Text
                    УДК 519.22
ББК 22.172
К 55
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных
работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с. - ISBN 5-9221-0707-0.
В книге рассматриваются способы анализа наблюдений методами математической ста-
статистики. Последовательно на языке, доступном специалисту — не математику, излагаются
современные методы анализа распределений вероятностей, оценки параметров распределений,
проверки статистических гипотез, оценки связей между случайными величинами, плани-
планирования статистического эксперимента. Основное внимание уделено пояснению примеров
применения методов современной математической статистики.
Книга предназначена для инженеров, исследователей, экономистов, медиков, аспирантов
и студентов, желающих быстро, экономично и на высоком профессиональном уровне исполь-
использовать весь арсенал современной математической статистики для решения своих прикладных
задач.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0707-0	© А. И. Кобзарь, 2006


Посвящаю моей жене, терпению которой обязана эта книга
СОДЕРЖАНИЕ О математической статистике и об этой книге ........................... 13 Глава 1. Распределения вероятностей случайных величин ........... 23 1.1. Непрерывные распределения ................................... 24 1.1.1. Нормальное распределение B4). 1.1.2. Равномерное распределение C4). 1.1.3. Логарифмически нормальное распределение C5). 1.1.4. Экспоненциаль- Экспоненциальное распределение C6). 1.1.5. Распределение Вейбулла C7). 1.1.6. Гамма- распределение C8). 1.1.7. Бета-распределение C9). 1.1.8. Распределение х2 (распределение Пирсона) D4). 1.1.9. Распределение Стьюдента (?-распределе- ние) E1). 1.1.10. Распределение Фишера (F-распределение) E6). 1.1.11. Усе™ ченное нормальное распределение F1). 1.1.12. Распределение модуля слу- случайной величины, распределенной нормально F2). 1.1.13. Распределение, порождаемое нормальной плотностью с линейным дрейфом среднего F4). 1.1.14. Распределение, порождаемое нормальной плотностью с линейным дрей- дрейфом среднеквадратического отклонения F5). 1.1.15. Распределение Рэлея F8). 1.1.16. Распределение Максвелла F8). 1.1.17. Распределение экстремального значения G0). 1.1.18. Треугольное распределение (распределение Оимпсо- на) G1). 1.1.19. Распределение Коши G2). 1.1.20. Логистическое распреде- распределение G3). 1.1.21. Распределение Парето G3). 1.1.22. Композиции законов распределения вероятностей случайных величин, возникающие при расчете на- надежности по схеме „нагрузка-напряжение" G4). 1.1.23. Нецентральное распре- распределение Стьюдента (нецентральное ^-распределение) G9). 1.1.24. Нецентраль- Нецентральное распределение Пирсона (нецентральное распределение хи-квадрат) (80). 1.1.25. Нецентральное распределение Фишера (нецентральное ^-распределе- ^-распределение) (81). 1.2. Дискретные распределения .................................... 84 1.2.1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли) (84). 1.2.2. Рас- Распределение Пуассона (88). 1.2.3. Отрицательное биномиальное распределе- распределение (90). 1.2.4. Распределение Паскаля (91). 1.2.5. Геометрическое распре- распределение (распределение Фарри) (92). 1.2.6. Гипергеометрическое распределе- распределение (92). Глава 2. Оценка параметров распределений вероятностей ........... 96 2.1. Оценка параметров нормального распределения ..................... 98 2.1.1. Оценка среднего значения (/л) (98). 2.1.1.1. Точечные оценки (98). 2.1.1.1.1. Оценка максимального правдоподобия (98). 2.1.1.1.2. Оценка с помо- помощью медианы (98). 2.1.1.1.3. Оценки с помощью порядковых статистик (98). 2.1.1.1.3.1. Простые оценки Диксона A00). 2.1.1.1.3.2. Оценка Огавы A01). 2.1.1.1.3.3. Оценка Пирсона-Тьюки A01). 2.1.1.1.3.4. Быстрые оценки Ке- нуя A01). 2.1.1.1.3.5. Оптимальные комплексные оценки, использующие об- общий набор порядковых статистик A02). 2.1.1.1.3.6. Устойчивая (робастная) оценка Ходжеса^Демана по средним Уолша A03). 2.1.1.1.4. Упрощенная оцен- оценка по шаблону A03). 2.1.1.2. Интервальные оценки A05). 2.1.1.2.1. Оценка /i при известной дисперсии а A05). 2.1.1.2.2. Оценка /х при неизвестной диспер- дисперсии A06). 2.1.1.2.3. Оценка по выборочному размаху A06). 2.1.1.2.4. Оценка
Содержание по интерквартильной широте A07). 2.1.1.2.5. Оценка по среднему абсолют- абсолютному отклонению A07). 2.1.1.2.6. Оценка 50%-го доверительного интервала по вероятному отклонению A08). 2.1.1.2.7. Интервальная оценка для меди- медианы A08). 2.1.2. Оценка дисперсии а и стандартного отклонения а A11). 2.1.2.1. Точечные оценки A11). 2.1.2.1.1. Оценка максимального правдо- правдоподобия A11). 2.1.2.1.2. Оценка а по выборочной дисперсии s A11). 2.1.2.1.3. Оценка сг по среднему абсолютному отклонению A12). 2.1.2.1.4. Оцен- Оценка а по выборочному размаху A12). 2.1.2.1.5. Упрощенная оценка а по шаблону A12). 2.1.2.1.6. Оценка с помощью порядковых статистик A13). 2.1.2.1.6.1. Оптимальная линейная оценка A13). 2.1.2.1.6.2. Оценка Ога- вы A14). 2.1.2.1.6.3. Линейная оценка Даутона A15). 2.1.2.1.6.4. Оценка по сумме подразмахов (оценка Диксона) A15). 2.1.2.1.6.5. Оценка Джини A15). 2.1.2.1.6.6. Оптимальные комплексные оценки, использующие общий набор по- порядковых статистик A16). 2.1.2.2. Интервальные оценки A18). 2.1.2.2.1. Ин- Интервальные оценки дисперсии а2 A18). 2.1.2.2.2. Интервальная оценка а по размаху A18). 2.1.2.2.3. Оценка по среднему абсолютному отклонению A18). 2.1.2.2.4. Интервальная оценка <т, основанная на ее точечной оценке s A19). 2.1.3. Оценки в усеченных и цензурированных выборках A23). 2.1.3.1. Оценки максимального правдоподобия A23). 2.1.3.1.1. Оценки в усеченных выбор- выборках A23). 2.1.3.1.2. Оценки в неполностью определенных выборках A24). 2.1.3.1.3. Оценки в цензурированных выборках A26). 2.1.3.1.3.1. Оценка мак- максимального правдоподобия A26). 2.1.3.1.3.2. Оценки с помощью порядковых статистик A28). 2.2. Оценка параметров экспоненциального распределения ................. 134 2.2.1. Точечные оценки A34). 2.2.1.1. Оценка максимального правдоподо- правдоподобия A34). 2.2.1.2. Уточненная двухстадийная оценка A35). 2.2.1.3. Оценки, основанные на порядковых статистиках A35). 2.2.1.3.1. Оптимальная линей- линейная оценка A35). 2.2.1.3.2. Оценка по одной порядковой статистике A36). 2.2.1.3.3. Оценка Эпштейна A36). 2.2.1.3.4. Оценка Огавы A37). 2.2.2. Ин- Интервальные оценки A41). 2.3. Оценка параметров распределения Вейбулла. ....................... 146 2.3.1. Точечные оценки A46). 2.3.1.1. Оценка максимального правдоподо- правдоподобия A46). 2.3.1.2. Метод моментов A47). 2.3.1.3. Метод наименьших ква- квадратов A50). 2.3.1.4. Оценка с помощью квантилей A51). 2.3.1.5. Оцен- Оценки, основанные на порядковых статистиках A52). 2.3.1.6. Оценка парамет- параметров распределения Рэлея (частный случай распределения Вейбулла) A52). 2.3.2. Интервальные оценки A65). 2.3.2.1. Оценка а при известном /3 A65). 2.3.2.2. Совместная интервальная оценка параметров а и C A66). 2.4. Оценка параметров гамма-распределения .......................... 179 2.4.1. Точечные оценки A79). 2.4.1.1. Оценка /3 при известном а A79). 2.4.1.2. Совместная оценка параметров A79). 2.4.1.2.1. Оценка максималь- максимального правдоподобия A79). 2.4.1.2.2. Несмещенная оценка для малых выбо- выборок A80). 2.4.1.2.3. Оценка методом моментов A80). 2.4.2. Интервальная оценка параметра /3 A80). 2.5. Оценка параметров биномиального распределения. ................... 182 2.5.1. Точечная оценка A82). 2.5.2. Интервальные оценки A82). 2.5.2.1. Ап- Аппроксимация бета-распределением A82). 2.5.2.2. Аппроксимация F-pacnpe- делением A82). 2.5.2.3. Аппроксимация распределением Пуассона A82). 2.5.2.4. Аппроксимация биномиальной суммы распределением хи-квад- хи-квадрат A83). 2.5.2.5. Аппроксимация нормальным распределением A84). 2.5.2.6. Аппроксимация Титенко A86). 2.6. Оценка параметров гипергеометрического распределения ............... 191 2.7. Оценки при неизвестном законе распределения вероятностей ............ 192 2.7.1. Оценки для центра распределения A92). 2.7.1.1. Неравенства чебышев- ского типа A92). 2.7.1.1.1. Неравенство Чебышева A92). 2.7.1.1.2. Неравен-
Содержание ство Кантелли A92). 2.7.1.1.3. Неравенство Мейделя A92). 2.7.1.2. Оценка Нётера A93). 2.7.2. Оценка рассеяния распределения A94). 2.8. Некоторые специальные практические задачи ....................... 195 2.8.1. Оценка интенсивности отказов с периодом приработки A95). 2.8.2. Про- Прогнозирование для экспоненциальных выборок A95). 2.9. Планирование экспериментов для оценки параметров распределений ...... 197 2.9.1. Нормальное распределение A97). 2.9.1.1. Оценка среднего при известной дисперсии A97). 2.9.1.2. Оценка среднего при неизвестной дисперсии A97). 2.9.2. Распределение Вейбулла A98). 2.9.3. Биномиальное распределение A99). 2.9.4. Экспоненциальное распределение B00). 2.9.5. Гамма-распределе- Гамма-распределение B01). Глава 3. Методы анализа законов распределения вероятностей случай- случайных величин ................................................. 202 3.1. Общие критерии согласия ..................................... 204 3.1.1. Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распреде- распределения и эмпирической гистограммы B04). 3.1.1.1. Критерий согласия % B04). 3.1.1.2. Критерий числа пустых интервалов B09). 3.1.1.3. Квартальный кри- критерий Барнетта-Эйеена B11). 3.1.2. Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функций распределения вероятностей B13). 3.1.2.1. Критерий Колмогорова—Смирнова B14). 3.1.2.2. Критерий Смирнова— Крамера-фон Мизеса B16). 3.1.2.3. Критерий Реньи (J?-критерий) B18). 3.1.2.4. Критерий Андерсона-Дарлинга (критерий nQ2) B20). 3.1.2.5. Крите- Критерий Ватсона B22). 3.1.2.6. Критерий Купера B23). 3.1.2.7. Критерий согла- согласия Дарбина B24). 3.1.2.7.1. Модифицированный медианный критерий B25). 3.1.2.7.2. Модифицированный критерий Колмогорова-Смирнова B25). 3.1.2.7.3. Модифицированный вероятностный критерий B26). 3.1.2.8. Двух- выборочные критерии согласия B27). 3.1.2.8.1. Двухвыборочный критерий Колмогорова—Смирнова B27). 3.1.2.8.2. Критерий Катценбайссера—Хак- ля B28). 3.1.2.8.3. Двухвыборочный критерий Андерсона B29). 3.2. Критерии нормальности распределения ........................... 231 3.2.1. Общие критерии согласия, модифицированные для проверки нормаль™ ности распределения B31). 3.2.1.1. Модифицированный критерий %2 B31). 3.2.1.2. Критерии типа Колмогорова-Смирнова B33). 3.2.1.3. Критерий Фро- цини B35). 3.2.2. Специальные критерии нормальности B35). 3.2.2.1. Кри- Критерий Шапиро—Уилка B38). 3.2.2.2. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека) B41). 3.2.2.3. Критерий Хегази-Грина B43). 3.2.2.4. Критерий Али—Чёрго-Ревеса B44). 3.2.2.5. Корреляционный крите- критерий Филлибена B45). 3.2.2.6. Регрессионный критерий нормальности Ла Бре- ка B48). 3.2.2.7. Критерий нормальности Локка—Спурье B52). 3.2.2.8. Крите- Критерий нормальности Оя B54). 3.2.2.9. Критерий среднего абсолютного отклоне- отклонения (критерий Гири) B57). 3.2.2.10. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона B58). 3.2.2.11. Комбинированный критерий Шпигельхальтера B60). 3.2.2.12. Крите- Критерий нормальности Саркади B61). 3.2.2.13. Критерий нормальности Лина-Мудхолкара B63). 3.2.2.14. Критерий нормальности Мартинеса-Игле- вича B65). 3.2.2.15. Критерий нормальности Д'Агостино B66). 3.2.2.16. Кри- Критерии асимметрии и эксцесса B68). 3.2.2.17. Критерий характеристической функции (критерий Муроты-Такеучи) B72). 3.2.2.18. Критерии проверки нормальности распределения по совокупности независимых выборок малого объема B73). 3.2.2.18.1. Применение критерия Шапиро-Уилка B74). 3.2.2.18.2. Применение критерия Саркади B74). 3.2.2.18.3. Критерий Смир- Смирнова B75). 3.2.2.19. Сравнительная мощность различных критериев нормаль- нормальности B77).
Содержание 3.3. Критерии проверки экспоненциальное™ распределения ................ 279 3.3.1. Критерий Шапиро-Уилка B79). 3.3.2. Критерии типа Колмогорова™ Смирнова B82). 3.3.3. Критерии типа Смирнова-Крамера-фон Мизеса для цензурированных данных B86). 3.3.4. Критерий Фроцини B88). 3.3.5. Корре- ляционный критерий экспоненциальности B88). 3.3.6. Регрессионный критерий Брейна—Шапиро B90). 3.3.7. Критерий Кимбера—Мичела B92). 3.3.8. Критерий Фишера B93). 3.3.9. Критерий Бартлетта-Морана B94). 3.3.10. Критерий Климко-Антла-Радемакера^Рокетта B94). 3.3.11. Критерий Холлендера-Прошана B95). 3.3.12. Критерий Кочара B98). 3.3.13. Кри- терий Эппса-Палли-Чёрго-Уэлча B99). 3.3.14. Критерий Бергмана C01). 3.3.15. Критерий Шермана C03). 3.3.16. Критерий наибольшего интерва- ла C04). 3.3.17. Критерий Хартли C05). 3.3.18. Критерий показательных меток C05). 3.3.19. Ранговый критерий независимости интервалов C06). 3.3.20. Критерии, основанные на трансформации экспоненциального распре™ деления в равномерное C08). 3.3.20.1. Критерий U C08). 3.3.20.2. Крите- рий U C09). 3.3.20.3. Критерий Гринвуда C09). 3.3.21. Критерий Манн^ Фертига-Шуера для распределения Вейбулла C11). 3.3.22. Критерий Дешпан- де C16). 3.3.23. Критерий Лоулесса C17). 3.4. Критерии согласия для равномерного распределения .................. 319 3.4.1. Критерий Шермана C19). 3.4.2. Критерий Морана C20). 3.4.3. Крите- Критерий Ченга—Спиринга C22). 3.4.4. Критерий Саркади—Косика C23). 3.4.5. Эн- Энтропийный критерий Дудевича-ван дер Мюлена C24). 3.4.6. Критерий Хе- гази-Грина C26). 3.4.7. Критерий Янга C28). 3.4.8. Критерии типа Кол- Колмогорова—Смирнова C30). 3.4.9. Критерий Фроцини C31). 3.4.10. Крите- Критерий Гринвуда-Кэсенберри-Миллера C32). 3.4.11. „Сглаженный" критерий Неймана-Бартона C33). 3.5. Критерии симметрии ........................................ 336 3.5.1. „Быстрый" критерий Кенуя C36). 3.5.2. Критерий симметрии Смир- Смирнова C37). 3.5.3. Знаковый критерий симметрии C37). 3.5.4. Одновыбо- рочный критерий Вилкоксона C39). 3.5.5. Критерий Антилла—Керстинга— Цуккини C40). 3.5.6. Критерий Бхатачарья-Гаствирта-Райта (модифициро- (модифицированный критерий Вилкоксона) C42). 3.5.7. Критерий Финча C44). 3.5.8. Кри- Критерий Бооса C45). 3.5.9. Критерий Гупты C48). 3.5.10. Критерий Фрезе- Фрезера C50). 3.6. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным . 352 3.6.1. Кривые распределения Джонсона C52). 3.6.1.1. Семейство распреде- распределений Sl Джонсона C53). 3.6.1.2. Семейство распределений Sb Джонсо- Джонсона C55). 3.6.1.3. Семейство распределений Su Джонсона C57). 3.6.2. Кри- Кривые распределений Пирсона C68). 3.6.2.1. Кривые Пирсона типа I C69). 3.6.2.2. Кривые Пирсона типа II C75). 3.6.2.3. Кривые Пирсона типа III C77). 3.6.2.4. Кривые Пирсона типа IV C78). 3.6.2.5. Кривые Пирсона типа V C80). 3.6.2.6. Кривые Пирсона типа VI C81). 3.6.2.7. Кривые Пирсона типа VII C82). 3.6.3. Разложение теоретических распределений C84). 3.6.4. Метод вкла- вкладов C85). Глава 4. Проверка гипотез о значениях параметров распределений. . . . 388 4.1. Сравнение параметров распределений ............................ 389 4.1.1. Сравнение параметров нормальных распределений C89). 4.1.1.1. Срав- Сравнение двух средних значений C89). 4.1.1.1.1. Сравнение при известных дис- дисперсиях а\ и <j\ C89). 4.1.1.1.2. Сравнение при неизвестных равных диспер- дисперсиях C90). 4.1.1.1.3. Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях C91). 4.1.1.1.3.1. Критерий Кохрана-Кокса C91). 4.1.1.1.3.2. Критерий Сатервай- та C91). 4.1.1.1.3.3. Критерий Уэлча C92). 4.1.1.1.4. Модифицированный критерий Стыодента C92). 4.1.1.1.5. Парный t-критерий сравнения сред- средних C93). 4.1.1.1.6. Критерий Уолша, основанный на порядковых статисти-
Содержание ках C94). 4.1.1.1.7. Двухступенчатый двухвыборочный медианный критерий Волфа C95). 4.1.1.1.8. F-критерий для сравнения двух средних с одинаковы- одинаковыми дисперсиями C96). 4.1.1.2. Сравнение нескольких (к > 2) средних C97). 4.1.1.2.1. Модифицированный критерий Стьюдента C97). 4.1.1.2.2. Крите- Критерий „стьюдентизированного" размаха C99). 4.1.1.2.3. Дисперсионный кри- критерий C99). 4.1.1.2.4. Критерий Полсона D02). 4.1.1.2.5. Метод прямого сравнения (критерий Тыоки) D03). 4.1.1.2.6. Критерий „стьюдентизирован- ного" максимума (обобщенный критерий Тыоки) D05). 4.1.1.2.7. Критерий Шеффе D06). 4.1.1.2.8. Критерий Стьюдента-Ньюмена-Кейлса D07). 4.1.1.2.9. Критерий Дункана D08). 4.1.1.2.10. Критерий Линка—Уоллеса D08). 4.1.1.3. Сравнение двух дисперсий D12). 4.1.1.3.1. Критерий Фишера D12). 4.1.1.3.2. Критерий Романовского D13). 4.1.1.3.3. Критерий отношения раз™ махов D14). 4.1.1.3.4. Критерий „стьюдентизированного" размаха D15). 4.1.1.3.5. Критерий Аризоно-Охты D15). 4.1.1.4. Сравнение нескольких (к > 2) дисперсий D16). 4.1.1.4.1. Критерий Бартлетта D17). 4.1.1.4.2. Критерий Кохрана D18). 4.1.1.4.3. Критерий Неймана—Пирсона (критерий отношения правдоподобия) D19). 4.1.1.4.4. Критерий Блисса-Кохрана—Тыоки D21). 4.1.1.4.5. Критерий Хартли D21). 4.1.1.4.6. Критерий Кэдуэлла-Десли-Бра- уна D22). 4.1.1.4.7. Критерий Самиуддина D23). 4.1.2. Сравнение парамет- параметров экспоненциальных распределений D24). 4.1.2.1. Сравнение двух парамет- параметров D24). 4.1.2.1.1. Критерий Фишера D24). 4.1.2.1.2. Критерий Фишера при сравнении интенсивностей отказов (А) D25). 4.1.2.1.3. Двухвыборочный пуассоновский критерий D26). 4.1.2.1.4. Сравнение значения параметра с заданным D26). 4.1.2.2. Сравнение нескольких (к ^ 2) параметров D29). 4.1.2.2.1. Критерий Дэвида D29). 4.1.2.2.2. Критерий максимального прав- правдоподобия D30). 4.1.2.2.3. Критерий отношения правдоподобия (критерий Нагарсенкера) D31). 4.1.2.2.4. Критерий Чена для двухпараметрических экс- экспоненциальных распределений D32). 4.1.2.2.5. Комбинированный критерий Сингха D33). 4.1.3. Сравнение параметров биномиальных распределе- распределений D35). 4.1.3.1. Сравнение двух параметров D35). 4.1.3.2. Сравнение зна- значения параметра с заданным D36). 4.1.3.3. Сравнение нескольких парамет- параметров (к ^ 2) D37). 4.1.4. Последовательные методы проверки гипотез о зна- значениях параметров распределений (последовательный анализ Вальда) D38). 4.1.4.1. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения D39). 4.1.4.1.1. Проверка гипотезы о значении среднего D39). 4.1.4.1.2. Проверка гипотезы о значении дисперсии D46). 4.1.4.2. Проверка гипотезы о параметре экспоненциального распределения D47). 4.1.4.3. Проверка гипотезы о пара- параметре биномиального распределения D49). 4.2. Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности ста- статистических данных ......................................... 451 4.2.1. Непараметрические критерии сдвига D52). 4.2.1.1. Сравнение парамет- параметров сдвига двух совокупностей D52). 4.2.1.1.1. Быстрый (грубый) критерий Кенуя D52). 4.2.1.1.2. Ранговые критерии сдвига D53). 4.2.1.1.2.1. Быстрый (грубый) ранговый критерий D53). 4.2.1.1.2.2. Критерий Манна—Уитни—Вил- коксона D54). 4.2.1.1.2.3. Критерий Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга D59). 4.2.1.1.2.4. Критерий Ван дер Вардена D60). 4.2.1.1.2.5. Медианный кри- критерий D62). 4.2.1.1.2.6. Критерий Мостеллера D64). 4.2.1.1.2.7. Критерий Розенбаума D64). 4.2.1.1.2.8. Критерий Хаги D64). 4.2.1.1.2.9. ^-крите- ^-критерий D65). 4.2.1.2. Сравнение параметров сдвига нескольких (к > 2) совокупно- совокупностей D66). 4.2.1.2.1. Критерий Крускала-Уоллиса D66). 4.2.1.2.2. Критерий Неменьи D69). 4.2.1.2.3. Критерий Вилкоксона-Вилкокс D71). 4.2.1.2.4. „Бы- „Быстрый" критерий Кенуя D73). 4.2.1.2.5. Критерий Фишера-Терри-Йэйтса- Гёфдинга D73). 4.2.1.2.6. Критерий Ван дер Вардена D75). 4.2.1.2.7. Ме- Медианный критерий D75). 4.2.1.2.8. Критерий Хеттманспергера D76). 4.2.1.2.9. Критерий Терпстры-Джонкхира D77). 4.2.1.2.10. Критерий Мое-
10 Содержание теллера D79). 4.2.1.2.11. Критерий Левиса D79). 4.2.1.2.12. L-критерий, основанный на 17-статистиках D80). 4.2.1.2.13. Критерий Краузе D81). 4.2.1.2.14. Критерий Пейджа D82). 4.2.1.2.15. Критерий Фридмена—Кендалла— Бэбингтона Смита D84). 4.2.1.2.16. Критерий Андерсона-Каннемана- Шэча D86). 4.2.1.2.17. Критерий со взвешенными ранжировками Даны Квейд D87). 4.2.1.2.18. Критерий Кендалла-Эренберга D89). 4.2.1.2.19. Кри- Критерий Ходжеса—Лемана—Сена D90). 4.2.2. Непараметрические критерии мас- масштаба D92). 4.2.2.1. Сравнение параметров масштаба двух совокупнос- совокупностей D92). 4.2.2.1.1. Критерий Ансари-Бредли D92). 4.2.2.1.2. Критерий Сижела-Тыоки D95). 4.2.2.1.3. Критерий Кейпена D96). 4.2.2.1.4. Критерий Клотца D99). 4.2.2.1.5. Квартальный критерий E01). 4.2.2.1.6. Критерий Сэвиджа E02). 4.2.2.1.7. Критерий Муда E04). 4.2.2.1.8. Критерий Сукхат- ме E05). 4.2.2.1.9. Критерий Сэндвика-Олссона E07). 4.2.2.1.10. Критерий Краута-Динерта E08). 4.2.2.1.11. Критерий Камата E09). 4.2.2.1.12. Комби- Комбинированный критерий Буша—Винда E11). 4.2.2.2. Сравнение параметров мае™ штаба нескольких (к > 2) совокупностей критерием Бхапкара-Дешпанде E14). 4.3. Критерии тренда и случайности ................................ 517 4.3.1. Критерий Аббе—Линника E17). 4.3.2. Критерий Фостера-Стюарта E19). 4.3.3. Критерий Кокс-Стюарта E20). 4.3.4. Критерий обнаружения сдвига дисперсии в неизвестной точке (критерий Хсу) E22). 4.3.5. Ранговый крите- критерий обнаружения сдвига дисперсии в неизвестной точке E24). 4.3.6. Сериаль- Сериальный критерий случайности E26). 4.3.6.1. Критерий Вальда-Волфовитца E26). 4.3.6.2. Критерий Рамачандрана-Ранганатана E30). 4.3.6.3. Сериальный кри- критерий Шахнесси E30). 4.3.6.4. Критерий Олмстеда E32). 4.3.6.5. Критерий числа серий знаков первых разностей E33). 4.3.7. Критерий инверсий E35). 4.3.8. Критерий автокорреляции E36). 4.3.9. Критерии ранговой корреля- корреляции E39). 4.3.9.1. Критерий Вальда-Волфовитца E39). 4.3.9.2. Критерий Бартелса E40). 4.3.10. Критерий кумулятивной суммы E41). 4.3.11. Знаково- ранговый критерий Холлина E42). 4.3.12. Критерии обнаружения выбро- выбросов E43). 4.3.12.1. Критерии выбросов в случае нормального распределе- распределения E44). 4.3.12.1.1. Критерий Шовене E44). 4.3.12.1.2. Критерий Ирви- на E44). 4.3.12.1.3. Критерий Груббса E45). 4.3.12.1.4. Критерий наиболь- наибольшего абсолютного отклонения E47). 4.3.12.1.5. Критерий Дэвида E47). 4.3.12.1.6. Критерии Диксона E48). 4.3.12.1.7. Критерий Хоглина-Иглеви- ча E50). 4.3.12.1.8. Критерий Титьена—Мура для обнаружения нескольких выбросов E53). 4.3.12.1.9. Критерий Роснера для обнаружения нескольких выбросов E57). 4.3.12.2. Критерии выбросов для экспоненциального рас- распределения и распределения Вейбулла E59). 4.3.12.2.1. Критерии выбросов для экспоненциального распределения E59). 4.3.12.2.1.1. Критерий Смоляка— Титаренко E59). 4.3.12.2.1.2. Критерий Бродского-Быцаня-Власенко E59). 4.3.12.2.1.3. Критерий Кимбера для нескольких выбросов E61). 4.3.12.2.2. Кри- Критерии выбросов для распределения Вейбулла E64). 4.3.12.3. Критерий выбро- выбросов для любого непрерывного распределения (критерий Дарлинга) E65). 4.4. Толерантные пределы ........................................ 569 4.4.1. Толерантные пределы в случае нормального распределения E69). 4.4.1.1. Толерантные пределы при известных параметрах распределения (/i, мо") E69). 4.4.1.2. Толерантные пределы при неизвестных параметрах рас- распределения E69). 4.4.1.2.1. Среднее/i неизвестно, дисперсия сг2 известна E69). 4.4.1.2.2. Среднее /j, известно, дисперсия а2 неизвестна E72). 4.4.1.2.3. Сред- Среднее II и дисперсия а2 неизвестны E73). 4.4.1.2.4. Толерантные пределы, осно- основанные на выборочном размахе E77). 4.4.1.2.5. Толерантные пределы для выборочных дисперсий E79). 4.4.2. Непараметрические толерантные преде- пределы E80). 4.4.3. Толерантные пределы для будущих наблюдений и прогнозиро- прогнозирование E83). 4.4.3.1. Прогнозные интервалы Холла—Прейри E83). 4.4.3.2. Про- Прогнозные интервалы в задачах испытаний на надежность E87).
Содержание 11 Глава 5. Методы исследования связей между случайными величинами 590 5.1. Дисперсионный анализ ....................................... 590 5.1.1. Классический дисперсионный анализ нормально распределенных слу- случайных величин E91). 5.1.1.1. Однофакторный дисперсионный анализ E91). 5.1.1.2. Двухфакторный дисперсионный анализ E94). 5.1.2. Дисперсионный анализ с использованием размахов E96). 5.1.3. Непараметрический диспер- дисперсионный анализ E98). 5.1.3.1. Двухфакторный непараметрический диспер- дисперсионный анализ для неполных данных E98). 5.1.3.1.1. Критерий Принти- са E98). 5.1.3.1.2. Критерий Мака^Скиллингса F01). 5.1.3.1.3. Критерий Лемаыа-Мака F03). 5.2. Корреляционный анализ ...................................... 606 5.2.1. Классический корреляционный анализ нормально распределенных слу- случайных величин F06). 5.2.1.1. Оценка коэффициента корреляции F06). 5.2.1.2. Оценка корреляционного отношения F09). 5.2.1.3. Частная и мно- множественная корреляции F11). 5.2.2. Непараметрический корреляционный анализ F14). 5.2.2.1. Оценивание корреляции с помощью порядковых статистик F14). 5.2.2.1.1. Оценка корреляции с помощью тренда F14). 5.2.2.1.1.1. Критерий Кенуя F14). 5.2.2.1.1.2. Критерий Кокс^Стюарта F15). 5.2.2.1.2. Знаковый корреляционный критерий Нелсона F16). 5.2.2.1.3. Ква- Квадрантный критерий F17). 5.2.2.1.4. "Угловой критерий Олмстеда—Тьюки F20). 5.2.2.1.5. Приближенный критерий Шахани F21). 5.2.2.1.6. Сериальный критерий Шведа—Эйзенхарта F21). 5.2.2.1.7. Критерий автокорреляции Кенуя F22). 5.2.2.1.8. Критерий Блума-Кифера-Розенблатта F23). 5.2.2.2. Ранговая корреляция F24). 5.2.2.2.1. Коэффициент ранговой корре- корреляции т Кендалла F24). 5.2.2.2.2. Коэффициент корреляции р Спир- мена F26). 5.2.2.2.3. Критерий Гёфдинга F28). 5.2.2.2.4. Критерий Ширахатэ F30). 5.2.2.2.5. Критерий корреляции Фишера-Йэйтса F32). 5.2.2.2.6. Коэффициент корреляции Ван дер Вардена F33). 5.2.2.2.7. Коэф- Коэффициент конкордации Кендалла-Бэбингтона Смита F34). 5.2.2.2.8. Коэф- Коэффициент конкордации Шукеыи-Фроли F36). 5.2.2.3. Точечыо-биеериальная корреляция F38). 5.2.2.4. Статистическая оценка связи между качественными признаками (таблицы сопряженности признаков) F39). 5.2.2.4.1. Оценка свя- связи признаков в таблицах сопряженности 2x2 F39). 5.2.2.4.1.1. Меры связи в таблицах сопряженности 2x2 F40). 5.2.2.4.1.1.1. Коэффициент ассоциа- ассоциации F40). 5.2.2.4.1.1.2. Коэффициент коллигации Юла F40). 5.2.2.4.1.1.3. Ко- Коэффициент контингенции (сходства) F41). 5.2.2.4.1.1.4. Точный критерий Фишера F41). 5.2.2.4.1.1.5. Быстрые критерии оценки связи в таблицах сопря- сопряженности 2x2 F42). 5.2.2.4.1.1.6. Модифицированный критерий знаков Мак- Нимара F43). 5.2.2.4.1.1.7. G-критерий Вулфа F44). 5.2.2.4.1.1.8. Критерий Ле Роя для сравнения двух таблиц сопряженности 2x2 F45). 5.2.2.4.1.1.9. Вы- Выбор числа наблюдений для анализа таблиц сопряженности 2x2 F45). 5.2.2.4.2. Оценка связи признаков в многоклеточных таблицах сопряженности г х с F46). 5.3. Регрессионный анализ ....................................... 648 5.3.1. Линейный регрессионный анализ F49). 5.3.1.1. Оценка коэффициентов регрессии F49). 5.3.1.1.1. Оценка наименьших квадратов F49). 5.3.1.1.2. Про- Простейшие оценки коэффициентов регрессии F52). 5.3.1.1.2.1. Метод Бартлетта— Кенуя F52). 5.3.1.1.2.2. Метод Керрича F52). 5.3.1.1.3. Робастные методы оценки параметров регрессии F53). 5.3.1.1.3.1. Медианный критерий Брауна™ Муда F53). 5.3.1.1.3.2. Оценка Тейла F54). 5.3.1.2. Статистическое оценива- оценивание регрессии F55). 5.3.1.2.1. Статистический анализ коэффициентов регрес- регрессии F55). 5.3.1.2.1.1. Оценки наименьших квадратов F55). 5.3.1.2.1.2. Ро- Робастные оценки Тейла F57). 5.3.1.2.2. Статистический анализ уравнения регрессии F58). 5.3.1.2.2.1. Оценка адекватности регрессии F58). 5.3.1.2.2.2. Анализ регрессионных остатков F58). 5.3.1.2.2.3. Оценка выбросов
12 Содержание в регрессии F60). 5.3.1.2.2.3.1. Критерий Эктона F61). 5.3.1.2.2.3.2. Кри- Критерий Титьена—Мура—Бекмана F62). 5.3.1.2.2.3.3. Критерий Прескотта— Лунда F63). 5.3.1.2.3. Доверительные области и толерантные границы ре- регрессии F65). 5.3.1.2.3.1. Доверительная область простой линейной регрес- регрессии F65). 5.3.1.2.3.2. Оценка обращенного уравнения регрессии F69). 5.3.1.2.3.3. Толерантные интервалы для линейной регрессии F70). 5.3.1.3. Сравнение линейных регрессий F72). 5.3.1.4. Некоторые специаль- специальные задачи линейного регрессионного анализа F74). 5.3.1.4.1. Оценка вер- вершины кусочно-ломаной линии регрессии F74). 5.3.1.4.2. Определение объ- объема испытаний для получения заданной точности оценки коэффициента ре- регрессии F78). 5.3.2. Множественная линейная регрессия F80). 5.3.3. Нели- Нелинейный регрессионный анализ F81). 5.3.3.1. Линеаризация нелинейной мо- модели заменой переменных F81). 5.3.3.2. Полиномиальная нелинейная ре- регрессия (полиномы Чебышева) F82). 5.3.4. Выбор наилучшей регрессион- регрессионной модели по Вильямсу—Клуту F87). 5.3.5. Прогнозирование по регрес- регрессии F89). 5.3.6. Специальные методы сглаживания экспериментальных дан- данных F91). 5.3.6.1. Метод наименьших модулей F92). 5.3.6.2. Метод послед- последней точки F94). 5.3.6.3. Метод однозначной аппроксимации F94). 5.3.6.4. Ме- Метод обратных разделенных разностей F96). 5.3.6.5. Метод условно-относи- условно-относительных разностей F96). 5.4. Контрольные карты ......................................... 697 5.4.1. Контрольные карты Шухарта F97). 5.4.1.1. х- и 1?-карты F98). 5.4.1.2. s-карта F99). 5.4.1.3. х- и s-карты для выборок неравного объема G00). 5.4.1.4. Контрольная карта для доли дефектных изделий (р-карта) G01). 5.4.1.5. Контрольная граница числа дефектов (с-карта) G03). 5.4.1.6. Карты индивидуальных значений и скользящего размаха G03). 5.4.2. Контроль- Контрольные карты накопленных сумм (ККНС) G04). 5.4.2.1. ККНС для среднего значения G05). 5.4.2.2. ККНС выборочных размахов G07). 5.4.2.3. ККНС для выборочных дисперсий G09). 5.4.2.4. ККНС для доли дефектных изде- изделий G10). 5.4.2.5. ККНС для числа дефектных изделий, основанная на рас- распределении Пуассона G11). 5.4.3. Относительная эффективность контроль- контрольных карт G12). 5.4.4. Контроль без использования контрольных карт G13). 5.5. Математико-статистические методы планирования эксперимента ......... 715 5.5.1. Планирование регрессионных экспериментов при изучении механизма явления (статистическое моделирование) G15). 5.5.1.1. Линейные ортогональ- ортогональные планы (планирование первого порядка) G16). 5.5.1.1.1. Полный фактор- факторный эксперимент G16). 5.5.1.1.2. Дробный факторный эксперимент G20). 5.5.1.2. Нелинейные планы второго порядка G22). 5.5.1.2.1. Симметричные планы второго порядка G22). 5.5.1.2.2. Ортогональные симметричные пла- планы G24). 5.5.1.2.3. Ротатабельные планы G27). 5.5.1.2.4./^-оптимальные пла- планы G28). 5.5.1.2.5. Несимметричные планы второго порядка G29). 5.5.2. Пла- Планирование экспериментов по поиску оптимума G32). 5.5.2.1. Метод крутого восхождения G32). 5.5.2.2. Симплексное планирование G34). Очень короткое послесловие ....................................... 736 Список литературы ............................................. 737 Сокращенные названия использованных журналов ....................... 760 Перечень демонстрационных задач .................................. 761 Перечень математико-статистических таблиц ........................... 789 Предметный указатель ........................................... 806 Именной указатель .............................................. 811
Всякая вещь есть форма проявления беспредельного разнообразия. Многие вещи нам непонятны не потому^ что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий. Козьма Прутков О математической статистике и об этой книге (обращение к читателю) "Что такое математическая статистика и зачем она нам? Здравствуй, уважаемый читатель! Кто бы ты ни был — инженер, медик, эконо- экономист, агроном, биолог, психолог или географ, каждый день и каждый час ты имеешь дело с потоком данных, обрушивающихся на тебя. С их помощью окружающий нас мир пытается поведать о себе. Результатами испытаний прибора сообщить инжене™ ру о том, что он создал; сведениями о заболеваниях рассказать медику о результатах его работы; информацией о работе промышленности заставить экономиста еще раз проверить эффективность экономической системы. Так или иначе, каждый из нас, оглядываясь в прошлое или заглядывая в будущее, не уйдет от необходимости получать информацию и извлекать из нее ответы на свои многочисленные вопросы. Казалось бы, чего проще — взглянул инженер на результаты испытаний прибора и выявил все свои недоработки, медик получил результаты анализов и безошибочно поставил правильный диагноз. Однако горький опыт подсказывает, что это далеко не всегда так. Оказывается, что, наблюдая одно и то же явление, мы будем полу™ чать все время разные результаты. Это — проявление могущества Его Величества Случая. Слово случай, такое прозрачное для статистика-профессионала, остается для большинства инженеров промышленности, медиков, биологов и экономистов символом вмешательства темных, не поддающихся контролю сил. Отчасти это является интуитивной реакцией „здравого смысла" на двойственность и взаимо™ обусловленность понятийной пары „случайность — детерминированность". Любое событие (или цепь событий) наблюдатель справедливо считает проявле- проявлением реальности. С точки зрения теории вероятностей любое наблюдаемое событие уникально, неповторимо и, стало быть, формально невероятно, ибо для математи- математической случайности нет нулевой и единичной вероятностей. Однако версия матема- математической случайности предполагает, что наблюдаемая последовательность событий является частью более общей последовательности громадного периода, в которой наблюдаемая последовательность содержится много раз. Так детерминированность здравого смысла соприкасается со случайностью математической абстракции. Возможности человека, слава Богу, будут всегда ограничены. Он не сможет повторить один и тот же опыт бесконечное число раз, а поэтому он никогда не узнает все обо всем, и ему всегда придется, принимая решение, исходить из своего нелегкого опыта. Однако надежды его не так уж беспочвенны, ибо еще гениальный В. Шекспир отметил, что „непременно за шалой случайностью, радуясь своей странноватой склонности, как свинья в грязи бескрайности, прикорнула наглейшая определенность".
14 О математической статистике и об этой книге Как поймать за хвост эту „наглейшую определенность", как увидеть что-то осмысленное в обрушивающейся на нас лавине информации, чем защититься от потока досаждающих случайностей? Такой инструмент человек нашел более 300 лет тому назад: это математическая статистика — теория познания мира через опыт. Ее приемы и правила позволяют, располагая противоречивыми результатами наблюдений, выбрать из всех гипотез наиболее правдоподобную. Один из основателей и корифеев математики случайностей Влез Паскаль определил ее как „учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределенностью случая и примиряющее эти, казалось бы, противоречивые эле- элементы". Однако у неискушенного в премудростях науки современника статистика ассоциируется скорее с метким афоризмом Дизраэли — „есть ложь, большая ложь и статистика", чем с изящным инструментом, крайне необходимым ему в работе. В Англии конца 18-го века описательная статистика получила знаменательное название „политическая арифметика". Вот такой „политической арифметикой", спо- способной на потребу политикам „гармонизировать" любые данные, и осталась для многих статистика. Подобно „доброму человеку из Сезуана" Б. Брехта, мы привык™ ли к тому, что „дурной конец заранее отброшен, он должен, должен, должен быть хорошим". Ясно, что такие призывы никак не могут быть питательной средой математиче- математической статистики. Ее питательной средой и ресурсной базой являются эксперимен- экспериментальные и прикладные науки, практическая деятельность человека, рассматрива- рассматривающая повторяющиеся опыты как единое целое. Мы познаём окружающий нас мир, выдвигая и проверяя по результатам экспе- римента гипотезы о его свойствах. Получающиеся при этом выводы и заключения, никогда не обладая абсолютной достоверностью, тем не менее способны обострить интуицию исследователя, привести его от предварительных гипотез к более общим и строгим теориям. Другими словами, методы математической статистики — это мощный (а иногда, и единственный) многофункциональный инструмент в руках инженера и исследователя, медика и биолога, психолога и географа, студента и про- профессора. Более ста лет тому назад человек, к своему изумлению, выяснил, что если бы случайность отсутствовала, ее нужно было бы изобрести, ибо, оказывается, в слу- случайности заключены не только растерянность неопределенности, но и созидающая сила многовариантности. Как ни парадоксально, но поиск оптимальных условий протекания процесса наиболее эффективен, когда он реализуется в форме слу- чайного поиска. Контроль качества изделий в производстве наиболее эффективен при обеспечении случайного отбора изделий из контролируемой партии. В конце концов, происхождению жизни, а, следовательно, и нашему существованию, мы обязаны случаю. Все мы помним пушкинскую строку „ ... гений, парадоксов друг". Но, если внимательно дочитать поэта, то вслед за этой чудесной строкой следует не менее замечательная „...и случай, Бог — изобретатель". Поэтому не следует считать математическую статистику только инструментом устранения досадного влияния случая. Нет, вместе с созидающим случаем математическая статистика является языком, на котором „Бог — изобретатель" разговаривает с нами. И знать этот язык обязан каждый инженер, исследователь, каждый специалист. Если „перед ошибками захлопываем дверь, в смятеньи истина: „Как я войду теперь?" — справед- ливо подметил Р. Тагор. Практически любое решение, которое приходится принимать инженеру, руко- руководителю производства, так или иначе требует применения методов обработки ре- результатов наблюдений. Приведет ли внедренное новшество к повышению качества продукции? зависит ли наблюдаемый процесс от заданного фактора? существует
О математической статистике и об этой книге 15 ли связь между исследуемыми величинами? сколь она сильна? — это типовые зада™ чи математической статистики. Сколь долго можно ожидать безотказной работы прибора? как спланировать его заводские испытания? — это тоже задачи математи- математической статистики. Перечисление таких примеров можно продолжать бесконечно, столь бесконечны и сложны взаимосвязи нашего разума с вечно меняющимся, бесконечным по форме и бездонным по содержанию миром, нас окружающим. Однако вместе с разумом человек обрел не только гордость бесконечности, но и привычку довольствоваться достаточным. Почему появилась эта книга? Чем она отличается от других? Можно надеяться, что, вняв изложенным аргументам, инженер или исследо- исследователь пожелает незамедлительно обострить свою интуицию, раздобыть чудодей- чудодейственный инструмент решения своих повседневных задач. Казалось бы, возможности прикладной математической статистики неоспори™ мы. Почему же тогда инженеры и ученые, мастера и рабочие остаются в неведении относительно этих возможностей? Имея многолетний опыт подготовки студентов старших курсов вузов, могу утверждать, что и сегодняшние выпускники имеют весьма смутное представление о современных методах математической статистики, чаще всего не способны применять их на практике. Преподавание этого курса в вузах находится далеко не на должном уровне. Практические навыки выпуск- выпускников ограничиваются туманными воспоминаниями о различных определениях вероятности, иссушающими душу нудными задачами из теории вероятностей, заста- заставляющими вычислять вероятности появления событий методами комбинаторики. Относительно математической статистики молодой специалист знает только одно — дело это темное и „лучшая из парадигм — это правило трех сигм". Для аспирантов и соискателей ученых степеней математическая статистика является чаще всего красивой рамкой или упаковкой для диссертации. Присутствуя на защитах диссертаций и оппонируя их, автор часто разочарованно убеждался, что соискатель не владеет основами обработки результатов наблюдений, а соответству- соответствующие разделы диссертации не более чем подарок коллеги-профессионала. Так почему же инженеров и ученых промышленности не увлекают прелести при- прикладной статистики? Оставив в стороне мотивации, способные склонить их к этому, отметим, что они неизбежно столкнутся, прежде всего, с серьезнейшей проблемой — неимоверным количеством монографий, книг, статей, таблиц и справочников. По данным российского исследователя А. И. Орлова, шестая часть публика- публикаций в математике относится к теории вероятностей, математической статистике и их применениям в различных прикладных областях. Ежегодно появляются более 5 000 статей и книг по этой тематике (читатель вправе заметить: ну вот, еще одна появилась, но об этом позже). К настоящему времени известно более миллиона (!) работ по статистическим методам, причем только по прикладной статистике сохра- сохраняют актуальность более 100 000 статей и книг. В мире издаются более 400 журналов и периодических изданий по проблемам математической статистики. Можно назвать десятки зарубежных журналов математической статистики для инженеров и исследователей: „Annals of the Institute of Statistical Mathematics", „The Annals of Mathematical Statistics" (AMS), „Journal of the Royal Statistical Society" (JRSS), „Biometrics", „Biometrika", „Communication In Statistics", „Journal of the American Statistical Association" (JASA), „Technometrics", „Statistica Neerlandica", „Sunkhya", „The American Statistical", в то время как у нас в стране можно отметить лишь раздел „Математические методы испытаний" в журнале „Заводская лаборато- лаборатория", журнал „Надежность и контроль качества" (в 1991 году в нем выделено место для выпусков „Статистические методы") и отчасти журнал „Теория вероятностей
16 О математической статистике и об этой книге и ее применения" (большинство материалов которого не только начинающему, но и мне не по зубам). Простая „лоция" по океану публикаций в области математической статистики не поможет инженеру или исследователю, лишенному профессиональной подготовки в теоретических вопросах математической статистики. Да и вряд ли ему будут до™ ступно большинство заокеанских книг и журналов — „материков и островов" этого океана, о существовании которого подавляющая часть инженеров и исследователей и не догадывается. Вряд ли еще в каких-нибудь дисциплинах можно встретить книги, содержащие такое огромное количество литературных ссылок (например, в книге Л. Закса „Ста- „Статистическое оценивание"—около 1500 ссылок, в книге М. Холлендера и Л. Вулфа „Непараметрические методы статистики"—около 800). Даже разнобой в термино- терминологии может привести неискушенного читателя в замешательство. Вряд ли он сразу сообразит, что „итерационный" и „сериальный" критерии, „фазочастотный" и „зна™ ковый сериальный" критерии — это различные названия одного и того же критерия. А от такого, например, оборота лихого статистика-профессионала, как „проверив предварительно нормальность распределения критерием Лина^Мудхолкара, допол- дополненным комбинированным критерием Шпигельхальтера, можно приступить к срав- нению средних нескольких выборок, например, с помощью критерия Стьюдента™ Ньюмена^Кейльса", любой нормальный инженер неизбежно должен впасть в тихую грусть и навсегда потерять желание заглядывать в этот раздел науки. Как же быть? Как сделать достоянием практикующих инженеров и исследовате- исследователей сокровищницу наработанных мировой наукой эффективных методов статисти- статистического анализа результатов наблюдений? Эти методы адаптируются к реальным потребностям практиков и включаются в пособия, ориентированные на специали™ стов-нематематиков, как правило, через 10—15 лет после их появления. Такой попыткой является предлагаемая книга. Математическая статистика — наука, устроенная довольно своеобразно, и ее применение — искусство, требующее не только знаний, но и практики, опыта, чутья и интуиции. Сделать такую практику достоянием инженеров и исследователей — цель автора книги. Автор стремился прежде всего отобразить богатую палитру методологических подходов прикладной математической статистики. Он исходил из того, что инженеров и научных работ- работников нужно знакомить с новыми методами и удачными приемами, если даже их приходится излагать на эвристическом уровне. Цель книги — научить пользоваться прикладными методами математической статистики, не требуя владения ее теоре- теоретическими основами. Недостаток понимания основ восполняется подробными реко- рекомендациями и предостережениями, а также обширнейшей библиографией. Древние греки справедливо заметили, что „способности чахнут и теряют естественность при соприкосновении с иссушающими природу учеными наставлениями". Поэтому автор стремился елико возможно избегать таковых и, следуя мудрости Ньютона — „при изучении наук примеры полезнее правил", обратился к наиболее эффективному для пользователя методу изложения материала — в форме демонстрационных примеров и задач. Изложение техники и последовательности расчетных процедур заменены, там, где это не в ущерб истине, пояснением конкретных примеров. При этом ав- автор исходил из того, что заинтересованный только приложениями математической статистики инженер-практик не будет читать все подряд, а попытается разыскать пример, похожий на тот, что его интересует. И он будет прав, ибо прикладная математическая статистика не является наукой, которая может быть изучена только путем чтения. Умение и своеобразное чутье выбрать правильный метод приходит только в процессе решения практических задач. Следуя мудрецу Дейлу Карнеги, признаем, что „в сущности, всё, в конечном счете, сводится к одному — нужно
О математической статистике и об этой книге 17 практиковаться, практиковаться и практиковаться". Компьютер поможет выпол- выполнить расчеты, но не заменит ни процесс формирования гипотезы, ни творчество, проистекающее из воображения. В книге предлагаются около 400 статистических приемов решения всевозмож- ных практических задач. То, что автор приводит такое изобилие различных совре™ менных методов, многие из которых известны пока не каждому профессионалу, не является следствием его неразборчивости, а делается им осмысленно. Причин тому несколько: — современные компьютеры сделали доступными ранее недоступные в вычис- вычислительном отношении методы; — не следует исключать стремление читателя к разнообразию, проистекающее от природного любопытства; — демонстрация различных подходов к одной и той же задаче помогает глубже ее осмыслить. Автор на себе опробовал этот путь, именно так начав знакомство с приклад™ ной математической статистикой, будучи молодым специалистом™электронщиком. Конечный итог даже только знакомства со всем разнообразием методов — путь к пониманию математической статистики, к овладению практическими навыками пользования ее методами. Ведь каждый метод — это демонстрация тех или иных положений статистики. Обилие различных критериев и оценок в статистике не должно пугать — это следствие множественности ситуаций, возникающих в реальной жизни. Знаком™ ство с массой различных приемов статистической обработки данных способству- способствует демонстрации самого механизма, способа мышления, методологии прикладной статистики, помогает глубокому усвоению как ее методов, так и философии. Поль™ зователя не должна смущать эквивалентность некоторых методов, как не пугает его возможность решать одну и ту же жизненную коллизию разными способами. Знакомство с множеством практических приемов позволяет пользователю почув- ствовать „воздух" математической статистики, на уровне подсознания уяснить ее методологию, внутреннюю логику, разнообразие и остроумие подходов. Это способ учиться статистике, да и необходимость выбора подходящего приема из большой совокупности возможных — неплохой тренинг на долгом пути знакомства с мате- математической статистикой для любого инженера или исследователя. Так или иначе, пользователю предлагается совокупность методов и приемов прикладной матема- математической статистики, которая никогда еще не собиралась в одной книге. Изложение материала в книге преследует цель дать по каждому методу на™ бор стандартной информации, включающий в себя: логическое обоснование, связь с другими методами, назначение, авторство, методику расчетов, необходимые та- таблицы и аппроксимации, указания по особенностям применения и статистическим характеристикам, набор демонстрационных задач. Располагая такой исчерпыва- исчерпывающей информацией, пользователь может решать свои практические задачи, не обращаясь ни к каким другим дополнительным источникам. Исчерпывающий характер предлагаемой информации дает пользователю уни- уникальный шанс приобрести в компактной форме весь мировой опыт прикладной математической статистики, в десятки раз сократить время поиска необходимых методов в океане публикаций, в сотни раз повысить эффективность своей работы за счет принятия оптимальных решений в море возможных, сокращения объема испытаний и экспериментальных работ, повышения качества продукции. Эта книга полезна для аспирантов и ученых, желающих (и обязанных) на современном уровне проводить эксперименты и обрабатывать их результаты. Она может быть исполь- использована студентами вузов как универсальное справочное пособие.
18 О математической статистике и об этой книге "Что есть в книге и немного теоретических основ статистики Предлагаемая книга включает в себя пять глав. Все главы связаны между собой единой логикой методологического подхода и посвящены отдельным важнейшим, имеющим самостоятельное практическое значение задачам прикладной математи- математической статистики. Состав и тематика отдельных глав последовательно отражают логику развития самой теории вероятностей и математической статистики. Мы уже говорили о том, что потребность каким-то образом справиться с потоком информации у человека возникла давно, сразу после того, как он стал понимать, что это информация. Есте- Естественно, первое, что отметит каждый из нас — это наличие в потоке информации определенных закономерностей. Источником такой закономерности является нечто объективное, содержащееся в природе наблюдаемого процесса или явления. Прояв- Проявлением этого „нечто" является частота появления определенных событий (величин). Мы отмечаем, что одни события встречаются чаще (или реже), чем другие. Это наблюдение потребовало найти „нечто", которое, говоря словами Гете, „единичное искусно обобщает, объединяя все в торжественный аккорд", и это „нечто" было названо вероятностью. Обращу внимание читателя на одну любопытную деталь. Хорошо известны такие журналы по прикладной математической статистике, как „Технометрикс", „Биометрика", „Эконометрика", „Психометрика". Казалось бы, они являются журналами для специалистов разных профессий, но все они — журналы прикладной математической статистики, и именно она — математическая статисти- статистика — является той „метрикой", которая объединяет все прикладные науки, имеющие дело с потоком числовых данных, ибо, как тонко заметил Валлювар, „что, в сущ- сущности, буква и цифра? Не глаза ли два, которым открыта вся суть естества?" Вернемся к вероятности. Понимая под ней частоту появления отдельных собы- событий в наблюдаемом потоке, человек, естественно, попытался связать вероятность появления случайного события с ее количественным значением. Такая связь может быть описана как функция распределения вероятностей или плотность распреде- распределения вероятностей, являющаяся производной от функции распределения. Опи- Описанию распределений вероятностей посвящена первая глава книги. У читателя может возникнуть вопрос: а зачем, собственно, специально описы- описывать какие-то функции, и откуда они вообще взялись? В конце концов, существуют достаточно хорошо разработанные в математическом анализе приемы исследова- исследования функций, изучаемые еще в школе. Можно, конечно, воспользоваться этими приемами, но мы все-таки имеем дело не просто с математическим соотношением, а с вероятностной моделью. Поэтому для описания функций распределения веро- вероятностей используются специальные меры (параметры), называемые моментами. Отдельные моменты и их комбинации характеризуют такие важные в практическом отношении характеристики распределения вероятностей, как центр группирования данных, степень их рассеяния относительно центра, поведение случайных величин в районе центра группирования, симметричность распределения вероятностей. Среди известных законов распределения вероятностей каждый наверняка назо- назовет нормальный закон. Но немногие спросят: а почему он называется нормальным? Уж не потому ли, что другие распределения ненормальны? Вопрос не так наивен, как кажется. Ничего нормального, судя по математической функции плотности распределения вероятностей /(*) = в нем нет, если не считать, что она содержит достаточно полный набор символов, обычно употребляемых в математике.
О математической статистике и об этой книге 19 Дело в том, что если наблюдаемый процесс зависит от совокупности болыно™ го числа взаимонезависимых (или слабозависимых) факторов, вклад каждого из которых в процесс мал, то, поверь мне, читатель, на слово (это доказали весьма ученые мужи), мы неизбежно придем к нормальному распределению вероятностей. Наверное, оттого, что описанная ситуация представляется нам нормальной, назван нормальным и закон, отражающий влияние случайных факторов на результирую- результирующий процесс. Большинство используемых в прикладной математической статистике распре- распределений вероятностей, так или иначе связано с нормальным законом или сводится к нему. В первой главе книги „Распределения вероятностей случайных ве- величин" приведены подробные сведения более чем о 30 непрерывных и дискретных распределениях вероятностей, исчерпывающих большинство мыслимых практиче- практических ситуаций. Описаны области их применения, методы расчета вероятностей и необходимые аппроксимации. Во второй главе книги „Оценка параметров распределений вероятностей" рассмотрены методы оценки параметров различных распределений вероятностей. Математическое понятие параметр распределения в практике инженера представ™ лен такими знакомыми категориями, как средняя наработка на отказ, интенсив- интенсивность отказов, точность показаний измерительного прибора и т. п. Поэтому ме- методы оценки параметров распределений для инженера и исследователя являются методами извлечения из результатов наблюдений, испытаний и экспериментов ин- информации, позволяющей оценить качество изделий, уровень принятых технических решений. Рассмотрены точечные и интервальные оценки всех наиболее распространен™ ных распределений. Большое внимание уделено „быстрым" упрощенным оценкам, а также непараметрическим (свободным от распределения) и так называемым робастным (robust) оценкам, устойчивым к засорению выборок посторонними наблюдениями. Для практического применения методов математической статистики чрезвычай- чрезвычайно важно знание закона распределения вероятностей. По существу, сама изучаемая величина представлена для исследователя только законом распределения вероят- вероятностей реализации ее значений. Попытка применить методы анализа результатов наблюдений, разработанные для конкретных законов распределения вероятностей, в условиях, когда реальное распределение отличается от гипотетического, является самой распространенной ошибкой, приводящей к неверным выводам и, в конечном итоге, к существенным материальным потерям и затратам времени. Именно поэтому любая обработка результатов наблюдений должна неизменно начинаться с ответа на главный вопрос: каким законом описывается распределение вероятностей совокупности, из которой извлечена обрабатываемая выборка случайных величин? На практике обычно эта проблема формулируется следующим образом. Выдвигается гипотеза, утверждаю- утверждающая, что наблюдаемое распределение случайных величин описывается конкретным законом (нормальным, экспоненциальным, равномерным, Вейбулла и т.д.). Задача первичного анализа — принять или отклонить выдвинутую гипотезу. Если ни одна из гипотез относительно формы закона распределения не принимается, то может быть сформулирована более мягкая гипотеза, например — „наблюдаемое распреде- распределение вероятностей симметрично относительно определенной точки". Установление даже этого факта дает в руки исследователя более эффективные методы анализа наблюдений, чем при полном незнании закона распределения вероятностей. И, на- наконец, если исследователь не получил достаточных оснований для выбора типа рас- распределения, то возникает задача подбора кривой распределения непосредственно по экспериментальным данным.
