автоматического управления ракетными двигателями
ТЕОРИЯ
Теория
автоматического управления
ракетными двигателями
ТЕОРИЯ
Под редакцией д-ра техн, наук, проф. Л.Л. Ш ЕВЯ КОВА
&л<3,4-
т i2>
автоматического
управления
ракетными
двигателями
Москва «Машиностроение »1978
ББК 39.62
ТЗЗ
УДК 629.13.02.62—52.001.2
Авторы: А. А. Шевяков, В. М. Калнин, Н. В. Науменкова, В. Г. Дятлов
Рецензент академик В. Н. Челомей
Теория автоматического управления ракетными двигателя-
ТЗЗ ми. А. А. Шевяков, В. М. Калнин, Н. В. Науменкова,
В. Г. Дятлов; Под ред. д-ра техн, наук, проф. А. А. Шевяко-
ва. — М.: Машиностроение, 1978 — 288 с., ил.
В пер.: 3 р. 50 к.
Книга обобщает теоретические работы в области управления и регулирования
жидкостных ракетных двигателей (ЖРД). Изложен метод математического модели-
рования полного цикла эксплуатационных режимов. Приведены элементы теории
н расчета основных типов регуляторов, применяемых на ЖРД, и результаты иссле-
дования их характеристик. Книга предназначена для научных работников, занимаю-
щихся управлением и регулированием двигателей летательных аппаратов. Она может
быть полезна также преподавателям и аспирантам, студентам вузов.
31808—203
Т -----------203—78
038(01)—78
ББК 39.62
6T6
© Издательство «Машиностроение», 1978 г.
Предисловие
В предлагаемой монографии рассматриваются вопросы
автоматического управления применительно к силовым установкам
с жидкостными ракетными двигателями (ЖРД).
Задача оптимизации управления такими двигательными уста-
новками (ДУ) характерна сложностью математического описания
происходящих в ней тепло-физико-химических процессов, по неко-
торым из которых пока нет четкого представления о действитель-
ном характере их протекания. В связи с этим решать задачу описа-
ния свойств объекта управления приходится лишь приближенно,
используя методы идентификации. Главным образом это относится
к процессам, происходящим в камере сгорания, газогенераторе,
при заполнении компонентами многочисленных емкостей и трубо-
проводов и др., особенно при работе с криогенными компонентами.
Обычно принято систему управления двигательной установки
с ЖРД разделять на две части: первую, предназначенную для
управления основными режимами (обычно в диапазоне 70—100°/о!
полной силы тяги), и вторую, которая предназначена для осущест-
вления процессов запуска, разгона до заданного режима, дроссели-
рования до очень малых режимов и останова.
По системам, относящимся к первой части, в настоящее время
опубликовано достаточно работ [14, 34, 35, 36, 47], в которых изло-
жены возможные методы теоретического решения задач управле-
ния. Характерным для большинства этих работ является линейное
представление всей системы, поэтому в настоящей монографии
этому вопросу уделяется относительно малое внимание.
По системам, относящимся ко второй части, имеется литерату-
ра, в которой освещаются лишь отдельные вопросы, связанные
5
главным образом с описанием процессов, происходящих в аппара-
туре управления '[5, 34, 47, 48]. На наш взгляд, это объясняется тем,
что до настоящего времени не удалось достаточно правдоподобно
описать процессы, происходящие в ДУ при ее запуске, разгоне
и глубоком дросселировании, что возможно лишь с помощью боль-
шого числа нелинейных полуэмпирических уравнений различного
вида, практически не решаемых аналитическими методами. Боль-
шая часть настоящей работы посвящена рассмотрению вопроса
математического описания такого рода процессов и решению соот-
ветствующих систем уравнений.
Введение
Освоение космоса оказалось возможным благодаря соз-
данию ракетных установок с большой силой тяги, рабочий процесс
в которых не зависит от окружающей среды.
Основной особенностью применяемых ракетных двигательных
установок является то, что они работают на химическом топливе;
которое одновременно является и источником энергии, и рабочим
телом.
Из всех возможных типов ракетных двигательных установок
рсобое место занимают установки с жидкостными ракетными дви-
гателями (ЖРД), получившими в силу своих многочисленных
положительных свойств наибольшее распространение.
В настоящее время двигательные установки с ЖРД достигли
высокого совершенства, что подтверждается высокими значениями
как их удельных параметров (удельная тяга RTO доходит
до 4500 м/с; удельная масса двигателей удв— до 0,0010 кг/Н), так
и абсолютной величиной силы тяги (до R= 10 МН в одной камере
сгорания; для многокамерных двигательных установок — в не-
сколько раз больше).
Удельная тяга является одним из важнейших параметров дви-
гательной установки и зависит она в первую очередь от рода
применяемого топлива и степени расширения продуктов сгорания
в реактивном сопле. Известное влияние на величину удельной тяги
оказывает также и схема двигательной установки. Степень влияния
величины КуД на основные эксплуатационные характеристики раке-
ты возможно себе представить из того, что, нацример, для некото-
рых типов ракет увеличение удельной тяги только на 1% позволя-
ет увеличить дальность полета приблизительно на 4%; поэтому
увеличение значения RyH является определяющим направлением
в развитии ракетных двигательных установок. Это в первую оче-
редь связано с изысканием и применением новых, более эффектив-
ных топлив, а также с улучшением организации рабочего процесса.
Возможных схем двигательных установок в ЖРД достаточно
много [8, 16, 35]. К наиболее распространенным схемам относятся
7
Рис. 1.1. Принципиальные схемы ЖРД с турбонасосной подачей топлива'.
а—открытая схема; б—закрытая схема; БГ и БО—баки горючего и окислителя; ГГ—газоге-
нератор; Т—турбина турбонасосного агрегата; ГВ—газовод; КС—камера сгорания; НГ и
НО—насосы горючего и окислителя; ВхГ и ВхО—входные трубопроводы горючего и окисли-
теля; МГ и МО—напорные магистрали горючего и окислителя; РКО и РКГ—разделительные
клапаны окислителя и горючего; ПС—пиро- и пневмостартер; ГКО и ГКГ—главные клапа-
ны окислителя и горючего; КПС—клапан включения стартера; Ст—стабилизатор; Р—регу-
лятор
двухкомпонентные ЖРД со стабильными и криогенными компонен-
тами с открытым и закрытым циклами с турбонасосной системой
.подачи компонентов (рис. 1.1). Эти же схемы двигательных уста-
новок одновременно являются и наиболее сложными (особенно
с закрытым циклом и двумя турбонасосными агрегатами для пода-
чи компонентов), и свойства их как объектов управления во мно-
гом включают в себя свойства других, менее сложных схем уста-
новок.
Исходя из этого в настоящей монографии рассматриваются
вопросы автоматического управления применительно к наиболее
сложным схемам двигательных установок.
Характер и общие свойства систем управления для рассматри-
ваемых двигательных установок определяются многими положени-
ями, но основными здесь являются два. Первое заключается в том,
что в составе ракеты двигательная установка является как
бы исполнительным органом, предназначенным изменять силу тяги
в заданных пределах соответственно условиям полета (например,
для изменения или поддержания скорости и ускорения полета
и направления вектора тяги).
Второе положение характеризуется требованиями со стороны
собственно двигателя, такими как, например, обеспечение устойчи-
вости работы и безопасности, достижение и поддержание задан-
ных значений отдельных параметров или комплексов параметров
рабочего процесса, обеспечение принятой программы управления
в процессе запуска, останова и др.
В настоящей работе рассматриваются преимущественно задачи,
вытекающие из второго положения, связанного с процессами
управления ДУ.
Основные требования к системам автоматического управления
ракетными ДУ приблизительно следующие: минимально возмож-
ное время запуска и выхода на заданный режим (в том числе при
многократном повторении); безопасность работы в пределах мак-
симально допустимых значений параметров при минимальна
возможном суммарном расходе топлива; максимально возможные,
значения удельной тяги как на заданном режиме, так и при измене-
нии его в необходимом диапазоне при выполнении условий пропор-
циональной выработки компонентов; выдерживание заданного
суммарного импульса в процессе глубокого дросселирования
и останова двигателя, т. е. при многократном останове.
Как показывает опыт разработки и создания систем автомати-
ческого управления, все элементы конструкции системы должны
быть полностью предварительно отработаны и испытаны в объеме,
необходимом для подтверждения возможности получения задан-
ных показателей.
Поэтому весьма целесообразно еще на ранней стадии создания
двигательной установки проведение подробных теоретических
исследований основных свойств систем управления и выявление
их действительных характеристик с учетом возможных отклонений
в характеристиках отдельных элементов системы и действующих
возмущений. Важным является также и определение работоспо-
собности конструкции систем автоматики, например, эксперимен-
тальными методами с помощью моделирующих и натурных испы-
таний.
9
1. Рациональные методы определения
свойств управляемых объектов
При теоретическом исследовании систем автоматическо-
го управления (САУ) очень важно уметь правильно математиче-
ски описать поведение управляемого объекта в области регулятор-
ных частот.
С этой точки зрения двигательные установки с ЖРД являются весьма слож-
ными объектами из-за (разнохарактерности происходящих в иих многочисленных
процессов, главным образом тепло-физико-химических и гидро- газодинамических,
многими из которых пренебречь нельзя из-за требуемой высокой точности дина-
мических характеристик объекта (широкая полоса пропускания частот объектом).
Так, для двигателя открытого цикла с турбонасосной системой подачи компонен-
тов диапазон существенных (регуляторных) частот следует считать 5—10 Гц,
для закрытого цикла—15—20 Гц, а для некоторых локальных контуров — до
100 Гц. Для описания наиболее сложных процессов необходимо решать системы,
состоящие из многих десятков линейных, нелинейных, алгебраических и диффе-
ренциальных уравнений.
К числу наиболее сложно описываемых процессов, и часто
с не до конца выясненными физическими явлениями, относятся,
например, процессы, связанные с запуском двигателя, особенно
в случае применения криогенных компонентов. Характерным для
этих процессов является высокая скорость заполнения емкостей
и трубопроводов каждым компонентом с изменением их агрегатно-
го состояния из-за теплообмена со стенкой, возникновения кавита-
ционных режимов и др.
Методы исследования динамических характеристик двигателя
и всей системы автоматического управления должны давать воз-
можность рассчитывать неустановившиеся процессы как при нор-
мальном функционировании системы (при известных внешних
воздействиях), так и при особых (аварийных) ситуациях, связан-
ных с отклонениями от нормального функционирования как объек-
та, так и собственно системы управления. Это важно потому, что
на начальном этапе работы изделия часто вскрывается ряд непред-
виденных ситуаций, причины которых важно правильно и своевре-
менно определить. Поэтому возникает необходимость в разработке
и создании достаточно общей и полной математической модели,
с помощью которой возможно было бы решать задачи динамики,
связанные как с управлением, так и с аварийными ситуациями.
Особенно важно заранее получить набор «портретов» возможного
поведения всей системы при аварийных ситуациях, что существен-
но ускоряет определение причин возникновения подобных ситуаций.
В принципе это должна быть цифровая математическая модель,
позволяющая воспроизводить свойства всей системы с необходи-
мой точностью, как это показано ниже, в гл. I.
В области нестационарных процессов задачу автоматического
управления целесообразно рассматривать в статистическом плане,
особенно для решения вопросов точности. Эту часть математиче-
ской модели также целесообразно включать как самостоятельный
блок большой модели.
10
Для решения менее сложных задач динамики и статики собст-
венно систем управления и отдельных контуров регулирования
удобно создавать упрощенные математические модели, например
линейные, на аналоговом или аналого-цифровом принципе. Следует
рассчитывать на ЦВМ по упрощенной математической модели
такие быстропротекающие сложные процессы, как процессы в газо-
генераторе и камере сгорания, процессы заполнения компонента-
ми пустых объемов при запуске и процессы, учитывающие кавита-
цию в элементах сети подачи компонентов, а также процессы,
связанные с гидравлическими ударами, и др. Замкнутые же кон-
туры системы управления как менее быстродействующие целесооб-
разно моделировать на аналоговых моделях, учитывающих много-
численные и разнохарактерные возмущающие и управляющие воз-
действия на систему.
Эти воздействия могут быть внешними и внутренними. Первые
обусловлены влиянием летательного аппарата на силовую установ-
ку и проявляются в виде, например, возникновения колебаний рас-
ходов компонентов в системе подачи; возникновения механических
колебаний, передающихся через упругую подвеску двигателей;
воздействий от механизма управления скоростью полета, от систе-
мы пропорциональной выработки компонентов топлива из баков
и т. д. Вторые определяются многими изменяющимися параметра-
ми рабочего процесса ДУ, для поддержания которых в заданных
пределах, собственно, и предназначена система управления.
Кроме того в математическую модель должны вводиться и воз-
действия, характеризующие нарушения нормального функциониро-
вания как системы управления, так и двигательной установки
и даже летательного аппарата, например возмущения, эквивалент-
ные воздействиям, вызванным прогаром газогенератора, раскрыти-
ем камеры сгорания, прогаром газопроводов, кавитацией насосов,
нарушением в цепях системы управления и др.
Использование подобной математической модели позволяет
существенно облегчить расчет, создание и отработку системы авто-
матического управления двигательными установками.
2. Возможные схемные решения САУ
Выполнить требования к системе автоматического управ-
ления режимами работы ЖРД возможно, используя различные
схемы и аппаратуру.
Учитывая специфику ДУ с ЖРД, необходимость больших пот-
ребных усилий на исполнительных органах управления, высокой
степени надежности работы и другие, в настоящее время преиму-
щественно применяют обычные электро- пневмо- гидромеханиче-
ские системы аналогового типа. Однако в связи с развитием циф-
ровой техники стало возможным применение систем управления
ЖРД, основанных на аналого-цифровых принципах.
На космических аппаратах необходимо выполнение многих
программ управления двигательной установкой, связанных не толь-
11
ко с изменением режима полета, но и с возможными аварийными
ситуациями, возникающими при отказах материальной части.
!В этих случаях возникает необходимость быстрой переработки
весьма большого объема разнохарактерной информации, что мож-
но успешно осуществить, лишь используя бортовые цифровые
управляющие машины (БЦУМ). Здесь целесообразно применять
иерархический принцип построения системы управления, причем
на верхнем уровне должен располагаться комплекс БЦУМ для
управления летательным аппаратом, ниже — комплекс БЦУМ для
управления ДУ и на самом нижнем уровне — гидро- пневмомеха-
нические агрегаты управления двигателем. При этом БЦУМ второ-
го уровня принимает, перерабатывает и выдает информацию для
управления нижним уровнем системы, осуществляя одновременно
контроль за исполнением команд и за работоспособностью всей
системы.
Таким образом, цифровая система управления второго уровня
осуществляет полный цикл управления двигательной установкой
(запуск, разгон, поддержание заданного режима работы, дроссе-
лированйе^ останов) и все функции, связанные с проверкой рабо-
тоспособности материальной части и вытекающими из них дейст-
виями по управлению ДУ, вплоть до переключения на дублирую-
щую аварийную систему или полного отключения двигателей.
Поскольку в настоящее время уже имеется достаточно много
литературы по цифровым системам управления, в данной книге
эти вопросы не рассматриваются.
Математическое моделирование
полного цикла работы ЖРД
1.1.	Постановка задачи
1.1.1.	Общие положения. Создание автоматических сис-
тем современных ЖРД, надежно и стабильно управляющих всем
циклом их работы, является сложной технической задачей. Рассчи-
тывать и оптимизировать создаваемые системы простыми, ручны-
ми, методами из-за сложности взаимосвязей в схемах двигателей
не представляется возможным. На практике для решения этих
задач наряду с экспериментальным подходом получили примене-
ние методы математического моделирования и расчета систем
на аналоговых (АВМ) и цифровых (ЦВМ) вычислительных маши-
нах. В данной главе описывается метод построения полной матема-
тической модели ЖРД, позволяющий воспроизводить на ЦВМ весь
цикл переходных и установившихся режимов работы двигателей,
включая запуск, работу на маршевых режимах, регулирование тяги
и выключение. Метод ориентирован на ЦВМ, но при определенном
загрублении его можно реализовать также и на АВМ.
Целесообразность разработки и применения моделей полного
цикла работы ЖРД обусловлена органической взаимосвязанностью
отдельных этапов работы двигателей и необходимостью макси-
мального приближения условий решения многих важных практиче-
ских задач к реальным. В методическом отношении полные модели
являются естественным обобщением поэтапных моделей. Они поз-
воляют с минимальными условностями производить на ЦВМ отра-
ботку систем управления и решать другие задачи методами мате-
матического экспериментирования. Такого типа модели являются
весьма перспективными также и во многих других отношениях.
Однако неизбежными недостатками полных моделей являются
их повышенная сложность и большие затраты машинного времени
на моделирование. Излагаемый методический подход построен
таким образом, чтобы в максимально возможной степени компен-
сировать эти недостатки.
1.1.2.	Моделируемые объекты. Описываемый метод предназна-
чен для моделирования ЖРД различных типов и различного наз-
13
качения. Благодаря агрегативному принципу построения модели
(см. разд. 1.2) основные уравнения, составляющие модель (урав-
нения агрегатов), остаются одними и теми же для двигателей раз-
личных схем. Варьируется только поагрегатный состав модели,
характер связей между агрегатами и уровень параметров.
На рис. 1.1 приведены принципиальные схемы двух типов
ЖРД, на примере которых рассматривается построение математи-
ческих моделей двигателей. В качестве первого примера взят одно-
камерный ЖРД с одним ТНА открытой схемы, т. е. с выбросом
парогаза после турбины в атмосферу (рис. 1.1, а), в качестве вто-
рого — двигатель с таким же составом агрегатов, но закрытой схе-
мы, т. е. с дожиганием парогаза после турбины в камере сгорания
(рис. 1.1, б). По аналогии с этими примерами составляются мате-
матические модели для ЖРД всех других схем: многокамерных,
с двумя ТНА, с вытеснительной подачей топлива, типа «газ—газ»
и других [14, 16].
Вследствие тесной функциональной связи в модель двигателя
обычно включаются элементы ракетной топливной системы — топ-
ливоподводящие трубопроводы и баки с их вспомогательными
устройствами в виде различного рода демпферов, сильфонов
и т. п.
В состав двигателей помимо их основных агрегатов, показан-
ных на рис. 1.1, входит еще целый ряд вспомогательных устройств
и систем, функционирование которых влияет на переходные и уста-
новившиеся режимы двигателей. Сюда относятся: подкачивающие
насосы или эжекторы, системы отбора газа и компонентов на раз-
личные нужды (на рулевые машины, бортовые источники энерго-
питания, рулевые двигатели, газогенераторы наддува баков, раз-
грузочные устройства ТНА, привод бустерных насосов и т. п.), сис-
темы продувки, зажигания, измерения и др. Элементы этих систем
включаются в состав математической модели двигателя или заме-
няются соответствующими граничными условиями в зависимости
от характера решаемых задач и степени детализации моделиро-
вания.
1.1.3.	Примерный цикл работы ЖРД. Он представлен на рис.
1.2 в виде диаграммы изменения по времени режимов работы
двигателя, характеризуемых уровнем давления в камере сгорания
Ркс (уровнем тяги). Цикл включает в себя все переходные и уста-
новившиеся режимы, свойственные ЖРД: запуск, маршевые режи-
мы, переходы с одного режима на другой при регулировании тяги
и процесс выключения. У конкретных двигателей некоторые
из указанных режимов могут отсутствовать, однако модель долж-
на позволять моделировать весь цикл полностью.
Эту диаграмму можно рассматривать как полный цикл управ-
ления двигателем, который требуется реализовать с помощью сис-
темы автоматики. На процесс управления двигателем в пределах
этого цикла накладывается ряд ограничений (допуски). Поля допу-
сков на давление в КС относятся к статической (брпуск, брпром, б/л,
бри И Т. Д.) И ДИНаМИЧеСКОИ (рпром max, Ргл. max, А/?пром> Аргл, А^гл,
14
Маршевые режимы
Главный режим
Выключение
Останов
Запуск
Программное управление тягой
5
S
Шрежим
П режим
Регулирование тяги
Конечная
ступень
тяги
Pnmln
Pin max
Переход
на главный
режим
\А$
£0
Pin mln
At'r„
гв
- fynycK
Рвыкл
Скоп
tnyCK
о
Ж'|«|
Рис. 1.2. Примерный цикл работы ЖРД с полем допуска на давление в камере сгорания:
 — -------возможные варианты процесса выключения двигателей
Рпронтох
Ргл max
АРфорС
Ритах
ЛЪкон


Д/„он и т. д.) точности регулирования тяги и определяются главным
образом требованиями со стороны ракеты (точностью наведения,
прочностью конструкции).
Кроме этого имеется еще целый ряд ограничений, накладыва-
емых на внутренние параметры двигателей на всех режимах для
обеспечения экономичной и надежной работы самих двигателей.
Сюда относятся предельные значения коэффициента соотношения
расходов компонентов, величины забросов температуры генератор-
ного газа и давлений компонентов, ограничения амплитуд колеба-
ний параметров на переходных режимах и т. д.
Маршевые режимы занимают основную часть времени работы
двигателей в полете. На главном режиме тяга близка к номиналь-
ной, на промежуточных режимах II и III тяга пониженная.
Представление о диапазоне величин, характеризующих цикл управления
ЖРД, и о допусках на них дают следующие цифры. У двигателей первых ступе-
ней ракет тяга может .изменяться (регулироваться) в пределах примерно от ±5
до ±15% от номинального значения; у двигателей ииэколетящих ракет и пило-
тируемых космических аппаратов потребные диапазоны регулирования тяги сос-
тавляют 1:3; 1:5; 1 : 10 и даже 1 :20. Коэффициент соотношения расходов ком-
понентов через двигатель либо поддерживается на всех режимах постоянным,
либо регулируется (для обеспечения одновременности выработки топливных ба-
ков) в пределах до ±15%. Потребная точность задания и поддержания тяги на
установившихся режимах составляет обычно ±(2—4%), но в некоторых случаях
может повышаться до ±(0,2—1%) на главном режиме или понижаться до
±(5—8%) на дроссельных режимах работы. Полное время запуска (fi) двигате-
лей с турбонасосной подачей топлива до выхода на главный режим составляет
обычно 0,8—2,5 с при допустимой величине разброса моментов достижения
заданного уровня тяги не более 6Z= ±0,1 ... ±0,3 с. Двигатели с вытеснитель-
ной подачей топлива запускаются за время 0,05—0,5 с. Такой же порядок вели-
чин имеют обычно времена автоматических переходов с режима на режим и вре-
мена спада тяги при выключении двигателей (Д<Сп). При этом максимально
допустимые скорости изменения тяги или давления (например, ргл max) ограни-
чиваются величинами порядка ±.(500—2000%) в одну секунду, а максимально
допустимые забросы параметров (например, ДрГл max)—величинами 20—40%.
Допустимые запаздывания в исполнении команд управления тягой составляют во
времени 0,05—0,15 с или по фазовым сдвигам — не более 30—120° в диапазоне
частот 1—10 Гц. Затухание колебаний параметров обычно считается приемлемым
при значениях декремента не менее 0,5—1. В ряде случаев в соответствии с про-
граммами управления переходы двигателей с режима на режим умышленно
замедляются до 10—50 с; тогда соответственно уменьшаются и допускаемые
забросы и колебания параметров.
1.1.4.	Опасные динамические явления. Одной из задач матема-
тического моделирования ЖРД является сокращение затрат
средств на стендовую и летную доводку двигателей и их систем.
Чтобы математическая модель полного цикла работы ЖРД могла
служить эффективным инструментом для решения этой задачи, она
должна правильно отражать условия возникновения и развития
всех опасных динамических явлений, лимитирующих процесс
управления двигателем.
Сводка таких явлений дана в табл. 1.1.
1.1.5.	Задачи моделирования. Все задачи, решаемые на полных
моделях, можно разделить на две группы: основные, для которых
полные модели являются наиболее адэкватным или даже единст-
венно возможным инструментом решения, и дополнительные, кото-
16
Таблица 1.1
Опасные динамические явления, лимитирующие процесс управления ЖРД
Наименование явлении	Возможные последствия	Характер и область влияния
Гидроудары и провалы давлений на входе в двигатель	Разрушение трубопро- водов и насосов; срывы работы насосов	Лимитируют темп запол- нения гидромагистралей и разгона ТНА, выбор цикло- граммы останова
Кавитационные срывы насосов	Срывы рабочего про- цесса двигателя; возго- рания элементов газово- го тракта	Лимитируют время разго- на и перехода с режима на режим
. Забросы температуры генераторного газа	Возгорания элементов газового тракта; вскры- тие газового тракта	Предопределяют цикло- грамму запуска и останова; опраничивают темп разгона
Забросы частоты вра- щения ТНА	Разнос ТНА; разруше- ние двигателя	Ограничивают выбор цик- лограммы запуска и спосо- бов регулирования двигате- лей
Энергетические неза- пуски, срывы горения	Ненадежность запус- ка и неустойчивость дру- гих переходных -режимов	То же
Попадание рабочей точки в зоны высокочас- тотной неустойчивости	Разрушения, течи, воз- горания	Требуются специальные меры для обхода опасных зон
Забросы	давлений; «хлопки» при воспламе- нении	Разрушение камеры сгорания и газогенерато- ра; повреждения фор- сунок; вскрытие гидрав- лического тракта	Ограничивают выбор цик- лограмм запуска и способов регулирования двигателей
Общедвигательная не- устойчивость	Нарушение управля- емости двигателя; сры- вы режимов; разрушения	Требует коррекция схем и параметров системы регули- рования
Резонансное усиление колебаний параметров	Несовместимость с ра^ кетными системами	Требует коррекции дина- мических характеристик аг- регатов
рые могут решаться на полных моделях, но быстрее и оперативнее
решаются на специализированных.
Основными задачами для полных моделей являются моделиро-
вание и оптимизация процессов запуска и выключения, техническая
диагностика аварийных ситуаций, согласование динамических
характеристик двигателей и смежных ракетных систем.
При исследовании запуска на моделях должны воспроизводить-
ся все стадии процесса, начиная от включения зажигания и пред-
пусковой продувки и кончая выходом на номинальный режим.
Не моделируются только подготовительные технологические опе-
рации (наддув баков, заливка компонентами и термостатнрование
входных гидромагистралей и т. п.), поскольку динамика этих опе-
раций непосредственно не сказывается на „исследуемых процессах
17
в двигателе. Примерно аналогичные требования предъявляются
и к моделированию процесса выключения двигателя, только здесь
из моделирования исключаются не подготовительные, а самые
последние стадии процесса, если они сопровождаются неупорядо-
ченным вытеканием и догоранием остатков компонентов. Если при
выключении двигателя предусмотрен принудительный выдув остат-
ков компонентов из тракта охлаждения и предфорсуночных поло-
стей, то процесс останова должен моделироваться до самого конца.
При моделировании запуска и останова оптимизации подлежат
программы (циклограммы) управления, а также схемы и парамет-
ры управляющих устройств.
Задачи по технической диагностике аварийных ситуаций реша-
ют *на моделях путем искусственного воспроизведения различных
дефектов и последующего их распознавания и корректирования
в соответствии с поведением параметров моделируемого двигателя.
Для получения более полной информации об аварийных процессах
моделирование должно вестись до достаточно глубоких стадий раз-
вития исследуемых аномалий.
Согласование характеристик двигателей и смежных ракетных
систем подразумевает расчет и коррекцию характеристик, опреде-
ляющих гидродинамическую, газодинамическую и механическую
(вибрационно-ударную) совместимость двигателей с соответствую-
щими ракетными системами.
К дополнительным задачам, решаемым на полных моделях,
относятся расчеты статических характеристик двигателей и систем
регулирования, моделирование переходных режимов, расчеты час-
тотных характеристик, исследование устойчивости объектов и сис-
тем регулирования.
Все перечисленные выше задачи решаются на моделях метода-
ми прямого математического экспериментирования. Чтобы такие
методы позволяли предсказывать новые явления, не встречавши-
еся еще в практике испытаний или эксплуатации двигателей, моде-
лирование должно воспроизводить реальные характеристики агре-
гатов и все естественные взаимосвязи между параметрами двига-
телей.
В задачи моделирования не входят точные расчеты изменения
экономичности двигателей по режимам, а также моделирование
очень быстрых и очень медленных процессов, таких как, например,
высокочастотная неустойчивость горения, изменения параметров
по мере выработки двигателями ресурса, догорание остатков ком-
понентов и др.
1.1.6.	Исходная информация. Полнота располагаемой исходной
информации определяется стадией, на которой находится разработ-
ка двигателя. На этапе эскизного проектирования имеются сведе-
ния только о схеме и параметрах двигателя, а характеристики его
узлов принимаются ориентировочно — по данным прототипа или
других подобных двигателей. На стадии стендовой и летной довод-
ки в модель может вводиться более конкретная информация, уточ-
ненная в ходе расчетных и экспериментальных исследований. Уточ-
18
нения исходных данных могут вноситься также и в ходе идентифи-
кации самой модели (см. разд. 1.2 и 1.5).
Минимальный объем исходной информации, необходимый для
построения модели, включает в себя следующее: принципиальную
схему двигателя, основные конструктивные данные и статические
характеристики агрегатов, физико-химические свойства топлива,
суммарные характеристики некоторых сложных динамических про-
цессов, условия эксплуатации двигателя.
Значения параметров номинального и других установившихся
режимов работы двигателей в приведенном выше перечне не указа-
ны, так как они могут в принципе определяться на самой модели,
однако для контроля правильности моделирования этими данными
желательно располагать заранее.
Из конструктивных параметров агрегатов для моделирования •
требуются: моменты инерции ТНА, объемы внутренних полостей
и полостей охлаждения огневых агрегатов, размеры трубопроводов
и газоводов, объемы предфорсуночных полостей и некоторые гео-
метрические данные проточной части лопаточных машин. В моде-
лях могут использоваться также сведения о форме, податливости,
массе и других конструктивных данных элементов гидравлического.'
и газового трактов.
Указанные характеристики должны задаваться в широком диа-
пазоне изменения параметров, охватывающем все режимы работы
двигателей, включая переходные и дроссельные, с указанием всех
имеющихся ограничений, неоднозначностей («расслоений») и дру-
гих особенностей. Характеристики вспомогательных агрегатов,
функционирующих в значительной мере автономно (стартеры,
электро-пневмоклапаны, пирозатворы, пирозапальники и т. п.),
вводятся в модель обычно в виде соответствующих заранее полу-
ченных эпюр изменения по времени их выходных параметров.
Необходимые сведения о физико-химических свойствах топлива
включают в себя термодинамические характеристики продуктов
сгорания R—f (k, р), T=f(k, р), данные о температуре воспламе-
нения, скрытой теплоте испарения, давлении упругости пара, сжи-
маемости, плотности, вязкости и теплоемкости компонентов в жид-
ком и газообразном состояниях.
К суммарным динамическим характеристикам сложных процес-
сов относятся: кривые выгорания топлива (времена задержек вос-
пламенения и горения), кривые турбулентного переноса массы
и температуры газа в проточных элементах газового тракта
и характеристики распределения проходного сечения между фаза-
ми при двухфазных течениях (подробнее о представлении и исполь-
зовании этой информации см. разд. 1.3; 1.4 и 1.5). Необходимые
для этого сведения должны прилагаться к исходной информации
о моделируемом объекте.
1.1.7.	Требования к точности моделирования. Потребная точ-
ность моделирования определяется характером решаемых задач
и свойствами моделируемых объектов. При корректной постановке
задачи о точности моделирования нестационарных процессов требу-
19
емые показатели точности должны быть обязательно увязаны
с частотным диапазоном модели или каким-либо другим количест-
венным показателем степени динамичности моделируемых явлений.
В задачах, связанных с управлением ЖРД, погрешности моде-
лирования не должны превышать рассматривавшихся в подразд.
1.1.3 допусков на процесс управления двигателями. Точность вос-
произведения статических режимов должна находиться в пределах
0,5—5%, причем в большинстве случаев она должна укладываться
в более узкие пределы— 1—2%. Только для воспроизведения неко-
торых специальных режимов, для которых характеристики агрега-
тов двигателей точно не определены, могут допускаться большие
статические погрешности моделирования. Точность определения
на моделях основных показателей качества переходных процессов
должна быть не ниже 5—15% в диапазоне существенных частот
моделируемых процессов, которые для рассматриваемых здесь
задач лежат в пределах от 0 до 20 Гц. Этот диапазон частот харак-
теризует степень динамичности подавляющего большинства неста-
ционарных явлений, протекающих в ЖРД в связи с функциониро-
ванием САУ. Приблизительно такая же точность моделирования
требуется и для остальных задач, решаемых на моделях данного
типа. В некоторых случаях для отдельных контуров моделируемой
динамической системы может возникнуть необходимость отодви-
нуть верхнюю границу диапазона моделируемых частот
до 50—100 Гц и выше. Метод моделирования должен допускать
такую возможность без принципиальных переделок модели.
Повышенные точности определения временных показателей
(до 1—2%) требуются при моделировании запуска для правильно-
го воспроизведения моментов начала поступления компонентов
в огневые агрегаты, особенно у двигателей с острой настройкой
исследуемых характеристик, т. е. имеющих, например, пониженный
запас устойчивости, узкую зону надежного запуска и другие небла-
гоприятные для стабильности переходных режимов свойства.
1.2.	Принципы построения модели
1.2.1.	Принцип агрегативности. Поскольку динамическая
система ЖРД является достаточно сложной, ее математическую
модель целесообразно строить по агрегативному принципу [11].
В соответствии с этим принципом сложные модели больших систем
составляются из моделей отдельных более простых их частей
(из моделей агрегатов), которые строятся и отрабатываются авто-
номно и затем соединяются в единую общую модель сложной сис-
темы. Агрегативный принцип обеспечивает возможность комплек-
тования моделей конкретных двигателей из стандартных модулей
(программ моделирования) отдельных агрегатов. По сравнению
с поэтапным методом моделирования сложных процессов агрега-
тивный подход дает ряд преимуществ в отношении обозримости,
удобства отладки и контролеспособности моделей.
20
Рис. 1.3. Структурная схема ЖРД'.
а, Ь—связи, отсутствующие у ЖРД открытой схемы; с, d—связи, отсутствующие у ЖРД
закрытой схемы
Для построения поагрегатной модели ЖРД составляется струк-
турная схема разбиения двигателя на агрегаты (рис. 1.3), на кото-
рой указываются только связи между агрегатами. Многочисленные
внутренние переменные величины, имеющиеся в самих агрегатах,
необходимые для их моделирования, но непосредственно не влия-
ющие на работу других агрегатов, на общей схеме не даются.
Для представления внутренней структуры агрегатов служат специ-
альные схемы (графы) прохождения сигналов внутри агрегатов
(см. разд. 1.6).
Для каждого агрегата, выделенного на общей структурной схе-
ме, составляется своя автономная подсистема уравнений, описы-
вающая его функционирование в течение всего цикла работы дви-
гателя, начиная от заполнения объемов и вступления в работу при
запуске и кончая работой на заданном режиме или выключением
и опорожнением объемов при останове. Подсистемы уравнений
агрегатов в общем случае имеют следующий вид:
X,; Ха;
at
^f[X. Xf, xk', Xq, X^t-xj, x^t-x^,
at
X^t-x^X^t-x^U^	(1.1)
Xk=f{Xl}Xf,Xk',Xq',UM
i=\, 2, 3... n; j=l, 2, 3... m; k— 1, 2, 3... v; #=1, 2, 3... p.
21
Здесь X — выходные переменные данного агрегата; U — внешние
воздействия на него (заданные функции времени).
Общее число уравнений (n+m+v) в подсистемах уравнений
агрегатов соответствует числу определяемых переменных и в зави-
симости от типа агрегата и степени подробности его моделирова-
ния может доходить до 100 и более.
После отладки подпрограмм моделирования отдельных агрега-
тов они объединяются в соответствии со структурной схемой
в общую модель всего двигателя в целом. При этом связь между
подсистемами уравнений агрегатов осуществляется через перемен-
ные с индексами q. При автономном моделировании агрегатов
по этим переменным задаются начальные условия и определенные
законы изменения их по времени. При моделировании всей систе-
мы в целом входными координатами одних агрегатов служат
выходные координаты других. Таким способом в модели воспроиз-
водятся все имеющиеся связи между агрегатами (прямые, обрат-
ные, перекрестные и др.).
При агрегативном принципе построения модели, если в конст-
рукцию какого-либо агрегата вносится изменение, то соответству-
ющее изменение требуется внести в подсистему уравнений данного
агрегата, ничего не изменяя в других подсистемах. Так же обстоит
дело и с операциями контроля и исправления ошибок, вкравшихся
в модель.
На моделях, построенных по агрегативному принципу, можно
при необходимости проводить также и поэтапные исследования
сложных процессов. Не исключает этот принцип и возможности
организации вычислительных циклов, применяемых обычно для
рационализации численного решения на ЦВМ однотипных уравне-
ний.
Все это создает определенные удобства при практическом при-
менении агрегативных моделей и позволяет с их помощью модели-
ровать на ЦВМ функционирование весьма сложных систем.
1.2.2.	Ограничение частотного диапазона модели. Разумная рег-
ламентация диапазона динамичности математических моделей,
предназначенных для исследования нестационарных процессов, яв-
ляется одним из важных принципов их рационального построения.
Сущность этого принципа заключается в том, что модели целесооб-
разно строить с расчетом на воспроизведение динамических явле-
ний с необходимой точностью только в некотором ограниченном
диапазоне частот, существенном для смысла решаемых задач.
Требовать одновременно высокой точности моделирования очень
медленных и очень быстрых процессов нецелесообразно, так как
всякое расширение частотного диапазона моделей сверх требуемо-
го приводит, как правило, к неоправданному увеличению затрат
машинного времени. Под частотным диапазоном моделей здесь
понимается полоса частот, в пределах которой лежат частотные
спектры воспроизводимых моделями процессов. Частотный диапа-
зон моделей должен соответствовать диапазону существенных час-
тот моделируемых динамических явлений, т. е. он должен ОХВатЫ-
29
вать только полосу частот, существенную для смысла решаемых
задач.
В задачах управления и регулирования ЖРД диапазон сущест-
венных частот в большинстве случаев ограничивается пределами
О—20 Гц. Очень кратковременные всплески и колебания парамет-
ров, длящиеся менее 0,01 с, не являются обычно в этих задачах
определяющими для получения правильных ответов на исследуе-
мые вопросы. Только для некоторых специальных задач по дина-
мике переходных режимов двигателей верхняя граница диапазона
моделируемых частот отодвигается до более высоких пределов.
С количественной стороны частотный диапазон или диапазон
динамичности моделей характеризуется выполнением следующего
условия:
max |8Ш X (/)| &О)ДОП-	(1.2)
Здесь 8МДОп максимально допустимая погрешность моделирова-
ния в диапазоне существенных частот 0^«^ojrnax; 8™^ (0—
фактическая погрешность моделирования в том же диапазоне час-
тот, вычисляемая по формуле
4- со
। Д max
8шА’(/)=—-Л	[•%(<»)—Sx(<o)]efo,<cfa>,
ZJt J
—-со
max
(1-3)
где Sx (<d) = J X (/) e.~lwtdt и («>)J X {t)e~la,tdt— частотные
спектры истинного X(t) и модельного X(t) процессов. В отличие
от обычно рассматриваемой полной погрешности моделирования
bX(t)=X(t)—X(t), содержащей в себе все составляющие ошибки
моделирования в диапазоне частот О^со^оо, разностный процесс
(1.3) включает в себя только существенные составляющие погреш-
ности, лежащие в диапазоне частот 0^<o^comax.
Использование частотных представлений для характеристики
степени динамичности моделей не означает, что здесь отдается
какое-либо предпочтение колебательным процессам по сравнению
с апериодическими. Частотный подход, основанный на интеграль-
ных преобразованиях Фурье, позволяет наиболее полно и универ-
сально характеризовать степень нестационарности различных дина-
мических явлений.
Ограничение частотного диапазона моделей дает возможность
упростить их математический аппарат и уменьшить трудоемкость
(машинное время) моделирования благодаря применению целого
ряда эффективных приемов и методов составления и решения урав-
нений, таких как конечноэлементная схематизация сложных сис-
тем, разложение функций запаздывающего аргумента в ряды,
развязка расчетных петель путем перехода от конечных уравнений
к дифференциальным, рациональное ограничение частотных спект-
ров численных решений и др.
23
Чтобы входные сигналы U (t) соответствовали диапазону дина-
мичности модели 0сотах, в их частотных спектрах не должно
быть существенных составляющих при <о><Ощах- С помощью прямо-
го и обратного преобразований Фурье это условие представляется
следующим соотношением:
шах
т шах	+00
—	U (/) eriu,tdt
2л J	J
—со	— сю
max
(1.4)
В^доп*
Если потребовать, чтобы в сигналах U(/) совсем отсутствовали
высокочастотные составляющие с ы^сотах, т. е. если положить
в условии (1.4) 6(оДоп=0, то стандартные входные сигналы (рис.
1.4,1) должны быть преобразованы следующим образом:
а)	единичная ступенчатая функция
0 при /<0	1	(1.5)
I 1 при />-0	2	л
б)	единичная импульсная функция (Д-функция)
£/(/)=/ 00 при /=0 —Л(/)= Slil(td™a*° .	(1.6)
( 0 при t ф 0	л*
Частотный спектр преобразованных сигналов £7(/) ограничен
идеальным образом, т. е. без каких-либо искажений в полосе час-
тот 0 СО СОщах-
Графики преобразованных стандартных сигналов U(t) с идеаль-
но ограниченным спектром представлены на рис. 1.4, II, где кри-
вые 1 относятся к преобразованиям единичных функций [£/(£) = !
4- оо
при £>0 и J £7(/)|Л=1], а кривые 2—к преобразованиям функ-
ций, имеющих половинную величину по модулю [U(t) =0,5 при
4-оо
/>0 и J U,(t)dt=0,5]. Видно, что характерное время т преобразо-
ванных сигналов с идеально ограниченным спектром £7(/) опреде-
ляется ТОЛЬКО ШИРИНОЙ ЧаСТОТНОГО Диапазона [(тах = Ытах/(2л)]
и не зависит от величины сигнала по модулю (0,5 или 1).
В практике моделирования вместо рассмотренного выше
идеального ограничения частотного спектра входных сигналов вво-
дится обычно приближенное ограничение, осуществляемое путем
замены исходных сигналов с полным частотным спектром на экспо-
ненциальные или кусочно-линейные сигналы, имеющие соответству-
ющим образом ограниченный частотный спектр. Вычисление интег-
ралов в форме (1.4) показывает, что если единичный ступенчатый
входной сигнал U (t) заменить при t^to экспоненциальным
Снксп=1 —	с постоянной времени т~л/итах=0,5//’тах (рис.
1.4, а, III), то максимум суммы всех высокочастотных составляю-
щих такого сигнала (с со^сотах) не будет выше «15% от модуля
24
Рис. 1.4. Ограничение динамичности стандартных входных сигналов:
а—переходный сигнал; б—импульсный сигнал
сигнала U(t). Приблизительно таковы будут погрешности ограни-
чения и при замене единичного ступенчатого сигнала при
кусочно-линейным сигналом постоянной скорости [7ПСК=
= (t—t0)/r^l со временем перехода т=— ----------(рис. 1.4, а, IV),
& f max
а также при замене единичной дельта-функции при экспонен-
циальным импульсом ^/эксп=е“(<_<о)/'сс r=0,5/fmax (рис. 1.4,6, ///)
И треугольным импульсом £7Тр с T=l/fmax (рис. 1.4, б, IV). Учитывая
относительно слабое влияние погрешности ограничения спектра
на точность моделирования, указанными заменами можно пользо-
ваться на практике.
Проиллюстрируем высказанные выше положения на примере
с моделированием звена транспортного запаздывания
X(t)=U(t — x).	(1.7)
В ограниченном частотном диапазоне 0азотах трансценден-
тная передаточная функция такого звена
W(s)=X(s)}U(s)==e-™
с достаточно высокой точностью аппроксимируется более удобной
для моделирования дробнорациональной функцией
Й7($) = (—0,5-ts+l)/(4-0,5tS-f-1) (При
25
Рис. 1.5. Переходные реакции звена транспортного запаздывания:
а—при ступенчатом входном сигнале; б—при входном сигнале постоянной скорости
Путем подстановки s=ii£> нетрудно убедиться, что в частотной
области, т. е. на плоскости частотных характеристик, получаемых
при стационарных гармонических сигналах, такая аппроксимация
совсем не вносит никаких погрешностей в амплитудные характери-
стики звена. Ошибки в фазовых характеристиках при ciimax^ 1/т
не превышают —5°, а при <0щах^2/т равны примерно 25°. Будем
считать в дальнейшем, что частотный диапазон моделирования
укладывается в указанные пределы, т. е. о)тах^
Во временной области рассматриваемой аппроксимации соот-
ветствует замена исходного уравнения (1.7) более «экономным»
для цифрового моделирования дифференциальным уравнением
0,5т —4-Х=-0,5—+#.	(1.8)
dt	dt
Если при этом степень динамичности входного сигнала U (t) будет
находиться в пределах моделируемого частотного диапазона
Os^cos^comax, то будет достигаться удовлетворительная точность
моделирования (рис. 1.5, б). Если входной сигнал будет содержать
в себе существенные высокочастотные составляющие (будет, нап-
ример, единичным ступенчатым), то соответствия по внешнему
виду выходных сигналов X(t) и X(t) не будет, хотя при этом фак-
тическая погрешность моделирования 6ХШ (t) в диапазоне сущест-
венных частот OsgTwsg; (1... 2)/т будет значительно меньше полной
погрешности и может находиться в допустимых пределах
26
(рис. 1.5, а). В подобных случаях причины наблюдаемых расхож-
дений нужно искать не в способе аппроксимации уравнений, а в не-
соответствии применяемых входных сигналов диапазону, динамич-
ности моделей.
1.2.3.	Принцип равной точности. Соблюдение этого принципа
при построении математических моделей сложных объектов пред-
полагает соизмеримость точности исходных данных, выбранного
способа математического описания моделируемых процессов и при-
меняемого метода решения уравнений. Выполнение этих требова-
ний при прочих равных условиях способствует наиболее рацио-
нальному построению моделей и минимизации затрат машинного
времени на моделирование.
В общем случае можно считать, что суммарная погрешность
моделирования складывается (с соответствующими массовыми
коэффициентами) из указанных выше составляющих. Рассматри-
вая максимальную вероятную погрешность 6s как случайную вели-
чину, подчиняющуюся нормальному закону распределения, можем
записать
8s=V (ё-18и.д)2+(ЯА,.о)2+(^8м.р)2-	(1-9)
Здесь би.д, бм.о, бм.р — максимальные погрешности исходных
данных, математического описания и метода решения; gi, g2, gs —
весовые коэффициенты.
В соответствии с принципом равной точности нужно стремиться
к тому, чтобы все составляющие погрешности были соизмеримы.
Однако требуемый уровень точности в каждом из рассматриваемых
звеньев процесса моделирования достигается различной ценой, что
и должно учитываться при сравнении слагаемых, стоящих под кор-
нем в выражении (1.9). Поступая указанным образом, получим
следующее условие выполнения принципа равной точности:
-^(^8HJ2 = 4-(g-28M.0)2==4-(g38M.p)2,	(1.10)
Al	А2	АЗ
где Ki, К2, Аз — коэффициенты, оценивающие трудоемкость сни-
жения погрешностей до данного уровня. Ограничение, накладывае-
мое по условиям решаемой задачи на суммарную погрешность
моделирования, приводит к еще одному условию:
8s 8едоп»	(1.11)
где 8s«on — максимально допустимая суммарная погрешность моде-
лирования. Совместное решение уравнений (1.8) — (1.11) дает сле-
дующие формулы, регламентирующие отдельные составляющие
погрешности:
8и.д^ ~~ I/'	1	л.	8sдон! 8М-О^ —“1/	„ . „ . „	8вдоп,
gl Г	Al + А2 + АЗ	S2 V	Al + А2 + АЗ
------------- (1.12)
X 1 -I/
®м.р-ч. I/ "д уд . „ оздоп.
ёз у Ki + К2 + Кз
27
Значения коэффициентов К и g зависят от конкретных условий.
Если, например, для проведения моделирования имеется возмож-
ность использовать ЦВМ с повышенным быстродействием, причем
снижение затрат машинного времени не играет большой роли,
а получение достаточно точных исходных данных по характеристи-
кам моделируемого объекта сопряжено с большими эксперимен-
тальными затратами, то	В этих условиях можно допу-
стить несколько завышенную точность численного решения
по сравнению с точностью исходных данных (I случай).
При использовании относительно медленно действующих вычисли-
тельных машин и дефиците машинного времени следует принимать
К1=Кг=^Сз и добиваться примерно одинаковой точности во всех
звеньях процесса моделирования (II случай). Значения коэффи-
циентов g определяются степенью влияния каждого из учитыва-
емых видов погрешности на отдельные этапы моделируемых пере-
ходных процессов; в большинстве случаев можно принимать
gl = g2 = g3=l.
Для моделей полного цикла работы ЖРД в соответствии с пос-
тавленными выше требованиями (см. разд. 1.1) обычно максималь-
ное значение 8s ДОп = 1 .. .2% на установившихся режимах
и 8вдОп = 5.. .15% —на переходных. Подставив эти значения в фор-
мулы (1.12), находим следующие пределы допускаемых значений
отдельных составляющих суммарной погрешности.
Таблица 1.2
Допустимые значения отдельных составляющих суммарной погрешности
моделирования
Условия	Составляющие погрешности	I случай, % К^К2-1; К, = 0,1	II случай, % /С1==Ка=К8-1
На установившихся ре-	Исходных данных 6и.д	0,70—1,4	0,6-1,2
жимах	Математического описания 6м.о	0,7—1,4	0,6-1,2
	Метода решения 6м.р	0,25-0,50	0,6-1,2
На переходных режи-	Исходных данных би.д	3,5—10	3-9
мах	Математического описания 6М.о	3,5-10	3-9
	Метода решения 6М.Р	1,25-2,5	3-9
Повышение точности метода численного решения уравнений
по сравнению с указанной в табл. 1.2 для I случая (бм.р=0,25 ...
... 1,25%) не приводит к значительному повышению общего уров-
ня точности моделирования. Если бы даже численное решение про-
изводилось абсолютно точно (бм.р=0), то выигрыш в суммарной
точности был бы практически незаметным: он составил бы не более
0,02—0,04% на статических режимах и не более 0,5—0,8 — на пере-
28
ходных. Учитывая, что с ростом точности численного решения про-
грессивно возрастают затраты машинного времени на моделирова-
ние, требовать значительно больших точностей решения уравнений,
чем указанные в табл. 1.2, нецелесообразно. Отсюда вытекает воз-
можность применения в моделях рассматриваемого типа не очень
точных, но простых алгоритмов численного интегрирования урав-
нений, в частности простого алгоритма Эйлера.
Придерживаясь принципа равной точности, необходимо также
следить за соответствием между степенью сложности модели
и характером решаемой задачи. Для этого часто оказывается целе-
сообразным с самого начала строить математические модели в двух
вариантах: в упрощенном — для предварительного анализа
и в более полном — для уточняющих исследований. По этим
же соображениям для решения отдельных частных вопросов
по динамике ЖРД предпочтительнее использовать различные спе-
циализированные модели, чем применять значительно более слож-
ную модель полного цикла работы двигателя.
1.2.4.	Прямое моделирование гидродинамических процессов.
В состав математических моделей двигателей входит целый ряд
элементов с распределенными параметрами. К ним относятся
топливные трубопроводы, проточные элементы газового тракта
и лопаточных машин, внутренние каналы агрегатов автоматики,
импульсные трубки измерительных приборов и другие элементы.
Нестационарные гидродинамические процессы, протекающие в этих
элементах на переходных режимах, во многих случаях оказывают
существенное влияние на динамические свойства и процессы управ-
ления двигателей. Поэтому они должны по возможности более пол-
но воспроизводиться в математических моделях двигателей.
Для воспроизведения нестационарных гидродинамических про-
цессов в моделях переходных режимов ЖРД рекомендуется приме-
нять наиболее рациональный и прямой метод математического
моделирования таких процессов — метод конечных элементов.
По сравнению с классическими способами математического пред-
ставления гидродинамических процессов с помощью уравнений
в частных производных метод конечных элементов проще и менее
.трудоемок.
Сущность этого метода заключается в разбиения моделируемого объема
сплошной среды на достаточно малые конечные элементы и непосредствен-
ном введении в .модель исходных физических уравнений, описывающих движение
и изменение состояния выделенных элементов. В число используемых уравнений
входят все соотношения, необходимые для вывода соответствующих дифференци-
альных уравнений в частных производных.
Более рациональное построение модели по сравнению с применением уравне-
ний в частных производных достигается благодаря исключению предельного
перехода от конечных элементов к бесконечно малым. Такой переход был бы
полезен в тех простых случаях, когда затем представлялось бы возможным полу-
чить точные аналитические решения составленных дифференциальных уравнений.
В современных сложных задачах, в частности в задачах рассматриваемого здесь
типа, из-за существенной роли нелинейностей и по другим причинам сделать это
в большинстве случаев не удается ,и именно поэтому применяются численные
методы решения. Переход от конечных уравнений к дифференциальным в таких
условиях становится ненужным, так как он не вносит ничего существенного
29
в описание явлений, но усложняет процедуру моделирования, поскольку в процес-
се численного решения дифференциальных уравнений все равно приходится снова
возвращаться к конечным элементам, привлекая для этого различные конечно-
разностные сеточные аппроксимации. Метод конечных элементов является в этом
смысле более прямым, избавляющим процедуру моделирования от ненужных
промежуточных переходов.
При применении метода конечных элементов, как и при конечно-
разностных аппроксимациях дифференциальных уравнений, умень-
шая размеры выделенных элементов, возможно моделировать
нестационарные процессы различных частот, в том числе волновые
и все другие динамические явления, описываемые общими нелиней-
ными уравнениями гидродинамики. К достоинствам этого метода
относится также его естественная приспособленность к стыковке
распределенных и сосредоточенных элементов. Это создает опреде-
ленные удобства при моделировании сложных систем с большим
числом различных элементов и граничных условий между ними.
Изложенные соображения подтверждаются опытом практического
применения метода конечных элементов при построении математи-
ческих моделей двигателей. При этом в большинстве случаев
удается успешно преодолеть трудности, связанные со строгим сог-
ласованием условий на границах элементов и снижением погреш-
ностей расчетов. Следует особо подчеркнуть эффективность приме-
нения метода к пространственным и плоским областям сложной
формы, позволяющим максимально приблизить расчетную модель
к реальному объекту.
1.2.5.	Расширенный динамический состав модели. Возможны два
различных подхода к учету малых динамических параметров моде-
лируемого объекта.
Первый, перенесенный в исследования динамики систем из обла-
сти статических расчетов, состоит в максимальном пренебрежении
всеми малыми динамическими параметрами, входящими в диффе-
ренциальные уравнения. При этом для организации вычислитель-
ного процесса широко используются существующие возможности
решения недифференциальных уравнений (итерационные циклы,
методы обращения матриц с предварительной линеаризацией урав-
нений на каждом шаге и т. д.). Такой подход благодаря исключе-
нию дифференциальных уравнений с малыми постоянными време-
ни (путем замены их недифференциальными уравнениями)
уменьшает опасность нарушений устойчивости интегрирования, что
позволяет в ряде случаев заметно увеличить шаг решения и благо-
даря этому несколько сократить затраты машинного времени.
Второй подход, возникший в последнее время из практики про-
ведения динамических исследований сложных систем, заключается
в возможно более полном учете малых постоянных времени, свой-
ственных элементам моделируемой системы. При этом недифферен-
циальные уравнения заменяются дифференциальными. Это прибли-
жает свойства модели к свойствам натурного объекта и позволяет
при решении уравнений исключить необходимость выполнения
сложных операций по развязке расчетных петель (см. разд. 1.6).
В математической модели полного цикла работы ЖРД применяет-
30
ся второй из этих подходов-, поскольку при нем наряду с более пол-
ным и правильным отражением действительных свойств моделиру-
емых систем достигается более гибкое изменение динамического
диапазона моделей и значительное упрощение систем уравнений
и программ расчетов. Динамические факторы и моделируемые эле-
менты, в которых они учитываются, перечислены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Учитываемые динамические факторы
Наименование фактора	Моделируемые элементы	Примечание
Инерция вращающихся масс Сжимаемость газа Инерция и сжимаемость жидких компонентов Задержки самовоспламе- нения и выгорания топлива	ТИА, БТНА КС, ГГ, ГВ, тупиковые полости, полость охлаж- дения Гидромагистрали, на- сосы, внутренние кана- лы регуляторов, измери- тельные трубки КС, ГГ	С учетом масс жидко- сти
Динамика изменения тем- пературы газа в проточных полостях Инерция и демпфирова- ние подвижных элементов САУ	КС, ГГ, ГВ Регуляторы, стабилиза- торы, клапаны	Подвод тепла, турбу- лентный перенос и адиа- батические изменения температуры
Тепловая инерция нагре- ва жидкости и конструкции	Полости охлаждения ГГ, КС	Учитывается не всегда
Инерция газа Податливость конструкции	ГГ, Т, ГВ, КС Гидромагистрали, пред- форсуночные полости, корпусы насосов	То же
Динамические погрешив-	Датчики, каналы изме-	Учитываются при ана-
сти измерений	рения	дизе результатов испыта- ний
1.2.6.	Феноменологическое представление сложных процессов.
В моделях динамики запуска и переходных режимов ЖРД требу-
ется учитывать ряд нестационарных процессов, по которым в нас-
тоящее время еще нет (и, по-видимому, нельзя ожидать в ближай-
шем будущем) достаточно полных данных об их механизме и внут-
ренних закономерностях. К таким процессам относятся, например,
процессы воспламенения и выгорания топлива, перенос температу-
ры турбулентными потоками массы внутри элементов газового
тракта, нестационарные двухфазные течения в элементах двигате-
ля и др.
31
Если из-за отсутствия достаточно полной информации об этих
процессах отказаться от их учета при моделировании, то это при-
ведет к сильному загрублению математических моделей как инст-
румента динамических исследований и может даже лишить их прак-
тической эффективности. Поэтому приходится изыскивать прибли-
женные способы описания указанных процессов.
Приближенное математическое описание сложных нестационар-
ных процессов, о внутреннем механизме которых нет достаточной
информации, целесообразно составлять, опираясь на суммарный
феноменологический подход. В данном случае такой подход сво-
дится к тому, что дифференциальные уравнения, описывающие
динамику соответствующих процессов, выводятся, не вдаваясь
в их внутренний механизм, на основании специальной математиче-
ской обработки их внешних проявлений.
Эффективным инструментом для вывода уравнений динамики
элементов по известному поведению «входных» и «выходных» пере-
менных является метод преобразования Лапласа. Используя этот
метод, искомые уравнения выводятся следующим образом.
Передаточные функции каждого из каналов исследуемого эле-
мента представляются как отношения интегральных преобразова-
ний Лапласа выходного Xh(t) и входного Xq(t) сигналов, зарегист-
рированных при некотором возмущении, подействовавшем при
нулевых начальных условиях:
оо	оо
где	L[A^(/)1= f
b	b
Обратные преобразования этих передаточных функций приво-
дят к получению дифференциальных или дифференциально-разно-
стных уравнений соответствующих каналов. Используя принцип
суперпозиции, путем сложения соответствующих уравнений выво-
дят общие уравнения динамики элементов, имеющих несколько
входов.
Полученные таким образом уравнения с определенными оговор-
ками можно применять в нелинейной модели.
Данный подход позволяет описать сложные нестационарные
физические процессы с помощью суммарных динамических харак-
теристик, относящихся к осредненным по сечениям и объемам пара-
метрам. При этом влияние различных неравномерностей на моде-
лируемые явления учитывается в случае необходимости с помощью
специальных приемов. Этим путем удается приближенно учесть,
например, такие важные специфические особенности моделируе-
мых физических процессов, как неодновременное вступление
в работу форсунок при заполнении предфорсуночных полостей,
характер нарастания и падения напора при заполнении и опорож-
нении насосов, особенности пространственно-временного механиз-
ма неполноты сгорания топлива и др.
32
1.2.7.	Использование возможностей идентификации модели.
Математические модели данного типа целесообразно создавать
одновременно с проектированием двигателей. Параллельно с при-
менением модели для решения текущих задач по проектированию
и доводке двигателей следует использовать все возможности совер-
шенствования и уточнения самой модели в соответствии с получен-
ными экспериментальными данными. Для этого нет необходимости
ставить специальные дорогостоящие эксперименты. В большинстве
случаев- идентификацию моделей можно проводить, используя
результаты обычных доводочных и ресурсных испытаний двига-
телей.
При огневых испытаниях ЖРД регистрируется много парамет-
ров, характеризующих переходные и установившиеся режимы.
Испытания, как правило, проводятся при различных внешних усло-
виях, в том числе и при крайних их сочетаниях. Это дает необхо-
димую информацию для корректировки заранее точно неизвестных
эмпирических коэффициентов, входящих в уравнения модели. Что-
бы избежать случайных совпадений, идентификация модели долж-
на проводиться по большому числу параметров (не менее 8—10)»
зарегистрированных в различных условиях.
Реализации переходных процессов, получаемые при испытаниях
двигателей, как правило, сильно «зашумлены» погрешностями
измерений и случайным разбросом внутренних факторов. При про-
ведении идентификации погрешности измерения можно учесть
путем введения дополнительных дифференциальных уравнений,
описывающих свойства измерительных каналов. Целесообразно
также проводить осреднение разбросов измеряемых параметров
путем построения «трубок», объединяющих процессы, зарегистри-
рованные в различных условиях. Пользуясь этим методом, можно,
проведя примерно 10—20 вариантов расчета (эмпирических тес-
тов), достигнуть нужной степени идентификации.
1.3. Уравнения конечных элементов
1.3.1.	Простейшие элементы ft, L, С. При применении ме-
тода конечных элементов для прямого моделирования нестационар-
ных гидродинамических процессов в трактах двигателей удобно
пользоваться представлениями о простейших гидродинамических
элементах активного сопротивления ft, массы L и емкости С, являю-
щихся первичными ячейками конечных элементов. Каждый
из этих простейших элементов отражает одно определенное свойст-
во моделируемой сплошной среды (инерционность, сжимаемость,
вязкость) и описывается уравнением соответствующего фундамен-
тального физического закона. Простейшие элементы, как двухпо-
люсники, удобно соединяются между собой в различные компози-
ции, представляющие конечные элементы. Схематическое изобра-
жение трех основных простейших элементов дано на рис. 1.6.
2	524	33
Рис. 1.6. Простейшие гидроди-
намические элементы
Элемент гидравлического сопротивления R (рис. 1.6, а) харак-
теризует диссипативные потери энергии и в простейшем случае опи-
сывается уравнением
Lp=RG\	(1.13)
где Др и G — перепад давлений на сопротивлении и расход жидко-
сти через него; R— коэффициент квадратичного гидравлического
сопротивления. Форма функциональной связи (1.13) в зависимости
от свойств среды, режимов течения, типов элементов может
несколько варьироваться, но важно, что уравнение (1.13) всегда
остается недифференциальным и не включает в себя в явном виде
время. Например, для элемента гидравлического сопротивления
в виде трубопровода или длинного жиклера при ламинарном ре-
жиме течения уравнение (1.13) имеет вид
Lp=rG,
где г — коэффициент линейного гидравлического сопротивления.
Уравнение (1.13) относится не только к искусственно выделяемым
малым объемам, но может относиться и к конечным конструктив-
ным элементам. Для гидравлических элементов типа коротких жик-
леров и дроссельных шайб /? = — *-— , для трубопроводов при
турбулентном течении	, при ламинарном течении
v Z	_
г=128------, где %=f(Re, h)—коэффициент сопротивления;
nd4 d
h = h!d — относительная шероховатость трубы (h — высота высту-
пов); р — коэффициент истечения; F— площадь проходного сече-
ния; I и d— длина и диаметр трубы; -v — кинематическая вязкость.
Элемент гидравлической (акустической) массы L (рис. 1.6, б)
характеризует свойство инерционности жидкости. Его уравнение
отражает закон сохранения количества движения:
dGldt=bplL,	(1.14)
где L — коэффициент гидравлической (акустической) массы.
Для цилиндрических трубопроводов L=l)F, для конических наса-
док £=4//(п^2) и т. д. Для газа при больших скоростях течения
форма функциональной зависимости (1.14) несколько изменяется,
но принципиально уравнение сохраняет указанный вид.
34
Элемент емкости С (рис. 1.6, е) характеризует свойство сжима-
емости среды и в соответствии с условиями неразрывности течения
описывается уравнением
.	dpldt = LOiC,	(1. 15)
где ДО — разность притекающих и вытекающих из элемента рас-
ходов; C=Vp/E=V/a2— коэффициент емкости; Е — модуль упру-
гости среды; V — объем элемента емкости; а —• скорость звука.
Для объемов газа удобно принимать прямо С=У/(хДГ).
Податливость конструкции учитывается подстановкой в выраже-
ние для расчета коэффициента С эффективного значения скорости
звука в рабочей среде «Эф, вычисленного с учетом упругости стенок
конструкции. Для тонкостенных труб круглого сечения по формуле
Жуковского имеем
где Одф на — скорости звука с учетом и без учета упругости трубы
соответственно; Еж и ЕТр — модули упругости жидкости и матери-
ала трубы; d и 6 — внутренний диаметр и толщина стенок трубы.
Для малых объемов и малых интервалов времени уравнения
элементов инерционности и емкости могут записываться в конечной
форме:
&G=kp Lt/L и &p=&G bd/C.	(1. 16)
В такой форме эти уравнения используются при численном моде-
лировании.
1.3.2.	Композиции простейших элементов. При моделировании
«длинных» линий они разбиваются на конечные элементы, пред-
ставляющие собой различные композиции из простейших элемен-
тов R, L и С (рис. 1.7). Во всех случаях в линейном приближении
конечные элементы представляют собой четырехполюсники с раз-
личными передаточными функциями:
8Хвых/ = П17(5)8Хвх7, /,/=1,2.	(1.17)
В наиболее простом случае конечный элемент составляется
из трех простейших элементов и представляет собой несимметрич-
ную каскадную цепочку типа L—R—С (рис. 1.7, а). Входными
переменными такого элемента служат давление рх и расход G%r
выходными — расход Gi и давление р2- По своим динамическим
свойствам он близок к простому осциллятору с демпфированием
2*
35
Рис. 1.7. Композиции простейших элементов:
а—конечный элемент типа L—R—С: б—модель «длинной» линии
(для каналов pi-^-p2 и G2->Gi). Его передаточные функции имеют
вид
П12 («)=П21 (s) =	. , «nrv»',  ’
LCs* + 2RCG*s + 1
Пп ($)==-------—--------;	(1.18)
n ' LC& + ?.RCG*s+\
„	Ls + 2RG*
JJ-99 fS} 	'	’ j
7 LCs'i + 2RCG*s + 1
где G* — величина расхода на установившемся режиме. Длинная
линия из таких элементов набирается так, как показано на рис.
1.7, б. При этом никаких дополнительных уравнений для стыковки
конечных элементов не требуется, если уравнения элементов емко-
сти (1-15) записаны с учетом дифференциальной связи притекаю-
щих и вытекающих расходов:
d pjdt—LG/С -f- г (dLGjdt),
(I-19)
где r=e(a/F) — коэффициент связи расходов, принимаемый обыч-
но как некоторая часть е=0,1 .. .0,5 от величины волнового сопро-
тивления емкости ajF (а — скорость звука в среде; F — площадь
поперечного сечения емкости). По своему физическому смыслу
коэффициент г отражает при данной конечно-элементной схемати-
зации сплошной среды свойство второй (объемной) вязкости жид-
кости, обуславливающей сопротивление среды скорости деформа-
ции. Однако требующиеся значения г намного превышают величи-
ны, подсчитываемые по табличным данным для коэффициента
36
объемной вязкости жидкости, определенного при малых возмуще-
ниях [31].
Аналогичным образом могут быть составлены и другие компо-
зиции конечных элементов, в частности симметричная композиция
типа RC—L—CR.
Чтобы при применении метода конечных элементов достига-
лась необходимая точность описания различных нестационарных
явлений, в частности волновых, максимальная длина участка,
представляемого конечным элементом в реальной линии, должна
удовлетворять условию
, 2ла
^тах
штахЛ
(1-20)
где а=]/E/q — скорость звука в моделируемой сплошной среде,
Ютах — максимальная существенная частота исследуемых процес-
сов; п — коэффициент запаса, равный числу конечных элементов,
укладывающихся на длине волны максимальной исследуемой час-
тоты. Обычно для получения удовлетворительной точности модели-
рования принимают п^б .. .12.
1.3.3. Газожидкостные емкости. К элементам емкости при сосре-
доточении параметров целесообразно относить участки гидравли-
ческих линий с относительно низкими скоростями течения, в кото-
рых находится значительное количество жидкости или имеются
условия, способствующие повышенной податливости (скопление
воздуха, паровые каверны, упругие элементы конструкции и т. д.).
В разветвленных линиях элементы емкости целесообразно распола-
гать в точках разветвления.
В ряде случаев в элементах емкости помимо жидкости имеется
газ. В гидромагистралях ЖРД наиболее часто встречаются такие
элементы трех видов: с «отсеченным» газовым пузырем (рис.
1.8 , а), с протекающей газожидкостной средой (рис. 1.8, б)
и с вытесняемым газовым объемом (рис. 1.8, в). Уравнения газо-
Рис. 1.8. Схемы газожидкостных емко-
стей
37
жидкостных емкостей в общем случае выводятся из уравнений
неразрывности и состояния, записанных отдельно для жидкости
и газа в предположении, что взаимного превращения фаз нет.
При этом быстропротекающие процессы сжатия газа принима-
ются адиабатными (показатель политропы n=%=cp/cv), медлен-
но протекающие — изотермическими (п = 1).
Общая система уравнений элементов газожидкостной емкости:
__ Дк.вх ^ж.вых (£?гвх ^гвых) 6ж/Сг .
dt	С2Ж
= G	—О  М <Vo •
dt
Сгк=—--+-^4
z ж	।	’ г	'
Еж	пр	Q1K
Q1K=e>K.HJi + ^M; рг=егнач .
\	£ж /	х/’нач/ 7
где V — полный объем емкости: рнач, рж.Нач, Огнач — некоторое
начальное значение давления и соответствующие ему значения
плотности жидкости и газа.
При учете второй (объемной) вязкости среды к правой части
первого уравнения следует добавлять дополнительный член с коэф-
фициентом г (см. подразд. 1.3.2), учитывающим сопротивление
среды скорости деформации.
Для газожидкостной емкости с отсеченным газовым объемом
(рис. 1.8, а) при н=1 и учете сжимаемости газа и жидкости
q ____ VОж.нач I а
гЖ~ Еж р2 ’
где	а=Уг начрначРж.нач=const — коэффициент,	учитывающий
начальные условия.
Для процесса заполнения газожидкостного элемента с вытесня-
емым газовым объемом (рис. 1.8, е) уравнения сохраняют ту же
форму, но притекающие и вытекающие расходы жидкости и газа
умножаются на логические коэффициенты, учитывающие степень
заполнения объема жидкостью и форму фронта заполнения
(см. подразд. 1.4.2).
1.3.4. Частичное сосредоточение параметров. Если моделируе-
мая линия является достаточно длинной, т. е. если —235 7> л,
а
и обладает тем свойством, что ее активное линейное гидравличе-
ское сопротивление значительно меньше волнового гя<^гъ, то при
моделировании такой линии целесообразно пользоваться методом
частичного сосредоточения параметров. В этом случае сосредотачи-
вается только активное гидравлическое сопротивление линии,
а ее упруго-массовые свойства остаются распределенными (рис.
1.9). Распределенная часть линии описывается уравнениями четы-
рехполюсника 1 и 2 системы (1.21), полученными в результате
38
Рис. 1.9. Схема частичного сосредоточения параметров длинной линии:
а—сосредоточенное сопротивление; Ь—распределенная лнння
решения для концевых сечений соответствующих уравнений трубо-
провода в частных производных. Все активное сопротивление линии
сосредотачивается на входе и представляется линеаризованным
уравнением простейшего элемента R [уравнение 3 системы (1.21)].
При этом, учитывая, что у элемента R расходы на входе и выходе
равны [уравнение4системы (1.21)],для стыковки распределенного
и сосредоточенного участков дополнительных специальных урав-
нений не требуется.
Применив этот метод к цилиндрическому трубопроводу с жид-
костью или газом при малых скоростях течения (с числами Маха
М = ыо/ц<С1), в линейном приближении будем иметь
1.	8^2=П1(«)ЗА — гвП2 («) ВС?!;
2.	П.2(х)б/?1/Гв+П1(5)8П1;
3.	ra8Gj; 4. 8Gi=8Gq,	(1.21)
р« I р—ts	_ р—«
где	(s) = +е ; П2 (з)=-±—Л-------------;
t=—; r=—; ra=2/?G0;	----— .
а в F а °’	d 2QF2
Здесь «о и Go средняя скорость и средний массовый расход жидко-
сти в трубопроводе на установившемся режиме; % — коэффициент
сопротивления трубопровода; F — площадь его поперечного сече-
ния.
Обратное преобразование Лапласа дает следующие уравнения
для расчета нестационарных процессов во временной области, если
заданы, например, давления бро(?) и бр2(^) на концах трубопро-
вода:
BPi (?)=айЪр0 (?) — а0£р0 (? — 2т) 4-	(t — 2т) ф- а2Ър2 (? — т);
S(?1 (?) = bobpo (?)+bobpo (t — 2т) — bfipr (t — 2т) — Ь2Ър2 (? — т); (1.22)
8G2 (?)=8G! (?—t) -j- 8Pi (? — т)/гв — Bp2 (?)/rB>
где	«0=А/(Га + гв); ai=(rB-^a)/(ra+rB);
a2=2ra/(ra-]-rB); b0= l/(ra-|-rB);
b'o='Ж (ra 4- rB)J; b,=(rB - ra)/[ra (ra+rB)];
b2=2b0.
39
Этот метод Остается в силе также для случая нелинейного
активного сопротивления ^p—iRG2. Условие га<Сгв эквивалентно
в этом случае неравенству
//</^1/(ХМ).	(1.23)
1.4. Специфические процессы,
свойственные запуску
1.4.1. Предварительные замечания. На начальном этапе
запуска ЖРД — при вступлении в работу газогенератора и камеры
сгорания — требуется обеспечить мягкое воспламенение топлива
и плавное устойчивое развитие процесса горения. Это достигается
обычно надлежащим выбором характеристик систем зажигания
и дозирования топлива на пусковых режимах.
Специальные системы зажигания применяются только в двига-
телях, работающих на несамовоспламеняющихся компонентах топ-
лива. Независимо от типа таких систем (пиротехнические, электри-
ческие, химические) они должны быть оптимизированы по разви-
ваемой мощности, локализации очагов поджигания и времени
включения. Однако одних этих мер недостаточно для решения пос-
тавленной задачи. Первостепенное значение в обеспечении плавной
завязки и развития процесса горения принадлежит строгой регла-
ментации дозирования расходов компонентов топлива через фор-
сунки на пусковых режимах. У двигателей, работающих на само-
воспламеняющемся топливе, это не только основное, но и единст-
венное средство, для управления процессом. Решение задачи
осложняется быстротечностью процесса и невозможностью распо-
ложить элементы, регулирующие расход топлива, непосредственно
перед форсунками или в самих форсунках.
В реальных системах запуска ЖРД дозирование топлива
на пусковых режимах определяется путем расчета и строгого сог-
ласования по времени различных нестационарных гидродинамиче-
ских процессов, составляющих предогневой и начальный огневой
этапы запуска двигателей. Среди этих процессов решающую роль,
играют процессы заполнения жидкими компонентами объемов топ-
ливной системы двигателя за пусковыми клапанами. Этими процес-
сами задаются такие важные для запуска параметры, как моменты
прихода компонентов в форсунки и, следовательно, времена опере-
жения поступления одного из компонентов; величины предпусковых
и пусковых расходов топлива и, следовательно, значения коэффи-
циентов состава смеси на пусковых режимах; скорости нарастания
давлений и расходов в различных элементах топливной
системы (в том числе в форсуночных головках) и др. Выброс опе-
режающего компонента, накопившегося в газогенераторе в период
заполнения, приводит к повышению влажности первых порций
парогаза, поступающих на турбину ТНА, и, как следствие, к сни-
жению пусковой мощности ТНА.
Значительное влияние на динамику начального этапа запуска
ЖРД оказывают также кинетика воспламенения и выгорания топ-
40
лива в газогенераторе и камере сгорания (особенно в условиях
низких пусковых температур и давлений) и различные теплофизи-
ческие процессы, протекающие в топливном и газовом трактах дви-
гателя на начальном этапе запуска (нагрев и частичная газифика-
ция криогенных компонентов, отвод тепла от реагирующей смеси
в элементы конструкции, двухфазные течения, обусловленные вду-
вом газов продувки и др.).
Все эти нестационарные процессы для общей модели динамики
функционирования ЖРД являются достаточно специфическими,
поскольку они свойственны только начальному этапу запуска
и не проявляются заметно на других переходных и установившихся
режимах работы двигателей. Тем не менее исключение их из общей
модели, учитывая их тесные взаимосвязи с другими процессами,
нежелательно, так как может привести к потере существенной
информации об особенностях стыковки этапов запуска. Поэтому
в соответствии с принятым нами агрегативным принципом построе-
ния модели все эти специфические процессы ниже описываются
едиными уравнениями с другими процессами работы агрегатов
и на равных началах вводятся в общую модель. Основное внимание
при составлении уравнений уделяется обеспечению естественного
перехода от одних режимов к другим без необходимости введения
на стыках этапов искусственных граничных и начальных условий.
1.4.2. Заполнение гидромагистралей стабильными компонентами.
Высококипящие компоненты топлива ЖРД являются обычно само-
воспламеняющимися (АТ+ДМГ, АК+ТОНКА и др.). Для получе-
ния плавного запуска огневых агрегатов на этих компонентах необ-
ходимо правильно дозировать их подачу в пусковой период.
Дозирование расходов компонентов на пусковом режиме сущест-
венно зависит от времени заполнения ими предфорсуночных поло-
стей. Для запаздывающего компонента это время должно быть
равным- или несколько больше периода задержки самовоспламене-
ния топлива. Расход запаздывающего компонента в момент завяз-
ки процесса горения должен быть меньше номинального. Для полу-
чения нормальных энергетических соотношений, необходимых для
надежного разгона ТНА, нужно строго регламентировать подачу
опережающего компонента в газогенератор и время запаздывания
вступления в работу камеры сгорания по отношению к газогенера-
тору. Последнее особенно важно для двигателей закрытых схем.
Все эти требования, как уже упоминалось выше, выполняются
путем расчета и соответствующей организации процесса заполне-
ния.
В общем случае реальных сложных гидромагистралей ЖРД
расчет - и математическое моделирование процесса заполнения
их стабильным топливом целесообразно производить по следую-
щей полной математической модели динамики заполнения гидро-
магистралей, учитывающей переменные активные инерционные
и емкостные сопротивления.
Пусть заполняемая гидромагистраль выполнена по схеме, пред-
ставленной на рис. 1.10, с. Заданы давления в ее граничных сече-
41
Рис, 1.10. Схемы заполнения гидромагистрали:
а~принципиальная; б—расчетная; /—бак; 2—демпфер; 3—насос; 4—клапан; 5— точка развет-
вления; 6—регулятор; /—газогенератор; 3—дроссель; 9—камера сгорания; 10— полость ох-
лаждения цилиндрической части камеры; //—завеса охлаждения КС; ,12 и /3—полости ох-
лаждения критической и сопловой частей КС; /—распределенная линия; //—сосредоточен-
ная масса; III—сосредоточенное сопротивление; IV—сосредоточенная емкость; V—источник
напора
ниях рб(О- pK.c(t), Ргг(0 и законы изменения во времени напора
насоса Дрн(7) и коэффициента гидравлического сопротивления
пускового клапана /?кл(0- В результате моделирования для приня-
тых значений конструктивных параметров магистрали (длин, диа--
метров, объемов участков) требуется определить получающиеся
законы дозирования топлива в огневые агрегаты через форсунки
6ф.гг(0> Сф.к.с(0 и завесу охлаждения 6зав(О, а также изменения
давлений и расходов в других характерных сечениях топливной
системы [рвх(/)> GK(t) и др.]. По результатам моделирования про-
изводится необходимая коррекция параметров магистрали и в об-
щей циклограмме запуска двигателя назначается момент открытия
пускового клапана.
Для расчета заполнения используется та же схема разбиения
магистрали на конечные элементы R, L, С, которая служит для
моделирования ее динамики в заполненном состоянии (рис.
1.10, б). Уравнения простейших элементов остаются также преж-
ними:
(1.24)
dt Li dt Ci	dt
но в них подставляются переменные коэффициенты гидравлическо-
го сопротивления, массы и емкости 7?г-=уаг, £г=уаг, Ci=var,
42
являющиеся функциями переменных коэффициентов заполнения
соответствующих участков магистрали жидкостью:
AZ = 7WZ/7M*<1,	(1.25)
где и Mj* — массы жидкости на i-м участке в момент заполне-
ния и в заполненном состоянии.
Для определения коэффициентов заполнения вводятся дополни-
тельные дифференциальные уравнения, описывающие процессы
накопления массы жидкости в участках:
^=адх/-овых£.	(1.26)
at
Здесь В, — логические коэффициенты, учитывающие подход фрон-
та заполнения к данному участку:
Дг = (° ПРИ	1;	ц 27)
Ц при Д£_1 = 1.
Если фронт заполнения не плоский, а заостренный (например,
осесимметричный конический) и жидкость попадает в следующий
участок еще до окончания заполнения предыдущего, то можно
принимать — причем значения т<1 соответствуют заост-
ренному фронту, а значения m^> 1 — фронту, приближающемуся
к плоскому.
Коэффициенты Л,- и В£ служат также для включения в действие
активных и реактивных сопротивлений самих участков:
R^Roi + AiRu + B^ Z.z=Z.oz+AzZlz; CZ=COZ+А£и. (1.28)
ж
Коэффициентами Лг вводятся в работу распределенные сопро-
тивления Rlt Li, Сь а коэффициентами В,- — сосредоточенные /?2,
Ь2, С2. Начальное значение активного сопротивления ROi склады-
вается из сопротивления, эквивалентного эффект)' Мещерского,
учитывающему переменность массы жидкости, Дмщ= 1/(2рЕ2), где
F — проходное сечение элемента, и начального сопротивления
7?нач его заполненной части. Начальные значения инерционного
и емкостного сопротивления LOi и См относятся или к части элемен-
та, заполненной с самого начала (например, к заполненной части
линии с пусковым клапаном), или вводятся искусственно из вычис-
лительных соображений как некоторые малые величины, необходи-
мые для «защиты» численных решений от операций деления
на нуль или от нарушений устойчивости счета (см. подразд. 1.6.5).
Для газожидкостных емкостей различных типов начальные значе-
ния коэффициентов емкости COi характеризуют сжимаемость газа,
находящегося в участке до начала заполнения. Изменение коэффи-
циентов в процессе заполнения рассчитывается по приведенным
выше формулам. Если в заполненной части магистрали имеется
участок, представляющий собой достаточно длинный трубопровод
с весьма малым активным сопротивлением (га<Сгв)> то для описа-
43
ния его динамических свойств в модели заполнения используется
метод частичного сосредоточения параметров.
Математическая модель процесса заполнения гидромагистрали
представляет собой систему уравнений с переменными коэффици-
ентами. После окончания процесса заполнения, когда все коэффи-
циенты Л, превратятся в единицы, эта система будет достаточно
полно описывать динамику гидромагистрали в заполненном состо-
янии.
Изложенный подход иллюстрируется приведенным ниже при-
мером.
Пример. Система уравнений сложной гидромагистрали, показанной на рис.
1.10, а и разбитой на участки согласно расчетной схеме (рис. 1.10, б), имеет сле-
дующий вид.
1.	Участок от бака до демпфера (/—2)
Pi = 2/>вХ (Z — тб) — Pi — 2т6) + rBG6 — rBG6 (t — 2тб); т6 = Z6/a;
GBX = 2G6 (t — т6) — GBX (t — 2t6) — — pBX + — pBX (Z — 2t6); rB = a/F6;
rB rB
dGe _ Рб — Z?6G6 IGq| — pi _	_ X (Re) Ze .
M ~ L6m[n	;	6~ 2QFl
^6min — ^min max*
2.	Участки от демпфера до точки разветвления (2—5)
dpB^ GBX — GH Gд	/rfGBX	dGH rfGx \
dt ~ Свх + Гвх \ dt ~ dt ~ dt J ’
dGg Pm + ЛДн — Z?hGh|Gh| — Рразв dpK Gn
dt	LH	’ dt Сц
Gg. = sgn (PbX—Рд) V|Рвх Рл1/Лд> Z?h = Z?H+^клЛкл;
*	dt^ign
£н = Д* + £клЛкл; -~^ = GH-Grr-GK.C;
dt
M.,,	VBX	1
Л_______ i. c _________22L . p ___________•
Л1КД	a2	2q (u./?k,1)2
3.	Линия газогенератора (5—7)
<ZPpa3B GH — Grr — GK.C	I dGg dGrr dGK.c\
dt = Cpa3B + r')a3R \ dt — dt ~ dt )’
dGrr Рразв ЛГг^гг^гг|^гг| Pp
dt
rfpp Grr— Gp ZrfGrr
dt Cp P \ dt dt )
dG^ Pp — ^4p^?pGp|Gp| — Рф.гг
dt	ZrPHp
44
^Рф.гг
м
ср -- Сф.тт — (Овозд)ф.гг
(•/?^)возд
Рф.гг
(т \	Рф.гг	dMrT „	„
1 --^ф.гг-'Р-^ф-гг	~ (ЛФ-гг);	=Grr Op,
rfAfp	d-Мф. гг
~ — ЛрОгг — Ор; —	= Вф.ггОр Оф.гг;
dt	at
Оф.гг — У-Fф гг^ф.гг Sgn (/’ф.ГГ — Ргг) V|Рф.ГГ  Ргг\1-/?ф.гГ1
Vp	cip
Ср = Ар —— 4- (1 — Ар) 2 ’ ар = (^возд)р АшчС;
fl2	Рр
Я ^ф.гг	Мф.гг
Сф.гг~-^ф.гг Z + (1 Ab.rr)	•
«2	Рф.гг
4.	Линия камеры сгорания (5—13)
AGk.c Рразв — Лк.сОк.с |Ок.с! Рохл
Л	Ас.с^к.с + -^др^др
<?Рохл _ °к,с—Окр — Ос /rfGK.e _dG*P _ dGc j
dt ~ Сохл +Г°ХЛ dt	dt dt г
dG'c Рохл + A’CR'* |g'| о' — Pc dpc G'c — Gc r /dG'c _ rfGc \
dt ~	A'CL'*	’ dt ~ Cc + Гс \ dt ~ dt I’
dGc Pc — ^c/?cGc!Gcl — Ркр
dt	-^c^c	*
Скр= 88п(Рохл —Ркр)
^Ркр
dt
dGKp pKp — ^1крЛКрОк{||ОКр| Рзав
dt	Лкр I-Kp
GKp + Gc — GKp	/ dGKp	(t(jc dGKp \
C7P + ГкР \ dt + dt ~ dt /
rfp3aB _ °ap — Gg — Озав / rfgKp dQ^ dOsaB
dt ~ Сзав + ГзаП \ dt ~ dt ~ dt
dGK Рзап — A^R^G^ I Оц| Рф.к.с
~dd^~. !
^Рф.к.с
— С Г	/Г х (^?^)возд
--- иЦ----^ф.К.С ---- \'-^ВОЗД/ф.К.С	Q
Рф.к.с
^ф.к.с»
45
^ф.К.С —: Р^7ф.К.С’Дф.к’.С S£n (Рф-К.С Рк.с) [Рф.к.с /?к.с|/-^ф.к.с;
{Свозп)ф.к.с — (1	>1ф.£Сс)^ф.к.с	? (Лф.к.с);
dM„ „	ЙЛ^ДР
~~	= (1 — Вдр) Ок.с; —— = (Вдр Вохл) GK.ci
dt	at
dMKV
-^- = GkP + Gc-GkP;
zi R\r, 
—— = (1 — Ba) O„;
dt
— BUOU Оф,КеС; А.с =	1>
"JK.C
(^возд)сРначб
dMc _ R Г' r .
dt ------ ------------ '-‘Cl
dM 33B
dt
^Л4ф.к.с
dt
=— ^кр <?ц — ^зав>
Сс = ЛсС* + (1-A)
Рс
^ф.к.с -- Лф.к.сС'фл{_с + (1 --- Лф.к.с)
Кк.е
Рф.к.с
В этой системе уравнений предфорсуночиые полости газогенератора и каме-
ры сгорания представлены как газожидкостные емкости с вытесняемым воздуш-
ным объемом с расходами (6в03д)ф.гг и (ОвоздЪг.к.с, а внутренние полости регу-
лятора и охлаждения сопла — как такие же емкости, но с отсеченным воздуш-
ным объемом (Увози)р и (Увози)с. Через <7 (л) обозначена расходная газодина-
мическая функция; величина минимальной постоянной времени Tmin начального
участка (на входе в распределенную линию) выбирается из условия устойчивости
численного интегрирования данной системы уравнений (см. подразд. 1.6.2 и 1.6.5).
В процессе моделирования система решается при заданных начальных и гра-
ничных условиях [заданных функциях времени для граничных сечений —
Pn.c(t), pTT(t) и т. д.]. При этом поставленное в начале требование единства
уравнений для описания всего цикла функционирования гидро-магистрали выпол-
няется естественным-образом.
В приведенных выше уравнениях условная запись pBx(t—Те), G5(t—2те)
и т. д. означает функции запаздывающего аргумента. В остальных случаях, когда
аргумент не указывается, соответствующие переменные считаются функциями
данного момента времени t. Выражения для расчета постоянных и логических
коэффициентов, входящих в уравнения, даны только для участков, имеющих
какие-либо особенности.. Предполагается, что во всех других случаях способ
их определения не вызывает сомнений. Для учета возможности разрывов (при
динамических возмущениях) потока жидкости, движущегося по магистрали,
на все давления, рассчитываемые -по приведенной выше системе уравнений, нак-
ладывается ограничение pi^Ps, где Ps — давление упругости паров жидкости
при данной температуре. После разрыва потока условие p,=ps в уравнениях
расхода сохраняется до тех пор, пока существует образовавшаяся паровая
каверна, т. е. пока Vs>0 (по уравнению dVsldt=AG/()), затем — при Vs=0—
расчет давлений продолжается по обычным уравнениям элементов емкости.
Описанный методический подход к расчету процесса заполнен
ния, как уже отмечалось в начале, является наиболее общим,
поскольку позволяет путем несложных модификаций применяемых-
уравнений рассчитывать все необходимые показатели процесса
для систем самой различной сложности. В частности, в рассмотрен-
ном примере учитываются волновые процессы, газожидкостные
46
Рис. 1.11. Простые случаи рас-
чета заполнения:
а—прямой гладкий трубопровод;
б—ресивер с вытеснением газа; в—
ресивер со сжатием газа; а—ем-
кость, «простреливаемая» струей
емкости, наличие в тракте охлаждения камеры сгорания участков,
заполняемых с двух сторон (образование газовых мешков), и др.
Не вызывает затруднений также учет таких дополнительных факто-
ров, как, например, вдув в магистраль газа продувки, влияние
кавитации, действие на процесс заполнения инерционных перегру-
зок, вызываемых переносным движением системе и др. (некото-
рые из этих факторов будут еще рассматриваться нами ниже).
Однако используемая система уравнений в общем случае, как
это видно из приведенного примера, является достаточно сложной
и может быть решена только численнными методами или путем
аналогового моделирования. В то же время на практике часто бы-
вает нужным оперативно провести расчетные оценки ожидаемых
показателей процесса заполнения для отдельных более простых
частей общей системы (прямых трубопроводов, ресиверов, внутрен-
них полостей регуляторов и т. п.). В этих случаях применяются
более простые уравнения динамики процесса заполнения, допуска-
ющие прямые оценки интересующих показателей процесса по гото-
вым аналитическим решениям. Некоторые из таких уравнений
рассматриваются ниже.
1.4.3. Простые случаи расчета заполнения. Если заполняемая
гидромагистраль (рис. 1.11, а) представляет собой гладкий прямой
короткий цилиндрический трубопровод с малым активным гидрав-
лическим сопротивлением по сравнению с волновым [га<^гв, т. е.
(l/d) <С1/(МП1ахХ) в заполненном состоянии], то при малых дозву-
ковых скоростях течения (M=u/g<^;1) расчет процесса заполне-
ния можно просто выполнить по общим линейным волновым урав-
нениям гидродинамики трубопровода:
—=0.	(1.29)
dt 1 дх dt 1 F дх	v
47
Граничные и начальные условия, учитывающие движение фрон-
та заполнения (сечения Фр—Фр на рис. 1.11, а) и переменность
массы жидкости в трубопроводе при мгновенном открытии
в момент t=G проходного сечения на входе (между сечениями
О—0 и 1—/), имеют вид
при х=0 p0=const; O^O^tpo—р^/Гмы,
при х=хфР РфР=р2-, dx$p/d/=G$p/(eF);
при x—l р2=const;]
при /=0 ро(О)=ро; Pi(0)=p2 (0)=Рг;
Go (0)=Gt (0)=Офр (0)=0; хфр (0)=10,
причем ро— р2=Дро=соп^>0.
Здесь гмщ=п*/Г — активное линейное гидравлическое сопро-
тивление, учитывающее влияние переменной массы жидкости
(эффект Мещерского); и*— \(2^p0/q; СФр — массовый расход жид-
кости через сечение фронта заполнения по уравнениям (1.29) при
различных фиксированных мгновенных положениях фронта хфр=
— const в диапазоне заполнения 1о^хфр^1.
Такие граничные условия для решения данной задачи могут
быть приняты благодаря наложенному ограничению на максималь-
ную скорость течения жидкости (М-Cl). В этом, случае фронт
заполнения движется значительно медленнее, чем распространя-
ются волны давления в жидкости, что дает право применить здесь
для упрощения решения задачи метод условного «замораживания»
медленно изменяющейся величины. Замена в первом граничном
условии квадратичного сопротивления /?Мщ= 1/(2рГ2) (соответст-
вующего по уравнению Мещерского учету переменной массы жид-
кости) эквивалентным линейным сопротивлением гМщ = и*/Г
не является принципиальной и требуется только из соображений
получения более простых конечных аналитических выражений.
В принципе при данной постановке задачи можно получить анали-
тическое решение и при квадратичном законе сопротивления.
Общее решение уравнений (1.29) при заданных граничных
условиях дает следующие выражения для построения переходных
процессов заполнения:
Gi(O=ai+₽iGi(f — 2т); Офр(/)=а2+₽2О1(/— т);
•’’'фр G) — Т (^) == (^ Ч'прелш) [ 1 “Ь “гОфр (/ Т'предш)] •
Здесь все переменные представлены в относительных величи-
нах:
G1=G1/G*; Сфр=Офр/С*; хфр=хфр/1; т=т/т*;	(1.31)
За базы приняты определяющие параметры I, F, р, а и другие
и их комплексы Q*=F 1'' 2qA/?0 ц t* = //u*. Величина т=хфр/а
представляет собой переменное волновое время заполняющегося
48
Рис. 1.12. Изменение параметров при заполнении короткого трубопровода
трубопровода. Постоянные коэффициенты аир выражаются через
один определяющий комплекс М* = а*/п:
а = 2М* ; р 1-М* а ₽2=1-М*;	(1.32)
1	1 + М* 1	1 + М*	'
Тпррлтп — относительное переменное время запаздывания для пред-
шествующей ступени процесса.
Переходные процессы, построенные по выражениям (1.30) —
(1.32) для указанных выше начальных условий при значении опре-
деляющего комплекса М*=0,11 и относительной начальной длине
заполненной части 7о=О,1, показаны на рис. 1.12. Видно, что вол-
новые явления приводят к тому, что расходы при заполнении нара-
стают не плавно, а резкими ступеньками, причем их высота
по мере заполнения постепенно уменьшается, а продолжительность
растет. Первое обусловлено усилением влияния эффекта Мещерско-
го по мере роста скорости, а второе — снижением собственной час-
тоты колебаний жидкости в трубопроводе с увеличением длины
заполненной части. Координата фронта заполнения хфР благодаря
интегрирующему эффекту изменяется более плавно. Полное время
заполнения (достижения #фР= 1) составляет г ~ 10, при этом ско-
рость течения достигает почти 97% от и*; (бфР=0,97). Аналогич-
ным образом могут быть найдены показатели процесса заполнения
и для других значений определяющих параметров.
Чтобы исключить рекуррентный характер вычислений, требую-
щихся при использовании выражений (1.30) — (1.32), можно вместо
49
полных решений уравнений (1.30) применять следующие их цело-
численные аппроксимации:
-4-i _
(?!(/)=1-е	; ОфР(*)=1-₽2е	;
_aj_z	(1.33)
—	_	2
% (i)=rci^'Coei т
Здесь То=?о=4)/я— начальное относительное волновое время тру-
бопровода для предшествующей ступени;	t=0, 1, 2,
3,... — значения целочисленного аргумента. Эти выражения пред-
ставляют параметрическую форму записи уравнений огибающих
полных ступенчатых решений (см. рис. 1.12) и позволяют для лю-
бой ступени процесса сразу находить искомые значения перемен-
ных без необходимости предварительного определения их преды-
стории. При этом целочисленные значения относительного текуще-
го времени процесса определяются простым суммированием
2 г,.
1=0
Другая группа простых случаев расчета процесса заполнения
относятся к различного рода полостям, имеющимся в гидромагист-
ралях ЖРД (ресиверы, «пазухи», внутренние объемы агрегатов
автоматической системы и т. п.). Расчетные схемы некоторых раз-
новидностей таких элементов показаны на рис. 1.11, б, в и г.
Для них характерно наличие значительных сосредоточенных соп-
ротивлений в концевых сечениях и относительно малых скоростей
движения жидкости внутри самой полости. Активное гидравличе-
ское сопротивление таких элементов в заполненном состоянии зна-
чительно больше волнового: га2>гв. В простейшем случае, когда
можно не учитывать вторичных факторов (наличия газа, статиче-
ского и скоростного напора жидкости) и давления в концевых сече-
ниях постоянны (pi=const, p2=const), показатели процесса запол-
нения определяются по формулам
/зап=——^==-;	(1.34)
^FBX у 2q (Pl — р2)
^вых-^2
р = + ’
вх * вых
где 4ап — время заполнения; G* и р* — расход и давление жидко-
сти в полости по окончании процесса заполнения; Гвх и FBb.x —•
проходные сечения на входе и выходе; М* — масса жидкости внут-
ри элемента в заполненном состоянии. В случае переменных дав-
лений Pi(t) и p2(t) накапливающаяся масса жидкости определяет-
ся интегрированием
t ___________
—	(1.35)
50
И, наконец, последний простой случай расчета процесса заполне-
ния относится к достаточно длинным трубопроводам со значитель-
ным распределенным по длине активным сопротивлением. Если
в заполненном состоянии активное и волновое линейные сопротив-
ления трубопровода соизмеримы (/'а~/'в) и режим течения в основ-
ном турбулентный, то при «тах<Са, пренебрегая сжимаемостью
жидкости, рассчитывать процесс заполнения можно по системе
уравнений
dO  А, - [/?0 + R (М/м*)] G2~pz .
dt	L (М/М*)
dM/dt=G
(1.36)
при начальных условиях G(0)=0, M(O)=Mo, pi—p2=Ap0=const>
>0. Обозначения соответствуют расчетной схеме на рис. 1.11, а.
Здесь G и М — расход и масса жидкости в трубопроводе; Ro—
=$Мщ+#вх— суммарное активное сопротивление, сосредоточен-
ное на входе, оно складывается из сопротивления 1/(2qF2),
эквивалентного эффекту Мещерского, и какого-либо дополнитель-
п	1
ного сосредоточенного сопротивления RBX—------------ , например
2е(;лАвх)2
дроссельной шайбы, если она имеется на входе; R—~k(lld)—— и
2qF 2
L—------распределенные по длине активное и индуктивное сопро-
тивления трубопровода (в заполненном состоянии); Mq—RqF
и M*=IqF— начальная и полная массы жидкости в трубопроводе.
В силу пренебрежения сжимаемостью жидкости G = Go=Gl=G^p.
Деление первого уравнения системы (1.36) на второе и переход
к относительным переменным G — GIG*-, М=М/М*; t=tjt*, где
t*=lju*, приводят к следующему уравнению фазовых траекторий
процесса заполнения:
2MG	1 - (а+рЛ?) G2,
dM
(1-37)
I Р \2	I ,___
где а=1+ ----------1 ; р=Х— (если сосредоточенное сопротивление
УР-бвх /
на входе /?вх отсутствует, то Двх—>оо и а—1). Подстановка
G2=z преобразует уравнение (1.37) в линейное
7И;г'-(-(а-}-Р./И) z— 1,
где z'=dz/dM. Решение линейного уравнения, проходящее через
заданную начальную точку М(0) —Мо, z(0)=0 при а=1, пред-
ставляет собой следующую зависимость мгновенных значений рас-
хода в процессе заполнения от текущих значений степени запол-
нения X:

