Text
Л. Я. ОКУНЕВ
ОСНОВЫ
СОВРЕМЕННОЙ
АЛГЕБРЫ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПЕДВУЗОВ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
НАРКОМПРОСА РСФСР
МОСКВА * 1941
512
СГ§2
ПРЕДИСЛОВИЕ.
За последние десятилетия алгебра достигла значительного
развития. Пожалуй нет почти ни одной отрасли математики, в
которой идеи и методы современной алгебры не нашли бы своего
применения. Так, например, теория групп и колец с успехом
применяется в линейном функциональном анализе, в теории дифе-
ренциальных уравнений, в топологии, в алгебраической геометрии
и т. п. Область приложений алгебры, однако, не ограничена
математическими дисциплинами. Можно, например, сослаться на
квантовую физику, в которой весьма плодотворно используется
аппарат теории групп.
— При составлении настоящей книги я ставил себе целью ввести
читателя в круг понятий и методов современной алгебры. Первые
две главы этой книги посвящены понятию группы. В третьей
главе излагается общая теория колец. Четвертая глава посвящена
понятию поля. Наконец, в пятой главе излагается теория Галуа
и ее приложение к классической задаче о решении
алгебраических уравнений в радикалах.
Выражаю глубокую благодарность А. П. Дицману и всем моим
коллегам, оказавшим мне помочь при составлении этой книги.
1 i мая'1940 г.
Л. Я- Окунев.
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП.
§ 1. Примеры, приводящие к понятию группы. Как известно,
множество комплексных чисел относительно умножения обладает
следующими свойствами: а) произведение любых двух
комплексных чисел есть также число комплексное (свойство замкнутости);.
Ь) имеет место ассоциативный (сочетательный) закон: a(bc) — (ab)c
для любой тройки комплексных чисел а, Ь, с; с) единица
обладает той характерной особенностью, что а* 1 = 1 • а = а для
любого комплексного числа a; d) для любого комплексного числа а
(кроме нуля) существует обратное число а"-1 — такое, что аа~х =
= а-1 а = 1.
Эти свойства присущи не только комплексным числам, но
и целому ряду других объектов.
Обратимся хотя бы к множеству /Г всех невырождающихся
матриц я-го порядка (невырождающихся матриц из п строк и
такого же количества столбцов) *). Какими свойствами оно обладает
относительно действия умножения матриц? Прежде всего бросается
в глаза, что действие умножения матриц не выводит нас за
пределы данного множества—произведение любых двух
невырождающихся матриц /z-ro порядка будет также невырождающейся
матрицей и-го порядка (свойство замкнутости!). Затем, как
известно, справедлив ассоциативный закон: если Л, В, С—какие-
нибудь три матрицы множества М, то А(ВС) — (АВ)С. Этим
аналогия с комплексными числами не исчерпывается. Среди рас-
/ап ...а
v) Напоминаем, что квадратная матрица А = •
называется невырождающейся (или неособенной), если ее определитель
1 ац ... ain I
*>а
anl ♦ ♦ • ап
не равен нулю.
сматриваемых матриц встречаете так называемая единичная
матрица;
Л 0 ... О"
\0 О ..'. 1
которая ведет себя, как число 1, а именно для всякой матрицы А
нашего множества АЕ = ЕА = А. Наконец, для А существует
обратная матрица Л~ *, обладающая тем свойством, что АА~~Х =
= A—iA — E. Умножение матриц, однако, имеет свои
отличительные особенности: оно в отличие от арифметического
умножения не всегда коммутативно, не всегда АВ = ВА.
Приводим еще несколько примеров.
1. Рассмотрим следующие шесть функций х:
h~ x > h— i_x-
Каждую из этих функций можно рассматривать как некоторое
преобразование независимого переменного х, например /2=1—х
есть преобразование, переводящее х в и = 1 — х.
Возьмем теперь две какие-нибудь функции ft и /;-, например
X X ~— 1
/3 = —-—г- и /4 = J . Посмотрим, что произойдет, если сперва
х подвергнуть преобразованию/3, а затем, получившееся
выражение подвергнуть преобразованию /4. Функция /3, очевидно, пере-
X X
водит х в и = « , после чего и = ~г^Г\ преобразуется
функцией /4 в
_£ 1
а — \ х — \ 1
х — 1
Итак, в результате получилась функция /£ = —, которая одна
производит то же действие, что /3 и /4, примененные
последовательно одна за другой. Мы назовем fx „ произведением"
(итерацией) функций /3 и /4 и будем писать f3fi=fl. Нетрудно
проверить, что множество функций /0, /1? /2, /3, /4, /5 замкнуто
относительно „умножения* функций, т. е. в результате
„перемножения* функций мы цсегда получим одну из функций/{-. Само собой
разумеется, термины „произведение" и „умножение" имеют здесь
4
особый, отнюдь не арифметический, смысл1). К тому ж«
„умножение и функций в отличие от обычного арифметического
умножения не всегда коммутативно. Мы „умножили" /3 на /4 и в
результате получили /,. Но если „умножить" /4 на /3, то, как легко
убедиться, получится совсем другое:
В справедливости ассоциативного закона можно убедиться
непосредственно проверкой. Предлагаем читателю это проделать
самостоятельно. Далее, среди рассматриваемых функций обращает
на себя внимание f0 = x, которая ведет себя как число 1, а именно
ЛЛ=Л/.=Л (' = <>, 1. 2, 3, 4, 5).
Наконец, для всякой функции ft существует среди данных
функций „обратная" функция /f"1, для которой fifi~l=frlfi=f0.
Найдем, например, ff1. Для этой цели воспользуемся равенством:
/з~~ /в ==/о== х*
Функция /д—1 преобразует х в f9'~1(x)> а затем/д-1
функцией /8 = -7—— преобразуется в =у.
Таким образом, ff*1 /s= —f • Но, с другой стороны,
1 —Л
/g--1 /8 = лг, следовательно, —j = x.
Из последнего равенства определяем /3~~1:
о
/Г* =
т. е. /в~ 1=/4- Теперь нетрудно проверить, что не только /g~ j/s =/o»
но Л/в""1=/вЛ=/о-
2. Рассмотрим совокупность л каких-нибудь предметов,
например совокупность /г букв:
at, я2, . .., ап. (1)
* Подстановкой п элементов аи а2, ..., ап называется замена
каждой буквы аь какой-либо другой буквой той же совокупно-
сти (1), причем различные буквы заменяются буквами различными.
Обычно подстановку записывают следующим образом:
заменяющие буквы располагаются под первоначальными, и все
выражение заключают в круглые скобки, например:
(а* а.2 ач аЛ
(2)
') Так же как и прои»зедеш:е матриц.
есть подстановка, четырех букв ар av av а4. Под буквой at
первой строки стоит буква аъ второй строки. Это значит, что
подстановка S букву ах заменяет буквой а3. Точно так же видим,
что подстановка 5 букву а2 переводит в av аъ — в а.2 и а4 — в а{.
Отметим еще, что порядок записи букв первой строки
несущественен. Так, подстановку 5 можно записать в виде:
/аъ ах а4 аЛ
\а2 аъ ах a J
от этого никаких изменений произойти не может — попрежнему
буква ах заменяется буквой av а2— буквой av аъ — буквой а2
и ak — буквой av
В дальнейшем в целях упрощения записи мы будем вместо
букв писать их номера и говорить о подстановках из чисел. Так,
например, подстановка (2) равносильна следующей подстановке
из четырех чисел:
S =
/1 2 3 4\
[г 4 2 1 /'
Возьмем теперь две подстановки из четырех чисел:
5_/1234\ s~l1234)
4 12 3
Выясним, что произойдет, если сперва выполнить подстановку
Su а затем S2. Подстановка S{ заменяет 1 на 4, а 52 — 4 на 1.
Таким образом, под влиянием двух подстановок St и S% число
1 заменяется числом 1, т. е. фактически не изменяется.
Записываем это так: . Затем подстановка St переводит 2 в 1, а 53
переводит 1 в 4. Значит при совместном действии Sl и £2 число
12
2 переходит в число 4; записываем: . Далее легко видеть, что
число 3 при совместном действии подстановок St и S2 перехо-
12 3
дит в 3 (т. е. не меняется); записываем: 1 . Q . Наконец, при со-
1 4 о
вместном действии подстановок St и 5.2 число 4 переходит в 2;
1234 _
пишем В результате у нас получилась подстановка
1 4 о 2i
3—\1 4 3 2/'
которая одна производит то же действие, что обе подстановки
St и Sv примененные одна за другой. Мы ее назовем
„произведением" подстановок S{ и S2 и напишем
1 2 3 4\ /1 2 3 4\ /12 3 4
412 3/432 1/ \1 4 3 2
Вообще произведением двух подстановок S{ и 52 из п чисел
называется такая третья подстановка £3, которая равносильна
последовательному применению подстановок St и 5а.
Произведение подстановок^принято обозначать так же, как и обычное
арифметическое произведение. Из самого определения умножения
подстановок ясно, что множество всех подстановок п чисел замкнуто
относительно умножения подстановок.
Следует помнить, что умножение подстановок не всегда
коммутативно. Мы умножили 5Х на 52, в результате чего получилось
53==( ). Но если умножить 52 на 5Ь то получится
совсем иное произведение:
/12 3 4\ /1 2 3 4\ /1 2 3 4\
\4 3 2 1/ ' \4 1 2 3/ \3 2 1 4/'
Тем не менее, как мы сейчас увидим, подстановки во многом
ведут себя как числа.
Среди всевозможных подстановок из п чисел имеется так
называемая тождественная, или единичная, подстановка:
1 2 3 ... п
1 2 3 ... п
играющая роль числа 1, а именно для любой подстановки
5==Л 2 3 ••• п \
\at а2 а3 ... ал / 5/=/5 = 5.
Затем для всякой подстановки 5 можно подыскать обратную
подстановку 5"1, характеризующуюся равенством
ss-1l=s~is=i.
Эта обратная подстановка имеет вид:
Ы"Г1::.::)
Действительнее, если
/1 2 ... п\
~ Ui Ч ••• Ч)
переводит 1 в а1У то S~x переводит at в 1. Таким образом,
произведение SS'1 переводит 1 в 1. Точно так же убеждаемся, что
SS'1 переводит 2 в 2, 3 в 3, ..., п в я, т. е.:
/12 3 ... п\
55"=(l2 3... nhl
Аналогично S~1S=L Наконец, перемножение подстановок
подчиняется сочетательному закону:
(^А) S$ = Si (о2о3).
В самом деле, пусть подстановка St переводит некоторое число
а в число р, подстановка 52 переводит (3 в у и подстановка £3
переводит у в 8. Тогда S^ переводит а в у, после чего 53
переводит у в 8. Таким образом, (StS2)Sz переводит а в 8.
Посмотрим, как ведет себя St (S2S3). Подстановка Sl переводит а в р,
а 5253 переводит (3 в 8. Следовательно, Sx (S2S3) переводит а в 8,
т. е. ничем не отличается от (5153)53:
(iSx52) S3 = 5j (5253).
3. В заключение познакомимся с понятием преобразования;
подстановка есть частный случай этого важного понятия.
Прежде чем перейти к определению преобразования, введем
понятие однозначного отображения одного множества на другое.
Пусть М и N—два конечных или бесконечных множества *),
и пусть между М и N установлено такое соответствие, что
каждому элементу т множества М соответствует только один
элемент п множества N и при этом соответствии исчерпываются все
элементы N. Тогда мы будем говорить, что множество М
однозначно отображается на множество N. Элемент п мы назовем
образом элемента т и скажем, что т отображается на п. Само
соответствие принято называть однозначным отображением множества
М на N. В частности, когда каждый элемент TV является образом
только одного элемента М, отображение называется взаимно
однозначным.
Теперь мы можем дать определение преобразования. Под
преобразованием множества М мы будем подразумевать взаимно одно-
1) Они могут совпадать,
S
значное отображение множества М на самого себя. Так, если
привести в соответствие каждому рациональному числу а число а-J-'l,
то получится преобразование множества рациональных чисел.
Другим преобразованием множества рациональных чисел будет
соответствие, при котором каждое а удваивается.
Преобразования обладают теми же характерными особенностями,'
что и подстановки.
Во-первых, применим некоторое преобразование S к элементу а.
Пусть 5 отображает а на Ь. Затем получившийся элемент Ъ
подвергнем преобразованию Г. Пусть Т отображает b на с. Тогда
элемент а при совместном действии преобразований S, Т
перейдет в с. Соответствие, при котором а переходит в с, есть,
очевидно, тоже преобразование. Мы это преобразование будем
называть произведением преобразований 5, Т и обозначать через ST.
Во-вторых, рассмотрим преобразование Е, переводящее каждый
элемент множества М в самого себя (отображение а на а). Это —
аналог тождественной подстановки, и мы преобразование Е будем
также называть тождественным.
В-третьих, пусть 5 некоторое преобразование. Пусть 5
отображает элемент а на Ь. Преобразование, отображающее b обратно
в а мы обозначим через S~l. Очевидно, что S~l есть аналог
обратной подстановки. Мы S'1 назовем обратным относительно
5 преобразованием.
Наконец, дословно так же, как это было сделано выше для
подстановок, можно показать, что произведение преобразований
подчиняется ассоциативному закону.
§ 2. Понятие группы. Рассмотренные в предыдущем
параграфе примеры приводят нас к одному из важнейших понятий
современной алгебры — к понятию группы. Какими свойствами
обладает, например, операция умножения подстановок? Она
обладает следующими характерными свойствами:
1) множество всех подстановок п чисел замкнуто относительно
операции умножения подстановок;
2) операция умножения подстановок подчиняется сочетательному
(ассоциативному) закону: Sx (S2S3) = (5152)53;
3) существует такая подстановка /, называемая единичной, что
SI—S для любой подстановки 5 из п чисел;
4) для всякой подстановки 5 из п чисел существует
обратная подстановка 5"1, для которой SS~l = I.
Если обратиться к совокупности всех невырождающихся
матриц я-го порядка, то мы для умножения матриц будем иметь те
же четыре свойства.
Вообще, пусть @ — некоторое конечное или бесконечное
множество элементов а, Ь, с ... Кроме того, пусть дано правило, по
которому из каждых двух элементов (одинаковых или различ-
t.
ных) а, Ь множества ©, взятых в определенном порядке,
однозначно получается третий элемент с не обязательно того же
множества. Это правило в дальнейшем будет называться
композицией, или умножением (иногда сложением), и записываться
большей частью с помощью обычного знака умножения: a*b = cl).
Множество © носит название группы относительно
рассматриваемой композиции, если выполняются следующие четыре требования:
a) множество © замкнуто относительно композиции, т. е.
ab = c всегда принадлежит тому же множеству ©;
b) композиция подчиняется сочетательному
(ассоциативному) закону: (ab)c = a(bc);
c) среди элементов множества © существует по крайней
мере один такой элемент е, называемый правой единицей, что
ае = а для любого а из @;
d) для всякого элемента а из @ существует по крайней
мере один такой элемент а'1 из ®, называемый правым
обратным элементом для а, что аа~х = е.
Если сверх того композиция коммутативна (всегда ab = ba),
то группа © называется абелевой, по имени знаменитого
норвежского математика Н. Г. Абеля (N. H. Abel), впервые
рассматривавшего такие группы.
Таким образом, множество всех подстановок из п чисел есть
(не абелева) группа относительно операции умножения
подстановок,— это так называемая симметрическая группа подстановок
/г-й степени. Ее обычно обозначают буквой @я. Точно так же
совокупность всех невырождающихся матриц /г-ro порядка есть
группа и притом не абелева относительно операции умножения
матриц. Множество всех комплексных чисел, если исключить нуль,
образует относительно арифметического умножения абелеву группу.
Рациональные функции:
/о — х> / 1= "^ » /а=== * •*> /г— ^~i_ i » Л = ~£~~ »
h — i_x>
рассмотренные в предыдущем параграфе тоже образуют группу
(очевидно не абелеву).
Для абелевых групп композиция большей частью записывается
в аддитивной форме, т. е. большей частью вместо ab пишется
а~\-Ь. В этом случае абелеву группу принято называть
аддитивной группой и вместо термина „умножение" употреблять термин
„сложение". В остальных случаях, когда композиция записывается
*) Само собой разумеется, что это умножение (сложение) может быть
самой разнообразной природы, а не только арифметическим действием.
в форме умножения, мы будем иногда группу называть
мультипликативной (независимо от того, абелева она или не абелева).
Требования пунктов а, Ь, с и d, входящие в определение
группы, принимают для аддитивной группы следующий вид:
a) Сумма а-\-Ь = с элементов afb множества ® всегда
принадлежит тому же множеству (условие замкнутости).
b) Композиция (сложение) подчиняется ассоциативному
закону: а-\-(Ь-\-с) = (а-\-Ь)-\-с.
c) Среди элементов множества ® существует по крайней
мере один такой элемент е, что а-\-е = а для любого а из @.
Мы видим, что е здесь ведет себя как число 0 при
арифметическом сложении, поэтому мы е для аддитивной группы будем
называть не единицей, а нулем и обозначать через 0.
d) Для всякого элемента а из ® существует по крайней
мере один такой элемент х, который в сумме с а дает нуль.
Как видим, х играет роль, аналогичную роли
противоположного по знаку числа. В соответствии с этим мы будем
х называть элементом, противоположным относительно а.
Кроме того, надо иметь в виду, что для аддитивной группы
всегда a-\-b = b-{-a (сложение коммутативно!).
Таким образом, композиция аддитивной группы во многом
напоминает обычное арифметическое сложение.
Укажем' еще несколько примеров группы.
Пример 1. Множество всех рациональных чисел, если из него
исключить нуль, образует абелеву группу по отношению к арифметическому
умножению. При этом роль элемента е играет число 1, роль обратного
1
элемента для а — число —.
а
Пример 2. Множество рациональных чисел образует группу и
притом абелеву относительно сложения. Но здесь роль элемента е будет
играть уже не число 1, а число 0. Обратным элементом дчя а будет
уже не —, а — а (т. е. противоположное по знаку число).
Пример 3. Рассмотрим совокупность всех иррациональностей вида
а + Ь "|/3, где а, Ъ — рациональные числа, неравные одновременно нулю.
чМы покажем, что эта совокупность по отношению к арифметическому
умножению является группой (абелевой). Посмотрим, выполняются ли все
четыре требования, характеризующие группу.
Произведение двух чисел Л
- —_.—_ Zl = ах -J- #i l/*3; z% = а2 -\- Ь2 V$
нашей совокупности, очевидно, равно
Z& = (а^а2 -J- 3#А) 4- («А 4"дA) V&
Нетрудно убедиться, что ata2 4~ 3bYb2 и аф2 4~ a2^i не могут
одновременно обращаться в нуль. В самом деле, если бы - -
а^а2 4" 3#i#2 = 0; aj?2 -\- a2bt = 0,
то система двух однородных уравнений с двумя неизвестными:
акх -\- 3&хУ = 0; Ьхх -\- аку = 0
лопускала бы ненулевое решение х = а2, у = Ь2. Но в таком случае
определитель системы равнялся бы нулю:
ах ЗЬХ
= ах2 — 3^ = 0.
Из этого равенства получаем следующую нелепость:
-i = ± |/1£ т. е. l/~3 есть число рациональное.
Итак, требование замкнутости удовлетворяется: zfo есть снова
иррациональность вида а -\- b У3} где а, Ъ — рациональные числа, неравные
одновременно нулю.
Второе требование не нуждается в особом разборе: ведь умножение
чисел и, в частности, наших иррациональностей подчиняется
сочетательному закону (а также коммутативному закону).
Столь же очевидно и третье требование, — здесь ршь элемента е
играет число 1 = 1 -f- 0 • уз.
Остается, следовательно, проверить четвертое требование. Пусть z =
— a-\-b }/~3— какое-нибудь число рассматриваемой совокупности,
положим:
z~i = x+yyz,
и найдем, чему равны х, у. С одной стороны,
zsr1 = (а + Ь УЪ)(х+у УЪ) = (ах + ЗЬу) + (bx-f ay) У3>
с другой стороны, zz~1 = l.
Таким образом:
(ах + ЗЬу) + (Ьх + ау) |/Т= 1.
Но последнее равенство возможно лишь при
ах-{-ЗЬу=1;
Ьх-]-ау — 0.
Решая эту систему уравнений, получаем:
— Ь
Х л2 QA2 > У
причем х, у — не равны одновременно кулю
Итак, обратный элемент найден:
- а ь ,кк
*я2 — 3b* я2 —3621
и он принадлежит рассматриваемой совокупности иррациональностей.
Стало быть и четвертое требование удовлетворяется.
Пример 4. Обозначим через е0, slf ... , ел_х корни я-й степени из
единицы:
шк = со*2*1 + 1в\п — (/г = 0, 1, 2, ,.., л—1;.
12
Нетрудно убедиться, что по отношению к арифметическому умнбже-
нию это множество корней образует группу и притом абелеву. Первое
требование — замкнутость относительно умножения, очевидно: е1гу=^еп
где г—остаток от деления суммы /+/ на я. Столь же очевидно и
второе требование — поскольку ассоциативный закон умножения для чисел
справедлив, он, в частности, должен выполняться для корней ek. Затем
роль элемента е здесь играет ее = 1; таким образом удовлетворяется и
третье требование. Остается проверить четвертое требование. Пусть ц—
какой-нибудь корень я-й степени из единицы. Выясним, существует ли
в данном множестве для е^ обратный элемент е^-1. Произведение в^8я_^ =
= е0=1. Значит, ei~1 = en_£. Итак, данное множество есть группа. Мало
того, оно образует группу абелеву, так как умножение чисел
коммутативно.
Следующий пример связан с понятием кватерниона. Нам
придется, прежде чем переходить к примеру 5, познакомиться с этим
понятием.
Установим в пространстве некоторую прямоугольную систему
координат OXYZ, выберем вектор 7?, выходящий из начала О и через начало
координат перпендикулярно этому вектору проведем плоскость А.
Множество векторов, лежащих на этой плоскости и выходящих из начала
координат, можно различными способами отображать на себя. Мы знаем,
что все такие отображения образуют группу. Рассмотрим только часть
этих отображений — именно те, которые состоят в повороте на некоторый
угол вокруг оси ~ct и одновременном умножении на какое-либо скалярное
число всех векторов плоскости А, Само собой разумеется, что повороты,
отличающиеся друг от друга на кратное 2тс, мы будем считать
одинаковыми, так как они вызывают одно и то же взаимно однозначное
отображение множества векторов плоскости А на самого себя. Эти
отображения носят название кватернионов, связанных с плоскостью А 1). Если
кватернион состоит только в умножении векторов на скалярное число т,
то он называется скалярным и обозначается просто числом т. Все
скалярные кватернионы, выражающиеся одним и тем "же числом, считаются
равными независимо от плоскости, в которой они действуют.
Пусть а, а' два кватерниона одной и той же плоскости Л. Тогда
произведение этих преобразований аа', очевидно, будет снова кватернионом
плоскости А. Совершенно другое получится, если взять кватернионы а
и р, принадлежащие разным плоскостям А, В. Действительно, если мы
захотим произвести последовательно преобразования а§ над некоторым
вектором с, то для выполнимости этого окажется нужным, чтобы вектор
7 лежал в плоскости А и чтобы кватернион а переводил ~Т в вектор "^а,
лежащий в плоскости В. Так как ~со. лежит также в плоскости А, то он
должен лежать на линии пересечения плоскостей А, В. Отсюда следует,
что вектор 7 должен лежать на некоторой определенной прямой t
плоскости А. Значит, преобразование <ф, вообще говоря, не будет
кватернионом, так как оно определено только для векторов некоторой прямой,
а не плоскости. Тем не менее произведение о$ обычно отождествляют с тем
кватернионом ?, который на все векторы прямой t оказывает то же
действие, что и последовательное выполнение кватернионов а, р. Легко
убедиться, что такой кватернион ? всегда найдется и будет единственным,
а также, что так определенное умножение будет ассоциативным. Теперь
мы можем перейти к примеру.
*) Более подробную теорию кватернионов см. в книге И. В. А р п о л ь да,
Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1939, 2-е изд.
13
- Пример 5. Возьмем в Пространстве прямоугольную систему координат
XOYZ. Пусть /—кватернион, характеризующийся вращением плоскости
... » тс
YOZ вокруг оси ОХ на угол -~- против часовой стрелки; j—кватернион,
характеризующийся вращением плоскости XOZ вокруг оси 0^ на угол
-у против часовой стрелки; наконец, пу^ть k — кватернион,
характеризующийся вращением плоскости ХОУ вокруг оси 7?Z на тот же угол—
против часовой стрелки. Всего вместе с 1, — 1 получается восемь
кватернионов !,—• 1, /, — /, у,—У, k,~-k.
\г
к т
\в,
Л,
Черт. 2.
Обозначим для краткости эту совокупность кватернионов через К.
Нетрудно показать, что элементы К перемножаются по следующему
правилу:
1.(-1) = (_1). 1=-1; 1./=/.1 = /; 1 - У=У • 1 =У;
1 . k = k- l = k;
<— i - /=/- С—1> = — ft (—1) -У=У(—1) =—У; (—1)- л = л- (—1) =
= _£; 12 = 1; (-1)*=1; /2 = ~-1; у2=-1; *2 = -1;
ij = k; ji = — k; jk = i; kj~—i; k!~j; ik — — j. (1).
Мы ограничимся выводом только двух соотношений /2 = — 1 и ij = k;
остальные выводятся аналогично.
Возьмем на плоскости ZOY какой-нибудь вектор, например О А (черт. 1).
Применяя к ОА два раза кватернион /, мы, очевидно, добьемся того, что
вектор ОА изменит свое направление на противоположное. Таким образом,
/2 = —1.
Обращаемся к произведению ij; применим это произведение к вектору
ОБ (черт. 2)1). Под влиянием кватерниона / вектор ОБ займет положе-
*) Мы взяли вектор ОБ на оси 0Y не случайно. Кватернион /
применим только к векторам, лежащим на плоскости YOZ, а кватернион j
применим только к векторам, лежащим на плоскости X0Z. Отсюда мы
должны вектор Ш? выбрать на плоскости YOZ так, чтобы после
применения i он попал на плоскость ZOX, т. е. оказался на оси 0Z. Но это
возможно лишь в том случае, когда ОБ лежит на оси 0Y,
14
А
^
Черт. 1.
В
i ние O^ij затем под влиянием Кватерниона j вектор ОВх перейдет в оД>.
I В результате получится такой эффект, как если бы мы ОВ подвергли
1 действию кватерниона k, поэтому */ = &.
I Теперь выясним, образует ли данная совокупность К группу. Из
I правила умножения видно, что условие замкнутости соблюдается. Ассоциа-
1 тивный закон не нуждается в проверке, так как мы в свое время отмс-
| тили, что умножение кватернионов должно подчиняться ассоциативному
I закону. Роль правой единицы здесь, очевидно, играет кватернион 1.Нако-
I нец, из равенств (1) видно, что для каждого элемента совокупности К
] существует правый обратный элемент, например для / правым обратным
] элементом является — /, так как i • (— /) = / (— 1) / = (— 1) i • i = (— 1) Р =
] Итак, совокупность К образует группу (и притом не абелеву). Она
\ называется группой кватернионов, С этой группой мы еще встретимся.
1 Мы привели довольно много примеров групп. Нам пришлось
1 встретиться с группами, содержащими бесконечное число элемен-
1 тов (группа матриц; группы, приведенные в примерах 1, 2, 3).
j Такие группы называются бесконечными. Но мы столкнулись также
I с группами, состоящими из конечного числа элементов (группа
1 подстановок, группа рациональных функций /0, fv /2, /3, /4, /5,
1 группа кватернионов, группа корней я-й степени из единицы).
] Группы подобного рода называются конечными. При этом число
j элементов конечной группы принято называть порядком группы. Так
j симметрическая группа ©rt я-й степени есть конечная группа
j п\ порядка;» группа корней я-й степени из единицы есть конечная
1 группа /7-го порядка.
I Задачи.
j 1. Показать, что множество матриц вида f , ], где ау Ъ — рацио-
] нальные ^числа, неравные одновременно нулю, есть абелева группа по
I отношению к умножению матриц.
J 2. Показать, что элементы е, а с композицией eet=e, ea = a, ae = a,
J-r' a • а = е образуют абелеву группу.
I 3. Образуют ли группу рациональные функции
j /о=== х\ Л:== х\ Л — ~ г /з = ~ >
j если в качестве композиции рассматривать итерацию функций (§ 1, при-
j мер 1).
\ ., 4. Показать, что множество всех поворотов пространства вокруг
Д точки О образует относительно умножения поворотов группу и притом
1 не абелеву группу.
I § 3. Простейшие свойства группы. На протяжении этой
j главы нашей основной целью будет изучение общих свойств групп,
j т. е. свойств, которые имеют место во всякой группе. В первую
I очередь разберем несколько детальнее систему постулатов, опре-
1 деляющих группу.
I Мы ввели понятие произведения двух элементов группы. Воз-
I никает естественный вопрос, что понимать дод произведением
| 15
п элементов йха2 >.. ал? Произведение нескольких элементов мы
определим индуктивно:
аха2аг = (аха2)аг;
аха^аъак = (аха2аъ) а4.
Вообще
аха2 ... апап+1 = (а1а.2 ... ап) ап+х,
т. е. чтобы перемножить три элемента группы, надо составить
произведение первых двух и полученный результат умножить на
третий элемент; чтобы перемножить четыре элемента группы, надо
произведение первых трех элементов умножить на четвертый
и т. д.
Но это — не единственный способ перемножения, например
в случае трех сомножителей можно было бы первый элемент
умножить на произведение двух остальных: ах (а2аг). В силу
ассоциативного закона отступление от принятого порядка перемножения
здесь не влияет на результат: а1(а2аг) = (а1а^)аг. Оказывается,
что это обстоятельство имеет место для любого числа
сомножителей, т. е. во всяком произведении скоб/си можно расставлять
произвольно.
Доказательство. Для п = 3, как мы знаем, утверждение
справедливо, поэтому воспользуемся методом индукции; покажем, что
аха2. . . asas+x... anJx ап = (...)(...)...(...) (as ... ап)9
предполагая теорему справедливой для меньшего числа
сомножителей. По определению произведения нескольких элементов
аха2... asas+x.. . ап_хап — { аха^. .. asas+x... ап_х } ап.
В фигурных скобках число сомножителей меньше п; мы можем,
следовательно, внутри этих скобок произвольно расставить новые
скобки. Пишем:
аха2... asas+x . .' *. ап_хап = {[(...)(...)...(.. .)] (as . Г . ап_х) } ап.
А теперь, пользуясь ассоциативным законом, получим:
аха2 .. . asas+l.. . an_tan = {(...)(•••)•••(•••)} [(я, • • .an-i)an\>
или, так как (as ... ап_х) ап = as ... ап:
' аха2... asas+x ... ап_хап = {(...)(•••)•••(•••)} (as • • • ап)*
Обозначим круглые скобки соответственно через
if
16
Тогда
ака2 .:." asas+l ... an_lan = {AiA.2 ... V-i M/>-
Но по определению произведения нескольких сомножителей
{ ^l^a •.. Ар__х } Ар ==^i^s2 ... Ap-iAp»
Значит
д^а ... asas+l \ .. an_ian=AiAi .. .Ap_xApi
или
«i*a ••• fl,e,+i ... anmmian = {...)(...)...(...)(as ... ая).
Таким образом, поскольку утверждение верно для /г = 3, оно
верно для п = 4, 5, 6, ... и вообще для любого числа
сомножителей, большего чем 2.
Переходим теперь к последним двум требованиям,
характеризующим группу. Согласна требованию с) в группе © должна
существовать по крайней мере одна правая единица е. Возникает вопрос,
могут ли помимо е существовать другие правые единицы и будет
ли е также левой единицей, т. е. будет ли еа = а для любого
элемента а группы. Аналогичный вопрос возникает и относительно
требования d) о существовании обратного элемента. Ответом служат
следующие теоремы.
Теорема 1. Правый обратный элемент а"1 вместе с тем
является левым обратным элементом1).
Доказательство. Умножим обе части равенства
ааГ1=е
слева на а"1. Тогда получится a~laa"1 = a~1ei или, так как аГ1е = аГ1:
аГ1аа~1 = а~1. (1)
С другой стороны, пусть b — правый обратный элемент для
аГ1: a~lb — e. Тогда, умножив обе .части равенства (1) справа на
Ь, получим:
аГхаа~1Ь — а~уЬ, или (а~]а) {a~lb) — a~lb.
Но а~]Ь — е. Значит (а~ха)е = е, или окончательно
аГха = е,
т. е. а~1 есть также и левый обратный элемент2).
*) Точно так же всякий левый обратный элемент будет правым.
2) Подобным же образом доказывается, что всякий левый обратный
элемент является правым.
2 Л. Окунев 17
Теорема 2. Группа © содержит только одну единицу е,
которая является как правой, так и левой единицей.
Доказательство. Умножим обе части равенства
ааГ1 = е
справа на а. Получим
(аа~1)а = еа, или а(сГ1а) — еа. (2)
По теореме 1 имеем а~*а = е. Значит равенство (2) можно
переписать так:
ае = еа,
или более подробно
ае = а = еа.
Таким образом, е оказывается не только правой, но и левой
единицей.
Остается показать, что других единиц, кроме е, не существует.
Пусть ех — еще какая-нибудь единица группы ®. Так как е{ —
единица, то eet=e. Но, с другой стороны, е — также единица,
поэтому ее1 = е1. Сравнивая равенства еех=:е и eei = ev получаем,
что е = е1%
Теорема 3. Для всякого элемента а группы ® существует
только один обратный элемент а"1.
Доказательство. Допустим, что кроме аГх имеется еще один
обратный элемент Ь. На основании теоремы 1 мы всегда можем
b предполагать одновременно правым и левым обратным
элементом. Стало быть, пусть
Ьа = е.
Тогда, умножив это равенство справа на а""1, получаем
Ьаа~*=еа~\ или b(aa~l) — а~1, или be = a~l,
или окончательно: Ь = а~К
Итак, отпадает необходимость в терминах „правая (левая)
единица", „правый (левый) обратный элемент". Отныне мы можем
говорить просто „единица" и „обратный элемент". Отметим еще
два простейших свойства группы.
Теорема 4. Если а, Ь — два произвольных элемента группы ®,
то уравнения ах = b; ya = b имеют единственное решение
x — a~xb\ y=zba~l.
Действительно, умножив первое уравнение слева на а~\ а
второе уравнение справа на а~1, получаем как раз x = a~lb; y — ba~\
18
Легко проверить, что найденные значения неизвестных
удовлетворяют уравнениям:
a (a~1b) = (aa^1) b = eb = b; -
{bar1) a = b (a_1a) = be = b.
По поводу теоремы 4 следует сделать одно замечание. В § 2
мы определяли группу с помощью четырех постулатов. Нетрудно-
теперь убедиться, что постулаты с) и d) можно заменить следующим
положением:
с') уравнения ax = b; ya = b всегда разрешимы в ®.
В самом деле, пусть для множества @ имеют место постулаты
a), b) и с'). Покажем, что в, таком случае постулаты с) и d) будут
вытекать как следствие. Возьмем из ® некоторый элемент с и
обозначим через е решение уравнения сх = с. Мы утверждаем, что
е является правой единицей, т. е. ае = а для любого элемента а.
Для доказательства обратимся к уравнению ус = а. Умножим обе
его части справа на е. Тогда, пользуясь ассоциативным законом,
получаем:
ае = (ус) е =у (се) =ус = а.
Постулат d) доказывается еще быстрее. В силу положения с')
уравнение ах=^е разрешимо, т. е. для а существует правый обратный
элемент.
Теорема 5. Если а, Ь} с — элементы группы, то из ab = ac
следует Ь = с. Точно так же из ba—са следует Ь — с1).
В самом деле, если обе части равенства
аЬ — ас
умножить слева на а-1, то получится
eb = ec, или Ь = с.
Аналогичным образом доказывается утверждение относительно
Ьа = са.
Как видим, многие законы обычной алгебры имеют место и
для группы. Но это сходство с обычной алгеброй станет еще
заметнее, если ввести понятие степени элемента. Начнем сперва с
целой положительной степени.
Пусть а—некоторый элемент группы ®. Произведение т
одинаковых сомножителей аа. . .а называется т-Vi степенью элемента а
и обозначается сокращенно через ат. При этом т называется,
показателем степени. В частности д1 = а.
1) То есть обе части равенства можно сокращать на общего левого
(правого) множителя.
* 19
Теперь приведем определение нулевой и целой отрицательной
степеней элемента группы. Что такое аГ1 мы знаем уже из самого
определения группы: сг1 есть элемент, обратный относительно а.
Рассмотрим произведение т одинаковых сомножителей:
аГ1а^...а'1 = (а"1Уп.
Это произведение принято обозначать через а~т и называть
m-ft степенью элемента а. Таково определение целой
отрицательной степени.
Нетрудно убедиться, что
агт = (ату1.
В самом деле,
ата~т = (аа ... а) {сГ^аГ1... аГх) = (аа ... а) (аа"1) (агхаг1... а"1) =
m раз т раз /w —1 раз /я —1 раз
= (да. . . a)e(a~]a~1... a"1)==(aa ... a) (a"1^"1.. . ar1)= .. . =
iw — 1 раз m — 1 раз
= (aa) (a"*1 a"1) = a (aa~l) or1 = aea~x = aa""1 = e,
т.. е. а~т есть элемент, обратный относительно ат.
Далее, по определению целой отрицательной степени
а~т = (аг1)т.
Что касается а0, то мы ее будем рассматривать, как
аа~1 = е.
Можно показать, что соблюдаются также обычные
алгебраические правила возведения в степень:
для любых целых р, q (положительных, отрицательных или
равных нулю — безразлично).
Для абелевых групп сверх того выполняется правило
{аЬУ — аЧ*, (4)
где р — попрежнему любое целое число.
W
(3)
Мы ограничиваемся выводом соотношений (3) и (4) для /*>>0,
q^>0 и предлагаем читателю самому провести рассуждения со
всей полнотой.
Если р и q — оба положительны, то
apaq — (аа... а) (аа... а)
р раз q раз
Произведение не зависит от того, как расставлены скобки;
можно, следовательно, две скобки объединить в одну:
а?а* = (аа...а) = аР+*.
/> + ?раз
Затем в произведении p-\-q сомножителей:
aW = aa...a
p + q раз
можно следующим образом расставить скобки:
(аа... а) (аа... а) = aqap.
q раз р раз
Итак,
Второе из соотношений (3) выводится еще короче. Степень
(ap)q есть, очевидно, не что иное как
а?аР ... а? = аа ... а=а™, т. е. (a?f = aW.
' (7 Раз М Раз
Относительно равенства (4) рассуждаем точно так же. Степень
(ab)p есть не что иное как ab, повторенное сомножителем р раз:
abab. ..ab.
Но для абелевой группы умножение коммутативно;
следовательно, мы можем буквы а и буквы Ь сгруппировать отдельно:
abab ...ab = (аа ... a)(bb ... b).
р раз р раз
Отсюда
(flbf — aW.
21
В заключение остановимся на аддитивной группе. В силу
теоремы 2 эта группа должна обладать только одним нулем.
Мы его будем в дальнейшем обозначать через 0. Затем согласно
теореме 3 для любого элемента а аддитивной группы должен
существовать только один противоположный элемент. Этот
противоположный элемент мы по аналогии с отрицательным числом будем
обозначать через — а. Таким образом, a-j-(— а) = 0, — a-f-a = 0.
Любопытно отметить, что в аддитивной группе справедливо
следующее правило, встречающееся в элементарной алгебре:
— (—а) = а. !
В самом деле, сопоставляя уравнение —a-\-z — 0 с
равенством — а-\-а = 0, видим, что z = a. Но, с другой стороны, z есть
не что иное как —(—а).
Обращаемся теперь к уравнению
а -\- х = Ь.
Если к его обеим частям прибавить —а, то в результате
получится единственное решение х = Ь-\-{—а), которое называется
разностью элементов b и а и обозначается через b — а. Очевидно,
что а — а = 0; 0 — а = — а.
Наконец, выясним, что будет в аддитивной группе
соответствовать понятию степени.
Очевидно целой положительной степени ап будет
соответствовать сумма а-\-а-\-...-\-апзп одинаковых слагаемых. Эту сумму
принято обозначать через па и называть положительным цело-
кисленным кратным элемента а.
Вместо целой отрицательной степени а~п придется говорить
о сумме (_й) + (_й)+... +(_в)
п раз
Эта сумма обозначается через — па и называется
отрицательным целочисленным кратным а.
Аналогом нулевой степени а0 будет нулевое кратное 0• а.
Так как в аддитивной группе единица обозначается через 0, то
вместо равенства а° — е придется писать 0«а = 0. Таким обра^
зом, под нулевым кратным следует понимать нуль.
Итак, в аддитивной группе целая степень принимает форму
целочисленного кратного *). При этом соотношения (3) и (4)
принимают следующий вид:
О + q)a—pa + qa—qa -{-pa;
q(pa)=pq*a
x) Употребляя термин „целочисленное кратное", мы имеем в виду
положительные и отрицательные целочисленные кратные, а также
нулевое кратное.
22 '
(3')
р{а-\-Ь)=ра-\-рЬ (4')
(р и q — произвольные целые числа).
§ 4. Подгруппа. Можно указать целый ряд примеров, когда
некоторая часть элементов группы © образует, в свою очередь,
группу относительно той же самой композиции. Мы будем
такую часть элементов называть подгруппой группы ©.
Иногда группу © приходится также считать подгруппой. Мы
ее будем называть несобственной подгруппой в отличие от
остальных подгрупп, носящих название собственных подгрупп. В
дальнейшем, употребляя слово „подгруппа", мы будем подразумевать
(если не оговорено противное) как собственную, так и
несобственную подгруппу.
Примеры. 1. Во всякой группе © единичный элемент сам по себе
образует группу. В самом деле, относительно е имеют место все
требования, характеризующие группу. Элемент е обладает свойством
замкнутости относительно умножения е • е = е. Ассоциативный закон, поскольку
он справедлив для любых элементов группы ©, не может, очевидно,
вызывать сомнений. Наконец, последние два требования — существование
единицы и обратного элемента — звучат здесь совершенно тривиально,
так как все время речь идет об единице е и ег1 = е. Итак, единичный
элемент мы вправе рассматривать как подгруппу. Эту подгруппу принято
называть единичной и обозначать через Е.
2. Множество всех рациональных чисел, как известно, образует
группу относительно арифметического действия сложения (стр. 11,
пример 2). Подгруппой этой группы будет, например, совокупность всех
целых чисел. В свою очередь, четные числа образуют подгруппу группы
всех целых чисел.
3. Рассмотрим симметрическую группу <&3 третьей степени, т. с.
всевозможные подстановки из трех чисел.
/-\123J; 5l~i213/; S*~ l23lj;
^=(3 2l); 5*=(з I2j; 55= (1З2) '
Легко проверить, что подстановки:
*/; S2 и S4
образуют подгруппу симметрической группы ®3. Отметим, что ^всякая
подгруппа симметрической группы <5п называется группой подстановок
п-й степени.
Для выяснения того, является ли чисть элементов группы @
подгруппой, нам приходилось проверять все четыре требования.
Оказывается, что всегда можно ограничиться первым и последним
требованиями, именно, если часть <£) элементов группы ©
обладает следующими свойствами:
* 23
a) произведение любых двух элементов а и Ь,
принадлежащих $, также принадлежит «§ (свойство замкнутости);
b) для любого элемента а, принадлежащего ,£), будет
принадлежать $ и обратный элемент а'1 (существование
обратного элемента), то $ есть подгруппа группы ®.
Для доказательства этого утверждения достаточно показать,
что для множества $ выполняются второе и третье требования,
определяющие группу. Но второе требование — ассоциативный
закон — в особой проверке не нуждается; он верен для всех
элементов группы и потому верен также и для ее части ф. Остается,
следовательно, убедиться в том, что множество ф содержит
единицу е. Пусть а — какой-нибудь элемент ,£). В силу свойства Ь)
множество ф должно содержать также а"1. Умножим теперь а на а"1:
ааГ1 = е.
В силу свойства а) множество ф должно содержать не только
элементы а и а"1, но и их произведение аа~1=е.
Для конечной группы дело обстоит еще проще: здесь можно
ограничиться одним свойством замкнутости а).
В самом деле, пусть часть $ элементов конечной группы ®
обладает свойством а). Покажем, что в этом случае свойство Ь)
выполняется автоматически, вследствие чего ф образует подгруппу
группы ®.
Пусть а — некоторый элемент множества »£. Составим
совокупность 1qx всевозможных произведений a2h, где h — произвольный
элемент <£). В силу свойства а) произведение a*h должно содержаться
в 1q. Таким образом, множество 4?i либо совпадает с ф, либо
составляет часть *£>. Посмотрим, какое из этих предположений имеет
место. Обозначим через k число элементов ,£). Нетрудно убедиться,
что для различных h получаются различные a?h. Действительно,
если a?h1 = a<ihv то по сокращении на а2 получается hx = hr
Итак, множество $% состоит из k элементов множества ф, т. е.
из всех элементов ^. Тем самым ^x = ^f а это значит, что
произведения a*h исчерпывают все элементы Jq. В частности, при неко-
Т°Р°М h аЧ = а.
Умножим обе части последнего равенства слева на а 2; в резуль-
h = сГ
тате мы найдем h\ , _.
Таким образом множество $ наряду с а содержит также и а"1.
Свойство &), следовательно, выполняется.
В заключение рассмотрим один довольно распространенный
случай подгруппы. Обозначим через 9( множество всех целых
степеней -* -ч о i 2 /1ч
..., а*} а\ а° = е, а\ а% ... (1)
24
элемента а группы @. Выясним, будет ли % подгруппой ©. В
данном случае сразу видно, что свойство замкнутости соблюдается,
так как произведение степеней ат и ап элемента а есть тоже
некоторая степень а:
атап = ат+п.
Затем для всякого ат существует в 9( обратный элемент,
а именно (am)~1 = a~m.
Значит, 91 действительно является подгруппой группы ®. Группу,
все элементы которой являются степенями одного какого-либо ее
элемента, принято называть циклической. Таким образом,
множество 31 будет циклической подгруппой, порожденной элементом а.
Представляются две возможности: либо в ряду степеней (1)
имеются повторения, либо в ряду (1) все степени различны.
Проанализируем каждую из этих возможностей,
Пусть в ряду степеней (1) имеются повторения, например
пусть
as+n = as.
Тогда после сокращения на as получится ап~е. Мы видим
отсюда, что для а должно существовать такое наименьшее
натуральное число k, для которого ак = е. Это число k называется
порядком элемента а. В частности, единица е есть элемент
первого порядка. Мы сейчас покажем, что циклическая группа,
порожденная элементом а /5-го порядка, есть группа конечная
и ее порядок тоже равен k.
Для доказательства достаточно обнаружить, что всякая степень
ат {т — целое число) содержится среди степеней
а0 а1, а2, ..., ak~l.
Чтобы в этом убедиться, разделим т на k:
m — kq~\-r; O^r^k — 1.
Мы через q обозначили частное и через г остаток. Теперь
пишем:
ат _ akg^r=akgar=r_ (aky ar=egar= еаг=аг%
Таким образом, циклическая группа $1 состоит всего из k
различных степеней: а0, а1, ..., а*""1, т. е. ее порядок равен k.
Обращаемся ко второму случаю, когда в ряду (1) все степени
различны. Теперь циклическая группа будет уже бесконечной, "
и а придется назвать элементом бесконечного порядка. Очевидно,
элементы конечной группы © не могут быть бесконечного порядка.
^ 25
Задача.
1. Образуют ли целые числа
..., -2, — 1, 0, 1, 2, ...
циклическую группу относительно действия сложения? какого порядка?
2. Найти всевозможные подгруппы симметрической группы Ф3;
симметрической группы <£4-
3. Показать, что множество п-х корней из единицы образует
относительно действия умножения циклическую группу я-го порядка.
4. Пусть а — элемент m-го порядка, £ — элемент я-го порядка абеле-
вой группы. Показать, что при т, п взаимно простых порядок
произведения ab равен произведению порядков тп.
5. Группа ®фЕ называется простейшей, если она не имеет
подгрупп, кроме Е и самой себя. Показать, что конечная простейшая группа
является циклической группой простого порядка (т. е. порядок ее —
число простое).
^§ б. Смежные системы. Разложение группы по подгруппе.
Теорема Лагранжа. В настоящем параграфе будет изучена более
глубоко связь между группой и подгруппой.
Назовем любую совокупность М элементов группы
комплексом *). Если все элементы комплекса М встречаются среди
элементов другого комплекса N, то мы будем в этом случае говорить,
что комплекс М содержится в комплексе TV или N содержит М,
и будем писать
M^N или N^2M.
Комплексы М и N считаются равными, когда М содержится
в N и, обратно, N содержится вЖ, В этом случае обычно пишут
M = N.
Нередко приходится пользоваться обозначениями MczN или
N^dM (без знака равенства внизу). Они выражают, что
комплекс М содержится в комплексе N, но не равен N. Совокупность
всех общих элементов комплексов М и N называется пересечением
комплексов Му N и обозначается через М [\ N. Может случиться,
что комплексы М и N не имеют общих элементов (пустое
пересечение). В этом случае пишут М Г) N=0, и комплексы М, N
называются взаимно простыми, или непересекающимися.
Аналогичным образом определяется пересечение нескольких комплексов.
В частности, пересечение $г П «£)2 ДВУХ подгрупп фи ф9 есть
в свою очередь подгруппа. Для доказательства этого
утверждения, очевидно, достаточно проверить, выполняется ли условие
замкнутости и условие существования обратного элемента.
Возьмем два элемента a, b пересечения $t П ф2. Так как a, b
содержатся в $и то их произведение ab также содержится в $г.
1) Иногда мы будем через {а, Ь} с, ...} обозначать комплекс,
состоящий из элементов а, Ь, с, ...
26
Аналогично рассуждая относительно *£ь, приходим к выводу, что
ab содержится также в А^г Стало быть, аЬ является общим
элементом подгрупп Sji и «£>2, т. е. принадлежит их пересечению
*§i Л 4?2- Условие замкнутости, следовательно, удовлетворяется.
Далее, пусть а — какой-нибудь элемент^пересечения «£>j П $<*.
Тогда ау будучи элементом 1qv должен в Sgx обладать обратным
элементом а"1. Точно так же обратный элемент а"1 должен
встретиться и в подгруппе <£).2. Мы видим отсюда, что а"1 принадлежит
пересечению $г Г) §2- '
« Под суммой Мх -\- М.2 -\- ... -\-Mk комплексов Ми М^ ..., Mk
будет подразумеваться комплекс, составленный из всех
элементов Мь Ж2, .. . , Mk. Впрочем, эти понятия и обозначения не
должны быть для читателя новыми. С ними приходилось
встречаться еще в теории множеств.
Теперь введем новое понятие. Комплекс, образованный из
всевозможных произведений тп, глет — элемент комплекса М, п —
элемент комплекса N, мы будем называть произведением MN.
В частности, произведение aN (a — элемент) есть не что иное
как совокупность всевозможных произведений an, где п —
произвольный элемент комплекса N Аналогично определяется Na.
Предоставляем читателю самостоятельно обнаружить
ассоциативность сложения и умножения комплексов, а также показать
справедливость дистрибутивного закона:
{M + N)L = ML + NL\ L(M + N) = LM + LN.
Довольно часто приходится встречаться с произведением ©<£>
группы ® на ее подгруппу «£). Мы сейчас покажем, что '
®£=ф@ = ®.
В самом деле, по определению умножения комплексов, ©$
должно состоять из произведений ab, где а — элемент ®, b элемент
подгруппы «£). В частности, b может быть единицей е, так как во
всякой подгруппе имеется единица. Отсюда вытекает, что ®ф
должно содержать ае = а. Выходит, что всякий элемент группы ®
входит в ее комплекс ®ф, т. е. ®^ = ®. Аналогичным образом
обнаруживается справедливость равенства ф® = ®. Отсюда, между
прочим, следует, что ®2 = ®.
По:ле этих предварительных замечаний переходим к изучению
дальнейших свойств подгруппы.
Пусть ® — некоторая группа (конечная или бесконечная
безразлично), *£) — ее подгруппа. Возьмем из группы ®
произвольный элемент а и рассмотрим произведения а$ и 1$а. Элемент а,
очевидно, должен входить вй^ и $а. В самом деле, а$ состоит
\ ' 27
из "всевозможных произведений вида ah, где h — элемент ф.
В частности, h может равняться единице е. Поэтому, полагая
h = e, получаем, что ае = а содержится в а$. Аналогично
обнаруживаем, что а содержится в фа.
Первое произведение аф называется левой смежной системой,
а второе $а — правой смежной системой. Сама подгруппа ф
также является смежной системой (левой и правой), так как
ф = е$ = $е, где е—единица группы ®. Элемент а называется
представителем смежных систем аф и S^a.
Если элемент а содержится в подгруппе ф, то
а£ = £ и £а = £.
Действительно, с одной стороны, любой элемент ah смежной
системы аф должен входить в подгруппу ф, так как
сомножители а к h содержатся в этой подгруппе. Таким образом:
а$Ш& (1)
С другой стороны, пусть b произвольный элемент ф. Тогда
элемент h—a~% b входит в ф; этот элемент удовлетворяет уравнению
b = ah.
Мы видим отсюда, что любой элемент b подгруппы ф входит
в смежную систему аф, т. е.:
ФБ4 (2)
Но соотношения (1) и (2), вместе взятые, означают как раз,
что
*& = £.
Подобным же образом можно убедиться в тождественности
правой смежной системы фа с ф. Итак, любой элемент ф является
ее представителем. Это обстоятельство, как мы сейчас увидим,
имеет место не только для ф, но и для любой смежной системы.
I. Всякий элемент смежной системы является ее
представителем.
Доказательство. Пусть b — какой-нибудь элемент левой
смежной системы aJQ. Покажем, что b есть также представитель
aJQ, т. е., что
Ь$=а$.
По условию b — элемент смежной системы ajQ. Значит,
b = ah}
где h — некоторый элемент подгруппы ф. Отсюда h = arxb.
2S
А теперь пишем:
b$ = ebJQ = aarlbJQ = a (аГгЬф) = a (Аф).
По доказанному выше h$ = JQ.
Следовательно,
Аналогично обнаруживаем, что
Отметим еще несколько свойств смежных систем.
II. Две различные левые (правые) смежные системы не могут
иметь общих элементов.
Доказательство. Предположим противное, пусть с —
общий элемент смежных систем aJQ и Ь$. Тогда* по свойству I
элемент с будет представителем как смежной системы аф, так
и смежной системы £,£), т. е.
с$ = а$ и с$ = ££.
Отсюда следует, что а$ = Ь$. Получилось противоречие: по
условию а<£) и Ь$ различны.
III. Ни одна из смежных систем а$ и фя, кроме ф, «<?
может быть подгруппой.
Доказательство. Если какая-нибудь смежная система aSg
является подгруппой, го она должна содержать единицу е. Но
тогда по свойству I смежных систем получаем, что
<ф = *& = #.
Те же рассуждения можно повторить и относительно правой
смежной системы.
Только что рассмотренные свойства смежных систем приводят
нас к следующему важному заключению: каждый элемент группы
@ входит в одну и только в одну левую смежную систему.
Благодаря этому обстоятельству группа О распадается на попарно
непересекающиеся левые смежные системы а,£). То же самое можно
повторить и относительно правых смежных систем.
Если © — группа конечная, то она будет распадаться на
конечное число попарно непересекающихся левых (правых) смежных
систем:
© = $ + <*,$+••• + *.$. (3)
® = $ + $а/ + ... + фа/. (4)
2/
Первая сумма называется левым разложением, а вторая сумма —
правым разложением группы © по подгруппе ^. Возникает
естественный вопрос — существует ли какая-нибудь связь между
числом s слагаемых в разложении (3) и числом t слагаемых в
разложении (4). Мы скоро увидим, что 5 должно равняться t.
Предварительно рассмотрим следующую лемму.
Лемма. Пусть <£> — подгруппа порядка т конечной группы ®.