20 О математической статистике и об этой книге Критерии проверки гипотез о законе распределения вероятностей принято на™ зывать критериями согласия, подразделяя их на две группы — общие и специаль- специальные критерии согласия. Общие критерии согласия применимы к формулировке гипотезы о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением. Специальными критериями проверяются специальные гипоте- зы, формулирующие согласие с конкретной формой распределения — нормальной, экспоненциальной и т. п. Такие критерии носят соответствующие названия — кри- критерии нормальности, критерии экспоненциально сти^ критерии равномерности. Естественно, что при формулировании специфичных требований общие критерии согласия могут быть трансформированы в специальные критерии. Следует отметить, что многообразие возможных альтернатив, противостоящих выдвинутой гипотезе, порождает и чрезвычайное многообразие статистических критериев, имеющих различную мощность по отношению к различным альтернати- альтернативам. В третьей главе „Методы анализа законов распределения вероятностей случайных величин" представлена широкая гамма критериев согласия (более 80), впервые собранная в одной книге. В четвертой главе „Проверка гипотез о значениях параметров распреде- распределений вероятностей" рассматриваются методы проверки предположений о значени- значениях параметров распределений. Формулирование гипотез о свойствах окружающего нас мира и проверка их непосредственно наблюдениями или с помощью целенаправ- ленного экспериментирования составляет основу того, что мы называем наукой или научной деятельностью. Проверка гипотез применительно к потребностям ежедневной практики ин- женера или исследователя приобретает вполне конкретный смысл, зависящий от специфики наблюдаемых реалий, особенностей возникающих коллизий, потреб- потребностей практики, стимулировавших сам процесс зарождения и формулирования гипотезы. Например, часто встречающаяся задача — соответствуют ли параметры разработанного изделия предъявляемым требованиям — в математико-статистиче- ской формулировке может звучать так: „необходимо проверить гипотезу о том, что параметр ? распределения случайной величины X превосходит заданную контроль- контрольную величину ?0"- Сколь разнообразен и сложен окружающий нас мир, столь велико и разнообраз- разнообразно семейство возможных гипотез о его свойствах. Поэтому четвертая глава является самым объемным разделом книги. Автор надеется, что знакомство с многочисленными примерами решения задач является лучшим способом узнавания палитры методов прикладной статисти- статистики. Впрочем, в случае нежелания наблюдать палитру прагматик, располагая этой книгой, получает инструмент решения своих практических задач без необходимости вникать в глубину захватывающего мира обработки результатов наблюдений. Сле- Следует всегда помнить об антагонистическом противоречии между категоричностью и надежностью высказывания по гипотезе: надежное высказывание некатегорично, категоричное высказывание ненадежно. Мы выдвигаем гипотезу и отвергаем ее тогда, когда получаем результат, маловероятный при истинности выдвинутой гипо- гипотезы. Принятая граница маловероятности называется уровнем значимости. Если мы наблюдаем событие, вероятность появления которого не превышает уровень значимости, мы называем его значимым, используя этот термин в качестве анто- антонима термину случайность. Такой метод принятия решений в статистике получил название принципа значимости. При проверке гипотез возможны ошибки двух типов — неправильное отклонение верной гипотезы (ошибка первого рода) и неправильное принятие ложной гипо- гипотезы (ошибка второго рода). Следует помнить, что уровень значимости должен устанавливаться перед получением данных. Это требование для практи-
О математической статистике и об этой книге 21 ка вообще является некоторой головоломкой, но, уважаемый читатель, поверь, что это очень важно. Ты можешь задать естественный вопрос: а какой уровень значимости или достоверности следует выбирать? Увы, но это твоя проблема, читатель, а не математической статистики. Достоверность, с которой ты бы хотел получить ответ на поставленный вопрос, должна определяться тобой исходя из практической ситуации. Желание повысить достоверность заключения по гипотезе связано с увеличением затрат, стремление снизить затраты на проверку гипотезы неизбежно приводит к повышенному риску принять ложное решение. Всё должны определять конкретная ситуация и цена риска. Например, проектируя атомный реактор или переходя дорогу перед транспортом, мы стремимся свести к нулю риск даже повышением затрат, ибо цена высока. Одним из методов сохранения достоверности выводов при снижении затрат на проверку гипотезы является выбор эффективного статистического приема обработки результатов наблюдений. В этом поможет предлагаемая книга. Обычно на практике применяются уровни значимости 0,01; 0,05; 0,1. Важно неукоснительно выполнять основное требование — гипотезы должны быть выдви™ нуты перед статистическим анализом, а сам числовой материал не должен быть использован для выдвижения гипотезы. Гипотезы, выдвинутые на основе анализа полученного материала, могут быть полезны только в качестве новых гипотез для последующих проверок. Перефразируя Томаса Гексли, укажем на вели™ кую трагедию математической статистики как науки — „она способна уничтожить прекрасную гипотезу одним безобразным фактом". В первых четырех главах книги рассмотрены методы и приемы математиче- математической статистики, позволяющие оценить параметры статистических совокупностей, сравнить их между собой. При этом, как правило, предполагалась взаимная неза- независимость сравниваемых совокупностей. В последней, пятой главе „Методы исследования связей между случайными величинами" рассмотрены вопросы оценки связей между статистическими совокупностями. В ней последовательно излагаются методы и приемы дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализов, являющихся последовательными ступенями при изучении характера и особенностей связей между случайными величинами. Методами дисперсионного анализа устанавливается влияние заданного фактора на процесс, отображаемый наблюдаемой статистической совокупностью данных. Корреляционный анализ позволяет оценить силу (степень) такой связи, а методами регрессионного анализа можно установить конкретную математическую модель, адекватно отражающую установленную связь. Стоит ли иметь эту книгу? Подумай! Здесь будет немного рекламы. Но кто без нее сегодня обойдется? Если ты при™ обретешь эту книгу, ты станешь обладателем системы знаний в области обработки и анализа результатов наблюдений. У читателя может возникнуть вопрос: а не проще ли воспользоваться одним из пакетов статистического программного обеспечения и поручить ему обработку ре™ зультатов наблюдений, оставив за собой роль беспечного наблюдателя? Несомненно, такой пакет является изящным и мощным инструментом в руках профессионала, которому знаком язык математической статистики, но он вряд ли поможет ин™ женеру или исследователю, далекому от мира формальной математики и от тер™ минологического языка математической статистики, творчески осмыслить систему решения тех или иных задач, логику изучения процессов методами статистики. Предлагаемая книга может с успехом обеспечить начальный тренинг неподготов- неподготовленному пользователю, подготовив тем самым ему плацдарм для штурма высот современного программного статистического обеспечения.
22 О математической статистике и об этой книге В книге содержится подробное описание около 400 задач, иллюстрирующих решение практически любой проблемы обработки результатов наблюдений. Пере- Перевод методов математической статистики, иногда довольно сложно описываемых языком формальной математики, на язык последовательности выполнения эле- элементарных вычислительных операций делает их доступными неподготовленному пользователю, позволяет ему успешно справляться с возникающими затруднениями на высоком уровне профессионала, не требуя его квалификации и подготовки. Более 200 математико-статистических таблиц являются мощной „базой данных", они предоставляют в распоряжение читателя практически весь арсенал известных таблиц, большая часть которых пока содержится только в специализированных научных журналах, мало известных большинству инженеров^практиков. В распо™ ряжение читателя, который пожелает углубиться в основания прикладной матема- математической статистики, предлагается обширный перечень литературы, содержащий около 700 наименований. Прикладная статистика становится таковой тогда, когда ее методы широко применяются на практике. Наша цель — сделать ее таковой, доведя методы матема- математической статистики до тех, кто, пасуя перед ее высокой математизацией, не вникал в достаточно простой смысл математических символов. Некоторое представление об объеме сведений, содержащихся в книге, и ее базе данных дают содержание глав и перечень основных использованных информацион- информационных источников. Весьма полезен также прилагаемый перечень задач, являющийся ориентиром при выборе задачи, похожей на ту, которую предстоит решить пользо- пользователю. С уважением, Доктор технических наук, профессор А. И. Кобзарь
ГЛАВА 1 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Общие положения. Распределение значений случайной величины по вероят- ности их появления характеризуется интегральной функцией распределения (зако- (законом распределения) и плотностью вероятностей. Интегральная функция (закон) распределения случайной величины X обозна- обозначается через F(x) ж определяется как где Р[Х ^ х]—вероятность того, что значение случайной величины X не превы- превысит X. Плотность вероятности выражается формулой Свойства функций F(x) и f{x) определяются соотношениями: F{x)= | f(x)dx, (^oo) = lim F(x) = 0, f f(x) dx = 1, F(+oo) = lim F{x) = 1, ?[хг < x ^ x2] = F(x2) - F(x{), ^(^г) ^ F(xi), если Х2 ^ x\. Если известен закон распределения вероятностей случайной величины, то можно решать многие практические задачи, возникающие при статистическом анализе экс- экспериментальных данных. Например, вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, вероятности превышения случайной величиной заданного значения и т. п. Определенное представление о функции распределения дают его квантили. По определению а • 100 %-я квантиль (а-квантиль) распреде- распределения, обозначаемая ха, соответствует условию Р(Х < ха) = F(xa) = a. Для описания функций распределения пользуются специальными мерами, по- позволяющими охарактеризовать положение, форму и другие их особенности. Центр распределения характеризуется средним значением /i, медианой Me, модой Мо. Среднее значение ц равно первому начальному моменту, медиана явля- является 50%-й квантилью распределения, мода соответствует значению х случайной величины, для которого f(x) = max. Рассеяние случайных величин вокруг центра группирования оценивается дис- дисперсией (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от
24 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 среднего значения), стандартным отклонением (квадратный корень из диспер™ сии), коэффициентом вариации (отношение стандартного отклонения к математи™ ческому ожиданию случайной величины), размахом w = жшах — хш1п. Симметричность распределения характеризуется коэффициентом асиммет- асимметрии аз, особенности поведения случайной величины в области максимума ее плот- плотности описываются коэффициентом эксцесса «4- Подробно с теоретическими основами теории вероятностей и функциями рас™ пределения можно ознакомиться, обратившись к монографиям [1-22]. Исходя из природы возникновения случайных величин, различают распределения непрерыв- непрерывных и дискретных случайных величин. 1.1. Непрерывные распределения 1.1.1. Нормальное распределение Описание, применение. Наиболее широко применяемое распределение. В са- самом названии распределения отражена идея его универсальности. Нормальное рас™ пределение подробно исследовано в работах Муавра, Лапласа, Гаусса, Чебышева, Ляпунова, Бернштейна. Теоретической основой нормального закона распределения вероятностей является центральная предельная теорема Ляпунова, утверждающая, что распределение суммы независимых случайных величин с любым исходным рас- распределением будет нормальным, если число слагаемых достаточно велико, а вклад каждого в сумму мал. Нормальное распределение является краеугольным камнем математической ста™ тистики в силу ряда причин: — схема его возникновения соответствует многим реальным физическим про™ цессам, порождающим результаты обрабатываемых наблюдений; — при возрастании объема выборки предельное распределение для большин- большинства распределений является нормальным и с успехом может использоваться для аппроксимации последних; — нормальное распределение обладает рядом благоприятных математико-ста- тистических свойств (легко нормируется и аппроксимируется, обладает свойством аддитивности). В теории надежности нормальное распределение обычно используется для опи- описания износовых отказов, интенсивность которых со временем возрастает. Свойства Обозначение -^"(м?а) Параметры /х, а ТТ ?( X 1 I I X - U Плотность j(x;/i,(j) = —-j= ехр < — I X , Функция распределения F(x;u1a) = —-= ехр < —- — оо ^ (^оо < х < +оо) Среднее М(ж) = ц Дисперсия D(x) = a2 Стандартное отклонение а Коэффициент вариации v = —
1.1] Непрерывные распределения 25 Коэффициент асимметрии аз = О Коэффициент эксцесса «4 = 3 Мода Мо = и Медиана Me = /i Распределение симметрично относительно точки х = /i и имеет два параметра /л и сг, совпадающих со средним значением и стандартным отклонением. Для удобства в практических приложениях применяется нормированная слу™ чайная величина z = (х — /i)/c", распределение которой называется стандартным нормальным с нулевым средним и единичной дисперсией: 7V@,1). В большинстве пособий по теории вероятностей и математической статистике приводятся таблицы функции или связанной с ней функции (интеграла) Лапласа Очевидно, что F(-*) = 1 - F(z) и P(a^z^b) = F(b)-F(a). п Сумма у = ^Р а^ж^ нормально распределенных случайных величин N(/j,i]ai) рас™ г=1 преде лена нормально, р-квантиль нормально распределенной случайной величины i?(/i, а) связан с квантилью ис случайной величины, имеющей стандартное нор- нормальное распределение 7V@,1), соотношением Up = /JL + UpCT. В силу симметричности нормального распределения и^ = ^и\_р. Обширные таблицы нормального распределения приведены в [23—29]. Часть их воспроизведена в табл. 1. Так как таблицы всегда ограничены, приведем известные аппроксимации, достаточно легко реализуемые применением существующих массо- массовых микрокалькуляторов или персональных ЭВМ. Аппроксимация 1 [30]: где А = A + bzy1; Ь = 0,33267; аг = 0,4361836; а2 = ^0,1201676; а3 = 0,937298. Абсолютная погрешность ^ 1 • 10~5. Аппроксимация 2 [30]: F(z) = 1 - (V2^2/2) ~X J2 ^\ где А = A + bzy1; Ь = 0,2316419; аг = 0,31938153; а2 = -0,35656378; а3 = 1,7814779; а4 = -1,821256; а5 = 1,3302744. Абсолютная погрешность ^ 1 • 10~ .
26 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Таблица 1 Квантили стандартного нормального распределения р 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,00000 0,05015 0,10043 0,15097 0,20189 0,25335 0,30548 0,35846 0,41246 0,46770 0,52440 0,58284 0,64334 0,70630 0,77219 0,84162 Р 0,820 0,840 0,860 0,880 0,900 0,910 0,920 0,930 0,940 0,950 0,960 0,970 0,980 0,990 0,992 0,994 ир 0,91536 0,99446 1,08032 1,17499 1,28155 1,34075 1,40507 1,47579 1,55477 1,64485 1,75069 1,88079 2,05375 2,32635 2,40891 2,51214 Р 0,995000 0,996000 0,997000 0,998000 0,999000 0,999200 0,999400 0,999500 0,999600 0,999700 0,999800 0,999900 0,999950 0,999990 0,999995 0,999999 Up 2,57583 2,65207 2,74778 2,87816 3,09023 3,15591 3,23888 3,29053 3,35279 3,43161 3,54008 3,71902 3,89059 4,26489 4,41717 4,75342 Аппроксимация 3 [31-33]: (c5 + z(c4 + z(c3 + z(c2 где a = 5,383; c2 = 48,891; c3 = 38,004; c4 = 3277,626; c5 = 21141,006; c6 = 49867,347. Абсолютная погрешность ^ 5 • 10 . Аппроксимация 4 [32, 34]: Относительная погрешность ^ 0,3%. Аппроксимация 5 [32]: = <1^ехр И , 0<z^l,96; 0 ^ #(z) ^ 0,95. Абсолютная погрешность ^ 0,114. Аппроксимация 6 [32]: = il- 0 < z ^ 5,327; 0 ^ #(z) где k = 0,1253. Относительная погрешность ^ 1%. Аппроксимация 7 [35]: ехР Г - *Ч (- 1-7 4 Z ¦°4Т где ai = 0,278393; a2 = 0,230389; a3 = 0,0000972; a4 = 0,078108.
1.1] Непрерывные распределения 27 Аппроксимация 8 [36]: {(i±ifpJ'34}, г>0; при z < 0 F(-z) = 1 - F(z). Абсолютная погрешность ^ 0,0002. Аппроксимация 9 [37]: [] ^ , Р ^ 0,01. Аппроксимация 10 [38]: где с0 = 2,515517; а = 0,802853; с2 = 0,010328; 4 = 1,432788; d2 = 0,189269; d3 = 0,001308. Абсолютная погрешность ^ 0,00045. Аппроксимация 11 [37]: [()] У , Р ^ 0,05. Аппроксимация 12 [32]: = --1пA -р2) , р<0,99. Относительная погрешность ^ 3,7%. Аппроксимация 13 [32]: 2 где к = 1,898. Относительная погрешность Аппроксимация 14 [32]: 0 < р ^ 1 - 1 • 10, Относительная погрешность ^ 0,3%. Аппроксимация 15 [39]: Относительная погрешность ^ 0,3%. Аппроксимация 16 [36]: / X 0,4274 и = 2,0637 In 0,16 - 1,5774, 0,5 ^ р ^ 0,999. V г~Р J Абсолютная погрешность ^ 0,0008.
28 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Аппроксимация 17 [33]: - -lnl-pU -Ьл/2 1-р 0,0455 > 1 - р > 1,244 • 10 Относительная погрешность ^ 0,6%. Аппроксимация 18 [40]: где 5 = -0,717; а = -0,416. Аппроксимация 19 [40]: ~5; 0, ^ (-6 - Л/Ь2+4а1пA-р)), р > 0,5, где Ь = -0,717; а = -0,416. Относительная погрешность ^ 0,5%. Аппроксимация 20 [114]: F(z) = {1 + exp[^0,0725zB2 + z1'96)] }~\ z ^ 0; при z < 0 F(z) = l-F(-2). Точность при трех знаках абсолютная, в четвертом знаке максимальная погрень ность 0,02%. Это одна из наиболее простых и весьма точных аппроксимаций. Аппроксимация 21 [114]: 124 + 085Ж0;657 р ^ 0,5, о,ооож3 + ^р' где К = — In ( — — 1 \Р Относительная погрешность 0,3%. Для многих приложений требуется знание математического ожидания г-й поряд™ ковой статистики в выборке объема п из стандартного нормального распределения, т. е. математического ожидания г-го по номеру члена выборки, упорядоченной по возрастанию. Известно, что математическое ожидание г-го по величине члена выборки из стан- стандартного нормального распределения М(^) равно квантили ир>, где р' = -^- [40]. Таким образом, аппроксимации для квантилей могут быть использованы и для аппроксимации математических ожиданий порядковых статистик, что позволяет отказаться от применения громоздких таблиц. Поясним применение предложенных аппроксимаций при решении практических задач. Задача 1. Вычислить значение функции распределения вероятностей в точке х = 200, если случайная величина распределена нормально со средним ц = 100 и дис- дисперсией а = 2500. Значение нормированной переменной определим по формуле _ х - fj, _ 200 - 100 _ Z ~~ a ~ 50 ~ Таким образом, смысл задачи состоит в нахождении значения F(z) = P(z ^ 2).
1.1] Непрерывные распределения 29 Для вычисления FB) воспользуемся приведенными ранее аппроксимациями. Для контроля будем иметь в виду, что точное табличное значение FB) = 0,97725. Аппроксимация 1. Вычисляем Л = = 0,60047798. F щ 1 + 0,332567-2 Далее имеем (л/2тге~2~) = B, 506628275е2)~1 = 0,053990966. з Находим ]Г а»Л* = 0,436836 • 0,60047798 - 0,1201676 • @560047798J + ... = 0,421529962. г=1 Вычисляем FB) = 1 - 0,053990966 • 0,421529962 = 0,97724119. _ . 0,97725-0,97724119 _ Относительная погрешность о = = 0,0009%. Аппроксимация 2. Вычисляем Л = = 0,683394431 и л/2тгехр — = 0,053990966. 1 + 0,2316419-2 \ \2 J J 5 Вычисляем ]Г а{ • А* = 0, 31938153 • 0,683394431 - 0,35656378 • @,683394431J + ... = = 0,421367913. Находим FB) = 1 - 0,053990966 • 0,421367913 = 0,977249939. 0 97725 — 0 9772499 Относительная погрешность S = — = 0,000006%. F 0,97725 Аппроксимация 3. Последовательно вычисляем 5,383 • 2 + 48,891 = 59,657; 59,657 • 2 + + 38,004 = 157,318; 157,318 • 2 + 3277,626 = 3592,262; 3592,262 • 2 + 21141,006 = 28325,53; 28325,5 • 2 + 49867,347 = 1065518,407; A + 10~6 • 2 • 1065518,407)~16 = 0,45500513. Находим ФB) = 1 - 0,45500513 = 0,954499486 и окончательно ,_,, ч 1 + ФB) 1 + 0,954499486 FB) = — = - = 0,' К J 2 2 Относительная погрешность S = 0,00003%. Аппроксимация 4. Вычисляем v^ {-lf'Z2i _ 22 24 -z- ^ 2* .г! • Ai + Л\ ~ ~ 2^ 22 • 2! • Б ~ 23 • .4! • 7 2*-г!-Bг + 1) 2-3 22 • 2! • 5 23 • 3! • 7 24 • 4! • 9 и находим ФB) = \ - • 2 • 0,616931216 = 0,984479744; FB) = 1 + Ф^ = 0,992239892. V тг 2 Относительная погрешность S = 1,5% велика. 2 • 2" Аппроксимация 5. Вычисляем ФB) = Wl —ехр( 1 = у/1 — е™2'546479089 = V v ж ) = 0,960022359. Имеем FB) = 1 + Ф^ = 0,98011179. Относительная погрешность S = 0,28% велика, так как аппроксимация применена для z > 1,96; Ф(^) > 0,95, т.е. за пределами допустимого диапазона. Аппроксимация 6. Вычисляем последовательно 1+0Д253-22 = 1,5012; ( 0,1253 1 х х 22 = 2,045279089; е'045279089 = 0,129344086; 1 - °?129344086 = 0,913839537. Далее имеем ФB) = ^0,913839537 = 0,955949547 и окончательно = 0,977974773. т к J 2 Относительная погрешность S = 0,07%.
30 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 2 Аппроксимация 7. Вычисляем последовательно 0,27893 • —^ = 0,393707156; 0,23089 х V2 4 23 24 х ~~ = 0,460778; 0,000972 . —= = 2,7492311 • 10~3; 0,078108 • — = 0,312432. 2 ' ' ' 2лД ' ' 4 Окончательно вычисляем FB) = 1 - 0,5A + 0,393707156 + 0,460778 + 2,7492311 • 10~3 + 0,312432) = = 1 - 0,5 • 2,169666387^4 = 0,977436931. Относительная погрешность 8 = 0,02%. + : ^0637 2 + 1 5774 \ ' Аппроксимация 8. Вычисляем ( ;^ОУу ) = 3,623055577 и е-з,б23055577 = = 0,026700965. Окончательно находим FB) = 1 - 0,852 • 0,026706965 = 0,977250777. Относительная погрешность 8 = 0,00007%. Аппроксимация 18. Вычисляем ^0,717 • 2 - 0,416 • 22 = ^3,098; е'098 = 0,04513939. Находим F{2) = 1 - 0,5 • 0,04513939 = 0,97743005. Относительная погрешность 8 = 0,018%. Аппроксимация 20. Вычисляем FB) = {l + exp [^0,0725 • 2 • B2 + 21'96)] j = = 0,977115384. Относительная погрешность S = 0,014%. Это одна из наиболее простых и точных аппроксимаций. Задача 2. Для случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, найти значение, вероятность превышения которого равна 0,05. Другими словами, требуется найти значение ир: Р (х ^ ир) = 0,95, или Р (ж > ир) = = 0,05. По определению ир —верхняя 95%-я квантиль случайной величины. Воспользуем- Воспользуемся аппроксимациями для стандартного нормального распределения. Табличное значение его квантили гхо,95 = 1,64485363. Аппроксимация 9. Так как эта аппроксимация применима только для значений р ^ 0,01, воспользуемся соотношением ир = ^и\^р и будем искать квантиль и\-р = 1^0,95, ИМеЯ В ВИДУ, ЧТО 1l.o,95 = — ^0,05 • Вычисляем 1 г tio,o5 =-[-21п(у2тг-0,05)] 2 = - [-2 In0,125331413] 2 =-2,038035201. Следовательно, ио,95 = 2,038035201. Относительная погрешность 8 = 23,95% очень велика. Это объясняется тем, что аппроксимация применена вне допустимых пределов (должно быть р ^ 0,01). I 2 Аппроксимация 10. Вычисляем t = [-2 In A - 0,95)] 2 = 2,447746831 и ]Г а? = i=0 = 2,515517 + 0,802853 • 2,447746831 + 0,010328 • 2,4477468312 = 4,542577732. з Далее J2 dit% = 1,432788-2,447746831+0,189269-2,4477468312+0,001308-2,4477468313 = = 4,66028338. Вычисляем —1 = 0,80253539 и окончательно и0 95 = 2,447746831 ~~ 1 + 4,66028338 ' - 0,80253539 = 1,64521144. Относительная погрешность 8 = 0,02%. Аппроксимация 11. Вычисляем последовательно л/2жр = л/2ж • 0,05 = 0,125331413; ^/0,125331413 = 0,35402177; -2 In 0,35402177 = 2,07679374; лДж • 0,05 • 2,076679374 = = 0,260287495; -2 • In 0,260287495 = 2,69193701; ^0,05 = -^2,69193701 = -1,64071235. Следовательно, г^о,э5 = — tto,o5 = 1,64071235. Относительная погрешность 8 = 0,25%.
1.1] Непрерывные распределения 31 Аппроксимация 12. В нашем случае = 0,95, откуда р = 0,9 и г^о,95 = = J-- 1пA - 0,92) = 1,615137313. Относительная погрешность S = 1,8%. Аппроксимация 13. Имеем по аналогии = 0,95 и р = 0,9. Далее вычисля- 1 ем -In A - 0,91>898) = 1,707888074; 1,707888074^эв = 1,325793782. Окончательно имеем ^о,95 = у - ' 1,325793782 = 1,66163609. Относительная погрешность 6=1%. 1 -\- р Аппроксимация 14. По аналогии = 0,95 и р = 0,9. Далее вычисляем - 1пA - 0,94) = 1,067404362; A,067404362I = 1,102791627; - In y/l - 0,92 = 0,830365603; 7т( — • 1,102791627 + 0,830365603 J = 2,693171017. Окончательно имеем ио,95 = ^25693171017 = 1,641088363. Относительная погрешность 6 = 0,2%. Аппроксимация 15. Вычисляем 0,950'14 = 0,9922844661; A - 0,95H'14 = 0,65743951. Следовательно, ио,95 = 4,91@,992844661 - 0,65743951) = 1,646839291. Относительная погрешность 5 = 0,12%. Аппроксимация 16. Вычисляем In 0,16 = 2,835732274; 2,8357322740'4274 = 1-0,95 = 1,561238015. Окончательно имеем ио,95 = 2,0637 • 1,561238015 ~~ 1,5774 = 1,644526892. Относительная погрешность 6 = 0,02%. Аппроксимация 17. Вычисляем -1пA - 0,95L = 3,744665342; -1п-\/2A - 0,95) = = 1,151292546; 3^744665342 + 1Д51292546 = 1,314104083. /——————————————————— Окончательно вычисляем гхо,95 = V71" * 1,314104083 = 2,031841464. Относительная погрешность S = 23,5% велика, так как значение р = 0,05 находится вне области применения этой аппроксимации. Аппроксимация 19. В нашем случае = 0,95 и р = 0,9. Вычисляем 4- (-0,416) • 1пA - 0,9) = 3,831501595 и ^0,7172 + 3,831501595 = 2,084608019. ^ 0,717^2,084608019 „.__„ Окончательно имеем uq 95 = = 1,643759638. —2 • 0,416 Относительная погрешность S = 0,066%. Аппроксимация 21. Вычисляем i^ = — In f 1 1 = 2,944438979. Далее имеем 1,24 + 0,85 • 2,Э44438Э7Э 0'657 1 + 0,0001 • 2,9444389793 -\ : ' 2,944438979 Относительная погрешность S = 0,35%. Задача 3. Найти математические ожидания 3-й, 7-й и 9-й порядковых статистик в выборке объема п = 15 из стандартного нормального распределения. Вычислим необходимые вероятности о о /о — для третьей порядковой статистики (г = 3) рз = т~ = 0,172131148; у о /о — для седьмой порядковой статистики (г = 7) р7 = у- = 0,434426230;
32 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 9 — 3/8 — для девятой порядковой статистики (г = 9) рд = у- = 0,565573770. 15 -f- 1/4 Далее воспользуемся простыми, но достаточно точными аппроксимациями 15 и 16. В соответствии с аппроксимацией 15 находим z3 = 4,91[0,1721311480'14 - A - 0Д72131147H'14] = -0,9438796; z7 = 4,9l[0,4344262300'14 - A - 0,434426230H'14] = -0,1643847; z9 = 4,9l[0,5655737700'14 - A - 0,565573770H'14] = 0,1643847. При использовании аппроксимации 16 получаем (для z3 и z7 используем соответственно формулы для р = 1 — рз и р = 1 — ру с заменой знака перед ир, так как ир = 1 — и\-р): / \ 0,4274 Z3 = 1X0,172131148 = -2,06371 In ni>7Oiqi1>ia - 0,16 1 + 1,5774 = -0,94508893; \ 0,lizloll4o / / \ 0,4274 z7 = tto,43442623o = -2,0637 f In 0,16 J + 1,5774 = -0,16577582; / \ 0,4274 Z9 = tto,56557377o = 2,0637 ( In r-rrrrzrzzr - 0,16 ) - 1,5774 = 0,16577582. Задача 4. Долговечность прибора подчиняется нормальному распределению со сред- средним /i = 100 ч и стандартным отклонением а = 50 ч. Вычислить вероятность то- го, что долговечность прибора будет больше 200 ч; меньше 50 ч; будет находиться в интервале от 70 ч до 120 ч. Вычислить значение долговечности прибора, вероят- вероятность превышения которого равна 0,01; 0,95. Вычислить математическое ожидание 2-й и П-й порядковых статистик в выборке из 20 испытываемых приборов. х — 100 Переходим к нормированной переменной z = . При х = 200 ч имеем ои 200 100 z = = 2. Вероятность того, что долговечность прибора будет превышать 200 ч, 50 равна (по определению) Р(ж > 200) = 1 - Р(ж ^ 200) = 1 - F{z) = 1 - F{2). Используя полученное в задаче 1 значение F{2) = 0,97725, получаем 1 — FB) = 0,02275. Следовательно, вероятность того, что долговечность прибора превысит 200 ч, равна 0,02275. При х = 50 имеем z = = — 1. Вероятность того, что долговечность прибора 5U не превысит 50 ч, равна Р(ж < 50) = F(z) = F(—1) = 1 — ^A)- Используя простую ап™ проксимацию 18, вычисляем F(l) = 1 - - ехр (-0,714 • 1 - 0,416 • 1) = 0,838967; Р (х < 50) = 1 - 0,838967 = 0,16103. Следовательно, вероятность того, что долговечность прибора будет меньше 50 ч, равна 0,16103. Для вычисления вероятности попадания долговечности прибора в интервал G0; 120] ч 70 - 100 120 - 100 определим z\ = = —0,6 и Z2 = = 0,4. 50 50 Имеем РG0 < х ^ 120) = F@,4) - F(-0,6) = F@,4) + F@,6) - 1. Воспользуемся аппроксимацией 8: F@,6) = 1 - 0,852 ехр - (^Ж^) ' = 0,725795209;
1.1] Непрерывные распределения 33 Г /0 4 + 15774\2'341 F@,4) = 1 - 0,852 ехр - ( ? ; ] = 0,655128697. |_ V / j Находим РG0 < х ^ 120) = 0,725795209 + 0,655286976 - 1 = 0,321082197. Следовательно, вероятность того, что долговечность прибора будет находиться в ин- интервале G0; 120] ч, равна 0,381. Найдем теперь значение долговечности прибора, вероятность превышения которого равна 0,01. Это значение равно квантили распределения при р = 0,99. Воспользуемся аппроксимацией 16. При р = 0,01 имеем / г 4 0,4274 и0 99 = 2,0637 In 0,16 - 1,5774 = 2,3269978. V 1 - 0,99 'у Это квантиль стандартного (нормированного) нормального распределения, а искомая ве- величина является квантилью исходного ненормированного распределения. Переход к нему осуществляется по формуле г^дэ = М + ио,99(т = ЮО + 50 • 2,3266997 = 216,35. Следовательно, с вероятностью 0,01 можно утверждать, что долговечность прибора превысит 216,35 ч. Долговечность прибора, вероятность превышения которой 0,95, соответствует кван- квантилю ио,о5 = ^^о,95- В соответствии с аппроксимацией 16 получим / \ 0,4247 и0 95 = 2,0637 [ In 0,16 ) - 1,5774 = 1,644527. V 1 - 0,95 'у В нашем случае искомая стандартизованная величина квантили есть tio,o5 = —1,644527, или для исходного ненормированного распределения ^о)О5 = /л + и0}05а = 100 - 50 • 1,644527 = 17,77. Таким образом, с вероятностью 0,95 долговечность прибора будет больше 17,8 ч. Вычислим теперь математическое ожидание 2-й и 11-й порядковых статистик в вы- выборке испытываемых приборов численностью п = 20. Имеем 3 3 2^8 И^8 для г = 2 р2 = у = °5°802469; Для i = И Ри = J" = 0,52469138. 20 + - 20 + - 4 4 Тогда с помощью аппроксимации 16 имеем / 4 0,4274 «2 = ио,о8О24б9 = -2,0637 I In 0,16 ] + 1,5774 = -1,402743931, или для исходного распределения жB) = 100 - 50 • 1,402743931 = 29,86 ч. По аналогии для z\\ имеем 0,4274 211 = «0,52469136 = 2,0637 Ь -— - 0,16 - 1,5774 = -0,062226575, у I — O,5z4oyi«3o J или для исходного распределения Ж(ц) = 100 - 50 • 0,062226575 = 96,89 ч. Таким образом, при испытании 20 приборов с заданным распределением долговеч- долговечности математические ожидания долговечности 2-го и 11-го приборов, ранжированных в порядке возрастания долговечности, будут равны соответственно 29,9 ч и 96,9 ч. 2 А. И. Кобзарь
34 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1.1.2. Равномерное распределение Описание, применение. Находит широкое применение в непараметриче- непараметрической статистике. Равномерному распределению подчиняются случайные величины, имеющие одинаковую вероятность появления (например, погрешность измерений с округлением). Свойства Обозначение .R(a, Ь) Параметры а, Ь Плотность /(ж; а, 6) = < I 0, х < а; х > b х ^ а; Функция распределения F(x; а, Ь) = ^ , а < х < Ь; Среднее М(ж) = ' ™ Дисперсия 13 (ж) = — 12 Коэффициент вариации г; = —=- лДЬ + а Коэффициент асимметрии «з = О Коэффициент эксцесса «4 = 1,8 Ъ + а Медиана Me = ^-^ = ЪА(х) 2 Мода не определена Сумма п независимых равномерно распределенных случайных величин описы- описывается нормальным распределением уже при п ^ 5. Функция распределения любой случайной величины у — F(y) сама распределена равномерно на отрезке [0,1]. Задача 5. Погрешность измерения прибора распределена равномерно на интервале [5; 10]. Найти вероятность того, что погрешность прибора не превышает 7 ед. Вычис- Вычислить погрешность измерения, вероятность превышения которой равна 0,95. Вычис- Вычислить вероятность того, что погрешность измерения будет находиться в интервале 6 -г- 8 ед. Имеем равномерно распределенную случайную величину с параметрами распределен ния а = 5 и Ъ = 10. Вероятность того, что погрешность не превысит х = 7 единиц, равна FG) = = Хи — о = 0,4. Значение случайной величины, вероятность превышения которого равна 0,95, на- находим из условия F(x) = = 1 — 0,95 = 0,05, откуда xq 95 = (Ю — 5) • 0,05 + 5 = 5,25. о — а ' Вероятность того, что погрешность измерения будет находиться в интервале [6; 8], нахо™ дим из условия РF ^ х < 8) = F(8) - FF) = ^- - ?=4- = 0,4.
1.1] Непрерывные распределения 35 1.1.3. Логарифмически нормальное распределение Описание, применение. Если случайная величина Y распределена нормаль- нормально, то случайная величина х = In У подчинена логарифмически нормальному (или логнормальному) закону распределения. Часто используется для описания изно- совых отказов. У многих невосстанавливаемых электронных приборов (некоторые типы электронных ламп, полупроводниковые приборы) наработка на отказ распре- распределена логарифмически нормально. Свойства Обозначение LN(/i, a) Параметры /i, a 1 ( (] \21 Плотность f(x'j /^ а) = 1= ехР л — 2— м ж, сг > О хау2тт [ 2а J X Функция распределения F(x; /i, a) = —-= ехр < — - ^— > dt; x > О <ту2тг J [ 2а J о Среднее М(ж) = ехр< /z И—сг2 > Дисперсия О(ж) = exp{2jti, + сг2}(е<7 — l) Коэффициент вариации v = (еа — l) ^ 2 ^ 2 Коэффициент асимметрии «з = (e<J ~~ l) 2 (е<т + 2) Коэффициент эксцесса «4 = 3+ (е*7 — l) (е3<т + Зе2ст + б) Мода Мо = ехр(/х — ст2) Медиана Me = Распределение имеет положительную асимметрию. Произведение независимых случайных величин, подчиняющихся логарифмически нормальному распределе- распределению, также распределено логарифмически нормально. Логарифмически нормальное распределение иногда ошибочно принимается за экспоненциальное [47]. При вычислениях, связанных с логарифмически нормаль™ ным распределением, пользуются приемами для нормального распределения, за™ меняя при этом значение случайной величины ее логарифмом. Подробный анализ этого распределения приведен в [42]. Укажем приблизительные критерии проверки логнормальности распределе- распределения [43]. Распределение случайной величины близко к логнормальному, если —^ У\Ых-Ых\ = \ -= 0,79788 па\пх ^—^ у ^ или lgMe = ln#, где In ж = - )• In ж^ и аых = 7 У.{^пх{ ~ 1пз^) . 71 П — 1 i=l Задача 6. Предполоэюим, что время безотказной работы элемента прибора — случай- случайная величина, подчиняющаяся логарифмически нормальному закону распределения ве- вероятностей с медианой, равной 1000 ч, и модой, равной 400 ч. Вычислить вероятность того, что элемент будет работать меньше 2000 ч. Имеем Me = ем = 1000, или fi = In 1000 = 6,908; Mo = exp(/i - a2) = 400, или fi-a2 = In400 = 5,991 ж a2 = 8,908 - 5,991 = 0,917 (a = 0,958).
36 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Воспользуемся нормированной случайной величиной z = и для х = 2000 а In 2000- 8,908 п _ имеем z = = 0,723. Применяя аппроксимацию 8 для нормального распре- распределения, получим Р(ж < 2000) = Viz < 0,723) = Fiz) = 1 - 0,852 exp \ - ( °'723 + 1>; I у 2,063 < 5774\2'34 I \ 2,0637 ) = 1 - 0,852 ехрA - 1,289278973) = 0,76553. 1.1.4. Экспоненциальное распределение Описание, применение. Одно из наиболее часто встречающихся распределе- распределений в теории надежности и в теории массового обслуживания. Используется для описания внезапных отказов, когда износом изделия можно пренебречь. Наработка на отказ многих невосстанавливаемых изделий и наработка между соседними отка- зами у восстанавливаемых изделий в случае простейшего потока отказов подчинены экспоненциальному распределению. Наработка на отказ большой многокомпонент- многокомпонентной системы может быть описана экспоненциальным распределением при любом распределении наработки на отказ компонентов системы. Свойства Параметр Ь 1 / х \ Плотность f(x; b) = - expf — — 1, х ^ 0 Функция распределения F(x1b) = 1 — ехр( — — J, х ^ 0 Среднее М(ж) = b Дисперсия 1}(х) = Ь2 Коэффициент вариации v = 1 Коэффициент асимметрии аз = 2 Коэффициент эксцесса «4 = 9 Мода Мо = 0 Медиана Me = bin 2 = 056931Ь Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределе- гамма-распределения (см. раздел 1.1.6) и распределения Вейбулла (см. раздел 1.1.5). Отличитель- Отличительная особенность экспоненциального распределения — постоянство интенсивности отказов 1/b = const — в теории надежности интерпретируется как независимость вероятности отказа от наработки, что эквивалентно отсутствию износа. Задача 7. Наработка на отказ прибора распределена экспоненциально с интенсивно- интенсивностью отказов А = 1СР51 ч^1. Вычислить вероятность того^ что наработка на отказ превысит 1000 ч. Найти вероятность того, что наработка на отказ будет находиться в интервале от 1200 до 1500 ч. Вычислить значение наработки^ вероятность превы- превышения которой 0,8. Определить^ как изменится наработка прибора при уменьшении интенсивности отказов до X = 0,5 • 10~ ч~ . Вероятность того, что наработка на отказ превысит 1000 ч, равна Р(ж > 1000) = 1 - FA000) = 1 - 1 + е^1000'10™5 = е^10™2 = 0,99.
1.1] Непрерывные распределения 37 Вероятность того, что наработка будет находиться в интервале от 1200 ч до 1500 ч, определяем по формуле РA200 < х < 1500) = FA500) - FA200) = 1 - е^1500-10™5 _ \ + e^i2oo-io™5 = = е^0'012 - е^0'015 = 0,988071712 - 0,985111939 = 0,0029598. БСаработку у, вероятность превышения которой равна 0,8, находим из соотношения Р(ж >у) = 1- F(y) = 0,8. Отсюда имеем 1 - 1 + е^у'10^ = 0,8, или уЛ0~5 = 0,22314355. Окончательно у = 2,23 • 104 ч. При снижении интенсивности отказов до Л = 0,5-10™5 имеем у-0,5• 10" = 0,22314355, или у = 4,46 • 104 ч. 1.1.5. Распределение Вейбулла Описание, применение. Этому распределению подчиняется наработка на отказ многих невосстанавливаемых электронных приборов (электроннвге лампы, полупроводниковые приборы, некоторые приборы СВЧ). Характеризуется разно™ образием форм кривых распределения. Свойства Обозначение Параметры Плотность Функция распределения Среднее Дисперсия Коэффициент вариации Коэффициент асимметрии М(ж) = аГA + ^ ' х\@ = 1-ехр|-(- х ^ 0, а,/3>0 х ^ 0, а,/3>0 ш v = ~~ 1 Коэффициент эксцесса Мода
38 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 При /3 = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное (см. раз™ дел 1.1.4) с параметром а, а при /3 = 2 — в распределение Рэлея (см. раздел 1.1.15). Вычисление моментов распределения Вейбулла производится по таблицам гамма- функции. Таблицы функции и моментов распределения Вейбулла приведены в [44]. Задача 8. Наработка прибора подчиняется распределению Вейбулла с параметрами а = 2 и /3 = 3. Вычислить моду распределения и вероятность нахождения наработки прибора в интервале между 5 и 6. Находим моду распределения Мо = а( 1 — — 1 = 2A J = 1,74716. Далее РE ^ х ^ 6) = FF) - FE) = 1 - exp I - ( - ) ? - 1 + expi - f - ' ^exp<J^(") [> = 1,6373771 • 1(Г7 - 1,8795288 -1(Г12 = 1,637-10" 1.1.6. Гамма-распределение Описание, применение. Широко используется в теории надежности и в тео™ рии массового обслуживания. Наработка между несмежными отказами подчиняет- подчиняется гамма-распределению. Этому распределению (с параметром а = г — 1) подчиня- подчиняется сумма г независимых случайных величин, каждая из которых имеет экспонен- экспоненциальное распределение. Если наработка на отказ невосстанавливаемого прибора распределена экспоненциально, то, при испытаниях на безотказность с заменой отказавших приборов, момент г-го отказа подчиняется гамма-распределению с па- параметром а = г — 1. Гамма-распределение с целочисленным значением параметра называется также распределением Эрланга. Свойства Обозначение j(a^C) Параметры а, /3 Плотность /(ж;а,/3) = хтж" ехр( —— J, ж>0, /3>0, а>1 Функция распределения г=0 где Т^(а + 1) —неполная гамма-функция, значения которой приведены, например, в [45-47] Среднее М(х) = /3(а + 1) Дисперсия D(x) = /32(а + 1) Коэффициент вариации v = (а + 1)~2 Коэффициент асимметрии аз = 2(а + 1)~^ Коэффициент эксцесса «4 = 3 + 6(а + I)™1 Мода Мо = а/3
1.1] Непрерывные распределения 39 При а = 0 гамма-распределение переходит в экспоненциальное (см. раздел 1.1.4). При использовании в теории надежности интенсивность отказов убывает при а < О, постоянна при а = 0 и возрастает при а > 0, что позволяет использовать гамма- распределение при моделировании различных ситуаций, возникающих в процессе анализа надежности изделий. Гамма-распределение обладает свойством аддитивности, т. е. сумма независи- независимых величин, подчиняющихся гамма-распределению с параметрами C и о^, имеет также гамма-распределение с параметрами /3 и ]Р щ. Подробно гамма-распределе- гамма-распределение исследовано в [48, 49]. При (а + 1) полуцелом (т. е. когда 2(а + 1) —целое число) гамма-распределение можно рассматривать как частный случай распределения %2 (см. раздел 1.1.8) с 2(а + 1) степенями свободы. Поэтому для расчетов, связанных с гамма-распре- гамма-распределением, могут быть использованы таблицы и аппроксимации распределения %2. Распределению х2 с / = 2(а + 1) степенями свободы подчинена случайная вели- 2х „ „ чина 7 = "~тг? т-е- квантиль случайной величины 7 может быть вычислена как 7р = 77Хр [2(« + 1)] > гДе Хр [2(а + 1)] ^р™квантиль %2-распределения с / = 2(а + 1) степенями свободы. Задача 9. Испытывающем четыре прибора, интенсивность отказов которых извест- известна и равна X = 1CF5 ч~г. Вычислить вероятность того, что суммарная наработка приборов не превысит 300 000 ч. В нашем случае имеет место гамма-распределение с параметрами а = 4 — 1 = 3 и /3 = — = 105. Тогда искомая вероятность равна А Р(ж < 300 000) = FC00 000) = 1 - e~d 1 + 3 + 3 • - + 3 • - = 0,352768. V 2 6/ 1.1.7. Бета-распределение Описание, применение. Часто используется в математической статистике, так как через бета^распределение могут быть выражены практически все приме™ няемые распределения вероятностей, в том числе и дискретные. Доля дефектных изделий в партии подчиняется бета-распределению. Особенно велико значение бета- распределения в непараметрической статистике (т. е. при решении задач, не требу- требующих знания закона распределения вероятностей случайной величины). Свойства Обозначение В(а,/3) Параметры а, C Плотность Функция распределения х где Вж(а + 1,/3 + 1) = жаA — x)^dx — неполная бета-функция
40 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Среднее М(х) = _ а Q , о Дисперсия О(ж) Коэффициент вариации v = < v л,л, 2(/3-а) [ а Коэффициент асимметрии «з = (а + /3 + 2J(а + ^ + 3) /5 + 1 1 ^ « + д + 4 [(« + 1)(/3 + 1) Коэффициент эксцесса + 2)(-а + 2/3 « + /3 + 5 « + /3 + 2 Мода Мо = и, т /J Наиболее компактно функция бета-распределения может быть записана с ис- использованием бета-функции Эйлера Тогда Распределение симметрично при а = /3 , «з > 0 ПРИ « < /5 и «з < 0 при а > /3. Широкое применение бета-распределения вызвано чрезвычайным разнообразием кривых распределения, порождаемых функцией бета-распределения при различ™ ных сочетаниях его параметров. При а = /3 = 0 бета™распределение превращается в равномерное, а при а = /3 = —1/2 — в распределение арксинуса.Через бета-распре- бета-распределение могут быть выражены функция распределения Фишера (i^-распределение, см. раздел 1.1.10) * \Х, /Ь J2) = J- fix /2+/1 и функция биномиального распределения (см. раздел 1.2.1) J2 С1пРгA -Р)п-1 = 1 - 1р(к,п-к + 1). г=0 Из приведенных соотношений следует связь между бета™ и ^-распределениями: Следовательно, случайная величина B(/i, /2) = -7 ^ j?f -р—FT имеет бета-расп- бета-распределение, или (что эквивалентно) величина FB/1J/2) = -
1.1] Непрерывные распределения 41 имеет ^распределение с 2/i и 2/2 степенями свободы. Отметим также, что 1х(а,0) = 1 - (l- г=0 Для расчетов используются таблицы неполной бета-функции [50]; таблицы функ- функции и квантили бета-распределения приведены в [51]. Если х\ и Х2—случайные величины, подчиненные гамма-распределению (см. раздел 1.1.6) с f\ и /2 степенями свободы, то случайная величина В = х\/{х\ + Х2) имеет бета-распределение с параметрами f\ и /2. Поскольку /ж(а,/3) = \—I\—x(Ji, a), таблицы бета-распределения составлены для 0 < а ^ C. Однако разнообразие задач прикладного математико-статистического анализа в настоящее время не удовле- удовлетворяется существующими таблицами бета-распределения. Поэтому на практике применяются различные приближения, позволяющие вычислить бета-распределе- бета-распределение с помощью таблиц или аппроксимаций нормального распределения. Приведем некоторые аппроксимации. Аппроксимация Кэдуэлла [52] (при а = C) 2(а- 1)Bа + 1 Dа - IL где у — решение уравнения и F(y)—функция стандартного нормального распределения. Более удобна эквивалентная формула У=< \4a- т) где ир—р™квантиль стандартного нормального распределения (см. раздел 1.1.1) и х-2 1 2 Наиболее употребляемые значения функции (р(у) приведены в табл. 2 [50]. Таблица 2 Значения У 0 1 2 3 0 0,000 0,339 0,367 0,125 0,1 0,040 0,360 0,348 0,105 0,2 0,079 0,377 0,326 0,087 0,3 0,118 0,391 0,302 0,071 0,4 0,156 0,400 0,272 0,057 0,5 0,191 0,406 0,249 0,046 0,6 0,226 0,406 0,222 0,036 0,7 0,258 0,403 0,196 0,028 0,8 0,288 0,395 0,171 0,022 0,9 0,315 0,383 0,147 0,017 При а ^ 5 погрешность не более 1-10 5, при а ^ 4 /ж(а, а) = F(y) дает погреш- погрешность не более 0,00045. Приведем еще одну полезную формулу: 1х(а,а) = 21х.(а,а), где х' = | [l - A - х)Ц .
42 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Аппроксимация Уайза [43]. При а ^ /3 позволяет выразить бета^распределение через х2~РаспРеДеление: ¦-1) А—- \24TV' где TV = a+ ——-; y = —Nlnx и х^ имеет х2тРаспРеДеление с 2C степенями свободы (см. раздел 1.1.18). Еще одна аппроксимация Уайза [54] если 1 2г|^-°>5Iп^г^т + (а-°'5Iп ! ТЬ\ 1 X I \Р-0,5-пA-Х/1 , 1 + ^_ 6п где п = а + /3 — 1. Приведем эквивалентную формулу а-0,5^ 2 где di = )8 - 0,5 + ^ - (n + i) A - ж) и g(x) = о V о / 1 -х2 + 2ж1пж (l^f Лучший результат дает аппроксимация для Z2, получаемая заменой в формуле для z\ параметра d\ на d2; где 50 [ /3 а а + / Погрешность этой аппроксимации < 0,001 при а,/3 ^ 2,0 и < 0,1 при а,/3 ^ 1,0. Аппроксимация Кемпа-Полсона [55]. Случайная величина у имеет стандартное нормальное распределение TV(O; 1), если где ж — случайная величина, имеющая бета-распределение с параметрами а и E.
1.1] Непрерывные распределения 43 Задача 10. Вычислить значение функции бета-распределения с параметрами а = 4 и /3 = 3 в точке х = 0,6. Используем формулу для прямого точного вычисления = l -1A - св)^4-1 >: ci+3_t (т^-\г = 1 - о,4 y: < ' / г=О = 1 - 4,096 • 103 (Се + С\ • 1,5 + Cl • 2,25 + Cf • 3,75) = 0,54432. Рассмотрим случай а = /3 = 3 и используем аппроксимацию Кэдуэлла. Будем искать т / \ тт 0,6-0,5 1о,бC,3). Находим р = — —(- утг/3 проксимацию 16 из раздела 1.1.1 /о,бC,3). Находим р = -^— —(-0,5 = 0,5977205. Для вычисления ир используем ап™ /тг/3 г„ = 2,0637 ( In 0,16 - 1,5574 = 0,26816878. р \ 1 - 0,5977205 / 1 Тогда у = ир = 0,513504118. Для вычисления F(y) воспользуемся аппроксимацией 18 из раздела 1.1.1 F{y) = 1 - i exp(-0,717|/ ~~ 0,416t/2) = 0,68995. Из табл. 2 имеем ip(y) « 0,192. Окончательно получаем /о,бC,3) = 0,68995 + 2-C~1)-B-3 + 1) . 0д92 = 0;б903> Задача 11. Вычислить значение /о,бE,4) с помощью аппроксимации Уайза. Имеем х = 0,6; а = 5; C = 4. Находим п = 5 + 4—1 = 8. Далее имеем а = 4 — 0,5 Н A4— 1 • 0,4 = - и 6 у Зу 3 = 1,09375; 2_ = ^^ = 0,9375. п • ^i — х) о • и,4 " ~ 1 _ 1 ПОЧТЕ;2 _L О . 1 flQQ g(l,09375) = п-A-ж) 8-0,4 ' ' п-х 8-0,6 Далее имеем - 1.093752 + 2 ¦ 1,09375 In 1,09375 A- 1,09375J = A - 1,19628906 + 0,196026597) • 113,7777 = -0,029862726; = 1-0,9375^ + 2.0,93751n0,9375 = 61 ' ; A09375J Вычисляем 1 1 [1 + 0,6 • (^0,029862726) + 0,4 • 0,021509854] 2 *1 = о ' + - ) -0,4-0,6 6 Окончательно имеем F(z) = 1-- ехр(^0,717 • 0,169274 - 0,416 • 0Д592742) = 0,562.
