Text
                    ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
связи
Под редакцией профессора Д.Д.Кловского
Рекомендовано Государственным комитетом РФ
по связи и информатизации
в качестве учебника для студентов вузов
по специальностям
"Сети связи и системы коммутации",
"Многоканальные телекоммуникационные системы",
"Радиосвязь, радиовещание и телевидение ",
а также для бакалавров
по направлению "Телекоммуникации"
МОСКВА
"РАДИО и СВЯЗЬ"
1999

УДК 621.391 (075) ББК 32.81 ТЗЗ Федеральная целевая программа книгоиздания России Авторы:ГА.Г.ЗюкоДД.Д.Кловский, В.И.Коржик, М.В.Назаров Рецензенты: кафедра радиоприемных устройств ПИИРС; кафедра радиотехнических систем СибГАТИ Теория электрической связи: Учебник для вузов /|А.Г.Зюко,| ТЗЗ ДД.Кловский, В.И.Коржик, М.В.Назаров; Под род. ДД.Клов- ского. - М.: Радио и связь, 1999. - 432 с.: 204 ил. ISBN 5-256-01288-6. Излагаются основные закономерности и методы передачи сообщений но каналам связи. Рассматриваются способы математического представления сообщений, сигналов и помех, методы формирования и преобразования сигналов в системах (каналах) электрической связи, вопросы помехоустойчивости и пропускной способности систем электросвязи, методы экономного и помехоустойчивого кодирования, оптимального приема сообщений, принципы многоканальной передачи н распределения информации в сетях связи, основы цифровой обработки сигналов, вопросы оптимизации систем связи. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям “Сети и системы коммутации”, “Многоканальные телекоммуникационные системы”, “Радиосвязь, радиовещание и телевидение”, а также для бакалавров ио направлению “Телекоммуникации”. ББК 32.81 Учебное издание | Зюко Андрей Глебович | Кловский Даниил Давидович Коржик Валерий Иванович Назаров Михаил Васильевич ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ Ведущий редактор В.П.Вялъцев Обложка художника В. Г. Ситникова Художественный и технический редактор И.Л. Ткаченко И Б № 23790 ЛР 010164 от 29.01.97 г. Подписано в печать с готового оригинал-макета 16.04.98 Формат 60x84/8 Бумага газетная Печать Усл. псч. л. 50,22 Усл. кр.-отт. 51,38 Уч.-изд. л. 39,2 Тираж 3000 экз. Изд. № 23790 Зак. № 33 Издательство “Радио и связь”, 103473, Москва, 2-й Щемиловский пер., д. 4/5 Типография издательства “Радио и связь”, 103473, Москва, 2-й Щемиловский пер., д. 4/5 ISBN5-256-01288-6 © Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик Назаров М.В., 1999
Посвящается светлой памяти Льва Матвеевича Финка, внесшего значительный вклад в формирование современной теории электрической связи и курса ТЭС ПРЕДИСЛОВИЕ Системы связи играют всё большую роль в жизни людей, объединяя и сближая отдельные страны, континенты и объекты космоса. Последние годы отмечены не только интенсивным развитием проводных и оптико-волоконных систем связи, но и заметным развитием систем радиосвязи. Помимо традици- онных релейных и спутниковых систем радиосвязи быстро развиваются сети мобильных цифровых сотовых систем радиосвязи. Разработки систем связи последнего времени используют не только воз- можности современных технологий, но и достижения современной теории свя- зи, позволяющие повысить не только объёмы передаваемой информации, но и качество передачи сообщений (верность связи). Современная теория связи использует как детерминированные модели сиг- налов, так и вероятностные модели для передаваемых сообщений, соответст- вующих им сигналов и помех (шумов) в канале. Вероятностный подход учиты- вает случайный (для получателя) характер передачи сообщений и помех в ка- нале и позволяет определить оптимальные приёмные устройства (обеспечивающие максимально возможное качество) и предельные показатели систем передачи сообщений (систем связи). Основы современной (статистической) теории связи были заложены в фун- даментальных работах В.А. Котельникова по теории потенциальной помехо- устойчивости (1947 г.) и К. Шеннона по теории информации (1948 г.). От- дельные вопросы теории рассматривались в более ранних работах X. Найквиста (1928 г.) и В.А. Котельникова (1933 г.), в которых была сформу- лирована и доказана теорема отсчётов, в работе Р. Хартли (1928 г.), в которой введена логарифмическая мера количества информации, в работе Д.В. Агеева (1935 г.) по теории линейного разделения каналов. В создании и развитии ста- тистической теории связи большую роль сыграли работы А.Я. Хинчина (1938 г.) по корреляционной теории стационарных случайных процессов, А.Н. Колмогорова (1941 г.) и Н. Винера (1943 г.) по интерполированию и экс- траполированию стационарных случайных последовательностей, А. Вальда (1950 г.) по теории статистических решений. Дальнейшее развитие теория по- лучила в работах Р. Райса, А.А. Харкевича, В.И. Сифорова, Р. Галлагера, X. Хелстрома, Р. Фано, Л.М. Финка, Д. Витерби и многих других отечествен- ных и зарубежных учёных. Курс ТЭС относится к числу фундаментальных дисциплин подготовки вы- сококвалифицированных инженеров, владеющих современными методами ана- лиза и синтеза систем и устройств связи различного назначения. Целью курса является изучение основных закономерностей и методов пе- редачи сообщений по каналам связи, для чего в курсе решаются задачи анали- 3
за и синтеза систем связи. В курсе рассматриваются способы математического представления сообщений сигналов и помех, методы формирования и преобра- зования сигналов в электрических цепях, вопросы анализа помехоустойчивости и пропускной способности систем электросвязи, методы экономного и поме- хоустойчивого кодирования, оптимального приёма сообщений, принципы мно- гоканальной передачи и распределения информации в сетях связи, основы цифровой обработки сигналов, вопросы оптимизации систем связи. Курс ТЭС предназначен для подготовки инженеров-связистов широкого профиля по специальностям 200900, 201000, 201100, а также бакалавров по на- правлению телекоммуникаций (550400) и соответствует программе дисципли- ны ТЭС для вузов связи. Выводы содержат итоговый анализ основных положений и результатов со- ответствующих глав. Вопросы, задачи и упражнения направлены на закрепле- ние материала и более глубокое его осмысление. Текст, набранный петитом, предназначен для углубления и пояснения основного материала, но в некото- рых случаях он напоминает читателю материал, известный из курсов высшей математики и ТЭЦ. По содержанию и методическому изложению учебник рас- считан на студентов дневного и заочного обучения. В основу учебника поло- жены лекции, читаемые авторами на протяжении ряда лет. Главы 1, 8 (кроме § 8.9 — 8.11), 11 написаны А.Г. Зюко, гл. 3, 4, 5, 10 — Д.Д. Кловским, гл. 6, 7 — В.И. Коржиком, гл. 2, § 8.9 - 8.11, гл. 9 — М.В. Назаровым, предисловие и заключение — Д.Д. Кловским. Редактирование всех глав учебника выполнено Д.Д. Кловским. Авторы выражают признательность Б.И. Николаеву за помощь при подго- товке части материала § 2.3, 2.7, 3.5, а также за тщательное критическое про- чтение всего материала учебника. Они также признательны С.А. Белоусу за помощь при подготовке части материала § 7.3. Авторы выражают особую при- знательность Ю.В. Алышеву, взявшему на себя весьма ответственную, тяжёлую и трудоёмкую работу по компьютерной вёрстке учебника. Они также благодар- ны его помощникам А.В. Небогину, С.В. Рыбак, А.Г. Буранову, Д.Ю. Андронову, С.Г. Мусиенко, А.В. Семёнову и А.М. Ступаченко. Авторы признательны коллективам кафедры РПУ ПГАТИ (зав. каф. А И. Тяжев) и кафедры радиотехнических систем СибГАТИ (зав. каф. Т.А. Чернецкий, проф. А.А. Макаров) за ряд замечаний, способствовавших улучшению книги. Отзывы по книге просим направлять в издательство "Радио и связь" по ад- ресу: 101000, Москва, Почтамт, а/я 693. 4
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ АВ — алгоритм Витерби АКН — алгоритм Кловского-Николаева AM — амплитудная модуляция АМП — алгоритм максимального правдоподобия АЧХ — амплитудно-частотная характеристика БГШ — белый гауссовский шум БПФ — быстрое преобразование Фурье ВАХ — вольтамперная характеристика ДК — дискретный канал ДНК — дискретно-непрерывный канал ДПФ — дискретное преобразование Фурье ИФР — интегральная функция распределения ИХ — импульсная характеристика ММС — модуляция минимальным (частотным) сдвигом МО — математическое ожидание МПО — максимально правдоподобная оценка МСИ — межсимвольная интерференция НК — непрерывный канал ОДПФ — обратное дискретное преобразование Фурье ОСП — отношение сигнал-помеха (отношение средних мощностей сигнала и помехи) ПГ — преобразование (преобразователь) Гильберта ПФ — полосовой фильтр ПВ — плотность вероятности СКК — сигнально-кодовые конструкции СКО — среднеквадратическая ошибка СКП — среднеквадратическая погрешность СПМ — спектральная плотность мощности СПЭ — спектральная плотность энергии СФ — согласованный фильтр СВ — случайная величина СП — случайный процесс УМ — угловая модуляция ФК — функция корреляции, фильтр Калмана ФКВ — фильтр Колмогорова-Винера ФМ — фазовая модуляция ФНЧ — фильтр нижних частот ФЧХ — фазочастотная характеристика ЦОС — цифровая обработка сигналов ЦФ — цифровой фильтр ЧМ — частотная модуляция ЧМНФ — частотная модуляция с непрерывной фазой ЧХ — частотная характеристика ЭВК — энергетический выигрыш кода ЭВС — энергетический выигрыш системы 5
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ А а — ансамбль (множество) сообщений — реализация вектора (цепочки символов) сообщения а — реализация элемента сообщения В — ансамбль (множество) первичных сигналов 5(0 — случайный первичный сигнал B=1FT — база сигнала 5(4 Л); 5(t) — функция корреляции процесса(сигнала) ь — реализация вектора (цепочки) кодовых символов b(t) — реализация первичного сигнала b,(i) — элемент первичного цифрового сигнала (кодовый символ) z-й позиции, переданный в момент времени t=lT с — пропускная способность канала (бит/символ или бит/отсчёт) с — пропускная способность канала (бит/с) Л) — дисперсия случайной величины или процесса d — расстояние между сигнальными точками, расстояние по Хеммингу между двоичными последовательностями, мини- мальное расстояние по Хеммингу между комбинациями ли- нейного блокового кода Е — энергия принимаемого сигнала F{ ) — интегральная функция распределения F — полоса частот сигнала (канала) F = — д Л — частота дискретизации непрерывного сигнала — частота G(/) — спектральная плотность мощности — односторонняя спектральная плотность мощностей (на поло- жительных частотах) G(0, — случайная импульсная характеристика линейной цепи 5(0, 5(^) — детерминированная импульсная характеристика линейной цепи 5,5' — выигрыш и обобщённый выигрыш системы модуляции Я(А), нт — энтропия и условная энтропия дискретной случайной вели- чины (дискретного источника) Н\Х) — производительность дискретного источника Н(А), НЛА) — соответственно эпсилон-энтропия и эпсилон- производительность непрерывного источника h(x), й(х|у) — дифференциальная энтропия и условная дифференциальная 77 энтропия непрерывной случайной величины Лг= — — отношение энергии элемента сигнала на входе демодулятора к односторонней спектральной плотности мощности белого шума 6
r.2 P *2 I £l К = = —---------нормированная энергия \h = — ъ N0R„ tflog2 m I NJ сигнала на 1 бит ин- адп J К K(f), *(jco) 4/Ж/)1 к М М{Х) т т\ N(t) No «(О п Р Р{},РХ РьМ Р Род. Рз формации (битовая энергия) — взаимная информация между X и Y (информация, содержа- щаяся в Y относительно X или в X относительно Y) — скорость передачи информации от X к Y — знак мнимой единицы,' j = л/ч . — объём алфавита дискретного источника — частотная характеристика (передаточная функция или ком- плексный коэффициент передачи) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — число информационных символов в кодой комбинации — индекс угловой модуляции — математическое ожидание случайной величины (процесса) — основание кода (объём алфавита кода), коэффициент глуби- ны амплитудной модуляции — математическое ожидание случайной величины (или процес- са) — случайная аддитивная помеха в непрерывном канале — односторонняя (на положительных частотах) спектральная плотность мощности квазибелого и белого шума — реализация случайного процесса (СП) А(/) — длина (общее число символов) кодовой комбинации — средняя мощность сигнала — вероятность события, указанного в скобках или обозначенно- го индексом — вероятность ошибки на один информационный бит (эквивалентная вероятность ошибки) — вероятность ошибочного приёма символа — вероятность ошибочного декодирования блока символов — заданная (допустимая) вероятность ошибки б(х) = J е_?/2 di - дополнительная функция ошибок я=- п fllog2 т R~- Т — скорость кода — максимальная производительность при 1 (информационная скорость) дискретного источника (бит/с), скорость передачи информации г = п-к — число проверочных символов в кодовых комбинациях блоко- вого кода — нормированная функция корреляции, коэффициент корре- ляции 5(0 — случайный сигнал на входе приёмника (детектора) без учёта аддитивных помех 7
Ш) — спектральная плотность по Фурье сигнала x(t) — спектральная плотность по Фурье на положительных часто- тах — амплитудный спектр сигнала x(f) s(0 — реализация случайного сигнала на входе приёмника (детектора) без учёта аддитивных помех т — длительность тактового интервала, длительность финитного сигнала, знак транспонирования матрицы к — интервал анализа принимаемого колебания (сигнал плюс помеха) t u(t) — текущее время — случайный сигнал на выходе модулятора — реализация случайного сигнала на выходе модулятора И(0, IF(I), Х($, Y(f) — случайные процессы с реализациями (выборочными И/) »;(/) w(x,0 функциями), соответственно v(f), w(0, x(t), y(f); v ~ скорость передачи (число символов в секунду) дискретного источника (канала), число отсчётов в одну секунду непрерывного сигнала — спектральная плотность энергии — односторонняя спектральная плотность энергии — одномерная плотность вероятности случайной величины (случайного процесса) w(*b х2, .. t2, ..., tn) — л-мерная плотность вероятности совокупности случайных величин (случайного процесса) X, Y X, у — алфавит сообщений на входе и выходе дискретного канала — вектор (цепочка символов) сообщений на входе и выходе ДО дискретного канала — сумма сигнала и аддитивной помехи на входе приёмника (детектора) z(0 — реализация суммы сигнала и аддитивной помехи на входе 5() Е(0 приёмника (детектора) — энергетическая эффективность системы — дельта-функция — ошибка в оценивании случайного параметра или СП, шум наблюдения или квантования е(0, е — реализация СП Е(/) у Z F У д — частотная эффективность системы — коэффициент передачи канала — шаг дискретизации непрерывного сигнала во времени 9 ®кан — коэффициент информационной эффективности системы — фазовый сдвиг, текущее безразмерное время — фазовый сдвиг в канале 8
эе Л X v п р а2 а т ф(0 \|/(/) = СО(/ + ф(О ф(/) = argX:(/) v, ф vM фД*) а /л — избыточность источника, кода — отношение правдоподобия — информационный параметр — кодовое ограничение свёрточного кода — пик-фактор сообщения или сигнала (отношение максималь- ного значения к среднеквадратическому) — отношение средних мощностей сигнала и шума — дисперсия случайной величины (процесса) — среднеквадратическое отклонение — интервал между двумя сечениями процесса (t2- /1); задержка — фаза сигнала при угловой модуляции — полная фаза сигнала — фазочастотная характеристика (ФЧХ) — фазовый сдвиг, фаза сигнала — функции ортогонального (или ортонормированного) базиса — угловая частота, вес кодовой комбинации блокового кода — мгновенная частота сигнала Точка сверху означает комплексное выражение. Знак * сверху выражения означает комплексное сопряжение. Конкретный смысл обозначений уточняется индексами и поясняется в тексте. Матрицы и векторы обозначены жирным шрифтом. Прямая черта над символом или формулой означает статистическое усредне- ние (по ансамблю), волнистая - по времени. Знак л над символом означает оценку, выдаваемую демодулятором, декодером или фильтром. Знак п означает преобразование Гильберта. Знак ® означает свёртку двух функций. Знак Ф означает сложение по модулю 2. (п, к) — обозначение линейного блокового кода длины п с к информационны- ми символами. 9
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ 1.1. ИНФОРМАЦИЯ, СООБЩЕНИЯ, СИГНАЛЫ Понятия информации и сообщения употребляются довольно часто. Эти близ- кие по смыслу понятия сложны и дать их точное определение через более про- стые нелегко. Слово информация происходит от латинского informatio — разъ- яснение, ознакомление, осведомлённость. Обычно под информацией понима- ют совокупность сведений, данных о каких-либо событиях, явлениях или предметах. Мы живем в информационном мире. Всё, что мы видим, слышим, помним, знаем, переживаем, — всё это различные формы информации. Сово- купность сведений, данных становится знанием лишь после их интерпретации с учётом ценности и содержания этих сведений. Следовательно, информацию в широком смысле можно определить как совокупность знаний об окружающем нас мире. В таком понимании информация является важнейшим ресурсом на- учно-технического и социально-экономического развития общества. В отличие от материального и энергетического ресурсов, информационный ресурс не уменьшается при потреблении, накапливается со временем, сравнительно лег- ко и просто с помощью технических средств обрабатывается, хранится и пере- даётся на значительные расстояния. Для передачи или хранения информации используют различные знаки (символы), позволяющие выразить (представить) её в некоторой форме. Этими знаками могут быть слова и фразы в человеческой речи, жесты и рисунки, формы колебаний, математические знаки и т.п. Совокупность знаков, отобра- жающих ту или Иную информацию, называют сообщением. Так, при телеграф- ной передаче сообщением является текст телеграммы, представляющий собой последовательность отдельных знаков — букв и цифр. При разговоре по теле- фону сообщением является непрерывное изменение во времени звукового дав- ления, отображающее не только содержание, но и интонацию, тембр, ритм и иные свойства речи. При передаче движущихся изображений в телевизионных системах сообщение представляет собой изменение во времени яркости эле- ментов изображения. Передача сообщений (а следовательно, и информации) на расстояние осу- ществляется с помощью какого-либо материального носителя (бумаги, магнит- ной ленты и т.д.) или физического процесса (звуковых или электромагнитных волн, тока и т.д.). Физический процесс, отображающий (несущий) передавае- мое сообщение, называется сигналом. В качестве сигнала можно использовать любой физический процесс, изме- няющийся в соответствии с переносимым сообщением. В современных систе- мах управления и связи чаще всего используют электрические сигналы. Физи- ческой величиной, определяющей такой сигнал, является ток или напряжение. Сигналы формируются путём изменения тех или иных параметров физического носителя в соответствии с передаваемым сообщением. Этот процесс (изменения параметров носителя) принято называть модуляцией. Сообщения могут быть функциями времени, например речь при передаче телефонных разговоров, температура или давление при передаче телеметриче- ских данных, спектакль при передаче по телевидению и т.п. В других случаях 10
сообщение не является функцией времени (например, текст телеграммы, не- подвижное изображение и т.д.). Сигнал передаёт (развёртывает) сообщение во времени. Следовательно, он всегда является функцией времени, даже если сообщение (например, непод- вижное изображение) таковым не является. Если сигнал представляет собой функцию х(/), принимающую только определённые дискретные значения х (например, 1 и 0), то его называют дискретным или дискретным по уровню (амплитуде). Точно так же и сообщение, принимающее только некоторые оп- ределённые уровни, называют дискретным. Если же сигнал (или сообщение) может принимать любые уровни в некотором интервале, то они называются непрерывными или аналоговыми. В некоторых случаях сообщение или сигнал задают не на всей оси време- ни, а в определённые моменты t. Такие сообщения (сигналы) называют дис- кретными по времени в отличие от непрерывных по времени, заданных на всей оси t. Например, речь является сообщением непрерывным как по уровню, так и по времени, а датчик температуры, выдающий её значения через каждые 5 мин, служит источником сообщений, непрерывных по величине, но дис- кретных по времени. На рис. 1.1 наглядно проиллюстрированы различные ви- ды сигналов. Сигнал с конечным числом дискретных уровней часто называют цифровым, поскольку уровни можно пронумеровать числами с конечным чис- лом разрядов. Не следует думать, что дискретные сообщения обязательно преобразуются в дискретные сигналы, а непрерывные сообщения — в непрерывные сигналы. Чаще всего именно непрерывные сигналы используют для передачи дискрет- ных сообщений (в качестве их переносчиков, несущей). Дискретные же сигна- лы могут использоваться для передачи непрерывных сообщений (после их дис- кретизации). Сообщение с помощью специальных устройств (датчиков) обычно преобра- зуется в электрическую величину b(t) — первичный сигнал. При передаче речи такое преобразование выполняет микрофон, при передаче изображения — теле- визионная камера. В большинстве случаев первичный сигнал является низко- частотным1) колебанием, которое отображает передаваемое сообщение. В некоторых случаях первичный сигнал непосредственно передают по ли- нии. Так поступают, например, при обычной городской телефонной связи. Для передачи на большие расстояния (по кабелю или радиоканалу) первичный Рис. 1.1. Виды сигналов: (а) непрерывный сигнал; (б) дискретный по времени сигнал; (в) сигнал, квантованный по уровню; (г) цифровой сигнал Следует оговорить условность этого термина. Первичный телевизионный сигнал, напри- мер, занимает область частот от нуля до 6 МГц. 11
сигнал преобразуют в высокочастотный. Если бы передаваемое сообщение было детерминированным, т.е. заранее из- вестным с полной достоверностью, то передача его не имела бы смысла. Такое детерминированное сообщение не содержит информации. Поэтому сообщения следует рассматривать как случайные события (или случайные величины, случай- ные функции). Другими словами, должно существовать некоторое множество вариантов сообщения (например, множество различных значений температуры, выдаваемых датчиком), из которых реализуется с определённой вероятностью одно. Поэтому и сигнал является случайной функцией. Детерминированный сигнал не может быть носителем информации. Его можно использовать лишь для испытаний системы связи или отдельных её элементов. Случайный характер сообщений, сигналов, а также помех обусловил важ- нейшее значение теории вероятностей в построении теории связи. Как будет показано в последующих главах, вероятностные свойства сигналов и сообще- ний, а также среды, в которой передаётся сигнал, позволяют определить количе- ство передаваемой информации и её потери. Описанием конкретного сигнала может быть некоторая функция времени х(0- Определив так или иначе эту функцию, определяем и сигнал. Однако та- кое полное описание сигнала не всегда требуется. Для решения ряда вопросов достаточно более общего описания в виде нескольких параметров, характери- зующих основные свойства сигнала, подобно тому, как это делается в системах транспортирования. Указывая габаритные размеры и массу, характеризуем ос- новные свойства предмета с точки зрения условий его перевозки; другие свой- ства (например, цвет) с этой точки зрения являются несущественными. Сигнал также является объектом транспортировки, а техника связи по су- ществу техникой транспортирования (передачи) сигналов по каналам связи. Поэтому целесообразно определить параметры сигнала, которые являются ос- новными с точки зрения его передачи. Такими параметрами являются длитель- ность сигнала Т, его динамический диапазон D и ширина спектра F. Всякий сиг- нал, рассматриваемый как временной процесс, имеет начало и конец. Поэтому длительность сигнала Т является естественным его параметром, определяющим интервал времени, в пределах которого сигнал существует. Динамический диапазон — это отношение наибольшей мгновенной мощ- ности сигнала к той наименьшей мощности, которую необходимо отличать от нуля при заданном качестве передачи. Он выражается обычно в децибелах. Динамический диапазон речи диктора, например, равен 25...30 дБ, небольшого вокального ансамбля 45...65 дБ, симфонического оркестра 70...95 дБ. Во избе- жание перегрузок канала в радиовещании динамический диапазон часто со- кращают до 35...45 дБ. И наконец, ширина спектра сигнала F. Этот параметр даёт представление о скорости изменения сигнала внутри интервала его существования. Спектр сиг- нала в принципе может быть неограниченным. Однако для любого сигнала можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена его основ- ная энергия. Этим диапазоном и определяется ширина спектра сигнала. В технике связи спектр сигнала часто сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи имеют ограниченную полосу пропускаемых частот. Сокращение спектра осуществляется исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефон- ной связи требуется, чтобы речь была разборчива и чтобы корреспонденты могли узнать друг друга по голосу. Для выполнения этих условий достаточно передать речевой сигнал в полосе 12
от 300 до 3400 Гц. Передача более широкого спектра речи в этом случае нецелесообразна, так как ведёт к техническим усложнениям и увеличению затрат. Аналогично необходимая ширина спектра телевизионного сигнала определяется требуемой чёткостью изображения. При стандарте в 625 строк верхняя частота сигнала достигает 6 МГц. Спектр сигнала изобра- жения много шире спектра сигнала звукового сопровождения. Это существенно усложняет построение систем-телевизионного вещания по сравнению с системами звукового вещания. Ширина спектра телеграфного сигнала зависит от скорости передачи и обычно принимается равной Fa l,5v, где v — скорость передачи (телеграфирования) в Бодах, т.е. число символов, передаваемых в секунду. Так, при телетайпной передаче v — 50 Бод и Fa 75 Гц. Спектр моду- лированного сигнала обычно шире спектра передаваемого сообщения (первичного сигнала) и зависит от вида модуляции. Можно ввести более общую и наглядную характеристику — объём сигнала: Кс = Гс Fc Dc. ' (1.1) Объём сигнала Vc даёт общее представление о возможностях данного множест- ва сигналов как переносчиков сообщений. Чем больше объём сигнала, тем больше информации можно "вложить" в этот объём и тем труднее передать та- кой сигнал по каналу связи с требуемым качеством. 1.2. СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ И СЕТИ СВЯЗИ На рис. 1.2 изображена структурная схема простейшей одноканальной сис- темы связи. Рассмотрим назначение отдельных элементов этой схемы. Источ- ником сообщений и получателем в одних системах связи может быть человек, в других — различного рода устройства (автомат, вычислительная машина и т.д.). Устройство, преобразующее сообщение в сигнал, называют передающим, а уст- ройство, преобразующее принятый сигнал в сообщение, — приёмным. С помо- щью первичного преобразователя в передающем устройстве сообщение а, ко- торое может иметь любую физическую природу (изображение, звуковое коле- бание и т.п.), преобразуется в первичный электрический сигнал b(t). В телефо- нии, например, эта операция сводится к превращению акустических колебаний в пропорционально изменяющееся электрическое напряжение на выходе мик- рофона. В телеграфии с помощью телеграфного аппарата последовательность элементов сообщения (букв) заменяется последовательностью кодовых симво- лов (0, 1 или точка, тире), которая одновременно преобразуется в последова- тельность электрических импульсов постоянного тока. В передатчике первич- ный сигнал b(t) (обычно низкочастотный) превращается во вторичный (высокочастотный) сигнал u(t), пригодный для передачи по используемому ка- налу. Это осуществляется посредством модуляции. Преобразование сообщения в сигнал должно быть обратимым. В этом слу- чае по выходному сигналу можно восстановить входной первичный сигнал, т.е. получить всю информацию, содержащуюся в переданном сообщении. В про- тивном случае часть информации будет,потеряна при передаче. Рис.1.2. Структурная схема простейшей одноканальной системы связи 13
Линией связи называется физическая среда и совокупность аппаратных средств, используемых для передачи сигналов от передатчика к приёмнику. В системах электрической связи — это прежде всего кабель или волновод, в сис- темах радиосвязи — область пространства, в котором распространяются элек- тромагнитные волны от передатчика к приёмнику. При передаче канальный сигнал u(f) может искажаться и на него могут накладываться помехи n(t). При- ёмное устройство обрабатывает принятое колебание z(t) = s(i) + n(t), представ- ляющее собой сумму пришедшего искажённого сигнала s(t) и помехи n(t), и восстанавливает по нему сообщение а, которое с некоторой погрешностью отображает переданное сообщение а. Другими словами, приёмник должен на основе анализа колебания z(Z) определить, какое из возможных сообщений пе- редавалось. Поэтому приёмное устройство является одним из наиболее ответ- ственных и сложных элементов системы связи. Совокупность технических средств для передачи сообщений от источника к потребителю называется системой связи. Этими средствами являются передаю- щее устройство, линия связи и приёмное устройство. Иногда в понятие систе- ма связи включается источник и потребитель сообщений. По виду передавае- мых сообщений различают следующие системы связи: передача речи (телефония); передача текста (телеграфия); передача неподвижных изображе- ний (фототелеграфия); передача подвижных изображений (телевидение), теле- измерение, телеуправление и передача данных. По назначению телефонные и телевизионные системы делят на вещательные, отличающиеся высокой степе- нью художественности воспроизведения сообщений, и профессиональные, имеющие специальное применение (служебная связь, промышленное телеви- дение и т.п.). В системе телеизмерения физическая величина, подлежащая из- мерению (температура, давление, скорость и т.п.), с помощью датчиков преоб- разуется в первичный электрический сигнал, поступающий на передатчик. На приёмном конце переданную физическую величину или её изменения выделя- ют из сигнала и наблюдают или регистрируют с помощью записывающих при- боров. В системе телеуправления осуществляется передача команд для автома- тического выполнения определённых действий. Нередко эти команды форми- руют автоматически на основании результатов измерения, переданных теле- метрической системой. Внедрение высокоэффективных ЭВМ привело к необходимости быстрого развития систем передачи данных, обеспечивающих обмен информацией между вычислительными средствами и объектами автоматизированных систем управ- ления. Этот вид электросвязи по сравнению с телеграфной отличается более высокими требованиями к скорости и верности передачи информации. Каналом связи называется совокупность средств, обеспечивающих передачу сигнала от некоторой точки А системы до точки Б (рис. 1.3). Точки А и Б мо- гут быть выбраны произвольно, лишь бы между ними проходил сигнал. Часть системы связи, расположенная до точки А, является источником сигнала для этого канала. Если сигналы, поступающие на вход канала и снимаемые с его выхода, являются дискретными (по уровням), то канал называется дискретным. Рис. 1.3. Структурная схема канала связи Если входные и выходные сигналы канала являются непрерывными (по уров- ню), то и канал называет- ся непрерывным. Встреча- 14
ются также дискретно-непрерывные и непрерывно-дискретные каналы, на вход которых поступают дискретные сигналы, а с выхода снимаются непрерывные, или наоборот. Из сказанного видно, что канал может быть дискретным или непрерывным независимо от характера передаваемых сообщений. Более того, в одной и той же системе связи можно выделить как дискретный, так и непре- рывный канал. Всё зависит от того, каким образом выбраны точки А и Б входа и выхода канала. Канал связи можно характеризовать так же, как и сигнал, тремя парамет- рами: временем Гк, в течение которого по каналу возможна передача, динами- ческим диапазоном DK и полосой пропускания канала FK. Под динамическим диапазоном канала понимают отношение допустимой мощности передаваемого сигнала к мощности неизбежно присутствующей в канале помехи, выраженное в децибелах. Типы каналов, по которым передаются сигналы, многочисленны и разнообразны. Разли- чают каналы проводной связи (воздушные, кабельные, световодные и др.) и каналы радио- связи. Кабельные линии связи являются основой магистральных сетей дальней связи, по ним осуществляется передача сигналов в диапазоне частот от десятков кГц до сотен МГц. Весьма перспективными являются волоконно-оптические линии связи. Они позволяют в диапазоне 600...900 ТГц (0,5...0,3 мкм) обеспечить очень большую пропускную способность (сотни ТВ или сотни тысяч ТФ каналов). Наряду с проводными линиями связи широко используются радиолинии различных диапазонов (от сотен кГц до десятков ГГц). Эти линии более эконо- мичны и незаменимы для связи с подвижными объектами. Наибольшее распространение для многоканальной радиосвязи получили радиорелейные линии (РРЛ) метрового, дециметрового и сантиметрового диапазонов на частотах от 60 МГц до 15 ГГц. Разновидностью РРЛ являют- ся тропосферные линии с использованием отражений от неоднородностей тропосферы. Всё большее применение находят спутниковые линии связи — РРЛ с ретранслятором на ИСЗ. Для этих линий (систем) связи отведены диапазоны частот 4...6 и 11...275 ГГц. Большая даль- ность при одном ретрансляторе на спутнике, гибкость и возможность организации глобаль- ной связи — важные преимущества спутниковых систем. Общими признаками непрерывных каналов являются следующие. Во- первых, большинство каналов можно считать линейными. В таких каналах вы- ходной сигнал является суммой откликов отдельных входных сигналов и помех (применим принцип суперпозиции), а продукты нелинейных преобразований в канале малы по сравнению с выходными сигналами. Во-вторых, на выходе ка- нала даже в отсутствие полезного сигнала всегда имеются помехи. В-третьих, сигнал при передаче по каналу претерпевает задержку по времени и затухание по уровню. И наконец, в реальных каналах всегда имеют место искажения сигнала, обусловленные несовершенством характеристик канала и нередко из- менениями параметров канала во времени. Обобщённой характеристикой ка- нала является его ёмкость (объём) VK=TKFKDK. (1.2) Необходимым условием неискажённой передачи по каналу сигналов с объёмом Ис, очевидно, должно быть Ис< Гк. (1.3) Преобразование первичного сигнала в высокочастотный сигнал часто и пре- следует цель согласования сигнала с каналом. В простейшем случае сигнал со- гласуют с каналом по всем трём параметрам, т.е. добиваются выполнения ус- ловий: Гс < Гк, Fc < FK, Dc < DK. (1*4) При этих условиях объём сигнала полностью "вписывается" в объём канала. 15
Однако неравенство (1.3) может выполняться и тогда, когда одно или два из неравенств (1.4) не выполнены. Это означает, что можно производить "обмен" длительности на ширину спектра или ширину спектра на динамический диапазон и т.д. Пусть, например, записанный на плёнку телефонный сигнал, имеющий ширину спектра 3 кГц, необходимо передать через канал, полоса пропускания которого 300 Гц. Это можно осуществить, воспроизводя сигнал со скоростью, в 10 раз меньшей той, с которой он был записан. При этом все частоты исходного сигнала уменьшатся в 10 раз и во столько же раз увеличится время передачи. Принятый сиг- нал также записывается на плёнку, а затем, воспроизведя его со скоростью, в 10 раз большей, можно восстановить исходный сигнал. Аналогично можно передать сигнал быстрее, если по- лоса пропускания канала шире спектра сигнала. Значительно больший интерес представляет возможность обмена динамического диапа- зона на полосу пропускания. Так, используя широкополосные помехоустойчивые виды моду- ляции (см. гл.8), можно передать сообщение с динамическим диапазоном, например 60 дБ, по каналу, в котором сигнал превышает помеху всего лишь на 20 дБ. При этом используется полоса пропускания канала в несколько раз более широкая, чем спектр сообщения. В системе связи, представленной на рис. 1.1, передача сообщений осущест- вляется в одном направлении от источника к получателю. Такой режим связи называется симплексным. Режим, при котором обеспечивается возможность од- новременной передачи сообщений в прямом и обратном направлении, называ- ется дуплексным. Возможен и полудуплексный режим, когда обмен сообщений осуществляется поочередно. Система связи называется многоканальной, если она обеспечивает передачу нескольких сообщений по одной общей линии связи. Структурная схема про- стейшей многоканальной системы связи изображена на рис. 1.4. Здесь первич- ные сигналы b\(i), b2(t), bn(f), подлежащие передаче, преобразуются посред- ством модуляторов ЛГ1, М2, ..., Мп в электрические сигналы u\(t}, U2(t), ..., un(f), а затем смешиваются в аппаратуре уплотнения. Полученный таким образом групповой сигнал u(t) передаётся по линии связи. Приёмник из принятого коле- бания z(t} = s(J} + n(t) с помощью устройства разделения (фильтров Ф/) выде- ляет индивидуальные сигналы st(t), преобразуемые посредством демодуляторов (детекторов) Д- в соответствующие первичные сигналы ^(/), b2(t}, ..., bn{t}. Для разделения сигналов на приёмном конце, очевидно, необходимо, чтобы они различались между собой по некоторому признаку. В практике многоканаль- ной связи преимущественно применяют частотный и временной способы раз- деления. Для обмена сообщениями между многими территориально разнесёнными пользователями {абонентами} создаются сети связи, обеспечивающие передачу и распределение сообщений по заданным адресам (в заданное время и с установ- ленным качеством). Распределение потоков сообщений по заданным адресам Рис. 1.4. Структурная схема простейшей многоканальной системы передачи 16
способу распределения сообщений сети делятся на некоммутируемые и комму- тируемые. В первом случае связь между абонентами осуществляется по посто- янно закреплённым каналам по принципу "каждый с каждым". Во втором слу- чае абоненты связываются между собой не непосредственно, а через узлы ком- мутации. Сеть связи представляет собой совокупность оконечных (абонентских) устройств, каналов связи (соединительных линий) и узлов коммутации. В зави- симости от числа абонентов и размеров обслуживаемой территории сети могут иметь различную структуру: линейную, радиальную, кольцевую, радиально-узловую и т.п. Задача оптимального построения сетей связи является одной из важней- ших задач теории и техники связи. Решается эта задача с помощью теории графов и теории массового обслуживания. 1.3. ПОМЕХИ И ИСКАЖЕНИЯ В КАНАЛЕ В реальном канале сигнал при передаче искажается и сообщение воспроиз- водится с некоторой ошибкой. Причиной таких ошибок являются как искаже- ния, вносимые самим каналом, так и помехи, воздействующие на сигнал. Час- тотные и временные характеристики канала определяют так называемые ли- нейные искажения. Кроме того, канал может вносить и нелинейные искаже- ния, обусловленные нелинейностью тех или иных звеньев канала. Если линей- ные и нелинейные искажения обусловлены известными характеристиками ка- нала, то они, по крайней мере в принципе, могут быть устранены надлежащей коррекцией. Следует отличать искажения от помех, имеющих случайный ха- рактер. Помехи заранее не известны и поэтому не могут быть полностью уст- ранены. Помехой называется любое случайное воздействие на сигнал, которое ухуд- шает верность воспроизведения передаваемых сообщений. Помехи весьма разно- образны как по своему происхождению, так и по физическим свойствам. В ра- диоканалах часто встречаются атмосферные помехи, обусловленные электриче- скими процессами в атмосфере, и прежде всего грозовыми разрядами. Энергия этих помех сосредоточена главным образом в области длинных и средних волн. Сильные помехи создаются также промышленными установками. Это так на- зываемые индустриальные помехи, возникающие из-за резких изменений тока в электрических цепях всевозможных электроустройств. Сюда относятся помехи от электротранспорта, электрических двигателей, медицинских установок, сис- тем зажигания двигателей и т.п. Распространенным видом помех являются по- мехи от посторонних радиостанций и каналов. Они обусловлены нарушением регламента распределения рабочих частот, недостаточной стабильностью частот и плохой фильтрацией гармоник сигнала, а также нелинейными процессами в каналах, ведущими к перекрестным искажениям. В проводных каналах связи основным видом помех являются импульсные шумы и прерывания связи. Появление импульсных помех часто связано с авто- матической коммутацией и перекрестными наводками. Прерывание связи есть явление, при котором сигнал в линии резко затухает или исчезает. Практически в любом диапазоне частот имеют место внутренние шумы ап- паратуры, обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усили- тельных приборах, резисторах и других элементах аппаратуры. Эти помехи особенно сказываются при радиосвязи в диапазоне ультракоротких волн, где другие помехи невелики. В этом диапазоне имеют значение и космические по- мехи, связанные с электромагнитными процессами, происходящими на 17
Солнце, звёздах и других внеземных объектах. В общем виде влияние помехи n(t) на полезный сигнал «(/) можно выразить оператором z(t) = L[s(u(t)), n(/)]. (1.5) В частном случае, когда оператор вырождается в сумму z(/) = s(t) + «(О, (1.6) помеха называется аддитивной. Если же оператор может быть представлен в виде произведения z(/) = k(i)u(f), (1.7) то помеху называют мультипликативной. Здесь k(t) - случайный процесс. В ре- альных каналах обычно имеют место и аддитивные, и мультипликативные по- мехи, и поэтому z(t) = k(f)u(t) + n(t). (1.8) Среди аддитивных помех различного происхождения выделяют сосредото- ченные по спектру (узкополосные) помехи, сосредоточенные во времени (импульсные) помехи и так называемую флуктуационную помеху, не ограни- ченную во времени и спектру. Флуктуационная помеха (флуктуационный шум) представляет собой случайный процесс с нормальным распределением (гауссовский процесс). Такая помеха наиболее изучена и представляет наи- больший интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Этот вид помех практически имеет место во всех реальных каналах. В диапазоне оп- тических частот существенное значение имеет квантовый шум, вызванный дис- кретной природой сигнала. Мультипликативные помехи обусловлены случай- ными изменениями параметров канала связи. В частности, эти помехи прояв- ляются в изменении уровня сигнала. Следует заметить, что между сигналом и помехой отсутствует принципи- альное различие. Более того, они существуют в единстве, хотя и противопо- ложны по своему действию. Так излучение радиопередатчика является полез- ным сигналом для приёмника, которому предназначено это излучение, и по- мехой для всех других приёмников. Электромагнитное излучение звёзд являет- ся одной из причин космического шума в диапазоне сверхвысоких частот и поэтому является помехой для систем радиосвязи. С другой стороны, это излу- чение является полезным сигналом, по которому определяют некоторые физи- ко-химические свойства звёзд. 1.4. КОДИРОВАНИЕ И МОДУЛЯЦИЯ Преобразование дискретного сообщения в сигнал обычно осуществляется в виде двух операций — кодирования и модуляции. Кодирование представляет со- бой преобразование сообщения в последовательность кодовых символов, а мо- дуляция — преобразование этих символов в сигналы, пригодные для передачи по каналу. С помощью кодирования и модуляции источник сообщений согла- суется с каналом. Простейшим примером дискретного сообщения является текст. Любой текст состоит из конечного числа элементов: букв, цифр, знаков препинания. Их совокупность называется алфавитом источника сообщения. Так как число элементов в алфавите конечно, то их можно пронумеровать и тем самым све- сти передачу сообщения к передаче последовательности чисел. Так, для передачи заглавных букв русского алфавита (их 32) необходимо передать числа от 0 до 31. Для передачи любого числа, записанного в десятичной форме, требуется передача 18
десяти цифр — от 0 до 9. Практически для этого нужны десять сигналов, соответствующих различным цифрам. Систему передачи дискретных сообщений можно существенно упро- стить, если воспользоваться при кодировании двоичной системой счисления. В десятичной системе основанием счисления является число 10. Поэтому любое целое число К можно представить в виде К = ди10"+...+д2102 +^10* +ао1О° , (1.9) где ао> аь --> ап ~ коэффициенты, принимающие значение от 0 до 9. Так, число 265 можно записать как 2-102+6-101+5-10°. Очевидно, в качестве основания счисления можно принять любое целое число т и представить число N как К= апт"+ ... + а2т2 + аут1 + aQitfi, (1-Ю) где oq, о1} .ап — коэффициенты, принимающие значения от 0 до т - 1. Задаваясь величи- ной т, можно построить любую систему счисления. При т = 2 получим двоичную систему, в которой числа записываются с помощью двух цифр — 0 и 1. Например, число 13 в двоичной системе записывается 1101, что соответствует выражению 1-23 +1-22 + 0-21+ 1-2°. Арифметические действия в двоичной системе весьма про- сты. Так, сложение осуществляется по следующим правилам: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1+0=1; 1 + 1 = 10. Различают ещё поразрядное сложение без переноса в старший разряд, так назы- ваемое "сложение по модулю два". Правила этого сложения следующие: 0Ф0 = 0; 0Ф1 = 1; 1 Ф 0 = 1; 1 Ф 1 = 0. Если преобразовать последовательность элементов сообщения в последовательность дво- ичных чисел, то для передачи последних по каналу связи достаточно передавать всего лишь два различных сигнала. Например, символы 0 и 1 могут передаваться колебаниями с различ- ными частотами или импульсами тока разной полярности. Благодаря своей простоте двоич- ная система счисления широко применяется при кодировании дискретных сообщений. При кодировании происходит процесс преобразования элементов сообще- ния в соответствующие им числа (кодовые символы). Каждому элементу сооб- щения присваивается определённая совокупность кодовых символов, которая называется кодовой комбинацией. Совокупность кодовых комбинаций, отобра- жающих дискретные сообщения, образует код. Правило кодирования может быть выражено кодовой таблицей, в которой приводятся алфавит кодируемых сообщений и соответствующие им кодовые комбинации. Множество возмож- ных кодовых символов называется кодовым алфавитом, а их количество т — основанием кода. В общем случае при основании кода т правила кодирования К элементов сообщения сводятся к правилам записи К различных чисел в т- ичной системе счисления. Число разрядов п, образующих кодовую комбина- цию, называется разрядностью кода или длиной кодовой комбинации. В зависи- мости от системы счисления, используемой при кодировании, различают дво- ичные и т-ичные (недвоичные) коды. Коды, у которых все комбинации имеют одинаковую длину, называют равномерными. Для равномерного кода число возможных комбинаций равно тп. Примером такого кода является пятизначный код Бодо, содержащий пять двоичных элементов (т = 2, п = 5). Число возмож- ных кодовых комбинаций равно 25 = 32, что достаточно, для кодирования всех букв русского алфавита. Однако этого недостаточно для передачи сообщения, содержащего буквы, цифры, различные условные знаки (точка, запятая, сложение, умножение и т.п.). Поэтому в настоя- щее время используется "Международный код №2" (МТК-2). В коде МТК-2 используется регистровый принцип, согласно которому одна и та же пятиэлементная кодовая комбинация может использоваться до трёх раз в 'зависимости от положения регистра: русский, латинский, цифровой. Общее число различных знаков при этом равно 84, что достаточно для кодирова- ния телеграммы. Для передачи данных рекомендован семиэлементный код МТК-5. Кдды МТК-2 и МТК-5 являются первичными (простыми). Основными параметрами кодов являются: основание кода т, длина кодовой комбинации п, расстояние между кодовыми комбинациями dy и вес кодовой комбинации со. Расстояние dy характеризует различие между двумя кодовыми 19
комбинациями и определяется по Хеммингу числом несовпадающих в них разрядов, т.е. числом единиц в сумме двух комбинаций по модулю 2. Число ненулевых элементов в кодовой комбинации определяет её вес со. Применение равномерных кодов упрощает построение ав- томатических буквопечатающих устройств и не требует передачи разделительных символов между кодовыми комбинациями. Неравномерные коды характерны тем, что у них кодовые комбинации отличаются друг от друга не только взаимным расположением символов, но и их количеством. Это приводит к тому, что различные комбинации имеют различную длительность. Такие коды требуют либо специальных разделительных знаков, указывающих конец одной и начало другой кодовой комбинации, либо же должны строиться так, чтобы никакая кодовая комбинация не являлась началом другой. Коды, удовлетворяющие этому условию, называются неприводимыми или префиксными. Заметим, что равномерный код также является неприводимым. Строение кода удобно представлять в виде графа (кодового дерева), в котором из каждого узла исходит число ветвей, равное основанию кода (для двоичного кода, например, шаг вверх означает 0, шаг вниз — 1). Типичным примером неравномерных кодов является код Морзе, в котором символы 0 и 1 используются только в двух сочетаниях — как одиночные (1 и 0) или как тройные (111 и ООО). Сигнал, соответствующий одной единице, называется точкой, трём единицам — тире. Символ 0 используется как знак, отделяющий точку от тире, точку от точки и тире от тире. Совокупность ООО используется как разделительный знак между кодовыми комбинациями. По признаку помехозащищённости коды делят на примитивные (первичные) и корректирующие. Коды, у которых все возможные кодовые комбинации ис- пользуются для передачи информации, называются простыми или кодами без избыточности (примитивными). В простых равномерных кодах превращение одного символа комбинации в другой, например 1 в 0 или 0 в 1, приводит к появлению новой разрешённой комбинации, т.е. к ошибке. Корректирующие коды строятся так, что для передачи сообщения используются не все кодовые ком- бинации, а лишь некоторая их часть (разрешённые кодовые комбинации). Тем самым создаётся возможность обнаружения и исправления ошибки при непра- вильном воспроизведении некоторого числа символов. Корректирующие свой- ства кодов достигаются введением в кодовые комбинации дополнительных (избыточных) символов (см. гл. 7). Декодирование состоит в восстановлении сообщения по принимаемым ко- довым символам. Устройства, осуществляющие кодирование и декодирование, называют соответственно кодером и декодером. Как правило, это логические устройства. На рис. 1.5 изображена структурная схема системы передачи дис- кретных сообщений, а на рис. 1.6 поясняется процесс преобразования дис- кретного сообщения в сигнал. Передаваемое сообщение обозначено буквой а^, кодированное сообщение (или первичный цифровой сигнал) — bn(t), его ком- поненты (I — номер последовательно передаваемого символа, i —номер по- зиции кода, i = Q,m-1). Сигнал, поступающий в линию связи обозначен u(t), принятое колебание — z(t), восстановленная последовательность кодовых сим- волов — bn(t) (её Компоненты b,J)) и декодированное (восстановленное) сооб- щение — av. Обозначения принятых сигналов, кодовых символов и восстанов- ленного сообщения выбраны иными, чем передаваемых. Этим подчеркивается то обстоятельство, что из-за влияния помех принятый сигнал отличается от пе- реданного, а восстановленное сообщение может не совпадать с исходным. В современных системах передачи дискретных сообщений принято разли- чать две группы относительно самостоятельных устройств: кодеки и модемы. Кодеком называются устройства, преобразующие сообщение в код (кодер) и 20
Рис. 1.5. Структурная схема системы передачи дискретных сообщений Сообщение > ак Код Первичный сигнал Вторичный (ВЧ) сигнал он»! j—1_п -Щ-W Принятый ВЧ сигнал Принятый Регенерированный код Сообщение первичный сигнал сигнал а —> —> J ЦП —> 01Ю1 > м(/) bk{t) Рис. 1.6. Процесс преобразования дискретного сообщения в сигнал и сигнала в дискретное сообщение код в сообщение (декодер), а модемом — устройства, преобразующие код в сигнал (модулятор) и сигнал в код (демодулятор). Канальные устройства (полосовые усилители передатчика и приёмника, корректоры и т.п.) вместе с линией связи образуют непрерывный канал, а последний вместе с модемом — дискретный канал. Непрерывный канал обозначен на рис. 1.2 и 1.4 блоком "линия связи". Следует иметь в виду, что в системах радиосвязи после передатчика посредством пере- дающих антенн образуется пространственно-временной сигнал u{t, г) (электромагнитная вол- на), который зависит не только от времени t, но и пространственных координат точки на- блюдения г = х, у, z Сигнал, зависящий от многих координат, называют полем* 2). В месте приёма (на выходе радиоканала) для анализа поступает поле или пространственно-временной сигнал z(t, г) = s{t, г) + n(t, г). Чаще всего оно сначала посредством приёмной антенны пре- вращается в чисто временной сигнал z(t), который в дальнейшем подвергается чисто времен- ной обработке. Вопросы формирования и обработки пространственно-временных сигналов в настоящем учебнике не рассматриваются, т.е. будем считать, что устройства преобразования временной сигнал — поле на передаче и поле — временной сигнал на приёме включены внут- ри заданной "линии связи". Эти вопросы рассматриваются в специальных курсах. При передаче непрерывного сообщения (рис. 1.6) а его сначала преобразу- ют в непрерывный первичный электрический сигнал b(f), а затем, как правило, с помощью модулятора формируют канальный сигнал «(/), который и посыла- ют в линию связи. Принятое колебание z(f) подвергается обратным преобразо- ваниям, в результате которых выделяется первичный сигнал b (/). По нему за- тем восстанавливается с той или иной точностью сообщение а. Общий принцип модуляции состоит в изменении одного или нескольких параметров несущего колебания {переносчика) f{t, а, 0, ...) в соответствии с пе- редаваемым сообщением. Так если в качестве переносчика выбрано гармони- Помимо декартовых, можно ввести иные пространственные координаты, например, поляр- ные координаты. 2) Поле u{t,r) следует, вообще говоря, рассматривать как векторное поле u(/,r), если учесть поляризацию электромагнитной волны [14]. 21
