А. Б: Аронович  МЮ. Афанасьев
Б. П. Суворов
" 1,1 Ч?Й
I > ' . 1 ..
1
, W-t Л Ж
л'
Сборник задач по исследованию операций


У
А Б Аронович, М Ю Афанасьев, Б П Суворов
Сборник задач по исследованию операций
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей высших учебных заведений
Издательство
Московского университета
1997
ББК 65 5
А 79
Рецензенты
доктор экономических наук Н П Тихомиров, кандидат экономических наук И Б Котлобовский
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета
Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П.
А 79 Сборник задач по исследованию операций. М Изд-во МГУ, 1997. - 256 с
ISBN 5-211-03766-9
В учебное пособие включен материал по основным разделам курса “Ис следование операций" — линейному программированию, задачам транспор тного типа, системам массового обслуживания, системам управления запасами, моделям сетевой оптимизации и тд
По каждой теме даются теоретический материал и большое количество задач
Для преподавателей, аспирантов и студентов экономических вузов
ББК 65.5
ISBN 5-211-03766-9
© А Б Аронович, М Ю Афанасьев, Б П Суворов 1997
ВВЕДЕНИЕ
Курс “Исследование операции” является одним из наиболее важных курсов в подготовке экономистов. Математический инструментарий и модельный аппарат, необходимый для изучения многих разделов курса, нетрудно наити в учебниках по этой дисциплине В известных переводных учебниках Р Акоффа, А Анри-Лабордера, Г Вагнера, А.Кофмана, А.Таха Хемли, У Черчмена изучение математической теории является основной целью курса В них находит отражение практика, принятая при подготовке экономистов в зарубежных вузах. Суть ее состоит в том, что за курсом “Исследование операций” следует ряд спецкурсов, позволяющих студентам заняться углубленным изучением любого раздела исследования операций Эти спецкурсы имеют четко выраженную экономическую направленность и ориентированы на установление связи между математической теорией исследования операций и экономической теорией.
Приступая к подготовке данного учебного пособия, авторы ставили перед собой цель усилить практическую направленность преподавания курса “Исследование операций” в российских экономических вузах. Такая задача может рассматриваться уже на этапе преподавания базового курса “Исследование операций”, которому в учебной программе экономических вузов обычно предшествуют двухгодичная математическая подготовка и вводный курс экономической теории Таким образом, существуют предпосылки для того, чтобы на основе обязательного курса “Исследование операций” осуществить синтез математических и экономических знаний.
По мнению авторов, студент экономического вуза, прослушавший курс “Исследование операции”, должен знать основные экономические проблемы, при решении которых возникает необходимость в математическом инструментарии, ориентироваться в экономической постановке задачи и определять по ней, в каком разделе исследования операции следует искать средства ее решения, уметь формализовать экономическую задачу и описать ее с помощью известной математической модели, быть способным провести расчеты и получить количественные результаты, уметь
1
3
анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные поставленной экономической задаче. Таким образом, изучение математического и модельного инструментария должно занимать важное, но не исключительное место в данном курсе.
Указанные требования предопределяют особую важность практических занятий. Здесь в качестве необходимой составляющей успешной подготовки экономистов можно отметить разнообразие предлагаемых экономических задач. Авторы не стремились к тому, чтобы собрать в этом учебном пособии как можно больше задач Такой подход привел бы лишь к тиражированию ситуаций без изменения специфики изучаемой модели. Традиционно хорошая практическая проработка в российской учебной литературе таких разделов исследования операций, как линейная оптимизация в планировании и задачи транспортного типа, позволила авторам использовать некоторые ранее опубликованные постановки задач. Впрочем, именно эти разделы учебного пособия представлены здесь сравнительно небольшим количеством задач. Другие, менее традиционные разделы теории исследования операций, представлены более полно.
Трудно указать русскоязычный источник экономических задач, претендующий на такую же полноту отражения тематики курса как, например, учебники F.S.Hiller, G.J.Liberman “Introduction to Operations Research” или J.Heizer, B.Render “Production and Operations Management”. Эти книги послужили авторам как источником информации, так и образцом представления учебного материала. Набор из 179 задач в 27 главах данного учебного пособия позволяет, на наш взгляд, в значительной степени устранить существующий пробел.
Авторы не ставили перед собой задачу подробного описания моделей и теоретического материала. Как правило, теория представлена в том объеме, который является достаточным для установления специфических различий моделей одного класса. Некоторые разделы теории, сравнительно мало описанные в отечественной учебной литературе, представлены более подробно. Например, обучаемость в производстве, контроль качества, сетевая оптимизация.
Данное учебное пособие может служить основой при традиционной форме проведения практических занятий, когда студенты все вместе решают задачу, предложенную преподавателем. Более современным представляется подход, основанный на использовании компьютерной технологии обучения в сочетании с программными средствами решения задач. Именно такую технологию проведения практических занятий авторы использовали на эко-
4
комическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова. В ее основе — компьютерный учебник “Исследование операции в экономике”, куда включен теоретический материал, все приведенные в данном учебном пособии задачи и средства контроля правильности их решения с выборочной диагностикой ошибок.
По сравнению с традиционной компьютерная технология обучения имеет ряд неоспоримых достоинств. Во-первых, создается возможность для реализации дифференцированного подхода к обучению, при котором студент может выполнить максимально возможный для него объем работы. Сильный студент получает при этом преимущество. Во-вторых, за счет использования программных средств, позволяющих проводить расчеты по любым предлагаемым моделям, значительно повышается интенсивность работы студентов. Так, использование в сочетании с компьютерным учебником пакета АВ ТОМ, являющегося приложением к вышеупомянутой книге J.Heizer, В.Render “Production and Operations Management”, позволяет студентам проводить за одно практическое занятие полный анализ пяти и более задач. Поэтому авторы выражают надежду, что данное учебное пособие послужит для преподавателей и студентов основой постепенного перехода к компьютерной технологии проведения практических занятий, и готовы оказать в этом необходимое содействие.
Авторы благодарят Р.Рыбалова, Е.Павлову, А.Бусарову и Н Столповских за помощь в подготовке материалов соответственно для глав 10, 11, 26 и 27.
Раздел 1
МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Глава 1
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА
В данной главе приведены задачи, демонстрирующие возможности использования модели линейного программирования для определения плана производства Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции
Определение объема производства Общая постановка задачи планирования производства необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план будет оптимальным с точки зрения какого-либо выбранного критерия — максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д
Задачи планирования производства возникают на разных уровнях в системе экономического управления, на уровне отдельных производственных участков и бригад, предприятии, отраслей, на уровне народного хозяйства в целом.
£слхл-этах,	(1)
j
£ ацх,<Ь,,1 = 1, ,т ,	(2)
j
х >0, j = 1,...,п.	(3)
Обозначения.
п — количество видов выпускаемой продукции,
m — количество видов производственных ресурсов (производственные мощности, сырье, рабочая сила),
ац — объем 1-го ресурса на выпуск единицы j-и продукции,
с — прибыль от выпуска единицы j-и продукции,
b — количество имеющегося ресурса i-ro вида,
х — объем выпуска j-й продукции (переменная),
(1)	— целевая функция (максимум прибыли),
(2)	— группа ограничений на объем имеющихся в наличии ресурсов,
(3)	— ограничения на неотрицательность переменных.
Пример 1. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов производимой продукции Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице.
Виды ресурсов	Виды продукции				Запасы ресурсов
	1	2	3	4	
Сырье, кг	3	5	2	4	60
Рабочая сила, ч	22	14	18	30	400
Оборудование, станко-ч	10	14	8	16	128
Прибыль на единицу продукции, тыс р	30	25	56	48	—
По государственному заказу, принятому предприятием, должно быть выпущено не менее 1 ед. продукции первого вида и 5 ед. — второго вида.
Необходимо определить, сколько продукции каждого вида надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной, и на какой вид продукции (первый или второй) выгоднее всего принимать дополнительный заказ9
Модель линейного программирования:
30х| + 25х2+ 56х, + 48х4 -> шах, Зх| + 5х2 + 2х3+ 4х4 <60, 22х + 14х2+ 18х3+ 30х4 < 400, 10Xj+ 14х2 + 8х, + 16х4 < 128, х,> 1, х2 > 5
Оптимальное решение задачи.
х| = 1, х2 = 5, х, = 6, х4 = 0.
Пример 2. Сделать или купить9
Фирма “N.Shagas & Со” производит три типа химикатов На предстоящий месяц эта фирма заключила контракт на поставку следующих количеств трех типов химикатов
ь
7
тип химикатов	продажи по контракту, кг
1	2000
2	3500
3	1800
Производство фирмы ограничено наличием времени на обработку химикатов в двух химических реакторах. Каждый вид химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. В следующей таблице приведен фонд рабочего времени в часах, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку 1 кг каждого химиката в каждом реакторе (ч/кг).
	Химикаты			Возможности реактора, ч
	1	2	3	
Реактор I	0,05	0,04	0,01	200
Реактор 2	0,02	0,06	0,03	150
Из-за ограниченных возможностей, связанных с временем на обработку в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы удовлетворить спрос за счет производимой продукции. Следовательно, фирма должна купить какие-то химикаты на стороне, расширив за счет этих покупок свои возможности и перепродав эти химикаты своим потребителям. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой компанией и на покупку их на стороне.
Химикаты	Затраты на производство, тыс р /кг	Затраты на покупку, тыс р /кг
1	2,50	2,80
2	1,75	2,50
3	2,90	3,25
Цель фирмы состоит в том, чтобы выполнить заказ клиента с минимальными издержками Это позволит ей максимизировать прибыль. Другими словами, фирма должна принять решение, сколько и каких продуктов надо производить у себя, а сколько — купить на стороне.
Модель линейного программирования:
— количество продукта 1, производимого компанией,
Z] — количество продукта 1, закупаемого компанией, q, — количество продукта 2, производимого компанией, z, — количество продукта 2, закупаемого компанией, q3 — количество продукта 3, производимого компанией, z, — количество продукта 3, закупаемого компанией Целевая функция.
2,50 q, + 2,80 z( + 1,75 q2 + 2,50 z, + 2,9 q, + 3,25 z3 -> min.
8
Ресурсные ограничения
время на производство продукции в реакторе 1:
0,05 q, + 0,04 q2 + 0,01 q3 < 200,
время на производство продукции в реакторе 2:
0,02 q, + 0,06 q2 + 0,03 q, < 150
Ограничения на спрос.
продукт 1
qf + Zj = 2000,
продукт 2
q2 + z, = 3500,
продукт 3
q3 + Zj — 1800.
Неотрицательность переменных.
q] > 0, q2 > 0, q3 > 0, z, > 0, z2 > 0, z, > 0.
Пример 3. Определение объема производства и запасов.
Компания “Видео”, производитель видеомагнитофонов, планирует производство и запасы продукции на следующие 6 месяцев Прогноз спроса на следующие 6 месяцев отражен в таблице “Видео” хотела бы иметь такой план, который не предусматривал бы отсрочки поставок.
Из-за колебании затрат на сырье и энергию себестоимость продукции (затраты на единицу продукции) изменяется от месяца к месяцу. Максимальный уровень производства компании также колеблется из месяца в месяц из-за неравномерного ремонта оборудования и числа рабочих дней в месяце.
“Видео” не проводит политику частого изменения числа рабочих. Поэтому.чтобы избежать затрат времени впустую, компания устанавливает минимальный уровень производства, составляющий 50% от максимального уровня. В таблице представлены также максимальный и минимальный уровни запасов на каждый месяц.
Месяц	Прогноз спроса	Себестоимость единицы продукции, тыс р	Уровень производства		Уровень запасов	
			макс	МИН	макс	мин
1	1000	460	7000	3500	7000	2500
2	4000	470	5000	2500	7000	2500
3	6000	480	4000	2000	7000	2500
4	5000	500	8000	4000	7000	2500
5	3000	500	6000	3000	7000	2500
	ь	2000	500	3000	1500	7000	2500
2-3178
9
В настоящее время “Видео” имеет в запасе 3500 видеомагнитофонов. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддерживать, составляет 2500 шт., это означает, что и в конце каждого месяца такое количество видеомагнитофонов должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако площади складов позволяют хранить 7000 магнитофонов Это отражено в предпоследнем и последнем столбцах таблицы.
Бухгалтерия компании подсчитала, что хранение одного видеомагнитофона на складе обходится в 8 тыс.р. в месяц. Чтобы подсчитать затраты на хранение всех магнитофонов, нужно их количество определять как среднемесячное, т.е. среднее между запасами на начало и конец месяца, и умножить это значение на 8.
Задача состоит в том, чтобы определить уровни производства и запасов на каждый месяц, минимизирующие суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) при удовлетворении спроса на продукцию без отсрочки поставок.
1.	Каковы минимальные суммарные затраты (тыс.р.)?
2.	Сколько магнитофонов следует произвести во втором месяце?
3.	Сколько магнитофонов следует произвести в пятом месяце?
Задачи планирования производства и запасов относятся к широкому классу динамических (точнее — псевдодинамических) задач планирования на несколько взаимосвязанных периодов. В данном случае связь между периодами осуществляется через запасы, поскольку запас на конец периода t является одновременно и запасом на начало периода t+1. Это означает, в частности, что при условии полного удовлетворения спроса должно выполняться условие материального баланса.
начальный	объем	спрос на	конечный
запас для	+	производства	=	продукцию	+	запас для
периода t	периода t	в периоде t	периода t
Модель линейного программирования.
qt — уровень производства в месяце t,
z — уровень запасов на конец месяца t (или на начало месяца t+1).'
Целевая функция.
460 q, + 470 q2 + 480 q3 + 500 q4 + 500 q5 + 500 q6 + + 8 Zj + 8 z2 + 8 z3 + 8 z4 + 8 z5 + 8 zb -> min при ограничениях по выпуску продукции:
q,>3500, q2>2500, q3>2000, q4>4000, q5>3000, q6>1500,
Ц]<7000, q,<5000, q3<4000, q4<8000, qs<6000, q6<3000.
по запасам.
Z]>2500, z2>2500, z3>2500. z4>2500, z5>2500, z6>2500
Z]<7000, z2<7000, z3<7000, z4<7000, zs<7000, z6<7000 по балансу.
ч, _ z.	=-2500
Z1 + Ч2	- z2 = 4000,
z2 + Ч,	- z3 = 6000,
+ ч,	— z4 = 5000,
Z4+ Ф	- zs = 3000,
zs + Ч6	- z = 2000. о
ЗАДАЧИ
Задача 1.1
Телевизионная компания производит два вида телевизоров — “Астро” и “Космо”. Имеются две производственные линии, каждая для своего типа телевизоров. Мощность линии по производству “Астро” составляет 70 телевизоров в день, а “Космо” — 50 единиц в день. Цех А производит телевизионные трубки. В этом цехе на производство одной трубки к телевизору “Астро” требуется потратить 1,8 чел-ч, а на производство трубки к “Космо” — 1,2 Чел-H.
В настоящее время в цехе А на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 120 чел-ч в день. В цехе Б производятся шасси. В этом цехе на производство одной единицы шасси как к телевизору “Астро”, так и к “Космо” требуется затратить 1 чел-ч. В цехе Б на производство шасси к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 90 чел-ч. Продажа каждого телевизора марки “Астро” обеспечивает получение прибыли в размере 150 тыс.р., а марки “Космо” — 200 тыс.р.
1. Если компания может продать столько телевизоров марки Астро”, сколько она произведет, то каков должен быть ежедневный план производства телевизоров этой марки?
2. На сколько тыс.р. в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе А возрастет на 2 чел-ч? (Ответ на этот вопрос можно дать, используя двойственные оценки.)
Задача 1.2
Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров. Фирма получает прибыль в размере 12 тыс.р. от производ-2*
II
10
ства и продажи каждой единицы товара 1 и в размере 4 тыс.р. от производства и продажи каждой единицы товара 2. Фирма состоит из трех подразделений. Затраты труда (чел-дни) на производство этих товаров в каждом из подразделений указаны в таблице.
Подразделение	Трудозатраты, чел-дней на 1 шт	
	товар 1	товар 2
1	1	2
2	1	3
3	2	3
Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма будет располагать следующими возможностями обеспечения производства трудозатратами. 800 чел-днеи в подразделении 1, 600 — в подразделении 2 и 2000 — в подразделении 3.
1. Какую максимальную прибыль может получить фирма (тыс.р.)?
2. На сколько увеличится прибыль, если объем использования трудовых ресурсов в каждом из подразделений возрастет на 0,1% 9 (Ответ на этот вопрос можно дать, используя двойственные оценки.)
Задача 1.3
Мастер Гамбс — владелец небольшого мебельного цеха. Он производит три типа столов: А, Б, и В. Каждая модель стола требует определенных затрат времени на выполнение трех операции производства заготовок, сбора заготовок и покраски. Мастер имеет возможность продать все столы, которые он производит. Более того, модель В может быть продана и без покраски. Мастер Гамбс нанимает несколько рабочих, которые работают у него по совместительству, так что количество чел-ч, отводимое на каждый вид работ, изменяется от месяца к месяцу. Используйте данные таблицы и постройте модель линейного программирования, которая помогла бы мастеру найти такую программу выпуска продукции, которая максимизировала бы его прибыль в следующем месяце Предполагается, что по каждому виду работ возможны трудозатраты до 100 чел-ч.
Модель	Заготовка, чел-дней	Сборка, чел-дней	Покраска, чел-дней	Прибыль, тыс р /шт
А	3	4	5	25
Б	1	2	5	20
В	4	5	4	50
Неокрашенные В	4	5	0	30
1.	Какую максимальную прибыль может получить мастер Гамбс (тыс.р.)?
2.	Следует ли продавать неокрашенные столы типа В?
3.	На сколько увеличится прибыль, если объем использования трудовых ресурсов на каждой работе возрастет на 1%? (Для ответа на этот вопрос не требуется проведения оптимизационных расчетов.)
Задача 1.4
Фирма “Пегас и Парнас” производит три типа химикатов. На предстоящий месяц фирма заключила контракт на поставку следующих количеств трех типов химикатов:
химикаты	продажи по контракту, кг
1	1000
2	2500
3	3800
Производство фирмы ограничено наличием времени на обработку в двух химических реакторах. Каждый вид химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. В следующей таблице приведен фонд рабочего времени в часах, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одного килограмма каждого химиката в каждом реакторе (ч/кг).
	Химикаты			Возможности реактора, ч
	1	2	3	
Реактор 1	0,05	0,04	0 01	200
Реактор 2	0,02	0,06	0,03	150
Из-за ограниченных возможностей, связанных с временем на обработку в реакторах, фирма “Пегас и Парнас”не имеет достаточных мощностей, чтобы удовлетворить спрос за счет производимой продукции. Следовательно, она должна купить какие-то химикаты на стороне, расширив за счет этих покупок свои возможности и перепродав эти химикаты своим потребителям. Ниже при водится таблица затрат на производство химикатов самой компанией и на покупку их на стороне.
Химикаты	Затраты на производство, тыс р /кг	Затраты на покупку, тыс р /кг
1	2,50	2,80
2	1,75	2,50
3	2,90	3,25
12
13
Цель фирмы состоит в том, чтобы выполнить заказ клиента с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько и каких продуктов надо производить у себя, а сколько надо купить.
1.	Каковы минимальные издержки на выполнение контракта (тыс.р.)?
2.	Сколько химикатов вида 2 следует купить (кт)?
3.	До какой величины должны увеличиться затраты на покупку химикатов вида 2, чтобы фирма “Пегас и Парнас’’отказалась от их приобретения на стороне? (Для ответа на этот вопрос не требуется проведения оптимизационных расчетов.)
Задача 1.5
Фирма “Полесов” испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые мангалы и угольные мангалы. Фирма заключила контракт на поставку ежемесячно 20 тыс. угольных и 10 тыс. газовых мангалов.
Производство мангалов ограничивается возможностями трудозатрат на обработку в трех цехах: производства, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько чел-ч затрачивается в каждом цехе на производство каждой единицы продукции и сколько чел-ч имеется в наличии в каждом из цехов.
Цех	Трудозатраты на один мангал, чел-ч/шт.		Количество чел-ч в наличии, в месяц
	угольный	газовый	
производства	0,10	0,20	2500
сборки	0,15	0,25	4000
упаковки	0,05	0,05	2000
Из-за ограниченности количества человеко-часов фирма не может полностью удовлетворить спрос своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме в любом соотношении угольные мангалы по 50 тыс.р. за штуку и газовые мангалы по 100 тыс.р. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы “Полесов” на 10 тыс.р. за каждый угольный и на 15 тыс.р. за каждый газовый мангал. Задача фирмы состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое привело бы к минимальным затратам при удовлетворении спроса.
1.	Каковы минимальные издержки на выполнение контракта (тыс.р.)?
2.	Сколько газовых мангалов следует приобрести фирме “Полесов”?
3.	До какой величины должны увеличиться издержки на приобретение одного газового мангала, чтобы фирма “Полесов” отказалась от их покупки на стороне? (Для ответа на этот вопрос не требуется проведения оптимизационных расчетов.)
Ключевые слова
Запас
Ограничение
Переменная
План производства
Уравнение материального баланса
Целевая функция
Глава 2
ОПТИМАЛЬНОЕ СМЕШЕНИЕ
Важный класс задач образуют так называемые задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наиболее рационального способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна содержать определенное количество компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Известны стоимостные характеристики ингредиентов. Требуется получить искомую смесь с наименьшими затратами.
Задачи такого типа встречаются во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить: определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры шихты на металлургическом производстве.
За неизвестные в моделях оптимального смешения принимаются доли или количества ингредиентов, идущие на приготовление смеси. Различаются типы моделей: а) с одной или с большим числом смесей; б) с ограниченным или неограниченным количеством ингредиентов; в) по критерию производства смеси.
14
15
Однопродуктовая модель оптимального смешения'.
X слхл -> min .	(1)
J
SaljXj > b, ,	(2)
J
x > 0 , j = 1,..., n, i = 1,..., m.	(3)
Обозначения:
n — количество исходных ингредиентов;
m — количество компонентов в смеси;
а — удельный вес i-ro компонента в j-м ингредиенте;
с — стоимость единицы j-ro ингредиента;
b — минимально допустимое количество i-ro компонента в смеси;
х — количество j-ro ингредиента, входящего в смесь;
(1)	— целевая функция (минимум затрат на получение смеси);
(2)	— группа ограничений на содержание в смеси заданного количества компонентов;
(3)	— ограничения на неотрицательность переменных.
Пример 1. В состав рациона кормления животных входят сено, силос и концентраты. Содержание питательных веществ и минимально необходимые нормы их потребления приведены в таблице:
	Белок, г/кг	Кальций, г/кг	Витамины, усл.ед /кг	Цена 1 К1, 	Р
Сено	40	5	2	300
Силос	20	4	1	200
Концен граты	160	4	2	500
Нормы потребления	2000	120	40	
Определить рацион, стоимость которого была бы минимальной, если предельные нормы суточной выдачи сена — не более 18 кг, силоса — не более 24 кг, концентратов — не более 16 кг.
Решение:
300 х| + 200 Х2 + 500 х, min, 40 х, + 20 х2 + 160 х3 > 2000, 5 X] + 4Xj + 4 х, > 120, 2 X] + 1 х2 + 2 х, > 40.
Xj < 18, х, < 24, х, < 16.
Оптимальное решение задачи:
Xj = 0, Xj = 20, х3 = 10.
Оптимальное значение целевой функции: F = 9000.
Суточный рацион: 20 кт силоса, 10 кт концентратов.
Минимальная стоимость рациона 9000 р.
Многопродуктовая модель оптимального смешения. В многопродуктовых задачах ингредиенты используются для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной xtj такой задачи рассматривается количество ингредиента i, идущее на приготовление смеси j. В многопродуктовой задаче могут использоваться те же критерии, что и в однопродуктовой.
Характерными особенностями такой задачи являются ограничения на общее количество ингредиентов каждого типа и ограничения на состав каждой смеси.
Пусть, например, готовая смесь получается в результате смешения трех ингредиентов в количествах X, Y, Z. 1 кг каждого ингредиента содержит 4, 5 и 10 г примесей соответственно. Содержание примесей в готовой смеси не должно превышать 5 г/кг. В задаче оптимального смешения это условие может быть записано в виде линейного неравенства
4X + 5Y + 10 Z < 5 (X + Y + Z), или после преобразования —
X + 5 Z <0.
ЗАДАЧИ
Задача 2.1
Совхоз закупает корма трех видов. Цены на корма разные. В кормах содержатся питательные вещества четырех видов. Требуется так составить кормовой рацион, чтобы в нем содержалось необходимое количество питательных веществ и затраты на покупку кормов были минимальными. Данные приводятся в таблице.
Пита1ельные вещества, кг/т	Виды кормов			Нормы содержания веществ в рационе, кг
	Bi	В>	В3	
А1	2	4	6	не менее 20
А2	3	1	0	равно 4,28
АЗ	5	8	3	не менее 25, не более 35
А4	2	0	4	не менее 40
Цена за 1 т корма, гыс р	400	200	300	
1.	Какое количество корма вида В2 следует закупить (т)?
2.	Какое общее количество кормов следует закупить (т)9
16
3-3178
17
3.	Каковы минимальные затраты на покупку кормов (тыс.р.)?
Задача 2.2
В аптеке продается семь наименований поливитаминов. Каждое наименование содержит витамины трех различных типов. Цены на витамины различны. Необходимо пройти профилактический курс, в течение которого с минимальными суммарными затратами получить 100 единиц витамина А, 80 — витамина С и 120 единиц витамина В6. Необходимое количество поливитаминов покупается одновременно.
Запасы трех основных видов виски и их стоимость показаны ниже.
Сорт виски	Наличие, л/день	Стоимость 1 л
Ирландское	2000	70
Шотландское	2500	50
Канадское	1200	40
1.	Сколько ежедневно следует производить смеси “Старый Джек” (л)?
2.	Какова максимальная прибыль в день (тыс.р.)?
Задача 2.4
Витамины	Содержание витаминов, ед /г							Всего необходимо
	Р1	Р?	Pl	Р4	Ps	Рб	0	
А	5	0	2	0	3	1	2	100
С	3	1	5	0	2	0	1	80
Вб	1	0	3	1	2	0	6	120
Цена за 1 г» тыс р	4	1	5	6	3.5	7	4	
1.	Какое общее количество поливитаминов следует принять (г)?
2.	Какое количество поливитамина Pt следует принять (г)?
3.	Каковы минимальные затраты на профилактический курс (тыс.р.)?