44 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Точное значение /о,бE,4) = 0,6. Точность аппроксимации может быть повышена приме- применением более точных аппроксимаций входящих величин (функции и квантилей стандарт- стандартного нормального распределения). Задача 12. Вычислить 1о,бE,4) с помощью аппроксимации Кемпа-Полсона. Вычисляем D . 0,6I • (l - -М - E ¦ 0,4M • (l - ( ( у = 3 ^ ^-±1 i !L_V = 0,239151678. Используя аппроксимацию 15 (см. раздел 1.1.1) для ир, имеем ир = -4,91 • [0,23Э151678ОД4 - A - 0,239151678H'14] = 0,7068, что не очень близко к точному значению /о,вE,4). 1.1.8. Распределение %2 (распределение Пирсона) Описание, применение. Распределение открыто и изучено Пирсоном в 1900 г. Если #i, ..., х f—независимые случайные величины, имеющие стандартное нор- нормальное распределение, то сумма их квадратов ^ ж2 подчиняется % -распреде- -распределению. Распределение хи-квадрат широко используется в прикладных задачах математической статистики. С его помощью проверяются гипотезы относительно значений дисперсий, проверяется согласие экспериментальных данных с теорети- теоретическими законами распределения. Распределение хи-квадрат широко применяется в непараметрической статистике, являясь предельным для многих выборочных статистик. Свойства Обозначение X2(f) Параметр / 1 Lzl Г Y2 ] Плотность (р(х2; f) = ——77V ЬB) 2 ехР1 —тг > , X2 ^ 0 Функция распределения ^f(x) = -Р{х2(/)?ж} = ~—/ г\ У^"~ ехр< — — > dy. х > 0 Среднее М[Х2(/)] =/ Дисперсия Е»[х2(/)] = 2/ [2 Коэффициент вариации v = I — 2 Коэффициент асимметрии аз = 2 ( —
1.1] Непрерывные распределения 45 Коэффициент эксцесса Мода Мо = /- Распределение имеет один параметр / — число степеней свободы, определяемый количеством независимых случайных величин, сумма квадратов которых соста- составляет х2- Плотность распределения х2 асимметрична, унимодальна (т.е. имеет единственную моду) и с ростом числа степеней свободы / становится более пологой и симметричной. X2-распределение обладает свойством аддитивности, т. е. сумма двух независи- независимых величин x2(/i) и Х2(/2) имеет распределение x2(/i + /2)- Таблицы х2™РаспРеДеления имеются во многих руководствах и сборниках та™ блиц [23-25, 29, 44, 56, 57]. Предложены номограммы для расчетов х2™распределе™ ния [58]. Большинство аппроксимаций квантилей х2™РаспРеДеления основано на преоб- преобразовании исходной случайной величины в величину, имеющую распределение, близкое к стандартному нормальному 7V@,1). Рассмотрим известные аппроксимации. Везде будем рассматривать верхнюю р-квантиль, т. е. величину х»? удовлетворяющую соотношению р = 1 — Р(х2 < Хр)- Напомним, что ир — верхняя р™квантиль стандартного нормального распределе- распределения (т. е. р = 1 — Р(ж < ир)). Аппроксимация 1. При / > 200 Х«(/) = / + V^f'ир- 1 Аппроксимация 2 (Фишера) [59, 60]. При / > 100 xl(f) = «( Аппроксимация 3 (Вчлсона-Хчлфертч) [61]: 1- 9/ 30. Аппроксимация 4 [62—64]. В [62] показано, что величина (х2L близка к нор- нормальному распределению со средним /л = (/ — 1/2L и дисперсией а2 = (8/). По сравнению с аппроксимацией 3, эта аппроксимация предпочтительнее для малых значений / и уступает ей при больших значениях /. В [63, 64] показано, что для личных / и равно: оптимальное значение А различно для раз- раз/ А 1 0,2084 2 0,2654 3 0,2887 4 0,3006 6 0,3124 Аппроксимация 5 (Голдштейна) [65]: 2 4ж4 + 16ж2 - 28 ^ 8ж6 '9/+ ^^ 720ж4 - 3216ж2 + 2904 1215/2 229635/3 ;) Зж5 + 40ж3 + 45ж 301ж7 - 1519ж5 - 3269ж3 - 79349ж\ J) \ 162/ или в форме xlU) = f 5832/2 Р ~П п^Ъ I 7873200/3 i=0
46 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 где х = ир и а0 = 1,0000886; аг = 0,4713941; а2 = 0,0001348028; а3 = -0,008553069; а4 = 0,00312558; а5 = -0,0008426812; а6 = 0,00009780499; Ъо = -0,2237368; Ьг = 0,02607083; Ь2 = 0,01128186; Ь3 = -0,01153761; Ь4 = 0,005169654; Ь5 = 0,00253001; Ь6 = -0,001450117; Аппроксимация 6 [66]. При / > 10 с0 = -0,01513904; ci = -0,008986007; с2 = 0,02277679; с3 = -0,01323293; с4 = -0,006950356; с5 = 0,001060438; с6 = 0,001565326. 1 3 9/ где или в модифицированной форме f (9/ + 16)(ж3 - Зх) - 24(ж2 - l)y/2f о • 486/2 Аппроксимация 7 (Хэлдена) [67] 4(f) = п 6 1- 18/ 12/ Аппроксимация 8 (Корниша-Фишера) [68]. Упрощенная (ж = кр): где = У2х; С2(ж) = ^(Ж2-1); G3(x) = 6ж4 + 14ж2 - 32 9ж5 + 256ж3 - 433ж Некоторые значения Gi(x) приведены в табл. 3. Аппроксимация 9 (Гилберта) [69]. При / > 30 где п{—коэффициенты, приведенные в [69]. In /,
1.1] Непрерывные распределения 47 Таблица 3 Значения функции Gi(x) р 0,999 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001 ир -3,090232 -2,575829 -2,326347 -1,959964 -1,644854 -1,281551 -0,674490 0,000000 0,674490 1,281551 1,644854 1,959964 2,326347 2,575829 3,090232 Сг(х) -4,370248 -3,642772 -3,289952 -2,771807 -2,326174 -1,812387 -0,953873 0,000000 0,953873 1,812387 2,326174 2,771807 3,289952 3,642772 4,370248 G2(x) 5,699689 3,756595 2,941261 1,894305 1,137029 0,428249 -0,363376 -0,666667 -0,353376 0,428249 1,137029 1,894305 2,941261 3,756595 5,699688 G3(x) -0,619005 0,073889 0,290267 0,486317 0,554981 0,539450 0,346842 0,000000 -0,346842 -0,539450 -0,554981 -0,486317 -0,290267 -0,073889 0,619005 G4(x) -1,602111 -0,802517 -0,541970 -0,272398 -0,122957 -0,017722 0,060220 0,079012 0,060220 -0,017722 -0,122957 -0,272398 -0,541970 -0,802517 -1,602111 G5(x) -1,273497 -0,622767 -0,411565 -0,194832 -0,077898 -0,002186 0,030881 0,000000 -0,030881 0,002186 0,077898 0,194832 0,411565 0,622767 1,273497 Аппроксимация 10 (Хозяина) [70]. При р > 0,05 (/ ^ 30) x2p(f) = |l,00991v7+l,9518[-lg(l-p)]^ Bp(f) = jl,06807v7 + 2,13161 lg(l - p)h - 0,04589v7[^ - 1,37266 При p sS 0,05 (/ ^ 30) Xlif) = {l,14309v7 - 0,9459(- \gp)l - xl(f) = {0,97657^ - l,46049(- - 0,06198 } ; 0,5902б } ; Отличительной чертой этих аппроксимаций является то, что они не требуют знания квантилей стандартного нормального распределения. Квантили Хр аппроксимиру- аппроксимируются непосредственно по значениям / и р. Аппроксимация 11 (Арояна) [71] где Ъ\ и &2 — коэффициенты, приведенные в [71]. Аппроксимация 12 (Пейзера-Пратта) [72-74] d\(f - 1) In L ( 1г- \xl(f), - (/ - 1) где d = xlif) ~ f + I ~ ^p X%f) Ф f ~ I-
48 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Аппроксимация 13 [36]. Для р = 0,95 имеет место Д95(/) = И2,6- ^о A47,4 -/J. При 5 ^ / ^ 30 погрешность ^ 1%. Аппроксимация 14 [114]. Является уточнением аппроксимации 3 (Вилсона™ Хилферти) где tp(f)—р-квантиль распределения Стьюдента (см. раздел 1.1.9) и _ (о,4(р - ОД) Для 0,7 ^ р ^ 0,825, ^ [0,3@,99 -р) для р> 0,825. Из приведенных аппроксимаций наиболее точны аппроксимации 5, 6 и 8 (уже при / > 3 погрешность не превышает 0,05%) [75]. Отметим (ранее мы уже об этом говорили), что через функцию распределе- распределения х2 могут быть выражены функции многих других распределений: гамма- распределения (см. раздел 1.1.6), распределения Эрланга, экспоненциального рас™ пределения (см. раздел 1.1.4), распределения Вейбулла (см. раздел 1.1.5), рас- распределения Пуассона (см. раздел 1.2.2), распределения Рэлея (см. раздел 1.1.15), распределения Паскаля (см. раздел 1.2.4). Задача 13. Вычислить различные аппроксимации квантилей Xp(f) пРи Р — 0,05 и 0,95 и f = 10 и оценить ошибку аппроксимации (табличные значения Хо,об(Ю) = 3,9403 и Xo,9sA0) = 18,307). Для вычислений понадобятся значения гхо,о5 = ™ 1,644854 и и0?95 = 1,644854 (их можно аппроксимировать, пользуясь аппроксимациями для нор- нормального распределения — см. раздел 1.1.1). Аппроксимация 1. Имеем Xo,osA0) = 10 + л/2-10 • (-1,644854) = 2,643989 (S = 32,8%); Хо,9бA0) = 10 + л/2-10 • A,644854) = 17,356 E = 5,1%). Большая погрешность объясняется тем, что аппроксимация 1 дает удовлетворительный результат только при / > 200. Аппроксимация 2: Хо,об(Ю) = - • (-1,644854 + V20 - IJ = 3,683 (8 = 6,5%); Хо,95(Ю) = \ • A,644854 + ^20^ТJ = 18,022 (S = 1,6%). ЕСогрешность аппроксимации остается значительной, так как аппроксимация 2 удовле- удовлетворительна только при / > 100. Аппроксимация 3: з Хо,9б(Ю) = 10 11 - — + 1,644854А/ 7Г-^ | = 18,29178 (S = 0,08%). Аппроксимация 4. Имеем
1.1] Непрерывные распределения 49 Тогда A0 - 0,5) i - 1,644854 J—j= = A,755621543 - 0,327026059L = 4,16521; Хо,95(Ю) = A,755621543 + 0,327026059L = 18,81322 (S = 2,7%). Аппроксимация 5. Для р = 0,05 и х = г^о,5 = — 1, 644854 имеем 2 (т\ шГшпппяяй °-2237368 Q.Q1513904 Хо,обA0) = Ю 1,0000886 — — h 1 , ч / 0,02607083 0,08986007\ + ^=(-1,644854) @,4713941 + -^— - -^55—J + A,644854) @,0001348028 + °'°1128186 + °'°2277679 101 ' ; \ ' 10 100 1 ч3/ 0,01153761 {1M48Mf (-0,008553069 - ^— - (-0,0 {1 (-1,644854)^0,00312558+ °- ^( M,644854f( ^0,0008426812 +2,002^001 ^(-1,644854)» @,00004780499 + °-^^1 + Ш^^ = 3,940420741 + ^( ( (E = 0,003%). При р = 0,95 и г^о,95 = 1,1644854 имеем Хо,95(Ю) = @,977563529 + 0,52014855 • 0,473911322 + 0,27554468 • 1,4907559 • 1Q~3 - - 0,40728579 • 9,8391593 • 10^3 +0,07319972 • 3,5730418 • 10^3 - 0,038074725 • 5,7907562 • 10^4 - - 0,01980451 • 3,155345 • 10^5K = 18,30737 (S = 0,002%). Аппроксимация 6. Для р = 0,05 имеем = _J_ /2^A,644854^-1) _ (-1,644854K-3(-l>644854)\ = _2 s 27-10 V Зл/lO 4 ) Xo,osA0) = 10 3J^^ 1 — + (-1,644854 + 2,8697122417 • 10^3)J^^ = 3,93481 \3 " _L\J У JLU I (E = 0,047%). Для Xo,9sA0) имеем hw = ^7,4074074 • 10^3@,508495179 + 0,121084002) = ^4,6635494 • 10™3 и Г f^l3 Xo 9sA0) = 10 0,977777+ A,644854 + 4,6635494- 10^3W = 18,3229961 L V 9 • 10 j F = 0,087%). В модифицированной форме для р = 0,05 . (9 ¦ 10)(-1,644854K ~~ 3(-1,644854) - 24A,6448542 ~~ 1)^20 п ^3 плп = о = —2,7102602 • 10 ; 486 • 102
50 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 г /—I3 Xo,osA0) = 10 1 - — + (-1,644854 + 2,7102602 • Ю^3)у — = 3,93802 (S = 0,058%). I yu Y уи I Для р = 0,95 получаем , -51,33961699-183,0582646 Лю = ^^ = ^4,8230016, Хо,95(Ю) = 10@,977777 + 0,24448138K = 18,25954 (S = 0,29%). Аппроксимация 7: 12 • 10 Х5,О5(Ю) = 5(-1,644854) 5 / 7 48-10 18- 10/ + 10 13 18 120(-0,308212739 + 1 - 0,02818287) 5 + 1Q = 3,94758 (E = 0,18%); ±о 18 ., 19fVf1 ЧПЯ9197ЗД О- 1 _ П П9«18987'| К _L 1 П Хо,95(Ю) = 13 18 2 /1гЛ ±zu^u,ouoz±z/oy-|-1 - 0,02818287) 5 +10 13 ~~ Аппроксимация 8. Упрощенная формула: Хо osA0) = Ю+ (-1,644854)^2 • 10+ -A,6448542 - 1) + ' 3 Н ^A,64485422 - 7- (-1,644854)) = 4,134 (S = 4,9%); х§?95A0) = 10 + 7,356010714 + 1,137029788 + 0,353286881 = 18,846327 (S = 2,9%). Точная формула (р = 0,05 и ир = —1,644854): Gi(x) = -2,326174; G2(x) = 1,137029; С3(ж) = 0,554981; G4(x) = -0,122957; G5(x) = -0,002186. Хо,о5(Ю) = 10 - 2,326174^10 + 1,137029 + -^= 0,554981 ^= 0,002186 = 3,9441565 vlO lOvlO (E = 0,01%). При р = 0, 95 и ир = 1, 644854 имеем Gi(z?) = 2,326174; С2(ж) = 1,137029; G3(x) = -0,554981; G4(x) = -0,122957; G5(aj) = 0,077898 и Xo,9sA0) = 10 + 2,326174^10 + 1,137029 ^0,554981 - ^0,122957 + vlO 10 1 0,077898 = 18,30770 (S = 0,004%). 10л/Ш Аппроксимация 10. Для р = 0,05 Хо Г i— 1 , 1 I2 ,обA0)= l,14309>/l0-0,9459(-lg0,05J - 0,13138>/l0(- lg0,05) 2 -0,06198 = = 3,9999 (E=1,5%); Г ^- I ]2 ,osA0)= 0,9765V10-l,46049(-lg0,05J +0,59025 =4,04951 (E = 2,8%); Г 1 2 Xo\o5A0)=K/l0-l,5(-lg0,05J =4,20798 (E = 6,8%). Xo,(
1.1] Непрерывные распределения 51 Для р = 0,95 1,0099л/10 + 1,9518 [-lg10 A-0,95)] 5 I =29,37488 (? = 60%); Хо,95@) = {l,06807>/l0 + 2,13161[-lglo(l-0,95)]5 - - 0,0458Э7Т0[- lglo(l - 0,95]i - 1,97266 j2 = 21,06223; Г 1 71 2 Xo,9sA0) = b0 + 2[-lglo(l-0,95)]2 --1 =21,435 E = 1,5%). I 6J Эти аппроксимации явно неточны для малого количества степеней свободы (их рекомен- рекомендуется применять при / > 30). Аппроксимация 12. Здесь, располагая точными значениями Хр(/)? можно проверить их нормальную аппроксимацию. Для р = 0,05 и / = 10 имеем " 10 + f " ^f = -5,4010333; /9 - 5,4010333 9 In \- 3,9403 - 9 \ 39403 и0 05 = — \ 3'9403| i- = -1,644725. |3,9403 - 9| Для р = 0,95 имеем d = 18,307 - 10 + - - — = 8,965666; о Хи 1 /9 \ 2 8,965666 ( 9 In h 18,307 - 9 1 ^0,95 = V 188307^9 ^- = 1,6454169 (J = 0,02%). Аппроксимация 13 xS,98A0) = П2,6 - {U7A2~0 10J = 18,2062 (S = 0,5%). Аппроксимация 14. Будем использовать результаты, полученные при применении аппроксимации 3, а именно Хо,об(Ю) = 3,93152 и Хо,9б(Ю) = 18,29178. Вычислим корректирующий множитель для р = 0,95: МЛ = гоМЩ = 1т = Up Wo,95 1,645 ft fio)\0'012 и для (р = 0,3@,99 - 0,95) = 0,012 имеем I 0;951 j I = 1,00116. V м0,95 / Тогда Хо,95(Ю) = 18,29178 • 1,100116 = 18,313, что соответствует ошибке E = 0,03%, т.е. ошибка по сравнению с аппроксимацией Вилсона—Хилферти снижается более чем в 2 раза. 1.1.9. Распределение Стьюдента (t-распределение) Описание, применение. Впервые предложено английским статистиком Госсе- Госсетом (псевдоним Стьюдент) в 1908 г. Если у — нормалвно распределенная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией, а независимая от нее слу™ чайная величина %2 имеет распределение хи-квадрат (см. раздел 1.1.8) с / степе- _i нями свободы, то случайная величина t = |/(х2//) 2 подчиняется распределению Стьюдента с / степенями свободы. Распределение Стьюдента широко применяется
52 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 в задачах обработки экспериментальных данных (например, при построении дове™ рительных интервалов и проверке гипотез относительно среднего при неизвестной дисперсии). С помощью распределения Стьюдента описываются распределения коэффициентов корреляции и регрессии. Обозначение Параметр Плотность Функция распределения Среднее Дисперсия Коэффициент вариации Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Медиана Мода Свойства / — число степеней свободы ш ?>(*;/) = F(t;f)=P[t(f)<t] = M(t) = О f+i 2 ^ОО < t < ОО 1 — 2' v = 0 Мо = 0 При / —>> оо t-распределение совпадает со стандартным нормальным (хорошая аппроксимация достигается уже при / > 30). Таблицы распределения Стьюдента можно найти во многих руководствах по математической статистике [7, 23, 24, 25, 56, 57]. График плотности ^-распределения напоминает по форме плотность нор™ мального распределения, но значительнее медленнее приближается к оси абсцисс. Приведем аппроксимации для расчетов, связанных с ^-распределением. Аппроксимация 1 tp(f) =up при / > 30 (ир — квантиль стандартного нормального распределения). Аппроксимация 2 (Корниша-Фишера) [76] 16и2р 15 4/ 96/2 384f При / ^ 5 погрешность ^10 3. Аппроксимация 3 (Кёхлера) [77, 78] 0,81 _. , = I -0,0953 - ^ + "'"х + 0,076DРл//O При / ^ 8 погрешность < 1,4%, при / ^ 50 погрешность < 0,6% для диапазона 0,00001 <р< 0,2. Аппроксимация 4 (Нельсона) [79, 80]. Очень простая аппроксимация дляр = 0,95 : 2, или (что эквивалентно) ?0,975 (/) = ^
1.1] Непрерывные распределения 53 Аппроксимация 5 [36] Аппроксимация 6 [81] ^0,975 ~ 1,96 + 2,5 /-1,8" г=0 , где а = з=о -, t^o, аю = 0,09979441; а20 = 0,04431742; а30 = 0,009694901; а40 = -0,0000918228; аи = -0,58121; a2i = -0,2206018; а31 = -0,1408854; а41 = 0,03789901; а12 = 1,390993; а22 = 0,03317253; а32 = 1,88993; а42 = -1,280346; а13 = -1,222452; а23 = 5,679969; а3з = -12,75532; а43 = 9,249528; ам = 2,151185; а34 = -12,96519; а34 = 25,77532; а44 = -19,08115; а50 = 0,000579602; Ъг1 = -5,537409; 532 = 14,3963; аЪ1 = -0,02763334; Ь12 = 11,42343; Ь41 = -2,777816; а52 = 0,4517029; Ъ2г = -5,166733; 542 = 16,461132; «53 = -2,657967; Ь22 = 13,49862; Ъ51 = -0,5657187; а54 = 5,127212; 631 = ^4,233736; ЬЪ2 = 21,83269. При / ^ 5 погрешность ^ 10^4. Аппроксимация 7 (Пейзера-Пратта) [72, 73] == I / — — \ In 1 + / Аппроксимация 8 (Уоллиса) [74] .. _8/ + 1 п 1 + Аппроксимация 9 (Морана) [82, 84] при / ^ 5. 4/ -1 При / ^ 5 погрешность не более 10~3. Аппроксимация 10 (Даусона) [83] = -0,5059 - l,261gBp) - 0,1093[lgBp)]2 + exp При 0,005 ^ р ^ 0,1 и 1,994-2,7497lgBp)l погрешность равна ±8%. Аппроксимация 11 (Вонга) [85, 86] / I' погрешность составляет ±5%, при 0,001 ^ р ^ 0,2 ехр v 0,9975/~ 0,445 При р « 0,025 и 8 ^ / ^ 18 погрешность ^ 0,005. - 1
54 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Аппроксимация 12 (Локтева) [114] {1 + In p(l - р) + 0,004 ^рЧ 1 - @,325 - 0,022In/) L J J При / ^ 3 максимальная ошибка 0,3 для величины Задача 14. Вычислить tp(f) и оценить ошибку аппроксимации при р = 0,05, / = 5 wp = 0,95, / = 10. Точные табличные величины to,osE) = -—2,0150 и to,9sA0) = 1,8125. Вспомним, что ^0,95 :=: 1,644854 = —ti.o,o5- Аппроксимация 2: /ia\ 1 г л лохл \л 156448542 + 1 5- 1,6448544 + 16 • 1,6448542 + 3 to 05 (Ю) — —1,544854 • < 1 + Ь о Н~ [ 4-5 96 • 52 3 • 1,6448546 + 19 • 1,6448544 + 17 • 1,6448542 + 15 1 _АО с0/х + 5 / ^ —2,1I5о08 (о = 0,015 /о); 384- 53 J V ' ;' *о,95(Ю) = 1,644854 • {1 + 0,092638617 + 8,6342265 • 10^3 + 6,757481 • 10^4} = 1,8125445 (8 = 0,0024%). Аппроксимация 3: Г 0 631 ! ! 1 ^1 to osE) = \ -0,0953™ +0,81- [- lnD • 0,05 • 0,95I" а + 0,076 • D • 0,5 • лД) 5 I = I 6 J = 2,0293 (E = 0,7%); *o,9sA0) = I ^0,0953 - ^i + 0,81 • [- lnD • 0,95 • 0,5)]" 2 + 0,076 • D • 0,95 • л/W)To I = = 1,761817 (8 = 2,8%) Аппроксимация 4: *o,9sA0) = 2- J у = 2,236. Табличное значение to,975A0) — 2,228. Аппроксимация 5: *о,975(Ю) = 1,96 + 1п2;Б1 о = 2,2649. 10 — 1,8 Аппроксимация 6. Пусть ?рE) = 2,015. Требуется отыскать значение р, соответствую- соответствующее этой квантили. Вычисляем 1 /1\2 /1\3 /1\4 0,09879441 - 0,58121 • - + 1,390993 • ( - ) - 1,222452 • ( ~ ) + 2,151185 ¦ ( - 1 1 - 5,537409 • - + 11,42343 • ( - ) 5 \5/ По аналогии находим с2 = 0, 0465169; с3 = -0, 00505661; с4 = -0, 000348176; с5 = 0, 00003584898. Окончательно получаем р=-A + 0,0936657 • 2,015 + 0,045169 • 2,0152 - 0,005661 • 2,0153 - 0,000348176 • 2,0154 + + 0,0000358489 • 2,0155) = 0,05055. Точное значение р = 0,05.
1.1] Непрерывные распределения 55 Аппроксимация 7: 2,015^ 2\ I \ 5 ^0,05 = R2\ \ 2 E--W—^ 5 ~\ =^1,6367697 (E = 0,5%); ^ 3/1 _ — — I 2,015^ ^ 2 In 1+-^— 1_ 1,81252^ ^ 2 In 1 + =,644324 E = 0,03%); 2\ | \ 10 ^0,95 — 10~б B \ I \ 1и / I Ю--К — 5 \ =1,64300 (с5 = 0Д%); In 1 1,8125* \ ^ 2 10 = A0 - ^ + —) I —^ 5 } = 1.64476 (S = 0,0056%). ю- ю/ lcrg Аппроксимация 8: о с _|_ I Г / 2П1112\1'2 гбоо5 = 5In( 1 + ) = -1,6438427 (/ = 5; S = 0,06%); 8-5 + 3 [ у 5 /J 1 ио^95 = 8'1Q + 1 10In( 1+ 1?1825 ) 2 = 1,64480229 (/ =10; 6 = 0,003%). 8 • 10 —|— 3 I у 10 / I Аппроксимация 9: -1 to,O5E) = -1,644854 1 - 7 ^ = -2,0189125 (S = 0,2%); У 4-5 / to,95A0) = -1,644854 М- 1;644854 + г J = 1,812788 (E = 0,01%). Аппроксимация 10: *о,9бE) = -0,5059 - 1,26 lgB • 0,05) - 0,1093[lgB • 0,05)]2 + ' 1,1994- 2,7479 lgB ¦ 0,05)" -г ехр' Аппроксимация 11: г to osE) =J5|"exPf 1?6448542 ^ -l]}2 =-2,01758 E = 0,12%); ' W \ [ Fy0,9975-5-0,445/ J/ ' V ' ;' l to 95A0) =< 10 exp 7 -1 = 1,81189675 (E = 0,03%). ' V ; \ [ У 0,9975- 10-0,445/ J/ V > У Аппроксимация 12: / 5-5 1 + In 0,95 • 0,05 + 0,004 • *о,о5E) = -1,644854 I 1 - @,325 - 0,022 • In5) ^ —- } = -2,058;
56 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1 + In @,95 ¦ 0,05 + 0,004 • ^^ = 1,644854 { 1 - @,325 - 0,022 • In 10) ^ —'- } = 1,8308. Из рассмотренного примера видно, что наиболее просты и достаточно точны аппрокси- аппроксимации 3, 4, 5, 7, 8, 9 и 11. 1.1.10. Распределение Фишера (.F-распределение) Описание, применение. Если две независимые случайные величины %f и х| распределены по закону хи-квадрат соответственно с Д и /2 степенями свободы, то случайная величина F = —|— имеет распределение Фишера, .F-распределение широко применяется при обработке данных (при сравнении дисперсий, анализе кор- корреляций). С помощью ^распределения можно вычислять некоторые дискретные распределения, например, биномиальное. Свойства Обозначение -^(/ъ/г) Параметры Д, /2 Плотность f(x;hj2)= x " f l Jlx х 2 Функция распределения S(x) = P{F<x}= A,2,LfhP K"" ¦ ""^ i г т Среднее M[F(f1,f2)] = 1^, /2 > 2 h- * Дисперсия D[F(/i,/2)l = 2f^h+2h~2) , /2 > 4 i_ Коэффициент вариации v = J~,.—2 , /2 > 4 L h (/2 - 4) J v .л. 2/x + /2 - 2 [ 8(/2 - 4) ] * Коэффициент асимметрии а3 = — —^- , /2 > о /2-0 [/i +/2 - 2J Мода Mo = ^"gj В большинстве руководств по математической статистике, например, [24, 29, 87], приводятся квантили .F-распределения. Для .F-распределения справедливо соот- соотношение -Fp(/i,/2) = "^ 77—t\i что позволяет ограничиться только таблицами для р < 0,5 или р > 0,5. При Д = 1 и /2 = оо или Д = оо и /2 = 1 распределение
1.1] Непрерывные распределения 57 совпадает с нормальным, а при /i = 1, /2 = 00 или /2 = 1, Д = оо — с распредели нием квадрата случайной величины, имеющей t-распределение Стьюдента с /2 (Д) степенями свободы. При /2 —» оо ^распределение совпадает с %2™распределением при /i степенях свободы. flFp(fi, f2) r / 1 1 ^7\ Величина — i^ подчиняется бета-распределению (см. раздел 1.1.7), /2 + Jl^p(jl,/2J поэтому функция ^-распределения может быть выражена через функцию бета- распределения В общем случае случайную величину i^ (/i, /2) ? подчиняющуюся распределению - /271 Фишера, можно интерпретировать как отношение ——, где 71 и 72 — независи™ /172 мые случайные величины, подчиняющиеся гамма-распределению (см. раздел 1.1.6) с параметрами /i/2 и /2/2. В связи с широким использованием ^-распределения применяются различные его аппроксимации и нормализующие преобразования. Аппроксимация 1 Аппроксимация 2 (при Д, Д > 30) [26] где ClB) = -7= ~ г;? = 2,1213203 - V2 V3/iB) /1B) Аппроксимация 3 [32] Аппроксимация 4 (Полсона) [88] 2 j. 2 phf f 9K + W2 p{flj2 Отсюда следует, что ^ [(9Д - 2)(9/2 - 2) + Зир{2/г{9/2 - 2J - (9/2 - 2J -
58 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Аппроксимация 5 (Пейзера-Пратта) [72, 73] ¦Qg Up = di fp -Pg fq /+6 )РЯ /2/5 ;p = 2 ' -x) -2. 2 \2 2 + JlpiJl, J2J + /2 При /i, /2 ^4 погрешность ^ 0,001. Аппроксимация 6 (Воглера-Нортона) ,/2) = Аппроксимация эффективна для /i, /2 ^ 30, если p — не на „хвосте" распределения. Эта аппроксимация следует из нормализующего преобразования Полсона (аппрок- (аппроксимация 4). Аппроксимация 7 (Хейнса) [89]. Основана на аппроксимации Вилеона^Хилфер- ти для х2 (см- раздел 1.1.8, аппроксимация 3) и аппроксимации Гастингса для нормального распределения (см. раздел 1.1.1) - 2аЬ - [Babf - Ц2х20с - a2)Bx20d - Ъ2)] "' 2Bжос - d где а3 , E-R + ; «2 п1 = 0,278393; а2 = 0,230389; а3 = 0,000972; а4 = 0,078108; , 1 = 51,21114354 1 3] 2 1 = -| - [(у)' + (у)'] 2 ^A -р)]4 - 54,06887755; с2 = -100,70032831|A -рI 4 +86,13944869. Аппроксимация слишком сложена и применяется редко.
1.1] Непрерывные распределения 59 Аппроксимация 8 (Картера) [90] 1 1 /i-l 2) = expBz), где 5 , 1/1 1, /2-1 /l - 1 При /ь /2 ^ 30 и р ^ 0,0001 погрешность ^ 10^3. Аппроксимация 9 [9, 91, 92] lg ^р(/ъ/2) = a(h-b)~ 2 - eg, где /г = Коэффициенты а, Ь и с приведены в таблице: 2Л/2 /l + /2 ' р а Ь с 0,50 0 0,290 0,75 0,5859 0,58 0,355 0,90 1,1131 0,77 0,527 0,95 1,4287 0,95 0,681 0,975 1,7023 1,14 0,846 0,99 2,0206 1,40 1,073 0,995 2,2373 1,61 1,250 0,999 2,6841 2,09 1,672 0,9995 2,8580 2,30 1,857 Задача 15. Вычислить^ пользуясь аппроксимациями^ значение .Ро,э(Ю, 12). Для справки — точное значение i<o,9 A0,12) = 2,1878. Аппроксимация 6. Имеем табличное значение гхо,э = 1,281551. 2 2 2 2 Вычисляем 1 = 1 = 0,9777 и 1 = 1 = 9,98148. Окончательно 9/i 90 ' 9/2 108 находим Fo,9A0,12) = 0,9777- 0,98148 + 1,28155 0,02222 • 0,981482 + 0,0185185 • 0,97772 - 81-10- 12 1,281155^ I 3 2 0,98148^ - 0,0185185 ¦ 1,281552 1,21140198 V 0,932891651/ = 2,189632439 (8 = 0,03%). Аппроксимация 8. Имеем С/о,9 :=: 1,281551 и 9 h = ¦ + -— = 9,9; Л = -A,2815512 - 3) = -0,226271172; 10-1 1,281551(9,9 - 0,226271172)^ 9,9 — + -]-- 0,226271172 - - ( — + - ) =0,511656907; 11 9/ L6 3 V11 9/J Fo,9A0,12) = expB • 0,511656907) = 2,782399. Погрешность S = 27% велика, так как малы степени свободы Д и Д. Аппроксимация 9. Имеем а = 1,1131; Ь = 0,77 и с = 0,527. Далее находим h = 2 * 10 12 + 10 = 10,90909 и g = 12- 10 = 0,016666. Тогда lgjPo,9A0,12) = 1,1131A,90909 - 0,77)" 2 _ 0,527 • 0,016666 = 0,340787085 F0,9A0,12) = 2,19173 (8 = 0,18%).
60 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Задача 16. Вычислить нормализующее преобразование для .Ро,э(Ю, 12) и оценить точ- точность нормализации. Для р = 0,9 имеем гло,э = 1,2811551. Аппроксимация 2. Имеем .Ро,э(Ю,12) = 2,1878 и находим а = 2,1213203 - °^471404521 = 2,074179848, с2 = 2,1213203 - °?47140452 = 2,08203659, 1 -2,074179848 + 2,08203659-2,1878 3 /г ^ч d = up= — y2 = 1,28212 (ё = 0,01%); 11 \ 2 1 ¦ 2,18783 10 12 d' = 1,28212 ( 1 + 0,8- — • 1,2821224 ) = 1,282282 (S = 0,06%). Аппроксимация 3: ио,9 = — 1 = 1,259744 (S = 0,04%). 10 \ 2 Ц • 2,187^ Аппроксимация 4: 2,18783 [ 1 — ) - [ 1 —\ у 9-12У V 9-10У 9Й9199 /е пПЛо/л 1iO,9 = 1 = I,2o212z (О = U,U47o). 2 2 Н • 2,18783 ч9-10 9-12 Оценим квантиль .Ро,э(Ю, 12), пользуясь этой аппроксимацией. Имеем (9/i - 2)(9/2 - 2) = (9 • 10 - 2)(9 • 12 - 2) = 9328; [2/i(9/2 - 2J + 2/2(9/i - 2J - 36/2Мр] 2 = 635,2015025; (9/2 - 2J - 18/2tXp - (9 • 12 - 2J - 18 • 12 • 1,2815512 = 10881,24744; F ПП19^ [1,2(9328 + 3 • 1,281551 • 635,2015025I 3 ^0,9A0,12) = ^ 10881,24744 J = 2'187013 Аппроксимация 5. Вычисляем = °>354212173; в = 1 - Р = 0,645787826; 5 = ^-^ = 5,5; Z А 10-2,1878 + 12 ' 7 " r 7 ' 2 10 — 1 10 4- 12 — 2 S T T = = 4,5; / = — = 1; — = 1,552741557; — = 0,69682329; 2 2 fp fq g(l,55271667) = -0,145733931; g@,69682329) = 0,119889378; 0,645787826 0,354212173 0,645787826 \ _ 12 10 10 + 12 у ~~ = 2,007475058; l n лл^^глго # - '" 0,645787826(^0,145733931 + 0,3542121173 • 0,119988937) uoy9 = 2,007475058 \ -p —, > 1 + - j • 0,354212173 • 0,645787826 I Относительная погрешность S = 0,03%.
1.1] Непрерывные распределения 61 1.1.11. Усеченное нормальное распределение Описание, применение. Если из генеральной совокупности, имеющей нор- нормальное распределение iV(/x, <т), изъять все элементы, меньшие или большие опреде- определенных граничных значений а\ и u2, to образуется совокупность, подчиненная усе- усеченному нормальному распределению. Граничные значения называются точками усечения. На практике могут возникнуть случаи двустороннего и одностороннего усечения. Часто это распределение используется при анализе точности производ- производства [93]. Свойства Двустороннее усечение Обозначение N1 (/х, а, а\, а 2) Параметры /х, а, а\, п2 Плотность Lp'f(x) = a J \ а где (f(x) — плотность вероятностей стандартного нормального распределения iV@,1); х п 1 г *_ Ф(ж) = —= е~ 2 dt — функция Лапласа; /i, a — параметры исходного нормального V 2тг J о распределения; а\ < п2—точки усечения Среднее М(ж) = /х — (А2 — Ai)cr, Г^е Л1 - фЩтщ; Л2 - фF)фF); 6 - -^-; 6 - —г- Дисперсия В(ж) = A + Ai^i - А26 - А2 + Ai)V2 В случае симметричного усечения, т.е. когда а\ — /i = п2 — \х = ^ имеет место г 1 х е [ц — а\ < х < fji + а2\ 1 I Функция распределения F'(х) = — —-р—™ —, а\ < х < Среднее (мода, медиана) М(ж) = Me = Mo = Дисперсия Щх) = A - 2^AW2, где С = —; А = 2Ф — Одностороннее усечение (а2 = оо) Обозначение N/f (/i, сг, ai) Параметры /i, сг, ai Среднее М(х) = // - 7о-, где 7 = 0 5^ Дисперсия О(ж) = сг2A — ^7 ~ 72)
62 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Вид кривых распределения разнообразен в зависимости от соотношения пара™ метров ад, ai, а^ и <т, но во многих случаях кривые будут образованы отрезками нормальной кривой с соответственно увеличенными координатами. Кривые сим- симметричны при а\ = —п2 и несимметричны в иных случаях. Доля усечения определяется формулами — слева: 0,5 —Ф(?х) и справа: 0,5 — Ф(?г)• Если заданы не границы, а доли усечения, то такие выборки называются не полностью определенными (расчеты для них аналогичны). Задача 17. Из нормальной выборки с параметрами /х = 100 и а = 30 изъяты члены с х < 70 и х > 160 (а\ = 70, «22 = 160). Как изменятся параметры полученного распре- распределения по сравнению с исходным нормальным? Вспомним, что функция Лапласа Ф(ж) связана с функцией F(x) соотношением Ф(х) 1 = F(x) (см. раздел 1.1.1). Для расчетов Ф(ж) воспользуемся аппроксимацией 5 из раздела 1.1.1, в соответствии с которой Находим Ф(х) = i|l-exp( -^ /160 - 100\ = = 1 Г / 8Л1 t = V 30 / Ч \ *)\ ФB) - Ф(-1) = ФB) + ФA) = 0,48 + 0,3431 = 0,8231. Вычисляем среднее: A ^(Ci) д Ч>{&) * =70^Ю0= = 160 - 100 = 1 фF)фF)' 2 фF)-фF)' зо ' ^2 зо Имеем ФF) = ФB) = 0,48; ФF) = Ф(-1) = -0,3431; Ф(?2) - ФF) = 0,823118. 1 Г ж2 1 Вспомним, что (р(х) = exPi г5 в нашем случае V2tt [ 2 J <р(-1) = 0,398942ехрМ - - ) = 0,24197; <^B) = 0,398942expf -- J = 0,05399; = 0,24197 = ^ = 0^5399 = 0,8231 0,8231 Итак, М(ж) = // - (Л2 - Ai)a = 100 - @,06559 - 0,29396) • 30 = 106,851, и Щх) = A + AiCi - А26 - А2 + AiJ(j2 = = A + 0,29396 • (-1) - 0,06559 • 2 - 0,06559 + 0,2939J • ЗО2 = 580,652; л/Щх) = 24,0967. 1.1.12. Распределение модуля случайной величины, распределенной нормально Описание, применение. Если случайная величина х распределена нормально 7V(^, сг), то случайная величина у = \х\ будет иметь распределение модуля. Приме™ няется при анализе допусков на изготовление деталей машино- и приборостроения.
1.1] Непрерывные распределения 63 Свойства Обозначение |7V|(//, сг) Параметры /i, a Плотность гЬ(у;и,,а) = - \<р(У~*1) + <р(У I , 2/ > О, <7 [ \ <Т / V СГ / J где <?>(ж)—плотность стандартного нормального распределения Функция распределения F(y: /i, ст) = Ф ( 1 + Ф ( ), у > О, \ a J \ a J t 9 где Ф(?) = —= e~~ 2 с?ж — функция Лапласа V 2тг J о Среднее МЫ = 2 \иФ(- ) +ст<р(- (при /х = 0 М(з/) = J^a^ 0,7979(j) Дисперсия D(y) = а2 + fi2 — [М(у)]2 (при /i = 0 D(y) = ^у^ а2 « 0,3634(т2) Коэффициент асимметрии а3 = —^== ^ 0,99527 (тг — 2) • v тг — 2 Коэффициент эксцесса «4 = ^^ 2 ^ 0,8691772 (тг - 2) Вид распределения определяется соотношением между параметрами исходного распределения /л и а. При \х ^> а распределения N и \N\ практически совпадают. Задача 18. Случайная величина х распределена нормально с параметрами ц = 10 и а = 5. Найти вероятность того, что модуль случайной величины х не превысит 3, т. е. Р{|ж| < 3}. Вычислить параметры распределения случайной величины у = \х\. 1 Г / 2ж2\1 2 Воспользуемся аппроксимацией 5 — Ф(х) = - 1 — ехр( 1 (раздел 1.1.1) для 2 L V ж /J вычисления Ф(ж) = ^(ж) — 0,5. Имеем Далее вычисляем I /З^МА =ф^_х^ = _фA?4) = ^iri^expf^^^I 2 = ^0,422154; V 5 2L V J = фB>в) = I [х _ ехр(_^!)] h = 0,496608; Р(|ж < 3|) = -0,422154 + 0,496608 = 0,074454. Находим <рB) = -^= е~% = 0,053991; М(|ж|) = 2 • A0 • 0,48 + 5 • 0,053991) = 10,13991; л/2тг В(|ж|) = 102 + 52 - 10Д39912 = 22,18223; уЩ\х\) = 4,7098.
64 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1.1.13. Распределение, порождаемое нормальной плотностью с линейным дрейфом среднего Описание, применение. Такое распределение возникает при смещении центра группирования мгновенного нормального распределения и является композицией нормального и равномерного распределений, описывая распределение вероятностей за весь период наблюдения. Применяется при изучении износа режущего инстру™ мента, дрейфа параметров электронных приборов. Свойства Пусть дрейф среднего во времени описывается формулой fi(t) = /jl0 + 2Acr0t, где jLto, cfq — параметры исходного распределения (при t = 0): A = B(j)^1[/i(t)max^/i(t)min]e Параметры /х, и, t Плотность <p(z, А) = — [Ф(гш + А) — Ф(гш — А)], х - М(х) где z = — , , — нормированное значение переменной; ш = I 1 Н ] ; Ф(у) = e^^dt — функция Лапласа v 7 о Функция распределения F(z, A) = ||l+ ^[(^ + А)Ф(^ш + АЬ(^ - A)#(zcj - А) + фш + А) - ^ где (р(у)—плотность стандартного нормального распределения Среднее М(ж) = /xq + Actq Дисперсия D(x) = а^ш2 Коэффициент вариации v = - Коэффициент асимметрии «з = О Коэффициент эксцесса «4 = —А4C + А2)^2 5 При <то —У 0 распределение стремится к равномерному (см. раздел 1.1.2), при А —} 0 — к нормальному (см. раздел 1.1.1). Таблицы плотности <p(z,\) и функции F(z,X) для А = 3, 6, 10 и 25 приведены в [93]. Задача 19. Начальное напряжение зажигания газоразрядного прибора распределено нормально с параметрами /хо = 1000 В и сто = 150 В. В течение срока службы среднее значение напряэюения зажигания увеличивается до 1500 В. Определить вероятность того, что напряжение зажигания в течение срока службы будет находиться в ин- интервале 900 -^ 1100 В. Имеем 15оо - 1000 /i(t)max = 1500; /x(t)min = ЮОО; А = = 1,666; .2 • 1<5и / А2\ 2 о; = 1 + — = 1,387; М(х) = ц0 + Ха0 = 1000 + 1,666 • 150 = 1249,9; V 3 / 2 = 43284,802; у/Щх) = 208,05.
1.1] Непрерывные распределения 65 900 - 1249,9 1100 - 1249,9 208,5 = -1'6825 ?2 = 208,5 = ^^ Для вычисления значения Ф(ж) воспользуемся аппроксимацией из раздела 1.1.1 Л [ Ф(х) = i { 1 1 2 1 + 0Д253ж2 Имеем для z\ = —1,682 Ф(-1,682 • 1,387 + 1,666) = Ф(~0,666334) = -1\- 1 '2 \] \ 2 ехр|( 0Д253(~0,б66334J 2 | 1 +0,1253-0,6663342 = -0,247536883; Ф(-1,682 • 1,387 ~~ 1,666) = Ф(-3,998934) = -0,4999766; (^(-0,666334) = 0,3135136; (^(-3,998934) = 1,344 • 10^4. Для ^2 = —0,72 имеем Ф(-0,72 • 1,387 + 1,666) = Ф@,66796) = 0,248057; Ф(-0,72 • 1,387 - 1,666) = Ф(-2,66524) = -0,41313076; «^@,66796) = 0,3191724; (^(-2,66524) = 0,0114394. Находим F(zuX) = -\l-\ ^@,666334 • 0,247536283 + 3,998934 • 0,49997666 + ...) i = 0,0453049; v ' ; 2\ l,666l ' ' ' ' / F(z2,X) = -|l + ^^@,66796-0,248057-2,66524-0,41313076 + 0, V ' ; 2\ 1,666V ' ' ' = 0,311692225. Окончательно P(-l,682 < z < -0,72) = F(-0,72) - F(-l,682) = 0,311692225 - 0,0453049 = 0,2663873. Следовательно, при таком дрейфе вероятность того, что напряжение зажигания нахо- находится в интервале 900 + 1000 В, равна р « 0,266. Для сравнения найдем вероятность попадания в этот интервал напряжения зажига- зажигания при отсутствии дрейфа, т. е. когда Л = 0. 900-1000 Л_ 1100-1000 Л^ В этом случае z\ = = —0,667: z2 = = 0,667, J 150 ' 150 ' Р(-0,667 < z < 0,667) = 2F@,667) - 1. Находим с помощью аппроксимации 18 из раздела 1.1.1 F@,667) = 1 - - ехр(-0,717 • 0,667 - 0,416 • 0,6672) = 0,7423. Таким образом, Р(—0,667 < z < 0,667) = 0,4846. Следовательно, отсутствие дрейфа су- существенно (почти в 2 раза) увеличивает вероятность нахождения напряжения зажигания в интервале 900 + 1100 В. 1.1.14. Распределение, порождаемое нормальной плотностью с линейным дрейфом среднеквадратического отклоненим Описание, применение. Распределения такого типа встречаются при авто- автоматическом изготовлении деталей, когда за время изготовления партии деталей изменяется рассеяние начального нормального распределения (например, при за- 3 А. И. Кобзарь
66 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 туплении режущего инструмента, при изменении механических свойств заготовок). Распределение погрешностей при измерениях близко к рассматриваемому, если за время проведения измерений имеет место систематическое смещение точности процесса измерения. Свойства Пусть дрейф среднеквадратического отклонения описывается формулой a(i) = о"оA + 2At); где а® — параметр исходного распределения (t = 0); А = ^а®)^1 [cr(t)max — cr(i)min]. Г / 2 2 \ / 22 Плотность (p(z: A) = —; < Е» ( — | — ЕЛ — - б ; г\ 6(i +2A) х - М{х) „ Г е" где z = — —нормированное значение переменной; bi{z) = —сш — инте- \/Т}(т,') I ^ тральная функция (табулирована); ш = C + 6А + 4А ) Функция распределения 0 Среднее М(ж) = /ig Дисперсия О(ж) = -?- ш2 о Здесь /jlq и сг0 — параметры исходного нормального распределения. Коэффициент вариации v = Коэффициент асимметрии а% = 0 Коэффициент эксцесса «4 = 12А2 Значения cp(z; X) и i^(z; А) табулированы в [93] для значений параметра А = 1, 3, 6 и 9. Значения F(z; А) для различных z и А приведены в табл. 4. Задача 20. Начальная погрешность измерения подчинена нормальному распределению с параметрами цо = 100 ед. и о~о = 20 ед. В процессе проведения измерений о~о линейно увеличивается до 60 ед. Найти вероятность того, что при проведении измерений погрешность не превысит 40 ед. Имеем А = ^t^. = i; ш= C + 6-1 + 4- I2)i = 3,60555; М(х) = ц0 = 100; 2 2\ / 2 лУЩх) = \ — - 3,605552 = 41,6333; z = 4° ~ 10° = -1,44115. v v ; V 3 41,6333 Необходимо найти Р(ж < 40) = F(-l,44; 1) = 1 - F(l,44; 1). По табл.4 для А = 1 и z = —1,44 находим, что 1^A,44; 1) та 0,93 и, следовательно, искомая вероятность равна Р(ж < 40) = 1 - 0,93 = 0,07. Если бы дрейфа стандартного отклонения не было, то Р(ж < 40) = Fl I = = F(—3) = 1 — i^C). Здесь F(x) — функция стандартного нормального распределения. Так как FC) = 0,9977, то Р(х < 40) = 1 - 0,9977 = 0,0023.
1.1] Непрерывные распределения 67 Таблица 4 Z 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 Значения функции Л 1 0,5000 0,5225 0,5453 0,5678 0,5900 0,6118 0,6332 0,6540 0,6742 0,6938 0,7126 0,7307 0,7481 0,7646 0,7803 0,7953 0,8094 0,8228 0,8354 0,8472 0,8583 0,8687 0,8784 0,8875 0,8960 0,9039 0,9113 0,9182 0,9246 0,9305 0,9360 0,9411 0,9459 0,9503 0,9543 0,9581 0,9616 0,9648 0,9678 0,9705 0,9730 0,9754 0,9775 0,9795 0,9813 0,9830 0,9845 0,9859 0,9872 0,9884 3 0,5000 0,5281 0,5560 0,5831 0,6094 0,6346 0,6585 0,6810 0,7022 0,7220 0,7405 0,7578 0,7739 0,7889 0,8029 0,8160 0,8282 0,8394 0,8503 0,8603 0,8697 0,8784 0,8866 0,8943 0,9015 0,9082 0,9145 0,9204 0,9259 0,9311 0,9359 0,9405 0,9447 0,9486 0,9528 0,9558 0,9590 0,9620 0,9648 0,9674 0,9699 0,9721 0,9743 0,9762 0,9781 0,9798 0,9813 0,9828 0,9842 0,9854 6 0,5000 0,5234 0,5653 0,5969 0,9624 0,7505 0,6745 0,6965 0,7168 0,7355 0,7527 0,7688 0,7837 0,7977 0,8107 0,8228 0,8342 0,8448 0,8548 0,8642 0,8729 0,8812 0,9889 0,8961 0,9029 0,9093 0,9153 0,9203 0,9262 0,9311 0,9358 0,9401 0,9442 0,9480 0,9516 0,9550 0,9581 0,9611 0,9638 0,9664 0,9668 0,9710 0,9713 0,9751 0,9769 0,9785 0,9802 0,9817 0,9831 0,9844 9 0,5000 0,5264 0,5711 0,6030 0,6317 0,6576 0,6810 0,7025 0,7221 0,7403 0,7571 0,7726 0,7872 0,8007 0,8134 0,8252 0,8363 0,8466 0,8564 0,8655 0,8741 0,8821 0,8897 0,8968 0,9034 0,9097 0,9156 0,9211 0,9263 0,9311 0,9357 0,9400 0,9400 0,9478 0,9514 0,9547 0,9578 0,9607 0,9635 0,9660 0,9684 0,9707 0,9727 0,9747 0,9765 0,9782 0,9798 0,9813 0,9827 0,9840 z 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 3,10 3,15 3,20 3,25 3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 3,80 3,85 3,90 3,95 4,00 4,05 4,10 4,15 4,20 4,25 4,30 4,35 4,40 4,45 4,50 4,55 4,60 4,65 4,70 4,75 4,80 4,85 4,90 4,95 F(z;X) X 1 0,9894 0,9904 0,9913 0,9922 0,9929 0,9936 0,9942 0,9948 0,9953 0,9958 0,9962 0,9966 0,9969 0,9972 0,9975 0,9978 0,9980 0,9982 0,9984 0,9986 0,9987 0,9989 0,9990 0,9991 0,9992 0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0.9998 0,9998 0,9998 0,9999 3 0,9866 0,9877 0,9887 0,9896 0,9905 0,9913 0,9920 0,9927 0,9933 0,9939 0,9944 0,9949 0,9953 0,9958 0,9961 0,9965 0,9965 0,9971 0,9974 0,9976 0,9978 0,9980 0,9982 0,9984 0,9985 0,9987 0,9988 0,9989 0,9990 0,9991 0,9992 0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 6 0,9856 0,9867 0,9877 0,9887 0,9896 0,9904 0,9912 0,9919 0,9925 0,9932 0,9937 0,9942 0,9947 0,9952 0,9956 0,9959 0,9963 0,9966 0,9969 0,9972 0,9974 0,9977 0,9979 0,9981 0,9981 0,9984 0,9985 0,9987 0,9988 0,9989 0,9990 0,9991 0,9992 0,9993 0,9993 0,9994 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 9 0,9852 0,9864 0,9874 0,9884 0,9893 0,9901 0,9909 0,9916 0,9923 0,9929 0,9935 0,9940 0,9945 0,9949 0,9954 0,9957 0,9961 0,9964 0,9967 0,9970 0,9973 0,9975 0,9977 0,9979 0,9981 0,9983 0,9984 0,9986 0,9987 0,9989 0,9989 0,9990 0,9991 0,9992 0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
68 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1.1.15. Распределение Рэлея Описание, применение. Применяется для описания распределения неотри- неотрицательных случайных величин, являющихся векторной суммой двух нормальных случайных величин с равными дисперсиями. Ему подчиняются погрешности гео- геометрической формы (овальность, конусообразность), ошибки взаимного расположе- расположения поверхностей (эксцентриситет, разностенность). Распределение Рэлея широко применяется в радиолокации при оценке погрешности обнаружения объектов. Свойства Обозначение Параметр Плотность Функция распределения Среднее Дисперсия Коэффициент вариации Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Мода Медиана Ща) а /(*;< F(x; М(х D(x) v=\ а3- МО: Me: ч X ( a) = — exp 1 - a V a) = 1 — exp | ) = Vl0Ssl ¦=B-5). < 4 V-l V4-7T/ 2^тг(тг - 3) л/D - тгK V \ / 24тг - 16тг2 - (А J = а = aB1n2)i = 2 \ X \ ^ 2 \ ,253a = 0,429a2 913 = 0,631 16 П 9d^ 1,177a Для удобства табуляции на практике применяется нормирование случайной ве- величины z = х/а. Векторная сумма двух нормальных случайных величин с нулевым средним и одинаковым стандартным отклонением а имеет распределение Рэлея с параметром а. Задача 21. Случайная величина распределена по закону Рэлея с параметром а = 4. Вычислить вероятность того, что случайная величина не превысит значения х = 3, и вычислить 95%-ю квантиль распределения. Имеем Р(ж < 3) = 1 — expj ^ 1 =0,24516. Для вычисления 95%-й квантили / \ г\ г\г- л ( Ж0,95 \ 1 гл глг- Ж0,Э5 (жо,9б) используем равенство 0,95 = 1 — ехр ¦— 1; 1п0,05 = ¦—, и окончательно у 2 • 16 J 2-16 г имеем жо,95 = (—2 • 16 • In 0,05) 2 = 9,790987, т. е. с вероятностью 0,95 случайная величина не превысит значение 9,971. 1.1.16. Распределение Максвелла Свойства, применение. Векторная сумма трех нормально распределенных случайных величин с нулевыми средними и равными дисперсиями имеет распре™ деление Максвелла. Распределением Максвелла описывается абсолютная величина скорости движения молекул.
1.1] Непрерывные распределения 69 Обозначение Параметр Плотность Функция распределения где (p(z) = Среднее Дисперсия О, Свойства М(х,а) а х2 B \ 2 Г х2 ] /(*;a) = ?(-j expj-^j, * > О F(x;a)=2[*(H)-?v(?)l, v 7 [ \а/ а \а/J >(z) = -p= e 2 dt о i M(x) = 2аГ-^ 2 = 1,596a В(ж) = а2 (з - ^1 = 0,454a2 i 2 Коэффициент вариации v = 21 о 1 = 2,369 \О7Г — 8/ Коэффициент асимметрии аз = — = 0,486 Коэффициент эксцесса Медиана Мода 1607Г - 12тг2 - 384 «4 = о = 0,108 9тг2 - 48тг + 64 Me = 1,538а Мо = лДа = 1,414а Обычно распределение Максвелла используется в нормированной форме {z = x/a). Задача 22. Вычислить вероятность того, что значение случайной величины, имею- имеющей распределение Максвелла с параметром а = 10, превысит х = 11. Имеем Р(ж > 11) = 1 - F(ll; 10) = 1 - 2[ФA,1) - 1,1 • <рA,1)]. Для вычисления Ф(ж) воспользуемся аппроксимацией 6 из раздела 1.1.1, в соответствии с которой Г / Г) \ 0Д253)(-ж2) ^ + 0,1253ж2 Тогда Н^ =фA ,l) = ±<Jl 10у v ; 2 | -0,1253- 1,1 i,i2 = 0,364784; 10/ —-' ЛИГ =°'217852- Окончательно имеем Р(ж > 11) = 1 — 2 • @,364784 - 1,1 • 0,217852) = 0,749707.
70 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1.1.17. Распределение экстремального значения Описание, применение. Рассмотрим распределение вероятностей экстре- экстремальных выборочных значений случайной величины х: у\ = min(#i, х^-, . ..,жп) и уп = max(#i, X2, ..., хп). Различают распределения экстремальных значений по™ следовательности независимых случайных величин двух типов, когда распределе- распределение самих случайных величин сосредоточено на конечном и бесконечном интер- интервалах. Если распределение исходных случайных величин ограничено некоторым интервалом [а, 6], то для экстремальных значений имеет место так называемое распределение типа III с функцией — для минимального значения Г (Ха\\ , = 1-ехр -1—^—1 , х > а; для максимального значения Г /b-x\P] Fm,n = ехр -(^—^—J > x<b. Очевидно, что распределения этого типа совпадают с распределением Вейбулла (см. раздел 1.1.5). Наибольшее практическое применение находит закон распределения экстре- экстремальных значений для выборки случайных величин, распределенных на беско- бесконечном интервале. Этот закон принято называть двойным показательным, или распределением типа I [12, 94]. Рассмотрим распределение минимального значения (распределение максимального значения следует из него заменой знака перед х). Свойства тт ж( тл 1 (х-а\ Г (х-а Плотность j(x; а, о) = - ехр{ —-— )ехр< — ехр Функция распределения F(x;a,h) = 1 — ехр< — expf —^ Среднее М(х) = а- 0,577Ь 2 Дисперсия В(х) = —, Ь2 = 1,645Ь2 Коэффициент вариации v = «— = 0,608-^ ;— 1,64562 б2 Ь Коэффициент асимметрии «з = —1,14 Коэффициент эксцесса а4 = 2,4 Мода Mo = a Медиана Me = а + Ып1п2 = а^ 0,3666 Распределение неограничен© и несимметрично. Если случайная величина х име- имеет распределение Вейбулла, то случайная величина у = In x имеет распределение минимального значения. Поэтому необходимые расчеты и оценки, связанные с рас- распределением экстремальных значений, могут быть получены из расчетов и оценок распределения Вейбулла. Если имеется последовательность п независимых случайных величин, имеющих распределение минимального значения с параметрами а и 6, то наименьшая из них имеет такое же распределение с параметрами а-61ппи 6.
1.1] Непрерывные распределения 71 Задача 23. Известно, что распределение минимальной наработки электронного при- прибора имеет среднее значение, равное 1000 ч, и стандартное отклонение, равное 750 ч. Найти вероятность того, что значение наработки превысит 1500 ч, и вычислить 95%-ю квантиль распределения минимальной наработки. Имеем а = 0,5776 = 1000 и л/1Щ)Ъ = 750. Отсюда а = 1000 + 0,577 • 584,76 = 1337,41 и Ь = 750 /1,645 = 584,76. Далее Р(ж > 1500) = 1 - Р(ж < 1500) = р-квантиль находим из условия р = ]_ — ехр< — I /1500- 1337,41 ехр(^ 584,76 = 0,266989. ( (хр~а\\ < — ехр( J >, I V 6 /J где хр = а + Ь ln[- ln(l - р)] = 1337,41 + 584,76 ln(- In 0,05) = 1979, т.е. вероятность того, что наработка превысит 1979 ч, равна 0,05. 1.1.18. Треугольное распределение (распределение Симпсона) Описание, применение. Сумма двух независимых равномерно распределен™ ных случайных величин имеет треугольное распределение. Свойства Параметры Плотность а, Ъ f(x;a,b) = 0, 4(ж - а) (Ъ - аJ ' х ^ а; а < х < х > а. Функция распределения F(x;a,b) = о, (Ъ-а? ' 1 — ------------------ х ^ щ а < х U, 2 х > Ъ. < х < Ь; Среднее М(ж) = Дисперсия О(ж) = Коэффициент вариации г; = а + i 24 Коэффициент асимметрии аз = 0 Коэффициент эксцесса а4 = 2,4 Мода Медиана Мо = Ме = 2 Распределение применяется редко, чаще всего в демонстрационных целях.
72 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Задача 24. Случайная величина х имеет треугольное распределение с дисперсией ТУ(х) = 24 и со средним М(ж) = 8. Найти вероятность того, что значение случайной величины будет находиться в интервале [0,5]. Имеем М(ж) = ^^ = 8 и D{x) = l^H^L = 24, отсюда 6 - а = 24 и b = 20, а = -4. 2 24 Далее Р@ < ж < 5) = FE) - F@) = 2 " E + 4\ - 2 ' (° + 4)9 = 0,22569. V ; W V ; B0 + 4J B0+ 4J 1.1.19. Распределение Коши Описание, применение. Описывает распределение отношения двух незави- независимых нормально распределенных случайных величин. В прикладной статистике используется редко. Свойства Параметры a, b Плотность f(x; а, Ъ) = — ехр(—=—) +1 7ГО [ \ О / J 1 1 ( х —- а\ Функция распределения F{x\a,b) = —I— arctgf —-— J Мода Mo = а Медиана Me = b У распределения Коши не существует ни среднего, ни дисперсии. Отношение двух независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение, имеет распределение Коши с параметрами а = 0 и Ъ = 1. Распределение Коши сов™ падает с ^-распределением Стьюдента (см. раздел 1.1.9) при / = 1 степени свободы. Сумма п независимых случайных величин, имеющих распределение Коши с па- параметрами щ и bi, также имеет распределение Коши с параметрами ]Р щ и ]Р Ъ{. Если случайная величина х имеет распределение Коши с параметрами а и Ь, то обратная ей случайная величина у = 1/х будет иметь распределение Коши с пара- параметрами а1 = а /(а2 + Ь2) и Ъ' = Ь/(а2 + Ь2). Задача 25. Отношение энергии разряда W газоразрядного прибора к его предельной энергии Wnp называется фактором нагрузки к. Известно^ что предельная энергия прибора распределена нормально со средним 1000 Дэт и стандартным отклонением 150 Дою. Также нормально со средним 500 Дтс и стандартным отклонением 60 Дтс распределена энергия разряда прибора во время работы. Необходимо вычислить веро- вероятность того, что при энергии разряда 600 Дмс фактор нагрузки не превысит 0,7. Вычислить вероятность того, что значение к будет лежать в интервале 0,4^0,5. Запишем отношение двух нормированных нормально распределенных случайных величин 600 - 500 600 - 500 У = w пр — ±\j\jkj kjuxj 150 _к_ 150 Очевидно, что требование fc^057 и 054^ifc^0,5 эквивалентно условиям у ^ —7/4 и 0,5 ^ у ^ 1,25. Случайная величина у имеет распределение Коши с параметрами а = 0, Ь= 1, и О -j) =1-P{y^ -j) =l-F(a;O,l) = l-i-iaxctg(-j) =0,83475. Далее Р@,5 ^ у ^ 1,25) = F(l,25) - F@,5) = - + - arctg 1,25 — i — — arctg0,5 = 0,137639. 2 7Г 2 7Г 60 Wnp - 1000 150 600 к 60 - 1000 5 4 3 к -5k
1.1] Непрерывные распределения 73 1.1.20. Логистическое распределение Описание, применение. Чаще всего используется в описательной статистике. Может быть использовано как простейшая модель для приближения распределения нормальной случайной величины. Свойства Параметры а, Ъ Гтг(ж — а) expl—-7 Плотность f(x:a,b) = —7= ¦ + ехр - _ 7-!/ I \ I -I К(Х ~ t Функция распределения г (ж; а, о) = \ 1 + ехр | Среднее М(ж) = а Дисперсия О(ж) = Ь2 Коэффициент вариации v = — Коэффициент асимметрии а3 = 0 Коэффициент эксцесса «4 = 4,2 Мода Mo = a Медиана Me = a Задача 26. Случайная величина имеет логистическое распределение со средним а = 15 и коэффициентом вариации v = 3,3. Вычислить вероятность того, что значение слу- случайной величины не превысит 10. Найти 15%-ю квантиль распределения. Имеем Ь=- = — = 4,2857 и v 3,5 {г 1 ^ ~1 1 + ехр - 710 ~ 1Б^ I = 0,1075. Далее из условия 1С V3-4,2857 0,85 = т 1 г\п имеем г^о is = 15In Г 7Г(«О15 - 15I ' 1 + е niK г 1С V34,2857 0,85 0,15 = = т 1 г\п имеем г^о is = 15 In = 10,9. Г 7Г(«О15 15I ' 7Г 015 2857 J =т1 г\п имеем г^о is = 15In Г 7Г(«О,15 - 15I ' 7Г 0,15 ехр — L VS- 4,28 1.1.21. Распределение Парето Описание, применение. Применяется в основном в описательной статисти- статистике. Впервые рассмотрено при изучении распределения доходов населения. Иногда используется как простейшая математическая модель изменения интенсивности отказов приборов на этапе приработки. Свойства Параметр с Плотность f(%]c) = сх~^с+1\ 1 ^ х ^ о© Функция распределения F(x;c) = 1 — ж^с, 1^ж^оо Среднее М(ж) = -, с > 1
74 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 с / с \ ^ Дисперсия D(x) = — ( ) , с > 2 С z! \ С I/ Коэффициент вариации v = 1 , с > 2 \ с J Если случайная величина х распределена равномерно на интервале [0,1], то случайная величина A/ж)с имеет распределение Парето с параметром с. Задача 27. Случайная величина х имеет распределение Парето с параметром с = 2,4. Вычислить вероятность того, что х ^ 5, и 95%-ю квантиль распределения. Имеем Р(ж ^ 5) = FE; 2,4) = 1 - 5~2'4 = 0,979. Из условия 0,95 = 1 - щ2^ получаем ^о,95 =0505~2^ =3,484. 1.1.22. Композиции законов распределения вероятностей случайных величин, возникающие при расчете надежности по схеме „нагрузка-напряжение" Если х — прочность объекта испытаний, а у— действующая на него нагрузка, то вероятность безотказной работы объекта испытаний равна Л = Р(ж> у) = Р(х - у > 0). В общем случае х ж у являются случайными величинами с плотностями распре™ деления вероятностей f(x) и f(y) соответственно. Легко видеть, что вероятность безотказной работы равна Р(ж — у > 0) = 1 — F(x — г/), где F(x — у) — функция распределения разности случайных величин х и у. Рассмотрим соотношения для вероятности безотказной работы R при различных законах распределения вероятностей значений прочности и напряжения. Случай 1. Прочность и напряжение распределены нормально (см. раздел 1.1.1) ; f(y) = аху~ш [ ^ v ux / j Тогда V2tt J где F(z) — функция стандартного нормального распределения. Случай 2. Прочность и напряжение распределены логарифмически нормально (см. раздел 1.1.3): (Ых ~ . 2a* 1 Г i /Ы = - где (i\n х, (i\n у, а\п х, <Jin у — параметры нормальных распределений величин In x и \пу. Случай 3. Прочность и напряжение распределены по экспоненциальному закону (см. раздел 1.1.4) f(x) = Хх ехр(^Ажж); f(y) = Ху ехр(-Ауу); R = -—^—.