Код 10011011 1 “ Ж WM : ~ Ш/тшв/ц? "“MWWWWWVW,’ ческое колебание fit) = f/cos(co()Z + <р), то можно образовать три вида модуляции: амплитудную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Если переносчиком является перио- дическая последовательность импульсов во -tQ), то при заданной /=-оо форме импульсов v(t) можно образовать четыре основных вида импульсной мо- дуляции: амплитудно-импульсную (АИМ), широтно-импульсную (ШИМ), время-импулъсную (ВИМ, ФИМ) и час- тотно-импульсную (ЧИМ). Применение Рис. 1.7. Формы сигналов при двоичном коде радиоимпульсов позволяет ПОЛУЧИТЬ для различных видов дискретной модуляции ещё два вида модуляции: по частоте и по фазе высокочастотного заполнения. При дискретной (цифровой) модуляции закодированное сообщение а, представляющее собой последовательность кодовых символов {/>/}, преобразует- ся в последовательность элементов (посылок) сигнала {и//)} путём воздействия кодовых символов на переносчик f (t). Посредством модуляции один из пара- метров переносчика изменяется по закону, определяемому кодом. При непо- средственной передаче переносчиком может быть постоянный ток, изменяю- щимися параметрами которого являются величина и направление тока. Обыч- но в качестве переносчика, как и в непрерывной модуляции, используют пере- менный ток (гармоническое колебание). В этом случае можно Получить AM, ЧМ и ФМ. На рис. 1.7 приведены формы сигнала при двоичном коде для различных видов дискретной или цифровой модуляции (манипуляции). При AM символу 1 соответствует передача несущего колебания в течение времени Т (посылка), символу 0 — отсутствие колебания (пауза). При ЧМ передача несущего колеба- ния с частотой /1 соответствует символу 1, а передача колебания с частотой соответствует 0. При двоичной ФМ меняется фаза несущей на тс при каждом переходе от 1 к 0 и от 0 к 1. Наконец, на практике применяют систему относительной фазовой модуляции (ОФМ). В отличие от ФМ, при ОФМ фазу сигналов отсчитывают не от некоторого эталона, а от фазы предыдущего элемента сигнала. Например, симйол 0 передаётся отрезком синусоиды с на- чальной фазой предшествующего элемента сигнала, а символ 1 — таким же отрезком с на- чальной фазой, отличающейся от начальной фазы предшествующего элемента сигнала на л. При ОФМ передача начинается с посылки одного не несущего информации элемента, кото- рый служит опорным сигналом для сравнения фазы последующего элемента. Подробнее о приёме таких сигналов и особенностях относительного метода модуляции будет сказано в гл. 5. В более общем случае дискретную модуляцию следует рассматривать как преобразование кодовых символов 0, 1, ..., т - 1 в определённые отрезки сиг- нала Uj(t), где i = 0, 1, ..., т - 1 — передаваемый символ. При этом вид сигнала щ((), в принципе, может быть произволен. В действительности его выбирают так, чтобы удовлетворить требованиям, предъявляемым к системе связи 22
(в частности, по скорости передачи и по занимаемой полосе частот), и чтобы сигналы хорошо различались с учётом воздействующих помех. Длительность посылки первичного сигнала ЬЦ(Г) при дискретной передаче определяет скорость передачи посылок (техническую скорость или скорость мо- дуляции). Эта скорость v выражается числом посылок, передаваемых за едини- цу времени. Измеряется техническая скорость в Бодах. Один Бод — это ско- рость, при которой за 1 с передаётся одна посылка. Если длительность посыл- ки Т выражена в секундах, то скорость модуляции у — 1/Т в Бодах. Если поло- су частот ограничить третьей гармоникой, то ширина спектра первичного сиг- нала F = l,5v, Гц. 1.5. ДЕМОДУЛЯЦИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЕ Переданное сообщение в приёмнике обычно восстанавливается в такой по- следовательности. Сначала сигнал демодулируется. В системах передачи непре- рывных сообщений в результате демодуляции восстанавливается первичный сигнал, отображающий переданное сообщение. Этот сигнал затем поступает на воспроизводящее или записывающее устройство. В радиовещании таким уст- ройством может быть громкоговоритель или магнитофон. В системах передачи дискретных сообщений обычно в результате демодуляции последовательность элементов сигнала превращается в последовательность кодовых символов. За- тем по ним восстанавливаются сообщения, выдаваемые получателю. Последнее преобразование называется декодированием. Не следует думать, что демодуляция и декодирование — это просто опера- ции, обратные модуляции и кодированию, выполняемые над пришедшим из канала сигналом. В результате различных искажений и воздействия помех пришедший сигнал может существенно отличаться от переданного. Поэтому всегда можно высказать ряд предположений {гипотез) о том, какое сообщение передавалось. Задачей приёмного устройства является принятие решения о том, какое из возможных сообщений действительно передавалось источником. Для этого принятый сигнал подвергается анализу с учётом всех сведений об источ- нике (например, о вероятностях, с которыми источник посылает то или иное сообщение), о применяемом коде и методе модуляции, а также о свойствах ка- нала. В результате анализа обычно можно определить условные (апостериорные) вероятности возможных гипотез и на основании этих вероят- ностей принять решение, которое и поступает к получателю. Та часть приём- ного устройства, которая осуществляет анализ приходящего сигнала и прини- мает решение о переданном сообщении, называется решающей схемой. ' В системах передачи непрерывных сообщений при аналоговой модуляции решающая схема определяет по пришедшему искажённому канальному (вторичному) сигналу наиболее вероятный переданный первичный сигнал и восстанавливает его. Здесь решающей схемой является демодулятор. В систе- мах передачи дискретных сообщений решающая схема чаще всего состоит из двух частей: первой решающей схемы — демодулятора и второй решающей схемы — декодера. Иногда при передаче дискретных сообщенйй операции демодуляции и де- кодирования выполняет одно устройство, которое приходящую последователь- ность элементов сигнала преобразует сразу в последовательность символов (букв) сообщения. Такой метод приёма называют совместной демодуляцией- декодированием или приёмом в целом, в отличие от поэлементного приёма 23
с двумя решающими схемами. В первом случае анализируется целиком отрезок сигнала, соответствующий кодовой комбинации, и на основании того или ино- го критерия восстанавливается переданный элемент сообщения (буква). Во втором случае сначала анализируются отдельные элементы сигнала, соответст- вующие кодовым символам, а затем восстановленная кодовая комбинация де- кодируется, т.е. преобразуется в элемент (букву) сообщения. В некоторых случаях роль решающей схемы выполняет полностью или частично человек. Так при приёме телеграфных сигналов на слух оператор решает, какой сигнал ("точка" или "тире") был передан. Он же выполняет и операцию декодирования. В приёмниках дискретных сообщений, предназначенных для записи информации, все указанные операции выполняются автоматически. В простейшем случае первая решающая схема представляет собой пороговое устройство в форме реле, триггера, работающих по принципу "да" или "нет". Если принятый элемент сигнала выше порога, выдаётся один символ кода (например, 1), если ниже — другой (0). В некоторых случаях применяют решающие схемы с двумя порогами. При попадании уровня сигнала между двумя порогами решение не принимается — вместо сомнительного элемента сигнала выдаётся специальный символ стирания. Введение такого стирающего сим- вола облегчает возможность правильного декодирования принятой кодовой комбинации. Для принятия решения о том, какое сообщение передавалось, необходимо проанализировать пришедший сигнал. Для этого он подвергается различным преобразованиям, которые называют обработкой сигнала. Одной из задач тео- рии связи является отыскание правил оптимальной обработки сигнала, при ко- торой решение о переданном сообщении оказывается наиболее достоверным. Эти правила зависят от свойств канала и методов передачи (кодирования и модуляции). Иногда оптимальные правила обработки оказываются сложными и для упрощения аппаратуры используют другую, не оптимальную обработку. Наконец, качество приёма и обработки сигналов существенно зависит от точ- ности синхронизации переданных и принятых сигналов. Различают синхрониза- цию тактовую (определение границ единичных элементов сигнала), цикловую синхронизацию (правильное разделение кодовых комбинаций), синхронизацию несущих частот и др. Погрешности синхронизации приводят к снижению дос- товерности приёма сообщений, а в ряде случаев — к неправильному приёму всего сообщения или части его. Простейшим методом, позволяющим на приёме отделить одну кодовую комбинацию от другой, является стартстопный режим передачи, когда в начале и конце каждой комбинации передаётся специальный сигнал ("старт" и "стоп"). Такой метод передачи относится к асин- хронным, так как передачу любой кодовой комбинации можно начинать в любой момент вре- мени после окончания предыдущей комбинации. При синхронных способах передачи элемен- ты сигнала передаются непрерывно через одинаковые промежутки времени. Разделение ко- довых комбинаций осуществляется в этом случае с помощью цикловой синхронизации. Во- просы синхронизации не рассматриваются в настоящем учебнике. Они изучаются в специ- альных курсах. 1.6. ЦИФРОВОЕ КОДИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ В настоящее время широкое применение находят цифровые системы переда- чи (ЦСП), в которых непрерывные сообщения передаются дискретными сиг- налами. Преобразование непрерывного сообщения в цифровую форму осуще- ствляется путём операций дискретизации и квантования. Дискретизация по времени выполняется путём взятия отсчётов первичного сигнала b(t) в определённые дискретные моменты t. В результате непрерывную функцию &(/) заменяют совокупностью мгновенных значений (отсчётов) {b(k}} 24
или {Ь(^)}. Обычно моменты отсчётов выбираются на оси времени равномер- но, т.е. {/£= АД}, где А — шаг дискретизации. Операция квантования сводится к тому, что вместо данного мгновенного значения (уровня) передаваемого сообщения b(tk) передают ближайшие значе- ния по установленной цифровой шкале дискретных уровней £кв(4)- Дискрет- ные значения по шкале уровней чаще всего выбираются равномерно: где — шаг квантования, 1=0, 1, ..., L - 1. Само собой разумеет- ся, что при квантовании вносится погрешность, так как истинное значение b(tk) заменяют округлённым значением bK3(t^. Величина этой погрешности е = b(tk) - b^itk) не превосходит половины шага квантования и может быть сведена до допустимого уровня. Погрешность £ является случайной функцией и проявляется на выходе как дополнительный шум (шум квантования), нало- женный на передаваемое сообщение. Дискретизация по времени позволяет преобразовать непрерывные сообщения в дискретный (во времени) сигнал, ко- торый после квантования превращается в цифровой. Достоинством цифровых способов передачи является возможность применения кодов как для повыше- ния помехоустойчивости, так и для сокращения избыточности источника. В настоящее время наибольшее применение находит система с импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ). В этой системе непрерывное сообщение сначала подверга- ется дискретизации по времени и квантованию по уровню, а затем полученная последовательность L уровней (цифр) кодируется (обычно двоичным кодом). При этом каждому уровню присваивается кодовая комбинация, состоящая из п символов 1 и 0. Полученная последовательность двоичных символов передаёт- ся по каналу связи одним из методов дискретной модуляции. Обычно исполь- зуется частотная (ИКМ-ЧМ) или фазовая (ИКМ-ФМ) модуляция. 1.7. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ При оценке работы системы связи необходимо прежде всего учесть, какую точность передачи сообщения обеспечивает система и с какой скоростью пере- даётся информация. Первое определяет качество передачи, второе — количест- во. В реальной системе связи качество передачи зависит от степени искажений принятого сообщения. Эти искажения, зависят от свойств и технического со- стояния системы, а также от интенсивности и характера помех. В правильно спроектированной и технически исправной системе связи необратимые иска- жения сообщений обусловлены лишь воздействием помех. В этом случае качест- во передачи полностью определяется помехоустойчивостью системы. Под поме- хоустойчивостью обычно понимают способность системы противостоять вред- ному влиянию помех на передачу сообщений. Так как действие помех прояв- ляется в том, что принятое сообщение отличается от переданного, то количест- венно помехоустойчивость при заданной помехе можно характеризовать степе- нью соответствия принятого сообщения переданному. Назовем эту величину об- щим термином — верность. Количественную меру верности приходится выби- рать по-разному, в зависимости от характера сообщения и требований получа- теля. Пусть сообщение представляет собой дискретную последовательность элементов из некоторого конечного множества. Влияние помехи на передачу такого сообщения проявляется в том, что вместо фактически переданного эле- мента может быть принят какой-либо другой, такое событие называет- 25
ся ошибкой. В качестве количественной меры верности можно взять вероят- ность ошибки р или любую монотонную функцию этой вероятности. При передаче непрерывных сообщений степенью соответствия принятого сообщения B(t) (с реализацией b(t)) переданному B(t) (с реализацией £»(/)) может служить некоторая величина, представляющая собой "расстояние" между b(t) и b(t). Часто принимают критерий квадратичного отклонения Ё1Й = [в(/)-в(/)]2, (1.11) где прямая черта сверху означает усреднение по ансамблю случайных величин. Количественную меру верности можно также определить как вероятность того, что уклонение Е не превзойдёт некоторой заранее заданной величины eg: е=р[|Е|<Е(,]. (1.12) Как будет показано в последующих главах, верность передачи зависит от отношения средних мощностей сигнала и помехи (ОСП). При данной интен- сивности помехи вероятность ошибки тем меньше, чем сильнее различаются между собой сигналы, соответствующие разным сообщениям. Задача состоит в том, чтобы выбрать для передачи сигналы с большим различием. Наконец, верность передачи зависит и от способа приёма. Необходимо выбрать такой способ приёма, который наилучшим образом реализует различие между сигна- лами при данном отношении сигнала к помехе. Обратим внимание на сущест- венное различие между аналоговыми и дискретными системами передачи со- общений. В аналоговых системах всякое, даже сколь угодно малое мешающее воздействие на сигнал, вызывающее искажение модулируемого параметра, все- гда влечёт за собой внесение соответствующей погрешности в сообщение. По- этому абсолютно точное восстановление переданного сообщения невозможно. В дискретных системах ошибка при передаче сообщений возникает только то- гда, когда сигнал опознается неправильно, а это происходит лишь при иска- жениях, превышающих некоторый порог. В теории помехоустойчивости, разработанной В.А. Котельниковым, показа- но, что при выбранном критерии и заданном множестве сигналов, принимае- мых при аддитивном белом гауссовском шуме (БГШ), существует предельная (потенциальная) помехоустойчивость, которая ни при каком способе приёма не может быть превзойдена. Приёмное устройство, реализующее потенциальную помехоустойчивость, называется оптимальным (наилучшим) по данному крите- рию. Наряду с верностью важнейшим показателем работы системы связи являет- ся скорость передачи. В системах передачи дискретных сообщений скорость измеряется числом передаваемых символов в единицу времени v, Бод. Количе- ство передаваемой информации принято измерять в битах (двоичных едини- цах). Как будет показано в гл. 6, максимальное количество информации, кото- рое можно передать двоичным символом, равно 1 биту. Там же будет показано, что при использовании не двоичных, а /и-ичных символов максимальное ко- личество информации, которое можно передать, равно log2?n бит. Поэтому дискретный источник может обеспечить максимальную скорость выдачи ин- формации (максимальную производительность) = бит/с, (1.13) 26
где Т — длительность посылки; m — основание кода. При m = 2, RK = 1/Тбит/с, скорость передачи информации 7?и численно равна техниче- ской скорости v. При m > 2 возможно,, что скорость передачи информации 7?и > v. Однако нередко в дискретных системах связи скорость передачи ин- формации 7?и < V. Это бывает, когда не все посылки используются для переда- чи информации, например если часть из них служит для синхронизации или для обнаружения и исправления ошибок (при использовании корректирующе- го кода). Вводится также характеристика средней скорости передачи информации по заданному каналу в единицу времени с заданной верностью. Существует мак- симально возможная (предельная) скорость передачи, которая называется про- пускной способностью канала С. Это фундаментальное понятие определяет по- тенциальные возможности системы связи, использующей данный канал. В ре- альной системе средняя скорость передачи информации всегда меньше пропу- скной способности канала С. В теории информации К. Шенноном доказана теорема, согласно которой для источника без избыточности (см. гл. 6) при 7?и < С' можно найти такой способ кодирования-декодирования, при котором возможна передача сообщений по каналу с помехами со сколь угодно малой ошибкой. Универсальным показателем эффективности системы связи является коэф- фициент л, характеризующий использование системой пропускной способно- сти канала т] = К^/С (информационная эффективность). Своевременность передачи сообщений определяется допустимой задержкой, обусловлен- ной преобразованием сообщений и сигналов, а также конечным временем распространения сигнала по каналу связи. Она зависит, во-первых, от характера и протяжённости канала, во- вторых, от длительности обработки сигнала в передающем и приёмном устройствах. Скорость передачи и задержка являются независимыми характеристиками, практически не связанными друг с другом. Существуют и многие другие параметры, характеризующие с различных точек зрения ка- чества системы связи. К ним, в частности, относятся скрытность связи, надёжность системы, габаритные размеры и масса аппаратуры, стоимость оборудования, эксплуатационные расходы и т.п. Эти характеристики в курсе "Теория электрической связи" не рассматриваются. Им по- священы отдельные разделы других специальных курсов. ВЫВОДЫ 1. Передача сообщений по каналам связи осуществляется с помощью сигналов, которые яв- ляются материальными носителями сообщений, отображающих ту или иную информацию. Характерной особенностью сообщений (сигналов) является их непредсказуемость. О лю- бом сообщении можно говорить лишь как о возможном с некоторой вероятностью собы- тии. Сообщение об известном событии информации не несет. Процесс передачи сообще- ний всегда является вероятностным (стохастическим). 2. Сообщения и соответствующие им сигналы могут быть дискретными и непрерывными. Непрерывный канальный сигнал формируется с помощью модуляции, а дискретный — с помощью кодирования и модуляции. Кодирование определяет закон построения сигнала, а модуляция — вид сигнала, который передаётся по каналу. 3. Непрерывное сообщение (сигнал) в цифровых системах связи преобразуется в цифровой сигнал с помощью трёх операций: дискретизации по времени, квантования по уровню и кодирования. 4. Основными устройствами системы передачи дискретных сообщений являются кодек и мо- дем. Канальные устройства вместе с линией связи образуют непрерывный канал, а по- следний вместе с модемом — дискретный канал. 27
5. Причинами появления ошибок при передаче сообщений по каналу связи являются иска- жения, вносимые самим каналом, и помехи, воздействующие на сигнал. Помехи могут быть аддитивными и мультипликативными. Среди аддитивных помех наиболее распро- страненными являются флуктуационные, сосредоточенные по спектру и импульсные. 6. Важнейшими характеристиками системы связи являются верность и скорость передачи сообщений. Первая определяет качество передачи, а второе — количество. При передаче дискретных сообщений верность (помехоустойчивость) определяется вероятностью ошиб- ки, а при передаче непрерывных сообщений — среднеквадратической ошибкой. Скорость измеряется чаще всего числом передаваемых двоичных единиц информации в единицу времени (бит/с). 7. Современная теория связи интенсивно развивается как статистическая теория, основы ко- торой составляют теория сигналов, теория помехоустойчивости и теория кодирования. ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1.1. Задана таблица трёх кодов "'''^сообщение №кода а б в г д. е ж 3 1 000 001 010 011 100 101 110 111 2 0 1 00 01 10 11 110 111 3 00 01 100 101 1100 1101 1110 1111 Необходимо: 1) определить вид кода; 2) определить, какие из этих кодов не требуют раз- делительных знаков; почему? 3) закодировать слова: звезда, вега, база; 4) расшифровать последовательности кодовых комбинаций: а) кода 1: 111000001000010000; 001101100000; б) кода 3: 0100101001110; 01110110100; 10000111100. 1.2. Стартстопный телеграфный аппарат передаёт одну букву семью посылками: одной стар- товой (20 мс), пятью кодовыми (20 мс каждая) и одной стоповой (30 мс). Определить скорость модуляции v в Бодах и максимальную скорость передачи информации 7?и в би- тах на секунду. 1.3. В чём отличие между дискретной и непрерывной модуляцией несущей? 1.4. Что понимают под решающей схемой при приёме дискретных сообщений? 1.5. Практически верность передачи дискретных сообщений определяют коэффициентом ошибок — относительным числом ошибочно принятых элементов сообщения. Вычислите этот коэффициент для случая передачи букв кодом МТК-2 со скоростью 50 Бод, если за 2 ч непрерывной передачи было зафиксировано 10 ошибочно принятых букв. 1.6. Запишите кодовые слова (комбинации), соответствующие числу 45, при основании кода т = 2, 3, 4, 8, 10. Как изменяется число разрядов и число используемых цифр в слове с изменением основания кода? 1.7. Какое число разрядов должен иметь равномерный код, предназначенный для первичного кодирования 32-буквенного алфавита, при основании кода т = 2, 8, 16, 32 ? 1.8. По данным, приведённым в § 1.1, вычислите и сраЬните объёмы первичных сигналов: речевого, радиовещательного и телевизионного (при одинаковой их длительности). 1.9. Текст из 180 букв передаётся по телефонному каналу в течение 30 с. Тот же текст за то же время передаётся по телеграфу кодом МТК-2. Сравните объёмы телефонного и теле- графного сигналов (при одинаковых динамических диапазонах). 1.10. Покажите, как за счёт кодирования можно осуществить обмен полосы частот и отноше- ние сигнал-помеха в канале при неизменном объёме сигнала. 28
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ 2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ Математические модели, отображающие основные свойства сообщений, сигналов и помех с точки зрения решения задач электрической связи, являют- ся фундаментом ТЭС. Поскольку сообщения, сигналы и помехи прежде всего представляются электрическими колебаниями, меняющимися во времени, то их базовой математической моделью является некоторая функция (временной процесс) х(/), значение которой меняется во времени. По своим физическим и математическим свойствам процессы x(i) делятся на детерминированные и случайные. Детерминированными или регулярными называются такие процессы х(/), те- чение которых во времени можно полностью предопределить заранее. Иначе говоря, для любого наперед заданного момента времени t может быть одно- значно определено значение функции x(t). Детерминированные функции ши- роко применяются при изучении электрических цепей. Так, при анализе пере- ходных процессов в линейных цепях часто используют детерминированные ис- пытательные сигналы v(/,A) и т](/,А), формы которых показаны на рис. 2.1, а и б. Если параметр А -> О, то сигнал v(/,A) переходит в единичную функцию включения /ч z ч fl, t>0; 1(/) = limv(/,A) = S л—>о [0, t < 0. а сигнал n(M) в 5-функцию (функцию Дирака, рис. 2.1, в) 8(/) = ltanM) = {”’ 'J' р>(1)Л = 1. Можно считать, что 8(0 = и 1(0 = J 8(z)dz. —ао Поскольку 8-функция часто используется в теории связи, отметим некото- рые её полезные свойства. Для произвольного непрерывного сигнала x(t) спра- ведливо соотношение J х(/)8(? - tk)dt = x(/J J 8</ - tk)dt = x(tk). —OO “OO Это соотношение называют стробирующим (или фильтрующим) свойством 8-функции. v(/,A) А О A t . 1 2 8(0 в) б) А о А 2 2 Рис.2.1. Испытательный сигнал (a) v(/,a)= д)<&, z ч dv(t, А) (о) Т](/,А) =——— - прямоугольный импульс с единичной площадью, (в) 8-импульс dt о t 29
Дельта-функцию часто представляют как предел определённых последова- тельностей, например 1 -— 8(х) = Inn , е 2’2, (2.1) ° -»° v27to sin(ax) 8(х) = lim---. (2-2) тс Можно 8-функцию представить и в интегральном виде 8(х) = J Q^df. (2.3) Меняя в (2.3) местами /их, получаем соотношение §(/)= f e“j2"A^- (2-4) При определении АЧХ и ФЧХ линейных стационарных (с постоянными параметрами) четырёхполюсников (цепей) часто в качестве испытательных ис- пользуют гармонические сигналы x(t) = i/cos(oZ + ф), -оо < t < +оо. При анализе, настройке и регулировке различных импульсных устройств и усилителей используются последовательности импульсов прямоугольной или иной формы. Детерминированные колебания различной формы широко при- меняются в качестве переносчиков при формировании модулированных сигна- лов. Случайными называются такие процессы X(t), реализации которых в каждом опыте точно предсказать невозможно. Они отличаются от детерминированных тем, что нельзя заранее утверждать, что X(t) в некоторый момент t будет иметь определённое значение; например, для непрерывного случайного процесса можно лишь говорить о некоторой вероятности того, что в этот момент значе- ние X(fy окажется в интервале между значениями х и х + Дх. Иначе говоря, ес- ли X(t) есть случайная функция, то её значения при фиксированном значении аргумента представляют собой случайные величины X(ti) = JQ. Случайные про- цессы и их основные свойства обстоятельно рассматриваются в § 2.5. В зависимости от вида передаваемых сообщений и сигналов, а также харак- тера помех соответствующие им функции могут быть непрерывными или дис- кретными как по аргументу (времени /), так и по значениям. Об этом уже го- ворилось в гл. 1 (см. рис. 1.1). 2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ БАЗИСЫ Аналогия между сигналами и векторами. Любая задача легче воспринимает- ся, если её можно связать с каким-либо известным явлением. При математиче- ском описании сигналы удобно рассматривать как векторы или точки в неко- тором функциональном пространстве — пространстве сигналов. Электрические сигналы сложной формы по своей физической природе да- леко не всегда сходны с привычными нам представлениями векторов как на- правленных отрезков. Тем не менее практический интерес имеет обобщение операций над векторами на сигналы (функции), описывающие различные ко- лебания. Дело в том, что среди различных математических приёмов, исполь- зуемых при исследовании электрических цепей ц сигналов наиболее широко 30
применяется представление произвольной функции в виде суммы более про- стых ("элементарных") функций. Такой подход лежит в основе принципа неза- висимости действия (суперпозиции) при изучении преобразований сигналов в линейных электрических цепях. Наглядные геометрические представления, связанные с отображением функций в качестве векторов пространства сигна- лов, помогают часто уяснить физическую сущность процессов формирования, передачи и разделения сигналов, синтеза оптимальных сигналов и устройств обработки сигналов при наличии помех. Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора х трёхмерного пространства на его со- ставляющие по координатному базису единичных ортогональных векторов i, j, k (рис. 2.2). Такое представление можно записать как х = i + Х2 j + хз к. (2.5) Составляющими вектора х по базису (i, j, к) будут векторы Xi i, x2j, хзк. Ко- эффициенты %i, Х2, %з представляют собой проекции вектора х на координат- ные оси i, j, к и называются координатами вектора х. Иначе говоря, вектор х в трёхмерном пространстве полностью определяется совокупностью его коорди- нат X = (хь Х2, Хз). Чтобы перейти к обобщению понятия вектора трёхмерного пространства для случая п-мерного пространства, обратимся к примеру. Некоторое прибли- жённое представление о функции (сигнале) х(/) можно составить по её отобра- жению последовательностью прямоугольных импульсов, имеющих на интерва- лах zA значения х(/Л) (рис. 2.3). Если теперь условно представить функцию х(/) на интервале (0; Т) "вектором", то для его определения потребуется п = Т/Ь. координат Xf = x(zA). Это означает, что функцию х(/) по аналогии с (2.5) можно представить в виде суммы = (2.6) i=0 fl, t e[0;A]; где \|/z(0 = \|/(/ - zA) — элементарные базисные функции; \|/(z) = 4 [0, t £[0;А]; 1 д - [ \|/2(/)Л = 1 А о Вектор х, соответствующий функции х(/), в «-мерном пространстве еди- ничных ортов \|/z будет полностью определяться его координатами Рис.2.2. Представление вектора х в трёхмерной Рис.2.3. Отображение непрерывной функции ортогональной системе координат последовательностью прямоугольных импульсов 31
х = (л<), хц x„-i). Таким образом, сигнал x(t) произвольной формы представ- ляется суммой п простейших элементарных сигналов, в данном случае в виде импульсов прямоугольной формы. Слово пространство используется здесь, чтобы придать множеству сигналов геометрический смысл и тем самым на- глядность. Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержа- тельной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства. Основные определения, относящиеся к функциональным пространствам Евк- лида, Гильберта, Хэмминга. Линейным или векторным называется пространство сигналов, для элементов которого выполняются правила сложения и умноже- ния на любое число из некоторого множества {X},называемое множеством ска- ляров1). Сложение векторов производится покоординатно, т.е. суммой векторов х (функции х(/)) и у (функции >’(0) называется вектор х + у = (х<) + jo, Xi + у\, ..., хп + уп), принадлежащий данному пространству, а произведение Ах вектора х на число X даёт вектор Ах = (Ахо, Axi, ..., Ax„-i), также принадлежащий данному пространству. В линейном пространстве суще- ствует нулевой элемент 0, такой, что х + 0 = х и каждому элементу х соответ- ствует противоположный элемент -х, так что х + (-х) = 0. Вектор, образован- ный суммированием п линейно независимых (базисных) векторов у,- со ска- п-1 лярными коэффициентами х, называется их линейной комбинацией х = . J=O Множество векторов {у/} называется линейно независимым (базисом), если условие п-1 (2.7) /=о выполняется лишь тогда, когда все xt— 0. Иначе говоря, линейно независимым называется ' множество {у,}, для которого ни одна из его компонент не может быть образована линейной комбинацией других. Размерность линейного пространства определяется числом любых ли- нейно независимых базисных векторов {у;}, образующих это пространство. Линейно незави- симые векторы {у;} можно рассматривать как координатные оси пространства. Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние меж- ду элементами (векторами) пространства (метрика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число с?(х, у) и способ, в соответствии с которым находится это число. Расстояние удовлетворяет следующим правилам: 1. с?(х, у) = 0, если х = у 2. rf(x, у) = rf(y, х); 3. d(x, у) < d(x, z) + d(z, у), где х, у, z — элементы (точки) пространства. Смысл первых двух условий очевиден. Третье условие называют неравенством треугольника-, длина стороны треугольника меньше (или равна) суммы длин двух других сторон. Нормированные пространства. Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства. Этот вид пространства определяется заданием нор- мы ||х||, удовлетворяющей следующим аксиомам: 1- И > 0; 2- IMI = W-IMI; 3. ||х + у|| < ||х|| + ||у||. Множество {X} должно быть полем, т.е. на нём должны быть определены операции сложе- ния и умножения с коммутативными и дистрибутивными свойствами и оно должно содер- жать элементы нуль и единицу. Примерами полей являются множества всех целых чисел, всех действительных чисел, всех комплексных чисел и др. 32
Первая аксиома устанавливает, что норма есть положительное вещественное число, рав- ное нулю только для нулевого вектора, во второй аксиоме X — любое число (скаляр), третья аксиома — аксиома треугольника. Начнём с перечисления терминов и определений, относящихся к п- мерному вещественному евклидову пространству Rn. Любой вектор х в этом пространстве определяется совокупностью его координат: х = (х0, х0,хп_^. Совокупность п линейно независимых векторов образует n-мерное евклидово пространство, обозначаемое Rn. Пространство Rn можно определить как мно- жество точек, представленных концами векторов, для которых норма ы=Жг V <=о Как видим, норма есть обобщение длины вектора в двухмерном и трёхмерном пространстве. Расстояние между двумя векторами х и у определяется как нор- ма разности векторов: с?(х,у) = ||х-у|| = -у{)2 . Для пространства Евклида Rn можно ввести понятие скалярного произве- дения двух векторов х и у: п-1 (х,у) = 2х.^ =IWI-||y||c°s(p, (2.8) .1=0 где ф — угол между двумя векторами. Для проекций х на у и обратно, у на х, имеем III II (х>у) II II (х>у) IМ СО8ф = -ц- , ||у|| СО8ф = -у- . Координаты вектора представляют собой проекции вектора на координат- ные оси, аналогично (2.5). Из соотношения (2.8) вытекает очевидное неравен- ство ||(х,у)|| < ||х||-||у||., (2.9) известное в литературе как неравенство Буняковского-Шварца. Знак равенства Имеет место лишь тогда, когда у = кх (2.10) (к — скаляр), т.е. когда векторы х и у коллинеарны. Для соответствующих сиг- налов x(f) и у(1) это означает, что они совпадают по форме у(/) = kx(f). Квадрат выше определённой нормы вектора х можно найти как скалярное произведе- ние вектора на самого, себя: М2 = (X, х) . При п -> оо пространство Rn переходит в бесконечномерное пространство Гильберта, обозначаемое L^. Гильбертовым пространством является, в частно- сти, пространство всех непрерывных комплексных функций аргумента t, за- ( Т Т\ данных на интервале > в котором скалярное произведение определено соотношением Z 2 (х,у)= f x(t)y(t)dt, -f (2.11) 33
а квадрат нормы f 5 ||х||2 = j x(t)x(f)dt = ||х(/)|\&. (2.12) _Z _Z 2 2 Норма (2.12) имеет не только геометрический, но и отчётливый физический смысл. Так, если сигнал x(z) — вещественный электрический ток в единичном сопротивлении 1 Ом, то квадрат нормы Z Ы2 = j х2(/)<* - Е, _Z 2 определяет энергию сигнала. Элементы гильбертова пространства £2 характе- ризуются интегрируемым квадратом, т.е. если элементы этого пространства — вещественные сигналы x(f), определённые на интервале ( ТТ} I” 2 ’ 2 J то выполня- ется условие z 2 Ех = jx2{f)dt <00. (2.13) _z 2 Гильбертово пространство обозначается при этом £г(7)- При Т —> со получаем пространство ^С00)- Для некоторых сигналов (функций) пространства Т^С00) условие (2.13) при Т —> со может не выполняться, но выполняется условие Г Рх = Um <°° . (2-14) ~2 В этом случае можно вместо (2.11) ввести скалярное произведение с размерно- стью мощности (для токов и напряжений на единичном сопротивлении) 1 f (x,y)p = -f (2.15) _z 2 Квадрат нормы вектора х в этом случае Z IWIp = 7 J 1*(')1М = Л • (2-16) _z 2 При выполнении условия (2.14) в пространстве Т/Д00) определены и соотноше- ния (2.15) и (2.16) при Т -> оо. В дальнейшем, говоря о функции с интегрируемым квадратом в простран- стве 1/2(со), имеем в виду выполнение условия (2.13) или условия (2.14) при Т —> оо. Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном простран- стве L2(T) определяется соотношением Z б/2 (х, у) = ||х - у|2 = j (х(0 - у(0)2 dt (2.17) 2 или z rf2(x,y) = ||x-y||2 \(x{t)-y(t))2dt. (2.18) 1 -f 34
Форму (2.18) можно использовать и при Т -> оо для сигналов с конечной сред- ней мощностью. Пространство представляет собой естественное обобщение пространства Rn, получаемое путём перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного аргумента. В курсе ТЭС пространство Li имеет особое значение, ибо оно позволяет применить общие геометрические представления к сообще- ниям, сигналам и помехам, определённые как функции непрерывного аргу- мента. Устремляя в (2.6) п -> оо, получаем представление непрерывной функ- ции x(t) в пространстве Гильберта: х(г) = 2x^(0 . (2.19) /=0 Операторы и функционалы. В задачах преобразования сообщений и сигна- лов нам потребуются некоторые обобщения функциональных зависимостей. Величина у называется функцией независимой переменной х, если каждому значению х (из множества его возможных значений) соответствует определён- ное значение у. Иначе говоря, функциональная зависимость у — Дх) устанав- ливает соответствие между некоторым множеством чисел х и множеством чи- сел у или, что то же, функция устанавливает зависимость одного числа от дру- гого. Более общим понятием является понятие функционала. Функционал уста- навливает соответствие между множеством чисел, с одной стороны, и некото- рым множеством функций — с другой. Можно сказать, что функционал Ф ус- танавливает зависимость числа от функции: у = ф(/(х)). Примером функцио- нала является определённый интеграл, величина которого (при неизменных пределах) зависит от вида подынтегральной функции. Очень полезным является понятие функционального оператора, устанавли- вающего соответствие между двумя множествами функций, т.е. с помощью оператора L устанавливается зависимость функции от функции: у(/) = £[%(/)]. Так как функции могут быть представлены векторами и множество функций определяется как векторное пространство, то действие оператора может быть описано в геометрических терминах как преобразование пространства X векто- ров х в пространство Y векторов у. Обратное преобразование Y в X обозначают I"1. В задачах преобразования сообщений и сигналов используются наряду с линейными операторами также нелинейные и параметрические операторы. Векторное представление цифровых сигналов в пространстве Хэмминга. Если функция x(f) на каждом интервале/А может принимать одно из tn возможных значений (к = 0,т-1), то на отрезке длительностью Т она будет полностью Т определена п = — значениями х,(А) или, что то же, совокупностью коэффициен- тов Xj7),х^2 } (к, I, v е0,яг-1), называемой «-набором. В частности, при тп = 2 коэффициент х((Л) принимает значение 0 или 1, «-набор представляет со- бой просто кодовую комбинацию «-значного двоичного (иг = 2) кода, отобра- жающую символ (букву, цифру) передаваемого сообщения. Двоичные «- наборы отображаются векторами (точками) в пространстве Хэмминга 2п. Ска- лярное произведение в этом пространстве удобно задать функцией 35
где Z .*=0 — сумма в обычном смысле. Отсюда норма двоичного вектора Ы=Х** =Х** к=0 к—0 Можно видеть, что норма двоичного вектора определяется количеством содер- жащихся в нём единиц. Эту норму называют также весом вектора (кодовой комбинации) и обозначают о. Расстояние в пространстве Хэмминга л-1 л-1 4x>y)=llx-y||=Z |**-л|=Х *=0 *=0 где знак Ф означает операцию суммирования по модулю 2 (mod 2): 0 Ф 0 = 0, 0Ф1 = 1, 1 ФО = 1, 1 Ф 1 = 0. Приведём пример суммирования по mod 2 двух векторов: х = {1001011} Фу = {0101101} хфу = {1100110} ’ Суммирование и вычитание по mod 2 эквивалентны. В пространстве Хэмминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций в ко- довой комбинации, в которых векторы х и у имеют различающиеся символы. В рассмотренном примере rf(x, у) = 4 единицам. В более общем случае, если число различимых значений равно т, используется разность по модулю т. 2.3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОБОБЩЁННЫЙ РЯД ФУРЬЕ Важным понятием в пространствах Евклида, Гильберта и Хэмминга явля- ется ортогональность векторов. Два вектора х и у ортогональны, если (х, у) = 0. (2.20) Легко показать, что если векторы V/ и цгу при j ф i взаимно ортогональны, то они также линейно независимы. Поэтому совокупность ортогональных векто- ров можно использовать в качестве базиса линейных пространств. Представим непрерывную (во времени и по уровню) функцию x(f) с интег- рируемым квадратом в пространстве L^T) через произвольную ортонормиро- ванную систему базисных функций {\|/Х0)> ДО4 которых г .. .. Со, j*t, 1. (2.21) (2.22) _z 2 Вместо (2.19) имеем представление со J=o где Ci — коэффициенты (координаты) разложения в ортонормированном бази- се {уХО}- Представление (2.22) называют обобщённым рядом Фурье. Для опре- деления коэффициентов С, найдём скалярное произведение Z М _Z 2 С учётом (2.21) следует 36
1 (2.23) -f Таким образом, коэффициенты обобщённого ряда Фурье С, являются про- екциями вектора х на ортогональные оси (единичные орты) у,. С учётом (2.21) и (2.22) можно получить1) х2 (t}dt = -Z 2 2 Xc.vW dt^Xcf- L*=o (2.24) является частным случаем равенства Парсеваля (см. ниже). С учётом ор- тонормированного базиса {\|/Z(z)} легко видеть, что скалярное произведение и норма в пространстве Rn можно находить по формулам (2.11) и (2.12). Е, (2.24) i=0 Представим теперь приближённо функцию x(f) разложением в усечённый ряд нормированным базисным функциям {\уХО} и-1 Xs(0 = SY'V|/'(f) 1=0 и определим коэффициенты у, ность (СКП): ^(0 = 7 так, чтобы минимизировать среднеквадратическую _ [x(0-*s(0] л Z п-1 2 п-1 = rf xW“Sb'l',(O dt = * т - л = yf x2(T)dt- + -f — . С учётом (2.23) ~ i=0 _г можно записать п-1 1 п-1 /=о по орто- (2.25) погреш- е2(/)=^ [х2(0Л + -^ i J 1 т ”1 и-1 (2.26) i=0 Z 2 Погрешность s2(f) принимает минимальное значение, если у,= С(, т.е. если коэффициенты разложения в усечённом представлении (2.25) являются коэффициентами обобщённого ряда Фурье. Обозначив s2(/) = Д„, можно написать исходя из (2.26) 5 1 п-1 А„=-р(0Л- ¥£С,2>О 1 _Т 1 1«0 ИЛИ Z 2 и-1 ]х2(/)Л^С2 . (2.27) _Г 1=0 Неравенство (2.27) называют неравенством Бесселя. С ростом п величина Дл уменьшает- ся. Если при п -> оо СКП стремится к нулю, то систему базисных функций {\уХО} называют полной. Имея ввиду, что при п -> оо справедливо (2.24), можно утверждать, что в пространст- ве Гильберта система базисных функций {уХ01 является полной. Эта система функций явля- ется также замкнутой, так как для любой функции х(/) из Li(T) неравенство (2.27) переходит при л-юо в равенство. ОО Если С, = (х, у/)р , то SC2 определяет среднюю мощность сигнала x(f). i=0 37
Спектральное представление периодических колебаний. При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с периодическими колеба- ниями сложной формы. Периодическую функцию х(/) = x(t - пТ) (Т — период повторения) можно представить разложением в обобщённый ряд Фурье (2.22) по базисным функциям основной тригонометрической системы 1, cos®./, cos2®/, ... , cosA®/, ... < . 1 . ‘ , 1 (2.28) sin®/, sin2®/, ... , sin A®/, ...J Все функции системы (2.28) попарно ортогональны на интервале (—7/2; Т/2). Обобщённый ряд Фурье по базисным функциям (2.28) можно записать x(t) = ~г + ^(ак cosA®/ +bk sin А®/), (2.29) 2 f f ak = — jx(/)cos(коkt)dt, bk = — jx(/)sin(A®/)dr. (2.30) -i T-i Представление (2.29) называют рядом Фурье. Ряд (2.29) можно записать в виде 00 х(/) = 24сов(Л®/-ф*), (2.31) *=0 где 4 =у} Ак=у)а2+Ь2к, = arctg^~. 2 ак (2.32) Рис.2.4. Амплитудный спектр периодического I сигнала с периодом следования Т = — 2Z kf, nf, Согласно формуле (2.31) периодическую функцию x(f) можно представить суммой гармонических колебаний с час- тотами, кратными основной частоте /1 = 1/Т с амплитудами и начальными фазами ф^. Совокупность амплитуд Ак (к = 0, 1, 2, ...) образует амплитудный спектр сигнала, а совокупность фаз ф^ (к = 0, 1, 2, ...) — фазовый спектр сигна- ла. Линейчатый амплитудный спектр пе- риодического сигнала %(/) изображён на рис. 2.4. Ряд Фурье (2.31) часто пред- ставляется в комплексной форме *W- Zc.e*' (2.33) где Ск — комплексная амплитуда, определяемая по формуле (2.34) Следует обратить внимание на то, что сумма в (2.33) охватывает не только по- ложительные значения к, но и отрицательные (появляются "отрицательные частоты"). Для перехода из (2.31) к (2.33) можно воспользоваться формулой Эйлера j(tat> ,/-<₽* ) _ -j( *а> ) соа(л®1/-ф*) = --------------. (2.35) 38
Выражение (2.35) можно интерпретировать как представление гармонического сигнала единичной амплитуды с положительной частотой k©i в виде суммы двух гармонических колебаний (половинной амплитуды) на положительной частоте ke>i и отрицательной частоте -к©]. Для вещественных функций x(t), как следует из (2.30) и (2.32), ак = Ьк = -Ь-к, Ак = А-к, <р& — -ф-£ (амплитудный спектр — чётная функция частоты, фазовый — нечётная функция частоты). Как следствие С_к = а~к &~к = -к-+^-к- =Ск, у- = |С*| = |С_*|, argC* = -<р* - -argC.*. Комплексное представление ряда Фурье оказывается очень удобным при вы- полнении различных расчётов. Спектральное представление непериодических функций. Разложение в три- гонометрический ряд Фурье (2.33) может быть обобщено на случай непериоди- ческих функций x(z) путём устремления Т —> со или f\ = 1/Г—> 0. Для этого за- пишем (2.33) так: х(/)= ^С.Т-е^'Д/, (2.36) Л=-00 где A/ = /i= 1/ Т — частотный разнос между линиями спектра периодического сигнала. Введём в рассмотрение текущую частоту спектра k©] = © (kfa = f) и оп- ределим спектральную плотность (СП) по Фурье непериодического сигнала: s(f) = lim~r = limCr. (2.37) V ' bf->0 \f Т-Х» Тогда из (2.36) при A/-> 0 следует представление со *(/)= (2.38) —со а из (2.34) и (2.37) следует формула для определения СП $(/) = |х(().е-*"Л. (2.39) Согласно (2.38) непериодическая функция x(f) представляется суммой гармо- нических компонент е'“' (на положительных и отрицательных частотах) с бес- конечно малыми амплитудами s(f)df. Модуль |5(/)| определяет .сплошной (непрерывный) спектр непериодического сигнала, a arg5(/) = <p(/)= — сплош- ной (непрерывный) фазовый спектр непериодического сигнала. Спектр по Фу- рье можно записать в виде 5(Л=4/)->в(г)=, где со Л(/) = j x(t)cosdt —со — чётная функция частоты; 2?(/) = | x(Z)smd? — нечётная функция частоты. (2.40) Из (2.40) видно, что для вещественных функций x(t) амплитудный спектр является четной функцией частоты, фазовый спектр 39
<p(/) = -arctg-^yj — нечётная функция частоты. Дискретный (линейчатый) спектр амплитуд Ск периодического сигнала х(/) = x(t + пТ) можно найти по формуле С. = Нт). (2-41) Пара преобразований Фурье x(/)->s(/) {прямое) и s(/)->x(/) (обратное) описывается, как видно из (2.38) и (2.39), линейным оператором. Поэтому для этих преобразований справедлив принцип суперпозиции (наложения): СП для сигнала x(i) = ^xk(t) определяется суммой СП слагаемых x^t). Следует под- черкнуть, что, строго говоря, СП (2.39) существует для функций x(t), удовле- творяющих условию абсолютной интегрируемости J|x(/)|dif <оо. (2.42) -о© Тем не менее можно определить СП и для сигналов х(/), не удовлетворяющих условию (2.42), если воспользоваться введённой выше обобщённой 8-функцией. Например, пусть x(r) = ej“°/. СП по Фурье такого сигнала по определению s(f) = |e_j2"^"/oU. (2.43) Воспользовавшись интегральным определением 8-функции (2.4), из (2.43) получим результат S(/)=8(/-/o). Аналогично можно показать, что СП для сигнала xO) = CJ<0o/ равна S(/) = 8(/ + /0). Как следствие, СП для сигнала cos<o0f =--------------------- равна gj“0' _ g“j“0' плотности сигнала sin<oof =---—---- по- U О 1 S(/) = 0^-8(/-/0) + O^-8(/ + /0). Для спектральной лучаем Я я $(/)=о^2з(/-/0)+ 0^е'"28(/+/0). Скалярное произведение функций x(t) и Я0 (в общем случае комплексных) в пространстве Гильберта /^(7) можно выразить и через их СП по Фурье: I °° (х,у) = f ад-да = f $.(/)•$,</)# • (2-44) -2 •°0 Соотношение (2.44) называют обобщённой формулой Рэлея (или соотношени- ем Парсеваля). 40
Докажем её. Для этого в первом интеграле представим yit) обратным преобразованием Z ОО 90 00 2 Фурье Тогда y(t)= jsy(f)e~}<0>df и (х,у)= jX (f)df jxO)e ** dt = —оо —co —во —у co Если в (2.44) положить y(t) = x(/), то для вещественного сигнала x(f) \ 00 00 (x,x) = £=fx’WA=J^(/)S,(/)# = J^(/)^ (2.45Г -ОО “00 Характеристика *$*(/) = И'Д/) имеет смысл СП энергии, и (2.45) можно напи- сать I 2 СО (x,x) = £=fx’(/>* ={»;(/)#• (W —£ -оо Можно также ввести СП мощности (СПМ) сигнала длительностью Т: 1 S2( /I = г т°гда X (x,x)„ = /> = |jx2W<*= Jc,(/)rf/. (2.47) ”2 Характеристики Wx(f) и G*(f) играют важную роль в ТЭС. Из их определения ясно, что эти характеристики являются чётными функциями частоты. Тогда можно написать 00 оо E = 2jw,(f)df = j^(f)df; (2.48) О о «о оо P=2jG,(/)# = fG„(/)#, (2.49) О о где И/0л(/) = 2И^(/) и G0^(f) = 2Gx(f) - СП энергии и мощности, определённые на положительных частотах. Соотношение (2.44) полезно обобщить. Определим скалярное произведение Т/2 (х,ут)= -Т/2 С учётом того, что спектр Фурье для задержанного на время т сигнала л(0 = Я*-т) равен Sy(f)e~i<m, а для сигнала у(*-т) спектр Фурье равен 5_y(/)ejmT, получаем вместо (2.44) соотношение X 2 со (х,у,)=|х(/)де-т)<й={5ж(/)5,(/)е»“^. (2.50) 41
Если в (2.50) положить y(t) = x{f) и ввести обозначение ВБДт) для функции корреляции (ФК) сигнала x(t) с размерностью энергии, то из (2.50) следует Z Z 1 2 со ч ч » Вводя обозначение Вх(у) = (х, xj для ФК сигнала х(/) с размерностью мощно- сти, получаем соотношение Z 1 2 OO X В,« = -|х(0^-т)</г=(с,(/)е*# = (с.Д/)со8Ит^ (2.52) 1 -I -о 0 и, как следствие, оо —ОО оо G,(/) = f B,(t)e-”A. (2.53) —°° Таким образом, ФК Вх(у) сигнала x(f) и его СП мощности бД/) (аналогично ФК сигнала ВБх(т) и его СП энергии И^(/)) образуют пару преобразований Фурье. В качестве иллюстраций в табл. 2.1 приведены примеры спектров некото- рых импульсов (непериодических функций) й даны графики их амплитудных спектров в области положительных частот. Из приведённых примеров видно, что импульсы ограниченной длительности теоретически имеют бесконечный спектр. Практически под шириной спектра будем понимать эффективную об- ласть частот F3, в пределах которой сконцентрировано 90...99% энергии. Для колокольного (гауссовского, см. ниже) и экспоненциального импульсов, имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчётов так- же вводят понятие эффективной длительности тэ, понимая под этим интервал времени, в пределах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала. Если принять за основную часть энергии Е, = уЕ (у=0,9 ... 0,99), то эффектив- ная ширина спектра и эффективная длительность находятся из выражений1) 31 17 2 оо гэ оо £, = f Х2(()Л=У Jх’(г)л И £,=f«;.,(/)#=гJ• -оо 0 0 Для сравнения в табл. 2.2 представлены значения произведений F3t3 при у = 0,9 для импульсов из табл. 2.1. Для импульсов с "плавными" фронтами, на- пример гауссовского и косинусоидального, произведение F3x3 оказывается меньше, чем у импульсов со скачкообразными фронтами, например, прямо- угольного и экспоненциального. Характерная особенность в том, что для всех импульсов (простых сигналов)2) 7ътэ«1, (2.54) Для сигналов, определённых при t > 0, следует интегрирование во времени проводить от 0 до тэ. 2) Для сложных сигналов (с большой базой) произведение F3x3 значительно больше 1 (см. гл. 9). 42
т.е. произведение F3~i3 — величина порядка единицы. Соотношение (2.54) укг зывает на явную связь между шириной спектра и длительностью импульса: че. короче импульс, тем шире его спектр. Разложение сигналов с использованием базисных функций Радемахера и Уолша. В п< следние годы успешно развиваются цифровые методы передачи и обработки сигналов ь Таблица 2.2 № п/п Импульс Тэ Л тэ 1 Прямоугольный 0,90 т 0,81 1/т 0,73 2 Треугольный 0,541 т 0,84 1/т 0,46 3 Косинусоидальный 0,596 т 0,73 1/т 0,43 4 Колокольный 0,825 1/р 0,26 р 0,22 5 Экс понен циал ьн ый 1,155 1/р 6,98 р 1,13
1, i = к, 0, i * к. основе дискретных ортогональных последовательностей в виде функций Радемахера, Уолша и др. Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций с помощью соотношения гД0) — sign [sin(2*л0)], 0 < 0 <, 1, где аргумент 0 = i/Т — безразмерное время; Т — период функции, а положительное целое число к = 0, 1, 2, ... — порядок функции; sign(x) — знак действительного числа х, (sign(x) = +1 при х > 0 и sign(x) = —1 при х < 0). Иначе говоря, функции Радемахера, принимающие зна- чения ±1, можно трактовать как функции "прямоугольного синуса". На рис. 2.5 приведены в качестве примера графики первых четырёх функций Радемахера гД0) для к = 0, 1, 2, 3. Легко 1 видеть, что функции гД0) ортонормированны на интервале О<0<1 J п(0)г*(0)с?0 = о Дальнейшим развитием систем функций, имеющих форму "прямоугольной волны" явля- ется система функций Уолша {wal(m, 0)}. Она образуется следующим образом. По определе- нию вводятся функция w/(0, 0) = 1 при m = 0. Для получения функции wal(m, 0) при m > 1 достаточно записать число m в двоичной системе счисления, т.е. представить суммой ?и = 2И1 + 2Цг+...+2'1р , где pi < Ц2 < < Ир — положительные целые числа. При этом функция Уолша 0) = гИ1+1 (0)гИ2+1 (0)...+1(0). На рис. 2.6. приведены графики первых восьми функ- ций Уолша wa/(0, 0), w/(l, 0), ..., wal(7, 0), построенных по четырём функциям Радемахера. Функции Уолша не только ортогональны, они обладают и свойством мультипликативно- сти. Это означает, что произведение любых двух функций Уолша также является функцией Уолша: wal(i, Q)wal(k, 0) = wal(p, 0), где р = i ф к. В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операций, они находят применение при разработке устройств формирования и преобразования сигналов на базе микропроцессорной техники. Сигналы на основе функций Уолша используются в цифровых многоканальных системах передачи ин- формации. В теории связи, особенно в задачах аппроксимации, находят применение и другие ан- самбли ортогональных функций. Среди них функции Лежандра, функции Лагерра, функции Эрмита [9]. 2.4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ Представление непрерывной функции дискретной последовательностью от- счётов её мгновенных значений. Для точного представления произвольной не- прерывной функции x(t) на конечном интервале времени Т необходимо распо- лагать данными о мгновенных значениях (отсчётах) этой функции во всех Рис.2.5. Графики функций Радемахера 0, 1,2 и 3-го порядков 44 “ wa/(4,0)=r3(0) ф wal(5,B)=rJ&)r3(Q) Рис.2.6. Графики первых восьми функций Уолша
Рис.2.7, Дискретизация непрерывной функции времени посредством периодической коммутации с частотой дискретизации F=\H± точках интервала, т.е. непрерывным множеством отсчётов, отстоящих друг от друга на бесконечно малые интервалы. Некоторое приближённое представле- ние о функции x(t) можно составить по её отображению в виде дискретной по- следовательности импульсов, имеющих на интервалах Д значения х(/Д), назы- ваемых отсчётами (рис.2.3). Операция замены непрерывной функции последовательностью отсчётов её мгновенных значений называется дискретизацией. В качестве простейшей фи- зической модели дискретизации рассмотрим коммутационное устройство (рис. 2.7, а). С помощью ключа Кл обеспечивается периодическое с частотой дискретизации fa — 1/А подключение к источнику непрерывного сигнала x(t) (рис. 2.7, б) на время т, т.е. производится замена непрерывной функции x(t) последовательностью хд(0 на интервалах т (рис. 2.7, в). Последовательность от- счётов хд(0 можно трактовать как произведение x(f) на периодическую после- довательность импульсов дискретизации (рис. 2.8): Хд(0 = х(0/д(0 = х(/) 2 > где импульсы дискретизации \|/T(z) = Множитель 1/т нор- 0, t е мирует функцию \|/т(0 к единичной площади. Для этого в схёме рис. 2.7, а по- сле ключа Кл введено масштабное звено. Чтобы перейти к отсчётам мгновен- ных значений x(f) в точках *(0 Хд(0=х(0-/4(0 Zw /Ж t — кД, необходимо рассмотреть особенности пе- риодической функции fa(f) при т -> 0. Нетрудно видеть, что при т -> 0 эта периодическая функция заменяется решётчатой функцией ОО /р(0 = £ 8(f - ЛД). Дискретный сигнал д(0=х(0./р(')=х(')£8('-*л)= т t Спектральная трактовка дискретизации. Как было по- казано, процедура дискретизации сводится к образованию произведения дискретизируемой функции x(f) на последо- вательность импульсов дискретизации В спектральной области произведению функций времени соответствует свёртка их спектров (см. подробнее гл. 10). Пусть спектр функции х(0 финитен и имеет вид, представленный на рис. 2.9, а, где — верхняя (граничная) частота. Спектр периодической последовательности импульсов дискретиза- Рис.2.8. Дискретизация непрерывной функции x(t) путём её умножения на периодическую последовательность импульсов fjt) 45
