.х+ + *~, т. е.
х ^ х+ 4- д;- и — д; ^ д;+ _|- х". Поэтому элемент х+ + х~ служит
Маж°рантой пары (х, —х), и следовательно,
sup (л:, — х) ^ х+ -j- #~.
50
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Обозначим теперь через z мажоранту элементов х и —л:, т. е.
z^zx, z^ — х. Согласно 5), имеем
z+^x+, 2+;>(—х)* = х~, z~^x~, 2~^(—х)~ = х+.
Но неравенства z~^x~, z"^x+ означают, что z~ есть
миноранта элементов х" и х+ и стало быть
2""<inf (*+, х~)\
но, с одной стороны, 2""^s 0, а, с другой стороны, в силу 3)
inf (х+, я-) = 0. Таким образом, z~ = 0, откуда
z = z+ — z~ = z+.
Неравенства z+^x+, z+^x~~ принимают вид z^x+, z^ x~
и означают, что z, будучи положительным, служит мажорантой
элементов х+ и х~. Стало быть, z^sup(x+i х~), поскольку
sup(*+, г~), по определению, есть наименьшая из мажорант
элементов х+ и х~. Но здесь из равенства
х + у = sup (х, у) + inf {х, у)
вытекает, что
Х+ + X" = sup (х+у х~)у
и значит, z^x+ + х~. Таким образом, для любой мажоранты г
элементов х и —х имеем z^ х+ -\- х~, и значит, sup (я, —х)^
^х+ + х". Следовательно, *++;c~<sup(.x:, —-*)=| х \^х+ + х~,
откуда | х \ = х+ + х". Из этого вытекает, что | х \= 04фх = 0
и что *=^0#U|>0.
7) Для любых х, у из G имеем \ х + у \^.\ х\ + \ у \.
В самом деле, поскольку | д: | = sup (л:, —х), то
*^| л; | и —*^| л; |;
точно так же у ^\ у \ и —У ^\ У \- Стало быть, в результате
сложения неравенств получаем
х + у <\х\ + \у\ и —х — у^\х\ + \у\.
Таким образом, |*| + |f/l есть мажоранта элементов х + у и
— (* + У)9 и значит,
\x + y\=sup(x + y9 —х — у)^\х\ + \у\.
Ясно, что для любого конечного числа элементов из G
,2 ч
<2
6=1
ч
8) Для любого целого п^О имеем | пх\ = п\ х\.
Действительно, как легко показать по индукции, (пх)+ = пх+\ например,
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА 51
<2х)+ = sup (* + *, 0) = sup (я + я, — * + я) = х + sup{*, — я) =
==x+l^l = ^+—*" + *+ + х~~ = 2*+, и т. д. Точно так же
(пх)~ = пх-, откуда \пх\ = п\х\.
Если предположить известным множество Z целых чисел
(положительных, отрицательных и нуля), то в силу равенства
i—*| = |*| имеем | пх | = | п || х | для любого «eZ и любого
х s G.
9) Для любых х, у из G имеем \\х\ —|#||^|*— у |.
В самом деле, согласно 7)
1*1 = 1* —*/ + */!<!* — У\ + \У\ или |*| —| г/|<|* —г/|,
и
I г/1 = 1 У — * + *К1# —*1 + 1*1 или |*/| — |*|<| * — у|,
откуда и получаем требуемое.
10) sup и inf конечного подмножества группы Рисса.
Для двух элементов х и у согласно 1) имеем
sup (* — у, у — у) = — у + sup (*, у);
далее,
sup {х — у,у — у) = sup (* — у, 0) = (* — г/)+,
и следовательно,
sup(*, у) = у + {х — у)+.
Точно так же, исходя из sup(* — *, у — *), получаем
sup(*, у) = х + (у — х)+.
Если записать * + * = 2* для любого *, то сложение дает
2 sup (*, у) = * + у + (* — г/)+ + (г/ — *)+.
Но *+ = (—*)■", а значит, (у — *)+ = (* — у)~у и
2 sup (*, у) = х + у + (* — г/)+ + (* — у)"у
или
2 sup (*, у) = х + у + | * — у |.
Точно так же,
2 inf (*, г/) = * + у — | * — у |.
Неравенство. Предположим, что 2*^0=Ф*^0, и
заметим, что
2sup(x9y) — 2x = y — x + \x — y\;
Тало быть, в силу неравенства треугольника,
21 SuP (*, у) — *| < 2] * — у | или | sup (*, у) — * К| у — х [.
52
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Пусть хи ..., хп — элементы из G. Тогда
| sup(хи хъ ..., хп) — х{ | =
= |SUp(*b SUP(*2, ..., Хп)) — ХХ |<|SUp(*2, ..., Хп) — Х{\у
откуда
|sup(x„ ..., хп) — х{ |<|sup(x2, ..., хп) — х2\ + \х2 — х1\.
Таким образом, если предположить, что неравенство
| SUp Xi — xl К 2 U; + i —*/|,
верное для одного элемента, справедливо для п—1
элементов, то
/1-2
[ sup (хг, ..., хп) — хх К Д] | */+2 — х/+11 +1 х2 — ^ | =
/г-1
= 2 I ** + ! — ^ |.
Итак, если (х{) — семейство из п элементов и ха — один из
них, то
Isupxj —Ха|< 2 1**41 — Xil
1=1
Точно так же, исходя из равенства 2Ы(х, у) = х-{- у —| х — у\9
получаем
/г-1
\inlxi — *а|< 2 Ui+i —х,|.
i=l
РАЗДЕЛ 3
СИММЕТРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВА, НАДЕЛЕННОГО
АССОЦИАТИВНЫМ И КОММУТАТИВНЫМ ЗАКОНОМ.
ПОЛЕ ЧАСТНЫХ КОЛЬЦА БЕЗ ДЕЛИТЕЛЕЙ НУЛЯ
Множество натуральных чисел со сложением есть
множество, наделенное ассоциативным и коммутативным законом. По
этому множеству строится множество всех целых чисел
(положительных, отрицательных и нуля; они называются целыми
рациональными), так, чтобы новое множество «содержало»
исходное и чтобы оставался справедливым (надлежащим
образом определенный) закон сложения, относительно которого в
новом множестве всякий элемент должен обладать
симметричным.
3. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ
53
Иными словами, эта конструкция предназначена «сделать
вычитание всегда возможным» (смысл будет уточнен ниже).
Если рассмотреть снова множество натуральных чисел, но
наделенное на сей раз мультипликативным законом, то, исходя
из этого множества, можно построить множество
положительных рациональных чисел так, чтобы новое множество снова
было наделено мультипликативным законом, при котором
всякий элемент обладает симметричным. «Делается всегда
возможным деление».
Идея в обоих случаях одна и та же и построение, как мы
увидим, тоже отличается лишь обозначениями: берется
множество Е, наделенное одним ассоциативным и коммутативным
внутренним законом (сложение и умножение в предыдущих
примерах) и на его основе строится множество & так, чтобы
оно было наделено коммутативным групповым законом, при
котором Е могло бы быть (некоторым способом)
идентифицировано с некоторым подмножеством &' множества &, причем
исходный закон на Е должен совпадать с законом,
индуцированным на <£' вновь введенным законом на 8'. Множество &
называется симметризованным из Е для первоначально заданного
закона. Это название подчеркивает интуитивную идею
«расширения» множества Е для получения симметричных элементов.
С другой стороны, рассмотрим множество всех целых
рациональных чисел, наделенное законом сложения и законом
умножения, превращающими его в кольцо. На основе этого
множества строится множество рациональных чисел, наделенное как
законом сложения, так и законом умножения, причем новое
множество «содержит» исходное множество, оба закона которого
остаются справедливыми, но таким образом, чтобы новое
множество было телом (полем). Идея заключается, следовательно,
в построении тела (поля), исходя из кольца. Итак, можно
сформулировать две задачи.
1) Множество, наделенное ассоциативным и коммутативным
законом, превратить в группу.
2) Кольцо превратить в тело (поле).
Изложим теперь идею метода, позволяющего решить обе эти
задачи.
Если рассматривать множество всех целых рациональных
чисел, где уже «вычитание» всегда возможно, то в нем из двух
чисел х\ и у\ можно образовать разность Х\—у\. Однако это
число может быть получено бесконечно многими способами как
разность целых чисел х2,у2. Достаточно, чтобы Х\ + у2 = х2 + у\.
Интуитивно это означает равносильность рассмотрения пар
Wuyx) или (х2,у2).
с,сли теперь рассмотреть множество строго положительных
РаДиональных чисел, где теперь уже всегда возможно «деление»,
54
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
то из двух целых чисел Х\ и у\ можно образовать Х\\у\ (у\ Ф О,
так как 0 не принадлежит множеству). Но то же самое
рациональное число Х\/у\ может быть получено бесконечно многими
способами при помощи чисел х2, у2- Достаточно, чтобы Х\у2 =
= х2у\. Интуитивно это означает равносильность рассмотрения
пар {хиу\) или (*2, J/2).
В обоих случаях, если принять обозначение Т для +, или
для •, соотношение между этими эквивалентными парами
записывается в виде
*lT*/2=*2T*/i.
Это и будет то отношение эквивалентности, которое мы введем
на произведении Е X Е исходного множества Е.
В последующем изложении мы начнем с натуральных чисел,
а затем сформулируем общие теоремы.
§ 1. Первая задача. Симметризованное множество
Пусть N есть множество натуральных чисел, на котором
определен аддитивный закон. Этот закон ассоциативен, комму-
тативен и любой элемент из N регулярен относительно этого
закона, т. е. из а-\- х = а-\- у следует х = у. Установим между
двумя элементами (х\9 у\) и (х2у у2) из N X N отношение 01,
определяемое равенством
х1 + у2 = х2 + у[.
Это есть отношение эквивалентности на N X Л/, если условиться,
что (х\, у\) = (лг2, у2) означает х\ = х2 и у\ = у2. Действительно,
отношение 01 рефлексивно. Оно симметрично, т. е., если оно
связывает (х2уу2) с (х\,у\), то оно связывает также (х\,у\) с
(*2, #2), поскольку x2-\-yi = х\-\-у2. Оно транзитивно, ибо если
Х\ + у2 = х2 + у\ и х2 + уъ = хъ + уъ то
(*1 + У 2) + (*2 + Уз) = (*2 + У\) + (*3 + У2)-
А так как закон ассоциативен и коммутативен, то это
равенство записывается в виде
(*i + Уз) + {У 2 + х2) = (х3 + у{) + {у2 + х2).
Но любой элемент регулярен, и поэтому равенство можно
упростить, отбросив (г/2 + х2); тогда
Х\ + Уз = Хз + У\'>
это означает, что (xh ух) связано с (х3, Уз) отношением 01.
Класс эквивалентности С множества N X N по 01 есть
множество пар (#', */'), связанных с некоторой заданной парой
(а;, у) отношением Ш\
х + у' = х' + у.
3. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ
55
Мы видели (гл. I), что С не зависит от пары (ху {/), которая
служит для определения.
гл NXN ,
Определим на множестве —^— (множестве классов
эквивалентности) внутренний закон, который мы снова обозначим
знаком +, а затем каждому элементу xgIV поставим в
соответствие некоторый элемент С, и притом только один. Классу С,
определенному парой (х,у), и классу С, определенному парой
(х',уг), поставим в соответствие класс С", определенный парой
(х -{- х',у -{- у'). Утверждается, что С" зависит лишь от С и С,
но не от х, у, х\ у'. В самом деле, если заменить (л:, у) на
(хиу\)^Су то класс, определяемый парой (х\ + х\ у\ + у')>
снова есть класс С", так как (х\ +х',у\ + у') связана с (х-\- х',
у + у') отношением Я\ имеем
Х\ + х' + у + у' = х + х' + у] + у',
поскольку
Х\ +У = х + У[-
Точно так же С" не зависит от х', у'.
Обозначим С" через С + С и будем писать С" = С -\- С.
Введенный таким способом закон ассоциативен и
коммутативен. Действительно, на N закон ассоциативен, и-поэтому
элемент ((х + х') + х'\ (у + у') + у") из /V X N, определяющий
(С + С) + С", будет также элементом (х + (xf + х"), у +
+ (у' + у")), определяющим С + (С + С"). Стало быть,
(С -f С) + С" = С + (С + С"). Коммутативность закона
очевидна.
лл NXN „
Можно определить на --^— нейтральный элемент
относительно этого закона. Обозначим через О класс, определяемый
парой (а, а). Класс О + С определяется парой (а + х, а-\-у).
Но пара (а + х, а + у) связана с (х, у) отношением 52, так как
а-{-х-\-у = х-\-а-{-у (ассоциативность, коммутативность,
регулярность элементов первого закона). Следовательно, О + С =
= С, равно как и С + О = С.
Для люоого С е —^— можно определить симметричный
элемент. Обозначим через (—С) класс пары (у,х), при условии,
Что С определяется парой (х,у). Тогда, по определению
сложения на —^—, сумма С+ (—С) определяется парой (х-\-у,
Х + У), определяющей О. Стало быть, С + ( — С) = О.
Итак, множество —^—, наделенное этим законом, есть
группа.
56
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Установим теперь соответствие между N и —^—. Каждому
х е N поставим в соответствие класс, определяемый парой
(х-\-у,у). В случае, когда х фиксировано, а у пробегает Nf
получаем пары, связанные отношением Я, так как для (х-\-у,у)
и (х + у', у') имеем
х + У + у' = У + х + у'.
Два класса, соответствующие х и х', различны при х Ф х\
поскольку они определяются посредством пар (х -\- у,у) и
(х/ + у', у') и могут быть тождественными, лишь если
х + У + У' = х' + У' + У,
т. е. если х = х'.
Наконец, элементу х + х' (композиции двух элементов из N)
соответствует класс пары (х + х' + у, у). Но композиция в
—д£— классов пар {х-\-у,у) и {х'-\-у',у') определяет класс
пары (х + х' -{-у + у*9 у + у'), который совпадает с классом
пары (х + х' + у,у).
Таким образом, соответствие, которое каждому хеЛ/ ставит
NXN „ - / , ч
в соответствие в —^— класс, определяемый парой (х-\-у,у),
есть изоморфизм множества N на подмножество из —^—,
состоящее из множества классов эквивалентности элементов вида
(х + У,У).
Этим завершается доказательство теоремы. Очевидно, что
знак + не играет никакой роли, равно как и тот факт, что
исходное множество было множеством N. Итак, справедлива
Теорема. Пусть Е— множество, наделенное
ассоциативным и коммутативным внутренним законом, для которого все
элементы из Е регулярны, тогда существует множество &',
наделенное таким коммутативным групповым законом, что Е
изоморфно некоторому подмножеству <gf множества &.
Поскольку с алгебраической точки зрения множества Е .и <§'
не различаются (ибо для того, чтобы составить композицию
двух элементов из Е при помощи исходного закона, можно
взять композицию их образов в &' относительно нового закона,
или наоборот), то мы будем рассматривать как алгебраически
тождественные элементы из £ и из &', соответствующие друг
другу при изоморфизме. Тогда множество Е выступает как
подмножество множества &, закон множества & индуцирует на Е
исходный закон и любой элемент из &, а стало быть, теперь
и из Е, имеет симметричный. Иногда говорят, что Е
отождествлено с подмножеством множества <?.
3. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ
57
Замечания. 1) При доказательстве мы не предполагали
для рассматриваемого закона существования в N нейтрального
элемента. Назовем нулем (0) элемент из <§, определяемый
парой (х,х) по отношению 91. Но если бы мы предположили
существование нейтрального элемента 0, то введенный
изоморфизм поставил бы в соответствие 0 и класс пары (х,х). 2) Мы
не касаемся вопроса о «единственности» множества &.
§ 2. Целые рациональные, положительные рациональные
числа
Пусть N — множество натуральных чисел, наделенное
сложением; множество Z, симметризованное из N относительно
этого закона, называется множеством целых рациональных
чисел. Симметричный к элементу x^Z записывается (-—#), и если
условиться вместо у + (—х) писать у—х, то будут выполняться
все обычные правила.
На множестве N, с добавленным к нему 0, существует
отношение порядка, обозначаемое х ^ у, при котором для любого
2еЛ/ выполняется х + z <<: у -f z. Говорят, что это отношение
согласуется со сложением. Если x^Z, y^Z, то мы условимся,
что х ^ у означает у — х е N. Это и будет отношение порядка,
ибо оно рефлексивно (если у = х, то у — х = 0 е N),
антисимметрично (если х — у е N и у — х е N, то х — у = 0, а значит
х = у), и транзитивно, ибо если у — x^N и z — y^N,
то (у — х) + (z — у) = z — x^N. С другой стороны, если
у — xsiV, то имеем также (у + а) — (x-j-a)^N, а
следовательно,
х + а^.у + а.
Сложение, определенное на Z, также согласуется с
установленным отношением порядка.
Пусть теперь N — множество натуральных чисел (без
добавления 0), наделенное законом умножения. Этот закон
ассоциативен, коммутативен и любой элемент из N регулярен
относительно этого закона. Множество Q+, симметризованное из N
относительно умножения, называется множеством
положительных рациональных чисел. Отношение эквивалентности 91' на
N X N будет здесь определяться равенством
ху' = х'у.
Через х обозначается класс пары {ху,у) для //e/V, а через лг1
или 1/х — симметричный к х (относительно умножения). Если
какой-то элемент множества, симметризованного из N,
обозначается х/у, то ясно, что это также элемент х—. Отсюда
вытерт обычные правила и обозначения. Теперь всегда возможно
58
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
деление в элементарном смысле, ибо если уф 0 (что имеет
место в силу того, что N не содержит 0), то
§ 3. Умножение на множестве целых рациональных чисел,
сложение на множестве положительных рациональных чисел
Итак, исходя из N, которое мы симметризовали относительно
сложения, мы получили целые рациональные числа. А
симметризация того же множества относительно умножения привела
к образованию множества положительных рациональных чисел.
При этом первое из полученных множеств наделено только
сложением, а второе — только умножением.
Теперь мы введем, кроме того, умножение на Z и сложение
на Q+, а затем (что составляет задачу 2) сольем оба множества,
наделенные двумя законами, чтобы получить поле
рациональных чисел.
а) Рассмотрим множество Z целых рациональных чисел.
Если х, х'— положительные целые числа, то условимся, что
(—х)х' = — хх' и что (—х)(—х') = хх'. Очевидно, что это
соглашение определяет на Z ассоциативное и коммутативное
умножение, имеющее 1 в качестве нейтрального элемента и такое,
что относительно него любой элемент из Z, отличный от 0,
регулярен. Этот закон «продолжает» умножение, предполагаемое
заданным на N. Этот закон также дистрибутивен относительно
сложения на Z. Имеем, например,
(— X) (X' + X") = —{х (х' + X")) = — (XX' + XXй) =
(см. гл. II, раздел 1, § 6,теорема 2)
= (— хх') + (— XX") = (— х) хг + (— X) X".
Заметим еще, что если х ^ х\ т. е. если /-xeAf, то для
любого у^О имеем у(х' — х) ^ N\ следовательно, ух' — ух е
е N и ух' <; ух. (Говорят, что порядок на Z согласуется с
умножением.)
Принятое вначале соглашение и есть то, что называют в
элементарных курсах правилом знаков.
Если теперь рассматривать Z наделенным законом
сложения (полученным из N симметризацией при помощи сложения)
и законом умножения, полученным «продолжением», то Z
становится унитарным коммутативным кольцом и получает
название кольца целых рациональных чисел.
б) Рассмотрим множество положительных рациональных
чисел (наделенное пока только умножением). Если мы хотим опре-
3. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ
59
X X
делить —|—г так, чтобы получить рациональное число, со-
У У
хранив дистрибутивность умножения относительно сложения,
то необходимо, чтобы, в частности, для уу' выполнялось:
уу' (1+т)=уу' i+yy'Tz=== ху/+ух'*
Следовательно, необходимо условиться, чтобы
х , _х!_ ху' + yxf
~У У' ~ УУ'
Это соглашение правильно задает сложение положительных
целых чисел. Действительно, если х представлен классом
пары {ху,у), х' — классом пары (х'у, у) по 31, то х + х'
представлен классом пары ((х + х')у, у). С другой стороны, если
предыдущий закон числам — и -^ относит ——т~- > то ——г—
не зависит от формы представления двух рассматриваемых
элементов, т. е. если — = —, то применение этого закона
у у\
дает —+ —= 1—г. В самом деле, утверждение, что
— = — , по определению отношения 91'Л равносильно утвержде-
У У\
нию, что хху = хух. Отсюда xxyyf = xyxyf (у' ф 0). Далее,
Х\УУ' + х'У\У = хУ1У' + *'У\У или (хху' + xfyx)y = (ху' + ух')уи
и {xxyf + х/ух)уу/ = {ху/ + ух')уху'у что означает
ху' + ух' _ х\у' + у\х'
У У' У\У'
Наконец, очевидно, что это сложение ассоциативно и
коммутативно и что уже существующее умножение дистрибутивно
относительно этого сложения.
§ 4. Вторая задача. Поле частных кольца без делителей нуля
а) Эта задача теперь почти решена. Целому х > 0 в —^—
соответствует элемент, определяемый парой (х-\-у,у), а в
<jjp—— элемент, определяемый парой (хууу)> где уФ0уи эти
отображения множества N на некоторое подмножество из
1% или из —^р— являются изоморфизмами. Но
относительно сложения в Z класс пары (у,у)> обозначаемый через 0,
^сть нейтральный элемент. Тогда, приняв снова отношение 91,
ожно утверждать, что 0 определяется классом пары (0 + у, у)
1$ !, замечание 1).
60
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
С другой стороны, для умножения в Q+ (симметризованного
из N относительно умножения) элементу х соответствует класс
пары (ху,у) по 31'. Но, как мы уже видели, если е—
нейтральный элемент относительно сложения в кольце, то ex = хе = е
для любого х (раздел 2, § 2, замечание). Следовательно, для
любого целого х ^ 0 имеем Ох = хО = 0. Стало быть, пары
(0, у) у (0, у') связаны отношением 01', которое для этих пар
записывается 0у' = уО.
Итак, мы пришли к тому, чтобы представить 0
(определенный отношением 31 на N X W) классом пары (0,у) по 31', после
чего становится очевидным, что если г — положительное
рациональное число, то 2-)-0 = 0 + 2 = 2. Таким образом, сложение,
определенное в предыдущем параграфе на Q+, имеет 0 в
качестве нейтрального элемента.
Остается симметризовать закон сложения, определенный
теперь уже на множестве неотрицательных рациональных чисел
{положительных и нуля), причем этот закон ассоциативен,
коммутативен и обладает нейтральным элементом. Применим снова
общую теорему, заметив, что вводимое отношение 31 будет одно
и то же, как для случая, когда пары положительных
рациональных чисел являются парами целых чисел, так и в том случае,
когда оно позволяет симметризовать сложение для
натуральных чисел. Следовательно, множество, симметризованное
относительно сложения из множества неотрицательных
рациональных чисел, содержит введенные прежде отрицательные целые
числа. Это множество обозначается Q.
Наконец, упростим обозначения, заметив, что если через
(—-) обозначен элемент, симметричный к х/у (у¥=0), то
можно, обозначив его через (—-), производить сложение и
умножение на полученном таким путем множестве, применяя
одно и то же правило знаков.
Это множество, наделенное законом сложения с
нейтральным элементом 0 и законом умножения с нейтральным
элементом 1, называется полем рациональных чисел.
б) Общая теорема. Мы сопоставили дробям — , -^т(уф0>
уг ф 0) выражение ху ,ух , которое тоже является дробью,
так как уу' ф 0.
Пусть теперь Е — кольцо, и 0 — его нейтральный элемент
относительно сложения. Говорят, что b е Е есть делитель
элемента а е £, если существует такое с е £, что a = be. (Мы для
простоты предполагаем умножение коммутативным.)
Стало быть, если а = 0, то, взяв с = 0, мы должны были бы*'
исходя из равенства 60 = 0, говорить, что любой элемент b ЯВ1
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
61
ляется делителем нуля, включая нуль. Но здесь естественным
образом выступают две возможности: либо из равенства О = be
вытекает, что по крайней мере один из элементов Ь, с есть нуль,
либо существуют такие b ф О и с Ф О, что be — 0.
Если равенство 0 = be всегда влечет b == 0 или с =0, или
же ь = с = 0, то принято говорить, что не имеется делителей
нуля.
Посредством логического отрицания получается следующий
результат: утверждение, что в кольце Е нет делителей нуля,
равносильно утверждению, что если b ф 0, с Ф 0, то be Ф 0. Это
и есть то, что позволяет превратить кольцо в поле путем обра*
зования дробей.
Итак, сформулируем результат:
Построение поля рациональных чисел, исходя из кольца
целых рациональных чисел, позволяет построить поле, исходя из
любого коммутативного кольца без делителей нуля. Это поле
называется полем частных кольца.
РАЗДЕЛ 4
ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Общие понятия
Мы выделим главные определения, которые позволят
подойти к понятию алгебраического векторного пространства.
Пусть имеются два множества Е и Я. Элементы множества Е
будут обозначаться латинскими буквами х, ..., а, ..., а
элементы множества Я—греческими буквами а, р, ... Мы будем
рассматривать £ и Я как различные, но все последующее
справедливо и для случая Я = Е.
Составить композицию элемента х^Е на элемент аЕЙ,
чтобы получить элемент из Е — значит определить отображение
множества Я X Е во множество Е. Множество Я иногда
называется областью операторов, или множеством операторов, а
элемент аеЯ — оператором. Можно также рассматривать
отображения множества Я X Е во множество Я. Тогда роль
операторов будут играть элементы из Е.
Определение. Внешний закон на Е (соответственно на Н)
есть отображение множества Ну^Е во множество Е
(соответственно в Н).
Из соображений удобства в обозначении элемента из Е,
вляющегося композицией элементов аеЯ и х^Е, оператор
ПИсывается впереди, так что при мультипликативной записи
эле°На ^' х}~~*ах выражение ах выглядит как произведение
Мента х на а слева или элемента а на л: справа.
62
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Важным является тот случай, когда сами множества Е и Н
наделены одним или несколькими внутренними законами и ко-;
гда предполагается существование некоторых соотношений
между этими законами и внешним законом.
Внешний закон будет обозначаться мультипликативно:
(а, л;) -+ах. Через □ будем обозначать внутренний закон на £,
а через Т — внутренний закон на Н. Теперь мы подошли к тому,
чтобы наложить условия на (аТр)л; и а(хОу). Если
рассматривать а(хПу), то естественно считать, что ах^Е и ау^Е.
Если рассматривать (аТр)л;, то естественно считать либо ах и
Рх е Е, либо a(fk) е Е.
Наиболее важными соотношениями являются следующие.
1) а(хПу) = ах □ ау. Это есть дистрибутивность внешнего
закона относительно внутреннего закона на Е.
2) (а Т Р)я = осх □ рх. Это есть дистрибутивность внешнего
закона относительно внутреннего закона на Н.
3) (а Т Р)* = a(px). Это есть некоторого рода
ассоциативность относительно внешнего закона и внутреннего закона на Н.
4) Если Н обладает нейтральным элементом 8 относительно
внутреннего закона у на #> то этот элемент 8 может быть
также нейтральным и относительно внешнего закона, т. е.
гх = х при любом х ^ Е.
5) Если на Н существуют два внутренних закона Т и 1, то
не представляет интереса рассмотрение случаев, когда внешний
закон дистрибутивен относительно Т и JL. Действительно, в
обычных случаях в Е будут существовать элементы х,
регулярные относительно внешнего закона, т. е. такие, что если ах =
= рх, то а = р. Если теперь предположить, что (aTp)x =
= ах П рл; и (a J. р)х = oa D рх, то для некоторого
регулярного элемента х будет выполняться а Т Р = a J_ р, т. е. законы
Т и 1 не будут различаться. Точно так же, если на Н
существуют два внутренних закона, то интерес будет представлять
случай, когда внешний закон дистрибутивен относительно
одного и ассоциативен относительно другого закона.
Далее следует наиболее важная иллюстрация этого.
§ 2. Векторное пространство над телом (полем)
В определении, которое последует, сразу же встретятся
элементарные свойства сложения векторов, называемых
свободными, и их умножение на действительные числа.
Определение. Пусть Е — множество, наделенное внутренним
законом абелевой группы, а К — тело (поле), законы которого
называются сложением (закон абелевой группы) и умножением
(закон группы на К*). Предположим, что существует отображен
ние множества /( X £ в £, которое определяет внешний закон
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 63
на Е, обладающий следующими свойствами: 1) он
дистрибутивен относительно внутреннего закона на Е и сложения на К\
2) он ассоциативен относительно умножения на К\ 3) он имеет
в качестве нейтрального элемента нейтральный элемент
относительно умножения на К. При выполнении этих условий
множество Е называется векторным пространством над телом
(полем) К.
Будем обозначать внутренний закон на Е через Т,
внутренние законы на К — посредством аддитивной и
мультипликативной записи, принятой для чисел, а внешний закон будем
обозначать точкой *•. Тогда будут верны следующие свойства.
Для внутреннего закона на Е:
(1) (хТу)Тг = хТ-(уТг);
(2) хТ@ = @Тх = х (0— нейтральный элемент);
(3) х Т х' = в (х' — симметричный к х)\
(4) х Т У = У Т х.
Для внешнего закона:
(5) а • (х Т у) = а • х Т а • у;
(6) (а + Р) • х = а • х Т Р • х\
(7) а-(р-*) = (ар).*;
(8) е • х = х (г — нейтральный элемент относительно
умножения на ЛГ).
Все эти равенства предполагаются справедливыми для
любых х, у, z <= £, а, р е К.
Прежде всего выведем из них другие равенства, которые
позволят упростить принятые обозначения.
Как уже было замечено (раздел 2, § 3), если е' означает
симметричный к е относительно закона + на /С, имеющего
нейтральный элемент е, то
аг' = г'а = — а.
а) В силу (6) имеем
а-х= (а + е)х = а-х + е-х.
Следовательно, е-х = в при любом х.
б) Снова в силу (6) имеем
8 • х + е' • х = (е + е') • х = е • х = в.
Стало быть, если х' симметричен к х в £, то г'х = х'у или,
в обозначении 8/ = —8, (—г)-х = х\ Тогда согласно (7) имеем
(а ■ *)' = (— г) • (а • *) = (—а) • х иа-/ = а- ((—е) • *)=(—а) • *.
в) В силу (5) имеем
а • в = а • (х Т х') = а • х Т а • х'.
64
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
А в силу б),
а • в = а • х Т а • (е' • х).
В силу (7) имеем
а • в = а • х Т (ае') • х = а • х Т (— а) • х,
а в силу (6)
а . в = (а + (— а)) • х = е • х.
Следовательно, учитывая б), получаем
а • 0 = 0, ае/С — произвольно.
г) Допустим теперь, что а-л; = 0.
Если а = е, то это верно в силу б).
Если а Ф е, то а"1 существует. Тогда согласно в)
а"*1 • (а • х) = а"1 -6 = 0.
Учитывая (7) и (8), получаем
а""1 • (а • х) = (а""1а) • x=8 • х — х.
Следовательно, х = 0.
Таким образом, равенство а-л; = 0 влечет а — е или х =
= в. Это важное свойство может быть сформулировано
следующим образом: если афе, то равенство а-л; = 0 влечет
х = в; при этом е-х = в для всех xg£; если хф@, то равенство
а-х = в влечет а = е.
д) Рассмотрим теперь равенство а-х = $-х и обозначим
через х' элемент, симметричный к х в Е\ тогда
а • х Т (Р • х)' = в.
Но в силу б) (р-*)' = е'- (р-я), что в силу (7) равно (е'р)-л:.
А так как е'р = —р, то
(Р ■*)' = (-?)■*.
Отсюда
а • х Т (- Р) • х = 0, (а + (— р)) • х = в,
и в силу г)
а + (—-Р) = е, если * ^ в.
Значит, элемент (—р) симметричен к а относительно
сложения в К. Стало быть, р = а (в силу единственности
симметричного для элемента из /С. См. раздел 1, § 6, теорема 1.).
Следовательно, любой элемент из £, отличный от 0,
регулярен относительно внешнего закона.
е) Рассмотрим теперь равенство а-х = а-у и предположим,
что а ф е (если а = е, то a-x = a-i/ = 0 при любых х и у).
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
65
Снова имеем:
а • х Т (а • y)f = в,
а-лгТа-#' = в (в силу б)),
а-(л;Тг/') = ® (в силу (5)),
и согласно г), х Т у' = в.
Значит, у' симметричен х в £, и, стало быть, у = х.
Следовательно, если афе, то равенство а*х = а*у влечет
х = у.
Итак, любой элемент из Х> отличный от нейтрального
элемента е относительно сложения в К, регулярен относительно
внешнего закона. , %
Эти свойства позволяют нам упростить обозначения и
влекут за собой хорошо известные правила вычислений.
Закон Т (внутренний закон абелевой группы на £), как и
закон + на /С, будет обозначаться знаком +•
Внешний закон • будет обозначаться мультипликативно, как
и закон на К.
Элемент е, а также в, заменяется на 0. Однако это
соглашение хотя и весьма удобное, требует предосторожности в
некоторых вычислениях.
Но в качестве нейтрального элемента умножения в К мы
сохраним 8. Имеем 8 + 8 = 2е; гп = 8 (п > 0— целое) и было
бы опасно заменять 8 на 1, даже приняв, что символ 1 не
представляет собой единицу в N относительно умножения.
Итак, векторное пространство Е над телом (полем) К
обладает следующими свойствами:
Определения:
(1) (x + y) + z = x + (y + z)i
(2) х + 0 = 0 + х = х\
(3) * + (_*) = ();
(4) х + у = у + х\
(5) а(х + у) = ах + ау;
(6) (а + р) х = ах + $х;
(7) афх) = (а$х;
(8) ех = х.
Выводимые свойства:
(9) 0х = 0 при любом л:1);
(10) а0 = 0 при любом а;
и1) Здесь мы должны сделать предостережение: в записи 0л: = 0 стоя*
щий слева 0 есть элемент из /С, а стоящий справа— элемент из Еь
66
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
(11) равенство си = 0 влечет л: = 0, если О Ф а, и а = 0,
если х Ф О,
(12) любой элемент из К и из £", отличный от 0, регулярен
относительно этого внешнего закона.
§ 3. Построение векторных пространств. Примеры
1. Тело (поле). Тело (поле) К является векторным
пространством над К. Множеством операторов служит само К>
Это означает (что, впрочем, мы уже отмечали), что
мультипликативный закон на К рассматривается одновременно и как
внутренний, и как внешний.
2. Векторное пространство — произведение векторных
пространств. Пусть Е и F — два векторных пространства над одним
и тем же телом (полем) /С. Будем обозначать элементы из Е
через х, х\ xi, ... , а элементы из F — через у, у', уи ...
Укажем, как произведение Е X F пространства Е на F может быть
превращено в векторное пространство над К. Речь идет о
нахождении соглашений, которые удовлетворяли бы восьми
свойствам определения. Начнем с определения внутреннего закона
на Е X F» Существенно прежде всего условиться, что если z =
= (х> У) у z' = (*'> */')> то z = z' означает х = х/ и у = у'.
Пусть z= (x,y), z' = (х\у')—два элемента из E^F.
Положим
z + z' = (х + х\ у + у'),
что является элементом из Е X F, поскольку х'-рх'&Е,
у -\- у' е /\ Положим
0 = (0,0).
Следовательно, в силу соглашения, принятого для равенства,
(я, у) = 0 влечет х = 0, у = 0. Положим еще
(—*)=(—*, —у).
Свойство (1) очевидно. Свойство (2) удовлетворяется в силу
того, что, по определению z -f- z\ имеем
z + 0 = (x + 0, у + 0) = (х, у) = г
и
0 + z = (0 + x>0 + y) = (x9y) = z.
Свойство (3) верно в силу того, что, по определению z + z\
Имеем
г + (—г) = (х — х, у — у) = (0, 0) = 0.
Наконец,
z' + z = (*', у') + (х} у) = (*' + х, у' + у) =
= (X + Х\ у + У') = 2 + 2'.
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 67
Определим на E^F внешний закон, положив
az = (cu, ау) для а е К*
Тогда
(5) а (г + г') = (а (х + х'), а (у + у')) = (ад: + ах', ау + ау') =
= (ах, ау) + (ах', ау') = а (х, у) + а (х', у') = az + az';
(6) (а+р)г = ((а+р)х, (а+ р)у) = (ах + рх, ау + Ру) =
= (ах, ау) + (Рх,ру) = az + pz;
(7) а (Pz) = а (Рх, ру) == (арх, ару) = (ар) г;
(8) ez = (ех, еу) = (х, у) = z.
Таким образом, наши соглашения превращают Ey^F в
векторное пространство над тем же телом (полем) К.
Обобщение. Расширение на произведение EiX^X-^
...Х^п векторных пространств над К очевидно.
/ случай: Ег = Е2 = ... = Еп = К. Превратим Кп в
векторное пространство над /(, пользуясь предыдущим методом.
Элемент z^Kn есть
г— (хьх2, ..., хп), где Хщ^К (пг = 1, 2, .,,, п).
Кроме того,
az = (ах,, ах2, ..., ахп)у г + z' = (х, + х[, ..., хп + х'п).
Но любой элемент х^К записывается в виде х = хе, где г —
единица, т. е. нейтральный элемент относительно умножения.
Следовательно, можно записать:
z = (x1,0, 0, ..., 0) + (0, х2, 0, ..., 0)+ ... +(0, 0, ..., 0, х„) =
=(*!«■ 0, 0, ..., 0) + (0, х2е, 0, ..., 0)+...+(0, 0, ...,0, x„e)==
«=*,(e,0,0, ..., 0) + х2(0, е, 0, ..., 0)+...+^(0,0, .,., 0, е),
поскольку хт^К.
Рассмотрим теперь п элементов еи e2f ..., еп из Кп> где
вт-—элемент из Кт, у которого на всех местах, кроме т-го,
стоят нули, а на т-м месте стоит е.
Тогда
z = xlel + x2e2 + ... +хпеп.
Таким образом, векторное пространство К определяется
посредством п элементов еи е2у ..., еп из Кп. Такое представление
Элемента z единственно для каждого z е Кп в силу определения,
68
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
данного для равенства z = z\ При п = 3 эта запись есть
разложение свободного вектора по единичным векторам
координатных осей.
2 случай: а) Пусть z есть счетная последовательность Х\,
#2, ..., хП9 ... элементов из /С; обозначим ее (хп) = z.
Положим 2 + г' = (хп + х'п)> 0 = (0) (хп = 0(=К при любом я),
az к= (oun); z = z' означает *„ = ^ при любом п. Множество
этих элементов z образует векторное пространство над К. Это
именно то, что понимается под пространством
последовательностей (здесь имеется в виду последовательность в
алгебраическом смысле).
б) Можно, в частности, рассматривать счетные
последовательности элементов из /С, но такие, у которых все члены нули,
начиная с некоторого номера, зависящего от
последовательности: z = (хи х2, ..., хп, 0, ...). Таким образом, каждый
элемент z составлен из конечного числа (или нуля) элементов,
отличных от Og/C, но это число не ограничено для множества
элементов г, тогда как в 1 случае оно было ^ п.
Если принять те же соглашения, что и в предыдущем случае,
то равенство z = z' будет означать, что xm = x'm при любом m
и, значит, две последовательности, z и z\ будут иметь
одинаковое число отличных от 0 членов.
Множество этих последовательностей z образует векторное
пространство над /С.
Мы можем написать:
г = (х„0,0, ...) + (0,^2,0, ...)+ ...
... +(0,0, ...,*„, ...,0, ...)
(что, вообще говоря, нельзя написать в а)). Отсюда следует,
что если еп = (0, 0, ..., е, 0, ...)—последовательность, все
члены которой нули, кроме /г-го, равного е, то снова имеет
место единственное представление
z = х{ех + х2е2 + ... + хпеп.
Это векторное пространство определяется бесконечным счетным
множеством элементов.
Обозначение. Если рассматривается семейство
элементов (х^ абелевой группы или векторного пространства,
наделенных индексами из некоторого семейства / индексов, так,
что Х{ ф 0 для конечного числа индексов i, то сумма этих х\
может, без опасности путаницы, обозначаться 2**-
i
3. Векторное подпространство. Пусть <£ — векторное
пространство над телом (полем) К и Е — подмножество из &.
Рассмотрим на Е внутренний закон, индуцированный внутренним
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
69
законом из 8\ и внешний закон, индуцированный внешним
законом из 8, т. е. элементам х е £, у е £ ставятся в
соответствие элементы х-\-у и ах (когда они принадлежат £),
полученные композицией элементов ху у из 8 по законам,
введенным в 8. Если эти законы превращают Е в векторное
пространство, над /С, то Е называется векторным подпространством
пространства 8.
Примеры. 1) Для рассмотренных выше пространств Кр
пространства Kq, при q ^ /?, как легко видеть, являются
подпространствами.
2) Рассмотрим п элементов хи лг2, ..., хп пространства 8
над телом (полем) К и множество Е всех элементов из 8
вида
# = 0^1 + 0^2+ ... '-\-ЫпХп,
где ат — произвольные элементы из К. Множество Е является
подпространством пространства 8.
В самом деле, если
п п
х = 2 и„х. *' = 2 <*'#„,
*г* m rtv ~г* tn m
— два элемента из £, то
п
x + x>=%(am + a'm)xm
тоже принадлежит Е, равно как и
п
»1
Кроме того,
(— *) = 2 (— О xm е= £,
1
Oelf является нейтральным элементом для Я (достаточно
взять все ат = 0) и легко видеть, что все свойства выполняются.
Отметим, однако, что элемент 0 может быть получен в Е и для
других значений аш, кроме как если все они равны нулю.
Говорят, что Е порождено элементами хт (т = 1, 2, ..., п).
Вообще, если А есть некоторое подмножество векторного
пространства 8, то множество всех элементов из 8 вида
^^Нед, где Xi^A, а а* — числа из тела (поля),
принимающие лишь конечное число отличных от нуля значений, есть
подпространство Е пространства 8\ говорят, что Е порождено
множеством А} или элементами этого множества.
70
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
4. Многочлены. Пусть К — коммутативное тело, т. е. поле.
Будем называть многочленом упорядоченную счетную
последовательность элементов из К, среди которых лишь конечное число
отлично от нуля, и будем записывать
Л = (а0, аи а2> ..., апу ...).
Для любого многочлена А имеем аи = 0 при k ^ /г, где п ^ 0 —
целое число, зависящее от рассматриваемого многочлена Л.
Можно также сказать, что многочлен определяется
отображением множества неотрицательных целых чисел в поле К, причем
это отображение принимает лишь конечное число отличных от
нуля значений.
Числа аи называются коэффициентами многочлена А.
Два многочлена А и В = (b0yb[f ...) равны, если при
любом k имеет место равенство аи — Ьи. Это определение влечет
тот факт, что аи = Ьи = 0, начиная с некоторого номера п.
Будем снова записывать А = В.
Пусть 3* — множество многочленов (с коэффициентами из
одного и того же поля /С).
1. Сложение (внутренний закон). Всякой паре
(Л, В) из двух многочленов ставим в соответствие многочлен
(a0+i>o, ai+bi, ..., dk+bky ...), который мы обозначим
А + В и который мы назовем суммой многочленов Л и В. Этот
внутренний закон, очевидно, ассоциативен и коммутативен.
Многочлен в, у которого все коэффициенты — нули, является
нейтральным элементом. Многочлен (—а0, —ai, ..., — ал, ...), где
(—аи) —элемент, симметричный к ak относительно сложения
в /С, симметричен к Л относительно этого закона; мы будем
обозначать его через (—Л).
Определенное таким образом сложение вводит на 9* закон
абелевой группы.
2. Умножение на число (внешний закон).
Каждому многочлену Л и каждому «gK ставим в соответствие
многочлен (сш0, ..., aak, ...), который мы обозначим через аЛ.
Пусть 1 есть единица в К.
Очевидно, что при любых Л, В, Се^ а, р, ... е К имеют
место следующие свойства:
а (Л + В) = аЛ + аВ,
а(рЛ) = (сф)Л,
(а + Р) Л = аЛ + рЛ,
1 • Л = Л.
Эти законы превращают ^ в векторное пространство над К.
5. ЗАКОНЫ И ОТНОШЕНИЯ
71
РАЗДЕЛ 5
ЗАКОНЫ И ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИИ
С теоретической точки зрения этот раздел мало значителен.
Но установление законов и отношений на множестве функций
важно для дальнейшего. Поэтому мы будем опираться на
примеры, заимствованные иногда из последующих глав.
Основная идея (которая уже встречалась в связи с
последовательностями и которую мы снова принимаем) состоит в том,
что для функций, определенных на одном и том же множестве Л
и принимающих значения во множестве В, которое само
наделено отношением или законом, обозначаемым Т, можно часто
определить закон, снова обозначаемый Т. Стало быть, речь
идет о распространении на функции от t^A со значениями
в В законов или отношений, существующих в В.
Соглашение. Если А есть множество, произвольный элемент
которого обозначается t, а В есть множество, наделенное
внутренним законом Т, то для двух отображений х, у множества А
во множество В через хТу обозначается отображение /~>
-+*(*) ТУ(*)> т. е.
xjy^t~>x(t)jy(t).
Если некоторые пары элементов из В связаны бинарным
отношением Т, то через хТу обозначается отношение «x(t)T
Ty(t) при любом t».
Примеры. 1) Пусть А — абстрактное множество, а В —
множество, наделенное отношением порядка, обозначаемым ^.
Если х и у — два отображения множества Л в В, то отношение
х <^ у означает «x(t) ^ y(t) при любом t».
2) В есть множество, наделенное внутренним законом,
обозначаемым +. Через х + У обозначается отображение
t-+x(t)+y(t).
Необходимо сделать следующие важные замечания.
а) Если В наделено внутренним законом Т, всюду
определенным, то есть композиция посредством этого закона возможна
для любых элементов из В, то определено и отображение х Т у
множества А во множество В.
Но если для множества Е функций, отображающих Л в В,
может быть определено отображение хТ у, где х^Е и у е Е,
то, вообще говоря, не обязательно хТу^Е. Иными словами,
распространение закона Т на Е может и не быть внутренним
законом на Е. И если на В может быть определен внутренний
закон путем распространения закона Т, то свойства закона Т
На Е могут не совпадать со свойствами закона Т на В (ассо*
Циативность, нейтральный элемент и т. д.).
72
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
б) Если предположить, что на В задано отношение,
например, отношение порядка (даже линейного), то оно может не
распространяться на пару х, у отображений Л в В. Так, если В
есть множество действительных чисел, то для заданного
значения /еЛ либо x(t)^y(t)y либо y(t)^x(t)f но может
оказаться, что нельзя определить х ^ у (или х^у), ибо не будет
выполняться условие: «x(t)^y(t) при любом /еЛ».
Приведем некоторые указания и примеры.
1) Пусть Л—некоторое (абстрактное) множество, В —
множество, наделенное законом Т, определенным всюду, и пусть
Е — множество всех отображений Л в В. Закон на В, введенный
как (л;, у)-+х Т у, определен всюду, так как хТ у есть
отображение А в В и так как рассматриваются все отображения
множества Л в В.
2) Если речь идет о том, чтобы проверить, распространяется
ли некоторое свойство закона Т на закон множества В, то в
каждом случае должны быть приняты предосторожности, хотя
часто проверка бывает простой.
Так, если Т — ассоциативный закон, то закон Т на Е тоже
ассоциативен, так как соотношение
Ш Т У (*)) Т г (t) = х (t) Т (У (О Т г (0)
верно при любом t, и значит,
(xjy)jz = xT(yjz).
Если речь идет о том, чтобы показать, что в Е всякий
элемент имеет симметричный, то следует принять необходимые
соглашения. Если, например, В — аддитивная группа с
нейтральным элементом 0, то 0 должно быть названо отображение,
которое элементу /еЛ ставит в соответствие ОеВ; тогда
получаем х-\-0 = 0-\-х = х; (—х) должно быть названо
отображение t—► — x(t)\ тогда получаем л;+ (-—х) = 0 е В.
Однако не следует думать, что сохраняются все свойства.
Так, допустим, что В = R есть множество действительных
чисел, т. е. поле. Множество Е всех числовых функций на Л
(функции от t с действительными значениями) уже не будет
полем, ибо если назвать нулем функцию, принимающую
значение 0 ^ R для всех (еА, то ненулевая функция может не иметь
римметричной относительно умножения, перенесенного на В,
поскольку для некоторых значений t может оказаться
x(t) = 0<=R.
Этого примера достаточно для обоснования
предосторожностей даже в случаях, рассматриваемых как простые.
б. ЗАКОНЫ И ОТНОШЕНИЯ
73
3) Наибольшие трудности возникают тогда, когда
рассматривается множество не всех отображений множества А во
множество В. Так, допустим, что А—топологическое пространство,
В = R. И пусть Е есть множество всех числовых функций,
определенных и непрерывных на А. Сразу же видно, что Е образует
абелеву группу относительно закона
x + y&t->x(t) + y(t).
Можно также установить на Е отношение порядка х ^ у 4Ф
£$x(t)^.y(t) при любом t. Наконец, можно распространить
понятие абсолютного значения, определив |л:| ФФ t-+\x(t) |, так
как |#| — заведомо непрерывная функция. Тогда Е
превращается в группу Рисса.
Но если взять в качестве А множество R действительных
чисел, а в качестве Е — множество всех полиномиальных функций,
то Е уже не будет группой Рисса, ибо если х — многочлен, то
\х\ может им не быть.
ГЛАВА III
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Можно утверждать, что линейная алгебра развивает всякое
алгебраическое свойство, берущее начало в элементарном
понятии действительной линейной функции действительного
переменного: х—*у = ах. В эту рубрику входят, таким образом,
с алгебраической точки зрения, линейные уравнения, интегралы,
линейные дифференциальные уравнения и т. д.
Отсюда вытекает важность векторных пространств и
понятий, с ними связанных: линейных отображений, полилинейных
отображений, сопряженности, ...
Мы будем для простоты предполагать все тела
коммутативными, т. е. будем рассматривать только поля.
РАЗДЕЛ 1
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Линейно независимые элементы. Базисы
Пусть & — векторное пространство над полем /С
Рассмотрим семейство (xi) элементов из & и семейство (а*) элементов
из /С, наделенных индексами из одного и того же множества /
индексов, причем семейство (а*) обладает еще тем свойством,
что только конечное число из (а*) отлично от нуля. Линейной
комбинацией элементов (х\) называется любой элемент из <%
вида
2 щх{.
i
Это обозначение имеет смысл, поскольку все а*, кроме
конечного числа, равны нулю. Иногда для большей ясности
говорят о конечной линейной комбинации элементов Х{.
Элемент х^.(§, который может быть записан в виде
лг= 2 o<ixh называется линейной комбинацией элементов х\.
i
Линейные комбинации конечного числа элементов из <§, как мы
уже видели (гл. II, раздел 4), образуют подпространство
пространства <§. В <S или в его подпространстве элемент 0 запись?-
1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
75
вается в виде 2 а**ь где все а* равны 0g/(. Но можно
записать 0 так, чтобы не все а* были равны нулю, например,
0 = 2а***> гДе «1 = 1» ^2== — 1» ^ = ^2, af = 0, если 1ф1, ф2.
Различие между этими двумя случаями приводит к
определению линейно независимых элементов.
Определение 1. Элементы (xi) векторного пространства
называются линейно независимыми, если из соотношения 2 a/*/ = О,
где а%— элементы поля /С, равные нулю, за исключением, быть
может, конечного числа индексов, следует, что a* = 0. В
противном случае элементы (лс*) называются линейно зависимыми.
Множество линейно независимых элементов называется
иногда свободной системой, или свободным семейством.
Замечания. 1) Если все а*, кроме конечного числа п из
них, равны нулю, и если мы занумеруем oti, ot2, ..., осп те,
которые могут быть отличны от нуля, то линейная независимость
элементов Х\ будет означать, что равенство
а,*! + ... +a/i*/i = 0
влечет
а{ = а2 = ... = ап = 0 е К»
2) Если равенство ai*i -f- 0,2X2 + ...'+ апхп = 0 может быть
реализовано хотя бы с одним a* =^= 0, то (xi) уже не являются
линейно независимыми.
3) Множество элементов из 8, содержащее 0, не может
быть множеством линейно независимых элементов, так как если
xio = 0, то равенство 2ai** —0 будет выполняться при а/ = 0,
если / Ф /0, и aio ф 0.
4) Если х: е & и х ф 0, то этот элемент х составляет
свободную систему, поскольку равенство ах = 0 влечет a = 0.
5) Если элементы хх, ..., хп не являются линейно
независимыми, то в равенстве 2a^f = 0 не все а* равны нулю;
скажем, ai ф 0 е /С; тогда в /С найдется симметричный к ai и
xl = — ^{ai/al)xi;
иными словами, один из элементов Х\ есть линейная
комбинация остальных п — 1 элементов.
6) Если семейство (Х{) состоит из линейно независимых
элементов, то это верно и для любого его подсемейства. В самом
Деле, допустим, что элементы подсемейства (х,) не являются
линейно независимыми. Тогда 2ау*/~0> гДе конечное число
Щ отлично от нуля; следовательно, имеет место равенство
Zi^iXt = 0, где конечное число а* отлично от нуля.
Определение 2. Говорят, что подмножество Е векторного
^пространства 8 порождает 8, если любой элемент из 8 есть
линейная комбинация элементов из Е.
76
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Определение 3. Говорят, что семейство элементов
векторного пространства & есть базис пространства <S, если оно
состоит из линейно независимых элементов и если оно
порождает <§.
Если (Хг) есть базис пространства <§, то для любого х^Е
имеем x=y^atXi. Числа (а*) называются компонентами или
координатами элемента х в базисе (я*). Эти компоненты
единственны для любого х, ибо если бы имелись другие, x = ^a'ixi
(где а'., как и ait отличны от нуля для конечного числа
индексов), то мы имели бы
а так как Х\ линейно независимы, то а* = аг
Нам встретятся многочисленные примеры базисов, и
следующий параграф будет посвящен конечномерным векторным
пространствам. Векторное пространство & многочленов
представляет собой пример пространства, базис которого состоит из
бесконечного числа элементов. Действительно, если обратиться к
введенным ранее обозначениям (гл. II, раздел 4) и через е^
обозначить многочлен, у которого ап = 0 при пфк и а& = 1,
то любой многочлен А запишется единственным способом в
виде А = 2*2^, где аь отличны от нуля для конечного числа
индексов k. Многочлены ek линейно независимы, ибо если
п
о
то это означает, что многочлен (ао, си и •••> Яп, .,.) есть нулевой
многочлен, и значит, по определению, аи = 0 при любом k.
Стало быть, семейство (ek) составляет базис пространства 3*.
§ 2. Конечномерное векторное пространство
Теорема 1. Если векторное пространство Е- имеет базис,
состоящий из п элементов, to никакое множество р элементов
из Е при р > п не может быть множеством линейно
независимых элементов.
Согласно 6) из предыдущего параграфа, можно
предположить, что р = /г+1. Пусть теперь аь а2, ..., ап — базис
пространства Е. Тогда любое ш£ записывается единственным
способом в виде х = \ха\ + g2^2 + ... + InCin. Рассмотрим
прежде всего случай, когда пространство Е имеет базис,
состоящий из единственного элемента а\. Тогда никакие два элемента
из Е не будут линейно независимы. В самом деле, пусть Х\ =
= liai, а х2 = Ъа\- Они могут быть линейно независимы, только
1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
77
если ни один из них не равен нулю (§ 1, 4)). Допустим, стало
быть, что 1\ф0 и ^2=7^=0. Тогда -г- хх = ах и —х2 = аи а зна-
чит, -т-хх гх2 = 0е£, а поскольку 1/gi и 1/£2 отличны от
нуля (в /С), то Х\ и л:2 не могут быть линейно независимы.
После этого теорема доказывается по индукции. Допустим,
что в пространстве, обладающем базисом из п — 1 элементов,
более чем п — 1 элементов не могут быть линейно независимы.
Теперь пусть пространство Е имеет базис аь а2, ..., ап из п
элементов и пусть п + 1 элементов из Е имеют вид
*т = Iml^l + 1т2^2 + • • • + Imn^n (W = 1, ..., П + 1).
Допустим, что все \шп (т = 1,2, ...,п,п + 1) равны нулю;
тогда Х\,Х2,...,хп,хп+\ являются элементами пространства £', по*
рожденного элементами аь ..., ап-и которые составляют базис
(см. предыдущий параграф 6)). Следовательно, хи х2> ...
..., хп, хп+\ не являются линейно независимыми. Предположим
теперь, что хотя бы одно \тп отлично от нуля, скажем, gn+i п-
Рассмотрим тогда элементы
^=^-1^7^+1 («=Ь2,.:., п).
Компоненты элемента х'т при п-м элементе ап базиса равны
нулю, и значит, х'т не будут линейно независимы. Стало быть
существуют п элементов ате/С, которые не все равны нулю
(в К) и которые удовлетворяют равенству
а{х[+ ... +аХ = 0.
Отсюда
(ад + ... + апхп — -z (а^щ + ... + ап1Пп) xn+l = 0.
А поскольку не все сььаг,...,ап равны нулю, то ХиХ2,...,хп+\
не являются линейно независимыми.
Следствие. Если пространство Е имеет базис из п
элементов и если р элементов из Е линейно независимы, то р ^: п.
Из этой теоремы мы выведем основные свойства.
Другое определение базиса. Если п элементов а\,а2,...,ап
из Е линейно независимы и если при любом х^Е элементы
fli,.. .,ап,х не являются линейно независимыми, то аи...,ап
образуют базис пространства Е. В самом деле, существуют я + 1
элементов А,, —oti, ..., —ап из К, которые не все равны нулю и
которые удовлетворяют равенству
Хх — а{а{— ... —апап = 0.
7S
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Я не может равняться нулю, так как если бы к = О, то непре^
менно одно из ат было бы Ф О, что невозможно в силу
линейной независимости элементов ат. Стало быть, полагая £т =
= otmA, имеем х = £i<2i + ... +gnan. Следовательно, £ порож*
дается элементами aw, которые, таким образом, образуют
базис. Обратное очевидно.
Теорема 2. Если Е имеет некоторый базис из п
элементов, то всякий другой базис состоит из п элементов.
Действительно, пусть b\,...,bp — какой-нибудь другой базис
в £. Тогда элементы bm линейно независимы; следовательно, по
предыдущему следствию, р <^.п. Переставив местами bm и am,
получаем п ^ р. Значит, п = р.
Это свойство позволяет ввести следующее определение.
Определение размерности. Если Е — векторное пространство
с конечным базисом, то число элементов этого базиса
называется размерностью пространства Е. Размерность обозначается
dim Е.
Другое определение размерности. Рассмотрим в векторном
пространстве Е все свободные системы. И пусть S — одна из
таких систем, а k(S) — число составляющих ее элементов.
Допустим, что k(S) ограничено. Тогда существует такое целое я, что
k(S)^:n, и такое S0, что k(So)=n. Добавление к S0 любого
элемента хе£ приводит к множеству из п -f- 1 элементов, не
являющихся линейно независимыми. Следовательно, So есть
базис пространства Е, которое имеет размерность п.
Замечание 1. Если х\,...,хп— элементы векторного
пространства, то максимальное число линейно независимых среди
этих элементов есть размерность пространства, порожденного
элементами Х\,..., хп-
Замечание 2. Если известно, что Е имеет размерность п>
то любое множество из п линейно независимых элементов
составляет базис.
Замечание 3. Если элементы ai,..., an составляют базис
пространства £, то р элементов ah... >ар из них порождают
подпространство Е' размерности р и образуют базис
пространства £'.
Следующая теорема является в некотором роде обратной
к этому замечанию.
Теорема 3 (теорема о неполном базисе). Пусть
Е — пространство размерности п и пусть имеется р < п линейно
независимых элементов из Е. Тогда к этим р элементам можно
добавить п — р других элементов из Е так, чтобы получился
базис пространства Е.
Действительно, пусть элементы аь ..., ар линейно
независимы. Существует по крайней мере один такой элемент
(обозначим его av+i)t что аи .»., аР) ар+\ линейно независимы, кро-
Т. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
79
ме случая р = п. Ибо если бы это было не так, то по второму
определению базиса элементы аь ..., ар составляли бы базис
пространства Е, и оно имело бы размерность р. Повторение
этого рассуждения достаточное число раз доказывает теорему.
§ 3. Алгебры над полем
В предыдущей главе излагались некоторые типы множеств,
наделенных алгебраическими законами. Грубо говоря, можно
утверждать, что рассмотрение на множестве Е только одного
внутреннего закона привело к понятию группы; рассмотрение
двух внутренних законов привело к понятию кольца или поля
(тела)у а рассмотрение одного внутреннего закона и одного
внешнего закона привело к понятию векторного пространства.
Алгебра над полем есть одновременно векторное
пространство над полем и кольцо. Более точно:
Определение. Алгебра & над полем К есть множество
элементов, наделенное аддитивным и мультипликативным
законами, превращающими его в кольцо, а также внешним законом,
который вместе с аддитивным законом превращает это
множество в векторное пространство над К и обладает тем свойством,
ЧТО для ЛЮбыХ JfG^I/G^aE^
а • (ху) = (ах) • у = х • (си/).
Пусть <% — алгебра; предположим, что векторное
пространство <§ имеет базис (а*). Тогда любой х^& записывается
единственным образом в виде
х=2ед.
Но так как <% — кольцо, то произведение OiOj двух элементов
базиса, которое является элементом из <%, может быть записано
в виде
0,10,1= 2&/лЯ*.
k
Пусть
х = 2 аде, у = 2 P,iV
Поскольку % — кольцо, имеем
*у=(2 адЛ (2 р^ц) = 2 щ$№.ч =
\ Я / \ и ) Я, м-
= 2 аА (2 hiikCik) =2(2 аяРцёяцл) ак.
я,ц *л k * ) k \к ii /
А так как компоненты элемента ху в базисе (an) единственны,
то они определяются компонентами элемента х, элемента у и
величинами g^.
80
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Таким образом, как только известны ?■*#, может быть
найдено произведение ху двух заданных элементов я, у в <§. Но \цъ,
не произвольны, ибо в силу ассоциативности умножения в <§
будет выполняться равенство
(aiai) ak = at (а^ь),
которое влечет
Теперь можно показать, что если <?Г— векторное
пространство, (at)—его базис и (¾¾) — элементы из К,
удовлетворяющие последнему соотношению, то & становится алгеброй в том
случае, если для
положить
ijk
Формулы
aial = 2 Si/fefl*
составляют то, что называется таблицей умножения.
Пример. Среди многочисленных примеров (поля, алгебры
квадратных матриц порядка п, алгебры числовых функций,
определенных на множестве, алгебры непрерывных функций на
топологическом пространстве,...) выберем пример многочленов
(ср. гл. II, раздел 4, в конце).
Мы вкратце опишем умножение, которое в соединении с
законами векторного пространства превращает $Р в алгебру,
причем кольцо Ф будет к тому же коммутативным и унитарным.
Каждой паре (Л,В) из двух многочленов мы поставим в
соответствие многочлен С = (с0, си ..., Ch,...) вида
c* = a*&o + fl*-i&i+ ••• +a0bk.
Будем называть его произведением многочленов Л и В и
записывать С = АВ. Определенное так умножение ассоциативно и
коммутативно. Многочлен / = (1,0,0,...), все коэффициенты
которого равны нулю, кроме первого, равного 1, есть
нейтральный элемент относительно этого закона: IA = AI = А при
любом ^6^. Это умножение вдвойне дистрибутивно
относительно сложения:
А (В + С) = АВ + АС = (В + С) А
для любых Л, В, С. Кроме того,
а{АВ) = {аА)В=А(аВ)
для любых Л, В, а.
1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
81
Найдем произведение еред двух многочленов базиса. Пусть
сР = (оьо, ось •.., 0Lpy ap+i ...), где а^ = 0 при k Ф р, а ар=1; и
пусть eq = (ро, рь • • .)> где рь = 0 при k Ф q, a р9 = 1.
Коэффициент при (ft + 1)-м члене в произведении eveq равен а&ро + ...
... + ссорь; он может быть отличен от нуля лишь в случае, если
эта сумма содержит аРрд. Но каждый член суммы a/ipo + ...
..Z+aopft представляет собой произведение элементов из К с
суммой индексов, равной ft; значит, арр9 может находиться
только в (р + q + 1)-м коэффициенте; отсюда следует, что
отличным от нуля может быть только коэффициент произведения ePeq
при (р + д + 1)-м члене. Этот коэффициент равен
Следовательно,
epeq === ^q^/? == ^рЛ-q*
Из этого равенства, справедливого при любых р, ^, вытекает
ехе\ = е2, ^i^i^i = еъ • -.; вообще, если положить и = ei, то
еп = г/п, где ип означает я-ю степень элемента и, т. е.
произведение п элементов, равных и\ тогда всякий многочлен
записывается в виде A == ao + diU + ... -\-апип, при условии, что £о
отождествляется с 1. Это и есть обычное (элементарное)
обозначение, с точностью до того различия, что под и здесь
понимается не переменное, а специальный многочлен, степени
которого порождают 9*.
Отсюда можно заключить, что если для А имеем av Ф О и
ak = О при ft > р, а для В имеем &д ф О и &^ = 0 при ft > g, то
в произведении С = АВ имеем коэффициент cp+q = арЬ9 и
*Ъ = 0 при ft > р + д, так как коэффициент ck с номером
ft ^ р + g + 1 может быть лишь коэффициентом при ен. в
разложении С по базису с ft ^ р+9+1, причем ek — eoeh = eiek i=...
А это требует, чтобы ел = 0 (ft ^ р + q + 1).
Покажем теперь, что любой многочлен, отличный от 0, р£2#-
лярен относительно умножения, т.е. равенство Л£ = АС влечет
В = С, если Л =^= G. Достаточно показать, что если АВ = С, то
один из многочленов А или В есть в. Допустим обратное. Тогда
при av Ф О и а* = 0 (*!>р), бд^Ои &ft"= О (А > q)
коэффициент при (р+д + 1)-м члене в произведении АВ равен
apbq ф 0. Наконец, как мы знаем, 0А = G. Кроме того, 1 -/4= Л,
/•Л = А, &А = АВ = 0. Заменим также 0 на 0, а е0 = / на 1.
Исследуем вопрос о том, имеет ли многочлен Л симметричный
многочлен В относительно умножения. Пусть аРу bq — ненулевые
коэффициенты наибольшего индекса соответственно в Л и в В.
Равенство АВ = е0 требует, чтобы арЬдер+д = 0, т. е. р = q = 0.
Итак, А = а0е0, В = b0eQ.
82
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Постоянным многочленом, или постоянной, или константой,
называется многочлен, все коэффициенты которого, кроме, быть
может, первого, равны нулю. Таким образом, только ненуле*
вые константы обладают симметричными.
РАЗДЕЛ 2
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Определения
Пусть Е и F— два векторных пространства над одним и тем
же полем К. Линейньш отображением пространства Е в F
называется отображение f пространства Е в пространство F,
удовлетворяющее условиям
f{xl + x2) = f(xl) + f(x2),
f(ax) = af(x)
при любых х, Х\у х2 е Е и а е /С.
Если F = /С, то линейное отображение пространства Е в К
называется линейной формой на Е.
Если F — Е, то линейное отображение пространства Е в F,
называется эндоморфизмом.
Заметим, что внутренние и внешние законы обозначаются
для Е и F одними и теми же символами.
Понятие линейного отображения есть не что иное, как
обобщение элементарной функции, обозначаемой обычно как у = ах.
Интуитивно можно утверждать, что линейное отображение
пространства Е в пространство F переводит Е в F, устанавливая
соответствие между их внутренними и внешними законами.
Отметим, что это определение не предполагает, что Е и F
имеют конечную размерность.
Пример. Пусть R — множество действительных чисел,
(л;, у) — элемент из R2, (X, К, Z) — элемент из /?3, причем R2 и
Rz— векторные пространства, построенные как в главе II,
раздел 4, § 3. Если обозначить буквами а, &, ... заданные элементы
из /?, то отображение R2 в /?3, имеющее вид
X = ах + by, Y ~= а'х + b'y, Z = а"х + Ъ"у,
является линейным отображением.
§ 2. Операции над линейными отображениями
а) Рассмотрим множество всех линейных отображений
пространства Е в F. Если /, g" — два линейных отображения, то
будем через f + g обозначать отображение, определяемое как
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
83
x-+f(x)r-fg(x). Отображение f + g снова линейно и / + £ =
Если /, gy h — три линейных отображения пространства Е
в Z7, то отображение (/ + g) + h = f + (g + h) тоже линейно.
Будем через 0 обозначать линейное отображение, определяемое
как jc->0gF, а через —-/ будем обозначать линейное
отображение вида л;-> — f(x). Наконец, через а/ будем обозначать
линейное отображение x~+af(x) (а — произвольный элемент из /С).
Тогда имеет место
Предложение 1. Множество линейных отображений
пространства Е в пространство F образует векторное пространство
над К.
б) Пусть £, F, G — три векторных пространства над одним и
тем же полем /С. И пусть / — линейное отображение £ в /\ a g —
линейное отображение F в G. Тогда gof есть линейное
отображение F в G. Это кратко формулируется следующим образом:
Предложение 2. Композиция линейных отображений есть
линейное отображение.
Эта композиция дистрибутивна относительно операций над
линейными операциями. В самом деле, пусть x-+f\(x), х—>
—►Ы*)— два линейных отображения Е в F. Линейное
отображение /1+/2 определяется как x-+(f\(x) + f2(x))t a go (/1+/2) —
как x-+g(fi(x) +f2(x)). Но
g{fi(x) + f2(x)) = g(fi(x)) + g(f2(xj):
Следовательно, go (/1 + /2) = g"°/1 + g" °/г. Точно так же
(gi+g2)°f определяется как x-*gi(f{x))+g2{f{x)), a gi<>/ +
+ £2°/ — как x-+gi(f(x)) + g2(f(x)). Наконец, goaf
определяется как x->g(af(x)), а поскольку g(a{f(x))) = ag(f(x)),
то go (a/)=a(go/),
3. Свойства линейных отображений
Предложение 1. Если f есть линейное отображение
пространства Е в пространство F, то элемент О из Е имеет своим
образом элемент О из F.
В самом деле, согласно определениям, f(0)=f(0x)=0f(x) =
= 0(eF).
Нейтральные элементы относительно сложения как в £, так
и в F и К изображаются через 0. Всякий раз, как нам
понадобится уточнить, какому пространству принадлежит этот
нейтральный элемент, мы будем писать 0(е£), 0(eF) или 0(е/С).
В предыдущих равенствах первый 0 принадлежит £, второй
принадлежит К, третий — тоже Kt а четвертый — F.
П р е д л о ж е н и е 2. f(E) есть векторное подпространство
пространства F.
84
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Напомним, что f{E) означает множество всех элементов f(x)
из F, когда х пробегает Е (гл. I, § 2, 2)). Речь идет о том, чтобы
показать, что элементы из f (Е) удовлетворяют восьми
равенствам определения (гл. II, раздел 4, § 2, в конце).
Элемент OEf принадлежит f(E) в силу а) из предыдущего
параграфа. Если f(x{) и /(л;2)~-два элемента из /(£), то /(*i)+.
drf(*2) тоже принадлежит /(£), поскольку
f(xl) + f(x2) = f(xl + x2);
элемент —-f{X\) также принадлежит /(£), так как, обозначив
через i яеыральный элемент относительно умножения в К
(вместо е), получаем —-/(*i) =/(—*i). Тогда выполняются равенства
1, 2, 3, 4 из определения. Наконец, af(x\) принадлежит f(E)
в силу того, что af(xi) = f(axi). Отсюда следует, что последние
четыре равенства тоже выполняются (там же).
Замечания. 1) Если f(E) имеет конечную размерность, то
эта размерность называется рангом отображения /.
2) f(E) может не быть тождественно F. Так, линейное
отображение
X — ах, Y = а'х
R в R2 есть отображение ву но не на (в элементарном
выражении, /(E) есть прямая в R2). С другой стороны, если f(E)
тождественно F, то / есть отображение на, но не обязательно
взаимно однозначное. Таков случай отображения
X = ах + by
пространства R2 в R.
Изоморфизм. Каким образом можно охарактеризовать
взаимно однозначное линейное отображение / пространства Е на
пространство F? Необходимо, чтобы / было отображением на.
Пусть теперь /_1(0) есть прообраз элемента OgF, т. е.
множество элементов из £, образом которых в F при отображении /
является элемент 0 из F. Множество /_1 (0) есть векторное
подпространство пространства Е, ибо если x^f~l(0), то f(x) = 0e
е F, /(аде) = а/(дс) =0Ef при любом а е К, и значит, ах е
е/"Ч0); если ^^(0) и ^/-'(0), то fW=f(y)=0Ef,
а стало быть, f(x) +f(y) = 0 е F и /(# + */) =0eF;
следовательно, х + у е/-1 (0). Остальные свойства очевидны.
Но если / есть взаимно однозначное линейное отображение
Е на F, то необходимо, чтобы множество /-1 (0) содержало лишь
0^£. Обратно, если /_1 (0) = 0 е F при условии, что / —
линейное отображение Е на F, то различным элементам Х\^Е и
jc2 е £ в F соответствуют /(*i) и /(х2) и /(*i) =^/(х2); в самом
деле, в силу линейности /, условие f(x\) — f(x2) влечет f(x\) —
— f(x2) =0eF, а вместе с тем и f{x\—x2) =0eF, а значит,
Х\ — х2 е /_1 (0) и^-х2 = 0е £, откуда *i = д^-
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
85
Следовательно, для того, чтобы линейное отображение f
пространства Е на F было взаимно однозначным, необходимо и до-
статочно, чтобы f~l (0) = 0.
Теперь сформулируем следующее определение.
Определение. Если Е и F — два векторных пространства над
одним и тем же полем, a f — линейное отображение
пространства Е в пространство F, то подпространство f~l (0)
пространства Е называется ядром.
Отсюда получаем теорему.
Теорема 1. Для того чтобы линейное отображение
пространства Е на F было взаимно однозначно, необходимо и
достаточно, чтобы ядро сводилось к элементу 0 пространства Е.
Если это выполняется, то обратное отображение f~l тоже
является линейным отображением F на Е, так как, очевидно,
Г1 (yi + у 2) = Г1 (f (*i) + f (¾)) = Г1 (f (*, + *2» = *1 + х2 -
-Г'Ы + Г'Ы; r1(*y)=rl(*f(x))=rl{f(*x))=ax=ar\y).
Это служит основанием к тому, что взаимно однозначное
линейное отображение Е на F называется изоморфизмом Е на F.
В случае, если такое отображение существует, Е и F называются
изоморфными.
Предположим, наконец, что / — линейное отображение Е в F
и что f~l(0) сводится k0g£. Так как / есть отображение Е на
f(E) (подпространство в f), то f есть взаимно однозначное
отображение Е на f(E). Итак, можем сформулировать теорему.
Теорема 2. Если f — линейное отображение Е в F, то
условие /_1(0) =0 необходимо и достаточно для того, чтобы f было
изоморфизмом Е на подпространство f(E) пространства F.
В этом случае говорят, что / есть изоморфизм Е в F.
Рассмотрим теперь п элементов х\, х2, ..., хп из Е. Е'.ли f
есть линейное отображение Е в F (векторное пространств над
тем же полем /С), то
/(<*,*!+ ... +anxn) = alf(xl)+ ... + anf(xn).
Естественно возникает вопрос — будут ли образы /(*i), ...
• •-, f(xn) линейно независимых элементов хи ..., хп из Е
линейно независимы в F (и тот же вопрос для случая линейной
зависимости).
Если п элементов из Е линейно независимы, то их образы
в F при отображении f могут таковыми не быть. В самом деле,
Достаточно рассмотреть пространство Е размерности р ^п и
пространство F размерности q < п ^ р (раздел 1, § 2,
теорема 1). Возьмем
Е=К\ F = K\ x = (al,a2,a3)t=E, у = (plf р2) <= F.
86
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Соотношения
Pi = аа{ + Ьа2 + са3, Р2 = а>% + b'a2 + с'а3>
где а, &, с, аг, Ь\ с' — заданные элементы из /С, определяют
линейное отображение пространства К3 в пространство /С2. В К2
не могут существовать три линейно независимых элемента, и
стало быть, образы трех линейно независимых элементов из /С3
не будут таковыми в /С2. Однако имеет место следующий
результат.
Теорема 3. Если в F образы /(#1), ..., f{xn) элементов
Х\, ...9 хп из Е линейно независимы, то элементы х\9 ..., хп
линейно независимы в Е.
Эквивалентная формулировка:
Если Х\, ..., хп не являются линейно независимыми в Е, то
их образы в F посредством линейного отображения тоже не
будут таковыми.
Действительно, предположим, что а\Х\ +.. /+ &пХп = 0е£,
где не все am е К равны OgK. Тогда
/(<*!*,+ ... +anxn) = alf(xl)+ ... + anf(xn) = f (0) = 0 *=F,
что доказывает теорему. Эта теорема имеет два следствия,
важные для дальнейшего.
Теорема 4. Пусть Е — векторное пространство конечной
размерности р, F — векторное пространство над тем же полем,
и f — линейное отображение Е в F. Подпространство f(E)
пространства F имеет размерность ^.р.
Действительно, пусть уи ..., уп— элементы из f(E).
Каждый из этих элементов есть образ какого-то элемента х^Е
при отображении /; следовательно, в Е найдутся п таких
элементов хи ..., хп, что ym = f(xm) (m=l, 2, ..., п). Если бы
f(E) имело размерность >р (конечную или бесконечную), то
можно было бы выбрать п> р так, чтобы ут были линейно
независимыми. По предыдущей теореме хт были бы тоже
линейно независимы, что невозможно, так как Е имеет
размерность р < п.
Можно также сказать, что ранг отображения f не
превосходит размерности пространства Е.
Теорема 5. Пусть Е и F — два векторных пространства
над одним и тем же полем /С, а ф — взаимно однозначное
линейное отображение Е на F (изоморфизм). Если Ef —
подпространство пространства £, имеющее конечную размерность //, то
ср(Е') есть подпространство пространства F, имеющее ту же
размерность р'.
Действительно, по предыдущей теореме, для отображения <р
(рассматриваемого определенным только на Е\ которое
является векторным пространством) пространства Е' в F про-
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
87
странство ц(Е') имеет размерность ^//. Та же теорема,
примененная к ф'1, показывает, что qr^tp (£')), которое есть Е'9
имеет размерность //, не превосходящую размерности
пространства ф(£')^//. Следовательно, ф(£') имеет размерность р'.
Можно, в интуитивном выражении, сказать, что изоморфизм
сохраняет размерность и интерпретировать эти результаты
наглядно. Так, для теоремы 4 скажем, что линейное отображение
плоскости в трехмерное пространство преобразует плоскость
«не более» чем в плоскость. Для теоремы 5 скажем: взаимно
однозначное линейное отображение трехмерного пространства
в трехмерное пространство переводит прямую в прямую,
плоскость в плоскость и пространство во все пространство.
§ 4. Случай конечномерных векторных пространств
Теорема 1. Пусть Ей? — два векторных пространства над
одним и тем же полем К> имеющие одинаковую конечную
размерность п. Если линейное отображение f пространства Е в F
переводит базис пространства Е в базис пространства F, то f
есть изоморфизм.
Пусть (ат)—базис в Е (т = 1, 2, ..., п)\ тогда, по
предположению, bm = f(am) составляют базис пространства F;
элемент у е F записывается единственным образом в виде
п
у = 2 v\mf(am)- Так как / линейно, то
У = S / (Цтйт) = f ( S Цтат) ]
т=\ V 1 /
следовательно, любой элемент у есть образ при отображении /
п
элемента л;=Цт)тате£, Таким образом, / есть
отображение Е на F. С другой стороны, f~l (0) содержит только 0g£,
п
ибо если бы х = 2 \т&т ^ /"" (0) и если бы х Ф 0 ^ Е, то мы
имели бы f{x)= 2У(аДа поскольку f(am) составляют базис,
и не все gm равны нулю, то при х ф 0 элемент f(x) не может
быть элементом 0 е F\ значит, по теореме 1 предыдущего
параграфа, / есть изоморфизм Е на F.
Теорема 2. Если существует изоморфизм f пространства Е
на F, где Е и F — конечномерные векторные пространства над
одним и тем же полем К> то Е и F имеют одинаковую
размерность.
Действительно, f~l тоже является линейным отображением F
Р Е. Если (bm) (m=l, 2, ..., q) — базис в F, то элементы
88
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
(am), удовлетворяющие условию bm = f(am)f линейно
независимы по теореме 2 предыдущего параграфа. Значит, Е имеет
размерность р ^ q. Поменяв местами Е и Z7, получаем q ^ р и,
следовательно, р — q.
Замечание. Если предположить, что Е и F имеют
одинаковую размерность и что f есть линейное отображение Е на F,
то теорема 1 показывает, что / есть изоморфизм Е на /7.
Теорема 3. Два векторных пространства Е и F над одним
и тем же полем /(, имеющие одинаковую размерность п,
изоморфны между собой и изоморфны Кп.
Покажем, что можно определить линейное отображение /
пространства Е в F, переводящее базис (ат) пространства Е
в базис (Ьт) пространства F. Пусть ф — отображение (ат) на
(Ьт), определяемое следующим образом:
Ят->Ьт (га = 1, 2, ..., п).
Будем записывать Ьт= ф(аш) и будем «продолжать» ф. Пусть
п
х= 2 Im^m^E и пусть отображение / имеет вид
п п
X -> S Imbm = 2 £m<P («m) = f (*).
1 1
Это определение законно, так как ф(ат) являются элементами
из F. Очевидно, что / есть линейное отображение Е в F,
переводящее базис (ат) в базис {Ьт). Если теперь взять F = Кп, то
получится вторая часть теоремы.
Отметим, что можно было бы провести доказательство для Е
и Кп и заметить, что если /—изоморфизм Е на F, a g —
изоморфизм F на G, то g °/ есть изоморфизм £ на G.
Заключение. Теоремы 2 и 3 показывают, что для того
чтобы Е и F имели одинаковую размерность, необходимо и
достаточно, чтобы они были изоморфны. Или, еще: если тфп,
то Кт и Кп не изоморфны.
Замечание. Если Е одномерно, то его эндоморфизм имеет
вид х-±ах (гомотетия), так как х = ga, f(x) = h,f(а) и так как
f(a) е£, /(a) = Ал; отсюда /(*) = A,ga = Ах
§ 5. Прямая сумма. Факторпространство
Прямая сумма. Пусть Е — векторное пространство
размерности р над полем /С, (ak) — базис в Е. Для любого х е Е пишем
г р
х = 2 U<ik + 2 £*я*.
Элементы аь ..., аг образуют базис подпространства Ех
пространства £, а элементы аг+ь ..., ар —базис подпространства
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
89
Е2 из Е. Пространство Е\ имеет размерность г, Е2 имеет
размерность р — г. Выражение элемента х показывает, что любой
х^Е записывается в виде х = Х\ + x2i где Х\^Еи х2^Е2 и
очевидно, что эта запись единственна. На этом основании
говорят, что Е — прямая сумма Е\ и Е2 и пишут Е = Е\ -f £2.
Говорят также, что Е2 дополнительно к Е\ (подразумевается:
относительно £), что Е\ дополнительно к £2, что Е\ и £2
дополнительны. Объединение Е\ и £2 порождает £, а пересечение £i
и £2 состоит из единственного элемента 0.
Обратно, пусть Е\ — r-мерное подпространство
пространства Е. И пусть аь ..., аг — базис в Е\. По теореме о неполном
базисе можно добавить к нему /? — г таких элементов аг+ь ...
..., ар из £, что (ат) (т = 1, 2, ..., р) образуют базис
пространства Е.
С одной стороны, любое Х\^Е\ характеризуется в Е тем,
что его координаты gr+1, ..., gp равны нулю, а с другой
стороны, линейные комбинации векторов аг+ь ..., ар не
принадлежат Ей поскольку любая часть множества аь ,.., ар
образована линейно независимыми элементами.
Следовательно, подпространство £2, порожденное
элементами ar+i, ..., aPi которые образуют его базис, дополнительно
к Ех.
Наконец, покажем, что, обратно, если два подпространства Ех
и Е2 пространства Е таковы, что их объединение порождает Е,
а их пересечение сводится к нулю, то любой элемент х^Е
может быть записан в виде х = Х\-\- x2i Х\ е Еи х2 е Е2
единственным способом. В самом деле, если дополнить базис аь ..., ат
пространства Ех элементами аг+\, ..., ар так, чтобы аг+ц ...
..., ар образовывали базис пространства E2i то аи ...,
ар"будут составлять базис пространства £, поскольку Е\ и Е2 имеют
только один нулевой общий элемент. Рассматривая х\ как
элемент, принадлежащий Е (т. е. последние р — г координат равны
нулю), и х2 — как элемент, принадлежащий £, получаем х —
= Х\ + х2.
Факторпространство. Пусть теперь А— подпространство
пространства Е. Между двумя элементами х, х' из Е установим
следующее отношение Я:
х31х'<&х — х'<=А.
Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, а
стало быть, является отношением эквивалентности. Вместо
обозначения Е/Ж для фактормножества принято обозначение Е/А.
Можно установить на Е/А структуру векторного пространства
над /(. Так, двум элементам из Е/А, которые являются классами
эквивалентности по 91 элементов х е Е и х' ^ £, ставится в
соответствие класс элемента (х-\-х')> и т. д. Это допускает
90 ГЛ. "I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
следующее уточнение. Можно предположить, что базис
аи ..., Яр пространства Е таков, что аь ..., аг есть базис
пространства Л размерности г. Тогда, если
р р
то условие x~/gA, равносильно тому, что сумма
имеет вид
а значит, равносильно тому, что ^, = ¾ для /> = r'-f-l, ..., р.
Иными словами, все элементы х\ связанные с х отношением 52,
получаются из равенства
1 р
*'=2 Vhak+ И ЕЛ
&=1 г + 1
(где gr+p ..., £р фиксированы и где ^(£^г) меняются
произвольным образом в К). Это означает, что класс элемента х
р р
определяется однозначно заданием 2 \ьак и обратно, 2 %kak
г + 1 г+1
определяет некоторый класс. Но 2 g*a* есть элемент допол-
г+1
нительного к Л подпространства, и алгебраические законы на
этом дополнительном подпространстве, которое является
подпространством пространства £, определяют законы на Е/А и
превращают его в векторное пространство. Мы сформулируем
эти понятия и результаты следующим образом.
Если А есть подпространство пространства £, то Е/А
называется факторпространством пространства £ по Л; Е/А
изоморфно подпространству, дополнительному к А или
(эквивалентная формулировка)
dim Е/А = dim Е — dim Л.
Пример. Приведем геометрический пример, использующий
элементарное понятие свободного вектора. Пусть OU, OV и
OW — три вектора, образующие невырожденный триэдр. И пусть
Л — пространство, состоящее из свободных векторов плоскости
OUV. Дополнением является множество свободных векторов,
несомых OW\ и если через Е обозначено все пространство, то
Е/А образовано элементами, один из которых представляет со-
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
91
бой множество свободных векторов ОМ', обладающих тем
свойством, что если задан вектор ОМ, то свободный вектор М'М
принадлежит плоскости OUV или, выражаясь более элементарно
(и менее точно), что прямая М'М параллельна плоскости OUV.
Элемент из Е/А определяется взаимно однозначно вектором
0(1, определяемым пересечением носителя вектора 0W с
плоскостью, параллельной OUV. Пространство Е/А изоморфно
множеству векторов, несомых 0W. Пространство Е имеет
размерность 3, А имеет размерность 2, а Е/А — размерность 3 — 2 = 1.
§ 6. Ранг линейного отображения
В этом и в следующем параграфах мы изложим некоторые
свойства ранга линейного отображения. Имеются в виду все
еще конечномерные пространства. Ранг отображения f есть
размерность г подпространства f(E) пространства F. Если
р = dim Я, q = dim F, то, как мы видели (§ 3, теорема 3), г ^
^ р. Очевидно также, что г ^ q.
Пусть G есть векторное пространство над К и ф —
изоморфизм пространства F на G (взаимно однозначное линейное
отображение); фо/ есть линейное отображение пространства Е
в G и ф(f(E)) есть подпространство пространства G — образ
при отображении ф подпространства f(E)czF. По теореме 4,
§ 3 ф(f(E)) имеет ту же размерность, что и f(E).'Итак:
Если ф есть изоморфизм пространства F на другое
пространство, то ф о f имеет тот же ранг, что и f.
Точно так же, если ф есть изоморфизм пространства G на Е,
то f о <ф, линейное отображение G в F, имеет тот же ранг, что и f.
Эти результаты дополняют теорему 4 § 3.
Более того, если заметить, что р-мерное подпространство
р-мерного пространства Е тождественно Е, то можно
сформулировать следующий результат (ср. § 4, теорема 2, замечание).
Теорема 1. Если Е имеет конечную размерность р, то для
того чтобы линейное отображение f пространства Е в Е
(эндоморфизм) было взаимно однозначно, необходимо и достаточно,
чтобы f было отображением Е на Е, или (эквивалентное
условие) чтобы f имело ранг р.
Отметим, с одной стороны, что в силу замечания к теореме 2,
§ 4, если ранг отображения f равен р, т. е. если размерность
пространства f(E) равна размерности пространства Е, то f есть
изоморфизм Е в F (или на F), и обратно; с другой стороны,
если ранг отображения f равен размерности q пространства F,
то f есть отображение Е на F, и обратно.
Рассмотрим теперь f~l(0). Это есть множество тех х^Е, для
которых f(x)=O^F. Оно составляет подпространство
пространства Е. Пусть г — ранг отображения f, а р — размерность
92 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
пространства Е. Покажем, что размерность подпространства
f~l (0) равна р — г, т. е.
dim Г1 (0) = dim Е — dim f (Е).
Пусть (аъ) — базис в £,
Ч р.
х = 2 6яая, / (*) = 2 У (ая).
1 1
Так как f(£) имеет размерность г и порождается элементами
f(an), то максимальное число линейно независимых f(an)
равно г (раздел 1, § 2, теорема 2, замечание 1). Допустим, к
примеру, что f(ai), ..., f(ar) линейно независимы. Тогда
г
f {ar+h) = 2 Ат+й, nf (ап) (h = 1, 2, ..., р — г).
я=1
Имеем, следовательно,
f (х) = 2 у К) + Д WК+л)= 2 [б. + 2
/г=1 й=1 /г=1 L h=\
Пап)-
Стало быть, для того чтобы xef_1(0), т. е. чтобы f(x) =0gF,
необходимо и достаточно, чтобы
Отсюда
х = 2 lr+h - 2 Ч+Л| яая +Л+Й •
h=l L «=1 J
Но р — г элементов
br+h = ar+h—2 K+h,n^n (A = l, •••> Р — О
/г=1
из Е линейно независимы, ибо, предположив обратное, мы сразу
же получили бы, что (ап) не будут линейно независимы. Тем
самым доказан результат, который мы формулируем
следующим образом.
Теорема 2. dimf-^O) = dim£ — dimf (£).
Но факторпространство E/f~l(0) имеет размерность р —
— (р — г)—г (§ 5). Это составляет содержание следующей
важной теоремы.
Теорема 3. E/f~l(0) изоморфно f(Е).
2. ПИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
9)
§ 7. Линейные формы. Сопряженные пространства
Определение. Пусть Е — векторное пространство над t1")-
лем К; алгебраическим сопряженным, или rvocro сопряженным
к £, называется векторное пространство над К всех линейных
форм на Е (ср. § 2, а)).
Сопряженное к Е обозначается Е*.
Мы приведем несколько свойств пространства £"*, которые
относятся к Е, к линейным отображениям и к прямой сумме и
которые приведут нас к важной теореме о транспонированиях
линейных отображений. Мы предполагаем векторные
пространства конечномерными.
Теорема 1. Если Е — векторное пространство над К,
имеющее размерность р, то £* тоже имеет размерность р.
В самом деле, пусть (ат) —базис пространства Е\ если х е
^ £, то он единственным способом записывается в виде
р
X == ^ fem^m*
m=l
Пусть фт — линейная форма на £, определяемая как
отображение х->\т. Это отображение фт есть линейная форма в силу
того, что Фт (х + х') = 1т + \'щ = Фт (х) + фт (*'), фт (ах) = а%т =
= Щт{х).
Если ф есть произвольная линейная форма на £, т. е.
является элементом из £*, то
р
<p(x) = 2 5тф(^т);
следовательно, ф определяется значениями ат = ф(^т),
которые она принимает на базисе пространства Е. А поскольку К
есть поле, т. е. коммутативно, то ф(х) = 2 ат^т(х) для любого
хе £, и значит,
ф = 2 «тфт-
1
Но в £* формы фт линейно независимы, ибо если бы
р
2 ^тФт = 0 ^ £*,
где не все Хт^К равны ОеК, то мы имели бы для всех ^е
2 А'тФт W = 0e /С,
т—1
94
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
т. е. 2 ^mlm = 0- Но это невозможно для любого х, в силу того,
что, если, например, %v ф О, то достаточно взять 11==52 = ...
... = gp_i = 0<=zKnlP^0ezK.
р
Итак, любая форма представима в виде ф= S <*тФт» и фт
т=1
линейно независимы. Это означает, что (qpm) есть базис
пространства £*, и стало быть Е* имеет размерность р.
Пусть теперь Е{ и Е2 — два взаимно дополнительных
подпространства пространства £, т. е. Е = Е1 + Е2. Всякая
линейная форма на Е{ может рассматриваться *) как линейная форма
на Е. Иными словами, Е\аЕ*. Точно так же ElciE*, и
можно Е\ и Е\ рассматривать как подпространства
пространства Е*. Если dim Е\ = г, то dim Е2 — р — г, dim Е\ = г, dim El =
= р — г. Если qpj е Е*{ и ф2^£* рассматриваются как элементы
из £*, то равенство ф1 = ф2 возможно лишь в случае qpj = ф2 = 0.
Следовательно, Е\ и £2 взаимно дополнительны. Итак,
£* = £! + £S.
Наконец, покажем, что если Е = Ех-\- Е2, то множество всех
тех фе£*, для которых cp(*i) = 0 при любом Х\^Е\, может
быть отождествлено с £*> сопряженным к дополнению
подпространства Е\. В самом деле, фб£* определяется как
р
1
где lm — координаты элемента х в базисе (ат) пространства £,
причем а\, ..., аг — базис пространства Е\, a ar+i, ...,р— базис
пространства Е2. По предположению, ф(#1) = 0е /С при любом
*! е £ь Следовательно, рассматривая Х\ как принадлежащий
Е\ (т. е. координаты gr+i, ..., gp равны нулю), мы должны
получить
г
каковы бы ни были £т, что влечет Я,т = 0 (т = 1, 2, ,,Ф| г).
Значит, ф определяется как
р
г+1
*) А именно, если f е £J( то можно определить линейную форму f на £,
полагая f(jc) — f(^i) для любого х = хг + х2, ^еЕь #2 ^ £2.
Отображение f-»*f пространства Я} в Е инъективно и позволяет отождествить Е±
с подпространством £*. Это определение зависит от выбора пространства £г<
дополнительного к £ь
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
95
Обратно, такая форма принимает значение 0 для x^Eh Таким
образом, все ф получаются заданием кт всех возможных
значений. Так как мы получаем все элементы из Е*2, задавая \лт
в выражении
р
г + 1
все возможные значения, то отсюда заключаем, что это
множество форм ф может быть отождествлено с Е\.
§ 8. Транспонирование линейного отображения
Чтобы сделать последующие определения более
оправданными, мы предпошлем им рассмотрение некоторых деталей.
Пусть / — линейное отображение пространства Е в F. В
принятых ранее обозначениях, имеем
/(*)=£ Ы(ак).
Если bi (I = 1,2, ..., q) есть базис в F, a r\i — координаты
элемента /(я), то
я
f (<*k) = 2 ЩкЬи
откуда
р
Л/= Sa/лбл (/=1,2, ..., q). (1)
Легко видеть, что прямоугольная таблица из а^, представляющая
собой матрицу из q строк и р столбцов, определяет посредством
предыдущих формул отображение /; компоненты а^, ct2ft, ...
..., aqk элемента f(au) определяют k-й вектор-столбец, а
максимальное число линейно независимых вектор-столбцов в
точности равно рангу отображения f, т. е. размерности
пространства /(£). Из этой матрицы получаем транспонированную
матрицу заменой в предыдущей таблице am строк на столбцы; это
будет матрица из р строк и q столбцов, которая определяет
линейное отображение ^-мерного пространства в р-мерное. Можно
было бы, следовательно, пытаться рассматривать это последнее
отображение как отображение пространства F в Е. Далее
объясняется, почему его рассматривают как отобраоюение
пространства F* в £*. Мы определили композицию линейных
отображений, частный случай которой представляет собой композиция
линейного отображения f пространства Е в F на линейную фор*
му ф на F (т. е. линейное отображение пространства F в поле
Ю- Исследуем этот частный случай.
96
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Отображение #-*(p(f(*)) определяет линейную форму на £,
если феР, то фо/е£*. Но если обозначить через г\г
(1=1, 2, ..., q) координаты элемента у е F относительно
базиса (bi) в F, а через |ft (/г = 1, 2, ..., /?) — координаты
элемента х ^Е относительно базиса (аь) в £, то линейные формы
ф/ на F, определяемые как y—*r\i, и линейные формы tyk на £,
определяемые как x-+lk* определяют базисы пространств F*
и £*, и для любого феР
я
Ф=2ф(&/)ф/,
/==1
а для любого г|> е £*
г|)=2^Ы%>
&=i
т. е.
«7 Р
ф=3^» ¢ = 2^^-
/=1 ^=1
Но фо^ есть элемент из £*, определяемый как х->ф(f(x)), и
ф (f (*)) = 2 s* Г 2 */*ф (**)1 = 21 [ 2 <ад (&/)1 Е*-
л=1 L/=i J ь=1 L/=i J
Следовательно,
P f Q \ P
ф ° f = S 2 ф (&/)°/* ^ = 2 »****»
где
<7
H* = 2 a/*^- (2)
/=i
Формулы (2) выводятся из (1), если рассмотреть именно
транспонированную матрицу. Поэтому отображение ф—>-фо/
пространства F* в Е* будет называться транспонированным к f.
Определение. Пусть Е и F — два векторных пространства
над /С, £* и F* — их сопряженные и f — линейное отображение
пространства Е в F. Транспонированным к f называется
отображение пространства Т7* в £*, которое каждой линейной фор*
ме ф на F ставит в соответствие линейную форму ф°/ на Е.
Транспонированное к f отображение обозначается */.
Из этого определения вытекает, что ff определяется
тождеством 7(ф) =Ф°/ при любом феР. Но если обозначить
через '/ЧфМ) значение в К отображения *f, то из предыдущего
тождества и из определения равенства двух линейных форм
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
97
вытекает, что 7 определяется также посредством тождества
*/(ф(*)) = Ф(f(x)) пРи любых феР, xg£. Первое тождество
записывается как равенство между элементами из Е*, а
второе— как равенство между элементами из /С.
Доказательство следующих свойств не представляет труда.
7 есть линейное отображение F* в £*.
*(f + £) = *f + *ё> каковы бы ни были линейные
отображения f и g пространства Е в F.
* (af) = alf для любого f и любого а е /С.
*(8 °f) = 7 °*£> гДе Я — линейное отображение F в G.
Далее следует важный результат, относящийся к f и к 7-
Теорема. Линейное отображение f пространства Е в F,
где Я w /7 — конечномерны, и его транспонированное 7 имеют
одинаковый ранг.
Положим для удобства записи g = *f и рассмотрим фактор-
пространство F*/g~l(0) пространства F* по подпространству
g~*(0). Согласно теореме 3, § 6 F^fg-1^) изоморфно g(F*) =
= 7(/7*), или, иными словами, ранг отображения 7 является
размерностью факторпространства F*/g~l(0). Но (§ 5)
dim F*/g~l (0) = dim F* - dim g"1 (0) = q — dim g"1 (0)
(§ 7, теорема 1).
С другой стороны, пусть ЗГ — дополнение к f(E)
относительно F:F = f(E) +ST. Имеем F* = (f(£))* +5Г*. -Предположим,
что f* имеет ранг г и рассмотрим £-1(0), которое представляет
собой множество тех фЕ?*, для которых §(ф)=0, т. е.
7(ф)=0 (в Я*). Но множество тех феР, для которых
'/(ф)=0е£*, определяется также равенством 7(фМ)=0
(е/() для любых х ^ Еу согласно тождеству, выведенному
при определении 7- Но так как 7(фМ) = ф(/(*))> т0 э™ ф
таковы, что при любых ig£ имеем y{f(x)) =0. Когда х
меняется в Я, y = f(x) меняется на f{E); поэтому для любого
y^f(E) имеем ф(у) = 0. Из § 7 вытекает, что множество всех
этих фЕ?* является сопряженным к дополнению ST
пространства f(E), т. е. изоморфно !F*. Но F* имеет размерность q,
(f(E))* имеет размерность г, и в силу равенства F* = (f(E))* +
-j-^"* имеем
dim &* = q — г = dim g~l (0).
Так как
dim F*/g~l (0) = q- dim g~l (0) = q - (q - r) = r,
то
d\mf(F*) = r.
Замечание. Отметим, что доказательство этого
результата не требовало обращения к теории матриц и определителей.
98
ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 9. Линейные уравнения
В элементарных курсах изучают так называемые линейные
уравнения. Когда говорят, например: «рассмотрим линейное
уравнение ах — Ь» или «систему линейных уравнений ах + by =
= с, arx + b'y = с'» или, еще, «линейное дифференциальное
уравнение ау' + by = /(#)», то эти фразы и эта запись
означают, что хотят, насколько это возможно, реализовать
равенство, рассматривая как известные некоторые величины и как
неизвестные остальные. Зн*ак = имеет совершенно не тот смысл,
который ему придавался до сих пор; его смысл является
условным, а его использование объясняется невозможностью
бесконечно увеличивать количество символов.
С другой стороны, нетрудно заметить сходство между
основными свойствами уравнений, приведенных в качестве примеров.
Так, х~*ах определяет линейное отображение R в /?; если паре
(х, у) е R2 ставится в соответствие пара (х\ yr) е R2,
определяемая равенствами xr = ах + by, yf= a'x + b'y, то тем самым
определяется линейное отображение f плоскости R2 в R2, и
система линейных уравнений ах + by = с, а'х + bry = &
записывается в виде одного уравнения f(X)=C, где Х=(х,у) и
С = (с, с'). Напомним еще одно свойство, которое часто
формулируется следующим образом: если известно некоторое решение
Уо уравнения ayr + by = f(x), то все решения получаются
прибавлением к уо решений однородного уравнения ayr + by = 0;
этот результат формулируется также и для первых двух
примеров.
Цель настоящего параграфа — привести в общем виде
основные свойства уравнений, называемых линейными, и указать
теоремы существования, не связанные с «эффективным
вычислением» решений.
1) Пусть Е и F — два векторных пространства над одним и
тем же полем /С, f — линейное отображение £ в F,
рассматриваемое как заданное, и уо — элемент из F, рассматриваемый как
заданный. Уравнение
f(*) = #o
называется линейным уравнением, х называется неизвестным,
f(x)—левой частью уравнения, а у0 — правой частью. Если
у0 = 0 е f, уравнение f(x) = 0 называется однородным
уравнением (соответствующим уравнению f(x)-=yo). Если существует
такое х<=Е, что выполняется f(x) = Уо, то х называется
решением. Если уравнение не имеет решения, то говорят, что
уравнение несовместно.
Когда F = К, т. е. когда уо есть скаляр, линейное уравнение
называется скалярным; это слово часто опускается.
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
99
Мы будем рассматривать также системы линейных
скалярных уравнений (в конечном числе), т. е. множество уравнений
fi(x) = ai (/==1,2, ..., q),
где fi — линейные формы на Е и щ е К. Предыдущие понятия
распространяются сами собой на системы.
Два уравнения или две системы или одно уравнение и одна
система называются эквивалентными (равносильными), если
они имеют одинаковые решения (очевидно, пространство Е
должно быть тем же самым для рассматриваемых систем или
уравнений).
Всякая система линейных скалярных уравнений
эквивалентна одному линейному уравнению.
В самом деле, рассмотрим систему fi(x) = щ (/= 1, 2, ...
..., q) и отображение x-+f(x) пространства Е в Kq:
Легко видеть, что в силу определения внутреннего и внешнего
законов на Кя (см. гл. II, раздел 4, § 3) и линейного характера
форм fm отображение f есть линейное отображение Е в Kq.
Положим
у0 = (аи <х2, ..., aq)t=K\ f(x) = (h(x), ..., fq{x)).
Тогда, по определению равенства двух элементов из Кя, система
эквивалентна уравнению f(x) = уо.
2) Рассмотрим однородное уравнение f(x) = 0. Теоретически
его решение просто: множество его решений есть множество тех
х^Е, образом которых в F при отображении f является OeF.
Это множество было обозначено через f_I(0); оно составляет
векторное подпространство пространства Е\ элемент 0е£
всегда есть решение; это решение называется тривиальным.
Предложение 1. Однородное линейное уравнение f(x) =
= 0 имеет в качестве решений элементы подпространства f~l(0),
которое всегда непусто.
Если Е имеет размерность /?, a f имеет ранг г (^р и ^q),
то f~] (0) имеет размерность р — г (§7, теорема 2). Можно,
следовательно, сказать, что линейное уравнение f(x)=0 имеет
в качестве решения элементы пространства размерности р — г.
Допустим теперь, что известно решение х0 уравнения f(x) = у0.
Значит, f(x0)=j/0, и уравнение записывается в виде f(x) =
= /(.½). Если х — решение, то f(x — х0) =0, поскольку f
линейно. Следовательно, х — ^ef"1 (0), что означает, что
х = х0 + Х\ для любого Xi е f"1 (0). Отсюда:
Предложение 2. Если известно некоторое решение х0
линейного уравнения f{x)—yo, то все решения получаются
100
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
прибавлением к х0 всех решений Xi ассоциированного
однородного уравнения f(x) = 0.
Важной является проблема единственности решения.
Найдем прежде всего, при каких условиях линейное уравнение
Т(х) — Уо имеет не более одного решения. Если х0 и
х'0—решения, то f(xQ) = f(x'Q), а значит, f(x0 — х'0) = 0 и xQ—x'Q^f~l (0).
Если х0 ф х'0> то х0 — x'Q ^=0g£, и f~~l(0) содержит элемент,
отличный от 0. Следовательно, если f{x) = y0 имеет два
решения, то /" (0) содержит элемент, отличный от 0, и обратно.
Логическое отрицание приводит к следующему результату.
Предложение 3. Для того чтобы линейное уравнение
f(x) = уо имело не более одного решения, необходимо и
достаточно, чтобы f'1 (0) = 0.
Замечание. Если /_1 (0) = 0, то каково бы ни было
y^F, уравнение f(x) —у имеет не более одного решения.
В 1) мы ввели линейные формы на Е. Следущим
предложением вводится транспонированное отображение к f, а в 3) мы
дадим этому элементарную интерпретацию.
Предложение 4. Если f есть линейное отображение Е в F
и g = *f — его транспонированное, то для того чтобы уравнение
f(x) = уо имело по крайней мере одно решение, необходимо и
достаточно, чтобы ф(#0) =0, каково бы ни было фЕ^(0).
Доказательство этого предложения проведем по типу
предыдущих. Включение фе^_1(0) означает, что '[(ф) =0е£*,
т. е. *f((p(*)) =0^/( при любом х^Е. Но, по определению *f,
'/ЧфМ) =4>(f(x)) Для любого xg£. Следовательно, ф(/(л:)) =
= 0, каково бы ни было xg£, или ф(у) = 0, каково бы ни
было y^f(E). Обратно, если при любом y^f(E) элемент
фе/7* обладает тем свойством, что у(у) = 0, то фе£_1(0).В
самом деле, равенство ф(у) = 0 при любом y^f(E) эквивалентно
равенству ф(/Ч#)) = 0 при любом х е Е, а значит, *1(ц{х)) =
= 0 при любом х е Е, и стало быть, 7(ф) = 0> что означает
Итак, имеет место логическая эквивалентность:
фб g~l (0)#Фф (у) = 0, каково бы ни было y^f(E).
Этот результат влечет, что если yo^f(E), то для любого
фЕ§_1(0) имеем ф(#о) =0, т. е.
#0s f (£) =ф ф Q/0) = 0, каково бы ни было фЕ?" (0).
Мы докажем, что, обратно, если yo^F таково, что ф(#о) =
= 0 для любого фЕ§_1(0), то yo^f(E), или, еще, если yo^F
таково, что всякая форма ф, обращающаяся в нуль на f(E),
обращается в нуль в у0, то yo^f(E). Докажем более общий
результат. Пусть Ft— подпространство пространства F,
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 101
bu ...» bg — базис пространства F, bu ..., br — базис
подпространства Fit Рассмотрим множество Ф всех линейных форм ф
на /\ принимающих значение нуль при любом у е Fit Мы
видели, что каждая форма ф£Ф может быть представлена в виде
я
у -* 2 л/*/,
г + 1
где ч\1 — координаты элемента у в базисе (&г). Если ф
произвольно, т. е. если произвольны Xi (/ = r+l, ..., q), и ф(у) =*
s= 0 для у е F, то
2л^ = о
г + 1
для любых ^, а взяв Хг+\>ф0, hr+2 = • •. = hq = 0, получаем
^r+1 = 0, и т. д., и значит, у е Fi.
Тем самым доказано, что
y0^f(£)Ф^ф(у0) = 0> каково бы ни было фЕ^"'(0).
Отсюда вытекает предложение 4, поскольку для того, чтобы
f(x) = уо имело по крайней мере одно решение, необходимо и
достаточно, чтобы y0^f(E). Итак, это предложение может быть
также сформулировано следующим образом.
Предложение 4. Для того чтобы y^f(E), необходимо
и достаточно, чтобы ц(у) = 0 при любом фе £-*(()), где g —
транспонированное к линейному отображению f.
3) Этот параграф мы закончим изложением некоторых
свойств систем скалярных линейных уравнений, при условии,
что Е имеет конечную размерность р. Пусть
fi(x) = at (/=1,2, ..., q).
Пусть (ak) — базис в Е (6 = 1,2, ..., р). Если ie£, то
р
х= 2 Ык-
Если ft — линейная форма на Е> то
р
fi(x)= SWi(a*).
Положим ft(ak) = &ik- Здесь р//г — элементы из /(. Заданная
система записывается:
р
2 $iklk = ai\ (/=1,2, ..., q)\
102
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
в таком виде она называется системой q линейных уравнений с р
неизвестными (скалярами). В этой записи участвуют лишь
элементы поля К.
