Издается при поддержке Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО)
№11 январь 2013
e-mail: kvanUks mccme.ru
ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ!
В этом номере вас ждёт много сюрпризов. Сможете ли вы
подвесить молоток так, как это показано на фото со стр. 7? Ка-
жется, он висит в воздухе, ни на что ни опираясь... Попробуйте!
А знаете ли вы, что иногда в задачах содержатся лишние
условия, без которых задача и так решается, причём даже ещё
проще? Вот уж действительно, меньше знаешь - крепче спишь.
Конечно, очень интересно разбираться в устройстве разноо-
бразных приборов, но ещё интереснее самому изобретать, при-
меняя имеющиеся знания и просто смекалку, фантазию. Со-
гласны? Тогда новая рубрика «Давайте изобретать» - для вас.
А так ли хорошо знаком вам закон Архимеда? Его полез-
но понимать каждому, а некоторым, например, подводникам,
не знать этот закон до тонкостей просто опасно для жизни!
На центральном развороте мы поместили несколько удиви-
тельных фотографий микромира - даже обычные песчинки при
100-кратном увеличении выглядят как фантастические узоры.
Любителям поломать голову над задачками мы пригото-
вили несколько головоломок с экзотическими названиями,
выборку из заданий районного тура Санкт-Петербургской
олимпиады по математике, дюжину задач о среднем арифмети-
ческом. А ещё мы начинаем очередной конкурс. Приглашаем
участвовать всех желающих!
Открылась рубрика «Нам пишут», а потому мы надеемся,
что вы завалите нас своими письмами - с решениями задач,
вопросами, предложениями, отзывами, интересными история-
ми... Но это потом, а сначала стоит прочитать номер!
Художник Yustas-07
Главный редактор: Сергей Дориченко
Зам. главного редактора: Ирина Маховая
Редакция: Александр Бердников,
Алексей Воропаев, Дарья Кожемякина.
Андрей Меньщиков, Григорий Фельдман
Главный художник: Yustas-07
Верстка: Ира Гумерова. РаяШагеева
Обложка: художник Yustas-07
Формат 84x108/16. Издательство МЦНМО
Журнал «Квантик» зарегистрирован в
Федеральной службе по надзору в сфере связи,
информационных технологий и массовых
коммуникаций.
Свидетельство ПИ N ФС77-44928 от 4 мая 2011 г.
ISSN 2227-7986
Тираж: 1-й завод 500 экз.
Адрес редакции: 119002, Москва,
Большой Власьевский пер., 11-
Тел. (499)241-74-83. e-mail: kvantik@mccme.ru
Почтовый адрес: 119002, Москва,
Большой Власьевский пер., д. 11,
журнал «Квантик».
Подписной индекс: 84252
www.kvantik.com
@ kvantik@mccme.ru
ЬЗ kvantikl 2.Iivejournal.com
в vk.com/kvantik12
По вопросам распространения обращаться
по телефону: (499) 241-72-85:
e-mail: biblio@mccme.ru
Подписаться можно в отделениях связи Почты
России, подписной индекс 84252.
Отпечатано в соответствии
с предоставленными материалами
в ЗАО "ИПК Парето-Принт’’, г.Тверь.
www.pareto-print.ru
Заказ №
□ ГЛЯНИСЬ ВОКРУГ
Стабильные браки	2
 СВОИМИ РУКАМИ
Невероятный молоток	7
| ИСКУССТВО ВЫЧИСЛЕНИЙ
Дюжина задач о среднем арифметическом 8
ДАВАЙТЕ ИЗОБРЕТАТЬ
Первое изобретение дяди Юры	Л□
Е МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СЮРПРИЗЫ
Меньше знаешь — крепче спишь	Я 2
1 НАУЧНАЯ ФОТОГРАФИЯ
Микромир	Л 6
КАК ЭТО УСТРОЕНО
Подводные камни закона Архимеда	Л 8
	ИГРЫ и гслсвслсмки
Чичён-Ица, Зйяфьядлайёкюдль
и другие головоломки на складывание
симметричных фигур	20
СЛОВЕЧКИ
Математика — мама и тётка	22
” ДЕТЕКТИВНЫЕ ИСТОРИИ
Новогодняя история	24
ОЛИМПИАДЫ
Санкт-Петербургская олимпиада	26
Наш конкурс	32
	НАМ ПИШУТ	28
ОТВЕТЫ
Ответы, указания, решения	29
	КОМИКС
Дядин подарок	IV страница обложки

Впервые опубликовано
в журнале «Квант», № 3 за 2009 г.
ОГЛЯНИСЬ
вокруг
- Сегодня стартовал наш долгий кос-
мический полёт, — так начал свою речь
капитан первого межзвездного корабля
«Земля—Андромеда». — Нас здесь, как вы
знаете, 50 мужчин и 50 женщин, а лететь
нам 50 лет. Так что всем следует завести
семьи. Каждый из вас не женат и должен
вступить в брак здесь: таково было усло-
вие приёма в экспедиционный корпус.
- Мы помним, и многие из нас будут
рады жениться уже сегодня. Мы знаем
друг друга не меньше года.
- Хорошо. Но я думаю, что жениться
должны все, причем так, чтобы на этом
корабле не было никаких супружеских
измен.
Все рассмеялись от души.
- Капитан, вы идеалист, — сказал
кто-то.
- Я вполне реалистичен, - улыбнулся
капитан. — Это невозможно на Земле, но
мы вполне можем осуществить это здесь.
- Как это? — Все продолжали смеяться.
- Могу я спросить, — капитан был не-
сгибаем, — почему это женатый мужчи-
на А изменяет своей жене с замужней
леди О?
— Что же здесь непонятного, капи-
тан? Потому что они нравятся друг дру-
гу больше, чем их собственные супруги.
- И А запросто находит красотку О,
которая предпочтет его собственному
мужу?
— Проще некуда! — Некоторые уже
просто покатывались от хохота.
— Но это на Земле! — Капитан строго по-
смотрел на команду, и смех сам собой про-
пал. — А я намерен женить нас так, что-
бы никакому мужчине А не удалось найти
такую женщину О, которая бы нравилась
ему больше собственной жены и которая
предпочла бы его собственному супругу.
— Вы имеете в виду, капитан, что каж-
дой такой женщине, которая нравится А
больше, чем его половина, сам А не нра-
вится? По крайней мере не больше соб-
ственного мужа.
— Именно. И наоборот, А предпочи-
тает свою жену всем тем, которые с радо-
стью сменили бы своих партнеров на него.
— Хорошая идея, капитан! Если вам
это удастся, вы решите вековую пробле-
му стабильности в браке. Но нам всё рав-
но кажется, что это невозможно.
- Но могу я попробовать? - спросил
капитан вкрадчиво.
— Отчего же нет, это будет забавно!
— Прекрасно! Тогда начнём немедлен-
но. Сегодня каждый мужчина должен
выбрать ту женщину, которая ему нра-
вится больше всех, и написать ей пись-
мо: попросить её руки.
— Но тогда все выберут Диану. — Ди-
ана Браун была признанной красавицей.
Многие были влюблены в неё, но мало
кто надеялся стать её мужем.
— Во-первых, не все. Например, не я.
Кроме того, это не играет никакой роли.
Вы должны посвататься, даже если у вас
нет никакого шанса. Выберите ту жен-
щину, о которой мечтаете. Однако это -
только начало. Мы продолжим завтра.
А сейчас вы должны написать своё пер-
вое письмо. И не думайте о возможном
отказе. Только выберите самую желан-
ную женщину. И помните: это - приказ.
Каждый должен выбрать и посвататься!
Не многие из мужчин смогли уснуть
в эту ночь. Выбрать женщину своей меч-
ты. Не так-то это просто! К тому же она
может и отказать. Пожалуй, хорошо,
что это был приказ, многие иначе и не
осмелились бы посвататься. И многие
выбрали Диану.
3
Капитану тоже не спалось. Мэри, в
которую он тайно был влюблён, давно
уже предпочитала другого.
— Но я должен написать Мэри, — тяже-
ло вздохнул капитан и начал своё письмо.
На следующее утро после завтрака
все собрались в зале. Многие женщины
были тихи и печальны.
— Вижу, далеко не все получили пись-
ма, — заметил капитан. Несколько вздо-
хов были ему ответом. — А кто-то получил
больше одного письма. — Некоторые жен-
щины радостно кивнули. Краем глаза он
увидел, что и Мэри кивнула тоже. — Те-
перь ваш черёд выбирать! Каждая жен-
щина, которая получила больше одного
письма, должна выбрать только одного
мужчину.
— И выйти за него замуж?
— Нет, этого я не говорил. Но вот что
вы должны сделать — так это ответить
всем остальным, что вы никогда не смо-
жете выйти за них. Я думаю, это есте-
ственно. Они должны знать, что есть
кто-то, кто вам нравится больше.