Рис.2.9. Спектр (а) непрерывного сигнала х(г); (б) линейчатый 1 решётчатой функции с периодом Д = —; (в) дискретного сигнала при Fa= 2FB, (г) при Fa> 2Fa, (д) при Fa< 2Fa изображения и равна FB = 6,5 МГц. ции является линейчатым (рис.2.9, 6); частота дискретизации определяется интервалом дискретизации .Гд= 1/А*>. Спектры дискретизированного сигнала представлены для случаев, когда Fa = 2FB (рис.2.9, в), Fa > 2FB (рис.2.9, г) и Fa < 2FB (рис.2.9, д). Для неискажён- ного воспроизведения функции x(Z) по последовательности отсчётов посредст- вом идеального фильтра низких частот необходимо выбирать частоту дискре- тизации так, чтобы спектральные ком- поненты свёртки Sx(f) с каждой из дискретных составляющих периодиче- ской функции pFa (р=0, ±1, ±2, ...) рас- полагались в неперекрывающихся об- ластях (рис. 2.9). Этому соответствуют значения Fa > 2FB. При Fa < 2FB спек- тральные области перекрываются, в полосу частот (~FB, FB) дискретизируе- мого сигнала попадут спектральные компоненты смежных областей и воз- никнут искажения при восстановлении функции по отсчётам. Далее будет по- казано, что для точного воспроизведе- ния непрерывной функции с ограничен- ным (финитным) спектром достаточно располагать значениями функции (отсчётами) лишь в отдельных точках. Модели сигналов с ограниченным спектром часто используются в технике связи. В частности, в стандартном те- лефонном канале за верхнюю гранич- ную частоту принимают FB = 3400 Гц, при телевизионной передаче граничная частота определяется числом различимых элементов Теорема отсчётов. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчётов* 2) Котельникова: непрерывная функция x(t), не содержащая частот выше граничной FB, полно- стью определяется отсчётами мгновенных значений х(кЛ) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Д < 1 /2ГВ. Интервал Д называется интервалом Ко- тельникова3). Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию x(t) в виде ряда оо *(о = Z *(*д) *=-» ап<в,(/-ДД) (2.55) Спектр периодической последовательности fp(t) можно рассматривать как совокупность поднесущих, разнесённых на интервалы, кратные Гд. 2> В иностранной литературе эту теорему связывают с именами Найквиста и Шеннона. 3> В зарубежной литературе — интервалом Найквиста. 46
Из сопоставления ряда (2.55) с общим видом обобщённого ряда Фурье в пространстве Гильберта следует, что элементарными базисными функциями в разложении Котельникова являются отсчётные функции1 > (2.56) Сй B(t - АД) Для коэффициентов разложения х(/) по элементарным функциям (2.56) в соответствии с (2.17) можем записать (2.57) Д <oB(z-AA) где постоянная а вводится с учётом нормировки функций (2.56). Докажем, что коэффициен- ты Ск соответствуют мгновенным значениям функции х(/) в точках t = кА. Пусть S(f) — пре- образование Фурье функции x(f), тогда оо Х0= p(/)ej“'#> (2.58) —оо где оо М/)= (2.59) Если x(f) имеет ограниченный спектр с наивысшей частотой FB, то 5(/) вне полосы ±FB рав- но нулю, а выражение (2.58) принимает вид x(t)~ s(f)eia>t df. Пусть t-кА, тогда р. х(АД) = J 5(/) eJmAA df или после подстановки в последнее выражение вместо 5(/) его значе- -F, ОО ния из (2.59) и изменения порядка интегрирования получим х(АД) = j*x(Z)- J е j“(/ ^df dt. —оо — „ _ Г „ ив sin<aB(r- кА) После вычисления интеграла в квадратных скобках I е df -•------,—-г- получаем -р ' —оо Сравнение (2.60) с (2.57) при а =т/<ов/тс показывает, что коэффициентами обобщённого ряда Фурье Ск разложения (2.16) по ортогональным функциям (2.56) являются отсчёты x(kTf мгновенных значений функции x(f) в моменты t — кА. а. Восстановление непрерывной функции по отсчётам. Процедура восстановле- ния непрерывной функции х(0 по отсчётам её мгновенных значений х(к&) вы- текает непосредственно из (2.55): нужно перемножить значения отсчётов х(кЛ) На соответствующие отсчётные функции (2.56) и просуммировать полученные ^произведения. Эти операции иллюстрирует рис. 2.10. Спектральная трактовка процесса восстановления x(t) следует из рис. 2.9. £ Ортогональность функций (2.56) следует из соотношения япшв(г-/А) шв(г-/А) япш„(г-АД) «>В(Г-*А) 1 2FB О, i Ф к, i Ф к. 47
Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (2.55). Однако если функция с ограниченным спектром х(/) рассматривается на конечном интервале Т (рис. 2.10, а), то точное разло- жение (2.55) можно заменить следующим приближённым разложением: (0 = L • (2-61) -и/2 ФДГ-АД) Конечное число отсчётов п, определяющее x^f), равно (при Д = 1/2Гв) п = Т/Ь + 1 = 2ГВГ + 1. Параметр В = 2FRT, играющий важную роль в ТЭС, называют базой сигнала. Очевидно, что погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчётов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании. Оценим качественно погрешность |s(Z)| = |х(/) — яД/)!- Поскольку все слагаемые ряда (2.55) обращаются при t = /А в нуль во всех точках, за исключением слагаемого с номером к - i, то в этих сечениях значения xJJ) совпадают с x(f), т.е. погрешность е(£Д) равна нулю; погреш- ность достигнет наибольшей величины внутри промежутка между отсчётами. Кроме того, ве- личина погрешности нарастает к краям рассматриваемого интервала. Другая причина погрешностей обусловлена тем, что спектры реальных финитных сигна- лов не обращаются в нуль за пределами граничной частоты. Хотя основная энергия сигналов расположена на частотах от нуля до fB, некоторая часть приходится на частоты выше гранич- ной. Относительная среднеквадратическая погрешность определяется соотношением s2G)_£= А£ о (2.62) где Е — полная энергия сигнала x(f), а А£ — та часть энергии, которая оказывается за преде- лами полосы частот [0, fB] и не учитывается при восстановлении сигнала. Таким образом, при заданной погрешности (2.62) можно определить необходимую граничную частоту fB, а следовательно, и интервалы между отсчётами А = 1/27^. Детальное исследование показывает, что погрешности за счёт неучитываемой части спектра сигнала будут тем больше, чем мед- леннее убывает спектр за пределами граничной частоты. Третьей причиной погрешностей являются неидеальные характеристики фильтра, фор- мирующего отсчётные функции. Колебания, имеющие форму отсчётной функции вида (2.56), можно получить на выходе идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с граничной частотой fB при действии на его входе дельта-импульса S(Z). АЧХ идеального ФНЧ равномерна (рис. 2.11) 0<f<F, в а ФЧХ — линейна: ср(/)=-шт. f Импульсная характеристика g(/) фильтра определяется обратным преобразованием Фурье оо от комплексного коэффициента передачи £(/) (см. § 4.4): g(/) = I k(f)e3<s>tdf. Для рассмат- риваемого случая идеального ФНЧ1) г, I ,\ f.X'-t) ,z- „ г, 8ШШ,0-т) gW-Je (2.63) й При достаточно больших значениях задержки т характеристика (2.63) может быть реализо- вана (см. гл. 4). 48
Рис.2.10. Иллюстрация принципа восстанов- ления непрерывной функции по её отсчётам Рис.2.11. АЧХ и ФЧХ фильтра, формирующего отсчётные функции: (1) идеального ФНЧ; (2) неидеального ФНЧ Рис.2.12. Импульсная характеристика: (У) для идеального ФНЧ, (2) для неидеального ФНЧ Характеристики реальных фильтров £(/) и <р(/) отличаются от идеальных (пунктирные кривые 2 на рис. 2.11), что приводит к отклонению реальной функции отсчё- тов от идеальной (кривая 2 на рис. 2.12) и, как следствие, к появлению дополнительных погрешностей восстановления функции x(f) по отсчётам. 2.5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Понятие случайного процесса. В основе большинства методов исследования общей теории связи лежит представление о процессе передачи сообщения как некоторого случайного процесса, развивающегося (чаще всего) во времени. Словом случайный подчеркивается то обстоятельство, что предопределить зара- нее точное протекание процесса невозможно. Типичным примером случайного процесса может служить напряжение Z(f) = s(f) + N(t) на входе приёмника. Наблюдая напряжение в данный момент, мы не можем с полной определённо- стью предсказать, каково будет его значение в последующие моменты времени. Это объясняется тем, что параметры формируемого передатчиком канального сигнала s(f) (амплитуда, частота, фаза) изменяются случайным образом в соот- ветствии с передаваемым сообщением a(t). Кроме того, в процессе передачи сигнал подвергается воздействию различных аддитивных помех N(t), имеющих 49
случайный характер, например в виде электрических разрядов в атмосфере, помех от электрического транспорта, помех от других радиостанций и т.д. Случайность процесса X(f) проявляется в том, что вид наблюдаемой функ- ции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако получаемая в результате каждого отдельного опыта функция x(t) не случайна. Её называют реализацией случайной функции. Совокупность всех возможных реализаций {х(г)(/)} и образует случайный процесс (или случайную функцию) X(t) = {х(г)(/)}. Для непрерывного случайного процесса число реализаций обра- зует несчётное множество. На рис.2.13 показаны четыре реализации случайного процесса. Наличие случайности результатов многократных наблюдений одного и того же процесса не означает, что в этом процессе нет никаких закономерностей. Оказывается, что средние результаты, найденные по большому числу наблюдений, устойчи- вы. Иными словами, случайные явления и процессы подчиняются определён- ным статистическим закономерностям. Если на графике множества реализаций случайной функции Х(|) (рис.2.13) выбрать момент (сечение) t^, то множество {x(r)(f1)| значений реализаций в этот момент образует случайную величину X. Значения этой случайной вели- чины заранее неизвестны. Но можно установить некоторые закономерности, по которым можно судить о том, что в данном сечении случайная величина с вероятностью Р будет принимать значение в определённых пределах [х, х + Дх]. Плотность вероятности и интегральная функция распределения (ИФР). Для непрерывных процессов X(f) распределение вероятностей в заданном сечении Ц характеризуется одномер- ной плотностью вероятностей (ПВ) , . Р(х^Х < х+Дх) w(x) = lim — --:—:------ 0, v ’ ДХ-+0 |Ax| выражающей отношение вероятности того, что случайная величина X(f) примет значения в интервале х < X < х + Ах, к величине интервала Ах. На рис. 2.14, а изображён типовой график одномерной ПВ. Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (х^ Xj) опреде- ляется выражением *2 р(х, < < х2) = J w(x)dx. Рис.2.13. Задание случайного процесса • через совокупность его реализаций Рис.2.14. Типовой график (<я) одно- мерной ПВ и (б) одномерной ИФР 50
Интеграл в бесконечных пределах от функции w(x) равен единице 1 (условие нормировки для достоверного события) 1. Другой важной характеристикой случайных величин X является ИФР F(x), определяемая как вероятность того, что случайная величина X не превзойдёт некоторого значения х: X F(x) = Р( X < х) = J w(x)dx. ИФР имеет следующие свойства: 1) F (-оо) = 0; 2) F (оо) = 1; 3) F (х) — неубывающая функция, т.е. F (х2) > F (х0 при х2 > х^ 4) Р [xi < X < х2] = F (х2) - F (xt). График ИФР Дх) приведён на рис. 2.14, б. В прикладных задачах часто предполагают, что ИФР являются дифференцируемыми функциями и определяют w(x) как производную от ИФР: Цх) = ^ (2.64) ах Для более полного описания случайного процесса нужно располагать его «-мерной плотно- стью вероятности w(xb х2, ..., хй; tx, ti, ..., tn) или «-мерной ИФР F(x\, х2, ..., хй; t\, t2, ..., tn), выражающих- свойства случайного процесса в произвольных сечениях t\, t^, , tn. В общем случае «-мерная ПВ определяется аналогично (2.64) как аи(х;, х2,..., хп, tt, t2,..., ;„) дх । дх2 ... дх^ Для полного описания непрерывного во времени СП приходится п -> оо. Подобно тому, как при одномерном распределении вероятность того, что СВ попадает в заданный интервал на оси, равна площади под кривой w(x), ограниченной указанным интервалом (рис.2.14,а), при двумерной ПВ вероятность того, что СВ попадает в заданную область S плоскости, равна Р(5) = JJ w(x,y)dxdy , X, у — координаты точки. s Нахождение «-мерной ПВ, равно как и «-мерной ИФР — трудная задача, которую удаёт- ся решить далеко не всегда. *1, х2, .... х„, tx, t2 Числовые характеристики. На практике часто ограничиваются рассмотре- нием хотя и менее полных, но зато более простых характеристик случайных величин (процессов), называемых числовыми характеристиками или момента- ми. Числовой характеристикой случайной величины может служить момент /с-го порядка, определяемый как mk(t) = Xk(t) = Л/(Хк(/)) = J х* w(x,t)dx . —00 В частности, момент первого порядка, называемый математическим ожи- данием (МО) СВ определяет среднее значение случайной величины = X(t) = M(X(t))= J xw{x,t)dx, (2.65) — 00 где черта сверху означает усреднение по множеству реализаций. Аналогично вводится момент второго порядка «2^(0 = X2(t) = M[x2(t)) = jx2 w(x,t)dx (2.66) 51
Разность между случайной величиной X и её МО X - X = X представляет собой отклонение СВ от среднего значения. Она называется центрированным значе- нием СВ. МО квадрата этого отклонения называется дисперсией или цен- тральным моментом второго порядка Z)(Ar(z)) = o2(z) = A/lx2 (/)! = j [х-ти/о] w(x,t)dx. (2-67) Величину о = y/D(X) называют стандартным или среднеквадратическим откло- нением. С учётом (2.65) и (2.66) выражение (2.67) приводится к результату а2(/) = = ^(/) - zh2(/) = X2(t)-X2(t). Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно её средне- го значения. МО ГЩ и дисперсия о2 являются важными характеристиками слу- чайной величины, однако они не дают достаточного представления о изменчи- вости случайного процесса во времени. При совместном изучении центриро- ванных случайных величин Хх = х($ и X2 = x(t^ сечений t\ и t2 центриро- ванного случайного процесса X(t) = X(t)-mx(t) вводится понятие смешанного момента второго порядка, называемого функцией корреляции (ФК): в(^2) = М ХгХ2 оо оо —оо—оо где и'(хь х2, t\, t2) — двумерная плотность вероятности. Функция корреляции характеризует степень статистической взаимосвязи значений Xj и Х2 случайно- го процесса X(f) в моменты t\ и t2, разделённые интервалом т = t2 - t\ (см. рис. 2.15). Убывание ФК с увеличением т свидетельствует об ослаблении связи между мгновенными значениями процесса. Если ФК при каких-либо значени- ях т имеет отрицательное значение, это свидетельствует о том, что положи- тельным отклонениям процесса в одном сечении соответствуют преимущест- венно отрицательные отклонения в другом сечении и наоборот. Если случай- ные величины Xi и Х2 статистически независимы, то их двумерные ПВ опреде- ляется произведением одномерных ПВ: и'(Х], х2, t\, t2) = w(xi; /i)w(%2; (2)? между двумя такими сечениями, как следует из (2.68), равна нулю1). Нормальное (гауссовское) распределение. В качестве примеров рассмотрим некоторые ти- повые ПВ и ИФР непрерывных случайных величин. Многие случайные величины, с которы- ми приходится встречаться в задачах практики, описываются так называемым двухпараметри- ческим нормальным или гауссовским распределением (рис. 2.16), для которого плотность Рис.2.15. График зависимости двух ФК от расстояния между сечениями т=/,-^. Рис.2.16. Гауссовское распределение цри заданной дисперсии ст2 и двух значениях МО Математическое ожидание центрированной СВ всегда равно нулю. 52
вероятности представляется формулой Г Г / \12 1 (2.69) 2<f« Как следует из (2.69), гауссовское распределение полностью определяется двумя параметрами mi и ст2. Непосредственным вычислением интегралов легко убедиться в том, что эти парамет- ры имеют смысл соответственно МО и дисперсии: „ оо / \2лст2 J хехр- - 2ст2 dx= СО ^2 J (crf + WJ^exp- -4# = ^ ^2nc2 2ст2 со 2 J t2 exp- -dt = xs2 . .2 у2тг График ПВ w(x, f) нормально распределённой случайной величины симметричен относи- тельно ординаты в точке х = т\. Нормальный закон распределения имеет место практически во всех случаях, когда. случайная величина образуется в результате суммирования очень большого числа случайных величин одного порядка малости (см. § 4.7). Если т\ — 0, то плот- ,2 1 =ехр<------— >. ст2(/) 2o2(/)J рис. 2.16 следует, что наиболее вероятным значением гауссовской случайной величины X яв- ляется её МО. Преобразованием и = (х - Wi)/ct нормальное распределение с произвольными параметра- ми mi и ст приводится к стандартной нормальной плотности вероятности с параметрами mi = 0, ст = 1 7 ч 1 ность вероятности описывается выражением И Из графиков и2 ехгк---->, -оо < и < +оо. ' ' V27T [ 2 Имеются таблицы для ИФР стандартного нормального распределения (Функция Лапласа) w2 . 2 J exp - — \du . (2.70) 1 2 1 2 ' (F(x) называется интегралом вероятности.) В литературе приводится и ряд других функций, 00 / *9 \ 1 Г I и I связанных с F(x), например <2(х) = —= I ехр----\du = 1- F(x). С помощью функции Дх) мож- л/2тт * \ 2 J X но вычислить вероятность попадания гауссовской случайной величины X в любой интервал (х1; х2): (2.71) р(х, йх2) = /' —----- -Я -1----- ' \ СТ 7 \ СТ В частности, вероятность того, что случайная величина X превысит некоторый пороговый уровень Хлор, можно определить, положив в (2.71) х2 = да и Xi = хпор; Р(х>х1юр) = 1-^^^У Равномерное распределение. Наиболее простым является равномерное распределение (рис. 2.17), для которого плотность вероятности постоянна для данного интервала (Х], х2) и равна нулю за его пределами, т.е. _________________1___ V / V V \ w X2-Xj ' О, х g(xj,x2). Если, например, измерение какой-либо величины производится с точностью до целого числа делений шкалы измерительного прибора, так что ошибки, превосходящие по абсолют- ному значению половину деления (или половину шага квантования в приборах с цифровым 53
,_____________( 1 I I Х2~Х> I I I I --1------------- 1------> X, 0 х2 х Рис.2.17. Плотность вероятности при равномерном распределении Рис.2.18. Гармонический сигнал со случайной фазой, его (а) реализация и (б) плотность вероятности отсчётом), практически невозможны, то ошибка измерений е представляет собой равномерно распределённую СВ. Возможными значениями е являются в этом смысле действительные числа, не превосходящие по абсолютной величине половину деления шкалы. Распределение вероятностей мгновенных значений гармонического колебания. Пусть U(f) = Лосо8(фо^ + Ф), (2.72) где амплитуда Ад и частота о0 известны, а фаза Ф — случайна и принимает с равной вероят- ности w(<p) = 1/2я любые значения в интервале (-я; +я). Набор реализаций процесса (2.72) дан на рис. 2.18, а; а на рис. 2.18, б изображён график ПВ процесса (2.72). Аналитическое выра- жение этой плотности имеет вид 1 w(w) = < ^А20-и О, |«| < Ао Iм! > Ао (2.73) Наибольшую плотность, стремящуюся к бесконечности, имеет мгновенное значение U, рав- ное по величине амплитудному Ад. Среднее значение U =mx=Q, дисперсия = Ад /2. Спра- ведливость формулы (2.73) доказывается путём вычисления плотности вероятности СВ У, свя- занной с другой случайной величиной X функциональной зависимостью у = Дх). Если эта II || wJ/XyjlW связь взаимно однозначна, то w),(y)|rfy|=wx(x)|dx:| и wv(y) =—;—г-*—. Если каждому у И соответствует множество значений х, (/= 1, , то wv w, (xf )|<Zxf | и i=l (2.74) Обозначим в (2.72) U/Ao = К и а>0/ + Ф = X. Если Ф имеет равномерное распределение на интервале (-п; +я) с плотностью Ц<р) = 1/2я, то и X имеет равномерное распределение на ин- тервале (со0/ - тс; <&gt + я) с той же плотностью. Для каждой отдельной реализации у = cos х следует х = arccos у; Последняя зависимость (на основном интервале периодичности х от -я до +я) дана на рис. 2.19. Из рисунка видно, что Согласно формуле (2.74), учитывая, что каждому у соответствуют два значения х. = |sinx| = ах cos2 х имеем, и>(Д = • 27С <j\-y2 о, Для случайной величины U=AgY получаем ПВ: 1 2 wu{ul = wy\^- и | dy = J_ du _ I I и j_ 1 А А А/ Пу/Ад - U2 Распределения вероятностей дискретных случайных величин. "Пусть некоторая случайная величина X может принимать одно из т возможных значений {хд, хь ..., xt, ..., хт_г}; i — по- рядковый номер соответствующего дискретного значения. Обозначим через Р(Х = х,) = Дх,) вероятность того, что случайная величина. X примет конкретное значение хЛ Пример закона 54
Рис.2.19. Зависимость х = arccosy P(x,)f Рис.2.20. Дискретная случайная величина её (а) рас- пределение вероятностей и (б) интегральная функция распределения этой случайной величины показан в виде трафика на рис. 2.20, а. Сумма веро- ятностей всех возможных значений СВ всегда равна единице, поскольку совокупность собы- тий {х/} образует полную труппу. Выберем на оси абсцисс рис.2.20,а некоторую произвольную точку х, которую будем рассматривать как независимую переменную. Одномерная ИФР слу- чайной величины X F(x)=PU<x)=^p(x,.)1(x-X.) (2.75) (/) для дискретного распределения дана на рис.2.20,6; 1(х — X/) - единичная функция, начинаю- щаяся в точке х/. Суммирование в (2.75) проводится по всем х, < х. Таким образом, ИФР дис- кретной случайной величины имеет ступенчатый вид со скачками в точках возможных значе- ний случайной величины. Если использовать 8-функцию, то можно определить ПВ для дис- кретного распределения: Нх-)5(х~ х/) • («) Распределение Пуассона. В ряде телекоммуникационных задач мы встречаемся со слу- чайным точечным процессом (потоком), который представляет собой последовательность то- чек, расположенных случайным образом, например, на оси времени. Такие точки могут соот- ветствовать различным событиям, например моментам времени поступления заявок на об- служивание, моментам времени наступления отказов в какой-либо системе и др. С точечным случайным потоком мы встречаемся и в задаче распределения вызовов на телефонной стан- ции в течение суток (рис. 2.21). Общее число вызовов в те- чение суток — величина случайная. Для каждого временного интервала Т путём наблюдений можно установить среднее число вызовов vT (математическое ожидание). Коэффици- ент пропорциональности v характеризует интенсивность вызовов (среднее число вызовов в единицу времени). Веро- ятность появления к вызовов Рк(Т) на интервале (0, Т) чаще всего определяется формулой Пуассона Вызовы Рис.2.21. Появление вызовов в случайных точках интервала Т (2.76) Из (2.76) видно, что вероятность появления на этом интервале 0 вызовов (вероятность отсут- ствия вызовов) (2.77) Докажем эти формулы. Разобьём единичный интервал времени (например, 1 секунду) на #= 1/ДГподынтервалов величины ДТи будем считать, что в пределах малого интервала ДТс определённой вероятностью появляется лишь один вызов (вероятность появления более одного вызова пренебрежимо мала), а вызовы на отдельных интервалах ДТ появляются 55
независимо. Тогда имеем N независимых опытов, и по определению РАТ = ~ = vAT4 • Вероят- ность отсутствия вызова на интервале А Т равна 1- Рд7 = 1- vAT1 . Пусть Pq(T) — это вероятность не иметь вызовов на интервале (0, 7). Тогда вероятность Pq(T + АТ) не иметь вызовов на интервале (О, Т + Д7) равна вероятности совместного собы- тия: нет вызовов на интервале (0; 7) и нет вызовов на интервале (Т, Т + АТ): Р0(7 + ДГ)=Р0(г)(1-уДГ). (2.78) Выражение (2.78) можно записать - -уР0(Г) . Устремляя Д7’->0, получаем дифференциальное уравнение ^^ = -vP0(7). (2.79) Начальное условие Pq(0) = 1- Решение уравнения (2.79) приводит к (2.77). Аналогичными рас- суждениями найдём вероятность получения к > 1 вызовов на интервале (0, 7). Пусть Р*(7) — вероятность появления к вызовов на интервале (0, Т). Тогда вероятность получения к вызовов Рк(Т + Д7) на интервале (0, Т+АТ) равна РЛ(7’+Д7’) = (Г)( 1 - vA7) + Pk_x(T)vAT . Устремляя Д7’-> 0, получаем дифференциальное уравнение ^Д^-уР^^ + уР^Дг) (2.80) с начальным условием P*ai(0)= 0. Выражение (2.76) и является решением уравнения (2.80). На рис. 2.22 дана зависимость Рк(Т) от к при заданном параметре v. Экспоненциальное распределение. Оказывается, что для случайных точечных процессов с пуассоновским распределением (2.76) величина т, представляющая собой интервал между вы- зовами (рис.2.21), описывается экспоненциальным распределением с ПВ (рис. 2.23, а): Wi(t) = ке~Гх ,т>0, . (2.81) а ИФР при этом имеет вид (рис.2.23,б) т р/т) = = 1-е-Хт. (2.82) о С помощью формул (2.81) и (2.82) можно найти, например, вероятность того, что интервал между соседними вызовами окажется равным или меньше некоторого значения tq. Аналогич- ные формулы используются при определении ПВ интервала между двумя отказами (неисправностями) в работе аппаратуры. Обширные сведения об ИФР и ПВ можно найти в литературе по статистической радиотехнике, например в [18, 22]. Стационарные случайные процессы. Случайные процессы можно разделить на стационарные и нестационарные. Стационарным случайным процессом в строгом смысле называется такой случайный процесс, для которого ПВ (или ИФР) любого порядка не зависит от сдвига процесса во времени на произ- вольную величину т. Это означает, что для любых пит справедливо равенство Рис.2.22. Пуассоновское распределение дискретной случайной величины 56 Рис.2.23. Экспоненциальное распределение, его («) плотность вероятности и (б) интегральная функция
w(xb x2, xn; Zb Z2, tn) = w(xb x2, Xn; t\ - t, Z2- t, ..., tn- t). Отсюда следует, что все одномерные плотности вероятности должны быть идентичными, т.е. не должны зависеть от времени w(x, Z) = w(x, t - т) = w(x). (2.83) Все двумерные плотности вероятности могут зависеть только от интервала Т = h ~ h- w2(xb х2; Zb Z2) = w2(xb x2; - t, Z2- t) = w(xb x2, t) (2.84) и не зависят от положения этого интервала во времени. В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные в широком смысле случайные процессы, свойства которых описываются только одномер- ной плотностью вероятности, удовлетворяющей условию (2.83) и двумерной плотностью вероятности, удовлетворяющей условию (2.84). Соответственно для СП, стационарного в широком смысле параметры тп,\ и о* 1 2 на зависят от време- ни, а ФК зависит только от т. Из определения стационарности в широком смысле СП следует, что его ФК — чётная функция от т: В(т) = В(-т). Кроме того, легко показать, что для стационарного процесса В(т) < В(0) = о2. (2.85) Для доказательства рассмотрим очевидное неравенство: [(Дг)-т,)-(^-т) -n/j)] >0. Раскрывая левую часть этого неравенства, полу- чаем 2[x(z)-mJ2 - 2(x(z)-m])(x(/= 2[о2-2?(т)]>0. Отсюда следует (2.85). Теория, охватывающая случайные процессы, стационарные в широком смысле, называется корреляционной. Очевидно, что процессы, стационарные в узком смысле, стационарны и в широком, но не наоборот. Эргодические процессы. Стационарные в широком смысле процессы в большинстве практически важных ситуаций обладают так называемым эргоди- ческим свойством: усреднение по множеству реализаций случайного процесса X(t) даёт примерно тот же результат, что и усреднение по времени одной реа- лизации x(Z), если время усреднения Т достаточно велико. Достаточное условие (условие Слуцкого) эргодичности стационарного (в широком смысле) случай- ного процесса можно записать в виде 1 г Нт — [ В(т)Л = 0. т^° Т { Математическое ожидание для эргодического СП можно определить путём ус- реднения во времени (обозначается волнистой чертой) единственной реализа- ции x(Z): т 1 Г п\ = x(z) = — J x(t)dt. * -Г 2 Следовательно, для эргодического процесса нахождение МО сводится к простому интегрированию. Среднее значение квадрата центрированного эрго- дического СП можно найти так: ______ г ст2 =[x(z)-x]2 ==-M[x(z)-x]2rfZ. * т 57
Рис.2.24. Схема для измерения функции корреляции эргодического случайного процесса Рис.2.25. Функция корреляции случайного процесса с (7) медленно убывающими и (2) быстроубывающими связями Эта величина есть не что иное, как средняя мощность переменной составляю- щей процесса х~(г) = х(/)-х (если х имеет размерность тока или напряжения). В данном случае операция определения о* 1 2 сводится к обычным операциям возведения в квадрат переменной составляющей процесса и интегрирования. Функцию корреляции эргодического СП также можно получить усреднением во времени: т ---------- ! т В(т) - “ т) = — J х~(/)х_(г -т)Л. (2.86) 2 Ясно, что о2 = В(0). Схема измерения функции корреляции согласно алгорит- му (2.86) изображена на рис. 2.24, а графики типовых ФК — на рис. 2.25 (1 — корреляционные связи медленно убывают, 2 — корреляционные связи быстро убывают). Определим нормированную функцию корреляции а также интервал корреляции оо t„=J|«(t)|A. (2.87) О Определение интервала корреляции согласно (2.87) /?(т)Ф называют методом равновеликого прямоугольника: j____ интервал корреляции равен основанию прямоуголь- / \! ника с высотой, равной 1, площадь которого равна s' площади под кривой |А(т)| при т > 0 (см. рис. 2.26). Пусть случайный процесс Z(/) образуется сумми- о ? рованием двух стационарных центрированных эрго- Рис.2.26. Определение интервала дических вещественных СП Z(t) = %(/) + У(7). КФ корреляции методом равновели- процесса Z(t) определяется соотношением кого прямоугольника В2(д= [х~(0+к(')][х~(/ - т)+у_(7 - т)] = = xjj)xjj - т) + к(0к(г - т) + x^dyAt - т) + kG)x~(7 - т) = В,(т) +В/т) +2В,/т), 1 f где Вх(т) и В/т) - КФ процессов X(f) и Г(0, а В^(т) = — J xA.t)-yJt-i:)dt - * -Z 2 взаимно-корреляционная функция (Дд,(т) = В^(т)). Случайные процессы %(/) ц У(0 называют коррелированными при заданном т, если их взаимная корреля- 58
ционная функция Вх>,(т) отлична от нуля. Если Д^(т) = 0, процессы X(t) и Y(t) считаются некоррелированными при данном т. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Для описания слу- чайных процессов наряду с корреляционными функциями В(т) широко ис- пользуются спектральные характеристики, в частности спектральная плотность мощности g(/). Между В(т) и ,g(/) существует пара преобразований Фурье, аналогичных (2.52) и (2.53). Для случайных стационарных процессов эти соот- ношения строго установлены А.Я. Хинчиным и Н. Винером. Поясним физический смысл спектральной плотности мощности G(/) для случайного процесса X(t). Рассмотрим функцию x^f), совпадающую на интервале (-Т/2; Т/2) с реализа- цией случайного процесса x(r\t), заданной, вообще говоря, в бесконечных пределах. Опреде- лим среднюю мощность сигнала x^t) при Т -> оо с учётом (2.47): т 2 эо Р lim — [ = lim [ GT(f)df. (2.88) T—1 J T-+<£ J “2 -3C Предел функции под интегралом (2.88) и определяет СПМ — спектральную плотность мощ- ности СП G(/) = lim Gr(/). Строго говоря, приведённое определение СПМ случайного про- цесса справедливо лишь для эргодических процессов, поскольку оно характеризует распреде- ление мощности по частоте единственной реализации x(t). Для определения СПМ для сово- купности реализаций следовало бы провести усреднение по ансамблю возможных значений Gr(/), т.е. A/{Gr(/)} . Дисперсию (среднюю мощность) СП можно найти путём интегрирования G(/) по частоте ОС 00 s а’ =' 5(0) = J G(f)df - f G.(/)# , -ОС г О где Go(/) — СПМ, определённая на положительных частотах. Методом равно- великого прямоугольника (или по иному критерию) можно найти не только интервал корреляции СП ("ширину" В(т)), но и эффективную ширину его спектра F3 ("ширину" Go(/)). Произведение этих параметров удовлетворяет ус- ловию ткорЛ, ~ К, где К — константа, имеющая порядок единицы. Здесь про- сматривается аналогия с табл. 2.2, иллюстрирующей соотношение между дли- тельностью сигнала и шириной его спектра. Имеются случайные процессы, у которых параметры ткор и F3 принимают крайние значе- ния (0 или да). Гармонический сигнал со случайной равномерно распределённой фазой (2.72) является примером такого стационарного эргодического СП. Его ФК _______________ Л 2 В(т) = ~G^7Jt7(7^T)'~ = -у-cosco от, кор Л2 ^-8(/-/о),Гэ=0. Для случайного процесса (2.72) СПМ на положительных частотах: Go(/) = Другой пример случайного процесса (белого шума) с параметрами ткор = О, F3 — оо дан ниже. 59
Рис.2.27. Спектральные плотности средней Рис.2.28.Функции корреляции мощности («) белого и (б) квазибелого шума (а) квазибелого и (б) белого шума Функция корреляции случайного процесса с ограниченным спектром. Слу- чайный процесс, характеризуемый СПМ Ga(f)=N0, равномерной на всех час- тотах (рис. 2.27, а), называют белым шумом (по аналогии с белым светом в оп- тике). Если спектр Со(/) ограничен сверху частотой FB (рис. 2.27, б), то про- цесс называется квазибелым шумом. Его дисперсия о2 = В(0) = NqFb. Найдём ФК квазибелого шума: г, 5(т) = J Go(/) cosot# = No-F* (2.89) Полученная ФК отображена на рис. 2.28, а. Обратим внимание на то, что при значениях, кратных 1/2FB, значения 5(т) проходят через нуль. Это означает, что сечения процесса, разделённые интервалом k/lF^ (к — целое число), не коррелированы между собой. Если беспредельно увеличивать граничную часто- ту FB, то от квазибелого шума придём к абсолютно случайному процессу (белому шуму), у которого два несовпадающих сечения не коррелированы; КФ белого шума выражается 5-функцией (рис. 2.28, б): N ВЫ = -Мт). (2.90) Результат (2.90) следует из (2.89), если воспользоваться определением 5- функции (2.2). Белый шум является математической идеализацией реального процесса, так как средняя мощность (5(0)), необходимая для создания такого процесса, оказывается бесконечно большой. Вместе с тем случаи, когда реаль- ный спектр помехи можно аппроксимировать белым шумом, встречаются в практике достаточно часто. Примером помехи типа белого шума является теп- ловой шум резисторов, имеющий практически равномерную спектральную плотность на частотах вплоть до 6 1012 Гц. 2.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ РЯДАМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ Каноническое разложение. В § 2.5 показано, что непрерывный случайный процесс X(f) является математическим объектом большой сложности: его можно трактовать как несчётное множество случайных величин. Естественно, возникает желание представить случайную функцию X(f) через счётное множество случайных величин, что упрощает анализ. В § 2.3 по- казано, что сколь угодно сложные детерминированные сигналы с интегрируемым квадратом (элементы в пространстве Гильберта 2^(7)) могут быть предстарлены обобщённым рядом Фу- рье (2.22). Эти идеи можно распространить на представление случайного процесса, непре- 60
рывного в среднеквадратическом смысле1). Для такого центрированного случайного процесса ° ( т т\ X(t), t el—I, можно найти такую ортонормированную систему базисных функций {\|/,(/)}, которая обеспечит разложение X(t) на некоррелированные слагаемые. Такое разложение, называемое разложением Карунена-Лоэва, имеет вид «о 1(0 = 2 W'), (2.91) 1*0 т 2 где v, = X(t) ^i(t)dt — коэффициенты разложения, которые являются попарно некоррелиро- Г ~2 ванными случайными величинами. Разложение вида (2.91) случайного процесса на некорре- лированные слагаемые называется его каноническим разложением. Функции {vp//)} в канони- ческом разложении называются координатными функциями. Они образуют базис разложения и находятся как собственные функции интегрального оператора Г J - Xj \|/,О), “Т где B(t,и) — ФК случайного процесса, Х; — собственные числа. Докажем, что v, и vk при i * к некоррелированы: v-v* = = =JJ v, =4 = °- Здесь учтено, что \|/Д0 и \|/д(/) при i*k взаимно ортогональны. Для вычисления ФК случайного процесса X(t) дадим аргументу t в формуле (2.91) два значе- ния ti и ?2- Тогда iW-Zv.v.f,,). xfe) - f-0 i=0 Эти формулы выражают значения Xi и Хг случайного процесса X(t) в виде линейных функций одних и тех же некоррелированных случайных величин v0, vi, ..., v/, i = 0, 1, 2, ... В этом случае корреляционная функция случайного процесса X(t) определяется выражением ————— ао = x(t1)x(t2) =2 АчЖЫ'г)» (2.92) i=0 где Dt - дисперсия величин v, (v = 0, 1, 2, ...). Поскольку дисперсия СП X(t} равна значе- нию ФК при = t2 = t, то СО Д(') = B(t,t) = ^D^t). (2.93) i=0 Разложение по гармоническим функциям- Для стационарных непрерывных в среднеквад- ратическом смысле, периодических случайных процессов А'(/) е функций г. L 2’+ 2 базисных 11 Когда выполняется условие limM (аг(/-7’)-Х(0)2 = 0. 61
coso,Г, о,- c достаточно простым является его разложение по ортонорми- рованной системе некоррелированными координатами: со X(t) = (у,cosco ,7 + у,- . sinco, (2.94) »=о где A/Jv/C]= A/[vis] = 0, а Л/р, J= A/[v/s] = ст* = Dt — дисперсия i-й гармоники. В соответствии с (2.92) корреляционная функция центрированного процесса (2.94) СО СО В(т) = Df(costo,72 costal +sinco/2 sinco^j ) = У, Dj Coston , (2.95) i=0 i=Q является периодической функцией с периодом Т, где т = Г2-^1, те (-оо; +оо). Дисперсия ста- ОО ционарного СП (2.94) равна D = В(о) = Dt . Это означает, что мощность центрированного i=0 случайного процесса X(t) равна сумме мощностей всех гармоник. Поскольку (2.95) является разложением В(т) в обобщённый ряд Фурье по ортонормированной системе базисных функ- ций ^V2cos<b/t| с координатами С, = -^=, можно с учётом (2.23) написать СО Dt = 2 J B(t)cos(c)/t)Jt, i = 0,1, 2,... -СО Разложение в ряд Котельникова. Требованиям канонического разложения (2.91) удовле- творяет разложение непрерывного в среднеквадратическом и стационарного в широком смысле случайного процесса X(t), спектр плотности мощности которого G(/) равномерен и ограничен областью частот |/| < FB. Для такого случайного процесса справедливо разложение в ряд Котельникова Следовательно, непрерывный стационарный СП с ограниченным спектром полностью опре- деляется счётным множеством некоррелированных случайных величин у* =Х(кД), к = 0, ±1, ±2, ... Для гауссовского случайного процесса (процесса с нормальным распределением, см. ниже) коэффициенты канонического разложения (2.91) являются статистически незави- симыми гауссовскими случайными величинами. Именно в этом случае разложение Карунена- Лоэва особо проявляет свои преимущества и существенно облегчает решение многих задач. Случайные процессы, определяемые двумерной плотностью вероятности. Среди различных типов случайных процессов можно выделить некоторые про- цессы, которые полностью характеризуются простейшими плотностями веро- ятности. В качестве примера случайного процесса, который полностью опреде- ляется одномерной плотностью вероятности, можно привести так называемый абсолютно случайный процесс или белый шум. В этом процессе значения Xlf Х2,..., Х„, взятые в различные моменты /2, —, статистически незави- симы друг от друга, как бы близко эти моменты ни располагались друг от дру- га. Иначе говоря, возникающие в белом шуме всплески затухают за бесконечно малые промежутки времени. Поскольку значения X] и Х2 в моменты t\ и t2 не- зависимы, их совместная (двумерная) плотность вероятности равна произведе- нию одномерных плотностей: Нхъ *25 h, /1М*2; 62
Аналогично п x1,x2,...,xn;tl,t2,. *=i Это означает, что в рассматриваемом случае все л-мерные плотности вероятно- сти определяются одномерной плотностью вероятности. Следующий по сложности процесс получается, когда вся информация о нём содержится в двумерной плотности вероятности w(x1} х2; t\, t2). Такими яв- ляются гауссовские СП или простые марковские СП; л-мерная ПВ гауссовско- го случайного процесса определяется формулой 1 1 Xj, х2,..., xn, Zj, Z2,. 2|Л| я, Дх7 -т} , (2.97) где mi, о г — соответственно МО и дисперсии значений СП в отдельных сече- ниях процесса; | А | — определитель корреляционной матрицы Л T?12 ... Rln п R = Ry — коэффициент корреляции между значениями СП в z-м и j-m сечении; Ау — алгебраическое дополнение в определителе | А | элемента Ry Для определения ФК, МО и дисперсии гауссовского СП требуется знание лишь двумерной плотности вероятности. Если все сечения гауссовского СП не коррелированы, то матрица R является диагональной (R^ =0, к * I), и (2.97) принимает вид Xj, х2,..., хп, Zj, t2,. (2.98) ^T 1 Vх/ m Ho (2.98) определяет условие статистической независимости отдельных сече- ний СП. Итак, если гауссовские случайные величины А/ при различных z не коррелированы, то они также статистически независимы. Отличительной особенностью простого марковского СП является мини- мальное последействие: для него вероятность нахождения X в заданном интер- вале значений в момент tn зависит только от состояния в предшествующий момент tn-\. w(xM, tn t\, Х2, t2, ..., Хд-i, 4j-1) Ч«л, tfi I Xn-1, 4r-l)" Иначе говоря, л-мерная ПВ простого марковского СП при t\ < /2 </3 < ... < tn w(x,, x2,..., x„; Z1, t2,..., tn) = w(xj, t, )w(x2, t21 Xj, tY )w(x3, t3 |x2, t2)... w(xn, tn [х^, tn_x) полностью определяется двумерной плотностью вероятности. Теория марков- ских процессов хорошо разработана , и широко используется в современной теории связи. В частности при некоторых дополнительных условиях переход- ная плотность вероятности при t2 > t\ удовлетворяет дифференциальному урав- нению 2-го порядка в частных производных: dt2 дх2 + 0,5 дх22 (2.99) 63
при начальном условии =s(x2-xj. Здесь Л1(х2, ti) ~ коэффициент сноса, а А2(х2, t2) — коэффициент диффузии. Уравнение (2.99) называют урав- нением Фоккера-Планка-Колмогорова. Марковские процессы, удовлетворяю- щие этому уравнению, называют диффузионными. В зависимости от вида коэф- фициентов Ai и А2 диффузионный марковский процесс может иметь различ- ные распределения вероятностей. К марковским процессам относятся также процессы с независимыми приращениями. Эти процессы обладают тем свойством, что для любой совокупности моментов времени t\ < ?2 < ••• <tn (п - 3) разности значений процесса X(t2) - X(fy) - X(t2), ... , X(t„) - X(tn-i) взаимно независимы. Для того, чтобы определить функцию распределения любого порядка для процесса с независимыми приращениями, достаточно знать только одномерные распре- деления X(t) и X(tk) - X(tk-i), т.е. одномерную и двумерную функции распределения процесса. Если распределение приращений X(f) - X(t - т) зависит лишь от т, то процесс с независимы- ми приращениями называется однородным. Рассмотрим процесс, введённый Н. Винером в качестве простой модели броуновского движения частицы, передвигающейся под воздействием множества соударений таких же час- тиц. Винеровский процесс H(t) определяется как интеграл от нормального белого шума N(f): t H(t) = j ^(r)^! (2.100) 0 или с помощью стохастического дифференциального уравнения = N(r), где - гаус- совский стационарный СП с нулевым МО и 3-корреляцией: ЛДЛГ(/)]=0, B(t2 -^) = -у-8(г2 -tj . Поскольку преобразование (2.100) является линейным, то винеровский процесс остается гаус- совским. Для математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции процесса Я(0 имеем соответственно / / Л/(я(0) = 0; DH(t) = Jf ; о о Л h. = J J = y-min(/i,/2). о 0 П2 /*0. Одномерная плотность вероятности винеровского процесса w(t],t) = exp Винеровский процесс является нестационарным с дисперсией , пропорциональной вре- мени; его реализации оказываются своеобразными, с возрастающим во времени разбросом траекторий. Для винеровского процесса коэффициент сноса ЛДц, f) в (2.99) равен нулю, а коэффициент диффузии А2(т\, f) = Nq/2 = const; поэтому винеровский процесс часто называ- ют диффузионным, он играет основополагающую роль при формировании более сложных марковских процессов. Важной особенностью винеровского процесса является то, что его реализации нигде не дифференцируемы, хотя являются непрерывными с вероятностью еди- ницы. Это следствие особых свойств винеровского процесса H(t), производная от которого N(f), если её понимать в обычном смысле, не существует, поскольку lim - оо. Действи- ' д»-м> д/ h телъно, принимая во внимание равенство ДЯ = я(/2)~я(^)=|?Дт)Л, для дисперсии прира- Л щений имеем 64
Г2 Г2 м(лН2 (t)) = J J ./V(t1)V(t2)c/t1(/t2 =-^-Д/. (2.101) ' t, • Порядок величины приращения I ДЯ| = I H(tq) - Я(Л) I определяется из (2.101) как |Д//| ~ л/д7-> 0 при А/—> 0, а отношение ~-J=-> оо. Скорость изменения обращается в 11 д, VaF бесконечность, что свидетельствует о недифференцируемости процесса. Вместе с тем марков- ские диффузионные процессы являются во многих случаях удобной математической моделью сообщений, сигналов и помех. Представление случайных процессов дифференциальными уравнениями. Для описания сообщений, сигналов и помех можно воспользоваться их представ- лением в пространстве состояний (подробнее см. гл. 4). В зависимости от вида воздействий дифференциальные уравнения, определяющие поведение процесса в пространстве состояний, могут быть детерминированными либо стохастиче- скими. Для непрерывного времени задание состояния процесса (или системы) во вре- мени означает задание функции (вектора состояния): х(/) = [хД/), %2(0» •••> хл(01 Т2 где Т- знак транспонирования матрицы. Поведение многих реальных динамических систем хорошо описывается стохастическим векторным дифференциальным уравнением вида (подробнее см. гл. 4) ^ = f(/,xW)+50,xW), (2.102) at где F {t, х(0] ~ «-мерная неслучайная вектор-функция своих аргументов; х(Г)] — «-мерный случайный процесс с известными вероятностными харак- теристиками, которые могут зависеть от вектора х. В частности, как будет по- казано в § 2.8, если в (2.102) £[/, х(/)] является белым гауссовским шумом, то вектор состояния х(/) представляет собой простой марковский процесс соот- ветствующей размерности. Важнейшим свойством такого процесса, как отме- чалось выше, является то, что при фиксированном настоящем (сечении Zb), его будущее состояние не зависит от прошлого (значений процесса при t < Zq). Представление случайных процессов стохастическими дифференциальными уравнениями весьма плодотворно и будет использовано в последующих главах. 2.7. ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА СИГНАЛА. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ. КВАДРАТУРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА Для многих практических приложений бывает полезно представить сигнал x(t) в виде процесса с изменяющейся амплитудой {огибающей) A{t) и полной фа- зой \р(0: x(t) = >l(z)cos\|j(?). (2.103) Так, при амплитудной модуляции информация закладывается в A(f), при угловой — в \y{t). Представление (2.103) в общем случае неоднозначно, т.е. один и тот же сигнал х(/) может быть представлен бесконечным множеством пар (Л(0, \|>(0}- Из каждой такой пары может быть образован новый сигнал х'(/) = yl(/)sin\|j(/), в некотором смысле сопряжённый с сигналом x(Z). Очевидно, -------------------------— Xf х2(0 + [х'(0]2 , = arctg-yy. Комплексный сигнал 65
x(/) = x(/) + jx'(/) = Л(/)е^(,) является удобным отображением вещественного сиг- нала х(г) = Re(x(0) • Из соотношения x'(f) = Л(/‘)8т\|/(/) = Л(1)со$[\|/(/) - л/2] не следует (при про- извольных функциях A(t), у/(0), что амплитудные спектры х(г) и х(/) одинако- вы, а фазовые спектры различаются сдвигом на к/2. Представим сигнал x(f) (без постоянной составляющей) в виде конечной или бесконечной суммы гармонических составляющих: xW = Za*M°*? + (P*) = S^[ej(“‘'+<l>‘)+e’j(“‘'+<₽‘)], со*>0 (2.104) (*) (*) 2 1 J и потребуем, чтобы в сопряжённом с ним сигнале х(г) все частотные состав- ляющие имели те же амплитуды а^, но фазы получили сдвиг -л/2: x'W = 2>* codot/ + 94-^J=£atsm(®t/+<p4) = (*) 4 27 (*) -е (*) 2J Из сопоставления (2.104) и (2.105) вытека- ет, что в области положительных частой спек- тры сигналов х(/) и х(/) различаются множи- телем -j, а в области отрицательных частот — множителем j. Процесс х(г) называют сигна- лом, сопряженным по Гильберту с x(t). Пере- даточная функция цепи, преобразующей x(f) в x(t) (т.е. преобразователя Гильберта (ПГ), см. рис. 2.29), имеет вид £(7) =-Г sign (у), (2.105) Рис.2.29. Преобразователь Гйльберта (2.106) — знаковая функция. Г *0. (2.107) где sign(/) = Импульсная характеристика цепи определяется обратным преобразованием Фурье от к(/): g(>) = J^(/)e*<// = 2jsm(W/)rf/ =2taje-*sinfoO# = 2^*®^ =^, Итак, импульсная характеристика ПГ , . 1 gV) =--, -оо <t <+OO . Tit Спектральная плотность 5г(/) для сопряжённого сигнала х(/) связана со спек- тром Фурье 5Л(/) сигнала х(/) соотношением = = (2.108) Выражение (2.108) можно записать и так: 5,(/) = jsign(/) 5S(/). Отсюда следует, что передаточная функция или импульсная характеристика цепи, вы- дающей на своем выходе сигнал x(t) при подаче ко входу х(г) (цепи, осуществ- ляющей обратное преобразование Гильберта) обратны по знаку характеристи 66
кам, указанным на рис. 2.29. Отклик линейного стационарного ПГ x(t) можно определить как свёртку функций x(i) и g(t) (см. гл. 4): x(z) = x(z)®g(z) = 1 х(х) g(t - x)dx = — (2.109) 7Г I — Т —ОО —ОО Аналогично х(/) = х(/)® f-—-1 [ —~—dx . (2.110) \ Tit у Я J t-x —оо (2.109) называют прямым, а (2.110) — обратным преобразованием Гильберта. Совместно их называют парой преобразований Гильберта. Отметим, что для произвольных сигналов х(/) (х(/)) преобразование Гиль- берта (2.109) (также обратное преобразование Гильберта (2.110) нереализуемо, так как оно требует импульсную характеристику цепи, определённую не только при t > 0, но при t < 0 (см. 2.107). Как будет показано в гл. 4, для реализуемой цепи g(Z) = 0 при t < 0. Если всё же ПГ таких сигналов необходимо, его реали- зуют приближённо, с некоторой задержкой t$, заведомо отбрасывая ветви g(t), располагающиеся*левее точки t — -1q и правее точки t = /q. Задержка сигнала должна быть учтена в других устройствах, работающих синхронно с ПГ. Следу- ет отметить, что погрешность преобразования, связанная с усечением им- пульсной характеристики ПГ, может оказаться недопустимо большой. ПГ лег- ко реализуется, если сигнал x(f) можно представить через узкополосные квад- ратурные компоненты (см. ниже). Комплексный сигнал x(t) = x(z)+jx(z), полученный на основе ПГ, называет- ся аналитическим. Рассмотрим его основные свойства. 1. Аналитический сигнал является естественным обобщением комплексного представления гармонического сигнала на случай сигнала общего вида. В самом деле, если x(f) = Лсо§(со/ + ср), то x(z) = Jcos((oZ + (p)+jJsm((o/+(p) = = J(z)eJ(<a'+<₽). При этом полная фаза у(/) = at + ср, а мгновенная частота /а со(/) =------= СО . dt 2. В спектре аналитического сигнала x(/) = x(z) + jx(z) содержатся только поло- жительные частоты. Действительно, из (2.104) и (2.105) видно, что х(/) = х(/) + jx(/) = /, ak e , ak>0. (2.111) (*) В общем случае, когда спектр Sx(f) сигнала x(t) — сплошной, имеем.с учётом (2.108) ^(/) = 5,(/)+,4(/) = ^мдд (2.112) Аналогично в спектре комплексно-сопряжённого аналитического сигнала x = x(z)-jx(z) содержатся только отрицательные частоты: • / \ [°’ />0 S (/) = ) • / \ (2.113) • (2S,(/), /<о 3. Скалярное произведение сигналов x(t) и x(t) в 1^(7) равно нулю (сигналы ортогональны): 67
(х, х) = J x(t) x(t)dt = J Sx (f)ss(f)df = J Sx (/) sign(/)# = 0. (2.114) —oo —oo —oo 4. При общем фазовом сдвиге всех частотных компонент сигнала x(t) на угол 0 аналитический сигнал умножается на eJ0. В этом легко убедиться, добавив в (2.111) в каждом слагаемом общий фазовый сдвиг 0: z ч ж—. i(co >t +Ф* +б) i0 z ч хв(0 = 2а*е =е (2.115) (*) Из (2.115) естественным образом вытекает алгоритм общего фазового сдвига всех частотных компонент вещественного сигнала x(z): x0(z) = Re[x0(/)] = Re[ej x(z)j = Re[(cos0 +jян0)(x(O + j*(*))]= x(z)cos0-x(z)ян0. (2.116) 5. Преобразование частоты (транспонирование спектра, см. гл.З) сигнала x(t) , \ jA<" . сводится к умножению аналитического сигнала ад на е , где Аи<0 - величина частотного сдвига. Это видно из (2.111): *..(') = =е x(r). (2.117) (*) Из (2.117) вытекает алгоритм транспонирования спектра вещественного сигнала х(/): хДи (/) = Re[xA(i) (/)] = x(z) cosAatf - x(z) ян Аса/. (2.118) Алгоритм (2.117) используется при фазобалансном методе однополосной модуляции (когда Асо — а>о — частота несущей), при коррекции частотных сдви- гов, обусловленных неточным сопряжением синтезаторов частот на передаче и на приёме или доплеровскими сдвигами (тогда Асо^О мало), и при демодуля- ции сигнала (тогда Асо < 0). Вопросы однополосной модуляции и демодуляции мы рассмотрим в гл. 3. Операции, связанные с ПГ, становятся реализуемыми и существенно уп- рощаются, если сигнал x(Z) можно представить через квадратурные компонен- ты Ac(f), As(i) при заданной частоте (обычно в спектре сигнала) а>о: x(t) — Ac(t)cosoQt - /^(^sincooZ, (2.119) причём верхняя частота в спектре сигналов A^f), A^t] (или A(t) = Ac(t)+jAs(t)) Ъ</о- (2-120) Условие (2.120) будем называть условием "узкойолосности в расширенном смысле". Чаще всего канальные сигналы в системах связи обладают свойством узкополосности ^«/о- - (2-121) Это означает, что квадратурные компоненты Ac(t), As(t) меняются медленно (по сравнению с coscooZ или с sinoo/) и сигнал (2.119) имеет вид квазигармониче- ского сигнала (рис. 2.30). Именно в этом случае обработка сигнала (через об- работку низкочастотных квадратурных компонент) технйчески проще и реали- зуется точнее. Очевидно, что (2.119) можно записать x(z) = /l(z)co^co0z +ср(/)] = ReJ A(t)e- , 68
х(Г) О сигнала с переменной огибающей A(t) и переменной мгновенной частотой <в(Г) = Рис.2.30. Характерный вид узкополосного процесса (сигнала) где Л(^) = Л(0е‘,Ф( )= 4(0+j4(0 " комплексная амплитуда^. Поскольку умноже- ние Л(г) на eJ<M означает перенос спектра сигнала A(t) вверх на величину fo, то очевидно, что при выполнении условия (2.120) спектр сигнала x(t) = A(t)e * содержит только положительные частоты (Anin > 0, 7max</+ Fs) и может рас- сматриваться как аналитический. Тогда сопряжённый по Гильберту сигнал x(t) = Imp(r)eJ °Г]= Лс(/)яп©0г + 4(^)ео8©0г. (2.122) Из сравнения (2.119) и (2.122) видно, что преобразование Гильберта сигна- ла ЛС(О cos© oz //[ Ас (t) cos© or] = 4 (0 sin © ot, а преобразование Гильберта сигнала 4(0 sin ©0^ Z/[4(0 sin © (/] = -4 (0 cos© Qt. (2.124) Формально (2.123) и (2.124) можно интерпретировать так, что преобразование Гильберта осуществляется над cos©oZ и sin©o£ //[cos© oz] = cos^© 0/ - = sin © 0/, 7/[sin © 0/] = si при неизменности 4(0 и 4(0- Из (2.119) и (2.122) видно, что огибающая сигнала ли=mi=7х2о)+г2»=д 2и+л/н, (2.123) Я 1 = -cosco0/ (2.125) а полная фаза А (0 v(0 = © ot + arg A(t) = © ot + arctgy^y. Мгновенная частота сигнала (скорость изменения фазы) dy(t) d ©U) = —Г-= “0+37 arctg dt dt комплексной j[a>o<+4>(f)] (2.126) 4(01 . 4'ИЛ(')-4'(>)4(>) “ю° л.2И+л,2И ' На комплексной плоскости (рис. 2.31) аналитический x(z) = Д/) е в общем случае отображается вращающимся вектором с пе- ременной длиной Л(/). Его угловая скорость вращения ©(/) меняется во време- ни. При представлении узкополосного в расширенном смысле сигнала через квадратурные компоненты алгоритм (2.116) реализуется достаточно просто: (2.127) сигнал- Й Следует отметить, что 4(0 и As(f) сопряжены по Гильберту лишь при условии, что ком- плексный сигнал A(t) содержит только положительные частоты. 69