Задача 2.3
“Южная алкогольная компания” импортирует смеси трех сортов виски — ирландского, шотландского и канадского. Смешивают их согласно рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного содержания ирландского и канадского виски в каждой смеси. Компания стремится к получению максимальной прибыли ежедневно.
Инструкция по составлению смесей
Смесь	Спецификация	Цена за 1 л смеси, тыс р
“Старый Джек”	не меньше, чем 60% ирландского не больше, чем 20% канадского	68
“Специальное”	не больше, чем 60% канадского не меньше, чем 15% ирландского	57
“Юный Френзи”	не больше, чем 50% канадского		45		
Мощности завода по производству удобрений позволяют произвести в текущем месяце 1000 т нитратов, 1800 т фосфатов и 1200 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, могут быть получены три типа удобрений.
В таблице указано содержание активных ингредиентов (нитратов, фосфатов и поташа) в смеси.
Тип удобрений	Процентное содержание активных ингредиентов			Цена тыс р /т
	нитраты	фосфаты	поташ	
1	5	10	5	40
2	5	10	10	50
3	10	10	10	60
Цена, тыс р /т	160	40	100	
Цена инертных ингредиентов составляет 5 тыс.р./т.
Затраты смешения, упаковки и продажи составляют 15 тыс.р./т для каждого типа удобрении. Существует соглашение о поставке 6000 т удобрений типа 1.
1. Сколько удобрений типа 3 следует производить (т)?
2. Какова максимальная прибыль (тыс.р.)?
Задача 2.5
На кондитерской фабрике изготовляют три вида восточных сладостей, для которых используют миндаль, фундук и арахис. Миндаль покупается по цене 6,5 тыс.р. за кг , фундук — 2,5 тыс.р., а лрахис — 3,5 тыс.р.
Продукт 1 должен содержать не менее 50% миндаля и не бо-Лее 25% фундука, продукт 2 — не менее 25% миндаля и не более з*
19
18
50% фундука, продукт 3 может содержать любое количество миндаля, фундука и арахиса. Продажная цена продукта 1 — 5 тыс.р. за кг, продукта 2 — 3,5 тыс.р., продукта 3 — 2,5 тыс.р. за кг. Запасы сырья ограничены, миндаля — 100 кг, фундука — 100 кг, арахиса — 60 кг.
1. Какое количество продукта 2 следует производить, чтобы фабрика получала максимальную прибыль (кг)?
2. Какова максимальная прибыль (тыс.р.)?
Ключевые слова
Задача о смесях Ингредиент Компонент смеси Смесь
Способ смешения
Глава 3
ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ
Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило крупных размеров, обычно невозможно. Предварительно их нужно разделить на заготовки необходимых размеров. При этом возникает необходимость выбора способа раскроя и интенсивности его применения. Задачи такого типа, называемые задачами оптимального раскроя материалов, возникают в металлургии и машиностроении, лесной и лесообрабатывающей, легкой промышленности и других отраслях и используются по отношению к технологическим процессам, где большая вариантность позволяет достигнуть значительного эффекта благодаря оптимизации.
В разработке плана раскроя тесно переплетаются две задачи.
1) выбор рациональных способов раскроя единицы материала;
2) определение интенсивности использования рациональных способов раскроя в зависимости от заданной комплектности производимых деталей.
Рациональный вариант раскроя. В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (парето-оптималь-
ные) способы раскроя, т.е. такие, для которых увеличение количества заготовок любого типа возможно только за счет сокращения числа заготовок какого-либо другого типа.
Пример 1. Требуется определить все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов длиной 20, 30 и 50 см.
Способы	Заготовки			Отходы
	А=50	В=30	С=20	
1	2	0	0	0
2	1	I	I	0
3	1	0	2	10
4	0	3	0	10
5	0	2	2	0
6	0	1	3	10
7	0	0	5	0
Таким образом, в данном случае существует семь различных рациональных способов раскроя.
Определение интенсивности использования варианта раскроя.
Обозначения:
j — индекс типа поставляемых материалов, j = 1, 2, ..., s;
i — индекс способа раскроя, i = 1, 2, ..., р;
bk — число заготовок вида к в комплекте, к = 1,2, ..., q;
а1|к — количество заготовок вида к, полученных при раскрое единицы материала j-ro типа i-м способом,
d — количество поступившего материала j-ro вида;
х, ~ количество единиц j-ro материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа),
Cj — величина отхода, полученного при раскрое единицы материала j-ro типа по i-му способу,
У — число комплектов заготовок различного типа.
Модель.
у -> шах,	(1)
х,) > 0, i = 1,...,р, j = l,....s,	(2)
р Zxy<dj . j = i,...,s,	(3)
s p 2Lxijaijk^^kY’ k = l,...,q, j=ii=l	(4)
20
21
(1)	— целевая функция — максимум комплектов изготавливаемых изделий,
(2)	— неотрицательность переменных;
(3)	— учет ограниченности ресурсов;
(4)	— учет выполнения плана.
Целевая функция в зависимости от условий задачи может записываться и в другом виде.
Например, если требуется производить не максимум комплектов, а просто максимум деталей, то целевая функция запишется в следующем виде.
Ч s р
Z L £хуачк -> max , k=l j=li=l
а равенство (3) исключится из условий.
Если требуется ориентировать производство на минимум отходов, то функционал будет выглядеть следующим образом:
s Р
Z £с х _> nun .
j=n=i
ЗАДАЧИ
Задача 3.1
Из 500 листов железа первого размера и 300 листов железа второго размера несколькими способами выкраиваются три вида деталей. Даны нормы одновременного выхода деталей по различным способам.
	Листы размера 1			Лис гы размера 2	
Вид детали	Способы раскроя				
	1	2 ......	з	1	2
	Количество деталей				
1	0	2	9	6	5
2	4	3	4	5	4
3	10	10	0	8	0
Определите максимальное число комплектов деталей, если комплект состоит из четырех деталей вида 1, трех деталей вида 2 и двух деталей вида 3.
1.	Сколько листов железа размера 2 раскраивается по первому способу?
2.	Каково максимальное количество комплектов?
3.	На сколько изменится максимальное количество комплектов, если в комплект решено добавить третью деталь вида 3?
Задача 3.2
При раскрое деталей единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, выход деталей каждого типа указан в следующей таблице.
Способ раскроя	Ткань 1		Гкань 2	
	1-й тип детали	2-й тип детали	1-и тип детали	2-й тип детали
1	8	0	12	0
2	0	3	0	4
3	4	1	6	2
На фабрику ткани 1 поступает в два раза больше (по длине), чем ткани 2. Выход готовых изделий должен быть максимальным.
1. Какая доля ткани 2 должна раскраиваться по способу 1 ?
2. На сколько (%) и зменится выход готовых изделий по сравнению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей ?
Задача 3.3
На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить не менее 470 отрезков по 45 см и не менее 450 отрезков по 80 см. Как разрезать имеющиеся стержни, чтобы сократить до минимума отходы?
1-	Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
2.	Какова величина отходов после раскроя (см)?
3.	Может ли увеличение потребности в стержнях длиной 80 см привести к сокращению отходов?
Задача 3.4
В цех поступили стержни длиной 107 см. Для дальнейшего производства потребуется нс менее 210 отрезков длиной 26 см, не ^енее 163 отрезков по 29 см и не менее 177 — по 32 см. Необходимо ^доклетвоРить данную потребность, разрезав при этом как *Но меньше стержней.
Сколько стержней необходимо разрезать?
22
23
2. Какова при этом величина отходов (см)?
Задача 3.5
Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной длины в комплекте должны быть в соотношении 1:5.3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?
1. Сколько комплектов стержней будет выпущено ?
2. Какова при этом величина отходов (см)?
Ключевые слова
Заготовка
Интенсивность использования способа раскроя
Материал
Задача оптимального раскроя
Отходы
Рациональный способ раскроя
Глава 4
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ФИНАНСОВ
Рассматриваемые в данной главе задачи планирования финансов могут быть решены средствами линейного программирования. Их решение предполагает использование динамических моделей. Предлагаемые задачи представляют особый интерес, так как позволяют определить стратегии инвестиций с учетом риска и некоторых других факторов.
Пример 1. П.Датский — управляющий компании — заключил контракт на покупку нового оборудования для консервирования овощей, которое обошлось в 750 млн р. В соответствии с условиями контракта 150 млн р. необходимо уплатить через два месяца, а остальное — через шесть месяцев, когда оборудование будет поставлено.
Чтобы расплатиться полностью, управляющий предполагает тотчас же образовать целевой фонд, который можно использовать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции создадут дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги
за оборудование, то П.Датский знает, что ему следует отложить меньше чем 750 млн р. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.
П.Дате кий решил сосредоточиться на 12 возможностях инвестирования, представленных в следующей таблице.
Возможные инвестиции	Возможны в начале	На сколько месяцев	Процент
А	месяца 1, 2, 3,4, 5 иб	1	1,5
В	месяца 1, 3 и 5	2	3,5
С’	месяца 1 и 4	3	6.0
D	месяца 1	6	11,0
При данных возможностях инвестирования и с учетом требуемого графика выплат цель П.Датского состоит в том, чтобы разработать стратегию, минимизирующую наличную сумму, которую он должен иметь в самом начале для выплаты всех денег по заключенному контракту.
Сводные данные о возможностях вложений и возврата денег
Инвестиции _______________________Начало месяца
	1	2	3	4	5	6	7
А в месяце 1	1,00 ->	1,015					
А в месяце 2		1,00 ->	1,015				
А в месяце 3			1,00 ->	1,015			
А в месяце 4				1,00 ->	1,015		
А в месяце 5					1,00 ->	1,015	
А в месяце 6						1,00 ->	1,015
В в месяце 1	1,00 >	—>	1,035				
В в месяце 3			1,00 ->	—>—>	1,035		
В в месяце 5					1,00 ->		1,035
С в месяце 1	1,00 ->			1,060			
С в месяце 4				1,00 ->	—>—>	—>—>	1,060
D в месяце 1	1,00 ->					—>—>	1,110
Схема балансовых ограничений задачи линейного программирования
Возврат денег в начале периода от инвестиций, сделанных в предыдущем периоде	+	Изъятие наличности в начале периода из отложенного фонда по графику контракта
	Вложение денег в начале периода по контракту в соответствии с графиком	+	Вложение денег в инвестиции в начале периода
24
4'3178
25
Пусть
I — размер целевого фонда,
А — размер вклада типа А в месяце i, В — размер вклада типа В в месяце i, С — размер вклада типа С в месяце i, D — размер вклада типа D в месяце i. Система ограничений.
I - А] — В, — С, — D, = О,
1,015	- А, = 0,
1,015 \ + 1,035 В, - А, - В3 = 150000 ,
1,015 А, + 1,060 Cj - А4 - С4 = 0,
1,015 А4 + 1,035 В3 ~ А; — В5 = 0,
1,015 As - А6 = 0,
1,015 \ + 1,035 В5 + 1,060 С4 + 1,110 D, = 600000 .
Учет риска. При разработке стратегии вкладов П.Датский исходит из того, что в течение каждого месяца средний индекс риска инвестированных фондов не должен превышать 6. Индекс риска по вкладам указан в следующей таблице.
продолжительность погашения инвестированных средств не должна превышать 2,5 месяца.
Ограничение, учитывающее среднюю продолжительность вкладов. производимых в месяце 1, может быть записано следующим образом:
А, + 2 В, + 3 С( + 6 D, < 2,5 (А, + В, + С, + D,).
После преобразования система ограничений, учитывающих среднюю продолжительность вкладов, имеет следующий вид:
-	1,5 А, - 0,5	В(	+ 0,5	С, + 3,5	D, < 0,
-	1,5 А, - 1,5	В,	- 0,5	Ct + 2,5	D3 < 0,
-	1,5 А3 - 0,5	В3	- 1,5	Cj + 1,5	Dj < 0,
-	1.5 A4 - 1,5	B3	+ 0,5	C4 + 0,5	D, < 0,
-	1,5 A5 - 0,5	Bs	- 0,5	C4 - 0,5	D, < 0,
-	1,5 A, - 1,5	Bs	- 1,5	C4 - 1,5	D, < 0.
ЗАДАЧИ
Задача 4.1
Возможные инвестиции	Возможны в начале	На сколько месяцев	Процент	Индекс риска
А	месяца 1, 2, 3, 4, 5 и 6	1	1,5	1
В	месяца 1, 3 и 5	2	3,5	4
С	месяца 1 и 4	3	6,0	9
D	месяца 1	6	11,0	7
Ограничение, учитывающее риск вкладов, производимых в месяце 1, может быть записано следующим образом:
А, + 4 В, + 9 С( + 7 D, < 6 (А, + В3 + С, + D,).
После преобразования система ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид.
- 5А,-	2 Bt + 3 С, +	1	Di <	: o,
- 5 \ -	2 В, + 3 С, +	1	D,<	; o,
- 5 А, -	2 В, + ЗС, +	1	D.<	: o.
- 5 А4 -	2 В, + 3 С4 +	1	D.<	: o,
- 5 А, -	2 Bs + 3 С, +	1	D( <	: o.
-5А,-	2 Bs + 3 С4 +	1	D.<	: o.
Учет продолжительности погашения вкладов. В начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя
Президент фирмы Г.Альба заключил контракт на покупку земельного участка стоимостью 900 млн р. В соответствии с условиями контракта задаток в размере 200 млн р. необходимо уплатить через два месяца, а остальное — через шесть месяцев, когда участок будет освобожден прежним владельцем.
Чтобы расплатиться полностью, Альба решил образовать целевой фонд, который предполагает использовать для инвестиций, чтобы получить проценты и вовлечь их в сумму, которую следует уплатить продавцу земли. Возможности инвестирования представлены в следующей таблице.
Возможные _ инвестиции	Инвестиции возможны только в начале	На сколько месяцев	Процент	Индекс риска
A	месяца 1, 2, 3, 4, 5 и 6	1	1,5	2
В	месяца 1, 3 и 5	2	3,5	6
с	месяца 1 и 4	3	6,0	9
	 D		месяца 1 		6	11,0	10
Составьте модель линейного программирования для решения Данной задачи. Рассмотрите следующие цели.
Цель 1. При данных возможностях инвестирования и требуемом графике выплат разработать стратегию вложений, миними-наличнУю сумму, которую Г.Альба должен иметь в са-начале для выплаты всех денег по заключенному контракту.
4*
27
26
Цель 2. При разработке этой стратегии Г.Альба должен быть уверен, что в течение каждого месяца средний индекс риска инвестированных фондов не будет превышать 6.
Цель 3. В начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестированных фондов не должна превышать 2,5 месяца.
1.	Какой размер целевого фонда следует иметь без учета риска и продолжительности погашения инвестиций (тыс.р.)?
2.	Следует ли в этом случае делать инвестиции вида А (на месяц 1)?
3.	Какой размер целевого фонда следует иметь с учетом риска, но без учета продолжительности погашения инвестиций (тыс.р.р
4.	Какой размер целевого фонда следует иметь с учетом риска и продолжительности погашения инвестиций (тыс.р.)?
Задача 4.2
У М.Наваррской есть 500 тыс.р., которые можно инвестировать. Необходимо максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Возможные виды инвестиций представлены в таблице.
Возможные инвестиции	Инвестиции возможны только в начале	На сколько месяцев	Процент	Индекс риска
А	месяца 1, 2, 3, 4, 5 и Ь	1	1,5	1
В	месяца 1, 3 и 5	2	3,5	4
С	месяца 1 и 4	3	6,0	9
D	месяца 1	6	н,о	7
В течение каждого месяца средний индекс риска инвестированных фондов не должен превышать 6.
Постройте модель линейного программирования для этой задачи.
Проведите расчеты.
1. Какова максимальная денежная наличность к концу шестимесячного периода (тыс.р.)?
2. Предположим, что в дополнение к 500 тыс.р., имеющим11 в распоряжении М.Наваррской, предполагается выделить ей еШ£ 200 тыс.р. в начале месяца 4. Какова в этом случае максимальна» денежная наличность к концу шестимесячного периода (тыс.р )
Задача 4.3
Год	Проект				
	А	в	с	D	L
2001	“1,0	0	-1.0	-1.0	0
2002	+0,3	-1,0	+ 1,0	0	0
2003	+ 1,0	+0,3	0	0	-1,0
2004	0	+ 1,0	0	+ 1,75	+ 1,4
Таблица, приведенная выше, отражает пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании.
Таблица показывает, какие наличные деньги будут получены на 1 р. инвестиций. Например, проект А — это инвестиции, которые можно сделать в начале 2001 г. на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 0,3 р. на вложенный рубль, а в конце следующего года можно получить еще 1 р. Максимальная сумма, которая может быть вложена в проект А, составляет 500 млн р. По другим проектам объем вложений не ограничен. Проект В аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в начале следующего года. И так далее. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6% годовых за краткосрочный (на один год) вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году.
У компании имеется 1 млрд р. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, полученных к 2004 г. Сформулируйте задачу линейного программирования.
1. Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2004 г. (млн р.)?
Ключевые слова
Балансовое ограничение
Индекс риска
Стратегия капиталовложений
Продолжительность погашения вклада
Учет риска
Целевой фонд
28
29
Раздел 2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ РАЗРАБОТКИ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Глава 5
НЕСОБСТВЕННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
В данной главе рассматриваются методы, использование которых позволяет найти выход из ситуации, когда задача определения плана производства в исходной постановке не имеет решения.
Несобственная задача. Рассмотрим следующую модель:
La х < b , i=l,(I)
х > с, j=l,...,m,	(2)
Ee/j -> max ,	(3)
j
где j=l,...,m — виды продукции, i=l,...,n — виды потребляемых ресурсов, 0 < a(j — удельная ресурсоемкость производства продукции. О < b — допустимый объем потребления ресурсов, 0 < х — оптимизируемый выпуск продукции.
Считается, что для любого i существует ау > 0, с — величина спроса. Функция цели имеет вид (3), где е, — эффективность выпуска j-ro вида продукции. Если система ограничений (1)—(2) несовместна, то задача называется несобственной.
Метод минимизации невязок. В случае несовместности (несогласованности) ограничений необходимо скорректировать величины с :
х + у > с , у > 0 j=l,...,m,	(4)
j j j j
где у — снижение выпуска продукции относительно проектного задания. Система условий задачи планирования производства при ограничениях на выпуск продукции в виде (4) будет согласованной при любых значениях с > О, b > 0.
Функция цели в этом случае строится следующим образом-Определяется
minXpjVj,	(5)
j
где р — показатель, характеризующий снижение эффективности функционирования объекта планирования при уменьшении выпуска продукции по сравнению с величиной спроса.
Затем из всех вариантов плана, которые обеспечивают мини-(5), выбирается тот, который максимизирует (3).
При решении второй задачи в систему условий дополнительно вводится ограничение
(6)
где У* — значение функции цели (5), полученное при решении задачи (5), (1),(4).
Использование метода штрафных функций позволяет получить численное решение сформулированных выше задач последовательной оптимизации в рамках одной задачи, функция цели которой имеет следующий вид: найти
LejXj - rZpjyj -> max,	(7)
j	j
где 0 < i — штрафной коэффициент.
Пример 1. Рассмотрим прокатный комплекс предприятия черной металлургии, включающий рельсобалочный стан, участок отделки фасонных профилей и термоямы. В термоямах обрабатывается продукция, требующая специальных режимов охлаждения. Номенклатура производимой продукции, удельные затраты времени работы оборудования (ч/тыс.т) и прибыль (млн р./т), получаемая от реализации продукции, приводятся в таблице.
Оборудование	Затраты времени оборудования				
	Осевые заготовки	Рельсы	Балки	Конструкционный прокат	Квадратные заготовки
Рельсобалочный стан	6,4	4	7,5	7	4,4
Участок отделки	—	—	35	20	—
Термоямы	85	—	—	75	18
Прибыль		18	16,8	26,3	36,2	17,5
Фонд фактического времени работы оборудования (из календарного фонда исключается время ремонта и технологически неизбежных простоев при существующем уровне организации производства) в рассматриваемый период для всех участков составляет 7 тыс .ч.
Согласно проекту планового задания, необходимо произвести (тыс.т) как минимум: осевых заготовок — 55, рельсов — 1150, ллок — 200, конструкционного проката — 5. Что касается квадратных заготовок, то их производство должно точно соответство-Вать проекту планового задания — 125 тыс.т.
Предположим, что фонд фактического времени работы всех ов оборудования задается точно и определяет максимально Пустимый уровень загрузки агрегатов. Необходимо определить
10
31
вариант плана, максимизирующим эффективность функционирования рельсобалочного комплекса. Введем обозначения.
Xj — объем производства осевой заготовки, хэ — объем производства рельсов, х3 — объем производства балок, х4 — конструкционный прокат, xs — квадратные заготовки.
Ограничения, лимитирующие использование оборудования, будут записываться в виде
6,4 xt + 4 х2 + 7,5 х3 + 7 х4 + 4,4 xs< 7000,
35 х, +20 х4 < 7000,
85 х( + 75х4+ 18х5<7000.
Приведем ограничения на выпуск продукции, а также функцию цели для рассматриваемого здесь варианта. Все переменные неотрицательны. Считается,что приоритетность выполнения проектных показателей одинакова.
х, + У, > 55, х2 + у2 > 1150, х3 + у3 > 200, \ + У4 > 5 х5 = 125, шах [(18 хк + 16,8 х, +26,3 х3 + 36,2 х4 )~ 1 ( у, + у2 + у3 + у4)[. Производство в заданных пропорциях. Требованию пропорциональности в выпуске продукции различных видов отвечает следующая форма представления ограничений:
х — с z = 0, х, > 0, z > 0 , j=l,...,m.	(8)
При этом максимизируется доля z выполнения задания при заданной структуре спроса.
Для рассматриваемого примера 1 ограничения на выпуск продукции и функция цели имеют вид
х, - 55 z = 0,
х2 - 1150 z — 0,
х3 — 200 z = 0,
х4 — 5 z = 0,
х, = 125, tnax z.
Возможность сбыта сверх комплектов. Условиями (8) пропорции в выпуске продукции задаются жестко, что не позволяет сбалансировать плановую программу с ресурсными возможностями объекта планирования. К тому же жестко задаваемые соотношения в выпуске продукции нс всегда экономически оправданны Ряд причин приводит к тому, что рациональные пропорции имеют некоторый допустимый интервал варьирования, т.с. возможны
выпуск и реализация продукции сверх комплекта. Поэтому ограничения на выпуск дефицитных видов продукции записываются обычно в виде
х — с z > 0,	(9)
0 < х <' М ,'z > 0, i=l,...,m ,
где М, — максимально допустимый выпуск продукции, определяемый рациональными потребностями.
При таком подходе функция цели имеет вид
max{£ejXj+rz}_	(Ю)
j
Для рассматриваемого примера I ограничения на выпуск продукции и функция цели имеют вид
х, — 55 z > 0, х2 — 1150 z > 0, х3 - 200 z > 0, х4 — 5 z > 0, х5 = 125,
шах [( 18 х1 + 16,8 х9 + 26,3 х3 + 36,2 х4 ) + i z|.
Рациональное использование ресурсов. Предложим иную запись условий, обеспечивающих более тесное приближение к величинам с.
х( - с (z + z) > 0,
Z + Z < 1,	(11)
z > 0,
z > 0,
0 <х < N1 , j = 1,...,щ .
Ограничения на ресурсы записываются в ваде (1) Функцию Цели будем строить следующим образом. При последовательной оптимизации сначала максимизируется равномерное (пропорциональное с) приближение к проекту планового задания по всем видам продукции (max/).
Затем производится последующее “подтягивание” выпуска продукции до величин с.
maxSPjZj, j
где Р) — величины, характеризующие приоритетность выполнения проектных показателей с.
Лишь после этого исследуется возможность выпуска дефицитных видов продукции сверх проектного задания .
Ec(Xj -> шах
32
5-3178
33
Такой метод обеспечивает рациональное использование ресурсов. Использование метода штрафных функции дает принципиальную возможность получения численного решения сформулированной трехэтапной задачи последовательной оптимизации в рамках одной задачи, функция цели которой имеет вид
<Xejxj+riX₽jzj+ r2z}~> тах ’	(12)
j	J
где 0 < г, < г2 — штрафные коэффициенты, позволяющие реализовать процедуру последовательной оптимизации.
Данной схеме моделирования присущ тот недостаток, что в процессе ее применения мы,отклоняемся от исходных пропорции в выпуске продукции, задаваемых величинами с. Причем при использовании соотношений (11) отклонения будут меньшими Однако эти схемы имеют и неоспоримое достоинство, полнее используются ресурсы и в большей мере обеспечивается достижение проектных показателей по выпуску продукции.
Для рассматриваемого примера 1 ограничения на выпуск продукции и функция цели имеют вид
Х[ — 55 z — 55 zt > О, х2 - 1150 z - 1150 z, > 0, х, - 200 z - 200 z, > 0, х4 - 5 z - 5 z4 > 0, xs = 125, Z + Z, < 1, Z + z2 < 1, z + z3 < 1, z + z4 < 1, max [(18 xt + 16,8 x2 + 26,3 x3 + 36,2 x4) + + ц (z, + z2 + z, + z4 ) + ц z|.
ЗАДАЧИ
Задача 5.1
В трех цехах машиностроительного завода, выпускающих разные виды продукции, предусмотрено следующее количество ра бочих мест. 230, 500 и 325. В связи с наложением штрафных санкции за невыполнение договорных обязательств фонд заработает платы на заводе сокращен до 3 млрд р., что составляет в среднем 8 млн р в день. Это влечет за собой сокращение числа рабочих Высвободившихся рабочих необходимо после переподготовки пс рсвести на другие предприятия Стоимость переподготовки одного
рабочего 50 тыс.р./дснь. Каково общее минимальное число сокращаемых рабочих мест'* Какое сокращение рабочих мест следует предусмотреть в каждом цехе, чтобы с учетом фонда времени работы оборудования и фонда заработной платы обеспечить максимальный доход (величина дневной производительности в стоимостном выражении за вычетом затрат на переподготовку рабочих)? Необходимые данные приведены в таблице.
Цеха	Нормочасы работы оборудования на 1 чел-день	Фонды времени работы оборудования	Дневная производительность труда, тыс р /чел-день	Зарплата, тыс р /чел-день
1	8	1300	150	9
2	7,5	3200	220	10,5
3	8	2300		250		11
1.	Каково общее минимальное число сокращаемых рабочих без учета величины дохода?
2.	Какова максимальная величина дохода при производительности труда is цехе 1 150 тыс.р./чел-день (млн р.)?
3.	Каково общее число рабочих на заводе, обеспечивающее максимальную величину дохода при производительности труда в цехе 1 200 тыс.р./чел-день?