Тогда левая смежная система а$ будет состоять из т раз-
личных элементов. То же самое можно сказать относительно
правой смежной системы S$a.
Мы ограничимся левой смежной системой. Для правой смежной
системы рассуждения остаются дословно теми же.
Смежная система aJQ есть не что иное как совокупность
всевозможных произведений ahh где hi — элемент подгруппы <£).
Выясним, сколько будет различных произведений ahb. Пусть
ahi = ah j.
Сокращая обе части этого равенства на а, получаем /zf==uy.
Таким образом, различных произведений aht будет столько, сколько
элементов ht подгруппы <£>, т. е. их будет т.
Теперь вернемся к разложениям (3) и (4). Обозначим через п
порядок группы ©, а через т — порядок ее подгруппы £. По
доказанной лемме каждая смежная система ф> а2 «£)>•• • >aslQ должна
состоять из т различных элементов. Из левого разложения (3),
следовательно, вытекает, что n = sm. Точно так же из правого
разложения (4) вытекает, что /г = //тг, иными словами, s = t = — .
Целое число — называется индексом подгруппы Jq и обозначается
через 0£>,@).
Вместе с тем, мы доказали весьма важную теорему, известную
под названием теоремы Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы конечной группы
является делителем порядка группы.
Так, например, если @ — конечная группа восьмого порядка, то
ее подгруппами могут быть только подгруппы первого, второго,
четвертого и восьмого порядков.
Приводим главнейшие следствия из теоремы Лагранжа.
1. Порядок элемента конечной группы является делителем
порядка группы. В самом деле, порядок циклической группы 2(,
порожденной элементом а, равен порядку k-элемента а. С другой
стороны, по теореме Лагранжа порядок подгруппы 91 должен быть
делителем порядка п группы ®. Значит, k есть делитель п, что
и требовалось доказать.
2. Если ® — конечная группа порядка п, то для любого эле-
мента а этой группы имеет место равенство ап — е.
30
Для доказательства обозначим через k тюрядок элемента а. По
предыдущему следствию п должно делиться на я, т. е. -т- есть
число целое. Возвысим теперь обе части^равенства ak = e в степень
■j . Получаем п
(aky=an = e.
Задачи.
1. Указать все подгруппы симметрической группы @8 и для каждой
подгруппы найти левые и правые смежные системы.
2. Показать, что для всякой группы ®:
а® = Ш = ®,
где а — произвольный элемент @.
3. Показать, что для любой подгруппы <§ группы ® совокупность
элементов, обратных относительно элементов левой смежной системы а§,
есть правая смежная система фаг1.
4. Множество целых чисел, не делящихся на некоторое простое число/?,
можно разбить на р — 1 классов:
А ^ л2,... ,Ap-i. (о)
Под классом >4^(/=1,2,.. ,,р—1) здесь имеется в виду совокупность
целых чисел, дающих при делении на р остаток /. Назовем произведением
A(Aj классов Л,- и Aj совокупность произведений каждого числа класса Ai
на каждое число класса Aj. Показать, что множество классов (5)
относительно введенной композиции образует группу и что для любого целого а,
не делящегося на р, степень а^-1 принадлежит классу Аг (последнее
утверждение равносильно малой теореме Ферма).
5. Пусть © — некоторая конечная группа, £ — ее подгруппа индекса 2.
Показать, что квадрат всякого элемента группы должен входить в
подгруппу «§.
§ 6. Нормальный делитель. Факторгруппа. Часто приходится
встречаться с такими подгруппами ф, у которых левые и правые
смежные системы совпадают:
а$ = $а (1)
для любого элемента а группы. Иными словами, для всякого
элемента а группы ® и всякого элемента h подгруппы ф существует
такое h' из ,£>, что
ah = tia. (Ibis)
Подгруппы, обладающие этим свойством, называются
нормальными делителями или инвариантными подгруппами.
Равенство (1) или равносильное равенство (Ibis) мы будем
называть условием нормальности.
Приведем несколько примеров.
1. Легко убедиться, что множество «£> подстановок
/1 2 3\. , /12 3\п 12 3\
\\ 2 3/ ^ — \2 3 \)> *-~- ,3 1 2/
31
образует нормальный делитель симметрической группы (£3. Прежде всего
выясним, является ли £ подгруппой. Проверяем условие замкнутости:
/5Х = SJ=Sx; IS2 = S2l = 52; S2St = SXS2 = / и т. д.
Следовательно, «§— подгруппа.
Теперь посмотрим, будет ли £ удовлетворять условию нормальности.
Возьмем, например, подстановку 5= (о о i) и составим смежные системы
S£ и &S: V* * V
/1 2 3\. /1 2 3\ /1 2 3',\
13 2 1,'' 1^1 3 2)' \2 1 ЗД
1 2 3\. /1 2 3\. /1 2 3\\
3 2 lj» \2 1 3;' \1 3 2)}
5§ и £S:
-(см. сноску на стр. 26).
Мы видим, что S& = &S. Аналогичным образом проверяется
нормальность для остальных подстановок симметрической группы. Предоставляем
читателю эту проверку довести до конца.
2. Рассмотрим другое множество подстановок, а именно:
^^{[l 2 з); (з2 l)}'
Оно, как нетрудно убедиться, тоже образует подгруппу симметрической
группы <§>3. Проверим, выполняется ли условие нормальности. Возьмем
подстановку 5= (о з 1/ и сос1авим смежные системы S$t и $XS:
5*1==:{(2 3 l); (2 1 з)};
*Н(П?> О'")}-
Условие нормальности для подстановки 5 нарушается. Значит, «&! не
может быть нормальным делителем <S3. Мы видим отсюда, что в
симметрической группе @з не все подгруппы являются нормальными
делителями.
3. Во всякой группе единичная подгруппа является нормальным
делителем, так как единица е перестановочна с любым элементом а группы:
ае = еа.
Не следует думать, однако, что элементы нормального делителя должны
быть непременно перестановочны со всяким элементом группы. Это вообще
неверно. В условии нормальности (1 bis) Ы — некоторый элемент
нормального делителя <§, не обязательно равный h.
4. Группу © можно, очевидно, рассматривать как нормальный делитель
самого себя; легко видеть, что #© = ©# для любого элемента а (задача 2,
стр. 31). Это так называемый несобственный нормальный делитель.
Остальные нормальные делители носят название собственных нормальных
делителей.
5. В абелевой группе все подгруппы являются нормальными
делителями. В самом деле, в абелевой группе умножение коммутативно, в силу
чего для любой ее подгруппы £ выполняется условие нормальности
6. Обратимся теперь к группе К кватернионов (стр. 14) и рассмотрим
следующие комплексы:
*! = {1,-1}; £2 = {1,-1, /,-/};
«. = {1,-1, Л-У}; #, = {1,-1, *,-*}.
S2
Предоставляем читателю убедиться, что все эти комплексы являются
подгруппами (придется, очевидно, проверить условие замкнутости). Но,
мало того, оказывается, что все эти кохмплексы — нормальные делители.
Возьмем хотя бы £4. Составим, например, смежные системы У«§4 и &J.
Руководствуясь правилом перемножения элементов группы кватернионов,
получаем:
Ж = {]> — h i,— i}> $J = U> —У, — if *}•
Мы видим, что j$A = $J. Аналогичным образом проверяется условие
нормальности для всех остальных элементов группы кватернионов. Итак,
подгруппа «£>4 есть не что иное как нормальный делитель. Точно так же
обнаруживается нормальность «j?i, §2 и «&3»
Группа кватернионов замечательна в том отношении, что все ее
подгруппы инвариантны, а именно нормальные делители:
Е, £ь &> £3, £4 и К
исчерпывают все возможные подгруппы группы кватернионов *).
Условие нормальности мы проверяли для всех элементов группы.
В этом, однако, нет надобности — достаточно ограничиться
элементами, которые не входят в исследуемую подгруппу ф.
Действительно, для любого элемента а из «£) условие нормальности
(1) или, что то же самое, условие (1 bis) должно выполняться
автоматически, так как уравнение ah = xa внутри подгруппы ф
всегда разрешимо.
Рассмотрим в первую очередь простейшие свойства
нормального делителя.
1. Если @j—подгруппа @; Jq— подгруппа ®г и в то же
время нормальный делитель @, то <£) и подавно будет
нормальным делителем ©1#
Доказательство. Это очевидно, так как если равенство
аф = $а ^ (1)
имеет место для всех элементов группы ©, то оно и подавно
будет выполняться для элементов подгруппы ®i9 являющейся
"астью ©.
^ 2. Пересечение $х П «£>3 двух нормальных делителей 1ди <£)а
группы © есть также нормальный делитель.
Доказательство. Мы уже знаем, что пересечение $t Г) <£)2
образует подгруппу (стр. 26), поэтому остается показать, что эта
подгруппа есть нормальный делитель. Нам надо, таким образом,
показать, что если а — произвольный элемент группы ©, h—
произвольный элемент пересечения $г О фа> то
ah = h'a,
где h{ — некоторый элемент 'того же пересечения.
1) Добавим еще, что группа кватернионов —не абелева.
3 Л, Окуиев 33
По условию h принадлежит как 4pt, так и $2; кроме того,
€j?x— нормальный делитель. Значит,
ah = h'a)
где Ы — некоторый элемент ${. Точно так же, обращаясь к
нормальному делителю «£>2, получаем
ah — h"a,
где h" — некоторый элемент «£>2. Но уравнение ah — xa в группе
@ должно иметь единственное решение, следовательно, й" = й'.
Таким образом, К является общим элементом нормальных
делителей ^ и »£)2, т. е. принадлежит их пересечению ^ П «£)2.
3. Произведение «£h«£j2 нормальных делителей $$х и ф2 группы
@, в свою очередь, образует нормальный делитель группы ©.
Доказательство. Прежде всего докажем, что t£h<§)2 есть
подгруппа. Для этого достаточно убедиться, что: а)
произведение любых элементов а, Ь из *£)i|>2 также принадлежит 4рц£>.2;
b) для любого элемента а из §i«£)2 существует в том же *£h%£)2
обратный элемент а"1.
Возьмем два каких-нибудь элемента а, Ь комплекса $ц£)2. Они,
очевидно, должны иметь вид:
а = тп; Ь = т'п',
где т, т1 — элементы $ь а я, п' — элементы £2. Пишем, чему
равно произведение ab:
ab = (тп) (т'п') = т (пт') п\
Так как ф{ — нормальный делитель, то
пт' = тхп\
через т{ мы обозначили некоторый элемент «£>,.
Отсюда получаем:
ab = т (ткп) п' = (гпт^) (/?«'),
или, полагая /ят1 = //г", пп' — п":
ab = m"n".
Сомножитель т\ очевидно, содержится в Jfcl9 а п" — в £у2.
Следовательно, ab должно содержаться в 4?i4?*'
34
Далее, пусть а = тп— какой-нибудь элемент комплекса ф^з»
Тогда сГ1 = п~1т~1. Но мы в силу нормальности ^ можем а"1
представить в следующем виде:
а"1 = п~*т~1 = я^/Г1,
где тх — некоторый элемент ф^ Теперь ясно, что обратный
элемент аГ1 должен встречаться в ф1ф2.
Итак, требования а) и ft) удовлетворяются, а потому
произведение £i<£>2 нормальных делителей представляет собой подгруппу.
Остается показать, что Ф1Ф2 — нормальный делитель. Но это
сделать уже несравненно легче. Возьмем произвольный элемент
а группы @ и посмотрим, выполняется ли для ф|ф2 условие
нормальности: fr „ . ,„ „ .
«G6i£a) = ($r&2)a-
По условию JQi — нормальный делитель, следовательно:
и потому,
а ($i$z) = (« ФО Фа = G6i *) Фа = £i (^ фа).
В свою очередь, так как ф2— тоже нормальный делитель, то
а Фа = $2 а-
Отсюда получаем:
а (Ф1Ф2) = Ф1 (tt Ф2) = Ф1 (Ф> «) = (Ф1Ф2) «I
т. е. Ф1Ф2 — нормальный делитель.
Но особенно важно следующее характерное свойство
нормального делителя.
4. Если ф — нормальный делитель группы ©, /wo
множество ® всевозможных смежных систем:
е<=е$ — ф; а = аф; b = bSj, ....
образует относительно умножения смежных систем "группу.
Доказательство. Во-первых, удовлетворяется свойство
замкнутости. В самом деле, принимая во внимание ассоциативность
умножения комплексов, нормальность <£> и, равенство ^2=ф
(стр. 27), получаем без особого труда, что
ab = (а ,£>) (Ь ф) = а (ф ft) <£) = а (ft <£>) ф = ab ф2 = aft ф.
Мы пришли к вполне определенной суежыой системе ab; ее
представителем является aft.
• 35
Во-вторых, ассоциативность умножения смежных" систем не
вывивает сомнений, так как в § 5 было обнаружено, что
умножение комплексов подчиняется ассоциативному закону.
В-третьих, е = ф представляет собой единицу множества ®.
Действительно:
а • е = (а ф) <£ = а ф2 = а <£ = а.
Наконец, для всякого элемента а множества ® существует
обратный элемент, а именно а~1 — а~1$.
В самом деле:
Щ<Г* = (аф)(лг1 ф) = а(£ а"1) £ =*а(а"1 ф) £ =
= да"*1 ф2 = е $ = <£ == е.
Таким образом, множество ® удовлетворяет всем требованиям,
характеризующим чгруппу.
Группа ® называется факторгруппой @ по нормальному
делителю ф и обозначается через ®/£.
Факторгруппа бесконечной группы может быть как конечной,
так и бесконечной. Все зависит от того, будет ли смежных
систем конечное или бесконечное множество. Другое дело, если
обратиться к группе конечной. Для нее, как мы сейчас убедимся,
имеет место следующее предложение:
5. Если © — конечная группа, § — нормальный делитель @,
то порядок факторгруппы ©/£ равен индексу «§.
Доказательство. Обозначим индекс $ через s. Тогда
разложение ® по ,£> будет иметь такой вид:
® = £ + ^§ + --- + ^£-
А теперь сразу видно, что факторгруппа должна состоять из
s различных смежных систем:
®/Ф = {«б> **£> •-> *5<&Ь
т. е. ее порядок равен s.
Пример. Множество С всех целых чисел образует
относительно сложения абелеву группу (аддитивную группу целых
чисел). Совокупность $~целых чисел, кратных 7, образует
нормальный делитель этой группы. Композицией здесь является
арифметическое сложение, стало быть, в данном случае мы вместо знака •
должны употреблять знак -J-. Выясним, что собой представляет
факторгруппа С/«§. Строим всевозможные смежные системы.
Согласно правилу умнЬжения комплексов (здесь роль группового
умножения играет арифметическое сложение), получаем
36
Получилась совокупность чисел $, кратных 7. Далее:
Очевидно каждое число смежной системы 1 = 1 -}- ,£> имеет вид
1 -f- 7&, т. е. 1 есть не что иное как совокупность чисел,
дающих при делении на 7 остаток 1. Точно так же 2 = 2-|-<£) есть
совокупность чисел, дающих при делении на 7 остаток 2 и т. д.
Наконец, мы получаем в качестве последней смежной системы
6 = 6 -f- ф, т. е. совокупность чисел, дающих при делении на 7
остаток 6.
Таким образом факторгруппа С/ф состоит из 7
различных элементов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:
С/£ = {0, Г, 2, 3, 4,5, 6},
т. е. является конечной группой седьмого порядка. Сложение
производится по следующему правилу: чтобы сложить два элемента
а и b факторгруппы, надо составить сумму а-\-Ь представителей
a, b смежных систем и найти остаток, получающийся при делении
а-\-Ь на 7. Если этот остаток равен с, тоа-\-Ь = с, например,
4 + 5 = 2". /
Задана.
1. Обозначим через Z совокупность элементов группы ©,
перестановочных с любым элементом группы. Показать, что Z есть нормальный
делитель ©.
2. Пусть «& — подгруппа индекса 2 конечной группы <& Показать, что
«§ — нормальный делитель ©.
3. Показать, что множество всевозможных выражений вида аЬаг^Ь'1
и^их произведения (а, Ъ — любые элементы группы ©) образуют
нормальный делитель (он называется коммутантом группы ©). Показать, далее,
что факторгруппа по этому нормальному делителю является абелевой
группой.
§ 7. Изоморфизм. Содержанием современной алгебры является
изучение свойств алгебраических операций. Ее совершенно не
интересует природа элементов, входящих в состав того или иного
множества. С точки зрения современной алгебры между
группами, которые ведут себя одинаково относительно композиции,
нет никакого различия, их можно считать как бы тождественными.
Рассмотрим, например, множество всех комплексных чисел.
Оно по отношению к сложению образует абелеву группу
(аддитивную группу комплексных чисел). Обратимся теперь к
множеству всех точек на плоскости. Возьмем на этой плоскости
прямоугольную систему координат и условимся называть суммой
37
A -f- В двух точек А (а, Ь) и В (с, d) третью точку С (а -\- с, 'Ь -}- <0-
Легко сообразить, что по отношению к только что введенной
композиции множество точек на плоскости также образует абелеву
группу (аддитивную группу точек на плоскости). Сопоставляя
аддитивную группу комплексных чисел с аддитивной группой
точек на плоскости, видим, что эти группы ведут себя относительно
сложения одинаково: если каждое комплексное число a -J- bl
представить точкой Л (а, Ь), то сумма (a -f- bl) + (с -f- dt) будет
представляться суммой А-\-В точек А (а, Ь) и В (с, d). Таким
образом,- эти две группы можно считать как бы тождественными.
В современной алгебре группы подобного рода принято называть
изоморфными.
Приведем еще один пример. Обозначим через С аддитивную
группу целых чисел и через $ совокупность целых чисел,
кратных 3. Очевидно, ,£) является нормальным делителем С.
Обращаясь к факторгруппе С/ф, видим, что она образует конечную
абелеву группу третьего порядка:
С/£ = {0, 7, 2),
причем смежная система г (г = 0, 1, 2) состоит из целых чисел,
дающих при делении на 3 остаток I (ср. с примером на стр. 37).
Теперь рассмотрим на плоскости вращение против часовой
стрелки некоторой полупрямой АВ вокруг точки А на 0, -я- и -^.
Так как после поворота на угол 2кп (п — целое число 1)
полупрямая АВ возвращается на прежнее место, то этот поворот можно,
очевидно, отождествить с поворотом на угол в 0. Вообще враще-
ние на 2тг/г -f- а I а = 0, -~-, -«-1 можно отождествить с враще-
"нием а.
Повернем теперь Л£ на угол а и затем на угол р против
часовой стрелки (а, [5 = 0, -^, -^) . Эти два поворота, очевидно,
можно заменить одним поворотом у; ег0 естественно назвать
суммой а —f- p. Нетрудно убедиться, что рассматриваемые вращения
полупрямой АВ тоже образуют конечную абелеву группу
третьего порядка. Сравнивая между собой факторгруппу С/ф и группу
2ic 4ic
вращений 0, -«-, т» ВИДИМ> чт0 ОНИ ИЗОМОрфНЫ: КаЖДОЙ СМеЖ-
- 2iu
ной системе г соответствует взаимно однозначно вращение -~-
(i = 0, 1, 2); вращения складываются по тому же правилу, что
2iri , 2тс/ Ък -
и смежные системы, а именно -~- -f- ~ = -о-, где k — пред-
х) Если я>0, то поворот производится против часовой стрелки;
если п < О, то по часовой стрелке.
38
ставитель смежной системы k — i-\-j. Например, поскольку T-f^,
-4-2 = 0, сумма поворотов у + у равна нулю, т. е. полупрямая
АВ должна оставаться на месте. И действительно, вращая АВ
на угол -«- и затем на угол -^ , получаем в итоге вращение на 2гс,
n 2ic 4тс
равносильное повороту на 0 , иными словами, -o--f-"o- = 0.
Приводим окончательное определение понятия изоморфизма.
Две группы ® и ®' называются изоморфными, если можно
установить такое взаимно однозначное отображение группы
@ на группу®', что если а, Ъ — какие-нибудь два элемента @,
ab — c и в группе ©' элементу а соответствует a', b
соответствует Ь\ с соответствует с\ то a'b' — с' (иными словами,
отображение сохраняется при умножении !).
Рассматриваемое отображение носит при этом название
изоморфизма.
Для сокращения письма пользуются обозначением @^2®',
выражающим, что © и ®' изоморфны.
Отметим следующие свойства изоморфных групп:
1°. Единице е группы ® соответствует единица
изоморфной группы ®'; если элементу а группы ® соответствует
элемент af изоморфной группы ®', то обратному элементу а"1
из © будет соответствовать обратный элемент а'~1 из ©'.
В самом деле, пусть единице е и обратному элементу лг*1
группы © соответствуют в ©' элементы ё и х\ Тогда в силу
изоморфизма равенствам ае = а, аагх = е будут в группе ©'
отвечать равенства а'ё = а'; а'х' = ё. Мы видим отсюда, что ё
есть не что иное как единица ©', х'— обратный элемент: х'=а'~~г.
Подобным же образом можно доказать справедливость такого
свойства.
2°. Подгруппе $ группы ® соответствует подгруппа $'
изоморфной группы ©'. В частности, нормальному делителю ©
соответствует нормальный делитель ®'.
Понятие изоморфности является для алгебры такой же
характерной формой эквивалентности, какой для арифметики является понятие
равенства чисел, для теории множеств — понятие равномощности,
для проективной геометрии — понятие перспективного
соответствия. Мы в самом начале этого параграфа отметили, что с точки
зрения современной алгебры изоморфные группы одинаковы, их
можно считать тождественными. Такой взгляд придает алгебре ту
же общность, какую современной геометрии придает аксиомати-
1 О взаимно однозначном отображении мы уже говорили в § 1.
(стр. 8).
ческгя точка зрения Гильберта, позволяющая распространять ее
вывод на объекты любой природы, лишь бы они удовлетворяли
ее аксиомам.
Рассмотрим теперь изоморфизм группы с самой собою. Это— v
так называемый автоморфизм группы.
Возьмем из группы ® некоторый элемент^ а и составим
всевозможные произведения x = a~ixa. Здесь х — любой элемент
группы; х и х называются сопряженными элементами. Само х
принято называть элементом, преобразованным из х с помощью а.
Мы видим, таким образом, что каждому элементу х однозначно
соответствует сопряженный элемент х. Запишем это соответствие
так: х->х. Нетрудно убедиться, что соответствие х-*х есть
взаимно однозначное отображение ® на само себя. Действительно,
во-первых, при соответствии х-±х исчерпываются все элементы
группы ®: для любого элемента b группы можно подобрать
такое х, что b = a~ixa (именно х = аЬогх}. Во-вторых, каждое х
является образом только одного х9 так как уравнение х = аг1ха
однозначно решается отп кительно х:
х = ах a—*.
Посмотрим, будет ли рассматриваемое соответствие
автоморфизмом. Возьмем два сопряженных элемента.
х\ ■ а <л/ iu, Хл - а ХаС1<
Легко видеть, что
Xi • дг2 = (а~* хха) (аг * х2а) = a~~ixl (aa~*) х\а = а~i XyX^a.
Стало быть, если х^-^х^ x^-^xv
то "соответствие будет сохраняться и при умножении:
Итак, мы здесь имеем дело с автоморфизмом группы, с так
называемым внутренним автоморфизмом.
При внутреннем автоморфизме подгруппа <£) будет, очевидно,
переходить в подгруппу агх S$a. Последняя подгруппа называется
сопряженной с ф. Посмотрим теперь, что получается, когда ф —
нормальный делитель группы @.
По определению нормального [делителя
$а = а$
для любого а, или, умножая слева на а"*1.
40
Обратно, если ф — какая-нибудь подгруппа © и
для любого а, то, умножая слева на а, получаем
$а = а$,
т. е. ф — нормальный делитель ©.
Итак, нормальный делитель представляет собой подгруппу,
инвариантную относительно всех внутренних автоморфизмов,
и эта инвариантность есть отличительная особенность
нормального делителя — среди подгрупп только нормальные
делители инвариантны относительно всех внутренних
автоморфизмов.
Вот почему вместо термина „нормальный делитель"
употребляется термин „инвариантная подгруппа".
Абелева группа имеет только один внутренний автоморфизм,
а именно тождественный автоморфизм (т. е. такой, при котором
каждый элемент х соответствует самому себе). Действительно,
в силу" коммутативности умножения;
х-
1ха = а—*ах = ех = х.
Помимо внутренних автоморфизмов в группе могут
существовать и другие автоморфизмы, носящие название внешних.
Пример. Возьмем группу, состоящую из трех элементов е, а, Ь.
Умножение определяется следующим образом: е — единица и
а3 = £3 = е; ab = ba = e.
Из этого определения умножения видно, что данная группа
абелева. Значит* здесь, кроме тождественного, других внутренних
автоморфизмов, не существует. Посмотрим, какие могут быть
внешние автоморфизмы. Единица е, очевидно, при всяком автоморфизме
должна соответствовать самой себе, поэтому представляются лишь
две возможности: либо
е-*е
либо
а-
Ь-
е-
а-
Ь-
*а
-ft
0)
(2)
41
Но соответствие (2)' было рассмотрено выше — оно является
тождественным автоморфизмом. Остается рассмотреть соответствие
(1). Выясним, будет ли оно сохраняться при умножении. Покажем,
что если а —► Ъ и &->а, то ab-±ba. По условию ab = e и Ьа = е>
следовательно, соответствие ab-^ba принимает вид е->е. Но, как
видно из соответствия (1), единице е действительно соответствует
единица е. Подобным же образом, если Ь-+а и а —> Ь, то ba -> ab,
и т. д. Итак, данная группа имеет всего один внешний
автоморфизм (1) и один внутренний (тождественный) автоморфизм.
В заключение укажем одно важное применение понятия
изоморфизма: мы сейчас увидим, что группами подстановок
исчерпываются все типы конечных групп, т. е. имеет место такая
теорема:
Теорема. Всякая конечная группа изоморфна некоторой
группе подстановок.
Доказательство. Пусть группа © — я-го порядка и
состоит из элементов av av ... , ап:
® = {аи av ..., ап}. (3)
Умножим ® справа на произвольный ее электент а:
®а = { а^аь а%а, ... апа }. - \
Очевидно, @а = @. Что касается порядка следования
элементов, то он вообще изменится, вместо ах мы будем иметь а{а = а^
вместо.а% будем иметь a^a = aia и т. д.:
®a = ® = {aiv ahi ..., aln}. (4)
Сравнивая соотношения (3) и (4), видим, что умножение
группы © справа на а равносильно некоторой подстановке всех
элементов этой группы, а именно подстановке
а~ Ui ah... %)9
или, ограничиваясь для сокращения письма индексами букв:
/1 2 ... п
\h h • • • ln
Таким образом, каждому элементу а группы соответствует
вполне определенная подстановка Sa. Двум различным элементам
a, b должны соответствовать две различные подстановки Sa n Sb.
42
•
В самом деле, если бы Sa = $b, то отсюда следовало бы,
например: ^ ,
а^ — а^; аф-=-а^ т. е. aia = alb.
Сокращая обе части последнего равенства на аи мы получили
бы а = Ь. Наконец, произведению элементов аЬ должно
соответствовать произведение подстановок SaSb. Действительно, пусть ab
соответствует подстановка Sab. Эта подстановка элемент ak группы
переводит в akab. Посмотрим, какое действие производит SaSb.
Подстановка Sa элемент ак переводит, очевидно, в aka; затем
подстановка Sb переведет aka в (aka)b. Таким образом, элемент ак
под совместным действием подстановок Sa и Sb переходит в auab.
Мы видим, что SaSb производит тот же эффект, что и Sab.
Значит, Sab = Sa-Sb.
Итак, рассматриваемое соответствие a-*Sa удовлетворяет
всем требованиям, характеризующим изоморфизм. Остается
убедиться, что множество подстановок Sa образует группу.
Замкнутость относительно умножения очевидна из предыдущего. Не
нуждается также в особой проверке и ассоциативный закон — в свое
время было показано, что умножение подстановок обладает
свойством сочетательности. Существование единицы и обратного
элемента _легко обнаружить с помощью следующих соображений.
Пусть произвольному элементу а группы ® соответствует
подстановка Sa, единице е — подстановка Se и обратному элементу
а~1 — подстановка Sa~*. Тогда
ae-+SaSe.
Но ае — а} следовательно
а -> Sa$e-
Так как элементу а соответствует подстановка 5^, то SaSe — Sa.
Отсюда следует, что Se = I, где /—единичная (тождественная)
подстановка. Наконец, покажем существование обратной
подстановки. Очевидно
асг~ * —> S„S _,.
а а 1
Но аог^ =е и e-*Se = L
Значит,
Задачи*
1. Показать, что всякая бесконечная циклическая группа изоморфна
с аддитивной группой целых чисел.
43
2. Показать, что множество матриц вида
а Ъ\\
, (а, Ь — действи-
тельные числа, не равные одновременно нулю) образует относительно
матричного умножения группу, изоморфную мультипликативной группе
комплексных чисел (т. е. группе, которую образуют все комплексные
числа, кроме нуля, относительно умножения).
3. Дана группа, состоящая из четырех элементов е, а, Ь, с.
Композиция определяется следующими условиями: е — единица и
а2 = #2 = с2 = е; ab~ba = c; Ьс = сд — а; са~ас = Ь.
Показать, что эта группа обладает лишь одним внутренним
(тождественным) и пятью внешними автоморфизмами.
§ 8. Гомоморфизм. Изоморфизм является частным случаем
более общего понятия — гомоморфизма. Пусть М — некоторое
множество с композицией и притом замкнутое относительно этой
композиции. Как всегда, мы будем композицию обозначать
обычным знаком умножения. Введем следующее определение.
Множество М называется гомоморфным образом группы @,
если © можно так однозначно отобразить на М, что если
а, Ъ — какие-нибудь два элемента @, ab — c и в множестве М
элементу а соответствует а\ Ъ соответствует V и с
соответствует с\ то а'Ь' = с' (иными словами, отображение должно
сохраняться при умножении). Это отображение мы назовем
гомоморфизмом и будем пользоваться обозначением ©с/эМ,
выражающим, что © гомоморфно отображается на М.
, Обращаем внимание читателя, что при гомоморфизме
соответствие между элементами группы © и множества М однозначное,
но не обязательно взаимно однозначное. Если гомоморфное
соответствие является взаимно однозначным (т. е. разным элементам ©
соответствуют разные элементы М), то гомоморфизм превращается
в изоморфизм.
С понятием гомоморфизма нам пришлось встретиться еще
в § 6, а именно в конце этого параграфа мы составили
факторгруппу C/i£) аддитивной группы С целых чисел по нормальному
делителю $, образованному из целых чисел, кратных 7. Нетрудно
теперь сообразить, что группа С гомоморфно отображается на
факторгруппу С/$. Однако С не изоморфно с С/ф, так как
разным элементам С могут соответствовать одинаковые элементы С/«§,
например числам 8 и 15 соответствует в факторгруппе С/ф
один и тот же элемент 1.
Вообще, нетрудно показать, что всякая группа © должна
гачоморфно отображаться на свою факторгруппу:
@с/э®/£,
где $— произвольный нормальный делитель ©.
44
Для доказательства установим между (5 и ©/*£) следующее
однозначное соответствие: каждому элементу а группы ®
поставим в соответствие смежную систему а = а$.
Это соответствие будет, как мы сейчас увидим,
гомоморфизмом, т. е. будет сохраняться при умножении. Действительно,
произведению ab должна соответствовать смежная система ablQ, равная
произведению alQ • Ьф смежных систем а = а^ и b = bJQ.
Приведем еще один пример гомоморфного отображения.
Обратимся к аддитивной группе Р точек на плоскости (§ 7, стр. 38).
Совокупность L точек, лежащих на оси X, есть, очевидно,
подгруппа Р. Обозначим через а проекцию точки А плоскости на
ось X. Тогда каждой точке А группы Р будет соответствовать
только одна точка а подгруппы L и, как нетрудно заметить, это
соответствие будет сохраняться при сложении точек: сумме А-\-В
должна соответствовать сумма проекций а-\-Ь. Таким образом,
аддитивная группа. Р точек на плоскости гомоморфно отображается
на свою подгруппу L: Pc/dL.
В только что разобранных примерах гомоморфный образ группы
был, в свою очередь, группой. Эхо — неслучайно, можно высказать
следующую теорему:
Теорема 1. Если группа © гомоморфно отображается на
множество М, то М также образует группу, причем единице
© соответствует единица М и обратному элементу © —
обратный элемент М.
Доказательство. Для доказательства придется, очевидно,
обнаружить, что в М имеет место ассоциативный закон, а также
выполняются требования существования единицы и обратного
элемента.
Пусть а\ Ь', с' — три произвольных элемента множества М.
Возьмем из группы ® элемент а, отображающийся на а!\ элемент
Ь, отображающийся на Ь' и элемент ^, отображающийся на с\
Согласно определению гомоморфизма произведению a (be) должно
соответствовать а* (Ь'с'). Точно так же (ab) с должно соответствовать
(а'Ь') с'. Но © по условию — группа, в силу чего для ее элементов
справедлив ассоциативный закон: a(bc) = (ab)c. Следовательно,
и a' (b'c') = (a'b')cl; в противном случае соответствие между
элементами © и Ж не было бы однозначным.
Обозначим через е единицу группы ©. Пусть в М единице е
соответствует е'. Тогда в силу гомоморфизма равенству ае = а
должно соответствовать равенство а'е' = а'. Мы видим отсюда,
что е' — единица М.
Наконец, если в М элементу сГ1 соответствует х\ то равенству
ааГ1 = е будет в силу гомоморфизма соответствовать а'х1 ==■£', т. е.
х' будет для а' обратным элементом.
Выше мы установили, что группа гомоморфно отображается на
свою факторгруппу. Возникает вопрос, исчерпываются ли
отображениями подобного рода все случаи гомоморфизма. Ответом служит
следующая теорема.
Теорема 2. Если группа © гомоморфно отображается на
группу ©', то ©' изоморфна с факторгруппой ®/ф; нормальный
делитель ф состоит при этом из таких элементов ®, которые
отображаются на единицу группы ®'.
Доказательство. Прежде всего покажем, что комплекс
ф элементов ®, отображающихся на единицу ®', образует
подгруппу ®. Обозначим через е' единицу группы ©'. Пусть а, Ь —
два каких-нибудь элемента ф. Так как а и Ь соответствует е\ то
в силу гомоморфизма ®с/з®' произведению аЬ должно
соответствовать е'»е' = е'. Выходит, что аЬ также принадлежит ф. Далее,
если а соответствует е\ то а~1 должно соответствовать (е')~1 = е.
Таким образом, а"1 — также элемент ф. Итак, для комплекса ф
имеют место условия замкнутости и существования обратного
элемента. Значит, ф— подгруппа ®.
Обозначим теперь через Ма> комплекс таких элементов группы
®, которые отображаются на один и тот же элемент а' группы
®'. Возьмем из Ма> некоторый элемент а.
Так как ® — группа, то для любого ее элемента Ь уравнение
ах — b разрешимо, т. е. всегда существует такое с из @, что
ас = Ь. Посмотрим, каково будет с, когда b принадлежит комплексу
М&. В этом случае Ь будет отображаться на а' и в группе ®'
равенству ас = Ь будет соответствовать равенство а'с' = а(.
Сокращая на а\ получаем с' = е'. Следовательно, элементу с
соответствует единица е' группы ®', а потому с должно принадлежать
подгруппе ф. Обратно, всякое произведение вида ас, где с —
элемент из ф, отображается на а'е' = а'. Стало быть, комплекс
Ма' есть не что иное как множество всевозможных произведений
вида ас, где с — элемент из ф. Иными словами, М& представляет
собой левую смежную систему аф. Итак, каждому элементу а'
группы ©' соответствует смежная система аф, и это соответствие
взаимно однозначное: разным а' должны, очевидно, соответствовать
разные смежные системы аф.
Подобным же образом можно обнаружить, что Ма> есть также
правая смежная система фа. Сопоставляя равенства Ма' = аф
и Ма' = фа, получаем условие нормальности аф = фа. Стало быть,
$ — нормальный делитель группы ®.
Наконец, выясним, будет ли соответствие между элементами
а' группы ®' и смежными системами сохраняться при умножении.
Пусть а', Ь' — два произвольных элемента группы ©' и а'
соответствует, смежная система аф, V — смежная система Ьф. Тогда
произведению а'Ь' будет соответствовать аЬф, потому что элементы
46 '
ab$ отображаются на a'b'. Но, с другой стороны^ поскольку'' <£> —
нормальный делитель
(«£) (*£) = а (£6) ф = а (Ь®$ = а^а = abjQ.
Таким образом, соответствие приумножении
сохраняется'.произведению а'Ь' соответствует произведение а§ • Ь§.
Итак, наблюдаемое соответствие между элементами группы ©г
и смежными системами aSg есть изоморфизм, поэтому ©' = ©/$•
Пример. Возьмем в пространстве прямоугольную систему координат
XOYZ и рассмотрим некоторую плоскость z = z0, параллельную
координатной плоскости XOY. Пусть плоскость г = г0 пересекает плоскость
XOZ по прямой OiXlf а плоскость YOZ— по прямой OiYt (черт. 4).
Условимся называть суммой А + В двух
точек А (хи yit z0) и В (х2, yif z0) на
плоскости z = zQ третью точку С{хх-\-х2у
У1~\-У2> *о) (скадываются только абсциссы
и ординаты!). Нетрудно убедиться, что по
отношению к введенной композиции
множество всех точек на плоскости z = z0
образует абелеву группу (аддитивную
группу точек на плоскости z = Z0). Обозначим
эту группу через Р. Обратимся теперь к
точкам на оси ОХ. Как и выше, под
суммой двух точек a(xlt 0,0), Ь (ха, 0,0)
условимся понимать точку с(х1-\-х2У 0, 0). Тогда
по отношению к только что введенной
композиции множество всех точек на оси
ОХ также образует абелеву группу
(аддитивную группу точек на оси ОХ).
Обозначим эту группу через L. Мы утверждаем, что Черт. 3.
PcoL. В самом деле, будем каждую точку
А 1 лоскости 2 = z0 проектировать на ось ОХ, проводя через Л плоскость,
перпендикулярную ОХ. Обозначим проекцию А через а. Тогда каждой
точке А группы Р будет соответствовать только одна точка а группы
L, и, как нетрзтшо заметить, соответствие будет сохраняться при
сложении: сумме А-\-В должна соответствовать сумма проекций а-\-Ь.
Таким образом, PcoL. По теореме 2 1 = Р/«&. Здесь нормальным
делителем £ является совокупность точек Р, отображающихся на точку О
группы L. Из чертежа видно, что эта совокупность точек лежит на
прямой OiKj. Сл*еЦовательно, здесь «§ представляет собой прямую 0^{.
Что касается смежных систем нормального делителя «£\ то они
представляются прямыми, параллельными OxY^ и лежащими на плоскости z = ziV
Множество всех таких прямых (включая O^Y^) и есть как раз
факторгруппа Р/$. При этом каждой точке а на оси ОХ соответствует взаимно
однозначно смежная система, а именно прямая АА\ получающаяся
в результате пересечения плоскости проектирования с плоскостью 2 = г,
(черт. 3 .
Задача.
1. Показать, что произвольная группа (В гомоморфно отображается
на единичную подгруппу Е.
2. Показать, что аддитивная группа С целых чисел 0, ± 1, ±. 2, ...
гомоморфно отображается на циклическую группу 91, порожденную неко-
47
I"*
fopbnvT элементом & группы ©. Если or— элемент бесконечного порядка,
то гомоморфизм превращается в изоморфизм: С = 9(.
3. Показать, что ©/£^@, ©/©=£, где Е— единичная подгруппа
группы ©.
4. Пусть ©! и ©2 — две конечные группы одинакового порядка, и
©! со ©2. Показать, что гомоморфизм должен быть изоморфизмом.
§ 9. Композиционный ряд. Теорема Жордана-Гельдера.
Понятия, с которыми мы здесь собираемся познакомиться, возникли,
главным образом, благодаря теории Галуа. В настоящее время эти
понятия приобрели самостоятельное значение и играют весьма
важную роль в исследовании структуры групп.
Пусть ® — некоторая конечная группа *) Jq — ее собственный
нормальный делитель. Рассматривая ^ как самостоятельную группу,
выделим в нем какой-нибудь собственный нормальный делитель
ф1# В свою очередь, для ^ также выделяем собственный
нормальный делитель <£>2 и т. д. Очевидно, что этот процесс выделения
нормальных делителей «£), ф„ §,2, ... должен когда-нибудь
закончиться, в силу конечности © мы неизбежно должны притти к $k,
равному единичной группе Е.
Последовательность групп:
@=)£:=)£i=>£2=d ... zD£ft = £, (l)
в которой каждая группа является собственным нормальным
делителем предыдущей, называется нормальным рядом группы ®,
а @, $, $v ... ,£)fe = £ — его членами.
Однако ряд (1) может оказаться недостаточно насыщенным
нормальными делителями; между .^некоторыми его членами,
например между $ и @, может существовать несколько
промежуточных нормальных делителей.
Назовем собственный нормальный делитель 9J группы ® мак*
симальным, если между 9? и ® не существует собственного
нормального делителя, содержащего 9J как часть.
Ряд
в котором каждый член 9?$ является максимальным нормальным
делителем предыдущего члена, называется композиционным рядом
группы-®.
Очевидно, что между членами композиционного ряда уже
нельзя вставить промежуточных нормальных делителей.
Пример. Возьмем циклическую группу ®, порожденную
элементом а шестого порядка. Таким образом:
® = {а° = е; а, а\ а3, а4, а6},
х) В § 9 речь будет итти преимущественно о конечных группах.
49
где е—единица и а* = е. Ввиду того что ©— rpyhna абелева,
все ее подгруппы являются нормальными делителями. Но ®
обладает только тремя собственными подгруппами, а именно Е и
$ = {е, а»}, $,=*{*, а*, а^}.
Легко сообразить, что § и |)j максимальны. В самом деле, ни
Е и ни <£), не содержат *£), поэтому между ф и О нельзя вставить
промежуточного нормального делителя, т. е. <£) максимально. При*
мерно так же обнаруживается максимальность другого нормального
делителя ф1#
Отсюда получаем для группы © следующие два
композиционных ряда:
(Bzd^zdE и ®-=>$%zdE.
Таким образом, одна и та же конечная группа может иметь
несколько композиционных рядов. И все же есть известное основание
эти ряды не различать, а именно назовем два композиционных ряда
®ZD$tZD$i-=> ... => $k = E И ®ZD%Z=)%ZD ... =)9^=£
группы © изоморфными, если k — s, и факторгруппы
первого ч ряда изоморфны в какой-то последовательности
факторгруппам
второго ряда. Тогда можно высказать следующую замечательную
теорему.
Теорема Жордана-Гельдера. Всякие два композиционных
ряда конечной группы © изоморфны.
Между прочим, отсюда получается, что какой бы
композиционный ряд
группы © мы ни взяли, последовательность индексов
06i> ®); №а> £i)> •••> (£а> &-i)
Должна состоять из одних и тех же чисел, хотя бы
расположенных и в различном порядке.
Предварительно придется рассмотреть несколько
вспомогательных теорем. Они позволяют довольно просто доказать теорему
Жордана-Гельдера. В дальнейшем, если только не оговорено
4 Л. Опупев—386 ' " 49
противное, под слоёом/ „группа* мы будем подразумевать группу
конечную. __
Теорема 1. Если ф — подгруппа факторгруппы ©/£ и «£),
Съ$>с&> •••» cs1q—различные смежные системы, входящие в
состав <£>, то совокупность элементов
^ = £ + М? + МЗ + ... + с5£
образует подгруппу © (при этом, очевидно, 9?/ф = <£). Если
$ — нормальный делитель ©, £>, то 31 — нормальный делитель @.
Доказательство. По условию <£> есть подгруппа ®/ф.
Следовательно, для $ должно выполняться требование замкнутости
(€»©(С$)==С,£.
Но отсюда получается, что ц
(cih')(Cjh") = clh,
где h\ /г", h — элементы ,£).
Как видим, произведение двух элементов ф* и Cjh" комплекса
Ш есть снова элемент того же комплекса (требование замкнутости
для 91!). Значит, 91 — подгруппа ®.
Пусть теперь ^ — нормальный делитель факторгруппы ®/ф.
Это значит, что ф должно удовлетворять условию нормальности
<*$(с$) = (с$)аф9 (1)
где а§ — произвольная смежная система ©/*£).
Так как ф — нормальный делитель ©, то
Подобным же образом (с$) a$=CjJQa, и равенств© (1) принимает
следующий вид г
ас{<!$ = CjlQa. \
Отсюда имеем: ;
(acj)h = (Cjh')a,
или
a (cth) = (Cjh') a,
где /г, Ь! — элементы ф. Мы получили условие нормальности для 9?.
Теорема 2 (обратная). Если 31 — подгруппа © и ф—
нормальный делитель ®, содержащийся в 9?, то ф = 9?/<£) будет
50
подгруппой ©/$. Если 91—нормальный делитель®, то% —
также нормальный делитель ®/9?.
Доказательство. Первая половина теоремы очевидна.
Факторгруппа ф = 9?/<£) есть не что иное, как совокупность смежных
систем с($ разложения
., т = $ + С& + ... + С&
группы 9? по нормальному делителю <£). Совершенно ясно, что
эта совокупность образует группу, и в то же время является
частью ®/ф.
Остается доказать вторую половину теоремы. Пусть 91 —
нормальный делитель ®:
a9? = 9ia С (2)
для любого элемента а группы ©. Но ®со®Д£>, при этом а
отображается на а$ и 9?-—на ^. Таким образом, равенству (2)
должно соответствовать в ©/<£> равенство
И>) £=£(«#),
т. е, «£>— нормальный делитель ©/£.
Для дальнейшего полезно выяснить, при каких условиях
нормальный делитель $ группы ® является максимальным. Назовем
группу ®ф Е, не имеющую нормальных делителей, кроме самой
себя и единичной подгруппы, простой. Можно высказать
следующую теорему.
Теорема 3. Собственный нормальный делитель $ группы ®
тогда и только тогда является максимальным, когда
факторгруппа ©/«£>— простая.
Доказательство. Пусть $ — максимальный нормальный
делитель ®, и, тем не менее, ©/<£)— не простая группа. Это
значит, что факторгруппа ®/£ имеет нормальный делитель <£),
отличный от ©/<£> и Е. По теореме 1 нормальному делителю ф должен
соответствовать в © нормальный делитель 9t, причем ^c=9Jcn©.
'Но условие jqczWcz® противоречит максимальности <£>.
Следовательно, ©/<£) должна быть простой.
Обратно, пусть факторгруппа ©/<£)— простая, и,'тем не менее,
«£> — не максимальный нормальный делитель ©. Тогда в группе ©
должен существовать промежуточный нормальный делитель 91*
содержащий §: ,~ \» ™
По теореме 2 9?/«§ должен быть нормальным делителем ©/<£>;
при этом 9?/\£) отлично от Е и ©/<£). Получилось противоречие с
условием простоты факторгруппы ©/«&• Значит, ф должно быть
максимальным нормальным делителем ®.
* 51
Наконец, нам понадобится еще одна теорема.
Теорема 4. Если $х и «§)2— два различных максимальных
нормальных делителя группы ®? 2) — их пересечение, то 2) —
максимальный нормальный делитель группы JQt и группы £2/
кроме того:
Доказательство. Прежде всего ясно, что 2) — нормальный
делитель ©, а потому 2) и подавно будет нормальным делителем
«&i и $ъ (§ 6, свойства 2 и 1 нормального делителя). Разлагаем
теперь фх по подгруппе 2):
$, = ф +>22> + А8Ф +... +ЛД); (3)
ft*— здесь, очевидно, элементы $х. Умножим обе части этого
равенства справа на ф2:
М* = Щ* +№$* + ... + №$*• W
По свойству 3 нормального делителя произведение <£h<£)2 есть
тоже нормальный делитель. Кроме того, <£>i<£)2 содержит как часть
$1 и «§2- В СИЛУ максимальности нормальных делителей ^ и $2
отсюда следует, что <£hi£)2 = ©. Далее 2>£2 = $2 (СТР^ 27). Таким
образом, равенство (4) принимает следующий окончательный вид:
® = & + А«&-И,$,+ ... + *,&. (5)
Мы покажем сейчас, что последнее равенство представляет собой
разложение © по подгруппе *§2, т. е. смежные системы /?|§2 между
собой различны. В самом деле, предположим противное. Пусть,
например:
Тогда представитель hj смежной системы йуфз принадлежит
также А^2, т. е.
hj — hid, (6)
где d — некоторый элемент $%. Так как hj и ht — элементы $и
то d = hTilhj должно быть тоже элементом $г. Получается, что d
одновременно принадлежит нормальным делителям ^i и ф2, т. е.
d есть элемент их пересечения 2). Но в таком случае, обращаясь
к равенству (6), видим, что hj содержится в смежной системе /г$2>,
в силу чего /2;-2) = /^2> (§ 5, свойство 1 смежных систем). Это,
однако, невозможно — в разложении (3) смежные системы не могут
быть равными, *
32
Теперь уже нетрудно обнаружить изоморфизм ®/<£)2?^$i/2>. .
Обратимся к разложениям (3), (5) и каждой системе h{5)
приведем в соответствие систему h^ (индекс I такой же!):
Это соответствие будет как раз изоморфизмом, потому что
разным hfi) соответствуют, очевидно, разные А$<£)2, и соответствие
сохраняется при умножении: (h{5j)(hfb)->(&i«£)2)(fy£2).
Следовательно,®/^ изоморфно «£h/2). ъъя&ьь&ь+л
Аналогично доказывается, что ©/«ipi i§ ф2/®> над0 только
исходить из разложения ф2 по 2).
Остается показать, что 2)— максимальный нормальный
делитель групп <£>! и £2. По условию Sgx и «£)2 максимальные
нормальные делители ©, поэтому согласно теореме 3 факторгруппы
®/«§i и ®/»&2 должны быть простыми. Но тогда в силу
изоморфизма ®/^1§8^а/2) и ®/£a==$i/5) будут также простыми $i/2)
и <£)2/2). Отсюда, обращаясь снова к теореме 3, заключаем, что
2)— максимальный нормальный делитель ^ и ф2.
Теперь все подготовлено для доказательства теоремы Жордана-
Гельдера.
Доказательство теоремы Жордана-Гельдера. Для
простой группы © теорема очевидна: в этом случае единственным ^.
собственным нормальным делителем ® будет Е, вследствие чего
получается для © единственный композиционный ряд
®zdE.
Так как группа второго порядка — простая*), то мы можем
воспользоваться методом индукции, а именно допустим, что
теорема справедлива для групп меньшего порядка, чем ©. Покажем,
что тогда теорема верна и для группы ® я-го порядка.
Рассмотрим два каких-нибудь композиционных ряда группы ®:
®:эф1:=>$а:з...=>&=Я; (I)
® =э % =э % =э... zd % = Е. (II)
Обозначим через 2) пересечение групп Jq{ и 9^ и возьмем
какой-нибудь композиционный ряд группы 2):
2) => 2)t => 2)2 =>... => 2)р = Е.
По теореме 4 2) — максимальный нормальный делитель как
фь так и $tt. Отсюда следует, что ряды:
®=эф1=з2=)2)1=)...=)2р = Я; (III)
®=)9г1=з2=)2)1=э...=э2)р = Л (IV)
Являются также композиционными рядами группы ®. Но ряды
х) Простая, так как ее собственная подгруппа должна быть первого
порядка, т. е. должна быть единичной.
4 53
(Ill) и (IV) изоморфны, так как, начиная от ф они тождественны,
а до 2) по теореме 4:
®/£i^i/3); @/»i!^£i/5>. -
С другой стороны, поскольку теорема предполагается
справедливой для групп более низкого порядка, чем ®, ряды
^zd&jZD...==>& = £ и ^гэ5):=>... =эфр = Е
изоморфны, а потому также изоморфны ряды (I) и (III). Подобным
же образом устанавливаем изоморфизм между рядами (II) и (IV).
Запишем все эти результаты сокращенно с помощью знака ££:
(i)Si(Hi), («)
(Ш) eg (IV), (^
(IV)gi(II). (с)
Сопоставляя условия (а) и (#), приходим к выводу, что
(I)gg(IV).
Сопоставляя последнее условие с условием (с), получаем, что
(1)§2(П),
т. е. композиционные ряды (I) и (II) изоморфны. Теорема,
следовательно, для группы @f доказана.
В приложениях нередко приходится встречаться с тем случаем,
когда все индексы
(Фь ®), (&, £i), • • •, (&, £Vi)
композиционного ряда группы © — числа простые *). Подобного
рода группа по Жордану называется разрешимой. В главе,
посвященной теории Галуа, мы выясним причину этого названия.
Легко показать, что факторгруппы ®/$и $i/«§a • • • > $s-i/$s
композиционного ряда разрешимой группы © должны быть
циклическими группами простого порядка.
- Возьмем, например, «§t-iA§i и обозначим через а какой-нибудь
элемент «£v_i/4?f, отличный от единицы е. По теореме Лагранжа
порядок т циклической группы Ш, порожденной элементом а,
должен делить порядок р факторгруппы 4?i-i/«&*- *"*° по условию
*) Иными словами, порядки факторгрупп ©/«§! §il$a» • • • > §s-il$s
числа простые (§ 6, свойство 5 нормального делителя).
p — число простое, значит либо /л=1, либо т=р. Если /ю==1,
то аг=е. Это, однако, невозможно, так как по предложению а
отлично от единицы. Следовательно, т=р} в силу чего ^-i/^t
. совпадает с Sf. Таким образом, факторгруппа §j_i/§j есть цикли-
уь ческая группа простого порядка.
До сих пор мы ограничивались конечными группами. В случае
бесконечной группы дело обстоит сложнее — оказывается, что
композиционный ряд существует далеко не для всякой бесконечной группы. В
качестве примера можно привести бесконечную циклическую группу ©а> по-
I, рожденную элементом а. Максимальным нормальным делителем @а будет,
I очевидно, бесконечная циклическая группа ®а2, порожденная я2. В свою
очередь, максимальным нормальным делителем ®а2 будет бесконечная
циклическая группа ®ai> порожденная а4, и т. д. Легко видеть, что этот
процесс выделения максимальных нормальных делителей можно
продолжать бесконечно 'и потому группа @а не имеет композиционного ряда.
Тем не менее, Шрайеру удалось найти и доказать весьма глубокую
теорему, справедливую как для конечных, так и для бесконечных групп.
Теорема Жордана-Гельдера является частным случаем этой теоремы Шрайера.
Предварительно введем несколько терминов.
В соответствии с вышеизложенным назовем последовательность групп
@=э©1=э@з=э... =) ©;_!=£■, (7)
в которой каждая группа является нормальным делителем предыдущей,
нормальным рядом группы ©. Число / мы назовем длиной нормального
)' ряда, а факторгруппы ®/®lf ®il®2... — факторами нормального ряда.
Нормальный ряд
® =э & => £2 =>... ZD £,„_! = Е (8)
j' называется уплотнением нормального ряда (7), если каждая группа ряда
(7) встречается в ряде (8), а в ряде (8) имеется по меньшей мере одна
группа, не встречающаяся в ряде (7). Очевидно, что композиционный ряд
группы © — это такой ряд, который не может быть уплотнен. Наконец,
1 введем понятие изоморфизма двух нормальных рядов группы ©. Мы будем
f" два нормальных ряда группы © называть изоморфными, если их длины
I равны и все факторы одного ряда изоморфны с факторами другого ряда.
? Теперь мы можем сформулировать теорему Шрайера.
i - Теорема Шрайера. Всякие два неизоморфных нормальных ряда
! группы © можно уплотнить так, чтобы они стали изоморфными.
! Доказательство опускаем. Читатель, интересующийся подробностями,
i может обратиться к книге Ван-дер-Вардена, Современная алгебра, ч. I,
J гл. 6, § 38—41.
Задачи.
1. Показать, что теоремы 1—4 справедливы также для бесконечных
групп.
2. Определить все композиционные ряды циклической группы
порядка 20.
3. Показать, что циклическая конечная группа разрешима.