- Только это?
— Только это. И ждать завтрашнего
дня.
— Тогда Диане придется писать много
писем! — пошутил кто-то в зале. Но самой
ей, похоже, было не до шуток.
— А можно, я всем отвечу? — спросила
она. «Видать, не получила она того пись-
ма, которого ждала», — подумал капи-
тан, а вслух сказал:
- Нет, ты должна ответить всем, кро-
ме лучшего из них. Это только начало.
Мы всего лишь отметаем заведомо неста-
бильные браки, — попытался он утешить
красавицу. Только в последнюю секун-
ду он осмелился поднять взгляд на Мэри.
Она сочувственно улыбнулась ему, и он
понял, что завтра получит от неё письмо.
Мало кому удалось легко уснуть
и в эту ночь. Женщины, которым было
из чего выбирать, размышляли. Те, кому
вообще выбирать было не из чего, пла-
кали. А мужчины... Мужчины ждали
и тоже не могли уснуть.
На следующее утро больше полови-
ны из них получили письма, и большую
часть — от Дианы. Письма были вежли-
вые, но безнадёжные. Капитан также
получил своё письмо от Мэри. После за-
втрака все собрались, и капитан сказал:
— Сегодня многие из нас получили
письмо. Это означает, что мы, — капи-
тан бросил печальный взгляд на Мэри, —
не имеем никаких шансов на стабильный
брак с нашими избранницами. И я счи-
таю, что лучше узнать это сейчас, чем по-
сле женитьбы.
— Вы правы, капитан! — большинство
были согласны.
- А вы знаете, что нам делать теперь?
— Нет, не знаем.
— Во-первых, забыть эту женщи-
ну. Вы никогда не женитесь на ней.
Во-вторых, выбрать самую лучшую жен-
щину из оставшихся и посвататься к ней!
- Значит, мы можем получить новое
письмо? - спросили женщины с радо-
стью в голосе.
- Да. И, может быть, не одно.
- И те, что уже получили письма,
тоже могут?
- Конечно! С одним лишь исключени-
ем: вы не получите писем от тех, кому от-
казали. Но вряд ли вам нужны эти письма.
- Капитан, вы умнее, чем мы думали!
Новые надежды — новые радости.
Женщины оживились.
- А если мужчине не отказали, зна-
чит ли это, что он уже может заказывать
кольца? - спросил довольный молодой
человек. Многие подозревали, что он был
единственным, кто написал Диане и не
получил никакого письма в ответ.
- Нет, этого капитан не имел в виду.
Ты просто имеешь хороший шанс, но
надо ещё подождать, — ответила Диана
ко всеобщему изумлению.
- Совершенно верно, - подтвердил ка-
питан. - Но если хочешь, ты можешь на-
писать той же женщине.
- Я так и сделаю!
Новый выбор — новая надежда. Но на
этот раз многие спали хорошо. Только
некоторые из тех, кто получил отказ, не
могли уснуть. Среди них был и капитан.
- И зачем я это начал? — спрашивал
он себя. — Сам же убил свою надежду...
Однако в любом случае я должен вы-
брать новую женщину. И получить ещё
одно письмо. Потому что я должен быть
честным: Диана — лучше всех, если я
должен позабыть про Мэри. — И он напи-
сал и отослал письмо Диане.
На следующее утро большинство
женщин были веселы, а Диана просто
светилась от радости.
«Наверное, она получила то письмо,
на которое надеялась», - подумал капи-
тан, а вслух сказал:
— Девушки, те, кто получил больше
одного письма, знают, что надо делать?
— Выбрать лучшего и ответить
остальным.
— Умницы!
— Но, капитан, как долго мы будем
писать и выбирать?
- До тех пор, пока каждая из вас
не получит хотя бы одно письмо. И тогда
лучшее письмо будет от вашего будущего
мужа. И это будет стабильный брак. По-
думайте, почему.
— Капитан, - сказала Мэри,— кажет-
ся, я поняла, наконец, твою идею. Ты
имеешь в виду, что мы, женщины, не бу-
дем неверны мужьям по той простой при-
чине, что те, с кем мы могли бы это, воз-
можно, сделать, не любят нас: они не
прислали нам письма, у них есть кто-то
лучше. А если ни одна женщина не будет
неверна, то не будет и неверных мужей.
- Прекрасное рассуждение!
— Можно спросить? — сказала Диа-
на. — Означает ли это, что я буду замужем
за тем единственным человеком, которо-
го люблю, если он уже написал мне?
5
- Ты можешь быть уверена в этом!
Всем остальным ты всё равно откажешь.
— Зачем же мне тогда ждать?
— Только для того, чтобы все осталь-
ные тоже получили своё письмо.
— Но могу я уже сейчас сказать моему
будущему спутнику жизни, что я выбра-
ла его до конца своих дней?
— Я думаю, ты должна это сказать
и другим: они не будут тогда к тебе сва-
таться и найдут свою пару быстрее.
— Тогда не хочу я больше писать ника-
ких писем! - сказала Диана и нежно по-
целовала оторопевшего капитана.
Хочется верить, что читатель понял
ту математическую проблему, которая ле-
жит в основе этой сказки. Мы надеемся,
читатель согласится, что это — красивое
решение, и спросит себя: как его можно
использовать? И как решать похожие про-
блемы? Например, что будет, если жен-
щин больше, чем мужчин, или если есть
мужчины, которые скорее умрут, чем же-
нятся? А если женщины будут писать пер-
выми, будет ли решение тем же самым?
Если же читатель задумается: «Прав-
да ли это? Могу ли я, например, дока-
зать, что все найдут себе супруга? » — зна-
чит, он начал думать как математик.
А тогда несколько задач должны быть
приятным дополнением к сказке.
1.	Сформулируйте задачу строго мате-
матически. Это может оказаться сложнее,
чем ожидалось. Не отступайте! Начните так:
даны две квадратные таблицы размером
п х п. В каждой строке каждой из таблиц сто-
ят все числа от 1 до п в каком-то порядке...
2.	Напишите чёткий алгоритм, ко-
торый соответствует решению в сказке,
и покажите, что он всегда работает.
3.	Покажите, что бывают случаи, ког-
да задача имеет несколько решений.
4.	Предположим теперь, что таблицы
бесконечные, занумерованы натуральны-
ми числами и что в каждой строке есть все
натуральные числа. Можно ли тогда дока-
зать существование решения, если пред-
полагать, что в каждой строке кандидаты
расположены в порядке убывания предпо-
чтения (в частности, на первом месте каж-
дой строки стоит номер самого лучшего
кандидата)?
5.	А если порядок противоположный?
6.	Рассмотрите ещё и такой алгоритм
для исходной (конечной) задачи. Разре-
шим разводы. Выстроим всех мужчин
в очередь. Первый в очереди сватается ко
всем женщинам по очереди в порядке свое-
го предпочтения (независимо от того, заму-
жем очередная кандидатура или нет) до тех
пор, пока кто-то не согласится. Они женят-
ся, и если женщина была замужем, то она
сначала разводится, а её бывший супруг
становится в конец очереди. Верно ли, что:
а)	такая женщина всегда найдётся;
б)	процесс закончится;
в)	получившиеся браки будут стабиль-
ными?
г)	Годится ли такой подход для беско-
нечных случаев?
Художник Артём Костюкевич
СВОИМИ РУКАМИ
НЕВЕРОЯТНЫЙ
МОЛОТОК
Григорий Фельдман
Удивительно, но на фотографии нет обма-
на! Мы собрали эту конструкцию из самых обыч-
ных подручных предметов и сфотографировали
обычным фотоаппаратом. Попробуйте понять, почему
всё это не разваливается. В следующем выпуске мы
расскажем правильный ответ.
Вы можете самостоятельно сделать подобное соо-
ружение. Если вы сконструируете что-то своё, любо-
пытное, присылайте фото и описание. Лучшие работы
будут опубликованы!
Художник Сергей Чуб, фото Дарья Котова
ДЮЖИНА 1АДАЧ
Если девяти школьникам дать сто конфет, то хотя
бы один из них получит 12 конфет или больше.
Почему? Рассуждаем «от противного». Если это
не так, то каждый из 9 школьников получил 11 кон-
фет или меньше. Тогда всего они получили не более
9-11 = 99 конфет, а не 100. Противоречие - значит,
так быть не может.
По существу то же самое рассуждение можно из-
ложить иначе. Если 9 школьников получили 100 кон-
фет, то в среднем на каждого школьника пришлось по
100	1	,
---= 11— конфет, и потому хотя бы один должен был
9--9
получить больше 11 конфет.
Что означают здесь слова «в среднем»? Речь идёт
о среднем арифметическом. Среднее арифметическое
двух чисел а и & равно их полусумме (а + &) /2, сред-
нее трех чисел а, Ь, с равно (а + Ь + с) /3, и так далее:
среднее арифметическое п чисел а , а2,.. ,,ап равно сум-
ме всех чисел, деленной на их количество, т.е.