Задача 5.2
В район нового строительства самолетами ИЛ-76 и АН-124 перебрасываются бульдозеры, тягачи, автокраны (одна единица техники за перелет). Потребность в технике различна, но приоритетность в ее использовании одинакова.
Самолеты базируются на разных аэродромах, соответственно различны и имеющиеся на них запасы топлива: на базе ИЛ-76 — 100 т, на базе АН-124 — 86 т Перевозки оплачиваются по следующим расценкам (за 1 ед техники), бульдозеры — 1243 тыс р , тягачи - 1100 тыс. р., автокраны — 1050 тыс.р
Требуется составить план перевозок, по которому можно было Ь1 в максимальной степени удовлетворить потребности в технике И В то же время учесть интересы Аэрофлота в получении прибыли.
Необходимые данные приведены в таблице.
Техника	11отребносгь (не менее чем)	Удельный расход топлива на перевозку 1 ед техники	
		ИЛ 76	АЛ 124
Бульдозеры	25	3	2,7
Тягачи	30	2,5	2,6
Авюкраны	50	2,26	2,3

34
35
1.	Каково минимальное количество недопоставленной техники, если не учитывать интересы Аэрофлота в получении прибыли?
2.	Какую максимальную прибыль можно получить (тыс.р.), если не пытаться в наибольшей степени удовлетворить потребности в технике?
3.	Какое количество техники (шт.) можно перевезти, обеспечивая максимальную прибыль?
Задача 5.3
Лихтеровоз может принять на борт до 2100 стандартных контейнеров. В порту отгрузки находятся 1500 контейнеров с продовольственными товарами, 1300 контейнеров с бытовой техникой, 1200 контейнеров с продукцией производственного назначения. Прибыль от реализации одного контейнера соответственно: 4,8, 5,8; 7,9 млн р. Удельные затраты на перевозку соответственно 35, 40, 50 тыс. р. На перевозку можно затратить до 80 млн р. Эта сумма не учитывается в прибыли от реализации продукции.
А. Фирма заинтересована в максимальной прибыльности рейса. Предложите вариант загрузки лихтеровоза.
Б. Возможно, что фирме придется заплатить 5 млн р. за хранение одного неперевезенного контейнера с продовольственными товарами, 1 млн р. за хранение одного контейнера с бытовой техникой или с продукцией производственного назначения. Какой вариант загрузки следует принять в этом случае?
1.	Какую максимальную прибыль можно получить в случае, если штрафных санкций не будет (млн р.)?
2.	Какая должна быть минимальная величина прибыли от реа лизации одного контейнера (млн р.) с продуктами питания, чтобы стала выгодна их перевозка?
3.	Какую максимальную прибыль можно получить в случае, если придется платить за хранение неперевезенных контейнеров (млн р.)?
Задача 5.4
Завод заключил договор на поставку своему смежнику металлических заготовок для производства комплектов деталей Детали выполняются по индивидуальному заказу, масштабы произвол ства строго оговорены, и сверхплановая продукция оплачена нс будет. Приоритетным является комплектность заказа. Заготовю
представляют собой отрезки стержней по 20, 23, 26 см. Количества отрезков разной длины должны находиться в соотношении 1:3:5. В наличии имеется 120 стержней длиной 92 см. Договор заключен на 50 комплектов. Каким образом должно быть организовано производство заготовок, чтобы потребности смежника были бы удовлетворены в наибольшей степени?
Какое максимальное количество комплектов можно произвести из имеющегося материала?
Задача 5.5
В рамках проекта создания нового автопилота министерство заказало заводу радиодеталей 1000 комплектов деталей повышенной надежности. В комплект входят: два конденсатора, три диода, пять транзисторов. Часть необходимых для производства материалов лимитирована (керамика, фольга, специальное стекло). В связи с этим существует возможность, что при имеющихся на складе запасах сырья заказ не будет выполнен полностью. Нормы расхода сырья приведены в таблице.
Сырье	Нормы расхода сырья, г			Запасы сырья на складе, i
	Конденсаторы	Диоды	Транзисторы	
Керамика	0,6	0,01	.—	3500
Фолы а	0,5	0,3	0,2	4200
Специальное стекло	—	1,2	—	3400
Какое максимальное количество комплектов радиодеталей можно произвести при имеюшихся запасах сырья?
Задача 5.6
Домостроительный комбинат должен выпустить 200 стандартных домиков для организации нескольких метеорологических станций в районах Крайнего Севера. Все комплектующие детали домиков выпускаются в специальном исполнении, что требует дополнительных затрат и делает их выпуск малорентабельным. Поэтому комбинат не заинтересован в выпуске сверх заказа. Однако Ja каждый процент невыполнения договора комбинат платит Штраф в размере 2 млн р. В комплект поставки входят. 3 оконные Рамы, 4 двери, 6 м3 досок, К) м2 стекла, 250 шт. кирпичей. Детали, произведенные сверх комплекта, могут быть реализованы. Трс-Уется построить производственную программу комбината, обес
36
37
печивающую максимальное, с учетом имеющихся ресурсов, приближение объема производства к плановому заданию, (Данные о ресурсных возможностях комбината приведены в таблице.)
Ресурсы	Изделия					
	Рамы. на 1 шт	Двери, на 1 шт.	Доски, на 1-комплект	Стекло, на 1 м2 с учетом боя	Глина, на 1 кирпич	Всего ресурсов
Дерево	0,1 м3	0,2 м3	7 м3	—	—	«ООО м3
Стекло	—	0,3 м2	—	5,2 м2	—	10000 м2
Глина	—	—	—	—	1,4 Ki	68 т
1. Какое максимальное количество домиков можно изготовит'-из имеющихся ресурсов?
2. Какой штраф придется заплатить комбинату (млн р.)?
Ключевые слова
Выпуск сверх комплекта
Максимальное использование ресурсов
Метод минимизации невязок
Метод штрафных функций
Несобственная задача
Несогласованность ограничений
Пропорциональность в выпуске продукции
Глава 6
ЗАДАЧИ многокритериальной оптимизации
Представленные выше оптимизационные задачи с единственной целевой функцией — скорее исключение, чем правило в экономической практике. Они являются результатом упрошенных представлений о моделируемом объекте. Более общие случаи, рассматриваемые в данной главе, предполагают использование моделей с несколькими целевыми функциями.
Задача многокритериальной оптимизации. В задаче многокритериальной оптимизации совокупности целей G1,...,Gin ставится в соответствие набор целевых функций fp...,fni, образующих векторный критерий f(x) = (f,(x),..„ f„(x)), заданный на X — множестве допустимых планов.
Точку х'сХ назовем эффективной, если для каждой точки х"сХ Из системы неравенств
fk(x") > fk(x'), k = 1,2,...,m, следует, что
fk(x") = fk(x'), k = l,2„..,m.
Иначе говоря, в эффективной точке строгое увеличение значений некоторых из критериев может быть достигнуто лишь за счет строгого уменьшения значений некоторых других критериев.
Выделяются две группы методов многокритериальной оптимизации:
1) методы построения множества эффективных решений;
2) методы исследования предпочтений Л ПР в критериальном пространстве.
Методы построения множества эффективных решений.
Назначение методов этой группы состоит в построении более или менее законченного и наглядного описания совокупности эффективных планов задачи (X,f) (образ множества эффективных точек в пространстве критериев называется "границей Парето” множества 1(Х) и обозначается E(f(X)). Предполагается, что такое описание в дальнейшем будет использовано для выбора окончательного решения, причем этот выбор не входит в задачу данных методов.
Достаточно простое и исчерпывающее представление о границе Парето удается получить лишь при наличии двух критериев. В этом случае E(f(X)) — плоская ломаная, для графического построения которой следует решить задачу линейного параметрического программирования:
Цх) —> шах, f2(x) > s, х 6 X, s — параметр. Задача методов второй группы состоит в том, чтобы, вообще не рассматривая множество допустимых планов, априори формулировать явным образом “генеральную цель” оптимизируемой системы в виде единственной целевой функции и тем самым свести задачу к однокритериальной.
Скаляризация. Скаляризация — общий прием определения эффективных решений многокритериальных задач. Она состоит в подстановке векторного критерия f(x) = (fjxj.-.f (х)) в скалярную функцию — свертку ш переменных W(u)=W(u,,..., un ) — и н получении таким образом единственной целевой функции (х) = Wffjx)... f (х)), которая затем максимизируется на мно-
Жсстве допустимых планов X.
38
39
Обычно в функцию-свертку включают векторный параметр а?А W=(u|a), идентифицирующим тот или иной компромисс между скалярными критериями. Варьируя этот параметр и решая для конкретных а задачи
W(f(x|a)) -> max, х € X,	( 1)
получают различные эффективные планы.
Метод ограничений.
Пусть а = (а, ,..., am ,) — произвольный (in— 1)- мерный вектор, А = R"'1 — (in— 1) - мерное пространство. Положим г иш , если и, > a,,...,	> аш р
W (и|а) =
I 0 , в противном случае.
Тогда соответствующая задача (1) может быть записана в виде f (x) -> max,
f(x) > a (j = 1,..., m-1),	(2)
1	xeX.
Интерпретация метода ограничений очевидна. Выделяется один из критериев (в данном случае m-й), остальным же назначаются нижние границы а( ,..., ат ( , и они переводятся в ограничения Выбором надлежащих ограничений можно получить каждое эффективное решение х* задачи (X, 1). Для этого достаточно положить в (2) а = f(x*) , (j=l,.„, m-1).
Ассортиментная скаляризация. Пусть а = (ар..., ат) — вектор нормирования ассортиментных пропорций (А= {а|а > 0, j = l,...,m, £ak = 1}), определяющих комплектный набор критериев fp...,fn>. k
Если положить W(u|a)= min (u/a), то (1) превращается в j=I, ,m J
задачу максимизации числа комплектных наборов t и может быть записана в виде
t -> max,
f(x) > at (j=l,...,m),	(3)
1	\ e X.
Чтобы получить в качестве решения (3) эффективный план х*, достаточно положить
f.(x ) aj=—!------ G=1 m).
Xfk(x ) k
Линейное взвешивание. Пусть а = (ар..., аш) — вектор весовых коэффициентов, А = {a^i > 0, j = 1,..., m,	а, = 1 }
функция W(u|a) = XHjUj задает взвешенную сумму критери-j
ев, которая подлежит максимизации:
^ajfj(x) -► max ,	(4)
j
xeX.
Такое свертывание часто можно интерпретировать как способ соизмерения некоторых аддитивных величин — прибыли, затрат и т.п. Коэффициенты в этом случае соизмеряют различные факторы с точки зрения их вклада в общий результат.
Критерии в задаче векторной оптимизации имеют, как правило, разную физическую природу и измеряются в разных единицах, и прежде чем применить к критериям функцию-свертку, их следует привести к сопоставимому виду, т.е. к безразмерным величинам. Для этого можно использовать следующую нормировку.
„ _ f>
где f — текущее значение критерия.
Целевое программирование. В пространстве значений критериев Rra фиксируется вектор цели f* = ( f,*,..., f * ) и ставится задача максимально возможного приближения к этому вектору в метрике d(u,a) = max aJUj - fj*|:
t -> min,
a f(x) + t > a f* , j=l,...,m,	(5)
xex.
(t — расстояние от f(x) до f*).
ЗАДАЧИ
Задача 6.1
Кооператив,созданный при машиностроительном заводе для выпуска товаров народного потребления из отходов основного Производства, делает электронагревательные приборы трех видов, Используя три типа оборудования. Состояние оборудования требует частого профилактического ремонта, поэтому фонд фактического времени его использования ограничен 4000 ч по каждому вИду. Исходным сырьем производство обеспечено полностью. Удельные затраты времени использования оборудования и прибыль от Реализации 1 ед продукции даны в таблице.
6~3178	4|
40
Оборудование	Продукция		
	вид 1	вид 2	видЗ
Тип 1	0,4	0,6	0,7
Тип 2	0,1	0,2	0,15
ТипЗ	0,3	0,61	0,4
Прибыль	2,3	3,8	5,6
Заказ, шт.	5000	2300	2000
Спрос на продукцию большой. На каждый вид изделий кооперативу сделан заказ. В целях обеспечения благоприятной конъюнктуры желательно выполнить заказ по всем видам изделий. Важное значение для членов кооператива имеет прибыль от реализации продукции.
Постройте множество парето-оптимальных точек (критерии максимальное удовлетворение заказа, максимум прибыли). Предложите вариант производственной программы.
1.	Чему равна общая минимальная величина невыполнения заказа (шт.)?
2.	Какова максимальная прибыль?
3.	Сколько крайних точек содержит граница Парето?
Задача 6.2
Запасы топлива в районе для трех комбинатов — главных потребителей тепла — составляют: нефть — 200 тыс.т, уголь -100 тыс.т, газ — 8 млн м3. Удельная теплоотдача видов топлива нефть — 3 усл.ед./т, уголь — 2 усл.ед./т, газ — 2,5 усл.ед./100 м Комбинаты выпускают три типа железобетонных панелей (по од ному типу на каждом комбинате) для строительства жилых домов Строительный трест разместил на комбинатах заказ на производство 150 комплектов панелей. Типовой проект предусматривает использование комплектующих в количествах 400:300:600. Удельная теплоемкость продукции: первый комбинат — 3 усл.ед./шт . второй — 4, третий — 3,5. В процессе производства используются цемент и металлическая арматура. Удельные расходы этих ресур сов по типам панелей составляют: цемент — 3, 2,3, 2,5 т/шз арматура — 0,8, 0,9, 1,2 т /шт. Данные ресурсы поступают от одного поставщика в количествах: цемент — 500 тыс.т, арматура 190 тыс.т. Прибыль комбинатов от реализации 1 ед. продукции 1204, 870, 931 тыс.р. Трест согласен закупать и сверхплановук’ продукцию. Требуется составить план производства панелей ня комбинатах. Критерии: максимальное число комплектов и максимальная прибыль. Постройте множество парето-оптимальных точек.
1.	Чему равно максимальное количество комплектов?
2.	Какова максимальная прибыль (млн р.)?
3.	Сколько крайних точек содержит граница Парето?
Задача 6.3
Машиностроительный завод организует выпуск мотокультиваторов. Основной элемент — мотоблок — комплектуется навесными орудиями: 6 ножей для рыхления почвы, насос для полива, транспортная тележка. Полная программа рассчитана на 10 000 комплектов. На производство ножей идет высокопрочная сталь. Удельный расход ее на один нож 2,2 кг, общий запас стали на заводе составляет 129 т. Ножи подвергаются термической обработке в вакуумных печах. Удельные затраты времени использования печей на один нож 0,3 мин. Общий фактический фонд времени их использования 300 ч. От смежника поступают колеса из расчета 2 шт. на мотоблок и 4 шт. на тележку. Получено 58 346 колес. Кузов тележки изготавливается из листового железа. На один кузов идет 2,9 м2. Наличие железа — 28 000 м2.
Насосы и двигатели мотоблоков поступают по импорту. Стоимость их соответственно 15 и 53 дол. Заводом получен кредит на сумму 700 000 дол. Прибыль от реализации 1 шт. каждого элемента комплекта составляет: мотоблок — 375 тыс.р., нож — 2,48, насос — 83, тележка — 213 тыс.р. Торговля организуется по предварительным заказам на полную комплектность, затем рассматривается вопрос реализации отдельных элементов в розницу для увеличения прибыли завода. Постройте множество парето-оптимальных точек (критерии: максимальное число комплектов, максимум прибыли).
1.	Чему равно максимальное число комплектов?
2.	Какова максимальная прибыль (тыс.р.)?
3.	Сколько крайних точек содержит граница Парето?
Ключевые слова
Ассортиментная скаляризация
Векторный критерий
Генеральная цель
Граница Парето
Задача многокритериальной оптимизации
Компромисс
Линейное взвешивание
Метод ограничений
Скаляризация
Целевое программирование
Эффективная точка
6*
43
42
Раздел 3
МОДЕЛИ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА И РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА
Глава 7
ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ
В процессе управления производством зачастую возникают задачи назначения исполнителей на различные виды работ. Например, подбор кадров и назначение кандидатов на вакантные должности, распределение источников капвложений между различными проектами научно-технического развития, распределение экипажей самолетов между авиалиниями.
Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо выполнить и различных работ. Для их выполнения можно привлечь п рабочих. Каждый из рабочих за определенную плату готов выполнить любую работу. Требуется так распределить работы между рабочими, чтобы общие затраты на выполнение всех работ были минимальными.
Обозначения.
с — мера эффективности назначения, т.е. использования i-ro рабочего на j-й работе,
х — переменная задачи;
если i-й рабочий используется на j-й работе,
\	' \ 0, в любом другом случае.
Модель задачи о назначениях.
ZZcx -> max,	(1)
ZxtJ =1, j = l,...,n,	(2а)
1
Ехч =1, 1 = 1,-,п,	(26)
J
хч > 0 , j=l,...,n , i=l,...,n,	(3)
(1)	— целевая функция (максимум эффекта),
(2)	— ограничения, отражающие следующие условия
а)	к;1ждая работа должна быть выполнена,
б)	каждый рабочий может использоваться только на одноИ работе.
При использовании различных алгоритмов решения задачи о назначениях основной исходной информацией является матрица {с }.
В каноническом виде, когда число исполнителей совпадает е количеством работ, эта матрица является квадратной.
Если количество работ in меньше числа исполнителен п, задачу необходимо привести к каноническому виду, когда эти величины совпадают. Для этого достаточно ввести дополнительные работы ш+1, ,.,п. Соответствующие коэффициенты матрицы назначений cr|, i=l.n,j=m+l,...,n, можно положить равными нулю.
Аналогичным образом к каноническому виду приводится задача, в которой число исполнителен превышает количество работ.
Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи.
ЗАДАЧИ
Задача 7.1
Кооператив по производству мужских головных уборов рассматривает возможность освоения новых рынков сбыта в пяти городах. Возможности сбыта невелики, так что в каждый город достаточно направить одного представителя кооператива
Г орода	I 1	Г2	13	14	Г5
Спрос, млн р	5,2	7,0	6,4	4,8	5,0
Представители кооператива	П1	П2	пз	114	П5	П6
Оценка степени освоения рынка	0,75	0,60	0.55	0,80	0,50	0,45
Данные таблиц содержат оценку спроса на изделия кооператива в пяти городах, доли потенциального освоения рынка для шести работников кооператива, которые могут быть направлены в эти города.
1.	Укажите номер представителя кооператива, которого следует направить в город Г2?
2.	Укажите номер представителя кооператива, которого следует направить в город Г4?
3.	Каков максимальный общий объем реализации продукции кооператива (млн р.)?
Задача 7.2
Цеху металлообработки предложено выполнить срочный за-на производство партии деталей. Для производства детали не
44
45
обходимо выполнить операции на четырех станках. В настоящий момент в цехе работают четыре слесаря высокой квалификации, каждый из которых может работать на любом станке, но с различным процентом брака. Процент брака при обработке требуемой детали известен из документации ОТК.
Рабочие	Станки			
	С1	С2	СЗ	С4
Р1	2.3	1,9	2,2	2,7
Р2	1,8	2,2	2,0	1,8
РЗ	2,5	2,0	2,2	3,0
Р4	2,0	2,4	2,4	2,8
Каким образом мастеру следует распределить работу на станках, чтобы минимизировать процент брака (предполагается, что ОТК проверяет готовую деталь, т.е. общий процент брака определяется как сумма процентов брака, допущенного всеми рабочими)?
1. Укажите номер станка, на котором должен работать рабочий РЗ?
2. Чему равен минимальный общий процент брака?
Задача 7.3
Пять учебных групп экономического факультета МГУ собираются посетить во время производственной практики 10 предприятий и НИИ. Каждая учебная группа может посетить две организации. В результате опроса студентов выявлены предпочтения каждой группы для 10 организаций (1 означает “наиболее предпочтительна”, а 10 — “наименее предпочтительна”). Предпочтения каждой из пяти учебных групп показаны в таблице (П — предприятия, Н — НИИ ).
Требуется определить, какие две организации должна посетить каждая группа, чтобы в максимальной степени учесть предпочтения всех студентов?
Организация	Группа				
	1	2	3	4	5
HI	7	4	8	7	4
П2	3	2	1	4	2
ПЗ	2	5	3	3	5
Н4	10	8	6	10	9
П5	1	1	2	1	1
Н6	5	6	7	5	10
П7	4	3	5	2	3
П8	6	7	4	6	6
Н9	9	9	10	9	8
НЮ	8	10	9	8	7
1.	Чему равна сумма оценочных баллов, соответствующая наилучшему распределению групп по организациям?
2.	Укажите номер группы, которая должна посетить НИИ-4?
Укажите теперь новый вариант распределения так, чтобы каждой группе досталось по одному промышленному предприятию и одному НИИ.
3.	Чему равна сумма оценочных баллов в этом случае?
Задача 7.4
Самолеты компании Аэрофлот летают между Москвой и Вильнюсом. Полеты беспосадочны. График движения показан в таблице.
	Рейс	Отправление	Прибытие			Рейс	Отправление	Прибытие
Из Мое-	НО	6 00	8 00		Из	310	7 00	9 00
квы в	120	8 00	10 00		Виль-	320	10 00	12 00
Виль-	130	12 00	14 00		нюса в	330	13 00	15 00
нюс	140	15 00	17 00		Москву	340	16 00	18 00
	150	19 00	21 00			350	21 00	23 00
	160	23 00	1 00			360	0 00	2 00
Рейсы могут обслуживаться российскими или литовскими экипажами. Какие экипажи должны обслуживать рейсы, чтобы общее время пребывания экипажей в аэропортах за границей было минимальным (следует учитывать только то время, которое экипаж проводит в аэропорту чужой страны)?
1.	Верно ли, что рейс 310 должен обслуживаться российским экипажем?
2.	Верно ли, что рейс 150 должен обслуживаться литовским экипажем?
3.	Каково минимальное общее время пребывания экипажей в аэропортах за границей (ч)?
Задача 7.5
Фирма получила заказы на разработку пяти программ. Для этой Цели приглашены пять программистов, каждый из которых должен написать одну программу. В следующей таблице приведены °Ценки времени (в днях), необходимого программистам для выполнения каждой из этих работ.
46
47
Программист	Программа				
	1	2	3	4	5
Галкин	46	59	24	62	67
Палкин	47	56	32	55	70
Малкин	44	52	19	61	60
Чалкин	47	59	17	64	73
Залкинд	43	65	20	60	75
А. Каждому программисту предложена оплата 60 тыс.р. за один рабочий день. Как фирме следует распределить работу между программистами, чтобы минимизировать общие издержки на разработку программ?
1.	Укажите номер программы, разработку которой следует поручить Малкину.
2.	Каковы будут в этом случае общие минимальные издержки (тыс.р.)?
Б. Не все программисты согласились с предложенной оплатой, обосновывая это тем, что имеют разную квалификацию. В результате была достигнута договоренность о следующих размерах оплаты.
Программист	Оплата, тыс р /День
Галкин	90
Палкин	40
Малкин	60
Чалкин	70
Залкинд	50
Изменится ли в этом случае распределение работ между программистами? Больше или меньше, чем в предыдущем случае, придется заплатить фирме за выполнение всех работ?
3.	Укажите номер программы, разработку которой следует поручить Малкину?
4.	Каковы будут в этом случае общие минимальные издержки'’
Ключевые слова
Задача о назначениях Назначение Эффективность назначения
Глава 8
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Рассматривается задача транспортировки единственного продукта, который в определенных количествах производится в нескольких пунктах производства. Известны потребности в этом продукте для нескольких пунктов потребления. Требуется удовлетворить эти потребности с наименьшими издержками.
Обозначения.
а — объем производства в пункте i, i = l,...,n,
b — объем потребления в пункте], j = 1,...,ш,
с — затраты на транспортировку единицы продукта из i в j, х — количество продукта, перевозимого из i в j.
Модель транспортной задачи.
ESSjXij -> irun ’
1 j
Ххц = а,; £ху = bj, х > 0 . j	1
1. Замкнутая транспортная задача. Общий объем поставок равен общему объему потребления.
Sa, i j
2. Открытая транспортная задача.
а)	Е а, > S bj — избыток продукта.
1 j
ЕЕсуХу -> min
1 j
ЕХуКа,,	Ехц = ^
j	'
Сведение к замкнутой задаче.
пусть Ью+| — величина избытка продукции,
,	Ьга+1 =£а, -ЕЬ3;
1 j
c,rit| — штраф за единицу нереализованного продукта в пункте i;
У, — количество продукта, нереализованного в пункте i;
ЕЕСцХу ч-Ес^у, -> пип,  j	1
Ехи + у,=а„ Хху = Ьг Ey,=bm+1.
J	1	1
7"3178	49
48
6)	Sa, < Sbj — дефицит продукта, i j
ЕЕСуХц -► min,
1 J
Sx1J = a1, ZXyKbj. j	i
Сведение к замкнутой задаче.
пусть an+1 = £ bj - £а, — величина дефицита продукта; j 1
с — величина ущерба от неудовлетворения потребности пункта j,
у, — количество продукта, недопоставленного в пункт j, ZSCyXy + Scn+ljyJ -> min,
 j j
Ex =a1( Еу,=ап+1, у,+Еху = Ьг j	j	1
3.	Транспортная задача с запретами.
Е — множество пар индексов (i,j) таких, что из пункта i в пункт j допускается транспортировка продукта. Между любыми другими двумя пунктами транспортировка не допускается. Пусть
/ с , (i,j) € Е
С‘)	\ М , (i,j) i Е , где
М>сХа,, с = тахс .
1 iJ
Тогда в задаче с транспортными издержками с( х|( =0 , если (i,j) t Е.
4.	Задача с фиксированными перевозками.
Если объем перевозок между пунктами i и j задан, то вводится дополнительное ограничение
Ху = ху , где Ху — заданный объем перевозок.
5.	Задача с ограничениями на пропускные способности.
Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен величиной v , то вводится дополнительное ограничение xtj < vf
Приведенные выше модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами. Большинство алгоритмов решения транспортной задачи используют исходную информацию в форме транспортной таблицы.
Пункты	а1	сц	с12	Clm
и	аг	С21	с22	c2m
объемы		ъ		*
производства	ап	Сп1 bl	Сп2 ъ2	Cnm bm
Пункты и объемы потребления
ЗАДАЧИ
Задача 8.1
Фирма “Время—вперед” хочет разработать план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года показан в таблице.