(1.38)
где X—рТИ, Х0—$М0. Из анализа этой формулы следует, что при
Р 1 расход в процессе заполнения изменяется с забросом, причем
51
максимум расхода Gmax= |/ —-------....... достигается при X—
=Л’1^Л'0-[-2,25 (1 — е-х<>/1’5), а величина расхода в конце за-
полнения при Х = $ (т. е. при М— 1) составляет О* =
=]/[1 _ е-(P-Xcjj/B.
Аппроксимация правой части уравнения (1.38) функцией
(X — А’о)0,5
-------i-----------g-j--=G, совпадающей с исходной в точках
а {X — Л'д) -}- b (X — Х$) ’ + 1
Х=Х0, и р, дает следующие выражения для расчета коэффи-
циентов аппроксимации:
Подставив эту функцию во второе из исходных уравнений (1.36)
и проинтегрировав его, получаем следующую формулу для расчета
относительного времени заполнения трубопровода на величину X:
t(X)=-L\^.a{X-X^I2+b{X-X0)+2{X-X0r^.	(1.39)
Р L d
Отсюда время достижения максимума расхода при заполнении
^Gmax—а время окончания заполнения <зап—?(₽•)•
1.4.4. Гидроудар при заполнении насоса. При запуске двигате-
лей, у которых насосы перед пуском не залиты компонентами,
в процессе заполнения насосов во входных гидромагистралях воз-
никают гидроудары, сопровождающиеся последующими волновы-
ми процессами. Допустимые величины гидроударов лимитируются
прочностью трубопроводов и корпусов насосов, а характеристики
волновых процессов — условиями безопасности протекания после-
дующих огневых процессов, в частности отсутствием значительных
провалов давления, вызывающих опасные кавитационные срывы
насосов.
Непосредственно использовать известную формулу Жуковского
для прямого гидроудара Apry=Q«Au, справедливую при Атторм^
^21/а, или, например, формулу Мишо для непрямого удара Аргу=
= 2/qAu/AtTopm, справедливую при линейном законе торможения
жидкости, где АтТОрМ> 21/а, в данном случае не представляется
возможным, так как параметры торможения жидкости Ап и АтТОрМ
здесь заранее неизвестны. В рассматриваемой методике гидроуда-
ры и последующие волновые процессы, возникающие при заполне-
нии насосов, рассчитываются следующим образом.
52
На рис. 1.13, а представлена типичная схема гидромагистрали
ЖРД со шнекоцентробежным насосом, заполняемым во время
запуска двигателя. Обычно открытие пускового клапана совмеща-
ется по времени с началом раскрутки ТНА пусковым стартером,
поэтому фронт заполняющей жидкости набегает на уже вращаю-
щийся ротор насоса.
53
Динамика изменения расхода жидкости через насос и появле-
ния напора насоса в процессе его заполнения и раскрутки описы-
вается уравнениями
rfOH__Рвх ~Ь и Рк .
dt ~~ La ’
(Аи)	(1.40)
dMjdt=QBy-QB,
в которых AH=MJMH*tSZ. 1 коэффициент заполнения насоса, Ь, с,
d — коэффициенты аппроксимации напорной характеристики, £п—
коэффициент гидравлической массы насоса, Нк и А4Ц — напор насо-
са и масса жидкости в его роторе.
Здесь функция Ф(АН) учитывает распределение гидравлическо-
го сопротивления по тракту насоса. Проведенное эксперименталь-
ное исследование показывает, что около 85% от общего гидравли-
ческого сопротивления тракта шнекоцентробежных насосов сосре-
доточено обычно на выходе — в спиральном отводе за рабочим
колесом — и около 10% составляет гидравлическое сопротивление
шнека на входе в насос. Полученная экспериментальная зависи-
мость удовлетворительно аппроксимируется степенной функцией
ф(Ан)=Лн5. В случае необходимости воспроизведения также
и первого относительно небольшого пика давления, возникающего
при заполнении насосов в результате влияния гидравлического соп-
ротивления шнека, целесообразно применять аппроксимацию мно-
гочленом
Ф(АП)=5А*-2А®-А1-АН<1.	(1.41)
Расчет скорости подхода жидкости к насосу и последующих вол-
новых процессов во входном трубопроводе производится по обыч-
ным уравнениям заполнения, которые в случае разбиения входно-
го трубопровода на два участка и без учета сопротивления вытес-
няемого воздуха, записываются в следующем виде:
dG0___Рб ~ Ро е dp0 ___________Go — GBX .
dt	Lq ’ dt Cq
Ро ^bx^bx P:a
dGBK
dt	Anx
dpbYi__^BX . ^A1BX_________Q ____Q
dt ~ CBX ’ dt ~ ° BX’
(1.42)
где
Cm=( 1 — A™ ) CBX+ ABXCBX; ^?вх = ^кл (0"T AbyRm 4- /?Мщ.вх;
ZBX— L ABX£BX;
m — коэффициент формы фронта заполнения; АЮ,=МШ/МВХ 1 —
коэффициент заполнения; СВх=1/вхряачр/Хх-
54
При необходимости число участков разбиения входного трубо-
провода может быть увеличено. Выходной трубопровод (до дрос-
сельной шайбы) представляется как один участок, описываемый
уравнениями аналогичного типа:
dp„ _ GK—Gg dGg _ Рп — RgGg — Ра .	43.
dt — Ca ’ dt	La '	k
. dMaldt—QK—Qa.
Переменные коэффициенты Ra, Ca и La рассчитываются по при-
веденным выше формулам типа (1.28).
Уравнения (1.40) — (1.43) представляют полную систему урав-
нений для моделирования гидроударов и волновых процессов, воз-
никающих при заполнении насосов (как остановленных, так и вра-
щающихся). Расчеты динамических процессов, выполненные
по этой системе уравнений, удовлетворительно согласуются с экс-
периментальными данными (рис. 1.13, б).
1.4.5. Заполнение гидромагистрали криогенным компонентом.
При запуске ЖРД заполнение гидромагистрали двигателя крио-
генным компонентом осуществляется обычно в два этапа.
На первом этапе производится так называемое «захолажива-
ние» гидромагистрали, т. е. заполнение криогенным топливом
и охлаждение участков гидромагистрали от баков до пусковых
клапанов двигателя. Эти участки в зависимости от схемы запуска
могут включать в себя также и насосы ТНА. Захолаживание пред-
ставляет собой относительно медленный процесс, продолжающийся
десятки и сотни секунд и имеющий своей целью главным образом
удаление газовых пузырей и получение требуемой температуры
топлива перед пусковыми клапанами. Этот процесс является под-
готовительным к запуску. Его динамические характеристики непо-
средственно не оказывают влияния на динамику запуска двигателя.
Расчет процесса захолаживания не входит в задачу данной работы.
На втором этапе открываются пусковые клапаны двигателя
и начинается интенсивная раскрутка ТНА стартером. В этих усло-
виях происходит заполнение криогенным компонентом участков
гидромагистрали, ведущих в газогенератор и камеру сгорания.
В зависимости от схемы двигателя эти участки могут включать
в себя также и охлаждающий тракт камеры сгорания (например,
у водородных ЖРД). Вследствие нагрева криогенной жидкости
от стенок конструкции она частично газифицируется. Первые пор-
ции компонента проходят через форсунки в жидком и газообразном
состояниях, имея более высокую температуру, чем на входе в дви-
гатель. Этот этап заполнения является обычно относительно крат-
ковременным, протекающим за десятые доли секунды. Однако
он входит непосредственно в процесс запуска двигателя и сущест-
венно влияет на динамику воспламенения топлива и последующих
переходных процессов.
Рассматриваемая ниже математическая модель процесса запол-
нения позволяет при заданных законах открытия пусковых клапа-
55
Рис. 1.14. Схема короткой гидромагистрали, заполняемой жидким кислородом
нов и нарастания давлений в концевых сечениях заполняемых уча-
стков гидромагистрали определить характер изменения расхода
криогенного компонента и его пара через форсунки огневых агре-
гатов в пусковой период. Хотя основные уравнения модели относят-
ся к описанию сильно нестационарных гидродинамических и тепло-
физических процессов начального этапа запуска, однако модель
в целом остается в силе для описания динамики гидромагистрали
и после окончания заполнения и выхода ее на режим. Гидродина-
мические параметры гидромагистрали (давление, расход) в моде-
лируемом процессе изменяются за малый промежуток времени
в очень широких пределах.
В основу моделирования положены следующие предпосылки.
Заполняемая криогенным компонентом магистраль рассматри-
вается как двухфазная гидродинамическая система со взаимным
преобразованием жидкой и паровой фаз, что определяется подво-
дом тепла к ним от стенок конструкции и уровнем давления.
Процесс заполнения и частичной газификации начинается при
давлении, равном атмосферному, и заканчивается при значениях
давления, существенно превышающих критическое для данной
криогенной жидкости. Режим течения двухфазной среды принима-
ется переходящим от стержневого к снарядному и затем снова
к стержневому. На рис. 1.14 схематически представлена конечная
стадия стержневого режима течения в короткой гидромагистрали.
Фронт заполняющей жидкости в трубопроводе принимается
в виде усеченного конуса, причем угол при вершине конуса по мере
заполнения и захолаживания стенок конструкции уменьшается.
Благодаря этому первые порции жидкого компонента достигают
форсунок еще до того, как весь объем заполнится жидкостью.
В форсуночной головке происходит перемешивание жидкости
и пара. Вследствие крупномасштабной турбулентности потока оно
частично происходит также и в трубопроводе. Дальнейшее захола-
живание стенок конструкции и снижение теплового потока к жид-
кости приводят к уменьшению доли пара в суммарном расходе
56
двухфазной среды через форсунки. В результате этого двухфазное
течение постепенно сменяется подачей через форсунки только
жидкости.
Уравнения, приближенно описывающие этот сложный процесс,
составляются при конечно-элементной схематизации его с исполь-
зованием приведенных ниже (см. подразд. 1.4.9) уравнений дина-
мики заполнения гидромагистралей двухфазной средой. Прибли-
женное математическое описание теплофизических процессов дает-
ся при следующих основных допущениях: 1) без учета теплообмена
с внешней средой и передачи тепла вдоль стенок конструкции;
2) с использованием стационарных значений коэффициентов тепло-
отдачи аж, а„, ап.ж, соответствующих различным стадиям режи-
ма кипения жидкости (пленочному кипению, переходному режиму,
пузырьковому кипению); 3) в предположении, что величины
поверхностей теплообмена между стенками конструкции, паром
и жидкостью являются функциями степени заполнения участков
жидкостью и средней (расходной) скорости течения жидкости;
4) в предположении, что характеристические времена процессов
испарения жидкости и конденсации пара подчиняются закономер-
ностям, свойственным диффузионным процессам.
Предполагается, что коэффициенты теплоотдачи, формы пото-
мка и фазовых превращений, грубо оцениваемые вначале, могут
быть в дальнейшем уточнены при идентификации математической
модели по экспериментальным данным конкретной магистрали.
В относительно коротких гидромагистралях (с //d<20...30
у заполняемой части) переменное по времени давление p(t) можно
считать одинаковым по всей-длине заполняемой части. В гидрома-
гистралях, имеющих значительное распределенное гидравлическое
сопротивление (например, включающих в себя охлаждающий тракт
камеры сгорания), пренебрегать изменением давления вдоль запол-
няемой- части нельзя. В математической модели заполняемая часть
таких гидромагистралей представляется системой, состоящей
из конечных элементов, в каждом из которых производится интег-
рирование давления и расхода и рассчитываются теплофизические
процессы нагрева и газификации криогенного компонента. Для каж-
дого конечного элемента основные уравнения имеют следующий
вид.
1)	Накопление массы и газификация жидкости:
dMKzldt~O^z-D— Gncaz— С?жг; Дг=(-44жг/Л1жг)	1;
ldMngldt= GufzHi) + Оиспг — Qnz',
GKCnz	-^жг/Дюпг	-^пг/Дондг’
- -г	I 273 \2.
4испг	|'исп	I ™ I .
Psw.z —	Pz	\ 'жг/
PstVLZ---f
57
2)	Нагрев жидкости и'пара, охлаждение стенок конструкции:
dTwz	^Qwz — Qhcdz + Qkz	Тжг	44)
rf/	^2KZ	dt
dTnz  AQn z Риспа + Qnz ~~ Qn.y&z  T^z dMjiZ ,
di	i^nzt'nz	di
dT„z!dt= - (Д£жг+Д<2пг)/(Ж„ zc„);
mz+ 1
^z=^^T„z-TX2)F62A2mz ;
/ mz+ 1 \
*Qnz=Knz(r„z-Taz)F6X 1 -Лm* J;
Qhchz ^исц (^"испг-!- ^ж^ж z)’ ^"испг f (Pz)’	(^‘
Ожг— Сжг [0>K(z— 1)7"ж(г—1) ^жг^жг]’
Qnz ^nz К^П (z—l)^(z—1)	^nz^nzl*
Сп.жг = ап.жг (7"nz ^жг) l^nz ^жг| Az ( 1	Аг) ^6z>
„	, Г 1
G-
nz
0,8 I 8ctz
1 "T 2XCT
; Ku z — аналогично.
3)	Давление и расход двухфазной среды:
^-=^+rz^; гг=е(аг/Дг);
at bz	at
dO^z Pz Rw.z Южг1 Сжг^ Pz-j-1 .
di	^tk.z
LXz=(lzlFz)A^\
RKZ=i/(^F2zA^)-,
OBz=^z (1 - ЛтА 7^= Q M
r (fiPjaz
Pz
az=-^- ;
Pz+l
a02=[Ож(г-1) - GHCn z — Ож z] + [Ou (z-1) + OHC1I Z — G„Z]	-[-
Qnz
। -Мжz д^жг <1Тжг । Afnz Q«z dTnz _
Qjkz дТжг di Puz Qnz di
Czz=Az -^^+(1-4)^-	;
бжг ^Pz	Pz Qnz
Qnz f №nz’ Pz}’ бжг f (^жг’ Pz)‘
Из приведенных уравнений видно, что при расчете накопления
масс жидкости и пара Мжг и Mnz направление и интенсивность
процесса газификации, т. е. знак и величина среднемассовой скоро-
58
сти испарения (GIICnz)> определяются соотношением между интен-
сивностью процессов испарения жидкости (Mmz/rIKn z) и конденса-
ции пара (Мп z/Тконд г) • При этом характеристическое время испа-
рения Тисп z рассчитывается по давлению упругости пара при тем-
пературе жидкости Тк z, а время конденсации тко11д — по соответст-
вующему давлению ps№z, определенному по температуре пара.
Общее давление парожидкостной смеси pz и температуры стенок
конструкции, пара и жидкости TC.IZ, Tnz и T-lKZ по длине каждого
участка считаются постоянными.
При определении потоков тепла AQHS г и AQn г, поступающих
в жидкость и пар от стенок конструкции, коэффициенты теплопе-
редачи Kmz и Лпг Принимаются ЗЭВИСЯЩИМИ ОТ ТОЛЩИНЫ бет г
и коэффициента теплопроводности Хст стенки и от средних массо-
вых расходов каждой фазы на выходе участков GK г и Gn 2, а вели-
чины поверхностей, через которые происходит теплообмен, берутся
как некоторые переменные доли общей площади внутренней боко-
вой поверхности участков Fo г, зависящие от текущих значений
коэффициентов заполнения Az и постоянных коэффициентов формы
фронта струи mz (см. подразд. 1.4.9). Интенсивность теплообмена
между паром и жидкостью (поток тепла Qn.®z) зависит от скоро-
сти скольжения фаз, характеризуемой абсолютной величиной раз-
ности расходов, и от величины поверхности их контакта, задавае-
мой как некоторая функция коэффициента заполнения Az. Потоки
тепла, переносимые жидкостью и паром из одного участка в дру-
гой (Qffi(z-i>; Qwz; Qn(z-1>; Qnz) И затрачиваемые на испарение жид-
кости и перенос тепла между фазами при массообмене (Qncnz)»
вычисляются по текущим значениям теплоемкостей каждой фазы
сж z, сП2 и переменному значению скрытой теплоты парообразова-
ния Гцсп г, зависящему от величины давления pz.
Расчет давления двухфазной среды pz производится по уравне-
нию элемента газожидкостной емкости (см. подразд. 1.3.3) с уче-
том переменных температуры, плотности и скорости взаимного
превращения фаз. При расчете расходов Gmz и Gnz гидравличе-
ское сопротивление участков отнесено к их выходу, причем
площади проходных сечений на выходе участков Fz распределяют-
ся между жидкостью и паром в зависимости от величины коэффи-
циентов Л2 и т. Расход жидкости определяется с учетом инерции
ее столба £жг, расход пара — по обычной формуле истечения для
стационарных условий с использованием газодинамической функ-
ции q (л) и коэффициента истечения р.
Численное решение записанных уравнений производится при
заданных начальных условиях по интегрируемым переменным
(АД. z, Afnz, Д2, Тт и т. д.) и заданных законах изменения по вре-
мени давлений в концевых сечениях заполняемой части гидромаги-
с.трали [pv(t) Prr(t) на Рис. 1.14]. Получаемые в результате расчета
переходные процессы по расходам и параметрам жидкости и пара
на выходе из заполняемой части [СН(.Ф.ГГ(!1), Спфгг(^), TK.$.Tr(t),
^п.Ф.гг(0] используются для анализа и корректировки характери-
стик систем запуска двигателей. Данная подсистема уравнений
59
Рис. 1.15. Изменение параметров при заполнении жидким кислородом короткой
гидромагистрали (результаты моделирования)
-----задано; --------и — • — расчет
естественным образом включается в общую математическую мо-
дель динамики двигателей.
На рис. 1.15 в качестве примера приведены результаты моделирования про-
цесса заполнения жидким кислородом короткой гидромагистрали, схема которой
соответствует рис. 1.14. Расчет проводился по уравнениям (1.44) при заданных
законах открытия пускового клапана и изменения давлений в граничных сечени-
ях. При моделировании магистраль разбивалась на 4 участка сечениями г—1, Z,
z+1 и z+2. Значения коэффициентов теплоотдачи приняты аж*=200 и ап*=
=40 Вт/(>м2*К); значение характеристического времени испарения тисп =0,01 с.
60
Из графиков, представленных на рис. 1. 15, видно, что расход жидкости че-
рез форсунки бж.ф.гг появляется с запаздыванием почти на 0,1 с по отношению
к появлению расхода окислителя через пусковой клапан Окл. В течение этого
периода через форсунки проходит газифицированный кислород, расход которого
за 0,1 с достигает своего максимального значения бп.ф.гг~2,3 кг/с и затем по-
степенно (за ~'0,08 с) снижается до нуля по мере захолаживания и заполнения
магистрали жидкостью.
На рис. 1. 15 показано также, как изменяются температуры жидкости Тж г,
пара 7"п z и стенок трубопровода TCTZ на участках в процессе заполнения и за-
холаживания. Видно, что температура пара на всех участках быстро (за 0,05—
0,08 с) снижается от исходной температуры воздуха, заполняющего магистраль
до запуска (7=273 К), примерно до температуры жидкости 7Ж г=90 ... 100 К.
Температура жидкости z сначала незначительно повышается (на ~20К) и за-
тем в течение примерно 1 с понижается до исходной (7'ж=90К)- Захолажива-
ние стенок трубопровода происходит более чем за 1 с, причем, как и следовало
ожидать, раньше захолаживаются участки, ближайшие к пусковому клапану.
Как видно из рис. 1. 15, процессы изменения давления в предфорсуночной
полости газогенератора Рф.гг и коэффициентов заполнения отдельных участков
жидкостью Аг протекают таким образом. Вследствие относительно малого
перепада давлений на форсуночной головке величина р$.тт практически «следует»
за давлением в газогенераторе ргт. Заполнение всей магистрали жидкостью за-
канчивается приблизительно за 0,18 с, при этом к моменту времени /=0,09 с,
когда начинает интенсивно заполняться последний, четвертый участок, первый,
ближайший к пусковому клапану, уже заполнен жидкостью более чем на 80%.
Расчеты, проведенные при варьировании значений некоторых коэффициентов,
показали, что уменьшение тисп в пять раз (г 0,01 до 0,002 с) существенно
не сказывается на рассчитываемых переходных процессах. Уменьшение коэффи-
циентов теплоотдачи аж* и ап* в 100 раз приводит к заметному изменению
переходных процессов: жидкий окислитель приходит к форсункам газогенератора
на 0,03—0,05 с позже, расход газифицированного окислителя через форсунки
уменьшается почти в пять раз, заметно снижается подогрев жидкости, поступаю-
щей через форсунки.
Изменение начальной температуры конструкции существенно влияет на ха-
рактеристики процесса заполнения: понижение температуры конструкции на 70 К
(с 308 до 238 К) приводит к снижению расхода газифицированного окислители
примерно на 20—25% и увеличению запаздывания прихода к форсункам жидкого
окислителя почти на 0,1 с. Это может вызвать опасный заброс температуры гене-
раторного газа в момент воспламенения топлива.
Полученные результаты свидетельствуют о «чувствительности» расчетной
модели к указанным факторам.
1.4.6. Самовоспламенение и выгорание стабильного топлива.
Уравнения, описывающие завязку и развитие огневых процессов
при запуске ЖРД на стабильном самовоспламеняющемся топливе,
остаются в принципе одними и теми же для камер сгорания и для
газогенераторов.
бя Рассмотрим их применительно к газогенератору.
Д Сложный огневой процесс запуска газогенератора складывает-
ся из ряда более простых процессов, состоящих в накоплении,
самовоспламенении и выгорании топливной смеси в зоне горения,
истечении газообразных продуктов сгорания через сопловой аппа-
рат турбины и частичном выбросе из газогенератора вместе с ними
несгоревшего топлива.
Накопление масс жидкого топлива в газогенераторе как при
запуске, так и при работе на установившемся режиме, определяет-
ся балансом между поступлением компонентов через форсунки
и их удалением из зоны горения вследствие испарения, выгорания
61
и частичного уноса в жидком виде. Этот процесс описывается урав-
нениями накопления массы, имеющими следующий вид:
^=<?Ф.о(1-Фо)-<?го; ^=<?ф.г(1-Фг)-Огг-	(1-45)
Здесь бф.о и бф.г — расходы жидких компонентов через форсунки;
Ог о и бгГ — массовые скорости преобразования жидких компонен-
тов в продукты сгорания и пар; ф0 и фг — переменные коэффициен-
ты неполноты сгорания.
Самовоспламенение и выгорание топлива описывается следую-
щими уравнениями:
при
Г.0
при
/? __
г°~ Т3
где
Т3
(1.46)
при 73 = 7ГГ>7’СВ;
М "> k М
1 ri ж .о	Л'стех-/ ri ж.г
^ж.г^стех I ^ж.о — ^ж.г^стех . гр Л4]
Т	_	’	'“'г г
*з.о
М k М
2Г1ж.о^. л'стехг .
гр ___ ^ж.о/^стех -1 Мк.г Мж.о/^стех
гГ Т3
^гг V т1/Г8
4=^3 1“-^ е гг
\ Ргг /
*исп.о при ТгГ Г0.кр,
*з ПрИ Тгг	То.кр»
г — Г* _________^гг______(	\2 \ q •
ИСП’° ° Pos(Trr)-p0 \ТГГ) ’ иииг г pFS(Trr}~pr
*з==*з при 7^3—7^гг, роs(Ггг) /7О.КР, Я5(Лг)<^г.кр,
Л-Лстех Q.	0 £ = ^о
k+1	(* + 1Истех	Мж.г
*3.0
0;
т.
^ИСП.Г При ТТт	^г»Кр’
при ТГГ	7^г,кр>
’	— Т
исп.г v
Ргг