Пусть f — линейное отображение Е в /CVимеющее ВИД
x->f(*) = (M*)» •••> М*))-
Ранг отображения f, т. е. размерность пространства f(E) czKq,
называется рангом системы. Напомним, что если г — ранг, то
г ^. р и г < q. f(ah) есть элемент f\(ak), ..., Mflft) из ^, т- е-
элемент (Ри, Ргл, ..., рс/л)- Если записать в развернутом виде
систему в форме прямоугольника
( PuSi + P12S2 +...+ Piplp = а1э
[ Pflll + Р^ёг + • . • + P<7/?£p = V
то элементы Да*) называются вектор-столбцами. Эти р
элементов из Kq порождают f(E). Можно также сформулировать: ранг
системы равен размерности пространства, порожденного вектор-
столбцами, или, иначе: это есть максимальное число линейно
независимых вектор-столбцов (ср. глава III, § 2, замечание).
Наконец, мы можем интерпретировать этот ранг и
предыдущее предложение 4, вводя формы //, а значит, и сопряженное
к Е пространство £*. Пусть 7 — транспонированное к f,
определенному как
f(x) = (f](x), ..., /,(*))•
Отображения / и *f имеют одинаковый ранг г, т. е. если
обозначить Kq через F, то lf(F*) будет иметь размерность г. Покажем,
что ff(F*) порождается формами ft (I = 1, 2, ..., q)t из чего
будет следовать, что максимальное число линейно независимых
форм fi равно г. Если в качестве базиса пространства Kq = F
взять
8,==(1,0, ..., 0), ..., 8, = (0,0, ..., 0,1)
то для любого X
f(x)=2fi(x)*i.
Отсюда, полагая Я/ = ф(8/), где феГ, получаем
<p(f(*))=iU/M*).
Следовательно, согласно равенству *f (ф (х)) = ф (/ (х)), опре
деляющему '/(ф)> имеем
7(<p) = 2Uik
/=1
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
10b
Обратно, 2 ^ifi может рассматриваться как значение отображе-
ния 7 для формы фЕГ, определяемой равенством ф(е/) =
= Я/ (/ = 1,2, ..., д), так как
я я I q \
Цф(в/)^W= Еф(МФ/) = ф S f* (*) e/ =ф(/(*)),
/=1 /=1 V/ei /
каково бы ни было х^Е. Итак:
Ранг системы fi(x) = а/ (/= 1, 2, ..., д) есть
максимальное число линейно независимых линейных форм ft.
Пусть у0 = (аь . •., aq) ^ Kq = F. Если вернуться к
объяснениям в начале § 8, то легко видеть, что всякая форма
фе?* определяется как сумма
q
i=i
т. е. посредством h при фиксированных ф/ и что Ф°/ = 7(ф)
определяется как сумма
q
м* = 2 Р/Л
/=1
(й=1, 2, ..., р). Если фЕ?_1(0) (обозначени-я из
предыдущего предложения 4), то 7(ф) = 0, и значит, все р,&, которые
определяют 7(ф)> равны нулю, откуда следует, что А,*,
определяющие ф, удовлетворяют системе
SP/Л-О (ft =1,2, ..., р).
i=\
Это есть однородная система, транспонированная к
рассматриваемой:
2Р/л6а = <*/ (/=1,2, ..., 9).
&=i
Пусть теперь (А,ь ..., Ад) — решение этой однородной
транспонированной системы. Соответствующая форма ф определяется
как
q
/=i
все еще в обозначениях § 8. Следовательно, для у компоненты
4i удовлетворяют равенству
q
Ф (У) = 2 Ml/-
/=1
104
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Таким образом, запись равенства ф(#о) =0 для любого ср
сводится к записи
я
2 Я/а/ == 0,
'=1
где (Хи • ••> Xq)—любое решение транспонированной
однородной системы. Говорят, что элемент (oti, ..., aq) ортогонален
(Хи • ••> Xq). Можно, следовательно, сформулировать:
Для того чтобы линейная система
2P/*g* = a/ (/=1,2, ..., q)
fe=i
имела по крайней мере одно решение^ необходимо и достаточно,
чтобы (аь ..., ая) было ортогонально ко всем решениям
однородной транспонированной системы
SP/A = 0 (* = 1,2, ..., р).
РАЗДЕЛ 3
МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ
§ 1. Определение прямоугольных матриц
Пусть К есть поле, Е— векторное пространство над К
размерности р, F — векторное пространство над К размерности q
и / — линейное отображение Е в F. Пусть, далее, {ah) {k = 1,
2, ..., р) и (bi) (/== 1, 2, ..., q) —соответственно базисы в Е
и в F. Если х е £, то
р
х = 2 ^¾
и, если у ^ F, то
у= 2 лА-
Если у есть образ элемента а; при отображении /, то
f(x)=tlkf(ak).
Пусть
я
f(a*)= 2 <*/*&/» где а/л е/С (& = 1,2, ..., р).
Множество amy где 1 ^ k ^ /?, 1 ^ / ^ qy называется матрицей
линейного отображения f относительно базисов (ak)> (bi). Она
3. МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ
105
записывается также в виде прямоугольной таблицы
[«11
U/i
1а*1
«12 •
а/2 ..
V •
• Щк •
. Щк .
•• %к •
•• «IP ]
• а/р
.. а,Р
Множество (aift, ..., адь) называется также й-м столбцом,
а множество (a/1? ..., а[р) называется 1-й строкой. В этом
случае говорят о матрице из q строк и р столбцов над полем К.
Важно отметить, что индексы /, k обозначают порядковые
номера щи во множестве строк и столбцов. Так, a/л есть
элемент, стоящий на пересечении 1-й строки и й-го столбца.
Множество индексов / называется множеством индексов строки, а
множество индексов k — множеством индексов столбца.
Обозначение. Приведем обоснования для принятых
нами обозначений, которых мы будем придерживаться всюду,
где это возможно. С одной стороны, мы пользуемся записью
в строку, а с другой стороны, из двух слов, которые должны
стоять в конце выражения, мы, как правило, вторым помещаем
наиболее длинное. И еще, — говорят о матрице из стольких-то
строк и стольких-то столбцов. Но в то же время матрица
связана с отображением пространства, размерность которого равна
числу столбцов, в пространство, размерность которого равна
числу строк; для лучшего запоминания мы индекс строки
обозначаем буквой I (ligne), а индекс столбца — буквой k (colonne);
тем самым соблюдается порядок слов в выражении: матрица из
стольких-то строк и стольких-то столбцов. Но для лучшего
запоминания того, что пространство Е переменных относится к
столбцам (и значит, произносится первым), а Е —- к строкам
(и значит, появляется вторым), мы будем обозначать число
столбцов буквой (скажем, р), предшествующей в алфавите
букве (скажем, q), которой мы будем обозначать число строк,
что согласуется и с тем, что k предшествует в алфавите /. Если
Р и q достаточно невелики, можно избежать индексного
обозначения.
Линейные отображения, определяемые
посредством матрицы. По многим признакам можно
заметить, что знание f(au) определяет f. Пусть имеются матрица
«№ (/ = 1, 2, ..., q, k = 1, 2, ..., р) из q строк и р столбцов,
Р-мерное пространство Е над К с базисом (ak) и ^/-мерное
пространство F с базисом (bi). Соответствие, которое а& относит
y,alkbt (* = 1,2, ...,/7),
106
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Q
Р
2
определяет f:
ffe)=2aA
Тогда для
имеем
</==/(*)== 23(2 g*a/jkke=F.
Следовательно, выражение «матрица am определяет f» имеет
смысл, если выбрано р-мерное пространство £, ^-мерное
пространство F и базисы.
Точно так же, когда мы будем определять равенство, сумму,
произведение матриц, пользуясь равенством, суммой,
композицией линейных отображений, мы должны будем указать, что
определения не зависят от £, F и от выбора базиса, если
размерности выбраны надлежащим образом.
§ 2. Алгебраические операции с матрицами
Равенство. Пусть А и В —- соответственно матрицы ат>
$т над одним и тем же полем /С, имеющие одинаковое число q
строк и одинаковое число р столбцов, и пусть f и g—
определяемые этими матрицами линейные отображения р-мерного
пространства Е с базисом (аи) в g-мерное пространство F с базисом
(bi). Будем говорить, что А = В, если для любого х^Е в F
выполняется равенство f(x) = g(x), т. е. если f = g.
Для того чтобы это было так, необходимо и достаточно,
чтобы f(ak) = g(ah) (k = 1, 2, ..., р), а значит, чтобы
Q Q
S alkbi = 2 fiikbi (6 = 1,2, ..., р).
/=i /=i
А так как (&/) есть базис пространства /\ то это влечет, что
aih = (3/¾ при любых /, k. Это свойство и это определение не
зависят ни от Еу ни от F. Можно было бы принять в качестве
определения следующее: am = Pza для любого k и любого / и
интерпретировать это определение на языке линейных
отображений.
Сумма. Суммой матриц А и В называется и обозначается
А + В матрица, определяемая отображением f Л- g. Элемент
матрицы А + В, стоящий на пересечении 1-й строки и й-го
столбца, имеет вид am + $m-
3. МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ Ю7
Это определение предполагает, что А и В имеют поровну
строк и поровну столбцов. Сумма не зависит ни от £, ни от F.
Операция, которая ставит в соответствие матрицам А и В
их сумму А -\- В, называется сложением. Сложение, очевидно,
ассоциативно и коммутативно.
Нулевая матрица, обозначаемая символом 0, есть матрица,
которая элементу х^Е ставит в соответствие OgF (линейное
отображение f = 0). Все ее элементы равны О е К. Имеем
/1 + 0 = 0 + /4-/4 для любой матрицы А.
Наконец, матрица (—А) определяется отображением ( —f)
и ее элементами являются (—а/л) (симметричные к аш
относительно сложения в /(). Имеем А + {—А) = 0.
Умножение на скаляр. Матрица АЛ, где X е К,
определяется посредством линейного отображения Xf пространства Е
в F. Ее элементами являются (Хам). Ясно, что
Х(А + В) = ХА + ХВ, (X + |х) А = ХА + \хА, X (\хА) = (Х[х) А
каковы бы ни были X, \х^ К и А и В (имеющие поровну строк
и поровну столбцов).
Если е (или 1) есть нейтральный элемент относительно
умножения в /С, то еЛ == Л.
Из всех предыдущих определений вытекает, что если принять
эти законы, то множество матриц из q строк и р столбцов будет
составлять векторное пространство над /(.
Произведение двух матриц. Пусть А — матрица из q
строк и р столбцов, В — матрица из г строк и q столбцов над /С,
£, F, G — три векторных пространства размерностей р, q9 г над
/(, (ah) (k = 1, 2, ..., р) - базис в £, (&„) (/' = 1, 2, ..., q) —
базис в F, (ci) (/=1, 2, ..., г) — базис в G, а/ъ — элементы
матрицы Л, (3/г— элементы матрицы В, f и g" — отображения Я
в F и F в G, определяемые соответственно матрицами А и В.
И пусть h = g of.
Вычислим компоненты h(ak) в базисе (с/). Имеем
Отсюда получаем
h (а,) - 2 <x,,ft (| р/|#в|) = 2 (i a^,) C/ = ij (Д pH,arft] C|.
Следовательно, компоненты h(ak) имеют вид
^53¾¾¾ (/= 1,2, ..., г, /5=1,2, ..., p)
108
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
и определяют матрицу из г строк и р столбцов, обозначаемую
ВА и называемую произведением матрицы А на матрицу В
слева (или левым произведением). Определение матрицы ВА не
зависит ни от Е, ни от F в силу выражения для у^.
Отметим, что:
1) произведение В А определено лишь в том случае, когда
число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А\
2) произведение АВ может не иметь смысла, точно так же
как может не иметь смысла g" of, когда имеет смысл fog.
Выражение для ут означает, что для получения элемента
матрицы ВА, стоящего на пересечении 1-й строки и fe-ro столбца
этой матрицы, надо просуммировать произведения элементов
&-го столбца матрицы А на элементы /-й строки матрицы В,
сохраняя порядок строк матрицы А и столбцов матрицы В.
Говорят, что произведено умножение столбцов на строки слева или
строк на столбцы справа.
Умножение матриц, когда оно имеет смысл, ассоциативно,
дистрибутивно справа и слева относительно сложения:
А(ВС) = (АВ)С,
А(В + С) = АВ + АС,
(В + С)А = ВА + СА.
Пример. Л = (ару), 5=1 Р' ). Имеем АВ = (ста' + рр' +
+ YY')—матрица из одной строки и одного столбца. Здесь
В А тоже определена: это есть матрица из трех строк и трех
столбцов:
(а'а а'Р а'у \
Р'а Р'Р P'y .
у'а y'P YY '
Истолкуем эти произведения при помощи линейных
отображений. Возьмем в качестве примера поле К = R действительных
чисел. Элементу А (х, у, z) е R3 соответствует х' е R вида
x' = ax + $y + yz. (1)
Элементу х/ е R соответствует в R3 элемент (X, У, Z):
Х = а'х'9 K = PV, Z = y'x'. (2)
Если заменить в (2) элемент х' его выражением (1), то
X = a'cu + a'fiy + a'yz,
У = Р'а* + р'р# + р'уг,
Z = y'ax + y'$y + y'yz.
3. МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ
109
Отсюда получаем В А. Если же в (1) заменить х, у, z на
значения, получаемые в (2), то
Отсюда получаем АВ. В этих примерах в качестве базиса в /?3
неявно подразумевается (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
§ 3. Представление линейного отображения посредством
произведения матриц
Обозначения те же, что и в первом параграфе. Компоненты
тц (/= 1, 2, ..., q) вектора f(x) в базисе (bi) имеют вид
4i:
2 ЩкЪк-
k*=\
(Напомним, что К есть поле, что позволяет писать ашЪ = §аод.)
Рассмотрим матрицу из р строк и одного столбца:
Х =
h
Умножение слева на матрицу А из q строк и р столбцов,
определенную посредством а^, дает матрицу У из q строк и
одного столбца:
у = АХ =
2 aqklk
Таким образом, Y составлена из компонент, в базисе (6/),
образа f(x) элемента х^Е, точно так же как X состоит из
компонент элемента х в базисе (ah). Поэтому, когда нет опасности
путаницы, можно X и х рассматривать как идентичные и вместо
У = f(x) писать у = Ах.
§ 4. Квадратные матрицы
Когда множество индексов столбцов совпадает с множеством
индексов строк, матрица называется квадратной матрицей.
Общее число р строк и столбцов называется порядком матрицы.
Пусть А — квадратная матрица порядка р, а Е — векторное
пространство размерности р над одним и тем же полем К. Если,
no
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
в условиях общего определения, взять F = £, то А будет
определять эндоморфизм пространства Е (линейное отображение Е
в Е). Если не оговаривается противное, в Е, как в пространстве
переменного и как в пространстве образов, выбирается один и
тот же базис (аи).
Так, если в качестве базиса в R3 взять (1,0,0), (0,1,0),
(0,0, 1), то квадратная матрица
а р у \
а р' у'
а" р" у"'
определяет эндоморфизм прос?ранства R3: пусть jc = (g, rj, £),
*' = (&', л', £') и
g' = ag + рЛ + YC. V == a'g + р'Л + Y'£, Г = a"g + р"т] + Y"£.
Координаты элемента x' рассматриваются относительно того
же базиса, что и координаты элемента х.
Элементы аии (k = 1, 2, ..., р) квадратной матрицы
составляют главную диагональ.
Пусть / — квадратная матрица порядка р> элементы 6/¾
(/, k = 1, ..., р) которой определяются равенствами Ьщ = 0,
если 1фк, б/ж = е (символы Кронекера), где е— нейтральный
элемент относительно умножения в К.
Если А и В — две квадратные матрицы одного порядка /?,
то оба произведения АВ и ВА имеют смысл. Если В = /, то,
очевидно, по правилам умножения,
А1 = 1А = А.
Следовательно, / есть нейтральный элемент относительно
умножения квадратных матриц порядка р. (Когда хотят
уточнить, пишут 1Р вместо /.) Матрица / определяет тождественное
отображение х—>х пространства Е в Е.
Итак, принимая определенные выше законы сложения и
умножения, можно утверждать следующее.
Множество квадратных матриц заданного порядка есть
кольцо.
Отметим, что даже если А и В — квадратные матрицы одного
порядка, АВ и ВА не обязательно равны, хотя они одновременно
определены. Так, для
и;:>. чу.)
имеем
«-Г*Г). "-(IT)-
3. МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ
111
Обратимые матрицы. Если А есть квадратная матрица
порядка р и если в кольце квадратных матриц порядка р
матрица А имеет симметричную матрицу Л-1 (т. е. АА~Х = A~lA = /),
то А называется обратимой матрицей. Если А и В—две
обратимые матрицы порядка /?, то по теореме 2, § 5, раздел 1,
глава II, АВ обратима и (AB)~l = В~1А~К
Пусть А — обратимая квадратная матрица порядка р и
пусть Е — пространство размерности р. Отображение х—>Ах
есть отображение пространства Е на Е.
В самом деле, пусть / — отображение х—>Ах. Достаточно
доказать, что f(E) имеет размерность р. Пусть ф — линейное
отображение, определяемое матрицей Л-1. Тогда фо/ есть
тождественное отображение, поскольку A~lA = /, и значит,
ф(/(£)) = Е. Но если р/ — размерность пространства f(E), то
размерность пространства ф(f(E)) будет ^// и должна быть
равна р. А так как р' ^ р, то /?' = р.
Далее (см. раздел 2, § 4, теорема 2, замечание) очевидно,
что / взаимно однозначно, и значит, ф = /-1. Обратно, если f —
линейное взаимно однозначное отображение пространства Е на
Е, то матрица отображения /, отнесенная к любому базису,
обратима. Отсюда получаем теорему:
Теорема. Если Е — конечномерное векторное пространство,
то для того чтобы линейное отображение f пространства Е в Е
было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы
матрица отображения f была обратимой.
§ 5. Ранг матрицы. Транспонированная матрица
Пусть Е и F — два векторных пространства размерности
соответственно р и q, над одним и тем же полем /С, / есть линейное
отображение Е в F, имеющее ранг г (размерность
подпространства f(E) пространства F). Мы видели (раздел 2, § 9, 3)), что
если (ak)—базис пространства Е, то г является также
максимальным числом линейно независимых элементов среди р
элементов f{ab) пространства F. Следовательно, ранг г не зависит
от выбора базиса (ац) в Е. Оно не зависит и от выбора базиса
(М в F.
С другой стороны, пусть Е'— другое пространство над тем
же полем и той же размерности р, что и Еу и пусть (а^) — базис
в £'; рассмотрим взаимно однозначное линейное отображение ф
пространства Е' в Е, определенное как a'k-*ak (k = 1, 2, .,.
• .., р). Согласно изложенному в § 6, раздел 2, отображение
/°Ф пространства Ег в F имеет тот же ранг, что и f (можно
сказать, что ранг отображения / не изменится, если заменить Е
пространством той же размерности; то же самое относится к F).
Эти рассмотрения делают оправданным следующее определение.
112
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Определение. Рангом прямоугольной матрицы из q строк и
р столбцов называется ранг определяемого этой матрицей
линейного отображения р-мерного векторного пространства в q-
мерное векторное пространство над тем же полем, что и
рассматриваемая матрица.
Можно, в частности, взять Е = Кр, F = Kqt а в качестве
базиса— элементы (е, 0, 0, ..., 0), (0, 8, 0, .. ., 0), ... Тогда
ранг будет равен размерности подпространства пространства Kqt
порожденного вектор-столбцами.
Вернемся теперь к § 8, раздел 2. Базису (ak) в Е
соответствует базис (tyh) в £*; базису (bt) в F соответствует базис (ф/)
в F*. Базис (г|)ь) называется дуальным к базису (а&), а (ф/) —
дуальным к базису (bi) (или сопряженным).
Рассмотрим транспонированное отображение *f к линейному
отображению / пространства Е в F. Пусть Л — матрица
отображения / относительно базисов (ak), (&/); ее элементы
обозначаются ащ. Формулы (2) из § 8 (раздел 2) показывают, что
матрица из р строк и q столбцов, элемент (3/¾ которой, стоящий
на пересечении /-й строки (/ = 1, 2, ..., р) и k-vo столбца (k =
= 1, 2, ..., q), равен элементу, стоящему на пересечении k-u
строки и /-го столбца матрицы Л, есть матрица отображения *f
относительно базисов, дуальных к базисам (ah,bi). Эта матрица
называется транспонированной матрицей к А и обозначается 'Л.
Говорят, что ХА получена из Л взаимной заменой строк и
столбцов в матрице А.
Очевидно, что * ('Л) = Л, а на основании свойств
отображения */ получаем
\А + В) = 'А + 'В,
\АВ) = *В'А
(когда Л + В и АВ определены).
Следующее предложение есть лишь перефразировка
предложения из § 8 (раздел 2).
Предложение. Матрицы А и 1А имеют одинаковый ранг.
§ 6. Применение матриц к линейным уравнениям
В силу § 3, если Л означает матрицу am (k = 1, 2, ..., р,
I = 1, 2, ..., q)> то система
р
S«/^ = P/ (/=1,2, ..., q),
k=\
может быть записана в виде
Ах = Ь,
3 МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ
113
где
* = (glf ..., уеГ,
* = №, ..., Р,)е=/С*.
В частности, если р = q, А — квадратная матрица и А
обратима, то из равенства Ах = b посредством умножения слева на
Л-1 вытекает, что х = A~lb. В этом случае имеется единственное
решение.
Таким образом, система скалярных линейных уравнений
может быть записана в элементарной форме ах = Ь, и в этом
случае, когда матрица А квадратна и обратима, имеется
единственное решение, которое записывается в той же форме, что и
решение элементарного уравнения
ах = Ь,
а именно,
х = b/a = a~lb.
ГЛАВА IV
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
РАЗДЕЛ 1
БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
§ 1. Билинейные отображения
Определение. Пусть Е, F, G — векторные пространства над
одним и тем же полем К. Отображение f произведения Е X ^
в G называется билинейным, если для любого у е F
отображение x-+f(x,y) является линейным отображением Е в G и если
для любого х^Е отображение y-*f{x,y) является линейным
отображением F в G.
Если G = К у f называется билинейной формой на Е X F»
Это определение может быть записано при помощи
следующих равенств (между элементами из G): для любых х е Я, уе
е /\ х' е Е, у' е F, а е К имеем
( f(x + x\ y) = f(x, y) + f{x\ у)/
f(x, y + y') = f{x, y) + f(x, у'),
[ f (ах, у) = f (x, ay) = а/ (x, у).
Здесь снова внутренние и внешние законы обозначаются тем
же способом, что и два закона поля /(.
Ниже следуют замечания к этому определению и свойства,
из него вытекающие, весьма важные, хотя и могут показаться
очевидными.
1) Выражение Е у F в определении означает произведение,
в теоретико-множественном смысле, Е на F, т. е. множество всех
упорядоченных пар (х,у), где х е £, у е F. Не делается
никаких предположений о существовании алгебраических законов
на Е X F, и, в частности, не предполагается, что Е X F есть
векторное пространство над./С, как можно было бы полагать после
§ 3 раздела 4, главы II.
Если рассматривать линейное отображение / множества
Ey^F (как векторного пространства, в котором (х, у)-\-(х', у') =
= (х + х',у + у') и а(х, у) = (ах, ay)) в векторное
пространство G, то f(x + x',y + y') = f(x,y) + f(x'9y') и /(ах, осу) =
1. БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ П6
= af(xfy)\ это уже не те равенства, которые определяют
билинейное отображение £ X F в G.
2) Примеры. Обычное понятие векторного произведения
определяет билинейное отображение £ X £ в Е, где Е —
множество свободных векторов трехмерного пространства. Понятие
скалярного произведения определяет билинейную форму на
ЕУ(Е, причем Е есть то же самое пространство, что и в
предыдущем примере.
Пусть Е = R — множество действительных чисел, F = R,
1( = #; всякая билинейная форма на Е X F определяется как
(§, ц) -> а|т], где ?■ е £, т) е f, а е /О
3) Если / есть линейное отображение Е в /\ то множество
/(£) образов элементов х^Е при отображении f есть
подпространство пространства F. Это свойство, вообще говоря,
неверно, если / есть билинейное отображение Е X F в G, т. е.
множество в G образов элементов (хуу)^ E\F при отображении Д
обозначаемое через f(EXF), может не быть подпространством
пространства G.
Так, пусть Е — двумерное пространство с базисом аь а2,
F — двумерное пространство с базисом bu b2i G—
четырехмерное пространство с базисом Гц, ci2, с2и с22. Пусть, далее, х —
= Si^i + ^2, У = 'ЦхЬх + y\2b2] элементу (х, у) е £ X F ставится
в соответствие в G элемент
Smi^ll + £^2½ + Ы\С2\ + 12^22-
Тем самым определено билинейное отображение /
произведения Е X F в G. Но элемент из G, имеющий нулевую координату
при Си, т. е.
£l2C12 "Ь ^21^21 ~Г ^22^22»
не является образом никакого элемента (х, у) при
отображении f, если £12 =^= 0, £21 =^= 0, ибо для этого необходимо было бы
^Л1=0, |iT|2 = 1x2 Ф 0> 12^1=^21=^0, |2Т|2 ==g22.
Но 1^ = 0 требует либо £i = 0, либо r}j = 0, что не
согласуется с £12 =?== 0, £21 =7== 0. Если теперь взять
* = (Si. У. *' = (—Еь 62). 0 = Oli. Лг). / = (Л1. — Лг).
то f(*> y)-\~f(x' у') не будет образом при f элемента из Е X F.
4) Для любого xg£ имеем /(л:, 0) = 0eG и для любого
yesF имеем /(0, #)==0.
5) Если (аД (6;) — конечные наборы элементов
соответственно из Е и F и если а: и г/ являются их линейными
комбинациями,
Иб tVI. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
TO
f(x, </) = 2 £/^/f (яь bi),
k,i
причем 2 означает, что суммирование распространяется на
все значения k и на все значения /. Если, например, k меняется
от 1 до /?, а / — от 1 до q, то в случае, если необходима точная
р Q
запись, пишем 2 2 вместо 2-
6) Из 5) вытекает, что если (ak)—базис в Е, а (Ь{) — базис
в Т7, то билинейное отображение f произведения Е X F в G
однозначно определено, если известны его значения в G для
элементов (ak, b{) из EX Е-
7) Если Н — векторное пространство над тем же полем, что
и £, F, G, и g — линейное отображение G в Я, то gof есть
билинейное отображение Ey^F в Н.
§ 2. Тензорное произведение двух векторных пространств
Ясно, что билинейные отображения менее гибки, чем
линейные. Отсюда понятно стремление сводить рассмотрение к
линейным отображениям. Конструкция тензорного произведения
двух векторных пространств
основана на следующей идее.
Требуется построить раз и навсегда
пространство Ф и билинейное
отображение ф произведения
Е X F в Ф так, чтобы для любого
билинейного отображения /
произведения EXF в G отображение
f могло быть заменено
отображением — композицией g ° ф, где
g — линейное отображение
пространства Ф в G. И останется для
каждой пары G, f найти g. Это
показано на рис. 1.
Прежде всего заметим, что
Рис. 1. если для заданных Я, F
существуют Ф и ф, то Ф содержит
ф(ЯХ/7); следовательно, Ф, будучи векторным пространством,
содержит все линейные комбинации элементов из ф (ExF).
Иными словами, Ф должно содержать пространство,
порожденное q(ExF). Это замечание позволяет сузить постановку
задачи и поставить ее следующим образом.
Пусть Е и F — два векторных пространства над К\ требуется
построить векторное пространство Ф над К и билинейное ото-
I. БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
117
бражение ф произведения Ey^F в Ф, удовлетворяющие
следующим условиям: 1) Ф порождается множеством ф(£хР);
2) каковы бы ни были векторное пространство G над К и
билинейное отображение f произведения EXF в G, существует
такое линейное отображение g пространства Ф в G, что f =
Мы покажем, что если Ф и ф существуют, то они единственны
в смысле, который мы уточним, а затем построим их, исходя
из Е и F.
1) Допустим, что существуют две пары, Ф1 и фЬ Ф2 и ф2,
удовлетворяющие всем поставленным условиям. Тогда возьмем
G = ф2. В этом случае можно найти такое линейное
отображение g\ пространства Ф1 в Ф2, что <P2 = gi°<Pb и такое
линейное отображение g2 пространства Ф2 в Фь что ф1 = й'2оф2.
Отсюда ф1 = g"2o (g{ oyl) = (g2ogl) оф1. Но g2og\ есть
линейное отображение CPi в само Фь А Фь по предположению,
порождается множеством ф1(£Х^)> т- е. если гЕФь то z есть
линейная комбинация элементов ц\(х,у):
z = 2 <wpi (х, у),
где aGi(; их число конечно и они зависят от (х,у). Так как
g2 и gi линейны и ф!(х, у) = g2(g\(ф1 (х, у))), то
Следовательно, g2°g\ является тождественным
отображением пространства Ф1 в Фь Точно так же gi°g2 является
тождественным отображением Ф2 в Ф2. Отсюда следует, что g\
есть взаимно однозначное отображение Ф1 в Ф2. Так как g\ —
линейное отображение, то g\ определяет изоморфизм Ф1 на Ф2,
который мы обозначаем через \|э, и ф2 = \f> офЬ
Этот результат мы сформулируем следующим образом: пара
Ф, ф единственна с точностью до изоморфизма.
2) Пусть Е имеет размерность р, F имеет размерность q,
(ah) — базис в £, (bt) — базис в Z7, и мы снова предполагаем,
что Ф и ф существуют. Тогда должно выполняться
ф(*. #) = 2^Л/ф(аь bi)
k,i
Р Q
для любого х= 2 IkUk и любого у= 2 i\i'bt>
Мы покажем, что pq элементов (p{akibi) линейно независимы
в Ф. В самом деле, возьмем G = Kvq и занумеруем базис
пространства G = Kpq, обозначая его элементы через гщ
(* = 1, 2, ..., р\ / = 1, 2, ..., q). Элементу (х, у)(= EX F
поставим в соответствие в Kvq элемент, компоненты которого
118
ГЛ IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
при Ski равны gftT]/. Тем самым определено билинейное
отображение / произведения Е X F в Kpq. А поскольку, по
предположению, существует такое линейное отображение g
пространства Ф в Kpq, что f = g о ф, то должно быть
f(x, y) = %lki\ig(<t>(ak, bi))4
k,i
и в силу построения /
Теперь достаточно взять в Е и в F элементы с компонентами
(е, 0, 0, ...), (О, 8, 0, ...), ..., е-единица относительно
умножения в /С, чтобы убедиться в том, что
£(ф(я*, bt)) = Ekl (/5 = 1,2, ..., р\ /=1,2, ..., q).
Следовательно, pq элементов #(ф(аь, &/)) линейно независимы,
и, стало быть (гл. III, раздел 2, § 3), pq элементов ф(а&, &/)
тоже линейно независимы.
3) pq элементов cp{akfbi) образуют базис пространства Ф.
Мы все еще предполагаем, что существует пара Ф, ф,
удовлетворяющая всем поставленным условиям и, после того как мы
показали, что элементы ф(ал, &/) линейно независимы, мы
докажем, что они образуют базис пространства Ф, или, иными
словами, что Ф порождается этими pq элементами.
В самом деле, пусть Ф'— пространство, порожденное
элементами q(ak,bi) и являющееся подпространством
пространства Ф, Ф'сФ. Пусть, далее, / — билинейное отображение
Е XF в G и g — линейное отображение Ф' в G, определенное
равенством g(q>(ak, bt)) = f(ah, bt). Тогда для любого х<=Е и
любого //gF
f(x, у) = 2ЪчИч> &/) = 25*л/г(<р(я*. 6/)) =
k, i k,i
= 2 г(ф (£***. лЛ)) = г(Ифй*я*, лА)) =
= #(ф(26ая*! 2л/М) = г(ф(*,#)),
так как g линейно, а ф билинейно.
Следовательно- Ф' и линейное отображение g
пространства Ф' в G удовлетворяют требуемым условиям. А так как
ф' и Ф изоморфй'Ы (см. 1))и Ф'сФ, то Ф и Ф' совпадают.
Итак, мы пришли к следующему результату, полученному
в предположении существования Ф и ср (необходимые условия):
1. БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
119
ф есть пространство размерности pq, а билинейное
отображение ф произведения Е X F в Ф переводит базисы (ак), (&/)
пространств Е и F в некоторый базис ^(ah,b{) пространства Ф,
каковы бы ни были базисы в Е и F.
Обратно, пусть Ф — векторное пространство размерности pq,
элементы базиса которого обозначаются через е^ (&=1, 2, ...
...,/?; / = 1, 2, ..., q). Если элементам (ak, bt)^ Еу< F
ставятся в соответствие е^, то тем самым определено билинейное
отображение ф произведения Е X F в Ф, и предыдущее
доказательство показывает, что пара Ф, ф удовлетворяет всем
условиям задачи.
Обозначения и замечания. 1) Пространство Ф,
построенное при помощи Е и /\ называется тензорным
произведением пространств Е и F и обозначается Е ® F.
F ® Е изоморфно Е <8> F; это свойство называется
коммутативностью тензорных произведений двух пространств.
2) Элемент из Е <8> /\ полученный исходя из х е Е, у ^ F,
обозначается л: ® у и называется тензорным произведением
элементов х и у (в этом порядке). Отображение ф обозначается
(х, у)-+х <8> у (ср. § 1, раздел 1, гл. II).
Стало быть имеем
{х + х') ® г/ = л: ® г/ + xf ® г/,
* ® (У + 2/0 = * ® У + * ® У'>
(ах) ® у = л: ® (at/) = а (я ® г/).
3) Выражение: пространство размерности pq есть тензорное
-произведение пространств Е и /7—имеет смысл лишь в том
случае, если определено ф.
4) Отображение (х> у)—*х ® у, вообще говоря, не является
взаимно однозначным, ибо если хФО^Е, то для j/ = 0eF
имеем
*®0 = 0®0 = 0<=£®F.
Таким образом, E'XF нельзя рассматривать как тождественное
части пространства Е ® F.
5) Тензорное произведение х ® у двух элементов может быть
коммутативным при любых х^Е, y^F только в том случае,
когда Е = F, но даже если Е = F, это в общем случае не так
(см. раздел 2.)
6) Мы видели (§ 1, 3)), что ф(£Х^) вообще говоря, не
будет подпространством пространства Ф. Здесь это означает,
что любой элемент х®у принадлежит £ ®/\ но произвольный
элемент из Е ® F может не быть тензорным произведением
элемента хб£ па элемент у е /\ Однако, если E®F порождено
120
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
посредством х ® у, легко видеть, что любой элемент ге£ ® F
может быть записан в виде
Q
z= 2 Xi ® 6/,
где (6;) — базис в /7 и где ^ суть g элементов из Е.
Частные случаи. 1) Если F = £, то вместо Е <8> Е пи-
2 2
ш*/г ® £; ® £" называется тензорным квадратом или тензорной
степенью второго порядка пространства Е.
2) К ® £ изоморфно £.
3) /С ® /С изоморфно /С.
§ 3. Обобщения
Предыдущие рассмотрения и доказательства, с точностью
до длинных выкладок, справедливы для следующих обобщений.
1) Пусть Е\, Е2у ..., Ег — конечное множество
векторных пространств над К и / — отображение произведения
г
£ = П Егв векторное пространство F над К- Отображение /
пг=\
называется полилинейным, если каждому х = (хи х2> ..., хг)^
^Е соответствует такое f{x) = f(xu ..., xr)^F, что для
любых m и аь ..., am_i, ат+ь ..., аг отображение Ет в F,
определенное как
(flj, . . ., CLm-\i %тч tttn + li • • •> #r/~~> / (#i> •••> #т—1> -^т> &т + и •••> #г)>
линейно.
2) Пользуясь пространствами £ь ..., £г, можно построить
векторное пространство над /(, называемое тензорным произ-
r
ведением пространств Ет и обозначаемое ® Ет, а также
г
построить полилинейное отображение произведения \\ Ет в
г
® Ет; это отображение обозначается
m=l
г
\Х[У x2i ..., ^г)~>® хт
и обладает следующим свойством: каково бы ни было полили-
г
нейное отображение / произведения Ц Ет в векторное про-
странство F, найдется такое единственное линейное отображение
2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ
121
g пространства ® Ет в F, что равенство
/Ui, ..., Xr) = g\®Xm\
тождественно.
3) Когда все пространства Ет тождественны одному и тому
же пространству £, то тензорное произведение этих пространств
г
обозначается ® Е и называется тензорной степенью
пространства Е порядка г или r-й тензорной степенью пространства Е.
г
Элементы из ® £, являющиеся линейными комбинациями
г
элементов ® xm, называются тензорами (их называют, из
соображений, которые мы не будем здесь приводить, г раз кон-
травариантными тензорами).
РАЗДЕЛ 2
ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА.
ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 1. Внешняя степень порядка 2
Изложим вначале понятие внешней степени для простого
случая. Пусть Е — векторное пространство размерности р над
/(, ®£— его тензорная степень порядка 2, х, у — два элемента
из Е (мы будем обозначать эти элементы х, у вместо хи х2,
чтобы упростить обозначения в этом частном случае).
Исследуем вопрос о том, будет ли произведение х <8> у коммутативно,
2
т. е. будет ли х®у — у®х равно элементу 0 из ® Е.
Прежде всего заметим, что если х или у есть 0 из Е, то
2
х ® У — 1/0^ = Ое ®£,
и значит, в этом случае х ® у = у ® х.
Пусть теперь (ah) есть базис в £; рассмотрим базис (ak<8>aj)
в ® £, где й, / принимают все целые значения от 1 до р. Для
р v
1 1
122
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
имеем
х ® у = S UWk ® в/ = 2 £*Л/Л* ® Я/ +
fc,Z /г</
+ 2 6*>Л/<^ ® 0.1 + S 6&Л/А ® «л,
*>'
*/ ® * = 2 Л*&я* ® ах =
= 2 л*1/ял ® «/ + 2 *\khcik ® a/ + 2 Л*6*я* ® я*.
fc</ ft > г /г
2
Так как отображение (х, у) -* л: ® */ пространства £2 в ®£
билинейно и /( коммутативно, то
*®у--#®*=2] (6лЛ/ — 6/¾) (afc ® Я/ — а/ ® а*)» (1)
Х®У — У®Х=2 (g/еЛ/ — 6/¾) «Л ® А/. (2)
л,/
Рассмотрим выражение (1). Число элементов ah ® az — a/ ® ak
2
в ®£, отличных от нуля, (кФ1), равно р(р —1)/2. Они ли-
2
нейно независимы в ® £, ибо в противном случае ak ® щ тоже
не были бы таковыми, в то время как (a& ® Я/) образуют базис
2
в ® Е. Следовательно, р (р — 1)/2 элементов ah® aL — aL® ак
2 2
13 ®£ определяют векторное подпространство пространства ®£,
которому принадлежат элементы х®у — у ® х. Стало быть
такой элемент может быть нулевым лишь в том случае, если для
любых k, /
6*Л/ ~ Ык = 0 (е= Л'),
т. е. |/tT|/= S/Лл- Допустим, например, что хфО^Е; тогда но
крайней мере одна координата элемента х в базисе (ак)у
скажем, 6ь отлична от нуля; значит, эта координата имеет
симметричный элемент 1/^ в К относительно умножения в /(, и
если k = 1, / = 1, 2, ..., р, то
Л/
= -*■ Si;
следовательно,
Отсюда
41l
х®у = х®^-х = ^(х®х),
51 Si
У ® л: = -^- (* ® л:).
2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ 123
Итак, для того чтобы х ® у = у ® л:, необходимо и
достаточно, чтобы х и у были гомотетичны в Е, т. е. у = Хх или
х = Я#, А, е= /С.
2
Рассмотрим теперь все элементы из ® £ вида х <8> у — у ® л;;
они принадлежат подпространству, базисом которого служит
(а& ® a* —fl/® Дл), но нельзя утверждать, что эти элементы
составляют все это пространство.
Положим
х Ау = х<8> у — у ® х,
2
Отображение г|э пространства Е2 в ® £, определенное как
(л:, у)-*х Л у, обладает следующими свойствами.
1) Оно билинейно.
2
2) Его значение в ® Е равно 0, если х = у.
Такое отображение называется альтернированным
(знакопеременным) билинейным.
2
А теперь рассмотрим в ® Е подпространство, обозначаемое
предварительно через 4я, порожденное элементами ф(л:, #) =
= хЛу, т. е. множество всех конечных линейных комбинаций
2
с коэффициентами из К тех элементов из ® Е, которые имеют
вид х А у. Всякий элемент х /\у есть линейная комбинация
элементов akAah а значит, и всякий элемент из W — также. Так
2
как akAat линейно независимы в ® £, то они таковы и в ¥,
и стало быть, составляют базис пространства ЧЛ Этот результат
не зависит от выбора базиса (ah) в Е.
2
Пространство Чу обозначается через АЕ и называется
внешней степенью пространства Е порядка 2. Элементы из
9
АЕ называются бивекторами. Частным видом бивекторов
являются элементы хАу\ хАу называется внешним произведе-
2
нием х и у. Всякий бивектор, т. е. всякий элемент из Л£, есть
линейная комбинация внешних произведений. Отображение
(х> У)~* х А у есть альтернированное билинейное отображение,
из чего следует, что хАу = —у Ах. (Сравните результаты и
обозначения с таковыми из § 2 раздела 1.)
Пусть теперь f есть отображение (х, у)—>f (х, у) степени Е2
в векторное пространство F и пусть f является
альтернированным билинейным отображением, т. е. / билинейно и f(x, х) —
= 0gF для любого х е Е. Утверждается, что тогда существует
2
такое линейное отображение g пространства АЕ в F, что / =
124
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В самом деле, если предположить, что g существует, то
тогда для всех х, у должно выполняться
fix, y) = g(q>{x, y)) = g(x А У) = g ( 2j(tkV]i — h4k) акЛаЛ
а поскольку g линейно, то должно еще выполняться
f (х9 у) = Ц (lkt\t — \{щ) g(akAai).
k,i
Как и в случае тензорного произведения, достаточно задать в F
2
значения g для элементов akAai из Л£; тогда g будет
определено однозначно.
Итак, мы пришли к следующему результату.
Теорема. Пусть Е — векторное пространство размерности
2
р над полем К и ® Е — его вторая тензорная степень.
Множество элементов х <8> у — у ® х =
= х Л у из ® Е порождает под-
2
пространство Л Е, называемое
второй внешней степенью
пространства Е\ ее размерность
равна р(р—1)/2. Если через ф
обозначено альтернированное
билинейное отображение (х, у) ->
2
-*х /\у степени Е2 в Л £", го для
любого альтернированного
билинейного отображения f степени
Е2 в векторное пространство F
над К существует единственное
линейное отображение g про-
2
странства Л Е в F,
удовлетворяющее условию / = g о ф.
На схеме, представленной на рис. 2, наглядно изображены
свойства внешних степеней.
§ 2. Обобщения
Предыдущая теорема приводит нас к введению определений
и постановке задач, которые последуют ниже.
1. Определение альтернированного полилинейного
отображения. Пусть Е, F — два векторных пространства над К и
(хи х2, •••> Xn)-*f(x\, ..., хп) — полилинейное отображение
степени Еп в F. Будем говорить, что f альтернировано, если оно
принимает при х{ = Xj значение О в F для всех i ф j
(i= 1, 2, ..., п; /== 1, 2, ..., п).
Рис.
2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ
125
Через Xi обозначены элементы из Е\ мы будем элемент из
Еп обозначать буквой х и будем записывать х = (хь ..., хп)\
Xi будут также называться координатами элемента х. Вместо
(х\, ..., xn)—>f(xh ..., хп) можно также писать x-*f(x).
Из этого определения вытекает, что если некоторый элемент
Xj из Е гомотетичен элементу Xi из £, т. е. Xj = aXi(a е /С), то
/(#i> • • • > */> • • • > ^*ь • • • у хп) = Kf (Х{9 ..., л:р ..., л;/ ..., лгЛ) =
= 0(eF).
Пусть а; = (хь ..., a;w) — элемент из Еп. Определение
произведения множеств Е\ X • • • X Еп (гл. I) уточняет, что берется
элемент первого, Еи и записывается первым (запись слева
направо), затем берется элемент второго, Е2, и записывается
вторым, и т. д. Индексы 1, 2, ..., п указывают порядок. Этот
порядок называется естественным порядком 1, 2, ..., п. Но если
записать (х2, хи #3, ..., хп), то это будет означать, что в
качестве первого элемента, определяющего лс, берется элемент
из Е2, обозначенный х2. Если рассматривать Еп, то можно,
исходя из х=(хи х2, ..., хп) рассмотреть элемент из Еа\
(х2, Хи Хз, ..., хп). Эта запись имеет преимущество
напоминать, как этот элемент строится из предыдущего, но обладает
тем недостатком, что недостаточно выделяет поргядок. Поэтому
мы воспользуемся перестановками (гл. 11, раздел 2, § 1)
множества [1,/г], состоящего из элементов 1, 2, ..., п. Пусть 5 есть
перестановка. Стало быть, элемент (xs^ xs(2), ..., xs^n)) е Еп
состоит из тех же элементов хи ..., хп, но расположенных
в другом порядке. В этом обозначении 1, 2, ..., п снова играет
роль естественного порядка. Этот естественный порядок 1 < 2 <
< 3 < ... < п играет роль исходного и если s(i), s(j) — два
элемента из множества 5(1), ..., s(n), то индекс / означает,
что s(i) стоит на i-м, a s(j) — на /-м месте. Тогда либо для
i <. j имеем s(i)<.s(j) (сохраняется относительный порядок),
или для i <. j имеем s(/)<s(i) (порядок изменяется). В
последнем случае говорят, что s(i) и s(j) представляют собой
инверсию (подразумевается: относительно естественного
порядка). Если задана перестановка 5 множества [1,я], то она
называется четной (соответственно нечетной), если общее число
инверсий, представленных упорядоченной последовательностью
50), 5(2), ..., 5(/г), является четным (соответственно
нечетным).
Рассмотрим отображение пространства Кп в К\
(6i..... ь.)-*П (h-h)
126
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
(произведение разностей |7- — £;, где 1 < i < / < п) и положим
ffti. .... Е») = И (6* — Б/)-
Пусть s — некоторая перестановка множества [1, п]\ положим
Hi = Ss(i) и
/5 (Si» ...» Srt) = 11 (Is (О Ss(/))«
i< /
Между сомножителями отображения / и отображения fs имеется
взаимно однозначное соответствие. Следовательно, MSi» • • •» Sn)
равно либо fdu ..., In), либо —/(|i, ..., £п). Запишем fs =
==0L)sf; o)s представляет собой четность s. Имеем (ots = o)f(os, ибо
©/S/ (Si» • • •» Srt) =//s(Sl» • • •» S«) = f (S/5 (1) » • • •» S/5(tt)) =
= f(#/(l)» •••» Уцп)) = щ!{Уи ..., ^) = ^f(Ss(l)» ...,Ss(tt)) =
= ©/©sf(Sl. ...» S/i)-
В частности, если 1 означает нейтральный элемент
относительно умножения в /С, то
юи=1, (os©g-i = l, откуда 0s==0s-i#
2. Определение внешней степени. Введем определение
п
для Л £. Начнем с /г = 3. Так же как в § 2, рассмотрим для
трех элементов хь х2, х3 из Е тензорное произведение хх®х2 ® х3.
Если мы будем пытаться получить коммутативность
относительно любых двух элементов из хи х2> х3 (что в общем случае
не выполняется согласно результатам, полученным для я=2), то
необходимо будет рассмотреть вначале х{ ® х2 ® я3 — *2 ® *i ® *з
(замена хь х2). Но необходимо также рассмотреть хх ® х2 ® #з —
— Xj® л:3 ® х2 (замена х2, х3) и а:, ® х2 ® х3 — х3 ® х2 ® *i
(замена Xj, *3). Отсюда возникает идея рассматривать
Х\ ® #2 ® *3 — *2 ® A'l ® *3 — #1 ® Х3 ® *2 — #3 ® *2 ® *1'
Но в этом выражении, как нетрудно заметить, при перестановке
х] и х2 выражение х1 ® х3 ® х2 меняется на я2 ® я3 ® *i» ах30
® х2 ® Xj на л:3 ® Xj ® *2. Поэтому добавляются + х2 ® х3 ® хх
(поскольку Х\ ® х3 ® #2 стоит со знаком —) и + л:3 ® хх ® х2.
Окончательно приходим к рассмотрению выражения
Х\ ® Х2 ® *з — *2 ® #1 ® #з — *1 ® *3 ® х2 — -¾ ® Х2 ® х\ +
+ #2 ® лг3 ® ^i + х3 ® jcj ® *2.
Отметим, что каждый член этой суммы стоит со знаком -J-,
если перестановка индексов — четная, и со знаком —, если она
нечетная; если переставить любые два xi} то получим симмет-
2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ
127
ричную сумму, или, еще, если Хх равно некоторому Xj9 то сумма
равна нулю; это выражение элементу (хи х2у х*) из Е3
сопоставляет элемент, который может быть записан в виде
]ZjWsxs{1) ® xsi2)®xs(3),
S
причем суммирование распространяется на все перестановки s
множества (1, 2, 3). Тем самым определено альтернированное
з
трилинейное отображение степени £3 в ® Е.
Эти замечания оправдывают следующие определения.
п
Рассмотрим отображение степени Еп в ® Е\
(Хи Х2, . . • , Хп) —> 2j ®sxs (1) ® xs (2) ® • • • ® xs (п)\
s
здесь 5 — перестановка множества [1, п], а суммирование
распространяется на все перестановки этого множества. Это
отображение есть альтернированное полилинейное отображение.
Полагаем
хх Л х2 Л ... Л хп = 2 (bsxs (О ® • • • ® xs (tt).
Множество элементов Х\ Л ... Л хп порождает подпростран-
п п
ство Л Е пространства ® Е, называемое п-й внешней степенью,
или внешней степенью порядка п пространства Е.
Легко доказываются следующие свойства.
Если (ah) — базис в Е, то элементы as Л -. • Aas ,
соответствующие всем набором l-<Si<S2< ... <sn-Kp, составляют
п
базис в Л Е.
Если размерность Е равна р и п > р, то между
элементами хи ••-, xv имеется по крайней мере одно линейное
соотношение, в котором не все коэффициенты равны нулю;
например, хп = Х\Х\ + • • • + Хп-\Хп-\- Заменив затем хп в хЛ/\...
. ..Лл:п этим выражением, получим нуль.
п
ТакИхМ образом, при п> р внешняя степень АЕ состоит из
единственного элемента 0.
п
Внешняя степень Л Е имеет размерность Спр — р(р— 1) ...
...(р —л+1)/л!
1 о
Наконец, условимся, что Л Е — Еп /\ Е = К. Это позволяет
сформулировать утверждение: для любого п, удовлетворяющего
п р—п
Условиям 0<д<р, Л Е и Л Е изоморфны (так как Спр = Ср~~п).
р
В частности, если Е имеет размерность р, то Л Е изоморфно К-
128
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
После этого без особых трудностей, если не считать длинных
выкладок, доказывается тот же результат, что и в § 2.
Теорема. Всякому альтернированному полилинейному
отображению f степени Еп в векторное пространство F над К
соответствует такое линейное отображение g внешней степени
п
АЕ в F, что для любых х = (хи ..., хп) е £п,
f(xu ..., xn) = g(xl А х2 А ... Л хп).
п
Замечания. Пространство АЕ порождается элементами
п
х\ Ах2 А... Ахп, но, вообще говоря, не всякий элемент из Л£
имеет вид хх А х2 А ... Л хп.
п
Терминология. Произвольный элемент из АЕ
называется п-вектором, а элемент вида Х\ Ах2 А ... Ах1} называется
разложимым п-вектором. Каждый n-вектор есть линейная
комбинация разложимых п-векторов.
РАЗДЕЛ 3
ВНЕШНИЕ СТЕПЕНИ ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Внешние степени линейного отображения
п
1. Определение Af. Пусть / — линейное отображение
векторного пространства Е в векторное пространство F над К и
пусть (х\, ..., хп)^Еп\ этому элементу мы поставим в соот-
п
ветствие в AF элемент f(x\)A...Af(xn). Тем самым
определено альтернированное полилинейное отображение степени Еп
п
во внешнюю степень AF. По предыдущей теореме существует,
и притом единственное, такое линейное отображение g про-'
п п п
странства АЕ в AF (здесь AF играет ту же роль, которую
играет в предыдущей теореме пространство F), что тождественно
g(*i Л х2 Л ... Л Xn) = f(x{) Л ... Af(Xn).
п
Отображение g обозначается через Af и называется
внешней п-й степенью линейного отображения f. А поскольку мы
условились обозначать через f(x) значение отображения f длях,
то мы можем записать
/\f(xxA х2А ... Axn) = f{xx)Af(x2)A ... Af{xn), (1)
3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
129
что равносильно определению Л/, которое является линейным
п п
отображением Л£ в Af.
п
2. Свойства Л/, а) Пусть / — линейное отображение Е в F,
g — линейное отображение F в G, причем Е, F и G — векторные
пространства над /С, и пусть gof есть композиция отображений.
п . п п
Отображение Л g°f есть линейное отображение /\ Е в /\ G,
и /\g°f=hg°Af.
п
В самом деле, /\gQf определяется как
Л g*f(xiA ... Axn) = g(f(xl))A ... Ag(f(xn)).
п
Но Л /определяется как
kf(x{A ... Axn) = f(xl)A ... AfWeAF.
п п
Значение отображения Л g для элемента ух Л -. • Л Уп^ Л F
равно
п
Л g(yt л ... лу») = гЫл ••• Ag(yn)-
Если yi = f(x1), ..., yn — f(xn), то
£(</.) Л ... AgW = g(/W)A ... Л g (/(*»)).
б) Яс/ш / есть линейное отображение Е на F, то Л/ есть
/г гс
линейное отображение ЛЕ на Л /7.
Иначе говоря,
/(^) = /^ Л/(Л Д)= Л л
п
Действительно, произвольный элемент из Л F является
линейной комбинацией элементов ух Л... Луп, где yi^F. А так
как, по предположению, всякий элемент у из F есть f(x), то вся-
п
кий элемент из AF в силу (1) есть линейная комбинация
элементов
п
f(xi) Л ... Л f(xn) = Л /(*i Л ... Л *„),
130 ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
п
и следовательно, является образом при отображении Д / ли-
нейной комбинации элементов хх А ... Ахп cz Д Е, т. е. обра-
п
зом элемента из /\Е.
в) Точно так же: если f — изоморфизм Е на F (взаимно од-
п
позначное линейное отображение), то Д f есть изоморфизм
п п п
Д Е на Д F, а обратным изоморфизмом будет Д /~ •
§ 2. Определители
Определение. Пусть Е — векторное пространство над /С,
размерности р. Сохраняя обозначения § 1, возьмем F = Е. Тогда /
будет эндоморфизмом пространства Е (линейным отображением
о р
£ в Я), a Af будет эндоморфизмом пространства Л Е (линей-
р р р
ным отображением АЕ в ЛЕ). Но (раздел 2, § 2, б)) АЕ
изоморфно /С, т. е. имеет размерность 1, и тогда эндоморфизм
v
превращается в гомотетию: х—>ах (х е Л Еу а е К) (ср. гл. III,
раздел 2, § 4, замечание).
р
Таким образом, каждому Х[Л...Лхр^ЛЕ отображение
р
Л/ ставит в соответствие ахх Ах2 А ... Л xv. Следовательно,
f(x\)Af(x2)A...Af(xp) = cai Лх2Л...ЛхР) (а е/С, р —
= dim/:).
Итак, каждому эндоморфизму f пространства Е размерности
р соответствует такой скаляр aGi(, что р-я внешняя степень
V V
отображения f является гомотетией пространства АЕ в АЕ.
Скаляр а называется определителем эндоморфизма f. Мы
обозначим его через D(f). Стало быть, имеет место тождество
f{x{) Л ... Af(xp) = D(f)x{ Л х2А ... Л хр.
Основные свойства. 1) Пусть / — тождественное
отображение Е в Е (элементу х соответствует х). Тогда D(I) = I (= К.
2) Если f и g — два эндоморфизма пространства £, то
v р р
gof — тоже эндоморфизм, а так как /\g°f= /\g°/\f
(§ 1,п. 2), то
/\g(f(xi)A ... Af(xp)) = D(g)f(x[)A ...Л/(*р) =
=D(g)D(f)xlA ... Л хр.
3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
131
Следовательно,
D(g°f) = D(g)D(f) = D(f*g).
(Еще раз напомним, что К предполагается коммутативным.)
§ 3. Определители матриц, определители векторов
Пусть А — квадратная матрица над К> порядка рис
общим элементом aik. Можно считать, что она определяет
некоторый эндоморфизм /^-мерного пространства Е. Это является
тем основанием, по которому определитель этого эндоморфизма
называется определителем матрицы А.
Он записывается D(A), а также при помощи квадратной
таблицы
ап
а/i
<*pi
а12 .
а/2 .
ар2 •
.. axk .
. а/£ ..
.. GLpk .
.. alp
• ЩР
• аРР
Терминология заимствована из матричной терминологии,
которая распространена в этом случае на D(A), и тем самым,
говорят об элементах, строках и столбцах определителя D(А).
Имеем
D (АВ) = D(A)D (В) = D (В А).
Но, с другой стороны, пусть аь ..., ар — базис пространстваЕ\
рассмотрим элементы xk из Е вида
р
^ = Ца/й (й = 1, 2, .. ., р).
Эти соотношения определяют некоторый эндоморфизм
пространства Е. Обратно, если задан базис (а() в Е и р элементов xh
из Е, то компоненты элемента xk в этом базисе определяют
матрицу, fe-й столбец которой есть аци a,2k> ■ • •, арп.
Поэтому можно снова говорить об определителе из р
элементов хи ..., Хр из Е относительно базиса (а/), или, короче,
об определителе из хи ..., хр.
Мы будем тогда писать \хи ..., хр\у причем компоненты
элемента xk по аь ..., ар составляют k-и столбец
определителя. Таким образом, имеем
хх А х2 А . • • Л хр = \хи ..., хр | а, А а2 А -.. Л 'ар.
Коль скоро выбран базис аи ..., Яр, варьируя (хь ..., Хр) в Ер,
мы приходим к рассмотрению |xi, ..., л:р| как отображения Ер
в /С.
Если заменить х{ на х. + х\, положить х. = д:/ (/ = 1, 2, ..., р),
а затем Х\ = аи то получим следующее предложение.
132
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Теорема 1. Определитель \хи ..., хр\ является
значением альтернированной полилинейной формы на Ер, которая
принимает значение 1 е /С, когда элементы Xk равны
элементам ak базиса, выбранного в Е.
Формулировка этой теоремы может быть принята в качестве
определения, и исходя из этого может быть построена теория
определителей.
Из этой теоремы вытекают классические свойства
определителей, которые мы вкратце напомним (здесь вместо слова
«элемент» используется слово «вектор»).
1) Если один из векторов — нуль, то определитель равен
нулю.
2) Если переставить местами только два вектора, то
определитель меняется на противоположный.
3) Если два вектора тождественны, то определитель равен
нулю.
4) Если добавить к вектору линейную комбинацию р—1
других векторов, то определитель сохраняет то же значение.
На основании свойства 3) заключаем, что если р векторов
Х\, ..., хр линейно зависимы, то \хи ..., хр\ = 0. Докажем
обратное, и даже несколько более общее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы п элементов хи ..., хп из
векторного пространства Е размерности р^п над К были
линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы внешнее
произведение Х\ А х2 А ... Л хп не было равно нулю.
Действительно, если они линейно зависимы, то, например,
xn = aixi+ ••• + <V-i*»-p
и тогда выражение х{ А... Ахп обращается в нуль. Если же
они линейно независимы, то дополним их множество
элементами хп+и ••■> хр так> чтобы получить базис в Е (теорема о
нега
полном базисе). Тогда Х\Л...Лхп есть элемент базиса в Л£,
и значит, не нуль.
§ 4. Вычисление определителей. Решение линейных
уравнений. Обратимые матрицы
Пусть хи х2, ..., Хр — вектор-столбцы определителя
D =
аРР
Заменив в определении определителя для (хи ..., хр) (ср. § 3)
все Хи • • •, хр через их разложения по базису ai, ..., ап (причем
3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
133
координаты вектора xk обозначаются ai*, о&2&, .?., осрД получим
D • а{ А а2 А ... Л ар = (2 a/ity) Л ... Л (23 aip at
= —j as (о, 1¾ (2). 2 • • • a5 (p),pas(i) Л as (2) Л .•• Ла5(Р)*)-
А так как as (1) Л a5 (2) Л ... Л a5 (р) = со^ Л а2 Л ... Л ар, то
D = Zi ®sas (1), las (2), 2 • • • «5 (р), р-
Пусть / — другая перестановка множества [1,р]. Произведение
«s(i),ia5(2),2 • • • as(p),P равно a5 (/(1)),/(1) ... a5 (/(р»,/ (р).
Возьмем / = 5-1. Так как ©5 = ©5_i, то
D=2jG>sal,5 (1) • • • ap,s (р)«
S
Таким образом, мы получим значение определителя D,
переставив местами строки и столбцы. Следовательно:
1) D есть также альтернированная полилинейная форма
относительно вектор-строк;
2) квадратная матрица и ее транспонированная имеют один
и тот же определитель.
Пусть имеется система р линейных уравнений с р
неизвестными |ь ..., |р:
р
21а/л&* = т|/ (/=1, 2, ..., /?).
Если обозначить через # элемент с координатами г}Ь т]2, ..., г\р
в базисе (а*), то эта система запишется в следующей
эквивалентной форме:
р
2j£fc**=0.
Умножим внешним образом обе части этого уравнения слева
на л^Л х2 А ... Л л\_, и справа на xi+{ A xi+2 Л .. - Л хр.
Тогда £,(^ Л *2 Л ... Ахр) = х{ А ... Л *,_, Л J/ Л *,+1 Л ...
••• А хр. Отсюда, по выражению определителя из р вектор-
столбцов (§ 3), получаем
где D есть определитель из am, a D{ — определитель из am,
в котором /-й столбец заменен на tji, ..., г]р.
*) Запятые между двумя индексами при а ставятся для большей ясности.
-
134
ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Если определитель D обратим в К относительно умножения
(т. е. если существует D~\ или, еще, если D отличен от 0g/(),
то имеется, и притом единственное, решение
Но, с другой стороны, мы видели (гл. III, раздел 3), что если
записать эту систему в виде
Ах = у,
то имеется, и притом единственное, решение, если матрица А
обратима: х = А~1у. Однако если А обратима и Л~! означает
ее обратн>ю, то АА~Х = 1, откуда D(A)D(A~X) = 1.
Следовательно, D {А )Ф 0.
Обратно, если D(А)Ф0 для любых щ, Л2» •••> Чр> то си'
стема уравнений
р
имеет, и притом единственное, решение, и следовательно,
линейное отображение Е в Е, определяемое матрицей Л, взаимно
однозначно; стало быть, Л обратима.
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица была
обратима, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был
отличен от нуля.
ГЛАВА V
ТОПОЛОГИЯ
Понятие топологического пространства является тем
понятием, которое позволяет ввести предел и непрерывную функцию.
Все основные понятия берут свое начало в свойствах
действительных чисел и действительных функций действительного
переменного. Но структура множества действительных чисел
есть структура богатая, т. е. свойства действительных чисел
вытекают из многочисленных основных понятий: отношений
линейного порядка, свойств группы, кольца, поля, понятия
абсолютного значения, существования рациональных чисел,
образующих плотное множество, сходимости любой
последовательности Коши и т. д.
Если, к примеру, рассмотреть непрерывные функции, то
можно установить, что одно свойство справедливо, когда
переменное пробегает некоторый интервал (открытый или нет), а
другое выполняется только в том случае, если этот интервал
замкнут. Стало быть, иает поиск наиболее общих возможных
формулировок, которые требуют введения понятий и свойств,
соответствующих тем, которые входят в доказательство
элементарных свойств.
Понятие непрерывной функции позволяет придать смысл
выражению «f{x) стремится к у0, когда х стремится к х0». Но это
понятие предела не является достаточным. Более того,
понятие сходящейся счетной последовательности, совершенным
образом приемлемое для изучения метрических пространств,
оказывается недостаточным для пространств не метрических.
Наконец, необходимо получить средство группировать воедино
такие различные явления как: f(x) стремится к у0, когда х
стремится к х0, f(x) стремится к у0, когда х стремится к х0 справа
(или слева), хп стремится к y0i когда п неограниченно
возрастает: явления, которые не всегда связаны понятием
непрерывности.
Понятия открытых множеств, окрестностей, базиса фильтра
и др. определяются при помощи аксиом. Этот метод, требующий
вначале некоторого размышления, дает преимущество
пользоваться минимумом условий при доказательстве некоторых
свойств. Эти понятия, прямо или косвенно, берут свое начало
136
Г Л v. топология
в понятиях близости, заимствованных из числовой прямой.
Обычное изложение состоит в определении открытых множеств, а
затем окрестностей точки или вначале окрестностей, а затем
открытых множеств; далее вводится, в случае необходимости,
общее понятие предела.
Однако основные понятия, заимствованные в свойствах
числовой прямой, базируются на самом деле на использовании
открытых интервалов (можно даже ограничиться интервалами
с рациональньгми концами), и если рассмотреть множество
открытых интервалов, то станет ясно, что это множество обладает
тем свойством, что если X и У— два открытых интервала, то
пересечение X f] Y содержит открытый интервал (при условии,
что пустое подмножество считается открытым). Это замечание
лучше всего разъяснить для случая плоскости. Когда изучают,
например, понятия непрерывности или предела в плоскости, то
можно обойтись рассмотрением только открытых кругов. Но
пересечение двух открытых кругов либо пусто, либо
представляет собой множество, не являющееся открытым кругом, но
содержащее таковой. В дальнейшем это свойство, облеченное
в аксиому, будет играть основную роль. Приводимые примеры
часто будут обращаться к понятиям, излагаемым позже.
РАЗДЕЛ 1
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
§ 1. Определения. Примеры
Главная идея состоит в том, что в вопросы топологии или
предела входит семейство SB подмножеств X множества £",
обладающих тем свойством, что пересечение X Л X' двух
элементов из SB содержит элемент X" из SB. Но чтобы сделать из
этого замечания аксиому, следует учесть, что если пустое
множество входит в SB, то поскольку для любого подмножества А
из Е имеем место 0с=Л, условие, что X Л X' содержит X",
будет в этом случае всегда выполняться при X" = 0. Необходимо
сформулировать условие более точно.
С другой стороны, это пустое подмножество будет играть,
важную роль. В самом деле, грубо говоря, для семейства SB
свойство 0 ф$В (т. е. что никакой элемент из SB не является
пустым) связано с понятием предела, а свойство 06^
связано с понятием топологии.
Мы условимся раз и навсегда не рассматривать пустые
семейства.
Определение. Фундаментальным семейством на множестве Е
называется такое непустое семейство SB подмножеств из £, что
1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
137
для любых двух элементов X и X' из 36 их пересечение X П X'
содержит элемент X" из 36, причем этот элемент X" отличен
от 0, если X П А" Ф 0.
Сделаем прежде всего следующие замечания.
Замечания. 1) Если семейство 36 есть фундаментальное
семейство на множестве Е, если оно содержит непустые
элементы и если 0g^, то это не означает, что в 36 существуют
такие непустые два элемента X, X', что X [) X' = 0. Так,
можно рассматривать 36, состоящее из 0 и Е.
2) Если непустое семейство 36 есть фундаментальное
семейство и если 0 фЗВ, то никакой элемент из 36 не является
пустым и любые два элемента из 36 (а значит, и конечное число)
имеют непустое пересечение.
3) Если 36 есть заданное семейство и если 0 ф36, то для
того, чтобы узнать, является ли 36 фундаментальным
семейством, достаточно взять произвольные два элемента X и Х/ и
доказать, что X Л X' содержит некоторое X" е 36.
4) Если 36 есть заданное семейство и если установлено, что
для двух непустых элементов выполняется X П Xf = 0, то для
того, чтобы узнать, является ли 36 фундаментальным
семейством, необходимо прежде всего убедиться в том, что 0 е 36.
5) Условие X П Х/ е 36, являющееся более узким, также
определяет фундаментальное семейство.
6) Семейство, состоящее из единственного подмножества
некоторого множества, фундаментально. Оно не представляет
никакого интереса.
7) Если 36 есть фундаментальное семейство, не содержащее
0, то, добавляя 0 к 36, мы получаем снова фундаментальное
семейство.
Примеры. 1) Пусть Е— некоторое множество. Семейство
36, состоящее из Е и из 0У фундаментально.
2) Пусть 36 есть множество всех подмножеств множества Е.
Это семейство фундаментально. В самом деле, 0 е 36, и если
существуют непустые непересекающиеся X е 36, Х/' ^36\ то
X П Х/ = 0; если же X Л X' непусто, то существует некоторый
элемент х^Е, содержащийся в Х(]Х\ а значит, непустое
пересечение X П X' содержит подмножество, состоящее из
единственного элемента х.
2') Пусть 36 есть множество непустых подмножеств Е. Если Е
содержит по крайней мере два различных элемента х и х', то 36
не будет фундаментальным семейством, ибо 0 ф36. Если же Е
содержит только один элемент, то 36 есть фундаментальное
семейство.
3) Пусть множество 36 подмножеств из Е состоит из
подмножества 0 и подмнджеств, образованных единственным
элементом. Это семейство фундаментально, ибо если Xef ц
138
ГЛ. V. топология
X' е и?, то единственным случаем, когда X[\Xf ф 0, будет тот,
в котором. X и X' состоят из двух совпадающих точек; в этом
случае X ф 0, X' ф 0 и Л' П X' = Ху или X'.
4) Пусть Е — линейно упорядоченное множество,
содержащее более одного элемента. Если а^Е, Ь^Е, то рассмотрим
открытый интервал ] а, Ъ [, т. е. множество тех х, для которых
а < х < ft; если а = ft, то ] а, & [ = 0. Пусть ,3? есть семейство
всех открытых интервалов. Это семейство фундаментально, ибо
если имеются два непустых элемента
Х = ]а, Ь[, Х' = ]а',Ь'[
и если X П Х/ непусто, то
Х(\Х'=>Х" = ]а", &"[,
где a" = sup (а, а'), Ь" = inf (&, fr').
5) Пусть R — множество действительных чисел, x0^R и
SB — множество непустых открытых интервалов с левым
концом х0; SB есть фундаментальное семейство.
6) Пусть N— множество натуральных чисел 1, 2, 3, ..., я,...
И пусть SB есть множество дополнений конечных подмножеств,
т. е. элемент X е SB есть подмножество из N, содержащее все
натуральные числа, кроме конечного их числа (напомним, что
«конечное число» влечет «по крайней мере одно»). Семейство
SB фундаментально. В самом деле, если X е SB, X' <=SB, то X
содержит по крайней мере все натуральные числа,
превосходящие (надлежащим образом выбранное) натуральное я, X'
содержит натуральные числа, превосходящие натуральное число
п\ и следовательно, X П X' содержит множество X натуральных
чисел, превосходящих sup (п,п')9 и очевидно, что X"^SB. Это
семейство SB не содержит 0.
7) В плоскости, наделенной евклидовой метрикой,
рассматриваемой в элементарном курсе, можно определить
фундаментальное семейство, рассматривая пустое подмножество и
открытые круги, центрами которых являются точки плоскости, а
радиусы равны 1/я, где п е N.
7') Другое фундаментальное семейство составлено
посредством множества открытых кругов, касающихся заданной
прямой в некоторой заданной точке с одной стороны.
§ 2. Свойства
1) Если SB — фундаментальное семейство, то всякое конечное
пересечение элементов из SB содержит элемент из SB, и этот
элемент отличен от пустого, если пересечение не пусто.
2) Пусть Е — некоторое множество, SB — фундаментальное
семейство на Е и / — отображение множества Е во множе-
1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА
139
ство F. И пусть °у — семейство подмножеств из F,
составленное из f(X), где iGf.
а) Вообще говоря, О/ не является фундаментальным
семейством. Приведем пример, изложенный при помощи
элементарных понятий.
Пусть на R имеются два непересекающихся интервала А и
А\ а с другой стороны два пересекающихся интервала В и В'.
Определим посредством сужений линейных функций (f(x)~
= ах-\-$ на А или на А') такое отображение, что 5 = /(/1),
б' —/(/Г). Пусть SB есть фундаментальное семейство,
образованное посредством 0, Л, А'. Тогда °Ц образовано посредством
0, В, В'. SB действительно будет фундаментальным семейством,
так как ЛП0 = Л'П0 = 0 ^SB и A[\A'=-0^SS. Но Щ
уже не будет фундаментальным семейством, поскольку В Л В/
отлично от 0, В и от В'.
б) Но предположим, что 0ф9В. Так как ХФ 0 гф](Х)ф 0,
то 0 ФЩ. Если 7 и У — два элемента из <2/, то У = /(Х) и
^ = /=(^). А поскольку Х(]Х' Ф 0, то в Я? существует такой
элемент X" Ф 0, что ГсХП Х\ и тогда 0 =^= У" =
= f(X")cz/(*n Л с/(*)ГШ*') = >Т11". Отсюда пэлучаем:
Предложение 1, Если SB есть фундаментальное
семейство на Е, не содержащее 0, то прямые образы (при
отображении f множества Е во множество F) элементов из SB
образуют фундаментальное семейство на F, не содержащее 0.
Будем сокращенно говорить, что прямой образ
фундаментального семейства, не содержащего 0, есть фундаментальное
семейство.
3) Пусть А — непустое подмножество из £, SB —
фундаментальное семейство на £ и °У — множество тех У = X П Л, для
которых XczSS (У называется следом элемента X на Л, а °У —
следом семейства SB на Л). Выясним, будет ли °У
фундаментальным семейством. Имеем
УП Г = (Х[\Х'){\А.
Но может оказаться, что если У П У ф 0, то не существует
непустого У"е^, содержащегося в У П У. Так, пусть в
плоскости семейство SB состоит из таких трех открытых кругов Х\, Х2,
^з, что Х\ П Х2 Ф 0 и А'з cz Х\ П ^2, и пусть А — подмножество
плоскости, пересекающее Х\ и Х2, но не пересекающее Х3\ тогда
^1 П Х2 П Л непусто, и в то же время не содержит никакого
элемента из SB.
Таким образом, вообще говоря, след фундаментального
семейства не является фундаментальным семейством.
Предположим, однако, что для любого непустого X из SB
имеет место X П Л ф 0, т. е. любое непустое X пересекает А.
140
ГЛ. V. топология
Тогда в случае, если 0g^, имеем 0е^, поскольку 0 П Л =
= 0. Если
УПУ' = (*П*')ПЛ
непусто, то X П X7 непусто, и значит, содержит непустое X",
которое пересекает Л, и, стало быть,
У П Г =э У" = X" П Л.
Отсюда получаем
Предложение 2. £Ъш Я? есть фундаментальное
семейство на Е и если любое непустое X из SB пересекает некоторое
непустое подмножество А из Е, то след семейства SB на А
является фундаментальным семейством.
4) Пусть / есть отображение Е в F, а у есть
фундаментальное семейство на F. Если У е °Ц, то У есть подмножество из /7.
Но для любых подмножеств А, В из F имеем (когда Л и В
принадлежат f(E)):
АаВ^Г(А)<=Г(В), Г(АПВ) = Г1(А)ПГЩ, Г (0) = 0.
Следовательно, в силу предложения 2 получаем
Предложение 3. Пусть f — отображение Е в F, а <у —
фундаментальное семейство на F. Если любое непустое У из *у
пересекает f(E)y то прообраз при отображении f на Е следа
семейства Щ на f(E) есть фундаментальное семейство.
В частности, если f — отображение Е на F, то прообраз
фундаментального семейства на F есть фундаментальное
семейство на Е.
§ 3. Сравнение фундаментальных семейств
Определение. Пусть на множестве Е имеются два
фундаментальных семейства SB, SB', одновременно содержащие
или не содержащие пустое подмножество 0. Говорят, что SB'
менее сильно, чем SB (или SB более сильно, чем SB'), если
любое непустое X' из SB' содержит некоторое непустое X из SB.
Если SB' менее сильно, чем SB к SB менее сильно, чем SB' >
то говорят, что SB и SB' эквивалентны.
Это понятие входит в вопросы топологии и предела. Вне
зависимости от своих приложений оно приводит к следующему
свойству.
Пусть SB и SB' ■— два фундаментальных семейства на Ег
одновременно содержащие или не содержащие 0. И пусть °U
(соответственно Ш') — множество подмножеств из Е,
полученное добавлением к SB (соответственно к SB') подмножеств,
из £, содержащих некоторый непустой элемент из SB
(соответственно из SB'). Для того чтобы SBr было менее сильно-
2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
141
чем SB, необходимо и достаточно, чтобы <2/'с=ф/, т. е. чтобы
всякий элемент из Щ' был элементом из °Ut
В самом деле, если 0е^', то 0е^, а так как
0Е^/40е^) то 0 6¾. Пусть теперь выбран некоторый
непустой элемент U' 6 °U'\ U' содержит некоторое непустое X'
из SB', и если SB' менее сильно, чем SB, то X' содержит некоторое
непустоэ X из SB, и значит, то же самое верно относительно £/',
откуда следует, что £/'е^. Обратно, если WcztU, то любое
£/' из Ф/' принадлежит <?/; но, по определению семейства °и'',
SB'^°U'\ следовательно, каждое X' из SB' принадлежит <U\
стало быть, либо X' есть некоторое 1е^, либо содержит
некоторое непустое X е SB. В частности, для того чтобы SB
и SB' были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы
Пример. Пусть SB — такое непустое фундаментальное
семейство на Е, что всякое непустое X из SB пересекает
некоторое непустое подмножество А из Е. След SB' семейства SB
на А есть фундаментальное семейство; SB к SB' одновременно
содержат или не содержат 0. Так как каждое непустое SB
пересекает Л, то Xzd X П Аф 0, и значит, SB менее сильно,
чем его след SB'\
РАЗДЕЛ 2
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение топологического пространства.
База открытых окрестностей. База топологии
1. Определение топологического пространства. Множество Е
называется топологическим пространством, если каждому х^Е
поставлено в соответствие непустое семейство <%(х)
подмножеств из £, удовлетворяющее, независимо от х, следующим
условиям:
(В{) <%(х) есть фундаментальное семейство, все элементы
которого содержат х.
(В2) Если у есть некоторая точка элемента Х^$(х), то X
содержит некоторое Y ^3$(у).
Семейство 35(х) называется базой открытых окрестностей
элемента х, а элементы из <%(х) называются открытыми окрест-
ностями элемента х.
Говорят, что на Е определена топология, или топологическая
структура.
Примеры. 1) Каждому х^Е соответствует семейство
&(х), состоящее из единственного элемента Е.
2) Каждому х^Е соответствует семейство $(х), состоящее
из единственного элемента, совпадающего с х.
142
ГЛ. V. топология
3) Каждому действительному числу х соответствует
семейство $(х), состоящее из открытых интервалов ]х— 1/п, лг-f- 1/лг [,
где п е N.
4) Каждой точке х евклидовой плоскости соответствует
семейство $(х), состоящее из всех открытых кругов с
центром X.
Замечание. Семейство $(х) может как содержать, так
и не содержать подмножество {х}у состоящее из единственного
элемента х.
2. База открытых множеств. Пусть Е— топологическое
пространство и пусть °Ы — множество всех элементов X,
принадлежащих всевозможным базам <%1(х) открытых окрестностей.
Сформулируем свойства семейства $11.
Множество всех X, очевидно, покрывает Е.
С другой стороны, пусть X и X' — два элемента из °U и
X О X' — их пересечение. Это пересечение может быть пустым.
Если оно не пусто, то либо X и X' принадлежат одному и
тому же £$(х) (а так как 3$(х) есть фундаментальное семейство,
все элементы которого содержат х, то X П Х/ содержит Xй <=
^38(х), а значит, содержит х), либо Х^38(х), Х'<=$(х') и
хфх'\ но в силу (В2), если у ^ X [} Х\ то X содержит
некоторое Fe^(//), а Х/ содержит некоторое Y'^$(y), и
следовательно, X()X'zdY()Y', и УЛУ содержит У" е= #(*/), а стало
быть, X П X' для любого у е X Л X' содержит У" е %L,
содержащее у.
Пусть теперь 3~ — семейство °Ы с добавленным к нему
пустым подмножеством 0. Стало быть, семейство ZT обладает
следующими свойствами:
(Тх) 3~ есть фундаментальное семейство, содержащее 0.
(Т2) £Г покрывает Е.
(Г3) Каковы бы ни были Х^ЗГ, Ar/Ef, удовлетворяющие
условию X Л X' ф 0, для любого х ^ X [) X' найдется в Т
элемент X", содержащий х и содержащийся в X Л X'.
Обратно, пусть на множестве Е задано семейство £Г
подмножеств из В, удовлетворяющее условиям (7^), (Г2), (Г3).
И пусть для любого xg£ через $(х) обозначено множество
тех X из Т, которые содержат х. Семейство $(х)
удовлетворяет условию (В,), ибо если IgI(x) и Х'^&(х), то
х^Х(]Х' и существует в силу (Г3) такое Х"^$(х)у что
х^Х"а X Л X', и это подмножество Х"^$(х). Семейство
33(х) удовлетворяет (В2), ибо если у<=Х^!%(х), то
множество X является элементом семейства 9~, содержащим у\
полагая У = X, получаем, что Y(=<%(y), откуда следует, что для
любого элемента Х^^(х) такого, что у^Ху существует
элемент Y^^(y) такой, что Y а X, что и доказывает (В2).
2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
143
Стало быть, можно определить топологическое пространство
следующим образом, задавая семейство ЗГ подмножеств из £,
удовлетворяющее условиям (Т{), (Г2), (Т3).
Определение. Семейство ЗГ подмножеств из Е,
удовлетворяющее условиям (7i), (Г2), (^з), называется базой
топологии, или базой открытых множеств. Элементы из ЗГ называются
открытыми множествами базы.
Когда будет возникать потребность в уточнении, мы будем
обозначать топологическое пространство Е через (£, ЗГ) и
будем упрощенно говорить о топологии £Г.
Тогда, в случае необходимости, мы будем для этой
топологии обозначать через SSj-(x) базу открытых окрестностей
элемента х.
Пример. 1) Определим топологию на числовой прямой,
задавая для любого x^R открытые интервалы, содержащие х
или (в качестве семейства ЗГ) семейство всех открытых
интервалов ]а,Ь[ (если а = Ь, то ] a, b [ = 0).
2) Примеры 1, 2, 3, 4, 7 из первого раздела.
3. Окрестности.
Определение 1. Пусть Е — топологическое пространство.
Окрестностью элемента х^Е называется любое подмножество
из Е, содержащее некоторое X ^$(х).
Окрестность часто обозначают через V, V, ...
Семейство окрестностей элемента х обозначается Т(х).
Окрестность никогда не бывает пустой, и $(х)а Y(x), каково
бы ни было х. Хотя чаще всего используются только открытые
окрестности из 3$(х), мы укажем свойства Т{х).
Свойства. Каково бы ни было х е Е, семейство Т(х)
окрестностей элемента х обладает следующими свойствами:
(V\) Всякое подмнолсество из Е, содержащее некоторое
|/gF(jc), есть окрестность элемента х.
(V2) Если V<=T(x) и VvgF(x), то V П V есть окрестность
элемента х.
(V3) Элемент х принадлежит любому V^T(x).
(V4) Если l/£f(4 то найдется такое V'^T(x), что для
любого y^V имеет место V ^Т(у).
Свойства (Vj) и (V3) очевидны.
Чтобы доказать (V'2), заметим, что V содержит некоторое
X^gg(x), а V содержит некоторое Х'^$(х); значит, V П V
содержит X П X', и в силу (В{) содержит некоторое X" <= $(х),
а следовательно, является окрестностью для х. Свойство (V2)
указывает, что Т(х) есть фундаментальное семейство, не
содержащее 0.
Для доказательства (V^) рассмотрим какое-нибудь V^T(x);
V содержит некоторое Хе^(х). Пусть i/gI; значит, XzdY,
где 7eI(j/), и V содержит элемент из ^(у), а следовательно,
144
ГЛ. V. топология
V^T(y) для любого i/gI Это свойство (V4) формулируется
часто следующим образом: окрестность точки х является также
окрестностью для точек, достаточно близких к х9 причем
выражение «достаточно близких к...» означает, что «существует
окрестность точки х, точки которой имеют своей
окрестностью...».
Замечание. Если рассматривать окрестности точки х
топологического пространства, то может оказаться, что
подмножество {х}, состоящее из единственного элемента х, будет
окрестностью точки х. Но поскольку окрестность точки х есть, по
определению, подмножество, содержащее некоторое Хе1(х),
то это влечет, что {х} ^$(х).
Определение 2. Пусть Е — топологическое пространство и
А — подмножество из Е. Окрестностью множества А называется
любое подмножество из £, которое для любого xg/1 содержит
некоторое Х(=$(х).
Примеры 1). Если топология на числовой прямой R
определена заданием открытых интервалов ] a, b [, то окрестностью
точки x^lR является подмножество из /?, содержащее
открытый интервал, содержащий х.
2) Точно так же окрестностью подмножества А из R будет
такое подмножество V из /?, что для любого х^А существует
открытый интервал, содержащий х и содержащийся в V.
Например, приписывая каждому х <= А открытый интервал /х,
содержащий ху мы получаем, что объединение (J 1Х есть окрест-
ность множества А.
4. Открытые множества, замкнутые множества.
1. Определение внутренности. Пусть Е —
топологическое пространство и А — непустое подмножество из Е. Точка
х из Е называется внутренней точкой множества Л, если А
содержит некоторое Х<^$(х)\ множество внутренних точек
множества А называется внутренностью множества А и
обозначается А. Принято считать, что внутренность пустого множества
есть оно само.
Подмножество А из Е может не иметь внутренних точек.
Например, на числовой прямой R (множестве действительных
чисел, наделенном топологией примера 1, п. 2) подмножество,
состоящее из одного элемента, не имеет внутренней точки.
Когда А не имеет внутренней точки, свойство х^А не выполняется
ни для какого элемента из Е\ тогда пишут А = 0.
Всякий внутренний элемент множества А принадлежит А.
Следовательно, А а А.
Заметим, что если А содержит некоторое Хе1(х) (т. е.
некоторое Хее^Г, содержащее х)у то А содержит и окрестность
точки х, а значит, является окрестностью для х. Обратное оче-
2 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
145
видно. Таким образом, внутренность множества А есть
множество тех точек из Л, для которых А является окрестностью.
2. Определение замыкания. Пусть Е—
топологическое пространство и А — непустое подмножество из Е. Точка х
из Е называется точкой прикосновения множества Л, если
любое Х^$(х) пересекает Л, т. е. имеет непустое пересечение с А.
Множество точек прикосновения множества Л называется
замыканием множества Л и обозначается Л.
Принято считать, что замыкание пустого множества есть
пустое множество.
Всякая точка из Л есть его точка прикосновения, ибо если
xg/1, то для любого XGf, содержащего х, X (] А содержит х,
и значит, непусто. Стало быть, А а А.
Заметим, что если для любого Х^^(х) пересечение X [\ А
непусто, то для любой окрестности V точки х пересечение V[\A
непусто. Обратное очевидно.
о _
Таким образом, для того чтобы определить Л и Л, нет
необходимости ^обращаться ко множеству всех окрестностей
точки х\ достаточно воспользоваться базой окрестностей Ш(х).
Важное замечание. Для пространства Е имеем Е =
о
= Е = Е.
3. Граница. Точка х называется внешней ко множеству Л,
если она является внутренней для дополнения к Л. Однако
точка, не являющаяся внутренней к Л, может не быть и
внешней к Л. Если точка х не является ни внутренней, ни внешней
для множества Л, то она обладает тем свойством, что любое
Х^${х) содержит точку из А и точку из СЛ; такая точка
называется граничной точкой множества Л; она служит точкой
прикосновения одновременно для Л и для СЛ.
Множество граничных точек множества Л называется его
границей] граница чаще всего обозначается fr Л. Итак,
кА=Д(] СЛ.
Отметим, что Л и СЛ имеют одну и ту же границу и что
внутренность, внешность и граница множества Л не имеют попарно
общих точек.
4. Плотное множество, всюду плотное
множество. Пусть Е — топологическое пространство и пусть Л
и В —- два подмножества из Е. Говорят, что Л плотно
относительно Ву если каждая точка_ из В есть точка прикосновения
множества Л, т. е.'если В а А. Если В — Е, то говорят, что А
плотно в Е, или всюду плотно, и в этом случае А = Е.
Так, можно показать, что относительно топологии числовой
прямой R множество Q рациональных чисел плотно в /?, что
множества двоичных чисел (вида k/2n, где k — целое число,
146
ГЛ. v. топология
принимающее значения 0, 1, 2, ..., 2n, а п — натуральное
число), троичных чисел (вида k/3n) плотны относительно
интервала [0, 1], что множество числовых ступенчатых функций на
замкнутом интервале [а, Ь] прямой, наделенное топологией рав^
номерной сходимости, плотно относительно множества
непрерывных функций (ср. ниже) и т. д.
5. Свойства внутренности, свойства
замыкания. Пусть А — подмножество топологического
пространства Е. Если х — внутренняя точка для С Л (т. е. внешняя
для Л), то найдется такое Хб1(4 что ХсСЛ, и значит,
такое, что X П А = 0. Более того, х не является точкой
прикосновения для Л, так как если бы х была точкой прикосновелия
множества Л, то любое XeI(^) содержало бы точку из Л.
Следовательно, если х — внутренняя точка для СЛ, то х
принадлежит дополнению к Л, и точно так же, если х есть точка
прикосновения дополнения к Л, то л: принадлежит дополнению
к внутренности множества Л. Отсюда сразу следует, что
о
сл = 6л, сл = сл.
С другой стороны, для двух подмножеств Л и В имеют место
формулы
о
аКв = А(]в и a]Jb = a\jb.
Достаточно доказать первую из них. В самом деле, пусть
имеются два подмножества Л и В. Если х — внутренняя точка
для Л П В, то Л П В содержит некоторое А'е^(х), и значит,
Л и В содержат X, а стало быть, х является внутренней для Л
и для В. Обратно, если х — внутренняя точка для Л и для В,
то существуют такие Хе1(х), Х'^$(х), что хеХс/1,
х е= X' cz В. Следовательно, X П А" cz Л П В. Но X П X'
содержит некоторое Х"^<%(х), и значит, X" cz А П В, а стало быть,
х является внутренней точкой для Л П В.
6. Определение и свойства открытых и
замкнутых множеств. Множество топологического
пространства называется открытым, если оно тождественно своей
внутренности.
Множество топологического пространства называется
замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.
Всякий элемент X базы топологии £Г является открытым
множеством.
Пусть О — непустое открытое множество и F = E — О — его
дополнение. Если х ^ О, то х ф F, поскольку х может быть
заключено в такое множество Х(=$(х), что X cz О (так как
о
0 = 0), то не может быть выполнено следующее свойство:
2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
147
«каково бы ни было Х^ЗЗ(х), X содержит некоторую точку
из F». Следовательно, дополнение открытого множества
замкнуто. Точно так же: дополнение замкнутого множества
открыто.
Объединения, пересечения. Пусть Oi — семейство
открытых множеств и
i
— их объединение. Если xg/1, то х принадлежит по крайней
мере одному из Ог, скажем, Оа. Так как Оа открыто, то
существует такое ХеК(^), что X czOaczA. Тем самым доказано,
что А открыто.
Пусть
A = f]0i
1
конечное пересечение открытых множеств. Если ig/1, то х
принадлежит всем 0{. А поскольку Ot открыто, то существует
XjG^(x), содержащееся в 0{. Но Х\Г\Х2 содержит Х^
gI(x); Х2ПХ3 содержит Х'з^Я(х)9 и т. д.
Таким образом, существует множество X' ejf(*),
содержащееся в
п
1
и значит, содержащееся в А.
Итак, получены следующие две теоремы, из которых вторая
вытекает из первой при помощи того соображения, что
дополнение открытого множества замкнуто.
Теорема 1. (0{) Всякое объединение открытых множеств
есть открытое множество.
(02) Всякое конечное пересечение открытых множеств есть
открытое множество.
Теорема 2. (F{) Всякое пересечение замкнутых множеств
есть замкнутое множество.
(F2) Всякое конечное объединение замкнутых множеств есть
замкнутое множество.
Следствия и замечания. 1) Все элементы X базы
топологии 2Г являются открытыми множествами. Если X е 3~,
X' е 3", то для любого хеХПХ' существует такое Х'\ что
хеГсХПГ (аксиома Г3). Следовательно, X Л X' есть
объединение всех X", связанных таким способом с элементами х
из X П X'. Стало быть, X Г) X' в силу (0{) открыто. Но X П X'
также открыто в силу (02).
148
ГЛ. V. топология
2) База открытых окрестностей ${х) есть семейство
открытых множеств; произвольная же окрестность точки х не
является, вообще говоря, открытым множеством.
3) Е и 0 одновременно открыты и замкнуты.
4) Условие (02) влечет, что (Гз) выполняется.
Следовательно, семейство открытых множеств есть база топологии на Е.
Но из предыдущего вытекает, что для определения топологии
не обязательно задавать все открытые множества.
5) Поскольку открытое множество О было определено как
совпадающее со своей внутренностью, то это означает, что
каждая точка xgO есть внутренняя точка множества О, и
значит, что для любого хеО существует такое ZgI(x), что х е
gXcO; следовательно, О является окрестностью каждой своей
точки. Обратно, если О есть подмножество топологического
пространства £, являющееся окрестностью каждой своей точки,
то всякая точка х из О есть его внутренняя точка; стало быть
о о о
О с: О; но так как всегда ЛсЛ, то здесь О с: О cz О, и значит,
о
0 = 0.
6) Предыдущее замечание доказывает также, что любое от-
крытое множество является объединением открытых множеств
базы.
7) Для любого подмножества А топологического
пространства Е называют окрестностью множества А любое
подмножество, содержащее некоторое открытое подмножество,
содержащее А (что эквивалентно определению 2) п. 3). Когда мы
будем пользоваться такими выражениями как открытая
окрестность, замкнутая окрестность, компактная окрестность, связная
окрестность (см. ниже), это будет означать, что рассматривается
подмножество из Л, которое, с одной стороны, является
окрестностью (т. е. содержит открытое множество, содержащее Л),
а с другой стороны, обладает свойством быть соответственно
открытым, замкнутым, компактным, связным.
8) Если А и В — непересекающиеся непустые_ открытые
подмножества топологического пространства £, то А и В (а также
Л и Б) не пересекаются. В самом деле, допустим, что хеДПВ.
Так как В открыто, то существует некоторое XgI(x),
содержащееся в В\ а так как х — точка прикосновения множества Л,
то любое XgI(x) содержит некоторую точку из Л; стало
быть, А и В должны пересекаться.
5. Пример. Этот пример использует свойства действительных
чисел.
Построим сначала на [0, 1] множество А следующим образом.
Это множество Л будет объединением счетного числа
интервалов; первым из этих интервалов будет ] 1/3, 2/3 [; двумя
следующими будут интервалы ]1/32, 2/32[, ]7/32, 8/32[, и так далее;
2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
149
выбирается «средняя треть». Так как Л открыто, то А = А
А поскольку все троичные числа k/3n являются точками
прикосновения для А и образуют плотное множество относительно
[О, 1], то А = [0, 1].
Пусть В = [1,2]; С есть счетное плотное множество на [2,3],
a D — множество, состоящее из единственной точки 4. Множе-
о
ство В замкнуто и 5=]1, 2[. Замыкание множества С есть
_ о о
[2, 3] = С, но С = 0, так как С открыто, а С, будучи счетным,
не содержит никакого открытого интервала.
о"
Если для некоторого множества Е обозначить через Е замы-
о
кание внутренности, через Е — внутренность замыкания и т. д.,
то для
E = A\]B\]C\]D
имеем
Е = А\}]19 2[, £ = [0, 2], £=]0, 2[,
£ = [0, 3]иД £ = ]0, 3[, £ = [0,3].
Следовательно, семь множеств, полученных таким образом,
попарно различны. Можно показать, что если в топологическом
пространстве построить, исходя из некоторого множества Л,
— ° j?
множества Л, Л, Л, и т. д., посредством операций, состоящих
во взятии замыканий или внутренностей, то нельзя получить
попарно различных множеств более, чем семь предыдущих.
В самом деле, если Л и В — два подмножества топологического
° ° _ _. _
пространства и если Л с В, то Л с В и Л с В. Так как Л с Л, то
я
AczA.
о о. о.
Если Л открыто, то А = А и Л с: Л. Поскольку множество Л
открыто, то
о "о — "о
Точно так же ЛсиЛ, Л с: Л. Если Л замкнуто, то Л с: Л.
_о
"о 2. —
А так как Л замкнуто, то AczA, и значит, AczA.
Следовательно, для любого подмножества т Е имеем
2.-2-
Ас: Л с: Л,
150
гл. v. топология
и, стало быть,
— °.
А = А.
Точно так же
it
о о
А = А.
§ 2. Сравнение и построение топологий
1. Сравнение двух топологий на одном и том же множестве.
Определение. Пусть на одном и том же множестве Е имеются
две базы топологий Т и ЗГ'. Говорят, что топология Т' является
менее сильной, чем Т (или ЗГ— более сильной, чем ЗГ'), если
для любого х е Е база окрестностей £$?' (х)ф является менее
сильной чем база окрестностей $?{х), т. е. если всякое
множество X' из ЗГ', содержащее х, содержит некоторое множество X
из ЗГ, содержащее х, и это имеет место для любого х е Е.
Свойство. Для того чтобы ЗГ' была менее сильной, чем £Г,
необходимо и достаточно, чтобы O'czO, если через О'
обозначено множество открытых множеств из (£, ЗГ'), а через
О — множество открытых множеств из (£, ЗГ). Действительно,
предположим, что любое X' ^Sftr>(x) содержит некоторое
X^3lj-(x), и обозначим через А некоторое подмножество из £,
открытое в (£, ЗГ'). Если xg/1, то существует такое X*' е£Г',
что хеГсЛ Атаккак X' <= 2$?' (х), то существует Xg^ (х),
содержащееся в Х'\ значит, х^ XczX'czA, или х^ХаА, чем
доказано, что всякая точка из А является внутренней для А
в (Е, ЗГ). Следовательно, А открыто в (Е, Т). Обратно,
предположим, что любое подмножество А из £, открытое в (£, ЗГ'),
открыто также в (Е, ЗГ). Тогда, в частности, любое X' из ЗГ'
открыто в (Е, ЗГ), и значит, является объединением элементов
IgJ*. Пусть теперь X' ^&г(х)\ X' открыто в (Е, ЗГ) и
содержит х, или, иными словами, х есть внутренняя точка
множества X' в (£, ЗГ), а стало быть, существует такое Х^ЗГ,
что х^Х^Х'. Но поскольку xgI, то Zg^W. Таким
образом, любое X'^&j"(x) содержит некоторое JgIj-(x),
и это имеет место при любом xg£,
Эквивалентные топологии. Будем говорить, что две
топологии ЗГ и ЗГГ эквивалентны, если для любого х^Е
каждое Х'^Яг'(х) содержит некоторое IgIjW и если
любое IgIjW содержит некоторое X' ^&j"(x).
Сформулированное выше свойство влечет, что для того
чтобы две топологии были эквивалентны, необходимо и
достаточно, чтобы семейства открытых множеств были идентичны.
Замечания и комментарии. Часто принимается
следующее определение: некоторая топология ЗГ' является менее
2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
151
сильной, чем другая, если О'а О. Но тогда предполагаются
определенными все открытые множества для каждой
топологии.
Например, если рассматривать евклидову плоскость, то все
свойства, относящиеся к понятиям предела и непрерывности,
устанавливаются обращением к открытым прямоугольникам
(произведению открытых интервалов) или к открытым кругам
(множеству точек, отстоящих от некоторой точки на расстояние,
строго меньшее некоторого заданного строго положительного
числа). Здесь снова в принципе следовало бы определить все
открытые множества, исходя из того и из другого определения,
и удостовериться, что это одни и те же множества. Это
производится в точности следующим образом: нужно убедиться в том,
что любой круг с центром х содержит некоторый
прямоугольник, содержащий ху и наоборот. При определении, принятом
ранее, свойство очевидно.
Кроме того, в предыдущем примере, если пересечение двух
открытых прямоугольников, в случае, если они непусты, также
непусто, то оно является открытым прямоугольником, а
пересечение двух непустых открытых кругов, вообще говоря, не будет
открытым кругом. Поэтому мы принимаем предыдущее
определение понятия базы топологии, интерпретируемое следующим
образом: это есть семейство таких открытых кругов X, Х\ ...,
что если xgX[1 Х\ то существует открытый -круг Хп',
обладающий тем свойством, что
x*=X"czX[\X'.
2. Индуцированная топология.
Определение. Пусть (Е, £Г) — топологическое пространство,
и А — подмножество из Е. Семейство подмножеств из А вида
X П А, где Х^?Г, есть фундаментальное семейство подмножеств
из Е, удовлетворяющих (Т\), (Г2), (Г3). Определенная таким
образом топология на А называется топологией,
индуцированной на А топологией Т, а множество А называется
подпространством пространства Е.
Действительно, множества X П А образуют фундаментальное
семейство, ибо если X П X' zd X", то
(X П Л) П (Г П А) = X П X' П A zd X" П А.
Эти подмножества составляют, очевидно, покрытие множества
А. Наконец, если xgXH X' П Л, то х^Х П X', и значит,
существует такое X"^ST, что хеГс^ПГ, а так как xg/1, то
хе=Х"[\АаХ[\Х'[\А.
3. Образы топологии. Пусть Е и F — два множества. И пусть
f есть отображение Е на F. Если 96 — фундаментальное
152
ГЛ. v. топология
семейство на Е и 0 ф<%, то f (<%?) будет фундаментальным
семейством на F. Если °У — фундаментальное семейство на F, то
\~Х(°У) является фундаментальным семейством на Е (раздел 1).
Естественно задаться вопросом, будет ли это так, если
на Е или на F заданы фундаментальные семейства,
удовлетворяющие (Ti), (Г2), (Г3), т. е. топологии. Ответом является
следующее предложение.
а) Если 3~ — база топологии на Е, то f(£T), вообще говоря,
не будет базой топологии на F.
б) Если 3~ — база топологии на F, то \~Х(%Г) —база
топологии на Е.
Чтобы доказать я), возьмем Е, составленное из двух
непересекающихся интервалов X, X' на числовой прямой. В
качестве 3~ возьмем множество подмножеств X, Х\ X U Х\ 0.
И пусть F — множество двух различных интервалов У, У
прямой, имеющих общий интервал. Установим взаимно
однозначное соответствие между X и У, X' и У (например, посредством
аффинных функций). Отображение f множества Е на F дает
f(X) = Y, f(X') = Y'9 f(X[)X') = f(X)[)f(X') = Y[)Y', /(0)=0.
Но если
y€=Y{]Y' = f(X)()f(X'),
то f(X) flf(*') не содержит ни f(X), ни f(X'), ни f(X) \Jf{X').
Чтобы доказать б), возьмем базу 3" топологии на F\
множество прообразов f~l(X) составляет фундаментальное семейство
на Е и составляет также покрытие (аксиома Т\), и если
Х*=Г1(Х)()Г1(Х') = Г1{Х()Х')9
то поскольку X П Х/ содержит некоторое X", содержащее f (я),то
^r'U'O^r'wnr'U')
(аксиома Г3).
Замечания. 1) В предыдущем вопросе не предполагается,
что базы топологии задаются одновременно на £ и на F;
предложение б) означает, что прообраз на Е топологии на F есть
некоторая топология. Ниже будет показано, что это означает,
что если наделить Е топологией f~l(£T)y где £Г —топология
пространства F, то это приведет к взятию непрерывного
отображения f пространства Е на F.
2) Если отображение f есть отображение Е в F, то в
предыдущих предложениях F заменяется на f(E).
4. Произведение топологических пространств. Мы
ограничимся произведением конечного числа топологических
пространств.
2. ТОПОЛОГИЧПСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
153
Пусть Ei (t=l, 2, ..., п)—топологические пространства,
определенные посредством базы топологии STi. И пусть Е =
= UEi есть произведение п пространств. Элемент х^Е есть
упорядоченное множество (х\, х2, ..., хп) из п элементов,
принадлежащих соответственно Еи Е2, ..., Еп. На Е
рассматривается семейство Т подмножеств X из Е, где X = П^-, причем
Х% — некоторый элемент из &~г\ £Г есть база топологии на Е,
которая называется топологией — произведением.
Семейство £Г является фундаментальным и составляет
покрытие множества Е\ это очевидно. Пусть теперь X и X' — два
элемента из £Г, имеющие непустое пересечение; пусть х ^Х[\Х'.
Имеем
х = (хи х2, ..., ^)еП^ПП XI .
Следовательно, xt е Х( П Х'г Но так как Т{ есть база
топологии на Ег то существует такое Х"^ЗГЬ, что x^X'fcz
czXtflXi, откуда
xeERX'fczUXtnllXl
(аксиома Т3).
Пример. 1) Если взять на R2 топологию, определенную
посредством открытых прямоугольников, то они- являются
произведениями открытых интервалов из /?, и полученная топология
является топологией — произведением топологии прямой R на
себя.
2) Можно определить топологию — произведение на R3
посредством топологии прямой R или как произведение топологии
в R на топологию в R2.
Замечание. Очевидно, что если одна или несколько
топологий 3~х заменяются на эквивалентные топологии, то
полученная в качестве произведения топология эквивалентна
предыдущей.
§ 3. Топологии, определяемые счетными семействами
Здесь будет изучен случай, важность которого станет ясна
при рассмотрении метрических пространств.
Речь идет главным образом о выяснении того, не приводит
ли к определению, более гибкому, чем определение исходной
топологии, предположение о том, что семейства ^(х) открытых
окрестностей любого х счетны.
Пусть Е — топологическое пространство, определенное
заданием для любого х^Е некоторого семейства $(х) подмножеств
из Е, удовлетворяющих (Bi) и (В2) (ср. § 1). Предполагается,
154
ГЛ. V. топология
что для любого х семейство $(х) счетно. Для любого х
предполагается, что элементы из $(х) располагаются в
каком-нибудь порядке: Хи Х2, ..., ХП9 ... Пусть
Xn==f]Xh
1
и пусть через &' (х) обозначено семейство множеств Х'п.
Для любого п имеем Х'п^эХп+\; семейство $' (х) убывает.
1) Всякий элемент из 38'(х) содержит х.
2) Так как семейство множеств Х'п убывает, то пересечение
двух элементов из $'(х) есть элемент из $'{х).
Следовательно, $'(х) есть фундаментальное семейство, не
содержащее 0.
3) Пусть Хр — произвольный элемент из 38' (х). Тдк как Хр
есть пересечение конечного числа множеств Xt и так как
пересечение двух элементов из 38 (х) содержит элемент из 38(х)9
то Хр содержит элемент из 38 (х). Обратно, пусть Хр^$(х).
Имеем
р
Хр= (J Xk cz Хр.
k=\
Значит, любой элемент из 38 (х) содержит некоторый элемент из
38'(х). Следовательно, фундаментальные семейства 38 (х) и
3& (х) эквивалентны.
4) Исследуем, наконец, будут ли семейства 38'(х)
удовлетворять условию (В2).
Пусть имеется некоторый элемент из $'(х)\ например,
р
Хр = \] Xky
1
и пусть у^Х'р. Так как семейство 38 (х) удовлетворяет (В2)
и так как
y^f]xk
1
влечет, что y^Xk (для k = 1, 2, ..., р)9 то для любого k
существует такое Y<=$(y)y что У cz Xh. Обозначим У через Ymk
(при условии, что элементы из 38(у) расположены в некотором
заданном порядке, как было принято вначале). Тогда для
k = 1, 2, ..., р имеем у е Ymk cz Xk. Значит,
р р max mk
1 1 1
Следовательно, для любого элемента X' из 38'(х) и любого j/s
е X' существует такое множество Y'^38'(x)9 что у е Y' cz X'.
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
155
Отсюда вытекает, что семейства множеств $'(х) определяют
топологию на Е и что эта топология эквивалентна топологии,
определенной посредством исходных семейств $(х).
Подытоживая* этот результат, сформулируем следующую
теорему.
Теорема. Пусть Е— топологическое пространство,
топология которого определяется базой открытых окрестностей $(х).
Предположим, что для любого х семейство $(х) счетно и его
элементы расположены в некотором порядке. Образуем для
любого х семейство $' {х), элементы которого имеют вид
f]xk,
где Xh^$(x). Тогда $'(х) определяют на Е топологию,
эквивалентную исходной топологии.
Интерес заключается, в частности, в том, чтобы иметь
возможность предположить, что топология определена посредством
счетных баз открытых окрестностей, образующих убывающую
последовательность.
Замечание. Частным случаем является случай, когда
топология задается базой открытых множеств £Г, и £Г есть счетное
семейство. Отсюда вытекает, что для любого х семейство $(х)
счетно, и тогда можно предположить, что топология определена
заданием в любой точке х убывающей последовательности
открытых окрестностей.
Примеры. Примером, иллюстрирующим предыдущую
теорему, является пример метрических пространств, а примером,
иллюстрирующим частный случай, является пример числовой
прямой или пространства Rn.
РАЗДЕЛ 3
ОТДЕЛИМЫЕ, КОМПАКТНЫЕ, ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ
И СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этом разделе представлены некоторые тины общих
топологических пространств. Предположения, сделанные относительно
топологии этих пространств, порождают свойства, которые не
имеют места в общем топологическом пространстве.
Их важность подчеркивается всюду понятиями предела и
непрерывности (4 и 5 разделы): понятие отделимого
пространства соответствует единственности предела (для семейств
надлежащим образом выбранных элементов), а понятия
компактного или связного пространства соответствуют основным
свойствам непрерывных функции.
156
гл. v. топология
§ 1. Отделимые пространства, регулярные пространства
1. Отделимые пространства.
Определение. Пусть Е — некоторое множество и ЗГ— база
топологии. Говорят, что топология множества Е отделима, или что
Е — отделимое пространство, если для любых х^Е, у ^Е
существуют Х^^(х), Y^$(y) без общих точек. Отделимое
пространство называется также пространством Хаусдорфа.
Говорят еще, что в отделимом пространстве можно «отделить
две точки непересекающимися открытыми множествами базы».
Если Е — отделимое пространство в одной топологии, то оно
отделимо и для любой эквивалентной топологии.
Примеры. 1) Числовая прямая R есть отделимое
пространство относительно топологии, определенной при помощи
семейства ЗГ открытых интервалов.