Квартал	Спрос
I	1000
II	500
III	3000
IV	2000
При работе в одну смену фирма может собирать 1200 компьютеров каждый квартал при стоимости сборки одного компьютера 100 тыс.р. Если ввести вторую смену, то ежеквартально можно еобирать еще 800 компьютеров. Но сборка каждого компьютера во вторую смену обходится дороже — ПО тыс.р. Изготовленные в Данном квартале компьютеры могут продаваться в одном из последующих кварталов. При этом хранение каждого компьютера обходится в 25 тыс.р. за квартал.
Используя модель транспортной задачи,определите, сколько Компьютеров следует собирать ежеквартально в первую и во ВТОРУЮ смены, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами.
1.	На сколько процентов следует использовать мощность пер-в°й смены в I квартале?
?•
50
51
2.	Сколько компьютеров следует собрать и сбыть во II квартале9
3.	Сколько компьютеров следует собрать во II квартале для сбыта в III квартале?
Задача 8.2
Фирма “Мои-до-дыр” оценила спрос на производимый ею лосьон для каждого из четырех следующих месяцев. 100 ящиков в июне, 140 ящиков в июле, 170 ящиков в августе и 90 ящиков в сентябре. Без использования сверхурочного времени фирма может производить до 125 ящиков лосьона в месяц В сверхурочное время может быть произведено еще 25 ящиков в месяц, но производство каждого ящика обходится при этом на 100 тыс.р. дороже Хранение одного ящика в течение месяца обходится в 80 тыс.р.
Используя модель транспортной задачи, определите, сколько ящиков лосьона следует производить ежемесячно, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами
1. Сколько ящиков лосьона следует произвести в июне9
2. Сколько ящиков лосьона следует произвести в августе?
Ключевые слова
Замкнутая транспортная задача
Объем перевозок
Ограничения на пропускные способности
Открытая транспортная задача
Пункт потребления
Пункт производства
Транспортная задача с запретами Удельные затраты на транспортировку Фиксированные перевозки
Глава 9
ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА
Транспортная задача, описанная в предыдущей главе, может использоваться для решения вопросов, связанных с размещен)! ем производства. Существуют также и другие методы размещения производства. 1) метод взвешивания, 2) метод размещения с учс том окупаемости, 3) гравитационный метод.
Таблица 9 1
Основные факторы размещения и их веса для производящих фирм
Факторы	Веса, %
Трудозатраты	
Ставка заработной платы	8,29
Влияние профсоюзов	5,99
Изменение ставки заработной платы	5,44
Изменение влияния профсоюзов	4,23
Итого	23,95
Доступность и производительность ресурсов	
Доступная рабочая сила	6,66
За1раты на энергию	4,93
Прибавочная стоимость	4,70
Потери трудо-ч	4,09
Итого	20,38
Государственная и местная фискальная политика	
Расходы, способствующие увеличению доходов персонала	4,65
Налоговое бремя	4.50
Изменение в налогах	4,09
Государственное стимулирование производителей	4,03
Рост долга, способствующий уве шчению доходов персонала	3,59
Итого	20,86
Государственное регулирование занятости	
Уровень страховой компенсации рабочих	5,73
Выплаты по безработице	4,75
Средний уровень страховых выплат в связи с несчастным	5,16
случаем	
Poci фонда выплат по безработице	4,16
Итого	19.80
Избранные показатели уровня жизни	
Образование	4,86
Стоимость жизни	3,56
Транспорт	3,21
Услуги скорой помощи	3,38
Итого	15,01
Метод взвешивания. Обследование ассоциации производителей США, проведенное консультационной фирмой Grant Thornton, позволило составить перечень типичных факторов, влияющих на размещение производства, и их относительных весов (табл. 9.1). Идентификация этих факторов и их весов является необходимым шагом для использования методов взвешивания при размещении Производства. Метод взвешивания факторов используется как средство объективизации процесса идентификации затрат, сильно изменяющихся в зависимости от варианта размещения производства Этот метод весьма популярен, потому что с его помощью Можно учитывать различные качественные факторы. Для уточнения результатов, полученных с помощью метода взвешива-
52
53
ния, используется другие, более точные количественные методы.
Метод взвешивания предполагает выполнение следующих шагов.
1.	Подготовить перечень значимых факторов.
2.	Оценить вес каждого фактора для определения его относительной значимости в деятельности компании.
3.	Выбрать шкалу для измерения каждого фактора (например, от 1 до 10 или от 1 до 100 очков).
4.	Получить оценку значения каждого фактора для каждого варианта размещения.
5.	Перемножить оценки значений факторов на веса факторов и получить итоговую оценку для варианта размещения.
6.	Сделать рекомендации, основываясь на максимизации итоговой оценки.
Пример 1. Лиза Косметик из Воронежа решила расширить производство изобретенного ею и ставшего популярным крема “Маска”, открыв цех в новом месте. Это решение связано с тем. что на действующей фабрике мощности ограничены. Приведенный в таблице перечень содержит трудно поддающиеся количественной оценке факторы, которые менеджер выделил в качестве наиболее важных. Здесь же указаны их веса и значения для двух городов, приемлемых для размещения нового завода, — Ярославля и Костромы.
Фактор	Вес	Ярославль	Кострома	Ярославль	Кострома
Трудозатраты	0,25	70	60	(0.25)(70)=17,5	(О,25)(6О)=15,О
Транспорт	0,05	50	60	(0,05)(50)=2,5	(0,05)(60)=3,0
Образование и медицинское	0,10	85	80	(0,10)(85)=8,5	(0,10)(80)=8,0
обслуживание Налоговая	0,39	75	70	(0.39)(75)=29,3	(0.39)(70)=27,3
сгрукгура Ресурсы и производительность	0.21	60	70	(0,21)(60)= 12,0	(0,21)(70)= 14,7
Utoio				70,4	68,0
Таблица иллюстрирует возможность использования весовых коэффициентов для выбора места размещения производства. Исходя из того, что для оценки факторов используется 100-балльная шкала, получаем, что Ярославль является более предпочтительным местом для размещения производства. Изменяя баллы или веса при тех факторах, в отношении которых имеются какие-то
54
сомнения, мы можем исследовать устойчивость полученного решения. Например, можно убедиться в том, что изменение на 10 очков балльной оценки фактора трудозатрат может привести к изменению решения.
Метод размещения с учетом окупаемости. Метод размещения с учетом окупаемости основывается на анализе затрат и объемов выпуска с целью принятия экономически обоснованного решения по размещению производства. В результате идентификации постоянных и переменных затрат и их графического изображения для каждого варианта размещения производства, мы можем определить, какой из этих вариантов связан с минимальными затратами. Графический подход удобен для того, чтобы установить, при каких объемах производства предпочтителен тот или иной вариант размещения.
Следует выполнить следующие три этапа анализа.
1.	Определить постоянные и переменные затраты для каждого варианта размещения.
2.	Изобразить график затрат для каждого варианта размещения с затратами по вертикальной оси и объемом производства по горизонтальной.
3.	Выбрать вариант размещения, которому соответствуют наименьшие совокупные затраты для определенного объема производства.
Пример 2. Производитель автомобильных карбюраторов выбирает один из трех городов для строительства нового цеха: Екатеринбург, Челябинск или Кострому. Исследование затрат показывает, что постоянные затраты в расчете на год в этих городах равны 30, 60 и НО млн р. соответственно. Переменные затраты составляют 75, 45 и 25 тыс р. за штуку соответственно. Ожидаемая цена карбюратора — 120 тыс р. Компания хочет выбрать наиболее выгодный вариант размещения, ориентируясь на объем выпуска 2000 шт. в год.
Для Екатеринбурга:
общие затраты = 30000000 + 75000х (2000) = 180 млн р.
Для Челябинска:
общие затраты = 60000000 + 45000х(2000) - 150 млн р.
Для Костромы:
общие затраты = 110000000 + 25000х(2000) = 160 млн р.
При ожидаемом объеме производства 2000 штук в год Челябинск обеспечивает наименьшие общие затраты.
Ожидаемая прибыль = общий доход — общие затраты = = 120000х (2000)-150000000 =90 млн р.
55
При объеме производства, меньшем чем 1000, более предпочтительным местом размещения производства был бы Екатеринбург, а при объеме, большем чем 2500, следовало бы предпочесть Кострому.
Гравитационный метод. Гравитационный метод может служить, например, для определения расположения единственного торгового дома, обслуживающего несколько магазинов. Метод принимает в рассмотрение расположение рынков и количество товара, поставляемого на эти рынки.
Первым шагом при использовании гравитационного метода является изображение точек размещения рынков в системе координат. При этом имеют значения как единицы измерения, принятые для данной системы координат, так и возможность правильного определения расстоянии. Это достаточно просто сделать при расположении объектов на плоскости.
В этом случае центр гравитации определяется уравнениями (1) и (2).
SdKW,	SdiyW,
Сх = —-----, (1) Cv — J--------. (2)
ZWj ’ v ' y zw, v ’ i	i
Сч — координата x центра гравитации; Cy — координата у центра гравитации, d^ — координата х места расположения рынка i, dy — координата у места расположения рынка i. W_ — объем продукции, доставляемой к или от рынка i. Так как затраты во многом определяются количеством продукции, доставляемой из торгового дома к рынкам сбыта, расстояние само по себе нс является основным критерием.
Гравитационный метод основывается на предположении, что затраты прямо пропорциональны как расстоянию, так и количеству перевозимого товара. Наилучшим расположением торгового дома будет такое, при котором достигается минимум взвешенного расстояния между торговым домом и всеми рынками сбыта, где весовым коэффициентом является объем перевозимого товара (например, число контейнеров).
Пример 3. Рассмотрим случай с фирмой “Лаки—Краски” — поставщиком товара для шести магазинов, торгующих в розницу Эти магазины для розничной торговли расположены в Серпухове, Фрязево, Можайске, Мытищах, Клину и Туле. Их снабжение производится через старый и неподходящий для этой цели торговый дом в Монино, городе, где появился первый магазин, торгующий в розницу. Данные и спрос на товар для шести магазинов указаны в таблице.
56
Юг-Се вер
120
90
60 -
30 -
Место расположения _____магазина____ Серпухов Фрязево
Можайск
Мытищи
Клин
Гула
Число доставляемых контейнеров
40
30 20
10 30
10
Клин (127,130)
Можайск (30,120)
Серпухов (00,95)
Центр 1равитации
“4“ • Мытищи (90,110)
Фрязево (80,75)
Тула (65,40)
_|_______,________I________I_______।________
30	60	90	120	150 Запад-
ное гок
Рис 9 1 Координаты расположения шести магазинов
Фирма решила подыскать место для строительства нового торгового дома. Расположение магазинов показано на рис.9.1 Например, место расположения первого, Серпухов. Из табл, примера 3 и рис. 9 1 мы получаем db = 60,	= 95, W(= 40.
Используя данные таблицы и рис.9.1 для каждого из шести городов, мы из уравнении (1) и (2) находим
с = (60)(40) + (80)(30) + (30)(20) + (90)(10) + (127)(30) + (65)(10) =	С),
х	40 + 30 + 20 + 10 + 30 + 10
с = (95)(40) + (75)(30) + <12())(20) + (1 Ю)(Ю) + (130)(300) + (40)(100)
у	40 + 30 + 20 + 10 + 30 + 10
Эта точка (76,9, 98,9) обозначена крестом на рис.9.1. Сопоставив этот рисунок с картой, мы определим, что фирма может расположить торговый дом в Москве
8-3178
57
ЗАДАЧИ
Задача 9.1
Таблица содержит данные, иллюстрирующие задачу выбора места для первой государственной клиники лечения СПИД в Москве. Первый, наиболее важный критерий для выбора места — доступность клиники для пациентов. Следующий по важности критерий — размер арендной платы. Наиболее предпочтителен выбор нового Городского центра, так как помещение для клиники выделяется здесь бесплатно. Следующим важным критерием является необходимость обеспечить конфиденциальность пациентов, а следовательно, определенную конспиративность клиники. Наконец, следующее по важности требование — обеспечение удобства персонала с точки зрения парковки автомобилей и т.д.
Факторы	Веса факторов	Парковая зона	Г ородской центр	Район автостанции
Доступность для	5	9	7	7
пациентов				
Арендная плаза	3	6	10	3
Конспиративность	3	5	2	7
Удобство персонала	2	3	6	2
1. Следует ли размещать клинику в районе автостанции?
2. Чему равна взвешенная оценка для парковой зоны?
Задача 9.2
Корпорация “НУ-и-НУ” со штаб-квартирой в Черноморске должна сделать выбор между тремя городами для размещения своего нового операционного центра. Фирма выбрала шесть факторов, наиболее существенных для развития центра, и провела экспертную оценку весов для каждого из этих факторов.
Номер	Фактор	Вес
1	Близость к порту	5
2	Доступность ресурсов и цены	3
3	Доступность и стоимость рабочей силы	4
4	Расстояние от Черноморска	2
5	Возможность общения	2
6	Предложение оборудования	3
58
балльной шкале.
Номер фактора	Пункт А	Пункт В	Пункт С
1	100	80	80
2	80	70	100
3	30	60	70
4	10	80	60
5	90	60	80
6	50	60	90
1. Следует ли размещать центр в пункте С?
2. Чему равна взвешенная оценка для пункта В?
Задача 9.3
Леонад Арбалетов предполагает открыть новую фабрику в Туле, Ульяновске или Ижевске для производства оптических прицелов. Он провел оценку будущих фиксированных и переменных затрат.
Место	Фиксированные затраты в год, тыс р	Затраты на единицу продукта, тыс р		
		Материал	Труд	Накладные расходы
Ижевск	2000000	2,0	4,0	4,0
Ульяновск	1800000	2,5	7,5	7,5
Тула	1700000	10,0	10,0	10,0
Нарисуйте кривые общих затрат для каждого из трех мест.
1. Укажите максимальный объем производства, при котором следовало бы выбрать Ульяновск.
2. Каков критический объем производства при выборе между Тулой и Ижевском?
Задача 9.4
Фиксированные и переменные затраты для четырех потенциальных мест строительства завода по производству мыла приведены в следующей таблице.
Место	Фиксированные затраты, тыс р	Переменные зазраты, тыс р
Москва	125 000	6
Симферополь	75 000	5
Орел	100 000	4
Курск	50 000	12
Нарисуйте кривые общих затрат для каждого из четырех мест.
I. При каком максимадьном объеме производства следует выбрать Курск?
8‘	59
2. Предполагаемый объем производства 5000 шт. Какое место следует выбрать для размещения завода: Москву, Симферополь, Орел или Курск?
Задача 9.5
Главпочтамт в Сочи предполагает создать новое почтовое отделение для обслуживания семи почтовых отделений (ПО) на побережье. Так как расстояние имеет существенное значение, то место расположения нового почтового отделения может повлиять на эффективность его работы.
Используя данные, приведенные в следующей таблице, оп ределите координаты центра гравитации (х,у) для размещения нового почтового отделения.
Почтовые отделения	Координаты	Число поездок почтового фургона в день
ПО-1	(Ю, 5)	3
ПО-2	(3. 8)	3
ПО-3	(4, 7)	2
ПО-4	(15, 10)	6
ПО-5	(13, 3)	5
ПО-6	(1, 12)	3
ПО-7	(5, 5)	10
1. Чему равно значение координаты х?
2. Чему равно значение координаты у?
Ключевые слова
Вес фактора
Взвешенная оценка варианта размещения Гравитационный метод Измеримые затраты Метод взвешивания
Метод размещения с учетом окупаемости Неизмеримые затраты Переменные затраты Постоянные затраты Производительность труда Размещение производства
Фактор размещения Центр гравитации
Раздел 4
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Глава 10
МОДЕЛИ ОЧЕРЕДЕЙ
Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией очередей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Очереди являются обычным явлением. Они могут носить форму ожидания ремонта автомобилями в центре автосервиса или ожидания студентами консультации со своим профессором. В табл. 10.1 перечислены некоторые модели очередей.
Таблица 10 1
Ситуация	Ожидающие в очереди	Процесс обслуживания
Супермаркет Приемная врача Компьютерная система Телефонная компания	Покупатели бакалейных товаров Пациенты Программа, которая должна быть выполнена Абоненты	Кассир, учитывающий покупки Лечение доктором и медсестрой Работа компьютерного процессора Заказы на междугородние переговоры
Так же как деревья принятия решений, линейное программирование и прогнозирование, составляющие основу многих моделей, рассмотренных в этой книге, модели очередей полезны как в сфере производства, так и в сфере обслуживания. Анализ очередей в терминах длины очередей, среднего времени ожидания и других факторов помогает нам лучше понять системы обслуживания. Ожидание пациента в приемной врача и ожидание починки сломанной дрели в ремонтной мастерской имеют много общего с точки зрения управления производством. Оба этих процесса используют человеческие ресурсы и ресурсы оборудования для приведения результатов производственной деятельности (людей и машин) в хорошее состояние.
Менеджер оценивает изменения, возникающие в затратах, связанных с обеспечением хорошего обслуживания, и в затратах,
* В главе использованы материалы, подготовленные Р.А Рыбаловым
61
связанных с ожиданием в очереди клиента или машины. Он может предложить увеличить время ожидания, если соблюдается баланс между количеством продаж и затратами на обслуживание покупателей. Его задача — организовать такое обслуживание, чтобы покупатель не ушел без покупки и, если купил, то не потерял бы охоту вернуться еще раз.
Одно из соображений по совершенствованию средств обслуживания основывается на оценке общих ожидаемых затрат, рассматриваемых как сумма ожидаемых затрат на обслуживание и затрат, связанных с ожиданием в очереди.
Затраты на обслуживание возрастают, если фирма стремится повысить уровень обслуживания. Менеджер в некотором центре обслуживания может изменять его производительность, сохраняя неизменными персонал и оборудование, за счет ликвидации нестандартных пунктов обслуживания или укорачивания чрезмерно длинных очередей. Например, в больших магазинах менеджер или заведующий отделом может, если это необходимо, выполнять работу кассиров высокой квалификации. Для работы в кассах банков или аэропортов в часы пик могут привлекаться дополнительные сотрудники.
Когда обслуживание улучшается (т.е. ускоряется), затраты, связанные с временем ожидания в очередях, снижаются. В то же время производительность персонала зависит от надежности работы оборудования, поэтому затраты, связанные с ожиданием, могут возникать как следствие простоев оборудования. Эти затраты могут также измеряться потерями клиентов в результате плохого обслуживания или длинных очередей. В некоторых системах обслуживания, например в “Скорой помощи”, затраты, связанные с длительным обслуживанием, могут быть чрезвычайно высокими.
Характеристики систем массового обслуживания. Рассмотрим три элемента систем массового обслуживания:
1)	появление заявок на входе в систему;
2)	порядок прохождения очереди, или собственно система обслуживания;
3)	средства обслуживания.
Характеристики входа. Входной источник, который генерирует поступление заявок в систему обслуживания, имеет три основные характеристики: число заявок на входе, режим поступления заявок в систему обслуживания и поведение клиентов.
Число заявок на входе. Число заявок (размер популяции) может считаться либо неопределенным (бесконечным), либо ограниченным (конечным). Если число клиентов, поступивших на вход от начала процесса до любого заданного момента времени, явля
62
ется лишь малой частью потенциально возможного их числа, популяция на входе рассматривается как неограниченная, или бесконечная. На практике примерами неограниченных популяций могут служить автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете. Многие модели очередей рассматривают на входе такие неограниченные популяции.
Режим поступления в систему. Клиенты приходят в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (например, один пациент каждые пятнадцать минут, один студент на экзамене каждые полчаса) или появляются случайным образом. Поступления клиентов считаются случайными, если они независимы друг от друга и точно не предсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число поступлений в единицу времени может быть оценено с помощью распределения вероятностей, известного как пуассоновское. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона описывается следующей формулой
-Z X
р(х) — —— для х = 0,1,...4, х!
где р(х) — вероятность х заявок; х — число заявок в единицу времени, z — средний темп поступления заявок; е = 2,7183 (основание натурального логарифма).
Соответствующие вероятности нетрудно определить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если средний темп поступления заявок два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа не будет ни одной заявки, равна 0,13, вероятность появления одного клиента — около 0,27, вероятность поступления двух заявок — около 0,27, три клиента в течение часа могут появиться с вероятностью 0,18, четыре — с вероятностью около 0,09 и т.д. Вероятность того, что будет 9 или более заявок, близка к нулю. Вероятности появления клиентов, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение), и для того, чтобы убедиться, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппроксимацией, следует проводить предварительные исследования.
Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основывается на предположении, что каждый появляющийся клиент обслуживается, т.е. клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, и не переходит из одной очереди в другую. Жизнь значительно сложнее. На прак
63
тике клиенты могут покинуть очередь потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация — клиенты дожидаются своей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслуживания, однако здесь не рассматриваются.
Характеристики очереди. Очередь является вторым компонентом систем массового обслуживания. Длина очереди может быть либо ограниченной, либо не ограниченной. Очередь ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Это может быть, например, очередь в небольшую парикмахерскую, которая имеет ограниченное число мест для ожидания.
Рассматриваемые в данном разделе модели массового обслуживания исходят из предположения неограниченности длины очереди. Длина очереди нс ограничена, если она может включать в себя сколько угодно клиентов. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.
Вторая характеристика очередей — дисциплина очереди. Эта характеристика связана с правилом, в соответствии с которым обслуживаются клиенты. Большинство систем использует правило: первым пришел — первым ушел. В некоторых случаях, например в приемном покое больницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться различные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом состоянии будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок пуска компьютерных программ — другой пример установления приоритетов в обслуживании.
Характеристики средств обслуживания. Третий компонент систем обслуживания — средства обслуживания. Наибольший интерес представляют следующие их свойства: 1) конфигурация системы обслуживания; 2) временной режим обслуживания.
Основные конфигурации систем массового обслуживания. Системы обслуживания часто классифицируются по числу каналов обслуживания (например, по числу парикмахеров в парикмахерской) и по числу фаз обслуживания (этапов обслуживания одного клиента). Примером одноканальной системы обслуживания могут служить банк, в котором открыто одно окошко для обслуживания клиентов, или ресторан, обслуживающий клиентов в автомобилях. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания и клиент ожидает в общей очереди, какое из них освободится первым, то мы имеем дело с многоканальной системой обслуживания. Большинство банков, так же как и почтовые отделения и авиакассы, сейчас являются многоканальными системами обслуживания.
64
Однофазовыми являются такие системы обслуживания, в которых клиент обслуживается в одном пункте (на одном рабочем месте) и затем покидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилистов, в котором официант получает деньги и приносит заказ в автомобиль, является примером однофазовой системы. То же можно сказать об агентстве, выдающем лицензии на вождение, где агент проводит тестирование и выдает лицензию. Однако, если в ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в другом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело с многофазовой системой обслуживания. Если агентство по выдаче лицензий на вождение достаточно большое, то можно подождать в очереди для того, чтобы заполнить заявление, затем в другом месте пройти профессиональный тест и уже затем (третье место обслуживания) оплатить услуги и получить лицензию.
Одноканальная однофазовая система
Заявки ------>
Очередь	Пункт обслуживания
О 0 0 0 0 ------->
Одноканальная двухфазовая система
Очередь	Пункт обслуживания
Заявки ------->
О 0 0 0 --	0 >
Трехканальная однофазовая система
Очередь	Пункты обслуживания
Заявки ------>
65
Двухканальная двухфазовая система
Заявки
>
>
Распределение времени обслуживания. Режим обслуживания, так же как и режим поступления заявок, может быть либо постоянным, либо случайным. Если время обслуживания постоянно, то независимо от клиента требуется одинаковое время для обслуживания, например автомобиля. Такая ситуация может наблюдаться на автоматической мойке автомобилей. Однако более часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. Это предположение удобно, так же как и предположение о пуассоновском распределении числа поступающих заявок.
Параметры для оценки очередей. Модели очередей помогают менеджеру принять решения, увязывающие затраты на обслуживание с затратами, связанными с ожиданием. Наиболее часто при стоимостной оценке систем массового обслуживания используются следующие параметры:
1)	среднее время, которое клиент проводит в очереди;
2)	средняя длина очереди;
3)	среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания (время ожидания плюс время обслуживания);
4)	среднее число клиентов в системе обслуживания;
5)	вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;
6)	параметр занятости системы;
7)	вероятность определенного числа клиентов в системе.
Модели систем массового обслуживания
В управлении производством можно использовать различные модели систем массового обслуживания. Опишем четыре наиболее часто встречающиеся в практике модели. Их характеристики
66
даны в табл. 10.2, а соответствующие примеры приведены в последующих разделах. Более сложные модели описываются в учебниках по теории массового обслуживания. Модели, не поддающиеся аналитическому исследованию, могут быть построены на основе имитационного подхода. Обратите внимание на то, что все четыре модели, описанные в табл. 10.2, имеют следующие общие характеристики:
1)	пуассоновское распределение заявок;
2)	правило обслуживания — FIFO (первым пришел — первым обслужен);
3)	единственная фаза обслуживания.
Таблица 10 2
Модели систем массового обслуживания
Модель	Название (с техническим наименованием)	Пример	Число каналов	Число фаз	Темп поступления заявок	Темп обслуживания	Число клиентов	Порядок про хождения очереди
А	Простая система (М/М/1)	Справочное бюро в магазине	Один	Одна	Пуассоновское	Экспоненциальный	Неограниченное	FIFO
В	Многоканальная (M/M/S)	Кассы аэрофлота	Несколько	Одна	Пуассоновское	Экспоненциальный	Неограниченное	FIFO
С	Равномерное обслуживание (M/D/1)	Автоматическая автомойка	Один	Одна	Пуассоновское	Постоянный	Неограниченное	FIFO
D	О1рани-ченная популяция	Самолеты небольшой авиакомпании	Один	Одна	Пуассоновское	Экспоненциальный	Ограниченное	FIFO
Модель А: модель одноканальной системы массового обслуживания с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.
Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним рабочим местом. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия.
1.	Заявки обслуживаются по принципу, первым пришел — первым обслужен (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.
9'
67
2.	Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.
3.	Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.
4.	Время обслуживания различно для разных клиентов и независимо друг от друга, однако средний темп обслуживания известен.
5.	Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.
6.	Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.
Формулы для описания модели А: простая система М/М/1.
Число заявок в единицу времени: z.
Число клиентов, обслуживаемых в единицу времени: Ь.
, _ z
Среднее число клиентов в системе: Ls — ——- •
Среднее время обслуживания одного клиента в системе:
Ws = —-— (время ожидания плюс время обслуживания), b - z
Ч
Среднее число клиентов в очереди: Г =-------•
4 b(b - z)
Среднее время ожидания клиента в очереди:	.
Параметр утилизации (загруженности системы): 1 - —. b
— z
Вероятность отсутствия заявок в системе: р0 — 1 - —.