^3
3
В приведенных уравнениях (1.46) в соответствий с общими
законами химической кинетики среднемассовые скорости образова-
ния газообразных продуктов реакции из каждого компонента Gz о
и Gg г приняты пропорциональными величинами действующих масс
исходных веществ Л1Н;.() и Л4Ж.Г- Коэффициенты скорости реакций
1/тз, l/ta.o и 1/Тз.г зависят от состава реагирующей смеси k=
= Мж.о/Мщ.г и физических условий в реакционном объеме Тгг и рГг-
Отклонение состава смеси от стехиометрического учитывается срав-
нением текущих значений коэффициента k с его значением &Стех>
соответствующим стехиометрическому составу смеси. Принятые за-
кономерности изменения коэффициентов скорости реакций сводят-
ся к следующему.
На начальных стадиях процесса, когда температура в реакци-
онном объеме Ггг меньше критической температуры избыточного
компонента Т’о.кр или Ггл{р, воспламенение и выгорание стехиомет-
рической части массы исходных веществ подчиняется кинетическо-
му закону Аррениуса с коэффициентом скорости реакции 1/т3»
62
Рис. 1.16. Влияние температуры самовоспламенения на процесс запуска газогене-
ратора:
а—при пассивном самовоспламенении Гсв=300 К; б—при активном самовоспламенении
7СВ=500 К
а испарение остальной массы избыточного компонента подчиняется
диффузионному закону переноса массы с коэффициентом скорости
процесса 1/тИСп.о или 1/тИСп.г- Эффект ускоренного самовоспламене-
ния учитывается тем, что при вычислении величины т3 в формулу
закона Аррениуса с самого начала подставляется не фактическая
низкая начальная температура в реакционном объеме Тгг, а неко-
торая заранее задаваемая более высокая температура самовоспла-
менения топлива 7'св, принимаемая равной температуре Тпг началь-
ного парогаза (промежуточногопродукта реакции), выделяющегося
на начальной стадии процесса самовоспламенения. По мере раз-
вития процессов горения и повышения температуры в реакционном
объеме при выполнении условия ТГГ^ТСБ расчет величины т3ведет-
ся по температуре Ттт. По этой ясе температуре определяется
и величина т/, характеризующая скорость превращения в парогаз
остальной массы избыточного компонента при Тп>Токр или TV-np-
Влияние величины Тсв на процесс запуска газогенератора иллю-
стрируется графиками расчетных переходных процессов его запус-
ка на рис. 1.16. Видно, что снижение величины Тсв с 500 (рис.
1.16, б) до 300 К (рис. 1.16, а) приводит при прочих равных усло-
63
виях к существенному ухудшению качества процесса запуска. Уве-
личивается накопление в зоне горения масс жидких компонентов
Л4Ж о и Л1ж г в предогневой период и возникает большой (примерно
до 200%) заброс давления ргг при выходе газогенератора
на режим. Это указывает на необходимость по возможности более
точного определения величины Тсв для конкретных компонентов.
При отсутствии более точных данных можно принимать Тсв==
= 450 ... 550 К-
Влияние начальной температуры жидких компонентов на дина-
мику процесса газообразования учитывается соответствующим
заданием в уравнениях (1.46) постоянных величин т3*> г0* и тг*.
Значение показателя п в формуле закона горения лежит обычно
в пределах 0,1—0,3.
Уравнения (1.46) описывают динамику преобразования жидких
компонентов в газ на всех стадиях работы огневых агрегатов, начи-
ная от предогневых процессов и завязки процесса горения и кончая
работой на установившихся режимах. При этом приведенное выше
математическое описание начальных стадий процесса остается
в силе для моделирования запуска с самыми различными законами
подачи компонентов: с опережением поступления окислителя или
горючего, с одновременным приходом обоих компонентов, со стехи-
ометрическим соотношением расходов компонентов, при значитель-
ных отклонениях от него и т. д.
Коэффициенты неполноты сгорания ф0 и г[г учитывают, какие
доли расходов компонентов выбрасываются из газогенератора
в виде несгоревшей и не полностью испарившейся жидкости.
Они изменяются в зависимости от количества накопившихся компо-
нентов в зоне горения и от величин средней температуры и давле-
ния газа в газогенераторе:
Здесь m, п, р, q — постоянные коэффициенты, учитывающие влия-
ние каждого фактора.
Сопловой аппарат и вращающийся лопаточный венец турбины
ТНА задерживают жидкое топливо, выброшенное из зоны горения
в конец ГГ. Его количество, скапливающееся у выхода из ГГ, рас-
считывается по уравнению
(1 МЖ11ф (^Лк1)выбр (^ж1)исп>
в котором Свыбр и GHCn — выбрасываемый расход и массовая ско-
рость испарения жидкости у выхода из ГГ. Учитывая, что жидкость
выбрасывается из ГГ в основном двумя путями — путем истечения
под действием приложенного перепада давлений и путем уноса
капель потоком газа, — выбрасываемый расход жидкости опреде-
ляется по формуле
ОВыбр = l^rr VРгт — PrB~KgMxi—КпП2-\-КуОт.,
64
Рис. 1.17. Расчетная схема обобщен-
ного элемента газового тракта
где р — коэффициент истече-
ния, учитывающий распреде-
ление площади проходного се-
чения FTT соплового аппарата
ТНА между жидкостью и газом
на выходе из генератора; Kg,
Кп — коэффициенты, учитыва-
ющие действие статического напора жидкости и запирающего эф-
фекта’колеса турбины; Ку—учитывает унос капель потоком газа.
1.4.7. Воспламенение и горение криогенного топлива. Завязка
и развитие огневых процессов у ЖРД, работающих на криогенном
топливе, характеризуется рядом существенных особенностей,
к которым, в частности, относятся следующие: отсутствие началь-
ных жидкофазных экзотермических реакций, ускоряющих процесс
воспламенения; последовательное прохождение стадий испарения
и горения топлива; сильное влияние на процесс потоков тепла
от поджигающих устройств и стенок конструкции.
Математическая модель воспламенения и горения криогенного
топлива, учитывающая указанные особенности процесса, может
быть построена из уже рассмотренных нами выше моделей запол-
нения гидромагистралей криогенными компонентами (см. подразд.
1.4.4) и самовоспламенения и выгорания стабильного топлива
(см. подразд. 1.4.6). В основу построения модели закладывается
следующая физическая картина явлений и ее расчетная схемати-
зация.
Рассматривается некоторый обобщенный элемент газового трак-
та ЖРД (рис. 1.17), представляющий собой камеру сгорания или
газогенератор, в который подаются все свойственные агрегатам это-
го типа потоки массы: жидкие и газообразные компоненты
Свх.ж.г, 6вх.п.о, GBx.n.r), продувочный и поджигающий газы (бпрод,
бПодж)> газообразные продукты сгорания топлива (GBX2) и охлаж-
дающий компонент (бОхл). Горючее и окислитель, поступающие
в элемент в жидкой фазе, накапливаются вблизи форсуночной го-
ловки в виде основных масс жидкости (М№.0, Мт_Г), которые под-
вергаются испарению под действием тепла от поджигающего газа
и от стенок конструкции. Вследствие неполноты процесса испаре-
ния они частично сбрасываются потоком газа в конец элемента,
где задерживаются у выходного сопротивления в виде дополнитель-
ных масс жидкости (M,K.oi, Л4,кг1), которые также частично испаря-
ются и частично выносятся из элемента с потоком газа. Образовав-
шиеся массы паров окислителя и горючего (Л4ПО, Л4ПГ), перемеши-
ваясь между собой и с поступающими в элемент газами, образуют
горючую смесь, в которой протекают химические реакции горения,
сопровождающиеся выделением тепла и повышением температуры
газообразных продуктов сгорания и паров избыточного компонента.
3	524
65
Масса получившегося таким образом горячего парогаза (Л4г) выте-
кает через выходное сопротивление элемента (расход GBbIX2), увле-
кая с собой несгоревшие остатки жидкости (расходы Свых,№,0
И б?ВЫХ.;К Г) .
Скорости испарения и горения компонентов зависят от степени
их распыла, нагрева и перемешивания, а также от физических усло-
вий в реакционном объеме (от температуры и давления). Процес-
сы испарения и горения, первоначально возникшие под действием
тепловых потоков от поджигающих устройств и от стенок конструк-
ции, по мере развития процесса начинают поддерживаться теплом,
выделяющимся в очагах горения. Ниже приводятся системы урав-
нений (1.48) — (1.50), представляющие собой приближенную мате-
матическую модель этого сложного процесса.
Для более наглядного представления основных особенностей модели и со-
кращения записи системы уравнений в ней не повторяются однотипные уравне-
ния, предназначенные для расчета симметричных переменных величин по окисли-
телю и горючему. При этом там, где это не вызывается необходимостью, буквы
«о» и «г» в индексах переменных и коэффициентов уравнений опущены; не при-
водятся также полные выражения для расчета тех промежуточных величин,
которые определяются стандартным образом, по аналогии с уже рассматривав-
шимися нами подобными величинами.
А.	У равнения накопления масс жидкости пара и парогаза:
“ ж.=(1—ф }G — G  - ж1- =ф G A-G —G —G
кХ Тж7 иВХ.Ж ^ИСП.Ж» ,,	ВХ.жТ^ОХЛ ^ИСП.Ж '“*ВЫХ.Ж>
(ZL	Иъ
^=Овх.п+ОисП.ж+Онсп.ж1 + (Овхг)п+(Опрод)11+ (1.48)
“К (^Агодж)п ^гп Фп^выхг’
~~ = @г П.0 4" Ог nJ. + (СДх г)п.с+ (^полж)г + (^прол)г ~ (1 ~ Фп) ^выхг •
at
Здесь фж и фи — переменные коэффициенты неполноты процес-
сов испарения жидкости и горения пара, вычисляемые по формулам
типа (1.47); (б?вхг)п, (GripoA)n, (^полж)п’ (^вхг)п.с доли расходов соот-
ветствующих паров, продуктов сгорания и нейтральных газов
в расходах газов, поступающих в элемент извне. Например, в рас-
ходе продувочного воздуха бпрод примерно 22% составляет расход
газообразного окислителя (GnpOH)no, а остальные 78%—расход
нейтрального газа Ощ-Я1Дг. Среднемассовые скорости выгорания
паров компонентов Огп.о, ^гп.г определяются приведенными ниже
уравнениями (см. п. В).
Б. Уравнения нагрева и испарения капель жидкости:
атж д<?ж тх амж . п _ мж мп .
—" .,	,,	,, ’ '-'исп.ж	’
dt МЖСЖ Л1Ж dt	Т-ИСГ1.Ж Ткон;(.п
ж Qa ж +Q ст.ж +Q ВХ.Ж ФиСП.Ж»
f) '__„	('р__ р	\2/3.	Q -----JS /у ____р ' Г МЖ \2/3
Чгж—агж(* г	‘ ж) I	I ’	’/ст.ж	ЛжНа	1 ж) I _ I ’
\ Уж /	V Уж Z
Рисп.ж = Оисп.ж(Гисп.ж4-<7ж7'ж)>	(I* ^9)
Свх.ж=:^вх.ж^-ж^вх.ж (1 Фж)’
66
*
^исп.ж = ^ж
Рг
Ржя (Лк)--- Рп
Т П — ГП -----—------ (— V > 0.
При расчете потоков тепла от газа и стенок конструкции к жид-
кости Q, ж и Qст.ж переменными коэффициентами теплоотдачи осгж
и аст.ж учитываются относительные скорости движения жидкости
по отношению к газу и стенкам и мелкость ее распыла на капли.
В формулах для определения потоков тепла, затрачиваемого на ис-
парение жидкости (2исп.ж и поступающего с входящими массами
жидкости Qbx-.ж, удельная теплота испарения и теплоемкость жид-
кости гИсп,ж и Сж задаются как соответствующие функции давления
газа рг и температуры жидкости Т\к.
При определении характеристических времен испарения жид-
кости и конденсации пара тИСп.ж и тКонд.и парциальные давления
паров компонентов рп находятся как некоторые доли от полного
давления парогаза в объеме элемента рг по формулам типа рп=
=рг/Ип/Л1г. Значения постоянных коэффициентов тж* и тп*, завися-
щие от физических свойств компонентов и мелкости их распыла,
выбираются первоначально на основе грубой оценки и затем уточ-
няются в ходе расчетов. Давления упругости паров жидкости
в формулах испарения (pms) вычисляются по температуре жидко-
сти Т}К, а в формулах конденсации (pns) — по температуре газа Тг.
В.	Уравнения выгорания паров компонентов и повышения тем-
пературы парогаза:
О г п = М./Д! 4=*3 (Рг/Рг)”3 С2^3^;
Qi ^г^стех’	^стех"
dTjdt=bQJ(MzcJ - (Тг/Мг) (dMz/dtY,
G=ф №,); К=КЛ
— Qz Фподж + Qnpo« + Qn.o + Qn.r + QBx.r С'гж.о
-~Сгж.г Qict Qbmxz’	(1.50)
^гп.г ( 1 “Н ^ч'гех) При 7Vfn>0 ^стех'^п.г’
^Дп.о (1 “Ь" 1/^стех) ПрИ A'f lf0	Лс.гехЛ4 пг,
Сгст = ^гст(Л —	Q<=GiC/Ti, ГДе I — ПОДЖ, ПрОД, П.О, П.Г,
вхг, вых г.
Согласно записанным уравнениям среднемассовые скорости
выгорания паров компонентов ОгП определяются переменной вели-
чиной времени задержки горения т3, Изменяющейся в соответствии
с кинетическим законом горения в зависимости от температуры
и давления реагирующей смеси газов Тг, рг. Ускорение процесса
воспламенения достигается благодаря предварительному повыше'
нию температуры горючей смеси Тг потоками тепла, поступающими
в нее с поджигающими газами <2подж и газообразными продуктами
сгорания Qbx2> а также благодаря начальному подогреву паров
криогенного компонента тепловыми потоками от стенок конструк-
3*
6/
ции QgCT и от поступления более теплого газа продувки Спрод.
Величины этих потоков тепла зависят от температур 7\ расходов
G( и удельных теплоемкостей с, соответствующих газов, а также
от значения коэффициента теплопередачи К и величины поверхно-
сти соприкосновения парогаза со стенками конструкции FCT. По мере
развития процесса горения основная роль в подогреве и поддержа-
нии высокой температуры парогаза переходит к интенсивно нарас-
тающему потоку тепла Q2 от горения компонентов топлива.
При этом расход массы обоих компонентов на горение GCT‘ex сос-
тавляет определенную стехиометрическую часть общей массовой
скорости преобразования компонентов в парогаз Огп#о и Огпг.
Величины дг и kcrex, используемые при расчетах соответствующих
потоков тепла и массы, представляют собой удельную теплоту реак-
ции горения и стехиометрическое соотношение масс компонентов
в ней.
Функция Ф (&.,), используемая для расчета удельной теплоемко-
сти парогаза сг, получена в результате решения относительно этой
величины конечного уравнения f (сг, кг)=/(&г), в котором
f (сг> ^г) —асимптотическое (при t—>со) решение относительно Тг
дифференциального уравнения с1Тг1(И—Щг1(Мгсг), a f (k2) — дос-
таточно точно рассчитанная стационарная термодинамическая
характеристика продуктов сгорания данного топлива Тг
имеющаяся в соответствующих справочниках. Благодаря такому
способу определения величины сг данная математическая модель
обладает необходимой точностью воспроизведения статических
режимов работы двигателей.
Значения постоянных коэффициентов п3; т3 в формуле кине-
тического закона горения выбираются из условий получения задан-
ной величины времени задержки горения тя на номинальном режиме
(при Тг=Тг и рг=рг) и приемлемой достаточно малой величины
этого времени на начальной стадии процесса в момент воспламе-
нения топлива (при	рг^р}). При этом значения коэффи-
циента п3, как уже указывалось выше, лежат обычно в пределах
0,1—0,3. Коэффициент т3^1; увеличение его приводит к уменьше-
нию га и к общему улучшению динамики процесса, что отражает
реально существующие возможности его оптимизации (при той же
мощности поджигающих устройств) путем организации, напри-
мер, форкамерного или эшелонированного поджигания. В таких
случаях значения коэффициента ш3 могут быть переменными, зави-
сящими от текущих значений температуры парогаза или других
параметров, характеризующих тепловой баланс системы на быстро-
протекающей начальной стадии процесса.
Данный механизм процесса воспламенения криогенного топлива
в отношении заложенных в него принципов описания теплового рав-
новесия реагирующей смеси соответствует теории теплового взрыва,
но является более сложным, так как отражает одновременно так же
существенные для задач данного типа резко нестационарные явле-
ния в области массообмена.
68
В качестве примера, иллю-
стрирующего применение опи-
санной модели, ниже приво-
дятся полученные по ней рас-
четные процессы запуска
одного из экспериментальных
газогенераторов, работающего
на компонентах кислород + ке-
росин (рис. 1. 18). Расчет про-
водился при начальных значе-
ниях температуры компонентов
и стенок конструкции Гж г=
=258 К, Лк.о=85 К и 7СТ =
=253 К и при задании по всем
входным переменным простей-
ших кусочно-линейных законов,
по которым они изменяются
во времени.
Как видно из рис. 1. 18, в
начальный период запуска про-
исходит значительная переза-
ливка газогенератора жидким
окислителем. Количество его
ЛКк.о, накапливающееся в на-
Рис. 1.18. Изменение параметров при запуске
газогенератора на компонентах кислород+ке-
чале газогенератора, достигает росин
4 кг, а в конце газогенератора
Л4Ж.О1~1,5 кг. Это приводит
к снижению средней темпера-
туры парогаза Тг почти на 100 К, несмотря на подвод к нему тепла от пиро-
запальных устройств. Воспламенение топлива происходит в момент времени
i~0,O6 с благодаря локальному нагреву капель и пара горючего до более высо-
кой температуры. После воспламенения наблюдается резкий рост средней тем-
пературы парогаза Тг с последующим провалом и плавным увеличением ее дэ
установившегося уровня Тг~475К- При этом вследствие значительного снижения
плотности жидкости, обусловленного ее подогревом (см. процесс по температура
Тт.о), объем, оставленный жидкостью для газа в момент времени Z=0,12 е,
уменьшается-почти вдвое (с 20 до 10 л). В дальнейшем по мере развития про-
цесса горения происходит более интенсивное испарение и выгорание окислителя:
масса его в зоне горения снижается до ~О,8 кг, а в конце газогенератора
Л4ж.о->-0. Приблизительно такие же величины масс сохраняются и после выхода
газогенератора на номинальный режим; при этом температура жидкого окисли-
теля устанавливается на уровне Тж.0~ 116-0 К.
1.4.8. Смягчающий эффект предфорсуночных полостей. Этот
эффект оказывает существенное влияние на величину забросов
давления (перегрузок) при запуске камер сгорания.
На рис. 1.19 схематически представлен процесс заполнения пред-
форсуночных полостей. В случае (рис. 1.19, а) заполнение проис-
ходит с прямым прострелом полости жидкостью вследствие боль-
шой скорости притекающего расхода GBX; в случае (рис. 1.19,6)
жидкость более медленно и односторонне затекает в полость, что
обусловлено действием силы тяжести жидкости. Возможны и другие
типы заполнения в зависимости от особенностей конструкции кон-
кретных предфорсуночных полостей и способов подвода к ним
жидкости.
В основу приближенных уравнений динамики предфорсуночных
полостей закладываются следующие предпосылки:
69
Рис. 1.19. Схемы заполнения предфорсуночных полостей:
а—с прямым «прострелом»; б—с боковым затеканием
предфорсуночная полость рассматривается как газожидкостная
емкость (см. подразд. 1.3.3), из которой в процессе заполнения газ
(воздух) постепенно вытесняется жидкостью;
предполагается, что только часть притекающего расхода жидко-
сти идет на заполнение объема полости, а другая часть сразу же
начинает истекать через форсунки в камеру сгорания;
учитывается сжимаемость газа и жидкости, находящихся
в предфорсуночной полости, причем процесс сжатия принимается
изотерм пческим;
при расчете истечения принимается, что доля суммарного про-
ходного сечения форсунок, предоставленная для истечения жидко-
сти (Сф.к.с) в каждый момент, определяется степенью заполнения
полости жидкостью (Дф.к.с) и что через оставшуюся часть проход-
ного сечения форсунок истекает воздух (GB);
гидравлическое сопротивление подводящих трубопроводов и са-
мой предфорсуночной полости принимается сосредоточенным
на ее входе
При указанных предпосылках уравнения предфорсуночной
полости камеры сгорания имеют следующий вид;
^Рф.К.С GBX	(/?Т)В/Рф.к.с
dt	АфКСМфКЛ1 Еж + ^вбж/Дф.к.с
== GBX ОфХ с,
G,j,.K.c =-рф.к.с '(Рф.к.с	Рк.с)/^?Ф-к.с>	gj)
GB=( 1 -- Дф.К.с) V (Рф.к.с Рк.с)/(^?ф-к-с)в»
= (Рвх Рф.к.с)/^?ВХ»
где Лф.к.с=7Иф,к.с/7И;.к.с < 1; VB=( 1 - ДфЛ.с) Л^.к.с/(£ - переменный
объем воздуха, находящегося в полости; /?ф.к.с и (7?ф.к.с)в — коэффи-
циенты гидравлического сопротивления форсунок для жидкости
и газа; m — коэффициент, учитывающий тип заполнения.
Уравнения (1.51) приближенно описывают динамику процесса
заполнения предфорсуночных полостей с учетом влияния вытекаю-
70
шего воздуха и переменного давления в камере сгорания. В неко-
торых случаях, когда заполнение предфорсуночной полости проис-
ходит достаточно быстро и успевает в основном закончиться еще
до значительного нарастания давления в камере сгорания, возмож-
но более грубое представление этого процесса, не учитывающее
изменения давления и вытеснения воздуха:
dOjdt=(рю—J?sGbx—Рк.с)/^
d^d^.K.Jdt=GKyi Офд.с; ОфКС=24ф.кхОвх,	(1.52)
где /?Е=/^х+21ф7к.с/?ф.к.с и £е=Авх+Л}>'.к.с^ф.к.с—коэффициенты сум-
марного гидравлического и инерционного сопротивления входного
трубопровода и предфорсуночной полости.
При такой упрощенной записи уравнений, если т= \ и GBX появ-
ляется в начальный момент времени скачком и затем остается все
время постоянным GBX=const, предфорсуночная полость представ-
ляет собой инерционное звено
(Чк.с«+1)Оф.к.с = ^х,	(1.53)
постоянная времени которого Тф.к.с равна полному времени запол-
нения полости данным расходом (Тф.к.с=Л1ф.к.с/ОвХ). При т = оо она
превращается в звено транспортного запаздывания
Оф.к.с = е-тФ.к.с^ю.	(1.54)
В общем случае, когда расход на входе изменяется произвольным
образом, суммарная неравномерность вступления в работу форсу-
нок, обусловленная особенностями конструкции предфорсуночной
полости, учитывается в уравнениях (1.52) путем задания опреде-
ленной величины показателя степени т.
Смягчающий эффект, оказываемый динамикой заполнения пред-
форсуночных полостей на начальный этап процесса запуска окис-
лительного газогенератора в составе двигателя закрытой схемы
иллюстрируется сравнением расчетных переходных процессов, полу-
ченных путем математического моделирования без учета
(рис. 1.20, а) и с учетом (рис. 1.20,6) этого эффекта. Видно, что
переход в уравнениях заполнения предфорсуночных полостей
от транспортного запаздывания к инерционному [замена в уравне-
ниях (1.52) т = со на т=1] приводит не только к сдвигу процесса
по времени, но и к существенному улучшению его качества. В част-
ности, полностью исключаются начальные забросы и значительные
плохо затухающие колебания давления и температуры генератор-
ного газа (ргг, 7ГГ) и расхода окислителя, поступающего в газоге-
нератор (GH.O).
1.4.9. Запуск со вдувом газа. Схема заполнения гидравлическо-
го тракта стабильным горючим (керосином) с принудительным
вдувом газа в заполняемую часть дана на рис. 1.21. В отличие
от обычной предпусковой продувки, при которой газ подается
непосредственно в предфорсуночную полость 6, в данной схеме
71
он вдувается в начальную часть заполняемой гидромагистрали —
непосредственно за пусковым клапаном 1. Вдуваемый газ ускорен-
но транспортирует первые порции жидкого топлива к форсункам
и хорошо распыливает их. Благодаря этому запуск камеры сгора-
ния получается более мягким и стабильным. По мере повышения
давления за насосом и в камере сгорания поступление газа в гидро-
магистраль уменьшается, а газ, уже находящийся в ней, постепенно
сжимается и вытесняется жидкостью. При определенном давлении
происходит закрытие обратного клапана 2 и вдув газа прекращает-
ся совсем. Оставшийся в рубашке охлаждения газ постепенно
сжимается и уносится из нее; через форсунки начинает идти только
жидкое горючее. Организация предогневого процесса с принуди-
тельным вдувом газа влияет не только на характер начального вос-
пламенения топлива, но и на последующую динамику выхода двига-
теля на режим. Это обусловлено действием воздушного пузыря,
сжимаемого в рубашке охлаждения камеры. Поскольку часть рас-
хода горючего идет на заполнение объема, освобождаемого
сжимающимся газом, расход через форсунки получается меньше
и благодаря этому происходит саморегулирование темпа нараста-
ния давления в камере сгорания и частоты вращения ТНА.
о)
Рис. 1.20. Смягчающий эффект предфорсуночных полостей (результаты модели-
рования процесса запуска газогенератора в составе двигателя):
с—при т=°°; б—при пг=1
72
При моделировании
процесса заполнения
сложная гидравличе-
ская сеть разбивается
на ряд более простых и
коротких участков с
границами 7. Разбиение
производится таким
образом, чтобы участки
не содержали внутри
себя сильно отличаю-
щихся по величине со-
средоточенных сопро-
тивлений.
Одним из допуще-
ний при составлении
уравнений, как и в рас-
смотренных выше слу-
чаях, является предпо-
ложение о том, что
проходное сечение на
выходе из каждого уча-
стка Fz распределяется
между жидкостью и га-
зом в зависимости от
величины коэффициен-
та заполнения участка
жидкостью Az:
FMZ=^(AZ)FZ,
Дг2 = [1-Ф(Д2)]Д2.
(1.55)
Рис. 1.21. Схема заполнения гидравлического
тракта двигателя стабильным компонентом с при-
нудительным вдувом газа:
/—пусковой клапан; 2—клапан вдува газа; 3—трубопро-
воды; 4—рубашка охлаждения КС; 5—отверстия завесы
охлаждения; 6—предфорсуночная полость; 7—границы
участков
При .4,^1 функция Ф(Дг) удовлетворяет условию 0^Ф(Лг)^1 +
+«; е>0. Добавка е вводится для учета того обстоятельства, что
расход жидкости при двухфазном течении в трубопроводе может
при определенных условиях несколько превышать расход однофаз-
ного потока жидкости при том же перепаде давлений. Однако это
превышение является обычно небольшим (не более нескольких про-
центов) и наблюдается только в весьма узком диапазоне значений
Аг. Поэтому при практических расчетах им часто можно прене-
бречь.
Функция Ф(Аг) играет здесь ту же роль, что и в рассмотренных
выше уравнениях при учете формы фронта заполнения трубопро-
водов и характера заполнения предфорсуночных полостей. Обычно
ее можно задавать в виде простой степенной зависимости
Ф(71г) = ДГ, в которой показатель m учитывает особенности конст-
рукции соответствующих элементов. Он может также учитывать
73
Рис. 1.22. Характеристики распределе-
ния проходного сечения между жид-
костью и газом
влияние расположения участков
гидромагистрали по отношению
к направлению действия грави-
тационных сил и дополнительных
массовых сил, возникающих при
переносных ускорениях.
На рис. 1.22 представлены ха-
рактеристики распределения про-
ходного сечения между фазами
при различных значениях показа-
теля m в степенном законе рас-
пределения Ф(Л2) = ДГ<^ 1.
Примерно такую же форму будут
иметь и кривые переходных про-
цессов по расходу жидкости на
выходе из элемента. Иногда ко-
эффициент m входит в уравнения
как некоторая функция парамет-
ров течения, например m=f(Re;i!), где Re1K— число Рейнольдса
для потока жидкости.
При соизмеримых значениях скоростного напора жидкой и газо-
вой фаз в формулу для расчета расхода жидкости вводится доба-
вочный член, учитывающий унос ее газом:
G*=p®(Az)FV2Q^pz+KyGzZ,	(1.56)
где /Су=(2Иж — 7И*ст)/Л1т1п —коэффициент уноса жидкости газом.
Здесь О /Су /Стах» Мост, Mmin И Kmax— эмпирические коэффици-
енты, учитывающие особенности конструкции и расположения
отдельных участков.
1.5. Уравнения агрегатов
1.5.1. Насос как четырехполюсник. В динамической сис-
теме ЖРД насосы играют двоякую роль: их проточная часть явля-
ется элементом гидравлического тракта двигателя, а ротор—эле-
ментом механической приводной системы ТНА.
Как элемент гидравлического тракта двигателя насос представ-
ляет собой четырехполюсник (рис. 1.23,о), входными переменными
которого служат давление и расход жидкости на входе рвх, GBX,
а выходными — давление и расход на выходе насоса рн, GH; еще
одной входной переменной является частота вращения насоса п.
В диапазоне относительно низких частот нестационарных гидрав-
лических процессов ('о)1пах<-|^ = 250...500 1/с] гидродинамика
насоса описывается следующими уравнениями:
CH^=GBX-GH; £и	(1-57)
dt	dt
74
где Сн и Lh — коэффици-
енты емкости и инерци-
онности проточной ча-
сти насоса; &pK=f(n, GH,
рвх) — напор насоса на
установившихся режимах,
получаемый по статиче-
ской характерис’гике при
условии GBX=GH=const.
При составлении уравне-
ний (1.57) проточный
тракт насоса (см. схему
на рис. 1.23,6) представ-
ляется в виде композиции
трех простейших элемен-
тов Сн	(рис.
1.23, в). Первое из урав-
нений (1.57) получено из
условия сохранения мас-
сы в потоке жидкости
внутри насоса, второе вы-
ведено из уравнений со-
хранения энергии и коли-
чества движения. Оба
Рис. 1.23. Схема проточной части насоса:
о—эквивалентный четырехполюсник;	б—проточная
часть; в—сосредоточенная модель
уравнения получены при
идеализированном одно-
мерном представлении
картины течения в тракте
насоса. Интегрирование
исходных уравнений вдоль линий тока в пределах от входного до
выходного сечений тракта насоса приводит к следующим выраже-
ниям для расчета коэффициентов емкости и инерционности тракта
насоса:
ВЫХ
вых
(1.58)
В общем случае в этих выражениях плотность и модуль упруго-
сти жидкости q и £, а также поперечное сечение канала F являют-
ся переменными величинами по длине канала: q = q(O; Е=Е(1),
F=F(l). В тех случаях, когда можно пренебречь сжимаемостью
жидкости, в частности на режимах без кавитации,при q = q«~const
и E=Em~const из интегралов (1.58) имеем
где У„ — объем проточной части насоса; Lmi, LP.K, LC11 и £к.д —
коэффициенты инерционности шнека, рабочего колеса, спирального
75
отвода и конического диффузора. Эти коэффициенты следующим
образом приближенно выражаются через геометрические параметры
проточной части насоса (рис. 1. 23, б):
______________4/шн_______________
л (£>2 — rf2.r) Sin2 ₽шн
_____________4/лОП___________
4-В?
л(£>1+£>2)(*1+*сп) sin х——
/  л (2/-3 + hr) . .   /к,д
•^Сп	А А	’	А / 9
*СИ*Г	6К.Д*СП*Г
где 1Ек.д= 1,5 ... 2.
Основную долю коэффициента инерционности насоса LH (^80%)
составляет обычно инерционность спирального отвода Лсп- На режи-
мах с развитой кавитацией коэффициент емкости насоса увели-
чивается:
CH=(VH- VK) qJFx +	+ Ож. (1.60)
Ps
Здесь VK — объем паровой каверны; ps и qs — давление упругости
и плотность пара на линии насыщения; dVJdp— коэффициент
упругости корпуса насоса. Величина объема каверны УкДлясрыв-
ных режимов определяется по уравнениям динамики кавитацион-
ных срывов напора (см. ниже подразд. 1.5.3).
Уравнение насоса как элемента механической системы вращаю-
щихся масс ТНА выводится путем интегрирования уравнения
момента количества движения элементарного объема жидкости
в тракте насоса, записанного относительно оси вращения ротора.
В конечной форме оно имеет следующий вид:
30 N„ , dn D dGH
n, n	dt	dt
(1-61)
где JH и BH — динамические коэффициенты крутящего момента
ротора насоса; N„=f(n, GH, рБХ)—мощность, потребляемая насо-
сом на установившихся режимах (по статической характеристике).
Динамические коэффициенты крутящего момента определяются
интегралами
JH—2лржу b (г) г3 sin $dr; Вк= § r(Z)cos°rf/, (1.62)
гвх	*ВХ
причем, интегрирование по-прежнему проводится вдоль линий тока,
но не по всему тракту насоса, а только в пределах от входного
до выходного сечений ротора. На режимах, для которых можно
принять	const (см. рис. 1.23, б),
£i^sini±h-; (1.63)
76
Коэффициент JH по своему физическому смыслу представляет
момент инерции массы жидкости в роторе насоса. В общем урав-
нении частоты вращения ТНА он суммируется с моментом инерции
механических вращающихся масс, составляя обычно от него при-
мерно 10—20%.
При раскрутке пустого и постепенно заполняющегося жидкостью
насоса (при запуске) крутящий момент рассчитывается по той же
формуле (1.61), но с умножением правой части на поправочный
множитель [(qb/q>k)(1 —Лн )~НАн]> в котором АН=Л1Н/Л1Н* — коэф-
фициент заполнения насоса жидкостью; qb — плотность воздуха,
заполнявшего насос вначале; т — коэффициент, учитывающий рас-
пределение напора по тракту насоса (обычно т=4 ... 6).
1.5.2. Статические характеристики насосов. В пределах полного
цикла эксплуатационных режимов ЖРД параметры режимов рабо-
ты насосов изменяются в очень широком диапазоне. Для запуска
существенно прохождение рабочей точки по «пусковым концам»
характеристик насосов, т. е. в области больших значений отношения
объемного расхода к частоте вращения Qin с заходом в ряде слу-
чаев в область турбинного режима работы, на котором насос соз-
дает крутящий момент. По некоторым схемам останова двигателей
на конечной ступени тяги насосы работают при значениях пара-
метра Q/n, близких к нулю. В широких пределах изменяются также
параметры жидкости на входе в насосы. На ряде режимов насосы
работают в области различного рода «расслоений» универсальных
характеристик, вызываемых главным образом возникновением раз-
рывов сплошности потока жидкости. При этом кавитационные
явления могут вызываться не только понижением давления на вхо-
де, но также и чрезмерным раскрытием выхода даже при доста-
точно высоком входном напоре. В широком диапазоне изменения
режимов статические характеристики насосов представляют собой
весьма сложные функции трех переменных:
Дрн=Ф («. О» Р^У NH=®(n, О„, /?вх).	(1.64)
Вместо мощностной статической характеристики часто на прак-
тике используется эквивалентная ей по смыслу статическая харак-
теристика к.п.д. насоса т)н=Ф(п, 6Н> рвх), причем переход от одной
формы к другой производится в предположении (эж~ const по соот-
ношению
N = (Р«-Рвх) .	(1. 65)
Н	Чнбж
В общем случае статические характеристики насосов (рис. 1.24)
вводятся в математическую модель двигателя в виде функций
/□; —=ф(—, /□; h —'Рку'~ Ps- (1.66)
«2	\ И ВХ/ ИЗ	п ВХ/ вх бж/г2	’
с помощью формул кусочно-линейной или полиномной аппроксима-
ции. Однако часто оказывается возможным обойтись следующим
77
Рис. 1.24. Статические характеристики насосов:
7—напорная; 2—к. п. д.; 3—мощностная; /—напорная бескавитационная; II—срывные ветви;
Па и ПЬ—характеристики сети
более компактным аналитическим представлением статических
характеристик насосов.
Напорная бескавитационная характеристика (кривая /) пред-
ставляется квадратным трехчленом
Н/п2— A-\-B(Q/n)—C (Q/ny	(1-67)
и проводится через точку номинального режима и точку нулевого
напора [0, (Q/n) о]- Кривая 2 к.п.д. представляется дробно-линейной
функцией
(Q/n)» KQ/n)o -(Q/«)l	.
“ ’lraax (Q/n^JW/n)» + (Q/«)]	’
(1.68)
где (Q/л) „о =--------------------
J 2-(Q/n)0/(Q/n)max
Она также проходит через точку нулевого напора (0, (Q/n)0]
и кроме того через точку максимума к. п. д. (т]тах, (QM)maxl- При
(QM)max = O,5(Q/n)o, т. е. в случае симметричной кривой к.п.д.,
получаем
11 = П,пах
(Q/n)o — (Q/n)
(Q/n)max
(QM
(1.69)
Если вместо характеристики к.п.д. используется мощностная
характеристика (кривая 5), то
7W=a4-₽(Q//z) + Y(Q/n)2,	(1.70)
где а, р и у — постоянные коэффициенты.
При симметричной характеристике к.п.д. зависимость (1.70)
получается линейно-возрастающей, при (Q/«)max<O,5(Q/«)o полу-
чаем у<0 и кривая N/n3 при больших значениях Q/n пересекает
78
ось абсцисс. В этих условиях насос переходит на турбинный режим
работы или режим рассеивания энергии.
Расслоение универсальных статических напорных характерис-
тик насосов, вызываемое кавитацией (см. срывпые ветви II
на рис. 1.24), учитывается при моделировании введением в расчет
условия ограничения предельного относительного расхода
Q/«<(Q/«U=®(ABX).	(1-71)
где йвх=(рвх—ps)/(рж«2). Характеристику предельных расходов
Ф(/гвх) (рис. 1.25, б) в большинстве случаев удается удовлетвори-
тельно аппроксимировать выражением
«ЗМред = £>+ V(I- 72)
где D, Е и F — постоянные коэффициенты.
Величина относительного снижения напора при кавитации Н—
= (Н/п2)к/(Н/п2)вк в статических условиях определяется характе-
ристикой сети, на которую работает насос (см. рис. 1.24):
н={нт^ / Г -^-+ RAW]- (1-73)
/ 1^ежп2 g
Здесь 7?с и Рс — коэффициент гидравлического сопротивления сети
и противодавление_на выходе из нее. Обычно характеристика (1.73)
задается в форме H=f(hBX) (рис. 1.25, а) для различных значений
параметра Q/n.
Характер кавитационного расслоения статических характерис-
тик мощности и к.п.д. насосов зависит от места локализации очага
кавитации в их тракте. Если кавитация наступает в шнеке или
в рабочем колесе (в роторе) насоса, то вместе с падением напора
происходит падение мощности, потребляемой насосом. При этом
к.п.д. насоса изменяется незначительно или не изменяется совсем.
Происходит разгрузка насоса и возникает опасность его чрезмерной
раскрутки. Если кавитация наступает в выходной (статорной) части
насоса, то потребляемая насосом мощность практически не умень-
Рис. 1.25. Кавитационные характеристики насосов:
с—срывные; б предельных расходов; / и II—первый и вто-
рой критические режимы
79
шается (если GH=const), поскольку вместе с падением напора
падает к.п.д. насоса. Опасность получения чрезмерной раскрутки
ротора ТНА в этом случае меньше. В математической модели двига-
теля указанные особенности протекания статических характеристик
крутящего момента насоса приближенно учитываются следующим
соотношением:
Пн=т1,1.бк(С/«)е(^)’	С1-74)
где t]h.6k(Q/«) —к.п.д. насоса, определяемый по статической харак-
теристике для бескавитационных режимов; е(Я)—поправочный
множитель, зависящий от относительного падения напора, вызывае-
мого кавитацией. Если отсутствует более конкретная информация
о функции е(//), то в первом приближении можно принимать
е(77) = 1 при кавитации в роторе насоса и е(Н)=Н — при кавита-
ции в статоре.
1.5.3. Динамика кавитационных срывов напора. Срывы напора
насосов, возникающие на переходных режимах вследствие глубоких
провалов давлений на входе или слишком сильных забросов рас-
хода, оказывают существенное влияние на характер переходных
процессов и формирование систем управления ЖРД. Анализ про-
цессов, регистрируемых на двигателях, показывает, что в динамике
при быстрых изменениях параметров, вызывающих кавитацию,
напоры насосов не соответствуют их статическим кавитационным
характеристикам, а изменяются со значительными фазовыми сдви-
гами относительно определяющих параметров. Специальными экс-
периментами установлено, что основной причиной наблюдаемых
сдвигов являются затраты времени на образование и ликвидацию
в тракте насосов паровых или парожидкостных каверн. При этом
основную часть указанных затрат составляет время опорожнения
или заполнения соответствующих объемов жидкостью, а время
протекания физических процессов испарения и газовыделения
является почти на два порядка меньшим и играет в формировании
рассматриваемого процесса второстепенную роль. В соответствии
с таким представлением о физической картине процесса динамика
кавитационных срывов напора насосов при кавитации в роторе
приближенно описывается следующими уравнениями*:
дАн=дрн.бк^; т7=/(К);
X(4Zi7K/4Z/)=GBX-GH; Овх<лежФ(Авх). (1.75)
Здесь Арн.бк — напор насоса по статической бескавитационной
характеристике; Гк= ^к/^р-к — относительный объем кавитационной
каверны (Урк— полный объем проточной части рабочего колеса);
Мря — масса жидкости в роторе в заполненном состоянии; Ф(АВХ)—
характеристика предельных расходов (рис. 1.25,6). При моделиро-
вании эти уравнения решаются совместно с уравнениями (1.57),
* Идея такого представления математической модели кавитационных сры-
вов напора насосов принадлежит В. П. Козелкову.
80
описывающими динамику проточной части насоса, и со следующими
уравнениями примыкающих к насосу участков гидромагистрали:
СВЫХ-^=ОИ-ОВЫХ. (1.76)
dt	dt
Функция f(FK), представляющая зависимость относительного
снижения напора при кавитации от относительного объема кавита-
ционной каверны, определяется геометрическими данными проточ-
ной части конкретных насосов. Она является монотонно падающей
функцией своего аргумента, причем f(0) = l, a f(l)»0. Для широ-
кого класса шнекоцентробежных насосов при отсутствии более
конкретных данных можно принимать
(1.77)
где ai = l; 02=0,05; с3=0,1.
Модель динамики кавитационных срывов напора, описываемая
уравнениями (1.75), пригодна для всего диапазона срывных явле-
ний, вплоть до падения напора Н до нуля. Для описания динамики
относительно неглубоких кавитационных срывов (0,6^Я^1)
может применяться также следующая модель, основанная
на использовании срывной напорной характеристики насоса
(рис. 1.25,а):
—	/ п \	__ 2Л4*
Ддн^Д/;нбкЯ; тн— = <р [hBX,)-Н; тн=7----------. (1.78)
/'н.ок	Т^вх> nj	н (OH + GBX)/'(Я)	'	'
Здесь <p(/zBX, Q/n)— выражение, аппроксимирующее срывную
характеристику; /'= (Я) — первая производная обращения функции
f(EK); ти — приведенное переменное время пребывания жидкости
в роторе насоса.
Если кавитационный срыв напора насоса вызван явлениями
запирания в выходной (статорной) части насоса, то соответствую-
щие процессы можно представить в модели следующим уравне-
нием *:
ДЛ=дРн.бк+Рвх -Ps- n2Qg [Л+в (Q/n} - Ci (Q/n''2]	(1.79)
В этом уравнении коэффициенты А и В — те же, что и в выра-
жении бескавитационной напорной характеристики (1.67), а коэф-
фициент С] определяется по какой-либо одной точке соответствую-
щей кавитационной характеристики. При этом условие наступления
кавитации однозначно устанавливается по удовлетворению нера-
венства
AQgn^Bnl/ Ps±AP«..^g + pB^Ps>
	Ч-Д/’и.бк).	(1-80)
* Это уравнение предложено Н. Д. Захаровым.
81
Рис. 1.26. Схема проточной части турбины:
а—эквивалентный четырехполюсник; б—сосредоточенная модель; в—эквивалентный конус
1.5.4. Турбина как четырехполюсник. Проточная часть турбины
является элементом газового тракта двигателей. Как источник кру-
тящего момента турбина входит в механическую систему ТНА.
При описании низкочастотных гидродинамических процессов
проточная часть турбины представляется в виде четырехполюсника
с дополнительным входом по частоте вращения п (рис. 1.26, а).
Эквивалентная динамическая модель проточной части турбины
является композицией трех простейших элементов £т——Ст
(рис. 1.26,6), но расположенных в обратном порядке по сравнению
с порядком их расположения в модели насосов. Это обусловлено
тем, что в тракте турбины основная доля активного и индуктивного
сопротивлений сосредоточена в сопловом аппарате, а межлопаточ-
ные каналы рабочего колеса и канал отвода газов определяют
главным образом емкостные свойства тракта турбины. Дифферен-
циальные уравнения проточной части турбины как четырехполюс-
ника имеют следующий вид:
г	г	2,
4—г + д-Д2-(Ят-?г)
at ZQqt 2
(1-81)
Qi
C^dpJdt)=OT-OB№L.	(1.82)
\х/(х+1)	_
-)	; x=Cp/CIz.
Здесь Лт=а/А<якр; ^=F2!Fi, лкр=<р/8 (ср);
В (ср)=== Лкр“}~( 1 nKp)]/l- Ф, Лкр —
Коэффициенты инерционности и емкости тракта турбины LT и Ст
определяются в результате интегрирова'ния исходных уравнений,
составленных для идеализированной картины течения газа в тракте
турбины:
Qdl
QepF (О
С ^(0
J RT(T)
dl.
(1.83)
Если сопловой аппарат турбины представить в виде эквивалент-
ного конуса с геометрическими параметрами /к, di и da (рис. 1.26 в)
82
и инерционностью межлопаточных каналов рабочего
небречь, то
L  4Z — ^2-ч’/х
(^1 — ^2)ЛУ*
колеса пре-
(1-84)
Пренебрегая емкостными свойствами соплового аппарата и рас-
сматривая межлопаточные каналы рабочего колеса как сосредото-
ченную емкость с параметрами газа на выходе из соплового аппа-
рата, получим
(1-85)
Заметим, что вследствие относительно малых значений соответ-
ствующих постоянных времени емкостные и инерционные свойства
тракта турбины играют обычно второстепенную роль в формирова-
нии динамических свойств двигателей как объектов управления.
Поэтому в большинстве случаев этими постоянными времени можно
пренебречь, а при необходимости их учета достаточно ограничиться
приведенными выше формулами для грубой оценки коэффициентов
и С-р.
Динамическое уравнение крутящего момента турбины, получен-
ное в результате интегрирования уравнений момента количества
движения элементарных объемов газа в ее тракте, имеет вид
Мч=—	~/.с — -ф B.s
Л п	dt	dt
(1.86)
где /т и Вт — динамические коэффициенты крутящего момента
турбины, аналогичные по своему физическому смыслу соответст-
вующим коэффициентам в уравнении крутящего момента насосов
(1.61); NT=f(n, GT, лт) — мощность, развиваемая турбиной на уста-
новившемся режиме (при 6Т=6ВЫХ = const).
1.5.5. Статические характеристики турбин. В составе ЖРД тур-
бины ТНА работают в широком диапазоне режимов. Сильно изме-
няются параметры газа, мощность и частота вращения турбин.
На переходных режимах возможны большие забросы располагае-
мой степени расширения газов лт, причем у двигателей закрытой
схемы вследствие наличия за турбиной мощного теплового дросселя
в виде камеры сгорания величина лт может изменяться в значи-
тельной степени независимо от изменения параметров газа на входе
в турбину. Для начальных этапов запуска двигателей большое зна-
чение имеют пусковые свойства турбин на режимах с малыми значе-
ниями параметра ujc. Существенную роль в некоторых случаях
играет также снижение мощности турбины, вызываемое высокой
степенью влажности первых порций парогаза, поступающих
на турбину. Все эти свойства турбин, весьма важные для правиль-
ного формирования систем управления двигателями, учитываются
с помощью введения в математическую модель статических харак-
теристик турбин с соответствующими ограничениями и дополне-
ниями.
83
Мощность турбин на установившихся режимах рассчитывается
по следующему выражению:
Л\-=Л.Дгт]
(1-87)
где Лг=—RTrT ( 1
X — 1	I
— ——— \ — адиабатная работа газа на турбине;
X /
ЭТу J
GT = Gnp-^; Gnp=/(nT,nlip) или Опр=/(ят, ет)-приведенный
г гг	л \
расход газа через турбину (р.г — степень реактивности турбины),
Т]т = f (u/C, Лт) ИЛИ Т)т — f (пг> пир) — полный к. п. д. турбины при
приведенной частоте вращения пар=п/УRT*T.
84
При расчетах адиабатной работы и к.п.д. учитывается ограни-
чение расширительной способности турбины:
Pw
JTT=	^Сщах’
Ргв
(1.88)
Максимальная степень расширения, срабатываемая турбиной
Лтах, определяется как функция геометрических параметров тур-
бины и приведенной частоты вращения.
У турбин двигателей закрытой схемы с докритическим или
небольшим сверхкритическим перепадом давлений на номинальном
режиме значение Ящах обычно не превышает 4—6.
Если характеристика к.п.д. турбины задается как функция пара-
метра м/с (рис. 1.27,а), то в простых случаях она удобно аппрокси-
мируется квадратичной параболой
т]1=а(и/с) —А(и/с)2.	(1.89)
В более сложных случаях, когда имеется существенное расслоение
этой характеристики по лт, в модель вводится семейство парабол
(1.89) с соответствующими ограничениями.
Если характеристика к.п.д. задана в виде графика T]T=f(«np, Лт)
(рис. 1.27,6), то ее удобно вводить в модель с помощью стандарт-
ной формулы двойной линейной интерполяции. В этом случае
в модели непосредственно реализуется ограничение лтах (1.88).
Рис. 1.27. Статические характеристики турбины:
а—характеристика к. п. д. (I форма); б—характеристика к. и. д. (II форма); в—характери-
стика пропускной способности
85
При определении пропускной способности (приведенного рас-
хода) турбины через степень реактивности рт,
Gnp=/(^,eT).	(1.9(9
зависимость QT=f(u/c) часто может быть достаточно точно пред-
ставлена в модели квадратичным трехчленом
ег=«1 + *1(и/е)+С1(и/с)2.	(1.91)
При задании характеристики пропускной способности турбины
как функции лт и пПр (рис. 1.27, в) удовлетворительную точность
аппроксимации дает формула:
Г J, --------------!-^г1. (1-92)
у L	(лт — с«ир) * .
где с — постоянный коэффициент аппроксимации.
Влияние влажности парогаза на мощность турбины учитывается
умножением к.п.д. на поправочный множитель %, зависящий
от степени сухости пара
y=(G,-Gx)/Gr,
где GT — суммарный расход рабочего тела через турбину; бж —
расход жидкой фазы через турбину.
При малых степенях влажности (0,85=Су=С1) можно принимать
при больших степенях влажности (у<0,8) необходимо учиты-
вать дополнительные факторы (структуру потока, степень круп-
ности капель и др.). Соответствующим образом корректируется
при работе на влажном паре и характеристика пропускной способ-
ности турбины.
1.5.6.	Уравнение частоты вращения ТНА. Это уравнение, состав-
ленное в соответствии с принципом Даламбера для вращающихся
масс ротора ТНА, имеет в общем случае следующий вид:
2L j	7Ин/4-7Ист,	(1.93)
где J — момент инерции ротора ТНА; 2Afni — сумма крутящих
моментов всех насосов на валу ТНА; 7ИСг — крутящий момент, раз-
виваемый стартером.
Крутящие моменты турбины и насосов рассчитываются по фор-
мулам (1.61) и (1.86). Подставив их выражения в уравнение (1.93),
будем иметь следующее уравнение динамики ротора ТНА:
+ ЯГ-^-.	(1.94)
at
Когда требуется учесть крутильные колебания ротора, обуслов-
ленные нежесткостью вала, уравнения движения составляются
86
Рис. 1.28. Термодинамические характеристики продуктов сгорания топлива
АТ+НДМГ
отдельно для роторов турбины и насосов и между ними вводится
соответствующая упругая связь. При исследовании процессов управ-
ления ЖРД обычно это можно не учитывать, так как характерные
частоты соответствующих процессов превышают обычно 150—
200 Гц.
1.5.7.	Статические характеристики огневых агрегатов. Рабочий
процесс в камере сгорания и газогенераторе определяется термо-
динамическими характеристиками продуктов сгорания применяе-
мого топлива [16]
RT=f(k,p), T=f(k,p), R=f(k,p)	(1.95)
и характеристиками к.п.д. конкретных конструкций агрегатов
₽=pFKP/G=f (k, р), Rys= R/G=f (k, p) или т] = f (k, p).	(1.96)
Термодинамические характеристики топлива вводятся в мате-
матическую модель или в виде аналитической аппроксимации
многочленами типа
RT=ankn+ап+1й«-1 +... + ampm + ат+^+1 +...,	(1.97)
или в виде таблицы координат характерных точек заданной харак-
теристики (рис. 1.28) с помощью формул одинарной или двойной
линейной интерполяции
ь.___________________________ь*
RTj=RT*j^-\- * I'1 (RT^-RT^),	(1.98)
ki -
где (kj*, RTj*) — координаты узловых точек интерполяции. Анало-
гичным образом вводятся в модель характеристики по R и Т
в отдельности. Каждая из этих характеристик является общей
(единой) для обоих огневых агрегатов, основной камеры и газо-
генератора, поскольку рабочая точка камеры сгорания при запуске
часто проходит через значения k, характерные для газогенератора,
87
а рабочая точка газогенератора при неблагоприятных условиях
на переходных режимах может попадать в области работы основной
камеры. Чтобы модели правильно отражали экстремальные режимы
работы агрегатов (при очень больших и очень малых значениях k)
в аппроксимации (1.97) и (1.98) должны быть введены соответст-
вующие концевые условия, учитывающие резкое падение парамет-
ров R и Т при срывах рабочего процесса, обусловленных недостат-
ком теплоты реакции для преобразования всей массы исходных
жидких веществ в газообразные конечные продукты.
Характеристики коэффициента полезного действия конкретных
конструкций огневых агрегатов вводятся в модель с помощью пере-
менных коэффициентов неполноты сгорания ф следующими соотно-
шениями:
dMJdt=Gx-Gz-^G^	(1.99)
Ф=(Л4ж/7Ижтах)“ <Р1 (Л) % (р),	(1. 100)
в которых функции <pi (k), <р2 (р) и константы а, шах определяют-
ся из экспериментальных характеристик p=f(&, Рк.с) или Руд=
=f(k, р). Поскольку накопление в зоне горения массы жидкого
топлива определяется с учетом текущих значений времен преобра-
зования (задержки горения) и пребывания топлива в реакционном
объеме (т3 и тпр), то данный способ математического определения
характеристик к.п.д. огневых агрегатов отражает в принципе прост-
ранственно-временную природу механизма неполноты сгорания.
При этом для согласования параметров на стационарных режимах
используются экспериментальные данные по комплексу р и Руд.
1.5.8.	Динамика элементов газового тракта. Нестационарные
процессы изменения давления, температуры и расходов газа в эле-
ментах газового тракта двигателей (газогенераторе, газоводе,
камере сгорания) воспроизводятся при моделировании в среднем
для объемов и для концевых сечений каждого элемента. Соответ-
ствующие математические соотношения получены из уравнений
неразрывности, сохранения энергии и изменения состояния газа для
некоторого осредненного суммарного процесса переноса тепла
и массы между концевыми сечениями внутри агрегата движущимся
турбулентным потоком газа.
Применяемые при моделировании уравнения имеют следующий
вид.
А.	Уравнение для среднего по объему давления:
dp W’cp Г	, Р dRTcv р avг
dt Уг	пГср «г 1г at
Здесь 62 — суммарный расход образующихся внутри элемента
и поступающих в него извне газов; GBI1IX —• суммарный расход газа
в выходном сечении элемента. Последний член в правой части урав-
нения учитывает влияние изменений объема газа, вызываемых ко-
88
леоаниями динамического равновесия между накоплением и выго-
ранием массы жидкого топлива внутри элемента,
dVz!dt= -(1/Сж) (dMJdt).	(1. 102)
Б. Уравнения для местной температуры газа в начале элемента:
^нач ft (^нач)’ ^цач @ г	г’
О,П=ОЖП(/— т,); О,Г=ОЖГ(7 — т,);
*з=Л(А ЛР).
За температуру Таач при идеализированной пространственно
временной картине выгорания топлива принимается температура
газа вблизи форсуночной головки агрегата — непосредственно
за фронтом горения. Для проточных элементов без горения типа
газоводов, если не учитывается догорание топлива, то температура
в начале данного элемента берется равной температуре на выходе
предыдущего элемента. Функция fi представляет собой аппрокси-
мацию соответствующей статической характеристики продуктов
сгорания (см. выше). Функция f2 учитывает зависимость времени
задержки горения от температуры и давления в реакционном
объеме. При этом наряду с простым транспортным законом выгора-
ния топлива в модель могут вводиться и более сложные кривые
выгорания, рассматриваемые ниже. Аналогичным образом (при со-
ответствующей замене функции Д) определяются процессы изме-
нения комплекса RT или величины R в начале элемента.
В.	Уравнения для средней по объему и местной температуры
газа на выходе элемента:
dT	Т
--— = * ~ (^вх^вх- Овых^вых)	(°вх- Овых);
dt	pV	pV
p — p if____x у — о
•'вых —1 вх\1 1прЛ lnp —	~ r
ЧВХ “Г ивых
Для огневых агрегатов, в которые поступают только
компоненты, в уравнение (1.104) подставляется Твх=Тпач,
—СгоД-Огт. Мгновенные значения массы газа в элементе опреде-
ляются по уравнению состояния Мг = Угр!(RTCV). Как и для выгора-
ния топлива, для переноса температуры газа внутри элементов
наряду с транспортным могут приниматься и более сложные законы
переноса.
Фактическое протекание кривых выгорания топлива и турбу-
лентного переноса температуры в проточных газовых элементах
зависит от свойств топлива и конструктивных особенностей агрега-
тов (схемы смесеобразования, формы проточной части и т. п.).
Опыт расчетных исследований динамики ЖРД показывает, что
правильность учета в математической модели фактической формы
этих кривых существенно влияет на точность моделирования, осо-
бенно в диапазоне повышенных частот (25—50 Гц и выше).
(1.103)
(1.104)
жидкие
, GBX =
89
Рис. 1.29. Различные формы кривых выго-
рания топлива и переноса температуры тур-
булентным потоком газа
Чтобы в математической
модели элементов газового
тракта учитывалось это об-
стоятельство, уравнения не
должны быть жестко привя-
заны к какому-либо одному
частному виду характери-
стики выгорания и переноса,
а должны допускать воз-
можность их варьирования
в нужных пределах. Это до-
стигается следующим обра-
зом.
С помощью интегрально-
го преобразования Лапласа
для нужных форм кривых
выгорания и переноса, за-
данных как функции време-
ни, выводятся передаточные
функции соответствующих
процессов, позволяющие
воспроизводить их не только
при единичных ступенчатых,
но при различных других
формах и величинах вход-
ных сигналов.
На рис. 1.29 показаны
кривые выгорания топлива
и переноса массы различной
формы. Им соответствуют
следующие аналитические
выражения оригиналов [<р(01 и изображений [ф (s) ], для опреде-
ленности записанные как кривые выгорания:
транспортное запаздывание (кривая а) —
Твыг^ 1(^-0 И фвыг (s)=e-V;	(1.105)
инерционное запаздывание (кривая Ь) —
%ыг^)=1-е-</Тз и Фвыг(*)=---;	(1- Ю6)
T3S + 1
степенной закон выгорания (кривые с) —

m
1 и фвыг(«)=-^- е~Ч
(1.107)
где тг=т3(т//)1/п, /=1, 2, 3,..., т; т>2; п>0;
90
двухпараметрическая экспонента (кривые d) —
т
<Рвнг(/)=-1-е~(,/тз)П и	(1.108)
/=1
где 't/ = 't3(—InA)1/"; Д=1—— ^>0;
т
i,mnn — те же, что в выражении (1.107);
транспортно-инерционный закон выгорания (кривые е) —
<РвыгЮ=е[1(/-^з)1 + (1-е)(1-е-/Лз)	(1. Ю9)
И ФвЫг (s) = ee-T3s4- (1 - е)-, 0 < е < 1.
т3$+ 1
С помощью приведенных выражений и варьирования значений
множителей т3 и е с нужной точностью описываются различные
реальные законы выгорания топлива. Аналогично обстоит дело и с
кривыми переноса тепла ф„(/) и фп(0> н0 в них в качестве основ-
ного параметра вместо времени задержки горения топлива фигури-
рует время пребывания газа в емкости тпр.
В общем случае температура может изменяться не только из-за
переноса тепла газовым потоком, но также и под действием адиа-
батного сжатия или расширения газа внутри проточного элемента.
В этих условиях, принимая комбинированный транспортно-инерци-
онный закон переноса температуры, получаем следующую систему
уравнений, описывающих в малых отклонениях динамику измене-
ния температуры газа в проточном газовом элементе:
ДГ (/) = дгвых1 (/) [-— 1
L pit — гпр) J
ДГВНХ1(/)=еДГвх(/-тпр) + (1-е)Д7внх2(/);	(1. 110)
dW^dt=[ДГВХ (/) - ДГвых2 (/)]/*„₽.
Здесь ДТВЫХ1 и АТвыхг — инерционная и транспортная состав-
ляющие изменения температуры на выходе элемента.
При более подробном описании динамики элементов газового
тракта в их математических моделях раздельно учитываются пара-
метры состояния и количества основных составляющих реагирую-
щей смеси-—жидкостей, паров и продуктов сгорания. При этом
температура каждой из составляющих определяется процессами
теплообмена их между собой и с конструкцией элемента. Такое
представление требуется, главным образом, для более точного пред-
ставления начального этапа запуска двигателей, работающих
на криогенном топливе.
1.5.9. Газовая магистраль с промежуточным соплом Лаваля.
Наличие в газовом тракте ЖРД между двумя проточными газо-
выми емкостями плавного суже-расширяющегося канала типа сопла
Лаваля существенно влияет на характеристики запуска и регули-
рования двигателей. В частности, такой элемент даже при малом
докритическом перепаде давлений между емкостями (р1/р2<СЛкр)
91
может при работе двигателя на установившемся режиме исключить
влияние противодавления на расход газа из одной емкости в дру-
гую. Разрыв этой связи часто благоприятно сказывается на запасе
устойчивости системы регулирования.
Для моделирования процессов запуска и регулирования двига-
телей, имеющих такие элементы, в математическую модель дина-
мики газового тракта вводятся следующие уравнения, учитывающие
работу сопла Лаваля в системе между двумя элементами емкости:
Q f	при Лс Лкр,	111)
I Р^кр^СЛкр) при nc>nKp,
где jiFbux и рГнр — эффективное проходное сечение сопла на выходе
и в критическом сечении; 9(лс) —-расходная функция от перепада
давлений на сопле;
лс	п:кр —	2 )
1.5.10. Уравнения гидромагистралей. Гидромагистрали ЖРД
представляют собой разветвленные гидравлические сети, состоя-
щие из элементов с сосредоточенным и распределенным гидравли-
ческим сопротивлением. Для описания их динамики используются
уравнения с частными и обыкновенными производными.
Прямой цилиндрический трубопровод как четырехполюсник
при малых скоростях течения жидкости описывается следующей
системой уравнений:
ди	. ди	.	, ,	1	др	до	, до	ди	др	,
—h<p	_К-Жи^. = _е—;
dt дх	Q	дх	dt дх	дх	OQ
(1.112)
где ср(м)=--и2 —функция, характеризующая силу трения жидкос-
ти о стенки; X—коэффициент сопротивления; d — диаметр трубопро-
вода.
Решение этой системы, выполненное для концевых сечений ме-
тодом преобразования Лапласа, приводит к следующему уравне-
нию для изображений переменных:
Л! (s)	— r'RTt2 (s)
—^n2(s)	Ms)
гв
(1.113)
причем
%=lja-, rB=aQ; x1—d/(Ui0');
92
«о — скорость течения на установившемся режиме. Скорость
звука в жидкости а рассчитывается по формуле Н. Е. Жуковского
с учетом податливости стенок трубопровода:

(1.114)
где Еук и Етр — модули упругости жидкости и материала трубы;
d и 6 — внутренний диаметр и толщина стенок трубы; ах — ско-
рость звука в неограниченном объеме жидкости. Без учета потерь
на трение (при Х = С и п—>-оо) элементы передаточной матрицы
трубопровода принимают более простой вид:
ni(s)=ch-rs, л2($)—slits.
(1.115)
Уравнение (1.113) позволяет при моделировании подключать
трубопроводы как элементы с распределенными параметрами к сос-
редоточенным элементам емкости, инерционности и активного
сопротивления, рассмотренным в разд. 1.3.
Для согласования условий на границах конечных элементов
в уравнения элементов емкости вводится дополнительный член,
учитывающий дифференциальную связь притекающих в емкость
и вытекающих из нее расходов [см. (1.19)].
1.6. Численное решение уравнений
1.6.1. Структура системы уравнений. Математическая мо-
дель полного цикла работы ЖРД представляет собой достаточно
большую систему уравнений, размеры которой характеризуются
в среднем примерно следующими цифрами: общее число перемен-
ных 100—500, число дифференциальных уравнений 50—150, число
дифференциально-разностных уравнений 10—20, остальные урав-
нения'— конечные. Большинство уравнений нелинейные; многие из
конечных уравнений представляют собой довольно сложные аппрок-
симации сеток статических характеристик агрегатов двигателя и
физико-химических свойств топлива. Все уравнения сгруппированы
согласно агрегативному принципу в подсистемы уравнений агрега-
тов типа (1.1). Общая система уравнений имеет следующий вид:

агрегат А
IX j
Хр ХД/-Т,-), X^t-г7)...6/Д/)];
ХрХк,и^)]-,
93
агрегат В
агрегат N
I
^=Л[^, Xj, Хь, Ху(/—гД..£///)]; (1- 116)
xk=f£[xlt х,,х„им
^=fN\Xi,Xi,Xk,Ut(t)\-,
dXj
-^-=fN[Xi, Xj, ХУ(/-ТД..£/;(/)];
Xk = fN[Xlt XJtXk,Uk(i)],
Функции f, представляющие правые части уравнений (1.116),
являются в большинстве своем нелинейными и в общем случае
включают в себя алгебраические, трансцендентные и логические
операции. С помощью логических операций помимо прочего изме-
няют структуру системы уравнений, что отражает переход модели-
руемого объекта от одного состояния к другому (например, переход
гидромагистралей от незаполненного состояния к заполненному,
смену предогневых процессов в элементах газового тракта огневы-
ми и т. д.).
Для системы рассматриваемого здесь типа характерны следую-
щие структурные особенности: наличие наряду с многочисленными
последовательными, параллельными и перекрестными связями
между переменными также большого числа циклических (обрат-
ных) связей, образующих замкнутые контуры; отсутствие длинных
цепей с очень большим числом переменных и большими коэффици-
ентами усиления; относительная изолированность подсистем урав-
нений агрегатов.
Из-за больших размеров системы ее структуру в полном объеме
не удается представить ии одним из известных способов графиче-
ского изображения систем. Приходится ограничиваться примене-
нием укрупненных структурных схем (см. рис. 1.3), редуцированных
графов и коагулированных матриц.
Типичный граф прохождения сигналов в динамической системе
ЖРД представлен на рис. 1.30. Он относится к линейному прибли-
жению уравнений и дан в сильно редуцированном виде. Однако
и в таком упрощенном представлении граф содержит 16 существен-
ных узловых точек и 17 несоприкасающихся замкнутых контуров.
Характерно наличие в нем трех параллельных соединяющихся
между собой в отдельных точках каскадных цепей,- состоящих
из ячеек типа р—G—р. Две боковые цепи относятся к гидромаги-
стралям, центральная — к газовому тракту двигателя. Наиболее
высокий порядок (10) имеет вершина п, разносторонние связи'
имеют также вершины рн.г> Рн.о, Ргг и некоторые другие. Общая
структура графа такова, что в нем не представляется возможным
провести линии, рассекающие его на крупные части, соединенные
94
Рис. 1.30. Граф прохождения сигналов в динамической системе ЖРД (для отк-
рытой. схемы связи разрываются по а—а, для закрытой — по b—Ь)
только параллельными и последовательными связями. Поэтому
выразить в буквенном виде передаточные функции основных кана-
лов управления (например, fr.rr—*-рк.с) через операторы отдельных
ребер из-за громоздкости получающихся выражений практически
не представляется возможным. Некоторую упорядоченность в систе-
му вносит поагрегатная группировка уравнений.
На рис. 1.31 дана схема характеристической матрицы рассмат-
риваемой системы, коагулированной по агрегатному принципу.
Клетки I—II—III представляют собой матрицы агрегатов; кружки
вне этих клеток — не равные нулю коэффициенты межагрегатных
связей. Видно, что, хотя матрица не является полностью разложи-
мой, при поагрегатпой коагуляции она приводится к виду, близ-
кому к квазидиагональному. Число недиагональных элементов,
отличных от нуля, составляет всего около 30% от их общего числа
в данной матрице. Коэффициенты усиления межагрегатных связей
в большинстве своем меньше единицы. Благодаря этому представ-
ляется возможным анализировать многие вопросы, связанные с
устойчивостью и точностью численного интегрирования системы
уравнений (1.116), в пределах подсистем уравнений агрегатов.
Графы внутриагрегатных сигналов (рис. 1.32) содержат в боль-
шинстве своем достаточно полные системы связей между перемен-
ными. Однако благодаря значительно меньшему, чем во всей сис-
теме, числу переменных для агрегатов в ряде случаев удается
в общем виде получать уравнения типа вход —выход и использо-
вать их при анализе поведения численных решений.
1.6.2.	Динамическая развязка расчетных петель. Расчетные петли
представляют собой такие места в общей последовательности рас-
четов, в которых искомые переменные не могут быть прямо опреде-
лены по уже имеющимся в расчете значзниям других переменных.
95
Рис. 1.31. Схема характеристической матрицы, динамической модели ЖРД.
Рис. 1.32. Графы
прохождения сиг-
налов внутри аг-
регатов ЖРД:
а—в газогенераторе
и газоводе двигателя
закрытой схемы; б—
в регуляторе (с уче-
том заполнения)
96
В системах рассматриваемого типа встречаются два вида расчет-
ных петель:
а)	отдельные неявные уравнения
(1.Н7)
из которых искомые переменные Хд(/) не могут быть явно выра-
жены в общем виде;
б)	замкнутые подсистемы недифференциальных (конечных)
уравнений типа
\X,=(FT[XnXs,Xq,UM	(1 118)
\xs=&-s\xr,xs,xq,UM
образующие циклические контуры относительно определяемых ими
переменных. Здесь Хь, Хг и Xs — искомые переменные, определяе-
мые из данных уравнений; Xq, Uh(t), Ur(t) и Us(t) —уже имею-
щиеся в расчете значения других искомых переменных и заданных
функций времени.
Примерами физических элементов, при математическом описа-
нии которых образуются расчетные петли, являются:
точки разветвления гидравлического и газового трактов двига-
телей (если не учитываются емкости);
внутренние разветвленные гидросистемы агрегатов автоматики,
имеющие полости с подвижными стенками (также, если не учитыва-
ются емкости);
соединения типа насос — сеть и турбина — сеть, если, например,
статические характеристики лопаточной машины или сети описы-
ваются более сложными выражениями, чем полиномы второго
порядка, и если при этом не учитывается сжимаемость или инерция
рабочего тела.
Характерным признаком наличия в системе расчетной петли является то, что
от нее нельзя избавиться путем простого изменения порядка расчета или формы
записи уравнений. Для определения искомых переменных, образующих петли,
на каждом шаге расчета требуется выполнять операции типа вычисления кор-
ней уравнений. При использовании численных методов этот путь позволяет полу-
чать решения, но является сложным и трудоемким. Поэтому рекомендуется
применять другой, более эффективный способ решения таких систем, заключаю-
щийся в полном исключении из них расчетных петель путем замены недиффе-
ренциальных уравнений, образующих петли, соответствующими им дифферен-
циальными.
Принципиальная возможность такой замены вытекает из следующей теоремы
И. С. Градштейна, устанавливающей факт и условия соответствия решений
недифференциальных и дифференциальных уравнений с малыми множителями
при производных.
Теорема. Если дана система уравнений ft(X, /) =i0 (i=l, 2, 3 ...) и X<°>(Z)
является одним из ее решений на отрезке [/0, Т] и если при этом функции ft
имеют непрерывные производные первого и второго порядков в окрестности
^<0)(0, а все корни характеристического уравнения
det )(о, d _ w j Д = 0
I dXt	4 J
имеют отрицательные действительные частй  Re W\ (Z) <0, то решение
является 'пределом, к которому стремится решение системы дифференциальных
4	524	97
уравнений r\(dXildt)=fi(X, t) с малым множителем rj>0 при производных, если
величина этого множителя стремится к нулю:
lim X (t, >]) =	(t) при т] -* 0 для t0 < t < Т
(здесь Е — единичная матрица).
Используя эту теорему, исключить расчетные петли можно следующим обра-
зом. Полагая, что недифференциальные уравнения (1.117) и (1.118) удовлетво-
ряют условиям приведенной теоремы *, и учитывая ограниченность диапазонов
существенных частот решаемой задачи, вместо этих недифференциальных уравне-
ний можно использовать при моделировании следующие дифференциальные урав-
нения:
^- = P-rfr{Xr, Х8, Xq, Ur(t)]>	(1. 119)
dXs .	—	,	,
~X~V-sf s [Ar, Xs, Xq,Us(t)],
dt
где	fT^^r-Xr\ fs = 8Ts-Xs.
Множители Jis, pr и ps определяются по однотипным формулам:
1 1
Ps — I , । < 1; Pr —	. , I < 1 и т. д.,
Tmln|/xlfe	Tmin|/xlr
в которых Tmin — минимальная постоянная времени, не оказывающая влияния
на существенные для задачи низкочастотные составляющие решений;
|fx'|fe = |dffe/dAfe|—абсолютные значения соответствующих частных производ-
ных в окрестности решения.
Значение Tmin выбирается исходя из требуемой точности решения и из зна-
чения максимальной существенной для данной задачи частоты <оюах:
Tmin 7 2л/(пштах),
где п— коэффициент запаса, зависящий, от допустимой погрешности решения;
для задач с умеренной потребной точностью определения переходных составляю-
щих решения (2—3%) можно принимать п=50.. .400. При этом статические
составляющие решений при t -> оо не искажаются совсем.
Величины |fx'| * подставляются в формулы для рь, рг, р» или как перемен-
ные, вычисляемые в каждом шаге интегрирования, т. е.
=	xq(t), г/7(/)]|,	(1.120)
или как заранее определенные постоянные числа, равные максимальным воз-
можным значениям соответствующих частных производных во всей области
решения:
=max kx.L =const-	(1 • 12o
Проведенная замена уравнений представляет динамическую развязку расчет-
ных петель, поскольку алгоритмы численного интегрирования дифференциальных
уравнений позволяют прямыми подстановками вычислить значения искомых перг
менных, образовывавших ранее расчетные петли. Такой динамический способ
развязки расчетных петель не означает разрыва или исключения из модели
каких-либо действительных циклических взаимосвязей между переменными,
имеющихся в реальной физической системе.
* Указанные условия удовлетворяются при асимптотической устойчивости по
А. М. Ляпунову эквивалентных дифференциальных уравнений с малыми множи-
телями при производных.
98
При практическом использовании данного способа Дифференциальные урав-
нения следует составлять таким образом, чтобы малые постоянные времени ттщ,
появляющиеся при развязке расчетных петель, вводились в динамическую си-
стему не чисто формальным путем, а имели бы реальный физический смысл,
т. е. действительно существовали бы в моделируемой системе, но первоначально
не учитывались из-за их малости. Опыт показывает, что для систем рассматри-
ваемого типа такой подход дает определенные гарантии в отношении исключе-
ния различных случайностей, связанных с использованием чисто формальных
расчетных преобразований.
В соответствии со сказанным для развязки расчетных петель в точках раз-
ветвления гидравлических и газовых трактов рекомендуется помещать элементы
емкости, отражающие действительные свойства рабочего тела. То же относится
и к сечениям, стыкующим лопаточные машины с сетью или отдельные ступени
лопаточных машин между собой. В других случаях развязка достигается учетом
малых параметров, связанных с инерционностью рабочего тела, его релаксацион-
ными свойствами при быстрых деформациях или другими реальными физиче-
скими качествами.
1.6.3. Частотный способ анализа устойчивости процесса числен-
ного интегрирования уравнений. Покажем возможность эффектив-
ного перенесения в данную область теории вычислений частотных
методов исследования устойчивости, применяемых в теории регу-
лирования для анализа устойчивости физических систем с обрат-
ными- связями.
Пусть требуется проанализировать устойчивость численного ре-
шения системы уравнений
-^=/ft[X1,X2,...,Xn,67ft(/)], й=1,2...«,	(1.122)
at
осуществляемого какими-либо известными методами численного
интегрирования, подчиняющимися общей формуле
Xft(i+1) = F	kt, Cv],	(1.123)
где F — функция, определяемая алгоритмом; Д/— шаг решения
по времени; i и т — номера шагов (основного и вспомогательных);
С.. — постоянные коэффициенты.
Введем понятия о передаточных функциях и частотных характе-
ристиках процесса численного интегрирования. Будем предполагать,
что класс решаемых уравнений (1.122) ограничен уравнениями,
допускающими линеаризацию и имеющими асимптотически устой-
чивые в целом по А. М. Ляпунову точные решения. При этом Uk (t)
и Xh(t) кусочно непрерывны, равны нулю при t^.0 и абсолютно
интегрируемы. Тогда динамические свойства системы численного
интегрирования однозначно определяются системой передаточных
функций П(Х£/)Й(«) или частотных характеристик lF(xt/)ft(co):
П(Хц)Дх)=--[-*(-)], Ц7(хг/)Д«>)=Ф [~*(Z)1 ,	(1-124)
где L, Ф, s, со — символы и аргументы преобразований Лапласа
и Фурье.
В результате линеаризации и преобразования по Лапласу урав-
нений (1.122) и (1.123), а затем исключения из них всех промежу-
4*
99
точных переменных, кроме А'д и Uh, приходим к системе уравнений
численного интегрирования в изображениях переменных:
.	(1-125)
 9=1; q-/-k	J
где ей9=(^_)д/; ykk=(^\^, k,q=l,2...n;
Xk, Хд, Uk — малые отклонения переменных.
Р-1
----------- (ь126)
|1=0
— приведенные передаточные функции системы численного интег-
рирования; Nk, Мь, by, — полиномы от положительных степеней
eA/s и Ekk. Безразмерные параметры ель= |<V*/dXA| Д/=Д(/тш где
Xhh — постоянные времени уравнений и XI — шаг, играют важную
роль при анализе динамики систем численного интегрирования.
По определению Пй(0) = 1, в силу сходимости численных решений
и точных:
------- при Д/—»0.
TftftS +1
Примеры. Для алгоритма Эйлера
П <S) =	.„Д/S \ . V ’
к	е — 1 + ем
для алгоритма Рунге-Кутта
г-г	Ейй eAZs + (4 — 2ейй-|-0,5ейй) e0,5A<s 4-1—ем + 0,5ейй — 0,25е|й
11 <s)=-------------------------------i-------;----------;
*	еЛМ-1+Ш-0.5е2й+—е|й_— e|ft
для алгоритма Адамса
Пем	55e3i/s-59e2A<s + 37eWs-9
b (s) =	й-------з7------эТ;
4	e4i/S-^+eM(ge^-ge2^ + ge^-^-)
для алгоритма Милна
ГД (s)_£ ________Зе4д*ж + (12 — 8ем) езд<д + (3 + 4ем) е2д<д — 8ей<д
1 S S ~£/гй9е4д'5 + ем(12-8ем)езд^-(9-Зем-4е2й)е2д/ж-8Е2йед^+Зем
Из уравнений (1.125) и (1.126) следует, что системы численного
интегрирования принадлежат к классу замкнутых динамических
систем с передаточными запаздываниями.
Выражения №д(со) получаются из Пх(«) путем формальной под-
становки s = iw, где г2=—1. Дискретность систем численного интег-
рирования не препятствует применению обычных (непрерывных)
100
преобразований Лапласа и Фурье, но при этом частотный диапазон
ограничивается областью О^со^сош, где ыш=л/Д/— шаговая
частота.
Применим теперь для анализа устойчивости процесса численного
интегрирования частотные критерии. Численное решение Xk(t) сис-
темы (1.122) будем называть устойчивым по Ляпунову, если для
любого е>0 существует 6(e) >0 такое, что из |X/t(/0)—Xh(t0) | <
<б(е) следует	—Xh(t) | <® для любого t^t0 (здесь Xh(t) —
точное решение; to — начальный момент счета). В противном случае
численное решение неустойчиво. Будем говорить, что численное
решение устойчиво в целом, если оно устойчиво при любых 6(e)
во всей области возможных решений системы (1.122).
Предполагается, что Xh(t) —результат реального вычислитель-
ного процесса -с конечным шагом Д£=/=0 и ошибками округления
чисел 6о#=0.
Ограничения, наложенные выше на класс уравнений (1.122),
делают справедливыми следующие утверждения относительно
устойчивости:
а)	интегрирование систем (1.122) устойчиво в целом, если обес-
печена устойчивость уравнений первого приближения (1.125)
во всей области решений системы (1.122);
б)	численные решения, устойчивые относительно начальных от-
клонений 6(e), в силу линейности, (1.125) являются устойчивыми
также по отношению к постоянно действующим возмущениям
(в том числе к изменениям U(t), ошибкам округления чисел бо
и т. п.).
Из первого утверждения вытекает возможность применения
здесь частотных методов анализа устойчивости линейных систем —
критериев Михайлова, Найквиста, метода D-разбиения и др.
Покажем, что частотными методами достаточно просто решают-
ся различные задачи об устойчивости систем численного интегри-
рования уравнений.
А.	Устойчивость интегрирования систем любой сложности,
не имеющих замкнутых контуров.
В этом случае характеристическое уравнение системы распа-
дается на п уравнений вида Mk(e^ts) =0, k=l, 2, ..., п; поэтому
обеспечение устойчивости интегрирования каждого уравнения, взя-
того в отдельности, гарантирует устойчивость интегрирования всей
системы в целом.
Для ряда алгоритмов (см. примеры выше) характеристические
полиномы Mk (&ts) имеют простой вид:
Mft(e^)=e^-<p(eftft),	(1.127)
где ср (e,hh) — полином от	_
Частотные годографы 7Uft(e‘“), .где <л = ыД/— относительная
частота, представляют собой окружности единичного радиуса с
центрами в точках [<р(гм), 0]. Применение к ним критерия устой-
101
чивости Михайлова приводит к необходимому и достаточному ус-
ловию устойчивости
(1.128)
При этом на границе устойчивости частота колебаний численного
решения wKP = arccos ф(екр), где 'екр — критические значения вал,
получаемые из условия (1.128).
Примеры. Для алгоритма Эйлера
¥(£*л) = 1 — ЕАЛ-
Область устойчивости * =С2. Нарушение устойчивости при е*л<0 аперио-
дическое (ыКр='О), при ед,>2 — колебательное (с шаговой частотой <вКр=л/Д^).
Для алгоритма Рунге-Кутта
12	1	3	1	4
У Ом) = 1 — Ей* + 2 Ekk~ ь ем+ 24 Е**‘
Область устойчивости е/,/1С2,751. При ед11>2,751 устойчивость нарушается апе-
риодически (сОкр=|0|).
Для алгоритмов, у которых выражения ЛД(е4/5) более сложные, анализ
устойчивости целесообразно производить методом D-разбиения, определяя кри-
тические значения ejS ио из условий
ReMk (е'“ ) = 0; 1тМк (ez“) =0.	(1.129)
Примеры. Для алгоритма Адамса годограф Михайлова
Мк (ег“) = е‘4“ - егз“ +	(е'“),
где	ф (е'“) = — е':з”° - —ег2“ + — ег“ - —.
’	24	24	24	24
Область устойчивости е*ь =С0,3. При ель >0,3 устойчивость нарушается колеба-
тельно с шаговой частотой о)Кр=л/Д£.
Для алгоритма Милна годограф Михайлова
Mk = 9е'4“ +	(12 -- 8ем) е'3“ - (9 - 3^ -	- 8е^ е'“ + 3^.
Область устойчивости 0,3^8** ^0,79. Нарушение устойчивости колебательное
как при е/,д,<0,3 (<оКр=л/Д/), так и при 8о>'0,79 (<вКр=2,57/Д0.
Б. Устойчивость интегрирования замкнутых систем из двух
уравнений.
При н = 2 характеристический частотный полином системы
имеет вид
Л! (ez“)=7W1(e;“)7W2(e'’“)+eo.cBA^i(e/“)7V2(e,‘“),	(1.130)
где Ео.св =—612^21 — коэффициент обратной связи. Применение
критерия Михайлова и метода D-разбиения дает условия устойчи-
вости в виде соотношений между ei i, Е22 и 'ео. Св- Отсюда с помощью
формул связи определяются условия устойчивости на плоскости
любых других параметров системы.
Пример. Для алгоритма Эйлера
Мд = 77 2 = 1; Мj = ez“ + 1 — ei 1; Л12 = ez<0 +1 — е2 2 
Область устойчивости
2®11 — Е11 е2 2 + 2^2 2 — 4 < Ер_св < Е1 ! — Е! 1 Е2 2 4- е2 2.	(1.131)
102
Отсюда условия устойчивости: на плоскости корней (а±/'р) характеристического
уравнения это будет т2+ (п+ 1)2=С 1, где /г=аД/, лг=рд/; на плоскости коэффи-
циентов это будет едг=£1 при ец+е22^4, где ед=Д//тд при форме записи харак-
теристического уравнения TIIH2s2+Tns+;i =0. Здесь тпн и тд — постоянные вре-
мени, характеризующие силы инерции и демпфирования. Область устойчивости
на плоскости корней дана на рис. 1.33.
В.	Устойчивость интегрирования одноконтурных систем из п
уравнений.
При анализе устойчивости применяется критерий Найквиста
к частотной характеристике системы в разомкнутом состоянии:
^Р.с(ег“)=ео.сВГ1(е/“)^2(е'ш)--.^(егт),	(1-132)
где Ео.сВ=— £21ез2-•-en(n—i)ei;	k=l,2...n.
Если устойчивость интегрирования каждого уравнения в отдель-
ности обеспечена (см. п. Л), то для устойчивости интегрирования
всей системы необходимо и достаточно, чтобы
Mod IFp с (е‘ш) 1 при Arg W’p.c(e‘“) = —л. (1.133)
Пример. Для алгоритма Эйлера
е"
1Ер.с(е"и)=-----------------
П (е'“ + 1 +
ft=l
Если	для fe='l, 2...П, то при ец = е22= ... =е„п = е=Д1/т область
устойчивости системы
^<2 tg2 (Я/П) ~ К1'П [t + tg2 (Я/П)]1/2 ~ 1	(1134)
tg2 (л/н) + [К1,п [1 + tg2 (л/И)]1/2 - 1 )2
где А = е"св/£"; и—порядок системы. В более общем случае—при ^11^22^ —
...^=е.пп — соотношение (1.134) дает достаточное условие устойчивости, если
брать е = (е^) шах» 1» 2... fl.
1.6.4. Частотные оценки погрешностей. Имеющиеся в литера-
туре по численным методам оценки точности численного интегри-
рования уравнений являются весьма грубыми. Более точные оценки
можно получить на основе частотных методов.
Если Xk(t)—точные, а Хл(/)—численные решения системы
(1.122), получаемые при заданных Xfe(0) и Uk(0) каким-либо изве-
стным методом численного интегрирования, то текущая погреш-
ность интегрирования
lXk{t)=Xk(t)-Xb{t)	(1.135)
представляет процесс, показатели которого (максимум, колебатель-
ность и др.) характеризуют точность и качество численного реше-
103
-I---------
Z ReAk,'/c
1=0
Puc. 1.33. Область устойчивости численного интегрирования системы из двух
уравнений на плоскости корней (для метода Эйлера):
------------------линии постоянных степеней демпфирования £;------ — линии постоян-
ных значений собственной частоты со<,;---------------------------- области устойчивости (внутри окружно-
стей, касательных к мнимой оси)
ния. Рассмотрим способ априорного [без решения уравнения (1.122)]
определения показателей (1.135).
Поскольку погрешности численного решения являются обычно
небольшими, а решаемые уравнения, как правило, допускают линеа-
ризацию «в малом», анализ качества численного интегрирования
можно проводить в большинстве случаев, пользуясь локальными
линейными приближениями решаемых уравнений. Это значительно
расширяет возможности такого анализа.
104
Полагая, что все Uk(t) и Xh(t) абсолютно интегрируемы и чис-
ленные решения устойчивы, при Ль(0) =0 можно записать
Л5х(а>) = В5р(а>),
(1.136)
где (ш) и Sy (о>) — столбцы размера п х 1 частотных спектров
+ оо

erimtdt\
(1. 137)
— оо
А и В — квадратные матрицы порядка пХп, причем А—с диаго-
нальными элементами lVft(co) и остальными <Ehq(k^q), В — диаго-
нальная матрица из элементов у;<:
Afft, Nh — квазиполиномы от положительных степеней е'о> (их коэф-
фициенты зависят только от Ейй=|8дй| при q=ik)\ co—AZco— отно-
сительная частота; AZ—шаг; k, q=l, 2. ..., и; РКл(<о) = 1/Uzfe(co) —
обратные частотные характеристики подсистем численного решения
отдельных уравнений.
Решив уравнение (1.127) относительно столбца S^(co), получим
п
или 5^(о>)=2 ^(°>)5^(о>), (I-138)
<7=1	i
где W — матрица порядка пХп из элементов Wkq(w), представляю-
щих собой частотные характеристики всех каналов системы числен-
ного интегрирования (1.135). Функции IF>,4(w) принадлежат к тому
же классу, что и IEft(w). Обозначения аргумента со при W и S
в дальнейшем опускаются.
В силу сходимости численных решений с точными для спектров
погрешности имеем
«• 139>
«=1
Применение к выражению (1.139) обратного преобразования
Фурье дает
п +<»
8^(Z)=-i- V \ -(limU7ft,)S ]е<^о>.	(1. 140)
zJt	J ’	Q Д/->0	к
Q = 1 — оо
Если погрешность рассйРЭтривается только в существенном диа-
пазоне частот O^wi^comax, то пределы интегрирования заменяются
Па +о)щах-
105
Для типового входного сигнала ДД/) в виде единичного скачка
имеем
со
bXk(t)=—\(ReW2~ReWi)^^du, (1.141)
л .)	а
о
где W2=WkgSffISu , W^UmW^.
я я д/->о
Задача, таким образом, сведена к уже имеющей решение задаче
анализа качества переходных процессов в линейных системах по их
вещественным частотным характеристикам. Согласно работе [7J
возможна оценка
шахМСДОК 1,18№/3-Гпах|/?е1Г2-/?е1Г1|,	(1. 142)
где N— число экстремумов модуля разности	на отрез-
ке О^со^л/Д/.
При Uh(t) =cos<DOt и t^oo формула (1.140) дает выражение
текущей погрешности интегрирования в конечном виде, т. е. без
интегралов:
ЪХ„(/)=[(Re2-Re^+(Im2-cos(«></-(-arctg ^~/тУ ) -
\	— Wi J
(1.143)
Здесь для сокращения записи обозначено Re2=ReW hq((Do)
Im2=ImWkg(w0); Re1 = ReW1(w0);
Как следствие из формулы (1.143) записываются выражения
для отдельных показателей текущей погрешности: максимальной
бтах, фазовой бь, амплитудной бо. Относительные погрешности,
отнесенные к амплитудам точного решения а0 и а_ на нулевой
и текущей частотах, обозначены ниже 8тах, 8Й и 8^, 8О.
Проиллюстрируем применение полученных формул на примерах интегриро-
вания систем уравнений некоторых типов (во всех случаях системы приведены
к нормальной форме Коши).
А.	Изолированные уравнения и системы, содержащие только параллельные
соединения.
Примеры. Для алгоритма Эйлера
Относительная амплитудная н фазовая погрешности
L 4s +2 с1 — u —cos “)
<Й	sin ю	ы
Ъь = arctg---— arctg---------5~ —
Bkk	£kk — 14*cos “	*
На характерной частоте m=eilh имеем бо«екь/4.
106
Для астатических уравнений, у которых елл='О (при Л/=^=0),
1	\Р/2 й _
—-—	~; вс
tg (“/2) /	2
ы/2	<о2
sin (ш/2)	24
Во всех формулах приближенные равенства относятся к области еь*<С1 и
ц><1. Соответствующие графики дамы на рис. 1.34, а.
Для алгоритма Рунге-Кутта
причем
1 „/ш . Л _Z0,5<o . «,
»1 е + е»с,5 е + »()
W2 = Xk	Z	•
е!ш — <е
t 1	,	2	1	1	2
bl= — ;b0l5=—- — ekk+
1	1	1	2	1	3
6o = l"_TEftft+ 12 "кк~ 24 "kk’
1	9	1	3	1	4
V = 1 — E** + 2	~ б + 24 Eftft‘
Относительная погрешность по амплитуде
,-2 . -Оч (^1 + Ьо + 6о,б)2 — Ws (^1 + M + 4fe06iz
(Е« + Ю)---------------(1_?)2 + 4^
где z=sin(w/2).
Для астатических уравнений (при е*л=0)
й/2	2 + cos(w/2)
8Й =	г — -----—	1.
sin (ш/2)	«
Графики погрешности даны на рис. 1. 34, б.
Б. Последовательные цепи из п уравнений. Для таких цепей при k—n, <?=1
имеем
П	ЕП
Г2 = wk9 = е« П	-----
Й=1	П (Z“ + В**)
*=1
п
е"=П E*(*-i)’
Й=1
причем ei(i_i)=Yn; поскольку в этом случае
п
+ 1 т1о> = Ец" П (.^1 + I
к=1
то для последнего (n-го) уравнения цепи получаем
п /
смл=п (
й=1 к
2	, _2
Efrfe + 4>
107