x0W = лсв(г) cosco ot- 4eWsm<o0r, где A,eW = 4(Ocos0-/le(r)sm0; A,eW = AWcos0-A(Osin0. Алгоритм преобразования частоты (2.118) можно представить в виде хД(В W = А.д® W cos©/ “ А,д® W sin<V-> где Ад. (О = A(0cosA©/ - A(0sinAco/; Ад® W = A0)cosA©/ - A(0smAa>/. Используя понятие сопряжённого по Гильберту сигнала, Л.М. Финк ввёл очень важное для теории и практики электросвязи понятие ортогональности в усиленном смысле пары сигналов x(t) и y(f) [27]. Сигналы x(f) и y(t) ортогональны в усиленном смысле в пространстве L2, если одновременно со °о (х, у) = J x(t)y(t)dt = 0, (х, у) = J x(t)y(t)dt = 0, (2.128) —во —во Полезность понятая ортогональности в усиленном смысле объясняется тем, что сигналы х(/) (у(0), пройдя через канал связи, часто получают случайные фазовые сдвиги 0Х, 0Г При выполнении условий (2.128) ортогональность сиг- налов сохраняется при произвольных фазовых сдвигах 0Х и 0у. Действительно, представим сигналы x(t) и y(t) через огибающую A(t) и пол- ную фазу: х(/) = A(0cos\y,(0, y(t) = Ay(t) cosy y(i). Сигналы, получившие фазовые сдвиги 0Х и 0у, запишем с учётом (2.116): Хед (0 = COS0, х(0 - sin©, x(t), (2.129) Ув> (г) = cos0y у(0 - sin0y y(t). (2.130) Ортогональность сигналов х0 (/) и у0 (/) (4 > Уе,) = f V (') Уе, № = 0 (2.131) —во будет обеспечена только в том случае, если сигналы x(f) и y(t) ортогональны в усиленном смысле (условие (2.128)). Этот результат очевиден, если выполнить операцию (2.131) с учётом (2.129), (2.130) и условия (2.128). Как будет показа- но в гл. 5, при наличии случайного фазового сдвига в канале система сигна- лов, ортогональных в усиленном смысле, обеспечивает наибольшую помехо- устойчивость. Часто используемая в технике связи система ортогональных в усиленном смысле сигналов, определённых на интервале (-772; Т/2), строится на основе тригонометрических функций кратных частот {cos©/, cos2©/, ..., costa)/, ... }. (2:132) Обычно в ансамбле (2.132) удерживается конечное число компонент JV. Если ансамбль (2.132) дополнить элементами sin(AxoiZ), то получаем ансамбль орто- гональных сигналов размерности 2N. Если каждый элемент последнего ан- самбля дополнить противоположным элементом (-costa)it, -sinta)/), то получа- ем часто используемый при передаче дискретных сообщений ансамбль сигна- лов, называемый биортогональным. Число элементов этого ансамбля AN. Вероятностные характеристики огибающей и фазы узкополосного случайного гауссовского процесса. Для определения ПВ огибающей А и фазы <р узкополосного случайного процесса
будем исходить из совместной плотности вероятности w(Ac, As) квадратурных компонент Ас и 4S в фиксированных сечениях СП. Считая процесс гауссовским, представим эту ПВ (А'-тс)2 ч (А,-т,)2 },Aa)=w(Ac)v\As) = -r=^G 2а‘ 5/2ЛС2 где пгс, ms, °с, — МО и дисперсии квадратурных компонент. Представление (2.133) пред- полагает, что квадратурные компоненты Ас, А^ — независимые случайные величины, что все- гда можно обеспечить. Действительно, известно, что гауссовский вектор комплексной оги- бающей А можно так расположить в декартовой системе координат1 \ что его проекции (Ac, As) оказываются некоррелированными (значит; и статистически независимыми при гаус- совском распределении). Для упрощения анализа ограничимся случаем, когда дисперсии квадратурных компонент равны с2 - ст2 = ст2 . Тогда из (2.133) следует Л2 + Д? /п2 + /п2 + А.т. 2а2 2а2 о2 wi (2.133) w(4,4) = —-ехр- 2лс (2.134) Перейдём от декартовых координат Ас, 4S к полярным координатам А = ^А^ + А^ , ср = аге^(4,/4е) . Тогда Ас = Xcoscp, As = Xsincp. Элементарная площадка в декартовых координа- тах равна dAxdAc (см. рис. 2.32, а). Площадку той же величины в полярных координатах мож- но выразить формулой AdtpdA^ (см. рис. 2.32, б). Приравнивая вероятности элементарных со- бытий в двух системах координат, получаем w(Ac, As)dAcdAs = w(Ac, As)Ad<pdA = w(A, <p)dAd<p и w(A, <p) = w(4coscp, 4sin<p)4. С учётом (2.134) следует результат Л2 т2+т,2 A i . \ А 2лс2 Одномерную плотность вероятности огибающей получим, интегрируя (2.135) по ным значениям ср на интервале периодичности гармонической функции (-л; +л) л А2 т2+т2 w(A) = Р(Д(р)<Лр = -71 (2.135) всевозмож- П -71 +т,2 cos(<p—9) т dtp, 0 = arctg— , /Ид (2.136) Интегрирование можно выполнить при помощи табличного интеграла 1 г Ccos(<p-e) —-Je d<p = i0(c), Z7C * -п где /0(О — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка (при С = 0 имеем Рис.2.32. Определение элементарных площадок в декартовых (а) и полярных (б) координатах б) 1 р 2oi 1! Поворот системы координат, при которой обеспечивается некоррелированность Ас и As, не влияет на модуль А— | А |, следовательно, и на его ПВ. 21 Говорят, что якобиан преобразования из декартовой системы координат в полярную равен А. 71
Iq(C) = 1, с ростом | С| функция непрерывно возрастает). После интегрирования следует ре- зультат Аг+т,+т% , _______ w(a) = ^Q 2°г /о +/”s2 )• (2.137) СТ \СТ Z Формула (2.137) выражает обобщённый закон Рэлея или закон Райса. Узкополосный случайный процесс X(f) с регулярной частью Xp(f) (с отличным от нуля МО) можно представить, как %(/) = ^Лс + /пс^со8ш0/-^Л8+/п^8тш0/ = %(1) + %р(/). (2.138) Отсюда видно, что амплитуда регулярной части сигнала Ар=^т2+т2 . (2.139) С учётом (2.139) представим распределение Райса , . А (ААЛ w(a)=— е 20 /0—г-,Л^0. (2.140) СУ \ СУ J Эта зависимость при различных параметрах — дана на рис. 2.33, а. Одномерную плотность ст вероятности фазы получим, интегрируя (2.135) по всевозможным значениям А (от 0 до оо). Следует результат ! \ 1 w Л Cos(cp- i-е Ар cos((p - б) 2ст2 - Лр sin z е 20 (2.141) Л График этой функции дан на рис.2.33,б при различных параметрах — . При отсутствии регу- ст лярной части сигнала1) (тс= ms = Ар = 0), учитывая, что Jq(O) = 1, получаем из (2.140) рэлеев- ское распределение амплитуды wU)=-4-e 2°2, azo. ст Фаза сигнала в этом _1_ w(cp) = 2тг ’ 0, случае имеет равномерное распределение (2.142) д От (2.141) часто переходят к распределению безразмерной величины у- —. Из условия ст w(y)dy = w(A)dA находим рэлеевское распределение для нормированной амплитуды "VWe ,у*0. (2.143) Распределение (2.143) дано на рис. 2.34. МО огибающей, распределённой по Рэлею (2.141) Рис.2.33. Распределение амплитуд (а) и фаз (б) райсовского вектора Рис.2.34. Распределение амплитуды безразмерного рэлеевского вектора *) Можно показать, что только в этом случае СП (2.128) стационарен в широком смысле. 72
-F, OF, f Рис.2.35. Графики СПМ (а) узкополосного квазибелого шума на положительных частотах и (б) низкочастотного квазибелого шума Рис.2.36. Вид функции корреляции узкополосного квазибелого шума А = $Aw(A)dA = ст о _______________________________ ОО Среднее значение квадрата огибающей А2 = J A2 w(A)dA = 2ст2 . Дисперсия рэлеевской оги- о бающей (средняя мощность флуктуаций) ст2 = А2 - А2 = —-ст2. Корреляционная функция узкополосного случайного процесса. Пусть СПМ узкополосного СП X(t) на положительных частотах [/о - fo + Гв] является равномерной G0[f) = No и равна нулю вне. этой полосы (рис. 2.35, «). ФК тако- го СП fo+P, В(т)= jG0(/)cos®T^f- fo~F, N . /o+F. -----sin СОТ 2дт f0-Ft sin(co0 +сов)т -sin(a>0 -®b)t Используя формулу sina - sinP (2.144) получаем В(т) = 50(t) coscoqt, (2.145) где , . sinQ т В0(т) = 2ад—(2.146) £2BT Выражение (2.146) определяет ФК низкочастотного квазибелого шума (рис. 2.35, б). График ФК, определяемый формулой (2.145), дан на рис. 2.36. Отметим, что дисперсия узкополосного процесса (равная дисперсии низкочас- тотного квазибелого шума) ст2 = Б(0) = во(О) = 2FrNq. 2.8. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ (СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ) Прямое и косвенное описание процессов. Способы представления как слу- чайных, так и детерминированных процессов можно разделить на прямые и косвенные. К прямым способам описания относится аналитическое представ- 73
ление реализаций процесса временными функциями на основе функциональ- ной связи значений сигнала в данный момент с его значениями в прошлом. То же относится к различным функциональным преобразованиям, отображаемым алгебраическими, разностными, интегро-дифференциальными уравнениями, в которых функциями времени являются детерминированные или случайные процессы. Так, задача исследования переходного процесса в линейной стацио- нарной системе классическим методом с использованием дифференциального уравнения системы является типичной для прямого способа описания сигна- лов. Спектральное описание колебаний — характерный пример косвенного описания. К. косвенным способам описания процесса можно отнести такие па- раметры сигналов, как эквивалентная ширина спектра, эквивалентная дли- тельность. При описании случайных процессов в предыдущих параграфах мы пользовались косвенными характеристиками случайного процесса: интеграль- ной функцией распределения, плотностью вероятностей, моментами первого и второго порядка, дисперсией, функцией корреляции, интервалом корреляции и другими усредненными статистическими характеристиками. При косвенных способах описания вероятностные закономерности отражают устойчивость средних результатов. Косвенное описание СП находит основное применение в задачах анализа. В задачах синтеза СП прямой способ сводится к определению алгоритма воспроизведения его реализаций по заданным вероятностным характеристикам (косвенному описанию). При этом СП можно представить на основе описания поведения динамической порождающей системы (рис. 2.37, а), на вход кото- рой воздействует белый шум N(t), а на выходе формируется процесс Х(1) с тре- буемыми характеристиками. Иначе говоря, прямой способ задаёт алгоритм ге- нерирования процесса, а косвенный — вероятностные характеристики процес- са. Как прямые, так и косвенные способы описания случайных процессов ши- роко применяются в задачах теории связи. Некоторые модели источников (сообщений, сигналов, помех). Пусть выход источника представляет собой непрерывную функцию х(/), являющуюся реали- зацией некоторого случайного процесса X(t\ Для описания X(f) воспользуемся динамической порождающей системой (рис. 2.37, а), на вход которой подаётся стационарный белый гауссовский шум N(t) со спектральной плотностью мощ- ности No. Случайный процесс X(t) на выходе простейшей динамической систе- мы (интегрирующей ЛС-цепочки) первого порядка (рис. 2.37, 6) определяется стохастическим дифференциальным уравнением состояния. dx(t) ,. .. dx(t) ,. _ —— = -ccx(0+cgV(z) или —-—+ax(t) = aN(t), (2.147) at at где a = l/RC — известная постоянная величина; N(t) — стационарный белый гауссовский шум с известными статистическими характеристиками: М(Ш) = 0, M(N(t)N(t-i)) = ^-d(i). (2.148) Общее решение линейного уравнения (2.147), состоящее из решения одно- родного уравнения (определяющего свободные колебания) и частного решения (при заданной реализации «(/))> имеет вид 74
N(t) э ПС 6) «(О Рис.2.37. Порождающая система (фильтр) (а) и динамическая система 1 -го порядка под действием реализации БГШ n(f) (б) Рис.2.38. Зависимость СПМ на выходе динамической системы 1 -го порядка (а) и ФК (б) случайного процесса процесса X(t) = x(t0) е RC+^f e RC n^dz > где jc(4)) — начальное условие. Можно показать, что рассматриваемый СП X(t) является гауссовским и марковским, а его СПМ (см, гл. 4) сД/) = уМ a1 N, а2 +со2) ’ (2.149) гяе = — передаточная функция интегрирующей RC цепочки. На рис.2.38, а изображён график СПМ, определяемый согласно (2.149) на положительных частотах. Спектру (2.149) соответствует КФ экспоненциально- затухающего типа (рис. 2.38, б) B,(T)=fG,(/)eja"d/ = o2e-“w (2.150) где дисперсия о2 = Вх(0) = o.Nq/4. График зависимости (2.150) при т > 0 пока- зан на рис. 2.38, б. На основе уравнения состояния (2.147) можно составить схему устройства (вычислителя) для формирования случайного процесса с за- данными КФ и СПМ (рис. 2.39). В качестве модели источника, порождающего узкополосный случайный сигнал, можно использовать случайный процесс X(f) на выходе колебательного контура (рис. 2.40) при действии на его входе белого шума с теми же характе- ристиками, что и в предыдущем примере. ФК и СПМ случайного процесса X(f) (который является гауссовским и марковским) определяются теперь на ос- нове системы стохастических уравнений состояния Рис.2.40. Последовательный колебательный контур под воздействием реализации БГШ и(Г) 75 Рис.2.39. Схема вычислителя для формирования СП на выходе динамической системы 1-го порядка при подаче на вход гауссовского белого шума
соответствующих дифференциальному уравнению 2-го порядка (контура), где 2а = R/L, со2 =77; (для контура с малым затуханием считаем со2 » а2); ФК процесса X(Z) имеет экспоненциально-косинусную форму а । COS(00T+--------------------Sm(O0|T| , ® О ' —оС°° . СПМ определяется выражением 8а (2.152) Вх(х) = ст2е где дисперсия процесса ст2 G,(_/) = (2.153) Гауссовские и марковские СП, сформированные на основе стохастических дифференциальных уравнений (2.147) и (2.151), часто используются в качестве типовых моделей телеметрических сообщений, телевизионных и речевых со- общений. На модели речевого сообщения целесообразно остановиться более подробно. Модели речевого сообщения. Под речевым сообщением b(f) будем понимать электриче- ское колебание, наблюдаемое на выходе электроакустического преобразователя при действии на его входе акустической речевой волны. К преобразователю отнесем микрофон вместе с фильтром, формирующим спектр выходного колебания в заданной полосе частот, а также устройство регулировки уровня. b(f) является речевым сообщением (первичным сигналом) в непрерывном времени /, его спектр сосредоточен в определённой полосе частот, например, для стандартного телефонного канала 300...3400 Гц. Смысловое содержание акустической речевой волны априорно неизвестно в общем слу- чае одному смысловому содержанию в разных экспериментах могут соответствовать различ- ные электрические колебания, отличающиеся временной структурой, длительностью, формой и т.д. Поэтому речевое сообщение следует рассматривать как случайный процесс, реализации которого наблюдаются на выходе формирующего источника — источника речевых сообщений (сигналов). Случайный процесс как совокупность случайных величин задаётся вероятностны- ми характеристиками — функциями распределения Вероятностей, плотности вероятностей, моментными характеристиками. Эти характеристики часто включаются в состав вероятност- ных моделей речевых сигналов. На практике априорные сведения о речевом сигнале не всегда оказываются достаточно полными, чтобы можно было явно задать его вероятностную модель. Поэтому приходится описывать процесс статистическими характеристиками, которые определяются опытным пу- тём. Оценки интегральных функций распределения вероятностей, плотности вероятностей, КФ, СПМ дают приближённое представление о речевом сигнале. Они получаются усредне- нием за сравнительно большой промежуток времени в предположении стационарности и эр- годичности речевого сигнала и вследствие этого не дают полного представления о его мгно- венных свойствах. Экспериментальные данные показывают, что если исключить паузы длительностью свы- ше 350 мс, то одномерная плотность речевого сигнала хорошо аппроксимируется двусторон- ним гамма-распределением г ( IaIY-1 г !*! е ’’ <2Л54> где ст — среднеквадратическое значение; Ка = +1) ; Г(а) — Гамма-функция; а > 0 — пара- метр, зависящий от качества (главным образом, полосы пропускания) абонентского тракта, в основном от качества микрофона — для высококачественного микрофона а — 0,5 и более. При а = 1 (2.154) переходит в распределение Лапласа (экспоненциальное распределение) 76
Рис.2.41. Спектральная плотность мощности (а) и нормированная корреляционная функция (б) речевого сигнала 1 w(M = —-е ° . Распределение сигнала речи в паузах с учётом шумовых напряжений аппроксимируется гауссовским распределением ' 1 w(b) = —r=Q , ст2=а2ст2, (2.155) / у2тгст2 где 0 < а < 1 — параметр, характеризующий поведение функции плотности вероятности (при а —> 0, см. (2.155), он стремится к 8-функции). Распределение речевого сигнала в целом мо- жет аппроксимироваться взвешенной суммой распределений (2.154) и (2.155) с учётом веро- ятности появления пауз речи. На рис. 2.41, а показана экспериментальная зависимость нормированной спектральной плотности мощности речевого сигнала П2 УдБ =101g— где 772(/) — спектральная плотность среднего квадрата звукового давления речи; По = 20 Па — порог слышимости (минимальное звуковое давление, которое начинает ощущаться челове- ком с нормальным слухом на частотах 600...800 Гц). На рис. 2.41, б дана зависимость коэф- в(%\ фициента корреляции речи Я(т) = —от т, соответствующая СПМ на рис. 2.41, а. (У В последние годы всё большее распространение находят модели речевых сигналов в виде динамических порождающих систем. Например, выбирая в качестве динамической системы последовательно соединенные АС-фильтры нижних и верхних частот (рис. 2.42, а), получают описание речевого сигнала двухкомпонентным марковским процессом. В этом случае СП представляется системой стохастических уравнений состояния Рис.2.42. Вариант порождающей системы (фильтра) для речевого сигнала (а) и график СПМ (на положительных частотах) процесса на выходе порождающего фильтра (б) 77
-^-=-ал(0 + «1А0- ^- = -а2х2(г) + ^[-оцх,^) + оцЛ^)], (2.156) где Х1(/) и х2(/) = й(О ~ соответственно напряжение на ёмкости С] и на нагрузке Л2; Kq — ко- эффициент передачи устройства развязки; N(f) обладает свойством (2.148); aj = l/AiQ, a2 = 1/Я2С2 — постоянные коэффициенты. СПМ и ФК случайного процесса £(?); определяе- мые на основе решения (2.156), будут:. (2.157) 2(ш +af До +а21 «(«i-Ч)1 (2.158) Для частного случая, когда а! = а2, на рис. 2.42, б изображён график СПМ. Модель стохастического дискретного источника. В качестве модели многих двоичных источников сообщений (например, данных на выходе ЭВМ) можно использовать модель случайного стационарного синхронного двоичного сигна- ла JQB(Z). Будем полагать, что процесс X№(t) с вероятностью 0,5 принимает в дискретных точках, кратных Т, значения ±/г (сохраняя эти значения на интер- вале Т) независимо от значений процесса на предыдущих тактовых интервалах. Две реализации рассматриваемого процесса показаны на рис. 2.43. Очевидно, что М^дв(0] = 0,5(-А) + 0,5/1 = 0, 2>[Хда(/)] = 0,5(-А)2 + 0,5Л2 = h2. Зафиксируем момент 4) (см. рис. 2.43). Интервал А, отделяющий точку to от ближайшей точки, в которой может произойти изменение знака процесса Лдв(/)> распределён в нашей модели равномерно на отрезке [0, 7]: w(A) = О , Т < t < 0. Возьмём сечение процесса Х№($ в моменты to и to + т (т>0). Если т < А, то усредненное значение произведения рассматриваемых сечений равно /12, если т > А, оно равно 0,25(/i2 - /12) = 0 (произведение (~h)h получается, если знаки посылок в отдельных сечениях не совпадают, /12 — если знаки этих посылок совпадают. Поэтому ФК процесса Хц$(1) т ( \ Ат) = АД > т)Л2 + АД < т) О = h2 f ^(A)dA = - yj X Ввиду чётности ФК по аргументу т окончательно запишем выражение для ФК: Ат) - h2 1-^ , | к Т) (2.159) О, И >Т. Зависимость (2.159) при т > 0 дана на рис. 2.44, а. Взяв прямое преобразование Фурье от (2.159),, получаем СПМ для процесса X№(t): НА ,2Tsm2(<o7’/2) /э С(/) = Л Г"(шГ/2)“ ' <2'160) График зависимости (2.160) (на положительных частотах) дан на рис. 2.44, б. 78
Рис.2.44. ФК (а) и СПМ (б) случайного процесса XJf) Рис.2.43. Две реализации случайного стационарного синхронного двоичного сигнала ВЫВОДЫ 1. Сообщения, сигналы и помехи в системах электрической связи прежде всего описываются некоторыми функциями времени (процессами), которые являются детерминированными или случайными. 2. Сообщения, сигналы и помехи как векторы (точки) в линейном пространстве можно опи- сать через набор координат в заданном базисе (совокупности линейно независимых еди- ничных векторов). Чаще всего базис является ортонормированным. 3. Для ТЭС наибольший интерес при отображении сигналов представляет л-мерное про- странство Евклида Rn, бесконечномерное пространство Гильберта /^(Т) ЕГдискретное про- странство Хэмминга 2Л. В этих пространствах вводится понятие скалярного произведения двух векторов (х, у). 4. Любую непрерывную функцию времени как элемент Li можно представить обобщённым рядом Фурье по заданному ортонормированному базису. Усечённый обобщённый ряд Фу- рье даёт описание непрерывной функции времени с определённой погрешностью. 5. Частным случаем обобщённого ряда Фурье является обычный ряд Фурье для периодиче- ских функций, когда в качестве базисных используются гармонические функции кратных частот. Ряд Фурье можно представить в действительной и комплексной форме, вводя в рассмотрение отрицательные частоты. Периодическая функция характеризуется линейча- тым спектром. 6. Спектр по Фурье непериодической функции времени x(t) является сплошным. Он опреде- ляется спектральной плотностью (СП) 5Ж(/). Функция х(?) й СП <$,(/) связаны линейно парой преобразований Фурье. Модуль рж(/)| = определяет амплитудный спектр сиг- нала х(0, a argSx(/) определяет фазовый спектр. 7. Временная ФК детерминированного сигнала с размерностью энергии связана со спектральной плотностью энергии (СПЭ) И'Д/) парой преобразований Фурье. Аналогично связаны временная ФК сигнала В(т) с размерностью мощности и спектральная плотность средней мощности (СПМ) Сж(/). ^0) определяет энергию сигнала, а В(0) — его среднюю мощность. 8. Произведение эффективной длительности простого сигнала тэ и эффективной полосы его Частот Fj — величина порядка единицы. 9. Сигнал х(?) с финитным спектром FB представляется в обобщённый ряд Фурье по базисной sincoB(z-М) гов(/-М) системе функций >. Координатами разложения являются временные отсчёты х(А:Д) в сечениях, кратных интервалу дискретизации A<l/2f’B. Приближённое представление 79
такого сигнала на интервале Т определяется усечённым рядом с числом координат х(ЛД), равным базе сигнала В = 2FBT. 10. Случайные процессы (СП) чаще всего описываются косвенным путём через плотности ве- роятности (ПВ) и интегральную функцию распределения (ИФР). Более грубыми характе- ристиками СП являются его математическое ожидание «!](/) = X(z), дисперсия cs2(t) = X2 и ФК B(t) = Y(0^-t). 11. В теорйи и практике электросвязи большую роль играют стационарные в широком смысле СП, определяемые не зависящей от времени одномерной ПВ и двумерной ПВ, зависящей от разности выбранных сечений т. Такие процессы часто обладают свойствами эргодично- сти: характеристики, полученные усреднением во времени одной реализации, приближён- но равны характеристикам, полученным усреднением по реализациям СП. 12. ФК и СПМ случайного процесса связаны парой преобразований Фурье. Эффективная ши- рина спектра СП F3 обратно пропорциональна интервалу корреляции СП ткор. 13. Представление центрированного СП в обобщённый ряд Фурье с некоррелированными ко- ординатами (разложение Карунена-Лоэва) называется каноническим разложением. Для СП с финитным спектром каноническое разложение определяется рядом Котельникова. 14. Двумерной плотностью вероятности полностью определяются гауссовский и простой мар- ковский случайные процессы. Некоррелированность сечений гауссовского СП означает и их независимость. 15. Узкополосные вещественные процессы x(f) (как детерминированные, так и случайные) удобно представить через квадратурные составляющие, огибающую и фазу, через ком- плексную огибающую. Мнимая x(z) и вещественная x(f) части, комплексного (аналитического) узкополосного сигнала x(z) связаны парой преобразований Гильберта. 16. Спектр аналитического (комплексного) сигнала x(z) = x(z) + jx(z) лежит полностью в области положительных частот, а сигнала x(t) = х(г)-jx(z) — в области отрицательных частот. 17. Огибающая узкополосного гауссовского СП при равной дисперсии квадратурных компо- нент распределена по обобщённому закону Рэлея (или закону Райса). У стационарного (центрированного) гауссовского СП огибающая распределена по закону Рэлея, а фаза — равномерно на отрезке [-тс/2; тс/2]. 18. Непрерывные и дискретные источники сообщений, сигналов и помех (процессов, разви- вающихся во времени) можно описать или прямым способом (через временные функции их реализаций) или косвенным способом (через различные спектральные характеристики, а для СП — через функции распределения). 19. Непрерывные источники случайных сигналов (сообщений), например, речи и телевидения, часто описываются не только косвенным способом (через функции распределения и мо- ментные функции), но и прямым способом (через стохастические дифференциальные уравнения состояния). 20. Удобной моделью для исследования дискретных источников является модель случайного стационарного синхронного двоичного сигнала с нулевым МО и треугольной ФК. ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 2.1. Заданные на интервале (-Т/2;Т/2) сигналы x(z) = л/2соз(2п//7’) и y(t) = >/2cos(4nt/T) трак- туются как элементы пространства Гильберта 1о.(Т). Докажите, что: а) нормы этих сигна- лов равны 1; б) их скалярное произведение равно 0; в) расстояние между ними равно ^2 . 2.2. Докажите, что в «-мерном пространстве Хэмминга 2Л существует лишь один ортонорми- рованный базис, образованный п векторами: (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1). 2.3. Докажите, что функции Уолша wal(3,Q) и wal(5,&) ортогональны на интервале (-1;+1). 2.4. Как определяется погрешность представления сигнала х(?) как элемента пространства ^2(7) усечённым обобщённым рядом Фурье? 2.5. Найдите спектральные компоненты периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов длительностью т с периодом следования 7= 2т по спектральной плот- ности Фурье одиночного импульса. . 80
2.6. Покажите, что если спектральная плотность по Фурье Sy(f) = Sx(f')Sg(f') сигнала ХО равна произведению спектральных плотностей сигналов x(t) и g(f), то сам сигнал ХО оп- ределяется временной свёрткой сигналов x(t) и g(0: ХО ~ х(0 ® S(t)- Аналогично если хо = то 5Д/) = s,(/)®s,(/). 2.7. Пользуясь определением 8-функции, найдите спектральную плотность по Фурье посто- янной составляющей x(t) = а. 2.8. Дан прямоугольный импульс x(f) — A, t е[-Ти/2; Ти/2]. Найдите его ФК ВХТ) (с размерно- стью энергии) и В(т) (с размерностью мощности), а также СПЭ ^(У) и СПМ <?,(/). 2.9. Чему равен максимальный интервал дискретизации речевого и телевизионного сигнала, если верхнюю частоту в спектре сигнала принять равной соответственно 4 кГц и 6,5 Мгц. 2.10. Из каких соображений интервал дискретизации А непрерывной функции времени с фи- нитным спектром на отрезке [~7В; +7В] часто выбирают меньше, чем 1/27в ? 2.11. Имеется экспоненциальный импульс х(/) = l(t)e-<u. Какова относительная погрешность при восстановлении этого сигнала по его дискретным отсчётам при шаге дискретизации А= WB? 2.12. Дискретный стационарный двоичный источник описывается простой цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей вероятность появле- ния символа at при условии, что ему предшествует символ a'j. Пусть р(1|1') = 0,9; р(1|0') = 0,7 . Определить: вероятности Р(о|Г), Р(о|О'); безусловные вероятности передачи символов ДО) и Д1); вероятности передачи цепочек из трёх символов (1, 1, 0) и (0, 1, 0). 2.13. Дискретный случайный процесс принимает три значения с вероятностями р(а\) = 0,3; р(а2) = 0,2; р(аз) = 0,5. Написать выражение для плотности вероятности процесса, по- строить график ИФР. 2.14. Покажите, что случайный узкополосный процесс X(t) = Ac(t)cosa0t-с незави- симыми квадратурными компонентами Лс(/) и Д(/) стационарен лишь тогда, когда Лс(/) = Д(/) = 0 и Л2 = Л2 = с2 = const. 2.15. СП X(t) = Acos(a>o/+ Ф) с равномерно распределённой фазой эргодичен. Найдите его МО. Напишите аналитическое выражение для ФК и СПМ. 2.16. СП, определённый на отрезке [—7/2; +7/2], имеет экспоненциальную функцию корре- ляции В(т) = ехр|-|т|/ткор|. Найти каноническое разложение этой функции по ортонор- мированной системе базисных функций {-^2cos(2ra7/7’)}, /=0, 1, 2, ... 2.17. Напишите двумерную плотность вероятности Цх^хз.т) стационарного гауссовского случайного процесса с корреляционной матрицей R = 1 -<Ф1 -а|т| е 1 МО пц — 0 и диспер- сией ст2. Определите условную ПВ этого процесса 2.18. Сигнал x(t) является суммой двух гармонических компонент: x(f) = i/jcosoy + t/2coso>2Z. Найти: сопряжённый по Гильберту сигнал х(/), аналитический сигнал x(t), огибающую Л(/) = /х2(/) + х2(/) , полную фазу Т( /) = arctg(x( t )/x(t)), мгновенную частоту «>(') = x'(/)x(t) - x'(/)x(t) dt x2(/) + x2(/). 2.19. Найти единое дифференциальное уравнение колебаний в контуре по заданной системе уравнений состояния (2.151). 2.20. Найти интервал корреляции ткор по методу равновеликого прямоугольника для случай- ного стационарного синхронного двоичного сигнала Ац(/). Чему равна эффективная ши- рина спектра 7Э ? 81
ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДУЛЯЦИИ И ДЕТЕКТИРОВАНИЯ 3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Как следует из гл. 1, в системе электрической связи имеют место различ- ные преобразования сигналов. Одним из важнейших преобразований является модуляция — изменение параметров некоторого переносчика ("несущей") по за- кону первичного сигнала />(/). Так образуется сигнал на выходе модулятора «(/), который способен передаваться по данной линии связи. Проходя от моду- лятора передатчика до детектора приёмника1), сигнал u(f) претерпевает различ- ные изменения (обусловленные, главным образом, полосовой фильтрацией в выходных каскадах передатчика и входных каскадах приёмника, а также изме- нениями в линии связи (см. гл. 4)) и превращается в сигнал на входе детектора $(/). Из анализируемого колебания z(t) = s(t) + n(t) — аддитивный шум в канале) надлежит получить оценку 6(/). Преобразование сигналов в модуляторе и детекторе связано с трансформа- цией спектра входного сигнала, т.е. появлением в выходном продукте частот- ных составляющих, которых нет на входе. Действительно, спектры сигналов 6(/) и b(t) находятся в области низких частот, в то время как спектры сигналов u(t) и 5(0 являются полосовыми в границах от У] до /2, причём f\ > 7^, FB — верхняя частота в спектре первичного сигнала. В системах электрической связи встречаются и другие преобразования сигналов, связан- ные с трансформацией спектра. К ним относятся: а) генерация сигналов определённой формы, например гармонических с частотой fo, исполь- зуемых в качестве несущих при модуляции. Поскольку генератор питается за счёт источника постоянного тока (напряжения), здесь имеет место типичная ситуация с трансформацией спектра; б) преобразование частоты. В этом случае сигнал на входе устройства мвх(0 ~ ЦОСОМЮ0^ + ф(0] с переменной амплитудой U(t) и (или) фазой ф(/), сосредоточен- ный по спектру около частоты fo, превращается на выходе устройства в сигнал «выхСО = KU(t)cos[a>npt + <p(z) + фо], имеющий ту же форму {К и фо ~ константы), но сосредо- точенный по спектру около частоты /пр- При преобразовании частоты вверх /„р > fo, при преобразовании вниз /пр < fo- Преобразование частоты часто используется в современных устройствах при приёме сигналов как с амплитудной, так и угловой модуляцией; в) умножение и деление частоты, когда входной гармонический сигнал «Вх(0 = С/осо8[юо^ + Фо] превращается В сигнал «вых(/) = KUocos[(a>om/n)t + ф1], где тип — целые числа. Такие уст- ройства часто используются на практике при генерации заданной сетки частот. Линейные системы с постоянными параметрами (стационарные системы) не могут трансформировать спектр входного сигнала мвх(0- Действительно, любой входной сигнал можно представить суммой гармо- нических компонент. Гармоническое же входное колебание йвх = eJ<w является собственной функцией системного оператора L линейной стационарной сис- 11 В технике часто используется многоступенчатая модуляция (см. ниже). В этом случае при- ходится реализовать и многоступенчатую демодуляцию. Последнюю ступень демодуляции, вы- дающую оценку b(t), называют детектированием. Именно эта ступень демодуляции рассмат- ривается в дальнейшем. 82
темы, т.е. таким входным колебанием, которое на выходе не меняет свою фор- му: мВых(0 = Д«вх(0] = ^«вх(0,-^ — собственное значение оператора. На самом деле, согласно интегралу Дюамеля при заданной импульсной характеристике системы g(?) (см. гл. 4): Q0 00 00 “выхМ = J g(T)wBX(? -T)t/r = j g(T)eJ(o('“TWr = eJ“' J . —oo —oo —oo Таким образом, собственным значением системного оператора L является оо комплексное число X = K(/)=fg(T)e-j“TcZT, которое определяет частотную ха- —оо рактеристику (ЧХ) системы (см. гл. 4). Для трансформации спектра можно использовать или линейную систему с переменными параметрами (параметрическую систему), или нелинейную сис- тему. Ограничим анализ параметрической системой нулевого порядка (без ре- активностей) и нелинейной системой нулевого порядка. На рис. 3.1 изображён резистивный параметрический двухполюсник. Пусть входное напряжение ме- няется по гармоническому закону с частотой f\. = (7] cos (со ] Г + q>]), а пара- метрическая проводимость (крутизна характеристики) меняется по гармониче- скому закону с частотой управления fy: S(f) = 5q + 5'icos(oyr + фу). Согласно закону Ома ток в цепи /(О — «1(05(0 = [/i5bcos(oj]/ + (pi) + t/]5icos(a>i/ + ф])со8(оу/ + фу). Воспользовавшись известной из тригонометрии формулой cosa-cosp = 0,5cos(a + Р) + 0,5cos(a - Р), (3.1) получаем i(t) = UlS0 со^ю^ + ф^+О^С/^ cos^Qj + а>у)г + ф] +ФУ} + + 0,5^5] cos^aij -оу^ + ф] -фу| • Таким образом, ток (выходной сигнал) содержит компоненты на частотах /1 ± fy, которых нет во входном сигнале, т.е. произошла трансформация спек- тра. Полезные (при решении тех или иных задач) частотные составляющие то- ка iff) выделяются линейной фильтрацией. На практике параметрит .й резистивный элемент Rft) получают путём внешнего управления нелинейным сопротивлением. Рассмотрим нелинейный резистивный двухполюс- ник с вольт-амперной характеристикой (ВАХ) i = flu) (рис. 3.2), на который действуют на- пряжения сигнала uflt) и управления «2(0- Ток в нелинейной цепи i~flu\+ <*!) (3.2) Предположим, что сигнал управления существенно превышает входной сигнал: |w2| » |wj| . Разлагая (3.2) в ряд Тейлора по малому сигналу W] и удерживая два члена ряда, получаем Рис.3.1. Параметрическая система нулевого порядка Рис.3.2. Нелинейный резистивный двухполюсник под воздействием двух напряжений 83
Рис.3.3. Схема перемножения двух сигналов Рис.3.4. Графическое изображение вольт-амперной характеристики (а), входного переменного напряжения в рабочей точке (координаты E,i„) (б) и изменения тока во времени (в) z(z) = /(w2) + — w,(/). Обозначим через S(u2) = — . дифференциальную крутизну не- ' du и = w2 du и-и2 линейного резистора в точке и = и^. Тогда сигнальная составляющая тока (3-3) Следовательно, описанным образом можно реализовать цепь с параметрическим сопро- тивлением Л~(и2)=1/б'~(и2)1). Согласно (3.3) параметрический резистивный (безынерционный) элемент функционирует как перемножитель входного сигнала мвх(/) и управляющего колебания что показано на рис. 3.3. Знаком "х" обозначен блок, осущест- вляющий перемножение двух сигналов. Через Ф обозначен блок, осуществ- ляющий фильтрацию для выделения полезного выходного сигнала. Рассмотрим нелинейную схему рис. 3.2 при произвольных соотношениях сигналов щ и м2- Вольтамперную характеристику нелинейного i — /(м) (см. рис. 3.4, а) очень часто аппроксимируют (относительно рабочей точки, опреде- ляемой напряжением смещения Е) полиномом п-й степени: i — Oq + «1(м - Е) + «2(м _ -Е)* 2 + аз(и ~ -Ё)3 + + ап(и Е)п- (3-4) Чем выше степень полинома п, тем точ’ ее (в заданных пределах изменения входного напряжения) можно описать изм ление тока. При малых переменных входных напряжениях (3.4) можно ограничиться квадратичной аппроксимаци- ей2) . Предположим, что (см. рис. 3.4, б) и= Е + щ — Е + U\ cos(<B]/ + <pi) (гармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами кратных дуг ^Аналогично можно реализовать цепь с параметрической ёмкостью С~(м>) = — , если ' ’ du и -и^ на нелинейную ёмкость с вольт-кулонной характеристикой q = Дм) воздействовать суммой напряжений сигнала и управления «ДО + ^(О- Можно также реализовать цепь с параметри- ческой индуктивностью ДДм = — , если на нелинейную индуктивность с ампер- ' di i = i2 веберной характеристикой Ф = Дг) воздействует сумма токов сигнала и управления zf(/) + i^t). 2) Если переменные входные напряжения настолько малы, что (3.4) можно ограничить ли- нейной аппроксимацией i = ао + a\(U — Е). — трансформация спектра входного сигнала не- возможна. 84
cos2 a = (1 + cos2a) / 2 cos3 a = (3 cosa + cos3a) / 4 cos4 a = (3+4 cos2a + cos4a) / 8 cos5 a — (lOcosa +5cos3a + cos5a)/16 (3.5) получим для тока (рис 3.4,в), содержащего гармоники входного воздействия, выражение i — Iq + Zjcos^]/ + (pi) + 72cos(2a>i/ + 2q>i) + Гзсоз(3®]/ + 3q>j) +... ... + Z„cos(na)i/ + «(pi), (3.6) 1 3 где постоянная составляющая тока z0 =aQ + -а2и? +-a4uf+...; 2 8 амплитуда первой гармоники1) /, = (цЩ + -|а3(73 +|а5£Л5+... ; амплитуда второй гармоники i2 = -a2uf +-a4Ui+...; 2 8 ' амплитуда третьей гармоники /3 = -а3и} +—а5[/15+... и т.д. 4 16 Предположим, что и = Е + щ + U2 — Е + U\ cos(®iZ + ф]) + U2 cos(®2^ + Ф2) (бигармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами (3.1), (3.5) и формулой бинома Ньютона +6)* = S C*a* 'Ъ' ’ С* = U = (*-/)!/! ’ можно видеть, что при бигармоническом воздействии в составе тока имеются частоты /= kf\ ± mf2, к = 0,п, т=0,п, (к + т) < п. Гармоники частоты f] соот- ветствуют значениям т = 0 (k*Q), гармоники частоты /2 — значениям к = О (аи*0). Частоты, получаемые при значениях т и к, не равных нулю одновре- Рис.3.5. Аппроксимация нелинейного элемента ломаной прямой менно, называют комбинационными. При этом число (к + т) называют по- рядком комбинационной частоты. Очень часто при исследовании схем с нелинейными элементами при гармонических воздействиях цДО с большими амплитудами ВАХ аппрок- симируют ломаной линией (кусочно- линейная аппроксимация (см. рис. 3.5)). Аналитическая запись для ломаной прямой имеет вид При исследовании нелинейных систем, когда полезный продукт определяется только пер- вой гармоникой , часто вводят понятие средней крутизны \р(^)=Л/^1 > т.е. вводится по- нятие линеаризации при данном значении Ц нелинейной системы по первой гармонике (так 3 5 как Д =Scp([/)t/1). В нашем случае Scp(u) = al + -a3[/,2 + 85
I = Z \ ' > Syu-Une), u^U^, u = E+Ucosat, где E — напряжение смещения, определяющее рабочую точку; t/0TC - напряже- ние отсечки. График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Под углом отсечки имеют в виду безразмерное время at, в пределах которого ток меняется от максимума до нуля или в пределах которого входное напряже- ние меняется от максимального значения до f/0Tc. Следовательно, можно напи- сать Е + t/cosO = U0TC. Откуда cose = ^~£. (3.8) Угол отсечки может принимать значения от нуля (ток не проходит) до л (линейный режим работы схемы). При Е = U0TC имеем 0 = л/2 (проходят по- ложительные полупериоды входного сигнала). Постоянная составляющая тока I тп определяется формулой Io = — j i(t)dt. * -тп Вводя безразмерную переменную х — at, имеем 1 Г . . SU г, ч SU , . 10 =—J i(x)dx =---J (cosx- cosQfdx --(sin©-0cos0). 2л 2л л —U —v Вводя коэффициент yo(0) = (1/л)(зт0 - 0cos0), называемый коэффициен- том Берга [1] для постоянной составляющей, можно написать /0 = SUy0(Q\ (3.9) С учётом (3.7) и (3.8) получаем формулу для максимального значения тока: «шах = s (Е + U-U07C) = SU (1-COS0). Тогда А) ~ 4пахао(в)> (3.10) где ао(0) = yo(0)/(l-cos0). Если в ходе исследования фиксируются U, S и 0, то для расчётов используется формула (3.9); если фиксируются zmax и 0 — исполь- зуется формула (3.10). Аналогично находим амплитуду первой гармоники тока: 1 0 Z] =-fz(x)cosxa5c = 5t/y1(O) = znuxa1(0), (3.11) 71 -е где yi(0) = (1/л)(0 - sinOcosO), ai(0) = yi(0)/(l - cosO). Для п-й гармоники тока (при п - 2, 3, ...) имеем 1 8 4 = - ( г(х)cos(nx)<fr = SUy„(0) - /шах a„(0), (3.12) 71 -e , . 2 sm(z?0)cos0-z?cos(z?0)sm0 .. y„(0) , , где у (0) =-----------т——ч--------- и a„(0) = ——- - коэффициенты Берга л пуп -1) 1-COS0 по п-й гармонике. Отметим, что для часто используемого режима 0 = л/2 имеем Уо(л/2) = а0(я/2) = 1/л, уДл/2) = аДл/2) = 1/2. При приближённом расчёте постоянной составляющей тока Iq, первой гармоники /[ и второй гармоники Е лля произвольных нелинейных характеристик пользуются методом трёх ординат. В этом случае задают три точки на нелинейной характеристике (см. рис. 3.4): макси- 86
мальное значение тока /’max, минимальное значение тока и среднее значение тока /0 (полученное при отсутствии переменного воздействия на входе). Расчётные значения полу- чим, воспользовавшись приближением i = /0 + /|Cos(a>iZ + ф|) + /эсоя2(Ш1^ + (pj. (3.13) Из рис. 3.4 видно, что точку /тах получим при + (pi = 0. Тогда из (3.13) следует Алах = 4) + 4 + h (3.14) Точку /'о получим при <D|Z + ф| = я/2. Тогда из (3.13) 'о = /о - /2- (3.15) Точку /‘min получим при <D|Z + ф| = л. Из (3.13) следует Anin = 4) ~ Л + h- (3-16) Решая совместно уравнения (3.14)—(3.16), получаем 4) — 0,25 (/щах + /min + 2/q), 1\ ~ 0,5 (/щах Anin), -4 — 0,25 (/щах + /min — 2/'o). Эти формулы дают точные значения амплитуд гармоник, если точна аппроксимация по- линомом второй степени. В технике связи посредством нелинейных схем часто решается задача ум- ножения частоты (например, для получения высокостабильных гармонических колебаний высокой частоты nf\ при наличии высокостабильного гармониче- ского сигнала частоты j\). Рассмотрим умножитель частоты на биполярном п-р-п транзисторе (рис. 3.6). В цепь базы помимо постоянного смещения Е подано гармониче- ское колебание «и, =t/1cos(®1 + ф,). Резонансный контур в цепи коллектора настроен на частоту Пусть амплитуда Щ достаточно большая для того, чтобы можно было пользоваться кусочно-линейной аппроксимацией характеристики /к =Л^бэ)- Тогда л-я гармоника тока коллектора ~ 1^^lYn(0) ~~ zmaxan(0)- Коэффициенты Берга у„(0) и ал(0) были введены выше. Для максимизации 1п надо при заданном параметре SU\ найти такой оптимальный угол отсечки 0, который максимизирует коэффициент ул(0). Из полученных выше соотноше- ний следует ®опт ~~ П. Значит, для умножения частоты в 2 и 3 раза в оговоренных условиях надо выбрать угол отсечки соответственно л/2 и я/З. Для выходных каскадов пере- датчика, где желательно поддерживать максимальный импульс /тах, оптималь- ный угол отсечки 0 надо найти из условия максимизации ал(0). В этом случае для 0ОПТ можно найти приближённую формулу е от Зп Значит, для умножения частоты в 2 и 3 раза при zmax = const надо выбирать угол отсечки я/3 и 2 я/9. Получить существен- ное значение 1п при п > 3 затруднительно, поэтому для увеличения кратности умно- жения частоты прибегают к последова- тельному соединению отдельных каскадов Рис.3.6. Нелинейная схема умножения частоты умножения. Если амплитуда ВХОДНОГО гар- 87
монического сигнала Ц мала, характеристику zK = следует аппроксими- ровать полиномом второй степени, что означает, что в этом случае можно по- лучить лишь умножение частоты в 2 раза. Если резонансный контур в схеме рис. 3.6 настроен на частоту Д, схема ра- ботает в режиме резонансного усиления. Нелинейный режим резонансного усиления энергетически более выгоден, чем режим линейного усиления (0 — л), что имеет особое значение для мощных выходных каскадов передатчи- ка. Определим коэффициент полезного действия каскада усиления как отношение средней мощности полезного продукта Р\ = (первой гармоники) к мощности, потребляемой схемой Ро = Ч = Коэффициент использования напряжения источника питания — <1. Тогда й'о 2Z0 При заданной амплитуде усиливаемого сигнала в цепи базы < Yi(®) _ O-COS0 sin0 2уо(0) 2(sin0-0cos0) Анализ показывает, что эта величина тем ближе к 1, чем меньше 0. При часто исполь- зуемом нелинейном режиме 0 = тг/2 имеем т] « 78 %. При'линейном режиме усиления (0 = л) И = 50%. 3.2. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИИ Используем в качестве несущей (переносчика сообщений) гармонический сигнал *4 =Ц) COSTCO 0/ + ф0). Он характеризуется тремя параметрами: амплитудой Uq, фазой <ро и посто- янной мгновенной частотой оо- Меняя эти параметры во времени по закону первичного сигнала b(t), получаем соответственно сигналы амплитудной (AM), фазовой (ФМ) и частотной (ЧМ) модуляции. Зависимость меняющихся пара- метров несущей от первичного сигнала называют модуляционной характеристи- кой. Рассмотрим сначала линейную амплитудную модуляцию. Её можно запи- сать «ам(0 = ЦО cos(®0^ + Фо) = Ш + ^АМ-Ц01 cos(ro0^ + Фо), (3.17) где U{t) > 0 — огибающая (амплитуда) AM сигнала; Адм — крутизна характери- стики модулятора. Сигнал (3.17) можно записать в виде «дм(0 = Ц [1 + mx(0] cos(®0^ + Фо), где т =-----——— - коэффициент глубины амплитудной модуляции, U о .. z>(0 I I =|&(0|— ~ ноРмиРованныи моДУлИрующий сигнал, |х(01^1. Величина At/ = mU0 определяет девиацию (максимальное отклонение) амплитуды в ходе модуляции. 88
и. Рис.3.7. Векторная диаграмма AM сигнала Рис.3.8. Временные диаграммы при AM На рис. 3.7. приведена векторная диаграмма AM сигнала. Направление это- го вектора неизменно, а его длина меняется при изменении b(t). На рис. 3.8 даны временные диаграммы: а) первичного сигнала b(f) (отрезок синусоиды); б) изменения огибающей [/(/); в) AM сигнала при т < 1; г) AM т > 1 ("перемодуляция")1). При тональной модуляции b{t) — UQcos(Q.t + <pQ) получаем «АМ(0 = 1^0 + СО8(Ш + (pn)]cos(o0/‘ + Фо) = = Uq [ 1 + mcos(O/ + фо)] cos(®o^ + Фо)- С учётом (3.2) сигнал (3.18) можно представить МАМ (0 = cos(® (/ + ф о) + Г^~ COSTCO 0 + п)? + ф0 + фп) + /Z Х ^—СО^о-^+Фо-Фо) Этот сигнал содержит компоненты на частоте несущей (/0) и частотах: верхней (/0+f) и нижней (/0-F), F- Q/(2tc). Амплитудные спектры (на положительных частотах) первичного и AM сигнала (3.19) даны на рис. 3.9. сигнал при (3-18) (3.19) + COI на боковых На рис. 3.10 показан амплитудный спектр первичного сигнала 5й(у), определённый на положительных и отрицательных частотах и амплитудный спектр AM сигнала 50ЛМ (/), оп- ределённый на положительных частотах. Видно, что последний получается (на боковых час- тотах) из спектра путём переноса начала координат в точку fo и изменения интенсив- ности в 0,5 Адм раз. Неискажённое детектирование простым детектором в этом случае невозможно (см. ниже). 89
Рис.ЗЛО. Амплитудные спектры тонального первичного сигнала на положительных и отрицательных частотах и AM сигнала на положительных частотах и2 Из (3.19) видно, что средняя мощность несущей в AM сигнале Рн=-^-, в то время как средняя мощность двух боковых компонент составляет 6 “ 8 Н 2 ’ (7И2 I l + -y I . Таким образом, полезная мощность AM сигнала (определяемая боковыми составляющими, дающими информацию о частоте первичного сигнала и его (т2 интенсивности) составляет лишь-------100 % от мощности несущей и т2 -—Т100 2+т % от общей средней мощности. При т = 1 эти доли составляют соответственно 50 и 33 %. На практике (во избежание перемодуляции и для уменьшения искажений при модуляции и детектировании) т берут не более 0,5...0,7. Приведённые энергетические соотношения для AM сигналов объяс- няют интерес к получению сигналов AM без несущей1). Такую систему назы- вают балансной амплитудной модуляцией (БАМ). На рис. 3.11 даны амплитудные спектры первичного и AM сигналов при непериодическом изменении b(t). Сплошной амплитудный спектр первичного сигнала 5Ь(/) дан на положительных и отрицательных частотах, а спектр AM сигнала — лишь на положительных частотах. Последний (на боковых частотах) имеет форму спектра Sb(f) (смещённого из точки 0 в точку То)- Рис.3.11. Амплитудные спектры первичного непериодического сигнала на положительных и отрицательных частотах и AM сигнала на положительных частотах 90
С учётом (3.17) следует, что если спектр первичного сигнала равен 5S(/), то спектр AM сигнала на положительных частотах s0>AM(/)=t/0ej4,o8(/-/0)+/:AMss(/-/0)ej4,o. (3.20) Дельта-функция определяет дискретную компоненту спектра (на частоте fo), а спектр бо- ковых частот учитывает результат умножения K^b^f) на cos(a»o* + фо)- Ширина спектра AM сигнала Vam = 2Fb, (3.21) где FB — верхняя (максимальная) частота в спектре первичного сигнала. Очевидно, что если в составе b(t) имеются гармонические компоненты на положительных частотах Fk с амплитудами Ак и начальной фазой 0^, в составе спектра (3.20) появятся компо- ненты Рассмотрим пути осуществления AM. Отметим прежде всего, что реализацию AM можно рассматривать как частный случай операции преобразования частоты. При рассмотрении параметрической реализации преобразования частоты можно исхо- дить из схемы рис. 3.3, взяв в качестве входного сигнала в общем случае сигнал с амплитуд- ной (по закону U(f)) и угловой (по закону <р(/)) модуляцией: «вх(0 = U(f) cos[G)0r + ф(Г)], ' ' а в качестве управляющего — гармонический сигнал fy(t) = Uy cos(oyZ + q>y). Для сигнала на выходе перемножителя получаем . . t ч \ \ U!{ \ , ч \ «вх(')/у(0 =-2--C0S((Q о + ® у + ф(0 + Фу )+-j-COS((® 0 - <0 у )г + ф(г) - фу ) . Если фильтр на выходе перемножителя пропускает с одинаковым коэффициентом пере- дачи К лишь первое слагаемое, мы имеем преобразование вверх “вых (0 = ^(0 C0S((“ О + ® у )' + ф(') + фу ) • При преобразовании вниз выходной продукт “вых(') = ^уМ')СО8((Ш0-®у)' + ф(')-Ч>у) Отметим, что при преобразовании частоты (вверх или вниз) выходной продукт пропор- ционален амплитуде входного сигнала и сигнала управления. Форма сигналов на входе и вы- ходе параметрического преобразователя частоты совпадает. Преобразователи частоты (перемножители двух функций) используют в приёмных и передающих устройствах при фор- мировании и обработке сигналов амплитудной и угловой модуляции. На рис. 3.12 дана структурная схема реализации операций AM на передаче и детектирования AM сигналов на приёме посредством перемножителей. Для Рис.3.12. Структурная схема реализации формирования и детектирования сигналов AM посредством перемножителей й Для облегчения решения задач синхронизации передающего и приёмного устройств по час- тоте несущей часто работают с частично подавленной несущей, играющей роль специального пилот-сигнала. 91
отдельных блоков в схемы введены обозначения: ГШо - генератор сигнала гар- монической несущей; ЛС — линия связи; ФНЧ — фильтр нижних частот; Г в — генеРат°Р опорного сигнала на приёме, учитывающий фазовый сдвиг Окан в канале. Метод детектирования схемой рис. 3.12 (посредством перемножения при- нимаемого и опорного сигналов) называют когерентным, поскольку предпола- гается знание в месте приёма не только частоты используемой несущей /0, но и фазы, вносимой каналом 0^ в сигнал $(/). Детектор при этом называют синхронным. В неискажающем (однолучевом) канале s(f) = yl7(/)cos(a»o* + 6Кан) (см. гл. 4), где у — ко- эффициент передачи канала; 6^ = -юот (т — время запаздывания сигнала в канале)Р. Если опорный сигнал на приёме cos(a»o* + 0кан + А), то сигнал на выходе ФНЧ Z>(f) = A2>(f)cosA, где К — константа. От погрешности фазирования Д существенно зависит результат синхронного детектирования. При Д = л/2 выходной результат равен нулю. Знание в месте приёма пара- метров )о и ®кан обеспечивается специальным устройством их оценивания, входящего в общую систему синхронизации работы передающего и приёмного устройств. (В этой книге вопросы синхронизации не рассматриваются. Они изучаются в специальных курсах.) Если в системе рис. 3.12 считать, что входной сигнал «вх(0 не содержит постоянную со- ставляющую 17о и пропорционален b(f), то модулятор (умножитель) выдаёт сигнал БАМ, а синхронный детектор обеспечивает его неискажённое детектирование. На рис. 3.13 дана квадратурная схема формирования канального сигнала БАМ «(f) = bi(t) cos<o0f + sina»o* (3.22) при передаче сообщений от двух независимых источников и квадратурная схема детектирова- ния для этого случая. В квадратурной схеме рис. 3.13 первичные сигналы bi(t) и bz(f) подают- ся на перемножители с опорными сигналами, находящимися в квадратуре [cos(coof)>sin(c9of)]. Суммарный (групповой) сигнал в месте приёма подаётся (для получения оценок ^(f) и ft2(f)) на два синхронных детектора с опорными сигналами, находящихся в квадратуре [cos(c£>of + Окан), sin(coo^ + 0кан)1- Качество работы квадратурной схемы предполагает когерент- ность опорных сигналов на приёме. Рассмотрим пути осуществления операции преобразования частоты, в част- ности для получения AM сигналов, посредством нелинейных схем. На *Рис.3.13. Квадратурная схема формирования и детектирования сигналов БАМ при передаче сообщений двух независимых источников *) В искажающем (многолучевом) канале соотношения между s(f) и «(f) более сложные. Мето- ды приёма (демодуляции) для этого случая, см. гл. 5. 92
рис. 3.14 дана однотактная схема преобразования частоты на базе биполярного п-р-п транзистора. Пользуясь полиномиальной аппроксимацией (3.4) для ха- рактеристики zK = /(м6э), можно написать »* =а0 +<?,(«, ч-а^ч-аДц ч-^)2 +0^ ч-^/ч-... . (3.23) Так как аД^Ч-м,) =ед2+а2^+2о2а1и2 то за счёт квадратичного члена в составе тока имеется слагаемое, определяю- щее идеальный продукт преобразования частоты: = 2a2ul(t)u2(t). (3.24) Будем считать, что резонансный контур в коллекторной цепи выделяет по- лезные продукты преобразования частоты (амплитудной модуляции). Если удовлетворительная аппроксимация характеристики zK = /(«&) возможна лишь полиномом выше второй степени, то найдутся слагаемые тока, которые поми- мо полезного продукта из (3.24) создают заметное падение напряжения на ре- зонансном контуре. Это может привести к неприемлемым искажениям. Проведём анализ при аппроксимации нелинейной характеристики полино- мом третьей степени. В этом случае 4 = ао +aiui +aiu2 +2a2MiM2 +a2ui +а2и1 +ази1 +«з“2 + 3a3w2«2 + 3a3w^. (3.25) При осуществлении AM положим: w/z) = U0 coscoot — сигнал несущей, u2(t) = UncosOi — b(t) — первичный сигнал. С учётом формул кратных дут (3.5) (3.26) можно записать ток коллектора в виде =70 +Il(t)cos<d0t+I2(t)cos2c}0t+I3(t)cos3G)0t. На резонансной нагрузке, настроенной на частоту несущей fo, заметное па- дение напряжения создаёт лишь компонента тока /н = I^coso^t . С учётом (3.25) получаем 3 Д(0 = zZjt/g + 2a2u2U0 + 3a3u2U0 = aj£70 + 3 3 3 + 2a2U0Un cosQ/ + -а/Л3 + ~aJJ2nUa +—a3UJJ2n cos2Qz Z U h* A J V Q J ki J У kt Таким образом, закон изменения амплитуды первой гармоники тока который при идеальной AM должен быть пропорционален b(t) = «2(0, теперь искажён. Коэффициент нелинейных искажений Kw (отношение амплитуд со- ставляющих Iqp/Iq) в составе (3.26) к _ З|<фп _з|о, “ 2-2|Я1|1/п 4 Если аз = 0 (справедлива аппроксимация полиномом второй степени), то из (3.26) получаем /1(0 = + 2a2UoUn cosQZ = aiUo [1 + mj cosQf], а2 (3.27) где ntj = 2 Pi Ua — коэффициент AM по току. 93