Вероятность более чем к заявок в системе: pn>k = (z/b)k+l (и —число заявок в системе).
Если эти условия выполняются, то система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными выше. Примеры 1 и 2 показывают, как может быть использована модель А (техническое наименование М/М/1).
Пример 1. Васильев, механик магазина, может заменить масло в среднем в трех автомобилях в течение 1 часа (т.е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин.). Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, приезжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассо
68
новским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено.
На основе этих данных мы можем получить основные характеристики этой системы обслуживания:
z = 2 машины поступают в час;
6 = 3 машины обслуживаются в час;
машины в среднем в системе;
Ws =
b — z 3-2
— среднее время ожидания в системе,
b(b - z)
3(3 - 2)
= — = 1,33 машины в среднем ожидает
в очереди;
W —---------------------- — = 40 мин — среднее время ожи-
b(b - z) 3(3 - 2) 3
Дания в очереди;
г = — = — = 66,6% процентов времени механик занят;
z 2
Ро = 1~^ = 1~у = 033 — вероятность того, что в системе нет
ни одного клиента.
Вероятности более, чем к машин в системе.
к	Рп>к = (2/3)*'1
0	0,667	— обратите внимание, что это значение равно
	1- ро=1 - 0,33
1	0,444
2	0,269
3	0,198	— означает, что существует 19,8% шансов того, что в
	системе находится более трех машин
4	0,132
5	0,088
о	0,058
7	0,039
После того как получены основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ. В частности, сопоставить возрастающие затраты на улучшение обслуживания и снижающие затраты, связанные с ожиданием. Рассмотрим эти затраты применительно к примеру 1.
69
Пример 2. Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса в связи с неудовлетворенностью клиентов и равны 10 тыс.р. за час ожидания в очереди. Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 ч (W) и в день обслуживается приблизительно шестнадцать машин (две машины в час в течение восьмичасового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно
32
2/3 16 = у = 10 2/3 ч.
Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют 10 (10 2/3) = 107 тыс.р. в день.
Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса — зарплата механика Васильева. Он получает 7 тыс.р. в час, или 56 тыс.р. в день. Следовательно, общие затраты составляют
107 + 56 = 163 тыс.р. вдень.
Модель В: многоканальная система обслуживания M/M/S.
В многоканальной системе для обслуживания клиентов открыты два или более каналов. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания.
Пример такой многоканальной однофазовой системы можно сейчас увидеть во многих банках. Из общей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания.
В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания — экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В (техническое наименование M/M/S), достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальном системы обслуживания удобно использовать соответствующее программное обеспечение.
Модель С: модель с постоянным временем обслуживания (M/D/1)
Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин L , W L и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели А, имею
70
щей переменный темп обслуживания. Формулы, описывающие модель С, приведены в таблице. В литературе по теории очередей модель С имеет техническое наименование M/D/1.
Формулы для описания модели С с постоянным временем обслуживания M/D/1.
//
Средняя длина очереди: La =--------.
4 2b(b - z)
Среднее время ожидания в очереди: W =----------
4 2b(b - z)
Z
Среднее число клиентов в системе: Ls = Lq + —.
Среднее время ожидания в системе: Ws = Wq +
Пример 3. Компания “Утиль” собирает и утилизирует в Мытищах алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 60 тыс.р. в час. Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром z = 8 в час. Если будет использоваться новый компактор, то амортизационные затраты составят 3 тыс.р. на один контейнеровоз. Фирма пригласила студента, который провел следующий анализ для оценки целесообразности использования компактора.
Затраты в настоящее время: (1/4 ч ожидания)х(60 тыс.р./ч)= = 15 тыс.р./поездка.
Новая система: z = 8 автомобилей/ч прибывают;
b = 12 автомобилей/ч обслуживаются.
Среднее время ожидания в очереди:
q 2b(b-z) 2(12)(12-8) 12
Затраты с новым компактором: (1/12 ч ожидания)*(60 тыс.р./ч) = = 5 тыс.р./поездка.
Доход при новом оборудовании: 15 (существующая система) — 5 (новая система) = 10 тыс.р./поездка.
Амортизационные затраты: 3 тыс.р./поездка.
Чистый доход: 7 тыс.р./поездка.
71
Модель Д: модель с ограниченной популяцией
Если число потенциальных клиентов системы обслуживания ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая задача может возникнуть, например, если речь идет об обслуживании оборудования фабрики, имеющей пять станков; обслуживании 10 самолетов авиакомпании; обслуживании больных в стационаре, имеющем двадцать больничных коек.
Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотренными ранее в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок. Для того чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим предельный случай. Если на фабрике пять станков, все они сломались и ожидают ремонта, то темп появления новых машин (сверх пяти) для обслуживания равен нулю. В общем, чем длиннее очередь на обслуживание, тем ниже темп поступления новых заявок. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания предлагается использовать программное обеспечение АВ:РОМ.
ЗАДАЧИ
Задача 10.1
Система банка Автодор позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона.
1.	Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?
2.	Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?
3.	Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?
В системе банка Автодор время обслуживания распределено жспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.
4.	Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?
Определите следующие характеристики системы:
-	вероятность того, что в системе нет требований,
-	среднее число требований в очереди;
-	среднее число требований в системе;
-	среднее время ожидания;
7Й
-	среднее время, которое клиент проводит в системе;
-	вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания;
-	вероятность того, что в системе находятся; а) 0 клиентов, б) 3 клиента и в) более 3 клиентов.
Задача 10.2
Справочная университетской библиотеки получает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в среднем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания — 12 запросов в час. Определите.
-	вероятность того, что в системе нет запросов;
-	среднее число запросов в очереди;
-	среднее время ожидания;
-	среднее время, которое запрос проводит в системе;
-	вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.
Задача 10.3
Грузовики, прибывающие на обслуживание в порт, образуют одноканальную очередь. Их прибытие распределено по закону Пуассона. Время погрузки/разгрузки распределено экспоненциально. Средняя скорость прибытия — 12 грузовиков в день, обслуживания — 18 грузовиков в день. Определите;
-	вероятность того, что в системе нет грузовиков;
-	среднее число грузовиков в очереди;
-	среднее время ожидания,
-	вероятность того, что прибывающему грузовику придется ждать обслуживания.
Задача 10.4
Контора принимает обрабатываемые единственным клерком заказы, поступающие по закону Пуассона со средней скоростью 6 заказов в день. Время на их обработку распределено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8 заказов в день. Определите:
-	среднее число заказов в системе;
-	среднее время ожидания начала обработки заказа клерком;
-	среднее время, которое заказ проводит в системе.
10-3178
73
Задай 10.5
В парикмахерской работает один мастер. Клиенты приходят со средней ыоростью 2,2 человека в час, средний уровень обслуживания — j человек в час. Прибытие клиентов подчинено закону Пуассоща время обслуживания распределено экспоненциально Определите:
-	верггность того, что в системе нет требований;
-	вератность того, что один клиент стрижется и никто другой не жет;
-	всрктность того, что один клиент стрижется и еще один ждет,
-	вермтность того, что один клиент стрижется и еще два ждут, - вератность того, что более двух клиентов ждут;
-	срелее время ожидания.
Задав 10.6
Автоярвис решил нанять нового механика для того, чтобы он мснялстарые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Санн из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7ыс.р./ч. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать трешиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии «служить четырех клиентов в час, но его можно нанять на рабегця 10 тыс.р./ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 человека в чи. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытии и экспоненциальное распределение продолжительности времен обслуживания, определите:
-	среднее время, которое клиент проводит в очереди;
-	среднюю длину очереди;
-	среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания
-	среднее число клиентов в системе обслуживания;
-	вермтность того, что система обслуживания окажется незанятой, условии найма одного или другого механика.
Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очерел в 15 тыс.р./ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечил, меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные соведупныс издержки?
Задан 10.7
Фирм “Уют” обеспечивает своим клиентам помощь в дизайне дома щи офиса. В нормальном режиме каждый час прибывает в
74
среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определите:
-	среднее время, которое клиент проводит в очереди;
-	среднюю длину очереди;
-	среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
-	среднее число клиентов в системе обслуживания;
-	вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.
Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять?
Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой стала средняя скорость обслуживания? Достигнута ли цель теперь?
Задача 10.8
“У Петра”— маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания-20 покупателей в час. Рассчитайте:
-	среднее время, которое покупатель проводит в очереди,
-	среднюю длину очереди,
-	среднее время, которое покупатель проводит в магазине, - среднее число покупателей в магазине,
-	вероятность того, что в магазине нс окажется покупателей.
Владелец магазина хочет ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Он решил, что было бы желательно усовершенствовать сервис с помощью реализации одной из следующих альтернатив.
1. Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем. Это позволит увеличить среднюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час. Будет ли в данном случае достигнута искомая цель?
2. Нанять второго работника (кассира), тем самым создав в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час для каждого из работников). Какое решение следует принять?
10
75
Задача 10.9
Офис банка Автодор в настоящее время имеет в распоряжении одно окно обслуживания клиентов (в данном случае обслуживаются водители прибывающих автомашин, причем непосредственно из окон машин). Процесс прибытия описывается законом Пуассона со средней скоростью прибытия 10 клиентов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 12 клиентов в час.
1.	Какова вероятность того, что в системе нет клиентов?
2.	Если бы вы решили подъехать к окну обслуживания, то сколько бы машин в среднем вы бы увидели перед своей?
3.	Какова вероятность того, что по крайней мере одна машина ждет обслуживания?
4.	Каково среднее время ожидания?
5.	Для совершенствования системы обслуживания клиентов администрация банка решила проанализировать эффект ввода дополнительного окна обслуживания в данном офисе. Какой эффект будет иметь данное нововведение?
6.	Какова вероятность в этом случае, что по крайней мере одна машина ждет обслуживания?
7.	Каково среднее время ожидания?
Задача 10.10
В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Судно может остановиться в новом доке для заправки и ремонта. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 10 судов в час.
1.	Какова вероятность того, что док будет пуст?
2.	Каково среднее число судов в очереди? Каково среднее время ожидания обслуживания?
3.	Каково среднее время пребывания в доке?
Администрация станции рассматривает возможность введения в строй еще одного дока с той же скоростью обслуживания.
1.	Какова вероятность того, что доки будут пусты?
2.	Каково среднее число судов в очереди?
3.	Каково среднее время ожидания обслуживания?
4.	Каково среднее время пребывания в системе?
76
Задача 10.11
Станция автосервиса использует систему двухканальной очереди.
Прибытие машин распределено по закону Пуассона со средней скоростью прибытия 6 машин в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 10 машин в час для каждого из каналов.
1.	Какова вероятность того, что в системе нет машин?
2.	Каково среднее число машин в очереди?
3.	Каково среднее время ожидания обслуживания?
4.	Каково среднее время пребывания в системе?
5.	Какова вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать?
Задача 10.12
Рассмотрим двухканальную очередь с пуассоновским потоком требований и с экспоненциальным распределением времени обслуживания. Скорость прибытия — 14 единиц в час, скорость обслуживания — 10 единиц в час для каждого канала. Определите:
-	вероятность того, что в системе нет требований;
-	среднее число требований в очереди;
-	среднее время ожидания;
-	среднее время, которое требование проводит в системе;
-	вероятность того, что прибывающему требованию придется ждать обслуживания.
Пусть цель обслуживания состоит в том, чтобы обеспечить состояние, при котором в среднем не более 25% требований вынуждены ждать. Предположим, что система расширилась до трехканальной. Выполняется ли это условие в данном случае?
Задача 10.13
Предприятие быстрого питания обслуживает клиентов, прибывающих на автомашинах по закону Пуассона со средней скоростью 24 машины в час. Время обслуживания распределено экспоненциально. Прибывающие клиенты делают свой заказ, а затем отъезжают, чтобы оплатить и получить заказанное. Рассматриваются следующие возможные конфигурации системы.
1.	Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказы и принимающим оплату. Среднее время обслуживания клиента 2 мин.
77
2.	Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказ, и другим, принимающим оплату. Среднее время обслуживания 1,25 мин.
3.	Двухканальная система с двумя служащими, каждый из которых выполняет заказы и принимает оплату. Среднее время обслуживания 2 мин для каждого из служащих.
Ответьте на следующие вопросы (для каждой из альтернатив):
-	какова вероятность того, что в системе нет машин?
-	каково среднее число машин в очереди?
-	каково среднее время ожидания обслуживания?
-	каково среднее время пребывания в системе?
-	каково среднее число машин в системе?
-	какова вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать?
Каждый час, который клиент проводит в очереди, оценивается в 25 тыс.р. Оплата служащим равна 6,5 тыс.р. в час. Помимо зарплаты для обеспечения работы каждого из каналов надо тратить 20 тыс.р. в час. Какой из вариантов наименее дорогой для фирмы?
Задача 10.14
Пациенты прибывают к дантисту со средней скоростью 2,8 человека в час. Дантист в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем пациент ждет 30 мин.
Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в пациентах в минуту?
Какова средняя длина очереди?
Задача 10.15
Наблюдения за многоканальной системой быстрого питания на футбольном стадионе показали, что (если в данный момент идет игра) средний промежуток времени между тем, когда покупатель подходит к прилавку, и тем, когда он получает свой заказ, равен 10 мин. Во время игры за минуту в среднем прибывают 4 покупателя. Время обслуживания в среднем составляет 2 мин.
1.	Какова средняя скорость обслуживания (клиентов в 1 мин)?
2.	Каково среднее время ожидания?
3.	Сколько в среднем клиентов в этой системе?
78
Задача 10.16
Механики компании “Автосервис” прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в 1 мин. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем ждет обслуживания 4 мин. Найдите:
-	среднее число клиентов в системе;
-	среднее время обслуживания одного клиента в системе;
-	среднее число клиентов в очереди.
Опыт использования двух работников на складе показал, что время ожидания механиком своей очереди снизилось до 1 мин. Определите для двухканальной системы:
-	среднее число клиентов в системе;
-	среднее время обслуживания одного клиента в системе;
-	среднее число клиентов в очереди.
Механик получает 20 тыс.р./ч, а работник отдела запчастей — 12 тыс.р. в час. Какая из двух (одноканальная или двухканальная) систем более экономична?
Задача 10.17
Мастерская занимается авторемонтом. Процесс прибытия описывается законом Пуассона со средней скоростью 2 автомашины за восьмичасовой рабочий день. Время выполнения работ распределено по нормальному закону со средним 3,2 ч и среднеквадратическим отклонением 2 ч. Учитывая, что система одноканальная, ответьте на следующие вопросы:
-	какова средняя скорость прибытия, выраженная в количестве автомобилей в час?
-	какова средняя скорость обслуживания, выраженная в количестве автомобилей в час?
-	чему равно среднее число автомобилей в очереди?
-	чему равно среднее время ожидания?
-	какой средний промежуток времени между прибытием автомобиля и завершением ремонта?
-	какую часть рабочего времени система занята (т.е. в системе есть хотя бы одно требование)?
Задача 10.18
Требования поступают случайно со средней скоростью 5 требований в час. Время обслуживания распределено не по экспо
79
ненциальному закону. Возможны следующие варианты организации системы.
1. Среднее время обслуживания 6 мин на требование, стандартное отклонение времени обслуживания 3 мин на требование.
2. Среднее время обслуживания 6,25 мин на требование, стандартное отклонение времени обслуживания 0,6 мин на требование.
Сколько в среднем требований в час можно обслужить в каждом из вариантов?
Выразите стандартное отклонение времени обслуживания в часах на требование. Используйте модель М/G/l для расчета операционных характеристик для каждого из вариантов. Какой вариант лучше и почему?
Задача 10.19
Одноканальная система ресторана быстрого обслуживания Макдональдс характеризуется средней скоростью прибытия, равной 0,75 клиентов в минуту, и средней скоростью обслуживания, равной 1 клиенту в минуту. Первоначально предполагается, что прибытия распределены по закону Пуассона, а время обслуживания экспоненциально. Тогда из того, что средняя скорость обслуживания 1 клиент в мин, следует, что стандартное отклонение времени обслуживания 1 мин.
Ресторан внедряет новую, компьтеризованную систему приема заказов и их оплаты, которая позволит сохранить прежней среднюю скорость обслуживания, но уменьшит стандартное отклонение времени обслуживания до 0,50 мин.
Используя модель М/G/l, определите, является ли новая система удовлетворительной. Какие из операционных характеристик системы улучшаются?
Задача 10.20
Крупная страховая компания имеет в своем распоряжении центральную расчетную систему, содержащую разнообразную информацию, необходимую клиентам. Страховые агенты, находящиеся на территории шести различных областей, используют телефонные линии для доступа к базе данных. В настоящий момент центральная система обеспечивает возможность одновременного доступа к ней до трех пользователей. Если агенту не удается сразу получить доступ к системе, то он вынужден повторить запрос, так как ожидание ответа не предусмотрено.
80
Компания предполагает, что ее бизнес расширится, и данная техническая реализация центральной системы не будет соответствовать масштабам деятельности. Запросы распределены по закону Пуассона со средним в 42 звонка в час. Средняя скорость обслуживания 20 звонков в час для каждой линии.
Какова вероятность того, что 0, 1, 2, 3 линии будут заняты?
Какова вероятность того, что агент не получит доступа к системе?
Каково среднее число занятых линий?
Ожидается, что скорость поступления звонков возрастет до 50 в час. Сколько линий должна иметь система, чтобы вероятность того, что все линии заняты, не увеличилась?
Задача 10.21
Издательство МГУ публикует учебные материалы. Потенциально 800 агентов по продаже книг могут интересоваться будущими публикациями, запрашивать копии работ, размещать свои заказы. Используются две телефонные линии. Если обе они заняты, то доступ в издательство закрыт. Каждый сотрудник способен обработать в среднем 12 звонков в час. Пусть средняя скорость поступления звонков 20 в час.
Какой процент звонящих услышит сигнал “занято”?
Сколько необходимо дополнительных линий для обеспечения немедленного ответа на, по крайней мере, 90 % звонков?
Задача 10.22
Фирма пейджерной связи получает заказы на обслуживание по двухканальной телефонной линии, обрабатываемые двумя диспетчерами. Те из заказчиков, которые услышали сигнал “занято”, пытаются перезвонить. Распределение заявок — пуассоновское со средней скоростью прибытия 40 звонков в час; каждый диспетчер может обработать 30 звонков в час.
В течение какого времени (в%) оба диспетчера свободны?
В течение какого времени (в %) оба диспетчера работают?
Какова вероятность получить сигнал “занято”, если в фирме работают 2, 3, 4 диспетчера?
Компания не хочет, чтобы более 12 % звонящих получали сигнал “занято”. Сколько для этого необходимо иметь диспетчеров?
11-3178
81
Задача 10.23
Компания “Жалюзи на дом” решила довести число своих машин до 8. Президент компании интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу второго механика к одному имеющемуся. Средняя скорость прибытия на ремонт равна 0,05 раза в час для каждой машины, средняя скорость обслуживания — 0,5 машины в час. Рассчитайте следующие операционные характеристики, если компания оставляет единственного механика.
-	вероятность того, что все машины работают и механик простаивает,
-	среднее число ожидающих ремонта машин,
-	среднее число машин в системе (машины в очереди и на обслуживании),
-	среднее время ожидания начала ремонта,
-	среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).
Используя компьютерную программу, рассчитайте те же характеристики для случая с двумя механиками.
Каждый механик получает 20 тыс р./ч, а стоимость простоя машины составляет 80 тыс.р./ч. Сколько механиков следует нанять с экономической точки зрения?
Задача 10.24
Офисный ксерокс используют 5 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 40 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите.
-	вероятность того, что ксерокс простаивает,
-	среднее число служащих в очереди,
-	среднее число служащих в комнате, где стоит ксерокс,
-	среднее время ожидания,
-	среднее время нахождения в комнате с ксероксом.
Сколько времени за восьмичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?
Стоит ли компании приобретать второй ксерокс? Объясните.
Задача 10.25
В распоряжении магазина находится К) грузовиков. Грузовики прибывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки-разгрузки. Каждый грузовик прибывает на обслуживание
82
дважды за 8-часовой рабочий день. Средняя скорость обслуживания — 4 грузовика в час. Модель прибытия требований — пуассоновская, модель времени обслуживания — экспоненциальная. Определите.
-	вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки (разгрузки),
-	среднее число грузовиков в очереди,
-	среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке (разгрузке)),
-	среднее время ожидания
Каковы часовые издержки по функционированию системы, если в 1 час издержки на каждый грузовик равны 50 тыс.р., а на работы с грузовиками — 30 тыс.р.?
Предположим, что в систему добавлен дополнительный канал (издержки по его работе тоже равны 30 тыс.р./ч). На какую величину должна уменьшиться средняя длина очереди, чтобы двухканальная система стала экономически выгодной?
Ключевые слова
Одноканальная система
Однофазовая система
Очередь
Распределение времени обслуживания
Среднее время в очереди
Среднее время в системе
Среднее число клиентов в очереди
Среднее число клиентов в системе
Средний темп поступления заявок
Средняя длина очереди
11*
Рассмотрим определяющие понятия теории управления запасами.
Издержки выполнения заказа (издержки заказа) — накладные расходы, связанные с реализацией заказа. В промышленности такими издержками являются затраты на подготовительно-заготовочные операции.
Издержки хранения — расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютных единицах, или в процентах от закупочной цены и связываются с определенным промежутком времени.
Упущенная прибыль — издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим в результате отсутствия продукта на складе.
Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенного дохода. Иногда к ним прибавляются издержки на покупку товаров.
Срок выполнения заказа — срок между заказом и его выполнением. Точка восстановления — уровень запаса, при котором делается новый заказ.
1.	Краткая характеристика моделей управления запасами
1.1.	Модель оптимального размера заказа.
Предпосылки: 1) темп спроса на товар известен и постоянен; 2) получение заказа мгновенно; 3) отсутствуют количественные скидки при закупке больших партий товара; 4) единственные меняющиеся параметры — издержки заказа и хранения; 5) исключается дефицит в случае своевременного заказа.
Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения.
Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами и их количество за период.
1.2.	Модель оптимального размера заказа в предположении, что получение заказа не мгновенно. Следовательно, нужно найти объем запасов, при котором необходимо делать новый заказ.
Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.
Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.
1.3.	Модель оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль. Необходимо найти точку восстановления.
86
Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, упущенная прибыль.
Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.
1.4.	Модель с учетом производства (в сочетании с условиями 1.1—1.3). Необходимо рассматривать уровень ежедневного производства и уровень ежедневного спроса.
Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, хранения и упущенная прибыль, темп производства.
Результат: оптимальный уровень запасов (точка восстановления запаса).
1.5.	Модель с количественными скидками. Появляется возможность количественных скидок в зависимости от размера заказа. Рассматривается зависимость издержек хранения от цены товара. Оптимальный уровень заказа определяется исходя из условия минимизации общих издержек для каждого вида скидок.
2.	Модели типа 1.1—1.5 с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа.
Вместо предпосылки о постоянстве и детерминированности спроса на товар используется более реалистичный подход о предполагаемой известности распределения темпа спроса и времени выполнения заказа.
Рассмотрим подробнее модели с фиксированным размером заказа. Модели с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа рассмотрены в следующем разделе, где они решаются на основе имитационного подхода.
Модель 1.1 наиболее экономичного размера заказа. Заказ, пополняющий запасы, поступает как одна партия. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью пока не достигает нуля. В этой точке поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасов восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период (рис.11.1).
Пусть Q — размер заказа; Т — протяженность периода планирования; D — величина спроса за период планирования; d — величина спроса в единицу времени; К — издержки заказа; Н — удельные издержки хранения за период; h — удельные издержки хранения в единицу времени.
Тогда:
(D/Q)K — совокупные издержки заказа;
87
(Q/2)H — совокупные издержки хранения;
d = D/T, h = H/T,
Q* =(2dK/h)1/2= (2DK/H)1/2 — оптимальный размер заказа,
N = D/Q* — оптимальное число заказов за период,
t* = Q*/d = T/N — время цикла ( оптимальное время между заказами).
Модель 1.2. Введем предположение о том, что заказ может быть получен не мгновенно, а с течением времени. Тогда нам необходимо заранее делать заказ, чтобы в нужное время иметь достаточное количество товара на складе. Следовательно, нам необходимо наити тот уровень запасов, при котором делается новый заказ Этот уровень называется точкой восстановления R. Пусть L — время выполнения заказа. Тогда R = величина спроса в единицу времени, умноженная на время выполнения заказа = d L. Другие характеристики системы определяются так же, как и в модели 1.1. Модель иллюстрируется рис. 11.2.
Пример 1 Андрей Удачливый является торговым агентом компании VOLVO и занимается продажей последней модели этой марки автомобиля. Годовой спрос оценивается в 4000 ед Цена каждого автомобиля равна 90 млн р., а годовые издержки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля. Андреи произвел анализ издержек заказа и понял, что средние издержки заказа составляют 25 млн р. на заказ. Время выполнения заказа равно вось-
88
ми дням В течение этого времени ежедневный спрос на автомобили равен 20.
1.	Чему равен оптимальный размер заказа?
2.	Чему равна точка восстановления?
3.	Каковы совокупные издержки?
4	Каково оптимальное количество заказов в год?
5.	Каково оптимальное время между двумя заказами, если предположить, что количество рабочих дней в году равно 200?
Исходные данные, величина спроса за год D=4000, издержки заказа К = 25, издержки хранения = = 9/200, цена за единицу с = 90, время выполнения заказа L=8, ежедневный спрос d = 20, число рабочих дней Т = 200.
Решение, оптимальный размер заказа Q* = 149, точка восстановления R= 160 - 149 = 11, число заказов за год N = 26,83, совокупные издержки С = 1341, стоимость продаж = = 360000, число дней между заказами t = 7,45.
12-3178
RQ
Модель 1.3 оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль (рис. 11.3).
Пусть р — упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;
Р — упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта. Тогда:
Q* =( 2dK/h)1/2 х ((p+h)/p)‘/2=
=( 2DK/H)1/2 х ((Р+Н)/Р)1/2 — оптимальный размер заказа;
S* =( 2dK/h)1/2 х (p/(h+p))'/2 =
=(2DK/H)1/2 х (Р/(Н+Р))1/2 — максимальный размер запаса;
R = Q*— S* — максимальный дефицит.
Модель 1.4 производства и распределения. В предыдущей модели мы допускали, что пополнение запаса происходит единовременно. Но в некоторых случаях, особенно в промышленном производстве, для комплектования партии товаров требуется значительное время и производство товаров для пополнения запасов происходит одновременно с удовлетворением спроса. Такой случай показан на рис. 11.4.