1.1] Непрерывные распределения 75 Случай 4. Прочность распределена нормально (экспоненциально), а напряже™ ние экспоненциально (нормально): X — Цх Тогда [93] При f{x) = Ххещ>{-\хх}; f(y) = -±= ещ>[-\(у—> ауу2ж { 1 V (Ту Случай 5. Прочность и напряжение имеют гамма-распределение (см. раздел 1.1.6) Вероятность безотказной работы имеет вид: при ах ф 0 и ау ф О р _ Г(аж + ау - 2) , _ , где Г(...) — гамма-функция, В7(а, Ь) —неполная бета-функция иг = -^; Рх при аж = ау = 0 (х и г/ имеют экспоненциальное распределение) при аж = 0, ау т^ 0 (прочность распределена экспоненциально, а напряжение имеет гамма-распределение) при ах ф 0, о^ = 0 (прочность имеет гамма-распределение, а напряжение распре- распределено экспоненциально) R= 1- Случай 6. Напряжение распределено нормально, а прочность по закону Вей™ булла (см. раздел 1.1.5): 1 Ру в - -ihyv Вероятность отказа равна 2тг ^ж о Таблицы значений интеграла приведены в [95] и в табл. 5.
76 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Таблица 5 А Значения A - - А), умноженные на 1СГ (А = -Цх/сгх, С = < С 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 /Зу = 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,4 -1,8 -2,2 -2,6 -3,0 -3,4 -3,8 -4,2 -4,6 -5,0 -5,5 -6,0 -6,5 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 0001 0003 0004 0005 0008 ООН 0016 0022 0030 0041 0069 0111 0169 0247 0349 0475 0630 0815 1031 1279 1634 2037 2485 2973 4039 5265 6269 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0005 0005 0009 0014 0022 0032 0045 0062 0082 0108 0138 0173 0255 0287 0360 0443 0645 0897 1202 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0006 0009 0013 0018 0024 0032 0041 0052 0067 0086 0108 0134 0196 0276 0374 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0004 0006 0008 0010 0014 0017 0022 0029 0036 0046 0057 0083 0117 0160 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0004 0005 0007 0009 ООН 0015 0019 0023 0029 0043 0050 0082 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0005 0006 0008 ООН 0014 0017 0025 0035 0048 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0003 0003 0004 0005 0007 0009 ООН 0016 0022 0030 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0010 0015 0020 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0003 0004 0005 0007 0010 0014 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0005 0008 0010 Pv = 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,4 -1,8 —2 2 -2^6 -3,0 -3,4 -3,8 -4,2 -4,6 ООН 0017 0025 0035 0049 0067 0089 0116 0149 0188 0284 0407 0557 0733 0935 1159 1406 1671 1954 0003 0004 0007 0009 0012 0017 0023 0030 0038 0048 0073 0105 0144 0191 0246 0308 0377 0453 0536 0001 0002 0003 0004 0006 0008 0010 0013 0017 0021 0032 0047 0065 0086 ОНО 0138 0170 0205 0243 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0006 0007 0010 0012 0018 0026 0036 0048 0062 0078 0096 0116 0137 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0008 0012 0017 0023 0031 0040 0050 0062 0074 0088 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0003 0004 0005 0008 0012 0016 0022 0028 0035 0043 0052 0061 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0006 0009 0012 0016 0020 0026 0031 0038 0045 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0005 0007 0009 0012 0016 0020 0024 0029 0035 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0002 0004 0005 0007 0010 0012 0015 0019 0023 0027 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0006 0008 0010 0013 0015 0019 0022
1.1] Непрерывные распределения 77 А п р о д о л жени е та б л ицы 5 С 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 f3y = 2 -5,0 -5,5 -6,0 -6,5 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 2251 2640 3043 3457 3876 4713 5525 6285 0626 0748 0879 1020 1170 1493 1845 2222 0284 0341 0402 0468 0539 0695 0969 1059 0161 0193 0228 0266 0307 0398 0499 0611 0103 0124 0147 0171 0198 0256 0322 0396 0072 0086 0102 0119 0138 0179 0225 0277 0053 0064 0076 0088 0101 0132 0166 0204 0041 0049 0058 0067 0078 0101 0127 0157 0032 0038 0046 0053 0062 0080 0101 0124 0026 0031 0037 0043 0050 0065 0082 0100 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,4 -1,8 -2,2 -2,6 -3,0 -3,4 -3,8 -4,2 -4,6 -5,0 -5,5 -6,0 -6,5 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 0001 0003 0004 0005 0008 ООН 0016 0022 0030 0041 0069 0111 0169 0247 0349 0475 0630 0815 1031 1279 1634 2037 2485 2973 4039 5265 6269 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0005 0005 0009 0014 0022 0032 0045 0062 0082 0108 0138 0173 0255 0287 0360 0443 0645 0897 1202 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0006 0009 0013 0018 0024 0032 0041 0052 0067 0086 0108 0134 0196 0276 0374 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0004 0006 0008 0010 0014 0017 0022 0029 0036 0046 0057 0083 0117 0160 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0004 0005 0007 0009 ООН 0015 0019 0023 0029 0043 0050 0082 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0005 0006 0008 ООН 0014 0017 0025 0035 0048 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0003 0003 0004 0005 0007 0009 ООН 0016 0022 0030 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0010 0015 0020 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0003 0004 0005 0007 0010 0014 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0005 0008 0010 /Зу=4 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0005 0007 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
78 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 А Окончани е та б л ицы 5 С 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1,4 -1,8 — 2 2 -2,6 -3,0 -3,4 -3,8 -4,2 -4,6 -5,0 -5,5 -6,0 -6,5 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 0018 0033 0055 0088 0136 0201 0289 0404 0501 0732 1015 1366 1788 2282 3466 4838 6252 0001 0002 0003 0006 0009 0013 0019 0026 0036 0048 0068 0094 0126 0167 0275 0429 0638 0000 0000 0001 0001 0002 0003 0004 0005 0007 0010 0014 0019 0025 0033 0055 0087 0130 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0006 0008 ООН 0017 0027 0041 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0004 0007 ООН 0017 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0002 0003 0005 0008 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0002 0003 0004 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0002 0003 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0002 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 Задача 28. Прочность элемента конструкции распределена нормально с парамет- параметрами fix = 100 и ах = 50. Нагрузка^ действующая на элемент^ такэже распределена нормально с параметрами \ху = 50 и ау = 25. Вычислить вероятность безотказной работы элемента. Имеем z= ^ 2 = — 0,89442. Далее, используя аппроксимацию 8 (см. раз- раздел 1.1.1), получаем 2,34" F(-0,89442) = l-F@,89442) = 1-0,852 expi - f °^89442 + 1>5774 ) К =0,185337; I у 2,0637 J I R = 1 - F(-0,89442) = F@,89442) = 0,814662. Задача 29. Прочность элемента конструкции распределена логарифмически нормаль- нормально с медианой 1000 ед. и модой 60 ед., а нагрузка распределена логарифмически нор- нормально с медианой 80 ед. и модой 40 ед. Вычислить вероятность безотказной работы элемента. Имеем exp(/iinJC) = 100; ехр(^1ПЖ - а?пх) = 60; ехр((цпу) = 80; exp(/iin2/ - (Тыу) = 40. Тогда jtxinx = 4,605; /Лпу = 4,382; afnx = fi\nx - In60 = 0,511; afny = fnny - In40 = 0,693. Далее ^605 - 4,382 = _ 18521 Д= l^F(-0,18521) = 1-1 +F@,18521) =F@,18521). 0,511 + 0,693 Применив аппроксимацию из задачи 28, находим R = F@,18521) = 1 - 0, 2,0637 = 0,573257.
1.1] Непрерывные распределения 79 Задача 30. Прочность элемента конструкции распределена экспоненциально с Хх = 1CF3, а нагрузка также имеет экспоненциальное распределение с Ху = 1CF4. Вычислить вероятность отказа элемента. Вероятность отказа элемента равна 1 _ Л = 1 *»_ = _*?_ = 0,909. «^Ж I Лу Л.х \ ^у Задача 31. Прочность элемента конструкции распределена нормально с парамет- параметрами fix = 200 и ах = 30, а нагрузка распределена экспоненциально с параметром Ху = 10~2. Вычислить вероятность безотказной работы элемента. Имеем = 1 ~~ F(-6,6667) - ехр(-1,955){A - F(-6,6667)} = FF,6666) - 0,14156 • FF,6667). Очевидно, что ,РF,6667) « 1, и окончательно получаем R = 1 — 0,14156 = 0,858. Легко видеть, что если поменять местами прочность и нагрузку, то R = 0,142. Задача 32. Прочность элемента конструкции имеет гамма-распределение с пара- параметрами ах = 3 и j3x = 10^3, а нагрузка распределена экспоненциально с параметром /Зу = 10~3. Вычислить вероятность безотказной работы элемента. Имеем R=l- ( —^— ) = 0,75. Задача 33. Прочность элемента конструкции распределена по закону Вейбулла с па- параметрами ау = 800 и /Зу = 3, а нагрузка распределена нормально с параметрами цх = 400 и ох =80. Вычислить вероятность безотказной работы элемента. Имеем А = ^— = ^— = ^5; С = — = 10. Из табл. 5 для /3 = 3, А = ^5 и С = 10 <7Х 80 80 имеем 1 - Д = 0,1279 ий = 0,8721. 1.1.23. Нецентральное распределение Стьюдента (нецентральное t-распределенме) Описание, применение. Если случайная величина х имеет нормальное расп- распределение со средним S и единичной дисперсией, а независимая от нее случайная величина %2 имеет распределение хи-квадрат с / степенями свободы, то случайная величина tf = х/х имеет нецентральное t-распределение с / степенями свободы и параметром нецентральности S. При S = 0 нецентральное i-раепределение совпадает с центральным (см. раз™ дел 1.1.9). Пусть 5(/,tg,p) — значение параметра нецентральности, при котором случайная величина t7, имеющая нецентральное t-распределение с параметрами / и <5, превышает значение to с вероятностью р, т. е. P{t;(/, S) > to} = p. Очевидно, что S(f,to,p) = -S(f,-to,p). Таблицы, необходимые для расчетов в случае нецентрального ^распределения, приведены в [24, 29, 96, 97].
80 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 При / > 30 применимо приближение где U\—v—р-квантиль стандартного нормального распределения. В [97] приведена достаточно простая аппроксимация, основанная на том, то Arsh tW— имеет нормальное распределение L V j J где Arsh(x) = In (ж + л/х2 + l) —гиперболический арксинус, a t — случайная вели- величина, имеющая распределение Стьюдента. Нецентральное t-распределение используется при планировании эксперимента и оценке мощности критериев проверки гипотез с помощью статистик, основанных на ^критерии. Задача 34. Вычислить значение параметра нецентральности 5, при котором слу- случайная величина, имеющая нецентральное t-распределение с / = 10 степенями свободы, превысит величину to = 2 с вероятностью р = 0,9. Используя нормальную аппроксимацию, имеем / 22 \ 5A0; 2; 0,9) = 2 - uo,i I 1 Н ) = 2 - uOjl • 1,095445. Пользуясь аппроксимацией 15 из раздела 1.1.1, имеем г*0,1 = 4,91 • (ОД0'14 - 0,90'14) = -1,2812615 и E = 2 + 1,2812615 • 1,095445 = 3,40356. 1.1.24. Нецентральное распределение Пирсона (нецентральное распределение хи-квадрат) Описание, применение. Сумма квадратов п независимых нормально распре™ деленных случайных величин с единичной дисперсией, среди которых по крайней мере одна имеет ненулевое математическое ожидание, подчиняется нецентральному Х! -распределению. Нецентральному %' -распределению подчинена сумма /v / j  \ 1 где Х{ — независимые нормально распределенные величины с нулевым средним ^ п ^ п и общей дисперсией а2 ; 7г — постоянные со средним j = ^^7i иж= — У^ Xj. п f—' n г=1 г=1 Величина \' подчиняется нецентральному х -распределению с / = п степенями П 1 свободы и параметром нецентральности а = V^ ^"Gг — О7J- Таблицы нецентрального х' ^распределения приведены в [24]. 2а)
1.1] Непрерывные распределения 81 Пирсон предложил преобразование, позволяющее вычислить нецентральное X2-распределение через центральное [98]: а2 (п _i_ 2аK где Х2(/;)—центральное х2тРасг[РеДеление с /' = 2 степенями свободы. (п + За) При а —> О Х2(/0 отличается от функции точного распределения хи-квадрат на величину порядка а2, а при а —>¦ оо на величину порядка —. а Более простое, но менее точное преобразование предложено Патнайком [99]: х" (/;/) = X2(fi а)ч гДе /;/ = . Полезно следующее преобразование [97]: / + 2а j + 2а обычная величина сх2(/;) имеет то же распределение, что и нецентральная х' (/? а)? / + 2а , / + а2 если с = --—— и /' = - , о . / + а / + 2а Нецентральное х2~РаспРеДеление применяется при планировании эксперимента для проверки гипотез, когда используются статистики, основанные на случайных величинах х2- Задача 35. Вычислить 95%-ю квантиль случайной величины^ имеющей нецентраль- нецентральное х2 -распределение с / = 30 степенями свободы и параметром нецентральности а= 10. Из соотношения / + За [ / + За 2/ л ч 2//^/\/ + апедует Х (/,а) = х (/ )уТ^ - jj^, или '00,10) = /(Л ¦ ^^ - ^^ = 1,2х2(Л - 1,6667 v ' ; л u ; 30 + 20 30 + 30 v ' ( f -4- *}п\^ ^П^ = 34,722. (/ + ЗаJ 602 Найдем теперь верхнюю 95%-ю квантиль обычного х2~РаспРеДеления с / — 34,722 сте- степенями свободы. Воспользуемся аппроксимацией 10 (Хоглина) из раздела 1.1.8: Хр = \ 1,06807у? + 2,13161 [- lg(l - р)] 2 - 0,04589^/ • [- lg(l - р)] 2 - 1,37266 \ = = < 1,06807^/34,722+ 2,13161-1,140627-0,04589^34,722-1,140627-1,37266^ =49,6168. 1.1.25. Нецентральное распределение Фишера (нецентральное .F-распределенме) Описание, применение. Если xi —случайная величина, имеющая нецен™ тральное распределение хи-квадрат с Д степенями свободы и параметром нецен- нецентральности а, а х! —независимая от нее случайная величина, подчиняющаяся рас™ fry "V-, пределению хи-квадрат с /2 степенями свободы, то случайная величина F* = j- /1X2 имеет нецентральное ^-распределение.
82 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Для проведения расчетов, связанных с нецентральным ^-распределением, могут быть использованы графики, приведенные в [29, 100]. Нецентральное .F-распреде- ление используется при планировании эксперимента и оценки мощности критериев проверки гипотез, основанных на применении ^-распределения. Табулирование нецентрального ^-распределения затруднено из-за большого ко- количества независимых переменных (Д, /2, а), поэтому разработаны его аппроксима- аппроксимации обычным (центральным) .F-распределением [101, 102]. Наиболее проста и точ- F* + с на аппроксимация М. Тику [101], в соответствии с которой величина F = —-— имеет центральное ^-распределение с параметром Ъ и /2 степенями свободы, где Ь 1 Н „ Н2 г^2К^ ^^К3' = (/i+«J + (/2^2)(/! + 2a); а)(/2^2) + (/1+За)(/2^2J. В [97] предложена упрощенная формула для нецентрального ^-распределения. Случайная величина F^ j2(«), имеющая нецентральное F-распределение со степе- степенями свободы /i и /2 и параметром нецентральности а, распределена как величина 1 + т~ j-^X/i ?/2)? где /* = -Ц — и F{у 1,1/2)—обычная ^-величина с \/\ и щ /1 / Ji + 2а степенями свободы. Более точные аппроксимации можно найти в [115]. Задача 36. Вычислить верхнюю 10%-ю точку нецентрального F1'-распределения с па- параметрами /i = 10, /2 = 12 и а = 2. Используем аппроксимацию Тику. Имеем Н = 2 • A0 + 2K + 3 • A0 + 2) • A0 + 4) • A2 - 2) + A0 + 6) • A2 - 2J = 10096; 2 К = A0 + 2J + A2 - 2) • A0 + 4) = 284; Е = =- = 4,4498325; 284 h = ^^ I г™* = 1,212314; 10 2-10,72558 + 12-2 284 ' Ъ = ^—^ . [ /4-4498325 - 1 ) = 10,72558; с = ^^ • ( 1,212314 - ^^ ) = 0,0147768. 1 I V 0,4498325 / ' ' 12-2 \ ' 10 ' ' F* + с Исходя из того, что случайная величина F = имеет центральное jF-распределение, находим искомую величину, где F — обычная F-величина с Ь = 10,725933 и /2 = 12 сте- степенями свободы. Для ее вычисления воспользуемся аппроксимацией 9 из раздела 1.1.10. Для р = 0,9 (верхняя 10%-я точка; не путать h и Ь в этих обозначениях с обозначениями, ранее применяемыми) имеем о = 1,1131; 6 = 0,77; с = 0,527; h=2HK = 2-10,72558.12 = = 12-10,72558 = . 3 fi + /2 10,72558 + 12 ' ' Б 10,72558 ¦ 12 Тогда lgF0,9A0,72558; 12) = 1,1131 • A1,32705612 - 0,77) 2 - 0,527 • 9,901791 • 10^3 = 0,3373623 и Fo,9@,72558; 12) = 2,1745; F0*9 = 1,2123267 • 2,1745 - 0,014792021 = 2,621412.
1.1] Непрерывные распределения 83 A0 + 2J Используем теперь второе приближение. Находим fl = = 10,285714 и вы- вычисляем /о,э(Ю, 285714; 12) по аналогии (а = 1,1131; Ь = 0,77; с = 0,527) 2-10,285714.12 = 12 - 10,285714 = 10,285714+12 ' ' & 10,285714-12 lg10 Fo,9A0,285714; 12) = 1,1131 • A1,0769229 - 0,77) 2 - 0,527 • 0,01388889 = 0,339393; Fo,9A0,285714; 12) = 2,184707 и F0*9A0; 12; 2) = ( Ц 1 • 2,184707 = 2,621648. Видно, что погрешность аппроксимации вторым способом удовлетворительна, а сам способ много проще в вычислительном отношении.
84 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1.2. Дискретные распределения 1.2.1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли) Свойства, применение. Если событие осуществляется в единичном испытании с некоторой постоянной вероятностью, то число появлений события в последо- последовательности независимых испытаний подчинено распределению Бернулли. При испытаниях невосстанавливаемых изделий на фиксированную наработку число отказов подчиняется биномиальному распределению. Оно широко применяется при выборочном приемном контроле качества продукции и статистическом предупреди- предупредительном контроле технологических процессов в производстве. Свойства Распределение вероятностей — вероятность появления события ровно х раз в серии из п испытаний, при условии, что в единичном испытании вероятность его появления равна р. Функция распределения г=0 — вероятность появления событий ^ х раз в серии из п испытаний. Среднее М(ж) = пр Дисперсия D(x) = прA — р) Коэффициент вариации v = пр Коэффициент асимметрии аз = A — 2р)[прA — р)] 2 Коэффициент эксцесса а^ = 3 \- п прA — р) Таблицы вероятностей биномиального распределения приведены в [16, 23, 29, 44]. Однако появление современных компактных и весьма мощных микрокалькулято- микрокалькуляторов позволяют достаточно быстро производить расчеты без применения таблиц [30, 31, 33]. При п —>• оо, р —>¦ 0 и пр = const биномиальное распределение сводится к распре- распределению Пуассона (см. раздел 1.2.2) с параметром А = пр (приближение приемлемо при п>10ир<0,1). В силу взаимосвязи распределения Пуассона с распределе- распределением хи-квадрат (см. раздел 1.1.8) функция биномиального распределения может быть выражена через интеграл вероятностей % -распределения: F(x; n,p) = Y^ ^r e~np = PX2Bnp, 2x + 2), i=0 где РХ2 (г/, и) = 1 — Fx^{x) — интеграл вероятностей ^-распределения с v степенями свободы, FX2 (ж) — функция распределения jq с у степенями свободы. При п —^ оо биномиальное распределение стремится к нормальному со средним /J, = пр и дисперсией а2 = прA — р). Сходимость удовлетворительна при прA — р) > Б и 0,1 $С р ^ 0,9 или при прA — р) > 25 и любом р. Наилучшая схо- сходимость обеспечивается при р = 0,5 и ухудшается при р < ир> -.
1.2] Дискретные распределения 85 Таким образом, в указанных диапазонах имеет место 1 - пр + - F(x;n,p) = Ф л/прA - р) 1 где Ф(...) —функция стандартного нормального распределения. Биномиальное распределение может быть выражено через функцию бета™рас™ преде ления (см. раздел 1.1.7) F(x;n,p) = 1 — /р(ж1,п — х) = Ii-P(n - х,х + 1), где 1р(а,Ъ)—неполная бета-функция, и через функцию F-раепределения (см. раз™ дел 1.1.10) F(x;n,p) = с\^^^;2(п - х),2(х + 1I , I fh Ju tj I где G(y; fi, /2) — функция ^распределения относительно переменной у с Д и /2 степенями свободы. Приведенные соотношения позволяют использовать таблицы и аппроксимации бета™ и ^распределений для расчетов при биномиальном распределении. Пуассоновские и нормальные приближения, рассмотренные выше, относительно грубы. Поэтому был предложен ряд точных приближений, например, в [104]: где при у = у* = — погрешность ^ —~ при р < 0,2 и п ^ 300 [17], а при 2 — р п y = y**=y*{l + [x(x + 2) + xy*-2y*]2l6Bn-x2)~1]y1 погрешность ^\ (при р ^ 0,12 и п ^ 300 [17]). Моленаром [55] предложены весьма точные аппроксимации биномиального рас- распределения нормальным: — для „хвостов" распределения @,005 ^ р ^ 0,05 и 0,93 ^ р ^ 0,995) F(x;n,p) = — для распределения между „хвостами" ж + 2,5)A ^р)з - [Dп - 4ж - при этом должны выполняться приблизительно следующие соотношения между пир: п = 3; 0,25 ^р^ 0,75; п = 30; 0,40 ^ р ^ 0,60; п = 300; 0,46 ^ р ^ 0,54. Для более точной аппроксимации используется формула [105] F(x; п,р) = ф[[А(х, А)] а - [А{п - х - 1, -А)] 2 } , \\ 15 + 12Л + 5Л2 , C + 6Л + 7Л2)Bж + 1+пЛ) A)+А = 1- где Л2 C + 6Л + 7Л2 _
86 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 При табулировании биномиального распределения возникают трудности из™за того, что его параметр р одновременно входит в выражения для среднего и для дисперсии. Специальные преобразования исходной биномиально распределенной случайной величины позволяют устранить эти трудности. В [106] показано, что случайная величина z = 2 aresin у/х/п, где х — биномиально распределенная слу- случайная величина, имеет при п > 50 нормальное распределение с математическим ожиданием /л = 2arcslnv/p и дисперсией а2 = 1/п. При умеренных п (п < 50) Ан™ скомбом [107] предложено уточненное преобразование z* = aresin \ аппроксимирующееся 2 1 иг = -. X n 3 + 8 3' + 4 нормальным удовлетворительно аппроксимирующееся нормальным распределением /л = aresin 3 I 2 ! . 2" 4n Характеристическим свойством биномиального распределения — дисперсия меньше среднего — можно руководствоваться при выборе между ним и отрица- отрицательно-биномиальным (см. раздел 1.2.3), для которого дисперсия больше среднего, и распределением Пуассона (см. раздел 1.2.2), у которого дисперсия равна среднему. Задача 37. Вероятность появления дефектного изделия в производстве равна ОД. Вычислить вероятность появления в партии из 60 изделий не более 10 дефектных. Имеем р = ОД; п = 60; ж = 10 и пр = 6. Необходимо вычислить величину FA0] 0,1; 60). Непосредственный расчет (точное решение) дает ю ; ОД; 60) = ]Г Сг60 • 0,1* • 0,960~* = Cq0 • 0,960 + С\о • ОД • 0,959 + Cq0 • ОД2 • 0,958 = г=0 = О630 • ОД3 • 0,957 + О640 • ОД4 • 0,956 + О650 • ОД5 • 0,955 + О660 • ОД6 • 0,954 + О670 • ОД7 • 0,953 + + Оео • ОД8 • 0,952 + Оео ' ОД9 • 0,951 + С&? • ОД10 • 0,950 = 0,96570865. Аппроксимация с помощью распределения Пуассона: ю i FA0; 60; ОД) = ]Г — • е = 2,478752 • 10 х г=0 % ( 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176" X 1 + 6 Ч 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 = 0,9573799 (E = 0,87%). Если воспользоваться соотношением между распределением Пуассона и х2™распреде™ 10 gi лением ^ — е^6 = Р%2 B • 6; 20 + 2) = РХ2 A2,22) и применить аппроксимацию 3 (см. раз™ г=0 1' дел 1.1.8), то получим из соотношения Xp = /(l \-ир\ — 1 , имея в виду, что \ 9/ V 9/ / 2 ( 2 Г^\3 Хз :=: 12 и / = 22, уравнение 12 = 221 1 Ь ир\ 1 , решением которого явля- является величина нормальной квантили ир = 1,719747.
1.2] Дискретные распределения 87 Используем аппроксимацию 8 из раздела 1.1.1: 2,0637 = 0,957302. Полученное значение вероятности РХ2 A2,22) = 1 — F(x2 < 12) « 0,957302 очень близко к точной величине 0,95778. Используем теперь нормальное приближение F(x;n,p) = Ф - пр + - = Ф 10-6 + 0,5 л/6 • 0,9 = ФA,93649). С помощью аппроксимации 18 из раздела 1.1.1 получаем ФA,93649) = 1-- ехр(-0,717 • 1,93649 - 0,416 • 1,936492) = 0,97378 (S = 0, С помощью приближения бета-распределением имеем F(x;n,p) = в(^ • ^; 100,22^ = G(l,98; 100,22). Применим аппроксимацию 4 (см. раздел 1.1.10): I / 2 1,983 • 1 - 9-22 -(г- 9- 100 ) = 1,820406. v9-100 9-22 Далее, используя аппроксимацию 8 из раздела 1.1.1, получаем: FK) = ^A,820406) = 1 - 0,852еХр [- {^Щ^)^ что очень близко к точному значению 0,96579. Рассмотрим нормализующие преобразования = 0,96567, z = 2 aresin ( — ) = 0,84106867; и = 2 arcsin ^ОД = 0,643501; а = I- = 0,1290994; ир = "^^867-0,643501 = 60 р 0,1290994 Далее F(up) = 1 - 0,852 exp - 1,5303518 + 1,5774 2,0637 = 0,9371266. Для уточненного преобразования имеем = 0,426028; // = arcsin z = arcsin 60+ - 0,1- 1 + 4 3 ^¦60 3 ¦60 /4-60 + 2 ^0,0642824; ир = 0,0642824 Окончательно F(l,49551) = 1-0,852 exp 1,49551 + 1,5774 2,0637 44- = 0,3298829; = 1,49551. = 0,93271.
'8 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Задача 38. Имеем р = 0,5 и п = Ъ. Вычислить FC; 0, 5, 5), используя аппроксимацию Моленара. Имеем Ах + 2,5 = 1545; An - Ах - 1 = 20 - 12 - 1 = 7 и FC; О55, 5) = Ф{^14,5-О55- у/7 • 0,5} = Ф@,8217537) = 0,793382. Для сравнения найдем точное значение: з FC; 0,5, 5) = J2 С5 * °^ * О?5^ = °^5 • A + 5 + 10 + 10) = 0,8125 (S = 2,3%). г=0 1.2.2. Распределение Пуассона Описание, применение. Если вероятность появления независимых событий в малом промежутке времени At пропорциональна At, то число их появлений имеет распределение Пуассона. Распределение Пуассона широко применяется в теории массового обслуживания. Часто оно используется для аппроксимации биномиаль- биномиального, так как легче табулируется (имеет только один параметр). Распределению Пуассона подчинено число отказов невосстанавливаемых электронных приборов в течение периода приработки. Если наработка на отказ изделия является случай- случайной величиной, распределенной экспоненциально с параметром А, то число отказов в интервале времени t подчиняется распределению Пуассона с параметром tX. Свойства Распределение вероятностей /(ж; А) = —¦ , х = 0,1, 2, ...; А > 0; /(ж; A) = max при х = [А] (наибольшее целое число ^ А) Функция распределения F(x; X) = 2_^ .f г=0 Среднее М(ж) = А Дисперсия D(x) = A Коэффициент вариации v = A~2 1 Коэффициент асимметрии аз = А~ 2 Коэффициент эксцесса а^ = 3 + -т- А При А > 9 распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным / 1 I X ~т~ — /\ ( с ц = А и а = уА, т.е. Ф I ™= = F(x] А) A/2 — поправка Йэтса на непре- 1 v A рывность). Распределение Пуассона является предельной формой биномиального распре- распределения (см. раздел 1.2.1), т.е. lim ^2 ^пРг(^ — Р)П^г = ~J e^X- пр—*\ г=0
1.2] Дискретные распределения 89 Функция распределения Пуассона может быть выражена через функцию %2™ пределения г=0 где -РBА, 2х + 2)—функция ^-распределения относительно переменной 2Л с/ = 2(ж + 1) степенями свободы. По аналогии с биномиальным распределением Анскомб [107] показал, что случайная величина 2л/х при Л —>> оо распределена асимптотически нормально с /х = 2уЛ и сг = 1. С учетом поправки на непрерывность можно для прикидочных расчетов исполь- использовать формулы Аге ж + 1 — 2А) —на „хвостах" распределения; + 0,75 — 2А) —между „хвостами" распределения. Высокой точностью обладает аппроксимация г=0 9 36 где 7 = [x = (здесь Ф(...)—функция стандартного нормального распределения, обозначенная в разделе 1.1.1 как F(z)). Учитывая связь ме^ду распределением Пуассона и х2™распределением, для его аппроксимации можно использовать аппроксимации для распределения хи™квадрат. Сумма случайных величин, распределенных по закону Пуассона, также будет иметь распределение Пуассона с параметром, равным сумме параметров слагаемых. Существуют обширные таблицы распределения Пуассона, например, в [23-25, 57]. Характеристической особенностью распределения Пуассона является равенство среднего и дисперсии. Задача 39. Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром А = 5. Вычислить вероятность того^ что случайная величина не превысит значение 3. Прямой расчет по формуле распределения: FC; 5) = A + 5 + 12,5 + 20,833) = 0,265023669. Грубая нормальная аппроксимация (см. аппроксимацию для Ф(ж) в разделе 1.1.1): 3+5 = 1^0,852 ехр| - Нормальная аппроксимация между „хвостами": FC; 5) = Ф{2^3 + 0,75 - 2^5} = Ф(-0,5991526) = = 0,26367. = 1 - 0,852 ехр< - 1 2,0637
90 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 Уточненная нормальная аппроксимация: X±i J ( Х^ ] 7 = — = 0,67222; х + ^— = 1,8759359; Л + = 2,19008; 5 \ 9 / \ 36 / Далее FC; 5) = ФB • 1,8759359 - 2 • 2,19008) = Ф(^0,6282882) = = 1 - 0,852еХр|-(-°'628228086з7+1'5774J'34} = °'27573 <* = 3'8%)- Погрешность аппроксимации достаточно высока, даже с учетом примененной простой аппроксимации для стандартного нормального распределения. 1.2.3. Отрицательное биномиальное распределение Описание, применение. Если р — вероятность появления события в единич- единичном испытании, то случайное число х неудачных испытаний до появления га-го успеха подчиняется отрицательному биномиальному распределению. Распределе- Распределение используется при планировании запуска изделий в производство для получения требуемого количества годных изделий при известном проценте выхода годных, при планировании объема испытаний до получения заданного числа отказов. Свойства Распределение вероятностей f(x;m,P) = C™+m_lPm(l-p)x, m = 0,1,2,...; х = 0,1,2,... т -рУ Функция распределения Среднее Дисперсия Коэффициент Коэффициент Коэффициент вариации асимметрии эксцесса F(x; М(х Т>(х) V а3 = т,р) = ) — тA г 1 \/тA- г=1 1 -р) Р -Р) 2 7 B-p)[m(l- з+ 6 т 4- Р mil р)]-5 2 -р) В отличие от биномиального (см. раздел 1.2.1), при отрицательном биномиаль- биномиальном распределении множество возможных значений случайной величины не ограни- ограничено сверху. Функция распределения отрицательного биномиального распределе™ ния может быть вычислена с помощью таблиц для биномиального распределе- распределения [108]. Известны аппроксимации отрицательного биномиального распределения поло- положительным биномиальным [109] и гамма-распределением [110]. Характеристиче- Характеристической особенностью отрицательного биномиального распределения является то, что его дисперсия больше среднего (у обычного биномиального — наоборот).
1.2] Дискретные распределения 91 Задача 40. Вероятность получения дефектного изделия равна 0,1. Вычислить веро- вероятность того, что будут произведены 50 годных изделий до появления 10-го дефектного изделия (т = 10; р = 0,1; х = 50). Вычислить вероятность того, что до появления 2-го дефектного изделия будут произведены не менее 5 годных изделий. Вычисляем /(ж; т,р) = С50+10-1 • ОД10 • 0,950 = Cl9 • ОД10 • 0,950 = 0,03238 ^такова вероятность того, что потребуется произвести 50 изделий до появления 10-го дефектного изделия. Вероятность того, что до появления 2-го дефектного изделия будет произведено не более 5 годных изделий, равна F(x;m,p) = E^2+»-i • ОД2 • 0,9* = г=1 = ОД2 • {Cl • 0,9 + Cl • 0,92 + ... + <?!• 0,94 + Cq • 0,95) = 0,13969. 1.2.4. Распределение Паскаля Описание, применение. Если в схеме, рассмотренной выше (см. раздел 1.2.3) для отрицательного биномиального распределения, в качестве случайной величины принять число удачных испытаний до появления т-го успеха (включая и этот успех), то она будет подчинена распределению Паскаля. Свойства Распределение вероятностей /(ж; m,p) = C™-fpm(l - p)*~m, х = т, m + 1, ... — это вероятность того,что в х испытаниях наблюдаемое событие произойдет рав- равно т раз, если вероятность появления его в каждом испытании равна р. Функция распределения — это вероятность появления т успехов не более, чем за х испытаний. Среднее М(ж) = — Дисперсия U(x) = Р 1 Коэффициент вариации v = Задача 41. Если вероятность отказа изделия в одном испытании равна ОД, то какова вероятность того, что понадобятся 50 испытаний до появления 5 отказов (р = ОД; т = 5; х = 50)? Вычислить вероятность того, что не более, чем за 8 испытаний, будут зафиксированы 2 отказа (ж = 50; т = 2; р = ОД). Вероятность того, что понадобятся 50 испытаний до появления 5 отказов: /(ж; 5; ОД) = С% • ОД5 • 0,945 = 211876 • 10~5 • 8,72796 • 10~3 = 0,01849. Вероятность того, что не более, чем за 8 испытаний, будут зафиксированы 2 отказа, равна 8 8 F(x; т,р) = J2 Ci-iP^1 ~ рУ^2 = J2 С^ ' °'9^ ' °^2 = 0,011224. г=2 г=2
92 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 1.2.5. Геометрическое распределение (распределение Фарри) Описание, применение. Если р— вероятность появления события в одном испытании, то число испытаний до появления события подчинено геометрическому распределению, с помощью которого можно определить объем выборки, необходи- необходимой для получения одного отказа по заданной вероятности отказа одного прибора. Свойства Распределение вероятностей f(x;p) = рA — р)х^г, ж = 1, 2, ...; O^p^l ж Функция распределения F(x;p) = ^рA — р)г~г = 1 — A — р)х Среднее Дисперсия Коэффициент вариации Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса щ = ~ ¦ 1 -р Очевидно, что геометрическое распределение следует из распределения Паскаля (см. раздел 1.2.4) при т = 1. При р —> 0 геометрическое распределение переходит в экспоненциальное (см. раздел 1.1.4). Задача 42. Вероятность безотказной работы изделия равна 0,95. Вычислить вероят- вероятность того, что для получения одного отказа необходимо испытать выборку изделий из 10 приборов (х = 10; р = 0,05). Вычислить вероятность тогоу что для получения первого отказа понадобится испытать не более 5 приборов. Вероятность того, что для получения одного отказа необходимо испытать 10 прибо- приборов, равна f(x; 0,05) = 0,05 • 0,959 = 0,031. Вероятность того, что для получения первого отказа понадобится испытать не более 5 приборов, равна F(x; 0,05) = 1 - A - 0,05)9 = 0,3697. 1.2.6. Гипергеометрическое распределение Описание, применение. Если в партии из N изделий находится D дефектных, то вероятноств появления х дефектных изделий в выборке объема п изделий без возвращения будет подчинена гипергеометрическому распределению. Гипергео- Гипергеометрическое распределение широко применяется в задачах выборочного контроля качества продукции. Свойства Распределение вероятностей /(ж;7?, n,D) = X i Функция распределения F(x; JV, n, D) = Л, — Среднее М(ж) = ^г^ тт r^f \ nD (л D^ (N ^п Дисперсия Б(ж) = — I 1 - —
1.2] Дискретные распределения 93 Коэффициент вариации v = nD N ~~ 1 I / N — 1 \ 2 7V — 2п Коэффициент асимметрии а3 = GV — 2D)[nD(N — D)]~2 I vr ) —г;—тг Коэффициент эксцесса f 7V(TV + 1) - 6N(N - n) 3n(TV-n)(TV + 6) \ ~n) \ D(N~D) + Jp J Таблицы гипергеометрического распределения приведены в [23-25]. Наиболее полные таблицы опубликованы в [111, 112]. При расчетах полезны следующие рекуррентные формулы l;N,D,n) = f(x;N,D,n)[ п ~ f(x;N,D,n) = f(x;N,n,D) = f(D - x;N,D,N - п) = f(n- x;N,N - D,n) = = /(TV - n - D + x; TV, TV - D, TV - n); F(x; TV, Д n) = F(x; TV, n, D) = 1 - F(n - x - 1; TV, TV - Д n) = = 1 - F(D - я - 1; TV, Д TV - n) = F(TV - n - D + x; TV, TV - D, TV - n). Поскольку таблицы гипергеометрического распределения громоздки, а при боль- больших значениях параметров TV, n и D они отсутствуют, применяются различные аппроксимации этого распределения. п Г) При ^-чоои D(z) > 9 [52] F(x;N,n,D) = где Ф(...) —функция стандартного нормального распределения. При п < ОДЛГ и D < 0,17V [51] гипергеометрическое распределение аппрокси™ nD мируется распределением Пуассона (см. раздел 1.2.2) с параметром Л = ——. При п < 0,17V, TV —^ оо и фиксированном — гипергеометрическое распределение аппрок- аппроксимируется биномиальным (см. раздел 1.2.1) с параметрами п ж р = —. Указанные аппроксимации действуют в различных диапазонах изменения параметров и не заменяют друг друга. В [25] приведена аппроксимация с помощью бета-распределения (см. раздел 1.1.7), удовлетворительная при всех 7V ^ 25 (независимо от D и 7V), F{x;N,n,D) = Ii-X*(nr - ж + с,ж - с+ 1), где /1_ж(а, Ь)—функция бета-распределения; , _ N(n + D - 1) - 2nD _ _ nD(D - Щп - 1) п = N(N -2) ' (TV ¦ (TV - 2J nD(N - n)(N - D) N - 1 [(TV - D)(N -n) + nD^ N][N{n + D - 1) - 2тШ]#
94 Распределения вероятностей случайных величин [Гл. 1 2п — х Укажем более точные приближения: — биномиальным распределением с параметрами D, p = 9rJ'" П^ или (для более точной аппроксимации) р = 2п - х BD-x)Bn-x) — распределением Пуассона с параметром А = , =™ ^ 2BN-D-n при D n - нормальным распределением 2 Ф Ф< /N-1 - D при 0,005 ^ р ^ 0,05 и 0,95 ^ р ^ 0,995; "ж4 rj4 при 0,05 ^ р ^ 0,95. Сравнительная точность различных аппроксимаций гипергеометрического рас™ пределения изучена в [113]. Задача 43. Дано: N = 20, ж = 3, D = 10 и п = 10. Вычислить значение F(x]N,n,D). Точное значение: FC; 20,10,10) = V Cl°C11n° = —-—A + 100 + 2025 + 14400) = 0,0894477. Биномиальное приближение: FC; 20,10,10) = J2 ° Ошибка велика, так как при р = 0,5 биномиальная аппроксимация наименее удачна. Более точное биномиальное приближение: FC;20,10,10) = A^/ 20-3 40-10 + 1- 20-3 40-10 + 1 = 0,10387. Ошибка еще велика, несмотря на уточнение. Еще более точное приближение: Р = 2-10-3 2-20-10 + /1 10 2 ¦ 10- ЗН 10- — V 2 20 3- B-20- 10 + IJ = 0,53798117; FC; 20,10,10) = J2 Clo ' 0,53798117* • 0,46201882710^г = 0,1166096. г=0 Точность недостаточна, так как диапазон аппроксимации не подходит для биномиального распределения.
1.2] Дискретные распределения 95 Пуассоновское приближение: 10-10 Л = = 5 и 20 FC; 20,10,10) = Ve-- = 6,737947 • 10^3 -|1 + 5+^ + — ) = 0,265025. Ы il V 2 6 / Приближение очень грубо. Так как — = — > 0,1, применим уточненную аппроксимацию: 10-10 1 /10- 10 Л / 1Л 10•10-10 Л + Л3J010+ FC; 20,10,10) = ]Г е^7 • ^ = е^7 Yl + 7 + у + — \ = 0,0817654 (S = 8,6%). г=0 г- V / Это уже достаточно близко к точному значению. Нормальное приближение: FC; 20,10,10) = Ф 2 = Ф(-1,307) = = 1 - 0,852 • ехр [- ( -М07-1,5774\ 2 Р \ 2,0637 / Более точное нормальное приблилсение: FC;20,10,10) = Ф< -^= . 10 - 3 - -Д 10 - 3 - -J >= Ф(-1,3416) = 0,090 (S = 1,1%). / V / J J Бета-прибл ижение: , _ 20A0 + 10^1)^2-10-10 _ _ 10 • 10 • 9 • 9 Х ~ 20^15 " ' ; С " 19.A0.10 + 100-20) " ' ; / = 18^ 10 • 10 • B0 - 10) ¦ B0 - 10) = 2бз> 19 * [B0 - 10) • B0 - 10) = 10 • 10 - 20] • [20 ¦ A0 + 10 - 1) - 2 • 10 ¦ 10] ' ' FC; 20,10,10) = /о,5E,263 - 3 + 2,368; 3 - 2,368 + 1) = /0,5D,631; 1,632) = 0,0938
ГЛАВА 2 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Общие положения. В первой главе, посвященной анализу различных распре™ делений вероятностей случайных величин, мы рассмотрели множество примеров применения математической статистики к решению практических задач. Однако в реальной жизни практически никогда не бывает так, чтобы исследователь распо- располагал точным знанием закона распределения вероятностей наблюдаемых случай™ ных величин. Ему в общем случае неизвестны как сам закон распределения вероят- вероятностей, так и его параметры. В распоряжении исследователя имеется лишь совокуп™ ность результатов наблюдений, и, основываясь только на них, он должен сделать выводы о параметрах распределения, если вид закона распределения вероятностей ему известен. Если же нет, то и сам закон распределения вероятностей ему придется выбирать на основании выборочных результатов наблюдений. В настоящей главе мы рассмотрим методы оценки параметров различных, заранее определенных по форме, распределений вероятностей случайных величин. Различают два вида оценок параметров — точечные и интервальные. Предпо- Предположим, оценке подлежит параметр j некоторого распределения вероятностей по выборочным данным #i,#2? • • • > хп некоторой случайной величины X. Точечной оценкой параметра 7 по выборочным данным является некоторый функционал jn = <??(#!, #2, • • •; %п)ч позволяющий получить наилучшую оценку в принятых кри- критериях. В качестве критериев, характеризующих пригодность оценки параметра распре- распределения, используются такие ее свойства, как состоятельность, несмещенность, эффективность и достаточность. Оценка jn параметра j является: — состоятельной, если при п -^ оо 7п ~^ 7? — несмещенной, если М (jn) = 7 (т- е- математическое ожидание оценки совпа™ дает с ее истинным значением); — достаточной, если оценка jn извлекает максимальную информацию из выборки; — эффективной, если D (jn) = min (т.е. когда дисперсия оценки минимальна). Под интервальной оценкой параметра 7 понимается интервал, границы кото- которого 7п (°0 и 7п (а) являются функционалами от выборочных значений случайной величины, и который с заданной вероятностью а содержит оцениваемый параметр: Р{7^(«) < 7 < 1п(а)} = а- Вероятность а называется доверительной вероятно- вероятностью, а оценки 7п(а) и 7п(а) — соответственно нижней и верхней доверительными границами. Интервал [j^(a), j^(a)] называется доверительным интервалом. Если длина доверительного интервала 1(а) = 7п(°0 ~~ 7п(°0 = const, то для состоятель- состоятельных и несмещенных оценок а —>• 1 при п —>• оо. При фиксированном объеме выборки п, а будет тем больше, чем больше I. Различают два вида интервальных оценок: одно- и двусторонние. При двусто- двусторонней оценке задаются обе границы доверительного интервала, так что = а и Л7<7 а =«; г 7 > 1"[а = а'
Оценка параметров распределений вероятностей 97 1 — а где а1' + а/; = 1 —а. Если а; = а" = —-—, то двусторонний доверительный интервал называется симметричным. Для него справедливы соотношения При односторонних доверительных интервалах границы интервалов задаются так, чтобы 7п(«)} = « или Величина A — а) —дополнение доверительной вероятности до единицы — назы- называется уровнем значимости. Этим термином обозначается вероятность появления события, которую исследователь связывает с неслучайным (значимым) событием. Очевидно, что двусторонний интервал для симметричных распределений аналоги™ чен одностороннему при удвоенном уровне значимости. Перед изложением конкретных методов оценки приведем ряд практических соображений. Наиболее существенной характеристикой оценки параметра распре- распределения является ее эффективность. Именно эта характеристика обычно исполь- используется для сравнения методов оценки параметров распределения между собой. Как правило, эффективность оценки сравнивается с эффективностью оценки параметра распределения методом максимального правдоподобия (т. е. с наиболее эффектив™ ной оценкой). Легко видеть, что применение менее эффективных оценок (требу- (требующих, как правило, меньшего объема вычислений) может быть скомпенсировано соответствующим увеличением объема выборки. И, наконец, поясним практический смысл процедуры оценки параметров распре- распределения вероятностей. Так как само распределение наблюдаемых случайных вели™ чин является для исследователя той совокупностью данных, которой он располагает относительно наблюдаемого процесса, то и параметры распределения позволяют судить об основных чертах этого процесса. Например, когда мы спрашиваем, какова долговечность прибора, мы, по сути, ставим задачу оценки среднего значения (или математического ожидания) наблюдаемого распределения показателей долговеч- долговечности. Если нас интересует, насколько стабилен наблюдаемый технологический процесс, то ответ на этот вопрос требует оценки разброса (рассеяния) наблюдаемых случайных величин, характеризующих качество технологического процесса. 4 А. И. Кобзарь
98 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.1. Оценжа параметров нормального распределения Напомним, что плотность вероятностей нормально распределенной случайной величины описывается формулой 2az где /j, и а — параметры распределения, совпадающие со средним значением и сред- неквадратическим отклонением. 2.1.1. Оценка среднего значения (/х) 2.1.1.1. Точечные оценки 2.1.1.1.1. Оценка максимального правдоподобия Вычисляется по формуле ж=—^а^. Оценка — состоятельная, несмещенная, п *=i эффективная, достаточная и распределена как случайная величина также нормаль™ но со средним М (ж) = /л и дисперсией D (х) = —. Оценка максимального правдо- правдоподобия для случая выборок малого объема (п ^ 10) может быть модифицирована в форме [116] п _ п X / J п ~ 5 гДе di / j \xj ~ хг) • 1 \—"^ ¦ 1 Эта форма позволяет несколько стабилизировать оценку в области центра груп™ пирования данных. 2.1.1.1.2. Оценка с помощью медианы В качестве оценки /л может быть использована выборочная медиана " 1 / \ п если — —целое; -целое, где хщ — к-я порядковая статистика, равная k-му по величине значению выборочно™ го ряда х\ ^ Х2 ^ ... ^ жп, ранжированного по возрастанию (будьте внимательны к тексту! — иногда квадратные скобки опускаются и х^ обозначает к~ю порядковую статистику). Эффективность этой оценки при п —Ь- оо равна 2/тг = 0,637, т. е. для того, чтобы эта оценка не уступала оценке максимального правдоподобия (см. раздел 2.1.1.1.1), необходим в тг/2 ~ 1,6 раза больший объем выборки. 2.1.1.1.3. Оценки с помощью порядковых статистик Поясним сначала смысл понятия „порядковая статистика". Как только лю- любому члену наблюдаемого выборочного ряда ставится в соответствие его номер в упорядоченном по возрастанию ряду выборочных значений — этот член выборки становится порядковой статистикой. Для полного координирования порядковой статистики необходимо указать объем выборки и номер статистики. Впредь для того, чтобы отличить просто член выборки х от порядковой статистики, будем при-
2.1] Оценка параметров нормального распределения 99 менять для ее обозначения символ Ж[^п] —т. е. г-я порядковая статистика в выборке объема п. Теперь рассмотрим оценки среднего значения с помощью порядковых статистик. Предельным случаем такой оценки является оценка максимального правдоподо- правдоподобия (см. раздел 2.1.1.1.1), когда в оценке участвуют все члены выборки. Вторым предельным случаем является оценка с помощью медианы (см. раздел 2.1.1.1.2), т. е. с помощью только одной порядковой статистики. Естественно, что в этот диапазон эффективности возможных оценок (от 1 до 0,637) будут укладываться все остальные возможные оценки, использующие порядковые статистики. Эти оценки будут уступать по эффективности оценке максимального правдо™ подобия. Однако в большинстве случаев соответствующим увеличением объема выборки, а также подбором порядковых статистик, используемых для оценки, и их весового вклада в общую оценку можно обеспечить достаточно высокую эффек- эффективность таких оценок. При этом сохраняются основные достоинства оценок по порядковым статистикам — простота, легкость вычислений, возможность получения оценок при отсутствии некоторых выборочных значений и, что особенно важно, устойчивость таких оценок к отклонению от нормальности распределения, от засо- засорения выборки аномальными наблюдениями. Среди широко применяемых порядковых статистик напомним хщ, Ж[п] —экстре™ мальные значения; ш = хщ — хщ —выборочный размах; х — медиана; выборочные квантили (ж[пд]_|_1—выборочная А-квантиль). Предварительно рассмотрим способы вычисления математических ожиданий порядковых статистик из стандартного нормального распределения. .Ьсли р = , то р-квантиль стандартного нормального распределения бу- п + 0,250 дет аппроксимировать математическое ожидание г-й порядковой статистики в вы™ борке объема п из JV@,1), т.е. М(хщ) = и г~о,з75 . Поэтому необходимые аппрок- п+0,250 симации могут быть получены из соответствующих аппроксимаций для квантилей стандартного нормального распределения. Приведем некоторые полезные аппроксимации, полученные из аппроксимаций нормальных квантилей. Из аппроксимации 5 раздела 1.1.1 [32] 1 2 1 — ехр — ^^ имеем = {-2,177586 + 3,14159 In (n + 0,25) - l,570796[ln (n + 0,625 - г) + In (г - 0,375)]} при ^-^ ^ г ^ 0,Э75в + 0,68175. Погрешность аппроксимации не более 0,114. Из аппроксимации 15 раздела 1.1.1 [39] получаем из чего следует М{хщ) = 4,91(п + 0,25H'14 Г(г - 0,375H'14 + (п - г + 0,625H'14
100 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Из аппроксимации 16 раздела 1.1.1 [36] имеем 0,4274 - 0,16 \ - 1,5774. М(Х[г]) = 2,0637 ( In - % + 0,625 Ошибка этой аппроксимации не более 0,0008 при г И, наконец, из аппроксимации 19 раздела 1.1.1 [40] ир = ^- \-Ь - \/Ь2 - Аас\ , где а = ^0,416; Ь = -0,717; с = - In Bр) ACL L J получаем М(х[{]) = -0,86178 + 1,2019 2 + 1,664In п - г + 0,625 Отметим, что во всех случаях при г < п + 0,250 абсолютное значение сохра- няется (изменяется только знак). Всегда М{хщ) = 0 при г = л) > 0 при (п — нечетное) и г = — (п — четное); А П + 1 / Пч щ ж/ ч _ . П - г > —-— (или -); М(хщ) < 0 при г < —; (или ^)- 2 v 2J - Рассмотрим теперь разные оценки среднего нормального распределения с помо- помощью порядковых статистик. 2.1.1.1.3.1. Простые оценки Диксона [117] Диксон предложил две простые оценки: — среднее из двух наилучших наблюдений 1 + хи]); — среднее из всех наблюдений, кроме двух крайних В табл. 6 приведены рекомендуемые номера оптимальных статистик (г и j) для га= 1AJ0. Таблица 6 Оптимальные порядковые статистики Диксона [117] п г Э п г 3 2 1 2 12 4 9 3 1 3 13 4 10 4 2 3 14 4 11 5 2 4 15 4 12 6 2 5 16 5 12 7 2 6 17 5 13 8 3 6 18 5 14 9 3 7 19 6 14 10 3 8 20 6 15 11 3 9 оо 0,27п 0,73п Относительная эффективность первой оценки стремится к 0,81 при п —>¦ оо, вторая практически не уступает оценке максимального правдоподобия (> 0,99).
2.1] Оценка параметров нормального распределения 101 2.1.1.1.3.2. Оценка Огавы [118, 119] Вычисляется по формуле хо = ]Гж[пЛ.+1], г=1 где т — число наблюдений (га < п), по которым проводится оценка /i; [n\i + 1] — целое число, ближайшее справа к (п\ + 1) (определяет номера порядковых стати- статистик, используемых для оценки); А^, Л^ —числовые коэффициенты, табулированные в [119] (приведены в табл. 7). Таблица 7 Значения коэффициентов оценки Огавы для различного числа оптимально расположенных порядковых статистик (Лг—верхняя строка; ki—нижняя строка) т 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0,270 0,500 0,163 0,297 0,107 0,197 0,074 0,133 0,055 0,099 0,040 0,071 0,031 0,049 0,024 0,044 0,020 0,036 2 0,730 0,500 0,500 0,407 0,351 0,308 0,255 0,233 0,195 0,181 0,147 0,140 0,115 0,111 0,092 0,091 0,076 0,075 3 0,837 0,297 0,649 0,308 0,500 0,269 0,395 0,220 0,308 0,186 0,247 0,155 0,202 0,130 0,167 0,109 4 0,893 0,197 0,745 0,233 0,605 0,220 0,500 0,203 0,412 0,178 0,343 0,155 0,288 0,133 5 0,926 0,133 0,805 0,181 0,692 0,186 0,588 0,178 0,500 0,163 0,427 0,147 6 0,945 0,099 0,853 0,140 0,753 0,155 0,657 0,155 0,573 0,147 7 0,960 0,071 0,885 0,111 0,798 0,130 0,712 0,133 8 0,969 0,049 0,908 0,091 0,833 0,109 9 0,976 0,044 0,924 0,175 10 0,980 0,136 Оценка Огавы используется для нахождения /л по выборке большого объема с помощью нескольких (га < п), оптимальным образом отобранных порядковых статистик. При п ^ 5 эффективность оценки не уступает оценке х. 2.1.1.1.3.3. Оценка Пирсона-Тьюки В [120] предложены упрощенные оценки, основанные на расстоянии между процентными точками частотных кривых распределений. Отметим, что р™точка кривой равна порядковой статистике хуп\/\, где Л^ = р. Для /I Пирсоном и Тьюки [120], в частности, предложена оценка А = ff[0,5n] + 0Д85Д, где А = x[0j95n] + ж[о,о5п] - 2ж[0}5п]- 2.1.1.1.3.4. Быстрые оценки Кенум [121] Среднеквартильный размах
102 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Эффективность оценки « 1,21/п, предельная эффективность равна 0,64. Метод достаточно груб и может рекомендоваться как быстрый приближенный способ. Быстрая оценка по трем квантилям X = О,2ЖГЛ] + OfiXfn] + 0,2жП5п1 • L i6 j L 2 J [T^J Эффективность оценки « 83%, метод достаточно устойчив к отклонениям от нор™ мальности. Быстрая оценка по пяти квантилям X = -\X\ni +X\ni + 2х\пл + Хгзп] + ЖГ15п" 6 L L16 J L 4 J L 2 J [Т\ [Т^ Эффективность оценки « 0,93, метод нечувствителен к отклонениям от нормаль- нормальности. 2.1.1.1.3.5. Оптимальные комплексные оценки, использующие общий набор порядковых статистик По набору порядковых статистик может быть проведена оценка и стандартного отклонения (а). Однако для этого требуется иной, отличный от используемого при оценке /л, набор порядковых статистик. Представляется полезным рассмотреть вопрос об использовании общего набора порядковых статистик для совместной оценки /л и а. При этом должен быть удовлетворен некий комплексный критерий оптимальности такого набора. Такие оценки рассмотрены в [122, 123]. Укажем оценку по двум порядковым статистикам (напомним, одинаковым при оценке и /л и сг), которая минимизирует линейную комбинацию дисперсий D(/i) + cD(a) (см. табл. 8). Оценка имеет вид \Л = гС(Ж[ап] + Х[рп]). Аналогичная оценка по четырем порядковым статистикам имеет вид Она минимизирует сумму дисперсий D(/jl) + D{a). Необходимые константы оценок приведены в табл. 9. Таблица 8 Оценка /л по двум статистикам [122] с 1 2 3 к 0,5 0,5 0,5 а 0,1525 0,1274 0,1174 Ь 0,8475 0,8726 0,8853 Эффективность 0,729 0,683 0,594 Таблица 9 Вариант оценки 1 2 0 0 Оценка кг ,1414 ,1097 0 0 /х по четырем к2 ,3586 ,4029 а 0,0688 0,0389 совместным квантилям 0 0 а' ,2912 ,2160 0 0 Р 9332 9611 Cf 0,7088 0,7840 [122] Эффективность 0,9080 0,8570
2.1] Оценка параметров нормального распределения 103 2.1.1.1.3.6. Устойчивая (робастнам) оценка Ходжеса-Лемана по средним Уолша гл с- г п(п + !) Xi + хз Определим в выборке х\, ...,хп набор из — средних вида Zij = - (г ^ j), называемых средними Уолша [124]. Оценка Ходжеса^Лемана [124] определяется как медиана средних Уолша, т. е. медиана ряда Z\ ^ Z2 ^ ... ^ zn(n+i) • Следует отметить высокую устойчивость этой 2 оценки к отклонениям от нормальности распределения и засоренности выборки аномальными наблюдениями. 2.1.1.1.4. Упрощенная оценка по шаблону [125] Произвольно, но симметрично относительно предполагаемого среднего значе- значения, выберем два числа а и Ь, определяющих размер шаблона (а < Ь). Подсчитаем количество значений т, для которых х ^ а, и количество значений I, для которых ж О- Для величин pi = — и »2 ~ " находим по табл. 10 значение коэффициента п п k(pi1p2)- Искомая оценка определяется по формуле х = а — (Ь — a)k(pi,p2). Задача 44. В результате испытаний 30 приборов получены следующие значения ре- ресурсной наработки: Xi = 721, 741, 752, 761, 763, 780, 794, 840, 890, 911, 944, 960, 961, 967, 1010, 1011, 1012, 040, 1090, 1096, 1111, 1120, 1240, 1340, 1341, 1390, 1411, 1420, 1445, 1512. Вычислить различными методами среднее значение ресурсной наработки. Оценка максимального правдоподобия г п г зо x=-"pxi = ^y"xi = 1045,8. п 4-Г 30 Аг г=1 г=1 Оценка с помощью медианы »=15;П±2=16 и .= «[1 2 ' 2 Простые оценки Диксона B.1.1.1.3.1) Имеем 0,27п = 8,1 и 0,73?г = 21,9. Следовательно, оценку будем проводить по 9-й и 22-й порядковым статистикам, т. е. _ ж[9]+ж[22] 890 + 1120 _ 1 ^ типтк ^1 = 1005 и х = > ж^ = 1040,75. те 2 ^ х 1005 и х 2 2 те - 2 ^ Оценки Огавы B.1.1.1.3.2) — по двум статистикам: [nAi + 1] = [30 • 0,27 + 1] = Ю; [п\2 + 1] = [30 • 0,73 + 1] = 23; хо = 0,5(ж[ю] + Ж[2з]) = = 1075,5; — по трем статистикам: [п • Ai + 1] = [30 • 0,163 + 1] = 9; [п • А2 + 1] = [30 • 0,50 + 1] = 16; [п • Аз + 1] = [30 • 0,837 + 1] = 27; хо = 0,297 • (х[9] + х[27]) + 0,407 • х[Щ = 0,297 • (890 + 1411) + 0,407 • 1011 = 1094,874;
104 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 — по десяти статистикам: [п • Ai + 1] = [30 • 0,020 + 1] = 2; [п • Л6 + 1] = [30 • 0,573 + 1] = 19; [п • А2 + 1] = [30 • 0,076 + 1] = 4; [гс • Л7 + 1] = [30 • 0,712 + 1] = 23; [п • Аз + 1] = [30 • 0,167 + 1] = 7; [п • А8 + 1] = [30 • 0,833 = 1] = 26; [п • А4 + 1] = [30 • 0,288 + 1] = 10; [п • А9 + 1] = [30 • 0,924 + 1] = 29; [п • А5 + 1] = [30 • 0,427 + 1] = 14; [п • Х10 + 1] = [30 • 0,98 + 1] = 30. Воспользовавшись коэффициентами из табл. 7, вычисляем хо = 0,03б(ж2 + ж30) + 0,075(ж4 + ж29) + 0,109(ж7 + ж26) + 0,133(жю + ж23) + + 0,147(ж14 + х19) = 0,036 • G41 + 1512) + 0,075 • G61 + 1445) + 0,109 • G94 + 1390) + + 0,133 • (911 + 1240) + 0,147 • (967 + 1090) = 1073,076. Оценка Пирсона-Тьюки B.1.1.1.3.3) Имеем [0,5гс] = [0,5 • 30] = 15. Далее А = ж[28] + х{2] - 2 • х[15] = 1420 + 741 - 2 • 1010 = 141. Окончательно имеем jl = х[15] + 0,185 • 141 = 1010 + 0,185 • 141 = 1036,085. Быстрые оценки Кенуя B.1.1.1.3.4) — оценка по двум квантилям: [0,25 • п] = [0,25 • 30] = 8; [0,75 • п] = [0,75 • 30] = 23; z х8 + ж23 840 + 1240 2 - оценка по трем квантилям: = 1040; жгл.1 — жгзсп — ж2; ж го 5-ni — Ж155 Жг15-п] — ж29; L16J [Те] L"™T6™~J I = 0,2 • 741 + 0,6 • 1010 + 0,2 • 1445 = 1043,2; — оценка по пяти квантилям: 5 = - • (х2 + х8 + 2 • х15 + ж23 + ж29) = ^ • G41 + 840 + 2 • 1010 + 1240 + 1445) = 1047,67. 6 6 Оптимальные комплексные оценки B.1.1.1.3.5) — оценка по двум статистикам (с = 1): [0,1525 • п] = [0,1525 • 30] = 5; [0,8475 • п] = [0,8475 • 30] = 26; Д = 0,5 • (х5 + ж26) = 0,5 • G63 + 1390) = 1076,5; — оценка по четырем статистикам (с = 1): (вариант 1) [0,0668 • п] = [0,0668 • 30] = 2; [0,9332 • п] = [0,9332 • 30] = 28; [0,2912 • п] = [0,2912 • 30] = 9; [0,7088 • п] = [0,7088 • 30] = 22; /х = 0,1414 • (х2 + ж28) + 0,3586 • (х9 + ж22) = = 0,1414 • G4 + 1420) + 0,3586 • (890 + 1120) = 1026,35; (вариант 2) [0,0389 • п] = [0,0389 • 30] = 2; [0,9611 • п] = [0,9611 • 30] = 29; [0,2160 • п] = [0,2160 • 30] = 7; [0,784 • п] = [0,784 • 30] = 24; А = 0,0971 • [х2 + ж29) + 0,4029 • (х7 + ж24) = = 0,0971 • G41 + 1445) + 0,4929 • G94 + 1340) = 1072,049.