а1 + а2 + ... + ап
п

В нашем примере п = 9 (девять школьников), а ,
а2,..., as — количества конфет, полученных каждым
из них, общее число конфет а1 + а2+...+ а9 равно 100,
100 , ч 1
и среднее равно--= 11-.
9	9
Среднее арифметическое можно объяснить так:
если мы хотим уравнять все числа, не меняя их сум-
мы, то каждое из них надо заменить средним арифме-
тическим.
Задачи
1.	Найдите среднее арифметическое чисел
1, 2, 3, 4,..., 19, 20.
2.	Найдите среднее арифметическое чисел
-19, -18, -17, -16,..., -1, 0, 1, 2, 3,..., 19, 20.
3.	Найдите среднее арифметическое всех целых
чисел от 1 до 1000.
Впервые опубликовано в журнале «Квант», № 6 за 2008 г.
4.	Когда в комнату вошёл четвёртый человек, сред-
ний возраст находящихся в ней людей увеличился
с 11 лет до 14. Сколько лет вошедшему?
5.	Среднее арифметическое чисел а и & делит попо-
лам отрезок с концами а и b на числовой оси. Найди-
те координату точки, которая делит этот отрезок в от-
ношении 3:5.
6.	Одного из школьников 7 «А» класса перевели
в 7 «Б», отчего средний рост школьников в обоих клас-
сах (7 «А» и 7 «Б») увеличился. Могло ли так быть?
7.	Желая найти среднюю годовую оценку по мате-
матике у всех семиклассников, завуч попросил учи-
телей математики седьмых классов вычислить сред-
ние оценки в каждом из классов и потом взял среднее
арифметическое этих оценок. Прав ли он?
8.	Говорят, что средний доход 10% самых богатых
жителей города в 15 раз превосходит средний доход
всех жителей города. Докажите, что это выдумки.
9.	В прямоугольной таблице из трёх строк и двух
столбцов средние арифметические в трёх строках рав-
ны а, Ъ, с, а среднее арифметическое в первом столбце
равно d. Найдите среднее арифметическое всех чисел
таблицы и среднее арифметическое во втором столбце.
10.	Может ли среднее арифметическое каждого
столбца прямоугольной таблицы быть положитель-
ным, а среднее арифметическое каждой строки — от-
рицательным?
11.	Таблица умножения на обороте школьной те-
тради содержит все произведения однозначных чисел
от 1 до 9 (всего 81: сначала 1 умножается на все числа
от 1 до 9, потом 2 и т.д.). Найдите среднее арифмети-
ческое всех произведений в таблице.
12.	В строчку написаны сто чисел а , а2,..., а100, при
этом а1= 1, а100= 100 и каждое число в строчке (кро-
ме двух крайних) не больше среднего арифметическо-
го двух соседей: а2<(а1 + а3)/2, а3<(а2 + а4)/2 и так да-
лее. Докажите, что а43<43 .
Художник Леонид Гамарц
S
Талантливый мальчик Петя Торт решил стать изо-
бретателем. Некоторые достижения на этом поприще
у него уже имелись. Например, позавчера он из руч-
ки и линейки соорудил «катапульту» и стрелял из неё
ластиком в одноклассников. Но это всё было каким-то
баловством — хотелось-то собрать суперсложного ро-
бота из полумиллиона частей. Прямо как в фантасти-
ческих фильмах. Благо, было с кем обсудить свои меч-
ты, ведь в соседней квартире жил изобретатель дядя
Юра. Однажды Петя зашел к нему в гости и спросил:
- Дядя Юра, а расскажите, какое было ваше пер-
вое изобретение?
— Трудно сказать. Вот, помню, учился я в шестом
классе, - начал свой рассказ, откинувшись в кресле,
дядя Юра, - и мой отец, директор картинной галереи,
жаловался за ужином на такую проблему. В галерее
надо время от времени менять экспозицию — какие-
то картины убирать в запасник, а вместо них другие
из запасника выставлять. А для этого надо знать хотя
бы примерно, какие экспонаты пользуются популяр-
ностью. Но не стоять же у каждой картины с блок-
нотом и ручкой. Да и посетителей иногда столько
бывает, что сложно уследить, кого посчитал, кого нет.
— Ну, можно камеру поставить маленькую около
каждой картины. А ещё лучше вообще на каждого по-
сетителя жучок вешать. А потом компьютер будет вы-
числять, какой жучок около какой картины дольше
всего находился - сразу начал придумывать Петя.

ДАВАЙТЕ
Художник Инна Капустенко
- Так ведь это сорок лет назад происходило, ка-
кие камеры, - возразил дядя Юра. - Да и сейчас вся
эта машинерия недёшево обойдётся. А потом, её чи-
нить надо, следить, чтобы не растащили. Понима-
ешь, далеко не всегда добавление к механизму новых
частей его улучшает. Одно из основных правил изо-
бретательства состоит в том, что лучший механизм -
тот, которого нет.
— Это как? То есть нам нужны жучки, которых
нет? Ерунда получается, — возмутился Петя.
— Многие великие открытия и изобретения пона-
чалу ерундой казались. А ты лучше попробуй поду-
мать ещё, как, ничего не усложняя, решить проблему
моего отца.
— Ничего не усложнять, — скептически повторил
Петя. — Ладно, пойду выгуливать Сэмми-Дэвис Наи-
младшую - подумаю.
- Кстати, эта задача мне напомнила другую, -
сказал дядя Юра. - Не так давно во многих подъез-
дах вместо современных домофонов стояли кодовые
замки. Идёшь ты в гости, а код забыл. Приходит-
ся ждать, пока кто-нибудь зайдёт или выйдет. А по
вечерам, да на холоде, ждать не хочется. И вот мне
однажды рассказали, как код у замка угадывать.
Можешь ещё и над этим поразмышлять, пока с со-
бакой гуляешь.
Попробуйте и вы ответить на вопросы дяди
Юры. Ответы — в конце журнала.
1 1
^АТЕМАТ
СЮРГИ
Игорь Акулич
Международный математический конкурс «Кен-
- Сударь, - сказал План-
ше, — надо вам знать... хотя,
в сущности, вам, пожалуй,
этого и знать не надо.
А. Дюма.
Двадцать лет спустя.
I
1 Подробности о конкур-
се можно посмотреть на сайте
mathkang.ru.
гуру» проводится не один десяток лет, вызывает боль-
шой интерес у школьников и пользуется заслуженной
популярностью. Его главная особенность — отсутствие
намеренно заковыристых, специфических задач,
одолеть которые способны, как правило, лишь спе-
циально обученные «олимпиадники». Иначе говоря,
«Кенгуру» — массовый конкурс, проводимый под ло-
зунгом «Математика для всех», в чём его несомненное
достоинство1.
Одно из заданий для 3-4 классов за 2011 год послу-
жило основой для такой задачи:
8 кружочков (4 белых и 4 серых) расположе-
ны в виде квадрата. В них вписаны числа от 1 до 8
(в каждый кружочек — по одному числу) так, что
на каждой стороне квадрата сумма чисел равна 13.
При этом расположение трёх чисел уже указано:
Чему равна сумма чисел в серых кружочках?
Для пробы я предложил эту задачу своему сосе-
ду - семикласснику Олегу. Справедливость требу-
ет отметить, что он её одолел и даже сумел подробно
разъяснить своё решение, суть которого можно пере-
сказать так:
- Сначала я пробовал действовать подбором, но по-
том понял, что это слишком долго и какие-то решения
могу просто пропустить. Долго думал, как быть, пока
не задался вопросом: а куда можно поставить пятёр-
ку? Она не может быть в одной горизонтали с восьмёр-
кой, потому что 5 + 8 = 13, и если в третий кружочек
той же горизонтали поставить любое оставшееся чис-
1
ЯЧЕСКИЕ
Р1/1
ло, то сумма будет явно больше 13. По той же причине
пятёрка не может лежать и в одной вертикали с вось-
мёркой. Что же остается? Только три кружочка, но
в двух из них уже поставлены числа 6 и 7. Поэтому
число 5 может занимать единственное место: в правом
нижнем кружочке. Ну, а после этого числа в осталь-
ных кружочках определяются без труда, исходя
из того, что сумма чисел по всем сторонам квадрата
равна 13. Например, в левом нижнем кружочке долж-
но быть число 13 — (7 + 5) = 1, в правом верхнем 13-
— (6+ 5) = 2, и так далее. Вот какое получается итого-
вое расположение:
Ну а сумма чисел в серых кружочках равна
8 + 2 + 1 + 5 = 16.
— Умница! — похвалил я его. — Не осрамил честь
семиклассника перед третьим и даже четвёртым
классом!
— Но, — многозначительно добавил Олег, — я обна-
ружил в условии лишние данные]
— Это какие? - удивился я.