2) Всякое метрическое пространство (см. ниже) отделимо.
3) Пространство 9? не является отделимым, а
пространство L отделимо (см. Интегрирование).
Свойства. 1) Для того чтобы пространство было
отделимым, необходимо и достаточно, чтобы можно было отделить
две точки непересекающимися окрестностями (очевидно).
2) Любое подпространство отделимого пространства
отделимо (очевидно).
3) Если топология ЗГ' является более сильной, чем ЗГ и
если (£, ЗГ) отделимо, то (Е, ЗГ') тоже отделимо. В самом
деле, если 3Tf — более сильная топология, чем ЗГ, т. е. если
ЗГ — менее сильная, чем ЗГ\ то всякое IgIj-(x) содержит
некоторое множество X'^&j"(x). Стало быть, если xgZ,
y^Y, Х<^ЗГ, Y^3T и Х()У = 0, то тем более будет
выполняться X'(]Y'=0.
4) В отделимом пространстве всякое множество, состоящее из
одной точки, замкнуто. Действительно, пусть в отделимом
пространстве Е имеется множество, состоящее из единственного
элемента х. Покажем, что дополнение Е — х открыто, т. е. любая
точка у <= Е — х является внутренней для Е — х. Но поскольку
Е отделимо, то можно найти некоторое Y^3§(y), не
содержащее ни одной точки из некоторого Х^$(х)\ тогда тем более
хф. Y, а так как х — единственная точка из Е, не
принадлежащая Е — х, то отсюда следует, что Е — х содержит некоторое
Уе^, содержащее у, и значит, у есть внутренняя точка для
Е — х, или, иначе говоря, Е — х открыто, а множество из одной
точки х замкнуто.
2. Регулярные пространства. Эти пространства являются
более специальными, чем отделимые. Отделимое пространство-^
это то пространство, в котором две (различные) точки могут
быть отделены непересекающимися открытыми множествами.
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
157
Регулярное пространство есть отделимое пространство, в
котором, помимо того, можно замкнутое множество и не
принадлежащую ему точку отделить двумя непересекающимися
открытыми множествами, т. е. если А— замкнутое множество и хфА,
то молено найти такое содержащее х открытое множество О и
такое содержащее А открытое множество О', что О П О' = 0.
Это условие эквивалентно следующему условию.
Предложение. Для того чтобы отделимое пространство Е
было регулярно, необходимо и достаточно, чтобы для любого
х е Е всякое открытое множество, содержащее х, содержало
некоторую замкнутую окрестность, содержащую х.
Напомним, что замкнутая окрестность точки х (или вообще
подмножества из Е) есть замкнутое подмножество из Е,
содержащее открытое множество О, которое содержит х, или,; что то
же самое, содержащее некоторое Х<=$(х).
Пусть Е регулярно, х — точка из £ и X — открытое
множество, содержащее х. Множество А = СХ замкнуто и хфА\
стало быть, можно найти такие два открытых множества О и О',
что х е= О, А а О' и О П О' = 0. Но
CXczO'=$Xzd СО'
и
ОПО'=0=фОс:СО'.
Следовательно,
^GOcCO'cI
Множество СО' замкнуто, содержится в X и содержит
открытое множество, содержащее х\ значит, X содержит замкнутую
окрестность точки х.
Обратно, предположим, что для любой точки х
пространства Е всякое открытое множество X, содержащее х, содержит
замкнутую окрестность точки х, т. е. содержит такое открытое
множество О, что
xzeOczOczX.
Пусть А — замкнутое множество, не содержащее х; тогда х
принадлежит СА, которое открыто, и стало быть, существует
такое открытое множество О, что
шОсОсСЛ.
OczCA^AczCO = 0\
Открытое множество О' содержит А, О содержит х, и О П О' =
= 0.
158
ГЛ. v. топология
§ 2. Компактные пространства
Понятие компактного пространства имеет своим истоком
«лемму о покрытии» Бореля — Лебега. Это свойство для
числовой прямой формулируется следующим образом: если семейство
открытых интервалов покрывает некоторый замкнутый
ограниченный интервал прямой (или вообще ограниченное замкнутое
множество), то существует конечное подсемейство, обладающее
тем же свойством покрытия. Эта лемма, принятая за аксиому,
определяет компактные пространства (примерами которых
служат ограниченные замкнутые множества на R). Практически
рассматриваются лишь те компактные пространства, которые
являются прежде всего отделимыми.
1. Компактные пространства.
Определение. Говорят, что пространство (Е,£Г), где ?Г —
база топологии, компактно, если оно отделимо и если любое
покрытие пространства Е открытыми мнооюествами из 2Г содержит
покрытие, состоящее из конечного числа этих открытых
множеств.
Свойства. 1) Для того чтобы отделимое пространство Е
было компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякое его
покрытие открытыми множествами содержало конечное
покрытие открытыми множествами.
Действительно, если свойство верно для любого покрытия
открытыми множествами, то оно верно, в частности, для любого
покрытия открытыми множествами из 0~. Обратно, если Е
компактно и если имеется (произвольное) покрытие открытыми
множествами, то каждое х ^Е содержится в некотором из этих
открытых множеств О; но существует такое lef, что
xg^cO. Множество этих X снова покрывает Е\ стало быть,
имеется конечное число множеств (которым соответствуют
открытые множества О), покрывающих Е.
Замечание. Здесь снова видно, что нет необходимости
рассматривать все открытые множества. С другой стороны, если
на Е задана топология посредством счетной базы 2Г (это не
будет так для любой топологии), то компактность (или ее
отсутствие) будет доказана, если рассматривать только покрытия
счетными семействами. 5то имеет место на прямой, где первое
доказательство леммы Бореля о покрытии предполагало
покрытие счетным.
2) Для того чтобы отделимое пространство Е было
компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякое семейство замкнутых
множеств с пустым пересечением содержало конечное семейство
с пустым пересечением.
Это свойство выводится из предыдущего при помощи
двойственности.
3. ОТДЕЛИМЫЕ7 ПРОСТРАНСТВА
159
3) Если Е компактно относительно топологии ЗГ, то оно
компактно и относительно отделимой топологии ЗГ', менее сильной,
чем ЗГ, и в частности, для эквивалентной топологии.
Действительно, пусть ЗГ'— база открытых множеств, менее
сильная, чем база открытых множеств ЗГ (ср. § 2, 1)). И пусть
имеется произвольное покрытие пространства Е множествами
X' <^.ЗГ'. Тогда для любого х^Е существует Х/ из семейства ЗГ',
содержащее х. Но так как ЗГ' — менее сильная топология, чем
ЗГ, то X' содержит некоторое Х^ЗГ, содержащее х. Множество
этих X покрывает Е, а поскольку (Е,ЗГ) компактно, то конечное
число Хи Х2, ..., Хр этих множеств X покрывает Е, и тем более
покрывают его множества Х{, Х2, • .., Х'р, содержащие
соответственно Хи Х2, ..., Хр. Тем самым доказано, что (Е,ЗГ')
компактно.
2. Компактные множества.
Определение. Говорят, что подмножество Е отделимого
топологического пространства компактно, если оно компактно как
подпространство.
Если ЗГ—база топологии на Е, то множество пересечений
X' = X Л А, где Х^ЗГ, определяет базу топологии на А, и мы
говорили, что для этой индуцированной топологии ЗГ' множество
А принимает название подпространства пространства Е. Стало
быть, чтобы выяснить, компактно ли множество А, надо согласно
определению обратиться к покрытиям А его открытыми
множествами базы, т. е. к множествам X'. На самом деле можно
рассматривать снова покрытия открытыми множествами из Е.
В самом деле, пусть А — подмножество пространства (£, ЗГ)
и пусть некоторое семейство множеств вида Х(\А, где Х^ЗГ,
покрывает А. Тогда множества X, входящие в это семейство,
покрывают А в Е. Обратно, если подмножество А из Е покрыто
некоторым семейством X е ЗГ в Е, то X Л А — открытые
множества базы топологии, индуцированной ЗГ, и покрывают
подпространство А.
Предположим теперь, что Е отделимо (тогда А тоже
отделимо), что А есть его компактное подпространство и что имеется
покрытие подпространства А открытыми множествами X из Е.
Тогда из семейства X Л А можно выбрать конечное покрытие
множествами Х\(]А9 Х2[)А, ..., ХпГ\А\ следовательно,
Хи Х2, ..., Хп покрывают множество A cz Е.
Обратно, предположим, что из любого покрытия множества А
открытыми множествами Х^ЗГ можно выбрать конечное
покрытие. И пусть имеется покрытие подпространства А
открытыми множествами X Л А. Соответствующее семейство множеств
X покрывает подмножество А в Е, и значит, существует
конечное семейство Xu Х2, ..., Хп, покрывающее А в £, и
Xif\ А, Х2Г\ А, ..., Хп Л А покрывают А\ это означает, что А
160
ГЛ. V. топология
есть компактное подпространство. Отсюда получаем
определение.
Эквивалентное определение. Подмножество А
отделимого топологического пространства называется компактным
множеством (или подпространством), если любое покрытие его
открытыми множествами из Е содержит конечное покрытие.
Замечание. Часто сокращенно говорят компакт вместо
компактного множества *).
3. Свойства компактных пространств и множеств.
Теорема \. В отделимом пространстве компакт А и точка,
ему не принадлежащая, могут быть заключены в
непересекающиеся открытые множества.
Пусть Е — некоторое пространство, 3~ — база топологии,
А — компакт к уф А. Для любого хе/1 можно найти такие
Хх <=Т, Yx <= Т, что х^Хх, у се Yx, и Хх Л Yx = 0, поскольку
Е отделимо. А так как А компактно и множество открытых
множеств Хх покрывает А, то существует конечное число открытых
множеств XXl, ..., ХХп, покрывающих Л. Но
п
есть открытое множество, которое содержит А и которое не
пересекается с открытым множеством
содержащим у.
Это свойство формулируется также следующим образом:
в отделимом пространстве компакт и точка, ему не
принадлежащая, могут быть отделены двумя непересекающимися
открытыми множествами.
Теорема 2. В отделимом пространстве два
непересекающихся компакта можно отделить двумя непересекающимися
открытыми множествами.
Доказательство аналогично доказательству предыдущей
теоремы. Пусть в отделимом пространстве Е имеются два
непересекающихся компакта А в В; для любого хе/1 заключим х в
некоторое Хх, а В — в некоторое открытое Yx (теорема 1) так,
чтобы Хх(] Ух = 0. Множества Хх покрывают А, а так как А —
компакт, то существует конечное число множеств ХХ{, ..., ХХп>
*) Эта терминология отличается от терминологии, принятой в советской
математической литературе; ср. А. Н. К о л м о г о р о в, С. В. Ф о м и н,
Элементы функционального анализа, М., 1972, Г. Е. Шилов, Математический
анализ (специальный курс), М., 1961,
3 ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
161
покрывающих Л; имеем
Аа[)Хх.у Bcz(]YXi
и
(UXXi)(\((]YXi)=0.
Теорема 3. В отделимом пространстве компактное
множество замкнуто.
Действительно, если А компактно и хфА, то заключим х
в некоторое X е ЗГ, а А — в некоторое открытое V так, чтобы
X П U = 0 (теорема 1); тогда х не является точкой
прикосновения для Л, поскольку хе1ё|(х) и X не содержит никакой
точки из (У, а значит, и никакой точки из А. Стало быть, путем
логического отрицания приходим к тому, что всякая точка
прикосновения множества А принадлежит Л, чем и доказано, что
А замкнуто.
Теорема А. В компактном пространстве всякое замкнутое
множество компактно.
В самом деле, пусть Е — компактное пространство и А —
замкнутое множество в Е. Для доказательства компактности
множества А достаточно показать, что в подпространстве А любое
семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит
конечное подсемейство с пустым пересечением (п. 1, свойство
2)). Но множество, замкнутое в подпространстве Л, замкнуто и
в Е. А для Е утверждение справедливо, так как Е компактно.
Соединяя вместе теоремы 3 и 4, получаем следующий
важный результат:
Следствие. В компактном пространстве понятия замкну-
того и компактного множества совпадают.
Из этого утверждения можно вывести утверждение теоремы 2,
если предполагать Е не только отделимым, но и компактным.
Теорема 2'. В компактном пространстве два
непересекающихся замкнутых множества можно разделить двумя
непересекающимися открытыми множествами.
Эта теорема есть всего -лишь теорема 2 в применении к
компактному пространству, в котором, по предыдущему следствию,
понятия компактности и замкнутости совпадают. Теорема 2
приводит к определению нормальных пространств.
Определение. Пространство называют нормальным, если оно
отделимо и если два непересекающихся замкнутых множества
могут быть отделены непересекающимися открытыми
множествами.
Эти пространства являются более специальными, чем
отделимые пространства (где можно отделить две точки,
составляющие замкнутые множества) и чем регулярные пространства, но
более общими, чем компактные пространства.
162
ГЛ. V. топология
Теорема 5. В отделимом пространстве объединение
конечного числа компактных множеств компактно, пересечение
произвольного семейства компактных множеств компактно.
Для конечного объединения доказательство очевидно.
Если, с другой стороны, рассмотреть некоторое семейство
(Ai) компактов отделимого пространства, то пересечение П Лг-
содержится в каждом из А\. А так как А\ компактны в
отделимом пространстве Е, то они замкнуты; значит, fl Ati как
пересечение замкнутых множеств, замкнуто. Но П At есть замкнутое
множество, содержащееся в некотором компакте (любом из Л*),
и стало быть, по теореме 4, является компактом.
Теорема 6. Для того чтобы произведение конечного числа
пространств было компактом, необходимо и достаточно, чтобы
каждое из пространств — сомножителей было компактом.
Пусть Ei (i = 1,2,... ,п) — топологические пространства и
3~\ — база топологии на £*. Пусть £ = 11^. Топология на Е
задается по определению базой топологии, составленной из всех
произведений Х= ]J Xiy где Xi^STi. Легко видеть, что Е
отделимо тогда и только тогда, когда все Ei отделимы.
Предположим, что Е компактно. И возьмем, например, Е\ и некоторое
покрытие Е\ множествами Х\. Тогда множества X = (Х\, Е2>
..., Еп) образуют открытое покрытие пространства Е. Для
компактного Е можно выделить конечное покрытие. Но если
семейство множеств IeJ" покрывает Е, то соответствующие Xi
покрывают Ей Следовательно, £\ может быть покрыто конечным
числом множеств Xi\ стало быть, £\ есть компакт.
Обратно, предположим, что пространства — сомножители Ei
компактны. Покажем, что Е компактно. Докажем наше
утверждение индукцией по числу сомножителей. При п = 1
утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для п— 1 сомножителей,
и пусть Е = Е{ X • • • X En, где все Еи... ,Еп компактны. Пусть
дано открытое покрытие пространства Е множествами X =
= Хх X • • • X Хп. Пусть tx е= Ех. Множество £*, = {/i} X Е2 X
... X Еп гомеоморфно Е2 X ... ХЕп и поэтому компактно по
предположению индукции; так как семейство множеств X
образует, в частности, покрытие Etl9 то из семейства X можно
выделить конечный набор множеств — обозначим их X(l\ ..., XW —
покрывающий Etr Пусть
X{k) = x\k)X ... XX{nk\ k = l, ..., N,
N ■
и пусть Xi—f")^ife); тогда, очевидно, семейство множеств
XV\...,XW покрывает множество Хх X Е2 X • • • X Еп.
Семейство множеств Х\, по построению, образует открытое покрытие
Е\\ так как Е\ компактно, то существует конечное число подмно-
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
163
жеств вида Х\, покрывающее Е\. Тогда объединение
соответствующих семейств вида X(l\...,XiN) образует конечное
подсемейство семейства X, покрывающее Е.
Теорема 7. Для любой точки х компактного пространства
Е всякое множество Х^$(х) содержит некоторое Х'^<%(х)
и его замыкание X'. Так как замыкание подмножества замкнуто,
а значит, компактно, и так как любая окрестность точки х
содержит некоторую открытую окрестность X, то можно
сформулировать результат еще и следующим образом: в компактном
пространстве любая окрестность произвольной точки х содержит
компактную окрестность этой точки.
В самом деле, пусть Е компактно, хе£и!е1(х),И пусть
А = ОХ\ это множество замкнуто. Согласно теореме 1 можно
найти такое содержащее А открытое множество О и такое
Х'е=#(*), что ОГ\Х' = 0. А поскольку О П X' = 0, то
О Л Хг = 0 ^Раздел 2, § 1, п. 4, следствия и замечания, 9)).
Следовательно, X' аСО. Так как А а О, то
СОаСА = ССХ = Х;
отсюда
хеГсГс!
Примечание. Эта теорема, справедливая и в локально
компактных пространствах, имеет следствия, которые будут
доказаны для локально компактных пространств, и которые, стало
быть, тем более верны для компактных пространств.
§ 3. Локально компактные пространства
Одной из причин важности локально компактных пространств
является та, что пространства Rn> наделенные топологией —
произведением, определенной исходя из топологии пространства /?,
локально компактны, но не компактны. С другой стороны, эти
пространства играют существенную роль в некоторых теориях
интегрирования.
Мы приведем несколько кратких указаний относительно
локально компактных пространств.
1. Определение. Топологическое пространство Е называется
локально компактным, если оно отделимо и если для любого
х^Е существует такое Iel(4 что X компактно.
Часто принимается другое определение: говорят, что Е
локально компактно, если Е отделимо и если любое х^Х
облапает компактной окрестностью. Эти два определения
эквивалентны. Ибо если в отделимом пространстве Е для любого х е£
существует Х^$(х), замыкание ^которого компактно, то,
поскольку X zd X, это означает, что X есть окрестность точки х.
Обратно, если Е отделимо и для любого xg£ существует ком-
164
гл. v. топология
пактная окрестность V, то поскольку в отделимом пространстве
компактное множество замкнуто (теорема 3), то V = V. А так
как V является окрестностью для х, то V содержит некоторое
Хе1(х), и так как X cz V, то X cz V = V. Но * —замкнутое
множество, содержащееся в компакте V. Значит, по теореме 4,
X компактно.
2. Свойства.
Теорема 1. В локально компактном пространстве Е всякая
окрестность точки содержит компактную окрестность.
Достаточно, как и в предыдущей теореме 7, доказать, что
всякое X ^<%(х) содержит некоторый элемент из $(х) и его
замыкание и что это замыкание компактно. Пусть х е Е\ согласно
определению существует такое Х0^<%(х), что Х0 компактно.
И пусть имеется произвольное X е ^(х).^Так как X Г\ Х0
содержит некоторое Х'^$(х), то X' cz Х0 с= Х0. В компактном
подпространстве Х0 множество- X' является окрестностью точки х
и по предыдущей теореме 7 содержит такое X" ^.$(х), что
хеГс X" aX'czX.
Теорема 2. В локально компактном пространстве Е всякая
окрестность компактного подмножества А содержит
компактную окрестность этого подмножества.
Действительно, пусть А — компактное подмножество из Е, и
О — открытое множество, содержащее А. Для любого х^А
существует Х<=$(х), содержащееся в О. Согласно_теореме 1 в X
существует такое X' <^$(х), что Х/ компактно и X' cz X.
Множество всех X' покрывает А. А так как А компактно, то конечное
число множеств Х\ скажем, Х[> Х^ ..., Х'р> покрывает А. По
ложим
1
имеем
6' = \JXfkci()Xkc=iO.
1 1
Отсюда _
Лс=0/с=0/с=0.
А так как О' есть объединение конечного числа компактных
множеств, то О' компактно.
Из теоремы 1 получаем следующее утверждение.
Предложение. Всякое локально компактное
пространство регулярно.
В самом деле, любое открытое множество, содержащее точку
х9 содержит компактную окрестность. Но компактная окрест-
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
165
ность замкнута (§ 2, теорема 3). Таким образом, любое
открытое множество, содержащее х, содержит замкнутую окрестность
этой точки, и значит, пространство регулярно (§ 1,
предложение).
Замечания. 1) Предыдущие свойства тем более верны в
компактном пространстве. Теорема 2 влечет, в частности, что
в локально компактном пространстве Е для любого компактного
подмножества Л_ существует открытое множество О, содержащее
А и такое, что О компактно. Это свойство не представляет
интереса для компактного пространства £, ибо EzdA\ но в случае
локально компактного и не компактного пространства Е
множество А отлично от Е и существует такое открытое множество
О а Е, что О отлично от £, компактно и А с= О.
2) Как и в любом отделимом пространстве, два
непересекающихся компактных подмножества А и В локально компактного
пространства Е могут быть отделены непересекающимися
открытыми множествами. Но если при этом Е не компактно, то
совпадения между компактными и замкнутыми множествами уже
не существует. Поэтому теорема 2 предыдущего параграфа
остается справедливой и встает вопрос о том, справедлива ли
теорема 2' (совпадающая с теоремой 2 для случая
компактного пространства), или, иными словами, является ли локально
компактное пространство нормальным. Можно показать, что
это так.
Однако для доказательства теоремы Урысона достаточно
теоремы 2 из § 2 и теоремы 2 этого пункта.
3. Свойство Бэра локально компактного пространства.
Напомним, что множество А называется плотным, или всюду
плотным в £, если А = Е, т. е. любая точка х <= Е является точкой
прикосновения множества Л, или, еще, всякое множество Х^
^<%(х) содержит точку из А. Но всюду плотное множество
может не иметь внутренних точек (так, множество Q рациональных
чисел плотно в /?, но не имеет ни одной внутренней точки).
Напротив, если мы будем рассматривать множество Л,
замыкание которого не имеет ни одной внутренней точки, то мы
придем к понятию множества, которое не является всюду плотным
и которое не содержит внутренних точек.
Таким образом, мы подошли к рассмотрению замкнутых
множеств без внутренних точек (ибо если А не имеет внутренних
точек, то А не имеет их тем более). Такое замкнутое множество,
очевидно, совпадает со своей границей.
Если замыкание множества А не имеет внутренних точек,
то внешность этого множества (множество точек, внутренних
к СЛ) всюду плотна в Е. Рассмотрим, следовательно,
множества, внешность которых является всюду плотной; такие
множества называются нигде не плотными.
166
ГЛ V. топология
Замечательное свойство локально компактного пространства,
называемое иногда свойством Бэра, сформулировано в
следующей теореме.
Теорема. В локально компактном пространстве Е всякое
счетное объединение замкнутых множеств без внутренних точек
в Е не имеет внутренних точек в Е.
Логически двойственная формулировка: всякое счетное
пересечение открытых множеств, всюду плотных в £, всюду плотно
в Е.
Пусть (Оп) — счетное семейство открытых множеств, каждое
из которых всюду плотно, и
А = (]Оп.
Речь идет о том, чтобы показать, что А всюду плотно, т.е.
А = Е, или что любое непустое открытое множество содержит
точку из А.
Пусть U — заданное непустое открытое множество. Так как
Oi открыто и всюду плотно, то пересечение U Л 0{ непусто и
открыто. А поскольку Е локально компактно, и значит, регулярно,
то в U (] Ох найдется такое непустое открытое хмножество V%, что
U2czU2czU[)Ol
(в самом деле, достаточно взять в U П 0\ произвольную точку х,
что возможно, ибо U П 0\ непусто, и, поскольку U Г) 0\
—открытое множество, содержащее х, то оно содержит и некоторую
замкнутую окрестность этой точки); так как, по определению, в
локально компактном пространстве всякая точка имеет
компактную окрестность, то можно, кроме того, предположить, что и2
компактно. Поскольку U2 открыто и непусто, а 02 всюду плотно,
то рассмотрим U2 П 02, которое открыто и непусто и в котором
найдется такое непустое открытое множество £/3, что
U3czU3czU2(]02.
Таким путем мы получим последовательность непустых
убывающих открытых множеств Un, содержащихся, следовательно, в /У,
и точно так же для замыканий Un, поскольку
U2 с: U П О, <= [/, U3 <= U2 Л 02 <= U2 a U Л О, <= [/, ...
Рассмотрим U (]A = U f]f\On; речь идет о том, чтобы
показать, что это множество непусто. Но
Un^Un-tClOn-i^U Л Оя_,;
следовательно,
Г\йпс1[)и(}Оп = и(}П0» = А.
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
167
Таким образом, A zd f\Un. Остается, стало быть, доказать, что
пересечение множеств Un непусто. Но мы выбирали 02
компактным, а поскольку UnCzU2 (п^2), то Оп образуют в
компактном пространстве U2 убывающую последовательность
замкнутых множеств. Следовательно, их пересечение непусто (ср.
определение компактных пространств).
Следствие. Локально компактное пространство не может
быть счетным объединением множеств, замыкание которых не
содержит внутренних точек.
§ 4. Связные пространства
Мы ограничимся практически одним опредлением связного
пространства, или связного множества, понятие которых будет
входить в свойства непрерывных функций.
Определение. Топологическое пространство Е называется
связным, если оно не может быть представлено как объединение
двух непустых непересекающихся открытых множеств.
Множество А в топологическом пространстве Е называется связным,
если оно связно как подпространство.
Утверждение, что подмножество А топологического
пространства Е связно, равносильно утверждению, что подпространство
А не является объединением двух непустых непересекающихся
открытых множеств, при условии, что эти множества
определяются при помощи индуцированной топологии. Но открытое
множество в индуцированной топологии имеет вид О {] А, где О
есть открытое множество в Е. Значит, если А связно, то не
существует двух открытых множеств О, О' из Е, покрывающих А и
таких, что О П О' П А = 0. Обратное очевидно.
Вместо этой негативной формулировки можно дать
следующую: множество А связно, если для любых открытых множеств
О, О' из Е, покрывающих А и таких, что О П А и О' Л А
непусты, имеем
0[\0'[\АФ 0.
Замечания. 1) Если Е несвязно, то оно является
объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств О
и О'. А так как Е = О U О' и О П О' = 0, то О есть дополнение
к О', а О' — дополнение к О. Следовательно, О и О'
одновременно замкнуты и открыты. Стало быть, в определении связности
можно вместо открытых множеств пользоваться замкнутыми
множествами и можно определять связное пространство Е при
помощи того факта, что в нем одновременно замкнутыми и
открытыми являются только оно само и пустое множество.
2) Для любого подмножества Л из £ имеем А = А[) 0 и
А П 0 = 0. Следовательно, условия «А связно, А = О U О', где
168
ГЛ. V. топология
О и О'— непересекающиеся открытые множества», влекут: «одно
из открытых множеств О, О' пусто».
Предложение. Объединение семейства связных
подмножеств с непустым пересечением связно.
В самом деле, пусть (Лг)— семейство связных подмножеств
пространства Е и пусть Л= [} At. Так как [\At Ф 0, то пусть
XG*f)Ah
i
Допустим, что Л не связно; тогда подпространство Л будет
объединением двух непустых непересекающихся открытых
множеств О, О'. Тогда х принадлежит одному из этих множеств,
например, О.
Следовательно, для любого элемента А\ из семейства имеем
Ai = {0[\Ai)\){0'{]Ai), (ОПЛ,)П(О'ГМ,)=0,
поскольку О П О' = 0; кроме того, множества О Л Л*, О' Л Л*
открыты в подпространстве Л*. Но Л* предполагались связными;
значит, ОПЛг или О'Л Л* пусто (замечание 2). А так как мы
предположили, что х е О, то О не пусто, Лг- тем более, и тогда
О Л Лг ¥= 0, а стало быть, (Г Л Л* = 0.
Таким образом, для любого элемента А\ семейства
рассматриваемых связных множеств множество О' не имеет с ним ни
одной общей точки. Следовательно, О' не имеет общих точек с
U Ai. Но, по предположению, О' не пусто, и Л = О U О', а
значит, О'с: Л. Тем самым мы пришли к противоречию.
РАЗДЕЛ 4
ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
Наиболее элементарными являются понятия предела и
сходимости для последовательности действительных чисел.
Выражение «последовательность (хп) действительных чисел
имеет пределом (или сходится к) действительное число л:0»
означает, что « любой открытый интервал, содержащий лг0, содержит
все хп, кроме конечного числа». Тогда говорят, что (хп)
сходится, или стремится к лг0, или имеет пределом х0, когда п
стремится к бесконечности.
Но и для числовых функций тоже определяются, например,
такие выражения, как «f(x) стремится к у, когда х стремится
к Хо» или «...когда х стремится к нулю справа» и т. д.
Важны и другие элементарные понятия. Так, точка х0 есть
точка накопления счетного множества, если любое открытое
множество, содержащее х0у содержит точку множества, отличную от
Xq. Или, еще, понятие подпоследовательности заданной последо-
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
169
вательности, теорема Больцано — Вейерштрасса на R: из
любого бесконечного ограниченного множества можно выбрать
сходящуюся последовательность; понятие двойной
последовательности (xPtq), сходящейся к хо> когда р и q стремятся
к бесконечности.
Если мы теперь вернемся к случаю последовательности {хп),
сходящейся к лг0, когда п стремится к бесконечности, то мы
можем заметить следующие факты, содержащиеся в определении.
1) Выражение «все хПу кроме конечного числа» означает, что
рассматриваются дополнения (относительно множества (хп))
конечных подмножеств. Обозначим эти дополнения через
А,А\... Никакое из них не будет нулем, и пересечение Л Г) Л'
двух таких множеств снова является дополнением конечного
подмножества. Следовательно, множество дополнений
относительно множества хп конечных подмножеств есть
фундаментальное семейство, никакой элемент которого не является пустым.
2) Выражение «любой открытый интервал X, содержащий дсо,
содержит все хп, кроме конечного числа», означает, что любое
XeI(^o) содержит некоторое Л.
Предыдущие примеры и замечания ведут к определениям и
свойствам, которые следуют ниже.
§ 1. Понятие фильтра
1. Определение. Непустое семейство подмножеств некоторого
множества Е называется фильтром, если оно является
фундаментальным семейством, не содержащим пустого множества.
Мы будем обозначать фильтр через ЗГ, £Г', и т. д.
Если фундаментальное семейство не содержит 0, то
пересечение конечного числа элементов семейства непусто (ср. раздел
1, § 2). Следовательно, любое конечное пересечение элементов
фильтра непусто.
Примеры. 1) В топологическом пространстве для любого х
база открытых окрестностей $(х) является фильтром.
Напротив, база топологии £Г не будет фильтром, так как 0Ef.
2) На числовой прямой множество непустых открытых
интервалов с общим левым концом (или с общим правым концом)
есть фильтр.
3) Пусть N— множество натуральных чисел. И пусть для
любого п через X обозначено множество натуральных чисел ^ п.
Семейство множеств X составляет фильтр, так как никакое X
не пусто, и если X и X' — два множества из семейства,
определенные числами п и п', то X П Х/ есть множество натуральных
чисел, больших max (я, я'), и значит, принадлежит семейству.
2. Сравнение фильтров. Пусть 3F и SF — два фильтра на
одном и том же множестве Е\ говорят, что ST сильнее 3F'
170
ГЛ. v. топология
или ?Г' слабее SF', если фундаментальное семейство 2Г сильнее,
чем дГ' (ср. раздел 1, § 3), т. е. если любое Л'е^Г' содержит
некоторое Ле^. Если дГ' сильнее, чем & и ST сильнее, чем &*',
то ST и #"' называются эквивалентными.
Пример. Если множество Е наделено двумя базами
топологий ЗГ и дГ' и если дГ сильнее, чем дГ', то для любого
х^Е фильтр 31 г(х) сильнее, чем &г (х). Если Т и Т'
эквивалентны, то g§j-(x) и 38j-'(x) эквивалентны.
Подфильтр фильтра. Пусть ST — некоторый фильтр на
множестве Е. Фильтр называется подфильтром фильтра #", если
он получен взятием подмножества каждого множества из Ф0.
Так, пусть Е = N, и & есть фильтр, состоящий из
дополнений конечных подмножеств (натуральный фильтр на N\ ср.
ниже). Рассмотрим некоторую бесконечную последовательность
натуральных чисел tik. Пусть &' — фильтр, состоящий из
дополнений конечных подмножеств множества пи. Всякий элемент из
дГ содержит некоторый элемент из дГ'.
Подфильтр фильтра ST является более сильным, чем ST.
Индуцированный фильтр (ср. раздел 1, § 2). Пусть
ЗГ есть фильтр на множестве Е и пусть X— непустое
подмножество множества Е. Если любое /1е^ пересекает X, то
множество пересечений А Л X, где /lef, есть фильтр, называемый
фильтром, индуцированный на X фильтром gr.
Легко видеть, что фильтр grf из предыдущего примера может
рассматриваться как фильтр, индуцированный натуральным
фильтром дГ на множестве натуральных (щ).
3. Натуральный фильтр, фильтр сечений. Пусть на
множестве N натуральных чисел определен фильтр #", образованный
подмножествами Л, состоящими из натуральных m ^ п для
элементов /ig N. Таким образом, любое А е дГ является
дополнением некоторого конечного подмножества из N.
Пусть теперь дГ' — множество дополнений конечных
подмножеств из N. Ясно, что дГ' есть фильтр. Если А'' ^дг', то
найдется такое конечное подмножество q/ из N, что А' = Cq/. Если
п' — наибольшее из чисел, составляющих q/, и А — множество
целых m ^ п\ то A' zd А. Обратно, если А е &*, то А е &rf.
Следовательно, фильтры дГ к дГ' эквивалентны.
В этом замечании участвует линейный порядок на N.
Исходя из предыдущего определения фильтра дГ, можно
ввести понятие фильтра на упорядоченном множестве Е.
Пусть Е — множество, которое мы предположим вначале
упорядоченным отношением, обозначаемым ^.
Пусть для любого х е Е множество А есть множество у^Е,
у ^ х. Это множество А, являющееся подмножеством из £,
называется сечением, определяемым элементом х. Пусть дг есть
множество, состоящее из множеств А. Никакое А не пусто. Есдц
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
171
А и А'— два множества из ЗГ, определенные элементами х^Е
и х' е Е, то пересечение А П А' будет множеством тех у е £,
которые превосходят одновременно х и xr, но это пересечение
может быть пустым.
Введем дополнительное предположение (благодаря которому
А П А' не будет пустым): предположим, что Е упорядочено и что
если х <= Е, х' е £, то существует г/ е £, превосходящее
одновременно а; и л:7. Тогда предыдущее семейство ^~ становится
фильтром. Когда Е — множество N натуральных чисел,
наделенное своим отношением линейного порядка, получаем введенный
выше натуральный фильтр.
Пусть, в частности, для произвольного множества Е через Ф
обозначено множество конечных подмножеств. Упорядочим Ф
отношением включения. Если фбФ и ф'бФ, то поскольку
Ф U фг е Ф, ф с ф U фг, q/ с: ф U ф', множество Ф удовлетворяет
требуемым условиям. Стало быть, множество подмножеств изФ,
содержащих некоторый элемент ф из Ф является фильтром.
Мы принимаем следующие определения.
Определение 1. Натуральным фильтром на множестве Е
называется фильтр, состоящий из дополнений, относительно Е, ко-
нечных подмножеств множества Е.
Определение 2. Фильтром сечений на множестве Ф конечных
подмножеств множества Е называется фильтр сечений фильтра,
элемент которого есть множество конечных подмножеств из Е,
содержащих некоторое конечное подмножество из Е.
Вместо фильтра сечений на Ф будем говорить также о
фильтре сечений, относящемся к Е. Однако не следует забывать, что
этот фильтр определен на множестве Ф конечных подмножеств
из Е, даже если говорится сокращенно о фильтре сечений
множества Е.
Но в случае Е = N элемент фильтра сечений отождествляется
с дополнением конечного подмножества, и тогда можно считать,
что натуральный фильтр и фильтр сечений эквивалентны.
4. Образы фильтра. Согласно предложениям 1 и 3
(раздел 1, § 2), если / есть отображение множества Е во множество
£', то:
1° образ при отображении / фильтра на Е есть фильтр на Е'\
2° прообраз при отображении / фильтра ЗГ' на Е' есть фильтр
на Е, если любой элемент из ЗГ' пересекает f(E).
В частности, если / — отображение Е на Er, то как образ, так
и прообраз фильтров будут фильтрами.
Пример. Пусть (хп)—некоторая последовательность точек
множества Е, т.е. отображение множества N в Е. Образ
натурального фильтра на N (множества дополнений конечных
подмножеств из N) в Е посредством этого отображения есть фильтр.
Но этот фильтр, вообще говоря, не будет состоять из дополнений
172
ГЛ. v. топология
конечных подмножеств множества значений
последовательности; если, например, Е содержит всего один элемент а, го
хп = а для любого п, и образ натурального фильтра будет
фильтром, содержащим только один элемент, составляющий
множество Е, тогда как дополнением конечного подмножества
будет 0.
5. Произведение фильтров. Пусть £Г — фильтр на £,
а ^Г' —фильтр на Е'. Так как ST и ЗГ' не содержат 0, то
согласно § 4 раздела 1 множество произведений А X А', где
AgJ, А' е ЗГ', есть фильтр на £ X £'• Он обозначается через
Пример. Пусть E — E' = N и пусть £Г — натуральный
фильтр на ЛЛ Фильтр ST X ^ на Ny^N состоит из
произведений Ау^А' подмножеств из N, дополнения которых конечны.
Двойная последовательность (хРгЯ), т.е. отображение
множества N X N в некоторое множество, переводит этот фильтр в
фильтр.
Однако необходимо отметить, что произведение двух
натуральных фильтров не состоит из дополнений конечных
подмножеств множества N X N'. Пусть, например, А — множество
(1, 2, ..., р, ...), А' — множество (2, 3, ...,#,...). Множество
АУ^А' есть множество тех пар (р, q), где р ^ 1, q ^ 2. Его
дополнение относительно N X N' будет множеством пар (/?, 1), где
/? = 1,2,3,..., а значит, не будет конечным.
§ 2. Пределы в топологических пространствах
1. Предельная точка фильтра. Определение. Пусть (£, ЗГ)—
топологическое пространство и @~ — фильтр на Е. Точка х е Я
называется пределом, или предельной точкой фильтра ST, если
ЗГ сильнее, чем фильтр 3$(х), т.е. если любое Х^^(х)
содержит некоторое А е £Г.
В этом случае говорят, что ЗГ сходится к х, или имеет х
своим пределом, а также, что У сходится (если нет
необходимости уточнять предел), или является сходящимся.
Примеры и замечания. 1) Фильтр может не быть
сходящимся. Таковым является натуральный фильтр на N
(наделенном дискретной топологией).
2) Фильтр может иметь более одной предельной точки.
3) Если х — предельная точка фильтра {Г, то она может как
принадлежать некоторому /1еУ, так и не принадлежать
никакому /IgJ. Так, фильтр 3$(х), состоящий из открытых
окрестностей базы точки х, сходится к х, и х принадлежит всем X s
<=$(х). Напротив, множество открытых интервалов на R с
общим левым концом х является фильтром, сходящимся к х, но X
не принадлежит никакому элементу этого фильтра.
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
17а
2. Точка прикосновения фильтра. Определение. Пусть
(£, £Г) — топологическое пространство и &~ — фильт'р на Е.
Точка х ^ Е называется точкой прикосновения фильтра ЗГ, если х
есть точка прикосновения каждого А е £Г, т. е. если всякое
lel(x) пересекается со всеми /1е?*.
Пример. Рассмотрим на R множество точек 1/п, 1 — \/п
(где /1G*) и точку 2. Пусть ЗГ—фильтр, состоящий из
дополнений конечных подмножеств этого множества. Этот фильтр
имеет точки прикосновения 0 и 1.
3. Соотношение между предельными точками и точками
прикосновения. Пусть ЗГ—фильтр на топологическом пространстве Е.
И пусть х — предел фильтра £Г. Тогда любое 1б1(х)
содержит некоторое Л е ^*; но если А'— произвольный элемент из #",
то А П А/ непусто; следовательно, X пересекается с каждым
элементом из У. Итак, справедливо
Предложение 1. Всякая предельная точка есть точка
прикосновения.
Допустим теперь, что х есть точка прикосновения фильтра ЗГ.
Рассмотрим множество всех подмножеств А П X из Е, где Л —
произвольный элемент из ЗГ, а X — произвольный элемент из
$(х). Никакое из подмножеств не будет пустым, так как х —
точка прикосновения фильтра ЗГ. Если теперь взять два
подмножества, то
{А{\Х){]{А'{]Х') = (А{\А'){\{Х{]Х').
А поскольку А Г\А' содержит некоторое Л"е#" и X Г\Х'
содержит некоторое X" ^3$(х), то
(A(]X)(](A'(]X')zdA-(]X".
Следовательно, семейство множеств А П X образует фильтр
ЗГ', а так как А () X а А, то ЗГ' есть подфильтр фильтра ЗГ.
Наконец, каждое 1е|(х) содержит А П X, т. е. некоторый
элемент из &*', и значит, ЗГ' сходится к х.
Таким образом, если х есть точка прикосновения фильтра £Г,
то существует фильтр ЗГ', являющийся подфильтром фильтра ЗГ,
и сходящийся к х.
Обратно, допустим, что для фильтра ЗГ существует подфильтр
ЗГ', сходящийся к точке х. Тогда всякое lel(x) содержит
некоторое А' ^.ЗГ' и пересекается с каждым элементом из ЗГ'. Но,
по определению подфильтра, ЗГ' получается из ЗГ взятием
подмножества в каждом элементе фильтра^; стало быть, каждое
X е|(х) пересекает каждое /IeJ. Итак, справедлива
Теорема. Для того чтобы х была точкой прикосновения
фильтра ЗГ, необходимо и достаточно, чтобы существовал под-
фильтр ЗГ' фильтра ЗГ, сходящийся к х.
174
Л. v. топология
4. Замены фильтра и топологии. Теорема 1. Если в
топологическом пространстве точка х является пределом некоторого
фильтра ЗГ, то она является также пределом любого фильтра
ЗГ', более сильного, чем ЗГ.
В самом деле, если х — предел фильтра #", то любое Xg
^l$(x) содержит некоторое А <^ЗГ\ но если ЗГ' сильнее, чем ^,
то А содержит некоторое А' е ЗГ\ и значит, X id А'\
следовательно, х является также пределом фильтра &~''.
Теорема 2. Если фильтр ЗГ сходится к точке х в топологии
ЗГ, то он сходится к х в топологии 3Tf, менее сильной, чем ЗГ.
Пусть ЗГ сходится к х в (Е, ЗГ)\ тогда каждое X^SSj-(x)
содержит некоторое /IgJ. Но если ЗГ' — менее сильная
топология, чем ЗГ, то любое Х'^38?'(х) содержит некоторое
Ielj(4 а значит, и некоторое /IgJ.
Можно подытожить обе теоремы следующим образом.
а) В одной и той же топологии предел фильтра сохраняется
при замене фильтра на более сильный.
б) Для одного и того же фильтра предел сохраняется при
замене топологии на менее сильную.
Примером, иллюстрирующим теорему 2, может служить
пример простой сходимости и равномерной сходимости функций
(ср. гл. VIII).
Замечание. Обращение теоремы 2 является точным. В
самом деле, допустим, что любой фильтр, сходящийся в (Е, ЗГ')
к х, сходится в (£, ЗГ) к тому же пределу х. Тогда, в частности,
фильтр &?■'(х) сходится к л: в (Е, ЗГ)\ значит, всякое lel^(x)
содержит некоторое X' е $?' (л;), что является определением
топологии ЗГ, менее сильной, чем ЗГ'. Итак, можно
сформулировать следующий результат.
Теорема 3. Для того чтобы на одном и том же множестве
Е топология ЗГ была менее сильной, чем топология ЗГ',
необходимо и достаточно, чтобы любой сходящийся фильтр в (Е, 3Tf)
сходился в (Е, ЗГ) к тому же пределу.
Наконец, отметим, что для теорем 1 и 2 имеет место
следующий частный случай.
Следствие. 1) Если в топологическом пространстве фильтр
ЗГ сходится к х, то любой эквивалентный фильтр сходится к х.
2) Если фильтр ЗГ на множестве Е сходится к х в топологии
ЗГ, то он сходится к х и в любой эквивалентной топологии.
5. Образы пределов. Последовательности. Пусть Е, Е' — два
множества, и пусть f — отображение Е в £". Если на Е задан
фильтр ЗГ, то, как мы видели (§ 1, п. 4), \(У) есть фильтр в Е.
Если /iGf, то семейство, состоящее из f(A), образует фильтр
в Е', и чтобы придать смысл выражению: фильтр f(&~) сходится
к точке x'Q^ Е', необходимо, чтобы была задана топология на
Е'. Следовательно, мы будем исследовать случай, когда £' — то-
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
175
пологическое пространство, или же случай, когда и Е, и Е' —
топологические пространства.
1.Случай функции со значениями в
топологическом пространстве. Пусть Е — некоторое множество,
Е' — топологическое пространство, определенное базой
топологии ST', f — отображение Е в Е' и £Г —фильтр на Е.
Говорят, что f(x) сходится к точке х'0^Е' по фильтру &~,
если фильтр f(@~) сходится к x'Q в пространстве Е'. Говорят
также: f имеет предел х'0 по фильтру £Г, х'0 есть предел
функции f по фильтру £Г, или что х'0 есть предельное значение
функции f.
Фильтр f(!F) может не иметь предельной точки, но иметь
одну или несколько точек прикосновения.
Наконец, фильтр f (#") может не иметь ни предельной точки,
ни точки прикосновения.
В соответствии с определением предела фильтра можно
сформулировать следующее: f(x) сходится к точке x'Q^E' по
фильтру £Г, если любое X' ^ $т,{х'^ содержит некоторое f(A),
где AGf, или же если для любого Х/^31^, (х'0} множество
f (X') содержит некоторое /lef.
Основным примером, иллюстрирующим эти определения,
является пример последовательности.
2. Сходимость последовательностей. Пусть
n^N— натуральное число. На N множество дополнений
конечных подмножеств составляет фильтр, который называется
натуральным фильтром.
Пусть имеется последовательность в топологическом
пространстве £, т.е. отображение f множества N в £, значение f(n)
которого для де N обозначается также хп. Обычно выражение
«хп стремится к х0 (или сходится к х0) по натуральному
фильтру» заменяется выражением «хп стремится к я0, когда п
стремится к бесконечности», и пишется
х0 = \\тхп.
/г->оо
Иногда делается дальнейшее упрощение и говорится «хп
стремится к дсо, или имеет пределом л:0». Подразумевается, что
речь идет о сходимости по натуральному фильтру.
Замечания. 1) Утверждение, что хп стремится к л:0,
означает, таким образом, что любое Х^$(х0) содержит некоторое
f(A), т. е. здесь — множество точек Хи> где k принадлежит
дополнению конечного подмножества из N. Следовательно, для
любого IgIW существует такое целое р(Х), что для любого
k ^ р(Х) имеем хь. е X. Обратно, если для любого X существует
такое целое р(Х), что ^gI для k ^ р(Х), то это означает, что
176
ГЛ. V. топология
каждое IgI(x0) содержит хп, для которых k принадлежит
дополнению некоторого конечного подмножества из N.
И мы вновь приходим к элементарному определению
сходимости хп к Хо.
2) Если А есть дополнение конечного подмножества из N,
т.е. элемент натурального фильтра, то множество точек хп> где
/ig/1, вообще говоря, не будет дополнением конечного
множества точек последовательности.
3) Если точки или значения хп попарно различны и если е
означает множество точек хПу то образ натурального фильтра
при помощи последовательности (хп) состоит из дополнений
конечных подмножеств множества е.
4) Пусть е — множество значений последовательности (хп).
Если х0 есть точка прикосновения множества е, то она может и
не быть точкой прикосновения последовательности; но если х0 —
точка прикосновения последовательности (хп), то она будет и
точкой прикосновения множества е. Так, на R
последовательность (1/п) имеет единственную точку прикосновения 0, но
всякая точка 1/п является точкой прикосновения множества
значений последовательности.
5) Любая подпоследовательность последовательности,
сходящейся к Хо, сходится К Хо.
3. Сходимость двойных последовательностей.
Отображение произведения N X N во множество Е называется
двойной последовательностью. Это название проистекает из того,
что переменное представляет собой пару (/?, q) двух
натуральных чисел и что значение обычно записывается xPi4.
В топологическом пространстве Е сходимость двойной
последовательности обычно определяется следующим образом.
Рассматривается фильтр на N X N, получаемый как произведение
натурального фильтра на себя. Это приводит к фильтру на
NxN (ср. § 1, п. 4), образ которого посредством двойной
последовательности является фильтром на Е. Говорят, что
двойная последовательность сходится к х0^Е (имеет х0 своим
пределом), если последний фильтр сходится к х0.
Таким образом, это означает, что каждое множество X е
е^(л;0), т. е. каждое открытое множество базы, содержащее х0>
содержит точки xPf д, каждый из индексов которых принадлежит
дополнениям конечных подмножеств из N. Иными словами, для
любого Х^$(х0) существует такое целое р0 и такое целое q0i
что если р ^ /?о и q ^ ?о, то xPt q<=X. Ясно, что можно заменить
ро и #0 на превосходящее их число Р (как и они, зависящее
от X). Итак, приходим к следующему обычному определению.
Говорят, что двойная последовател ьность (Хру q) элементов
топологического пространства Е сходится к х0^ Е, если для лю-
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
177
бого 1е1(х0) существует такое целое Р, что если р^Р и
q^z Р, то хР) ?gI
Говорят также, что хр> q стремится к х0, когда р и q
стремятся к бесконечности, или когда р и q неограниченно
возрастают, и пишут
*0 = lim xp,q.
р->оо
q-*oo
Мы будем использовать двойные последовательности при
построении действительных чисел.
Заметим еще, что если хР} q стремится к х0, когда р и q
стремятся к бесконечности, может оказаться, что существует
бесконечно много таких пар (/?, q)y что хр,яфХ.
Так, в пространстве Q рациональных чисел xPt q = l/p-\- \\q
стремится к нулю, так как для любого рационального 8 > О
имеем 1/р+ \\q < 8, если р и q превышают 2Р, где Р — целое,
Р > 1/е. Возьмем все пары (/?, q), в которых р — фиксированное
целое число < 1/е, a q = 1, 2, 3, ... Имеем
±+±>±>±
Р Q Р е
для бесконечного числа пар (/?, q).
4. Случай отображения топологичес-кого
пространства в топологическое пространство. Пусть
£, Ef— топологические пространства; Ф~, Т' — их базы
топологий; f есть отображение Е в Е\ а &~ есть фильтр на Е.
Сходимость фильтра f(@~) в Е' не связана со сходимостью фильтра #"
в С; это можно видеть на примере сходящейся
последовательности, для которой ЗГ является натуральным фильтром, причем
можно считать N подмножеством прямой /?, являющейся
топологическим пространством.
Но если &" сходится в £ к некоторой точке а^Е (или если
найдется ^", сходящийся к а, или если специально выбран ^",
сходящийся к а), то можно дать следующее уточнение
формулировки: «f(x) стремится к дсб, когда х стремится к а по &~»
означает, что «одновременно 2Г сходится к а в Е и f(&~) — к х'0 в Е'».
Иными словами, констатируется, что два фильтра ST и f(@")
сходятся одновременно.
Переформулируем это определение при помощи элементов
базы окрестностей ^(а), ^,(^) и подмножеств А из #".
Утверждение, что /(#~) сходится к x'Q9 означает, что любое
^ se Jf^,(jcJ) содержит некоторое /(Л), или что f~l (X')zd А.
Говорят также: каково бы ни было X' е $т, (х'0), найдется
такое /lEf, что f(A)czX'.
178
ГЛ. v. топология
Это та же формулировка, как и для случая, когда Е — не
топологическое пространство; но с условием, что каждое X е
е^(а) содержит некоторое А.
Точно так же определяется точка прикосновения х'0
отображения /, когда х стремится к а по SF.
Частные случаи. 1) Если фильтр & есть база $?(а)
открытых окрестностей точки а в £, сходящийся, по
определению, к а, то вместо того, чтобы говорить: f(x) стремится к x'Q,
когда х стремится к а по Яр (а), говорят только: f(x) стремится
к x'Q, когда (или если) х стремится к а, и пишут
XQ = lim f(x).
2) Пусть (хп) — последовательность точек из £, сходящаяся
к а (ср. п. 2). Это означает, что здесь $Г есть образ множества
дополнений конечных подмножеств из N при помощи
последовательности. Вместо того, чтобы говорить: хп стремится к а по
#", мы условимся говорить: хп стремится к а, когда п стремится
к бесконечности. Что означает выражение, что f(xn) стремится
к x'Qt когда п стремится к бесконечности? Каково бы ни было
rGlf/(xJ), найдется такое /lef, что f(A) aXf. Но А есть
множество хп, соответствующих всем га, кроме конечного числа.
Стало быть, существует такое целое Р, что для любого п^ Р
имеем f(xn) еГ; это последнее утверждение переносит на
рассматриваемый случай понятие: f(xn) стремится к *£, когда хп
стремится к а. В этом случае пишут
*o = limf(*n). (хп-+а)>
П-*оо
вместо
х'0= Wmf(x).
яг
Примеры. Пусть / — действительная функция действитель-:
ного переменного х, определенная на R. Топология на R bbo-J
дится при помощи открытых интервалов. ]
1) Утверждение, что f(x) стремится к x'Q, когда х стремится;
к а, означает, что для любого открытого интервала X', содер-]
жащего x'Q, найдется такой открытый интервал Ху содержащий!
а, что f(X) с= Х\ или, иначе, для любого е > О найдется такое ощ
что для всех х, удовлетворяющих неравенству |лг — а|<с^
имеем \f(x) — х'0\ < е. I
2) Для той же функции берем в качестве фильтра, имекй
щего а предельной точкой, образ $Г натурального фильтра прщ
помощи последовательности (хп). Образ фильтра $Г при оточ
бражении / есть семейство множеств, состоящих из f(xh), где Щ
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
[79
принимает все натуральные значения, кроме конечного числа.
Утверждение, что f(xn) имеет предел x'Qt когда хп стремится к а
по ЗГ, означает, следовательно, что для любого е > О найдется
такое целое Я, что если п ^ Я, то | f(xn) — x'Qj < г.
3) Для той же функции в качестве фильтра #", имеющего а
предельной точкой, берется семейство открытых интервалов
]а, а[ (соответственно ]|3, а[), имеющих общий левый
(соответственно правый) конец а. Если f(x) имеет предел х'0, когда х
стремится к а по f, то говорят, что f(x) стремится к х'0,
когда х стремится к а справа (соответственно слева) и пишут:
х'0 = lim f(x) (соответственно = lim f(x)).
х->а+ х->а—
§ 3. Пределы в отделимом пространстве, в компактном
пространстве, в пространстве со счетной базой
1. Пределы в отделимом пространстве. Пусть Е —
отделимое пространство, т. е. пространство, наделенное такой базой
топологии 3", что если х е Е, у ^Е и х ф у, то существуют
множества 1е,1(х), КЕ^(г/) без общих точек.
Пусть #" — фильтр на Е. Предположим, что ЗГ имеет
предельную точку и покажем, что если эта точка существует, то
она единственна. В самом деле, допустим, что ЗГ имеет две
предельные точки х и у. Тогда любое Х(=$(х) содержит некоторое
А <=#" и любое Y <=$(у) содержит некоторое ВеУ (§2, п. 1).
Поскольку Е отделимо, можно взять X П Y = 0, и значит, в ЗГ
имеются два элемента А и В без общих точек, что невозможно,
так как 0фЗГ (§ 1, п. 1).
Таким образом, в отделимом пространстве произвольный
фильтр не имеет предела, либо имеет единственный предел;
иными словами, в отделимом пространстве всякий фильтр имеет
не более одной предельной точки.
Обратно, пусть Е — топологическое пространство. И пусть
на Е существует фильтр ЗГ, имеющий две различные
предельные точки х и у; тогда для любого Х<=Ш(х) и любого Y <=$(у)
пересечение X П Y не может быть пустым, и стало быть, Е не
будет отделимым. Отсюда вытекает теорема:
Теорема 1. Для того чтобы топологическое пространство
было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы любой фильтр
имел не более одной предельной точки.
Эта теорема часто называется теоремой о единственности
предела; она выражает основное свойство отделимого пространства.
2. Пределы в компактном пространстве. Пусть Е —
компактное пространство, т. е. 1) отделимое и 2) такое, что если
некоторое семейство множеств lef покрывает Е, то конечное
180
ГЛ. V. топология
число множеств X из этого семейства покрывает Е, или, что
эквивалентно, такое, что любое семейство замкнутых множеств
с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с
пустым пересечением. Пусть в компактном пространстве Е имеется
фильтр ЗГ. Если ЗГ имеет точку прикосновения, то пересечение
Л А замыканий множеств А^ЗГ непусто. Если ЗГ не имеет
точки прикосновения, то П А = 0, а так как все А замкнуты,
то существует конечное семейство множеств А с пустым
пересечением, и значит, конечное семейство соответствующих
множеств А имеет пустое пересечение, что невозможно, поскольку
ЗГ есть фильтр. Следовательно, всякий фильтр £Г в компактном
пространстве Е имеет точку прикосновения.
Обратно, пусть Е — топологическое пространство и пусть
всякий фильтр имеет точку прикосновения. Покажем, что для
любого семейства замкнутых множеств в £ с пустым пересечением
существует конечное подсемейство с пустым пересечением.
Пусть (Fi)—такое семейство замкнутых множеств из £, что
П F{ = 0, и пусть вопреки утверждению, любое конечное число
множеств F{ имеет непустое пересечение.
Возьмем произвольно конечное число Fu F2> ..., Fv таких
множеств и обозначим через ЗГ множество всех Fb F2, ..., Fp,
к которым добавлены их конечные пересечения; получим фильтр.
Ибо если /Ig^" и Bg?", то /1 и В являются конечными
пересечениями этих Fu а значит, А П В также, и стало быть, А П В е
е &~, а так как мы предположили, что пересечение любого
конечного набора множеств Fi непусто, то 0 ^ ЗГ. По условию
же фильтр ЗГ имеет точку прикосновения х9 которая, стало
быть, является точкой прикосновения всех элементов фильтра
и поэтому принадлежит всем элементам фильтра (ибо все они
замкнуты), а значит, в частности, и пересечению произвольного
семейства множеств Fit что противоречит предположению, что
это пересечение пусто. Отсюда вытекает
Теорема 2. Для того чтобы пространство было компактно,
необходимо и достаточно, чтобы любой фильтр имел точку
прикосновения.
Замечания и примеры. 1) Согласью теореме § 2, п. 3
для того, чтобы пространство было компактно, необходимо и
достаточно, чтобы из любого фильтра можно было выделить
сходящийся фильтр.
2) В дальнейшем будет показано, что замкнутый интервал
[a, ft], где а, Ь — конечные действительные числа, есть
компактное подпространство пространства R. Само R, напротив, не
является компактным, ибо содержит натуральный фильтр,
который не имеет в R точки прикосновения.
3) Если (хп)—ограниченная последовательность
действительных чисел, то она принадлежит некоторому замкнутому ин-
4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ
181
тервалу [а, Ь]. После того как доказано, что [а, Ь] есть
компактное подпространство, становится возможным утверждение о том,
что из (хп) можно выбрать сходящуюся последовательность.
Следующая теорема иллюстрируется при помощи
контрпримера. Если пространство не компактно, то фильтр может иметь
единственную точку прикосновения и, однако, не быть
сходящимся. В самом деле, возьмем образ натурального фильтра при
помощи последовательности (хп) вида х2р = 0, х2р+\ = р.
Элемент этого фильтра состоит из 0 и из множества натуральных
чисел 1,2,3, ..., кроме конечного числа из них. Единственной
точкой прикосновения любого элемента этого фильтра является
точка 0, но фильтр не сходится. Суть этого явления содержится
в том факте, что пространство R не компактно. Это уточняется
следующей теоремой.
Теорема 3. Для того чтобы фильтр на компактном
пространстве имел предельную точку, необходимо и достаточно,
чтобы он имел единственную точку прикосновения.
Для доказательства необходимости мы докажем лемму, в
которую входит лишь условие отделимости пространства Е.
Лемма. Пусть Е — отделимое пространство, £Г —
сходящийся фильтр их — точка прикосновения фильтра ЗГ; тогда х
есть предел фильтра ЗГ.
Действительно, так как ЗГ имеет предел, то пусть этим
пределом будем xq. Пусть, далее, х — точка прикосновения
фильтра ЗГ\ допустим, что х Ф х0. Поскольку Е отделимо, то можно
найти X ^. $(х) и Х0^ $$(хо)- без общих точек. А так как х0
есть предел фильтра ЗГ, то Х0 содержит некоторое /lef; а в
силу того, что х — точка прикосновения фильтра ЗГ, X
пересекает все элементы из ЗГ, и, в частности, элемент А. Но
соотношения х(\Хъ=0, АаХ0, А()ХФ0
не могут выполняться одновременно. Следовательно, х = х0.
Если к этой лемме добавить тот факт, что в отделимом
пространстве имеет место единственность предела фильтра ЗГ, то
получится, в частности, первая часть теоремы 3, а именно: если
фильтр на компактном пространстве имеет предельную точку,
то он имеет единственную точку прикосновения.
Пусть теперь имеется компактное пространство, фильтр ЗГ
на нем и пусть ЗГ имеет точку прикосновения х, и притом
единственную. Покажем, что ЗГ сходится к х, т. е. любое множество
Х^$(х) содержит некоторое А^ЗГ. Допустим обратное, т. е.
что существует такое lel(x), что для любого А^.ЗГ
найдутся точки из А, не принадлежащие X. Пусть В =А ПС X
есть подмножество из А, внешнее к X. Множества В образуют
фильтр ЗГ'. В самом деле, если В' = А' ПС X, то
В()В' = А[\А'()СХ,
182
Гл. V. топология
а так как А П А' содержит некоторое А" е ST и так как, по
предположению, любое А" е ^ имеет точки вне X, то В 0 В'
содержит
А" П С* е У.
С другой стороны, никакое В не пусто. Поскольку Е компактно,
фильтр ST' имеет по крайней мере одну точку прикосновения х'
(теорема 2). Но каждый элемент В содержится в некотором Д,
ибо В = А П СХ\ поэтому утверждение о том, что х' — точка
прикосновения фильтра ЗГ\ означает, что каждое Х'^<%}(х')
пересекает все В, а значит, пересекает и все Л; следовательно,
х/ является также течкой прикосновения фильтра £Г. Наконец,
х' отлично от х\ в самом деле, х' принадлежит замыканию В
множества В, каково бы ни было В, в то время как х ф Я,
поскольку X П В = 0. Тем самым теорема 3 доказана.
Пример. Если на интервале [а, Ь] из /?, т. е. на компактном
пространстве, последовательность попарно различных точек хп
имеет предел х, то не существует точки прикосновения,
отличной от х.
РАЗДЕЛ 5
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Определения и общие свойства
1. Понятие непрерывного отображения.
Определение 1. Пусть £, F — топологические
пространства и пусть f — отображение Е в F. Говорят, что f непрерывно
в точке ае£, если
lira f(x) = f (а).
х->а
Напомним, что \imf(x) есть предел по фильтру &(х), кото-
х->а
рый является базой открытых окрестностей точки х в Е. Это
определение может быть также сформулировано следующим
образом: отображение f непрерывно в точке х^Е, если f(x)
стремится к значению f(a) е Z7, когда х стремится к а по J? (х).
Определение 2. Пусть £, F — топологические пространства и
пусть f — отображение Е в F. Говорят, что f непрерывно в £,
или на £, если оно непрерывно в каждой точке из Е.
Когда не может возникнуть никакой путаницы, говорят
просто, что отображение f непрерывно.
Приведем определения, эквивалентные предыдущим.
Определение Г. Отображение f топологического прост ран-
ства Е в топологическое пространство F непрерывно в точке
а е £, если выполнено одно из следующих условий:
5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
183
1) Для любого множества FG^(f(a)) в F множество f~l(Y)
является окрестностью точки а в Е, т. е. содержит множество
2) Для любой окрестности W точки f(a) в F множество
f~l(W) есть окрестность точки а в Е.
3) Для любого фильтра SF в Е, имеющего а своим пределом,
\{ЗГ) имеет предел f(a) в F.
Если обратиться к определению предела (раздел 4, § 2, п. 5),
то исходное определение непрерывности будет означать, что
для любого FG^(f(a)) найдется такое iG^(a), что f(X) cz У,
или Xczf~l(Y). Следовательно, f~l(Y) есть подмножество из £,
содержащее Х^$(а)> а значит, является окрестностью точки а.
Обратное очевидно, что и доказывает 1).
Если f непрерывно и если W есть произвольная окрестность
точки f(a) в Z7, то W содержит некоторое Fe^(/(a)); но
WzDY^rl{W)zDf"l{Y);
следовательно, f~l{W) есть окрестность точки а. Обратно, если
для любой окрестности W точки f(a) в F множество f~l(W)
является окрестностью точки а в F, то, взяв W = У e^?(f(a)),
вновь приходим к свойству 1).
Наконец, предположим, что f непрерывно в точке aGf, и
пусть ЗГ — фильтр, имеющий а своим пределом. Если Уе
&3B{f{a)), то найдется такое IgI(g), что Yzdj(X); но
поскольку Ф~ сходится к а, X содержит некоторое А е #", а значит,
YzDf(A), чем доказано, что f(#") сходится к f(a). Обратно,
если свойство 3) выполняется, то, взяв £Г = ,$(а), вновь
приходим к первоначальному определению непрерывности.
Определение 2'. Отображение f топологического
пространства Е в топологическое пространство F непрерывно в £, если
выполняется одно из следующих условий:
1) Для любого У из базы топологии пространства F
множество f~x{Y) открыто в Е.
2) Прообраз любого открытого множества из F является
открытым множеством в Е.
3) Прообраз любого замкнутого множества из F является
замкнутым множеством в Е.
Свойства — определения 2) и 3) эквивалентны, ибо для
любого подмножества В из F имеем
СГ'(Я) = Г'(СЯ).
Допустим, что выполняется 2); тогда, если множество У
открыто в F, свойство 1) тоже выполняется.
Обратно, допустим, что выполняется 1). Пусть О' —
открытое множество из F и О — такое подмножество из Ех что f(0) =
184
ГЛ. V. топология
= О'. И пусть а^О\ так как О' открыто, то оно является
окрестностью точки /(а), или, иначе, существует такое
множество У из базы топологии в F, что f(a)(=Ycz О'. Но f~l(Y) с= О
содержит а и открыто, а значит, содержит некоторое lel(a).
Следовательно, О содержит Х^$(а), и это имеет место при
любом а; стало быть О = /-1 (О') открыто в Е.
Наконец, покажем, что свойство 1) эквивалентно
определению. Если свойство 1) имеет место, то для любого а^Е и
Y ^<%(f(a)) множество f~l(Y) открыто, содержит а, и стало
быть, является окрестностью точки а, что дает нам определение
Г(1)). Обратно, если / непрерывно в каждой точке а из £,
то обозначив через Y некоторое открытое множество базы в F,
получаем, что для любого a^f'^Y) множество f~l(Y) является
окрестностью точки о£,а значит, и окрестностью каждой из
своих точек, т. е. открыто в Е (раздел 2, § 1, п. 4. Следствия и
замечания, 5)).
Замечания. 1) В разделе 2 (§ 2, п. 3. Образы топологии)
мы показали, что если Ф~—база топологии на f и если f —
отображение Е в F, то f~l(£T) есть база топологии на Е. Как уже
говорилось выше, это свойство означает, что / непрерывно в
топологии f"1 (Т) на Е.
Если Е — заданное топологическое пространство и если
отображение / пространства Е в топологическое пространство F
непрерывно в Е, то прообраз при отображении / открытых
множеств базы пространства F есть база некоторой топологии в Е,
и каждое открытое множество этой базы открыто в заданной
топологии на Е (определение 2', 1)).
Можно также, при тех же предположениях, утверждать,
что прообраз топологии пространства F при отображении /
будет на Е менее сильной топологией, чем топология,
заданная на Е.
2) Если f непрерывно, то образ открытого множества в £,
вообще говоря, не будет открытым множеством в F. Так,
функция лг-> \х\у отображающая R в /?, переводит открытое
множество Х = ]—1, +1{ базы в интервал [0, 1[, который не открыт и
не замкнут.
3) Применив одно из определений непрерывности (скажем,
определение 2'), видим, что если отображение f
пространства Е в пространство F непрерывно, то оно остается
непрерывным при замене топологии в Е на более сильную, а топологии
в F — на менее сильную; в частности, это будет так и при
замене топологий на эквивалентные.
2. Композиция непрерывных отображений. Пусть £", F, G —
три множества, / — отображение Е в F и g — отображение F
в G. Отображение gof есть отображение, которое элементу х е
^ Е ставит в соответствие элемент g(f(x)) множества G. Ко-
5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
185
гда Е, Fy G — топологические пространства, можно
рассматривать непрерывные отображения / и g", и тогда имеет место
следующий результат.
Предложение. Если f — отображение топологического
пространства Е в топологическое пространство Fy непрерывное
в точке х^Е, a g— отображение F в топологическое
пространство G, непрерывное в точке f(x) е F, то gof есть отображение
Е в G, непрерывное в точке х.
Сокращенно говорят: композиция функций сохраняет
непрерывность.
В самом деле, если Z & <%S(g(f(x)), то, поскольку g
непрерывно в точке f(x)f то g~l(Z) содержит некоторое множество
Уе^([(х)); но так как / непрерывно в точке х, то /_1(^)
содержит некоторое Х^^(х). Следовательно, прообраз
множества Z при отображении gof содержит некоторое Х^$(х), и
стало быть, gof непрерывно в точке х е Е.
§ 2. Гомеоморфизм
Пусть Еу Е' — топологические пространства и / —
отображение Е на Е'. Если f непрерывно, то прообраз открытого
множества в Ег открыт в Е (§ 1. Определение 2'). Даже если f~l
существует как отображение Е' на £, оно, вообще говоря, не
будет непрерывным на Е'.
Предположим, что / является взаимно однозначным
отображением Е на Е\ непрерывным вместе со своим обратным
отображением f~K Если О — открытое множество в Е, то 0' — f(0)
есть открытое множество в Е\ и О = /_1(0'), ибо расширение /
на множество подмножеств будет также взаимно
однозначным отображением. Следовательно, / переводит взаимно
однозначно открытые множества пространства Е в открытые
множества пространства £'.
Обратно, пусть / — такое взаимно однозначное отображение Е
на Е\ что образ любого открытого множества из Е является
открытым множеством в Е' и что прообраз любого открытого
множества из Е' открыт в Е. Тогда / и f~l непрерывны.
Теперь предположим только, что / есть взаимно однозначное
отображение Е на £", переводящее всякое открытое множество
из Е в открытое множество из Е' и наоборот. Так как / взаимно
однозначно, то равенство О' = f(O) равносильно равенству О =
= f~l(0') и, стало быть, / и f~l непрерывны.
Сформулируем теперь следующие определения и теорему 1.
Определения. Пусть £, Е' — топологические пространства и
f — взаимно однозначное отображение Е на Е'. Отображение f
называется гомеоморфным отображением, или гомеоморфизмом,
если оно переводит множество открытых множеств пространства
186
ГЛ. V. топология
Е на множество открытых множеств пространства F/. В этом
случае говорят, что пространства Е и Е' гомеоморфны.
Теорема 1. Для того чтобы взаимно однозначное
отображение f одного топологического пространства Е на другое
топологическое пространство Е' было гомеоморфизмом,
необходимо и достаточно, чтобы f было непрерывно на Е, a
f~l—непрерывно на Е'.
Когда / и f~{ непрерывны соответственно на £ и Е', говорят,
что / взаимно непрерывно.
Заметим, что для того чтобы взаимно однозначное
отображение / было взаимно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы
для любого X' ^£Г' множество f~l(X') было откры!ю в £, а для
любого lEf множество f(X) было открыто в Е', причем £7"
и 3~f означают базы топологии.
Отметим аналогию определения с алгебраическим понятием
изоморфизма; например, изоморфизм между двумя векторными
пространствами Е, Е' над одним и тем же телом (полем)
представляет собой взаимно однозначное отображение Е на Е' и
переводит законы пространства Е в законы пространства Е'.
Точно так же, если Е и Е' — гомеоморфные пространства, то
это означает, что они неразличимы с топологической точки
зрения.
Замечание. Если для взаимно однозначного
отображения / пространства Е на Е/ базы топологии &~ и 3~'
удовлетворяют соотношению £Г' = /(£Г), то / снова есть гомеоморфизм.
Иными словами, если заменить базы топологий £Г и 9~' на
эквивалентные, то для взаимно однозначного отображения
пространства Е на Е/ соотношение $(2Г)—2Г' сохранится,
поэтому / будет гомеоморфизмом.
Основное свойство гомеоморфизмов (транзитивность)
выражается следующей теоремой, доказательство которой очевидно
в силу свойства композиции взаимно однозначных и
непрерывных отображений.
Теорема 2. Пусть Е, Е', Е" — топологические пространства.
Если Е и Er, с одной стороны, и Е/ и Е", с другой стороны,
гомеоморфны, то пространства Е и Еп тоже гомеоморфны.
§ 3. Непрерывные функции, компактные пространства,
связные пространства
Если / есть непрерывное отображение топологического
пространства Е в топологическое пространство F, то оно, вообще
говоря, не переводит открытое множество в открытое
(соответственно замкнутое — в замкнутое). Замечательно, что в
достаточно общих случаях компакт (соответственно связное множе*
ство) переводится в компакт (соответственно связное множе-
б НЕПРЕРЫВНОСТЬ
187
ство). Эти фундаментальные свойства составляют содержание
следующих теорем.
Теорема 1. Если f — непрерывное отображение
топологического пространства Е в отделимое пространство Е\ то образ
f(A) компакта А из Е есть компакт в Er.
Следствие. Если f — непрерывное отображение
компактного пространства Е в отделимое пространство Е\ то f(E)
компактно в Е\
В самом деле, пусть А компактно в Е, т. е. (ср. раздел 3,
§2, п. 2) любое покрытие множества/! открытыми множествами
из Е содержит конечное покрытие множества А. И пусть
A' = f(A)—образ множества А в Е'. Пусть, наконец, О'—
некоторое покрытие А' открытыми множествами из Ег. В Е
семейство открытых множеств f~x{0') покрывает Л, содержит
конечное покрытие множества 0\ и обладает тем свойством,
что f(Oi) покрывает f(A). Но, кроме того, /(Oj) является
конечным подмножеством семейства О', чем доказываются и
теорема, и ее следствие.
Теорема 2. Если f — непрерывное отображение
пространства Е в пространство Е\ то образ f(A) связного множества А
пространства Е является связным множеством пространства Е'.
Следствие. Если f — непрерывное отображение связного
пространства Е в пространство Е\ то образ f(E) связен в Е'.
В самом деле, пусть А — связное подмножество
пространства Е. И пусть f(A)—его образ в Е\ Если подпространство
f(A) пространства Е' не связно, то f(A) должно быть
объединением двух непустых открытых непересекающихся множеств
Of, О2 (открытых относительно подпространства f(A)). Взяв
прообразы при отображении /, получаем, что f-l(0\)f\A и
/"Ч^г) ПЛ будут непустыми открытыми множествами
(относительно подпространства Л, так как / непрерывно), и их
объединение будет составлять множество Л, которое, стало быть, не
будет связным множеством.
В главе, посвященной числовым функциям, мы встретимся
с применениями этих двух теорем. Когда мы будем
характеризовать компакты на числовой прямой (это будут ограниченные
замкнутые множества), то мы получим теорему о максимуме
непрерывной числовой функции на компакте; когда мы будем
характеризовать связные множества на числовой прямой (это
будут интервалы), то мы получим теорему, известную в
элементарной форме как теорема о промежуточных значениях.
Можно также отметить, что если / — гомеоморфизм между
двумя топологическими пространствами Е и Е', то всякое
одновременно открытое и связное множество в Е переходит в
открытое связное множество в Е. Такое множество называется
областью.
ГЛАВА VI
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
РАЗДЕЛ 1
МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Множество Z целых рациональных чисел
Напомним, что симметризация множества N натуральных
чисел относительно сложения определяет множество Z целых
рациональных чисел. Тогда множество N становится
изоморфным некоторому подмножеству из Z, с которым N
отождествляется.
На Z распространяется умножение, определенное (или
допускаемое) на N следующим способом, который мы вкратце
напомним.
Элемент множества Z есть класс эквивалентности,
определенный на N X N посредством пары (a, а') натуральных чисел
со следующим отношением эквивалентности:
(а, а') ~ (&, Ь')Ща + b' = a' + b.
Если m и п — элементы множества Z и их классы
эквивалентности определяются соответственно парами (а, а') и (&,&')>
то полагаем
mn = cl (ab + arbr, abr -f a'b).
Произведение mn eZ не зависит от элементов,
определяющих тип.
Это умножение, вместе со сложением, превращает Z в
унитарное коммутативное кольцо, и закон, индуцированный на N
умножением на Z, есть закон, введенный первоначально для N.
Наконец, на Z распространяется отношение порядка, если
условиться вначале, что элемент т& Z, определенный парой
(а, а'), будет >0, если а>а\ и кроме того, условиться, что
т^п означает т — п > 0 или т = п.
Тогда можно показать, что отношение ^ есть отношение
порядка, что оно согласуется со сложением, с умножением на
положительные элементы и, кроме того, что Z, наделенное этим
отношением порядка, становится линейно упорядоченным.
1. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
189
§ 2. Краткий перечень определений и свойств множества
рациональных чисел
Поле Q частных кольца Z называется множеством
рациональных чисел.
Подмножество множества Q, полученное симметризацией
множества N относительно умножения и к которому добавлен О,
обозначается через Q+ и называется множеством
положительных*) рациональных чисел. Можно вместо xgQ+ писать х ^
^ 0. На Q снова вводится отношение линейного порядка, если
условиться, что для х е Q, у <= Q
x^y$$y — xe=Q+.
Это отношение согласуется со сложением, т. е. для любых х,
у, z^Q
а также с умножением на положительные элементы, т. е. для
любых xjeQ,2eQ+ имеем
х ^ у гф xz ^ yz.
Элемент xgQ называется строго положительным, если х е
е Q+ и л: ^ 0; в этом случае пишут х > 0. Элемент а: < 0
определяется соотношением (—х) >0 и называется строго
отрицательным элементом.
Для любых двух рациональных чисел а, Ъ (скажем, а ^ Ь)
существует рациональное число, лежащее между а и Ь,
например, (a+ 6)/2.
Если 0 < а < 6, то найдется такое целое п > 0, что па > Ь.
В частности, для любого рационального а > 0 найдется такое
целое /г, что па> \, или, иначе, 1//г < а.
В Q может быть определено абсолютное значение, ибо Q
есть линейно упорядоченная абелева группа и, стало быть,
группа Рисса. Полагаем
\х\ = х, если х^О, \х\=—х, если х < 0.
Это абсолютное значение обладает двумя основными свойствами
(стр. 49, 50), но, кроме того, обладает свойством, связанным
с существованием второго внутреннего закона на Q: каковы бы
пи были х,у gQ, | ху | = | х | | у |.
Итак, абсолютное значение обладает следующими
свойствами, справедливыми при любых х, yf z^Q:
\х\ = 0&х = 0у
U+f/KUI + Ы,
\ху\ = \х\\у\.
*) В русской терминологии — неотрицательных.
190
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ч
Имеем также 1
IUl-ljHKU-n 1
. . $
и кроме того, отметим, что если a^Q+, то |л:| ^а означает!
что —a^ix^a, \х\^ а означает, что х ^ а или х ^—аз
\х\<.а означает —сКх^а, \х\>а означает х > а или
х < —а. I
i
§ 3. Топология на Q ?:
Понятия, относящиеся к топологии на Q, иллюстрируют об^
щие понятия, изложенные в предыдущей главе. *.
1. Интервалы. Для любых рациональных чисел а, Ь, удов-|
летворяющих условию а ^ Ь, открытым интервалом с концамЩ
а, Ь называется множество таких рациональных х, что а <. х <^
< Ъ. Он обозначается ]а, b[. |
Точка а называется левым концом, а точка b — правым кон-j
цом. Условимся раз и навсегда, что запись ]а, Ь[ представляе'Й
собой обозначение открытого интервала, где а ^ Ь, или, иными!
словами, первая буква (при чтении слева направо) означает^
левый конец. *
Если а — Ь, то м
К Ь[ = 0. 1
Если а < ft, то «
]а,Ь[Ф0, |
ибо (а+ &)/2е=] а, 6[. j
Точка (а + Ь)/2 называется серединой интервала ]af b[. . I
Так как Q есть аддитивная группа, то любой непустой от4
крытый интервал ]а, Ь[ может быть получен переносом ш\
(а + Ь)/2 из интервала ](а — ft)/2, (Ь — а)/2[. Именно: ,5
]а, &[ = ](а-6)/2, (6-а)/2[ + (а + 6)/2. jj
Интервал ](а — ft)/2, (ft — а)/2[ имеет серединой 0 — ней-|
тральный элемент Q относительно сложения. Если положить!
г—(р — а), то этот интервал представим также в виде!
]-г/2, г/21 I
Наконец, напомним, что замкнутым интервалом, обозначае-j
мым через [а, Ь], называется множество тех х е Q, для которых?
выполняется а < л: ^ Ь. Концы замкнутого интервала ему при-j
надлежат, и если а = Ь, то интервал [а, Ь] сводится к точке, й;|
значит, не будет пустым. \
2. База топологии, база открытых окрестностей. В качестве1
базы топологии (или базы открытых множеств) принимается-
множество &~ открытых интервалов из Q.
1. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
191
Нетрудно проверить, что %Г есть фундаментальное
семейство, что множество открытых интервалов покрывает Q
(аксиома Ti) и что если
*€=]а, Ь[(\]а', Ь'[Ф 0,
то существует некоторый интервал ]а", Ь"[, содержащий х и
содержащийся в пересечении двух интервалов (аксиома Т2).
Для доказательства последнего отметим, что если
хе=]а, Ь[(]]а\ Ь'[Ф 0,
то, с одной стороны, x<Zbux<ib\ac другой стороны, а < х
и а' << х9 и значит, достаточно взять
a" = sup (а, а'), &" = inf(ft, Ь').
Можно также задать базу открытых окрестностей элемента О,
взяв в качестве J?(0) множество открытых интервалов,
содержащих 0, а затем положить $(х) =$(0) + х для
произвольного xgQ.
Непосредственно проверяется, что $(х) удовлетворяет
условиям (Bi), (В2) (гл. V, раздел 2, § 1). Определенная таким
способом топология эквивалентна введенной ранее (ср.
эквивалентные топологии, гл. V, раздел 2, п. 1).
Можно, наконец, взять в качестве £§(0) множество
открытых интервалов, имеющих своей серединой 0, скажем, открытых
интервалов ]—1//г, 1/л[, где п пробегает N.
Пользуясь тем свойством, что для любого рационального
а > 0 найдется такое целое п, что 1/п << а, легко показать, что
эта последняя топология эквивалентна принятой вначале.
Поскольку Q счетно, то топология на Q определяется
счетной базой открытых множеств. Стало быть, все предыдущие
замечания вытекают также из § 3 раздела 2, гл. V.
3. Топологические свойства. 1) Q есть отделимое
пространство. В самом деле, если х е Q, х/ е Q и х Ф х\ то мы полагаем
г = |х' —х|. Тогда
] * -г r/2, x + r/2[El (.v), ]*' - r/2, / + r/2[Gl (*'),
и эти два интервала не пересекаются.
2) Замыкание открытого интервала ]а, &[ есть замкнутый
интервал [а, Ь]. В самом деле, а и & являются точками
прикосновения интервала ]а, &[, ибо любой открытый интервал,
содержащий а или &, имеет непустое пересечение с ]а, &[.
С другой стороны, если с ф. [а, &], то существует открытый
интервал, содержащий с и не пересекающий ]а, &[; значит, с не
будет точкой прикосновения для ]а, &[, чем и доказано, что
замыканием интервала ]а, Ь[ является интервал [а, Ь\
192
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3) Q не является локально компактным, и тем более, ком-
пактным множеством. В самом деле, согласно определению, для
того чтобы Q было локально компактно, необходимо и
достаточно, чтобы для любого xgQ существовало такое множество
JfGl(x), что X компактно. Но в силу теоремы 2, § 3, раздел 4,
гл. V, для того чтобы X было компактно, необходимо и
достаточно, чтобы всякий фильтр на X имел точку
прикосновения.
Пусть X = ] а, Ь [ — интервал, имеющий замыкание [а, Ь] и
содержащий 0, т. е. а << 0 < Ъ. Мы можем, например, построить
последовательность (гп) попарно различных рациональных
чисел, квадраты которых имеют пределом 2, а сама
последовательность (гп) не имеет в Q точки прикосновения (ибо если бы (гп)
имела в Q точку прикосновения, то существовала бы
подпоследовательность (rn ) последовательности (гп), сходящаяся в Q
и квадраты которой сходились бы к 2).
Теперь достаточно выбрать такое достаточно большое pf
чтобы rn/p е X при любом п, чем будет доказано, что
последовательность ^==^//7 не имеет в X точки прикосновения.
4. Сходящиеся последовательности. Определение сходящейся
последовательности уже давалось выше (гл. V, раздел 4, § 2,
п. 5).
Приведем те свойства сходящихся последовательностей,
состоящих из рациональных чисел, которые проистекают из
свойств Q.
1) Для того чтобы последовательность (хп) рациональных
чисел сходилась к рациональному числу jc0, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность (хп — х0) сходилась к 0.
2) Если (хп) сходится к хо, (\хп\) сходится к \х0\.
3) Для того чтобы (хп) сходилась к 0, необходимо и
достаточно, чтобы (|#п|) сходилась к 0.
4) Если (хп) сходится к х0у а (уп) сходится к у0, то (хп + уп)
сходится К Хо + уо.
5) Если (хп) сходится к jco, то двойная последовательность
(хр — xq)P} д сходится к нулю.
5. Последовательности Коши. Последнее из перечисленных
свойств приводит к определению последовательностей Коши.
Когда в Q рассматривается последовательность (хп)
рациональных чисел, квадраты которых сходятся к 2, то оказывается,
что эта последовательность не сходится в Q (чем доказывается,
что Q не является локально компактным), но при этом
оказывается, что эта последовательность есть последовательность
Коши.
Следовательно, понятие последовательности Коши в действи*
тельности есть более общее понятие, чем сходящаяся последо-
1. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
193
вательность, т. е. существуют последовательности Коши,
которые не являются сходящимися (в Q).
Фундаментальное понятие последовательности Коши
приводит к построению действительных чисел, и это построение
воспроизводится без иных изменений, кроме изменений формы,
когда речь идет о пополнении метрического пространства.
Определение. Последовательность (хп) рациональных чисел
называется последовательностью Коши, если lim (хр — xq) = 0.
р, <7-»оо
Предложение 1. Любая сходящаяся последовательность
есть последовательность Коши (см. выше).
Предложение 2. Любая подпоследовательность
последовательности Коши есть последовательность Коши.
Предложение 3. Если из последовательности Коши (хп)
можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то
последовательность (хп) сходится.
Можно предположить, что подпоследовательность {хп )
сходится к нулю (в силу п. 4,1)).
Пусть / = ]-s-e, е[ — открытый интервал, имеющий
серединой 0. Так как (хп) есть последовательность Коши, то для р
и q, превосходящих некоторое целое Р, имеем
I хр — хя\<г/2;
следовательно, имеем также \хр — хп | < е/2, если р, nk^P.
Но (хп.) сходится к нулю, и поэтому \х„ I < е/2 для всех пк,
превосходящих некоторое целое Р''. Если Р" — наибольшее из Р
и Р', то
I ХР I = \ХР - Хпк + Хп к\ < | ХР ~ Xnk | + | *п к\ < 8/2 + 8/2 = 8
для р > Р".
Предложение 4. Если (хп) и (уп)—последовательности
Коши, то (хп-\-Уп)—последовательность Коши и (—хп) —
также последовательность Коши.
Это следует из неравенства
\xp + yp — xq — yq\^\xp — xq\ + \yp — yq\.
Предложение 5. Если (хп)—последовательность Коши,
то (\хп\) —тоже последовательность Коши.
Это следует из неравенства
IUP I —UJKI xp — xq\.
Предложение 6. Если (хп) есть последовательность
Коши, а (уп) —такая последовательность, что (хп — уп) стремится
к нулю, то (уп) есть последовательность Коши*
194 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Это следует из неравенства
\Ур — Уя\ = \Ур — Хр + хр — хя + хя — уя\^
< I Ур — *р I + Up — Xq I + 1 *q — Уд I
Предложение 7. Если (хп)—последовательность Коши,
то существует такое рациональное М > О, что \хп\ ^ М при
любом п.
В самом деле, для р ^ Р и q ^ Р имеем \xv — xq\ < е;
следовательно, если р^Р, то |лгр — хР\ < е, откуда \хр\ <
<С I atjr | +8. Тогда берем
М = sup (| Xi |, | x21, ..., | лгР_, !, | Xp | + 8).
Это свойство формулируют еще, говоря, что всякая
последовательность Коши ограничена.
Предложение 8. Если (хп)—последовательность Коши,
не сходящаяся к нулю, то существует такое строго
положительное рациональное число а, что для всех п, кроме, быть может,
конечного числа, выполняется только одно из следующих двух
неравенств:
хп < — а, хп> а.
Отсюда следует, что \хп\ > а > 0 для всех п, кроме
конечного числа.
Действительно, если (хп) не стремится к нулю, то найдется
такое b > О, что для бесконечного числа значений п
выполняется неравенство \хп\ >Ь. Пусть г = Ь/2; значит, найдется
такое П\ ^ /г0, что | xni | > 2е = Ь, и для р ^ п0, q ^ п0 имеем
I хр — xq | «< b. Стало быть, для п^ П\ имеем
\хп — *п}<*>
т. е.
Хп1—В<Хп<Хп1+В-
А так как |*Я(|>2е, то числа хПх — е и хщ + е либо оба
положительны, либо оба отрицательны.
Если теперь х > О, то, положив хщ — е = а>е, получаем
для п> п0
хп> а.
Если хп < О, то положив хп -f-8 = —а, получаем а > 8, и
для /г > я0
*я < — а.
2. ПОСТРОЕНИЕ R
195
РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ R И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
§ 1. Определение/?. Пусть Г — множество
последовательностей Коши в Q. И пусть $2 —отношение между двумя
последовательностями Коши (хп) и (*£) в Q, установленное
следующим образом:
Это отношение есть отношение эквивалентности. Если . мы
обозначим его (для упрощения записи) через ~, то для любых
последовательностей Коши (х^у (xQ, (х'£) в Q будут иметь место
соотношения:
1) (хп)~(хп).
2)Ы~К)^К)~Ы> иб°
(раздел 1, § 3, п. 4,3)).
з) К) - К)и К) - (0=Ф W ~ «)> ибо
х —- я" = я — ,v' + #' — х"
п п п п ' п п
(раздел 1, § 3, п. 4,4)).
Определение. Множеством действительных чисел называется
множество R = Г/52.
Множество R есть множество классов эквивалентности
множества Г по mod 52.
Теперь мы определим на R закон аддитивной группы,
отношение порядка, топологию, покажем, что Q изоморфно
некоторому подмножеству из R и приведем основные свойства
построенного таким образом множества R.
Обозначения. В этом разделе мы будем элементы из R
обозначать греческими буквами. Так, | будет означать класс
последовательности Коши (хп), £>' — класс последовательности
(хп), ^ — класс последовательности (уп), и т. д. и мы будем
писать | = с\(хп).
Формальное отождествление множества Q с подмножеством
из R. Каждому рациональному х ставится в соответствие в R
класс р, определяемый такой последовательностью Коши (хп),
что. хп = х при любом п.
Отображение х—*р множества Q во множество R есть
взаимно однозначное отображение Q на некоторое подмножество из R
(это есть множество, состоящее из р). Действительно, пусть
196
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
p = cl(x), p' = cl (*')'» равенство р = р' влечет (х) ~ (л/), т. е.
lim (х — х') = 0, и значит, х =■= хг.
Теперь проведем формальное отождествление Q с
подмножеством из R\ но затем надо показать, что определенное таким
способом взаимно однозначное отображение является
изоморфизмом относительно законов сложения, умножения и т. д.
§ 2. Сложение, порядок и абсолютное значение на R
1. Сложение. Мы уже видели (раздел 1, § 3, п. 5), что если
ixn), (tfn)—последовательности Коши в Q, то (хп-\-Уп) —
тоже последовательность Коши. Если {х^ ~ (xrt), то (х'п + уп) ~
~ (хп "Ь Уп)- Теперь можно ввести следующие определения для
элементов g, £', ... из R:
•l + r = c\(xn + jQ9
0 = с1(0),
— S -= cl (— jc„).
Легко видеть, что введенный таким образом на R внутренний
закон есть закон абелевой группы и индуцирует на Q исходный
закон сложения.
Предложение. Множество R есть абелева группа по
сложению.
2. Порядок. Очевидно, что существует тождественное
совпадение между последовательностями, эквивалентными (0), и
последовательностями, сходящимися к 0. Пусть | — элемент
из R. Утверждение, что | ф 0, равносильно утверждению, что |
содержит только те последовательности Коши, которые не
эквивалентны нулю. Следовательно, по предложению 8 (раздел 1,
§ 3, п. 5)), найдется такое рациональное число а > 0, что для
всех /г, кроме, быть может, конечного числа, либо хп > а, либо
хп < —я, причем имеет место только одно из этих двух
неравенств. Допустим, например, что хп > а > 0, кроме конечного
числа значений м, и возьмем другую последовательность Коши
(уп), принадлежащую |, и значит, эквивалентную (хп). Так как
(уп) не эквивалентна нулю, то найдется такое рациональное
b > 0, что либо уп > Ь, либо уп < — b для всех м, кроме
конечного числа.
Утверждается, что если хп > а > 0, то */п > Ь > 0. В самом
деле, если бы для всех м, кроме конечного числа, было xn >
> а > 0 и j/n < — Ь < 0, то мы имели бы хп — уп> а~\-Ь} что
противоречит предположению (хп) ~ {уп), т. е.
lim (хп — уп) — 0ш
2. ПОСТРОЕНИЕ R
197
Это замечание позволяет теперь сформулировать следующее
определение.
Определение. Будем говорить, что элемент g е R строго
положителен и записывать | > 0, если в I существует такая
последовательность Коши (хп), что неравенства хп > а > 0, где а
рационально, выполняются для всех п, кроме, быть может,
конечного числа. Будем говорить, что элемент | е R положителен
и записывать | ^ 0, естш | > 0 или | = 0.
Заметим, что для того, чтобы | было ^0, достаточно,
чтобы | содержало последовательность Коши, все элементы
которой ^ 0, так как либо эта последовательность (хп) не
эквивалентна нулю, и тогда | > 0, либо она эквивалентна нулю, и
тогда | = 0. Обратно, если | ^ 0, то | содержит
последовательность Коши (хп), все члены которой ^0; в самом деле, либо
| > 0, и тогда свойство очевидно (при исключении, в случае
необходимости, конечного числа членов в последовательности,
определяющей |), либо 1 = 0; если | = 0, то | определяется
последовательностью (xn), сходящейся к нулю; например,
хп = 0.
Теперь определяем I > £' посредством неравенства | — £'>
> О» 1^1'— посредством неравенства | — |' ^ 0, |<0 —
неравенства —| > 0 и | ^ 0 — посредством —g ^ 0.
Легко проверить, что тем самым введено отношение
линейного порядка на R и что это отношение согласуется со
сложением.
Ясно, что это отношение порядка индуцирует на Q исходное
отношение порядка и что между произвольными двумя
различными действительными числами содержится рациональное
число (а значит, множество действительных чисел, лежащее строго
между двумя действительными числами, непусто), и что R
удовлетворяет аксиоме Архимеда, т. е. каковы бы ни были § >• 0,
£' > 0, найдется такое целое п > 0, что £' < п\.
3. Абсолютное значение. Определим абсолютное значение на
R, положив ||| =sup(|, — |), или же, если
(хп)—последовательность Коши, определяющая |, положив ||| = cl( \хп\)
(ср. раздел 1, § 3, п. 5. Предложение 5).
Отметим, что если (хп) и {уп) — две последовательности
Коши в Q, то из неравенства
\\Хп\-*-\Уп\\>\хп — Уп\
следует, что
(Хп) ~ Ю^Ц Хп\) ~ (\ Уп\).
Это замечание подтверждает, следовательно, определение
\1\ =с1(|*п|), так как если заменить {хп) на (уп) ~ (хп), то
||| не изменится.
198
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Напомним хорошо известные свойства.
1) Если | = х е Q, то введенное абсолютное значение
элемента х совпадает с абсолютным значением на Q.
2) Для любых действительных |, £' имеем
а) ||| = 0О6 = 0,
б) 16 + ГК16ШП,
и из б) вытекает, что
1Ш-1ПК16-6Ч
§ 3. Поле R
При определении топологии на R не используется
умножение. Поэтому мы выделим определение умножения в отдельный
параграф. В дальнейшем мы укажем топологические свойства
множества /?, связанные с существованием умножения.
1. Умножение на/?. Если (хп), (Уп)—последовательности
Коши в Q, то (хпуп) также есть последовательность Коши, так
как
\хрУр — хяуя\ =
= I хр(ур — yq) + yq(Xp — xq)\<tM(\yp — yq\ + \Xp — xq\)
в силу предложения 7 (раздел 1, § 3, п. 5)).
С другой стороны, если (л:я) ~ (*„), то
(*пУп) ~ {Х'пУп\
поскольку
\ХпУП-ХпУп\<\Хп-<\'М-
Теперь можно для g = cl(A;rt), g' = cl(A^) положить
1Г = с1(хХ)-
Тем самым на R введен второй внутренний закон —
умножение, который ассоциативен и коммутативен.
Элемент из /?, определяемый такой последовательностью
Коши (хп), что хп = 1 для всех м, есть нейтральный элемент. Он
обозначается также через 1.
Этот закон, как легко видеть, дистрибутивен относительно
сложения.
Наконец, пусть | ф 0; если (хп) — последовательность Коши,
определяющая |, то существует такое рациональное а > 0, что
для м ^ п0 имеем |xn| > я.
Так как
| 1/л: — l/xq \ = \Xp — xq\/\ xpxq \<\Xp — xq |/а2,
2. ПОСТРОЕНИЕ R
199
то последовательность (\/хп), где п^щ, есть
последовательность Коши. Кроме того, ясно, что если (j*Q ~ (x„), то,
исключив по мере необходимости конечное число членов, получаем
0/*п) ~ {^хп)л Тогда полагаем 1/| = g*1 = cl(l/xn) и приходим
к равенству
Умножение, индуцированное на Q умножением в /?, есть
исходное умножение.
Все предыдущие соглашения и результаты формулируются в
виде следующей теоремы.
Теорема. R есть поле.
2. Свойства, относящиеся к порядку и к абсолютному
значению. Напомним следующие два свойства:
1) |>г и Г>о=Ф|г>ГГ,
2) 1К'1 = 16Н6Ч
§ 4. Топология на R. Два основных свойства
1. Топология. Для любого | е R определяется база открытых
окрестностей J?(£) при помощи множества открытых
интервалов, ]а, р[, содержащих | (ср. гл. V, раздел 1, § 1, пример 4 и
раздел 2, § 1, п. 1).
Для любого £ база J?(£) удовлетворяет условию (Bi) (гл. V,
раздел 1, § 1, пример 4).
С другой стороны, «$(£) удовлетворяет условию {B2)f так
как для любого г} е ] а, р [
]а, Р[е=Я(т|).
После того как топология определена, можно применять
определения и результаты главы V. В частности, относя каждому |
открытые интервалы, имеющие | своей серединой, получим
эквивалентную топологию.
Можно, следовательно, рассматривать сходящиеся
последовательности, сходящиеся двойные последовательности в
топологическом произведении R2 = /? X ^, а значит, можно
определить последовательности Коши, пользуясь внутренним законом
сложения.
Говорят, что последовательность (|р) действительных чисел
есть последовательность Коши в R, если двойная последователь-
ностъ (£р — 1Я)Р> я сходится к нулю в R.
Но точно так же, как для алгебраических законов и
отношения порядка мы убеждались в том, что законы и отношения,
введенные на /?, индуцируют на Q исходные законы и отношения,
200
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
так необходимо убедиться в том, что топология, введенная на R
исходя из топологии на Q, индуцирует на Q исходную
топологию; это необходимо, в частности, потому, что требуется знать,
тождественны или нет понятия: «последовательности
рациональных чисел, сходящейся к рациональному числу в топологии Q»
и «последовательности рациональных чисел, сходящейся к
рациональному числу в топологии R». Но след на Q открытого
интервала ]а, р[ из R, вообще говоря, не будет открытым
интервалом в Q в первоначальном смысле, поскольку аир могут
не принадлежать Q.
Следы на Q открытых интервалов из R определяют на Q
некоторую топологию (гл. V, раздел 2, § 2, п. 2). Чтобы
доказать, что эта топология эквивалентна топологии, определенной
первоначально на Q, воспользуемся определением (гл. V,
раздел 2, § 2, п. 1): для того чтобы эти топологии были
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы след любого открытого
интервала из R, содержащего ^gQ, содержал открытый
интервал из Q, содержащий х, и обратно.
Обратное верно потому, что открытый интервал ]а, Ь[ из Q
(содержащий х) представляет собой множество рациональных
чисел, заключенных между а и Ь, и значит, является следом
открытого интервала ]а, Ь[ из R.
Чтобы доказать, что след интервала ]а, р[ на Q содержит
открытый интервал ]а, Ь[ из Q, достаточно в силу свойства группы
доказать, что для любого действительного а > 0 найдется такое
рациональное а, что 0 < а ^ а. Но а есть класс
последовательности (хп) рациональных чисел, для которой существует такое
рациональное Ь > 0, что хп ^ b > 0 для всех п, кроме, быть
может, конечного числа.
В этом случае имеем
хп/2 > 6/2 > 0
и
а — xJ2 = cl (хп — хп/2) = cl (хп/2).
Следовательно, а — хп/2 ^Оиа^ 6/2 > 0.
Итак,
Топология, определяемая на R посредством открытых
интервалов, индуцирует на Q топологию, эквивалентную топологии,
принятой первоначально на Q.
Как уже говорилось выше, из этого свойства вытекает, что
понятия сходящихся рациональных последовательностей в Q
(соответственно Q X Q) будут одни и те же в исходной
топологии множества Q и в топологии множества R.
Теперь мы переходим к основным свойствам множества R.
Теорема 1. Q плотно в R.
2. ПОСТРОЕНИЕ R
201
Речь идет о том, чтобы показать, что для любого g е R
всякий открытый интервал, содержащий §, содержит некоторое
рациональное число. Но | есть класс последовательности (хп)
рациональных чисел, которая является последовательностью
Коши; если хр — рациональное число из последовательности, то
(£ — хр) есть класс последовательности
(Хп #р)яе=#'>
а так как (хп) есть последовательность Коши (в Q и в /?), то
для пир, превосходящих некоторое надлежащим образом
выбранное целое число, имеем
\ хп — хр\<г.
Коль скоро р выбрано таким образом, ясно, что для любого
8 неравенство \хп — хр\ <С г справедливо при всех достаточно
больших п, что означает, что
Хр^\Ъ — е, 6 + е[.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность (£п)
действительных чисел была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы она была последовательностью Коши.
Утверждение, что (£п) сходится, означает, что существует
такое |, что, каково бы ни было 8 > 0, £п е ]£ •*- е/2, g + е/2[
для /г>Р(е), или |gn —б| < е/2, что в силу неравенства
треугольника влечет:
Up — I,/К е для /?, q> Р{г).
Обратно, предположим, что для любого 8 > 0 найдется такое
Я(е), что \lv — 1я\ < е для/?, q>P(z). Пусть (еР) есть
сходящаяся к нулю последовательность.
Согласно теореме 1 всякому £р можно поставить в
соответствие такое рациональное xPi что ||р — хр\ < еР. Тогда
\xp — xq\^ep + eq + \lp — lq\\
следовательно, lim | хр — xq | = 0. А поскольку (хп) есть после-
р, #-»оо
довательность Коши рациональных чисел, и значит, определяет
некоторое ^е/?, то, по теореме 1,
1= lim хр.
р->оо
Так как
\1Р — I К Up — хр | + Up — £1,
то отсюда следует, что
р-»оо
202
ГЛ. VI., ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Вместо выражения «всякая последовательность Коши в R
сходится» говорят: «R полно».
Теперь можем сформулировать теорему.
Теорема 2. R полно.
Понятие полного пространства (мы к нему вернемся ва
время изучения метрических пространств) есть одно из
фундаментальных понятий. Если известно, что пространство полно,,
то для того, чтобы узнать, является ли последовательность
сходящейся, не требуется выяснять, чему равен ее предел;
достаточно выяснить, стремится ли к нулю gp — lq.
2. Топологические свойства линейно упорядоченного поля R*
В дальнейшем мы не будем различать в обозначениях
рациональные числа и действительные.
Пользуясь определениями, относящимися к непрерывности,
получаем сразу же следующие свойства, относящиеся к
структуре поля:
1) Отображение х—*— х множества R в R непрерывно.
2) Отображение (х, у)-+(х-\-у) множества R X R в R
непрерывно.
3) Отображение (хуу)-+ху множества R X R в R
непрерывно.
4) Отображение х-*х~х = l/х множества R* (множество R
без 0) в /?* непрерывно.
Свойства 1) и 2) принадлежат к свойствам, позволяющим
определить общим образом топологическую группу, т. е.
группа (скажем, в аддитивной записи), наделенная топологией,
удовлетворяющей условиям 1) и 2), называется топологической
группой.
Свойства 1), 2), 3) являются свойствами, позволяющими
определить топологическое кольцо.
Свойства 1), 2), 3), 4) позволяют определить топологическое
поле.
В случае последовательностей действительных чисел эти
свойства соответствуют тому, что называют обычно «теоремами
о пределах последовательностей» (и которые мы будем
предполагать известными).
Справедливо следующее важное предложение, относящееся
к порядку.
Если последовательность (хп) действительных чисел
сходится и если ее члены ^ 0 (соответственно ^0), то предел
*о^О (<0).
В самом деле, предположим, что хп^0 и что х0 = lim хп-
Если бы было х0 < 0, то для е = |л:о|/2 мы имели бы л;0 + 8 =
= #о + |#о|/2 < 0, и, кроме конечного числа значений п, имели
бы Хо — 8 < хп < Хо + 8 < 0, что противоречит предположению,
что хп ^ 0 при любом п.
3. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
203
Вообще, нетрудно доказать, что
Множество положительных (^0) действительных чисел зам-
кнуто (ср. следующий раздел).
Это понятие, которое вновь встретится нам, например, в
группах Рисса или в нормированных пространствах Рисса (ср.
Интегрирование), означает, интуитивно, что принятая топология
не является независимой от порядка.
РАЗДЕЛ 3
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
Аддитивная группа действительных чисел, наделенная
топологией, определенной в разделе 2, называется числовой прямой.
§ 1. Основные элементы топологии множества R
1. Интервалы. Напомним, что если a^R и b^R, то ]а, Ь[
означает открытый интервал, что в этом обозначении всегда
предполагается a^i и что ]а, Ь[ есть множество тех х е /?, для
которых а < х < Ь. Открытый интервал пуст только в случае
а = Ь.
Множество чисел х > а (соответственно <я) обозначается
]а, +оо[ (]—оо, а[) и называется снова интервалом. Эти
интервалы открыты, так как если р — ближайшее целое число,
превосходящее а, то
]а, +оо[=]а, р+Пи*.
где
оо
X=\J]p, Р + 2[,
и так как объединение открытых множеств открыто.
Интервал ]а, + оо[ (]—оо, а[) называется также полупрямой
с левым концом а (правым концом а). Полагают R = ]—оо, + оо[.
Открытые интервалы ]а, Ь[ называются ограниченными.
Через [а, Ь] ([а, + оо[, ]— с», а]) обозначается множество тех
x^R, для которых а ^ л: ^ Ь (а <^ л:, х^а). Эти множества
называются замкнутыми интервалами. Замкнутый интервал
никогда не бывает пустым.
Замкнутые интервалы являются замкнутыми множествами,
так как их дополнения открыты.
Интервалом называется множество действительных чисел,
больших а, меньших а, заключенных между а и Ь, причем сами
точки а и b могут как принадлежать, так и не принадлежать
множеству.
204
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Подмножество А из R называется ограниченным, если оно
содержится в ограниченном интервале. Если А ограничено, то
найдутся такие а е R, b е R, что а ^ х ^ b для любого х е Л;
это сводится к тому, что найдется такое число с > 0, что \х\ ^
^ с для любого xgA
2. Базы топологии. База топологии состоит из открытых
интервалов.
Пусть теперь Е— плотное подмножество в /?; рассмотрим
для любого x^R открытые интервалы ]а, р[, где ае£, ре£.
Если ]а, Ь[ — произвольный открытый интервал, содержащий х,
то, поскольку Е плотно в R, между а и х существует такое
а е £, что а ^ а < л:, а между х и Ь — такое р е Е, что л: <
< р ^ Ь. Тем самым доказано, что любой интервал ]а, Ь[,
содержащий а;, содержит некоторый интервал ]а, р[, содержащий х.
Следовательно, открытые интервалы, концы которых
принадлежат Е, образуют базу топологии пространства R.
В частности, пусть Е — Q. Так как, кроме того, Q счетно,
то множество интервалов ]а, р[, где а ^ Q, р е Q, счетно, и
справедливо следующее предложение.
Предложение 1. Топология пространства R имеет счет-
ную базу.
Очевидно также следующее предложение.
Предложение 2. Пространство R отделимо.
3. Открытые и замкнутые множества.
Предложение. Всякое открытое множество из R есть
счетное объединение замкнутых множеств, а всякое замкнутое
множество из R есть счетное пересечение открытых множеств.
Пусть О — непустое открытое множество в R. Каждому а е R
отнесем интервал ]а — 1/п, а + 1/м[, где п^ N, и рассмотрим в О
такие множества Оп точек xgO, что
]х— 1/п, х+ l/n[czO.
Множества Оп не могут быть все пустыми, так как О
открыто, и значит, для любого хеО, при достаточно большом п,
]х—1/и, х+ l/n[czO.
Имеем Оп с= Оп+и каково бы ни было п.
Пусть теперь у — точка прикосновения множества Оп. Если
у^Оп, то ]у— 1/п, у +1/п[ содержит точку х&Оп, а
]х — 1/п, х + \/п[ содержит у. Значит, у ев О, по определению Оп.
Следовательно, каково бы ни было п, Опа О, и стало быть,
U бпаО.
Но каждая точка хеО принадлежит по крайней мере
одному какому-нибудь Оп, так как О открыто, и поэтому для
любого хеО существует интервал ]х— 1/п, х + \/п[, содержащий л:
3. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
205
и содержащийся в О. Следовательно,
О cz U 0„<= U 0„.