2.1] Оценка параметров нормального распределения 105 Оценка Ходжеса-Лемана B.1.1.1.3.5) Продемонстрируем вычисление оценки на примере пяти выборочных значений (пол- п(п + 1) 30 ¦ 29 ная оценка должна быть получена по = 435 средним Уолша). Выберем 2 2 для примера пять выборочных значений (вблизи среднего): х%: 1012, 1040, 1090, 1096, (ft _|_ ~\\ К . А = = 10 средних Уолша: 1111. Вычислим Zi = 1026; 1051; 1054; 1061,5; 1065; 1068; 1075,5; 1093; 1100,5; 1103,5. Далее вычисляем медиану значений z% z5+z6 1065 + 1068 р, = = 1066,5. к tf 2 2 Упрощенная оценка по шаблону Выбираем границы шаблона а = 785 и Ь = 1115. Имеем т = 6 и I = 21, откуда pi = — = 0,2 и р2 = — = 0,7. F 30 F 30 Из табл. 10 находим fc@,2;0,7) = -0,62. Следовательно, х = 785 - A115 - 785) • (-0,62) = 989,6. Для уточнения оценки попытаемся применить более узкий шаблон а = 960,5; Ъ = 1060. Тогда т = 12 (Рг = 0,4); I = 18 (Р2 = 0,6) и fc@,4; 0,6) = -0,50. Окончательно имеем х = 960,5 - A060 - 960,5) • (-0,50) = 1010,25. Таблица 10 Значения коэффициентов Р1 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,10 4,33 1,91 1,10 0,68 0,44 0,24 0,11 0,00 -0,09 -0,16 -0,23 -0,28 -0,34 -0,40 -0,45 -0,50 0,15 -5,33 — 4,20 1,81 1,00 0,60 0,32 0,14 0,00 -0,11 -0,19 -0,27 -0,33 -0,39 -0,45 -0,50 -0,55 0,20 -2,91 -5,20 — 3,94 1,62 0,87 0,42 0,18 0,00 -0,13 -0,23 -0,32 -0,38 -0,44 -0,50 -0,55 -0,60 0,25 -2,10 -2,81 -4,94 — 3,46 1,39 0,60 0,24 0,00 -0,16 -0,27 -0,37 -0,44 -0,50 -0,56 -0,61 -0,66 0,30 -1,68 -2,00 -2,62 -4,47 — 3,00 0,93 0,33 0,00 -0,20 -0,32 -0,43 -0,50 -0,56 -0,62 -0,67 -0,71 0,35 -1,44 -1,60 -1,87 -2,39 -4,00 — 1,79 0,50 0,00 -0,25 -0,39 -0,50 -0,57 -0,63 -0,68 -0,73 -0,77 0,40 -1,24 -1,32 -1,42 -1,60 -1,92 -2,79 — 1,08 0,00 -0,34 -0,50 -0,61 -0,68 -0,73 -0,77 -0,81 -0,84 0,45 -1,11 -1,14 -1,18 -1,24 -1,33 -1,00 -2,08 — 0,00 -0,50 -0,66 -0,75 -0,80 -0,84 -0,87 -0,89 -0,91 0,50 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 — -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 Примечание. Для определения значений коэффициентов за пределами табличных значений р\ и pi следует пользоваться соотношением fc(pi,p2) + k(p2jPi) = — 1. 2.1.1.2. Интервальные оценки 2.1.1.2.1. Оценка /х при известной дисперсии <т2 Интервальная оценка с доверительной вероятностью а: = х- = х
106 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 где и7 — 7"квантиль стандартного нормального распределения; сторонней оценки, j = а для односторонней оценки. 2.1.1.2.2. Оценка /л при неизвестной дисперсии для дву- где try — 7™квантиль распределения Стьюдента с / = п — 1 степенями свободы; ¦л П -л П -I, 2 1 v^/ -\2 - 1^ 1 + О s = 2^(ж^ — х) ; ж = — 2^ я^; 7 = —«— Для двусторонней оценки, j = а для i=l г=1 односторонней оценки. Для квантилей стандартного нормального распределения и распределения Стью- Стьюдента рекомендуется использовать аппроксимации, приведенные в разделе 1.1.9: / - ч 0,4274 и7 = 4,91[70'14 - A - 7)°'14]; % = 2,0637f In - - 0,16 j - 1,5774; _ 0,717 - [0,7172 - 40,8116 In 2A -7)]^ _ Uj ~ -20,416 ~ = -0,8617788 + l,20192[0,846758 - 1,664 In 2A - 7)] 2 ; 1 4/ 2,5 r; ^0,975 = 2 0,9975/ - 0,445 7 -1 2.1.1.2.3. Оценка по выборочному размаху /4 (а) = х- G7u; цъп (а) = х + C7w, где ш = жтах — xmin — выборочный размах; G7 — 7~квантиль распределения разма- размаха; 7 = Для двусторонней И7 = а для односторонней оценки. Значения G1 табулированы, например, в [24, 119]. Оценку рекомендуется применять при п ^ 20 (при дальнейшем росте объема выборки эффективность оценки резко падает). Некоторые критические значения G1 приведены в табл. 11. Критические значения Gy [119] Таблица 11 п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 0,95 3,157 0,885 0,529 0,388 0,312 0,263 0,230 0,205 0,186 0,170 0,975 6,353 1,304 0,717 0,507 0,399 0,333 0,288 0,255 0,230 0,210 0,99 15,910 2,111 1,023 0,685 0,523 0,429 0,366 0,322 0,288 0,263 0,995 31,000 8,800 1,316 0,843 0,628 0,507 0,429 0,374 0,333 0,302 п 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 0,95 0,158 0,147 0,138 0,131 0,124 0,118 0,113 0,108 0,104 0,975 0,194 0,181 0,170 0,160 0,151 0,144 0,137 0,131 0,126 0,99 0,241 0,224 0,209 0,197 0,186 0,177 0,168 0,161 0,154 0,995 0,277 0,256 0,239 0,224 0,212 0,201 0,191 0,182 0,175
2.1] Оценка параметров нормального распределения 107 2.1.1.2.4. Оценка по интерквартильной широте Дэвид и Джонсон [119] предложили интервальную оценку /х, основанную на выборочной медиане х (см раздел 2.1.1.1.2) и интерквартильной широте I, равной разности между верхним и нижним выборочными квартилями, которые для выбо™ рок объема п = 3 + 41с определяются порядковыми статистиками с номерами И Хп+1 —Х Оценка имеет вид где I — интерквартильная широта; 1г7—7™квантиль распределения I; 7= для двусторонней оценки, 7 = а Для односторонней оценки. Значения Щ приведены в табл. 12. Таблица 12 Значения [119] п 11 15 19 23 27 31 7 0,95 0,470 0,400 0,354 0,321 0,296 0,276 0,975 0,623 0,514 0,448 0,402 0,367 0,341 0,99 0,876 0,676 0,573 0,506 0,458 0,422 п 35 39 43 47 51 7 0,95 0,260 0,246 0,234 0,224 0,215 0,975 0,319 0,301 0,286 0,273 0,261 0,99 0,393 0,369 0,349 0,332 0,317 2.1.1.2.5. Оценка по среднему абсолютному отклонению Если С = - У г=1 —среднее абсолютное отклонение, то интервальная оцен™ ка для среднего может быть определена, как где К^ — 7~квантиль распределения С (табулирована в [9, 127, 128]). Значения для 7 = 0,975 приведены в табл. 13. Таблица 13 Значения п 2 3 4 5 6 7 8 ^0,975 12,71 3,45 2,16 1,66 1,40 1,21 1,09 п 9 10 11 12 13 14 ^0,975 1,00 0,93 0,87 0,82 0,78 0,75 п 20 25 30 40 60 120 ^0,975 0,71 0,60 0,48 0,41 0,33 0,23
108 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.1.1.2.6. Оценка 50%-го доверительного интервала по вероятному отклонению 1 _ 1 г=1 = х- 0,84535 -lAf1 * <@,5) = ж+ 0,84535 Используется при п ^ 7 [129]. 2.1.1.2.7. Интервальная оценка длм медианы При п > 50 доверительный интервал для медианы ж определяется порядковыми статистиками где Хк ^ X fe = -(n - 1,64л/п - 1) при а = 0,9; к = hn - l,96>/n - 1) при а = 0,95; fc = i(n - 2,58л/п - 1) при a = 0,99. Для значений п ^ 50 номера порядковых статистик, заключающих в себе медиану, при а = 0,95 и а = 0,99 (двусторонние интервалы) приведены в табл. 14, заимствованной из [9]. Таблица 14 Доверительный интервал для медианы (номера порядковых статистик) [9] п 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 а 0,95 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 12 13 14 14 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ,99 5 6 7 7 8 9 10 10 11 12 12 12 14 14 14 16 п 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 0 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 10 10 11 11 12 а ,95 15 16 16 17 17 18 19 19 20 20 21 22 22 23 23 0 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 ,99 16 17 18 18 19 19 20 21 21 22 23 23 24 24 25 п 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0 12 13 13 13 14 14 15 15 16 16 16 17 17 18 18 а ,95 24 24 25 26 26 27 27 28 28 29 30 30 31 31 32 0,99 1 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 15 15 16 16 26 26 27 27 28 29 29 30 30 31 32 32 33 33 34 При симметричном непрерывном распределении, каковым является нормальное, справедливы предложенные в [119] формулы односторонних доверительных интер™ валов для медианы:
2.1] Оценка параметров нормального распределения 109 fe-i 2 — при доверительной вероятности а = 1 : 2 71 1/ \ ~ 1/ х < -{хп + xn+i^fe); х > -{x — при доверительной вероятности а = 1 — —: ATI ~ ^ \ Жп+Жп + i^fc] ,. .Г ж < max\хп-г, ; х > mm ж2, — при доверительной вероятности а = 1 (к > 1): ^ [жп1+Жп2 Жп+Жп + ifc] ^ . < max ; ; х > mm 1 + — при доверительной вероятности а = 1 2 ' 2 j 1 :-3) ~ ^ [ Жп+Жп + i^fc] ^^ .Г х < max жп_4; ^ ; х > mm ж5; — при доверительной вероятности , (fc-!)(&-2) \ 6 + 120 а = 1 2п х < max жп^5 5 ж > mm — при доверительной вероятности а = 1 2n x < max I ' """•* ^ ""Т1"л I ; x > min I ' '* i+ 2 — при доверительной вероятности а = 1 — 2 fe(fe-l) х < max I Жз; ; х > mm 2п хп 5 3n Оценки эффективны при к ^ — в случае нормального распределения (при п < 20). Задача 45. В результате наблюдений был получен следующий ряд данных: хц 2,4; 3,2; 4,1; 4,2; 4,8; 5,1; 6,2; 7,0; 9,0; 9,6 (га = 10). Найти двустороннюю интервальную оценку среднего при доверительной вероятности а = 0,95. Оценка при неизвестной дисперсии 1 1 п \ 1 п „]2 1+« Находим х = — У^ Х{ = 5,56 и s = УЧжг ~~ жJ = 2,3796. Далее j = = °79Б = 0,975; / = га-1 = 10-1 = 9; to,975 « 2i/^ = 2,267.
110 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Окончательно имеем 2 3796 /4(а) = /iiO@,95) = 5,56 - 2,267 • ' = 3,854; v 10 2 3796 fj,l(a) = /xiO@,95) = 5,56 + 2,267 • -?-=- = 7,266. vlO Таким образом, с вероятностью 0,95 значение параметра (среднего значения) нахо- находится в интервале 3,854 ^ \х ^ 7,266. Если бы интервалы были односторонними G = а = 0,95), то следовало бы использо- использовать to,95 ВМеСТО to,975 И, ИМСЯ В ВИДУ, ЧТО Но,95 = 1,645, ^95 = ^0,95 ( 1 - "^ 1 = !'834' Тогда получаем /?@,95) = 5,56 - 1'834^!796 = 3,938; д* @,95) = 5,56 + "'"*"рГ" = 6,94. vlO л/Ю С вероятностью 0,95 имеем односторонние интервалы /л ^ 6,94 или \х ^ 3,938. Оценка по выборочному размаху B.1.1.2.3) Вычисляем размах выборки ш = жтах — Жтт = 9,6 — 2,4 = 7,2. Для 7 = ^-^ = 0,975 и п = 10 находим из табл. 11 G0,975A0) = 0,23. Тогда V* (а) = х - G1 • ш = 5,56 - 0,23 • 7,2 = 3,904; (j,l (а) = х + G1 • ш = 5,56 + 0,23 • 7,2 = 7,216. Следовательно, с вероятностью 0,95 имеем 3,904 ^ \х ^ 7,216. Оценка по интерквартилъной широте B.1.1.2.4) Для удобства демонстрации добавим еще один член выборки жц=10,0. 3-(п + 1) 3-12 п + 1 11 + 1 Имеем —v ; = = 9; —— = —— = 3; I = х9 - х3 = 9 - 4,1 = 4,9; 4 4 4 4 Медиана равна xn+i = xq = 5,1. Для 7 :=: 0,975 (а = 0,95) из табл. 12 находим #0,975A1) =0,623. Окончательно получаем jtC (а) = 5,1 ~~ 0,623 • 4,9 = 2,047; /г* (а) = 5,1 + 0,623 • 4,9 = 8,153; 2,047 ^ [л ^ 8,153. Оценка по среднему абсолютному отклонению B.1.1.2.5) Находим г ю C=I5-E|xi-x| = = — • C,16 + 2,36 + 1,46 + 1,36 + 0,76 + 0,46 + 0,64 + 1,44 + 3,44 + 4,04) = 1,912. Из табл. 13 для п = 10 имеем JiTo,975A0) = 0,93 и далее fin(a) = 5,56 - 0,93 • 1,912 = 3,782; /?(а) = 5,56 + 0,93 • 1,912 = 7,338. Следовательно, доверительный интервал равен 3,782 ^ /i ^ 7,338. Оценка 50%™го доверительного интервала B.1.1.2.6) тг Имеем ^2 \хг — х\ = 19,12 и г=1 *( \ кка 0?84535 • 19,12 Ъ( , к ^ , 0,84535 • 19,12 fjbn{a) = 5,56 ^ = 5,021; /in(a) — 5,56 -\ -= = 6,0987. 10 • у 9 10 • v 9
2.1] Оценка параметров нормального распределения 111 Интервальная оценка для медианы B.1.1.2.7) Из табл. 14 для п = 10 (а = 0,95) находим, что медиана лежит между 2-й и 8-й порядковыми статистиками, т. е. между Х2 = 3,2 и xs = 7,0. Следовательно, 3,2 ^ х ^ 7,0. Для приближенного подсчета имеем п-1,96-л/п-1 10-1,96-V10-1 А; = = = 1,4. 2 2 Следовательно, [fc] = 2; [гг — к + 1] = 10, т.е. необходимо использовать статистики хч и жю, что приводит к результату 3,2 ^ х ^ 9,6. Приведем примеры вычисления односторонних приближенных оценок для медианы: к = 1 (а=1- — = 0,95) х < хю = 9,6; х > хг = 2,4; fc = 2 (а=1- — = 0,9) 1 2n ' ; [ж9+ж8 ж9+жю] [9 + 7 9,6 + 9] ж < max ; = max —; —-— = 9,3; ~ . [ж2+жз хг+х2} . [3,2 + 4,1 3,2 + 2,4] ж > mm ; = mm ; = 2,, 2.1.2. Оценка дисперсии о*2 и стандартного отклонения а 2.1.2.1. Точечные оценки 2.1.2.1.1. Оценка максимального правдоподобия I n 1 Подсчитывается по формуле s2 = — Для расчетов удобна формула s2 = — J^ х2 — ж2, из которой следует, что оценка ъ=1 максимального правдоподобия а2 является разностью между среднеарифметиче™ ским квадратом результатов наблюдений и квадратом среднего арифметического. Оценка — состоятельная, достаточная, эффективная, но при малых п не являю- являющаяся несмещенной. При п < 30 рекомендуется использовать несмещенную оценку s2 = n_l ^ v-* ~> tv %=1 \ъ=1 Если вместо оценки х используется параметр /л (когда он известен заранее), то во всех случаях используется оценка с п в знаменателе. 2.1.2.1.2. Оценка <т по выборочной дисперсии s 2 Оценка s = vs^, где s2 — оценка максимального правдоподобия для дисперсии (см. раздел 2.1.2.1.1), является смещенной. Несмещенной оценкой для а являет™ ся [25] V s = ^? гДе ^=\ —о /^—V^' ^( • • •)—гамма-функция. 2 При п > 30 Л « 1 — -. Значения Л при n ^ 45 приведены в табл. 15.
112 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 15 Значения Л [25] п 1 2 3 4 5 Л 0,7979 0,8862 0,9213 0,9400 0,9515 п 6 7 8 9 10 Л 0,9594 0,9650 0,9693 0,9727 0,9753 п 11 12 13 14 15 Л 0,9776 0,9794 0,9810 0,9823 0,9835 п 16 17 18 19 20 Л 0,9845 0,9540 0,9862 0,9869 0,9876 п 25 30 35 40 45 Л 0,9900 0,9917 0,9929 0,9938 0,9945 2.1.2.1.3. Оценка <т по среднему абсолютному отклонению Вычисляется по формуле = -? Xi - Х\ При п ¦ ОО С : тг V 2га - 1 где з 0,79788 • 20. c-\l 7Г X . В силу невысокой эффектив™ ности оценка используется при п 2.1.2.1.4. Оценка о* по выборочному размаху Подсчитывается по формуле sp = —, где ш = жтах — хш-1П — размах выборки; d — коэффициент, зависящий от п (его значения табулированы в [25]), фрагмент этой таблицы содержится в табл. 16. Таблица 16 Значения 1/cf п 2 3 4 5 6 1/d 0,8862 0,5908 0,4857 0,4299 0,3946 п 7 8 9 10 11 1/d 0,3698 0,3562 0,3367 0,3249 0,3152 п 12 13 14 15 16 1/d 0,3069 0,2998 0,2935 0,2880 0,2831 п 17 18 19 20 1/d 0,2787 0,2747 0,2711 0,2677 При п < 20 эффективность оценки sp практически не отличается от эффектив™ ности оценки s (см. раздел 2.1.2.1.2), поэтому эта оценка предпочтительнее при малых выборках. С помощью размаха можно быстро оценить верхнюю границу стандартного отк- отклонения: а ^ — [130]. При п ^ 200 в качестве грубой оценки а можно использовать оценку 5 = -. 2.1.2.1.5. Упрощенная оценка а по шаблону По аналогии с оценкой ц для быстрой, но грубой оценки а можно исполь- использовать метод шаблонов [125]. При этом оценка имеет вид лш = (б?2 — ^i)/(pi,P2M где U2 > d\—размеры шаблона; pi, P2—доля ж, меньших d\ и d^ соответственно; Pz) —коэффициент, зависящий от р\ и р2 (табулирован в табл. 17).
2.1] Оценка параметров нормального распределения 113 Таблица 17 Значения коэффициента рг 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 рг 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,10 — -4,16 -2,27 -1,64 -1,32 -1,12 -0,97 -0,87 -0,78 -0,71 -0,65 -0,60 -0,56 -0,51 -0,47 -0,43 -0,39 0,15 4,17 — -5,00 -2,70 -1,92 -1,54 -1,26 -1,10 -0,96 -0,85 -0,78 -0,70 -0,64 -0,58 -0,53 -0,48 -0,43 0,20 2,27 5,00 — -5,88 -3,12 -2,22 -1,69 -1,41 -1,19 -1,03 -0,92 -0,81 -0,74 -0,66 -0,60 -0,53 -0,47 0,25 1,64 2,70 5,08 — -5,67 -3,57 -2,38 -1,85 -1,49 -1,25 -1,09 -0,94 -0,84 -0,75 -0,66 -0,58 -0,51 0,30 1,32 1,92 3,12 6,67 — -7,69 -3,70 -2,56 -1,92 -1,54 -1,30 -1,10 -0,96 -0,84 -0,75 -0,64 -0,56 0,35 1,12 1,54 2,22 3,57 7,70 — -7,14 -3,85 -2,56 -1,92 -1,56 -1,28 -1,10 -0,94 -0,81 -0,70 -0,60 0,40 0,97 1,27 1,68 2,38 3,70 7,14 — -8,33 -4,00 -2,63 -2,00 -1,56 -1,30 -1,09 -0,92 -0,73 -0,65 0,45 0,87 1,10 1,41 1,85 2,56 3,85 8,33 — -7,69 -3,85 -2,63 -1,92 -1,54 -1,25 -1,03 -0,85 -0,71 0,50 0,78 0,96 1,19 1,49 1,92 2,56 4,00 7,69 — -7,69 -4,00 -2,56 -1,92 -1,49 -1,19 -0,96 -0,78 0,55 0,71 0,85 1,03 1,25 1,53 1,92 2,63 3,85 7,69 — -8,33 -3,85 -2,56 -1,85 -1,41 -1,10 -0,87 0,60 0,65 0,78 0,92 1,09 1,30 1,56 2,00 2,63 4,00 8,33 — -7,14 -3,70 -2,38 -1,69 -1,27 -0,97 0,65 0,60 0,70 0,81 0,94 1,10 1,28 1,56 1,92 2,56 3,85 7,14 — -7,69 -3,57 -2,22 -1,54 -1,12 0,70 0,56 0,64 0,74 0,84 0,96 1,10 1,30 1,54 1,92 2,56 3,70 7,69 — -6,67 -3,12 -1,92 -1,32 0,75 0,51 0,58 0,66 0,75 0,84 0,94 1,09 1,25 1,49 1,85 2,38 3,57 6,67 — -5,88 -2,70 -1,32 0,80 0,47 0,53 0,60 0,66 0,74 0,81 0,92 1,03 1,19 1,41 1,69 2,22 3,12 5,88 — -5,00 -2,20 0,90 0,39 0,43 0,47 0,51 0,56 0,60 0,65 0,71 0,78 0,87 0,97 1,12 1,32 1,64 2,27 4,17 — 2.1.2.1.6. Оценка с помощью порядковых статистик 2.1.2.1.6.1. Оптимальная линейная оценка [24, 25, 118, 119] Находится по формуле <т = где г-я порядковая статистика; г=1 коэффициенты оценки (табулированы в [24, 118, 119]). Значения коэффициентов ki приведены в табл. 18. Учитвгоая, что kn+i = 0, 2 ki = — kn^i^i, в таблице приведены значения для членов выборки от 1 до в/2 (п — четное) или (п — нечетное).
114 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Значения Таблица 18 для оптимальной линейной оценки и [119] п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 кг 8862 5908 4539 3724 3175 2778 2476 2237 2044 1883 1748 1632 1532 1444 1366 1297 1235 1178 1128 к2 0 1102 1352 1386 1352 1294 1233 1172 1115 1061 1013 0968 0927 0899 0854 0822 0792 0765 к3 0 0432 0625 0713 0751 0763 0760 0749 0735 0717 0699 0681 0663 0645 0628 0611 к4 0 0230 0360 0436 0481 0506 0520 0526 0526 0524 0519 0512 0525 0497 0 0142 0234 0294 0335 0362 0379 0391 0398 0401 0402 0402 к6 0 0087 0164 0212 0247 0272 0290 0302 0312 0318 к7 0 0070 0122 0160 0189 0211 0228 0241 к8 0 0530 0094 0125 0150 0169 kg 0 0041 0074 0101 кю 0 0033 Эффективность оценки практически не уступает оценке максимального правдо- правдоподобия (см. раздел 2.1.2.1.2). 2.1.2.1.6.2. Оценка Огавы [118, 119] Аналогична оптимальной линейной оценке, но вычисляется по га < п порядко- порядковым статистикам, выбранным исходя из получения максимальной эффективности оценок в больших выборках без увеличения объема вычислений. Вычисляется по формуле а = ь ГДе т — число выборочных поряд™ г=1 ковых статистик, по которым производится оценка; Л^ — коэффициенты, определя- определяющие номера порядковых статистик, участвующих в оценке; @i —весовые коэффи- коэффициенты оценки. Коэффициенты Л^ и /% табулированы в [118, 119] и приведены в табл. 19 {\n\j\ — целое число, ближайшее справа к пЛ^, и [n\i] + 1 — порядковый номер наблюдения). Таблица 19 Значения Лг (верхняя строка) и /Зг (нижняя строка) для оценки Огавы [119] т 2 4 6 1 0,069 -0,674 0,023 -0,115 0,011 -0,056 2 0,931 0,674 0,127 -0,237 0,056 -0,126 г 3 0,873 0,237 0,171 -0,181 4 0,977 0,115 0,829 0,181 5 0,944 0,126 6 0,990 0,056
2.1] Оценка параметров нормального распределения 115 2.1.2.1.6.3. Линейная оценка Даутона Даутон [131] предложил простую, но весьма эффективную оценку для а в виде 1,77245 " о. 1Х а = п(п - 1) При п ^ 10 эффективность оценки равна 0,94 по сравнению с оценкой максималь™ ного правдоподобия. 2.1.2.1.6.4. Оценка по сумме подразмахов (оценка Диксона) [117] Вычисляется по формуле г где Ui = xn+i—i — xi —г-й подразмах; kn — коэффициент оценки. Значения кп и но- номера используемых в оценке подразмахов табулированы в [118, 119] и приведены в табл. 20 (очевидно, что ш\ = ш — обычный размах). Там же приведены коэффи- коэффициенты к оценки а по размаху {а = кш, см. табл. 16). Таблица 20 п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 к (по размаху) 0,886 0,591 0,486 0,430 0,395 0,370 0,351 0,337 0,325 0,315 0,307 0,300 0,294 0,288 0,283 0,279 0,275 0,271 0,268 Оценки & Эффективность оценки по размаху 1,000 0,992 0,975 0,955 0,933 0,911 0,890 0,869 0,850 0,831 0,814 0,797 0,781 0,766 0,751 0,738 0,725 0,712 0,700 по подразмахам Оценка по сумме подразмахов (оценка Диксона) 0,8862ш 0,5908а; 0,4857а; 0,4299ш 0,2916(а; + а;2) 0,2370(ш + ш2) 0,2197(ш + ш2) 0,2068(а; + а;2) 0,1968(ш + а;2) О,16О8(С47 + Ш2 +О74) 0,1524(а; + а;2 + О74) 0,1456(ш + ш2 +ш4) 0,1399(а; + а;2 + ш4) 0,1352(а; + а;2 + ш4) О,1311(Ш + Ш2 +Ш4) 0,1050(а; + а;2 + а;3 + а;5) 0,1020(ш + ш2 + ш3 + ш5) 0,0993(ш + ш2 + ш3 + ш5) 0,10446(ш + ш2 + ш4 + ш6) Эффективность оценки по подразмахам 1,000 0,992 0,975 0,955 0,957 0,967 0,970 0,968 0,964 0,967 0,972 0,975 0,977 0,977 0,975 0,978 0,978 0,979 0,980 2.1.2.1.6.5. Оценка Джини [122] Используется как быстрая оценка для а и подсчитывается по формуле . п — 2г - г=1 п(п — 1) где Ш{ — г-й подразмах. Оценка не уступает оценке Даутона (см. 2.1.2.1.6.3).
116 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.1.2.1.6.6. Оптимальные комплексные оценки, использующие общий набор порядковых статистик Подробнее о сути оценки ем. в разделе 2.1.1.1.3.5. Укажем оценку по двум поряд- порядковым статистикам (напомним, одинаковым при оценке /л и а), минимизирующую линейную комбинацию дисперсий D(/i) + cD(a) (табл. 21): о- = к(х[ап] -Х[рп]). Аналогичные оценки по четырем порядковым статистикам имеют вид (с = 1) ~ х[0,0668п]) + 0>2051(Ж[0,7088п] ~~ ж[0,2Э12п]) Эффективности оценок равны соответственно 0,735 и 0,792. Таблица 21 с 1 2 3 Оценка к 0,4875 0,4391 0,4160 (Т по двум статистикам [117] а 0,8475 0,8726 0,8853 Р 0,1525 0,1274 0,1174 Эффективность 0,552 0,594 0,614 Задача 46. Имеется набор результатов измерений хц 1,4; 2,1; 2,9; 3,1; 3,8; 4,1; 4,3; 4,6; 5,1; 6,1. Необходимо вычислить оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения различ- различными способами. Оценка максимального правдоподобия B.1.2.1.1) s2 = - { - xf = - n = — • 158,51 - C,75J = 1,7885 10 или s2 = ixi ~~ = 1,9872 (с использованием поправки на смещение). Следует помнить, что при малых п смещение оценки может быть значительным. Оценка по среднему абсолютному отклонению B.1.2.1.3) 1 " \Xi-x\, где с= \ - . = 0,75694. 10/ Имеем = 11 и s* = 1 ¦ 11 = 1,4181. 10 • 0,75694 Оценка по выборочному размаху B.1.2.1.4) Имеем со = жтах — xmin = 6,1 — 1,4 = 4,7. Для п = 10 из табл. 16 получаем - = 0,3249 и sp = 4,7 • 0,3249 = 1,529. Упрощенная оценка по шаблону B.1.2.1.5) Выбираем d,2 = 4,5 и d\ = 2,5, тогда pi = 0,2 и pi = 0,8. Из табл. 17 имеем /@,2; 0,8) = = 0,60 и 5Ш = D,5 - 2,5) • 0,6 = 1,20.
2.1] Оценка параметров нормального распределения 117 Оптимальная линейная оценка B.1.2.1.6.1) Находим с помощью табл. 18 a = J2ki' Щг] = 0,2044 • F,1 - 1,4) + 0,1172 • E,1 - 2,1) + 0,0763 • D,6 - 2,9) + г=1 + 0,0436 • D,3 - 3,1) + 0,0142 • D,1 ~~ 3,8) = 1,49857. Оценка Огавы B.1.2.1.6.2) Выполним оценку по четырем порядковым статистикам. В соответствии с табл. 19 их номера будут [п • Ai] + 1 = [10 • 0,023] + 1 = 1; [п • Л2] + 1 = [10 • 0,127] + 1 = 2; [п • Аз] + 1 = [10 • 0,873] + 1 = 9; [п • А4] + 1 = [10 • 0,977] + 1 = 10. Тогда имеем, используя коэффициенты из табл. 19, а = -0,115 • хг - 0,237 • х2 + 0,237 • х9 + 0,115 • х10 = = 0,115 • F,1 - 1,4) + 0,237 • E,1 - 2,1) = 1,2515. Линейная оценка Даутона B.1.2.1.6.3) 1,77245 а = • ]Р Bг - п - 1) • хг = 0,01Э694-(-9 • 1,4 - 7 • 2,1 ~~ 5 • 2,9 - 3 • 3,1 ~~ -(Ю-1) ^ - 1 • 3,8 + 1 • 4,1 + 3 • 4,3 + 5 • 4,6 + 7 • 5,1 + 9 • 6,1) = 1,49083. Оценка по сумме подразмахов B.1.2.1.6.4) Из табл. 20 (для п = 10) следует, что а = 0,1968 • (ш + ш2) = 0,1968 • (жю - ал + ж9 - х2) = = 0,1968 • F,1 - 1,4 + 5,1 - 2,1) = 1,51536. Оценка Джини B.1.2.1.6.5) Имеем Г-1 п L2 J J2 \хг - хА = 1С (п ~~2i + *) • ^ = (п -1)'Ш1 + (w -3) •Ш2 + (п -5) • Шз+ i,j = l г=1 + (п - 7) • ш4 + (п - 9) • ш5 = 75,7 и <т = • 75,7 = 0,842. Из результата видно, что оценка очень груба. Оценки, использующие общий набор порядковых статистик B.1.2.1.6.6) Имеем для двух статистик (пусть с = 1) а = 0,4875 • (ж[0,8475.ю] - ^0,1525.10]) = 0,4875 • (х8 ~~ хг) = 0,4875 • D,6 - 1,4) = 1,56; оценка по четырем статистикам: вариант 1 а = 0,2581 • (X[O;9332-1O] — Ж[0,0688-10]) + 0,2051 • (Ж[О,7О88-Ю] — Ж[о, 2912-10]) = = 0,2581 • (х9 - хг) + 0,2051 • (х7 - х3) = 0,2581 • E,1 - 1,4) + 0,2051 • D,3 - 2,9) = 1,2421. вариант 2 «7 = 0,1787 • (#[0,9611.10] ~~ Ж[0,0389-10]) + 0,2353 • (Ж[О,784О-1О] — #[0,2160-10]) = = 0,1787 • (жю - хг) + 0,2353 • (ж8 - х2) = 0,1787 • F,1 - 1,4) + 0,2353 • D,6 - 2,1) = 1,428.
118 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.1.2.2. Интервальные оценки 2.1.2.2.1. Интервальные оценки дисперсии и2 Интервальные оценки при доверительной вероятности а равны 1 п 1 _ V (т- — тJ- (^2)в — тJ где x^f —7™квантиль распределения %2 с / = в—1 степенями свободы (если параметр /л известен, то / = n); jf = ¦ для двусторонней оценки wjf = a для односто™ ронней оценки; jf/ = оценки. 1-а для двусторонней оценки иУ' = 1 — « для односторонней Для аппроксимации Xj рекомендуется использовать формулу Вилсона—Хил™ ферти [61] xW = где и7 — 7™квантиль стандартного нормального распределения. Для практически применяемых уровней достоверности а = 0,9; 0,95 и 0,99 зна™ чения и^ приведены в табл. 22. Таблица 22 Значения а 0,90 0,95 0,99 Односторонние границы У 0,90 0,95 0,99 1" 0,10 0,05 0,01 *v 1,28255 1,64485 2,32635 -1,28255 -1,64485 -2,32635 Двусторонние границы У 0,950 0,975 0,995 1" 0,050 0,025 0,005 wy 1,64485 1,95996 2,57582 ну' -1,64485 -1,95996 -2,57582 2.1.2.2.2. Интервальная оценка а по размаху Оценка находится по формулам где а; G)—7™квантиль распределения размаха выборки объема п из стандартного нормального распределения (табулированы в [25, 29]); jf = —-— для двусторонней ш jf = а для односторонней оценки; jf/ = 1-а для двусторонней, j/f = 1 — а для односторонней оценки. Оценка применяется при п ^ 20. Для обычно применяемых величин а = 0,90; 0,95 и 0,99 необходимые значения о;G) для п = 1AJ0 приведены в табл. 23. 2.1.2.2.3. Оценка по среднему абсолютному отклонению Вычисляется по формулам 1 Xi — х ; 1
2.1] Оценка параметров нормального распределения 119 Таблица 23 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Значения квантилей распределения размаха из("у) [25] Односторонние оценки а = 1 0,90 2,90 3,24 3,48 3,66 3,81 3,93 4,04 4,13 4,21 4,29 4,35 4,41 4,47 4,52 4,57 4,61 4,65 4,69 0,90 1" 0,10 0,62 0,98 1,26 1,49 1,68 1,83 1,97 2,09 2,20 2,30 2,39 2,47 2,54 2,61 2,67 2,73 2,79 2,84 а = V 0,95 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,68 4,74 4,80 4,85 4,89 4,93 4,97 5,01 0,95 V 0,05 0,43 0,76 1,03 1,25 1,44 1,60 1,74 1,86 1,97 2,07 2,16 2,24 2'32 2,39 2,45 2,51 2,57 2,62 а = i 0,99 4,12 4,40 4,60 4,76 4,88 4,99 5,08 5,16 5,23 5,29 5,35 5,40 5,45 5,49 5,54 5,57 5,61 5,65 0,99 l" 0,01 0,19 0,43 0,66 0,87 1,05 1,20 1,34 1,47 1,58 1,68 1,77 1,86 1,93 2,01 2,07 2,14 2,20 2,25 Двусторонние оценки а = i 0,95 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,68 4,74 4,80 4,85 4,89 4,93 4,97 5,01 0,90 i1 0,05 0,43 0,76 1,03 1,25 1,44 1,60 1,74 1,86 1,97 2,07 2,16 2,24 2,32 2,39 2,45 2,51 2,57 2,62 а = 0,95 V 0,975 3,68 3,98 4,20 4,36 4,49 4,61 4,70 4,79 4,86 4,92 4,99 5,04 5,09 5,14 5,18 5,22 5,26 5,30 0,025 0,30 0,59 0,85 1,06 1,25 1,41 1,55 1,67 1,78 1,88 1,97 2,06 2,14 2,21 2,27 2,34 2,39 2,45 а = V 0,995 4,42 4,69 4,89 5,03 5,15 5,26 5,34 5,42 5,49 5,54 5,60 5,65 5,70 5,74 5,78 5,82 5,85 5,89 0,99 l" 0,005 0,13 0,34 0,55 0,75 0,92 1,08 1,21 1,33 1,45 1,55 1,64 1,72 1,80 1,88 1,94 2,01 2,07 2,12 Таблица 24 Значения квантилей распределения среднего абсолютного отклонения m(j) [25] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Односторонние оценки а = 7 0,90 1,163 1,117 1,089 1,069 1,052 1,038 1,026 1,016 1,007 0,90 1" 0,10 0,088 0,238 0,328 0,386 0,428 0,459 0,484 0,504 0,521 а = i 0,95 1,386 1,276 1,224 1,187 1,158 1,135 1,116 1,100 1,086 0,95 i' 0,05 0,044 0,166 0,254 0,315 0,360 0,394 0,422 0,445 0,464 а = i 0,99 1,821 1,586 1,489 1,419 1,366 1,325 1,292 1,264 1,240 0,99 7" 0,01 0,009 0,073 0,145 0,203 0,250 0,287 0,318 0,344 0,366 Двусторонние оценки а = i 0,95 1,386 1,276 1,224 1,187 1,158 1,135 1,116 1,100 1,086 0,90 l" 0,05 0,044 0,166 0,254 0,305 0,360 0,394 0,422 0,445 0,464 а = У 0,975 1,585 1,417 1,344 1,292 1,253 1,222 1,196 1,175 1,156 0,95 i1 0,025 0,022 0,116 0,199 0,260 0,306 0,342 0,372 0,396 0,417 а = У 0,995 1,985 1,703 1,59 1,507 1,445 1,397 1,358 1,326 1,299 0,99 7;/ 0,005 0,004 0,073 0,145 0,203 0,25 0,287 0,318 0,344 0,366 где m(j) — 7~квантиль распределения среднего абсолютного отклонения; jf= A + ol)/2, г)" = A + а)/2 Для двусторонней оценки и jf = a, jff = 1 — а для односторонней оценки. Для п = 1AI00 и а = 0,90; 0,95 и 0,99 значения 772G) приведены в табл. 24. 2.1.2.2.4. Интервальная оценка и, основанная на ее точечной оценке s Оценка вычисляется по формулам
120 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 где s = 7™квантиль распределения с / = п — 1 сте™ 1 + о пенями свободы; 7/= {l' = °0 Для двусторонней (односторонней) оценки; 7//= —-— (jff = 1 — а) для двусторонней (односторонней) оценки. Значения w—— 2 V Х7 табулированы в [25, 46] и приведены в табл. 25. В [36] для а = 0,95 приведены достаточно простые и точные эмпирические формулы: Значения Таблица 25 для интервальной (двусторонней) оценки и ft 1 П I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 а = i = 0,95 0,578 0,620 0,649 0,672 0,690 0,705 0,718 0,729 0,739 0,748 0,755 0,762 0,769 0,775 0,780 0,785 0,790 0,794 0,798 0,805 0,812 0,818 0,823 0,828 0,838 0,847 0,854 0,861 0,866 0,871 0,879 0,886 0,892 0,897 0,90 7/; = 0,05 4,42 2,92 2,37 2,09 1,92 1,80 1,71 1,65 1,59 1,55 1,52 1,49 1,46 1,44 1,42 1,40 1,39 1,37 1,36 1,34 1,32 1,30 1,29 1,27 1,25 1,23 1,21 1,20 1,19 1,18 1,16 1,15 1,14 1,13 а = У = 0,975 0,521 0,566 0,599 0,624 0,644 0,661 0,675 0,688 0,699 0,708 0,717 0,725 0,732 0,739 0,745 0,750 0,756 0,760 0,765 0,773 0,781 0,788 0,794 0,799 0,811 0,821 0,829 0,837 0,843 0,849 0,858 0,866 0,873 0,879 0,95 7/; = 0,025 6,28 3,73 2,87 2,45 2,20 2,04 1,92 1,83 1,75 1,70 1,65 1,61 1,58 1,55 1,52 1,50 1,48 1,46 1,44 1,42 1,39 1,37 1,35 1,34 1,30 1,28 1,26 1,24 1,23 1,22 1,20 1,18 1,17 1,16 а = У = 0,995 0,434 0,483 0,519 0,546 0,569 0,588 0,604 0,618 0,630 0,641 0,651 0,660 0,669 0,676 0,683 0,690 0,696 0,702 0,707 0,717 0,726 0,734 0,741 0,748 0,762 0,774 0,784 0,793 0,801 0,808 0,820 0,829 0,838 0,845 0,99 7;/ = 0,005 14,12 6,47 4,40 3,48 2,98 2,66 2,44 2,28 2,15 2,06 1,98 1,91 1,85 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,60 1,56 1,53 1,50 1,48 1,43 1,39 1,36 1,34 1,32 1,30 1,27 1,25 1,23 1,22
2.1] Оценка параметров нормального распределения 121 — для нижней границы — для верхней границы 1п-1 - 1,74 1 < 96 + \/2п - 2 ' 11,54(п-3,61J + 1,Э8; 2 х/2п - 0,47 4; п > 5. /2п - 0,8 - 1,96 Оценки улучшаются, если вместо s использовать несмещенную оценку s* = fcs, где к = 1 + ^^ [36]. Отметим, что в нашем случае рассматриваются симметричные квантили jf = 0,95 и 7;/ = 0,05, 7; = 0,975 и г)!1 = 0,025. Интервалы такого типа называются централь™ ными [132]. Однако они не являются кратчайшими при одной и той же дове™ рительной вероятности. Более того, в силу несимметричности распределения s, центральные интервалы не могут быть кратчайшими [133]. В табл. 26 приведены кратчайшие доверительные интервалы для <т, равные zis ^ 0" ^ Z2S Для заданных доверительных вероятностей. При п ^ 70 разница меж- между кратчайшими и центральными интервалами становится менее 1%, поэтому кратчайшими интервалами рекомендуется пользоваться при п ^ 70. Полное срав™ нительное исследование оценок дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения приведено в [134]. Задача 47. Для данных задачи 46 (ж«: 1,4; 2,1; 2,9; 3,1; 3,8; 4,1; 4,3; 4,6; 5,1; 6,1) найти двустороннюю интервальную оценку для стандартного отклонения при доверительной вероятности а = 0,95. Интервальная оценка дисперсии B.1.2.2.1) I ю ю Находим S2 = J2(xi ~ xf = 1,9872, или J^(xi - xf = 17,885. Для а = 0,95 (двусторонние границы) из табл. 22 имеем tio,975 = 1,95996 и tio,o25 = = -1,95996. Отсюда при / = п — 1 = 9 Х0,975 = 9 ' Х0,025 — 1 - 1- 9- 10 2 + 1,95996 • - 1,95996 • Далее • 17,885 = 0,97025; = 18,4333; = 2,9004. • 17,885 = 6,1664. 18,4333 Следовательно, с вероятностью 0,95 имеем 0,97025 ^ о ^ 6,1664. Интервальная оценка а по размаху B.1.2.2.2) Имеем жтах — xmin = 6,1 — 1,4 = 4,7. Из табл. 23 для п = 10 и а = 0,95 имеем ало @,975) = 4,79 и ало @,025) = 1,67. Следовательно, si = — = 0,9457; si = — = 2,8144, 4,97 1,67 и с вероятностью 0,95 имеем 0,9457 ^ а ^ 2,8144.
122 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 26 Коэффициенты z\ и z^ кратчайших доверительных интервалов [133] п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 а = 21 0,272 0,400 0,478 0,531 0,571 0,601 0,627 0,647 0,664 0,679 0,692 0,704 0,714 0,724 0,732 0,740 0,747 0,753 0,759 0,765 0,770 0,775 0,779 0,783 0,788 0,791 0,795 0,798 0,802 0,816 0,827 0,837 0,844 0,857 0,868 0,90 Z2 7,944 3,112 2,304 1,980 1,805 1,693 1,616 1,558 1,512 1,476 1,447 1,421 1,400 1,381 1,365 1,350 1,337 1,326 1,315 1,306 1,297 1,288 1,281 1,274 1,267 1,261 1,256 1,250 1,245 1,224 1,207 1,193 1,182 1,164 1,151 а = z\ 0,246 0,364 0,439 0,491 0,531 0,562 0,587 0,609 0,627 0,642 0,656 0,668 0,679 0,689 0,698 0,706 0,714 0,721 0,727 0,733 0,739 0,744 0,749 0,754 0,758 0,762 0,766 0,770 0,773 0,789 0,801 0,812 0,821 0,835 0,847 0,95 16,004 4,434 2,949 2,405 2,124 1,950 1,832 1,746 1,680 1,628 1,585 1,550 1,520 1,494 1,461 1,451 1,433 1,417 1,402 1,389 1,377 1,366 1,356 1,347 1,338 1,330 1,322 1,315 1,308 1,280 1,258 1,241 1,226 1,203 1,186 а = z\ 0,220 0,310 0,378 0,428 0,467 0,497 0,523 0,544 0,563 0,580 0,594 0,607 0,619 0,629 0,639 0,648 0,656 0,664 0,671 0,678 0,684 0,690 0,695 0,701 0,705 0,710 0,715 0,719 0,723 0,741 0,755 0,767 0,778 0,795 0,808 0,99 Z2 80,062 9,990 5,131 3,691 3,027 2,647 2,402 2,229 2,101 2,002 1,982 1,858 1,804 1,758 1,718 1,683 1,653 1,625 1,601 1,579 1,559 1,541 1,525 1,509 1,495 1,482 1,470 1,458 1,448 1,403 1,369 1,342 1,320 1,285 1,260 Оценка а по среднему абсолютному отклонению B.1.2.2.3) ю ю Находим ]Р \х% — х\ = ]Р \xi ~ ^-^Щ = 11- Из табл. 24 для а = 0,95 и п = 10 имеем г=1 г=1 ,975 = 1Д56 и то,025 = 0,47, тогда 1 = 2,3404. s" = 1^мй •n = °'9515; s" Окончательно имеем 0,9515 ^ а ^ 2,3404. 10 • 0,47 Интервальная оценка а, основанная на ее точечной оценке B.1.2.2.4) J1 ю ~ 2 (Xi ~ хJ = 1,40969. Из табл. 25 для а = 0,95 ип-1 = 9 имеем
2.1] Оценка параметров нормального распределения 123 = 0,688; = 1,83. Тогда si = 0,688 • 1,40969 = 0,96986; si = 1,83 • 1,40969 = 2,57973. Если воспользоваться аппроксимациями, то Хо,975 1,96 + V20 - 2 что очень близко к табличным значениям. Теперь воспользуемся кратчайшим доверительным интервалом. Из табл. 26 имеем для а = 0,95 и п = 10: z\ = 0,642 и Z2 = 1,628, откуда S* = 0,642 • 1,40969 = 0,90502 и s* = 1,628 • 1,40969 = 2,29497, 0,90502 <С а <: 2,29497. Видим, что в этом случае длина доверительного интервала равна 2,29497^ 0,90502 = = 1,38995 по сравнению с 2,57973 — 0,969986 = 1,60974 в случае центрального интервала (т.е. меньше на « 14%). 2.1.3. Оценки в усеченных и цензурированных выборках На практике встречаются ситуации, когда некоторые выборочные значения слу- случайной величины отсутствуют. Например, при испытаниях электронных приборов на гарантийную наработку для части приборов фиксируются значения наработки, а для остальных известно только, что их наработка не меньше некоторой таранти™ руемой величины. Выборки, в которых отсутствуют значения случайной величины, большие (или меньшие) некоторого граничного значения, называются усеченными. Если степень усечения известна заранее, то имеет место так называемая не полностью опре- определенная выборка. Выборки, в которых часть членов отбрасывается, называются цензурированными (например, при измерениях отбрасываются крайние значения, как наиболее грубые). 2.1.3.1. Оценки максимального правдоподобия 2.1.3.1.1. Оценки в усеченных выборках Оценка параметров усеченного нормального распределения производится по формулам где z = f(y) — функция аргумента у = Е2 (z) — функция аргумента табулированы в [29], часть этих таблиц Значения функций z = f(y) и воспроизведена в табл. 27 и 28. Сначала по выборочным данным подсчитывается у, затем по табл. 27 и 28 — z и g(z) (при необходимости используется интерполяция). В приведенных формулах предполагается, что точка усечения ху известна и равна 0 (если ху ф 0, то формулы справедливы для переменной х* = xi — ху).
124 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 27 Значения функции z = f{y) [29] У 0,550 0,555 0,560 0,565 0,570 0,575 0,580 0,585 0,590 0,595 0,600 0,605 0,610 0,615 0,620 0,625 0,630 0,635 0,640 0,645 0,650 0,655 0,660 0,665 z -3,145 -2,990 -2,851 -2,777 -2,613 -2,508 -2,410 -2,319 -2,232 -2,151 -2,073 -1,999 -1,928 -1,859 -1,792 -1,728 -1,665 -1,604 -1,545 -1,486 -1,429 -1,373 -1,318 -1,263 У 0,670 0,675 0,680 0,685 0,690 0,695 0,700 0,705 0,710 0,715 0,720 0,725 0,730 0,735 0,740 0,745 0,750 0,755 0,760 0,765 0,770 0,775 0,780 0,785 -1,209 -1,158 -1,103 -1,051 -0,999 -0,947 -0,896 -0,845 -0,894 -0,743 -0,692 -0,641 -0,589 -0,538 0,487 -0,435 -0,383 -0,330 -0,277 -0,224 -0,170 -0,116 -0,060 -0,040 У 0,790 0,795 0,800 0,805 0,810 0,815 0,820 0,825 0,830 0,835 0,840 0,845 0,850 0,855 0,860 0,865 0,870 0,875 0,880 0,885 0,890 0,895 0,900 0,905 z 0,052 0,110 0,168 0,228 0,289 0,351 0,414 0,479 0,545 0,613 0,683 0,754 0,829 0,905 0,984 1,066 1,151 1,240 1,332 1,428 1,530 1,636 1,749 1,868 Таблица 28 Значения функции g(z) [29] 2 -3,0 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6 -2,5 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2,0 -1,9 s(z) 0,3328 0,3341 0,3561 0,3689 0,3826 0,3977 0,4128 0,4294 0,4472 0,4662 0,4866 0,5082 z -1,8 -1,7 -1,6 -1,5 -1,4 -1,3 -1,2 -1,1 -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 g{z) 0,5314 0,5560 0,5823 0,6102 0,6398 0,6713 0,7045 0,7396 0,7766 0,8156 0,8565 0,8993 z -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,9442 0,9909 1,0396 1,0902 1,1428 1,1917 1,2533 1,3113 1,4323 1,4953 1,5599 1,6259 z 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 g(z) 1,6935 1,7624 1,8327 1,9043 1,9771 2,0511 2,2024 2,2796 2,3578 2,4369 2,5169 2,5978 2.1.3.1.2. Оценки в неполностью определенных выборках Неполностью определенная выборка имеет место, когда о части членов выборки известно только, что они не больше (не меньше) некоторого граничного значения. Предположим, что имеется выборка объема п из нормального распределения. Для (п — По) членов выборки известны точные значения Xi {х\1Х21х% ... ,жп^По).
2.1] Оценка параметров нормального распределения 125 Таблица 29 У 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,30 1,50 У 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,90 1,00 1,30 1,50 Значения функции , * = /О,! /) Р9] h 0,05 -2,786 -2,562 -2,384 -2,239 -2,117 -2,013 -1,923 -1,844 -1,710 -1,602 -1,512 -1,435 -1,369 -1,311 -1,260 -1,214 -1,173 -1,135 -1,055 -0,989 -0,934 -0,887 -0,702 -0,626 0,10 -2,680 -2,445 -2,263 -2,115 -1,992 -1,889 -1,800 -1,722 -1,653 -1,591 -1,536 -1,441 -1,360 -1,292 -1,233 -1,180 -1,134 -1,092 -1,055 -1,021 -0,990 -0,922 -0,866 -0,819 -0,778 -0,613 -0,545 0,15 -0,985 -1,862 -1,759 -1,671 -1,595 -1,528 -1,468 -1,415 -1,366 -1,322 -1,282 -1,211 -1,150 -1,097 -1,050 -1,009 -0,971 -0,937 -0,906 -0,878 -0,852 -0,795 -0,747 -0,706 -0,671 -0,525 -0,463 0,20 -1,537 -1,463 -1,398 -1,340 -1,289 -1,242 -1,200 -1,162 -1,127 -1,094 -1,064 -1,010 -0,963 -0,921 -0,884 -0,850 -0,819 -0,792 -0,766 -0,742 -0,721 -0,673 -0,631 -0,596 -0,565 -0,436 -0,381 0,25 -1,207 -1,158 -1,114 -1,074 -1,037 -1,004 -0,973 -0,945 -0,919 -0,894 -0,871 -0,829 -0,792 -0,759 -0,729 -0,702 -0,677 -0,654 -0,632 -0,613 -0,594 -0,553 -0,518 -0,488 -0,461 -0,347 -0,297 0,30 -0,943 -0,909 -0,877 -0,849 -0,822 -0,797 -0,774 -0,753 -0,733 -0,714 -0,696 -0,663 -0,634 -0,607 -0,583 -0,561 -0,540 -0,521 -0,503 -0,487 -0,471 -0,437 -0,407 -0,380 -0,357 -0,257 -0,212 0,35 -0,720 -0,695 -0,672 -0,651 -0,631 -0,612 -0,595 -0,579 -0,563 -0,548 -0,534 -0,508 -0,485 -0,463 -0,444 -0,425 -0,408 -0,393 -0,378 -0,364 -0,351 -0,322 -0,296 -0,273 -0,253 -0,165 -0,125 0,40 -0,523 -0,505 -0,488 -0,472 -0,457 -0,443 -0,429 -0,416 -0,404 -0,393 -0,382 -0,361 -0,343 -0,325 -0,309 0,294 -0,280 -0,267 -0,255 -0,243 -0,232 -0,207 -0,186 -0,166 -0,149 -0,072 -0,036 h 0,45 -0,345 -0,331 -0,318 -0,306 -0,295 -0,284 -0,273 -0,263 -0,254 -0,245 -0,236 -0,220 -0,204 -0,190 -0,177 -0,166 -0,154 -0,143 -0,133 -0,123 -0,114 -0,074 -0,043 0,025 0,056 0,50 -0,178 -0,168 -0,158 -0,149 -0,140 -0,132 -0,124 -0,116 -0,108 -0,101 -0,094 -0,081 -0,069 -0,058 -0,047 -0,037 -0,027 -0,019 -0,010 -0,002 0,006 0,039 0,066 0,124 0,151 0,55 -0,019 -0,017 -0,004 0,003 0,010 0,016 0,023 0,029 0,035 0,040 0,046 0,056 0,066 0,075 0,084 0,092 0,100 0,107 0,114 0,121 0,127 0,154 0,177 0,237 0,251 0,60 0,136 0,142 0,147 0,153 0,158 0,163 0,168 0,173 0,177 0,182 0,186 0,194 0,202 0,210 0,216 0,223 0,229 0,235 0,241 0,246 0,252 0,275 0,294 0,336 0,357 0,65 0,291 0,295 0,300 0,304 0,308 0,312 0,315 0,319 0,323 0,326 0,330 0,336 0,342 0,348 0,353 0,359 0,364 0,368 0,373 0,377 0,382 0,401 0,416 0,452 0,470 0,70 0,449 0,453 0,456 0,459 0,462 0,465 0,468 0,471 0,473 0,476 0,479 0,484 0,488 0,493 0,497 0,501 0,505 0,509 0,513 0,516 0,520 0,535 0,548 0,578 0,593 0,75 0,616 0,619 0,621 0,623 0,625 0,628 0,630 0,632 0,634 0,636 0,638 0,642 0,645 0,649 0,652 0,655 0,658 0,661 0,664 0,667 0,670 0,681 0,692 0,716 0,728 0,80 0,797 0,799 0,801 0,802 0,804 0,806 0,807 0,809 0,810 0,812 0,813 0,816 0,818 0,821 0,823 0,826 0,828 0,830 0,833 0,835 0,837 0,846 0,854 0,873 0,883
126 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Оценки параметров /л и а тогда подсчитываются по формулам [29] n-no 1 v^ x = — zs: s = У Х{ п — п0 г=1 где /г = —; z = /(/i, y) —функция аргументов /г и у = (п — ' п—по v—л г=1 о значения табулированы в [29]; i/j(z)— функция аргумента z (значения приведены в [29]). Таблица 30 z -3,0 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6 -2,5 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1 2,0 -1,9 -1,8 -1Д -1,6 -1,5 -1,4 Значения функции ф tjj(z) 3,2831 3,1903 3,0979 3,0058 2,9141 1,8227 2,7318 2,6414 2,5515 2,4621 2,3732 2,2849 2,1973 2,1103 2,0241 1,9387 1,8541 z — 1,3 -1,2 -1,1 -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 1,7704 1,6876 1,6058 1,5251 1,4456 1,3674 1,2905 1,2150 1,1411 1,0688 0,9982 0,9294 0,8626 0,7979 0,7353 0,6751 0,6172 [z) [29] z 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,5619 0,5092 0,4591 0,4119 0,3676 0,3251 0,2876 0,2520 0,2194 0,1897 0,1629 0,1388 0,1173 0,0984 0,0819 0,0676 0,0552 Значения функций z = /(/г, у) и ip(z) воспроизведены в табл. 29 и 30. Сначала по выборочным значениям Х{ вычисляются у и /г, затем по табл. 29 и 30 определяются соответствующие им значения z = f(h,y) и tp(z). 2.1.3.1.3. Оценки в цензурированных выборках 2.1.3.1.3.1. Оценка максимального правдоподобия Наиболее полно оценки такого типа рассмотрены в [135, 136]. Пусть из выборки объема п известны только г первых членов. Это, кстати, классическая ситуация, возникающая при проведении испытаний приборов на долговечность, когда из п испытываемых приборов наблюдаются г отказов. Итак, наблюдаются значения х\ ^ Х2 ^ . •. ^ хГ1 а для всех оставшихся (п — г) приборов примем одно значение жд, равное хг. Для первых г членов выборки имеем x = - ,2 = i -*)¦ г=1 Th V Далее находим параметры h = ^^^ и 7 = — x)
2.1] Оценка параметров нормального распределения 127 Оценки для /л и а будут иметь вид [136] где Aj(/i,7)—коэффициенты, приведенные в табл. 31. Таблица 31 7 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 Значения k(h,j) [ 136] h ОД 0,1102 0,1180 0,1247 0,1306 0,1386 0,1409 0,1455 0,1499 0,1540 0,1579 0,1617 0,1932 0,2182 0,2395 0,2585 0,2757 0,2916 0,3065 0,3205 0,3337 0,2 0,2426 0,2574 0,2703 0,2819 0,2926 0,3025 0,3118 0,3207 0,3290 0,3370 0,3447 0,4093 0,4609 0,5052 0,5450 0,5803 0,6134 0,6442 0,6733 0,7009 0,3 0,4021 0,4233 0,4422 0,4595 0,4755 0,4904 0,5045 0,5180 0,5308 0,5340 0,5548 0,6547 0,7349 0,8038 0,8653 0,8912 0,9729 1,0210 1,0670 1,1100 0,4 0,5961 0,6234 0,6483 0,6713 0,6927 057129 0,7320 0,7502 057676 0,7844 0,8005 0,9382 1,0490 1,1460 1,2310 1,3090 1,3820 1,4400 1,5130 1,5730 0,5 0,8368 0,8703 0,9012 0,9300 0,9570 0,9826 1,0070 1,0300 1,0530 1,0740 1,0950 1,2740 1,4200 1,5460 1,6590 1,7620 1,8570 1,9460 2,0310 2,1100 0,6 1,1450 1,1850 1,2220 1,2570 1,2900 1,3210 1,3510 1,3800 1,4080 1,4350 1,4610 1,6860 1,8700 2,0310 2,1750 2,3070 2,4280 2,5430 2,6500 2,7530 0,7 1,5610 1,6080 1,6510 1,6930 1,7320 1,7700 1,8060 1,8410 1,8750 1,9080 1,9400 2,2170 2,4470 2,6490 2,8290 2,9950 3,1490 3,2930 3,4300 3,5590 0,8 2,1760 2,2290 2,2800 2,3290 2,3760 2,4210 2,4650 2,5070 2,5480 2,5880 2,6260 2,9680 3,2550 3,5080 3,7360 3,9450 4,1400 4,3220 4,4950 4,6600 0,9 3,2830 3,3450 3,4050 3,4640 3,5200 3,5750 3,6280 3,6790 3,7300 3,7790 3,8270 4,2580 4,6250 4,9520 5,2490 5,5220 5,7880 6,0180 6,2450 4,4620 Двусторонние доверительные интервалы с доверительной вероятностью а нахо- находятся по формулам [136] (а, п, г); , п, г), где %'(«, п, г), х/;(а, п, г)—коэффициенты, приведенные в табл. 32. При г = п (от- (отсутствие цензурирования) оценки превращаются в обычные. Двусторонний доверительный интервал для /л имеет вид [136] , n, г)а; ?° (а) = А - t/;( , n, где tf(a,n,r), t"{a,n,r) — коэффициенты, приведенные в табл. 33. Отметим основные особенности рассмотренных оценок: — точная длина доверительного интервала в большей степени зависит от г п — г и в меньшей степени от п = : п — при фиксированном значении г длина доверительного интервала для /л оста- остается практически постоянной при 0 ^ /i ^ 0,7 и увеличивается при h > 0,7; — при г = const доверительный интервал для а медленно увеличивается с ро- ростом п (или h); — при п = const длина доверительного интервала уменьшается с ростом г.