— Шестёрка и семёрка! Оказывается, достаточно
указать расположение только восьмёрки, то есть ис-
ходная картинка могла выглядеть так:
— Ну-ка, поясни.
— Я подумал: если для пятёрки допустимы толь-
ко три кружочка, то это тем более верно для шестёрки
и семёрки! Значит, эти три числа должны лежать в тех
же трёх «разрешённых» кружочках, но вот вопрос:
обязательно ли в том же порядке? Сразу видно, что
шестёрка и семёрка не могут находиться на одной го-
ризонтали — ведь 6+ 7= 13, и сумма их с третьим чис-
лом той же горизонтали превысит 13. Точно так же
они не могут быть в одной вертикали. Значит, в пра-
вом нижнем углу — непременно пятёрка, а шестёрка
и семёрка расположены либо как в условии исходной
задачи, либо симметрично относительно диагонали.
Потому итоговое расположение чисел — либо то, кото-
рое я нашёл, либо симметричное ему — вот такое:
Но нас-то интересует не расположение чисел,
а только сумма тех из них, что находятся в серых кру-
жочках. Эти цифры — те же самые, так что и сумма их
останется неизменной — 16.
Что тут сказать? Молодец парень! Однако он был
весьма удивлен, когда узнал, что и единственная вось-
мёрка тоже является лишними данными1. Иначе го-
воря, можно было вообще не указывать ни одного
числа в кружочках. Более того — решение при этом
ещё и упрощается.
Итак, пусть не указано положение ни одного из чи-
сел. Обозначим их значения (пока неизвестные) бук-
вами от А до И, как на рисунке:
• )
1 А
Тогда, согласно условию, выполняются четыре ра-
венства:
А + Б + В=13,
В + Г + Д=13,
Д + Е + Ж = 13,
Ж + И + А=13.
Давайте их сложим. В правой части будет, понят-
ное дело, число 13*4 = 52. А в левой? Там окажется
сумма значений всех букв, причём некоторые из них
встретятся один раз, а другие дважды. Поэтому для
удобства представим суммарное выражение в таком
виде (убедитесь в его справедливости!):
(А + Б + В + Г + Д + Е + Ж + И) + (А + В + Д + Ж) = 52.
Заметим, что в первых скобках находится сум-
ма всех имеющихся чисел (правда, неясно, в каком
порядке, но от перестановки слагаемых сумма не ме-
няется). Поэтому она равна 1 + 2 + ... + 8 = 36. Таким об-
разом, получаем:
36 + (А + В + Д + Ж) = 52
и потому А + В + Д + Ж = 52-36 = 16. Но А + В + Д + Ж-
это и есть сумма чисел в серых кружочках. Так что
она равна 16 в любом случае.
Как видим, отсутствие данных избавило нас от не-
обходимости выполнять какой бы то ни было перебор.
Более того — не требуется даже выяснять, можно ли
вообще расставить числа в кружочках в соответствии
с требованиями условия. Так что в некоторых случа-
ях, действительно, меньше знаешь — лучше решаешь.
И, соответственно, крепче спишь, почивая на лаврах.
P.S. Хотя задача успешно решена, остался непро-
ясненным вопрос: а существуют ли иные расположе-
ния в кружочках чисел от 1 до 8, дающие сумму 13
по каждой стороне квадрата, отличные от найденного
Олегом (решения, переходящие друг в друга с помо-
щью поворотов и отражений, считаем одинаковыми)?
И если да, то сколько их?
Художник Татвйна Ахметгалиева
1 5
X- -
ОБЫКНОВЕННОЕ ЧУДО V л
Евгений Подольский
ФОТОГРАФИЯ МИКРОМИР
Материалы предоставлены
нанотехнологическим сообществом «Нанометр»
www.nanometer.ru
Песчинки в микроскопе. 100-кратное увеличение.
Фотография сделана с применением поляризационного фильтра.
ЗВЁЗДНОЕ НАШЕСТВИЕ
Ольга Малиновская
НАУЧНАЯ
ФОТОГРАФИЯ
Поверхность пестика цветка в электронном
микроскопе. 1000-кратное увеличение.
СТРАННЫЕ ЛИЦА МИКРОМИРА
Ольга Малиновская
Пыльца мокричника1 в электронном
микроскопе. 1150-кратное увеличение.
1 Мокричник — однолетнее
травянистое растение.
1 ~7
как 9тс5
УСТРОЕНО
Александр Бердников
noDBODHblE КАМНИ
ЗАКОНА АРУИМЕЭА
Обычно закон Архимеда формулируют так:
на тело, погружённое в жидкость (или газ), действу-
ет выталкивающая сила, равная весу вытесненной
жидкости (или газа).
Полезно разобраться, откуда эта сила возника-
ет. Выделим мысленно часть воды в спокойном резер-
вуаре и будем для наглядности рисовать её зелёной.
Раз никаких течений нет,
зелёная вода ни тонуть, ни
всплывать не будет. Что же
удерживает зелёную воду
на плаву, почему она не про-
валивается? На неё со всех
сторон давит остальная вода:
сверху слабее, а снизу, на
большей глубине, сильнее
(это давление легко «уви-
деть», засунув руку в про-
зрачном пакете в кастрюлю,
полную воды; главное, чтобы вода внутрь пакета не
попадала). В результате все эти силы как раз компен-
сируют вес зелёной воды, оставляя её неподвижной.
Заменим теперь эту воду на плавающее неподвиж-
но тело. Окружающая вода будет точно так же давить
на него, толкая вверх с силой, равной весу нашей зе-
лёной воды, а это и есть вытесненная телом вода! Вот
и получился закон Архимеда.
А теперь опровергнем его! Нальём в стакан расти-
тельное масло, а потом — воду (см. рисунок). Посмо-
трим на это с такой точки зрения: некое тело (вода)
погружается в жидкость (масло). Вода вытеснит мас-
ло и опустится вниз, а значит, по закону Архиме-
да, на воду будет действовать выталкивающая сила
и вода станет легче. Но как же так? На фотографии
видно, что масло только и может, что давить на воду
сверху. Это точно не уменьшит вес воды. Где-то в на-
ших рассуждениях была ошибка?
Нет, просто мы предполагали, что погружённое
тело ни с чем кроме окружающей жидкости не сопри-
1 8
КАК ЭТО
УСТРОЕНО
касается. Если это не так, то становится непонятно,
с какой силой остальные предметы — в нашем случае
стенки и дно стакана — давят на объект.
С этим связана серьёзная опасность для подводных
лодок. Если она опустится в вязкий ил, то, в точности
как в нашем эксперименте со стаканом, окружающее
давление жидкости перестанет выталкивать лодку
вверх силой Архимеда, а начнёт придавливать вниз.
Ведь теперь вода не давит на лодку снизу. И для того,
чтобы лодка перестала быть придавлена ко дну с чудо-
вищной силой океанской толщи, необходимо как-то
заставить часть воды просочиться под дно лодки. Тог-
да при попытке открепиться от дна удерживавшее лод-
ку давление ила снизу заменится давлением подтёк-
шей воды, «включая» обратно закон Архимеда. А если
вода под лодку не подтечёт, при попытке всплыть дав-
ление вязкого малоподвижного ила просто уменьшит-
ся (ил не последует за лодкой), позволяя воде прида-
вить лодку вниз. Таким же образом работает самая
обычная присоска, которую удерживает в прикре-
плённом состоянии давление окружающего воздуха.
Всё это — отличные примеры того, что закон не-
достаточно знать наизусть. Бездумное его примене-
ние могло стоить нашим подводникам жизни, ведь
они бы не подозревали о поджидающей их опасности,
слепо полагаясь на безотказную архимедову силу.
Поэтому нужно ясно себе представлять причины и ме-
ханизм действия этого закона, чтобы не допускать
такого рода ошибок.
Художник Анастасия Васильева
Игры
и Г®л®е®л®мки
Владимир Красноухов
- ИД ChWbfSAHHE- СИММЕТРИЧНЫХ ФИГУР.
Как правило, когда нам нужна под-
сказка в решении задачки, то ири-
ходится спрашивать знакомых и учи-
телей, искать что-то в интернете...
А бывает, что подсказка скрывается в
названии задачи!
Ниже приведены три задачи-голово-
ломки. В каждой из них даны несколь-
ко фигурок; нужно собрать из них всех
симметричную фигурку. Фигурка в от-
вете может быть как центрально симме-
тричной, так и иметь ось симметрии.
Казалось бы, если не требуется ниче-
го, кроме симметричности, то вариан-
тов должно быть множество; но, как ни
странно, это не так. Понять, какой фор-
мы должна быть фигурка в ответе, не-
просто. И вот тут обратите внимание на
название головоломки!
При решении предлагаемых задач
элементы можно как угодно переме-
щать, поворачивать и переворачивать,
но нельзя накладывать друг на друга.