4. Абелева группа тогда и только тогда простая, когда она является
циклической группой простого порядка.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК.
§ 10. Циклы. Транспозиции. Знакопеременная группа.
В дальнейшем (а именно в теории Галуа) нам понадобятся
некоторые свойства групп подстановок из п чисел. Настоящая глава
посвящена исключительно изучению этих свойств.
Подстановка 5 из п чисел, переводящая каждое число / в ос^
(г=1, 2, 3, ..., п\ обозначалась в § 1 символом
/1 2 3 ... п\
5= .
Vai Ч «з ••• <W
Оказывается, что это несколько громоздкое обозначение можно
упростить, если воспользоваться понятием цикла. Обозначим через
(а19 а2 ... , as) такую подстановку чисел 1, 2, 3 ... п1\ которая
перемещает числа ах в а2, а2 в av ... , as в at и не меняет
остальные числа (если такие имеются). Подобного рода подстановку мы
будем называть s-членным циклом, или, короче, циклом)
например трехчленный цикл (123) есть такая подстановка, которая 1
перемещает в 2, 2вЗиЗв1,а остальные числа 4, 5, 6, 7, ..., п
не меняет. Иными словами:
, ч /1 2 3 4 5 ... п\
где п здесь может быть любым целым числом, равным или
большим 3.
Легко видеть, что всякую подстановку 5 можно разложить на
произведение циклов. Для наглядности обратимся к конкретным
примерам. Возьмем хотя бы подстановку:
/1 2 3 4 5 6 7 8\,
~\2 8534761/*
l) Qi> <*ь • • • > as> очевидно, есть некоторое подмножество этих п чисел.
56
I
Она число 1 переводит в 2; записываем это так: 1,2 (следует
читать 1 переводится в 2). Далее число 2 переводится в 8; пишем:
1, 2, 8 (читается: 1 переводится в 2, 2 в 8). Затем видим, что
8 переводится в 1, т. е. 8 переходит в число, с которого начался
ряд; в этом случае говорят, что цикл замкнулся. Мы получили
таким образом цикл (128).
Однако в цикл (128) вошли не все числа, например не вошло
число 3. Начнем новый цикл с этого числа (с таким же успехом
можно было начать с любого числа, не вошедшего в первый цикл).
Мы видим, что подстановка число 3 переводит в 5, 5 в 4, 4 в 3;
цикл, следовательно, замкнулся, и у нас получается (354). Но
еще не все числа исчерпаны, — остались пока свободными числа
6 и 7. Обращаемся к числу 6. Подстановка 5 число 6 переводит
в 7, а 7 в 6. Мы получили третий цикл (67).
Подстановка 5 свелась к произведению трех циклов (128),
(354) и (67):
5 = (128) (354) (67). (1)
Правую часть равенства (1) принято называть разложением
подстановки на независимые *) циклы.
Приведем еще один пример. Разложим на независимые циклы
подстановку
/1 2 3 4 5 6 ^7 8 9\
\6 3 5 2 4 7 9 8 1/"
Число 1 переводится в 6, б в 7, 7 в 9 и 9 в 1, цикл
замкнулся: (1679). Но в этот цикл не вошла двойка. Число 2
переводится в 3, 3 в 5, 5 в 4 и 4 в 2. Получился новый цикл (2354).
Наконец, обращаясь к числу 8, видим, что оно не меняется (8
переходит в 8). Мы это запишем в виде цикла (8), состоящего из
одного числа (одночленный цикл). Таким образом:
/1 2345678 9\
(«.634791 ,)-<>«"» С**) <».
Обычно одночленные циклы опускаются; в данном случае цикл
(8) можно и не записывать:
/123466789\
(63524798 ,)-<««»«>«♦>•
Приведенные примеры показывают, что всякую подстановку
любого количества чисел можно разложить на независимые 'циклы.
х) Независимые в том смысле, что никакие два цикла разложения не
имеют общих чисел.
57
Считаем полезным отметить, во-первых, что в разложении
подстановки на независимые циклы порядок следования циклов не
играет роли; во-вторых, цикл можно начинать с любого числа,
входящего в его состав, например вместо (1679) мы могли
написать (7916).
Подстановки, записанные в циклах, перемножаются довольн©
просто, например, чтобы умножить
S =(356) (142) на Г= (17245) (63),
надо поступать следующим образом. Начнем с любого числа, хотя
бы с числа 3. Подстановка S число 3 переводит в 5, после чего
подстановка Т число 5 переводит в 1. В результате 3 переводится
в 1; записываем: 31. Далее, 5 переводит 1 в 4, а Т—число 4
в 5. Следовательно, под совместным действием подстановок S и Т
число 1 переходит в 5; записываем: 315. Затем 5 переводит 5 в 6,
а Т переводит 6 в 3; в результате 5 переходит в 3, т. е.
получился цикл (315). Теперь обращаемся к какому-нибудь числу, не
вошедшему в этот цикл. Возьмем двойку. Подстановка S
переводит 2 в 1, а Г переводит 1 в 7; получается, стало быть, 27.
Затем 5 переводит 7 в 7 *), а Т переводит 7 в 2; мы вернулись
к исходному числу 2, и у нас, таким образом, получился второй
цикл (27). Остаются числа 4 и 6. Но легко видеть, что 5
переводит 4 в 2, а Г переводит 2 снова в 4, т. е. получается
одночленный цикл (4). Точно так же 5 переводит 6 в 3, а Г переводит
3 снова в 6, т. е. и здесь мы имеем одночленный цикл (6).
Опуская одночленные циклы, приходим к такому результату:
5Г=(315) (27).
Для дальнейшего укажем еще одно преимущество циклического
обозначения подстановки перед обычным. Если подстановка 5
задана в циклах, то сопряженная подстановка S=T~1ST быстро
найдется с помощью следующего правила: надо числа каждого
цикла подстановки S подвергнуть подстановке Г, например пусть
5= (123) (45) и Г=(51) (324).
Подвергнем числа 123 подстановке Т. Число 1 подстановкой Т
переводится в 5, число 2 в 4 и число 3 в 2, т. е. вместо цикла
(123) появляется цикл (542). Подобным же образом, подвергая
числа 45 подстановке Г, получаем (31). Следовательно:
5= (542) (31).
1) В разложении S на циклы 7 отсутствует; это значит, что S
содержит одночленный цикл (7).
58
Докажем справедливость этого правила. Возьмем некоторый
цикл подстановки 5 и рассмотрим в нем какие-нибудь два рядом
стоящих числа /, у. Пусть подстановка Т число I переводит в k,
а число у в /. Тогда обратная подстановка Т~1 должна число к
переводить в i, а число / в у. Посмотрим, как будет себя вести
произведение T~lST. Число k подстановкой Т~1 переводится в I,
после чего i подстановкой 5 переводится в у. Наконец, у
подстановкой Т переводится в /. В конечном счете произведение T~lST
число k перемещает в /, т. е. вместо if в цикле будет стоять kL
Получился такой эффект, как если бы мы числа ij подвергли
подстановке Т.
Среди циклов весьма важную роль играют циклы (/у),
состоящие из двух чисел. Эти циклы называются транспозицией.
Напомним, что с понятием транспозиции приходилось встречаться
еще в теории определителей. Нетрудно убедиться, что всякий
цикл можно свести к транспозициям. Так, цикл (12 3 4) равен
следующему произведению транспозиций:
(1234) = (12) (13) (14).
В самом деле, перемножим (12) и (13). Транспозиция (12)
цифру 1 переводит в 2, а транспозиция (13) цифру 2 не меняет.
Затем транспозиция (12) переводит 2 в 1, после чего (13)
переводит 1 в 3. Наконец, (12) оставляет 3 на месте, после чего (13)
переводит 3 в 1. В результате получился цикл (123) и,
следовательно:
(12) (13) = (123).
Аналогично находим, что
(12) (13) (14) = (123) (14) = (1234).
Вообще цикл (аг, а2, ..., ak) можно представить в виде
следующего произведения транспозиций:
(«А ... **) = (*i*a) (*А) .-. (яА)- (2)
В разложении (2) порядок следования сомножителей
существенен, так как транспозиции, входящие в состав разложения,
зависимы (имеют общее число).
Легко сообразить, что не только цикл, но и всякую
подстановку из п чисел можно разложить на транспозиции.
Пример. Разложим подстановку
/1 2 3 4 5 6 7 8\
_ \3 4 6 8 17 2 6/
59
на транспозиции. В первую очередь придется, очевидно, S
разложить на независимые циклы. Без труда находим, что
5 = (135) (24867).
Теперь каждый цикл разлагаем на транспозиции:
(135) = (13) (15); (24867) = (24) (28) (26) (27).
Отсюда окончательно:
5= (13) (15) (24) (28) (26) (27).
Однако это — не единственный способ разложения на
транспозиции. Мы могли написать еще так: . .
S = (35) (31) (28) (48) (67) (76) (67) (26).
Тем не менее, при любом способе разложения число
транспозиций все время остается четным или нечетным.
Для доказательства произведем следующую классификацию
подстановок симметрической группы @я, записанных в обычной
форме:
/1 2 3 ...я\
\04 а2 «з ... ап)
Подстановку 5 будем называть четной, если в нижней ее строке
«Л ... ая число инверсий четное, и нечетной, если число
инверсий нечетное, например подстановка
'_/* 2 3 4 5 6\
>_ \6 5 13 2 4/
четная,
потому что расположение 651324 содержит четное число (10)
инверсий. Оказывается, четная подстановка разлагается всегда
на четное число транспозиций, а нечетная — на нечетное число
транспозиций. Докажем это.
Пусть подстановка
/1 2 3 ...п\
\<*i се2 а3 ... ап/
каким-нибудь способом разложена на t транспозиций и в нижней
ее строке имеется всего р инверсий. Применим подстановку 5
к нормальному расположению 1 2 3 ... п. Мы, очевидно, полу-
60
чим расположение ое^ ... ап. По условию S разлагается на /
транспозиций, следовательно расположение ata2 ... ап можно
получить из нормального с помощью t транспозиций. Но, как известно,
для перехода от нормального расположения 1 2 3 ... п к
расположению ос^ ... ап. требуется четное число транспозиций, если-^
число р инверсий — четное, и нечетное число транспозиций, если
р— нечетное, значит tup должны быть одинаковой четности.
Наше утверждение доказано.
Итак, множество всех подстановок симметрической группы @Л
разбивается на два класса: на класс четных и.на класс нечетных
подстановок. В каждом классе будет, очевидно, -j- подстановок.
Обратимся сначала к первому классу; выясним, образует ли он
подгруппу.
Теорема 1. Множество 51л всех четных подстановок сим-
метрической группы @я образует подгруппу <&п порядка у.
Доказательство. Пусть St и 52 — две произвольные
подстановки из Шп. Так как St и 52 — подстановки четные, то они
распадаются на четное число транспозиций. Но в таком случае их
произведение 5Х52 также имеет четное число транспозиций, т. е.
5^ — также четная подстановка.
Мы видим, что условие замкнутости выполняется:
произведение StS2 принадлежит 3(л. Значит, Щп — подгруппа @rt» На
основании сказанного выше порядок Шп равен у.
Подгруппа Шп называется знакопеременной группой
подстановок я-й степени.
Только что доказанную теорему можно несколько дополнить,
а именно можно высказать следующее утверждение:
Теорема 2. Знакопеременная группа 5(л является нормаль*
ным и притом максимальным нормальным делителем
симметрической группы @л.
Доказательство. Сперва покажем, что Шп — нормальный
делитель @я. Очевидно, индекс Шп относительно @rt равен -j = 2.
Обозначим через Т подстановку, не содержащуюся в
знакопеременной группе 5(л, и разложим @л по Шп. Так как индекс Шп
равен 2, то левое и правое разложения будут иметь вид:
Сравнивая оба эти равенства, получаем, что
т. е. Щп — нормальный делитель <ВЯ.
6}
Теперь покажем, что $tn — максимальный нормальный делитель.
Порядок факторгруппы &п/Шп, как известно, равен индексу 2frt>
т. е. 2. Но 2 — число простое, поэтому @Л/Й[Л, кроме единичной
Е, не имеет других собственных подгрупп. Таким образом,
факторгруппа @п/31я есть группа простая (и даже простейшая; § 4,
задача б). Отсюда по теореме 3 § 9 следует, что Шп —
максимальный нормальный делитель @Л.
Относительно класса нечетных подстановок наблюдается совсем
другая картина, — здесь подгруппы не получается. Действительно,
произведение S^ нечетных подстановок St и 52 будет уже четной
подстановкой, т. е. условие замкнутости нарушается.
Задачи.
1. Разложить на независимые циклы подстановки:
/1 23456 7\ /1234567 8
\7 6 1 3 5 4 2); \8 7 1 3 6 2 5 4
/123456789 10\
V10 1 9 2 8 3 7 4 6 5/
2. Подстановки, приведенные в предыдущей задаче, разложить на
транспозиции.
3. Подстановку 5 = (5674) (123) (98)
умножить слева на подстановку;
Г =(8714) (537).
4. Даны две^подстановки $ = (128) (45) (367) и
3 4 5 6 7 8
3 2 6 4 5
./123
\8 7 1
Найти сопряженную подстановку S.
5. Известно разложение подстановки 5 на транспозиции:
5 = (21) (35) (56) (14).
Получить отсюда разложение 5 на независимые циклы.
6. Пусть S = (a1a2 ... ak) (ЬХЬ* ... bj) ... (е^е2 ... et) — разложение
подстановки S на независимые циклы. Показать, что
S^ = (akak^ ... a,) (bfii^ ... bt) ... (etet.t ... ej.
7. Показать, что k-я степень цикла (а^, ... ak), состоящего из k
чисел, равна тождественной подстановке.
8. Пусть некоторая подстановка 5 следующим образом разлагается
на независимые циклы:
$ = (^2 ... ak) (btb2 ... bL) ... (<?!<?<> ... et).
Показать, что наименьшее общее кратное М чисел k, l} ..., t есть
порядок S.
62
it. Простота знакопеременной группы. Мы устанбвили
в предыдущем параграфе, что" знакопеременная группа Шп есть
максимальный нормальный делитель симметрической группы @я.
Возникает вопрос, какие максимальные нормальные делители имеет
в свою очередь Шп. На этот вопрос мы, однако, ответим не сразу.
Придется сперва разобрать некоторые свойства знакопеременной
группы.
1°. Всякий трехчленный цикл (dbc) содержится в
знакопеременной группе ?(rt, я^З.
В самом деле цикл (abc) является четной подстановкой, так
как разлагается на две транспозиции:
(abc) = (ab) (ас).
2°. Любая подстановка знакопеременной группы Шп(п^3)
может быть представлена в виде произведения тройных
циклов.
Так как всякую подстановку группы 9(„ можно разложить на
четное число транспозиций, то свойство 2° достаточно доказать
для произведения двух транспозиций. Могут представиться только
два случая: либо обе транспозиции содержат общее число, либо
общих чисел у них нет.
В первом случае имеем:
(ab) (ас) = (abc).
Во втором случае имеем:
(ab) (cd) = (ab) (ас) (са) (cd) = [(ab) (ас)] [(са) (cd)] =
= (abc) (cad).
В том и в другом случае у нас получились трехчленные циклы.
3°. Если нормальный делитель 91 ~fz Е знакопеременной группы
%п(п^3) содержит хотя бы один тройной цикл, то $1 = Щп
(т. е. 9t будет несобственным нормальным делителем Шп).
Это свойство доказываем следующим образом. Пусть (abc) —
тройной цикл, содержащийся в 9?. Преобразуем (abc) при помощи
T=(ap)(bg):
Г1 (abc) T= (pqc).
По условию 91— нормальный делитель группы ?(л; Т как чет*
ная подстановка входит в 31л. Следовательно, (pqc) — элемент 9?.
Ввиду того что р и q произвольны, возьмем теперь вместо р
число г и вместо q число р. Тогда мы получим вместо цикла
(pqc) цикл (грс), который также входит в 51 В силу замкнутости
5ft произведение^ (pqc) • (грс) = (pqr) тоже должно содержаться
в 5ft. Итак, нормальный делитель 5ft содержит любой тройной цикл
(pqr). По свойству 2° всякая подстановка знакопеременной груп*
пы Шп равна произведению тройных циклов. Выходит, что 5)1 со*
держит все подстановки группы Шп, т. е. 5№ = 51я.
Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос.
Теорема. При п^>4 знакопеременная группа п-й степени
является группой простой.
Доказательство. Предположим противное. ПустьУЬфЕ —
собственный нормальный делитель знакопеременной группы Шп.
По свойству 3° 5)? не может содержать тройных циклов.
Очевидно, что среди подстановок 5ft, не равных /, должна
существовать подстановка, перемещающая наименьшее количество чисел.
Обозначим ее через S. Могут представиться только четыре
случая:
1) подстановка S состоит из двойных и тройных независимых
циклов:
S= (ab) (cdf)...;
2) подстановка 5 состоит исключительно из двойных
независимых циклов:
S = (ab)(cd)...\
3) подстановка S состоит исключительно из тройных циклов:
S-—(abc)(def)
4) в разложении S на независимые циклы имеется по
крайней мере один цикл, содержащий не менее четырех чисел:
S—(abcd ...) .. ♦ *
В первом случае
S* = (ab)(ab)(cdf)(cdf) .. . = (cfd).. .ф1
будет подстановкой из 5ft, перемещающей меньшее количество
чисел, чем S. Но это противоречит выбору 5.
Во втором случае возьмем подстановку T=(abe). Она по
свойству 1° должна принадлежать Шп. В силу нормальности 5ft
сопряженная подстановка
S= r*ST= 7*-1 (ab) (cd)... Т = (be) (cd) ...
должна содержаться в 5ft> поэтому в 5)? содержится также
SS = {c){d)(ae)..*jbL
64
Mo подстановка SS^t перемещает меньшее число чисел, чем S.
Мы снова получили противоречие с выбором 5. ,
В третьем случае поступаем точно так же: обращаемся к
подстановке T=(abe)} находим сопряженную подстановку 5:
- 5 = T~lST= T"1 (abc) (def)... 7= (afd) (bee) ..,
н составляем произведение 55:
SS = (b)(aedcJ)...jbI.
Опять получается противоречие с выбором 5— подстановка
55, очевидно, перемещает меньше чисел, чем 5.
Наконец, в четвертом случае берем подстановку T—(abc).
Она по свойству 1° принадлежит 5(л. Затем преобразуем 5 с
помощью Т:
S~T-1ST= Г"1 (abed...)... Г= (bead...)... ♦
Как и выше, сопряженная подстановка 5 в силу
нормальности 9? должна содержаться в 5R. Теперь составляем произведение
5~*5; оно, очевидно, тоже принадлежит 9?:
S~1S = (c)(bd...)... .
И здесь получается противоречие — подстановка S~*S ф I
перемещает меньше чисел, нежели 5. Теорема доказана.
Все эти рассуждения, однако, оказываются непригодными для
знакопеременной группы четвертой степени, так как при
доказательстве теоремы использовалось пятое число е. Мало того,
оказывается, что в случае /г = 4 теорема неверна. А именно,
знакопеременная группа четвертой степени обладает максимальным
нормальным делителем, состоящим из подстановок
/, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4) (2 3)
(так называемая четверная группа).
В заключение укажем одно следствие, вытекающее из теоремы
о простоте знакопеременной группы. Это следствие будет играть
существенную роль при доказательстве неразрешимости
уравнений выше четвертой степени в радикалах.
Следствие. Симметрическая группа <Sn при п>\-не раз-
решима.
Доказательство. Знакопеременная группа Шп по теореме 2
предыдущего параграфа есть максимальный нормальный
делитель @я. А так как 9ГЛ при п^>4 является простой группой, то
б Л. О к v *.гн N &"*
максимальным нормальным делителем $\п при я^>4 будет
единичная группа Е.
Таким образом, для симметрической группы (£л получается при
/г^>4 следующий композиционный ряд: .
Посмотрим, каковы его индексы:
(?(„, ©„) = 2; (£, ?Г„) = '|-.
Когда п^>4 число -j- будет составным. Следовательно группа
@л при /г]>4 не разрешима.
Задача.
Показать, что симметрические группы <&>, @>8 и ^4 разрешимы. (Это
как мы впоследствии увидим, находится в"тесной связи с
разрешимостью уравнений второй, третьей и четвертой степеней в радикалах).
§ 12. Транзитивность и интранзитивность. Пусть® —
некоторая группа подстановок /г-й степени 1). Применим какую-нибудь
ее подстановку 5 к одному из чисел 1, 2, 3 ..., п, например
к 1. Тогда 1 переведется в число k (в частности 1 может не
измениться, т. е. к может оказаться равным 1).
/12 3 4 ... п\
Так, если 5=1 I , то, применяя 5 к числу 1,
получаем 3. Иногда вместо того, чтобы говорить „подстановка 5
перемещает число а в число Ьи, мы будем для краткости писать
aS=b*).
Следует различать два случая: 1) в группе ® существуют
подстановки, переводящие 1 в любое заданное число /г(й=1,
2, ..., //); 2) подстановки группы © перемещают 1 не во всякое
заданное число к, В первом случае группа © называется
транзитивной, а во втором случае — интранзитивной.
х) Т. е. © — некоторая подгруппа симметрической группы <Вп. В
дальнейшем @ будет коротко называться группой я-й степени (не смешивайте
степень с порядком группы).
2) Может показаться странным, что подстановка 5 пишется справа,
а не слева от а. Писать подстановку 5 слева от а невыгодно по
следующей причине. Представьте себе, что к а нужно применить
произведение ST. Если придерживаться левой записи, то. придется написать STa.
Но, с другой стороны, применение произведения ST равносильно
последовательному применению подстановок S и Т. Придерживаясь левой
записи, мы должны последовательное применение S и Т записать в виде
T(Sa). Получается несоответствие — раньше у нас было STat подстановка
5 стояла впереди Тл а теперь 5 оказалась позади Т.
65
Примеры. 1. Симметрическая группа ®я, очевидно, траизитивпа.
2. Знакопеременная группа $1я также транзитивна, так как в %ь~
имеется подстановка (Ik) (ll)(kqbl), перемещающая 1 в k.
3. Четверная группа состоит из следующих подстановок 4-й сте-
псни: /, 5 = (12) (34); Г = (13) (24); {Ль (14) (23).
Мы видим, что 1/=1; 1S = 2; 1Г=3; Ш=4, следовательно и
эта группа транзитивна.
4. Напротив, группа, состоящая из двух подстановок я-й степени
(Л^3): /12 3... п\
интранзитивна. В самом деле, ее подстановки перемещают 1 в числа 1 и 2,
но не могут перемещать 1 в остальные числа 3, 4, 5, ..., п.
В транзитивной группе всегда существует подстановка,
переводящая любое число k в любое другое число /(&, /= 1, 2, ..., я).
Действительно, пусть 5—подстановка, перемещающая 1 в k, a
Т—подстановка, перемещающая 1 в /:
lS = k; 1Г=/.
Тогда
в силу чего
lT=(kS-1)T=k(S-1T) = l.
Подстановка S~lT, следовательно, перемещает k в /.
Отметим следующие два характерных свойства транзитивной
группы. Будем в дальнейшем обозначать через 21 комплекс всех
подстановок ®, которые число 1 не меняют. Тогда:
1. ^Комплекс Ш есть подгруппа ®, причем индекс (<3f, ®) равен
п, степени группы ®1К
Для доказательства этого утверждения возьмем прежде всего
две произвольные подстановки 5 и Г из Ш. Они, очевидно,
оставляют число 1 на месте:
ч
15=1; 1Г=1.
Но в таком случае их произведение 5 Г также должно оставлять
1 на месте. Таким обра'зом, произведение ST принадлежит Щ, и
условие замкнутости удовлетворяется. Значит Щ есть подгруппа
@. Чтобы убедиться в справедливости второй части нашего
утверждения, разложим группу ® по подгруппе 91:
© = Я5, + Я5а + ... + «й (1)
(5Х равно тождественной подстановке /).
*) Отсюда порядок группы © делится на се степень п.
€7
Возьмем какую-нибудь СмЪкную систему 3(5$ разложения. Пусть
подстановка St перемещает 1 в число аг Выясним, какое
перемещение вызывает любая подстановка 5 этой смежной системы.
Очевидно, S=7\S;, где Т—некоторая подстановка Ш. По
условию 15,==^, кроме того 17=1, так как Т принадлежит §(.
Следовательно:
lS=l(TSi) = (lT)Sl = lSi = ai,
т. е. не только Sif но и любая подстановка смежной системы Sf^
перемещает 1 в а£. Обратно, пусть S—подстановка, переводящая
1 в at: lS = ai. Покажем, что S принадлежит смежной системе 9(5,-.
Применим к числу 1 подстановку SSf1. Так как \St = я,, то
яД.-1 = 1. ;
Поэтому 1 (SSf1) = (15) Sf1 = atSfl = 1.
Мы видим, что SSf1 число 1 не меняет. Стало быть, SSf1
принадлежит подгруппе 31, т. е. SSf1=Ti или S=TSt (Г—
подстановка из ?{). Иными словами, S принадлежит смежной
системе 2(5^.
Итак, каждой смежной системе 2(5, разложения (1) взаимно
однозначно соответствует число ait в частности St = ^iSl
соответствует at = l. В силу транзитивности группы @ числа а1 = 1;
av...,ak должны исчерпывать все числа 1, 2, З...я; последнее
возможно только при к —п. Тем самым свойство 1 доказано
полностью — индекс к подгруппы ?! оказался равным п.
2. Если S — подстановка ®, перемещающая 1 в число k, то
сопряженная подгруппа S'^IS есть комплекс таких
подстановок @, которые k не меняют, -
Для доказательства обозначим через 33 комплекс подстановок ©,
не меняющих k. Всякая подстановка подгруппы S~X%S имеет вид
S~XTS, где Т—подстановка 9(. Применим S~lTS к числу h\
k(S-lTS) = (kS-l)TS = (lT)S = lS=:k.
Мы видим, что S"lTS не меняет k, т. е. содержится в
комплексе 33. Отсюда:
5-]2(5ЕЗЗ. (2)
С другой стороны, на основании аналогичных рассуждений
получаем, что
или умножая обе части последнего соотношения слева на S"1
и справа па S:
%^S~U11S. (3)
Но соотношения (2) и (3), взятые вместе, как раз означают,
что 33 = 5_1915. Свойство 2 доказано.
Транзитивная группа ® /z-й степени называется нмпримитивной,
если множество чисел 1, 2, 3,...,я можно подразделить на не-*
сколько подмножествЛ^,^. . .,MS> характеризующихся следующими
условиями: 1) каждое подмножество Mt содержит не менее двух
чисел; 2) каждое * подмножество Мь взаимно просто с любым
другим подмножеством Mj (т. е. Mt и Mj не имеют общих чисел);
3) каждая подстановка группы ® всякое подмножество Mt либо
отображает на самого себя, либо переводит в другое
подмножество Mj.
Из условия 3, между прочим, вытекает, что подмножества М-ь
имеют одинаковое количество чисел. Отметим еще, что
подмножества Mt обычно называют системами импримитивности.
Если такое подразделение на системы импримитивности
невозможно, то группа © называется примитивной. В качестве
иллюстрации рассмотрим два примера.
Примеры. 1. Выясним, является ли четверная группа импримитивной.
Для этой цели разобьем множество чисел 1, 2, 3, 4 на два
подмножества
^={1,2} иМ2 = {3,4}.
Легко видеть, что подмножества Mt и М2 удовлетворяют первым двум
условиям, характеризующим импримитивные системы. Остается,
следовательно, проверить третье условие. Тождественная подстановка /, очевидно,
Mi и М2 не меняет. Подстановка 5= (12) (34) тоже не меняет Mi и М2;
она только переставляет числа внутри подмножеств Mi и М2. Напротив,
подстановка 7 = (13) (24) превращает Мх в М2 и М2 в Мг.. То же самое
можно сказать относительно последней подстановки 6Г=(14) (23). Таким
образом, и Тчретье условие выполняется. Следовательно, четверная группа
импримитивна.
2. Теперь обращаемся к симметрической группе <8Л. Она уже не будет
импримитивной. Чтобы в этом убедиться, предположим противное: пусть
множество чисел 1,2..., п удалось подразделить на системы
импримитивности: ,
Mi = {аи а2},. .,0/j_i, ak\,
М2 = {bit b2f... fbk_lf bk} и т. д.
Тогда, применяя к Mt подстановку (akb^) симметрической группы вЛ,
получаем новое подмножество чисел
N={au а2>.,. ,ak_lf bx}.
Согласно условию 3 подмножество //должно быть некоторой системой
импримитивности. Однако на самом деле//не является системой
импримитивности, так как имеет с Мг общие числа (не взаимно просто с Mt).
Получилось противоречие. Значит симметрическая группа @я примитивна.
Во многих случаях большую помощь оказывает следующий
критерий импримитивности.
Теорема 1. Пусть © — транзитивная группа п-й степени;
% — ее подгруппа, образованная из всех подстановок ®, не
69
меняющих число 1. Тогда для того, чтобы группа © была им«
примитивной, необходимо и достаточно,. чтобы существовала
промежуточная подгруппа $, отличная от % к ®\
Доказательство. Предположим, что группа ® имприми--
тивна. Обозначим через Мх систему импримитивности, содержащую
число 1. Рассмотрим комплекс <£> таких подстановок @,
которые не меняют системы Mi9 т. е. отображают Ait на самого
себя. Очевидно, ^ есть подгруппа © и притом собственная
подгруппа, так как кроме подстановок, не меняющих Мt в @, имеются
подстановки, переводящие Мг в другие системы
импримитивности 1). Возьмем далее из % произвольную подстановку S. Легко
показать, что 5 не может изменить систему Mv Действительно, в
противном случае подстановка S перевела бы Мt в некоторое другое
подмножество N, и так как S оставляет число 1 на.месте, то N имело
бы общее число с Mt (а именно 1). Но это противоречит
импримитивности ©. Следовательно, 5 не меняет МХу т. е. 5 содержится
в £. Мы видим отсюда, что 91 Еф. Подгруппа 9С, однако, не
может совпадать с подгруппой ,£>, потому что $, кроме
подстановок из Щу содержит в силу транзитивности © и такие
подстановки, которые перемещают цифру 1 внутри Мх. Значит 91сг<£).
Итак,
2(с=£с1@-
Первая половина теоремы доказана.
Обратно, пусть
21с=£с=©-
Посмотрим, будет ли группа © импримитивной.
Разлагаем ^ по подгруппе Ш:
Ф = * + *М« -|- %AZ -p. .. + *Ak9 (4)
где А2, Л3,. У. ,Ak — подстановки из $. Без ограничения общности
рассуждений можно допустить, что подстановка Л2 перемещает
1 в число 2, Л3 перемещает 1 в число 3 и т. д., наконец Ak
перемещает 1 в число k. В противном случае мы бы
соответственным образом перенумеровали числа Л, 2,...,я. При этом
допущении смежная система SfA2 разложения (4) будет состоять из
всех подстановок группы ®, перемещающих 1 в 2; 2Ь43 будет
состоять из всех подстановок ®, перемещающих 1 в 3 и т. д.;
наконец, WAk будет состоять из всех подстановок ©, перемещающих
• *
*) Такие подстановки, переводящие Mi в другие системы
импримитивности, обязательно имеются, так как @Г«— транзитивнд.
70
1 в к (см. доказательство свойства 1 транзитивной группы). Кроме
того, 21 по условию образовано из всех подстановок ©, не
меняющих числа 1. Подгруппа <£), следовательно, состоит из таких
и тотько из таких подстановок группы ®, которые число 1
перемещают в 1, 2,...,&. А теперь вспомним, что *£> — собственная
подгруппа ® (Jq cz ®). Это значит, что в ® должны существовать
подстановки, перемещающие 1 в иные числа, например в k-\-Ji.
Отсюда k<^n, т. е. <£) интранзитивна.
Разлагаем далее ® по подгруппе §:
© = $ + $#, + £//, + ... + $//,. (5)
Обозначим совокупность чисел 1, 2,... ,6 через Mi и обратимся
к подстановке Н.2. Пусть она М{ переводит в совокупность чисел
Мъ = {аи a2,...}ak}.
Можно показать, что Мх и Ж2 не имеют общих чисел (взаимно
просты). В самом деле, пусть некоторое число / совокупности Мх
равно некоторому числу а^ совокупности Ж2. Так как у77.2 = ау-,
то i—JH^ Возьмем подстановку AjH2 и применим ее к 1:
1 (AjH,) = (1 Aj) Н2 =jH2 = /,
т. е. AjH.2 перемещает 1 в/, в силу чего AjH.2 содержится в ^>.
Но Aj — подстановка из ,£), следовательно И2 также содержится
в ,£>, что невозможно.
Обращаемся к подстановке Hz разложения (5). Пусть она Mt
переводит в
Мъ — {Ьи £*,... А}-
Повторяя те же рассуждения, получаем, что М{ и Мъ взаимно
просты. Мало того,. мы сейчас покажем, что М.2 и Af3 также
взаимно просты. Пусть, напротив, М2 и Мъ имеют обйцее число,
например ai = bj. Так как IH^ = ah jHz = bj, то
lK2=jHZy
или i=j(HzHb J).
Применим теперь подстановку AjH^Hf1 к числу 1:
1 (AjH,Hfl) = {\Aj) Я,//,"1 =J (H.6Hf>) = I,
т. е. AjHzHfl перемещает 1 в /, в силу чего AjH^Hf1 содержится
в ,£). Отсюда H^Hf1 также содержится в <£f
HzHflcz§, или Hzcz$H%,
НТО невозможно,
п
Точно так же~ убеждаемся, что подстановка Я4 переводит Мх в
Мц — {си с2, ...,ск}9
взаимно простое с уИь Ж2, Мъ и т. д.
Итак, множество чисел 1, 2,..., п разбилось на подмножества
Ми Мъ .. Мь удовлетворяющие первым двум условиям
импримитивности. Остается, стало быть, проверить третье условие.
Подмножества Mt получились в результате применения подстановок
H-t к Мх. Запишем это следующим образом:
М^ = Mt.
Прежде всего возьмем из <£) некоторую подстановку И.
Применим ее к какому-нибудь числу I подмножества Мх:
fH=(\Ai)H=\(Afi).
Подстановка AtH также содержится в $, поэтому AtH
перемещает число 1 в одно из чисел 1, 2,..., k, например в/. Таким
образом, iH=j. Отсюда ясно, что подстановка Н не меняет Мх;
она может вызвать только перестановку чисел внутри Мх.
Теперь возьмем некоторую подстановку S группы ®.
Применяем ее к Mt\
MtS = (М^Нй S=Mi (HiS).
Очевидно, HiS должно входить в какую-то смежную систему
-разложения (5). Пусть HtS входит в IqHj. Тогда HtS будет иметь
следующий вид:
H:S = HHiy
_ * * у
где Н—некоторая подстановка <£>.
Отсюда окончательно находим, что
MiS = ЛГ, (HiS) = Мк (Щ) = (МХН) Hj = MxHj = MJy
т. е. получилось подмножество М.-. Значит Ми Мъ .. ,,Mk являются
системами импримитивности и @—импримитивная группа.
Этот критерий импримитивности позволяет довольно просто
доказать следующее предложение.
Теорема 2. Транзитивная группа ® п-й степени, содержащая
транспозицию, должна быть либо симметрической, либо импри-
митивной группой.
Доказательство. Не нарушая .общности рассуждений,
предположим, что данная группа © содержит транспозицию (1,2).
7?
Представляется одно из двух: 1) группа @, кроме транспозиции (12)
содержит также транспозиции (13), (14),..., (1,я); 2) группа®
содержит только часть транспозиций (1,3), ..,, (1,л), например
(1,3), ^1,4), ..., (1,/и)(/и<я).
В первом случае ® будет содержать все транспозиции
симметрической группы @л, так как (rs) = (lr)(ls)(lr). Поэтому ©^
будет содержать любую подстановку симметрической группы @я,
вследствие чего © = @rt.
Во втором случае обозначим через <£) подгруппу, состоящую
из всевозможных произведений транспозиций (1,2), (1,3) ... (1,/ю)
и подстановок подгруппы 21. Легко видеть, что «£) является
собственной подгруппой ®. В самом деле, прскольку © траизитивна,
должна существовать в группе © хотя бы одна подстановка 5, v
перемещающая 1 в число п. Эта подстановка 5, очевидно, не
пойдет в подгруппу ф *). С другой стороны §1 си ,£), так как ,£>,
кроме .подстановок, не меняющих числа 1, содержит подстановки,
перемещающие число 1, например $ содержит (1,2). Таким
образом Slczi^cz©, а потому группа @ импримитивна.
Позднее (в главе 5) для построения неразрешимых уравнений
пятой степени нам понадобится одно следствие из этой теоремы.
Следствие. Транзитивная группа © — простой степени р>
содержащая транспозицию, является симметрической группой:\
®=ер.
Доказательство. Предположим, что @ не является
симметрической группой. Тогда по теореме 2 группа © должна быть
импримитивной и все множество чисел 1,2, ...,/> разобьется на s
систем импримитивности Ми М%, ..., Ms no t чисел в каждой
(s и t^2). Отсюда получается, что st=p. Последнее равенство,
однако, противоречит простоте р. Значит, © может быть только
симметрической группой.
В заключение рассмотрим несколько детальнее интранзитивные
группы. Пусть © — интранзитивная группа я-й степени. Ее
подстановки будут перемещать 1 не во все числа 1,2, ..., а только
в некоторую их часть, например в 1, а2, ..., ak. Обозначим для
краткости подмножество чисел 1, а2, ..., ak через Pv Мы сейчас
покажем, что любая подстановка 5 группы © не может числа
подмножества Рг вывести за пределы этого подмножества. В самом
деле, пусть а^ — Ь и 1 Т=а(. Тогда а^= \TS=b, т. е. подстановка
1) В самом деле, если ♦$ содержится в «&, то 5 должно разлагаться
на произведение вида Н1Т1Н2Т2 . •• или вида 7\//i7y/2 ..., где Hk —
подстановка, образованная из транспозиций (1,2) (1,3), ..., (1,/я), а 7^ —
подстановка из 91. По условию S перемещает 1 в л. Следовательно,
в разложении S на подстановки Hk и Ть должна встретиться
подстановка Ту перемещающая некоторое число /(1</^/п) в какое-то
У(у>ш). Отсюда вытекает, что группа © должна содержать
транспозицию T~1(lt)T=(lJ). Но это невозможно»
73
♦ 4 ....
TS перемещает 1 в число b. Так как 1 может перемещаться только
в числа* 1, a^.t.^aky то b есть какое-то ау- подмножества Рх.
Наше утверждение доказано. Мало того, нетрудно показать, что
в группе @ всегда существует подстановка, переводящая любое
число at подмножества Рх в любое другое число ау- того же
подмножества, а именно, если lSx = ah 1S.2 —ay-, то
ai5l-1S2 = ay.
Условимся некоторое подмножество чисел N называть системой
транзитивности группы ®, а группу © транзитивной
относительно N, если: а) подстановки группы © не выводят числа
подмножества N за его пределы; Ь) в группе © всегда существуют
подстановки, переводящие любое число подмножества N в любое
.го другое число.
Таким образом, Рх есть система транзитивности ©.
Теперь обратимся к числу ak+ii не содержащемуся среди чисел Рх.
Пусть подстановки группы © перемещают akvl в числа
подмножества
Р2 = { ak+1, ak. 2,..., ak+fti }*
Мы утверждаем, что.никакая подстановка S группы © не
может akhl перевести в число Ри т. е. подмножества Рх и Р2
взаимно просты. Действительно, если бы а^+15=аДг^^), то,
обратно, aiS"1=ak+x. Но мы знаем, что подстановки группы © и,
в частности, S~* не могут числа Рх выводить за его пределы.
Повторяя прежние рассуждения, легко убедиться, что Р2 также
система транзитивности группы ®.
Далее, возьмем число ak+kl+i, не входящее в системы Р и Р,2.
Пусть подстановки, группы © перемещают ее в числа
подмножества
^3 = { Я/г-Н?1+1> «Л+*гЬ2» • • •> ak+kv\-k.2 }•
Опять убеждаемся, что Рд — взаимно просто с Рх и с Р2
и образует третью систему транзитивности и т. д. В результате
множество чисел 1,2..., п разобьется на ряд взаимно простых
систем транзитивности РХ>Р%, .. . ,PS.
Задана.
Всякая транзитивная группа простой степени примитивна.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
КОЛЬЦА И ПОЛЯ.
§ 13. Определение кольца и поля. Следующим после группы
основным понятием современной алгебры является понятие кольца.
Пусть R — некоторое конечное или бесконечное множество
элементов а, Ь> с..., обладающее уже не одной, -а- двумя
композициями. Для отличия будем первую композицию называть
сложением и обозначать через-f-, а вторую композицию — умножением
и обозначать через • ; само собой разумеется, что эти композиции
могут быть самой разнообразной природы: символы -\-хх • не
обязательно означают арифметические сложение и умножение.
Множество R называется кольцом относительно -f- и •, если имеют место
следующие постулаты: \
1. R образует аддитивную группу (т. е. образует
относительно сложения абелеву группу)1). *
2. Относительно умножения R замкнуто, т. е.
произведение ab любых двух элементов а,Ь множества R является также
элементом R.
3. Умножение подчиняется ассоциативному (сочетательному)
закону: a(bc) = (ab)c.
4. Композиции сложение и умножение связаны между собой
дистрибутивным (распределительным) законом: (а-\- Ь)с =
■=ac~\-bc; c(a-\~b) = ca-\-cb.
5. Если, кроме того, умножение коммутативно:
ab = ba
для любых a, b из R, то кольцо называется коммутативным.
В остальных случаях, когда ab может не равняться Ьа, кольцо R
называется некоммутативным.
*) Постулат 1 можно заменить следующими требованиями: а)
относительно сложения R замкнуто; Ь) сложение подчиняется коммутативному
и ассоциативному законам: a-{-b — b-{-a; a-f-(Ь-f-с) = (а + Ь) + с;
с) для любых двух элементов а, Ь множества Rуравнение а-\-х~Ъ
разрешимо в /?;
79
Не надо обладать большой наблюдательностью, чтобы заметить
некоторое сходство композиций сложения и умножения кольца R
с обычными, арифметическими действиями. Это сходство станет
еще более отчетливым, если мы проанализируем отдельно каждый
постулат, входящий в определение кольца.
Какое значение имеет постулат 1? Он позволяет для кольца
повторить все, что было сказано относительно аддитивной группы
в § 2 и 3. А именно, кольцо R замкнуто относительно сложения;
затем сложение должно подчиняться коммутативному и
ассоциативному законам. Таким образом, сумма любого числа слагаемых
не зависит от порядка следования слагаемых и от того, как
расставлены скобки. Но пожалуй важнее всего следующее
обстоятельство.
Во-первых, в кольце должен существовать нуль (и притом
только один), т. е. должен существовать такой элемент 0, для
которого
а-|-0 = а
при любом а.
Во-вторых, для всякого элемента а кольца должен
существовать противоположный по знаку элемент —а (и притом
единственный), для которого
а-\-{— а) = 0.
Само а б^дет при этом противоположно —а:
— (— а) = а.
Все это приводит к тому,- что элементы кольца можно не
только „складывать", но и „вычитать". В самохм деле, возьмем
уравнение а -\-х = Ь, где а, Ь — любые элементы кольца. Его
решением будет
х = Ь-\- (— а).
Это решение, как4 известно, называется разностью между
Ь и а и обозначается через b — а. Отсюда между прочим имеем,
что
а — а = 0 и 0 — а = — а.
Наконец, в кольце /?, как и во всякой аддитивной группе,
должны встречаться целочисленные кратные па (п — целое число),
причем:
па -f- та —(я -j~т) а; п (та) = (пт) a; n(a-j-b) — na -f- rib
(см. конец § 3),
76
Переходим к разбору постулатов 2 и 3. Очевидно, Можнб
перемножать не только два, но любое число элементов.
Произведение нескольких-элементов кольца мы определим точно так же,
как в свое время было определено произведение нескольких
элементов группы, а именно:
а{а^ = (a^j) а3; аха^ага^ = {аха>а^ а4,
и вообще
а&ь ... ап^ап = (а1а2 ... ап^) ап.
Затем буквально так же, как в случае группы, можно
показать, что произведение п сомножителей aLa2 ... ап не зависит от
расположения скобок:
(аха2 ... ар) (арН ... aq) ... (а5+1 ... ап) = ахаг ... ап.
Однако в противоположность сумме произведение зависит от
порядка следования сомножителей; мы не вправе, например,
утверждать, что:
так как умножение, вообще говоря, не подчиняется коммутатив*
ному закону. Заметим еще, что для кольца можно ввести понятие
целой положительной степени, а именно назовем произведение п
одинаковых сомножителей а • а ... а я-й степенью элемента а и
обозначим его через ап. Очевидно, что для целых
положительных степеней элементов кольца справедливы обычные
алгебраические законы:
апат = а»юЛ
(ап)т = апт. } 0)
В самом деле:
апат = {аа ...а) {аа ... а).
п раз т раз
Но произведение не зависит от расположения скобок, поэтому
две скобки можно опустить. В результате получится:
апат = аа ... а = ап*т.
п-\-т раз
Аналогично выводится и второе равенство (1).
Если кольцо R коммутативно, то к равенствам (1) можно
Присоединить еще
{ab)n = anb'\ (2)
77
Доказывается соотношение (2) столь же просто: по
определению целой положительной степени и в силу коммутативности
умножения:
(ab)n = abab ...,ab = (aa ... a)(bb ... b) — anbn.
4i-*^ ' > ^ f ^
n раз п раз
Элемент е кольца R мы будем называть единицей, если для
любого а из R ае = еа = а. Можно привести довольно много
примеров колец, обладающих единицей; но наряду с этим можно
указать кольца, не обладающие единицей. Нетрудно убедиться,
что если в кольце R существует единица е, то она должна быть
единственной. Действительно, пусть ех — другая единица. Так как
е — единица, то еех=е{. Но, с другой стороны, ег — также
единица, откуда еех — е. Сравнивая равенства еег = е и ее1 = е1>
получаем, что е = ег.
Пусть а некоторый элемент кольца R с единицей е. Если
для а существует в R такое х\ что ах=ха = е^ то мы будем х
называть обратным элементом относительно а. Легко показать,
что если для а существует обратный элемент, то он должен быть
единственным. В самом деле, пусть х' какой-нибудь другой
обратный элемент относительно а. Тогда
х' = ех' = (ха) х' = х (ах') =хе = х.
Мы будем в дальнейшем обратный элемент кольца обозначать
через сГ1.
Остается разобрать "распределительный -закон. Постулат 4
утверждает, что
с (a -j~ b) = са -\- cb\ (а-\-Ь)с = ас -\- be.
Легко видеть, что не только для двух, но и для п элементов
* (*i + *«+ ...+bn)=cbi-\-cb%+... +сЬп'Л
Действительно, при п — 3:
с (bt + Ь% -{- *.) = с [(fti +Л) + М = с (ft, + Ь%) + сЬг =
(*i + *i + *i)c = [(*i + *i) + *i]^ = (*i + *.)c+V=
Вообще, если утверждение доказано для п — 1:
с(&1+6*+ ...+*„-i) = c*i + cfta-f ... -\-ап_!-,
(*i + ** + ••• + bn-i) c-= *ic + b.2c +...-}- bn_ic,
то оно справедливо для я:
c(*i4-^+...+*e-i + *-)=«K*i + *i+-..+Vi) + *J =
= с {bi -f *« + • • • + *„-iX+ cbn = A +cbi + ... + йи Я" A*;
(*l+^+...+*l^l+^)c=[(*I+^+...+*«.l)+*Je =
= (*i + *a+..-+*e-i)c + V = V + V+---+Vic + *iic-
Благодаря распределительному закону многие правила обычной
алгебры остаются в силе и для колец. Ведь сам этот закон есть
не что иное как правило умножения многочлена на. одночлен.
Из соотношений (3) легко получается известное правило
перемножения многочленов:
•= «1*1 + аА + • • • + «А + * А + • - • + апЬт.
Доказывается оно следующим образом:
(fll + «a+.--4-«n)(*l+*l+-"+*m)=s=
— (*i + *а + • • - + ап) Ьх + fa + аа + ... + ап) Ь% + ... +
+ (fli + *а + • • • + ал) *m = «1*1 + * А + - • • + *А +
+ <*A + *A+ ... +«А + ... +*Ai+ ... + *Аг
До сих пор речь шла о распределительном законе при
сложении. Мы сейчас покажем, что этот закон остается в силе и
при вычитании:
с (а — Ь) — са — cb; {а — b)c = ac — be.
Умножаем очевидное равенство а — b -J- b = а слева на с и
справа на с:
с [(а — b) -j- b] = са; [(а — b) -f- b] с = ас.
Затем к левым частям последних равенств применяем
распределительный закон. В результате получаем:
с (а — b)-\-cb = ca; (a —b)c-\- bc~ac,
т. е. по определению разности:
с (а — Ь) — са — cb; (а — Ь) с = ас — be.
79
Пользуясь распределительным законом, нетрудно, во-первых,
показать, что произведение двух сомножителей равно нулю, если
равен нулю один из сомножителей:
а.0 = 0; 0-а = 0.
В самбм деле:
а • 0 = а (а — а) = а • а — аа = а* — а2 = 0;
0 • а = (а — а)а = а* а — а«а = а2 — а2 = 0.
Однако обратное не всегда верно. Мы ниже увидим, что если
произведение равно нулю, то сомножители могут и не равняться
нулю: ab — (X; афО; ЬфО.
Такие элементы кольца называются делителями нуля.
Во-вторых, остаются в силе обычные правила знаков при
умножении: ,
(—a)ft =— aft; а(—ft) =— aft; (—а)(—b) = ab.
Доказываются эти правила для кольца очень просто,
например:
(— a) ft т= (0 — а) Ь = 0 • b — ab = 0 — aft = — aft;
(_в)(_в) = (_а)(0-&) =
= _а,0 — (— a).ft = 0 — (— a)ft=— [(— a)b]=—[— aft]=aft.
Наконец, отметим одно свойство целочисленных кратных,
вытекающее из распределительного закона:
п (ab) = (па) b = a (nb). (5)
Выводится оно так. Если п — положительно, то, с одной
стороны:
п (ab) = ab -f- ab -J- ... ~\~ ab = (a -f- a -f- ... -J- a) b = (ла) ft.
я раз л раз
С другой стороны,
л (aft) = ab -f aft -f* • • • + ub =s a (ft -j- ft + ...+*) = a (flft).
Таким образом соотношение (5) для положительного /г
выведено.
Если /г отрицательно, то полагая я = — т(т^>0), получаем:
// (aft) = — т (ab) = — aft — aft — ~.» — aft =
= (— a — a — ,. 4 — a) ft = (— //za) ft = («a) ft.
£0 ' ^
Но п {ab) можно представить в несколько ,ином виде! .
п {ab) = — т {ab) = — ab — ab — ... — ab =
= а (— b — b — ... — b)=za (— mb) = a (nb).
Как видим, для отрицательного п опять получается
соотношение (5).
Остается рассмотреть случай /г = 0. Но в этом случае
0.(аЬ) = 0; (0а). £ = 0-& = 0; а (0 • Ь) = а • 0 = 0,
в силу чего соотношение (5) снова удовлетворяется.
Аналогия с арифметическими действиями станет еще сильнее,
если мы обратимся к следующему важному классу колец — к полям.
Определение. Кольцо называется полем или телом, если
оно содержит по меньшей мере1 один элемент, неравный нулю,
и если все его элементы, кроме нуля, образуют группу
относительно умножения (иными словами, образуют
мультипликативную группу)
В частности, поле с коммутативным умножением
называется коммутативным полем1}.
Какими же дополнительными свойствами обладает*поле?
Очевидно, оно должно обладать всеми свойствами, характерными для
мультипликативной группы. Прежде всего, поле содержит такое е,
что для любого элемента афО поля ае = еа = а. Элемент е мы.
иногда будем обозначать через 1. Легко видеть, что е сохраняет
свои свойства единицы и для а = 0, так как по доказанному
выше £.0 = 0*е = 0 (стр. 80), поэтому е мы вправе называть
единицей поля.
Затем в поле для всякого элемента а ф 0 существует
обратный элемент а'1 (и притом единственный). Это а"1
характеризуется тем, что ааГ1 = аГ1а = е. Само а ф0 является, очевидно,
элементом, .обратным относительно а"1, т. е. (а~1)~1 = а. Отметим,
что благодаря существованию обратных элементов поле не
имеет делителей нуля — произведение ab может равняться
нулю только в том случае, когда по меньшей мере один из
сомножителей равен нулю. Действительно, пусть афО, тогда,
умножив обе части равенства ab = 0 слева на а"1, получим # = 0.
Следующая отличительная особенность поля состоит в том,
что его элементы а ф 0 можно возвышать в целые степени (не
только в положительные, но в отрицательные и в нулевую),
причем
атап = апат = ат+п; {ат)п = атп {т, п — целые числа).
*) Некоторые авторы термин поле употребляют только для случая
Коммутативного поля.
6 Д. Окунев« Ш
Понятие целой степени мы считаем известным, так как оно
было введено еще в самом начале нашего курса (в § 3).
Если поле коммутативно, то сверх того будет иметь место
правило возвышения в степень произведения нескольких
сомножителей:
(аЬс ... kl)n = anbncn ... knln
(при п^О сомножители должны быть отличны от нуля).
Наконец, отметим еще одно характерное свойство поля'.
Благодаря наличию обратных элементов можно элементы поля не
только перемножать, но и делить *), а именно рассмотрим
уравнения
ax — b; уа = Ь>
где афО, Ь два каких-нибудь элемента поля. Известно, что
первое уравнение имеет единственное решение х = а~1Ь, а второе
уравнение — единственное решение j/=bar1 (§ 3). Элемент х = оГхЬ
мы будем называть правым частным, а элемент у = Ьа~х — левым
частным от деления Ь на а. Для некоммутативного поля правое
и левое частные, вообще, не равны. Если же поле коммутативно,
то необходимость в употреблении слов „правыйи и „левый"
отпадает, и можно говорить просто о частном, так как в этом случае
х=у. Для коммутативного поля частное иногда будет обозначаться
в виде дроби Ь/а.
Итак, во всяком поле имеется нуль, единица,
противоположные и обратные элементы; поле замкнуто не только относительно
сложения и умножения, но и вычитания и деления (мы, естественно,
исключаем деление на нуль2)). Последнее свойство — замкнутость
относительно деления — является одним из самых характерных
признаков поля. Дело в том, что кольцо R тогда и только
тогда образует поле, когда уравнения
ах = Ь; уа — Ь(афО)
разрешимы в /?.
В самом деле, если в кольце R уравнения ax = b, уа = Ь(аф 0)
всегда разрешимы, то элементы /?, не равные нулю, образуют
мультипликативную группу (§ 3). Обратное очевидно: на основании
вышеизложенного поле -— это такое кольцо, в котором деление
(кроме деления на нуль) всегда выполнимо.
Нижеследующие примеры показывают насколько понятия кольца
и поля универсальны.
х) Исключая деление на нуль.
2) Исключаем, так как уравнения ах~Ь; уа = Ь при а = 0, Ь^О
неразрешимы, а при а = 0 и £ = 0 удовлетворяются любыми
элементами поля (т. е. при а = 0, # = 0 нарушается однозначность деления).
82
1. Ё качестве простейшего примера рассмотрим совокупность
всех целых чисел. Эта совокупность образует по отношению
к арифметическим действиям сложения и умножения кольцо и
притом кольцо коммутативное. Действительно, целые числа
относительно сложения образуют абелеву группу; относительно
умножения множество целых чисел замкнуто; наконец, совершенно
очевидно, что умножение подчиняется сочетательному и
коммутативному законам и связано со сложением распределительным
законом.
Однако целые числа относительно тех же арифметических
действий сложения и умножения поля не образуют, так как
деление не всегда выполнимо — не всегда частное двух целых чисел
есть число целое.