Рис.3.14. Однотактная нелинейная схема преобразования частоты Рис.3.15. Двухтактная нелинейная схема преобразования частоты Для параллельного колебательного контура в коллекторной цепи входное сопротивление = = В области малых расстроек, учитывая, что резонансное сопротивление па- „ -, IZ раллельного контура = pQ (p = J~ ~ характеристическое сопротивление; — добротность контура), получаем при резонансной частоте, со Z(®) = —----------V’ <3-28> 1+JTk(o-®o) где постоянная времени контура тк = 20/соо- Амплитуда напряжения на конту- ре Ui(i) = ai ^рез [i + mu cos(Q/ - arctgnTK)], где коэффициент AM по напряжению на контуре <т1. =~1----: (3.29) Амплитудную модуляцию без несущей (БАМ) можно реализовать в двухтактной нелиней- ной схеме преобразования частоты, показанной на рис. 3.15. В этой схеме благодаря транс- форматору со средней точкой напряжение «2(0 поступает на базы двух транзисторов в проти- вофазе, напряжение же «1(0 поступает на базы транзисторов в фазе. Если считать, что ток в верхнем транзисторе i\ определяется формулой (3.25), то ток в нижнем транзисторе 0 при одинаковых параметрах двух плеч (балансе) определяется (3.25), если «2 заменить на -ы21, т.е. ;2 = а0 + «!«! - + a2uf + а2и% + а3их - а3и2 - За3ихи2 + 3a3ufa. Выходное напряжение пропорционально разностному току /1 - i2 = 2ai«2 + 4a2Mi«2 + 2а3и% + . Для первой гармоники несущей в составе тока (3.29) получаем Ix(t) = 4a2U0Un cosQZ = 4«2I70Z>(f), что соответствует неискажённой балансной модуляции. Для оптимального выбора рабочей точки на характеристике /ж = /(ufo) при осуществле- нии нелинейной AM часто определяют статическую модуляционную характеристику — зави- симость 71 от смещения Е в цепи базы при заданной амплитуде несущей Uq. Для этого в схе- ме рис. 3.14 положим «2=0, а их= U0cosa>gt. Найдём ток коллектора при аппроксимации ха ракгеристики /ж = полиномом четвёртой степени 94
iK = a0+a^E + Uo cosco0/) + d2(E + Uo coso0r)2 +a3(£ + 170 cosco or)3 + a4(E + Uo cosco 0/)4. Амплитуда первой гармоники несущей в составе этого тока Л(0 = fajC/o+ljaj^ + (2а2 170+|3a4 U ’)е + 3a3U0E2 + 4a4U0E3 . Построив зависимость 1\(Е) при заданных параметрах а1> а2, аз (рис. 3.16) можно вы- брать рабочую точку на середине линейной части характеристики. По рис. 3.16 можно также определить допустимые значения пределов изменения смещения (для неискажённой модуля- ции) и, следовательно, возможное значение J7n, т = . Перейдём к рассмотрению нелинейных (некогерентных, так как они не требуют знания фазы 0кан) схем детектирования AM сигналов. На рис. 3.17 да- на однотактная схема коллекторного детектора. Для того, чтобы нагрузка в коллекторной цепи выполняла роль ФНЧ (для выделения полезного продукта детектирования), должны выполняться условия: При этом для полезного продукта с низкой частотой Q сопротивление на- грузки практически равно R, а для ненужных высокочастотных компонент оно близко к нулю. Будем считать, что за счёт додетекторного усиления AM сигнал в цепи ба- зы достаточно интенсивен для того, чтобы можно было использовать кусочно- линейную аппроксимацию ВАХ \ = /(ибэ), при напряжении смещения Е = t/orc (см. рис. 3.5). Тогда угол отсечки 0 = я/2 независимо от изменения во времени амплитуды AM сигнала £/(/)cos(ciV + 0Кан) в цепи базы (U(t) = Uq + Адм^СО)* Ток постоянной составляющей в цепи коллектора /o0 = W0To(k/2) = №0/k. SR Напряжение на нагрузке коллекторной цепи UH(t) = I0(t)R = —U(t). Зависи- мость полезного продукта на выходе детектора от модулированного сообщени- ем параметра несущей называют характеристикой детектирования. В нашем случае - она линейная, а коэффициент передачи детектора (отношение выход- ного напряжения к амплитуде входного) Ка = Рис.3.16. Статическая модуляционная характеристика U(t) п Рис.3.17. Схема нелинейного (некогерентного) детектора AM сигналов 95
Отметим, что полезный сигнал на выходе детектора повторяет форму ам- плитуды входного сигнала. Такой детектор называют "линейным", он не вносит искажений в передаваемое сообщение. Напряжение на выходе разделительной ёмкости Ср (см. рис. 3.17) CD 7t ’ Очевидно, что и "линейный" детектор при перемодуляции (рис. 3.8, г), выделяя сигнал, пропорциональный огибающей, не может восстановить неискажённый первичный сигнал. Если на вход рассмотренного "линейного" детектора подать AM сигнал без несущей (сигнал БАМ), то выходной сигнал не будет воспроизводить форму первичного сигнала. На рис. 3.18 изображена форма огибающей БАМ сигнала при модуляции тональной частотой F. Первая гармоника этого сигнала равна 2F. "Линейный" детектор воспроизводит форму оги- бающей рис. 3.18. Во избежание искажений при детектировании сигнала БАМ надо в цепь базы схемы рис. 3.17 включить помимо смещения Е два источника: принимаемого сигнала БАМ и восстановленного сигнала несущей [7Шо. Если на входе нелинейного детектора имеется слабый сигнал, то характе- ристику zK = /(иб) придется аппроксимировать квадратичной зависимостью /к =a2(t/6-£)2. При U6 = E + KU(t)coscoot имеем zK = K2U2(/)(o,5 + 0,5cos2co0z). Напряжение на коллекторной нагрузке UK{t) = Q,5RK2U2{t) не повторяет форму амплитуды AM сигнала, следовательно, возникают искажения при де- тектировании. Так при модуляции одним тоном (U(t) = Uq + Xam^cosQz) в составе сигнала UH(f) имеются как полезная составляющая частоты Q, так и вторая гармоника этой частоты 2Q, т.е. имеют место нелинейные искажения. 3.3. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ Сигнал угловой модуляции (УМ) при гармонической несущей можно пред- ставить так: MyMG) = t/0cos(v(z)) = t/0cos(o0z+9G)), (3.30) где ф(0 = соо* + ф(0 “ полная фаза сигнала; ф(0 - фаза, которая несет в себе информацию о первичном сигнале b(i). Амплитуда сигнала УМ, а следователь- но, и его средняя мощность неизменны, что облегчает режим работы выходных каскадов передатчика. Сигнал (3.30) можно представить в виде вектора постоянной длины-Uq, ме- няющего свое направление в зависимости от фазы ф(0 (рис. 3.19). Поскольку ф(0 принимает (в зависимости от b(t)) как положительные, так и отрицатель- ные значения, то можно считать, что вектор на рис. 3.19 качается относитель Рис.3.18. Форма огибающей сигнала БАМ при модуляции одним тоном Рис.3.19. Векторная диаграмма угловой модуляции 96
но некоторого среднего положения с максимальным отклонением (девиацией фазы) Дф. На практике различают два вида УМ: фазовая модуляция (ФМ) и частотная модуляция (ЧМ). При ФМ изменения фазы ф(?) прямо пропорциональны пер- вичному сигналу: Ффм(') = ^фм(О+фо, ’ (3.31) где фо — начальная фаза. При ЧМ мгновенная частота сигнала прямо пропорциональна первичному сигналу1) ючМ(0 = ^^ = ю0+^^ = со0+/Гчм(/ЖО- (3.32) at at Мгновенной частоте co(Z) соответствует полная фаза ф(0 = J®(t)dt = со ot + Jb(t)dt. (3.33) На рис. 3.20 даны графики ФМ и ЧМ сигнала при треугольном изменении b(f). Формы сигналов ФМ и ЧМ не отличаются друг от друга, если производ- ная первичного сигнала во времени имеет тот же вид, что и сам первичный сигнал. Это, в частности, выполняется при синусоидальном первичном сигна- ле b(t) = (3.34) Сигнал УМ в этом случае можно записать в виде2) мум(0 = Uо cos(co ot + Л/smQf), (3.35) где М — так называемый индекс модуляции, который имеет смысл максималь- ного приращения (девиации) фазы Дф. С учётом (3.31) и (3.34) индекс фазовой модуляции ^ФМ = Аф = K^Ua . С учётом (3.32) и (3.34) индекс ЧМ Мчм = ^ = Кчмип/С1 причём девиация частоты До = KJJQ. Следовательно, индекс частотной модуляции = M)/Q. = &f/F. Найдём спектр при угловой модуляции одним тоном. Представим сигнал при угловой модуляции одним тоном (3.35) выражением wyM(0 = t/0Re[ej“o,ejA/sinn'], (3.36) Из курса высшей математики известно разложение eJMsinx = ? (3.37) Л=-СО где Jk{M) — функция Бесселя k-го порядка от аргумента М (М — любое вещест- венное число). На рис. 3.21 показаны графики функции Бесселя ЩМ), 7з(Л/) при положи- тельном аргументе М. Следует подчеркнуть, что при некоторых значениях аргумента функции Бесселя равны нулю, в том числе и Справедливо соотношение Угловая скорость перемещения вектора на рис. 3.19 равна a(f) - а>о = Kv^b(t). 2> Постоянную начальную фазу <ро (не имеющую существенного значения) считаем нулевой. 97
Рис.3.20. Изменение во времени сигналов ФМ и ЧМ Рис.3.21. Графики функций Бесселя (3.38) (3.39) Подставляя (3.37) в (3.36), получим “ум (f)=t/0Re 2 Jt(A/)ej(“o+*n)' =U0 ^Jt(A/)cos(cOo+^ Из свойств функции Бесселя известно, что чем больше порядок функции Бесселя, тем протяжённее область значений аргумента, при которых модуль этой функции очень мал. Обычно считают, что можно пренебречь спектраль- ными составляющими с номером к > (М + 1). Таким образом, практически ширину полосы частот при тональной угловой модуляции находят из соотно- шения Афум = 2Q(1 +Л/) или А/ум = 2F(1+M). (3.40) На рис. 3.22 показан амплитудный спектр сигнала (3.39) на положительных частотах при некотором значении М и Uq = 1. Практическая ширина полосы частот при УМ шире, чем при AM, в М + 1 раз. Если М « 1, то Д/ум = 2F, т.е. в спектре сигнала УМ имеется, вообще говоря, только несущая и две боковые составляющие (как при AM). Этот результат следует из общей форму- лы (3.39) при М с 1. Действительно, из свойств функции Бесселя известно, что при малых индексах Jq(M) » 1, J\(M) = M/2, Jk{M) = 0 при к > 2. Но тогда из (3.38) и (3.39) следует Мум(^) = U0cosa>0t+-^t/0cos(<B0 +^--y-t/ocos(<Bo• Если M » 1 (этот случай представляет основной практический интерес, так как при больших М помехоустойчивость УМ существенно выше, чем AM (см. ниже)), то из (3.40) имеем AfVM«2FM. (3.41) Л(1И) J/M) W) т ДА/) /B+(A^1)F 0 /0-(ltfH)F /0+F /0+2F Рис.3.22. Амплитудный спектр при угловой модуляции одним тоном (на положительных частотах) 98
Поскольку при частотной модуляции то из (3.41) получаем, что при больших индексах модуляции А/ЧМ«2А/, (3.42) т.е. ширина полосы частот при ЧМ равна удвоенной величине девиации часто- ты и не зависит от частоты модуляции F. Спектр УМ при негармоническом первичном сигнале определить трудно. Но он всегда сложнее, чем при AM при том же первичном сигнале b(t). Рассмотрим пути осуществления УМ. Сначала рассмотрим нелинейную схему, содержащую перемножители. Используя формулу соs(a+₽) = cosacosP-snasinP, (3.43) представим (3.30) в виде мум(/) = cos<p(/,6(0)cos®0/-UQ япф(/,6(/))япсоо/. (3.44) На рис. 3.23 представлена структурная схема, реализующая УМ согласно формуле (3.44). На схеме нелинейный блок Б] реализует преобразование сиг- нала b(t) в сигнал cos <р[/, 6(0]. Блок Б2 реализует преобразование сигнала b(t) в сигнал sin <р[/, 6(0] • В блоке ГШо генерируется несущая <7ocos ©о*- В блоке Ф_я/2 осуществляется поворот фазы на -тс/2. На рис. 3.24 дана структурная схе- ма получения ФМ из БАМ. На выходе блока БАМ образуется сигнал Aq6(0cos(coof + Фо)- На выходе сумматора получаем сигнал мвых(0 ~ ^i6(/)cos(co 0/ + <р0) + кг sin(<B ot + <p0) = ^2Z»2(/)+^2 sin^co ot + arctg(&iZ>(/)/£2)) (3.45) Если считать, что усилительный блок в схеме рис. 3.24 обеспечивает такое усиление, что • (3.46) то сигнал (3.45) можно записать в виде = k2 sin ® J 4-^4 . (3.47) Формула (3.47) определяет ФМ сигнал с малой девиацией фазы (вследствие неравенства (3.46). Для увеличения девиации фазы можно осуществить опера- цию умножения частоты (см. выше). При «-кратном умножении частоты де- виация фазы сигнала возрастает в п раз. Схему рис. 3.24 можно использовать и Рис.3.23. Структурная схема реализации УМ Рис.3.24. Схема получения ФМ из БАМ посредством нелинейных блоков и умножителей 99
для получения ЧМ, если на блок БАМ в качестве управляющего подавать сиг- нал На рис. 3.25 дана схема получения ЧМ, основанная на изменении ёмкости (или индуктивности) контура, определяющего частоту генерации генератора гармонических колебаний, посредством присоединения к нему реактивного двухполюсника, управляемого первичным сигналом b(f). Известно, что частота генерации ZC-генератор гармонических колебаний равна резо- нансной частоте контура: а»г = а»р. Резонансная частота а»р меняется, если параллельно конту- ру включить реактивное сопротивление X, управляемое первичным сигналом b(f). Проще всего реализуется параллельное подключение к контуру управляемой ёмкости С. (&(/)). Дос- тигается это при помощи варикапа — управляемого полупроводникового диода, работающего в запертом состоянии. При подаче внешнего воздействия на диод меняется заряд q на полу- проводниковом переходе. При этом дифференциальную ёмкость варикапа — = можно du найти, если известна вольткулонная характеристика варикапа q(u). При параллельном под- ключении ёмкости С_(&(/)) = С0 + ДС(й(/)) к контуру его резонансная частота (а следовательно, и частота генерации) определяется формулой 1 со р = ....... . у ({-н + О» + АС) Обозначим суммарную начальную ёмкость контура Сн + Со через С*. Тогда “р = (3.48) Построив зависимость a»p(Z>(/)) согласно (3.48) (рис. 3.26), можно выбрать рабочий (линейный) участок характеристики, на котором справедлива аппроксимация “р =®o + ^^/’(0> <3-49) где a0 = l/y/L„C*. При гармоническом модулирующем сигнале b(f) = L4jSin£M имеем Да» = . Максимально допустимые значения Ua (следовательно, и максимально допусти^ мые значения Да») определяются протяжённостью линейного участка кривой а»р(/»(?)) (см. рис. 3.26). Для увеличения девиации частоты пользуются умножением частоты. Рассмотренная схема может использоваться и для получения ФМ, если управление диф- „ .. . . db(t) „ ференциальнои емкостью варикапа осуществляется сигналом u(/j = —. Тогда мгновенная резонансная частота генератора меняется по закону а»р(/) = о0 + Л——, где к — константа. Рис.3.25. Схема получения ЧМ на основе генератора гармонических колебаний Рис.3.26. Зависимость резонансной частоты контура от сигнала b(t) 100
Мгновенная фаза колебания <у(/) = рР(')Л = со ot + А?ФМ6(/) + ср0, что соответствует фазовой мо- дуляции. Перейдём к методам детектирования сигналов УМ. Сначала рассмотрим синхронное (параметрическое) детектирование по схеме рис. 3.3. Пусть на пе- ремножитель поступает входной сигнал Ывх(0 = 1ио соз((й ot + фО, &(*))), а опорное колебание fy(t) = A cos(gj0? + 71/2). Тогда выходной сигнал (после ФНЧ с коэффициентом передачи К) “выхМ = #cos^y - = £sin(/,Z>W), где В = . Если |ф[?Ж]1 мало, то wBUXW = Вф(/,6(/)). Следовательно, обеспечено неискаженное детектирование фазы. При детек- тировании ЧМ сигнала, поскольку <p(t) = K^b(t)dt, то схема синхронного де- тектора должна быть дополнена блоком дифференцирования. Рассмотрим некоторые нелинейные схемы детектирования при УМ и в первую очередь — схему фазового детектора. Он может быть построен по схеме детектора (рис. 3.17) с тремя источниками в цепи базы (смещения Е, сигнала ыФМ(?) = yt70 cos(©0r + КФМЬ(^) и опорного колебания uq(/) = Acosfaot + я/2)) при условии, что характеристику /к = /(мбэ) можно аппроксимировать квадратичной зависимостью (рис. 3.27). Тогда 4 = ~ 2<22MoW“<I>mW (0 ”^^2^ФМ^) . Полезный продукт на коллекторной нагрузке определяется первым слагае- мым “вых W = k cos(^ - = к ы^КФЫЬ(?)), где k — константа. При малой девиации фазы (индексе модуляции) имеем “вых(/) = М/Х ^=^фм. Если в цепь базы схемы рис. 3.27 подан вместо сигнала иФМ(0 сигнал , то сигнал на коллекторной нагрузке придется подвергнуть дифференци- рованию. Есть и другая возможность детектирования ЧМ сигнала: превратить ЧМ сигнал в ФМ сигнал и последний подать в цепь базы схем рис. 3.27, взяв в качестве опорного исходный ЧМ сигнал с полной фазой фчм(/). Тогда диффе- ренцирование выходного продукта не понадобится. Для получения ФМ сигна- ла подадим ЧМ сигнал на колебательный контур, настроенный на частоту не- сущей ©о- Фазовая характеристика такого контура в окрестности точки резо- нанса ©р — ©о ф(со) = -(о - ©о)тф, (3.50) где тф — групповое время запаздывания. Подставив в (3.50) выражение для мгновенной частоты со(/) = соо + , получим следующее выражение для 101
Рис.3.27. Схема нелинейного фазового , ▼ ( детектора Рис.3.28. Иллюстрация преобразования ЧМ в AM полной фазы узкополосного сигнала на выходе контура, определяющее ФМ сигнал: Ч'(0 = 'Рчи(0-^(0гп>^). (3.51) Другой способ детектирования ЧМ сигнала основан на его предваритель- ном превращении в сигнал амплитудно-частотной модуляции (АЧМ) с помо- щью расстроенного колебательного контура. Рисунок 3.28 иллюстрирует это преобразование. Если точка То соответствует середине прямолинейного участка АЧХ колебательного контура, а при качании частоты сигнал остаётся в преде- лах этого участка, то амплитуда полученного AM сигнала меняется пропор- ционально изменению частоты. Сигнал с выхода расстроенной© колебательно- го контура подаётся на обычный амплитудный детектор. 3.4. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ ОДНОПОЛОСНОЙ МОДУЛЯЦИИ Под сигналами однополосной модуляции (ОМ) понимают сигналы, получен- ные при модуляции гармонической несущей частоты и отличающиеся тем, что их спектр (на положительных частотах) располагается по одну сторону (слева или справа) от точки со = ©о- Сигналы однополосной амплитудной модуляции за- нимают полосу частот первичного сигнала FB, т.е. в 2 раза более узкую, чем сигнал AM. Это обстоятельство обусловливает большой интерес к системам связи с ОМ в тех случаях, когда экономия полосы частот канала является ре- шающим фактором выбора системы сигналов. Из гл. 2 следует, что аналитический сигнал b(t) = b(t) + ]b(t) имеет спек- тральную плотность 54(/) = 254(/) лишь на положительных частотах (от 0 до FB), 6(z)ew определяет комплексный сигнал, спектр которого расположен справа от точки © = ©о (верхняя боковая полоса), так как умножение на eJtt’y означает перенос спектра 54(/) (с сохранением его формы) вправо на величи- ну ©о- Действительный сигнал ОМ с верхней боковой полосой MoMKSpXHW = Re(^)eJ“</) = Z’WCOS(0o?-^Wsm©0?. (3.52) 102
Из гл. 2 также следует, что аналитический сигнал = имеет спектральную плотность 5.(/) = 254(/) лишь на отрицательных частотах (от О ь до -Гв). Поэтому сигнал ОМ с нижней боковой полосой (расположенной слева от точки о = ©о) можно записать в виде «омнижнМ = Re(£(/)eJtt,°4 = />(*) cos© 0/-£(/)sm©0/. (3.53) Поскольку сигналы ОМ (3.52) и (3.53) являются частными случаями сиг- нала квадратурной модуляции (3.22), их можно формировать и детектировать по схеме рис. 3.13. ОМ сигнал можно получить также из сигнала AM путём выделения (фильтрации) одной боковой полосы частот. Такой метод Нашёл применение в практике формирования сигнала AM с частично подавленной боковой полосой. Согласно (3.52), (3.53) сигнал ОМ можно представить «ом (0 = 4b2(t)+b2(t) cos ©0/±arctg (3.54) т.е. его можно рассматривать как сигнал с AM по закону U(t) = ylb2(t) + b2(t) и ФМ по закону ф(/) = ±arctg777 или же с ЧМ с мгновенной частотой b(t) h(Adb(t) k(Adb^ ZX db(t) b^~dT~b^~dT ©W-©0Z+ -©0Z± b2(t)+b2(t) 3.5. ФОРМИРОВАНИЕ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ, МОДУЛИРОВАННЫХ ДИСКРЕТНЫМИ СООБЩЕНИЯМИ Первичный сигнал при последовательной передаче кодовых символов Ь^к) (п — порядковый номер символа в последовательности, к е0,ти-1 — номер по- зиции кода, т — основание (число различных элементов) кода) можно запи- сать в виде *Ц(') = Е v(z-z„,^), п=0 где tn — момент появления и-го символа; — форма импульсного сигна- ла, представленного символом Ь(к}. Сигнал b^t) будем называть цифровым. Этот сигнал чаще всего (что будем предполагать в дальнейшем) является изо- хронным, т.е. отдельные кодовые символы появляются с равным тактовым ин- тервалом Т. В этом случае можно написать 00 bJ<t) = ^v(t-nT,b^. (3.55) и=0 Обычно >J{t,b(k}} = bwv(t), т.е. цифровой сигнал (3.55) образуется как линей- ная комбинация одинаковых элементов v(/) [4]: 00 b^ = Ybn^-nT). (3.56) n=0 103
Как правило, в системах передачи дискретных сообщений используются двоичные коды (т = 2). Однако повышение основания кода позволяет в прин- ципе поднять эффективность системы (см. гл. 11). Элементарные сигналы v(t) имеют вид прямоугольных импульсов или им- пульсов другой формы, выбираемой из соображения ограниченности полосы частот канала передачи. Сигнал (3.56) можно рассматривать как результат про- хождения порождающей решётчатой функции и®0 (3.57) через формирователь первичного сигнала — линейную систему с постоянными параметрами (стационарную систему) с импульсной характеристикой g{t} = v(0- Но сигнал (3.57) можно считать и частной моделью (3.56) при v(0 = 5(0, т.е. с носителями сообщения, имеющими нулевую длительность. Они требуют бесконечную полосу частот и не могут быть реализованы. Если потребовать, чтобы амплитудный спектр сигнала v(Z) был равномерным на от- резке [-FB; +FB], а его СП равна О, (3.58) то v(0 = 2S0FB (3.59) Теоретическая длительность элемента сигнала (3.59) неограниченна. Прак- тически ввиду быстрого убывания функции (sinx)/x с увеличением х, можно говорить о конечной протяжённости сигнала (3.59) во времени. Если в качест- ве v(0 выбрать прямоугольный импульс с длительностью Т и амплитудой А, то его спектр будет определяться формулой s(f) = AT sin(co7’/2) &Т/2 т.е. теоретически он неограничен. Часто в качестве сигнала v(Z) выбирают сиг- нал гауссовской формы v(t) = Ае~м , тогда и его спектр по Фурье также имеет гауссовскую форму s(f) = Be . Такой сигнал наиболее компактно размещает- ся в частотно-временной области. Представим (3.56) в виде *.0) = - try +Sb,wv(t-пТ)~ b<‘>v(l-,7) +М') • (3.60) и==0 n*i При анализе bu(t) в месте приёма с целью извлечения информации об z-м по порядку следования символе сумма в правой части (3.60) может рас- сматриваться как сигнал межсимвольной интерференции (МСИ) b^t). Если решения о символе принимать в отсчётной точке t = iT, то сигнал ^(z) не окажет влияния на это решение, если v(Z) удовлетворяет свойству "отсчётности" 104
vWS8(^-^) = 8W. (3.61) Ии-00 которое называют первым условием Найквиста.1) Оно означает, что сигнал v(f) лишь в одной отсчётной точке отличен от нуля. Очевидно, что сигнал (3.59) при тактовом интервале передачи Т — 1/2Гв (у него равномерный спектр в по- лосе Найквиста [-1/2Г;1/2Т]) удовлетворяет условию (3.61), т.е. обладает свой- ством отсчётности. Этим свойством обладают и другие сигналы, не обязатель- но имеющие равномерный спектр. Установим, каким требованиям при этом должен удовлетворять спектр сигнала. Периодическую решётчатую функцию можно представить комплексным рядом Фурье (з.б2) Л—-со так как коэффициенты рассматриваемого ряда Фурье Г/2 1 * 1 -Т/2 С учётом (3.62) запишем (3.61) следующим образом: £е^\(/)=л>(г). (3.63) Л=-<ю Возьмём преобразование Фурье от левой и правой части (3.63). Тогда =0 Г/2 ( Г) Г/2 2 f 'Мь1 т dt = T j8и)е_>,л = т. (3.64) .*=-« —Г/2 -Г/2 Учитывая, что СП Фурье сигнала v(f) равна 00 ?,(/)= Jv(f)e-J<0'^, (3.65) из (3.64) следует результат “ ( 1Л Л=-со (3.66) Соотношение (3.66) называют вторым условием Найквиста. Условию (3.66) удовлетворяет широкий класс сигналов, в частности, сигнал v(/) с амплитудным спектром вида "приподнятого косинуса” [4]. Сигнал, удовлетворяющий условию (3.66) при перекрытии от- дельных компонент ряда, имеет эффективную ширину спектра F3, превышающую полосу Найквиста: Л > Гн = 1/27. (3.67) При этом удельная скорость передачи двоичных символов (на 1 Гц полосы частот) 1 1 (бит Y-TFf<7’FH (с Гц] ’ ' При использовании сигналов (3.59) с полосой Найквиста (/н = 1/27) по- лучаем • ' . у = 2 биг/(с Гц). (3.69) Для передачи цифрового первичного сигнала по каналу используют раз- лйчные несущие ДО- Здесь мы рассмотрим только гармоническую несущую. Цифровая амплитудная модуляция (ЦАМ). Канальный сигнал при ЦАМ (линейной модуляции) можно записать как ]) Его представляют и в другом ввде. 105
«ЦАм(^) ~ cos(co0/+(p0). (3.70) и=0 ' Спектр этого сигнала содержит несущую и две боковые полосы, каждая из которых повторяет спектр первичного сигнала 6ц(0- Формирование сигнала (3.70) и его детектирование можно осуществить параметрическими и нелиней- ными схемами, рассмотренными выше для сигналов AM. Однако из получен- ной оценки первичного сигнала bu(i) надо извлечь на отдельных тактовых ин- тервалах Т оценки кодовых символов Ь. Для этого надо иметь решающее уст- ройство, которое находит эти оценки (рис. На рис. 3.29 для отдельных блоков введены обозначения: АД — амплитуд- ный детектор (когерентный или некоге- рентный), РУ — решающее устройство, которое с тактовым интервалом Т при- нимает решения о кодовых символах Ь(к}. Эти решения фиксируются в запо- минающем устройстве ЗУ. 3.29). Рис.3.29. Схема детектирования сигнала ЦАМ и вынесения решения о кодовом символе Отметим, что для приёма дискретных сообщений надо обеспечить не только синхрониза- цию по частоте несущей too и по фазе сигнала (при когерентном детектировании), но и такто- вую, а также цикловую (с учётом методов передачи дискретных сообщений по реальным ка- налам) синхронизацию. С учётом наличия аддитивного шума в канале приём сообщений по схеме рис. 3.29 не является наилучшим. В гл. 5 анализируются оптимальные схемы приёма дискретных сообщений (при различных видах модуляции), в которых по принимаемым коле- баниям z(Z) выносятся решения Ьп без восстановления цифрового сигнала . Если в (3.70) Uq = 0, то имеем сигнал ЦАМ без несущей (ЦБАМ). В этом случае возможно или синхронное (когерентное) детектирование, или некоге- рентное детектирование с восстановлением несущей в месте приёма. Методы ЦАМ позволяют по квадратурной схеме рис. 3.13 организовать передачу и при- ём двух независимых дискретных сообщений. Передаваемый сигнал в цифровой КАМ (ЦКАМ) «цкам(0 = Z>m(0cos(a>o* + Фо) + &U2(Osin(a>of + Фо)- (3.71) Приём в этом случае может быть только когерентным. Если положить в (3.71) bia(j) ~b^t), то можно по квадратурной схеме организовать и однопо- лосную ЦАМ. Цифровая фазовая модуляция (ЦФМ). Канальный сигнал при ЦФМ в этом случае можно записать в виде «цфмW = ит со/©0/ + £фМЭД*’v(/ - пТ)| = Um со/£ФМ-пТ)| coscoot - X n-Q ' \ n^Q J (оо Д K^b^t-nT) smGV, (3.72) »=0 ' где Um — амплитуда канального сигнала. Вид этого сигнала, реализация моду- лятора и детектора существенно упрощаются при использовании прямоуголь- ных импульсов v(f) с единичной амплитудой и длительностью Т. В этом случае отсутствует МСИ и вместо (3.72) при Ьп = ±1 106
“цфм W = ит со/COS©ot - Um 2b(nk}v(t - пТ) sm( J sin ©ot, (3.73) где Л0 = 2Хфм “ разность фаз для двух позиций кода1). Спектральный состав сигнала (3.73) по существу не отличается от сигнала (3.70). Следовательно, ЦФМ и когерентное детектирование в рассмотренном случае реализуются так же, как для ЦАМ, в частности по квадратурной схеме (ЦКАМ). Отметим, что если разность фаз при двухпозиционном коде ДО = тс (используются противо- положные сигналы), несущая в спектре сигнала ЦФМ исчезает, когда символы с различными значениями появляются с равной вероятностью. В гл. 5 рассматриваются также методы относительной (разностной) ЦФМ. В этом случае можно кроме когерентного использовать и некогерентный демодулятор. На практике широко используются многопозиционные системы ЦФМ, когда начальная фаза несущей принимает не два, а т значений. В технике передачи данных широко используются как многопозицион- ные (т > 2) системы ЦАМ (многоуровневые системы с линейной модуляцией), многопозици- онные системы ЦФМ (с нелинейной модуляцией), так и их смешанные варианты (ЦАФМ). Амплитудно-фазовые диаграммы некоторых таких систем сигналов даны на рис. 3.30. (Знаком "+" обозначается начало координат). Для повышения качества передачи (минимизации средней вероятности ошибочного приёма в канале с шумом) стремятся подоб- рать такую сигнально-кодовую конструкцию, чтобы сигнальные точки разрешённых кодовых комбинаций (см. гл. 11) находились друг от друга на максимально возможном расстоянии. Часто конструкция рис. 3.30, б (четырёхпозиционная ЦФМ или система ФМ-4), имеющая широкое распространение в технике связи, реализуется посредством двоичной КАМ. Это можно сделать следующее перекодирование: нечётные тактовые посылки длительности Т двоичной входной последовательности подают на один вход квадратурного модулятора; на другой вход квадратурного модулятора подают чётные посылки входной двоичной последова- тельности; посылки передают по каналу в течение интервала Тк = 2Т. Сохранив скорость пе- редачи информации 7?и = log2 4 = 2 = 1 Тк 2Т Т ’ можно повысить помехоустойчивость системы, ис- пользуя некоторые методы кодирования. Цифровая частотная модуляция (ЦЧМ). Если частотная модуляция реали- зуется посредством выбора одного из m независимых гармонических сигналов, то в общем случае при каждом переключении (с /-й на у-ю позицию; i,J е 1,т-1 ) происходит разрыв фазы канального сигнала. Действительно, если z-й гармонический сигнал Рис.3.30. Расположение сигнальных точек в 5-позиционной ЦАМ (а), в 4-позиционной ЦФМ (ФМ-4) (б), в 8-позиционной ЦФМ (в), в 12-позиционной ЦАФМ (г) 1 > Девиация фазы при этом Д<р = Д0/2. 107
Ui(t) = Um cos(©i t + фг), (3.74) то в момент коммутации 4 = kT имеем Щ^к) = Um cos(©i kT + ф/), = ai кТ + ф/ При коммутации J-го генератора tyW = Umcos(a)jkT + фу), yj(tk) = ojkT + фу Если (как обычно бывает на практике) после модулятора (в данном случае электронного коммутатора) включён полосовой фильтр, ограничивающий Ши- рину спектра сигнала, то скачки фазы приводят к переходному процессу в фильтре. В результате этого возникает паразитная амплитудная модуляция сиг- нала, и пик-фактор сигнала (отношение его пиковой и средней мощностей) увеличивается. Кроме того, при использовании m независимых генераторов для обеспечения ортогональности системы сигналов требуется разнос частот А/ = i/T (i = 1, 2, ...), т.е. минимальный разнос = 1/Т. С целью сужения спектра и сохранения минимального пик-фактора сигна- ла необходимо обеспечить непрерывность изменения мгновенной фазы сигна- ла при ещё меньших значениях А/т1П. Частотную модуляцию с непрерывной фазой сокращённо обозначают ЧМНФ. В системах ЧМНФ мгновенная частота сигнала меняется по закону ©(О=©о +^£Х*М'-«7’)> п=0 а канальный сигнал (оо \ cos(»0t+K^b^t-nT)+<p0 ’ и=0 ' где v4(0 — "частотный” импульс; v(/) = “ "фазовый" импульс; Фо — начальная фаза. (3.75) (3-76) Если v4(Z) — прямоугольный импульс единичной высоты, то фазовый импульс v(/) = Jj/1 = Z, /е[0,7]. о Для обеспечения более "гладкого" изменения фазы и частоты (соответственно сужения спектра сигнала) на практике (например, в цифровых системах мобильной сотовой связи по общеевропейскому стандарту GSM) используют гауссовскую форму "частотного импульса" v4(Z) и, соответственно, интегральную гауссовскую форму "фазового импульса" \ / где ти — величина пропорциональная эффективной длительности частотного импульса. В дальнейшем для упрощения анализа будем считать, что "частотный им- пульс" v4(0 является прямоугольным с единичной амплитудой и длительностью Т. Запишем сигнал (3.76) на отрезке [0,7] при передаче z-й позиции символа: «/(0 = cos(©X + ф0Л), к = 1, 2, 3, ..., (3.77) 2л где со. =соо +-уЛ Фо,* “ начальная фаза к данному (£-му) тактовому интервалу. При осуществлении МНФ можно обеспечить ортогональность сигналов (3.77) при частотном сдвиге: 108
А^„ия = = J_ 2тс' 7niin 2Т ‘ Действительно, т (u,.,иу) = иг0 J cosfco/ + Фо к)cos((o J + Фо k)dt. 0 Используя тригонометрическую формулу (3.1), получаем / \ U* 2 *0T sin(m,.-(o7.)r (3.78) (3.79) (СО, -COj/ При получении этого результата учтено, что слагаемое, обязанное суммар- ной частоте со/ + соу, мало. Минимальный разнос частот, при котором правая часть (3.79) обращается в нуль, находится из соотношения 'ISfitT— тс. Откуда следует (3.78). Цифровую ЧМ с непрерывной фазой и параметром (3.78) называют моду- ляцией с минимальным (частотным) сдвигом - ММС (minimum shift keying - MSK). Покажем, что индекс модуляции в этой системе М = 0,5. Определим индекс частотной модуляции М как отношение девиации частоты А?чм = Лсо/2 (максимальное отклонение от средней частоты) к частоте модулирующего сиг- нала типа "точка" Q = п/Т (F = 1/27): Z\(D Т (3.80) С учётом (3.78) и (3.80) получаем, что для ММС индекс модуляции дейст- вительно равен 0,51\ При использовании для ЧМ сигналов (3.74), ортогональ- ных в усиленном смысле, минимальный индекс М ~ 1. Отсутствие скачков фа- зы в системах МНФ благоприятно сказывается на форме амплитудного спек- тра сигнала. При М= 0,5 амплитудный спектр сигнала МНФ весьма узок и сосредоточен вблизи частоты несущей. При значениях М> 1 амплитудный спектр сигналов МНФ становится широким. Цифровую частотную модуляцию можно реализовать различными способа- ми, например управлением частоты генератора гармонических сигналов по за- кону (3.75). При этом начальная фаза на л-м тактовом интервале н-1 Фо^^Х^+Фо- /=0 Для систем ММС с индексом М = 0,5 широко используется квадратурный метод модуля- ции со сдвигом модулирующих функций. Для обоснования такой модуляции представим сиг- нал (3.76) при ММС (Ацм = тг/27) на Л-м и (к + 1)-м тактовых интервалах2) как м(')ммс*.*+1 = L™ cos + + + = (3.81) (3.82) где Фо,*=у£6/- 2 /=о (3.83) б При М < 0,5 ортогональность сигналов (3.77) даже при непрерывной фазе нельзя обеспе- чить. 2) На к-м тактовом интервале сигнал (3:82) имеет мгновенную частоту со(Г) = coy ± Q (Q = тг/27), что соответствует ЧМ с минимальным частотным сдвигом. 109
Квадратурные компоненты [7СG) = cos <р0* + ~;bkv(t-кТ) +~bk+iv\ (3.84) Us(t)=Umsin (f>ok+^bl[v(t-kT)+~;bMv[t-(k + l)T] . Разобьём информационный поток {bk} на два потока, соответствующих чётным и нечёт- ным индексам к: {Т>2/} и {^2/+ J. С учётом (3.83) видно, что при к = 21 имеем ср02, = п-~2т = пт (т — целое число). Тогда, пользуясь формулами косинуса и синуса суммы углов, можно на- писать 71 7t I + ^Ь2М^ На На < 7Г , равно —b2i, ит cosTunsin отрезке [2/7] (2/ +1)7] формула (3.85) принимает вид М') = ит cosnmb2l sin - 21Т) . отрезке [(2/ + 1)7](2/ + 2)7], имея в виду, что первое слагаемое под знаком синуса и используя формулу sin(±7t/2 + +) = ±cos+, получаем: (3.85) 1/,Z(/) = cosnmb2I cos Обозначим C2i = cosnmbu (что можно интерпретировать как некоторую перекодировку) Таким образом, на отрезке [2/7](21 + 2)7] для Usj(f) имеем единое выражение c2l sin •^•(/-2/7’) - 21Т) + cos 1, ie[0,T О, ig[0,7 где Х(г) = пактно: (3.86) — срезающая функция. Формулу (3.86) можно представить более ком- t-2.IT < 2 . и^) = итс2, sin^-2/7)l| Рассмотрим случай к = 21 + 1. Тогда с учётом (3.83) следует Ф0.2/+1 =ТйП + ^Ь21 . Подставив в Uc i (?) значение к = 21 + 1, получим £/<,,»(/) = Umsir^nm + ^b2l (3.87) sin^ b2l+i v[/ - (2/ +1)7] + ^b2l+2 v[i - (21 + 2)T] . На отрезке [(2/ + 1)7] (21 + 2)7] последнее выражение принимает вид 6^0) = -U„ cosnm-b2lb2M sin^G -(2/ + l)7j) . На отрезке [(2/ + 2)7] (21 +3)7] получаем UeJ(t) = ~um cosnm-b2lb2l+l cos^-^G -(2/ + 2)t)} . Обозначим: —cosTtm-b2ib2l+l = — c2lb2i+1 = c2l+l, что можно интерпретировать как некоторую перекодировку. Тогда [(2/ + 1)7] (21 +3)7] для Ucj(f) получаем единое выражение UcJ(t)=-U^,c. 7Г г / Г/ — (2/ +1)7 \»с2Ш sin—[/-(27 + 1)7’1 % С учётом (3.87) и (3.88) весь сигнал ММС можно записать на отрезке (3.88) 2 НО
МММс(О~ 1=0 С21 t-2.IT 2 sin со ot + ЭД + UmjLjC2l+l 1=0 sin^[r-(2Z+l)r] X t-(2l+l)T 2 cosro ot. (3.89) sia~(t-2lT) На рис. 3.31 дана квадратурная схема, формирующая сигнал ММС согласно (3.89). Вве- дены обозначения для отдельных блоков: К — кодер, превращающий информационный поток {Ьк,1} двоичных символов, следующих с тактовым интервалом Т (Ь^ е [-1; 11), в два информа- ционных потока двоичных символов {с2/,2т1 и {С2/+ 1,2г), следующих с тактовым интервалом 2Т (с/ е [-1; 1]); Гп — генератор гармонического сигнала с частотой F= 1/47; <р_п/2 — фазовра- щатель на -я/2; БОМ — блок определения модуля; ГИо — генератор гармонического сигнала (несущей) с частотой со0. При реализации схемы учтено, что sin Существуют различные способы демодуляции сигнала ММС. 1. Частотное детектирование без учёта непрерывности фазы. При таком способе производит- ся оценивание частоты сигнала на протяжении одного тактового интервала Т. Поскольку начальная фаза <po,w ПРИ этом не определяется, возможен лишь некогерентный приём. 2. Когерентное детектирование с отслеживанием фазы сигнала. Если предыдущие символы демодулированы без ошибок, возможно предсказание начальной фазы в соответствии с (3.81). При этом возможен когерентный приём, и вероятность ошибки соответствует приё- му двоичных ортогональных сигналов (см. гл. 5) с поправкой на точность оценки началь- ной фазы. 3. Квадратурная когерентная демодуляция на протяжении двух тактовых интервалов 27’ (рис. 3.32). Возможность такой демодуляции вытекает из представления (3.89). Демодуля- ция элемента сигнала с номером п = 21 ведется на интервале (2/7;2(/ + 1)7) по синусной ветви. Демодуляция элемента сигнала с номером п — 21 + 1 ведется на интервале ((2/ + 1)71(2/ + 3)7) по косинусной ветви. На рис. 3.32 введены обозначения: РУ — решающие устройства; ДК — декодер, осуществ- ляющий объединение символов {c2Z2TJ и {c2z+i,2t} в единый поток, их декодирование и выда- чу информационного потока ; J — блок интегрирования. Соседние элементы информа- ционной последовательности выделяются в двух ветвях обработки, при этом интегрирование в обеих ветвях осуществляется со сдвигом на Т. Интегратор верхней ветви осуществляет ин- тегрирование в пределах (кТ,(к + 2)Т), интегратор нижней ветви — в пределах ((к + 1)71(к + 3)7). После выявления знака напряжений в блоках РУ интеграторы приводятся к нулевым начальным условиям. Входные полезные сигналы в каждой из ветвей обработки •5цум(01 = ± 7 IsinQZ | cos(coqZ + 0кан), *$ЦУм(0п = =*= 7 I COSQZ | sin(co0Z + 0кан), Рис.3.31. Квадратурная схема формирования двоичного сигнала ММС 111
Рис.3.32. Квадратурная схема детектирования сигналов ММС где у И 0кан — коэффициент передачи и фазовый сдвиг в канале. Таким образом, в каждой из ветвей на интервале 2Танализируется (с целью принятия решения об информационном сим- воле C2i или С21+ О система противоположных сигналов. Энергия принимаемого сигнала по каждой ветви обработки 2T 2Т 2тт2 Е = J(8тГ2/со8со0/)2Л =y2^m j(cosn/sinco0/)2*=^-—Т , о о т.е. совпадает с энергией гармонического сигнала амплитуды yUm на интервале (0;7). В ре- зультате (см. гл. 5) вероятность ошибки получается такой же, как при оптимальном когерент- ном приёме двоичных противоположных сигналов с тактовым интервалом Т (ФМ2 — двухпо- зиционная фазовая модуляция). Но для системы ФМ2 из-за скачков фазы в начале тактовых интервалов требуется большая полоса частот, чем для ММС. 3.6. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ПЕРЕНОСЧИКЕ В импульсных системах передачи энергия сигнала излучается не непрерывно (как при гар- моническом переносчике), а в виде коротких импульсов. Это позволяет при той же общей энергии излучения, что и при непрерывном переносчике, увеличить пиковую (максимальную) мощность в импульсе и тем самым повышать помехоустойчивость приёма. В качестве пере- носчика первичного сигнала b(i) в импульсных системах связи используют периодическую последовательность видео- и радиоимпульсов. оо Периодическая последовательность видеоимпульсов /(/) = Уду(/-иГ), где v(/) — форма «в-оо одиночного импульса, характеризуется следующими параметрами: высотой (амплитудой) Л; длительностью (шириной) ти; частотой следования _РИ = 1/Т (Г — период следования); поло- жением импульсов во времени относительно тактовых точек1). Изменяя один из перечислен- ных параметров в соответствии с изменением модулирующего сигнала b(fy, можно получить четыре основных вида импульсной модуляции (ИМ) видеоимпульсов: амплитудно- импульсную модуляцию (АИМ), модуляцию импульсов по длительности или ширине (ДИМ или ШИМ), частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ), времяимпульсную модуляцию (ВИМ). На рис. 3.33, а изображена периодическая прямоугольная импульсная последовательность /(/)• На рис. 3.33, б изображён передаваемый первичный сигнал b(t) (для простоты этот сигнал принимает на интервале анализа лишь три значения). На рис.З. 33 (в, г, д, е) показаны сигна- лы АИМ, ШИМ, ЧИМ, ВИМ. Вертикальными штриховыми линиями отмечены положения смодулированных импульсов во времени (тактовые точки). Предполагается, что при всех видах ИМ изменения соответствующего параметра пропорциональны значениям модулирую- щей функции. *) Если видеоимпульсы имеют не прямоугольную форму, появляется ряд дополнительных па- раметров. 112
At) a) 6) АИМ в) ШИМ r) ЧИМ Д) ВИМ e) АИМ-АМ ж) ВИМ-АМ з) ВЧИМ и) ЕФИМ к) Рис.3.33. Временные диаграммы различных видов импульсной модуляции -f- Частота следования импульсов FK в импульсных системах связи определяется максималь- ной частотой первичного сигнала FB: FH > 2FB. Действительно, в импульсных системах связи передаются лишь дискретные (во времени) отсчёты первичного сигнала b(t). Согласно теоре- ме отсчётов частота дискретизации Fa > 2FB. Частоту Fa и можно выбрать в качестве частоты следования импульсов. Сигнал АИМ можно определить выражением «аим(0 ~ ^(ОЛО- Спектр этого сигнала легко найти как сумму спектров AM сигналов. Для этого надо периоди- оо ческую функцию переносчика представить рядом Фурье f{t) - cos(2kFh^+<pt). Спектр *=о AM сигнала на отдельной поднесущей kFn находим так, как описано в § 3.3. На рис. 3.34, б показан амплитудный спектр АИМ (на положительных частотах) при мо- дуляции первичным сигналом со спектром, показанным на рис. 3.34, а. Из рис. 3.34, б следу- ет метод детектирования АИМ сигнала: детектирование посредством детектора AM сигнала 113
можно ввести на любой из поднесущих kFK (к = 0, 1, 2, ...). Проще всего выполнить детекти- рование посредством линейного ФНЧ, АЧХ которого отмечена на рис. 3.34, б штриховой ли- нией. Отфильтровка нежелательных частотных составляющих выполняется тем проще, чем лучше выполняется неравенство (F„ — FB) > FB или F„ > 2FB (т.е. чем меньше интервал дис- кретизации первичного сигнала). Ограничив ширину спектра АИМ сигнала первым лепест- ком штриховой огибающей кривой на рис. 3.34, получаем А/аим w Vth • (3.90) Обычно выбирают скважность импульсов переносчика достаточно большой, т.е. у = Т/хи » 1. (3.91) Большие временные интервалы между импульсами используют для передачи рабочих им- пульсов от других источников, т.е. для осуществления многоканальной передачи с временным разделением каналов (см. гл. 9). С учётом (3.90) и (3.91) можно видеть, что А/аим = * 2YF» » 2F. > т.е. сигнал при АИМ (это справедливо и при других видах ИМ) занимает значительно более широкую полосу частот, чем первичный сигнал b(f). Для импульсной передачи сообщений по реальным линиям связи обычно сигналом на выходе импульсного модулятора «^(Г) осуществляется вторичная модуляция гармонической несущей. Структурная схема системы связи для этого случая дана на рис. 3.35. Введены сле- дующие обозначения для отдельных блоков: ИМ — импульсный модулятор; ГИН — генератор импульсной несущей; ДЕМ — демодулятор канального сигнала, выдающий оценку сигнала ИМ («„,(/)); ИД — импульсный детектор; b(t) — оценка первичного сигнала, получаемая на выходе ФНЧ. На рис. 3.33, ж показан сигнал АИМ после вторичной модуляции высокочастотной гар- монической несущей по амплитуде. Такая двойная модуляция обозначается АИМ-АМ. На рис. 3.33, з показан сигнал ВИМ после вторичной модуляции гармонической несущей по ам- плитуде (ВИМ-АМ). При использовании в качестве несущей периодической последовательности радиоим- пульсов можно получить ещё два вида импульсной модуляции: высокочастотную импульсную модуляцию по частоте (ВЧИМ) и высокочастотную импульсную модуляцию по фазе Рис.3.35. Двухступенчатая схема передачи сообщений: на первой ступени - импульсная несущая, на второй ступени - гармоническая несущая 114
(ВФИМ). Сигнал при этих видах модуляции показан на рис. 3.33, и и рис. 3.33, к. Отметим, что сигнал ВИМ-АМ называют также сигналом высокочастотной, временной импульсной мо- дуляции (ВВИМ). Детектирование сигналов ВИМ (или детектирование сигналов ВИМ-АМ на второй сту- пени демодуляции), которые часто используются на практике, можно проводить различными методами. Один из них — превращение ВИМ в АИМ. Для этого интегрирующее устройство включается при нулевых начальных условиях в тактовый интервал и выключается при появ- лении переднего фронта импульса сигнала ВИМ. Уровни сигнала на интеграторе определяют сигнал АИМ. Последний детектируется обычным образом. 3.7. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ПРИ МОДУЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ Рассмотрим особенности ФК и СП средней мощности модулированных колебаний на примере гармонической несущей. Модулирующий процесс (первичный сигнал) B(f) будем предполагать стационарным с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функ- цией В(х). Модулированное колебание в этом случае также является случайным процессом. Однако, как показано ниже, при стационарном модулирующем процессе модулированный процесс оказывается нестационарным. Тем не менее можно определить СП средней мощно- сти таких процессов как преобразование Фурье от усреднённой во времени ФК процесса. Полученная СП средней мощности вполне соответствует физическому представлению о СП средней мощности модулированного колебания. Чтобы найти аналитическое выражение для СП средней мощности модулированного ко- лебания, нужно, исходя из распределения и корреляционной функции модулирующего про- цесса найти корреляционную функцию модулированного процесса. Сначала решим эту задачу для AM. В этом случае модулированный процесс cos(<B0+<p0), (3.92) где B(z) — центрированный стационарный случайный процесс с корреляционной функцией В(х). Будем считать вероятность того, что значения случайного процесса Х’дм^О/^о выходят за пределы отрезка [-1;1], пренебрежимо малой. На практике этого можно достичь соответст- вующим ослаблением модулирующего сигнала на входе модулятора. Раскрыв в (3.92) скобки, получим ^AM(^) = ^AM^(/)eos(a>o/ + (Po) + ^oCos(<0o^ + <Po), (3-93) откуда видно, что процесс С7дм(0 имеет переменное математическое ожидание 1/осо8(<в0* + фо)- Этому слагаемому соответствуют дискретная составляющая СПМ на частоте f0 величиной U^/2 и корреляционная функция Wq/2)cos<b0t . Первое слагаемое в правой части (3.93) представляет собой нестационарный центрированный случайный процесс Сдм(/), по- лученный умножением стационарного процесса В(г) на неслучайную функцию времени А\мсо8(шо* + фо)- В соответствии с формулами гл. 2 для корреляционной функции процесса Сам(/) имеем В. (t,t-т) = cos(co0/ + <p0)cos(co0(/-t)+<p0)b(t). илм Усреднив это выражение по переменной /, получим В. (r^O^B^cosmo-r. (3.94) U лм Из (3.94) заклю"чаем, что при AM усреднённая корреляционная функция центриро- ванного модулированного процесса получается умножением корреляционной функции моду- лирующего процесса на множитель 0,5/^ cos(coor), где jRT — крутизна характеристики мо- дулятора при AM. Корреляционной функции (3.94) соответствует СПМ 115
G, (/) = 0,5^^ JB(t)cos(<ot)cos(<oot)c/t = _Uam Z oo oo = 0,25^ fs(t)COSTCO +<oo)t^t+ Jb(t)co где G(/) — СПМ модулирующего процесса 5(/), определённая как по положительным, так и по отрицательным частотам; G(/ + /o) — спектр G(/), сдвинутый соответственно вправо и влево (в область отрицательных частот) на величину То. Суммарная усреднённая СПМ, соот- ветствующая процессу (3.93), определяется на положительных частотах формулой Go(/) = 0,5i/028O) + О,5Хам2С(Г-/о). (3-95) Рассматривая (3.95), делаем вывод, что сплошная часть СПМ для AM процесса состоит из двух боковых полос, являющихся "зеркальным отражением" друг друга относительно час- тоты То- На сплошную часть спектра приходится средняя мощность 0,5Адм 5(0) (где 5(0) — 2 мощность модулирующего процесса), а на дискретную составляющую — мощность 0,5-Uq . Полная средняя мощность процесса равна 0,5Uq2 [1 + B(G)/U02], где Uq — амплитуда не- сущей. Таким образом, теоретико-вероятностный подход в случае AM целиком согласуется с выводами, полученными ранее для AM при детерминированном первичном сигнале. Заметим, что, как следует из (3.94) и (3.95), усреднённые во времени ФК и СПМ AM ко- лебания совершенно не зависят от распределения модулирующего процесса 5(/), а опреде- ляются полностью его корреляционной функцией или, что то же, его СПМ. Это одно из главных свойств амплитудной модуляции. Иначе обстоит дело в случае угловой модуляции, которую сейчас рассмотрим.. Случайным образом модулированную по углу гармоническую несущую запишем в виде г/ум(0 = Um cosfao' + Ф(0 + фо], (3.96) где Ф(/) — случайный процесс, связанный с модулирующим процессом В(/) соотношениями Ф(0 = ^фм #(0 ПРИ ФМ; t ф(/)= Кчмпри ЧМ. (3.97) ° Процесс (3.97) нестационарен даже при стационарности B(t) (см. гл. 2). Поскольку цен- трирование процесса (3.96) в общем случае затруднено, определим функцию корреляции этого процесса без его центрирования: ^ум(М-т) = ^ум(^)^ум(^-т)= z = 0,5?7^со5(2<о0/-<о0т + 2<р0 + Ф(/)+ф(г-т))+со5(а>0т+ф(/)-ф(/-т)^ . (3.98) Выполним теперь усреднение (3.98) по времени. Слагаемое, содержащее косинус двой- ного угла, при этом обращается в нуль, и получаем ВУМ(т) = 0,5^ cos(<ooT + 0(f,-t)) -0,5U^cos(o0t)cos6(z,t)-O^G^sin(<Do-t)sin0(z,-t) . (3.99) Здесь обозначено 6(Г,т) - Ф(0 - Ф(Г - т). (3.100) Обратим внимание на то, что в отличие от AM при угловой модуляции синусоидального переносчика ФК модулированного колебания и его СПМ зависят от распределения случай- ного процесса (3.100), а следовательно, и распределения модулирующего процесса 5(/). Если одномерное распределение w(Q) выражается чётной функцией своего аргумента, то 00 ___ sin0 = Jsin0-w(0)fi?0 = 0 и Вум(т) = 0,5Gj; cos(co от) cos0 . (3.101) 116
Если модулирующий процесс В(/) стационарен и распределён нормально, тогда и 0(/,т), как линейное преобразование этого процесса, представляет собой нормальный процесс с ну- левым средним значением, но в случае преобразования (3.97) он нестационарен. Следова- 2 тельно, дисперсия этого процесса ств [В(т)] в общем случае зависит не только от корреляци- онной функции процесса й(т), но и от времени. Используя табличный интеграл, получаем для математического ожидания cos0 в рассматриваемом случае оо J COS0 w(0)cZ0 = 1 72лсте и вместо (3.101) можно написать ( ст2 Яум(г) = 0,517 2 cos(co от)ехр1—^5- г ( еИ J cosOexp с70 = ехр --у- _2> сте 2 J (3.102) Сравнивая (3.102) с (3.94), можно заметить, что если иметь в виду лишь вид корреляци- онной функции модулированного сигнала (следовательно, и его СПМ), то угловая модуляция нормальным случайным процессом с корреляционной функцией В(т) эквивалентна модуля- ции амплитуды случайным процессом, корреляционная функция которого Вэ(т) = ехр- (3.103) Можно показать, что сказанное остаётся справедливым и при другом (не нормальном) распределении модулирующего сигнала как для ФМ, так и для ЧМ, только зависимость Вэ(т) = /(В(т)) меняет вид. Зависимость (3.103) косвенно отражает тот факт, что при одном и том же модулирующем сигнале спектр AM колебания не шире, чем при угловой модуляции. В самом деле, характер этой зависимости (для всех представляющих практический интерес случаев) такой, что Вэ(т) всегда не шире (т.е. убывает быстрее), чем В(т). Но более "узкой" корреляционной функции соответствует более "широкий" спектр. Благодаря множителю cos coqt в корреляционной функции (3.102) сплошная часть СПМ гармонического переносчика, модулированного стационарным случайным процессом, имеет локальный экстремум на частоте /0. Поскольку Вум(т) — это усреднённая корреляционная функция некоторого случайного процесса, a cos coqt — чётная функция от т, то чётной же функцией от т оказывается и множитель Вэ(т) = Дв(т)). Последнему соответствует чётное же со преобразование Фурье б3(/)= | B3.(t)coscot6/t , всегда имеющее при /= 0 экстремум. Множи- тель cos соот, как уже отмечалось при рассмотрении AM, соответствует переносу спектра в об- ласть частоты fa так, что экстремум оказывается на этой же частоте. Для случая модуляции по фазе 6(Лт)- £ФМ (3.104) _2 __ сте _ лфм В2(/-т)+В2(/)-2В(/)В(1-т) = 2А^фМВ(0)(1-В(т)), (3.105) где В(т) = В(т)/В(0) — коэффициент корреляции модулирующего процесса В(/). В этом случае усреднённая корреляционная функция модулированного сигнала 5®M(T) = °.5f7mcos(a>Oi:)eXp(~^®MjB(0))(l + ^(,t)) (3.106) ФК (3.106) соответствует СПМ СФМ(/) = °Л172 Jсов(со0т)с08(сот)ехр(- ^mB(oX1-/?G)))^t: • (3.107) 117
К сожалению, интегрирование (3.107) в общем виде затруднено. Поэтому рассмотрим решение при двух крайних значениях параметра А?фМВ(0), зависящего как от мощности моду- лирующего сигнала B(Q), так и от крутизны характеристики модулятора АфМ. Если А"фМВ(0) « 1, то, разлагая ехр^АГфмВ(о)7?(т)) в ряд и ограничиваясь двумя первыми членами, имеем 5ФМ (г) = 0,5t/2 cps(co от)ехр(- КфМ5(о))(1 + ^м^(г)). (3.108) ФК (3.108) соответствует СПМ на положительных частотах Со,фм W = °>5^ ех₽(- Кфм5(0)>(/ - /0)+0^™^фм ехр(~ К2ФМ В(о))б(/ - /0 ), (3.109) который похож на спектр при AM (3.95). Дискретная составляющая спектра на частоте /0 имеет среднюю мощность 0,5С2ехр^-АГфМВ(0)), а две зеркальные относительно /0 полосы, образующие сплошную часть спектра, имеют суммарную среднюю мощность О,5[7^Х'фМВ(о)е~/:*мВ(о). Общая средняя мощность О,5С2е^“/:',мЛ(о^1+/:',мЛ(о^ « O^U2, как и должна быть при ФМ. Доля мощности "полезной" сплошной части спектра очень мала, так что рас- сматриваемый случай имеет малый практический интерес. Если А"фМВ(0) » 1, то /?(т) целесообразно разложить в ряд Маклорена: я(,)=1+^!^И+^!2Ж+.„, (злю, где 7?W(0) — k-я производная /?(т) по т при аргументе 0. Компоненты с нечётными степенями отсутствуют в этом ряду, так как /?(т) является чётной функцией т. Видно также, что вторая производная от /?(т) при т = 0 Я(2)(0) = -а2; (3.111) (3.112) Поскольку при А"фМВ(0) » 1 весомые значения экспоненты в (3.106) лежат в областях, где 7?(т) близок к 1, т.е. т мало, то можно ограничиться первыми двумя членами ряда (3.110) и получить соотношение 5Фм(т) = с°£(сйот)ехр(-О,5А'фМВ(о)а2т2). (3.113) Корреляционной функции гауссовской формы В1(т) = ехр(-0^А^фМВ(0)а2т2) соответствует и СПМ той же формы Г~2^ ( f2(2n)2 У^фм"(0)° \ 2лфмВ(0)а J (З.П4) а умножение корреляционной функции БДт) на cos ©о* соответствует, как известно, переносу спектра G\(f) вправо и влево (в область отрицательных частот) на величину fa. Таким образом, корреляционной функции (3.113) соответствует СПМ на положительных частотах G<.,»m(/) = 0,5uJ У а-фм о{0)а Я 2АГфМВ(0)л2 J (3.115) При Х'фМВ(0)->0 выражение (3.115) стремится к дельта-функции О,5С28(/-/о). Итак, можем утверждать, что, если A^MB(0)» 1, СПМ ФМ колебания имеет только сплошную часть, форма которого гауссовская независимо от формы спектра модулирующего процесса G(/)- Спектральная плотность мощности ЧМ колебания ввиду нестационарности (3.97) легче всего получить не путём вычисления усреднённой корреляционной функции Дчм(т)> а путём сопоставления с процессом (3.97) стационарного случайного процесса (3.96), у которого спектр средней мощности такой же, как усреднённый во времени спектр средней мощности 118