Отсюда вытекает, что О = U О п. А поскольку замыкание
замкнуто и дополнение открытого множества замкнуто, то получаем
наше предложение.
4. Замыкание, точка накопления. Пусть Л — непустое
подмножество из R. Если для точки х существует
последовательность (хп) точек из Л, сходящаяся кх, тохеД. Обратно, если
х е А, то для любого п Gi N интервал ]х — 1/п, х + 1/я[ содержит
точку из Л, которую мы обозначим через хп. А так как
интервалы ]х — 1/п, х + 1М убывают, то последовательность (л:п)
стремится к я.
Предложение. Для того чтобы точка х была точкой
прикосновения непустого подмножества А из R, необходимо и
достаточно, чтобы существовала последовательность точек из Л,
сходящихся к х.
К часто используемым принадлежит понятие точки
накопления.
Это понятие (которое может быть введено в топологическом
пространстве) выделяется при разделении точек прикосновения
на две категории. Среди точек прикосновения подмножества А
могут встретиться такие точки х, что некоторое открытое
множество, содержащее х, содержит лишь одну точку множества Л,
т.е. саму точку х, из чегоследует, что такая точка принадлежит
Л. Она называется изолированной точкой.
Если х —точка прикосновения множества Л, но не
изолированная его точка, то любой открытый интервал, содержащий
точку х, содержит точку из Л (отличную от х, если х^А).
Берется сначала какой-нибудь открытый интервал, содержащий
точку Х\ еЛ; затем рассматривается второй открытый интервал
]х — а2, х + а2[, не содержащий Х\ (что возможно, поскольку
хфх\), и в нем выбирается точка х2^А, и т. д. Так строится
последовательность (хп), элементы которой принадлежат Л,
попарно различны и стремятся к х. Такая точка х называется
точкой накопления (заметим, что точку накопления могут иметь
только те подмножества из R, которые состоят из бесконечного
числа элементов).
Итак, можно сформулировать определение.
Определение. Точка х называется точкой накопления
подмножества А из R, содержащего бесконечно много точек, если
всякий открытый интервал, содержащий х, содержит точку из
А, отличную от х.
Множество точек накопления множества А называется
производным множеством множества Л.
206
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таким образом, замыкание множества А состоит из
изолированных точек множества А и его точек накопления.
Заметим, что если открытый интервал содержит точку
накопления множества Л, то он содержит бесконечно много
различных точек из А.
Различие, которое было проведено между точками
прикосновения подмножества А из R и которое приводит к понятию точки
накопления, дает мало информации о поведении
последовательности. Пусть (хп) — числовая последовательность, т.е. функция
п—>Хп переменного п е N со значениями в R. И пусть x(N) =
= А — образ множества N при помощи этой
последовательности, т.е. множество значений. Если x(N) содержит бесконечно
много различных точек, и если а — точка накопления множества
x(N), то существует последоватЬльность, состоящая из точек
множества x(N) и сходящаяся к а; эта последовательность
является подпоследовательностью последовательности (хп).
Но даже если x(N) представляет собой бесконечное
множество точек, в нем могут существовать точки 6, изолированные
в указанном выше смысле и такие, что хп = Ъ для бесконечного
числа значений п. Такая точка, по терминологии, принятой в
главе V (раздел 4, § 2, п. 5)), называется точкой прикосновения
последовательности (хп).
Точки прикосновения последовательности (хп), т.е.
отображения п-+хп, являются точками прикосновения в фильтре —
образе Натурального фильтра при этом отображении. Фильтр —
образ есть множество подмножеств множества A = x(N),
причем каждое подмножество содержит точки множества Л,
исключая тех, которые соответствуют конечному числу индексов хп.
Точка прикосновения а фильтра — образа является точкой
прикосновения любого подмножества, т. е. каждый открытый
интервал, содержащий а, имеет непустое пересечение с
подмножеством А\ состоящим из точек (хп), индексы п которых принимают
все натуральные значения, кроме конечного числа из них.
Таким образом, ясно, что любая точка прикосновения а
последовательности (хп) либо является точкой накопления
множества x(N), либо представляет собой значение, принимаемое
бесконечное число раз функцией п—»xn.
Так, для последовательности х2р = 0, х2р+\ = 1 — 1/р
точками прикосновения являются точки 0 и 1, а множество x(N)
имеет единственную точку накопления — точку 1.
Сформулируем следующее определение, которое будет затем
дано вновь при более общих условиях.
Определение. Верхним пределом (соответственно нижним)
последовательности (хп) действительных чисел называется
наибольшее [соответственно наименьшее) значение точек
прикосновения, если таковое существует.
3. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
207
Это определение в настоящем его виде не является
удовлетворительным, так как последовательность (п) не имеет в R
верхнего предела. Введение расширенной прямой позволит
придать этому определению более удовлетворительную форму (см.
раздел 4).
Но уже сейчас мы можем заметить, что верхний предел
последовательности (хп) в R есть верхняя грань множества точек
прикосновения.
§ 2. Компактные множества, связные множества в R
1. Компактные множества. Теорема 1. Для того чтобы
множество в R было компактно, необходимо и достаточно, чтобы
оно было замкнуто и ограничено.
Пусть А — компактное множество. Так как R отделимо, то* Л
замкнуто (ср. гл. V, раздел 3, § 2). А поскольку А компактно, то,
выделяя конечное подпокрытие из покрытия А семейством
всевозможных интервалов на прямой, видим, что А может быть
покрыто конечным числом интервалов ]а*, Ь*[. Интервал
]inf aif sup bi[ покрывает A.
Обратно, пусть А — замкнутое ограниченное множество.
В силу ограниченности оно может быть заключено в некоторый
интервал [а, Ь]. Если доказать, что [а, Ь] есть компакт, то
согласно замкнутости А и тому, что любое замкнутое множество в
компакте компактно, отсюда будет вытекать наше утверждение
(гл. V, раздел 3, § 2).
Итак, пусть / = [а, Ь] и пусть семейство О открытых
интервалов покрывает /. Покажем, что существует конечное число
этих интервалов, покрывающих /.
Допустим, что это не так и обозначим через а\ середину
интервала [а, Ь\ Тогда по крайней мере один из интервалов [a, ai],
[aub] не может быть покрыт конечным числом интервалов
семейства б\ пусть /2 — этот интервал. Возьмем его середину и
повторим рассуждение. Продолжая этот прием, получим семейство
таких интервалов In = [ап> Ьп], что 1п =э /n+i и что
bn-an = (b-a)/2n
стремится к нулю. Отсюда следует, что. (ап) и (Ьп) являются
последовательностями Коши, и притом эквивалентными. А так
как R полно, то они имеют предельную точку х. Но поскольку
семейство О покрывает [а, Ь\ существует интервал ]а, р[,
принадлежащий О и содержащий х. В силу того, что Ьп — ап
стремится к нулю, интервалы /п, начиная с некоторого достаточно
большого я, все содержатся в ]а, р[; но это противоречит
предположению, что 1п не может быть покрыто конечным числом
интервалов семейства О.
208
ГЛ. VI ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Тем самым теорема доказана.
Теорема 2. Числовая прямая есть локально компактное, но
не компактное пространство.
Действительно, каждая точка х е R содержится в некотором
интервале [х — а, х -f- а], который компактен. Значит, R локально
компактно. А так как последовательность целых чисел п не
имеет точки прикосновения, то R не компактно.
2. Грани подмножеств из J?. К R можно применить
определения и свойства, относящиеся к упорядоченным группам и
группам Рисса (гл. II).
Пусть А — подмножество из R. Напомним, что мажоранта
множества А есть любое число а, удовлетворяющее условию
х ^ а при любом xg/1; если А имеет мажоранту, то оно
называется мажорированным множеством; множество, одновременно
мажорированное и минорированное, называется ограниченным;
верхней гранью мажорированного множества называется
наименьшая мажоранта множества А (если она"существует).
Теорема 1. Всякое непустое мажорированное
(соответственно минорированное) множество из R имеет верхнюю
(соответственно нижнюю) грань.
В самом деле, пусть множество A cz R мажорировано числом
Ь. Если А имеет верхнюю грань, то она не превосходит Ь. С
другой стороны, пусть а — точка из Л; если А имеет верхнюю грань,
то она больше или равна а. Следовательно, верхняя грань, если
она существует, принадлежит интервалу [а, Ь], который
компактен.
Таким образом, для определения верхней грани достаточно
показать, что мажоранты множества Л, которые принадлежат
интервалу [а, 6], имеют наименьший элемент.
Пусть х ^ А и х ^ а\ обозначим через Ах множество
элементов из Л, которые ^ х. С одной стороны, Axcz[x, 6], а с другой
стороны, если а ^ у е А и х ^ у, то AyczAx. Никакое Ах не
пусто и пересечение Ах и Ау есть Ах или Ау (в зависимости от
того, у ^ х, или х <<: у). Значит, семейство множеств Ах является
фильтром на компакте [а, Ь]. Следовательно (гл. V, раздел 4,
§ 3, теорема 2), этот фильтр имеет точку прикосновения х0.
А так как Ах cz [х, Ь] при любом х (= А и х ^ ау и так как х0
является точкой прикосновения всех Ах, то х0 принадлежит
пересечению интервалов [х, Ь]. Стало быть, точка х0 есть мажоранта
множества А.
Если бы существовала мажоранта х'0 множества Л, меньшая,
чем jco, то открытый интервал с левым концом х J, содержащий х0,
не содержал бы x'Q и не содержал бы ни одной точки из Л, а
значит, х0 не была бы точкой прикосновения фильтра,
образованного множествами Ах. (Напомним, что если х0 — точка прикосно-
3. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
209
вения фильтра, то это означает, что любое открытое множество
базы, содержащее х0, пересекает любой элемент фильтра.)
Практическое замечание. Характеристическим
свойством верхней грани х0 множества Л является следующее
свойство: каково бы ни было х^А, х ^ х0, и каково бы ни было
а <с х0, найдется такое хе4, что а < х <; х0.
Точно так же, если х'0—нижняя грань множества Л, то,
каково бы ни было х е А, х'0 ^ х, и каково бы ни было Ь > х'0,
найдется такое хеД что х'0^.х<Ь.
Заметим, что если х0 — верхняя грань множества Л, то х0,
будучи точкой прикосновения любого Ах, т. е. замкнутого
множества точек из Л, является точкой прикосновения множества Л,
и следовательно, если рассмотреть все точки прикосновения
множества Л, верхняя грань окажется наибольшей из этих точек.
В частности, если Л замкнуто, то Л = А. Таким образом, имеем
следующий результат.
Следствие 1. Всякое мажорированное (минорированное)
замкнутое множество в R содержит свою верхнюю (нижнюю)
грань. Всякое замкнутое ограниченное (а значит, компактное)
множество в R содержит свои верхнюю и нижнюю грани.
Из существования верхней (нижней) грани для любого
мажорированного (минорированного) подмножества из R выводится
следующее характеристическое свойство интервалов в R.
Теорема 2. Для того чтобы подмножество I из R было
интервалом, необходимо и достаточно, чтобы для любых ае /,
(ie/ интервал [а, Ь] принадлежал L
Необходимость очевидна.
Обратно, допустим, что условие выполняется. Подмножество
/ может быть ни мажорированным, ни минорированным;
мажорированным и не минорированным; минорированным и не
мажорированным; ограниченным. Если, например, / ни
мажорировано, ни минорировано, то для любого а е R найдутся такие
ое/, 6 е /, что а < а < Ь. А так как, по условию, [a, b] а I, то
ае /, и значит,
I = R=]-oo, +оо[.
Если, например, / мажорировано и не минорировано, то / имеет
верхнюю грань х0. Для любого а е R, удовлетворяющего
условию а < х0, в / найдется такая точка Ь, что а < Ь <<: х0 (см.
Практическое замечание). Но поскольку / не минорировано, то
найдется такое аЕ/, что а < а. Значит, аЕ[й,6]с/, и любое
а < х0 принадлежит /, а стало быть,
/ = ]— оо, х0[ ИЛИ ]—оо, х0].
Точно так же рассуждаем в остальных двух возможных
случаях.
210
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Следствие I и свойства компактов приводят нас к
следующему предложению, которое встретится нам в более общем
случае метрических пространств.
Предложение. Для того чтобы два компакта Л, В из R
не пересекались, необходимо и достаточно, чтобы величина
Ы\х — у\
была строго положительна.
Пусть Л, В — два компакта из /?; рассмотрим все
положительные числа \х — у\, где хеД у^В. Так как эти числа ми-
норированы числом 0, их множество имеет нижнюю грань
inf | х — у |,
л;е=Л
которую мы обозначим б (Л, В) и которая ^ 0.
Покажем (что логически эквивалентно предыдущему
предложению), что для того чтобы Л и В имели общую точку,
необходимо и достаточно, чтобы б = 0. В самом деле, если Л и В
имеют общую точку х, то б = 0, если взять х = у.
Пусть теперь 6 = 0. Тогда для любого /ie N можно найти
гакие хп^А и уп^В, что 0^|л:п — */n|<l/n, поскольку 0
есть нижняя грань. А так как Л компактно, то существует
подпоследовательность (хп^ последовательности хп, сходящаяся
к точке х\ в силу замкнутости Л, х е Л, а в силу того, что
| Xnk — Упк | стремится к нулю, уПк также сходится к х\ но В
замкнуто, поэтому хбВ. Следовательно, ^ е Л П В, и стало
быть, Л и В пересекаются.
3. Связные подмножества в R. Теорема. Для того чтобы
подмножество А из R было связно, необходимо и достаточно,
чтобы оно было интервалом.
Допустим, что Л связно и не сводится к точке. И пусть а^А,
Ъ еА Согласно теореме 2 для доказательства того, что Л —
интервал, достаточно доказать, что если а < х < Ь, то jceA Но
если бы точка х не принадлежала Л, оно содержалось бы в
объединении двух открытых интервалов, ]—оо,х[, ]ху + оо[, которые
не пересекаются, и тогда Л не было бы связным.
Обратно, допустим, что Л —интервал; для любых а<=Ау
5еЛ имеем [а, Ь] с= Л. Пусть а — точка из Л; Л является
объединением интервалов [а,х] и [х, а], когда х пробегает Л. Все эти
интервалы имеют а общей точкой, и значит, их пересечение
непусто. Если мы докажем, что всякий интервал [а, Ь] связен, то Л
будет объединением связных множеств с непустым пересечением,
и значит, будет связным (гл. V, раздел 3, § 4).
3. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
211
Допустим теперь, что [а, Ь] не связно. Тогда [а, Ь] есть
объединение двух непересекающихся замкнутых множеств F и F'.
В силу предыдущего предложения (п. 2)
б = inf | х — у | > 0.
x&F
ys=F'
Рассмотрим теперь такие точки aj= а < а2 < а3 < ... <.ар = Ьу
что a^+i — afe ^ 6/2; их число конечно (можно, например,
произвести последовательное деление [а, Ь] пополам). По крайней
мере одна пара (ак, аь-и) из этих точек такова, что аи
принадлежит одному замкнутому множеству, а аи+\—другому; но это
приводит к противоречию, ибо a^-i — a& ^ 6/2, тогда как для
любых ^Gf, у ^ F' имеем \х — у\ ^ 6. Тем самым теорема
доказана.
4. Определение компактности при помощи
последовательностей.
Теорема. Для того, чтобы подмножество А из R было
компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая
последовательность со значениями в А содержала последовательность, сходя-
щуюся к точке из А.
Пусть А — компактное подмножество из R. Известно, что если
(хп)—последовательность точек из А, то из нее можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся к точке хе/1. Будем
доказывать обратное утверждение от противного.
Сначала выделим очевидный случай, когда А имеет конечное
число точек. С другой стороны, если из любой
последовательности (хп) попарно различных элементов можно выбрать
сходящуюся последовательность, то это означает, что множество (хп)
имеет точку накопления. Таким образом, осталось доказать, что
если А есть такое подмножество из R, что любая бесконечная
последовательность различных элементов из А имеет точку
накопления, принадлежащую А, то любое покрытие множества А
открытыми множествами (или открытыми множествами базы)
содержит покрытие, состоящее из конечного числа этих
открытых множеств.
Но R имеет счетную базу; пусть (О*) — счетное семейство
открытых множеств базы, покрывающих А, и пусть
предположим, что, каково бы ни было п, множества 0'п не
покрывают А. Обозначим через Х\ точку из А, не принадлежащую
0[ = 0\. Так как Аа\}0\, то Х\ принадлежит некоторому
открытому множеству семейства (01), скажем, 0'Пг Пусть теперь
х2 не принадлежит 0^; имеем х2 Ф_Х\. Продолжая этот процесс,
212
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
построим последовательность (хи), все элементы которой
попарно различны и которая, по предположению, имеет точку
накопления л;0бА А поскольку А покрыто множествами (0{), то
Xq принадлежит некоторому Оп . Но Оп открыто, содержит
точку накопления х0у а значит, содержит бесконечно много точек
последовательности (л^), что невозможно, так как по
построению этой последовательности 0'п содержит лишь точки, для
которых k ^ р.
Замечания. 1) Теорема Больцано — Вейерштрасса
(исторически предшествующая теореме Бореля — Лебега)
утверждает: всякое бесконечное ограниченное множество А а Н имеет
точку накопления, которая может и не принадлежать А. Но если
А ограничено, то оно содержится в компактном интервале, а
значит, и его замыкание Л, которое замкнуто, поэтому А
компактно, и применима теорема Больцано — Вейерштрасса.
2) Предыдущая теорема принадлежит к тем, которые
оправдывают использование на числовой прямой последовательностей,
т. е. конкретных фильтров вместо общего понятия фильтра. То
же самое будет иметь место для метрических пространств.
3) Часто бывает удобным использование теоремы о
монотонных последовательностях: для того чтобы возрастающая
{убывающая) последовательность была сходящейся, необходимо и
достаточно, чтобы она была мажорированной (минорированной).
В самом деле, необходимость очевидна. Обратно, если хп
возрастает и мажорирована, то обозначим через а мажоранту
хп\ тогда Х\ ^ хп ^ а. Множество точек хп имеет верхнюю грань
jco, и для любого достаточно малого е > 0 интервал
]xq — е, х0 + е[ содержит точку последовательности, скажем, хр.
В интервале [х\,х0 — е] содержится конечное число точек хп,
так как в противном случае нашлось бы по крайней мере одно
такое целое q > р, что
Х\ ^ Xg <Z Xq 8 <С Хр ^. Xq>
что влечет xq < хр для q > р\ но это противоречит условию о
том, что (хп) возрастает.
§ 3. Свойства непрерывной числовой функции.
Гомеоморфизм на R. Расширенная прямая R
В этом параграфе мы приведем свойства непрерывной
функции на компактном или связном пространстве, когда функция
принимает свои значения в R. Поскольку топология прямой R
теперь хорошо известна, общие теоремы будут иметь более
точные формулировки»
з. числовая прямая
213
После этого можно будет рассмотреть более конкретно
числовые функции переменного из R и определить затем
гомеоморфизмы, что приведет нас к введению элементов —оо, +оо,
добавление которых к прямой R превращает ее в расширенную
прямую, которая компактна.
1. Свойства непрерывной числовой функции. Теоремы 1 и 2
(гл. V, раздел 5, § 3) могут быть сформулированы следующим*
образом: пусть f — непрерывная числовая функция на
пространстве Е\ если Е компактно, то f (Е) тоже компактно; если Е
связно, то f(E) связно.
Но (§ 2) единственными компактными подмножествами в R
являются замкнутые ограниченные множества, которые, в
частности, содержат свои верхние и нижние грани; единственными
связными подмножествами в R являются интервалы, а
единственными компактными связными подмножествами являются
ограниченные замкнутые интервалы. Итак, мы можем
сформулировать теорему.
Теорема 1. Пусть f — непрерывная числовая функция на
компактном пространстве Е\ множество значений f(E)
компактно в R (замкнуто и ограничено)] f ограничена на £, имеет
максимум и минимум, и в Е существуют по крайней мере одна
точка а и одна точка Ь, для которых
f (а) = sup f (х) - sup f (El f (b) «= inf f (x) = inf f (E).
xe=E xs=E
Теорема 2. Пусть f — непрерывная числовая функция на
связном пространстве Е\ множество значений f(E) есть
интервал из R\ в частности, если а и р — два значения функции f, то
любое число, заключенное между а и р, является значением
функции f.
В частном случае, когда Е есть подмножество из R
(рассматриваемое как подпространство), получаются хорошо известные
элементарные теоремы: если f — непрерывная действительная
функция действительного переменного на ограниченном
интервале /, то f(I) есть интервал (это свойство часто доказывают,
показав вначале, что если для ае/, Ье/ имеет место f(a)f(b)<C
< 0, то между а и b найдется такое с, "что f(c) — 0); если /
замкнут, то f (I) тоже замкнут.
Теоремы 1 и 2 применимы, в частности, к случаю, когда
рассматривается непрерывная числовая функция на компактном или
связном подмножестве из R2 (пример: абсолютное значение
непрерывной функции от (g, г})^/?2, абсолютное значение функции
комплексного переменного с комплексными значениями).
Замечания. 1) Если f — непрерывная функция на
топологическом пространстве Е, то прообраз любого открытого
множества (пространства значений) есть открытое множество в Е.
214
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В частности, если f — непрерывная числовая функция, то для
любого действительного числа а множества
Г'(К +«>[), Г'(]-°°, «[)
открыты; это множества точек х^Е, в которых соответственно
f(x) > a, f (х) < а. Точно так же множества точек х е £, в
которых f(x)^af f(x)<z:a, замкнуты, равно как и множества точек
х, в которых f (х) = а, ибо множества [а, +оо [, ]—оо, а], {а}
замкнуты.
2) Если числовая функция f непрерывна на топологическом
пространстве £, то функции f+, /~, |f | тоже непрерывны. В самом
деле, достаточно доказать это для f+ (которая определяется как
f+(x) = f(x)9 если f(x)^ О, и как/+(л:) = 0, если f (х) < 0); но
если А замкнуто на R и ОеЛ, то прообраз множества Л при
отображении f+ будет совпадать с прообразом при
отображении f замкнутого множества А[}]—оо, 0], и значит, замкнут;
если О^Л, то прообраз множества А при отображении f+
совпадает с прообразом (замкнутого) множества Л П [0, +°°[ при
отображении f.
3) Предыдущее свойство, добавленное к законам векторного
пространства, определенным на множестве числовых функций,
превращает множество непрерывных числовых функций на
топологическом пространстве в пространство Рисса.
2. Гомеоморфизм на R. Мы предполагаем определить
гомеоморфизмы множества /?, т. е. взаимно однозначные
отображения f пространства R на R, переводящие открытые множества
в открытые, или, что то же самое, в силу общей теоремы (гл. V,
раздел 5, § 2), такие, что f и f_1 непрерывны. Но можно без
особых трудностей определить гомеоморфизмы между интервалами
в R (рассматриваемыми как пространства относительно
индуцированной топологии), и это приводит к определению —оо и + оо.
Задача имеет смысл, поскольку тождественное отображение
х->х есть гомеоморфизм R на R, и посредством аффинной
функции х-+ах-\-Ь можно определить гомеоморфизм между любыми
двумя открытыми интервалами или замкнутыми интервалами.
Найдем сначала необходимые условия. Пусть f — взаимно
однозначное непрерывное отображение интервала / на интервал
J = f(I). Пусть, далее, а < b < с — три точки из / и пусть f(b)
не будет заключено между f(a) и f(c), т. е., скажем, пусть
f(b)>f(a) nf(b)>f(c).
Так как f взаимно однозначно, то
ЦЬ)ФНа)Ф!(с);
если предположить зафиксированным, что f(c)<f(a), то
f(c)<f(a)<f{b).
3. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
215
Но в силу непрерывности f между с и b найдется такое а', что
f(a') = f(a) (значение, заключенное между f(c) и f{b)).
А поскольку мы предположили а <.Ь <. с, то а <С b <С а'<< с,
и значит, а ф а' и f (a) = f (а'), что невозможно в силу взаимной
однозначности. Стало быть, предположение о том, что а <С b <С с
и f(b) не заключено между f(a) и f(c),— неверно. Таким
образом, каковы бы ни были три точки а<.Ь<,с, f(b) заключено
между f (а) и f (с).
Пусть теперь имеются две точки х < х' из / и две другие
точки а, Ь из /, и пусть эти точки удовлетворяют условию
а ^ х < л/ sg: b. Если, например, f (а) < f (Ь), то
f(fl)<fW<f(« и f (я) </(*')</(&);
следовательно,
*<х'=Ф/(*)</(*').
Так как f взаимно однозначно, то f(x)<Cf(x/). Итак,
необходимым условием является условие строгой монотонности f на /.
Обратно, если f непрерывна на / и строго монотонна, то она
является взаимно однозначным отображением интервала / на
J = f(I). Если ]а, Ь[ — открытый интервал из /, то f{]afb[) есть
интервал из /. Когда х стремится к а справа (соответственно
к b слева), f(x) стремится к f(a) (соответственно к f(b))y
поскольку f непрерывна и f(x) заключено между f(a) и f(b).
Следовательно, f(]a, b[) имеет концами f(a) и f(b), но эти концы не
принадлежат интервалу f(]ay b[). Отсюда получаем теорему.
Теорема. Всякий гомеоморфизм между двумя интервалами
из R определяется при помощи непрерывной строго монотонной
функции.
В частности, нетрудно убедиться в том, что функция
\х — а х — b )'
определенная на ]a, Ь[, осуществляет гомеоморфизм между ]а, Ь[
и R. В силу транзитивности гомеоморфизмов получаем
следующий результат: любые два открытых интервала из R гомеоморф
фны между собой и гомеоморфны R.
Итак, более конкретное исследование гомеоморфизмов
показывает, что не только открытые множества преобразуются в
открытые, но и порядок на R либо сохраняется, либо меняется
на противоположный.
3. Расширенная прямая R. Если рассматривать открытый
ограниченный интервал ]а, Ь[ из R и гомеоморфизм между ]а, Ь[
и /?, то мы приходим к добавлению к R двух элементов: —оо и
+ оо; для любой строго возрастающей непрерывной функции /.
216
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
переводящей ]а, Ь[ (где а < Ь) в R, —оо является пределом для
f(x), когда х стремится к а справа, а + оо является пределом
для f(x), когда х стремится к Ь слева. Тогда полагают
f(a) = -оо, f(b)=+со.
Элемент —оо (соответственно + оо) есть, по определению,
предел любой последовательности, убывающей (соответственно
возрастающей) и не минорированной (соответственно не
мажорированной).
Через R обозначается множество, состоящее из /?, —оо и
+ оо; оно называется расширенной числовой прямой.
Всякая строго возрастающая непрерывная функция,
переводящая ]a, Ь[ в /?, сохраняет порядок; стало быть, условимся, что
для любого х е R имеем
— оо < х < + оо.
Ч_асто также действительными числами называют элементы
из R, называя —оо и + оо бесконечными действительными
числами, а элементы из R — конечными действительными
числами.
На R распространяется топология из R: в качестве базы
открытых множеств берутся открытые интервалы ]a, Ь[ и интервалы
]а, +оо[, ]—оо,а[, не ограниченные соответственно справа и
слева, причем а и Ъ — конечные числа. Тогда пространство R
становится компактным, поскольку любое покрытие открытыми
интервалами, очевидно, содержит конечное покрытие. С другой
стороны, если мы хотим рассматривать понятие точки
накопления (или подпоследовательности), то мы видим, что всякое
множество, содержащее бесконечно много элементов из Я, имеет
точку накопления в R.
Алгебраические операции в R. Мы укажем
алгебраические соглашения, касающиеся элементов —оо, +оо;
понятия грани, предела изучаются в разделе 4.
Не все алгебраические свойства множества R
распространяются на R.
По соглашению, для любого хе/?, х -f ( + 00) = + 00,
х + (—00) = — 00, но +оо —оо не имеет смысла; таким образом,
в R выражение х + у не имеет смысла, если х и у бесконечны и
имеют разные знаки.
Если х е R и х > 0, то, по принятому соглашению,
*. (-)-00)= + 00, (_*).( + 00)= — ОО, ( + 00 ) (— оо)=—оо,
( + оо) ( + оо) = + оо, (—оо) (—оо)= + оо.
Но 0- ( + оо) или 0- (—оо) не определены.
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
217
РАЗДЕЛ 4
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
§ 1. Грани, оболочки, верхние и нижние пределы
Этот параграф содержит некоторые свойства числовых
функций одного переменного, при условии, что это переменное
принадлежит множеству Е, которое может и не быть
топологическим пространством. Помимо нескольких общих соображений
здесь рассматриваются понятия верхней и нижней оболочек
семейства числовых функций, а также свойства суммируемых
семейств и рядов, которые выступают как числовые функции
натурального переменного.
Некоторые свойства справедливы для функций со значениями
в R. Мы оставляем название числовых функций за функциями
со значениями в R и иногда, для большей точности, будем
говорить о функциях со значениями в R или о функциях со
значениями в R. Напомним также, что вместо выражения «а
принадлежит R» употребляется выражение «а конечно», или
«—оо < а < + оо»; говорят, что функция конечна, вместо того,
чтобы говорить, что «функция принимает значения в R».
Свойства, которые будут сейчас изложены, являются
следствием свойств множеств R и R: порядок, закон абелевой группы,
закон поля, топологические свойства. Напомним соглашения,
касающиеся расширения на функции законов и отношений
(гл. II, раздел 5). Так, если f, g— числовые функции,
определенные на одном и том же множестве Е, то f ^ g означает, что
для любого х^Е справедливо неравенство f(x) ^g(x)
(соглашение действительно для случая, когда f_, g имеют значения в R),
f-\-g есть отображение множества Е в R, определяемое
соответствием x-+f(x)-\-g(x) (соглашение действительно, если f, g"
принимают значения в k при условии, что f(x)-\-g(x) имеет
смысл при любом а;), и т. д. _
1. Грани функции со значениями в J?. Определения. Пусть f —
функция, определенная на множестве Е и принимающая
значения в R, и А — непустое подмножество из Е.
1) Верхней (соответственно нижней) гранью функции f на А
называется верхняя (соответственно нижняя) грань в R
множества f(A).
2) Говорят, что функция f мажорирована (соответственно
минорирована) на А, если верхняя (соответственно нижняя)
грань функции f на А будет < + <*> (соответственно > — оо).
Вместо мажорированной и минорированной функции говорят
также о функции, ограниченной сверху или снизу.
3) Говорят, что функция f ограничена на А, если она
одновременно мажорирована и минорирована.
218
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Верхняя грань функции f на А обозначается
sup f(x)\
нижняя грань обозначается
inf f(x).
Эти элементы принадлежат Я. Они могут и не быть
значениями функции /. Числовая функция может не быть
ограниченной; это замечание формулируется более наглядно: функция,
конечная в каждой точке, может не быть мажорированной или ми-
норированной (пример: отображение f множества R в /?,
определяемое как f (х) = 1/х, если х Ф О, и f (0) = 0).
Очевидно, что
inf /(*) = — sup(-fU)).
хеЛ х^А
Это служит объяснением тому, что достаточно изложить
свойства, например, верхних граней.
Замечания. 1) Число supf(х) зависит от Л и от функции
f, но не зависит от переменного х, хотя буква х фигурирует
дважды в записи этого числа.
2) Когда в процессе изложения участвует единственное
подмножество Л, то вместо sup f(x) пишут sup f (х) или sup f(x).
х&А х А
3) Мажорированная функция на Л такова, что
sup f(x)< + оо.
х<=А
Следовательно, возможно, что
sup f(x)= — оо.
х&А
Но так как по определению для любого х
fW< supf(x)9
хеЛ
то если
sup/(x) = — °°,
х&А
то f(x) = —оо для любого xgA
Свойства. Некоторые приводимые ниже свойства будут
изложены без доказательства, так как они немедленно вытекают
из определений. С другой стороны, будучи изложены
относительно множества Е, они переформулируются для непустого
множества Л из Е9 когда рассматривается сужение функций на Л.
1) Для того чтобы a==supf(x), необходимо и достаточно,
х^Е
чтобы f(x)^ а при любом ^е£и чтобы при любом а < я су-
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
219
ществовало также значение функции /, а значит, и xg£, что
a<.f{x) ^.а. Это характеристическое свойство часто входит в
доказательства.
2) Для того чтобы функция / была мажорирована на £,
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое конечное число
а, что f(x)^a при любом х е Е.
3) Функция f+ минорирована на £, f' мажорирована на Е;
для того чтобы f была ограничена на Е, необходимо и
достаточно, чтобы |/| была мажорирована на Е.
4) Какова бы ни была функция f, определенная на £ и
принимающая значения в R, всегда
inf /(х)< sup/(x).
Х€=Е Х<Е=Е
5) Если f и g— функции на Е со значениями в R и если
f ^ g", то
sup / {х) < sup g (х), inf f (х) < inf g (x).
x^E xe=E x*=E x*=E
6) Если A — непустое подмножество из E, то
sup f (x) < sup f (*), inf f (x) < inf f (x).
xe±A xt=E х^Ё хеЛ
7) Если
есть объединение семейства непустых подмножеств, множество
индексов которых есть /, то для любой функции со значениями
в R> определенной на Е, имеем
sup / (х) = sup ( sup f (л:)),
х е Е it=I х^А}
что записывается также
sup f (х) = sup (sup f (л:)).
UAi I A{
В самом деле, пусть а = sup f(x) и а < а. И пусть %^Е
Е
таково, что a<f(l)^.a. Точка | принадлежит»хотя бы одному Аи
скажем, Л*0; имеем
№<supf(x).
ч
Но так как А\ с Я, то в силу 6) имеем
sup / (х) < sup f (х) = а,
Ai Е
Следовательно,
а < sup/(*)<:а.
Ч
220
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Если теперь рассмотреть отображение ф множества /в S,
определяемое соотношением
<p(0 = supf (*),
то последние неравенства означают, что для любого i е / имеет
место ф(/) <аи что для любого а < а существует такое to е /,
что а <С ф(^'о) ^ а- Согласно 1) это влечет равенства
а =з sup ф (i) = sup (sup f (x)).
i i At
8) Если f и g" — числовые функции (со значениями в R),
определенные на множестве £, то
sup(f (*) + g(x)) < sup f W + sup g(x).
xe=E xg£ xt=E
Заметим, что если f и g — числовые функции (т. е. с
конечными значениями), то не могут выполняться равенства
sup/(*) = + оо, sup g(x) — — оо,
х&Е хе=Е
ибо тогда было бы g(x) =— оо для любого х\ следовательно,
сумма
supf (*) + supg(*)
имеет смысл.
Неравенство верно и для случая, когда f и g принимают
значения в R, но мы не будем этим пользоваться.
9) Если f и g — числовые функции (со значениями в /?),
определенные на множестве Е, и если f ^ 0, g ^ 0, то
sup (f (х) g (х)) < sup f (х) • sup g (x).
10) Если f — числовая функция (со значениями в /?), f ^ О,
и если g(x)= ljf(x)9 когда }(х)фО, a g(x) = + oof когда
f(x) = Q, то
supg-(x)== 1/inf f(x).
хс=Е хе=Е
11) Если в 8) и 9) взять в качестве g конечную постоянную
функцию а, то получим
sup(f(х) + а) = а + supf(х), каково бы ни было аей;
ке=Е xg£
sup(af(*)) = asup7M» каково бы ни был(/сс>0 в /?.
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
221
2. Оболочки семейства числовых функций или функций со
значениями в R.
Определение. Пусть (fi)—семейство функций со значениями
в R, определенных на Е и снабженных индексом £,
принадлежащим некоторому множеству L Верхней (соответственно нижней)
оболочкой семейства fi называется функция со значениями в Я,
определенная на Е посредством
х -> sup fi (х) (х -> inf ft (х)).
Эта верхняя (соответственно нижняя) оболочка обозначается
sup ft, или sup fti или sup ft (inf fti inf ft, inf ft).
f€=/ i i*=I i
Если через & обозначено множество всех функций со
значениями в Ry определенных на Е, то это множество упорядочено
отношением f <! g€$f (х) ^ g(x) при любом х, Рассмотрим в &
подмножество Л, состоящее из элементов семейства (ft) (ср.
гл. I, раздел 4); пусть g есть верхняя грань этого семейства.
Так как ft ^ g при любом t, то g является мажорантой
множества А. Если существует такая функция g' ^l&, что ft^ g' ^ g
при любом t, т. е. если существует мажоранта .множества Л,
меньшая, чем g, и если g' не совпадает с g, то по крайней мере
для одной точки х^Е имеем g'(x)<Zg(x). Но так как g(x) —
верхняя грань чисел fi(x)y то имеется по крайней мере один
такой индекс *"о, что g'(x)<Zfi0(x)^g(x). Отсюда следует, что
g' = g\ или, иными словами, что g есть наименьшая мажоранта
множества А в £, т. е. ее верхняя грань. Итак, верхняя
оболочка семейства (fi) есть верхняя грань в & множества
элементов fi.
Понятия, излагаемые в этом параграфе, иллюстрируются в
дальнейших главах и разделах (непрерывные функции,
интегрирование и т. д.).
3. Верхний предел, нижний предел.
Определение. Пусть f — функция со значениями в £,
определенная на множестве Е, и пусть ЗГ — фильтр на Е\ через А
обозначается.произвольный элемент фильтра ЗГ. Верхним пределом
функции f по фильтру ЗГ называется конечное или бесконечное
число inf (sup f(A)), а нижним пределом — конечное или беско-
А
печное число sup (inf f (Л)). Записывают limsup или lim и liminf
А
или lim:
lim/= inf (sup f{A)\ limf= sup (inf f(A)).
$r A^^ ~$Г Ae=&'
222
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Это понятие, как мы увидим, обобщает понятие предела, и
когда речь идет о топологическом пространстве £, оно связано
с понятием полунепрерывной функции.
Перечислим основные свойства, первое из которых очевидно.
Предложение 1. Справедливы соотношения lim/^limf,
~W~ &*
limf = -lim(-f).
Предложение 2. Для того чтобы существовал limf, не-
необходимо и достаточно, чтобы
lim / = lim f.
Допустим сначала, что limf существует, и пусть
a = lim/.
Напомним, что это означает, что а является пределом в R
фильтра, состоящего из множеств /(Л), где ЛеУ, т. е. что
любой открытый интервал X, содержащий а, содержит некоторое
f(A) (открытым интервалом, содержащим а, будет либо ]а, р[,
aG/?, р е R, если а е R> либо [—оо, а[ или ]а, +,°°]> а е /?, если
а бесконечно).
Следовательно, /(Л)с=Х, и значит,
inff04)<supf(4)e=J.
Но каково бы ни было /lef,
inf f (Л) < sup (inf f (Л)), inf (sup f (A)) < sup f (Л),
л л
а так как для любого Л
inff04)<supf04),
то
inf / (Л) < sup inf (f (Л)) < inf (sup f (Л)) < sup f (Л),
A A
ИЛИ
inf f (A) < lim f < lim f < sup f (A).
Поскольку inlf(A)^X и supf(A)^X, то
limf^Xy iimf^X.
Стало быть, замыкание любого открытого интервала,
содержащего а, содержит lim и lim; а так как на R всякий открытый
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
223
интервал, содержащий точку, содержит и замкнутый интервал,
содержащий эту точку, то отсюда следует, что
lim/ = lim/ = lim/.
~W & &
Обратно, предположим, что
lim/ = lim/,
и пусть а есть их общее значение. Покажем, что любой открытый
интервал (или его замыкание), содержащий а, содержит f(A).
Предположим сначала, что а конечно; для любого г > О
существует такое /1бУ, что а ^ inf f (А) < а + г (по
определению inf) и такое Л'е#", что а — г < эирДЛ')^ а (по
определению sup). Так как #" есть фильтр, то Л П А' содержит
некоторое А" <= У, а как как А" <= А и А" с/Г, то
inf f (А') < inf f (Л") < sup f {A") < sup / (Л),
что дает
a — e < inf f {A") < sup f (Л") < a + e;
значит, существует такое Л", что
f(4")c:]a —е, а + е[.
Если, например, а= + оо, то
inf (sup f (Л)) == + оо =ф + оо < sup / (Л),
л
следовательно, supf (Л) =-foo, каково бы ни было Л;
sup (inf f (Л)) =-|-оо означает, что для любого a^R найдется
такое Л, что a < inf f (Л) < + оо. Значит,
А
а < inf f (Л) < sup f (Л) = + оо,
и стало быть, ]а, +оо] содержит f{A).
Предложение 3. Верхний предел функции f по фильтру
ЗГ равен верхней грани точек прикосновения функции f.
Напомним, что уо является точкой прикосновения функции
/ (по фильтру #"), если каждая окрестность точки у0 пересекает
каждый элемент f(A).
Если уо — точка прикосновения, то y0^f(A) при любом Л,
Следовательно, для любого Л выполняется неравенство у0 ^
^ sup/(Л), и значит,
Уо< inf (supf (Л)) = 1¾.
А &
Стало быть, верхняя грань множества точек у0 будет <limf*
224
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пусть теперь X — открытый интервал, содержащий
lim f;
яг
существует такое Л, что supf(A)^X. Следовательно, X
пересекается с/(Л). Но если Л'— произвольный элемент из ЗГ, то
Л' П Л содержит некоторое А" <= (F, а так как A" cz Л, то
Hm/<sup/^")<sup/H);
я?
и значит, supf{A")^X. Таким образом, X пересекает f(A").
Но A'zdA", и поэтому f(A") есть подмножество множества
/(Л'), а значит, X пересекает f(A'). Поскольку всякий открытый
интервал X, содержащий lim/, пересекает любой элемент филь-
яг
тра, состоящего из /(Л), то это означает, что lim / есть точка
<г
прикосновения функции /; а так как lim/ больше любого
значения уо, то это влечет, что lim/ есть верхняя грань множества
яг
точек прикосновения.
Частные случаи и примеры. 1) Если Е —
топологическое пространство, a ff" — фильтр, образованный окрестностями
точки *о, то пишут lim f(x) или lim f(x) вместо lim/. Так как
X —^ Х$ X==Xq <xf
любая окрестность А точки х0 содержит Хо, то
inf /(Л)</(х0) < supf (Л)
при любом А, и значит,
lim f(x)</W<Iimf(4
*=#„ х~х0
Непрерывность в точке х0 эквивалентна тому, что
lim f(x) — lim f(x).
x=xQ x<=x0
Разность
со (jc0) = Hm f (x) — Hm f (x),
X—Xq х=лг0
когда она имеет смысл, называется колебанием функции / в
точке Хо.
Три числа
limf(*), f(x0), Umf(x)
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
225
могут быть попарно различны. Так, для функции, определенной
на R как f(x) = — 1, если х < 0, /(0) = 0 и f(x) = 1, если х > 0,
имеем в точке Xq = 0:
lim/(*)=- 1, Iim/(jc)=l, /(0) = 0.
2) Пусть E = N — множество натуральных чисел, / —
числовая последовательность (хп), 3F — фильтр, состоящий из
дополнений конечных подмножеств. Вместо \\тхп пишут lim хп
&" /г->оо
или lim хп.
П—оо
Имеем
lim хп — inf (snpxk)t
/г->оо п £>л.
Если a = lim хп конечно, то для любого ё > 0 найдется
П->оо
такое целое п, что
а<1 sup xk < а + е,
и значит, для любого k^ п имеем хи <Z а -\- г. Но, по
определению sup, для любого 8 > 0 существует такое хи с k ^ я, t^ro
а — 8 < лг£ ^sup ад
/г>гс
зафиксируем Aii и возьмем такое k\ ^ яь что
a — e<xkl<i sup ад
затем для я2 > &i возьмем такое k2 ^ «г, что а — е < *&,
и f. д Получаем, следовательно, бесконечно много таких
значений й, что а — е < ад
Таким образом, для последовательности (хп) число
а = lim хп
П->оо
Обладает тем свойством, что каково бы ни было г > 0, начиная
с некоторого номера все хп будут <а + е, и для бесконечного
числа значений k будет иметь место xk > а — е. Точно так же
формулируется определение lim ад и это определение легко
П-+оо
переносится на случай, когда lim, lim не являются конечными.
Если речь идет о числовой последовательности, то иногда
в качестве определения lim берется предыдущая формулировка.
226
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Можно также определить понятие \\тхп иначе, используя
тот факт, что lim есть верхняя грань множества точек
прикосновения. Утверждение, что а есть точка прикосновения
(подразумевается, по фильтру, состоящему из дополнений конечных
подмножеств из /V), означает, что любой открытый интервал,
содержащий а, содержит точку множества Xh, где k принимает
все натуральные значения, кроме конечного числа (каково бы
ни было это число). Если обозначить через А множество
значений, принимаемых функцией п-*хп, то а будет точкой
прикосновения множества Л, и тогда а есть либо точка накопления,
либо значение, принимаемое функцией бесконечно много раз.
§ 2. Числовые функции на счетном множестве.
Бесконечные суммы. Ряды
В этом параграфе изучаются бесконечные суммы
действительных чисел и ряды (для которых мы только напомним
основные свойства). Некоторые результаты распространяются на
случаи более общие (например, семейство элементов абелевой
группы, наделенное соответствующей топологией).
Можно представить вопрос следующим образом.
Рассматривается счетное множество Е действительных чисел. Такое
множество определяется тем, что можно хотя бы одним способом
установить взаимно однозначное соответствие между Е и
множеством N натуральных чисел. Если мы хотим теперь
различать элементы из £, то мы наделяем их индексами, которые
являются элементами из N. Однако, как показывают
элементарные примеры, это различение посредством индексов может
производиться различными путями. Можно, следовательно, взять
также счетное множество / (отличное от Лт) и использовать его
в качестве множества индексов для элементов множества Е.
Если сделан выбор одного биективного отображения
множества N в Е, то тем самым определена последовательность, т. е.
функция переменного из N со значениями в Е. Обозначив через
(Xk) эту последовательность, можно попытаться придать смысл
бесконечной сумме членов х этой последовательности,
прибавляя друг к другу xk в порядке возрастания индексов; таким
образом, получаются выражения
51 = X\i S2 == Х\ I *2> • • • > sn = х1 "Г • • • ~Г %п>
и если последовательность (sn) имеет предел в Ry то этот
предел может рассматриваться как сумма элементов (хп).
Но уже на элементарных примерах видно, что если
рассматривается другая последовательность, определенная другим
биективным отображением множества N на £, т. е. другая
функция (значения которой снова являются элементами из £), то
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
227
можно и не получить ту же сумму. Иными словами, при
определении суммы бесконечного числа элементов желательно, чтобы
это понятие не зависело от порядка, в котором складываются
элементы.
Напомним (гл. V, раздел 4, § 1), что натуральный фильтр
на / определяется рассмотрением дополнений конечных
подмножеств, фильтр сечений — рассмотрением в качестве элемента
этого фильтра множества конечных подмножеств множества /,
содержащих одно и то же конечное подмножество.
1. Бесконечные суммы.
Определение. Пусть (а*) — множество чисел, наделенных
индексами из множества индексов I, и пусть
есть сумма чисел а*, индексы которых принадлежат некоторому
конечному подмножеству ср из I. Если аф имеет предел а в R
по фильтру сечений, соответствующему I, то говорят, что
семейство (щ) суммируемо и имеет сумму, равную а; записывают
а= 2 Щ или а = 2^«
Напомним, что это должно означать, что для любой
открытой окрестности X точки а существует такое конечное
подмножество фо с /, что для любого конечного подмножества фЗф0
имеем аф — аеХ (или, если рассматривать г > 0, то
| <2ф — а | < 8 ДЛЯ ф ID фо) .
В этом определении / не предполагается счетным. Это
определение распространяется на случай, когда (аг) — элементы
аддитивно записываемой абелевой группы с топологией;
свойства, которые будут изложены, показывают, что для того, чтобы
сохранить их в случае абелевой группы G, надо рассматривать
такую топологию, чтобы отображения (х, у)-*(х + у)
множества G X G в G и х->(—х) множества G в G были непрерывны
(этот общий случай здесь не рассматривается).
С другой стороны, предыдущее определение применимо без
изменений, если рассматривать умножение на R и произведения
/€=ф
что приводит к определению перемножаемого семейства и
произведения семейства.
Приведем основные свойства суммируемых семейств.
Свойства. Понятие суммируемого семейства не требует
введения порядка на множестве индексов. В этом смысле оно
коммутативно. В частности, если / счетно и если известно, что
228
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
семейство (а*) суммируемо, то сумма а получится, если
расположить индексы / в произвольно выбранном порядке, т. е.
рассмотреть отображение /г—мп множества /V на / и найти предел
по натуральному фильтру множества N для суммы
п
sn = 2 Щи.
Вообще, если заменить / множеством индексов /', с которым
имеется взаимно однозначное соответствие, то семейство
множеств (Xi)f наделенных индексами i' е /', снова суммируемо и
имеет ту же сумму.
Предложение 1. Если семейство (щ)Ш1 суммируемо, то
аг- стремится к нулю по натуральному фильтру на I.
Речь идет о доказательстве того, что для любого 8 > О
существует такое конечное подмножество ф0, что если i ф ф0, то
|аг|<е. Итак, пусть для любого е>0 множество фо таково,
ЧТО ДЛЯ ф ZD фо
| аф — а | < в/2.
Тогда |аф —аФо |< е, и
аФ — аФо = 2 а/.
*е=Ф
В частности, для любого индекса £^фо, в случае, когда ф есть
объединение фо и t, будет выполняться |аг|<8.
Предложение 2. Если семейство (аД.е/ суммируемо, то
множество индексов I, для которых аг- ф О, счетно.
В самом деле, мы видели, что в R имеется счетная база
топологии, и поэтому можно в определении суммируемого
семейства заменить выражение «любое открытое множество X,
содержащее 0», выражением «любое открытое множество счетного
семейства открытых множеств, содержащих 0», скажем Хп =
= ]-1М, \/п[.
Но если (аг-) суммируемо, то согласно предложению 1,
найдется конечное число таких индексов t, что щ ф Х^\ обозначим
это множество через 1п\ оно составляет часть множества /.
Множество тех i, для которых аг- ф О, является объединением
множеств 1п (каждое из которых содержит лишь конечное число
элементов) и, значит, счетно.
Этот результат (справедливый для случая, когда имеется
счетная база топологии) объясняет, почему практически можно
предполагать / счетным.
Следующие предложения 3 и 4 очевидны в силу
определений.
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИЙ
229
Предложение 3. Если (а<){€/ — суммируемое
семейство, то любое его подсемейство (а,-) с индексами из
подмножества J множества I суммируемо.
Предложение 4. Если два семейства (а*), (р;) с
индексами из одного и того же семейства индексов суммируемы, то
семейства (аг + рг)> (—а*) суммируемы; для любого X
семейство (Ясс*) суммируемо; имеем
2(а* + Р*) = 2 а* + 2 Рь 2(— а*) = — 2 а,, 2 (Ьщ) = h 2 <*/.
Следующее предложение утверждает ассоциативность
бесконечной суммы.
Предложение 5. Пусть (аг) — семейство чисел,
наделенных индексами из множества индексов I. Если семейство (а*)
суммируемо, то при любом разбиении I на подмножества 1%
семейства (cc/)ie/ суммируемы, семейство чисел
^= 2
а*
суммируемо и 2 ^ = 2^.
В самом деле, допустим, что (а*) суммируемо и положим
а = 2а*-Для любого 8>0 найдется такое конечное
подмножество фо множества /, что еслц ш есть произвольное конечное
подмножество, содержащее ф0, то |5Ф — а\< е/2.
Рассмотрим подмножества 1%, образующие разбиение /, т. е.
такие, что
/=11/я, /яП/х' = 0. если %Ф%\
Согласно предложению 3 семейство (сО/еЕ/ суммируемо при
любом К. Существует лишь конечное число таких значений JV,
при которых 1% пересекается с ф0, потому что фо конечно и
потому, что два различных /х не пересекаются. Обозначим эти
значения через %\, Яг, ..., Кр, а их множество через г|?о, и пусть
г|? есть конечное множество значений Я, содержащее t|v,
элементы множества г|э обозначим через hi, ..., %v, Хр+\, ..., Kq.
Для любого hety величина sK есть предел суммы
2 а/,
где фх — конечное подмножество из /х. Значит, для любого
е>0 найдется такое ср£, что если ф^гэф^, то
Sk — 2 Щ
< 8/2^7,
230
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Возьмем теперь конечные подмножества ф£, содержащие ф£
и /х П фо (которые составляют конечное число конечных
подмножеств из /); тогда тем более
Si— 2,а/
< фд.
Пусть, наконец,
' = U <р£ = U чч
Ле=ф
fe=l
Поскольку речь идет о конечных подмножествах, то можно
записать;
2 а* = 2 / 2 аЛ •
*е=/
fe=l
<S%,
Но
следовательно,
2 <*i — sKk
/ефЛ
2 ъ — 2 5w
• ^- 1 и 1 **
ie=/
< e/2q;
<е/2.
Но так как ф( содержит /х П фо и так как объединение
множеств 1\ П Фо составляет фо в силу того, что /х образуют
разбиение множества /, то /, являющееся объединением
множеств <р*к , содержит фо, и следовательно,
2 <** —«
Окончательно имеем
£=1 *
<е/2.
<е.
Итак, каждому е > 0 можно поставить в соответствие
конечное подмножество фо == (Яь 1г, ..., ^р) множества чисел ^, и
для любого конечного множества ф = (A,j, •••> ^р> •••» М^Фо
выполняется неравенство
2 h~а
Ле=ф
<8,
которое показывает, что семейство (sK) суммируемо и его
сумма равна 2а*'
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
231
Теперь может быть получена следующая формула: если I —
множество индексов, (А,)а,<=л — некоторое разбиение
множества / и если семейство (af)fe_7 суммируемо, то
2 <х*= 2 / 2 аЛ= 2 а/.
Сейчас мы рассмотрим это на примере рядов, называемых
двойными. Мы отдельно рассмотрим этот важный для
дальнейшего частный случай, при изложении которого мы ограничимся
множеством / = Ny<N.
Элемент /е/ есть упорядоченная пара (р, q) двух
натуральных чисел. Разбиение множества / на подмножества /х
получится, если взять /^ = N, Л = N. Если семейство (<%{)
суммируемо, то подставляя xPt q вместо i, получаем
2 *р, 0 = 2(2 Xp,q\ — 2 (2*р, ЯГ
Р, Я Р \ Я I Я \ Р I
Этот факт выражается словами, что если, семейство (лгр> ,7)
суммируемо, то его сумма получается либо предварительным
суммированием элементов по строкам, либо предварительным
суммированием по столбцам.
Другое разбиение состоит в том, что через /х обозначается
множество тех (р, q), у которых р + q = Я, где X = 2, 3, ...
Тогда
2*р,<7= 2 (*1,Л + *2.Л-1 + ••• +**.l)#
p, q k^N
Замечания. Все изложенные выше предложения
справедливы и для весьма общих случаев; в частности, они верны,
когда речь идет об элементах действительного нормированного
пространства (см. ниже). Напротив, свойства, приведенные
ниже, используют отношение порядка на R.
Предложение 6. 1\ Если семейство (а*) действительных
чисел суммируемо, то множество конечных сумм элементов
семейства ограничено в R.
2) Если числа а* положительны, то предыдущее условие
необходимо и достаточно, чтобы семейство (а*) было суммируемо.
В самом деле, пусть (аг)ге=1— некоторое суммируемое
семейство и а — его сумма. Тогда для любого 8 > 0 найдется
такое конечное подмножество фо, что, каково бы ни было
конечное подмножество ср:эфо, имеем |аф — а|<8, и, значит,
|аф| £<: |a| +s. Если ф'—произвольное конечное подмножество
множества /, то поскольку -ср" = ф' U ф0 з ф0, имеем
l<Vu(Pol<M + e.
Но
Яф'УФо ~ аФ' "Ь #Ф0-ф'>
232
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
и если р означает число элементов множества фо, а т —
наибольшее из тех |*г|> для которых *'ефо, то
I<V Kl <Vu<Pol + pw<l а\ + рт + г.
Следовательно, если семейство (аг-) суммируемо, то для
любого конечного подмножества ф' из / множество | яу |
мажорировано числом \а\ -\-рт -f- е.
Предположим теперь, что а^О и что аф мажорировано,
каково бы ни было конечное подмножество ф из /. Тогда
a = sup a^&R.
ф
Согласно определению верхней грани, для любого е > О
найдется такое аФо, т. е. конечная сумма, а значит, и такое
конечное подмножество ф0е/, что
а — г < аФо < а.
Так как а* ^ 0, то для любого конечного подмножества ф z> ф0
имеем
Яф0 ^ аФ ^¾ а>
и следовательно, а — аф'<8, чем доказано, что семейство (а*)
суммируемо и его сумма равна верхней грани конечных сумм.
Предложение 7. Пусть (а*), (рг)— два семейства поло-
жительных действительных чисел, наделенных индексами из
одного и того же множества I и таких, что аг- ^ рг при любом L
Если семейство (рг) суммируемо, то семейство (аг-) тоже
суммируемо и 2 а; ^ 2 Pi-
Действительно, для любого конечного подмножества фе/
условие a* ^ рг влечет
2 аг = аф<&ф= 2 Р*.
i е Ф * еФ
А поскольку аг-^ 0 и рг-^ 0, то достаточно обратиться к
предложению 6.
Предложение 8. Для того чтобы семейство (а*)
действительных чисел было суммируемо, необходимо и достаточно,
чтобы было суммируемо семейство (| аг-1).
В самом деле, если (а*) суммируемо, то найдется такое
положительное М, что для любого конечного подмножества фе=/
имеем
2 Щ
:ф
<Af.
(предложение 6, 1)). Рассмотрим, при любом I, положительные
и отрицательные части- х+, xj для xt\ имеем | xt\ = xf + xr.
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
233
Тогда
2 х+ < м, 2 *т < м,
ибо семейства (xt) и (яг) отличаются от подсемейств
семейства (х^ лишь на множество нулей. В силу предложения 4
2 1**1= 2 *,+ + 2 *г<2м
для любого конечного подмножества ф множества /.
Обратно, если для любого ф выполняется неравенство
21 х{ | ^ М, то в силу неравенств xf ^ | xt | и xr < | xf |, с одной
стороны, суммируемо семейство (|лс/|) (предложение 6, 2)),
а с другой стороны, суммируемы семейства {xf} и (xf)
(предложение 7), и стало быть, семейство (х{) = [xf — #f) тоже
суммируемо (предложение 4).
Предложение 9. Для того чтобы семейство (а*)
действительных чисел было суммируемо, необходимо и достаточно,
чтобы множество конечных сумм было ограничено.
Необходимость вытекает из предложения 6,1).
Обратно, если для любого ф
аф= 2 а*
£*зф
ограничено, то конечные суммы семейств (а+) и (а;~")
мажорированы, а значит, то же самое будет иметь место и для
семейства (| осг |), откуда в силу предложения 8 следует, что
семейство (а*) суммируемо.
Примеры и замечания. 1) Примером, хорошо
иллюстрирующим формулируемые выше свойства, может служить
пример рядов, называемых двойными. Рассмотрим, например,
семейство (ар, q) с индексами из множества N'XN,
определенное равенствами ар, q = а^Ы, где
0<а< 1, 0<6< 1.
Простое вычисление суммы членов геометрической прогрессии
показывает, что множество
l=q
2 Щ, /
/=о
мажорировано числом 1/(1—а)(\—Ь). Следовательно,
семейство суммируемо; можно, в частности, написать:
Р, Я Р \ Q I \ Р )\ Я I
234
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2) Понятие суммируемого семейства применимо, очевидно,
и к тому случаю, когда задается последовательность (a>k)k<=N
действительных чисел. Если это семейство суммируемо, то, в
частности, 2 ал имеет предел по фильтру сечений, который
здесь эквивалентен натуральному фильтру.
В этом случае говорят, что последовательность суммируема.
Но всякая последовательность, полученная перестановкой
индексов, тоже суммируема (равно как и последовательность
(KD).
3) Из приводимых выше предложений путем
формулирования их логических отрицаний получаются необходимые,
достаточные или необходимые и достаточные условия для того, чтобы
семейство (а*) не было суммируемо.
Например, если (а*) не стремится к нулю по натуральному
фильтру на /, то семейство (аг-) не суммируемо.
Если множество конечных сумм не ограничено, то семейство
не суммируемо; это условие эквивалентно существованию
семейства конечных подмножеств, именно, последовательности
(фп), обладающей тем свойством, что |яф/1| стремятся к
бесконечности по натуральному фильтру, т. е.
Jim | в,.|-+оо,
в соответствии с тем смыслом, который придается этому
обозначению.
4) В случае семейства (xPtq), наделенного индексами из
N X N, понятие суммируемого семейства заменяет понятие
«абсолютно сходящейся таблицы с двойным входом». Это
название станет ясным при изложении понятия и свойств
абсолютно сходящихся рядов (см. ниже).
2. Ряды. Предположим, что задана последовательность (an)
действительных чисел, т. е. задано отображение множества N
в R. И пусть
п
1
откуда выводим, что ап = о,п — an_i, если п ^ 2, ал = аг.
Следовательно, если рассмотреть множество 8 всех
последовательностей действительных чисел, т. е. множество всех
функций переменного, принадлежащего множеству Л/, и
принимающих значения во множестве R, а функции п-*ап поставить в
соответствие функцию n—>an, то тем самым будет установлено
взаимно однозначное соответствие множества 8 на себя.
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИЙ
235
Рядом называется пара двух таких последовательностей
(ап) и (ап). Общим членом, или я-м членом, называется
элемент an, а суммой п членов — элемент ап.
Говорят, что ряд с общим членом (ап) сходится, если
последовательность (ап) сходится (по натуральному фильтру на
N)\ в этом случае часто пишут
оо оо
i i
и это число называется суммой ряда. Сам ряд называется
сходящимся. Ряд, который не сходится, называется расходящимся.
Приняты также названия: «ряд (an)», «ряд ai + a2 + ...
... + ап + ...» или «ряд 2 ап»-
Различие в обозначениях между суммой ряда и суммой
семейства чисел продиктовано разницей в их природе. При
определении суммы сходящегося ряда вводятся суммы
п
an— ^j Яь
1
получаемые прибавлением <х& в порядке следования их
индексов, и записывается
П оо
lim 2a* = Sa^.
П-±оо 1 1
Напротив, при рассмотрении (ah) как семейства
действительных чисел, тот факт, что семейство суммируемо, не связан
с введением какого бы то ни было отношения порядка на
множестве индексов; можно также рассмотреть все
последовательности действительных чисел, полученные из последовательности
fe-*ctfc перестановками множества N индексов. Все ряды,
полученные таким способом, в случае суммируемого семейства (аь)
имеют одну и ту же сумму
оо
1
Это уточняется следующими основными свойствами (из
которых первые три приводятся в учебных курсах и поэтому
формулируются здесь без доказательств).
Предложение 1. Для того чтобы ряд с общим членом
ап сходился, необходимо и достаточно, чтобы
lim 2(½ ===0.
p,q+oo\p J
236
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В частности, необходимым условием является равенство
lim ар = 0.
р-»оо
Предложение 2. Два ряда с попарно равными членами,
кроме конечного числа из них, одновременно сходятся или
расходятся.
Предложение 3. Если ряд с общим членом ап сходится,
то для любой строго возрастающей последовательности (пр)
целых чисел ряд с общим членом
РР = 2 а*
сходится и его сумма равна сумме заданного ряда.
Предложение 4. Для того чтобы последовательность
(ап) была суммируема, необходимо и достаточно, чтобы при
любой перестановке п-+рп множества N ряд с общим членом
(аР/г) сх°дился. Такой ряд называется безусловно сходящимся.
Необходимость очевидна. Обратно, допустим, что для любой
перестановки п-+рп ряд аР{ + ... +арл+ ... сходится и что
последовательность (ап) не суммируема.
Если последовательность (ап) не суммируема, то множество
конечных сумм не ограничено (ср. п. 1, предложение 9).
Следовательно, найдется такая последовательность (фд) конечных
подмножеств множества N, что, например,
lim 2 Щ = + °°-
Следовательно, либо множество сумм неотрицательных
элементов, либо множество сумм- неположительных элементов не
ограничено; поэтому найдется, например, такая
последовательность конечных подмножеств множества N, что lim 2 °i =
= +оо и аг- ^= 0 при i е фд. Пусть L = U фд, М — дополнение L
в N. Выбирая при необходимости подпоследовательность
ф = ф£ последовательности ф^ так, что S* = 2 ty удовлет-
воряют условиям Sh > 0, Sft+i ^ 3Sk + рь, где Рь — й-й элемент
множества М, видим, что 2 «i>2S^ + p^, поэтому мож-
1=4+1-4
но считать, что последовательность множеств щ есть
последовательность попарно непересекающихся множеств, причем
Sk > 0, Sh+\ ^ 2Sk + р^. Тогда можно взять следующую
перестановку в N: сначала занумеровать все элементы фь затем
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
237
взять первый элемент pi е М\ затем перенумеровать элементы
ф2, взять элемент р2 ^ М, и т. д. По построению щ, ряд,
определенный с помощью этой перестановки, не сходится.
Замечание. Сформулированные выше предложения
распространяются на весьма общие случаи (ряды в топологических
группах). В частности, сюда входят ряды в нормированном
пространстве.
Предложение 4 и приводимое ниже предложение 5 уточняют
замечания, сделанные вначале.
Определение. Ряд с действительным общим членом (ап)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд с общим
членом (|ап|).
Предложение 5. Для ряда с общим членом (ап)
следующие три свойства эквивалентны:
а) семейство (ап) суммируемо;
б) ряд с общим членом (ап) безусловно сходится;
в) ряд с общим членом (ап) абсолютно сходится.
Предложение 4 доказывает, что а) 4Ф б).
Предложения 8 (п. 1) и 4 показывают что а)==>в).
Обратно, если ряд с общим членом (|ап|) сходится, то
1
i
и для любого конечного подмножества ера N имеем
оо
2 a*|<S|a„|,
*еф | 1
откуда получаем, что семейство (ап) суммируемо (п. 1,
предложение 9).
Замечания. 1) Предыдущие результаты могут быть
перенесены на случай, когда вместо сложения рассматривается
умножение. Понятие перемножаемого семейства (а*) получится,
если, обозначив через аф произведение тех а,-, индексы которых
принадлежат конечному подмножеству ф с= /, предположить,
что аф сходится, как и выше, к некоторому элементу asi?,
т. е. для любого 8 > 0 найдется такое конечное подмножество
фо, что если ф=Эфо, то |аф — а|< 8. Число а называется
произведением семейства (а*); записывается
i
Однако свойства суммируемых семейств имеют своим
истоком тот факт, что R есть аддитивная группа. Поэтому, когда
речь идет об умножении, необходимо рассматривать лишь
множество конечных действительных чисел, отличных от нуля.
238
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Нейтральным элементом мультипликативной группы R* бу*
дет 1, и, например, необходимое условие перемножаемости
семейства (а*) будет иметь вид: а* должно иметь пределом
нейтральный элемент 1 по фильтру дополнений конечных
подмножеств из /; следовательно, исключая конечное число значений
индекса i, оц должно быть > 0. Это служит основанием тому,
чтобы полагать ai = 1 + Рг, где предполагается р* > —1.
Тогда основным является следующий факт: для того чтобы
семейство (1+рг) было перемножаемо, необходимо и
достаточно, чтобы семейство (р*) было суммируемо.
2) В учебных курсах часто поступают следующим образом.
Определяют понятие ряда, сходящегося ряда, абсолютно
сходящегося ряда. Затем показывают, что всякий абсолютно
сходящийся ряд безусловно сходится, что позволяет, например, при
рассмотрении «таблицы с двойным входом», составленной из
чисел ар>9, утверждать, что таблица абсолютно сходится, если
некоторый ряд, образованный при помощи всех аР>д,
абсолютно сходится, откуда вытекает, что все другие тоже сходятся, и
тогда суммой таблицы называют сумму любого из этих рядов.
ГЛАВА VII
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. НОРМИРОВАННЫЕ
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАНАХОВЫ
ПРОСТРАНСТВА. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе представлены основные свойства метрических
пространств и специальных метрических пространств:
нормированных пространств, банаховых пространств и гильбертовых
пространств.
РАЗДЕЛ 1
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Расстояние
1. Определение. Расстоянием на множестве Е называется
отображение d произведения Е X Е во множество R+
положительных действительных чисел, удовлетворяющее при любых
х, у у г из Е следующим условиям:
1) d(x, у) = 0<=$х = у;
2) d(x, y) = d{y, х)\
3) d(x, y)<:d(xi z) + d(zy у).
Множество Е, на котором определено расстояние d, может,
вообще говоря, называться метрическим множеством.
Мы увидим, что задание расстояния позволяет определить
топологию на Е. Но можно считать, что расстояние вводится на
множестве Е, уже наделенном топологией. А так как в
дальнейшем мы будем определять расстояния лишь с целью
получения из них топологии, то мы и будем теперь говорить, что
множество Е, на котором определено расстояние d, есть
метрическое пространство, и будем обозначать его (Eyd).
Условие 2 в словесном выражении означает, что d есть
симметрическая функция от (х,у). Неравенство 3 называется
неравенством треугольника. Отметим, что условие 1 влечет, что
d(x, у)>0&хфу.
Примеры. 1) Всякое непустое множество Е может
рассматриваться как метрическое пространство. В самом деле,
достаточно определить d как d(x,y)= 1, если х ф у, и d(xy х) = 0.
240
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
2) d(x, у) = \х— у\ на R есть расстояние. Следует отметить,
однако, что расстояние предполагает определенными
действительные числа, а стало быть, и абсолютное значение на R.
3) Для векторного пространства Rn> где точка х =
= («ь а2, ..., ап) есть упорядоченное множество п
действительных чисел, употребляются различные расстояния.
а) Расстояние db в общепринятых обозначениях,
определяется равенством
п
d{{x, #)= Slot* —рЛ |.
k=i
б) Полагаем
d2(x, y) = sup\ak — Pfc |.
k
Число suplc^— Ра | есть наибольшее из чисел \ak— $k |.
k
Легко проверить, что d2 является расстоянием.
в) Полагаем
[п 11/2
2 Ы — Р*)2
fc=l J
Сразу же убеждаемся в справедливости условий 1) и 2). Для
доказательства достаточности условия 3) положим аи — уи =
= ал, ук — рй = bk, и значит, aft — рь = afe + bh\ остается
доказать, что
\1/2 / п \\(2
__(а*)2
но это сводится к неравенству
п \1/2 / п \1,
SW + 2(М2
ft=l / \fc=l /
п \2 / гс \ / я \
которое в свою очередь вытекает из неравенства
i—n, j=n
/=i, /»=1
Расстояние rf3 называется евклидовым расстоянием.
Обозначение. Как показывает пример 3, расстояние на
одном и том же множестве может быть определено различными
способами. Когда важно будет уточнить выбранное расстояние,
метрическое пространство будет обозначаться (£, d)
аналогично тому, как обозначается топологическое пространство
(£, Т) с базой топологии ЗГЩ
Т. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
241
2. Второе неравенство треугольника. Из неравенства 3)
вытекает:
d(xt y)^d(x, zr) + d(z{i z2)+ ... +d(zn-l9zn) + d(zn9 у).
Отсюда
d(x, y)<d(Xi x*) + d(x\ y') + d{y\ y),
d (x\ y') < d (*', x) + d (x, y) + d (у, y').
Тогда
| d(*, y)-d(*', y')\^d(x, x') + d(y, y').
Если мы возьмем у' = у, xf == г, то получим второе неравенство
треугольника:
\d(x, y) — d [у, z) К d (х, z)\
стало быть, можем записать, что для любых х9 у, z из Е
\d(x9 y) — d(yy z)Kd(*, z)<d(*, y) + d(y> z).
3. Метрическое подпространство. Если (E, d) — метрическое
пространство и А— непустое подмножество из £, то сужение
б расстояния d на Ау^А определяет на А расстояние,
называемое расстоянием, индуцированным на А расстоянием d, а (Л, б)
называется (метрическим) подпространством пространства Е.
Так, d(x, у) = \х — у\ на R индуцирует на Q расстояние, из
которого исходят при построении R.
§ 2. Топология метрического пространства
1. Шары. В метрическом пространстве (E,d) открытым
(замкнутым) шаром с центром а^Е и радиусом г^О называется
множество точек х^ £, для которых d(a,x)<.r (d(ayx)<^.r).
Сферой с центром а и радиусом г ^ О называется
множество точек xg£, для которых d(a, х) = г.
В случае R2 вместо шара говорят круг, а вместо сферы —
окружность.
В пространстве R, наделенном расстоянием d(x, у) = \х — у\9
открытым шаром с центром а и радиусом г служит открытый
интервал ]а — г, а + г[.
Открытый шар нулевого радиуса пуст; замкнутый шар
нулевого радиуса сводится к своему центру.
Замечание. Шары в метрическом пространстве, вообще
говоря, не обладают всеми свойствами шаров или кругов
обычной геометрии. Например, пусть В — шар с центром х и
радиусом г, а В' — шар с центром х' и радиусом г'. Если В Л В/ Ф 0,
то найдется общая точка z шаров В и В', и
d(x9 *')<<*(*, z) + d(z9 *')<r + r'
242
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Но если в обычной евклидовой геометрии два шара без
общих точек обладают тем свойством, что d(x, х') ^ г -f- г', то
в метрическом пространстве это, вообще говоря, уже не так:
если взять на множестве Е расстояние, называемое дискретным
и определяемое как d(x, у) ==1, если х Ф у, и d(x, х) = 0, то
шар В с центром х и радиусом г содержит только точку jc, если
О < г < 1, и содержит все множество Е, если г ^ 1; пусть
центры х9 х' различны, г < 1, гг < 1 и г + /*'>1 (например,
г = г/==3/4); шары В и В' не имеют общих точек, но
d (ху х') = 1 меньше чем г + г' (= 3/2).
2. Топология. Пусть (E,d) — метрическое пространство. Для
любого х^Е в качестве базы открытых окрестностей @}(х)
точки х берется множество открытых шаров с центром х.
Семейство <%(х) удовлетворяет условиям (B{) и (В2) (см.
гл. V). В самом деле, никакой элемент из $(х) не будет
пустым. Если рассмотреть два открытых шара с центром х и
радиусами г и f (которые обязательно оба >0), то, поскольку
одно из чисел г, г' меньше другого, один шар содержит другой,
что доказывает справедливость условия {В{).
Пусть теперь имеется открытый шар с центром х и
радиусом г>0 и пусть у — произвольная точка этого шара. Пусть,
далее, р = d(xyy) < г — расстояние между х и у, а е>0—
такое число, что р + е < г. Если z— точка открытого шара с
центром у и радиусом 8, то
d (х, 2)< d (х, y) + d(yi z)< р + е < г;
тем самым доказано, что для любого у открытый шар с
центром у и радиусом е содержится в открытом шаре с центром х
и радиусом г. И условие (В2) выполняется.
Итак, база 9~ открытых множеств на (Е, d) состоит из
семейства всех открытых шаров множества Е и пустого
множества.
Предложение. Замкнутый шар является замкнутым
множеством.
Действительно, замкнутый шар с центром а и радиусом г
есть множество тех х, для которых d(a,x)^.r, и значит,
является дополнением множества О тех у, для которых d(a, у) > г.
Пусть для любого у^О через Ву обозначен открытый шар
с центром у и радиусом d(a,y) — r. Множество (J Ву открыто.
у^о
Но Ocz [J Ву> и обратно, каждая точка из (J Ву принадле-
жит О, ибо если z е Ву, то
d(a, z)^zd(a, y) — d{z} у),
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
243
а так как d(zyy)<.d(a,y) — ry то d(a, z)>r. Следовательно,
О- (J ву-
уе=0
3. Эквивалентные расстояния. Говорят, что два расстояния
d\, d2f определенные на множестве £, эквивалентны, если
существуют такие два строго положительных числа а, Ь, что для
любых хе£и//е£ выполняются соотношения
adx (х, у) < d2 (х, у) < Н (л:, у).
Легко показать, например, что расстояния d\, d2y d3,
определенные в § 1 на Rn, эквивалентны. Если два расстояния
эквивалентны, то можно также написать:
(l/b)d2(x, yXd^x, y)<:(l/a)d2(x, у).
В этом случае ясно, что всякий открытый шар с центром х
в пространстве (£, d\) содержит открытый шар с центром х в
пространстве (£, d2), и обратно. Отсюда вытекает
Предложение. Два эквивалентных расстояния на одном
и том же множестве определяют эквивалентные топологии.
4. Произведение метрических пространств. Пусть Е\, Е2, ...
..., Еп — конечное число метрических пространств и d\, d2y ...
..., dn — соответствующие расстояния, которыми они наделены.
Пусть, далее,
1
В соответствии с общими определениями, топология на
пространстве— произведении Е будет определяться следующим
образом: для любой точки х^Е роль открытой окрестности базы
будет играть произведение открытых окрестностей базы
пространств Ef. Но точка х^Е имеет вид х = (аи а2, ..., ап),
где а^ е £г. Пусть В(аь е*)— открытый шар с центром а* и
радиусом е*, лежащий в Еи и пусть е = гшп(е*). Пусть, далее,
* = ПЯ(«<,в|)
i
— открытая окрестность базы точки х в Е. Рассмотрим для
двух точек х = (аь ..., ап) и # = (рь ..., рп) из £ выражение
d(x, y) = ^dt(ah р,).
Тем самым определено расстояние на Е. В самом деле, х = у
означает а\ = р* для i'=l, 2, ..., я, и значит, dt-(a*, Рг) = О и
d(x,x) = 0. Обратно, d(x,y) = 0 влечет dt(a,-, pi) = 0, и значит,
a* = Pi для любого L Очевидно, что d(x9 у) = d(y, х), а так как
244
ГЛ. Vtl. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
в принятых обозначениях имеем
dt(ah Р*)<^(а<, yt) + di(yh p,)f
то
d(x, yXd(x,z) + d(z, у)
при любых х, у, 2£ Е.
Шар В(х9 г) с центром х и радиусом е, очевидно, содержится
в X. Обратно, X содержится в шаре В(х, Sty).
Следовательно, пространство — произведение Е является метрическим
пространством и его топология эквивалентна топологии,
определенной посредством расстояния d = 2 ^.
Теперь, как и в примере 3 (см. п. 1), ясно, что в качестве
расстояния можно брать расстояние, эквивалентное rf,
например, (2№)2)1/2, либо supd,.
i
5. Расстояния, диаметры множеств.
Определения. Диаметром подмножества А метрического
пространства (£, d) называется конечное или бесконечное
положительное число
sup d (*, у).
х е= А
У^А
Мы будем обозначать его 6(A).
Расстоянием между двумя подмножествами Л, В
метрического пространства (£, d) называется положительное число
inf d (х9 у).
х&А
уев
Мы будем обозначать его d(A93).
\ Назовем теперь расстоянием от точки х до множества А
расстояние от А до подмножества, состоящего из точки х.
Легко видеть, что
d(x, А)= inf d(x, у), d(A, В)= inf d(x, В).
ye А хеА
Отметим, что если А П В Ф 0, то й(Л,В) = 0; однако об^
ратное неверно.
Определение. Множество называется ограниченным, если его
диаметр конечен.
Это равносильно утверждению, что А ограничено, если оно
может быть заключено в шар конечного радиуса г, ибо тогда
для х е А, у ^А имеем d(x, у) < 2г.
Замечание. В метрическом пространстве может
оказаться, что всякое множество ограничено, и стало быть, все про-
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
245
странство должно рассматриваться как ограниченное.
Действительно, согласно элементарному неравенству для
положительных чисел а, Ь имеем
а + Ь ^ a . b
1 + а + 6 ^ 1 + а + 1 + Ь '
Если (£, d) — метрическое пространство, то (£, d')> гДе d' =
= d/(l+d), снова будет метрическим пространством, и для
любых ^g£, ye Я будет выполняться d'(x, у) ^ 1.
Предложение 1. Для того чтобы точка х была точкой
прикосновения множества Л, необходилю и достаточно, чтобы
с?(х, Л) = 0.
В самом деле, если хеД, то любой открытый шар с
центром х содержит некоторую точку у^А. Взяв шары радиуса
1//1, получаем d(x, у) < 1/п, и, значит, inf d(x, у) = 0.
Обратно, если d(x, Л) = 0, то поскольку
d(x, А)= inf d(x, у),
t/e= Л
то, по определению нижней грани, при любом а >> 0
существует такое число d(x,y), что 0^d(xy у) < а, но это и
означает, что любой открытый шар с центром х и радусом а
содержит г/ЕЛ.
Следствие 1. Если А замкнуто и хфА, то d(x,Л)>0.
Ибо если Л замкнуто, то А = А, и для того "чтобы хеЛ,
необходимо и достаточно, чтобы d(xy Л) = 0.
Следствие 2. 5 метрическом пространстве замкнутое
множество и точка, ему не принадлежащая, могут быть
отделены непересекающимися открытыми множествами.
Ибо если Л замкнуто и если хфАу то d(x, Л)>0. С одной
стороны, каждому г/ЕД соответствует открытый шар Ву с
центром у и радиусом (\/2)d(xy Л), а точке л: соответствует
открытый шар Вх с центром х и радиусом (\/2)d(xyA). Шар В^ и
открытое множество
не имеют общих точек.
Следствие 2 (в силу гл. V, раздел 3, § 1, п. 2)
формулируется следующим образом.
Следствие 2. В метрическом пространстве любая окрест-
ность точки содержит замкнутую окрестность этой точки.
В такой форме оно доказывается совсем просто (см. гл. 6,
предложение 4).
Предложение 2. Для любого подмножества А.
метрического пространства множества А и А имеют одинаковый
диаметр.
246
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В самом деле, таккак Aid А, то очевидно, 8(A) ^ б (Л).
Докажем, что б(Л)<^;б(Л), т. е. что для любых /el,
*/'еЛ выполняется d(x', у') ^ б (Л).
Для произвольных х е Л, у е Л имеем
d(*', »Ki(^ *) + d(y'> У) + d(x, y)<d(x', x) + d(y\ у) + б (Л),
Но для любого е > 0 и любых точек прикосновения х\ у'
множества Л можно найти такие х ^ А, r/еЛ, что d(x',x)<
< е/2, d(y', у) < е/2. Следовательно, ^(л/, у') ^ е + б(Л) для
любого е>0, откуда следует, что d(x', у') ^ б(Л) и 8(A) ^ б(Л).
6. Общие топологические свойства. П р едл ожен ие 1. То-
пология, определенная посредством открытых шаров, имеющих
центром точку х, а радиусами — строго убывающую
последовательность чисел (гп), стремящуюся к нулю, эквивалентна
топологии, определенной при помощи расстояния.
Это предложение очевидно. В частности, можно взять rn =
= 1/п. Таким образом, можно предположить, что для любого х
база открытых шаров 38(х) является счетной. Но из этого не
следует счетность базы топологии Т. Однако имеет место
следующее предложение (иллюстрируемое случаем пространства
Rn, где множество точек х = (а\, с&2, ..., ап) с рациональными
координатами аь плотно в Rn):
Предложение 2. Если в метрическом пространстве (Е, d)
существует счетное плотное множество А, то топология может
быть определена при помощи счетной базы.
Обозначим через Х\, х2, ..., Xk, ... точки из Л и рассмотрим
множество Э~ открытых шаров с центрами в точках Xk и
радиусами 1/п.
Пусть В — шар из Т, содержащий х^Е, и xk — его центр,
1/р — радиус. Найдется достаточно большое п, чтобы 1/п <
<.\/р — d(xk, х). Открытый шар с центром х и радиусом 1/п
содержится в В.
Обратно, пусть имеется открытый шар с центром х и
радиусом г/2. Так как Л плотно в Е, то этот шар содержит точку
Хъ е Л. Найдется достаточно большое п, чтобы \/п<,г/2\
открытый шар с центром xk и радиусом 1/п содержится в шаре
с центром х и радиусом г.
Предложение 3. Метрическое пространство отделимо.
В самом деле, если хб£, х' е Е и х ф х', то открытые
шары с центрами х и х' и радиусом (l/3)d(x,x') не имеют
общей точки, так как если бы такая точка у существовала, то мы
имели бы
0<d(x, xf) < d (х, у) + d(x', у) < (2/3) d (х, х'),
что невозможно.
Т. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
247
Предложение 4. Всякое метрическое пространство
регулярно.
В самом деле, если Е — метрическое пространство и хе£,
то открытый шар В(х, г) с центром х и радиусом г > 0
содержит открытый шар В(хуг/2) и его замыкание В(х, г/2)*).
Предложение 5. Всякое метрическое пространство нор-
мально.
Напомним (см. гл. V, раздел 3, § 2, п. 3, теорема 2' и
определение), что отделимое топологическое пространство
называется нормальным, если любые два замкнутых множества
могут быть отделены двумя непересекающимися открытыми
множествами.
Пусть в метрическом пространстве (£, d) имеются два
непересекающихся замкнутых множества Л, В.
Каждому х^А ставим в соответствие открытый шар Вх
с центром х и радиусом (\/2)d(x1 В)\ каждому у^В —
открытый шар Ву с центром у и радиусом (\/2)d(y1 А). Так как Л, В
замкнуты и не пересекаются, то эти шары не пусты.
С другой стороны, для любых х ge Д, у <= В имеем Вх П Ву =
= 0, ибо если бы некоторая точка х0 принадлежала Вх и Вуу
то было бы
d(x9 y)>d(x, х0) + d(y9 х0) < (\/2)(d{x9 В) + d(y, Л)),
и в зависимости от порядка величины соответственно d(x, В)
и d(y9A)9 имели бы d(x9y) < d(x, В) или d(y9A). Если бы,
например, d(x9y) < d(x9 В), то у^В принадлежала бы
открытому шару с центром х и радиусом d(x,B), что невозможно
(по определению d(x, В)). Следовательно, открытые множества
U вх, и ву
хе А у е\В
не пересекаются и содержат соответственно А и В.
Предложение 6. В метрическом пространстве всякое
открытое множество является счетным объединением замкнутых
множеству а всякое замкнутое множество — счетным
пересечением открытых.
Это свойство было доказано для числовой прямой, и
доказательство переносится без изменений. Снова отметим, что
обратное неверно.
7. Сходящиеся последовательности. В метрическом
пространстве во многих вопросах вместо фундаментальных
элементов топологии могут использоваться сходящиеся
последовательности. Приведем три примера; другие же встретятся, в част-
*) Если F(я, г/2) —замкнутый шар с центром в х и радиусом г/2, то
F(x,г/2) —замкнутое множество (см. предложение п°2 § 2) и В(х, г/2) с:
с: F (х9 г 12), поэтому В (х, г/2) с= F (*, г/2) = F (ху г/2) с В (*, г).
248
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ности, тогда, когда будет идти речь о компактных
пространствах, об отображениях одного метрического пространства в
другое (см. также гл. VI).
Прежде всего мы заметим, что для того чтобы
последовательность (хп) сходилась к точке х е £, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность d(x,xn) стремилась к нулю.
Ибо если (хп) сходится к х, то всякий открытый шар с
центром х и радиусом е содержит все хп, кроме соответствующих
конечному числу индексов; значит, для любого е > О имеем
d(x, хп)<.гу кроме как для конечного числа значений /г.
Обратно, если d(x,xn) стремится к нулю, то для любого
е > 0 открытый шар с центром х и радиусом е содержит все
те хП9 для которых d(x, хп)<. е, и стало быть, содержит все хп,
кроме конечного числа.
Предложение 1. Для того чтобы в метрическом
пространстве (£, d) точка х была точкой прикосновения
подмножества Л, необходимо и достаточно, чтобы существовала
последовательность (хп) точек из Л, сходящаяся к х.
В самом деле, если хп е Л и если хп стремится к х, то
любой открытый шар с центром х содержит некоторое хп, а
значит, пересекает Л.
Обратно, если х^Ау то любой шар с центром х и радиусом
1//1 пересекает Л, и стало быть, содержит некоторую точку из
Л, которую мы обозначим хп. Последовательность (хп) сходится
к х, так как d(x, хп) < 1/п.
Предложение 2. Для того чтобы х была точкой
прикосновения последовательности (хп), необходимо и достаточно,
чтобы существовала подпоследовательность последовательности
(хп), сходящаяся к х.
В самом деле, если х — точка прикосновения
последовательности (хп), то найдется такое *Я11 что d(x, хщ) < I. Найдется
затем такое п2 > пи что d(x, хп) < 1/2, и т. д. Таким образом,
строится последовательность (хПк), сходящаяся к х.
Обратно, если х — предел некоторой подпоследовательности
(xnk) последовательности (хп), то любой открытый шар с
центром х содержит все (xnk), кроме конечного числа, и, значит,
пересекает любое множество, содержащее все (хп), кроме
конечного числа.
Предложение 3. Для того чтобы отображение f
метрического пространства (£, d) в топологическое пространство F
было непрерывно в точке х0 е Еу необходимо и достаточно,
чтобы для любой последовательности (хп) точек из Еу сходящейся
к х0, последовательность f(xn) сходилась в F к f(x0).
В самом деле, предположим, что / непрерывно в точке х0;
пусть y0=f(x0). И пусть (хп)— последовательность, сходящаяся
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
249
в Е к х0. Тогда для любой открытой окрестности У точки у0
в F найдется такой открытый шар В(х0, р) с центром х0, что
для любой точки х^В(х0, р) имеем /(х)еУ. А так как (хп)
сходится к х0, то хп е В (х0у р), кроме как для конечного числа
значений п, и стало быть, /(хп)е У.
Обратно, предположим, что для любой последовательности
(хп), сходящейся к х0 в Е, последовательность /(хп) сходится
к #о^/(*о) в F и что, однако, / не является непрерывной в
точке х0. Тогда существует такое содержащее у0 открытое
множество У, что /-1(У) не содержит никакого открытого шара в Е,
содержащего х0. Пусть pi > 0; в открытом шаре В(х0, pi) с
центром х0 найдется такое Х\, что f(x\)^Y. Так как f(x0) =
= уо & У, то точка Х\ не совпадает с х0. Пусть теперь р2 > 0
и одновременно меньше pi/2 и (l/2)d(xo, х{). В В(х0, р$)
существует такое л:2 =И= Хо, что /(Х2)^У. Построенная таким образом
последовательность (хп) точек из Е сходится к х0, поскольку
d(*o, *n) ^ pi/2n, и обладает тем свойством, что 1(хп)фУ при
любом п\ это свойство противоречит предположению, что f(xn)
сходится к у0, из которого следует, что У должно содержать
все f(xn), кроме соответствующих какому-то конечному числу
значений п.
Предложение. Числовая функция (x,y)—*d(x9y),
определенная на Е X Еу непрерывна на £ X £•
В самом деле, достаточно показать, что если (хп, уп)
стремится к (хо, Уо) по расстоянию, определенному "на Е X Е, то
d(xn,yn) стремится к d(x0, у0). Но в ЕуЕ расстояние от
(*п,Уп) До (х0ууо) равно d(xn,x0) +d(yn, у0), и мы получили
неравенство
I d{хп, уп) — d(х0, y0)\^d(хп, xQ) + d(уп, yQ),
которое и доказывает наше утверждение.
§ 3. Компактные метрические пространства
Важным свойством компактности является то, что она
может быть определена при помощи последовательностей.
Не изменяя способа доказательства, получаем ту же тео*
рему, которая была доказана для R (гл. VI, раздел 3, § 2,
п. 4)).
Теорема. Для того чтобы подмножество А метрического
пространства было компактно, необходима и достаточно, чтобы
всякая последовательность со значениями в А содержала
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из А.
В том, что относится к расстоянию между двумя замкнутыми
множествами, имеет место следующий результат, справедливый
для компактных множеств и неверный для произвольных зам*
кнутых множеств.
250
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Предложение. Если А и В — непересекающиеся
компактные множества в метрическом пространстве, то расстояние
между ними строго положительно.
Действительно, так как
d(A,B)= inf d(x,y),
уе=В
то найдется такая последовательность (хп) в Л и такая
последовательность (уп) в В, что limd(xn,yn) = d(A,B). А поскольку
А и В компактны, то из (хп) и из (уп) можно извлечь
подпоследовательности (хп \ и (уп \, сходящиеся соответственно
KXGi4HKj/GB.
Тогда для любого е > 0 и для достаточно большого k имеем
d(x, У)<а(хпк>Упк) + в'>
значит, d(x9y)^d(A,B)\ а в силу того, что d(A,B)^d(x,y),
имеем
d(x,y) = d(A,B).
Но А П В = 0; следовательно, d(x,y)^0 и d(A,B)^0.
§ 4. Связные метрические пространства
Теорема. Пусть А — компактное подмножество
метрического пространства (E,d). Если для любых точек a, b из А и
любого е > 0 существует такая конечная последовательность
точек а0, аь ..., ап из Л, что а0 = а, ап = Ь и что d(ak, a&+i) ^
^ е, то множество А связно.
Доказательство аналогично доказательству связности отрезка.
§ 5. Полные метрические пространства. Пополнение
метрического пространства
Важность понятия полного метрического пространства
основана на том, что в этом пространстве можно выяснить,
сходится ли последовательность, не находя ее предела.
В этом параграфе излагаются некоторые основные свойства
полных метрических пространств и теорема о пополнении
метрического пространства. Смысл этой теоремы состоит в том, что
всякое метрическое пространство может быть погружено в
полное метрическое пространство, по отношению к которому оно
становится подпространством. Доказательство в точности
воспроизводит построение R исходя из Q. Можно избежать этого
повторения, если ввести понятие равномерного пространства,
которое выходит за рамки этой книги.
Т. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
251
1. Последовательности Коши.
Определение 1. Последовательность (хп) точек метрического
пространства (£, d) называется последовательностью Коша,
если
lim d(xp, ^)==0.
Напомним, что выражение
lim d(xp, xq) = 0
р->оо, q->oo
означает, что для любого е > 0 найдется такое целое Р, что
если р ^ Р и q ^ Р, то d(xp, д:д) < е; этот предел является
пределом относительно произведения натуральных фильтров на N.
Свойства последовательностей Коши. 1)
Всякая сходящаяся последовательность есть последовательность
Коши. В самом деле, утверждение, что (хп) есть сходящаяся
последовательность метрического пространства £, означает, что,
существует такое Jfe£, что d(xn, х) стремится к нулю. Тогда
свойство вытекает из неравенства
d(xpy xq) <:d(xp, х) +.d(x, xq).
Это свойство означает также, что понятие
последовательности Коши является более общим, чем понятие сходящейся
последовательности. И даже строго более общим-, т. е.
существуют метрические пространства, в которых
последовательность Коши не сходится: к таким принадлежит Q.
2) Если (хп) есть последовательности Коши и если (уп)—
такая последовательность, что l\md(xn,yn) = 0, то (уп) есть
последовательность Коши. В самом деле, имеем
d(ур, yq) < d(z/p, хр) + d(xp, xq) + d (xq, yq).
3) Если (xv) есть последовательность Коши, то любая ее
подпоследовательность тоже есть последовательность Коши.
Очевидно.
4) Если (хп) есть последовательность Коши и если
существует сходящаяся подпоследовательность (хп), то
последовательность (хп) сходится. В самом деле, если для
последовательности (xnk) существует такое х е Е, что
lim d(xnb, х) = 09
то d(xnk9x)<z для &>£0. Но для р>Р и ?>Р имеем
d(xp9xq)<*. Тогда
d(xn,x)^d (хп, Xnk) + d (xnk, х),
252
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
а для я>тах(Р> я*0)(и rtk > max (Р, nkJ) имеем
^ (хп, х) ^ е + е.
5) £с./ш (xn) есгь последовательность Коши относительно
расстояния dy то она будет последовательностью Коши и
относительно любого эквивалентного расстояния. Очевидно
Определение 2. Метрическое пространство называется
полным, если в нем любая последовательность Коши сходится.
Можно сказать также, что метрическое пространство полно,
если имеется тождественность между последовательностями
Коши и сходящимися последовательностями, или иначе, что
для того чтобы последовательность была сходящейся в полном
пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она была
последовательностью Коши.
Важность этого понятия проистекает из того, что если
каким-либо путем становится известно, что пространство полно,
то уже нет необходимости в отыскании конкретного предела
для выяснения факта сходимости последовательности;
достаточно показать, что
lim d(xp, xq) = 0.
Иными словами, если метрическое пространство полно и если
для последовательности (хп) доказано, что \\md(xv,xq) = t)y
то можно утверждать, что в этом пространстве существует (и
притом единственная) точка х9 для которой limd(xn, х) = 0.
Примеры. 1) R есть полное метрическое пространство
при расстоянии d(x,y) = \x— у\.
2) Множество непрерывных числовых функций на [0, 1],
наделенное расстоянием
d(x, у)= sup \x(t) — y(t)\,
*е [0, I]
полно.
2. Свойства полных метрических пространств.
Предложение 1. Если (E,d) полно, то Е полно и относительно
эквивалентного расстояния.
В самом деле, если d' — расстояние, эквивалентное d} то,
как мы видели (свойство 5)), любая последовательность Коши
в (E,d) является последовательностью Коши в (E,d'). С
другой стороны, если хп сходится к х в (E,d), то хп сходится к х
и в (E,df).
Предложение 2. Произведение п полных метрических
пространств (Еи d{) есть полнее метрическое пространство.
Произведение Е наделено расстоянием d = 2 ^/. Если (Xk)
есть последовательность Коши в (E,d), то limd(xp, xq) = 0, и
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
253
значит, положив
получим
п
lim 2dj(«P.». <V») —°-
р->оо, g->oo js=l
Следовательно,
lim di(aPti9 0^) = 0.
А так как (£*, ^г) полно, то для любого i существует такое
а* е £*, что
lim di(aPth аг) = 0.
Стало быть, для х — (ось ..., ап) имеем
lim d(xpf jc) = 0.
р~»оо
Пример. Пространство R полно; пространство —
произведение Rn полно.
Теорема 1. Всякое компактное метрическое пространство
полно.
Действительно, если (£, d) компактно и если (хп) —
последовательность элементов из Еу то она содержит, сходящуюся
подпоследовательность (ср. § 3). Если при этом (хп) является
последовательностью Коши, то она сходится (п. 1, свойство 4).
Так, на R подпространство, определяемое замкнутым
интервалом [а, Ь\ компактно, и значит, полно.
Обратное же неверно: R полно, но не компактно.
Теорема 2. Для того чтобы подмножество А полного
метрического пространства было полным, необходимо и
достаточно, чтобы оно было замкнуто.
Пусть (£, d)—полное метрическое пространство и Л— его
замкнутое подмножество. Пусть, далее, (хп) есть
последовательность элементов из Л, образующая последовательность
Коши в Л, наделенном индуцированным расстоянием. Эта
последовательность сходится в £ к некоторой точке х, а поскольку
А замкнуто, то х <= А.
Обратно, пусть (£, d) — метрическое пространство, А — его
полное подпространство. И пусть х — точка прикосновения мнси
жества Л; значит, эта точка является пределом некоторой по-;
следовательности (хп) элементов множества Л. А так как Л
полно, то она сходится к точке из Л. В силу единственности
предела этой точкой будет х. Следовательно, все точки
прикосновения множества Л принадлежат ему, и стало быть, Л
замкнуто.
254
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Замечания. 1) При доказательстве обратного
утверждения предыдущей теоремы мы доказали, что полное
подпространство метрического пространства (не обязательно полного)
замкнуто.
2) Теорема 2 означает, что в полном метрическом
пространстве классы замкнутых множеств и полных подпространств
тождественны (ср.: в компактном пространстве совпадают
классы замкнутых множеств и компактных подпространств).
3. Свойство Бэра для полного метрического пространства.
Полные метрические пространства, как и локально компактные
пространства, обладают свойством Бэра (ср. гл. V, раздел 3,
§ 3, п. 3).
Теорема. В полном метрическом пространстве Е всякое
счетное объединение замкнутых множеств без внутренних
точек в Е не имеет внутренних точек в Е.
Или еще: всякое счетное пересечение открытых всюду
плотных в Е множеств всюду плотно в Е.
Доказательство в некотором смысле проще, чем в случае
локально компактного пространства.
Пусть (Оп)—счетное семейство открытых всюду плотных
множеств и Л = П Оп. Для доказательства того, что множество
П Оп всюду плотно, достаточно доказать, что для любого
непустого открытого шара вбв пространстве Е
В(\Г\ОпФ0.
Пусть (гп)—последовательность строго положительных
чисел, сходящаяся к нулю.
Если В — непустой открытый шар и 0\ — открытое всюду
плотное множество, то В Л 0\ открыто и непусто, а значит,
содержит непустой открытый шар В\. Пусть F\— непустой
замкнутый шар, лежащий в Вх (см. предложение 4, п. 6). Выберем
этот шар F1 так, чтобы его радиус был <г\. Пусть В\ cz Fu Ёх —
непустой открытый шар. Так как В\ открыто и непусто, то
В\ Л 02 тоже открыто и непусто и содержит непустой открытый
шар В2. Пусть F2 — непустой замкнутый шар, содержащийся
в В2, радиус которого мы предположим < г2. Пусть В2 открыт
и B2aF2. Повторяя этот процесс, построим счетное семейство
непустых открытых шаров (Вл), (Вп), и счетное семейство
непустых замкнутых шаров (Fn), имеющих соответственно
радиусы <гп и таких, что
FncFn-x[\On-x,
откуда следует, что FnaFn-X и f)Fn cz В П f]On. Остается,
стало быть, показать, что шары Fn имеют непустое пересечение»
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
255
Обозначим через хп центр шара Fn. Для целых 0 ^ р ^ q
имеем xqczBpy и значит, d(xPl xq) < rv. А так как lirnrp = 0,
то d(x%hxq) стремится к нулю, и последовательность (хп)
центров есть последовательность Коши. Поскольку Е полно, (хп)
сходится к некоторой точке х е Е. Но каждый замкнутый шар
Fp является замкнутым множеством (см. предложение п°2 § 2)
и содержит все члены последовательности {хп}, начиная с
номера /?, откуда следует, что x^Fv для любого /?, а значит,
x^f]Fp. Таким образом, пересечение шаров Вп непусто, и
стало быть
В(](}ОпФ 0.
Замечание. Пусть О — непустой открытый шар в полном
метрическом пространстве Е. Подпространство О, вообще
говоря, не будет полным метрическим пространством. Но оно,
очевидно, обладает свойством Бэра, так как если А— открытое
всюду плотное подмножество подпространства О, то А открыто
в Е и А иСл есть открытое всюду плотное, множество из Е.
4. Пополнение метрического пространства. Теорема о
пополнении метрического пространства является весьма важной как
ио причине ее общности, так и из-за ее приложений. Она
означает, что любое метрическое пространство может быть
погружено в полное метрическое пространство. Это то же самое
явление, как для множества Q рациональных чисел, которое само
не является полным и которое может быть погружено во
множество R действительных чисел, являющееся уже полным
пространством. Доказательство, приводящее к полноте
метрического пространства, в точности такое же, как при построении
/?, исходя из последовательностей Коши в Q, но в
предположении, что R построено; в более широкой теории можно
эффективно показать, что эти два способа построения пополнений
являются частным случаем более общего факта.
Теорема. Пусть (E,d) есть метрическое пространство.
Можно построить метрическое пространство (£, б), которое об-
ладает следующими свойствами:
1) Существует взаимно однозначное соответствие между Е
и некоторым подмножеством из ё.
2) При отождествлении Е с этим подмножеством из ё
расстояние, индуцируемое на Е расстоянием б, совпадает с d, и Е
плотно в Ё.
3) (£, б) полно. ^
Пространство (£, б) называется пополнением пространства
(E,d).
Пусть Г — множество всех последовательностей Коши
пространства (E,d). Тогда элементом и множества Г будет такая
последовательность (хп) элементов из £, что l\md(xp, xq) = 0.
256
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть отношение $?, связывающее два элемента и = (хп) и
v = (уп) из Г, определяется как
u~v&\imd(xn, Уп) = 0-
Очевидно, что 01 есть отношение эквивалентности. Пусть £=
= Г/52. Тогда элемент | из ё представляет собой множество
всех последовательностей Коши в (£, d), эквивалентных
заданной последовательности Коши и по отношению 01.
Расстояние на ё. Пусть и = (хп)у v = (уп) — две
последовательности Коши из (£, d) и pn = d(xn,yn). В силу § 1, п. 2
\d(x,y) — d (*', у') К d (л:, л:') + d (у, у');
следовательно,
I 9Р ~ Р J < d (xpj xq) + d (yp, yq).
Так как (xn) и (*/n)— последовательности Коши, то рр — р^
стремится к нулю, и значит, (рп) есть последовательность Коши
в R, и стало быть, сходится. Пусть теперь
p = \imd(xn, уп)>0>
Покажем, что р зависит лишь от классов |, ц
последовательностей (хп) и (уп). В самом деле, если (х'п) ~ (хп) и
(Уп)~(Уп), то снова
№• Уп) - d «, у;) | < d (хп, <) + d (уя9 у$
так как lim d (хп, х'п) = lim d (*/„, z/Q = О,
то
lim d «, y7rt) = Hm d (хп, Уп) = р.
Положим теперь р = б (g, rj). Утверждается, что б есть
расстояние на Ё. Действительно, имеем р ^ 0; равенство р = 0
означает, что для последовательности (яп)е| и
последовательности (j/n)ST| имеем
limd(x„, yrt) = 0,
т. е. (хп) ~ (Уп), и g = т|; обратно, легко видеть, что если £ = т|,
то
6(1, Л) = 0.
Свойство б (£, л) = б (-л, |) очевидно.
Наконец, из неравенства
d (*Л, #Л) < d (*я, z„) + d (г„, #rt),
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
25?
где (хп)у (уп)у (2П) — последовательности Коши в (£, d),
вытекает, в естественных обозначениях,
*(6.л)<*(8. » + *(С,ч).
каковы бы ни были g, т|, £ е £.
1) Взаимно однозначное соответствие между Е и
подмножеством из Ё. Каждому х е Е ставим в соответствие в ё
класс g, определяемый последовательностью Коши (*п), для
которой хп = х при любом я. Обозначим через А множество
этих классов; это будет подмножество из ё. Если ц есть образ
в А элемента у^Е при указанном отображении, то равенство
| = ц возможно лишь при (х)~(у)9 т. е. в случае, если
V\md(x, у) = 0; следовательно, d(x, у) = 0, т. е. х = у. Таким
образом, между £ и Лег £ имеется взаимно однозначное
соответствие,
2) Е плотно в Ё. Пусть |, ц — образы элементов х, у в ё\
имеем
б (£, т|) = lim d (х, y) = d (х, у).
Стало быть, расстоянием, индуцированным расстоянием б на Л,
будет расстояние <± Значит, можно отождествить А и (£, d),
которое выступает теперь как метрическое подпространство
пространства (£, 6).
Покажем, что Е плотно в ё. Пусть | — произвольный
элемент из £, т. е. класс последовательности Коши (хп) в (E,d).
Пусть In означает при любом п класс последовательности
(xn)P)PGjv, где хП)Р = хТ1 при любом р. Имеем
б(|, ln)= lim d(xp, *я>р) = lim d(xp, xn)>
p-»oo p-»oo
Ho
lim d(xp, xn) = 0;
значит, d(xp, xn)<e, если /?>P(e) и д>Р(е). Стало быть,
lim d(xp, xn) < e,
p-»ao
если nZ^P(e). Отсюда, в силу того, что е произвольно,
получаем
Нт в (5,5,,) = 0.
П-»оо
Заметим, что доказано, что если (хр) имеет в (£, б)
предел g, то
lim б (5, хр) = 0, lim 6(xp, xq) = 0 и lim (lim d(xp, ^)) = 0.
р-»оо р->сх>, q~>сх> р~>оо qf~>oo
25«
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
3) (£, 6) полно. Пусть '(In) — последовательность Коши в (£, б).
Покажем, что существует такое g <= Е, что
Hm6(g, Ы = 0.
По предположению, для любого е > 0 найдется такое целое
Р(е), что если р^>Р(е) и q^P(e), то 6(gp, ^) < е.
Но каждому £п с п^Р(г) можно в силу результата из 2)
отнести такое хп е £, что 6(£n, xn)<e. Теперь для любых
/? ^ Я(е) и q ^ Р(е) имеем
б(л:р, xq)^6(xpi gp)H- 6(gp, ^) + 6(^, ^)<3е.
Стало быть, последовательность (хп), определенная таким
образом, есть последовательность Коши в (E,d); она
определяет некоторый элемент ^е£, и тогда для р^Р(е) имеем
6(6. £р)<6(£, xp) + 6(xpt 6,)<6(6, хр) + е.
Но
lim 6(|, хр)= lim d(^, *р) и lim d(xpf xq) = 0.
Следовательно, если p и q достаточно велики, то d(xp, xq) < e,
откуда получаем, что 6(|, *р)<е, и 6(g, gp)< 2е.
§ 6. Полуметрические пространства и ассоциированные
метрические пространства
Будем называть множество & полуметрическим
пространством, если оно наделено полурасстоянием, т. е. таким
отображением d произведения Е\Е в R+, что для любых х, уу 2Е Е
d(х9 х) = 0, d(*, #) = d(у, х), d(х, y)<;d(х, z) + d(г, у).
Полурасстояние обладает всеми свойствами расстояния,
кроме свойства
d(x, у) = 0=Фх = у.
Топология в & определяется тем же способом, что и в случае
расстояния, но эта топология, вообще говоря, не будет
отделимой. Наиболее важным примером будут служить
полунормированные пространства, иллюстрируемые пространством i?
интегрируемых функций. Но полуметрическому пространству
факторизацией по надлежащему отношению эквивалентности можно
отнести некоторое метрическое пространство (а значит,
отделимое).
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
259
В самом деле, пусть i% — отношение х ~ х' ФФ d(x, х') = 0.
Имеем
х ~ х,
х~ х'^х' ~х (в силу d(x, y) = d(yf x))t
х ~ х' и х' ~ х" =Ф х ~ х",
так как
d(x, *")<<*(*, x?) + d(x!, *") = 0.
Пусть Е = &1Я. Элемент g е £ есть множество тех #' е <??,
которые связаны с некоторым ^g^ отношением d(x9x') — Q.
Если для |е£, т] е £ положить d(|, yj) = d(*, у), где xeg,
yei\, то ясно, что при х' ~ х и у' ~ у имеем
d(x, y) = d(x/i у');
в самом деле,
0<d(x, yXd(x, x') + d(x', y) = d{x', y)\
значит, имеем также d(x',y)^d(x, у), а следовательно,
d(x,y)=d(x',y).
Таким образом, d(l, ц) зависит лишь от классов £, т. е. от
элементов из Е. Теперь без труда устанавливаем, что d есть
расстояние на Е. Метрическое пространство (£, d) называется
пространством, ассоциированным с полуметрическим
пространством (О.
Практически же ассоциированное метрическое пространство
определяется соглашением рассматривать как тождественные
элементы х, х' из Е, для которых d(xy х')= 0.