Спрос и производство являются частью цикла восстановления запасов. Пусть и — уровень производства в единицу времени, К — фиксированные издержки производства.
Тогда:
совокупные издержки хранения = (средний уровень запасов) х х Н = Q/2[ 1-d/u] Н;
90
Время
Рис. 11.4
средний уровень запасов = (максимальный уровень запасов)/?; максимальный уровень запасов — u t — d t = Q(l—d/и);
время выполнения заказа t = Q/u; издержки заказа = (D/Q) К; оптимальный размер заказа Q* =(2dK/h ((1~(d/u)])1/2 = (2DK/H |(l-(d/u)])‘/2;
максимальный уровень запасов S* = Q*[(l—(d/u)].
Модель 1.5 с количественными скидками. Для увеличения объема продаж компании часто предлагают количественные скидки своим покупателям. Количественная скидка — сокращенная цена на товар в случае покупки большого количества этого товара. Типичные примеры количественных скидок приведены в табл. 11.1.
Таблица И 1
Варианты скидок	1	2	3
Количество, при котором делается скидка Размер скидки, % Цена со скидкой	от 0 до 999 0 5	от 1000 до 1999 3 4,8	от 2000 и выше 5 4,75
Пусть I — доля издержек хранения в цене продукта с.
Тогда h = (Ixc) и Q* =( 2dK/(Ixc))1/2 — оптимальный размер заказа.
Пример 2. Рассмотрим пример, объясняющий принцип принятия решения в условиях скидки. Магазин “Медвежонок” продает игрушечные гоночные машинки. Эта фирма имеет таблицу скидок на машинки в случае покупок их в определенном количестве (табл. 11.1). Издержки заказа составляют 49 тыс.р. Годовой спрос
12
91
на машинки равен 5000. Годовые издержки хранения в отношении к цене составляют 20%, или 0,2 Необходимо найти размер заказа, минимизирующий общие издержки.
Решение.
Рассчитаем оптимальный размер заказа для каждого вида скидок, т.е. QI*, Q2* и Q3*, и получим Q1* = 700, Q2* = 714, Q3* = 718.
Так как Q1* — величина между 0 и 999, то ее можно оставить прежней. Q2* меньше количества, необходимого для получения скидки, следовательно, его значение необходимо принять равным 1000 единиц. Аналогично Q3* берем равным 2000 единиц. Получим Q1* = 700, Q2* = 1000, Q3* = 2000
Далее необходимо рассчитать общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.
Рассмотрим следующую таблицу.
Вид скидки	1	2	3
Цена	5	4,8	4,75
Размер заказа	700	1000	2000
Цена на товар за год	25000	24000	23750
Годовые издержки заказа	350	245	122,5
Годовые издержки хранения	350	480	950
Общие годовые издержки	25700	24725	24822,5
Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизировать совокупные издержки
ЗАДАЧИ
Задача 11.1
Господин Бобров приобретает в течение года 1500 телевизоров для розничной продажи в своем магазине. Издержки хранения каждого телевизора равны 45 тыс.р. в год. Издержки заказа — 150 тыс.р. Количество рабочих дней в году равно 300, время выполнения заказа — 6 дней. Необходимо найти.
-	оптимальный размер заказа,
-	годовые издержки заказа,
-	точку восстановления запаса.
92
Задача 11.2
Анна Васильева из компании “Сюрприз” продает 400 водяных кроватей в год, причем издержки хранения равны 1 тыс. р. за кровать в день и издержки заказа — 40 тыс.р. Количество рабочих дней равно 250 и время выполнения заказа — 6 дней Каков оптимальный размер заказа? Чему равна точка восстановления запаса9 Каков оптимальный размер заказа, если издержки хранения равны 1,5 тыс.р.?
Задача 11.3
Мекки Мессер является владельцем маленькой компании, которая выпускает электрические ножи. В среднем Мекки может производить 150 ножей в день. Дневной спрос на ножи примерно равен 40. Фиксированные издержки производства равны 100 тыс.р., издержки хранения — 8 тыс. р. за нож в год. Какой максимальный заказ следует иметь на складе?
Задача 11.4
Компания “Веселые ребята” закупает у завода-изготовителя лобовые стекла грузовых автомобилей “Урал” для розничной продажи. В год, за 200 рабочих дней, реализуется около 10 000 стекол. Издержки заказа для компании составляют 400 тыс.р., ежедневные издержки хранения одного стекла — 6 тыс.р. Чему равен оптимальный размер заказа? Каковы минимальные годовые совокупные издержки?
Задача 11.5
Годовой заказ на тостер “Слава” для салона Марии Мягковой равен 3000 единиц, или 10 вдень. Издержки заказа равны 25 тыс.р., издержки хранения — 0,4 тыс.р. в день. Так как тостер “Слава” является очень популярным среди покупателей, то в случае отсутствия товара покупатели обычно согласны подождать, пока не подойдет следующий заказ. Однако издержки, связанные с дефицитом, равны 0,75 тыс.р. за тостер в день. Сколько тостеров будет заказывать Мария? Каков максимальный дефицит? Чему равны совокупные издержки?
93
Задача 11.6
Магазин “Природа” пользуется популярностью у покупателей благодаря широкому ассортименту экологически чистых продуктов. Большинство покупателей не отказываются от услуг магазина даже в том случае, когда интересующий их товар отсутствует в продаже. Они оставляют заказ на товар и ждут, когда поступит новая партия.
Сыр “Витаум” — не самый популярный из всего набора товаров, но администратор магазина регулярно заказывает этот продукт. Годовой спрос на “Витаум” составляет 500 головок сыра. Издержки заказа — 40 тыс.р. за заказ. Издержки хранения — 5 тыс.р. в год. Упущенная прибыль вследствие дефицита составляет 100 тыс.р. за год на одну головку сыра.
Сколько головок сыра следует заказывать, чтобы не допустить дефицита и иметь при этом минимальные общие издержки?
Сколько сыра следует заказывать, если допустить возможность дефицита?
Чему равна точка восстановления запаса, если время выполнения заказа 10 дней и число рабочих дней в году 250?
Чему равен максимальный размер дефицита?
Задача 11.7
Компания “Химпласт” предлагает следующие скидки для линолеума размером 2x3 м.
Размер заказа	9 кусков или менее	10—50 кусков	50 кусков и более
Цена 1 куска	18 тыс.р.	17,5 тыс.р.	17,25 тыс.р.
Магазин “Все для дома” заказывает у компании линолеум Издержки заказа равны 45 тыс.р. Годовые издержки хранения равны 50% от цены. Годовой спрос на линолеум в магазине составляет 100 кусков. Какое количество необходимо приобрести?
Задача 11.8
Мебельный салон “Антика” продает в год около 1000 спальных гарнитуров по цене 50 млн р. Размещение одного заказа на
94
поставку гарнитуров обходится в 40 млн р. Годовая стоимость хранения гарнитура составляет 25% его цены. Салон может получить 3%-ю скидку у поставщика, если размер заказа составит не менее 200 гарнитуров. Следует ли салону заказывать 200 или более гарнитуров и пользоваться скидкой?
Задача 11.9
Обычная оптовая цена аудиоколонок для автомагнитолы — 20 тыс.р. В случае заказа от 75 до 90 колонок цена сокращается до 18,5 тыс.р. При заказе более 100 колонок цена снижается до 15,75 тыс.р. Издержки заказа для компании “Эхо”, являющейся производителем колонок, равны 10 тыс.р., годовые издержки хранения — 5% от стоимости колонки. Ежедневная величина спроса в течение 250 дней реализации в году — 25 колонок. Каков оптимальный размер заказа и чему равны минимальные средние ежедневные издержки?
Ключевые слова
Время выполнения заказа
Время цикла
Запас
Издержки заказа
Издержки хранения Точка восстановления Упущенная прибыль
95
Раздел 6
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Глава 12
ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Имитация — это попытка дублировать особенности, внешний вид и характеристики реальной системы. Идея имитации состоит в.
1)	математическом описании реальной ситуации,
2)	изучении ее свойств и особенностей,
3)	формировании выводов и принятии решений, связанных с воздействием на эту ситуацию и основанных на результатах имитации. Причем реальная система не подвергается воздействиям до тех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных управленческих решений не будут оценены с помощью модели этой системы.
Метод Монте-Карло. Имитация с помощью метода Монте-Карло состоит из пяти простых этапов:
1.	Установление распределения вероятностей для существенных переменных.
2.	Построение интегрального распределения вероятности для всех переменных.
3.	Установление интервала случайных чисел для каждой переменной.
4.	Генерация случайных чисел.
5.	Имитация путем многих попыток.
Пример 1. Спрос на автомашины
Спрос	Частота	Вероятность реализации	Суммарная вероятность	Интервалы случайных чисел
0	10	10/200 = 0,05	0,05	от 01 до 05
1	20	20/200 = 0,10	0,15	от 06 до 15
2	40	40/200 = 0,20	0,35	от 16 до 35
3	60	60/200 = 0,30	0,65	от 36 до 65
4	40	40/200 = 0,20	0,85	от 66 до 85
5	30	30/200 = 0,15	1,00	от 86 до 100
	200 дней	200/200 = 1		
Проимитируем спрос на автомашины в салоне ЛОГОВАЗ в течение 10 последовательных дней. Для этого из таблицы случай
96
ных чисел мы выбираем значения, начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в первом столбце (см.стр. 110).
Номер дня	Случайное число	Имитированный дневной спрос
1	52	3
2	37	3
3	82	4
4	69	4
5	98	5
6	96	5
7	33	2
8	50	3
9	88	5
10	90	5
39 — спрос за 10 дней. 39/10 = 3,9 — средний ежедневный спрос.
Пример 2. Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0, 1,...,5 барж показана в таблице. В этой же таблице указаны интегральные вероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможного значения.
Число барж	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервал случайных чисел
0	0,13	0,13	от 01 до 13
1	0,17	0,30	от 14 до 30
2	0,15	0,45	от 31 до 45
3	0,25	0,70	от 46 до 70
4	0,20	0,90	от 71 до 90
5	0,10	1,00	от 91 до 100
1,00			
Аналогичная информация дана о числе разгружаемых барж.
Ежедневный темп разгрузки	Вероятность	Ин гегральная вероятность	Интервал случайных чисел
1	0,05	0,05	от 01 до 05
2	0,15	0,20	от 06 до 20
3	0,50	0,70	от 21 до 70
4	0,20	0,90	от 71 до 90
	0,10	1,00	от 91 до 100
13-3178
97
Имитация очереди на разгрузку барж в порту Астрахани пред-
ставлена в следующей таблице.
День	Число барж, простаивающих с предыдущего дня	Случайное число	Число прибывших за день	Число ожидающих разгрузку	Случайное число	Число разгруженных барж
1	—	52	3	3	37	3
2	0	06	0	0	63	0
3	0	50	3	3	28	3
4	0	88	4	4	02	1
5	3	53	3	6	74	4
6	2	30	1	3	35	3
7	0	10	0	0	24	0
8	0	47	3	3	03	1
9	2	99	5	7	29	3
10	4	37	2	6	60	3
11	3	66	3	6	74	4
12	2	91	5	7	85	4
13	3	35	2	5	90	4
14	1	32	2	3	73	3
15	0	00	5	5	59	3
20	41	39
Общий простой Всего прибыло Всего разгружено
ЗАДАЧИ
Задача 12.1
Компания Шустрова обслуживает и сдает внаем квартиры в большом жилом комплексе. Иван Шустров хотел бы оценить предполагаемые затраты на замену компрессоров для кондиционирования воздуха. Он хотел бы определить число компрессоров, выходящих из строя ежегодно в течение 20 лет. Используя данные по аналогичному жилому комплексу, которым его компания владеет в другом городе, Шустров получил относительные частоты выхода компрессоров из строя.
Число компрессоров, вышедших из строя	Вероятность (относительная частота)
0	0,06
1	0,13
2	0,25
3	0,28
4	0,20
5	0,07
6	0,01
98
Он решил провести имитационный эксперимент, используя двузначные случайные числа из второй строки таблицы случайных чисел, начиная с числа 37.
1. Найдутся ли последовательно три года, в каждом из которых из строя выйдет один компрессор?
2. Найдутся ли последовательно три года, в каждом из которых из строя выйдут два компрессора?
Задача 12.2
Количество машин, приезжающих на автомойку Марка Беззаботного в течение последних 200 часов ее работы, приведено в следующей таблице.
А. Постройте распределение вероятностей и интегральное распределение вероятностей для количества прибывающих машин.
Б. Определите для этой переменной интервалы случайных чисел.
В. Проимитируйте прибытие машин в течение 15 ч работы мойки и определите среднее число машин в 1 ч.
Число машин, прибывающих каждый час	Частота
3 или меньше	0
4	20
5	30
6	50
7	60
8	40
9 или больше	0
Итого	200
Выберите необходимые для имитации случайные числа из четвертой строки таблицы случайных чисел, начиная с 69.
1.	Сколько машин приедет в первый час?
1.	Сколько машин в среднем прибывает в час?
Задача 12.3
Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, к вечеру достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0, 1,..., 5 барж показана в таблице.
13'
99
Число барж	Вероятность
0	0,13
1	0,17
2	0,15
3	0,25
4	0,20
5	0,10
Количество разгружаемых барж и соответствующие вероятности указаны в таблице.
Ежедневный темп разгрузки	Вероятность
1	0,03
2	0,12
3	0,4
4	0,28
5	0,12
6	0,05
Проимитируите 15 дней работы порта, используя для генерирования числа прибывающих барж случайные числа с начала первой строки таблицы случайных чисел, а для генерирования числа разгруженных барж — с начала второй строки этой таблицы.
1.	Сколько в среднем барж простаивает в день?
2.	Сколько в среднем барж приходит ежедневно?
3.	Сколько в среднем барж разгружается ежедневно?
Задача 12.4
Центральный травматологический пункт в Москве имеет шесть отделений. 1) приемное отделение, в котором может быть оказана неотложная помощь и ставится диагноз, 2) рентгеновское отделение; 3) операционное отделение; 4) отделение протезирования, 5) диагностическое отделение (где проводятся обследования для уточнения диагноза); 6) отделение выписки (оформление больничных документов и оплаты).
Вероятности перехода пациента из одного отделения в другое указаны в таблице.
Проимитируите процесс передвижения в травматологическом пункте 10 пациентов Рассматривайте одного пациента в течение всего времени с момента, когда он поступает в приемное отделение, и до момента, когда он выписывается. Вам следует учитывать, что пациент может попадать в одно и то же отделение
100
более чем один раз. Используйте для генерирования переходов случайные числа из пятой строки таблицы случайных чисел.
Из отделения	В отделение	Вероятность
Приемное	Рентген	0,45
	Операционное	0,15
	Диагностическое	0,10
	Выписка	0,30
Рентгеновское	Операционное	0,10
	11 ротезирование	0,25
	Диагностическое	0,35
	Выписка	0,30
П ротезирование	Диагностическое	0 55
	Рентгеновское	0,05
	Выписка	0,40
Диагностическое	Операционное	0,15
	Рентгеновское	0,15
	Выписка	0,70
Операционное	П ротезирование	0,25
	Диагностическое	0,70
	Выписка	0,05
1. Сколько раз (максимум) один пациент посетит рентгеновское отделение?
2. Сколько раз в среднем один пациент посетит отделение протезирования?
Задача 12.5
Штаб военно-воздушной дивизии использует большое число компьютерных графопостроителей. Работа графопостроителя заключается в нанесении на лист бумаги линий в различных направлениях до тех пор, пока не будет сделан весь рисунок. В графопостроителе используются четыре пера различных цветов. Каждое из перьев может выити из строя. В этом случае выходит из строя весь графопостроитель и требуется замена соответствующего пера. В штабе замена вышедшего из строя пера производится каждый раз, когда перо выходит из строя. Инженер, обслуживающий графопостроители, предложил при выходе из строя одного пера проводить замену сразу всех четырех перьев. Это должно уменьшить число выходов из строя графопостроителей. Требуется один час на замену одного пера и два часа на замену всех четырех перьев Стоимость простоя графопостроителя в течение часа 50 000 тыс.р. Каждое перо стоит 8000 тыс.р.
101
Если производится замена только одного пера, то время, проходящее между выходами графопостроителя из строя, распределяется следующим образом.
Время между двумя выходами из строя при замене одного пера	Вероятность
10	0,05
20	0,15
30	0,15
40	0,20
50	0,20
60	0.15
70	0,10
Если проводить замену всех четырех перьев, то время между двумя поломками распределяется следующим образом.
Время между двумя поломками	Вероятность
100 но 120 130 140	0.15 0,25 0,35 0,20 0,05
Проимитируйте две различные стратегии и определите лучшую. Используйте для генерирования поломок случайные числа с начала четвертой строки таблицы случайных чисел. Проведите десять испытаний.
1. Следует ли заменять сразу все четыре пера?
2. Какую экономию обеспечивает лучшая стратегия по сравнению с альтернативной в течение месяца непрерывной работы графопостроителя (тыс.р.)?
Задача 12.6
Доктор Елена Прекрасная имеет зубоврачебную практику в Москве. Елена составляет расписание своего приема для того, чтобы пациентам не пришлось долго ждать. В таблице приведено расписание на 20 мая.
102
Время, назначенное		Прелпола1аемое
пациентам		время обслуживания
Иванов	9 30	15
Новиков	9 45	20
Грачев	10 15	15
Васильева	10 30	10
Сычев	10 45	30
Галеев	11 15	15
Гринев	11 30	20
Лапин	11 45	15
К сожалению, не все пациенты приходят точно к назначенному времени. К тому же время обслуживания тоже нельзя указать точно. Опыт Елены указывает на то, что
а)	20% пациентов придут на 20 мин раньше;
б)	10% — на 10 мин раньше;
в)	40% — вовремя;
г)	25% — на 10 мин позже;
д)	5% — на 20 мин позже.
Кроме того,
а)	в 15% случаев на обслуживание понадобится на 20% меньше времени, чем указано,
б)	в 50% — столько, сколько указано.
в)	в 25% — понадобится на 20% больше времени,
г)	в 10% — понадобится на 40% больше времени.
Доктор Елена Прекрасная хотела бы закончить прием 20 мая в 12.15 для того, чтобы вылететь в Минск на конференцию стоматологов. 20 мая Елена готова начать прием в 9.30. Пациенты обслуживаются в порядке, указанном в расписании. (Даже если какой-либо пациент приходит раньше, чем назначенный на прием перед ним.) Используйте для генерирования времени прихода и обслуживания пациентов случайные числа с начала первой строки таблицы случайных чисел.
1. На сколько позже желательного срока закончится прием (мин)?
2. Скольким пациентам, пришедшим вовремя, придется ожидать приема?
Глава 13
ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Магазин электрооборудования Проводкова продает электрические дрели. В течение 300 дней Проводков регистрировал днев
103
ной спрос на дрели. Распределение вероятностей величины спроса показано в таблице 13.1. Интегральные вероятности величин спроса показаны в четвертом столбце табл. 13.1. В пятом столбце определены интервалы случайных чисел для определения возможных значений спроса.
Таблица 13.1
Вероятности и интервалы случайных чисел для величин спроса на электродрели
Спрос на дрели	Частота	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервалы случайных чисел
0	15	0,05	0.05	от 01 до 05
1	30	0,10	0,15	от 06 до 15
2	60	0,20	0,35	от 16 до 35
3	120	0,40	0,75	от 36 до 75
4	45	0,15	0,90	от 76 до 90
5	30	0,10	1,00	от 91 до 00
	300 дней	1,00		
Когда Проводков делает заказ, чтобы возобновить свои запасы электрических дрелей, его выполнение происходит с лагом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановления запаса подчиняется вероятностному распределению. В табл. 13.2 показаны данные, позволяющие определить вероятности сроков выполнения заказов и интервалы случайных чисел на основе информации о 50 заказах.
Таблица 13.2 Вероятности и интервалы случайных чисел
для сроков выполнения заказа
Срок выполнения заказа	Частота	Вероятность	Интервальная вероятность	Интервал случайных чисел
1	10	0,20	0,20	от 01 до 20
2	25	0,50	0,70	от 21 до 70
3	15	0,30	1,00	от 71 до 00
	50 заказов	1,00		
Первая стратегия резервирования, которую хочет имитировать Проводков, — делать заказ в объеме 10 дрелей при запасе на складе 5 штук.
Реализуется четырехшаговый процесс имитации.
1.	Каждый имитируемый день начинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае — на 10 единиц).
104
2.	Путем выбора случайного числа генерируется дневной спрос для соответствующего распределения вероятностей.
3.	Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины спроса. Если запас недостаточен для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворяется, насколько это возможно. Фиксируется число нереализованных продаж.
4.	Определяется, снизился ли запас до точки восстановления (в примере — 5 единиц). Если да, причем не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.
Первый эксперимент Проводкова. Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса — 5 штук.
День	Поступление	Начальный запас	Случайное число	Спрос	Конечный запас	Потери продаж	Делать заказ?	Случайное число	Срок выполнения
1	0	10	06	1	9	0	нет		
2	0	9	63	3	6	0	нет		
3	0	6	57	3	3	0	да	02	1
4	0	3	94	5	0	2	нет		
5	10	10	52	3	7	0	нет		
6	0	7	69	3	4	0	да	33	2
7	0	4	32	2	2	0	нет		
8	0	2	30	2	0	0	нет		
9	10	10	48	3	7	0	нет		
10	0	7	88	4	3	0	да	14	1
				Всего.	41	2			
Результат первого эксперимента Проводкова:
41 единица средний конечный запас = ---------= 4,1 единицы;
10 дней
2 упущенные продажи среднее число упущенных продаж =-------------------=
10 дней
= 0,2 шт./день.
Второй эксперимент Проводкова. Проводков оценил, что каждый заказ на дрели обходится ему в 10 000 р., хранение каждой дрели — в 5000 в день, одна упущенная продажа — в 80 000 р. Этой информации достаточно, чтобы оценить средние ежедневные затраты для этой стратегии управления запасами.
Определим три составляющие затрат:
ежедневные затраты на заказы = (затраты на один заказ) х х (среднее число заказов в день) = 10000 х 0,3 = 3000;
ежедневные затраты на хранение = (затраты на хранение одной единицы в течение дня) х (средняя величина конечного запаса) = 5000 х 4,1 = 20500;
14-3178
105
ежедневные упущенные возможности = (прибыль от упущенной продажи) х (среднее число упущенных продаж в день) = = 80000 х о,2 = 16000,
общие ежедневные затраты = затраты на заказы + затраты на хранение + упущенные продажи = 39500.
ЗАДАЧИ
Задача 13.1
Магазин Петушкова поддерживает на складе запас 30-ведерных водонагревателей для владельцев индивидуальных домов. Хозяин магазина хотел бы иметь под рукой максимальный запас водонагревателей, чтобы удовлетворить любой спрос. Однако он понимает, что это невыгодно из-за высокой стоимости их хранения. Он проследил за объемами продаж водонагревателей за последние 50 недель и отметил следующее.
Объем продаж	Число недель,
водонагревателей	в которые реализован этот объем продаж
4	6
5	5
6	9
7	12
8	8
9	7
10	3
Итого	50
Используйте для имитации случайные числа из седьмой строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 33.
1. Если Петушков будет иметь еженедельный запас в 8 нагревателей, то сколько раз за 20 недель ему не хватит этого запаса для удовлетворения спроса?
2. Каков средний объем продаж за 20 недель?
Задача 13.2
Петушков уточнил данные о продаже электронагревателей, проведя учет за 100 недель, и построил следующее распределение объема продаж в неделю.
106
Число электронагревателей, проданных за неделю	Число недель, в которые наблюдался объем продаж
3 4 S 6 7 8 9 10	2 5 10 15 25 21 12 10
Итого	100	
Используйте для имитации случайные числа из шестой строки таблицы случайных чисел.
1. Чему равен объем упущенных реализаций за 20 недель, если еженедельный запас электронагревателей составляет 8?
2. Чему равно среднее число продаж в неделю?
Задача 13.3
Маша Кондратьева, аспирантка МГУ, испытывает некоторые проблемы с личным бюджетом. Ее доход складывается из стипендии и зарплаты за реферативные статьи. Распределение уровня ее доходов показано в таблице.
Месячный доход	Вероятность
350000	0,4
400000	0,2
450000	0,3
500000	0,1
Предполагается, что доход поступает на ее счет и учитывается в начале следующего месяца. Расходы Маши также меняются от месяца к месяцу и подчиняются следующему распределению вероятностей.
Расходы	Вероятность
300000	0,1
400000	0,45
500000	0,3
600000	0,15
В начале текущего года обучения на ее счету было 600 000 р.
Проимитируйте текущий год (12 мес.) и оцените финансовое положение Маши. Предполагается, что реальные расходы Маши не могут превышать суммы на счете. Используйте для имитации
14'
107
случайные числа с начала шестой строки таблицы случайных чисел.
1. Сколько месяцев Маша будет испытывать дефицит бюджета?
2. Какая сумма денег останется на счету у Маши в конце текущего года?
Задача 13.4
Даша Василькова — менеджер салона фирмы “Мерседес-Бенц” в Москве. В последние 100 мес объем продаж колеблется от 6 до 12 новых автомобилей. Частоты различных объемов продаж показаны в таблице.
Объем продаж в мес	Частота
6	8
7	11
8	17
9	33
10	25
11	3
12	3
Итого	100 мес
Даша считает, что продажа будет идти в тех же объемах еще 24 месяца. Время выполнения заказа на поставки распределяется следующим образом.
Время поставок, мес	Вероятность
1	0,44
2	0,33
3	0,16
4	0,07
Итого	1,00
Даша Василькова каждый раз заказывает 21 автомобиль (3 трейлера по 7 автомобилей в каждом) и делает новый заказ, когда запас в магазине снижается до 12 автомобилей. Новый заказ можно делать только после выполнения предыдущего. Проимитируите эту стратегию в течение 24 мес. Используйте для имитации случайные числа с начала второй строки таблицы случайных чисел.
Считайте, что.
а)	начальный запас составляет 28 автомобилей,
б)	затраты на хранение одной автомашины составляют в месяц 600 000 р.,
108
в)	одна упущенная продажа приносит убыток в среднем 4 350 000 р.,
г)	один заказ обходится в 570 000 р.
1	Сколько заказов придется сделать за два года?
2	С какими издержками связана данная стратегия (тыс.р.)?
Задача 13.5
Фирма “ВЕСТА” — производитель промышленных моечных машин Одной из комплектующих деталей в производственном процессе является стальной лист размером 8х 10 дм2.