Рис. 1.34. Частотные характеристики погрешностей
численного интегрирования уравнений:
а—для алгоритма Эйлера: б—для алгоритма Рунге-Кутта
$Н%)
Z
1
О
-1
$
где (6а)k — погрешности решения отдельно взятых уравнений (предполагается
(6а)к<С1, 6=1,	Относительная амплитудная погрешность, отнесенная
к амплитуде точного решения на нулевой частоте,
п	п
й=1	*=1 у kk^ Z
zkk
(4й + “2)1/2
(4 + *2)1/2
Ekk
О
В частности, при одинаковых постоянных времени всех уравнений еьь=е, k=l.
2... п, на характерной частоте ы=е имеем
(®с)л = 2<«—1)/2 (*»)'
Видно, что относительная погрешность при увеличении длины цепи в корот-
ких цепях (п<6) растет, а в длинных (п>7) уменьшается, при этом растет по-
грешность всегда медленнее, чем длцна цепи п.
В.	Одноконтурные системы из п уравнений. Для канала Ut->Xn в таких
системах
п
<	Ел	JL
VT2=-------; W^---------------------; е£св=-ГК*-1),
Ео.св п Wk + 1	<св + П («“ + Ete)	*= 1
Й=1	Й=1
причем =ЧЛ-
В одноконтурных системах ошибки интегрирования зависят также от вели-
/п
П представляющей собой коэффициент усиления контура;
й=1
при этом вблизи резонансной частоты погрешности интегрирования увеличи-
ваются.
Пример. Для алгоритма Эйлера
п
Еосв+ П(ег“-1 + еМ)
Л=1
При e-kk — е <С 1> k = 1, 2... п, на характерной частоте ы = е имеем
(	№+2<л+2)/2К cos (пп/4)+2п	*
8^=1	।	г	I	»
j №+2Х	[(1—0,5е)2 +	1]0,Бл cos |« arctg х_0	I +[(1—0,5е) + 1]л	(
где п — порядок системы; К — коэффициент усиления контура (формула спра*
ведлива для устойчивых систем с К =C[tg(л/n)+1]"/2. Например, для п=3, е=0,03
максимум погрешности прн К=2 составляет =5%.	_	__
Для систем второго порядка (п=2) максимум ба имеет место при со=
= е(К—I)1/2 н приближенно определяется соотношением
(®Л)шах “ ед ПР11 Ех « 1 
где Ед—Д//тд; тд — постоянная времени, характеризующая демпфирование си-
стемы (при форме записи характеристического уравнения т2на2 + ТдХ 4-1 = 0).
109
1.6.5. Ограничение частотного спектра решений. При численном
решении системы уравнений (1..116) в ряде случаев производные
Id/h/dXfcj при невысоком среднем уровне их значений у некоторых
уравнений в процессе интегрирования принимают очень большие
значения. Это часто приводит к потере устойчивости и снижению
точности счета и заставляет применять мелкий шаг интегрирова-
ния, что существенно увеличивает трудоемкость решения задач.
Алгоритмы с переменным шагом тут мало эффективны, так как
в сложных системах с переменными параметрами часто могут силь-
но возрастать некоторые	из большого числа производных.
В этих случаях целесообразно производить нетождественное преоб-
разование решаемых уравнений, ограничивающее частотный спектр
их решений. Идея этого метода состоит в том, чтобы, не решая
уравнений, найти способ такого преобразования их коэффициентов,
чтобы частотный спектр решений ограничивался в несущественной
для смысла задачи (но трудной для численного интегрирования)
высокочастотной части и практически не искажался бы в области
существенных частот.
Такой способ найден и заключается в введении в решаемую сис-
тему уравнений простейших динамических фильтров высоких частот,
наподобие того, как это делается в.измерительных приборах и кана-
лах связи для подавления высокочастотных пульсаций параметров
и других помех, мешающих нормальному выполнению этими устрой-
ствами своих основных функций. Этот подход по своей идее
является более рациональным, чем методы численного интегриро-
вания с переменным шагом, поскольку здесь путем коррекции несу-
щественных для смысла задач неблагоприятных свойств уравнений
достигается ускорение процесса решения, тогда как в методах пере-
менного шага под эти неблагоприятные свойства подстраивается
весь темп численного решения, что часто приводит к неоправдан-
ным потерям машинного времени.
Нетождественное преобразование, ограничивающее частотный
спектр решения (так называемое ц-преобразование), имеет сле-
дующий вид:
^-=f\X, U (/)] — исходное уравнение;
dt
(/(/)] —преобразованное уравнение; (1.144)
p.^=n1o)max/|<?//^Ar|	1 — оператор преобразования.
Здесь сощах — максимальная существенная частота; 1 — коэффи-
циент запаса.
Оператор ц (как и множители fik, Цг, |xs в подразд. 1.6.2) может
быть переменным, если в него подставляются текущие значения
| df/dX], вычисляемые по ходу расчета, или постоянным, если в него
подставляется величина max|d//dX| = const, полученная предвари-
тельной оценкой.
ПО
(1.145)
Преобразование (1.144) вводит в исходное уравнение самонаст-
раивающийся линейный фильтр с передаточной функцией
n*(s)=-^±±- ’
где т= 1/|а| — постоянная времени решаемого уравнения; Тщ1п=
= 1/(П1Сотах) — постоянная времени фильтра; s — комплексный аргу-
мент передаточной функции; a=df/dX.
Благодаря ограничению р^1 обеспечивается самонастройка
фильтра: при решении малоинерционных уравнений с т—>0 полу-
чается максимальная степень фильтрации [Пф= 1/(ттщ5+1)]; при
интегрировании уравнений, обладающих достаточными собственны-
ми фильтрующими свойствами (с т—>со) фильтрация решений
не производится совсем (Пф=1); во всех остальных случаях, когда
l/(niWmax), осуществляется промежуточная степень фильт-
рации в соответствии с фактической величиной т:
Пф=(т«+ l)/(rmlns+ 1).
Преобразование (1.144) не вносит никаких погрешностей в ста-
ционарные составляющие решений
X(t)=X(f) при /—>оо.
Погрешности определения динамических составляющих решения
в диапазоне существенных частот 6,оХ(0 (см. (1.3)] могут быть
сделаны сколь угодно малыми путем увеличения коэффициента П\.
lim [8<оА'(/)]=0 при ftj—>оо.
Чтобы преобразование было эффективным в отношении сниже-
ния трудоемкости интегрирования, значения п\ следует выбирать
минимально возможными при условии, что выполняются требования
точности.
Так как в результате преобразования (1.144) при ц<1 пара-
метр ie уменьшается (е=це), то это означает, что данное преобра-
зование позволяет при прежней точности решения (в диапазоне
существенных частот) увеличить шаг интегрирования и, следова-
тельно, уменьшить трудоемкость (машинное время) численного
решения.
Получаемый от ^-преобразования выигрыш в снижении трудоем-
кости увеличивается с ростом безразмерного критерия
у _ °0>Д0П
т2“1ах
(1,446).
где 8ШДОП — максимально допустимая погрешность моделирования;
в диапазоне существенных частот (см. (1.2)].
Приведенная выше формула (1.144) для вычисления операторов,-
преобразования р, применима к системам уравнений любого поряд--
ка, не имеющим замкнутых контуров.
111
Рис. 1.35. Область расположения корней ха-
рактеристического уравнения динамической
системы при ограниченном частотном спектре
решения
В более общем слу-
чае — для систем урав-
нений с замкнутыми кон-
турами — преобразова-
ние осуществляется пу-
тем перевода на комплек-
сной плоскости всех не-
существенных (больших
корней Хь характеристиче-
ского уравнения системы
с периферии на границу
круга (рис. 1.35):
I > | ^1ытах ^ltoinax .
м. 147)
при этом не очень боль-
шие (существенные) кор-
совсем не изменяются.
ни изменяются незначительно или
Тогда формулы для вычисления операторов преобразования
принимают вид
..  ^l^inax
причем множители <р& определяются из условий
ModXfe<-ni^nax ; ArgXft=ArgXft,
(1.148)
где Хь и "kk — корни характеристического уравнения исходной
и преобразованной систем. Корни преобразованной системы дают-
ся в сдвинутой системе координат, начало которой находится в точ-
ке И](0тах/2, 0.
Для рассматриваемых нами замкнутых систем высокого порядка
обычно бывает достаточно осуществить преобразование на уровне
отдельных уравнений и локальных контуров второго порядка.
Возможен также приближенный подход, основанный на использо-
вании оценок верхней границы модуля собственных значений харак-
теристической матрицы системы. В этих случаях в ходе расчетов
на ЦВМ должна контролироваться погрешность, вносимая преоб-
разованием.
1.6.6. Выбор метода интегрирования. После исключения расчет-
ных петель система (1.116) превращается в удобную для числен-
ного интегрирования систему дифференциальных уравнений.
Ее решение может быть выполнено любым из известных методов
численного интегрирования. Наличие в составе системы дифферен-
циально-разностных уравнений не препятствует этому, поскольку
функции запаздывающего аргумента X(t—т) входят в эти уравне-
ния только явно. В этом случае для осуществления процесса чис-
ленного интегрирования достаточно организовать запоминание
112
и выборку из памяти ЦВМ соответствующих значений этих функ-
ций. Кроме того, как было показано выше (см. подразд. 1.2.2), для
сокращения трудоемкости моделирования операции запоминания
. и сдвига массивов чисел X (/—т) при необходимости можно совсем
.исключить, заменив уравнения элементов транспортного запазды-
. вания соответствующими дифференциальными уравнениями.
Метод интегрирования должен выбираться с учетом всей сово-
купности эксплуатационных свойств существующих алгоритмов
численного интегрирования дифференциальных уравнений. Для
достаточно сложных моделей полного цикла работы ЖРД перво-
степенное значение, как уже отмечалось, имеет минимизация затрат
машинного времени на моделирование при весьма умеренных требо-
. ваниях к точности решения. В этих условиях, естественно, предпоч-
тение должно отдаваться наиболее простым и наименее трудоемким
алгоритмам.
Таблица 1.4
Сравнительные характеристики некоторых
методов численного интегрирования
Название метола	Показатели точности		Показатели сложности			Степень автономности
	8в. %	екр	п	т	Z	
Эйлера (простой)	4	2	2	1	2	Самоначинаю- ЩИЙ1СЯ
Эйлера (усовершенст- вованный Коши)	0,5	2	5	2	3	То же
Рунге-Кутта	0,07	2,78	16-30	4	4-7	
Башкирова	0,3	—	4	2	2-3	»
Адамса (экстраполя- ционный)	0,05	0,3	11	1	4-7	Не самсхнмжаю- ЩИЙСЯ
Милна (прогноз и кор- рекция)	—	>0,3 <0,79	12-14	2	4-5	То же
В табл. 1.4 приведены сравнительные показатели степени слож-
ности и точности некоторых распространенных методов численного
интегрирования уравнений. Таблица относится к случаю решения
указанными методами уравнения X=f[X, 17(0] с постоянной вре-
мени т= l/\df/dX\ при шаге интегрирования А/. Точность алгорит-
мов характеризуется двумя показателями:
амплитудной погрешностью ба (при А£=т/5 на характерной
частоте сп = 1/т) и критическим по условию устойчивости значением
Параметра v=Xt!x. В качестве показателей сложности взяты также
три величины: количество элементарных арифметических операций
в формуле алгоритма п, потребная кратность вычисления правых
Частей уравнений на каждом шаге т и потребное число ячеек па-
113
мяти ЦВМ z. Для простоты практического использования важно,
чтобы метод обладал свойством автономности, т. е. не требовал
бы особых алгоритмов для начала счета.
Из табл. 1.4 следует, что наиболее подходящими для рассмат-
риваемых нами моделей являются первые четыре метода. Алгорит-
мы Адамса и Милна из-за отсутствия самоначииания и малых запа-
сов устойчивости были бы здесь менее удобны. Метод Рунге-Кутта
дает высокую точность решения, обладает повышенным запасом
устойчивости, но является наиболее трудоемким и требует большого
объема памяти ЦВМ. При потребной точности решения 0,5—1%
применение метода Рунге-Кутта приводит к увеличенным затратам
машинного времени по сравнению с более простыми алгоритмами.
Имеющийся опыт указывает на целесообразностьприменения в за-
дачах данного типа простого мётбда"Эйлера.
Т.6.7. Выбор "шага интегрирования. При прочих равных условиях
машинное время, потребное для численного интегрирования систем
уравнений, снижается прямо пропорционально увеличению шага
решения. Применение, слишком большого шага лимитируется
ростом погрешностей и нарушением устойчивости счета. Поэтому
для получения минимального времени расчетов шаг должен выби-
раться максимально возможным, при котором еще выполняются
поставленные требования к точности решения. Слишком большой
запас точности неизбежно приводит к повышенным затратам
машинного времени. Оптимальная величина шага существенно зави-
сит от свойств конкретных систем уравнений и характера решае-
мых задач. В задачах рассматриваемого здесь типа величину шага
интегрирования AZ следует назначать таким образом, чтобы ни для
одного из уравнений решаемой системы в течение всего цикла моде-
лирования не нарушалось условие
^•<<^,/=1,2.......п,	(1.149)
где ez=A//tz; tz—1/|^/Z/^XZ|; emax—максимально допустимое зна-
чение параметров ez. Тогда назначаемая величина шага будет
^ = emax	(1- 150)
где (тг)ты — минимально возможное значение постоянной времени
уравнений системы для всей области решения. Величина (т,)т1п
определяется путем подстановки в продифференцированные соот-
ветствующим образом правые части уравнений (1.116) значений
переменных, придающих наибольшие величины модулям производ-
ных \dfi/dXi\.
Величина коэффициента етах определяется свойствами приме-
няемого алгоритма интегрирования и требуемой точностью решения
задачи. Соответствующие зависимости для различных алго-
ритмов были даны в вышеприведенных примерах. По ним для кон-
кретных случаев можно найти целесообразные значения коэффи-
циента Стах- В частности, в случае применения алгоритма Эйлера
при требующейся в задачах данного типа точности решения реко-
мендуется принимать етах = 0,05 .. . 0,1. Только для отдельных урав-
114
нений, не очень сильно влияющих на выходной результат, в край-
них случаях могут допускаться значения етах = 0,2 ... 0,3. При этом
нужно иметь в виду, что в диапазоне 0^етах^1 численное реше-
ние приближается к точному апериодически, в диапазоне l^emax<S
=С2 — колебательно, а при етах^2 становится неустойчивым.
Для уравнений, образующих замкнутые контуры со значитель-
ными коэффициентами усиления, допустимый уровень коэффициен-
тов етах меньше. Их величины зависят от порядка контуров,
их коэффициентов усиления и соотношения между постоянными
времени отдельных уравнений. Для контуров, включающих в себя
п уравнений с примерно одинаковыми постоянными времени, выби-
рать значения етах при применении метода Эйлера можно по фор-
муле (1.134) из условия обеспечения 10-кратного запаса устойчи-
вости: етах=0,1еКр. В этом случае, например, при 7<=2 и п = 2 полу-
чаем етах=0,07; при /С=2 и п = 5 —'етах=0,03 и т. д.
При решении систем рассматриваемого типа обычно оказывается
достаточным ограничиться оценкой максимально допустимой вели-
чины шага только для контуров 2-го порядка и реже — 3-го. В слу-
чае применения метода Эйлера выбирать шаг для контуров 2-го
порядка в соответствии с полученными выше теоретическими
результатами целесообразно по следующему соотношению:
^=:едшах (^i)inln’	(1.151)
где тДг — постоянные времени, характеризующие степень демпфи-
рования контуров; еДтах— максимально допустимое значение пара-
метров еДг=Д//тдг-. При едтах=0,1 обеспечивается 10-кратный запас
устойчивости численного интегрирования. Еще одним ориентиром
при назначении величины «дтах может служить полученное для
слабо задемпфированных контуров 2-го порядка соотношение
ел.пах~—(1.152)
Д llTdX 1 i ®	х	'
I +
где 6а — относительная погрешность интегрирования по амплитуде.
Видно, например, что при допустимой погрешности по амплитуде
2% величину едтах следует назначать «0,02.
Величина шага интегрирования, выбранная с учетом всех ука-
занных выше условий, для систем уравнений рассматриваемого
здесь типа лежит обычно в пределах 10-3—10-4 с.
1.7.	Примеры моделирования
1.7.1.	Моделирование запуска. Моделирование запуска
имеет своей целью выявление и исследование особенностей про-
цесса, влияющих на его надежность, определение основных харак-
теристик системы запуска двигателей, проверку и оптимизацию
предлагаемых циклограмм и схем управления. Ниже приводится
несколько примеров практического применения математического
Моделирования.
115
Рис. 1.36. Типичный процесс запуска однокамерного ЖРД открытой схемы:
а—результат моделирования; б—результат испытаний
На приведенных графиках переходных процессов за базовые значения отно-
сительных величин, обозначения которых указаны без скобок, приняты их номи-
нальные значения; для остальных относительных величин, обозначения которых
указаны в скобках, базовыми значениями являются: для давлений в напорной
части тракта двигателя (рн.о, Рн.г, Ргг и т. д.) —давление (рк.с)ноМ; для давле-
ний иа входе в двигатель— (рЕх.о)ном; для расходов— (Gh.o)hon.
Первый пример (рис. 1. 36) относится к выбору циклограммы и определению
характеристик запуска1 однокамерного азотнокислотного двигателя открытой
схемы. Двигатель имел восстановительный газогенератор и регулятор' режима,-
Поддерживающий заданный расход топлива в камеру сгорания. Начальная рас-
крутка ТНА при запуске осуществлялась пиростартером, пусковые клапаны были
расположены в гидромагистралях на входах в насосы. Перед моделированием
ставилась задача, проверить возможность применения на таком двигателе про-
116
стейшей циклограммы управления запуском, заключающейся в одновременной
подаче команды на включение стартера и открытие пусковых клапанов. На
рис. 1.36,а приведены графики процесса запуска, полученные в результате моде-
лирования. Команда на открытие пусковых клапанов и включение пиростартера
(см. кривую рп.к) была подана в момент /=0. Видно, что при данной цикло-
грамме управления процесс запуска протекает нормально и двигатель выходит
на заданный режим без опасных отклонений параметров. Относительное время
запуска — от момента подачи команды (/=0) до достижения рк.с=90%—со-
ставляет t~ 1,9 единицы (за базовую величину для t было принято время запол-
нения линии окислителя газогенератора).
На рис. 1.36, б для сравнения приведены соответствующие процессы, полу-
ченные впоследствии при испытаниях натурного двигателя при такой же цикло-
грамме управления.
Второй пример (рис. 1.37) относится к определению основных характери-
стик процесса запуска однокамерного азотнокислотного ЖРД закрытой схемы
с окислительным газогенератором. Этот двигатель был оборудован пневмостар-
тсром и имел регулятор режима, поддерживающий заданный расход горючего
в газогенератор. Пусковые клапаны были так же расположены в гидромагист-
ралях на входах в насосы, но циклограмма управления запуском была несколько
более сложной: в момент времени /=0,06 подавалась команда на_ включение
ппевмостартера и открытие пускового клапана горючего, а в момент <=0,38 — на
открытие пускового клапана окислителя; в момент времени <=1,7 производилась
перенастройка регулятора режима с уровня, соответствующего промежуточной
ступени тяги, на уровень главной ступени. Моделирование показало, что в номи-
нальных условиях процесс запуска характеризуется следующими основными
показателями: относительное время выхода на промежуточный режим /пром ~ 1,4,
на главный — /Гл~2; давления при гидроударах на входах в насосы достигали:
по окислителю —270, по горючему =«180% от номинальных значений соответст-
вующих давлений; заброс частоты вращения ТНА при выходе на промежуточ-
ный режим отсутствовал, а при выходе на главный режим — не превышал 9%;
забросы температуры генераторного газа при выходе на промежуточный и глав-
ный режимы не превышали —25%- Характерно возникновение значительных
забросов расходов GH.o и GH.r на начальной стадии процесса, т. е. до подхода
фронта заполняющей жидкости к насосам (так называемых «бросковых расхо-
дов»), а также появление быстрозатухающих колебаний давления на входе
в насос окислителя после момента вступления в работу газогенератора (/=1)
и начала перехода на главный режим (/=1,7).
Еще один пример (рис. 1.38) относится к моделированию процесса запуска
четырехкамерного ЖРД открытой схемы по давлению в камере сгорания в срав-
нении с давлениями, зарегистрированными при огневых испытаниях натурногэ
двигателя в каждой из камер. Обращает на себя внимание хорошее воспроизве-
дение моделью таких тонких особенностей формы экспериментальных кривых
как первоначальный пик и последующий провал давлений.
Наряду с воспроизведением процессов по параметрам, регист-
рируемым обычно при огневых испытаниях двигателей, математи-
ческое моделирование позволяет также получать и исследовать
процессы по таким параметрам, которые на переходных режимах
при натурных испытаниях измерить трудно, но которые желательно
знать для более правильного принятия решений при доводке дви-
гателей и систем их запуска. На рис. 1.39, а в качестве примера
приведен полученный путем моделирования процесс изменения
избыточной мощности турбины ТНА при запуске ЖРД закрытой
схемы. Использование этого графика позволяет более уверенно кор-
ректировать в ходе доводки системы запуска циклограмму работы
и настройку агрегатов управления. На рис. 1.39, б дан полученный
117
Рис. 1.37. Типичный процесс запуска однокамерного ЖРД закрытой схемы (результат моделирования, пример)
Рис. 1.38. Типичный процесс запуска четырехкамерного ЖРД открытой схемы:
— —----результат моделирования;------испытание натурного двигателя
тем же путем график изменения в процессе запуска мгновенных
значений коэффициента соотношения расходов компонентов через
камеру сгорания. Совместный анализ этого графика с кривой
нарастания давления в камере дает полезную информацию для
отработки устойчивости рабочего процесса на переходных режи-
мах. На рис. 1.39, в и г приведены характеристики к.п.д. турбины
и насоса окислителя с нанесенными на них по результатам модели-
рования мгновенными положениями рабочей точки соответствую-
щих агрегатов. Использование этих характеристик помогает улуч-
шить процесс запуска двигателей.
1.7.2.	Расчет дроссельных характеристик. В качестве примера
на рис. 1.40 приведены переходные процессы регулирования ЖРД
закрытой схемы с окислительным газогенератором, полученные при
сравнительном анализе различных вариантов схем управления,
обеспечивающих трехкратное снижение тяги такого типа двигате-
лей дросселированием.
Рассматривались варианты систем с дросселированием одной, двух и всех
трех гидромагистралей, причем на линии горючего газогенератора во всех слу-
чаях был установлен регулятор постоянного расхода топлива, а в остальных
линиях варьировалась постановка простых дроссельных кранов или стабилиза-
торов соотношения расходов компонентов соответствующих агрегатов (стабили-
заторов krr и Лк.с)- Моделирование показало, что наиболее благоприятное про-
текание статических характеристик и переходных процессов обеспечивается при
варианте схемы с регулятором и двумя стабилизаторами. На рис. 1.40 приве-
дены процессы, соответствующие этому варианту системы управления. Дроссе-
лирование тяги двигателя от 100 до 30% проведено в пять ступеней: при скачко-
образной перенастройке регулятора режима каждый раз примерно на 15%;
обратный переход с 30 на 100 % выполнялся в одну ступень. Видно, что при
119
Рис. 1.39. Переходные процессы запуска ЖРД по параметрам, непосредственно
не регистрируемым при испытаниях (примеры моделирования):
а—избыточная мощность ТНА, б—соотношение расходов компонентов, поступающих в каме-
ру сгорания; в—к. п. д. турбины; г—к. п. д. насоса окислителя
дросселировании переходные процессы по всем пара,метрам, за исключением
параметра йк.с, являются монотонными; по параметру йк.с наблюдались относи-
тельно небольшие забросы (менее чем на 10%)- Резкое форсирование двигателя
сопровождалось значительным забросом температуры генераторного газа (более
чем на 50%) и большим провалом параметра kK.a (более чем на 40%). Такой
характер процесса обусловлен динамическими свойствами стабилизаторов КТГ
и Кк.с, которые не удается сделать достаточно быстродействующими при управ-
лении большими расходами топлива. Уменьшение, забросов параметров в этом
случае достигается соответствующим замедлением процесса перенастройки регу-
лятора (с. разд. 5. 1).
120
1.7.3.	Моделирование останова. На рис. 1.41 в качестве примера
представлены результаты моделирования процесса останова кис-
лородно-керосинового ЖРД закрытой схемы с окислительным газо-
генератором и для сравнения пунктиром показаны соответствую-
щие процессы, полученные при стендовых испытаниях эксперимен-
тального двигателя. Эти результаты относятся к варианту цикло-
граммы останова с закрытием клапана подачи горючего в газоге-
нератор в момент времени t~0 и остальных отсечных клапанов —
в момент 7=0,2. Полученный процесс в основном является удовлет-
ворительным. Несколько повышенная колебательность_расчетного
процесса по параметрам линии окислителя (рвх.о, рн.о, Go) обуслов-
лена отличием характеристик этой линии, заложенных в модель,
от характеристик соответствующей гидромагистрали испытатель-
ного стенда. Обратный ток горючего (параметр Gr), полученный
на модели в интервале относительного времени 0,1—0,3, обусловлен
непредусмотренным по циклограмме останова самопроизвольным
открытием клапана подачи горючего в камеру под действием дав-
ления газа продувки и вытеснением газом жидкости в обратном
направлении. Подобное явление наблюдалось также и в реальных
условиях. Оно было устранено увеличением силы затяжки пружины,
удерживающей отсечной клапан- в закрытом положении.
Рис. 1.40. Переходные процессы при трехкратном снижении тяги ЖРД закрытой
схемы дросселированием (пример моделирования)
121
Рис. 1.41. Процесс останова ЖРД (пример моделирования):
--------- на модели;------при стендовых испытаниях двигателя
1.7.4.	Исследование устойчивости двигателей и систем регулиро-
вания. Такие исследования проводятся на модели прямым мето-
дом — путем наблюдения характера получающихся переходных
процессов. При этом возмущающими факторами служат или есте-
ственные малые возмущения, вызываемые неточностями начальной
122
балансировки равновесных режимов и числовыми шумами ЦВМ,
или специально задаваемые внешние воздействия. Если равновес-
ные режимы поддерживаются стабильно и получаемые переходные
процессы являются сходящимися, то двигатель и система регули-
рования считаются устойчивыми. В противном случае делается
обратное заключение. Запас устойчивости по различным парамет-
рам определяется путем изменения величины соответствующего
параметра до получения на модели расходящихся процессов.
На рис. 1.42 показаны переходные процессы, полученные на модели
при исследовании таким способом запаса устойчивости ЖРД закры-
той схемы с двумя ТНА типа газ — газ. Исследовался запас устой-
чивости двигателя по величине момента инерции ТНА окислитель-
ного контура Jo (рис. 1.42, а) и по величине объемов затурбинных
полостей Vo и Vr (рис. 1.42, б). Из представленных графиков видно,
что при уменьшении момента инерции в два раза процессы оста-
ются сходящимися, при уменьшении в пять раз возникают расходя-
щиеся колебания. Увеличение объемов затурбинных полостей в два
раза не приводит к нарушению устойчивости (п0 и пг — частоты
вращения ТНА подачи окислителя и горючего).
Рис. 1.42. Переходные процессы, полученные при исследовании запаса устойчиво-
сти ЖРД с двумя ТНА как объекта регулирования:
а~«лиянне момента инерции ТНА; б—влияние объемов газоводов; -----------—V,=iz •
ГВ ГВ.НОМ’
-----------V =2У
ГВ ZITB.HOM
123
Рис. 1.43. Частотные характеристики ЖРД:
а—амплитудно-частотные характеристики; б—ампли-
тудно-фазовые характеристики;--------рассчитаны
на модели;---------—получены при огневых испы--
таниях (на разных экземплярах двигателя)
Рис. 1.44. Влияние внешних и внутренних факторов на процесс запуска ЖРД:
---------- огневые испытания;---------моделирование
124
1.7.5.	Расчет частотных характеристик на модели. Расчет произ-
водится примерно таким же образом, как и их экспериментальное
определение на натурных двигателях: на исходном равновесном
режиме задаются гармоничные колебания входной величины и пос-
ле того, как процесс колебаний установится, определяются ампли-
туды и фазы колебаний выходных величин. Процедура повторяется
на различных частотах, а в случае необходимости — и при различ-
ных амплитудах задаваемых колебаний. Частотные характеристики
типа
Моб(-^Ц = Д(<о) и	(1.153)
рассчитываются или непосредственно по экстремумам колебатель-
ных процессов, или путем гармонического анализа процессов. Обра-
ботка получаемых данных автоматизируется с помощью соответст-
вующей стандартной подпрограммы. Иногда вместо задания серии
гармонических сигналов различных частот на вход подается единич-
ное возмущение и частотные характеристики определяются с по-
мощью преобразования Фурье входного и выходного сигналов.
На рис. 1.43 в качестве примера приведены частотные характе-
ристики ЖРД закрытой схемы, рассчитанные на модели методом
задания гармонических колебаний. Возмущения задавались на наст-
ройку регулятора режима. Для сравнения на графиках показаны
также частотные характеристики натурного двигателя, полученные
экспериментальным путем. Разброс этих характеристик обусловлен
индивидуальными особенностями отдельных экземпляров двигателя
и некоторыми отличиями в условиях эксперимента. Видно, что дан-
ные, полученные на модели, в основном удовлетворительно согла-
суются с результатами эксперимента. Для дальнейшего улучшения
сходимости, по-видимому, требуется более детально учитывать
в модели индивидуальные особенности каждого экземпляра дви-
гателя.
1.7.6.	Влияние внешних и внутренних факторов. Их влияние
на исследуемые процессы иллюстрируется графиками, приведенны-
ми на рис. 1.44. Графики относятся к начальному этапу процесса за-
пуска экспериментального азотнокислотного ЖРД закрытой схемы
с окислительным газогенератором. Рассматривается выход двига-
теля на промежуточную ступень тяги. Внешними факторами, влия-
ющими на процесс, здесь являются давления окислителя и горючего
на входе в двигатель перед запуском (рвх.о, Рж.г)- К внутренним
факторам относятся разброс уровня настройки регулятора режима
(6GP) и разброс времени открытия пускового клапана окислителя
(бткл.о)- Кривые II относятся к номинальным условиям запуска,
для которых значения влияющих факторов приняты за 100%.
Кривые I относятся к условиям запуска, способствующим ускоре-
нию процесса Срвх.о = 70%; /7Вх.г=140%; 6GP=+5%; 6ткл.о =
= + 15%); кривые III — к условиям, способствующим замедлению
процесса (рвх.о== 140%; рвх.г=70%; 6GP=— 5%; бткл.о =—15%). Во
всех случаях кривые I, II, III представляют результаты моделиро-
125
Рис. 1.45. Пример идентификации модели (переходные процессы при запуске
кислородно-керосинового ЖРД) в номинальных условиях:
--------- моделирование; --——огневые испытания
вания, а линии 1, 2, 3 — результаты стендовых испытаний. Видно,
что рассмотренные сочетания факторов оказывают весьма сильное
влияние на процесс запуска, вплоть до полного отказа — получения
так называемого энергетического «незапуска» (кривые III).
Из приведенного примера можно заключить также, что математи-
ческое моделирование является достаточно чувствительным мето-
дом исследования такого рода влияний.
126
1.7.7.	Пример идентификации модели. Для сложных нелинейных
систем рассматриваемого здесь типа со значительным числом пара-
метров, подлежащих уточнению, регулярные методы идентификации
пока еще не разработаны. Однако имеющийся опыт указывает
на возможность достаточно полного решения этой задачи методом
вариантных расчетов в диалоговом режиме работы с ЦВМ (мето-
дом проб и ошибок). На рис. 1.45 показаны результаты проведенной
таким способом идентификации модели кислородно-керосино-
вого ЖРД закрытой схемы. Приближение свойств модели к свойст-
вам натурного двигателя производилось по результатам регистра-
ции процесса запуска двигателя, произведенной при серийных
стендовых испытаниях. Процессы, полученные на модели, сопостав-
лялись с процессами, зарегистрированными в тех же условиях
на натурном двигателе. На основе анализа расхождений в коэффи-
циенты уравнений модели вносились необходимые коррективы.
Ставилась задача получить сходимость с требуемой точностью
(2—15%) по 11 параметрам в трех различных условиях опыта
(по внешним факторам), способствующих нормальному, ускорен-
ному и замедленному протеканию процессов. Графики, приведен-
ные на рис. 1.43, иллюстрируют полученную в конечном счете схо-
димость модельных и натурных процессов в номинальных условиях.
Такие же примерно результаты получены и для рассматри-
вавшихся крайних условий.
Видно, что в основном поставленную задачу удалось решить
удовлетворительно. Для этого в общей сложности потребовалось
провести на ЦВМ около 40 вариантов расчета. Анализ показал, что
отдельные повышенные расхождения модельных и натурных про-
цессов по давлению горючего перед форсунками ГГ и КС (рг.ф.гг
и Рг.ф.к.с) и температуре газа после ТНА (Тгв) обусловлены дина-
мическими погрешностями измерительных приборов, которые
не были учтены при моделировании.
Теория и расчет
регуляторов ЖРД
2.1.	Общие положения
2.1.1.	Назначение регуляторов. Автоматические замкну-
тые регуляторы, работающие по принципу обратной связи, приме-
няются на ЖРД с целью повышения точности задания (настройки)
и поддержания режимов работы, а также улучшения характеристик
управления тягой. Поскольку ЖРД как объекты регулирования
обычно являются устойчивыми, а изменение внешних условий отно-
сительно слабо влияет на- внутридвигательные процессы, то в прин-
ципе двигатели этого типа могли бы эксплуатироваться и без собст-
венных специальных регуляторов. В этом случае тяга двигателей
могла бы изменяться по командам от системы управления ракетой
с помощью простых дроссельных кранов, установленных в линиях
питания топливом камеры сгорания или газогенератора. Однако
при отсутствии внутридвигательных регуляторов точность настрой-
ки и поддержания параметров режимов работы двигателей была
бы низкой. Для современных ЖРД по имеющимся оценкам откло-
нения составляли бы примерно ±7—±15% и выше. Это означает,
что возмущения, вызываемые ошибками начальной настройки дви-
гателей и отклонениями их параметров в процессе полета, пере-
давались бы на параметры ракеты и должны были бы компенсиро-
ваться ракетными контурами регулирования. Без дополнительного
усложнения ракетных систем это неизбежно привело бы к ухудше-
нию точности наведения или к уменьшению полезной нагрузки
и дальности ракет.
Применение внутридвигательных регуляторов позволяет повы-
сить точность задания и поддержания режимов работы двигателей
до ±1,5—±3%, а в некоторых случаях (при узкодиапазонном регу-
лировании) даже до ±(0,2—0,5%). Благодаря этому повышаются
технические показатели ракет и снижается стоимость процесса
производства двигателей из-за расширения технологических допус-
ков на изготовление и настройку. Кроме того применение регуля-
торов дает возможность повысить быстродействие управления тягой
и ограничить отклонения параметров двигателей! на переходных
128
режимах. Последнее особенно важно для ЖРД многократного при-
менения, достижение большого ресурса которых в значительной
степени лимитируется повторными тепловыми и механическими
нагрузками конструкции, возникающими на переходных режимах.
Благодаря действию обратных связей повышается стабильность
и линейность статических характеристик управления двигателем.
Эти свойства имеют большое значение для работы ракетных систем
управления.
2.1.2.	Типы регуляторов. На ЖРД применяются три основных
типа регуляторов, воздействующих на подачу топлива в двигатели,
регуляторы режима, управляющие каким-либо параметром, опреде-
ляющим тягу двигателя (давлением в КС рк.с, расходом компонен-
тов GK.c, GIT и др.); стабилизаторы камеры сгорания, поддерживаю-
щие заданное соотношение расходов компонентов в камеру kK C или
двигатель kG и стабилизаторы газогенератора, поддерживающие
заданное соотношение расходов компонентов в газогенератор kn-.
В конкретных случаях некоторые из перечисленных регуляторов
могут отсутствовать (например, стабилизатор газогенератора).
Иногда вместо двух отдельных стабилизаторов kG и /ггг применяет-
ся один общий регулятор суммарного соотношения расходов компо-
нентов в двигатель (/?G). В ЖРД более сложных схем (с двумя
ТНА, многокамерных и др.) применяются также замкнутые регуля-
торы, корректирующие взаимодействие агрегатов двигателя. К замк-
нутым по принципу действия внутридвигательным регуляторам
относятся также автоматические разгрузочные устройства подшип-
ников ТНА.
2.1.3.	Общая структура систем регулирования. Ракетные сис-
темы регулирования строятся обычно по иерархической схеме с дву-
мя уровнями иерархии: первый (низший) уровень образуют внутри-
двигательные гидромеханические регуляторы, ответственные за под-
держание режимов работы двигателей; второй (высший) уровень
составляют ракетные электромеханические регуляторы, поддержи-
вающие требуемые режимы полета и другие характеристики ракеты.
На рис. 2.1, а и б приведены построенные по этому принципу струк-
турные схемы систем регулирования кажущейся скорости полета
(система РКС) и одновременности выработки топливных баков
(система СОБ) [14]. В этих системах ракетные регуляторы воздей-
ствуют на регулирующие органы двигателей не прямо, а через изме-
нение настройки соответствующих внутридвигательных регулято-
ров. Такая структура повышает точность и улучшает динамические
свойства контуров регулирования. Она дает возможность ограни-
читься весьма умеренными требованиями к статической точности
внутридвигательных регуляторов и благодаря этому позволяет при-
менять на двигателях наиболее простые и надежные регуляторы,
работающие по косвенным параметрам и обладающие высоким
быстродействием в отношении стабилизации различных локальных
возмущений.
В последнее время в системах управления силовыми установками, в том
числе с ЖРД, начинают эффективно использоваться управляющие ЦВМ. В ка-
5	524	129
в)
Рис. 2.1. Структурные схе-
мы ракетных контуров регу-
лирования:
а—система РКС; /—ЖРД; 2—
регулятор режима; 3—РКС; 4—
ракета; б—система СОБ; 1—
ЖРД; 2—регулятор k; 3—СОБ;
4—бак окислителя; 5—бак горю-
чего- в—централизованная сис-
тема с БЦУМ; 7—ЖРД; 2—
БЦУМ двигателя; 3—ракета
честве примера можно указать на систему управления основного ЖРД орби-
тальной ступени американской многоразовой космической системы «Спейс-
Шаттл». В этой системе все каналы управления и регулирования двигателей
замыкаются через бортовую управляющую ЦВМ (БЦУМ), что дает определен-
ные преимущества в отношении комплексного выполнения функций управления
и контроля работы двигателей, а также гибкости варьирования законов управле-
ния (рис. 2.1, в). Для такого рода систем требуются быстродействующие элек-
тро-гидравлические исполнительные устройства, способные управлять большими
расходами жидкости в широком диапазоне изменения параметров и обладающие
приемлемыми характеристиками по массе и энергопотреблению.
2.1.4.	Расчет характеристик регуляторов. Несмотря на относи-
тельно невысокую потребную точность регулирования (2—3%)
создание надежно работающих внутридвигательных регуляторов
ЖРД, удовлетворяющих всем предъявляемым к ним требованиям,
представляет собой довольно сложную задачу. Это обусловлено,
в частности, склонностью внутридвигательных контуров регулиро-
вания ЖРД к потере устойчивости, противоречивостью требований
к динамическим характеристикам регуляторов на режимах запуска
и регулирования, неблагоприятными физико-химическими свойст-
вами рабочих жидкостей (агрессивностью, нестабильностью), высо-
ким уровнем регулируемых давлений и расходов при жестких
ограничениях по массе и энергопотреблению регуляторов, утяжелен-
ными условиями эксплуатации (работоспособность после длитель-
ного хранения, невозможность достаточно полных функциональных
проверок перед запуском и другое).
В этих условиях для создания надежно работающих регулято-
ров наряду с накоплением опыта конструирования и эксперимен-
тальной отработки создаваемых конструкций большое значение
имеет разработка соответствующих расчетных методов, позволяю-
130
щих правильно выбирать схемы и параметры регуляторов. Опыт
показывает, что основные трудности заключаются в нахождении
приемлемого решения вопросов динамики систем: в первую очередь
обеспечения устойчивой их работы во всех условиях эксплуатации
при хорошем качестве переходных процессов и удовлетворительных
характеристиках запуска. На решение этих вопросов часто затра-
чивается большое количество огневых пусков двигателей в период
их доводки. Поэтому одной из основных задач теории и расчета
регуляторов является создание эффективных методов анализа ус-
тойчивости и качества процессов регулирования, позволяющих уве-
ренно выбирать наиболее рациональные схемы и параметры регу-
ляторов.
2.2.	Схемы и уравнения
регуляторов
По своим схемам и выполняемым функциям внутридви-
гательные регуляторы ЖРД представляют собой или регуляторы
расхода, или регуляторы давления замкнутого типа, работающие
с использованием принципа обратной связи. Они воздействуют, как
правило, на проходные сечения гидромагистралей двигателя
и выполняются в виде регуляторов прямого и непрямого действия.
В последнем случае в состав регулятора входит сервомотор, кото-
рый чаще всего бывает гидравлическим, однако получили также
применение электрические и электропневматические исполнитель-
ные механизмы.
При проектировании и анализе систем регулирования двигате-
лей уравнения регуляторов составляются обычно в двух разных
формах, отличающихся своим назначением и способом представле-
ния характеристик регуляторов.
В первой форме уравнение регулятора записывается как урав-
нение движения его регулирующего органа h, причем входными
переменными служат: регулируемый параметр Ар, положение
элемента настройки фн и внешние возмущения ПБН. Уравнения этого
типа имеют вид’
Dh(h, h, Л) = ФА(Хр, <рн, £7ВН)	(2.1)
и предназначаются, главным образом, для анализа работы регуля-
торов в составе двигателей. При этом действие имеющихся в сис-
теме обратных связей по регулируемым параметрам учитывается
соответствующими уравнениями объекта регулирования (см.
разд. 3.1). Оператор D и функция Ф в общем случае являются нели-
нейными.
Во второй форме уравнение регулятора составляется относи-
тельно регулируемого параметра Ар с теми же остальными вход-
ными переменными, что и в первой форме:
D9W\ Х^,..., Хр, Хр)=Фр(<рн, ит). (2.2)
5*
131
(2.3)
Уравнения такого типа несут в себе более полную информацию
о свойствах регуляторов, поскольку они учитывают не только свой-
ства его подвижного элемента, но и характеристики дросселирую-
щего органа регулятора (см. п. 2.2.1, в). Такие уравнения приме-
няются при проектировании регуляторов и доводке их характерис-
тик на гидравлических стендах. Они выводятся путем совместного
решения уравнения движения регулирующего органа (2.1) и урав-
нений проточной части регулятора (2.27) или (2.31).
Степень сложности функций Ф и операторов D в уравнениях (2.1)
и (2.2) зависит от конкретных схем регуляторов и требующейся
полноты математического описания их динамических свойств.
В простых случаях, когда можно ограничиться линейными урав-
нениями, динамические свойства регуляторов полностью опреде-
ляются заданием следующих передаточных функций:
whx(S)=h/xp-, whtf(S)=hi<M whu(s)=h;u^
wx, (s)=xp/<pH; wxu (s)=xp/um.
В качестве наиболее характерного возмущения Umi чаще всего
принимается изменение приложенного к регулятору перепада дав-
лений Дрр или уровня давления в какой-либо точке гидромагист-
рали. В ряде случаев рассматриваются специальные возмущения
в виде, например, переносных линейных ускорений, виброперегру-
зок, действующих на корпус регулятора, резких изменений плот-
ности жидкости (газосодержания) на входе в регулятор и др.
Функционирование регуляторов в полной математической модели
ЖРД описывается нелинейными уравнениями состояния, т. е. диф-
ференциальными уравнениями движения, приведенными к нормаль-
ной форме Коши:
dhildt='hi, dhi/dt—f (Xр, <рн, Й7ВН, Gz-, Pih
dQi!dt=f Oif h.t и др.); <Zp,/rf/=/(Gz, pt, ht и др.),
где hi — перемещения механических частей регулятора, G, и р, —
расходы и давления жидкости в его тракте. Регулируемым пара-
метром является одна из величин Gj или р,. Среди расходов G,
имеется дросселируемый регулятором расход топлива Gp, представ-
ляющий исполнительное действие регулятора. Остальные величины
G, и pi являются или внешними сигналами, или внутренними пере-
менными собственной гидросистемы регулятора.
2.2.1.	Уравнения некоторых типовых элементов. Типовыми функ-
циональными элементами в гидромеханических регуляторах ЖРД
являются: механический подвижный элемент, проточная часть регу-
лятора и сервомотор (если регулятор непрямого действия). К ним
можно отнести также и некоторые более простые, но часто встре-
чающиеся в схемах функциональные формы, такие, например, как
канал с жиклером, проточная полость с подвижной стенкой, коль-
цевой зазор и др. Хотя типовые элементы в конкретных конструк-
циях значительно отличаются друг от друга по внешнему виду
и по своим параметрам, однако в уравнениях, описывающих
132
пх функционирование,
всегда есть много общего.
Благодаря этому пред-
ставляется возможным
ввести в рассмотрение не-
которые типовые уравне-
ния таких элементов, из
которых затем достаточно
просто можно будет со-
ставить уравнения раз-
личных типов регуля-
торов.
А. Механиче-
ский подвиж-
ный элемент
Этим термином
в регуляторах ЖРД обыч-
Рис. 2.2. Регулятор расхода топлива прямого
действия:
1—корпус; 2—поршень; 3—цружипа; 4—дросселируе-
мые отверстия; 5—кольцевые зазоры; 6—канал с жик-
лером; 7—окна с постоянным перепадом давлений;
8—элемент настройки
но обозначаются подвижные части регулятора (поршень, мембрана
с золотником), воспринимающие регулируемое давление и осущест-
вляющие регулирующее воздействие путем дросселирования соот-
ветствующих проходных сечений. Некоторые часто встречающиеся
формы конструктивного выполнения подвижного элемента пока-
заны на схемах регуляторов (рис. 2.2—2.6).
При изменениях регулируемого давления подвижный элемент 2
отклоняется от положения равновесия и, изменяя степень дроссе-
лирования отверстий 4, осуществляет регулирующее воздействие.
Уравнение динамики осевых перемещений подвижного элемента
2 (см. рис. 2.2) относительно корпуса регулятора 1, составленное
в предположении, что он представляет собой систему с одной сте-
пенью свободы, имеет следующий вид:
(2.5)
где h — осевое отклонение поршня или жесткого центра мембраны
от положения равновесия; М — приведенная к поршню или жест-
п
кому центру масса элемента; Pt — сумма всех действующих
<=1
на элемент поверхностных, упругих и диссипативных сил.
Приведенная масса подвижного элемента определяется по соот-
ношению
/ р \2
+	<Р+ £ Жж,,
« = 1
(2-6)
в котором Мэ — масса самого элемента (суммарная масса всех его
частей, перемещающихся на величину h); Л1Щ) — масса пружины
133
Арн.ш
Рис. 2.3. Регулятор расхода топлива с обратной связью через TH А (обозначения
по рис. 2.2)
Рис. 2.4. Регуляторы давления газа в камере сгорания:
а Уснлителя (обозначения по рис. 2.2); б—с сервомотором (обозначения 1 и 3—6 по
рис. 2.2); 2—мембрана; 7—сервопоршень; 8—дроссельная игла
или мембраны; M-,Ki — присоединенные массы жидкости в каналах
и полостях, примыкающих к подвижному элементу, с площадями
поперечных сечений Fmi-, _Fg$ — эффективная площадь поршня или
мембраны.
Если в систему уравнений регулятора входят уравнения движе-
ния жидкости в его внутренних каналах, составленные с учетом
инерционных сил (с учетом гидравлической массы каналов L),
то приводить дополнительно массы жидкости к подвижному эле-
менту не требуется, так как в системе уравнений соответствующий
эффект учитывается автоматически.
134
п
В сумме сил	действующих на под-
1=1
вижный элемент, ведущую роль играют при-
ложенная к поршню или мембране сила дав-
ления Рх, характеризующая изменение регу-
лируемого параметра Хр, и силы упругости
пружины и мембраны Рпр и Рм, зависящие от
перемещения подвижного элемента h. Эти си-
лы определяются соотношениями
73 х~~ Р Эф(^р	РчР> ^"пр— ^rip(^r P}'i
Ри= -F^a№+bh2-\-ch),
(2.7)
в которых Хр — регулируемое давление или
перепад давлений; р? и — давление наст-
ройки и начальная деформация пружины, за-
висящие от сигнала настройки <рн; Спр — ко-
эффициент жесткости пружины; а, b и с — ко-
эффиценты, характеризующие жесткость мем-
браны.
Для обычных спиральных пружин и круглых плоских
делкой
Рис. 2.5. Регулятор
давления топлива пе-
ред форсунками га-
зогенератора: (пози-
ции 1 и 3—8 по рис.
2.2); 2—сильфон
мембран с глухой за-
ОД4
Сцр = от >	эф = Л (0,3/^2 + 0,4£г + 0,3г2);
8£>3п	*
£8 46—18р.	,	£83	16	(2.8)
а ~--------------; Ь = 0; с =-------------.
Ri 21 (1 —р)	Ri 3(1 — р)2
Здесь £ и G — модули нормальной и касательной упругости материала мембран
и пружин; D, d и п — наружный диаметр, диаметр проволоки и число рабочих
витков пружины; R, г и S — радиус заделки, радиус жесткого центра и толщина
мембраны; Ц— коэффициент Пуассона для материала мембраны.
Для малых отклонений плоских мембран без жесткого центра, подставляя
в выражения (2.7) и (2.8) r=0; ah3=0 и ц=0,3 (для стали), получаем линей-
ную зависимость Рм = —CMh, где См=3,26 л£б3/£2.
Рассмотренных выше сил давления и упругости достаточно для
получения статических характеристик подвижного элемента, необ-
ходимых для обеспечения нормальной работы регуляторов. Эти ха-
рактеристики полностью определяются условием равновесия ука-
занных сил 2Рг=Рл-+Рупр = 0, где Рупр—Рпр или Рм. Однако
в реальных конструкциях регуляторов на подвижный элемент
помимо рассмотренных действуют еще некоторые дополнительные
попутно возникающие силы, оказывающие на его работу различного
рода полезные и неблагоприятные влияния. К ним относятся
неуравновешенные гидростатические и гидродинамические силы,
а также силы сухого и жидкостного трения в подвижных частях,
в подробных математических моделях регуляторов эти силы долж-
ны учитываться. Для этого каждую из них нужно выразить через
определяющие параметры.
135
Рис. 2.6. Стабилизаторы соотношения расходов компонентов:
а—прямого действия (обозначения 1 и 3—6 по рис. 2.2); 2—(мембрана; 7—золотник; б—с сер-
вомотором (обозначения по рис. 2.4, б)
Неуравновешенные г®д>ростатические силы обычно возникают
на торцовых поверхностях золотников и на подвижных элементах дроссельных
устройств типа сопло-заслонка и игла-очко. Они обусловлены действием неоди-
наковых давлений на различные части подвижного элемента. Беря проекцию
результирующей неуравновешенных сил на ось подвижного элемента, получаем
выражение для определения действующей иа него неуравновешенной гидроста-
тической силы
Рг.ст =	(Л) Дрдр + Г*АРи.	(2.9)
Здесь FK(h) и Гн* — неуравновешенные площади поперечных сечений по-
движного элемента (переменная и постоянная); Ардр и Дрп — перепады давлений
в дроссельном устройстве и иа уплотнительных поясках подвижного элемента.
Величины этих перепадов и неуравновешенных площадей определяются по схе-
мам регуляторов и геометрическим данным дроссельных устройств.
Чтобы отличить неуравновешенные гидростатические силы от гидродинами-
ческих (о которых речь будет ниже), нужно иметь в виду, что гидростатические
эффекты не зависят от скорости движения жидкости (ют величины расхода)
и при прекращении течения (при н=Ю) не исчезают. Например, при полном за-
крытии проходного сечения сопло-заслонки или дроссельной иглы гидродинамиче-
ские силы снижаются до нуля, а гидростатические сохраняют свое значение.
Неуравновешенные гидродинамические силы возникают на
дросселирующих кромках золотников и плунжеров при обтекании их жидкостью.
Они зависят от скорости течения жидкости и направлены, как правило, в сто-
рону закрытия дросселируемых сечений. Существуют две разновидности таких
сил: сила реакции струи на подвижный элемент и сила, возникающая при мест-
ном понижении давления на дросселирующей кромке.
Гидродинамическая реакция струи Ргд.р, как и всякая дру-
гая реактивная сила, определяется в соответствии с теоремой об изменении
количества движения жидкости как произведение секундной массы жидкости G
на скорость истечения ее' и из некоторого контура. Проекция этой силы на на-
136
правление перемещения подвижного элемента дает искомую реактивную гидро-
динамическую силу
РГд.р = Ои cos а.	(2.10)
Угол а берется между вектором скорости и и положительным направлением
перемещений подвижного элемента h. Для золотников с прямоугольными кром-
ками по имеющимся опытным данным при малых относительных открытиях
дроссе-лируемых окон а=69°. При заостренных кромках и больших открытиях
окон величина а зависит от h.
Учитывая, что согласно известным соотношениям гидравлики
G = рГокн V2еДрдр и и = ф у/ 2Д^др/е,
из уравнения (2. 10) получаем другие встречающиеся в литературе формы
записи выражения реактивной гидродинамической силы:
Ргд.р “ 2фр./**окн (й) Дрдр cos ct = /Сгд.р (й) с/^Дрцр,	(2.11)
где Гокн(Л)—площадь проходного сечения дросселируемых окон, зависящая от
перемещения дросселирующего элемента h\ d — характерный диаметр дроссель-
ного устройства; Л'гд.Р(й) =2рГОКн(й)ф cos a/d2— безразмерный коэффициент
реактивной гидродинамической силы.
Гидродинамическая сила, вызываемая, местным понижением дав-
ления на дросселирующей кромке, Ргд.кР определяется по уравнению Бер-
нулли в зависимости от величины скоростного напора в критическом сечения
струи и площади FPp торцовой поверхности кромки:
^гк.кР = ^кр(е«2/2).	(2.12)
Здесь е<1 —поправочный коэффициент на площадь торцовой поверхности
кромки, величина которого несколько изменяется с изменением степени откры-
тия дросселируемых окон.
Преобразуя уравнение (2.112) таким же образом, как это было сделано
выше при выводе формул (2.11), получаем следующие соотношения для рас-
чета силы на кромке:
—	/>гл.кр = Ф2ЧЛ)/? кр^Лр =	(Л)	(2.13)
Несмотря на сходство формы записи выражений (2.11) и (2.13), между
соответствующими силами существует принципиальное различие. Коэффициент
Кгд.р зависит от площади нормального сечения струи, а коэффициент Кгд.кр — ог
площади ее тангенциальной поверхности. Это приводит к различному характеру
изменения сил Ргд.р и Ргд.кР в одних и тех же условиях: например, при умень-
шении дросселируемого сечения FOKH в условиях Дрдр=соп51 сила Ргдр умень-
шается, тогда как сила РГд.кр остается неизменной или даже возрастает.
Вследствие несимметричного распределения давления жидкости в кольцевых
зазорах скользящие детали подвижных элементов при работе регуляторов при-
жимаются к своим направляющим и в местах контакта на их боковых поверх-
ностях возникают силы сухого трения. Суммарный эффект этих сил представ-
ляет общую силу сухого трения, действующую на подвижный элемент
Рс.Тр. Она пропорциональна (через коэффициент трения f) силе бокового прижа-
тия элемента к направляющим РбОК и в динамике является весьма сложной
Функцией скорости его движения h и приложенной активной силы Рприл:
^С.Тр = /^бОК® (Л, /^лрдд).	(2.14)
Действительные закономерности изменения силы бокового прижатия и коэф-
фициента трения нам неизвестны. Поэтому в практике математического модели-
рования для учета силы сухого трения применяется следующий приближенный
прием. Делается предположение, что произведение fPt, он в покое и в движении
остается неизменным, равным 'некоторой постоянной силе сухого трения
^с.тр- Величина Рс_.[р определяется или путем пересчета по ширине петли гисте-
резиса экспериментальной статической характеристики данного подвижного эле-
мента Й=Ф(ХР), нли оценивается ориентировочно по характеристикам других
137
подобных элементов. При указанных условиях выражение (2.14) принимает
следующий вид:
О f-p*.I₽sgnA при h =/=0;
с.тр — )
( — ^прил при h = 0.
(2.15)
Приложенная сила Рприл в данном случае определяется как сумма всех
сил, действующих на подвижный элемент, за исключением силы сухого трения.
При составлении линейных уравнений регуляторов сила сухого трения линеа-
ризуется методом эквивалентной линеаризации из условия равенства рассеива-
ния энергии за цикл колебаний в нелинейной и линеаризованной системах. При
этом вместо нелинейного уравнения (2.15) применяется линейное уравнение
^"тр.ЭКВ^«	(2.16)
в котором г-гр.экв = 4Р*тр/(лйа) — эквивалентный коэффициент линейного трения;
ha — амплитуда скорости колебаний подвижного элемента, для которой произ-
ведена линеаризация.
Еще одну самостоятельную группу сил, действующих на подвижный элемент,
составляют силы Жидкостного трения Рж.тр. К ним относятся танген-
циальные силы, действующие на боковые поверхности подвижного элемента
в кольцевых зазорах, и силы нормального давления на поршень или мембрану
подвижного элемента, обусловленные жидкостным трением в демпфирующих
каналах и жиклерах.
В соответствии с законом Ньютона для вязкого трения получаем следующее
выражение тангенциальной силы, действующей на боковую поверхность подвиж-
ного элемента в кольцевом зазоре:
^ж.тр.танг = —Г3Л,	(2-17)
з
где г3 = тжр)К—-— — коэффициент жидкостного треиия в зазоре; v1K—кинема-
®з
тическая вязкость жидкости; D3, 13, в3 — средний диаметр, длина и ширина
радиального зазора.
Сила нормального давления на поршень или мембрану подвижного элемента,
вызываемая жидкостным трением Рж.тр.норм, возникает при вытеснении жидко-
сти из демпфирующей полости через кольцевые зазоры 5 или специальные ка-
налы с демпфирующими жиклерами 6 (см. рис. 2.2—2.6). Соотношение, опреде-
ляющее эту силу, выводится из уравнения иеразрывности и известных выражений
для потерь давления на соответствующих гидравлических сопротивлениях.
В общем случае для демпфирующих полостей различных типов нормальная сила
от жидкостного трения, действующая на подвижную стенку полости (на поршень
или мембрану), включает в себя линейную и квадратичную составляющие:
Т^ж.тр.норм — Т^эфФ,,; (Л, I?, sgn/г).	(2.18)
В выражении квадратичной составляющей обязательно должен учитываться
знак скорости (sgn ft), так как в противном случае не будет отражаться дисси-
пативный эффект от этой составляющей. Для наиболее типичных форм демпфи-
рующих полостей функция Фж «имеет следующий вид:
а)	для непроточной полости с мембраной (без кольцевого зазора) с демп-
фирующим жиклером, установленным во внутреннем канале малого сечения,
ж
Ф(Гк + rXK)'h
фгкЛ + ф2/?жкл2 sgn ft
Ф2(рк + Ям) sgn А
при h < Л1кр;
при Ацр < h < Й2кр>
при h > Л2кр;
(2.19)
138
б)	для непроточной полости с поршнем, имеющим кольцевой зазор, и жик-
лером, как в п. «а»,
Ф (гк + гжк) г3 .	.	.
----—---------h при h < й1кр;
/к + /'жк+/3
2ф(/?к + /?жк) | £ I , , _ ] Л2ф(7?к + /гжк)1Л|
2(/?к + /?жк)1 Г3 1 l+ V г3 1 1	.
при/г’>Л2кр;	(2.20)
в)	для глухой полости, подключенной к проточному каналу большого сечения
между двумя одинаковыми жиклерами (при турбулентном режиме течения)
Фж
Ф2#жКй2 sgn Ь
_2ДР _i
Ф2^?жк^2
_	, г,	128viKZ,
Здесь ф = еЛэф; гк =---------—
я</к
2
при h < й‘1кр.
128уж/Ж1<	12viKZ3
; гжк —	; га—
*4	л£>38®а
(2.21)
;/?к = Хк „2»
«к 2ргк
Лс 1
1	• F-kk Уж	- FK ¥ж „
Лжк =	~ ^1кр=	5 ReKp.«K; ^2кр ~	' ~7~ ReKp.Ki
2ep.2/^K	эф «жк	'эф «к
Хк н р — коэффициент гидравлических потерь канала и коэффициент истечения
жиклеров; ZH, dK, 1ЖК, d,KV— длины и диаметры канала и жиклера; FK, F,KK —
проходные сечения канала и жиклера; Z3, Ds, б3—-длина, диаметр и ширина за-
зора; а=1 ... 2,5 — коэффициент эксцентричности зазора; Др — общий перепад
давлений на канале с жиклерами [в случае «в»]; v„;—кинематическая вязкость
жидкости.
Коэффициенты ги, гжк, га характеризуют линейные гидравлические сопротив-
ления соответствующих элементов при ламинарном режиме течения жидкости;
Як, R ин — квадратичные сопротивления тех же элементов при турбулентном
режиме. Критическое значение числа Рейнольдса, определяющее условие пере-
хода от одного режима течения к другому, принимается для каналов таким же,
как для труб (Re„p.K=2000 ... 2500), а для жиклеров — примерно на порядок
меньшим (ReKp.1Kn=5l0 ... 200). Режим течения в кольцевых зазорах можнэ
почти всегда считать ламинарным.
При приближенном анализе автоколебаний и некоторых других вопросов
динамики систем регулирования функции Фж линеаризуются или методом гар-
монической линеаризации, или методом эквивалентной энергетической линеари-
зации. Оба метода дают примерно одинаковые результаты. Например, для непро-