128 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Коэффициенты %'{ (верхняя строка) и Таблица 32 , то, г) (нижняя строка) [119] г 2 3 4 5 6 п 4,5 10 50 4 5 20 5 10 20 6 10 20 50 100 7 а = 0,90 0,7187 27,7780 0,7143 31,2500 0,7092 34,4830 0,7042 5,8820 0,7042 6,2500 0,6849 7,1430 0,7092 3,5710 0,6993 4,1660 0,6896 4,1660 0,7194 2,7780 0,7092 3,0300 0,7042 3,1250 0,6896 3,2260 0,6803 3,3330 0,7299 2,3810 а = 0,95 0,6097 58,8230 0,6024 66,1670 0,5952 66,1670 0,6329 8,3330 0,6211 9,0900 0,6060 10,0000 0,6452 4,5450 0,6289 5,2630 0,6173 5,5550 0,6622 3,4480 0,6452 3,7100 0,6329 4,0000 0,6250 4,0000 0,6135 4,1660 0,6803 2,7780 г 6 7 8 10 12 п 10 20 8 10 20 9 10 20 50 12 20 50 100 15 20 50 а = 0,90 0,7194 2,5190 0,7143 2,6310 0,7407 2,1280 0,7299 2,2220 0,7246 2,3250 0,7519 1,9610 0,7463 2,0410 0,7353 2,1280 0,7194 2,2220 0,7633 1,7860 0,7519 1,8520 0,7407 1,9230 0,7799 2,0000 0,7752 1,6660 0,7692 1,6950 0,7519 1,7540 а = 0,95 0,6622 2,9250 0,6536 3,1250 0,6896 2,4390 0,6803 2,6310 0,6667 2,7030 0,7042 2,2220 0,6944 2,3250 0,6944 3,4390 0,6666 2,5640 0,7143 2,0000 0,7042 2,0830 0,6896 2,1740 0,6803 2,2220 0,7299 1,8180 0,7246 1,8870 0,7042 1,9610 г 15 20 25 30 50 70 90 п 20 50 100 30 50 100 30 50 100 50 100 70 100 100 100 а = 0,90 0,7874 1,5620 0,7752 1,6130 0,7575 1,6670 0,8064 1,3500 0,8000 1,4920 0,7874 1,5150 0,8196 1,3510 0,8130 1,3890 0,8064 1,4280 0,8624 1,3330 0,8817 1,3700 0,8620 1,2340 0,8547 1,2500 0,8771 1,1900 0,8928 1,1490 а = 0,95 0,7463 1,6950 0,7299 1,7540 0,7143 1,8180 0,7633 1,5850 0,7576 1,6130 0,7463 1,6390 0,7936 1,4490 0,7752 1,4700 0,7692 1,5150 0,7692 1,4080 0,7874 1,4490 0,8333 1,2820 0,8264 1,2990 0,8547 1,2190 0,8772 1,1760 2.1.3.1.3.2. Оценки с помощью порядковых статистик Предположим, что цензурирование заключается в отбрасывании из выбор- выборки ri наименьших и г2 наибольших членов, а параметры /л и а оцениваются по оставшимся (п — Г\ — г^) наблюдениям. Наиболее просты в вычислительном отношении оптимальные линейные оцен- оценки [118, 119]. Они находятся по формулам где Xi — г~я порядковая статистика в выборке, упорядоченной по убыванию (х\ ^ Х2 ^ • • • ^ хп); hi, k[ — коэффициенты оценки, табулированные в [118, 119]. Коэффициенты ki и к[ для выборки объема п = 10 приведены в табл. 34. Очевидно, что таблицы для ki и к[ при различных сочетаниях п, 7*1 (гг) очень громоздки и практически неприменимы. Поэтому рекомендуется использовать так
2.1] Оценка параметров нормального распределения 129 Таблица 33 Коэффициенты 4#(о:, тг, г) (верхняя строка) и (— 1) • 4/#(о:, то, г) (нижняя строка) [119] г 2 3 4 п 5 6 7 8 10 12 15 20 30 50 5 6 7 8 10 12 15 20 5 6 7 8 10 а 0,90 1,08 19,60 0,79 23,90 0,65 26,40 0,60 30,50 0,53 34,30 0,50 37,80 0,50 40,30 0,48 48,20 0,49 54,80 0,56 64,10 1,10 3,38 0,89 3,71 0,75 4,31 0,65 4,58 0,57 5,55 0,51 6,43 0,49 7,05 0,50 7,92 1,12 1,56 0,91 1,81 0,79 1,95 0,68 2,21 0,58 2,60 0,95 1,75 41,20 1,22 51,70 0,90 55,10 0,79 60,60 0,68 70,60 0,66 75,60 0,65 85,80 0,65 100,00 0,70 112,00 0,78 123,00 1,55 5,11 1,25 5,61 1,01 6,51 0,85 7,10 0,71 8,21 0,64 9,82 0,60 10,70 0,61 1,27 1,47 2,16 1,20 2,51 1,03 1,95 0,88 3,01 0,73 3,59 г 4 5 6 7 п 12 15 20 6 7 8 10 12 20 30 50 70 90 100 7 8 10 12 15 20 8 10 12 а 0,90 0,52 2,78 0,48 3,29 0,47 3,68 0,90 1,17 0,80 1,26 0,69 1,35 0,59 1,56 0,51 1,72 0544 2,31 0,46 2,80 0,50 3,40 0,52 3,84 0,57 4,11 0558 4,21 0,80 0,94 0570 0,98 0,60 1,11 0,52 1,20 0,46 1,42 0,43 1,65 0,71 0,81 0,61 0,88 0,53 0,96 0,95 0,64 3,86 0,53 4,61 0,57 5,10 1,16 1,54 1,03 1,67 0,90 1,85 0,75 2,11 0,63 2,33 0,53 3,19 0,55 3,78 0,59 4,62 0,64 5,21 0,69 5,47 0,70 5,66 1,02 1,21 0,89 1,28 0,75 1,46 0,65 1,58 0,56 1,86 0,51 2,17 0,88 1,04 0,76 1,12 0,66 1,12 г 7 8 10 12 15 п 15 20 10 12 15 20 30 50 12 15 20 30 50 70 90 100 15 20 30 25 35 50 70 а 0,90 0,46 1,09 0,41 1,25 0,61 0,74 0,53 0,80 0,46 0,88 0,41 1,03 0,38 1,25 0,40 1,56 0,53 0,62 0,47 0,66 0,39 0,75 0,36 0,89 0,36 1,11 0,39 1,30 0,41 1,44 0,42 1,45 0,46 0,55 0,39 0,60 0,33 0,68 0,34 0,49 0,31 0,55 0,38 0,66 0,32 0,75 0,95 0,56 1,40 0,49 1,63 0,77 0,94 0,66 1,12 0,56 1,13 0,49 1,35 0,45 1,63 0,47 2,00 0,67 0,78 0,57 0,83 0,47 0,95 0,42 1,12 0,43 1,41 0,47 1,65 0,49 1,80 0,50 1,90 0,57 0,68 0,47 0,75 0,40 0,86 0,41 0,62 0,37 0,69 0,35 0,81 0,37 0,94 г 15 20 25 30 40 50 п 90 100 40 50 70 90 100 35 50 70 90 100 50 70 90 100 50 70 90 100 70 90 100 а 0,90 0,33 0,85 0,34 0,89 0,28 0,42 0,27 0,47 0,27 0,54 0,28 0,59 0,29 0,61 0,29 0,34 0,25 0,37 0,24 0,42 0,25 0,46 0,25 0,48 0,24 0,31 0,23 0,34 0,23 0,37 0,24 0,39 0,24 0,26 0,21 0,27 0,20 0,28 0,20 0,29 0,20 0,23 0,19 0,23 0,18 0,24 0,95 0,40 1,05 0,40 1,12 0,34 0,52 0,32 0,59 0,32 0,66 0,34 0,73 0,34 0,76 0,35 0,41 0,36 0,45 0,28 0,51 0,29 0,57 0,30 0,59 0,28 0,38 0,27 0,42 0,27 0,45 0,28 0,47 0,28 0,32 0,25 0,32 0,24 0,34 0,24 0,35 0,24 0,27 0,22 0,28 0,22 0,29 5 А. И. Кобзарь
130 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 34 Коэффициенты ki (верхняя строка) и к[ (нижняя строка) для п = 10 7*1 ' 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 3 4 5 4 i 1 0,1000 -0,2044 0,0843 -0,2364 0,0605 -0,2753 0,0244 -0,3252 -0,0316 -0,3930 -0,1240 -0,4919 -0,2923 -0,6520 -0,6598 -0,9625 -1,8634 -1,8608 -0,5877 -1,4678 -1,9000 -2,8960 2 0,1000 -0,1172 0,0921 -0,1314 0,0804 -0,1523 0,0636 -0,1758 0,0383 -0,2063 -0,0016 -0,2491 -0,0709 -0,3150 -0,2138 -0,4357 2,8634 1,8608 0,1884 -0,4034 0,7525 -0,4803 0,0942 -0,5842 -0,0043 -0,7959 -0,1866 -1,0120 -0,2918 2,9000 2,8960 3 0,1000 -0,0763 0,0957 -0,0851 0,0898 -0,0947 0,0818 -0,1058 0,0707 -0,1192 0,0549 -0,1362 0,0305 -0,1593 1,8734 1,3981 0,1036 -0,1074 0,0961 -0,1235 0,0846 -0,1440 0,0665 -0,1719 0,0351 -0,2145 1,6166 1,7595 0,2798 -0,7021 0,2050 -0,8898 0,0706 -1,1952 -0,2648 -1,7947 -1,3406 -3,5677 4 0,1000 -0,0436 0,0986 -0,0465 0,0972 -0,0488 0,0962 -0,0502 0,0962 -0,0501 0,0990 -0,0472 1,3327 1,1263 0,1040 -0,0616 0,1013 -0,0674 0,0979 -0,0734 0,0938 -0,0797 0,0892 -0,0859 0,1099 -0,0947 0,1038 -0,1101 0,0935 -0,1318 0,0735 -0,1688 2,3406 3,5677 0,3807 -1,2832 0,1871 -1,9791 -0,4747 -3,9511 5 0,1000 -0,0142 0,1011 -0,0110 0,1037 -0,0077 0,1089 -0,0006 0,1185 0,0111 0,9718 0,9243 0,1041 -0,0201 0,1057 -0,0166 0,1095 -0,0097 0,1179 0,0031 1,0623 1,2835 0,1103 -0,0310 0,1122 -0,0262 0,1178 -0,0144 1,1914 1,9635 0,1193 -0,0589 0,1198 0,0553 1,4847 3,9511 0,5000 -4,0761 6 0,1000 0,0142 0,1036 0,0215 0,1099 0,0319 0,1207 0,0469 0,7078 0,7576 0,1041 0,0201 0,1098 0,0325 0,1204 0,0514 0,7261 0,9844 0,1103 0,0310 0,1198 0,0549 0,7281 1,3415 0,1193 0,0559 0,6930 2,0344 0,5000 4,0761 7 0,1000 0,0436 0,1060 0,0559 0,1161 0,0722 0,5045 0,6107 0,1040 0,0616 0,1138 0,0827 0,4933 0,7599 0,1099 0,0947 0,4592 0,9711 0,3807 1,2832 8 0,1000 0,0763 0,1085 0,0937 0,3424 0,4746 0,1036 0,1074 0,3209 0,0572 0,2798 0,7021 9 0,1000 0,1172 0,2101 0,3423 0,1884 0,4034 10 0,1000 0,2044
2.1] Оценка параметров нормального распределения 131 называемые альтернативные оценки Гупты [137, 138], вычисляемые по формулам где щ и bi —весовые коэффициенты, вычисляемые по формулам _ ! &(ui -U) _ Ui-U J2 (Ui - uf J2 (Ui - uf Щ — математическое ожидание г-й порядковой статистики из стандартного нор- нормального распределения; Эффективность этой оценки составляет 0,96 -т- 0,98 от оптимальной линейной при п > 10. Напомним, что для Щ может быть использована полезная аппроксима™ ция Щ = 4,91(п + 0,25)^0'14 [(г - 0,375H'14 - (п - г + 0,625H'14]. В заключение приведем простую оценку для /i, предложенную Диксоном [139]: "*П Г /V -I- IVt i 1 -I- т ^ ^r -t- ij^r+i +жп^г; i=2 где г = max(ri,r2). Эффективность этой оценки не уступает эффективности оптимальной линейной оценки. Задача 48. Испытаны 15 приборов. При этом значения параметра — критерия годно- годности зафиксированы у 10 приборов: Xi: 1,1; 2,1; 2,4; 3,1; 3,5; 3,7; 4,2; 4,8; 5,9; 6,3, а для остальных известно, что их наработка имеет большее значение. Необходимо вычислить оценки максимального правдоподобия для /i и а. ю ю 10 162 11 Находим Yxi = 37,1; Y xi = 162,11 иу= ^ и 0,59. г^ ^1 2 - C7,1J Для г/ = 0,59 из табл. 27 имеем z = —2?232, а из табл. 28 (интерполируя) имеем g(z) ~ 0,439. Окончательно оценки равны ю 10 s = 5^ ~ ' S(z) = ^^ * J2 Xi = 0^0439 * 37,1 = 1,628; х = 2,232 • 1,628 = 3,635. Задача 49. Решить задачу 48, исходя из того, что степень усечения известна (пред- полоэюим, она равна оценке h = по/п). Пользуемся формулами для неполностью определенной выборки (см. раз™ 10 10 J2 ж? дел 2.1.3.1.2). Имеем у = — ^ = °'59-
132 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Оценку нормированной точки усечения z = f{h^y) находим из табл.29 (h = 0,333 и у = 0,59): z = /@,333; 0,59) = -0,631. Далее из табл. 30 имеем ф(г) = 0,4355 и находим l~h 1333 =1,17918. h • ф(г) - A - /i) ¦ z 0,333 • 0,4355 + 0,6666 • 0,631 Окончательно, s = — • 37,1 • 1,17918 = 4,374; x = 0,631 • 4,374 = 2,756. Разница в оценках является следствием отклонения истинной степени усечения от ее оценки, полученной по малой выборке. Задача 50. Для данных задачи 48 найти оценки /х и ст, исходя из того, что в выборке объема п = 10 два наибольших наблюдения цензурированы. Из условия задачи следует, что известны 8 значений: Xi: 1,1; 2,1; 2,4; 3,1;; 3,53,7; 4,2; 4,8, а два наибольших члена выборки E,9 и 6,3) из нее исключены (цензурированы). Оценка максимального правдоподобия B.1.3.1.3.1) 1 8 24 5 1 8 Имеем п = 10, г = 8 и х = - • ]Г хг = —^- = 3,0625; s2 = - • ]Г(з^ - xf = 1,3523. г=1 i=l Далее h = ^—^ = 0,2 и 7 = о = ^^^ о = 0,4479. 10 ' ' (Жо _ жJ D,8 - 3,0625J Из табл. 31 для 7 « 0,45 и /i = 0,2 имеем ifc@,2; 0,45) « 0,2872. Тогда окончательно Д = 3,0625 + D,8 - 3,0625) • 0,2875 = 0,5615; а = [1,3523 + D,8 - 3,0625J • 0,2872] \ = 1,4897. Найдем теперь двусторонний доверительный интервал при а = 0,95 для ц и а. Из табл. 32 находим значения х;@,95; 10,8) = 0,6944 и х/;@,95; 10,8) = 2,325 и далее вычисляем: <т* = а • х = 1,4897 • 0,6944 = 1,0344; <т? = а • х" = 1,4897 • 2,325 = 3,4635, т.е. 1,0344 ^ <т ^ 3,4635 с доверительной вероятностью 0,95. Теперь из табл. 33 имеем ?;@,95; 10,8) = 0,77 и ?;/@,95; 10,8) = 0,94. Следовательно, (а1 = 3,5615 - 0,77 • 1,4897 = 2,414; /^ = 3,5615 + 0,94 • 1,4897 = 4,962, и доверительный интервал равен 2,414 ^ /j, ^ 4,692 с вероятностью а, = 0,95. Оценка с помощью порядковых статистик B.1.3.1.3.2) В нашем случае Гг = 0;г2 = 2ип = 10. Из табл. 34 находим кг = 0,0605; к2 = 0,0804; к3 = 0,0898; к4 = 0,0972; к5 = 0,1037; к6 = 0,1099; к7 = 0,1161; к8 = 0,3224; к'г = -0,2753; к'2 = ^0,1523; к'3 = -0,0947; к'А = -0,0488; к'Б = -0,0077; к'6 = 0,0319; к'7 = 0,0722; к8 = 0,4746. Далее имеем 8 fin = J2ki'Xi = °5°605 ' 1Д + 0,0804 • 2,1 + 0,0898 • 2,4 + 0,0972 • 3,1 + 0,1037 • 3,5 + i=1 + 0,1099 • 3,7 + 0,1161 • 4,2 + 0,3424 • 4,8 = 3,6529; (тп = -0,2753 • 1,1 - 0,1523 • 2,1 - 0,0947 • 2,4 - 0,0488 • 3,1 - 0,0077 • 3,5 + + 0,0319 • 3,7 + 0,0722 • 4,2 + 0,4746 • 4,8 = 1,671.
2.1] Оценка параметров нормального распределения 133 Рассмотрим простую оценку Диксона для /i (r = 2) В заключение рассмотрим вычисление необходимых оценок с помощью оценок Гупты. Предварительно вычислим математические ожидания необходимых порядковых стати- статистик: 11г = 4,91 • A0,25H'14 • [A - 0,375H'14 - (п - 1 + 0,625H'14] = = 3,5447-[A - 0,375H'14 - A0 - 1 + 0,625H'14] = 355447-@,6250'14 - 9,6250'14) = -1,54797; U2 = -0,99874; U3 = -0,65329; U4 = -0,37392; U5 = 0,122032; UQ = 0,122033; U7 = 0,37392; Us = 0,65329. Далее вычисляем: 8 U = ^0,3833875; J2 (Ui ~ ^f = 29,967746. i=l Вычисляем коэффициенты оценки: 1 (-0,31833875) • (-1,54797 + 0,31833875) ПЛЛЛЛА ai = 8 ^^S = °'1П94; a2 = 0,11772293; a3 = 0,1214419; a4 = 0,1244092; a5 = 0,127085; a6 = 0,1296779; a7 = 0,1323536; a8 = 0,1353213. Таким образом, оценка равна fin = 0,11194 • 1,1 + 0,11777 • 2,1 + 0,12144 • 2,4 + 0,124409 • 3,1 + 0,127085 • 3,5 + + 0,12968 • 3,7 + 0,132354 • 4,2 + 0,13532 • 4,8 = 3,17746.
134 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.2. Оценка параметров экспоненциального распределения Напомним, что плотность экспоненциального распределения вероятностей слу- случайной величины описывается формулой 1 / х\ f(x;u) = -exp^--J, x ^ О, где v — параметр распределения. Экспоненциальное распределение широко применяется при анализе надежности технических устройств. Поэтому представляет интерес оценка параметра экспо- экспоненциального распределения применительно к различным планам испытаний на надежность. В качестве оцениваемого параметра в этом случае рассматривается, Л 1 как принято в теории наделености, интенсивность отказов А = —. Для обозначения планов испытаний применяется 3-позиционный код, предло- предложенный авторами работы [140]. Первая позиция кода обозначает число испытывав™ мых изделий (объем выборки). Вторая позиция — буква, указывающая, заменяются ли при испытаниях отказавшие приборы или нет (В — заменяются; Б — не заменя- заменяются). Третья позиция кодирует условия проведения испытаний (Т — испытания ведутся в течение заданного времени Т; г — испытания ведутся до получения г отказов). Например, код [15, Б, 2] означает, что оценка Л проводится по результатам испытаний 15 приборов, без замены отказавших в процессе испытаний, до получения двух отказов. Иногда используются смешанные планы. Например, [7V, В,(г,Т)] — план, при котором N приборов испытываются с заменой отказавших до появления г отказов, но не более времени Т. 2.2.1. Точечные оценки 2.2.1.1. Оценка максимального правдоподобия Обозначим через d число изделий, отказавших за время проведения испыта- испытаний Т. Тогда оценки параметра Л находятся по формулам [140]: 1 d л г-1 d —, если tr > Т; где tr — время наступления г~го отказа; t{ — наработка г-ro прибора до отказа. Справедливы аппроксимации при — ^ 0,1 и d ^ 10; при 0,2 <^ 0,8.
Оценка параметров экспоненциального распределения 135 Далее А М,з,(г7Т) если tr > T: r-1 если tr T. -r)tr 2.2.1.2. Уточненная двухстадийная оценка В [141] предлагается эффективная оценка параметра z/, основанная на двух- стадийной процедуре. Оценка исходит из того факта, что величина 2пх имеет распределение х2 с / = 2п степенями свободы (п — объем выборки, х = — г=1 Суть процедуры оценки заключается в следующем. На первой стадии рассма- рассматривается предполагаемое значение щ. Далее, устанавливая приемлемый уровень достоверности а, проверяем справедливость неравенства X 2 2пх <Х где Х2(Р) ~~ /^^квантиль распределения %2 с / = 2п степенями свободы. Если неравенство не отклоняется, то принимаются более точные оценки 2пх Эффективность первой оценки в 2 + 2,5 раз выше обычной, второй — в 2 + 3,5 раз (обычная оценка v = х). 2.2.1.3. Оценкм, основанные на порядковых статистиках 2.2.1.3.1. Оптимальная линейная оценка Предположим, что имеет место двустороннее цензурирование, т. е. неизвестны значения г\ наименьших и г2 наибольших членов выборки объема п. При г\ = г2 = О будем иметь случай полной (нецензурированной) выборки. Оптимальная линейная оценка находится по формуле [119] жГ1+1+г2жп_Г2 + где n - ri - r2 - 1; m= г=1 г=1 _ • ¦ i •
136 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Здесь Xi—г-я порядковая статистика выборки (г-й по величине член выборки, ранжированной по возрастанию х\ ^ х^ ^ . •. ^ хп); 7*1,7*2 —количества цензуриро™ к ванных соответственно наименьших и наибольших наблюдений в выборке; ^ сц — г=1 математическое ожидание к-й порядковой статистики в выборке объема п из нор- нормированного экспоненциального распределения. При п = Г2 = 0 оценка щ совпадает с оценкой максимального правдоподобия г=1 При ri = 0 имеем щ = + , что совпадает с оценкой для V ) плана испытаний [7V, Б, г] (при r^ = ^V — г, см. раздел 2.1.1). Иногда в выборке от- отсутствует (цензурирована) часть центральных (средних по величине) выборочных значений. Если известны только s наименьших и г наибольших членов выборки, то оценка для v имеет вид [119] щ = где / s-l г=1 п-г+1 \ n-r+l i=s+l ui — г ¦ Е г=1 г-г+1+г n-r+l Е- i=s + l л- - ¦ • - ¦ n-r+l i=s+l 2.2.1.3.2. Оценка по одной порядковой статистике Хартер [142] и Эпштейн [119] предложили оценку г/, основанную на одной порядковой статистике хг (т.е. на одном r-м по величине наблюдении). Оценка находится по формуле Хг Эпштейн показал, что эффективность этой оценки по сравнению с оценкой щ г 2 г 1 больше 0,96 при — ^ - и 0,98 при — ^ -. 2.2.1.3.3. Оценка Эпштейна [119] Если в выборке цензурированы (s — 1) наименьших членов, то оценка находится по формуле \ 1 V = — п - s — п L \ г=1 i=s+l
Оценка параметров экспоненциального распределения 137 При цензурировании (s — 1) наименьших и (г — 1) наибольших по величине наблюдений оценка Эпштейна имеет вид \ п — г + 1 1 + s — п + У2 Xi + хп^г+\ 2.2.1.3.4. Оценка Огавы [119] Оценка Огавы позволяет произвести оценку параметра Л = 1/и экспоненциала ного распределения по ограниченному числу порядковых статистик. Оценки рас™ к смотрены в [142-151] и имеют вид i/0 = ]Р 6^Ж[пе.]+1, где к— количество порядковых статистик, по которым производится оценка ([...]—целая часть числа); bi,ei — коэффициенты оценки, приведенные в табл. 35. Двумя наилучшими наблюдениями, по которым при к = 2 следует находить оценку z/°, являются: xn—i,xn при 4 п^45 ^п ПРИ 15 ^ п ^ 2; хп^2^хп при 7 ^ п ^ 5; жп^з5жп ПРИ 11 ^ тг ^ 8; ^ 12; xn^Q^ xn^i при 18 ^ п ^ 16; жп„7? хп-1 ПРИ 21 ^ n ^ 19. Задача 51. Партия изделий объема N = 100 испытана на надежность с заме- ной отказавших приборов в течение времени Т = 1000 ч, при этом наблюдались d = 10 отказов. Найти оценку интенсивности отказов X. Для плана испытаний [100, Л, Т = 1000] имеем _ d _ 10 Aiv,B,T = ^^ = 100.1000 Задача 52. Найти оценку интенсивности отказов в условиях задачи 51, приняв, что 100 ч — это момент отказа 10-го изделия. Имеем г = 10, tr = 1000 ч. Для плана [100, В, г = 10] получаем у, ^ N -U 10- 100 • 1000 =9-10 Задача 53. Партия изделий объема N = 10 шт. была испытана на надежность в те- течение 1000 ч без замены отказавших изделий. При этом были зафиксированы 5 отказов в моменты времени (ч) ti = 120, t2 = 170, t3 = 210, U = 250, t5 = 600. Вычислить оценку интенсивности отказов. Имеем план [10, Б, Т = 1000] и d = 5. Для него получаем 5 A20 + 170 + 210 + 250 + 600) + A0 - 5) • 1000 = 7,874- Задача 54. Найти оценку интенсивности отказов в условиях задачи 53, если испы- испытания приборов были завершены после получения Б-го отказа. Находим Xn б г = т ^—^ ч ; ч = 9,195 • 10^4 ч. ' ' A20 +170 + 210 + 250 + 600) + A0-5)-600
138 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Я" н VD Е-" я со ю со см о оо t> СО ю со см т-Н о т-Н г- о 00 о 00 т—1 о СМ О) т-Н о Is- ю о СМ о г- о см см о т-Н Of) СО СМ о 00 00 ю СМ о Is- см 00 СМ о Т-Ч СМ т-Н СО О СЮ Is- СО О т—I СО СЛ 0О О т—I ю о СО О) см ю о со 00 СО ю о on СО СЛ Is- о т—1 СО т-Ч СО т-Ч О СО О Is- т-Ч О Is- о 00 1—1 о СО СМ СЪ т—1 О СО Ю О СМ О ч—| О см см о ю Is- СО см о ел Is- ю см о СЛ т-Ч Of) см о 00 о т-Ч СО о СО CD СО О Is- о СЛ СО О I4- Is- О см 00 см ю о ю Is- см СО о 00 о СМ СО о 00 СО СО О ю Of) Ю СО О О 1—1 0Г") СО О со СО О О со со о о СО т-Н ю ю о со со о ю о СО 1—1 ю Ю о см о со о о ь- со СО о СЛ т-Ч t- о о о СО 00 о со со см СЛ о см см т-Ч т-Ч о О) Is- т-Ч о т—1 ю ю т-Ч о Is- см СО т-Ч о т-Ч т-Ч Is- т—1 о О) о о см о СЛ т-Ч т-Ч см о СЛ о о см о СЛ т-Ч т-Ч см о 00 см см см о о см СО см о т-Ч со СО см о со со см см о о СЛ Is- т—1 о Ю ^ СО т—1 CM Tt Ю (М СО ^ т-Ч Ю о о о Ю GO Ю \ff CD О t- СМ СЛ ^ т-Ч Ю о о о т-Ч СМ т-Ч О т-Ч О) О СО т-Ч Ю т-Н СО о о о ^ СО СМ 00 Ю О СМ СО Ю Ю т-Ч СО о о о СО (М т-Ч О) О ^ Ю ^ 00 Ю т-Ч СО о о о СО СО СМ ^ ^ т-Ч О) ^ СМ Ю т-Ч Ь- о о о О СО СО ^ GO H СО ^ CD со т-ч ь- о о о СМ т-Ч СО 00 т-Ч т-Ч ь- ю со сонь о о о Ь Q Ь- t- т-Ч ""ЧН см ю о Ь- т-ч оо о о о 00 СМ 00 CM CJ Ь- оо ^ as Ь н оо о о о ^ см ^ СО О СО "чН ^ ^ 00 т-Ч Си о о о ь- ю о СО СЛ т-Ч О т-Ч 00 ОН© о о о ю ю ю ь- СО Ь- СЛ О о о СО Tf т-Ч ю о о СО Is- о т-Ч о СО СЪ о т-Ч о т_н т-Ч т-Ч т-Ч о см т-Ч т-Н о Is- см т-Ч тН о ю т-Ч т-Ч о CD т-Ч т-Ч т-Ч о см Of) о т-Ч о см о О) о о О) о Is- о о О5 о 3 о ю о СО со о о Of) Of) со о ю т—1 It- CD т-Ч О) о см 00 t- о т-Ч Of) т-Ч 00 о т-Ч ю ю 00 о 00 см ел 00 о ь- см ел о т—1 со со ел о ю 00 Of) О) о ю О) 00 оо о о ю О) 00 о о со СЪ 00 о о т-Ч О) 0Г") о о ю Is- 00 о о Is- 00 о о ел О) Is- о о ю см 1^- о о ю т-Ч со о о со ю о о СО см о о СО т-Ч t- о CD Of) CD t- o Is- Oi t- o Is- CM GO о CO 00 Ю 00 о CD Q) 00 GO О Ю о CM о CD О) О CD Is- O5 О Ю CM Oi O5 о CD т-Ч Is- О о CO CO Is- o о 00 т-Ч Is- o о О) CO О о СЪ ю со о о Is- о СО о о со СО ю о о 00 СО о о т-Ч т-Ч СО О о со ю т-Ч о о т-Ч 00 о 00 О о СО 00 О СО О СО 00 о Is- (X) 00 О о т—| CD о ев ОО О5 О со см со о о 00 тН 00 о» о 00 СИ ел о 1> Is- о СО о о Is- 00 ю о о о СО ю о о см см ю о о см Is- о о Is- о о о см СО о о см см см о о Is- о т-Ч о о см со 00 о 00 ю 00 00 о т—1 СЪ о ел о Is- 1—1 со О) о оо см ю О) о ю т-Ч Is- о ю со 00 О) о СО со О) О) о 00 со 00 о о 00 ю о о т—1 см о о со о о СО т-Ч СО О О СО см о о со т-Ч о о со Is- о о о СО ю о ел о LO ю см Oi о 00 ел о ю см СО ел о оо Is- Is- О5 о Is- сл 00 ел о СО г- сл ел о О) о 00 со о о СО о о т-Ч о 00 о о о ю см о о т-Ч О) т-Ч о о см т-Ч о о ю ю о о о СО 00 со ел о 00 ^t* ю CD о Is- съ со ел о см Of) О) о о см (Л ел о ел Is- сл О) о о ю 00 см о о Is- см о о см о см о о т-Ч ю 1—1 о о Is- сл о о о см о о о ю см СО ел о см ю Is- сл о 00 ю 00 C7i о со СО СЪ ел о сю ел ел о т-Ч о см о о ю со т-Н о о см см т-Ч о о Is- Is- о о о со СО о о о ел Is- О) о ОО Of) 00 ел о ел ел ел о Is- 00 СЪ ел о см ел 00 т-Ч о о о о т-Ч о о см СО о о о со см о о о СО о СЪ ел о 00 ю ел CD о о СЪ ел ел о СО СО 00 о о о т—1 ю о о о т—| см о о о ю СО СЪ ел о т-Ч ел О) ел о см о о о Is- т—1 о о о СО "^ ел т-ч ел о ел о о о ю
2.2] Оценка параметров экспоненциального распределения 139 Задача 55. Получена выборка значений экспоненциально распределенных величин xf. 10,1; 10,6; 11,2; 12,6; 13,4; 14,8; 15,9; 17,1; 19,1. Необходимо найти уточненную двухста- дийную оценку параметра v = 1/Л (см. раздел 2.2.1.2). Пусть предполагаемым значением и является щ = 15. Выбираем уровень достовер- достоверности а = 0,95. Находим по табл. 55 или с помощью апппроксимаций (см. 1.1.8) при / = 2 • 10 = 20: х2 ( г ~ °?95 ) = Х2@,025) = 9,59 и Х2@,Э75) = 34,2. Далее вычисляем х=±±х> = 13,66 и ^ = 2013'66 = 18,2133. Убеждаемся, что 9,59 < = 18,2133 < 34,2. Так как неравенство выполняется, вы™ числяем уточненные оценки: Задача 56. Используя данные задачи 55, найти оценки параметра экспоненциального распределения с помощью порядковых статистик. Оптимальная линейная оценка B.2.1.3.2) Рассматриваем вариант отсутствия цензурирования, т. е. когда п = г2 = 0. В этом случае вычисляем: 1 1 2 1 /1 тп = а,\ = = —; I = п\ = —7?; с = I — 71 — 1 + 1 71 П \П Следовательно, 1 Г/^2 \ п 1 1 п xi + V хА = - • У" Xi = 13,66, i^l \ n i^l т. е. оценка совпадает с обычной оценкой максимального правдоподобия. Предположим, что п = 2 первых и Г2 = 1 последних членов выборки цензурированы. В этом случае имеем ™ = 2>; ' = ?«?; ^ = = ; г=1 г=1 Тогда Предположим теперь, что цензурированы (исключены из выборки) центральные ее члены — известны только s = 3 первых члена и г = 4 наибольших члена. Для вычисления оценки в этом случае найдем ,-r+l ?4 (?«* У^ а2
140 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Последовательно вычисляя, получаем 11 11 а4 = п-4+ 1 7' 2 a4 =0,576876; ]Г а* = 0,1506859; г=4 / г=4 0,576876 = 0,759523; 0,1506859 = 9,82833343 и окончательно 1 щ = 0,82833343 2 г=1 0,75952 = 20546177. Оценка по одной порядковой статистике B.2.1.3.2) Предположим, что оценка производится по 7-й порядковой статистике Х7. Имеем Ещ = V = — + - + ... + - = 1,09563492; i/7 = — = 13,508149. ^ n ~ i + 1 10 9 4 ' ' 1,09563492 г=1 г=1 Оценка Эпштейна B.2.1.3.3) Предполож:им, что в выборке цензурированы 2 наименьших наблюдения (s — 1 = 2; s = 3). Тогда получаем X 3-10 = 0,1 х 111 . 10 + 9 + 8 - 7 • 11,2 + 11,8 + 12,6 + 13,4 + 14,8 + 15,9 + 17,1 + 19,1 = 12,626694. Предположим, что в выборке цензурировано s — 1 = 2 наименьших и г — 1 = 2 наи- наибольших наблюдений. Тогда оценка будет равна п- 2 \ 3- 10 ¦Е-- г=4 • жз + 2^ жг + 3 • = 15,120867. Оценка Огавы B.2.1.3.4) Будем искать оценку по четырем, оптимальным образом выбранным, порядковым статистикам. Из табл. 35 для к = 4 находим: ?1 = 0,4514; е2 = 0,7419; е3 = 0,9067; е4 = 0,9810; bi = 053907; Ь2 = 0,2361; Ь3 = 0,1195; Ь4 = 0, 0409. Тогда для оценки отбираем порядковые статистики с номерами [п • 0,4514] + 1 = 5; [п • 0,7419] + 1 = 7; [п • 0,9067] + 1 = 9; [п • 0,9810] + 1 = 10.
Оценка параметров экспоненциального распределения 141 Вычисляем оценку и0 = 0,3907 • х5 + 0,2361 • х7 + 0,1195 • х9 + 0,0409 • х10 = = 0,3907 • 12,6 + 0,2361 • 14,8 + 0,1195 • 17,1 + 0,0409 • 19,1 = 11,2417. Если бы мы хотели произвести оценку по двум оптимально выбранным порядковым статистикам, то ими должны быть х7 и %, для которых Ь\ = 0,5232 и 62 = 0,1790. Тогда оценка равна и0 = 0,5232 • 14,8 + 0,1790 • 19,1 = 11,16226. 2.2.2. Интервальные оценки Интервальная оценка параметра v (средняя наработка между отказами) при доверительной вероятности а подсчитывается по формулам 2 Ху 2 ХУ где х^—7™квантиль распределения хи^квадрат с f = 2п степенями свободы; для двусторонней оценки и jf = a, jff = 1 — а для односто™ 7 = 1 + а -, 7 = 1-а 2 ' ' 2 ронней оценки. На практике интервальные оценки записываются в форме 2пх 2пх Xj/f _ где ж = 1 Обычно используются табулированные коэффициенты оценок 2пх Значения коэффициентов кш и кв для двусторонней интервальной оценки при а = 0,90 и а = 0,95 приведены в табл. 36, заимствованной из [16]. Таблица 36 п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 а = К 0,333 0,422 0,476 0,515 0,546 0,568 0,592 0,610 0,625 0,637 0,650 0,660 0,662 0,675 0,685 Значения коэффициентов кш ш 0,90 19,20 5,62 3,68 2,92 2,54 2,30 2,13 2,01 1,92 1,84 1,78 1,73 1,69 1,65 1,62 а = К 0,270 0,360 0,420 0,455 0,480 0,515 0,535 0,555 0,575 0,585 0,598 0,610 0,620 0,630 0,640 0,95 К 28,60 9,20 4,80 3,70 3,00 2,73 2,50 2,32 2,19 2,09 2,00 1,93 1,88 1,82 1,79 п 16 17 18 19 20 25 30 40 50 70 100 200 300 500 а = К 0,690 0,700 0,710 0,715 0,719 0,740 0,756 0,787 0,806 0,830 0,852 0,890 0,910 0,930 кш [16] 0,90 К 1,59 1,57 1,54 1,52 1,51 1,44 1,39 1,31 1,28 1,23 1,19 1,13 1,10 1,08 а = К 0,645 0,655 0,660 0,665 0,675 0,700 0,720 0,750 0,770 0,800 0,830 0,870 0,895 0,915 0,95 К 1,75 1,71 1,69 1,66 1,64 1,55 1,48 1,40 1,35 1,28 1,23 1,16 1,12 1,09
142 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 По аналогии с точечными оценками интенсивности отказов (А = l/i/) для раз™ личных планов испытаний на надежность (см. раздел 2.2.1.1), приведем формулы для интервальных оценок. план[ЛМ?,Т]: AJ = Щ^; К = Ш> NT NT где cfaJ c'^—коэффициенты, выражающиеся через квантили распределения Пуас- Пуассона. Значения коэффициентов cfa{d) и Таблица 37 для « = 0,90 [140] d 0 1 2 3 4 5 cf 0,05129 0535536 0,81769 1536632 1,87015 2,61301 с" 2,99573 4,74386 6,29579 7,75366 9,15352 10,51300 d 6 7 8 9 10 11 с' 3,28532 3,98082 4,69523 5,42541 6,16901 6,92421 с" 11,84240 13,14810 14,43460 15,70520 16,99220 18,20750 d 12 13 14 15 16 с1 7,68958 8,46394 9,24633 10,03590 10,83210 с" 19,44260 20,66860 21,88650 23,09710 24,30120 Значения коэффициентов cfa(d) и cf^(d) для доверительной вероятности а = 0,90 в зависимости от числа отказов d приведены в табл. 37, заимствованной из [140]. , г]: А» = Щ Значения коэффициентов с'а{г — 1) и с'^{г — 1) для а = 0,90 находятся по табл. 37 при d = г — 1. [N,E,r]: XI = -г-^ "> Лп — Т са(г-1) где bfa(d) и bf^(d)—коэффициенты оценки, приведенные в табл.38 для а = 0,95 и различных N. Для плана [N^ В^ (г^Т)] интервальные оценки А аналогичны оценкам плана [N.B.T], если tr > Т, и плана [N,B,r], если tr < Т. план [Ж, Б, (г, Т)]: А^ = ^^; А^ = ^^, tr > Т, где bfa(d) и 6^(d)—коэффициенты, тождественные коэффициентам для плана [N,B,T\. При ^- < ОД планы [N,B,(r,T)] и [Ж, Б, (г, Г)], [N,B,r] и [TV, Б, г] практически совпадают [140]. При < ОД практически совпадают планы [JV, Б, Т] и [7V, Б, Т]. В указанных условиях мо^но использовать одинаковые оценки для таких планов. Для оценок, основанных на порядковых статистиках, укажем один результат — величина Irv имеет распределение %2 с / = 2г степенями свободы. Если в выборке объема п известны г младших наблюдений, а (п — г) старших наблюдений цензу™
Оценка параметров экспоненциального распределения 143 Таблица 38 Значения коэффициентов bfa{d) (нижняя строка) и ba(d) (верхняя строка) для ос = 0,95 [140] d 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 N 50 0,0733 0,0000 0,1126 0,0005 0,1475 0,0049 0,1809 0,0126 0,2136 0,0225 0,2461 0,0338 0,2785 0,0464 0,3111 0,0599 0,3441 0,0744 0,3774 0,0896 0,4130 0,1057 0,4457 0,1225 0,4808 0,1399 0,5166 0,1582 0,5532 0,1771 0,5907 0,1968 0,6292 0,2172 0,6687 0,1383 0,7094 0,2603 0,7513 0,2830 60 0,0615 0,0000 0,0936 0,0004 0,1225 0,0041 0,1499 0,0105 0,1767 0,0186 0,2032 0,0280 0,2295 0,0383 0,2558 0,0494 0,2823 0,0612 0,3089 0,0736 0,3358 0,0866 0,3630 0,1001 0,3905 0,1141 0,4185 0,1286 0,4469 0,1437 0,4758 0,1592 0,5052 0,1752 0,5352 0,1918 0,5658 0,2088 0,5970 0,2264 80 0,0461 0,0000 0,0701 0,0003 0,0915 0,0031 0,1117 0,0078 0,1314 0,0139 0,1507 0,0208 0,1697 0,0284 0,1887 0,0366 0,2077 0,0452 0,2267 0,0542 0,2458 0,0636 0,2649 0,0733 0,2842 0,0834 0,3036 0,0937 0,3232 0,1044 0,3429 0,1153 0,3629 0,1265 0,3831 0,1380 0,4036 0,1498 0,4243 0,1619 100 0,0369 0,0000 0,0560 0,0003 0,0730 0,0024 0,0890 0,0063 0,1045 0,0111 0,1197 0,0166 0,1347 0,0226 0,1496 0,0290 0,1643 0,0358 0,1791 0,0429 0,1938 0,0502 0,2085 0,0578 0,2234 0,0657 0,2383 0,0737 0,2536 0,0820 0,2683 0,0904 0,2834 0,0991 0,2986 0,1079 0,3140 0,1169 0,3295 0,1261 150 0,0246 0,0000 0,0373 0,0002 0,0485 0,0016 0,0590 0,0041 0,0692 0,0073 0,0791 0,0110 0,0889 0,0149 0,0985 0,0191 0,1080 0,0236 0,1175 0,0282 0,1269 0,0330 0,1361 0,0379 0,1457 0,0429 0,1551 0,0481 0,1644 0,0534 0,1738 0,0587 0,1832 0,0642 0,1927 0,0698 0,2021 0,0755 0,2116 0,0812 200 0,0184 0,0000 0,0279 0,0001 0,0363 0,0012 0,0422 0,0031 0,0517 0,0055 0,0591 0,0082 0,0663 0,0111 0,0734 0,0143 0,0804 0,0176 0,0874 0,0210 0,0943 0,0245 0,1012 0,0282 0,1081 0,0319 0,1149 0,0357 0,1218 0,0396 0,1286 0,0435 0,1354 0,0475 0,1423 0,0516 0,1491 0,0557 0,1559 0,0599 рированы, то оптимальная линейная оценка (см. раздел 2.2.1.3.1) имеет вид \Xi + (n-r) хг 1 г/ = — г г=1 а интервальные оценки равны 0% = кш • г); i/^ = кв • ?, где кш и fcB — коэффициенты, приведенные в табл. 36 (здесь вместо п в таблицу следует входить со значением г).
144 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Задача 57. Имеются результаты наблюдений над экспоненциально распределенной величиной Xii 12,13,16,17,21,24,29,31,42,45,54 (п=11). Необходимо найти двусто- двусторонний доверительный интервал для параметра v при доверительной вероятности а = 0,95. •^ п Имеем х = - • J2 хг = 27,63636. В табл. 36 для п = 11 и а = 0,95 находим fcH = 0,598 и ks = 2,00. Тогда ul = 0,598 • 27,63636 = 16,526; ifn = 2,00 • 27,63636 = 55,2727. Следовательно, 95%-й доверительный интервал для параметра v равен 16,526 ^ v ^ 55,2727. Задача 58. Партия электронных приборов объемом N = 100 шт. была испытана на надежность с заменой отказавших приборов в течение 200 ч. При этом наблюдалось d = 5 отказов. Необходимо найти двустороннюю 90%-ю оценку для интенсивности отказов приборов. Имеем план [100, .В, Т = 200]. По таблице 37 находим c(d - 1) = с D) = 1,97015 и c'(d) = с/;E) = 10,5130. Окончательно имеем 1,97015 5 10,51303 4 Л^ = = 9,8507 • 1и ; Л„ = = o.zooo • ill 100 -200 100 • 200 Следовательно, 90%-й доверительный интервал для интенсивности отказов равен 9,8507 • 10^5 ^ Л ^ 5,2565 • 10^4 ч^1. Задача 59. Испытаны на надеэюность 100 приборов с заменой отказавших приборов. При этом наблюдались 5 отказов и момент наступления последнего отказа равен 212 ч. Найти 90%-г! доверительный интервал для интенсивности отказов приборов. Имеем план [100, В, г = 5] при tr = 212. Из табл. 37 получаем с (г- 1) = с'D) = 1,97015 и с"(г- 1) = с'{А) = 9,15352. Тогда = 2,9701! = 16 . . = ^1535^ = 4 100-212 ' ' п 100-212 Следовательно, 9,29316 • 10^5 ^ А ^ 4,13698 • 10^4. Задача 60. Решить задачу 59 при условии, что испытания проводились без заме- замены отказавших приборов и моменты наступления отказов были (ч): t\ = 50, ?2 = 80, t3 = НО, ?4 = 190 и U = 212. Имеем из табл. 37 с {г - 1) = с D) = 1,97015 и с"(г - 1) = с"(А) = 9,15352. Тогда 5 J2 U = 50 + 80 + 110 + 190 + 212 = 642; = 9,4800 • КГ"; К = ^^ = 4,4045 ¦ ' ' 642 + A00 5) 212 ' ^9,4800 КГ; К ^^ 642 + A00 - 5) ¦ 212 ' ' 642 + A00 - 5) ¦ 212 9,4800 ^ Л^ 4,4045 •
2.2] Оценка параметров экспоненциального распределения 145 Задача 61. Решить задачу 59 при условии, что испытания проводились без замены отказавших приборов. Находим для d = 5 и N = 100 из табл. 38: Ь'E) = 0,0166 и Ь" (Ъ) = 0,1197. Тогда ¦л-4 ^ = 8,3.10-; Л- 2^1 = 5,985.10 8,3-10 ^ А ^ 5,985 • 10~4. Задача 62. Были проведены испытания на безотказность десяти приборов. В ре- результате были получены 7 отказов в моменты времени t%\ 10, 11, 13, 16, 18, 21, 29. Необходимо найти 95%-й доверительный интервал для наработки на отказ. 1 \г 1 Имеем г = 7, п = 10 и ?> = - • ]Г ж» + A0 - 7) • 29 = 26,71428. |_г= J Далее из табл. 36 для п = г = 7 имеем fcH = 0,592 и fcB = 2,13. Тогда ul = 0,592 • 26,71428 = 15,8148; i/* = 2,13 • 26,71428 = 56,9014; 15,8148 <: и <С 56,9014.
146 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.3. Оценка параметров распределения Вейбулла Напомним основные формы распределения Вейбулла. Закон распределения слу- случайной величины запиевшается либо в двухпараметрической форме либо в трехпараметрической Fix) = 1-ехр< - - Оценке подлежат либо два параметра: а — параметр масштаба и /3 — параметр формы, либо три, включая /i — параметр сдвига. Известно, что случайная величина у = \пх имеет распределение наименьших значений с функцией F(y) = 1 — ехр < — ехр Оценки параметров й и Ъ связаны с оценками а и /3 соотношениями /3 = — Ъ Поэтому на практике часто используется следующий прием. Обработкой ряда величин \nxi оцениваются параметры й и Ь, а затем переходят к оценкам а и /3. Особенность распределения Вейбулла — чрезвычайно богатое разнообразие форм кривых распределения — обуславливает его широкое распространение в практике, поэтому совершенствование методов оценки его параметров актуально. Обширный обзор методов оценки параметров распределения Вейбулла приведен в [152]. 2.3.1. Точечные оценки 2.3.1.1. Оценка максимального правдоподобия При известном параметре формы /3 оценка для а имеет вид Легко видеть, что при /3 = 1 имеем оценку a = —^2xii T-e- оценка совпадает с оценкой для параметра экспоненциального распределения, что следует из факта перехода распределения Вейбулла в экспоненциальное при /3 = 1 (см. раздел 1.1.5). При неизвестном /3 совместные оценки максимального правдоподобия парамет- параметров а и /3 являются решением системы уравнений п пар — 2_^ xi = О? г=1 п ~| п ~о ~1~ 5^ "^П Xi ~~ ^0 5Z i ^П Xi = ^* ^ г=1 ° г=1
2.8] Оценка параметров распределения Вейбулла 147 В общем случае эта система решается методом последовательных приближений. Интересный метод ускоренного решения приведенной системы уравнений предло- предложен в [153]. Система сводится к Р п * = 0. г=1 Существование и единственность решения этой системы уравнений показаны в [152]. Система решается методом символических операторов [154] с начальным прибли™ жением /30, исходя из зависимости коэффициента вариации v от C. Точная завися™ мость f (/3), определяемая формулой v = ± - 1 достаточно просто аппроксимируется соотношением v = /3 °'93 или Cg = v 1'075 [155] (при 1 ^ /3 ^ 50 ошибка менее 3%, при 1 ^ /3 ^ 25 — не более 0,4%). В работе [153] предлагается оценка где г=1 ^ - ± ) А - 1 г=1 г=1 г=1 г=1 По оценке p вычисляется оценка параметра а: а = — > a:^ . 2.3.1.2. Метод моментов Метод моментов основан на приравнивании эмпирических моментов статисти- статистического ряда их теоретическим значениям, являющимся функциями параметров распределения. Зависимость моментов распределения Вейбулла от его параметров очень сложна (включает в себя комбинацию гамма-функций). Поэтому чаще всего пользуются заранее подготовленными таблицами. Одна из них воспроизведена в табл. 39. Порядок вычисления оценок а и /3 включает в себя последовательное вычисле™ 1 ние x,s,v,/3 = v - „-1,075
148 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 39 Зависимость параметра /3 распределеним Вейбулла от коэффициента вариации v = s/x [44, 46] V 3,14 2,93 2,75 2,57 2,40 2,24 2,08 1,94 Р 0,400 0,417 0,435 0,455 0,476 0,500 0,526 0,556 V 1,80 1,67 1,55 1,43 1,32 1,21 1,10 1,00 Р 0,588 0,625 0,667 0,714 0,769 0,833 0,909 1,000 V 0,910 0,837 0,775 0,723 0,681 0,640 0,605 0,575 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 V 0,547 0,523 0,496 0,480 0,461 0,444 0,428 0,365 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 3,00 Для трехпараметрического распределения оценка параметров а, /5 и ц методом моментов рассмотрена в [156]. Авторами рассматривается система трех уравнений, связывающих моменты распределения (аз — коэффициент асимметрии, s— средне™ квадратическое отклонение и х— среднее значение) с параметрами а, /3 и \х этого распределения. Система имеет вид «з = ¦ = a|l Исполвзуются оценки a = —- n S = x = - T Из зависимости а3 = f{f3) и можно найти оценку а3 и вычислить оценку J3. Распо™ лагая зависимостью s = /(а,/?) и зная /3, находим оценку а. Располагая значения- значениями а и s, находим оценку /i. Значения необходимых для расчета величин «з? Р, Ь и с приведены в табл. 40. Схема ввшислений включает в себя вычисление «з по выборочным данным и определение по табл. 40 соответствующей оценки /3, а также коэффициентов Ъ и с. Параметрвх аи \i оцениваются по формулам а = s • Ь; /J, = X — SC. Однако этот метод применим только при значительном объеме выборки, так как при п ^ 30 точность выборочной оценки коэффициента вариации v мала, что приводит к большим погрешностям при оценке параметров распределения. Более точную оценку можно получить, воспользовавшись характеристической порядко- порядковой статистикой, как методом моментного сравнения. Очевидно, что для х = ц: F(x) = 1--= 0,632.
2.8] Оценка параметров распределения Вейбулла 149 Таблица 40 Значения «з? /3, I/ и с, используемые при оценке параметров распределения Вейбулла [156] «3 -1,0 -0,9 ^0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -ОД 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Р 40,818 22,922 15,626 11,664 9,185 7,493 6,271 5,350 4,634 4,064 3,602 3,222 2,905 2,637 2,410 2,216 2,048 1,802 1,774 1,662 1,564 1,477 1,399 1,329 Ь1 32,827 18,858 13,153 10,046 8,094 6,755 5,780 5,039 4,456 3,986 3,599 3,274 2,997 2,759 2,551 2,368 2,206 2,060 1,929 1,811 1,703 1,605 1,515 1,432 с 32,381 18,417 12,717 9,617 7,672 6,341 5,375 4,464 4,073 3,616 3,243 2,933 2,673 2,452 2,262 2,097 1,954 1,828 1,717 1,618 1,530 1,452 1,381 1,316 «3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 1,267 1,211 1,160 1,115 1,073 1,035 1,000 0,968 0,939 0,911 0,886 0,863 0,841 0,821 0,803 0,785 0,769 0,753 0,739 0,725 0,712 0,700 0,688 0,677 У 1,355 1,284 1,219 1,158 1,102 1,049 1,000 0,954 0,911 0,871 0,833 0,798 0,765 0,734 0,704 0,677 0,650 0,626 0,603 0,581 0,559 0,540 0,521 0,503 с 1,258 1,205 1,157 1,113 1,072 1,035 1,000 0,968 0,938 0,911 0,884 0,860 0,837 0,816 0,796 0,787 0,759 0,743 0,727 0,712 0,697 0,684 0,671 0,658 Пусть Жо,б32п —порядковая статистика и г1 = 0,632(в + 1). Тогда xr = где г < г'. Рассмотрим систему xR = а + /х, откуда, приравнивая G = Xr- X находим оценку /3, а затем а. = sbf и /х = хц — а. Необходимые значения G, /5, b и Ь' приведены в табл. 41, заимствованной из ра™ боты [156]. Вычисляя выборочное значение G, находим по табл. 41 соответствующие ему значения C и Ь;, затем вычисляем оценки а = sb' и /х = xr — а. Такая оценка вдвое точнее, чем рассмотренная ранее.
150 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 41 Значения G, /3 и Ь' длм оценки параметров распределении Вейбулла [156] G 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 1,000 1,024 1,049 1,074 1,101 1,127 1,155 1,184 1,214 1,245 1,278 Ъ' 1,000 1,034 1,068 1,103 1,139 1,175 1,212 1,250 1,288 1,328 1,368 G 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 Р 1,311 1,347 1,384 1,422 1,463 1,506 1,551 1,599 1,649 1,703 1,760 Ъ1 1,410 1,453 1,497 1,542 1,589 1,638 1,689 1,741 1,797 1,854 1,915 G 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 Р 1,821 1,887 1,958 2,034 2,117 2,208 2,307 2,417 2,539 2,675 2,829 У 1,978 2,045 2,117 2,193 2,274 2,361 2,455 2,557 2,669 2,793 2,931 G 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 3,005 3,207 3,445 3,728 4,072 4,502 5,057 5,808 6,895 8,636 11,966 Ъ' 3,085 3,262 3,365 3,705 3,992 4,347 4,801 5,409 6,279 7,660 10,283 2.3.1.3. Метод наименьших квадратов Метод рассмотрен в [157]. Идея метода заключается в следующем. Если два ра- раза прологарифмировать плотность распределения Вейбулла f(i) = ехр то получим линейную зависимость вида у = с + Ъх. Оценки плотности вероятно- вероятностей f(ti) получаются из выборочной гистограммы где wij —частоты разрядов гистограммы; N — объем выборки. Для рассматриваемого случая имеют место соотношения j/ = lg[-lg/(*<)> x = kt; с =-0,3622-biga. Число таких уравнений равно числу разбиений выборочной гистограммы (предпо- (предположим, в нашем случае оно равно п). Для отыскания параметров с и b методом наименьших квадратов необходимо решить систему уравнений г=1 г=1 г=1 Искомые оценки определяются по формулам г=1 i=l г=1 г=1 г=1 Этот метод позволяет находить параметры распределения Вейбулла непосред- непосредственно по статистической гистограмме, не затрачивая время на вычисление его параметров по выборке. Отметим, что можно использовать и графические мето™
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 151 ды, идея которых — графическая линеаризация функции распределения Вейбулла путем введения логарифмической шкалв! аргумента и двойной логарифмической шкалы функции: lnx, -/ЗЫа, где F(xt) = ——-. F(Xi) Угловой коэффициент такой прямой является оценкой /3. Однако графический ме- метод требует точных графических построений (особенно для значений /3 = 0,2 ^ 1,5). Для устранения таких трудностей в [158] предложен графоаналитический метод, однако и он может использоваться только для грубой оценки параметров распре- распределения. В [36] предложена еще одна простая, но достаточно эффективная оценка пара™ метров распределения Вейбулла. Как и ранее, имеем оценки коэффициента асим™ 1 л п -п. 2 метрии и стандартного отклонения «з = —з /С (xi ~ • ~3 " ч " ' ' п Оценки основанв! на аппроксимации 1=1 G = ГМ + -И « 1 - 0,427(/3 - l)^'9. При /3^1 ошибка аппроксимации ^ 0,2%. Оценки вв1числяются по формулам /3 « 4,8(а3 + 1.23)-1-4; /3 = |; Д = ж - «5; <5 « fo,5 + 0,784/3 - 2^) s. При 1,5 ^ /3 ^ 20 ошибка аппроксимации ^ 0,7% для /3 и < 0,2% для 5. Для двухпараметрического распределения Вейбулла (когда заранее известно, что /i = 0) оценки параметров /3 и а имеют вид f 0,465^ + 1,282- - 0,7^ ; а = ^. Р « f 0,465 + 1,282 0,7^ ; а = ^ Ошибка аппроксимации /5 в этом случае ^ 0,25% для /3 ^ 1,5. 2.3.1.4. Оценка с помощью квантилей Обозначим через хр и xq соответственно р- и g-квантили распределения Вейбул™ ла (т. е. F(xp) = p и F(xq) = g). Тогда оценки параметров распределения Вейбулла имеют вид [159] ^1?i a exp< iHXp — iflXq I ill ttp — III Uq где dp = — ln(l -р)ис!д=:- ln(l — g). В [159] показано, что наиболвшая эффективноств оценки а достигается при р = 0,398 и q = 0,821 (dp = 0,5074 ш dq = 1,7203), а /З^при р = 0,167 и q = 0,974 (dp = 0,1827 и dg = 3,6496). Рекомендуется для совместной оценки параметров а и /3 использовать квантили уровней р = 0,2 и 0,95 (в этом случае эффективность оценок не менее 60% по сравне- сравнению с оценками максимального правдоподобия (см. раздел 2.3.1.1) при всех оси. р).