2. Вообще пусть некоторое не пустое подмножество М
множества всех комплексных чисел замкнуто относительно первых
трех арифметических действий (сложения, вычитания и
умножения). Нетрудно заметить, что М по отношению к сложению и
умножению образует коммутативное кольцо. Такие кольца М называются
числовыми, кольцами. Они, очевидно, не содержат делителей
нуля. В частности множество М, состоящее лишь из одного числа
О, мы вправе рассматривать как числовое кольцо. В самом деле:
0±0 = 0 и 0-0 = 0.
Может случиться, что числовое кольцо AI, содержащее помимо
нуля другие числа, будет замкнуто и относительно четвертого
действия—деления1). Тогда кольцо М будет коммутативным
полем. Это — так называемые числовые поля, например множество
всех рациональных чисел образует числовое поле. Числовыми
полями будут также множество всех действительных, множество
всех комплексных чисел и т. п.
3. Многочленом я-й степени в числовом поле Р, как известно,
называется многочлен
f(x) = a0xn^raixn^l-\- ... + а„, а0^Ь0,
у которого коэфициенты аОУ аь ..., ап принадлежат полю р.
Любое число c^tO, взятое из числового поля Р, также можно
рассматривать как многочлен в Р, а именно как многочлен
нулевой степени, ^то касается числа 0, то его приходится считать
многочленом неопределенной степени в Р. Обозначим множество всех
многочленов в числовом поле Р через Р[х]. Для этого множества
Р [х] выполняются все постулаты, характеризующие коммутативное
*) Само собой разумеется, что деление на нуль исключается.
* S3
кольцо. Ё самом деле, складывая дёд многочлена f(x) и g(x) в
поле Р, получим многочлен в том же самом поле. Действие
сложения многочленов, как известно, подчиняется коммутативному
и ассоциативному законам; поскольку число 0 входит в состав
элементов множества Р[х], сомневаться в существовании
нулевого элемента не приходится. Для всякого многочлена f(x) в поле
Р существует в том же поле многочлен—f(x)> играющий роль
противоположного элемента. Короче говоря, множество Р[х]
образует аддитивную группу. Обращаясь к аксиомам 2, 3, 4 и 5,
замечаем, что относительно умножения множество Р[х] замкнуто,
причем умножение многочленов подчиняется ассоциативному и
коммутативному законам и связано со сложением дистрибутивным
законом. Таким образом, множество Р [х] образует коммутативное
кольцо. Обращаем внимание читателя на то, что это кольцо есть
кольцо без делителей нуля, так как произведение f(x)g(x) равно
нулю (тождественно) тогда, когда хотя бы один многочлен f{x)
или g(x) равен нулю (тождественно).
Однако кольцо Р [х] не является полем, потому что в Р [х]
действие деление не всегда выполнимо. Так, например, многочлен
f{x) = x*-\- 1 не делится на g(x) = x—1. .
4. Другим примером кольца может служить множество F
функций действительного переменного дг, непрерывных в интервале
(-1,1).
Посмотрим, как ведет себя множество F относительно
арифметических действий сложения и умножения. Нетрудно заметить,
что F образует аддитивную группу: сумма двух функций,
непрерывных в интервале (—1,1), есть, в свою очередь, функция,
непрерывная в том же интервале. Об ассоциативности и
коммутативности сложения говорить не приходится. Роль нуля играет
функция, тождественно равная нулю [очевидно, эта функция
непрерывна не только в интервале (—1,1), но и в любом
интервале]; роль противоположного элемента для f{x) играет—f{x)
[очевидно, —f(x) непрерывна в том же интервале, что и f(x)].
Обращаясь к постулатам 2, 3, 4 и 5, характеризующим
коммутативное кольцо, замечаем, что и они удовлетворяются. Значит,
множество F образует кольцо и притом коммутативное. Но в этом
кольце, в отличие от ранее рассмотренных колец, существуют
делители нуля. Возьмем хотя бы такие две функции, непрерывные
в интервале (—1,1):
/(лг) = 0, когда х^О и /(дг)==лг, когда х^>0;
♦ g(x) = x} когда х^О и g(x) — Q, когда лт>0.
Каждая из этих функций не равна тождественно нулю, однако
их произведение f(x)g(x)= О,
«' 5. Теперь приведём пример -некоммутативного кольца.
Рассмотрим множество всёх^м'атриц ^ \
,-> -г
я-ro порядка (вырождающихся и невырождающихся). Элементы а^—"
комплексные числа. Читатель может сам без труда, убедиться, что
это множество относительно матричного сложения и умножения
образует кольцо и притом некоммутативное (потому что
умножение матриц вообще некоммутативно). Вместе с тем, это
кольцо обладает делителями нуля, например:
'1 0 0 ... On
О 0 0 ... О \ (единица только в верхнем
А = I Ь^ 0 левом углу, все остальные
\0 0 0 ... О,
элементы равны нулю).
О 0 0 ... 0\
О о 0 ... о\ (единица только в нижнем правом
£= | =£0 УГЛУ, все остальные элементы
/ равны нулю).
\0 0 0 ... 1/
Но
/о о ... о\
АВ = [ 1 = 0.
\о о ... о/
В следующем параграфе мы познакомимся с одним обширным
классом колец, играющим не последнюю роль в современной
алгебре. Это — так называемые ассоциативные алгебры, или, в иной
терминологии, гиперкомплексные системы.
Задачи.
1. Целыми гауссовыми числами называются комплексные числа а-\-Ы
с целыми ау Ь. Образует ли множество всех целых гауссовых чисел
числовое кольцо? поле?
2. Гауссовыми числами называются комплексные числа a-{-die
рациональными а, Ь. Образует ли множество всех гауссовых чисел числбвое
поле?
3. Дано множество, состоящее только из двух элементов а, Ь.
Композиции сложение и умножение определяются следующим образом: у
а-\-а = а; а-\-Ь — Ъ-\-а = Ь\ Ь-\-Ь=*а;
цЬ~Ы=*Р\ а2~а; &* = Ь.
Что здесь является нулем? единицей? Будет ли это множество полем?
fa 0\
"-"-4-. Множество матриц вида ( Г (а, Ь—действительные числа) образует
относительно матричного сложения и умножения коммутативное кольцо
с делителями нуля. Привести необходимые рассуждения.
5. Показать, что множество матриц вида:
где я, Ь, с, d — любые действительные числа, является некоммутативным
полем относительно сложения и умножения матриц.
6. Кольцо, состоящее из конечного числа элементов и не
содержащее делителей нуля, является полем. Доказать это утверждение.
1 § 14. Ассоциативная алгебра. Обозначим через А множество
символов (аи а2, ... ап), составленных из п произвольных
элементов аи а2, ..., ап числового поля Р. Посмотрим, при каких
условиях множество А будет кольцом. Очевидно придется ввести
понятия равенства, суммы и произведения символов.
Символы, отличающиеся друг от друга порядком следования
элементов или самими элементами, мы будем считать различными.
В соответствие с этим введем такой постулат:
1. Д в а символа (ah а2,..., ап) и (bi9 &2,..., Ьп) р а в н ы
тогда и только тогда, когда а1 = ^1;а2 = ^2, ..., ап — Ьп%
Сложение мы определим следующим образом:
2. (аи а%, ..., ап) + (Ьи Ъ.ъ ..., Ьп) = (ах + Ьи а% +"
+ **•••,*я + *л)-
Легко убедиться теперь, что множество символов А образует
аддитивную группу. Действительно, из самого определения
сложения видно, что с помощью этой операции однозначно получается из
двух символов множества А символ того же множества (свойство
замкнутости!). Сложение подчиняется коммутативному и
ассоциативному законам. Мы ограничимся проверкой первого закона:
(аь а2, аз» •••> <*id + (bi, К ..-А) =
= (ei + *i> <>>г-\~К •••> <*п + Ьп) =
=(^1 + ^ь К + ч> • •> *« + **) =
Ассоциативность сложения проверяется аналогичным образом.
Нулем здесь будет символ (0, 0, ..., 0):
(«1, я* ..., вл) + (0, 0, ..., 0) = (а,+0, а, + 0, ..., ад + 0)=;
5= fall **»•••! «/})♦
^ Мы его обозначим через 0. Наконец, роль противоположного,
элемента играет (—ai9 —а2, ...,—ап), так как
(а19 а2, ..., ап) -\- (— alt — а2, ..., — ап) =
= (0, 0, ...,0) = 0.
Символ (—av —а2, ..., —ап), стало быть, можно обозначить
через — (flj, а2, ..., ая).
Итак, остается определить умножение. Для этой цели попытаемся
освободиться от неудобного обозначения (а,, а2, ..., ап). Введем
понятие скалярного умножения элемента т числового поля Р на
символ (aj, я2, ...,ая). Мы его определим с помощью
следующего постулата:
3. т(аи а2, ..., ап) = (а^ а2,..., ап) т = (та1$ та^...,тап).
Как видим, скалярное умножение коммутативно. Мало того,
скалярное умножение подчиняется дистрибутивному закону:
т [(av а9, ..., ап) -f (ftlf &2, ..., bn)\ =
= т(а19 а2, ..., an)-\-m(bv b.2i ..., &я);
(/ + /»)(«!, а2, ..., ал) = /(а1, а2, ..., ая)4~
-\-m(ait а2, ..., ая)
(так сказать, дистрибутивность в двух направлениях).
В самом деле, пользуясь постулатами 2 и 3, получаем:
т [(а„ а2, ..., ап) ~(- (^, £2, ..., Ьп)) —
= (/««! -f- mbi9 та2 -{•- mb^ ... 9 man -f- /я6я) =
= (tfmj, /йй.2, ..., /гсяя) + (mbl9 mbtt ..., /»йя) =
= m(au a2, ..., O + ^^i» £2, ..., bn);
{l-\-m)(av av ..., an) = (lal-\-mav la2-\~ma2, ..., lan^man)s=z
= (/at, /a2, ..., /яя) -{- ('rtflj, wa2, • • • > w*«) =
— l(av av ..., оя) + /»(й1, я2> •••> an)-
Теперь мы покажем, что символ {av av ..., ап) можно за*
менить более наглядным обозначением.
Руководствуясь последними двумя постулатами, пишем:
(al9 av ..., an) = (av 0, 0, ..., 0) + (0, av 0, ..., 0)4-
+ ... +(0, 0, 0, ..., ая) = а1(1, 0, 0, 0, ..., 0)+
-\-а%(0, 1, 0, ..., 0)+ ... +ап(0, 0, 0, ..., 1).
87
Если положить (1, 0, 0, ~~~, 0) = ^;
(О, 1, 0, ..., 0) = е2;
(О, О, О, ..., 1) = *я,
те получается следующее окончательное выражение символа
(аь аъ ..., ап):
(аи аъ ..., йя) = ад + ад+ ••• Л-апеп-
Систему еи еъ ..., еп принято называть базисом множества,
а каждый символ et — гиперкомплекс и ой единицей. Мы
пришли, таким образом, к многочленному обозначению символа
(аи аъ ..., ап). При таком обозначении постулаты 1—3
приобретают более наглядный вид, а именно:
1. Условие равенства: a1el -f- a2e2 -f- ... -f- anen =
= bLet -|~ b%e% -j- ... -\~bnen тогда и только тогда, когда а^ — Ь^
а<ь = Ьъ ..., ап = Ьп;
2. Правило сложения:
(<*i*i + *A + ••• + *«*») +(Vi + Va + ... -\-bnen) =
= («i + *i) *!+-(*«+ *«)** + ••• +(*я + *л)*л-
3. Скалярное умножение:
«(¥i + Vs+ ••• +V«) = (¥iTVi+..'+V«)'« =
Ми видим, что выражения а^ -|- а^е2 -j- ... -}- аЛ<?Л ведут
себя по отношению к постулатам 1—3, .как обычные многочлены.
В этом и заключается выгода нового обозначения. -
После всех этих приготовлений мы можем определить
умножение символов. Чтобы умножение подчинялось
распределительному закону, потребуем, чтобы выражения
ад -f а^ + ... + апеп и biel -|- Ъ^ -f . .. -f Ьпе1Х
перемножались, как многочлены:
4. (вА+ед+ ••• + *я*я) (Vi + ^-2-f ••• +Ьпея) =
= a1Vi2 + «iVi^ + .-. + «iVi^+ ••• + *А*|Л
Умножение, однако, определено не до конца, так как мы не
внаем, какой смысл имеют е^, ete% и т, д. На помощь приходит
S3
следующее соображение. Мы ^хотим множество А сделать кольцом,
но кольцо, как известно, замкнуто относительно умножения,
поэтому произведения еД ехеъ . ., гиперкомплексных единиц
должны, в свою очередь, принадлежать множеству Л, т. е.
5. eie! = cUjelArcrtje^Ar .,. +cniJen
(/, у = 1, 2, ..., п; ckij — элементы поля Р).
Система равенств 5 носит название таблицы умножения
гиперкомплексных единиц или просто таблицы
умножения.
Остается ввести еще один постулат, гарантирующий
ассоциативность умножения. Очевидно стоит только потребовать, чтобы
ассоциативный закон умножения выполнялся для гиперкомплексных
единиц, и тогда этот закон подавно будет иметь место для их
линейных комбинаций а[е1 -|~ агег -}- ••• -\-апеп.
Таким образом:
6. ei{ejek)=:{eiej)ek . (i, у, *=1, 2, ..., п).
Теперь множество Л образует кольцо и притом кольцо, вообще
говоря, некоммутативное, так как мы нигде не требовали
коммутативности умножения. Кольцо Л называется ассоциативной
алгеброй я-го порядка относительно поля Р, или
гиперкомплексной системой /z-ro порядка относительно поля Р, а
выражения alel -f- а%е% -f~ . • ■ ~\~ апеп — гиперкомплексными числами.
В заключение рассмотрим несколько конкретных примеров.
Мы начнем с гиперкомплексной системы второго порядка. Ее
таблица умножения должна иметь следующий вид:
В зависимости от того, какие значения выбраны для коэфи-
циентов ckip получается та или иная ассоциативная алгебра.
Следует, однако, помнить, что сЫ}- не вполне произвольны — их надо
выбирать так, чтобы постулат 6 удовлетворялся.
Примеры. 1. В качестве числового поля Р возьмем поле
действительных чисел и положим
СЦ1== £212 — ^221 == 1» С123 = l» C2U = C222~ ^112 ^ ^121 = 0.
У нас тогда получится такая таблица умножения
^2 = ^; £22 = — еи е1е2 = е2; £2е1 = £2. (2)
Предоставляем читателю проверить, что соотношения (2) не нарушают
постулат Q,
S9
Выясним, с какой алгеброй мы здесь имеем дело. Пусть zx « aei + ^ea;
z2*acet-\-de2— два каких-нибудь элемента нашей алгебры. Сложим,
вычтем и перемножим zL и z2:
zt + z2 — (а + с) et -{- (b ± d) е2; zxz2 = ace^ + adexe2 + bce2et + bde2*,
или, принимая в расчет таблицу умножения (2):
zYz2 = (ас — Ы) е4 + (ad -f- #с) г2.
Далее, выясним, что собой представляют гиперкомплексные единицы
et и е2. Если zi = ae1~\-be2 умножить на et, то получится
zteL = я^2 -j- be2et = я^ + #£g = £i«
Таким образом, ^ является единицей алгебры, и мы можем ех
обозначить через 1. Но в таком случае нз таблицы умножения (2) получаем,
что g22 = —1. Итак, по отношению к сложению и умножению-данная
алгебра ведет себя, как поле комплексных чисел; при этом е2 играет
роль мнимой единицы /=]/"—11).
2. Будем снова исходить из поля действительных чисел, но теперь
пусть ч
eL*=zei) еа2 = еа; е^, = ^ = О (3)
(таблица умножения (3) не противоречит постулату б).
Легко видеть, что в этой алгебре элементы складываются,
вычитаются и перемножаются по следующим правилам: если
zi = aex -}- be$\ z2 = cet -f de2t
то
zx ±: z2 = (a ± c) ^ + (# i: <0 *«; ^г* = a^i + &&в-
Здесь сразу бросается в глаза коммутативность умножения:
Z& = aceL -(- fate2 = г^ = ся^ -}- я"£е2.
Таким образом, рассматриваемая алгебра есть кольцо коммутативное.
Кроме того, в ней имеются делители нуля; например ех =f 0; е2 ^ 0, но
е^ — О [см. таблицу умножения (3)].
Любопытно отметить, что в этой алгебре существует единица,
несмотря на то, что она не образует поля, а именно единицей является
сумма ех + е2.
Теперь обратимся к алгебре более высокого порядка.
3, Еще в 1843 г. Гамильтоном была найдена одна во многих
отношениях любопытная алгебра четвертого порядка — так называемая алгебра
кватернионов. Она получается следующим образом. Попрежнему
пусть Р— поле действительных чисел. Возьмем в качестве
гиперкомплексных единиц еи еъ егу е4 элементы 1, f, J, k группы кватернионов (§ 2).
Тогда мы получим следующую таблицу умножения:
lt=i; ^=У« = Л« = —1; 1 ./ = /.! = /; 1 -У=У - 1 =У; ](4)
*) Точнее выражаясь, данная алгебра изоморфна полю комплексных
чисел. Определение изоморфизма колец будет приведено в следующем
параграфе.
9Q
(постулат 6 в проверке не нуждается. Достаточно сослаться на то обстбя-
тельство, что для всякой группы ассоциативный закон вереи, в частности
он верен и для группы кватернионов).
Очевидно, алгебра будет состоять из четырехчленов а-\-Ы-\-с] -\-
+ dk. Выражения а + Ъ1 -f- cj -f- dk известны под названием кватернионов.
Уже с первого взгляда видно;* что алгебра кватернионов образует
некоммутативное кольцо. Так, например, ij=kt но //= — k. Мы сейчас
покажем, что эта алгебра является некоммутативным полем.
Предварительно придется ввести понятия сопряженного кватерниона и нормы
кватерниона.
Пусть ^ = « ~|~ ^£ -f- су -j~ rf^ — какой-нибудь кватернион. Назовем
кватернион q = a— bi—cj—dk, отличающийся от q только знаками
коэфициеитов при i,j, k, сопряженным с q; мы будем сопряженный
кватернион обозначать той же буквой q, но с чертой наверху. Очевидно,
что, обратно, q сопряженно с #*Умножим^теперь q на ^Руководствуясь
таблицей умножения (4), после некоторых сокращений получаем:
qq = ~qq = а* + Ъ2 + с2 + d\
Сумма квадратов а2 + Ь- + с2 + d2 называется нормой кватерниона q
и обозначается через N(q). Легко сообразить, что норма N (в) равна
нулю тогда и только тогда, когда ^ = 0. В самом деле, сумма а* + £2 +
-\-c2-\-d? равна нулю лишь в том случае, когда а = ^ = с = ^=0.
После всех этих предварительных замечаний, обращаемся к уравнениям
• qx = qu yq = q, (??£0).
Мы их решим без особого труда, если воспользуемся только что
введенным понятием нормы, а именно первое уравнение умножим слева
на Щд)' а второе справа~на 7Щ •
Тогда получится
>У N(q)'
Итак, в алгебре кватернионов деление выполнимо, в силу чего
кватернионы образуют поле (и притом некоммутативное)1).
До сих пор мы строили алгебры, исходя из некоторого числового
ноля А Можно, однако, вместо Р взять любое поле (не только числовое)
и построить алгебру относительно этого поля.
§ 15. Гомоморфизм и изоморфизм. Понятия гомоморфизма
и изоморфизма, с которыми пришлось встретиться в главе I,
без существенных изменений могут быть распространены и на
кольца.
Пусть R — кольцо (в частности поле) и М — некоторое
множество с двумя композициями и притом замкнутое относительно
этих композиций2).
Обозначим одну композицию знаком сложения, а другую —
знаком умножения. Множество М называется гомоморфным
х) Геометрическое истолкование ал1ебры кватернионов можно найти
в книге И. В. Арнольда, Теоретическая арифметика.
2) Ж —не обязательно кольцо,
91
образом кольца /?, если R можно так однозначно отобразить на М,
чтр -если a, b — два произвольных элемента кольца R и в мно-~
жестве М им соответствуют элементы а', Ь\ то сумме а-\-Ь
и произведению аЬ должны соответствовать в М сумма а'-\~Ь'
и произведение а'Ь' (иными словами, отображение должно
сохраняться при сложении и умножении). Само отображение при
этом носит название гомоморфизма. Для сокращения письма мы
будем иногда пользоваться символом RooMy означающим, что R
гомоморфно отображается на М.
В частности, если при гомоморфном отображении
соответствие взаимно однозначное, т. е. если разным элементам R
соответствуют разные элементы М, то соответствие называется изомс^р-
физмому а множество М изоморфным с R (или изоморфным
образом кольца R). В этом случае мы будем вместо символа
RwM употреблять символ RQ^M.
Все основные свойства гомоморфизма, разобранные в § 8,
остаются в силе и для колец. Так, например, имеет место
следующая теорема.
Теорема 1. Если кольцо R гомоморфно отображается
на множество М, то М есть, в свою очередь, кольцо, причем
нулю R соответствует нуль М и противоположному элементу
R — противоположный элемент М. В частности, если R —
коммутативное кольцо, то М — также коммутативное кольцо.
Доказательство. Ход рассуждений — тот же, что и для
групп. Пусть а\ Ъ\ с' — три произвольных элемента множества М.
Возьмем из кольца R элемент а, отображающийся на а'; элемент Ь>
* отображающийся на Ь\ и элемент с, отображающийся на с'.
Кроме того, пусть нулю кольца R соответствует в М элемент х\
а противоположному элементу — а соответствует у\ По
определению гомоморфизма равенствам
<*+(Ь-\-су=(а + Ь) + с; a(bc) = (ab)c
соответствуют в М равенства
а' + (V + с') = (a' -f b') -f с\ а' (Ь'с) = (а'Ь') с'.
Таким образом, сложение и умножение в множестве М
подчиняются ассоциативному закону. Точно так же равенствам
а-\-0 = а; а-\г{—а) = 0
соответствуют в М равенства
а'-\-х'=:а'; а'~[-у — х\
93
Мы видим отсюда, что х* является нулем, а у* противопб*
ложным элементом множества М. Следовательно, мы можем х'
обозначить через 0 и у'—через — а\ Наконец, равенствам
а (Ь + с) = аЬ + ас; (й + с)а = Ьа-{-са
должны соответствовать в М равенства
a'(b'-\-c') = a'b,-\-a,c'; (*' -f с1) a' = b'a' + c'a\
т. е. в /И имеет место дистрибутивный закон.
Итак, все свойства, характеризующие кольцо, удовлетворяются.
Значит, множество М есть кольцо. В частности, если/? —
коммутативное кольцо, то М—также коммутативное кольцо. В самом
деле, из ab = ba следует, что a'b' = bfa'.
Аналогичную теорему можно высказать и для полей.
Теорема 2. Если поле Р гомоморфно отображается на
множество М, то либо М состоит из одного элемента (нуля),
либо гомоморфизм есть изоморфизм, М есть поле и нулю,
единице, противоположному и обратному элементам поля Р
соответствуют нуль, единица, противоположный и обратный
элементы множества М. В частности, если Р—поле
коммутативное* то М—тоже коммутативное поле,
"Доказательство опускаем, так как оно ничем не отличается
ОТ доказательства предыдущего предложения.
Точно так же можно для колец перефразировать и теорему
о гомоморфизме групп (§ 8). Но об этом мы будем говорить
позднее, а сейчас рассмотрим несколько примеров гомоморфизма
и изоморфизма колец.
Примеры. 1. Разобьем множество С всех целых чисел на два
класса. Отнесем к классу 0 четные, а классу 1 нечетные числа.
Под суммой l-\-j классов /, j мьг будем понимать совокупность
чисел, получающуюся в результате сложения каждого числа класса
i с каждым числом класса у. Аналогично под произведением I •/'
мы будем понимать совокупность чисел, которая получается при
умножении каждого числа класса / на каждое число класса j. Легко
сообразить, что
0 + 1=1+ 0 = 1; 0 + 0=0; 1 + 1=0;
0-1=1. 0 = 0; (Г- 0 = 0; ~\-\ = Т,
и кольцо С целых чисел гомоморфно отображается на множество
К классов 0, 1. Однако С не изоморфно /Г, так как разным
элементам С могут соответствовать одинаковые элементы К, например v
93
числам 2, 4 и 16 соответствует один и тот- же класс б. В силу
теоремы 1 множество К должно быть кольцом.
И, действительно, читатель может сам без труда убедиться,
что классы 0 и 1 образуют не только кольцо, но даже поле
(и притом коммутативное) (ср. с задачей 3 в § 13).
2. Рассмотрим множество М матриц вида
a b
■b а
, где a, b -
произвольные действительные числа. Это множество замкнуто
относительно матричного сложения и умножения. В самом деле,
складывая или перемножая две матрицы множества М, мы всегда
будем получать матрицу того же вида:
a b
— b a
a b
— b a
+
с d\
— d с
с d
— d с
(а + с) (b + d)
-(b + d) (a + c)
(ас— bd) (ad-\-bc)\
-(ad~\-bc) (ас— bd) t
Геперь каждому комплексному числу а ~\-Ы приведем в соответ-
а b |.
(в состав ее элементов, как видим, входят
ствие матрицу
■b a
действительная часть а и коэфициент b при мнимой части). Запишем
это соответствие так:
а Ь\
a -f bl-
b a
Очевидно, каждому комплексному числу a-\-bi соответствует
а Ь[
и разным комплексным числам
только одна матрица
■b a
соответствуют разные матрицы. Таким образом, введенное
соответствие является взаимно однозначным. Возьмем теперь два
комплексных числа а-\-Ы и c-\-di и посмотрим, что будет
соответствовать их сумме
(а + Ы) i (с + dl) = (а -\- с) + (Ь -{- d)i
и произведению
(а --[- bt) (с --f~ dl) = (ас — bd) -f- (ad -|- be) /.
Можно заметить следующее:
(а + с) (b-\-d)\
(a-\-c) + (b-\-d)l-
(ас — bd) -f- (ad -\-bc)i-
-(b + d) (a+c)\\
(ac — bd) (ad -j- be)
-(ad + bc) (ac — bd)
94
Но мы выше установили, что
\\-(l> + d) (а + с)\Г
II (ac — bd) (ad+bc)
I)—(ad-\-bc) {ас — bd)
Следовательно,
(а+ *) + (*+>)*-*
{ac — bd)-{-(ad-\-bc)l
<zft|| || £ d\
+
— ba
a b
• b a
\ — dcy
II ° ^11
— rf c\\
!! aft
-b a
II C rf|
aft|| | с di
— b a\ ' —d cV
или
(a + W)-f-(c-f-<fl)-
(a •+-«)(<: + £«)■-*
a &
-fta
a ft II
•ft a
+
I с d
J — </ с
II C ^11
т. е., рассматриваемое соответствие сохраняется при сложении
и умножении. Значит, поле Р комплексных чисел и множество М
ab\[
изоморфны, поэтому М также образует поле
матриц вида
-ft a
(и притом коммутативное, так как поле Р комплексных чисел
коммутативно).
С алгебраической точки зрения изоморфные кольца и, в част*
ности, поля одинаковы. Таким образом, поля Р и М мы можем
считать тождественными, мы вправе не делать между ними
различия.
3. Сопоставим каждому комплексному числу a -J- Ы
сопряженное число а — Ы\
a-\-bi-+a — ft/.
Это соответствие, как нетрудно убедиться, является взаимно
однозначным и сохраняется при сложении и умножении.
Следовательно, соответствие a-(-ft/->a — bl есть не что иное как
изоморфизм Р комплексных чисел с самим собою — так называемый
автоморфизм поля комплексных чисел.
Вообще всякое изоморфное отображение кольца (поля) на самого
себя мы будем называть автоморфизмом кольца (поля) (ср.
с понятием автоморфизма групп). '
95
Задачи.
1. Показать, что кольцо целых чисел гомоморфно отображается на
полную систему положительных вычетов по модулю т (отсюда следует,
что полная система положительных вычетов образует кольцо).
2. Показать, что поле иррациональностей вида a-\-b\Tl (a, b —
pall а Ь\
циональные числа) изоморфно множеству матриц вида
|| 2а а |
3. С каким множеством матриц второго порядка изоморфно поле
иррациональностей вида а + bY~k (a, b — рациональные числа; к — целое
положительное число, из которого корень квадратный не извлекается)?
4. С каким множеством матриц второго порядка изоморфно поле
иррациональностей вида a + biY^k (i—мнимая единица, a, b и k имеют
гот же смысл, что и в предыдущей задаче)?
5. Соответствие а + Ы — b-\-ai не можс" быть автоморфизмом поля
комплексных чисел. Почему?
6. Показать, что тождественным автоморфизмом a-\-bi -+a-\-bin
автоморфизмом a-\-bi -*а — Ы исчерпываются автоморфизмы поля
комплексных чисел, оставляющие неизменными действительные числа.
§ 16. Область целости. Поле частных. Мы рассмотрим здесь
один довольно распространенный случай кольца, а именно
коммутативное кольцо, не содержащее делителей нуля. Такое кольцо
называется областью целости. В качестве примера области
целости можно привести хотя бы кольцо целых чисел или кольцо
Р [х] многочленов в числовом поле Р. Кстати всякое числовое
поле и вообще всякое коммутахивное поле есть также область
целости.
Отметим, следующее характерное свойство области целости: если
афО, то из ab = ac всегда следует b = z. Иными словами, обе
части равенства ab = ac можно сократить на а.
Для доказательств этого утверждения перепишем равенство
ab = ac так:
ab — ас ^f О,
или
а(Ь — с) = 0.
По условию аф.0у следовательно, ввиду отсутствия делителей
нуля второй сомножитель должен равняться нулю: Ь — £ = 0. Но
отсюда сразу видно, что Ь = с.
Как известно, кольцо целых чисел можно расширить до^ поля
рациональных чисел. Это достигается введением дробных чисел.
Возникает вопрос, нельзя ли всякую область целости расширить
до поля. Ответом служит:
Теорема. Всякая область целости может быть заключена
в коммутативное поле.
Доказательство. Обозначим данную область целости через
R. Если R — поле, то доказывать нечего; поэтому пусть R не
является полем *). Тогда в области целости R деление будет не
всегда выполнимо, далеко не всегда будет существовать частное
i- (Ь^ЬО). Попытаемся R расширить так, чтобы появились
дроби ^-. Для этой цели рассмотрим символы (а, Ь), состоящие из
упорядочено^ пары элементов а, ЬфО области целости /?. Для
того чтобы множество Р символов (а, Ь) превратилось в поле,^_
надо указать, по какому правилу их следует сравнивать, склады-^
вать и перемножать. Вводим следующие постулаты:
I. (а, Ь) = (с, d) тогда и только тогда, когда ad = be.
И. (а, й)Н-(с, d) = (ad-\- be, bd).
III. (a, b)(c, d) = (ac, bd).
Однако, постулаты I—III нуждаются в некотором обосновании.
Во-первых, надо выяснить, отражены ли в постулате 1 все
основные свойства равенства.
Во-вторых, хотя мы и определили действия сложения и
умножения символов, но, будут ли они однозначными, мы еще не знаем.
Как известно, равенство двух величин обладает свойствамл
рефлективности, симметрии и транзитивности.
1. Свойство рефлективности: всякая величина равш.
самой себе: Л = Л.
2. Свойство симметрии: если А = В, то и обратно
В = А.
3. Свойство транзитивности: если А = В, В = С, то
А = С.
Проверим все эти свойства для наших символов. В области
целости /? умножение коммутативно; следовательно, ab = ba> а
потому всякий символ равен самому себе:
(a, b) = (a, b) (см. постулат I).
Столь же просто проверяется свойство симметрии.
Если (a, b) = (c, d), то согласно постулату I ad = bc, или,
воспользовавшись коммутативностью умножения, da = cb.
Последнее равенство как раз свидетельствует о том, что
(с, d)=:(a> b).
Свойство транзитивности можно проверить так: если
(a, b) = (c, d) и (с, d) = (e, /),
то в силу постулата I:
ad = bc, cf—de.
1) Мы исключаем из рассмотрения случай, когда JR состоит из одного
нуля; так как пуль входит во всякое поле, то теорема здесь тривиальна.
7 Л. Окунев—386 97
Перемножая почленно эти равенства, получаем:
adcf= bcde
чли несколько меняя порядок следования сомножителей:
(af)(cd) = (be)(cd). (1)
Представляется одно из двух: либо cd^zO, либо cd=Q.
Если cd=£0, то по известному свойству области' целости обе
части равенства (1) можно сократить на cd:
af= be.
Но последнее равенство как раз свидетельствует о том, что
(а, Ь) = {е, /). Если cd = Q, то с = 0 (ибо dzjbO). Отсюда,
принимая во внимание соотношения ad = be и cf=ide, получаем, что
а = 0, е = 0. Таким образом, символы (а, Ь) и {е, f)
превращаются в (0, а) и (0, /). А теперь сразу видно, что (0, а) =
= (0, /), так как 0-/=0 = а-0.
Переходим теперь ко второму пункту. Мы сейчас покажем,
что сложение и умножение символов однозначны; иными словами,
если (a, b) — {avbx) и (с, d) = (ci9 dx), то
(а, £) + (с> d) = {av bx)-\-{cv dx);
(а, b)(c, d) — (ax, bx)(cv dx).
Действительно, согласно постулату I:
abx = bax; cdx = dcx. (2)
Заменим в сумме
(a, &) + (c, d) — (ad-\-bc9 bd)
и в произведении
_ (a, b) (с, d) = (ac, M)
символы (a, #) и (с, d) через (ax, ^j) и (cv dx).
Получим:
(«l» #i) + (ci> ^i) = (Mi + bicu Mi);
(ai9 bx)(cv d1) = (alcv Mi).
Легко видеть, что и после замены сумма и произведение
©стались бе» изменения, т. е.:
(ad~\-bc, bd) = (axdi-\-blcv bxdx)\
(ас, bd)*sx{alcv bxdx).
98
Очевидно, достаточно для этого показать, что
(ad-f- be) bxdx = bd (axdx -J- bxcx); (3)
acbxdx = bdaxcx. (4)
Начнем с проверки равенства (3). Его левая часть после
раскрытия скобок принимает следующий вид: _
abxddx -f- bbxcdx.
Но в силу равенств (2) можно abx заменить через Ъах и cdx —
через dcx. В результате у нас получится
baxddx -(- bbxdcx = bd (axdx -(- blcx),
а это есть как раз правая часть равенства (3).
Еще легче проверить соотношение (4), а именно, заменяя
в левой части соотношения (4) ab{ через Ьах и cdx через dcx,
получим правую часть. Итак, с однозначностью композиций
сложения и умножения все обстоит благополучно.
Что же представляет собой множество Р символов (а, #)?
Оказывается, оно образует коммутативное поле. Для доказательства
этого утверждения придется проверить все признаки,
характеризующие коммутативное поле. Замкнутость множества Р
относительно сложения и умножения очевидна, стоит только обратиться
к постулатам II и III. Коммутативность сложения и умножения
проверяется без особого труда:
(а, Ь) -\- (с, d) = (ad-\- be, bd);
(су d)-\~(a> b) = (cb-\-da, db) = (ad -J- be, bd) = (a, b)-\-(c, d);
(a, b)(c, d) = (ac, bd);
(c, d)(a, b) = (ca, db) = (ac, bd) = (a, b)(c, d).
Несколько кропотливее обнаружить ассоциативность
сложения. Поступаем следующим образом:
[(а, Ь) + (с, d)] + (e, f) = (ad + bc, bd) + (e, f) =
= ((ad + bc)f-\-bde, bdf) = (adf+bcf-\-bde, bdf) =
= (adf+b(cf+de), bdf) = (a, b) + (cf+de, df) =
= (a, ft) + [(c, d) + (e,fj\. .-,
Ассоциативность умножения проверяется подобным образом-
Предоставляем читателю самостоятельно проделать все
необходимые выкладки.
* 99
Роль нуля играет символ (0, d):
(а, Ь) + (0, d) = {adi foO = (a, &).
Поэтому мы (0,d) обозначим через 0 [очевидно, каково бы
ни было dzfiQ, символ (0, d) изображает одно и то же: (0, d) =
= (0, if)]-
Существование противоположного элемента обнаруживается
столь же просто;
-^•(а, b) = (— a, Ь).
В самом деле:
(а, £) + (— а, b) = (ab — ba, ft2) = (0, &2) = 0.
Единицей является символ (а*, d):
(а, b)(d, d) = (ad, bd) = (a, b),
поэтому (a*, d) мы обозначим через 1.
Посмотрим, существует ли для (а, Ь)^Ь0 обратный элемент *).
Умножим (а, Ь) на перевернутый символ (b, a): ~
(a, b)(b, a) = (ab, ba) = (ab, ab) = l.
Следовательно, (b, а) есть для (а, Ь) обратный элемент.
Наконец, остается проверить дистрибутивный закон. Опять,
как и выше, все сводится к очевидным, но, быть может, несколько
громоздким выкладкам. Пишем:
(а, Ь)[(с, <*)+ (*/)] = (а, b)(cf+de, df) =
= (acf-\-ade, bdf). (5)
С другой стороны:
(а, Ь) (с, d) -f- (а, b) (e, f) = (ас, bd) ~\- {aey bf) =
= (abcf-\-abdey b*df) = (acf+ade, bdf). (6)
Сравнивая равенства (5) и (6), получаем, что
(a, b)[(c, d) + (e, /)] = (а, b)(c, d) + (a, Ь)(е9 f).
Доказывать особо дистрибутивный закон для того случая,
когда множитель (а, Ь) стоит справа, не приходится: в силу
коммутативности умножения
Цс, d) + (e, /)](a, b) = (a, b)[(c, d) + (e, /)]=(a, Ь)(с9 tf) +
+ (а, Ь)(е9 /) = (с, d){a9 b) + (e, /)(a, b).
*) Так как (а, Ь)ф0, то a^tO.
100
- Итак, действительно множество Р символов является
коммутативным полем»
Рассмотрим теперь в поле Р подмножество R символов вида
(ас, с). Оно, как нетрудно убедиться, изоморфно области
целости R. В самом деле, каждому элементу а области целости R
взаимно однозначно соответствует элемент {ас, с) подмножества
]£: а-+(ас, с), и это соответствие сохраняйся при сложении и
умножении, если:
а^>(ас, с); b->(bc9 с),
то
a-j-• b->((a-\-b)c, c) = (ac, с)-{-(be*, с);
ab->(abc, c) = (ac, c)(bt, с).
Итак, R2Q.R. Построим теперь новое поле Р следующим
образом: из поля Р выбросим все элементы R и к оставшейся части
присоединим элементы кольца /?. В результате получится
множество Р, состоящее частью из элементов поля Р и частью из
элементов кольца R. Между элементами Р и Р устанавливаем
следующее взаимно однозначное соответствие: если а из Р входит
в Р, то а будем считать соответствующим самому себе. Если же
а не входит в Р, то а содержится в R. Соответствие R^R
отобразит а в некоторый элемент а из /?. Этот элемент а мы и
будем считать соответствующим а. До сих пор у нас в множестве
Р никаких композиций не было. Введем теперь их. Пусть a, p —
два произвольных элемента из Р и а, $ их соответствующие
в Р. Так как Р поле, то а и ji можно сложить и перемножить
«-f-p = Y, ap = 8. Элементам у, 8 из Р в множестве Р
соответствуют некоторые элементы у, 8. Условимся называть у суммой
ос —[— р, а 8 — произведением ар. Таким образом в множестве Р
определим операции сложения и умножения и они сохраняются
при нашем отображении. Следовательно, отображение —
изоморфизм и Р—поле, изоморфное Р. Внутри Р лежит множество R.
Для этого множества операции сложения и умножения
определялись дважды: первый раз — когда нам задавалась область целости R.
и второй раз, — когда мы вводили операции в Р. В силу
изоморфизма RQ2R ясно, однако, что операции, определенные в /?,
второй раз совпадают с первоначальными.
Таким образом кольцо R заключено нами в поле Р. Покажем
теперь, что все элементы Р могут быть представлены в виде
отношений элементов из R. Пусть а какой-нибудь элемент Р.
Изоморфизм Р£§Р переводит а в некоторый элемент (a, b) из Р. В поле
101
Р имеет место равенство (a, b)(cb, с) = (ас, с). Изоморфизм
РОЯР переводит это равенство в а*Ь = а. Таким образом
а = а#илиа = -г-. Произвольное поле К называется полем
отношений для содержащегося в нем кольца /?, если каждый элемент
К может быть выражен в виде отношений двух элементов из R.
Наши рассуждения показали, что Р есть поле отношений для R.
Покажем, что поле отношений своей областью целости
определяется однозначно. Более точно: если R и R две изоморфные
области целости и Р, Р их поля отношений, то изоморфизм
RQg R можно распространить и на поля Р, Р.
Рассуждаем так. Пусть а — какой-нибудь элемент Р. По
предположению его можно представить в виде дроби -г, где а и b
содержатся в R. Отображение RQ2R переводит a, b в некоторые
элементы a, b из R. Ставим в соответствие элементу <* = у-
элеыент а = —. Это соответствие взаимно однозначно, так как
b
если а = -г — какое-нибудь другое представление для а, то -г =
с —
= -г или ad = cb. В силу изоморфизма RQg R последнее
соотношение перейдет в ad=cb и мы будем иметь -=- = -=-, что и
Ъ d
требовалось. Покажем теперь, что соответствие сохраняется при
сложении. Действительно, пусть в поле Р имеет место равенство
а-}-(3 = у. Заменяя а, [3, у отношениями элементов из /?, мы
получим jrJr-j:==f или (ad-\-bc)f=bd - g. В силу изоморфизма
RQQR последнее соотношение перейдет в (ad-\-~bc)f=bd*g.
Отсюда ^r4-S- = -С, т. е. a-1-6 = г. То же имеет место и для
Ь ' d f i r i
операции умножения. Таким образом Р и Р, в самом деле,
изоморфны.
§ 17. Идеал. Кольцо классов (факторкольцо). В § 15 нам
удалось без труда перенести на кольца понятие гомоморфизма.
В теории групп это понятие было тесно связано с понятиями
нормального делителя и факторгруппы. Мы скоро увидим, что нечто
подобное имеет место и в теории колец. На протяжении всего
параграфа речь будет итти исключительно о коммутативном кольце/?.
Можно привести довольно много примеров, когда некоторая
совокупность М элементов кольца R образует, в свою очередь,
102
ioльцo относительно тех же композиций. Такую совокупность М
ы назовем подкольцом кольца /?. Необходимо, однако, иметь
виду, что М может совпадать с R. В соответствии с этим мы
пудем R называть несобственным подкольцом, в отличие от
остальных подколец, носящих название собственных подколец.
В дальнейшем, употребляя слово „подкольцо", мы будем
подразумевать (если не оговорено противное) как собственное, так и
несобственное подкольцо.
Примеры. 1. Нуль, 0, кольца R сам по себе образует кольцо.
Оно называется нулевым подкольцом R.
2. Множество С всех целых чисел есть собственное подкольцо
кольца всех целых гауссовых чисел *).
3. Целые гауссовы числа, в свою очередь, образуют
собственное подкольцо поля всех комплексных чисел.
Для выяснения того, является ли некоторая совокупность
элементов кольца R подкольцом, весьма полезным оказывается
следующий критерий:
Совокупность М элементов кольца R тогда и только тогда
образует подкольцо, когда для любых двух элементов a, b из
М разность а — b и произведение ab также принадлежит М
(условие замкнутости вычитания и умножения).
Доказательство. Если М подкольцо, то оно должно обла-
"-> дать всеми характерными свойствами кольца. В частности М
должно быть замкнутым относительно вычитания и умножения.
Обратно, пусть М замкнуто относительно вычитания и
умножения. Покажем, что тогда М образует подкольцо /?. В
сущности говоря, достаточно установить, что М является аддитивной
группой.
Остальные постулаты, характеризующие кольцо, для М
очевидны.
Ассоциативность и коммутативность сложения в проверке не
нуждаются; эти законы верны для всех элементов кольца /?, а
потому подавно верны и для М. Остается, следовательно, убедиться,
что М замкнуто относительно сложения, содержит 0 и
противоположные элементы.
Возьмем из М какие-нибудь два элемента а, Ь. В силу
замкнутости относительно вычитания разность а — а = 0 содержится
в М. Далее, поскольку М содержит 0 и а, оно должно
содержать их разность 0 — а = — а. Итак, существование в М нуля
и противоположных элементов обнаружено.
Посмотрим, что можно сказать о сумме а-\-Ь. По условию b
принадлежит М, следовательно, противоположный элемент — b
1) Напоминаем, что целым гауссовым числом называется комплексное
число а + Ы с целыми а, Ъ.
103
/
также принадлежит М. Вследствие этого разность а — (—Ь) =
= а-{-Ь должна содержаться в М. Как видим, множество Ж
замкнуто относительно сложения. Все отличительные признаки
аддитивной группы налицо.
Нас, однако, будет интересовать один особый тип подкольца.
Введем такое определение.
Определение, Идеалом в кольце R называется совокупность
m элементов этого кольца, обладающая следующими свойствами:
для любых двух элементов a, b из m принадлежат той же
совокупности: 1) разность а—Ь; 2) произведение аг, где г—
произвольный элемент кольца /?.
Из этого определения видно, что идеал есть частный случай
подкольца. В самом деле, все условия критерия,
характеризующего подкольцо, для идеала выполняются — разность а — b
содержится в т; поскольку аг принадлежит т, произведение ab и
подавно должно принадлежать т. Идеалы чаще всего будут
обозначаться малыми готическими буквами. Впоследствии мы увидим,
что идеал в теории колец играет роль нормального делителя, а
пока рассмотрим несколько примеров.
Примеры. 1. Обозначим через С кольцо целых чисел и через
{2k}— совокупность всех четных чисел. Очевидно, разность двух
четных чисел есть также четное число. Затем при умножении
четного числа на произвольное целое число всегда получается
число четное. Таким образом, совокупность {2k} образует идеал
в кольце С.
Напротив, совокупность всех нечетных чисел уже не образует
идеала в кольце С, — не образует хотя бы потому, что разность
двух нечетных чисел не может быть числом нечетным.
2. Теперь обратимся к произвольному кольцу /? и рассмотрим
в нем совокупность, состоящую из одного только нуля (т. е.
нулевое подкольцо). Эта совокупность есть идеал в /?, так как
обладает всеми характерными признаками идеала: 0 — 0 = 0 и 0*г=0,
где г—произвольный элемент /?. Мы ее будем называть
нулевым идеалом в кольце /J и обозначим через (0).
Само кольцо R также является идеалом, — это так называемый
единичный идеал.
3. Попрежнему пусть R — некоторое кольцо. Возьмем в нем
какой-нибудь элемент а и составим совокупность А элементов
вида аг-\-па, где г—произвольный элемент /?.; па —
произвольное целочисленное кратное а. Эта совокупность, как нетрудно
проверить, является идеалом. В самом деле, разность двух
элементов совокупности Л принадлежит той же совокупности:
где iftrx + ща) — {аг% -f ща) = аг -f- па,
г=гх—г2; п = пх — Пъ.
№
4$
Затем, если s — произвольный элемент кольца /?, то
(аг -\- па) s = ars-\- nas = ars-\-a (ns) = a (rs + ns) =
= ar' -f- 0 • a,
где г' = rs-\-ns, т. е. получился элемент той же совокупности А.
Совокупность А называется главным идеалом, порожденным
элементом а, и обозначается через (а). В частности, нулевой идеал
(0) представляет собой не что иное как главный идеал,
порожденный элементом 0.
Если в кольце R с^уцествует единица е, то выражение аг-\-па
можно несколько упростить:
ar-\-na=:ar-\-nae = ar-\-a • ne = a(r-\-ne) = ar'.
Какой же смысл имеет полученное выражение? В арифметике
весьма важную роль играет понятие делимости целых чисел. Это
понятие мы сейчас распространим на элементы кольца R. Назовем
элемент Ь делящимся на элемент а, или кратным а и а делителем Ьу
если в кольце R существует третий элемент с, для которого b = ас.
Таким образом, аг1 есть кратное а, и потому в кольце R с
единицей главный идеал состоит из всех кратных элемента а.
Например, в кольце С целых чисел главный идеал (2) есть не что иное
как совокупность целых чисел, кратных 2; иными словами, (2)
есть совокупность всех четных чисел.
Следует отметить еще одну особенность кольца с единицей.
В этом кольце единичный идеал всегда является главным, а именно
он порождается единицей е: /? = (е).
Вообще пусть аи аъ ..., ak (k^ l) — некоторая
последовательность (конечная) элементов кольца R. Обозначим через (аи а2, ..., ak)
совокупность сумм вида
ахгх -|~ a2r2 + ... + ahrk + ntat + л2а2 + • • • + пьаь
где rr—произвольный элемент R и nfii — произвольное
целочисленное кратное at. Если кольцо R содержит единицу, то можно
ограничиться суммами
*Л + *Л + --- + ЛЛ
без целочисленных кратных. С помощью рассуждений предыдущего
примера легко убедиться, что совокупность (аи а2,..., ak) есть
идеал в кольце /?. Мы его будем называть идеалом, порожденным
элементами аи аъ ..., ak. При этом конечное множество
элементов аи а2,..., ak будет называться базисом идеала *).
*) Не исключено, что для идеала (alt a2,...,ak), кроме аи a2t...,ak,
существует другой базис, состоящий из меньшего количества элементов.
105
Впрочем, можно пойти еще дальше и рассматривать идеал,
порожденный бесконечным множеством М элементов; Такой идеал
состоит из всевозможных сумм вида
*\Г\ + • • • + аЛ + * А + ... + nsaS)
где at — какие угодно элементы множества М\ rt — произвольные
элементы кольца /?; niai — попрежнему произвольные
целочисленные кратные, а 5 — может быть сколь угодно большим.
Вернемся к общей теории. Мы знаем, что кольцо /? образует
аддитивную группу. Какую при этом роль играет идеал ш? Он,
очевидно, будет подгруппой, и, больше того, он будет нормальным
делителем, так как в абелевой группе всякая подгруппа
инвариантна. Посмотрим, что собой представляет факторгруппа R/m. Она
состоит из смежных систем
0^==0 + nt = m; a=a-f m; Т=Ь-\-т,...,
или, как мы будем в дальнейшем выражаться, из классов по
модулю ш1). Возникает вопрос — по какому правилу эти классы
можно складывать и перемножать. Прежде чем ответить, введем
одно полезное понятие.
Пусть a, b — два каких-нибудь элемента кольца R. Может
случиться, что их разность а — Ъ содержится в идеале ш. В этом,
случае говорят, что а сравнимо с b по идеальному модулю т, и
пишут:
a^zb (modm). (1)
Подобного рода соотношения называются сравнениями.
Легко убедиться, что а тогда и только тогда сравнимо с b по
идеальному модулю т, когда а и b принадлежат к одному и тому
же классу.
В самом деле, пусть имеет место сравнение (1). Тогда а — Ь = ти
или а = Ь -}- ти где т^ — некоторый элемент идеала т. Посмотрим,
^из каких элементов образован класс b — b-\-tn. Он, очевидно,
образован из элементов вида Ь-\-т, где т — попрежнему элемент
идеала т. Но а как раз имеет такой вид, следовательно, а
принадлежит к тому же классу, что и Ь, а именно к Ь.
Обратимся, например, к кольцу С всех целых чисел и рассмотрим в нем
идеал (б, 9). Легко видеть, что этот идеал может быть порожден не только
двумя числами 6 и 9, но даже одним числом, а именно (6, 9) представляет
собой главный идеал (3).
*) Сами_ элементы 0, а, Ь, с, ... будут называться представителями
классов 0, а, Ь, с,..#
106 - ■
Обратно, пусть а и Ь принадлежат к одному и тому же классу.
Тогда по свойству 1 смежных систем (§ 5) этот класс будет
равен b=b-\--m. По условию а должно принадлежать Ь7
следовательно, а должно иметь вид b-\-mi9 где тх — некоторый
элемент идеала т. Отсюда получается, что а — b = ти т. е.
а = b (mod m).
Если га = (/я), т. е. если m — главный идеал, то вместо
a = £(modra) принято писать
a = b(modm)lh
Отметим главнейшие свойства сравнений.
1. Всякий элемент сравним с самим собою по любому
идеальному модулю:
а^а (mod tn)
(свойство рефлективности).
Действительно, разность а — а равна нулю, а нуль содержится
во всяком подкольце, в том числе и в идеале т.
2. Если a = £(modm), то и обратно 6 = a(modm) (свойство
симметрии).
В самом деле, если разность а —- b содержится в ш, то в га
должен содержаться и противоположный элемент — (а — b) = b— а.
А это как раз означает, что # = a (mod га).
3. Если a^£(modra), £ = c(modm), то а = с (mod га)
(свойство транзитивности).
Рассуждаем в том же духе. Если а — b и b — с содержатся
в т, то в tn должна содержаться и их сумма (а — b)-\-{b—с)=а—с.
Таким образом, a = c(modm).
4. Сравнения можно почленно складывать и вычитать, т. е.
если a = £(modm), c = d(modm), то а-\- с = b-\~d (modm) и
а — с = b — d (mod га).
Доказывается это свойство очень легко. По условию а — b n
с — d содержатся в га, следовательно, сумма (а — Ь) -{- (с — d) также
должна содержаться в га. Но (а—Ь)-\-{с—d) = (a-\-c) — (b-\-d),
значит а -\- с = b-\-d (mod га). Подобным же образом
обнаруживается справедливость сравнения а — c = b — d (mod га).
5. Сравнения можно почленно перемножать, т. е. если
a = b (mod га), с = d (mod га), то ас = bd (mod га).
1) Сравнения, с которыми приходится встречаться в теории чисел,
являются частным случаем только что введенного понятия сравнения.
В самом деле, возьмем хотя бы сравнение 15 = 1 (mod 7). Оно означает,
что разность 15—1 делится на 7; иными словами, разность 15—1
принадлежит множеству целых чисел, кратных 7. Но это множество как раз
есть главный идеал (7) в кольце целых чисел.
107
Рассуждаем так: По условию а — b и с — d содержатся в т.
Это значит, что а — b = mt и с — d==m^ где ти т^ — некоторые
элементы идеала т. Теперь пишем:
a = b-\-ml; c = d-\-m%
и перемножаем почленно эти два равенства. Получаем:
ас = bd-\- (ni\d -f- тф -j- mYm^.
В силу второго свойства идеала (см. определение идеала)
произведения mxd, тф и тхт^ содержатся в ш, поэтому их сумма
также содержится в ш: тхй-\- тф-\-тхт^ = ту где т — некоторый
элемент идеала т. Таким образом, ac = bd-\-m, и сравнение
ac = bd (modm) становится очевидным.
Мы видим, что сравнения во многом ведут себя, как
равенства. Однако у сравнений есть и свои особенности. Так в
отличие от равенства сравнение далеко не всегда можно сокращать
на общего множителя. Возьмем хотя бы такое сравнение в кольце
целых чисел
16 = 4 (mod 6).
Сокращая на 4, получаем
4=1 (mod 6).
Мы пришли к явному абсурду: разность 4—1=3 никак не
может делиться на 6.
Теперь вернемся к нашему вопросу. Условимся под суммой
а-\- b классов а—а-{-тиЬ = Ь-\-т, понимать класс с=(а -{-Ь)-\-т,
а под произведением а*~Ь — класс d=ab-\-tn.
Таким образом, чтобы сложить два класса а, Ь, надо сложить
их представителей а и Ь\ чтобы перемножить два класса а и Ь,
надо перемножить их представителей.
Но здесь возникает следующее затруднение. У нас большой
простор в выборе представителя класса — любой элемент класса
может быть выбран в качестве его представителя (§ 5, свойство
1 смежных систем). Затруднение состоит в том, что мы пока не
знаем, зависит ли сумма и произведение классов от выбора пред-
~^~ ставителей или не зависит. Попытаемся это затруднение
преодолеть. Возьмем из класса а = а-\-т произвольный элемент а' и
из класса b = b-{-m — произвольный элемент Ь'. Так как а' и а
принадлежат одному и тому же классу а, то
а' = a (mod m). (2)
108
Аналогично Ь' = b (mod m). (3)
Сложим и перемножим почленно сравнения (2) и (3). Получим:
a' -j-b' = a-{-b (mod m); аЪ' = ab (mod m),
т. е. a' -\- b' и a -J- b принадлежат одному и тому же классу; а'Ь'
и ab также принадлежат одному и тому же классу. Вследствие
этого сумма а-\-Ь и произведение a b классов а, £ не зависят
от выбора представителей: (a'-\-b')-{-ni = (a-\-b) ~f- m; a'£'-f-
-f-m = a#-|-m. Таким образом, если у нас были сомнения насчет
однозначности сложения и умножения классов, то теперь эти
сомнения отпадают.