Замечание. Пусть на множестве Е определены
расстояние d\ и полурасстояние d2- Тогда d = d\ -)- d2 будет
расстоянием на Е\ все свойства расстояния выполняются, и в
частности, если d(x, у)= 0, то d\(x, у)^-d2(x9 у)= 0, а значит,
d\{x,y) = 0, их = у.
§ 7. Отображения метрического пространства
в метрическое пространство. Непрерывность, равномерная
непрерывность, продолжение по непрерывности
1. Равномерная непрерывность. Определением
непрерывности отображения / метрического пространства (£, d) в
метрическое пространство (F, б) может служить определение, данное
для случая двух произвольных топологических пространств;
здесь оно может быть заменено определением при помощи
последовательностей (§ 2, п. 7).
Новым же является то, что в метрических пространствах
появляется возможность ввести понятие равномерной
непрерывности.
260
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение. Пусть f — отображение метрического
пространства (£, d) в метрическое пространство (Т7, б). Говорят, что f
равномерно непрерывно, если любому е > 0 можно поставить
в соответствие такое а (г) > 0, что если d(x, х') < а, то
6(/(*),/(*'))< е.
Если отображение f равномерно непрерывно, то оно
непрерывно; однако обратное неверно (возьмем, например,
непрерывное отображение R+ в R+, определенное как х—*1/х).
Имеются случаи, когда непрерывность влечет равномерную
непрерывность. При этом существенно, каково пространство
(E,d). Докажем, например, такой результат.
Теорема. Пусть f — отображение компактного
метрического пространства (Eyd) в метрическое пространство (^,6).
Если f непрерывно, то оно равномерно непрерывно.
Пусть е > 0. Каждому х е Е поставим в соответствие такой
открытый шар В(х9рх) с центром х и радиусом рх, что если
х' ^ В(х9рх)9 то 8(/MJW)<e/2; это возможно, поскольку f
непрерывно.
Рассмотрим открытые шары В(х,рх/2). Они покрывают Е9
и в силу компактности Е конечное число этих шаров снова
покрывает Е\ пусть это будут B(xi9 P*-/2).
Пусть
m = inf(p^/2);
возьмем такие две точки х9 х' из Е, что d(x9 х') < т. Точка х
содержится в некотором шаре B[xi9 рх. /2), и значит,
d(x', Xi)^d(x'y x) + d(x9 Xt)<m + pXl[2^pXr
Следовательно, /gB(^, pxy Тогда
б (f (я7), f (x)) < 6 (f (*'), f (*,)) + 6 (f (x), f (*,)) < e,
поскольку xr и x принадлежат B[xi9 px.).
Примеры: непрерывные функции,
определенные при помощи расстояния. 1) Если (E9d) —
метрическое пространство, то (х, у)—>d(x9 у) есть отображение Еу^Е
в R. На Е X Е рассматривается, в соответствии с соглашениями,
топология — произведение. В § 1, п. 2 было получено
неравенство
\d(x9 y)-d{x\ y')\<d(x9 x') + d(y, y')9
показывающее, что d — равномерно непрерывная функция на
ЕХЕ.
2) В § 2, п. 5 было определено расстояние точки х до
множества А метрического пространства Е:
d(x9 А)= inf d(x9 у).
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
261
Функция x-+d(xy А) равномерно непрерывна на Е для
любого подмножества^А.
В самом деле, так как d(x, А) есть нижняя грань
расстояний d(x,u) для аеД то, каково бы ни было е > О, найдется
такое Uq^A, что
d(ху Л)<d(х, uQ) < d(х, А) + е. .
Пусть у— другая точка из Е\ имеем
d {у, щ) < d {у, x) + d (х, щ) <d(y, x) + d (х, А) + е,
а так как
d(y, А)= inf d(y, a)<d(#, uQ),
u<= A
TO
d(y, A)^d(y, x) + d(x, Л) + е.
В силу того, что е произвольно, получаем
d(y, 4)<d(x, y) + d(xf Л),
и, меняя местами х и у, получаем
d(x, A)^d(x, y) + d(y, А).
Таким образом, для любого подмножества А и
произвольных двух точек х, у из Е имеем
\d(x, A)-d(yy A)\<d(x, у),.
чем доказана равномерная непрерывность функции x-~*d(x, А).
2. Продолжение по непрерывности. Этот вопрос ставится
следующим образом. Пусть Е и F — два пространства, А —
подпространство, плотное в £, и ф — отображение А в Fy
непрерывное в А. Существует ли отображение / пространства Е в
пространство F, непрерывное на £ и такое, что его сужение на А
совпадает с ср?
Можно более образно поставить вопрос следующим образом:
пусть / — непрерывное отображение Е в F и А плотно в Е\
можно ли восстановить / по его сужению ф на Л?
Решение этой задачи состоит в продолжении ср по
непрерывности с А на Е.
Утвердительный ответ на этот вопрос составляют достаточно
общие условия, которым удовлетворяют метрические
пространства (которые отделимы и нормальны).
Прежде всего заметим, что если f и g — два непрерывных
отображения пространства Е в отделимое пространство F и если
они равны в каждой точке некоторого подмножества Л,
плотного в Е, то они равны в каждой точке из Е.
Действительно, каждая точка х^Е является точкой
прикосновения множества Л, и значит, f(x) есть предел значений
262
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
/(g), когда | стремится к ху и в частности, будет пределом
значений f(l)y когда 1&А стремится к х. Так как для |еЛ имеем
/(£) = g"(g), то пределы равны, а единственность имеет место
в силу отделимости F.
Пусть теперь ф — отображение плотного в Е подмножества
А в отделимое пространство F. Для того чтобы можно было
продолжить ф'на Я, необходимо предположить, что ф(|) имеет
предел, когда | <= А стремится к х^Е\ обозначим его через
f(x). (В случае метрического пространства Е можно
предположить, что для любой последовательности (|п) элементов из Л,
сходящейся к л; е £, последовательность ф(|п) должна иметь
предел, не зависящий от выбора последовательности (In)-)
Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть А—плотное подпространство в
пространстве Е, F — нормальное пространство и ф — такое отображение
А в F, что для любого х^Е значения ф(|) имеют в F предел
f(x), когда £ е Л стремится к х. Функция f непрерывна в Е.
Обозначим через Ху Х\ ... открытые множества базы
пространства £, а через К, К', ... — базы пространства F. По
условию для любого Y &3BF(f(x)) существует такое Х&$Е(х)у что
y(XC\A)czY. Но если л/ —произвольная точка из Ху то fix')
будет пределом значений ф(|), когда | стремится к х' на X О А\
следовательно, f(x') есть точка прикосновения множества
q(X П А), и мы можем записать х''<= X =#>/(*') ^ф(^П ^) ^ У\
стало быть, /(^)с: У.
Таким образом, каждой замкнутой окрестности F точки f(x)
можно поставить в соответствие такую открытую окрестность
базы X точки ху что f(X)cz ?.
Но F, по предположению, нормально, т. е. два
непересекающихся замкнутых множества могут быть отделены двумя
непересекающимися открытыми множествами. Отсюда следует, что
любая открытая окрестность Yr точки y^F содержит
замкнутую окрестность точки у, т. е. в Y' найдется такое содержащее//
открытое множество О, что //eOcOcF' (см. п. 2 § .1 гл. III).
Наконец, если О — открытое множество, содержащее у, то О
содержит некоторое Y &L$F(y), содержащее у9 и
Гс=0, YczOy yezYczYaOczY'.
Итак, для любого Y'&3BF(f(x)) найдется такое_ 7g
^$f(/(*))> что /(х)еУсУс У'; а так_как множеству У
можно отнести такое Xg^(x), что /(^)с:У, то отсюда получаем,
что каждому Y' можно отнести такое Ху что f(X)czY', чем и
доказана непрерывность /.
Замечание, сделанное вначале, в соединении с этой
теоремой приводит к следствию.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
263
Следствие. Если ф — отображение в нормальное
пространство F некоторого множества Л, плотного в Еу и если ф
таково, что для любого х^Е значения ф(£) имеют предел
в F, когда I е А стремится к ху то существует единственное
непрерывное продолжение отображения ф на все
пространство Е.
Пример. Важным и хорошо известным является пример
показательной функции действительного переменного: х—*ах
для а > 0, рассматриваемой как продолжение функции,
определенной только для рациональных х.
РАЗДЕЛ 2
МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА, БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ГИЛЬБЕРТОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
Если множество наделено двумя структурами и если эти
структуры должны рассматриваться одновременно обе, то
практически необходимо, чтобы они были связаны друг с другом.
Мы уже сталкивались с этим в оговорках о том, что структуры
согласованы. Если, например, рассматриваются закон
сложения и закон умножения, то второй предполагается
дистрибутивны^ относительно первого; если рассматриваются сложение и
порядок, то предполагается, что x<z:y=$>x-\-z^:y-{-z, каково
бы ни было z\ если рассматриваются порядок и топология, то
предполагается, что множество положительных элементов
замкнуто, или что если последовательность, составленная из
положительных элементов, сходится, то ее предел положителен.
Когда на множестве Е рассматриваются одновременно
структура группы (записываемая, скажем, аддитивно) и
топология, то предполагается, что топология такова, что функции
(х, у)—+х-\-у и х—*—х непрерывны, что в более привычной
терминологии формулируется как утверждение, что если
последовательность (хп) сходится к ху а последовательность (уп)
сходится к у, то последовательность {хп-\-уп) сходится к # + У>
а последовательность (—хп) —к —х.
Если Е — векторное пространство над полем К (полем R
действительных чисел или полем С комплексных чисел),
наделенным топологией, то можно предположить, что функция
(а, х)-+ах, которая является отображением К X Е в £,
непрерывна относительно топологии — произведения, определенной
на КУ^Е. Разумеется, топология на К связана, как и ранее, со
структурой абелевой группы поля К и кроме того, связана со
структурой поля К условием, что функция (а, р)-*ар
непрерывна и что функция а-*а-1, определенная на К* (под
которым понимается К без нуля), непрерывна на /С*.
264
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Рассмотрим теперь группу в с аддитивной записью,
наделенную топологией, относительно которой функции (х, у) -> х-{-у
и х—*—х непрерывны; тогда G называется топологической
группой.
Зафиксируем некоторый элемент а группы G и рассмотрим
отображение х—*х-\-а группы G в группу G; оно называется
переносом. Легко видеть, что оно взаимно однозначно и
взаимно непрерывно, т. е. является гомеоморфизмом. Итак, переносы
суть гомеоморфизмы. То же самое справедливо для симметрии
х-+—х относительно элемента 0. Из этих свойств вытекает, что
если известна некоторая база открытых окрестностей точки 0,
то перенос позволяет получить базу открытых окрестностей в
любой точке. Но в том случае, когда топология определяется
при помощи расстояния, встает вопрос о том, будет ли это
расстояние инвариантно относительно переноса, т. е. будет ли
при любых ху уу z выполняться равенство
d(x + zy y + z) = d(x, у).
Ответ отрицателен, как показывает простой пример (на
аддитивной группе R рассматривается расстояние, определенное для
двух точек х, у как d(xy у) = \хг — у3|). Однако имеет место
замечательный факт — всегда можно найти эквивалентное
расстояние, т. е. определяющее ту же топологию, которое будет
инвариантно относительно переноса. Именно в силу этого
результата (не доказываемого здесь) мы и принимаем в качестве
определения метрической группы определение группы,
наделенной расстоянием, инвариантным относительно переноса. Мы
будем предполагать, что группы коммутативны, ибо нами будет
изучаться случай векторных пространств.
§ 1. Метрические группы. Нормированные группы Рисса
1. Определение. Метрической группой называется множество
G, наделенное законом (абелевой) группы и расстоянием,
инвариантным относительно структуры группы.
Стало быть, это расстояние d таково, что для любых
х, у, z^G справедливо равенство
d(x + zy y + z) = d(xt у).
Если взять 2 =—у, то d(x, у) = d(0, х — у). Теперь обозначим
через ||х|| расстояние от 0 до х:
ll*||«d(0, *).
Тогда
d(x, y) = d(0, х — у) = \\х — у\\.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 265
Отображение я-*||я|| группы G во множество положительных
действительных чисел обладает следующими свойствами:
1) ||*|| = 0ФФ* = 0,
2) \\х + у\\^\\х\\ + \\у\\9
3)11-* || HUII.
Первое свойство очевидно. Что касается третьего, то в силу
инвариантности относительно переноса имеем
||*|| = d(0, x) = d(— х, 0) = d(0, — х) = || — jcII.
Наконец,
\\x + y\\ = d(09 x + y)^d(09 x) + d(x9 x + y) =
= d(0, x) + d(09 y) = \\x\\ + \\y\\.
Обратно, если на G определено отображение я-*||я|| группы
G в R+9 удовлетворяющее трем указанным условиям, то, как
легко видеть, d(x9 у) =* \\х — у\\ определяет на G расстояние,
инвариантное относительно переноса.
Итак, можно, образно выражаясь, сказать, что для того
чтобы знать расстояние между двумя точками, достаточно
задать расстояние от 0 до каждой точки х & G.
Число ||х|| называется нормой элемента х.
Если d есть инвариантное расстояние на G, то функции
(х>У)—*х + У и х~*—х непрерывны. В самом деле, пусть (хп),
(Уп) — Две последовательности, сходящиеся соответственно к х
и у, а значит, такие, что lim \\хп — х\\ = 0 и Hm||#n — уН = 0;
имеем
\\ХП + Уп—Х — У ||<|| Хп — 4 + II Уп — У II. \\ХП — Х\\ = \\— Хп + X ||,
чем и доказано утверждение.
Замечание. Записав ||л:|| = \\х — у + у\\ ^ \\х — у\\ + \\у\\,
сразу же видим, что имеет место также неравенство | ||я|| —
-\\у\\\<\\х-у\1
2. Пополнение метрической группы. Теорема о пополнении
метрического пространства практически применима и к группе.
Однако встает вопрос о том, может ли пополнение метрической
группы рассматриваться как метрическая группа.
Пусть (G, d) — метрическая группа; обозначим через Х9 У,
и т. д. классы эквивалентности последовательностей Коши (хп)9
(уп)9 и т. д.
Пополнение (б, б) группы (О, d) отождествляется с группой,
и значит, (G9d) будет подгруппой, если условиться, что X-\-Y
есть класс последовательности (хп-\-уп), —X — класс
последовательности (—хп)9 О — класс последовательности (0). Тогда
266
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
подгруппа G плотна в б, б полна. Кроме того (ср. раздел 1,
§5, п. 3))
6(Х9 Y) = \imd(xnf yn) = ttmd(xn-yni 0) = 6(*-У, О);
значит, б инвариантно относительно закона группы G.
3. Нормированные группы Рисса. Напомним, что группа
Рисса (гл. II, раздел 2, § 6) есть множество G, обладающее
следующими свойствами:
1) G есть абелева группа (и будет записываться аддитивно).
2) G упорядочена, причем отношение порядка согласуется
со сложением, т. е., каково бы ни было z е G, всегда х ^ у =>
3) Каковы бы ни были х, у е G, существуют sup(x, у),
\x\l(x, у)& G.
Абсолютное значение на G определяется равенством |#| =
= sup(x, —х).
Пусть на G задана норма; в этом параграфе мы для
удобства записи будем обозначать ее через ф. Таким образом, эта
норма есть отображение группы G в /?+, обладающее
следующими свойствами:
Ф (х) = О О х = 0, ф (х + */)< ф (х) + ф (у), ф (— х) = ф (х).
(Для большей простоты мы предполагаем, что ф есть норма,
но можно было бы рассматривать ее как полунорму, т. е.
предполагать только, что ф(0) = 0 без обязательного условия ф(л:) =
Кроме того, мы предполагаем, что ц>(\х\) = у(х), что
каково бы ни было целое п, у(пх) = пу(х), и что для
определенной таким образом топологии множество положительных
элементов из G замкнуто, или, иными словами, если
последовательность (хп) положительных элементов сходится (к элементу
из G), то ее предел положителен.
Примем теперь следующее определение.
Определение. Нормированной группой Рисса называется
группа Рисса G, наделенная такой нормой ф, что ф(х) = ф(|х|)
для любого xeG, у(пх) = пу(х) для любого x^G и любого
n^N и, кроме того, множество положительных элементов
замкнуто в топологии, определяемой этой нормой.
Частные ел у ч а и. 1) Пусть ф — норма на G и пусть эта
норма возрастает на множестве положительных элементов из
G, т. е.
о<Ку#фМ<ф (у).
Если обозначить через (хп) последовательность положительных
элементов из G, сходящуюся к элементу xgG, то из
неравенства
II Хп\ — | *||<1 Хп — Х\
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
267
получим
ф(1 *я| —|*1)<ф(*я —*),
и значит, \хп\ сходится к \х\. Но л;п = |л;п|, так как хп ^ О,
так что хп сходится к х и \х\. А поскольку G— метрическое
пространство, и значит, отделимое, то имеет место
единственность предела, а следовательно, х = \х\^0. Итак, если норма
возрастает на множестве положительных элементов из G, то
предел последовательности положительных элементов есть
положительный элемент.
2) Более конкретно, пусть / — представление группы G на
упорядоченную аддитивную группу R, т. е. такое отображение
G на Ry что если х, y^G, то f(x + у) = /(*) + /(#), и если
х ^ 0, то /(х)^0. Вместо термина представление мы будем
пользоваться термином положительная линейная форма.
В этом случае <p(x) = f(\x\) определяет полунорму на G.
Если f_1 (0) = 0, то ф есть норма. Легко видеть, что у(пх) =
= пу(х) для п^ N. Так как f(x)^0 для л: ^ 0, то для х ^ у,
или х — # ^ 0, имеем f(x—y)^0, и значит, /(*) + f(—y) ^ 0;
но 0 = f(y — у) = f(y) + f(—y)\ следовательно, f{x)^f{y).
Таким образом, ф возрастает на множестве положительных
элементов.
4. Полная нормированная или полунормированная группа
Рисса. Утверждение, которое мы только что доказали,
представляет особый интерес для теории интегрирования, которая
будет излагаться позже. Но оно показывает также, что
нормированная группа Рисса обладает одним из свойств
действительных чисел. В частности, если норма определена посредством
положительной линейной формы, то, как мы покажем, для того
чтобы эта группа была полной, необходимо и достаточно, чтобы
любая монотонная ограниченная (по норме) последовательность
была сходящейся.
Теорема 1. Пусть G — полунормированная группа Рисса,
положительные элементы которой образуют замкнутое
множество. Для того чтобы G была полной, достаточно, чтобы всякая
монотонная ограниченная последовательность сходилась.
Пусть ф — полунорма; следовательно, предполагаем, что
<р(*)>0, Ф(*)-=ф(И). Ф(я*)=/«р(*) (л€=Л0, ф(0) = 0,
ф(* + #)<ф(*) + ф(у).
1) Пусть имеется конечное множество р элементов из G,
которые мы обозначим хи х2, ..., хр. Имеем
I sup(x1, ..., хр) — хх К
< 2i xk+l — xk i+i*2—*i i= Si xk+l — xk\, (i)
fc=2 fc=l
268
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
и то же самое неравенство будет выполняться, если
рассматривать inf вместо sup, т. е., вообще, если на этом месте будет
стоять общий символ is операции взятия inf или sup,
несущественно (ср. гл. II, раздел 2, § 6).
2) Мы покажем, что неравенство (1) остается
справедливым, если абсолютные значения заменяются полунормами.
В самом деле, так как
- 2 (sup (хх, х2) — хх) = х2 — хх +1 х2 — хх |,
то в силу неравенства треугольника имеем
Ф (2 (sup (хь х2) — хх)) = 2ф (вир (хи х2) — хх) =
= ф(л:2 — хх+\х2 — хх |)<ф(х2~х,) + ф(| х2 — хх |),
а поскольку ф(л;) ==ф(| х |), то
Ф (sup (хг, х2) — хх) < ф {х2 — хх).
Если предположить свойство верным для р—1 элементов,
то получим
sup (xl9 х2, ..., хр) — хх = sup (хи sup (*2, ..., хр)) — хь
Ф(sup (хи х29 ..., Xp) — Xx)<i
< ф (sup (х29 ..., Хр) — хх) -= ф (sup (х29 ..., Xp) — X2 + X2 — Xi)^.
< Ф (sup {хъ . . . , Хр) — х2) + Ф (¾ ~ *l) = 2 ф(** + 1 — хк).
3) Пусть (хп) — последовательность Коши из G, т. е. такая,
что
lim ф(*р — xq) = 0.
Для любого е > 0 найдется такое Я(е), что если р^Я(е),
q^P(e), то ф(#р —*д)< е. Возьмем последовательность (ен)
убывающих положительных чисел, стремящихся к нулю. Числу
ei соответствует такое целое пи что если р, g ^ /гь то
ф(д:р — A'g)<ei; в частности, если р ^ /гь то ф(хр — яЛ1) < ех.
Пусть пг2— такое целое число, что если p,q^n'2, то
ф(хр — я7) < 82; выбирая п2 > max(/ip я^ получаем, для р^п2,
ф(яр — Хп} < е2. Так постепенно строится такая
последовательность (яь) етрозо возрастающих целых чисел, что
ф(*яй/— Хпк) < 8^ ДЛЯ лю^ОГО k'^k.
Подпоследовательность (я^) последовательности (хп) есть
последовательность Коши, эквивалентная последовательности
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
269
Для упрощения обозначений подпоследовательность (хпЛ
будет обозначаться (хи). Тогда утверждение может быть
сформулировано следующим образом: для любой
последовательности Коши и любой последовательности положительных чисел е&
с условием lim е^ = 0 существует такая подпоследовательносгь
заданной последовательности, что ф(% — xk)<ek для «любого
В частности, можно взять 8¾ = l/2fe+1 или e/2ft+1 (е > 0) так,
чтобы
оо
Y4 1 е
2^-=-^- или -^-.
т. е.
ОО
2е* = 2е*.
к
4) Пусть теперь имеется последовательность Коши, из
которой выбирается такая подпоследовательность (хк)у что
q>(Xk' — Xk) < l/2*+1 для k' > k, и пусть
Ут,п = $ир(хт, хт+и ..., хп), где m<n.
Согласно 2) имеем
ф (У т. «-^/пХ^Ф (Xk + 1 —XkX-yn.
т
Но для последовательности Коши неравенство 11|*|| — llyll|^
^ II*— УII влечет, что ф(#р) есть последовательность Коши
действительных чисел, значит, сходится, и стало быть, ограничена.
Следовательно,
I Ф (Ут.п) — Ф (Хщ) К ф (Ут,п — Хт)<-2т,
чем показано, что последовательность
ф(0т,я)<ф(*т)+-2»>Г
ограничена. Последовательность (ут, п)п возрастает.
Если предположить, что любая монотонная ограниченная
последовательность сходится, то в этом случае должен
существовать элемент ут^09 к которому сходится ут>п при я-*оо,
Тогда
Ф (Ут — *тХ -^п .
270
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Но
sup(xm, xm+i, ..., хп)^sup(xm+i, ..., Хп).
Следовательно, если предположить множество положительных
элементов замкнутым, то ут ^ ут+\- Стало быть,
последовательность (ут) убывает. А так как она эквивалентна
последовательности Коши (хт), то она ограничена (по норме ф), и
значит, сходится. Тогда (хт) будет последовательностью Коши,
эквивалентной некоторой сходящейся последовательности, и
поэтому сама сходится. Наконец, последовательность (хт)
является подпоследовательностью последовательности Коши, и
поэтому ее сходимость влечет сходимость рассматриваемой
первоначально последовательности Коши. Тем самым доказано,
что любая последовательность Коши в G сходится, иначе
говоря, G полно.
Теорема Г. Пусть G — группа Рисса, f — положительная
линейная форма на G и пусть ф(*) = /(|*|) есть полунорма,
определенная посредством f. Для того чтобы G была полной,
необходимо и достаточно, чтобы всякая монотонная ограниченная
последовательность была сходящейся.
Действительно, пусть вначале имеется последовательность
(хп) положительных элементов, сходящаяся к элементу х.
Утверждается, что х положительно. В самом деле,
I jc | == sup (л:,—х)\ значит, я^|я|;
— |*|= — sup (х, — х) = inf (— х, х) ^ х\
значит, — | х К х <! | х [.
Следовательно,
— I Хп — X К Хп — X < | Хп — X |.
А так как / — положительная линейная форма, то
\f(xn — x)\^f(\xn — x[) = <p(xn — x).
Стало быть, f(xn) сходится к f(x). Но ф(яп) = /(|*п|)
сходится к
4>(*) = f(l*l).
Поскольку хп^$0, то /(|*7i|) = /(*n), и значит, f(x) = f(\x\)9
откуда х = \х\^0.
Теорема 1 доказывает, что достаточное условие теоремы 1'
выполнено. Докажем его необходимость.
Предположим, что G полно и покажем, что любая
ограниченная монотонная последовательность сходится. В силу полноты
G достаточно показать, что любая ограниченная монотонная
последовательность есть последовательность Коши.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
271
Итак, пусть (хп) — последовательность, которую мы
предполагаем возрастающей и которую можем предположить
состоящей из элементов ^ 0, заменив в крайнем случае хр на хр — ул.
Имеем
ф(*Р - xq) = f{ \хр — xq\) = f(± (хр — xq)) = ± (f(xp) — f(xq)).
Если ф(л:п) ограничена, то это означает, что f(\xn\)=f(xn)
ограничена. Так как хп возрастает и f есть положительная
линейная форма, то f(xn) есть возрастающая и ограниченная
последовательность действительных чисел, т. е. сходящаяся
последовательность. Следовательно, f(xp) — f(xq) стремится к
нулю, и то же самое имеет место для у(хр— xq), чем доказано,
что эта последовательность {хп), монотонная и ограниченная,
есть последовательность Коши.
Теорема 2. Пусть G — полунормированная группа Рисса,
положительные элементы которой образуют замкнутое
множество. Если G полно, то любой последовательности Коши (хп)
можно отнести две последовательности (ут), (у'т),
эквивалентные ей и такие, что Ут^хт^: ут, причем (у'^ возрастает,
a (ym) убывает, и такие, что для любого m элемент у'т
является пределом некоторой убывающей последовательности Коши,
а Ут — пределом возрастающей последовательности Коши.
Действительно, пусть в обозначениях п. 4.) доказательства
теоремы 1
JC.« = lnf (*«■•••' хп)>
тогда
Но очевидно, что У'т%п^хт^Ут,п для любых тип. Если у'т
и ут являются пределами при п->оо соответственно
последовательностей (y'mtn)neN и {ym,n)neN, то в силу замкнутости
множества положительных элементов имеем
У'т<Хт<Ут>
ут есть предел возрастающей последовательности (ymtn)n^N
и само убывает; у'т есть предел убывающей
последовательности (у' \ , и само возрастает- Кроме того,
и
lim ф (хт) = lim Ф (ут) = lim Ф (у'т).
272
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Пример. Наиболее важным примером полной группы
Рисса является пример пространства 9? интегрируемых
числовых функций (см. главу, относящуюся к интегрированию).
Замечание. Теорема, обратная теореме 1 (при тех же
предположениях), вообще говоря, неверна. Так, пусть А —
компактное пространство, ^(А)—множество непрерывных
числовых функций на А\ это множество есть группа Рисса.
Пространство 97(Л), наделенное нормой равномерной сходимости:
||*||= sup|*(*H
t€= А
будет полным. Но последовательность (хп) возрастающих
ограниченных функций, а значит, равномерно мажорированных
на Л, может сходиться к разрывной функции, и стало быть, не
сходится в ^(А).
§ 2. Метрические векторные пространства. Нормированные
пространства. Банаховы пространства
Как мы уже объясняли в начале этого раздела, в общем
случае на векторном пространстве Е над полем К
рассматривается такая топология, чтобы отображение (аух)—>ах
произведения К X Е в Е было непрерывно, и это условие
прибавляется к условиям, относящимся к структуре группы
пространства Е. Это служит основанием тому, что поле должно быть
наделено надлежащей топологией.
Практически же мы рассматриваем только поле R
действительных чисел или поле С комплексных чисел, которые
наделены абсолютным значением, чем мотивируется введение
понятия нормированного поля.
Для весьма важной категории топологических векторных
пространств непрерывность отображения (а, х)->ах
выполняется; речь идет о нормированных пространствах. Понятие
метрического векторного пространства будет также
предполагать это условие выполненным.
1. Нормированное поле.
Определение. Абсолютным значением на поле К называется
отображение множества К во множество R+ положительных
действительных чисел, которое ставит в соответствие каждому
aei( положительное число \а\ и удовлетворяет следующим
условиям:
1) |а| = о^Ф а —0;
2) |а + р|^|а| + |р|, каковы бы ни были а, р е К\
3) | ар | = | а | | р |, каковы бы ни были а, р е К.
Поле, на котором определено абсолютное значение,
называется нормированным полем.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
273
Мы будем, естественно, предполагать, что К не сводится
к единственному нулевому элементу. Если 1 означает
нейтральный элемент относительно умножения, то по условию 3) имеем
|1а| = |1||а| = |а|, и если выбрать а ф О, то |а|=#=0, и
равенство |1||а| = |а| влечет, что |1|=1. Имеем, далее,
1=1 1 1 = 1(-1)(-1)1 = 1-1 I2, откуда ]-1 |=1, и | —ее ! = ] ее |.
Имеем также ||а| — | Р | | ^ | а — Р |.
Из условий 1) и 2) следует, что d(a, Р) = |а— р| есть
инвариантное расстояние на аддитивной группе /С
Если К наделено топологией, определяемой этим
расстоянием, то можно утверждать, что, кроме того, отображения
(а, Р)-*аР произведения К X К в К и а—>а-1 множества Дг*
в /С* (т. е. К без 0) непрерывны. В самом деле, имеем
«Р - аоРо = (а- <ОР + а,(Р - Р.) =
= (а - а0) (Р - Ро) + а0 (Р - р0) + р0 (а - а0);
стало быть,
| ар - а0р01 < I а - а011 Р — Ро I + I «о 11 Р - Ро I +1 Ро II а - «о |;
точно так же, если а0 Ф 0, то
а"1 — аэ-1 =(а0 — а)/а3а, | а"1 — а^"11 =| а — а0 |/| а || а01,
и для 0 < е < | аэ | неравенство | a — a01 < е вле'чет неравенство
|a|^Haol — 8> и значит,
la"1 — ao~"1!|>e/| a0|(| a0| —е).
Эти свойства резюмируются утверждением, что введение на
каком-либо поле абсолютного значения превращает это поле
в топологическое поле.
Замечание. Неизбежны некоторые нарушения в
терминологии и в обозначениях. Мы уже называли абсолютным
значением на группе Рисса элемент | л:| = sup (х,—х)у а на
нормированном поле мы также обозначаем его \х\. Точно так же
мы снова будем пользоваться термином «норма» в случае
векторных пространств, тогда как мы назвали также нормой на
метрической группе число ||я|| = d(0, х). Практически же не
возникнет никаких трудностей, лишь только будут
сформулированы принимаемые свойства, среди которых будет
фигурировать свойство 2) из приведенного выше определения.
2. Метрические векторные пространства. Метрическим
векторным пространством называется векторное пространство Е
над нормированным полем /С, наделенное расстоянием d,
инвариантным относительно закона аддитивной группы и таким, что
отображение (а,х)—*ах произведения КУ( Е в Е непрерывно.
274
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Если d — это расстояние, то, как уже известно, d(x,y) =
= d(x — у, 0). Так как абсолютное значение на К является
расстоянием, то непрерывность отображения ах может быть
сформулирована при помощи условия:
lima„ = a и \\т хп = х=Ф\\тапхп = ах.
С другой стороны, неравенство
ах — а0х0 = (a — a0) (х — х0) + a0 (х — х0) + (а — щ) х0
дает
d (ах, а0х0) < d ((а — a0) (х — xQ), 0) +
+ d (a0 (x — xQ), 0) + d ((a — a0) xQ, 0),
и отсюда следует, что непрерывность отображения (а, х)—*ах
эквивалентна непрерывности одновременно отображения а—>ах0
при а = 0 (для любого х0 ее £), отображения х-*ао# при х = 0
(для любого ао е К) и отображения (а, х)-+ ах при а = 0,
* = 0.
3, Нормированное и полунормированное векторное
пространство.
Определение. Нормой на векторном пространстве Е над
нормированным полем К называется отображение пространства Е
в /?+, которое элементу х е Е ставит в соответствие такое
||*|| > 0, что
1) 11*11 = 0 & х = 0;
2) ||* + #Н ^ 11*11 + \\у\\, каковы бы ни были х9 у^Е\
3) ||ca|| =|a| ||я||, каковы бы ни были а е /С, хе£.
Пространство £, наделенное нормой, называется
нормированным векторным пространством, или нормированным
пространством.
Если условия 2) и 3) выполняются, а вместо 1) имеем
только ||01| = 0, то ЦхЦ называется полунормой, а Е называется
полунормированным пространством.
Когда на одном и том же пространстве рассматривают
несколько норм или полунорм, то их обозначают ||л;||ь IUII2, ...
или р(х), q{x), ... или vi(*), v2(*), ...
Если Е нормировано, то d(x,y)=\\x — y\\ определяет
некоторое расстояние, и для этого расстояния Е является
метрическим векторным пространством в определенном выше смысле.
Нормированное пространство всегда рассматривается как
пространство, наделенное этим расстоянием.
Напомним, что ||— х\\ = \\х\\, \ \\х\\ — \\у\\ |< \\х — у\\.
Отметим, что третье условие ||a*|| = |а| IMI означает, что
расстояние между двумя точками а:, у инвариантно относи-
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
275
телъио гомотетии с центром 0 и коэффициентом гомотетии а,
ибо
d{ах, ay)=\\ax — ay\\ = \\a{x — y)\\ = \a\\\x — y\\ = \a\d(x9y).
Обратно, если d — расстояние, инвариантное относительно
переноса и гомотетии с центром О, то
d(ах, ay) = d(ax — ay, 0)=\ a\d(x, у) = \ а \d(х — у, 0),
и d(xy 0) = ||я|| есть норма на Е.
В нормированном пространстве всякий шар может быть
получен при помощи переноса и гомотетии из шара с центром 0
и радиусом 1, ибо если г > 0, то неравенство \\х — лг0|| <г
(соответственно ^ г) эквивалентно неравенству (1/г)\\х — х0\\ < 1
(соответственно ^ 1), и расстоянием от х до х0 будет
расстояние от л: — х0 до 0.
4. Нормированное пространство, ассоциированное с
полунормированным пространством. В первом разделе (§ 6)
говорилось, как можно связать метрическое* пространство с
полуметрическим. Этот результат может быть применен и к случаю
полунормированных пространств, но только необходимо
исследовать, будет ли соответствующее ему метрическое
пространство нормированным. Мы будем рассматривать вопрос с
самого начала, предположив, что Е — векторное пространство над
нормированным полем К, наделенное полунормой v. Эта
полунорма определяет на Е топологию, которая не будет отделимой,
если v не будет нормой.
Пусть Е0 — множество таких элементов х из £, что v(x)= 0.
Множество Е0 является подпространством в £, так как если
x^Eq, у^ £о, то
0<v(x + z/)<v(x) + v(*/) = 0, v(cw)==|a|v(*)==0.
Рассмотрим факторпространство Е/Е0 = &\ или, иначе,
пространство, элемент X которого является классом
эквивалентности, определяемым через х<=Е при помощи отношения
эквивалентности:
х~х*&ч(х — х') = 0.
Факторпространство & является векторным пространством, и
мы полагаем ||X||=v(*) для любого Ig^, причем х есть
элемент, определяющий X. Так как для 1б<?, У е & имеем
X + Y = cl (х + у) и аХ = cl (a*), то
\\X + Y\\ = v(x + y)^v(x) + v(y) = \\X\\ + \\Y\l
||aJni = v(a^)=|a|vW = |a|-||Jni, l|0|| = v(0) = 0.
276
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Равенство ||Х|| = 0 влечет, что X определяется при помощи
такого элемента х е Е, что v(x) = 0, и этот элемент х
эквивалентен 0, а стало быть, X = 0.
Таким образом, \\Х\\ есть норма на &.
Терминология. Практически часто говорят, что X
получено отождествлением элементов ху xr е £, удовлетворяющих
равенству v(x — л;') = 0, и продолжают даже писать х
вместо X.
Примеры. В этих примерах предполагаются известными
элементарные понятия, относящиеся к интегрированию.
1) Если на компактном интервале [а, Ь] из R
рассматривается векторное пространство & непрерывных функций х от
t е [а, 6], то интеграл
ь
j\x(t)\dt
а
определяет некоторую норму, ибо если |*(£0)|>0 в точке
to е [а, Ь]9 то в отличном от нуля интервале [а, р], содержащем
точку to, имеем \x(t) | >(1/2) |*(/о) |, и
JU(*)|<ftXP-a)|*(/0)[(l/2),
а
откуда выводим, что
ь
[|х(/)1Л = 0=фх = 0;
а
остальные свойства имеют очевидные доказательства.
2) Если рассмотреть на [a, Ь] пространство Ф ступенчатых
ь
функций, то интеграл J \y(t)\dt будет полунормой. Но равен-
а
ство
ь
||ф(01Л = о
а
влечет, что ф(/)=0, кроме, быть может, конечного числа
точек из [а, Ь]. Нормированное пространство, ассоциированное
с пространством Ф, получится, если рассматривать как
тождественные две ступенчатые функции, значения которых
отличаются друг от друга лишь в конечном числе точек.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 277
3) Точно так же, если & — множество ярусных функций
(равномерные пределы ступенчатых функций), то
ь
\\x(t)\dt
а
снова определяет полунорму, и ассоциированное пространство
получится, если рассматривать как тождественные две ярусные
функции, равные между собой всюду, кроме счетного
множества точек.
Замечание. Если для х е £, ^ef имеем v(x — л:7)==0,
то в силу неравенства \v(x) — v(x') | =<: v(x— х') получаем
v(x) = v(x'); иными словами, два эквивалентных элемента
имеют одну и ту же норму, что позволяет положить \\Х\\ = v(x)
для Х = с\х. Однако обратное неверно; так, на [—1,+1]
ступенчатые функции ф (ф(/)= 1, если —1 ^ t < 0, ф(0 = 0» если
0<*<1) и ср' (ф7(0 = 0, если —1</<0, ф'(*) = —1, если
0^/^1) таковы, что
+1 +1
/|Ф(/)|Л- JlVWI*=b
-1 -1
но
+1
j\<p(t)-<9'(t)\dt = 2.
-1
б. Эквивалентные нормы. Теорема. Для того чтобы две
нормы vi, V2 на одном и том же векторном пространстве Е над
нормированным полам К определяли одну и ту же топологию,
необходимо и достаточно, чтобы существовали такие два числа
а > 0, b > 0, что при любом х е Е
avx (х) < v2 (х) ^ bvx (х).
В этом случае говорят, что нормы vi и V2 эквивалентны.
Достаточность следует из п. 3, § 2 раздела 1.
Докажем необходимость. Предположим, что шар с центром 0
в (£, vi), определяемый неравенством vi(*)< 1» содержит шар
с центром 0 в (£, V2), определяемый неравенством v2{x) < г
(г>0), т. е.
v2W<r=#v1(A:) < 1.
Пусть а — такое действительное число, что 0 < а < 1, a х —
произвольная точка из Е. Рассмотрим в Е точки апх, где пе2
(п — целое положительное или отрицательное). Так как
\2{оспх) = anV2(x) и так как х фиксировано, то положительные
278
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
числа anV2(*) (каковыми будут: ... (l/a2)v2(#), (l/a)v2(x),
v2(*), 0CV2M, a2v2(*), • • •) строго убывают; поэтому существует,
и притом единственное, такое целое рациональное число /iigZ,
что
af ^ v2 (amx) < г;
а так как v2 (am.t) < г, то
v,(a^)<l,
т. е.
amv{{x)< 1, или v{(x)< l/aw.
Но неравенство аг ^ V2(amx) дает ar ^ amv2(#), или l/am<:
^ (l/a/")v2(x). Следовательно,
^ W<(l/ar) v2(x),
т. е.
a^i (*) ^ v2 (*)> гДе a = а/*.
А поскольку л: — произвольная точка из Еу то это
неравенство имеет место при всех х. Точно так же показывается
существование такого b > 0, что v2(#) ^ bv\(x).
Нормы на Rn. На множестве Rn точек * = (Si, ..., §л)
три нормы ||/1, Si Ы и (Si |/12)1/2 определяют одну и ту же
топологию (ср. раздел 1, § 1 и 2). При этом
sup| |/ |<(S I !;l2)1/2<Sl h K"sup| Ь |.
6. Произведение конечного числа нормированных пространств.
Пусть Ei (/=1, 2, ..., п) — конечное число нормированных
пространств над одним и тем же нормированным полем К. Если
обозначить через Х\ произвольный элемент из Eiy то не
возникнет никакой путаницы, если обозначить норму в Ех через ||я*||
(а не через \\Xi\\i или v2-(я*)). Пусть
Е = Ц ЕЛ
точка х^Е имеет вид
X = (Х\9 Хоу • • • , Xn) = (Xi)y
где Xi е Е^ Согласно общему определению, данному для
метрических пространств (раздел 1, § 2), топология — произведение
на Е будет определяться расстоянием
d(x, y) = 3jd(xi9 *//) = SlU/ — yt\\.
Очевидно, что эта топология определяется суммой ||я|| =
= Sll*ill> которая является нормой, и в силу эквивалентности
трех норм на Rn (п. 5), можно рассматривать эквивалентные
нормы (Sll*/Н2)1/2 или supHx/H.
2 МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
279
7. Пополнение нормированного пространства. Банахово
пространство. При пополнении векторного пространства Е над
нормированным полем Л', наделенного некоторой нормой, встает
вопрос о том, может ли пополнение Ё быть отождествлено с
некоторым нормированным пространством. Если для любого
a£i( и любого Х = с1(хп) положить аХ = cl(can), то на ё
будет определен внешний закон, который, в сочетании с
аддитивным законом, превращает ёу как легко видеть, в векторное
пространство над К.
Пусть (хп)—последовательность Коши в Е\ для расстояния d
на метрическом пространстве расстояние б на Ё определяется
равенством
6(Х, Y) = limd(xn, уп)
(ср. раздел 1, § 5, п. 4). Здесь точно так же будет выполняться
неравенство
\\\xp\\-\\xq\\\^\\xp-xql
из которого следует, что для последовательности Коши (хп)
последовательность \\хп\\ имеет конечный предел, и если
lim || лгЛ — х'п\\ = 0, т.е. последовательности (хп) и (х'п)
эквивалентны, то снова применяя неравенство
\\\ХП\\-\\Х'П\\\^\\ХП-Х'п\\,
видим, что предел последовательности ||яп|| равен пределу
последовательности || Хп ||, если (хп) е X = cl (хп), что позволяет
положить
v(X) = lim\\xn\\.
Имеем v(0) = 0, и обратно, если v(0)= lim||*n||= 0, то X =
= с\(хп) — 0. Имеем также, переходом к пределу,
v(X + Y)^v(X) + v(Y),
и
v(aZ) = lim||axJ|==lim|a|.|U«ll = |a|.lim|UJ| = |a|v(Z).
Следовательно, v есть норма на £, являющаяся продолжением
на ё нормы, определенной первоначально на Е. Часто для этого
используется то же обозначение, что и в £, и записывается
v(X)=\\X\\.
Полные нормированные векторные пространства составляют
весьма важный класс метрических векторных пространств.
Определение. Действительным (соответственно комплексным)
банаховым пространством называется полное нормированное
действительное (соответственно комплексное) векторное
пространство,
280
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Нам будут встречаться многочисленные примеры банаховых
пространств (см. последний раздел этой главы).
8. Бесконечные суммы и ряды в банаховом пространстве.
Пусть Е— векторное пространство, которое мы будем
предполагать действительным (т. е. К = R) и нормированным. Так
как Е — абелева группа, мы можем рассматривать счетное
семейство элементов Xi из Е и рассматривать конечные суммы
где / — некоторое конечное подмножество из N, и можем
определить понятие суммируемого семейства (гл. VI, раздел 4, § 2).
Мы ограничимся следующими понятиями.
Ряд с общим членом хп^Е называется абсолютно
сходящимся, если сходится числовой ряд с положительным общим
членом ||*пII; семейство (хп) называется абсолютно
суммируемым, если суммируемо семейство (|Un||) норм.
В банаховом пространстве справедливо следующее
предложение.
Предложение. В банаховом пространстве всякое
абсолютно суммируемое семейство суммируемо и всякий абсолютно
сходящийся ряд безусловно сходится.
9. Нормированная алгебра, банахова алгебра. Пусть А —
алгебра (ср. гл. III) над полем К, которое мы будем
предполагать полем R действительных чисел или полем С комплексных
чисел. Если наделить векторное пространство А некоторой
нормой и пытаться использовать в топологических вопросах
произведение в А, то это приведет к предположению, что норма в
сочетании с умножением в А обладает свойством делать
непрерывным билинейное отображение (х, у)-+ху произведения
АХ А в А. Но, как мы покажем (гл. IX, раздел 2, § 2, теорема 1
и обобщения), для того чтобы это было так, необходимо и
достаточно, чтобы существовало такое число М >> 0, что
IUy||<M|U||||*/||.
Заменяя норму ||*|| эквивалентной нормой Х\\х\\ (X > 0),
приходим к предположению, что
И*0|К11*НШ.
Отсюда получаем определение:
Определение. Нормированной алгеброй (действительной или
комплексной) называется такая алгебра А над полем R или С,
что векторное пространство А наделено нормой,
удовлетворяющей условию \\ху\\<^.\\х\\\\у\\ для любых х,у<=А.
Если нормированное пространство А является банаховым
пространством, то нормированная алгебра называется банаховой
алгеброй.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
281
Важное свойство нормированной алгебры, обладающей
единичным элементом е относительно умножения в Л, состоит в том,
что если ряд 2*rt сходится, то элемент е — х обратим (это
свойство обобщает свойство действительных чисел: если ряд 2*rt
сходится (и значит, |*|<1), то элемент 1—х обратим, и
|/(1-^)=И4
В самом деле, для любого целого п имеем
п
(е — х) %хк = е — хп+1.
fe=0
Если ряд 2 *" сходится, то хп стремится к нулю, и
предыдущее неравенство переходом к пределу дает
(е-*)(2 xk) = e.
Точно так же
(|l **)(*-*) = е,
оо
чем доказано, что сумма 2** РяДа является обратной к е — х
о
относительно умножения в А. Стало быть, можем написать, что
(е-хГ1 = %хк.
о
Допустим, что обратно, разность е — х обратима и что
||*|| < 1. Так как неравенство ||*#||< 11*111|#|| дает ||*2||<||*||2,
и затем, последовательно, ||*п|| ^||*||п, то при ||*||< 1 получаем
lim||*1 = 0.
Таким образом, в равенстве
п
(е — х) 2ixk = e — xn+l
fe=0
член xn+l стремится к нулю, откуда вытекает, что ряд с общим
членом xh сходится, что
(е-*) (2 **) = *
и что, следовательно,
2** = (е —*)-'.
о
Отсюда получаем теорему.
282
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Теорема. Пусть А — нормированная алгебра с единичным
элементом е. Если ряд ^хп сходится, то элемент е — х
обратим и
{е-~хГ1=%хп.
о
Обратно, если е — х обратим и если ||*||< 1, то ряд ^хп
сходится и
(е-хГ1 = Ъхп.
О
Если ||*|| < 1, то снова имеем \\хп\\ ^ IUI|n; следовательно,
ряд ]£хп абсолютно сходится. Если А полно, то ряд также
сходится (п. 8); стало быть, по теореме, только что
сформулированной, е — х обратим. Получаем следствие:
Следствие. Пусть А — банахова алгебра с единичным
элементом е. Если \\х\\ < 1, то разность е — х обратима в А, и
(е-~хГ1 = %хп.
о
10. Пространства Рисса. Понятие пространства Рисса
обобщает понятие группы Рисса.
Пространством Рисса называется действительное векторное
пространство, являющееся группой Рисса относительно
внутреннего закона и удовлетворяющее, кроме того, следующему
условию: для любого действительного а > 0 и любого элемента
х ^ 0 выполняется неравенство ах ^ 0.
Этим условием выражается согласование между порядком и
внешним законом. Отсюда следует, что х4^у и а> 0=ф> ах^Сау.
Если пространство Рисса наделяется некоторой топологией,
то при этом предполагается, что относительно этой топологии
множество положительных элементов замкнуто; это то же самое
предположение, что и для группы Рисса.
§ 3. Гильбертовы пространства
Гильбертовы пространства обобщают понятия евклидовых
пространств Rn и банаховых пространств. Наиболее важной
иллюстрацией понятия гильбертова пространства служит
пространство L2.
Поле К, которое будет в дальнейшем входить в определение
векторных пространств, будет полем R действительных чисел
или полем С комплексных чисел. Если а е /С, то а означает
сопряженное с а; если аб/?, то а = а; если а — комплексное
число, то Re а означает его действительную часть.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 283
Гильбертово пространство есть банахово пространство
специального вида, норма в котором может быть определена при
помощи скалярного произведения. На самом деле можно было
бы рассматривать векторное пространство Е, норма (или
полунорма) которого получается из скалярного произведения; но
легко видеть, что его пополнение ё было бы гильбертовым
пространством, т. е. можно было бы продолжить на ё скалярное
произведение, определенное на £, и полученное таким образом
продолжение определяет на ё норму, полученную продолжением
нормы из Е.
1. Определение эрмитовой формы и скалярного произведения.
Эрмитовой формой на действительном или комплексном век-
торном пространстве Е называется отображение ф произведения
£ X Е в поле К, удовлетворяющее следующим условиям:
1) <р(х + х', у) = ч>(х, */) + ф(*', у);
Ф (х, У + У') = Ф (х, у) + ф (х, у').
2) ф (ах, у) = аф (х, у); <р (х, ay) = аф (х, у).
3) Ф (х, у) = Ф (уу х).
Если Е действительно, то говорят также о симметрической
форме; тогда ф(х, у) = ф(у, х) (чем и объясняется название), и
Ф (а*, у) = Ф (х, ау) = аф (х, у) .
Замечания. 1) Условие 3) влечет равенство ф(#, х)~
= ф(х, х), и значит, ф(х, х) есть действительное число.
2) Если Е действительно, то из условий 1) и 2) вытекает, что
Ф есть билинейная форма на Еу^Е.
3) В общих курсах доказывается, относительно
квадратичных форм, что ф определена, как только известны значения
формы ф(х, х). Вообще,
4>(*t У) = -4(Ч>(х + У, х + у) — у(х — у, х — у)),
если Е действительно;
ф(*> #) = -4*(ф(* + #> х + У) — У(х — У, х — у) +
+ щ (х + iy, х + iy) — /ф (х — iy, х — iy))9
если Е комплексно.
Определение скалярного произведения. Если на пространстве
Е определена эрмитова форма, то значение у(х, у) формы ф для
пары (х, у)^Еу^Е называется скалярным произведением
элементов х и у.
Скалярное произведение ф (х, х) называется скалярным
квадратом элемента х.
284
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Обозначение. В случае одной эрмитовой формы будем
обозначать скалярное произведение ф(л;, у) = (х\ у).
2. Положительные невырожденные формы. Эрмитова форма
Ф на Е называется положительной, если для любого х е Е
выполняется ф(х, х) ^ 0; она называется невырожденной, если
ф(д:, х) = 0 ФФ х = 0.
Примеры. 1) Пусть
где (^г)—канонический базис. Симметрическая форма
определяется равенством
п
(х\у) = 2¾¾.
2) На пространстве ^ непрерывных действительных
функций на [a, b) d R, для которых интеграл предполагается
известным, симметрическая форма определяется равенством (х\у) =
= 1(ху), где 1(х)—интеграл от х, а ху — произведение
элементов х и у.
3) На пространстве Ll(N) последовательностей х = (1¾)
действительных чисел, для которых ряд 2l £* I сходится,
симметрическая форма определяется равенством
(тогда ряд 2^¾ абсолютно сходится).
3. Неравенство Шварца. Для любой положительной
эрмитовой формы ф, определенной на пространстве Е, справедливо
следующее неравенство, называемое неравенством Шварца*):
1ф(*» У)12<ф(*, x)q>(y, у),
каковы бы ни были хи//е£.
Положим (х\у) = у(х, у) и возьмем некоторое число а.
Пусть
А = (х + ау \х + ау) = (х\ х) + а (х\ у) + а(х\ у) + аа (у \ у)\
А будет действительным положительным числом при любых
х, у е Е, а е К.
Возьмем в качестве а некоторое конкретное число. Пусть
а = —(х\у)/(у\у), если (у\у)¥=0. Имеем а = —(х\у)1(у\у), а
так как для комплексного z имеем \z\2 = zz, то
А = (х\ х)-\(х\ у) \21(У\ у)-\ (х\ у) \21(У\ У)+\(х\ У)21(У\ У)>0,
*) Это неравенство обычно называют неравенством Коши — Буняковского,
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
285
и значит,
\(х\у)\2<(х\х)(у\у).
Если (у\у) = 0 и (х\х)ФО, то поступаем точно так же,
меняя местами х и у.
Если (х\х) = (у\у)= О, то
А = а(х\у) + а(х\у),
и, принимая а = —{х\у), получаем
-2|(x|*/)|2>0,
откуда
IWy)p = o<(xU)(y|y) = o.
Замечание. Доказательство неравенства Шварца
показывает также, что если (х\х) = 0, то (х\у) = 0 при любом у^Е.
4. Полунорма или норма, определенные при помощи
положительной эрмитовой формы. Предложение. На
пространстве Е, для которого определена положительная эрмитова форма,
выражение \\х\\ = (х\х)Ч* является полунормой. Если форма к
тому же невырождена, то ||л;|| = (л;|л;),/2 есть норма.
Последнее очевидно, так как если форма невырождена, а
значит, если (х\х) обращается в нуль лишь при х = 0, то
(*|*)1/2 = 0ф^ = 0.
Имеем
(са| ал:)1/2 = (аа(л:| х))1/2 = | а |(*| х)1/2;
затем
\\х + у\\2 = (х + у\х + у) = (х\х) + (х\у) + 0^) + (у\у)==
= \\х\? + \\у\? + (х\у) + ЩУу,
и значит, достаточно доказать, что
\(х\у)\ + \Щ)\<2\\х\\\\у\\.
Но неравенство Шварца дает
\(х\у)\2 = \Ш)?<(х\х)(у\у)==\\х\Пу\?.
Следовательно,
\(х]у)\ = \Ш)\<\\х\\\\у\\, и \(х\у)\ + \Щу)\^2\\х\\\\у\\.
5. Определение гильбертова пространства. Гильбертовым
пространством называется (действительное или комплексное)
векторное пространство, наделенное нормой, определенной при
помощи невырожденной положительной эрмитовой формы, и
полное относительно топологии^ определяемой этой нормой.
286
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
2i
k4k
Примеры. 1) В Rn для двух точек х = (^), y = {r[h)
полагаем (х\у) = 2 ЕйЛл- Тем самым определена невырожденная
положительная симметрическая форма, ибо (#1 *)=2?fe
обращается в нуль только при 1¾ = 0 для всех k. Норма 1М1 = (х\х)х1*
является евклидовой нормой:
1* ll=(S II)1'2.
В этом случае неравенство Шварца дает
IS6»Ttal*<(2^)(STg).
2) Пусть L2(N) есть множество последовательностей
действительных чисел, для которых ряд 2¾ сходится. По
неравенству Шварца, применяемому в Rn к точкам (|Si|, ..., ||п|) и
(hi|> ••> hn|), получаем
\ п In \ 1/2 / /г \1/2
|<2ц*гы<(2^) (2л!)
и отсюда заключаем, что сходимость рядов 2?| и 2л! влечет
абсолютную сходимость ряда 2 \ьУ\к* Следовательно, если
xeL2(JV) и j/eL2(]V), то x + y^L2(N)y и, очевидно, что а^е
е L2(N) для любого «е/?.
Ha L2(Af) определяется невырожденная положительная
эрмитова форма {х\ #) = 2^Ль а значит, и норма || *|| = (2Ufe Р)1/2«
Пространство L2(N), наделенное этой нормой, полно.
6. Простейшие свойства.
1. Свойство медианы (параллелограмма). В
предложении из п. 4 было получено равенство
II* + У II2 = 11* II2 + IIУ II2 + (*1 У) + (х\у)-
Заменив у на —у и прибавив полученное равенство к
предыдущему, приходим к равенству, называемому равенством
медианы (или равенством параллелограмма):
\\x + y\? + \\x-ytf = 2(\\x\? + \\y\f).
Оно записывается также в виде
* + У II2 , о || * - У
1*112 + 11у1Р=2
+ 2|, 2
(Речь идет о соотношении плоской элементарной геометрии,
которое формулируется следующим образом: в треугольнике
сумма квадратов длин двух сторон равна удвоенному квадрату
медианы третьей стороны плюс удвоенный квадрат половины
третьей стороны.)
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 287
2. Ортогональные элементы. Два элемента х, у
называются ортогональными, если (х\у) — 0. Если М есть
подмножество рассматриваемого гильбертова пространства, то х
называется ортогональным к М, если х ортогонально к
любому (/ЕЁ
Иногда пишут х ± у, х ± М9 и тогда эти два определения
будут иметь вид
х 1 у&(х\ у) = 0; xl М&(х\ у) = О, У/у е= М.
Если (х\у) = 0, то равенство
\\х + у\\2 = \\х\\2 + \\у\\2 + (х\у) + {Г^)
представляет собой теорему Пифагора:
х±у=Ф\\х + у\\2 = \\х\\2 + \\у\\2.
Ортогональность двух векторов может быть
охарактеризована при помощи неравенства между нормами. Имеет место
следующее предложение.
Теорема 1. Для того, чтобы х был ортогонален
подпространству М, необходимо и достаточно, чтобы
\\хЦ<\\х-у\\
для всех у <= М.
В самом деле, если (х\у) = 0> то теорема Пифагора в
применении к л: и к —у дает
\\х-у\? = \\х\? + \\у\?^\\х\?.
Отметим, что если М — подпространство и х±_М, то х±_у для
любого j/gM, а так как —у <= М, то
\\х\?^\\х-у\?
для любого у^М.
Обратно, предположим, что ||x||2 ^ \\х — у\\2 для любого у^М,
где М — подпространство (что влечет —у^М и ay е М для
любого числа а). Покажем, что х ортогонально М.
Прежде всего заметим, что если у = 0 е М, то (х\0) = 0.
Допустим, следовательно, что уфОи что ||*||2 ^ \\х — у\\2 для
любого уеМ. Имеем для у <= М и для произвольного а:
II х ||2 < || * — ay IP ===== (л: — «г/1 л: — ay) =
= (х\ х) + (— ау | х) + (х | — о у) + (— ai/ | — оу) =
= \\х\\2 — а(у\х) — а(х\ у) + аа(у\у) =
= 11 х ||2- а(хГу) - а (*| t/) + аа|| у ||2.
Отсюда
0 < aa || у ||2 — а (х | у) — a (х | #).
288
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Так как у ф О, а значит, || у || Ф О, то мы полагаем а =
= М У)/И # II2, а = (х\у)1\\ У II2. Получаем
b<{x\y){x\y)l\\ytf-2{x\y){x\y)l\\yf = -\{x\yYI\\y\h
откуда (х\у) = О, и теорема доказана.
3. Выпуклые множества и выпуклые
подпространства. Множество А называется выпуклым, если для
любых точек xg/1, у^А и любого действительного а£[0, 1]
точка ах -f (1 — а)у принадлежит А.
Излагаемая ниже теорема, важная сама по себе, приводит, в
сочетании с предыдущей теоремой, к теореме о разложении.
Теорема 2. Пусть Е — гильбертово пространство и А —
выпуклое множество из £, представляющее собой полное
пространство в Е. Тогда для любого х^Е существует такой
единственный элемент л;0еЛ, что
II * — *о II = inf II * — У II-
*/е= А
Точка х0 называется проекцией элемента х на А.
В самом деле, пусть
6= inf || х —у ||,
*/е= А
и пусть [уи) — последовательность таких точек из Л, что
lim || .* — #„ || = 6.
Л->оо
Покажем, что (уп) есть последовательность Коши.
Свойство медианы в применении к ур — х и yq — x дает
\\yP + yq-2x\f + \\yp-yq\\* = 2\\yp-x\\2 + \\yq--x\\\
или
\\Ур-уЛ<2\\*-Ур\? + 2\\х-уЛ-\\Ур + Уя-2х\?-
Но Л выпукло, и поэтому (ур + yq)/2 <= Л; следовательно,
\\yp-yq\\2<2\\x-yj2 + 2\\x^yq\f^4\^^^x
а так как
то
и II УР-УЯ \?<2\\х - ур If + 2|| х - у, ||2 - 462.
6 = inf || х -
г/ел
1 ^ + Уц
1 2 Х
-У
>
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
289
Наконец, условие
lim \\х — уп\\ = Ь
влечет
Пт || л;-у„ ||2 = б2,
и, стало быть,
Нт \\yp — yq\\ = 0.
Таким образом, последовательность (уп) есть
последовательность Коши, а поскольку А полно, эта последовательность
сходится к такому элементу x0g/1, что \\х — xq\\ = 5.
Докажем единственность элемента х0. Если бы
существовали такие хо и хо Ф хо, что
\\ х — х0\\ = 6 = \\ х — Хо\\,
то последовательность (уп)у определяемая как у2р = х0, #2p+i = х'о>
была бы такова, что
Hm|U — уп\\ = 6,
rt->oo
и значит, была бы последовательностью Коши и имела (в силу
отделимости пространства) единственный предел, т. е.
требовалось бы, чтобы Xo = #0.
Замечания. 1) Поскольку в полном пространстве
замкнутое множество является полным подпространством, то можно
было бы в теореме 2 предполагать А замкнутым выпуклым
множеством.
2) Векторное подпространство пространства Е является
выпуклым множеством; поэтому теорема 2 применима, в частности,
к замкнутому подпространству пространства Е.
4. Теорема о разложении. Теорема 3. Пусть М —
замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства
Е. Для любого х е Е существует такой единственный элемент
Хо е М, что х = х0-\- у, где у ортогонально М.
Действительно, М, будучи векторным подпространством,
выпукло; оно замкнуто в полном пространстве Е, и значит, полно.
По теореме 2 для любого х е Е существует такой единственный
элемент х0 е М, что
II * — *0 II = inf II * — * II-
Положим х — Xq = у\ имеем
||у||= inf \\y-{z~x,)\\.
zsiW
290
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Так как х0 е М9 то М — х0 = М\
\\УП= ml\\y-t\\\
t€=M
значит, ||2/1| ^ \\у — /|| для любого /б! Согласно теореме 1,
элемент у = х — х0 ортогонален М.
Наконец, х0 есть единственный элемент из М, для которого
х — х0 ортогонально М. Ибо если xd таково, что х'о^М и
х — хо -L М, то
II* —*61КИ*-*6-0||
для любого i/gM; в силу того, что х'о е М, имеем 4 + jeM,
и
IU-4IK inf ||*-г||.
Следовательно, xq — единственная точка, определяемая
теоремой 2.
Замечание. Проекция х0 на М точки л: из Е есть значение
функции /?, отображающей £ в Af: /?(#) = #0. Эта функция
называется проектором. Можно определить р(х) как единственную
точку из М, для которой (р(х) — х\у) = 0 при любом у^М. Но
(/> (*) — х\ у) = (р (х) | у) — (х\ у) = 0,
и значит, (р(х) \у) = (х\у) при любом у е М.
Таким образом, /? есть линейное отображение пространства Е
в векторное подпространство М.
С другой стороны, теорема Пифагора в применении
к х = р{х)-\-{х — р(х)) дает
\\х\? = \\рШ + \\х-р(х)\?.
Следовательно, \\р(х) ||2 < ||x||2, или \\р(х) 1К1|я||. Так как р
линейно, то
\\р(х-х')\\ = \\р(х)-р(х')\\^\\х-х'\\,
чем доказывается непрерывность (см. общий результат,
относящийся к непрерывным линейным отображениям, в гл. IX,
раздел 2, §2).
Итак, проектор р гильбертова пространства Е в замкнутое
подпространство М пространства Е есть непрерывное линейное
отображение пространства £вМ.
ГЛАВА VIII
ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ.
НЕПРЕРЫВНЫЕ И ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
РАЗДЕЛ 1
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА
Функциональное пространство—это множество, элементами
которого являются функции и которое наделено некоторой
топологией. Но топология, которой наделяется множество функций,
может быть различной в зависимости от налагаемых требований
или свойств. Если, например, на множестве ИГ функций получено
свойство, состоящее в том, что £Г, наделенное надлежащим
расстоянием, полно, то к $Г можно применять свойства полных
метрических пространств. Иногда, напротив, приходят к тому,
чтобы наделить $Г топологией, изучение которой связано с
исследованием свойств последовательностей или семейств
элементов из #\
В дальнейшем мы будем ограничиваться почти
исключительно простым случаем, а именно, тем, в котором элементы из
ST являются функциями со значениями в метрическом
пространстве. Специального вида пространства получаются, помимо этого,
в предположении, что переменное есть элемент топологического
пространства, компактного пространства, что функции
непрерывны, что функции являются числовыми и т. д.
§ 1. Простая сходимость семейства функций
Пусть Я —абстрактное пространство (на котором не
обязательно определена топология), a F — топологическое
пространство. И пусть (fi) — семейство функций, наделенных индексами i
из множества индексов / и являющихся функциями переменного
хебЕ со значениями в F.
Предположим, что на / задан фильтр Ф.
Будем говорить, что семейство fi сходится просто к функции
f по фильтру Ф, если для любого х <= Е семейство значений
fi(x) в F сходится к f(x) по фильтру Ф. Это означает, что для
любого открытого множества X, содержащего f(x), существует
такой элемент ф£ф, что fi(x)^X для любого /бф. Отметим,
что X зависит от х.
292 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть, например, / = Л/, аФ есть фильтр дополнений
конечных подмножеств; тогда (fi(x)) есть последовательность точек
из F, и сходимость fi(x) к f(x) записывается равенством
Hm ft(x) = f(x).
Пусть теперь / — множество действительных чисел а, строго
больших некоторого числа ао, а Ф — множество интервалов
]а0, р[, где р> а0. Сходимость fa{x) к f(x) по Ф означает, что
fa(x) стремится к f(x)y когда а стремится к а0 справа.
Говорят также, что функция / есть простой предел семейства
fi относительно фильтра Ф.
Теперь можно утверждать, что во множестве отображений
пространства Е в F элемент / имеет в качестве близких
элементы f^ Но если задано множество $Г функций от х е Е со
значениями в F, то задание топологии на ЗГ требует
определения окрестностей любого f^!T или базиса открытых
окрестностей любого /.
Хотя приводимое нами определение нельзя считать
достаточным, мы все же будем называть топологией простой сходимости
топологию, определяемую при помощи простого предела
последовательностей (fn) элементов из ЗГ к элементу / из ЗГ.
Более удовлетворительное определение может быть дано для
того случая, когда F — метрическое пространство.
§ 2. Топология на множестве функций со значениями
в метрическом пространстве
Пусть Я —абстрактное пространство, F — метрическое
пространство, наделенное расстоянием d, и ЗГ— множество
отображений пространства Е в пространство F.
1. Раеномерная сходимость на множестве А из Е.
Определение. Последовательность (fn) элементов из ЗГ равномерно
сходится на множестве А из Е к элементу f ^ЗГУ если для любого
е>0 существует такое целое Р(е, А)9 что п^Р(е, Л)=#>
=Фd(fn(х), /(х)) < е для любого xei.
В случае, когда А = £, говорят кратко, что fn равномерно
сходится к /.
Когда на Е предполагается заданным семейство зФ
подмножества /I с £, то в случае, если равномерная сходимость имеет
место для любого /1е^, говорят, что fn равномерно сходится
к f на семействе зФ.
Если в качестве зФ взять семейство подмножеств, сводящихся
к точке, то равномерная сходимость на этом семействе зФ будет
простой сходимостью на Е.
Пример. Семейство числовых функций (fn), определенных
на /?, может сходиться просто к функции /; оно может равно-
I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА 293
мерно сходиться на R; оно может равномерно сходиться на
любом компактном интервале.
Свойство. Следующее свойство очевидно: если fn
равномерно сходится к f на любом подмножестве А из семейства si
подмножеств из £ и если элементы из si образуют покрытие
пространства £, то fn сходится просто к /.
В частности, если А = Е, то говорят кратко; равномерная
сходимость влечет простую сходимость.
2. Топология равномерной сходимости на £. Пусть f и g —
два элемента из ЗГ. Положим
6(/, g)= sup d(f(x), g(x)).
xe=E
6 есть отображение произведения ЗГ X $Г во множество
действительных чисел, конечных положительных или равных 4-со
(ибо может быть, что б(/, g) = +00), которое обладает
следующими свойствами:
1) Если / = g, то
б (/, g) = sup d (f (x), f (x)) = sup 0 = 0;
x cp E Jce= E
обратно, если 6(f,g) = 0, то
sup d(f(x), g(x)) = 0\
X€? E
значит, d(f,x), g(x)) = 0 для любого x, и стало быть, f(x) =
= g(x) для любого х, т. е. f = g.
2) 6(f,g)=6(g,f).
3) Пусть f, g, h — три элемента из ST. Имеем
6(f,£) = supd (/(*),£(*))<
xe= E
< sup (d (/ (x), h (x)) + d(h(x),g (x))) < б (/, h) + 6 (A, ^).
Следовательно, S обладает всеми свойствами расстояния,
кроме свойства принимать лишь конечные значения; б
называется уклонением.
Теперь на ЗГ определяется база открытых окрестностей
элемента f е ЗГ путем отнесения ему всех тех g е ЗГ, для которых
6(/>g) < ос, где а пробегает множество действительных
положительных чисел.
3. Случай ограниченных функций. Если ЗГ есть множество
ограниченных отображений f пространства Е в F, т, е. если
множество f(E) ограничено в F, что сводится к тому, что для
некоторого произвольного уо е F
supd(#0, f(x))
294 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ пространстве
конечно, ТО ДЛЯ fG^ И gG^*
6(/, g) = sup d(f(x), g(x))
xe= E
конечно; в самом деле, для некоторой точки уо^ F
*(/. g)< sup d(f(x)9 у0)+ sup d(g(x)9 у о).
хе=£ х&Е
Тогда множество #" становится метрическим пространством.
Примем следующее определение.
Определение. Пусть ЯГ — множество функций, определенных
на множестве £, принимающих значения в метрическом
пространстве (F, d) и ограниченных. Топологией равномерной
сходимости на 3^ называется топология метрического пространства,
определенная на ЗГ при помощи расстояния
6(/, g)= sup d(f(x), g(x))
x(=E
для двух элементов f, g^.3T.
Пусть fn — последовательность отображений £ в F,
ограниченных и равномерно сходящихся к функции /. Имеем для
некоторой точки уо е F:
d (/ (х), у о) <d(f (х)9 fn (х)) + d (fn (x)9 у о) < 6 (/, fn) + d (fn (x)9 yQ).
Выберем такое целое p, чтобы 6(/,/P)<1, что возможно,
так как
lim 6(/,/„) = 0.
П~*00
Тогда
d(f(x),y0)<l+d(fp(x)9y0).
А поскольку fp ограничено, d(fp(x),yQ) тоже ограничено.
Отметим, что, по определению, справедливо
Предложение 1. Равномерный предел ограниченных
функций есть ограниченная функция.
Если теперь рассмотреть множество $ всех ограниченных
отображений Е в F, то возникнет вопрос о том, полно ли <%.
Ответ дается следующим предложением.
Предложение 2. Если F — полное метрическое
пространство, то пространство $ ограниченных отображений Е в F полно
в топологии равномерной сходимости.
Пусть, в самом деле, (fp) ^$ есть последовательность Коши,
т. е. такая последовательность, что
Нт б (/р,/,) = 0.
р->оо, q->oo
1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА 295
Так как
* (/p. fq)= SUP d(fp(x),fq(x))9
х^Е
ТО
Urn d(fp(x),fg(x)) = 0.
р->оо, q-^oo
Поскольку F полно, fp(x) имеет для любого xg£ в f
предел, который мы обозначим через f(x)\ таким образом,
определяется отображение Е в F. Но если pt q^P(e)y то для
любого х^Е имеем d(fp(x)t fq(x)) < е; имеем тогда
d(fp(x)yf(x)) ^ е; следовательно, /р равномерно сходится к
отображению f, которое в силу предложения 1 принадлежит $.
4. Частный случай: F есть действительное или комплексное
нормированное пространство. Если $ есть множество
ограниченных отображений пространства Е в Ft то
6(/, g)=sup||/(*)-g(*)||,
Х€=Е
причем через ||а|| обозначается норма элемента a^F.
Поскольку рассматривается множество всех ограниченных отображений,
то нулевое отображение принадлежит ^, и мы имеем
6(0,/)=sup||/(*)||.
хе= Е
Тогда
6(0,0) = 0, б(0,/) = 0=ф/ = 0;
для любого числа а имеем
6(0, а/) = |а|6(0,/);
так как
6(0,f + g)=sup||/(*) + g(*)||<
< sup (|| f{x) 11 + 11 g(*)||)<6(0,/) + 6(0, g),
xzeE
то очевидно, что 6(0, f) есть норма на 91. Итак, получено
предложение:
Предложение 1. Если F — действительное или
комплексное нормированное пространство, то топология равномерной
сходимости на $ определяется посредством нормы\ норма
элемента f е $ равна
sup ||/W ||,
х*=Е
где через \\f(x) || обозначена норма элемента f(x) е F. Эта норма
обозначается через ||/||, когда нет опасности путаницы; она
называется нормой равномерной сходимости.
296 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧРСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Отсюда, в частности, получаем предложение:
Предложение 2. Если F—банахово пространство, то 38
есть банахово пространство.
Примеры. Пусть Е = N — множество натуральных чисел,
E = R— множество действительных чисел; тогда <% или <%(N)
есть множество ограниченных числовых последовательностей
х= (1п)\ выражение
||*|| = sup|6J
п
есть норма, и ^?, наделенное этой нормой, есть банахово
пространство.
5. Функциональные ряды. Пусть F — банахово пространство
и пусть 2 ип есть ряд, составленный из органиченных
отображений Е в F. Предположим, что ряд абсолютно сходится, т. е.
сходится 2II ип ||. При этих условиях ряд 2 ип равномерно
сходится.
В самом деле,
2 a*(*J<2llM*)ll< SllM
р II р р
стремится к нулю; значит, последовательность функций
f п
есть последовательность Коши в $ и, стало быть, сходится в ,$,
т. е. сходится равномерно.
Говорят, что ряд 2 ип нормально сходится (т. е. сходится
по норме пространства $).
Однако обратное неверно; ряд может равномерно сходиться,
в то время как ряд, составленный из норм 211ип||, может быть
расходящимся. Это можно показать на следующем примере.
На компактном интервале [0, 1] рассматриваются
непрерывные числовые функции ип, определенные следующим образом:
ип(х) = 0 вне интервала
[_L_ П.
ип(х) линейно на интервалах
Г 1 2а2+ 1 1 Г 2лг +1 П.
L/i+l' 2az(a2+1)J I2n(n+l) ' п}9
кроме того,
ипу
2п + 1 \ _ 1
2п (п+\))~п
1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА 297
Ряд 2ил(я) сходится при любом яе[0, 1]; ибо если х = О,
это очевидно, а если х > 0, то все ип(х), начиная с некоторого
номера, равны нулю. Так как, с другой стороны,
sup
х
2 »k (х)
X п
то этот ряд равномерно сходится. Но \\ип\\=1/пу и 2II "л 11 =
= -]- оо.
6. Непрерывные функции. Когда речь идет о непрерывных
функциях, можно предполагать, что Е — топологическое
пространство.
Важным результатом, относящимся к непрерывным
функциям, является следующая
Теорема. Если (fn) — последовательность непрерывных
отображений топологического пространства Е в метрическое
пространство F, равномерно сходящаяся к отображению f, то
отображение f непрерывно.
В самом деле, для заданного е > 0 и достаточно большого
целого р имеем d(fp(x)tf(x))<Cs/3 при любом х^Е. Для двух
точек х и х0 имеем
d (f (*), f (*0)) <d(f (*), fp (x)) + d (fp (*), fp (x0)) +
+ d (fp (*0), f (xQ)) < d (fp (*), fp (x0)) + 28/3.
Так как fp непрерывно, то найдется такая окрестность X
точки #о, что если х^Х, то d(fp(x)y fP(x0)) < е/3; это влечет
d(f(x)yf(xo)) < е для х<=Х.
Когда F полно, условие о том, что d(fp(x), fq(x)) стремится
к нулю равномерно по х, когда р к q стремятся к бесконечности,
влечет существование предельной функции /, к которой fp
равномерно сходится.
Вводимое ниже понятие равностепенно непрерывного
множества функций позволяет указать достаточные условия
непрерывности предела непрерывных функций.
Множество А непрерывных функций на топологическом
пространстве Е со значениями в метрическом пространстве F
называется равностепенно непрерывным в точке х0^Е, если для
любого е > 0 существует такая окрестность V точки х0, что если
х е V, то d(f(x)tf(x0)) <е при любом f^A\ множество А
называется равностепенно непрерывным на Еу или просто
равностепенно непрерывным, если оно равностепенно непрерывно в
каждой точке из Е.
Предложение. Если семейство (fn) равностепенно
непрерывно в точке Хо и если fn сходится просто на Е к
отображению f, то f непрерывно в точке Xq.
298 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В самом деле, если (/„) равностепенно непрерывно, то
существует такая окрестность V точки х0 е Е, что для любого п
d(fn(x),fn(xo))<B/3.
Но
d (f (х), f (Хо)) <d(f (х), fn (х)) + d(f (Х0), fn (*„)) + d (/„ (х), U (*о)) <
< е/3 + d (f (X), fn (X)) + d{f (Xo), fn (Хо))-
Выбирая достаточно большое /г, получаем
d (f (*), fn (х)) < 8/3, d (f (*о), fn {хо)) < е/3,
и значит, для х е V имеем d(f(x), f(xo)) < 8.
РАЗДЕЛ 2
СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
ПРИБЛИЖЕНИЕ СТУПЕНЧАТЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Ступенчатые функции составляют тип функций, которые
могут рассматриваться как простые и наиболее употребительным
примером которых могут служить характеристические функции
подмножеств некоторого множества. Для их определения не
требуется вводить топологию на множестве изменения переменного,
но если это множество является топологическим пространством,
то они позволяют равномерно приближать непрерывные
функции.
§ 1. Ступенчатые функции
Пусть Е — некоторое множество (не обязательно
топологическое пространство), F — векторное пространство над полем R
действительных чисел. И пусть на Е задано конечное
множество попарно непересекающихся подмножеств Аи ..., Ар.
Ступенчатая функция f определяется следующим образом:
каждому А\ ставится в соответствие некоторая точка а\ из F\ эта
функция принимает лишь конечное число значений в F и является
постоянной функцией на каждом А\.
Пусть теперь фл — характеристические функции множеств Ait
т. е.
фл<(л*) = 0, если хф.А[, фл (х)=1, если x^At.
Это функции с действительными значениями, а поскольку F
есть действительное векторное пространство, то значение аг-
ступенчатой функции / в точке x<=Ai может быть записано в виде
2. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
299
f(x) = фл (x)cii. Так как множества А\ не пересекаются и их
число конечно, то для любого х е £ можно записать, что
р
1=1 1
Тогда функция / представима в виде
f = S <ЗДлг
Это обозначение более удобно, чем обозначение, которое было
бы более корректным в соответствии с принятыми вначале
соглашениями и которое выглядело бы так:
/ = 2фл^-
Из предыдущего замечания вытекает, что ступенчатая
функция получается из характеристических функций подмножеств А и
Таким образом, если речь идет об одной ступенчатой
функции, то изложенные соображения достаточны для их
определения. Но в интересующие нас задачи должны будут входить
семейства ступенчатых функций: так, мы будем исследовать,
является ли, при задаваемых условиях, непрерывная функция
равномерным пределом ступенчатых функций; нам понадобится
ввести операции над ступенчатыми функциями (векторное
пространство). Если мы хотим получить сумму двух ступенчатых
функций, определенных на двух семействах А\ и В\ подмножеств
из £, то мы приходим к рассмотрению новых подмножеств из £,
состоящих из А\ U Bj, Aif]Bj и из A{ — Bj (множество точек
Лг, не принадлежащих Sj); так, например, если А и В — такие
прямоугольники в /?2, что А П В Ф 0, то qu + Фв есть
ступенчатая функция, принимающая значение 1 на А — В и В — А,
значение 2 на А П В и значение 0 на С (A U В)\ можно,
следовательно, написать, что
Фл + Фв = Фл-в + Фв-л + 2Фл пв>
т. е. имеем конечную линейную комбинацию характеристических
функций попарно непересекающихся подмножеств из Е. И если
к подмножествам А — В, В — Л, А П В присоединить С (Л U В),
то получится разбиение множества £, а рассматриваемая
функция будет линейной комбинацией характеристических функций
элементов этого разбиения.
Эти замечания приводят к определениям, которые будут
сейчас сформулированы.
1. Определение клана на множестве.
Определение. Кланом на множестве Е называется непустое
семейство Г таких подмножеств из Еу что если А е Г и В е Г, то
ЛиВеГаЛ-ВеГ.
300 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Из определения сразу же вытекает, что если Г есть клан, то
0еГ, так как если Г непусто, то оно содержит по крайней
мере один элемент А ■ (который является подмножеством из £),
и А — Л = 0еГ; отсюда следует также, что
ЛеГ, Ве=Г=>ЛПВе=Г,
ибо
А()В = А-(А-В) (= Л П С (Л П СЯ))-
Примеры и замечания. 1) Пусть А — непустое
подмножество из Е\ множество, состоящее из Л и пустого
множества 0, образует клан. Одно множество 0 тоже образует клан.
2) Пусть Л — непустое подмножество из £, отличное от 0,
и В = С Л. Множество, состоящее из Л, В, Е, 0, образует клан.
3) Рассмотрим в R2 все подмножества А вида
А = [а,Ь[Х[а',Ь'1
т. е. все произведения замкнутых слева интервалов из R.
В этом случае мы не получим клан. Но если присоединить
к Л все их конечные объединения, то получится клан.
4) Если Г есть клан и если ЛеГ, то, вообще говоря, не
будет иметь место СЛеГ.
2. Клан, определяемый разбиением. Пусть (Ха)—семейство
подмножеств из Еу наделенных индексами а, |3, ... так, что если
а ф |3, то
Рассмотрим множество всех конечных объединений
подмножеств Ха\ и пусть Ai — такое конечное объединение. Очевидно,
что для двух конечных объединений подмножеств Ха,
объединение А{ U Aj тоже является конечным объединением Ха. С другой
стороны, Ai — Aj либо пусто, либо является объединением
множеств Ха, принадлежащих Ai и не принадлежащих Aj\ а так как
Ха попарно не пересекаются, если Ai—- Aj Ф 0, то Ai — Aj есть
конечное объединение множеств Ха.
Итак, для любого семейства попарно непересекающихся
множеств клан получается в результате рассмотрения их конец-
них объединений и пустого множества.
В частности, можно построить таким путем некоторый клан
с элементами разбиения множества Е (это есть семейство таких
подмножеств (Ха) из £, что аф$=^Ха[)Х$ = 0 и Е = UXa).
Среди разбиений, которые при этом рассматриваются,
имеются разбиения, определяемые следующим образом. Пусть
(Yp) —конечное или счетное семейство подмножеств из £,
убывающее по отношению =э и такое, что Y\ = Е. Следовательно,
Yp zd Yp+i для любого целого р. Семейство множеств Xv =
r= Yp — Ур+1 составляет разбиение. Посредством этого разбие-
2. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
301
ния определяется клан, если рассмотреть конечные объединения
множеств Хр и пустое множество.
3. Разложение элементов клана на непересекающиеся
элементы. Пусть Г — клан подмножеств множества Е. Если А и В —
два элемента из Г и если А и В пересекаются, то мы записываем
А = (А-В)\)(А()В), В = (В-А)\](А()В);
откуда видно, что для семейства, состоящего из Л и В, в клане Г
найдутся такие попарно не пересекающиеся три элемента А — В,
В — Л, А П В, что каждый из элементов Л, В будет объединением
некоторых из этих трех элементов.
Это свойство является общим, и легко доказывается по
индукции: для любого конечного семейства элементов А\ клана Г
(/= 1, 2, ..., /?) найдется такое конечное семейство попарно
непересекающихся элементов Bj из Г (/= 1, 2, ..., q), что
каждое Ai будет объединением элементов Bj.
4. Характеристические функции элементов клана.
Сформулируем свойства, определяющие клан, при помощи свойств
характеристических функций элементов клана; эти функции
обозначаются через ф.
Пусть А и В — подмножества некоторого множества Е, a qu,
фя — их характеристические функции. Нетрудно заметить, что
всякая числовая функция, определенная на множестве Е и
принимающая лишь значения 0 и 1, является
характеристической функцией некоторого подмножества из Е; стало быть,
произведение флфв есть характеристическая функция. А поскольку
флфв может принимать значение 1 только на А Г) Ву то
ФлФв = Флпв-
С другой стороны, если ЛПВ = 0, то
Флив^Фл + Фв-
Так как А = (А - В) U (А П В) и (А - В) П(Л П В) = 0, то
Фл = Фл-в + Фл п в = Фл-в + ФлФв>
или
Фл-в^Фл-ФдФв-
Точно так же,
А{]В = (А-В){](А()В){)(В-А)9
и в силу того, что множества Л —В, В —А, А О В попарно не
пересекаются, имеем
Флив^Фл-в + Флпв + Фв-л-
Принимая во внимание равенство фл_в = фл — Флфв> получаем
Флив^Фл + Фв-ФлФв-
302 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
5. Ступенчатые функции.
Определение. Пусть заданы действительное векторное
пространство F, множество Е и клан Г на Е\ ступенчатой функцией
на Е относительно Г и со значениями в F называется
отображение f множества Е в F, определяемое для любого х е Е как
t 1
где Л^еГ, ^Gf и где лишь конечное число {или нуль)
значений йг ОТЛиЧНЫ ОТ 0.
Записываем
f = 2a£<pA
i 1
Для любого действительного а функция а/ будет
ступенчатой, ибо
аМ*) = 2(ая*)Фл,(*)-
Если / и g— ступенчатые функции на Е относительно одного и
того же клана Г и принимающие значения в одном и том же
действительном векторном пространстве F, то f + g
удовлетворяет тем же условиям. В самом деле, если (Л*) и (5;)
соответственно элементы из Г, для которых fug отличны от нуля, то
найдется конечное семейство элементов Си из Г, попарно не
пересекающихся и таких, что каждое А\ и В{ является
объединением конечного числа Ch. Но если А\ = U Си, то фл = 2 Фс^> и
мы можем написать, что
/ = 2^ф^, £=3^4¾.
откуда очевидным образом следует, что
Точно так же,
— / = 2(- <*t)<pAi
есть ступенчатая функция. Законы векторного пространства
проверяются непосредственно, и мы приходим к утверждению:
Множество ступенчатых функций на Е относительно Г есть
векторное подпространство множества отображений Е в F.
Замечания. 1) Если F = R, то произведение двух
ступенчатых функций определено и является ступенчатой функцией.
Кроме того, если f — ступенчатая функция, то |/| —тоже
ступенчатая функция.
Множество ступенчатых функций с действительными
значениями, определенных относительно некоторого клана на
множестве Е, является пространством Рисса, представляющим собой
2. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
303
подпространство пространства числовых функций, определенных
на Е.
2) Всякое отображение Е в F, принимающее лишь
конечное число значений, может рассматриваться как ступенчатая
функция.
В самом деле, пусть / принимает ненулевые попарно
различные значения аь ..., ар и пусть А\ — множество тех х <= Е, где
f(x) = ах для £=1, 2, ..., /?, а Л0— множество тех х, где
f(x) ==0. Множества Л г попарно не пересекаются и, очевидно,
что
р
f= S ^Флг
Эти множества Л г (£ = 0, 1, 2, ..., р) образуют разбиение
множества Е и порождают клан.
Таким образом, функция Дирихле может рассматриваться
как ступенчатая функция на клане, состоящем из 0, /?, Q и
CQ.
Но в задачах, которые ставятся, вообще говоря, задается
клан, и ступенчатые функции, которые участвуют в
рассмотрении, являются функциями, определенными на этом клане
(пример: на R — клан, содержащий интервалы, на топологическом
пространстве — клан, содержащий открытые множества или
компактные множества и т. д.).
§ 2. Равномерное приближение ступенчатыми функциями
Если рассматривать пространство & ступенчатых функций
со значениями в нормированном пространстве F, относительно
некоторого клана на £, то это пространство будет
подпространством пространства ограниченных функций, поскольку всякая
ступенчатая функция ограничена. Можно, стало быть,
рассмотреть норму равномерной сходимости (ср. раздел 1). Тогда
пополнение пространства <§ относительно этой нормы
отождествляется с множеством равномерных пределов ступенчатых
функций. На Е не вводится никакая топология. Но, как мы уже
объясняли, можно также вводить топологию на £, что
позволит рассматривать непрерывные функции.
Мы представим здесь два частных случая: случай
ограниченных числовых функций на некотором множестве и случай
непрерывных числовых функций на пространстве (он будет
распространен на полунепрерывные функции).
Последний случай представляет интерес для теории
интеграла и позволит нам перейти от теории интеграла, построенной
исходя из ступенчатых функций, к теории, построенной по
непрерывным функциям с компактным носителем.
304 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ пространстве
1. Приближение ограниченной числовой функции. Пусть f —
числовая функция, определенная на множестве Е и
принимающая значения на ограниченном интервале [а, Ь]. Пусть, далее,
имеется конечное разбиение интервала [а, Ь] посредством таких
точек аи что а* < а*+ь ао = а, ап = b и а*+1 — а% < е, где е —
заданное положительное число. И пусть Л* — множество таких
точек л: е £, что а* < / (х) ^ a*+i (или а* ^/(*)< a*+i), i =
= 0, 1, ..., п — 1, т. е.
Л' = Г!(К, а, + 1]).
Множества Ai образуют конечное разбиение множества Е.
Пусть g — ступенчатая функция относительно Aiy определенная
как g(x) = a,i+u если х^А{. Очевидно, что g(x)— f(x) =
= оа+\ —f(x) < a,i+\ — ai < e при x e Л;, а значит, и при
любом х ^ Е.
Таким образом, функция f может быть при любом е равно-
мерно приближена, с точностью до е, ступенчатыми функциями.
Но это предложение не представляет большого интереса,
поскольку семейство множеств Лг- зависит от функции /, а
множество числовых функций, являющихся равномерным пределом
ступенчатых функций, определенных посредством этого
семейства (Ai), очевидно, не совпадает с множеством всех числовых
функций.
2. Приближение непрерывной числовой функции. Пусть / —
непрерывная ограниченная числовая функция на
топологическом пространстве Е. Если речь идет о равномерном
приближении посредством ступенчатых функций, то можно предположить
ее положительной, ибо можно затем применить полученный
результат к /+ и /~
Пусть
a = sup / (х)
х
и а0 = 0 < щ < а2 < ... < ап = а\ пусть
это открытое множество в Е, так как / непрерывна.
Рассмотрим ступенчатую функцию gn> определенную как
п
Возьмем точку x^E\ найдется, и притом только один,
такой индекс /, чтодгеЛр Л2, ..., А{ и x&Ai+l; в этой точке
фл^ (д) = 1 для k < i, yAk (х) = 0 для k > / + 1, и
i
gn (х) = 2 (ал — a*-i) = а,,
2. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
305
откуда
gn(x) — f(x) = at — f(x).
Так как эта точка х не принадлежит А1+и то f(x)^ai+u и
так как x^.Ah то /(я)^с^; поэтому
\gn(x) — f(x)\^ai+l — ai.
Следовательно,
I ёп (х) — f (х) К sup | щ +, — щ |.
i
Для того чтобы равномерно приблизить с точностью до 8
функцию f посредством ступенчатых функций gn, построенных
исходя из характеристических функций открытых множеств,
достаточно взять разбиение интервала [0, а] надлежащим образом
выбранными точками аг\
Очевидно, что вместо открытых множеств А\ можно
рассматривать замкнутые множества
В* =/"'([«*, +«>[).
Итак, получаем следующий результат.
Непрерывная ограниченная функция на пространстве Е
может быть при любом е > 0 равномерно приближена с точностью
до е посредством ступенчатой функции, которая является
конечной линейной комбинацией характеристических функций
открытых (или замкнутых) множеств из Е. Отсюда получаем
следующее предложение:
Предложение. Если взять на топологическом
пространстве Е клан Г, содержащий все открытые или все замкнутые
множества из Е, то любая непрерывная ограниченная числовая
функция на Е будет равномерным пределом ступенчатых
функций относительно Г.
Замечание. Если в предыдущем доказательстве обратиться
к открытым множествам, то достаточно будет знать, что
f-1 (] а + оо [) есть открытое множество при любом а, не требуя
непрерывности функции f. Это будет случай полунепрерывной
снизу функции.
Заметим, что, кроме того, gn ^ f.
Частный случай. Если Е компактно, то между
замкнутыми и компактными подмножествами из Е имеется
тождественность (гл. V, раздел 3, § 2). И предыдущее предложение
может быть сформулировано следующим образом.
Всякая непрерывная числовая функция на компактном
пространстве является равномерным пределом ступенчатых
функций на клане, содержащем компактные подмножества из Е.
306 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
РАЗДЕЛ 3
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ НА КОМПАКТНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Этот раздел посвящен семействам непрерывных числовых
функций на компактном пространстве и, более конкретно,
пространству этих функций. Наибольшую важность представляют
факты, содержащиеся в теореме Дини и в теореме Вейерштрас-
са, обобщенной Стоуном.
Первая из этих теорем дает нам пример того, как простая
сходимость влечет равномерную сходимость; в элементарном
варианте речь идет о монотонной последовательности
непрерывных числовых функций, сходящейся просто к некоторой
функции, о которой известно, что она непрерывна.
Вторая теорема является теоремой о приближении
непрерывных функций многочленами. Обобщение Стоуна вводит в
рассмотрение, как и в теореме Дини, свойство покрытия,
определяющее компактное пространство, и элементарные свойства
непрерывных функций.
Напомним, что если W(EyR), или & (если не может
возникнуть неоднозначности) означает множество числовых функций,
определенных и непрерывных на компактном пространстве £,
то Ф есть векторное пространство, что / е ^, g <=& =¥fg g?,
что [е?=Ф |/| g?, и значит, что верхние и нижние оболочки
конечного семейства принадлежат ^, что
||/II=suP|/(jc)|
xs=E
есть норма функции / и определяет на 97 норму, с которой ф
является действительным банаховым пространством (раздел 1,
§ 2, п. 6), что & есть множество, частично упорядоченное
отношением / ^ g 4Ф f(x)^ g(x) при любом ^е£, причем это
отношение порядка естественным образом согласуется с
топологией, определяемой посредством нормы (предел
последовательности функций ^ 0 будет ^ 0).
Тер м и но л о ги ч еские с о г л а ш е н и я. 1) Норма
11/11= suplfWI
х<= Е
называется нормой равномерной сходимости.
2) Если / и g — числовые функции, то будем говорить, что g
равномерно приближает f с точностью до е, если е строго
положительно и неравенство \f(x) — g(x) | < е справедливо для
любого х е Е\ если fe? и gG^, то пишут также ||/ — g\\ < е.
3) Будем говорить, что g приближает f в точке х е= Е с
точностью до е, если \f(x) — g (х) | < е в этой точке.
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
307
§ 1. Теорема Дини
1. Теорема Дини (элементарная форма). Пусть (fn)
—последовательность непрерывных положительных числовых функций
на компактном пространстве £, убывающая и сходящаяся к
нулю. Тогда fn равномерно сходится к нулю.
Пусть х — произвольная точка из Е\ для любого е>0
найдется такое целое пХу что fn (х) < е/2. А так как fnx
непрерывна, то для х можно указать такую открытую окрестность Хх,
что если у е ХХу то fn (у) < е. Множество окрестностей Хх
покрывает Е\ в силу компактности Е может быть покрыто
конечным числом этих окрестностей: XXv ..., Хх .
Последовательность (fn) убывает, и поэтому для любого целого
п^ max пх
и любого у^Е имеем fn(y) < е; тем самым доказана
равномерная сходимость к нулю.
Следствие. Если монотонная последовательность (fn)
непрерывных числовых функций на компактном пространстве Е
сходится просто к непрерывной функции /, го она равномерно
сходится.
Действительно, достаточно рассмотреть последовательность
(fn — f) или (f — fn).
2. Теорема Дини (обобщенная форма). Когда рассматривают
возрастающую последовательность (fn) числовых функций и
при этом предполагают, что (fn) сходится просто к
функции /, то
f = sup fn (т. е. для любого х<=Е, f(x) = su\>fn(x)).
п п
Если последовательность не возрастает, но сходится к /, то
вообще говоря, уже не будет верно равенство f = sup fn.
С другой стороны, если последовательность возрастает (в
более общем случае монотонна), то для двух членов fi и fj
последовательности имеем sup (fi,fj) = fi или fjy т. е. sup(f<, fj) есть
элемент последовательности.
Итак, рассмотрим семейство ЗГ непрерывных функций на
компактном пространстве Я, наделенных индексом /,
принадлежащим множеству индексов /, и предположим, что если fi и fj —
два элемента из S2", то sup (^, fj) е У9 откуда следует, что
верхняя оболочка конечного числа элементов из ЗГ_ принадлежит ЗГ.
Пусть
/ = sup/,
i
308 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
есть верхняя оболочка семейства непрерывных функций /*.
Предположим, что / конечна и непрерывна на Е. Возьмем
некоторую точку х е Е. Если
f (х) = sup fi(x),
i
то это означает, что для любого е > 0 найдется такой индекс ix,
что
f(x)-e<fix(x)<f(x).
Поскольку эта точка х фиксирована, то множество тех у^Е, для
которых / (у) — s<fi (у), есть открытое множество Хх, ибо fnft
непрерывны.
Множество открытых множеств Хх покрывает Е\ но Е
компактно, и поэтому конечное число Хх , ..., Хх этих открытых
множеств покрывает Е. Функция
S = suP(/'„ f,Xp)
непрерывна, принадлежит £Г, и для любого х е Е имеем
f(x) — B<g(x)^f(x), или \f(x) — g(x)\<B.
Отсюда получаем следующий результат.
Пусть ИГ— такое семейство непрерывных числовых функций
на компактном пространстве £, что верхняя оболочка двух
произвольных элементов из ИГ принадлежит ИГ. Если верхняя
оболочка семейства ИГ конечна и непрерывна на Е, то для любого
е > 0 она может быть равномерно приближена с точностью до е
некоторым элементом из ИГ.
Замечания. 1) Теорема Дини неверна, если Е не
компактно. Так, убывающая последовательность числовых функций,
определенных и непрерывных на (некомпактном) интервале
]0,+оо[ как fn(x) = \/пх, сходится просто к нулю, но не
сходится равномерно.
2) В предыдущих результатах можно, очевидно,
предположить, что Е — компактное подмножество топологического
пространства.
3) Легко видеть, что при доказательстве обобщенной
теоремы Дини достаточно вместо условия sup (/^ /j) е ИГ для
произвольных элементов fu fj е ST предположить существование
такого g ^ИГ, что
SUp (/;,//)<£.
4) В условиях теоремы не предполагается, что inf (/*,/,-) е#\
Более узкими, но практически более удобными
предположениями, при которых теорема верна, являются условия, состоящие
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
309
в том, что ЗГ есть группа Рисса или только, что если f* е У и
fj е #", то fi + fj, —fu \fi\ <=.ЗГ\ в самом деле,
2sup(f£ff/) = /< + //+lf*-//l-
Но так как
2 inf (/f, /у) = /, + f, — 1 f, — f71,
то обобщенная теорема Дини верна также и для нижней
оболочки семейства £Г.
5) Имеется еще один способ сформулировать эту теорему.
Пусть Ф — фильтр, определенный на ЗГ следующим образом:
элемент фбФ есть множество элементов из ЗГ9 превосходящих
заданный элемент /*; имеем ф Ф 0, и если q/ определяется при
помощи U'y т0 Ф П ф7 содержит множество элементов из #~,
превосходящих sup(/^,/у) (который принадлежит £Г). Это
позволяет принять следующую формулировку: в принятых
условиях семейство функций fi равномерно сходится к своей верхней
оболочке по фильтру ф.
6) Наконец, практически используемая форма состоит в
рассмотрении последовательностей; каждому \/п ставится в
соответствие такая функция fn е ST, что
I sup ft (х) — fn(х) |< —
i п
для любого х е Е\ тогда
Игл || sup /£ — /«II = 0.
tt->oo i
Иными словами, существует последовательность fn
элементов из ЗГ, равномерно сходящаяся к
sup ft.
i
§ 2. Теорема Вейерштрасса
Теорема Вейерштрасса в элементарной форме утверждает
следующее: всякая числовая функция /, определенная и
непрерывная на компактном интервале [а, Ь] из /?, является
равномерным пределом многочленов, или, иначе, для любого е > 0
существует такой многочлен /?, что ||/ — р||<е, где норма является
нормой равномерной сходимости. Можно также сказать, что в
пространстве & ([а, b]9 R), наделенном нормой равномерной
сходимости, множество Р многочленов плотно:
P = V.
Если речь идет о периодической функции, например, с
периодом 2я, то теорема остается верной, но ее интерес теряется,
310
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ибо в этом случае важно знать, можно ли заменить (степенные)
многочлены тригонометрическими полиномами (линейными
комбинациями функций х —►sinял:, х—+со$пх). Это снова
доказывается на основании предыдущей теоремы.
Элементарная теорема Вейерштрасса служит инструментом
для обобщения, называемого часто теоремой Вейерштрасса —
Стоуна. Эти результаты и будут рассматриваться в этом
параграфе.
На самом деле, как мы увидим, достаточно знать, можно ли
действительную функцию х-*|л;| на [—1,+1] равномерно
приблизить многочленом с точностью до е при любом е > 0.
1. Теорема Вейерштрасса (элементарная форма). Пусть f —
непрерывная действительная функция на компактном интервале
[а, Ь] из R. Если со (а, Ь) означает колебание функции / на [а, 6],
т. е.
со (а, 6)== sup/ — inf/,
и если
V(x) = f(a)+ f{b)bZfala) (х-а),
то
| / (х) — ф (х) К со (а, 6).
В самом деле,
f{x)-q{x) = f(x)-f(a)-^^-(x-a) =
_ (f (х) - / (а)) (Ь-х)- (/ (х) - f (6)) (х - а)
Ь-а
Отсюда
с / \ / \ , ^ to • (b — х) + со . (х — а)
f (х) - ф (х) | < и-п =
и — ©•
о — а
Пусть теперь имеется разбиение интервала (а, Ь) точками
х0=а< хх< ... <Х(< xi+l< ... <xn = b,
так, что <u(XitXi+\) < е, где е> О — заданное число (что
возможно, так как непрерывная функция равномерно непрерывна),
и пусть ф — непрерывная функция:
<p(*) = f(**)+ HXl+l) Zl{Xi) (x-xt), */<*<*, + ,.
xi + l xi
Если через фг обозначена непрерывная функция, определенная
как
Ф<+1(х) = 0, если x^xi9 q>t + \(x) = x —xt, если x^xit
Ъ(х)=1,
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
311
то можно написать, что
ф (*) = 2 ^ф* (х),
где коэффициенты Xt определяются последовательно условиями:
Ф (*о) = f (*о) = К Ф (*l) = f (*l) = ^0+ КЧ>\ (*i) и т. д.
Таким образом, задача сводится к приближению
непрерывной функции ф; многочленом. Но ф0 — многочлен, а при i > О
q>t(x) = j(x — xi +\x — Xi |);
а так как х — Х\— многочлен, то остается приблизить функцию
х-+\х — х\\ на [а,Ь]. Замена переменного позволяет свести все
к решению задачи для функции я—*|я| на [—1,+1]. Именно
это мы и сделаем, показав (что будет использоваться в
дальнейшем), что приближающие многочлены не имеют свободного
члена.
Теорема. Для любого е>0 функция х-+\х\ может быть
равномерно приближена на [-1,+1] с точностью до г
некоторым многочленом без свободного члена.
Заметим, что достаточно доказать, что функция х—*х
может быть приближена с точностью до 8, при любом е,
многочленом, содержащим лишь четные степени переменного ху на
[О, 1]. Ибо если \р(х) —х\ < е на [0, 1], то, за-менив х на —я,
получим \р(х) — (—х) | < 8, и значит, \р(х)—|х||<е для
всех х е [— 1, 1].
Тогда достаточно построить равномерно сходящуюся к х
последовательность многочленов на [0, 1], обращающихся в нуль
при х = 0 и содержащих лишь члены четной степени.
Существуют многие способы доказательства этого свойства.
Способ, принятый здесь, прибегает к понятию интеграла от
непрерывных функций; однако, как читатель сможет убедиться,
будут использоваться лишь теорема о конечных приращениях
и тот факт, что если 0 < а < 1, то пап стремится к нулю при
п—> оо.
Пусть fn — многочлен, равный нулю при х = О и имеющий
производную (1 — х2)п. Тогда записывается
х
fn(x) = l(\-t2)ndt;
О
рассмотрим
/ ч _ fn(x)
gnW- и({).
Имеем O^gn(x) ^ 1; для любого п функция gn возрастает;
она является многочленом, содержащим лишь члены нечетной
312 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
степени; кроме того, для любого е > 0 последовательность {gn)
равномерно сходится на [е, 1] к 1; в самом деле,
1 1
/„(1) = J" (l-t2)ndt>j (1 -tfdt= 1/(л+ 1),
о о
gn(x)-l=(fn(x)-fn(l))/fn(l);
отсюда
I &,(*)-1|<(л+1)/^(1), где *<|<1.
А так как
M = (l-iT<(l-*T,
ТО
IffnW-11^(/1+1)(1-82)11.
Пусть рп — многочлен, обращающийся в нуль при х = 0 и
имеющий в качестве производной gn. Этот многочлен содержит
лишь члены четной степени. Поскольку gn ^ 0, то при любом п
функция рп возрастает; а поскольку gn ^ 1, то рп(х) ^ х.
Стало быть, для 0 ^ х ^ е имеем
lp«M-*KIM*)l+UI<2e.
Для е ^ х ^ 1 имеем
Рп (х) — рп (е) = (х — г) рп (g) = (* — е) gn (£), е < I < *;
ря (*) — а: = рп (е) -Ь -^ («"я (6) — 1) — egn (g);
так как gn< 1 и Pn(e) ^ е, то
\Pn(x)-x\^e + x\gn(l)-l\+e = 2B + x\gn(l)-l\;
а так как е < g < 1 и так как gn равномерно сходится к 1 на
[е, 1], то для достаточно больших п
\рп(х) — х\< Зе,
чем и завершается доказательство теоремы Вейерштрасса.
2. Теорема Вейерштрасса —Стоуна. Обобщение теоремы
Вейерштрасса состоит в отыскании множества Г, плотного в
пространстве ^(£,/?) непрерывных числовых функций на
компактном пространстве £, наделенном равномерной сходимостью.
Изложенные выше результаты приводят вначале к
рассмотрению множества Г таких функций, обозначаемых через и,
v, ... , что если иеГ, то \и\ gT. После этого при помощи
дополнительного условия показывается, что каждая функция
f е 97 может быть равномерно приближена с точностью до е >
> 0 некоторым элементом и ^ Г.
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
313
Затем рассматривается множество Я, предполагаемое
вначале обладающим свойствами элементарных многочленов: это
есть векторное пространство, и притом такое, что если фбЯ
и у<^Н, то фу е Н. Далее берутся непрерывные функции,
являющиеся равномерными пределами элементов из Н\ если
обозначить их множество через Я и доказать, что
f€=/7#|f|es//,
то множество Н будет обладать свойствами искомого
множества Г.
Лемма 1. Пусть Г — такое множество функций,
непрерывных на компактном пространстве Е, что если «бГ и ugT, то
sup (и, v) еГ и inf (и, v) е Г, и пусть f е ff (£, R). £ош для л/о-
бых двух точек х и у из Е и любого е > О функция f может быть
приближена с точностью до г в точках х, у одной и той же
функцией «еГ, то она может быть равномерно приближена с
точностью до любого е некоторым элементом из Г.
Возьмем вначале в качестве х фиксированную точку х0 е Е,
а в качестве у — переменную точку из Е\ точкам х0 и у можно
поставить в соответствие такую функцию и, зависящую от Хо, у,
что
f (*о) — е < и (*о) < f (*о) + е
и
f(y)-B<u(y)<f(y) + e. -
Рассмотрим в Г все те функции и, для которых в х0
и (х0) < f (х0) + е, .
а среди них — такие зависящие от у функции, что f(y) — е<
< и (у). А так как Е компактно, то доказательство, аналогичное
доказательству теоремы Дини, позволяет построить такое
конечное семейство этих функций и, обладающее, кроме того, тем
свойством, что его верхняя оболочка v (которая, по условию,
принадлежит Г) удовлетворяет неравенству f (у) — г <С v (у)
при любом у.
Но при этом в точке х0 справедливо неравенство
v(x0)<f(x0) + e,
поскольку v есть верхняя оболочка конечного числа функций и,
обладающих этим свойством.
Заставим теперь х0 меняться; тогда каждому х ^. Е ставится
в соответствие такая функция v, что для любого у е £
f(y) — *<v(y)
и что в данной точке х выполняется неравенство v (х) <Z f (х)-\-
+ е. Таким же способом строится конечное семейство этих
функций, нижняя оболочка w (принадлежащая Г) которого обладает
314 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
свойством w(x) <f(x) +е при любом х\ но поскольку, кроме
того, w есть нижняя оболочка конечного числа функций v,
удовлетворяющих при любом (/е£ условию f(y) — 8 < v(y)y то
f(y) -~ 8 < w(y) ПРИ любом г/е£. В итоге имеем равномерно
по х неравенство
\f(x) — w(x)\<%
для шеГ.
Частный случай. Условия леммы 1 достаточны для того,
чтобы результат был верен. Они, очевидно, и необходимы.
Практически же будут использоваться более узкие условия,
и притом достаточные. Так, допущение о том, что Г есть
векторное подпространство пространства ^(£,7?), обладающее тем
свойством, что «еГ=) \и\ бГ, т. е. допущение о том, что Г
есть пространство Рисса, влечет, что если «бГ и иеГ, то
sup (и, v) е Г, inf (иу v) е Г,
ибо
sup (и, v)==-j(u -f v +] и — и |), inf (н, и) =2-(и + я — | и — v |).
Предположим теперь, что для любой функции f ^^(Е, R) и
любых х, у<^Е существует такая функция «еГ, что и(х) =
= f(x),u(y) = f(у), что влечет
\и(х) — f(x)|<8, \ и(у) — f(y)|<e для любого е > 0.