процесса ф(/) = J . Усреднённая СПМ такого процесса бф(/) = АГ2чм——, ибо коэффи- о 2 циент передачи по мощности идеального интегратора равен 1/со . С учётом сказанного ре- зультаты для ЧМ следуют из результатов для ФМ, если в них заменить Афм на Лцм, а 00 °0, f’/ f\ 7 В(т) = Jg(/)cos(cot)6//' на 5э(т)= J —Ц-^-со^сот)^ . При этом В(0) = jG(f)df заменяется на —со —со —со- 00 С( f\ Г д df и считается, что этот интеграл существует. J со2 —со Рассмотрим теперь особенности спектров средней мощности при цифровой модуляции (манипуляции) гармонической несущей частоты fo синхронным двоичным случайным процес- сом. Спектр при AM определяется, очевидно, так же, как при модуляции непрерывным слу- чайным процессом. Если в (3.92) считать, что В(/) - это синхронный двоичный случайный процесс с корреляционной функцией В(т) = й2 1-— , |т|^ Т, и СПМ G(f) = h2T——*—(см. гл. 2), а = U0/h , то усреднённая ФК Вцам (т) = QfU2 cos(co от) + 0,5J7q (1 - |т|/2)cos(co от), (3.116) а соответствующий спектр средней мощности на положительных частотах , , sin2[(со -со(Лг/21 Со,цам(/) = О,5С23(/-/о)+ОХ7—(3.117) [(со -со0)7/2] Графики, соответствующие второй компоненте формулы (3.116) и формуле (3.117), пока- заны на рис. 3.36, а и б. Для нахождения усреднённых корреляционной функции и спектра средней мощности при двоичной фазовой') модуляции (ЦФМ) воспользуемся результатами, полученными при цифровой AM. Будем рассматривать ФМ с противоположными сигналами, представляющими наибольший практический интерес. При модулирующем двоичном сигнале рис. 3.37, а сигнал ФМ с амплитудой Um при манипуляции фазы несущей на угловую величину п имеет вид рис. 3.37, б. Его можно представить как наложение двух сигналов AM, модулированных взаи- мообратно (рис. 3.37, в и рис. 3.37,г), причём фазы несущих в них противоположны. Если мо- дулирующий случайный процесс (рис; 3.37, а) стационарен, то усреднённые ФК и СПМ сиг- нала ФМ определяются учетверением соответствующих характеристик сигнала AM, однако дискретная составляющая на частоте несущей при манипуляции на л в спектре ФМ отсутст- и и2 и2 Р вует. Поскольку при рассмотренной выше ЦАМ Uo =.™*х , то , где Р] — сред- няя мощность AM сигнала при передаче 1. Полагая, что символы 1 и 0 передаются равнове- Рис.3.36. Усреднённая во времени ФК боковых составляющих при AM гармонической несущей случайным синхронным двоичным сигналом (а) и усреднённая во времени СПМ при AM гармонической несущей случайным синхронным двоичным сигналом (б) ') Аналогичные результаты можно получить и при относительной фазовой модуляции. 119
a) 'б) в) Г) Рис.3.37. Представление сигнала ЦФМ как суперпозиции двух сигналов ЦАМ роятно, имеем для средней мощности при ЦАМ. Рср = ^/2 и иЦ1 = Рср/2 . Два рассмотренных AM сигнала, модулированных взаимообратно, дают суммарную сред- 2 • U2 U2 нюю мощность боковых -------— = ——, L 2-2 2 которую считаем равной Рср. Таким образом, Дцфм(т) = 2[7q(1-|t|/7’)cos(coot) , (ЗП8) ч , sin2[(co-со0)772] Ооцфм(/) = 2[702Г—li-(3-119) [(“-“oW2j Графики (3.118) и (3.119) отображены на рис. 3.35, а и б, если ординаты увеличить в 4 раза. При цифровой двоичной модуляции частоты с разрывом фазы (переключением цифро- вым первичным сигналом 6Ц(/) двух независимых генераторов с частотами соi и ©2) усреднён- ные во времени ФК и СПМ ЧМ сигнала можно найти как сумму соответствующих характе- ристик Двух AM сигналов с несущими частотами coi и ©2- Анализ показывает, что при цифровой частотной модуляции с непрерывной фазой (ЧМ- НФ) спектр при определённых индексах модуляции заметно сужается по сравнению со случа- ем ЧМ с разрывом фазы. Для системы ММС (модуляция с минимальным сдвигом) спектр оказывается уже, чем спектр при ЦАМ (или ЦФМ). 3.8. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ АМПЛИТУДНОЙ И УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ Предельно достижимая (потенциальная) помехоустойчивость систем пере- дачи дискретных и непрерывных сообщений (достигаемая при оптимальных методах приёма) будет рассмотрена в гл. 5 и 8. Здесь определим лишь сравни- тельную помехоустойчивость передачи непрерывных Сообщений при AM и УМ, если для детектирования AM сигнала используется некогерентная неоп- тимальная, но широко распространённая схема "линейного" детектора, а для детектирования сигнала УМ используется фазовый детектор. Запишем узкополосное колебание на входе AM детектора (сигнал плюс шум): Z(t) = s(t) + N(t)=y (u0 + KMb(ty cos(g) ot + 0) + Xn(t) cos(o ot + б) + Fn(/) sin(o ot + б), (3.120) где у, 0 — коэффициент передачи и фазовый сдвиг сигнала в канале; Хп(?) и Уп(0 “ случайные квадратурные компоненты помехи «(/), которые считаются 120
независимыми и с нулевыми МО. Если аддитивная помеха N(t) является ста- ционарным случайным процессом, то mx=my=0, = Уг2(0 =№(?) = о2. Запишем колебание (3.120) через суммарную огибающую W=4? (w. + W]2+ТО; (3.121) Z(0 = t4(z)cos(co0r-®(z) + 0), (3.122) Y (t) где Ф(/) = агс1е—7-- r(tf.+WW)+x„W На выходе ФНЧ линейного детектора полезный сигнал um(t) пропорцио- нален огибающей сигнала (3.122) «mW = ill? (U„ + Х«Д0)+ XnW]’ + TO = = jr2(u,+K„Mttf +2Л'п(<)г(у0+ЛГам4(/))+Л-„2(/) + !;!« (3.123) Будем оценивать помехоустойчивость системы отношением средних мощ- ностей сигнала и помехи (ОСП) на выходе детектора: Р ______ с вых Рвых ^,2 Найти этот параметр из (3.123) в общем случае затруднительно. Поэтому сначала рассмотрим режим сильного сигнала, когда (3.124) с вероятностью, близкой к 1. Тогда с учётом (3.123) можно написать ““’(')=у (с/’+” “rt/.+rWW+TO- (3.125) В рассматриваемом случае мешающее воздействие оказывает только син- фазная составляющая помехи Tn(Z). Исходя из (3.125) определим ОСП на вы- ходе детектора, полагая, что b(t) = Un sinQ/: у2/Г2м£/2 Рвых = ..“ • (3.126) Как видно из (3.120), ОСП на входе детектора1) у2/С2 £/2 Р.к = Л g (3.127) Можно видеть, что в режиме сильного сигнала "линейный" детектор увели- чивает ОСП в 2 раза (рВЫх/Рвх = 2). Теперь рассмотрим режим слабого сигнала, когда огибающая входной по- мехи и St) = K’W + TO » y(ut +Мй) (3.128) с вероятностью, близкой к единице. Тогда исходя из (3.123) получаем Р Несущая исключена из полезных сигнальных составляющих. 121
Mm(O = Un(r)Jl + »t/n(0 1 + u*(t) (3.129) и Выражение (3.129) не содержит чистой сигналь- ной составляющей (рвых = 0). Более того, в услови- / ях неравенства (3.128) wH4(0 « Цх(О, т.е. сильная / / " помеха полностью подавила сигнал, что характерно / /для нелинейных преобразований смеси сигнала и \Фп / / помехи. 'Х<// Рассмотрим помехоустойчивость ФД, включён- ного после ограничителя амплитуд, снимающего паразитную AM. Анализ при произвольных отно- --------------- шениях сигнал/шум на входе детектора затруднен. Рис.3.38. Сложение сигнала УМ Рассмотрим ситуацию, когда амплитуда ФМ сигна- и аддитивной помехи на входе ла Цт с верОЯТНОСТЬЮ, 6ЛИЗКОЙ К еДИНИЦе, сущест- ограничителя амплитуд венно превышает огибающую помехи Un(t): Um » Un(t) или Um »|Уп(г)| (3.130) Рисунок 3.38 иллюстрирует сложение вектора сигнала УМ 5ум(0 ~ £4)cos[®0^ + Фс(0] с вектором помехи Un на входе ограничителя ампли- туд. На рисунке обозначено: <рс(/) — угол полезной модуляции, отсчитанный от начального положения (штриховая линия); <рп(/) ~ угол шумовой модуляции, создаваемой проекцией Yn вектора Un. Очевидно, что проекция Хп (совпадающая с сигнальным вектором) не создаёт угловую модуляцию. Коле- бание, соответствующее суммарному вектору Us, можно записать в виде t4(0 cos[co0r + Фс(0 + ФпО)]- (3.131) Из рис. 3.38 с учётом условия (3.130) для угла шумовой модуляции получа- ем <Pn(t) = arctg U. (3.132) Полагая, что <рс(0 = КфмЮ) = Кфмиа$т£И= М sinQf, запишем НЧ сигнал на выходе неискажающего фазового детектора при вход- ном сигнале (3.131): (3.133) WH4<JM У (/) (г) = *(фе(0+фпМ) = * A/smQr + -^— к — коэффициент передачи детектора. Средняя мощность полезного выходного сигнала (3.134) Чтобы найти среднюю мощность (дисперсию) шумовой компоненты у (Л = (3.135) 122
сначала найдём СПМ случайного процесса N(f) на входе детектора. Будем счи- тать, что помеха N(t) = Xn.(f) coscoo* + Yn(f) sincoo^ (3.136) с дисперсией о2 является квазибелым шумом в полосе положительных частот сигнала [оо_(ЛГ + 1)Ф <оо + (ЛГ + 1)Н]. Но (3.136) можно рассматривать как результат амплитудной модуляции гармонической несущей первичным сигна- лом ^(О1) (его дисперсия Y2 = о2). Это означает, что СПМ процесса Уп(г) (злз7> Для СПМ шума 7УВЫх(0 в соответствии с (3.135) имеем 2 Л2 G°’™^~ U2m(M + l)F' (3.138) Дисперсия выходного шума в полосе (0;П) F а2 к2 < = (3.139) Отношение ОСП на выходе фазового детектора с учётом (3.134) Учитывая, что ОСП на входе U2 Рвх=г±, (3.141) 2°п можно видеть, что в режиме сильного сигнала фазовый детектор увеличивает ОСП в ^=Л/2(1 + Л/) Рвх раз. Проанализируем помехоустойчивость при ЧМ. Сигнал на выходе детектора ЧМ пропорционален производной от (3.133) (т.е. мгновенной частоте) «нч ЧМ(0 = ^(фсW +Фп(0) = к WcosQz1 + (3.142) Y Средняя мощность полезного выходного сигнала М2П2к2 р =----------• С,ВЫХ 2 5 СПМ случайного процесса Уп(0 с учётом (3.137) 2 2 СПМ выходного шума частотного детектора / со2о2Л2 Дисперсия выходного шума в полосе (0,f) dt (3.143) (3.144) (3.145) (3.146) Р То же относится и к компоненте Xn(f), которая здесь нас не интересует. 123
(3.147) Оу •'* вых (3.148) F - f (f)df = 3^2^ + jJq = 3U^M + l) ОСП на выходе частотного детектора с учётом (3.144) Л/23£/2(Л/+1) Рвых “ 2о2 Учитывая, что ОСП на входе детектора определяется формулой (3.141), по- лучаем, что в режиме сильного сигнала частотный детектор увеличивает ОСП в ^ = ЗЛ/2(1 + Л/) (3.149) Рвх раз. Можно показать, что в режиме слабого сигнала и в неискажающем фазо- вом (частотном) детекторе происходит подавление сигнала сильной помехой. ВЫВОДЫ 1. Много преобразований сигналов в системах электрической связи (преобразование и умно- жение частоты, генерация колебаний, модуляция и демодуляция, выпрямление и др.) свя- зано с трансформацией спектра, следовательно, они могут быть выполнены либо в линей- ных системах (цепях) с переменными параметрами (параметрические цепи), либо в нели- нейных цепях. 2. Вследствие линейности амплитудной модуляции спектр ДМ сигнала повторяет форму спектра сообщения и занимает полосу, в два раза превышающую максимальную частоту спектра первичного (модулирующего) сигнала. 3. Из энергетических соображений и соображений экономии полосы частот канала представ- ляют интерес системы с балансной модуляцией (AM без несущей) или системы с одной боковой полосой (ОБП). 4. Квадратурная схема передачи и приёма сигналов позволяет на одной несущей передавать сообщение от двух независимых источников. 5. Фазовая и частотная Модуляция является разновидностями угловой модуляции. 6. Спектр сигналов с УМ при больших индексах модуляции М шире и сложнее спектра AM. 7. Сигналы ОБП можно формировать путём модуляции двух гармонических несущих, сдви- нутых по фазе на л/2, посредством первичного сигнала и его преобразования по Гильбер- ту. 8. Временные и спектральные характеристики цифрового первичного сигнала существенно зависят от выбора аналогового переносчика дискретных сообщений. 9. Система двоичной частотной модуляции с минимальным сдвигом (ММС) (с индексом мо- дуляции 0,5) позволяет достичь помехоустойчивость системы с противоположными сигна- лами (ФМ-2), но занимает более узкую полосу частот. 10. Модулированный сигнал при импульсном переносчике занимает более широкую полосу частот, чем при гармонической несущей. И.Спектр средней мощности AM сигнала при модуляции случайным процессом повторяет форму спектра средней мощности первичного сигнала, но не зависит от плотности веро- ятности модулирующего процесса. 12. Спектр средней мощности сигнала УМ при модуляции случайным процессом имеет более сложный характер, чем при AM, и зависит от плотности вероятности модулирующего про- цесса. 13. В режиме сильного сигнала помехоустойчивость УМ при больших индексах модуляции значительно больше, чем при AM. ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 3.1. Дифференциальная крутизна параметрического элемента меняется по закону S_(t) = So + 5icosa)y/, а входной сигнал. мвх(0 = U(t)cos(o>ct + <рс)- Найти крутизну преоб- 124
разования частоты 5^ как отношение амплитуды тока частоты юпр = юу - юс к амплиту- де входного сигнала. На нелинейный элемент с ВАХ i = + а\ (и-Е) + (и-Е) действует напряжение и = Е + costa j/ + t/2coso)2?. Найти амплитуды всех частотных составляющих тока. На нелинейный элемент с вольт-амперной характеристикой, аппроксимируемой лома- ной прямой, подаётся (при угле отсечки л/2) гармонический сигнал с амплитудой 2 В. Крутизна ВАХ S= 10 мА/B. Найти амплитуды постоянной составляющей тока Iq, пер~ вой и второй гармоник /1 и /г- Для сравнения найти величины Iq, /ь 1г методом трёх ординат. Прямоугольный импульс длительностью 1 мс модулирует по амплитуде гармоническую несущую частоты /> = 1 МГц и амплитуды 1 В. Найти спектр первичного и модулиро- ванного сигнал. Найти статическую модуляционную характеристику при AM смещением в цепи базы транзистора при аппроксимации характеристики /к =/(^бэ) ломаной прямой. На "линейный" детектор при угле отсечки 0 = тг/2 подаётся AM сигнал £/дм(0 = [1 + 0,5cos(5103/)] cos(5106(). Крутизна характеристики нелинейного элемента 5= 10 мА/B. Найти напряжение на нагрузке, образованной параллельным соединением сопротивления R = 10 кОм и ёмкости С, удовлетворяющей требуемым условиям работы детектора. В чём разница между двумя разновидностями угловой модуляции: фазовой и частотной? Спектр переносчика первичного цифрового сигнала определяется на положительных о</<— (1-А 2ТЛ ’ A, выражением частотах А 2 1 + СО! 0 < г < 1 — коэффициент сглаживания. Нарисуйте зависимость 5Ь(/) от частоты при г =0,5 и г=0 (прямоугольная форма спектра). Покажите, что спектр по закону "приподнятого косинуса" удовлетворяет второму условию Найквиста. Найти форму пе- реносчика v(0 с указанным спектром и убедиться, что она удовлетворяет первому усло- вию Найквиста. В чём особенности систем цифровой частотной модуляции с непрерывной фазой, в ча- стности системы ММС ? В качестве импульсной несущей используется периодическая последовательность пря- моугольных импульсов длительностью т = 10 мкс и с периодом следования Т = 125 мкс. Эта несущая модулируется по амплитуде речевым сигналом с верхней частотой спектра Гв = 3400 Гц. Какую ширину спектра занимает сигнал АИМ? Сколько речевых сигналов можно передать на импульсной несущей путём временного разделения каналов? Двоичная частотная модуляция реализуется путём поочередного выбора одного из двух независимых гармонических сигналов с частотами fo и/j. Модель первичного сигнала - случайная стационарная двоичная синхронная последовательность. Найти функцию корреляции и спектральную плотность средней мощности ЧМ сигнала. На вход "линейного" детектора при угле отсечки п/2 подан однотональный AM сигнал mam(z) - ^(l+msin^^cos^ol) и стационарный квазибелый (в полосе сигнала) гауссов- ский шум с дисперсией стп2. Найти: а) МО и дисперсию суммарного входного колебания; б) ПВ суммарного входного колебания; в) ПВ огибающей входного колебания; г) ПВ НЧ сигнала на выходе детектора при большом ОСП; д) вероятность того, что выходной НЧ сигнал (при большом ОСП) превышает средне- квадратическое значение шума ст . 125
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ 4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КАНАЛАХ СВЯЗИ В гл. 1 канал связи определён как совокупность средств, предназначенных для передачи сигналов (сообщений) между различными точками системы свя- зи. Под "средством" понимают и технические устройства, и линию связи — фи- зическую среду, в которой распространяется сигнал между пунктами связи. Канал связи можно представить как последовательное соединение устройств (блоков), выполняющих различные функции в общей системе связи. Такое объяснение применительно к дискретной системе связи показано на рис. 1.5, и при необходимости анализа отдельных её блоков схему можно дета- лизировать. Например, можно учесть ряд устройств (реализуемых электриче- скими цепями), размещённых в промежуточных пунктах линии связи между передатчиком и приёмником (например, усилительную и фильтровую аппара- туру вдоль линий дальней проводной связи или ретрансляторы радиорелейных линий связи). В данном курсе не рассматриваются вопросы электрического сопряжения отдельных блоков, образующих канал связи. В первую очередь изучается выбор функциональных блоков канала, при котором была бы обеспечена наибольшая эффективность передачи сообщений (информации). В зависимости от решае- мых задач под каналом связи можно понимать различную совокупность бло- ков, которая в ходе решения задачи считается заданной (см. § 1.2, рис. 1.3). Классификация каналов связи возможна с использованием различных при- знаков. В зависимости от назначения систем каналы связи делят на телеграф- ные, фототелеграфные, телефонные, звукового вещания, передачи данных, те- левизионные, телеметрические, смешанные и т.п. В зависимости от того, рас- пространяются ли сигналы между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям выделяют каналы радио- (в частности, косми- ческие каналы) и проводной связи (воздушные, кабельные, волоконно- оптические линии связи, волноводные СВЧ тракты и т.п.) В зависимости от характера связи между сигналами на входе и выходе канала различают каналы (звенья, цепи) линейные и нелинейные. Различают каналы чисто временные (с сосредоточенными параметрами), в которых сигналы на входе и выходе описываются функциями одного скаляр- ного параметра (времени Z), и пространственно-временные каналы (с распре- делёнными параметрами), в которых сигналы на входе и (или) выходе описы- ваются функциями более одного скалярного параметра (например, времени t и пространственных координат х, у, z). Такие сигналы называют полями. Более существенна классификация каналов электрической связи по диапа- зону используемых ими частот. Так, на современных симметричных кабельных линиях связи применяют сигналы, занимающие полосы частот в диапазоне, ограниченном сверху частотой в несколько сотен килогерц. Дополнительные мероприятия по увеличению симметрии кабельных пар позволяют увеличить верхний предел используемого диапазона частот до тысячи килогерц. Коакси- альные кабели, являющиеся основой сетей магистральной дальней связи, про- пускают в настоящее время диапазон частот до сотен мегагерц. На воздушных 126
проводных линиях используют частоты не выше 150 кГц, так как на более вы- соких частотах в этих линиях сильно сказывается мешающее действие адди- тивных помех и резко возрастает затухание в линии. Радиосвязь осуществляется с помощью электромагнитных волн, распро- страняющихся в частично ограниченном (например, землей и ионосферой) пространстве. В настоящее время в радиосвязи применяют частоты примерно от З Ю3 до З Ю12 Гц. Этот диапазон принято в соответствии с десятичной клас- сификацией подразделять следующим образом (см. табл. 4.1). В таблице в скобках указаны нестандартные, но используемые названия Таблица 4.1. Наименование волн Диапазон волн Наименование частот Диапазон частот Декакилометровые . (сверхдлинные, СВД) 100...10 км ОНЧ очень низкие 3...30 кГц Километровые (длинные, ДВ) 10...1 км НЧ низкие 30...300 кГц Г ектаметровые (средние, СВ) 1000...100 м СЧ средние 300...3000 кГц Декаметровые (короткие, КВ) 100...10 м ВЧ высокие 3...30 Мгц Метровые (ультракороткие, УКВ) 10...1 м ОВЧ очень высокие 30...300 Мгц Дециметровые 100...10 см УВЧ ультравысокие 300...3000 Мгц Сантиметровые 10...1 см СВЧ сверхвысокие 3...30 Ггц Миллиметровые 10...1 мм КВЧ крайневысокие 30...300 Ггц Децимиллиметровые 1...0,1 мм ГПЧ гипервысокие 300...3000 ГГц диапазонов волн. Диапазон децимиллиметровых волн уже вплотную подходит к диапазону инфракрасных волн. В настоящее время благодаря созданию и широкому внедрению квантовых генераторов (лазеров) освоен и диапазон све- товых волн (оптический диапазон). Практически в оптико-волоконных линиях связи используются частоты порядка 1014 Гц (длины волн 1,55; 1,35; 0,85 мкм). Для современного этапа развития техники связи характерна тенденция к переходу на всё более высокие частоты. Это вызвано рядом причин, в частно- сти необходимостью повышать скорость передачи сообщений, возможностью получить остронаправленное излучение при небольших размерах излучателей, меньшей интенсивностью атмосферных и многих видов промышленных помех в более высокочастотных диапазонах, возможностью применения помехоустой- чивых широкополосных систем модуляции и т.п. Для теории электрической связи большой интерес представляет классифи- кация каналов связи по характеру сигналов на входе и выходе канала. Разли- чают каналы: 127
а) непрерывные (по уровням), на входе и выходе которых сигналы непрерыв- ны. Примером может служить канал, заданный между выходом модулятора и входом демодулятора в любой системе связи; б) дискретные (по уровням), на входе и выходе которых сигналы дискретны. Таковы каналы, заданные между точками а-а и b-b на схеме рис. 1.5; в) дискретные со стороны входа и непрерывные со стороны выхода или наобо- рот. Такие каналы называются дискретно-непрерывными или полунепрерывными (например, каналы, заданные между точками a -z, b — z (см. рис. 1.5). Всякий дискретный или полунепрерывный канал содержит внутри себя не- прерывный канал. Следует помнить, что дискретность и непрерывность канала не связана с характером передаваемых сообщений: можно передавать дискрет- ные сообщения по непрерывному каналу (см. гл. 5) и непрерывные сообщения по дискретному (см. гл. 8). В ТЭС анализируются каналы (сигналы) с непре- рывным и дискретным временем (см. гл. 10). 4.2. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ Для построения теории электрической связи необходимо прежде всего рас- полагать математической моделью канала, описывающей реальный канал с нужной степенью приближения. Такая модель (если не интересоваться внут- ренними процессами в системе) сводится к заданию математической модели сигналов на входе и выходе канала (или образующих его электрических цепей) и связей между ними. Будем рассматривать только чисто временные каналы, задавая связь сигналов (в общем случае многомерных, векторных) на входе x(f) и выходе y(f) (последние называют также откликом или реакцией системы) системным оператором у(0 = £{х(0}. Чтобы полностью определить задачу, решаемую в теории связи, следует за- дать область Vx некоторого функционального пространства, которая называется областью допустимых входных воздействий. Указание этой области описывает характер входных сигналов, которые могут быть непрерывными, дискретными, цифровыми детерминированными или случайными. Аналогично должна быть определена область Vy допустимых выходных сигналов. В настоящей главе рас- сматриваются главным образом системы с аналоговыми сигналами (непрерывные по уровням и времени) на входе и выходе (непрерывные кана- лы). Математической моделью системы (канала) называют совокупность систем- ного оператора L и областей допустимых сигналов Vx и 7у. Классификацию систем (каналов) можно проводить на основании характерных свойств их ма- тематических моделей. Говорят, что система стационарна, если её отклик на выходе не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. Стационарные системы называют системами с постоянными во времени пара- метрами. Если свойства системы зависят от того, в какой момент времени по- ступает входной сигнал, систему называют нестационарной (системой с пере- менными во времени параметрами или параметрической системой). Важнейший принцип классификации систем (каналов) основан на том, что различные системы по-разному реагируют на сумму нескольких сигналов. Ес- ли оператор системы удовлетворяет принципу суперпозиции: 128
L[xi +x2] = LtxJ + L[x2], 1 £[ax] = a£[x], J ( ‘ ' где a — произвольное число, то система называется линейной. Если условия (4.1) не удовлетворяются^— система называется нелинейной. Пример. Вход и выход канала (системы) связаны дифференциальным оператором Я')= ^г+2<х(')^+ш» *W- Проверкой убеждаемся, что условия (4.1) выполняются. Данная система линейная с пе- ременным параметром <х(/)> т.е. параметрическая. Пример. Вход и выход безынерционного канала связаны соотношением у(0 = Ах2(0- Если на вход канала действует суммарный сигнал + х2 (/), то ^) = /a?(r) + /af(f) + 2foci(r)x2(/). Условия (4.1) не выполняются, следовательно, система нелинейна. Строго говоря, все физические каналы связи и составляющие их звенья (цепи) в той или иной степени нелинейны. Однако очень много каналов (цепей) весьма точно описываются линейными моделями. Так, практически всегда можно пренебречь нелинейностью обычных резисторов, конденсаторов, некоторых индуктивных элементов, среды распространения электромагнитных волн при обычных мощностях передатчиков и т.д. Нелинейные каналы (цепи) содержат в себе обычно такие элементы, как полупроводниковые диоды и транзисторы, имеющие сложные вольт-амперные характеристики. Нелинейные каналы характерны также для некоторых сред распространения радио- и опти- ческих волн при повышенной мощности передатчиков. Построить общие математические модели и анализировать нелинейные ка- налы (цепи) ввиду того, что не работает принцип наложения, значительно сложнее, чем анализировать линейные каналы (цепи). В этой связи мы огра- ничим рассмотрение нелинейных каналов только детерминированной безы- нерционной одномерной нелинейной моделью, когда сигналы на выходе у(/) и входе канала x{t) связаны соотношением ЯО = ф[*0] • (4.2) Соотношением (4.2) достаточно точно может быть охарактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, например входящих в состав модулято- ров и демодуляторов (см. гл. 3), ограничителей и т.п. 4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается из- менениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены прежде всего линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также на- личием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов. С точки зрения передачи информации по каналу важ- но подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Обра- тимые преобразования не влекут за собой потери информации (см. гл. 6). 129
При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обра- тимых преобразований сигнала часто используется термин искажение, а необ- ратимые преобразования называют помехами (аддитивными и неаддитивными). 4.3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Пользуясь фильтрующим свойством 5-функции, запишем x{t) = j х(т) 5(/ - x)dx.. (4.3) -СО Выражение (4.3) можно рассматривать как динамическую модель сигнала, показывающую ход его развития от -оо до точки t. Поскольку b(t — т) = 0 при т > t, то (4.3) можно записать как х(/) = Jx(t)5(/-t)A . (4.4) Введём в рассмотрение импульсную характеристику (ИХ) #(/) линейного стационарного канала как его отклик в момент времени t на 5-импульс, по- данный в момент времени 0. Тогда отклик такого канала на элементарное воз- действие х(т)<й5(^ — т) равен x(x)dxg(t — т), а отклик на сигнал (4.3) в соответ- ствии с принципом суперпозиции У(0 = J x(x)g(t - x)dx = j x(x)g(t - x)dx. (4.5) -00 -00 Верхнюю переменную t в интеграле можно заменить на оо, так как из усло- вия реализуемости системы (отклик системы не может появиться раньше воз- действия) gUt — т) = 0, при t. — х < 0 или х > t. Выражение (4.5) называют интегралом Дюамеля. Он определяет отклик ли- нейной стационарной системы y(f) как свёртку сигналов x(t) и gKfy. ЯО = х(0 ® ХО- (4.6) Формула (4.5) имеет наглядный физический смысл: линейная стационар- ная система выполняет над входным сигналом операцию взвешенного сумми- рования всех его мгновенных значений, существовавших в прошлом при — оо < т < t. Роль весовой функции играет ИХ. Физически реализуемая система должна быть также устойчивой: возни- кающие от внешнего толчка (воздействия 5(Z)) собственные колебания должны с течением времени затухать, что требует выполнения условия абсолютной ин- тегрируемости: < °о • Формулу (4.5) можно обобщить на случай, линейного нестационарного (параметрического) канала: (4-7) если учесть, что ИХ g(t, т) — это отклик канала (системы) в момент t на 8-импульс, поданный ко входу в момент t - т. Для стационарной системы g(t, т) = g(x). Если канал (система) имеет т входов и и выходов, можно ввести в рассмотрение матрицу импульсных характеристик g(/, т) с парциальными импульсными характеристиками 130
и обобщить (4.7) для многомерного случая у(0= fx(T)g('>T)<fc > где х(0 ~ /и-мерный вектор; у(/) — л-мерный вектор. Преобразование Фурье от #(/,т) по переменной т оо —оо определяет передаточную функцию линейного канала с переменными параметрами, которая является функцией не только частоты, но и времени. Для стационарных линейных каналов (систем) передаточная функция (комплексный коэффициент передачи или частотная характеристика - ЧХ) не зависит от времени, поскольку Ьо . (4.8) -ОО Импульсную характеристику^/) можно найти из Хг(/) обратным преобра- зованием Фурье: оо g(t) = JЛГ(/)е-*# . (4.9) Спектр Фурье свёртки (4.6) равен (см. задачу 2.6.) £,(/)=$,(/ИД. (4.Ю) где •?,(/). £,(/)- спектральные плотности входного и выходного сигналов. Зная спектральную плотность выходного сигнала (4.10), можно найти вы- ходной сигнал y(t) обратным преобразованием Фурье: оо У«=1^(/ИД*#- (4.11) Соотношения (4.10) и (4.11) определяют спектральный (частотный) метод анализа линейной стационарной системы, в то время как соотношение (4.4) определяет временной метод анализа этой системы. Спектральный метод анализа линейных стационарных систем можно обобщить, если от преобразований Фурье входного х(/) и выходного у(/) сигна- лов перейти к их преобразованиям Лапласа. Предположим, что x(f) — вещественный или комплексный сигнал, опреде- лённый при t > 0 и равный нулю при t < 0. Преобразование Лапласа этого сиг- нала — это функция комплексной переменной p = o+jco, (4.12) определяемая интегралом ао F,(p) = fx(/)e-''rf/; (4.13) О F(p) называют изображением для сигнала х(/). Интеграл (4.13) существует (абсолютно сходится) при |х(/)| < Ле" (А, а — положительные числа), если Re р > а. (4.14) 131
Число а называют абсциссой абсолютной сходимости. Выражение (4.13) можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье (для сигналов, определённых при t > 0) на случай комплексной частоты (4.12). В литературе имеются таблицы большого числа функций x(t) (оригиналов) и их изображений Fx(p), что часто делает излишним выполнение операции обратного преобразования Лапласа. Так, для функции = 4 ел‘ 1(0, р, = at + jo,, о P~Pi Учитывая линейность преобразования Лапласа, можно утверждать, что изо- бражению (сумме простых дробей) N A N F(p) = S—~ соответствует оригинал х(0 = ^Дел'1(/) . «=1 Р~ Pi «=1 Оригинал х(/) по заданному изображению Fx(jp] можно в общем случае на- ходить обратным преобразованием Лапласа. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье х(г) = J•S'(jco)е £ /и (4.15) следует осуществить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой пере- менной jo к комплексной переменной р = о + jco. Так как da = dp/\, то из (4.15) следует Рис.4.1. Образование замкнутого контура интегрирования (4.16) Из соображений сходимости надо, чтобы вы- полнялось условие с > а (см. (4.14)). Изображения по Лапласу оказываются в точках комплексной плоскости р (за исключением счётного числа так называемых особых точек, которые, как правило, полюсы, однократные или многократные) анали- тическими функциями (непрерывные функции с производными любого порядка). Это позволяет для вычисления интегралов типа (4.16) пользо- ваться достаточно простым и отработанным мето- дом теории вычетов. Чтобы использовать методы теории вычетов для интегрирования (4.16), надо сначала от этого интеграла перейти к интегралу по замкнутому контуру (4.17) Контур интегрирования в (4.17) образован добавлением к прямой о = а ду- ги бесконечно большого радиуса R (рис. 4.1). Для того чтобы добавление этой дуги не изменило значение интеграла (4.17), надо, как доказывается в теории функции комплексной переменной р: при положительных значениях t 132
располагать дугу с радиусом R в левой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру против часовой стрелки (рис. 4.1); при отрицательных значениях t располагать дугу с радиусом 7? -> оо в правой полуплоскости и вес- ти интегрирование по замкнутому контуру по часовой стрелке (рис. 4.1, штри- ховая линия). Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл по замкнутому контуру N f Fx(p) Q^dp = 2ig£ Re s„[f, (p) ex ], (4.18) И=1 где Res„[F,(p)ex] — вычет подынтегральной функции относительно её л-го полюса, который лежит внутри контура интегрирования. Вводя вместо пе- редаточной функции линейной стационарной системы A?(jco) её операторный коэффициент передачи К(р) (т.е. формально, перейдя от мнимой частоты j® к комплексной частоте р), получаем для изображения Fy(p) (преобразование Ла- пласа) отклик системы y(f) на воздействие x(f): Fy(p) = F,(p)K(p). Функция y(f) определяется аналогично (4.17): (4.19) (4.20) 2тд Анализ цепи посредством формул (4.19) и (4.20) называют операторным. Для интегрирования (4.20) методом теории вычетов надо прежде всего знать полюса функции F(p)A?(p)ex (т.е. значения р, при которых эта функция обращается в бесконечность). Представим эту функцию в виде (4.21) где pi — i-й полюс функции. Вычет рассматриваемой функции, имеющей в точ- ке Pi простой полюс (первой кратности), с(и)е”'(р~д) _ с(р,)ел' Res, = Если функция с(р)е* D(p) dK~l dD(p)' (4-22) имеет в точке pt полюс кратности К, то её вычет с(р^"(р-р^ dp) (4.23) Если интеграл в (4.20) берется при t > 0 (контур замыкается в левой полу- плоскости), то согласно теореме о вычетах он не равен нулю, так как все по- люса подынтегральной функции попадают внутрь контура интегрирования. Действительно, полюса Fx(p) лежат внутри этого контура, что обусловлено вы- полнением условия .с > а. Полюса р^ операторного коэффициента передачи К(р) устойчивой линейной стационарной системы лежат в левой полуплоско- сти переменной р, так как свободное колебание в системе (существующее при 133
отсутствии внешнего воздействия) совершается по закону еА'. Эти колебания стремятся к нулю с ростом t (условие устойчивости) лишь при Re[pjt] < 0. Если интеграл в (4.20) берется при t < 0 (контур замыкается в правой по- луплоскости), то он равен нулю, так как при Re[p] > с нет полюсов внутри контура интегрирования. Этот результат очевиден, поскольку входное воздей- ствие начинается лишь при t — 0. Пример. Найдём операторным методом ИХ интегрирующей цепочки с операторным ко- эффициентом передачи Л(р) =--------• Изображение Лапласа для 5-функции Fx (р) = J 8(7)е ^dt = 1. Тогда изображение отклика о 1 1 (Г V RC. Оригинал ИО = НО = 2njpc f p + X/RC QPt<ip ’ Подынтегральная функция имеет один простой полюс р\ = -Х/RC. Вычет в этом полюсе ReSjC^ - q~*Irc при />0и используя теорему о вычетах, имеем g(t) = —~е-Г/7?с1(/). RC Линейный стационарный канал (цепь) является неискажающим (не меняет форму входного сигнала), если gO) = yS(<-(„), (4.24) где у — масштабный коэффициент; 4) “ постоянная задержка в канале. Дейст- вительно, подставив (4.24) в (4.4) и учтя фильтрующее свойство 3-функции, получаем y(t) = yx(t-tQ\ (4.25) Импульсной характеристике (4.24) соответствует согласно (4.9) передаточ- ная функция канала k(f} = ^(/)ej<₽W=ye-jra\ т.е. АЧХ не зависит от частоты, а ФЧХ ф(/) = -2теД линейно меняется с часто- той. В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шу- мом, преобразование сигналов имеет сложный характер и обычно приводит к отличию формы выходного сигнала от входного. 4.3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ В УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ КАНАЛАХ Многие каналы (цепи) можно считать узкополосными, когда модули их передаточных функций К( jco) имеют существенные значения лишь в малой ок- рестности частоты ±о0- В то же время и входные сигналы x(f) можно чаще все- го в линиях связи считать узкополосными (квазигармоническими, см. § 2.2). Поэтому представляет интерес упрощённый метод расчёта преобразований та- ких сигналов, вводящий в рассмотрение низкочастотный эквивалент канала с передаточной функцией r(jQ) или l\F). 134
Спектральную плотность узкополосного входного сигнала x(t) со средней частотой спектра Jo на положительных частотах (-fo — на отрицательных часто- тах) можно представить в виде1) <S';t(j(o)= 0,55^ (j(o-шо)) + О,55лд(-j(® +©0)), (4.26) где Ах — комплексная огибающая входного аналитического сигнала: х(0 = Х(Ое***. Докажем (4.26). Учитывая, что х(/) = Re(x(/)) = 0,5 (х(/) + х(/)) = 0,5^Л,(0е>|/ + Л(/)е’1в,°^, имеем ео оо оо 5,(j©) = J Re(x(r))e-j“'^ = 0,5 J Ax(t)e^'dt + 0,5 J A^e^'dt. (4.27) —co —oo —eo oo Введём обозначение SA (j(a -©<,))= f Ax(t)e~^u~a^dt. Заменяя переменную (в области положительных частот) о - ©о — запи- сываем оо •^0П)=/Л(Ое-^. (4.28) -оо Выражение (4.28) определяет спектр по Фурье комплексной амплитуды Ax(t) , который расположен в области низких частот. С учётом (4.28) из (4.27) следует (4.26). Из (4.26) следует, что спектр Ax(t) (4.28) можно получить как удвоенное значение ^(j®) в области положительных частот при замене ®-©о на Q. Аналогично, полагая что средняя частота в полосе пропускания канала с характеристикой A(j©) на положительных частотах равна ©0 (на отрицательных —©о) можно записать оо к(>) = J Re[g(?) + jg(t) = = оо оо = 0,5fу(/)е’х*—у(/)е’**—= r(j(©-©0))+f(-j(© +a0))2>,(4.29) —co -<0 где g(?) — сигнал, сопряжённый c g(f) по Гильберту, y(t) — комплексная оги- бающая ИХ узкополосного канала g(f), а ос r(jQ) = 0,5jy(/)e"jn^ (4.30) -00 — передаточная функция низкочастотного эквивалента канала с ИХ g Ji) = 0,5у(?), имеющая существенные значения лишь в области низких частот. О Очевидно, что с учётом узкополосности сигнала два слагаемых (4.26) не перекрываются по спектру. 2) Два слагаемых в правой части (4.29) не перекрываются по спектру. 135
Из формулы (4.29) следует, что характеристику Г(]П) можно получить из Д]®) в области положительных частот, полагая в ней о ~ ®о = Q. Действитель- ную ИХ узкополосной системы можно выразить через частотную характери- стику низкочастотного эквивалента с учётом (4.30) так: g(t) = Re[y(f)ejra°'] = Re е*”' - J r(jn)ejnzdQ —oo (4.31). Пример. Одноконтурный резонансный усилитель имеет на положительных частотах пере- К даточную функцию (ЧХ) X’(jo) =---2—г—, гдет* = 2Q/ta0 — постоянная времени контура. 1+j(<o - <о0)т* Найти ИХ#(Л. Передаточная функция низкочастотного эквивалента r(jo) =-------2; 1 + jQr* затем согласно (4.30) определим комплексную огибающую ИХ оо *(') = £ (4.32) It J 1 + —оо Интегрирование выполняется просто при помощи теоремы о вычетах, если считать в ин- теграле, что Q = а + jb является комплексной переменной. Замыкая вещественную ось дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (при t > 0), перейдём от (4.32) к рав- Кй х ejnr ному по величине интегралу по замкнутому контуру: т---- ———dQ.. Подынтегральное выражение имеет единственный полюс в точке = -l/(j-r*). Вычет в - 2 А? — этой точке согласно (4.22) Re.yt =ejn'. Используя (4.18), получаем у(/) = —-е т* 1(f), где 1(0 — т* единичная функция. Согласно (4.31) ИХ g(i) - Re _— ^е Ve^’o'lG) 2Л?0 Т / ч -----е * COSCO 0/ • 1(0 . По (4.10) определяем спектральную плотность выходного сигнала 5^0®), как произведение правых частей (4.26) и (4.29). Учитывая сноски на двух пре- дыдущих страницах получаем Sy (jо) = 0,5 SЛ [ j(® - о 0)]г[j(® - о 0)] + 0,5 5 лД- j(® + ® о)] г[- X® + ® о)] • (4-33) Спектральную плотность ЛЦ]®) можно аналогично (4.26) представить через спектр по Фурье комплексной амплитуды Ау выходного сигнала: 5y(j®) = 0,5^ [Х®-®о)] + О,55лД-Х®+®о)]- (4-34) Приравнивая правые части (4.33) и (4.34) и обозначая ® — ®о = £1, находим низкочастотный эквивалент соотношения (4.10): ^,[j«] = ^.[j«]r(j«)- (4.35) Исходя из (4.35) и учитывая (4.30), комплексную огибающую выходного сигнала можно найти и посредством свёртки: Ay(t) = 0,5 j Ах(т)у(t - т)Л. (4.36) -оо Сам выходной сигнал у(0 = Re[^(f)ej<°0']. (4.37) 136
Пример. На входе одноконтурного резонансного усилителя из предыдущего примера дей- ствует амплитудно-модулированный сигнал x(t) = е"“ cosco ot -1(f), а > 0. Найти отклик усилителя. Здесь Ax(t) = e-“'l(f). Согласно (4.36) Av(t) = — [е “ б к й?т1(/) = -- ' т J 1-ат. * о 1 е_а/-е ко. К Согласно (4.37) отклик усилителя y(t) = Q ш-Q COS(00f-lG). Отметим, что в некоторых задачах комплексную огибающую Ay(t) можно найти без формул (4.35) или (4.36), пользуясь обычными методами комплекс- ных амплитуд из теории цепей. Реализовать комплексную фильтрацию (4.35) или (4.36) можно посредством квадратурной обработки сигнала [11]. 4.3.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Рассмотрим преобразования энергетических характеристик детерминиро- ванных сигналов длительности Т в линейных стационарных системах (каналах). Учитывая определение СПМ, данное в § 2.5, можно выразить связь между этими характеристиками на выходе и входе детерминированного линей- ного стационарного канала: G,(/) = 7^(/) = (4.38) Средние мощности сигналов на входе и выходе системы определяются со- отношениями Рх = jGxРу = —оо —оо В § 2.5 было также показано, что ФК В,(т) сигнала x(t) и его СПМ Gx (/) связаны парой преобразований Фурье. Если ввести в рассмотрение ФК 00 для ИХ системы (канала): 5*(т)= JgWgC/-T)cfr, то, используя обобщённую —оО формулу Рэлея (2.137) и соотношение (4.8), можно получить оо оо В,(т)= jK2(f)e^df и №(/)= {вг(т)е-*"А, —со —со т.е. ФК системной характеристики g{t) и коэффициент передачи системы по мощности К2 (/) связаны парой преобразований Фурье. Используя спектраль- ное соотношение (4.38), можно утверждать, что ФК выходного сигнала у(/) оп- ределяется свёрткой ФК входного сигнала x(f) и ФК импульсной характери- стики системы со ' В,(т) = В,(т)®В,(т) = \Bx(z)Bg^-Z)dz. Пример. На, вход интегрирующей цепочки с коэффициентом передачи K(j<o) = поступает прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой длительностью Т: x(t) = 1(/) - 1(/ — 7). Найти ФК, СПМ и средние мощности сигналов на входе и выходе цепи. 137
г |Т| 5Д*)=7р(')*('-т)л = Г“ Ч О М 2 т> |т|>Г. Характеристику G,(/) легче вычислять по формуле 1 Г.Х-Л2 ' чем по формуле прямого преобразования Фурье от В’,(т). Средняя мощность входного сигна- ла Л =.8,(0)= 1 Вт. Спектральная плотность мощности выходного сигнала . 2(<&И sin I —1 C,(/) = G.(/Wj»)|2 = 7-—-Ц- I — I \Т) . йэТЛ « sin2 — , г \ 2 / 1 Тогда В,Ы-Г J ——. Средняя мощность выходного сигнала 1 2fsin2x 1 / \2 ~ I 2 / х 2 1+(<аЛС) *1 х , (2RCV 2 v ' 0 1+ ----- х \ Т ) ас 2 г- „ , Г Sin X 1 . п , а/, _-2/а Используя табличный интеграл —-----------------------x-rdx-— 1—11-е J х2 1 + а2х2 2[_ 2' получаем При TfRC-^va имеем Ру = 1 (это максимальное значение при вариации параметра RCjT). При —«1, разлагая экспоненту в ряд q-t/RC я1__£.+1 RC 2 \RC, получаем (ТУ р>=0’5' -Ы у \RC) 4.3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняю- щимися параметрами) связано с решением задач двух типов: определение кор- реляционной функции (спектральной плотности мощности) отклика Y(t) на выходе системы, заданной своими характеристиками, по данной корреляцион- ной функции (или спектральной плотности мощности) входного воздействия У(0; определение многомерного распределения вероятностей отклика Y(fy на выходе системы по многомерному распределению входного воздействия X(t). Вторая из указанных задач является более общей. Из её решения, очевид- но, может быть получено решение первой задачи. Однако в дальнейшем огра- 138
ничимся рассмотрением только первой задачи и лишь укажем пути решения второй, более сложной задачи. Так, можно утверждать, что если полоса частот Fx, занимаемая входным случайным процессом X{f), много шире полосы про- пускания AF данной линейной системы, то распределение выходного случай- ного процесса Г(0 имеет тенденцию приближаться к гауссовскому. Действительно, в стационарной детерминированной линейной системе с финитной т.е. ограниченной во времени пределами О...тп ИХ g(f) отклик У(0 = [g(r)X(t - = lim y\g(k&x)X(t - kbx)bx. (4.39) о Лт^° *=1 Шаг дискретизации Дт можно выбрать равным интервалу корреляции входного процесса \/Fx. Допустим, что входной процесс центрирован X(t) = 0, тогда центрирован и выходной процесс. Узкая полоса пропускания AF означа- ет, что длительность импульсной характеристики тп велика по сравнению с Дт. Сечение выходного процесса У(7) в любой момент времени t определяется со- гласно (4.39) N слагаемыми суммы. В эту сумму входит много некоррелиро- ванных между собой сечений процесса X(f). Распределение вероятностей такой суммы согласно центральной предельной теореме теории вероятности близко к гауссовскому (тем ближе, чем больше N, определяемое отношением Fx/bF). В предельном случае, если на вход канала воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна (не совпадающие во времени отсчёты не коррели- рованы), а канал имеет ограниченную полосу пропускания, то N -> оо и выход- ной процесс будет строго гауссовским. Отмеченное свойство линейного канала сохраняется и при изменении параметров канала. Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно в принципе находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределе- ние входного процесса. Однако определение многомерных вероятностных ха- рактеристик отклика линейных систем оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специ- альных приёмов. Далее займемся определением функции корреляции выходного процесса. Мы показали в § 2.5, что для стационарных случайных процессов существует пара преобразований Фурье между ФК Вх(т),Ву(т) процессов Д/) и Г(/) и их СПМ Gx(f\ G (f). Поскольку для стационарной линейной системы и при слу- чайных стационарных воздействиях справедливо соотношение (4.38), то ФК выходного стационарного процесса Y(t) оо В,(/)№(/>*#. -оо Можно показать [15], что ФК отклика детерминированной параметриче- ской системы на стационарные входные воздействия X(f) определяется форму- лой оо в, (м) = jG,(/)x(jo,/H-jo,/ + T)e>’<//( (4.40) —оо т.е. в данном случае выходной процесс, вообще говоря, нестационарен. 139
Пример. Линейный канал осуществляет переменную во времени задержку входного ста- ционарного случайного процесса ДО: К(/) = арг(/-Д(0)] • Найти функцию корреляции Ву(/,т). Передаточная фунюдия канала A^j<o,z) = , а корреляционная функция выходного оо процесса Ву(г,т)= «2 J<3,(/)e_j<BA(,)+j®A(,+T)+j‘"d/. Если Д(0 = kt (например, доплеровское сме- -ео щение частоты, когда |Л| = \vr\/c « 1, vr — радиальная составляющая скорости взаимного пере- . оо мещения передатчика и приёмника), то Ву(х) = а2 = й2В,[т(1+Л)] , —со т.е. в этом случае выходной процесс стационарен, а его спектральная плотность мощности «о 2 / f \ °,И = о2 J в.1-(1 * *)]е-*л=J. -оо 4.3.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Ограничив рассмотрение нелинейных преобразований моделью (4.2) У(0 — ф[х(О], заметим, что преобразование х -> у, как правило, однозначно, что не всегда можно сказать об обратном преобразовании у -> х (например, квад- ратичная цепь с характеристикой у = кх2). При нелинейных преобразованиях возникает трансформация (изменение) спектра входного воздействия. Так, если на вход нелинейной системы воздей- ствует смесь регулярного сигнала и аддитивного шума X(f) = S(f) + N(t~) в уз- кой полосе частот Fe, группирующейся около средней частоты /0, то в общем случае на выходе будут присутствовать составляющие комбинационных частот трёх видов, группирующихся около частот nfQ (и = 0, 1, ...): продукты взаимо- действия составляющих входного сигнала между собой (с х с), продукты взаи- модействия составляющих входного шума (ш х ш); продукты взаимодействия сигнала и шума (с х ш). Разделить их на выходе системы обычно невозможно. Если известна характеристика у = ср(х) нелинейной системы и двухмерная функция распределения входного воздействия w(xi, Х2; ti, *2), то основные ха- рактеристики выходного процесса (МО и ФК) в принципе всегда можно опре- ______________________________________________________________ ао делить. Так, математическое ожидание отклика Y(t) = <p(x(t))= |<p(x)w(x,r)c6c, а —ао его корреляционная функция ос оо J J[ф(»1)—F(0]-[<p(x2)~^F(/‘+T)]w(x1,x2;i1,^+т)с*с1<*с2. —оо—оо Прямым преобразованием Фурье можно по ФК найти и спектральную плотность мощности процесса Y(f). Анализ прохождения случайных воздействий через нелинейные цепи силь- но упрощается для узкополосных воздействий, если воспользоваться их квази- гармоническим представлением. Пример. Прохождение через квадратичный детектор суммы гармонического сигнала s(f) = Uffiosaot и стационарного квазибелого узкополосного шума N(f) = Ac(Ocosa>of + >Vs(0sin<oo^ где 2^ (f), (Q — некоррелированные квадратурные гауссовские 140
компоненты шума, у которых тХс = = 0, Вх (т) = Вх>(т) = В(т), а СПМ равномерна и ограни- чена полосой Fn « f0. Дисперсия входного шуъ<а g2n = В(0). Суммарное входное колебание можно представить в виде Z(/) = Л(')cos(coo' - 9(0) > 40 = а/^о + ^ДО+^М’ 0(О = • Как известно, огибающая Л(/) имеет обобщённое распределение Рэлея (см. (2.137)). ОСП на входе приёмника (детектора): рвх = Суммарное колебание на выходе ФНЧ с единичным коэффициентом передачи к(0=- <ф2 +л2(0+*2(0+2^(0] • Первое слагаемое у„(') = 0,517g определяет сигнал, остальные — помеху: yn(0 = o,5[jvc2(0+xs2(0]+coJvc(0 • 2В(0) ’ Математическое ожидание помехи Уп(г) = 0,5 X2(t} + X2(t) = В(0). Дисперсия помехи £>(УП)= Оп(0~40)Г = #2(0)~t/g£(O). Здесь учтено, что для центрированных гауссовских величин У4=< = ЗЯ2(0), X* = X2 = X2 = 5(0); ОСП на выходе квадратичного детектора = К2 _ Pt Рвьк £>(ГП) 4р2(0) + 17240)] 1 + 2Рвх ' При значениях рвх » 1 имеем рвых = 0,5рвх, а при малых значениях рвх « 1 следует Рвых ® Рвх > ОСП на выходе детектора (приёмника) в этой области резко уменьшается с уменьшением рвх (сильный шум "подавляет" сигнал) 4.3.6. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ СЛУЧАЙНЫЕ КАНАЛЫ СВЯЗИ Помимо рассмотренных детерминированных преобразований сигнала в от- дельных звеньях канала (в частности, в линии связи или среде распростране- ния волны) имеют место и случайные преобразования сигнала. В простейшем случае это преобразование сводится к суммированию сигнала с независимым от него случайным процессом, называемым аддитивной помехой или аддитив- ным шумом. В более сложных каналах к этому добавляются случайные изме- нения параметров канала, в результате которых даже в отсутствие аддитивных помех принимаемый сигнал не определяется однозначно передаваемым. Рассмотрим в общих чертах характерные преобразования сигнала в случай- ных линейных каналах (цепях). Случайный линейный канал. В самом общем виде линейную систему (или линейный канал) можно описать случайной ИХ 6(/,т), имеющей тот же смысл, что. и #(/,т) в (4.7), но представляющей случайную функцию двух аргументов: t (момента наблюдения реакции) и т (времени, прошедшего с момента подачи 5- импульса на вход цепи). Такова, например, ИХ любой линейной системы, па- раметры которой подвергаются воздействию случайных внешних влияний, на- пример температуры, давления, влажности и т.д. 141
Случайный линейный канал можно характеризовать также случайной пере- даточной функцией переменных о и t fG(r,T)e’j<OTrfv. (4.41) —оо Можно показать [15], что функция корреляции процесса У(/) на выходе случайного канала с характеристикой (4.41) при подаче на вход стационарного процесса определяется выражением - J G,(/)nK(/,T,<)e*rf/(4.42) —оо где Пк(/,т,г) =/r(jo,/)/r(-]о,Г-т) - системная характеристика случайного кана- ла. Для детерминированного канала Пк(/,т,г) =]о,/ + т), и из (4.42) следует (4.40). Остановимся подробнее на моделях, с которыми чаще всего приходится встречаться. Обобщая модель (4.25) для случайного входного воздействия X(t}, получаем У (г) = уДг-т), (4.43) где параметры т и (или) у флуктуируют. Обычно такие флуктуации в проводных линиях связи вызываются измене- ниями внешних условий и происходят чрезвычайно медленно1) и в очень не- больших относительных пределах. В радиоканалах при многолучевом распро- странении волн, в гидроакустических каналах и других флуктуации выражены более заметно. Если входной сигнал узкополосный, его удобно представить в квазигармо- нической форме: X(t) = Xr)cos[oo/+0(r)], где A(t) и Ф(?) — медленно меняю- щиеся функции. Поэтому при достаточно малой задержке т можно в первом приближении считать A(t — т) » A(f) и Ф(/ — т) ~ Ф(г), а выходной сигнал (4.43) записать следующим образом: Y (t) = уЛ(^-т)соз[а)0(^-т) + Ф(/-т)]« уЛ(/)соз[®о/ + Ф(О + 0] = = у cos0Z(/)-y sia0Z(O, где 0 = -©от — фазовый сдвиг в канале, a X(t) — процесс, сопряжённый с X(i) по Гильберту. Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к не- которому сдвигу фазы. Важно отметить, что даже при очень малых относи- тельных флуктуациях времени задержки т фазовый сдвиг 0 (из-за больших зна- чений ©о) может изменяться в очень больших пределах. Для этого достаточно выполнения условия Дт » 1//0, где Дт — среднеквадратическое отклонение за- держки, То ~ средняя частота спектра сигнала. Это условие в радиоканалах обычно выполняется. Более сложный случай имеет место, когда сигнал проходит по параллель- ным путям от входа Канала к его выходу (рис. 4.2), так что на выходе каждого пути сигнал имеет вид (4.44), но значения у и т для разных путей различны и к й Это значит, что за время длительности отсчётного интервала А = 1/2F, где F — ширина спектра сигнала, параметры канала не успевают заметно изменяться. 142
т тому же в небольших пределах /-----------ГТ-----------\ флуктуируют. Такого рода мно- s(f) гопутевое распространение ----------------------------------—&+)-----* сигнала характерно для боль- -------------------------//----------шинства радио-, гидроакусти- '------------------------------------:' ческих и некоторых других ка- Рис.4.2. Многопутевое распространение сигнала НЭЛОВ (в ТОМ ЧИСЛе проводных). Энергия волны распространяется обычно в неоднородной среде и испытывает отражение от различных неоднородностей. Эти неоднородности могут быть распределены внутри относительно небольшого отражающего (рассеивающего) объёма. В этом случае разности хода (разности значений т) для отдельных пу- тей невелики. Если по такому каналу направить очень короткий импульс, то и на его выходе импульс будет довольно коротким. Такой канал принято назы- вать однолучевым. Наличие разных путей ("подлучей", как их часто называют [14]) не вызывает в этом случае существенного рассеяния (растяжения) сигна- ла во времени, но приводит к возникновению явления замираний, которое за- ключается в более или менее быстрых случайных изменениях передаточной функции канала (мультипликативная помеха). Для пояснения замираний рассмотрим передачу по каналу (см. рис. 4.2) гармонического сигнала с единичной амплитудой u(t) = Re(eJ'“)- На выходе сигнал s(t) = Re| ) = Re(yej<BZ), (4.45) М=1 / где L — число путей (подлучей, попадающих в точку приёма); у/ — коэффици- ент передачи по /-му подлучу; т/ — время распространения /-го подлуча; L Yi =Yi e’j<OT' — комплексный коэффициент передачи по /-му лучу; у = 22у;е'>т' i=i — комплексная амплитуда выходного сигнала, которая в данном случае по оп- ределению равна передаточной функции канала. Передаточная функция в общем случае зависит от частоты. Если учесть, что вследствие хаотических перемещений отражателей значения у/ и т/ флук- туируют, то у зависит также от времени, представляя собой случайную функ- цию (мультипликативную помеху) у(/,ш). Во многих случаях эта функция флуктуирует значительно быстрее, чем величины у/И т/. Важной характеристикой канала с замираниями является распределение вероятностей комплексной передаточной функции y(/,jco) и в первую очередь её модуля у. Для определения этого распределения представим у в следующем виде: У = yej0 = z(/,(o)+jy(/,a)), где у = |у| и 0 — соответственно модуль и аргумент передаточной функции, ко- торые также являются случайными функциями t и о, а X = ycos0 и Y = ysin0 — квадратурные составляющие. С другой стороны, согласно (4.45) У = 2Л/е’]шт' = SY/eJ0' = £у, COS0, + j£y, sm0, , i=i i=i i=i 143