Сталь поставляется на контрактной основе компанией “Урал-сталь”, причем еженедельный объем поставок может составлять 8000 или 11 000 дм2. 45% шансов за то, что объем поставок составит 8000 дм2, и 55%, что 11000. Затраты стали у “ВЕСТЫ” изменяются во времени. Распределение величины потребности в стали (в дм2) указано в следующей таблице.
Сталь, требующаяся в неделю	Вероятность
6000	0,05
7000	0,15
8000	0,20
9000	0,30
10000	0,20
11000	0,10
Фирма может хранить на складе не более 25 000 дм2 стали единовременно.
Проимитируите заказы на сталь и ее использование в течение 20 недель. Начните первую неделю с нулевого запаса на складе. Если запас на конец недели окажется отрицательным, то восполните необходимую разницу из следующего заказа. Используйте для имитации случайные числа из третьей строки таблицы случайных чисел
1. Требуются ли фирме “ВЕСТА” дополнительные складские помещения?
2 Какое количество стали (тыс дм2) будет на складе в конце 20-й недели?
Ключевые слова
Имитация
Интервал случайных чисел
109
Метод Монте-Карло
Таблица случайных чисел
Запас
Издержки хранения
Система управления запасами
Точка восстановления
Упущенная продажа
Таблица случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
52	06	50	88	53	30	10	47	99	37	66	91	35	32	00	84	57	07
37	63	28	02	74	35	24	03	29	60	74	85	90	73	59	55	17	60
82	57	68	28	05	94	03	11	27	79	90	87	92	41	09	25	36	77
69	02	36	49	71	99	32	10	75	21	95	90	94	38	97	71	72	49
98	94	90	36	06	78	23	67	89	85	29	21	25	73	69	34	85	76
96	52	62	87	49	56	59	23	78	71	72	90	57	01	98	57	31	95
33	69	Т1	21	11	60	95	89	68	48	17	89	34	09	93	50	44	51
50	33	60	95	13	44	34	62	64	39	55	29	30	64	49	44	30	16
88	32	18	50	62	57	34	56	62	31	15	40	90	34	51	95	26	14
90	30	36	24	69	82	51	74	30	35	36	85	01	55	92	64	09	85
50	48	61	18	85	23	08	54	17	12	80	69	24	84	92	16	49	59
27	88	21	62	69	64	48	31	12	73	02	68	00	16	16	46	13	85
45	14	46	32	13	49	66	62	74	41	86	98	92	98	84	54	33	40
81	02	01	78	82	74	97	37	45	31	94	99	42	49	27	64	89	42
66	83	14	74	27	76	03	33	11	97	59	81	72	00	64	61	13	52
74	05	81	82	93	09	96	33	52	78	13	06	28	30	94	23	37	39
30	34	87	01	74	11	46	82	59	94	25	34	32	23	17	01	58	73
59	55	72	33	62	13	74	68	22	44	42	09	32	46	71	79	45	89
67	09	80	98	99	25	77	50	03	32	36	63	65	75	94	19	95	88
60	77	46	63	71	69	44	22	03	85	14	48	69	13	30	50	33	24
60	08	19	29	36	72	30	27	50	64	85	72	75	29	87	05	75	01
80	45	86	99	02	34	87	08	86	84	49	76	24	08	01	86	29	11
53	84	49	63	26	65	72	84	85	63	26	02	75	26	92	62	40	67
69	84	12	94	51	36	17	02	15	29	16	52	56	43	26	22	08	62
37	77	13	10	02	18	31	19	32	85	31	94	81	43	31	58	33	51
Раздел 7
УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ: PERT/CPM
Глава 14
УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ С ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ (СРМ)
Метод критического пути Метод СРМ (Critical Path Method) часто используется для планирования, оперативного управления и контроля за реализацией проектов Примерами таких проектов являются
1)	исследование и разработка новых продуктов и процессов,
2)	строительство предприятий, здании и сооружении,
3)	ремонт большого и сложного оборудования,
4)	проектирование и внедрение новых систем
Метод СРМ может быть использован для ответа на следующие вопросы
1	Сколько времени потребуется на выполнение всего проекта”?
2	В какое время должны начинаться и заканчиваться отдельные работы9
3	Какие работы являются “критическими” и должны быть выполнены в точно определенное графиком время, чтобы не сорвать установленные сроки выполнения проекта в целом ?
4	На какое время можно отложить выполнение “некритических” работ, чтобы они не повлияли на сроки выполнения проекта9
Путь представляет собой последовательность взаимосвязанных работ, ведущую из начального узла к конечному
Работы, принадлежащие наиболее длинному пути, являются работами критического пути проекта, а сам этот путь называется критическим путем
Пусть ES — наиболее раннее время начала (earliest start) данной работы, EF — наиболее раннее время окончания (earliest finish) данной работы, t — ожидаемое время, требующееся для выполнения работы
EF = ES + t
Правило наиболее раннего времени начала Наиболее раннее время начала работы, выходящей из данного узла, равно наибольшему из показателей наиболее раннего времени окончания работ, входящих в данный узел
ill
Правило наиболее позднего времени окончания. Наиболее позднее время окончания (LF — latest finish) работы, входящей в данный узел, равно наименьшему из показателей наиболее позднего времени начала (LS — latest start) работ, выходящих из данного узла.
Величина запаса времени применительно к каждой работе исчисляется следующим образом:
запас = LS — ES = LF — EF.
Критический путь образуют работы с нулевым запасом времени.
ЗАДАЧИ
Задача 14.1
Мировой банк разрабатывает программу обучения слушателей методам проектного анализа в Московском государственном университете. Банк хотел бы разработать такую программу, чтобы слушатели могли пройти ее в наиболее короткое возможное время. Существуют важные взаимосвязи между предшествующими и последующими дисциплинами, преподавание каждой из которых рассматривается как работа. Например, методы управления проектами PERT/ СРМ должны быть рассмотрены только после того, как слушатели ознакомятся с некоторыми аспектами (коммерческим, финансовым, экономическим, техническим и т.д.) проектного анализа и жизненным циклом проекта. Работы, перечень которых приведен ниже, представляют собой преподавание дисциплин, которые должны быть освоены слушателями курсов.
Работа	Непосредственно предшествующая работа	Продолжительность работы, мес
А	-	4
В	-	6
С	А	2
D	А	6
Е	С,В	3
F	С,В	3
G	D,E	5
Программа считается выполненной, если закончены работы F и G. Постройте сеть и найдите критический путь.
1. Какова длина критического пути?
2. Сколько работ находится на критическом пути?
112
Задача 14.2
“Система управленческих решений” (СУР) представляет собой консалтинговую компанию, специализирующуюся на разработке систем поддержки проектов. СУР заключила контракт на разработку компьютерной системы, предназначенной для помощи руководству фирмы при планировании капиталовложений. Руководитель проекта разработал следующий перечень работ с учетом их непосредственных предшественников.
Работа	Н еп осредствен н ый предшественник	Продолжительность работы, мес
А	-	4
В	-	б
С	-	5
D	в	2
Е	А	9
F	В	4
G	C,D	8
Н	В,Е	3
1	F.G	5
J	Н	7
Построите сеть СРМ для этого проекта.
1. Какова длица критического пути?
2. Сколько работ находится на критическом пути?
Задача 14.3
Рассмотрите сеть проекта, представленную следующими данными.
Рабом	Непосредственный предшественник	Продолжительность работы, нед
А	-	5
В	-	3
с	А	7
D	А	Ь
Е	В	7
F	D,E	3
G	D,E	10
Н	C,F	8
Найдите критический путь.
1.	Сколько времени потребуется для завершения проекта?
2.	Можно ли отложить выполнение работы D без отсрочки завершения проекта в целом?
3.	На сколько недель можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?
15-3178
113
Задача 14.4
Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ.
Непосредственно предшествующие работы и продолжительность выполнения работ показаны ниже:
Работа	Непосредственный предшественник	Продолжительность работы, нсд.
А В С D Е F G Н	А В,С D Е В,С 			3 6 2 5 4 3 9 3
Найдите критический путь.
1.	Сколько времени потребуется для завершения проекта?
2.	Можно ли отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?
3.	На сколько недель можно отложить выполнение работы F без отсрочки завершения проекта в целом?
Задача 14.5
Московский государственный университет рассматривает предложение о строительстве новой библиотеки. Работы, которые следует выполнить перед началом строительства, представлены ниже. Продолжительность работ показана в неделях.
Работа	Содержание работы	Непосредственно предшествующая работа	Время выполнения, нед
А	Определить место строительства	—	6
В	Разработать первоначальный проект	—	8
С	11случить разрешение на строительство	А, В	12
D	Выбрать архитектурную мастерскую	С	4
Е	Разработать смету затрат на строительство	С	6
F	Закончить разработку проекта	D.E	15
G	Получить финансовое обеспечение	Е	12
Н	Нанять подрядчика	F,G	8
114
Найдите критический путь.
I. Сколько работ находится на критическом пути (фиктивные работы не учитываются)?
2. Реально ли начать работу по строительству здания библиотеки через год после принятия решения о начале проекта?
Ключевые слова
Величина запаса времени
Критический путь
Наиболее позднее время начала работы
Наиболее позднее время окончания работы
Наиболее раннее время начала работы
Наиболее раннее время окончания работы
Путь
Глава 15
УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ (PERT)
Система PERT (Project Evaluation and Research Technique), в отличие от CPM, рассчитана на использование вероятностных оценок времени выполнения работ, предусматриваемых проектом. Чтобы осуществить вероятностный подход, вводятся три оценки времени для каждой работы:
оптимистическое время (а) — время выполнения работы, если все будет обеспечено идеальным образом;
наиболее вероятное время (ш) — ожидаемое время выполнения работы в нормальных условиях;
пессимистическое время (Ь) — время выполнения работы, если произойдут существенные помехи.
Среднее, или ожидаемое, время (t) может быть определено по следующей формуле:
_ а + 4m + b
~	6	‘
Располагая неопределенными оценками времени, мы можем рассчитать общепринятую статистическую меру изменчивости — дисперсию, или вариацию, значений времени на выполнение работы. Вариация времени определяется по следующей формуле.
о2 = |(b-a)/6J2.
15'
115
Пусть Т — время, необходимое для завершения проекта. Тогда ожидаемое значение Е(Т) равно сумме ожидаемых значений времени работ, лежащих на критическом пути.
Аналогично вариация (дисперсия) общего времени, требуемого для завершения проекта, в предположении независимости времен выполнения работ будет равна сумме вариаций работ критического пути.
Если же две работы или более взаимозависимы, то указанная сумма дает приближенное представление о вариации времени завершения проекта.
Стандартное отклонение о есть корень квадратный из вариации (дисперсии):
/ 2
П =	.
Одно из преимуществ системы PERT состоит в том, что она позволяет вычислить вероятность завершения работ в заданное время. Предполагая, что распределение времени Т завершения проекта является нормальным, и имея это распределение, т.е. зная среднее значение Е(Т) и дисперсию ст(Т), можно рассчитать вероятность завершения проекта в установленный срок То. Для определения вероятности того, что проект может быть закончен в заданное время То (Т < То), необходимо использовать таблицу нормального распределения величины
z = ЦТ-Е(Т)] /о|.
Фрагмент таблицы нормального распределения величины z приведен в конце данного раздела.
Например, пусть для некоторого сетевого графика Е(Т)= 17, п=1,65, и мы хотим определить вероятность того , что продолжительность Т соответствующего проекта не превысит величины Тп=20.
Используя z = (20—17)/ 1,65 = 1,82 и таблицу нормального распределения, находим, что искомая вероятность равна
0,465 + 0,500 = 0,965.
Если Е(Т) > То, например, если Т0=14, то z=( 17—14)/1,65=1,82, и вероятность того, что Т < 14, составляет 0,5—0,4656=0,0344.
ЗАДАЧИ
Задача 15.1
Ниже даны оценки продолжительности выполнения работ (в днях) применительно к небольшому проекту.
116
Работа	Оптимистическое (а)	Наиболее вероятное (т)	Пессимистическое (Ь)
А	4	5	6
В	8	9	10
С	7	7,5	11
D	7	9	10
Е	6	7	9
F	5	б	7
А. Рассчитайте ожидаемое время и дисперсию применительно к каждой работе.
Б. Известно, что критический путь составляют работы B-D-F.
1. Каков ожидаемый срок завершения проекта?
2. Чему равно стандартное отклонение времени завершения проекта?
Задача 15.2
Проект строительства плавательного бассейна состоит из девяти основных работ. Работы, их непосредственные предшественники и продолжительности работ в днях показаны ниже. Постройте сеть PERT для этого проекта.
Работа	Непосредственный предшественник	Оптимистическое (а)	Наиболее вероятное (т)	Пессимистическое (Ь)
А	-	3	5	6
В	-	2	4	6
с	А, В	5	6	7
D	А, В	7	9	10
Е	В	2	4	6
F	С	1	2	3
G	D	5	8	10
Н	D.F	6	8	10
1	E,G,H	3	4	5
1.	Каков ожидаемый срок завершения проекта?
2.	Чему равно стандартное отклонение времени завершения проекта?
3.	Какова вероятность того, что проект будет завершен через 25 рабочих дней?
Задача 15.3
Рассмотрите следующую сеть проекта (время продолжительности работ показано в неделях).
117
Предположим, что для нее представлены следующие оценки продолжительности работ.
Работа	Непосредственный предшественник	Оптимистическое (а)	Наиболее вероятное (т)	Пессимистическое (Ь)
А	—	4	5	6
В	—	2,5	3	3,5
С	А	ь	7	8
D	А	5	5,5	9
1	В	5	7	9
F	D,E	2	3	4
G	D.E	8	10	12
Н	CF	6	7	14
1.	Какова ожидаемая продолжительность проекта?
2.	Какова вероятность того, что проект будет завершен за 21 неделю?
3.	Какова вероятность того, что проект будет завершен за 25 недель?
Задача 15.4
Рассмотрим сеть проекта, представленную ниже. Оценки оптимистического, наиболее вероятного и пессимистического времени выполнения работ указаны в днях.
Работа	Непосредственный предшественник	Оптимистическое (а)	Наиболее вероятное (т)	Пессимистическое (Ь)	
А	-	5	6	7
В	-	5	12	13
С	А	б	8	10
D	А	4	10	10
Е	С	5	6	13
F	B,D	7	7	10
G	E,F	4	7	10
Определите ожидаемое время выполнения каждой работы и дисперсию.
1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?
2. Какова вероятность того, что проект будет завершен за 30 дней?
Задача 15.5
Деканат экономического факультета МГУ предполагает провести летние курсы переподготовки преподавателей экономической теории в каком-либо из загородных домов отдыха. Необходимо выполнить следующие работы (время указано в неделях).
118
Работа	Содержание работы	Непосредст-венно предшествую щая работа	Время		
			оптимистическое	наиболее вероятное	пессимистическое
А	Определить темы проведения занятий	—	1,5	2	2,5
В	Договориться с лекторами	А	2	2,5	6
С	Определить возможные места проведения курсов	—	1	2	3
D	Выбрать место проведения занятий	с	1,5	2	2,5
Е	Разработать график приезда лекторов	B,D	0,5	1	1,5
F	Получить окончательное согласие лекторов	Е	1	2	3
G	Подготовить и разослать приглашения	B.D	3	3.5	7
Н	Зарезервировать места для участников	G	3	4	5
1	Выполнить последние приготовления	F.H	1,5	2	2,5
1. Каково ожидаемое время завершения проекта?
2. Если деканат хочет добиться того, что к заезду преподавателей все подготовительные мероприятия будут завершены с вероятностью 0,99, то в какие сроки следует ожидать их завершения?
Задача 15.6
Менеджер плавательного бассейна МГУ разрабатывает план подготовки к первой тренировке команды пловцов. Тренировку предполагается провести 1 сентября. Данные для построения сети PERT таковы:
Работа	Содержание работы	Непосредственно предшествующая работа	Время		
			оптимистическое	наиболее вероятное	пессимистическое
А	Встретиться с заведующим кафедры физвоспитания	—	1	1	2
В	Нанять тренеров	А	4	6	8
С	Зарезервировать Ш1ава1ельныи бассейн	А	2	4	6
D	Объявить программу тренировки	В.С	1	2	3
Е	Встретиться с тренерами	В	2	3	4
Е	Заказать костюмы для пловцов	А	1	2	3
G	Зарегистрировать пловцов	О	1	2	3
Н	Собрать взносы	G	1	2	3
I	Разработать план проведения первой гренировки	E,H,F	1	1	1
119
1.	Какова ожидаемая продолжительность проекта?
2.	Если менеджер планирует начать проект 1 июня, то какова вероятность того, что программа тренировки пловцов будет завершена к 1 сентября (13 недель)?
Ключевые слова
Вариация времени (дисперсия)
Вероятность завершения работ в срок
Наиболее вероятное время
Ожидаемое время
Оптимистическое время
Пессимистическое время
Глава 16
МИНИМИЗАЦИЯ ЗАТРАТ НА СОКРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТА (PERT/COST)
Сокращение времени завершения проекта, как правило, связано с использованием дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количества рабочих, внеурочное время. Это приводит к увеличению затрат на реализацию проекта. В результате требуется искать компромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией дополнительных затрат на проект.
Пусть:
t	— нормальная продолжительность работы ij;
t’ — продолжительность работы ij при максимально возможном ее сокращении,
Mif =	— Г — величина максимально возможного сокраще-
ния продолжительности работы ij за счет дополнительных ресурсов, С — расчетные затраты на выполнение работы ij в условиях нормального или ожидаемого времени;
С’ — расчетные затраты на выполнение работы ij в условиях максимального сокращения ее продолжительности за счет дополнительных ресурсов. Тогда в расчете на единицу (например, на один день) затраты на сокращение продолжительности применительно к каждой работе будут равны
К =(С’И - СЧ) / М1Г
Введем предположение о пропорциональности, заключающееся в том, что любая дополнительная доля сокращаемого времени
120
на выполнение работы потребует точно такой же доли дополнительных затрат. При таком предположении для решения проблемы оптимального с точки зрения привлечения минимального объема дополнительных ресурсов сокращения продолжительности выполнения проекта можно использовать модель линейного программирования.
Для формулировки модели дополнительно введем следующие обозначения. X, — время наступления события i (напомним, что событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);
Y — сокращение времени работы, выходящей из узла i и входящей в узел j,
i=	1 — номер начального события сети;
i=	n — номер конечного события сети;
То — желательное время завершения проекта.
Во введенных обозначениях соответствующая модель линейного программирования имеет вид:
ХКЦ -» min
i,j
X > X + t - Y , J I и 4
Y < M , а и
X, = 0 ,
X <Tn, i> O’
X > 0 ,Y > 0 , 	о
i,j = 1...П, i *j.
Составление графика расходования средств. Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля за этим процессом может быть использован метод PERT/COST. Конечная цель системы PERT/COST состоит в том, чтобы затраты на реализуемый проект соответствовали принятой смете. Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно предполагает выявление всех затрат на проект, а затем разработку или прогнозирование распределения этих затрат во времени в ходе выполнения проекта. Затем на различных стадиях выполнения проекта фактически сложившиеся затраты можно сравнить с планируемыми, или сметными; если фактические затраты превышают планируемые, то могут быть предприняты необходимые действия, направленные на то, чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планируемыми.
16-3178
121
Пример 1.
Перечень работ проекта,время их выполнения и оценки затрат на работы
Работа	Ожидаемое время, мес	Предшествующие работы	Сметные затраты, тыс р	Удельные затраты, мес
А	2	—	10	5
В	3	—	30	10
С	1	А	3	3
D	3	В	6	2
Е	2	В	20	10
F	2	C.D	10	5
G	1	Е	8	8
Итого.	87
Распределение работ во времени (итоги расчета критического пути)
Работа	ES	LS	EF	LF	3anac=LS-ES	На критическом пути9
А	0	3	2	5	3	
В	0	0	3	3	0	да
С	2	5	3	6	3	
D	3	3	6	6	0	ДА
Е	3	5	5	7	2	
F,	6	6	8	8	0	да
G	5	7	6	9	2	
Ожидаемая продолжительность проекта 8 мес.
Сметные затраты для графика с наиболее ранним началом работ
Работы	Месяцы							
	1	2	3	4	5	6	7	8
А В С В Е F G	5 10	5 10	10 3	2 10	2 10	2 8	5	5
Затраты в месяц	15	15	13	12	12	10	5	5
Затраты общие	15	30	43	55	67	77	82	87
122
Сметные затраты для графика с наиболее поздним началом работ
Работы	Месяцы							
	1	2	3	4	5	6	7	8
А				5	5			
В	10	10	10					
С						3		
D				2	2	2		
Е						10	10	
F							5	5
G								8
Затраты в месяц	10	10	10	7	7	15	15	13
Затраты общие	10	20	30	37	44	59	74	87
Менеджер может получить отчет о затратах в процессе работ в любой точке времени реализации проекта, собрав следующую информацию о каждой работе:
I) фактические затраты на сегодняшний день;
2) процент выполнения на сегодняшний день.
Это позволяет в случаях недорасходования или перерасходо-вания средств осуществлять корректирующие воздействия, сдвигая время начала выполнения отдельных работ и/или сокращая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.
161
123
ЗАДАЧИ
Задача 16.1
Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. Информация о проекте представлена в таблице.
Работа	Непосредственный предшественник	Нормальное время, нед	Минималь-ное время, нед	Затраты на работы	
				при нормальном времени, тыс р	при минимальном времени, тыс р
А	-	3	1	900	1700
В	-	6	3	2000	4000
С	А	2	1	500	1000
D	В,С	5	3	1800	2400
Е	D	4	3	1500	1850
Е	Е	3	1	3000	3900
G	в,с	9	4	8000	9800
н	F,G	3	2	1000	2000
Предположим, что проект должен быть выполнен за 16 недель.
А. Сформулируйте модель линейного программирования, которую можно было бы использовать для определения сокращения времени за счет привлечения дополнительных ресурсов применительно к данному проекту.
Б. Найдите решение задачи линейного программирования и определите минимальные затраты на сокращение продолжительности выполнения работ.
1. Какова сумма дополнительных затрат на то, чтобы проект был выполнен за 16 недель (тыс.р.)?
2. Следует ли сократить время выполнения работы Е ?
Задача 16.2
Рассмотрите следующую сеть проекта с показателями продолжительности работ в днях (рис. 16.2).
Информация о затратах на сокращение продолжительности работ за счет привлечения дополнительных финансовых средств приводится в таблице.
124
Рис 16 2
Работа	Непосредсг-венный предшественник	Нормальное время, дней	Мини-мальное время, дней	Затраты на работы	
				при нормальном времени, тыс р	при минимальном времени, тыс р
А	-	3	2	800	1400
В		2	1	1200	1900
С	А	5	3	2000	2800
D	В	5	3	1500	2300
L	C,D	6	4	1800	2800
Г	C,D	2	1	600	1000
G	F	2	1	500	1000
Найдите критический путь и ожидаемое время завершения проекта.
1.	Какова продолжительность проекта?
2.	Каковы затраты на выполнение проекта в целом при нормальной продолжительности работ (тыс.р.)?
Предположим, что руководство хотело бы завершить проект в 12-недельный срок.
3.	Сформулируйте модель линейного программирования, которую можно было бы использовать для определения сокращения времени за счет привлечения дополнительных ресурсов применительно к данному проекту.
4.	Какова общая сумма затрат на выполнение проекта в 12-недельный срок (тыс.р.)?
Задача 16.3
Информация о проекте приведена в таблице.
125
Работа	Непосредственный предшественник	Нормальное время, мес	Минималь-ное время, мес	Затраты на работы	
				при нормальном времени, тыс р	при минимальном времени, тыс р
А		4	2	50	70
В	-	6	3	40	55
С	А	2	1	20	24
D	А	6	4	100	130
Е	с, В	3	2	50	60
F	С, В	3	3	25	25
G		Р,Е	5	3	60	75
Найдите критический путь и ожидаемое время завершения проекта.
1.	Какова продолжительность проекта?
2.	Каковы затраты на выполнение проекта в целом при нормальной продолжительности работ (тыс.р.)?
Предположим, что руководство хотело бы завершить проект в 12-месячный срок. Сформулируйте модель линейного программирования, которую можно было бы использовать для определения сокращения времени за счет привлечения дополнительных ресурсов применительно к данному проекту.
3.	Какова общая сумма затрат на выполнение проекта в 12-месячный срок (тыс.р.)?
Задача 16.4
Отдел ЭВМ экономического факультета МГУ разработал предложения по внедрению новой компьютерной системы для нужд администрации факультета. В предложения включен перечень работ, которые необходимо выполнить, чтобы ввести систему в действие. Соответствующая информация представлена в таблице.
Рабо-	Содержание работы	Непосред-	Нормаль-	Мини-	Затраты на работы	
та		ственно предшествующая работа	ное время, нед	маль-ное время, нед	при нормальном времени. тыс р	при минимальном времени, тыс р
А	Определить потребности	—	10	8	30	70
В	Заказать оборудование	А	8	6	120	150
С	Установить оборудование	В	10	7	100	160
D	Создать компьютерный класс	А	7	6	40	50
Е	Провести курс обучения	D	10	8	50	75
F	Опробовать систему	С,Е	3	3	60	—
126
1.	Каково ожидаемое время завершения проекта?
2.	Предположим, что факультет хочет выполнить проект за 6 месяцев (26 недель). Каковы дополнительные затраты на проект, требуемые для его выполнения в 6-месячный срок (тыс.р.)?
Задача 16.5
Ниже приведено табличное представление сети проекта подготовки к переходу на производство нового изделия на московском часовом заводе. Нормальное время, отводимое на производство работ, и ожидаемые затраты (млн р.) на их выполнение см. в таблице.
Работа	Содержание работы	Непосредственный предшественник	Нормальное время, нед	Ожидаемые затраты, млн р
А	Подготовить конструкторский проект продукта	-	6	90
В	Разработать план исследования рынка	и.	2	16
С	Подготовить маршрутные карты (производственный отдел)	Л	3	3
D	Построить прототипную модель	А	5	100
Е	11одготовить рекламную брошюру	А	3	6
F	11одготовить оценки затрат (конструкторский отдел)	С	2	2
О	Провести предварительное тестирование изделия	D	3	60
н	Выполнить исследование рынка	В,Е	4	20
1	Подготовить доклад о ценах и прогнозах	Н	2	4
J	11одготовить заключительный доклад	F.G.1	2	2
А. Подготовьте смету общих затрат на проект, основанную на графиках наиболее раннего и наиболее позднего времени начала работ. Постройте график возможных смет затрат на проект.
Б. Используя данные по проекту МЧЗ, подготовьте анализ PERT/COST применительно к каждой из нижеследующих точек во времени. Для каждого случая покажите перерасход или экономию средств. Примечание: если работа не содержится в перечне, приведенном ниже, исходите из предположения, что она еще не начиналась.