И это новое условие само выполняется при следующем условии:
для любых х, у е Е и любых двух действительных чисел о и 6
существует такая функция «еГ, что и (я) = а, #(#) =6 (ибо
достаточно взять f(x) = a, f(y) = b). Таким образом, приходим
к более частной лемме, но имеющей более простую
формулировку.
Лемма Г. Пусть Г — векторное подпространство
пространства ^(Еу /?), обладающее тем свойством, что и^Г=5>
=ф |и| еГ и «/то (Эля любых двух точек х, у(=Е и любых двух
действительных чисел a, b существует такая функция иу что
и(х) = а, и (у) =Ь. Тогда множество Г плотно в ^(Е, R).
Простым примером, иллюстрирующим лемму Г, является
как раз пример «ломаных линий» на компактном интервале
[а, Ь\ множество которых плотно в 97 ([а, Ь], /?), что доказано
в п. 1 при помощи равномерной непрерывности.
Лемма 2. Пусть Н — такое векторное подпространство
пространства ^(£,/?), что фЕЯ и у^Н^^у^Н. Для любых
8>0«феЯ функция | ф | может быть равномерно приближена
с точностью до е элементами из Н.
Пусть фЕЯ. Так как ф непрерывна на компактном
пространстве £, то |ф| тоже непрерывна и имеет верхнюю грань М\
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
315
а так как Я— векторное пространство, то
и можно, следовательно, предположить, что \и(х) | ^ 1 для
любого х^Е. Но, по теореме Вейерштрасса, для любого е > О
найдется такой многочлен
p(t) = a0t2+ ... +a2kf\
что \p(t) — |/| | < е для 0 < |/| ^ 1. Следовательно,
\р{и(х))—\и(х)\\<ъ
равномерно по х.
Лемма 3. Пусть Я — такое векторное подпространство про-
странства ^(£, R), что фЕЯ и y^H^qy^H. Если для
любого е>0 и любых х, у^Е некоторый элемент f е^(£, R)
может быть приближен с точностью до г в точках х, у
элементом феЯ, то для любого е > 0 функция f может быть
равномерно приближена элементом из Я.
В самом деле, пусть Г — множество равномерных пределов
элементов из Я. Так как Я с: Г, то согласно лемме 1 достаточно
показать, что аеГ=ф|а|еГ; а поскольку тогда для любого
е > 0 существует такое иеГ, что ||f — и\\ < е/2, и такое фЕЯ,
что \\и — ф|| < е/2, то отсюда следует, что \\f — ф|| < е.
Но существует такой многочлен от и, что
|Р(и)-|и||<е.
Стало быть, достаточно убедиться в том, что меГФ^еГ;
это получается простым переходом к пределу из условия феЯ,
7ЕЯ4ф7^^
Теперь мы выведем из этих лемм теорему о приближении
в той форме, которую часто называют теоремой Вейерштрасса.—
Стоуна.
Прежде всего заметим, что лемма 3 может также
рассматриваться как обобщенная теорема Вейерштрасса. Но она имеет
следующее неудобство: чтобы узнать, является ли непрерывная
числовая функция f на компакте Е равномерным пределом
элементов ф из Я, необходимо убедиться в том, для / выполнено
условие простого приближения в произвольных двух точках
из Е. Очевидно, что, несмотря на существенность этого условия
(которое в интуитивном толковании означает, что простое
приближение в двух произвольных точках из Е влечет равномерное
приближение на £), важно получить формулировку, в которой
условия относились бы только к семейству Я или к
аналогичному семейству.
316 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть Я —множество функций, образующих подмножество
пространства W(EyR) и пусть 1) Я есть векторное
пространство; 2) фЕЯи^еЯ^фуЕЯ.
Как мы уже видели (лемма Г), достаточно предположить,
что для любых различных ху у из Е и любых двух
действительных чисел а, Ь найдется такая функция ср ^ Я, что ф(х) = а,
ф(#) =6.
Но само это условие может быть заменено другим условием
при помощи очень простого приема (и условием к тому же
эквивалентным, если предположить, что Я содержит постоянные
функции на Е).
Пусть Хо, уо — две различные точки из Е и пусть для
некоторого элемента феЯ
Ф (*о) Ф Ф (Уо)-
Пусть, далее, \|э — непрерывная функция на Е вида
где а и Ь— действительные числа. Очевидно, ty(x0) = а, г|)(#о) =
= Ь. Тогда для утверждения о том, что \|э е Я, достаточно
предположить, что постоянные функции принадлежат Я. Поэтому
условие «для любых различных х, у из Е и любых
действительных а, 6 существует такое фЕЯ, что ф(х) = а, ф (#)=&»,
может быть заменено условием: «Я содержит постоянные функции
и для любых различных х и у из Е в Я существует такая
функция ф, что ф(я) Ф ф(#)»-
Итак, приходим к следующей формулировке.
Теорема Вейерштрасса — Стоуна. Пусть Е — ком-
пактное пространство, а Я — га/сов векторное подпространство
пространства ^(£,/?), «/го постоянные функции принадлежат Я,
что для любых двух различных точек х и у из Е существует
функция феЯ, удовлетворяющая условию <р(я) =£ Ф(#), и что
фЕЯа 7е^^ФУе^- Тогда Я всюду плотно в ^(Е, R).
Замечание. Возьмем вместо Я множество [/ таких
непрерывных функций на Е, что если х и у — две произвольные
различные точки, то существует функция u^U, для которой
и(х) ф и(у)у и пусть Я есть множество всех многочленов
относительно функций из U. Среди многочленов имеются постоянные
многочлены, и поэтому Я содержит постоянные функции. А так
как произведение двух многочленов есть многочлен, то феЯ
и у е Я =ф ф^ е Я.
Это замечание полезно в наиболее употребительных случаях,
примеры которых приводятся ниже.
Примеры. 1) Пусть Е — компактное множество в Rn;
точка х из Е есть * = (£ь ..., gn). И пусть Я —множество много-
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
317
членов относительно gb ..., gn. Если хфу = (ци ..., т]п), то
хотя бы одно из li отлично от r|; с тем же индексом, скажем,
1и ф r\h\ для многочлена р(х) = gft имеем р(х) Ф р(у).
2) Пусть W — множество непрерывных функций на R с
периодом 2я, Н — множество функций x-»eikx, k^Z (или cosnx,
sin пх, n^N, что сводится к тому же).
Произведение двух функций из Н есть функция из Я, и, как
легко видеть, и второе условие выполняется.
В этом случае всякая непрерывная функция с периодом 2я
является равномерным пределом тригонометрических
полиномов, т. е. выражений вида
Р(х)= 2 Cke'b\
или, что сводится к тому же,
п
2 {dk cos kx + bk cos kx).
РАЗДЕЛ 4
ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Полунепрерывные функции, введенные в начале века Бэром,
играют важную роль в вопросах, связанных с простым пределом
(например, функции, являющиеся простым пределом
монотонных последовательностей непрерывных функций).
Эти функции обладают рядом свойств, принадлежащих
непрерывным функциям, и выступают по отношению к ним как их
естественное обобщение; эти функции, вообще говоря,
принимают значения в R.
§ 1. Определение и общие свойства
1. Определение. Рассмотрим сначала функцию f со
значениями в R, определенную на топологическом пространстве Е.
Если / непрерывна в точке х0у то это означает, что для любого
неравенствами), найдется такое X, что
х Gl^fW — е < f (х) <f(x0) + е;
это равносильно утверждению, что для любых конечных чисел а
и 6, удовлетворяющих условию a<.f(x0)<,b (со строгими
неравенствами), найдется такое X, что
х е= X ==> а < / (х)< Ь.
318 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Если воспользоваться только одним из этих неравенств, то
будет определена полунепрерывность. Например, будем
говорить, что / полунепрерывна снизу в точке х0, если для любого
a<cf(x0) найдется такая окрестность X точки х0у что ^еХФ
=$a<f(x).
Однако важно, чтобы определение распространялось на
случай, когда f(x0) обращается в + оо или — оо. Если речь идет
о полунепрерывности снизу и если f(x0)= +00, то определение
дается без труда; будем снова говорить, что функция /
полунепрерывна снизу в точке х0, где /(д:0) = + оо, если для
любого а<+оо (а значит, и для любого конечного
действительного а) найдется такая окрестность X точки х0у что
хе=Х=фа </(*).
Таким образом, когда f(x0) конечно или равно Ч-°°> т. е. когда
—оо </(xo), где значение /(д:0) есть точка из R, условие
записывается в виде
f(X)c]a9 + oo]9 или ХсГ1(]а9+оо]);
это равносильно утверждению, что для любого a<.f(x0)
множество /-1Са> +°о]) есть окрестность точки х0.
Трудности, напротив, возникают при попытке дать
определение полунепрерывности снизу (соответственно сверху) в точке
Хо9 где /(л:0) = —оо (соответственно + оо).
Мы примем следующее соглашение (которое будет
оправдано последующими результатами):
Всякая функция со значениями в Ry определенная на
топологическом пространстве £, полунепрерывна снизу
(соответственно сверху) в каждой точке из Е, где она принимает
значение —оо (соответственно +оо).
Определения. Пусть f — функция со значениями в Ry
определенная на топологическом пространстве Е. Будем говорить, что
f полунепрерывна снизу в точке х0, если для любого конечного
действительного числа а <С /(д:0) существует такая окрестность X
точки х0у что х е X =ф а < / (х).
Будем говорить, что f полунепрерывна снизу на Е (или в Е),
если она полунепрерывна снизу в каждой точке из Е.
Будем говорить, что f полунепрерывна сверху в точке х0,
если для любого конечного действительного числа a>f(x0)
существует такая окрестность X точки х0у что x^X=^f(x) < а.
Эквивалентные определения. 1) Говорят, что f
полунепрерывна снизу в точке х0 <= £, если для любого а < /(л;0)
множество f(]a, +00]) есть окрестность точки х0.
2) Говорят, что f полунепрерывна сверху, если (—f)
полунепрерывна снизу»
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ
319
Примеры. 1) Всякая непрерывная числовая функция
полунепрерывна снизу и полунепрерывна сверху.
2) Пусть / — функция со значениями в R, определенная на £,
и пусть для точки х0 существует такая окрестность X, что для
любого х^Х справедливо неравенство f(xo) ^f(x)
(соответственно f(x) s^/(*o)); тогда в этой точке функция /
полунепрерывна снизу (соответственно сверху). В самом деле, если а<
<f(*o), то
Хс=Гх{]а9 + оо]).
Такие точки, как х0, являются теми точками, в которых / имеет
относительный минимум (соответственно максимум).
3) Пусть Е = R и пусть f(x) = 1/\х\ при х ф О, /(0) = +оо.
Для любого действительного а существует такая окрестность X
точки 0, что в этой окрестности a<f(x). Значит, /
полунепрерывна снизу в точке 0. Если задать функции / произвольное
значение в точке 0, то она останется полунепрерывной снизу.
Напротив, функция /, определенная как f(x) = l/х для хфЬ,
будет полунепрерывной снизу в точке 0 лишь в том случае, если
f(0)=-oo.
4) Пусть Е = R и пусть / есть функция Дирихле, равная 0
при рациональных х и 1 в остальных точках; эта функция
полунепрерывна снизу в каждой точке из Q и полунепрерывна сверху
в каждой точке х ф. Q.
Замечание. Очевидно, что если / полунепрерывна на
пространстве Е, то ее сужение на подпространство тоже
полунепрерывно.
2. Общие свойства. Мы остановимся только на функциях,
полунепрерывных снизу в топологическом пространстве Е (т. е.
в каждой точке из Е)\ в § 2 будут изучены свойства этих
функций для того случая, когда Е есть топологическое пространство
специального вида (локально компактное или полное
метрическое) .
Свойство 1. Если fug — полунепрерывные снизу функции
на топологическом пространстве Е, то функция f + g
полунепрерывна снизу в каждой точке, в которой она определена;
функция af полунепрерывна снизу при а^Ом полунепрерывна
сверху при а ^ 0; если f ^ 0 и g ^ 0, то функция fg
полунепрерывна снизу в каждой точке, где она определена; если f ^ 0,
то функция l/f полунепрерывна сверху.
Доказательство этого свойства не вызывает затруднений.
Свойство 2. Для того чтобы функция f со значениями в R,
определенная на пространстве Еу была полунепрерывна снизу,
необходимо и достаточно, чтобы для любого а е R множество
f~l (\а> +°°]) было открыто в Е или чтобы множество f~l ([— оо, а])
было замкнуто в Е.
320 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть / предполагается полунепрерывной снизу на £ и
пусть а — произвольное действительное число; множество
еа = Г1(]а> +«>])
есть множество тех х е £, в которых f(x) > а.
Пусть х е еа\ утверждение, что f полунепрерывна снизу в
точке лг0, означает, что еа является окрестностью точки я0, но
если / полунепрерывна снизу на Е, то она полунепрерывна снизу
для любого Xq е еа, и стало быть, еа служит окрестностью для
каждой из своих точек, т. е. открыто.
Обратно, предположим, что для функции f множество еа
открыто при любом а их0е£; тогда либо f(*o) = — оо, и f
полунепрерывна по определению, либо f(x0) > — оо, и значит, х0
принадлежит всем тем еа, для которых а < /(#о); следовательно,
каково бы ни было а < /(#о)> £а является окрестностью точки х0\
стало быть, f полунепрерывна снизу.
Условие, что множество
Г'(К + ~])
открыто при любом а, может быть заменено условием, что
Г' ([_оо, а))
замкнуто при любом а, ибо эти два подмножества из Е взаимно
дополнительны.
Следствия. 1) Множество точек х из Е, в которых f(x) =
= — оо, замкнуто, если / полунепрерывна снизу. В самом деле,
это множество £_«> служит дополнением к объединению
множеств еа, которые открыты.
2) Пусть А — открытое множество в Е и qu — его
характеристическая функция, т. е. функция, определенная как qu(#) ==
= 0, если х^Л, и фл(х) = 1, если xgA Тогда qu является
полунепрерывной снизу функцией. В самом деле, для этой
функции множество еа совпадает с Еу если а < 0, совпадает с Л,
если 0 ^ а < 1, и пусто, если 1 ^ а, а стало быть, открыто
при любом а.
Обратно, если для данного подмножества А из Е
функция фА полунепрерывна снизу, то А открыто в Е.
Точно так же, для того чтобы А было замкнуто, необходимо и
достаточно, чтобы функция qu была полунепрерывна сверху.
Итак, можем сформулировать результат.
Для того чтобы подмножество А пространства Е было
открыто (соответственно замкнуто), необходимо и достаточно,
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 321
чтобы его характеристическая функция была полунепрерывна
снизу (соответственно сверху).
Свойство 3. Для того чтобы функция f была
полунепрерывна снизу в точке Хо, необходимо и достаточно, чтобы
f(x0) = limf(x).
х-*х0
Напомним (ср. гл. VI, раздел 4, § 1, п. 3), что
lim f(x)
х->х0
есть
sup (inf/(*)),
X
где X пробегает фильтр окрестностей точки Xq.
Предположим, что / полунепрерывна снизу в точке х0. Тогда
для любого a<cf(x0) найдется такая окрестность X точки хо,
что а < f(x) для любого х е Ху и значит,
а < inf f(X)< sup (inf/(*)).
Следовательно, для любого а < /(хо)-имеем
a<Hm/(Z),
откуда выводим
f(x0)<:limf(x).
А так как всегда
lim/QcX/Uo),
X-*Xq
TO
f(x0)=hmf(x).
Обратно, если
/ (х0) = sup (inf / (X)),
X
где X пробегает окрестности точки хо> то в силу определения
верхней грани для любого a<.f(x0) найдется такой элемент
'mlf(X) (а значит, и окрестность X), что
a<inf/(*X/(*0),
т. е. a<Zf(X)\ следовательно, f полунепрерывна снизу в
точке Хо.
Замечание. Это характеристическое свойство часто
служит определением полунепрерывности: говорят, что f
полунепрерывна снизу в точке х0 (соответственно полунепрерывна
322 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
сверху), если
f {х0) = lim f (х) (f (х0) = lim f (*)).
В этом случае оно согласуется с определением
непрерывности, которому можно придать следующую форму: f непрерывна
в точке хо, если f(x) стремится к f(x0)y когда х стремится к х0
(по фильтру окрестностей точки х0).
Следствие. Пусть f — функция со значениями в R,
определенная на топологическом пространстве Е. Функция
*-»lim f(y)
у->х
полунепрерывна снизу, а функция
x->\\mf{y)
у-+х
полунепрерывна сверху.
Пусть
<p(x) = lhnf(y).
у->х
Для любого х обозначим через Хх произвольную открытую
окрестность точки х\ имеем
Ф (*) = sup (inf/(**)).
Хх
Пусть Хо — произвольная точка и а<ф(д:0). Так как ф(л:о)
есть верхняя грань значений inif(XXo)f то существует такой
элемент f(XXo), а значит, и ХХо, который мы обозначаем Х0, что
а < inif(X0). Пусть х ^ Х0; рассмотрим все ХХу содержащиеся
в Хо\ для этих Хх имеем
mif(X0)^mff(Xx);
следовательно,
a<inf/(Z0)<inf/(^).
Поэтому для всех Хх с= Х0 имеем
a<inf/(Z0)< sup (inf/(*,)),
и, тем более, для всех открытых окрестностей Хх точки jcgZ0
имеем
а< sup (inf/(ZJ)<sup(inf/(^)) = ф(л:).
хх <= х0 хх
Таким образом, для любого х ^ Х0 имеем а<ф(х). Стало быть,
функция ф полунепрерывна снизу.
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
323
Точно так же функция
х -> lim / (х) — inf (sup f (X))
у->х X
полунепрерывна сверху.
Приложение. Пусть f — конечная функция с
действительными значениями и со (л:) — ее колебание в точке х:
(о (л;) = lim f (у) — lim f(y).
У-+Х f^
Функция x—>со(л;) со значениями в R определена для любого х.
В самом деле, это выражение не определено, когда оно
имеет вид оо — оо, для чего требуется, чтобы
timf(y)=± оо, \imf(y)=± оо;
у-
у-
а так как значения функции f заключены между lim и lim, то
в этом случае f{x) = ±00. Но функция Пгп полунепрерывна
снизу, значит, функция —lim полунепрерывна сверху, так что
функция lim, а стало быть, и #-*со(л;) полунепрерывна сверху.
§ 2. Полунепрерывные функции на локально компактном
или полном метрическом пространстве
Полунепрерывная снизу (соответственно сверху) функция
на компактном пространстве обладает свойством непрерывных
функций относительно максимума (соответственно минимума).
В случае локально компактного или полного метрического
пространства полунепрерывная снизу функция обладает тем
свойством, что в любом непустом открытом множестве найдется
непустое открытое множество, на котором эта функция
мажорирована (т. е. ограничена сверху).
1. Полунепрерывные функции на компактном пространстве.
Теорема. Пусть функция f со значениями в R
полунепрерывна снизу на компактном пространстве Е\ найдется хотя бы
одна такая точка х0 е £, что
f(x0)= inf f(x).
хе=Е
Пусть f(E) —множество значений функции f; речь идет о
доказательстве того, что
inf/(£) (=inff(*))
324 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ {
есть значение функции f, т. е. существует такое Xq е Я, что
f(*o) = inf/(£).
Пусть inff(E)<f(x) для всех х^Е.
Пусть а — число, пробегающее множество f(E)9 ва —
множество точек х из £, в которых f(x) > а. По свойству 2 (§ 1)
множество еа открыто. Имеем Е = U ва- В самом деле, пусть xg£;
так как f(E) <f(x), то в силу определения нижней грани
найдется такое flef(£), что inff(£) <a<f(x), и значит, х^еа.
А так как открытые множества еа покрывают £, то и конечное
их число еа , ..., е0 покрывает £. Можно предположить,
например, что а\ < а2 < ... < аРу и тогда eai = £, поскольку а <
<С Ь=> еа^э еь. Значит, для любого х^Е имеем a\<.f(x)9 и
следовательно,
ах ^inff(x);
X
но а\ е/(£); поэтому
inff^Xa^inff^);
стало быть, fli = inf f (Е) является значением функции /.
Следствие. Если функция f полунепрерывна снизу на ком-
пактном пространстве Е и не принимает значения — оо, то f
минорирована в Е.
Действительно, пусть имеется inf/(£). Если бы мы имели
inf /(Е) = —оо, то по предыдущей теореме / принимала бы
значение — оо. Следовательно, условие, что / полунепрерывна снизу,
и условие f(x) > —оо для любого х влечет существование
такого конечного числа пг9 что f(x)^m для любого х.
Для функции /, полунепрерывной сверху на компактном
пространстве £, результат формулируется следующим образом:
/ достигает своей верхней грани по крайней мере в одной точке
из £, и если f(x) < + оо для любого х9 то / мажорирована
(равномерно).
Если функция / предполагается одновременно
полунепрерывной сверху и снизу, то она непрерывна, и все сводится к
теореме о числовых функциях, непрерывных на компакте.
2. Полунепрерывные функции на локально компактном или
полном метрическом пространстве.
Теорема. Пусть Е — локально компактное или полное
метрическое пространство ti f — конечная числовая функция,
полунепрерывная снизу на Е. Тогда любое непустое открытое
множество содержит непустое открытое подмножество, на
котором f мажорирована.
Мы видели, что в таком пространстве всякое счетное
объединение замкнутых множеств, не имеющих в Е внутренних точек,
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
325
не имеет внутренних точек в Е (гл. V, раздел 3, § 3, п. 3 и
гл. VII, раздел 1, § 5, п. 3).
С другой стороны (там же, замечание), в таком
пространстве каждое непустое открытое множество является
подпространством, обладающим тем же свойством. Достаточно доказать
утверждение теоремы, взяв в качестве открытого множества
все пространство Е.
Если Е представляет собой счетное объединение замкнутых
множеств Fn, то в силу того, что Е имеет внутренние точки, по
крайней мере одно из множеств Fn имеет внутреннюю точку. Но
множество Fn тех точек х из £, для которых f(x)-*Cn (n&N),
замкнуто, ибо f полунепрерывна снизу (§ 1, свойство 2)), и
Е = U Fп, поскольку f предполагается конечной, т. е. значения
f(x) конечны при любом х^Е (f(x) ^.п для достаточно
большого п). Таким образом, одно из множеств Fni скажем Fp, имеет
внутреннюю точку х0\ стало быть, существует открытое
множество О, содержащее х0 и содержащееся в Fv. В этом открытом
множестве О имеем f(х) ^ р для любого хеО.
Замечание. Теорема становится очевидной для
непрерывной функции. Простым (и тривиальным) может служить пример
/(*) = 1/*на]0,+оо[. .
§ 3. Оболочки полунепрерывных функций
Для полунепрерывных функций обычные алгебраические
операции (а именно, операции, связанные со структурой поля R)
должны проводиться с некоторыми предосторожностями; так,
если fug полунепрерывны снизу, то сумма f + g
полунепрерывна снизу в каждой точке х, в которой f(x) + g(x) имеет
смысл; если f полунепрерывна снизу, то —f будет, вообще
говоря, полунепрерывной сверху, а не снизу.
Напротив, операция взятия оболочек полунепрерывных
функций приводит к функциям того же пространства, когда число
рассматриваемых функций конечно; если же семейство
бесконечно и состоит из полунепрерывных снизу (соответственно
сверху) функций, то верхняя (соответственно нижняя) оболочка
полунепрерывна снизу (соответственно сверху).
И наконец, последний результат, который мы изложим,
подчеркивает связь между полунепрерывными и непрерывными
функциями в случае часто используемых пространств.
1. Оболочки конечного семейства. Пусть f, g —
полунепрерывные снизу функции на пространстве Е. Пусть ф = inf (/, g*),
\l) = sup(f, g) и x0 — некоторая точка из Е. Если а<.ср(х0)у то
а < fixo) и а < g{xo)y поскольку
<p(*o) = inf(f(*o)> £ (*<>))•
326 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Значит, существует такая окрестность X точки х0, что a<Cf(x)
и a<g(x) для любого х^Х, откуда следует, что а<<р(х)
для любого хе! То же самое верно для sup(/, g) и для
конечного семейства полунепрерывных снизу функций.
Результат остается справедливым, если все функции
полунепрерывны сверху.
Нулевая функция непрерывна; поэтому если f
полунепрерывна снизу, то /+ = sup(/, 0) полунепрерывна снизу, a f- =
= sup(—/, 0) полунепрерывна сверху.
Предложение. Верхняя (соответственно нижняя)
оболочка конечного семейства полунепрерывных снизу (соответственно
сверху) функций полунепрерывна снизу (соответственно сверху).
2. Оболочки произвольного семейства. Пусть /г — семейство
функций со значениями в Я, определенных на топологическом
пространстве Е, причем все функции семейства полунепрерывны
снизу (можно предположить, что они обладают этим свойством
в некоторой точке Хо из Е\ но это* обобщение не представляет
особого интереса для дальнейшего).
Пусть ф — верхняя оболочка функций /*, т. е. функция,
определяемая для любого х е£ как
Ф (х) = sup ft (х).
i
И пусть х0 — точка из Е. По определению верхней грани, для
любого
а < ф (*о) = SUP h (*о)
i
найдется такое fi(x0)y что а < fi(x0) ^ ф(*о). А поскольку
функция fi полунепрерывна снизу, то существует такая окрестность
X точки х0, что а < f%(x) при х ^ X; значит, тем более, для
любого xgI выполняется неравенство а>ф(х). Следовательно,
Ф полунепрерывна снизу. Отсюда получаем теорему.
Теорема 1. Верхняя (соответственно нижняя) оболочка
семейства полунепрерывных снизу (соответственно сверху)
функций на пространстве Е полунепрерывна снизу (соответственно
сверху).
Большой интерес представляют следствия и частные случаи
этой теоремы.
Следствие 1. Пусть (fn) --возрастающая
последовательность полунепрерывных снизу функций, a f — предельная
функция. Тогда f полунепрерывна снизу.
В самом деле, утверждение о том, что (/п) есть
возрастающая последовательность функций, означает, что для любого х
и любого п справедливо неравенство fn(x) ^ fn+\(х).
Возрастающая последовательность чисел fn(x) сходится в R и
lim fn (х) = sup fn (х).
rt->oo ti
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
327
Следствие 2. Верхняя оболочка семейства непрерывных
функций на пространстве Е ^полунепрерывна снизу. В частности,
функция со значениями в R, являющаяся пределом (в смысле
простой сходимости) возрастающей последовательности
непрерывных функций, полунепрерывна снизу:
Теорема 1 позволяет распространить на оболочки
полунепрерывных функций теорему из п. 2 предыдущего параграфа.
Получается следующий результат.
Теорема 2. Пусть Е — локально компактное или полное
метрическое пространство, (fi) — семейство полунепрерывных
снизу числовых функций на Е, верхняя оболочка которых
конечна. Тогда в любом непустом открытом множестве найдется
непустое открытое подмножество, на котором семейство U
равномерно мажорировано.
Действительно, если / = sup fi, то / полунепрерывна снизу
и конечна; значит, в любом открытом множестве содержится
такое открытое множество О, что / мажорирована (§ 2, п. 2,
теорема). То есть существует такое конечное число а, что для
любого JteO выполняется неравенство f(x)^Za, а стало быть,
и fi(x) ^f(x) ^ а для любых х е О и /, т. е. семейство fi
равномерно мажорировано на О.
Следствие. Пусть Е — локально компактное или полное
метрическое пространство, (fn)—возрастающая
последовательность непрерывных функций на Е. Если для любого х
lim fn(x)< + оо,
Я-»оо
то в каждом открытом множестве существует открытое
подмножество, на котором (fn) равномерно мажорирована.
§ 4. Полунепрерывные функции — оболочки непрерывных
функций. Теорема Урысона
Изложенные выше результаты позволяют думать, что и в
случаях достаточно общих полунепрерывная функция является
оболочкой непрерывных функций. В действительности существует
общий результат, согласно которому для некоторых классов
топологических пространств всякая полунепрерывная снизу
функция есть верхняя оболочка непрерывных функций. Мы
ограничимся достаточно частными, но весьма важными практически
случаями: именно, случаями, когда Е есть метрическое или
компактное пространство. При этом, когда Е — метрическое
пространство, полунепрерывная снизу функция является даже
пределом возрастающей последовательности непрерывных
функций. Вначале мы изложим идею доказательства на весьма
элементарном случае.
328 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим полунепрерывную снизу функцию / на
пространстве Е. Предположим, что каждому х е Е поставлена в
соответствие непрерывная функция, меньшая, чем f и принимающая
в точке х значение f(x) (f предполагается конечной). Эта
функция может быть обозначена через fx, где х играет роль
параметра во введенных ранее обозначениях. Имеем, следовательно,
fx(y) ^f(y) Для любого у<=Е,и fx(x) =f(x)\ ясно, что
SUffx = f.
х
Если мы хотим доказать, что всякая полунепрерывная снизу
(соответственно сверху) функция является верхней
(соответственно нижней) оболочкой непрерывных функций, то можно по*
пытаться доказать это сначала для характеристических функций
открытых или замкнутых множеств на /?, и в частности, для
характеристической функции открытого множества,
являющегося конечным интервалом ]а, Ь[, т. е. для такой-функции ф,
что ф(я) =0, если хф]ауЬ[, и <р(я) = 1, если *е]а, Ь[, а также
для характеристической функции интервала [а, Ь].
1-й случай. Пусть fn — действительная функция
действительного переменного х, определяемая следующим образом:
fn(x)=ly если а + 1/п^.х^Ь—1/п,
fn(x) = n(x — а), если а^.х^а+1/п,
fn(x) = — n(x — b), если b—1/n^.x^b,
fn(x) = 0, если хф]ауЬ[.
Очевидно, что для полунепрерывной снизу
характеристической функции ф интервала ]а, Ь[ имеем
J 1 п
2-й случай. Если взять в качестве fn функцию такого
вида:
fn (х) = 1 у если а ^ х ^ Ьу
fn(x) = 1 + п(х — а), если а—1/п^.х^а,
fn(x)= 1 —-п(х— Ь), если fc<x<fc+l/tt,
fn(x) = 09 если х^а — 1/п или х^Ь+ \/пу
то для полунепрерывной сверху характеристической функции ф
интервала [а, Ь] (компактного) имеем
J п
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
329
Следует отметить, что в первом случае ср не только верхняя
оболочка непрерывных функций, но и предел возрастающей
последовательности, а во втором случае — не только нижняя
оболочка, но и предел убывающей последовательности. Это
свойство остается верным для любой полунепрерывной функции на
метрическом пространстве.
Другим важным фактом в приведенных двух конструкциях
является возможность нахождения для произвольных замкнутых
множеств А и В из Е (здесь, например, А—[а-\- 1/п, Ъ— 1//г],
В = ] —оо, a] U [bf +00 [) непрерывной функции, принимающей
значения из [0, 1], обращающейся в нуль на Л и равной 1 на В.
Примечательно, что это свойство служит характеристическим
свойством нормальных пространств, частным случаем которых
являются компактные и полные метрические пространства. Это
свойство составляет содержание теоремы Урысона и позволяет
показать, что на компактном пространстве всякая
полунепрерывная функция есть оболочка непрерывных функций (свойство,
которое может быть доказано и в случаях более общих, куда
входят метрические не обязательно полные пространства, но не
входят локально компактные пространства).
Переходим к изложению этих результатов.
1. Полунепрерывные функции на метрическом пространстве.
Во втором разделе мы показали, что если f непрерывна и
ограничена на топологическом пространстве £, то линейные
комбинации характеристических функций открытых множеств
f~l(\a> -\-°°[) позволяют равномерно приблизить f. Нами было
сделано замечание, что единственное условие, состоящее в том,
что множество f_1 Qa>+°°]) открыто, включает возможность
применения этого результата к полунепрерывной функции, и
при этом функция, приближающая f с точностью до е, была
выбрана не превосходящей f.
Следовательно, если f есть полунепрерывная снизу
ограниченная функция на £, то она является равномерным пределом
ступенчатых функций gv, при этом gn ^f для любого п, и gn
является конечной линейной комбинацией характеристических
функций открытых множеств. Таким образом, имеем
f = sup gn.
п
Предположим доказанным тот факт, что для любой
характеристической функции ф открытого множества из Е
существует счетное семейство таких непрерывных функций (ffe), что
Ф = sup fh\ тогда это будет верно и для gn, и будет выполняться
равенство
330 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
где fn.k непрерывны. Рассмотрим теперь счетное семейство fit/
и возьмем
Fn= sup fitj;
эта функция непрерывна как оболочка конечного числа
непрерывных функций. Последовательность Fn возрастает. В силу
свойств операции sup имеем
gt = sup fit;, f = sup gi = sup fit j = sup Fn.
i i, j
Остается, следовательно, доказать, что если А открыто в
метрическом пространстве £, где расстояние обозначено через d,
то фА является верхней оболочкой счетного семейства
непрерывных функций.
Но, обратившись к 1-му случаю, изложенному в начале этого
параграфа, мы видим, что конструкция, принятая для функций
fn, верхней оболочкой которых служит функция ф]а Ь[9 годится
и для случая метрического пространства с учетом некоторой
специфики в записи. Пусть fn есть функция, определяемая
следующим образом:
fn(x) = 1, если х^А и если расстояние от х до Е — А будет
fn (х) = 0, если х е Е — А;
fn(x) =nd(x, Е — А), если х^А и если расстояние от х
до Е — А будет ^ \/п.
Эта функция fn может быть также записана в виде
fn (х) = п *nf (d (х, Е — Л), 1/п).
А так как постоянная функция я-* \/п непрерывна и так как
непрерывна функция x-*d(x, Е — А) (гл. VII, раздел 1, § 7, п. 1,
пример 2), то fn также непрерывна.
Из этого же определения функции fn получаем, что
ФЛ = sup fn.
п
Отсюда вытекает следующий результат.
Теорема. Для любой числовой функции, полунепрерывной
снизу и ограниченной на метрическом пространстве Е,
существует возрастающая последовательность непрерывных функций,
для которых f служит верхней оболочкой.
2. Теорема Урысона. Напомним, что нормальное
пространство есть топологическое пространство, в котором два
непересекающихся замкнутых множества Л и Л7 могут быть отделены
двумя непересекающимися открытыми множествами О и О'.
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ
331
Теорема Урысона. Для того чтобы пространство Е было
нормальным, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух
непересекающихся замкнутых множеств А и А' существовала
непрерывная числовая функция на Е, принимающая свои
значения в интервале [О, 1], равная 0 на А и I на А'.
1) Достаточность. Пусть пространство Е обладает тем
свойством, что если А и А' — два непересекающихся замкнутых
множества, то найдется числовая функция f, непрерывная на Е,
принимающая свои значения в [0, 1] и такая, что f{x) = О на Л,
f(x)= 1 на А'. Возьмем число 0 < а < 1. В силу непрерывности
функции f множества О = f~l (]—оо,а[) и О7 =/_1(]а,+°°[)
открыты в Е и не пересекаются; так как 0 < а, то A cz О, а так
как а < 1, то A' cz О7.
2) Необходимость. Для доказательства необходимости
рассмотрим два замкнутых множества Л и Л7 нормального
пространства и построим семейство Ot открытых множеств,
снабженных такими действительными индексами t е [0, 1], что
t<t'=$Otczdtcz Ov, А с О0, О, = С Л7,
и тогда искомой функцией будет функция, принимающая при
хеЛ7 значение 1, а для любого другого х е Е равная нижней
грани тех t, для которых х^ Ot.
Построение этого семейства Ot начнем с построения
семейства, имеющего индексами двоичные дроби .(a = k/2n, k =
= 0, 1,..., 2n), а затем определим
Ot= (J °а
(двоичные дроби могут быть, очевидно, заменены счетным
плотным множеством из [0, 1]).
а) Прежде всего заметим, что если в топологическом
пространстве два открытых множества О и О7 не пересекаются, то
О и О7, с одной_стороны, и О7 и О с другой, не пересекаются (но
не множества О и О7). В самом деле, если бы О П О7 Ф 0, то
нашлась бы точка х, принадлежащая О и О7; поэтому х есть
точка прикосновения множества О, любая открытая окрестность
X, содержащая ху пересекает О, и в частности, О7 пересекает О.
б) Заметим, далее, что если Е — нормальное пространство,
то для любого замкнутого множества А и любого открытого
множества О, содержащего А, существует открытое множество О7,
содержащее А, содержащееся в О и такое, что 07cz О, или,
иными словами, А а О7 cz О7 cz О (ср. гл. V, раздел 3, § 3, п. 2,
теорема 2), или, еще: любая открытая окрестность замкнутого
множества содержит замкнутую окрестность.
Действительно, пусть Л — замкнутое множество, О —
открытое множество, и Л с: О. Тогда Л7 = СО замкнуто и Л П Л7 = 0.
332 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Но Е нормально, и поэтому существуют открытое множество
О'zd А> открытое множество 0{ =э Л', и при этом Ol(]0/ = 0.
Таким образом, А а О' cz COi а О, и COf замкнуто; отсюда
Л с= О7 с: О7 с: О.
в) Пусть теперь в нормальном пространстве Е имеются два
непересекающихся замкнутых множества А и А'. Так как
А П А' = 0, то открытое множество С Л7 содержит Л, и значит,
существует такое открытое множество О, что A cz О cz О с С Л'.
Обозначим О через О0, а С Л7 —через 0\. Имеем стало быть:
ЛcOoC:бoc:01 = CЛ,.
Поскольку множество О0 замкнуто, а открытое множество 0\
его содержит, то найдется такое открытое множество, которое
мы обозначим Ощ> что
Л с: Оо с: О0 с: Oi/2 с: Oi/2 cr Oi = С Л7.
Повторим операцию, с одной стороны, для О0 и Oj/2, а с
другой стороны, для (51/2 и Oi. Получим два открытых множества,
которые обозначим через 0]/4и Оз/4. Для них будут выполняться
соотношения
Л с= Оо с= Оо с: Oi/4 с Oi/4 с= Oi/2 с: бщ с: 03/4 с= 03/4 с: Oi = С Л'.
Так последовательно строим семейство открытых множеств,
наделенных в качестве индексов двоичными дробями и
обладающих тем свойством, что Оа с: Оа' для любых а < а7.
г) Построим теперь для любого действительного t е [0, 1]
открытое множество Ои являющееся объединением тех открытых
множеств Оа, для которых а ^ t:
о.-U °«-
Пусть имеются два действительных числа t < t'. Найдутся такие
двоичные дроби а, а7, что t ^ а < а7 ^ /7, и тогда
О* С Оа СГ Оа СГ Оа' С О*'.
Но 0,сгОа, и значит, O^czOr.
Следовательно, соотношение
a<a7=>Oat=Oa',
справедливое для двоичных дробей, верно и для действительных
чисел из интервала [О, 1] и для семейства открытых множеств Ои
д) Пусть / — числовая функция на £, определенная
следующим образом:
если х е Л7, то / (я) = 1;
4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
333
если хфА\ то значение f{x) равно нижней грани тех чисел
t, для которых Ot содержит х.
Так как 0^/^1, то 0 ^ f (х) ^ 1 при любом х е Е. А
поскольку А с О0, то f(x) = 0 на Л и, по определению, /(*)= 1
на Л7.
Остается доказать, что f непрерывна. Пусть х0 — некоторая
точка из Е\ покажем, что для любого е > 0 существует такая
окрестность точки Хо, что если х лежит в этой окрестности, то
\f(x) — f (хо) I < е, или, иначе,
f(*o)-e<f(*)<f(*o) + e.
Но f(x) есть нижняя грань тех t9 для которых x^Ot. В любой
точке xGOfw+E функция f принимает значение ^f{x0) + e
(если f(*o) + e>l, то берем 0^*в)+е = £). В любой точке
хфОцх^-г функция f_ принимает значение ^f(*o) — е; это тем
более так, если л: $£ Of (*в)-е; но поскольку
fU0)-e
(последнее множество открыто), то окончательно для хе
eCOfW-8 имеем f (х) ^ f (*0) — е (если f(*0) — е < 0, то берем
Of(*,)-e=0).
Следовательно, для
Хе Of (^) + 8 П 00 f (Xq)-E
имеем
f(*o)-e<f(*)<f(*o) + e.
Наконец, ясно, что х0 принадлежит открытым множествам
Of(xQ)+e и COf(jc0)-8. Стало быть, мы нашли такое содержащее Хо
открытое множество V, что если х е V, то |f(*) —f(*o) |^ е.
Частные случаи. 1) Если А — замкнутное множество
в нормальном пространстве и О — содержащее его открытое
множество, то, рассмотрев замкнутое множество А'= С09
заключаем, что существует непрерывная функция со значениями в
[0, 1], равная 1 на Л и нулю вне О (или равная нулю на Л и 1
вне О).
2) Если пространство Е отделимо и нормально, то всякое
сводящееся к одной точке х подмножество замкнуто. Если V —
окрестность точки х, то найдется непрерывная функция /, равная
1 в точке л; и 0 вне V.
3. Полунепрерывные функции на нормальном пространстве.
В соответствии с исследованием, проведенным во втором
разделе, достаточно показать, что характеристические функции
открытых и замкнутых множеств являются оболочками
непрерывных числовых функций.
334 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть А — замкнутое или открытое множество в нормальном
пространстве Е. Если Л = Е, то qu непрерывна. Допустим,
следовательно, что Л Ф Е.
Если Л — непустое открытое множество, то СЛ замкнуто.
Найдется такое содержащее СЛ открытое множество О, что
С Л с: Ос О и F=COaA. Обозначим через fF непрерывную
числовую функцию, принимающую значения в [0, 1], равную 1
на F и 0 вне Л. Для семейства всех содержащихся в Л
замкнутых множеств F имеем
ФЛ = sup fp.
Fez А
Если Л замкнуто, то открытое Е содержит Л;_значит,
найдется такое открытое множество О, что Л с О с О. Множество
Л/=СО замкнуто; пусть f0 — непрерывная числовая функция,
принимающая значения в [0, 1], равная 0 на А' = СО и 1 на Л.
Каково бы ни было хфА, можно отделить х и Л
непересекающимися открытыми множествами, а значит, найти открытое
множество, содержащее Л и не содержащее х. Для семейства всех
открытых множеств О, содержащих Л, имеем
Фл= inf /о-
OzdA
Отсюда получаем результат.
Теорема. В нормальном пространстве характеристическая
функция открытого (соответственно замкнутого) множества
является верхней (соответственно нижней) оболочкой
непрерывных функций.
Частные случаи. 1) Теорема о том, что
полунепрерывные функции являются оболочками непрерывных функций,
применима, следовательно, к компактному пространству.
2) Легко видеть, что если предположить, что пространство Е
нормально и что любое замкнутое множество является
пересечением счетного числа открытых множеств (или любое
открытое— счетным объединением замкнутых), то для открытого
множества Л функция фл будет верхней оболочкой
последовательности непрерывных функций; т. е. это тот же результат, что и для
метрического пространства (кроме утверждения о возрастании
последовательности).
ГЛАВА IX
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
В главе VII были представлены различные типы векторных
пространств, наделенных топологией; эта топология
определялась при помощи расстояния или полурасстояния. В настоящей
главе будут изложены некоторые свойства этих пространств, и
в частности, свойства линейных отображений одного
метрического или нормированного векторного пространства в другое.
Свойства, о которых будет идти речь, в большинстве своем
были открыты С. Банахом; наиболее важные теоремы носят его
имя, в соединении, иногда, с именами Хана или Штейнгауза.
Однако в построении всей теории принимали участие многие
математики, и в частности, Ф. Рисе.
Как сами результаты, так и их многочисленные приложения
к различным областям (изучение некоторых основных
функциональных пространств, линейные уравнения, уравнения с
частными производными, интегральные уравнения и т. д.) были
собраны воедино Банахом в его работе «Теория линейных
операторов» (Theorie des Operations lineaires), опубликованной
в 1932 г.
РАЗДЕЛ 1
ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Основное свойство полных метрических векторных
пространств заключено в теореме Банаха: если Е и F — полные
действительные метрические пространства и f—непрерывное
линейное отображение Е на F, то образ окрестности о в Е при
отображении f есть окрестность О в F\ отсюда вытекает тот
замечательный факт, что если отображение f непрерывно и
взаимно однозначно, то оно взаимно непрерывно, или, иными
словами, отображение [ является изоморфизмом Е на F и для
алгебраических структур, и для топологических.
Теоремы Банаха.
Теорема 1. Пусть Я, F — полные метрические
действительные векторные пространства и f — непрерывное линейное
отображение Е на F. Образом в F при отображении f любой
окрестности элемента о е Я является окрестность элемента О е /\
336 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Речь идет о том, чтобы показать, что любой открытый шар,
центром которого служит нейтральный элемент в Еу имеет своим
образом при отображении f множество в F, содержащее
открытый шар, центром которого служит нейтральный элемент в F.
Для доказательства этой теоремы мы примем следующие
обозначения: элементы из Е будем обозначать через ху нейтральный
элемент через о, открытый шар с центром х — через Ь(ху /*), где
г > 0; элементы из F будем обозначать через у или через f(x)y
нейтральный элемент через О, открытый шар с центром у—
через В(уур)у где р > 0.
Напомним некоторые определения и простейшие свойства
метрического векторного пространства.
Расстояние d инвариантно относительно переноса, т. е.
d(x, y) = d(x + zyy + z)
для любых х9 у> г. В частности,
d (х, о) = d (х — х, ■— х) = d (о, — х) = d (— х, о);
стало быть, если b(oyr) есть шар с центром о и радиусом г и
если ^е6(о,г), то —х<=Ь(оуг). Множество точек х + а, где
х^Ь(оуг), есть шар b(ayr)y ибо
d (х, o) = d(x+ а, а)*
Если А и Аг — подмножества метрического векторного
пространства и если точки ху х' лежат соответственно внутри А и А'у
то точка х-\-х' лежит внутри множества Л + А' (множества
точек х + х', где х<=Ау х'еЛ'); стало быть, если А содержит
открытый шар Ь(хо, г)у а А' — открытый шар Ь(хо, /*'), то Л+Л'
содержит открытый шар с центром хо + ХоУ кроме того,
d(x-\- х'у Хо + xq) = d (х — Хо, х'о — х') < d (х — х0, о) +
+ d (xf — xb, o) = d (x, xQ) + d (x\ Xq),
и, следовательно, неравенства
d (xy xQ) < r, d (x'y xb) < r'
влекут
d(x + x\ Xo + xb)<r + r'.
Хотя расстояние, вообще говоря, не инвариантно
относительно гомотетии с центром о, но если Л открыто (соответственно
замкнуто), то множество аА точек вида ах, где х пробегает Л
при данном аб/?, открыто (соответственно замкнуто) при
1. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
337
а ф 0; это свойство проистекает из того, что х—*ах есть
гомеоморфизм пространства на себя. В частности, если х0 —
внутренняя точка множества А, то — Хо есть внутренняя точка
множества —А.
Прежде всего мы докажем, что для любого открытого шара
b(oyr) в Е замыкание его образа в F есть окрестность элемента
О, т. е. содержит шар В (О, р), где г Ф 0 и р Ф 0.
Пусть nb(oyr/2)—множество точек х' ^Е вида х' = пх, где
х^Ь(о,г 12) и n^N. Так как f(пх) = nf(х), то
f(nb (о, rl2)) = nf(b(o, г72)).
Пусть х" — произвольная точка из Е\ поскольку
lim — x" = o (т. е. lim d(x"/nt о) = 0),
rt-»oo tt->oo
то для достаточно больших п имеем
х"/п = л; <= 6 (о, г/2);
значит,
х"е=я6(о, г/2);
следовательно,
Ea\Jnb(oy г/2)\
п
а так ках, очевидно,
\Jnb(o, r/2)czE,
п
ТО
E = \Jnb(o, г/2).
п
В силу того, что f является отображением Е на F,
F = \Jnf(b(o, г/2)).
Но F, будучи полным метрическим пространством, обладает
свойством Бэра (гл. VII, раздел 1, § 5). Следовательно, одно из
множеств nf(b(o,r/2)) имеет внутреннюю точку, а значит, и
замыкание f(b(oyr/2)) множества f(b(o,r/2)) имеет внутреннюю
точку уо.
Отображение f линейно, а шар b (о, г/2) симметричен
относительно о; поэтому
-f(b(o, r/2)) = f(-6(o, r/2)) = f(6(o, /72)),
откуда следует
-ПЬ(о, г/2)) = f(6(o, г/2)).
338 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Стало быть, если у0— внутренняя точка множества /(6(о, г/2)),
то — уо тоже будет внутренней точкой множества —f(b(о, г/2)),
но
~/(6(о, r/2)) = /(6 (о, г/2)),
и точка О = #0 + (— у0) будет внутренней для множества
/(6(о, r/2)) + /(6(0, г 12)),
Но множество
/(6(о, r/2))+ f(6(o, г/2))
содержится в замыкании множества
/(6(о, г 12)) + /(6 (о, г/2)),
которое в свою очередь содержится в замыкании множества
/(6(о, г)) (так как 6 (о, г/2) + 6 (о, г/2) с: 6 (о,/*) в силу
неравенства треугольника).
Итак, О есть внутренняя точка множества /(6(о,г)), или,
иными словами, замыкание образа шара 6 (о, г) содержит
открытый шар 6(0, р) пространства F.
При помощи переноса то же свойство получаем для
произвольной точки х: для любого г > О найдется такое р > 0, что
замыкание множества f(b(x9r)) содержит открытый шар
B(f(x),p) пространства F.
Пусть теперь х0 — произвольная точка из Е. Мы покажем
теперь, что открытый шар B(f(x0)9p) содержится в образе при
отображении / (а не только в замыкании этого образа)
открытого шара с центром х0, но с радиусом, превосходящим /*,
например, 3/*.
Иными словами, мы докажем, что любая точка y<=B(f(x0)9 р)
является образом f(x) некоторой точки х е 6 (х0, 3/*).
Пусть гj = /*/2* (/=1,2,...); для любого х^Е множество
!(Ь(х,г{)) содержит шар B(f(x)9pi)9 и, заменяя в случае
необходимости рг- на меньшие числа, можно предположить, что limp; =
= 0. Утверждение, что B(f(x),pi) содержится в замыкании
множества f(b(x9ri))9 означает, что для любого y^B(f(x),pi)
найдется такое х"^Ь(х,п)9 что f{x") лежит сколь угодно близко
от у'.
Пусть Хо — точка из Е, В (f(x0)9 р) — открытый шар,
содержащийся в замыкании множества /(6(д:0, /*)), и у — точка из
Я(/(*о),р).
Положим р = ро и рассмотрим радиусы рг-, соответствующие
Г i = Г/2К
Поскольку B(f(x0),p) содержится в замыкании множества
f(h(x0, /")), то найдется такое x\^b(xQ9r)9 что расстояние от
I. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 339
точки y\ = f(x\) до точки у ^B(f (xq), р) будет меньше рг,
следовательно
хх <= Ь (*0, г), f/j = f (xj) е= В (у, рх).
Но если yi <= В(ууpi), то и у&В(ух,рх), где z/i = f(*i).
Так как замыкание множества f(b(xur^)) содержит B(ybpi),
то найдется такая точка х2 е &(xi,/"i), что расстояние от точки
#2 = /(^2) до у^В(уи р!) меньше р2; стало быть, ^6 6(^,^),
y2 = f(X2)GB(y,p2), И y^S(y2,p2).
Последовательно строим последовательность точек xn е Еу
удовлетворяющих условиям
^ei(jfH, г^О, yn = f(xn)^B(y, р/г),
и значит, у(=В(уПурп).
Так как расстояние от *n-i до Хп меньше, чем rn_b то
расстояние от хр до xq, где р <С q, меньше, чем
я-\
гР + гр+1+ ... +гн = гЦ1/2/,
р
и значит, стремится к нулю. Таким образом, последовательность
(хп) есть последовательность Коши, и в силу полноты
пространства Е сходится к некоторой точке х е Е. Но поскольку
расстояние от хп до Хо меньше, чем
r + rx+r2+ ... +гм-г + гЦ1/21',
i
то расстояние от х до Хо будет ^ г + г < Зг.
Следовательно, предел х последовательности хп принадлежит
открытому шару Ь(х0, Зг). Но, с другой стороны, / есть
непрерывное линейное отображение Е на F; значит, f(xn) имеет своим
пределом f(x). А поскольку уп = f(xn)^ В(уу рп) и поскольку
lim рп = 0, то f(xn) имеет также своим пределом у, и стало быть,
y = f(x)-
Итак, для любого у <= B(f(xQ)9p) найдется х^Ь(х0,Зг), для
которого г/ служит образом; иными словами, каждое у е
eS(/(xo),p) является точкой /(х), где хе 6(xo,Зг).
Следовательно,
B(f(*o), р)с/(6(д%, Зг)).
Приведем следствия из этой теоремы.
Теорема 2. Если f — взаимно однозначное непрерывное
линейное отображение одного полного метрического
действительного векторного пространства Е в другое полное метрическое
действительное векторное пространство F, то f взаимно
непрерывно.
340 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Действительно, согласно теореме 1 всякая окрестность точки
х переводится отображением f в окрестность точки f(x).
Можно также утверждать, что если отображение f линейно,
взаимно однозначно и непрерывно, то f~l обладает теми же
свойствами, или, еще, что f осуществляет изоморфизм между
алгебраическими и топологическими структурами пространств Е и F.
Можно также, в более образном выражении, сказать, что
линейное взаимно однозначное непрерывное отображение f
отождествляет пространства Е и F.
Другим важным фактом является следующий. Пусть Е —
действительное векторное пространство; предположим, что Е может
быть наделено двумя расстояниями d и б, которые превращают
его в полное метрическое пространство. Тогда на Е определяются
две топологии; мы покажем, что если одна из топологий сильнее
другой, то они совпадают; иными словами, если, например,
любая сходящаяся в (Е, d) последовательность сходится к тому же
пределу в (Е, б), то верно и обратное.
В самом деле, достаточно, обозначив через F пространство
(£,6), рассмотреть линейное отображение / пространства (Е, d)
на (Е, б), имеющее вид f(x) = x, т.е. тождественное
отображение, которое взаимно однозначно и непрерывно, а стало быть,
в силу теоремы 2 и взаимно непрерывно. Отсюда получаем
следующую теорему.
Теорема 3. Если два расстояния определяют на одном
действительном векторном пространстве Е две топологии, относи-
тельно которых Е является полным метрическим векторным
пространством, и если одна из топологий сильнее другой, то они
совпадают.
Наконец, можно указать необходимое и достаточное условие
того, чтобы линейное отображение одного полного метрического
векторного пространства в другое было непрерывно. Это
составляет содержание следующей теоремы.
Теорема 4. Пусть Е, F — полные метрические
действительные векторные пространства и f — линейное отображение Е
в F. Для того чтобы f было непрерывно, необходимо и
достаточно, чтобы для любой сходящейся последовательности (хп) в Е,
для которой последовательность (f(xn)) сходится в F,
выполнялось равенство \imf(xn) = f(\imxn).
Необходимость очевидна.
Обратно, предположим, что отображение f линейно и что для
любой сходящейся в Е последовательности {хп), для которой
последовательность f(xn) сходится в F, справедливо равенство:
limf (хп) = f (\imxn). Обозначим через d расстояние на Е, а
через б — расстояние на F. Если х е Е, xf е Е, у = f(x)9 yr= /(*')>
то мы полагаем
D(x, *') = <*(*,*') +6 (*/,*/').
1. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
341
Тем самым определено расстояние на Е. В самом деле, если
х = х\ то f(x) = f(x'), и значит,
d(x, *') = М</> y') = 0 = D(x9 х').
Обратно, если D (*,*') = 0, то
d {х, х') = 6 (у, у') — О и d (х, xf) = О =Ф л: = л;'.
Ясно, что D симметрично, удовлетворяет неравенству
треугольника и превращает Е в метрическое векторное пространство.
Пусть теперь (хп) — последовательность Коши в (£, D).
Имеем
lim • D(*p, xq) = 0\
р-»оо, q->oo
следовательно,
lim d(xp, xq) = 0, lim б (yp, yq) = 0.
Так как (E9d) и (F, 6) — полные пространства, то в Я найдется
точка Хо, к которой сходится хп, а в F — точка у0, к которой схо~
дится уп = /(^п). Но, по условию, у0 = f{x0). Значит,
lim D {хп, х0) = 0.
Следовательно, {E,D) есть полное метрическое векторное
пространство, так же как и (£,d). Но D(x,xr) ^ d(x,х'), и поэтому
всякая сходящаяся в {EyD) последовательность сходится в
(E,d). Таким образом, по теореме 3 расстояния Dud
определяют одну и ту же топологию. Отсюда следует, что если
lim d(xn9 *о) = 0, то lim D(xn, х0) = 0,
а значит,
lim6(fU„), f(xQ)) = Q,
rt->oo
и стало быть, отображение f непрерывно.
Другая формулировка теоремы 4. Рассмотрим
топологическое пространство — произведение £ X F. Напомним,
что его топология как метрического пространства может быть
определена следующим образом. Для двух точек % = (х,у),
I' = (х\ уг) из Е X F полагаем
dl(l,l') = d(xix') + 6(yiy').
Обозначим через Г график отображения /, т.е. множество
таких точек £ = (х, у) из Е X F, что х <= Е, у = f(x)<= F.
Если отображение f непрерывно, то для любой
последовательности (хп)у сходящейся к х в £, последовательность /(*.,)
сходится к f(x) в F. Если точка 1 = {х,у) из £Х^ служит
342 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
пределом для точек |n = (хп, f(xn)) графика Г в £ХЛ т. е.
d\(in, I) стремится к 0, то хп стремится к л: и f(xn) стремится
к у, то, в силу непрерывности отображения / имеем y = f(x),
и стало быть, ^gT. Значит, график Г замкнут.
Обратно, предположим, что график Г замкнут. Тогда всякая
сходящаяся (в E\F) последовательность (|п) точек из Г
сходится к точке из Г. Рассмотрение всех сходящихся
последовательностей (In) точек графика Г сводится к рассмотрению всех
сходящихся последовательностей (хп) из Е, для которых
сходятся последовательности — образы f(xn).
Если график Г замкнут, то это означает, что для любой
последовательности (хп) из Е, для которой значения хп сходятся
в Е, а значения f(xn) сходятся в F, справедливо равенство
lim f(xn) = f(\imxn), из которого в силу теоремы 4 заключаем,
что отображение / непрерывно.
Отсюда получаем новую формулировку теоремы 4.
Теорема 4. Пусть Е, F — полные метрические
действительные векторные пространства и f — линейное отображение Е в F.
Для того чтобы f было непрерывно, необходимо и достаточно,
чтобы его график в Е X F был замкнут.
РАЗДЕЛ 2
ПОЛУНОРМИРОВАННЫЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Полунормированные пространства являются более
специальными, чем полуметрические пространства. Свойство полунормы
быть однородной относительно чисел поля влечет для любой
точки существование базы выпуклых окрестностей. Это еще один
случай топологии, определяемой семейством полунорм.
Здесь мы ограничимся случаем одной полунормы. Важную
роль играет теорема Хана — Банаха: речь идет о продолжении
на полунормированное векторное пространство линейной формы,
которая предполагается известной только на подпространстве.
Доказательство этой теоремы опирается тем или иным способом
на аксиому выбора. Мы не будем здесь касаться тех трудностей,
которые возникают по этому поводу, и будем предполагать, что
всякое множество может быть вполне упорядочено.
Приводимое нами доказательство принадлежит Банаху.
§ 1. Теорема Хана — Банаха
Теорема. Пусть Е — векторное пространство, v —
полунорма на Е, Е' — подпространство пространства Е и ф — линейная
форма, определенная на подпространстве Е' и такая, что
|<p(*)|^v(x) для любого х^Е'. Тогда существует линейная
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 343
форма f на £, совпадающая с ф на Е' и такая, что \f(x) | ^ v(x)
для любого х^Е.
Идея доказательства состоит в продолжении ф на векторное
пространство (подпространство пространства £), порожденное
подпространством Е' и некоторой точкой х0 е Е — £'. Если
допустить возможность полного упорядочения элементов из Е — Е\
то ф продолжается на все пространство Е.
Пусть Е/ — подпространство пространства Е (предполагаемое
отличным от £), Хо — точка из Е — Е\ и £о — пространство,
порожденное Е' и Хо. Точка //е£о записывается в виде у=х-{-ах0у
где хб£', a^R.
Если существует линейная форма фо на £6, совпадающая с ф
на £', то для нее должно выполняться равенство
Фо(0) = Фо(*) + афо(*о).
а так как фо (я) = ф {х) для любого х е £', то
ФоЫ = ф(*) + афоМ.
Следовательно, продолженная линейная форма фо
определяется выражением
Фо (У) = Ф (*) + а|о Для у = * + ахо,
где |о — заданное действительное число.
Любое выражение вида q>o(y) = ф(*) + ago определяет
линейную форму на Ео'у в самом деле, если у' = х' + a% е Я7, то
сумме у -\-уг соответствует
Ф [х + х') + (а + а') |о = Ф U) + ago + Ф (*') + «'go = фо (у) + Фо О/')»
и
Фо (Р#) = Ф (И + P«io = Рфо (У).
Кроме того, если взять а = 0, то у = х> и <ро(#) = ф(*);
значит, сужение фо на Е' совпадает с ф.
Остается выяснить, можно ли выбрать число go так, чтобы
для любого у^Е'0 было Фо(у)^ v(y).
Чтобы неравенство фо(у)^^(у) выполнялось для любого
у е Е'0, достаточно, чтобы
ф (х) + ago < v (х + ax0)
для любого ^б£и любого а е #; или, иначе:
ago < v (х + a*o) — Ф (*)•
При a = 0 последнее неравенство верно для любого xe£',
ибо это есть не что иное, как неравенство <p(#)^v(#), которое
верно по услозию.
344 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
При а > О оно в силу однородности v и ф записывается
в виде
io < ~ Ф (*/<*) + v{x0 + х/а).
При а < О оно точно так же записывается в виде
— ф {х/а) — v (— х0 — х/а) < |0.
Теперь достаточно доказать, что числа m, М, определяемые
условиями
т = sup (- ф (х) — v (— х0 — х)); inf (— q> (*) + v (*0 + *)) == M9
конечны, и выбрать m ^ £0 ^ M.
Но если я' и x" — произвольные точки из E\ то
y{x^-cp{x')^y{x"-x')^v{x"-x')^v{x" + Xo) + v(-XQ-x%
откуда
-ФМ — v(- *0 -*')<- Ф (*") + v(x" + *<>),
и это верно при любых х\ х" из Е'\ если попеременно
зафиксировать х' и я", то получим
sup^^-v^o —*'))< inf (- Ф(*") + v(*" + х0)).
X' е £' х" е Я'
§ 2. Непрерывные линейные отображения
1. Непрерывность. Рассмотрим два нормированных векторных
пространства над одним и тем же нормированным полем К.
Можно предположить, что К = R, но, как мы увидим, это предпо-
ложение не будет играть никакой роли.
Пусть Е и F — такие пространства и пусть / — линейное
отображение £ в F; если ^g£, то образ этого элемента в F
обозначается через f(x). Норму элементов х^Е и f(x)^F мы
будем обозначать одним и тем же символом; здесь не может
возникнуть никакой путаницы, поскольку в теореме, которая
последует ниже, единственными элементами из F будут
элементы вида f(x).
Эта теорема отличается от теоремы Банаха о непрерывности
линейного отображения одного полного метрического векторного
пространства в другое, ибо здесь речь идет о нормированных
пространствах (а значит, более специальных, чем метрические
пространства), но не обязательно полных.
Теорема 1. Пусть Е, F — нормированные векторные
пространства над одним и тем же нормированным полем К и f —
линейное отображение Е в F. Для того чтобы отображение f
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
345
было непрерывно в £, необходимо и достаточно, чтобы
существовало такое конечное действительное положительное число М, что
для любого хб£
HfWIKAfluil.
Достаточность. Пусть последовательность (хп)
элементов из Е сходится к некоторой точке х0 gee £, т. е. || хп — х0 ||
стремится к нулю. Так как
f (хп) — f (х0) = f (хп — Хо),
то мы имеем
llf(^)-f(^o)ll = llf(^-^o)IKAl||^-jCol|.
Следовательно, f(xn) стремится к f(x0), какова бы ни была
последовательность {хп)у сходящаяся к х0\ значит, отображение
f непрерывно.
Необходимость. Предположим, что отображение f
линейно и непрерывно. В частности, оно непрерывно в точке О е £.
Значит, в Е найдется такой шар В с центром О и радиусом р>0,
что ||f(*')ll < 1 для любого /gB. Пусть теперь х —
произвольная точка из £ и aei( таково, что 0<|а|<1. Если целое п
достаточно велико, то а^ЕЙ, ибо
||ая*|| = |аГИ*||;
выбрав м, удовлетворяющее этому условию, получаем
||f(a^)|| = ||a7WI|<l,
откуда
Ш*)11<1/|аГ.
Покажем, что, более того, п может быть выбрано так, что
l/|a|n ^ М || х ||, где М — положительное число, не зависящее от
х. Действительно, последовательность
la [||* ||, |a|2||x||, ..., |аП|*||
положительных чисел убывает, поскольку |а|< 1; значит,
существует, и притом только одно, такое целое м, что
lallxIKp^laT'lUII.
Выбрав такое м, получаем | а \п II х || < р, и значит, || / (х) || <
< 1/|а\п\ кроме того, неравенство р^| a Iя""11| х || влечет
1/|а|я<||*||/р|а|.
Отсюда окончательно получаем
\\f(x)\\^M\\x\\,
где М — 1/р|а|.
346 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Обобщение. Этот результат без труда распространяется
на случай полилинейного отображения / произведения
^lX^X-'-X^p Р нормированных пространств в
нормированное пространство F, причем нормированное поле К для всех
пространств одно и то же. Для того чтобы f было непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число М ^ О,
что для любых
Xi^Et (/=1, 2, ..., р)
справедливо неравенство
Ш*1, ..., хр)\\<ьМ\\хх\\Ш\--А\хр1
Примеры. Применения этой теоремы и примеры будут
приведены в конце главы.
Заметим, однако, что если эта теорема применяется к случаю
Е = Rv, F = Rv, то получается следующий результат.
Всякое линейное отображение f нормированного пространт
ства Rv в нормированное пространство R<* непрерывно.
р р
В самом деле, если x = ^lkek^Rp9 то /(*) = 2 £&/(£*)» и
i 1
IIf (*)IKSI ЫШ**)II<МП*||,
1
где
M = sup||f(e,)|| и ||*|| = 2| g* I,
k
2. Норма непрерывного линейного отображения.
Определение. Нормой непрерывного линейного отображения
f нормированного пространства Е в нормированное пространство
F называется нижняя грань таких чисел Му что \\ f(x) || ^ М || х \\
для любого х е Е\ норма обозначается через \\f\\.
Это определение получит свое обоснование ниже, после того
как будет указано, как норма может быть определена иначе, не
через inf М. В самом деле, покажем, что
11/11= sup ||/(х)||.
Положим
m— sup ||/(*)||.
Il*ll<l
Если х Ф О и если \\\ = 1/|| х ||, то, поскольку llf(x)ll^m для
IUIK 1, то
11/(Я*)|| = |Я|||/(л:)|Кт;
стало быть, || f(x) II ^ m || х || для всех х е Е.
С другой стороны, чтобы найти все М, удовлетворяющие
условию || f (х)\\ ^ М || х || при любом х, достаточно рассматривать
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
347
лишь те М, которые удовлетворяют неравенству при l|x||<<l;
действительно, если ||f(*)|| ^М||* || Для ||х||^1, то, выбрав
для 11*11 > 1 достаточно малое |Jl|, получаем \\Кх\\ ^ 1, и
значит, ||/(U)II<M||U||, или Ш*)||<Л1||*|| Для IUII>1.
Наконец, гп < М, ибо если || х ||< 1, то неравенство || f (х) ||<М\\ х\\
влечет || / (х) ||<М, и стало быть,
m = sup ||f(*)||<Af.
Замечание. Часто, когда / будет непрерывным линейным
отображением одного нормированного пространства в другое, мы
будем писать
ll/WIKII/HI*ll.
Если /— непрерывная линейная форма, то мы будем писать
I/WKII/HUII.
Обоснование определения. Множество линейных
отображений / пространства Е в пространство F есть векторное
пространство над тем же полем, и определение || / || сразу же
показывает, что || / || обладает свойствами нормы. Это, стало быть,
есть норма на векторном пространстве 9?{E,F) непрерывных
линейных отображений пространства Е в F.
3. Применение теоремы Хана — Банаха к непрерывным
линейным формам (продолжение). Теорема 2. Пусть задана
непрерывная линейная форма / на подпространстве Е'
нормированного пространства Е. Тогда существует такая непрерывная
линейная форма J на Е, что f(x) — f(x) для любого х^Е'у и
llf 11 = 11/11.
Достаточно в формулировке теоремы Хана — Банаха
положить v(x) = || / || || х ||. Тогда для любого х е Е имеем
следовательно,
Но, с другой стороны,
/WKII/IIII.
llflK 11/11.
т. е.
Итак,
|/||= sup l/WK sup l/WKIlfll-IUIKIIfll,
IIх IK 1 ||х||<1
ll/IKIlf
l/ll=llfll.
Следствие. Пусть E — нормированное векторное
пространство-, для любого х ФО из Е существует такая непрерывная
линейная форма / на Et что f(x) = \\ х \\ и || /1| = 1.
348 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
'I
В самом деле, пусть Е'— подпространство, состоящее из эле*]
ментов ах (где а — действительное число) и пусть f(ax)=s
= a|U||. Ha этом подпространстве / является непрерывной ли*:
нейной формой; по предыдущей теореме, она может быть про-!
должена до линейной формы, удовлетворяющей сформулиро-^
ванным условиям.
Важность этого следствия заключается в том, что оно
доказывает существование на любом нормированном пространстве
непрерывной линейной формы, отличной от нулевой; или, еще,
что пространство непрерывных линейных форм не сводится к
нулевому элементу.
4. Непрерывные линейные формы на гильбертовом
пространстве. Пусть Е— гильбертово пространство, где норма,
следовательно, определяется скалярным произведением. Если (х,у)е
е£Х£> то в силу неравенства Шварца имеем
\(х\у)\<\\х\\\\у\1
При фиксированном у отображение х—>(х\у) превращается в
линейную форму и на Е: и(х) = (х\у)у а предыдущее
неравенство— в неравенство
\и(х)\^\\у\\\\х\\ = М\\х\\,
показывающее (теорема 1 из п. 1), что и есть непрерывная
линейная форма на Е. Таким образом, любой элемент у^Е
определяет, при помощи соответствия х—>{х\у), непрерывную
линейную форму.
Мы покажем, что верно и обратное, т. е. если имеется
непрерывная линейная форма и на гильбертовом пространстве £, то
найдется такой элемент i/g£, что и(х) = (х\у).
Теорема 3. Всякая непрерывная линейная форма на
гильбертовом пространстве записывается в виде х-*(х\у).
Сначала мы докажем, что если и — непрерывная линейная
форма на £, то ее норма || и || является значением \u(l) | в
некоторой точке I единичной сферы; а затем докажем, что этот
вектор I ортогонален векторному подпространству ^ = ^(0) —
ядру этой формы.
Пусть и — непрерывная линейная форма на Е. Значит, для
любого х е Е имеем
|w(*)Kllw||-ll*ll,
где
|| и ||= sup |м(*)|.
Пусть а — единичная сфера, определяемая равенством || х \\ = 1.
Покажем, что существует такое | ^ а, что \\и\\ =\u(Q\.
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 349
В самом деле, пусть (|п) — такая последовательность точек
сферы а, что
Нт|и(Ь0| = ||и||.
Заменяя по мере надобности некоторые |п на —|п, можем
предположить, что и(1п)^ 0. Тогда
U (U) + U (Ы = U (U + U <|| U || • || \ш + £„ ||,
откуда
IIS _1_6 II —. U (lm) + U (In)
II fern "Г Ъп II ^ jT^jj »
Но по теореме о медиане (гл. VII, раздел 2, § 3, п. 6) и
в силу того, что II 6« || = || 6* 11=1, имеем
II 1т - In II2 = 21| £„ ||2 + 21| U ft -1| \т + g» |р < 4 - (ц (U)+||2"(Ы)2 .
Так как lim w(|m)= lim w(|n) = II w ||, то правая часть
последнего неравенства стремится к нулю, чем доказано, что II £m — In II
стремится к нулю, и значит, что (|п) есть последовательность
Коши. А поскольку о замкнута в полном пространстве £, то она
является полным подпространством, и поэтому \п сходится к
некоторому | е а. В силу непрерывности и имеем
\\и\\ = \\ти&п) = и(Ъ).
Пусть теперь имеется ядро М = и~1(0) отображения и, т.е.
множество тех х^Е, для которых и(х) = 0; покажем, что |
ортогонально М.
В самом деле, для любого х е М имеем
и (х) = 0, и (| — х) = и (I) — и (х) = и (|);
следовательно,
\\u\f = \u($-x)\2^\\utfn-xtf,
или
1<IIS-*II.
Но так как II £ II = 1, то мы можем записать последнее
неравенство в виде
Ш<116-*11.
причем оно будет справедливо при любом х^М. Согласно
теореме 1 из главы VII, раздел 2, § 3, п. 6 это влечет, что |
ортогонально М, т. е. (| | у) = 0 при любом у eAf.
Пусть v — линейная форма, определяемая равенством
v(x) = (x\l)u(Q,
350 гл- 1х- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где и — заданная непрерывная линейная форма и g— точка
сферы а, определенная выше равенством || и || = w(g). Покажем,
что v = и.
Прежде всего имеем
v® = (t\Z)u® = n\fu(t) = u®.
Следовательно,
Пусть теперь точка х принадлежит М, т. е. и(х) = 0. Для этой
точки имеем
»(*) = (*! 6) и (1) = 0,
поскольку (х\1) = 0 (ортогональность g к М).
Пусть, наконец, х — произвольная точка из Е. Множество М,
будучи векторным подпространством пространства £, замкнуто
в силу непрерывности формы и, и поэтому, по теореме о
разложении (там же) имеем: х = х0 + z, где х0^М и где z
ортогонально М. Но g ортогонально М; значит, z = ag, где а
действительно. Имеем, следовательно, х = х0 + ag, и
u(x) = u (х0) + aw (g) = aw (g),
откуда
a = u(x)/u(Q.
После этого для х = x0r+ ag с II g II = 1 и w(g) = 0 имеем
v(x) = v (х0 + ag) = (х0 + ag| g) u (g) =
= (*ol g)u(g) + a|| g |pa(g) = (x0 ll)u(l) + u(x) = u(x).
Таким образом, v(x) = u(x) для любого x<^E, и значит, v = u.
§ 3. Теорема Банаха — Штейнгауза
Предыдущие параграфы касались свойств одного линейного
отображения векторного пространства в векторное пространство.
Теорема Банаха — Штейнгауза имеет дело с
последовательностями непрерывных линейных отображений. Речь идет здесь о
свойствах пространства непрерывных линейных отображений
одного топологического векторного пространства в другое.
Теорема 1. Пусть (fn) — последовательность непрерывных
линейных отображений нормированного пространства Е в
нормированное пространство F. Если множество норм \\ fn \\
ограничено, то семейство функций fn равностепенно непрерывно.
В самом деле, имеем
II fn (х) - fn (хо) II = II fn (х - Хо) ||< М\\ х - х01
где -
М = sup || /„||.
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 351
Если \\х — х0\\<е/М9 то
ИМ*)-М*о)И<в
при любом п. (Гл. VIII, раздел 1, § 2, в конце.)
Теорема 2. Если последовательность (fn) непрерывных
линейных отображений нормированного пространства Е в
банахово пространство F сходится просто на подмножестве Л, плотном
в шаре В, и если последовательность норм || fn \\ ограничена, то
последовательность (fn) сходится при любом х^Е, и ее
предельное линейное отображение непрерывно.
Пусть х0ЕВихпеЛ таковы, что хп ~+Xq. Имеем
II fP(xo)-fq(xo) ||<|| fP(xo-xn) || + || fq(xn-xQ) H + ll fp(xn)-fq(xn) ||<
<2M\\Xo--xn\\ + \\fp(xn)-fq{xn)\\.
Так как fn сходится на Л,# то
Um\\fp(xn)-fg(xn)\\ = 0,
p.q
и
\lm\\fp(xo)-fq(xo)\\<2M\\xQ-xn\\;
Р, я
заставив п неограниченно возрастать, получим
lim||*o —*я|| = 0;
Значит,
Нт||М*о)-М*о)И = 0,
и стало быть
Нт || /=р (jco) — /=^ (Jc0) II == О,
чем устанавливается сходимость последовательности fn(xo) в F,
поскольку F полно.
Если теперь х — произвольная точка из Е, а х0 — центр шара
В, то, выбрав надлежащим образом действительное а, получим
Хо + аХЕЙ; следовательно, fn(xo-\- ах) сходится; но поскольку
fn (х0 + <**) = fn (xQ) + afn (х),
то отсюда вытекает сходимость последовательности fn(x).
Так как нормы ||fn|| ограничены, то семейство функций fn
равностепенно непрерывно (теорема 1), и стало быть, его
предел непрерывен (гл. VIII, раздел 1, § 2, п. 6).
Теорема 3. Если (fn) — последовательность непрерывных
линейных отображений банахова пространства Е в
нормированное пространство F и если для любого х
Ш\\Ш\\< +со,
то последовательность норм \\ fn II ограничена.
352 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Числовые функции х —* || fn (х) || непрерывны на £, так как
I ll/«WII-ll/«(^)lll<ll/i.(^-^)ll<ll/i.llll^-^ll,
и их верхняя оболочка конечна. Следовательно, существует
непустой шар В, на котором они равномерно мажорированы
(гл. VIII, раздел 4, § 3, теорема 2) некоторым числом М.
Пусть В— шар с центром в х0 и радиусом г. Тогда для
любого х е Еу || х || ^ г элемент х + х0 принадлежит В, поэтому
I fn(x)\ = \fn(x + X0) - fn(Xo) |<| fn(x + XQ) I + | fn(Xo) |<
<Af + suplM*o)l = Mi,
n
и (fn) равномерно мажорированы некоторым числом Мх на шаре
В\ радиуса г с центром в 0.
Но .
ИМ1= SUp \\U(X)1
и если г —радиус шара Вь то
fi«'
If» 11= sup f» 7- =7- sop |lf,WII<M,/r.
и ^ и II \ r ! у г и jc |j ^ /-
Из этой теоремы вытекает следующая важная теорема.
Теорема Банаха — Штейнгауза. Если
последовательность (fn) непрерывных линейных отображений банахова
пространства Е в нормированное пространство F сходится просто,
то ее пределом является непрерывное линейное отображение.
Действительно, если для любого х последовательность
значений }п(х) сходится в F, то II fn(*) II сходится к конечному
значению, и следовательно,
а в силу теоремы 3 нормы || fn || ограничены, и значит, семейство
fn равностепенно непрерывно; стало быть, отображение /=lim/n
непрерывно.
§ 4. Примеры
Примеры, которые последуют ниже, представляют собой
примеры пространств последовательностей действительных чисел,
иллюстрирующие эту и предыдущую главы.
1. Пространство последовательностей действительных чисел.
Пусть S — действительное векторное пространство всех
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
353
последовательностей х = (lk) действительных чисел и пусть
с»
Так как для любого числа а ^ 0 имеем а/(1 + а) < 1, то
указанный ряд сходится при любых х и у.
Имеем
d(*, у)>0, d(0, 0) = 0,
d(*. </) = 0=> Efc-4ftl/(l +\lk-r\k\) = 0
для любого &, а значит, |£ь — r]/i| = 0 для любого fe, т.е. х = у.
Очевидно, d(xyy) = d(y,x), а поскольку для а ^ 0, Ь ^ 0
имеем
(а + 6)/(1 + а + 6) < а/(1 + а) + 6/(1 + Ь),
то мы имеем также
d(x9 y)<d(xy z) + d(zy у)у
поскольку
I-S* —%К16* —Е*1 + 1Ел —л*1.
Покажем, что пространство S, наделенное этим расстоянием,
полно. Пусть xv=(\Vih) — последовательность .элементов из S,
образующая последовательность Коши, т.е. такая, что
lim d{xpy xq) = 0.
Так как
то условие d(Xp,^g) = 0 влечет для любого k равенство
lim \ip,k — lq,k\ = 0. Таким образом, последовательность
(|n,fe)n€=iv есть последовательность Коши действительных чисел;
а поскольку R полно, эта последовательность сходится; пусть
lk= lim \ntk
rt-»oo
и пусть х = (Ik) у т. е. элемент из S. Покажем, что
lim d(xp9 х) = 0.
Пусть е>0 и т{ — такое целое число, что если р>ти и
q > т\, то ^(Хр,^) < е/2. С другой стороны, пусть т2 таково,
354 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
что 1/2т>< е/2. Возьмем т = max (тит2). Если
2* 1 + 1Ер.*-Е«.И
то тем более
V ] \lp,k — lq.k\
2k \+\lp.k-lq.k\
<8/2.
I
Если в этой конечной сумме устремить q к бесконечности, то
получится
~ 2k ' 1 + I Ер. * ~ Е* I ^ 8
Так как, с другой стороны,
V 1 \lP,k-lk\ ^ х^ 1 {
'^г< S i-±«*
^ 2k \ +\ln k — lk\ ^ 2k 2"
то окончательно получаем
d(*Pt a:) < e (/?> m).
Построение пространства S посредством
пополнения. Если задано S и если хр стремится к х9 то, как
мы только что показали, для любого k
р-»оо
можно сказать, что сходимость последовательности элементов из
S влечет покоординатную сходимость этих элементов.
Рассмотрим теперь элементы е* = (е*, й), где ег\ г=1, и ег,* =
= 0, если [фк. Эти элементы порождают векторное
пространство Е над /?, причем элемент ag£ определяется формулой
m
где а*— действительные числа и га— целое число. Такой
элемент а представляет собой последовательность действительных
чисел, равных нулю начиная с некоторого номера га, и
называется конечной последовательностью. Для любых двух элементов а
и b из Е полагаем (в очевидных обозначениях):
rf(«. *)=£^г
• i «* - р*
*=1
2* i+K-PaI
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
355
Тем самым определено расстояние на Е. Пополнение
пространства Е есть множество классов эквивалентности
последовательностей Коши (ар), (Ьр)у определяемое следующим образом:
(aP)~(bP)& lim d(ap, 6Р) = 0.
р->оо
Речь идет о том, чтобы выяснить, можно ли отождествить
пополнение с пространством, все элементы которого являются
последовательностями действительных чисел, и в частности, с
пространством S.
Если ар = (ар,ь)—последовательность Коши, то
lim|ap>fe — 0^1 = 0.
р, я
Пусть
lk=\\map%k и x = (lk).
р->оо
Если (ар) ~ (Ьр), то lim|ap>fe — pPife| = 0 для любого ft; следо-
р
вательно,
lim Рр,&= lim aP)fe.
p->oo p->oo
Таким образом, классу, определяемому посредством (ap), то
есть элементу пополнения Е, можно поставить в соответствие
некоторый элемент xeS.
Для большей ясности обозначим через f определенное таким
способом отображение Ё в S. Покажем, что f(E) = Sy т.е.
каждое x^S есть образ при отображении f некоторого класса эк^
вивалентности. Пусть х = (Ik) и
р
яР= 21^й = (б!, |2» •••> бр» о, о,...).
1
Элементы ар образуют последовательность Коши, ибо, если
предположить, скажем, р < q, то
Р Q Jix* » + 16*1 2'
и, каково бы ни было ft, ^ будет пределом при /?—*оо для ft-й
координаты элементов ар. А это и доказывает, что f есть
отображение Ё на S.
Чтобы показать взаимную однозначность отображения f,
достаточно доказать, что если х — образ при отображении f двух
последовательностей Коши (аР), (ЬР), то эти
последовательности эквивалентны, т.е.
lim d{apt bp) = Q.
р->оо
356 гл *Х ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Но если х = (Ik) есть образ последовательностей (ар) и (Ьр), то
lim арЛ= lim pp,* = gft
р->оо 0->ОО
при любом k. Тогда, взяв достаточно большое т, получаем
V ' 1 «р. ^ — Pp. fe I < ,2
а затем, взяв достаточно большое /? и зафиксировав т,
получаем
V -L i «р. fe - Pp. ^ l < e/2
£J2* 1 + |ар.*-Рр.*|
поскольку
lim \aPik — Pp. ft 1 = 0.
p->oo
Отсюда вытекает, что d(ap,bp)<Z e, и утверждение доказано.
Такой способ рассуждения будет использоваться в теории
интегрирования.
Замечания. 1) Напомним еще раз, что последовательность
есть функция переменного 4gJV. Предыдущее пространство есть
не что иное, как пространство числовых функций, определенных
на N.
2) Построение 5 пополнением подчеркивает существование
счетного семейства (ег) элементов из S, конечные линейные
комбинации которых образуют пространство, плотное в S.
2. Пространства Lp(N). Если 1^р<+оо, то Lp(N) есть
пространство числовых последовательностей * = (gft), для
которых ряд 2l Ik \Р сходится; оно наделено нормой
1ии=(21Ыр)1/р.
Если р = +оо, то L°°(N) есть пространство ограниченных
последовательностей, наделенное нормой
II Jr 11 = sup 16л|.
к
Это банаховы пространства, определение и свойства которых
будут приведены в качестве частных случаев пространств Lp
в главе X, посвященной интегрированию.
Прямое исследование, которое проводится здесь, имеет
своей целью лишь проиллюстрировать на примере содержание
настоящей главы.
Укажем схему доказательства того, что это — банаховы
пространства.
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 357
Используя неравенство Минковского (см. гл. X, раздел 5,
§ 1), тотчас же приходим к тому, что множества Lv(N) (1 ^
^ р < +оо) являются векторными пространствами и что
iuu=(2ii*ip)1/p
есть норма. В случае р = +со свойство почти очевидно.
Затем доказываем, что это — банаховы пространства,
причем принцип доказательства тот же, что и в п. 1.
Найдем непрерывные линейные формы на пространствах
LP{N) для 1 <р< +оо.
Последовательности ей определенные в п. 1, принадлежат
LP{N). Если х = (Ы> то пусть снова
п
1
Так как
/ оо \!/р
lU-^lHSlkN
Wi /
стремится к нулю, то хп сходится к х, и мы можем записать
П оо
П оо 1 I
Пусть f — непрерывная линейная форма на Lv(N). В силу
непрерывности / имеем
f(x)= lim f(xn)9
но для
п
Xn=Zl Ъек
1
в силу линейности f имеем
Пхп) = %ЪмТ(ек).
Пусть а = (ай) — последовательность действительных чисел,
определяемая как аь = f{ek)- Тот факт, что
fW= Hm f(*„),
означает, что
оо
358 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
есть сходящийся ряд и что
оо
1
Таким образом, всякая непрерывная линейная форма f на
Lp(N) записывается для 1 <с: р < -foo в виде
оо
x^f(x) = ^lkaki
i
где ak = f(ek).
Чтобы охарактеризовать а = (аь), воспользуемся
последовательностями х = (Ik) и свойством непрерывности формы /,
записанным в виде неравенства
\f(x)\<\\fb\\x\l
1) Если р = 1, то пусть х = ек при аи ^ О и х = —ей при
cLk < 0, т. е.
х= (signage*.
Имеем
fW = |afe|<llflHUII = llfll,
ибо здесь || х || = || ek II = 1.
Следовательно, а = (а^)е L°°(N) и
||a||L~ = sup|a*K||fll.
Обратно, если a = (аи)^ L°°(N), то пусть для любого хе
оо
1
Тем самым определена непрерывная линейная форма, ибо
l/WI<lllafellifel<Nlllll^|.
i 1
2) Если 1 < р <. +оо, то рассмотрим число q, сопряженное
к /?, т.е. такое, что (\/p)-\-(\/q) = 1, и возьмем
последовательность х из Lp(N), определяемую как
|fe = (sign afe)| ak-\q~\ если k^n\ |& = 0, если k>n.
Так как q = p(q—l), то
/ « \i/p
11*11 = [2|аП'] ;
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
359
далее, имеем
п / п \1/р
/W=2la*r<llfll-IU|| = ||f|| 2|**П .
k=\ \k=\ J
откуда следует, что сумма
ограничена, и значит, что
a = (ak)eL'{N).
Стало быть,
оо
f(x) = ^lkaki
1
где (afc)e=L*(tf) и II a II < II f II.
Обратно, если x^Lp(N), a^Lv(N), то неравенство Гёль-
дера показывает, что последовательность (a*!-*) принадлежит
Ll(N) и что
оо
1
определяет непрерывную линейную форму на LV(N)\ кроме того,
/оо \1/р/оо \l/g
lfWI<(2lE*rJ (SlafcrJ .
Следовательно,
fW = Safc6b || /II = || a II,.
Итак:
Всякая непрерывная линейная форма на L*>(N) (1 ^ р <
<С +оо) записывается в виде
f(*) = 2a*S*.
гаеа= (afc)eL*(tf)f и llfll = Hall,.
Замечания. 1) Если /? == +°°» то результат не имеет
места: не всякая непрерывная линейная форма на L°°(N)
записывается в виде /(*) = 2^аь где a = (afe)е L1 (Л/).
2) Топологическое сопряженное пространство (пространство
непрерывных линейных форм) к Lp(N) отождествляется с L<*(N)
для 1 ^/?<+°°- Так как (\/р) + (l/q) = 1, то сопряженное
к L<i(N) при 1 << р, <7<С+оо отождествляется с 2>(Af)
.Говорят, что Lp(N) рефлексивно (если 1 <p<Crho°).
360 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Топологическим сопряженным к пространству L2(N) будет
оно само.
3) Заметим, что (a, x)->2aft^ есть билинейная форма на
(2>XL?); это позволяет проиллюстрировать на простом
примере теорию, относящуюся к двойственности двух
топологических векторных пространств.
3. Пространство (с). Пространство (с) есть пространство
сходящихся последовательностей, наделенное нормой
пространства L°°(iV); стало быть, это есть подпространство пространства
L~(tf).
Так как для любого 1 ^ р < +°° из того, что x^Lp(N),
следует
Пт|Ы=0,
fc-»oo
TO
Lp(N)a(c)c:Lr(N).
Легко видеть, что (с) тоже является банаховым
пространством.
Пусть для х = (Ik) е (с) справедливо равенство
1= Hm lk.
Введем снова элементы eft, которые принадлежат (с).
п
Если *« = 2g*e*, то
1
II* — *nll=S1ip|g*|
не стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности, кроме
случая, когда |= lim | lk | = 0.
Но поскольку
• sup|gfe — g |
стремится к нулю, то мы введем последовательность е= (1).
Тогда
II п II
\\х — 1е - 2 (Ik — g) * J = sup| U — g1.
II fe—1 II /e>rt
Следовательно,
оо
x = le+ 2(1* —&)е*,
и если f — непрерывная линейная форма на (с), то
/ W = I/ (в) + lim 2 (6* -1) f (ek) = If (в) + 2 (£* - 6) / (в*).
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 361
Пусть a = f(e), ak = f{ek) и пусть Ik = sign ah, если k ^ п,
и |ft = 0, если fe > /г; имеем
11*11=1, 1 = 0, f(*)=i|an<llfl|.
Значит,
a = (afc)sL4Ar).
Обратно, если а = (аи) <^ Ll (N) и если | = Нт!ь, то
равенство
fW-Ea+S(E*-E)
«fe
определяет непрерывную линейную форму, и мы можем
записать:
(оо \ оо
a—SaJ + S £*<**•
Пусть е > 0 и я выбрано так, что 21 1 а* | < е (такое л су-
ществует, так как (ak)^Ll (N)). Взяв теперь £fe=sign (а*) при k<^n,
/ оо \ оо
^ = sign(a— 2«л) при k> п, получаем £ = sign а — 2 аь и
rt оо
jp(x) = |а— 2а* I + Si а* |+ 2 а*£*,
где x = (lk)'y отсюда следует, что
la-SaJ+Sla^Kllfll + e,
т. е.
оо
|o-2afc|+Sla*|<||f|| + e,
k=\
и так как это неравенство справедливо для любого б > 0, то
|a-Safc| + S|aftKII/l|.
Но поскольку
|fWK(|a-Sa*| + 2l«* 1)11^11,
то
11/11=
а— 2 а*
1
+ 21 а*
1
362 ГЛ- IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Замечание. Если 2«fe£fe определяет непрерывную
линейную форму на (с), то
a = (ak)eLl(N).
В самом деле, достаточно взять |* = sign а*, если k <^ /г, gft = О,
если й > /г, и тогда
1
«= Si о* Kim
ii*n=i,
Но в этом случае
l/WK(||afe|)|U||,
и стало быть,
оо
ll/ll = 2la*|.
4. Суммирование рядов (или последовательностей). Пусть
х = (Ы — последовательность действительных чисел, т. е.
некоторый элемент из S (см. п. 1). Если пытаться превратить ее
при помощи линейных отображений в сходящуюся
последовательность, т. е. в элемент из (с), то очевидным будет условие,
состоящее в том, что если х е (с), то преобразованная
последовательность должна принадлежать (с), и предел (в R)
преобразованной последовательности должен быть равен lim 1¾.
Так мы приходим к рассмотрению чисел an>k и
последовательности с общим членом
fn(x) = 2 v>n.kh-
При этом требуется выполнение следующих условий:
для любого х е {с)
оо
1) 2 On klk есть сходящийся ряд для любого п;
2) (2v*l*)s(c);
3) lim C2ia,n.kh)= Hm %k.
П-) op \ k } fe-»oo
Говорят, что числа (an, к) определяют метод суммирования.
Найдем необходимые и достаточные условия для тогоу чтобы
метод (ап,н) был регулярным.
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 363
Пусть вначале а= (a,k) и х = (gft) е (с). Если a^Ll(N),
то для любого jje (с) последовательность (аь&ь) принадлежи?
Iх (N), и значит, ряд 2<*fe£fe сходится.
ОбраТНО, ДОПУСТИМ, ЧТО ДЛЯ ЛЮбОГО X е (с) рЯД 2afc?fe
сходится. Покажем, что (a*) ^Ll(N).
В самом деле,
определяет линейную форму fn на (с), которая, очевидно,
непрерывна. По предположению, fn(x) сходится в R для любого
;гЕ (с); а так ка*к (с)—банахово пространство, когда оно
наделено нормой пространства L°°(N)y то по теореме Банаха —
Штейнгауза,
оо
f(x)= lim fn(x) = %aklk
rt-»oo 1
определяет непрерывную линейную форму на (с), откуда вы-
оо
водим, что a = (afe)GL1(W) и ||f||=2la*l (п- 3, замечание).
1
Таким образом, получено первое необходимое условие на
числа (ап,ь):
каково бы ни было п, (anik)k должно принадлежать Ll(N).
Иными словами,
El a*. k\< + 00
k
для любого п.
В предположении, что это условие выполнено, пусть
Ы*) = 2 <**.*&*•
k
Эта последовательность непрерывных линейных форм на (с)
СХОДИТСЯ ПРОСТО ДЛЯ ЛЮбОГО JfG (с), и
II Ml=21^. л-
k
Стало быть, по теореме 3, § 3 последовательность (||fn||)
ограничена.
Получено второе необходимое условие:
существует такое не зависящее от п число Му что
2|ая.*|<М.
k
Наконец, предположим, что
lim fn(x)= lim lk
rt->oo /s->oo
364 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
для любого *е (с)\ тогда, взяв элементы ек, получим, что для
любого k должно выполняться равенство
lim (a„ife) = 0,
П->оо
а взяв элемент е, получим, что
lim (2j<** Л = 1.
/г->оо \ к I
Итак, имеем три необходимых условия:
1) Si «я k К + °° Для любого щ
к
2) Si «я к К М для любого п;
к
3) lim arttfe = 0 для любого k и lim (Sa*,fe) = l«
/г-»оо ' я-»оо \ fe /
Обратно, предположим, что условия эти выполнены. Тогда
//fW = Sa«.fe6fe
определяет на (с) непрерывную линейную форму, и ||fn|| < М.
Для доказательства того, что fn(x) сходится при любом ^е
е (с), достаточно в силу теоремы 2, § 3 показать, что fn(x)
сходится для любого х, принадлежащего некоторому множеству,
плотному в (с). Таким плотным в (с) множеством является
подпространство, порожденное ^ие (ср. п. 3). Условия 3) именно
это и утверждают.
Таким образом, приведенные три условия необходимы и
достаточны для того, чтобы метод суммирования, определяемый
числами (an,fc), был регулярен (теорема Теплица),
ГЛАВА X
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Теория интегрирования, предложенная А. Лебегом в 1902 г.,
увенчала усилия,* предпринимавшиеся с целью сделать
интегрируемыми самые общие функции. Свойства, которые были
открыты начиная с этого времени, иногда способствовали изменению
точки зрения, но не изменяли основных результатов.
Различие между проблемой интегрирования и проблемой нахождения
примитивной для заданной функции (относительно которой
известно, что она является дифференцируемой функцией) стало
еще более четким после работ А. Данжуа, теория которого
использовала интеграл Лебега, но в этой теории числовая
функция, интегрируемая в смысле Данжуа, могла иметь абсолютное
значение, уже не обладающее этим' свойством.
В настоящей главе будет упоминаться лишь интеграл по
Лебегу.
Среди открытий, последовавших за введением интеграла
Лебега, имеются две важные теоремы, принадлежащие Ф. Риссу
(1907 и 1909 г.):
1) пространство L2 полно;
2) всякая непрерывная линейная форма на пространстве
^(/) (непрерывных числовых функций на / = [а, &]),
наделенном нормой равномерной сходимости, имеет вид
ь
f-*lfdg,
а
где g имеет ограниченную вариацию.
Из второй теоремы можно получить понятие интеграла, или
меры, называемой мерой Радона. Первая же (к которой
следует добавить ее обобщение: L? полно) показывает, что
множество интегрируемых функций, превращенное в нормированное
(или полунормированное) пространство, обладает двумя
основными свойствами числовой прямой R:
1) некоторое множество функций плотно в этом пространстве
(непрерывные функции, многочлены, ступенчатые функции);
2) пространство полно.
366
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Эти свойства соответствуют тому, что Q плотно в R и R полно.
Встает вопрос о том, какими методами определяются
интеграл и интегрируемые функции.
Все методы прежде всего предполагают известным понятие
интеграла относительно функций некоторого семейства,
рассматриваемого как «простое» или «естественное». Можно, как
это делает Лебег, рассматривать вначале меру интервалов на
прямой, пользуясь понятием меры, совпадающим с обычным
понятием длины, а затем распространить это понятие на
множества более общие, которые называются измеримыми; исходя
из измеримых множеств, переходом к пределу определяется
затем интеграл от числовых функций, уже весьма общих. В этом
методе априори задается интеграл от характеристических
функций интервалов, который распространяется на
характеристические функции более общих множеств.
Можно также предполагать известным интеграл от любой
непрерывной функции, либо используя элементарное построение,
либо определяя его как непрерывную линейную форму на
некотором функциональном пространстве (мера Радона); задача
заключается снова в распространении этого понятия на более
общие функции.
Во всех методах необходимо выделить основные свойства,
позволяющие использовать тот инструмент, каким является
интеграл. Эти свойства можно разбить на три группы:
1) простое определение интегрируемых функций и все, что
можно назвать способом вычисления: приближение
интегрируемых функций «простыми» функциями, переход к пределу,
свойство банахова пространства;
2) вычисление «двойных» интегралов;
3) сравнение двух методов интегрирования.
Ко второй группе относится теорема Лебега — Фубини, а к
третьей — теорема Лебега — Никодима.
Но все задачи тесно связаны со свойствами первой группы.
Все методы строят, более или менее быстро, множество 3?
интегрируемых функций, превращают 9? в полунормированное
пространство, а затем показывают, что множество непрерывных
функций или множество ступенчатых функций плотно в 2\
что 27 полно, что при достаточно общих условиях можно
интегрировать почленно последовательность интегрируемых функций
(признаки Б. Леви, Фату, Лебега).
Метод, который используется здесь, позволяет сразу
получить два основных свойства: множество исходных функций
(например, непрерывных функций с компактным носителем) плотно
в S7, и 27 полно. Приведем схему для числовых функций.
Предполагается, что задано векторное пространство Е таких
числовых функций х, что л;е£=> \х\ <=Е и определен интеграл [х{х)
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
367
для любого х ^ Е. Пространство Е наделяется полунормой,
определяемой равенством IUII = |ы(|х|). Рассматривается
пополнение, а затем отделимое пространство £, ассоциированное с этим
пополнением, которое является банаховым пространством.
Затем Ё при помощи биективного отображения ставится в
соответствие пространству L, элементами которого являются
множества эквивалентных между собой интегрируемых
функций, причем эта эквивалентность определяется при помощи пре-
небрежимых множеств (называемых также множествами меры
нуль).
Предварительные замечания о терминологии. Терминология
в теории меры и интегрирования не всегда согласована ввиду
необходимости сохранения некоторых традиционных терминов
и их интуитивного смысла.
Термин «интеграл» имеет смысл лишь при уточнении:
интеграл от функции; если рассматривать числовые функции, то
интегралом от числовой функции будет число; если рассматривать
функции со значениями в некотором пространстве F, то
интегралом от функции будет элемент пространства F.
Мы ограничимся числовыми функциями (рассмотрение
которых в качестве исходных необходимо для построения теории
меры).
Термины интеграл и мера с полным основанием различаются
между собой. Мера \х есть линейная форма, определенная на
векторном пространстве Е числовых функций (эта форма и это
пространство обладают притом некоторыми свойствами,
налагаемыми определением). Интеграл от функции х^Е есть
значение \х(х) формы \х для х. Иными словами, \х есть отображение
множества Е функций в числовую прямую /?, а интеграл от х е
е Е есть значение этого отображения [i.
Когда хотят построить теорию, определяя меру подмножеств
множества Л, то рассматривают подмножества Ху У, ... этого
множества Л, подчиненные некоторым условиям, и определяют
не меру подмножества X, а меру любого подмножества X
семейства Г подмножеств множества А. Таким образом, \х —
отображение множества Г подмножеств множества А в R. И мы
пришли к тому, чтобы назвать мерой подмножества X значение
fjt(X) меры [1 для ХеГ. Но благодаря условиям, налагаемым
на Г и на |i, мера \х выступает также как линейная форма на
векторном пространстве числовых функций фх, которые
являются характеристическими функциями подмножеств ХеГ,
если условиться записывать \x{q>x) = [л(Х)\ таким образом, обе
изложенные выше концепции идентичны.
С другой стороны, выражение: «функция х интегрируема»
означает, что х принадлежит множеству £, на котором
определена мера (I, или, иными словами, что можно рассматривать
368
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
\х(х). В этом случае не говорят, что х измерима, в силу
интуитивной неприемлемости выражения «измерять» функцию. Если,
исходя из понятия меры, определенной на семействе Г
подмножеств X множества Л, положить \х(Х) = |л(фх), то мы придем
к утверждению, терминологически незаконному, что
подмножество X интегрируемо (вместо утверждения, что
характеристическая функция фА- множества X интегрируема). Но, в
соответствии с интуитивным стремлением называть \i(X) мерой
множества X, говорят, что X измеримо.
На самом же деле понятие измеримой функции или
измеримого множества имеет более общий смысл, чем понятие
интегрируемой функции или интегрируемого множества.
Итак, отметим следующие несоответствия:
— мера есть линейная форма, однако говорят и о мере
множества:
— говорят об интегрируемых функциях и множествах, тогда
как следовало бы говорить об измеримых функциях и
множествах;
— интегрируемое множество имеет (конечную) меру, но
измеримое множество может не быть интегрируемым, и значит,
может не иметь (конечной) меры.
Первое несоответствие не порождает трудностей, поскольку
выражение «мера множества X» означает интеграл от
функции фх-
Остальные несоответствия проистекают из различия между
измеримостью и интегрируемостью. Одной из причин является
та, что вначале Лебег определил меру весьма общих множеств
на числовой прямой; затем он рассмотрел числовую функцию х
действительного переменного / и меру множества тех /, для
которых а ^ х(/)<&, ибо он определил посредством
некоторого семейства U действительных чисел (U < /;+ь i = О, ±1,
±2, ...) положительное число т\ — меру множества тех /, для
которых U ^x(t) < /г+i, а затем рассмотрел суммы
—с»
(которые суть не что иное как интегралы от ступенчатых
функций, определенных на клане измеримых множеств из R).
Следовательно, для того чтобы выписать эти суммы, необходимо было
предположить, что числа т\ существуют, что и привело к
определению измеримой функции как функции, для которой при
любых действительных а и Ь (а^Ь) множество тех t9 где а^
<с; x(t) < b, имеет некоторую меру.
Таким образом, понятие измеримой функции и появилось как
понятие, более общее, чем понятие интегрируемой функции.
В последующем изложении в определение пространства 9? ин-
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
369
тегрируемых функций будет входить понятие простой
сходимости почти всюду и понятие сходимости по норме. Понятие же
измеримой функции связано только с простой сходимостью
почти всюду.
Мы подчиняем наше изложение вопросам интегрирования.
Критерии, позволяющие выяснить, будет ли функция
интегрируемой, приводятся достаточно общие (ср. раздел 2, § 2, п. 1);
изложение понятия измеримой функции не требуется. Мы
смешиваем понятия интегрируемого множества (т. е. имеющего
конечную меру) и измеримого множества, ибо практически
измеримое не интегрируемое множество есть множество
бесконечной меры.
РАЗДЕЛ 1
ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ РИССА
§ 1. Введение и отыскание исходных условий
Проблема интегрирования числовых функций ставится
следующим образом. Задается множество Е числовых функций
х, у, ... переменного t, принадлежащего множеству Л, и
предполагается, что интеграл определен для любого х <= Е.
Обозначим этот интеграл через [х(х); этот интеграл представляет
интерес только теми своими свойствами, которые выявляются уже
в простейших случаях: например, в случае ступенчатых
функций на R или непрерывных функций, обращающихся в нуль вне
компактного множества (или компактного интервала).
Алгебраические свойства прежде всего предполагают, что Е —
векторное пространство, и, кроме того, что \х{х) есть значение
линейной формы \х на Е. Но, с другой стороны, на Е существует
отношение порядка, т. е. практически имеет смысл выражение х^0\
поэтому появляется еще одно свойство формы \х: х ^0=^
=#>|i(a:)^0; иными словами, \х есть положительная линейная
форма. Наконец, функция х интегрируема только в том случае,
если интегрируема функция t-+\x(t)\i обозначаемая через \х\.
Таким образом, мы пришли к предположению, что х <= Е =т>
=Ф \х\ ^£, которое сводится к предположению
х<^Е, #<=£=#> sup („v, у)^Еу inf (х, у) е Е.
Итак, Е есть пространство Рисса (гл. VII, раздел 2, § 2,
п. 10)), а (ы есть положительная линейная форма.
Но, кроме того, необходимо еще одно условие, или теорема
о переходе к пределу. Это условие требуется тогда, когда хотят
распространить понятие интеграла на числовые функции, не
принадлежащие Е. Пусть ставится задача определить интеграл
370
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
от числовой функции !фЕ\ интуитивно ясно, что надо
исследовать, будет ли последовательность хп функций из Е сходиться
каким-либо образом к /; но при этом требуется, чтобы интеграл
\х(хп) имел предел и если другая последовательность уп
сходится тем же способом к /, то чтобы \х(уп) имел тот же предел,
что и \i{xn)\ тогда полагаем
\k(f) = \\m)k(xn).
Но для того, чтобы все функции f снова составляли
пространство Рисса, необходимо, чтобы функция |/| тоже была
интегрируемой.
На компакте такая сходимость, как равномерная,
оказывается слишком грубым понятием, ибо известно, что если
исходить из интеграла от непрерывных функций, то мы не придем
к множеству всех интегрируемых функций; если же исходить из
ступенчатых функций на интервале [а, Ь) из R, то получим
ярусные функции, которые содержат непрерывные функции, но не
содержат функций, о которых известно, что они интегрируются
элементарным способом.
Стало быть, следует обратиться к простой сходимости. Она
также может показаться слишком грубой, поскольку интеграл
от ступенчатой функции на [а, Ь] не меняется при замене
значений функции в конечном числе точек. Однако, как мы увидим,
этой сходимости достаточно. Итак, естественно сделать
допущение, что если хп сходится просто (а в этом случае и \хп\
сходится просто), то \х(хп) сходится, равно как и |я(|#п|), к
конечному значению. В частности, если хп возрастает и сходится к
функции /, предполагаемой интегрируемой, то, рассмотрев хп — /
или f — хп, мы приходим к предположению, что если
последовательность хп функций из Е убывает и сходится просто к нулю,
то \х{хп) стремится к нулю.
Этого условия достаточно для построения интегрируемых
функций исходя из Е. В самом деле, из леммы Фату будет
вытекать, что если последовательность положительных функций хп
сходится (почти всюду) к функции / и если \х(хп) имеет
конечный предел, то / интегрируема. Предыдущее условие,
обозначаемое как аксиома (^), будет формулироваться различным
образом, в зависимости от условий, налагаемых на пространство
Рисса Е.
Так, когда Е будет множеством непрерывных функций на
компакте, аксиома (3f) будет эквивалентна, по теореме Дини,
непрерывности |я, если наделить Е топологией равномерной
сходимости; это будет мера Радона. В том случае, когда Е будет
множеством ступенчатых функций на клане Г подмножеств
Х} У, ... множества Л, задание \х будет равносильно заданию
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
371
меры в элементарном и интуитивном смысле, и аксиома (У)
будет эквивалентна счетной аддитивности, т. е.
оо оо
X \JXn, Xi(]X, = 0 при /=*/=»ц(*) = 2и(Х«).
I
Это введение обосновывает принятые исходные условия; в
последнем параграфе этого раздела будет дано более общее
понятие меры, не обязательно положительной.
§ 2. Положительная мера на пространстве Рисса числовых
функций. Аксиома (2?)
Пусть А — множество, элемент которого обозначается через t,
и пусть х9 у9 г, ... — (конечные) числовые функции,
определенные на Л и образующие пространство Рисса Е.
Определение. Положительной мерой на пространстве Рисса Е
числовых функций называется положительная линейная форма
\х, удовлетворяющая аксиоме:
(St) Для любой убывающей последовательности (хп)
положительных функций из Е, сходящейся просто к О,
последовательность \х(хп) сходится к нулю.
Это определение нуждается в следующих замечаниях:
1) Так как \х— положительная линейная форма, то для
возрастающей (соответственно убывающей) последовательности
(х<п) элементов из Е последовательность (\i(xn)) действительных
чисел возрастает (соответственно убывает).