Чтобы решать головоломки было
интереснее, советуем аккуратно изго-
товить их из любого доступного вам ма-
териала (фанеры, дощечки, оргстекла,
плотного плохо гнущегося картона).
ВРЕМЕНА ГОДА
Головоломка «Времена года» состо-
ит из трёх элементов гексамино (каж-
дый элемент составлен из шести эле-
ментарных квадратов):
А вот пример симметричной фи-
гуры, которую можно собрать из этих
элементов:
ЧИЧЁН-ИЦА
Головоломка состоит из трёх элемен-
тов, состоящих из 14, 7 и 15 одинаковых
квадратиков соответственно.
Вот одна из попыток сложить нечто
симметричное:
Кроме приведённой фигуры, голо-
воломка имеет ещё два решения. Най-
дите их самостоятельно. Одно из этих
решений напоминает о зиме, а второе
о лете!
Полученная «шляпа» почти симме-
трична, но при всей элегантности такое
решение не засчитывается из-за вмяти-
ны в верхней части. Но головоломка име-
ет два различных корректных решения,
и ваша задача - найти оба варианта.
20
Чичён-Ица — политический и культурный
центр майя на севере полуострова Юка-
тан (Мексика). Одной из главных его досто-
примечательностей является храм Кукуль-
кана (на фото) - 9-ступенчатая пирамида
высотой 24 метра с широкими лестницами
на каждой из сторон.
На фото вулкан на леднике Эйяфьядлайё-
кюдль, ставший известным после своего извер-
жения в 2010 году.
Исландская певица Элиза Гейрсдоттир Нью-
ман сочинила песенку, помогающую выучить
слово «Эйяфьядлайёкюдль». Кстати, русская
транслитерация является неточной и любые по-
пытки её прочитать не будут похожи на произно-
шение названия Eyjafjallajokull на исландском.
ЭЙЯФЬЯДЛАЙЁКЮДЛЬ
Даны четыре элемента, чертёж которых приведён ниже. Составьте из этих эле-
ментов симметричную фигуру. Известно два различных решения. Обязательно
найдите оба решения, и тогда станет понятно, почему головоломка имеет такое
название.
Кстати, это одна из головоломок, которые были предложены финали-
стам XV чемпионата России по пазлспорту (2012 г.). На её решение отводилось
10 минут. В течение первых 5 минут с задачей справились 10% участников.
После этого была сделана подсказка — объявлено название головоломки
«Eyjafjallajokull». После этого головоломку решили практически все участники,
уложившись в отведённое по регламенту время.
сЛОВечш
t
Сергей Федин
выпуск 7
Под Новый Год я сел писать своим друзьям и при-
ятелям новогодние открытки. Поначалу всё шло как
по маслу, пока очередь не дошла до знакомого худож-
ника Сергея Орлова. Тут дело застопорилось — зная,
что он ас всяческих выкрутасов с буквами, я никак не
мог придумать, какое хитрое послание ему отправить,
чтобы удивить его. Поэтому кроме дурацкого слова
ПОСЛАНИЕ мне ничего не лезло в голову. Взяв раз-
ноцветные ручки, я стал от нечего делать раскраши-
вать буквы в этом слове. И вдруг... о, чудо! Злополуч-
ное слово само собой распалось на два других:
ПОСЛАНИЕ
Видишь? Послание: Поле, сани... Здорово! И боль-
ше ничего не нужно! Я тут же отправил Сергею по
электронной почте это раскрашенное слово без ком-
ментариев. И через полчаса получил в ответ вот такую
картинку.
п о	е
На ней отчетливо видны встроенные в «материн-
ское» слово (кстати, не назвать ли такие слова-бутер-
броды встроями?) «послание» два других слова. Вот
бы приклеивать такие необычные картинки-надписи
на новогодние открытки или конверты!
Вдохновившись, я стал раскрашивать другие слова,
пытаясь отыскать новые встрой. И очень скоро (не про-
шло и года ") я нашёл еще одно «бутербродное» слово:
КОРЫСТЬ
Оказалось, в «корысти» коварно «прячутся» сра-
зу два хищника. А ведь правда, соединение хитрого,
хозяйственного (как Матроскин) кота и хищной без-
жалостной рыси в «жадном» слове «корысть» кажет-
ся вполне естественным...
И тогда я подумал, а не замахнуться ли мне на са-
мое скучное для многих слово «математика». И вот
что у меня получилось после раскрашивания буковок:
МАТЕМАТИК М
22
Каким весёлым сразу стало это пугающее слово,
каким неожиданным и притягивающим! Но на этом
сюрпризы не закончились. Как будто в благодарность
за маленький фейерверк, буквы открыли мне удиви-
тельную тайну этого слова. Посмотри: красные буквы
образуют слово МАМА, синие - слово ТЁТКА, ну а зе-
лёная буковка И — связывающий их союз. А все вме-
сте складывается в забавную фразу: Математика -
мама и тётка\ А ведь действительно, для кого-то ма-
тематика - мать родная (для меня, например), а для
кого-то — тётка злая.
А вот как оформил эту (и последующие) находку
Сергей Орлов:
М
Вот бы такую надпись на школьный учебник!
А эту красивую надпись вполне можно повесить
на каком-нибудь храме, как завет христианам:
Христианину: храни Истину!
Ну и ещё несколько встроев в том же совместном
исполнении.
Стадион — ад и стон!
Безделье — бед зелье.
Литература — Лета1 и траур.
А на закуску еще два словесных «бутербродика».
Первый придумал поэт Герман Лукомников:
КОМБИНЕЗОН
После «расшифровки» получается смешной, пусть
и не очень понятный стишок:
Комбинезон. — Ко мне, бизон!
А этот придумал другой поэт, Борис Гринберг. Он
уже не раскрашивал буквы, а вытягивал их. И вот что
у него получилось:
КАЗАЧЕСТВО!
То есть (сначала читаются самые высокие буквы,
потом — те, что пониже):
Казачество — за качество!
Вот теперь ты видишь, что можно расщеплять не
только атом, но и слово. И пусть от расщепления слове-
чек пользы для человечества, быть может, меньше, но
зато для отдельных его представителей гораздо больше
удовольствия. Надеюсь, среди них окажешься и ты.
слОВечк»
выпуск 7

‘Лета - в греческой мифоло-
гии река забвения, протекаю-
щая в Аиде.
Художник Анастасия Мошина
4«Б» класс участвовал в городской олимпиаде по ма-
тематике. За 3 часа надо было всем вместе решить 11 за-
дач. Разрешалось обсуждать, советоваться, выступать
одной командой. Через два с половиной часа десять задач
были успешно решены, осталась последняя.
«В огороде у Бабы Яги на двух грядках растут поган-
ки. Как только Баба Яга срывает 4 поганки - вырастает
ещё одна. На каждой грядке 2 ряда по 16 поганок. Сколь-
ко всего соберёт Баба Яга поганок с этих грядок? »
— Всё ясно, - воскликнул Вова. — Всего получается
64+16 = 80 поганок.
Ребята уже собирались записать ответ в чистовик, ког-
да их остановил самый младший из них, Павлик Холод-
ков. Его выслушали и поставили в ответе другое число.
КАКИМ ДОЛЖЕН БЫТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ?
Потом выяснилось, что 4«Б» занял первое место
и получил в награду путёвки в лесной лагерь на зимние
каникулы. Первые два дня ребята наслаждались все-
ми прелестями зимнего отдыха, и все жалели Гошу Ку-
рочкина, который слегка простудил горло. Из-за болез-
ни он не выходил на улицу, а постоянно сидел в помеще-
нии, пил противные горькие лекарства и смотрел теле-
визор. И хотя показывали хорошие старые мультфиль-
мы, снежные игры были куда веселее.
Прямо с утра 31 декабря началась подготовка к встре-
че Нового года. Сначала ребята украсили столовую. По-
том девочки принялись расставлять на столах празднич-
ные угощения, а ребята пошли на улицу украшать ёлку.
Эта лесная красавица росла напротив окошек зала, где
собирались встречать Новый год. Труднее всего было во-
друзить звезду на самую макушку, но, проявив смекал-
ку, мальчишки с этой задачей справились. Девочки за-
кончили свою работу и отправились помогать ребятам,
потому что ёлка была большая, а уже начинало темнеть,
и до начала торжеств оставалось совсем немного времени.
Наконец нарядная ёлка засверкала весёлыми огонь-
ками, и дети вернулись в помещение. И что же они уви-
дели? Главное украшение стола - торт - кто-то съел.
Правда, не целиком, но то, что осталось, напоминало
развалины храма Артемиды. Все замолчали.
- Ну и кто? - первым нарушил тишину Боря Ежов.
- Я знаю, кто съел торт, - выступила вперёд Машень-
ка Смирнова. - Гоша Курочкин весь день дома сидел, вот
он и не вытерпел.