Легко видеть, что кольцо R гомоморфно отображается на
множество классов R/m. В самом деле, каждому элементу а
соответствует класс а = а-\-т, и это соответствие сохраняется при
сложении и умножении: если a—► a = a-f-m, #->& = &-f~m> то,
очевидно: а-\-Ь-> а-\- Ь; аЬ-+ а • Ь.
Благодаря гомоморфизму R<yzR/m множество R/m должно
быть кольцом относительно сложения и умножения классов. Мы
будем R/m называть кольцом классов вычетов (Restklassenring)
или, короче, кольцом классов, образованным из R с помощью
идеала т.
Иногда R/m называют факторкольцом.
В дополнение к сказанному выясним, что собой представляет ,
класс 0 = т (он носит название нулевого класса). Поступаем
следу ющим образом:
a-f-"6= (а + ш) + ш = а + (m -f- m).
Но m-[-tn = m1), следовательно, а-\-0 = а-\-п\ =а.
Мы видим, отсюда, что 0 играет в кольце классов R/m роль
нуля.
Теперь приведем конкретный пример кольца классов.
Пример. Множество С всех целых чисел образует относительно
арифметических действий кольцо. Возьмем в этом кольце главный
идеал (п)(п^>0) и построим всевозможные классы по модулю (/г)
Начинаем с нулевого класса:
0 = 0 + ш = 0 + («) = (я).
*) В самом деле, m-f-m состоит из сумм вида т -f- m\ где ту т' —
произвольные элементы идеала т. Так как т-\-т! являются также
элементами идеала m, to m-f-m должно содержаться или совпадать с т:
m-f-mgzm. Полагая /и' = 0, получаем, что т-]-0 = т должно
принадлежать т. Выходит, что всякий элемент идеала m содержится в m-f-ni.
Значит, m -f- m = m.
109
Как 'видим, класс 0 состоит из целых^ чисел, кратных п.
Далее получаем: _ \
1 = 1+ (")•
Очевидно, каждое число этого класса имеет вид 1 +■ nt, где
t—произвольное целое число, т. е. 1 есть не что иное, как
совокупность чисел, дающих при делении на п остаток 1. Точно
так же 2 = 2-|~(я) есть совокупность чисел, дающих при делении
на п остаток 2 и т. д. Наконец, мы получаем в качестве
последнего класса п — 1 = (я — 1)-|- (/г), т. е. совокупность чисел, дающих
при делении на п остаток п—1. Других классов быть не может,
так как какое бы мы целое число а ни взяли, оно будет
принадлежать к одному и только к одному из классов 0, 1, 2, ... п — 1.
Таким образом кольцо классов С/{п) состоит из классов О,
1, 2, ... , п—1. Сложение и умножение производится по
следующему правилу: чтобы сложить два класса а и &, надо
составить сумму а -\- Ь их представителей и найти остаток,
получающийся при делении a -j- Ъ на п. Если этот остаток равен с,
то а-(-#== с. Аналогично, чтобы перемножить два класса а и Ь,
надо составить произведение аЬ их представителей и найти
остаток, получающийся при делении аЪ на п. Если этот остаток
равен d, то ab = d.
В теории чисел С/(п) называется кольцом классов равнооста- .
точных чисел по модулю п.
Выше было установлено, что кольцо R гомоморфно
отображается на кольцо классов R/m. Опять, как и в теории групп,
возникает вопрос, исчерпываются ли отображениями подобного
рода все случаи гомоморфизма. Ответ будет точно такой же, что
в теории групп, а именно можно высказать следующую теорему.
Теорема о гомоморфизме колец. Если кольцо R
гомоморфно отображается на кольцо R'} то R' изоморфно с
кольцом классов R/m; идеал m состоит при этом из таких
элементов R, которые отображаются на нуль кольца R'.
Доказательство. Покажем прежде всего, что множество m
элементов кольца R, отображающихся на нуль кольца R',
образует идеал. Пусть mv т2 два каких-нибудь элемента, множества т.
Обозначим через 0' нуль кольца R'. Так как т1 и т%
соответствует 0', то в силу гомоморфизма Rca>R' разности тх — т%
должно соответствовать 0'—0' = 0', следовательно,/^ — т% также
принадлежит т. Далее, пусть г—какой-нибудь элемент кольца R
и пусть г отображается на элемент г' кольца /?'. Опять в силу
гомоморфизма получаем, что произведению тхг должно
соответствовать QV = 0'. Выходит, что тхг также содержится в т.
110
Итак,- множество m удовлетворяет всем требованиям,
характеризующим идеал. Значит, m есть идеал в кольце R.
Обозначим теперь через Ма> множество таких элементов кольца
/?, которые отображаются на один и тот же элемент а' кольца /?'.
Возьмем из Ма, некоторый элемент а. Так как R—кольцо, то
для любого его элемента b уравнение а -\-х = Ь разрешимо, т.е.
всегда существует такое т из R, что a -f- т = Ь. Посмотрим,
каково будет т, когда b принадлежит множеству Ма>. В этом
случае b будет отображаться на а', и в кольце /?' равенству
а-^-т = Ь будет соответствовать равенство а' -}- tn! = а'. Отсюда
получается, что т' = а' — а' = 0'. Таким образом, элементу т
соответствует нуль 0' кольца /?', вследствие чего т принадлежит
идеалу т. Обратно, всякая сумма вида а-\-т, где т — элемент
из т, отображается на а'-\-0'=а'. Стало быть Ма> есть не что
иное, как множество всевозможных сумм вида а —]— /гг, где т —
элемент т. Иными словами, Ма* представляет собой класс а=
= а-\-\\\. Итак, каждому элементу а' кольца R' взаимно
однозначно соответствзгет класс а = a -f- m.
Остается показав, что это соответствие сохраняется при
сложении и умножении. Ггусть а',Ь' — два произвольных элемента кольца
R' и а'—соответствует класс а = а-\-т, V соответствует класс b =
— b-{~m. Тогда сумме а'-\-Ь' будет соответствовать класс
(а-\-Ь)-\-т, потому что элементы (а-\-Ь)-\-т отображаются на
a'-f- b\ Аналогично произведению ab' будет соответствовать класс
ab 4~ т. Но {a -j- b) -f- т = а -\- b; ab -\- т = а • Ь, следовательно,
сумме а'-{-Ь' соответствует сумма классов а-\-Ь, а
произведению а'Ь' соответствует произведение классов а • Ь. Теорема
доказана полностью.
Задачи.
1. С означает кольцо целых чисел. Показать, что кольцо классов
С/(6) содержит делителей нуля.
2. Показать, что в кольце С целых чисел идеал (10, 13) является
единичным идеалом.
3. Показать, что единственными идеалами коммутативного поля
являются нулевой и единичный идеалы.
4. Обозначим через С[х] кольцо многочленов с целыми коэфициен-
тами, а через / — кольцо целых гауссовых чисел. Показать, что
1?£С[х]/(х*+1).
§ 18. Кольцо главных идеалов. В дальнейшем немаловажную
роль будет играть коммутативное кольцо, удовлетворяющее
следующим условиям:
1) оно является областью целости;
2) оно содержит единицу;
111
3) всякий его идеал является главным. щ
Такое кольцо называется кольцом главных идеалов. I
Примеры. 1. Рассмотрим кольцо С всех целых чисел. Это J
кольцо является областью целости и содержит единицу. Выходит, I
что условия 1 и 2 для С верны. Мы утверждаем, что третье уело- 1
вие также имеет место, т. е. в С всякий идеал а является 1
главным. I
О нулевом идеале говорить не приходится — он, как мы знаем, J
является главным идеалом, поэтому пусть а ф (0). Очевидно, идеал I
а, кроме нуля, должен содержать целое число сфО. Но если а 1
содержит с, то он должен содержать 0 — с = — с. Мы видим 1
отсюда, что в идеале а встречаются как положительные, так и 1
отрицательные целые числа. Обозначим через d наименьшее поло- I
жительное число идеала а. Разделим произвольное число а идеала а 1
на d: 1
a = dq-{-r, Q^r<^d. 'I
Так как and принадлежат а, то а — dq = r также должно |
принадлежать а. Отсюда следует, что г = 0; в противном случае d I
не было бы наименьшим положительным числом идеала а, а именно 1
мы бы имели, что г^>0 и в то же время r<^d. Значит, а де- 1
лится на d, а потому а является главным идеалом: a = (d). I
Таким образом, кольцо С всех целых чисел есть кольцо глав- 1
ных идеалов. v 1
2. Теперь обратимся к кольцу Р[х] многочленов в числовом 1
поле Р. ]
Опять мы видим, что Р [х] является областью целости и со- j
держит единицу. Выясним, будет ли в Р[х] всякий идеал а 1
. главным. 1
Рассуждаем так же, как в предыдущем примере. Полагаем I
аф(0). Затем обозначим через d(x) многочлен наименьшей сте- ]
пени, встречающийся в идеале а. Разделим произвольный много- I
член а(х) идеала а на d(x): a (x) = d (x) q (x) -f- г (х). ' ]
Так как а{х) и d(x) принадлежат идеалу а, то ]
а(х) — d (x) q (лг) = г (л:) также должно принадлежать а. Отсюда 1
следует, что г(лг) = 0; в противном случае в идеале а существовал |
бы многочлен более низкой степени, чем d(x), а именно г(х). 1
Но если г(дг) = 0, то а(х) делится на ^(л;). Это значит, что а I
является главным идеалом: a = (d(x)). Стало быть, Р[х] подобно 1
кольцу С всех целых чисел есть кольцо главных идеалов. J
На первый взгляд кажется, что всякая область целости с еди- 5
ницей является кольцом главных идеалов. Это мнение, как пока- j
зываёт нижеследующий пример, ошибочно. *
3. Обозначим через С[х] кольцо всех многочленов с целыми }
коэфициентами.
112 **
J
Легко видеть, что для С[х] первые два условия кольца глав- <
ных идеалов удовлетворяются. Однако третье условие для С[х],
уже неверно — далеко не всякий идеал в С[х] является главным.
. Возьмем хотя бы идеал (2, х), порожденный элементами 2 и х.
Он состоит из выражений вида
2гг(х) + хг%(х)\
где гх (х) и г2(дг) — многочлены с целыми коэфициентами.
Иными словами, идеал (2, х) представляет собой совокупность -
таких многочленов кольца С[х], у которых свободные члены
кратны двум. Поэтому идеал (2, х) не может быть единичным,
так как в кольце С[х], кроме многочленов с четными
свободными членами, имеются также многочлены с нечетными
свободными членами?
Теперь посмотрим, будет ли (2, х) главным идеалом.
Есля (2, х) — главный идеал, то (2, х) ;= (d (x)), где d(x) —
некоторый многочлен с целыми коэфициентами. Отсюда следует,
что 2 и х должны делиться на d(x). Но в кольце С[х]
делителями 2 могут быть лишь ±1 и ±2, следовательно,
представляются только две возможности: либо d(x) = ±2, либо d(x) — ±l.
Первая возможность отпадает, так как при делении х на ±2
получается многочлен ^yx с Дробным, а не целым коэфициен-
том. Значит остается второе: d(x) = ztzl. Выходит, что идеал
(2, х) содержит ±1; т. е. является единичным идеалом, а это
невозможно. Стало быть, предположение о том, что (2, х) —
главный идеал, неверно.
В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства кольца
главных идеалов. Эти свойства связаны с понятиями делителя
единицы н неразложимого элемента.
Обозначим кольцо главных идеалов через /?, а его единицу —
через 1. Под делителем' единицы мы будем подразумевать такой
элемент е кольца /?, для которого существует в R обратный
элемент е~* (в частности 1 — тоже делитель единицы).
Так, в кольце С всех целых чисел делителями единицы будут
числа -{- 1 и — 1 и только такие числа; в кольце многочленов
) Р[х] в числовом поле Р делителями единицы будут многочлены
нулевой степени и только такие многочлены.
Очевидно, что е-1 также является делителем единицы. Затем
из определения делителя единицы видно, что всякий элемент а
должен делиться на е и as (e — произвольный делитель единицы).
Это — так называемые тривиальные делители а. Остальные
делители элемента а, отличные от е и ае, называются нетривиальными^
например в кольце С всех целых чисел 6 имеет тривиальными
делителями ±1 и ±6 и нетривиальными ±2 и dz3.
8 Л. Окукев 113 '
Может случиться, что элемент афО, отличный от делителей 1
единицы е, имеет только тривиальные .делители. Такое а мы назовем я
неразложимым. Остальные элементы а ф О, отличные от делителей я
единицы, называются разложимыми, или составными. я
Например в кольце целых чисел неразложимыми будут числа щ
±2, it 3, ± 5, ... (т. е. простые числа, взятые со знаком плюс Ш
или минус). В кольце многочленов Р[х] неразложимыми будут щ
неприводимые в поле Р многочлены. щ
Теперь перейдем к основным свойствам кольца главных идеалов, я
Теорема L Если е — делитель единицы, то главный идеал я
(е) равен R [иными словами, (е) является единичным идеалом]. Я
Доказательство. Действительно, всякий элемент кольца R я
кратен е, поэтому идеал (е) содержит все элементы кольца /?, 1
т. е. (е) = #. I
Теорема 2. Если афО разложимый элемент /?, то кольцо щ
классов Rj(a) по идеалу (а) должно обладать делителями нуля, я
Доказательство. В самом деле, пусть а = be, где Ъ и с я
нетривиальные делители а. Рассмотрим классы Ь-= Ь -J- (а); с = с -{-. щ
-|-(й). Мы сейчас покажем, что они отличны от нуля. я
Действительно, предположим противное: пусть, например, щ
Ь=0. Тогда элемент Ь будет содержаться в идеале (а), вслед- 1
ствие чего Ъ будет кратно а: I
b = ad. я
Подставляя это значение b в равенство а = йс, получаем: 1
а = acdy щ
или, сокращая на а: щ
l = cd. 1
Выходит, что с и d — делители единицы. Но это невозможно, щ
так как по условию с — нетривиальный делитель а. Значит ЬфО. я
Подобным же образом доказывается, что с ф 0. щ
А теперь перемножим классы # и с. Получаем: 1
* . 7= be -f (а) = а + (а) = (а) = 0. I
Как видим, b и с оказались делителями нуля, я
Теорема 3» Если р — неразложимый элемент R, то кольцо I
классов R/{p) по идеалу (р) является полем. I
Доказательство. Во-первых, в кольце классов R/(p) суще- 1
ствует по меньшей мере один класс, не равный 0. Возьмем хотя I
бы 1 = 1 -}- (р). Если бы 1 равнялась 0, то 1 содержалась бы в 1
идеале (р) и потому делилась бы на р. Но р не может быть дели- 1
тслем единицы, так как р неразложимо, следовательно 1 ф 0. I
1U I
Во-вторых, покажем, что для всяких двух классов а = а-^~ '
j[-(p)zfi:0 и b = b-\-(p) уравнение а х = Ь в R/(p) разрешимо.
Для этой цели обратимся к идеалу (а, р).
Так как R есть кольцо главных идеалов, то (a, p) = (d). !
Отсюда следует, что аир делятся на d. В силу
неразложимости р представляются лишь две возможности: либо d=ep,
либо d = e (e — делитель единицы).
Нетрудно убедиться, что первая возможность отпадает. В самом
деле, если d = ep, то а делится на вр:
а = ере,
где с — некоторый элемент R, или
а=р(гс).
Последнее равенство свидетельствует о том, что а делится
на р. Вследствие этого а содержится в идеале (/?). Но если а
содержится в (/?), то а = а-\-(р) должно равняться 0.г
Получилось противоречие: по условию а ф 0. 1
Итак, остается вторая возможность d = &. Следовательно (а, р) =
z=z(e)=R (теорема 1). Таким образом, идеал (а, р) содержит все
элементы кольца R и в частности элемент Ь.
С другой стороны, элементы идеала (а, р) должны иметь вид
<"!+/"* Стало быть: bs=ari+pr%u (1)
Теперь воспользуемся гомоморфизмом /?~/?/(/?). Элементам Ь,
a, ru р и гг соответствуют классы b = b-\-(p); a = a-\~(p);
гх = гх-\-(р)\ 0 и г2 = г2 -(- (/?), поэтому равенству (1) будет
соответствовать в кольце классов R/(p) равенство
#= art -f- 0 • г2 = art.
Мы видим отсюда, что уравнение ах = Ь разрешимо: х =»Г\*
Теорема, следовательно, доказана.
Мы, конечно, не исчерпали всех главнейших свойств кольца
главных идеалов. Можно показать, что многие законы обычной
арифметики остаются в силе и для колец главных идеалов (обо
всем этом см. в книге Ван-дер-Вардена, том I, § 16 и 17). ,
Задачи. *
1. Всякое коммутативное поле есть кольцо главных идеалов.
Доказать это утверждение.
2. Какие элементы коммутативного поля разложимы?
3. Показать, что кольцо чисел вида а-\-Ы ~]fb, где /=|/—\%а,Ъ,—
произвольные целые числа, не является кольцом главных идеалов.
Указание: следует рассмотреть идеал_(1 -f- / *J/^5; 1_— / Л[Ь) и
воспользоваться тем обстоятельством, что 1+** |/5 и 1 —/ j/"5 неразложимы. ;
6
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ.
§19. Простое поле. Характеристика поля. Опираясь на
результаты, полученные в предыдущей главе, займемся теперь
теорией коммутативных полей. Мы начнем с самых простых свойств,
справедливых не только для коммутативного, но и для
некоммутативного поля.
Итак, пусть Р—какое-нибудь поле (коммутативное или
некоммутативное — безразлично).
Если некоторая совокупность Д элементов поля Р образует,
в свою очередь, поле относительно тех же композиций, то' мы
ее назовем подполем (или делителем) Р.
Необходимо, однако, иметь в виду, что Д может совпадать
с Р. В соответствии с этим мы будем поле Р называть
несобственным подполем в отличие от остальных подполей Р, носящих
название собственных подполей Р. В дальнейшем, употребляя
фразу „ подполе Р", мы будем подразумевать (если только не
оговорено противное) как несобственное, так и собственное подполе.
Можно привести ряд примеров, когда поле Р имеет несколько
и даже бесчисленное множество подполей. Обратимся хотя бы к
полю К всех действительных чисел и возьмем совокупность Д
чисел вида а-\-Ъ)//?, где а, Ь — какие угодно рациональные
числа, р — данное простое число. Легко убедиться, что Д образует
подполе К. Очевидно, таких подполей ч К можно построить
бесчисленное множество, так как в нашем распоряжении
бесчисленное множество простых чисел.*)
Наряду с этим можно привести примеры, когда поле Р совсем
не имеет собственных подполей. Такого рода поле называется
простым. Так, например, поле рациональных чисел есть поле
простое. Мы сейчас увидим, что справедливо утверждение: всякое
поле содержит одно и только одно простое поле. Предварительно
придется ввести понятие пересечения подполей; оно позволит нам
довольно легко доказать это утверждение.
J) Очевидно, что для различных р будут получаться различные Д.
116 %
Пусть'Ац A2J.^—'некоторое' множество (конечное, счетное
или несчетное) подполей Р. Назовем совокупность М всех
элементов, общих всем подполям А1? Д3 ..., пересечением подполей
Д1? Д2 ... Нетрудно убедиться, что пересечение М, в свою
очередь, образует подполе Р.
В самом деле, М удовлетворяет всем требованиям,"
характеризующим поле. Во-первых, пересечение М содержит не только О,
но и единицу е, в силу чего в М имеется по меньшей мере один
элемент, неравный нулю. Во-вторых, возьмем два каких-нибудь
элемента a, b пересечения М. Их разность а — Ъ и
произведение аЪ должны, очевидно, содержаться во всех подполях Дь Д2 ...,
т. е. должны принадлежать пересечению М. Мы видим отсюда,
что М замкнуто относительно вычитания и умножения. Значит, М
образует подкольцо Р (§ 17). То же самое получается
относительно деления: если a^zQ, то правое частное сгхЬ и левое
частное Ьа~х будут содержаться во всех подполях Д1э Д2, ..., т. е.
будут содержаться в пересечении.
Таким образом, М не только подкольцо, но также подполе Р.
Теперь можно приступить к доказательству нашего
утверждения о простом поле.
Теорема. Во всяком поле Р содержится одно и только
одно простое поле.
Доказательство. Обозначим пересечение всех подполей Р
через //. Оно, как мы знаем, должно быть подполем. Покажем,
что Н—простое поле. Пусть А — какое-нибудь подполе Я. Тогда А
будет содержаться в Н:
Д^Я. (1)
С другой стороны, Д является не только подполем //, но,
очевидно, и подполем Р, следовательно Н как пересечение всех
подполей Р содержится в А:
Я<=Д. (2)
Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем, что Д = //.
Значит Н не имеет собственных подполей, т. е. Н—простое поле.
Остается показать, что И—единственное простое поле. Пусть
в Р имеется еще одно простое поле Нх. Так как Нх есть одно
из подполей Р, то пересечение И должно содержаться в Нх\ ..
Отсюда сразу следует, что Н—Нх; в противном случае Ht не
было бы простым .
Ш
Посмотрим, что можно еще сказать относительно простого
поля Ну содержащегося в Р. Очевидно, "И должно содержать О
и единицу е, а потому должно содержать и все целочисленные
кратные пе единицы е (п — любое целое число). Обозначим
множество всех целочисленных кратных пе через R. Легко видеть,
что R ест*> гомоморфный образ кольца С всех целых чисел.
В самом деле, приведем в соответствие каждому целому числу п
целочисленное кратное пе:
п —► пе.
Посмотрим, что соответствует сумме и произведению двух целых
чисел пит. Очевидно:
п-{-т->(п-\-т)е; пт-*пте.
(п-\-т)е = пе-\-те\ пте = пте* = пе • те.
Следовательно:
п -f- т -> пе -\- те; пт ~> пе • те,
т. е. соответствие сохраняется при сложении и умножении.
Итак, С~/?. Поскольку С есть коммутативное кольцо,
множество R в силу гомоморфизма также должно быть
коммутативным кольцом. Мало того, R не имеет делителей нуля, так как R
содержится в поле //, а поле, как известно, делителей нуля иметь
не может. Короче говоря, R есть область целости.
Теперь воспользуемся теоремой о гомоморфизме колец (§ 17).
Согласно этой теореме R должно быть изоморфно с кольцом
классов С/т; идеал tn состоит из таких целых чисел, которые
отображаются на нуль кольца R. Выясним, какие же целые числа
будут отображаться на нуль кольца R. Гомоморфизм Co/zR состоит
в том, что каждое целое число п отображается на пе.
Следовательно, на нуль будут отображаться только такие п, для которых
пе — 0. Отметим еще одно важное обстоятельство. В § 18 мы
обнаружили, что С есть кольцо главных идеалов. Значит т —г
главный идеал: m = (/?), где р^О.
Итак, R^C/(p), причем идеал (р) состоит из таких целых
чисел пу для которых пе = 0.
Относительно числа р представляется одно из двух: либо р^> О,
Либо р = 0. Разберем эти случаи отдельно.
1. р^>0. В свое время было отмечено, что в кольце С целых
чисел делителями единицы являются только -f- 1 и —1. Очевидно,
р не может равняться —1, так как р^>0. Посмотрим, может ли
р равняться 1. Обратимся к идеалу (/?). Он состоит из целых
чисел /г, для которых пе = 0; в частности р есть наименьшие
положительное целое число, для которого ре=0. Таким образом,
если/? = 1, то получается нелепость 1е = е = 0. Значит, р не
может быть делителем единицы.
113
Покажем теперь, что р неразложимо, т. е. что р — простое
число. Предположим противное: пусть р разложимо. Тогда в кольце
классов С/(р) будут существовать делители нуля (§ 18, теорема 2).
Но R изоморфно с С/(р). Следовательно, делители нуля убудут
существовать ив/?. Последнее, однако, невозможно — по
доказанному выше R есть область целости.
Применим эти результаты к простому полю Н. Мы сейчас
увидим, что оно состоит только из целочисленных кратных пе,
т# е. H = R. В самом деле, благодаря неразложимости р кольцо
классов С/(р) образует поле (§ 18, теорема 3), а потому /?в силу
изоморфизма RQ2C/(p) также образует поле. Отсюда как раз и
получается, что H=R; в противном хслучае R было бы
собственным подполем Н и потому Н не было бы простым.
Подведем итог. Поскольку /? = #, в соотношении R^C/(p)
можно R заменить через Н, и мы приходим к следующему
заключению: в рассматриваемом случае Н изоморфно полю классов
целых чисел по простому модулю р. Благодаря этому
изоморфизму Н состоит из р различных элементов 0, е, 2е, ...,(/? — 1) а,
которые ведут себя относительно сложения и умножения, как
система классов 0, 1, 2, ...,/>—1 по модулю р.
2. р = 0. Покажем, что в этом случае R изоморфно кольцу С
всех целых чисел. Обращаемся к кольцу классов С/(0). Мы видим~
что здесь каждый класс а равен а-\-(0) = а, следовательно,
С/(0) = С, и соотношение /?§^С/(0) превращается в /?ggC
Отметим кстати, что R здесь уже не будет полем, так как
множество С всех целых чисел образует относительно
арифметических действий кольцо, а не поле.
Благодаря изоморфизму/?£§ С целочисленные кратные пе должны
быть при различных п различными — равенство пге — п2е может
иметь место лишь при пх — пг. В частности пе может равняться
нулю только при я = 0 (в предыдущем случае пе могло равняться
нулю я при пфО).
Займемся теперь простым полем Н. Мы собираемся доказать
следующее утверждение: если р=0, то Н изоморфно полю Г
всех рациональных чисел.
Доказательство. В противоположность случаю р^>0 поле
И здесь уже не исчерпывается целочисленными кратными пе; оно
кроме пе содержит всевозможные дроби
*) Так как целочисленные кратные те перестановочны с любым
элементом простого поля Я: те • а = т*еа = т-ае = а- те, то
те (пе)'1 = (пе)~1те.
119
Обозначим для большей наглядности — через ■— е- Невольно
пе к п
напрашивается мысль привести в соответствие каждому
рациональному числу — дробное выражение — е. Затруднение состоит в том,
что мы не знаем, будет ли соответствие >~е взаимно одно-
п п
значным.
Пусть ~-е= -е. Умножим обе части этого равенства на
(пе) (пхе). Принимая во внимание перестановочность
целочисленных кратных пе и п{е, получаем:
~ * • (пе) (nte) =!~е- (пге) (пе).
Но
~ е • (пе) = те; ^е • (п1е) = т1е,
следовательно:
(те) (п{е) = (mte) (пе),
или окончательно:
mnie = m1ne.
Последнее равенство, однако, возможно в том случае, когда
т т<
тпх = тхп, т. е. когда — = —-.
п п^
Обратно, пусть — = —-. Тогда получаем, что mni-=^mini
откуда mnie = mlne. Это равенство можно переписать следующим
образом:
(те) (щё) = (тхе) (пе).
\ Умножим обе части последнего равенства на
1 \ П
— е — <
п ) \ях
(nte)(fhe)(^e) (±в) =(,ще)(пе) (±*) (ie).
Здесь можно произвести ряд упрощений. Во-первых,
сокращаем пе и — е, — такое упрощение вполне законно, так как
(пе)(±е)=е.
Таким образом, необходимость в_ употреблении слов „левое частное
те(пе)-{и и „правое частное (пе)~1 *~теи отпадает, и мы можем говорить
- те
о дроби — .
г пе
120
Во-вторых, пользуясь' перестановочностью целочисленного
кратного пхе с любым элементом простого поля //, передвигаем в левой
части равенства nve на предпоследнее место и сокращаем с —е.
В результате получается, что (те) (— е\ —{тхё) [■— е\ , или
в окончательном виде: —е = —-е. Итак, равным числам— соот-
ветствуют равные дробные выражения — е. Короче, говоря, соот-
ветствие > — е оказалось взаимно однозначным. Теперь
посмотрим, что будет соответствовать сумме и произведению рацио-
т, mm mt тл т , Wi
нальных чисел. Имеем: > — е; —L-+—-е\ L =
mnY -f- т^п . т_ т^ mmt
nnt * п ' ~яГ ntii
TJ тпл 4- т{п
Но рациональному числу ———— соответствует
= (тп<е-\-т*пе) ( е\=тп1е' Ь—е) -4-ШлПе [•—е) =
v * ' 1 \nrii / * \ntix j ' * \nnt J
= —- e 4 ~ e = ~e-l - e,
mmx
а рациональному числу —- соответствует /
= (me)(±e) fae) (±e) =%e . %*■ е.
Как видим: -->—£-4 ~e: ——L~+ — e.—Le T. e.
« ' «! я ' «! ' n щ - /г tii '
соответствие сохраняется при сложении и умножении.
Следовательно, поле Г рациональных чисел изоморфно с множеством
дробей т-е. Благодаря этому изоморфизму множество дробей
— е должно быть коммутативным полем. Таким образом, Н есть
поле дробей — е и НЯ^Г.1)
х) Пользуясь теоремой (§ 16, стр. 101) о единственности поля
отношений можно изоморфизм Н = Г обнаружить еще быстрее (однако
рассуждения будут более отвлеченными). А именно, И содержит R и является,
очевидно, полем отношения для R. С другой стороны Г есть поле
отношений для С. Так как кольца R и С изоморфны, то по упомянутой
теореме будут изоморфными и их поля отношений, т. е. #=Л
121
/
Итак, существует только два типа простых полей Н, а именно
Н, изоморфные полю классов целых чисел по простому модулю р,
и Н, изоморфные полю всех рациональных чисел.
Всякое поле Р, содержащее Н первого типа, называется полем
с характеристикой р, а содержащее Н второго типа — полем с
характеристикой 0.
В заключение укажем следующие отличительные особенности
полей с характеристикой рис характеристикой 0.
1. Возьмем в поле с характеристикой р какой-нибудь элемент
афО. Если па —та, то n=m(modp). Обратно, если
п = т (modр), то па = та.
Доказательство. Пусть па = та. Тогда, умножая обе
части этого равенства на а""1, получаем, что пе=те. Отсюда
в силу изоморфизма простого поля Н с С/(р) следует, что классы
пит целых чисел по модулю р должны быть равны, иными
словами, п^т (modp).
Обратно, пусть п^т(то&р), тогда пе будет равно те.
Умножим обе части равенства пе = те на а. Получим в
результате па = та.
II. В поле с характеристикой 0 равенство па = та(а^Ь0)
тогда и только тогда имеет место, когда п — т.
Рассуждаем аналогичным образом: если па —та, то, умножая
обе части этого равенства на а*"1, получаем пе — те, а отсюда
сразу следует, что п = т.
Обратно, если п = т, то пе — те. Умножая обе части
последнего равенства на а, получаем па = та.
Задачи.
- 1. Показать, что в поле с характеристикой р:
(а±Ь)Р = аР + ЬР,
(a1±a2 + ... + ak)P==a1P + a2P + ... + akP.
2. Всякое числовое поле есть поле с характеристикой нуль. Почему?
3. Показать, что всякое поле, состоящее из конечного числа
элементов, есть поле с характеристикой р.
§ 20. Кольцо многочленов. Дальнейшие свойства полей
будут тесно связаны с понятием многочлена.
С алгебраической точки зрения многочлен f{x) = a0 -f- axx -{-
-{-... + апхп в числовом поле можно охарактеризовать как
конечную последовательность а0, аи ..., ап его коэфициентов. При этом
xk(k = 0,l,2,... ,п) определяет место, занимаемое коэфициент'ом
ак в последовательности а0, аи ..., ап. Складывая или умножая
два многочлена, мы, в сущнрсти говоря, образуем по определенным
122
правилам из двух последовательностей третью. Придерживаясь
этой точки зрения, попробуем распространить понятие многочлена
на любое коммутативное поле.
Пусть Р—какое-нибудь коммутативное поле (числовое или
не числовое — безразлично); его единицу будем обозначать через 1.
Рассмотрим всевозможные-конечные последовательности а0, аи .. .,ая
из п-\-1 элементов поля (п-\- 1 — какое угодно натуральное число)
и введем для них композиции сложения и умножения.
Условимся каждую последовательность а0, аи ..., ап обозначать
символом
(а0, аи ... ,ап). (1)^
В соответствие с обычной терминологией мы будем элементы ах
называть коэфициентами символа (1).
Теперь укажем, по каким правилам наши символы сравниваются,
складываются и перемножаются.
Два символа (а0, аи ..., ап) и (&0, Ьи . .., Ьт) считаются
равными, если: 1) aQ = bQ, at = bu ..., ат = bmi amJrl = О, .. .,ая = О
при п^т; 2) а0 = Ь0, ах — Ьи ..., an = bn> £я+1 = 0, ..., bm = 0
при п^т.
Например символы
«.„,,„ « = (1,-1, 0, 1) и р = (1, —1, 0, 1,0,0)
равны.
Сложение и умножение символов (а0, аи ..., ап) мы определим,
руководствуясь обычными правилами действий над многочленами,
а именно, пусть
a = (ae, alt ...,а„), $ = (Ь09 bu..., bm).
Тогда при п^т:
«Н-Р = (*о + *о> ai + bv >•••> ат + Ьт, ат+и ..., ая).
Аналогично при п^т:
« + Р = (*0+*0> «l + *lt •••»Х + ^> *я+1> •••» *«)-
Умножение определяется следующим образом:
ар = (с0, си с2, . .., сп+т)>
где
с* = *А + а A-i + • -. + акЬ0. (2)
Для того чтобы равенство (2) имело смысл для всех значений
k ■= 0, 1, . .., п -\- т> надо положить: аш = ал+2 =... = ая+/и = О
11 Ьт+1 = Ьт+ъ = ... = Ь1Нт = О1).
*) Очевидно, что результат сложения (умножения) не меняется при
замене слагаемых (множителей) равными.
Нетрудно убедиться, что действия сложения и умножения
символов подчиняются коммутативному, ассоциативному и
дистрибутивному законам. Мы ограничимся выводом ассоциативности
умножения. Помножим
оф = (а0Ь0, аф, -f a{b0, ..., anbm)
на
y=(rf0, di9 . .., dt).
Получим в результате
(оф) у = (aQb0dQi afadi -f я0Мо + eiMo> • • • > anbmdi)-
С другой стороны:
РТ=.(Мо> Mi + Мо> • • • > М/)>
откуда
т. е. мы пришли к тому же самому символу. Следовательно:
(ар)т = а(рТ).
Символы (а0, а^ ..., аЛ) можно не только складывать, но и
вычитать. Это вытекает из существования нуля и противоположных
элементов, а именно, роль нуля играет символ, у которого все
коэфициенты равны нулю. Мы его будем в дальнейшем обозначать
через 0. Существование противоположного элемента, столь же
очевидно: если
а = (а0, а19 ..., ап)9 то —а = (— а09— аи ..., — ап).
Действительно:
a -f- (— ot) = (а0 — а0, at — а,, .1. ,~яя — ая) = (0,0,.."., 0) = 0.
Наконец, отметим еще одно важное обстоятельство. Множество
всех символов (а0, а19. . ., ап) замкнуто относительно сложения
и умножения. В самом деле, складывая или перемножая два
символа (я0, av ..., ял) и (Ь0, #!,..., Ьт), мы снова получаем символ
с коэфициентами из того же поля.
Как видим, множество всех символов (я0, аи ..., ап) образует
коммутативное кольцо. Мы его обозначим через Р[х].
По внешнему виду наши символы сильно отличаются от
обычных многочленов. Постараемся от этого отличия освободиться.
124
/ Обратимся сперва к подкольцу М символов (я0), состоящих из
о)Шого элемента. Легко заметить, что М изоморфно с Р.
Действительно, каждому символу (а0) можно привести во взаимно
однозначное соответствие элемент а0 поля Р, и это соответствие будет
сохраняться при сложении и умножении:
Ы + (ьо) = (я0 + ьо) -* «о + К> (ао) (*о) = (я<А) -* во*о-
Благодаря изоморфизму М ^Р символ (а0) можно отождествить
с элементом а0 поля Р. Выясним, как подобное "отождествление
отразится на символе
а = (а0, аи . . ., art)
общего вида. Очевидно, а можно представить в виде следующей
суммы /
а = (а0) -f (0,fll) + (0,0, аа) + ... -f (0,0, . . ., 0, an). (A)
Выражение (А) можно значительно упростить. Для этой цели
обратимся, во-первых, к символу (0,1) и обозначим его через х.
По правилу умножения символов получаем:
*V = (0A ■.., 0,1) (v = 2,3, ..., п).
v нулей
Кроме того полагаем дг° = (1).
Отсюда согласно тому же правилу умножения
(av)*v = (0,0, ..., 0,0
(v = 0,l, ..., л),
или, отождествляя (av) с л^:
avj^=(0,0, ..., 0,av).
Во-вторых, отождествляем (а0) с а0.
В результате символ ос = (а0, а{,. . ., ал) превратится в
а0 -f a^ -f- а2#* ~r • • • + апхП- (3)
Выражение (3) называется многочленом в поле Р; мы его
часто будем обозначать через f(x), т. е. будем обозначать так же,
как и обычный многочлен с числовыми коэфйциентами. Таким
образом, Р [х] представляет собой кольцо многочленов (3) в поле Р.
Для дальнейшего введем несколько терминов, встречающихся,
впрочем, и в общем курсе алгебры. Мы будем х, входящее
126
в выражение (3), называть неизвестным. Иногда вместо слова
„неизвестное" пользуются словом „переменное* и вот из каких
соображений. Дело в том, что в многочлен f(x) вместо х можно
подставить любой элемент а поля Р (или поля, содержащего Р).
Элемент поля, получающийся после такой подстановки, принято
обозначать через /(а) и называть значением многочлена f(x) при
х=а. Мы видим, что х как бы играет роль независимого
переменного— многочлен f{x) принимает те или иные значения в
зависимости от того, какие элементы а подставляются вместо х;
элементы а при этом играют роль постоянных. Мы их будем
иногда называть постоянными.
По поводу сказанного возникает, однако, следующее
возражение: быть может замена х через а будет искажать смысл
композиций сложения и умножения многочленов в поле Р; тогда замена
будет не совсем корректной. Но из определения этих
композиций следует, что они должны сохранять свой смысл и после
замены х через а: если f(x) -\-g(x) = k(x); f(x)g(x) = k(x), то
при х = а попрежнему f(a) -\~g(a) — h(a); f(a)g(a) = k(a).
Возражение таким образом отпадает.
Возьмем какой-нибудь многочлен f(x) в поле *Р9 неравный
нулю. Он будет иметь следующий вид:
/(■*) = «о+ <*!■*+ ... +я,г*п; апфО.
Некоторые из коэфициентов aQ, av ..., ап_х могут оказаться
равными нулю, но ап нулю не равно. *) Придерживаясь обычной
терминологии, мы назовем а0, ахх, ..., апхп членами
многочлена, аялгЛ—старшим членом, ап — старшим коэфициентоум, а
п — степенью многочлена f(x). Всякий элемент афЬ поля Р есть
многочлен нулевой степени, потому что а==ах°. Что касается
нуля, то он не имеет никакой степени.
После этих определений и замечаний займемся главнейшими
свойствами многочленов в поле Я.
/. Кольцо многочленов Р[х] не имеет делителей нуля, т. е.
Р [х] есть область целости.
Доказательство. Пусть f(x) и g(x) — два неравных
нулю многочлена кольца Р[х]:
f(x) = a0 -f ахх + 4х* + ••• +а/г^ апФ°'>
g(x) = I>o + blx + b2x*+ ... + Ьт**, ЬтЧЬ0.
*) Мы всегда можем предполагать, что данный многочлен f(x)
заканчивается коэфициептом, неравным нулю. Действительно, поскольку /{х)ФО,
козфициенты f(x) не могут все равняться нулю. Если бы аЛ = 0, то мы
остановились бы на последнем неравном пулю коэфициенте ау а
следующие за ау коэфнциенты отбросили бы.
По правилу умножения многочленов
/(*)*(*) = «A+ (flA + «o*i)* 4- ••• +яАг*7ЖД-
Поле, как известно, не имеет делителей нуля. Следовательно,
поскольку элементы ап и Ьт поля Р не равны нулю,
произведение апЬт также не равно нулю. Но в таком случае f(x)g(x)
должно быть отлично от нуля; кольцо Р[х], следовательно,
делителей нуля содержать не может.
Попутно получилось, что степень произведения f(x)g(x)
двух отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) равна сумме
степеней этих многочленов. В самом деле, степень f(x) была
равна п, а степень g(x) была равна т. Обращаясь к
произведению f(x)g(x) замечаем, что апЬтхп*т есть старший 4nenf(x)g(x)t
а потому степень fix) g (х) равна п -\-т.
Другое свойство связано с операцией деления многочленов.
В кольце Р[х] деление не всегда выполнимо: далеко не всегда
для двух многочленов / (х) и g (х) ф 0 существует в поле Р такой
третий многочлен h(x), что f(x)—g(x)h(x). Например
f(x) = х-\-1 не делится на g (х) = х* -{- 1, так как степе нь g (х)
выше степени f(x). Таким образом, Р [х] есть область целости,
но не поле. Тем не менее, f(x) всегда можно разделить на
g(x)^0 с остатком, а именно имеет место следующее свойство.
II. Если f(x) и g(x) — dea многочлена в поле Р и g(x) не
равно нулю, то всегда можно подобрать в том же поле такую
пару многочленов q(x) и г(х), частное и остаток, что
f(x)=g(x)q(x) + r(x), (4)
причем степень г(х) будет ниже степени g(x).1)
Доказательство. Пусть
с
f{x) = а0 + ахх~\- ... + апхп, anz£0,
g (x) = b0 + Ьхх + ... + bmxm, ЬтЧЬ0.
Представляются две возможности: либо h<^mf либо п^т.
В первом случае можно положить q(x) = 0, r(x)—f(x) и
равенство (*4) становится очевидным. Во втором случае вычитаем
из f(x) многочлен g(x), умноженный на anbm"lxn~m:
fix) - anbm^x™g (x) = h (x).
В результате старший член апхп многочлена / (х) уничтожится,
и степень f(x) понизится:
h (х) = а0 + а\ х -f ... + ЬщХп\ ачФ 0>
1) Частное и остаток определяются f(x) и g(x) однозначно.
127
где пх<С^п. Если степень h(x) больше или равна степени g{x),
то мы снова повторяем процесс понижения степени, а именно
уничтожаем в многочлене h(x) старший член anixn\ для чего со-"
ставляем разность
h (х) - anib^xn^mg (x) = k (x).
В конце концов мы придем к многочлену r(.v), у которого
степень будет ниже степени g(x). Таким образом:
p(x)-a(£)b-1xns-mg(x) = r(x). J
Складывая равенства (5) почленно, мы после очевидных
упрощений получим
/(*) - (апЬпгхп-т+ 4*« V»"т+ ... + <>** V' • т)g(x)=
= г(х),
.ИЛИ
где
д(х) = апЬмгхп-т-\-аП1Ь-1х">-т -f... + ^V^m.
Свойство II доказано.
В некоторых случаях остаток г(х) может обращаться в нуль.
Это будет в том случае, когда многочлен f(x) делится на
многочлен g(x).
До сих пор наблюдалась та же картина, что и для обычных
многочленов с числовыми коэфициентами. Это совпадение идет,
однако, еще дальше, а именно для кольца Р[х] можно дословно
повторить обычное определение наибольшего общего делителя
двух многочленов. Благодгря свойству II остается в силе
алгоритм Эвклида со всеми fcYo следствиями. В частности, если f(x)
и g(x) — два многочлена в поле Р, то в каком бы поле Q,
содержащем Р, их ни рассматривать, всегда коэфйциенты их
наибольшего общего делителя будут принадлежать к полю Р. Затем
благодаря тому же свойству II остается в силе теорема Безу. Для
кольца Р [х] можно повторить обычное определение корня
многочлена. Мы назовем элемент а поля Р (или поля, содержащего Р)
корнем многочлена f(x), если/(а) = 0. Пользуясь теоремой Безу,
можно с помощью известных рассуждений показать, что f(x)
делится без остатка на х — а (а — элемент Р) тогда и чтольк£
тогда, когда а есть корень f(x). Остается в силе и понятие
неприводимого в поле многочлена. Одним словом для наших
многочленов оказываются справедливыми все основные свойства
обычных многочленов (см. об этих свойствах хотя бы в учебнике
Г. М. Шапиро, Высшая алгебра, 4-е издание, глава II, стр. 55—
69; определение неприводимого в поле многочлена см. на стр;
101—Ю2).
Дословно, так же как в случае многочленов с числовыми
коэфициентами, можно показать, что Р [х] есть кольцо главных
идеалов»
Благодаря этому обстоятельству многие законы* обычной
арифметики оказываются верными и для многочленов в поле Р. Так,
например, можно высказать следующие два свойства многочленов
в поле Р:
1. Если произведение f(x)g(x) делится на неприводимые
многочлен р(х), то" по меньшей мере один из сомножителей
делится на р(х).
Доказательство. Допустим, что f(x) не делится на р (х).
Посмотрим, будет ли g(x) делиться на р{х). Обратимся к кольцу
классов Р[х]/(р(х)). По условию р (х) — неприводимый многочлен;
он, иными словами, есть неразложимый Элемент Р[х]ь
следовательно Р[х]/(р(х)) — не только кольцо, но даже поле (§ 18,
теорема 3). Рассмотрим теперь классы f(x)=f(x)-\-(p{x)) и
g(x)=g(x) -\-(р(х)). Так как f(x)g(x) делится на р (лг), а/(х)
не делится на р(х), то f(x)g(x) = б; /(х)ф0* Но по только
что доказанному Р[х]/(р (х)) есть поле, значит, g(x) — 0, т. е.
g(x) делится на р(х).
2. Всякий многочлен f(x), отличный от постоянной, можно
разложить на произведение неприводимых множителей:
/0*0 =Pi ООРа (*) • * • Рг (х)>
и это разложение является единственным с точностью до
постоянного множителя (иными словами, если/(дг) = qx (x) q% (х),...
..., qs(x)—какое-нибудь другое разложение f(x) на
неприводимые множители, то s = r; qx (x)=^cJp1 (x); qq (лг) = с2/?2 (х), ...,
..., qr (x) = crpr (x)t где cr — постоянные и с{с.2 ... сг = 1).
Доказательство. Сперва покажем, что всякий многочлей
/(х), отличный от постоянной, разлагается на неприводимые
множители. Для неприводимого f(x) утверждение очевидно — в этом
случае получается разложение из одного неприводимого
множителя: f(x)—f(x). Таким образом, пусть f(x) приводимо, тогда
f(x) будет разлагаться на произведение двух сомножителей: f(x)=i
:==zfi(x)A(x)y отличных от постоянной, причем степень каждого
9 Л. Окулсв—3S0 ^ 12)
из мнбгочлёнов fx(x) и /2(х) будет ниже Степени f(x). Если оДин'
или оба сомножителя fx{x) и /2И приводимы, то один или оба
сомножителя fv (х) и /2(х) будут разлагаться на дальнейшие сомно*
жители, отличные от постоянной, и т. д. Очевидно, этот процесс
последовательного разложения не может продолжаться бесконечно,
так как степени многочленов не могут безгранично понижаться.
В конце концов наступит та <ой момент, когда f(x) будет
разлагаться только на неприводимые множители»
Остается доказать вторую половину теоремы — единственность
разложения на неприводимые множители.
Пусть
/И =Pi x)pM • • • Рг(*)> 00
где Pi(x) неприводимы, и в то же время пусть
fix) = qx{x) q£x) ... qs(x), (b)
где Qi{x) также неприводимы. Сравнивая равенства (а) и (b), |
получаем >
Pi(*)P*(x) •. • А-И = Ч\(х) ?*И • - • Я*{*)- (с)
Левая часть этого равенства делится на рх(х), следовательно
на pi(x) должна делиться и правая часть. Отсюда в силу
свойства I многочленов в поле Р на рх(х) должен делиться один из-
сомножителей в правой части. Не нарушая общности
рассуждений, можно предположить, что qx(x) делится на рх(х), так как
иначе мы изменили бы порядок следования множителей qx(x),
Яъ(х)у ..., qs(x). Но если qx(x) делится на рх(х)9 то qt(x) =
=Pi(x)h(x). Многочлен h(x) должен быть равен постоянной;,
в противном случае qx(x) было бы приводимым. Следовательно
qx(x) = cipx(x)i где сх— постоянное (элемент поля Я).
Подставляя это значение qx(x) в равенство (с), получаем
рх(х) Pz(x) ... pr{x) = схрх(х) q£x) ... q$(x),
или, сокращая на px(x):
ЛИ • • • Л-И = cxq%(x) • • • qA*)-
Повторяем для этого равенства те же рассуждения. Получим
#.2И = с2р*(х) и затем после соответствующего сокращения:
ръ{х) ... ргИ = с1с3?зИ ••• &И и т- Д-
Легко убедиться, что s = r. В самом деле, если бы s и г не
были равны, то 'при последовательных сокращениях в одной части
180
S4 •
равенства получилась бы постоянная, а в другой произведение,
оставшихся неприводимых многочленов. Итак:
s = r, qi{*) — efflux), ?аИ = СараМ» •••> Чг(х)=сгрг{х).
Свойство II доказано полностью.
Несколько сложнее обстоит дело с кратными корнями. Мы
увидим, какую важную роль будет играть характеристика поля Р.
Но сперва придется сказать о производной. Приводим чисто
алгебраическое определение производной многочлена, совершенно
независимое от понятий непрерывности и предела.
Пусть f(x) = a0-\- atx -f- аалга -f- • •• 4~ апх^ — произвольный
многочлен в поле Р. Составим следующий многочлен в том же
самом поле:
Ъх -(- 2а2лг -f- • • • "Ь папхП~1-
Этот многочлен называется производной f(x) и обозначается
через f(x). Нетрудно показать, что для многочленов в поле Р
верны известные из анализа формулы диференцирования суммы и
произведения:
[А-*)+*(*)]'=/'(*)+£'(*);
\f(x) g С*)]' =/ (*) g И +/(*) ** И.
Мы ограничимся выводом первой формулы. Вторая выводится
аналогично.
Рассуждаем так. Пусть
f(x) = a0 + akx-{-a2*2-f ... +апхп,
*(*) = *о + М + М9 + ... + V*m
и пусть для определенности т^п.
Тогда
/W+^H = (fla + *e) + (ei + *i)Jf + (ei + *»)^+ ••- +
+ (ая + ftj х» + am+1 ^н-i + ... + апх».
Отсюда
[/ С*) + ^ И1' = («1 + *i) + 2 (a, + b%) x -f ... -f- /ifl^"1
С другой стороны:
/(л:) = а1-}~2а2лг-{- ... -\-natl^x)
*'(*) = *!+2&** + ... +mbmJ^n'1.
Складывая производные /'(х) и g'(x), получаем:
/' (х) + g' (х) = (в1 -f ft,) + 2 (а, -|- ft,) x + ... + яаяУЧ
Как видим, получилось то же самое, что и выше,
следовательно:
•[/X*)+#(■*)]'=/(*)+*»•
Очевидно, формулы диференцирования суммы и произведения
можно распространить на любое число многочленов, т. е.
[ЛС*)+/«(■*)+ ••• +Л(*)]'<=/',(*)-}-Л(-*).+ ... +/'*(■*)•
[Л (*)/. С*) • • • Л (*)]' =/i (*)Л И • • • Л (*) +
+/i (*)Л(*).../*(*)+•■• +/i (*)/,ix) ...f'k(x).
В частности, когда сомножители одинаковы, мы приходим
к формуле диференцирования степени
[/(*)]'=*/*-'(*)/(*).
Теперь вернемся к кратным корням. Для кольца Р [х]
многочленов определение кратного корня ничем не будет отличаться
от обычного определения, — мы назовем элемент а поля Р или
поля, содержащего Р, корнем £-й кратности многочлена f(x),
если f(x) делится на (х— а)/г, но не делится на (х — a)k+l *).
Однако относительно; некоторых свойств кратных корней дело
обстоит сложнее. Если в обычной теории многочленов можно было
утверждать, что кратность корня при диференцировании понижается
на единицу, то здесь, вообще говоря, это утверждение уже не
имеет места. В качестве подтверждения приводим такой пример.
Пример. Пусть Р—поле с характеристикой рф2. Рассмотрим
многочлен f(x) = (x—1)р(х~\- 1). Очевидно 1 является /?-крат-
ным корнем f{x). Диференцируя f{x), получаем:
/■ с*)=/> о* -1 г1 с*+1)+с* - iy.
В поле с характеристикой р, как известно, р • а == 0.
Отсюда
р (х — I)*-1 (х+ 1) = 0.
Таким образом
т. е. кратность корня 1 при диференцировании не изменилась.
Тем не менее, можно высказать следующую теорему:
*) Если а —элемент поля Q, содержащего Р, то многочлен /Ос) еле'
дует рассматривать не в Я, а в Q»
132
Теорема. Если а — корень k-ii кратности многочлена^ f (х)
и характеристика поля Р равна О, то а будет в точности
' fc.— 1-кратным корнем производной.
Доказательство. Пишем, основываясь на определении крат*
ного корня:
/(*) = (* —а)*? С*), (k^l),
где q (х) — некоторый многочлен в поле Р или в поле,
содержащем Р; q(x), очевидно, не делится на х—а. Диференцируя обе
части этого равенства, получаем
/' (х) = (х - af q* (x) + k(x- a)k-lq (*),
J
или, вынося общий множитель (х — а)''"1 за скобку:
/' (*) = (* _ а)*-1 [(х -a)q'(x) + kq (x)}.
Мы видим, что f (х) делится на (х — а)*-;1. Значит, а есть,
по крайней мере, k—1-кратный корень производной /' (х).
Так как характеристика поля Р равна нулю, то kq(x) при k^l
не может быть нулем. Вследствие этого выражение в.квадратной
скобке не делится на х — ос. Таким образом, f'(x) уже не может
делиться на (х — а)/е, т. е. а есть в точности k—1-кратный
корень производной.
Заканчивая настоящий параграф, отметим, что кольцо Р[х]
образует область целости и потому может быть заключено в поле
f(х)
дробей — ~ , где f(x) и g (х) ф О — всевозможные многочлены
£\х)
в поле Р (§ 16). Каждая из таких дробей называется
рациональной функцией в поле Р. Многочлен в поле Р есть частный слу-
f(x)
чай рациональной функции —j-~, а именно тот случай, когда f(x)
£'х' f (х)
делится на g(x). Мы будем в дальнейшем поле дробей -^-~ обо-
значать через Р(х) (х — не в квадратных, а в круглых скобках)
и называть полем рациональных функций в Р.
§ 21. Трансцендентные и алгебраические расширения.
До сих пор мы занимались, главным образом, подполями. Теперь
пойдем в обратном направлении. Пусть Р и 9 — два поля. Мы
назовем Q расширением Р, если Р есть подполе Q (например
поле Р(х) рациональных функций в Р есть расширение Р). В
частности Q называется несобственным расширением Р, если Q = P.
В остальных случаях, когда PczQ, мы будем Q называть
собственным расширением Р. Нашей основной целью будет изучение
расширений поля Р. Мы, однако, ограничимся наиболее
исследованным случаем, когда Р и 2-^—коммутативные поля.
• т
Возьмем из расширения 9 поля Р какую-нибудь совокупность
элементов М и обозначим через Р(М) пересечение всех подпо-
лей Q, содержащих Р и М. Очевидно Р(М) является
наименьшим среди таких подполей. Относительно пересечения Р (М)
представляется только три случая:. 1) кроме 2 не существует
подполей, содержащих Р и Ж; 2) множество М содержится в Р;
3) множество М не содержится в Р и помимо 2 существуют
другие подполя, содержащие Р и М. Легко сообразить, что в первом
случае Р(М) должно совпадать с Q. Во втором случае Р(М)
будет совпадать с Р. Наконец, в третьем случае Р(М) будет
лежать между Р и 2:
P<zzP(M)(=zQ.