152 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Окончательно рекомендуемые оценки имеют вид /3 = -2,5973In ^^; а = ехр@,42241пж0 95). Жо,2 ' Квантиль жо,95 оценивается порядковой статистикой Ж[о,о5п]+ь а жо,2 — соответ- соответственно Ж[0;8п]+ъ гДе [• • •] —целая часть числа, заключенного в скобках. 2.3.1.5. Оценки, основанные на порядковых статистиках Такие оценки наиболее эффективны в обычной практике оценки надежности изделий по данным о наработке первых г отказавших приборов из общего числа п испытываемых. В прикладной математической статистике такая задача формули- формулируется как задача оценки параметров распределения вероятностей по цензуриро- ванной сверху выборке (при оценке не учитываются (п — г) наибольших по величине членов выборки). Оценки для цензурированных выборок, основанные на линейной комбинации порядковых статистик (простые линейные оценки), рассмотрены в [160—164]. В [165] рассмотрена задача оценки параметров распределения Вейбулла при прогрессив™ ном цензурировании, когда часть изделий снимается с испытаний после каждого отказа. Мы рассмотрим наиболее простые для практического применения и достаточно эффективные наилучшие линейные оценки. Напомним, что если случайная величина х имеет двухпараметрическое распре™ деление Вейбулла с функцией F(x) = 1 — ехр< — | — J >, то случайная величина у = In х будет иметь распределение наименьших значений с функцией Суть метода заключается в поиске параметров распределения величины In х (й и Ъ) в форме с последующим переходом к оценке параметров распределения исходной величи- величины х (не следует забывать, что оценка проводится по первым г наблюдениям из выборки объема п). Оценки й и Ь являются смещенными, и для исключения смещения используются поправки, с учетом которых несмещенные оценки равны u*=u + b*fci; S* = ^—. 1 Значения коэффициентов a,i,Ci,ki и &2 приведены в табл. 42 и 43, заимствованных из [95]. 2.3.1.6. Оценка параметров распределения Рэлем (частный случай распределения Вейбулла) Распределение Рэлея (см. раздел 1.1.15) является частным случаем распределе- распределения Вейбулла при /3 = 2. Значение /3 = 2 является граничным между регулярным и нерегулярным случаями распределения Вейбулла и заслуживает отдельного рас™ смотрения. Достаточно полно это сделано в [166].
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 153 Таблица 42 п 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 г 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 i 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 Значения коэффициентов щ 0,110731 0,889269 -0,166001 1,166001 0,081063 0,251001 0,667936 -0,346974 1,346974 -0,044975 0,088057 0,956918 0,064336 0,147340 0,261510 0,526813 -0,481434 1,481434 -0,137958 -0,025510 1,164680 -0,006983 0,059652 0,156664 0,790668 0,052975 0,103531 0,163808 0,246092 0,433593 -0,588298 1,588298 -0,211474 -0,112994 1,324468 -0,063569 -0,006726 0,079882 0,990412 0,007521 0,048328 0,101608 0,172859 0,669685 0,048826 0,079377 0,117541 0,163591 0,226486 0,368179 -0,676874 1,676874 Ci -0,421383 0,421383 -0,452110 0,452110 -0,278666 -0,190239 0,468904 -0,465455 0,465455 -0,297651 -0,234054 0,531705 -0,203052 -0,182749 -0,070109 0,455910 -0,472962 0,472962 -0,306562 -0,257087 0,563650 -0,217766 -0,199351 -0,118927 0,536044 -0,158131 -0,155707 -0,111820 -0,005600 0,431259 -0,477782 0,477782 -0,311847 -0,271381 0,583229 -0,225141 -0,209083 -0,146386 0,580610 -0,169920 -0,166319 -0,129510 -0,054453 0,520201 -0,128810 -0,132102 -0,111951 -0,064666 0,031796 0,405733 -0,481140 0,481140 п 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 г 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 ai и г 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 Ci [95] щ -0,272195 -0,184061 1,456255 -0,110274 -0,060226 0,018671 1,151829 -0,030368 0,004333 0,052957 0,117599 0,855480 0,013524 0,041588 0,075499 0,117461 0,172092 0,579835 0,038743 0,064086 0,090785 0,120971 0,157657 0,207825 0,319934 -0,752513 1,752513 -0,323875 -0,243808 1,566830 -0,149973 -0,105015 -0,032257 1,287245 -0,062656 -0,032248 0,012767 0,072446 1,009691 -0,013509 0,010292 0,041357 0,080475 0,130327 0,751058 0,015973 0,036729 0,060439 0,088239 0,122062 0,165529 0,511030 Ci -0,315369 -0,281139 0,596507 -0,229691 -0,215611 -0,164168 0,609472 -0,176203 -0,172398 -0,141218 -0,082820 0,572640 -0,138436 -0,140342 -0,121821 -0,082994 -0,015394 0,498931 -0,108323 -0,113479 -0,103569 -0,078748 -0,032632 0,054727 0,382022 -0,483616 0,483616 -0,317890 -0,288231 0,606120 -0,232805 -0,220324 -0,176675 0,629805 -0,180231 -0,176510 -0,149566 -0,101642 0,607948 -0,143834 -0,145006 -0,128393 -0,095696 -0,043280 0,556209 -0,116317 -0,120331 -0,110582 -0,088450 -0,050995 0,009700 0,476975
154 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Продолжение таблицы 42 п 8 9 9 9 9 9 9 9 9 'Г 8 2 3 4 5 6 7 8 9 г 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,034052 0,053552 0,073452 0,095062 0,119768 0,149934 0,191236 0,282943 -0,818444 1,818444 -0,368833 -0,296280 1,664113 -0,184461 -0,143505 -0,075815 1,403781 -0,907260 -0,063541 -0,021495 0,034259 1,141604 -0,037118 -0,016377 0,012499 0,049305 0,095614 0,896078 -0,004220 0,013386 0,035068 0,061198 0,093013 0,153879 0,647676 0,016797 0,032919 0,050582 0,070497 0,093635 0,121560 0,157175 0,456836 0,030338 0,048720 0,061368 0,077742 0,095769 0,116517 0,141932 0,176764 0,253697 -0,093270 -0,098886 -0,093994 0,079752 -0,053918 -0,010179 0,069325 0,360675 -0,485517 0,485517 -0,319786 -0,293621 0,613407 -0,235080 -0,223891 -0,185970 0,644941 -0,183061 -0,179515 -0,155825 -0,115133 0,633534 -0,147411 -0,148150 -0,133219 -0,105060 -0,062073 0,595913 -0,120988 -0,124245 -0,115091 -0,095508 -0,064162 -0,038125 0,558119 -0,100011 -0,104750 -0,099608 -0,086226 -0,063541 -0,028346 0,026525 0,455956 -0,081777 -0,087308 -0,085084 -0,076470 -0,060667 -0,035136 0,006001 0,078828 0,341614 п 10 10 10 10 10 10 10 10 10 г 2 3 4 5 6 7 8 9 10 г 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 щ -0,876869 1,876869 -0,408602 -0,340443 1,749045 -0,214930 -0,177223 -0,113820 1,505973 0,115524 -0,090868 -0,511341 0,000925 1,256809 -0,058017 -0,039595 -0,012513 0,022314 0,065750 1,022062 -0,022198 -0,006900 0,013224 0,037994 0,068153 0,105164 0,804572 0,001179 0,014889 0,030998 0,049734 0,071745 0,096114 0,130649 0,602692 0,016841 0,029807 0,043570 0,058640 0,075576 0,095169 0,118707 0,148575 0,413116 0,027331 0,040034 0,052496 0,065408 0,079263 0,094638 0,112414 0,134239 Ci -0,487022 0,487022 -0,321265 -0,297858 0,619124 -0,236817 -0,226688 -0,193159 0,656663 -0,185169 -0,181821 -0,160698 -0,125311 0,652997 -0,149985 -0,150451 -0,136941 -0,112224 -0,075721 0,625321 -0,124170 -0,126894 -0,118392 -0,100924 -0,073988 -0,035501 0,579868 -0,104082 -0,108163 -0,103119 -0,090835 -0,070902 -0,041560 -0,000799 0,517864 -0,087358 -0,092405 -0,089839 -0,081428 -0,066855 -0,044670 -0,011816 0,038159 0,436394 -0,072734 -0,077971 -0,077242 -0,071876 -0,061652 -0,045420 -0,020698 0,017927
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 155 г? 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 г 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 9 10 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 а2 0,164178 0,230001 -0,929310 1,920310 -0,444245 -0,380642 1,824887 -0,242206 -0,207204 -0,147490 1,596900 -0,137718 -0,115110 -0,077762 -0,028411 1,359000 -0,076739 -0,060142 -0,034581 -0,001490 0,039518 1,133434 -0,038349 -0,024842 -0,005964 0,017632 0,046354 0,081182 0,923987 -0,012943 -0,001050 0,013869 0,031661 0,052723 0,077815 0,108161 0,729765 0,004425 0,015498 0,028023 0,042178 0,058340 0,077093 0,099349 0,126592 0,548502 0,016502 0,027205 0,038291 0,050160 0,063170 0,077772 с? 0,085070 0,324597 -0,488243 0,488243 -0,322452 -0,301277 0,623620 -0,238188 -0,228941 -0,198888 0,666017 -0,186803 -0,183651 -0,164597 -0,133278 0,668329 -0,151936 -0,152221 -0,139907 -0,117886 -0,086131 0,648081 -0,126507 -0,128838 -0,120951 -0,105219 -0,081602 -0,048929 0,612047 -0,106922 -0,110498 -0,105662 -0,094405 -0,076693 -0,051525 -0,016860 0,562564 -0,091115 -0,095437 -0,092780 -0,084833 -0,071581 -0,052182 -0,024880 0,013606 0,499202 -0,077717 -0,082449 -0,081388 -0,075977 -0,066222 -0,051429 п 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 П] г 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 зодолжение таблицы 42 г 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 0,094625 0,114811 0,140333 0,377130 0,024850 0,035456 0,045727 0,056215 0,067261 0,079220 0,092560 0,108034 0,127068 0,153197 0,210412 -0,976872 1,976872 -0,476530 -0,416836 1,893367 -0,266888 -0,234180 -0,177681 1,678749 -0,157792 -0,136684 -0,101445 -0,054640 1,450761 -0,093679 -0,078561 -0,054320 -0,022769 0,016136 1,233193 -0,052987 -0,040893 -0,023072 -0,000515 0,026930 0,059918 1,030620 -0,025785 -0,015312 -0,001353 0,015634 0,035853 0,059835 0,088444 0,842684 -0,006944 0,002669 -0,030120 0,000537 0,044638 0,418384 -0,065444 -0,070318 -0,070456 -0,067076 -0,060207 -0,049300 -0,033156 -0,009427 0,026879 0,089148 0,309357 -0,489254 0,489254 -0,323426 -0,304093 0,617519 -0,239300 -0,230796 -0,203562 0,673657 -0,188109 -0,185012 -0,167790 -0,136930 0,680734 -0,053471 -0,153632 -0,142329 -0,122474 -0,094355 0,666261 -0,128308 -0,130339 -0,123007 -0,108712 -0,087681 -0,059256 0,637304 -0,109045 -0,112224 -0,107627 -0,097276 -0,081361 -0,059315 -0,029900 0,596748 -0,093658 -0,097540
156 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 т? 12 12 12 12 13 13 13 13 г 9 10 11 12 2 3 4 5 7 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 0,014239 0,027669 0,043189 0,061225 0,082441 0,107856 0,667655 0,006411 0,015598 0,025675 0,036799 0,049211 0,063256 0,079438 0,098522 0,121752 0,503338 0,015982 0,024997 0,034156 0,043790 0,054149 0,065515 0,078264 0,092958 0,110521 0,132666 0,347003 0,022771 0,031776 0,040408 0,049122 0,058175 0,067800 0,078281 0,090017 0,103664 0,120475 0,143566 0,193947 -1,020378 2,020378 -0,506031 -0,449735 1,955765 -0,289420 -0,258687 -0,205024 1,753131 -0,176109 -0,156637 -0,122893 с? -0,094893 -0,087448 -0,075374 -0,058180 -0,034802 -0,003342 0,545234 -0,080881 -0,085171 -0,083952 -0,078714 -0,067610 -0,056237 -0,037675 -0,012272 0,022956 0,481555 -0,069798 -0,074285 -0,074131 -0,070617 -0,063891 -0,053621 -0,039034 -0,018715 0,009948 0,052280 0,401864 -0,059449 -0,063952 -0,064601 -0,062489 -0,037754 -0,050137 -0,039010 -0,023199 -0,000505 0,033696 0,091751 0,295648 -0,490105 0,490105 -0,324239 -0,306454 0,630694 -0,240219 -0,232349 -0,207450 0,630018 -0,189177 -0,186381 -0,170454 п 13 13 13 13 13 13 13 П] г 5 6 7 8 9 10 11 зодолжение таблицы 42 г 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0,078337 1,533976 -0,109187 -0,092014 -0,076615 -0,041997 -0,004940 1,323488 -0,066358 -0,055414 -0,038503 -0,016879 0,009416 0,040810 1,126930 -0,037540 -0,028206 -0,015049 -0,001123 0,020686 0,043677 0,070830 0,944372 -0,017389 -0,008934 0,001863 0,014684 0,029637 0,047027 0,067346 0,091328 0,774437 -0,002927 0,005067 0,014356 0,024891 0,036816 0,050389 0,065995 0,084201 0,105863 0,615348 0,007628 0,015408 0,023732 0,032743 0,042611 0,053556 0,065876 0,080005 0,096594 0,116703 -0,144971 0,690983 -0,172412 -0,168148 -0,144215 -0,101104 -0,001512 0,711124 -0,129743 -0,131538 -0,124701 -0,111609 -0,092649 -0,067475 0,657714 -0,110704 -0,113563 -0,109206 -0,099644 -0,085204 -0,065581 -0,039995 0,623896 -0,095590 -0,099109 -0,096521 -0,089554 -0,078490 -0,063068 -0,046607 -0,015928 0,580865 -0,083170 -0,087085 -0,085792 -0,080789 -0,072325 -0,060181 -0,043768 -0,022048 0,006715 0,528441 -0,072617 -0,076746 -0,076418 -0,072938 -0,066531 -0,057014 -0,043886 -0,026244 -0,002552 0,029910
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 157 п 13 13 13 14 14 14 14 14 14 г 11 12 13 2 3 4 5 6 7 г 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 щ 0,465143 0,015382 0,023100 0,030818 0,038824 0,047302 0,056444 0,066482 0,077739 0,090699 0,106166 0,125627 0,321416 0,021005 0,028757 0,036127 0,043501 0,051078 0,059028 0,067533 0,076831 0,087274 0,099441 0,114446 0,135068 0,179913 -1,060461 2,060461 -0,533185 -0,479874 2,013059 -0,310144 -0,281132 -0,229990 1,821266 -0,192947 -0,174709 -0,142478 -0,099930 1,610065 -0,123352 -0,110490 -0,088443 -0,059523 -0,024111 1,405919 -0,078656 -0,068666 -0,052554 -0,031776 -0,006522 0,023467 0,465037 -0,063288 -0,067492 -0,067892 -0,065622 -0,060887 -0,053540 -0,043158 -0,028970 -0,009644 0,017233 0,056547 0,386713 -0,054436 -0,058585 -0,059535 -0,058259 -0,054942 -0,049472 -0,041504 -0,030980 -0,015037 0,006644 0,038943 0,093324 0,283257 -0,490831 0,490831 -0,324929 -0,308462 0,633391 -0,240982 -0,233670 -0,210735 0,685397 -0,190068 -0,187427 -0,172710 -0,149393 0,699598 -0,155736 -0,155747 -0,146054 -0,120460 -0,106556 0,693553 -0,130915 -0,132521 -0,126123 -0,114051 -0,096788 -0,074184 п 14 14 14 14 14 14 14 П г 7 8 9 10 11 12 13 родолжение таблицы 42 г 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ai 1,214708 -0,048365 -0,039964 -0,027495 -0,011849 0,006905 0,029002 0,054897 1,036868 -0,027030 -0,019516 -0,009363 0,002928 0,017368 0,034165 0,053685 0,076476 0,871287 -0,011580 -0,004548 -0,004548 0,014100 0,025647 0,038794 0,053879 0,071335 0,091783 0,716445 -0,000170 0,006622 0,014283 0,022800 0,032273 0,042866 0,054817 0,068463 0,084290 0,103025 0,570731 0,008361 0,015058 0,022076 0,029552 0,037615 0,046411 0,056132 0,067039 0,079506 0,094096 0,111723 0,432431 0,014760 Ci 0,674581 -0,112041 -0,114637 -0,110509 -0,101635 -0,088422 -0,088422 -0,048074 0,640520 -0,097117 -0,100334 -0,097827 -0,091298 -0,081103 -0,067124 -0,048921 -0,025720 0,609445 -0,084931 -0,088528 -0,087207 -0,082451 -0,074573 -0,063473 ^0,048768 -0,029776 -0,005398 0,565101 -0,074686 -0,078499 -0,078064 -0,074680 -0,068624 -0,059816 -0,047926 -0,032355 -0,012126 0,014349 0,512429 -0,065816 -0,069728 -0,099620 -0,067659 -0,063070 -0,056130 -0,046558 -0,033834 -0,017101 0,005064 0,035156 0,449638 -0,057849
158 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 т? 14 14 16 16 16 16 16 16 г 13 14 2 3 4 5 6 7 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 а2 0,021453 0,028054 0,034842 0,041933 0,049474 0,057619 0,066569 0,076605 0,088151 0,101914 0,119200 0,299416 0,019487 0,026238 0,032614 0,038941 0,045399 0,052097 0,059168 0,066767 0,075102 0,084482 0,095428 0,108942 0,127523 0,167807 -1,123243 2,132243 -0,581757 -0,533457 2,115214 -0,347172 -0,321026 -0,274186 1,942384 -0,223015 -0,206788 -0,177158 -0,138048 1,745009 -0,148725 -0,137508 -0,117232 -0,090481 -0,057883 1,551828 -0,100621 -0,092121 -0,077354 -0,058057 -0,034624 -0,007020 с? -0,061764 -0,062506 -0,061704 -0,057693 -0,052317 -0,044707 -0,034420 -0,020713 -0,002338 0,022943 0,059643 0,372795 -0,050186 -0,054008 -0,055130 -0,054419 -0,052075 -0,048606 -0,042197 -0,034099 -0,022315 -0,008285 0,012430 0,043015 0,094166 0,272004 -0,492005 0,492005 -0,326035 -0,311694 0,637730 -0,242220 -0,235794 -0,215984 0,693998 -0,191470 -0,189099 -0,176323 -0,156390 0,713282 -0,157331 -0,157263 -0,148785 -0,134532 -0,115196 0,713108 -0,132718 -0,134040 -0,128381 -0,117942 -0,103296 -0,084506 п 16 16 16 16 16 16 16 П г 7 8 9 10 11 12 13 родолжение таблицы 42 г 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1,369798 -0,067719 -0,060754 -0,049415 -0,034868 -0,011736 0,003178 0,026973 1,199963 -0,044303 -0,038218 -0,029094 -0,017697 -0,004166 0,011570 0,028712 0,050576 1,041619 -0,027135 -0,021550 -0,013895 -0,004646 0,006132 0,018515 0,032675 0,048869 0,067459 0,893576 -0,014263 -0,008950 -0,002286 -0,002286 0,005469 0,014703 0,024296 0,035593 0,048404 0,063020 0,079847 -0,004450 0,000732 0,006721 0,013424 0,020868 0,029314 0,038344 0,048668 0,060342 0,073692 0,089173 0,623351 0,003118 0,700883 -0,114069 -0,116260 -0,112545 -0,104798 -0,093508 -0,078726 -0,060251 0,680158 -0,099396 -0,102138 -0,099811 -0,094037 -0,085242 ^0,073467 -0,058535 ^0,040084 0,652711 -0,087496 -0,090585 -0,089277 -0,084992 -0,078105 -0,068653 -0,056482 -0,041268 -0,022503 0,619360 -0,077597 -0,080895 -0,080349 -0,077313 -0,071820 -0,064207 -0,054237 -0,041635 -0,025917 -0,006432 0,580293 -0,069172 -0,072584 -0,072615 -0,070383 -0,066184 -0,060054 -0,051876 -0,041398 -0,028216 -0,011716 -0,009035 0,535164 -0,061843
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 159 п 16 16 16 16 г 13 14 15 16 г 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 щ 0,008356 0,013789 0,019747 0,026189 0,033196 0,040872 0,049357 0,058836 0,069568 0,081920 0,096438 0,498713 0,008992 0,014141 0,019370 0,024804 0,030525 0,036615 0,043164 0,050284 0,058124 0,066884 0,076854 0,088469 0,102433 0,379341 0,013547 0,018743 0,023778 0,028849 0,034060 0,039489 0,045218 0,051338 0,057965 0,065253 0,074425 0,082818 0,093994 0,107995 0,263528 0,017016 0,022284 0,027208 0,032046 0,036918 0,041887 0,047042 0,052455 0,058216 0,064444 0,071304 Ci -0,065297 -0,065770 -0,064259 -0,061031 -0,056120 -0,049427 -0,040731 -0,029675 -0,015710 0,002010 0,024833 0,483018 -0,055309 -0,058750 -0,059563 -0,058635 -0,056208 -0,052317 -0,046867 -0,039699 -0,030467 -0,018695 -0,003625 -0,015969 0,042224 0,421953 -0,049291 -0,052670 -0,053739 -0,053290 -0,051538 -0,048520 -0,044164 -0,038307 -0,030678 -0,020850 -0,008156 0,008503 0,031075 0,063476 0,348149 -0,043375 -0,046633 -0,047890 -0,047839 -0,046675 -0,044432 -0,041053 -0,036402 -0,030249 -0,022230 -0,011772 п 16 18 18 18 18 18 18 18 18 18 П] г 16 2 3 4 5 6 7 8 9 10 зодолжение таблицы 42 г 12 13 14 15 16 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 щ 0,079051 0,088111 0,099315 0,114733 0,147977 -1,195128 2,195128 -0,624252 -0,580008 2,204260 -0,379529 -0,355679 -0,312382 2,047590 -0,249266 -0,234618 -0,207148 -0,170883 1,861914 -0,170868 -0,160910 -0,142100 -0,117175 -0,086906 1,677960 -0,119793 -0,112406 -0,098738 -0,080698 -0,058807 -0,033165 1,503605 -0,084626 -0,078711 -0,068272 -0,054656 -0,038217 -0,019006 0,003084 1,340405 -0,059414 -0,054359 -0,046030 -0,035375 -0,022631 -0,007819 0,009161 0,028495 1,187973 -0,040776 -0,036223 -0,029314 Ci 0,002079 0,021044 0,048675 0,094419 0,252333 -0,492912 0,492912 -0,326884 -0,314183 0,641066 -0,243153 -0,237429 -0,219992 0,700574 -0,192523 -0,190376 -0,179091 -0,161679 0,723670 -0,158516 -0,158405 -0,150876 -0,138383 -0,121647 0,727829 -0,134044 -0,135163 -0,130098 -0,120904 -0,108183 -0,092095 0,720486 -0,115541 -0,117434 -0,114068 -0,107202 -0,097349 -0,084645 -0,069301 0,705270 -0,101022 -0,103411 -0,101260 -0,096099 -0,088374 -0,078203 -0,065532 -0,050186 0,684087 -0,089291 -0,091997 -0,090739
160 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 п 18 18 18 18 18 г 10 11 12 13 14 г 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0,020701 -0,010540 -0,001172 0,014523 0,029671 0,046841 1,045347 -0,026669 -0,022402 -0,016466 -0,009294 -0,000979 0,008496 0,019212 0,031300 0,044847 0,060404 0,911490 -0,015793 -0,011677 -0,006416 -0,000278 0,006695 0,014529 0,023297 0,033110 0,044122 0,056540 0,070367 0,785235 -0,007289 -0,003238 0,001550 0,006940 0,012925 0,019540 0,026851 0,034951 0,043969 0,054072 0,065486 0,078516 0,665728 0,000568 0,003471 0,007930 0,012775 0,018027 0,023730 0,029942 0,036744 0,044239 Ci -0,086863 -0,080764 -0,072544 -0,062157 -0,049445 -0,034147 0,657947 -0,079582 -0,082484 -0,081896 -0,079012 -0,074183 -0,067503 -0,058930 -0,048324 -0,035451 -0,019962 0,627325 -0,071378 -0,074393 -0,074315 -0,072211 -0,068395 -0,062952 -0,055848 -0,046959 -0,036073 -0,022877 -0,006924 0,592326 -0,064317 -0,067387 -0,067701 0,066218 -0,063222 -0,058792 -0,052898 -0,045430 -0,036200 -0,024926 -0,011201 0,005561 0,552731 -0,058133 -0,061213 -0,061830 -0,060849 -0,058527 -0,054936 -0,050053 -0,043781 -0,035952 п 18 18 18 18 Продол г 14 15 16 17 г 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 жение таблицы 42 ai 0,052564 0,061904 0,072509 0,084730 0,552004 0,004780 0,008843 0,013074 0,017522 0,022232 0,027249 0,032630 0,038443 0,044772 0,051728 0,059460 0,068169 0,078145 0,089813 0,443142 0,009048 0,013157 0,017235 0,021396 0,025706 0,030212 0,034966 0,040027 0,045465 0,051368 0,057855 0,065087 0,073294 0,082827 0,094248 0,338109 0,012444 0,016611 0,020593 0,024555 0,028573 0,032702 0,036990 0,041487 0,046252 0,051355 0,056889 0,062980 0,069810 0,077655 0,086979 0,098636 Ci -0,026314 -0,014497 0,000034 0,018080 0,507970 -0,052617 -0,055674 -0,056526 -0,055995 -0,054191 -0,051331 -0,047281 -0,042029 -0,035403 -0,027176 -0,017018 -0,004442 -0,011289 0,031340 0,456986 -0,047594 -0,050597 -0,051629 -0,051393 -0,050102 -0,047820 -0,044532 -0,040165 -0,034587 -0,027599 -0,028906 -0,008069 0,005581 0,023119 0,046408 0,397887 -0,042879 -0,045800 -0,046965 -0,047008 -0,046121 -0,044362 -0,041722 -0,038137 -0,033494 -0,027618 -0,020248 -0,010994 -0,000742 0,015937 0,036313 0,065331
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 161 п 18 18 20 20 20 20 20 20 20 г 17 18 2 3 4 5 6 7 8 г 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 щ 0,235490 0,015092 0,019328 0,023258 0,027089 0,030909 0,034773 0,038728 0,042820 0,047095 0,051612 0,056443 0,061685 0,067477 0,074032 0,081713 0,091221 0,109314 0,132411 -1,251068 2,251068 -0,662014 -0,621129 2,283144 -0,408252 -0,386289 -0,345972 2,140513 -0,272551 -0,259179 -0,233536 -0,199675 1,964941 -0,190502 -0,181539 -0,163969 -0,140605 -0,112303 1,788917 -0,136790 -0,130201 -0,117518 -0,100561 -0,079995 -0,056007 1,621135 -0,099621 -0,094504 -0,084808 -0,071993 -0,056488 -0,038416 0,327023 -0,098116 -0,038165 -0,042221 -0,042947 -0,041963 ^0,040676 -0,038627 -0,035765 -0,031992 -0,027160 -0,021041 -0,013300 -0,003410 -0,009488 0,026940 0,052132 0,093529 0,235693 -0,493634 0,493634 -0,327555 -0,316157 0,643712 -0,243885 -0,238726 -0,223155 0,705766 -0,193344 -0,191335 -0,181278 -0,165821 0,731828 -0,159435 -0,159298 -0,152528 -0,141408 -0,126651 0,739321 -0,135060 -0,136029 -0,131448 -0,123236 -0,111990 -0,097918 0,735681 -0,116659 -0,118326 -0,115235 -0,109093 -0,100352 -0,089210 п 20 20 20 20 20 20 П г 8 9 10 11 12 13 родолжение таблицы 42 г 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 ai -0,017755 1,463585 -0,072826 -0,068644 -0,060858 -0,050834 -0,038781 -0,024779 -0,008798 0,009270 1,316151 -0,052900 -0,049115 -0,042792 -0,034710 -0,025087 -0,013973 -0,001335 0,012921 0,028939 1,178052 -0,037716 -0,034222 -0,028845 -0,022146 -0,014276 -0,005262 0,004930 0,016382 0,029216 0,043593 1,048347 -0,025922 -0,022589 -0,017879 -0,012183 -0,005600 0,001858 0,010227 0,019578 0,030012 0,041668 0,054724 0,926107 -0,016619 -0,013364 -0,009129 -0,004170 0,001453 0,007742 0,014732 0,022485 Ci -0,075681 0,724575 -0,102246 -0,104362 -0,102371 -0,097711 -0,090828 -0,081874 -0,070863 -0,057714 0,707969 -0,090626 -0,093031 -0,091837 -0,088309 -0,082842 -0,075573 -0,077511 -0,055584 -0,042651 0,686964 -0,081036 -0,083625 -0,083028 -0,076014 -0,076014 -0,070070 -0,062554 -0,053398 -0,042476 -0,029594 0,662168 -0,072964 -0,075662 -0,075522 -0,073554 -0,070076 -0,065197 -0,058928 -0,051211 -0,041931 -0,030912 -0,017911 0,633868 -0,066052 -0,068809 -0,069021 -0,067601 -0,064335 -0,060825 -0,055581 -0,049051 6 А. И. Кобзарь
162 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 п 20 20 20 20 20 г 13 14 15 16 17 г 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 о* 0,031087 0,040654 0,051333 0,063321 0,810474 -0,009191 -0,005961 -0,002065 0,002348 0,007248 0,012649 0,018585 0,025109 0,032297 0,040241 0,049069 0,058941 0,070007 0,700660 -0,003203 0,000035 0,003690 0,007695 0,012048 0,016769 0,021892 0,027467 0,033552 0,040230 0,047602 0,055804 0,065012 0,075467 0,595940 0,001656 0,004926 0,008410 0,012111 0,016046 0,020247 0,024742 0,029575 0,034801 0,040482 0,046707 0,053585 0,061262 0,069938 0,079893 0,495616 0,005617 0,008931 Ci -0,041132 -0,031666 -0,020429 -0,007116 0,602120 -0,060043 -0,062821 -0,063307 -0,062329 -0,060148 -0,056856 -0,052465 -0,046929 -0,040154 -0,031999 -0,022261 -0,011999 -0,003196 0,566775 -0,054744 -0,575130 -0,058213 -0,057596 -0,055899 -0,053209 -0,049537 -0,044884 -0,039043 -0,032010 -0,023560 -0,013436 -0,001280 0,013416 0,527466 -0,050002 -0,052742 -0,053608 -0,053287 -0,051997 -0,049816 -0,046757 -0,042785 -0,037825 -0,031763 -0,024342 -0,015601 -0,004939 -0,008023 0,023984 0,483548 -0,045695 -0,048385 п 20 20 20 Продол г 17 18 19 г 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 жение таблицы 42 ai 0,012297 0,015773 0,019394 0,023192 0,027201 0,031459 0,036010 0,040910 0,046228 0,052055 0,058509 0,065756 0,074029 0,089671 0,398968 0,008847 0,012215 0,015502 0,018813 0,022197 0,025690 0,029324 0,033136 0,037162 0,041450 0,046055 0,051050 0,056532 0,062634 0,069547 0,077558 0,087131 0,305157 0,011469 0,014895 0,018135 0,021329 0,024554 0,027802 0,031153 0,034624 0,038247 0,042061 0,046112 0,050458 0,055176 0,060372 0,066198 0,072887 0,080830 0,090746 0,212971 Ci -0,049380 -0,049304 -0,048357 -0,046613 -0,044083 -0,040736 -0,036510 -0,031298 -0,024954 -0,017265 -0,007934 0,003474 0,017606 0,035486 0,433947 -0,041706 -0,044331 -0,045422 ^0,045550 -0,044896 -0,043529 -0,041460 -0,038666 -0,035086 -0,030632 -0,025168 -0,018506 -0,010374 -0,000381 0,012071 0,027938 0,048871 0,376826 -0,037905 -0,040446 -0,041607 -0,041903 -0,041503 -0,040467 -0,038810 -0,036509 -0,033514 -0,029746 -0,025085 -0,019364 -0,012340 -0,003660 0,007217 0,021167 0,039737 0,066024 0,308714
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 163 Окончание таблицы 42 п 20 г 20 г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 щ 0,013555 0,017039 0,020257 0,023370 0,026464 0,029565 0,032711 0,035932 0,039258 0,042720 Ci -0,034055 -0,036484 -0,037686 -0,098123 -0,037945 -0,037211 -0,035932 -0,034091 -0,031016 -0,028527 п 20 г 20 г 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 щ 0,046357 0,050215 0,054354 0,058856 0,063842 0,069496 0,076128 0,084346 0,095669 0,119862 Сг -0,024632 -0,019814 -0,013860 -0,006460 0,002866 0,014902 0,031052 0,054203 0,092028 0,221415 Таблица 43 п 2 3 4 5 6 7 8 9 г 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 9 Значения коэффициентов к кг 0,037574 0,257509 -0,018421 0,413509 0,084775 -0,028312 0,533791 0,166129 0,030763 -0,029135 0,631490 0,232697 0,080351 0,008881 -0,027716 0,713665 0,288854 0,122608 0,042126 -0,001300 -0,025789 0,784533 0,337341 0,159281 0,071292 0,022472 -0,006413 -0,023866 0,846604 0,379959 0,191609 0,097153 0,043783 0,011395 -0,009069 -0,022094 к2 0,415839 0,450055 0,256346 0,464388 0,281729 0,183862 0,472308 0,294192 0,202419 0,142830 0,477340 0,301732 0,212422 0,156905 0,116577 0,480082 0,306813 0,218847 0,164973 0,127606 0,098365 0,483377 0,310476 0,223358 0,170378 0,134224 0,107264 0,025017 0,485329 0,313246 0,226712 0,174294 0,138801 0,112788 0,092365 0,074824 п 10 11 12 13 г 2 3 4 5 6 7 СХ) 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 1 и к2 [95] кг 0,902322 0,417951 0,229478 0,120330 0,062998 0,027627 0,004749 -0,010438 -0,020508 0,952399 0,452207 0,246536 0,141299 0,080450 0,042460 0,017512 0,000584 -0,011097 -0,019101 0,997998 0,483387 0,270268 0,160246 0,096410 0,056079 0,029301 0,010873 -0,002107 -0,011349 -0,017385 1,039851 0,511988 0,292046 0,177997 0,111099 0,068047 к2 0,486871 0,315415 0,229309 0,177275 0,142198 0,116706 0,097048 0,081004 0,066792 0,488120 0,317159 0,231380 0,179627 0,144834 0,116760 0,100437 0,085031 0,060304 0,060304 0,489151 0,318593 0,233072 0,181531 0,146945 0,122006 0,103043 0,087994 0,075575 0,064873 0,054954 0,490018 0,319794 0,234480 0,183107 0,148677 0,123901
164 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Окончание таблицы 43 п 13 14 16 18 г 8 9 10 11 12 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 кг 0,040225 0,020463 0,006357 -0,003882 -0,011361 -0,016749 1,078521 0,538401 0,312161 0,194239 0,124694 0,080302 0,050382 0,029469 0,014307 0,003200 -0,005064 -0,011233 -0,015764 1,480153 0,585828 0,348282 0,223426 0,149158 0,101317 0,068748 0,045666 0,028811 0,016221 0,006658 -0,000690 -0,006373 -0,010762 -0,014090 1,209127 к2 0,105124 0,090302 0,078188 0,067951 0,058952 0,050470 0,490757 0,320813 0,235672 0,184433 0,150126 0,025473 0,106830 0,092166 0,080248 0,070275 0,061682 0,053001 0,046657 0,491948 0,322450 0,237577 0,186541 0,152413 0,127935 0,109474 0,095010 0,083327 0,073645 0,065435 0,058318 0,051997 0,046198 0,040524 0,492867 п 18 20 г 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 кг 0,627488 0,308007 0,249075 0,170681 0,119838 0,084973 0,060068 0,041720 0,027876 0,017236 0,008940 0,002403 -0,002784 -0,006912 -0,010185 -0,012727 1,263654 0,664622 0,408277 0,271937 0,189878 0,136375 0,099482 0,072972 0,053316 0,038380 0,026809 0,017704 0,010451 0,004619 -0,000103 -0,003943 -0,007067 -0,009596 -0,011599 к2 0,323709 0,239034 0,188145 0,154141 0,129778 0,111433 0,097092 0,085544 0,076015 0,067989 0,061101 0,055086 0,049739 0,044879 0,040334 0,035808 0,493598 0,324060 0,240184 0,189405 0,155492 0,131212 0,112948 0,098688 0,087226 0,077792 0,069871 0,063107 0,057241 0,052208 0,047471 0,043295 0,039437 0,035771 0,032070 Запишем функцию распределения Рэлея в двухпараметрической форме: x\il) = 1 -ехр Оценки параметров \х и а методом моментов имеют вид Их дисперсии равны: D{aM) = D + 2тг-тг2) 4пD-тг) ; = к2 + j а2D-тг)
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 165 Оптимальные квантильные оценки имеют вид [166] л Хр-, ^vo ^ О1\Хр~ СХ2Хр-, ак = ; II к = где xPi—выборочные квантили уровня pi\ щ = — 1пA — pi), г = 1,2; pi = 0,93 и р2 = 0,07. Дисперсии таких оценок равны 2 2 ?>(йк) = 0,7681^; D(p,K) = 1,7506 — . Эффективность моментных и квантильных оценок по сравнению с оценками мак™ симального правдоподобия равны « 0,45 для ам и « 0,33 для а^. 2.3.2. Интервальные оценки 2.3.2.1. Оценка а при известном /3 Интервальные оценки имеют вид где х^ — 7"квантиль распределения хи-квадрат с / = 2п (п — объем выборки) степе- г г 1 -\- а П 1 — a f и л нями свободы; 7 = ? 7 = Для двусторонних оценок 17 =ft, 7 = 1 — а для односторонних оценок (а — доверительная вероятность, которую не следует путать с а — параметром распределения). Для нахождения этих оценок можно использовать результаты, полученные ра™ нее для оценки параметра экспоненциального распределения (см. раздел 2.2). По аналогии искомые оценки можно записать в форме где кн и кв — коэффициенты оценок, табулированные в табл. 36; х = - V хр- . п ^^ % В [36] предложены достаточно точные и простые аппроксимации для нахожде- нахождения интервальных оценок параметров распределения Вейбулла при доверительной вероятности а = 0,95: — ^ р ^ pA:n; agi ^ a ^ ag2? где /3, а — точечные оценки соответственно параметров /3 и а, 2 05 fen = 1 + ? 0;55 (при n ^ 6 ошибка не более 0,2%); 1 1 И 1,659 /з 3,01 /з = I1 ~ , , ^0,4675 5 «2= U+7 ч ^40,5623 (ошибка МСНЬШС 1 %). (п + 3) ' J [ (w ~ ЗД5) ' J
166 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.3.2.2. Совместная интервальная оценка параметров о и /3 Манн и Фертиг [95, 162, 167] предложили оценки для а и /3, основанные на их точечных линейных оценках по цензурированием сверху выборкам (см. раз™ дел 2.3.1.5). Оценки имеют вид /QH _ / о. ОВ _ Пп где /3 — точечная линейная оценка параметра /3, а с'а и с^ —коэффициенты оценки; а — доверительная вероятность. Значения коэффициентов cfa и ё'а для различных доверительных вероятностей а приведены в табл. 44. Интервальные оценки для параметра а находятся по формулам &l = exp(U - ScQ; o? = exp(U - Sd?), где й, Ь — оценки параметров распределения наименьших значений (напомним, п п что й = ^ а^ 1нж^, Ь = ^ Ci Inxi с коэффициентами оц и С{ из табл. 42); d'a, d!^ — коэффициенты оценок, а — доверительная вероятность. Значения коэффициентов d'a и d'^ приведены в табл. 45. Для распределения Вейбулла представляют интерес оценки, связанные с его широким применением при исследовании надежности технических компонентов и систем. Например, в практике часто возникает задача, которую можно сфор- сформулировать следующим образом: найти значение наработки t? компонента (или системы), при котором вероятность безотказной работы компонента (или системы) равна заданной величине е. 1 Точечная оценка подсчитывается по формуле t? = — a(lne)^, где d, J3 — точеч- точечные оценки параметров распределения. Интервальная оценка находится по формуле ехр[й — bkf(?^a)] ^ t? ^ г г ^ ехр [й — bkrf(e, а)], где й = ^ а^ In t^, b = ^ Ci In t^ — линейные оценки параметров i=l г=1 гх и Ь с коэффициентами а^ и q из табл.42; fc;(e,a) и fc/;(e,a)—коэффициенты оценки и а — доверительная вероятность. Значения коэффициентов fc;(e,a) и fc;/(e, а) приведены в табл. 46. Учитывая чрезвычайно широкое применение распределения Вейбулла и его частного случая — экспоненциального распределения — при планировании и оценке результатов испытаний на надежность, в заключение попытаемся ответить еще на один интересный в практическом отношении вопрос: зачем ставить на испытания п > г изделий, если оценка параметров производится по результатам первых г отказов? Ответ прост (хотя и не тривиален)—для экономии времени. Не вдаваясь в математические тонкости (о них желающий может узнать из [95]), приведем известные результаты расчетов показателя ц = —. ™, где t\r,n) — ожидаемая про™ t(r,r) должительность испытаний п изделий до появления г™го отказа и t(r^r)—ожи- t(r^r)—ожидаемая продолжительность испытаний, когда на испытания ставятся г изделий и испытания проводятся до отказа всех изделий. Значения 7] для разных г шп приведены в табл. 47 для случая экспоненциального распределения (таблица заимствована из [95]). Табл. 47 применима и при оценках, связанных с распределением Вейбулла (при известном заранее параметре /3). В этом i_ случае следует найденную по табл. 47 величину rj заменить величиной г/ = г]@ .
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 167 Таблица 44 п 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Т 3 3 4 3 4 5 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 а = с' 0,17 0,15 0,28 0,14 0,26 0,36 0,14 0,25 0,33 0,41 0,14 0,24 0,32 0,39 0,46 0,13 0,23 0,31 0,38 0,44 0,50 0,13 0,23 0,31 0,38 0,43 0,48 0,53 0,13 0,23 0,30 0,37 0,42 0,47 0,51 0,55 0,13 0,22 0,30 0,36 0,41 0,46 0,50 0,54 0,57 0,13 0,22 0,30 0,36 Значения коэффициентов cfa 0,90 с" 1,56 1,56 1,53 1,59 1,55 1,50 1,59 1,55 1,51 1,46 1,56 1,54 1,52 1,48 1,48 1,58 1,55 1,52 1,49 1,45 1,41 1,58 1,55 1,52 1,48 1,46 1,42 1,39 1,59 1,57 1,53 1,49 1,46 1,43 1,40 1,38 1,60 1,58 1,54 1,52 1,48 1,45 1,42 1,38 1,36 1,56 1,55 1,53 1,49 а = с1 0,11 0,10 0,20 0,09 0,18 0,28 0,09 0,18 0,25 0,33 0,08 0,17 0,25 0,32 0,38 0,03 0,16 0,23 0,30 0,36 0,42 0,08 0,16 0,23 0,30 0,35 0,40 0,45 0,08 0,16 0,23 0,29 0,36 0,39 0,43 0,48 0,08 0,15 0,22 0,28 0,33 0,38 0,42 0,46 0,50 0,08 0,16 0,23 0,29 0,95 с" 1,86 1,90 1,77 1,93 1,82 1,70 1,92 1,84 1,73 1,64 1,92 1,82 1,75 1,67 1,60 1,95 1,83 1,76 1,69 1,62 1,56 1,92 1,84 1,76 1,70 1,65 1,59 1,53 1,92 1,86 1,77 1,71 1,66 1,60 1,55 1,51 1,97 1,87 1,82 1,73 1,67 1,62 1,58 1,53 1,49 1,87 1,82 1,78 1,72 п 12 13 14 15 16 т 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 5 6 7 8 9 и с« [95] а = 0,90 с' 0,41 0,46 0,50 0,53 0,56 0,60 0,13 0,22 0,30 0,36 0,40 0,45 0,49 0,52 0,55 0,58 0,61 0,13 0,22 0,30 0,35 0,40 0,45 0,49 0,52 0,55 0,57 0,60 0,63 0,13 0,22 0,29 0,35 0,41 0,45 0,49 0,52 0,54 0,57 0,59 0,62 0,64 0,13 0,22 0,29 0,35 0,40 0,44 0,48 с" 1,47 1,45 1,43 1,40 1,37 1,35 1,58 1,57 1,55 1,51 1,48 1,42 1,40 1,38 1,36 1,33 1,58 1,57 1,54 1,51 1,48 1,45 1,42 1,40 1,38 1,36 1,34 1,32 1,57 1,56 1,53 1,50 1,48 1,45 1,43 1,41 1,39 1,37 1,35 1,33 1,32 1,58 1,56 1,54 1,51 1,47 1,45 1,43 1,41 а = с' 0,34 0,38 0,42 0,45 0,49 0,53 0,08 0,15 0,22 0,28 0,33 0,37 0,42 0,44 0,48 0,51 0,54 0,08 0,16 0,22 0,28 0,33 0,38 0,41 0,45 0,48 0,50 0,53 0,57 0,08 0,16 0,22 0,28 0,33 0,37 0,41 0,42 0,48 0,50 0,52 0,55 0,58 0,08 0,15 0,22 0,27 0,31 0,36 0,40 0,95 с" 1,66 1,61 1,58 1,55 1,51 1,46 1,95 1,86 1,79 1,72 1,67 1,62 1,58 1,55 1,51 1,47 1,44 1,94 1,86 1,77 1,71 1,67 1,63 1,59 1,56 1,52 1,49 1,46 1,43 1,92 1,85 1,79 1,71 1,67 1,63 1,59 1,56 1,54 1,50 1,47 1,45 1,42 1,94 1,86 1,78 1,74 1,69 1,64 1,60
168 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 ТЬ 16 18 10 11 12 13 14 15 16 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 а = с' 0,51 0,53 0,56 0,59 0,61 0,63 0,65 0,12 0,22 0,29 0,35 0,40 0,44 0,47 0,51 0,53 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,90 с11 1,39 1,38 1,36 1,34 1,34 1,32 1,29 1,59 1,58 1,54 1,51 1,48 1,46 1,43 1,41 1,39 1,38 1,36 1,35 1,33 1,31 а = с' 0,43 0,46 0,49 0,51 0,54 0,56 0,59 0,07 0,15 0,22 0,27 0,33 0,37 0,40 0,43 0,46 0,49 0,51 0,54 0,56 0,57 0,95 с" 1,57 1,54 1,50 1,48 1,46 1,43 1,40 1,93 1,87 1,79 1,73 1,68 1,63 1,59 1,56 1,54 1,52 1,48 1,46 1,44 1,42 ть 18 20 О 17 18 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ко н ч а = с' 0,65 0,67 0,12 0,22 0,29 0,35 0,40 0,43 0,47 0,50 0,53 0,55 0,57 0,60 0,61 0,63 0,65 0,66 0,68 0,70 ание 0,90 с" 1,30 1,28 1,60 1,57 1,55 1,52 1,49 1,46 1,44 1,42 1,40 1,38 1,36 1,35 1,34 1,33 1,31 1,30 1,28 1,27 та б л \ [цы 44 а = 0,95 с1 0,59 0,61 0,07 0,15 0,22 0,27 0,32 0,35 0,39 0,43 0,45 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 с" 1,39 1,37 1,97 1,89 1,81 1,75 1,70 1,65 1,61 1,58 1,54 1,52 1,50 1,48 1,46 1,44 1,42 1,40 1,37 1,36 Таблица 45 п 3 4 5 6 7 8 9 V 3 3 4 3 4 5 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 а = d' 2,12 1,55 1,49 1,20 1,22 1,20 1,02 1,03 1,04 1,04 0,90 0,89 0,89 0,90 0,90 0,88 0,83 0,82 0,82 0,82 0,82 0,86 Значеним коэффициентов dfa и d^ :0,90 d" -2,54 -3,85 -1,50 -5,22 -1,94 -1,08 -6,12 -2,39 -1,36 -0,91 -7,39 -2,95 -1,59 -1,04 -0,79 -8,15 -3,30 -1,86 -1,20 -0,88 -0,70 -9,12 а = 0,95 в! 3,39 2,43 2,15 1,76 1,74 1,64 1,39 1,42 1,41 1,39 1,20 1,20 1,21 1,20 1,18 1,72 1,07 1,07 1,08 1,08 1,07 1,06 d" -4,47 -6,92 -2,37 -9,35 -3,13 -1,63 -10,54 -3,69 -2,05 -1,29 -13,00 -4,67 -2,48 -1,54 -1,09 -14,26 -5,34 -2,78 -1,81 -1,28 -0,97 -15,68 ть 9 10 11 т 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 а - в! 0,79 0,76 0,76 0,76 0,76 0,76 0,87 0,77 0,72 0,71 0,70 0,71 0,71 0,71 0,87 0,75 0,69 0,66 0,65 0,65 0,65 0,65 [95] = 0,90 d" -3,78 -2,10 -1,38 -0,99 -0,76 -0,64 -9,98 -4,17 -2,37 -1,51 -1,08 -0,86 -0,70 -0,60 -10,68 -4,57 -2,58 -1,67 -1,21 -0,92 -0,76 -0,63 а - d' 1,00 0,98 0,99 0,99 0,99 0,98 1,07 0,96 0,93 0,92 0,93 0,93 0,93 0,92 1,07 0,92 0,88 0,85 0,86 0,86 0,86 0,86 = 0,95 d" -6,31 -3,19 -2,01 -1,43 -1,08 -0,87 -17,45 -6,54 -3,56 -2,21 -1,56 -1,20 -0,97 -0,80 -18,52 -7,26 -4,00 -2,45 -1,70 -1,30 -1,06 -0,87
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 169 п 11 12 13 14 15 16 г 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 5 а - d! 0,65 0,88 0,75 0,68 0,64 0,62 0,62 0,62 0,62 0,62 0,62 0,88 0,76 0,68 0,64 0,61 0,59 0,58 0,58 0,58 0,59 0,59 0,90 0,77 0,69 0,63 0,60 0,58 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,89 0,78 0,70 0,64 0,59 0,57 0,56 0,55 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,92 0,79 0,70 = 0,90 d" -0,55 -11,23 -4,81 -2,72 -1,83 -1,32 -1,00 -0,80 -0,67 -0,58 -0,53 -11,66 -5,21 -2,95 -1,94 -1,40 -1,06 -0,86 -0,72 -0,63 -0,56 -0,51 -12,49 -5,38 -3,13 -2,10 -1,50 -1,15 -0,93 -0,76 -0,65 -0,57 -0,51 -0,47 -13,14 -5,55 -3,35 -2,21 -1,56 -1,20 -0,96 -0,82 -0,70 -0,62 -0,55 -0,50 -0,46 -13,55 -5,89 -3,45 а - d1 0,85 1,10 0,92 0,84 0,81 0,80 0,79 0,80 0,80 0,80 0,79 1,09 0,93 0,84 0,79 0,77 0,75 0,74 0,74 0,75 0,75 0,75 1,11 0,94 0,84 0,79 0,75 0,73 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 1,12 0,95 0,85 0,78 0,74 0,71 0,69 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 1,13 0,97 0,85 = 0,95 d" -0,75 -19,08 -7,44 -4,17 -2,63 -1,91 -1,41 -1,15 -0,91 -0,78 -0,69 -19,77 -8,22 -4,44 -2,86 -2,04 -1,52 -1,18 -1,00 -0,85 -0,74 -0,67 -21,43 -8,30 -4,72 -3,07 -2,16 -1,67 -1,30 -1,07 -0,89 -0,76 -0,68 -0,63 -23,14 -8,79 -4,88 -3,21 -2,29 -1,72 -1,35 -1,10 -0,96 -0,83 -0,73 -0,66 -0,59 -22,72 -9,38 -5,17 п 16 18 20 г 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Оке а - d! 0,63 0,59 0,56 0,54 0,53 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,97 0,83 0,72 0,65 0,60 0,55 0,52 0,50 0,49 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,99 0,83 0,73 0,65 0,59 0,55 0,52 0,49 0,47 0,46 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 >нчани( = 0,90 d" -2,34 -1,68 -1,30 -1,05 -0,86 -0,72 -0,64 -0,56 -0,51 -0,46 -0,44 -14,29 -6,23 -3,74 -2,56 -1,87 -1,42 -1,16 -0,95 -0,81 -0,69 -0,61 -0,55 -0,50 -0,46 -0,44 -0,41 -15,33 -6,64 -4,00 -2,73 -2,04 -1,55 -1,26 -1,03 -0,88 -0,76 -0,67 -0,59 -0,53 -0,49 -0,46 -0,43 -0,41 -0,40 э таблицы 45 а = 0,95 d1 0,77 0,73 0,70 0,68 0,67 0,66 0,66 0,66 0,66 0,66 0,66 1,21 1,00 0,87 0,78 0,72 0,68 0,65 0,63 0,62 0,61 0,61 0,60 0,61 0,60 0,61 0,61 1,25 1,02 0,89 0,79 0,72 0,68 0,63 0,60 0,59 0,59 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 d" -3,34 -2,42 -1,81 -1,44 -1,18 -1,00 -0,87 -0,76 -0,68 -0,61 -0,56 -25,90 -9,67 -5,55 -3,67 -2,64 -2,02 -1,62 -1,33 -1,13 -0,95 -0,84 -0,74 -0,67 -0,61 -0,57 -0,54 -26,67 -10,49 -5,99 -3,95 -2,91 -2,20 -1,72 -1,42 -1,19 -1,02 -0,89 -0,80 -0,70 -0,65 -0,60 -0,56 -0,53 -0,53
170 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 46 п т а = ( к1 Коэффициенты fc'i 3,90 к" а = к' 0,95 к" и к"(е,а) [95] т а = 0,90 к1 к" а = к' 0,95 к" е = 0,90 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 4 3 4 5 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 13,16 13,07 8,39 12,58 8,48 6,73 11,74 8,18 6,73 5,83 11,12 7,89 6,68 5,82 5,25 10,67 7,79 6,50 5,83 5,31 4,90 10,21 7,39 6,34 5,67 5,28 4,95 4,66 9,36 7,17 6,13 5,59 5,18 4,91 4,63 4,41 9,11 7,04 6,07 5,52 4,96 4,87 4,63 4,44 4,26 8,40 6,60 5,79 1,10 1,16 1,16 1,18 1,23 1,23 1,18 1,28 1,29 1,27 1,18 1,31 1,33 1,32 1,32 1,13 1,33 1,36 1,36 1,36 1,36 1,12 1,36 1,41 1,41 1,41 1,40 1,40 0,99 1,34 1,42 1,43 1,43 1,43 1,42 1,42 0,90 1,35 1,43 1,45 1,45 1,45 1,44 1,44 1,45 0,75 1,34 1,11 20,93 20,93 11,66 20,38 11,73 8,66 18,65 11,39 8,89 7,31 17,54 10,90 8,44 7,23 6,37 16,36 10,76 8,62 7,18 6,40 5,84 15,61 10,26 8,13 7,06 6,46 5,94 5,50 14,88 9,60 8,02 6,99 6,29 5,83 5,51 5,16 14,47 9,98 7,83 6,96 6,34 5,82 5,54 5,23 4,94 12,96 9,07 7,35 0,75 0,75 0,87 0,78 0,97 0,97 0,73 1,00 1,02 1,02 0,64 1,04 1,08 1,08 1,08 0,49 1,04 1,11 1,13 1,12 1,12 0,42 1,06 1,17 1,19 1,19 1,19 1,19 0,09 0,99 1,17 1,20 1,21 1,21 1,21 1,21 -0,09 0,97 1,18 1,24 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 -0,38 0,95 1,20 12 13 14 15 16 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 5 6 7 5,31 4,98 4,75 4,53 4,37 4,23 4,07 8,16 6,45 5,75 5,30 4,96 4,73 4,55 4,37 4,23 4,09 3,96 7,69 6,17 5,54 5,12 4,82 4,61 4,45 4,30 4,20 4,09 3,98 3,85 7,23 5,95 5,36 4,97 4,72 4,57 4,40 4,26 4,15 4,08 3,98 3,89 3,77 7,07 5,90 5,33 4,98 4,74 1,46 1,47 1,47 1,46 1,47 1,46 1,47 0,72 1,31 1,45 1,48 1,49 1,49 1,49 1,49 1,49 1,49 1,49 0,57 1,29 1,46 1,51 1,52 1,52 1,52 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 0,43 1,26 1,44 1,50 1,52 1,52 1,52 1,52 1,52 1,52 1,52 1,51 1,52 0,25 1,23 1,45 1,52 1,53 6,61 6,09 5,71 5,40 5,11 4,88 4,68 12,45 8,82 7,32 6,49 6,02 5,63 5,32 5,11 4,90 4,73 4,51 11,56 8,28 6,96 6,27 5,75 5,47 5,18 4,94 4,79 4,67 4,51 4,36 10,78 7,94 6,85 6,19 5,77 5,40 5,16 4,95 4,76 4,62 4,51 4,39 4,23 10,49 7,94 6,73 6,18 5,81 1,26 1,28 1,28 1,27 1,27 1,27 1,28 -0,45 0,88 1,20 1,27 1,30 1,30 1,30 1,30 1,30 1,30 1,30 -0,81 0,83 1,18 1,28 1,32 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 -1,05 0,77 1,15 1,29 1,33 1,34 1,35 1,35 1,35 1,34 1,35 1,35 1,35 -1,38 0,74 1,17 1,30 1,35
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 171 а = ( к' 3,90 к" а = к1 0,95 к" Продолжени а = 0,90 к1 к11 е та б л а = к1 и ц ы 46 0,95 к" е = 0,90 16 18 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4,56 4,38 4,24 4,13 4,05 3,94 3,87 3,79 3,71 6,43 5,52 5,04 4,73 4,55 4,39 4,25 4,14 4,05 3,97 3,91 3,84 3,75 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 0,11 1,19 1,45 1,53 1,56 1,57 1,58 1,58 1,58 1,58 1,57 1,57 1,57 5,38 5,17 4,97 4,79 4,65 4,49 4,38 4,26 4,16 9,64 7,38 6,40 5,79 5,41 5,15 4,99 4,80 4,63 4,51 4,40 4,30 4,21 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 -1,61 0,66 1,10 1,30 1,37 1,40 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 18 20 16 17 18 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3,71 3,66 3,59 6,04 5,24 4,82 4,55 4,41 4,29 4,15 4,05 3,97 3,92 3,84 3,77 3,72 3,67 3,61 3,57 3,52 3,47 1,57 1,58 1,58 -0,19 1,10 1,42 1,54 1,58 1,59 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 4,14 4,04 3,97 9,01 7,00 6,16 5,68 5,33 5,06 4,85 4,71 4,57 4,46 4,39 4,29 4,20 4,12 4,04 3,97 3,92 3,84 1,41 1,41 1,42 -2,27 0,46 1,07 1,30 1,38 1,42 1,43 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 е = 0,95 3 4 5 6 7 8 9 3 3 4 3 4 5 3 4 5 6 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 17,21 17,55 10,88 17,36 11,14 8,68 16,66 10,95 8,82 7,53 16,07 10,80 8,84 7,61 6,73 15,76 10,74 8,78 7,67 6,91 6,29 15,33 10,40 8,59 7,51 1,64 1,73 1,69 1,79 1,76 1,74 1,83 1,83 1,81 1,80 1,87 1,88 1,86 1,84 1,85 1,90 1,91 1,90 1,89 1,89 1,89 1,93 1,96 1,95 1,95 27,32 27,54 15,06 28,30 15,51 11,14 26,85 15,32 11,58 9,39 25,31 14,80 11,18 9,40 8,19 24,57 15,22 11,57 9,43 8,38 7,50 23,80 14,41 11,05 9,46 1,26 1,38 1,36 1,44 1,45 1,44 1,48 1,52 1,51 1,50 1,52 1,59 1,59 1,57 1,58 1,53 1,63 1,63 1,62 1,62 1,62 1,55 1,67 1,69 1,68 9 10 11 12 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 6,91 6,39 6,00 14,50 10,12 8,39 7,50 6,83 6,40 6,01 5,67 14,11 10,03 8,34 7,42 6,83 6,38 6,04 5,75 5,49 13,40 9,56 8,08 7,22 6,66 1,94 1,94 1,95 1,91 1,98 1,97 1,97 1,96 1,96 1,96 1,96 1,93 2,01 2,01 2,00 1,99 1,99 1,98 2,00 2,00 1,91 2,02 2,03 2,02 2,02 8,40 7,73 7,09 23,00 13,69 11,00 9,42 8,29 7,61 7,12 6,65 22,60 14,44 10,39 9,39 8,42 7,65 7,23 6,73 6,35 21,39 13,27 10,40 9,00 8,08 1,67 1,68 1,69 1,51 1,70 1,72 1,71 1,71 1,70 1,71 1,72 1,48 1,73 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,76 1,77 1,42 1,74 1,79 1,79 1,79
172 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 п Т а = ( к' 3,90 к" а = ( У 3,95 к" п т Окон а = ( к' чание 3,90 к" таблицы 46 а = 0,95 к' к" е = 0,95 12 13 14 15 16 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 5 6 7 8 9 10 6,27 5,95 5,67 5,47 5,26 13,11 9,47 8,04 7,24 6,68 6,29 6,00 5,70 5,50 5,30 5,12 12,73 9,10 7,82 7,07 6,53 6,16 5,88 5,65 5,48 5,31 5,14 4,97 12,22 8,90 7,64 6,91 6,41 6,10 5,81 5,61 5,43 5,31 5,17 5,02 4,88 11,98 8,88 7,67 6,92 6,47 6,12 5,84 5,60 2,01 2,00 2,01 2,01 2,02 1,92 2,05 2,06 2,05 2,05 2,04 2,04 2,04 2,04 2,04 2,05 1,92 2,06 2,08 2,08 2,07 2,07 2,07 2,06 2,07 2,07 2,07 2,08 1,88 2,06 2,09 2,09 2,08 2,08 2,07 2,07 2,07 2,07 2,07 2,07 2,08 1,85 2,06 2,11 2,11 2,11 2,10 2,10 2,09 7,49 7,06 6,63 6,29 6,00 20,76 13,09 10,25 8,89 8,10 7,43 7,83 6,99 6,66 6,36 5,80 19,14 12,45 9,93 8,71 7,78 7,30 6,92 6,49 6,26 6,06 5,80 5,60 18,38 11,93 9,79 8,55 7,90 7,26 6,87 6,50 6,22 6,00 5,88 5,66 5,46 18,76 12,30 9,72 8,63 7,98 7,27 6,92 6,60 1,79 1,78 1,77 1,78 1,80 1,44 1,78 1,82 1,82 1,82 1,81 1,81 1,81 1,81 1,81 1,83 1,39 1,77 1,84 1,85 1,85 1,85 1,84 1,85 1,85 1,85 1,85 1,85 1,24 1,77 1,84 1,87 1,87 1,86 1,86 1,85 1,85 1,86 1,87 1,87 1,89 1,13 1,77 1,87 1,89 1,89 1,89 1,88 1,88 16 18 20 11 12 13 14 15 16 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5,44 5,30 5,14 5,02 4,91 4,80 11,18 8,46 7,32 6,61 6,23 5,95 5,72 5,51 5,35 5,23 5,12 5,01 4,88 4,83 4,74 4,65 10,78 8,16 7,09 6,49 6,11 5,88 5,62 5,43 5,29 5,18 5,07 4,96 4,86 4,78 4,70 4,64 4,57 4,49 2,09 2,09 2,09 2,10 2,11 2,12 1,83 2,09 2,14 2,14 2,14 2,14 2,14 2,13 2,13 2,14 2,14 2,13 2,14 2,14 2,15 2,17 1,75 2,09 2,15 2,17 2,17 2,17 2,16 2,16 2,16 2,16 2,16 2,16 2,16 2,16 2,17 2,18 2,18 2,19 6,30 6,06 5,87 5,68 5,53 5,35 17,89 11,66 9,43 8,27 7,45 6,97 6,71 6,38 6,15 5,96 5,75 5,60 5,46 5,36 5,22 5,11 16,96 11,03 9,12 8,11 7,42 6,97 6,56 6,30 6,09 5,92 5,79 5,63 5,49 5,37 5,23 5,14 5,06 4,95 1,89 1,88 1,89 1,90 1,90 1,92 1,11 1,81 1,90 1,93 1,94 1,94 1,94 1,93 1,93 1,93 1,92 1,93 1,94 1,94 1,95 1,97 0,94 1,79 1,92 1,94 1,95 1,96 1,96 1,95 1,95 1,95 1,96 1,96 1,96 1,97 1,98 1,98 1,99 2,00
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 173 Таблица 47 г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Значения г\ = t(r,n)/t(r,r) к 1 1,000 0,500 0,333 0,250 0,200 0,167 0,143 0,125 0,111 0,100 0,091 0,083 0,077 0,071 0,067 2 1,000 0,556 0,389 0,300 0,244 0,206 0,179 0,157 0,141 0,127 0,116 0,107 0,099 0,092 3 1,000 0,590 0,427 0,336 0,278 0,237 0,207 0,183 0,165 0,150 0,137 0,126 0,117 4 1, 0, о, о, о5 0, о, 0, о, о, о, о, 000 616 450 365 365 262 230 205 185 169 155 143 5 1,000 0,635 0,479 0,387 0,327 0,283 0,250 0,224 0,202 0,185 0,170 6 1,000 0,650 0,497 0,406 0,345 0,301 0,267 0,240 0,218 0,200 7 1,000 0,663 0,513 0,423 0,361 0,316 0,282 0,254 0,232 8 1,000 0,673 0,526 0,437 0,375 0,330 0,295 0,267 к 9 1,000 0,682 0,537 0,449 0,388 0,342 0,307 10 1,000 0,690 0,547 0,460 0,399 0,353 11 1,000 0,696 0,536 0,470 0,409 12 1,000 0,703 0,564 0,479 13 1,000 0,708 0,572 14 ; ( 1,000 3,713 15 1,000 Задача 63. Получена выборка из распределения Вейбулла с параметром f3 = 3,1: Xi\ 0,74; 0,78; 0,94; 1,26; 1,39; 2,17; 2,19; 3,18; 5,16; 6,12. Необходимо найти оценку максимального правдоподобия параметра а. Имеем а= \ - п • _1_ /3 Г -, 10 V зд 0,78 зд ¦6Д23'1' 1 зд = 3,53601. Задача 64. Найти совместные точечные оценки параметров распределения Вейбулла по выборке данных задачи 63. Используем метод ускоренного решения системы уравнений максимального правдо- правдоподобия. Вычислим оценки среднего и стандартного отклонения •=-4yXi = 2,393; п *-—'
174 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 s = 1 = 1,88539 g и найдем оценку коэффициента вариации и = — = 0,78777. ж Из соотношения /Зо ~ i/~1?075 находим приближение /Зо = @,787877)^l!075 = 1,292. Далее вычисляем ю si = ]Г х1г2Ш = 0Д41'292 + • • • + 6Д21'292 = 33,85538; ю S2 = J2lnXi = Ы °'74 + • • • + Ь 6,12 = 6,11698; г=1 10 = Y, х\'292 •ln Xi = 0,741>292 • In 0,74 + ... + 6Д21'292 • In 6,12 = 42,26807; г=1 tf = 0,74х'292 • AпО,74J + ... + 6Д21'292 • Aп6Д2J = 66,16118. Вычисляем оценки: - [42,26807 611698 ^ ОЛО 42,268072 - 33,85538 • 66,16118 в = { — Ь 1,292 • —' ъ х [33,85538 10 33,855382 х \(*Ш!. tbll^) . 1>292 - ll Г= 1,37481; LV 33,85538 10 ) J/ 1 1 10 \ 1,37481 : = I — J2 ^'3?481 I = 2,58882. Задача 65. Имеется выборка из распределения Вейбулла: хц 12, 14, 21, 38, 42, 44, 46, 59, 61, 72. Вычислить оценки параметров а и C методом моментов. Воспользуемся простейшим методом (оценка по коэффициенту вариации). Вычисля- Вычисляем последовательно 1 »ffc~rf =19,208; |/=з =0,4708. n ,ti J * Имеем /3 = 0,4708^l!°75 = 2,247 или из табл. 39 /3 « 2,19. Оценку а ищем в форме 1 /in \ 2,247 а= ^Еж?'247 =46,0656. Воспользовавшись близостью /3^2, продемонстрируем оценку параметров распределе- распределения Рэлея (см. раздел 2.3.1.6). В нашем случае s = 19,208 и х = 40,8. Тогда имеем 2^= = 41,46; Ам = 40,8 - 19f!^ = 4,05. 4 — тг V 4 — тг
«1 • X\ X9 ~ «1 - - a2 - x\ - OL2 ¦ X2 = 10,626. 2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 175 Дисперсии этих оценок приближенно равны (hi = 20,745; k2 = 36,8886; fe = 11,6404): D(aM) = J^fci = 96,478 (y/D(aM) = 9,82); D(jim) = k2 H fci ^^= = 88,829 4 — 7Г V4 — 7Г Полагая (весьма условно — только для демонстрации техники вычислений), что L == жо,93-ю ~ жд и хР2 = Жо,07-ю ~ #1, имеем для квантильных оценок l = - ln(l ~~ pi) = 2,659; а2 = - 1пA - р2) = 0,0725): 61^ 12 = 18,94; 2,659 - 0,0725 12 • 2,659 - 61 • 0,0725 «1 • а2 2,659 • 0,0725 Дисперсии их равны: D(ak) = 0,7681 • ^ = 27,55 D(uk) = 1,7506 • ^ = 62,79 (х/В(ак) = 7,92). те Не следует приходить в отчаяние от несовпадения оценок ам и а&. Это является след- следствием того, что квантильные оценки применимы при п > 50 (у нас, вспомните, речь шла только о демонстрации техники вычислений). Рассмотрим теперь оценку параметров распределения Вейбулла с помощью коэф- коэффициента асимметрии. Отметим сразу, что достаточно точные оценки коэффициента асимметрии требуют объема выборки п > 100. Мы преследуем цель продемонстрировать только технику вычислений, поэтому следует помнить, что приведенный пример позво- позволит понять суть метода, но для получения точных оценок с его помощью необходимо располагать значительно большим объемом данных. Имеем аз = —^ ' У" (хг - xf = ч * К12 - 40,81K + ... + G2 - 4,81K1 = -0,0707. 10 ¦ s3 fr[ V ; 10 ¦ 19,2083 LV ; V ; J Примечание. Отличие в оценках от предыдущего метода не должно вводить в за- заблуждение. Ведь когда мы говорим, что имеем выборку из распределения Вейбулла — это не более, чем гипотеза (мы не знаем даже, сколько в нем значимых параметров). Как узнать, каково же истинное распределение — это самостоятельная задача, рассматрива- рассматриваемая в главе 3 настоящей книги. Задача 66. Для данных задачи 65 найти оценки параметров по одной характеристи- характеристической порядковой статистике. Имеем г1 = 0,632 • (п + 10) = 0,632 • 11 = 6,252; xR = ^x6 • х7 = л/М • 46 = 44,989. Вычисляем G = XR^X = —1— . D4,9889 - 40,8) = 0,218086. s 19,208 v ; Из табл. 41 имеем /3 ~ 1,821 и Ь1 = 1,978, и окончательно а = s • У = 19,208 • 1,978 = 37,993; Д = xR - а = 44,989 - 37,993 = 6,996. Задача 67. Имеется гистограмма выборочных данных по наработке приборов U: 0^5 5^10 10-=-15 15^20 20^25 25^30 30^35 35^40 тц 21 24 12 10 5 13 9 6 (wii — количество данных, попавших в г-й интервал, JV=100). Найти оценку пара- метров распределения наработки приборов методом наименьших квадратов {см. раз- дел 2.3.1.3).