откуда X(t,&) = 2b cos0j, К(^,(о) = • Поскольку X и Y образуются в результате сложения большого числа слабо коррелированных величин с ограниченными дисперсиями, к ним обычно можно применить центральную предельную теорему теории вероятности и счи- тать их нормально распределёнными. Для случая, когда все у( одного порядка и фазовые сдвиги достаточно ве- лики, легко показать, что Хи Yимеют одинаковые дисперсии а2 = а2 = а2, а их математические ожидания тх = ту = 0. Здесь одномерное распределение веро- Это доказывается так же, как в § 2.6. Фаза результирующего сигнала 0 при этом распределена равномерно на интервале (- я,+я). Дисперсия квадратурных составляющих о2 равна средней мощности приходящего сигнала. Такие зами- рания, как и каналы, в которых они проявляются, называются рэлеевскими. Во многих каналах замирания отличаются от рэлеевских. Иногда в одном из подлучей коэффициент передачи у, значительно больше, чем в других, и можно сказать, что помимо диффузно отражённых подлучей в место приёма приходит и регулярный (не замирающий) луч. В этом случае коэффициент пе- редачи канала у = у/X2 +Y2 подчиняется обобщённому распределению Рэлея (см. §2.6) w(y) = -^-exp|--^?-72 10 ,У^0. У о 7 2 2 гп +т: Здесь q2 = 2 у — отношение средних мощностей регулярной и флуктуи- 2(5 рующих составляющих. В общем случае, когда а2 * а2 и тх * 0, ту * 0, получается так называемое четырёхпараметрическое распределение модуля и фазы замирающего сигнала (общая гауссовская модель канала). Соответствующие плотности вероятности даны в [14]. Если по однолучевому каналу с замираниями передаётся относительно уз- кополосный сигнал, а среднеквадратическое отклонение запаздывания Ат в от- дельных подлучах удовлетворяет условию 1 Ат « —, (4.46) где Fc — ширина спектра сигнала, то изменения начальных фаз на разных час- тотах о в спектре сигнала, равные со Ат, почти одинаковы. При этом все состав- ляющие спектра сигнала замирают "дружно", т.е. их амплитуды и фазы изме- няются одинаково. Такие замирания называются общими или гладкими1). Ес- ли же условие (4.46) не выполнено, то в разных областях спектра сигнала про- цессы замираний не совпадают (селективные по частоте замирания). При этом наблюдаются существенные изменения формы сигнала, что характерно для многолучевых каналов радиосвязи (приходящие в точку приёма сигналы обра- 0 Заметим, что условие (4.46) может выполниться при Дт » 1//0 , т.к. в радиоканалах /0 » Fc. 144
зованы отражением от сильно разнесённых в пространстве рассеивающих объ- ёмов). Быстрота изменений во времени комплексного случайного процесса (при фиксированной частотё) или, как говорят, скорость замираний сигнала характеризуется временем корреляции ткор квадратурных компонент X(t, о) и Y(t, со) или шйриной спектра замираний Д/зам « —. Ткор 4.3.7. АДДИТИВНЫЕ ПОМЕХИ В КАНАЛЕ В каналах связи аддитивные помехи вызываются различными причинами и могут принимать различные формы, индивидуальные реализации которых трудно учесть. Именно эти помехи чаще вызывают необратимые преобразова- ния передаваемых сигналов. Несмотря на большое разнообразие, аддитивные помехи по их электрической и статистической структуре разделяют на три ос- новных класса: флуктуационные (распределённые по частоте и времени), со- средоточенные по частоте (квазигармонические) и сосредоточенные во време- ни (импульсные). В отсутствие аддитивных помех детерминированные линейные преобразо- вания сигнала чаще всего обратимы1). В присутствии даже очень слабой адди- тивной помехи линейные преобразования оказываются необратимыми. Флуктуационные помехи. С физической точки зрения аддитивные флуктуа- ционные помехи порождаются в системах связи различного рода флуктуация- ми, т.е. случайными отклонениями тех или иных физических величин (параметров) от их средних значений. Так, источником шума в электрических цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носи- телей заряда (электронов, ионов). Дискретная природа электрического тока проявляется в электронных лампах и полупроводйиковых приборах в виде дро- бового эффекта (при заданном режиме питания схем случайно меняется число создаваемых носителей заряда). Флуктуационные помехи могут считаться гауссовскими случайными про- цессами (см. гл. 2), которые чаще всего считаются стационарными с нулевыми средними значениями (по крайней мере на определённых временных проме- жутках, называемых интервалами стационарности). Сумма большого числа любых помех от различных источников вследствие условий центральной предельной теоремы теории вероятностей также имеет характер флуктуационной помехи. Многие помехи при прохождении через приёмное устройство часто приобретают свойства нормальной флуктуационной помехи (см. 4.39). Наиболее распространённой причиной шума в аппаратуре связи являются флуктуации, обусловленные тепловым движением. Случайное тепловое движе- ние носителей заряда в любом проводнике вызывает случайную разность по- тенциалов (напряжения) на его концах. Среднее значение такого напряжения равно нулю, а переменная составляющая проявляется как шум. Тепловой шум на входе приёмника представляет собой гауссовский случайный процесс с ну- левым средним и спектральной плотностью мощности: Об особенностях в оптико-волоконных каналах с квантовым шумом речь пойдет ниже. 145
(4-47) где h = 6,624-10-34 Дж-с — постоянная Планка; к = 1,38-10~23 Дж/град — по- стоянная Больцмана; Т — абсолютная температура источника шума; f — теку- щая частота. В диапазоне звуковых и радиочастот hf «кТ, и поэтому, разлагая в (4-47) экспоненту в ряд, получаем Величина Nq является односторонней (на положительных частотах) спек- тральной плотностью шума. Специфическим для полупроводниковых приборов является шум, называемый фликер-шумом, который возникает в результате разного рода поверхностных явлений. Его спектральная плотность в широком диапазоне частот подчиняется гиперболическому закону (она пропорциональна 1//). Обычно на частотах выше 10 кГц фликер-шумами пренебрегают. Космические помехи в системах радиосвязи, вызванные радиоизлучением солнца и других космических объектов, имеют характер флуктуационных шу- мов. Сосредоточенные по спектру помехи. К сосредоточенным по спектру адди- тивным помехам принято относить сигналы посторонних радиостанций, пред- намеренные помехи, излучения генераторов высокой частоты различного на- значения (промышленных, медицинских) и т.п. В общем случае это модулиро- ванные колебания, т.е. квазигармонические колебания с изменяющимися па- раметрами. В одних случаях эти колебания являются непрерывными (например, сигналы вещательных и телевизионных радиостанций), в других — они носят импульсный характер (сигналы радиотелеграфных станций и систем передачи данных). В отлйчие от флуктуационных ширина спектра сосредото- ченной помехи в большинстве случаев не превышает полосы пропускания приёмника, а в некоторых случаях она намного уже этой полосы. В диапазоне коротких волн сосредоточенные по спектру помехи являются основными, оп- ределяющими качество связи, и считаются случайными колебаниями с флук- туациями фаз и амплитуд (замираниями), распределение которых такое же, как у полезных сигналов. Импульсные помехи. К импульсным (сосредоточенным во времени) адди- тивным помехам принято относить помехи в виде одиночных импульсов, сле- дующих один за другим через такие большие промежутки времени, что пере- ходные явления в приёмнике от одного импульса успевают практически затух- нуть к моменту прихода следующего импульса. К таким помехам относят мно- гие виды атмосферных и индустриальных помех. Заметим, что "флуктуационная помеха" и "импульсная помеха" являются понятиями относи- тельными. В зависимости от частоты следования импульсов одна и та же поме- ха может воздействовать как импульсная на приёмник с широкой полосой пропускания и как флуктуационная на приёмник с относительной узкой поло- сой пропускания. На практике импульсные помехи приходится рассматривать как случайный, относительно широкополосный (тем шире, чем короче им- пульсы помехи) процесс, состоящий из отдельных редких^ случайно распреде- лённых во времени и по амплитуде импульсов. Вероятностные свойства таких помех с достаточной для практических целей полнотой описываются распреде- 146
лением вероятностей амплитуд импульсов и распределением временных интер- валов между этими импульсами. Для последних часто применяют модель Пу- ассона. Распределение амплитуды импульсных помех часто описывается логнор- мальным законом 1 (р-а)2 , (1п4-о)2 2₽2 w(y$) = -==-e гр2 V 7 727ФА где а, р2 — МО и дисперсия преобразованного СП р = 1пЛ. Для этого закона характерно наличие существенных значений в области больших амплитуд, что соответствует реальной модели импульсной помехи. . Заметим, что логнормальным законом часто описывают медленные (суточные, сезонные) флуктуации амплитуд радиосигналов, обусловленные не интерференционными явлениями, а поглощениями сигнала в среде распро- странения. 4.3.8. КВАНТОВЫЙ ШУМ В диапазоне оптических частот hf » кТ тепловой шум оказывается очень слабым. Однако в этом диапазоне при слабых сигналах существенное значение имеет "квантовый шум", вызванный дискретной природой светового излучения. Согласно квантовой теории электромагнитного поля его энергия сигнала излу- чается и поглощается квантами, причём энергия одного такого кванта (фотона) равна hf. В элементарном сигнале длительности Т с высокостабильной несу- щей частотой f (когерентное одномодовое1) излучение) и амплитудой U детер- минированной может быть только средняя энергия (пропорциональная U2) £сР = mhf (пг ~ среднее число фотонов на интервале Т). Конкретная же реали- зация элементарного сигнала имеет энергию Е = nhf, где п — случайное число регистрируемых фотонов. В современных системах оптической связи в основном используется AM оптического несущего колебания по амплитуде или интенсивности (мощности). Идеальная система оптической связи при изохронной передаче двоичных сообщений (1 и 0) имеет следующие характеристики: 1. Время передачи бита (тактовый интервал) постоянен и равен Т, следова- тельно, скорость передачи информации 7?и = 1/Гбит/с. 2. При передаче 1 оптическая энергия, излучаемая в виде импульсов за время передачи одного бита, £иер = пЕф , где п — число излучённых фотонов, Еф = hf — энергия одного фотона (кванта), а оптическая энергия при передаче 0 равна нулю. Оптическая энергия в месте приёма равна на тактовом интерва- ле Т величине £’пр1 при передаче 1 и нулю при передаче 0 соответственно. 3. Вероятности передачи 1 и 0 /?(1) =/>(0) = 0,5. В этом случае усреднённую за продолжительное время принимаемую мощность Р11р можно выразить через среднюю мощность , принимаемую за время передачи бита при посыл- ке 1. Таким образом, Рпр = 0,5 Рпр] = 0,5^1р1(1/7> = 0,5£^р17?и. Современные оптические квантовые генераторы являются одномодовыми (излучают один тип волны). 147
Реальная система оптической связи отличается от идеальной следующим [9]: 1. Время передачи бита информации не остаётся постоянным — этот эффект называют фазовым дрожанием цифрового сигнала. 2. Излучаемая оптическая энергия не остаётся строго одной и той же. При пе- редаче как кодовой 1, так и кодового 0 имеет место шум передатчика, при- водящий к случайным изменениям амплитуды от импульса к импульсу. Кроме того, имеет место "шум лазера", обусловленный статистической при- родой взаимодействия между возбуждением лазера и создаваемым потоком фотонов. Флуктуации принимаемой энергии увеличиваются ещё больше из- за изменений затухания в канале связи. Кроме того, появляются флуктуации энергии на отдельных тактовых интервалах в месте приёма, обусловленные статистической природой взаимодействия потока фотонов (оптический сиг- нал) и создаваемого фотодетектором (обычно это фотодиод) потока элек- тронНо-дырочных пар. Условно будем говорить в этом случае о шуме фото- детектора. 3. Весьма вероятно, что при передаче 0 излучается малый, но вполне опреде- лённый уровень энергии (шум лазера), не считая шума передатчика и кана- ла. Отношение средней энергии, принимаемой при передаче 0, к средней энергии при передаче 1 характеризуется коэффициентом г3 = Дтро/^npi- Полагают, что в идеальной системе г3 = 0, однако обычно это не так, осо- бенно если лазерный источник излучения смещён вблизи порога генерации. 4. Конечная длительность излучаемых импульсов и дополнительная временная дисперсия (рассеяние) при их передаче по каналу приводят к тому, что в практических системах связи происходит наложение соседних посылок, т.е. проявляется межсимвольная интерференция. Шум лазера, о котором говорилось выше, имеет квантовую природу. Веро- ятность появления точно п фотонов на интервале Т на передающей стороне определяется распределением- Пуассона (см. § 2.76): Р(Т) = — e-m, п = 0,1, 2, ..., m = vT, v — интенсивность потока. И! Таким образом, шум лазера — это "квантовый шум", так как проявляется во флуктуациях параметров сигнала, детерминированного по классическим пред- ставлениям. Этот шум не является аддитивным, так как зависит от самого по- лезного сигнала. С учётом этого в приведённой формуле следует считать, что при передаче 1 m = mi, а при передаче 0 m = hiq. Как указывалось выше, при передаче 0 (отсутствие возбуждения лазера) может наблюдаться определённый, хотя и малый уровень энергии, обусловленный тем, что вероятность непоявле- ния фотонов на этом интервале р(0) = е"”° * 1, где тй — среднее число шумовых фотонов на интервале Т при отсутствии возбуждения лазера. По мере увеличе- ния средней мощности излучаемого сигнала Рп&р вклад квантового шума по сравнению с другими шумами тракта передачи падает. Шум фотодетектора имеет природу, аналогичную шуму лазера, так как па- дающий на фотодиод стационарный световой поток генерирует электронно- дырочные пары носителей заряда как независимые случайные события. Если за отрезок времени Т на фотодиод падает оптическая энергия, равная в сред- нем Епр, то следует ожидать, что будет создано в среднем N пар носителей за- ряда, причём [9] 148
Ет X где т| — квантовая эффективность взаимодействия, показывающая среднее от- ношение числа рождаемых фотодетектором электронно-дырочных пар к числу падающих фотонов (ц < 1). Вследствие стохастической природы взаимодействия фотонов с фотодетек- тором истинное число пар носителей заряда, генерируемых каждым оптиче- ским импульсом, будет флуктуировать вокруг среднего значения N. Вероят- ность того, что число созданных пар носителей заряда на интервале Т равно К, определяется пуассоновским распределением Х'=°,1,2.. Следует отметить, что в реальных оптических линиях связи помимо кван- тового шума существуют и другие мешающие факторы (в том числе аддитив- ные помехи), что приводит к необходимости увеличения мощности оптическо- го сигнала. 4.4. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ Для того чтобы дать математическое описание канала, необходимо и доста- точно указать множество сигналов, которые могут быть поданы на его вход, и для любого допустимого входного сигнала задать случайный процесс (сигнал) на его выходе. Задать случайный процесс можно в той или иной форме его распределения вероятностей. Так, в непрерывном канале надо задать априор- ную плотность (многомерную) w[u] входного процесса U(t) на интервале ана- лиза 7а и многомерную переходную плотность w[z/u], т.е. плотность реализа- ции принимаемого случайного колебания Z(0 (сигнал + шум) при условии пе- редачи реализации U(t). Точное математическое описание любого реального канала обычно весьма сложное. Вместо этого используют упрощённые математические модели, кото- рые позволяют выявить все важнейшие закономерности реального канала, если при построении модели учтены наиболее существенные особенности канала и отброшены второстепенные детали, мало влияющие на ход связи. Рассмотрим наиболее простые и широко используемые математические мо- дели каналов, начав с непрерывных каналов, поскольку они во многом предо- пределяют и характер дискретных каналов. 4.4.1. ИДЕАЛЬНЫЙ КАНАЛ БЕЗ ПОМЕХ Канал отображается линейной цепью с постоянной передаточной функци- ей, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определённой полосе частот Fc, имеющие ограниченную среднюю мощность Рс (либо пиковую мощность Рййк)- Эти ограничения характерны для всех непрерывных каналов, и в даль- нейшем о них не говорится. В идеальном канале выходной сигнал $(/) при заданном входном w(/) де- терминирован и определяется согласно (4.25): = yu(t - т), где у - постоян- ный коэффициент передачи канала, т - постоянная задержка. Эту модель ино- гда используют для описания кабельных каналов. Однако, строго говоря, она 149
не пригодна для реальных каналов, в которых неизбежно присутствуют, хотя бы и очень слабые, аддитивные помехи. 4.4.2. КАНАЛ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВСКИМ ШУМОМ Сигнал на выходе такого канала Z(t) = у u(t - т) + N(t) = s(t) + N(t), (4.48) где N(t) — гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожидани- ем и заданной корреляционной функцией. Чаще всего рассматривается белый гауссовский шум (БГШ) либо квазибелый (с равномерной спектральной плот- ностью в полосе спектра сигнала Часто при анализе можно т не учиты- вать, что соответствует изменению начала отсчёта времени на выходе канала. Некоторое усложнение модели (4.48) получается, если коэффициенты передачи у и запаздывания т считать известными функциями времени: Z(z) = у(/) и [/ - т(/)] + N(t). Такая модель удовлетворительно описывает многие проводные каналы, ра- диоканалы при связи в пределах прямой видимости, а также радиоканалы с медленными общими замираниями, при которых можно надёжно предсказать значения у и т. 4.4.3. КАНАЛ С НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ ФАЗОЙ СИГНАЛА И АДДИТИВНЫМ ШУМОМ Эта модель отличается от модели (4.48) тем, что в ней запаздывание явля- ется случайной величиной. Для узкополосных сигналов с учётом (4.44) выра- жение (4.48) при постоянном у и случайных т можно представить в виде Z(/) = y cos0w(/)-sm0w(/)] + jV(/), где w(/) — преобразование Гильберта от u(f); 0 = — coqt — случайная фаза. Рас- пределение вероятностей 0 предполагается заданным, чаще всего равномерным на интервале от 0 до 2я. Эта модель удовлетворительно описывает те же кана- лы, что и предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует. Такая флуктуа- ция вызывается небольшими изменениями протяжённости канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов. Однолучевой гауссовский канал с общими замираниями (флуктуациями амплитуд и фаз сигнала) также описывается формулой (4.48), но множитель у, как и фаза 0, считаются случайными процессами. Иными словами, случайны- ми будут квадратурные компоненты ^V = ycos0, T = ysm0. При изменении квадратурных компонент X, Y во времени принимаемое ко- лебание Z(t) = X(t)u{i) - Y(t)u(t) + N(t) = y(/)[cos0(/)w(/) - sin0(/)w(/)] + N(t). (4.49) Как отмечалось выше, одномерное распределение коэффициента передачи канала у может быть рэлеевским или обобщённым рэлеевским. Такие каналы называют соответственно каналами с рэлеевскими или обобщёнными рэлеев- скими (или райсовскими) замираниями. В рамках общей гауссовской модели канала [14] у имеет четырёхпараметрическое распределение. Модель однолуче- 150
вого канала с замираниями достаточно хорошо описывает многие каналы ра- диосвязи в различных диапазонах волн, а также некоторые другие каналы. Многолучевой гауссовский канал с селективными по частоте замираниями обобщает модель (4.49): Z(d = SyJO[coseJ/)«(/-Tj-smeJ/)M(/-Tj] + WQ), (4.50) где N — число лучей в канале; т„ — среднее время задержки для л-го луча. Многолучевая общая гауссовская модель хорошо описывает многие каналы ра- диосвязи. Для модели (4.50) условия (4.46) не выполняется, если под Лт пони- мать запаздывания между лучами. 4.4.4. КАНАЛ С МЕЖСИМВОЛЬНОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИЕЙ (МСИ) И АДДИТИВНЫМ ШУМОМ Эта модель является частным случаем (4.41), когда G{ty т) от t не зависит (или меняется очень медленно), так что рассеяние по частоте практически не наблюдается. Межсимвольная интерференция вызывается рассеянием сигнала во времени при его прохождении по каналу связи. В частности, на выходе многолучевого канала полезный сигнал оказывается деформированным так, что одновременно присутствуют отклики канала на отрезки входного сигнала, относящиеся к довольно отдалённым моментам времени. При передаче дис- кретных сообщений это приводит к тому, что при приёме одного символа на вход приёмного устройства воздействуют также отклики на более ранние (а иногда и более поздние) символы, которые в этих случаях могут (при неопти- мальных методах приёма) проявлять себя как помехи. Межсимвольная интерференция вызывается нелинейностью ФЧХ канала и ограниченностью его полосы пропускания. В радиоканалах причиной МСИ чаще всего является многолучевое распространение радиоволн1). Пусть передатчик передаёт синхронно с тактовым интервалом Т последова- тельность элементарных сигналов, соответствующих цепочке символов Z>_2, , • • •, b_x, b0, Z>j,..., bD_Y ,bD , причём каждый из символов последовательности выбирают из возможного для данного кода набора 0, 1, ..., m — 1 (m — основа- ние кода). Обозначим отклик линейного канала на элементарный сигнал, соответст- вующий символу Ьг, через s/?)2-1 , rT< t < (Q + г + Г)Т, где Q = относи- тельная память канала, определяемая целой частью от деления времени рас- сеяния канала Лт (длительности переходного процесса в канале) на Т. Тогда принимаемое колебание z(t) в месте приёма на интервале анализа Та = (D + 1)Т3) при поиске решения о символе Ь$ можно записать в виде Использование сигналов с большой базой В = 2FT » 1 позволяет в месте приёма разделить сигналы отдельных лучей. 2> При использовании двоичных противоположных сигналов и постоянных параметрах канала х/7) = где s(t) — отклик канала на элементарный сигнал, соответствующий символу 1, сг = ±1. 3> При поэлементном приёме D определяет задержку (выраженную в числе символов) приня- тия решения о передаваемом символе. С ростом D возрастает качество связи при оптималь- ном приёме. Обычно выбирают D > Q. 151
z(/) = so(/) + gMIl(O+n(O, (4.51) где Sq(0 — сигнал, обусловленный анализируемым символом Ь§, gMHW = gOCTW + gc„(0= r=-S,r*0 — сигнал межсимвольной интерференции, обусловленный символами, пере- данными до и после анализируемого символа; n(t) — аддитивный шум в кана- ле; goCT(0= l=-Q — сигнал, который определяет остаточный сигнал МСИ, обусловленный сим- волами, переданными до анализируемого; gM(0 = S-sr0-r7’)1) /=1 — сигнал, который определяет сигнал МСИ, обусловленный символами, пере- данными после анализируемого. Чем больше скорость передачи символов \/Т в каждом частотном канале при заданной его полосе пропускания, тем больше число соседних с анализируемым символов определяет сигнал В некоторых случаях в модели (4.51) можно считать, что элементарные сигналы на приёме s^t) и передаче «ХО связаны детерминированным (как пра- вило, линейным) отношением. Тогда при незначительном уровне шумов n(t) в канале можно в принципе осуществить его коррекцию, т.е. перейти к модели неискажающего канала. Однако при значительных уровнях шумов в канале с МСИ предельное качество может обеспечить лишь оптимальный приём [14]. При случайных изменениях параметров канала функции s/О становятся слу- чайными и модель (4.51) усложняется. 4.5. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ Полезно напомнить, что внутри дискретного канала всегда содержится не- прерывный канал. Преобразование непрерывного канала в дискретный осуще- ствляет модем. Поэтому в принципе можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала при заданном модеме. Такой подход часто является плодотворным, однако он приводит к сложным моделям. Рассмотрим простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Следует, однако, помнить, что при проектировании системы связи имеется возможность варьи- ровать в довольно широких пределах модель дискретного канала при заданной модели непрерывного канала изменением модема. Модель дискретного канала содержит задание множества возможных сиг- налов на его входе и распределение условных вероятностей выходного сигнала при заданном входном. Здесь входным и выходным сигналами являются по- следовательности п кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число иг различных символов (основание кода), а также длительность Т передачи каждого символа. Будем считать зна- чение Т одинаковым для всех символов, что выполняется в большинстве со *) При Та = T(D = 0) это слагаемое сигнала МСИ обращается в нуль. 152
временных каналов. Величина v = 1/7’ определяет количество символов, пере- даваемых в единицу времени. Как указывалось в гл. 1, она называется техниче- ской скоростью и измеряется в бодах. Каждый символ, поступивший на вход канала, вызывает появление одного символа на выходе, так что техническая скорость на входе и выходе канала одинакова1). В общем случае для любых п должна быть указана вероятность того, что при подаче на вход канала любой заданной последовательности Bw кодовых символов на выходе появится некоторая реализация случайной пбследователь- ности В1"1. Кодовые символы обозначим числами от 0 до т~ 1, что позволит производить над ними арифметические операции. При этом все и- последовательности (векторы), число которых равно тп, образуют п — мерное конечное векторное пространство, если "сложение" понимать как поразрядное суммирование по модулю т и аналогично определить умножение на скаляр. Для частного случая т = 2 такое пространство было рассмотрено в гл. 2. Введём ещё одно полезное определение. Будем называть вектором ошибок поразрядную разность (разумеется, по модулю т) между принятым и передан- ным векторами. Это значит, что прохождение дискретного сигнала через канал можно рассматривать как сложение входного вектора с вектором ошибки. Век- тор ошибки играет в дискретном канале примерно ту же роль, что и помеха в непрерывном канале. Таким образом, для любой модели дискретного канала можно записать, пользуясь сложением в векторном пространстве (поразрядным, по модулю т): В'"1 = В1"1+Е1"1, где В1л1 и В[и] — случайные последовательности из п символов на входе и вы- ходе канала; ЕМ — случайный вектор ошибки, который в общем случае зави- сит от В И. Различные модели отличаются распределением вероятностей векто- ра ЕМ. Смысл вектора ошибки особенно прост в случае двоичных каналов (т = 2), когда его компоненты принимают значения 0 и 1. Всякая единица в векторе ошибок означает, что в соответствующем месте передаваемой последо- вательности символ принят ошибочно, а всякий нуль означает безошибочный приём символа. Число ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом. Образно говоря, модем, осуществляющий переход от непрерывного ка- нала к дискретному, преобразует помехи и искажения непрерывного канала в поток ошибок. Перечислим наиболее важные и достаточно простые модели дискретных каналов. Постоянный симметричный канал без памяти определяется как дискрет- ный канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть при- нят ошибочно с фиксированной вероятностью р и правильно с вероятностью 1 — р, причём в случае ошибки вместо переданного символа bfl может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероят- ность того, что принят символ bj, если был передан Ь,, В реальных каналах это не всегда выполняется, так как при нарушении тактовой синхрони- зации модема число символов на выходе канала может оказаться больше или меньше, чем на входе. В данном курсе это обстоятельство не учитывается и синхронизация считается идеаль- ной. 2) Здесь и в гл. 5 для упрощения записи индекс у символа означает номер позиции кода. 153
р m-Г J-p, i*j, i=j- (4.52) Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приёма симво- ла не зависит от предыстории, т.е. от того, какие символы передавались до не- го и как они были приняты. В дальнейшем, для сокращения, вместо "вероятность ошибочного приёма символа" будем говорить "вероятность ошиб- ки". Очевидно, что вероятность любого «-мерного вектора ошибки в таком ка- нале где / — число ненулевых символов в векторе ошибки (вес вектора ошибки)1) . Вероятность того, что произошло / ошибок, расположенных как угодно на про- тяжении последовательности длины п, определяется формулой Бернулли <4-53> и! где С =—7-------г- " /!(«-/)! — биномиальный коэффициент, равный числу различных со- четаний / ошибок в блоке длиной п. Эту модель называют также биномиальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, возникающий при определённом выборе модема, если в не- прерывном канале отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый (или по крайней мере квазибелый). Нетрудно видеть, что вероятность появления оши- бок в двоичной кодовой комбинации длины п (кратному l> 1) согласно моде- ли (4.53) при р <k 1 И р(> 1,л) = £ с1пр'(1 -р)п~' = 1 -(1 -р)" «пр. Вероятности переходов в двоичном симметричном канале схематически показаны в виде графа на рис. 4.3. Постоянный симметричный канал без памяти со стиранием отличается от предыдущего тем, что алфавит на выходе канала содержит дополнительный (т + 1)-й символ, часто обозначаемый знаком "?". Этот символ появляется то- гда, когда 1-я решающая схема (демодулятор) не может надёжно опознать пе- реданный символ. Вероятность такого отказа от решения или стирания симво- ла рс в данной модели постоянна и не зависит от передаваемого символа. За счёт введения стирания удаётся значительно снизить вероятность ошибки, ино- гда её даже считают равной нулю. На рис. 4.4 схематически показаны вероят- ности переходов в такой модели. Несимметричный канал без памяти характеризуется, как и предыдущие мо- дели, тем, что ошибки возникают в нём независимо друг от друга, однако ве- роятности ошибок зависят от того, какой символ передаётся. Так, в двоичном несимметричном канале вероятность р(1|о) приёма символа 1 при переда- *) В двоичном канале вес вектора совпадает с его нормой, определяемой в § 2.2. 154
Рис.4.3. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале Рис.4.4. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале со стиранием р(1|1) = 1-р(д|1) Рис.4.5. Переходные вероятности в двоичном несимметричном канале че символа 0 не равна вероятности Р(6|1) приёма 0 при передаче 1 (рис. 4.5). В этой модели вероятность вектора ошибки зависит от того, какая последова- тельность символов передаётся. 4.5.1. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ С ПАМЯТЬЮ Если в постоянном симметричном канале без памяти условная вероятность ошибочного приёма (/ + г)-го символа при условии, что z-й символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки, то в канале с памятью она может быть больше или меньше этой величины. Отклонение распределения ошибок от биномиального (канала без памяти) в реальных каналах вызывается различными причинами. Так, дискретным ото- бражением большинства радиоканалов является канал с памятью вследствие замираний, которые мы рассмотрели выше. Другой причиной могут являться атмосферные и взаимные помехи. Иногда отклонение от биномиального рас- пределения вызывается особенностями метода модуляции и демодуляции (см., например, гл. 5 о сдвоении ошибок при использовании относительной фазовой модуляции — ОФМ). В уплотнённых кабельных линиях связи причиной памя- ти считают коммутационные помехи, возникающие при переключениях от- дельных элементов канала и по существу выводящих его на короткое время из строя. Простейшей моделью двоичного канала с памятью является марковская, определяемая матрицей переходных вероятностей Р_М р>' L р, где Pi — условная вероятность принять (z + 1)-й символ ошибочно, если пре- дыдущий принят правильно; 1 — Pi — условная вероятность принять (z + 1)-й символ правильно, если предыдущий принят правильно; Р2 — условная веро- ятность принять (z + 1)-й символ ошибочно, если предыдущий принят оши- бочно; 1 — Р2 ~ условная вероятность принять (z + 1)-й символ правильно, ес- ли предыдущий принят ошибочно. • ' Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале р должна удовлетворять уравнению ^ = /’2/’(г0ШИб)+/’1Р(/прав) = Р2^ + Р1(1-^). Откуда 1 + Л-Р2 Эта модель очень проста для использования, однако она весьма неточно воспроизводит свойства реальных каналов. 155
Несколько более успешно для дискретного канала с памятью используется модель Гильберта. Согласно этой модели канал может находиться в двух со- стояниях 51 и 52- В состоянии 5] ошибок не происходит, в состоянии ошибки возникают независимо с вероятностью р2- Переходы из одного состоя- ния в другое образуют простую марковскую цепь с матрицей переходов Г1-р(зд) р(зд)' Изд) где P(52|5i) — вероятность перехода из состояния б) в 52J 1*%) ~ вероят- ность перехода из состояния $2 в 5р Вероятности нахождения канала в состоянии 5] и S2 соответственно , '’И 4-1$. -v (4.54) '17 р(зд)+р(зд)’ v 17 р(ад)+р(ад) Безусловная вероятность ошибки Р-Л^Р1 . . При использовании модели Гильберта обычно полагают рэ — 0,5 (т.е. это состояние рассматривается как полный обрыв связи). Это хорошо согласуется с представлением о канале, в котором на некоторых временных интервалах из- за плохих условий прохождения или действия мощных помех связь "пропадает", или с представлением о проводном канале на интервале, где дей- ствуют сильные коммутационные помехи или всплески импульсных помех. Модель Гильберта можно обобщить, введя в рассмотрение вместо двух N со- стояний канала. Но тогда и усложняется её использование. Относительно простую модель дискретного канала с группированием оши- бок (с памятью) предложил Пуртов. В этой модели лишь два параметра: веро- ятность ошибок р и показатель группирования а. В модели Пуртова зависи- мость вероятности Р[>1, п] появления искажённой комбинации (с числом ис- кажённых элементов >1) длины п характеризуется как отношение числа иска- жённых комбинаций 7VHck(«) к общему числу переданных комбинаций N(riy. Вероятность Р[>1, п] является неубывающей функцией от п. Согласно мо- дели Пуртова Р[> 1, я] Если а = 0, то Р{>1,п}&пр, что соответствует биномиальной модели (дискретному каналу без памяти). В этом случае нет пакетировал (группирования) ошибок. Наибольшее значение а (от 0,5 до 0,7) наблюдается на кабельных линих связи (кратковременное прерывание связи). В радиорелейных линиях (где бы- вают интервалы с большой интенсивностью ошибок и интервалы с редкими ошибками) а = 0,3...0,5; для некоторых линий коротковолновой радиосвязи а = 0,3...0,4. Согласно модели Пуртова-Попова вероятность наличия комбинации дли- ной п с t и более ошибками 156
флл] = 1ип^^1®(-) р. (4.55) Анализируя (4.55), можно делать вывод, что при заданном п чем больше группирование ошибок (больше Z), тем меньше число искажённых кодовых комбинаций. Это очевидно, ибо при одном и том же числе ошибок пакетиро- вание приводит к их сосредоточению на отдельных комбинациях (кратность t возрастает), а число искажённых комбинаций уменьшается. Иногда в качестве модели канала с памятью используют модель, в которой вероятность вектора ошибки Е^ не зависит от передаваемой последовательно- сти. Вероятность каждого вектора ошибки считается заданной и, вообще гово- ря, не определяется его весом. Во многих каналах из двух векторов ошибки с одинаковым весом более вероятным оказывается такой, в котором единицы расположены близко друг к другу, т.е. имеется тенденция к группированию ошибок. Безусловный интерес представляют модели дискретного канала, построен- ные на основе заданной модели непрерывного канала и задания способов мо- дуляции-демодуляции и кодирования-декодирования. Однако в общем виде построить такую модель затруднительно. 4.5.2. МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА Дискретно-непрерывный канал с независимыми символами b-t на входе и непрерывным сигналом z(f) на выходе описывается априорными вероятностя- ми входных символов P(bj) и переходными (условными) плотностями w[z|Az] принимаемой реализации z(i) (на заданном интервале Т) при условии передачи символа bi. Эту плотность называют функцией правдоподобия (см. гл. 5). Вместо функций правдоподобия дискретно-непрерывный канал можно описать апо- стериорными вероятностями P(bi\z) передачи символа А,- при фиксации на приёме колебания z(t). Согласно формуле Байеса v 7 w(z) где плотность принимаемого колебания т-1 w[z] = £p(Z>,.)w[z|Z>z]. /=0 Непрерывно-дискретный канал описывается аналогично. 4.6. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ, ЗАДАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИМИ Рассмотрим другой подход к построению математических моделей каналов (сигналов), который частично был затронут в гл. 2. Выше соотношения между входным и выходным сигналами задавались интегральными преобразованиями (например, интегралом Дюамеля). При этом для нахождения выходного сигна- ла требуется знать помимо характеристик цепи (канала) также входной сигнал, действовавший на всем промежутке его существования до текущего момента t. Во многих случаях более гибким является такое описание, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени 4) заменятся за- данием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристику цепи 157
Рис.4.6. Последовательный колебательный контур (канала), начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от Zb до Z, можно последовательно определить как сигнал на выходе, так и новое со- стояние цепи в любой момент времени ^ib- Подобный подход известен из тео- рии дифференциальных уравнений, в которой искомая функция определяется как самим уравнением, так и опреде- лёнными начальными условиями, число которых равно порядку уравнения. Излагаемый здесь метод переменных состояния иллюстрируется примерами систем, описываемых с помощью линейных дифференциальных уравнений. Множество величин, однозначно определяющих поведение систем в неко- торый момент t, содержащее минимальное число элементов п, называют со- стоянием, а сами элементы этого множества — переменными состояния. Каж- дую из этих переменных обычно рассматривают как составляющую «-мерного вектора состояний. Для любой заданной системы можно составить два уравне- ния, позволяющих по состоянию в момент zb и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент t > Zb и выходной сигнал. Первое из них назы- вается уравнением состояния, а второе — уравнением наблюдения. Для иллюстрации основных положений метода переменных состояния рас- смотрим простой пример — линейную Л£С-цепь (рис. 4.6), в которой выходное напряжение y(Z) связано с входным напряжением zz(Z) дифференциальным уравнением dy{t) 2 2 2а ~dT °оУ^ = ° °U^ ’ (4-56) где 2а = ©о = 1/(TQ. Ток в цепи z(z) = . at Состояние этой цепи в любой момент времени Zb характеризуется двумя параметрами: z(zb) — током, протекающим через индуктивность L, и y(zb) — па- дением напряжения на ёмкости С. Значения z(zb) и у (zb) содержат достаточную информацию о предыстории цепи, связанной с прошлыми воздействиями zz(Z), t < to, которая необходима для определения будущих значений выходного про- ф(/) цесса y(t), t > to при заданных воздействиях zz(Z), t> to- Таким образом, —— и at y(t) можно интерпретировать как переменные состояния, а дифференциальное уравнение (4.56) — как уравнение состояния, которое обычно приводят к фор- ме векторного дифференциального уравнения первого порядка. При замене переменных Xi(z) = y(z), x2(z) = ^7jT, (4.57) a\t) уравнение (4.56) эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка: at ох» (Z) - 2«х2 (Z) + (О цМ(/), at (4.58) 158
которая с учётом правил векторно-матричных преобразований допускает ком- пактное представление 2 ( о U2(0z к-® о блюдения имеет вид (4.57) или в где х(/) = -2а/ (4.59) 2 ; u = (o,w(O). При этом уравнение на- к®07 векторной форме G = у(/) = Н-х(/), н = 1 0 0 0 ’ (4.60) Заметим, что выбранный вектор состояния x(Z) не является единственно возможным. Любое обратимое линейное преобразование вектора х(/) приводит к другому вектору состояния. Важной особенностью метода переменных состояния является возможность непосредственного моделирования систем, описываемых уравнениями состоя- ния с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства. На рис. 4.7 показана модель системы уравнений (4.58). При построении такой схемы удобно рассуждать следующим образом. Пусть в некоторых точках при- сутствуют входной сигнал u(t) и переменные состояния Х](?) и x2(f). Соединим эти точки сумматорами, усилителями и интеграторами так, чтобы соотношения между ними соответствовали уравнениям (4.58). Из первого уравнения следует, что, подав на вход интегратора ^(0, получим с точностью до постоянной -МО- Эта постоянная определяется начальным условием и равна x\(t0). Затем осуще- ствляют операции, записанные в правой части второго уравнения: умножим u(t) и xi(0 на Од, а Х2(0 на 2a (с помощью усилителей с соответствующими коэффициентами усиления) и сложим полученные результаты с учетом знаков. Проинтегрировав полученную сумму и прибавив к ней постоянную x2(to) (начальное условие), получим x2(i). Таким образом, все точки в схеме соеди- нились в соответствии с уравнениями (4.58) (или (4.59)). Если на такую схему-модель подать входной сигнал u(t), то на выходе по- лучится выходной сигнал y(t). Однако это не представляет большого интереса, поскольку то же самое можно сделать без моделирования, исследуя экспери- ментально исходную систему (в данном случае рис. 4.6). Значительно важнее то, что с помощью модели можно решить обратную задачу — по выходному (наблюдаемому) сигналу найти входной, даже если выходной сигнал наблюда- ется на фоне шума (см. гл. 8). Рис.4.7. Моделирование уравнений состояния линейной системы 2-го порядка (последовательного колебательного контура) В более общем слу- чае аналогичные мат- ричные уравнения в форме (4.59) и (4.60) можно построить для систем более высокого порядка, в том числе нелинейных и с пере- менными параметрами. Отличие будет лишь в размерности матриц и в том, что они могут быть 159
функциями времени (для систем с переменными параметрами) и состояния (для нелинейных цепей). Если на систему воздействует несколько входных и несколько выходных сигналов, то их также рассматривают как компоненты вектор-функции. В самом общем случае уравнения состояния и наблюдения процесса принимают в векторной форме следующий вид: = F(/, х)х(/) + G(t, x)u(/); (4.61) at Z(t) = н(/,х)х(/) +N(/), t > t0, x(/0) = x0, (4.62) где N(Z) — шум наблюдения. Каждое из матричных уравнений представляет в сущности, систему дифференциальных уравнений, число которых для уравне- ний состояния равно количеству переменных состояния (порядку системы), а для уравнения наблюдения — количеству выходов системы1). Одно из приложений метода переменных состояния связано с возможно- стью конструктивного описания случайных процессов. Оно состоит в том, что случайный процесс Х(?) с заданными вероятностными характеристиками пред- ставляют как выход некоторой динамической системы, возбуждаемой другим случайным процессом (вообще говоря, многомерным) с более простой вероят- ностной структурой U(Z). Обычно в качестве порождающего используют ста- ционарный гауссовский процесс U(t) типа белого шума с нулевым средним и корреляционной функцией В„(м +т) = м{и(/),иг(/-т)} = Q5(t) , (4.63) где Q — симметричная, неотрицательно определённая матрица. Пусть случайный процесс U(t), удовлетворяющий (4.63), воздействует на схему, описываемую (4.61) и (4.62), где некоторые функции F, Н, G удовлетво- ряют условиям непрерывности и ограниченности. Тогда процессы Х(/), а также {Х(/), Y(Z) = НХ(/)} являются марковскими, переходные плотности вероятно- стей которых w(x, /|хо, to) и w(x, у, /| xq, уо, to) подчинены соответствующим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова- Фоккера-Планка (см. (2.99)). Если гауссовский порождающий процесс U(Z) воздействует на линейную систему, то и выходной процесс X(t) будет гауссов- ским. Он будет также стационарным, если формирующая система является ли- нейной с постоянными параметрами. Распределение вероятностей процесса Х(0 будет негауссовским, если он сформирован нелинейной системой. В част- ности, если на вход цепи рис. 2.37, б поступает БГШ, то выходной процесс бу- дет марковский гауссовский процесс с корреляционной функцией (2.150). Метод переменных состояния с успехом применяют и для описания стохас- тических цепей (каналов) со случайно изменяющимися параметрами. Для это- го некоторые элементы системных функций (матриц) F, G, Н следует рассмат- ривать как случайные функции. Этот метод даёт универсальный подход для моделирования (в рамках весьма широкой марковской модели) каналов пере- дачи информации (систем связи) для самых различных сообщений, способов кодирования и модуляции (как линейной, так и нелинейной), линии связи с детерминированными и случайными параметрами, рассеянием сигналов, адди- тивными шумами (как гауссовскими, так и негауссовскими). Более существен- *> Описание систем с дискретным временем в основном аналогично описанию систем с не- прерывным временем; при этом дифференциальные уравнения состояний сводятся к уравне- ниям в конечных разностях (см. гл. 10). 160
но то обстоятельство, что, представляя наблюдаемые (анализируемые в месте приёма) случайные марковские процессы с помощью дифференциальных уравнений, как уже отмечалось, можно решить обратную задачу, т.е. получить дифференциальные уравнения для оценки сообщений, заключённых в этих процессах. Такие оценки, получаемые с помощью аналоговой или цифровой техники, найти значительно проще, чем оценки, вытекающие из интегральных уравнений (см. гл. 8). * 1 ВЫВОДЫ 1. Каналы связи и реализующие их электрические цепи можно разделить по характеру сигна- лов, действующих на входе и выходе, на: непрерывные, дискретные (цифровые) и дис- кретно-непрерывные (цифро-непрерывные) или непрерывно-дискретные (непрерывно- цифровые). 2. Классификация каналов (систем, цепей) основана на свойствах системных операторов, связывающих вход и выход. Различают линейные и нелинейные, стационарные и неста- ционарные, сосредоточенные системы и системы с распределёнными параметрами. 3. В качестве интегральных системных характеристик линейных цепей чаще всего использу- ют импульсную характеристику и передаточную функцию системы, связанные парой пре- образований Фурье. 4. Спектральная плотность по Фурье или Лапласу сигнала на выходе линейной стационарной системы определяется произведением спектральной плотности входа и передаточной функции системы. Выходной сигнал можно найти по его спектральной плотности обрат- ным преобразованием Фурье или Лапласа (спектральный метод анализа). Его же можно найти свёрткой входного сигнала и импульсной характеристики системы (временной метод анализа). 5. Расчёт прохождения узкополосных сигналов через узкополосные системы (каналы) суще- ственно упрощается, если воспользоваться понятиями комплексной огибающей входного сигнала и низкочастотного эквивалента передаточной функции системы. 6. Как при детерминированном, так и при стационарном случайном воздействии спектраль- ная плотность средней мощности на выходе линейной стационарной системы равна про- изведению спектральной плотности средней мощности входного процесса на квадрат мо- дуля передаточной функции системы. Соответственно функция корреляции выходного процесса определяется свёрткой функции корреляции входного процесса и временной ав- токорреляционной функции системы. 7. Нахождение корреляционной функции (спектральной плотности мощности) на выходе произвольной линейной системы, как детерминированной, так и случайной, при стацио- нарных случайных входных воздействиях существенно упрощается, если ввести системную характеристику AT(ja>,/)AT(-ja>,r + T), где A"(jco, t) — случайная передаточная функция линей- ной стохастической системы. 8. При прохождении случайных процессов через узкополосные линейные системы выходной процесс имеет тенденцию к нормализации, независимо от распределения входного про- цесса. 9. Расчёт прохождения узкополосных случайных процессов через нелинейные (даже безы- нерционные) системы существенно упрощается, если воспользоваться квазигармоническим представлением входного процесса. 10. В теории и инженерной практике чаще всего пользуются следующими моделями линей- ного непрерывного канала: неискажающий канал с аддитивным шумом, канал с неопреде- лённой (случайной) фазой и аддитивным шумом, однолучевой канал со случайной фазой и амплитудой (с замираниями) и аддитивным шумом, многолучевой канал с аддитивным шумом, канал с межсимвольной интерференцией (памятью) и аддитивным шумом. 11. Для любой модели дискретного канала можно ввести понятие случайного вектора ошибки как поразрядную разность между последовательностями входа и выхода. В двоичном кана- ле элементы вектора ошибки принимают значения 0 и 1. Различные модели каналов отли- чаются распределением вектора ошибки. 161
12. Простейшая модель дискретного канала — симметричный канал без памяти (биномиальный канал). Модель несколько усложняется введением символа стирания. 13. Простейшая модель дискретного канала с памятью — марковская модель, когда ошибки образуют простую цепь Маркова, т.е. зависят от того, правильно или ошибочно принят предыдущий символ, но не зависят от того, какой символ передаётся. 14. Дискретно-непрерывный канал характеризуется априорной вероятностью входных симво- лов и функциями правдоподобия (условными плотностями выходного сигнала) или апо- стериорными вероятностями входных символов. 15. Множество величин, однозначно определяющих поведение канала (системы, цепи) в неко- торый момент t, содержащее минимальное число элементов п, называют состоянием, а са- ми элементы этого множества (вектор состояния) — переменными состояния. Для любой заданной цепи можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент /о и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент t > to и выходной сигнал. Пер- вое из них называется уравнением состояния, а второе — уравнением наблюдения. Урав- нение состояния обычно задают в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (векторного уравнения первого порядка). 16. Важной особенностью метода переменных состояния является возможность непосредст- венного моделирования систем, описываемых уравнениями состояния с помощью анало- гового или цифрового вычислительного устройства (т.е. можно получить решение форма- лизируемой задачи). Но более важно, что метод позволяет по наблюдаемому процессу оце- нить сообщение, передаваемое сигналом. 17. Одно из приложений метода переменных состояния — возможность смоделировать любой случайный процесс (на выходе источника сообщений, отдельных звеньев канала и т.д.) как отклик некоторой динамической системы (описываемой системой дифференциальных уравнений), на вход которой воздействует стационарный центрированный гауссовский 5- коррелированный процесс. Смоделированный процесс оказывается марковским. ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 4.1. По каким признакам можно классифицировать каналы связи ? 4.2. Какой канал называется непрерывным, дискретным и дискретно-непрерывным? 4.3. Как связаны между собой импульсная и передаточная характеристики линейной систе- мы? 4.4. Линейный канал характеризуется импульсной характеристикой g(/,T) = g(/)e”“Tl(/-T). Найти отклик канала y(f), если на вход подан прямоугольный видеоимпульс с амплиту- дой А и длительностью Т: = я[1(/) -1(/ - Т)]. 4.5. Линейный стационарный канал имеет импульсную характеристику £0 = л(1-е-а')cosco0/ l(/). Обладает ли канал устойчивостью? 4.6. Двухлучевой канал имеет импульсную характеристику g(t) = y18(t-T1) + y28(t-T2) • Найти модуль его передаточной функции (АЧХ канала). На каких частотах АЧХ имеет нулевые значения при yi = у2 — у t 4.7. Найти импульсную характеристику и передаточную функцию трёхлучевого канала, не искажающего сигнал в каждом из лучей. 4.8. Найти импульсную характеристику интегрирующей цепочки (динамическая система первого порядка) спектральным методом. При вычислении обратного преобразования Фурье от спектральной плотности отклика системы воспользоваться теоремой о выче- тах, полагая о комплексной переменной (o = a + ji>) и замыкая контур радиуса R в верх- ней полуплоскости. 4.9. Одноконтурный усилитель имеет передаточную функцию AT(ja>) = АГ0Д1 +j(a>-ш0)тк). На его вход поступает сигнал x(/) = exp^-a/2jcosa>0/ .Найти спектр комплексной огибающей выхода , саму огибающую ДД/) и отклик усилителя. 162
4.10. На входе одноконтурного усилителя задачи 9 действует AM сигнал х(/) = L/0(l+m1cosQ1/-i-w2 cosQj/jcescoo/. Найти отклик фильтра методом низкочастотного эквивалента. 4.11. Написать интеграл свёртки (4.36) через квадратурные компоненты комплексных оги- бающих входа, выхода и канала. Нарисовать квадратурную электрическую схему, реали- зующую низкочастотную фидьтрацию огибающей входного сигнала. 4.12. Отрезок гармонического сигнала х(?) = [/qcos а>о? длительностью Т поступает на вход од- ноконтурного усилителя задачи 9. Найти энергию сигнала на входе и выходе при ко- нечном Т и при Т —».оо. Напишите формулу для спектральной плотности мощности. 4.13. Какие два типа задач решаются при рассмотрении прохождения случайных воздействий через канал связи и его звенья ? 4.14. На выходе параметрической цепи имеется AM сигнал K(/) = [t70 + kX(t^ соз(ш0/ + ф0). Мо- дулирующий процесс X(t) гауссовский, центрирован и имеет функцию корреляции В(т) = е"“^. Найти одномерную плотность центрированного процесса F(z), функцию корреляции и спектральную плотность мощности процесса Y(f). 4.15. На вход синхронного детектора с опорным напряжением won(/) = acos(<»0/ + (p) поступает смесь AM сигнала и стационарного гауссовского узкополосного флуктуационого шума X(t) = (t/0(l+m6(/)) + Д(/))со8со0/ + JVs(r)sinoooZ (b(f) — первичный сигнал). Найти: одномер- ное распределение процесса на выходе ФНЧ, его функцию корреляции (если спектр входного шума равномерен в пределах полосы частот fQ-Fc< f <. fQ + Fc), отно- шение сигнал-шум на выходе ФНЧ и на входе детектора. 4.16. На усилительный каскад с передаточной функцией задачи 9 действует стационарный белый шум со спектральной плотностью No (на положительных частотах). Найти спек- тральную плотность мощности, функцию корреляции и дисперсию выходного процесса. 4.17. На вход нелинейной схемы с характеристикой у = х2 поступает стационарный стан- дартный гауссовский процесс с коэффициентом корреляции 2?(т) = е“а^. Найти: одно- мерное распределение выходного процесса, его математическое ожидание, дисперсию, функцию корреляции и спектральную плотность мощности. 4.18. На вход перемножителя со случайной передаточной функцией Д/) и функцией корре- ляции Д/)Д/ + т) = ст2е”“^ поступает стационарный квазибелый (в пределах полосы час- тот —Fc, /’с) низкочастотный шум со спектральной плотностью No. Найти функцию корреляции выходного процесса, его дисперсию и сравнить с дисперсией входного шу- ма. 4.19. Случайный принимаемый сигнал X(t) = Д(/)cosco+ А,(/)sinceявляется центрирован- ным гауссовским с независимыми квадратурными компонентами, у которых ст2 = ст2 = ст2. Каков одномерный закон распределения случайной амплитуды у = -^Х2 +Х2 ? Чему равен параметр глубины замираний m = модели. 4.20. Случайная амплитуда принимаемого сигнала у распределена по закону Рэлея со сред- ним квадратом у2 . Будем считать, что качественная связь имеет место, если у превы- шает пороговый уровень 1/пор. Найти вероятность обеспечения качественной связи, если . , UmJ^= 0,001; 0,1; 1. 4.21. Случайный принимаемый сигнал К(/) = JV(/)cos(co0/ + <p0) является центрированным гаус- совским, с дисперсией ст2/2 . Найти закон распределения случайной амплитуды А = |JV(/)|. Чему равен параметр глубины замираний m = ----|2 у2 -у2 для этой модели? 163