Пересечение Р(М) принято называть расширением поля Р,
получающимся в результате присоединения к Р множества М.
Переход от Р к расширению Р(М) называется присоединением
множества М к Р. Посмотрим внимательнее, что собой
представляет расширение Р(М). Оно содержит Р и М, а также элементы,
которые получаются в результате применения композиций
сложения, вычитания, умножения и деления к элементам Р и М. Но
множество всех таких элементов образует поле. Это поле должно
совпадать с Р(М)\ в противном случае Р(М) не было бы
наименьшим подполем 2, содержащим Р и Ж. Таким образом, Р(М)
есть не что иное как множество всевозможных рациональных
выражений (рациональных функций) элементов М с коэфициен-
тами из поля Р.
Иногда приходится рассматривать не все расширение Р(М),
а только часть его, состоящую из целых рациональных
выражений элементов М *). Эту часть мы будем обозначать тем же
символом Р[Л4], но уже не с круглыми, а с квадратными скобками.
Вообще говоря, Р[М] образует область целости. Но в некоторых
случаях Р[М] может оказаться полем. Приводим в качестве
подтверждения пример.
Пример. Пусть Р—поле рациональных чисел, а 2 — поле
действительных чисел. Возьмем из 2 число б — )/~2 и рассмотрим
Р[]/2]. Очевидно, элементы Р[|/2] должны иметь вид
а0 + я1]/2Чм/2)2+ ... +ап(У2)п, "' (1)
где а0, аь ..., ап — рациональные числа, п — какое угодно целое
неотрицательное число. Возвышаем в выражении (1) J/"2 во
вторую, в третью, ..., в п-ю степени. Затем в выражении (1) груп-
1) Т. е. выражений, получающихся в результате применения к
элементам Р и М композиций сложения, вычитания и умножения (но пе
деления).
№ \
пируем отдельно члены, не содержащие ]/2, и отдельно члены,
содержащие У 2. В результате выражение (1) упростится, а именно
превратится в двучлен а -\- b У 2 с рациональными коэфициен-
тами а и Ь. Итак, Р[У2] есть ке что иное как множество
иррациональности вида а-\-ЬУ~2. Разделим теперь ах-\-ЬхУ2 на
ai + biV2__(a1 + *i}/T){aM--bV?) _
(flifla — 2bjb2) + (fla^i — g А) У2
~ af—lbf ~
__ aia2 — 2bib2 , афх — а^ уу
— л8»-2У' Д22 — 2V
^ а,я9— 2&1&о Ло^1—а,Ь«
или, обозначив для краткости —~|—,.■—- через а и -^—stV
0,2* £0% 0>2 —- £0%
через Ь, получим: ~x—t—± ¥—- = а-\-ЬУ~2. где а и Ъ — рациональ-
ные числа. Мы получили в качестве частного: иррациональность
того же вида, т. е. элемент Р[]/2]. Отсюда сразу видно, что
Pfj/^] — не только кольцо, но и поле.
Легко убедиться, что если Р [М] — поле, то Р [М] непременно
должно совпадать с Р(М). Действительно, предположим
противное: пусть Р[М] образует поле и в то же время Р[М] фР(М).
Тогда Р[М] с= Р (Ж). Но последнее соотношение противоречит
тому, что Р(М) — наименьшее подполе Q, содержащее Р и М.
До сих пор к полю Р присоединялось только одно
множество М. Посмотрим теперь, что произойдет, если к Р
присоединить множество элементов М и затем к получившемуся
расширению Р(М) присоединить еще одно множество элементов N,
взятое из того же самого поля Q. Оказывается, что этот процесс
последовательного присоединения можно заменить одним
присоединением, а именно
Р(М) (N) = P(L),
где L — множество, состоящее из элементов М и N (т. е. сумма
множеств М и 7V).
Рассуждаем следующим образом. Поле P(M)(N) содержит
Р{М) и N. В свою очередь, Р(М) содержит Р и М, поэтому
P(M){N) должно содержать Р, М и N или, что то же самое,
Р и L, Отсюда следует, что P(M)(N) должно содержать Р(£):
Р(М)(Л0 = Р(£). (2)
№
С другой стороны, P(L) содержит Я и Z,, в силу чего Р(£)
должно содержать Р, М и N. Но если P(L) содержит Р, М
и /V, то оно также содержит Р(М) и ЛЛ Мы видим отсюда, что
p(L)mPW№ ' (3)
Сравнивая соотношения (2) и (3), получаем равенство
Р(М) (N) = P(L).
С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что
вообще
Р{М) (ЛО ... (Г) = Р(£), (4)
где Z,— сумма множеств Ж, TV, ..., Г.
Мы присоединяли к Р сначала множество М, а затем
множество N. На основании сказанного видно, что порядок присое-
1инения не имеет существенного значения. Действительно, как
Р(М) (ЛО, так и P(N)(M) равны P(L).
Особенно часто приходится встречаться со случаем, когда
присоединяемое множество М конечно, т. е. когда М состоит из
п элементов аь а2, ..., а„. В этом случае вместо Р{М) и Р[М\
употребляются более подробные обозначения Р(ах, а2, ..., ос/г)
и Р[</.ц а2, ..., а*]. В силу равенства (4) процесс
присоединения к Р конечного множества М можно свести к
последовательным присоединениям отдельных элементов. Расширение,
получающееся после присоединения к полю одного элемента, называется
простым расширением поля; например поле Р(х) рациональных
функций в Р есть простое расширение Р. К изучению подобного
рода расширений мы сейчас и приступим.
Пусть снова Q — некоторое расширение поля Р.
Возьмем из Q произвольный элемент б и присоединим его
к Р. В результате получится простое расширение Р(б). В первую
очередь мы займемся исследованием не самого Р(9), а его части
Р[6]. Это позволит легче изучить Р(0). Очевидно, элементы Р[0]
должны быть целыми рациональными функциями 0, т, е. должны
иметь вид
a9 + afi + a^+ ... +a„6»,
где я0, tfj, ..., ап — элементы поля Р; п — какое угодно целое
неотрицательное число.
Нетрудно убедиться, что Р[б] есть гомоморфный образ
кольца Р[х] многочленов в поле Р. В самом деле, если привести
в соответствие каждому многочлену
f(x) — a0-\- а{х-^ а.2х*-{- ... ~\-апхп
в поле Р элемент
/(e)=«e + «iO-H '•• -К6"
щ
кольца Р[в]: /С*)-►/(«),
то соответствие будет сохраняться при сложении и умножении:
Итак, Р[х]слР[Ь]. Воспользуемся теперь теоремой о
гомоморфизме колец (§ 17). Согласно этой теореме Р [6] должно быть
изоморфно с кольцом классов Р[х]/т, причем идеал m состоит
из таких многочленов в поле Р, которые отображаются на нуль
кольца Р[0]. Выясним, какие же многочлены будут отображаться
на нуль кольца Р [6]. Гомоморфизм Р [х] <уэ Р [6] состоит в том,
что каждый многочлен f(x) отображается на /(6). Следовательно,
на нуль будут отображаться только такие /(х), которые при
х = 0 равны нулю.
Отметим еще одно важное обстоятельство. В § 20 было по-^
казано, что Р[х] есть кольцо главных идеалов. Значит, m —
главный идеал: т = (р(х)).
Мы пришли к следующему результату:
Р \Ь] gg Р \х]/(р (х))> идеал (р(х)) состоит из таких многочленов
в поле Р, которые при лг = б равны нулю.
Относительно многочлена р (х) представляются только две
возможности: либо />(л:) = 0, либо р (х) ф 0. Разберем эти
случаи подробно.
1. Пусть р(х) = 0. Тогда Р[0] должно быть изоморфно
кольцу Р[х] многочленов в поле Р. В самом деле, каждый класс
а(х) кольца классов Р[х]/(0) равен а(х) -j-(Q) = a(x).
Следовательно Р[х]/(0) = Р[х] и соотношение Р[Щ^Р[х]/(0)
принимает вид Р[6)ФР[х].
Благодаря изоморфизму Р[Щ^.Р[х] элементы /(6) кольца
Р[6] сравниваются, складываются и перемножаются по тем же
правилам, что и многочлены f(x) в поле Р; элемент 0 при этом
играет роль неизвестного х. В частности, если многочлен f(x)
не равен нулю, то и f(b) также не равно нулю. Как видим,
элемент 0 не может быть корнем никакого многочлена f(x) ф 0 в поле Р.
Такого рода элемент называется трансцендентным элементом
относительно Р1). Очевидно, Р[б] подобно Р[х] не образует поля.
Теперь займемся простым расширением Р(0). Оно предста-,
вляет собой поле дробей ^-^ (ёФ)фО). С выражениями ~~.
можно обращаться, как с обычными дробями, а именно:
1# 4тм- = ^4т тогда и только тогда, когда /j (6) £\2 (6) =
51 V*) 62 V>) (
*) Если Р—поле рациональных чисел, a Q — иоле комплексных чисел,
ТО 9 называется трансцендентным числом,
w
9 AW I /iffl_/i(«)ft(9)+/i(e)gi(tt)
• вГ1(в)"Г&(в)~ ft (6) ft (6)
3- Ш Ш ~ МвЩвУ (§ 16, стр-101)-
Сразу бросается в глаза, что каждому выражению ^~ взаим-
f(x)
но однозначно соответствует рациональная функция v ' в поле Р
и это соответствие сохраняется при сложении и умножении.
Итак, если р(х) = 0, то простое расширение Р.(6) изоморфно
полю Р(х) рациональных функций в Р.
2°. р (х) ф 0. В свое время было отмечено, что в кольце Р [х]
делителями единицы являются только многочлены нулевой степени
(§ 18, стр. 113). Посмотрим, может ли р(х) быть многочленом
нулевой степени. Возьмем идеал (р{х)). Он состоит из таких
многочленов f(x), которые при лг = 6 обращаются в нуль. В
частности, р(х) при лг = б также должно обращаться в нуль. Таким
образом, если
р(х) = с,
где с — не равный нулю элемент Р, то, полагая дг = 6, получаем
нелепость с = 0. Следовательно р(х) не может быть
многочленом нулевой степени.
Мало того, мы сейчас увидим, что р (х) неразложимо [т. е.
р{х) — многочлен, неприводимый в поле Р]. В самом деле,
предположим противное: пусть р(х) разложимо, тогда в кольце
классов Р[х]/(р(х)) будут существовать делители нуля (§ 18,
теорема 2). Но Р[х]/(р(х)) изоморфно с Я [6], следовательно, делители
нуля должны существовать также в Р [б]. Последнее, однако,
невозможно, так как Р[Щ есть область целости.
Легко заметить, что р (х) есть многочлен наинизшей степени
среди многочленов f(x), отличных от нуля и имеющих G своим
корнем. Действительно, если f(x) при х==Ь равно нулю, то
f(x) должно принадлежать идеалу (р (х)). Иными словами, f(x)
должно делиться на р(х), в силу чего степень f(x) не может
быть меньше степени р (х).
Отметим, кроме того, что р (х) является с точностью до
постоянного множителя единственным неприводимым многочленом,
имеющим 6 своим корнем. В самом деле, пусть q (x) —
какой-нибудь другой многочлен, неприводимый в Р и обращающийся при
дг=8 в нуль. Тогда q (x) будет делиться нар (дг). Но q(x) неприводим,
следовательно, q (x) должен отличаться от р (х) лишь постоянным
множителем.
Еще одно замечание: здесь б в отличие от предыдущего
случая является корнем не равного нулю многочлена в цэле Р
[а именно неприводимого многочлена р(х)]. Мы будем такой
элемент 8 называть алгебраическим относительно Я1).
После всех этих предварительных исследований обратимся
к области целости Я [б]. Обозначим степень многочлена р(х)
через к. Мы собираемся показать, что:
1) Каждый элемент Я [6] можно представить единственным
образом в виде многочлена k—1-й степени
a = cD + cie + c1e*-f- ... +cft_ie*-«,
где cQi Cj,..., ck^ — элементы Я; 2) Я [б] совпадает с простым
расширением Я (6).
Доказательство. 1. Любой элемент а области целости
Я [б] имеет следующий вид:
a=/(6) = a0 + a10+ ... +a„6«,
где aQi at ..., ап — элементы поля Я, а п может быть каким
угодно целым неотрицательным числом.
Если степень п многочлена/(6) больше k—1, то ее можно
понизить, а именно разделим f(x) на р(х). Пусть в частном
получилось q(x) и в остатке
г(х) = с0-\-с1х + с.2х*-\- .;. + ck-i-**"1.
Пишем:
f(x)=p(x)q(x) + r(x).
Отсюда при лг=9 получается, что
/(в) = г(в),
гак как р (6) = 0.
♦Следовательно:
а=/(в)=г(в)=с, + С1е + Сзе2+ ... +Cft.1eft-1. (5)
Наша цель достигнута.
Остается убедиться, что а выражается в виде многочлена (5)
единственным образом.
Пусть
a = r1(f>) = dQ + dlt + d%V + ... +^_1б*"1.
Тогда
с,-И,е+ ... -Hft-i9ft-,=4>+tfie+ ... +<W>4
*) Если P—поле рациональных чисел, Q — поле комплексных чисел,
то О называется алгебраическим числом»
т
или
где
ei = cl — di.
Как видим, 0 является корнем многочлена
h (х) = е0 + е{х -\- е.2х* + ••• H-^-i^"1-
А теперь вспомним об идеале (р(х)). Он состоит из таких-
и только таких многочленов в поле Р, которые обращаются в нуль,
при лг = 0. Следовательно, h(x) должно принадлежать идеалу
{{рх))\ иными словами, h(x) должно делиться на (р (х)). Но
степень многочлена h(x) ниже степени р{х), значит, h(x) — 0;,
в противном случае 1г(х) не делилось бы па р(х).
Стало быть:
*о = со — rfo = °; ^1 = ^ — ^ = 0, ..., ^ = cfe_, — dk_i = 0,
т. е. с0 = а0; cl = dii ..., с^1 = аЛ-1.
Единственность представления элемента а в форме многочлена
(5) доказана.
2) Теперь посмотрим, будет ли- Р [0] полем. В силу
неразложимости р(х) кольцо классов Р[х]/(р(х)) образует поле (§ 18,
теорема 3). Но Р[х]/(р(х)) изоморфно с Р [в]; следовательно Р [6]
также образует поле, а потому должно совпадать с простым
расширением Р(б).
Резюмируем сказанное: если р (х) ф0, то р (х) неприводимо
в поле Р. При этом 0 является корнем р (х), а простое расширение
Р(0) состоит из элементов, выражающихся в виде многочленов
к— 1-й степени.
Со + С1в + с9б«+ ... +с/(_16*-\
где с0, cv ..., ck_i — элементы Р и к — степень р(х). Наконец,
простсе расширение Р(0) изоморфно с полем классов Р[х]/(р(х)).
Итак, мы проанализировали случаи р (х) = 0 и р (х) ф 0 и
пришли к следующему результату: возможны только два типа простых
расширений, а именно Р(0), изоморфные полю Р(х) рациональных
функций в Р, и Р(0), изоморфные полю классов Р [х]/(р (х))у где
р (х) — неприводимый в Р многочлен. ,
Поля Р(0) первого типа называются простыми
трансцендентными расширениями Р.
Очевидно, поле Р(х) рациональных функций следует отнести
к первому типу простых расширений. Таким образом, поле Р(х)
рациональных функций в Я есть простое трансцендентное
расширение Я.
Поля Я (6) второго типа называются простыми алгебраическими
расширениями Я. При этом многочлен р (х) носит название
многочлена, определяющего Я (6), его степень k называется степенью
алгебраического элемента 6 относительно Я, а также степенью
простого алгебраического расширения Я(0) относительно Я. Степень
Я(6) относительно Я мы будем обозначать символом [—~). Впо*
/Я(8)\ V F j „ rt
следствии мы увидим, что степень I —-^ ) не зависит от выоора
элемента б, порождающего расширение Я(б).
В . связи со сказанным возникают следующие два вопроса:
1) существует ли для всякого поля Я простое трансцендентное
расширение;- 2) существует ли для любого заданного поля Я
и произвольного многочлена р (х), неприводимого в поле Я,
простое алгебраическое расширение Я, определяемое многоуленомр(лг)1).
На первый вопрос ответить легко. Строим для Я поле Р(х)
рациональных функций. Это поле Р(х)\и будет как раз простым
трансцендентным расширением Я. Следовательно, простое трансе
цендентное расширение существует для всякого R.
Второй вопрос вызывает несколько большие затруднения.
Составляем для данного неприводимого многочлена р{х) поле
классов Р[х]/(р (х)). Очевидно, кольцо Я [х] многочленов будет
гомоморфно отображаться на Р[х]/(р(х)); при этом каждому
многочлену f(x) из Я [х] будет соответствовать класс/(дг) =/ (х) -f-
Посмотрим, что соответствует постоянным с (т. е. элементам
поля Я). Каждому с должен соответствовать класс с = с -р(Р (х)).
Легко показать, что различным постоянным с должны
соответствовать различные классы, т. е. соответствие с->с не только
однозначно, но и взаимно однозначно. В самом деле, если классы
с1 = с1-{-(р(х)) и ' с2 = с.г -(-(/? (х)) равны,
то
сх = с^(тод.р(х)).
Иными словами, разность сх — с2- содержится в идеале (р (х)).
Мы видим отсюда, что с1—с2 делится тр(х). Но разность
сх — с% может делиться на р (х) лишь тогда, когда она равна нулю,
т. е. когда с1 = с%.
Обозначим множество классов су соответствующих постоянным
с, через.Я. На основании изложенного получается, что поле Я
*) Само собой разумеется, что Я—коммутативное ncvie, так как все
время речь идет о коммутативных полях. -•
Ш
изоморфно :х>Я. ^Благодаря изоморфизму Р^Р класс с можно;
заменить постоянной с, в результате чего Р перейдет в Я.
Что же произойдет с полем классов Р[х]/(р(х)) после такой
замены? Обозначим класс х-\-(р(х)) через б и возьмем какой-
нибудь многочлен
/(л:) = а0 -f atx -\- QiX* + • • • + апхП
в поле Я. Каждому его члену соответствует класс afi^ вследствие
чего многочлену f(x) будет соответствовать
Дх) =Га0 + afi +~аф* + ... + але».
Заменим теперь а-ь через at. Тогда вместо f(x) у нас получится
/(6) = а0 -f- afi + а26* +... + а„6п. (6)
Таким образом, после замены с через с получается
совокупность элементов вида (6). Легко убедиться, что 0 является
корнем р(х). В самом деле, с одной стороны:
?М=рМ + (рМ) = (рМ) = о*
С другой стороны, заменяя с через с, получаем вместо класса
р(х) выражение рф) и вместо 0 элемент 0. Вследствие этого ра:
венство р(х) = 0 превращается в /?(6) = 0. У нас получилось, что
совокупность элементов вида (6) есть простое алгебраическое
расширение Я (6).
Итак, простое алгебраическое расширение существует для любого
заданного поля Я и произвольного многочлена р (дг), неприводимого
в Я. Вместе с тем, мы показали, что для всякого неприводимого
в Я многочлена существует корень (т. е. можно построить такое
расширение поля Я, в котором данный неприводимый многочлен
имеет хотя бы один корень).
Термины простое трансцендентное расширение
и простое алгебраическое расширение имеют более
глубокий смысл, чем это кажется на первый взгляд, а именно для
простых расширений имеют место такие два свойства:
Теорема L Все элементы простого трансцендентного рас*
ширения Я (6), за исключением элементов из Я, трансцендентны
относительно Я.
Доказательство. Возьмем из Я (в) какой-нибудь элемент
ЬфО. Так как Я (6) — простое трансцендентное расширение, то
6 будет выражаться в виде дроби ^Jr ; очевидно эту дробь можно
считать несократимой* ^\'
142
допустим ^теперь, что £— алгебраический элемент
относительно Р:
<о + ^ + <^ + ... +^Л = 0 (7)
(г0, си ... сп принадлежат полю Р; спф$).
Без ограничения общности рассуждений можно предположить,
что свободный член с0 уравнения (7) отличен от нуля. В самом
деле, если бы с0 = 0, то
где ck — первый неисчезающий коэфициент. ;
Сокращая на Е/г, получаем вместо уравнения (7) уравнение
со свободным членом, уже неравным нулю.
Итак, пусть с0 ф 0. Подставляем в уравнение (7) значение
Е = ~Д и освобождаемся от знаменателей. В результате уравнение
(7) превратится в
с.(£(в))я-Н,(вЧе)Г,/(0)+ ••• +сп(/Ф)Г=о.
Отсюда, с одной стороны получаем:
^(в)[с.(г(в))в-,+ ••• +с„-1(/(е)Г1] = -ся(/(в))л,
а, с другой стороны:
/(G) К(/(6)Г1 + ... +сЛ£Ф)Г1)=-Со^Ф)Г.
Мы видим, что (/(6) )л делится на g(b) и (g(ft))n делится на
/(6). Но это возможно только в том случае, когда g(b) и /(0)—-
многочлены нулевой степени, так как по условию дробь ^~ не
сократима. Следовательно, /(0) = а, g(b)=zb, где а и Ь —
элементы из Р. Таким образом, £ = —, т. е. \ должен быть элементом
поля Р. °
Теорема 2. Все элементы простого алгебраического расшире*
ни я Р(б) являются алгебраическими относительно Р.
Доказательство. Обозначим через k степень Р(6) относи*
тельно Р и через £— какой-нибудь элемент Р (б). Если £ содержится
в поле Р, то теорема очезидна; в этом случае ё будет корнем
линейного уравнения:
t — a = 0/
т
гДб а — элемент из А Таким образом, теорему надб доказать дли
элементов, не принадлежащих Р.
Итак, пусть 6 не содержится в Р. Так как Р(6)— простое
алгебраическое расширение k-Vi степени относительно Р, то всякий
элемент P(G) будет выражаться в виде многочлена а0-\-а^-\-
-[-*.<* ~\-ctk-i^1 c коэфициентами из Р. В частности:
5 = &, + &,8 + *«вв+ ... +6ft_,6*-';
^ = c0 + Cie + c#+ ... +«Л_1в»-«; J
е*=g9 +gfi +*>'+'.'. +л Ж J
* Обратимся к первому равенству системы (А):
(A) I
(8)
По крайней мере один из членов bfi, й262, ... , bk_fik~l
должен быть отличен от нуля. Действительно, если бы Ь1Ь = Ь%№=*
= ... =6Л_16Л"1 = 0, то мы имели бы Z = b0, т. е. £ содержалось
бы в поле Р. Пусть #от6т — последний член, неравный нулю.
Тогда мы можем равенство (8) переписать так:
{ЬтфО, mssft —1).
где
айдем
Ь'0 = -
, чему равно Ьт\
e« = % + ftie+ •
_А. а; — _А
*
.+Ь'^ &*-* + &>,
Я = Т=".
Подставляя найденное значение 6W в остальные равенства
системы (А), мы исключим Ьт и получим новую систему равенств:
р=<^_|-^в+...+<4-1вда-1+<й«4.1вя,,1 + ...+
P = cfc-f dO-
ik =g'o+tfe + ... + eV-ie«-i + ^+1e». н +.. .+
+ ...+«4-ie*-1 + CR.
(В)
Снова обращаемся к первому равенству системы (В). Если все
члены с[Ъ, с'2Ь2, ... , Ca-iQ*"*"1 равны нулю, то 52=сЬ+С15, и тео-
74*
рема доказана. Поэтому предположим, что по' крайней мере рдш!
из членов с\Ь\ с$, ...', 4-10*""1 не равен нулю. В таком случае
Р - с'0+с\ь + ... + 4-i6^r+ 4+i^+1 +•••"+ ДО" + се (9)
(с'пфО; п^к—1). Мы здесь для определенности предположили
Решаем равенство (9) относительно 6rt, получаем в результате,
что
6" = Со' + сТ'в + . • • + Ст-!^"1 + &+l0«+^ + . .. + С-!^1 +
+ С'5 + ^2.
Затем исключаем б", подставляя найденное значение 6я в
остальные равенства системы (В), и так продолжаем далее. Не более
чем через к шагов мы исключим все степени G и получим
алгебраическое уравнение относительно £. Очевидно, что степень этого
уравнения будет не выше к. Теорема, следовательно, доказана и
притом со следующим уточнением: степень Е относительно Р не
может быть больше к; если степень S относительно Р равна к,
то Р(£) = Р(6).
В самом деле, если степень 5 равна к, то процесс исключения
будет продолжаться ровно k шагов, причем придется исключать
все степени 6, б2,..., 6/е_1. Очевидно, что должен наступить такой
момент, когда придется исключить 0. Пусть это случится на у — 1
шагу (j^k):
S/-1 = /0(/-2) +/и-Щ + А£ + А& +...+ Aj-2V-2;
Решая относительно 0, получаем:
6 = а0 + а,6 + а£> + ... + а^~К
Как видим, 0 содержится в P(k). Отсюда следует, что Р(б)^Р(£).
Но, с другой стороны, Р(Е)£Р (б), так как 6 есть элемент Р(0).
Сопоставление соотношений Р(б)^=Р(£) и Р(£)Ш=Р(®) показывает,
что Р(Е) = Р(0).
Добавим в заключение, что обратное также верно: если
простые алгебраические расширения Р(Е) кР(0) равны, то степени 0
и £ относительно Р равны 1).
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения,
обозначим степень б относительно Р через & и степень 6 относительно
Р через /. Так как Р(Е)==Р(0), то 6 лежит в Р(0), вследствие
чего степень Е не может быть больше степени 0:
*) Таким образом степень (—У-) не зависит от выбора элемента 6,
порождающего расширение Р(б).
10 Л. Окунев 145
У '' '^ * ' I
l^k. С другой стороны, из того же самого равенства Р (£)=£= ж
= Р(6) вытекает, что 6 лежит в Р(£)> поэтому k^l. Сравнивая ж
неравенства l^k и k^l, получаем k = l. щ
§ 22. Поля разложения. Примитивный элемент. Поле Галуа. щ
Продолжаем изучение расширений Q поля Р. Мы ограничимся^ щ
полем Р с характеристикой 0. Впрочем, многие теоремы этого Ж
параграфа будут справедливы и для Р с характеристикой р. В этом -щ
параграфе мы рассмотрим особый класс расширений — так назы- щ
ваемые поля разложения. я
Пусть/(дг) — некоторый многочлен /z-й степени (п^ 1) в поле Р. ж
Расширение А мы будем называть полем разложения много- ж
члена f(x) относительно Р, если f{x) в А целиком распадается ж
на линейные множители: Ц
f(x) =иг0 (х — «0 (х — а2) ... (.V — ол) , 1
(я0— старший коэфициент многочлена, а,-— элементы А) и если А ж
получается путем присоединения к Р корней аА, ое2, ... , ап мно- j
гочлена f(x) : А = Р (ое^ ое2, ... , ал). " 1
Мы сейчас покажем, что поле разложения существует для я
всякого многочлена f(x) из Р[х], отличного от^постоянной. я
, Доказательство. Придется разобрать три случая: ж
1) многочлен f(x) в поле Р целиком разлагается на линейные ж
множители: я
f(x) = a0(x — at)(x — a2) ... (х — а„), 1
где аи ос2, ... , ап — элементы Р; Я
2) многочлен f{x) в поле Р разлагается на линейные множи- я
тели частично: 1
f{x) = ix — *d(x — *d ■•• ix — *k>pAx)P%{x) ... pr(x)f I
где «j, a2, ... , ak — снова элементы Р, а /?г (л:) — неприводимые I
в Р многочлены выше первой степени; 1
3) многочлен f(x) разлагается в поле Р только на неприводи- 1
мые множители выше первой степени. I
В первом случае полем разложения, очевидно, будет само Р; 1
присоединяя к Р корни аи а2, ... , ал, мы снова получим Р, так ч I
как ос,- лежат в Р. I
Во втором случае поступаем следующим образом. При- 1
соединим к Р корни аи <х2, ... ak\ от этого Р не изменится— I
P(<*i, <х2> ••• > а/г) = Л потому что av а2, ... , v.k лежат в Р. 1
Затем присоединим к Р корень аш неприводимого множителярх {х)\ 1
по ддказанному в предыдущем параграфе такой корень должен 1
обязательно существовать. В результате у нас получится простое j
алгебраическое расширение Р(«/г+1) = Я(«1, «9, ... , <xk, аш), в
котором многочлен f(x) будет распадаться уже на большее число
линейных множителей. В самом худшем случае многочлен f(x)
в поле Я(ай+1) будет следующим образом разлагаться на
неприводимые множители:
Дх) = (х — а1)(х — ад ... (х — ak) (х — ak+l) qt (x) . .. qs(x),
где Яь(х) — неприводимые в Р(ам) многочлены выше первой
степени.
Присоединяем далее к Я(ай+1) = Я(а1, а2, ... , аш) корень
Ч+ъ неприводимого множителя qx (лг) и т. д. Через конечное число
шагов мы должны притти к полю Д = Р(<х1, а3, ..., аш, aft+2,
... > an)» B котором рассматриваемый многочлен целиком
распадается на линейные множители. Очевидно, Д и будет как раз
полем разложения f(x) относительно Р.
Примерно те же рассуждения можно повторить относительно
третьего случая.
Невольно возникает вопрос, не будет ли только что
построенное поле разложения многочлена f{x) относительно Р
единственным. На этот вопрос мы ответим не сразу. Придется
предварительно ввести несколько новых понятий.
Назовем два расширения At и Д2 поля Р эквивалентными
(относительно Я), если между ними можно установить такой
изоморфизм Д!^Д2, при котором каждый элемента поля Я
отображается на самого себя:^а->а.
Так, например, "всякое простое трансцендентное расширение Я(6)
эквивалентно полю Р(х) рациональных функций в Я.
Действительно, в предыдущем параграфе мы нашли, что Я(0)^Р(дг),
/(8)
причем каждому элементу -^~ трансцендентного расширения вза-
&' ' / (х)
имно однозначно соответствует рациональная функция "4-4.
Ш JJS)
g(V g(x)m
Таким образом, если взять в качестве/(дг) постоянное афй
и в качестве g{x) единицу, то получится отображение элемента а4
поля Я на самого себя: a-*a.
Отсюда, между прочим, следует, что всякие два~ простые
трансцендентные расширения поля Я эквивалентны, потому что
каждое из них эквивалентно с полем Р(х) рациональных функций.
s Приведем еще один характерный пример эквивалентности.
Нетрудно убедиться, что простые алгебраические расширения
Я(6) и Я (б') эквивалентны, если 6 и 0' являются корнями одного
и того же многочлена р(х), неприводимого в поле Я.
рШ№^;х »
Доказывается это утверждение так. Очевидно, р (х) есть много-'
член, определяющий как расширение Я (6), так и расширение Р(9').
Таким образом, если k — степень р(х)у то элементы Р(0)
должны однозначно изображаться в виде многочлена k — 1-й
степени а0 -f- aft -f" а262 -f- ... -\~ ak_x№~x (см. предыдущий параграф).
Точно так же элементы Р(б') должны однозначно изображаться
в виде многочлена а0 -f-^6' -}-•••+ ak-fi'kl> поэтому соответствие
а0 + ахЬ + ... + aw8*-i -> а, + aft* + ... + а^в'Ч (1)
при котором коэфициенты at не меняются, a 6 переходит в 6',
будет взаимно однозначным. Посмотрим, будет ли соответствие (1)
сохраняться при сложении и умножении. Возьмем два каких-нибудь
элемента
а =/(в) = а0 + ахЬ + а# +...+ ak_xb^
р = g (8) = b0 + ^8 + М2 + ■ • ■ + Vi^'1
расширения Р(0). Их надо складывать так, как складываются
многочлены:
« + Р = (во + *о) + («i + *i) б -f • • • + (а*_, -\-bk-i) б*"1-
Чтобы перемножить а и (3, надо перемножить многочлены
f(x) = а0 Ц- ахх -f ... + а*.^1
и
разделить произведение f(x)g(x) на /?(л:) и в получившемся
остатке г (х) = с0 -f- ^лг -f- ^2^ + • • • + ck-ixk~l заменить х через 0:
«Р = 'о+*1е-Иае«+ ... +W
fe-i
Но элементы Р(в') складываются и перемножаются по тем же
самым правилам, следовательно, соответствие (1) должно
сохраняться при сложении и умножении. Таким образом, Р(8) и Р(О')
изоморфны. Так как соответствие (1) не меняет элементы Р, то
Р(0) и Р(8') эквивалентны (относительно Р).
Дополнительное замечание. В главе пятой придется
иметь дело с одним довольно распространенным случаем
эквивалентных расширений — с так называемыми сопряженными
расширениями.
Расширения Ах и А2 поля Р называются сопряженными
(относительно Р), если At и А2 эквивалентны (относительно Р) и если
существует такое третье расширение G, которое'содержит А, и A*.
14*
Приведем' пример. Пусть р (х) — неприводимый в поле Р
многочлен. Обозначим его поле разложения относительно Р через 2
и через ai, a2, .. -, aft его корни в 9.
Очевидно, простые алгебраические расширения Р^), Р(ос3),
... > Р(ал) попарно сопряжены относительно Р, потому что они
попарно эквивалентны и содержатся в S. В главе пятой мы будем
а1? oi2, . ■ • у Ч называть взаимно сопряженными элементами отно:
сительно Р.
Наконец, введем весьма важное понятие продолжения
изоморфизма. __
Пусть поле Р изоморфно отображается на поле Р, а его
расширение А изоморфно отображается на расширение А поля Р..
Мы назовем изоморфизм A gg А продолжением изоморфизма Р _gg Р,
если всякий элемент а поля Р, отображающийся при изоморфизме
P<QP на а, при изоморфизме Д^А попрежнему отображается
на аг
Пример. Возьмем в качестве Р поле всех действительных чисел,
о 1а °\
а в качестве Р — поле матриц вида , где
а—произвольное действительное число. W а1
Для Р композициями будут, очевидно, обычные арифметические
сложение и умножение, а для Р—матричные сложение и
умножение. Приведем в соответствие каждому действительному числу а
(а 0\
матрицу
а
(::)•
Нетрудно убедиться, что это соответствие является
изоморфизмом РУОР.
Затем в качестве расширения А возьмем поле комплексных
чисел, а в качестве расширения А — поле матриц вида
/ а Ь\
\-Ь а)>
где a, b — произвольные действительные числа. Приведем в соот-
/ а Ь\
ветствие каждому комплексному числу а-\-Ы матрицу I , 1 :
а + Ы-+( а Ь\ (2)
\—Ь а)
Это соответствие также является изоморфизмом, ноле Д ком-
U9
плексных чисел изоморфно отображается на поле А" матриц вида
[т-Ь а)'
Положим Ь = 0. Тогда соответствие (2) превратится в
Мы видим, что при изоморфизме А^?Д действительное число а
(а °\
иопрежнему отображается на матрицу , следовательно изо-
_ ^ >
морфизм Д^А есть продолжение изоморфизма РФ Р.
Отметим несколько свойств продолжения изоморфизма. Чтобы
не тратить много слов на формулировки, заметим заранее, что
мы все время будем иметь дело с изоморфными полями Р и Р.
Мы ограничимся тремя свойствами продолжения изоморфизма.
I. Если Р изоморфно с Р, то кольцо многочленов Р [х] можно
изоморфно отобразить на кольцо многочленов Р [х] так, чтобы
изоморфизм Р [х] Ф Р [х]ч являлся продолжением изоморфизма
Доказательство. Пусть при изоморфизме РФР элемент
^ а поля Р отображается на элемент а поля Р: а—>а.
Тогда многочлен f(x) = a0-f- ахх-\- ... -\-апхп кольца Р[х]
будет взаимно однозначно отображаться на многочлен f(x) =
z=^0-\-alx~\- ... -\~апхп кольца Р[х]. Нетрудно заметить, что
отображение f(x)->f(x) сохраняется при сложении и умножении.
Кольца Р[х] и Р[х], следовательно, изоморфны. Остается
показать, что этот изоморфизм Р[х]ФР[х] есть продолжение
изоморфизма РФ Р. Обращаемся к многочлену /(х) = а нулевой
степени. Для него соответствие /(лг)->/(дг) придется переписать так:
а->а. Мы видим, что при изоморфизме Р[х]ФР[х] элемент а
поля Р попрежнему. отображается на элемент а поля Р.
Переходя ко второму свойству, отметим, что под р (х) мы
будем все время подразумевать многочлен, неприводимый в поле
Р, а под р(х)—такой многочлен в поле Р, на который
отображается р{х) при изоморфизме Р[х]ФР[х], упомянутом в
доказательстве свойства I. Очевидно, р (х) неприводимо в Р.
И. Если Р изоморфно с Р, G— корень р(х) и 8 — корень р(х),
то изоморфизм РФР можно продолжить до изоморфизма
Рф)ФРф), при котором 6 будет отображаться на \
150
Доказательство. Воспользуемся изоморфизмом / (х) ->/(#)
*между Р М и ~Р М» упомянутом в доказательстве свойства I. Если
в многочлене f{x) неизвестное х заменить через б, а в многочлене.
7(х) неизвестное х заменить через б, то получится соответствие
между элементом /(б) простого алгебраического расширения Р(б)
и элементом /(б) простого алгебраического расширения Я(б)„
Выясним, будет ли это соответствие взаимно однозначным. Возьмем
из кольца Р[х] еще один многочлен g(x).
Пусть £*(б)=/(б). Рассмотрим разность h(x)=g(x)—f(x\
очевидно h (б) =g(ft) —/(б) = 0. Поскольку h (6) равно нулю,
многочлен h(x) должен содержаться в главном идеале (р(х)); иными
словами, h (x) делится ца р(х)
h(x)=p(x)q(x),
или более подробно: g(x)—f(x)=p(x)q(x)- В силу
изоморфизма Р[х]^Р[х] равенству g(x)-~f(x)=p{x)q(x) должно
соответствовать равенство g(x)—f(x)—p(x) q(x). Положим в
последнем равенстве х — б. Получим g(b)—f(S)=p(b)q (б). Но б'
есть корень р(х), следовательно g ф)—/(6) = 0, т. е. £*(б) =
=/(б). Обратно, пусть £-(б)=/(6). Покажем, что тогда g(Q) =
=/(б). Рассуждаем точно так же, а именно составляем разность
g (х) —/ (х). Она при х = б равна нулю. Поскольку g(ti) —/(б) =
= 0, разность g(x)—f(x) должна содержаться в идеале (р (х));
иными словами, g (х) —f{x) =p(x) q (x). В силу изоморфизма
Я М = Р [х] равенству g (х) —f(x) =p(x) q (x) должно
соответствовать равенство g(x)—f(x)==p(x)q(x). Полагаем ;е = б
и получаем в результате g(b)=f(Q).
Цтак, соответствие между /(б) и /(6) оказалось взаимно
однозначным.
Для сокращения письма мы его будем обозначать обычным
символом/(б) ~>/(б).
Теперь покажем, что соответствие /(6) -*/(6) сохраняется при
сложении и умножении. Придется снова воспользоваться
изоморфизмом Р[х]У2Р[х].
Возьмем из кольца Р[х] два произвольных многочлена f(x)
и &(х)- В кольце Р[х] им будет соответствовать f(x) и g(x):
Сложим и перемножим/(дг) и g(x). Пусть f(x) -\-g(x) = h(x);
f(x)g(x) = k(x).
В кольце Р[х] многочленам h{x) и ktyc) будут соответствен
вать многочлены h (х) и k (х). Так как Р [х] и Р [х] изомор-
фны, то h(x)=f(x) -\-g(x), k(x)=f(x) g(x). Положим в
равенствах f(x)-\-g(x) — h(x); f(x)g(x) = k(xy неизвестное х
равным 6, а в равенствах /(x) -f- g (x) — h(x), f (x) g(x) = k (x)
неизвестное х равным G. Получим:
/(6) + ^(e) = A(6); f(b)j(4) = ft (6);
7 (б) + g (9) = а Ф); 7 (6) g (в) = ft (ё).
Мы видим отсюда, что
А(в)=/(6)+^(в)-*А(9) = 7(в) + г(в);
ft (в) =/(6) й-(в) -► ft (в)=/ (в)g (в),
т. е. соответствие /(б)->/ (6) сохраняется при сложении и умно--
жении.
Итак, простое алгебраическое расширение Р(6) оказалось
изоморфным с простым алгебраическим расширением Р(6).
Легко убедиться, что этот изоморфизм Р(8)£^Я(6) является
продолжением изоморфизма РУ2.Р. В самом деле, перепишем
соответствие /(6)-*/(6) несколько подробнее:
ав+в1е + ... + аяе»-^^-(-^ё + ...+^б" ^ (в)
и положим flj, а.2,..., ал равными нулю. Тогда в силу изоморфизма
РОЯР коэфициенты аи a2i...,an будут также равны нулю. Таким
образом, соответствие (3) превращается в а0-*а0. Выходит, что
при изоморфизме Я(в)!^Р(0) элемент а0 поля Р попрежнему
отображается на элемент а0 поля Р.
Свойство II доказано полностью.
III. Пусть поле Р изоморфно с полем Р, многочлен п-й степени'
(п^ l)f(x)u3P[x]npu изоморфизме P^QP отображается на
многочлен / (х) из Р [х] так, как указано в доказательстве свой-
cmeal; кроме того пусть А— поле разложения f(x) относительно
Р и А — поле разложения f(x) относительно Я, тогда
изоморфизм pz/Ур можно продолжить до изоморфизма Ag£? д.
Доказательство» Напишем разложение/(дг) на линейные
множители в поле А и разложение / (х) — на линейные
множители в поле А:
/(«*) = а0(х — «О (х — ос2)... (х — ап);
7(*)=м*—Pi)(*—Р0...(*—Р«).
т
Представляются три случая: 1) все корни аи> а2,.. •, <хЛ
многочлена f(x) лежат в Р, т. е. А = Р; 2) часть корней аи а2,...,ая.
например а19 ос2, ..*,а3 лежит в Р; 3) ни один из корней аи а2,..., ал
не лежит в Р.
В первом случае свойство III очевидно: в силу изоморфизм?
рс/эр многочлен f(x) в поле Р также будет целиком
распадаться на линейные множители; вследствие этого А = Р. Как видим,
здесь изоморфизм Р^Р даже совпадает с изоморфизмом A eg А.
Во втором случае многочлен f(x) следующим образом
разложится в поле Р на множители*
/С*) = (•* —«О (* — а2)... (х — as)pi (х) .. ,рг (х),
где а(л0 — неприводимые в Р многочлены выше первой степени;
а,, а2,.. .,ос5 лежат в Р.
Очевидно, что при изоморфизме Р^Р корни «j, ...,ое5
многочлена f(x) будут отображаться на какие-то элементы поля Р и
эти элементы должны быть корнями (3 многочлена f(x).
Без ограничения общности рассуждений можно предположить,
что при изоморфизме Р^Р корень at отображается на $t; а2 —
на р2, ...,а5 —на Р^; в противном случае мы бы соответственным
образом перенумеровали корни (Зь (32,..., (За. При этом
предположении многочлен f(x) разложится в поле Р так: ^
f{x) = {X — fa)(x — P2)...(X— Р,)М*). ••£(*).
где л(лг) — неприводимый в Р многочлен выше первой степени,
на который отображается pt(x)t Пусть as+t — корень pi(x) и (35+1 —
корень р! (х). *) Присоединяя as+l к полю Р и 465+1 — к полю Р, мы
по свойству II получим продолжение изоморфизма РУ2Р, а
именно изоморфизм P(a5+i)^P(^+i). В расширении Р(ос5+1) многочлен
f(x) будет распадаться уже на большее число линейных
множителей. Допустим, что
' f(x) = (х — aL) (x — а2)... (х — as)...(x — at) qt (x) ... qk (*),
где qt(x) — неприводимые в P(as+1) многочлены выше первой
степени. В силу изоморфизма P(«.c+i)^P(P.y+i) многочлен / (х)
разложится в поле-Р((35+1) на неприводимые множители так:
*) Всегда можно многочлены pi(x),...tpr{x) и корни Pi* Э2> •_:_• >Рл
перенумеровать так, чтобы ат было корнем рх {х) и $s+l — корнем pi (x).
т
где qt (х) — многочлен выше первой -степени, на который отобра- \Щ
жается при изоморфизме Р (as+i)=jP($s+i) многочлен qt(x). Пусть . ■$
qx(x) имеет своим корнем а/+1, a qt(x) имеет корнем р/+1. При- ;i
соединяя ам к Р(ос5+1) и р/+1 к P($s+1), мы продолжим
изоморфизм Р(а*и)22Р(Р,+1) Д0 изоморфизма Р(ос,+1, a/+1)^P(P#+1> pw)
и т. д.
В конце концов с помощью этого процесса последовательного
присоединения изоморфизм РУ^Р будет продолжен до
изоморфизма А^А. "
Те же рассуждения можно повторить и для третьего случая.
Вернемся к вопросу об единственности поля разложения.
Рассмотрим частный случай свойства III, когда Р=Р и изоморфизм
Р^Р является тождественным автоморфизмом поля Р (т. е. авто-^
морфизмом, при котором каждый элемент Р отображается на
самого себя: а->а). Очевидно, что в этом случае f(x)
совпадает с f(x), и свойство III принимает следующий вид: если А и
А — два поля разложения многочлена f(x) относительно Р, то >
тождественный автоморфизм поля Р можно продолжить до
изоморфизма Д^§А. Короче говоря, поля А и А эквивалентны.
Итак, поле разложение многочлена f(x) относительно Р
определяется с точностью дб эквивалентного расширения
однозначно.
Посмотрим теперь, какими характерными чертами обладают
поля разложения.
Теорема 2. Пусть f(x)— попрежнему многочлен п-й
степени (п^1) в поле Р, А — поле разложения f(x)
относительно Р. Тогда всякий многочлен р (дг), неприводимый в Р, либо
совсем не имеет корней в А, либо разлагается в А целиком на
линейные множители.
-Доказательство. Предположим противное, пусть р(х)
имеет в А корень 8 и в то же время не разлагается в А целиком на
линейные множители. Расширяем А до поля S, в котором р{х)
полностью разлагается на линейные множители. Возьмем из поля Ё
корень б' многочлена р(х), не содержащийся в А, и рассмотрим
простые алгебраические расширения Р(б) и Р(б'). Так как 6 и
G' — корни одного и того же неприводимого многочлена р (х), то
Р(8) и Р(б') эквивалентны; иными словами:
Р(6)<^>Р(б'), (4)
причем 6 отображается на б' и каждый элемент а поля Р
отображается на самого себя: a->a.
Воспользуемся свойством III продолжения изоморфизма.
Обозначим через аХ) аа, ..,, ап корни многочлена/(х) в Д, Очевидно,
т
что многочлен f(x) при изоморфизме (4) отображается на самого ,
себя, поэтому J(x)=f(x). Далее, Р(6, ai9 ..., ал) есть поле
разложения f(x) относительно Р(б), аР(б', аи ..., ая) —поле
разложения J(x)=f(x) относительно Р(б'), следовательно,
изоморфизм (4) можно продолжить до изоморфизма
Р(в, а„ ...,осл)^Р(б', *!,..., аД (5)
при котором 6 отображается на 6', а ос^ — на oe/fe.
По условию корень 6 содержится в А = Р(ое1, ..., ая). Это
значит, что 6 — рациональная функция аи а2, ..., art с коэфициен-
тами из поля Р: В = г(аи ое2, ..., ап). h
В силу изоморфизма (5) равенству Q = r(au a2, ... a„) будет
соответствовать в поле Р(б', о^, ..., ал), равенство
в' = г(«^...,«/я).
Выходит, что б' есть также рациональная функция аь ..., ал) -
значит, 6' должно содержаться в Д. Мы пришли к абсурду: по
условию 6' не содержится в А.
При построении поля разложения нам приходилось к Р при- -
соединять несколько элементов. Оказывается, что такое
присоединение равносильно присоединение одного лишь элемента, точнее:
поле разложения многочлена f{x) относительно Р
есть простое алгебраическое расширение Р1). Это
вытекает из следующего замечательного предложения, известного
под названием теоремы о примитивном элементе.
Теорема о примитивном элементе. Если a, {J, ...,ш —
алгебраические*элементы относительно Р, то Р(а, £,..., о>)
есть простое алгебраическое расширение Р;
Р(«, Р, ...,«) = Р(6), ^
где б — некоторый алгебраический элемент относительно Р (он
носит название примитивного элемента).
Прежде чем доказывать теорему, сделаем одно небольшое
замечание.
Пусть р (х) = а0 -f- atx -+-... -j- akxk — неприводимый
многочлен в Р, А — поле разложения р (х) относительно Р.
Нетрудно убедиться, что в поле А многочлен р (х) не может
иметь кратных корней.
Действительно, предположим противное. Тогда производная
р' (x) = al -|- 2а.2х -}- ... -j- kakxk~l будет иметь по меньшей
1) Речь все время идет о поле Р с характеристикой 0. Для поля
с характеристикой р это утверждение, вообще говоря, неверно.
мере один общий корень с j)(x\ вследствие чего р(х) и р'(лг)
будут иметь общий наибольший делитель D (Аг), отличный от
постоянной. Так как р{х) неприводимо, то D{x) должно
отличаться от р{х) лишь постоянным множителем: D (х) = ср („v).
Отсюда получается, что р' (х) должно делиться на р\х). Но это
невозможно по следующей причине. Очевидно, производная р' (х)
может делиться на р (х) только тогда, когда она равна нулю, так
как ее степень ниже степени р(х). Предполагая /?'(лг) = 0,
получаем, что vav = 0 (v=l, 2, ...,, к). Но Р есть поле с
характеристикой 0, следовательно av = 0, т. е. р(х) = а0. Мы пришли к
абсурду: неприводимый многочлен р (х) оказался постоянной.
Теперь приступим к доказательству теоремы.
Доказательство. Сперва докажем теорему для двух
алгебраических элементов а и (3. Если один из них, например а, лежит
в Р, то теорема очевидна: Р(а, (3) = Рф); поэтому предположим,
что ни а и ни р не лежат в Р. Пусть а является корнем
неприводимого в Р многочлена р (х) m-ft степени и р — корнем
неприводимого в Р многочлена q (x) я-й степени. Если в Р(а, [3)
многочлены р(х) и q(x) не разлагаются целиком на линейные
множители, то мы можем Р(а, [3) расширить до такого поля S, в
котором р(х) и q(x) будут уже целиком распадаться на линейные
множители1). Пусть в S многочлен р (х) имеет корни а1? а2, ..., ат,
a q{x) — корни р1э |32, ..., (Зл. Среди корней а,- будет, очевидно,
встречаться и элемент а. Предположим для определенности, что
й1==а. Точно так же предположим, что pi = J3.
Обратимся к линейному уравнению
0
% не может равняться plf так как неприводимый многочлен # (#) не
может иметь кратных корней (см. вышеприведенное замечание);
следовательно уравнение (6) в поле Е допускает только одно решение, а
именно: z= и1~~п1- Очевидно, в поле Р можно всегда выбрать такой
Р* — Pi - at —a,
элемент с, который не равен ни одному выражению q _o
0=1, 2, ..., т\ к = 2, 3, .... л). ?* р1
Возьмем такой элемент с. Тогда получаем для любых i и кф 1,
что
Обозначим теперь с^-f-cPi = а 4~ СР через 6. Мы сейчас
покажем, что 6 как раз есть примитивный элемент.
*) Например можно расширить до поля разложения /(х)=р (x)q(x)
относительно Р(а, р).
156
ч.
Рассмотрим для этой цели многочлены р (И — сх) и q (х).
Подставляя вместо х элемент р, получаем:
р(в —ср)=р(« + ср—с?)=р(а) = 0; ?(р) = 0.
Мы видим отсюда, что р есть общий корень многочленов
р{Ь — сх) и q{x). Выясним, имеются ли у /?(б— сх) и ^(д;)
другие общие корни. Возьмем какой-нибудь другой корень
8ft (кф1) многочлена q (х) и предположим, что р (6 — срЛ) = О,
тогда 6 — c$k = ai9 откуда
в =«1+с?1 =*/ + <&»
что невозможно. Как видим, многочлены /? (6 — слг) и q (x), кроме р,
других общих корней иметь не могут. Благодаря этому
обстоятельству наибольший общий делитель р(Ь — сх) и q (х) должен
выглядеть так: D = (x — Р)5 и даже так: D(x) = x — р, потому
что корни неприводимого многочлена q(x) не могут быть
кратными. Поскольку коэфициенты /?(6 — сх) и q(x) принадлежат
полю Я (6), коэфициенты их наибольшего общего делителя х — р
также должны принадлежать Я(0). Выходит, что р содержится
в Я (6), но если р содержится в Я (б), то а = б — ср и подавно
будет содержаться в Я(6). Отсюда следует, что расширение Я (а, Р)
содержится в Я (6):
Я (а, р)£Я(6).
С другой стороны, Я(0)^Я(а, р), так как Ь — а-^-ф есть,
очевидно, элемент Я (а, Р). Сравнивая соотношения Я (а, Р)^Я(6)
и РФ) = Р(&> Р)» приходим к заключению, что Я (а, р) = Я(б).
Остается показать, что О— алгебраический элемент
относительно Я. Но это доказывается несравненно легче. Предположим
противное, пусть б трансцендентно относительно Я. Тогда согласно
известному свойству простых трансцендентных расширений все
элементы Я (ос, р) = Я(6), кроме элементов Я, будут также
трансцендентными. В частности трансцендентными будут аир, что
невозможно *).
Итак, мы доказали теорему для двух алгебраических элементов.
Теперь докажем ее для любого числа алгебраических элементов-.
Воспользуемся методом индукции. Предположим, чт^> теорема
верна для п — 1 элементов ос, р, ..., v:
Я(а, р,...,у) = Я(6'),
*) Рассуждения, приведенные в этом абзаце, были мне сообщены
А. П. Дицманом.
'-■ . 157
где 6'~ алгебраический элемент, относительно Р. Присоединяя
еще один элемент ©, имеем: ,
Р(«, р, ...,v, <*>) = Р(9', ш) = Р(в),
т. е. теорема оказалась верной и для п элементов.
Приводим два следствия, вытекающие из теоремы о
примитивном элементе.
Следствие 1. Сумма, разность, произведение и частное
алгебраических элементов а, р относительно Р, лежащих в
некотором расширении Q поля Р, являются, в свою очередь,
алгебраическими относительно Р.
Действительно, по известному свойству простого
алгебраического расширения все элементы поля Р(а, р) = Р(6) и, в
частности, а±р, ар, у должны быть алгебраическими относительно Р.
Следствие 2. Если Е = Р(0)— простое алгебраическое
расширение поля Р, то всякое промежуточное поле А, содержащее Р
и содержащееся в Е, является^ также простым
алгебраическим расширением поля Р.
Доказательство. Пусть п — степень Е относительно Р.
По известному свойству простого алгебраического расширения
каждый элемент поля Е должен быть алгебраическим элементом
не выше #-й степени относительно Р, поэтому среди элементов
промежуточного поля А должен существовать по меньшей
мере один элемент наивысшей степени относительно Р.
Обозначим этот элемент через а и его степень относительно Р через т.
Затем возьмем из А произвольный элемент р и присоединим а и
Р к Р. Согласно теореме о примитивном элементе Р (а, Р) = Р (ш),
<D = a-f*cp. Обозначим степень Р(ю) относительно Р через /.
Очевидно, что 1^т, так как каждый элемент поля Р(<о) (и в том
числе а) должен быть алгебраическим элементом не выше /-й
степени относительно Р. С другой стороны, ш = а-|-ср есть один
из элементов поля А, поэтому 1^,т\ в противном случае т не
было бы наивысшей степенью элементов поля А. Сопоставляя
неравенства l^m\ l^m, мы видим, что т = 1.
А теперь обратимся к Р(а) и Р(а, р) = Р(о)). Поскольку
степень а равна степени ш, поле Р (а) должно совпадать с полем Р (ш),
а не составлять часть Р((о):
Р(а) = Р(о>) (§ 21, стр. 145).