- Ты это сама видела? - послышались голоса.
- Нет, нет, не видела, - забормотала Машенька, - но
я так думаю.
- Конечно он, - заверил Паша Холодков.
- А ты откуда знаешь? - спросил Боря.
- Я сам видел, - продолжал настаивать Павлик.
- Как ты мог видеть? - удивился Вова. - Ты же с нами
на улице ёлку наряжал.
- Я в окошко всё хорошо рассмотрел, - объяснил
Павлик.
- Но окна замёрзли, - заметила Света. - Они все вон
как инеем покрылись.
- Так я окошко варежкой протёр, - ответил Павлик.
- Всё ясно! - закончил обсуждение Боря и двинулся
к Гоше. Все замерли. Боря уже два года занимался бок-
сом, и если уж хотел кого наказать...
- Что-то меня смущает, - шепнул Вова на ухо Лизе.
Та кивнула и отважно встала между Борей и Гошей.
- Я уверена, что Гоша ни в чём не виноват, - реши-
тельно сказала она. - Скорее всего, тортом полакомился...
Все с удивлением смотрели на Лизу. Как же, она
осмелилась противиться силачу Боре, который и ребят-
то редко слушал, а уж девчонок - никогда!
- Ну, продолжай, - потребовал Боря. - Кто же, по-
твоему, мог съесть торт?
Лиза немного помолчала, собираясь с мыслями.
- Ты это сможешь определить сам.
ЧТО ПОСОВЕТОВАЛА ЛИЗА БОРЕ И КТО СЪЕЛ ТОРТ?
Неизвестно, чем бы всё закончилось, если бы на выруч-
ку не пришла добрая повариха тётя Клава. У неё на этот
случай на кухне был припасён другой торт, лучше преж-
него. Так что встреча Нового года прошла вкусно и весело.
Когда все уже расходились спать по своим комнатам,
Боря остановил Лизу.
- Как ты догадалась про того, кто съел торт?
- В книжке прочитала. Ты только его не обижай, он
такой маленький и слабенький. Спокойной ночи!
- Ладно, не обижу. Спокойной ночи! - ответил Боря
и задумчиво побрёл спать. Засыпая, он бормотал: - Надо
же, из книжки узнала. Надо и мне что-нибудь почитать.
ОЛИМПИАДА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ
Составитель
Константин Кохась
Приводим подборку из нескольких задач районного
тура Санкт-Петербургской олимпиады по математике (она
состоялась 8 декабря 2012 года). В скобках после номера
задачи указывается класс, в котором она предлагалась.
1.	(6) В первую строку таблицы 5X5 вписывают числа
от 1 до 5, во вторую строку - тоже числа от 1 до 5, в тре-
тью - числа от 3 до 7, в четвертую - тоже от 3 до 7, в пя-
тую - от 4 до 8. Как следует вписывать числа, чтобы суммы
чисел во всех столбцах таблицы оказались одинаковыми?
К. Кохась
2.	(6-8) На доске выписаны числа от 1 до 2150. Каж-
дую минуту каждое число подвергается следующей опера-
ции: если число делится на 100, то его делят на 100; если
же не делится, то из него вычитают 1. Найдите наибольшее
среди чисел на доске через 87 минут.
К. Кохась, Д. Максимов
3.	(6) Гарри Поттер ведёт машину со скоростью 60 км/ч.
Проезжая мимо ёлки, он мгновенно телепортируется до
ближайшего по ходу движения дуба. В пунктах А и В, рас-
стояние между которыми равно 120 км, растут дубы, а на
дороге между ними растёт еще 10 дубов и ни одной ёлки. До-
кажите, что можно посадить на этой дороге 6 ёлок так, что-
бы путь туда и обратно занимал у Поттера меньше 3 часов.
О.Иванова
4.	(6) Два слова называются похожими, если в них при-
сутствует общая буква, которая встречается в них одина-
ковое число раз. Например, слова «клюква» и «какао» -
похожие (из-за буквы «к»). Влад задумал три ключевых
слова: КАРАБАС, БАРКАС и БАРС. Затем он взял боль-
шой словарь и выписал из него все слова, которые похожи
на каждое из трёх его ключевых слов. Костя проделал с та-
ким же словарём аналогичную операцию, используя дру-
гие ключевые слова: БАРАБАС, РАБ и КАРА. Докажите,
что у Влада выписано не меньше слов, чем у Кости.
В. Волков, К. Кохась
5.	(7) Между городами А и В ездят автобусы с одинако-
вой постоянной скоростью. Автобус, выехавший из А в пол-
день, и автобус, выехавший из В в 15:00, встретились на
расстоянии 500 км от А. Автобус, выехавший из А в 14:00,
и автобус, выехавший из В в 11:00, встретились на рассто-
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ
ОЛИМПИАДА
янии 300 км от А. На каком расстоянии от А встретятся ав-
тобусы, выехавшие из А и из В в 13:00?
А.Голованов, М.Иванов
6.	(7) На рисунке изображён план города Альфинска.
Каждый единичный отрезок - это улица. На некоторых
улицах движение одностороннее, но при этом с каждого
перекрёстка можно уехать по крайней мере в три стороны
(кроме перекрёстков, отмеченных точками, - с них мож-
но уехать в две стороны). Докажите, что из левого нижне-
го угла города можно проехать в правый верхний, не нару-
шая правил дорожного движения.
А. Голованов
7.	а) (7) Таня выписала в строчку 180 последователь-
ных натуральных чисел в некотором порядке. Серёжа вы-
писал под ними ещё какие-то 180 последовательных чисел
в некотором порядке. Под каждым числом второй строч-
ки Саша написал произведение этого числа и числа, стоя-
щего над ним. Оказалось, что в третьей строчке тоже стоят
180 последовательных натуральных чисел. Докажите, что
Саша где-то обсчитался.
б) (8) Обнаружив ошибку, Саша решил, что числа слиш-
ком велики. Он заменил каждое Танино и каждое Серёжи-
но число на его сумму цифр. После этого он заново пересчи-
тал все произведения (умножил каждое из первой строки
на написанное под ним число второй строки). В результате
опять получилось 180 последовательных натуральных чи-
сел. Докажите, что Саша опять ошибся.*
С. Берлов
8.	(8) Навигатор на «Лексусе» бизнесмена Бориса Ми-
хайловича сообщает, сколько осталось ехать до пункта на-
значения, если двигаться со скоростью, равной средней
скорости на промежутке от начала пути до настоящего мо-
мента. Борис Михайлович выехал из дома на дачу. В се-
редине пути навигатор сообщил, что осталось ехать 1 час.
В этот момент прямо перед «Лексусом» на дорогу выехал
тракторист Вася, обогнать которого не было никакой воз-
можности. После того как Борис Михайлович проехал
половину оставшегося пути, навигатор сообщил, что оста-
лось ехать 2 часа. Через сколько часов после этого прие-
дет на дачу бизнесмен, если так и не обгонит тракториста?
(Скорость трактора постоянна.)
С. Берлов
* Эта задача была предложена
на олимпиаде в несколько дру-
гой формулировке для случая
200 последовательных чисел.
Художник Сергей Чуб
вш гшиж
КОМУ: 119002, Москва,
Большой Власьевский пер., д.11,
журнал «Квантик»
kvanti k@ mccme.ru
Художник Наталья Гаврилова
В «Квантике» № 8 за 2012 год были даны задачи
на разрезание. Одна из них - как разрезать равнобедрен-
ную трапецию на четыре равные части. Решение показа-
но на рисунке.
1
2
Даша Кузнецова учится в третьем классе средней
школы посёлка Одоев Тульской области. Даша с мамой
придумали другое решение задачи:
Даша пишет:
Мы с мамой и папой очень долго думали, как
можно разрезать эту фигуру. И придумали, что
можно её так разбить на маленькие трапеции.
Эта задача была не самая сложная. Мне очень
понравилось решать такие задачи.
А вы попробуйте додумать Дашину мысль до конца
и ответить на возникающие вопросы:
1. Какой длины получаются основания малых тра-
пеций?
2. Всякую ли равнобедренную трапецию можно раз-
бить Дашиным способом на четыре равные трапеции?
Если не всякую, то интересно, какие трапеции можно,
а какие - нельзя.

 ДЮЖИНА ЗАДАЧ
О СРЕДНЕМ АРИФМЕТИЧЕСКОМ
1.	Сумма всех 20 чисел равна 210, поэтому сред-
нее арифметическое равно 210/20= 10,5.
2.	Тут 19 отрицательных чисел, 20 положитель-
ных и ноль, всего 40 чисел. При суммировании все
числа, кроме 0 и 20, попарно сокращаются. Значит,
среднее арифметическое равно 20/40 = 0,5.