176 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Вычисления сведем в таблицу (здесь т* = — I ]P rriij — 0,5 ]): и 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 mi 21 24 12 10 5 13 9 6 mi 0,205 0,445 0,565 0,665 0,715 0,845 0,935 0,995 Рс 0,795 0,555 0,435 0,335 0,285 0,155 0,065 0,005 ^igPc 0,0996 0,2557 0,3615 0,4749 0,5451 0,8097 1,1871 2,3010 У -1,0016 -0,5922 -0,4419 -0,3233 -0,2635 -0,0917 0,0745 0,3619 X 0,6990 1,0000 1,1761 1,3010 1,3979 1,4771 1,5441 1,6020 х2 0,4886 1,0000 1,3832 1,6927 1,9541 2,1819 2,3841 2,5666 ху -0,70010 -0,59220 -0,51970 -0,42060 -0,36847 -0,13540 0,11503 0,57980 100 -2,2778 10,1972 13,6512 -2,04154 Находим (п = 8 — число интервалов гистограммы): ¦О2^ Xil =8-13,6512-10,1972=5,2267; t Dc = J2 У*' Л xi ~ J2 Xi' 12 Xi ' Vi = (~ 252778) • 13,6512 - 10,1972 • (- 2,04154) = - 1,2767; n n n Db = n • J2 xi ' Vi ~ JZ xi • Y, Vi = 8 * (^2,04154) - 10,1972 • (-2,2778) = 6,89486; D* 10,2767 Db 6,89486 с = — = = —1,9661; b = — = = 1,3192. Do 5,2267 ' ' Do 5,2267 Параметр b является искомой оценкой /3 = b = 1,3192. Параметр а является искомой оценкой а. Находим ее из условия с = 0,3622blga, откуда имеем lga = - с+ 0,3622 - 1,9661 + 0,3622 1,3192 = 1,215813 и & = 16,4366. Задача 68. В условиях задачи 65 найти оценку параметров распределения методом аппроксимации (см. [36]). Имеем а3 = -0,0707 и оценку $ и 48 • (-0,0707 + 1,23)~м = 3,9027. Далее 1 - 0,427 • C,9027 - 1) • 3,9027~1>9 = 0,6824; ¦ = 8 • 0,5 + 0,784 • /3 - ^^ = 19,208 ¦ 0,5 + 0,784 . 3,9027 - ^^ 1 J3 ) \ 3,9027 = 66,874. Окончательно получаем = 97,998; Д = 40,8 - 66,874 = -26,074. 5 5^' ? ^ a 0,6824 Если принять в качестве исходного двухпараметрическое распределение Вейбулла, то оценки будут равны 10 о,465 • 40,8 1,282 • 19,208 = 2,0178; а = 0,6824 = 59,79. Напомним, что мы решаем задачу, исходя из того, что закон распределения вероят- вероятностей случайной величины нам известен заранее.
2.3] Оценка параметров распределения Вейбулла 177 Задача 69. В условиях задачи 67 найти оценки параметров с помощью квантилей. Нам потребуются квантили жо,95 и жо,2- Имеем Жо,95 = Ж[0?05-100] + 1 = #5i; Ж[о,8О-1ОО] + 1 = #81- В нашем Р^ДУ данных xsi ~ 27 и хы ~ 11, и окончательно получаем а = ехр@,4224 • In 27 + 0,5776 • In 11) = 16,073. Задача 70. Но данным задачи 65 найти оценки с помощью порядковых статистик (см. раздел 2.3.1.5), если а) цензурированы 5 больших членов выборки; б) выборка не цензурирована. Для варианта а) имеем п = 10, г = 5 и из табл. 42 находим oi = -0,115524; а2 = -0,090668; а3 = -0,051341; а4 = 0,000925; а5 = 1,256809; а = -0,185169; с2 = -0,181821; с3 = -0,160697; с4 = -0,125311; с5 = 0,625997. Из табл. 43 находим к\ = 0,120330 и къ = 0,177275. Далее оценки находятся по фор- формулам й= ]Гщ >yi = -0,115524-In 12...+ 1,256809-In 42 = 4,01772; г=1 Ь = J2 ci ' Vi = ^0185169 • In 12 ... + 0,652997 • In 42 = 0,555648. г=1 л 1 Искомые оценки равны /3 = - = 1,800; а = ехрD,01772) = 55,574 или (с учетом смеще» b ния) U Ь 0,555648 п^гЛ а 1 , AQa Ь = = = 0,6754: /3 = ^ = 1,480; 1-к2 1 - 0,177275 ' Ь* и* = и + S* • кг = 4,01772 + 0,6754 • 0,12033 = 4,099; а* = ехр D,099) = 60,279. Для случая б) по аналогии с помощью табл. 42 и 43 имеем и = 0,02331 • In 12 + ... 0,230001 • In 72 = 3,8619; b = ^0,072734 • In 12 - ... + 0,324597 • In 72 = 0,446372. Из табл. 43 имеем кг = -0,020508 и к2 = 0,06692. Тогда Ы °?446372 1 - 0,06692 Окончательно получаем = 0,4784; й* = 3,8619 + 0,4784 • (-0,020508) = 3,852. = 2,090; а = ехр(й*) = ехрC,8520) = 47,087. 5* 0,4784 Задача 71. Имеется выборка данных из распределения Вейбулла с параметром P = 2,l-Xi\ 4,2; 5,2; 6,1; 8,9; 10,1; 12,4; 13,9; 16,1; 17,2; 21,0. Найти интервальную оценку параметра а при доверительной вероятности а = 0,90 (Не путать! Разный смысл вкладывается в а — это и параметр распределения и дове- доверительная вероятность. Необходимо следить за указаниями в тексте). Имеем из табл. 36 для а = 0,90 и п = 10: кн = 0,637 и кв = 1,84. Далее х = - jr xf = — • D,22Д + 5,22Д + ... + 212'1) = 210,64941. Окончательно _L_ JL- 1 1 al = @,637) 2Д • B10,64941) 2,1 = 10,30338; авп = A,84) 2Д • B10,64941) 2Д = 17,08287. Следовательно, с вероятностью 0,90 значение параметра а находится в диапазоне 10,30838 ^ а ^ 17,08287.
178 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Задача 72. В условиях задачи 65 с учетом точечных оценок параметров, полученных в задаче 70, найти интервальные оценки параметров а и /3 при доверительной вероят- вероятности а = 0,90. Точечные оценки: /3 = 1,800, а = 455,574 при п = 10 и г = 5 (т. е. когда оценка выпол- выполняется по пяти порядковым статистикам) и /3 = 2,090, /3 = 47,087, если оценка ведется по всем п = г наблюдениям. Ищем оценки при г = 5ип = 10(а = 0,90). Из табл. 44 находим с = 0,30 и с" = 1,53. Тогда /3^ = 0,30 • 1,8 = 0,54; /3^ = 1,53 • 1,8 = 2,54. Следовательно, 0,54 ^ /3 ^ 2,754. Для вычисления интервальной оценки а воспользуемся результатами решения зада- задачи 70, из которых следуют оценки й* = 4,099 и Ь* = 0,6754. Из табл. 45 для г = 5, п = 10 и а = 0,90 находим d! = 0,72 и d" = -2,37. Тогда а? = ехр D,099 - 0,6754 • 0,72) = 37,066; а? = ехр D,099 - 0,6754 • (-2,37)) = 298,777 и 37,066 ^ а ^ 298,777. По аналогии для случая г = п имеем /3 = 2,090; а = 0,71; с' = 0,55; с' = 1,38; и* = 3,8520; S* = 0,4784; d1 = 0,71; d/; = -0,60. Тогда PI = 0,55 • 2,090 = 1,149; J3l = 1,38 • 2,090 = 2,884; сС = ехрC,852 - 0,4784 • 0,71) = 33,526; сТп = ехрC,852 - 0,4784 • (-0,60)) = 62,742. Легко видеть,что увеличение количества наблюдений, участвующих в оценке, повьь шает ее точность. Задача 73. В условиях задачи 65 с учетом точечных оценок, полученных в задаче 70, найти интервальную оценку 95%-й квантили случайной вейбулловской величины х при доверительной вероятности а = 0,90 для случая г = 5, п = 10. Для случая г = 5, п = 10 точечные оценки й* = 4,099, Ь* = 0,6754. Из табл. 46 находим к1 @,95; 0,90) = 8,39 и fc/;@,95; 0,90) = 1,97. Тогда имеем ехрD,099 - 0,6754 • 8,39) ^ жО)95 ^ ехрD,099 - 0,6754 • 1,97); 0,208 ^ жо,95 ^ 15,934. Задача 74. Решить задачу 73 d/ш случая г = п = 10. Для случая г = гг = 10 имеем Ь* = 0,4784; й* = 3,852; А;'@,95; 0,90) = 5,67; fc;/@,95; 0,90) = 1,96. Тогда ехрC,852 - 0,4784 • 5,67) ^ жо,95 ^ ехрD,099 - 0,4784 • 1,96); 3,125 ^ жо,95 ^ 18,436. Задача 75. Оценить для г = 3,5 ti 7 при п = 10 ожидаемую экономию в продолжи- тельности испытаний изделий, если распределение контролируемого параметра подчи- подчиняется а) экспоненциальному распределению, б) распределению Вейбулла с параметром /3 = 3,8. Из табл. 47 для случая а) имеем rj = 0,183 (г = 3); rj = 0,283 (г = 5) и rj = 0,423 (г = 7). Таким образом, ожидаемая продолжительность испытаний составит соответственно 18,3%, 28,3% и 42,3% от времени, необходимого при испытаниях в варианте г = п. Для 1 1 случая б) эти величины будут равны ц = 0,1833'8 = 0,639(г = 3), ц = 0,2833'8 = 0,717 (г = 5); 7]1 = 0,4233^ = 0,797 (г = 7).
2.4] Оценка параметров гамма-распределения 179 2.4. Оценка параметров гамма-распределения Плотность гамма-распределения имеет вид (см. раздел 1.1.6) -^р х,/3>0, а>1, где а и /3 — параметры распределения, подлежащие оценке по выборочным данным. 2.4.1. Точечные оценки 2.4.1.1. Оценка /3 при известном а » * _ 1 " 1 — — Г ЯР Т — — > Т • Р-а, где х-п^хг. г=1 2.4.1.2. Совместная оценка параметров 2.4.1.2.1. Оценка максимального правдоподобия Оценки максимального правдоподобия а и C по выборке объема п являются решением системы уравнений 1 с?[1пГ(аI " —птв — п ~ + > = О, ^ + = 0. Система мож:ет быть решена методом последовательных прибли^кений. Когда а не слишком мало, можно использовать приближение [16] Интересный метод решения системы уравнений максимального правдоподобия предложен в [168—170]. Запишем систему уравнений максимального правдоподобия в виде i ~ nf3a = 0, где ф(а) — логарифм производной гамма™функции. Предлагается решение системы с помощью параметра п п | ||ж, основанное на аппроксимации зависимости а от А [171].
180 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Из системы уравнений следует Ыа — ф(а) = А. В диапазоне значений 0,025 ^ А ^ 8,2 (что соответствует 0,10 ^ а ^ 20) применима аппроксимация 0,9885 ехр[^0,187(С - А)}, А < С; а = где С = 0,5772 — постоянная Эйлера (относительная погрешность аппроксимации не превышает 0,8%). 1 п Параметр /3 оценивается, как и ранее, по формуле /3 = ~™г ^ Х{. i=i Оценка для а может быть упрощена: Л _ |о,521143А^'09885 ехр @Д87А) при А < 0,5772; \о,61998А^0'8699 при А ^ 0,5772. Еще одна оценка, основанная на аппроксимации гамма-функции, рассмотрена в [172]. Предлагается разложение гамма-функции по формуле Стирлинга Г(а) = е^ааа^ + + Ц 12а 288а2 При использовании первых трех членов разложения приходим к оценке — = —3 + \/9 + 12 (lnsi — s2), где si = -^^, 52-^г г=1 г=1 Оценка для /5 в этом случае, как и ранее, определяется по формуле /3 = ^т = ^т- 2.4.1.2.2. Несмещенная оценка для малых выборок В [173] предложена оценка 1 1 1 в = — \^ Х4 \ПХ4 \^ Х4 - — \^ In Xi. %=1 %=1 %=1 Ее точность, несмотря на простоту вычислений, вполне удовлетворительна. 2.4.1.2.3. Оценка методом моментов Метод применим при п ^ 50. Оценки имеют вид 2 ; ^ = ?' где x=n^Xl" s =п 2.4.2. Интервальная оценка параметра /3 При известном параметре а интервальная оценка для /3 имеет вид кшх ^ /3 ^ квх, где кШ1 кв — коэффициенты, которые могут быть взяты из табл. 36 с заменой п на па.
2.4] Оценка параметров гамма-распределения 181 Задача 76. Имеется ряд выборочных значений случайной величины, имеющей гамма- распределение Xi: 144, 216, 816, 71,1147, 2120, 912,150, 50,1450, 3500,189, 21, 914,1500,1700,300, 650. Необходимо найти оценки параметров а и /3. Оценка /3 при известном а B.4.1.1) Пусть а = 0,8. Тогда оценка равна J3 =- = — • V" xi = — • 15850 = 1100,69. а п ^ 18 Оценка максимального правдоподобия (ускоренный метод) B.4.1.2.1) Имеем ±.?> = 880,555; А = In 88°'555 = 0,71217. г=1 \г=1 / П 1=1 431,9807 Так как А > 0?5772, то п а = 0,61998 • 0,71217^0'8699 = 0,8329; /3 = ^— = 1057,163. п • а Оценка с разложением по формуле Стирлинга B.4.1.2.1) Имеем 8-1 = - -Y\xi- 880,555; s2 = - . УЧпж* = 6,06838. П г=1 П г=1 Далее вычисляем = 0,84118; J3 = 880?Б55 = 1046,809. -3 + i/9 + 12 ¦ (In 880,555 - 6,06838) 0,84118 Несмещенная оценка B.4.1.2.2) Имеем -•irxi-\nxi = 6392,798; - • Y" Xi = 880,555; - • Y In Xi = 6,06838. г=1 г=1 г=1 Тогда P = 6392,798 - 880,555 • 6,06838 = 1049,225; a = % = S80'555 = 0,8392. P ' Оценка методом моментов B.4.1.2.3) Имеем х = - • У" Xi - 880,555; s2 = - • Y (xi ~ xf = 795821,914; s = 892,0885. n f—f n f—' Находим ^551] =0,974; p = 892,0885/ 880,555 = 9о3,77з, Отметим, что полученные оценки грубы (существенно отличаются от полученных ранее), так как мал объем выборки (а оценки методом моментов применимы при п > 50). Интервальная оценка /3 при известном а Примем, что а = 0,8 и доверительная вероятность равна 0,95. Имеем х = 880,555, и из табл. 36 для п • а = 18 • 0,8 = 4,4, интерполируя, получаем кш « 0,635 и кв рз 1,805; окончательно 0,635 • 880,555 ^ /3 ^ 1,805 • 880,555, или 559,152 <С /3 ^ 1589,393.
182 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.5. Оценка параметров биномиального распределения 2.5.1. Точечная оценка Если имеется реализация из п испытаний, в которых событие наблюдалось т раз, то несмещенной точечной оценкой максимального правдоподобия параметра р является величина рп = —. Напомним, что плотность вероятностей биномиального п распределения имеет вид Распределение имеет единственный параметр р. 2.5.2. Интервальные оценки Интервальные оценки параметра р с доверительной вероятностью а являются решениями уравнений Клоппера-Пирсона [174] JT C*pl{l-pHy-x = Ц^{1 - а); ? ЩA -рв)п-* = f (а). х=т х=0 В скобках приведены вероятности, соответствующие границам рн и рв одно™ сторонних доверительных интервалов. Значения рш и рв, соответствующие различ™ ным п и а, приведены в [16, 24, 25, 29]. Известно (см. раздел 1.2.1), что биномиальное распределение может быть ап™ проксимировано с помощью бета™ и i^-распределений, нормального распределения и распределения Пуассона. Поэтому значения рн и рв для двусторонней интерваль- интервальной оценки можно выразить через квантили этих распределений. 2.5.2.1. Аппроксимация бета-распределением где B(j^kJ) —7™квантиль бета-распределения с параметрами к и I. 2.5.2.2. Аппроксимация .F-распределением Рн (п - х + l)Fi±a [2(га - ж + 1), 2х]' Рв гс - х + (ж + l)Fi+a [2(ж + 1); 2(п - ж)]' 2 2 где F*f(k,l) —7"квантиль ^-распределения с /i = Aj и /2 = I степенями свободы. 2.5.2.3. Аппроксимация распределением Пуассона В данном случае используется связь между распределением Пуассона и распре™ делением хи-квадрат. 1 о 1 о -1- Z (ел \ zl ГО/' I I M 2П 2 ^^ 2 где х^—7"квантиль распределения хи~квадрат с / = к степенями свободы.
2.5] Оценка параметров биномиального распределения 183 Более точные результаты дает приближение Ры = Рв = 2п - х + 1 + -х i+a ± 2ж 1 2 При ж = 0 имеем р = 0 и рв = 1 - \ Значения ж ( 2п — ж + 1 + ™Х V 2 пХ х [ 2в — ж + ™ V 2 Для разных п, ж и табулированы в [46]. Точностные характеристики этих аппроксимаций исследованы в [175], где показано, что при 1 ^ п — ж ^ 40, п ^ 40, при 25 ^ п — х ^ 40, х ^ 25 или при п — ж ^ 40 (х — любое) относительная погрешность не превышает 0,01. 2.5.2.4. Аппроксимация биномиальной суммы распределением хи-квадрат В [182] предлагается численное решение задачи аппроксимации доверительных границ параметра биномиального распределения, основанное на аппроксимации биномиальной суммы J2 Clnq\\ - q)n-% « 1 - Р2х [2%), Цп, х)}, г=0 где P2d(x) —значение функции ^-распределения с 2d степенями свободы в точке ж; k(q) = In ^—; k(n, ж) = ^^—— У — Отсюда следует Рн = Рв = 1 — ехр — ехр 1 -ехр{ - ехр< ж ^ 0,5п; , ж > 0,5п; , ж ^ 0,5в; ж > 0,5п. Это наиболее точная аппроксимация из известных. Если п и ж достаточно велики, можно использовать приближение I , / ч А л (п — х +1 ^(п,ж) ^ _ ? где Погрешность этого приближения равна 0,1% при п = 10 и ж = 5; 0,12% при п = 20 и ж = 10; 0,06% при п = 40 и ж = 20.
184 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.5.2.5. Аппроксимация нормальным распределением Для упрощения записи впредь вместо ui+a , , будем использовать обозначе- 2 \а) ^квантиль (для двустороннего интервала) или а-квантиль (для односторонних интервалов) стандартного нормального рас- распределения (напомним, что а — это доверительная вероятность, с которой опреде- определяются интервалы оценки параметра р). Аппроксимация 1: ние и, т.е. помнить, что и — это Рн = 1 2 /Ж , 1 . ж + -и — аду — (п — ж) + -ад2 ж + -ад2 + аду — (п — ж) + -и2 I У п 4 п + ад п + ад Эта аппроксимация рекомендуется [2] при ж^4ип-жL. Аппроксимация 2 (arcsln): если биномиальное распределение нормализуется с помощью преобразования arcsln, то = Sin2 arcsin \ -=и ; рв = sin arcsln \ — V Аппроксимация 3 [176]: Рн = х ^0,5 и х ^0,5 / х ^0, 1 1 /п \ п х + 0,5 и х + 0,5 Л ж+ 0,5 Рв = + -^W I 1 - /П П Аппроксимация 4 [176]: Рн = Рв = ж ж - + о, о, 54 ,5 4 ~ 2U + и\ п - х 4 -0,5- ¦f и2 -0,5- п 1 п -0. + 0 ,5)М ,5JН -ад2 п + и Аппроксимация 5 (при р « 0,5) [175]: ж-0,5 ад /ж-0,5 / ж-0,5 Рн= — , 4/ I 1- ж + 0,5 ад /ж+ 0,5 Л ж+ 0,5 Рв = ^^+ ; А/ I 1- Аппроксимация 6 (Холла): Рн = ж/-| ж \ г* + 0,5 / ^ 2ж ж , и /ж / ж\ ад +0,5 / ж V^ у п \ п) Зп I п
2.5] Оценка параметров биномиального распределения 185 Более точная аппроксимация с поправкой 0,5 на непрерывность: _ж-0,5 и /ж-0,5 / ж-0,5\ ti +0,5 Рш ~ ""га" 7^\ ^^ \ п" .ж-0,5 Рв = 0,5 гг х/п \ п ж+ 0,5 / ж + 0,5\ , nz+0,5 Аппроксимация 7 (Моленара): Рш = Згг / 3 2 + ^ Рв = 1-и\ 2 + w + 7-ti2 ) 18п 2 +и Большей точностью обладает аппроксимация 18n Рв = 1 — гх \ 2 + и 1 - ' 18n 1)- 18n Аппроксимация 8 Рн = 2 + г? ж 1 I 3 — гг [(- 7 2 N п + -ж + 7 2 18 1- 7-^2\1 18 ) 1 2 2 + ii П + 2--5--1 Рв = Ж + 1 - 18 7-' 18 п + 11.^-4
186 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Аппроксимация 9 (Полсона-Кэмпа-Пратта) Полсон [178], используя преобразование Вилсона—Хилферти [61] для распреде- распределения хи-квадрат, показал, что 9/х 2 2 ' 3 + 9/х где .F — квантиль распределения Фишера с Д = /л и /2 = ^ степенями свободы (см. раздел 1.1.10). Кэмп [179] использовал этот факт для аппроксимации биномиального распреде- распределения, а Пратт [180] применил для получения доверительных интервалов параметра биномиального распределения Рв = 81 (ж + 1)(га - ж) - 9п - 8 - + 1)(гс - х)(9п + 5 - и2) + п + У -1 81 (ж + IJ - 9(ж + 1)(?г - х){2 + и2) + 1 При замене ж + 1 на ж и и на -и получаем выражение для рн. 2.5.2.6. Аппроксимация Титенко [181] В [181] сделана попытка найти более точные, чем нормальные, аппроксимации где р = (l-dp2)J/' 1 = (n-x)(n + l)r f = (х + 1) (х + 2) ' J Cl или более точно: где н = P* = + 4A-dp2J : (п - xf{x + 1) + (Зп - х + 4)(ж + IJ Используя упрощенную запись, получим Ч> W ¦ + т 2\~ г 5 гДе ^ = 1 + р Аналогично для рв Iff 7i; о; = —. п V <?_ A-/3,7 2\2
2.5] Оценка параметров биномиального распределения 187 где /3 = п-х + Г lgrc; а; = -. Эти результаты следуют непосредственно из решения уравнения Клоппера— Пирсона. Достаточно подробный обзор и анализ интервальных оценок параметра би- биномиального распределения приведены в [176]. Различные методы графического решения аппроксимационных задач приведены в [2, 126]. Задача 77. При п = 20 испытаниях имели место 6 событий. Найти 95%-й двусто- двусторонний доверительный интервал для вероятности появления события в серии незави- независимых испытаний. Точечная оценка вероятности равна т = — = 0,3. Имеем а = 0,95, или = 0,025; = 0,975. Точные табличные значения искомых вероятностей равны рн = 0,119 и рв = 0,543 (приводятся для последующего сравнения с аппроксимациями). Рн = Аппроксимация F-распределением B.5.2.2) 6 6 B0 - 6 + 1) • F0,975[2 ¦ B0 - 6 + 1); 2 ¦ 6] 15 • F0,975C0,12)" Из таблиц или аппроксимаций (см. раздел 1.1.10) находим Fo,97sC0,12) = 2,963. Тогда * = 15^963 = 0Д35' .F0,975[2-F + l);B0-6)] _ 7-^0,975A4,28) 20 - 6 + F + 1) • Fo,975[2 • F + 1); B0 -6)] 14 + 7 • Fo,9y5A4,28)' 7-23 Имеем (из таблиц или аппроксимаций) -Fo,975 = 2,3 и рв = = 0,535. Окончательно получаем 0,135 ^J p ^ 0,535. Аппроксимация распределением Пуассона B.5.2.3) Имеем табличные значения Хо,э7бB • 6 = 12) = 4,4 и Хо,о2бB • 7 = 14) = 26,1. Тогда 4,4 = 0,11; рв = — = 0,652; 40 *- 2-20 ' ' ' * 40 0,11 ^р^ 0,652. Более точная аппроксимация: = 0,118; рв = ^Ц = 0,555; 2 • 20 - 6 + - • 4,4+1 2 • 20 - 6 + - • 26,1 2 2 0,118 ^р^ 0,555. Аппроксимация биномиальной суммы распределением хи~квадрат B.5.2.4) 1 / 20 ¦— б 4- 1 \ 6 Л Имеем А = — = 0,9454647; ifcB0,6) = = 17,336747; Ш0,7) = 16,762. Находим из таблиц Хо97бA2) = 4,4 и Xo,o2sA4) = 26,1.
188 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Окончательно получаем / 4,4 { 2 • 17,3 = 1 - exp <J — 1 = 0,119; рв = 1 - exp J —— } = 0,541; 1 ° ^,336] [ 2-16,762/ 0,119 ^р ^ 0,541. Аппроксимация нормальным распределением B.5.2.5) Аппроксимация 1: Имеем C/i+a = С/0,975 = 1,96. 2 Тогда 6 + 0,5 • 1,Э62 - 1,96 • у ^ • B0 - 6) + \ ¦ 1,96* ^ _ 6 +1,9208 +1,96-уЧ2 +0,9604. ~ 20 + 1,962 ' Рв ~~ 23,8416 ' 0,145 ^р ^ 0,519. Аппроксимация 2 (arcsin): 1г I— = 0,124: рв = sin2 arcsin\ 1 ¦== • 1,96 I =0,513: V 20 2.V20 ' 0,124 ^р^ 0,513. Аппроксимация 3: 6-0,5 1,96 / 6 - 0,5 Л 6 - 0,5 0,5 1,96 /6 + 0,5 / 6 + 0,5 \ пк._ + ^ ' ( " ^^ ' = °'530; р- ^ + 15 0,079 ^ р ^ 0,530. Аппроксимация 4: 6 - 0,5 + - • 1,962 - 1,96 ¦ W6 - 0,5 - — ¦ F - 0,5J + ^ - 1,962 20 + 1,962 6 + 0,5 + 1,9208 - 1,96 • 1/6,5 • 6,52 + 0,9604 рв = ¦ ^ ^^ ¦ = 0,543; 23,8416 0,128 ^ р ^ 0,543. Аппроксимация 5: 20 ^20 - 1,962 У 20 ^ 20 _ 6,5 1,96 /6,5 Л 6,5. рв = ^ + . J _!_ . ( 1 !_ = 0,533; 20 ^/20 - 1,962 V 20 \ 20/ 0,057 ^ р <: 0,533. Аппроксимация 6 (Холла): 6 1,96 /6 Л б\ 1,962+0,5 Л 2-6 рв = 0,3 + 0,43827 • 0?45826 + 0,07236 • 0,4 = 0,530; 0,128 ^р^ 0,530.
2.5] Оценка параметров биномиального распределения 189 Более точная аппроксимация: 20 V20 6-0,5 1,96 /6-0,5 / 6 - 0,5 Рн = —-г 1= • 4 / ._ -(I- 20 20 3-20 i_2.?zM)=0>ii2 20 f М = М + 0,43827 М/М . ( 1 _ М ) + 0,07236 • A - 2 • М) = 0,555; 20 \/ 20 V 20 / V 20 / ' ' 0,112 ^р ^ 0,555. Аппроксимация 7 (Моленара): 5- 1 Рн = 3-20 ¦ 1,96J - 1,96 ¦ 6- 15 20 ¦• 1 7- 1,962 18- 20 -21 • 7- 1,96^ 18-20 20 + 2 + 1,96" 2 = 0,1194; /7 • 14 6 • 0,95264 + 1,9472 + 1,96 • \l • 1,00877 - 0,18424 Pb ~~ 21,9472 0,119 ^p ^ 0,544. Или более точная аппроксимация: = 0,544; 5- 1-1,962\ 2 + 1,962 1-1,962 3- 20 6- 20 6- 15 20 ¦ A 7-1,96^ 18-20 -21- 7-1,962 18-20 20+ ¦ 6 • 0,95264 + 1,9472 - 0,02368 + 1,96 • 2 + 1,96' 2 = 0,1183; 1,00877 - 0,18477 - 0,18424 21,9472 0,1183 ^ р ^ 0,5429. Аппроксимация 8 (Закса): 6-1- 1,962 - 1,96- Рн = 6- 7 - 1,962 18 15- 7- 1,9 18 20 + ц.IZ^__4 2 + 1,96^ 20 + 2 • ¦ 1 = 0,5429; = 0,116: 6 + 1,9472 + 1,96- Рв = 6,82453 • 13,8253 17,93013 22,8944 0,116 ^р^ 0,5435. Аппроксимация 9 (Полсона-Кэмпа-Пратта): = 0,5435; Рв = 81-7-14 - 9 • 20 - 8 - 3 • 1,96 ¦ ^/9 • 7 • 13 • A80 + 5 + 1,96J + 21 81-72 -9-7- B + 1,962) = 0,5428;
190 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 рн = 1 + 0,16 • I 102 + Б?88'383;0918 I = 0,1185; 0,1185 ^ р ^ 0,5428. L ^ ' J J Аппроксимация Титенко B.5.2.6) Имеем ' 1 - 0,95 \ б On = С20 = 38760; / = I 2 = 0,092707; d = Ш^ = 5,25; 20 ' J ' 38760 I ' ' 7-8 р = °'°92707 = 0,113809; 1 - - ¦ 0,092707 pi = 0,113809 • 11 + - • 5,25 • 0Д138092 • 1 + ^ 1 = 0,118. [ 4 L (^5,25-0,1138092JJ J Более точные оценки равны: "=2,6; рн= 0,118+ 5,26-2,6.0,113809* = 7-10-21 ^ 4- A-5,25 -0Д138092) В случае упрощенной формы записи имеем /i _1_ 0 3\ 1>3 ш=-= 0,3; <р = 1 + 0,113809 • [ ' | • lg 20 = 1,40457; n ^ 2 • 0,3 у 1 - 0,95 \ 14 2 = 0,37960; ^ = 6 ' 21 = 0,525; <т = 0;37960 = 0,44756; 38760 I 15'16 1-^-0,37960 ^ = 1 + 0,44756 • A + 0,3) • [1,8 + A - 2,2 • 0,3) • lg 0,3] • lg 20 = 2,48535. Окончательно получаем рш = 0,113809 -{1 + -- 5,25 • 0Д138092 • 1 + ->--¦ i i = 0Ц887; 1 4 [ A~5,25-0Д1380Э242 ' ' рв = 1 - 0,44756 • ^ 1 + - • 0,525 • 0,447562 • Ц ^48535 . . = 1 4 ' ' [ A-0,525-0,447562JJ f 0,1189 ^р^ 0,504.
2.6] Оценка параметров гипергеометрического распределения 191 2.6. Оценка параметров гипергеометрического распределения Случайной величиной ж, имеющей гипергеометрическое распределение, являет™ ся число дефектных изделий в выборке объема п из партии изделий объема JV, содержащей D дефектных изделий. Практический интерес представляет оценка по выборочному контролю числа дефектных изделий в партии. Доверительный «-интервал для D определяется границами DH и DB, являющи- являющимися целочисленными решениями неравенств Р(х - 1, ?>н, п) ^ а; ?(х - 1, Д* + 1, п) < а; Р(ж, DB; п) ^ 1 - а; Р(ж, Ds-l,n)>l-a. где Р(ж, .D,n)— вероятность появления в выборке объема п ровно х дефектных изделий, если в партии изделий их количество равно D. Так как Р(ж, DB, п) = 1 — Р(в — ж — 1, iV — DB, n), то N — DB является нижним доверительным пределом для N — D, построенным по случайной величине п — ж, и тогда достаточно иметь решение неравенств для DH при различных a, iV, n и ж. Таблицы таких решений для различных о;, n, iV - п и ж приведены в [25]. Они составлены для в, удовлетворяющих неравенству 2п ^ N. При 2п < N таблицей молено пользоваться со следующей заменой переменных: п = N — щ N — щ Z)H — х = п — х. Для заданных h,N — n по таблицам [25] находится значение, соответствующее значению Z)H — х = п — ж, а затем и сама оценка Dn = xJrN — п — х. Верхний а • 100%™й доверительный интервал для D по выборке объема п из партии изделий объема N при х = О где [у] —целая часть числа у. Задача 78. В выборке объема п = 10 из партии объема N = 200 изделий не обнару- обнаружено дефектных изделий (ж = 0). Найти верхнюю доверительную границу количества дефектных изделий в партии (D) при доверительной вероятности а = 0,95. Имеем D ^ jl- A-0,95)То I . 200- i^—Ч =0,258865-195 = 50.
192 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 2.7. Оценки при неизвестном законе распределения вероятностей 2.7.1. Оценки для центра распределения В качестве первичных (достаточно грубых) оценок центра группирования значе- значений случайных величин при неизвестном законе распределения вероятностей могут быть использованы различные предельные неравенства. 2.7.1.1. Неравенства чебышевского типа 2.7.1.1.1. Неравенство Чебышева Неравенство Чебышева имеет вид ^ к2' где \х и а — соответственно среднее значение и стандартное отклонение. Из неравенства Чебышева следует, что X — , ^ /JL ^ X + , , V 1 — OL V 1 — OL где а — доверительная вероятность. Если вместо значения случайной величины х используется выборочное среднее х = — \^ Х{. то имеет место неравенство х — /пA - а) у/п{1 - а) Если известно, что распределение симметрично относительно центра /i, то до- доверительный интервал равен » ^ х + о п— или х - „ / ,. ^ М 3V^(l-«) Отсюда легко видеть, что только знание того факта, что распределение случай™ ной величины симметрично, уже позволяет построить более узкий доверительный интервал для центра распределения. 2.7.1.1.2. Неравенство Кантелли P(x^fi^X)^ / 2, А^О. Отсюда следует /j, ^ х — а 2.7.1.1.3. Неравенство Мейделя Если распределение х имеет единственный максимум в точке /io, причем т = а2 + (/i — /jLq) , s = -, то имеет место неравенство P(\x-w,\
2.7] Оценки при неизвестном законе распределения вероятностей 193 откуда 3 3 ИЛИ Ж — -OLT ^ /X ^ X + Г «Г. 2.7.1.2. Оценка Нётера Нётер [183] показал, что с коэффициентом доверия доверительный интервал для центра симметричного распределения определяется неравенствами 1 1 где Х{ — i-я порядковая статистика. Значения а для различных g и h табулированы в [183]. При g + h > 12 имеет место аппроксимация а « 1 — 2Ф где Ф(ж) — функция стандартного нормального распределения. Для распределений нормального типа оптимальная величина g ~ 0,27тг. Задача 79. Имеются результаты наблюдений над случайной величиной с неизвест- неизвестным законом распределения вероятностей (известна только дисперсия а2 = 75): хц 1,2; 3,4; 6,1; 8,3; 12,1; 13,1; 14,8; 16,7; 21,9; 23,7; 24,5; 28,4. Найти доверительный интервал для центра распределения при а = 0,95. Неравенство Чебышева B.7.1.1.1) Имеем х = 14,516; 14,516 . ^ /i ^ 14,516 + /12 A 095) ^ /i ^ 14,516 + . =; A - 0,95) ^/12 • A - 0,95) 3,336 ^ fi ^ 25,696. Если бы мы располагали информацией о том, что распределение вероятностей слу- случайной величины х симметрично, то имело бы место 14,516 ^ II <С 14,516 + ; 7,062 ^ д ^ 21,96, 3 • v/12 • 0,05 3- ^12-0,05 т. е. доверительный интервал длины 25,696 — 3,336 = 22,36 уменьшался бы в 1,5 раза до 21,96 - 7,062 = 14,898. Оценка Нётера B.7.1.2) Находим g ^0,27- 12 = 3. Будем использовать для оценки величины g = 3 и h = 5. Тогда центр распределения находится в интервале I - (х3 + х8) < fji < I • (х5 + жю); \ • F,1 + 14,8) < // < i • A2,1 + 23,7); 10,45 < -—- < 17,9. 7 А. И. Кобзарь
194 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Вероятность попадания /х в этот интервал равна • A + 7 + 21) ^0,55. \ А I 2.7.2. Оценка рассеяним распределения Некоторое представление о степени рассеяния непрерывного распределения дают его выборочные квантили. В общем случае доверительный интервал для р-квантили ограничен элементами упорядоченной по возрастанию выборки с но- номерами г и s, так как доверительная вероятность равна [5] s-1 i=r где /р(а, Ь) — функция бета-распределения с параметрами а жЬ. п — г Если s = п — г + 1 (случай симметричного интервала), то а = ^ СгпргA — р)п~г. Значения г и s при р = 0,25 и р = 0,75 (т. е. для 25%- и 75%-х квантилей — кварти- квартилей) для различных п и а приведены в [46]. Разность между Жо,75 и жо,257 называемая интерквартильной широтой, является характеристикой степени рассеяния распределения относительно его центра. Задача 80. В условиях задачи 79 найти доверительный интервал для 25%-й квантили распределения. Предположим, что г = 3 и s = п ~ г + 1 = 10. Тогда доверительная вероятность того, что в интервале [жз — жю] находится 25%-я квантиль (р = 0,25), равна 9 а = ]Г С{2 - 0,25* • A - 0,25I2^ = 0,5521664.
2.8] Некоторые специальные практические задачи 195 2.8. Некоторые специальные практические задачи В этом разделе мы рассмотрим ряд задач, встречающихся в практике оценки надежности технических систем. Эти задачи носят специфический характер и не рассматриваются в широко распространенных учебных и рекомендательных посо- биях. 2.8.1. Оценка интенсивности отказов с периодом приработки Известно, что в классическом варианте экспоненциального распределения f(x) = Аехр(^Аж) его параметр А = const. На практике обычно интенсивность отказов А не является постоянной. Начальный этап работы изделия, характери- зующийся увеличением интенсивности отказов, называется периодом приработки. Будем анализировать следующую модель изменения интенсивности отказов во времени: Если время приработки мало (а это обычная практическая ситуация), т.е. когда 7o?7i ^ а? то Для случая, когда п изделий испытываются в течении времени tn, оценки параметров a, 7i и 7© имеют вид [184] 1 , г 1 - г2 л 1 ГгГз — rl л (п — г2K а = — т ; 7о = т г 5 7i = а i r r t щг 2г + г) ti г2^г3' /u tin(n-2r2+r3)' ' n(n -2r2+r3J ' где ti = —?n; r^ — количество отказов изделия в промежутки времени t\ = i^ = 1 - *з - з*п- Эффективность таких оценок по отношению к оценкам максимального правдо™ подобия « 0,90 для 7о « 0,95, 71 ~ 0,90 -г- 0,95 и а « 0,90 -г- 0,99. Задача 81. 20 изделий были испытаны в течение 900 ч. При этом в первые 300 ч получены 4 отказа^ во вторые 300 ч — 1 отказ^ в последние 300 ч отказов не было. Найти оценку интенсивности отказов с учетом ее изменения во времени. Имеем tn = 900; ?i = ?2 = ^з = 300; п = 4; г2 = 1; гз = 0. Вычислим оценки а = х 300 х In -^—^ = 3,662 • 10^3; 7о = — • 4°°^г— = 1 66 • 10; 71 = 9 = 6,75. 1-0 300 4-2-1 + 0 D-2 + 0J Имеем A(t) = 1,666 • 10~3 + 6,75 • е^3'662-10™3^ = 15б66 • 10~3 + 6,75 • @,0134)*. 2.8.2. Прогнозирование для экспоненциальных выборок Для практики представляет интерес следующая задача. Имеются данные по моментам отказов т изделий. Необходимо найти нижний доверительный предел с вероятностью а для среднего времени наработки до отказа для к будущих выборок объема п. -I m Предположим, что ti, ^2, ..., tm — наблюдаемые моменты отказа и i = — У^ tj. Отберем к выборок объема п. Тогда а • 100%-я доверительная нижняя граница для средних наработок до отказа будущих к выборок есть , 2n, 2m, 1 — a), где ш{к^ 2n, 2m, 1 — a) —коэффициенты оценки.
196 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 В [185] для коэффициентов ш(...) предложена аппроксимация FBm,2n;ak) Значения коэффициентов V = FBm, 2щ afc) приведенв! в табл. 48. Таблица 48 п 3 5 10 20 Значения /' = п = 2 к 2 0,8 0,5 0,2 0,1 3 1,1 0,7 0,4 0,2 5 1,4 0,9 0,4 0,2 8 1,5 0,8 0,4 0,3 12 1,7 0,9 0,5 0,2 = F{2 m,2r ца*) для а = п = Ъ к 2 1,9 1,1 0,5 0,3 3 2,8 1,6 0,8 0,4 5 3,6 2,1 1,0 0,5 8 4,0 2,5 1,1 0,5 12 4,7 2,7 1,3 0,6 0,95 185] п = 10 к 2 3,3 2,0 1,0 0,5 3 4,9 3,0 1,5 0,7 5 6,5 4,1 2,0 0,9 8 7,9 4,9 2,3 1,0 12 9,0 5,6 2,6 1,2 а • 100%~ая нижняя граница наработки на отказ к будущих выборок объема п по данным i и т равна [186] 111111 kFBm, 2щ а)' где FBm^ 2щ а) — «-квантиль i^-раепределения с Д = 2т и /2 = 2п степенями сво- свободы. Задача 82. В результате испытаний получены отказы изделий в моменты време- времени (ч): t\ = 26, ?2 = 38, ?3 = НО, ?4 = 250, ?5 = 300. Необходимо найти нижнюю 95%-ю границу средних наработок на отказ в пяти будущих выборках изделий объема п = 10 каждая. 1 5 Имеем t = - • ]Р U = 144,8. Из табл. 48 для fc = 5, п=10ит = 5 находим I1 = 4,1. 5 i=i Следовательно, искомая величина равна tmin = 144,8 4,1 = 35,31 ч. Для нижней 95%-й границы наработки на отказ имеем (!*о,95A0,20) = 2,35): t 144,8 5 -^0,95A0,20) 5- 2,35 = 12,32 ч.
2.9] Планирование экспериментов для оценки параметров распределений 197 2.9. Планирование экспериментов для оценки параметров распределений 2.9.1. Нормальное распределение 2.9.1.1. Оценка среднего при известной дисперсии Объем выборки, необходимый для оценки среднего /л с заданной предельной аб- абсолютной ошибкой е и доверительной вероятностью а при известной дисперсии а2, определяется соотношением ( иао~ Можно использовать аппроксимацию иа « 4,91 [а0'14 — A — аH'14]. Тогда имеем га = 24,1081 I- L°'14 ^ -Л°'14 Задача 83. Напряжение зажигания газоразрядного прибора распределено нормально со стандартным отклонением а = 50 В. Найти объем выборки, позволяющий оце- оценить среднее значение напряжения зажигания с предельной абсолютной ошибкой е = 20 В при доверительной вероятности а = 0,95. Имеем п = 24,1081 • |~ [0,950'14 - A - 0,95H'14] V = 17. Следовательно, желаемая точность оценки с вероятностью ^ 0,95 достигается при объеме выборки п ^ 17. 2.9.1.2. Оценка среднего при неизвестной дисперсии Необходимый объем выборки определяется из соотношения я — ? — ta s X л/пХ^ где ta — а-квантиль распределения Стьюдента при / = п степенях свободы; s и х — выборочные оценки соответственно стандартного отклонения и среднего значения. Необходимые значения приведены в табл. 49. Определение объема выборки происходит в следующей последовательности. Сначала по заданным величинам 5 = — и а и предполагаемому значению коэффи- s r Л(Л ta(n) циента вариации v = — по табл. 49 находим значение —)=+ и по нему определяем х у/п искомое значение п. Если для найденного объема выборки п выборочное значение окажется больше предполагавшегося, то эксперимент должен быть продолжен. Укажем один частный случай, основанный на чрезвычайно простой аппрокси™ мации ta(n) для а = 0,975: = 2 / ^ (Ц) В этом случае по заданной абсолютной ошибке е и предполагаемому стандарт™ ному отклонению s может быть непосредственно определен объем необходимой
198 Оценка параметров распределений вероятностей [Гл. 2 Таблица 49 ть 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 а 0,90 0,899 0,739 0,715 0,657 0,611 0,574 0,541 0,515 0,491 0,471 0,453 0,436 0,422 0,410 0,396 0,386 0,376 0,366 0,357 0,349 0,95 1,150 1,000 0,890 0,816 0,754 0,706 0,663 0,630 0,598 0,572 0,550 0,530 0,512 0,495 0,479 0,466 0,454 0,442 0,431 0,421 0,99 1,800 1,510 1,320 1,190 1,080 1,000 0,936 0,881 0,833 0,797 0,762 0,730 0,704 0,679 0,655 0,637 0,618 0,601 0,585 0,571 Значение ть 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ ta(n)f а 0,90 0,342 0,334 0,328 0,322 0,316 0,310 0,304 0,295 0,290 0,288 0,286 0,282 0,278 0,274 0,270 0,266 0,264 0,260 0,256 0,253 0,95 0,412 0,403 0,394 0,387 0,380 0,372 0,366 0,354 0,349 0,347 0,346 0,344 0,333 0,329 0,324 0,320 0,316 0,312 0,308 0,304 0,99 0,558 0,545 0,532 0,521 0,513 0,502 0,492 0,475 0,468 0,463 0,461 0,459 0,447 0,441 0,434 0,428 0,422 0,417 0,411 0,406 ть 45 46 47 48 49 50 55 60 65 70 75 80 90 100 120 150 200 250 300 400 а 0,90 0,250 0,248 0,245 0,242 0,240 0,237 0,226 0,216 0,207 0,199 0,192 0,186 0,175 0,166 0,151 0,135 0,117 0,104 0,095 0,082 0,95 0,300 0,297 0,294 0,290 0,287 0,284 0,270 0,258 0,248 0,238 0,230 0,222 0,209 0,198 0,181 0,161 0,139 0,124 0,114 0,098 0,99 0,401 0,396 0,392 0,388 0,383 0,379 0,360 0,343 0,329 0,316 0,305 0,295 0,277 0,263 0,239 0,213 0,184 0,164 0,150 0,129 выборки п. Как и ранее, если значение s в эксперименте окажется больше пред™ полагавшегося, то эксперимент должен быть продолжен. Задача 84. Определить необходимый объем выборки для оценки среднего значения с предельной относительной ошибкой S = 0,4 при доверительной вероятности а = 0,95, если предполагаемое значение коэффициента вариации равно v = 0,1. Имеем —'—=— = 5 = 0,4. Тогда из табл. 49 для а = 0,95 непосредственно находим Необходимый объем выборки для оценки среднего значения с относительной точно- точностью - = 0,4 при а = 0,975 равен п = [ 2 • — ) + 2 = 27. з V 0,4/ 2.9.2. Распределение Вейбулла Значения необходимых объемов выборок для оценки среднего значения случай™ ной величины, имеющей распределение Вейбулла с известным параметром /3, при S S различных значениях 6 = —,аиу= — приведены в табл. 50, заимствованной из [44]. Зависимость /3 от v приведена в табл. 39, из которой по заданному значе- значению /3 может быть оценено v. Может быть также использована аппроксимация Задача 85. Определить для распределения Вейбулла с параметром /3 = 1,8 объем выборки, необходимый для оценки среднего значения с относительной погрешностью S = 0,15 при а = 0,95. Имеем и w 1,8~ ' = 0,58. Из табл. 50 интерполяцией находим п = 52. Следователь- Следовательно, необходимо испытать 52 прибора.
2.9] Планирование экспериментов для оценки параметров распределений 199 Таблица 50 V 0,40 0?45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 Значеним п для распределения Вейбулла а = 0,95 S 0,05 175 225 250 300 400 500 600 600 800 800 800 1000 0,10 45 60 75 90 113 138 150 175 200 225 250 250 0,15 25 30 37 45 54 60 75 80 100 113 125 138 0,20 15 19 23 28 33 38 45 50 57 65 75 80 0,25 10 13 17 20 23