точной полости с демпфирующим жиклером и каналом [случай «а»] обоими ме-
тодами получаем
^ж.тр.иорм^ — 0,85haFэфф2(/?к + ЯЖк) h при Zi <Zta, (2.22)
где ha — амплитуда скорости, при которой проведена линеаризация.
И, наконец, к последней группе сил, действующих на подвижной элемент,
относятся инерционные силы Ркв, обусловленные виброускорениями или
переносными линейными ускорениями корпуса регулятора. Они могут вызы-
ваться вибрациями конструкции двигателя илн эволюциями ракеты в полете.
В частности, при учете действия осевых инерционных перегрузок пх имеем
Рцнх ~ cos ctx,	(2.23)
где
— Мэ + — Л4пр + Гэфе
О
cos а/ — приведеннная
масса
подвижного
элвхмента в переносном движении; ах и а,-—углы наклона осей подвижного
элемента и внутренних каналов в корпусе регулятора по отношению и направ-
лению действия перегрузки.
139
Подстановка выражений всех рассмотренных выше сил в урав-
нение (2.5) дает следующее общее нелинейное уравнение подвиж-
ного элемента:
Mh + F^^h, Л2, 5ёпА) + Рс.тр5епЛ+Д/?дрсГ27<гд.р(Л) +
+ДРлр^н W + СпРА=Рэф (Хр — pj + CIip/zf+Mxgnx cos ax + F*^pa.
(2.24)
Это — уравнение нелинейного осциллятора, находящегося в дви-
жении (й=#0) под действием ряда внешних сил. Нелинейными здесь
являются позиционные и скоростные члены левой части уравнения:
нелинейные упругая (в случае применения мембраны) и гидроди-
намическая силы, квадратичный закон жидкостного трения и гисте-
резисный характер силы сухого трения. После эквивалентной линеа-
ризации получим уравнение
—1 (Ло) h + h=K (ha) (Хр-pJ+K, (ha) h,+
V2(M
+Kx(ha)nx+KM^	(2.25)
все коэффициенты которого, включая собственную частоту т(Ли)
и постоянную времени т(йа), зависят от величин амплитуд колеба-
ний перемещения и скорости перемещения подвижного элемента
(ha и йа).
Во многих случаях при анализе динамики систем оказывается
возможным пренебречь влиянием сил сухого трения и рассматри-
вать только малые колебания подвижного элемента относительно
его положения равновесия. Для этих условий, проведя линеариза-
цию нелинейных функций, входящих в уравнение (2.24), разложе-
нием их в ряд Тэйлора, получим следующее линейное уравнение
подвижного элемента:
(4+2 *+ 11^/с;(Хр-а)+^?+^«х+^п- (2.26)
В этом уравнении v= j С/М и $=г/(2 ]/7ИС) — собственная
частота и степень демпфирования подвижного элемента; К'р=
=ЛфР*/(С/г*), К^С^С- Кx=Mxg cos al{Ch*)-, K*=F^p^Ch*)-
безразмерные коэффициенты усиления; h=Mt'h*, Xp—LXpjp*,
p<f=t^p<f!pf и т. д. — малые относительные отклонения переменных;
С=Спр+ДрДрй2(^/Сгд.рШ)о+Дрдр(^Дн/^)о и г=Дэф(^Фх#///)0 —
эквивалентные линейные коэффициенты жесткости упругой систе-
мы и жидкостного трения подвижного элемента; h*, р*, pv
и т. д. — базовые величины.
В такой форме уравнение подвижного элемента наиболее часто
используется при линейных исследованиях систем регулирования.
140
Б. Проточная часть
Проточная часть регуляторов ЖРД включает в себя дрос-
селирующий орган и основной расходный канал в корпусе регуля-
тора, по которому проходит дросселируемый поток топлива. У регу-
ляторов расхода топлива в проточной части помимо этого имеется
еще одно постоянное или переменное дозирующее сечение (дози-
рующий и одновременно измерительный элемент), которым задает-
ся расход топлива и на котором поддерживается постоянным неко-
рый заданный перепад давлений Аризм. составляющий небольшую
долю от общего перепада давлений на регуляторе Дрр.
Уравнение проточной части представляет зависимость величины
дросселируемого регулятором расхода топлива Gp=GBbix от поло-
жения дросселирующего органа Лр и общего приложенного к регу-
лятору перепада давлений Арр=рВх—рВЫх (см. рис. 2.2—2.6).
У регуляторов прямого действия положение дросселирующего орга-
на определяется положением механического подвижного элемента
(ЛР=Л), у регуляторов, имеющих сервомотор,— положением поршня
сервомотора (/гр=Лсм).
В общем случае — при учете инерции и сжимаемости жидкости
в проточном тракте регулятора и при наличии в нем двух перемен-
ных гидравлических сопротивлений (дросселирующего и измери-
тельно-дозирующего) — система уравнений динамики проточной
части регулятора имеет следующий вид:
г r> \ р I rfG,ip ДЛр Д^к ~ ^рОДР .
Ц>=Чф+еЛЛ; ——=------------------------------;
UL	Хф
^изм	— Одр	.	х
——=---------------------Нгр— (Оизм+б^эфЛ-^др); (2-27)
Ut	к-/ р	ат
О =1 /~ДРиэм . О _ О* I р* У. Р _р* /^ИЗМ \2.
“ I/ в	’ ^Р — ^K-f-AapI —— I > -Оизм — Аизм I „ I ,
V	^изм	\Сдр /	\Гизм /
Fлр = 5гдр (^р)» 7?ир = ^*нр (^р)>	7?изм==*^"изм (Ти)-
Здесь 6ДР и Сизм — расходы жидкости через дросселирующий
и измерительный элементы регулятора; F^p и £изм — переменные
проходные сечения этих элементов (/% и FK3Kl — их значения
на номинальном режиме); рдр — давление в полости между измери-
тельным и дросселирующим элементами; APii3m=Pbx'—Рдр
и Ардр=рдр—рвых — перепад давлений на измерительном и дроссе-
лирующем элементах (последний вместе с суммарными корпусными
потерями давления в проточном тракте регулятора Ар,.); fHp—
неуравновешенная площадь дросселирующего элемента; РЭф—
эффективная площадь поршня или мембраны регулятора; <рн —
управляющий сигнал настройки, изменяющий проходное сече-
ние FH3M.
Постоянные коэффициенты инерционного, емкостного, волнового
и активного сопротивлений элементов проточной части обычным
141
образом выражаются через геометрические размеры элементов
и физические параметры жидкости:
£p=/p/Fp; Cp=ZpFpe/£; гр=е VE^F?-,
1
Д>* —.	1	. D* __	1	.о*___	1
2q«i3M)2 ’ *д₽	26«р)2 ’ ^-26^)2 ’
где /р и Fp — длина и средняя площадь проходного сечения основ-
ного расходного канала регулятора; q и Е — плотность и модуль
объемной упругости жидкости; е — постоянный множитель в коэф-
фициенте дифференциальной связи расходов (см. подразд. 1.3.2).
Функции F„p(/!p) и FHp(/ip), характеризующие профиль дроссе-
лирующего элемента, выбираются исходя главным образом из усло-
вий получения требуемых значений коэффициентов усиления регу-
ляторов в контуре обратной связи на различных режимах работы.
Функция Гизм(<рн) определяется из условий получения требуемого
коэффициента передачи регулятора по управляющему воздействию.
При отсутствии в проточной части регулятора измерительно-дози-
рующего элемента в уравнения системы (2.27) подставляется
Лтам(фн)—►оо. Управляющее воздействие на настройку регулятора
в этом случае осуществляется через изменение силы затяжки пру-
жины механического подвижного элемента (фн=Л¥).
Если пренебречь инерцией и сжимаемостью жидкости в проточ-
ной части регулятора, то из системы (2.27) при FK* = 0 получим
следующее конечное нелинейное уравнение проточной части:
FH3MFp
(FH3M + Fp)2
(е^эфЛр)2+
+-р?п
(2.28)
При отсутствии в проточной части измерительно-дозирующего
элемента (при /?изм = 0) уравнение (2.28) принимает более
простой вид:
GP=иЛр V + е^нрЛр-
(2.29)
Линеаризация уравнений (2.27) при пренебрежении только
сжимаемостью жидкости позволяет получить следующее часто при-
меняемое на практике типовое линейное уравнение проточной части
регуляторов:
(W +1) Gp=0,5Д/?р+(rBbITs - Kh) йр +	(2.30)
учитывающее инерционный и вытеснительный эффекты. Соответст-
вующие постоянные времени (инерционная и вытеснительная)
142
и коэффициенты усиления следующим образом выражаются через
параметры проточной части:
__	.	__б^эфАр /б'лр . ДРизм \
2ДРр	°р \^эф ЬРр i
____Д^др (dF^\ hP . _aa.3m /агизм\* Лр
Дрр \ dhp / Гдр	Д/>р \ дЛр ) гизм
Здесь Gv*, Apv*, F„p и Fliau — номинальные значения соответст-
вующих переменных, принятые за базовые величины при переходе
к их относительным отклонениям А6Р, Арр и т. д. для относитель-
ных перемещений дросселирующего органа hp за базовую величину
hp* принимается обычно номинальная величина открытия дроссе-
лирующих отверстий.
Поскольку у регуляторов расхода прямого действия дроссели-
руемый расход Gp одновременно является и регулируемым пара-
метром (Gp—Xp), то для данного типа регуляторов имеется важная
для практики возможность относительно просто анализировать
их работу в замкнутом состоянии, привлекая для этой цели урав-
нения проточной части (2.27) или (2.30). Чтобы создать подобные
условия для регуляторов давления, поддерживающих заданный уро-
вень регулируемого давления pp=Xv в гидромагистрали за собой,
нужно их проточную часть рассматривать совместно с расположен-
ным за ней участком гидромагистрали двигателя, включающим
в себя концевое гидросопротивление форсуночной головки. Типич-
ное линейное уравнение расширенной таким способом проточной
части регуляторов давления имеет следующий вид:
(W+ l)^p=«M(ataW+ 1) дА, + (1 —ам) (W+1) Ат—
— 2аме (a^V^+T^s+pa^T^s+PjAp. (2.31)
Здесь для определения регулируемого параметра в качестве
противодавления на выходе гидромагистрали взято давление в газо-
генераторе ргг. Общий приложенный к гидромагистрали перепад
давлений Арм складывается из перепада на дросселирующем органе
регулятора Дрдр и из перепада на выходной части гидромагистрали
Арвых, включающего в себя потери давления в корпусе регулятора,
выходном трубопроводе и на форсунках. Данное уравнение состав-
лено при тех же основных предположениях, что и уравнение (2.30).
Постоянные времени тин и тВыт, характеризующие инерционный
и вытеснительный эффекты, определяются по следующим выраже-
ниям:
tHH=ZMG;/(2AX); Твы =еАэф/гр*/О;,	(2.32)
где LM=lp/Fp-]-lM/FM — суммарный коэффициент инерционности про-
точной части регулятора и выходного участка гидромагистрали.
Формулы для расчета остальных коэффициентов имеют вид
А *
а
ИИ ДЛ„,Х
п ЬРвых
*
Рр
*
ьрхр
&р1 .
dFyp у л;
. ЙА₽ / Пр 
(2.33)
143
В. Гидравлический сервомотор
Гидравлические сервомоторы, применяемые во внутри-
двигательных регуляторах ЖРД, являются обычно поршневыми,
имеют проточные рабочие полости и управляются дроссельным
золотником или устройством типа сопло-заслонка (см. рис. 2.4, б
и 2.6, б, поз. 2, 4, 7). Рабочей жидкостью для сервомотора чаще
всего служит тот же компонент, на котором работает регулятор.
Поршень сервомотора жестко связан с исполнительным органом
регулятора (на рис. 2.4, б и 2.6, б — с дроссельной иглой), требую-
щим значительных усилий для своего перемещения, и осуществляет
его перестановки в соответствии с командами чувствительного эле-
мента регулятора. Необходимая для этого энергия создается высо-
ким начальным давлением рабочей жидкости (отбираемой обычно
за насосом ТНА) с перепуском ее из сервомотора на слив в полость
с низким давлением (обычно на вход в насос, реже — в дренаж
за борт). Электрогидравлические сервомоторы с автономным рабо-
чим телом, применяемые в рулевых приводах дроссельных кранов
и для управления настройкой регуляторов ЖРД, здесь не рассмат-
риваются.
По своим динамическим свойствам сервомоторы внутридвига-
тельных регуляторов ЖРД приближаются к астатическим звеньям,
однако полного астатизма у них не достигается вследствие наличия
силовых позиционных связей, обусловленных главным образом
неуравновешенными гидравлическими силами. Сила упругости пру-
жины, имеющейся под поршнем сервомотора, из-за ее относительно
небольшой величины играет здесь, как правило, второстепенную
роль.
Применение сервомоторов односторонней схемы с только одной
управляемой рабочей полостью (см. рис. 2.4, б и 2.6, б) приводит
часто к значительной разнице скоростей перекладки сервомотора
в сторону открытия и в сторону закрытия дросселирующего органа.
При этом основной вклад в сумму сил, способствующих обратному
ходу сервомотора на открытие контролируемого сечения, вносит
обычно неуравновешенная гидростатическая сила, действующая
на дроссельную иглу. На свойства сервомоторов влияют также силы
сухого трения, возникающие в уплотнениях сервопоршня, инерци-
онность и сжимаемость рабочей жидкости в его каналах и полос-
тях, наличие дополнительных гидравлических сопротивлений (в ряде
случаев специально устанавливаемых жиклеров) в линиях подвода
и слива рабочей жидкости и другие факторы.
В наиболее полной форме — с учетом всех действующих факто-
ров — нелинейные уравнения динамики сервомоторов рассматри-
ваемого типа имеют следующий вид:
dt ~
FСмРсМ (бСМ-бшс) рсл-РнРвх (бШТ бн)рвЬ1х /’про СцрЛсМ Вс.хр /’ин .
Мем + (1/3) МПр
144
dhCM __ : . ^'вх.см ___Рвх.см — (Дю.см + ^?зол) Gbx.cm |Obx.cmI Pcm .
--Л	“cm’ ,L	r	’
at	«I	“bx.cm
dp™ GBX.CM — Gjkk — QFcm^cm I r d Ip	p ____ p ;	4 zp ОЛ\
— --------------7-----------Г'cm 37Wbx.cm U»H У' см“смЬ
dt	CCM
P 1 Г Pan------Рсл . dGc„ _ Рсл ЯслОсл |Осл| Дел
 жк V О " ’	7	'
Г	“ЖК	al	*-СЛ
dPw GxK—бсл + б(Л:м—F Шт)Йсм I _ d Г.О р | zp Р \h ]•
-———	р,	Г'ел ., 1иж ислТШ' см ' шт/''cmJ’
dt	Ссл ,	dt
R30n=^ Д ’ ^"зсл = ^*зол (^зол)’ -Gh~^*h (^см)’ ЙсмЙзакр.
2()р.Г з0л
Здесь йсм — перемещение поршня сервомотора, отсчитываемое
от положения на упоре «открыто»; рсм и Рсл— давления в рабочей
и сливной полостях сервопоршня; GBX.CM, GWK и Ссл — расходы
жидкости на входе в рабочую полость сервопоршня, через жиклер
в сервопоршне и на выходе из сливной полости; Fзол проходное
сечение золотника или сопла—заслонки; Fn—неуравновешенная
площадь поперечного сечения дроссельной иглы; Рс.тр, £про и Рт —
силы сухого трения, начальной затяжки пружины и инерции от пере-
носного ускорения сервопоршня. Постоянные коэффициенты гидрав-
лических сопротивлений /?вх.См, Rmu, Ren, инерционности £см, £сл,
емкости ССм, Ссл и дифференциальной связи расходов гсм и гсл
обычным образом выражаются через размеры элементов и пара-
метры жидкости. Поскольку инерция жидкости учитывается в урав-
нениях расходов, в приведенную массу подвижных частей сервомо-
тора входят только массы сервопоршня и пружины Мсм и Мпр.
За эффективную площадь поршня сервомотора Fc„ принимается
полная площадь сервопоршня со стороны его рабочей полости;
площадь поперечного сечения штока £Шт учитывается при
определении гидравлических сил на дроссельной игле и сил от дав-
ления в сливной полости на сервопоршень. Полный ход серво-
поршня ограничивается упорами «открыто» (йсм = 0) и «закрыто»
(йсч = йзакр)- Соответствующие ограничения по ходу управляющего
элемента (золотника йзол или мембраны йм) определяются урав-
нениями подвижного элемента [см. 2.24)].
Обычно регуляторы, имеющие сервомотор, не являются быстро-
действующими. Поэтому во многих случаях массой подвижных
частей сервомоторов, инерцией и сжимаемостью жидкости в их
уравнениях можно пренебречь. При этих и некоторых других
упрощающих предположениях (отсутствие дополнительных гидрав-
лических сопротивлений в каналах, пренебрежение силами сухого
трения и др.) из уравнений (2.34) получаем следующее типовое
линейное уравнение гидравлического сервомотора:
(W^СМ) Йсм	СМ^ЗОЛ ' КВхРвХ ^ВЫхРвыХ’	(2- 35)
гп	QFcm^cm д	Й'нРн (рвх —/?вых) + СцрЙсм
где	тсм=~i--------; Дем=---------р-	’
ивх.см	^смРсиЧсм
145
Рис.. 2.7. Схема электрогидравлического
контура регулирования давления в каме-
ре сгорания:
/—ЖРД; 2—датчик давления; 3—усилитель/
4—электропривод
__fdFзол\* АЗОЛ . „	^кРвх , X? ___________ (f ШС	^и) РвЫХ .
О'CM I ,.	|	„»	5 "щ----- _	*	’ О.ВЫХ	р •	’
\ ОН зол /	р 30л	’ Г СмРсмИсМ	”cmPcmUcm
Рем = [Т3про 4“ ^пр^см Н- (Fсм — Fшт) Рсл Ч- F«Рвх	С^шт -^и) Рвых] /FCM,
* /О	»»*	И* \
р.»	р l/'7 *	* 1 О	Рем Рем Рвх.см Рсл) .
t-^BX.CM — Кжк |/ 1Рсм Рсл)	асм—о / *	* \ / * _ * \ ’
•“ЦРвх.см Рем) (Рем Рсл)
Величиной Дсм, представляющей статизм сервомотора, иногда
пренебрегают, полагая в выражении (2,35) Дсм=0.
Г. Элементы электрогидравлических контуров
регулирования
В электрогидравлические контуры регулирования
(рис. 2.7) входят типовые элементы, описываемые следующими
уравнениями: датчик давления (с фильтром и демпфером) —
(ТД.Л$ + 1 ) K&.nPl
(2.36)
электрический исполнительный _ механизм (электродвигатель
с редуктором) — Cr„.Ms+ 1) s?=/ (F);
О
/<илЛ
(^<р)шах
При |Г| <4^1164’
при Гнеч<И<Ь,иас;
При |F|>FHac,
(2.37)
где (s<p)max — максимальная_скорость; УНеч и Унас — зоны нечувст-
вительности и насыщения; <р — выходной сигнал исполнительного
механизма;
магнитный усилитель — CtM.ys-|-1) УВых—^м.у — ^)-	(2- 38)
146
2.3. Устойчивость регуляторов
расхода
Регуляторы расхода с гидромагистралями, в которых они
установлены, образуют в системах регулирования двигателей
до некоторой степени автономные замкнутые подсистемы, допускаю-
щие самостоятельное рассмотрение и оптимизацию. Необходимым
условием нормального функционирования всей системы регулиро-
вания в целом является обеспечение достаточного запаса устойчи-
вости указанных подсистем, что требует надлежащего выбора
их параметров. Эту задачу в ряде случаев удается решить излагае-
мыми ниже относительно простыми аналитическими методами.
2.3.1. Критические параметры регуляторов. Рассматривается
устойчивость динамической системы, состоящей из регулятора рас-
хода с передаточной функцией W'p(s) = GP/App и двух в общем слу-
чае комплексных концевых сопротивлений Zj(s) =—pi/Gvu Z2(s) =
=p2lGv, расположенных на входе и выходе регулятора (рис. 2.8).
По краям цепи (за концевыми сопротивлениями) предполагаются
включенными источники давления с бесконечно малым внутренним
сопротивлением, так что давления ро и рз не зависят от расхода,
причем в общем случае р0—рз=Дрв(0>0- При исследованиях
устойчивости можно принимать Др^ = const. В используемых ниже
уравнениях за базовую величину для относительных отклонений
всех давлений и перепадов давлений принят установившийся пере-
пад давлений на регуляторе App*=pi*—р2*, для расходов — соот-
ветствующий ему расход 6Р* (с целью упрощения записи уравне-
ний черта у относительных отклонений переменных в дальнейшем
опущена). При умеренном коэффициенте усиления и простой кон-
структивной схеме регулятора его передаточная функция
W (s)=^L=-L (s/v^ + ts +1 ,	(2 39)
Р Дрр 2	(s/v)2 + eUs+/(
г.	г	2Д^змГэфЕ / дГдр V А*
где v^|/	л-=1+ СЙ.- j—J
Л *
е=—22. Соответствующая передаточная функция гидромагистрали
ДЛ> '
Гм(«) = Дрр/Ср= -Z1(s)-Z2(s).	(2.40)
Рис. 2.8. Расчетная схема системы
регулятор—гидромагистраль:
Ь—источник давления; 2—входное со-
противление; 3—регулятор; 4—выходное
сопротивление; 5—сливная емкость
147
Для замкнутой системы характеристическое уравнение и передаточ-
ная функция (в разомкнутом состоянии) имеют вид
(2-|-Zi-|-Z2) (—'j 4-(2e-[-Z1-|-Z2)Ts4-(2/'f-|-Z14-Z2)=0 (2.41)
UZp.c(s)=UZp(s)(Z1 + Z2),	(2.42)
где для простоты записи аргумент s у обозначений концевых сопро-
тивлений опущен.
Применение частотного- критерия устойчивости Найквиста [11]
к передаточной функции разомкнутой системы дает следующее
параметрическое уравнение границы устойчивости системы на плос-
кости параметров частотной характеристики гидромагистрали:
где MKP=Mod(Z1-|-Z2); BKP=Arg (ZA Z2) — критические значения
модуля и аргумента амплитудно-фазовой характеристики магистра-
ли.
Если гидромагистраль содержит только активные гидравличес-
кие сопротивления (дроссельные шайбы, краны, насосы и т. п.), т. е.
является «алгебраической», то ArgZi;2 = 0 и величины Z, и Z2 при-
нимают только действительные значения. Для дроссельных шайб
Zm=LpmjL.pv ; для насосов, если можно пренебречь сжимаемостью
и инерцией жидкости в их тракте, Z„=—Хн(Др„/Д/?р)> где Zn =
= (dH]dQ)* — коэффициент относительного наклона напорной
характеристики насоса.
Для этого случая из алгебраического критерия устойчивости
Гурвица [11], примененного к характеристическому уравнению
(2.41), получаем следующее условие устойчивости системы:
-2e<Z1 + Z2<-2Z<.	(*2.44)
Из него следует, что при Zj^sO и Z22>0, т. е. в магистралях с нуле-
вым и положительными активными сопротивлениями, регуляторы
расхода могут работать устойчиво независимо от величины сопро-
тивления. Это относится как к сетям с центробежными насосами
при Хн^0, так и к сетям с плунжерными или шестеренчатыми
насосами, имеющими круто падающие напорные характеристики
(Лн<^0). Если напорная характеристика насоса (например, центро-
бежного) является возрастающей (Лн>0), то ZH<0 и согласно усло-
вию (2.44) при определенной величине наклона Хн система может
потерять устойчивость. Для такой системы при Zi=ZH и Z2=0
из уравнений (2.41) и (2.44) получаем следующие соотношения,
148
определяющие критический наклон характеристики насоса и часто-
ту колебаний на границе устойчивости:
А =2^-8-
“•кр Др: ’
к-
у г - (др*Др/др:)
(2.45)
Если гидромагистраль представляет собой прямой гладкий тру-
бопровод, имеющий на выходе сосредоточенное сопротивление Z3,
а регулятор, установленный на входе в магистраль, подключен
непосредственно к баку (Zt = 0 на рис. 2.8), то из операторного
решения линейных волновых уравнений трубопровода (1.29) полу-
чаем передаточную функцию гидромагистрали в следующем виде:
UZM(S)=^L=rB + гз) - ('в - Z3) е__°	, '(2.46)
GP	(r„ + Z3) е в -р (rB — Z3) е в
где tB=l/a; rB=(a'F')(G*p/&p*p); Z3=2 (ДХ/дл): /и/7—длина и пло-
щадь проходного сечения трубопровода; &рв — установившийся
перепад давлений на выходном сопротивлении.
Для ряда частных, но важных для практики случаев переда-
точная функция магистрали принимает более простой вид:
а)	М/м(х) = rBth(rBs)— для трубопровода с открытым концом
(при Z3=0);
б)	WM (s) = rB/th (rBs) — для трубопровода с закрытым концом
(при Z3=oo);
в)	V^M(s)=rR— для трубопровода с согласованным выходным
сопротивлением (npHZ3=rB).
Частотный критерий устойчивости Найквиста дает для случаев
«а» и «б» следующие выражения для расчета критических парамет-
ров системы на границе устойчивости:
а) о),.р =
Х+1-е?в
2
£Тво>кр
Вд=(1-У^-
(2.47)
К + 1-Д2
2
(/С + 1-е^)2
(2.48)
_£в.кр = е^в“кр tg (^“крЭХ 1 — “кр),
где сокр=tonp/v и Гв.кр — критические значения относительной часто-
ты колебаний и относительного волнового сопротивления трубопро-
вода на границе устойчивости; (тв=тву)‘—приведенное волновое
время трубопровода. Система с согласованным выходным сопро-
тивлением (случай «в») может оставаться устойчивой при любых
значениях параметра гв. По соотношениям (2.47) и (2.48) нетруд-
но построить границы устойчивости системы в плоскости любых ее
Двух параметров, в частности на плоскости тв — К.
149
В промежуточных случаях, когда трубопровод на выходном
конце не полностью открыт, но Z3<^rB, или, когда он не полно-
стью закрыт, но Z3^>rB, передаточная функция гидромагистрали
с удовлетворительней точностью аппроксимируется выражениями
передаточных функций конечных элементов L—г и г—С:
a)	(t£s+Z3) при Z3<rB;
(2.49)
б) U7M (s)^- Z3Tg+1 при Z3» rB,
(2.50)
I G'	A p)
где ТЛ=-------Е-;тс=—- —E — модуль упругости жидкости.
F ^Рр Б °Р
В таких случаях характеристическое уравнение подсистемы
регулятор — магистраль имеет третий порядок. Анализируя его
с помощью диаграммы Вышнеградского [11], можно составить пред-
ставление не только о запасе устойчивости рассматриваемой под-
системы, но и о характере затухания протекающих в ней пере-
ходных процессов. Например, в случае «а» параметры Вышнеград-
ского следующим образом выражаются через параметры под-
системы:
Z3 + -ct£v2 — 2
(Z3-K)v^l
B=(xZ3-\-XL—2еТ)
у2
(Z3-/<)2T£
(2-51)
С увеличением коэффициента усиления К рабочая точка под-
системы перемещается по диаграмме Вышнеградского из области
монотонных процессов в область плохо затухающих процессов
(рис. 2.9).
2.3.2.	Влияние малых параметров. Это влияние приводит к тому,
что даже в «алгебраических» гидромагистралях, содержащих толь-
ко положительные активные сопротивления, регуляторы расхода
могут работать неустойчиво. К факторам, характеризуемым малыми
параметрами, относятся, например, инерция и сжимаемость жидко-
сти во внутренних полостях и каналах регуляторов. Наиболее
сильно влияние малых параметров на устойчивость проявляется
при чрезмерно больших коэффициентах усиления регуляторов
(Ар«50 ... 100 и более). В этих случаях относительно небольшие
запаздывания, вносимые малыми параметрами, оказываются соиз-
меримыми с периодом собственных колебаний системы и ее запас
устойчивости резко падает. Для регуляторов само понятие малости
параметров существенно зависит от величины КР: те параметры,
с которыми можно не считаться при небольших значениях Кр, ока-
зываются весьма существенными при больших /Ср. Проиллюстри-
руем сказанное на примере учета сжимаемости жидкости во внут-
ренней полости регулятора расхода.
150
С учетом сжимаемости жидко-
сти регулятор как звено дина-
мической системы (см. рис. 2.8)
превращается из двухполюсника
в четырехполюсник
ем:
с уравнени-
о2 = wu w12
Gi Г21
(2.52)
где G] и G2 — расходы жидкости
на входе в регулятор и выходе из
него; ITjj — элементы его переда-
точной матрицы. Если считать,
что в схеме на рис. 2.8 регулятор
установлен непосредственно на
выходе из бака, т. е. (Z1 = 0), и
работает на «алгебраическую»
гидромагистраль в виде дроссель-
ной шайбы с сопротивлением
Z2=2(A/>ul/A/?p)> то для иссле-
дования устойчивости достаточ-
но будет располагать только од-
Рис. 2.9. Диаграмма Вышнеградского
с траекториями рабочей точки систе-
мы регулятор—гидромагистраль:
-------• границы областей с различным
качеством процессов; —-------траекто-
рии рабочей точки системы при vp==
=421 1/с, тгм=0,001 с и K=var; 1—тр=
=0,019 с; 2—тр=0,013 с
ним элементом передаточной
матрицы регулятора — функцией
которая при этих условиях будет эквивалентна ранее введен-
ной в рассмотрение передаточной функции регулятора 1ГР. Если
при этом сжимаемость жидкости учитывается только в полости
между измерительным и исполнительным сопротивлениями ре-
гулятора (в полости рдр на рис. 2.2), то передаточная функция ре-
гулятора принимает вид
А
А
W (s) —Р 1 (Тсж/т2) s3 + (s/v)2 + (т + тсж) S + 1	(2
р	Дрр	2 (етсжЛ’2) S3 + (s/v)2 + Е (и 4- Тсж) S К
где тсж=2(Дрлр/7:)(Ргр,.'б7р)—постоянная времени, характеризующая
сжимаемость жидкости (малый параметр); V — объем полости.
Характеристическое уравнение системы регулятор — магистраль
(2е + Z2) (Тсж/т2) s3+-(2+Z2) (s/v)2 + (2e + Z2) (t + Тсж) s+(2tf-|- Z2)=0.
(2.54)
Применение критерия Гурвица дает для этого уравнения следую-
щее условие устойчивости:
tf<(t/tcJ(0,5Z2+l) + l.	(2.55)
Видно, что при учете малого параметра тсж протекание границы
устойчивости системы стало другим: вместо Хкр = сю получаются
конечные значения Ккр. С ростом X снижаются существенные для
устойчивости значения параметра тСж- Поэтому в области больших
151
значений коэффициента К нельзя рассчитывать и строить границы
устойчивости системы без учета влияния малых параметров регу-
лятора, так как это создает неправильные представления о действи-
тельных запасах устойчивости систем.
2.3.3.	Нелинейное демпфирование. Для повышения запаса
устойчивости систем регулирования в регуляторы расхода часто
вводится дополнительное демпфирование путем постановки жикле^
ров 6 в каналы рабочих полостей регулятора (см. рис. 2.2) или
создания специальных демпфирующих полостей с соответствующи-
ми сопротивлениями. Образованные таким образом непроточные
демпферы являются существенно нелинейными элементами с квад-
ратичным законом жидкостного демпфирования. Их эффективность
является незначительной при малых амплитудах колебаний и про-
грессивно возрастает с увеличением амплитуды. Однако при этом,
к сожалению, так же прогрессивно снижается и эффективность
парирования регуляторами быстрых внешних возмущений (напри-
мер, резких изменений приложенного перепада давлений). Поэтому
оптимальные параметры демпферов должны представлять собой
разумный компромисс между запасом устойчивости и быстродей-
ствием систем. Характеристики устойчивости систем, содержащих
регуляторы расхода с нелинейным демпфированием, рассчитывают-
ся описываемыми ниже способами —с помощью методов фазовой
плоскости и гармонического баланса [11].
При некоторых упрощающих допущениях (отсутствие сухого
трения, утечек по зазорам и др.) нелинейное уравнение регулятора
расхода с непроточным квадратичным демпфером может быть
записано в следующей форме:
— A4-£tA4-Tfl/i2sgn/z4-K/i= — 0,5^pДpp,	(2.56)
v2
2 /’Left*
где тд =----=--------коэффициент нелинейного демпфирования
2С (p.F3KK)2
2ДF
регулятора; /Ср=-----изм э— ;. цГжк — эффективное проходное се-
чение демпфирующего жиклера; h=Nhlh* — относительное пере-
мещение подвижного элемента. Уравнение гидромагистрали со
•храняется линейным, ее передаточная функция имеет вид
Ддр	21Г„ [К — I — (1 — е) TS]
где W7M = U7M(s) =App/Gp — передаточная функция гидромагистрали
в прежней форме записи [см. (2.40) и далее]. Учитывая, что соглас-
но уравнению (2.40) IFM=—(Zi-|-Z2), получим нелинейное уравне-
ние замкнутой системы регулятор —гидромагистраль
(2+Z! + Z2) A + (2£4-Z1 + Z2)tA +
+ (2+Zj + Z2)	sgn h + (2/C + Zt4- Z2) h =0.	(2.58)
(2.57)
М7Й(«) =
152
Для нелинейного члена этого уравнения такая форма записи
справедлива только при действительных значениях Zi и Z2. Будем
считать, что в дальнейшем это условие выполняется. Уравнение
интегральных кривых для выражения (2.58) имеет вид
h I —- I = — aji2 sgn h — а2/г —
\dh /
(2.59)
где
0-2
aj —т2тд; ct2
2e 4- .Z) 4- ^2
2 +	4- ^2
т2тд;
2У + Z’i + Z’2
2 4-	+ Z2
Предположим, что регулятор работает в гидромагистрали
с центробежным насосом, имеющим возрастающую напорную
характеристику, причем наклон этой характеристики таков, что
выполняется условие Z!+Z2 = —2е. Согласно условию (2.44)' это
означает, что при отсутствии нелинейного демпфирования (при
тд = 0) система находилась бы на границе устойчивости. В этом
случае в уравнении интегральных кривых (2.59) а2=0иа3=—---v2.
Подстановкой Z=/i2 оно приводится к кусочно-линейному уравне-
нию, решение которого дает следующее выражение для построения
фазовых траекторий системы:
Л2=Мо±—/й)+2-^Ле 2 (Л Ло)+ 2 -Ц-+ h. (2.60)
I «т «1 /	«1	«1
Здесь h0 и Ло — относительные координаты исходных точек
фазовых траекторий (начальные данные). Знаки, указанные сверху
(плюс, минус), относятся к верхней части фазовой плоскости (й>
>0), а указанные снизу — к нижней полуплоскости (й<0). На оси
абсцисс (й = 0) верхние и нижние части фазовых траекторий «сши-
ваются».
По полученному соотношению может быть построен фазовый
портрет системы для различных сочетаний параметров тд, v, К и е.
Во всех случаях он представляет собой семейство спиралевидных
кривых, «наматывающихся» на точку равновесия (начало коорди-
нат) при t—>оо. Это показывает, что даже при неблагоприятных
сочетаниях параметров, приводящих к неустойчивой работе регу-
лятора без демпфера, квадратичное демпфирование эффективно
стабилизирует систему.
Полученное выше решение нелинейного уравнения (2.58) явля-
ется точным. Однако применение метода фазовой плоскости, позво-
лившего найти это решение, ограничено системами второго порядка.
Более широкий класс систем можно охватить, применяя прибли-
женный метод гармонического баланса [11]. Допустимость его при-
менения в данном случае основывается на возникновении при при-
ближении к границе устойчивости острого резонанса на характери-
стике линейной части системы, выделяющего первую гармонику
сигнала на выходе нелинейного элемента.
153
Гармоническая линеаризация квадратичной зависимости
перепада давлений на демпфирующем сопротивлении (жиклере,
щели) от расхода позволяет заменить в уравнении регулятора (2.56)
нелинейный член тд2/га2 на эквивалентный линейный тЭквй с пере-
менным коэффициентом усиления тэкв, зависящим от амплитуды
колебаний скорости поршня ha,
тэкв=0,425-^^-Ла.	(2.61)
с (pF-^
Соответствующая замена производится и в уравнении замкну-
той системы (2.58). Оно становится линейным, справедливым
не только при действительных значениях концевых сопротивлений
Z] и Z2, но и в общем случае — при их комплексных значениях:
(2 + Z1 + Z2)A + (2e + Z1+Z2)tft+(2 + Z14-Z2)T9KBft+
+ (2/< + Д + г2)/г=0.
(2.62)
Подстановка в это уравнение ожидаемого гармонического реше-
ния h=ha sin (»at и разрешение получаемого таким образом баланс-
ного уравнения относительно частоты а>„ и амплитуды автоколе-
баний ha позволяет определить, является ли система устойчивой,
а при нарушениях устойчивости—найти параметры колебаний
на границе устойчивости.
Предположим, что в схеме на рис. 2.8 регулятор установлен
на выходе из бака (Zi = 0) и к нему подключен гладкий трубопро-
вод с дроссельной шайбой относительно большого диаметра
на конце [Z2=—'№м($) =Tbs+Z3], В этом случае[см. (2.49)] из урав-
нений (2.62) получаем следующее уравнение гармонического
баланса:
Г	2
I (2/C 4“Z3) — (2-|-Z3)	—т£то)а — xLxa hao>a
ha sin
”b I (2£4~Z3) Tu)a-|-(2-|-Z3) xa hawa-\-xLvi>a--~ o>a ha cos waZ—0, (2.63)
[
где	Гд=тэкв/ha\ Z3=2 (Дрв/Д/?р).
Приравнивая нулю выражения в квадратных скобках и решая
биквадратное уравнение, находим частоту и амплитуду колебаний
на границе устойчивости:
/2 ч- z \ ,
—------/.......  (2/С+	Z3) — I - — + xxLI Шд
[	/	Q \	\	J
(2.64)
Здесь p=0,5-(l-.)i-^;	+	+	
154
Если по этим формулам частота получается мнимой или комплекс-
ной, то система устойчива. При получении действительных значе-
ний (оа и положительных значений ha система является неустойчи-
вой и в ней возможны автоколебания с указанными параметрами.
Такие режимы возникают в длинных гидромагистралях при боль-
ших значениях коэффициента усиления Лф и недостаточном линей-
ном демпфировании регулятора:
т<———
2(1 — е)
(2+ Z3)2
v2t2
(2. 65)
Увеличением коэффициента нелинейного демпфирования тд2
амплитуду автоколебаний ha можно сделать достаточно малой.
Аналогичным образом, применяя метод гармонического балан-
са, исследуется влияние на устойчивость систем и других нелиней-
ностей, свойственных характеристикам регуляторов расхода.
2.3.4.	Отрицательный статизм. Статизм регуляторов расхода
является одной из характеристик их точности. За количественный
показатель статизма в линейном приближении может быть принят
тангенс угла наклона статической характеристики расход — пере-
пад давлений в точке установившегося режима
8==(<ЮР/(М/>Р)*.	(2.66)
У регуляторов расхода прямого действия, построенных по принципу
поддержания постоянного перепада давлений на некотором тари-
рованном сопротивлении, при отсутствии влияния вторичных факто-
ров согласно приведенным выше уравнениям статизм может быть
только положительным:
Ъ=0,5/К	(2.67)
(К — коэффициент усиления замкнутого контура регулятор — гид-
ромагистраль). Однако на практике в отдельных случаях встреча-
ются регуляторы с нулевым и даже отрицательным статизмом, при-
чем иногда отмечается неблагоприятное влияние этого обстоятель-
ства на запас устойчивости систем регулирования. Покажем, что
в общем случае в зависимости от природы вторичных^ факторов,
обусловивших отрицательный статизм, влияние его на устойчивость
может быть направленным как в сторону понижения, так и в сто-
рону повышения запаса устойчивости систем.
Причиной отрицательного статизма является действие на дрос-
селирующий элемент регулятора дополнительных переменных сил
различной физической природы, обусловленных влиянием вторич-
ных факторов.
Ограничимся рассмотрением двух разновидностей этих сил, наи-
более часто встречающихся в гидравлических регуляторах: гидро-
динамической силы реакции струи Ргд.р и неуравновешенной гидро-
статической силы Pict- Гидродинамическая реакция струи обычно
направлена в сторону закрытия дросселируемых отверстий и может
155
быть следующим образом выражена через расход жидкости и пере-
пад давлений на дросселирующем элементе регулятора:
Лл.р = аглОр	(2-68)
Эта формула эквивалентна формуле (2.11). Неуравновешенная
гидростатическая сила в простейшем случае также направлена
в сторону закрытия дросселирующего элемента и пропорциональна
приложенному к регулятору перепаду давлений: РГст = ИстАрр, что
соответствует формуле (2.9) при FH(h) =0 и Арп=Арр. Коэффици-
енты пропорциональности агд и аСт зависят от конструктивных
особенностей регуляторов, причем коэффициент сест имеет физичес-
кий смысл неуравновешенной площади aCT = F„*. По этой причине
наряду с силовым эффектом аст вносит в схему регулирования
также и кинематический эффект переноса (вытеснения) некоторой
части жидкости в единицу времени Овмг=/'нрй со входа на выход
регулятора, минуя его внутренние гидравлические сопротивления.
С учетом влияния рассмотренных сил передаточная функция (2.39)
примет следующий вид:
W (s)=0,5------(s/v)2 + ts + 1 _	(2 69)
(s/v)2+eTs + К (1 — агд)
— при действии гидродинамической силы и
(2.70)
Н7р(з)=0,5 (W+^ + i](i-
(s/v)2 4- ets + К
— при действии гидростатической силы.
о — G ДризмДЭф _
Здесь агд=агд -----	—- и аст = аст/гЭф —безразмерные коэф-
V АДдр
фициенты соответствующих сил. Статизм регуляторов в каждом
из рассмотренных случаев определяется следующим образом:
0,5	(2.71)
8
К (1 — агд)
в случае гидродинамической силы и
8=0,5	(2.72)
при гидростатической неуравновешенности.
Из приведенных соотношений видно, что в обоих случаях при
достижении определенных величин коэффициентов агд и аст статизм
регуляторов может становиться нулевым и отрицательным.
При этом, поскольку параметры, обуславливающие изменение знака
статизма, по-разному входят в передаточную функцию, они по-раз-
ному влияют на запас устойчивости регулятора. При действии гид-
родинамической силы изменение знака статизма приводит к потере
устойчивости системы. Это видно из нарушения критерия устойчи-
вости Гурвица для знаменателя передаточной функции регулятора
156
при агд>1 {см. (2.69)]. При гидростатической неуравновешенности
появление отрицательного статизма при аСт>1 не сопровождается
снижением запаса устойчивости, так как в знаменатель передаточ-
ной функции аст не входит [см. (2.70)]. Сказанное относится
к замкнутой системе собственно самого регулятора, включающей
в себя элемент обратной связи и только его «внутреннюю гидро-
магистраль» (Zi = Z2 = 0).
Подобные результаты получаются также и для системы с внеш-
ней гидромагистралью (Z]=#0 и Z2=#0).
2.4. Исследование характеристик
регуляторов
2.4.1. Регуляторы и стабилизаторы давления. Регуляторы
давления применяются на ЖРД для регулирования давления газов
в камере сгорания и давления компонентов за насосами и перед
форсунками газогенератора.
На рис. 2.4, а представлена схема регулятора давления газов
в камере сгорания прямого действия, а на рис. 2.4, б — с сервоуси-
лителем.
В регуляторе рк.с прямого действия при малых скоростях дви-
жения золотника (/=0,01 ... 15 Гц) возможен существенный гисте-
резис (порядка 15%). Зависимость хода золотника ЛЗОл от давле-
ния в камере сгорания рк.с представлена на рис. 2.10. При больших
скоростях движения золотника гистерезис снижается до «1%.
В регуляторе с сервоусилителем величина гистерезиса не зависит
от скорости движения золотника и равна »2%. Регуляторы этого
типа благодаря высокому быстродействию устойчиво работают
при больших коэффициентах усиления.
Регулятор давления компонента перед форсунками газогенера-
тора (см. рис. 2.5) обладает высокой чувствительностью на режиме
номинальной тяги (±0,2%). На режиме малой тяги его чувст-
вительность существенно снижается и составляет ±4,5%. Для улуч-
шения статических характеристик чувствительный элемент регуля-
тора (сильфон) должен быть разгружен от большого односторон-
него давления; динамические свойства регулятора при этом также
улучшаются (увеличивается степень демпфирования). Частотные
характеристики регулятора давления окислителя перед форсунками
газогенератора приведены на рис. 2.11 Видно, что регулятор пред-
ставляет собой слабо задемпфированное колебательное звено.
Для ограничения температуры газа перед турбиной в процессе
запуска и на переходных режимах требуется высокое быстродейст-
вие стабилизаторов соотношения расходов компонентов в газогене-
раторе /ггг. На рис. 2.12 приведены динамические характеристики
стабилизатора /ггг прямого действия, схема которого дана
на рис. 2.6, а. Отличительной особенностью стабилизатора является
исполнительный элемент 7, позволяющий обеспечить хорошие дина-
мические и массовые характеристики стабилизатора при управле-
нии расходами жидкости до 1,5—2 кг/с. Исполнительная часть
157
Рис. 2.10. Статическая характеристика регулятора давления рк.с
Рис. 2.11. Частотные характеристики регулятора давления окислителя перед фор-
сунками:
стабилизатора полностью не разгружена, и расход компонентов
через стабилизатор зависит от уровня давлений в расходной маги-
страли. Как видно из приведенных на рис. 2.13 характеристик, ста-
билизатор способен воспроизводить управляющий сигнал до частот
порядка 90 Гц. Дальнейшее повышение быстродействия ограничи-
вается наличием приведенных к мембране масс жидкости измери-
тельных линий. При больших диаметрах демпфирующего жиклера 6
(см. рис. 2.6, а) (dffiI, = 2 мм) стабилизатор является колебательным
звеном: резонансный пик на амплитудно-частотной характеристике
достигает 2-, 3-кратного значения. Влияние измерительных линий
сказывается только в слабо демпфированном регуляторе.
Для уменьшения влияния гидродинамических сил линию замера
давления горючего целесообразно выполнить отдельно от расход-
ной. Это позволит установить демпфирующий жиклер в линии горю-
чего, что повышает коэффициент демпфирования регулятора
и исключает возможность закрытия стабилизатора в процессе
запуска двигателя, обусловленную более поздним заполнением
полости окислителя. Амплитудно-фазовая характеристика стабили-
затора соотношения расходов компонентов в газогенераторе ^гг
с сервоусилителем (см. рис. 2.6,6) дана на рис. 2.13. Стабилизатор
представляет собой колебательное звено; его резонансный пик на
158
амплитудной характеристике равен 1,3—1,5. Диапазон частот, про-
пускаемых стабилизатором, равен 0—7 Гц.
Расчеты показывают, что при длительности запуска двигателя
0,75 с отставание по времени давления горючего рт от давления р0
окислителя составляет 0,02 с. Максимальная разность между дав-
лением окислителя и горючего в процессе запуска двигателя сос-
тавляет «5%. Повышению быстродействия стабилизаторов с гид-
роусилителем типа сопло-заслонка препятствует ограниченный
расход жидкости через сопло, однако увеличение диаметра сопла
dc или перепада давлений Лрс на нем увеличивает силу реакции
струи жидкости Рс и статическую ошибку стабилизатора. Другим
недостатком гидроусилителя типа сопло-заслонка является сущест-
венная нелинейность его статической характеристики по ходу за-
слонки h3. Расход через сопло-заслонку и реакцию струи жидкости
можно оценить с помощью универсальной характеристики, приве-
денной на рис. 2.14.
Расход жидкости через сопло
0с=К.3^с Г/2Атк: Рс.З=!ЛсРс.З,	(2.73)
где Цс.з — коэффициент расхода системы сопло-заслонка.
Сила реакции струи Рс = РпР; Po=nd02APc/4.
Повысить быстродействие стабилизаторов с сервоусилением
можно применением усилителей золотникового типа. Общий вид
Рис. 2.12. Частотные характеристики стабилизатора давлений прямого действия
при различных значениях диаметров измерительных линий dB3M и жиклера dXK:
W(iu)=pr фггО’<о)/р0ф,гг(/<о);--------------рвх= '10 МПЗ;----------Рвх=20 МПа
159
Рис. 2.13. Амплитудно-фазовая характеристика стабилизатора соотношения рас-
ходов компонентов с усилителем типа сопло-заслонка
Рис. 2.14. Универсальная характеристика усилителя типа сопло-заслонка
стабилизатора с золотниковым усилителем и плоским исполнитель-
ным элементом приведен на рис. 2.15, в, а с исполнительным орга-
ном золотникового типа — на рис. 2.15, а, б.
Существенным недостатком стабилизатора с исполнительным
органом типа плоский клапан являются большие неуравновешен-
ные площади и гидродинамические силы, ухудшающие статические
и динамические характеристики агрегата. Большое значение ста-
тизма агрегата (рис. 2.16) наблюдается при малых перепадах
давлений на исполнительном органе, характерных для режимов
запуска двигателя. С увеличением перепада давлений на стабили-
заторе (Арет) коэффициент положительной обратной связи, обус-
ловленной неуравновешенными и гидродинамическими силами,
возрастает, а наклон статической характеристики меняет свой знак.
При необходимости подобное протекание характеристик агрегата
можно использовать для повышения точности поддержания соотно-
шения компонентов двухрежимных двигателей. В стабилизаторе
с золотниковым исполнительным элементом гидродинамические
силы сведены к минимуму, площадь плунжера, на которую дейст-
вует выходное давление, постоянна. Стабилизатор выполнен таким
образом, что при неподвижном усилительном золотнике повышение
давления на выходе из агрегата вызывает перемещение исполни-
тельного органа в сторону уменьшения расхода, т. е. регулятор
в этом случае становится регулятором давления «за собой». Нали-
чие дополнительной отрицательной обратной связи в агрегате поз-
воляет сделать его устойчивым без специальных демпфирующих
жиклеров, повышая одновременно его быстродействие. Частотные
характеристики стабилизаторов с золотниковым исполнительным
элементом при различном значении диаметра жиклера в поршне
(г/жк) даны на рис. 2.17. При правильно выбранной жесткости
мембраны См диапазон воспроизводимых стабилизатором частот
160
управляющего сигнала
составляет 0—22 Гц. Ре-
зонансный максимум за-
висит от перепада дав-
лений на стабилизаторе
Д/?ст-
Неизбежным недос-
татком стабилизаторов
kc является значительная
длина измерительных ли-
ний и, как следствие, не-
большой коэффициент
демпфирования и малое
значение тИзм измери-
тельного элемента. Без
учета масс жидкости в
измерительной линии,
приведенных к серво-
поршню, структурную
схему стабилизатора с
сервоусилителем можно
представить в виде по-
следовательно соединен-
ных колебательного и
апериодического звеньев.
Его характеристическое
уравнение при этом име-
ет вид
тизм'Гсм534- (тизм-дтсм +
4-Тизм)«2 + (^см4- Т'ИЗМ.Д)«+
+(1 + ^изьЛсм) — 0>
(2.74)
Рис. 2.15. Схемы стабилизаторов соотношения
расходов компонентов с золотниковым усилит
телем:
а—с золотниковым исполнительным механизмом без*
внутренней обратной связи; б—то же с внутренней’
обратной связью; в—с исполнительным механизмом»
типа «плоский клапан»
а граница устойчивости определяется выражением
"®ИЗМ.Д®СМ I ^изм.д I ТиЗМфд	|
•я2	 т2 "Г т "Г
изм	•'изм	1см
1>(1 + /<изМ/<см).
(2.75)
где Тизм.д — постоянная времени, характеризующая демпфирование
измерительного элемента; тизм — массовая постоянная времени,
измерительного элемента; тсм — постоянная времени сервомотора;
^Сизм и /Ссм — коэффициенты усиления измерительного элемента
и сервомотора.
Наиболее эффективным путем повышения запаса устойчивости
стабилизатора является уменьшение массовой постоянной времени
измерительного элемента тизм и увеличение его демпфирования»
т. е. увеличение тизм.д.
6	524
161
Рис. 2.16. Статические характеристики стабилизаторов с золотниковым усилите-
лем:
—-------с исполнительным органом типа «плоский клапан»;-------------с золотниковым
исполнительным органом
В ряде стабилизаторов сервомотор из-за неуравновешенных
площадей и гидродинамических сил представляет собой при непо-
движном измерительном элементе апериодическое неустойчивое
звено. Характеристическое уравнение стабилизатора при этом
имеет вид
'СизмЧ-см^-!- (^ИЗМ.Д^СМ ’'-изм) 52-{-(Тсм ^-изм.л) (^"изм^см 1)=:0.
(2.76)
Условиями устойчивости системы являются
"’'ИЗМ.дТ'СМ ^>^ИЗМ» ’’-см ’Гизм.д> ^ИЗМ^СМ 1 >
2. /Гизм^см -1 < (	- —) (-----------.	(2.77)
' ^изм ^см ' ' Тизм	тизм •
Наиболее трудно для быстродействующих стабилизаторов
ВЫПОЛНИТЬ условие устойчивости Тизм.дТсм Tj2i3M.
Повысить быстродействие стабилизаторов с сервоусилителем
не позволяют следующие факторы. Приведенные к измерительному
элементу массы жидкости в измерительных линиях снижают собст-
венную частоту колебаний до 10—30 Гц, т. е. до частот, которые
должен пропускать сервомотор. Наличие резонансных максимумов
на частотной характеристике измерительного элемента приводит
к усилению стабилизатором управляющего воздействия (р0)-
162
При достаточном демпфи-
ровании измерительного эле-
мента существенно возрас-
тает время заполнения по-
лостей стабилизатора в про-
цессе запуска двигателя.
Возникает опасность засо-
рения измерительных ли-
ний. Частичное демпфиро-
вание измерительного эле-
мента сдвигает его резонанс-
ную частоту в область низ-
ких частот, где амплитуда
колебаний управляющего
сигнала существенно выше.
Для повышения быстро-
действия стабилизатора с
сервоусилением необходимо
строгое согласование дина-
мических характеристик из-
мерительного элемента и
сервомотора. Устранить ре-
зонансные максимумы сис-
темы (рис. 2.18, кривые 1 и
2) можно следующими ме-
роприятиями: демпфирова-
нием чувствительного эле-
мента или сервомотора и
повышением частоты собст-
венных колебаний чувстви-
тельного элемента таким
образом, чтобы резонансный
максимум его амплитудной
характеристики (кривая Г)
находился в диапазоне час-
тот, где вследствие неболь-
шого значения амплитуды
колебаний сервомотора
(кривая 3) имеющийся на
амплитудной характеристи-
ке системы резонансной мак-
симум исчезнет (кривые
2 и 2').
Важным показателем со-
вершенства стабилизаторов
kc является минимальное
значение перепада давле-
См = 1,3 кН/мм;-------См—0,33 кН/мм
Рис. 2.18. Влияние динамических характе-
ристик элементов стабилизатора с серво-
усилением на частотную характеристику
системы в целом
6*
163
ний на нем АрСт, при котором он сохраняет свою работоспособ-
ность. Уменьшение этого параметра позволяет понизить давление
за насосом и повысить эффективность использования топлива в
.ЖРД открытой схемы, а также ускорить вступление в работу ста-
билизатора при запуске двигателя. Стабилизатор с плоским ис-
полнительным элементом устойчиво работает при перепаде давле-
ний на нем 0,8 МПа, с золотниковым исполнительным элементом —
при 0,25 МПа.
2.4.2. Характеристики регуляторов расхода. Регуляторы расхода
топлива широко применяются при регулировании режима работы
ЖРД. Они используются как на ЖРД открытой схемы, так и на дви-
гателях с дожиганием газа. По схеме и принципу работы разли-
чаются следующие два основных типа регуляторов: 1) регуляторы
расхода, работающие на принципе поддержания постоянного пере-
пада давлений и непосредственно дросселирующие ту магистраль,
на которой они установлены (см. рис. 2.2); 2) регуляторы, работаю-
щие так же на принципе поддержания постоянного перепада, но
воздействующие на регулируемый расход не прямо, а через ТНА
(путем управления подачей топлива в газогенератор и изменения
частоты вращения насоса, см. рис. 2.3). Регуляторы первой группы
могут быть выполнены как по схеме прямого действия, так и с сер-
вомоторами и довольно сложны. Регуляторы расхода, относящиеся
ко второму типу, несмотря на регулирование относительно больших
расходов компонентов, являются достаточно простыми и компакт-
ными; роль усилителя у них выполняет ТНА.
Динамические и статические характеристики регулятора прямо-
го действия, поддерживающего расход в гидромагистрали G, приве-
дены на рис. 2.19. Они показывают способность такого регулятора
стабилизировать расход жидкости при изменении давления на входе
и устанавливать заданный расход в соответствии с управляющим сиг-
налом ср. Относительная амплитуда, равная единице, соответствует
амплитуде колебаний давления на выходе из регулятора при непо-
движном поршне, имеющем постоянное сопротивление, эквивалент-
ное сопротивлению регулятора на исходном (базовом) режиме.
Диапазон частот, в котором регулятор стабилизирует расход
жидкости (увеличение амплитуды давления на выходерВых^30%),
составляет 0—30 Гц. При возмущениях с частотой более 100 Гц
гидравлическая система, состоящая из регулятора и гидромагист-
рали, усиливает колебания давления на входе в регулятор вслед-
ствие инерционности и сжимаемости жидкости в системе и в измери-
тельных линиях. Наличие внутренних измерительных каналов
(значительных по длине) ухудшает динамические свойства регу-
лятора. Диапазон частот, в котором он стабилизирует расход жид-
кости, при этом составляет 0—40 Гц (кривая 2, рис. 2.19, а).
В ЖРД с дожиганием газа применение регулятора постоянного
расхода горючего в газогенератор может быть достаточно эффек-
тивным в связи с тем, что: 1) расположение регулятора режима
на линии подачи компонента с меньшим расходом в газогенератор
рбеспечивает необходимую эффективность воздействия его
Рис. 2.19. Характеристики регуляторов расхода:
а—динамические; б—статические; 1, 2—регуляторы прямого действия; 3—регулятор с серво-
усилением; ---------«7(/®)=рвых(/<о)/рвхуИ); ---Л----- «7(/и)=РВЫ1(/<о)/<рупр(До)
на режим, так как параметры режима работы двигателя являются
наиболее чувствительными к изменению расхода горючего в газо-
генератор; 2) поддержание постоянного расхода горючего в газо-
генератор обеспечивает достаточную точность задания и поддержа-
ния режима работы двигателя; 3) обеспечивается необходимая
автономность управления тягой и соотношением компонентов (при
расположении дросселя, управляющего соотношением компонентов,
на линии подачи горючего в камеру сгорания); 4) в конструктив-
ном отношении регуляторы постоянного расхода являются более
надежными, чем регуляторы давления, так как в них измеряются
165
&Рк.с • "to
Рис. 2.20. Влияние схемы и параметров регуляторов на характеристики ЖРД
без дожигания;
а—влияние коэффициента усиления регулятора на ошибку настройки врк с при различ-
ных отклонениях feG: /—регулятор Go гг, 6AG=10%; 2—регулятор Go к с, 6АС=1О%; 3—регу-
лятор Go к с, 6ftG=3%; •/—регулятор Р0,ф,к,с. й*е=10%; 5—регулятор рк с; б—влияние схе-
мы САР на постоянную времени двигателя тдв: /—регулятор Go к с, тр=0,02 с; 2—регуля-
тор Go к с, тр=0,05 с; 3—регулятор Со гг; /—без регуляторов; 5—регулятор Go к с без ста-
билизатора kVT
относительно малые величины перепадов давлений, а не их боль-
шие абсолютные значения.
Применение регулятора расхода на линии подачи одного из ком-
понентов, например окислителя (регулятор Goir), в газогенератор
ЖРД открытой схемы является малоэффективным. Регулятор прак*
тически не парирует отклонений таких трудноконтролируемых
характеристик агрегатов, как к.п.д. турбины и насосов, напорности
насосов, полноты сгорания топлива и т. д. Скорости изменения тяги
166
двигателя регулятор также почти не повышает (рис. 2.20), так как
обратная связь, вносимая системой регулирования, не охватывает
ТНА, динамические свойства которого в основном и определяют
скорость изменения тяги ЖРД без дожигания. В связи с этим
в ЖРД открытой схемы целесообразно использовать регуляторы,
поддерживающие расход окислителя в камеру сгорания (регулято-
ры Go.K.c) путем воздействия на режим работы ТНА (см. рис. 2.3).
Статические и динамические характеристики этих регуляторов
близки к характеристикам регуляторов давления в камере сгора-
ния рк.с или перед форсунками камеры сгорания р0.ф.к.с. Конструк-
ция таких регуляторов значительно проще.
Одной из важных задач при создании регуляторов рассматри-
ваемого типа является обеспечение помехоустойчивости. При
нелинейных характеристиках регуляторов пульсации давления
в линии подачи окислителя приводят к смещению среднего уровня
поддерживаемого расхода.
Оценить в линейном приближении оптимальное значение посто-
янной времени регулятора тр из условий помехоустойчивости можно
по следующим уравнениям:
(V+ 1)^==AnG0_гг, (TpS-|-1) Др= APGO.K.C,	^2 yg)
(тгг«4- 1) G0.rr=Fp; (т0.к.с«4- 1) G0.K.c=/C0.K>cn’4- / (/),
где/(0 —сигнал помехи.
Частотные характеристики и переходные процессы системы, рас-
считанные по этим уравнениям, приведены на рис. 2.21 и 2.22 при
выбранных для примера значениях коэффициентов: тдв = 0,3 с; Тгг=
=0,01 с; то.к.с=0,01 с; Ап=0,18; К0.к.с=1.7; КР=15.
Видно, чтооптимальное значение коэффициента усиления регу-
лятора Ар= цАр/Дрм.ш=6... 10, что обеспечивает точность регули-
рования тяги и сокращает до заданных значений отклонения коэф-
фициента усиления двигателя Адв по управляющему воздействию.
Постоянная времени регулятора тр = 0,02 ... 0,05 с обеспечивает
приемлемое качество процессов, быстродействие и помехоустойчи-
вость системы.
Наличие присоединенных к измерительному элементу масс
жидкости измерительных линий резко снижает частоту собствен-
ных колебаний регулятора, сдвигая ее в область частот, характер-
ных для других агрегатов двигателя, а также недопустимо умень-
шает коэффициент демпфирования регулятора.
Динамические характеристики регулятора расхода, воздействую-
щего на ТНА, при различных диаметрах демпфирующего жиклера
dH(K приведены на рис. 2.23. Коэффициент демпфирования регуля-
тора сд зависит от длины и диаметра измерительных линий /изм.
^изм и диаметра демпфирующего жиклера dKK (рис. 2.24).
При /изм = 200 мм, (/Жк=4 мм, dH3M=4 мм, дд<0,05 система регу-
лирования склонна к возбуждению автоколебаний.
Повысить степень демпфирования регулятора возможно увели-
чением б?изм или уменьшением /Изм- Повысить постоянную времени
167
регулятора тр, избежав в какой-то мере указанных недостатков,
можно путем перепуска жидкости в обход измерительного элемен-
та через узкокромочный жиклер (байпас). Степень демпфирова-
ния регулятора при этом будет возрастать вследствие большего
сопротивления основного жиклера.
Влияние величины расхода жидкости, перепускаемого через
байпас, на постоянную времени поршневого регулятора (без учета
д)
Рис. 2.21. Влияние постоянной времени регулятора расхода на частотные харак-
теристики двигателя: 
а-----(i<^) = GOK c(ja)/pK O(iu>y, --о w	6 — W(jw) =
~ Лк.с(/“)/'Рупр
168
Рис. 2.22. Влияние постоянной времени регулятора расхода на качество переход-
ных процессов системы (Kv=40); Лрм.ш.зад— управляющее воздействие
инерции жидкости измерительных линий) можно оценить, исполь-
зуя уравнение
т ___________________ Ажк^жк.б /2 79}
₽	(с: \	с"₽	’
Спр (	+ „ I
\Л Ржк ^Ржк.б /
где Лржк.б и Аржк—перепады давлений на жиклере байпаса
и на основном жиклере; /?жк, /?жк.б — коэффициенты сопротивления
основного жиклера и жиклера байпаса; Rs— суммарный коэффи-
циент сопротивления измерительных линий; Fa—площадь поршня
регулятора.
Изменение степени демпфирования рассматриваемого регу-
лятора в зависимости от отношения ^жк.б/^жк показано
на рис. 2.25, а. С уменьшением сопротивления жиклера перепуск
увеличивается, достигая максимума при /?жк=^жк.б, затем умень-
шается. Характеристики регулятора расхода с мембранным изме-
рительным элементом показывают, что введением жиклера байпаса
удается уменьшить диапазон пропускаемых регулятором частот
сигнала помехи почти в три раза.
В регуляторе расхода поршневого типа помимо утечек жидко-
сти через зазор между поршнем и корпусом (Gn) возможны также
утечки жидкости через зазор между золотником и корпусом (G30n)-
Постоянную времени регулятора в случае ламинарного потока
169
Рис. 2.23. Частотные характеристики регулятора расхода, воздействующего на
TH А при различных диаметрах жиклера:
Рр.ВЫх(/О)/Дрми1_заД1
эксперимент;------------расчет
жидкости по зазорам поршня и золотника в первом приближении
можно оценить по выражению
тр=----------*Q--	,(2. 80)
Сп₽ гп+/<зол+^г/
где
Кг=—г—; Кзо11 = —зо-; Д/Лкк.б=Ь-Рм.ш — Држк-
Д/’жк.б	ДРзол
Влияние утечек жидкости по зазору золотника и места уста-
новки основного жиклера на постоянную времени регулятора пока-
зано на рис. 2.26. При малых значениях сжимаемости и инерции
жидкости постоянная времени регулятора в случае отсутствия уте-
170
чек жидкости по зазору зо-
лотника не зависит от места
установки демпфирующего
жиклера. При наличии уте-
чек жидкости по зазору зо-
лотника постоянная времени
регулятора зависит от места
установки основного жикле-
ра и направления расхода по
зазору золотника. Однако
введение байпаса во всех
случаях позволяет увеличить
постоянную времени регуля-
тора в 2—3 раза, повысить
стабильность динамических
характеристик регулятора,
уменьшить зависимость их
от температуры жидкости и
сократить время заполнения
полости регулятора в процес-
се запуска.
На характеристики регу-
лятора влияет также место
отбора импульса давления.
С увеличением расхода че-
рез регулятор увеличиваются
потери давления на участке
от места отбора давления до
мерной шайбы Дрпот, вызы-
вая дополнительное увели-
Рис. 2.25. Зависимости степени демпфирования от отношения сопротивлений
жиклеров байпаса и основного (а) и постоянной времени регулятора расхода от
перепуска жидкости по измерительному элементу (б)
				