3.	Здесь удобно сгруппировать числа в пары:
1 и 1000, затем 2 и 999 и так далее. Получится 500
пар, последняя будет 500 и 501. В каждой паре сум-
ма составляет 1001 и среднее равно 500,5. Поэтому и
среднее всех чисел равно 500,5 (подумайте, почему).
4.	Сначала среднее арифметическое трёх чисел
было равно 11, т.е. их сумма равнялась 33. Затем сред-
нее четырёх чисел было равно 14, т.е. их сумма рав-
нялась 56. Значит, вошедшему было 56 - 33 = 23 года.
5.	Пусть, скажем, а < Ь (случай а > b рассматри-
вается аналогично). Искомая координата х долж-
на удовлетворять пропорции (х—а):(Ь — х) = 3 : 5, от-
куда получаем уравнение 5(х — а) = 3(Ь — х), 5х — 5а =
5	3 ,
= ЗЬ - Зх, 8х = 5а + ЗЬ, х = а + - Ь.
О о
6.	Да, например, если этот школьник был самым
низким в 7 «А», но оказался самым высоким в 7 «Б».
Вообще, такое происходит, если школьник был ниже
среднего роста в 7 «А» и выше среднего роста в 7 «Б».
7.	Такой способ годится, только если во всех клас-
сах поровну учеников. Пусть, скажем, в классе А
учатся 25 школьников, а в классе Б учатся 29 школь-
ников и средние арифметические в этих классах рав-
ны а и Ь. Тогда сумма всех годовых оценок в классе
А равна 25а, а в классе Б равна 29b. Сумма всех оце-
нок в двух классах равна 25а + 29b, и это надо раз-
делить на 25 + 29 = 54. Поэтому средняя оценка всех
25а+29Ь 25	29,
семиклассников равна —	= — а + — Ь, а не по-
54	54	54
лусумме а и Ь. Это число называют взвешенным сред-
ним чисел а и Ь.
8.	Если 1/10 самых богатых жителей города име-
ют доход в 15 раз больше среднего, то их общий доход
в полтора раза больше суммарного дохода всех жите-
лей города, включая их самих.
9.	Так как все строки содержат поровну элементов,
то среднее арифметическое всех чисел таблицы рав-
но (а + b + с) / 3. По аналогичным причинам оно равно
(d+х) / 2, где х — неизвестное среднее арифметическое
2
во втором столбце. Отсюда х = (a + b + c)-d.
3
10.	Нет, поскольку тогда среднее арифметическое
всех чисел таблицы окажется положительным и от-
рицательным одновременно.
11.	Если раскрыть скобки в произведении
(1 + 2 + ...+8 + 9)(1 + 2 + ...+8 + 9), то получится как
раз сумма всех чисел таблицы, поэтому она равна
452, а среднее равно 452/92 = 52 = 25. Можно пытать-
ся объяснить этот ответ по-простому: средний сомно-
житель (среднее арифметическое чисел от 1 до 9) ра-
вен 5, и потому среднее произведение равно 25. Но
это опасная логика: так можно решить, что среднее
чисел I2, 22, ... , 92 равно 52, а это совсем не так.
12.	Докажем, что a при всех i= 1,2, ...,100. Для
этого рассмотрим числа b = а. — i. Два крайних (Ь и
bj00) равны нулю, а каждое из остальных не больше
полусуммы соседей. Надо доказать, что среди Ь. нет
положительных. Пусть это не так и пусть наиболь-
шее из них bk. Оно не может быть крайним, так как
с краёв нули, поэтому оно равно полусумме соседей.
Соседи не могут быть больше Ьк и, значит, равны bft:
рядом с наибольшим стоят тоже наибольшие. Двига-
ясь к краю, получаем противоречие.
 ПЕРВОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ ДЯДИ ЮРЫ
Итак, рассуждал Петя, дядя Юра предложил ис-
кать жучки, которых нет. То есть жучком должен
стать кто-то, кто у нас уже есть. Что у нас вообще
есть в ситуации с кодовым замком? Дверь есть, руч-
ка на ней. Жильцы, которые в неё часто заходят.
Наконец, есть сам замок, а он состоит из кнопочек
и металлической пластинки. Жилец подходит, кноп-
ки нажимает и заходит... Точно, кнопки! Жиль-
цы ведь всегда нажимают на одни и те же кнопки!
То есть надо просто найти потемневшие (или, наобо-
рот, отполированные) или проседающие кнопки —
вот и решение.
Ну, со второй задачкой теперь немудрено спра-
виться. Надо найти то, что взаимодействует с по-
сетителями. Пожалуй, это экспонаты и пол. Экс-
понаты от долгого смотрения на них не сильно
меняются, а вот пол... Он наверняка будет гряз-
нее там, где посетители чаще ходят. Но что делать,
если на улице чисто? Если грязи нет, её можно
принести — дурное дело нехитрое. Например, пе-
сочку у входа насыпать.
Можно идти к дяде Юре за второй порцией!
 МЕНЬШЕ ЗНАЕШЬ - КРЕПЧЕ СПИШЬ
Такое расположение существует, и оно — един-
ственное (см. рисунок). Как его
найти? Вот краткое описание рас-
суждений.
Так как расположения, перехо-
дящие друг в друга при поворотах
и отражениях, считаем одинаковы-
ми, то следует ограничиться теми,
2S
Указания
у которых восьмёрка стоит не в углу (вариант, ког-
да она в углу, исчерпывающе «проработал» Олег),
а в середине стороны, для определённости — верх-
ней (т.е. в обозначениях, введённых нами, Б = 8).
В одной строке с восьмёркой могут находиться либо
единица с четвёркой, либо двойка с тройкой (ибо
8 + 1+ 4=8 + 2 + 3 = 13). Рассмотрим оба варианта:
1) Пусть это числа 1 и 4. Пусть для определённо-
сти А=1иВ = 4(а если наоборот, получим зеркальное
отражение, что нового решения не даёт). Так как сум-
ма чисел в левой вертикали равна 13, то Ж + И = 12.
Поэтому Ж = 5, И = 7 или наоборот. Если Ж = 5, то,
вспомнив, что по уже доказанному в статье сумма
чисел в серых кружочках равна 16, получаем Д = 6.
Остальные числа определяются автоматически, и мы
получаем приведённый выше ответ. Ну, а если Ж = 7,
то Д = 4, что недопустимо, поскольку В = 4.
2) Пусть это числа 2 и 3. Для определённости по-
ложим А=2 и В=3. Так как сумма чисел в левой вер-
тикали равна 13, то Ж+И = 11, что может быть пред-
ставлено (исключая использованные уже числа) как
11=4 + 7 = 5 + 6. Аналогично для правой вертикали
Г +Д = 10, что представляется единственным спосо-
бом: 10=4+6. Отсюда моментально следует, что в ле-
вой и правой вертикалях имеются одинаковые числа
(либо 4, либо 6), что недопустимо. Так что этот слу-
чай решений не даёт.
	ГОЛОВОЛОМКИ
Головоломка «Времена года»
Ёлочка и бабочка
Головоломка «Чичён-Ица»
Внешний вид этих фигур напоминает очертания
храма Кукулькана из Чичен-Ицы
Головоломка «Эйяфьядлайёкюдль»
Вулкан до извержения Вулкан после извержения
	НОВОГОДНЯЯ ИСТОРИЯ
•	Баба Яга может собрать с грядок 85 поганок.
Сначала на грядках растут 16 • 4 = 64 поганки.
Когда Баба Яга сорвёт 4 поганки, вырастет ещё
одна. Получается, что количество собранных по-
ганок увеличилось на 4, а количество поганок
на грядках уменьшилось на 3. Когда Баба Яга про-
делает эту операцию 20 раз, у неё будет собрано
20 • 4 = 80 поганок, а на грядках будет 64 — 20 • 3 = 4
поганки. Когда Баба Яга соберёт 4 оставшиеся по-
ганки, вырастет ещё 1 поганка. Всего получается
80+ 4 + 1 = 85 поганок.
•	Лиза посоветовала выйти на улицу и посмотреть
в зал через окошко. Дело в том,что зимой окошки за-
потевают со стороны тёплого помещения, и Павлик
никак не мог протереть окошко снаружи. Торт съел
Павлик.
 САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ОЛИМПИАДА
1.	Если бы требовалось, чтобы в каждой строке
были расположены числа от 1 до 5, подошла бы та-
кая расстановка:
1	2	3	4	5
5	1	2	3	4
4	5	1	2	3
3	4	5	1	2
2	3	4	5	1
В условиях нашей задачи следует все числа тре-
тьей и четвёртой строки увеличить на 2, а числа пя-
той строки — на 3.
2.	Ответ: 2012.
Если число при выполнении операций хотя бы
один раз делили на 100, то оно от этого очень сильно
уменьшилось. Число может избежать такого умень-
шения, только если, вычитая из него единицу 87 раз,
мы ни разу не получим кратное 100 число. Очевидно,
число 2099 — самое крупное такое число среди дан-
ных. Из него-то после 87 операций и получится са-
мое крупное число 2099 - 87 = 2012.