2) Если хп — возрастающая последовательность, сходящаяся
просто к некоторому х е £, то х — хп есть убывающая
последовательность, сходящаяся к нулю, и
М- (х — хп) = 11 (х) — [I (хп)
стремится к нулю; это замечание позволяет иногда заменять
аксиому (2f) ее эквивалентом: из того, что хп возрастает и
сходится просто кхе£, следует, что \х(хп) сходится к \х(х).
Обозначения и терминология. Значение формы \х для
элемента х^Е называется интегралом от х относительно меры |я,
или ^-интегралом, или, если нет опасности путаницы, просто
интегралом. Говорят, что всякая функция из Е интегрируема.
Записывается
ц(х) = xd\i, или [х(д:)= ) х (t)d\x(t).
А А
Вместо того, чтобы говорить о мере на £, говорят также
о мере на множестве А.
372
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Примеры. В двух последующих параграфах будут
изложены два важных теоретических примера; те же примеры,
которые приводятся здесь, являются их частными случаями, но
могут быть определены уже теперь.
1) Пусть Е— пространство Рисса числовых функций,
определенных на множестве Л, и а — точка из А. Если каждому
х^Е поставить в соответствие \х(х) = х(а), т. е. значение
функции х в точке а, то в силу того, что Е — векторное пространство,
[х будет линейной формой на Е\ если х ^ 0, то х(а) ^ 0, и
значит, \к{х) ^ 0. Если последовательность (хп) убывает и сходится
просто к нулю, то хп(а) убывает и сходится к нулю, и стало
быть, то же самое имеет место для \х{хп) = хп(а);
следовательно, аксиома (У) выполняется.
Говорят, что эта мера определена посредством единичной
массы, помещенной в точке а.
2) Пусть Ll(N) —множество таких последовательностей х =
= (ih) действительных чисел, что
Si б* к+ °о.
Каждая последовательность х есть числовая функция,
определенная на множестве A = N, и Ll(N) есть пространство Рисса.
Пусть \х — линейная форма, определяемая равенством
ОО
м- (х) = 2 ы
1
она положительна. С другой стороны, если (хп)—убывающая
последовательность, сходящаяся к нулю, то это означает, что
для любого k последовательность чисел (§п>л)п убывает и
стремится к нулю; выбрав достаточно большое т, так, чтобы
оо
2 \и.к\<Ф
при любом п (что возможно в силу того, что хп убывает),
получаем для достаточно больших п
m
2lS«.*l<e/2
и, следовательно,
ll*(*)l<|A(UI)<e
для достаточно больших п.
Итак, на Ll(N) определена положительная мера.
Ограниченная мера. Если характеристическая функция фл
множества А принадлежит Е, то мера |и называется
ограниченной.
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
373
Сужение меры. Пусть Е— пространство Рисса числовых
функций, определенных на множестве А, и \х — положительная
мера; и пусть А' — подмножество множества А. Сужения х'
функций л: из £ на множество А' образуют пространство Рисса Е'
Сопоставим каждой функции fe£' функцию f на А, полагая
f = f на A', f = 0 на А—А7. Полученное множество функций
обозначим снова Е'. Предположим, что Е' есть подпространство
пространства Е, Тогда можно рассматривать сужение \\' меры \х
на Е\ положив |i'(*') = М-(*')'» тем самым, очевидно, определена
мера, называемая индуцированной мерой.
§ 3. Положительная мера на пространстве ступенчатых
функций
Пусть А — заданное множество, Г — клан подмножеств X,
Y,Z, ... множества А (гл. VIII, раздел 2, § 1); и пусть Е —
множество ступенчатых числовых функций на А относительно Г.
Множество Е является пространством Рисса и содержит
характеристические функции ф^ множеств ХеГ.
Пусть |я — положительная линейная форма на Е\ так как
каждое х е Е может быть записано в виде
* = 2я/Фь
где Xi П Xj = 0, если i ф /, и где все а* равны нулю, кроме
конечного числа (или нуля) из них, то, положив * р,,(фх.) = \x(Xi)
для любого Xi е Г, получим
\х (х) = 2 at\i (q>Xi) = 2 at\x (Xt).
Теорема. Для того чтобы положительная линейная
форма [х на пространстве Е ступенчатых функций на множестве А
относительно клана Г была мерой, необходимо и достаточно,
чтобы из условий
00
Х„<=Г, Хп^Хп+и Г\Хп=0
следовало равенство
lim vl (Хп) = 0.
rt->oo
Иными словами, аксиома (2f)
хп \ О =Ф \х (хп) I О
эквивалентна утверждению:
00
Xn=>Xn+i, Г\Ха=0=$р(Ха)ЬО.
I
374
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Условие необходимо, ибо если \х — положительная мера, то
условие Хп =э Xn+i эквивалентно тому, что ф^ убывает, а
условие
оо
1
эквивалентно тому, что
lim Ф^ (0 = 0
для любого t^A; следовательно, \х(Хп) стремится к нулю.
Покажем, что условие достаточно. Пусть (хп) —такая
последовательность элементов из £, что хп ^ хп+\ для любого п и
lim xn(t) = 0
/2->оо
для любого t<=A. Пусть X — подмножество из Л, на котором
#i(0>0, и М = maxxi(t). Для е>0 обозначим через Вп
множество тех /еЛ, где xn(t) > е. Так как хп — ступенчатая
функция, то Вп е Г и I - Вп = Сп g Г. Тогда
хп < МцВп + еФС/г;
поскольку (ы есть положительная линейная форма, то
IX (хп) < Mix (Вп) + e^i (Сп) < Mix {Вп) + 8|х (*).
Так как л:п убывает и стремится к нулю и так как Вп есть
множество тех t9 для которых xn(t) > е, то П #n = 0; значит,
|ы(£п) стремится к нулю по предположению; следовательно,
Нгп|я(л:пХ е|я(Х), чем доказано, что
lim ix (хп) ^=0-
/1->оо
Теперь мы можем принять следующее определение.
Определение положительной меры на клане. Положительной
мерой на клане Г подмножеств множества А называется
отображение [х клана Г в R+, удовлетворяющее следующим условиям:
1) Если 1еГ, Ге=Г и X(\Y=(Z, то
lx(X{)Y) = ix(X) + ix(Y).
2) Если ZczF, то ц(*)<ц(У)*).
оо
3) Если 1„еГ, Хп=>Хп+1 и f\Xa=0, то lim ц(Х,) = 0.
i П->оо
*) Условие 2) следует из условия 1) и выделено для наглядности.
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ 375
Говорят, что мера |л ограничена, если /1еГ, и значит, если
]ы(Л) конечна.
Каково бы ни было подмножество ХеГ, \х{Х) называется
мерой, или интегралом подмножества X множества Л, а само
множество X называется измеримым, или интегрируемым.
Из предыдущей теоремы вытекает, что если для любой
ступенчатой функции л: на Л вида * = 2а/Ф;^ (где Х{ попарно не
пересекаются) положить
\i{x) = ^ai\x(Xi)y
то на пространстве ступенчатых функций будет определена
положительная мера в смысле § 1.
Приведенное определение (часто употребляемое) интересно
тем, что оно исходит из более интуитивного понятия меры;
условие 1) есть условие так называемой конечной аддитивности-,
условие 2) есть условие возрастания, соответствующее
включению. Однако важно показать, что условия 1) и 3) эквивалентны
полной аддитивности, т. е. если счетное семейство попарно
непересекающихся элементов Хп из Г имеет своим объединением
некоторый элемент X е Г, то
оо
ИХ)=2и(Хл);
иными словами,
00
I
В самом деле, допустим, что
Хп=>Хп+] и ПХ» = 0=фНтц (^,,) = 0.
Если Х== \jXn^T, то, положив
zn = x-\Jxlt
1
получим ZnZDZn+l и f\Zn=0', следовательно,
lx(Zn) = ti(X)-tx(\Jx)j
стремится к нулю. Если, кроме того, Xi П X} = 0 для i Ф /, и
если допустить конечную аддитивность, то
оо
Стало быть, ряд 2и-№) сходится, и его сумма равна \i(X).
376
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Обратно, допустим, что имеет место полная аддитивность
(что влечет конечную аддитивность) и пусть имеется такое
счетное семейство Хи что
оо
1
Пусть Yi = Хг — Xi+\\ имеем У* П Y, = 0, если / Ф /, (J Уг- =
= Хь и значит,
Ряд
оо
1
сходится, и следовательно,
оо
Нт2ц(У|) = 0;
Я->оо /г
HO
оо / ОО \
Sii(Ki) = ii (U ^) = ^(^).
и стало быть, [x(Xn) стремится к нулю.
Итак, можем сформулировать результат:
Предложение. Положительная мера на клане Г
определяется отображением \х клана Г в R+, удовлетворяющим
следующим условиям:
1) если ХееГ, УеГиХс У, то ц(Х) < |я(У);
оо
2) если 1„еГ, Х = [)Хп(=Г и Xif)X, = 0 (i^j), то
оо
»(Х) = 1>ц(Хп).
Примеры. 1) На множестве А рассматривается клан,
порожденный разбиением множества А на одноэлементные
подмножества {/}; определяем меру, полагая |я(0) =0 и |я({/}) =
= 1 для любого t е А.
Так, в случае А = N ступенчатая функция будет конечной
последовательностью х = (1¾) (где 1¾ = 0, кроме конечного
числа индексов) и иМ —Slfe- Построение пространства Ll(N)
по методу, который будет изложен в следующем разделе,
приведет к пространству Ll(N) предыдущего параграфа
(примеры, 2)).
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
377
2) Рассмотрим на числовой прямой клан, порожденный
интервалами [а9Ь[, и определим меру, положив |я([а, b[) = b — а.
Тем самым мы определили меру Лебега.
Вообще, исходя из того же клана, можно определить меру
(которая будет изучаться в этой главе) посредством
непрерывной слева возрастающей числовой функции f, если положить
li([a,b[) = f(b)-f(a).
Сужение меры. Пусть Е'— подпространство ступенчатых
функций на множестве А относительно клана Г; можно снова,
как и в предыдущем параграфе, рассматривать сужение меры \х
на Е'. Можно также рассматривать элемент ХбГи следы на X
других элементов из ,Г; положим [ix{Y)= y>(Y) при УеГ,
У с: Х\ тем самым будет определена мера \хх на ступенчатых
функциях на X. Она называется индуцированной мерой.
§ 4. Положительная мера Радона
Во всем, что излагалось выше, множество А не
предполагалось наделенным топологией. Если А — топологическое
пространство, то множество 97 всех непрерывных числовых функций на А
есть пространство Рисса. Но можно также получить
пространство Рисса, состоящее из непрерывных функций, так, что при
этом рассматриваются не все непрерывные функции. Например,
пространство Рисса образует множество Е непрерывных
функций на /?, обладающих тем свойством, что для любой функции
xg£ найдутся такие два числа а > О, М > О, что при
достаточно большом |/| выполняется неравенство |я(/)| ^.M/ta+l.
Мы рассмотрим тот важный случай, когда А есть локально
компактное топологическое пространство.
Пусть f есть функция, определенная на топологическом
пространстве А и принимающая значения в векторном
пространстве F. Носителем функции f называется замыкание в А
множества тех t ё Л, для которых f(t) ф 0.
Если А не только локально компактно, но и компактно, то
поскольку замкнутое множество в компактном пространстве
компактно, всякая функция со значениями в F имеет
компактный носитель. Если пространство А локально компактно, но не
компактно, то для функции с компактным носителем существует
компактное множество /(, вне которого функция обращается
в нуль. Обратно, если х — функция, равная нулю вне некоторого
компактного множества /С, то ее носитель содержится в К\
а так как носитель замкнут, то он компактен.
Пусть теперь *&—множество непрерывных числовых
функций, определенных на локально компактном пространстве А и
378
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
имеющих компактный носитель, или, что то же самое,
обращающихся в нуль вне некоторого компактного множества
(меняющегося вместе с функцией). Это множество будет пространством
Рисса, ибо если xg^, j/g?, то x + j/g? и Ix^ff (Я
—действительное); а так как функция |л:| непрерывна и имеет тот
же носитель, что и х, то \х\ G?.
Можно, следовательно, определить на Ф положительную
меру, как в предыдущем параграфе. Важным является тот факт,
что для такой меры аксиома (2f) автоматически выполняется.
Мы докажем следующую теорему.
Теорема 1. Любая положительная линейная форма на
пространстве Рисса непрерывных числовых функций на локально
компактном пространстве, имеющих компактный носитель,
является положительной мерой.
Пусть А — локально компактное пространство,
(хп)—убывающая последовательность непрерывных положительных
функций с компактным носителем, сходящаяся просто к нулю, и \х —
положительная линейная форма на пространстве ^ непрерывных
функций с компактным носителем. Надо доказать, что
lim jm(Af„) = 0.
Так как хп ^ хп+\ ^ 0 для любого п, то все носители
функций хп содержатся в носителе функции Х\, который мы
обозначим через /С
Теорема Дини в применении к убывающей
последовательности хп непрерывных функций на компакте К доказывает, что из
простой сходимости к нулю последовательности хп следует ее
равномерная сходимость. Пусть для любого xg^
|| х || = sup | х (/)1,
т. е. норма равномерной сходимости. Тогда для предыдущей
последовательности хп имеем lim IUn|| = 0.
С другой стороны, поскольку К — компактное множество э
локальном компактном пространстве Л, то существует
компактная окрестность множества /С, т. е. компактное множество Кг\
содержащее открытое множество О, содержащее К: КаО а /С'.
Множества К и К' — О замкнуты в компактном пространстве К'*
по теореме Урысоиа найдется непрерывная функция и,
принимающая свои значения в [0, 1], обращающаяся в нуль на К' — О
и равная 1 на /С. Положим и = 0 вне О; тогда функция и не-
прерывна и имеет компактный носитель, а значит,
принадлежит <&.
Таким образом, имеем 0 ^ хп ^ lUnllw; а так как \х —
положительная линейная форма, то
\1{хпХ\\Хп\\\>>{и)9
откуда lim [х(хп) = 0.
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
379
Тем самым теорема доказана. Но, кроме того, если х е ^ и
если К — носитель функции х, то найдется компакт К' zd К и
непрерывная функция и, принимающая значения в [0, 1], равная
нулю вне К' и равная 1 на К\ это снова дает нам
— ||*||н^*^|| *||н;
а поскольку \i — положительная линейная форма, то
-IUII|i(«)<|iW<||Jc|||i(tt)f
или
1М*)КП*1Мм).
Константа \i(u), определяемая множествами К и К', а
значит, множеством К, одна и та же для всех функций х, носитель
которых лежит в К. Следовательно, если &к — подпространство
непрерывных функций, носитель которых принадлежит
компактному множеству К и если *&к наделено нормой равномерной
сходимости, то сужение \х на ^к есть непрерывная линейная
форма.
Наконец, отметим, что верно и обратное, ибо если для любого
х^Фк выполняется неравенство ||li(*) | ^ Мк11*И, где ^к —
постоянная, и если хп ^ 0 убывает и стремится к нулю, то ||хп||
стремится к нулю, а стало быть, и \х{хп).
Таким образом, мы можем уточнить теорему* 1 следующим
образом.
Теорема 2. Пусть А — локально компактное пространство,
9? (А)—пространство Рисса непрерывных функций с
компактным носителем, ^к{А)—подпространство, состоящее из
функций, носитель которых содержится в компактном множестве К.
Всякая положительная мера на 9? (А) есть положительная
линейная форма, сужение которой на 9!?к(А), наделенное нормой
равномерной сходимости, непрерывно.
Определение. Положительной мерой Радона на 9?(А)
называется любая положительная линейная форма на ф(А).
Замечания. 1) Отметим, что если А — компактное
множество, то пространство ^(А) содержит характеристическую
функцию фл множества А, поскольку qu есть непрерывная
функция на А, имеющая носителем компакт А. Следовательно, если
на 9? (А) задана положительная мера Радона, то в силу
компактности множества А для любого х^9(А) будут выполняться
неравенства
UKIUII-Фл и I и- (х) К II* II и- (фл).
Говорят также, что мера ограничена, или, еще, что
пространство А имеет ограниченную меру.
380
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Напротив, если А локально компактно, но не компактно, то
подпространство ^К(А)9 вообще говоря, не содержит фк, ибо
Фк не будет непрерывна на А.
2) Положительная мера на ^(Л), вообще говоря, не будет
непрерывной, если наделить ^(А) нормой равномерной
сходимости, поскольку неравенство |и<М1 ^ МЫ верно не для всех
непрерывных функций с компактным носителем.
Примеры. 1) Считая (как это делается в элементарных
курсах), что на R определен интеграл от непрерывных функций
на компактном интервале [а, Ь], полагаем для любой
непрерывной функции с компактным носителем \i(x) = x(t)dt. Тем
самым определена положительная линейная форма на
пространстве непрерывных числовых функций с компактным носителем
в /?, и если носитель функции х содержится в [а, 6], то, в
соответствии с элементарными свойствами, получаем неравенство
\\х(х)\ < (6 —а) ||*||, где
|| х ||= Sup \x(t)l
Таким образом, один из методов определения этой меры состоит
в том, чтобы рассмотреть вначале элементарную меру на
интервалах [а, Ь [, положив |я([а, Ь [) = Ъ — а, а затем определить [i{x),
заметив, что х есть равномерный предел ступенчатых функций.
Это мера Лебега.
Эта мера не ограничена на /?, независимо от того, какую из
двух точек зрения мы принимаем; ибо если взять клан Г,
порожденный интервалами [а, Ь[, где а и Ь конечны, то R ф. Г, и когда
мы строим интеграл от непрерывных функций, функция,
равная 1 на /?, оказывается неинтегрируемой; если же
предположить известным интеграл от непрерывных функций, то,
рассматривая функции хп, определяемые как xn(t) = xn(—t), xn(t) =
= 1 — t/n, если 0 ^ t ^ /г, хп (t) = 0, если t ^ /г, получаем
[i(xn) = п\\хп\\9 и, следовательно, неравенство |м<(я)|^Л/Ы не
может выполняться для всех х с константой М, не зависящей
от х.
2) Пусть / — непрерывная положительная функция с
компактным носителем на R (например, f(t)=t(l — t) на [0,1],
^(/)=0, если /^[0,1]). Для любой непрерывной функции х
рассмотрим
\л(х) = j x(t)f(t)dt,
в соответствии с предыдущим понятием интеграла. Имеем
\\i(x)\<\\x\\jf(t)dt.
Тем самым определена ограниченная мера,
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
381
3) Пусть f — такая непрерывная положительная функция
на /?, что если |/| достаточно велико, то f(t) ^ZM/\t\a+\ где
а>0 (например, f(t) = 1/(1 + t2)). Для любой непрерывной
функции х с компактным носителем полагаем
\i(x)=l x(t)f(t)dt.
Снова имеем такую меру, что
М*ЖИ*И \fif)dt\
при этом интеграл берется от — оо до *+"оо.
§ 5. Обобщение понятия меры
До сих пор мы рассматривали лишь положительные меры на
пространстве Рисса, т. е. положительные линейные формы,
удовлетворяющие аксиоме (&). Мы видели, что в случае
непрерывных функций с компактным носителем эта аксиома (2()
вытекает из теоремы Дини. Можно, следовательно, пытаться
рассматривать на пространстве Рисса не обязательно
положительные линейные формы, но удовлетворяющие условию
непрерывности, которое заменит аксиому (У). Для этого требуется,
чтобы пространство Рисса было наделено некоторой топологией.
Мы предположим, что пространство Рисса Е числовых
функций наделено некоторой нормой (или полунормой), обладающей
тем свойством, что если х ^ 0 и \у\ <: х, то \\у\\ ^ IU||. Мы
покажем, что если |я — непрерывная линейная форма на £, то она
представима в виде разности двух положительных линейных
форм..
Прежде всего мы установим несколько лемм.
Для первой леммы не требуется, чтобы Е было
пространством Рисса, а требуется только, чтобы оно было упорядоченным
векторным пространством, т. е. нужна прежде всего
упорядоченная группа по сложению (гл. II, раздел 2, § 6) и притом такая,
чтобы внешний закон согласовывался с порядком, т. е. чтобы
для любого скаляра а>0 выполнялось л;Х)=#> ах> 0.
Лемма 1. Пусть Е — упорядоченное действительное
векторное пространство и f — такая числовая функция на Я, что
f(x + y) = f(x) + f(y) и что х> 0 =>/(*) ^ 0; тогда f есть
положительная линейная форма на Е.
Достаточно показать, что если а — действительное число, то
f (ал:) = af(x). Но для любых х и у имеем
f(x + y) = f(x) + f(y).
Значит,
f(x + Q) = f(x) = f(x) + f(Q),
382
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
откуда /(0)= 0; если у = — х, то 0 = / (х) + f (—х), или
/(—х) = — f(x). Следовательно, если равенство f(ax)=af(xf
верно для любого а ^ О, то оно верно и для а ^ 0. Пусть
теперь п ^ 0 — целое; аддитивность влечет равенство f(nx) =
= nf(x), и значит, после замены х на я/я получаем
/(*/л) = (1/л)/(*);
после этого, заменяя х на тх (т ^ 0— целое), получаем для
любого рационального г ^ 0
/(г*) = г/(*).
Но л: ^ 0 =#> / (х) ^ 0, и стало быть, для х^у имеем
x-y>0^f(x)^f(y).
Пусть а ^ 0 — действительное число и г, г' — рациональные
числа, удовлетворяющие условию г ^ а < /*'. Имеем
'/(*)</М<'7(*);
а так как rf(x) и г7/ (я) сколь угодно мало отличаются от af(x),
то
af(x) = f(ax).
Л е м м а 2. Пусть Е — пространство Рисса и f — функция с
положительными значениями, определенная для положительных
элементов изЕ и такая, что f(x + y) =f(x) +f(y) для любых
х ^0, у ^ 0. Тогда существует линейная форма f,
продолжающая f с множества положительных элементов из Е на все Е. Эта
форма единственна.
Пусть имеется произвольный элемент z^E. Известно, что z
может быть представлен в виде разности двух положительных
элементов (в группе Рисса: х = *+ — х~); записываем z = у — х.
Если существуют два других положительных элемента, таких,
что z = у' — х', то
у — х = у' — х',
и у + х' = х + у'; следовательно,
f(y) + f(x/) = f(x) + f(y\
откуда
f(y) -f(x) = f(y') -/(*')•
Итак, для всех представлений элемента г из £ в виде разности
двух положительных элементов число f(y)—f(x) всегда одно
и то же; можно, значит, положить
f(z) = f(y)-f(x).
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ 383
Ясно, что если z ^ 0, то f(z) = f(z) ^ 0, и
f(z + z') = f(z) + f(z').
Следовательно, по лемме 1, f — линейна.
Единственность формы j вытекает из того, что Е порождается
своими положительными элементами (т. е. если известны
положительные элементы из £ и если для х>0 и у !> О sup (х, у) е
е£, то. остальные элементы ze£ получаются, если
рассмотреть г = у — х).
Теперь докажем теорему. Рассмотрим пространство Рисса
числовых функций, наделенное такой нормой, что если \у\ ^х,
то \\у\\ ^ \\х\\\ и пусть f — непрерывная линейная форма.
Если найдется такая положительная линейная форма g, что
g(x) ^ f(x) для любого х^О, то h = g — f будет также
положительной линейной формой, и тогда f = g — h.
Так как f непрерывна, то
\f(y)\<M\\y\\9
а если | у \^х9 то
\f(y)\<M\\x\\.
Стало быть, можно рассматривать верхнюю грань чисел f(y)
для всех тех у, для которых 0 ^ у ^'х. Пусть теперь
g(x)= sup f(y).
Так как /(0) = 0, то g(x), как верхняя грань чисел, содержащих
нуль, положительно или равно нулю.
Следовательно, g(x) ^0 для любого х ^ 0. В силу леммы 2
остается доказать, что для х ^ 0, х' ^ 0
g(x + x') = g(x) + g(x').
Но
g(x) + g(x') = sup f(y) + sup f(y') = supf(y + y')
(для 0<z/<x, 0<у'<л;');
а так как
sup f(y + y')< sup f(y") = g(x + x'),
TO
S(x) + g(x')^g(x + x').
С другой стороны,
g(x + *') = sup / (*/) = sup (f (inf (x, y)) + f{y — inf (*, y))) <
< SUp (f (inf (X, 0)) + f (y' - inf (*, y'))).
0КУ<х+х'
384
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Но inf (х, у)<х, а поскольку у — inf (х, у) = sup (х, у) — х, те!
О < у' — inf (х, у') < х\
Отсюда
g(x + x')^g(x) + g(x'),
и окончательно,
£(* + *0 = gW+ £(*')•
Наконец, форма g непрерывна, ибо определение формы g
влечет "i
l?WI< sup |f (у) |<М||х||.
Сформулируем результат.
Теорема. Пусть Е — пространство Рисса числовых функ*
ций, наделенное такой нормой, что если 0 ^ \у\ ^ х, то ||t/|| ^;
^ ||я||. Тогда всякая непрерывная линейная форма на Е есть;
разность двух положительных непрерывных линейных форм.
Таким образом, если Е — пространство непрерывных функ-|
ций, определенных на компактном пространстве, и если взять
||*H = supU(*)| :
(норма равномерной сходимости), то непрерывная линейная
форма \х на Е является разностью двух положительных
линейных форм, и значит, двух положительных мер.
Поэтому в этом случае мерой (или мерой Радона)
называется любая непрерывная линейная форма на этом
пространстве, наделенном нормой равномерной сходимости.
РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА 2
Пусть Е — пространство Рисса числовых функций,
определенных на множестве Л, и \х — положительная мера на Е.
Каждому х^Е поставим в соответствие ||л:|| = ц(|*|); тем-
самым на Е определена полунорма, так как \х есть положитель^
ная линейная форма. Пополнение пространства Е по этой полу*^
норме является пополнением полунормированного пространства]
Рисса при помощи положительной линейной формы; оно обла^
дает свойством, доказанным в главе VIII. Для построения по-^
полнения требуется лишь свойство формы \х быть положительно*
линейной формой. Но, как мы уже объясняли во введении, чтобы
отождествить пополнение пространства Е с пространством 9?
числовых функций, необходимо использовать аксиому Э'.
(Можно даже в процессе доказательства заметить, что аксиома {&)
2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА JS?
385
не требуется ни для определения пространства 9', ни для
доказательства того, что отображение пополнения Е ъ 9? является
отображением на 9?\ она требуется лишь для установления того
факта, что соответствие взаимно однозначно.)
Итак, мы пришли к рассмотрению на Е второго понятия
предела — к понятию простой сходимости почти всюду, и
теперь пространство 9? будет выступать как пространство,
состоящее из числовых функций, являющихся пределом
последовательностей Коши из Е одновременно относительно полунормы
и относительно простой- сходимости почти всюду.
Мы определим выражение «почти всюду», т. е. определим
пренебрежимые множества, и придадим аксиоме (2f) ту
эквивалентную форму, которая использует понятие простой
сходимости почти всюду. Затем мы определим 9? и покажем, что
между 9? и пополнением пространства Е существует биективное
соответствие.
Мы сохраняем обозначения, использовавшиеся при изучении
нормированного пространства Рисса (гл. VII, раздел 2, § 2).
Выражение «последовательность Коши», без дополнительной
информации, будет относиться к топологии, определенной
полунормой.
Выражение «эквивалентные последовательности», без
дополнительных указаний, будет означать эквивалентность по
полунорме, т. е. полунорма разности последовательностей (хп), (уп)
стремится к нулю.
§ 1. Пренебрежимые множества. Новая форма аксиомы (У)
1. Пренебрежимые множества. Рассмотрим все
последовательности (хп) элементов из Е, которые одновременно являются
последовательностями Коши и монотонны.
Для последовательности Коши
lim [х (Up -^1) = 0.
р-»оо, <7-»оо
Но если при этом последовательность (хп) монотонна,
например, возрастает, то хп ^ xn+i при любом п (т. е. xn(t) ^ xn+i(t)
при любом ^еЛ и любом пеЛ/); следовательно, либо
\хр — xq\ = xp — xq, либо \хр — xq\ — xq—Хр, и значит,
V>(\Xp--Xq\)=:±V (Хр — Xq),
поскольку [х — положительная форма. В силу равенства
V>{Xp — xq) = \i(xp)~-\i{xq)t
386
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
условие lim р, (| хр — xq |) = 0 влечет для монотонной после-
довательности
lim (|i(^p) —|i(^))=0;
p->oot q->oo
таким образом, (\i(xn)) есть последовательность Коши в R и
значит, сходится. Обратно, если (хп) —такая возрастающая
последовательность, что \х{хп) имеет конечный предел (или, что
то же самое, такая, что \х{хп) ограничена, поскольку \х(хп)
возрастает вместе с /г, если возрастает хп), то \i(\xp — xq\)
стремится к нулю.
Итак, монотонная последовательность Коши в Е есть
монотонная последовательность, все интегралы которой ограничены.
Обозначим для такой последовательности через е множество
(которое может быть пустым) тех /еу1, в которых
последовательность хп не сходится (в смысле простой сходимости), т. е.
для любого t ^ е а А имеем
lim\xn(t)\ = +oo.
П->оо
Определение. Пренебрежимым множеством называется
любое подмножество множества е, обладающего тем свойством, что
существует монотонная последовательность Коши из Е, не
сходящаяся на этом подмножестве в смысле простой сходимости.
2. Выражение «почти всюду». Когда некоторое свойство или
соотношение, относящееся к функциям со значениями в R, будет
иметь место для любого /еЛ, кроме, быть может, пренебрежи-
мого множества, то мы будем говорить, что свойство или
соотношение справедливо почты всюду. Если требуется уточнить,
что речь идет о мере \х (например, в случае, когда в
рассмотрение входят несколько мер), то мы будем писать ji-почти
ВСЮДУ ИЛИ ПОЧТИ ВСЮДУ ОТНОСИТеЛЬНО [1.
Так, если две функции / и g равны между собой всюду,
кроме, быть может, пренебрежимого множества, то мы будем
говорить, что они равны почти всюду, и записывать
fir. *•
Это отношение есть отношение эквивалентности между
функциями со значениями в R. Точно так же вводятся отношения
/ < g, f = h + g9 и т. д.
п. в. п- в-
Что касается суммы h + g, то мы предположим, что эта сумма
имеет смысл всюду, кроме, быть может, пренебрежимого
множества е\ если же для t^e сумма h(t) -\-g(t) не определена
(скажем, h(t) = +оо, g(t) = — сю), то мы придадим ей по
соглашению любое значение.
2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА X
387
Точно так же распространяется отношение
f== \imfn.
Это означает, что последовательность fn функций со значениями
в R сходится всюду, кроме, быть может, пренебрежимого
множества, к функции f. Иными словами, существует такое прене-
брежимое, быть, может, пустое, множество е, что если t^e, то
f(0=limf„(0.
rt-»oo
Этот вид сходимости называется также простой сходимостью
почти всюду.
Если задана только последовательность функций /п,
относительно которой известно, что fn{t) сходится в R почти всюду, то,
рассматривая функцию f, равную почти всюду
Hm fn{t),
получаем
Следовательно, для любой функции g, равной почти всюду
функции f, будет выполняться:
g = lim fn.
П. в. rt^oo
Иногда говорят, что предел f определен с точностью до
пренебрежимого множества. Это бывает более удобно, чем отношения
эквивалентности (которое нами тоже будет использоваться):
Еще раз отметим, что, по определению, монотонная
последовательность Коши сходится почти всюду.
3. Новая форма аксиомы (3^). Предложение. Аксиома
(3() эквивалентна аксиоме:
(У) Для любой положительной последовательности (хп)
из Е, убывающей и сходящейся почти всюду к нулю, \х(хп)
сходится к нулю.
Очевидно, что (Sf')^ (У).
Покажем, что (#)=^(3^). Пусть (уп) —убывающая
последовательность, которая сходится всюду, кроме пренебрежимого
множества е. Предположим, что аксиома (2f) верна и покажем,
что \i{yn) стремится к нулю.
В самом деле, по определению множества е, существует е\ гэ
zd е и такая возрастающая последовательность Коши (zn), что
388
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
\x(zn) ограничена, zn(t)—> +00, если /Gei, и zn(t) сходится в/?,
если у^е\. Рассматривая в случае необходимости zn — %
можем предположить, что zn ^ 0. Следовательно. —zn (/)->—оо
на е и сходится к значению ^0, если t^e\.
Введем теперь последовательность уп — zn. Если /е^, то
yn(t) — zn(t) ->—00; если t^eu то yn(t) — zn(t) имеет предел
^0, ибо #п(0 стремится к нулю, а — zn(t) ^.0. Значит,
(yn(t) — zn(t))+ сходится к 0 для любого / и убывает как
Уп — zn. В силу аксиомы (У), \\,{{уп — zn)+) стремится к нулю.
Итак, записываем:
Н< (Уп) = 1>>(Уп — zn) + [X (zn) < [х ((уп — zn)+) + [l (zn).
Так как уп убывает и \х{уп) ^ 0 (а значит, ограничена), то
(уп) есть последовательность Коши, \х{уп) имеет конечный
предел, и
§^\\m\i{yn)<,\\m\L{zn).
Теперь достаточно положить a = lim|i(zn) и заменить zn
на szn/a, где е>0— заданное число, чтобы получить
неравенство lim(|i(!/n)) ^ е; тем самым доказано, что {&)==?> (У).
4. Свойство последовательностей Коши относительно простой
сходимости почти всюду. Предложение. Из любой
последовательности Коши в Е можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся почти всюду. Из любой последовательности Коши
в Е, эквивалентной нулю (т. е. такой, что полунормы ее
элементов сходятся к нулю), можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к нулю.
Пусть Е — пространство Рисса числовых функций,
определенных на множестве А, \х — положительная мера на Е. И пусть
\\х\\ = |я (| х |) для любого х е Е.
Если (хп)—последовательность Коши, то lim||xp — xq\\ = 0.
Пусть ел — последовательность таких положительных
действительных чисел, что 2е&< + °°> и ри — последовательность
таких бесконечно возрастающих целых чисел, что|[лгРд,+1 — xPk\\<ek
(гл. VII, раздел 2, § 1, п. 4)).
Пусть, далее,
V
yv = Ъ \*Pk+l — *р*|;
последовательность (yv) возрастает. Согласно свойствам \х
имеем
V V
II Vv II < 2 1 xPk+i — xPk I < 2 efe;
2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА se 389
значит, (yv) ограничена. Таким образом, (yv) есть монотонная
последовательность Коши, сходящаяся почти всюду.
Следовательно, ряд
2(*p>+iW-**W)
абсолютно сходится почти всюду, и Xpk(t) сходится почти всюду.
Если
Urn || л:р || = 0,
то будет также выполняться неравенство 2|#pfe| < + °°, откуда
следует сходимость почти всюду ряда 2 I xPk (t) | и сходимость
почти всюду к нулю последовательности xPk(t). Тем самым
доказана вторая часть предложения.
§ 2. Построение пространств j£ и L
1. Определение пространства Jg и пространства L и
отображение Ё на L.
Определения. Обозначим через 9? множество всех функций,
определенных на А, принимающих значения в R и являющихся
почти всюду пределами последовательностей Коши в Е.
Обозначим через 3\ или через L, факторпрост ранет во
пространства 2 по отношению эквивалентности f = g между эле-
ц. в.
ментами пространства S.
Класс эквивалентности функции f е 2? будет обозначаться}.
Пусть feS7 и пусть (хп)— последовательность функций из Еу
сходящаяся почти всюду к f и являющаяся последовательностью
Коши в Е. Можно предположить, что
2||*я+1 — *п\\< + °°
и что ряд 21*я+1--*я1 сходится почти всюду (см.
предыдущий параграф, п. 4). Согласно свойствам абсолютно сходящихся
рядов, ряды
2j(xn + \ Хп) 9 2j\Xn + l Хп)
с положительными членами сходятся почти всюду.
Функции
V
*/v=l Xi |+Sl Хп + Х — Xn\t
V
% = Xt + 2 (*я+1 — Хп) + ,
V
% = Х- + 2 (Xn + i — ХпГ
390
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
образуют возрастающие последовательности, а поскольку qpv <g
^ */v, ^v ^ */v, то это будут монотонные последовательности
Коши. Последовательность (qpv) сходится почти всюду k/igS',
(Я|5У) ~ К /2 €= 5", И
оо
п. в.
Следовательно, всякая функция из 2 есть разность функций,
являющихся пределами возрастающих последовательностей
функций из Е.
Обратно, пусть f\ — предел почти всюду возрастающей
последовательности Коши функций Хп^Е, f2 — предел почти
всюду такой же последовательности функций уп. Тогда
последовательность хп — уп сходится почти всюду к /д —fa а так как
\xp — yp — {xq — yq)\ =
= 1 (¾ — Хд) ~~ (Ур — Уд) К Up — Xq | + | УР — Уд |,
ТО
V>(\xp — yp — (xq — yq)\^v.(\xp — xq\) + \i(\yp — yq\)t
чем доказано, что (хп~- уп) есть последовательность Коши в Е
и следовательно, f\ — f2 е 2\
Итак, получено характеристическое свойство элементов из 2\
выражаемое следующей теоремой.
Теорема. Для того чтобы функция f принадлежала 2\
необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде
разности двух функций из 2', являющихся почти всюду
пределами возрастающих последовательностей Коши элементов из Е.
Важность этой теоремы станет ясна в дальнейшем: в боль-
шинстве случаев свойство функции f е 2 будет получено путем
доказательства того, что оно верно для любого х е Е и для
предела монотонной последовательности Коши функций из Е.
Теперь мы рассмотрим пополнение Ё пространства Е и
определим отображение В на 2'. Читатель будет (по мере
надобности) отсылаться к главе VII, раздел 2, § 1.
Если (хп)—последовательность Коши, сходящаяся почти
всюду к f ^2, то поскольку (|яп|) —тоже последовательность
Коши, (|*п|) определяет |/| и сходится к |/| почти всюду.
Следовательно, 1^2^ |/| е«2\ Но, кроме того, х+ есть
последовательность Коши, сходящаяся почти всюду к /+, и, точно
так же, Хп есть последовательность Коши, сходящаяся почти
всюду к /-.
2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА 2
391
Пусть X — элемент из Ё\ это есть множество
последовательностей Коши из £, эквивалентных одной из них. Выберем
некоторую последовательность Коши (хп) gX; выделим из нее
подпоследовательность (xnk}> сходящуюся почти всюду
(предложение из п. 4, § 1) и, значит, определяющую некоторый элемент
/ей7.
Пусть, далее, имеется другая последовательность {xk) е X
сходящаяся почти всюду; и пусть f — элемент из 2, который
она определяет. Так как [хп^ и (х'ь) эквивалентны, или
(xnk — х'ь) эквивалентна нулю, то можно выделить
подпоследовательность (Xnk —Xk \, сходящуюся почти всюду к нулю (там
же). Но х„ их', уже сходятся к f и f почти всюду; поэтому
f =/'. Иными словами, f и f ef — одному и тому же элементу
из 2.
Таким образом, каждому Х^Е соответствует некоторое fe
е 2, и очевидно, что любое f е 2 является образом
некоторого X. Тем самым определено отображение Е на 2.
Это отображение переносит с Е на 2 отношения сложения
и порядка.
Более того, можно продолжить на 2 положительную
линейную форму \i. Действительно, если (хп)— последовательность
Коши, сходящаяся почти всюду к f, то \х(хп) имеет конечный
предел, поскольку
lim \li{xp) — \i(xq)\= lim \\i(xp — xq)\
p->oo, q-*oo p->oo, g->oo
и
I V {Xp — Xq) К M< ( Up — Xq) | = l| Xp — Xq ||.
Если x'—последовательность Коши, эквивалентная (x\ т. е.
если (jcrt) и (х^ принадлежат одному и тому же X из £, то
ji(j^) имеет конечный предел, равно как и ц(*„)> и ц(х'п) — ^(хп)
стремится к нулю; стало быть, ц(л^) имеет тот же предел,
что и \i{xn). Следовательно, предел последовательности у, (хп)
зависит лишь от класса X, и мы можем записать
li{f) = \\m\i{xn).
Таким образом, 2 тоже является группой Рисса, и тогда \х
продолжается до линейной формы на 2\
Теперь речь идет о том, чтобы выяснить, можно ли
отождествить Е и 2. Определенное выше отображение есть
отображение Ё на 2, сохраняющее отношения сложения и порядка.
392
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Но оно может не быть взаимно однозначным, ибо может
оказаться, что функция / е & будет пределом почти всюду двух
последовательностей Коши (хп) и (уп), не принадлежащих
одному и тому же элементу X из Е, или, иными словами, не
эквивалентных. Все сводится к рассмотрению последовательности
хп— Уп, так что остается доказать, что если последовательность
Коши (хп) сходится почти всюду к 0, то ее полунорма ц(|#п|)
сходится к нулю.
§ 3. Теорема об интегрировании
Теорема обинтегрировании. Пусть Е — пространство
Рисса числовых функций на множестве А, полунормированное
посредством положительной меры. Для того, чтобы сходящаяся
почти всюду последовательность Коши была эквивалентна нулю,
необходимо и достаточно, чтобы она сходилась почти всюду
к нулю.
Необходимость вытекает из предложения п. 4, § 1. Для
доказательства достаточности, очевидно, достаточно рассмотреть
положительные последовательности. Пусть (хп)
—последовательность Коши, сходящаяся почти всюду к нулю, и пусть X =
= lim\i(xn), е > 0. Выделим из (хп) такую
подпоследовательность (гл. VII, раздел 2, § 1, п. 4), что
КК+1-^|)<е/2*'
Чтобы не перегружать обозначения, мы будем эту
подпоследовательность снова обозначать через (хп), и стало быть, отныне
это будет такая последовательность, что
\ь(\хп+1 — Хп\)<е/2п
для любого п.
Пусть
ymtn=sup(xmt ..., хп), zm = ini(yuni, ..., Ут,пт)-
Имеем
0<\i(ym,nm)-li(xm)<ae/2m9
0 < \1 (Ут. пт) — И Ы< Р*,
где а, р — абсолютные константы. Итак,
Но так как, по условию, (хт) стремится к нулю почти всюду,
то это верно и для ут,пт, поскольку
Ут,пт = SUP \Хт, ..-, Хпт)>
2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА X
393
следовательно,
zm = inf (#lf/v ..., Ут,пт)
тоже стремится к нулю почти всюду.
Но тогда последовательность (zm) убывает, и в силу аксиомы
(&') (\х(гт)) стремится к нулю, и окончательно,
0<А= lim \i(ym,nm) = lim |д,(*„)< ре.
Итак, lim \х(хп) = 0.
Мы придадим этой фундаментальной теореме другой вид,
который сделает более выпуклым отношение между двумя
совершенно различными понятиями предела. Пусть (Е,
£ГЦ)—пространство Рисса Е, наделенное топологией полунормы,
определенной посредством \х. Не существует никакой естественной
топологии в множестве измеримых функций, в которой
сходимость последовательностей была бы равносильна сходимости
почти всюду; однако можно рассматривать сходимость почти
всюду как сходимость в некотором индуктивном пределе
топологических векторных пространств.
В теореме об интегрировании рассматриваются
последовательности, которые будут последовательностями Коши
одновременно в (£, £ГЦ) и в смысле простой сходимости почти всюду.
Итак, мы придадим ей следующую форму.
Теорема об интегрировании. Пусть- Е —
пространство Рисса числовых функций, <2Г^ — топология, определенная
посредством положительной меры \i. Во множестве
последовательностей, являющихся последовательностями Коши,
одновременно в (Е, Ту) и относительно сходимости почти всюду,
сходимость последовательности к нулю почти всюду равносильна
сходимости последовательности к нулю в (Е,^"^).
Замечания. 1) Ясно, что теорема верна, если
предположить только, что Е есть группа Рисса.
2) Пространство SS зависит от А, Е, \х.
3) В разделе 3 мы покажем, что продолженная
положительная линейная форма ji снова является мерой на &, т. е.
удовлетворяет аксиоме (5^); после этого станут оправданными
выражения «интегрируемые функции, интеграл от f е 3? есть
\x(f) = Hm \i{xn)»y которыми мы, однако, пользуемся уже
теперь (ср. раздел 3, § 3, теорема Б. Леви и предложение 2).
Резюме. Подытожим первые результаты, полученные в
построении пространства 2\
На множестве А рассматривается пространство Рисса
числовых функций, определенных на А.
Выбирается положительная мера ji, т. е. такая
положительная линейная форма на Е, что для любой последовательности
394
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(хп) функций из Е, убывающей и сходящейся просто к нулю,
[х(хп) сходится к нулю.
Пространство Е наделяется полунормой ||я|| = (ы(|л:|).
Пренебрежимым множеством называется подмножество или
объединение подмножеств из Л, на которых монотонная
последовательность Коши из Е не сходится в R.
Пусть 2 — множество функций со значениями в R, которые
являются почти всюду (т. е. кроме, быть может, пренебрежи-
мого множества) пределами последовательностей Коши из Е
в смысле простой сходимости. Элементы из 2 называются
интегрируемыми функциями.
Для любого f^2 интеграл от / есть \i(f) = \im\i(xn)f где
/ £llim *п-
Этот интеграл обозначается также
P(f)=jfdv> или |i(/)=J/rf|i.
А
Положительная линейная форма (ы также продолжима с Е
на S, и jx(|f |) есть полунорма на 2\ продолжающая полунорму
на Е.
Наконец, через L или 2 обозначается факторпространство
пространства 2 по отношению эквивалентности:
/ ~ 8 4Ф / п= £•
Проводится отождествление пространства L и пополнения
пространства Е (теорема об интегрировании).
Часто уславливаются не различать 2 и L, рассматривая как
равные две функции, равные почти всюду, или, что то же самое,
считая, что всякий элемент f е 2 определен лишь с точностью
до значений, принимаемых на пренебрежимом множестве из А.
Два основных свойства пространства 2 не нуждаются в
доказательстве; они взяты из теоремы о пополнении метрического
пространства:
1) 2 полно (L есть банахово пространство): для того чтобы
последовательность (fn) элементов из 2 сходилась к
некоторому элементу f е 2 (в топологии пространства 2)у
необходимо и достаточно, чтобы она была последовательностью Коши,
т. е. чтобы величина
ii/p-/,ii=i*(ifp-/j)=Ji/p-f,irfi*
стремилась к нулю для р —► оо и q —> оо.
3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА X
395
2) Е плотно в 9?\ для любого f е 9? и любого е > 0 найдется
такое х е £, что
llf-^ll=|i(lf-^l)=Jl/-^|rf|i<e.
РАЗДЕЛ 3
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА 'jg~
§ 1. Пренебрежимые функции
Если g — функция, определенная на А, принимающая значе*
ния в R и равная почти всюду некоторой функции f из S7, то
gGS7. В самом деле, так как f, по определению, является
пределом почти всюду некоторой последовательности Коши (хп)
из £, то это будет верно и для g.
Говорят также: произвольное изменение значений в R
интегрируемой функции в точках множества А, образующих прене-
брежимое множество, снова приводит к интегрируемой функции,
и интеграл, равный lim\x(xn)9 не изменяется.
В частности, всякая функция, равная нулю почти всюду,
интегрируема, и ее интеграл равен нулю. Это верно и для функции,
равной нулю почти всюду и принимающей в остальных точках
значения ±оо.
Определение. Пренебрежимой функцией называется любая
функция, равная нулю почти всюду.
Однако, если р, (/) = 0, то, вообще говоря, не будет
f = 0.
' п. в.
Но если f ^ 0 и если (хп) есть последовательность Кошй
из Е, сходящаяся почти всюду к /, то х+ сходится почти всюду
к f+ (раздел 2, § 2), и
' п. в. /»
х~ сходится почти всюду к
Г = 0.
' п. в.
Следовательно, х~ есть последовательность Коши,
сходящаяся почти всюду к нулю. По теореме об интегрировании,
ц(#~) стремится к нулю. Стало быть, и(*я) стремится к \i(f).
Предположим теперь, что jix(f) = 0. Отсюда вытекает, что
^(хп) стремится к нулю; но (я+) есть последовательность Коши,
сходящаяся почти всюду. По теореме от интегрировании, она
сходится почти всюду к нулю, и f =.0. Отсюда получаем
396
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Предложение. Для того чтобы интегрируемая
положительная почти всюду функция была пренебрежима, необходимо
и достаточно, чтобы ее интеграл был равен нулю.
Отсюда очевидным образом следует, что
М1/1) = о#/ = о.
§ 2. Последовательности Коши в jg
Чтобы распространить результаты предыдущего раздела на
последовательности Коши элементов из S? (а не только
элементов из Е)у необходимо, в частности, выяснить, должно ли быть
изменено понятие пренебрежимого множества. Иными словами,
будет ли достаточно того понятия пренебрежимого множества,
которое определено при помощи последовательностей Коши
элементов из Е, когда будет идти речь о последовательностях
элементов из S7, без того, чтобы возникла необходимость
обращения к монотонным последовательностям Коши в S7?
Ответ утвердителен. Результат дает первое из приводимых ниже
предложений.
Предложение I. Из любой последовательности Коши в 3?
можно выбрать подпоследовательность, мажорированную почти
всюду (т. е. всюду, кроме, быть может, пренебрежимого
множества, определяемого монотонными последовательностями Коши
элементов из Е).
Пусть 8п — последовательность положительных чисел,
удовлетворяющих условию 2е«< + °°. Выделим из
последовательности Коши в 2? такую подпоследовательность (/п), что
11Л.+1-/|»11<вя.
Каждой функций fn поставим в соответствие такую
последовательность {Xn,k)k&N ФУНКВДЙ из Е9 что
\\fn-Xn.k\\<*n/2k
для любого kt и рассмотрим последовательность (уп) функций
из Е следующего вида:
*/„= sup (xiy}).
Занумеруем функции л;г\ j для i ^ м, j^n следующим
образом:
■^1,1» *1, 2> •••» %U пз %2, 1> •••> «^2, п> •••
и запишем
\\Уп— *i.ilKH*i.2—*i, ill+ IU1.3—^, 21|+ ... +11*2.1—*i. я 11+ ...
3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА # 397
(гл. VII, раздел 2, § 1, пп. 3 и 4). Имеем
II хт. k - хт% k+{ || <И хм% k-fm || +1| fm-xmt k+l || < em (1/2* + 1/2*+'),
nm+bl~^m,JI<IUm,rt~fm|| + ||fm~fm+1|| + ||fm + 1~A:m + 1,1||<
^ em/2 + em + em+1/2.
Отсюда
Итак, (уи) есть возрастающая последовательность функций
из Е\ а поскольку ||уп|| ограничена, то (уп) есть и монотонная
последовательность Коши, значит, сходится почти всюду к
некоторой функции Fg^h
yn<F.
п. в.
Но для i ^ п и / ^ п имеем Xit j ^ уп\ следовательно, для
k ^ п имеем
Хк,п<Уп < F.
п. в.
Если зафиксировать k, то
Xkyfi<:F\
п. В.
а так как (Xktn)n сходится почти всюду к fu, то
fk<F,
п. В.
что и требовалось доказать.
Следствие. Всякая монотонная последовательность Коши
из 9? сходится почти всюду.
В самом деле (для определенности предположим, что
последовательность возрастает), из нее можно выделить
мажорированную почти всюду последовательность; а так как
последовательность возрастает, то она сходится почти всюду.
Из этого предложения мы получаем распространение на
последовательности Коши из Я? результатов, полученных в
предыдущем разделе для последовательностей Коши из Е.
Предложение 2. Из любой последовательности Коши в 3?
можно выделить сходящуюся почти всюду
подпоследовательность. Из любой эквивалентной нулю последовательности можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к 0.
Доказательство ничем не отличается от доказательства
предложения из § 1 (п. 4), раздел 2. Наконец, можно уточнить
следующий пункт: если (fn)—последовательность Коши в j?,
то в силу полноты пространства SB существует такая функция
/ei?, что ||/п — /II стремится к нулю. Стало быть, применяя
398
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
вторую часть предыдущего предложения к (fn — f), заключаем,
что существует подпоследовательность последовательности (fn)t
сходящаяся почти всюду к /.
Эти результаты подытоживаются следующей теоремой.
Теорема. Пусть (fn) — последовательность Коши в 9?.
Существует такая функция f е 2\ что
lim||/tt-f|| = 0,
П->оо
где H/II = |я(|/|), и такая подпоследовательность (/^)
последовательности (/п), что:
оо
а) 2i\\fnk+l—fnk\ есть сходящийся ряд; -
оо
б) S (f«ft+1 (0 — //г^ (0) есть абсолютно сходящийся почти
всюду ряд, и его сумма равна почти всюду функции f.
§ 3. Интегрирование последовательности функций из Jg
Одним из важнейших вопросов является вопрос о так
называемом переходе к пределу. Если (fn)—последовательность
функций из i? и если fn сходится в каком-либо смысле к
некоторой функции /, то возникает вопрос: будет ли / Принадлежать 9?
и будет ли [i(f) =lim[x(/ri), или, иными словами, при каких
условиях можно почленно интегрировать последовательность?
1. Теорема Беппо Леви. Если (fn)—возрастающая почти
всюду последовательность функций из 2\ интегралы которых
мажорированы, то она сходится почти всюду к некоторой
функции f из 2?, и
|i(/)= lim \i(fn).
В самом деле, условия теоремы означают, что (fn) есть
последовательность Коши в S7, и значит, найдется такая функция
/g^, что ti(\f — fn\) стремится к нулю. Но так как существует
последовательность fnk, сходящаяся почти всюду к /, и так как
fn возрастает, то fn сходится почти всюду к /. А так как, кроме
того, / — fn > 0, то
M\f-fn\)=P(f)-Mfn)l
следовательно,
\х (f) = lim \х (fn).
Из теоремы Б. Леви вытекают следующие три предложения.
Предложение 1. Если (fi) — счетное семейство
элементов из <2\ мажорированное (соответственно минорированное)
3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА У
399
элементом g^S, то верхняя оболочка supf^ (соответственно
нижняя оболочка inf f{) принадлежит 2\
Достаточно заметить, что последовательность, образованная
функциями
g* = supf,f
возрастает, мажорирована функцией g, и значит, \x(gn) ^ [Ji(g),
и sup fi = sup gi\ после этого предложение следует из теоремы
Б. Леви.
Предложение 2. Положительная линейная форма [л,
продолженная с Е на S', есть положительная мера на 2\
Действительно, если (fn) —убывающая последовательность
положительных функций из £?, то fn сходится к функции f G^
(предложение 1). Так как последовательность \i(fn)
положительна и убывает, а значит, имеет предел, то (fn) есть
последовательность Коши; следовательно, предел f принадлежит S7, и
\i(f) =limji(fn). В частности, если fn стремится к нулю почти
всюду, то \i(fn) имеет пределом |i (0) = 0, так что аксиома (30
выполнена для формы \i, продолженной на 2\
Предложение 3. Счетное объединение пренебрежимых
множеств есть пренебрежимое множество.
В самом деле, пусть е\ — счетное семейство пренебрежимых
множеств, фе. — их характеристические функции и
П оо
1 1
Последовательность множеств е'п возрастает, последовательность
функций qy тоже возрастает и сходится (просто) к фе. Так как
п
п п
%' < 2 фв., ч (%') < 2 ia (Фе.) = о,
п \ i \ п) 1 \ I/
то (ч>еЛ есть последовательность Коши. Стало быть, она
сходится (просто, в данном случае в каждой точке) к
интегрируемой функции, каковой будет фе, причем [я(фе) = 0, так как
0; тогда
11 М="
Феп^.°-
Таким образом, множество, на котором фе(0 ¥= 0,
пренебрежимо; но множество точек, где фе(0 =^= 0, есть множество, на
котором <ре(0 = 1, т. е. представляет собой множество
оо
e = {Jet.
400 гл. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
2. Теорема Фату, Пусть (fn)—последовательность
положительных функций из 2', сходящаяся почти всюду к функции f и
такая, что \i(fn) ограничена. Тогда fe^ и \x(f) ^ sup \i(fn)-
В самом деле, пусть
gn= inf ft;
gn^2 при любом п, последовательность gn возрастает и
сходится почти всюду к /, как и последовательность fn- Кроме того,
gn^fn\ значит, |i(gn)< M-(fn); а поскольку |я(/п) ограничена,
то отсюда следует, что (g"n) есть монотонная
последовательность Коши в 2. Стало быть, fG^7, и
|я (f) = lim |я (gn) < sup [i (fn).
3. Теорема Лебега. Пусть (fn)—последовательность
функций из 2', сходящаяся почти всюду к функции f. Предположим,
что существует такая функция gE^, что \ fn\ ^ g, каково бы
п. в.
ни было п. Тогда fG^,^(f)= lim \i(fn).
Действительно, согласно предложению 1, функции
<p,i = sup(ft) и фя = inf (ft)
принадлежат 2, и
tyn < fn < Ф/г-
С другой стороны, возьмем точку /еЛ, в которой fn(t) имеет
конечный предел А,; каково бы ни было е > 0, для любого
достаточно большого п имеем
X-E<fn(t)<X + E;
следовательно,
Фя (t) = sup (fn (t), fn+i (t), ...) < Л + e
фя (t) = inf (fn (t), fn+l (t), ...) > Я - e.
Отсюда
А —в<фя(0< М0<Ф«(*)<* +e.
Следовательно, г|)п и фп сходятся почти всюду к / = lim fn-
Но, с другой стороны, фп убывает, г|)п возрастает, и
М1)<^(У<Мф«).
Согласно теореме Б. Леви фп и \рп сходятся почти всюду к
функции из 2\ которая, таким образом, почти всюду равна /, откуда
следует, что / е 2, и \i(f) = lim \i(fn).
Замечания. 1) Пусть р ^ q\ имеем
3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА SB 401
Отсюда
fp — f „ < Фр — V fq — fp<% — %-
Но
= sup(^, f,+lf ...)<sup(fp, ..., fq9 ...) = фр,
т. e. i|)g ^ фр, и, точно так же, г|)р ^ cpq.
Таким образом,
^ (I fP - fq IX |х (ФР — %) + [х (Ф<7 — фр).
А так как |ы(фп) и (ы('фгг) сходятся к одному и тому же
пределу, то
Р (Фр — Ъд) + И (Фв — Фр)
стремится к нулю, и значит, (fn) есть последовательность Коши
в 9?. Стало быть условия, наложенные на (fn) в теореме
Лебега, позволяют заключить, что (fn) есть последовательность
Коши в SB.
2) Приведенные выше теоремы, очевидно, могут быть
сформулированы и для того случая, когда речь идет о рядах
функций из SB. Например, если Иье2\ если
ОО
2«*
сходится почти всюду и если последовательность
I п I
2 uk\
мажорирована функцией gE^, то
оо
2и*е=#,
и мы имеем
/ оо \ оо
^(2«J = 2m^)-
4. Приближение элемента из SB монотонными
последовательностями и новое характеристическое свойство интегрируемых
числовых функций. Свойства пополнения пространства Рисса
(гл. VII, раздел 2, § 1) применимы к SB как к пополнению
пространства Е. Мы же попытаемся здесь выяснить, какую роль
играет простая сходимость почти всюду.
402
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть / е 3?\ функция f является пределом почти всюду
последовательности Коши (хп) элементов из £, и кроме того, мы
можем предположить, что ||ят — хп\\ < 1/2п для любого т^п.
Положим снова
Ут.п— sup (xi), zmtn= inf (*,).
Известно (см. там же), что <
гт9п<Хт^Ут,п, \\Ут.п-Хт\\<Ч2т-\ \\ Хт - Zm% J|< 1/2"1"1.
Так как (ут,п)п есть убывающая последовательность
функций из £, минорированная элементом хт, который является
конечной фукцией, то (ут,п)п сходится просто при п->оо к
конечной функции ут, а поскольку (ут,п)п ограничена в 2, то
ут е 2\ То же самое, с необходимыми заменами, будет верно
и для
zm = lim zm,rt.
Итак, имеем
**<**<у*, ll^-^IKl/2"""1, II**-** II ^/2^1.
Но, с другой стороны, неравенство #m+i, п ^ Ут, п влечет
неравенство ут+i ^ Ут и, точно так же, zm ^ zm+l. Таким образом,
(Ут) убывает, (zm) возрастает, и эти две последовательности
являются последовательностями Коши, эквивалентными
последовательности (хт), которая сходится почти всюду к функции /.
Значит, ут и zm сходятся почти всюду к f. Стало быть мы
получили следующий результат.
Предложение 3. Для любой интегрируемой функции f
существуют убывающая последовательность (ут) и
возрастающая последовательность (zm)9 состоящие из конечных
интегрируемых функций и такие, что:
1) для любого m функция ут является простым пределом
возрастающей последовательности элементов из Е, a zm — простым
пределом убывающей последовательности элементов из Е\
2) zm < f < ym\
п. в. п. в.
3) f = \\mzm = \imym;
п. в. п. в.
4) |i (f) = lim |i {zm) = lim \i (ym).
Это предложение приводит к характеристическому свойству
интегрируемых функций, которое долгое время служило для
построения пространства 2\ но которое менее гибко, чем
приводимое выше (раздел 2, § 2, теорема) и чем то, которое
содержится в определении (там же).
3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА 2
403
Заметим прежде всего, что если интегрируемая функция /
положительна, то в силу того, что определяющую ее
последовательность Коши (хп) из Е можно считать состоящей из
положительных функций, то можно также предположить, что функции
zm = lim inf {Xi)
тоже положительны.
С другой стороны, из предыдущего предложения очевидным
образом вытекает, что любому е > 0 и любой функции f е 9?
можно поставить в соответствие конечную функцию z— предел
убывающей последовательности функций из £, и конечную
функцию у — предел возрастающей последовательности функций из
£, так, чтобы
п. в. п. В.
и чтобы |я (у — z) ^ е.
Исследуем вопрос о том, будет ли это свойство
характеристическим; Ответ будет получен в результате применения теоремы
Лебега (п. 3), а так как функция / интегрируема только если
интегрируема |/|, то мы предположим, что / ^ 0._
Итак, пусть / — функция со значениями в R, конечная почти
всюду и положительная; предположим, что для любого е > 0
найдутся конечная положительная функция z и конечная
функция у, удовлетворяющие указанным выше условиям и такие, что
* < f < У у у, ze=&, [i {у — z)< е.
п. в. п. в.
Чтобы показать, что fsS', достаточно доказать, что
выполняются условия теоремы Лебега. Если еп — последовательность
положительных чисел, стремящаяся к нулю, то ей, по
предположению, ставятся в соответствие такие две последовательности
{Уп) и (z„), что
\\yn — zn\\=[i{yn — zn)
стремится к нулю. Из {уп — zn) можно выбрать
подпоследовательность (Упт — 2Пт), сходящуюся почти всюду к нулю, а так
как
2п ^ / ^ Уп ,
п. в. п. в.
то уПт и гПт сходятся почти всюду к f. Но из неравенств
zn ^ / ^ уп
п. в. п. в.
следует, что для любых i и /
Zn, ^S: Упг •
1 п R. /
404
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Стало быть, последовательность zn ^ сходящаяся почти всюду
к /, мажорируется некоторой функцией #л.,.и значит, по теореме
Лебега, fe^. Теперь можно, следовательно, вывести из
z < f < У,
п. в. п. в.
что |ы(г)^ |ы(/)^ |ы(у), а так как \л{уп — zn) стремится к нулю,
то
\х (f) = lim \х (уп) = lim \х (zn).
Отсюда и получаем искомое предложение.
Предложение 4. Для того чтобы положительная
числовая функция f была интегрируема, необходимо и достаточно,
чтобы для любого е > 0 существовали конечная положительная
интегрируемая функция z — предел убывающей последователь-
ности функций из Е, и конечная интегрируемая функция у —
предел возрастающей последовательности функций из Еу
удовлетворяющие условиям z ^ f <] у и |я(у — z)^.e.
п. в. п. в.
Замечание. Это свойство является характеристическим;
следовательно, оно может служить определением интегрируемых
функций. В этом случае поступают следующим образом:
рассматривают функции из Еу затем монотонные
последовательности функций из £, интегралы которых сходятся к некоторому
конечному значению; указанное предложение служит для
определения интегрируемых функций, но затем необходимо
доказывать все свойства, в частности то, что пространство & полно.
5. Топология пространства ££ и топология равномерной
сходимости. Можно задать вопрос: пусть дана
последовательность {fn) интегрируемых функций, равномерно сходящаяся
к функции /; верно ли, что f^S7? Ответ в общем случае
отрицателен. Так, опираясь на предыдущие примеры, можно привести
следующий. Пусть / — функция, определенная на подмножестве
А = [1," + оо] из R как f{t)= l/t; пусть fn — непрерывная
функция с компактным носителем, определенная как fn(t)= l/t, если
1 </<я, /„(/) = — t/n+l + l/п, если л</</1+1, и fn(/) = 0,
если t^n + l. Последовательность (fn) равномерно сходится
к /, так как
sup|f(f)-Mf)K-b
t п
Следовательно,
f„e#, но f&2.
Допустим, однако, что характеристическая функция срА
множества А принадлежит 9? (что сводится к предположению об
4. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
405
интегрируемости постоянных функций). Если, при этих условиях,
fn равномерно сходится к /, то (/п) есть последовательность
Коши в топологии равномерной сходимости, и значит, для
любого е > 0 имеем; \fp(t) — fq(t) | < e для p^ P(e) и q ^ P(e)>
где P — надлежащим образом выбранное целое число, не
зависящее от t. Но неравенство \fp(t) — fq(t) | < е при любом t
эквивалентно неравенству \fv — fq\ < equ, которое влечет
Hdfp — Ы)^8Пфл)-
Поэтому (fn) является последовательностью Коши также и в 2\
А так как (fn) равномерно сходится, то (fn) сходится в каждой
точке t, и предел f последовательности (fn) принадлежит 2'.
В этом случае имеем f е 2, и [i(f) = lim \i(fn).
Условие q>A^2 означает, что мера \i(A) множества А
конечна (или что мера (ы ограничена). Таким образом, можно
сформулировать предыдущий результат следующим образом:
если мера ограничена, то равномерно сходящуюся
последовательность функций из 2 можно почленно интегрировать.
РАЗДЕЛ 4
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Для любого подмножества X множества А через qp^
обозначается характеристическая функция, т.е. функция от t} равная 1,
если t е X, и 0, если t ф X.
По отношению к операциям алгебры множеств
характеристические функции обладают следующими свойствами:
П Фхиу = SUP (ЧЬ Фу) = Фх + Фу — ФЛ>
2) Фхпу = inf (ф*> Фу)= Фхфу;
3) ХПУ=0ФФФ*иУ=Ф*+Фу;
4) Фхпсу=Фх—ФхФу-
§ 1. Общие определения
1. Определение измеримого множества. Говорят, что
подмножество X множества А измеримо (или интегрируемо)
относительно меры (ы, или ^-измеримо, если ух^2. Интеграл |л(фх)
называется мерой, или интегралом множества X, и записывается,
для упрощения, [х(Х)= |ы(ф^).
Свойства. Свойства измеримых множеств представляют
собой переложение свойств пространства 2.
1) Из свойства f е 2, g е 2 =#> sup (/, g) и inf (f, g)<= 2
следует: если X и Y измеримы, то X[j Y, X (] Y и X 0CY = X — К
406
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
тоже измеримы. В частности, если X и Y измеримы и если Xzd Yf
то X— Y измеримо, и
,1(*)>|а(Г), li(X) = ii(X-Y) + ix(Y).
Подмножество 0 имеет меру 0.
2) Для любого конечного семейства Xi измеримых множеств
множество U Xi измеримо, и
и(и*/)<2и№);
если при этом Х{ попарно не пересекаются (X* Г) Xj = 0, если
1ФП, то
Ji(UJTi) = S|i№).
Это свойство называется конечной аддитивностью.
3) Если (Xi) — убывающая последовательность измеримых
множеств, т.е. если для любого i имеем XiZdXi+u то множество
П Xi измеримо, и
|1(№ = Нт|1№).
В самом деле, последовательность функций q>Xi убывает, и
меры [х (Xi) = \х (фх.) минорированы посредством 0. Пределом
последовательности yXi является функция фпА: которая
принадлежит J?, ибо (4>xt) есть монотонная последовательность
Коши.
4) Если (Xi) — возрастающая последовательность измеримых
множеств, т.е. если для любого / имеем XiCXi+i, и если
последовательность [i(Xi) ограничена, то множество О Xi измеримо, и
VL(VXi) = limVL(Xi).
Это свойство является переложением теоремы Б. Леви.
Отсюда выводится свойство полной аддитивности. Если Yi —
последовательность таких измеримых множеств, что 2 М- (Yi) <
< оо, то множество U Yi измеримо, и
Если при этом множества У< попарно не пересекаются, то
В самом деле, достаточно рассмотреть последовательность
измеримых множеств
Хп = U Yt-
4. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
407
Последовательность {Хп) возрастает, и последовательность
n(Xn)<I>ti(Yi)
1
мажорирована.
Определение ограниченной меры. Если само множество А
измеримо, то говорят, что мера \х ограничена (ср. раздел 1, § 2,
в конце).
Отметим, что Л измеримо в том и только том случае, если
ненулевая постоянная функция на А принадлежит 2\
2. Измеримые множества, определяемые при помощи
интегрируемой функции. В самых обшда случаях измеримые
множества получают путем рассмотрения подмножеств из Л, на
которых интегрируемая функция / принимает значения,
превосходящие заданное число а. Иными словами, если Ха — подмножество
из Л, на котором, скажем, /(0> а> т0 показывается, что
характеристическая функция фх принадлежит 2', когда fG^.
Если это так, то можно показать, что множество точек t> в
которых а </(/)<; |3, измеримо, и посредством ступенчатых
функций вернуться к определению функции /.
Пусть f—интегрируемая функция с конечными значениями
и пусть а > 0. Рассмотрим последовательность функций / п вида
fn = ini {п {f — ini (/, аФл)), фл). .
Так как inf (/, афл) ^ /> то
/ —inf(/, афл)>0;
значит, функции
n(f — inf (/, аФл))
образуют возрастающую последовательность, и то же самое
будет верно для fn- Если в некоторой точке t будет f(t) > а, то
inf (ДО, cKpA(0) = inf(f(0, а) = а;
но f{t)— а > 0, и значит, n(f(t)— а) стремится к бесконечности
вместе С пу а стало быть, начиная с некоторого значения пу имеем
М*) = Фд(') = 1-
Если в некоторой точке / будет /(/) ^ а, то
inf (/ (/), аФл (/)) = f (/), U (t) = inf (0, Фл) = 0.
Следовательно, если Ха означает множество тех ty в которых
/(^)>а, то возрастающая последовательность функций / п
СХОДИТСЯ просто к ФХа.
408
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Для того чтобы фх е i?, необходимо и достаточно, чтобы
интегралы от fn были мажорированы.
Если мера ограничена, т. е. если qu^i?, то fn интегрируема,
а так как fn ^ Фа, то интегралы от fn мажорированы
посредством [х(Л), и значит, множество Ха измеримо при любом а.
Следовательно, когда мера ограничена, множество точек t,
в которых f{t)^a или а < f(t) ^ р, измеримо при любых а, р.
Когда мера не ограничена, тот же результат получают,
предположив, что если f е 5^» то inf (/, фА)е 5Р.
Для того чтобы выполнялось последнее условие, можно
ввести на множестве Е рассматриваемых первоначально функций
следующее условие: пространство Рисса обладает тем свойством,
что если х^ £, то inf (я, фл) е Е.
Замечания. 1) Если X — пренебрежимое множество, то
li(X)= р-(фх) = 0. Обратно, если X — измеримое множество и
если [х(фх) = 0, то X пренебрежимо.
2) Из аксиомы («У), или (5^А), получаем: если {Х{) —
убывающая последовательность измеримых множеств и если
множество П Xi пренебрежимо, то \i{Xi) стремится к нулю.
3) Множество измеримых подмножеств образует клан, и
векторное пространство, порожденное характеристическими
функциями, есть пространство ступенчатых функций на этом клане.
§ 2. Случай меры на клане
Когда задается множество Е ступенчатых функций на А
относительно клана Г, то для построения пространства SB
достаточно наделить пространство Рисса Е положительной мерой (ы.
Но положительная мера [х удовлетворяет аксиоме («7), которая
эквивалентна аксиоме (&'), и пренебрежимое множество
определяется при помощи монотонных последовательностей из Е.
Но понятие пренебрежимого множества, котрое было введено
в первых же современных изложениях теории интегрирования и
которое является понятием множества меры нуль, использует
покрытие элементами, рассматриваемыми как измеримые.
Например, если элементам клана Г приписать меру в элементарном
смысле, то множество е меры нуль будет определяться
следующим свойством: для любого е > 0 существует покрытие
множества е не более чем счетным числом множеств Xiy для которого
2м-№)<8- После этого можно определить выражение «почти
всюду» относительно этого понятия множества меры нуль, а
затем построить SB. Цель настоящего параграфа — уточнить связи,
существующие между этими понятиями.
1. Свойства пренебрежимых множеств. Пусть Г — клан на Л,
Е — пространство Рисса ступенчатых функций на А
относительно Г и \i — положительная мера, т.е. положительная линейная
4. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
409
форма, удовлетворяющая аксиоме (У): если хп убывает и
сходится просто к нулю, то [х{хп) стремится к нулю. Для любого
элемента ХеГ полагаем [i{cpx)= [i{X). Докажем следующее
предложение.
Предложение. Если е—-пренебрежимое множество, то
для любого е > 0 можно покрыть е конечным или счетным
семейством множеств Хг е Г, так, чтобы 2 \л (Xt) < е.
В самом деле, пусть хп— последовательность Коши
ступенчатых функций (которые можно предполагать положительными),
возрастающая и такая, что xn(t) сходится в R для любого t^e
и стремится к бесконечности при t^e\ пусть М = lim \х{хп) и
пусть задано некоторое число а > 0.
Обозначим через Хп(а) множество тех t^A, в которых
xn{t)^ а ^ 0; такое множество принадлежит Г, ибо оно
является конечным объединением элементов из Г. Так как
Хп ^ #п+ь то
Xn{a)czXn+l{a)\
следовательно,
ti(Xn(a))^ui(Xn+l(a)).
С другой стороны, если t есть точка из Л, то либо t<^Xn{a),
и тогда
xn(t)>a = a<pXn{a){t),
либо tqEXn(a), но тогда v
Xn{t)>0 = q>xn(a){t).
Стало быть,
хп>а<Рхп{а)>
откуда получаем
a\i {Хп (а)) < [х (хп) < М, или ц (Хп (а)) < М/а.
Множество е тех t, в которых xn{t)—>-\-oo, содержится в
множестве
\JXn{a)9
п
ибо в такой точке t начиная с некоторого значения п, имеет
место неравенство xn{t)^a. Так как Хп{a) cz Хп+{ (а), то
рассматривая, например,
Гп = Хя^{а)-Хп{а)9
получаем семейство элементов клана Г, покрывающих е\ а так
как
п
410
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
то достаточно выбрать а = М/е9 где е>0 — заданное число,
чтобы получить
оо
1
2. Определение множества меры нуль. Подмножество е
множества А называется множеством меры нуль, если для любого
е > 0 оно может быть покрыто конечным или счетным
семейством множеств Х{ е Г та/с, чтобы 2 М- №) < е.
Пусть теперь е — множество меры нуль. Имеем, по условию,
оо
eczlJXi и S|i№)<e
для любого е > 0 (семейство {Xi) зависит от е). Следовательно,
Фе^фоо .
U х,
1 *
Но
фоо =lim ф«
U*. "-»°° Ux.
в смысле простой сходимости; в самом деле,
ф/г = фя
Учесть возрастающая последовательность, и из формулы
VX[)Y = Ух + Фг "" Ф^ПК ^ ф* + фГ
вытекает, что
п
^(фК2|А(фх.)<е;
стало быть, фп есть возрастающая последовательность Коши,
сходящаяся к функции из j?, и этой функцией будет
фоо ♦
Пусть теперь (ел) — последовательность положительных
чисел, убывающая и сходящаяся к нулю. Для любого гн обозначим
через
1
4. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
411
объединение всех Xiy покрывающих е и таких, что 2 М- №) < вл.
Имеем
Ф^е^, |г(Ул)<ел> ec:Yk,
и значит,
1
Но так как Zn с: Yn, то
|i(Z„)<|i(K№)<en.
Ьолее того, zn убывает. Следовательно, фл^ тоже убывает; ее
интеграл [i{Zn) стремится к нулю; стало быть, это есть
убывающая положительная последовательность Коши, интеграл
которой стремится к нулю, и значит, по теореме об интегрировании,
Ф2 сходится к нулю всюду, кроме пренебрежимого множества
е'. Следовательно, \\mq)Zn(/) = 0, если t^.e\ и \\myZn(t) = 1,
если t^e\ поскольку ф принимает лишь значения 0 и 1. А так
как феСГф^, то фе ^ фем и стало быть, е а е'. Множество е
является подмножеством пренебрежимого множества е\ и
значит, само пренебрежимо. Итак, резюмируем.
Теорема. Если пространство Рисса ступенчатых функций
на А относительно заданного клана Г наделено положительной
мерой {положительной линейной формой, удовлетворяющей
аксиоме (5^)), то имеется тождественное совпадение -между пре-
небрежимыми множествами и мноо/сествами меры нуль.
§ 3. Случай меры Радона
В этом параграфе А — локально компактное пространство, а
Е — множество непрерывных функций с компактным носителем.
Как только построено пространство 9?у то мы приходим, в силу
того, что А — топологическое пространство, с одной стороны,—
к формулированию некоторых результатов на языке
непрерывных функций, или полунепрерывных, или любых других, а с
другой,— к исследованию вопроса о том, будут ли измеримы
элементарные топологические множества (открытые, замкнутые,
компактные...).
Таким образом, во второй части функции ху хПу ... являются
непрерывными функциями; значит, пренебрежимое множество
есть множество точек t, в которых монотонная
последовательность Хп непрерывных функций с компактным носителем,
имеющих ограниченные интегралы \i(xn), не сходится просто в R\ а
так как предел монотонной последовательности непрерывных
функций есть полунепрерывная функция, то предложения 3 и 4
(раздел 3, § 3, п. 4) могут быть сформулированы на языке
полунепрерывных функций. В частности, заметим, что функции zn из
412
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
предложения 3 и z из предложения 4 являются
полунепрерывными сверху и имеют компактный носитель, поскольку каждая
из функций zm и z положительна и является пределом
убывающей последовательности непрерывных функций с компактным
носителем.
Однако, когда хотят исследовать, будет ли любое открытое
или любое компактное множество измеримо, сталкиваются с той
трудностью, которую мы изложим, прежде чем накладывать
упрощающее условие на локально компактное пространство Л.
Остановим наше внимание на компактных множествах. Пусть
К — компактное множество и фк— его характеристическая
функция; если фк е 9?, т.е. если К измеримо, то поскольку каждая
непрерывная функция с компактным носителем может быть
равномерно приближена ступенчатыми функциями на некотором
клане, содержащем компактные подмножества (гл. VIII,
раздел 2, § 2), можно также определить пространство Я?, исходя из
меры на клане, содержащем компактные подмножества. Условие
для подмножества из Л быть открытым или замкнутым
выражается при помощи полунепрерывности его характеристической
функции (гл. VIII, раздел 4, § 2).
Таким образом, мы пришли к исследованию вопроса о том,
интегрируема ли полунепрерывная функция (которая здесь
принимает только значения 0 и 1). Если К компактно в локально
компактном, но не компактном пространстве Л (если А
компактно, то фл непрерывна, имеет компактный носитель, и фк^
^ Фа) , то К обладает компактной окрестностью. Следовательно,
найдутся компактное множество К' =э К и непрерывная функция
х, обращающаяся в нуль вне К\ равная 1 на К и принимающая
значения между 0 и 1 (гл. VIII, раздел 4, § 4). Стало быть,
Фк <*.
С другой стороны (в силу п. 2, § 1, раздел 4), для всех
непрерывных функций х со значениями в [0, 1] и с носителем,
содержащимся в /С, подмножества Ха из Л, на которых x(t)>a
или x(t)< а, измеримы. Отсюда следует, что если
а
то К является также пересечением счетного семейства
измеримых открытых множеств, и стало быть, измеримо.
Для простоты мы ограничимся здесь случаем, когда
А—локально компактное метрическое пространство (пример: /?п).
В этом случае всякая полунепрерывная функция служит
оболочкой счетной последовательности непрерывных функций, и
значит, всякое компактное множество измеримо, равно как и всякое
открытое множество, замыкание которого компактно (т.е.
открытое множество, которое содержится в компакте).
5. ПРОСТРАНСТВА <£р
413
Тогда предложение 4 (раздел 3, § 3, п. 4) получает важную
формулировку (относительно которой доказывается, что она
верна в случае, когда А локально компактно).
Теорема. Для того чтобы множество X было интегрируемо,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовали
интегрируемое открытое множество О и компактное множество
/С, удовлетворяющие условиям:
KczX^O и |i (О ~ К) = |i (О) - \х (КХ в.
РАЗДЕЛ 5
ПРОСТРАНСТВА 2*>
В этом разделе речь идет о числовых функциях, для которых
интегрируема р-я степень их абсолютной величины, где р —
конечное действительное число, р ^ 1. Простые примеры
показывают, что если \ф.9?, то может оказаться, что |f|pei?
(пример: на интервале [1, +оо[, наделенном мерой Лебега, f(t)= l/t
и /?>1); что если / е 9?, то может оказаться, что 1/)^^57
(пример: на интервале ]0, 1], наделенном мерой Лебега, f(t) =
= 1/fV. ир>2).
Важность этих пространств проявляется, в частности, в
случае р = 2, ибо в этом случае для функций / б^2 и gE^2 их
произведение /g" принадлежит i?, хотя может оказаться, что
сами функции f и g не принадлежат i?. Построение и изучение
пространств 9?v основано на неравенствах Гёльдера и Минков-
ского, изложению которых и будет посвящен первый параграф.
С другой стороны, в этом разделе излагаются лишь новые
факты, поскольку построение пространства 3?v (точно так же
как и построение пространства Sv для функций со значениями
в банаховом пространстве) могло бы быть изложено без
изменений во втором разделе; и только важность интегрирования
числовых функций влечет повторения.
Один параграф отводится пространствам 3?°° и L°°.
Отметим, что в этом разделе буквы р и q будут всегда
изображать числа ^1, удовлетворяющие условию (l/p) + (l/q) = 1,
и никогда не будут использоваться в качестве индексов для
элементов множества. Наконец, мы будем иногда вместо 2?
писать «271.
§ 1. Неравенства Гёльдера и Минковского
Неравенства Гёльдера и Минковского принадлежат к
категории неравенств, называемых неравенствами выпуклости,
поскольку при их получении рассматриваются выпуклые функции.
Мы докажем неравенство Гёльдера, а затем выведем из него
414
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
неравенство Минковского. Буквы р и q означают числа ^ 1,
удовлетворяющие условию (l/p) + (l/q) = 1, откуда q — 1 =q/pj
р — 1 = p/q. Когда одно из чисел ру q может принимать значение
+ оо, другое принимает значение 1, и это может быть указано^
например, в виде неравенств: 1 ^ р ^ +оо.
Неравенство Минковского позволяет доказать, что
\\х\\р = ( J \ x(t)\pdix)lfP = (\х(\ хП)1^
есть полунорма, а неравенство Гёльдера позволяет доказать, что
если / €Е 2>р, g <= 24 то fg <= 2.
1. Неравенство Гёльдера. Рассмотрим действительную
функцию ф действительного переменного t ^ О, определяемую как
t—*tay где О^а^ 1. Так как функция —ф выпукла, то
записывая, что в R2 касательная в точке (1, 1) к графику функции <р
лежит выше этого графика, получаем
f < at + 1 — а
или, положив р=1—а, а значит, oc-f-p—1, получаем
Если а и Ь — положительные действительные числа и Ъ Ф О, то
замена t на а/b дает
аа lba < аа/b + р или aV~a < аа + рб,
и
а6<аа1/а + рб1/Р, 0<а<1, 0<р<1, а + р=1.
Последнее неравенство верно и при 6 = 0.
Если х9 у— положительные числовые функции произвольного
переменного ty то для любого t имеем
x(t)y(t)^a(x(t))l/a + ^(y(t))w;
следовательно,
xy<axlfa+№W-
Положим а = 1/р, р — 1/(7, и предположим, что 1 ^ р < оо,
1 ^ q < оо. Пусть £ — пространство числовых функций,
представляющее собой такое упорядоченное действительное
векторное пространство, что если х ^ Е и у <= Еу то ху <^ Е, и такое, что
если х ^ 0 и х е Е, то для любого конечного действительного
m ^ 1 имеем хше£. Пусть, наконец, ц — положительная
линейная форма на £.
5. ПРОСТРАНСТВА gP
415
Из неравенства
^ *р , Уя
* р я
выводим
V(xy)<jV(xp) + jV(yq).
Пусть \х(хр)фО, V>(yq)¥=0. Заменяя х на
X
(\i(xp))llP '
а у — на
у
(и (y)q)llq '
получаем неравенство Гёльдера:
[x(^)<([x(^))1/P-^(^))^
Если ц(л;р) = 0, то множество е = {t: xi>(t)=£ 0} = {t: x(t)^0}
есть множество меры нуль. Действительно, монотонная
последовательность фп(t) = п-хр(t) есть возрастающая
последовательность и \1 (фп) = п\х (х?) = 0, т. е. (фп) — последовательность
Коши в Е\ так как фп(0 сходится (к нулю) при ^^ и не
сходится при f е е, то е — пренебрежимое множество. Тогда
множество е\ = {t :x(t)y(t)=?£= 0} содержится в пренебрежимом
множестве е и поэтому пренебрежимо; поэтому ху = 0 (ы-почти
всюду, |я (ху) = |я (0) = 0, и неравенство 0 = \л (ху) < \i (xp)ljp X
X М- (yqflq = 0 очевидно. Если |я(у^) = 0, то неравенство
Гёльдера доказывается аналогично.
Если положить
IUIIp = (n(*"))1/p. \\y\\q = (v(yq)fq,
то неравенство Гёльдера принимает вид
II ху И, <|| .V ||р|| у ||,, (1//7) + (l/q) = 1, 1</7, 9 < + оо.
Замечания. 1) Это неравенство можно применять к
абсолютным значениям числовых функций, когда эти абсолютные
значения принадлежат Е.
2) Неравенству Гёльдера можно придать несколько более
общий вид, поступив следующим образом: пусть /?, q—-конечные
числа ^1, и г таково, что 1/r = (1//?)-|-(1/д). Следовательно,
(г/р) + (г/<7)=1, и
li(x^y^)^(ii(x))rlp(li(y))rfq;
416 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
заменяя х на хр, у на у<* и возводя в степень 1/г, получаем
(|i(^/)F<(|i(^))1^(ji^))1^
или
II^IKIUIIp-llyll,.
2. Неравенство Минковского. Пусть 1 ^ р < + оо; для любых
положительных чисел a, h имеем
(a + b)p = a(a + b)p~l + b(a + Ь)р"1.
При тех же условиях, что и выше, переходя к
положительным функциям и пользуясь линейной формой |ы, получаем
ц ((* + </)") = !*(*(* + У)"'1) + и [у (* + у/'1);
применяя к каждому члену правой части неравенство Гёльдера,
приходим к неравенству
v((x + y)p)<
< (и (*"))1/p • Ох ((* + y)ip-l> q))uq + (ц (yp))l,p Oi ((* + уГ~1) T".
где (l/p) + {l/q)=l. Ho q(p—l) = p; следовательно,
И ((* + У)р) < (I* (*P)),/P «Ц ((x + </)p))1/p)p/<7 +
+ ^(ур)У'р(^((х + у)р)У"')р14,
«n ((* + i/)p))I/p)p < ((ii ((x + уП1»?19 (0* (*p))1/p + G* (</p))1/p);
а так как p~p/q=: 1, то получаем неравенство Минковского:
О* ((* + ^)Р))1/Р < (I* {ХР)У,Р + О* (Л)'". 1 < Р < + 00.
В тех же обозначениях, что и выше, записываем:
\\х + у\\р<\\х\\р + \\у\\р.
§ 2. Построение и свойства пространства Jgp(1 ^р < + оо)
Рассмотрим снова пространство Рисса числовых функций на
А и введем следующее дополнительное условие: яе£=ф |х|*е
е £ (Зля любого конечного числа р ^ 1.
(Это условие выполняется, если £ — пространство
ступенчатых функций на клане или пространство непрерывных функций
с компактным носителем, когда А — локально компактное
пространство.)
Если [х — положительная линейная форма на Е, то
Ы1Р = (и(1*1р))1/р
есть полунорма на пространстве Е: наделенное этой полунормой,
пространство Е обозначается через Ер,
5. ПРОСТРАНСТВА <£Р
417
В самом деле, очевидно II О IIр = О, и для любого
действительного а имеем ||са||р = |а| ||я||р. Согласно неравенству Минков-
ского имеем
||x + »||p = ||U + y|||p<||U| + |y|||p<|||xlllp + |||y|||p =
= 11* lip + 11У Ир,
\\х + У\\Р<\\х\\р + \\у\\р.
1. Пренебрежимые множества. Для построения пространства
S?v поступаем как и во втором разделе: рассматриваем числовые
функции со значениями в Я, являющиеся почти всюду простыми
пределами последовательностей Коши из Ер. Но выражение
«почти всюду» относится к пренебрежимому множеству,
определяемому при помощи монотонной последовательности (хп)
функций из £, причем эта последовательность есть
последовательность Коши относительно нормы пространства Ер\
необходимо исследовать, будут ли пренебрежимые множества одни
и те же для всех пространств j?p, или нет.
Пусть хп — монотонная последовательность положительных
функций из Ер, удовлетворяющая условию
Игл ||*« —*Л||Р = 0.
т-»°о, п->оо
Так как
III хт ||р —1| хп ||р К || *т — хп ||р,
то последовательность (IUn||P)n сходится, и значит,
(n(W))1/p
имеет конечный предел, и то же самое имеет место для \i((xn)v).
С другой стороны, если (хп) возрастает, то {(хп)р)п тоже
возрастает, и обратно (ибо действительная функция t-+tP
возрастает при р ^ 0). Таким образом, если (хп)— монотонная
последовательность Коши в Ер, то (хп)р есть монотонная
последовательность Коши в Е1. А так как
Hm Xn(t) = +oo& lim (xn(t))p = + оо,
rt-»oo tt-»oo
то отсюда следует, что всякое множество точек из Л, на
котором монотонная последовательность Коши из Ер не сходится
в R, есть пренебрежимое множество в смысле, определенном
первоначально во втором разделе. Отсюда получаем
предложение.
Предложение 1. Пренебрежимые множества являются
одними й теми же для всех пространств Ер,
418
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
2. Построение и основные свойства пространства^^.
Доказательство, позволяющее построить 2 исходя из Е, годится без
изменений и для построения пространства 5?р. Пространства
3?v есть множество числовых функций со значениями в R,
являющихся пределами почти всюду последовательностей Коши
из Ер. Обозначим через Lp факторпространство пространства
9?v по отношению эквивалентности
I П. В. о"
Пространство Lp отождествляется, при помощи теоремы об
интегрировании, с пополнением пространства Ер, и мы получаем
следующий результат.
Т е о*р е м а 1. Пространство Sv, наделенное полунормой
ШР = М1Л")),/р.
полно; пространство 3?р есть банахово пространство; Е плотно
в Lp.
Теорема 2. Если (fn) — последовательность Коши в 3?р, то
существует такая функция f е 2?р, что
Нт Л /^ — / И = О,
и такая подпоследовательность (fnk) последовательности (fn)t
что:
оо
оо
б) ряд 2(/яЛ+1(*)-— fnk(t)) абсолютно сходится почти всюду,
и его сумма равна почти всюду функции f.
Пусть снова имеется последовательность (хп) функций из Еч
Из неравенства 11 хт \ — \ хп 11<\ хт — хп | получаем
\\хт\-\хп\\р<>\хт-хп1р;
затем
|i(IU«|-|^NP)<|i(Um-^|P).
и, возводя в степень l/р, получаем
IIU«l-U/illlp<IU«-^Hp.
Если (хп) есть последовательность Коши в Ер, то (| лгЛ |)
также, а значит, и л:+ и х~. Следовательно,
и, стало быть,
б. ПРОСТРАНСТВА £Р
419
Обратно, если f+ ^2р и f- е i?*, то
Итак, получаем следующий результат (справедливый для
числовых функций как с конечными значениями, так и с
бесконечными).
Предложение 2. Для того чтобы f^3?py необходимо и
достаточно, чтобы f+ и f~ принадлежали 3?р.
3. Последовательность функций из Jgp. Обратимся к
основным результатам из § 3 раздела 3.
Они остаются справедливыми, если сопроводить их
несколькими замечаниями. Если (fn) — последовательность в j?p, то
последовательность (fn)p можно рассматривать лишь в
предположении fn ^ 0. Говорить о почленном интегрировании
последовательности из 9?р нельзя, поскольку элементы из 9?v
могут не принадлежать &у но можно найти критерии,
утверждающие, что предел (в некотором смысле)
последовательности функций fn е 2?v есть функция / е 2р.
Если (fn) —возрастающая (или убывающая)
последовательность, состоящая из положительных функций пространства 9?v,
то последовательность (fn)p тоже возрастает (или убывает).
Если последовательность (fn), кроме того, является
последовательностью Коши в &р, то это будет равносильно утверждению,
что
Hm llf„-fm||p = 0,
откуда следует, что последовательность (|| fn II р)п норм сходится
(в силу неравенства | ||*|| — \\у\\ | ^ \\х — у\\)9 а значит,
последовательность (\i((fn)p))l/p ограничена, или, что сводится к тому
же, ограничена \i({fn)p).
Обратно, предположим, что fn ^ 0, что последовательность
(fn) возрастает и что последовательность \i{{fn)p) ограничена.
Так как fn — положительная возрастающая последовательность,
то последовательность (fn)p возрастает, и стало быть, \x{(fn)p)
тоже возрастает, и значит, сходится к конечному значению.
Следовательно,
Hm (|i((Wp)-|i((f«n) = 0.
П->оо, m->oo
Но для чисел a>fc>0 и р>1 имеем
(a-6)p<ap-6p.
В самом деле, для Ь = 0 это очевидно. Если же Ь Ф 0, то
полагаем а/Ь = t ^ 1; тогда речь будет идти о доказательстве
того, что
<р (*) = /"_ 1-(/- 1)р>0;
420
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
но производная от ср равна
^Ф(0 = р(/Р"1-(^-1)Р",)>0;
значит, ф возрастает для t ^ 1; а поскольку ф (1) =0, то ср(t) ^0
для t^\.
Это неравенство в применении к числовым функциям (при
условии, что функция а будет ^ Ь) и в предположении, что
fn ^ /т при п ^ т, дает
l/n-f»|P-(f»-fm)P<(fi.)P-(f»)P,
откуда вытекает, что
I'm ц(|/„-ЫР) = 0
и что, следовательно, fn есть последовательность Коши в 9?v.
Итак, получаем результат, аналогичный теореме Б. Леви.
Предложение 3. Пусть (fn)—возрастающая поЬледова-
тельность функций ^ 0 из Sv и f — предельная функция. Для
того чтобы f е 9?v, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность \i((fn)p) была ограничена.
В действительности этот критерий лучше формулировать
следующим образом (целесообразность чего выяснится в
следующем параграфе).
Предложение 3'. Для того чтобы возрастающая
последовательность (fn) положительных функций из 3?v была
последовательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность (fn)p была последовательностью Коши в 9?{.
В отношении теоремы Лебега (раздел 3, § 3) заметим
следующее: поскольку
то можно снова использовать оболочки семейств функций из 9?v.
Тогда доказательство проходит, и мы получаем теорему.
Теорема Лебега. Пусть (fn) — последовательность
функций из S?v, сходящаяся почти всюду к функции \\ предположим,
что существует такая положительная функция g е &v, что
IM^g пРи любом п. Тогда [е^р, и \\fn — /Ир стремится
п. в.
к нулю.
§ 3. Соотношения между пространствами £р{\ <р < +оо)
В этом параграфе будут найдены свойства пространств 3?v,
выраженные посредством пространства &х, а также два случая
включения относительно пространств 3?v.
1. Свойства пространства ££р относительно J2?1. Напомним
результат, полученный в предыдущем параграфе
(предложение 3').
5. ПРОСТРАНСТВА <£Р
421
Предложение 1. Для того чтобы возрастающая
последовательность (fn) положительных функций из 9?v была
последовательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность {{fn)p)n была последовательностью Коши в 9?х.
Пусть теперь имеется положительная функция f ^ Sv. Так
как f определяется при помощи двойного перехода к пределу
через монотонные последовательности (ср. функции уШуП, 2m>n
из раздела 2, § 2), то применение последнего предложения
влечет, что fv^S?1. Обратное доказывается тем же способом.
Отсюда получаем предложение.
Предложение 2. Для того чтобы положительная
числовая функция f принадлежала 2?р, необходимо и достаточно,
чтобы fv принадлежала «2?1.
Это предложение в соединении с тем фактом, что / е 3?р =#>
=#> |/| g^, в итоге записывается следующим образом:
f е= 2Р #| f | е= 2РЩ\ f \р е= 2\
2. Соотношение между пространствами %р и ££q (1 ^ р,
q < + оо, (1/р) + (l/q) — 1). Для построения
пространства 2?р мы накладывали на исходное пространство Рисса Е
дополнительное условие, состоящее - в том, что если р ^ 1 и
х^Е, то |*| р е Е.
Мы добавим еще одно условие: каковы бы ни были х е Е
и у <= Е, имеем ху е Е. (Это условие снова выполняется в двух
основных и наиболее употребительных случаях: ступенчатых
функций на клане и непрерывных функций с компактным
носителем.)
Наибольшую важность представляет следующий результат.
Теорема. Если [g^ и gG^, где (\lp) + (\/q)= \,то
произведение fg принадлежит j?1.
Пусть (хп) — последовательность Коши в £р, определяющая
f, а (уп) — последовательность Коши в Е<*, определяющая g.
Имеем
II Хпуп — Xmym \\\ =
= 11 (Хп — Хт)уп + *т (Уп—Ут) 111 < II (хп — Хт)уп ||, + \\ Xm(yn — lJm) ||„
и в силу неравенства Гёльдера
II Хпуп — ХтУт 111 < \\ Хп — Хт \\р \\ уп \\q + || Хт \\р || уп — ут \\q.
А так как (хп) и (уп) — последовательности Коши, то ||*n||p
и \\уп\\р ограничены; значит, \\xnyn — xmym\\i-+Q, т. е. (хпуп)
является последовательностью Коши в «271, и, очевидно,
определяет произведение fg.
Следствие. Пространство L2 есть гильбертово
пространство.
422
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В самом деле, если [g^2h gei?2, то ]g^9?x.
Выражение (/1 Я) = M*(fg) определяет на L2 скалярное произведение,
а норма элемента из L2, определяемого посредством /, равна
(/1/)■/•.
Замечание. Приведенная теорема справедлива в пред-
10ложении, что р и q конечны и отличны от 1. Ниже (§ 4)
будет дано ее расширение на случай, когда р = 1, q = +оо.
С другой стороны, неравенство Гёльдера, очевидно,
расширяется посредством перехода к пределу, и стало быть, мы
имеем для f е 3?v> g е «2^
\v(fg)\<\\f\\P\\g\\q.
Следовательно, если предположить, что g фиксировано,
a f пробегает 9?р, то неравенство Гёльдера будет означать, что
линейная форма f-*n(fg) непрерывна на 9?р. Таким образом,
всякая функция §е^« определяет непрерывную линейную
форму на S£p\
Если р = 2, то любая непрерывная линейная форма на З?2
записывается в виде f-*|i(fg"), где gG^2 (гл. IX, раздел 2,
§ 2, теорема 3).
3. Случай относительного включения пространств J£p.
Простое отношение включения между пространствами 9?v не имеет
места, т. е., вообще говоря, неравенство р < q не влечет ни
S'pzdS7*, ни 2^ cz 24
Так, на интервале ]0, +оо[, наделенном мерой Лебега,
числовая функция /, определенная как f(t) = t~a на ]0, 1] с а=1/2
и f(t)=t-$ на [1,+оо[ с р = 2, принадлежит i?1, но не
принадлежит S2.
Напротив, если взять а= 1/4 и р = 1, то ]ф.9?х, но f^2?2.
Укажем два важных случая включения.
Предложение 3. Если мера ограничена, то неравен-
ство р ^ q влечет 9?р cz 9?q.
В самом деле, пусть |я —мера и \х(А) — конечная мера
множества Л, на котором меняется переменное.
Если p>q, то l/q>l/p; положим (1/р) + (1/г) = (l/q) и
применим неравенство Гёльдера. Пользуясь теми же
обозначениями, что и в п. 2, получаем неравенство
li(\xm-xnfX(n(\xm-xn\p))q",^(A)fr,
которое доказывает, что если (хп)—последовательность Коши
в Ер, то (хп) будет последовательностью Коши и в Ev, а
значит, 3?р cz З'я.
Предложение 4. Если на множестве N натуральных
чисел задана мера (ы, как мера, равная +\ в каждой точке
из N, то неравенство р ^ q влечет 3?р cz 3?q,
S. ПРОСТРАНСТВА 2?P
423
(Можно показать, что это предложение остается
справедливым, если взять дискретное пространство Л, каждая точка
которого обладает мерой +1.)
Охарактеризуем вначале пространства j?p, определенные
при помощи этой меры на множестве N.
Множество Е ступенчатых функций на N есть множество
конечных последовательностей, т. е. последовательностей х =
= (lh) действительных чисел, все члены которых, кроме
конечного их числа, равны нулю. Для такого элемента х е Е
имеем ц (я) = 22 6*5 Ер —это пространство £, наделенное нормой
iuiiP=(2ig*r),/p.
Пусть (хп)—последовательность Коши в Ер, т. е. если
xn = {ln,k)k, где 1п,и равны нулю для всех значений &, кроме
конечного числа (которое зависит от п), то
lim || хп — хт ||р = О,
П->оо, т->оо
ИЛИ
lim 2l£«,*-Uft|p = 0,
откуда вытекает, что
Hm \ln,k-lm.kP = 0
для любого k\ значит, последовательность (\Пъь)п есть
последовательность Коши в /?, и стало быть, сходится. Пусть
Ф*= lim (lntk)
П->°о
и пусть имеется последовательность / = (фь) действительных
чисел, которая является также числовой функцией на N, а
именно, пределом всюду последовательности Коши из Ер.
С другой стороны, при п~+оо последовательность \\хп\\р
имеет конечный предел, равный ||/||р.
Следовательно, для любых k и п имеем
Л\Ъп.иГ<м,
к
где М — константа, не зависящая от п и k. В частности, если
v — произвольное фиксированное целое число, то
значит, для и -* оо
к <; v
424
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
следовательно,
Стало быть, последовательность / = (ф&)— это
последовательность, удовлетворяющая условию
21ф*Г< + °о.
Обратно, пусть / = (фь) есть последовательность таких
действительных чисел, что 2l Ф& \Р < + °°; пусть хп = (|п> й), где
In, А = фл при k ^ м, |п>/1 = 0 при & > я, и пусть, например,
я < т; тогда
m
(iu«-*,«iiP)p = 2i<pfeip.
л + 1
Так как, по условию, 2l Ф& Г < + °°> то
rt->oo, rn->oo /г + 1
значит, (xn) есть последовательность Коши в Ер и
определяет /.
Таким образом, это пространство 9?v есть пространство
таких последовательностей действительных чисел * = (gfe), что
2jI ё* Ip < + °°- 0но обозначается 2?p(N) или Lp(N).
Предположим теперь, что р < q и что 2 |1^|р<°°. Так
как ||ft| стремится к нулю, то, начиная с некоторого номера,
будет выполняться |!ь|< 1, а так как при 0 < а < 1 функция
t-*al убывает, то при p<q имеем |!k|p>|!k|g; отсюда
следует, что если хеЬ(^), то x^Lv(N)y и тем самым,
предложение 4 доказано.
§ 4. Пространства J£°° и L°°
Введенные выше пространства j?p были определены для
1^/?<+оо. Встает вопрос о том, какой смысл можно
придать символу S°°. Но 2?р наделено полунормой, которая имеет
вид (м<(|*|р))1/р» и в наиболее простых случаях (ступенчатых
функций на R, непрерывных функций с компактным носителем
на R) легко видеть, что
lim H*||p = supU(0|.
Иными словами, в пределе норма (или полунорма) в 31 v дает
норму равномерной сходимости. А поскольку функции йа S?v
определены почти всюду, то получаем более общее определе*
ние, которому и будет посвящен этот параграф.
5. ПРОСТРАНСТВА SBP
425
1. Определение пространств ££°° и L°°.
Определение. Пусть Е — пространство Рисса числовых
функций, определенных на мнооюестве Л, и \х — положительная
мера. Говорят, что числовая функция ху определенная почти
всюду на Л, ^-ограничена, если существует такое число а ^ О,
что | х (t) | <! а (для меры \i).
п. в.
Нижняя грань указанных чисел а называется ^-максимумом
функции \х\ и обозначается 11x11«,.
Это определение требует следующих замечаний.
Если | х (t) | ^ а, то множество точек t еЛ, в которых
п. в.
\x(t) \ > а, пренебрежимо.
Можно было бы рассматривать |я-максимум и [i-минимум
функции х. Например, ^-минимум функции х, обозначаемый
иногда т«>(х), есть верхняя грань действительных чисел Ь,
удовлетворяющих условию
п. в.
Вместо [i-максимума функции \х\ употребляются также
названия истинный максимум или существенная верхняя грань.
Если х — непрерывная функция на компактном
множестве К, то
II х IL = sup | х (t) |,
если любая окрестность любой точки К имеет ненулевую
jx-меру.
Если х = у, то
IUL = IML;
если х = 0, то
ll*L = o.
Очевидно, что
Wx + ylL^WxL + Wy^
и, для любого действительного а
l|a*IL = MII*L.
Отныне мы будем считать, что для любого х е Е величина
lUHoo определена (и конечна).
Таким образом, ||х||«, определяет на пространстве Рисса Е
полунорму. Проведя факторизацию но отношению
эквивалентности х = уу получим на Ё норму 11x11«,, причем ||x|L является
значением ||х||«,, когда х —элемент из Я, определяющий класс
эквивалентности х.
426
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Определение ££•• и L°°. Обозначим через 5?** пополнение
пространства £, наделенного полунормой 11*11«,, а через L°° —
ассоциированное нормированное пространство*).
Охарактеризуем &°° (и L°°) посредством числовых
функций, как мы делали это для SB.
Обозначим через х, у, ... элементы пространства Рисса Е
(наделенного положительной мерой (ы и полунормой ||*||«>,
которая предполагается конечной для всех xgeE).
Если (хп) есть последовательность Коши из Е, то
\\Хп — *mll«>-*0. Каждому (хп) отнесено такое пренебрежимое
множество епу что
t^en=$\xn(t)\>\\xn\\oo.
Пусть
оо
*== и **•
Если t е А — е, то
I *« (0 — xm (t) | < || *я — xm IL;
значит, (яп) равномерно сходится на А — е. Говорят, что (хп)
равномерно сходится почти всюду.
Пусть теперь / — функция, определенная почти всюду как
предел последовательности (хп). Тогда каждой
последовательности Коши (хп) соответствует некоторая числовая функция f.
Если (уп) — эквивалентная ей последовательность Коши,
т. е. такая, что \\хп — уп\\оо—>0, то хп — уп равномерно сходится
почти всюду к нулю, и следовательно, если g— функция,
определенная посредством (уп), то
S п. в.'
Обратно, если (хп) и (уп) — две последовательности Коши,
определяющие /, то ||*п — #п||оо-*0, ибо если е, е'— пренебре-
жимые множества, отнесенные последовательностям (хп), (уп)>
то на А — е имеем
!**(*) — */(О К е/2> если п^п0;
на А — е' имеем
I Уп (t) —у(1)\< е/2, если п > п'0\
*) Это определение совпадает с общепринятым в случае, если Е —
пространство Рисса, образованное ступенчатыми функциями на клане всех
(i-измеримых множеств, где \к — конечная мера; в этом случае S?°° =
= {л: е 3? : Ы<» <. °°}. Если мера бесконечная, или если Е образовано
ступенчатыми функциями на клане общего вида, или непрерывными функциями
на локально компактном (в частности, компактном) пространстве, то данное
определение неприемлемо.
См. также сноску на стр. 438.
5. ПРОСТРАНСТВА gP
4Zt
значит, на А—е[}е/ имеем
I хп (0 — уп {t) К е, если п > max (яо, ^о).
Итак, пространство S°° состоит из числовых функций,
определенных почти всюду и являющихся пределами почти всюду
последовательностей Коши в пространстве Е, наделенном
полунормой lUHoo (короче: равномерные пределы почти всюду
последовательностей Коши функций из Е).
Пространство L°° есть факторпространство пространства
S?™ по отношению эквивалентности
f = #.
' П. В. б
С другой стороны, на А — е, где е — пренебрежимое
множество, имеем
\xn(t)\-e^\f(t)\^\xn(t)\ + e,
где е > 0 — заданное число и где п ^ п0, причем п0 зависит
лишь от е. Стало быть, имеем
sup |f(OI=Hm||;UL = imL-
Следовательно, полунорма ||аг||оо, определенная на Е,
продолжается в 2"°°.
Наконец, очевидно, что L°° есть банахово пространство.
В итоге получаем теорему.
Теорема 1. Пусть Е — пространство Рисса числовых
функций, наделенное положительной мерой \х и полунормой,
определяемой при помощи ^-максимума. Пространство 2?°°,
состоящее из числовых функций, являющихся почти всюду
равномерными пределами функций из Е, есть пополнение
пространства Е.
Замечание. Мера jx, вообще говоря, не продолжается
в 3?°°\ в самом деле, если Е — пространство непрерывных
функций с компактным носителем, определенных на локально
компактном пространстве, и 9?°° введено по определению стр. 426,
то (см., стр. 404) равномерный предел последовательности
непрерывных функций в общем случае не будет интегрируемым.
2. Неравенство Гёльдера. Пусть 9?х и S°° построены исходя
из одного и того же пространства Рисса Е числовых функций
и положительной меры jx, заданной на Е (а значит, и на i?1).
Кроме того, предположим, что если х е Е и у е Е, то ху е Еч
Имеем \xy\^\\x\\Jy\ и \х (| ху IXIUIL^x (| у |), или
II ^ Hi <U Lily Hi-
428
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть f^S?°°, g^2?K С одной стороны, f есть предел
почти всюду последовательности Коши (хп) в j?00, а с другой
стороны, g есть предел почти всюду последовательности Коши
(уп) в S71. Стало быть, fg = \imxnyn. Покажем, что fg^9?1;
достаточно показать, что (хпуп) есть последовательность Коши
в Е9 наделенном полунормой пространства «271. В самом деле,
имеем
II Хпуп — Хтут ||, = || Хп (уп — Ут) + Ут (хп — Хт) ||j <
< II Хп (Уп — Ут) 111 + II Ут (Хп ~ Хт) \\х <
< II Хп L || Уп — Ут 111 +\\Хп— Хт ||го || ут ||!.