Отсюда следует, что со содержится в Р(а). Но если со
содержится в Р(а), то р== <Q'~g и подавно должно содержаться в Р(а).
Таким образом, любой элемент А лежит в Р(а), откуда Д = Р(а),
В заключение отметим, что поле разложения есть частный
случай весьма важного понятия поля Галуа.
Расширение Q поля Р называется нормальным полем, или
полем Галуа относительно Р, если оно обладает следующими
свойствами: 1) .каждый элемент Q является алгебраическим
относительно Р; 2) всякий многочлен р(х), неприводимый в Р, либо
разлагается в Q целиком на линейные множители, либо совсем
не имеет в 2 корней (ср. с теоремой 2).
В главе пятой мы увидим, какую важную роль играет
понятие нормального поля в теории Галуа.
ГЛАВА V.
ТЕОРИЯ ГАЛУА.
§ 23. Группа Галуа. Содержанием теории Галуа является
изучение структуры простых алгебраических расширений
коммутативного поля Р при помощи аппарата теории групп.
На протяжении всей главы речь будет итти исключительно
о коммутативных полях с характеристикой 0. В соответствии
с этим мы будем в дальнейшем под словом „поле*
подразумевать только коммутативное поле с характеристикой 0.
В первую очередь рассмотрим основные понятия теории Галуа^
а именно понятия поля Галуа и группы Галуа.
Определение поля Галуа было дано уже в предыдущем
параграфе. В этой главе мы ограничимся только такими полями
Галуа относительно Р, которые являются простыми
алгебраическими расширениями Р.
Итак, пусть Е есть простое алгебраическое расширение поля Р:
Е = Р(0), где б алгебраический элемент относительно Р. Посмотрим,
при каких условиях Е будет относительно Р полем Галуа.
Обозначим через р (х) многочлен, определяющий простое
алгебраическое расширение Е = Р(6) и через п степень р(х). Кроме
того, пусть 0!=6, 62, ..., Ьп элементы, сопряженные с 6 (т. е.
корни многочлена р(х) в поле разложения). Если Е образует
поле Галуа относительно Р, то р(х) будет разлагаться в Е
целиком на линейные множители, т. е. в± == в, б2, ..., Ьп будут
лежать в Е = Р(б). Так как каждое 0,- является относительно Р
алгебраическим элементом той же самой степени п, что и 0, то
отсюда получается, что Е = Р(0) = Р(0^ (см. § 21). Иными
словами, Е должно совпадать со всеми своими сопряженными
полями. *)
Обратно, предположим, что Е = Р(0) совпадает со всеми
Р(0Д Тогда в поле Е будут лежать все сопряженные элементы
0,-, вследствие чего многочлен р(х) будет в Е целиком разла-
1) Определение сопряженного поля было дано в предыдущем
параграфе.
160
Тйться на Линейные множители. Иначе говоря, £ будет-полем '
разложения многочлена р(х) относительно Р. Но мы знаем, что
поле разложения есть частный случай поля Галуа (см. конец
предыдущего параграфа). Значит, Е должно быть полем Галуа
относительно Р.
Таким образом, у нас получилось, что Е тогда и только
тогда образует поле Галуа относительно Р, когда Е совпадает
со всеми своими сопряженными полями.
Теперь займемся другим основным понятием — группой Галуа:
Обозначим через © множество таких автоморфизмов поля Галуа Е;
которые оставляют неизменными все элементы из Р.
Легко показать, что автоморфизмы множества © переводят 6
в сопряженные элементы; обратно, заменяя в каждом эле-
менте /(6) = а0-\-а1Ь-\- ... -[-an_fin~l поля Е элемент 8 со*
пряженным элементом 6f и оставляя а0, ах ..., ап^ без
изменения, мы получим автоморфизмы множества ©.
Доказательство. Рассмотрим равенство /?(6) = 0, где
р{х) многочлен, определяющий Е = Р(8). Пусть некоторый
автоморфизм 5 множества © отображает G на о>. Тогда под влиянием
5 равенство /?(8) = 0 перейдет в равенство /?(ш) = 0. Мы видим
отсюда, что о есть сопряженный с 6 элемент: ш = 0г..
Обратно, заменим в f(b) = ao-\-al0 -f- ... -\-ап_хЬп~1 элемент 6
сопряженным элементом 6,-. После такой замены у нас получится
изоморфизм /(6)-►/(6;) между £ = Р(8) и сопряженным полем
Р(8;). Очевидно, при этом изоморфизме элементы поля Р будут
оставаться неподвижными. Но мы знаем, что поле Галуа Е = Р(8)
должно совпадать со всеми своими сопряженными полями.
Следовательно, Е = Р (б) = Р (6f). Как видим, соответствие/(G) ~>/(6t.)
представляет собой автоморфизм из ©.
Мы подошли вплотную к понятию группы Галуа. «■
ч Введем композицию умножения автоморфизмов и покажем,
что по отношению к этой, композиции множество
автоморфизмов © образует конечную группу п-гэ порядка, где п степень Е
относительно Р (т. е. степень определяющего многочлена р(х)).
Эта группа как раз и называется группой Галуа (точнее
группой Галуа поля Галуа Е относительно Р).
Прежде всего покажем, что ® состоит из п автоморфизмов.
Обратимся к многочлену р(х). Он имеет п корней 81 = G, б2, ..., 6Д.
Каждый автоморфизм множества © характеризуется тем, что
он переводит 8 в некоторое 8/# Таким образе м, множество ®
содержит всего п автоморфизмов, а именно автоморфизм s0,
переводящий 6 в 81 = 8, автоморфизм sv переводящий 8 в б2, и т. д.,
наконец, автоморфизм sn_v переводящий 6 в 0п. ч
Теперь выясним, что понимать под произведением
автоморфизмов множества @.
11 Л. Окунев—-386
161
Применим к б сперва^ автоморфизм $if а затем автоморфизм
-**
I - Sj. Под влиянием st элемент G перейдет в 0,-, после чего bi под
I влиянием Sj перейдет в какое-то 6^. Таким образом, 6 под
влиянием двух автоморфизмов 5 и Sj перешло в Ьк. Мы видим, что
последовательное применение к 0 автоморфизмов st и Sj равно-
• сильно применению одного лишь автоморфизма sk. Это sk мы Ж
J-". и будем называть произведением s4- и Sj и обозначать обычным
• _. СИМВОЛОМ Sfij.
I, Относительно только что введенной композиции множество ©,
;; как нетрудно убедиться, образует группу.
'* В самом деле, из самого определения умножения
автоморфизмов ясно, что множество © замкнуто относительно умножения
•* автоморфизмов. Затем дословно так же, как это было в свое врет Ц
1 сделано для подстановок, можно показать, что умножение автомор-
it физмов @ подчиняется ассоциативному закону (см. § 1). Об еди-
£ нице много говорить не приходится: автоморфизм s0 не меняет 6;
|| следовательно, sQ и есть единица (s0 часто называют тождественным
!! автоморфизмом поля Галуа). Мы будем в дальнейшем sQ обозна-
); чать через 1.
lj Существование обратного элемента столь же очевидно. А именно, Ц
Н , обозначим через sf1 автоморфизм, переводящий 0; обратно в 0.
«* . Очевидно, что st~l будет по отношению к автоморфизму st играть ~Я
\ роль обратного элемента (sf1— так называемый обратный авто-
;| морфизм по отношению к s(). Как видим, все требования, харак-
-} теризующие группу, здесь выполняются.
[J Введем еще одно понятие. Оно будет играть немаловажную
г| роль в приложениях теории Галуа. Пусть /(х) = 0 уравнение
£ в поле Я, не содержащее кратных корней. Под группой Галуа
\\ уравнения f(x) = 0 (или многочлена f(x)) относительно Р принято
) подразумевать не что иное, как группу Галуа поля разложения f(x)
{ относительно Р. Автоморфизмы группы Галуа мы будем иногда
$ называть подстановками. Основанием для такого названия служит
l'l следующая теорема: группа Галуа уравнения f(x) = О изоморфна
'! с некоторой группой подстановок из номеров корней этого^\
I уравнения.
• Действительно, обозначим через av а2, ..., ат корни уравне-
|; ния f(x) — 0 (в поле разложения). Пусть 5 какой-нибудь
автоморфизм из группы Галуа @ этого уравнения. Автоморфизм 5 должен
t -отображать а,- в некоторый элемент (3 поля разложения
P(ai9 a2, ..., ат).
щ
Посмотрим, что можно сказать относительно р. Применим 5 к ра- 1
венству /(аг.) = 0. Очевидно, f(ai) = 0 под влиянием
автоморфизма s перейдет в равенство /(3) = 0. Стало быть, р есть один 'Я
162
из корней уравнения /(д:) = 0: {* = «/. Таким образом,
автоморфизмы из группы Галуа © вызывают перемещение корней аи
а2, ■.., «т- ПУСТЬ s перемещает ак в ai%9 а2 в а,а, ..., ат в а,да.
Тогда автоморфизму 5 будет взаимно однозначно соответствовать
/1 2 ... iw\ *
подстановка ( . . . )• Обозначим множество таких подстано-
\ix *2 . .. im)
вок через 51. Легко убедиться, что это соответствие между © и 31
должно сохраняться при умножении. Следовательно, © изоморфна
с группой 51.
В дополнение к сказанному выясним, какие подстановки
симметрической группы @т входят в состав 5(. Так как соотношения
между корнями ®(аг, <х2> •••» ат) = °» гДе ? — рациональная
функция от а19 а%, ... 9 ат с коэфициентами- из Р9 не должны
нарушаться, то придется отбросить подстановки, которые делают
несправедливым хоть одно из этих соотношений *). Что касается
остальных подстановок симметрической группы, то они будут
вызывать автоморфизмы поля разложения Р(аи а2, ...9ат)9
оставляющие элементы Р неподвижными. Таким образом 51 есть
совокупность таких подстановок симметрической группы @т,
которые не нарушают ни одно из соотношений <р (alf а2, ..., ат) = О
между корнями уравнения f(x) = О2).
Пример группы Галуа. Рассмотрим следующий многочлен в
поле Г рациональных чисел: f(x) = xi— х*-{-1. Легко
убедиться, что f(x) неприводим. Найдем группу Галуа уравнения
f(x) = 0. Для этой цели придется прежде всего определить
поле разложения 2 многочлена f(x) относительно Г. Перепи-
*) Например, если а^О и аг — 2а2 = 0, то подстановка 5 = (12) не
может входить в % так как она соотношение а± — 2<х2 = 0 переводит в
невозможное соотношение а2— 2а! = 0.
2) Предлагаем читателю самому детально разобраться, почему каждому
автоморфизму s группы Галуа соответствует не только однозначно, но
/1 ... т\
и взаимно однозначно подстановка S=(. . /, и почему подстановка,
Vi••• W
не нарушающая ни одно из соотношений между корнями уравнения,
вызывает автоморфизм поля разложения. В качестве указаний отметим
следующее: а) пусть 5 — подстановка, соответствующая автоморфизму
s группы Галуа. Тогда, если 6 = г (al9...,am) [r(alt... ,om)—
рациональная функция корней а] некоторый элемент поля разложения, то
соответствие о-* о = r(a/l, ..., a/ ) будет представлять собой как раз
автоморфизм s; b) пусть А = (. "' . 1 одна из подстановок, не нарушаю-
\ti ... imJ
Щих ни одного рационального соотношения между корнями. Поставим
в соответствие каждому элементу 6 = г (al9..., ат) поля разложения
элемент о =а г (aiv ... f aim). Это соответствие не зависит от способа
выражения о через а, так как если & = t (<xl9 a2,... ,«m) другое выражение Ь,
Г 163
'*..
тем данное уравнение так: х*-\ 1=0. Мы видим отсюдаГЯ
что если at какой-нибудь корень уравнения, то остальные коръи j
1 1 \т
будут иметь следующий вид: а2 ==-ос1, а3 =— и а4 = -.Я
Благодаря этому обстоятельству в поле Я(04) будут содержаться^
все корни oiv ое2, а3, а4, а потому Р (a,) = S. Теперь труппа |
Галуа © найдется без труда она будет состоять из автоморфиз- -
мов, переводящих аг в сопряженные элементы, т. е. из тождествен- Ж
ного автоморфизма s0 = l; из автоморфизма^, перемещающего
«i в — 04; из автоморфизма s3, перемещающего а, в — и, нако*
ai
нец, из автоморфизма s3, перемещающего аг в . Выяс*
ai
ним, с какой группой подстановок изоморфна группа Галуа @„
Очевидно, тождественному автоморфизму 1 должна
соответствовать тождественная подстановка. Обратимся к автоморфизму s^
Он корень а.х переводит в — av т. е. в <х2. Так как а2 =— а1? то Щ
sl переводит а2 в — (—at)===av Обращаясь к остальным корням, |
находим, что автоморфизм st корень а3 переводит в =
— «1 «1
т. е. в ое4, а корень ос4 в ——-= — , т. е. в <х3. Таким образом, j
J-
> к
Предоставляем читателю убедиться, что щ
/1 2 3 4\
3*-+\2 1 4з/
/1 2 3 4\ /1
?^V3 4 12J "S^\4
2 3 4
4 3 2 1
I
Отметим следующие свойства группы Галуа. Попрежнему мы :
будем поле Галуа, относительно Р, обозначать через Е.
I. Два поля Aj и А2, лежащие между Р и Е, тогда и тольщ:Щ
тогда сопряжены, относительно Р, тогда од«о из них может щ
быть переведено в другое с помощью автоморфизма из группы 1
Галуа ©.
Доказательство. Пусть At и А2 сопряжены. Тогда меж-У\
ду At и А2 можно установить такой изоморфизм At ^ А2, щ
при котором элементы Р будут неподвижными. Воспользуемся 1
свойством III продолжения изоморфизма. Обозначим через р (х) |
то г(аи ..., am) = t(aif ..., am) есть рациональное соотношение, и оно
не будет разрушаться подстановкой A: r(aiv ..., aifn)=t(aiv ... , а//я).
Легко показать, что соответствие S -* о сохраняется при сложении и умно- Ц
жении, т. с. является автоморфизмом группы Галуа. ч я
164
Л"
Многочлен, определяющий Е = Р(6). Очевидно, при изоморфизме
(1) р(х) будет отображаться на самого себя р(х) = р (х).
Далее, 2 есть поле разложения многочлена р(х) относительно Р.
Поэтому S и подавно должно быть полем разложения р (х)
относительно Aj и полем разложения />(#) относительно А2. Таким
образом, по свойству III продолжения изоморфизма можно
изоморфизм (1) продолжить до изоморфизма E^jE, т. е. до
автоморфизма из группы Галуа ®.
Обратно, пусть Aj переводится в Д2 с помощью автоморфизма
s из группы Галуа. Так как s не меняет элементы Р, то отсюда
следует, что At и А2 эквивалентны относительно Р. Кроме того,
Ах и Д2 по условию содержатся в Е. Значит, At и Д2 сопряжены
относительно Р.
II. Два элемента at и а2 яоля Галуа Е тогда и только тогда
сопряжены относительно Р, когда один из них может быть
переведен в другой с помощью автоморфизма из группы Галуа.
Доказательство. Пусть at и ое2 сопряжены. Тогда Aj = Р(аг)
и A2=rP(ot2) будут также сопряжены (см. замечание на стр. 148—149,
§ 22). Согласно предыдущему свойству должен существовать в
группе Галуа такой автоморфизм s, который является продолжением
изоморфизма Ai^A2. Так как при изоморфизме At^Ag элемент
ах отображается на ое2, то s должно также отображать аг на <х2.
Обратно, пусть некоторый автоморфизм s из группы Галуа-
переводит at в ое2. Обозначим через р(х) многочлен,
неприводимый в Р и имеющий аг своим корнем. Применим автоморфизм sj
к равенству р(а1) = 0. Тогда р(а1) = 0 перейдет в/?(ое2) = 0. Мы
видим отсюда, что at и а2 корни одного и того же
неприводимого многочлена р(х). Следовательно, at и а2 сопряжены. \
III. Если элемент а поля Галуа Е не меняется при любом
автоморфизме из группы Галуа (мы будем в этом случае говорить».
что а допускает все автоморфизмы из группы Галуа), то а должно
принадлежать Р. \
Доказательство. Легко видеть, что, кроме самого оеж
других сопряженных с а элементов не существует. В самом деле,
предположим противное. Допустим, что имеется еще один элемент
% сопряженный с а и отличный от а. Тогда согласно свойству II
существует такой автоморфизм 5 из группы Галуа, который
преобразует а в р. Выходит, что 5 изменяет а. Получилось явное
противоречие: по условию а не может изменяться.
Теперь обозначим через q(x) многочлен, неприводимый в поле
Р и имеющий а своим корнем. Очевидно, степень q (х) должна
равняться единице; в противном случае, кроме а, существовали
бы другие сопряженные с а элементы. Поэтому а есть корень
линейного уравнения q(x)=zQ с коэфициентами из Р, откуда а
принадлежит Р,
?«$
Любопытно, что с помощью группы Галуа можно доволыб)
легко доказать следующее свойство алгебраического элемента:
если Я (а) простое алгебраическое расширение поля Я, (3
алгебраический элемент относительно Я (а), то [3 будет
алгебраическим элементом и относительно Я. [Отсюда, применяя теорему
о примитивном элементе, получаем, что Я (ос, (3) есть простое
алгебраическое расширение поля Я].
Доказательство. Пусть (3 корень уравнения f(x) = $
с коэфициентами из поля Я (а), р(х) многочлен, определяющий
Я (а). Обозначим через Е поле разложения р{х) относительно Я.
Очевидно, Е будет полем Галуа относительно Я. Обозначим через
О группу Галуа поля Галуа Е относительно Я. Применяя к f(x)
все автоморфизмы из группы ®, получим многочлены
/C*)i Л(4 .-•> /и(4
Рассмотрим их произведение. /7(х)=/(л:)/! (х) ... /„_t (x).
Многочлен F(x) не может измениться от автоморфизмов из группы ®,
так как эти автоморфизмы могут вызвать лишь перемещение
сомножителей/^),1 /i (х), ..., /я_, (дг). Таким образом, коэфициенты
F(jc) допускают все автоморфизмы из группы Галуа @. Отсюда
согласно свойству III получается, что коэфициенты F(x) должны
лежать в Я. Подставим теперь вместо х элемент р. Мы получим
тогда, что /7ф) = 0, так как /((3) = 0. Выходит, что j3 есть корень
многочлена F(x) в поле Я, т. е. (3 алгебраический элемент
относительно Я.
Уже из этих теорем видно, какую важную роль играет группа
Галуа при изучении свойств полей.
В заключение скажем несколько слов о терминологии, часто
употребляемой в теории Галуа. Поле Галуа Е (а также уравнение
f{x) = 0) называется абелевым (относительно Я), если его группа ~
Галуа абелева, циклическим, если группа Галуа циклическая,*! т. п.- j
Так, например, поле/комплексных чисел является циклическим
относительно поля R действительных чисел.
§ 24. Основная теорема теории Галуа. До сих пор речь
шла главным образом о поле Галуа Е относительно Я и о его
группе Галуа @. Теперь займемся промежуточными полями, т. е.
такими полями А, которые лежат между Я и Е: Я!^А<^Е.
Очевидно, что поля А должны быть простыми алгебраическими
расширениями Я (см. 5 22, следствие 2 из теоремы о примитивном
элементе). Мы сейчас увидим, что между промежуточными полями
и подгруппами группы Галуа имеет место взаимно однозначное
соответствие. >
Основная теорема теории Галуа. Всякому проме- J
жуточному полю А соответствует подгруппа ф группы Галуа @, <
т ., \
\\шенно соответствует совокупность автоморфизмов поля Е,
оставляющих неподвижными элементы А; причем А содержит все
эШ1внты Е, допускающие автоморфизмы из <£) (т. е. «£
меняющая при любом из этих автоморфизмов).
Ьбратно, всякой подгруппе $ соответствует промежуточное
полек, а именно соответствует совокупность таких элементов Е,
которые не затрагиваются автоморфизмами из ^; причем Sfr
содержит все автоморфизмы поля Е, допускаемые элементами А
(т. е. оставляющие неподвижными любой элемент А).
Прежде чем приступить к доказательству .этой теоремы,
сделаем два предварительных замечания.
Во-первых, поле Е является простым алгебраическим
расширением не только Р, но и А. В самом деле, если E = P(G), то,
присоединяя 6 к промежуточному полю А, мы получим тот же
самый результат: А(6) = Е.
Во-вторых, Е образует поле Галуа не только относительно Р,
но и относительно А. Для доказательства рассмотрим многочлен
, q{x), неприводимый в А, и обладающий в Е корнем а. Так как
Е есть простое алгебраическое расширение Р3 то все элементы S
должны быть алгебраическими относительно Р. В частности, а
также должно быть алгебраическим относительно Р. Это значит,
что а есть корень некоторого неприводимого в Р многочлена р (х).
Поскольку а является общим корнем многочленов р{х) и q(x),
многочлен р(х) в поле Добудет делиться на q(x). Но, с другой
стороны, многочлен р (х) в поле Е целиком распадается на
линейные множители, так как р (х) в Е имеет корень а и Е есть поле
Галуа относительно Р. Следовательно, его делитель q (x) и подавно
распадается в Е целиком на линейные множители, т. е. Е
оказалось полем Галуа и относительно Д.
Теперь перейдем к доказательству теоремы.
j Доказательство основной теоремы теории Галуа.
Выясним, какова должна быть группа Галуа нашего ноля Е
относительно А. Обозначим ее через «£). Согласно определению группы
Галуа § состоит из таких автоморфизмов поля Е, которые
оставляют элементы А неподвижными. В частности, эти автоморфизмы
должны оставлять неподвижными и элементы Р, так как Р
содержится в А. Обратимся теперь к группе ©. Она состоит из таких
автоморфизмов Е, которые не меняют элементы Р. Среди этих
автоморфизмов будут, несомненно, встречаться автоморфизмы, не
меняющие элементы А, т. е. автоморфизмы, составляющие группу
§. Мы видим отсюда, что § содержится'в ®; иными словами, ^
подгруппа ©.
Для окончательного доказательства первой %части теоремы
остается убедиться, что А состоит из всех элементов Е,
допускающих автоморфизмы из «£). Рассуждаем следующим образом: <§
167
есть группа Галуа поля Е относительно Д. Поэтому^ если
некоторый элемент (3 остается неподвижным при всех автоморфизмах
из *£), то {3 должно лежать в Д(см. § 23, свойство III группы Галуа4
Вторая часть теоремы доказывается несколько сложнее. 066-'
"значим через Д совокупность таких элементов Е, которые остаются
неподвижными при всяком автоморфизме s из ,£). Очевидно/Д
должно лежать между Р и Е. Легко видеть, что А образует доле.
Действительно, если а и (3 два каких-нибудь элемента совокупности
А, то при автоморфизме s будут оставаться неподвижными не только
а и р, но и а-fp, а — (3, а[3, -£ , (при (3 :£ 0). Остается пока-
г
зать, что § содержит все автоморфизмы Е, оставляющие элементы
А неподвижными; иными словами, надо показать,* что «£) является
группой Галуа поля Е относительно Д. Будем рассуждать методом
от противного. Пусть поле Е относительно Д имеет своей
группой Галуа не ,£), а более обширное множество автоморфизмов $t.
Обозначим порядок группы £> через /г и порядок группы ${
через А1# Так как *£) си ,£>!, то к<^кх. Далее, воспользуемся тем
обстоятельством, что Е есть простое алгебраическое расширение
Д: £ = Д(0), где 6 алгебраический элемент относительно Д. Так
как степень Е относительно А должна равняться порядку группы
Галуа <£>!, то степень 8 относительно А равна hv Но, с другой
стороны, можно показать, что степень 6 относительно А не пре-
4 восходит h, т. е. меньше hL. В самом деле, обратимся к группе «£).
Она содержит всего h автоморфизмов s0 = l; su s2i...ish_l.
Обозначим через 6s,-l) элемент, который получается из G при
автоморфизме si9 и рассмотрим следующий многочлен /г-й степени:
.:?f(x) = {x — Os0)(x — bSl) ... (x — bs^1)=xh—p1x*-l +
+ ..- ±Д»
Pi = Ц> + 6*i+ ... +K-v '
Л = (Ч)(0^) ... (0*a-i).
Элемент 6 является корнем f(x), так как Gso = 0. Покажем, что
коэфициенты рь /?2, ..., ph лежат в поле Д. Мы ограничимся
первым коэфициентом р{; для остальных коэфициентов рассужде*
ния будут дословно те же. Применим к рх какой-нибудь из
автоморфизмов sQ) su ..., sh_u например s^ В результате у нас
получится
j\ psi = bsQsi + bsisi^ ... +6^_^.
*) Автоморфизм s приходится писать справа. Если автоморфизм писать
слева, то может получиться несоответствие с установленным порядком
перемножения автоморфизмов (см. сноску на стр. 66),
т
Ho s0si> 5Л*> ' *'' sk-ist представляют собой те же самые
автоморфизмы s0i sl9 ..., sh_t, только расположенные в ином порядке.
Следовательно, P\Si=p\. Мы видим, что автоморфизм st
оставляет коэфици^нт рх неподвижным. Поэтому рг содержится в А
(вспомните — А есть совокупность всех элементов Б, которые
остаются неподвижными при всяком автоморфизме s из <£)).
Итак, 6 оказалось корнем многочлена с коэфициентами из поля
Д и притом многочлена k-ft степени. Это значит, что степень 6
относительно А не должна превосходить h. Мы пришли к абсурду:
с одной стороны, у нас получилось, что степень б равна hv а с
другой стороны, степень б меньше hf. Поэтому ф должно быть
группой Галуа.
Отметим два следствия, вытекающие из только что
доказанной теоремы. - *
1°. Число промежуточных полей не может быть бесконечным.
Действительно, согласно основной теореме теории Галуа
каждому промежуточному ,полю взаимно однозначно соответствует
подгруппа группы Галуа О. Вследствие этого промежуточных
полей должно быть столько, сколько подгрупп в группе ©. Если
бы число промежуточных полей было бесконечным, то число
подгрупп также было бы бесконечным. Но @ не может иметь беско^
нечное ^число подгрупп, так как © есть группа конечная.
2°. Пусть At и А2 два промежуточных поля, ^ подгруппа,
соответствующая полю Аи и ^2 подгруппа, соответствующая
полю Д2. Тогда, если A1SA2, то ^З^. Обратно, если «£>ii?<£)2,
то Aj^Ag.
В самом деле, пусть At ^^ Д.2. Согласно основной теореме
теории Галуа подгруппа !qx состоит из автоморфизмов S,
оставляющих неподвижными элементы А1? а ^2 состоит из
автоморфизмов 2> оставляющих неподвижными элементы А2. Возьмем
произвольный автоморфизм s из ф2. Поскольку s оставляет элементы
А2 неподвижными, автоморфизм 5 и подавно должен оставлять
неподвижными элементы Alf Отсюда следует, что s содержится
в <£>! и потому фа£=4?1-
Обратно, пусть £ii=5«£v Согласно той же самой теореме А2
есть совокупность элементов 2> неподвижных при всяком
автоморфизме из $и а А2 совокупность элементов 2» неподвижных
при всяком автоморфизме из ф2. Так как ^i^^2» т0 автомор-*
/физмы, входящие в состав *£>2, элементы At и подавно будут
оставлять неподвижными. Поэтому элементы Aj содержатся в А2>
т. е. А^Д2. i
Уже из этих следствий видно, что взаимно однозначное соот-*
ветствие между промежуточными полями и подгруппами группы
Галуа может во многих случаях сильно облегчить изучение струк^
туры поля Галуа. Может сильно облегчить по той пррстой при-
169
\
.чине, что группа Галуа благодаря конечности числа своих
элементов более доступна для изучения.
В дополнение к сказанному рассмотрим следующие
характерные свойства этого взаимно однозначного соответствия. Попреж- -
нему через @ мы будем обозначать группу Галуа поля Галуа 2 .
относительно Я. _
Теорема 1. Пусть а элемент поля 2^^ подгруппа ©,
соответствующая промежуточному полю Я (ос). Тогда смежная
система fas подгруппы fa будет собой представлять совокупность
всех автоморфизмов из ©, отображающих а на as (через as мы
здесь обозначили элемент, на который отображается а при
автоморфизме s). ^
Замечание. В силу свойства 3 группы Галуа (см.
предыдущий параграф) элементы а и as должны быть сопряженными.
Доказательство. Возьмем из смежной системы fas какой-
нибудь автоморфизм t. Очевидно, t будет иметь следующий вид:
t = hs, где h автоморфизм из fa. Подвергнем элемент а
автоморфизму t. Так как при автоморфизме h элементы промежуточного
поля Я (ос) остаются неподвижными (в частности остается
неподвижным и а), то at = a(ks) = (ah)s = as. Таким образом,
получается, что / отображает а на as.
Обратно, пусть некоторый автоморфизм t из группы @
отображает а на as: at=as. Применяя к обеим частям этого равенства
"обратный автоморфизм s"1, получаем, что a(ts~l) = a. Как видим,
ts"1 оставляет элемент а неподвижным, вследствие чего ts"1 оставляет
неподвижными все элементы поля Я (а). Иными словами, ts'1 должно
содержаться в fa: ts~1 = h, где h автоморфизм из fa. Отсюда без
труда находим, что t=hs, т. е. t содержится в смежной системе fas.
' Теорема 2. Если fa подгруппа группы Галуа @, А
промежуточное поле, соответствующее fa, то порядок fa равен степени 2
относительно А, а индекс (fa, @) равен степени А относительно Я.
Доказательство. Как известно, fa есть группа Галуа поля
2 относительно А (см. доказательство основной теоремы теории
Галуа). Поэтому порядок fa должен равняться степени 2
относительно А.
Вторая часть теоремы вытекает непосредственно из теоремы 1.
В самом деле, поскольку А есть простое алгебраическое
расширение Я1), полагаем А=Я(ос), где а алгебраический элемент
относительно Я. Обозначим степень А относительно Я через т.
Тогда число элементов, сопряженных с а (считая и само а),будет
равно т. Но из теоремы 1 видно, что число различных смежных
систем должно равняться числу сопряженных с а элементов, т. е. т.
Следовательно, индекс (fa, ®) равен т.
*) См. следствие 2 из теоремы о примитивном элементе.
170
Следствие. Степень т промежуточного поля Д относи*
тельно Р должна быть делителем степени п поля 2
относительно Я
Действительно, п равно порядку группы Галуа ©, а т по
только что доказанному равно индексу подгруппы «£). Поэтому
т должно делить п.
Теорема 3. Если два промежуточных поля Д и Д' сопряжены
относительно Р, то Подгруппа £ь соответствующая полю Д',
должна быть сопряжена с подгруппой <£), соответствующей
полю Д:
Доказательство. Мы будем обозначать автоморфизм из
^ буквой А, а автоморфизм из $1 буквой ti. Кроме того,
обозначим через s автоморфизм, отображающий Д на Д'. Такой
автоморфизм обязательно существует^так как поля Аи А' сопряжены
(см. § 23, свойство 1 группы Галуа). Посмотрим теперь, что
получится, если к произвольному элементу а' поля Д' применить
автоморфизм s^hs. Имеем:
al(s"lhs) = (a,sr1)hs.
Очевидно, оеУ"1 есть какой-то элемент а поля Д, потому что
обратный автоморфизм s~l отображает Д' на Д. Следовательно,
a' (s^hs) = (a's^1) hs = (ah) s = as — a'.
Мы видим, что а' не изменилось. Это значит, что s~*hs содержится
в ^)р С другой стороны, подвергнем элемент а поля Д
автоморфизму sh's'1. Получаем
a(sh's~1) = (as) h's~1 = (a'h')s~1 = a's~1 =a.
Как видим, а тоже не изменилось. Значит, sh's"1 содержится
в 1q. Мы можем, следовательно, написать, что sS^^s'1^^, откуда
^с^'1^. Но мы уже доказали, что s^hs содержится в £,,
т. е. что s-1*£)s!Ei4?i- Сравнивая эти два результата, мы приходим
к равенству Jq1 = s~11qs.
Из только что доказанной теоремы получается одно весьма
важное следствие. Приводим его.
Следствие. Промежуточное поле А тогда и только тогда
образует поле Галуа относительно Р, когда соответствующая
подгруппа $ есть нормальный делитель ©. '
Действительно, если Д является полем Галуа относительно Я, то
Д совпадет со всеми своими сопряженными полями. В силу
теоремы 3 отсюда следует, что подгруппа <£) должна совпадать со
т
всеми своими српряженными подгруппами; иными словами, ф должна
быть нормальным делителем ©. Обратно, если <§— нормальный
делитель ©, то ф совпадает со всеми сопряженными подгруппами..
Отсюда следует, что поле А должно совпадать со всеми своими-
сопряженными полями, а это как раз является отличительной
особенностью поля Галуа.
Возникает естественный вопрос: если Д образует поле Галуа*
относительно Р, то какова будет его группа Галуа относительно Я?.'
Ответом" служит следующая теорема.
Теорема 4. Если промежуточное поле Д образует
относительно Р поле Галуа, то его группа Галуа относительно Р'
должна быть изоморфна с факторгруппой ©/«§; причем
нормальный делитель $ есть подгруппа, соответствующая Д.
Доказательство. Возьмем из группы © произвольный'
автоморфизм s. Он будет А преобразовывать в сопряженное поле Д"
(см. § 23, свойство 1 группы Галуа). Но по условию А есть поле*
Галуа относительно Р. Следовательно, А' должно совпадать с Д..
Таким образом, под влиянием 5 поле А будет изоморфно
отображаться на самого себя: А^ А, причем элементы Р будут оставаться
неподвижными. Как видим, для каждого s из © получается
автоморфизм s поля А, не затрагивающий элементы Р. Обозначим
множество всех этих автоморфизмов через @. Очевидно, что ©
есть группа Галуа поля А относительно Р. Затем легко видеть,
что © есть гомоморфный образ группы @. В самом деле, согласно
вышеизложенному каждому 5 из © однозначно соответствует s из
©, и нетрудно убедиться, что соответствие s->s сохраняется при
умножении.
Итак, @с/э@. Воспользуемся теоремой о гомоморфизме групп,
для чего рассмотрим подгруппу <£> группы ©, соответствующую
полю Д. Эта подгруппа £> представляет собой совокупность таких
автоморфизмов s поля 2, которые оставляют неподвижными эле*
менты А. Иначе говоря, $ состоит "из таких s, которые при
гомоморфизме ®с/э® переходят в единицу 1 группы ®. Отсюда,
обращаясь к теореме о гомоморфизме групп, получаем
окончательно, что © 02. ®/<g), а это как раз и следовало доказать.
§ 25. Решение уравнения в радикалах. В настоящем
параграфе мы применим теорию Галуа к знаменитой проблеме решения
алгебраических уравнений в радикалах. В чем же состоит эта
проблема?
Пусть /(х)^=А0хп-\-А1хп^ + ...-{-Лп = 0 (1)
уравнение я-й степени в числовом поле или в поле рациональных
функций от одного или нескольких переменных с числовыми
коэффициентами, Применяя к коэфициентам многочлена f(x) действия
172 ' ' ' - ^г"
сложение, вычитание, умножение и деление, мы каждый раз будем
получать выражение вида
g(A09Au ..., Ап)
h(AQ>Ab ..., Ап)'
где g (A0, Alf..., Ап) и /г(Л0, Al9...f Ап) многочлены от Л0, Аи..., Л„
с рациональными коэфициентами. Обозначим множество всех этих
выражений через К. Очевидно, К есть не что иное, как поле,
получающееся из поля Г рациональных чисел путем присоединения
коэфициентов А{. К=Г(А0, Alf ..., Ап). Мы будем К называть
полем коэфициентов многочлена f{x) [или уравнения /(л;) = 0].
Проблема решения уравнения (1) в радикалах заключается
в том, чтобы с помощью последовательного присоединения к полю
коэфициентов К некоторых радикалов р1=|/д1, р9 = |/аа .,.,
X-
<pk = Yak построить поле K(fiu p2, ..., рЛ), содержащее все корни
данного уравнения. При этом ах есть элемент К/а% — элемент
#(pi)> я3 —элемент ДГ(рь р2) и т. д.1).
Очевидно, что если такое поле Л"(р1> р2> • ••> Р*) удастся
построить, то корни уравнения (1) будут рационально выражаться
через радикалы р1э р2, ..., рЛ.
Однако в связи с тем, что извлечение корня я-й степени есть
действие не однозначное, возникает следующее затруднение — мы
не знаем, при каком выборе значений радикалов получается поле,
содержащее все корни уравнения (1). Это затруднение отпадает,
когда радикалы р1э р2, ..., pk неприводимы, т. е. когда двучленное
уравнение хпх— а1 = 0 неприводимо в К, хп* — а2 = 0 неприво-
димо в A"(pj) и т. д.
В самом деле, предположим, что радикалы ри р2, .. ., pk
неприводимы. Возьмем вместо рх какой-нибудь другой корень pt
двучленного уравнения рх (х) = х"1—а1 = 0. Согласно свойству
2 продолжения изоморфизма тождественный автоморфизм поля К
можно продолжить до изоморфизма К{р\)^К{р\). Затем
обращаемся к следующему двучленному уравнениюр2(х) = хП2 —а2 =
= 0. Пусть оно при изоморфизме К (pi) ЯЯК^р^ отображается на
/?2 (х) = хч — аа = 0. Обозначим через р2 произвольный корень
/?2 (дг) = 0 и продолжим изоморфизм К (Pi) £§ К (pi) до изоморфизма
K(?u?<i) = K (?i> P2)» и так действуем далее. В конце-концов у нас
получится изоморфизм К (pi, р2, ..., Рл)^АР(рц Ра» •••> ?k)> ПРИ
котором элементы К будут оставаться неподвижными. Отсюда ста-
"" ~ п
*) Напоминаем, что в алгебре радикалом у а называется один из
корней двучленного уравнения хп — а = 0.
173
новится очевидным, что уравнение (1) имеет п корней не только*
в поле К (pi, р2, ••-, ?k)> но и в попе К (f и Р2» • •> Pk)- Таким
образом, выбор значений радикалов здесь никакой роли не играет.
Ниже при доказательстве критерия разрешимости уравнения в
радикалах мы увидим, что радикалы рь р2, ..., pk всегда можно
сделать неприводимыми.
Остановимся несколько на историческом развитии вопроса
о решении уравнений в радикалах.
Решение квадратных уравнений в радикалах было известно
еще древним индусам. Кубические уравнения были впервые
решены итальянскими учеными Тартальей и Карданом, жившими в эпоху
Возрождения. Вскоре после открытия решения кубических
уравнений одному из учеников Кардана, а именно Феррари, удалось
найти решение уравнений четвертой степени.
После того, как было найдено решение в радикалах уравнений
третьей и четвертой степеней, было естественным шагом вперед
искать решение в радикалах общего уравнения пятой степени.
Трудно себе представить, сколько усилий было затрачено для этой
цели. Это была одна из немногих задач, которая представляла
собой в полном смысле слова камень преткновения
человеческой мысли. В 1770—1771 гг. знаменитый французский ученый
Лагранж подверг критическому пересмотру все известные до него,
приемы решения уравнений в радикалах. В своем глубоком ме-
муаре „Reflections sur la resolution algebrique" он показал, что
корни заданного уравнения можно выразить через корни
некоторого вспомогательного уравнения, называемого по Лагранжу
резольвентой. И тем не менее результаты Лагранжа оказались
неутешительными. Если взять уравнения второй, третьей и четвертой
степеней/ то все обстоит благополучно: по сравнению с заданным
уравнением степень резольвенты оказывается на единицу ниже.
Совсем другое наблюдается, если обратиться к уравнению пятой
степени; его резольвента имеет уже.шестую степень, вследствие
чего способ Лагранжа перестает быть пригодным.
После мемуара Лагранжа перед учеными возник вопрос,
достаточны ли алгебраические действия для решения уравнений выше
четвертой степени. В 1798 г. итальянский ученый Руффини
попытался доказать, что общее уравнение выше четвертой степени
не решается в радикалах; но его рассуждения оказались неполными.
Строгое доказательство невозможности решения в радикалах
уравнений выше четвертой степени было впервые дано знаменитым
норвежским математиком Абелем (1802—1829), успевшим в
течение своей короткой жизни оставить глубокие исследования в самых
разнообразных отраслях математики.
Однако ни Руффини ни Абель не дали исчерпывающего ответа
на поставленный вопрос. Они доказали, что универсальной формулы
174 ~ "" ~ - -
! 1
решения, пригодной для всех уравнений данной степени я, при
/^^5 не существует. Но отсюда отнюдь не следует, что любое
конкретное уравнение нельзя решить с помощью радикалов, спе-'
циально подобранных для данного уравнения.
Исчерпывающий ответ был найден Эваристом Галуа,
гениальным французским математиком (1811—1832). Галуа показал, что
существуют такие конкретные уравнения, которые нельзя решить
алгебраически. Вместе с тем он указал необходимые и достаточные
условия для разрешимости уравнения в радикалах.
Личность Галуа настолько исключительна, что мы не можем не
остановиться на некоторых моментах его жизни. Дважды
провалившись на вступительных экзаменах в Политехническую школу,
Галуа поступил в Нормальную школу, откуда был вскоре уволен
(в 1830 г. после июльской революции) за выступление против
директора. Галуа активно участвовал в бурной политической жизни
Франции. Ярый республиканец и заклятый враг короля Людовика-
Филиппа, он неоднократно арестовывался и, наконец, погиб совсем
молодым на дуэли. Глубокие идеи Галуа не были оценены по
достоинству его современниками. Два мемуара, представленные им
во Французскую академию наук, не только остались без ответа,
но даже оказались потерянными.
После этого исторического отступления воспроизведем в
основных чертах результаты, полученные Галуа. Мы увидим, что
разрешимость уравнения в радикалах тесно связана с разрешимостью
его группы Галуа (см. § 9, определение разрешимой группы).
Вместе с тем мы покажем, что существует целый ряд уравнений,
неразрешимых в радикалах. Но сначала нам придется рассмотреть
несколько теорем, относящихся к двучленным уравнениям. Ради
большей общности выводов мы здесь будем рассматривать вместо
поля коэфициентов К произвольное числовое поле, а также
произвольное поле рациональных функций от одного или нескольких-
переменных с числовыми коэфициентами. Поля такого рода будут
обозначаться буквой Р.
Теорема 1. Если р простое число, то все корни уравнения
хр—1 = 0, кроме /, первообразны и удовлетворяют уравнению
xp-i _)_ хр-* _|_.. ._|_ х _|_ 1 = о,
неприводимому в поле Г рациональных чисел.
Доказательство. Очевидно, что по отношению к
арифметическому умножению совокупность всех корней p-Pi степени из
единицы образует группу р-го порядка *) (см. § 2, пример 4). Возьмем
произвольный корень е, не равный 1. Так как еф19 то порядок
элемента е больше, чем число 1. С другой стороны, порядок
*) И даже циклическую группу.
175
элемента е должен делить порядок р всей группы. Но р шхусловш
[ - число простое. Значит, порядок е должен равняться р. Таким od-
\щ разом, возвышая е последовательно в степени 0, 1, 2, ..., р — 1
У мы получим все р корней уравнения хр — 1=0, а это как раз
[; и характеризует первообразный корень.
;_ , Теперь сократим уравнение хр—1 — 0 на х—1. В резуль-
\ Тате у нас получится следующее уравнение:
{ хр~1 + хр-*-\-...+х + 1=0, (2)
которое будет удовлетворяться всеми корнями первоначального
уравнения, кроме корня 1, потерянного при сокращении.
Остается показать, что уравнение (2) неприводимо. Полагаем
х=у-\~\. Тогда после некоторых выкладок получим, что
у-*+Ру-*+Щ^уР-* + ... + р-^у+Р = о.
Легко видеть, что это уравнение удовлетворяет условиям критерия /1
неприводимости Эйзенштейна. Действительно, все коэфициенты,
кроме старшего, делятся здесь на простое число /?, а свободный
член не делится на /?2. Следовательно, это уравнение неприводимо,
а потому и уравнение (2) неприводимо.
Теорема 2. Группа Галуа двучленного уравнения jcp — 1 = 0
(р — простое число) относительно поля Р является циклической,
причем порядок группы равен р — 1 или делит р — 1.
Доказательство. Сперва докажем теорему для частного
случая, когда Р есть поле Г рациональных чисел.
Итак, пусть Р = Г. Найдем группу Галуа ® двучленного
уравнения хр — 1 = 0. Для этой цели придется определить поле
разложения 2- Так как корень 1 лежит в Г, то вместо хр — 1=0
можно рассматривать неприводимое уравнение (2). Возьмем какой-
нибудь корень е уравнения (2). По предыдущей теореме е есть
не что чиное, как,первообразный корень /?-й степени из единицы.
Таким образом, возвышая е последовательно в степени 2,3 ..., р — 1, /
мы получим остальные корни уравнения (2). Благодаря этому ;
обстоятельству в поле Де) будут содержаться все корни уравнен
ния (2), т. е. Г(е) = £. * 1
Теперь группа Галуа © найдется сравнительно легко.
Обратимся к теории чисел. Пусть g первообразный корень по простому "•
модулю р. Тогда степени gQ = l, g, g-2, ..., gp~2 исчерпывают
все классы приведенной системы вычетов по модулю р, вследствие
чего корни е, е2, ..., ер_1 уравнения (2) можно записать в таком .ч
виде: е, eg, eg*, Г.., е^р~2. Сразу бросается вылаза, что группа © :.
состоит всего из р — 1 автоморфизмов, а именно — из тождествен-
J7$
ttoro автоморфизма £0 = 1; из автоморфизма sv перемещающего е
в е?\ из автоморфизма s2J перемещающего е в е^ , и т. д.; наконец,
из автоморфизма sp_2, перемещающего г в sgP~ . Легко убедиться,
что автоморфизмы s2, s3, ... sp_2 являются степенями
автоморфизма st. В самом деле, посмотрим, что произойдет, если е
подвергнуть действию Sj*. Имеем
es1* = (esl)sl = egsl = iee ... e)s1 = (esl)(esL) ... (s^) '=
= s%^ ... e^ = s^ .
Получился такой эффект, как если бы мы е подвергли действию
автоморфизма s2. Следовательно, 5.2=512. Точно так же находим,
что s3 = Si3, si==sii и т- Д- Таким образом, © есть циклическая
группа р — 1-го порядка, порожденная sl9 и теорема для поля Г
доказана.
Остается разобрать случай поля Я, отличного от Я. В этом
случае Г будет содержаться в P:TczP. Выясним, как изменится
группа Галуа, если вместо Г рассматривать более обширное поле Я.
Раньше мы имели дело с полем разложения 2 и группой
Галуа О относительно Г. Теперь поле разложения и группа Галуа
будут иными. Обозначим их соответственно через 2р и ©pJ индекс Я
внизу указывает, что здесь имеются в виду поле разложения
и группа Галуа относительно Р. Очевидно, что 2я = Я(е), где
е корень уравнения (2); причем Sp^2, так как ЯгэГ. Возьмем из
®р произвольный автоморфизм 5 и посмотрим, во что отобразится
прежнее поле 2 = ^(£) П°Д влиянием s. Автоморфизм одолжен
перемещать е в корень того же самого уравнения (2). Пусть е под
влиянием 5 переходит в е,-. Тогда поле 2 = Я(е) под влиянием
s отобразится на Я(ех-). Так как е и е,- сопряжены относительно Г (они
корни одного и того же уравнения (2), неприводимого в Г) и 2 есть
поле Галуа относительно Г, то 2=Я(е) = Я(ег). Таким образом,
под влиянием 5 поле 2 изоморфно отображается на самого себя
и притом так, что элементы Г остаются неподвижными. Иными
словами, у нас получился автоморфизм s из прежней группы*©.
Обозначим множество всех-этих автоморфизмов, возникающих под
влиянием автоморфизмов s из ©р, через ф. Очевидно, !q содержится
в ®:,£)С^@. Далее легко видеть, что «£) есть изоморфный образ
группы ©р. Действительно, каждому s взаимно однозначно
соответствует s и, как нетрудно убедиться, это соответствие сохраняется
при умножении автоморфизмов.
Итак, ©р оказалось изоморфной с подгруппой Jr> группы ©.
Но мы недавно обнаружили, что @ есть группа циклическая.
Следовательно, для окончательного доказательства теоремы остается
12 Л. Овунев* " 177
убедиться, что подгруппа циклической группы есть в свою очередь
группа циклическая. ^
В самом деле, <£) состоит из каких-то степеней элемента tt
порождающего циклическую группу ©. Пусть £ = {1, tai, ta*9 ..., №}
(ai — натуральные числа). Предположим для определенности, что ах
наименьшее натуральное число среди чисел ах, а2,..., ak и раз- -
делим какое-нибудь ai на а{:
ai-=aiq-\-ri 0^r<at;
через q и г мы обозначили частное и остаток. Пишем:
Л = Л*+г=(**0**г» откуда tr=tai(tai)-q. Мы видим, что tr
принадлежит ,£), так как t*1 и Л содержатся в <£>. Отсюда следует, что
г=б; в противном случае г встречалось бы среди а19 аъ ... ak
и aj не было бы наименьшим. Поэтому tai =(tai)9. Итак, все
элементы $ представляют собой степени taK Обратно, возвышая ta^
в любую степень, мы будем получать элементы ф. Таким обра- ,
зом, <£) оказалась циклической группой, порожденной Л По
теореме Лагранжа, порядок подгруппы <£) должен быть делителем
порядка р — 1 всей группы ®.
Теорема 3. Если р простое число и поле Р содержит все
корни p-fi степени из единицы, то двучленное уравнение хр — а = О
(а ф 0) имеет относительно Р своей группой Галуа либо
циклическую группу /7-го порядка, либо единичную группу. В первом
случае двучленное уравнение неприводимо Ру а во втором случае
оно разлагается в Р целиком на линейные множители. (Очевидно,
р *—
что в последнем случае у а будет лежать в Р.)
Доказательство. Пусть 0 один из корней двучленного
уравнения, а е первообразный корень /?-й степени из единицы.
Совокупность всех корней /?-й степени из единицы образует, как
известно, циклическую группу р-го порядка. Обозначим эту
совокупность через ?(. Далее, присоединим G к полю Р. Нетрудно
заметить, что Р(6) есть поле разложения многочлена/(х) = дгр — а
относительно Р. Действительно, все корни двучленного уравнения
хр—а = 0 лежат в Р(б), так как они рационально выражаются
через 6, а именно они имеют следующий вид:
е1=е, еа=ве, о3=е2е, ..., e/,=.^-Ie.
Найдем теперь группу Галуа ®. Пусть среди корней 6^
0^, ..., бр сопряжены (относительно Р) с 0 только Ьг = е^6 = е°0 = 6,
еа2 0, ..., еа*6. Тогда группа Галуа будет состоять из k
автоморфизмов, а именно из тождественного автоморфизма s0 = l;
из автоморфизма ${, переводящего 8 в еаз(); из автоморфизма s2,
переводящего б в еа*Ь, и т. д.; наконец из автоморфизма sk„v
178
переводящего 0 в е^О. Посмотрим, чему равно произведение двух
автоморфизмов s£ и s;.. Для этой цели применим к б автоморфизм
5. и затем автоморфизм sy.
(Ц) Sj = (е'жб) Sj = (**HnSj) (bsj).
Так как e^'+i лежит в Р, то автоморфизм доставляет ея'+1
неизменным. Поэтому
(6s,.) sj = ea' + i(0sy) = ей<'+1 ea/+iO.
Мы видим, что каждому автоморфизму s( соответствует взаимно
однозначно ей* + * и соответствие ^—>-ea/+i сохраняется при
умножении: если s—>eai+i и Sj->eaJ-ri, T0 siSj->&ai + ieaJ+1. Короче говоря,
группа ® изоморфно отображается на некоторую подгруппу 35
циклической группы ?(. По теореме Лагранжа порядок подгруппы
35 должен делить порядок р группы 9(. Но р, по условию, число
простое- Следовательно, порядок 23 равен либо/?, либо 1. В первом
случае SB = 91", откуда @^91 и ® будет циклической группой
/?-го порядка. Во втором случае 33 = Я, где Е единичная группа.
Отсюда в силу изоморфизма ©^33 получается, что группа Галуа
@ также должна быть единичной группой.
Остается показать, что в первом случае двучленное уравнение
хр— а —0 неприводимо в Р, а во втором случае разлагается в Р
целиком на линейные множители.
В самом деле, если порядок группы Галуа ® равен р, то О
относительно Р будет алгебраическим элементом р-й степени,
а потому двучленное уравнение хр — а = 0 будет неприводимо
в Р. Если же порядок @ равен 1, то 0 относительно Р будет
алгебраическим элементом первой степени, т. е. будет лежать в Р.
Вследствие этого в Р будут лежать и все остальные корни
двучленного уравнения; иными словами, уравнение хр — а = 0 должно
в Р разлагаться целиком на линейные множители.
Теорема 4. Если поле Р содержит все корни р-й степени
из единицы (р — попрежнему простое число) и 2 циклическое
поле Галуа р-й степени относительно Р, то 2 может быть
получено путем присоединения к Р корпя некоторого
двучленного уравнения хр — а = 0. [Очевидно, хр — а = 0 должно быть
неприводимо в Р].
Доказательство. Полагаем 2 = Р(6), где 6 алгебраический
элемент р-й степени относительно Р. По условию, группа Галуа ©
поля 2 является циклической группой р-го порядка. Следовательно,
© должна состоять из степеней s° = l, s, s2, ..., s9"1 какого-то
автоморфизма s. Пусть s переводит G в сопряженный элемент 6^
s2 переводит 0 в сопряженный элемент 8.2 и т. д., наконец, 5Р~1
переводит 0 в сопряженный элемент Ор_1в Рассмотрим такое выра-
* - 279
чжение (е\ 6) = 6 -f е% + e*69 + ... + в iP - « \^; (v —
натуральное число) через в мы обозначили первообразный корень р-ft степени
из единицы. Это выражение известно под названием резольвенты
Лагранжа. Число v всегда можно подобрать так, чю5ы
резольвента не лежала в Р. В самом деле, предположим противное.
Допустим, что при всяком значении v (ev, 6) содержится в Я. Тогда
в Я будут содержаться
(е, в) =9-1-80,4-А + ... + ^Vi>
(.», в)=в4-*%4-*\ +...+•*»-*> Vi, ..
(fP-\ e)=6 4-ep-16i4-e2(p-1)92+ ••• +^-«Vi'
(в", в)=(1, 6)=64-614-e2+ ... 4-W
Складывая эти равенства почленно, мы получаем
р р —1 р —1 р —1
\(.v,e)=/>e4-e12»*+e.2fW+ - +°^28(Р"1)Л-
Но по формуле суммы членов геометрической прогрессии
е* = Т=т=е—= °> 2 е =^Т =° и т'
ft«0
р
2(tv, в) =/78,
fc«=0 ft«0
Следовательно,
откуда
р
>=}2^ °>-
Получилось, что 6 лежит в Я. Но это невозможно, так как по'
условию 6 есть алгебраический элемент /;-й, а не первой степени
относительно Я.
Итак, пусть (ev, 6) не лежит в Я. Подвергнем резольвенту
Лагранжа действию автоморфизма я Так как 0s=01, 0^ = (bs)s =
= е^ = 62, ..., 0 ^ = (0^"1)5 = 0^ = 0, то (е*, 0)5 = 0! +
+ e^02 + e2v03-f- ... +e(^1)^0 = e-V9i + s2v9-2+ ••• +
+ е С* -1} Vi -f- е*0) = в - ^ (в -f- eve14- е*ва -j- ... + в № -j) V*)'
(вЛ 0)^ = 5-^(8^, 0).
/£0
Вообще
(е*. 6)s*=*-*» (еЛ 6).
Действительно,
(ev,6) в* = [ («*, б) 5] 5й-1 = [е " v (6*. 6) ] s"-1 = e~v [ (s\6) s ]«** »
= e- * [ (e4, G) s) sk~3 = ... = e~ ftv (в* 6).