1 1'1				
1	\ \ 1				
				
				•
	ft; '/изм - 4 U	е U '""—fl	ММ		
} \ 1	1 Г" Аизи — ю	мм		
				
				
				
fl ।-------------------------1---------------------------------- ‘ v
7	2	3
Рис. 2.24. Влияние диаметров демпфирую-
щего жиклера d№K и измерительных линий
йизм на степень демпфирования регулятора
171
Рис. 2.26. Влияние параметров 'регулятора расхода и двигателя на величину кри*
тического значения коэффициента усиления регулятора:
а—влияние Дрпот и £вх; б—влияние йжк, сил сухого трения Рс тр и времени задержки
воспламенения компонентов в газогенераторе т3 гг
чение хода регулятора и создавая тем самым положительную об-
ратную связь, которая резко сокращает запас устойчивости систе-
мы. Влияние этих потерь, а также гидравлической массы входной
магистрали двигателя (LBX) на критический коэффициент усиления
регулятора (Кр) для примера показано на рис. 2.26, а. Существен-
ную роль в формировании статических и динамических характери-
стик играют силы сухого трения. Расчеты показывают, что при зна-
чениях коэффициента демпфирования меньше критического силы
сухого трения повышают запас устойчивости системы; при значе-
ниях же коэффициента демпфирования выше критического —
уменьшают (рис. 2.26, б).
Линейный анализ систем
регулирования ЖРД
Линейные методы анализа низкочастотной динамики
ЖРД применяются для определения динамических характеристик
двигателей и систем регулирования «в малом», т. е. вблизи равно-
весных режимов. Этими методами исследуются устойчивость и каче-
ство систем, взаимодействие двигателей с конструкцией летатель-
ного аппарата и точность регулирования. Линейные методы являют-
ся более простыми и менее трудоемкими, чем нелинейные, и в то же
время позволяют решать с достаточной степенью точности многие
важные практические задачи. В ряде случаев, особенно при массо'
вых параметрических исследованиях, проводимых с использованием
АВМ, они дают заметную экономию времени.
3.1. Линейная математическая
модель ЖРД
3.1.1, Общие положения. Линейная модель ЖРД пред-
ставляет собой замкнутую систему линеаризованных дифференци-
альных уравнений, описывающих динамику изменения параметров
двигателя в окрестности некоторого установившегося режима, при-
нятого за базовый. Линейную модель, так же как и нелинейную,
удобно строить по агрегативному принципу. Разбиение динамичес-
кой системы двигателя на агрегаты производится в соответствии
с типовой структурной схемой (см. рис. 1.3). Агрегаты являются
первичными динамическими звеньями линейной модели. В общем
случае их динамика описывается линейными матричными уравне-
ниями вида |дХвых| = | IT(s) | |6АВХ|, в которых |дХвых| и |6АВХ| —-
столбцы относительных отклонений (вариаций) входных и выходных
переменных агрегата, |1Г(х)|—матрица передаточных функций.
К входным переменным помимо сигналов от других агрегатов
относятся также и все возмущающие и управляющие воздействия,
приложенные к данному агрегату. В их число входят также откло-
нения внешних и внутренних факторов, связанные с условиями экс-
173
плуатации и изготовления агрегатов. Относительные вариации
переменных получаются делением абсолютных значений отклонений
на соответствующие базовые величины. За базовые принимаются
обычно значения переменных на базовом режиме или какие-либо
.другие специально назначаемые числа, если соответствующие зна-
чения базового режима равны нулю. Передаточные функции полу-
чаются путем преобразования по Лапласу переменных, входящих
в линейные уравнения.
3.1.2. Линейные уравнения агрегатов ЖРД. Приведенные ниже
линейные уравнения агрегатов получаются из исходных нелинейных
уравнений, рассмотренных в гл. I, путем применения к ним одно-
типной процедуры — линеаризации нелинейных зависимостей и пре-
образования по Лапласу переменных.
В качестве типовой упрощенной математической модели ниже
приводится линейная модель ЖРД с дожиганием и окислитель-
ным газогенератором (см. рис. 1.1). Чтобы перейти к моделям дви-
гателей других типов достаточно соответствующим образом изме-
нить связи между переменными в системе уравнений. Уравнения
даны в современной форме записи, принятой в теории автомати-
ческого регулирования.
Переменная, для определения которой служит данное уравне-
ние, записывается в левой части уравнения (с соответствующим
операторным множителем), остальные переменные записываются
в правой части уравнения. Такая форма записи создает определен-
ные удобства для контроля систем и анализа получаемых резуль-
татов.
Типовая линейная модель ЖРД с окислительным газогенера-
тором
Уравнения газогенератора:
1.	(trrs-|-1)/?гг=^е T3-rT*GH.0-|-/Ge Тз гг^ГвГГ-]-/С3ргв4-7<'4Т'1Т.вых-|-
4“ ГГ^^Ср.ГГ ’
2.	frr.Bx=0rr(GH.o-Gr.rr)e-T—+72;	(3.1)
3.	'Гпр.гг«Гср.гг=(1-е“т"Р->т'5)7;гг.вх;	4.
Здесь Тз—- время задержки воспламенения в ГГ; Тср.гг — средняя
температура газа; Тпр.гг — время пребывания газа в ГГ.
Уравнения камеры сгорания:
3- ('tK.cs4" 1)	Тз-к-с*Огв4^7е Тз-к,с5Огжх-|-ткл5ГСр.к.с4-
4~О,5Гк>с>вых-(-<53;
в- ^к.с.вх= 0к.ее-’з--5[едв-/Гзоёг.к.с-(/Гзо+ l)e-^U.rr] +°4;
(3.2)
7- тирисс«Гсрл.с=(1-е_т"Р-к-с0гкх.Вх; 8. Гк.с.вых=е~тпр-к.с^К1С1Вх.
174
Уравнения турбонасосного агрегата:
9 •	л« 4“ 1) Л = К тРгт ~~ К8 Аг в 4” КЭ^гг.вых * Kv)Ga o —
— А'пОн.г — К 12^г.гг 4~ °5!
Ю- Рн.о = ^13й + ^1А.оН_^15/’вх.о4_°6;	(3*3)
11	• Ан.г = ККП + К 17<Тн.г -J- К IgAex.r + °7»
12.	Ад.н.г =К 19й 4~ АйХА.гг 4~ К21 Ан.г 4“ °8‘
Здесь рд.н.г— давление за дополнительным насосом горючего.
Уравнения гидромагистралей:
13.	(Гм.о.гг«4-1)Он.о:==^22Рн.о-^2зАг ± 4м.о.гг«2х + О9 !
14-	(Тм.г.к.с54- 1) ^г.к.с K'IaPh.t А^25Ак.с4- °10.
15.	(TM.r#rrS-j- 1	гг== А2бРд.н.г ^’27ртт~\~А^28^р4~	(3. 4J
4_А^29<р4“	± 'tJCM.r.rrS^4_°ll>
16-	Он.г = /Сз0^г.К.с4_А'з1Ог.гг-
Здесь т’хм.о.гг и Тх.м.г.гг—коэффициенты влияния переносного
ускорения на расходы компонентов в газогенератор; х — относи-
тельное перемещение двигателя под действием силы, созданной
переносным ускорением.
Уравнения газовода:
17’ Gm—I^^PTB ^ф.вРк.с D»^ArB<BbIX4~012*
18. (Тгв®4“ 1) Pvb= Кз^Ртг4~^ыРкх4- ^гв^АСр.гв-ф- ^ззТ'гв.вва
-К&т Гг.вых4"°1з;	(3.5)
19. Tnp.rBsTcp.rB=(l -е-ТпР-™5)7гг.вых;
90 Т	—е~'пр.гв5 т
1	ГВ.ВЫХ v	1 гг.вых»
где аф.о — относительный наклон расходной характеристики фор-
сунок окислителя камеры сгорания.
Величины о,- характеризуют влияние внешних и внутренних
факторов на параметры двигателя. Они соответствующим образом
выражаются через отклонения отдельных факторов (см. под-
разд. 3.2.1).
Выражения коэффициентов уравнений:
Обозначим тИт — крутящий момент турбины; Jn — момент инер-
ции ротора THA; q^, ргг и ргв — коэффициенты самовыравнивания
ТНА, газогенератора и газовода; рт и рп — относительный наклон
175
характеристик к.п.д. турбины и насоса; X — относительный наклон
напорной характеристики насоса. Тогда
•в,
т п——; тпр
«л
(^н.г Рн.г)
__ п .
J— 30Мс ’
С„=2-рт-^(Хн.о-рн.о)
н.о
С?гг
Nv
N,
Т^пр.гг
,1'гг==	;
брр
LGb .
2Дрм ’
; *з=-К4
Огр
Ур .
RTG ’
^(\ин.г-Нд.н.г)
пр .гг
к,
Тцр.гв
гв:=—~	> ”^к.с==’^пр.кс,
бгв
 Он.0 . рУ  Gr.rr .
Qrr6zrr	ОгрОрг	Qrp	Огр
Grr . IS ^Г.К.С . IS 1 4” T Рт(1 0,5рт) e
, A6 ——-------, Kt—------------------------,
^н.о	<jk.c	ЧП
йт+Рт(1'—О.бр-т) . т	0,5(1-—|лт) #
------------------> Лэ —--------------- >
Qn
Р-н . rs	Р-д— Рвх (С)	\ X. IS ______Р»—РвХ! .
------- , Л 13,16 —--------- UА 14,17—----------------Ан,
Qn	Рн	Рн
АкмОж-*- .
2Дрм
ns	1 +
аК 10-12
N-.
Тгм—
 °.5
*15,18=—; *19=(2-Хд.н.г)(1--^]; 7<2О=хд.н,/1--^-
Рн	\ Рд.н.г /	\ Рд.н.г.
IS __ Рн-Г . is _ Рн.о . is _____ Ргг
21 —---- > Л 22——-------7~ > к 23— —------: ,
Рд-п.г	^(Рв.о-Ргг)	^(Рн.о Ргг)
-> Рд.в.г ~~ Рр
к. 28------------------
Рц.н.г — Ргг
7<24=—; к25- —; К26—------------------------------------;
2	(Рн.Г Дк.с)	2 (Рн.Г-Рк.с)	2 (рд-н.г - Pi r)
is_______PlL_____•
27	2 (рд.н.г—Ргг)'
IS __ Рр РГГ IS _______ Ог.К.С .IS ^г.
Л 29— —------— , л 30— —---- , Д 31= —•
/7д.н.г Ргг	^H.r
-^32-----^Н“аф.0’ Ksi= + Т ; ^34=~^— ; Л"з5,36 ——•
Сгв	(?гв	(?гв
Относительные наклоны характеристик агрегатов:
:кн=Ь/Л^х\/^(ад1 Он П2. Ин = Г_^_Я J_£k;
L \	/ •	Jo « Рп Z^bx	(^h/#)Jo ’Ih л
_Г дтЦт 1 1 и . п _ldLr \ лг_ {k~ l)/k
‘ U(«/c)Jo4t С т \dn-rJo LT л<й-1^й — 1 ’
——) -^=0,5₽т
<3ф, о. пр |	ЭТ-ф. О
I ^^ф.о /0 Сф.о.нр
0,5Рф.о-4-;
176
3.1.3. Область применения линейных моделей. Одним из важных
вопросов, возникающих при применении математических моделей,
является вопрос об их частотном диапазоне. С ростом частоты точ-
ность моделирования динамических процессов в двигателях обыч-
но снижается. Причина 'Наблюдаемых расхождений между расче-
тами и экспериментами заключается в большинстве случаев в недо-
статочном знании количественных характеристик динамики
сложных физико-химических процессов: «кривых выгорания топли-
ва», «кривых распространения температуры» в элементах с турбу-
лентным газовым потоком и др. Расчеты показывают, что на частот-
ные характеристики ЖРД закрытой схемы в диапазоне частот
30—50 Гц и выше заметно влияет форма указанных кривых, при-
чем часто на практике ни одна из предельных идеализаций
(ни инерционное, ни транспортное запаздывание) не дает удовлет-
ворительных результатов. Наиболее реальным путем преодоления
описанного затруднения является подбор для типовых конструкций
двигателей наиболее подходящих форм этих кривых методом иден-
тификации.
Некоторую долю в общую погрешность математической модели
вносит также приближенный характер математического описания
динамических процессов в гидравлических линиях двигателей.
Однако эта доля обычно сравнительно невелика, и известны методы,
с помощью которых можно не допускать ее существенного увели-
чения с ростом частоты. В частности, при применении метода
конечных элементов нужно соответствующим образом ограничивать
длину участка разбиения и правильно выбирать коэффициенты
связи расходов при стыковке участков. Для внутридвигательных
гидравлических и газовых линий ЖРД благодаря относительно
небольшой их длине (0,5—3 м) при описании колебательных про-
цессов до частот 20—30 Гц обычно бывает достаточно иметь один-
два участка разбиения. При этом погрешность аппроксимации
«2%. При описании более высокочастотных процессов для сохра-
нения примерно такого же уровня погрешности число конечных
элементов увеличивается.
Специальные расчетно-экспериментальные исследования показали, что, при-
меняя методы идентификации, удается построить линейные математические
модели ЖРД закрытой схемы, удовлетворительно описывающие свойства реаль-
ных объектов в диапазоне частот от 0 до. 40 Гц. При этом расхождение между
расчетом и экспериментом в диапазоне частот от 0 до 15 Гц не превышает 10%,
а при частотах 25—40 Гц оно возрастает почти до 25% (с учетом погрешностей
измерения). Опыты, проведенные с автономным расчетно-экспериментальным
исследованием частотных характеристик отдельных элементов двигателей (гидро-
магистралей, газоводов, регуляторов и др.) показывают, что их математические
модели в ряде случаев оказываются достаточно точными до частот порядка
100—200 Гц.
Для оценки амплитудного диапазона линейных моделей сравнивались ста-
тические и динамические характеристики двигателя, рассчитанные по приведен-
ной выше линейной [(3.1)—(3.5)] и полной нелинейной системам уравнений.
Сравнение дроссельных (рис. 3.1, а) и частотных (рис. 3.1,6) характеристик
дает возможность сделать вывод, что в пределах 10% изменения режима работы
двигателя (по рк.с) расчеты по линейной и нелинейной моделям дают достаточно
близкие результаты.
177
Рис. 3.1. К оценке диапазона линейности математической модели ЖРД закры-
той схемы:
а—дроссельные характеристики линейной н нелинейной моделей; б—частотные характери-
стики линейной н 'нелинейной моделей; 1—линейная; 2—‘нелинейная
Ошибки линейного расчета по перепаду давлений на регулирующем органе
регулятора при изменении 6рк.с на ±110% составляют примерно +3,5% и—10%.
Такое нелинейное изменение перепада давлений на регулирующем органе свя-
зано с тем, что при реальных значениях коэффициентов усиления регуляторов
(Ар=20% на 1% регулируемого параметра), даже в случае относительно не-
больших отклонений регулируемых параметров, исполнительные органы регуля-
торов по своим перемещениям могут значительно выходить за пределы малых
отклонений. Для уменьшения ошибок расчета в линейную математическую
модель соответствующей гидромагистрали целесообразно ввести нелинейную
функцию от величины проходного сечения регулятора Ф(/р), характеризующую
переменную эффективность регулирующего органа:
Огг -- ЯмРн -- (Им 0>5) Ргг + Ф (Ур)>
1 + 7р	„ дАр
где Ф (/р)-------- -	— 1> Кы — . * > Ур — t f \«	'
VДм + (1 - Км) (1 + Ур)2	Рм	(!Л/р)
Рн .
-О z *	* .
2(РН-Ргг)
Для того чтобы составить представление о величинах амплитуд высших
гармоник, которые исключаются из рассмотрения при замене нелинейной модели
178
линейной, оценивались значения амплитуд первых двадцати гармоник разложе-
ния периодической кривой Рк.с=<Р(/г>) в ряд Фурье. Значение отношения
/ 7"
/j / 1 / 2 является мерой несинусоидальности периодической функции,
характеризующей ее клирфактор. В табл. 3. 1 приводятся результаты расчета
амплитуд первой и высших гармоник на частотах 1, 5, 10 и 20 Гц для одного из
/КРД закрытой схемы. Они получены на. нелинейной модели при постоянной
амплитуде колебаний регулирующего органа на линии газогенератора, вызы-
вающих в статических условиях изменение тяги на 15%.
Таблица 3.1
Амплитуды первой и высших гармоник
на различных частотах
/, Гц			
1	15,43	15,45	0,998
5	2,46	2,54	0,996
10	2,3	2,39	0,962
20	1,22	1,37	0,889
Видно, что до частоты 10 Гц линеаризация не вносит значительных погреш-
ностей в расчет динамических характеристик. С ростом частоты величина погреш-
ности увеличивается и на частоте 20 Гц составляет ^11%.
3.2.	Точность регулирования
3.2.1.	Влияние внешних и внутренних факторов на регу-
лируемые параметры двигателя. Параметры режимов работы дви-
гателя и его конструктивные параметры выбираются и рассчиты-
ваются для номинальных условий работы. В действительности эти
условия могут существенно отличаться от номинальных, а конст-
руктивные параметры — исполняться с некоторыми допусками, обус-
ловленными технологией изготовления агрегатов двигателя. Откло-
нения характеристик агрегатов двигателя и свойств топлива
от их номинальных значений носят случайный характер. К ним
относятся отклонения напорных и мощностных характеристик
насосов и турбины (6Я, 6т]н, б^т). отклонения геометрических раз-
меров сопел камеры сгорания и газогенератора (6Fcltc, бРс.гг),
допуски на точность настройки регулятора (6<рн.р) > на коэффициент
истечения (6ц), вязкость компонентов топлива frv и др. Все пере-
численные отклонения принято относить к внутренним факторам,
определяющим точность поддержания заданного режима работы
Двигателей.
Другая группа причин, вызывающая отклонения характеристик
от номинальных, обусловлена условиями эксплуатации, к которым
относятся отклонения давлений на входах в насосы (6рвх), темпе-
179
ратуры (67’вх) и плотности компонентов топлива 6gBx. Эти откло-
нения относятся к внешним факторам.
Внешние и внутренние факторы записываются как независи-
мые переменные щ в правые части уравнений линейной модели
двигателя (3.1) — (3.5). Они следующим образом выражаются
через отдельные влияющие факторы, указанные в табл. 3.2:
°i —	°2—S7"rr; а3=—Fс; а4 = 87’к.с;
°5 = ^"з88т< ^"зв^н.о ^408т1н.г— ^418Т1д.н.г ~1~ ^428Qo4" ^4386г—
—	— Кл.н.г!
°6	8^н.о> а7^=	8^н.г> °8==	8//дл1г,
79=0,58qo + 0,58	<>i0= 0,58рг + 8 (ц?)м.гж.с;
°п— О,58(эг—|- 8(рД)м.,..г,.; °12 ——KribFq-YK^Fт;
а13=8Дт, где
/Сз7= ,	; К^=К^=—;
1 -|- сст	егв
IS ___ !/_V __ V ____ I . V __ V __ I Mi.o .
А 38 — А 39 — А 40—А41— , А42 — А44—----—— ,
On	Qn F-t
TS   1 ^н.г4" Fл.И.г . Гу-   1 Fн.г ,
А 43—  ------—------- 1 А 45—      ,
Qn FT	Qn N-c
(Отклонения &7’Гг=сё2 и 6T’lt.c=O4 даны из условий неполного сго-
рания).
Для определения отклонения параметров от их номинальных
значений (погрешности) система уравнений (3.1) — (3.5) решается
при заданной величине отклонения данного фактора от его номи-
нального значения (например, при отклонении на 1% или при пре-
дельно возможном отклонении). При этом приращение остальных
внешних и внутренних факторов принимается равным нулю. Мак-
симальное вероятное отклонение какого-либо параметра двигателя,
вызываемое одновременным отклонением всех влияющих факторов
на предельные величины, определяется по формуле
± |/ V (SMJ/z +
где первый член в правой части равенства представляет собой мак-
симальное вероятное отклонение внутренних (//) факторов, нося-
щее случайный характер, а второй — сумм)’ предельных законо-
мерных отклонений, вызванных действием внешних (/) факторов
в связи с изменением условий работы.
Расчеты влияния внешних и внутренних факторов на отклоне-
ния параметров двигателя производятся на ЦВМ.
180
Таблица 3.2
Характерные отклонения внешних
и внутренних факторов
Факторы	Обозначение	Диапазон отклонений	Примечание
I Внешние II Внутренние	О» О* О» О» О»	09 09 09 09 «Г5 *	я	* и * X O#	? >1	И я 09 Я	+150—50% ±50° ±2,5° 5-е 10 ед. ±2% ±2% ±1% ±1-3% ±1%	±5° для криоген- ных компонентов ±10% при от- сутствии настро- ечных шайб
Результаты расчетов, проделанных таким способом для одного нз ЖРД
открытой схемы, дамы в табл. 3.3. При отклонениях влияющих факторов на.
±1%, расчеты выполнены по линейным и по нелинейным уравнениям, при боль-
ших отклонениях — только по нелинейным. Видно, что при больших отклонениях
внешних факторов расчеты должны выполняться по нелинейным уравнениям,,
так как ошибки линейного расчета возрастают.
3.2.2.	Запасы на регулирование. Перепады давлений на регули-
рующих органах выбираются из соображений обеспечения требую-
щихся диапазонов регулирования рк.с и kG и парирования внеш-
них и внутренних факторов, приводящих к отклонению режима
работы двигателя от заданного. Состав действующих факторов
приведен в подразд. 3.2.1. Расчет запасов на регулирование прово-
дится таким же способом, как и оценка влияния внешних и внут-
ренних факторов на параметры двигателя.
Таблица 3.3
Влияние внешних факторов на параметры режима работы ЖРД
Влияющий фактор		Отклонение параметров двигателя, %					Рассчитано по уравнениям
Обозначе- ние	Отклоне- ние, %	5А<.с	“о	Вл	6АРр		
0о	± 1 ±3,5 -3,5	±0,335 +0,880 — 1,450	±0,64 +5,84 -5,63	±0,23 -0,94 +0,67	±4,34 — 15,2 + 14,8	±1,35 —4,93 +4,47	Линейным Нелинейным
0,	± I +2,6 -3,9	±0,52 +0,59 -1,18	±1,58 —4,0 +6,5	±0,035 —1,14 +0,88	±1,03 +2,75 —4,03	±2,47 +6,6 -9,6	Линейным Нелинейным
Азх.о	±1 +111 -53	±0,01 +0,95 -0,55	±0,03 +3,41 -1,68	±0,002 -0,258 +0,098	±0,11 + 12,3 -5,9	±0,02 —2,17 + 1,04	Линейным Нелинейным
Aix.r	± 1 +140 —40	±0,002 +0,248 —0,077	±0,011 —1,55 +0,45	±0,0002 —0,037 ±0,009	±0,01 -1,35 +0,38	±0,018 +2,53 -0,73	Линейным Нелинейным
181
Таблица 3.4
Изменение перепадов давлений на регулирующих органах для дросселировании
и форсирования двигателя
Отклонение параметров, %	Форсирование двигателя			Дросселирование двигателя		
БРк.С	9,9	10,6	+9	-10,1	-9,9	—10/9
ыо	-2,8	10,0	— 10,0	—2,8	10,0	— 10,0
»Рр	-11,3	14,0	—27	5	14,8	— 15
	10,8	45	—23	— 11,4	3,8	—54
В табл. 3.4 приведены результаты расчетной оценки необходимого запаса по
перепаду давлений иа регулирующем органе для одного из двигателей закрытой
схемы с требуемыми диапазонами регулирования рк.с и kG в пределах ±10%.
Номинальный перепад давлений на регуляторе принят 6рр = 6 МПа.
Как видно нз табл. 3.4 при форсировании двигателя на 10% перепад на ре-
гулирующем органе уменьшается на 11%. Более сильно (на 27%) перепад дав-
лений падает при форсировании, сопровождающемся уменьшением kG на 10%.
Перепад давлений на регулирующем органе на номинальном
режиме должен выбираться с запасом для отработки управляю-
щих И возмущающих воздействий: брр = 6рт1п+брнастр-Ьбрвозм, где
брр — общий перепад давлений на регуляторе; брт11] — минималь-
ный перепад давлений, при котором регулятор вступает в работу
(начинает поддерживать заданный расход); Дрнастр — перепад,
необходимый для отработки сигналов ракетных систем (РКС
и СОБ); Лрвозм — перепад, необходимый для стабилизации режима
при внутридвигательных возмущениях. Сумма Лрнастр+Дрвозм
представляет собой запас на регулирование.
3.3.	Устойчивость систем
регулирования ЖРД
При исследовании устойчивости систем регулирования
ЖРД обычно сочетают различные аналитические методы с мето-
дами непосредственной оценки устойчивости по характеру пере-
ходного процесса.
На ранней стадии разработки двигателя и системы регулирова-
ния анализ устойчивости производится по упрощенной математи-
ческой модели, отражающей только основные свойства системы.
Для оценки запаса устойчивости и выбора параметров системы
используются различные частотные методы: критерии устойчивости
Найквиста и Михайлова, метод D-разбиения, метод гармоническо-
го баланса, новый амплитудно-фазовый критерий [13] и др.
На дальнейших этапах доводки системы, если возникают трудно-
сти с обеспечением ее устойчивости, для анализа используются
более полные математические модели, учитывающие наряду с основ-
ными также и вторичные факторы, влияющие на устойчивость —
инерцию и сжимаемость жидкости в гидравлических линиях, массу
182
жидкости в роторе насоса, особенности формы кривых выгорания
топлива и переноса температуры турбулентными (газовыми) пото-
ками и т. д. Современные вычислительные машины дают возмож-
ность сравнительно быстро и просто с помощью стандартных
и полустандартных программ получать для таких моделей пере-
ходные процессы, рассчитывать частотные характеристики и по ним
анализировать устойчивость.
3.3.1.	Устойчивость ЖРД как объекта регулирования.
В большинстве своем ЖРД являются устойчивыми объектами регу-
лирования. Однако запасы статической и динамической устойчи-
вости в отдельных случаях могут быть небольшими. В таких слу-
чаях требуется особо тщательный подход к выбору схемы и пара-
метров регуляторов.
Запас статической устойчивости ЖРД в первом приближении
характеризуется коэффициентом самовыравнивания ТНА
Qn=2 - р.г - 2	) (к - Ин),
зависящим от коэффициентов относительного наклона статических
характеристик агрегатов (турбины, насосов). Поскольку обычно
рт<1, Хн<0,2 и рн>—0,5, то ТНА, как правило, всегда имеет поло-
жительное самовыравнивание: q„^0,3. При часто встречающемся
случае, когда рт~0, |iu~0, ZH<0, величина рп>2. Коэффициент
характеризует самовыравнивание двигателей не полностью,
а только при сохранении постоянства некоторых параметров (ft?;
Ргв, Тгг и GH). Фактические изменения этих параметров действуют
как в сторону уменьшения самовыравнивания (например, увеличе-
ние ргг и Тгг с ростом и), так и в сторону его увеличения (напри-
мер, увеличение GH с ростом и). Однако во всех случаях (даже
при наиболее неблагоприятных сочетаниях запасов перепада дав-
лений на линиях) коэффициент самовыравнивания двигателей
вблизи номинального режима обычно остается положительным
(см. также разд. 4.4).
Представление о запасе динамической устойчивости ЖРД как
объектов регулирования можно составить, пользуясь упрощенной
математической моделью. Сравним запасы устойчивости ЖРД
с дожиганием и без дожигания. При составлении уравнений упро-
щенной модели сделаем следующие допущения: магистрали подвода
окислителя и горючего в газогенератор симметричны, т. е. относи-
тельные изменения расходов окислителя и горючего в газогенера-
тор равны между собой, относительные наклоны мощностных
и напорных характеристик равны нулю, давления компонентов
за насосами равны между собой.
С учетом этих допущений система уравнений двигателя с дожи-
ганием может быть записана в следующем виде:
1	• (Ъ»+Q„) «=(1 - ₽f) Аг ~	Он.о - бн.г;
2.	(тгг«+1)Аг=Ог,гг;
183
з.	(м+1) Лл=-^- Лг+(1 - Ог.к.с;	(3.6)
^к.с \ Ок,с /
4.	ёгжл=----------й-0,5 (--------ifc
Рк.т Рк.с	\ Ри.г-Рк.с /
5.	Gr.rr=Go.rr=GH.0=—я—0,5 -Ргт	Аг+/р;
Рн.г Ргг	Рн.г Ргг
6.	0H.r=^ 0r.K,+f 1+Ог,гг.
ОН.Г	\ Он.г 1
Для двигателя без дожигания с учетом емкости выхлопной тру-
бы после турбины система уравнений имеет вид
1.	(м+ел)й= (1 +₽I)?rr-₽Jra- ^GH.o-^-OH.r;
2.	(тгг«+ 1)prr=GTгг; 3. (т\.$+1)/’и, =/’гг;
4.	б0.к.с=бг.к.е-=-—---й—0,б(------------1^кс;	(3.7)
Рн.г — Рк.с	\ Рн.г — Рк.с /
5.	OH.o=^Go.rr+^Go.K.c;
^Н.о	^н.о
6.	GHr=^Grrr+-^^£-GrKC;
ин.г	^н.г
7	G =G =_______________—_____п_________Ргг п -L f
1 wo.rr мг.гг	_ гь о .	.Prr\Jb*
Рн.Г Ргг	2 (Рн.Г Ргг)
Упрощенная система уравнений учитывает только три динами-
ческих фактора: постоянную времени турбонасосного агрегата Tj,
постоянную времени газогенератора тГг и постоянную времени газо-
вода или выхлопной трубы тгв. Передаточная функция системы
в соответствии с системами (3.6) и (3.7) имеет вид
цу . L Р^-с _.____________Bis + Вр_______
L /п -Лз®3 + ^2^2 + .<415 + -Др
Коэффициенты характеристического уравнения Л,- следующим
образом выражаются через постоянные времени элементов двига-
теля;
-4з—т-Д-гг'г пн -4г=CjtДгг+С2т Дгн+С3тггт гв;
41=С4-г7+С5тгг — С6тгв; Л0=С7.
Значения постоянных Сг- выражаются через коэффициенты урав-
нений (3.6) и (3.7).
Необходимое условие устойчивости имеет вид
^rJ^j "С С^/С6 + (С5/С6) (тгг/т7).
Построенные по нему области устойчивости приведены
на рис. 3.2. Из их рассмотрения следует, что ЖРД открытой схемы
обладает значительно большей областью устойчивости, чем ЖРД
замкнутой схемы. При tTT/rj=0 для двигателя открытой схемы
184
Рис. 3.2. Границы устойчивости ЖРД как объектов регулирования:
1—открытой схемы; 5—закрытой схемы; 3—двухвального ЖРД типа газ—газ
Рис. 3.3. Влияние на устойчивость наклона температурной характеристики каме-
ры сгорания
критическое значение комплекса Тгв/т/ равно 17, для двигателя
закрытой схемы — 1,5, При увеличении объема газовода вследствие
роста Тгв можно подойти к границе устойчивости. Для двухваль-
ного двигателя типа газ — газ (кривая 3) в координатах
t характеризующих соотношение постоянных времени
'“/о
окислительного тракта двигателя (газогенератор — ротор ТНА —
газовод), протекание границы устойчивости меняется и ограничи-
вается значениями тГв,о/тЛ=3...5.
Видно, что при тгг/тд>>0,4 двухвальный ЖРД типа газ — газ
имеет меньший запас устойчивости, чем одновальный ЖРД.
Значительное влияние на запас устойчивости двигателей ока-
зывают наклоны температурных характеристик газогенератора
и камеры сгорания. На рис. 3.3 приведены области устойчивости
ЖРД закрытой схемы при различных значениях коэффициента
наклона температурной характеристики камеры сгорания 0К.С.
Увеличение наклона этой характеристики приводит к сужению
областей устойчивости.
Инерция жидкости в межлопаточных каналах крыльчатки насо-
са также оказывает влияние на запас устойчивости двигателей.
Крутящий момент насоса в этом случае зависит от скорости изме-
нения расхода жидкости MH=f(NK, п, dGJdt). При больших значе-
ниях постоянной времени, характеризующей влияние скорости
изменения расхода на изменение крутящего момента насоса, запас
устойчивости двигателя снижается (рис. 3.4).
3.3.2.	Устойчивость системы регулирования ЖРД. Для ЖРД
открытой схемы критическое значение коэффициента усиления иде-
185
Рис. 3.4. Влияние инерции жидкости в межлопаточных каналах крыльчатки насо-
са на запас устойчивости двигателя (диаграмма Вышнеградского)
Рис. 3.5. Амплитудно-фазовые характеристики ЖРД открытой схемы:
1—с регулирующим органом перед газогенератором; 2—с регулирующим органом перед ка-
мерой сгорания
ального регулятора давления в камере сгорания рк.с, воздействую-
щего на расход одного из компонентов в газогенератор, можно
просто определить по критерию устойчивости Найквиста. Типичная
для такого случая амплитудно-фазовая характеристика объекта
регулирования (двигателя) представлена на рис. 3.5 (кривая 1).
Модуль частотной характеристики в точке А, в которой отста-
вание фазы рк.с от ргг составляет 180°, приблизительно равен 0,04.
Следовательно, критическое в отношении устойчивости значение
коэффициента усиления регулятора составляет КР.кР= 1/0,04 ~25.
Для регулятора рк.с, воздействующего на подвод окислителя
в камеру сгорания, критические значения коэффициента усиления
значительно меньше (Лр.Кр=3) в связи с тем, что модуль ампли-
тудно-фазовой характеристики объекта регулирования (кривая 2)
при сдвиге фаз между рк.с и йр, равном 180° (точка В), составля-
ет »0,3.
Для ориентировочных расчетов запасов устойчивости при про-
ектировании и доводке регуляторов можно пользоваться следую-
щими приближенными уравнениями ЖРД открытой схемы, полу-
ченными путем аппроксимации частотных характеристик:
(Т18-|-1)^к.с=/СдВе-^7гг;	(3.8)
(Г18-|-1) А.с=ЛГдве-г»Дтт18+ 1)/к.с.	(3.9)
Значения коэффициентов в уравнении (3.8), соответствующем
кривой 1 на рис. 3.5, следующие: Ti = 0,2... 0,6 с; тг—0,01... 0,03 с;
Хдв=0,2...1,5.
Для уравнения (3.9), соответствующего кривой 2 на рис. 3.5,
коэффициент усиления Кдв и постоянная времени т; имеют тот же
порядок, что и для двигателей с регулятором перед газогенерато-
ром. Постоянная времени тг определяется динамическими свойст-
вами камеры сгорания и составляет. 0,004—0,008 с, а коэффициент
у = 0,3 ... 0,8.
186
Благодаря воздействию по про-
изводной, учитываемому членом
ytiS в правой части уравнения (3.9),
двигатель с регулятором режима
перед камерой сгорания имеет зна-
чительно больший диапазон пропус-
кания частот, чем двигатель с регу-
лирующим органом перед газогене-
ратором, что дает возможность при-
менять быстродействующие астати-
ческие регуляторы.
На рис. 3.6 представлены обла-
сти устойчивости ЖРД закрытой
схемы с окислительным газогенера-
тором и регулятором расхода горю-
чего в газогенератор прямого дейст-
Рис. 3.6. Области устойчивости
системы регулирования ЖРД за-
крытой схемы
вия при пологом и крутом протека-
нии температурной характеристики
газогенератора и при различных
частотах собственных колебаний ре-
гулятора. При пологом протекании
температурной характеристики газогенератора (6гг=—1,1) устой-
чивость системы обеспечивается на всей плоскости парамет-
ров регулятора тр—Kv. Только при совсем низкой собственной час-
тоте регулятора (vp=3 Гц) на плоскости тр—получается неус-
тойчивая область (кривая 7). При крутом наклоне температурной
характеристики газогенератора (0ГГ= —2,2) система становится
неустойчивой при различных соотношениях параметров регулятора.
Например, при собственной частоте регулятора, равной 16 Гц и его
постоянной времени тр=0,1 ...0,2 с критические значения коэффи-
циента усиления составляют Кр.кр=2... 5 (кривая 2).
3.4.	Качество переходных процессов
3.4.1.	Переходные функции и частотные характеристики
ЖРД. На рис. 3.7 приведены переходные процессы по давлению
в камере сгорания, полученные на АВМ при скачкообразной пере-
настройке регулятора режима. Как видно, ЖРД закрытой схемы
(кривая 7) более быстро изменяет тягу по команде управления.
Объясняется это тем, что роль механической инерции вращающихся
масс ТНА как основной емкости энергии в данной схеме значи-
тельно снижается из-за появления дополнительной обратной связи
между ТНА и камерой сгорания. Сущность этой связи состоит
в том, что увеличение давления в камере сгорания, вызванное
повышением режима работы системы подачи топлива, оказывает
непосредственное обратное влияние на режим работы ТНА через
изменение степени понижения давления газов на турбине лт.
Запаздывающим действием данной связи объясняется и харак-
терная форма кривой 7 с небольшим забросом вначале и последу-
187
ющим плавным подходом к
установившемуся значению.
У ЖРД открытой схемы пе-
реходная функция (кривая
2) по своей форме близка к
экспоненте с несколько за-
медленным нарастанием на
начальном участке. Оно обу-
словлено суммарным влия-
нием всех дополнительных к
инерции ТНА запаздываний
в прямой цепи управляю-
щего воздействия.
Отдельные параметры
двигателя и регулятора сле-
Рис. 3.7. Переходные процессы по давлению
в камере сгорания ЖРД с регулятором рас-
хода окислителя в газогенератор:
/—ЖРД закрытой схемы: 2—ЖРД открытой
схемы
дующим образом влияют на качество переходных процессов. Уве-
личение постоянной времени газовода в двигателе закрытой схемы
приводит к усилению колебательности переходного процесса (рис.
3.8,а). Такой же эффект вызывает увеличение относительного нак-
лона температурных характеристик газогенератора и камеры сго-
рания (рис. 3.8, б).
Увеличение постоянных времени газогенератора и полости ох-
лаждения камеры сгорания значительно затягивает время переход-
ного процесса.
Частотные характеристики двигателей открытой и закрытой схем
по каналу управления тягой приведены на рис. 3.9. Видно, что
у ЖРД открытой схемы значительно уже диапазон пропускаемых
частот (примерно в 4 раза). Характерным для ЖРД закрытой схе-
мы является наличие провала на частотной характеристике в диа-
пазоне частот 5—6 Гц и резонанса на частоте 15—17 Гц. Коэффи-
циент динамичности канала управления тягой — максимальное
Рис. 3.8. Влияние статических и динамических параметров двигателя на качество
переходных процессов:
а тгв=¥аг: ’1гв“’1гв:	б—6rr=var: 1—0гг=6гг; 2—Сгг=26гг
188
значение модуля |рк.с/срн| —
у ЖРД закрытой схемы сос-
тавляет примерно единицу.
Частотная характеристи-
ка двигателя может быть
использована для получения
эквивалентной постоянной
времени в упрощенном урав-
нении канала управления
тягой (r3KBs 4- 1)/2к.с =
—e_VAдн<рн> которое при-
меняется при описании дви-
гателя в системе регулиро-
вания скорости полета раке*
ты. При такой аппроксима-
ции приближенные выраже-
ния для модуля и аргумента
частотной характеристики
имеют вид
Рис. 3.9. Частотные характеристики ка-
нала управления тягой ЖРД с регулято-
ром расхода окислителя в газогенератор:
1—ЖРД закрытой схемы; 2—ЖРД открытой
схемы
Modp^'W— лв Arg p^^=arctgr9KB<» —т3ш
\ Ун /	Г/” 2	0,1	\ ¥н /
V ^kb“2 + 1
в диапазоне частот от 0 до 10, с точностью ±5 ... 10% по модулю
и +5 ... 10° по фазе.
На рис. 3.10, а, б представлены расчетные частотные характе-
ристики двигателя с дожиганием и окислительным газогенератором
при различных значениях постоянной времени регулятора расхода
горючего в газогенератор. Наибольшие резонансные пики появля-
ются на амплитудно-частотной характеристике по среднемассовой
температуре в газогенераторе при больших значениях тр
(рис. 3.10, б). Колебания этого параметра являются наиболее опас-
ными с точки зрения надежной работы напряженных узлов газо-
генератора и турбины. Уменьшение постоянной времени регулятора
приводит к снижению резонансного пика (кривые 1 и 2) на частот-
ной характеристике по температуре в газогенераторе и к расшире-
нию полосы пропускания частот (рис. 3.10, б). Изменение коэффи-
циента усиления регулятора Кр от 5 до 20 практически не влияет
на динамические свойства двигателя. Вследствие этого выбор вели-
чины КР может определяться необходимой точностью настройки
двигателя.
Частотные характеристики двигателя по давлениям компонен-
тов на входе в него определяются с учетом парогазовых каверн
на входах в шнеко-центробежные насосы. При этом система урав-
нений (3.1)—'(3-5) дополняется следующими уравнениями:
( 2~^2~|_	^4" ^вх.о А47.Р6.0	^48бвх.О’
\ Vn	Vo	/
189
Рис. 3.10. Частотные характеристики двигателя при различных значениях пара-
метров регулятора:	"
а—по давлению в камере сгорания; б—по температуре в газогенераторе; 1—Тр=0; 2—тр=
=0,02 с; 3—Тр=0,1 С
^к.о^^к.о GH>0 ^вх.о> Рвх.о ^49^к.о ^бО^вх.о’
f~s24-2— S-f- Овх.г==^51/’б.г — КъъРкы*
\ V?	vr J
^к.г^^к.г ^н.г ^вх.г> /?вх.г ^бЗ^к.г ^*54^вх.г>
_ /	VK
-	л 49,53—I	;
\	к / О Z Рвх
2
f dk \ 6«wi Овх Lr	ре тг ____________ Рвх
50,54 = 77-----1 “7-----» А 47,51-----—	~ , Л 48,52 — ТТ”	~“ »
\^GBX /о 2 Рвх	(pg Рвх)	2 (Рб Рвх)
где к — коэффициент кавитации; wi — относительная скорость
жидкости перед лопатками колеса; Ук — объем каверны, тк=
=Qh<Vk/G — постоянная времени каверны.
190
На рис. 3.11 представле-
ны частотные характеристи-
ки двигателя с дожиганием
по давлениям окислителя и
горючего на входах в насо-
сы. Особенности этих харак-
теристик — резонансные час-
тоты, величины резонансных
пиков, статические коэффи-
циенты влияния входных
давлении на расходы и тя-
гу — учитываются при про-
ектировании входных трубо-
проводов.
3.4.2.	Быстродействие ка-
нала управления тягой. Схе-
ма системы регулирования
двигателя оказывает суще-
двигателей по давлениям компонентов
на входе в насосы:
Рк.с^вх.о-2-Рк.с/РВх.г=/('ш>
ственное влияние на быстро-
действие канала управления тягой.
Сравним между собой следующие возможные схемы системы
регулирования двигателя с дожиганием: 1) регулятор расхода рас-
положен на магистрали окислителя в газогенератор, стабилизато-
ры — на линиях подачи горючего в газогенератор и окислителя
в камеру сгорания; 2) имеется только регулятор расхода окислите-
ля в газогенератор; 3) имеется только дроссель на линии расхода
окислителя в газогенератор; 4) на всех магистралях вместо регу-
ляторов и стабилизаторов расхода установлены дроссели.
На рис. 3.12 приведены переходные процессы по давлению
в камере сгорания при скачкообразной перенастройке режима
на 4-5%. Видно, что наибольшим быстродействием обладает схема
регулирования с регулятором расхода на линии подачи окислите-
ля в газогенератор и стабилизаторами соотношения расходов
на магистралях горючего в газогенераюр и окислителя в камеру
сгорания (кривая /). Наи-
более длительный пере-
ходный процесс получает-
ся в случае замены регу-
лятора и стабилизаторов
дросселями в соответст-
вующих магистралях
(кривая 4). Промежуточ-
ными являются схемы 2 ч
3 (кривые 2 и 3).
п о и	Рассмотрим быстродей-
Рис. 3.12. Влияние схемы системы регулирова-	г	1
ния на быстродействие канала управления ствие канала управления
тягой	тягой водородного ЖРД
191
Рис. 3.13. Частотные характеристики
двигателя при различном включении
тракта охлаждения:
1—при параллельном включении; 2—при пос-
ледовательном [включении
дожиганием, в котором ма-
гистраль горючего в одном слу-
чае представляет собой цепь
последовательно включенных
звеньев насос горючего — тракт
охлаждения — газогенератор;
в другом случае тракт охлаж-
дения включен параллельно
цепи насос горючего — газоге-
нератор. На рис. 3.13 представ-
лены амплитудно-частотные и
фазочастотные характеристи-
ки двигателя при параллель-
ном и последовательном вклю-
чении тракта охлаждения ка-
меры. Сравнение кривых пока-
зывает существенную зависи-
мость динамических свойств
двигателя от способа включе-
ния тракта охлаждения в схе-
ме двигателя. При параллель-
ном включении тракта охлаж-
дения быстродействие канала
управления тягой значительно
увеличивается.
Наиболее сильно на быстродействие двигателя влияет постоян-
ная времени регулятора расхода горючего в газогенератор тр
(см. рис. 3.10, а). Увеличение инерционности регулятора приводит
к значительному изменению амплитудно-частотной характеристики
двигателя на частотах больше 8 Гц, уменьшая ее модуль и прибли-
жая ее к характеристике двигателя без регулятора. При 'малых
постоянных времени регулятора двигатель обладает высоким быст-
родействием (модуль частотной характеристики на частоте 20 Гц
составляет около 1).
3.4.3.	Оптимизация параметров регулятора методом функций
чувствительности. Применим метод функций чувствительности
[11, 39] к оптимизации переходных процессов ЖРД с дожиганием
по параметрам регулятора.
Система линейных дифференциальных уравнений, описываю-
щая динамику двигателя, (3.1) — (3.5) в матричной форме имеет
вид
а1 1 а12 1 • • а1п		С1 1 С1 2 • • • с1т	
а2 1 й2 2 • • • а2п	1ЫН	С2 I С2 2 • • • С2т	11/11-	(3- Ю)
&п1 ^п2 • ' &пп		Сщ Сп2 • • • С пт	
192
Здесь у\ ... уп — обобщенные координаты системы; fi   . fm —
заданные функции независимого переменного t; ац, сг] — линейные
операторы, коэффициенты которых в общем случае зависят от изме-
няемых параметров q-t.
Операторы ац и сц имеют вид
+ •• • + ^о; Ctj—Kmsm	+ ... + Ко,
где п, т— порядки операторов, причем п>т. Коэффициенты опе-
раторов ац и сц зависят от двух переменных параметров qp. от пос-
тоянной времени регулятора тР=<71 и коэффициента усиления регу-
лятора Кр = ?2- .
Для определения функций чувствительности продифференциру-
ем систему (3. 10) по qi и <72:
(З.И)
Видно, что харакгеристические матрицы систем (3.10) и (3.11)
одинаковы, а матрицы правых частей различны. Для оптимизации
процесса регулирования на АВМ используется блок-схема, приве-
денная на рис. 3.14. Она позволяет одновременно определять
на электронной модели функции чувствительности системы по всем
интересующим параметрам.
Рис. 3.14. Схема модели для определения функций чувствительности и оптими-
зации параметров регулятора:
ОМ—основная модель; ЭМ—эталонная модель; МЧ—модель чувствительности; ЦН—цепь
настройки
7	524
193
Пусть, например, постоянная времени тр и коэффициент усиления регуля-
тора выбираются исходя из следующих требований: время регулирования
ip^0,4 с, заброс рк.с не более 20%. В соответствии с этими требованиями
за эталонный переходный процесс принимается переходная функция звена вто-
рого порядка с v=3,5 Гц, £=0,5.
Для оптимизации параметров регулятора минимизируется квад-
оо
ратичная интегральная оценка вида /=J (рк.с— Рк.с.э-г)2^* Так как
характер переходного процесса по рк.с зависит от параметров регу-
лятора, то можно записать
^Рк.с Ркл. Ак.с.эт== f (A Qv>
Для определения тех значений параметров регулятора, при
которых интегральная оценка будет минимальной, составляется
система уравнений из частных производных (dljdqi), приравненных
нулю. Уравнения этой системы имеют вид
т
dlldgi=2 J LpK.cUqidt=0,	(3.12)
где Ugi=dpKC!dql —чувствительность выходной величины дина-
мической системы к малым изменениям параметров регулятора при
заданном возмущении; Т — период работы схемы; Дрк.с— разность
между действительным и эталонным переходными процессами.
Оптимизация на АВМ осуществляется в автоматическом режиме
путем повторного получения переходных процессов и автоматиче-
ской поднастройки параметров q{ и q2 в каждом шаге работы
схемы.
Переходные процессы приведены на рис. 3.15. В рассмотренном
случае после трех шагов поднастройки параметров регулятора про-
цесс по давлению в камере сгорания удовлетворяет поставленным
требованиям оптимальности, а функции чувствительности
(^Рк.с/Лр) и (дрк.с/дКр) при этом практически равны нулю.
3.4.4.	Переходные процессы двухроторных ЖРД. В отличие
от ЖРД открытой и закрытой схем с одним ТНА у двигателей
с двумя раздельными ТНА для подачи окислителя и горючего (рис.
3.16) обеспечение автономности регулирования основных парамет-
ров рк.с и kG требует более сложной системы регулирования.
Управление тягой и соотношением компонентов топлива осуще-
ствляется путем перемещения регулирующих органов 2 и 7 в маги-
стралях того компонента в газогенератор, расход которого меньше.
Переходные процессы двигателя без регулятора при скачкооб-
разных возмущениях по регулирующим органам 2 и 7 представле-
ны на рис. 3.17. Видно, что двигатель как объект регулирования
вследствие неблагоприятного взаимного влияния турбонасосных
агрегатов характеризуется сильной неавтономностью при управле-
нии црр а метрами рк.с и kG. Коэффициент влияния рк.с на kG равен
примерно 1,2, т. е. при изменении режима работы двигателя (рк.с)
на 10% соотношение расходов через двигатель изменяется на 12%
ЙИ
с; Кр=0,1), б—после трех шагов оптимизации
(ТР=О,М С;
Рис. 3.15. Оптимизация переходных процессов по параметрам регулятора:
а—цо оптимизации (Тр=0,01
Кр=20)
77
7£

двухро-
Рис. 3.16. Принципиальная схема
торного ЖРД:
/—газогенератор на линнн горючего; 2,
рующне органы; 3, 9—турбины; 4—насос горюче-
го; 5, 12—газоводы; 6—камера сгорания; 8—газо-
генератор на линии окислителя; 10—насос окисли-
теля; //-т-дополнительный насос окислителя
7—регули-
7*
195
Рис. 3.17. Переходные процессы в двухроторном ЖРД при скачкообразном пере-
мещении регулирующих органов подачи окислителя в ГГ:
1—на линии горючего; 2—на линии окислителя; 3—обоих регулирующих органов
(кривые 2); коэффициент влияния kG на рк.с примерно равен —0,5
(кривые /).
Автономность регулирования рк.с и kG может быть достигнута
путем введения перекрестной обратной связи (перекрестной ком-
пенсации) между соответствующими каналами регулирования
в виде одновременного перемещения органов регулирования расхо-
да обоих компонентов (кривые 3) в соответствии с величинами
коэффициентов взаимного влияния. Видно, что при изменении ркс
на 10% kG изменяется на 0,5%. Введение перекрестной связи меж-
ду каналом регулирования kG и ркс не требуется, так как коэффи-
циент взаимного влияния между ними является малым
(0,5 рк. с/М .
3.5.	Взаимодействие двигателей
с конструкцией летательного
аппарата
Современные летательные аппараты с их силовыми уста-
новками представляют собой сложные динамические системы,
содержащие активные элементы (двигатели) и обладающие многи-
ми степенями свободы при малых колебаниях конструкции, прояв-
ляющихся в виде вибраций. Общей теории развития и распростра-
196
нения вибраций для таких систем пока не существует. Теория
продольной неустойчивости ракет с ЖРД [14, 30, 38] рассматрива-
ет колебательные явления относительно низкой частоты, охватыва-
ющие всю упругую конструкцию корпуса ракеты. В данном
разделе рассмотрена возможность возникновения локальной вибро-
неустойчивости силовых установок с ЖРД, определяемая чувстви-
тельностью тяги двигателя к механическим колебаниям конструк-
ции. Под локальной вибронеустойчивостью понимается неустойчи-
вость системы, включающей в себя двигатели и непосредственно
связанные с ними элементы конструкции — силовое кольцо и топ-
ливоподводящие трубопроводы.
3.5.1.	Чувствительность тяги к механическим колебаниям.
На рис. 3.18 приведены упрощенная схема системы двигатель —
упругий подвес и соответствующая ей структурная схема обратных
связей, возникающих в этой системе при вибрациях. Связи, замы-
кающиеся через расходы окислителя и горючего в газогенератор,
воздействуют на температуру и расход генераторного газа и, как
следствие, изменяют мощность ТНА, давление в камере сгорания
и тягу двигателя. Изменение тяги, в свою очередь, вызывает допол-
нительные перемещения двигателя. Знаки возникающих обратных
связей зависят от взаимного расположения двигателей на ракете.
Для оценки влияния вибраций упругой системы ракеты (УСР)
на динамические характеристики двигателя используются частот-
ные характеристики двигателя по каналу перегрузка — тяга. Час-
тотные характеристики рассчитываются по обычным уравнениям
динамики ЖРД, дополненным членами, учитывающими влияние
инерционных перегрузок на массы жидкости в гидромагистралях
газогенератора и массы подвижных элементов регулятора
[см. уравнения 13 и 15 в системе (3.4)].
197
" /—главный режим; 2—промежуточный режим
При составлении этих уравнений сделаны следующие допуще-
ния:
а)	рассматривается только одномерное дополнительное движе-
ние двигателя, направленное вдоль действия силы тяги;
б)	обвязка двигателя считается абсолютно жесткой;
в)	давления компонентов на входе в двигатель принимаются
постоянными. Расчетная частотная характеристика ЖРД замкну-
той схемы с окислительным газогенератором по каналу продольная
перегрузка — тяга приведена на рис. 3.19, где принято />к.с = К-
3.5.2.	Продольная виброустойчивость одиночной двигательной
установки. Система двигатель—упругий подвес может терять устой-
чивость при достижении критических значений коэффициентов
обратных связей, определяющих амплитудно-фазовые соотношения
в соответствующих замкнутых контурах. При исследовании устой-
чивости упругая система ракеты с большим числом степеней сво-
боды, имеющая много различных частот и форм собственных коле-
баний, заменяется простейшей колебательной системой
\ vno>m	vno)iB у
с варьируемой собственной частотой уПодв и коэффициентом демп-
фирования Вподв- Коэффициент усиления системы КПодв=
198
= СП0дв(К/£) зависит от коэффициента податливости подвеса
Сподв и силы тяги двигателя R.
Располагая частотными характеристиками двигателя и подвеса
и имея информацию о минимально возможных значениях декремен-
та колебаний подвеса 6min, можно приближенно оценить диапазон
частот, в пределах которого возможна потеря устойчивости систе-
мы. На основании критерия устойчивости Найквиста можно полу-
чить следующее необходимое условие неустойчивости для №ж(0) >0
Mod (Й/пЛ) Mod (п JR) > 1	(3.13)
при	Arg(R/nx)-f-Arg(zzJV/R) = — 180°.
Рассматривая упругий подвес как простейший осциллятор с малой
степенью демпфирования колебаний и учитывая, что потеря устой-
чивости системы происходит вблизи резонансной частоты со —
— х’подв, для модуля и аргумента частотной характеристики подве-
са получим следующие выражения:
Mod --в^^в ; Arg рМ = 90°.	(3. 14)
\ R / 2^подв	\ R /
С учетом того, что Мподв=------г—, имеем
Мюдв^подв^
Mod^)=—------------— ,	(3.15)
\ R / 2£подв -Л^ПОДВ^
где AfnMB=XnoMYMR/g—масса подвеса; удв — удельная масса двига-
теля; Х110ДВ —коэффициент приведения массы подвеса.
Необходимое условие неустойчивости (3.13) принимает вид
Mod (R/nx) > 2yM$
подв шцЛподв^Г	(3.16)
при	Arg(R//zx)= — 270° —Arg(nx/R).
Согласно работе [18] значения 11Юдв min для конструкций без демп-
фирующих устройств можно принимать равными 0,008—0,024
(6подв=0,05 .. .0,15).
Если частотная характеристика двигателя задана графически
(см. рис. 3.19), то решение неравенств (3.16) относительно значе-
ний со может быть выполнено путем нанесения на графиках частот-
ных характеристик двигателя горизонтальных прямых
Mod (R/nx)—2удв?подв щцЛподв^
и	Arg (R/nJ= —270’ — Arg (nJR).
Условие потери устойчивости является общим для различных
типов двигателей. Графически оно изображено в координатах
модуль частотной характеристики двигателя — удельная масса дви-
гателя на рис. 3.20.
Видно, что в диапазоне значений удельной массы двигателей
удв=0,0007... 0,002 кг/Н, характерных для современных ЖРД,
продольная вибронеустойчивость двигательных установок может
199
Рис. 3.20. Обобщенное условие устойчивости системы двигатель—упругий подвес
по удельной массе двигателей
проявиться даже’при относительно небольших значениях степени
влияния виброускорения на тягу двигателя, превышающих всего
лишь 0,01—0,05% тяги на единицу перегрузки. Такая чувствитель-
ность тяги ЖРД к виброускорениям является вполне реальной
(см. рис. 3.19). Для воздушно-реактивных двигателей, у которых
значение удельной массы на порядок больше, чем у ЖРД, для воз-
никновения продольной вибронеустойчивости требуются значитель-
но большие степени влияния виброперегрузок на тягу.
3.5.3.	Локальная продольно-поперечная неустойчивость. Слож-
ный пространственный характер упругих деформаций элементов
конструкций летательных аппаратов, воспринимающих силу тяги
двигателей, приводит к тому, что в условиях полета наряду с про-
дольными механическими колебаниями двигателей всегда могут
существовать также и их поперечные движения. В сочетании с про-
дольными колебаниями эти поперечные движения при наличии
соответствующих обратных связей обуславливают возможность
возникновения локальной продольно-поперечной неустойчивости
двигательных установок.
В отличие от продольно-поперечных колебаний, рассматрива-
емых в теории продольной неустойчивости ракет с ЖРД [30], иссле-
дуемая ниже продольно-поперечная неустойчивость носит локаль-
ный характер. При этом корпус ракеты в целом может
и не испытывать изгибных колебаний. Поперечные движения.совер-
200
шают только сами двигатели и непосредственно примыкающие
к ним элементы несущей конструкции. В соответствии с этим суще-
ственно возрастают значения частот и инкрементов колебаний
по сравнению с значениями, характерными для изгибных колеба-
ний всего корпуса в целом.
Упрощенная модель механизма локальной продольно-попереч-
ной неустойчивости двигательной установки с ЖРД показана
на рис. 3.21, а, где в качестве примера рассматривается схема
крепления двигателя кольцевой силовой установки. Существенным
для дальнейшего исследования в этой схеме является наличие неко-
торого эксцентриситета е при передаче тягового усилия от двигате-
ля на продольный силовой набор несущей системы 4 и наличие зна-
чительного по своей длине плеча I между центром жесткости
силового подвеса двигателя ЦЖ и топливоподводящими трубопро-
водами подвода компонентов ВхО и ВхГ. При такой схеме измене-
ния силы тяги двигателя приводят не только к продольным,
но также и к поперечным его смещениям, причем последние в мес-
тах пристыковки топливных трубопроводов могут быть значитель-
ными.
Структурная схема, поясняющая механизм самовозбуждения
колебаний в рассмотренной системе (рис. 3.21, б), включает в себя

Рис. 3.21. Схема механизма ло-
кальной продольно-поперечной не-
устойчивости:
а—физическая модель; 1—КС двигате-
ля; 2—рама двигателя; в—силовое
кольцо ракеты; 4—продольные силовые
элементы; 5—ТНА двигателя; 6—топ-
ливный бак; 7—входной трубопровод;
8—сильфои; б—схема обратных связей
201
Рис. 3.22. Идеализированная
расчетная модель механизма
продольно-поперечных колеба-
ний в системе с одной степенью
свободы

два параллельных канала обратной
связи: продольный, замыкающийся че-
рез регулятор расхода и напорные ма-
гистрали МО и МГ за насосами ТНА,
и поперечный, замыкающийся через
’входные трубопроводы ВхО и ВхГ, по
которым топливо подается из баков
ракеты к двигателю.
Причиной появления виброперегру-
зок пх и пу по обоим направлениям яв-
ляется изменение силы тяги двигателя
6Rx-
На движение в поперечном направ-
лении оказывают влияние также вели-
чины dRy, действующие на двигатель
в поперечном направлении со стороны
топливоподводящих трубопроводов.
Комбинированный механизм про-
дольно-поперечной неустойчивости ре-
ализуется в многоконтурной динамиче-
ской системе, включающей три взаимо-
связанных контура: продольный контур
Пх-^Кх-^Пх, поперечный контур пу-*-
-^Pw^Rx-^Пу и контур боковой гидро-
динамической СИЛЫ ny-^pBx~+Rir^ny-
Для малых колебаний такой системы в
случае упрощенного плоско-параллель-
ного представления ее механической
следующую систему уравнений в отно-
части (рис. 3.22) получаем
сительных вариациях переменных:
1.	82 = U7(s)(8Rxsin₽0-|-X!z8Rj/cosp0);
2.	8RX=Wx(s) 8«x+Wo (s) 8pBX.o + Wr (s) 8pBX.r;
3.	8Ry=(l/^)(2C08pBX.0+J<r8pB,r);	(3.17)
4.	8A,x.o= — ^0(«)['tBX.0s8t/+rBX.0ro(s)8pBX.o];
5.	8pM.r= —Zr (s) [rBX>rs8^+rBXjyr (s) 8двх.г];
6.	Ъх=Ъу=Ъх.
В уравнениях (3.17) W{s)—Kld (s) — передаточная функция
механической части системы, где d {s)=(llx2) s2 ф- 2 (£/v) s ф- 1 —
операторный трехчлен, характеризующий собственные колебания
упругой системы; Wx(s) = 8Rx/8/2x — передаточная функция двига-
теля по продольному каналу (см. рис. 3.19), где пх= —— $2бл;
202
iro(s)=3Rx,'8pBX.o и U7r(s)=8Rx/8pMJ — передаточные функции дви-
гателя по поперечному каналу; х, у — максимальные статические
смещения двигателя под действием полной силы тяги;
is	Рвх»о^вх.о	СС0
К° =----------R
is  Pnx.rFвх.г sin ®|
к’ —R—
(1 _ e”2V)
i„=R,/R; Z(s)=.	;
U 4-е a )
: rn=alFm-, ra=lla.
(С Лтах/
IZ / \ SO _ Qay sin a
Г (5) = — ; TBX =-------.
Ър	ZVx
Приведем четвертое и пятое уравнения трубопроводов в системе
(3.17) к виду bpBX.o==-Wnl(sny и 8pBX.r^U7rl(s)8i/, где Fol0s)
и P7ri ($) — передаточные функции виброчувствительности давле-
ний к поперечным колебаниям двигателя;
1Foi(s)=
1 “Ь Zorвх.о^о
UM*)=
___^г^вх.г^
1 4“ Zrrвх.г^г
и
после чего из второго и третьего уравнений системы (3.17) получа-
ем следующие уравнения, определяющие малые колебания осевой
и боковой сил в зависимости от смещения двигателя:
8RX— - (WOU7O1 + ГД/г1) 8у; 8R,—	(л oV7ol + ВД 8у.
А«
Подстановка этих уравнений в первое уравнение системы (3.17)
позволяет получить характеристическое уравнение системы
d + К (1FO1FO1 + U7rlFri - Wx) sin Po+tf (/<OV7O1 + /<rV7rl) cos po=O,
(3.18)
Анализ свойств этого уравнения в общем виде при использова-
нии полных аналитических выражений входящих в него передаточ-
ных функций затруднителен из-за большой громоздкости этих
выражений. Поэтому исследование устойчивости в общем случае
производится путем решения полной системы уравнений на ЭВМ.
Однако для ряда важных частных случаев при использовании
упрощенных уравнений трубопроводов и некоторых простых узко-
полосных аппроксимаций передаточных функций двигателя ана-
лиз устойчивости и оценку значений инкремента колебаний систе-
мы можно выполнить по уравнению (3.18).
Рассмотрим два частных случая:
A. Z0(s) = -I---------------; Wx^Wr^Wrl^Y0^Yr^O-
-—S2 +2-SSH>. s + i
Vbx.o	Vbx.o
1^о= —Mo — постоянное число.
Б. To же, что в случае А, но IRri= —(Ko/Kr)Wol и, следователь-
но, 6Ry=0.
203
В обоих случаях принимается, что тяга двигателя не чувстви-
тельна к продольным перегрузкам (Ц7х=0) и к колебаниям давле-
ния на входе в насос горючего (11^=0). Гидродинамические
процессы во входном трубопроводе окислителя приближенно
описываются уравнением простого осциллятора с собственной
частотой твх.о и коэффициентом демпфирования gBx.o, равными
соответствующим значениям для первого тона собственных колеба-
ний жидкости в нем. Дополнительно к этому в случае А предпола-
гается полная нечувствительность давления во входном трубопро-
воде горючего к вибрациям (1Гг1 = 0) и отсутствие акустической
проводимости гидравлического тракта двигателя по обеим линиям
(}'о^Уг=0). В случае Б эти допущения не вводятся, но делается
предположение, что пульсации давления в обоих трубопроводах
происходят с такими фазами и амплитудами, что колебания боко-
вой гидродинамической силы, действующей на двигатель, практи-
чески равны нулю (ЬР.у=.0).
Характеристическое уравнение (3.18) для первого из рассматри-
ваемых случаев имеет вид
-Кхаохт^ (Мо--М sin ро=О.	(3.19)
\ tg ₽о 1
Наиболее опасные условия в отношении потери устойчивости
системы будут иметь место при совпадении частот собственных
колебаний подвеса и трубопровода. При т=твх.о и g=gBx.o уравне-
ние (3.19) распадается на два уравнения второго порядка.
Для определения критического, по условию устойчивости, значения
модуля передаточной функции двигателя 1FO получим выражения
(tg ₽о+Ао)+-^- ,	(3.20)
‘g PQ
где	М1=-----------.
Я ^вх. oQoa0x sin а0
В частном случае Б, когда боковая гидродинамическая сила
полностью скомпенсирована, характеристическое уравнение (3.18)
принимает следующий вид:
1 $2 । 2 ^вх.о	|\  Я Мр'Свх.о'Дао^ sin Ро __q
vbx о	vbx.o	}	2	VBX.O
(3.21)
Для расчета критического значения модуля 1^0 имеем
М0.кр = е2вх.о.М1 (tg Po + V	(3- 22)
На рис. 3.23 приведены графики зависимости критических пара-
метров рассматриваемой системы от величины осевого смещения
х двигателя под действием полной (номинальной) .силы тяги при
степени демпфирования g=gBXO=0,l. Расчет проведен для твхо =
= 68 с-1.
204
Видно, что компенсация си-
лового воздействия со стороны
входных трубопроводов на дви-
гатель приводит к существен-
ному уменьшению запаса ус-
тойчивости системы.
Например, при х=25 мм и
Евх.о=0,1 величина критического
значения Мо.Кр по условию устойчи-
вости уменьшается почти в 30 раз.
Инкремент расходящихся коле-
баний при М=0,0115; £вх.о = 0,01 и
х=25 мм в случае компенсации си-
лового .воздействия от трубопроводов
составляет 6j = 0,64, тогда как без
компенсации он не превышает 61=0,1.
Результаты, полученные с
помощью аналитических оце-
нок, выполненных по упрощен-
ным передаточным функциям
звеньев, подтверждаются ре-
зультатами расчета переход-
ных процессов, выполненных
по полной системе уравнений
на ЭВМ. Соответствующие пе-
Рис. 3.23. Границы устойчивости систе-
мы двигатель—упругий подвес по отно-
шению к продольно-поперечным колеба-
ниям:
1—без компенсации боковой гидромеханиче-
ской силы; 2—с компенсацией боковой гидро-
механической силы; 3—фактическое значение
модуля (Я—области устойчивости)
реходные процессы, полученные
при задании единичного начального возмущения 6^=0,5%, приве-
дены на рис. 3.24. Видно, что колебания, возникающие после воз-
мущения, являются расходящимися, причем в первую очередь раз-
виваются механические колебания (кривая z) и колебания давле-
ние во входном трубопроводе (кривая рВх.о), а затем уже появля-
ются заметные колебания тяги двигателя (кривая ркс).
При тех же допущениях, которые были сделаны для поперечно-
го канала во втором из рассмотренных выше частных случаев,
но при учете действия продольного канала (при 1^ж#=0), характе-
ристическое уравнение рассматриваемой системы принимает вид
205
Рис. 3.25. Характеристика инкремента колебаний при продольно-поперечном
механизме неустойчивости
Для случая v=vBX.o, £=^=0; /<sin₽0=h ^о = МоМ; Wx=Mx/s
и безразмерного времени t=tv; s=s/v получим линейное характе-
ристическое уравнение 4-го порядка
?+/<ж?4-2«2+(А'вх-Кх)5+1=0,	(3.24)
в котором КХ=М.Х fni^-v2 и /<BX=Mo-raoTBX.ov2 —безразмерные ко-
эффициенты усиления продольного и поперечного каналов.
По аналогии со степенью устойчивости линейных систем будем
оценивать степень неустойчивости данной системы по величине
положительной действительной части ближайшего к мнимой оси
корня уравнения. В случае, если это будет пара комплексно-
сопряженных корней Xi,2=^i±iv, величину Hi будем принимать
за характеристику инкремента колебаний соответствующей состав-
ляющей решения.
На рис. 3.25 представлены кривые Km=f(Kx) Для трех значе-
ний gi = 0,05; 0,1 и 0,15. Видно, что механизм продольно-поперечной
неустойчивости может характеризоваться весьма значительными
скоростями развития аварийного процесса: прирост амплитуды
206
за один период колебаний может достигнуть 100% и более
(Л2/Л1= 1,85.. .2,5). Если учесть, что характерные частоты при
этом составляют 20 Гц и выше, то станет понятным, что при дан-
ном механизме неустойчивости сильные виброперегрузки могут раз-
виваться до опасных пределов весьма быстро — в течение 0,05 с
или даже меньше. Из графиков, представленных на рис. 3.25, сле-
дует также, что совместное действие продольного и поперечного
контуров усугубляет опасность быстрого появления неустойчивости,
поскольку величины инкремента колебаний в области сочетаний
реальных значений коэффициентов усиления двигателя (область
В) могут быть большими.
3.6. Проявление неустойчивости
в многодвигательных установках
Взаимодействие двигателей в силовой установке, состоя-
щей из нескольких двигателей, установленных на общем силовом
кольце ракеты, порождает новые динамические эффекты, приводя-
щие к возникновению продольно-поперечной неустойчивости. Запас
устойчивости в такой системе при наличии острых резонансов
в упругой конструкции силового кольца может быть значительно
меньше запаса устойчивости одиночного двигателя. Для теоретиче-
ского исследования такой системы (рис. 3.26) составим ее матема-
тическую модель в упрощенном виде.
Рассмотрим силовую установку, состоящую из шести двигате-
лей, закрепленных на общем силовом кольце (рис. 3.27). Двигате-
ли и соответствующие им части силового кольца представлены
на схеме в виде шести сосредоточенных масс (Л4), подвешенных
на пружинах, имитирующих упругость элементов конструкции под-
Рис. 3.26. Структурная схема 'многодвигательной силовой установки
Рис. 3.27. Различные начальные формы колебаний силового кольца
207
веса (С). Через промежуточные пружины (Со) перемещение любо-
го из двигателей может передаваться соседним. Предполагается,
что все элементы системы идентичны и имеют возможность пере-
мещаться только в продольном направлении (параллельно оси
камер сгорания).
Математическая модель такой многодвигательной установки
на упругом подвесе представляется в виде нескольких одинаковых
подсистем уравнений, каждая из которых состоит из двух уравне-
ний, описывающих соответственно изменение перегрузки на упру-
гом подвесе и давления в камере сгорания:
1} (i ^ + 2 -Г S+ 9 «xz-=^^k.cz+^-(S/2Xi.+ 1-S/2X/.) +
+	(nxi+i	(nx,-i nx,)i
2) крк.сг=КявПхг,	(3.25)
где r, r0 — коэффициенты демпфирования элементов конструкции
подвеса и опорного кольца; i=l, 2 .. .6 — номера двигателей.
Уравнения двигателей записаны в этой системе упрощенно: они
описывают изменение давления в камерах сгорания двигателей
только в узком диапазоне частот шириной примерно 5—10 Гц.
Поведение системы исследуется при различных начальных усло-
виях (начальных формах колебаний), характеризующих форму
силового кольца с двигателями перед началом переходного процес-
са. Рассматривается также внешнее синусоидальное воздействие
на систему. Для начальных условий, представляющих собой собст-
венные формы колебаний (см. рис. 3.27), система уравнений сво-
дится к следующим уравнениям второго порядка:
для формы колебаний № 1 — при nXl=nXi= ...пХе;
f_Ls2 i /2	s-4-ll/z =0;
L v2 \ v Cgt) 1 J Xl
для формы № 2 —при nX1=nXl=Q и nXt = nx^= — nXi= — nx,;
[v2 Ц v C C&)rC ]	‘
для формы № 3 —при nx=nx=nx,= — nx.= — nx= — nXt (3.26)
[ — s2 + f2 J-+4_Co	1+^1 /zx.=0.
I. v2 ( V C Cgt j 1 C J '
Для этих форм колебаний критические значения постоянной
времени двигателя ткр и частоты колебаний на границе устойчиво-
сти vKp определяются выражениями
^C + ar0)g	V
где а=0 для формы № 1, а=1 — для формы №2 и й=4 — для
формы № 3. На рис. 3.28 показана граница устойчивости системы
208
Рис. 3.28. Границы устойчивости системы при различных начальных формах ко-
лебаний
на плоскости параметров ткр—ткр. Видно, что запасы устойчивости
системы для разных форм колебаний различны; например, при
т=0,0015 с первая форма неустойчива, а вторая и все последую-
щие— устойчивы. Начальные формы колебаний системы весьма
существенно влияют на характер последующих свободных движе-
ний, реализующихся в системе. Если начальная форма является
неустойчивой или если начальные условия нулевые, то в системе
весьма быстро развивается расходящийся переходный процесс
(&кР<0). Если начальная форма соответствует устойчивой форме
собственных колебаний, то вызываемый ею переходный процесс
является затухающим (бкр>0) и расходящиеся колебания доста-
точно длительное время не развиваются (несмотря на наличие
у характеристического уравнения системы корней с существенными
положительными действительными частями).
Вынужденные низкочастотные колебания, наложенные на мно-
годвигательную систему, приводят к синхронизации движений
по отдельным степеням свободы и к проявлению неустойчивости
независимо от начальных форм колебаний.
209
Управление тягой двигателя
4.1.	Программы и способы
регулирования тяги
4.1.1.	Требуемый диапазон изменения тяги двигателей.
Увеличение диапазона регулирования тяги одиночного двигателя
является одним из характерных направлений развития ЖРД-
Изменение тяги двигателя в широких пределах — эффективное
средство повышения точности и экономичности управления различ-
ными летательными аппаратами с ЖРД, позволяющее приспосо-
бить одиночный двигатель к существенно различным требованиям
выполнения маневров.
Отклонение скорости космической ракеты в момент выключения
двигателя от расчетного значения (ошибка скорости) пропорцио-
нально отклонению полного импульса от номинального значения,
которое зависит от уровня тяги в этот момент. При использовании
для регулирования скорости ракеты двигателей угловой стабилиза-
ции развиваемая ими тяга при отключении маршевого двигателя
должна быть уменьшена в 2—3 раза. В случае, если угловая стаби-
лизация ракеты осуществляется качанием маршевого двигателя
или отклонением струи газов, одиночный маршевый двигатель дол-
жен иметь 10—50-кратную степень дросселирования (конечную сту-
пень тяги). Оптимальные характеристики низколетящих ракет
по дальности как на высотных, так и на невысотных траекториях
позволяют получить ЖРД с 3—20-кратным диапазоном изменения
тяги [49].
Более разнообразные программы изменения тяги необходимы
для двигателей управляемых космических аппаратов. Так, напри-
мер, для лунного орбитально-посадочного аппарата при сходе
с траектории достаточен диапазон изменения тяги двигателя 5—
10% от номинального значения. Для висения аппарата на неболь-
шой высоте над поверхностью Луны и перемещения к месту посад-
ки тяга двигателя должна изменяться в пределах 4:1.
Программы изменения тяги двигателя и реализующие их схемы
унравления»должны обеспечивать требования к двигателю как зве-
ну в системе управления аппаратом и работоспособность двигате-
210
ля во всех эксплуатационных условиях. В частности, нужно обес-
печить необходимое качество переходных процессов по тяге (время
переходных процессов, точность выполнения программ изменения
тяги и соотношения компонентов), ограничение скорости измене-
ния и уровня различных параметров двигателя, определяющих дос-
таточное охлаждение камеры сгорания, защиту турбины от пере-
грева, частоту вращения ТНА, бескавитационный режим работы
насосов и т. д.
4.1.2.	Способы дросселирования двигателя. Из уравнения тяги
двигателя
R=WcG+j7cFc=wc^L4-/;cFc,	(4.1)
р
где we — скорость истечения газов из сопла; рс — давление газов
на срезе сопла; Fc и Акр — площади на срезе сопла и его критиче-
ского (проходного) сечения; 0= (pK.cAKP)/G—удельный импульс,
видно, что одним из основных способов регулирования тяги являет-
ся изменение расхода топлива путем дросселирования линий пита-
ния, изменения проходного сечения форсунок или изменения кри-
тического сечения сопла. Регулировать тягу путем изменения
соотношения компонентов нецелесообразно. Регулирование тяги
двигателя изменением площади критического сечения сопла теоре-
тически более целесообразно вследствие того, что при этом умень-
шаются потери удельной тяги, однако проблема создания регули-
руемого сопла является сложной и ее решение влечет ухудшение
массовых характеристик двигателя.
Регулирование тяги двигателя изменением проходного сечения
сопла (FKp) и форсунок (Аф), полученное экспериментально при
постоянном давлении подачи на одном из двигателей, показано
на рис. 4.1: при уменьшении площади Акр (и, тем самым, тяги R)
удельная тяга Руд сначала несколько возрастает вследствие увели-
чения давления в камере сгорания, а затем резко падает из-за сни-
жения полноты сгорания топлива и коэффициента тяги сопла.
При уменьшении Аф удельная тяга может несколько возрастать
вследствие приближения соотношения компонентов топлива
к оптимальному, а затем также снижается из-за уменьшения коэф-
фициентов тяги сопла и полноты сгорания топлива.
Одним из возможных путей повышения качества распыла топ-
лива и полноты его сгорания на режимах малой тяги является
вдув газов или газификация компонентов топлива перед форсун-
ками путем нагрева его в насосах или в полости охлаждения.
Распространенным способом увеличения диапазона изменения
тяги в настоящее время является использование многокамерных
двигателей или многосекционных форсунок. Имеются отдельные
двигатели с плавным регулированием площади проходного сечения
форсунок. Для выполнения маневров космических аппаратов, тре-
бующих небольших импульсов тяги, используются регулируемые
двигатели, работающие в импульсном режиме (включение—выклю-
чение). Регулирование импульса тяги в таком двигателе дости-
211
Рис. 4.2. Изменение характеристик импульсного двигателя в зависимости от дли-
тельности импульса тяги и степени дросселирования:
^R=4.( *дл)> Куд=/Сдл); 2~ ^уд=^ (Rmax^RmIn)
Н-С
кг
-3000 -
2600
2200
1800
1400
1000
Рис. 4.1. Влияние способа управления тягой на изменение параметров двигателя:
/—изменение площади форсунок; 2—изменение площади сопла; 3—изменение площади сопла
и форсунок
гается изменением длительности его работы £дл. Степень уменьше-
ния тяги и экономичность двигателя, работающего в импульсном
режиме, зависят от величины заклапанных объемов времени за-
держки воспламенения компонентов, времени нарастания тяги
и таких характеристик системы подачи, как скорость и синхрон-
ность изменения расходов компонентов и податливость системы
подачи.
Для примера на рис. 4.2 показаны характеристики опытного импульсного
двигателя фирмы «Белл» (США), работающего в импульсном режиме [50]. Как
видно, при 1'0-кратном уменьшении тяги удельная тяга двигателя /?уд может
падать до 40—50% от номинального значения. Время воспламенения топлива
составляло 18 мс, время нарастания давления 30 мс.
Повысить глубину дросселирования двигателя можно примене-
нием комбинированной системы управления, когда 5—10-кратное
изменение тяги осуществляется плавным изменением проходного
сечения управляющих клапанов, а дальнейшее изменение тяги
ведется в импульсном режиме.
4.1.3.	Схемы управления тягой двигателя. Двигатели космиче-
ских аппаратов имеют в большинстве случаев вытеснительную сис-
тему подачи, которая обеспечивает простоту и надежность двига-
тельной установки. Схема управления двигателя с вытеснительной
212
системой подачи (на примере системы с газовым аккумулятором)
показана на рис. 4.3.
В наиболее простой схеме управления изменение тяги двигате-
ля осуществляется изменением давления в баках горючего 2 и оки-
слителя 3 с помощью перенастраиваемого регулятора давления 5.
Однако в подобной схеме управления затруднено получение высо-
кой скорости изменения тяги двигателя, особенно в конце работы
при почти полной выработке топлива. Кроме того быстродействие
системы управления изменяется по времени работы двигателя
и для управления двигателем в этом случае требуется повышен-
ный расход газа.
В других схемах управления изменение тяги обеспечивается
дросселированием гидравлических линий или вдувом газа перед
форсунками из аккумуляторов газа. Возможные схемы управления
расходом жидкости показаны на рис. 4.4. Схемы а и б предполага-
ют использование регуляторов давления и расхода с постоянной
или переменной настройкой. В практике английских и американ-
ских фирм в качестве регулятора расхода часто используется кави-
тирующее сопло Вентури с регулятором давления перед ним (рис.
4.4, в, г). Кавитирующее сопло позволяет стабилизировать расход
компонента при высокочастотных возмущениях со стороны камеры
сгорания и улучшить работу форсунок при малых расходах жид-
Рис. 4.3. Схема управления двигателем с вытеснительной системой подачи:
/—камера сгорания; 2—бак горючего; 3—бак окислителя; 4—аккумулятор газа; 5—регулятор
давления; 6—регулируемый клапан; 7—отсечной клапан; ^уПр управляющее воздействие
Рис. 4.4. Схемы управления расходом топлива:
а—с регулятором давления компонентов; б—с регулятором расхода; в, г—с регулятором рас^
хода с кавитирующим соплом; д, е—с регулятором давления газов
213
кости. Последнее объясняется тем, что пары компонента за кави-
тирующим соплом не успевают конденсироваться, отчего плотность
компонента уменьшается и увеличивается скорость истечения его
через форсунки.
Система управления тягой двигателя (в диапазоне 4,5,—46 кН) вдувом
гелия перед форсунками камеры сгорания разрабатывалась фирмой «Рокит-
дайн» (США) для посадочного ЖРД лунной кабины корабля «Аполлон». Воз-
можными схемами управления в подобной системе подачи топлива могут быть
поддержание постоянного давления газов (рис. 4.4, д, е) между переменным
сопротивлением и форсунками или изменение давления газа перед форсунками
при постоянном сопротивлении жидкостной магистрали, а также сочетание этих
вариантов схемы управления. Насыщение компонентов газом путем вдува его
перед форсунками позволяет существенно расширить диапазон изменения тяги
двигателя, однако при этом резко увеличивается сжимаемость компонентов
и уменьшается скорость изменения тяги.
При охлаждении камеры сгорания компонентами топлива требуется умень-
шение температуры газов в камере сгорания на глубоких дроссельных режимах.
Характер изменения соотношения расходов компонентов в камеру сгорания,
отнесенного к расчетному значению, обеспечивающему охлаждение ее стенок
во всем диапазоне работы двигателя для компонентов топлива НДМГнЖгСД,
показывает табл. 4. 1.
Таблица 4.1
Рк.с	1,0	0,6	0,4	0,2	0,1	0,05
^к.с	1,0	1,0	1,0	0,70	0,35	0,1
Расширить диапазон изменения тяги двигателя с охлаждаемой
камерой сгорания можно также, используя один из компонентов
большой тепло-
как например
бит
Тр.г.кл
ИГ
Рис. 4.5. Возможные управляющие воздействия
на ЖРД с турбонасосной системой подачи:
ЖРД открытой схемы; б—ЖРД закрытой схемы
а)
топлива с
емкостью,
водород. Следует отме-
тить, что криогенные ком-
поненты топлива позволя-
ют также улучшить рабо-
ту форсунок на дроссель-
ных режимах вследствие
вскипания топлива в ли-
ниях питания при пони-
жении в них давления.
4.1.4. Законы управле-
ния двигателем. Возмож-
ные схемы управления тя-
гой двигателя с турбона-
сосной системой подачи
основаны на следующем
(рис. 4.5):
на изменении расходов
компонентов топлива в
генератор при постоянной
температуре газов в нем;