3.	При поездке туда и обратно машина дважды
проезжает по любому отрезку пути. Если посадить
между двумя дубами ёлку, то, проезжая этот отрезок
в одну сторону, Гарри телепортируется сквозь одну
часть этого отрезка, а на обратном пути - сквозь дру-
гую. Таким образом, в сумме этот отрезок Поттер
проедет всего один раз. В обычных условиях Пот-
теру на поездку требуется 4 часа. Чтобы уложиться
в 3 часа, ему потребуется сократить путь на четверть,
для чего достаточно посадить ёлки на отрезки сум-
30

мерной длины хотя бы в половину от всего пути. Та-
ким образом, можно посадить ёлки на 6 самых круп-
ных отрезков.
4.	Докажем, что каждое Костино слово встречает-
ся у Влада. Рассмотрим любое Костино слово х.
1)	Так как оно похоже на слово РАБ, то оно похо-
же и на слово БАРС.
2)	Так как оно похоже на слово КАРА, то оно по-
хоже и на слово БАРКАС.
3)	Оно похоже на слово БАРАБАС. Может ли оно
при этом быть непохожим на слово КАРАБАС? Тог-
да оно похоже на БАРАБАС не из-за букв А, Р и С
(в КАРАБАСе их столько же), значит, из-за Б. Зна-
чит, в слове х две буквы Б, а буквы К и С встречают-
ся не по одному разу. При таком наборе свойств сло-
во х может быть похоже на слово РАБ, только если
в нем есть одна буква А. Тогда оно не похоже на сло-
во КАРА. Противоречие. Выходит, что слово х похо-
же и на слово КАРАБАС тоже. Значит, действитель-
но, каждое Костино слово выписано также и Владом.
Значит, у него не меньше слов, чем у Кости.
5.	Ответ: автобусы встретились в 400 км от А.
Условие задачи можно изменить следующим об-
разом:
Из городов А и В выехали навстречу автобусы
с одинаковой постоянной скоростью. Если автобус
из А выезжает на 3 часа раньше, чем второй, они
встретятся на расстоянии 500 км от А. Если на
3 часа раньше выедет автобус из В, а не из А, то они
встретятся на расстоянии 300 км от А. Где встре-
тятся выехавшие одновременно автобусы?
При таком условии очевидно, что в первых двух
случаях автобусы встретятся в точках, симметрич-
ных относительно середины пути. Значит, середина
эта находится на расстоянии (500 + 300)/2 = 400 км
от А. Но это и есть точка встречи одновременно вые-
хавших автобусов!
6.	Будем ехать по городу, уезжая с каждого пе-
рекрестка вверх или вправо. В любой точке (кро-
ме конечного пункта) по условию запрещено мак-
симум одно из этих направлений, значит, так ехать
всегда получится. Тогда при перемещении от одно-
го перекрёстка к другому каждый раз уменьшается
на 1 сумма расстояний по вертикали и горизонтали
до конечного пункта. Поэтому через 20 «ходов» эта
сумма расстояний станет равной нулю, то есть мы
приедем в правую верхнюю точку.
7.	а) В первой и второй строке написано по 90 чёт-
ных и 90 нечётных чисел. Так как произведения
в третьей строке - это тоже последовательные чис-
ла, среди них тоже ровно 90 чётных и 90 нечётных.
В нечётных произведениях оба сомножителя долж-
ны быть нечётными. Отсюда следует, что в первых
двух строках под чётным числом обязательно стоит
чётное, а под нечётным — нечётное. Но тогда все чёт-
ные произведения делятся на 4, чего в множестве 180
последовательных чисел не может быть (если число х
делится на 4, то число х + 2 чётно, но не делится на 4).
б) Среди 180 последовательных натуральных чи-
сел ровно 60 делятся на 3, а остальные 120 не делят-
ся на 3. По признаку делимости на 3 натуральное
число делится на 3 в том и только в том случае, ког-
да его сумма цифр делится на 3. Значит, в первых
двух строках написано по 60 чисел, делящихся на 3,
и по 120 чисел, не делящихся на 3. При этом в тре-
тьей строке имеется тоже ровно 60 чисел, делящихся
на 3, и 120 не делящихся. Аналогично пункту а) по-
лучаем, что в третьей строке нет чисел, делящихся
на 3, но не на 9. А такого не может быть для 180 по-
следовательных чисел. Это же рассуждение работа-
ет и в пункте а).
8.	Ответ: Борис Михайлович (далее — Б.М.) прие-
дет на дачу через 5 часов после второго заявления на-
вигатора.
Когда Б.М. проехал половину пути, навигатор за-
явил, что осталось ехать 1 час. Следовательно, пер-
вую половину пути Б.М. проехал за 1 час. Когда Б.М.
проехал три четверти пути, навигатор заявил, что
осталось ехать 2 часа, т.е. в этот момент навигатор
полагал, что «Лексус» едет с такой скоростью, что
на преодоление четверти пути ему требуется 2 часа.
Но тогда на преодоление трех четвертей пути пона-
добится 6 часов. Таким образом, второе заявление
навигатора было сделано через 6 часов после нача-
ла движения, и, следовательно, через 5 часов после
первого заявления. Значит, на преодоление четвер-
ти пути (промежуток между первым и вторым заяв-
лением) «Лексусу» потребовалось 5 часов. Посколь-
ку дальнейшее движение будет происходить с той же
скоростью, на преодоление последней четверти пути
понадобится ещё 5 часов.
 НАМ ПИШУТ
1. Основания малых трапеций 1/8 и 5/8.
2. Не всякую. Равнобедренную трапецию можно
разрезать таким образом на четыре равные прямоу-
гольные трапеции, только если её малое основание
больше, чем треть большого основания.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ
Если вы получили по почте или приобре-
ли бракованный номер (с дублированными или
пустыми страницами, расплывшимся текстом
и т.п.), напишите или позвоните нам, и мы поста-
раемся обменять этот номер на новый.
31
КОНКУРС
Приглашаем всех попробовать свои силы в нашем
конкурсе.
Высылайте решения задач, с которыми справи-
тесь, не позднее 28 февраля по электронной почте
kvantik@mccme.ru или обычной почтой по адресу:
119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11,
журнал «Квантик».
В письме кроме имени и фамилии укажите город,
школу и класс, в котором вы учитесь, а также обрат-
ный адрес.
Задачи конкурса печатаются в каждом номе-
ре, а также публикуются на сайте www.kvantik.com.
Итоги будут подведены в конце года. Участвовать
можно, начиная с любого тура. Победителей ждут
дипломы журнала «Квантик», научно-популярные
книги, диски с увлекательными математическими
мультфильмами.
Желаем успеха!
чтур
1.	Арнольд Шварценеггер за один удар ломает кир-
пич на три меньших. За сколько ударов он сможет раз-
бить один большой кирпич на 27 маленьких?
2.	Число-палиндром — это такое число, которое не i
меняется при записывании его цифр в обратном по-
рядке. Чему равна сумма самого большого шестизнач- л
ного палиндрома и самого маленького пятизначного?
Художник Дгры, Кстова
Авторы задач:
Сергей Фомин (5)
3.	Коля и Петя играют в такую игру. На столе ле-
жат 20 спичек. Первым ходит Коля. За один ход раз-
u решается взять со стола одну или две спички.
а)	Может ли Коля действовать так, чтобы взять по-
k следнюю спичку, независимо от игры Пети?
б)	А может ли он действовать так, чтобы послед-
k нюю спичку взял Петя, как бы тот ни сопротивлялся?
4.	Из прямоугольника вырезали меньший прямо-
угольник и получили фигуру, изображённую на ри-
сунке. Как с помощью карандаша и линейки провести
прямую, которая делит площадь этой фигуры на две
равные части?
5.	Коля и Вася за январь получили по 20 оценок,
причём Коля получил пятёрок столько же, сколь-
ко Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася
троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек
столько же, сколько Вася пятёрок. При этом средний
балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за
январь получил Коля?
Нссжадэнно Мэри родила
бгшнецов - ма"ъчикя и девочку
Тем Дрем* с прослышал о золотых
приисках и решил отправился в
Америку с мечтой стать миллионерам
Как же разделить монеты между Мэри и детьми
как можно точное следуя пожеланиям Тома?
Если же
родится дочка
добавь к её
приданому
треть монет,
а остальное
возьми себе.
Дети успели вырасти
а от дяди Тома всё eaje
никзк1лх вестей.
Если у тебя
родится Cqih, отдай
ему две трети
монет, когда он
вырастет,
а остальное
возьми себе.
Era сестра Мэри должна вст-влт рлдить Тем
оставляет ей все свои сбережения - 210 мене-
ЯУ уезжая налегке