Применим теперь произвольный автоморфизм sk из группы Галуа
@ к р-й степени резольвенты Лагранжа. Получаем
(«\ 6)"s* = [(«*, 8)(в\ 8) ... (в*, 6)]g* = [(.\ б)sk) ...
р раз
... [(е?, в)**] = в-*(е\ в)в-**(в\ 6) ... в-*(е*, 6) =
= e-*^(ev, в)'=(в\ 6)*
так как е-*^=1. Мы видим, что (sv, 6) допускает все
.автоморфизмы из группы Галуа ©, вследствие чего (ev, G)p должно
лежать в Р: (ev, Ъ)р = а, где а некоторый элемент Р. Таким
образом, резольвента Лагранжа оказалась корнем двучленного
уравнения
хр — а = 0. (3)
Присоединим к Р какой-нибудь корень о уравнения (3). Тогда
мы получим поле Р(со), в котором будут лежать все корни
уравнения (3) и в частности резольвента Лагранжа. В самом деле,
корни двучленного уравнения (3) рационально выражаются через
ш, а именно: <ь1 — <й, ш2 = есо, (о3 = е2<0, ..., rop_i = гр~г<о.
Мы сейчас покажем, что Р(о>) совпадает с £ = Р(Ь).
Рассуждаем следующим образом. Во-первых, из самого выражения
резольвенты Лагранжа видно, что она рационально выражается
через 6, 6j, ..., Bp_t. Следовательно, (sv, 6), а потому и со должны
быть элементами Р(0). Во-вторых, в силу предыдущей теоремы
для уравнения (3) представляется одно из двух: либо уравнение
(3) неприводимо в Р, либо оно в Р разлагается целиком на
линейные множители. Второй случай, однако, отпадает, так корень
(е\ 8) уравнения (3) не лежит в Р. Значит, хр — а = 0 должно
быть неприводимым в Р, откуда следует, что ш есть
алгебраический элемент той же самой степени относительно Р, что и 6.
Но если степени 6 и ш относительно Р одинаковы, то на
основании уточнения теоремы 2, § 21 (см. стр. 145) вытекает, что
Р(ш) = Р(6).
Теорема доказана полностью — присоединяя к Р произвольный
корень о уравнения (3), мы, как только что было показано, сразу
получаем £.
Теорема 5. Всякая циклическая группа ©, отличная от
единичной группы, разрешима.
Доказательство. Если @ группа простого порядка, то
теорема очевидна: в этом случае композиционный ряд будет
состоять из двух звеньев, а именно @ гэ Е и индекс (£, ©)
будет равен простому числу — порядку ®. Таким образом теорему
надо доказать для того случая, когда порядок @ есть число'
составное.
Обозначим порядок группы ® через п и разложим п на
простые множители. Пусть n=pip.x...ps (разложение не
каноническое; поэтому среди сомножителей pt могут встречаться равные
числа). Возьмем элемент а, порождающий циклическую группу
&, и рассмотрим подгруппу ®if порожденную элементом а^.
Порядок элемента а^ должен, очевидно, равняться —, так как поря-
док а равен п. Отсюда следует, что порядок @j также равен
—. Посмотрим, будет ли ®j максимальным нормальным
делителем ©. Что ®! нормальный делитель, очевидно, так как
циклическая группа есть частный случай абелевой группы, а в аб]елевой
группе всякая подгруппа является нормальным делителем. Далее,
легко видеть, что индекс (®15 ©) равен простому числу рх.
Таким образом факторгруппа ®/®х есть группа простого порядка pv
Но подобного рода группа в силу теоремы Лагранжа
обязательно должна быть простой. Следовательно, ®{ максимальный
нормальный делитель @. Те же самые рассуждения можно
повторить и для ®j. И именно, выделяем в ®х подгруппу ®2 так,
чтобы индекс (@2, ®г) был равен простому числу р2. Тогда
подгруппа @2 будет максимальным нормальным делителем ©j. Для
этой цели надо в качестве ®2 взять циклическую подгруппу,
п
порожденную элементом аР&*. Затем выделяем в ®2 по тому же
рецепту ®3 и т. д. В результате у наЪ получится
композиционный ряд
®=э®1=э®2=э...=э®^ = Я
s*
с простыми индексами (®v ®)=pv (®2, ®i)=pit..., (®s, ®s^)=zp
Группа ® таким образом разрешима.
Теорема 6. Пусть Р — поле, содержащее все корни п-й
степени из единицы, 2 — п°ле Галуа относительно Р, а —
некоторый элемент £; наконец, пусть 2' — поле, полученное из 2
путем присоединения радикалов п-й степени из а и из всех
элементов, сопряженных с а (относительно Р). Тогда 2' будет
в свою очередь полем Галуа относительно Р.
Доказательство. Обозначим через б примитивный элемент
2:2 = Р(6), через G1 = G, 62, ...,бл элементы, сопряженные ,с 6
182
(фитая и само б), и череза1 = а, a%t..9as элементы,
сопряженнее с а (считая и само а). Рассмотрим многочлен
f(x) = (x — Ql)(x — bz)...(x-bk)(xn-al)(xn-a,)...(xn~as),
и пусть © группа Галуа поля 2 относительно Я.
Легко показать, что f(x) есть многочлен в поле Я.
Действительно, автоморфизмы из группы © никакого влияния на
многочлен f(x) оказать не могут, они могут вызвать лишь
перестановку сомножителей х — bv ..., х — Gk, xf1— аи ..., хп — as.
Следовательно, коэфициенты f(x) допускают все автоморфизмы
из группы Галуа ® и потому лежат в Я.
Затем нетрудно убедиться, что многочлен f(x) целиком
распадается в поле JS' на линейные множители. А именно, поскольку
Я содержит все корни п-ft степени из единицы, в 2' будет
содержаться не только одно значение корня я-й степени из alf
но и все остальные значения этого корня. Таким образом каждый
из двучленов хп — at будет в 2' целиком распадаться на
линейные множители.
Итак, 2' есть поле разложения многочлена f(x) относительно
Я, т. е. 2' есть поле Галуа относительно Я. После всех этих
теорем мы можем непосредственно заняться проблемой решения
уравнения в радикалах.
Критерий разрешимости уравнений в
радикалах. 1. Если один из корней уравнения f(x) = 0, неприводимого
в поле коэфициентов К, выражается в радикалах ^ = Yai »
р2 = ]fa2, ..., pk= -/aki где ах — элемент К, я2—элемент К(${)
и т. д. [иными словами, корень лежит в Л"(р1> ?v •••» Pft)]> mo
сстильные корни также выражаются в радикалах pv p3, ...» рл
и группа Галуа уравнения (относительно К) разрешима *).
2. Обратно, если группа Галуа уравнения f(x) = 0
разрешима, то уравнение разрешимо в радикалах pi= \/av р2 =
— Vav Pk= Vav причем двучленное уравнение хп^ — at = 0
неприводимо в К, двучленное уравнение хп* — а2 = 0; неприво-
димо в A"(pi) и т. д. (иными словами, радикалы рр р2, ..., pft
неприводимы).
Доказательство. 1. Первая часть критерия доказывается
следующим образом. Прежде всего заменим каждый радикал
с составным показателем несколькими радикалами с простыми
12,—
показателями. Например, если бы встретился радикал у а, то мы
его заменили бы тремя радикалами р = ]/га9 р' = }/"р и р" =
*) Уравнение /(л:) = 0 всегда можно предполагать неприводимым в К)
если бы f(x) = 0 было бы приводимо, то мы вместо многочлена f{x)
взяли бы один из его неприводимых множителей.
183.
= |/р\ Этим мы добьемся того, что корень уравнения /(лг) =| О
выразится через радикалы p1'=pyfbv р2' — \fbv .. . ,р5' = yfs
с простыми показателями pv pv ..., ps. )
Затем присоединим к полю К первообразный корень /?гй
степени из единицы.1) Мы получим тогда поле разложения Qt двуг
членного уравнения x?i—1=0 относительно К- Пусть 31 группа
Галуа поля Qx относительно К. По теореме 2 группа 31 является
циклической. Стало быть, группа 81 должна быть разрешимой
(см. теорему 5), а именно ее композиционный ряд
2(0 = ?(=D5f1=D2(2=D... zo%t = E (4)
должен обладать простыми индексами:
(И,, И) = ?1. («9. «i) = ?» •••. Ой/. «/-.) = ft.
где ^—простые числа.
Теперь вспомним основную теорему теории Галуа. Согласно
этой теореме каждой подгруппе Ш( соответствует промежуточное
поле А,-. В частности 8(0 = 3( будет соответствовать К> а 31/= £
поле разложения Qv
В композиционном ряду (4) каждая группа содержится в
предшествующей. Следовательно, для соответствующих
промежуточных полей должно наблюдаться обратное: каждое последующее
поле А,- должно содержать предшествующее (см. § 24, следствие
2 из основной теоремы теории Галуа). Короче говоря, мы
получаем такую возрастающую „цепочку" полей:
Д0 = К cz Aj cz А2 cz... cz: Aj = Qt. (о)
Легко видеть, что здесь каждое А^ является циклическим полем
Галуа q-fVi (простой!) степени относительно предшествующего
поля A;_t. А именно, 3(,_! есть группа Галуа поля Qt относительно
Д;_!. Так как 31,- нормальный делитель 3ffvL, то отсюда следует,
что А; образует поле Галуа относительно А(_г (см. § 24,
следствие из теоремы 3). Согласно теореме 4, § 24 хруппа Галуа
поля At- относительно А^ изоморфна с факторгруппой ©^/©i*
Но З^/ЗГ,- есть циклическая группа порядка qt (см. § 9, стр.
55). Следовательно, А,- представляет собой не что иное, как
циклическое поле Галуа ^-й степени относительно А^.
Рассмотрим теперь вместо К поле Qt и присоединим к Qt
первоообразный корень /?2-й степени из единицы. В результате
х) Мы, конечно, предполагаем, что этот корень не лежит п К; если бы
он лежал в /С, то его присоединение было бы излишним. , .
184
у нас получится поле 92 разложения двучленного уравнения
хр2—1=0 относительно Qv Повторяя те же рассуждения, что
и выше, получаем вместо цепочки (5) более длинную цепочку
полей, а именно
Д0 = K(=z At c= ... с= Д,= Qt с А/+1 cz ... с= Дт = 92,
и в этой цепочке каждое Д£ будет попрежнему циклическим полем
Галуа простой степени относительно предшествующего поля А^.
Нетрудно убедиться, что 02 образует поле Галуа не только
относительно Qv но и относительно первоначального поля К.
Действительно, во-первых, g(x) = (xPi— 1) {хР*— 1) есть многочлен
в поле К* так как его коэфициенты содержатся в К* Во-вторых,
g(x) = (xPi—1)(х?*—1) в поле 22 целиком распадается на
линейные множители, причем Q2 получается из К путем
присоединения корней многочлена g(x). Таким образом 22 есть поле
разложения g(x) относительно К, т. е. поле Галуа относительно К*
Продолжаем этот процесс удлинения цепочки полей —
присоединяем к 22 первообразный корень /?3-й степени из единицы,
затем присоединяем первообразный корень /?4-й степени из
единицы и т. д. В кенце концов, когда мы присоединим
первообразный корень ps-$ степени из единицы, мы получим цепочку
Д0 = #с= Aj cz... cz A, = 2t cz Д/+1 cz... cz Ат —
= 22 cz ... cz Ar = 2fe,
в которой каждое Д,- образует циклическое поле Галуа простой
степени относительно предшествующего Д^, а 2у. являются полями
Галуа относительно К»
После того, как были присоединены первообразные корни из
единицы, начнем присоединять радикалы p\ = )/bv p2 = -prbv ...,
' Ps/1T
р* = Vbs.
Если присоединить р[=уЬ1 к Ar = Qft, то по теореме 3
должно произойти одно из двух: либо получится циклическое
поле Галуа Ar+1 = Qk(p/) р^й (простой!) степени относительно
Qk, либо получится расширение первой степени (т. е. фактически
никакого расширения не произойдет). Так как Ьх лежит в /С, то
Ьх сопряжено (относительно К) только с самим собой. Поэтому
Аг+1 будет в силу теоремы 6 полем Галуа не только относительно
2Л, но и относительно К.
Далее обращаемся ко второму радикалу рз==у^ и
присоединяем последовательно р'2 и корни />2-й степени из всех
элементов, сопряженных с Ь% (относительно К). Согласно теореме 3
у нас каждый раз будет либо получаться циклическое
расширение простой степени, дибо совсем не получится расширения.
\
I
После того, как мы присоединим корни р2-й степени из всех
элементов, сопряженных с bv у нас в силу теоремы 6 получился
поле Галуа относительно К> причем это поле будет содержать
Аг+1 (в частности может и совпасть с Аг+1). _
Затем обращаемся к третьему радикалу р3' = j/#3 и
присоединяем последовательно р3' и корни р3-й степени из всех элементов,
-сопряженных с Ьъ (относительно К), и так действуем далее.
В конце-концов после целого ряда циклических расширений
простых степеней
Ae = /TdA1d...dA1 = 91d...crA,==Q (6)
мы дойдем до такого поля 2, которое будет содержать корень
xQ уравнения f(x) = 0. Нетрудно убедиться, что 2 будет
содержать не только х0, но и все остальные корни уравнения/(лг) = 0.
В самом деле, 2 в силу теоремы 6 должно быть полем Галуа
относительно К. Поэтому, если многочлен /(х), неприводимый
в К, имеет в 2 хотя бы один корень, то он по определению
поля Галуа должен иметь в 2 и псе остальные корни.
Итак, мы показали, что все корни уравнения f(x) = 0
выражаются в радикалах. Остается убедиться, что группа Галуа
уравнения f(x)=0 разрешима. Для этой цели обратимся к группе
Галуа поля 2 относительно К. Обозначим ее через ©. Согласно
основной теореме теории Галуа каждому промежуточному полю
А; цепочки (6) соответствует подгруппа ®£ группы Галуа @.
В „ цепочке" (6) каждое поле А,- содержит предшествующее поле.
Следовательно, для соответствующих подгрупп должна
наблюдаться обратная картина:"
®0 = @ zd ®, zd ®а zd ... =э ©,_, zd ®S = E. (7)
Посмотрим, что собой представляет последовательность подгрупп
(7). Каждое А,- образует циклическое иоле Галуа простой степени
относительно предшествующего поля А^. Значит, в
последовательности (7) каждая группа ©,. должна быть нормальным
делителем предшествующей группы ©^ и ее индекс (©,-, ®^%) дол-
Жен быть простым числом (а именно должен равняться степени
поля At- относительно А^, см. § 24, теорему 2). Вследствие этого
факторгруппа ©,_i/®; будет простой и потому ©,• будет
максимальным делителем ©;_!• Таким образом последовательность
подгрупп (7) есть не что иное, как композиционный ряд группы ©
и притом композиционный ряд с простыми индексами. Иными
словами, группа © оказалась разрешимой.
Теперь разрешимость группы Галуа уравнения f(x) = 0
обнаружится сравнительна легко. Рассуждаем следующим образом.
Пусть 2 поле разложения многочлена f(x) относительно К.
186 -'
Очевидно, что 2 лежит между К и Q: Kcz^^Q, т. е. является
промежуточным полем. Согласно основной теореме теории Галуа
промежуточному полю 2 должна соответствовать некоторая
подгруппа группы @. Обозначим эту подгруппу через *£). Так как
2 поле Галуа, то «£) будет не только подгруппой, но и
нормальным делителем ®. Мы можем, следовательно, через ф провести
композиционный ряд группы ©:
© zd ф, =z> ф2 =z>... => <£ =э ... => £. (8)
Легко заметить, что индексы ряда (8) являются простыми числами:
(£i> ®)=Pv (Ф*> £i)=/>* и т. д.,
где /7i — простые числа. В самом деле, по теореме Жордана-Гель-
дера индексы ряда (8) могут отличаться от индексов ряда (7)
лишь порядком следования. Теперь обратимся к группе Галуа
поля 2 относительно К- Она изоморфна с факторгруппой (3/tQ
(см. § 24, теорему 4). Посмотрим, будет ли ©/«£> разрешима.
В силу теорем 1 и 2 § 9 из ряда (8) можно образовать
следующий композиционный ряд:
©Д§, zj &/ф => £2/£ =>...=> ф/ф = Д. (9)
Подсчитаем, « -у равны индексы ряда (9). Пусть порядки групп
©, £1? ф2, ,.., ^ равны соответственно гг, /ю^ /я2, ..., /я^.
Тогда
т
Ш& ®/® = Ц = £ = (&• &)=Pv
щ
ПН
Щ
и т. д. Мы видим, что факторгруппа ©/«£) разрешима, и первая
половина критерия доказана.
2. Для доказательства второй половины критерия придется
рассмотреть следующую лемму.
Лемма. Корни двучленного уравнения хр—1=0 (р —
простое число) всегда можно выразить рационально с коэфициен-
тами из поля К через неприводимые радикалы [т. е.' через
корень pj уравнения хп*>— ^ = 0, неприводимого в К\ через
корень р2 уравнения хп* — а2 = 0, неприводимого в К (pi) и т. д.,
187
наконец, через корень ps уравнения xUs— as = 0, неприводимого
в K(pi, ра, •-., P*-i)].
Для р = 2 лемма очевидна, потому что корни 1 и — 1
уравнения х* —1=0 можно рассматривать как неприводимые
радикалы первой степени. Поэтому для доказательства леммы
воспользуемся методом индукции: предположим, что лемма верна для
всех простых чисел q, меньших р, и покажем, что тогда лемма
верна и для р.
Пусть Q и 91 поле разложения и группа Галуа уравнения
хр— 1=0 относительно К- Обозначим порядок группы Sf через п
и разложим п на простые множители:
^ — Ч\Ч% ••• Яи1)
(разложение не каноническое; поэтому среди qt могут быть
одинаковые числа). По теореме 2 группа 31 является циклической
и ее порядок п является делителем р — 1. Отсюда следует, во-
первых, что простые числа qi9 входящие в состав разложения п,
должны быть меньше р. Во-вторых, группа 51 должна быть
разрешимой, а именно ее композиционный ряд
Ягз^гэЯаГЭ ... =>9Ift = £ (10)
должен обладать простыми индексами:
&1,V) = ql, (*„*,) = ?„..., (\, %.1) = qk,
где qt те самые простые числа, которые вошли в разложение п
на простые множители (см. доказательство теоремы 5).
Композиционному ряду (10) соответствует цепочка
промежуточных полей ^
А0 = /^с=Д1с=Д2сг ... с=Д,_1с=Д/г = 9, (11)
в которой каждое А,- является циклическим полем Галуа простой
(<7гй) степени относительно предшествующего поля Д^.
Присоединим к звеньям Д0 = /С, Д^ ..., Д^ = 2 цепочки (11) корни
уравнений х^—1=0, х^—1=0, ..., хЯк — 1=0; эти корни
выражаются через неприводимые радикалы, так как числа qt
меньше р. В результате у нас получится новая „цепочка".
д;^д;^д;^ ... ea;=q' (12)
со звеньями Д/ЭД,.. Очевидно, что каждое звено А/ будет попреж-
нему полем Галуа относительно предыдущего звена Aj_i. Если
*) Мы здесь предполагаем $ =£ Е. Для Щ = Е лемма очевидна — в этом
случае корни х?—1=0 лежат в К и потому выражаются рационально
с коэфициентами из К через неприводимые радикалы 1 и-1.
т
мы покажем, что 2' можно построить из К путем присоединения
неприводимых радикалов, то теорема будет для р доказана, т^ак
как все корни уравнения хр—1=0 лежат в Q'. Обратимся
прежде всего к началу цепочки (12), к полю Д0'. Оно у нас
образовалось в результате присоединения к К корней угй, #2-й, .. .,
qk-ft степени из единицы. Но эти корни, как мы уже знаем,
выражаются через неприводимые радикалы. Значит, Д0' можно
получить из К путем присоединения неприводимых радикалов. Далее,
обратимся к А/. Рассмотрим его группу Галуа $$ относительно
д0'. Раньше, до присоединения корней из единицы мы имели дело
с полем Aj. Обозначим группу Галуа At относительно К через *£>;
так как Lx есть циклическое поле Галуа #гй степени
относительно К, то $ должно быть циклической группой простого
порядка qv Посмотрим, какая существует связь между группами
Q и «£). Пусть 0 примитивный элемент поля Aj и р (х)
многочлен, неприводимый в К и имеющий б своим корнем. Возьмем
из *£)' произвольный автоморфизм s' и применим его к At.
Очевидно, автоморфизм s' будет перемещать 6 в корень того же
самого многочлена р(х), т. е. в сопряженный (относительно 1()
элемент. Пусть 6 под влиянием s' переходит в б'. Тогда А1 = Д"(б)
под влиянием s' отобразится на сопряженное поле К (б'). Но поле
Галуа, как известно, совпадает со своими сопряженными полями.
Следовательно, A1=/C(6) = /C(6'), т. е. получился автоморфизм s
из группы $. Одним словом, повторяя рассуждения, приведенные
во второй половине доказательства теоремы 2, приходим к
заключению, что *£)' с точностью до изоморфизма есть подгруппа ^.
По теореме Лагранжа порядок подгруппы должен делить порядок
группы. Так как qx число простое, то для £' представляются
только две возможности: либо ф' = Е, либо ^'-—циклическая группа
qt'TO (простого) порядка. В первом случае степень поля А/
относительно А0' равна 1, и А/ можно рассматривать как результат
присоединения к А0' неприводимого радикала первой степени 1). Во
втором случае А/ будет относительно А0' циклическим полем Галуа
простой степени qv В силу теоремы 4 такое поле можно полу-
чить из Д0' путем присоединения неприводимого радикала у а.
Повторяя дословно те же рассуждения для А^, Ад и т. д.,
мы, наконец, дойдем до поля Q' и покажем, что оно может быть
получено из К путем присоединения неприводимых радикалов.
Итак, лемма для р доказана. Тем самым она доказана
полностью.
Теперь можно приступить к доказательству второй половины
критерия о разрешимости уравнений в радикалах. Мы будем
рассуждать почти так же, как при доказательстве леммы.
*) В этом случае A2' будет совпадать с А^
169
Пусть группа. Палу^^^..уравнения'/(4== 0 разрешима. Это
зйа'чит, что ее комлбайгционный ряд
Г i ®ZD&1z^®izz> ... =)©, = £ (13)
обладает простыми индексами:
(®i, ®)=Pi. (®»©i)=P* •.., (®„ ®,-i)=A,
/7/ — простые числа. Обозначим через I поле разложения
многочлена f(x) относительно К- Тогда ряду (13) будет
соответствовать „цепочкац промежуточных полей
Д0 = ЛГс=:А1с:Д2с= ... сиД5 = 2, (14)
в которой каждое Д; является циклическим полем Галуа /?гй (про"
стой!) степени относительно предшествующего поля Д^.
Присоединим к каждому звену цепочки (14) неприводимые радикалы;
через которые по только что доказанной лемме выражаются корни
/?гй, р2-й, ..., ps-ft степени из единицы. В результате мы
получим новую цепочку
Совершенно так же, как при доказательстве леммы,
обнаруживаем, что каждое поле Д/ либо совпадает с предшествующим,
полем Д/_1, либо получается из Д£_\ путем присоединения непри-
р/
водимого радикала у а. Таким образом поле Е', содержащее все
корни уравнения /(дг) = 0, может быть получено из К путем
присоединения неприводимых радикалов. Короче говоря, мы показали,
что уравнение /(лг) = 0 разрешимо в радикалах.
В заключение рассмотрим уравнения выше четвертой степени
и покажем, что они далеко не всегда разрешимы в радикалах.
Теорема Руффини-Абеля. Уравнение выше четвертой
степени в общем виде неразрешимо в радикалах.
Доказательство. Для доказательства теоремы обратимся
к уравнению
f(x) = xn_piXn-l+p2Xn-*_ _ ±pn =
= (х — xt)(x — х2) ... (х — хп) = 0,
у которого корни xv дг2, ..., хп являются независимыми
переменными *), а коэфициенты pt суть основные симметрические
ФУНКЦИИ! ,* _v.lv.! !г
Pi == ^1^2 ~Г Х1Х3 [~ ' * ' ~Г Хп-1Хп>
Рп = Х\Х* . . . Хп.
*) т. е. каждое X/ трансцендентно относительно
I (Xj, Х%, ..., Д*/-1, Xi+if ..., A"7I*.
199
Посмотрим," что собой представляет .группа Галуа © этого
уравнения.* Как известно, ® должна быть изоморфной с
некоторой группой подстановок я-й степени, а именно с группой таких
подстановок, которые не нарушают ни одно из соотношений между
корнями xv х» ..., хп с коэфициентами из K=T(pv р.2, ..., рп).
Возьмем какое-нибудь одно соотношение между xv хъ ..., хп,
например ?(^ ^ ; ^) = 0> (15)
Коэфициенты соотношения (15), очевидно, зависят от pv ..., рп.
Заменим основные симметрические функции pt их выражениями
через xt. Тогда вместо соотношения (15) мы будем иметь
соотношение
W(xv xv ..., хп) = 0 (16)
с рациональными коэфициентами. Но по условию корни xi
независимы. Следовательно, соотношение (16) представляет собой
тождество и оно будет оставаться в силе при любой подстановке
я-й степени. Отсюда получается, что первоначальное соотношение
(15) также будет оставаться в силе при любой подстановке я-й
степени. Группа © таким образом оказалась изоморфной с группой
всех подстановок я-й степени, т. е. с симметрической группой @я.
Но в свое время мы установили, что группа @rt при я^5
неразрешима (см. § 11). Значит, @ при я^5 также неразрешима,
а потому рассматриваемое уравнение при я^5 не может быть
решено в радикалах. Этим теорема Руффини-Абеля доказана
полностью: если бы при я^5 существовало решение в радикалах
для любого уравнения я-й степени, то в частности данное
уравнение было бы разрешимо в радикалах, а это, как мы только
что показали, не имеет места.
Мало того, можно указать целый ряд уравнений с числовыми
коэфициентами, неразрешимых в радикалах. Например, уравнение
лг5 — 25л: — 5 = 0 нельзя решить в радикалах. Вообще уравнения
пятой степени вида х* — р*х—/? = 0, где р простое число, не
могут быть решены в радикалах.
Доказательство. В данном случае поле коэфициентов К
совпадает с полем Г рациональных чисел, так как коэфициенты
уравнения
х* — р*х — р = 0 ,(17)
числа целые. С помощью критерия Эйзенштейна нетрудно
убедиться, что уравнение (17) неприводимо. Далее, применяя теорему
Штурма, получазм, что уравнение (17) имеет два сопряженных
комплексных корня ai = aJrb!i а2 = а — Ы и три действительных
корня аг = с, a4 = d, <zs = e (a, b, с, d, e—какие-то
действительные числа).
191
Досмотрим, какова* группа Галуа (В рассматриваемого
уравнения.1 '".*,'
Так как уравнение (17) неприводимо, то корни ctv а2, а^ а4>.ав
между собой * сопряжены, в силу чего в группе ® должны
существовать автоморфизмы, переводящие at во все остальные
корни, (см. § 23, свойство 2 группы Галуа). Мы видим отсюда,
что группа @ изоморфна некоторой транзитивной^ группе
подстановок пятой (простой!) степени. Обозначим эту группу под^
становок через St и покажем, что она содержит транспозицию
5= (12). Возьмем какое-нибудь соотношение между корнями av
Чу <*3> а4> V
<Р(<*1> Чу Чу Чу а8) = 0> (18)
9 — целая рациональная функция в поле Г. Подставляя в
соотношение (18) значение корней at = a-\-bi, a2 = a— &i, oe3 = c, a4 =
=d, аь = е и собирая отдельно действительные и мнимые члены,
получаем:
[Р> Q — целые рациональные функции а, Ь, с, d, e], откуда Р =
= Q = 0. Применим теперь к функции <p(ai» Чу Чу Чу Ч)
транспозицию 5 = (12). Тогда корни аг и а2 поменяются местами и
наша функция превратится в"<р(а2» ai» av Чу Ч)' Легко заметить,
что
<?(Чу Чу Чу Чу Ч) = Р ~ lQ)
.в самом деле, так как о^ и ос2 сопряженные комплексные числа, то
перестановка корней at и а2 равносильна замене I через —/.
Принимая во внимание, что P=Q = 0, получаем далее
9 (Чу Чу Чу Чу Ч) ==Z ®*
Как видим, соотношение (18) не нарушилось от подстановки 5=
= (12). Следовательно, 5= (12) содержится ,в SI.
В" § 12 главы 2 мы показали, что, если транзитивная группа
простой .степени содержит транспозицию, то она симметрическая.
Поэтому $1 есть симметрическая группа: $1 = @8. Но группа./-€>8
неразрешима. Следовательно, уравнение х* — р*х—/; = 0,нераз-
^ решимо в радикалах.
§ 26. Геометрические построения при помощи циркуля
и линейки. Всякую геометрическую задачу нд построение можно,
как 'известно, решить чисто алгебраически, т. е^можно свести
к.отысканию корцей некоторого алгебраического уравнения/(лг) = 0.
Например^ знаменитая задача об удвоении куба тесно связана
с извлечением корня третьей степени из двойки, ,
192
. Посмотрим, при каком условии корни алгебраического
уравнения /(•*) = О можно построить с помощью циркуля и линейки
(при этом коэфициенты уравнения заданы или численно или
геометрически, как длины отрезков).
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к следующей.
теореме.
Теорема 1. Выражение а тогда и только тогда может
быть построено с помощью циркуля и линейки, когда оно
получается в результате решения уравнений не выше второй степени.
Доказательство. Пусть рассматриваемое выражение можно
построить с помощью циркуля и линейки. Покажем, что в таком
случае а можно получить, решая уравнения не выше второй
степени. Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат
XOY. Каждое построение циркулем и линейкой сводится к
проведению прямых, окружностей и к нахождению точек
пересечения этих линий.
Чтобы найти точку пересечения двух прямых
надо, очевидно, решить систему уравнений (1), в результате чего
получится уравнение первой степени относительно х (или у).
Чтобы найти точки пересечения прямой
и окружности
. ах-\-Ьу + с^Ъ (2)
(x-Ay + {y-Bf = R\ (3;
придется совместно решать уравнения (2) и (3). Мы получши
тогда квадратное уравнение относительно х (или у).
Наконец, чтобы найти точки пересечения двух окружностей
{x-Alf-^r{y-Bif = Rl\\ (Л.
придется решать систему уравнений (4). Нетрудно убедиться, что
для неизвестного х (или у) в результате получится квадратное
уравнение.
1 Итак, а, действительно, можно получить путем решения
уравнений не выше второй степени.
Теперь докажем справедливость обратного утверждения.
Решение уравнений не выше второй степени с заданными коэфициен- ^
тами сводится к следующим действиям над комплексными числами:
7а** Л. Окунев " 1Щ
сложению, вычитанию, умножению, делению и извлечению ква!д*.
ратного корня.
Чтобы сложить или вычесть два комплексных числа zt = at-\-
-\-bxi и z^=-a^-\-b4 надо, как известно, сложить или вычесть
их действительные и мнимые части: zt ± z2 = (ах :± а2) -f- (bt ± b2) L
Но выражения ах±а^ и bx±b^ с помощью циркуля и линейки
всегда можно построить.
Обращаемся к умножению. Чтобы перемножить два
комплексных числа zx = г, (cos 91 + * sin ©j), z^ = r2 (cos <p2 +l sin <?2), надо
сложить аргументы и перемножить модули:
zxZi = гхгг (cos 9i + ?2 + * sin ©I + ?з)-
Но выражения ©i ~\~ ?2 и rir2 можно без особого труда построить
с помощью циркуля и линейки. То же самое можно сказать и
относительно деления:
7Г = "Г (cos ?»— *» + 'sin Ti — ?з)>
а выражения — и <рх—©2 е помощью циркуля и линейки по-
строить, конечно, можно.
Рассмотрим, наконец, операцию извлечения корня квадратного
из комплексного числа 2 = r(cos<p-f~*sin?)- Чтобы определить
У г (cos о -\~ I sin ф),
надо угол ср разделить пополам и извлечь корень квадратный из
модуля г. Но выражения -^ и ]/V также можно построить с
помощью циркуля и линейки. Теорема доказана полностью.
Таким образом, чтобы корни уравнения /(лг) = 0 получались
построением посредством циркуля и линейки, необходимо и до.-
статочно, чтобы это уравнение приводилось к уравнениям не
выше второй степени, т. е. решалось в квадратных радикалах.
Возникает вопрос, не существует ли критерия, позволяющего
судить, будет ли данное уравнение решаться в квадратных
радикалах или нет? На этот вопрос ответить нетрудно, если только
воспользоваться результатами предыдущего параграфа. А именно —
можно высказать следующий критерий.
Критерий разрешимости уравнения в
квадратных радикалах. Пусть К—поле коэфициентов уравнения
f(x) = 0, 2 — поле разложения f{x) относительно К и
многочлен f(x) неприводим в К. Тогда если один из корней
уравнения выражается в квадратных радикалах, то все остальные
294
копни также выражаются в квадратных радикалах и №Ъ-
пень £ относительно К равна 2т. Обратно, если степень £
относительно К равна 2т, то уравнение f(x) = 0 решается .
в квадратных радикалах.
Для доказательства этого критерия придется несколько расши- •
рить наши знания по теории групп.
Рассмотрим некоторую конечную группу @. Обозначим через ,
3 совокупность таких элементов ®, которые перестановочны со
всеми элементами группы. Мы будем 3 называть центром группы
®. Читатель может сам без труда убедиться, что 3 является
нормальным делителем ®. Далее, возьмем из ® произвольный
элемент а и обозначим через {х~хах} совокупность элементов,
сопряженных с а. Легко видеть, что две различные совокупности
{х~хах} и {x~lbx} не могут иметь общих элементов (т. е.
взаимно просты). В самом деле, предположим противное; пусть они
обладают общим элементом с: с = х~хах, c=y~lby. Тогда х~хах =
z=zy~lby, откуда Ь = (ху~1Уха(ху~х) и а = (ух~х)~хЬ (ух~х), т. е.
а содержится в {х"хЬх} и b содержится в {х~гах}. Отсюда
следует, что любой элемент первой совокупности содержится во
второй и наоборот, т. е. {x~lax} = {x~xbx}. Мы пришли к абсурду:
по условию {х~хах} и {x~lbx} различны, а не равны.
В теории групп совокупность {Х~1ах\ принято называть
классом сопряженных элементов. Таким образом, группа ©
распадается на непересекающиеся классы сопряженных элементов.
Нетрудно показать, что а тогда и только'тогда содержится
в центре 3» когда класс {х~хах} состоит из одного элемента. ^
Действительно, если а содержится в центре 3» т° а будет
перестановочно с любым элементом х группы ®: ах = ха. Отсюда"
получаем, что х~хах = а, т. е. класс {х~1ах} состоит только из
одного а. Обратно, пусть класс {х"хах} состоит из одного
элемента. Тогда х~1ах=у~хау каковы бы ни были х и у. Положим
у=1. Мы получим в результате, что х~1 ах = а, откуда ха = ах,
т. е. а перестановочно с любым элементом группы.
Вообще для любого а, как принадлежащего, так и не
принадлежащего к центру, имеет место следующая TeopeMav
Теорема 2. Число элементов класса {х~хах} должно быть
делителем порядка группы.
Доказательство. Рассмотрим совокупность 9i таких
элементов s, которые перестановочны с а. Эта совокупность
называется нормализатором элемента а. Легко видеть, что
нормализатор образует подгруппу ®. Действительно, пусть s nt два
каких-нибудь элемента из 9?. Тогда as = sa и at = ta, а потому
a (st) = (as) t = (sa) t = s (at) = (st) а. Произведение st оказалось
перестановочным с а. Как видим, st есть, также элемент 91, т. е. /
условие замкнутости удовлетворяется.
S 195. ]
Разложим теперь @ по подгруппе 9?. Пусть
© = Я + Я*а + Я*в + ... +%xk. (5)
Тогда класс {х~хах} будет содержать всего k различных
элементов, а именно — элементы а, х2~1ах2, хъ~1ахг, ..., лг^алг^.
Действительно, во-первых, все эти элементы между собой различны.
Если бы, например, x~xaxi равнялось Xj~laXj(i^j), то мы бы
из равенства хрхах^^=х^хахг имели, что axtxfx = x^xf^a, т.е.
xtxfl принадлежало бы нормализатору 9?. Иными словами, xtxfx =
= /z, где п элемент 91 или, что то же самое, Xi = nxj. Но
последнее невозможно, так как хь не содержится в смежной
системе $lxj. Во-вторых, класс {х~1ах} других элементов, кроме
а, х^ах^ ..., x~lkaxk содержать не может. В самом деле, из
разложения (5) видно, что всякий элемент группы ® можно
представить в форме nxti где п элемент нормализатора 91.
Посмотрим, чему равно (nxi)~ia(nxi):
(nx;)~l a (nxt) = (х[~хп~1) а (пх^) = х^гг1 (an) xt =
= xfln~l (па) x-t = xfl (n~lri) axt = xflaxt.
Получилось совпадение с одним из k сопряженных элементов
W, Ха UX а) • • • ) «ЛС-и UJbu»
Остается сказать несколько слов, и доказательство теоремы
будет закончено. Мы нашли, что число элементов в классе {х~1ах}
равно индексу k нормализатора 9?. Но, как известно, индекс
подгруппы есть делитель порядка группы. Следовательно, число
элементов класса {х~1ах} должно быть делителем порядка группы.
Применим все эти свойства класса сопряженных элементов к
группе порядка рт, где р простое число и т какое угодно
натуральное число. Такого рода группа будет играть немаловажную
роль при доказательстве критерия разрешимости уравнения в
квадратных радикалах.
Теорема 3. Всякая группа, порядок которой есть степень
простого числа, разрешима.
Доказательство. Прежде всего покажем, что группа ®
порядка рт может быть простой лишь при т=1. Представляются
две возможности: © абелева группа и @ неабелева группа.
Если ® абелева группа, то мы рассуждаем следующим
образом. Пусть т^>1. Возьмем из® какой-нибудь элемент а,
отличный от единицы е. Обозначим порядок элемента а через п. Так
как п должно быть делителем числа рт, порядка группы ©, то
196
4 ' *
— я* где к некоторое натуральное число. Очевидно, что-при
1 ___!< элемент а будет порядка р. Если же &>1, то элементом
"~~ И.
«-го порядка будет Ь = аР* В том и в другом ^случае мы
можем построить циклическую группу р-го порядка, отличную от
© и от единичной группы. Эта циклическая группа должна быть
нормальным делителем @, так как в абелевой группе всякая
подгруппа является нормальным делителем. Таким образом, © при
^^>1 не может быть простой группой.
Если ® неабелева группа, то ее центр 3 будет собственным
нормальным делителем. Покажем, что 3 отличен от единичной
группы Е. Предположим противное; допустим, что $ = Е.
Разобьем группу ® на классы сопряженных элементов. Пусть ®
распадается на s классов. Обозначим через kx число элементов
первого класса, через k% число элементов второго класса и т. д.
Тогда можно написать следующее равенство:
*! + *«+ '•• +К=рт- (6)
Согласно предыдущей теореме каждое из чисел kt должно
быть делителем рт. Поэтому каждое k{ равно либо 1, либо
некоторой степени р. Мы утверждаем, что среди 5 классов имеется
.только один класс, состоящий из одного элемента. В самом деле,
если {х"хах} состоит из одного элемента,- то, как известно,
а должно содержаться в центре 3- Но по нашим предположениям
3 ничего другого, кроме единицы, содержать не может. Таким
образом, среди чисел kx только одно будет равно' 1, а остальные
будут степенями р. Пусть для определенности ki = \. Тогда
равенство (6) примет следующий вид:
i+pa*+pa>+... +pas=pm. (a^i)
Мы получили нелепость: левая часть последнего равенства не
делится на р, а правая делится.
Итак, центр 3 должен быть отличен от Е. Следовательно,
группа © не простая.
А теперь нетрудно убедиться, что группа © разрешима.
Напишем ее композиционный ряд
@=D®1=D®2=D ... =>©,=£.
По теореме Лагранжа, порядок ©х должен быть делителем
числа рт. Следовательно, ®t есть группа порядка pk, где k<^m.
Отсюда получаем, что порядок факторгруппы ®/®t равен pm~k.
Посмотрим, может-ли т — k быть больше числа 1. Если бы т — k
было больше 1, то по доказанному факторгруппа ©/©! не была
197
бы простой. Но это невозможно, так как ®{ максимальный
нормальный делитель ©. - *
Таким образом, индекс (®и ®) оказывается равным простому
числу р. Точно так же убеждаемся, что (@2, ®д=р, (®3> ®з)==
Разрешимость группы ® обнаружена.
Теперь мы можем доказать критерий разрешимости уравнения
в квадратных радикалах.
Доказательство критерия. Пусть один из корней
уравнения f(x) = 0 выражается через квадратные радикалы p1 = j/a1,
Ра = Vai> • • • > Р* = V^ft» гДе ai есть элемент /if, а2—элемент /f (pt),
а3 — элемент /if (р2) и т. д. Найдем, чему равна степень поля
разложения 2 относительно К. Для этой цели повторим рассуждения,
приведенные в доказательстве первой части теоремы о
разрешимости уравнений в радикалах (см. § 25). А именно,
присоединим к К корень квадратный из ах\ затем присоединим
последовательно корни квадратные из а2 и из всех элементов,
сопряженных с а2, и т. д. Тогда у нас получится цепочка расширений:
А0 = /Гс:Д1с:Д2с= ... <=Д, = 2, (7J
в которой каждое расширение Д,- образует поле Галуа второй
степени относительно предшествующего расширения. Последнее
расширение Q будет содержать все корни данного уравнения
и будет полем Галуа не только относительно &s_u но и
относительно К. Обозначим через ® группу Галуа Q относительно К.
Тогда цепочке расширений (7) будет соответствовать убывающая
последовательность подгрупп:
®=d®1=d ... :=>©,=£,
причем каждая из этих подгрупп будет нормальным делителем
предыдущей и индекс каждой подгруппы относительно
предыдущей будет все время равен 2. Отсюда следует, что порядок
группы ®s_t равен 2, порядок группы @5_2 равен 22 и т. д.,
наконец, порядок группы ® равен 2*. Поэтому степень Q
относительно К также равна 2*. Так как поле разложения 2 является
промежуточным полем: Кcz££=Q, то степень 2 относительно К
должна быть делителем 2s (см. § 24, следствие из теоремы 2),
т. е. должна иметь вид 2т.
Обратно, пусть (2:Р) = 2т. Покажем, что в таком случае
уравнение f(x) = О решается в квадратных радикалах. Обращаемся
к группе Галуа $ поля 2 относительно К. Так как по условию
степень 2 относительно К равна 2т, то порядок группы Галуа $
также равен 2т. Но мы выше нашли, что группа порядка рт,
198
где Р просто© число, m^zl, разрешима. Значит, ф разрешима, .
т. е. в ее композиционном ряду
фгэ&гэ&гз ... ZD$m = E (8)
индексы (&, #), 0£>2> £i) • • •, (£m> £m-i) числа простые, а
именно —все эти индексы равны двойке. Композиционному ряду
(8) должна соответствовать цепочка промежуточных полей
А0 = Агс=А1с=Д2с= ... с=Дт = £,
причем степень каждого поля Д,- относительно предыдущего поля
Д/_1> равна 2; иными словами, Д/ = Д£_1(6), где 0 алгебраический
элемент 2-й степени относительно Дм. Таким образом, каждое Д£
есть результат присоединения к Д^ корня 6 квадратного
уравнения. Следовательно, уравнение /(дг) = 0 решается в квадратных
радикалах.
Критерий разрешимости уравнений в квадратных радикалах
играет весьма большую роль в теории геометрических
построений. Мы ограничимся тремя классическими задачами, а именно
задачей удвоения куба, трисекцией угла и деления окружности
на равные части.
Задача об удвоении куба, как известно, связана с решением -
уравнения
f(x) = x* — 2 = 0. (9)
Посмотрим, будет ли это уравнение решаться в квадратных
радикалах. Прежде всего обратим внимание на то обстоятельство,
что многочлен f(x) = x*— 2 неприводим в поле Г рациональных
чисел. В самом деле, если бы многочлен третьей степени f(x)
разлагался в поле Г на произведение двух множителей, отличных
от постоянной, то по меньшей мере один из этих множителей
был бы линейным, т. е. имел бы вид: ах-\-Ь, где а и &
рациональные числа. Отсюда следовало бы, что многочлен f(x) имеет
Ъ ¥Т
рациональный корень . Но это невозможно, так как
уравнение (9) рациональных корней, очевидно, иметь не может.
А теперь легко убедиться, что условия критерия
разрешимости уравнения в квадратных радикалах не выполняются.
Действительно, в данном случае полем К является /V Присоединим
к Г какой-нибудь корень а уравнения (9) и обозначим через 2
поле разложения f{x) = xb — 2 относительно Г. Согласно
следствию теоремы 2 § 24 степень (Г(а): Г) промежуточного поля
Г (а) относительно Г должна делить QJ: Г). Но (Г(а):Г) = 3.
Следовательно, (2: Г) кратно трем и потому не может быть
степенью двойки.
Итак, задача об удвоении куба не разрешима jt помощью
цпркуля и линейки.
Обращаемся теперь к задаче о трисекции угла. Пусть дан
угол ос, требуется его разделить на три равные части. Обозначим
искомый угол через ©I таким образом ос = 3<р. Как известно
cos a = cos 3©== 4 cos3 9 — 3 cos©. ^ ; (10)
Поскольку угол а дан, мы можем считать его косинус
известным. Поэтому полагаем cos ос = -^ ; cos 9, как неизвестную ве-
х
личину, приравниваем -^. После этого уравнение (10) примет
такой вид:
или, окончательно
f(x) = xd — Ъх — Ь = 0. (11)
Нетрудно указать бесчисленное множество значений Ь, при
котором многочлен третьей степени /(х)=хъ— Ъх — Ь будет
неприводим в поле Г рациональных чисел. Например, когда Ь=1
(в этом случае а = 7г/3) уравнение (11) не имеет рациональных
корней; таким образом, - многочлен f(x) при Ъ=\ неприводим
в Г. Следовательно, условия критерия о разрешимости уравнения
в квадратных радикалах здесь также не выполняются: (£: Г)
кратно 3.
Мы видим, что угол те/3 нельзя разделить на три равные
части с псмощью циркуля и линейки.
Итак, задача о трисекции угла в общем не может быть
решена с помощью циркуля и линейки.
Наконец, рассмотрим задачу о делении окружности на /г
равных частей. Она, как известно, связана с двучленным
уравнением хп—1=0.
Сделаем предварительно несколько замечаний.
1. Пусть п = пхщ, где пх и я2 два взаимно простых
натуральных числа. Окружность тогда и только тогда может быть
разделена на п равных частей с помощью циркуля и линейки,
когда ее можно разделить с помощью этих инструментов на л,
и на щ равных частей.
В самом деле, пусть окружность можно разделить циркулем
-и линейкой на щ равных частей и на щ равных частей.
По условию пх и щ взаимно просты; поэтому для них можно
подобрать такие целые х и у, чтобы
nix-\~niy=\*.
200
Если разделить обе части этого равенства на п = п\п%, то
получится
1 1
т е. зная ю и ю части окружности, мы, руковод-
#1 ^2 1
ствуясь равенством (12), можем построить и —ю часть
окружности.
Обратно, пусть окружность делится с помощью циркуля
и линейки на п равных частей. Тогда она и подавно будет
делиться на пх и на /г2 равных частей. А именно, чтобы построить
1 / 1 ч 1
— -ю ( ю) часть окружности, надо ее —ю часть повторить
Щ (гц) раз.
2. Вместо двучленного уравнения хп — 1=0 можно
рассматривать так называемое уравнение деления окружности на п
равных частей: h
ФЯ(Х) = П (*-€,) = 0,
* = 1
где ei — первообразные корни #-й степени из единицы, h — число
всех таких первообразных корней; оно, как известно, равно
эйлеровой числовой функции <?(п).
Для получения многочлена Фп (х) незачем составлять
произведение линейных множителей х — г£. Проще будет, если мы
двучлен хп—Л освободим последовательно от множителей,
входящих в двучлены xd — 1, где d—всевозможные делители числа п.
3. Составим уравнение деления окружности для п=ра (р —
простое число). Согласно предыдущему замечанию
Фри (х)= £_~l i =х"-* IP-V+xt»-' Ю + ... +1 = 0.
Мы сейчас покажем, что многочлен Фр* (х) неприводим в поле Г -
рациональных чисел.
Для этой цели положим x — z-\-l. Тогда получим, что
Фра(х)=/(г)=^-1 («) + ... +£SPf$z+p,
и можно заметить на основании критерия Эйзенштейна, что /(г)
неприводимо в Г. Следовательно, Фра (х) также неприводимо
в поле Г.
Теперь мы можем доказать следующую теорему,
принадлежащую Гауссу.
Теорема. Окружность тогда и только тогда можно
разделить на п равных частей с помощью циркуля и линейки, когда
n = 2*q{qb ... qs,
V413 Л. Окунев ч 20J
где со — Целое неотрицательное число, qt—различные простые
нечетные числа вида 2k-\-\.
Доказательство. Напишем каноническое разложение
числа п на простые множители:
rn=p?ipf+...p*k.
В силу замечания 1 достаточно ограничиться частным случаем
п=р*(р — простое число). Найдем поле разложения 2
многочлена деления окружности Фра (х) относительно Г. Согласно
замечанию 3, многочлен Фр* (х) неприводим в поле Г.
Присоединим к Г какой-нибудь корень е многочлена Фра (х). Мы
утверждаем, что Г (г) и есть как раз V. В самом деле, так как е
является первообразным корнем ра-й степени из единицы, то
корни Фра (х) будут выражаться в виде целых степеней е.
Поэтому в Г(е) должны лежать все корни Фр*(х).
Так как степень неприводимого многочлена Фр(Х (х) равна
Р* (р — 1) (см. замечание 3), то
(Г(е):Г)=Ра-1(р-1).
Для того чтобы уравнение деления окружности Фра (х)
решалось в квадратных радикалах, необходимо и достаточно, чтобы
степень (V] : Г) равнялась 2т. Следовательно,
(2 :Г)==р—1(р_ 1) = 2т,
Но это возможно только в следующих двух случаях: 1) когда
/? _2Ш и 2)< когда «= 1, р — нечетное простое число вида 2й-)- 1.
Теорема Гаусса доказана полностью.
предметный указатель.
^ГеГоТоПуравненяе)
внешний 40, 41
Аддитивная группа. 10
Алгебраический элемент 139
Алгебраическое число 139
Ассоциативный закон 10
Ассоциативная алгебра 8У
Базис идеала 105
Взаимно однозначное
отображение 8
Гауссовы числа 85
Гиперкомплексная единица 88
Гиперкомплексная система 89
Главный идеал 105
Гомоморфизм 44, 91-Т-92
Группа 10
Группа Галуа 161
Группа подстановок 23
Делитель единицы 113
Делитель нуля 80
Дистрибутивный закон 75
Длина нормального ряда 55
Единица 10, 78
Единичная группа 23
Единичный идеал 104
Жор дана-Гельдера теорема 49
Знакопеременная группа 61
Идеал 104
Изоморфизм 39, 92
Изоморфизм
композиционных рядов 49
Импримитивная группа 69
Инвариантная подгруппа 31
Индекс подгруппы 30
Интранзитивная группа 66
Кватернионы 90—91
Класс по модулю 106
Класс сопряженных
элементов 195
Кольцо 75
Кольцо главных идеалов
111—112
Кольцо классов 109
Кольцо многочленов 125
Кольцо с единицей 78
Коммутант 37
Коммутативное кольцо 75
Комплекс 26
Композиционный ряд 48
Конечная группа 15
Максимальный нормальный
делитель 48
Мультипликативная группа
10-11
Неизвестное 125—126»
Неприводимый радикал 173
Неразложимый элемент 114
Нормализатор 195
Нормальное поле 159
Нормальный деятель 31
Нормальный ряд 48
Нулевой идеал 104
Нулевое подкольцо 103
Нуль И, 76
Область целости 96
Образ 8
Обратный элемент 10, 78
Основная теорема теории
Галуа 163—167
Отображение (однозначное) 8
Подгруппа 23
Подгруппа сопряженная 40
Подкольцо 102—103
Подполе 116
Подстановка 5
Поле 81
Поле Галуа 159
Поле разложения 146
Порядок группы 15
Порядок элемента группы
25
Представитель смежной
системы 28
Преобразование 8—9
Примитивная группа 69
Примитивный элемент 155
Присоединение 134
Продолжение изоморфизма
149
Простая группа 51
Простейшая группа 26
Простое поле 116
Простое алгебраическое
расширение поля 141
Простое расширение поля
136
Простое трансцендентное
расширение поля 140
Простота знакопеременной
группы 64
Противоположный элемент*
11, 76
Радикал 173
Разрешимая группа 54
Расширение поля 133
Резольвента Лагранжа 180
Свойства рефлективности^
симметрии и
транзитивности 97
Симметрическая группа 10
Системы импримитивности-
69
Системы транзитивности 74
Смежная система 27—28
Сопряженные расширения.
'148—149
Сопряженные элементы
группы 40
Сопряженные элементы
расширения 149
Сравнение 106
Степень алгебраического
элемента (расширения).
141
Степень элемента 19—20
Теорема Лагранжа ЗЭ
Теорема о гомоморфизме-
групп 46, колец НО
Теорема о примитивном,
элементе 155
Теорема Руффини—Абеля
190
Транзитивная группа 66
Транспозиция 59
Трансцендентный элемент
137
Уравнение деления
окружности 201
Факторгруппа 36 v
Характеристика поля 122
Целочисленное кратное 22
Центр группы 195
Цикл 56
Циклическая группа 25
Циклическое поле 166
Четверная группа 65
Члены нормального ряда 4$-
Эквивалентные расширения..
147
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 2
Глава первая.
Основы теории групп. СТр
§ 1. Примеры, приводящие к
понятию группы 3
§ 2. Понятие группы 9
§ 3. Простейшие свойства
группы 15
§ 4. Подгруппа 23
§ 5. Смежные системы.
Разложение группы по
подгруппе. Теорема Лагранжа. 26
§ 6. Нормальный делитель.
Факторгруппа 31
§ 7. Изоморфизм 37
§ 8. Гомоморфизм 44
-§ 9. Композиционный ряд.
Теорема Жордана-Гельдера. . 48
Глава вторая.
Группы подстановок.
§ 10. Циклы. Транспозиции.
Знакопеременная группа.. 56
§ П. Простота
знакопеременной группы 63
:§ 12. Транзитивность и интран-
зитивность 66
Глава третья.
Кольца и поля.
'§ 13. Определение кольца и
поля 75
стр.
§ 14. Ассоциативная алгебра . 86
§ 15. Гомоморфизм и
изоморфизм 91
§ 16. Область целости. Поле
частных 96
§ 17. Идеал. Кольцо классов. . 102
§ 18. Кольцо главных идеалов. 111
Глава четвертая.
Алгебраические расширения.
§ 19. Простое поле.
Характеристика поля 116^
§ 20. Кольцо многочленов.. . . 122
§ 21. Трансцендентные и
алгебраические расширения. . 133
§ 22. Поля разложения. Прими-'
тивный элемент. Поле Га-
луа 146
Главапятая.
Теория Галуа.
§ 23. Группа Галуа 160
§ 24. Основная теорема теории
Галуа 166
§ 25. Решение уравнений в
радикалах 172
§ 26. Геометрические
построения при помощи циркуля
и линейки; 192
Редактор С. И Новоселов.
'Подписано к печати 8/V I941 г А. 37191. Уч.-изд. листов 12,65. Печати, листоз 12V4. Тип-
знаков в печ. листе 40 тыс. Тираж 10 тыс. экз. Заказ № 597.
•Набрано во 2-й типографии Огиза РСФСР треста „Полиграфкнига"- „Печатный Двор"
им. А. М. Горького. Ленинград, Гатчинская, 26.
«Отпечатано с матриц в 1-й типографии Машгиза НКТМ Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
J