214
на изменении температуры газов в генераторе;
на перепуске газов из газогенератора в обход турбины;
на дросселировании магистралей подачи компонентов в КС или
на байпасировании насосов.
В первых трех вариантах схемы управления изменяется распо-
лагаемая мощность турбины, в остальных — мощность, потребляе-
мая насосами.
Управляющие воздействия, реализованные в ЖРД открытой
схемы с широким диапазоном изменения тяги, показаны на рис.
4.5, а. Перепуск газа в обход турбины в этих двигателях сущест-
венно ухудшает экономичность двигателя, а байпасирование жид-
ких компонентов с выхода насоса на вход ухудшает кавитацион-
ные свойства насосов, поэтому эти способы управления тягой дви-
гателя не рассматриваются. Могут быть реализованы следующие
законы управления в широкихЩределах тягой ЖРД открытой схе-
мы с использованием перенастраиваемых регуляторов расхода или
давления, а также программных управляющих сервомеханизмов:
I Рк.с * Др.О.ГГ?	* Др.Г.К.С’ ^ТГ * Др.Г.ГГ»
II Рк.с * Др.О.К.С> * Др.ГЖ.С’ Рк.О * Др.О.1Т> ^ГГ * Др.Г.ГГ»
III Рк.С ' Др.И.О» * Др.Н.Г> ^ГГ * Др.Г.ГГ"
Наибольшую экономичность двигателя на режимах малой тяги
(минимальный расход компонентов в газогенератор) обеспечивает
первый закон управления, когда давление в камере сгорания рк.с
регулируется дросселированием' линии подачи окислителя в газоге-
нератор', соотношение расходов компонентов в двигатель kG —
дросселированием линии подачи горючего в камеру сгорания,
а соотношение расходов компонентов в газогенератор ягг — дроссе-
лированием линии подачи горючего в газогенератор. Наименьшую
экономичность дает второй закон управления. При втором законе
управления (n=const) на режимах малой тяги резко уменьшается
к. п. д. насосов и возрастает подогрев компонентов, что ухудшает
возможность охлаждения камеры сгорания на этих режимах. Одна-
ко этот закон управления позволяет получить максимально возмож-
ную скорость изменения тяги двигателя. Несколько большие воз-
можности повышения экономичности двигателей на режимах малой
тяги обеспечивают ЖРД с дожиганием генераторного газа (рис.
4.5, б) в силу того, что, во-первых, несгоревшее в генераторе топли-
во догорает в газоводе и камере сгорания и, во-вторых, сгорание
жидкого компонента в камере при наличии горячего газа улучша-
ется.
Для ЖРД закрытой схемы с точки зрения конструктивного
исполнения наиболее удобными являются следующие законы
управления:
с восстановительным генератором — Рк.с —*-^р-о-кД	~* Лр.г.гг‘> ^гг~*
—»Др.о.гг‘> с окислительным генератором — ркс —»/yr.rr; kG —»FVJ.K/,
Ъ Р
^тг * р.о.гг*
215
Байпасирование турбины в этих схемах затруднительно по при-
чине высокой температуры газов в восстановительном генераторе
и большого расхода газов в окислительном газогенераторе. Подоб-
ная система управления может быть реализована в специальных
схемах двигателей, как, например, в водородном ЖРД фирмы
«Пратт-—Уитни» (США), в котором в турбину подается газообраз-
ный водород из полости охлаждения, а при управлении тягой часть
водорода перепускается в обход турбины.
4.2.	Методика расчета процессов
регулирования в «большом»
Основные положения методики решения задач управле-
ния ЖРД с помощью ЦВМ изложены выше; в настоящем разделе
рассматриваются некоторые приемы решения систем уравнений
и выбора законов управления, позволяющие сократить объем
вычислений при расчетах процессов управления тягой, а также
вопросы расчета динамики гидравлических каналов при развитой
кавитации.
" Если"йнерция и сжимаемость жидкости малы, расчет разветв-
ленных линий питания в ряде случаев целесообразно вести путем
решения алгебраических нелинейных уравнений известным мето-
дом Ньютона. Одним из возможных путей развязки расчетных
петель является введение условной завышенной емкости в точке
разветвления гидравлических линий, обеспечивающей устойчивый
счет. Давление в этой емкости рассчитывается с внутренним
циклом интегрирования с шагом Д/ш. Учитывая, что для решения
основных уравнений постоянная времени емкости тс^ЗА/ш и пере-
ходный процесс апериодического звена практически заканчивается
за время /а.’3тс, число внутренних циклов интегрирования уравне-
ния условной емкости должно равняться » 10.
Эффективно сокращает объем вычислений при расчете гидрав-
лических линий введение в уравнение расхода запаздывания,
равного шагу интегрирования, изменения давления по отношению
к изменению расхода в узловой точке рс. Практическое использо-
вание этого способа показывают следующие примеры. При опреде-
лении параметров разветвленной гидромагистрали (рис. 4.6, а)
можно не учитывать влияния малого расхода на давление в точке
разветвления в г+1 шаге интегрирования. Тогда уравнение нераз-
рывности
VPi — Pc^v-^K Урс-Р2+^зК VРс У — д/ш) — Рз, (4- 2)
где р. — коэффициент расхода, при известных значениях парамет-
ров р2, Рз решается без итераций.
Значения параметров линии, при которых обеспечивается устой-
чивое решение, определяются условием
_Д—(4.3)
АД1 О(Др2 ОМРз
216
При совместном решении урав-
нений сети и напорной характери-
стики насоса (рис. 4.6, б) в слу-
чае, если запаздывание в измене-
нии давления вводится в уравне-
ние, определяющее расход через
сечение F2, условием устойчивости
счета является соотношение
А/?2>АР1- При этом всегда имеет-
ся возможность обеспечить устой-
чивый счет путем выбора места
введения запаздывания.
Получение заданных статиче-
	А
F,	Д Ppi
Pi °	Д	РС &
Л °)	йРз б	Pc	Fz РнО X	©	X	 Ppi ..	ьРг 0)	
Рис. 4.6. Расчетные схемы гидро ма-
гистралей
ских характеристик и качества переходных процессов двигателя по
нескольким параметрам, а также выбор оптимальных законов из-
менения управляющих воздействий являются важными задачами
синтеза САР ЖРД. Выбор законов управления при расчетах дина-
мики ЖРД в большом производится в основном путем пробных
расчетов и повторения их после анализа полученных результатов
(метод проб и ошибок). Статические характеристики синтези-
руются методом последовательных приближений.
Ниже рассматривается метод синтеза на ЦВМ законов изме-
нения управляющих воздействий, обеспечивающих заданное проте-
кание процессов или статических характеристик, основанный
на использовании условных алгебраических и логических обратных
связей (регуляторов) и логических операций ограничения. При этом
производится условное измерение оптимизируемых параметров
и осуществляется воздействие на элементы, при помощи которых
реализуется управление объектами. Это позволяет существенно
сократить число пробных расчетов.
Статические характеристики можно получить двумя способами.
При наличии программы расчета динамических характеристик
двигателя можно с помощью численных методов интегрирования
на ЦВМ по этой же программе провести расчет и его статических
характеристик, которые получаются как совокупность параметров
ряда установившихся режимов работы двигателя. В этом случае
удобнее использовать динамические обратные связи с малыми зна-
чениями постоянных времени и большими значениями коэффициен-
тов усиления. В случае, если проводится расчет только стати-
ческих характеристик, может оказаться, что их оптимизацию удоб-
нее проводить путем расчета нелинейных алгебраических уравнений.
В этом случае обратные связи должны быть алгебраическими.
В качестве примера синтеза качества процессов с помощью
условных обратных связей можно рассмотреть случай, когда требу-
ется определить законы изменения по времени проходных сечений
исполнительных органов ApJ.K.c и Ар.0.гг> обеспечивающие на пере-
ходных режимах заданное на рис. 4.7 изменение коэффициентов
/eG и /ггг. В частном случае необходимо сохранить эти коэффициен-
217
Рис. 4.7. Заданные законы измене-
ния параметров двигателя в дина-
мике
ты постоянными при изменении тя-
ги двигателя. Пусть необходимо
также оценить закон изменения во
времени площади исполнительного
органа Fp.r.rr, обеспечивающий за-
данное изменение давления в каме-
ре сгорания.
Для решения этой задачи необ-
ходимо в расчетную схему двигате-
ля включить быстродействующие ре-
гуляторы соотношения компонентов
топлива двигателя и газогенератора
и регулятор, поддерживающий за-
данное давление в камере сгорания.
Под быстродействием регуляторов
здесь понимается не их абсолютное
быстродействие, а быстродействие
по отношению ко времени протека-
ния основных процессов двигателя.
Схема, реализующая рассмотренную
математическую модель, представ-
лена на рис. 4.8.
расчета зависимости Fv.T.K.c—f(t),
достаточно точно соответствовать
Отклоне-
Полученные в результате
Fp.0.rr=f(t), FP.r.rr=f(0 будут
искомым законам изменения управляющих воздействий.
Рис. 4.8. Схема включения условных обратных связей при расчете законов дви-
жения регулирующих органов
218
ние в переходном режиме параметров kG, krr, ркс от заданной
программы будет зависеть от точности реализации полученных
законов изменения во времени сопротивлений исполнительных
органов и величины отклонения характеристик двигателя от рас-
четных. В общем случае порядок выполнения расчетов будет следу-
ющий: расчет оптимальных законов изменения управляющих воз-
действий с помощью условных обратных связей с возможно
большим быстродействием по сравнению с ожидаемым быстродей-
ствием двигателя; аппроксимация полученных временных характе-
ристик изменения управляющих воздействий с учетом возможно-
стей управляющих элементов; поверочный расчет процессов при
предельных сочетаниях внешних и внутренних факторов и отклоне-
ний характеристик двигателя и агрегатов управления.
Решение рассмотренной задачи численными методами дает воз-
можность при выборе оптимальных схем управления использовать
регуляторы с нелинейными характеристиками и переменной струк-
турой. Вспомогательные обратные связи могут с успехом при-
меняться в процессе экспериментальной отработки двигателей.
При наличии стандартной аппаратуры их использование позволяет
резко сократить время и средства, затрачиваемые на доводку
двигателей.
4.3.	Динамика гидравлических каналов
при развитой кавитации жидкости
При переходных режимах работы ЖРД, особенно в про-
цессе запуска, возможен кавитационный режим течения жидкости
в элементах систем подачи топлива и гидроавтоматики. Поэтому
очень важно учитывать кавитацию при расчете процессов управ-
ления двигателями.
В пассивных гидравлических элементах как в случае газовой,
так и в случае развитой кавитации повышение потерь полного дав-
ления обусловлено наличием скачков уплотнения в гомогенной
парожидкостной смеси или изменением характера расширения-
струи, а также повышением турбулентности потока. В первом слу-
чае в критическом сечении резко падает скорость звука в смеси
и скорость течения парожидкостной смеси достигает критического
значения; за критическим сечением скорость течения смеси продол-
жает возрастать с последующим уменьшением в скачке, где про-
исходит конденсация пара [44]. При изменении характера расши-
рения струи образуется кольцевая паровая или газовая полость
и происходит отрыв струи жидкости от стенок канала с последую-
щим ее расширением на стенках канала ниже по потоку, как
показано на рис. 4.9.
4.3.1.	Коэффициент сопротивления кавитирующих гидравличе-
ских элементов. Течение жидкости при кавитации обычно характе-
219
Рис. 4.9. Схема течения кавитирующей жидкости в канале с соплом Вентури 1 и
цилиндрическим жиклером 2
ризуют числом кавитации Кк. Для случая паровой кавитации мож-
но принять
TS ___2 (Рвх Ps)
*'к
(4.4)
2
где ps — давление насыщенных паров, щкр — скорость течения жид-
кости в критическом сечении.
Условием начала кавитации является р1К—ps^>рж^р/2 или рт—
— Ps=RKm^O2-
Зависимость коэффициента сопротивления кавитирующего эле-
мента /?к от давления на входе и выходе можно получить, исполь-
зуя уравнение расхода при развитой кавитации:
GK — (Ах Ps)/^Kmax (Рвх' Рта)/^к»
откуда	Як//?ктах=(Ах — Аых)/( Ах — А)-
Учитывая, что. при возникновении кавитации, кавитационное
7?ь и <5ескавитационное 7?бк значения коэффициента сопротивления
равны, критическое значение отношения давлений на выходе
из элемента и входе в него, определяющее начало кавитации,
__ / РвЫХ \ __ |  А)К I |   Ps \
\ Рвх / кр	Атах \	Рвх '
В большинстве случаев отношение ps/pBX мало и тогда
\<р	1 (^бк/^Kmax) ИЛИ /?к	(1 X) ^?ктах /?бк.
(4-5)
220
Характеристика кавитирующего элемента RK=t(k) определяет-
ся двумя прямыми линиями (рис. 4.10): горизонтальной линией,
соответствующей бескавитацпонному режиму течения жидкости,
и наклонной, соответствующей кавитационному режиму течения.
Влияние формы сужающихся каналов с неизменной геометрией
критического сечения на характеристики RK=f(h), если повышение
сопротивления сужающегося канала при развитой кавитации обус-
ловлено в основном изменением характера расширения потока,
удобнее оценить с помощью коэффициента потерь £, так как его
значение не зависит от абсолютных размеров трубопровода
(рис. 4.11).
При отношении e'=Fkp/Ftp больше нуля максимальное значе-
ние коэффициента потерь собственно элемента меньше максималь-
но возможного в системе
^х=(1/е)2 + ^.
где е — коэффициент сужения струи.
После выхода паровой полости из элемента дальнейшее увели-
чение коэффициента потерь происходит в канале за кавитирующим
элементом (/?тр) • Макси-
мально возможное значение
коэффициента потерь опре-
деляется коэффициентом су-
жения струи е. В соплах Вен-
тури коэффициент потерь
при бескавптацпонном тече-
нии не превышает 0,1—0,15.
При развитой кавитации,
когда струя жидкости рас-
ширяется в трубопроводе за
Рис. 4.10. Характер изменения коэффициента сопротивления кавитирующего эле-
мента в зависимости от степени кавитации
Рис. 4.11. Зависимость коэффициента гидравлических потерь от степени кави-
тации
221
соплом, коэффициент потерь такого канала превышает его беска-
витационное значение в 6—10 раз. Коэффициент потерь в цилиндри-
ческом жиклере, имеющем достаточную длину, т. е. в случае двух-
ступенчатого расширения, при развитой кавитации может увеличи-
ваться по сравнению с коэффициентом потерь при бескавитацион-
ном течении почти в два раза (рис. 4.12).
Характеристика 7?К=/(Л) жиклера с углом конусности на выхо-
де 0=15° существенно отличается от расчетной (пунктирная
линия), что объясняется или уменьшением коэффициента сужения
струи и смещением вниз по потоку ее минимального сечения при
увеличении расхода жидкости, или частичным отрывом жидкости
от стенок диффузора при больших скоростях истечения. Излом рас-
ходной характеристики жиклера наблюдается до начала кавитации
жидкости. Двухступенчатое расширение струи жидкости в выход-
ном диффузоре наблюдается при углах конусности, не превышаю-
щих 0=20... 30°, т. е. когда угол конусности канала не превыша-
ет угла конусности расширяющейся свободной затопленной струи
жидкости.
4.3.2.	Содержание пара в гидравлических каналах при развитой
кавитации. На режимах развитой кавитации, когда образуется сво-
бодная струя жидкости, количество пара в системе определяется
его содержанием в объеме А между поверхностью струи жидкости
и стенками канала, содержанием пара в зоне В расширения сво-
бодной струи жидкости, а также содержанием пара в зоне С повы-
Рис. 4.12. Коэффициенты сопротивления кавитирующих элементов:
1—сопло с коноидальным входом; 2—сопло с конусным входом авх=20°; 3—жиклер
222
шенных давлений (см. рис. 4.9). Объем кавитационной полости меж-
ду свободной струей жидкости и стенками канала, с достаточной точ-
ностью определяется, если известно место расширения струи и его
геометрические размеры. Глухие объемы, подсоединенные к каналу
на участке с давлением, равным давлению насыщенных паров жид-
кости ps, также заполнены паром. Количество пара в зоне расши-
рения струи определяется интенсивностью обратных токов, скоро-
стью конденсации пара, диаметрами струи жидкости и канала
в месте расширения струи и целым рядом других факторов. Про-
цесс расширения свободной струи жидкости при развитой кавита-
ции в настоящее время мало изучен. Содержание пара за зоной
расширения струп зависит от количества выносимого пара, скоро-
сти его конденсации, градиента изменения давления жидкости
в зоне конденсации пара, скорости переохлаждения пара, скорости
течения жидкости и т. д. Характеристическое время испарения
перегретой жидкости составляет 10~3 с [28]. Максимально возмож-
ные потери в рассматриваемом канале с соплом Вентури /?тах=
=^к.с+^к.тр+^вых определяются сопротивлениями кавитирующе-
го сопла (Як.с), трубопровода (/?к.тр) и канала, расположенного
за кавитационной полостью (^вых). Повышение коэффициента соп-
ротивления от Rck Як-стах сопровождается увеличением длины
кавитационной полости (длины свободной струи жидкости) в пре-
делах диффузора кавитирующего сопла. При этом коэффициент
сопротивления кавитирующего сопла
1 Г! f \2
с=------1------------— + ^вх	(4. 6)
К’С 26(еГкр)2	ЛяИ/ * “J	1
и с увеличением длины кавитационной полости, т. е. с увеличением
площади сечения сопла в месте расширения свободной струи жид-
кости (Fcb<)> будет резко возрастать. Дальнейшее повышение
коэффициента потерь обусловлено распространением кавитацион-
ной полости в канале за кавитирующим элементом. Характер изме-
нения потерь с увеличением длины (объема) кавитационной поло-
сти за кавитирующим элементом будет определяться формой
канала. В цилиндрическом канале потери полного давления, обус-
ловленные внезапным расширением струи, остаются почти неизмен-
ными.
Повышение потерь при увеличении длины кавитационной поло-
сти обусловлено падением энергии свободной струи жидкости
и рядом других факторов. Результаты экспериментов, проведенные
с кавитирующим соплом Вентури, установленном в прямолинейном
трубопроводе диаметром 30 мм, показывают, что при увеличении
длины кавитационной полости в трубопроводе на 1,4 м коэффици-
ент сопротивления увеличивается примерно на 13% от его макси-
мального значения. Зависимость коэффициента сопротивления
канала с кавитирующим соплом Вентури (Дк.с) от объема (длины)
кавитационной полости Гк.п приведена на рис. 4.13. Характер зави-
симости для кавитирующего цилиндрического жиклера RK.№K оста-
223
Рис. 4.13. Характер протекания зависимостей RK=ffVK.n) для прямолинейного
канала с кавитирующим элементом
ется таким же, как и в случае канала с кавитирующим соплом.
При наличии за кавитирующим элементом местного сопротивления
возможны следующие два случая.
Первый случай характерен тем, что в расположенных за первым
кавитирующим элементом местных сопротивлениях режим течения
жидкости при уменьшении давления перед ними также становится
кавитационным. В этом случае весь канал разбивается на ряд уча-
стков, занятых кавитационными полостями и сплошными потока-
ми жидкости. Чем больше склонен к кавитации расположенный
ниже по потоку элемент, тем меньше длина кавитационной полости
между ними. Запирание элемента, расположенного ниже по пото-
ку, может произойти также при истечении через него парожидкост-
ной смеси со скоростью, равной скорости звука в ней. Скорость
звука в гомогенной смеси жидкости и пара можно определить
по формуле
,	(4.7)
где	B=VjVx; C=Qxa2J(Qna2).
Скорость смеси в критическом сечении элемента
®см — ^вх/(Т^-^крРсм) »
где QCM=(VnQ,1+V’JKQHt)/(lZII 4-Йж)-плотность смеси пара и жидкос-
ти; <р — коэффициент скорости; е — коэффициент сужения струи.
Зависимости скорости звука в парожидкостной смеси водо-
рода и кислорода от параметра В при различных температурах
на входе приведены на рис. 4.14.
224
Второй случай характерен тем, что, если в расположенном ниже
по потоку элементе жидкость не кавитирует и его диаметр больше
диаметра свободной струи жидкости, то при увеличении кавита-
ционной полости элемент простреливается струей жидкости. В ме-
сте выхода зоны расширения струи из жиклера его сопротивление
резко падает, а длина кавитационной полости возрастает. Если на
пути свободной струи жидкости встречается сужающийся или
длинный цилиндрический канал, коэффициент сопротивления
всего канала с увеличением длины кавитационной полости будет
уменьшаться.
4.3.3.	Динамика пассивных гидравлических элементов на режи-
мах развитой кавитации. Наличие кавитирующего элемента на вхо-
де в заполняемую прямолинейную магистраль приводит к тому, что
конец свободной струи жидкости, имеющей большую скорость,
быстрее достигает конца магистрали. Дальнейшее заполнение маги-
страли будет происходить с противоположного конца магистрали.
Длина кавитационной полости с давлением, равным давлению
насыщенных паров жидкости, и время полного заполнения магист-
рали зависят от отношения давлений рВых/рвх- Экспериментальная
зависимость длины и объема кавитационной полости от давления
Рис. 4.14. Зависимость скорости звука в смеси от содержания и температуры
пара:
---------для водорода; ----для кислорода
Рис. 4.15. Зависимость длины кавитационной полости от давления на входе для
канала с кавитирующим элементом
Отр=30 мм; ^жк=10 мм; Рвых=0,1 МПа
в
524
225
Рис. 4.16. Расчетная схема гидравлического канала с кавитирующим элементом
на входе в гидромагистраль диаметром 30 мм с кавитирующим
цилиндрическим жиклером диаметром 10 мм показана на рис. 4.15.
Давление на выходе из магистрали равно атмосферному. -Полное
заполнение магистрали произойдет после превышения отношения
давлений PvbvJpvx на кавитирующем элементе критического значе-
ния. При этом бескавитацпонный режим течения жидкости устано-
вится с запаздыванием, определяемым временем пребывания жид-
кости в объеме, занимаемом паром.
Влияние развитой кавитации на процессы, протекающие при
запуске двигателей и переходных режимах, может быть очень раз-
нообразным. Например, трубопровод, отходящий от основной маги-
страли за кавитирующим элементом, не будет заполняться до тех
пор, пока кавитационная полость не достигнет места ответвления
этой магистрали.
Наличие развитой кавитации в переходном режиме приводит
к прекращению расхода жидкости через эту магистраль. Мерные
шайбы регуляторов расхода, расположенные в зоне развитой кави-
тации, могут простреливаться свободной струей жидкости пли через
них будет протекать парожпдкостная смесь. В первом случае пока-
зания измерительной шайбы будут существенно занижены, во вто-
ром — завышены.
Оценить влияние развитой кавитации жидкости в сопле Вентури
на динамические характеристики прямолинейного гидравлического
канала можно расчетным путем. Расчетная схема приведена
на рис. 4.16.
Столб жидкости при развитой кавитации, когда образуется
паровая полость, уже не движется как единое целое. В зоне кавита-
ции А (см. рис. 4.9) наблюдается разрыв потока жидкости в том
смысле, что передача давления со входа на выход из канала проис-
ходит через 'объемы кавитационной полости. Изменение объема,
занимаемого паром в зоне А, определяется уравнением материаль-
ного баланса
(0ж Qu) (^^/Гк.п/^) = ^вых ^ВХ’	g\
QK = f(TKy, QH=/(rK, рк),	1	'
где Тк, рк — температура и давление в зоне кавитации. В первом
приближении можно считать, что температуры жидкости и пара
в зоне кавитации равны температуре жидкости перед критическим
226
сечением. Уравнения движения жидкости во входном и выходном
участках имеют вид
L^d-^=p-RBA~paf
где L — гидравлическая масса.
Давление жидкости за кавитационной полостью для случая
pK=ps=const определяется формулами
р=Рвх — RKOBX', р1П—Ро Rttfija. iBX (dGjdty,
RK=f(VKJ.
Передаточные функции гидравлического канала с кавитирую-
щим элементом для случая /?BbIX=const, pK=ps, LBK=0 имеют сле-
дующий вид:
W <S\+ ^npS + ^в.-х* + С ;
' Рвх (s)	йТ£выхЛ’Пр52 + aTnpS + 1
РО f 1	_	1	\ т S + Ро
w , ,__GBKK(s) _Kr\P— Ра Po — pJ "Р 2(/>о —Рк) .
' Ах (8)	ат, Tnps2 4- ат s + 1
ВЫХ
W	--------RlL?--------- ;	-4’ 9)
Ра (S) ат, тпр$2 + atnps + 1
ВЫХ
Ра т s
/^\___^вых ($)_ %ft (р0 рк)_________
Ра (s) аТ Г TnpS2 +	4- 1 *
вых
где	Пр-рЛ- . с=ро. Р-Ра .
{Po — P^KR	Р р0 — Рк
^{р — Ра)Р0 (	1	 1	\ .
PKR	\Р — Ра	Ро — Рк J ’
__ ^вых .	_ (бж -- 6п)Ук.п . ft дрк Ук.п
^-2^0’ т"₽~ G ’ А/?-^к.п
Частота собственных колебаний и коэффициент демпфирования
системы будут
(№ —1
2(Р-Ра) тпрТЛ
ВЫХ
(Ро - Р) KR
^к.пДшх (Сж--Q11)
Р — Ра Тпр
2(A) —Р) TL
вых
Ук.п (Ож — Qn)
RkLshhKr
(4. Ю)
Характер протекания частотных характеристик гидравлического канала диа-
метром 30 мм с кавитирующим соплом, имеющим dKp = 13,65 мм, для примера
показан на рис. 4. 17. Амплитудно-частотные характеристики гидравлического
канала с кавитирующим соплом на входе имеют резко выраженные резонансные
8*	227
Рис. 4.17. Частотные характеристики гидравлического канала с кавитирующим
соплом Вентури:
---------р; — -— Свых; — — бескавитационное течение
максимумы. При значении постоянной времени т£вых ='0Д)23 с, что при расходе
7,65 кг/с соответствует длине выходного участка 400 см, резонансный максимум
иа амплитудной характеристике достигает 7—112-кратного значения. В диапа-
зоне частот, не превышающих резонансного значения, давление на выходе из
кавитационной полости опережает по фазе давление на входе в кавитирующий
элемент. Влияние постоянной времени т£вых на величину резонансного макси-
мума и на резонансную частоту показано на рис. 4.18.
Используя передаточную функцию канала, можно показать, что
при £Вых=0; /?Bbix=const; /?Bx=const постоянная времени Тпр
не оказывает влияния на динамику передачи давления со входа
на выход системы. Это объясняется тем, что в случае /?вых=const
при изменении давления на входе степень кавитации, а следова-
.тельно и объем пара в кавитационной полости, остаются неизмен-
ными. Следовательно, в целях устранения влияния развитой кави-
тации на динамику гидравлических каналов кавитирующий элемент
£28
"необходимо помещать в кон-
'це канала. Инерция массы №4
жидкости во входном участ-
ке уменьшает амплитуду ко-
"лебаний расхода на входе и
коэффициент усиления сис-
темы в динамике в целом.
При т^ВЫХ=Т£ВХ резонанс-
ный максимум на амплитуд-
но-частотной характеристике
отсутствует. Зависимость ве-
личины резонансного макси-
мума от отношения
xL Iх l показана на
вх вых
рис. 4.18.
Влияние степени кавита-
ции и уровня давлений на
частотные свойства канала с
SO -
SO -
60 -
30 -
20 -
10 -
9 Ь
кавитирующим элементом
можно оценить с помощью
приведенных выше переда-
точных функций.
С повышением степени
кавитации увеличиваются
объем, занимаемый паром,
Рис. 4.18. Влияние параметров канала с ка-
витирующим соплом на величину резонанс-
ного максимума и резонансную частоту f:
---влияние -г г ;	хг /хг
ьвых-----------------^вх ьвых
и потери полного давления в зоне кавитации; коэффициент наклона
Кн зависимости RK=f(yK.a) уменьшается. С учетом того, что
p0—p=RKG2;
частота собственных колебаний и коэффициент демпфирования
определяются формулами
1/” KuGWk	к'п .
г ^вых (@ж Qn)	f Д1Ых2
J. _ 1 / ^вых ~ 6”) G2
Л~ v I^K’r
где	K'R=dRjdV к.п.
С повышением степени кавитации при постоянном давлении
на входе и при 7?BbiX=const значение коэффициента Кц для кави-
тирующего сопла сначала остается постоянным, затем уменьшает-
ся. Расход жидкости остается неизменным. Частота собственных
колебаний и, в первом приближении, резонансная частота системы
с увеличением степени кавитации вначале остается неизменной,
затем уменьшается. При увеличении степени кавитации путем
229-
уменьшения сопротивления выходного участка канала коэффи-
циент демпфирования системы уменьшается, затем начинает воз-
растать. Аналогичным образом изменяется величина резонансного
максимума.
При изменении только уровня давлений перед кавитирующим
элементом коэффициент демпфирования системы остается неизмен-
ным. Величина резонансного максимума системы мало зависит
от уровня давлений на входе. Частота собственных колебаний сис-
темы с увеличением входного давления возрастает прямо пропор-
ционально расходу жидкости.
Передаточные функции гидравлического канала получены для
случая, когда коэффициент сопротивления канала, расположенно-
го за кавитационной полостью, не зависит от ее размеров. В ряде
случаев коэффициент сопротивления этого участка изменяете#
в зависимости от длины кавитационной полости, т. е. от степени
кавитации жидкости. Характеристическое уравнение системы для
этого случая имеет вид
Vz s2-4-TnPs + [ Ро~Ра Кр + 0,5Кк 1=0,.	(4.11)
где Kr —	-Кы._ коэффициент наклона зависимости Y =
ВЫХ	/?ВЫХ
=/(V'K.„). Знак минус перед коэффициентом Кпт соответствует
случаю, когда коэффициент сопротивления выходного участка е
увеличением размеров кавитационной полости уменьшается.
ПрИ	2?C~~'Z >	(4-12>
система становится неустойчивой. При этом в реальных системах
возникают автоколебания параметров потока за кавитационной
полостью (кавитационные автоколебания).
4.4.	Свойства ЖРД как объекта
управления при .глубоком дросселировании
4.4.1.	Статические характеристики ЖРД закрытой схемы
при различных законах управления. Расчетные статические харак-
теристики двигателя с окислительным и восстановительным газоге-
нераторами приведены на рис. 4.19—4.21. В целях сравнимости
полученных результатов расчеты выполнены без учета таких фак-
торов, как неполнота сгорания топлива, утечки топлива в газовод
и т. д. В связи с этим приведенные характеристики соответствуют
реально возможным при 3—5-кратном уменьшении тяги двигателя.
При более глубоком дросселировании они отражают только тенден-
цию .изменения параметров двигателя. В качестве примера
рассмотрен двигатель, использующий компоненты топлива
N2O4 и НДМГ.
Статические характеристики ЖРД закрытой схемы для случая
дросселирования двигателя при Z?G=const, k^.=const путем увели-
230
Рис. 4.19. Дроссельные характеристики ЖРД закрытой схемы, при kG= const,
Ьтт—const:
	с восстановительным генератором;-----с окислительным генератором
Рис. 4.20. Дроссельные характеристики ЖРД закрытой схемы при ftG = const;
£rr=var:
*--------- с окислительным генератором;-----с восстановительным генератором
чения сопротивления гидромагистралей показаны на рис. 4.19.
Основными закономерностями протекания статических характери-
стик двигателя при такой схеме управления являются изменение
мощности ТНА NT и давления в газогенераторе ргг почти пропорци-
онально изменению тяги двигателя, значительное уменьшение час-
тоты вращения п ротора ТНА и повышение эффективности управ-
ляющих органов Дрр/Арл при уменьшении тяги двигателя. Здесь
Арр — перепад давлений на регулирующем органе; Дрл — перепад
давлений на всей линии питания. Характеристики двигателей в слу-
чае дросселирования при &G=const, &rr=var путем увеличения
231.
Рис. 4.21. Дроссельные характеристики ЖРД закрытой схемы с восстановитель-
ным генератором при kG=var:
а~РК.С=^^р.Т.ГТ^:	РК.с"=Л^?р.О.К.с)
сопротивления линии подачи компонента с меньшим расходом
в генератор приведены на рис. 4.20. Малое влияние коэффициента
Ап, на температуру газов в восстановительном генераторе, рабо-
тающем на топливе ЫгС^+НДМГ, не позволяет реализовать в этом
двигателе закон управления £c=const, Arr=var, Go.Tr—f(t). В дви-
гателе с окислительным генератором уменьшение тяги в случае
рассматриваемого закона управления сопровождается резким
падением мощности и частоты вращения ротора ТНА. Давление
за насосами рн и в генераторе изменяется в большей степени, чем
давление в камере сгорания рк.с. Дросселирование двигателя соп-
ровождается уменьшением перепада давлений на исполнительных
органах. Эффективность исполнительных органов изменяется
в узких пределах. Подобное протекание характеристик двигателя
затрудняет обеспечение работы генератора на глубоких дроссель-
ных режимах.
Определенный интерес представляет случай дросселирования
двигателя при переменном значении соотношения расходов компо-
нентов двигателя, когда улучшаются условия охлаждения камеры
сгорания на глубоких дроссельных режимах. Знание закономерно-
стей изменения параметров двигателя при переменном значении
соотношения расходов компонентов двигателя (kG=var) необходи-
мо при анализе аварийных ситуаций.
В двигателе с восстановительным газогенератором возможны
два случая изменения режима при переменном значении kG. Это —
дросселирование двигателя либо путем увеличения сопротивления
линии горючего газогенератора, либо путем увеличения сопротив-
ления линии окислителя камеры сгорания. Статические характери-
стики двигателя для этих случаев приведены на рис. 4.21.
232
Дросселирование дви-
гателя путем увеличения
сопротивления линии го-
рючего сопровождается
повышением величины
kG и резким уменьшением
частоты вращения ротора
ТНА и перепада давлений
на турбине лт- Увеличение
сопротивления линии оки-
слителя сопровождается
уменьшением величины
kG; значения лт и п воз-
растают. Подобное проте-
Рис. 4.22. Структурная схема управления ЖРД
открытой схемы
кание характеристик двигателя может привести к недопустимому
нагреву компонентов в насосе окислителя и затруднить обеспечение
устойчивости внутридвигательной системы стабилизации давления
в камере сгорания путем изменения величины сопротивления ли-
нии окислителя камеры сгорания. Для двигателя с окислительным
газогенератором изменение давления в камере сгорания в противо-
фазе с управляющим сигналом наблюдается как при изменении
сопротивления линии горючего камеры сгорания, так и при измене-
нии сопротивления линии окислителя газогенератора.
4.4.2.	Статические характеристики ЖРД открытой схемы.
Рассматриваемые ниже варианты схем управления ЖРД откры-
той схемы могут быть получены включением соответствующих ре-
гуляторов, показанных на рис. 4.22.
В первой схеме управления изменение режима работы двигате-
ля (изменение тяги или, что то же самое, давления в камере сгора-
ния) осуществляется путем изменения сопротивления линии пода-
чи окислителя в газогенератор [fo,rr=f (О] с обеспечением /гп,=
=const стабилизатором Лгг. Частота вращения ротора ТНА при
таком законе управления двигателем уменьшается при трехкрат-
ном уменьшении тяги двигателя в два раза (рис. 4.23), расход ком-
понентов топлива в газогенератор бгг и давление в нем — в 10—
12 раз. Подобные статические характеристики будут иметь двигате-
ли с системами регулирования давления в камере сгорания, давле-
ния перед форсунками камеры сгорания или газогенератора, расхо-
да компонентов в газогенератор и расхода окислителя в камеру
сгорания в случае, если тяга двигателя изменяется перенастройкой
регулятора.
Во второй схеме управления 7?р.0.гг-*-Др0.к.с; Fo,vc—f(t) измене-
ние тяги двигателя осуществляется изменением площади мерной
шайбы регулятора расхода окислителя камеры сгорания Fo_v.c-
Регулятор поддерживает перепад давлений на мерной шайбе
(Аро.к.с), изменяя расход окислителя в газогенератор. Статические
характеристики двигателя в этом случае аналогичны рассмотрен-
ным выше. Однако вследствие дополнительного дросселирования
233
Рис. 4.23. Дроссельные характеристики ЖРД открытой схемы при Ac=iconst;
ferr=const:
?р.О.ГГ^	^О.К.С = МР ^р.О.ГГ^^^О.К.С»	' ^р.О.ГГ^^И.О.
^О.К.С = ^^’ ^7р.Н.О->’ЛрО.К.С
гидромагистралей камеры сгорания и большего снижения к. п. д.
турбины и насосов, располагаемую мощность и расход компонен-
тов в газогенератор при трехкратном уменьшении тяги двигателя
необходимо уменьшать только в 6—8 раз. При этом частота враще-
ния ротора ТНА изменяется меньше, чем в случае схемы управле-
ния Fp.o.rr=f(t)  Перенос мерной шайбы в магистраль за насосом
окислителя (Ан.о) практически не изменяет статических характери-
стик двигателя.
В третьей схеме управления Fva,.o-+Fo.k.c, Fо.к.с=f(0> когда
мерная шайба и исполнительный орган регулятора расположены
на линии подачи окислителя в камеру сгорания, расход компонен-
тов в газогенератор и мощность ТНА изменяются пропорционально
отклонению тяги двигателя от расчетного значения. Частота враще-
ния ТНА при уменьшении тяги двигателя в 3 раза уменьшается все-
го на 20%; при этом эффективность исполнительных органов уве-
личивается. Аналогичные статические характеристики будет иметь
двигатель с системой регулирования давления в камере сгорания,
воздействующей на исполнительный орган FH.O. Отношение расхода
компонентов через газогенератор к расходу компонентов через дви-
гатель, характеризующее эффективность использования газогенера-
торного газа (ОГг/Сдв) в рассмотренных схемах управления пока-
зывает рис. 4.24. Теоретически наибольшей эффективностью
использования генераторного газа на глубоких дроссельных режи-
мах обладает двигатель, тяга которого уменьшается только путем
увеличения сопротивления линии питания газогенератора. Однако
234
чрезмерное уменьшение расхода компонентов и давления в газоге-
нераторе затрудняет обеспечение его устойчивой работы.
4.4.3.	Изменение коэффициентов усиления и постоянных време-
ни. Зависимость величин коэффициента самовыравнивания двига-
теля рп, характеризующего его статическую устойчивость, коэффи-
циента усиления двигателя Кав и постоянной времени ТНА хп
от тяги для ЖРД закрытой схемы показаны на рис. 4.25.
При существующих мощностных и напорных характеристиках
ТНА коэффициент самовыравнивания при трехкратном уменьшении
давления в камере сгорания изменяется в узких пределах; постоян-
ная времени ТНА с уменьшением тяги двигателя возрастает. Наи-
более сильно хп возрастает при управлении двигателем путем изме-
нения удельной мощности турбины и байпасирования газа в обход
турбины. Постоянная времени ТНА возрастает в этом случае про-
порционально уменьшению тяги двигателя. Отмеченный характер
изменения постоянной времени ТНА повышает инерционность
ЖРД по каналу управления тягой на глубоких дроссельных режи-
мах.
Рис. 4.24. Зависимость относительного расхода топлива через турбину ТНА
ЖРД открытой схемы от тяги:
? ^р.Н.О=АО- 2 ^7р.О.ГГ->Л^’н.О’ ^Н.О—АО-	Гр.О.ГГ^АРо.К.С, ^О.К.С=АО: ^—•fp.o.rr"=/(0
Рис. 4.25. Изменение коэффициента усиления и коэффициента самовыравнивания
двигателя и постоянной времени ТНА с изменением тяги ЖРД закрытой схемы:
с восстановительным газогенератором; —окислительным газогенератором;
«&— «const, *rroC°nst; O-*G-const, fcrr«=var; Д—ft^=var, Arr=const
235
Рис. 4.26. Изменение коэффициентов усиления
и постоянных времени с изменением тяги ЖРД
открытой схемы:
Дк.С=-^)’ ^Р-О.ГГ ^Аэ.К.С»	fP.o.rr=AO.
---^р.н.о=/<Р
Коэффициенты усиле-
ния двигателя Кдв/7окс =
 ^Рк.с/^^'с.к.с И Т. Д. С
уменьшением тяги увели-
чиваются для всех рас-
смотренных схем управле-
ния. Увеличение коэффи-
циентов усиления двига-
теля по площади проход-
ного сечения исполнитель-
ных органов с уменьшени-
ем тяги двигателя при
kG=const, krr= const
обусловлено в основном
повышением эффективно-
сти собственно исполни-
тельных органов.
В случае уменьшения
тяги двигателя путем
дросселирования линии
подачи компонента с
меньшим расходом в га-
зогенератор или байпаси-
рования турбины увели-
чение коэффициента уси-
ления ЖРД закрытой схе-
мы обусловлено в основ-
ном повышением коэффи-
циента влияния перепада
давлений на турбине на ее
адиабатическую работу.
Рассмотренная закономерность изменения коэффициентов уси-
ления ЖРД закрытой схемы в системе управления тягой указывает
на предпочтительность внутридвигательной системы регулирования
как обеспечивающей стабилизацию коэффициента усиления двига-
теля по управляющему воздействию Л<р в приемлемых пределах.
Наиболее полно стабилизация Л'<р осуществляется при законе
управления krr=const, kG=const с регулятором постоянного пере-
пада давлений на исполнительном органе.
Характер изменения коэффициентов усиления и постоянной вре-
мени при дросселировании ЖРД открытой схемы (рис. 4.26) оста-
ется таким же, как и при дросселировании ЖРД закрытой схемы:
Перепад давлений на регулирующих органах с уменьшением тяги
двигателя сначала возрастает, затем резко падает (см. рис. 4.23).
Эффективность исполнительных органов (Арр/Лрл) при дроссели-
ровании двигателя резко возрастает. Это способствует увеличению
коэффициента усиления двигателя по управляющему воздействию.
236
Приведенный анализ показывает, что коэффициент усиления?
ЖРД открытой схемы по управляющему сигналу (изменению пло-
щади проходного сечения исполнительного органа) изменяется так-
же в широких пределах. Для сохранения коэффициента усиления
двигателя в требуемых для системы управления изделием преде-
лах необходима внутридвигательная система стабилизации режи-
ма двигателя.
4.5.	Динамика регулирования тяги
в широких пределах
4.5.1.	Особенности переходных процессов ЖРД. ЖРД с
турбонасосной системой подачи обладают существенно меньшей
скоростью изменения тяги (быстродействием), чем ЖРД с вытес-
нительной системой подачи. Быстродействие этих двигателей огра-
ничивается инерционностью ТНА, кавитационными свойствами
насосов и свойствами системы регулирования.
ЖРД открытой схемы
Наиболее инерционным является ЖРД открытой схемы, быст-
родействие которого при ограниченном диапазоне изменения тяги
можно повысить применёнием соответствующих законов управле-
ния и систем регулирования.
Системы регулирования этих ЖРД можно разбить на следую-
щие группы. Наиболее простые из них — системы регулирования,
поддерживающие заданные расходы компонентов в газогенератор
или давления перед форсунками газогенератора. Главная обратная
связь этих систем регулирования не охватывает инерционный
узел — ТНА, и наличие системы регулирования практически
не повышает быстродействия управления тягой двигателя и не ста-
билизирует коэффициента усиления двигателя по управляющему
сигналу с борта ракеты.
Системы регулирования, поддерживающие давление в камере
сгорания или перед форсунками камеры сгорания, а также расход
компонентов в камеру сгорания, обладают лучшими динамически-
ми характеристиками. Однако при изменении тяги в широких пре-
делах длительность перехода двигателя на новый режим ?пер (быст-
родействие двигателя) в основном определяется инерционностью
ТНА. Переходные процессы ЖРД открытой схемы, показывающие
влияние схемы регулирования, приведены на рис. 4.27. Повысить
быстродействие системы регулирования этого типа можно примене-
нием регуляторов расхода, поддерживающих постоянный перепад
давлений на переменном по режиму работы сопротивлении в одной
из линий питания камеры сгорания (кривые 4). В подобной систе-
ме регулирования на начальном этапе переходного процесса наблю-
дается резкое изменение Давления в камере сгорания, обусловлен-
ное изменением сопротивлений линий питания камеры сгорания при
практически постоянном значении частоты вращения ТНА. Даль-
нейшее повышение или уменьшение тяги определяется изменением
237
Рис. 4.27. Переходные процессы по тяге
ЖРД открытой схемы:
1	^р.О.ГГ~*йРо.К.с:
ft,p.o.rr->pH.oi	^Гр.о.гг-*’л^к.с> 4~ ^7p.O.K.C->iA>.KC
частоты вращения ТНА.
Системы регулирования,
поддерживающие давление в
камере сгорания изменени-
ем сопротивления линий пи-
тания камеры сгорания за
насосом, обладают примерно
такими же свойствами.
Наконец, возможна сис-
тема регулирования, либо
поддерживающая давление
в камере сгорания путем из-
менения сопротивления ли-
нии питания камеры при по-
стоянной частоте вращения
ТНА, либо поддерживающая
давление за одним из насосов
изменением расхода компо-
нентов в газогенератор.
Режим работы ТНА в этой схеме може^г поддерживаться регуля-
тором давления за насосом окислителя, а температура газов в газо-
генераторе — стабилизатором соотношения расходов компонентов.
Изменение тяги двигателя осуществляется при таких схемах дрос-
селированием или отключением отдельных камер сгорания.
Для повышения точности регулирования тяги возможна установка
регуляторов на линиях подачи компонентов в камеру сгорания.
Частота вращения ТНА в подобной схеме управления изменяется
в соответствии с изменением напора насоса окислителя в зависи-
мости от расхода, что может привести к снижению быстродействия
двигателя. Однако сохранение давления за насосом неизменным
может обеспечить достаточную точность регулирования тяги без
дополнительных регуляторов на линиях подачи компонентов
в камеру сгорания.
Переходные процессы ЖРД открытой схемы с регулятором дав-
ления компонентов за насосом окислителя и стабилизатором соот-
ношения компонентов топлива в газогенераторе приведены
на рис. 4.28.
При наличии быстродействующих регуляторов на линиях камеры сгорания
время десятикратного изменения тяги составляет около 0,3 с. Возможное быст-
родействие такого двигателя с пологими напорными характеристиками ТНА,
в схеме которого имеются только регуляторы режима ТНА, а режим работы
камеры сгорания изменяется дросселями, при двадцатикратном изменении тяги
составляет 0,1—0,2 с. При наличии максимума напорных характеристик время
изменения тяги возрастает до 0,5—0,6 с.
ЖРД закрытой схемы
Схемы систем регулирования ЖРД закрытой схемы с восста-
новительным газогенератором, обеспечивающих 3—5-кратное изме-
нение тяги, показаны на рис. 4.29. Здесь поддержание заданных
238
Рис. 4.28. Переходные процессы ЖРД открытой схемы при n=const:
--------система с регулятором расхода иа линиях питания камеры сгорания;-----------без
регуляторов расхода, напорные характеристики без максимумов; — • —без регуляторов
расхода, напорные характеристики с максимумами
Рис. 4.29. Схемы регулирования ЖРД закрытой схемы с широким диапазоном
изменения тяги
239-
Рис. 4.30. Переходные процессы ЖРД закрытой схемы с восстановительным га-
зогенератором при Fp.o.„.c=f(t)i (k„)cv—0,05; Тр.о.Гг='Гр.г.гг= 0,09 с:
•--------с учетом кавитации; — — — без учета кавитации
значений соотношения расходов компонентов в газогенераторе
и двигателе осуществляется с помощью соответствующих регулято-
ров (регуляторы krT и kc,).
Переходные процессы для ЖРД закрытой схемы с восстанови-
тельным газогенератором в случае изменения сопротивления линии
подачи окислителя в камеру сгорания при наличии регулятора
&G=const, воздействующего на линию горючего, и регулятора
А>гг=const, воздействующего на линию окислителя, питающих газо-
генератор (см. рис. 4.29, а), приведены на рис. 4.30 как при повы-
шенных значениях давлений компонентов на входе в двигатель,
исключающих возможность кавитации жидкости на входе в насос,
так и при нормальных значениях давлений на входе в двигатель,
при которых возникают кавитационные явления. Ограниченное
240
быстродействие регуляторов может приводить к уменьшению
в переходном процессе величины /ггг и увеличению kG. При этом
возможен срыв работы газогенератора. Приведенные переходные
процессы, рассчитанные при (&гг)ср=0,05, показывают, что двига-
тель с рассматриваемой системой управления и постоянными вре-
мени регуляторов <tp=0,09 с может в течение длительного времени
работать в автоколебательном режиме при промежуточном значе-
нии тяги двигателя. Влияние (/гГг)ср на время переходных процес-
сов двигателя показано на рис. 4.31.
При дросселировании ЖРД закрытой схемы по рассматривае-
мой схеме управления наблюдается увеличение параметров лт и krr
на начальном этапе переходного процесса (рис. 4.32). Наряду
с увеличением инерционности ТНА на режимах глубокого дроссе-
лирования это способствует увеличению времени перехода двига-
теля ^пер на новый режим.
Расчеты показывают, что протекание переходных процессов
ЖРД закрытой схемы по тяге определяется в основном характе-
ром изменения удельной мощности турбины (параметров \R7'rr
и лт). Варьируя скоростью изменения расходов жидких компонен-
тов топлива в камеру сгорания и газогенератор возможно в’широ-
ких пределах изменять время и характер переходных процессов
двигателя. Достигнуть этого можно выбором места и скорости изме-
нения управляющего воздействия и быстродействия регуляторов
krr и kG. Быстродействие ЖРД закрытой схемы большее, когда
перенастройка двигателя осуществляется изменением сопротивле-
ний линий питания газогенератора (см. рис. 4.29). Это объясняется
увеличением удельной мощности турбины при форсировании дви-
гателя и уменьшением ее при его дросселировании. Получению
максимальной скорости форсирования двигателя с восстановитель-
ным газогенератором при определенных управляющих воздействи-
ях препятствует срыв работы газогенератора вследствие резкого
повышения давления в нем и заметной динамической ошибки регу-
Рис. 4.31. Влияние параметров двигателя и регуляторов на длительность трех-
кратного изменения тяги ЖРД закрытой схемы
24 1
Рис. 4.32. Переходные процессы ЖРД
закрытой схемы при трехкратном
уменьшении тяги при Fv.0.v.c = f(t);
Тр.о.гг==:Тр.г-гг===0,09 С’
-------с учетом кавитации;----------без уче-
та кавитации
лятора соотношения расходов
компонентов в газогенераторе. Та-
кое протекание характеристик
двигателя указывает на необходи-
мость создания быстродействую-
щих стабилизаторов соотношения
компонентов двигателя. Зависи-
мость длительности переходных
процессов (Аер) от быстродейст-
вия регуляторов, скорости управ-
ляющего воздействия /УЩ) и зна-
чения (Лгг)Ср показывает рис.
4.31. Длительность переходного
процесса ЖРД закрытой схемы с
восстановительным генератором и
быстродействующими регулято-
рами (по рк.с) при 20-кратном
увеличении тяги составляет
«0,25 с. Первый участок нарас-
тания тяги в двигателе с быстро-
действующими регуляторами
обеспечивается располагаемыми
перепадами на исполнительных
органах. Второй участок нараста-
ния тяги — повышением частоты
вращения ТНА и давления за на-
сосами. Дальнейшего сокращения
времени нарастания тяги ЖРД
закрытой схемы можно достиг-
нуть применением такой схемы
управления, когда частота вра-
щения ТНА при изменении режи-
неизменной. Это возможно
практически
ма двигателя остается
обеспечить путем большего сокращения подачи жидкого компонен-
та в камеру сгорания, чем в газогенератор. Изменение соотноше-
ния расходов компонентов в камере сгорания при такой схеме уп-
равления приведено в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Дк.с	1,0	0,9	0,8	0,7	0,55
ka	1,0	0,94	0,88	0,81	0,67
В ЖРД закрытой схемы с окислительным газогенератором
получению максимальной скорости увеличения тяги препятствует
заброс температуры газов в газогенераторе. Переходные процессы
двигателя с окислительным газогенератором при трехкратном уве-
242
личении тяги приведены на рис. 4.33. Одним из важных факторов,
определяющих работоспособность двигателя на переходных режи-
мах, являются провалы входных давлений и кавитационные
срывы насосов при быстром изменении управляющих воздействий
и тяги двигателя. Значения провалов давлений на входе в насосы
при увеличении тяги ЖРД с окислительным газогенератором путем
увеличения подачи горючего в газогенератор приведены в табл. 4.3.
Таблица 4.3
^Рвх/Рвх	0,3	0,4	0,5	0,75	1,0	1,5
Д^упр» с	0,5	0,38	0,3	0,22	0,17	0,14
Увеличение времени перенастройки регулятора с 0,3 до 1,0 с
дает заметное снижение провалов входных давлений. Дальнейшее
увеличение времени перенастройки регулятора оказывается мало-
эффективным.
Очень важным является минимально возможный режим работы
двигателя (тяга конечной ступени). Этот режим, т. е. тягу конеч-
ной ступени, для ЖРД с восстановительным газогенератором
можно получить путем полного прекращения подачи окислителя
в камеру сгорания и дросселирования газогенератора до режима,
обеспечивающего тягу конечной ступени. В двигателе, работающем
на топливе НДМТ + Ь^Си и который в дальнейшем рассматривает-
ся в качестве примера, для обеспечения тяги, равной 10%
от ее номинального значения, режим работы газогенератора необхо-
димо уменьшить на 50%.
В соответствии с рассмотренными выше закономерностями
протекания характеристик ЖРД закрытой схемы с восстанови-
тельным газогенератором дросселирование двигателя при сущест-
венном уменьшении величины kG сопровождается повышением час-
тоты вращения ротора ТНА, уменьшением к. п. д. насосов и повы-
шенным подогревом компонентов в насосах qH. В предельном слу-
чае, когда отсутствуют утечки компонентов топлива в затурбинную
полость и полнота сгорания топлива остается неизменной, расчет-
ное значение частоты вращения ротора ТНА на режиме конечной
ступени тяги, равной 0.1R*, может достигать 1,3/г*. При этом резко
уменьшается к. п. д. насоса и возрастает подогрев топлива и соб-
ственно насоса и повышается температура компонентов на входе
в насосы. Становится затруднительным обеспечить бескавитацион-
ную работу насосов, работу уплотнений и регуляторов.
Возможность уменьшения частоты вращения ротора ТНА
на режиме конечной ступени тяги различными способами показы-
вает рис. 4.34. Байпасирование насоса окислителя (кривая /) или
горючего мало уменьшает частоту вращения ротора ТНА вследст-
вие того, что одновременно с увеличением расхода возрастает
к. п. д. насоса. Кавитационные свойства насосов при этом резко
ухудшаются, так как на вход насоса поступает подогретый компо-
243
с регулятором Gr rr=const;-----с регуляторами ^G=const, £rr=const, /рпвр=0.08 е
Рис. 4.34. Зависимость частоты вращения ТНА ЖРД закрытой схемы от пара-
метров двигателя:
l-n-KG^Y. 2-n~f(kay. 3-n-fiF^
нент. Более эффективным является байпасирование турбины (кри-
вая <?).
Переход двигателя с рассмотренной схемой управления
на режим конечной ступени тяги может сопровождаться забросами
параметров лт и /ггг и повышением в переходных режимах подогре-
ва компонентов в насосах (рис. 4.35), что обусловлено опережаю-
щим закрытием отсечного клапана на линии подачи окислителя
в камеру сгорания. Уменьшение скорости перекладки отсечного
клапана понижает скорость спада тяги на начальном участке про-
цесса, однако общее время переходного процесса несколько сокра-
щается. В случае большой скорости закрытия отсечного клапана
двигатель длительное время работает при высокой частоте враще-
ния ротора ТНА и малом значении расхода через насос окислите-
ля. Возможны нагрев насоса, кавитационный срыв его работы
и самопроизвольный останов двигателя. Чрезмерное повышение
скорости закрытия отсечного клапана в соответствии с закономер-
ностями протекания статических характеристик двигателя приво-
дит к провалу частоты вращения ротора ТНА ниже установившего-
ся ее значения на режиме конечной ступени тяги. Это также
является опасным. Более благоприятно протекают переходные про-
цессы, если требуемый режим конечной ступени обеспечивается
байпасированием газов в обход турбины (/’б.г).
244
4.5.2.	Быстродействие й устойчивость ЖРД на дроссельных
режимах. Быстродействие ЖРД закрытой схемы остается доста-
точно высоким и на режимах малой тяги. Частотные характеристи-
ки ЖРД открытой схемы в режиме управления тягой при различ-
ных схемах управления приведены на рис. 4.36.
Вследствие увеличения постоянной времени ТНА диапазон про-
пускаемых двигателем частот управляющего сигнала на дроссель-
ных режимах существенно сужается. Характерной для законов
управления
Л,.О ' ^Ро.К.С) До.К.С f Ю» Др.О.ГГ * А/?о.к.с> Л,.К.С \f (О
является зависимость диапазона пропускаемых двигателем частот
управляющего сигнала от амплитуды. При малых амплитудах
входного сигнала, когда изменение режима двигателя обеспечива-
ется изменением перепадов на исполнительных органах, диапазон
частот, пропускаемых двигателем, ограничивается инерцией жидко-
сти в линиях питания, уменьшающимся быстродействием регулято-
ров и кавитационными свойствами насосов. При больших амплиту-
дах управляющего сигнала быстродействие двигателя
ограничивается инерционностью ТНА. Повышению быстродействия
Рис. 4.36. Частотные характеристики ЖРД открытой схемы
W,(/w)=pK.c(/w)/F упр(/<о):
-------<С:--------°>Ч.с: Л 2-Fp.o.rr=/<Z): 3-д₽о.к.с ==/«). /?р.о.гг-д₽о.к.с;
5—(рК с)зад=/(<)> Fp.o.rr(Рк.с)зад’ ^р.н.о^АО
245
Рис. 4.37. Зависимость
критического значения
коэффициента усиления
системы регулирования
(Кс) кр и регулятора
(Жр)кр от тяги ЖРД отк-
рытой схемы при Тр=
=0,03 с, хтг=0,01 с:
-------без учета трения в
регуляторе; О—с учетом
трения
САР на дроссельных режимах препятствуют ограниченные запасы
устойчивости.
Запасы устойчивости как собственно двигателя, так и его сис-
темы управления с уменьшением режима работы уменьшаются.
Это объясняется увеличением времени задержки воспламенения
топлива т3, инерционностью жидкости в линиях питания, уменьше-
нием перестановочных усилий в элементах регулятора и т. д. Кро-
ме того с уменьшением режима двигателя возрастает его коэффи-
циент усиления, а уменьшение коэффициента усиления регулятора,
обеспечивающее постоянный запас устойчивости системы, ограни-
чено требованием обеспечения точности регулирования основных
параметров двигателя. Для отдельных регуляторов давления пря-
мого действия нечувствительность, определяемая силами сухого
трения, увеличивается с 0,5% на номинальном режиме до 4—5%
на режиме 0,2—0,3R*, т. е. почти в 10 раз. Избежать этого можно
использованием регуляторов расхода, поддерживающих постоян-
ный перепад давлений на переменном по режиму работы сечении,
определяющим расход одного из компонентов в камеру сгорания.
Уравнение ЖРД открытой схемы при оценке устойчивости сис-
темы регулирования давления в камере сгорания можно предста-
вить в виде
(V +1) А.с=К№ е-^,
ГПР _. л/п2 1 . rf  1 Ргг/Рк.о	1 .
3O7VT Qn	1—0,5дк.с/Дн.о Qn
^з==Дф.гг4- Тз.гг + Д.к.с 4" Др.к.с>
где тПр — время пребывания газов.
Характер изменения критического значения коэффициента уси-
ления системы регулирования давления в камере сгорания и само-
го регулятора по режиму работы двигателя без учета инерции жид-
кости в магистралях системы подачи и трения в регуляторе пока-
зан на рис. 4.37.
,246
Запасы устойчивости ЖРД закрытой схемы проще оценить
с помощью характеристик избыточной мощности ТНА в функции
частоты вращения вала. Коэффициенты влияния частоты вращения
вала ТНА на избыточную мощность и определяющие ее параметры
в статических условиях для двигателя с окислительным генерато-
ром приведены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Режим	Схема управления	Амплитуда t =x^n							
		Ap	ag О.ГГ	Aa Г-ГГ	Ло * r.K.C		Л/?7гг	Aq wH.r	ЛдЛ'
	Без регулятора	—	1,68	1,6	0,806	0,24	—0,1	—	-1,28
* Рк.С	Grr=0	—	2,36	0,21	0,66	-0,3	-2,2	—	-4,04
	£rr=const	1,3	1,32	1,25	1,09	0,06	—0,07	1,2	—2,08
	£rr=var	1,64	2,28	0,96	1,026	-0,1	-1,3	1,0	-2,7
0,33/к.с	£rr=var Grr=0	1,56	2,65	0,014	0,92	-0,3	-2,5	1,9	-3,9
Запас статической устойчивости нерегулируемого ЖРД закры-
той схемы с окислительным газогенератором (отрицательное зна-
чение избыточной мощности ТНА — Ад^) с уменьшением тяги уве-
личивается. Резко увеличивает запас статической устойчивости это-
го двигателя стабилизация расхода горючего в газогенератор.
Запас устойчивости двигателя с регулятором расхода горючего
в газогенератор при уменьшении режима мало изменяется. Стаби-
лизация расхода окислителя в газогенератор делает двигатель ста-
тически неустойчивым. Отмеченные особенности статических
свойств двигателя объясняются тем, что коэффициент влияния
перепада давлений на турбине на избыточную мощность ТНА при
дросселировании двигателя уменьшается в случае &rr=const и воз-
растает при /err=var.
Повышение перепадов давлений в гидромагистралях в случае
дросселирования двигателя при 614,=const, kG=const приводит
к уменьшению влияния расходной характеристики турбины на рас-
ход компонентов через генератор; коэффициент влияния частоты
вращения турбины на перепад давлений на ней также уменьшает-
ся. Увеличение разницы перепадов давлений между линиями пода-
чи горючего и окислителя в генератор и стабилизация расхода
горючего в газогенератор повышают коэффициент отрицательной
обратной связи n->-RTrT и /г->лт —и запас устойчивости двигателя.
Для оценки динамической устойчивости ЖРД можно использо-
вать частотные характеристики избыточной мощности ТНА
и7дЛг(У<и)=АД7(уоз)/и(У«)	(4.13)
247
при вынужденных колебаниях частоты вращения ротора ТНА.
Избыточная мощность на валу ТНА в этом случае
A2V=7VT-jVH-7V7,	(4.14)
где Nj — мощность, необходимая для преодоления инерционной
нагрузки ротора.
Система регулирования или собственно двигатель будут нахо-
диться на границе устойчивости, если частотная характеристика
избыточной мощности ТНА проходит через начало координат.
Система неустойчива, если амплитудно-фазовая характеристика
избыточной мощности заходит в правую полуплоскость. Запас
устойчивости системы в этом случае можно оценить, используя
понятие степени устойчивости, под которой в данном случае пони-
мается минимальное значение модуля частотной характеристики
избыточной мощности или, что то же самое, минимальное значе-
ние коэффициента самовыравнивания двигателя.
Частотные характеристики ЖРД закрытой схемы с окислитель-
ным газогенератором по параметрам, характеризующим избыточ-
ную мощность ТНА, и избыточной мощности ТНА при независи-
мом изменении частоты вращения ротора показаны на рис. 4.38.
На номинальном режиме работы двигателя стабилизация рас-
хода горючего в газогенератор увеличивает отрицательное значе-
ние амплитуды колебаний избыточной мощности и уменьшает
фазовый сдвиг между частотой вращения ротора и избыточной
мощностью; запас устойчивости двигателя увеличивается. На режи-
мах малой тяги стабилизация расхода горючего в газогенератор
приводит к увеличению амплитуды колебаний избыточной мощно-
сти и фазового сдвига между частотой вращения и избыточной
мощностью. Этому способствует также отсутствие стабилизации
соотношения компонентов топлива в генераторе. Запас устойчивос-
ти двигателя уменьшается.
Стабилизация соотношения компонентов топлива в газогенера-
торе повышает запас устойчивости двигателя. Анализ показывает,
что целесообразной схемой управления ЖРД закрытой схемы
из условия обеспечения необходимых запасов устойчивости двига-
теля является схема, обеспечивающая постоянство величины
при изменении режима работы двигателя. На запас устойчивости
ЖРД открытой схемы небольшой мощности на режимах малой
тяги существенное влияние может оказать сжимаемость воздуха
или газов продувки, отсеченных жидкостью в глухих полостях
линий питания газогенератора при их заполнении. При одном и том
же значении объема газожидкостной емкости ее постоянная вре-
мени возрастает с уменьшением расхода и давления жидкости,
т. е. с уменьшением размерности и тяги двигателя.
Одной из причин повышения постоянной времени емкости яв-
ляется выделение растворенных в жидкости газов. В зависимости
от форм емкости, в которой отсечен газ, или линии, ведущей к ней,
возможны различные схемы ее подсоединения к магистрали.
248
Рис. 4.38. Частотные характеристики ЖРД закрытой схемы по избыточной мощ-
ности ТНА и определяющим ее параметрам W(ia)=Xf(j<o)ln(ia>):
------без регуляторов;-----с регулятором Gr rr=const, &NT'=NT—NB
Рис. 4.39. Зависимость динамических свойств линии питания от схемы подключе-
ния емкости W(jG>)=po.Tr(j(i3)/Fo.rr(i<i>)
Рассмотрим схемы подключения емкости, податливость которой
Cv, к линии подачи окислителя в газогенератор (рис. 4.39). Линия,
ведущая к емкости, имеет незначительное по сравнению с основной
магистралью сопротивление. Гидравлическая масса жидкости Lc
в линии, ведущей к емкости, мала. В этом случае емкость можно
считать включенной последовательно между сопротивлениями
основной магистрали (схема 1). Передаточная функция линии
питания газогенератора в этом случае имеет вид
W (s)=G°Jr (s)=—*°-гг, ,	(4 15)
k Г0.гг(«)	V+1	k '
ГИС* If ______2 (Д/?о.гг ДРф.О.Гг) ^/’ф.о.гг в _ 2Су(Д/70оГГ —Дрф.о.гг)
ГДе /\ о,гг —1	1	'	—— “>	— .............. —	.
гг + ДРФ .о.гг	Go .гг ЬРо .ГГ
Частотные характеристики линии для случая Cv=0,0008,
Ap<j>.o.rr=l,0 МПа, Дрогг=4,0 МПа, Со.гг=0,09 кг/с приведены
на рис. 4.39.
249
Второй случай — сопротивление линии, ведущей к емкости
(Ide), соизмеримо с сопротивлением основной линии питания
(схема 2); гидравлическая масса Lc мала. Передаточная функция
линии питания в этом случае имеет вид
УУ ($) — °о-гг (s) _
б'о.гг (Л)
_____________^о.гг (R.cCyS Ч~ 1)__________ 16)
1	(ЛДо.ГГ дДф.о.гг) ДДф.О.ГГ
ЯлС'бщ +	Q ---------------- 5 + 1
L	'-'о.гг^жо.гг	J
где Id c = ^pd clitic— коэффициент сопротивления линии, веду-
щей к емкости при ламинарном течении жидкости; Дрл с, Сл с —
потери давлений и расход жидкости в линии, ведущей к емкости.
Частотные характеристики линии при указанных выше парамет-
рах и Ел с=2000 показаны на рис. 4.39.
Третий случай (схема 5) — сопротивление и инерция жидкости
линии, ведущей к емкости, значительны. Тогда передаточная функ-
ция системы имеет вид
уу (S) =
б^о.гг G)
__	^o.rrdcCys2 + Rncs + 1)_________ (4 17)
_ Г__________________________________________________2С[/ (Д/’о .гг ‘ ДДф.0 .гг ) ДДф.о.ГГ 1
LcCyS2 + ЛлСсу +----------д—д---------------L + 1
L	^o.rr^jro.rr	J
Таким образом, при малых значениях параметров Дл с и Lc
динамика основной линии описывается уравнением апериодическо-
го звена. При подключении емкости через линию со значительным
сопротивлением и малым значением гидравлической массы основ-
ная линия представляет собой фильтр низких частот. В области
высоких частот характеристики линии приближаются к характери-
стикам линии без тупиковой емкости. При значительных величинах
параметров /?л с и Lc наблюдается дифференцирующий эффект
на высоких частотах входного сигнала. Соответствующим подбо-
ром параметров линии, ведущей к емкости, можно не только иск-
лючить ее отрицательное влияние на динамические свойства систе-
мы, но и использовать ее для коррекции динамических характери-
стик системы.
Анализ системы регулирования ЖРД открытой схемы с тягой
10 кН показывает, что последовательное включение емкости с по-
стоянной времени до 0,01 с уменьшает критическое значение коэф-
фициента усиления системы в два раза.
4.5.3.	Устойчивость системы подачи компонентов на режимах
малой тяги. Одной из причин появления автоколебаний парамет-
ров, ограничивающих степень дросселирования двигателя, являет-
ся неустойчивость работы центробежных насосов. При автономных
испытаниях насосов это явление, как правило, не наблюдается, так
как весь напор насоса скомпенсирован сопротивлением выходной
гидром агистр ал и.
250
Возможны следующие случаи неустойчивой работы системы:
колебательная неустойчивость при работе насоса на восходящей
ветви его характеристики, обусловленная положительным накло-
ном напорной характеристики, сжимаемостью и инерционностью
жидкости, заполняющей систему подачи; статическая неустойчи-
вость, обусловленная неустойчивостью процеса сжатия рабочего
тела в насосе (политропический помпаж); статическая неустойчи-
вость, вызванная взаимным влиянием характеристик насоса и сети.
Последний вид неустойчивости возможен при следующих вариан-
тах изменения этих характеристик.
1.	При возрастании сопротивления сети и повышении напорной
характеристики насоса, когда db.pn]dG>db.pll]dG>Q. В этом случае
с увеличением расхода напор, создаваемый насосом (работа актив-
ных сил), возрастает быстрее, чем сопротивление сети (работа сил
сопротивления), поэтому система подачи неустойчива.
2.	При падающем сопротивлении сети и возрастающем напоре
насоса, когда д&рл/дС<20', dhpH/dG>0. Падающая характеристи-
ка сети возможна в том случае, если с увеличением расхода резко
понижается температура и увеличивается плотность жидкости
перед сопротивлением. Сопротивление сети в линейном приближе-
нии
да=2О—/<со, ^=(^ж/о*о)(С/рж).
Падающая характеристика будет иметь место при /Сс>2, что
возможно при давлениях и температурах жидкости, близких к кри-
тическим, а также при вскипании жидкости в полости охлаждения.
3.	При падающих сопротивлении и напорной характеристике
насоса, когда
дЬрк/дО <дкрл]дО < 0.
Без учета сжимаемости жидкости во входной и выходной гидрома-
гистралях и транспортного запаздывания в изменении плотности
жидкости перед сосредоточенным сопротивлением система уравне-
ний, описывающих движение жидкости, имеет вид
(^+1)ён=-^Л--^рк.с+0,5ёж;
2Дрл 2Др.„
Л= —Лх+ —ДЛ;	(4.18)
Рн Рн
__ 2Дрвх q  Дзх^	<)^Рн ОН .	 д(>ж Он
Рвх Рвх di	dhGH ря	дОв рж
При оценке запаса устойчивости системы подачи величину комп-
лекса RT можно считать неизменной. При сверхкритическом пере-
паде давлений в сопле давление в камере сгорания в статических
условиях в случае, если один из расходов постоянен, будет
А.С=А =	Он,
1 тЛк.с
25Г
а изменение давления в камере в этом случае описывается уравне-
нием
(W+1)Pm=^k.cGh.
Характеристическое уравнение всей системы при принятых допуще-
ниях имеет вид
(Ук с +	Тк с) S2 + (с + tr + тк с --^-/<НТК с - 0,5/<0Тк CW
\	2Дрл /	\ 2Дрл	2Дрл	j
+ (1 + -^ +-^- /<к.с -	/<н - 0,5/<е)=0.
\ Дрл ' 2Дрл 2Дрл
При значениях параметров Дрвх и ^-вх, близких к нулю, полу-
чаем
*А.с«2+ К +*к.с -	~°>5/<Л.с) «+
+(1 + ^-/<к.с —0,5/<к.с О,5Ко-^- /<н)=0.	(4.19)
' 2Ддл	2Дрл /
Сопротивление выходной магистрали на границе апериодической
неустойчивости
Др __кРн (Кн - Кк.с)
Рл~ 2-Кк.с-К0
а сопротивление выходной магистрали на границе колебательной
неустойчивости определяется выражением
д __________Кн^Рн____
*Рл~ 2[(т£/тк.с)4-Ц-\-
Для несжимаемой жидкости запас устойчивости системы пода-
чи повышается с увеличением гидравлического сопротивления вход-
ной и выходной линий и коэффициента влияния расхода на проти-
водавление Кк.с- Статическая неустойчивость системы, обуслов-
ленная характером протекания напорной характеристики насоса
и сети, возможна лишь при значении /<к.с =0,25. При Кк.с^>
>0,25 в большинстве случаев возможна колебательная неустойчи-
вость. Малые значения коэффициента /<к.с характерны для линии
подачи водорода в водородно-кислородных ЖРД. Для случая сжи-
маемой жидкости характеристическое уравнение системы имеет
вид
_£не£н_ Vq
Дрн G
$2-|-
_____।_________________У(?жКн
ДРн(2Дрл + рЖк.с) 2Дрл + РггКк.с G
+ (1-О.б^е -0,5/<е--^2-/<н)=0.	(4.20)
\ 2Дрл	2Дрл 1
В отличие от вышерассмотренного случая область колебательной
неустойчивости системы при учете сжимаемости жидкости увели-
чивается по мере повышения сопротивления сети. По своим свойст-
252
Рис. 4.40. Области устойчивости системы
водородный насос — линия питания:
/—граница колебательной неустойчивости;
3—’Граница неустойчивости собственно насоса
2~границы апериодической неустойчивости;
вам водородные насосы, у которых температура жидкости на выхо-
де превышает критическое значение, будут ближе к центробежным
компрессорам. Кроме статической неустойчивости, обусловленной
взаимным влиянием характеристик сети и насоса, в них возможна
также статическая неустойчивость собственно насоса. Области
устойчивости системы водородный насос — линия питания при
Тир=0,01 с показаны на рис. 4.40.
Управление запуском
и остановом ЖРД
5.1.	Исключение опасных
динамических явлений
5.1.1.	Обратные токи компонентов. Одним из опасных
динамических явлений, возникающих при запуске ЖРД закрытой
схемы, являются обратные токи компонентов в линиях питания
газогенератора. Они сопровождаются обычно попаданием газогене-
раторного газа и второго компонента во внутренние полости фор-
сунок, что вызывает микровзрывы и может приводить к разруше-
ниям. На рис. 5.1 показан процесс запуска ЖРД закрытой схемы
с окислительным газогенератором, сопровождающийся кратковре-
менными обратными токами окислителя и горючего в гидромагист-
ралях газогенератора. Процесс был получен сначала путем матема-
тического моделирования на ЦВМ, а затем наблюдался на прак-
тике при огневых испытаниях натурных двигателей.
Из приведенных на рис. 5.1 графиков видно, что кратковре-
менные обратные токи окислителя и горючего (параметры GH.o
и Grr) возникают в момент вступления в работу газогенератора
и прекращаются по мере нарастания частоты вращения
ТНА и давлений за насосами. Анализ показывает, что превышение
уровня давления в газогенераторе над уровнем давления подачи
компонентов (рп>рн.о и ргг>Рд.н.г) может иметь место только при
значительных временах опережения поступления одного из компо-
нентов в газогенератор (/ф.о<7ф.г) • В этих условиях относительно
высокое давление в газогенераторе может поддерживаться некото-
рое время при отсутствии поступления новых порций топлива
вследствие интенсивного испарения и выгорания заранее накопив-
шейся массы опережающего компонента. Обстоятельствами, спо-
собствующими возникновению обратных токов, являются низкий
уровень начальной раскрутки ТНА к моменту вступления в работу
газогенератора (пнач<;0,1 п*) и повышенное гидравлическое соп-
ротивление на выходе газогенератора, препятствующее выбросу
из него опережающего компонента в жидком виде. Из этого анали-
за, естественно, вытекает, что для предотвращения данного явле-
ния необходимо тщательно согласовывать три фактора: время one-»
254
Рис. 5.1. Процесс запуска ЖРД с кратковременными обратными токами компо-
нентов:
окислителя (в интервале а—Ь)\ горючего (в интервале с—d)«. ПС, МО и МГ—команды на
включение стартера и открытие пусковых клапанов в магистралях окислителя и горючего;
ФКС, ФО, ФГ—моменты начала поступления жидких компонентов через форсунки камеры
сгорания и газогенератора
режения прихода первого компонента в газогенератор, мощность
стартера и пропускную способность турбины при работе на газо-
жидкостной смеси. Рекомендации по оптимальным количественным
соотношениям указанных факторов для каждого конкретного слу-
чая могут быть получены с помощью математического моделиро-
вания.
5.1.2.	Разнос ТНА. Характерной особенностью энергетического
баланса ЖРД с дожиганием парогаза за турбиной является воз-
можность возникновения на переходных режимах значительных
избытков располагаемой мощности турбины над мощностью, пот-
ребной для вращения насосов. Это может происходить при резких
повышениях приложенного к турбине перепада давлений, когда
газогенератор работает на достаточно высоком режиме, а камера
сгорания еще не вступила в работу или работает на сильно задрос-
255
iso
so
Рис.
да
да
о
селированном режиме. Появляющаяся в этих условиях избыточная
мощность турбины вызывает (при достаточной продолжительности
такого режима) чрезмерную раскрутку ротора и разнос ТНА.
На рис. 5.2 приведен типичный процесс запуска эксперимен-
тального двигателя закрытой схемы с восстановительным газогене-
ратором, сопровождающийся разносом ТНА. Разнос в этом пуске
был вызван слишком сильным дросселированием линии подачи окис-
лителя в камеру сгорания. Видно, что в интервале времени 0,56—
0,61 располагаемая степень расширения газа на турбине стт=
=Рт/Рк.с достигала значений 3—8, что привело при работающем
пиростартере (параметр рп.с) к забросу частоты вращения п
до 200% и давлений за насосами (рн.о) выше 500%. Последующее
падение всех параметров двигателя обусловлено снижением дав-
ления в газогенераторе рп., вызванным разрушением линий пита-
ния его топливом.
Для надежного предотвращения подобных явлений необходимо
или строго регламентировать величину и продолжительность заб-
росов параметра лт или проектировать турбину с небольшим избыт-
ком располагаемой мощности.
Задача относится к классу задач на отыскание оптимума,
поскольку слишком сильное снижение располагаемой или срабаты-
ваемой степени расширения газа на турбине неизбежно приводит
к затягиванию процесса запуска, а при неблагоприятных условиях
может вызвать и его отказ (см. подразд. 5.1.5). Проведение вариан-
тных расчетов на математической модели позволяет наиболее целе-
сообразным образом решить эту задачу.
5.1.3.	Забросы тяги. Опасные забросы давления в камерах сго-
рания ЖРД, сопровождающиеся их разрушением, могут возникать
в процессе запуска вследствие неправильной его организации,.,
в частности вследствие несогласованности динамических характе-
ристик двигателя и регулятора на режиме запуска. У ЖРД с выте--
256
сиятельной подачей топлива большие забросы давления в камерах
(перегрузки камер по давлению) возникают в тех случаях,
когда запуск организован «пушечным способом» и период задерж-
ки самовоспламенения топлива т3 значительно превышает время
заполнения предфорсуночной полости запаздывающим компонен-
том (Тз^Тпф.п) •
У двигателей с ТНА большие забросы тяги при запуске проис-
ходят обычно в тех случаях, когда регулятор режима является
нормально открытым, но недостаточно быстродействующим.
На рис. 5.3 приведены полученные на математической модели про-
цессы запуска ЖРД открытой схемы с астатическим регулятором
рк.с. Поскольку в силу свойств своей схемы такой регулятор начи-
нает закрываться только после того, как уровень давления в каме-
ре сгорания превысит номинальный (настроечный), а скорость его
прикрытия является весьма низкой (ограничена условиями устойчи-
вости регулирования), то при выходе на режим неизбежно возни-
кает значительный заброс тяги. Аналогичное явление наблюдается
и при применении регуляторов прямого действия, если их началь-
ное открытие является слишком большим, а быстродействие — не-
достаточно высоким. Одним из путей снижения забросов тяги
в таких случаях является оптимизация величины раскрытия про-
ходного сечения регулятора в начальном положении. Как видно
из рис. 5.3, после выполнения такой оптимизации забросы тяги
и других параметров уменьшились почти вдвое. Однако этим путем
не всегда удается достигнуть желательного эффекта в полной мере.
В таких случаях для ограничения забросов тяги применяются спе-
циальные средства: ограничители различных параметров; устрой-
ства, осуществляющие временную перенастройку регуляторов
на пониженный режим и т. п.
5.1.4.	Забросы температуры генераторного газа. Одним из фак-
торов, ограничивающих темп запуска ЖРД с турбонасосной пода-
чей топлива, являются забросы температуры генераторного газа.
У двигателей открытой схемы благодаря относительно малым
Рис. 5.3. Влияние раскрытия регулятора на заброс тяги при запуске ЖРД:
-------полное раскрытие регулятора;--------------оптимальное раскрытие регулятора (70% от *
полного)
9	524
257
расходам компонентов в газогенератор возможно применение дос-
таточно простых и быстродействующих стабилизаторов соотноше-
ния расходов компонентов в газогенератор krT. При этом опасность
получения больших забросов температуры газа уменьшается,
поскольку на режиме запуска такие стабилизаторы действуют как
автоматические ограничители температуры. Необходимости измене-
ний настройки ограничиваемых значений температуры на переход-
ных и установившихся режимах при этом не возникает, так как
регулирование двигателей открытой схемы осуществляется обычно
по «расходному принципу», т. е. при Ттг«const.
Для ЖРД закрытой схемы создание быстродействующих ста-
билизаторов йгг из-за больших расходов компонентов затруднено.
Поэтому у двигателей этого типа применяется обычно «темпера-
турный принцип» управления, при котором избыток мощности тур-
бины, необходимый для перехода на повышенный режим, создает-
ся путем повышения температуры генераторного газа. В этом
случае при запуске и разгоне двигателя возникают повышенные за-
бросы температуры газа перед турбиной. В ряде случаев они дости-
гают больших величин и вызывают возгорание элементов конструк-
ции газового тракта. В качестве примера на рис. 5.4, а показан
полученный путем математического моделирования процесс изме-
нения температуры генераторного газа при запуске ЖРД закры-
той схемы, осуществляемом с кратковременной задержкой на режи-
ме промежуточной ступени тяги и последующим быстрым перехо-
дом на главный режим. Первый заброс температуры возникает при
выходе на промежуточный режим, второй — при переходе на глав-
ный режим. Величина первого заброса существенно зависит от вре-
мени опережения начала поступления первого компонента в газо-
генератор и от уровня настройки промежуточного режима.
При больших временах опережения и пониженной настройке
по тяге промежуточного режима заброс получается меньшим.
Однако при этом замедляется темп процесса и появляется опас-
ность незапусков. Величина второго заброса температуры опреде-
ляется в основном скоростью автоматической перенастройки регу-
лятора с пониженного на номинальный уровень тяги, задаваемый
программой перевода двигателя с промежуточного режима на глав-
ный.
Зависимость величины заброса температуры от темпа перенаст-
ройки регулятора показана на рис. 5.4, б. Оптимальный темп пере-
настройки выбирается из условия допустимого компромисса меж-
ду величиной заброса температуры генераторного газа, значениями
достартовых расходов компонентов и величинами «провалов» дав-
лений на входах в насосы при выходе на главный режим (см. под-
разд. 5.3).
5.1.5.	Энергетический незапуск. При неблагоприятном протека-
нии характеристик потребной и располагаемой мощности ТНА
и применении маломощных стартеров возможны характерные про-
цессы отказа запуска двигателей, получившие название энергети-
ческих незапусков. В отличие от случаев отказа, обусловленных
258
Рис. 5.4. Забросы температуры генераторного газа в процессе запуска ЖРД:
а—весь процесс запуска: 1, 2—с пониженной; 3, 4—с повышенной настройкой промежуточно-
го режима; (1, 4—-с большим -и 2, 3—с малым опережением поступления окислителя в газо-
генератор); б—переход на главный режим с различными скоростями перенастройки регуля-
тора: /—скачком; 2—за 0,05 с; 3—за 0,12 с; 4—за 0,25 с; Дфн—сигнал перенастройки регу-
лятора
ненадежностью пусковых средств (не открылся пусковой клапан,
не включился стартер и т. п.), при энергетическом незапуске
начальные стадии процесса протекают без существенных наруше*
ний циклограммы работы: осуществляется завязка огневых про*
цессов в газогенераторе и камере сгорания, начинается саморазгон
ТНА и повышаются параметры двигателя. Однако затем из-за
падения избыточной мощности турбины процесс разгона замедли*
ется, двигатель «зависает» на некотором режиме, после чего все
параметры начинают падать. Во избежание взрывов и «хлопков»
при таком неупорядоченном процессе по достижении определенно*
го уровня параметров подается команда на останов и двигатель
останавливается по циклограмме аварийного выключения. Типич*
ный процесс энергетического незапуска двигателя закрытой схемы,
полученный на математической модели, представлен на рис. 5.5.
Незапуск в этом процессе обусловлен слишком ранним вступлени*
9*
259
ем в работу камеры сгорания, вызванным чрезмерным раскрытием
дросселя в линии подачи жидкого компонента в камеру сгорания.
Вообще, энергетические незапуски представляют собой динами-
ческие явления, противоположные по своему происхождению про-
цессам с большими забросами параметров или разносом ТНА («пе-
резапуском»), Поэтому исключение этих нежелательных явлений
достигается одними и теми же средствами, т. е. согласованной
оптимизацией характеристик энергетических агрегатов двигателя
и системы автоматики. В качестве одного из возможных способов
решения этой задачи средствами автоматики является применение
автоматического ограничителя располагаемой степени расширения
газов на турбине ТНА.
Ограничитель реагирует на отношение давлений какого-либо
из компонентов перед форсунками газогенератора и камеры сгора-
ния рфдт/рф.к.с, характеризующее величину располагаемой степени
расширения газа на турбине пт. При срабатывании ограничителя
осуществляется дозированный перепуск компонента из-за регулято*
ра режима на вход в насос. При работе в комплексе с ограничите-
лем регулятор заранее настраивается на повышенный режим, спо-
собствующий ускоренному процессу. Срабатывание ограничителя
предотвращает заброс параметров, и таким образом обеспечивает-
ся хорошее качество процесса при гарантированном исключении
явлений незапуска. На рис. 5.6 приведены графики переходных про-
цессов по параметрам я/ и Арр, полученные на модели в различ-
ных условиях. Они иллюстрируют возможность реализации изло-.
женного выше принципа действия ограничителя.
5.1.6.	Процесс останова. Правильная организация процесса оста-
41083 ЖРД предполагает исключение опасных гидроударов на вхо-
де в насосы при прекращении питания камеры сгорания компонен-
тами, требуемое время спада тяги и регламентированный разброс
импульса последействия. У двигателей многократного использова-
ния недопустимым является также неупорядоченное догорание
§60
остатков компонентов, вытекающих или выпаривающихся из зак-
лапанных объемов и полости охлаждения камеры, поскольку воз-
никающие при этом повышения температуры и хлопки могут пов-
реждать детали двигателей.
Повышенные гидроудары при выключении двигателей предот-
вращаются обычно тем, что примерно за 0,1—0,2 с до момента
закрытия главных клапанов камеры сгорания и газогенератора
закрывается отсечной клапан в линии, по которой в газогенератор
подается в единицу времени относительно небольшое количество
компонента. Это приводит к значительному, но относительно плав-
ному снижению частоты вращения ТНА и скоростей течения ком-
понентов во входных трубопроводах. Поскольку при такой програм-
Рис. 5.6. К обоснованию способа ограничения располагаемой степени расшире-
ния газа на турбине в процессе запуска ЖРД:
с—.изменение Дрр; б—изменение Л/; /—нормальный запуск; 2—-перезапуск; 3—незапуск
261
ме выключения двигателей к моменту резкого закрытия главных
топливных клапанов режим работы двигателя является уже пони-
женным, то больших гидроударов в процессе останова не возника-
ет. При таких программах останова удается обеспечить также
выполнение обычно предъявляемых требований по темпу спада
тяги и разбросу импульса последействия.
В некоторых случаях для предотвращения повышенных механи-
ческих нагрузок на конструкцию ракеты в момент останова пред-
варительно плавно снижается тяга двигателей до 20—30% от номи-
нального значения с помощью замедленной перенастройки
регулятора режима. Затем производится резкая отсечка топлива.
При этом соответственно уменьшается и разброс импульса после-
действия. К подобному же эффекту приводит применение схем
останова двигателей через конечную ступень тяги. Конечная сту-
пень тяги представляет собой режим работы ЖРД с полностью
выключенной или сильно задросселированной камерой сгорания.
Продолжительность этого режима, как и режима снижения тяги
при плавном останове, лимитируется допустимым временем полета
ракеты с нерегулируемой скоростью на участке траектории непо-
средственно перед отсечкой двигателей.
Для исключения неупорядоченного догорания и выпаривания
компонентов после останова двигателей применяется принудитель-
ный выдув их из заклапанных объемов и тракта охлаждения
с помощью сжатого газа. Побочный эффект от применения этого
способа проявляется в возникновении кратковременного заброса
температуры генераторного газа в процесе останова двигателя
(рис. 5.7). При этом форма импульса последействия силы тяги дви-
гателя несколько изменяется, но его разброс, как правило, умень-
шается.
5.1.7.	Обход опасных в отношении ВЧ зон. В ряде случаев допу-
стимые области прохождения фазовых траекторий запуска камер
сгорания и газогенераторов ЖРД на плоскости параметров
р и k ограничиваются определенными зонами, в которых возможно
проявление высокочастотной неустойчивости рабочего процесса,
называемой условно «ВЧ». Системы управления запуском двигате-
лей должны обеспечивать надежный обход таких зон во всех усло-
виях эксплуатации. Обычно для этих целей применяются двухпози-
ционные дроссели или двухпозиционные пусковые клапаны, обес-
печивающие путем изменения степени дросселирования гидравли-
ческих линий соответствующее корректирование фазовых траекто-
рий. Однако в некоторых случаях этого оказывается недостаточ-
ным, поскольку высокочастотная неустойчивость рабочего процес-
са хотя и статистически редко, но может все же проявляться
и в тех областях, в которых при большинстве пусков процесс явля-
ется устойчивым. Предотвратить эти опасные случаи можно с помо-
щью применения замкнутых (рефлексных) автоматических защит-
ных устройств, реагирующих на возникновение высокочастотных
пульсаций давления или вибраций конструкции двигателя и осуще-
ствляющих временное изменение фазовых траекторий запуска.
262
Рис. 5.7. Заброс температуры генераторного газа при выключении двигателя:
1—без выдува компонентов из заклапаниых объемов; 2—с выдувом компонентов
Рис. 5.8. Временное изменение фазовых траекторий запуска ЖРД, осуществля-
емое рефлексным защитным устройством:
1—обычная фазовая траектория; 2—измененная фазовая траектория; А—область регулирова-
ния параметров газогенератора
Примеры процессов, полученных на математической модели при
имитации срабатывания рефлексных защитных устройств, показа-
ны на рис. 5.8. Можно ожидать, что применение этого метода
на практике будет достаточно эффективным, поскольку опыт испы-
таний и эксплуатации ЖРД показывает, что во многих случаях
даже относительно небольшие изменения режима, вызываемые
появлением течи топлива при высокочастотной неустойчивости
рабочего процесса (например, при обрывах измерительных линий),
приводят к прекращению высокочастотных колебаний. Для повы-
шения вероятности выполнения ракетой поставленных задач такое
временное переключение режима работы двигателя является более
оправданным, чем его полное аварийное выключение.
5.2.	Управление запуском
многокамерных ЖРД
5.2.1.	Механизм нестабильности процесса. Практический
опыт показывает, что запуск многокамерных ЖРД не всегда ока-
зывается достаточно надежным даже в тех случаях, когда запуск
соответствующих однокамерных двигателей уже хорошо отработан.
При организации запуска многокамерных двигателей обычно стре-
мятся обеспечить по возможности одновременное вступление
в работу всех камер и одинаковый характер нарастания в них дав-
263
Схена I
Схема П
Рис. 5.9. Разновидности схемы управления запуском четырехкамерного ЖРД:
1—с дросселем до точки разветвления магистрали окислителя; II—с дросселями после точ-
ки разветвления магистрали окислителя
ления и других параметров. Для этого ветви гидромагистралей,
идущие к отдельным камерам, выполняются геометрически одина-
ковыми и их гидравлические сопротивления настраиваются индиви-
дуально по результатам проливки. Достигнуть, однако, полной
синхронности процессов заполнения ветвей при запусках двигателей
в различных условиях эксплуатации весьма трудно из-за неизбеж-
ного влияния случайных факторов производственного и эксплуата-
ционного характера (разброс сопротивлений на длине охлаждаю-
щего тракта, боковые перегрузки при запуске в полете и т. п.).
Так как давление в камерах сгорания в первый момент после
завязки процесса горения нарастает весьма быстро (во многих слу-
чаях за сотые доли секунды), то даже после тщательной отработки
одновременности вступления в работу камер в эксплуатации могут
встретиться случаи, когда несинхронность начала работы камер
окажется соизмеримой со временем первоначального нарастания,
давления. Разновременность появления противодавления в отдель-
ных ветвях гидравлической сети может приводить к нестабильности
процесса запуска многокамерных ЖРД, проявляющейся в значи-
тельном разбросе фазовых траекторий запуска отдельных камер
по параметрам рк.с—йк.с. Это снижает надежность запуска из-за
опасности возникновения высокочастотной неустойчивости рабочего
процесса (ВЧ).
Чтобы не допускать снижения надежности, схемы управления
запуском многокамерных ЖРД должны быть по возможности
менее чувствительными к несинхронности начала работы камер.
5.2.2.	Две разновидности схем управления. Про‘ана1лизируем
с указанных выше позиций две разновидности схемы управления
запуском многокамерных ЖРД, отличающиеся местами расположе-
ния регулирующих органов (рис. 5.9). .На схеме 1 управление соот-
ношением расходов компонентов при запуске осуществляется одним
264.'
дросселем О, расположенным в магистрали окислителя до точки
разветвления ее на отдельные камеры. На схеме II те же функции
выполняются несколькими дросселями (Oi, О2, О3, О4), располо-
женными в той же линии, но после точки разветвления, непосред-
ственно перед входом в головку каждой камеры. Переключение
всех дросселей производится одновременно при переходе двигателя
с промежуточного режима работы на главный.
По статическим характеристикам обе схемы являются эквива-
лентными, поскольку в обоих случаях на промежуточном режиме
обеспечиваются одинаковые гидравлические сопротивления ветвей
и, следовательно, одинаковые расходы компонентов. Однако
в динамике — при неодновременном вступлении в работу камер —
переходные процессы, получаемые в обеих схемах, будут различны-
ми. Это происходит потому, что противодавление, появляющееся
неодновременно во всех камерах, в каждой из схем по-разному
влияет на величину давления в точках разветвления гидравличе-
ских линий и через нее — на абсолютные значения расходов компо-
нентов отдельных камер и их соотношения.
На рис. 5.9 обе рассматриваемые схемы управления даны при-
менительно к четырехкамерному ЖРД с выбросом парогаза после
турбины в атмосферу. В линии горючего помимо охлаждающих
трактов камер сгорания имеется еще одно значительное гидравли-
ческое сопротивление в виде дросселя Г, с помощью которого регу-
лируется соотношение расходов компонентов после выхода двигате-
ля на режим. В управлении запуском этот орган не участвует, нахо-
дясь в течение всего процесса в неизменном положении.
Запуск камер производится обычно с опережением подачи
окислителя, превышающим по своей величине возможный разброс
моментов вступления в работу отдельных камер. Поэтому несин-
хронность запуска камер определяется в основном разбросом вре-
мен заполнения линий горючего.
5.2.3.	Расчет разброса фазовых траекторий запуска. Расчет про-
водится только для процесса выхода камер на промежуточный
режим.
Из качественного рассмотрения явлений, протекающих в развет-
вленной гидравлической сети при неодновременном нарастании
противодавления в отдельных ее ветвях, следует, что максимальный
разброс фазовых траекторий запуска многокамерных двигателей
возникнет тогда, когда промежутки времени между моментами
начала вступления в работу отдельных камер станут равными или
большими, чем время нарастания давления в них. Дальнейшее уве-
личение разновременности начала запуска камер не повлияет
На" величину разброса, так как в этом случае в промежутках вре-
мени между моментами нарастания противодавления в отдельных
ветвях в системе успеет установиться равновесный режим.
Основываясь на таком представлении, расчетную оценку макси-
мально возможного разброса фазовых траекторий запуска камер
многокамерного ЖРД можно провести по статическим уравнениям
его топливной системы с переменными коэффициентами, отражаю-
265
щими изменения свойств системы, связанные со вступлением
в работу отдельных камер или групп камер. Такие уравнения для
обеих рассматриваемых схем (см. рис. 5.9) имеют одинаковый вид
и отличаются только численными значениями коэффициентов,
характеризующих распределение гидравлических сопротивлений
магистралей окислителя и горючего по отношению к точкам
их разветвления. Давления в этих точках обозначим р0 и рг.
Определяющими параметрами в данной задаче являются коэф-
фициенты запаса напоров насосов ео=рн.о/Рк.с и ег=рн.г/Рк.с и коэф-
фициенты распределения гидравлических сопротивлений относи-
тельно точек разветвления
\> (Рк.о Ро^КРп.0 Ак.с)’ (Ан.г Рг)/(.Рн.т Рк.с}'
Для схемы I с регулирующим органом, расположенным до точ-
ки разветвления, коэффициент на промежуточном режиме имеет
значение, близкое к 1. Для схемы II с регулирующими органами,
расположенными непосредственно перед камерами, коэффициент
Хо в тех же условиях близок к нулю. За базовый режим для отно-
сительных величин в проводимых ниже расчетах взят промежуточ-
ный режим (значения его параметров отмечаются штрихом).
При составлении приведенных ниже уравнений пускового режи-
ма сделаны следующие допущения:
не учитываются динамические факторы, связанные с временем
газообразования, сжимаемостью газа и инерцией жидкости; пред-
полагается, что при прохождении рабочей точки камер по левой
ветви характеристики RTKC=f (&к.с) работоспособность газа при-
близительно пропорциональна величине соотношения расходов
компонентов в камеру сгорания Лк.с; пренебрегается влиянием
начального давления в камерах (рк.с=sCO,l МПа) на расходы ком-
понентов; напорные характеристики насосов считаются горизон-
тальными {H/rfi—const); частота вращения ТНА принимается пос-
тоянной (n=n'=const), равной его частоте вращения на промежу-
точном режиме.
Система уравнений, позволяющая при указанных допущениях
приближенно рассчитать разброс фазовых траекторий запуска мно-
гокамерных ЖРД, имеет следующий вид:
1- л.сг=ёк.с/УЖГг; 2. ёк.с/=«к.сёо/+(1-«к.с)<5гг;
3- КГк.с1=Кк.с1\ 4. MK,ct.=G0I./Gr/.;
5- со «я	«о л.о - («о —1) к; 6. со^Уь~Ро-{ьо—\}~ркл1-
1. Qoi=Vb~po-, 8. Go jj —Gj)-4-fl —-L]go7;	(5.1)
m \ m /
9. Огщ=Уа^т — (ar — l)pr; 10. Or~Vbrpr—(br- 1)7K.CI-;
11. Grj=Vb^ 12. Gr Ji = —Gr-4-fl ——lGr7;,
m \ m /
13.	к.О = Ан.Г = Л2-
266
Все уравнения записаны в относительных величинах перемен-
ных, т. е. отнесенных к их значениям на промежуточном режиме;
и Grijj —суммарные расходы компонентов во всех включив-
шихся в работу камерах; индексом i отмечены номера камер, кото-
рые уже включились в работу, индексом j — номера тех камер,
в которых завязка процесса горения еще не произошла (j + i=m,
где т — общее число камер двигателя).
Постоянные коэффициенты а и Ь, с помощью которых в расчет
вводятся данные конкретных двигателей и схем управления, одно-
значно связаны с ранее введенными в рассмотрение определяющи-
ми параметрами е и X и номинальными значениями /Ск.с:
(5.2)
Фазовые траектории определяются корнями системы уравнений
(5.1). В зависимости оттого, сколько камер вступило в работу
к данному моменту времени, параметр ifm приобретает различные
дискретные значения в пределах от 0 до 1. В соответствии с этим
изменяются значения корней системы (5.1).
За требуемую (эталонную) фазовую траекторию можно при-
нять кривую, получаемую при строго одновременном вступлении
в работу всех камер. Этому случаю соответствует значение парамет-
ра	Не трудно убедиться, что при ilm=A для всех камер,
вступивших в работу, система уравнений (5.1) тождественно удов-
летворяется значениями переменных, равными 1, независимо
от величины коэффициентов а и Ь. Поэтому при одновременном
вступлении в работу всех камер обе схемы управления оказывают-
ся равноценными: фазовые траектории запуска всех камер получа-
ются в них одинаковыми — такими же, как для соответствующего
однокамерного двигателя (эталонные фазовые траектории). При
несинхронном запуске камер рассматриваемые схемы не эквива-
лентны, так как они дают разные отклонения от эталонной траек-
тории. Для нахождения этих отклонений нужно решить систему
уравнений (5.1) для всех значений параметра i/tn, не равных 1.
Путем несложных преобразований система (5.1) приводится
к более простому виду:
1	• Рк.с 1=^0о tlOFi [aK.cGo i + (1 — tzK.e) Gr J;
2	. Оо1—Уьор0 (bo—l)/?K.cn 5- GrI=Vi>r/7r (br 1)pK.ci',
4-~P«.Ci=	(5-3)
___2 (1 — t/m) Уbopo [g0 — (go — 1) po] + (2f/m — l)60jp0 — [a0 — (a0 — 1) Po] .
(Z/m)2(fc0-l)
267
5.	Axz=
211 — —) V b~pT [ar — (ar — 1) pr] + (2i/zn — 1) brpr — [аг — (or — l)pr]
\ m /
“	(//m)2(*r-D	*
Графоаналитическое решение этой системы можно выполнить
в следующем порядке:
1)	задаваясь значениями давлений в точках разветвления
р0 и рт, по уравнениям 4 и 5 из (5.3) определяют соответствующие
им значения рк.с;;
2)	подставляя соответствующие пары значений р0, рКЛг
и Рт, pi-.c i в уравнения 2 и 3 из (5.3), рассчитывают и строят кри-
вые Go i==f (рк.с i) И Gr i~f (Рк.с г) !
3)	задаваясь значениями давления в камерах ркл t, по построен-
ным графикам находят соответствующие им значения расходов
Go i и Gr i и по ним рассчитывают график функции, стоящей в пра-
вой части уравнения 1 из (5.3);
4)	пересечение графика этой функции с прямой, проходящей
через начало координат под углом 45°, дает искомое решение для
Рк.с i">
5)	обратным ходом — с помощью уже построенных графиков —
находят решения по всем остальным параметрам.
Найденные таким способом значения рк.с i и £к.с i определяют
точки на плоскости ркл—кк.с, через которые проходят траектории
выхода на промежуточный режим отдельных камер в процессе
запуска многокамерного двигателя. Поскольку значения рк.с«
и Рк.с г определяются в относительных величинах, то отличие
их от единицы непосредственно характеризует погрешности реали-
зации эталонного закона управления.
Результаты расчета удобно представлять в виде диаграмм зави-
симости кк.с от параметра ifm (рис. 5.10) или в виде полей разбро-
са фазовых траекторий на плоскости рк.с—kv.c (рис. 5.11).
5.2.4. Разброс параметров предпускового режима. Сравнитель-
ную оценку рассматриваемых схем управления можно произвести
также по разбросам величин предпусковых расходов компонентов
и их соотношений, вызываемым в каждой схеме несинхронным
запуском камер. Решение уравнений (5.3) дает для такой оценки
необходимые данные в виде относительных значений предпусковых
расходов Go j и Gr ,, поступающих в еще не включившиеся камеры.
По этим расходам определяются относительное соотношение ком-
понентов kK.c j и суммарный относительный расход обоих компонен-
тов на предпусковом режиме Gy:
^.c/=Goy/Or;; Gs;=aK.cGo;+(l-«K.c)Gry. (5.4)
В качестве базового и одновременно эталонного режима при
таком расчете целесообразно принять предпусковой режим соот-
ветствующего однокамерного двигателя. Значения расходов Go,
и Gr j для этого режима получаются путем решения уравнений
7 и 11 системы (5.1) при i[tn=\ (при /ц>=1 и />г=1). Эти значе-
268
2	Z	j
4	2	4
i_=4 III
tn 4 4 4 4
Puc. 5.10. Зависимость kitc от порядка вступления в работу камер:
---------при схеме управления /;----при схеме управления II
Рис. 5.11. Поле разброса фазовых траекторий запуска камер:
а—при схеме управления /; б—при схеме управления II
ния относятся к той камере сгорания (или группе камер), которая
включается в работу (г+1)-й. Предпусковые параметры камеры,
которая запускается первой, принимаются равными параметрам
предпускового режима соответствующего однокамерного двигателя.
5.2.5. Пример расчета. Рассмотрим в качестве примера 4-камерный ЖРД
с системой управления, выполненной в первом варианте по схеме 1 и во втором
варианте — по схеме II (см. рис. 5.9). Будем считать, что параметры номиналь-
ного режима работы этого двигателя имеют следующие значения:
/С.с = 7 МПа; <с = 3; р*кл = 9 МПа; <г = 14 МПа;
р* = 8 МПа; р* = 10,5 МПа.
Предположим, что для надежного обхода опасных зон нужно, чтобы на
промежуточном режиме при давлении в камере, равном примерно 50% от номи-
нального значения, поддерживалось	kK с и что значительные отклонения
от этой величины как в сторону повышения, так и в сторону занижения не допу-
скаются из-за опасности возникновения высокочастотной неустойчивости рабо-
чего процесса.
Коэффициенты, запаса напора насосов и распределения гидравлических
сопротивлений линий на номинальном режиме имеют следующие значения:
ео*=9/7=1,3; ег*= 14/7=2;
х_ о 5- X* 14 ~10’5 0 5
Х°~9-7 -ОД Хг- 14_7 -0,5.
По ним в соответствии с уравнениями (5.2) получим: ао*=8,68; 6О*=7,68;
сг*=4; 6Г*=7; а* с =0,75.
В уравнении 5 системы (5.11) нужно учесть переменное гидравлическое
сопротивление линии окислителя с дросселями 7?oS = var:

аоРн.о — (До — 1) Ро . р ^оЕ
> “оИ —	г>*
^оЕ
269
Для определения относительных значений давлений, расходов, частоты вра-
щения ТНА и других параметров промежуточного режима в систему уравнений
<(5. 1) подставим найденные выше значения коэффициентов номинального режима
я требуемые значения параметров промежуточного режима рк с=0,5и kKC =0,5.
В результате решения системы (5. 1) при i/m=l получим для промежуточного
режима: относительную частоту вращения ТНА п'=0,94; относительные давления
за насосами р'н о = р'„_г =0,88; относительные расходы через магистрали Ом 0 =
=0,562 и О'г= 1,125; суммарное гидравлическое сопротивление по тракту по-
дачи окислителя /?оЕ = 6,95.
По найденным относительным величинам находим абсолютные значения
параметров промежуточного режима:
Рк.с = 3,5 МПа; k'KC = 1’5; р^0 =7,9 МПа;
< = 2;	г'г = 3,57;	= 0,5; р'н г = 12,5 МПа;
аг = 2,76; Ь'г = 1,78; д'.с = 0,6.
Величина давления в точке разветвления линии окислителя на промежуточ-
ном режиме ро зависит от выбранной схемы управления I или II (см. рис. 5. 9)
и от значений коэффициентов распределения сопротивлений. Примем, например,
следующие значения: Ао/=0,9 (для схемы /), Хо'=0,05 (для схемы 11).
Тогда давление в точке разветвления и значения других коэффициентов
будут:
в схеме I р’о = 3,86 МПа; а'о = 2,23; b'o = 1;
в схеме IIр'о = 6,82 МПа; а'о = 40; Ь'о = 2,05.
Суммарный перепад давлений на дросселе и гидромагистрали в обоих слу-
чаях один и тот же: —4,4 МПа.
Подставляя найденные значения в систему (5.1) и решая ее относительно
Pk.cI' ^k.ci и Других переменных при различных значениях параметра i/от опре-
деляем для каждой из схем характерные точки фазовых траекторий, получаю-
щихся при несинхронном вступлении в работу отдельных камер.
Результаты расчета представлены в табл. 5.1—параметры запуска камер
при схеме управления I и 5.2 — параметры запуска камер при схеме управле-
ния /7 и в виде диаграммы на рис. 5.10.
Таблица 5.1
1/т	Лс.с i	ftK.C I	G' . о l	GT . Г l		Рг
1/4	0,30	0,26	0,28	1,09	0,28	0,80
2/4	0,45	0,42	0,45	1,07	0,43	0,84
3/4	0,75	0,73	0,75	1,03	0,77	0,88
4/4	1	1	1	1	1	1
Погрешности проведенного расчета доходят в отдельных случаях до 4—8%.
Однако такая относительная неточность является приемлемой, если учесть, что
задача расчета заключается в сравнительной оценке схем, различие между абсо-
лютными данными которых получается существенно большим.
Из таблиц и диаграмм видно, что при схеме управления I отклонения
от требуемого закона управления при несинхронном запуске камер могут быть
270
Таблица 5.2
i/m	Рк.с 1	k' . К.С 1	G’ . О 1	G' . Г 1	р'о	
1/4	0,99	1,12	0,97	0,86	0,98	0,85
2/4	1,01	1,10	0,99	0,90	0,99	0,90
3/4	0,99	1,03	0,99	0,96	0,94	0,95
4/4	1	1	1	1	1	1
весьма значительными. Камера, которая запускается первой (i/m=_l/4), до выхода
на режим других камер работает на соотношении компонентов йк с=0,26, т. е.
почти на 75% меньшем, чем требуется. Если в работу включились две камеры
(i/m = 2/4), то соотношение компонентов в них отличается от требуемого при-
мерно на 60% (Ak.c=i0,4i2'). По мере запуска остальных камер погрешности сни-
жаются и при	все камеры работают на топливе с заданным соотноше-
нием расходов компонентов (£к.с=4).
При схеме управления // погрешности при всех значениях i/m получаются
существенно меньшими, не превышающими по йк с 10—12%- Это показывает,
что схема II является значительно менее чувствительной к несинхронному за-
пуску камер, чем схема I.
При схеме управления I большие отклонения по kK.c сопровождаются за-
метными отклонениями также и по давлению в камере сгорания рк.с (см.
табл. 5. 1). В результате этого при несинхронном вступлении в работу иска-
жаются траектории запуска отдельных камер на фазовой плоскости рк.с — kK.c.
На рис. 5. 11 по дискретным точкам для каждой из исследуемых схем управле-
ния построены области, через которые могут проходить фазовые траектории
запуска отдельных камер; границы областей с построены по данным табл. 5.1
и 5. 2; значения параметра i/m указывают относительное число камер, вступив-
ших в работу к данному моменту; граница d представляет фазовые траектории
запуска соответствующего однокамерного двигателя (эталонные фазовые траек-
тории) .
Из рисунка 5. 11, о видно, что при схеме управления I фазовые траектории
отдельных камер при несинхронном вступлении их в работу могут существенно
отличаться от эталонной, сильно отклоняясь от нее в сторону малых значений
Рк.с и kK.c. При схеме II искажения фазовых траекторий, вызываемые несин-
хронностью запуска камер (см. рис. 5. 11,6), имеют другое направление и по ве-
личине являются значительно меньшими.
Параметры предпускового режима камер, рассчитанные описанным выше
методом, приведены в табл. 5.3 — при.схеме управления /—ив табл. 5. 4 — при
схеме управления II.
Таблица 5.3
}/т		^к.с у		j	Ро	Рг
1/4	1,32	1,20	1,18	1,41	0,18	0,78
2/4	1,51	1,44	1,19	1,72	0,27	0,80
3/4	1,79	1,76	1,23	2,17	0,43	0,84
4/4	2,20	2,20	1,27	2,79	0,71	0,91
271
Предпусковой режим камеры, вступившей в работу первой (/=!), принят
таким, какой получается для соответствующего однокамерного двигателя. Пара-
метры этого режима не зависят от схемы управления. Поэтому данные строки
Цт—\14 в обеих таблицах одинаковые.
Таблица 5.4
Цт		®к.с ]	°rj	°о/	Ро	Рг
1/4	1,32	1,20	1,18	1,41	0,98	0,78
2/4	1,33	1,14	1,23	1,40	0,98	0,85
3/4	1,35	1,11	1,26	1,40	0,99	0,90
4/4	1,37	1,09	1,29	1,40	0,94	0,95
Важным фактором, характеризующим плавность завязки процесса горения,
служит расход запаздывающего компонента. В данном случае вторым приходит
в камеру горючее. Из табл. 5. 3 и 5. 4 видно, что в обеих рассматриваемых схе-
мах несинхронность запуска камер относительно слабо сказывается на расходе
горючего. Для камер, вступающих в работу следующими, расход запаздываю-
щего компонента несколько возрастает, однако даже для последней камеры
возрастание не превышает 8,—10%. Обе рассматриваемые схемы управления
по этому показателю являются приблизительно равноценными.
По другим параметрам предпускового режима рассматриваемые схемы
сильно отличаются между собой. При схеме I (табл. 5. 3) суммарный предпуско-
вой расход компонентов GS]- и предпусковое соотношение компонентов йк.сj
резко возрастают для камер, вступающих в работу следующими. Для камеры,
вступающей в работу последней (//т=4/4), значения этих параметров на пред-
пусковом режиме приблизительно в два раза превышают соответствующие зна-
чения для однокамерного двигателя. При схеме управления II (табл. 5. 4) дости-
гается значительно _большая стабильность параметров предпускового режима.
Разброс значений OS/- и ftlccy- при всех возможных вариантах вступления в ра-
боту камер не превышает 4—10%. Это позволяет считать, что при схеме управ-
ления II параметры предпускового режима являются значительно менее чувст-
вительными к несинхронности запуска камер.
При обсуждении и оценке полученных результатов нужно иметь в виду, что
они характеризуют не наиболее вероятный, а максимально
возможный разброс фазовых траекторий и параметров предпускового
режима. С уменьшением несинхронности вступления в работу камер область
разброса будет уменьшаться. Характеристическим временем при оценке величины
несинхронности должно служить среднее время нарастания давления в камерах
на начальной стадии запуска.
Одним нз путей снижения погрешностей управления является ужесточение
допуска на несинхронность запуска камер до величин, значительно меньших
этого времени. Нужно, однако, иметь в виду, что в действительных условиях
запуска многокамерных двигателей на рассмотренные погрешности неизбежно
наложатся дополнительные отклонения, свойственные, как правило, однокамер-
ным двигателям.
Проведенный анализ носит приближенный характер, поскольку он выполнен
при достаточно грубых допущениях. Однако для сравнительной оценки схем
управления такой подход является приемлемым. Он показывает, что с позиций
обеспечения высокой стабильности процесса запуска многокамерных двигателей
схема управления II является более предпочтительной.
272
5.3.	Согласование динамических
характеристик двигателей
и ракетных систем
5.3.1.	Оптимальное демпфирование топливной системы.
Одним из условий обеспечения надежного запуска ЖРД является
недопущение в период выхода двигателей на режим слишком силь-
ных провалов и колебаний давлений компонентов на входе в двига-
тель. Такие явления могут вызвать кавитационные срывы работы
насосов и, как следствие, аварии двигателей в процессе запуска.
В связи с этим требуется обеспечить быстрое затухание колебаний
параметров в ракетных топливных системах, не допуская, однако,
чрезмерного демпфирования систем, способствующего увеличению
провалов давлений при запуске двигателей.
Задача оптимизации демпфирования ракетных топливных сис-
тем должна решаться в комплексе с отработкой систем запуска
двигателей, поскольку динамические свойства двигателей опреде-
ляют концевые импедансы систем и действующие на системы воз-
мущения. Введение больших гидравлических сопротивлений в топ-
ливоподводящие трубопроводы недопустимо из-за необходимости
повышения давления наддува баков и ухудшения вследствие этого
основных показателей ракет. Сложность задачи усугубляется еще
и тем, что в ряде случаев при ее решении требуется одновременно
обеспечить также отстройку частот собственных колебаний жидко-
сти в трубопроводах от резонансных частот колебаний корпуса
ракеты. Применение для этих целей специальных «развязочных»
емкостей приводит часто к значительному ухудшению затухания
колебаний на новых значениях собственных частот.
Эффективным способом демпфирования ракетных топливных
систем является подключение к ним развязочных емкостей через
оптимальным образом подобранные гидравлические сопротивления,
осуществляющие необходимую диссипацию колебательной энергии.
Оптимизацию величины этих сопротивлений целесообразно прово-
дить методом математического моделирования.
На рис. 5.12 в качестве примера показаны результаты подобной
оптимизации демпфирования колебаний давления в гидромагистра-
ли подвода горючего (дг.вх) большой протяженности (/~30 м).
Видно улучшение затухания колебаний и уменьшение провалов
давления в интервале времени t= 1,2... 2,2 ед., в котором двига-
тель начинает переходить на главный режим работы, причем
результаты моделирования подтвердились проведенными впослед-
ствии испытаниями натурной системы в летных условиях.
5.3.2.	Ограничение скорости нарастания комплекса GRT. Комп-
лекс газодинамических параметров GRT представляет собой мощ-
ность газового потока, возникающего на срезе сопел двигателей
в период их запуска. Скорость нарастания этого комплекса пред-
определяет величины ударно-волновых нагрузок, действующих
на конструкцию ракеты и пускового устройства в момент старта.
При слишком большой скорости нарастания возникают повышен-
273
ные нагрузки, требующие усиленной донной защиты ракет; при
слишком малой скорости увеличиваются достартовые расходы
компонентов. И то, и другое приводит в конечном счете к ухудше-
нию характеристик ракет. Отсюда возникает необходимость
управления темпом запуска двигателей на начальных стадиях про-
цесса. Трудности здесь возникают как с реализацией соответствую-
щих систем управления, так и с контролем их настройки, посколь-
ку прямое измерение комплекса GRT в работе из-за высокой
температуры и значительной неравномерности потока газа осуще-
ствить сложно. Как показывает опыт, решать эту задачу целесооб-
разно с помощью описанного выше метода математического моде-
лирования.
На рис. 5. 13 показаны процессы изменения комплекса GRT при запуске
экспериментального кислородно-керосинового двигателя, полученные путем моде-
лирования и пересчета по экспериментальным данным. Максимальная скорость
нарастания комплекса GPT, получавшаяся без применения специальных средств
в системе запуска двигателя, составляла около 1000% в 1 единицу времени.
Введение в систему специального автомата запуска, осуществляющего програм-
мированное управление расходом топлива, начиная с уровня GT=J5°/o от номи-
Рис. 5.12. Переходные процессы по давлению горючего на входе в двигатель:
а—при исходном демпфировании; б—при оптимальном демпфировании; 1—на модели; 2—в
натурной ДУ
274
нального расхода, позволило снизить
максимальную скорость нарастания
приблизительно до 400% в 1 едини-
цу времени.
5.3.3.	Уменьшение динами-
ческих нагрузок при переходе
на главный режим. При слиш-
ком быстром («пушечном») пе-
реводе двигателей с промежу-
точной ступени тяги на глав-
ную возникают значительные
динамические нагрузки на кон-
струкцию двигателя и ракеты.
К ним относятся: повышенные
термические нагрузки на эле-
менты газового тракта дви-
гателей, возникающие при за-
бросах температуры генератор-
ного газа; большие ударно-
вибрационные нагрузки на не-
сущую конструкцию ракеты,
обусловленные резким нарас-
танием силы тяги двигателей;
опасные кавитационные режи-
мы работы насосов, вызывае-
мые глубокими провалами
Наиболее эффективным cpej
Рис. 5.13. Динамика изменения комплек-
са ОРТ при запуске ЖРД закрытой
схемы:
— — моделирование;------эксперимент
/—без автомата запуска; 2—с автоматом за-
пуска
входных давлений компонентов.
;ством снижения всех этих нагрузок
является замедление темпа перевода двигателя на главный режим,
которое можно осуществить путем соответствующего программиро-
вания по времени процесса перенастройки регулятора режима.
Однако минимально допустимый темп перехода лимитируется воз-
растанием достартовых расходов компонентов и условиями ста-
билизации ракеты в момент отрыва ее от стартовой опоры. При
оптимизации программ управления переходом двигателей с проме-
жуточного режима на главный должны учитываться все указан-
ные ограничения.
Один из частных вопросов этой задачи, касающейся чисто внутридвигатель-
ных проблем снижения заброса температуры генераторного газа, был уже
рассмотрен в разд. 5-. 1. Здесь к этому добавляется рассмотрение двух других
вопросов, связанных с динамическим взаимодействием двигателей и ракетных
систем.
Первый вопрос касается оптимизации темпа перевода двигателя с промежу-
точного на главный режим в целях снижения механических вибрационных пере-
грузок пх, возникающих на переходном режиме в местах крепления двигателя
к ракете. Исследование, проведенное на линейной математической модели при
упрощенном представлении упругой системы ракеты в виде осциллятора с соот-
ветствующим образом подобранными параметрами, показало (рис. 5. 1(4, я), что
для снижения максимальной амплитуды пх примерно в 10 раз (по сравнению
с получаемой при скачкообразной перенастройке регулятора) достаточно осу-
ществить замедленную перенастройку регулятора Фн(/) по прямолинейному
закону за время /=0,27 с. Примерно такое же время замедления требовалось
275
Рис. 5.14. Механические нагрузки на конструкцию ракеты при различных темпах
перевода двигателя с промежуточного режима на главный при различных управ-
ляющих сигналах:
а—при скачкообразном; б—при кусочно-линейном; в. г, д—при линейном
и для исключения заброса температуры генераторного газа (см. рис. 5.4,6,
кривая 4).
Второй вопрос относится к определению оптимального значения того же
параметра с позиций минимизации динамических провалов давлений на входах
в насосы (при выполнении ограничения на величину достартовых расходов ком-
понентов). Исследование, выполненное на полной математической модели, пока-
зало, что для этого требуется значительно большее замедление, а именно,
/=i0,8...1 с (рис. 5.15,6). Увеличение времени замедления от 0,5 до 1 с дает,
•например, по давлению на входе в насос окислителя (р0.вх) снижение величины
«динамического» провала с 30 до 10%.
5.3.4.	Анализ аномальных процессов. Для создания надежных
автоматических систем управления ЖРД, в частности систем запу-
ска, требуется правильно диагносцировать различные аномалии
переходных процессов, которые могут возникать при доводке
и эксплуатации двигателей. В зависимости от характера возник-
шей аномалии и прогнозируемой тяжести ее последствий система
должна или сохранять прежний режим работы двигателя, или пере-
водить его на щадящий режим, или производить аварийное выклю-
276
чение. Анализ большого числа гипотетических аварийных ситуа-
ций, необходимый для установления диагностических признаков
и разработки алгоритмов диагноза, целесообразно проводить мето-
дом математического моделирования. Для этого модель дополняет-
ся уравнениями, описывающими предполагаемые механизмы ава-
рийных процессов, и результаты моделирования сопоставляются
с нормальными процессами. На основе анализа получаемых откло-
нений разрабатываются диагностические признаки аварийных про-
цессов и алгоритмы работы системы технической диагностики.
Причинами, вызывающими аномальное протекание переходных
процессов, обычно являются отказы срабатывания отдельных эле-
ментов автоматики, небольшие течи или обширные вскрытия гид-
равлического и газового трактов, попадание в жидкое топливо газо-
вых пузырей, задевание за корпус и возгорание роторов ТНА и эле-
ментов газового тракта, сильные внешние ударные воздействия
на двигатели и многое другое. В качестве примера на рис. 5.16 при-
ведены аномальные переходные процессы, полученные на модели
при имитации резкой встряски двигателя, вызвавшей кратковре-
менное импульсное увеличение расхода горючего в газогенератор.
Приведенный процесс относится к двигателю закрытой схемы
с окислительным газогенератором. Моделирование показало, что
в ответ на такое возмущение двигатель может вести себя подобно
Рис. 5.15. Влияние темпа перехода ЖРД с промежуточного режима на главный
на величины провалов давлений компонентов на входах в насосы:
а—при быстром переходе; б—при медленном переходе
277
Рис. 5.16. Аномальные переходные процессы после ударного воздействия
на двигатель
динамической системе с жестким режимом возбуждения автоколе-
баний. Характерны сильные колебания давления на входе в насос
окислителя р0.вх и интенсивный рост температуры газа в тракте
за турбиной Гт.вых при постепенном падении давления горючего
до форсунок камеры сгорания рг.ф.к.с- Колебания р0Л* имеют ярко
выраженный кавитационный характер — острые вершины и тупые
впадины.
Список литературы
1.	Абианц В. X. Теория газовых турбин реактивных двигателей. М., «Маши-
ностроение», 1965. 310 с.
2.	Абианц В. X. Запас работы в одноступенчатых газовых турбинах.— «Изв.
АН СССР, Энергетика и автоматика», № 3, 1960, с. 123—'128.
3.	Акоста А., Стриплинг Г. Л. Кавитация в лопастных насосах. (Пер. с
англ.).—«Тр. ASME, Серия D, Техническая механика», М., ИЛ, 1962, № 3, 29—
51 с.
4.	Артамонов К. И. Устойчивость работы жидкостного ракетного двигате-
ля.— «Изв. АН СССР. Механика и машиностроение», 1961, № 1. 64—69 с.
5.	Башта Т. М. Гидравлические следящие приводы. М., Машгиз, 1960, 282 с.
6.	Березии И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М., Физматгиз, 1962,.
639 с.
7.	Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулиро-
вания. М., «Наука», 1966, 992 с.
8.	Васильев А. П. и др. Основы теории и расчета жидкостных ракетных дви-
гателей. М., «Высшая школа», 1967, 675 с.
9.	Варгафтик Н. В. Теплофизические свойства газов и жидкостей. М., Фнзмат-
гиз, ,1963, 708 с.
10.	Волков В. Я., Куприянов Н. С. Критерий устойчивости линейных систем
с многими запаздываниями. — «Изв. АН СССР, Техническая кибернетика», 1968,
№ 5, с. 170—175.
11.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Часть II, М.,
«Энергия», 1966. 372 с.
12.	Вукалович М. П., Новиков И. И. Техническая термодинамика. М.—Л., Гос-
энергоиздат, 1952, 567 с.
13.	Гийон М. Исследование и расчет гидравлических систем. М., «Машино-
строение», 1964, 388 с.
14.	Гликман Б. Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных дви-
гателей. М., «Машиностроение», 1974, 396 с.
15.	Гор М. и Кэррол Д. Динамика регулируемого двухкомпонентного жид-
костного ракетного двигателя с насосной системой подачи. — ВРТ, 1957, № 5,
с. ,17—35.
16.	Добровольский М. В. Жидкостные ракетные двигатели. М., «Машино-
строение», 1968. 396 с.
17.	Глушко В. П. Ракетные двигатели ГДЛ—ОКБ, Академия наук СССР,
изд. АПН, 1975. 74 с.
18.	Гладкий В. Ф. Динамика конструкции летательных аппаратов. М., «Нау-
ка», 1969. 496 с.
19.	Залманзон Л. А. Замечание о влиянии жидкости в каналах на величину
приведенной массы подвижных частей гидравлического регулятора. — «Автомати-
ка и телемеханика». 1956. № 9. с. 274—275.
279
20.	Еланчик Ф. И. Достаточный частотный критерий неустойчивости линейных
систем». — «Тр. ЦИАМ», 1973, № 605, с. 112—117.
21.	Идельчик И. Е. Гидравлические сопротивления. М., Энергоиздат, 1954.
316 с.
22.	Кириллов И., Яблоник Р. Основы теории влажнопаровых турбин. М.,
«Машиностроение», 1968. 317 с.
23.	Крокко Л., Чжен-Синь И. Теория неустойчивого горения в жидкостных
ракетных двигателях. М., ИЛ, 1958. 352 с.
24.	Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М., Гостехиздат,
1953. 320 с.
25.	Калнин В. М. О применении частотных методов для исследования устой-
чивости численного интегрирования дифференциальных уравнений. — ДАН СССР,
т. 222, 1975, № 6. 1272—1276 с.
26.	Калнин В. М. Частотные оценки погрешностей численного интегрирования
дифференциальных уравнений.—ДАН СССР, т. 223, 1975, № 1, 38—42 с.
27.	Калнин В. М., Шерстянников В. А. Динамика кавитационных срывов на-
пора шнеко-центробежных насосов при импульсных возмущениях на входе. —
«АН УССР, Кавитационные автоколебания в насосах, ч. I», Киев, «Наукова Дум-
ка», 1976, с. 135—143.
28.	Карелин В. Я. Кавитационные явления в центробежных насосах. М., Маш-
гиз, 1963. 256 с.
29.	Кирсанов В. И. Об истечении жидкости через жиклеры при больших пере-
падах давления. М., Оборонгиз, 1951, с. 16.
30.	Колесников К. С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным
двигателем. М., «Машиностроение», 1971, 260 с.
31.	Кронфельд М. А. Упругость и прочность жидкостей. М.—Л., Гостехиздат,
1951. 120 с.
32.	Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
М., ИП, 1953, 460 с.
33.	Мамонтов М. А. Некоторые случаи течения газа. М., Оборонгиз, 1956,
с. 490.
34.	Махин В. А., Присняков В. Ф., Белик Н. П. Динамика жидкостных ракет-
ных двигателей. М., «Машиностроение», 1969. 384 с.
35.	Мелькумов Т. М. и др. Ракетные двигатели. М., «Машиностроение», 1976.
.400 с.
36.	Мошкин Е. К. Динамические процессы в ЖРД. М., «Машиностроение»,
1964. 256 с.
37.	Назаров Г. С. К расчету параметров кавитационного течения в гидравли-
ческих системах. — ИФЖ, Том XVII, 1969, № 3, с. 423—429.
38.	Натанзон М. С. Продольные автоколебания корпуса ракеты, сопровожда-
ющиеся разрывными колебаниями жидкости в трубопроводе. — «Изв. АН СССР.
Энергетика и транспорт», 1971, № 2, с. 154—159.
39.	Науменкова Н. В. Некоторые особенности динамики регулирования двига-
теля и синтез характеристик системы регулирования. — «Сб. трудов МАИ», 1974,
вып. 308, с. 197—203.
40.	Некрасов Б. р. Гидравлика и ее применение на летательных аппаратах,
М., «Машиностроение», 1967. 368 с.
41.	Неустойчивость горения в ЖРД. Под ред. Д. Т. Харье и Ф. Г. Гирдака
(Пер. с англ.). М., «Мир», 1975, 869 с.
42.	Овсянников Б. В., Боровский Б. И. Теория и расчет агрегатов питания
жидкостных ракетных двигателей. М., «Машиностроение», 1971. 540 с.
43.	Пилипенко В. В., Задонцев В. А. Об одном механизме автоколебаний
в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури. — «АН УССР. Кави-
тационные автоколебания, Ч. II.» Киев, «Наукова Думка», 1976, с. 93—103.
44.	Смит, Аткинсон, Хэммит. Измерение степени кавитации в кавитирующем
расходомерном сопле (Пер. с англ.)—«Тр. ASME Серии D, Теоретические
основы инженерных расчетов». М., ИЛ, 1964, т. 86, № 2, с. 122—123.
45.	Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах.
М., Гостехиздат, 1951. 224 с.
46.	Чебаевский В. Ф., Петров В. И. Кавитационные характеристики высоко-
оборотных шнеко-центробежных насосов. М., «Машиностроение», 11973. 152 с.
280
47.	Шевяков А. А. Автоматика авиационных и ракетных силовых установок.
М., «Машиностроение», 1965. 548 с.
48.	Эдельман А. И. Топливные клапаны ЖРД, М., «Машиностроение», 1970.
244 с.
49.	Carey Lee. «Dual-mode, 100: 1 thrust modulation rocket engine». J. of
Spacecraft and Rockets, vol. 5, N 2, p. 168—172.
50.	Me Demott С. E. «Dynamic performance of Surveyer throttleable engine
when propellants contain dissolved helium». J. of Spacecraft and Rockets, vol. 4,
N 3, p. 669—673.
51.	Welton D. E. «Toward the variable thrust liquid engine». Astronautics.
1963, XII, vol. 1, N 11, p. 77—81.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоколебания 230, 250, 278
Автомат запуска 275
Автономность контуров регулирова-
ния 195
Акустическая проводимость 204
Активное сопротивление 38, 47, 51
Апериодическая неустойчивость 102,
1162
Аппроксимация передаточных функ-
ций 150, 208
— решения уравнения заполнения
50
— транспортного запаздывания 26
— характеристик агрегатов 54, 78,
79, 86, 87
Б
Базовые величины 174
Байпасирование насоса 243
— турбины 244
Быстродействие канала управления
тягой 191, 237, 241, 245
— регулятора, давления IS?
— стабилизатора 157, 159
— условных обратных связей 219
В
Вдув газа в магистраль 47, 71, 214
Взаимное влияние контуров регули-
рования 194
Взаимодействие двигателя с конст-
рукцией ракеты 195
Вибр оустойчнвость	много двигатель-
ных установок 207
Влажность парогаза 40, 83
Внешние и внутренние . факторы 125,
173, 179
Внутреннее сопротивление 147
Волновое сопротивление 36, 38, 47
Волновые процессы 46, 49
Время волновое трубопровода 50
— горения 62, 67
— задержки самовоспламенения 31,
67
— заполнения 41
—. запуска 16, 117
— опережения 40, 255
— пребывания 81, 174
—'Преобразования сигналов, 24
— регулирования 16, 241
— характеристического испарения
57, 60
— конденсации 57
Воспламенение топлива 65
Выброс опережающего компонента 40
Выдув остатков компонентов 18, 262
Выгорание топлива 61
Выключение двигателя 15
Г
Газификация криогенного компонента
41
Гармоническая линеаризация 154
Гистерезис 157
Гидравлическое сопротивление 34, 36
Гидроудар 16, 52, 117, 261
Граф прохождения сигналов 95, 96
Граница устойчивости
— ЖРД как объекта регулирова-
ния 185
----закрытой схемы с регулятором
расхода 187
— системы «двигатель — упругий
подвес» 205, 209
----«водородный иасос—гидрома-
гистраль» 253
Д
Двухпозиционные дроссели 262
Диапазон динамичности модели 20,25
— линейности модели 177, 178
— регулирования 16, 210
— существенных частот 22
— пропускаемых частот 187, 188,
245
Демпфирование 31, 152, 153, 161, 163,
169, 171, 273
Динамика гидроканалов при кавита-
ции 2,19
— изменения температуры газа 31,
88, 90, 174
—'регулирования тяги 237
Динамические нагрузки конструкции
ракеты 275
Динамический состав модели 30
Дифференциальная связь расходов 93
Длинная линия 38
Достартовые расходы компонентов
275
3
Заброс давления при гидроударе 53,
117
— избыточной мощности ТНА 120
— расхода при заполнении 60, 117
— соотношения расходов компонен-
тов 120
— температуры генераторного газа
.17, 69, 120, 252
— тягн при запуске 256
— частоты вращения ТНА 17, 117
282
Закон управления 214
Замедленная перенастройка регуля-
тора 243, 258, 262, 275
Запас на регулирование 181
— устойчивости ЖРД 122, 185, 186
------системы «двигатель—упругий
подвес» 205
Запирающий эффект колеса турбины
64
Заполнение 4!1, 50, 51, 55, 64
Запуск 71, 116, 118, 119, 257
Захолаживание 55, 61
И
Идентификация модели 33, 127
Избыточным компонент 63
Импульс последействия 261, 262
Инкремент колебаний 203
Информация исходная 19
К
Кавитационный режим течения 219
— срыв напора насоса 80
Качество переходного процесса 169,
.187, 188, 196
Квадратичное сопротивление 34
Кинетика воспламенения топлива. 40,
63
Кинетический закон горения 63
Клапаны 8, 53, Г17, 121, 255
Клирфактор 1.79
Колебания крутильные ротора 86
— параметров при останове 121
Конечная ступень 15, 262, 243
Конечные элементы 23, 29, 33
Концевые сопротивления 147
Коррекция фазовых траекторий 262
Кривая выгорания топлива 19, 89, 90
— турбулентного переноса массы
90, 189
------температуры 19, 89, 90, 91
Критические значения параметров 149,
172, 186, 204, 208, 246
Коэффициент влияния 195, 247
— гидросопротивления 190, 219
—'демпфирования 154, 229
— дифференциальной связи расхо-
дов 36
— жесткости 135
— емкости тракта, насоса 75
------турбины 82
— запаса напора насоса 266, 269
----устойчивости 3'7
— заполнения 42
— инерционности тракта насоса 75
------турбины 82
— крутящего момента насоса 76
------турбины
— логический 43
— неполноты сгорания 64, 88
— относительного наклона характе- ’
ристики 176, 185, 188
— распределения гидросопротивле-
»ия 266
— самовыравнивания 183
— скорости реакции 62
— теплоотдачи 57, 59, 60
— усиления 172, 175, 246
— формы фронта заполнения 43,
54, 59
— эмпирический 33
Коэффициенты линейной модели
ЖРД—175
Л
Линейная модель ЖРД 173
Локальная неустойчивость 200
М
Максимальное вероятное отклонение
173
Малые параметры 150
Математическая модель ЖРД 21, 44,
65, 93, 173, 183, 208
Маршевый режим 16
Матрица передаточных функций 92,
173
Механические нагрузки конструкции
ракеты 276
Михайлова критерий устойчивости
101
Моделирование звена транспортного
запаздывания 25
— прямое гидродинамических про-
цессов 29
Метод гармонического баланса 154
— конечных элементов 29
— развязки расчетных петель 95
— синтеза законов управления 217
— фазовой плоскости 152, 153
— функций чувствительности 1.92
— условных обратных связей 217
— феноменологический 31
— частичного сосредоточения пара-
метров 38
— частотный анализа устойчивости
численного интегрирования 99
----оценки погрешностей числен-
ного интегрирования 103
Н
Найквиста критерий устойчивости
101, 103, 199
Настройка регулятора 129, 133, 243,
058, 262, 275
Начальная форма колебаний 207, 209
Начальный «холодный» парогаз 63
Непрямой гидроудар 52
Неустойчивость вибрационная 205
Неуравновешенные силы 136
О
Обобщенный элемент газового трак-
та 65
283
Области устойчивости численного ин-
тегрирования 102
Обратные токи компонентов 254
Обход опасных зон в отношении ВЧ
17, 262
Общедвигательная неустойчивость 17
Объемная (вторая) вязкость 36
Ограничитель лт 260
Ограничение расширительной способ-
ности турбины 85
— скорости нарастания комплекса
GRT 273
— частотного спектра решений 22,
23, НО
Опасные динамические явления 17,
'254
Опережающий компонент 40, 254
Оптимизация демпфирования топлив-
ной системы 273
— параметров регулятора 192, 224
— процесса 17, 18, 275
— циклограммы запуска 151, 116
Отрицательный статизм 155
Осциллятор 140, 204
П
Параметры Вышнеградского 150, 186
— критические 147, 149, 172, 186,
204, 208, 246
Пассивное самовоспламенение 63
Передаточные функции
— алгоритмов численного интегри-
рования 99, 100
— внброчувствительности 205
— линейной модели ЖРД 173, 184
— гндромагнстралей 147, 149, 152,
227, 250
-—конечных элементов 35, 36
— регуляторов 132, 147, 150, 151,
156
— трубопровода 39, 92, 93
Перекрестная связь каналов управле-
ния 195
Переходные процессы ЖРД 126, 169,
188, 195, 239, 274
Погрешность измерений динамиче-
ская 31, 33, 127
— линейного расчета характеристик
ЖРД 178
— максимальная вероятная 27, 80
— в диапазоне существенных частот
23, 27, 111
— ограничения частотного спектра
решений 25, 111
— регулирования (настройки) ре-
жимов ЖРД 128
— расчета фазовых траекторий 270
— суммарная моделирования 27, 28
— численного интегрирования 106,
.107, 109, 115
Плоский клапан 160
Подвижный элемент регулятора 133
Податливость конструкции 31, 35
Положительная обратная связь 160,
172
Помехоустойчивость 167
Полный цикл режимов работы ЖРД
13, 15
Постоянная времени
— минимальная прн интегрирова-
нии 46, 98
— эквивалентная двигателя 189
Постоянные времени агрегатов ЖРД
188, 241
—регуляторов 161, 168, 170, 187,
241
Предельный расход насоса 79
Предфорсуночная полость 46, 49
Преобразование Фурье 23, 24
— Лапласа. 32, 39, 174
Принцип агрегативностн 20
— равной точности 27
Программы регулирования 210
Продувка 17, 71
Промежуточная ступень 15, 117, 258
Промежуточное сопло Лаваля 91
Пропускная способность турбины 84
Проточная часть регулятора 141
Пусковая (предварительная) ступень
15
Процесс аномальный 277
— волновой 46, 52
— воспламенения 65, 69
— заполнения 41, 49, 55, 60
— запуска 63, 69, 72, 116, 118, 119,
124, 255, 256, 260, 275
— нерегистрируемый 117, 120
—	 огневой 65
—	останова 260
—	предогневой 72
—	перехода на главный режим 217,
258, 276
— самовоспламенения 61
Р
Разброс импульса последействия 262
— времени запуска 16, 119
— параметров предпускового ре-
жима 268
— фазовых траекторий запуска 265,
269, 272
Развязка расчетных петель 23, 95
Развязочная емкость 273
Разнос ТНА 17, 255
Регуляторы давления в КС 134, 157,
257
— — перед форсунками 135, 158
— .ракетные 129
— расхода прямого действия 133,
147, 164, 194
— — с обратной связью через ТНА
(134, 167
— электрогидравлические 129, 146
284
Резонансное усиление колебаний
17, 163, 189, 198, 229
С
СаМовыраннивание 183, 235
Самонастраивающийся фильтр 111
Сервомотор 162
Саморегулирование темпа нарастания
давления 72
Сигнал 24, 25
Сила гидродинамическая 136, 160
— гидростатическая 138, 160
— жидкостного трения 138
— инерционная 139
— сухого трения 137, 172
Система зажигания 40
Система управления
— запуском многокамерных ЖРД
264
— иерархическая 129
— тягой двигателей 213, 214, 233,
239
Системы РКС, СОБ 129
Скорость звука
---в тонкостенной трубе 35, 93
---в гомогенной смеси 224
Скорость испарения 58
Смягчающий эффект предфорсуноч-
ной полости 69, 72
Сопло-заслонка 136, 159
Согласование динамических характе-
ристик 273
Сопротивление скорости деформации
36
Структура системы регулировання
129
Структурная схема ЖРД 21
Стабилизатор k 136, 161
Ста,тизм 155, 159, 160
Статическая неустойчивость 253
Степень сухости парогаза 86
Стехиометрический состав смеси 62
Схема канала с развитой кавитацией
226
— механизма локальной продольно-
поперечной неустойчивости 204
— обобщенного элемента газового
тракта 65
— определения функций чувстви-
тельности 193
— проточной части насоса 75
-------турбины 82
—	синтеза законов управления 217
—	системы	«двигатель—упругий
подвес» 197, 201
—	 системы «регулятор—гидромаги-
страль» 147
Схемы газожидкостных емкостей 37,
70
— глубокого дросселирования дви-
гателей 1119, 233, 239
— ЖРД с турбонасосной подачей
топлива 8
— регуляторов 133, 134, 135, 146
— стабилизаторов k 136, 161
Т
Температура самовоспламенения 63,
64
Тепловые потоки 67
Теорема Градштейна 97
Техническая диагностика 17, 18
Типовые элементы регуляторов 132
Точность регулирования 20, 28, 179
— моделирования 27, 37, 103, 117,
127, 178
У
Управление запуском 20, 40, 115, 254,
274
------многокамерных ЖРД 263
— тягой двигателей 210, 212, 215,
231
Управляющая ЦВМ 129
Усилитель золотниковый 160
Условия выбора шага интегрирова-
ния 114
— разрыва потока жидкости 46,
220
Устойчивость ЖРД как объекта ре-
гулирования 18, 122, 183, 186, 245,
250
— регуляторов расхода топлива
147, 151, 172
— систем регулировання 122, 182,
185
— системы	«двигатель—упругий
подвес» 199
— стабилизаторов k 161, 162
— численного интегрирования 46,
101, 103, 216
Учитываемые динамические факто-
ры 31
Уравнение волновое 47
— выброса жидкости через тур-
бину 64
— газожидкостной емкости 38
— гармонического баланса 154
----предфорсуночной полости 70,
71
---со вдувом газа 73, 74
— ЖРД как звена СУ ракетой 186
— КПД огневых агрегатов 88
— крутящего' момента насоса 76
------турбины 83
— местной температуры на выходе
из элемента 89
—-нагрева капель 57, 66
—	паровой каверны 46, 189
—	подвижного элемента регулятора
1'33, 14-0
—	проточной части насоса 74
285
-------регулятора 141
-------турбины 82
— расхода двухфазной среды 58
—'регулятора, с проточным демпфе-
ром 152
— сервомотора 144
— среднего по объему давления 88
—'Средней по объему температуры
89
— температуры в начале элемента
89
— трубопровода 47, 56
----при частичном сосредоточении
параметров 39
— упрощенное упругой системы ра-
кеты 198
— характеристическое системы по-
дачи 250
-------двигатель—упругий подвес
204
----стабилизатора 198
Уравнения агрегатов двигателя 93,
173
— воспламенения криогенного топ-
лива 66, 67
— выгорания топлива 62, 67
— газификации криогенной жидко-
сти 57
— гидромагистралей 41, 44, 48, 55,
57
—	конечных элементов 33
—	гндроудара 52, 55
— заполнения гндромагистралей 41,
44, 48, 55, 57
— линейные агрегатов ЖРД 174,
175
— малых колебаний конструкции
202, 208
— регуляторов 131, 132, 152
— самовоспламенения топлива 62
Ф
Фазовые траектории 153, 265, 271'
Фильтр высоких частот ПО
Формула интерполяции 85, 87
Фронт заполнения 43, 48, 50, 73
Функция единичная стандартная 24
— запаздывающего аргумента. 46,
ИЗ
— проходного сечения регулятора
нелинейная 178
—'чувствительности 192
X
Характеристики амплитудно-фазовые
160, 19'1
— дроссельные 119
— инкремента колебаний 206
—^распределения проходного сече-
ния 74
— статические агрегатов ЖРД 77,
78, 83, 85, 87
----регуляторов 158, 162, 165
----глубокого дросселирования
ЖРД 230
— термодинамические продуктов
сгорания 87	_
— частотные 99, 105, 158, 168, 186,
19’0, 198, 245, 249
Характеристическая матрица 93, 95
Характеристическое уравнение 198,
204, 250
ц
Цикл управления 14
Циклограмма запуска 17, 115, 117
Ч
Частота максимальная существенная
37
— собственная регуляторов 162,
187, 227
— канала при кавитации 227, 229
Частотные характеристики
— алгоритмов численного интегри-
рования 99, 105
— ЖРД как объекта регулирова-
ния 186, 192, 245
----по давлениям на входе 186
-----по каналу управления тягой
190, 24Б
------по каналу «перегрузка—тяга>
198
----с регуляторами 168, 245
— избыточной мощности ТНА 247,
249
— .регулятора давления 158
— регулятора расхода 165, 170
— стабилизатора К 159, 160, 163
Частотные оценки погрешностей 103,
106, 107
Частотный годограф 101
— диапазон модели 20, 22
— метод анализа устойчивости чис-
ленного интегрирования 99
— спектр 23, 24
— четырехполюсник 35, 75, 82, 92
Чувствительность тяги к механиче-
ским колебаниям 197
Ш
Шаг интегрирования 114
Э
Эквивалентная линеаризация 139
Эмпирический тест 33
Энергетический незапуск 17, 258
Эталонная фазовая траектория 267
Эффект Мещерского 48, 49
226
Оглавление
Стр.
Предисловие . .	............,......................... 5
Введение.....................................................  :	7
1 Математическое .моделирование
полного цикла работы ЖРД......................................13
1.1.	Постановка задачи....................................  13
1.2.	Принципы построения модели	.....	...	20
1.3.	Уравнения конечных элементов......................33
1.4.	Специфические процессы, свойственные запуску	...	40
1.5.	Уравнения агрегатов......................... .	74
 1.6. Численное решение уравнений........................  93
1.7. Примеры .моделирования...........................115
Q Теория и растет
регуляторов ЖРД .............................................128
2.1.	Общие положения.......................................128
2.2.	Схемы и уравнения регуляторов........................-131
2.3.	Устойчивость регуляторов расхода ......	147
2.4.	Исследование характеристик	регуляторов................157
О Линейный анализ систем
регулирования ЖРД............................................173
3.1.	Линейная математическая	модель ЖРД .....	173
3.2.	Точность регулирования	.	....................179
3.3.	Устойчивость систем регулирования ЖРД ... . . .	182
3.4.	Качество 'переходных процессов .......................187
3.5.	Взаимодействие двигателей с конструкцией летательного
аппарата ..................................................196
3.6.	Проявление неустойчивости <в многодвигательных уста-
новках ...................................................207
Л Управление
“• тягой двигателя..............................................216
4.1.	Программы и способы регулирования тяги ....	210
4.2.	Методика расчета процессов регулирования в «большом» 216
4.3.	Динамика гидравлических каналов при развитой кавита-
ции жидкости .............................................219
4.4.	Свойства ЖРД как объекта управления при глубоком
дросселировании...........................................230
4.&.	Динамика регулирования тяги в широких пределах ,	.	237
287
Стр.
Управление запуском
и остановом ЖРД...........................................  254
5.1.	Исключение опасных ‘динамических	явлений	....	254
5.2.	Управление запуском многокамерных	ЖРД	....	263
5.3.	Согласование динамических характеристик двигателей
и .ракетных систем ....	...................273
Список литературы ..............................................279
Предметный указатель...................................282
ПБ № 1002
Алексей Андреевич ШЕВЯКОВ,
Виктор Мартынович КАЛВИН,
Наталья Викторовна НАУМЕНКОВА,
Виктор Васильевич ДЯТЛОВ
Теория
автоматического
управления
ракетными
двигателями
Редактор издательства М. А. Колосов
Технический редактор В. И. Орешкина
Корректор В. Е. Блохина
Обложка художника А. Я. Михайлова
Сдано в набор 26.04.78 Подписано в (печать 25.10.78.
Т-2031,3	Формат 60Х90*/1б-
Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 18,0 Уч.-изд. л. 20,3
Тираж 2550 экз. Заказ 524 Цена <3 р. 50 к.
Издательство «Машиностроение»,
107885, Москва ГСП-6, 1-й .Басманный пер., 3.
Московская -типография № 8
Союзполиграфпрома
прн Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
Хохловский пер., 7.