Но ||ЯпIIоо ограничена, \\у7П\\\ тоже ограничена, и \\уп — ym\\i
и \\хп — XmWoo стремятся к нулю, тогда п, т стремится к
бесконечности. Следовательно, fg е J?1.
Но, кроме того, из
\\ХпУп\\1<\\Хп\и\Уп\\1
получаем для м-*оо
II/г II. < II ft II г Hi-
Итак, справедлива теорема:
Теорема 2. Если f<=g°°y g^S\ то fg<=gl, и ||fe||i <
< ll/IUIglli.
Замечания. 1) Предложения 3 и 4 стр. 422 легко
распространяются на случай, когда числа р и q принимают любые
значения, большие или равные 1, включая значение +оо.
2) Соотношение
II fg Hi < II /IL И* Hi
показывает, что g-*[i(fg) есть непрерывная линейная форма
на j?1, a f-*\i(fg)—непрерывная линейная форма на S?00
(ср. § 3, п. 2, замечание); таким образом, это — то же самое
свойство, которое имеет место, когда р < оо и q < оо и
(l/p)-\-(l/q) = 1. Ниже мы увидим, что всякая непрерывная
линейная форма на «2^, где 1 ^ р <. +°о, т. е. где р конечно,
задается как f-+\x(fg)9 где je^ (1<<7^+°°, т. е. q
равно + оо, если /7=1) *), но это свойство уже не будет
выполняться при р= +оо. Иными словами, если geS'1, то, каково
бы ни было fe^00, линейная форма f-+\i(fg) непрерывна на
5700, но это выражение не представляет всех непрерывных
линейных форм на 9?°°.
*) См. сноску на стр. 426.
6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ
429
РАЗДЕЛ 6
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА - НИКОДИМА. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ НА 2Р
Когда на одном и том же пространстве Рисса числовых
функций заданы две меры, \х и v, то естественно поставить
вопрос о том, какое соотношение существует между этими
двумя мерами и будет ли функция, интегрируемая
относительно меры [1, интегрируема относительно v? Именно с этим
вопросом связана теорема Лебега — Никодима*), которая будет
использоваться для установления разложения одной меры
относительно другой. Иллюстрацией к этому разложению могут
служить положительные меры на числовой прямой,
определенные посредством монотонных функций, и разложение этих мер
является разложением положительной меры относительно меры
Лебега. Мы ограничимся случаем, когда \х и v — ограниченные
положительные меры.
§ 1. Теорема Лебега—Никодима
1. Определение одной абсолютно непрерывной меры
относительно другой. Пусть [х и v — две меры, определенные на
одном и том же пространстве Рисса числовых функций на
множестве А. Говорят, что мера v абсолютно непрерывна
относительно меры [1, если любое множество ^-нулевой меры будет
множеством ^-нулевой меры.
Приведем пример, который представляет собой частный
случай общей теоремы, излагамой ниже, в разделе 8 (§5). На
компактном интервале [0, 1] числовой прямой рассматривается
мера Лебега \х. Пусть, с другой стороны, ф есть функция от
t е [0, 1], непрерывная и возрастающая; ясно, что если положить
v([U'])==l<p(n-<p(OI>
то будет определена мера. Если при этом функция ф
удовлетворяет условию Липшица первого порядка, т. е. если
существует такая постоянная Л/, что для любых t и V
1Ф(П-Ф(01<ми'-П,
то мера v абсолютно непрерывна относительно меры \х. В
самом деле, если е — множество ^-нулевой меры, то при любом
е > 0 оно может быть покрыто конечным или счетным
семейством таких интервалов /^, что 2м-(^)<8- Но мера v
интервала Ik не превосходит M\\.(Ik)\ значит, для любого е>0
*) Или, как ее чаще называют, теорема Радона — Никодима.
430
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
найдется покрытие множества е интервалами /^, сумма v-мер
в которых удовлетворяет условиям
2v(/*)<M2M/*)<e.Ai.
2. Теорема Лебега — Никодима. Пусть \х и v —
положительные ограниченные меры, определенные на. одном и том же
пространстве Рисса числовых функций; и пусть i?(|i), i?(v) —
соответствующие пространства 2\ Если мера v абсолютно
непрерывна относительно меры \х, то существует, и притом
единственная, такая функция fo^S?(\x), что для любой функции
fe=<?(v) foeS» и v(f) = n(ff0).
Пусть А — пространство переменного и пусть а) = \х + v.
В силу ограниченности мер имеем 9?x((u)zd 9?2((£>).
Пусть /ej?2(a)) и фл — характеристическая функция
множества А. Функция / =/фА принадлежит 9?х(со). Если, с
другой стороны, функция / принадлежит 3?1((о), т. е. интегрируема
относительно меры и + v, то она такова и относительно р, и v
в отдельности, ибо / определяется при помощи
последовательности (хп) числовых функций, являющейся
последовательностью Коши относительно полунормы пространства 9?х(со), т. е.
<о(| xm — хп \) = \i(\xm — xn\) + v(\xm — хп\)
стремится к нулю, а так как (ы и v — положительные меры, то
отсюда следует, что \х(\хт — хп\) и v(|*m — хп\) тоже
стремятся к нулю. Следовательно, можно рассматривать v(/), где
[6^((0), и записывать в силу неравенства Гёльдера, что
|v(/)|<v(|/ |) = (о(| П)-и(1ПХ«>(Ш) =
= со(|/|.фл)<||/||^(ц>)||фл||^((В).
Это неравенство показывает, что v есть непрерывная
линейная форма на J?2((o). Стало быть, существует (раздел 5,
§ 3) такая функция j£^2((o), что для любой функции /е
eJ?2((o) имеем
V(f) = CD(fe).
Функция g положительна (кроме как, быть может, на
множестве о)-нулевой меры); в самом деле, поскольку v(/) = o)(/g)
для любого f е 572 (со) (и в частности, если взять f — фА), то
получаем г(фА) = co(g) ^0; если В = {t: g(t) < 0}, то 0^v((pB) =
= &)(£фв) < 0, а следовательно, г(фБ) = со(^фв) = 0; так как
g(pB <0 и оо(£фв) = 0, то §фв = 0 почти всюду относительно со
(см. раздел 3, § 1), и g ^ 0.
п. в.
Пусть теперь л'е«2?2((о); так как
v (х) = со {xg) = ix {xg) + v {xg),
то \i{xg) = v{x{l—g)).
6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ 431
Заменяя функцию g на (1 — Фв)£, мы можем считать, что
g ^ О для всех t е А.
Покажем, что g<l. В самом деле, пусть X — подмноже-
п. в.
ство Л, на котором g(t)^\; множество X v-измеримо и
^-измеримо (раздел 4, § 1, п. 2: так как мера ограничена и
g^L2 (со), то g е L1 (со); поэтому gei1^) и gGL1 (v)). Кроме
того, фх е £to(co), поэтому ф^ е Z.2 (со), откуда следует равенство
1*(фхв) = *(Фл(1—g)).
Но cpxg ^ 0, поэтому [л(ф^)^0, а ф^(1—g) ^ 0, поэтому
v((p*(l— g))<0; отсюда следует, что ji^g) =г(фх(1 — g)) =
= 0. Но, как нам известно, из равенства |i^xg)=0 для
неотрицательной функции ф^ следует, что множество X =
= {t: <fx(t)g{t)>0} имеет [л-меру нуль; так как v абсолютно
непрерывна относительно |i, то X имеет также v-меру нуль,
т. е. и со-меру нуль. Заменяя g на (1—q>x)g, мы можем
считать, что g < 1 для всех t е А.
Так как geL°°(co), то для любой функции xeL2(co) и
любого натурального й имеем xgk ^ L2(со); поэтому xgfe
интегрируема относительно со, |i, v. Подставим xg вместо х в
равенство v (х) = |я (xg) + v (xg); тогда
v (xg) = со (xg2) = [X (xg2) + v (xg2), .
откуда последовательно выводим
v(x) = 2J ,i (xg*) + v (xg*) = ,i (x S gk) + v (xg11).
Относительно меры v имеем g<l, и следовательно, если
п. в.
х ^ 0, то xg" убывает и стремится почти всюду к нулю, а стало
быть, v(xgn) стремится к нулю.
Итак, для любого xe2?2(v) и для х^О можно записать
v(*)= lim \х[х S g>
Последовательность функций
возрастает,
432
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ограничена, и значит, по теореме Беппо Леви, предельная
функция
* 2 Я* е 2* (ц)
1
(принадлежит 3?1(\к)) при любом х^О и *ej?2(v). Положим
ОО
и возьмем л: = qu. Тогда
Фл/о = /о^^1Ы.
Итак, теорема доказана, если взять в формуле v(/) = \i(ffo)
в качестве / положительную функцию х, принадлежащую
j?2(v). Для неположительной функции х, принадлежащей
i?2(v), достаточно представить х в виде х = х+ — х~.
Остается показать, что теорема верна для произвольной
функции / е 9?l(v).
Пусть Е— множество функций, которое бралось как
исходное для построения различных пространств 2>v(\i) или Sq(v)
(в двух основных случаях Е является пространством
ступенчатых функций или непрерывных функций с компактным
носителем). Обозначим буквой х (с индексом или без него)
элемент из Е. И пусть функция [eL1 (v) определена посредством
последовательности Коши хп. Так как теорема верна для
любого элемента из Е и так как
v (I хп — Хт |) = [X (| Xnfo — XmfQ |),
то последовательность (xnf0) есть последовательность Коши
в S?1 Qx). Значит, существует последовательность xnkfQ, сходя-
дящаяся pi-почти всюду; но так как v абсолютно непрерывна
относительно [х, то последовательность xnJQ сходится v-почти
всюду, и то же самое имеет место для последовательности хПк.
Последовательность хПк> а стало быть, и последовательность
Коши хП9 определяет элемент fG^'(v) (к которому хПк
сходится v-почти всюду). Следовательно, имеем
lim xnk = f (v-n. в.), lim xnJQ = ff0 (ц-п. в.),
а так как v (x) = [x (xf0) при x e £, то
и значит, в пределе
v(/) = n(/fo).
6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ
433
Докажем единственность f0. Пусть f0 — другая функция
из Ll(\x) такая, что v{f) = [i(ff/0) для всех [gL'(v). Тогда
1*(/(/о —/о)) = 0 Для всех f^L (v)> гАе fo — f'oGzLHV')- в
четности, \i(f(f0 — /0)) = 0 для всех /е£, откуда с помощью
несложного рассуждения следует, что /0 — % иГЙГв. ^-
§ 2. Разложение меры
Теперь можно, пользуясь теоремой Лебега — Никодима,
дать ответ на вопрос о проблеме соотношения между двумя
мерами |я и v. Мы будем рассуждать в предположении, что \х
и v — положительные ограниченные меры, определенные
относительно одного и того же клана Г подмножеств одного и того
же множества А.
Рассмотрим снова меру со = \х + v. Если некоторое
подмножество из А имеет оо-нулевую меру, то оно имеет также
[х- и v-нулевую меру. Значит, \х и v абсолютно непрерывны
относительно (О = \х + v.
С другой стороны, если f = 27 (со), то f е =27 (fi) и [E^fv).
Согласно теореме Лебега — Никодима существует такая
функция gG^fw), что для любой функции fei?(v) имеем
v(f) = ©(gf) = |i(gf) + v(gf).
Для множества X, со-измеримого, а значит, \х-' и v-измерн-
мого, имеем
v{X) = v(cpx) = ix (gq>x) + v{gyx).
Покажем, что 0 ^ g ^ 1 (v-почти всюду). Возьмем в
качестве X подмножество из Л, на котором g(t)> 1. Тогда gq>x >
> фх, и мы имеем
v№ = l* (йФх) + v(СТх) > Iя (ф^ + v (Фх) = \i{X) + v (Х)\
значит, \х(Х) = О, и следовательно, n(gcpx) = 0.
Далее, равенства
v(X) = v(gq>x) = v(q>x)
дают
v((g-l)9x) = 0.
Функция (g—\)q>x обращается в нуль вне X, положительна
на X, значит, положительна на Л, и стало быть, равенство
v((g—1)ф*)==0 влечет (g—1)фХ = 0 (v-почти всюду). Так
как на Ху по условию, имеем g(t)—1>0 и фх(0^0> то
фХ = 0 (v-почти всюду). Следовательно, v-почти всюду имеем
g^.1. С другой стороны, доказательство теоремы Лебега —
Никодима (см. свойства функции g и определение функции
/о) показывает, что v-почти всюду имеем 0 sg g.
434
ГЛ X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Таким образом, 0 ^ g <<: 1 (v-почти всюду).
Изменим надлежащим образом значения функции g на
множестве v-нулевой меры так, чтобы 0 ^ g ^ 1.
Пусть теперь
Л0 — множество тех /еД где 0 < g (t) < 1;
А{—множество тех /бД где g(t)=l.
Имеем
A = AQ[}AU Aof)Al = 0,
т. е. Л0 и А\ составляют разбиение множества А.
Кроме того, \x(Ai)= 0. В самом деле,
но
следовательно, v(A\)= \i(Ai) + v(Ai)9 и |ы(Л1) = 0. Из этого
для любого подмножества X следует
\i(X{]A{) = 0.
Рассмотрим теперь две меры, vo и vj, определяемые как
v0(*)=v(*rMo). MX) = v(X{]A{).
Имеем прежде всего
v, (Л0) = v(Л0П Л,) = v(0)-0, vQ(Al) = 0.
Если X есть v-измеримое подмножество, то
vQ(X()Al) = v(XnAQnAl) = v(X()0) = v(0) = O9
vl(Xr)Ao) = v(Xf)Ao()Al)=r-v(Xr)0) = v(0) = Oi
y(X) = v((X{]AQ)]j(X{]Al)) =
= v (X П Л0) + v (X П Л,) = v0 (*) + v, (X).
Итак, найдено такое разбиение Л=Л0иЛ! множества А
и такое разложение меры v на v = vo + vi, что vo(^i) =
— vi (Л0) = 0 и что мера \i(A\) равна нулю.
Наконец, покажем, что мера vo абсолютно непрерывна
относительно |ы. Пусть подмножество X из Л таково, что |я(Х) =
= 0; покажем, что vo(X) = 0. В самом деле, имеем
v0 (х) = v (х п л0) = ii (g<vX[]A) + v (от*л Ло);
так как \i(X) = 0, то
6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ
435
следовательно,
или
v(0-g)qW=0-
Но на Л0, а значит, и на X П Л0 имеем 1— g > 0;
следовательно,
*(ф*п^ = *(*П4,) = 0,
т. е. vo(X) = 0.
Обратно, если задано разложение меры v такое, что v =
= <Vo + v,, v0(Al) = vl(A0) = 0 и м- (Л,) = 0, то из формулы
v{f) = [i{gf) + v{gf)> примененной для / = ФЯ, ЕаАи получаем,
что v (<ря) = р. (g^) + v (g<pE) = v(g<pfi), откуда следует, что g = 1
почти всюду на Л1в Если, напротив, g= 1 на множестве Fa Л0,
то v(фР) = |л(ф^) + ^(фр), т. е. |л(фр) = 0, и так как Fez Л0, то
Vl (F) = 0, а ввиду абсолютной непрерывности v0 по \х имеем
v0(F) = 0; поэтому v(F) = 0 и поэтому Л! (с точностью до
множества меры нуль) есть множественна котором g принимает
значение 1; поэтому единственность g влечет единственность
разложения меры v.
Таким образом, получаем следующий результат.
Теорема. Пусть \х и v — положительные 'ограниченные
меры, определенные на одном и том же множестве А
относительно одного и того же клана. Можно единственным образом
выбрать такие две положительные меры vo и vi и такое раз-
биение А = Л0 U Ах множества А (где Л0, А\ определены с
точностью до множества меры нуль), что
1) v = v0+ v{\
2) v,(40) = v0(A1) = 0 и ^) = 0-,
3) для любого ^-измеримого подмножества X
li(X[]Al) = vl(X(]A0) = 0;
4) vo абсолютно непрерывна относительно \х.
Этот результат может быть сформулирован следующим
образом: пусть jj и v — заданные меры на Л; v есть сумма двух
мер vo и vr, мера vo абсолютно непрерывна относительно и;
подмножество А\ из Л, на котором сосредоточена мера vi,
имеет jii-нулевую меру, хотя вообще v\(A\)^= 0.
Можно еще сказать, что если в качестве исходной выбрана
каким-либо образом мера |i, то другая мера v не будет,
вообще говоря, абсолютно непрерывна относительно [л, т. е.
множество [i-нулевой меры будет вообще говоря, иметь строго
436
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
положительную меру v; но мера v будет представлять собой
сумму двух мер vo + vi, множество jui-нулевой меры будет
иметь vo-нулевую меру, а подмножество, на котором
сосредоточена мера vi, будет иметь (ы-нулевую меру (но не нулевую
v-меру).
§ 3. Непрерывные линейные формы на пространствах j£p
В этом параграфе приводится выражение любой
непрерывной линейной формы на пространстве j?p (1^р<+°°)-
Предположим, что все пространства j?p построены исходя из
одного и того же пространства Рисса Е числовых функций
(удовлетворяющего, в частности, условию JfG Е=Ф\х\р е Е) и
положительной меры \х, которая предполагается ограниченной,
что влечет 9?v zd Sq при р ^ q.
Для всех этих пространств j?p имеем: если x^3?v, z/ej?^ и
О ^ У < *, то \\у\\р < |U||p. (Это верно также и для 2?°°.)
Пусть F — непрерывная линейная форма на j?00; имеем
\F(x)\<\\F\\\\x\\p
для любых JfE^, причем \\F\\ есть норма формы F. Согласно
теореме из § 5, раздел 1, форма F является разностью двух
непрерывных положительных линейных форм G и Н\ пусть,
стало быть, F = G — И (где G(x)= sup F(y)).
Пусть xn — последовательность функций из 3?v, убывающая
и сходящаяся к нулю; то же самое имеет место и для |xr;|p;
значит, lUnllp убывает и стремится к нулю при п-*оо (что
не выполняется, если р = +°°)- Так как
G(xn)^\G(xn)\^\\G\\\\xn\\p,
то G(xn) стремится к нулю. Следовательно,
хп I О =Ф G (хп) I О (аксиома &).
Таким образом, G есть положительная мера на 3?*,. равно
как и Я. Если х — функция, равная нулю почти всюду
относительно меры [1, то IU||p = 0, а значит, F(x)~0, и стало быть,
G(x)= 0, ибо
\G(x)\^G(\x\) = supF(y), где О<0<|*|, IIУ IKIUII = 0.
Имеем также Н(х) = 0. Следовательно, положительные меры
G и Н абсолютно непрерывны относительно \х. Кроме того, они
ограничены, так как
|G(*)|< sup Р^ХИ/'ШиЦр^Н/'П^ИЙ'^иЬ
6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ
437
и если # = фл, то
С(Фл)<И^11(^И))1/р.
По теореме Лебега — Никодима найдется такая функция
fo^S?l(\i), что F(x) = \i(xf0) для любой функции х,
интегрируемой одновременно относительно G и Н. Функция /0
определяется единственным образом (с точностью до множества
меры нуль).
Наконец, если (хп) — последовательность Коши в Я,
наделенном нормой пространства «2>, то поскольку G есть
непрерывная линейная форма на j??, то
G(U„-^|)<||GMI^-x„||p;
значит, G(\xn — xm\) стремится к нулю; если при этом хп
сходится |я-почти всюду к функции f е 2Х то в силу того, что
любое множество [i-нулевой меры является множеством
(/-нулевой меры (абсолютная непрерывность), хп сходится G-почти
всюду к функции /, которая, стало быть, интегрируема
относительно меры G. Таким образом, равенство F(x)= \i(xf0),
справедливое для любой функции х, интегрируемой
одновременно относительно G и Я, тем более справедливо для любой
функции х е i?p.
Предположим теперь, что р > 1, и рассмотрим такие
функции хе^с 2"р, что 0 < * < | f01.
Пусть фо—-функция, равная 1, если fo(t)^0, и —1, если
ЫО<о.
Имеем
ц (*</) = ц (*</-» -x)^ix (х«~1 | /01) = ii (^-1фо. /0) =
= F(x^ -фоХН F\\\\ х"-1 ||р.
Но равенство (1//7) + (1/^)= 1 дает p(q— \) = q. Отсюда
|i (**) < || F ||Ы*"))1/р
(|i(^))^ = IUI|,<||F||.
Наконец, пусть (хп)—последовательность функций,
определенных как
Xn{t) = f0(t), если 1М01<«.
хп {t) = шр0, если | fQ (t) | > /г.
Последовательность хп сходится ц-почти всюду к f0 (лг+
возрастает к Iq, Хп убывает к fjj"), функция яя ограничена, и
значит, принадлежит «2^°° и £q (поскольку мера ограничена),
1*яК1/о1> и значит, нормы \\xn\\q ограничены; следовательно,
по теореме Б. Леви, f0^2?q.
138
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Кроме того, имеем !l/olU ^ 11^11, поскольку для х ^2?ч и
0-<л:-<|/о| получаем |UII9^ ||F||. Но так как, в силу
неравенства Гёльдера, имеем |/^(а:) | == |ц(^/0) | ^ lUllpll/ollg, то \\F|| ^
< llfollg, и стало быть, ||F|| = ||follg.
При р = 1 обозначим через ll/olU |л-максимум функции
|/о|, конечный или бесконечный, и предположим, что H/olL ^
^ II/7II + е, где е > 0 — действительное число. Пусть X —
множество точек t, в которых |fo(0 I ^ II/7!! + е/2 и Ф*—его ха'
рактеристическая функция. Имеем
M\Vxfo \)>V(X)-(\\F\\ + *I2).
Но ix (1ф^о1) = /7(Фх-ФоХ11/711-11Фх111=11/711^(^). Так как
ц(Х)>0, то
ИЛ + е/2<||П
что невозможно. Следовательно, предположение о том, что
ll/olloo ^ \\F\\ + е, было ложно, и стало быть, H/olL ^ IIЛ|. Так
как снова имеем
\F(x)\ = \\i(xh)\\<\\x\\i\\h\L>
то всегда \\F\\ = Ц/olL *).
Теперь сформулируем теорему.
Теорема. Пусть \х — положительная ограниченная мера
на пространстве Рисса числовых функций. Любая непрерывная
линейная форма F на 3?v записывается в виде F(x) = n(xf0)y
где /ое^((1/р) + (1/?)=1 и 1</?<+оо). Кроме того,
норма этой линейной формы равна \\F\\ = ||/oll9-
Все функции /о в этой теореме равны между собой jli-почти
всюду.
Обобщение. Эта теорема довольно легко
распространяется на тот случай, когда ji — неограниченная мера и когда
р > 1. Упрощающее условие позволяет распространить
предыдущий результат на случай неограниченной меры и 1 ^ р <
< +°°: предполагается, что множество А является счетным
объединением измеримых множеств (если речь идет о мере на
локально компактном пространстве, то предполагается, что это
пространство счетно в бесконечности, т. е. является счетным
объединением компактных множеств).
оо
В самом деле, если A = \jAn, причем мера каждого Ап
1
конечна и Ап возрастают, то рассмотрим пространства 3?v(An).
*) Как видно из этого рассуждения, здесь в качестве 9?°° рассматри
вается пространство {х е 2?х : IklU < +°°}« См. сноску на стр. 426.
6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ
439
Линейная форма F непрерывна на каждом из них, и если fn
означает функцию, принадлежащую Sq и такую, что для
любого х^9?р(Ап) имеем F(x) = \x(xfn)y то \\fn\\q ^ 11Л1-
Единственность класса функций fn в L<*(An) влечет, что на Ап
tnjr^fn+u а так как |/n| < |/n+i|, то fn сходится к функции
fQe=&*(A).
Следствие. Предыдущая теорема выражается также в
следующей форме: для 1^р<+оо пространство,
сопряженное к L*>, может быть отождествлено с L*\ а так как (1/р)-\-
+ (1/^)= 1, то сопряженным к L<? будет L*\ если 1 ^ q < +оо.
Следовательно, если 1 <. р <. + °°, то пространство L?
рефлексивно*).
Пространства последовательностей. Если
рассмотреть пространства Lv(N), элементами которых
являются последовательности х = (|л) действительных чисел и
которые определяются при помощи (неограниченной)
дискретной меры на N, то
lUilp=(2li,r)1/p.
При 1 < р < +оо любая непрерывная линейная форма
записывается в виде
с»
где а = (а,)е=1«(Л0 (т.е. 21 а, |» < + °°), и
imi=Kii=(2ia<rT.
При р=\ любая непрерывная линейная форма на Ll(N)
записывается в виде
оо
F(x) = 2¾¾.
где а = ЫеГ(^) (т.е. sup| щ | < + оо), и || F || = || a L =
= sup|a£i.
i
*) Ср. замечание 2 на стр. 359. Пусть Е — нормированное векторное
пространство, Е* — множество непрерывных линейных форм на Е. Тогда Е*
является нормированным (и даже банаховым) пространством относительно
обычных линейных операций и нормы, введенной в разделе 2, § 2, п. 2.
Сопоставляя каждому элементу jcg£ функционал Fx на £*, определенный
равенством Fx(f)=f(x) для всех / е £*, получаем отображение Е в
пространство £** непрерывных линейных форм на Е. Если это отображение есть
изоморфизм нормированных пространств Е и £**, то говорят, что Е —
рефлексивно.
440
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
РАЗДЕЛ 7
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — ФУБИНИ
Теорема Лебега — Фубини будет излагаться в
предположении, что меры определены на кланах подмножеств заданного
множества.
§ 1. Произведение двух кланов
Рассмотрим два множества А и В; их элементы будут
обозначаться соответственно через |, г), их подмножества — через
X, У, их произведение — через А X В. Часто X X У будет
обозначаться через г; это произведение будет называться
прямоугольником.
Прежде всего мы в этом параграфе приведем несколько
простых свойств.
1) Множество X X У пусто в том и только том случае, если
одно из подмножеств X, У пусто.
В самом деле, если X X У Ф 0> то существует (£, т])е
е!Х^ и значит, X и У непусты. Обратно, если X и У
непусты, то X X У Ф 0-
2) Если множества Xl\Yl и ^2X^2 непусты, то
XlXYlczX2XY2^XlczX2 и У!С=У2.
Предположим, что Х{ X У\ <= Х2 X У2 и что Х{ не
содержится в X2f а значит, что существует g, е Х1э |2 ¢= Х2. Тогда
для некоторой точки (£{, ц), принадлежащей A^XKj, должно
выполняться
(&„ л) ^ Х2 X У*
и следовательно, не имеет места соотношение
XlXYl^X2XY2.
Точно так же рассуждаем с У, и У2. Обратное очевидно.
3) Следствие:
XlXYl = X2XY2¥*0=¥Xl = X2 и У, = У2.
В самом деле,
X.XY^X.XY^X.XYu
4) Если XXY^iX^XYJUiX.XY,) и (XlXYi){](X2XY2)=0,
то либо X = Xl = X2, Y = У, U У2) У, П ^2=0. ^"бо У = У, = У2)
j = X, U Х2, Xl[\X2=Q. И обратно.
Предположим, что
Х = ХХ[}Х2, Xl{]X2 = 0, Y = Y{ = Y2.
7. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА - ФУБИНИ 441
Тогда
XzdX19 XzdX2, YzdYu YzdY2,
следовательно,
XXY^(XlXYl)U(X2XY2).
Но если g,T|)e^X^, то поскольку 1&Х = Х1[}Х2, то
^g^! или J g Х2; а так как т]еУ = У1 = У2, то
(1,1))^(^, У,) или Й,л)е=(*2, У2);
значит,
ХХУс^Х^Ои^Х^).
Следовательно,
XX^ = №X^i)U(X2Xy2).
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что
№ХУ1)П№ХУ2)=0
и что
XX^ = №Xyi)U№XU
Но
XXr = №X^i)U№X^)=#^iXric:XX^,
^ХУ2сХХГ;
и значит, в силу 2) имеем Х{аХ9 Х2аХ, стало быть; Х{ [} Х2аX.
Точно так же Yx\}Y2aY.
Но, с другой стороны,
(Х{ X У i) U № X Y2) с {Хх U Х2) X(У, U У 2).
Следовательно,
Xc^U^, УсУ,иУ2,
и стало быть,
X = X,U^ Y = YX\]Y2.
Но
0 = № X У О П № X У2) => № П Х2) X (У, П У2);
значит,
*ifU2=0 или У,ПУ2=0.
Если ^11^2=0, то мы покажем, что Y = YX = Y2. Так как
УгэУ^У* то YzdYx. Если Y — У, ^= 0, то пусть л е= Y - У,
(т. е. T]eF и т) ^ У^. Для %<= Х{ имеем (g, ц) е X X У; но так
как K\<£Ylt то (g, тО^е^ХУ! и (g, т1)еЕХ2ХУ2, поэтому ^еХ2
и Х^Х Ф 0, что невозможно. Стало быть, не может быть
верно равенство
XXY = (XlXY1)[)(X2XY2).
442
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
5) Пусть Г — клан на Л, а Д — клан на В. Рассмотрим на
А X В подмножества X X Y, где X е Г, Y е А, и добавим к этим
множествам все конечные объединения непересекающихся
элементов. Легко видеть, что получен клан на А X В. В самом
деле, достаточно показать, что Х{ X ^i — ^2 X ^2 есть
объединение попарно непересекающихся множеств X X У; это нетрудно
сделать, заменив сначала Xi X ^2 конечным объединением
попарно непересекающихся множеств X.
Полученный таким путем клан будет называться кланом —
произведением и обозначаться через Г X Д-
§ 2. Мера — произведение
Пусть А — некоторое множество, Г — клан его подмножеств
и \1 — положительная мера на А (относительно Г). Пусть В —
другое множество, А — клан его подмножеств и v —
положительная мера на В.
Ступенчатая функция на Г X А является конечной линейной
комбинацией характеристических функций элементов клана
Г X А. Элемент клана Г X А есть конечное объединение попарно
непересекающихся элементов X X Y, и очевидно,
Ф*ху = ЧУРг
Функция q>xxY есть функция от (g, т]), фх — функция от | и
фу — функция ОТ Г).
Для функции /, определенной на А X В, назовем сечением
в постоянной точке g (соответственно в постоянной точке ц)
функцию от ц (соответственно от g), которая получится, если
зафиксировать g (соответственно у\). Для подмножества Z из
А X В сечением в постоянной точке g (соответственно ц)
назовем множество точек из В (соответственно из Л), для которых
сечение функции cpz в постоянной точке g (соответственно ц)
отлично от нуля. Сечения ступенчатой функции на А X В в
постоянных точках g или х) являются ступенчатыми функциями
соответственно на В или А.
Определим на А X В положительную меру со, приняв
®(XXY) = \l(X)v(Y)9
но с дополнительным соглашением, что для множеств Z = XXY,
Z' = X' XY', удовлетворяющих условию Z(]Z'—09
®{Z\}Z') = ®{Z) + ®{Z').
Покажем, что со есть мера. В самом деле (раздел 1, § 3):
1) ©>0.
2) Если Z cz Z' и если Z и Zf непусты, то свойство 2) из § 1
дает Я с*7 и Г с: Г; следовательно, |х(Х)<|л(Х'), v(F)<v(n,
откуда co(ZXco(Z7).
7. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА - ФУБИНИ 443
3) Пусть множество Zn = Xn\Yn таково, что
оо
ZnZDZn+{ и f)Zn=0.
1
Покажем, что со (Zn) | 0. Действительно,
Zn ^ Zn+i =Ф Хп zd Хп+1 и Уп zd Yп+\*
Так как
r)(XnXYn) = (f}Xn)X(()Yn) = 0,
то либо (]Хп==09 либо [)Yn=0, и значит, ц(Ял) или v(Yn)
стремится к нулю, а стало быть, также и co(Zrt)*).
Итак, записываем
00 (/) = ] f d© = [ f d\i dv.
§ 3. Теорема Лебега — Фубини
Пусть f — числовая функция на А X #> интегрируемая
относительно меры со = [1 X v. Речь идет о том, чтобы показать,
что
Напомним, что любая функция, принадлежащая &\ предста-
вима в виде разности двух функций, являющихся пределами
возрастающих последовательностей Коши элементов из £,
которое здесь является множеством ступенчатых функций (раздел 2,
§ 2, п. 1, теорема). Достаточно, стало быть, доказать результат
в предположении, что f определена при помощи
последовательности Коши возрастающих ступенчатых функций.
Пусть ф—ступенчатая функция на А X #• Для такой
функции имеем
Jcpdco= Ц J* q>(*, y)d\i(x)\dv(y)= J (\ ф(*, y)dv(y)\dti(x),
В \А I А \В
ИЛИ
<о(ф) = у(|х(ф)) = |х(у(ф));
в самом деле, это есть свойство конечных сумм.
*) Тем самым условия 2) и 3) проверены на семействе множеств Z
вида Z = XX^'> читатель легко проверит, что эти свойства справедливы
и в случае, когда Z пробегает семейство всех элементов клана, т. е.
семейство конечных объединений множеств вида X X Y.
444
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если в записи (ы(ф) или
J* Ф (*, у) d\i (х)
А
предположить у фиксированным, то затем интегрирование будет
производиться относительно у на В.
Пусть фп — возрастающая последовательность. Тогда
последовательность функций х->фгг(х, у) (соответственно у—►
-*<Рп(х, У)) при фиксированном у (соответственно х)
возрастает. Пусть
%(У)= \ 4>п(х, y)dix(x).
А
Функции \рп являются ступенчатыми функциями на S и
образуют возрастающую последовательность, ибо (ы есть
положительная мера; кроме того, так как v(\|?n) = (о(фп), то если
(фп) —возрастающая последовательность Коши,
последовательность о)(фп), а значит, и v(i|?n), ограничена. Стало быть, \рп(у)
сходится для почти всех у (по мере v) к v-интегрируемой
функции. Следовательно,
со (/) = со ( lim фл) = lim со (фл) == lim v (фя) = v ( lim я|зл).
о)-п. в. v-n. в.
Пусть ev — множество v-нулевой меры, где г|)п(у) не
сходится. Если у ф. eVi то поскольку функции я—>фп(я, у)
образуют возрастающую последовательность, все [i-интегралы
которой равны tyn(y), то они сходятся всюду, кроме как на
множестве ец [i-нулевой меры, к [i-интегрируемой функции, и
Hm фя (y)v.= Hm f фл(x, у) d\i(x)= f ( lim ф„(*, y)) d\x (x).
J J JI-П. B.
Так как фп есть возрастающая последовательность, то если
в некоторой точке (х9 у)^АХВ последовательность фп(я, у)
не сходится, то в этой точке срп(х, у)-* + оо, и стало быть, эта
точка составляет подмножество множества е& со-нулевой меры,
на котором фп не сходится. Следовательно, если фп(#, Уо) не
сходится в уоф eVi то это означает, что х е ец и что срп(х, уо)-+
-*-f- оо. Таким образом, если хфе^ (это множество может
изменяться с изменением у0), то фп(я, Уо) имеет в качестве
предела f{xyy0). Следовательно, для почти всех у (по мере v)
Чп(х>У) сходится для почти всех х (по мере \х) к f(x,y).
Итак, для почти всех у функция f(x, у) ^-интегрируема, и
lim%{y) = {f(x9y)d\i(x).
v-n. в. J
7. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА - ФУБИНИ 445
Но функция \|)п(у) v-интегрируема; стало быть, то же самое
верно и для функции
У ~> { f (х, У) d\i (х),
которая равна v-почти всюду функции Птг|)п(у). А так как
со (/) = lim v (фл) = v (lim г|зл),
то
<u(f)=j(\f(x,y)dvi(xj)dv(y).
Меняя ролями х и у> получаем
<u(f)=l($f(x,y)dv(y))dv(x).
В более краткой записи имеем
J* { f (х, У) d\i dv = J" d\x J" f (x, y)dv = J" dv J* f (x, y) d\x.
Итак, сформулируем теорему.
Теорема Лебега — Фубини. Пусть f — числовая функция на
А X #> интегрируемая относительно меры со = \х X v. Тогда
функция x-~»f(x>y) ^-интегрируема для почти всех х (по
мере v), функция y~>f(xyy) v-интегрируема для почти всех у
(по мере fi), и
J J f (х9 у) d\i dv = J" d\i J" f {x, y) dv = J" dv J f (*, y) dn-
Приведем следствие из этой важной теоремы.
Пусть в© — множество со-нулевой меры; обозначим через ср
его характеристическую функцию; для любого у функция х -*
-*ф(*> У) будет характеристической функцией того, что
называют сечением множества е^ в постоянной точке у: это есть
множество тех х, для которых (х, у)е е©, где у — фиксировано.
Функция х—>cp(x, у) jui-интегрируема для почти всех у, и
значит, мы можем записать, что
J" е<й dco = 0 = j" dv J ф (х, у) d\i,
где функция | ф(х, y)d[i определена всюду, кроме значений у,
принадлежащих множеству ev v-нулевой меры. Если у ф ev> то
в силу неравенства ф ^ 0 функция
у -> J ф (*, у) dfx
будет ^ 0; а так как v-интеграл равен нулю, то функция v-почти
всюду обращается в нуль.
446
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Стало быть, для почти всех у имеем
J ф (*, у) d\i = О,
откуда следует, что ф = 0 [л-почти всюду для почти всех у.
Итак, получили предложение:
Предложение. Для почти • всех х относительно меры yQ
(соответственно у относительно меры v) сечения в постоянной
точке х (соответственно у) множества е из Ау^В, имеющего
со = [1 X v-нулевую меру, являются множествами из В
(соответственно из Л), имеющими v-нулевую (соответственно
^-нулевую) меру.
РАЗДЕЛ 8
МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
Числовая прямая заслуживает специального изучения по.
причине многочисленных приложений теории интеграла к
случаю действительных функций одного действительного
переменного.
Если пытаться найти все возможные меры на числовой
прямой (ограничиваясь только положительными мерами), стараясь
при этом сохранить основные элементы, в частности, свойство
интервалов быть измеримыми, то, как легко видеть, такие меры
определяются монотонными функциями (или функциями
ограниченной вариации, если мера не обязательно положительна).
Для монотонной функции |я, или, что будет сводиться к тому
же, для некоторой меры |я, будет определен интеграл
действительной функции х действительного переменного t (интеграл
Лебега — Стилтьеса); он будет обозначаться xd\x. Но в
элементарных случаях можно писать х d\x = х D\idt, где
D\x — производная от \х\ это, в частности, сводит вычисление
к интегралу, определенному исходя из меры Лебега. Если jj, —.
монотонная функция, то D\x существует почти всюду (в смысле
меры Лебега), но этого недостаточно для сведения интеграла
xd\i к интегралу, построенному исходя из меры Лебега.
Задача связана с детальным изучением монотонных функций: с их
разложением и дифференциальными свойствами. Этому и будет
посвящен первый параграф.
Поскольку числовая прямая есть счетное объединение
интервалов, то мы будем предполагать в дальнейшем, что
множество А действительного переменного t есть компактный
интервал (например, интервал [0, 1]).
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
447
§ 1. Монотонные функции, функции ограниченной вариации
1. Общие свойства монотонных функций. Пусть / —
возрастающая действительная функция действительного переменного t.
В каждой точке t функция / имеет предел справа,
обозначаемый /(^ + 0) или f(f+); это есть предел значений f{t'), когда
V > t стремится к t\ точно так же f имеет предел слева,
обозначаемый f(t — 0) или f(t—). Имеем
f(*-o)<f(t)</(t + o).
Положительная величина f(t) — f(t — 0) называется скачком
слева в точке t9 a f(f + 0)—f(t)—скачком справа в точке t9
a f(f + 0)— f(t — 0) называется скачком в точке t.
Функция f непрерывна слева (соответственно непрерывна
справа, непрерывна), если ее скачок слева (скачок справа,
скачок) равен нулю.
Функция f имеет не более чем счетное множество точек
разрыва-, в самом деле, на интервале [а, Ь] сумма любого конечного
числа скачков не превосходит f(b + 0)— f(a — 0) (на ] а, Ь[
она не превосходит f(b — 0) — /(# + 0)); значит, найдется
конечное число точек интервала, в которых скачок заключен
между 1/(/г+ 1) и 1//г, откуда следует, что множество точек
разрыва может быть только пустым, конечным или счетным.
Из этого вытекает, что семейство скачков суммируемо, или,
иначе, что если занумеровать скачки в некоторую
последовательность ипу то ряд У^ип будет сходящимся.
Функция t -+f(t — 0) непрерывна слева. Действительно,
предположив, что t" < V < t9 получаем
f(n<fr + 0)<f«,-0)<f(O<f«, + 0)<f(f-0)<f(0;
когда t" стремится к t слева, V также стремится к t, а так как
f(t") стремится к /(/ — 0), то f(t' — 0) стремится к f(t — 0).
Точно так же t->f(t + Q) непрерывна справа.
Заметим, помимо того, что f(t' + 0) стремится к f(t — Q),
когда V стремится к t слева, и что /(f —0) стремится к f(f+0),
когда V стремится к t справа.
2. Функции скачков и разложение монотонной функции.
Функцией скачков возрастающей функции f называется
функция, определяемая как
s(0=S(f(6 + o)-f(g-0)) + f(o-f«-o).
Запись
S(f (l + o)-f(|-o))
448
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
означает положительное число, равное сумме суммируемого
семейства, состоящего из всех скачков в точках | < /.
(Напомним, что / изучается на компактном интервале; если бы мы за*
хотели это уточнить, то мы записали бы 2 )
Функция s, очевидно, возрастает. Она имеет те же скачки,
что и функция / (и те же точки разрыва). В самом деле, пусть,
к примеру, / < /'. Имеем
*(О=2(/(£ + 0)-/(б-0)) + /(О-/(*'-0) =
КГ
= 2( ) + /(/ + о)-/(/-о) + 2 ( ) + /(f)_f(f-o).
l<t t<\<u
Когда /' стремится к / справа, /(/') стремится к /(/ + 0),
равно как и /(/'— 0). А так как пересечение открытых
интервалов ] /, f [ пусто и ряд скачков сходится, то 2 стремится
t<l<u
к нулю. Стало быть, имеем
s(t+ 0)=2 (/(6 + 0)-/(6-0)) + /(/ + 0)-/(/-0) =
= 5(/) + /(/ + 0)-/(0,
или
5(/ + 0)- s(t) = f(t + 0)-f(t).
Точно так же,
s(t)-s(t-0) = f(t)-f(t-0).
Отсюда сразу следует первый важный результат.
Теорема 1. Всякая возрастающая функция есть сумма
двух возрастающих функций, одна из которых есть функция
скачков, а другая — непрерывная функция.
Если снова взять выражение для s(t'), то можно написать
еще, что
s(f) = s(t) + f(t + 0)-f(t) +
+ 2 (/(6 + 0)-/(6-0)) + /(0-/(^--0),
t<l<u
или
5(О-5(0 = /(/ + 0)-/(/)+ 2 ( ) + /(/')-/(/'-0),
t<l<t'
т. е. получили сумму всех скачков справа и слева функции /,
рассматриваемой на [/, /']; эта сумма не превосходит/(/') —/(/),
и значит,
s{t')-s{t)^f{t')-f{t),
f(t)-s(t)^f(t')-s(t').
8 МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 449
Стало быть, функция gy определяемая равенством g(t) =
=f(t)—s(t), возрастает. Но так как s и / имеют одинаковые
скачки, то скачки функции g равны нулю; иными словами, g
непрерывна: f = g + s.
Легко построить возрастающую функцию с заданными
точками разрыва и с заданными скачками. Для этого
достаточно задать счетное семейство точек tn и связать с ними две
последовательности иПу vn положительных чисел так, чтобы
2 ("я + Vn) < + °°; ип будут скачками слева, a vn — скачками
справа (в точках tn). Для этого положим
sn(t)= 2 (un + Vn), если t=£ti9
t<tt
S{U)= 2 {Un+Vn) + Ui,
*n<H
что записывается также в виде
s(t)= 2 tin + 2 vn.
Наконец, отметим, что s может быть истолкована как сумма
ряда 2 sn возрастающих функций, каждая из которых имеет
единственную точку разрыва; в самом деле, достаточно
положить sn{t) = 0, если t <С tn, sn(tn) = ип и sn(t) = ип + vn, если
tn < t.
3. Функция ограниченной вариации. Пусть f — числовая
функция, определенная на [а, Ь]. И пусть имеется подразбиение
интервала [а, Ь] точками
Если множество сумм
Si/d*+,)-/(Ы1
ограничено для всех возможных подразбиений, то функция f
называется функцией ограниченной вариации на [а, Ь].
Верхняя грань приведенных выше сумм называется полной
вариацией функции f на [а, Ь] и обозначается V(f, а, Ь) (или
V(а9Ь)9 или V(f)).
Легко видеть, что если а < с < Ь, то
V(a,b)=V(a,c)+V(c,b)*).
*) Доказательство аддитивности полной вариации: см., например,
Г. Е. Шилов, Математический анализ, М., 1961, стр. 279; А. Н.
Колмогоров и С. В. Ф о м и н, Элементы теории функций и функционального ана*
лиза, М., 1972, стр.. 314.
450
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Основное свойство функции ограниченной вариации
формулируется следующей теоремой (понятие функции ограниченной
вариации может быть распространено и на функции, не
являющиеся функциями действительного переменного, но приводимая
ниже теорема имеет смысл только для действительных функций
действительного переменного).
Теорема 2. Любая функция ограниченной вариации может
быть представлена как разность двух возрастающих функций.
В самом деле, положим g(t)= V(a, t)\ функция g", очевидно,
возрастает. Пусть h(t)=g(t) — f(t)\ для двух точек t, f имеем
\f(n-f(*)\<V(t9f)9n значит, f(n-f(t)<V(t, О; если
t < t\ то
f(n-f(t)<V(t,t') = g(n-g(t);
следовательно,
g(t)-f(t)<g(t')-f(n,
т. е. h(t)^h(tr)\ функция h тоже возрастает, и равенство
f = g — h доказывает теорему.
Из этой теоремы следует, что если / — некоторая функция
ограниченной вариации (имеется в виду действительная
функция действительного переменного), то в каждой точке t
существуют f(t-\~0) и f(t — 0); но значение f(t) не обязательно
заключено между предельными значениями справа и слева и не
обязательно, чтобы f (t — 0)^/(^ + 0).
Теорема 1, в применении к функциям ограниченной
вариации, дает следующий результат.
Теорема 3. Всякая функция ограниченной вариации
может быть представлена в виде суммы непрерывной функции
ограниченной вариации и функции, которая является суммой двух
функций скачков.
Последняя может быть определена как функция s из п. 2;
достаточно предположить, что ряды 2 ип, 2 vn абсолютно
сходятся.
Примеры и признаки функций ограниченной
вариации. 1) Если / — липшицева функция порядка 1, т. е.
для любых t, f имеем
\f(t)-f(t')\^M\t-t'l
где М — постоянная, зависящая лишь от интервала, на котором
рассматривается /, то / имеет ограниченную вариацию; это
следует сразу же из определения.
В частности, если производная функции / на [а, Ь]
существует и ограничена (или непрерывна), то / имеет
ограниченную вариацию.
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
451
2) Всякая монотонная функция на [а, Ь] есть функция
ограниченной вариации, ибо
Sl(/(6«+i)~f(b)l-lf(6)-f(a)l;
значит, здесь
V{f,atb)=*\f(b)-f(a)\.
(Следовательно, функция ограниченной вариации не
обязательно непрерывна.)
Из этого свойства вытекает, что теорема 2 характеризует
функции ограниченной вариации.
3) Непрерывная функция может и не быть функцией
ограниченной вариации. Достаточно построить функцию /,
непрерывную на [0, 1] и такую, чтобы на [1/(м + 1), 1/м] вариация
функции f была больше или равна 1/м (например, чтобы f была
равна нулю в точках 1/м, 1/(м + 1) и имела максимум, равный
1/м, на [1/(п+1),1/я]).
4) Функция
F(t)=jf(u)du,
где f интегрируема относительно меры Лебега, имеет
ограниченную вариацию, так как
и
и
j f(u)du < j\f(u)\du,
\F(t)-F(t')\=\
и значит,
ь
V(F,a,b)<j\f(u)ldu.
a
§ 2. Определения мер на числовой прямой
1. Меры, определенные при помощи клана. Найдем
положительные меры, которые могут быть определены на R исходя из
клана, порожденного интервалами [a, Ь[.
Пусть (ы — некоторая мера; и пусть t0 — фиксированная
точка; обозначим снова через \х действительную функцию
действительного переменного t, определенную как
|i(0 = |i(ft>.1).
Тогда
Р([а, b[) = \i(b) — ц(а).
Очевидно, что \х — возрастающая функция (это есть
формулировка конечной аддитивности). Применение аксиомы (2f)
452
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
к убывающей последовательности [ап, Ьп [ интервалов, имеющие
пустое пересечение, показывает, что \х непрерывна слева, ибо
если рассмотреть [апу Ь[, то
Hm \i([an, Ь[) = 0, {
П->оо \
Т. е. ;
Нт (\i(b) — ii(an)) = 09
а так как (ы возрастает, то \х(ап) имеет в качестве предела
\х(Ь— 0), какова бы ни была возрастающая
последовательность апу стремящаяся к Ь.
Обратное доказывается сразу же: если (ы — возрастающая
функция, непрерывная слева, и если положить
\i([a, b[) = \i(b) — \i(a),
то на R будет определена положительная мера.
Итак, всякая положительная мера на R относительно клана,
порожденного интервалами [а, Ь [, определяется при помощи
возрастающей непрерывной слева функции (ы; мера интервала
[а, Ь[ равна [i(b) — \х(а).
Этот результат можно интерпретировать следующим
образом: если хотят определить на R меру посредством
возрастающей функции (Ы, положив
|х([а, b[) = iL(b) — \i(a),
то необходимо предположить при этом, что (ы непрерывна слева.
Однако можно определить на R положительную меру
посредством возрастающей функции, не обязательно непрерывной
слева (что не входит в противоречие с предыдущим
результатом). В самом деле, пусть (ы — возрастающая функция; для
любого интервала [a, b [ полагаем
|i([a,6[) = |i(6-0) —|х(а —0).
Тем самым определена положительная мера, которая будет
той же самой, как и мера, определенная функцией \хи где
^^—^(t — 0), ибо, как мы видели, \ц возрастает и
непрерывна сл^ва (ср. § 1, п. 1).
Отсюда следует, что всякая функция ограниченной вариации
определяет некоторую меру.
Отметим, что для такой меры мера точки а равна
,i(a + 0) —ц(а —0),
т. е. равна скачку функции \х в точке а. (Достаточно, например,
записать аксиому («7) в терминах счетной аддитивности илц
записать, что выполняется теорема Б. Леви.)
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
453
В частности, задание функции скачков равносильно заданию,
скажем, на интервале [0, 1], меры ип каждой точки tn
некоторого счетного семейства; при этом мера каждой точки t ф tn
будет равна нулю, а мера интервала [а, Ъ [ будет равна
a^tn<b
Если мера определена, таким образом, посредством
возрастающей функции, или, в более общем случае, посредством
функции ограниченной вариации, то общие результаты (в частности,
раздел 4, § 3) определяют интеграл непрерывной функции х
с компактным носителем [а, Ь] относительно меры \ху причем этот
интеграл, в соответствии с общепринятыми обозначениями,
записывается в виде \х(х) = | х d\i.
Приближение (равномерное) функции х ступенчатыми
функциями влечет, что xd\x есть «предел» сумм
2 х (1,)((1 (b+i) -ц(Ы)
i
(где 1о = а ^ gi ^ ... ^ In = b) для любой
последовательности подразбиений интервала [а, Ь] посредством точек ^ при
условии, что наибольшая из разностей li+\ — g2- стремится к нулю.
Это есть понятие интеграла Римана — Стилтьеса от
непрерывной функции. Интеграл Г f d\i9 который здесь определен для
функций / из пространства 9? относительно меры |я,
называется также интегралом Лебега — Стилтьеса.
2. Меры, определенные на непрерывных функциях. Если уже
определен интеграл Римана — Стилтьеса непрерывной функции
на компактном интервале [а, Ь] (например, так, как это сделано
выше), то х —> \ х rfjbi есть линейная форма на векторном
пространстве Ф непрерывных на [а, Ь] числовых функций. Если
через ||#|| обозначена норма равномерной сходимости на Ф, то
1S ^ (6i) (I* (6«+i) — I* (е*)) | < и ^ и 211* (6*+i) — I* (е*) i <
следовательно,
| \х (х) | = J J* х d\x < || х || V (^, а, 6),
чем доказано, что
I xd\x
есть непрерывная линейная форма на ^, т. е. мера Радона на R.
454
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Таким образом, любая функция ограниченной вариации \х на|
[а, Ь] определяет меру Радона. Обратное тоже верно, откуда
следует, что любая мера на R определяется при помощи функ\
ции ограниченной вариации (на любом компактном интервале)!
Это обратное утверждение составляет содержание следующее
важной теоремы, принадлежащей Ф. Риссу.
Теорема Рисе а. На пространстве *& непрерывных чиЫ
ловых функций на [О, 1], наделенном нормой равномерной схо~
димости, всякая непрерывная линейная форма записывается
в виде
xdp,
где \х — функция ограниченной вариации.
Пусть Е — пространство ступенчатых функций, а & — про-
странство ярусных функций (равномерных пределов
ступенчатых функций). Пространство Ф есть подпространство простран*
ства <§, снабженного нормой ||x||= sup | х (t) |. Если / — непре-1
*е=Г0.Ц 1
рывная линейная форма на ^, то она по теореме Хана — Банаха|
может быть продолжена до непрерывной линейной формы Ц
на 8.
Пусть х е *& и пусть \п есть последовательность ступенчаты?
функций, равномерно сходящаяся к х\ тогда
f(x)=hm~fan).
Каждой функции gn соответствует подразбиение интервала!
[О, 1] точками tnj и мы можем рассмотреть ступенчатые функ-f
ции |п, определенные как
ln = lix(ti)<v[ti> tt+l[.
Положим <р, = ср[0|/[. Получаем
£* = 2*(*/)K+J-<p*,);
затем
Ш = 2*</<)(7(ф,,+1)-7(ф,;)),
lim f(ln) = f(x).
Рассмотрим функцию ц, определенную как |х(0= f(ф*), гдеГ ,|;
есть непрерывная линейная форма на §\ записывая, что (ср.'<*.}
гл. IX) f есть непрерывная линейная форма, получаем ~.
и «i+i)-i»W 1=1 Кф<!+,-ф<,)|<11 /11-1 ^+1-ф^1-
■I
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
455
Но эта верхняя оценка является грубой. Пусть
е/= sign (nft+1) — |i (*,));
записываем
I Ц (ti + l) — Ц (U) | = Bt (|i (ti + l) — |i (*,)) = f (в, (Ф^ + 1 - ф,.)),
затем
211* ft+.) - »* ft) I=f (2 в* (<p„+1 - фО) < li / HI 2 e< («*,+, ~ ч>01-
Ho
12e<(4V.-^)IHI 2^^,^41=^12^^,^,1^1 = ^
Следовательно,
Sli*(^+i)-|A(WI<IIFII;
иными словами, |j, имеет ограниченную вариацию. Из построения
\х непосредственно следует, что ) xd\x = f(x) = f (х).
3. Мера Лебега» Пространство Rn является локально
компактным метрическим пространством. Стало быть, определение
пространства 2 может быть произведено исходя из
непрерывных функций с компактным носителем (для которых интеграл
предполагается уже определенным) или исходя из меры
относительно компактных открытых множеств (см. раздел 4, § 3).
Это общее замечание применимо к тому, что называется
мерой Лебега.
На R мера Лебега — это положительная мера, определенная
на клане, порожденном интервалами [а, Ъ [, где а ^ 6, и
\i([a,b[) = b — a.
Можно также сказать, что она определяется возрастающей
функцией переменного t, задаваемой равенством ii(t)=t.
Интеграл ot/gS' относительно меры Лебега записывается в виде
J* fdt или \f{t)dt.
На Rn мера Лебега будет мерой — произведением.
Эта мера определяет интеграл от ступенчатых функций на R.
А так как любая непрерывная функция с компактным
носителем есть равномерный предел ступенчатых функций, то тем
самым определен интеграл от любой непрерывной функции с
компактным носителем, и стало быть, можно построить
пространство S? интегрируемых функций на R. (Ясно, насколько
бесполезно пытаться здесь различать две точки зрения,
ведущие к определению пространства SE'.)
Мера Лебега (на Rn) обладает одним важным свойством:
она инвариантна относительно переноса. Более точно, в случае
меры Лебега имеет место следующее очевидное предложение.
456
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Предложение. Если f — непрерывная функция с
компактным носителем К в Rn, то для любого а <= Rn имеем
lf(f)dt= \f{t-a)dt.
К К+а
Замечание. Относительно меры Лебега точка имеет меру
нуль. Если е — множество нулевой меры Лебега, лежащее на
интервале [а, Ь]9 то для любого е > О оно может быть покрыто
конечным или счетным семейством открытых интервалов h
сумма мер которых будет меньше е. Эти интервалы могут
предполагаться попарно непересекающимися, ибо (ср. раздел 4, § 3, в
конце) множество е может быть заключено в открытое
множество меры меньшей, чем е; но в R открытое (непустое)
множество является объединением конечного или счетного семейства
непустых попарно непересекающихся открытых интервалов.
§ 3. Производные монотонных функций
Целью этого параграфа является доказательство того факта,
что любая монотонная функция на R имеет (конечную)
производную почти всюду (относительно меры Лебега).
Всякая монотонная функция представима в виде суммы
непрерывной монотонной функции и функции скачков. Таким
образом, предложение доказывается для непрерывной функции,
а затем для функции скачков. Доказательство для непрерывных
функций принадлежит Риссу.
Мера на R есть мера Лебега.
Предположим известным элементарный результат, в
соответствии с которым, для непрерывной функции f
х
\f{t)dt
а
имеет в качестве производной f(x)9 а для ступенчатой
функции f
X
\f(t)dt
а
имеет в качестве производной f(x) в каждой точке, где f
непрерывна.
1. Непрерывные монотонные функции.
Лемма. Пусть g — непрерывная числовая функция на
компактном интервале I = [а, Ь]. И пусть Е — множество таких
х е ] а, b [, что найдется I > х, для которого g(l) > g(x)t
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
457
Тогда множество Е открыто и для любого ]а, р[ с: Е такого,
что а, р ф £, имеем g(a)^ g"(P).
Поскольку g непрерывна, для любого ^е]а, Ь] множество
тех х, для которых g(x) < g(£), открыто; так как множество
тех х, для которых х < |, открыто, то £ есть объединение
открытых множеств. Значит, Е открыто, и поэтому оно есть
счетное (или конечное) объединение попарно непересекающихся
открытых интервалов. Пусть ] а, р[ — один из этих интервалов.
Покажем, что
sup g(x) = g($)9
или, иначе, что если
sup g(x)#g(P),
*e[a. И
то р принадлежит Е.
В самом деле, если для некоторой точки xQ s ]a, р[
g(*o) = SUP g(*)=^g(P).
xE[a, P]
то g(P) < g(*0). А так как x0 ^ £> то по определению
множества E найдется такое g0 > *0» что g(*0) < g(g0); g0>P> ибо
если бы было 10<=[х0, р], то g(*o) не было бы верхней гранью
функции g на [а, р]. Но множество тех х, для которых х^х0
и g(x) = g(lo)y замкнуто; поэтому найдется |6, которое является
нижней гранью этих х, go > Р, и таково, что g(lo) = g(le);
тогда g(£o) > g(P); и значит, справа от р должно
существовать такое |6, что g-(p) < g(66), из чего должно следовать
Ре£, а это противоречит условию.
Итак, sup g(x) может быть равен лишь g(a) или g(P).
*e=[a, Р]
Если бы мы имели
sup g{x) = g{a)=£g($)9
*e=[a, PJ
то было бы
J(P)<8(«).
и, как легко видеть, тогда р е £.
Стало быть, £(а)<£(Р).
Теорема 1. Любая непрерывная монотонная функция на
[а> Ь] дифференцируема почти всюду.
Пусть / — действительная функция действительного
переменного, определенная на [a, Ь]. Правым верхним производным
числом в точке х называется (конечное или бесконечное) число
м*)=л,=нт sup ш±м^т.
458
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Правым нижним производным числом называется
6d(*) = 6d = lim inf /(* + *>-/(*>.
й>0, й-»0 л
Левые производные числа Д^, б^ получаются в результате
замены в этих выражениях h > 0 на h < 0.
Имеем Ьа ^ Д<ь б# ^ Ая, и если производная D/(#)
существует, то все четыре производных числа равны Df(x).
Если рассматривать функцию g, определенную как g(x) =
= —д—х), то ее правые производные числа (соответственно
левые) являются левыми (соответственно правыми)
производными числами функции /. Следовательно, если в точке х имеем
Ad ^ 6g, то имеем также Ag ^ 8а и если все четыре
производных числа конечны, то
А^ < 6g < Л^ < 6/,
но так как 6а ^ Дд, то
6d = Ad = Df(x).
Таким образом, для доказательства того, что Df(x) существует
и конечна почти всюду, достаточно показать, что
Ad<oo, A^<6g.
п. в. п. в.
а) Пусть теперь / — непрерывная возрастающая функция.
Покажем, что Д<* конечно почти всюду.
Пусть К — положительное число. Рассмотрим точки х е [a, ft],
в которых Аа(х)> %. Множество этих точек обозначается через
Е(%). Если Ad(x)> Я, то найдутся такие точки I > х, что
(f(Q-f(x))/(l-x)>b.
Если положить g(x) = f(x) — кх, то
f(l) — 4>f(x)—bx или g(l)>g(x)9
где | > х. Следовательно, множество точек х, для которых
ТО-/(«-*))>*
есть множество Е из леммы, построенное для функции g. Это
множество Е состоит из конечного или счетного числа
интервалов jttft, PaI, и
f(oA) —Лай</(рА)—ЛрЛ,
или
MP*-«*)</№*)-/(«*)•
Если задано е > 0, то можно выбрать столь большое Л,
чтобы
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ прямой 459
Таким образом, множество тех х, для которых &d(x)>h
может быть заключено в счетное семейство интервалов, сумма
мер которых будет меньше е. А так как множество тех х, где
Ad(x) = -}- оо, равно
к
то оно имеет меру нуль.
Итак, непрерывная возрастающая функция f имеет почти
всюду конечные производные числа.
б) Покажем теперь, что
п. в.
Пусть 0 < V < А, и g(x) = f(—x) + X'x. Рассмотрим для g
множество Е, определенное в лемме, обозначим его через Е\(7/),
тогда на этом множестве 8^ < %'. На интервале ]а&, р&[ из
Ei(Kf) имеем
f(P*)-f(a*)<V(P*-a*).
Ha ]aky р^[ применяется результат, изложенный в а), т. е.
на ]aki Pfc [рассматриваются интервалы ]akt h pfef t[, на которых
%<£ad{x)y и
MPu-«M)<f(flu)-f(«M).
Пусть
£2(Я) = иКь Р*.«[.
Так как мера \х есть мера Лебега (\i(af b)== b — а), то
Я2^К,,, Р*,0</(Р*)-/Ы<^К, Р*).
Отсюда, в силу того, что f возрастает на [а, Ь], получаем
А,ц (£2 (Л)) < Гц (£,(*/)).
Следовательно,
Применяем тот же метод в каждом интервале из Е%{%);
получаем множества £з(А')> Е^(%), для которых
ц (£4 (А.)) <4£-ц (£,(*/)), и т. д.
Но
E1(1')zdE2{X)=>E3{X,)zd ...
460
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Стало быть,
IX (Е3 (Я')) < ц (Е2 (Я)) < Ц- I* (£i (*'))»
и
|i(£4W)<(x)2|*(^(^)).
Окончательно получаем
МЕ2п^))<(^)ПМЕЛ^)9
и значит, lim \i{E2n) = 0.
Но если рассматривать только рациональные значения X и %',
а стало быть, счетное множество их, то множество Е(Х, А/) тех х,
где 6g < к' <. К <. Ad, равно П Е2п, и значит, имеет меру нуль.
Итак, ;
1) множество точек х, где
6^(х)<Я'<А,< А^(*),
имеет меру нуль;
2) множество точек х, в которых б$(я) < Ad(*), есть
множество
К, А/
и значит, имеет меру нуль.
Тем самым теорема доказана.
Теорема 2. Производная непрерывной монотонной
функции на [а, Ь] интегрируема относительно меры Лебега; при этом,
если f возрастает, то
ь
JDf(t)dt^f(b)-f(a).
а
Пусть f — возрастающая функция и
(hn)—последовательность строго положительных чисел, стремящихся к нулю, и
пусть
(фп(*)^ 0> так как / возрастает). В силу того, что Df(x) равна
почти всюду нижнему правому производному числу, получаем
Df{x) = lim inf <рп(х).
П. В. /2->оо
Следовательно, Df равна почти всюду нижней оболочке
последовательности положительных интегрируемых функций, и
значит, интегрируема.
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 461
Поскольку мера Лебега инвариантна относительно переноса,
элементарное вычисление показывает, что
Ь ,b+hn a+hn v
{ф*ЮЛ = (1/йя)( J f(t)dt-j f(t)dt).
a \b a *
А так как f непрерывна, то правая часть этого неравенства
стремится к f(b) — f(a), и, по теореме Фату (раздел 3, § 3)
имеем
ь
\Df®dt<f{b)-f{a).
а
(Отметим, что этот результат годится для верхних или нижних
производных функций с одной и той же правой или левой
стороны.)
Следствие. Теорема 1 и первая часть теоремы 2
справедливы для непрерывной функции ограниченной вариации.
Теорема 2 имеет интересное следствие, которое будет
использоваться при изучении функций ограниченной вариации.
Приведем это следствие.
Предложение. Пусть (fn) — сходящаяся просто
последовательность непрерывных возрастающих функций на [а, Ь]. Пред*
положим, что для любого п
ь
j Dfn(t)dt=*f„(b)-fn{a)
а
и что последовательность {Dfn) возрастает почти всюду, т. е,
Dfn(x)^Dfn+l(x).
п. в.
Тогда предельная функция последовательности fn
дифференцируема почти всюду, и
D( limM-lim {Dfn).
\П-*оо J П. В.
Пусть cp = ]\mfn. Покажем, что сходимость
последовательности fn — равномерная.
Согласно теоремам 1 и 2, для любого х е [а, Ь] имеем
х Ъ
\ Dfn (0 dt < U (х) - fn (а), J Dfn (t) dt < /„ (b) - fn (x).
a x
462 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Но так как, по условию, предполагается выполненным
равенство
ь
JDfn(t)dt = fn(b)-fn(a)9
а
то после сложения неравенств получаем
fn(b)-fn(a)<fn(b)-fn(a),
и тем самым показываем, что в этих неравенствах строгое
неравенство не может иметь места. Следовательно,
. х ь
\ Dfn (t) dt = /„ (х) - /„ (a), J* Dfn (t) dt = fn (b) - fn (x).
a x
Если p < qy то
x x
I Dfp(t)dt^j Dfq(t)dt,
a a
откуда
fP (?) - fP И < fQ (x) - fq (a), fq (a) - fp (a) < fq (x) - fp (x)9
и, точно так же,
fq(x)-fp(x)<fq(b)-fp(b)9
откуда
I fq (x) - fP (x) | < sup (fq (a) - fp (a), fq (b) - fp (b)) = ePi,.
Так как fn сходится в а и в b9 то ер, q стремится к нулю,
откуда следует равномерная сходимость последовательности fn.
Стало быть, предел ф является непрерывной функцией, а
поскольку fn — возрастающая функция при любом п, то
предельная функция ф тоже возрастает, и значит, дифференцируема
почти всюду.
Пусть снова р ^ q и х ^ х'. Опять имеем
W-fpixXfiM-fpM
и для q-> оо имеем
<p(x)-fq(*XvM-fpM.
Таким образом, функция ф — fp непрерывна, возрастает,
стало быть, дифференцируема почти всюду, и ее производная
положительна. Следовательно,
0ср(*)> Dfn(x)x
и. в.
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
463
и в силу теоремы 2
ь ъ
Ф (Ь) - Ф (а) > f £Ф (t) dt > f Dfrt (О Л = lim (fn (b) - fn (a)) =
== cp (Ь) — ф(а).
Стало быть,
f Dq>(t)dt= lim f Dfn(t)dt.
a a
Поскольку последовательность (Z)fn) возрастает и ее
интегралы ограничены, то, по теореме Б. Леви,
ь ъ ь
lim f Dfn{t)dt= f lim Dfn(t)dt= f Dq> (*)<#.
a a a
Но так как
£>ф(х)> Dfn(x)9
п. в.
то йф(лг) ;> lim Dfn(x), и значит,
П. В. /2->оо
Яф(*) — HmDM*) > 0;
п. в.
а так как интеграл от £)ф—\\т Dfn равен нулю, то
Dy — WmDfn = 0;
п. в.
следовательно, Dfn имеет предел, равный почти всюду йф.
2. Производная функции скачков. Функция скачков
(монотонной функции или функции ограниченной вариации)
возрастает, но не является непрерывной, кроме как в случае, если она
равна нулю. Значит, проводившееся выше исследование, когда
функция предполагалась непрерывной, уже не годится для
функции скачков, и для нее требуется специальное исследование. Для
функции скачков имеет место следующий результат:
Теорема 3. Функция скачков монотонной функции на
[a, Ь] имеет почти всюду производную, равную нулю.
Пусть / — возрастающая функция на [a, Ь] и s — функция
скачков. Пусть, далее, (хр)—счетное семейство точек разрыва;
обратимся вновь к определению функции s (ср. § 1, п. 2); пусть
U2p(x) = ®> если х^[а, хр[,
ЩР (х) — f (хР) — f(xP — 0), если х е [хр, Ь\\
и>2Р+\(х) = 0, если х е [а, хр],
Щр+i (х) = f{xp + 0) — f {хр), если х е= ]хр, Ь].
464
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Имеем
s(x) = %un(x),
п
где п = 2р или 2р + 1 принимает все целые значения.
Если число точек хр конечно, то s будет ступенчатой
функцией, и теорема очевидна. Предположим поэтому, что число
точек хр счетно, и притом бесконечно.
Каждой функции ип поставим в соответствие непрерывную
возрастающую функцию vn на R, определенную следующим
образом:
vn(x) = un(b), если х^хр,
vn (х) = 0, если х <! хр — г/2п,
vn(x) линейна на [хр — e/2nf хр]\
при этом п = 2р или 2/7+1.
Функция
т
Фт = 2 Vn
п=0
непрерывна и возрастает. Так как vn ^ 0, то
последовательность (фт) возрастает. А так как vn(x) = un(b)9 если х ^ хр,
то <pm(b)^s(b). Значит, последовательность (фт) возрастает,
мажорирована константой s(b) и, стало быть, сходится для
любого х к некоторой предельной функции ф.
Каждая функция vn дифференцируема всюду, кроме точек
Хр — е/2п и Хр] поэтому фт дифференцируемы всюду, кроме
конечного числа точек. Элементарные свойства интегралов от
ступенчатых или непрерывных функций позволяют записать, что
ь
j* £>ф„ (0 dt = <рЛ (Ь) — <ря {а).
а
Наконец, равенство фт — qw-i = ^m дает:
£>Фт — £>фт-! = Dvm > О
(так как vm возрастает); значит, последовательность (Dym)
возрастает.
Таким образом, можно применить теорему 2 и записать, что
оо
/)ф (х) *= Hm Dyn (x) =* 2 Dvn (х).
П -> оо /1=0
Пусть
Е= [)[хр-в/2п,хр].
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
465
Мера множества Е меньше е. Если хфЕ, то Dvn(x)=^ 0 для
любого м, и значит, если х ф Е (и х е [а, 6]), то £)ф(л;) = 0.
Если а: е [а, Ь], то 5 (х) ^ ф (*), и если х <£ £, то 5 (х) = ф (#)>
Следовательно, для правых производных чисел функций s и ф
при любом х ф. Е имеем
0 < Ads (л:) < Л^ф (х) = 0, 0 < 6ds (х) < б^ф (х) = 0.
Таким образом, на [а, Ь] — Е функция s имеет производную
справа, равную нулю; а так как мера множества Е меньше,
чем е, то s имеет почти всюду производную справа, равную
нулю. Рассматривая функцию х —> — $(—я), находим, что s
имеет почти всюду производную слева, равную нулю. Стало
быть, s имеет почти всюду производную, равную нулю.
3. Производная функции ограниченной вариации. Если /-—
функция ограниченной вариации, то она представима в виде раз*
ности двух монотонных функций. Если f — возрастающая
функция, то она представима в виде суммы непрерывной возрастаю*
щей функции и функции скачков.
Отсюда в силу теорем 2 и 3 получаем теорему.
Теорема 4 (Лебег). Любая функция ограниченной
вариации дифференцируема почти всюду, и ее производная
интегрируема.
Отметим, что поскольку функция ограниченной вариации за^
писывается в виде / = g + s, где g — непрерывная функция ог*
раниченной вариации, as — функция скачков, то
Df = Dg.
П. В.
Если f возрастает, то Df интегрируема, так как Dg интегри*
руема, и
ъ
\Df{t)dt<g{b)-g{a)^f{b)-f{a).
а
4. Дифференцирование последовательности или ряда
возрастающих функций. Из теоремы 2 вытекает предложение,
которое является признаком почленного дифференцирования
последовательности непрерывных возрастающих функций на [а, Ь].
Приводимая ниже теорема касается возрастающих функций, не
обязательно непрерывных.
Теорема 5(Фубини). Пусть ^ик — ряд возрастающих
числовых функций ukf сходящийся для любого х е [а, Ь].
Функция /, определенная как f(x) = ^uk(x)9 дифференцируема
почти всюду, и
Df{x)= %Duk{x).
п. в.
466 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В самом деле, пусть
п
fn — 2j Uk>
О
Так как uh возрастает, то она дифференцируема почти всюду, и
то же самое имеет место для fn.
Ряд 2 Mft (х) сходится для любого х\ поэтому можно
рассмотреть
П оо
ёп (х) = Ц (ик (х) — uk (a)), g (х) == 2 {Ци (x)—uk (a)) = f(x) — f (а).
о о
Так как uh возрастает, то uk(x)— uh(a)^ О, а так как g =
— f — f(a)> т0 справедливость теоремы для g повлечет ее
справедливость для /. Можно, следовательно, предположить, что
uh ^ О при любом k.
Поскольку fn — возрастающая функция, то Dfn(x)
существует почти всюду, и
п
Dfn(x) = %Duk(x).
п. в. о
Но uh возрастает, и значит, Duh(x)^ О, а следовательно, (Dfn)
есть возрастающая последовательность функций:
Dfn(x) <Dfn+l(x).
п. в.
Так как uh ^ 0, то (fn) есть последовательность
возрастающих функций, и /п < |, А поскольку / возрастает (как предел
последовательности возрастающих функций), то Df(x)
существует почти всюду.
Но
оо
/ — ffl = 2 Uk
n + l
тоже является возрастающей функцией, поэтому, так как / и fn
дифференцируемы почти всюду, то
D(f-f„)>0
П. в.
Dfn(x)<Df(x).
п. в.
Последовательность (Dfn) возрастает, откуда следует, что
Dfn(x) сходится для почти всех х к некоторому конечному
8. МЕРЫ НЛ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 467
пределу, меньшему или равному Df(x). Таким образом,
Dfn(x)=%Duk(x)
о
сходится почти всюду.
Пусть теперь для любого целого k целое пъ выбрано так как,
что .
f(b)-fnk(b)^l/2k.
Так как f — f4 — возрастающая функция, то тем более
f(*)-M*)<l/2*.
Следовательно,
сходится для любого х, и предыдущее исследование,
примененное к ряду с членами uh = f — /n , доказывает, что
2{Df(x)-Dfnk{x))
сходится почти всюду. Следовательно, почти всюду
Df(x)-Dfnk(x)
стремится к нулю, и значит,
Пт Dfnk(x) = Df(x).
Но Dfn(x) сходится почти всюду; стало быть, предел почти
всюду будет равен Df(x).
х
§ 4. Изучение J f(t)dt, где / интегрируема
а
Пусть f — интегрируемая функция на [а, Ь] и F—-функция,
определенная как
F(x)=\f(t)dt.
Хорошо известно, что если / непрерывна, то DF(x) = f(x) для
любого х. Если же f не будет непрерывна, то это свойство уже
неверно (например, в случае ступенчатой функции). Мы
докажем, чго если / интегрируема, то
DF(x)==f(x),
468
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
1. Вариация функции вида F(x) = \ f(t) dt. Если f<=i3?,
а
то /+ <= 3? и /- е 9?. Если /е^и/^О, toF есть
возрастающая функция. Следовательно, записывая в общем случае / =
= /+—/Л видим, что F есть разность двух возрастающих
функций, а значит, является функцией ограниченной вариации.
Пусть имеется произвольное подразбиение интервала [а, Ь]
конечным числом точек ад (а* <. ак+г) и пусть V(F) —полная
вариация функции F на [а, Ь].
Имеем
\F(ak+i)-F(ak)\ =
"k+i
j f(t)
dt
4
Отсюда
Ч + i
J \f(t)\dt.
4
ь
V(F) = sup J| /'(Oft+O -F(o») |< J | f (0 \dt.
k a
Пусть теперь (qpn)—последовательность ступенчатых
функций на [а, Ь\ сходящаяся почти всюду к функции /, и пусть
iM*) = sup(—1, \гА(щп(х\ 1)).
Эта функция ступенчата и |фп(*)|^ 1. Пусть х — точка, в
которой срп(х) стремится к f(x). Если в этой точке /(#)>0, то
псрп(х) стремится к бесконечности, и значит, для достаточно
больших п имеем inf(Пфп(а:), 1)= 1 и «фп(х) = sup(—1, 1)= 1.
Точно так же, если в этой точке f(x) < 0, то tyn(x) = —1 для
достаточно больших п.
Следовательно, на множестве точек, где f(x)=£Q, \рп
стремится к ± 1; а так как в некоторой точке х, где f(x) = 0, имеем
фп(*)/(*)= 0 (а значит, lim ^n(x)f(x)= 0), то ^n(x)f(x)
стремится почти всюду к \f(x) |. Но так как
IWI < I/1.
п. в.
то по теореме Лебега о переходе к пределу получаем
ь ь
\\f{t)\dt = lim \^n{t)f{t)dt.
a a
Пусть теперь гр — ступенчатая функция, принимающая
значения Хн на [аА, ah+il и такая, что |ф|< 1. Имеем
ь Ч+\
J+(0/(0^ = 2Я* 1 fWdt = ^k[F(ak+l)--F(ak)].
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
469
Следовательно,
J ♦(/)/(*)# < ^1/^+,)-^)1^ (F).
Если вместо of> рассматривать o|)„, то
{Ы0/(0
dt
<V{F);
значит,
а так как
/|М1Л<У0Р),
а
&
^(FXjlfWI*.
то можно сформулировать следующий результат.
Предложение. Функция F, определенная как
F{x)=\f(t)dt,
где f — интегрируемая функция на [а, Ь\ имеет ограниченную
вариацию, и ее полная вариация V (F) на [а, Ь] равна
ъ
V(F)=l\f(t)\dt.
2. Производная функции вида jF(*)— \ f(t)dt. Если / —
а
интегрируемая функция, то она является пределом почти всюду
убывающей последовательности (of>n) интегрируемых функций,
причем каждая функция г|)п сама является пределом почти
всюду некоторой возрастающей последовательности функций фт,
в качестве которых можно рассматривать ступенчатые функции
(раздел 3, § 3, п. 4, предложение 3).
Если / — ступенчатая функция, то свойство
DF(x) =f(x)
п. в.
известно.
Предположим, что f есть предел возрастающей
последовательности ступенчатых функций фп; тогда интеграл от f является
пределом интегралов от фп.
470 гл. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть
х
®k (х) = J Ф* (0 dt;
а
запишем
ОО
F (х) = Ф, (х) + 2 (ФЛ+1 (*) - Фк (х)).
k=\
Так как фь+i — фь ^ 0, то Ф^+i — Ф^ есть возрастающая
функция от х.
Значит, по теореме 4 (Фубини), F дифференцируема почти
всюду, и
с»
DF (х) = D<D, (х) + 2 (йФк+1 (х) - DOk (х)) =
оо
= <Pi (*) + 2 (Фл+i (*) — Ф* (х)) = lim срл(*) = f (х).
k=\ ■ п- в- л->оо п. В.
Если теперь f есть предел убывающей последовательности «фп
функций, которые сами являются пределами возрастающих
последовательностей ступенчатых функций, то достаточно
заменить в этом рассуждении ук на ^. Итак, получили теорему.
Теорема. Если f — интегрируемая функция на [а, Ь]9 то
функция, определенная как
F(x)=jf(t)dt,
имеет почти всюду в качестве производной функцию f.
То же самое будет верно для любой функции F -\- С, где С —
любая постоянная функция, и в частности, для
jf(t)dt,
где аЕ [а, 6].
Замечание. Поскольку DF(х) = f(х), то
x+h
F(x + h)
lim
Ь-»0
/ x+n \
Если записать
J до#= J f (* + ')#,
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 471
то ясно, что если f g^, то
п
nmj-{(f(x + t)-f(x))dt = 0.
*■- о
Но совсем не очевидно, что в этом равенстве можно
заменить f(x + t) — f(x) на \f(x + t)— f(x)\. Мы докажем, что
если f е 2?, то
h
lim-J- \\f(x + t)-f(x)\dt = 0.
(Это свойство важно при локальном исследовании рядов Фурье.)
Пусть g(x)=\f(x) — а |, где а — некоторое число. По
предыдущей теореме,
h
О
значит,
h
Urn J-f g(x+f)dt==; gW;
lim т \\f(x + t)-a\dt=\f(x)-a\.
h¥*0,h + 0 " J n- B-
Пусть Ea — множество меры нуль, для которого это
равенство не выполняется, и пусть а — рационально. Тогда
E = \jEa
а
тоже имеет меру нуль. Пусть е>0, хф Е и р — такое
рациональное число, что
lfM-Pl<e/2.
Имеем
h h h
Jl/(* + 0-f(OI*<Jl/(^ + 0-PI*+JlfW-PI*<
0 0 0
h
<Jlf(* + 0-Pl# + e|A|/2.
0
Отсюда для достаточно малых | h \ получаем
h
\\f(x + t)-f(x)\dt^E\h\.
472
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 5. Абсолютно непрерывные функции и каноническое
разложение монотонной функции
Этот параграф служит иллюстрацией раздела 6 (теорема
Лебега — Никодима).
Мера v ^ 0 называется абсолютно непрерывной
относительно другой меры |i 5^ 0, если всякое множество jji-нулевой меры
является множеством v-нулевой меры.
Мы попытаемся выяснить, как должно быть сформулировано
это определение, когда рассматривается мера на числовой
прямой и мера Лебега.
Пусть имеется интервал [а, Ь]. Обозначим через К меру
Лебега, а через (ы — некоторую меру ^ 0. Мера (ы определяется
посредством возрастающей функции. Если (ы абсолютно
непрерывна относительно А, (в смысле определения из § 1 раздела 6),
то возрастающая функция, определяющая (ы, не может быть
произвольной. Например, множество, сводящееся к одной точке,
имеет А,-нулевую меру. Если его мера будет |я-нулевой, то
возрастающая функция должна быть непрерывна.
Пусть (ы — мера на [а, 6], абсолютно непрерывная
относительно %. По теореме Лебега — Никодима, существует такая
интегрируемая на [а, Ь] относительно меры К функция /, что если ф
есть (ы-интегрируемая функция, то
ь
Мф) = /ф(0/(0#.
а
Если / интегрируема, то для любого заданного е > 0 найдется
такая интегрируемая функция /0, что |/0| ^ М и
ъ
j\f-f0\dt< в/2.
а
Пусть (Ik)—счетное семейство попарно непересекающихся
интервалов (или имеющих не более одной общей точки) с
концами ал, (3ft, и пусть щ —их характеристические функции. Имеем
b $k $k
\L(h) = P(Vk)= j Vk(t)f(*)dt= \ (f(t)-fo(t))dt+ \ fQ(t)dt.
Далее, имеем
h h
S>(/*)=2 J (/w-/oW)d/+2 j f0(t)dt.
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 473
Так как Ik попарно не пересекаются, то
2 j (f{t)-h(t))dt
<
j\f(t)-h{t)\dt^e/2.
Отсюда
2ti(/fe)<e/2 + Af2M/fe).
k k
Таким образом, любому заданному е > 0 можно поставить
в соответствие такое число у\ = е/2М, что для любой системы
попарно непересекающихся интервалов с суммой мер
Лебега < г] будет выполняться
к
Так как VL(Ik) = Fftk) —F(ak), где
X
F(x)=jf(t)dt,
а
то предположение о том, что (ы абсолютно непрерывна
относительно К, влечет следующее свойство (АС) для F: любому е>0
можно поставить в соответствие такое число цу чтобы для
любой системы попарно непересекающихся интервалов ] а&, р& [ из
[а, 6], для которых 2 (Р/г — а*) < л, имело место неравенство
%(F(fo)-F(*k))<*.
Функция F возрастает, поскольку она определяет
положительную меру |я, что влечет f ^ 0.
п. в.
Если |я — не положительная мера, то она может быть
представлена в виде разности двух положительных мер, \х\ и (ы2;
значит, она определяется посредством функции F — разности двух
возрастающих функций FY и F2. Если \х\ и \х2 абсолютно
непрерывны относительно Х> то для F\ и F2 свойство (АС)
выполняется. Стало быть, оно верно и для F{ и F2y а так как
\F($)-F(a) \<Fi (Р) -Л (а) + /Ъ(Р) -^(а),
то мы пришли к тому, чтобы принять следующее определение.
Определение (АС). Числовая функция F, определенная на
компактном интервале [а, Ь]у называется абсолютно
непрерывной, если для любого е > 0 найдется такое число ц(г) > 0, что
для любого семейства непересекающихся открытых интервалов
] зд, Pft [ из [а, Ь], удовлетворяющих условию
2 (Р* — ал) < Л»
474
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
справедливо неравенство
2|^(Р*)-^Ы|<е.
k
Сразу же видно, что функция F, абсолютно непрерывная на
[а, Ь]> равномерно непрерывна, а значит, непрерывна, и что она
имеет ограниченную вариацию. Множество абсолютно
непрерывных функций на [а, Ь] образует векторное пространство, и
произведение двух абсолютно непрерывных функций снова будет
абсолютно непрерывной функцией.
Замечания. 1) Предыдущее исследование показывает, что
функция F, определенная как
X
F(x) = jf(t)dt,
а
где f—интегрируемая функция на [а, Ь] относительно меры
Лебега, абсолютно непрерывна. Обратное утверждение является
содержанием приводимой ниже теоремы.
2) Мы определили понятие абсолютно непрерывной меры
относительно другой меры лишь в случае ограниченных
положительных мер. Однако будем говорить, что абсолютно
непрерывная функция определяет меру, абсолютно непрерывную
относительно меры Лебега, даже если мера, определяемая ею, и
не положительна. Основание для этого дается леммой.
Лемма. Абсолютно непрерывная функция есть разность
двух возрастающих абсолютно непрерывных функций (которые
определяют две абсолютно непрерывные положительные меры).
Доказательство. Согласно теореме 2 п. 3 § 1,
достаточно показать, что если / удовлетворяет условию (АС) на
[а, Ь], то / имеет ограниченное изменение на [а, Ь] и функция
g(t) = V(ay /), где V(a9 t)— полная вариация / на [а, /],
удовлетворяет условию (АС) на [а, Ь].
Пусть е>0 и т](е)>0 выбрано из условия (АС). Разбивая
[а, Ь] точками xk на частичные интервалы длины < -Ц— >
получаем, что набор слагаемых суммы V = ^\ F(xk) — F(xk-{)\
^ 2 (b — а) . Л
можно разбить на m групп, где m ^ , , Ь 1, и для каждой
из групп суммы длин участвующих в группе интервалов
(**_i, х^ меньше т](е); поэтому сумма слагаемых, входящих
т/ . (2{Ь — а) , Л
в каждую из этих групп, меньше е, т. е. V <г\— , , + II.
Так как V (a, b) = sup V, то f — функция с ограниченным
изменением, и функция g определена на [а, Ь].
Покажем, что g удовлетворяет условию (АС). Пусть е > О,
ц пусть т)(е)>0 выбрано из условия (АС) для функции f.
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 475
Пусть 2 (Рб — «fe) < Л- Рассмотрим сумму
к
2|*(Р*)-*Ы 1=204*. Р*)-^(А,а*)) = 2У(аь Рл);
так как
£ V (ak, Р) = 2 sup 2 | F (Y<*>) - F (y^,) | =
=sup i 2^(^0-^(^,)1.
где v[fe) (/ = 0, ..., nfe) определяют разбиение интервала (ak, P&),
и так как
iiS(Yifc-Yl5,)-i(P4-aik)<4.
TO
22|^(уП-^(тй)|<е,
ft z
П
поэтому 2 V (ak, РлХе, т. e. 2^K> PfeXe, и функция g
k=\ k
абсолютно непрерывна.
Мы покажем, что всякая абсолютно непрерывная функция,
т. е. функция, удовлетворяющая условию (АС), имеет вид
х
F{x)=\f(t)dt.
а
Достаточно доказать этот результат в предположении, что F
возрастает и удовлетворяет условию (АС).
Если F удовлетворяет условию (ЛС), то она определяет
некоторую меру [1. В силу непрерывности функции F мера \х точки
равна нулю. Для доказательства абсолютной непрерывности
меры [1 относительно меры А, рассмотрим множество е А-нуле-
вой меры.
По предположению, для любого е > 0 найдется такое ц, что
для любого семейства попарно непересекающихся интервалов
Ik = ] a/t, р* [, удовлетворяющих условию 2М^) < % имеем
2(/ЧР*)-/Чал))<в.
Так как е имеет Х-нулевую меру, то числу ц можно поставить
в соответствие семейство попарно непересекающихся
интервалов Ik = ]oLky Рл[ (§ 2, п. 3, замечание), так, чтобы их мера
Лебега X удовлетворяла условию 2МЛ0 < % и тогда мера \х этих
476
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
интервалов будет <! 2 (F (Р/0 — F (ak)) < е- Следовательно, для
любого е > 0 можно заключить множество е (А,-нулевой меры)
в интервалы, сумма |я-мер которых меньше е.
Мера \ху определенная посредством F, следовательно,
абсолютно непрерывна относительно X, и, по теореме Лебега — Ни-
кодима, можно записать для интервала [а, х[,
характеристическая функция которого обозначается ср[а х[:
ъ х
I* (Ф[а. хд = I* (^ *D = F(x)-F(a)=j Ф[в1 я[/ (О Л = J / (t) dt.
а а
Таким образом, можно сформулировать следующий
результат.
Теорема 1. Для того чтобы числовая функция F
удовлетворяла условию {АС), необходимо и достаточно, чтобы она
имела вид
X
F(x)=jf(f)dt,
а
где f интегрируема относительно меры Лебега.
Функция F определяет абсолютно непрерывную меру
относительно меры Лебега.
Замечание. Если вместо [а,х[ рассмотреть [а\ х[, то мы
получим для F выражение
X
\f{t)dt,
а'
т. е. ту же форму с точностью до аддитивной постоянной.
Теперь мы укажем каноническое разложение монотонной
функции или функции ограниченной вариации (ср. снова
раздел 6, разложение меры).
Монотонная функция F на [а, Ь] определяет ограниченную
меру v. Мера v, вообще говоря, не будет абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега А,, но можно найти разбиение
множества А = [а, Ь] на два множества А0 и А\ и такие две меры vo
и vi, чтобы v = vo + vi, vi (Л0) = voHi) == 0 и Х(А\) = 0,
причем vo абсолютно непрерывна относительно X (ср. раздел 6, § 2),
Переформулируем этот результат в терминах монотонных
функций, производных и функций скачков.
Пусть сначала F есть абсолютно непрерывная функция,
имеющая почти всюду нулевую производную. Так как
х
F{x)=[f{t)dt + C
а
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 477
и так как DF = f (§ 4, п. 2, теорема), то f = О, и значит,
П. В. if п> в
//(*)Л = 0,
hF = C.
Итак, справедлива теорема:
Теорема 2. Абсолютно непрерывная функция,
производная которой почти всюду равна нулю, есть постоянная.
Следовательно, если F абсолютно непрерывна и если
рассмотреть
X
G(x)=$f(t)dt,
а
где f = DF, то F — G абсолютно непрерывна и имеет почти
всюду производную, равную нулю, а стало быть, F—G = С.
Отсюда получаем следствие:
Следствие. Для любой абсолютно непрерывной функции
F имеем
х
F{x) = J DF(t)dt + C.
а
Замечание. В предыдущих формулах DF означает
функцию, равную почти всюду производной функции F.
Пусть теперь F — произвольная возрастающая функция на
интервале [а, Ь].
Пусть fo — ее производная и пусть F0—функция,
определенная как
X
P0(x)=lf0(f)dt + C
а
Функция F0— абсолютно непрерывная возрастающая функция.
Так как в силу теоремы 2, § 3, п. 1, при х ^ х'
х'
F0 (х') - F0 (х) = J f0 (t) dt^F (x') - F (x),
X
то функция F\ = F — F0 возрастает, но ее производная почти
всюду равна нулю.
Отсюда получаем теорему.
Теорема 3. Всякая возрастающая функция F на [а, Ь]
представима как сумма абсолютно непрерывной возрастающей
функции F0 и возрастающей функции Fu имеющей почти всюду
равную нулю производную.
478 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ I
1
Эта теорема показывает в случае возрастающих функций*]
(или мер на /?), чем является теорема о разложении. Функи
ция F{ имеет почти всюду производную /ь но f{ = 0. Если Fx\
не постоянна, то нельзя записать
х
F, (x)-FI(a) = jf1 (t)dt = 0.
а
Иными словами, F{ не будет интегралом от своей произ-,
водной.
Примером такой функции служит функция скачков (§ 3,
теорема 3).
Если отправляться от возрастающей функции F, то можно
вначале написать, что F = С + 5, где С — непрерывная
возрастающая функция, а 5—функция скачков. Затем разбиваем С
на С0 + Си где С0 абсолютно непрерывна и где С\ непрерывна,
но имеет почти всюду производную, равную нулю.
Окончательно получаем
F^Co + Ct + S.
Если теперь рассмотреть множества — образы множеств из
[а, Ь] при отображениях С0, Сь 5 множества R в /?, то легко
видеть, что:
1) С0 переводит множество меры нуль во множество меры
нуль;
2) С\ определяет непрерывную меру (каждая точка имеет
меру нуль), но Ci(b)—Сх(а) есть мера множества ^-нулевой
меры;
3) 5 не определяет непрерывной меры; только точки
счетного множества (точки разрыва функции F) имеют ненулевую
меру; 5 переводит счетное множество (^-нулевой меры) во
множество положительной меры.
Наконец, добавим, что можно построить непрерывную
функцию строго возрастающую, но имеющую почти всюду
производную, равную нулю. Такая функция является гомеоморфизмом.
Это доказывает, что семейство множеств меры нуль не является
топологическим инвариантом.
§ 6. Примитивные. Интегрирование по частям.
Замена переменного
1. Примитивные. Пусть F — действительная функция
действительного переменного х на R или на некотором интервале
из R. Предположим, что для любого х функция F имеет
производную, конечную или бесконечную, и пусть f(x)=DF(x).
Функция f есть производная функция, a F есть ее примитивная
(всякая другая примитивная отличается от нее на постоянную).
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
479
Задача отыскания примитивной для производной функции
состоит в следующем: «предположим, что задана функция /,
о которой известно, что она является производной некоторой
функции F\ как построить F?» Трудность этой задачи в
значительной мере проистекает из простоты ее формулировки,
поскольку не делается никаких предположений помимо
первоначальной формулировки. Частичные решения, которые были
получены в 19 и в начале 20 века, исходили из более узких
предположений: предполагалось, что f является производной и
удовлетворяет некоторому дополнительному условию. Так,
когда / непрерывна, интеграл Коши (интеграл от непрерывных
функций) позволяет ответить на вопрос: всякая непрерывная
функция f есть производная функция, и ее примитивная
определяется как
х
F{x)=\f(t)dt.
а
Интеграл Римана позволил дать ответ несколько более
общий. Если производная функция / ограничена, то она
интегрируема в смысле Лебега, и последняя формула снова
определяет примитивную. Данжуа принадлежит решение проблемы
(в 1912 г.) для случая, когда / предполагается конечной в
каждой точке, и Шоке (в 1942 г.) для общего случая.
Метод Данжуа, названный им тотализацией, иногда
называется интегралом Данжуа, но представляет существенное
различие с интегрированием в принятом смысле. В самом деле, если
функция f интегрируема, то |/| тоже интегрируема, тогда как
это, вообще говоря, будет не так для тотализируемой функции
(ср. сходящиеся и абсолютно сходящиеся ряды, с одной
стороны, и сходящиеся и не сходящиеся абсолютно ряды, с другой
стороны).
Здесь мы ограничимся следующим результатом.
Теорема. Если действительная функция /, определенная на
[a, ft], является производной некоторой функции F и если f
ограничена, то функция F определяется как
X
F(x)=j f(t)dt + C.
а
В самом деле, пусть DF = f и
M = sup| f(x) |.
х
Для произвольных двух точек х, хг элементарная формула
конечных приращений дает
\F{x) — F(x/)\<;M\x — xf[t
480 гл- х- ИНТЕГРИРОВАНИЕ
и следовательно, для любого подразбиения интервала [а, Ъ]
точками ai имеем
^\Р(аш)-РЫ\<М(Ь-а).
i
Стало быть, функция F абсолютно непрерывна и
записывается (§ 5, теорема 1):
X
F{x) = F(a) + J«p(0#,
а
где ф^<2\ Но DF = ф (§ 4, п. 2, теорема), и значит, f = ф.
п. в. п. в.
Таким образом, функция / интегрируема, и интегралы от /
и от ф на [а, х] равны между собой при любом х. Итак,
X
F(x) = F(a) + jf(t)dt.
а
В частности, если х = Ь, то мы записываем
ъ
[F(x)]x="a = F(b)-F(a) = jf(t)dt.
а
2. Интегрирование по частям. Мера на R есть мера Лебега.
Пусть / — функция со значениями в R, определенная на
[а, Ь], / е 2\ и G — абсолютно непрерывная функция на [а, Ъ\
Так какСЕ^и[Е 3?\ то /G е= 271.
Пусть
х
F(x) = F(a) + jf(t)df,
а
функция F абсолютно непрерывна, почти всюду
дифференцируема, и DF = /. Наконец, G имеет почти всюду производную g
г п. в.
и записывается
X
G{x) = G{a)+\ g(t)dt.
а
Так как функция FG имеет почти всюду в качестве
производной fG + gF и является абсолютно непрерывной функцией,
то
ь
[FG]xxZba = F(b)G (b) -F(a)G (a) = J (/ (t) G(t) + g (t) F (t)) dt,
9f
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
481
что записывается также
ь ь
jf{t)G{t)dt = F(b)G(b)-F{a)G(a)-\F(t)g(t)dt9
а а
ИЛИ
Ь Ь
JGdF = F(b)G(b) — F(a)G(a) — JFdG,
а а
где функции F и G абсолютно непрерывны на [а, Ь].
3. Замена переменного. Известна формула замены
переменного для интегралов от непрерывных функций: если /
непрерывна на интервале [а, Ь] из R и если ср — такая непрерывная
функция с непрерывной производной на интервале [а, Ь], что
а = Ф(а), 6 = ф(р), ф([а, р]) = [а, Ь],
то
фф) 0
J f(u)du = jf(v(t))DV(t)dt.
Ф(а) а
Речь идет о том, чтобы выяснить, останется ли это равенство
справедливым, если предполагать только, что / интегрируема,
а ф удовлетворяет более общим условиям, чем предыдущие.
Мы ограничимся случаем компактных интервалов [а, 6], [а, р]
из R.
В тех общих предположениях, в которых функция может
быть интегрируема (в смысле Лебега), формула остается
верной лишь при достаточно специальных условиях на функцию ф.
Так, если / непрерывна, а ф возрастает (и даже непрерывна),
формула, о которой идет речь, может не быть верной, ибо если
Ьф= 0, то применение указанной выше формулы к такой
функции ф давало бы интегралу от / на [а, Ь] значение 0. Цель
дальнейшего изложения состоит в том, чтобы показать, что если ф
абсолютно непрерывна, а/ интегрируема, то формула замены
переменного верна. Доказательство заключается в том, что
доказывается справедливость формулы для непрерывной
функции /, а затем для любой интегрируемой функции, являющейся
пределом монотонной последовательности Коши непрерывных
функций (ср. раздел 2, § 2, теорема).
Так как любая абсолютно непрерывная функция предста-
вима как разность двух абсолютно непрерывных возрастающих
функций, то мы будем предполагать ф абсолютно непрерывной
и возрастающей на [а, Ь], и значит, £)ф(/):^0 в каждой точке
482 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
t е [а, Ь], где £>ср(0 существует (почти всюду). Предположим,
что
Ф(а) = а, ф(Р) = 6, ф([а, Р]) = [а, 6].
Пусть / непрерывна на [а, Ь] и пусть
Ф(*) X
ф(х)= J /(и) Л/, ^и)= |/(ф(0)^ф(0Л.
Ф(а) а
Функция Ф равна .Роф, где
X
F(X)= j f(u)du.
а
Имеем
/ (и) du
X'
F(X)-F(X')\ = \
< sup |f (и) ИХ'-* |,
откуда
| Ф (х) - Ф (*') ИI F (Ф (*))-F (ф (*')) I < sup | / (и) || Ф (х')-ф (х) [.
U
Абсолютная непрерывность функции ф влечет абсолютную
непрерывность функции Ф.
Так как / и ф непрерывны, а Дф интегрируема (поскольку ф
абсолютно непрерывна), то функция ^—►/(ф(О)^ф(О
интегрируема. С одной стороны, имеем
0Ф(*) = /(Ф(*))0Ф(*)
п. в.
(дифференцирование сложной функции), и с другой стороны,
D^(x) = f(V(x))DV(x).
Значит, ДФ — DW. Но поскольку Ф и W абсолютно
непрерывны и имеют почти всюду равные производные, то они
отличаются друг от друга на постоянную, и эта постоянная равна
нулю, ибо Ф (а) = V (а).
Итак, если f непрерывна на [а, 6], а ф абсолютно непрерывна
на [а, Ь]9 и если
ф(а) = а, ф(р) = 6, Ф([а, р]) = [а, 6],
го
J/(a)A<=J/fo(*))D?(*)<«.
8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
483
Предположим теперь, что £)ф(£)^0 и покажем, что
предыдущая формула верна для любой функции, являющейся
пределом возрастающей последовательности непрерывных функций,
интегралы которых на [а, Ь] ограничены. Обозначим предельную
функцию через /. Тогда последовательность /п(ф)£ф возрастает,
сходится почти всюду к /(ср)£)ф, и в силу ограниченности
интегралов выполняется равенство
ь 3
jf(u)du = \f(V(t))D<p(t)dt.
а а
Отсюда получаем теорему.
Теорема. Если функция ф возрастает и абсолютно
непрерывна на [а, р] с: R, а функция f интегрируема на [а, b] =
= [ф(а),Ф(р)], то
ь 3
\f{u)du=lf(y{t))Dy{t)dL
а а
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 38
Абсолютное значение 48, 189
действительного числа 197
Аксиома {&) 371
— {&') 387
Алгебра 79
— банахова 280
— нормированная 280
Антисимметричное отношение 24
Ассоциативность 32
База открытых множеств 143
— топологии 143
Базис 76
Банаха теорема 335
Банаха — Штейнгауза теорема 352
Банахово пространство 279
Беппо Леви теорема 398
Биективное отображение, биекция 15
Билинейная форма 114
Билинейное отображение 114
альтернированное 123
Больцано — Вейерштрасса теорема
212
Бэра свойство локально компактного
пространства 165— 167
■ полного метрического
пространства 254
Вариация 449
Вейерштрасса — Стоуна теорема 316
Вейерштрасса теорема 310
м-вектор 128
Взаимно-однозначное отображение 15
Внутренность 144
Выпуклое множество 288
Гельдера неравенство 414, 427
Гильбертово пространство 285
Гомеоморфизм 185
Грани числовой функции 217
Грань верхняя 28
— нижняя 28
Группа 38
— метрическая 264
— Рисса 48
нормированная 266
— топологическая 202, 264
— упорядоченная 46
Диагональ 12
Диаметр множества 244
Дини теорема 307
Дистрибутивность 37
Дополнение 11
Дополнительное подпространство 89
Закон внешний 61
— композиции 31
— — внутренний 31
Замена переменного 481
Замкнутость 146
— на R 204
Замыкание 145
— на R 205
Значение 13
Идеал 46
Изоморфизм 36, 85
Индекс 14
Интегрирование по частям 480
Интервал 190
— на R 203
Инъекция 16
Клан 299
Класс эквивалентности 24
Колебание 224
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
485
Кольцо 41
— топологическое 202
Коммутативность 32
Компактное (пространство,
множество) 158, 159
Компактность в R 207
Композиция отображений 19
непрерывных 185
Компоненты 76
Координаты 76
Лебега — Никодима теорема 430
Лебега теорема 400
Лебега — Фубини теорема 445
Линейно зависимые элементы 75
— независимые элементы 75
Мажоранта 28
Мажорированное отображение 30
Матрица 105
— квадратная 109
— обратимая 111
Медианы равенство 286
Мера 371
— абсолютно непрерывная 429
— Лебега 455
— ограниченная 372, 407
— положительная 371, 374
Мера — произведение 371, 374
Мера Радона 379
Минковского неравенство 416
Миноранта 28
Минорированное отображение 30
Множество, всюду плотное 145
— измеримое 405
— компактное 159
— меры нуль 410
— плотное 145
— пренебрежимое 386—417
Монотонные последовательности
(теорема о пределе) 212
Наибольший элемент 27
Наименьший элемент 27
Невырожденная эрмитова форма 284
Нейтральный элемент 33
Непрерывность равномерная 259
Норма 274
— линейного отображения 346
Нормированное пространство 274
Нормы эквивалентные 277
Оболочка числовых функций 221
Образ 13
—- топологии 151—152
— фильтра 171
Объединение 11
Ограничение 15
Окрестности 143
Окружность 241
Оператор 13, 61
Определитель 130, 131
Ортогональные элементы 287
Открытое множество 146
на R 204
Отношение бинарное 23
— порядка 26
противоположное 27
Отображение 13
— в, на 15
— возрастающее 30
— линейное 82
— непрерывное 182
— обратное 17
— тождественное 14
— убывающее 30
Параметр 13
Переменное 13
Пересечение 12
Перестановка 15
Пифагора теорема 287
Подгруппа 39
Подмножество, пустое подмножество
10
Подпоследовательность 21
Подпространство метрического
пространства 241
— топологического пространства 151
Подфильтр фильтра 170
Покрытие 22
Поле 42
— нормированное 272
— топологическое 202
Полилинейное отображение 120
альтернированное 124
Положительное действительное число
197
Полуметрическое пространство 258
Полунормированное пространство 274
Полурасстояние 258
Пополнение метрического простран*
ства 255
Порождение 69, 75
Порядок 26
Последовательность 20
— Коши 193
486
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Последовательность Коши в R
199
Почти всюду 386
Правило знаков 58
Предел верхний, нижний 221
, — на R 206
Предельная точка 172
Прикосновения точка 173
Проектор 290
Произведение (множеств) 12
— внешнее 123
— скалярное 283
— тензорное 116—119
Производные числа 457—458
Пространство векторное 62
метрическое 273
нормированное 274
— гильбертово 285
— компактное 158
— локально компактное 163
— метрическое 239
— нормальное 161
— нормированное 274
, ассоциированное с
полунормированным 275
— отделимое 156
— полунормированное 274
— регулярное 157
— Рисса 282
— топологическое 141
— хаусдорфово 156
Равенство двух отображений 15
Равномерная непрерывность 260
Равностепенная непрерывность 297
Разбиение 23
Разложение меры 433
— (ортогональное), теорема 289
Размерность 78
Ранг линейного отображения 84, 91
— матрицы 112
Расстояние 239
— евклидово 240
— между множествами 244
Расстояния эквивалентные 243
Регулярный элемент 33
Рефлексивность 24
Рисса пространство 282
— теорема 454
Ряд 235
Свободная система 75
Связное множество 167
* в R 210
R Семейство подмножеств 21
— свободное 75
— суммируемое 227
— фундаментальное 136
Симметризованное множество 54
Симметричность 24
Симметричный элемент 34
Скачок 447
Согласованное отношение
эквивалентности 44
Сопряженное пространство 93
Степень внешняя 123, 127, 128
— тензорная 121
Столбец 105
Строка 105
Сужение 15
— меры 377
Сумма прямая 89
Суммирования метод 362
Сфера 241
Сходимость простая 291
— равномерная 292
Счетное множество 20
ми- Сюръекция 15
Таблица умножения 80
Тело 42
Тензор 121
Теплица теорема 364
Топологическая группа 264
— структура 141
Топология 141
— индуцированная 151
Точка 9
— накопления 205
— предельная 172
— прикосновения 173
Транзитивность 24
Транспонированная матрица 112
Транспонированное линейное
отображение 96
Уравнение линейное 98
Урысона теорема 331
Фактормножество 25
Факторпространство векторного
пространства 89
Фату теорема 400
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
487
Фильтр 169
— индуцированный 170
Форма линейная 82
— эрмитова 283
Функция 13
— абсолютно непрерывная 473
— монотонная 447
— непрерывная 213
— полунепрерывная сверху 318
снизу 318
— постоянная 14
— пренебрежимая 395
— скачков 447
— ступенчатая 302
Хана —■ Банаха теорема 342
Целые рациональные числа 57
Часть 10
Число действительное 195
— рациональное 57, 189
Шар 241
Шварца неравенство 284
Эквивалентность 24
Элемент 9
Эндоморфизм 82
М. Заманский
ВВЕДЕНИЕ
В СОВРЕМЕННУЮ
АЛГЕБРУ
И АНАЛИЗ
М., 1974 г., 488 стр. с илл.
Редактор А. И. Штерн
Техн. редактор С. #. Шкляр
Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано в набор 20/XI 1973 г. Подписано к
печати 6/V 1974 г. Бумага 60X90Vie- Тип. № 1. Физ.
печ. л. 30,5. Условн. печ. л. 30,5. Уч.-изд. л. 27,71.
Тираж 14 000 экз. Цена книги 2 р. 24 к.
Заказ № 871.
Издательство <Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский
проспект, 29.