4.22. Что понимают под квантовым шумом в оптических линиях связи ? 4.23. Найдите отношение вероятности появления п фотоэлектронов на интервале анализа Т на выходе фотодетектора при условии, что на входе имеется полезный сигнал, к веро- ятности появления на том же интервале п фотоэлектронов при условии отсутствия по- лезного сигнала. Как меняется параметр х = Рп>с+ш(Т)/ Рпш(Т) в зависимости от p = mjmm (отношение среднего числа сигнальных фотоэлектронов к среднему числу шумовых фо- тоэлектронов). 4.24. Вероятность попадания сосредоточенной помехи в полосе сигнала Рп = 0,01. Связь счи- тается некачественной, если амплитуда помехи Un превышает пороговую амплитуду [/пор. Найти вероятность некачественной связи, если амплитуда помехи распределена по Рэлею и U^/u^ = 0,1; 1; 10 . 4.25. Вероятность наложения импульсной помехи на полезный сигнал Рп = 0,01. Связь счи- тается некачественной, если амплитуда помехи [/п превышает пороговую амплитуду t/nop. Найти вероятность некачественной связи, если амплитуда импульсной помехи имеет экспоненциальное распределение ^(е/п)= ae-aU", (7П > 0, о) и = 0,1; 1; 10 . 4.26. Что понимают под каналом с межсимвольной интерференцией, чем определяется па- мягь этого канала ? 4.27. Память канала с МСИ Q — 5, а задержка в принятии решения при поэлементном приёме D = 6. Какое различное число цепочек двоичных символов при простом коди- ровании (без избыточности) определяет сигнал на интервале анализа? 4.28. Для симметричного канала без памяти найти зависимость вероятности любого шести- мерного вектора ошибки р(е,6^ от веса вектора ошибки I при вероятности ошибочного приёма элементарного символа р = 0,01. Пусть в некотором дискретном канале = ptt~v, где v — число нулей между соседними ошибочными разрядами. Что мо- жете сказать о таком канале ? 4.29. Покажите, что при равновероятной передаче символов на входе канала Р(Ь^ = 1/т вы- ходные символы дискретного симметричного канала также имеют равную вероятность, независимо от переходных вероятностей канала. 4.30. Докажите что вероятности состояний в модели Гильберта P(S\) и Р($2) определяются соотношениями (4.54). 4.31. В модели Пуртова-Попова безусловная вероятность ошибочного приёма символа р =10-3. Найдите ве- роятность ошибочного искажения семиразрядной (л = 7) кодовой комбинации Р[^1, я] при а = 0 и а = 0,5. Найдите вероятность наличия в семираз- Рис.4.8. Нелинейная /?С-цепь 4.32. рядной кодовой комбинации ошибки кратности не меньше t = 1,2,3 при a = 0 и a = 0,5. На нелинейную цепь 1-го порядка (рис. 4.8) при нулевых начальных условиях поступает сигнал «(/). Написать уравнение состояния относительно переменной х(/) = иЛ(/) (напряжение на нелинейном сопротивлении) и уравнение Наблюдения, считая, что на- блюдаемым является напряжение на ёмкости y(f) = uc(f). Вольтамперная характеристика — квадратичная: i = . Нарисовать аналоговую схему, моделирующую уравнения со- стояния и наблюдения. 4.33. Стационарный случайный процесс описывается уравнением состояния ^^^ = -aA'(/)+aC/(/),A'(/0) = 0 и наблюдения Z(t) = KX(t} + N(t\ U(t),N{t) — независи- мые, центрированные гауссовские дельта-коррелированные стационарные случайные процессы со спектральной плотностью Ny и N^, а и К — константы. Нарисовать ана- логовую схему, моделирующую уравнения состояния и наблюдения. Найти спектраль- ные плотности мощности процессов 2(0 и их корреляционные функции. Каковы распределения этих процессов ? 164
ГЛАВА 5. ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ 5.1. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ДЕМОДУЛЯТОРОВ Системы и методы передачи дискретных сообщений занимают основное место в современных системах электрической связи, что объясняется не только наличием множества источников дискретных сообщений (данные с выхода ЭВМ, телеграфные источники и др.), но и передачей сообщений непрерывных источников (речь, музыка, телевидение, факсимильная передача и др.) более помехоустойчивыми дискретными цифровыми методами. На выходе модулятора в изохронных системах передачи происходит преоб- разование цифрового сигнала 6Ц(/), рассмотренного в § 3.6, в последователь- ность u(t) элементарных сигналов несущей f{t-kT,b^ заданной формы1): u{t) = Yf(t-kT,bk}, (5.1) *=0 где Т - тактовый интервал передачи в канале, определяющий техническую скорость передачи V= 1/Т, измеряемую в бодах; Ь^е В - множество элементов кода. Элементарный сигнал f(t-kT,bk} может формироваться по-разному. Так, в зависимости от того, выполняются ли модуляция и кодирование последова- тельно друг за другом или совместно, он может иметь различные частотно- временные свойства. Наиболее простую форму принимает (5.1) при линейной (многоуровневой) модуляции: (5-2) А=0 Для сжатия сигнала f(t- кТ,Ьк} во времени и одновременно уменьшения пик-фактора сигнала u(t) (отношение пиковой и средней мощности) можно в качестве f(t-kT,bk^ выбрать прямоугольные радиоимпульсы длительностью Т. Но тогда ширина полосы частот сигнала теоретически не ограничена. Если же формировать сигналы с равномерным спектром в предельно узкой полосе частот, то возрастает пик-фактор сигнала u(t) и, кроме того, сигналы f(t- кТ,Ь^ теоретически не ограничены во времени. Ясно, что в этом случае элементарные сигналы, соответствующие различным символам накладыва- ются друг на друга, т.е. имеет место межсимвольная интерференция (МСИ) уже на передаче. Однако это обстоятельство не препятствует безошибочному выделению информации из сигнала u(f), если выполняются свойства отсчёт- ности сигнала f(t-кТ,Ьк^, о которых говорилось в гл. 3. Запись (5.1) справедлива лишь для систем модуляции без памяти (прямых систем модуля- ции), когда к-й элемент канального сигнала fit - кТ, Ь%) зависит лишь от символа Ьк- Для сис- тем модуляции с памятью (интегральных систем модуляции), например ЧМНФ, к-й элемент канального сигнала зависит не только от Ь^, но и символов с меньшими номерами 'f{t -кТ,bk,bk_Xibk_2,bk_3,..^. Структура частной разновидности сигналов ЧМНФ, а именно сигналов ММС, рассматривалась в § 3.5. 165
Разумеется, на практике находят разумный компромисс между двумя ука- занными крайними случаями формирования элементарных сигналов Здесь мы не будем обсуждать способы формирования сигнально-кодовых конструкций {f[t-кТ,Ь^)} или сигнала w(l), а сосредоточим внимание на демо- дуляторе - наиболее сложной части модема (или устройства преобразования сигналов УПС). На вход демодулятора при передаче сигнала (5.2) поступает колебание (сигнал + шум) z(t) = Y4s(t-kT,bk)+r^t), (5.3) *=0 где s(t-kT,bk) — отклик канала на элементарный сигнал f(t-kT,bk); n(t) — ад- дитивный шум в канале. При линейной (многоуровневой) модуляции z(0 = S bks(t - kt)+n(t), , (5.4) *=0 где s(t) — отклик канала на несущую/(/). Для упрощения дальнейшего анализа будем считать, что элементарный сигнал на передаче f(t-kT,bk} локализован в пределах тактового интервала1). Тогда в канале с относительной памятью Q (см. § 4.4) реакция s{t-kT,b^ су- ществует на интервале длительностью Та = (1 + Q)T. Сначала будем анализировать демодулятор для канала без памяти (Q= 0, Та = Т), а затем в § 5.6 будем обсуждать демодулятор в канале с МСИ2). Обозначим анализируемый элемент колебания (сигнал + шум) на входе демодулятора в канале без МСИ: z(t) = s(t, bi) + n{t), te[0,7] ______ где s(t, Ь,) — сигнал, соответствующий символу Z><3), i ; n{t) — аддитив- ный шум на интервале анализа4). На выходе демодулятора возникает дискретный сигнал, т.е. последователь- ность кодовых символов. Чаще всего элемент длительностью Т непрерывного сигнала преобразуется демодулятором в один кодовый символ (поэлементный приём). Если бы этот кодовый символ всегда совпадал с передаваемым (поступившим на вход модулятора), то связь была бы безошибочной. Но, как известно, помехи приводят к невозможности с абсолютной достоверностью восстановить по принятому сигналу переданный кодовый символ. Если это условие не выполнено, но сигнал в (5.4) сохраняет свойства отсчётности, все ре- зультаты, получаемые ниже для каналов без памяти сохраняются при расширении интервала временного анализа элемента сигнала. 2) Следует отличать МСИ на передаче (при которой сохраняются свойства отсчётности сигна- ла) от МСИ в канале с памятью, разрушающей это свойство. 3) Здесь и далее, если не будет определено обратное, нижний индекс, для упрощения записи, соответствует позиции кода ! 4) Обычно в приёмных устройствах демодулятору предшествуют усилители и преобразователи частоты. Здесь все они считаются включёнными в состав канала. В ряде случаев именно они являются основными источниками аддитивных помех канала. 166
Каждый демодулятор описывается законом, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ. Этот закон на- зывается правилом решения, а реализующая его схема — решающей. Демодулято- ры с различными правилами решения будут выдавать, вообще говоря, различ- ные решения, из которых одни верные, а другие — ошибочные. В любом демодуляторе дискретных сообщений перед непосредственным принятием ре- шения приходящий сигнал подвергается той или иной обработке, целью которой является наилучшее использование различия между реализациями сигналов, соответствующих разным символам, а также отличия сигналов от помех. Всякую линейную обработку сигнала можно описать операцией интегрирования с весом <р(/, т) в течение тактового интервала (О, Т): т т т у(Т)= = J х(т,й1)<р(Т’,т)<7т + J«(t)cp(7’,t)<7t . (5-5) 0 0 о Таким образом, на выходе устройства обработки существуют сигнальная и шумовая со- ставляющие. В простейшем случае <р(7’, т) = 5(т - /0), 0 < /0 < Т. Тогда у(Т) = z(?o) и обработка сводится к взятию одного отсчёта приходящего сигнала в момент /о- Очевидно, при этом не используется энергия сигнала и содержащаяся в нём информация на протяжении всей ос- тальной части тактового интервала. к к При весовой функции <р(7’,т) = 0<tk < Т имеем "У, z(/t) . Если моменты *=i *=i времени 4 надлежащим образом согласовать с формой сигнала, то можно накопить энергию в отсчётах и лучше использовать информацию, содержащуюся в сигнале. Для случая, когда сигнал s(t, bi) = сь т.е. остается постоянным на протяжении тактового интервала, выбор т ср(Т, т) = 1 даёт у(Т) = Jz(t)^t . Это случай интегрального приёма - предел накопления при о К -> оо. Очень часто линейная обработка сигнала осуществляется с помощью стационарных линейных фильтров. В этом случае <р(/, т) = g(t - т) - импульсная характеристика фильтра. Помимо операции (5.5) сигнал нередко подвергают нелинейной обработке - возведению в степень, детектированию и т.д. На ранних этапах развития техники связи способы обработки сигналов вы- бирались разработчиками аппаратуры интуитивно, исходя из общих идей о пу- тях выделения сигнала из помехи и различия передаваемых сигналов. Выбором различных видов реализации сигналов s(t, bf) и способов обработки в ряде слу- чаев удавалось повысить помехоустойчивость системы передачи дискретных сообщений, т.е. увеличить верность оценки передаваемого символа b-t при на- личии помех. Современная статистическая теория связи позволяет отыскать наилучшую операцию обработки входного сигнала z(/), обеспечивающую максимальное ка- чество оценки Ьь Будем полагать, что свойства источника сообщения и кодера известны. Кроме того, известен модулятор, т.е. задано, какая реализация эле- мента сигнала соответствует тому или иному кодовому символу, а также задана математическая модель непрерывного канала. Требуется определить, каков должен быть оптимальный демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить наилучшее качество приёма. Такая задача была впервые поставлена и решена (для гауссовского неиска- жающего канала с БГШ) В.А. Котельниковым. В этой постановке качество оценивалось вероятностью правильного приёма символа. Максимум этой веро- ятности при заданном виде модуляции В.А. Котельников назвал потенциаль- ной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум, — 167
идеальным приёмником. Из этого определения следует, что ни в одном реаль- ном демодуляторе средняя вероятность правильного приёма символа не может быть больше, чем в идеальном приёмнике. На первый взгляд принцип оценки качества приёма вероятностью пра- вильного приёма символа кажется вполне естественным и даже единственно возможным. Ниже будет показано, что это не всегда так и что существуют и другие критерии качества, применимые в тех или иных частных случаях. Ознакомимся подробнее со статистическим подходом к задаче приёма дис- кретных сообщений на фоне шумов. Пусть при передаче дискретных сообще- ний, закодированных кодом с основанием т в месте приёма ожидаются сигна- лы /е[0, 71, соответствующие кодовым символам bt (z = О, 1,2,3,..., т - I)1). В течение отрезка времени [0, 71]2) на вход приёмного устройства по- ступает колебание z(t), которое вследствие искажений и помех в канале не сов- падает в точности ни с одним из элементов сигнала на передаче Следова- тельно, в этом случае приёмное устройство должно выбрать одну из т возмож- ных взаимоисключающих (альтернативных) гипотез: передавался кодовый сим- вол bQ, т.е. ожидается сигнал Sq(1); передавался кодовый символ by т.е. ожида- ется сигнал ... передавался кодовый символ bm_t, т.е. ожидается сигнал . Для двоичной системы (т = 2) приёмное устройство выбирает одну из двух альтернативных гипотез о передаче символа 1 или 0. Совокупность всех возможных реализаций z(t) можно интерпретировать точками в пространстве Z принимаемых финитных сигналов. Обычно оно яв- ляется бесконечномерным пространством Гильберта или, с некоторыми (приемлемыми для практики) оговорками, многомерным пространством Евк- лида. Простоты ради будем графически изображать реализации принимаемых сигналов Si(t) и помех n(t) (длительностью 7) точками на плоскости (рис. 5.1) или соответствующими векторами на плоскости, откладываемыми от начала координат 0. Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точ- ке пространства принимаемых колебаний (концу вектора z = s + п) приписы- вается одна из т гипотез, т.е. определённый переда- ваемый кодовый символ Ь[. Пространство прини- маемых сигналов окажется при этом разбитым на т непересекающихся областей Д, каждая из которых соответствует принятию определённой гипотезы. В такой трактовке различные приёмные устройства отличаются друг от друга способом разбиения про- странства сигналов на области Д., т.е. правилом принятия решения3). Возможное разбиение схема- тически показано на рис. 5.1. Рис.5.1. Разбиения пространтства принимаемых колебаний на непересекающиеся области б Без потери общности можно, когда это удобно, считать bj=i. 2) Начало этого отрезка для удобства совместим с началом координат. В принципе интервал анализа на приёме не всегда совпадает с тактовым интервалом Т (см. ниже). Сигналы на так- товом интервале часто будем называть элементом сигнала. 3> В математической теории связи это разбиение и называют решающей схемой. Заметим, что в некоторых случаях пользуются решающей схемой со стиранием, или отказом от решения. Это значит, что т областей не охватывают всего пространства сигналов и если приходящий сигнал не попадает ни в одну из этих областей, то принимается решение о стирании либо о невозможности определить передаваемый символ. 168
В двоичной системе пространство Z разбивают на две непересекающиеся области Вй и Д. Пусть на отрезке [0, 7] принимается колебание z(/) = 5Z(/) + n(f), где Si(t) — полезный сигнал в месте приёма, прошедший канал связи, a n{t) — реализация аддитивной помехи. Если помехи отсутствуют, возможные значения z(t) изображаются точками Si (i = 0, 1, 2, ..., т — 1). При наличии помехи и передаче сигнала с номером I точка принимаемого колебания z отклоняется от точки sz. На рис. 5.1 это по- казано для сигналов 5Z(/) и Sk(t). Область Д содержит точку sz. В тех случаях, когда помеха не выводит точку z за пределы области Д, решение оказывается верным при сигнале 5Z. В противном случае возникает ошибка. Очевидно, из- меняя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приёма отдельных передаваемых символов. Например, если в разбиении, пока- занном на рис. 5.1, расширить область Д за счёт области Вк, то уменьшится вероятность ошибочного приёма символа Ьк вместо передаваемого символа Z>z Однако в этом случае возрастает вероятность ошибочного приёма 6, при пере- даваемом Ьк. Очевидно, всегда существует такое расположение областей, кото- рое в определённом смысле лучше всякого другого. Если задан критерий качества, то наилучшее разбиение пространства при- нимаемых сигналов (оптимальная решающая схема приёмного устройства) достигается методами теории статистических решений. 5.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА И ПРАВИЛА ПРИЁМА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ Рассмотрим сначала широко распространённый критерий Котельникова или критерий идеального наблюдателя, согласно которому качество демодуля- тора оценивают безусловной (средней) вероятностью правильного приёма сим- вола. Будем сначала полагать, что пространство передаваемых и принимаемых сигналов является конечномерным евклидовым. Это может быть, например, пространство финитных сигналов, представляемых конечной тригонометриче- ской суммой. В дальнейшем это ограничение будет снято. В «-мерном пространстве случайный сигнал z(t) характеризуется «-мерной плотностью вероятностей вектора z: w(z). Её можно рассматривать как плот- ность вероятности коэффициентов разложения z(t) по любому ортонормиро- ванному базису. Если передаётся некоторый символ Z>z, т.е. принимается сигнал 5z(0, то можно определить условную «-мерную плотность вероятности w(z|Z>z) = w(z|sz) — функцию правдоподобия /-й гипотезы (z = 0,«i-l). Пусть на вход демодулятора в течение отрезка [0, 7] приходит некоторый элемент сигнала z(t). Предположим, что демодулятор принимает при этом ре- шение, что передан символ bt, т.е. выдаёт оценку bt. Вероятность того, что это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности P(6z|z(^)) того, что действительно передавался символ Ь» при условии прихода реализации эле- мента сигнала z(/). Её называют апостериорной вероятностью символа bi (т.е. ве- роятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и ана- лизе сигнала z(/)). 169
Очевидно/что вероятность правильного приёма будет г 1=0 достигает максимума, если для каждой конкретной реализации z(t) сумма i=0 . 1=0 максимальна. Здесь Р(б|г) ~ апостериорная вероятность передачи bt, а р(б,|г) в совокупности образуют решающее правило демодулятора. Так как т— 1 £p(4|z) = 1, то наилучшим решающим правилом будет такое, при котором 1=0 p(^|z) = 1 для / соответствующего максимальной Р(б,|г). Другими словами, критерий идеального Наблюдателя обеспечивается ре- шающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятно- сти — решение Ь. принимается в том случае, если выполняется система из т - 1 неравенств: /’(ftjz)> , j е0,m-1,7*1. (5.6) Для сокращения запишем это правило в такой форме: 1f= Arg max|/>(z>I|z)j , (5.7) где под Arg max {4} понимается то значение i, при котором А, максимально. Для двоичной системы сигналов упомянутое правило сводится к проверке не- равенства P(l|z) > Л0|г). (5.8) При выполнении неравенства (5.8) регистрируется символ 1, в противном случае — 0. Согласно известной формуле Байеса где P(bj) — априорная вероятность передачи символа bi (т.е. та вероятность, ко- торая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой ис- точника сообщения и правилом кодирования). Подставив (5.9) в (5.6) и учитывая, что w(z) — безусловная плотность веро- ятности, не являющаяся функцией i, можно записать правило решения по кри- терию идеального наблюдателя в следующей форме: ,7 = 0,1,..., т-1, j i, или сокращённо: 1 = Argmax{p(6f)w(z|6f)}. (5.10) Приёмник, реализующий алгоритм (5.10), называют приёмником Котель- никова. Для двоичной системы правило (5.10) сводится к проверке неравенства Al)w(z|l) > P(0)w(z|0), (5.11) при выполнении которого регистрируется символ 1, а при невыполнении - 0. 170
Для построения решающей схемы по правилу (5.10) необходимо знать ап- риорные вероятности символов P(bj), а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности — функции правдоподобия. Правило (5.10) можно записать иначе. Решение о том, что передавался символ bi, должно приниматься, если для всех j * i выполняются т — 1 нера- венств Отношение в левой части этого неравенства называется отношением прав- доподобия двух гипотез: о том, что передавался символ Ь^ и о том, что переда- вался символ bj. Его обозначают Агу. В случае, когда все т символов передаются равновероятно, т.е. Р(Ь[) = \/т, правило (5.12) упрощается: Л/у > 1 ,i е0,т-1 ,j!*i:. (5.13) Иногда вводят в рассмотрение помимо т гипотез о передаче символов 6,(z = 0,w-l) ещё дополнительную ("шумовую") гипотезу о том, что никакой сигнал не передавался, т.е. z(f) = n(i) — чистая помеха1). Отношение правдопо- добия / । < = Л.ш обычно обозначают просто Л,. Тогда правило (5.13) можно W(Z|6m) записать так: Л, > A.J при всех j , (5.14) или короче: i = Arg тах[л,]. Такое правило максимума правдоподобия реализу- ет критерий идеального наблюдателя при том условии, что все символы пере- даются равновероятно2 * * *). Для двоичной системы правило (5.14) сводится к проверке неравенства Aj>A0. (5.15) Как отмечалось, критерий идеального наблюдателя не является единствен- ным разумным критерием оптимальности решающей схемы. Дело в том, что Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям. На- пример, в системе автоматической пожарной сигнализации опаснее не обна- ружить сигнал о пожаре, нежели объявить "ложную тревогу", когда в действи- тельности пожара нет. Учёт последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов) приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием крите- рия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Введём некоторые понятия. Следует иметь в виду, что в системах с AM дополнительная гипотеза может соответствовать одной из позиций сигнала. 2) Вместо неравенств (5.14) можно было бы просто записать Сравнение отно- шений правдоподобия вместо сравнения условных плотностей вероятностей вызвано тем, что понятие отношения правдоподобия можно распространить и на сигналы из бесконечномер- ного гильбертова пространства, для которых понятие плотностей вероятности w(2|i>) теряет смысл. Как это делается, будет показано в § 5.3. 171
Если при передаче символа Ь, принят символ bj, то при J ф i имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов bt и bj связы- вать некоторую численную величину, называемую "потерей", обозначив её Ly. Величина "потери" зависит, таким образом, от того, какой символ bj принят вместо переданного й, Правильному приёму при этом обычно приписывается нулевая "потеря". Значения Ly опреде- ляются в каждом конкретном случае важностью “правильного приёма данного элемента сиг- нала и величиной опасности различных ошибок. Так как при передаче символа bt символы Д появляются с определёнными вероятностя- ми как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины "потери" при передаче конкретного символа Z»,. Назовем это условное математическое ожидание условным риском: /и-1 /п-1 r,=Z J • (5Л6) 7 = 0 J=O Bj Интеграл в (5.16) берется по области Bj решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал z(t) попал в эту область, если передавался символ bt Усреднив условный риск Ri по всем символам Ьь получим величину, называемую средним риском: т-1 т-1 Лс₽ТАФу (5Л7) ,=о 7=0 в. Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска Rcp. Приёмник, ра- ботающий по такому критерию, называют байесовским. Из (5.17) видно, что при использовании этого критерия нужно, помимо априорных веро- ятностей p(bj) передачи отдельных символов знать и величины потерь Ly. Заметим, что если считать все ошибки равноценными (Ly = const при j * i и Lti = 0 ), то критерий минималь- ного среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова. В общем же случае в оптимальном байе- совском приёмнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже — с большими потерями. Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность пере- дачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание z(t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Как правило, априорная вероятность наличия отражённого от цели сигнала (передачи 1). заранее не известна. Последствия двух родов ошибок — ложной тревоги (приёмник фиксирует, что цель существует, в то время как в действительности её нет) и пропуска цели (приёмник отмечает отсутствие цели, в то время как фактически она имеется) — неравноценны. В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана-Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги рт обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели рпрц. Введём в рассмотрение функции правдоподо- бия гипотезы об отсутствии цели w[z|o] и о наличии цели 1]. Очевидно, что можно различными способами разбить пространство принимаемых коле- баний z(t) на две области: Во (область решения об отсутствии цели) и Д (о наличии цели) — так, чтобы вероятность ложной тревоги Рлг = |w(z|o)rfz (5.18) А равнялась заданной величине. Поскольку в локации символ 0 (отсутствие цели) передаётся паузой, то и-Ыо] — это плотность распределения помехи. Следовательно, вероятность ложной 172
тревоги определяется вероятностными характеристиками помехи и выбором области . Но от выбора этой области зависит и вероятность правильного обнаружения цели: Рпро = jw(z|l)c?Z=l-pnp4 = l-jw(z|l)6/z, (5-19) А в0 . Рпрц - вероятность пропуска цели. Интегралы в (5.18), (5.19) и в аналогичных других формулах, взятые по векторной пере- менной, очевидно, многократные. Максимизация (5.19) при заданной величине (5.18) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства где X — пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги рт. Существуют и другие критерии качества приёма, не требующие знания априорных веро- ятностей символов. В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия (5.14), (5.15). В том случае, когда все символы передаются рав- новероятно, правило максимального правдоподобия реализует критерий иде- ального наблюдателя. ОдНако очень часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных, но не одинаковых априорных вероятностях символов. Конечно, оно не обеспечивает в этих случаях максимума вероятно- сти правильного приёма. Изменив решающую схему на схему, построенную по правилу максимальной апостериорной вероятности (5.8), реализующему крите- рий идеального наблюдателя, можно было бы уменьшить вероятность ошибок. При этом, очевидно, пришлось бы сократить области приёма маловероятных и расширить области высоковероятных символов. В результате редко передавае- мые символы принимались бы менее надёжно, нежели часто передаваемые. Но редкие символы несут больше информации, чем частые (см. § 6.3). Поэтому переход от правила максимального правдоподобия к правилу максимальной апостериорной вероятности, хотя и уменьшает безусловную вероятность ошиб- ки, может привести к увеличению потери информации при демодуляции. Лег- ко показать, что правило максимального правдоподобия реализует критерий минимума среднего риска (5.17), если положить Ly = 0 при i =j и Ly = при i *j. Вследствие сказанного будем в дальнейшем пользоваться, если не оговоре- но обратное, правилом максимального правдоподобия и решающую схему, реализующую правило (5.14), называть оптимальной. 5.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЁМА ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛАХ (КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЁМ) Предположим, что все искажения в канале строго детерминированы и слу- чайным является только гауссовский аддитивный шум n(f), который вначале полагаем белым, со спектральной плотностью Nq. Это значит, что при передаче символа bi (i = 0, 1, ..., т — 1) принимаемое колебание можно описать моде- лью (4.48): z(t) = st(t)+n(t), Q<t<T, (5.21) 173
где все .$//) = уf(t-x-kT$})=TUt(t-x) известны. Не известна лишь реализация помехи и позиция (индекс /) действительно переданного сигнала, который и должна определить решающая схема. Будем также считать, что все s, являются финитными сигналами, длитель- ность которых Т. Это имеет место, если передаваемые сигналы мг(/) финитны и имеют одинаковую длительность (система синхронная), а в канале нет ни мно- голучевого распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличе- ние длительности сигнала (либо они скорректированы). В дальнейшем будем везде полагать, что в системе обеспечена надёжная тактовая синхронизация, т.е. границы тактового интервала, на котором прихо- дит сигнал известны точно. Вопросы синхронизации весьма существенны при реализации оптимальных демодуляторов и синхронных систем связи во- обще, но они выходят за пределы данного курса. Момент начала посылки Sj(t) примем за нуль. Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального (т.е. основанно- го на правиле максимального правдоподобия) демодулятора, анализирующего сигнал на тактовом интервале 0...Г. Для этого необходимо найти отношения правдоподобия для всех m возможных сигналов относительно нулевой гипоте- зы (z(t) = Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна (поскольку он финитный), а поэтому пространство сигналов бесконечномер- ное 4, (Г). Для таких сигналов (или бесконечномерных векторов) не существу- ют плотности вероятностей. Однако существуют «-мерные плотности вероятно- стей для любых п сечений сигнала. Заменим вначале белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности Nq, но только в некоторой полосе частот F= п/ТТ, где и»1. Рассмотрим дополнительную гипотезу, т.е. будем считать, что z(fy — стационарный шум с нулевым МО. Возьмём на тактовом интервале п равноотстоящих сечений через Д/= 1/22*’ = Т/п. Отсчёты zi,...,zn в этих сечени- ях для квазибелого гауссовского шума независимы в соответствии с (2.89). По- этому «-мерная плотность вероятности для взятых отсчётов 1 ' 1 п 4Z1’г2,Z„;Z2,t„\z(i) = «(/)] = , --vexp^-— \л12пс>2) I 20 *=1 J (5.22) где о2 = Nq F — дисперсия (мощность) квазибелого шума. При гипотезе, что передавался символ bj, согласно (5.21) n(f) = z(t) — Следовательно, условная «-мерная плотность вероятности се- чений z(t) определится такой же формулой, как и (5.22), если z(t^) заменить разностью z(tk) — Si(tk), представляющей при этой гипотезе шум: ^,z2,...,zn,tx,t2,...,tn\b\ = -r—exp- ’• П/2жГ I 2<т *=i J Отношение правдоподобия для сигнала Si (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для п сечений, Zl’ Z2’ Zn’> ^1» ^2> /1’ z2 ’ • • • > Zn->h‘> ^2 » h > • = ехрч - 2о2 2о2 Заменим дисперсию о2 её выражением: о2 = NqF = Ао/2Д? W п 2 п 174
Тогда Л1,"' = ехр- А/+тг1>2МА/ -,vo *=1 -“’о *=1 По правилу максимума правдоподобия в случае квазибелого шума решаю- щая схема должна выбирать значение i, обеспечивающее максимум Л1®]. Вме- сто Л1”1 можно отыскивать максимум его логарифма: 2 Ь Л'г1 =-^£Н*)-л(**)] (5.23) “’о *=1 -“’о *=1 Вернёмся к исходной задаче для белого шума. Для этого будем расширять полосу F, тогда число сечений п стремится к бесконечности, а А/ - к нулю. Суммы в (5.23) обращаются в интегралы, и после раскрытия квадрата в первом слагаемом правило решения (выбора оценки bt) можно написать следующим образом: 2 г 1г Arg maxi—J z(t)st (f) dt -—J s2 (/) dt ►. 1 ft Л 2V л л О о о Правило приёма (5.24) сводится к проверке системы неравенств т т jг(г)-У,(0dt -0,5Е{ > jz(t)Sj(t)dt-0,5Е}, j*i, о о (5.24) (5.25) т где Et- |л,2(/)Л ~ энергия ожидаемого сигнала s//)- Выражение (5.25) опреде- О ляет те операции (алгоритм приёма), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием. Для двоичной системы алгоритм (5.25) сводится к проверке одного нера- венства т т jz(t)sx(t)dt - O,5Ej > jz(t)sa(t)dt - O,5£0. (5.26) 0 0 При выполнении неравенства (5.26) регистрируется символ "1", в против- ном случае "О". Устройство, непосредственно вычисляющее скалярное произведение (или корреляционный интеграл): т (z,sf) = (5.27) О называют активным фильтром или коррелятором, поэтому приёмник, реали- зующий алгоритм (5.25), называют корреляционным. На рис. 5.2 показана структурная схема приёмного устройства, работающе- го в соответствии с (5.26). Здесь блоки "х" - перемножители; Го, П — генера- торы опорных сигналов so(0> s\{t)\ f — интеграторы; " — вычитающие устрой- ства;- РУ — решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключа), номер /-ветви с максимальным сигналом 175
Рис.5.2. Оптимальный демодулятор при точно известных сигналах, построенный по корреляционной схеме (z = О, 1). При т > 2 в схеме рис. 5.2 и других нижеприведённых схемах растет соответственно число ветвей обработки сигнала, попадающих на РУ.1) Если сигналы и,-(0 выбраны таким образом, что все их реализации (а сле- довательно, и все реализации s;(z)) имеют одинаковые энергии2) (Е/ = const), алгоритм приёма (5.25) (и соответственно его реализация) упрощается (отпадает необходимость в вычитающих устройствах) и принимает вид Т т j*i, (5.28) О о ИЛИ Из (5.28) видно, что правило решения не изменится, если сигнал z(0, по- ступающий на вход демодулятора, умножить на любое число. Поэтому систе- ма, в которой все реализации сигнала имеют равную энергию, отличается тем, что оптимальный алгоритм приёма в ней не требует знания "масштаба" прихо- дящего сигнала или, другими словами, знания коэффициента передачи у кана- ла. Эта особенность обусловила широкое распространение систем сигналов с равной энергией, что важно для каналов с замираниями, в которых коэффици- ент передачи флуктуирует. Заметим, что для двоичной системы неравенство (5.26) можно представить в более простом виде: т , (5.29) О При реализации этого и всех других алгоритмов оптимального (субоптимального) приёма дискретных сообщений предполагается, что к началу обработки сигнала на данном тактовом интервале схема очищена от переходного процесса. 2) Такие системы часто называют системы с активной паузой. Двоичную систему, у которой один сигнал нулевой (нет излучения), называют системы с пассивной паузой. 176
где s^(t) = sl(t)-s0(t) — разностный сигнал; X = 0,5(£i — Eq) — пороговый уровень. Для системы сигналов с равной энергией X = 0, что значительно облегчает реализацию оптимальной схемы. Для реализации (5.29) в схеме рис. 5.2 требуется лишь одна ветвь. На рис. 5.3, а показана схема, реализующая алгоритм (5.29) для двоичной системы пере- дачи однополярными импульсами (с пассивной паузой): 5i(/) = a, s0(f) = 0. При этих сигналах т •уд(0 = 'у1(0 = а> — а2Т, Eq = 0, Х = а2— и (5.29) примет следующий вид: г ,, , аТ о На схеме пороговый уровень с учётом постоянной RC цепи £ _ X _ аТ ~~RC~~2RC Рассмотренную систему двоичных сигналов используют в простейших устройствах про- водной связи. В радиоканалах, а также в современных кабельных каналах применяют высо- кочастотные сигналы. Наиболее простыми двоичными системами с гармоническими сигнала- ми являются системы с амплитудной (AM), фазовой (ФМ) и частотной (ЧМ) манипуляцией. В двоичной AM 5i(t) = acos(ct>o/ + <р), 5о(0 = 0- Все входящие сюда постоянные (а,®о,ф) в этом параграфе полагаем известными. Поскольку здесь sA(f) = $1(/), Ei = (P-T/l и Eq= 0, пра- вило (5.29) запишем в виде г J z(/) cos(a> ot + <p)dt > — . о Оно реализуется схемой рис. 5.3, б, которая отличается от рис. 5.3, а блоком перемноже- ния приходящего сигнала с опорным сигналом cos(coq/ + <р). Пороговый уровень £ в этом случае равен аТ . ARC При двоичной ФМ с противоположными сигналами1) $1(/) = acos(oof + <р), $о(О = ocos(oof + <р + тс) = — Ji(l)- Это — система с равной энергией сигналов, и поэтому в (5.29) X = 0. Легко убедиться, что К декодеру ------> аТ 2RC б) Рис.5.3, реализация оптимального приёма двоичных прямоугольных импульсов {а) и реализация оптимального приёма в двоичной системе AM, ФМ при точно известном сигнале (б) *) О реализации демодулятора двоичной ЧМ с непрерывной фазой и минимальным частот- ным сдвигом (ММС) говорилось в гл. 3. 177
т правило решения сводится при этом к следующему: |z(z)cos(a>0z + <p)cft>0 и реализуется той о же схемой рис. 5.3, б при X = 0. В этом случае РУ играет роль дискриминатора полярностей. Чтобы придать алгоритму оптимального приёма (5.25) наглядный геомет- рический смысл, прибавим в обоих частях неравенства одинаковую величину г 0,5 jz2 (/)*#• Тогда алгоритм принимает вид О - O,5j[z(/) - ,$;.(/)] dt > -O,5j[z(/) - $,(/)] dt, J . о 0 Умножая левую и правую часть неравенства на —2, отчего знак неравенства меняется на обратный, получаем интересующий нас алгоритм приёма, эквива- лентный (5.25): ; т т J [ХО - -У,(О]2 dt < j [z(0 - s/o] dt ,j*i. (5.30) 0 0 Отметим, что именно в таком виде впервые получил алгоритм оптимально- го приёма В.А. Котельников [18]. На рис. 5.4 для m = 2 показана структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с алгоритмом (5.30). Здесь " — вычитающие устройства; Го,Г1 — генераторы опорных сигналов £о(О> ^1(0; С)2 “ квадраторы; I — интеграторы; РУ — решающее устройство, оп- ределяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключей), номер ветви с минимальным сигналом. определяет норму разности В пространстве Гильберта j[z(O-^(O]2^ V о > Рис.5.4. Структурная схема отимального приёмного устройства при точно известных сигналах, содержащая квадраторы векторов г и s, или рас- стояние между ними2) . Поэтому алгоритм (5.30) можно записать в виде ||z-s,.||<||z-s7.||, j*i, и придать ему простую геометрическую интерпре- тацию: оптимальный де- модулятор должен регист- рировать тот из сигналов Si(f) (соответствующий СИМВОЛУ bi), который "ближе" к принятому ко- 2) Для «-мерного пространства Евклида эта норма 178
о лебанию z(f). В качестве примера на рис. 5.5 показано оптимальное разбиение двумерного пространства принимаемых сигналов z(fy при передаче сигналов $i(/) и 5о(О- Области принятия решения в пользу символов 0 и 1 расположены по обе сторо- ны от прямой 0-0’, перпендикулярной от- резку, соединяющему точки сигналов и де- лящему его пополам. Наличие в схеме рис. 5.4 квадраторов, призванных обеспечить квадратическое преобразование мгновенных значений входных сигналов во всем их динамиче- ском диапазоне, часто затрудняет её реали- зацию. Рассмотрим вкратце случай, когда гауссовский Рис.5.5. Оптимальное разбиение пространства принимаемых колебаний при двоичном коде и точно известных сигналах шум в канале не белый и не квазибелый, а окрашенный, т.е. имеет неравномерную плотность мощности G(/) в полосе спектра сигнала. Пропустим приходящую на вход демодулятора сумму сигнала и шума через фильтр с передаточной функцией К[ j2Tt/), такой, чтобы в полосе спектра сигнала произведение G(/)|x(j27t/)|2 было постоянной величиной N. Из всех возмож- ных фильтров с АЧХ, удовлетворяющих этому условию и различающихся только фазо- частотной характеристикой, можно выбрать минимально фазовый, у которого <р(ю) связана с натуральным логарифмом АЧХ 1пХ(ш) парой преобразований Гильберта [3]: -оо -оо Очевидно, что на выходе фильтра шум окажется квазибелым: GBbIX(/) = N . Поэтому такой фильтр называется обеляющим. Сигнал после прохождения через обеляющий фильтр превратится в некоторый другой сигнал, который обозначим Вид его можно определить, зная s^t) и AT(j27t/). Если теперь подать колебания с выхода обеляющего фильтра на демодулятор, являющийся опти- мальным для приёма сигналов s/(/) (f = 0,/п-1), то получим схему рис. 5.6, которая, очевидно, является оптимальной для сигналов s//) при окрашенном шуме. Следует обратить внимание на то, что в схемах рис. 5.3 и 5.4 опорные сиг- налы должны иметь те же начальные фазы, что и ожидаемые приходящие сиг- налы или, другими словами, должны быть когерентными с приходящими сиг- налами. Это требование обычно затрудняет реализацию демодулятора и требует введения в него помимо указанных на рисунках блоков дополнительных уст- ройств, предназначенных для регулировки фаз опорных сигналов. Окрашеный шум Белый шум + + сигнал s(t) —к Обеляющий фильтр сигнал 5'(/) Оптимальный демодулятор для /(/) Решение ; Рис.5.6. Оптимальный демодулятор с обеляющим фильтром при гауссовском "окрашенном шуме" 179
Все методы приёма, для реализации которых необходимо точное априорное знание начальных фаз приходящих сигналов, называют когерентными. В тех случаях, когда сведения о начальных фазах ожидаемых сигналов извлекаются из самого принимаемого сигнала (например, если фаза флуктуирует, но на- столько медленно, что может быть предсказана по предыдущим элементам сигнала), приём называют квазикогерентным. Если же сведения о начальных фазах приходящих сигналов отсутствуют или по каким-либо соображениям их не используют, то приём называют некогерентным (см. § 5.7). 5.4. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЁМНИК С СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ Скалярное произведение (5.27) можно вычислить не только с помощью ак- тивного фильтра (коррелятора), описанного в предыдущем параграфе, но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал z(/), то напряжение на выходе Т фильтра в момент времени t-T у(Т) = ^z(x)g(T-x)dx, где #(т) — импульсная О характеристика фильтра. Выберем её такой, чтобы в момент t = Т получить значение у(Т), равное скалярному произведению (5.27). Легко видеть, что это будет выполнено при следующем согласовании g( Т - т) = Sj(x) или g(f) = Sj(T-х). (5.31) В более общем случае согласованным фильтром для сигнала s(f) называют линейный пассивный фильтр с постоянными параметрами и ИХ g(0 = as(r0 - t), (5.32) где a, t — постоянные. Функция g(t) является зеркальным отображением s(t) относительно оси, проведённой через точку t^/2 (рис. 5.7). Для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы g(i) = 0 при t < 0. В частности, для финитного сигнала $(/), поступающего на вход фильтра в мо- мент t = 0 и заканчивающегося в момент Г, условие физической реализуемо- сти согласованного фильтра заведомо выполняется, как видно из рис. 5.7, если постоянная t (момент отсчёта) удовлетворяет условию tQ~ Т> 0 или tQ> Т. (5.33) Передаточная функция (частотная характеристика) согласованного фильтра с ИХ (5.32) определяется преобразованием Фурье Рис.5.7. Сигнал s(f) и импульсная характеристика g(f) линейного фильтра, согласованного с этим сигналом 180
= f gi^dt =4 X'o - fy^dt = , . . (5.34) = a js^e^^dr = a *s{jco)e~J<o,° 4 —o° t где £(j®) — функция, комплексно-сопряжённая cd спектральной плотностью сигнала s(t). Следовательно, с точностью до коэффициента а АЧХ согласован- ного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(t) (т.е. фильтр лучше передаёт те частоты, которые дают больший вклад в энергию сигнала), а его фазо-частотная характеристика (без учёта слагаемого — определяемого задержкой /Ь) обратна по знаку фазовому спектру сигнала s(t). Благодаря этому в момент /Ь все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик. Согласно (5.31) в момент времени Г напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра в схеме рис. 5.2. Поэтому демодулятор, реализующий алгоритм (5.26), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого демодулятора для двоичной системы показана на рис. 5.8, где СФ, — фильтр, согласованный с сигналом Отклик согласованного фильтра на финитный сигнал длительностью Т, поданный ко входу в момент времени 0, существует лишь на финитном интер- вале протяжённостью 2Т. Действительно, если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованно- го фильтра t t ye(t) = $s(t- T)g(r)dT = af s(t - t)X*o ~= aBv(t0-t), (5.35) 0 0 где Bs(Jo — t) — ФК сигнала s(t) при аргументе t$-t. Для финитного сигнала она определена на интервале (0,27) и имеет максимум в точке t = /q = Т. Подчерк- нём, что формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра, как правило, существенно отличаются друг от друга. Задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала, искажённой шумом, а получение одного отсчёта, по которому можно судить о присутствии или от- сутствии на входе фильтра сигнала известной формы. Докажем, что произвольный линейный стационарный фильтр с импульс- Рис.5.8. Оптимальный демодулятор на основе согласованных фильтров 181
ной характеристикой g(Z) даёт на своём выходе в момент времени t$> Т значе- ние отношения пиковой мощности сигнала к дисперсии шума: (5.36) где 2А2 — значение РпикС^) Для согласованного фильтра (А2 = E/Nq — отноше- ние энергии сигнала длительности Т к спектральной плотности шума на поло- жительных частотах). Действительно, пусть на вход фильтра в момент t = 0 при нулевых начальных условиях подаётся смесь z(t) = s(f) + N(f). Тогда сигнальная составляющая выхода *0 *0 уД'о) = J, а шумовая составляющая у„(/0) = jл(т)^(/0 -т)с/т . о о Если шум л(т) центрирован, стационарен и 8-коррелирован, то у„(^0) = о и __ U U уу * и * и °? = Л2('о) = J J"(т1Мъ>('о - т2)л Аг=-у-jf 5(т1 - т2)я('о -Т1Ж - 0 0 0 0 Учитывая фильтрующее свойство 5-функции, имеем °”2 =^fg2('o-T)‘/T='yA ,Eg=jg2(t)dt. о 2 2 fsWgGo-т)^ Гпикуо/ NqE* Согласно неравенству Буняковского-Шварца (2.9) 2 ЛЛ гл ЛЛ. /Хт)^о-Т)л р2(т)</т jg2(f0-т)А , (5-37) (5.38) причём равенство имеет место лишь при выполнении условия (5.32), т.е. для согласованного фильтра. С учётом (5.37) и (5.38) следует результат (5.36). Рассмотрим возможности реализации согласованных фильтров. Согласо- ванный фильтр для финитного сигнала произвольного вида s(f) можно в прин- ципе построить на основе неискажающей длинной линии, обеспечивающей за- держку сигнала на время Т, с бесконечной плотностью отводов. Практически можно брать отводы в дискретных точках с разносом Д = 0,5/jF, где F — эф- фективная ширина спектра сигнала. Действительно, с помощью схемы, показанной на рис. 5.9, можно с задан- ной точностью синтезировать любой сигнал s(t), представленный усечённым рядом Котельникова (2.61): где ak = $(АД); Д = 1/(2F); F — ширина спектра сигнала. Как следует из в § 2.4, такой сигнал можно получить на выходе идеального ФНЧ с полосой пропус- кания F, подавая на его вход последовательность 8-импульсов с весами 182
Рис.5.9. Реализация фильтра, согласованного с произвольным непрерывным сигналом на основе линии задержки с отводами и блоками взвешивания ак = акЛ через интервалы времени Д. Это осуществляется с известным прибли- жением в схеме рис. 5.9. Если на вход линии в начальный момент подаётся один короткий импульс, аппроксимирующий 3-функцию, то с отводов снима- ются такие же импульсы, разнесённые на интервалы Д, которые, пройдя через взвешивающие блоки ак, поступают поочередно на вход ФНЧ. Взвешивающие блоки содержат аттенюаторы или усилители с коэффициентом усиления |<я*|, а также при отрицательных а'к — инверторы. Схема рис. 5.9 представляет собой линейный фильтр, называемый транс- версальным. (см. гл. 10), с импульсной реакцией $(0- Легко видеть, что если входной импульс подать не в точку Дав точку В, то будет синтезирован сиг- нал, представляющий зеркальное отображение s(t). Поэтому та же схема со входом в точке В оказывается фильтром, согласованным с s(f). Существуют и другие способы реализации фильтра, точно или приближённо согласован- ного с сигналом заданной формы. Так, вариант фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом s(f) — а cos(©q/ + Фо)> заданным на интервале (0, 7), причём = 2теп, п - целое, показан на рис. 5.10. Он состоит из идеального колебательного контура без потерь1 \ настроенного на частоту ©о и фазовращателя, сдвигающего фазу колебаний контура на —фо- Линия задержки на Тв схеме и инвертор обеспечивают гашение колебаний фильтра вне интервала (0, 7), импульсная же Рис.5.10. Реализация фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом D В реальном фильтре всегда имеются потери, но если затухание контура достаточно мало (аГ «: 1), то импульсная характеристика контура а С~аТ cos© 0/ на интервале анализа практиче- ски не отличается от acosa>o^ Для уменьшения а применяют электромеханические фильтры (кварцевые и др.) или используют схемы с положительной обратной связью. 183
реакция фильтра на этом интервале с учётом фазовращателя g(/) = acos(a>0(/-7’)-<p0) = = асоs(<o 0(Т- /) + фо) = Ц?1 - 0 , что и обеспечивает согласованно (5.32). Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схе- мы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласования по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами име- ются свои практические трудности. В этом можно убедиться, сравнив, напри- мер, эпюры напряжений (без учёта помех в канале) на выходе фильтра (рис. 5.11, б), согласованного с прямоугольным радиоимпульсом (рис. 5.11, а), и на выходе интегратора активного фильтра (рис. 5.11, в). Отметим, что всюду, за исключением точки t= Т, напряжения на выходах обоих фильтров отлича- ются друг от друга. Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени At снятия от- счёта максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчёта максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия от- счёта была мала по сравнению с тактовым интервалом, а при согласованном фильтре — по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоим- пульса (так называемый когерентный отсчёт). Трудность обеспечения коге- рентного отсчёта в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре. Отметим одно важное обстоятельство, свойственное согласованному фильтру. Пусть на его вход поступает колебание z(t), а фильтр согласован с финитным сигналом s(f). Тогда сигнал на его выходе в момент времени t Рис.5.11. Сигналы на выходе согласованного фильтра и корреляционной схемы при подаче на вход прямоугольного радиоимпульса:(а) импульс на входе; (б) импульс на выходе согласованного фильтра; (в) напряжение на выходе интегратора активного фильтра 184
ys(t) = Iz(t)s(t - (t - Z0))a. (5.39) 0 Спектральная плотность по Фурье этого сигнала 5Л(/) = 5',(/)5,(/)е"^0. На выходе фильтра, согласованного с сопряжённым сигналом s(t), колебание z(Z) даёт отклик t ys(t) = f z(t)s(t - (z - /0))с?т. (5.40) о Спектральная плотность по Фурье этого сигнала Sy}(f) = j-sign(/)5.s(/)Sz(/)e“'0)'0. Таким образом, сигналы (5.39) и (5.40) сопря- жены по Гильберту с точностью до знака. Огибающая на выходе фильтра, со- гласованного с сигналом s(t) (или s(t)), =/>?(<)+>£(<). (5.41) Если сигнал s(t) получает фазовый сдвиг 0, то с учётом соотношений (2.116) имеем Л,еW = Л Wcos6 “У? W sin0, Л'.е(0 = У&)cos0 +х(0sin 0 • Огибающая от 0 не зависит: • (5.42) Если колебание z(i) ортогонально s(J) на интервале (0, 7), но не ортого- нально на этом интервале то _у5(7)=0, .£(7) *0 и Г(7)*0. Огибающая на выходе фильтра равна нулю, если z(t) и s(t) ортогональны в усиленном смысле (см. (2.128)). В технике связи для фильтрации сигнала на фоне шума часто вместо согласованных ис- пользуют фильтры, характеристики которых лишь частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называют квазиоптимальными. Так, в практике радиоприёма исполь- зуются так называемые квазиоптимальные линейные фильтры, форма частотных характери- стик которых заранее задана и максимум параметра р1ТИК обеспечивается лишь соответствую- щим подбором ширины полосы пропускания фильтра. Квазиоптимальный фильтр такого ти- па исследовался В.И. Сифоровым, который рассматривал прохождение одиночного радиоим- пульса с прямоугольной огибающей через идеальный полосовой фильтр с полосой пропуска- ния Д/на фоне квазибелого шума. В.И. Сифоров показал, что при Д/ = \,У1/Т отношение Рпик достигает максимума: Рпик= 1,64#. (5.43) Сравнив (5.36) и (5.43), можно видеть, что при приёме одиночного импульса энергетиче- ский выигрыш оптимального (согласованного) фильтра по сравнению с квазиоптимальным невелик (не превышает 1 дБ). Таким образом, при приёме одиночных радиоимпульсов вполне допустимо ограничиться квазиоптимальной фильтрацией. Положение, однако, существенно меняется, если надлежит принимать информационные импульсы, следующие друг за другом с таким интервалом, на котором переходные процессы в квазиоптимальном фильтре не успевают затухать. В этих ус- ловиях качество приёма с квазиоптимальной фильтрацией резко падает, в то время как при использовании оптимального согласованного фильтра качество остается прежним, так как сигнал на его выходе концентрируется на ограниченном временном интервале и к моменту отсчёта для одного импульса реакция на все предыдущие импульсы равна нулю (см., напри- мер, рис. 5.11, б). 185
5.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ОПТИМАЛЬНОГО КОГЕРЕНТНОГО ПРИЁМА Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным БГШ в канале, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала: ^(г) и so(i), полагая, что априорные вероятности этих сигналов одина- ковы. Приходящий сигнал z(t) является случайным, так как, во-первых, зара- нее не известна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху N(f). В этом случае согласно (5.26) алгоритм оптимального приёма fz(0[^(0~^0(ф>0,5^-Ео), Et =P,W, * = 0,1. (5.44) о о При выполнении неравенства (5.44) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу si(0, в противном случае — символ 0, со- ответствующий сигналу Л'о(0- Если действительно передаётся символ 1, то z(t) — + N(t). При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (5.44) не выполнено, т.е. вероятностью выполнения об- ратного неравенства J (ф1 W ~ -s0 (*)}* + f МфХО ~ < 0,5 (/) - s20 (/)]df, 0 0 0 которое легко привести к следующему виду: J У(*)[^(0 < -0,5f [.SiW-50(/)]2^. (5.45) о о Аналогичное соотношение получается, если предположить, что передаётся символ 0. Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки p(0l 1) =р(1|0) = р и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен. Запишем (5.45) в виде £<-0,5£э, (5.46) т т где £ = Е3 = J^(/)^/; 5d(/) = ^(O-^W • Если N(t) — нормальный ста- fl о ционарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности Nq, то — нормально распределённая величина (так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом). Её математическое ожидание $ = ^(фд(й=о, о а дисперсия т т_______________________ Nrr 00 Nr (5-46а) =“гИ 50> - = -у R W*#=о,5Уо£э. z о о z о Поэтому вероятность выполнения неравенства (5.46), т.е. вероятность ошибки, 186
.2^). 2n J a и введено обозначение (5.47) (5.48) -0.5Я, j -0,52?, р- w 1 где произведена замена переменной t = - ^/М) 0,5Д, I Е, ' д/Б(ё) vn. ' 1 7 -- Функция (Xх) =-г=| е 2dt табулирована и называется дополнительной V27C jx функцией ошибок* 1). Через (^-функцию можно (5.47) записать в виде 2 Е3 2N0 (5.49) При заданной интенсивности помехи Nq потенциальная помехоустойчи- вость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов Т * О (5.50) которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространст- ве Гильберта. Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов, не- зависимо от формы используемых сигналов. Последние, в частности, могут быть как простыми (отрезками синусоиды