В. В конце 5-й недели.
Работа	Фактические затраты	Процент выполнения
А	62	80
В	6	50
127
Г. В конце 10-й недели.
Работа	Фактические за граты	Процент выполнения
А	85	100
В	16	100
С	1	33
D	100	80
Е	4	100
F	10	25
Д. В конце 15-й недели.
Работа	Фактические затраты	Процент выполнения
А	85	100
В	16	100
С	3	100
D	105	100
Е	4	100
F	3	100
G	55	100
Н	25	100
I	4	100
1.	Каковы экономия (+) или 5-и недели (млн р.)?
2.	Каковы экономия (+) или 10-и недели (млн р.)?
3.	Каковы экономия (+) или 15-й недели (млн р.)?
перерасход (—) средств в конце перерасход (—) средств в конце перерасход (—) средств в конце
Задача 16.6
Ниже представлена сеть, отражающая проект реконструкции склада.
Рис 16 3
128
В нижеследующей таблице приведены данные, характеризующие работы, предусмотренные проектом.
Работа	Ожидаемое время, нед	Дисперсия	Сметные затраты, тыс р
А	3	0.3	6000
В	2	0,5	4000
С	8	2,0	16000
D	0	0,0	0
Е	6	1,0	18000
F	4	0,2	20000
	5	0,4	15000
н	1	0,1	2000
I	0	0,0	0
J	5	1,0	5000
к	6	0,6	12000
А. Разработайте календарный график выполнения работ.
1 Какова продолжительность проекта?
2 Какова вероятность завершения проекта за 6 месяцев (26 недель)4 * * * * 9
Б. Разработайте смету PERT/COST суммарных затрат на проект на период его выполнения.
3.	Каковы будут сметные затраты на проект после 12 недель его осуществления (тыс.р.)?
В Предположим, что после 12 недель мы получили отчет о выполненных работах и работах, находящихся в производстве.
Работа	Фактические затраты	Процент выполнения
А	5000	100
В	4000	100
С	18000	100
D	9000	50
Е	18000	75
4. Каков перерасход средств в конце 12-й недели (тыс.р.)?
Ключевые слова
График расходования средств
Модель линейного программирования
Нормальная продолжительность работы
Нормальное распределение
Сметные затраты
Сокращение времени работы
Удельные затраты
Фактические затраты
17-3178
129
Таблица нормального распределения
Z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0 1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0.1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1379
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0.2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2518	° 2549
0,7	0,2580	0,2612	0,2642	0,2673	0,2704	0,2734	0,2764	0,2794	0,2822	.852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0.3106	<,,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0 3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0 3599	0.3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0.3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0.4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0.4222	0,4236	0.4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0.4535	0.4545
1,7	0,4554	0.4564	0,4573	0.4582	0,4591	0.4599	0,4608	0,4616	0.4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0.4767
2,0	0,4772	0.4778	0,4783	0,4788	0,4793	0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,4817
2,1	0,4821	0,4826	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4864	0,4868	0,4871	0,4875	0,4878	0,4881	0,4884	0,4887	0,4890
2,3	0,4893	0,4896	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0,4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0.4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4940	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4960	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0.4978	0,4979	0,4979	0,4980	0.4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4982	0,4983	0,4984	0,4984	0,4685	0,4985	0,4986	0.4986
3,0	0,4986	0,4987	0,4987	0,4988	0.4988	0.4989	0,4989	0,4989	0.4990	0,4990
Данные таблицы показывают, какую часть под кривой занимает область между средними издержками и значением z стандартного отклонения, превышающим среднее. Например, при z = 1,25 область под кривой между средним и z занимает часть площади, равную 0,394.
Раздел 8
МОДЕЛИ СЕТЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Глава 17
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ
Метод нахождения кратчайшего пути. Рассмотрим применение сетевого подхода к решению задачи, цель которой состоит в том, чтобы найти кратчайший путь в сети Покажем, как решать эту задачу, взяв в качестве примера ситуацию, с которой столкнулась некоторая строительная фирма “Инвест” Эта фирма осуществляет несколько строительных проектов в трех районах Строительство ведется на достаточно большом ( до 50 км) удалении от местоположения компании. Затраты на многочисленные ежедневные перевозки персонала, оборудования, материалов к объектам строительства и обратно существенны Применительно к кавдому строительному объекту альтернативы транспортных связей с компанией могут быть представлены сетью дорог, улиц и шоссе Сеть, показанная на рис. 17.1, отражает варианты перевозок к шести объектам строительства фирмы “Инвест” и от них.
Рис 17 I
Узлы сети соответствуют местоположению компании (узел 1) и объектов строительства. Дороги, улицы и шоссе представлены дугами сети. Расстояния между объектами показаны над датами.
17'
131
Заметьте, что длины дуг не обязательно пропорциональны расстояниям.
Фирма “Инвест” хотела бы определить пути, которые минимизировали бы общее расстояние от местоположения компании до каждого объекта. Чтобы решить проблему, нам необходимо определить кратчайший путь от фирмы (узла 1) до каждого из всех других узлов на сети. Метод, который мы рассмотрим, представляет собой процедуру присвоения меток, предназначенную для нахождения кратчайшего расстояния от узла 1 до всех других узлов. Выполняя шаги процедуры присвоения меток, мы будем придавать каждому узлу метку, состоящую из двух чисел, заключенных в скобки. Первое число отражает расстояние от узла 1 до данного узла, а второе — номер предыдущего узла на пути от узла 1 к данному узлу. Мы запишем метки для каждого узла непосредственно над или под ним.
На некотором шаге процедуры присвоения меток о некотором узле можно сказать, что он либо помечен, либо не помечен. Помеченный узел — это такой узел, для которого мы определили путь от узла 1, а для непомеченного узла мы пока еще такой путь не определили. Применительно к любому помеченному узлу мы можем сказать, что данный узел имеет либо постоянную, либо временную метку. Если метод определил кратчайшее расстояние от узла 1 к данному узлу, то об этом узле говорят, что ему присвоена постоянная метка (соответствующий пункт затемнен). Если кратчайший путь от узла 1 до данного узла еще не определен, то об этом узле говорят, что ему присвоена временная метка (для ее обозначения используются прямоугольные скобки [ ]).
Теперь, когда мы знаем, что представляют собой метки, рассмотрим, как они рассчитываются и как процесс присвоения меток может быть использован для определения кратчайшего пути от узла 1 до каждого из всех других узлов сети.
Мы начнем процесс помечивания с присвоения постоянной метки узлу 1. Буква S означает, что узел 1 является начальным, стартовым узлом, а 0 означает, что расстояние между узлом 1 и самим собой равно нулю.
Первоначальные обозначения на сети фирмы “Инвест” показаны на рис. 17.2. Постоянная метка присвоена только узлу 1.
Чтобы выполнить первый шаг (или итерацию) процедуры присвоения меток, мы должны рассмотреть каждый узел, в который можно попасть непосредственно из узла 1; в данном случае мы видим узлы 2 и 3. Рассмотрим сначала узел 2. Мы видим, что прямое расстояние от узла 1 до узла 2 составляет 15 км. Тогда узлу 2 может быть присвоена временная метка [15,1]. Первое число оз-
132
начнет, что в узел 2 можно попасть, преодолев 15 км, а второе число говорит о том, что предшествующим узлом на пути является узел 1. Затем, рассмотрев таким же образом узел 3, мы можем присвоить ему метку [ 10,1 ].
Временные метки для узлов 2 и 3 указаны на рис. 17.3. Мы можем теперь рассмотреть все узлы с временными метками и выбрать узел с минимальным расстоянием, отображенным на метке-выбираем узел 3. Временная метка при этом узле показывает, что мы можем достичь узла 3 из узла 1, преодолев дистанцию в 10 КЯ-Можем ли мы достичь узла 3 по более короткому пути? Поскольку любой другой путь к узлу 3 потребует прохождения через другие Узлы и поскольку расстояние от узла 1 до всех других узлов больше или равно 10, то более короткий путь к узлу 3 не может быть
133
найден путем прохождения через любые другие узлы Таким образом, мы определили кратчайшее расстояние до узла 3 и соответственно можем присвоить этому узлу постоянную метку. Это означает, что мы можем приступить к следующему шагу процедуры, отталкиваясь от узла 3. Полученная ситуация показана на рис 17.4.
Рис 17 4
Узлу 3 присвоена постояная метка
Далее мы переходим к рассмотрению всех узлов, которые еще нс имеют постоянных меток и непосредственно связаны с узлом 3, т е. мы рассматриваем узлы 2 и 5. Мы можем достичь узла 2, преодолев 10+3=13 км, а узла 5 — преодолев 10+4=14 км. Временная метка для узла 2 меняется на [13,3], и это означает, что мы нашли новый путь от узла 1 к узлу 2 с расстоянием 13 км и что предшествующий узел на пути к узлу 2 есть узел 3. Соответственно, узлу 5 мы присваиваем временную метку [14,3]. На рис. 17.5 отображены результаты расчетов на этом шаге.
Теперь снова рассмотрим все узлы с временными метками и выберем из них ту, которая имеет в своем обозначении кратчаи-
134
шее расстояние. Из рис. 17.5 видно, что это метка при узле 2 с расстоянием 13 км Она теперь получает статус постоянной, и мы знаем, что из узла 1 ее можно достичь через узел 3, а расстояние в 13 км является кратчайшим между пунктами 1 и 2.
Следующий шаг, или итерация, начинается в узле 2, последнем, помеченном постоянной меткой. Как и раньше, мы рассмотрим каждый узел с непостоянной меткой, непосредственно связанный с узлом 2, т.е. узлы 4 и 7. Начиная с расстояния в 13 км в постоянной метке узла 2 и прибавляя расстояния до узлов, непосредственно связанных с узлом 2, мы видим, что узел 4 может быть достигнут путем преодоления 13+6=19 км, а узел 7 — путем преодоления 13+17=30 км. Временные метки для узлов 4 и 7 пока-
[10,1]
Рис 17 6
Из узлов с временными метками (узлы 4,5 и 7) выбираем узел с наименьшим расстоянием и присваиваем его метке статус постоянной. Это узел 5. Помечаем временными метками все узлы, непосредственно связанные с эти узлом. При этом метка при узле 4 пересматривается, а узел 6 помечается временной меткой. Ситуация отражена на рис. 17.7
135
Рис. 17.8
Из трех узлов, имеющих теперь временные метки, выбираем тот, у которого расстояние является наименьшим. Это узел 6. Его метка становится постоянной. Из узла 6 мы определяем новую временную метку для узла 7. Ситуация после этого шага представлена на рис. 17.8.
Теперь у нас остались только два узла с временными метками. Узел 4 характеризуется наименьшим расстоянием. Его метка становится постоянной. Поскольку узел 7 остается единственным с временной меткой и может быть достигнут непосредственно из узла 4, мы сравниваем уже установленное расстояние в 22 км с дистанцией в метке узла 4 плюс прямое расстояние между узлами 4 и 7. Заметьте, что временная метка [22,6] уже содержит в узле 7 меньшую величину расстояния; метка при узле 7 поэтому не подвергается изменению.
Поскольку узел 7 — последний узел с временной меткой, то она становится постоянной. Как только все узлы помечены постоянными метками, мы можем заявить, что знаем кратчайшие расстояния от узла 1 к любому другому узлу на сети. На рис. 17.9 представлена сеть со всеми узлами, имеющими постоянные метки.
Теперь мы можем использовать информацию в постоянных метках‘для нахождения кратчайшего пути из узла 1 в любой другой узел. Например, постоянная метка в узле 7 говорит нам, что наименьшее расстояние от узла 1 до узла 7 составляет 22 км. Чтобы найти конкретный путь, нужно сначала найти соседний узел на кратчайшем расстоянии от узла 1 до узла 7. Это узел 6. К узлу 6 мы на этом пути пришли через узел 5. Продолжив этот процесс, мы увидим, что кратчайший путь проходит также через узел 3, а затем ведет к узлу 1. Таким образом, кратчайший путь от узла 1 до узла 7 есть путь 1—3—5—6—7. Используя этот подход, мы можем
136
Рис. 17.9 определить кратчайшие пути применительно к сети компании “Инвест”:
Узел	Кратчайший путь из узла 1	Расстояние, км
2	1-3-2	13
3	1-3	10
4	1-3-5-4	18
5	1-3-5	14
6	1-3-5-6	16
7	1-3-5-6-7	22
Заключительные замечания.
1. Во многих случаях метод присвоения меток применяется для решения задач на минимизацию времени или затрат. Поскольку же алгоритм предназначен для нахождения минимальных величин, он не может применяться, когда критерием является показатель прибыли.
2. В некоторых случаях дуги приходится обозначать отрицательными величинами. Если вы оперируете затратами, то отрицательная величина будет означать прибыль. Приведенный алгоритм может применяться только для случаев с положительными величинами, характеризующими дуги. Для случаев с комбинацией положительных и отрицательных величин имеется более сложная процедура, которая нами не рассматривается.
ЗАДАЧИ
Задача 17.1
Узел 7 — это склад, а остальные узлы — строительные площадки компании. Показатели на дугах — расстояния в километрах.
18~3178
137
Найдите кратчайшие расстояния от склада до каждой строительной площадки.
1.	Какова длина (км) кратчайшего пути от склада до строительной площадки 1?
2.	Проходит ли кратчайший путь от склада к строительной площадке 1 через строительную площадку 2?
3.	Какова длина (км) кратчайшего пути от склада до строительной площадки 2?
4.	Проходит ли кратчайший путь от склада к строительной площадке 2 через строительную площадку 4?
Л
1 Задача 17.2
Ниже представлена сеть, где показатели на дугах отражают время в минутах, требующееся для проезда от одного узла до другого. Найдите пути, которые потребуют минимального времени
138
для преодоления расстояния от узла 1 (места расположения штаб-квартиры строительной компании) до всех остальных узлов (строительных площадок).
1.	Каково минимальное время, необходимое для того, чтобы от штаб-квартиры добраться до строительной площадки 7?
2.	Проходит ли кратчайший по времени путь от склада к строительной площадке 7 через строительную площадку 4?
3.	Каково минимальное время, необходимое для того, чтобы от штаб-квартиры добраться до строительной площадки 6?
Задача 17.3
Найдите кратчайший путь между узлами 1 и 8 на следующей сети.
Рис 17 12
1. Какова длина кратчайшего пути?
2. Проходит ли кратчайший путь через узел 3?
Задача 17.4
Нарисуйте сеть, представленную следующей таблицей.
Дуга		Расстояние, КМ	Дуга		Расстояние, КМ
из узла	в узел		из узла	в узел	
1	2	1	4	5	12
1	3	5	4	6	14
1	4	2	5	8	3
2	5	13	5	9	9
2	6	12	6	8	6
2	7	11	6	9	5
3	5	6	7	8	8
3	6	10	7	9	10
3	7	4	8	10	5
			9	10	2
18'
139
На этой сети найдите кратчайший маршрут между узлами 1 и 10.
1	Какова длина кратчайшего пути между узлами 1 и 109
2	Проходит ли кратчайший путь через узел 3?
Задача 17.5
Компания грузовых перевозок Краснера осуществляет услуги по перевозке грузов между Воронежем (В) и райцентрами Если компания получает заказ на обслуживание, она как можно быстрее посылает грузовик в райцентр, из которого поступил заказ. Поскольку для Краснера существенны и быстрое обслуживание, и минимальные транспортные затраты, большое значение приобретает то, что грузовик проследует из Воронежа в соответствующий райцентр по наиболее короткому маршруту Предположим, что сеть, представленная ниже, отображает сеть дорог применительно к данной задаче Расстояния указаны в км
Найдите кратчайшие маршруты от Воронежа до всех 10 райцентров
1	Какова д лина кратчайшего пути от Воронежа до райцентра 109
2	Какова длина кратчайшего пути от Воронежа до райцентра 89
3	Какова длина кратчайшего пути от Воронежа до райцентра 69
Задача 17.6
Управление таксомоторных парков муниципалитета г Москвы определило места расположения 10 основных стоянок такси на территории города Стремясь минимизировать время на поездки, улучшить обслуживание пассажиров и рационализировать использование автомашин, руководство требует, чтобы водители ис
140
пользовали кратчайшие маршруты между стоянками всегда, когда это возможно Используя сеть улиц города, представленную ниже, определите, каким маршрутом должен следовать водитель, если он отправляется со стоянки 1 на стоянку 10 Время в минутах проставлено у каждой из дуг сети
Рис 17 14
1	Какова продолжительность в минутах кратчайшего пути от стоянки 1 до стоянки 109
2	Проходит ли этот кратчайший путь через стоянку 49
3	Проходит ли этот кратчайший путь через стоянку 6 9
Задача 17,7
Конфетная компания производит разнообразные кондитерские продукты Грузовики компании доставляют их по локальным заказам непосредственно в розничные торговые точки Пока компания была небольшой, водшели грузовиков свободно выбирали маршруты доставки Однако когда бизнес приобрел солидные масштабы, затраты на транспортировку стали значительными Пытаясь повысить эффективность операции по доставке, руководство
Рис 17 15
141
компании хотело бы определить кратчайшие маршруты между розничными торговыми точками. Например, выше представлена сеть, отражающая дороги, по которым можно следовать между торговыми точками в узлах 1 и 11.
1. Какова длина кратчайшего маршрута, которым должен следовать грузовик из узла 1 в узел 11?
2. Проходит ли кратчайший путь через узел 6?
Задача 17.8
Пять узлов на сети, представленной ниже, отражают точки во времени, с первого по четвертый год. Каждый узел означает время, когда принимается решение: оставить или заменить компьютерное оборудование. Если принимается решение заменить оборудование, то одновременно должно быть принято и решение, как долго это оборудование предполагается использовать. Дуга от узла О к узлу 1 означает решение сохранить имеющееся оборудование до конца первого года, а в конце года заменить его. Дуга от узла О до узла 2 означает решение сохранять имеющееся оборудование в течение двух лет и заменить его в конце второго года. Числа над дугами показывают суммарные затраты, связанные с решением о замене оборудования. Эти затраты включают в себя дисконтированную цену на оборудование, текущие затраты, затраты на ремонт и т.д. Определите политику замены оборудования с минимальными затратами на четырехлетний период.
1. Каковы минимальные затраты на замену оборудования?
2. Следует ли проводить замену оборудования в году 1?
142
Ключевые слова
Дуга
Кратчайший путь
Сеть
Узел сети
Глава 18
ПОСТРОЕНИЕ КОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ МИНИМАЛЬНОЙ длины
Коммуникационная сеть минимальной длины, или дерево кратчайших расстояний, — это совокупность дут сети, имеющая минимальную суммарную длину и обеспечивающая достижение всех узлов сети.
Рассмотрим задачу регионального вычислительного центра.
Юго-Западный региональный вычислительный центр должен установить специальные линии связи между пятью локальными потребителями и новым центральным компьютером. Телефонная компания берется проложить новую сеть связи. Однако организация связи — дело дорогостоящее. Чтобы сократить затраты, руководство центра решило, что общая протяженность линий связи в сети должна быть минимальной. Хотя центральный компьютер может быть связан с каждым потребителем в отдельности, более экономичным было бы установить прямую связь с частью потре-бителей.а остальных связать с центральным компьютером через потребителей, которые уже получили эту связь. Определение такой системы связи минимальной длины представляет собой пример дерева кратчайших расстояний. Сеть применительно к этой задаче с различными возможными альтернативами связи и расстояний показана на рис. 18.1.
Метод, который может быть использован для решения задачи нахождения дерева кратчайших расстояний, очень прост.
Рис 18 1
143
Шаг 1. Начните произвольно с любого узла и соедините его с ближайшим узлом. Эти два узла теперь рассматриваются как связанные узлы, а остальные — как несвязанные узлы.
Шаг 2. Определите несвязанный узел, который наиболее близок к одному из связанных узлов. Если два или более узлов можно рассматривать как ближайшие, то выберите любой из них. Добавьте этот новый узел к связанным узлам. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока все узлы не станут связанными.
Этот сетевой алгоритм легко реализуется, если выбирать связи непосредственно на графе сети.
Обращаясь к сети связи для регионального вычислительного центра и начиная с узла 1, мы находим, что ближайшим является узел 2 с расстоянием 20. Используя жирные линии для пометки дуги, обеспечивающей соединение узлов 1 и 2, мы приходим у следующему результату, характеризующему шаг 1 (рис. 18.2).
На втором шаге метода находим, что несвязанный узел, ближайший к одному из связанных узлов, есть узел 4 с расстоянием 30 км от узла 1. Добавляя узел 4 к множеству связанных узлов, мы получаем следующий результат (рис. 18.3).
Повторение шага, заключающегося в добавлении ближайшего несвязанного узла к связанному сегменту сети, дает нам реше
ние задачи о дереве кратчайших расстояний, показанное на рис. 18.4. Повторяйте шаги метода и посмотрите, получите ли вы решение. Минимальная длина дерева представлена суммой расстояний на дугах, образующих дерево. В данном случае сумма расстояний в сети регионального вычислительного центра составляет ПО км. Заметим, что хотя дуги сети вычислительного центра измерялись и километрах, другие сетевые модели могут характеризоваться совсем другими показателями — затратами, временем и т.д. В таких случаях алгоритм дерева кратчайших расстояний будет приводить к оптимальному решению (минимальные затраты, минимальное время и т.д.) применительно к рассматриваемому критерию.
ЗАДАЧИ
Задача 18.1
Найдите дерево кратчайших расстояний для следующей сети службы пожарной безопасности (рис. 18.5).
Рис 18 5
19-3178
145
144
1.	Какова минимальная длина связного дерева?
Задача 18.2
В Москве возможно строительство нового парка. Дизайнеры определили идеальные места расположения павильонов, торговых палаток, пикников, лодочных станций, открытых сцен и т д. Эти места представлены узлами на сети, приведенной ниже (рис. 18.6). Дуги сети отражают возможные альтернативы дорожек в парке. Дизайнеры хотят минимизировать общую протяженность дорожек, которые требуется провести в парке, и при этом обеспечить доступ ко всем узлам. Какое решение вы им предложите9
Какова минимальная общая протяженность дорожек?
Задача 18.3
общая длина и трассировка конвейерной системы, которая позволит посылать образцы продукции со всех участков в лабораторию?
Рис 18 7
Какова минимальная общая протяженность конвейера?
Задача 18.4
Московский университет устанавливает компьютерную систему электронной почты, которая позволит передавать сообщения между деканатами восьми факультетов. Сеть возможных электронных связей между деканатами показана ниже (рис 18.8) Протяженность коммуникации в километрах отмечена на дугах. Предложите проект системы связи, которая позволит всем восьми деканатам обеспечить доступ к системе электронной почты. Ваше решение должно обеспечить минимально возможную общую длину коммуникации.
На большом предприятии по производству мыла инспекторы осуществляют контроль качества на различных производственных участках, а затем возвращаются в лабораторию с образцами продукции для анализа. Процесс инспектирования слишком затянут, так как инспекторы тратят значительное время на доставку образцов с производственных участков в лабораторию. Компания рассматривает возможность установки пневматических труб, которые можно было бы использовать для доставки образцов в лабораторию. Сеть отражает расположение лаборатории и производственных участков (узлов), на которых берутся образцы (рис. 18.7). Дуги представляют собой альтернативы конвейерной системы Расстояния на дугах сети показаны в сотнях метров. Каковы минимальная
19*
146
147
1.	Какова минимальная общая протяженность сети связи?
Задача 18.5
Фирма “Маманин & Ко” получила заказ на прокладку кабеля для кабельного телевидения в районе Ясенево (Москва). Узлы сети, приводимой ниже, отражают точки, к которым должна быть подведена кабельная сеть (рис. 18.9). Дуги сети показывают количество километров между точками подвода кабеля. Предложите решение, которое позволит обеспечить доступ кабельной сети ко всем точкам, но при этом общая протяженность кабельных линий будет минимально возможной.
Какова минимальная общая протяженность кабельной сети?
Глава 19
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА
Рассмотрим сеть с одним узлом входа, или источником, и одним узлом выхода, или стоком. При постановке задачи с максимальными потоками задается вопрос: какова максимальная величина потока (количество машин, сообщений, жидкости и т.д.), который может войти в сетевую систему и выйти из нее в заданный период времени? Отвечая на этот вопрос, мы пытаемся направить поток через дуги сети наиболее эффективным способом Интенсивность потока не беспредельна из-за ограничений на различные дуги сети. Например, автомобильные трассы ограничива
ют число автомобилей в транспортной системе, величина трубопроводов ограничивает количество нефти в системе ее распределения. Максимум, или верхнее ограничение на поток, в дуге сети будем рассматривать как пропускную способность, или мощность, дуги. Далее мы предполагаем, что поток, вытекающий из узла, равен потоку, втекающему в узел.
В качестве примера задачи с максимальными потоками рассмотрим систему автомобильных дорог в Волоколамском районе Московской области. Поток автомобилей в направлении северо-запад — юго-восток достигает уровня 15 000 автомобилей в час в наиболее напряженное время. В соответствии с летней программой текущего ремонта дорог, предусматривающей временное закрытие проселочных дорог и дополнительное ограничение скорости, областная администрация предложила сеть альтернативных путей. Альтернативные пути включают в себя как другие шоссейные дороги, так и городские улицы Волоколамска. Из-за различий в ограничениях на скорость и сложившихся автомобильных потоков мощности дуг сети в значительной степени зависят от того, какие дороги или улицы они отображают. Предлагаемая сеть с показателями мощностей дуг представлена на рис. 19.1.
Рис. 19.1
Мощность потока зависит от направления потока. Например, Дорога, отображенная дугой 1—2, имеет мощность 5000 автомобилей в час в направлении от 1 к 2; проектировщики предполагает, что здесь будет введено одностороннее движение, поэтому Мощность дуги в направлении от 2 к 1 равна нулю. Поскольку
148
149
узел 1 является входным и потенциально грозит автомобильными пробками, было бы нежелательно допускать выходной поток в этот узел. Следует заметить, однако, что мощности потоков на дугах могут зависеть от направлений потоков.
Как мы увидим, алгоритм максимального потока, представленный в этом разделе, основан на использовании здравого смысла, 1. Найдите путь от входного узла (источника) до выходного узла (стока), который характеризуется отличными от нуля мощностями на всех его дугах в направлении потока.
2.	Увеличьте потоки на пути настолько, насколько это возможно.
3.	Продолжайте искать такие пути от источника до стока, которые характеризуются отличными от нуля мощностями дуг на всем пути в направлении потока, и увеличивайте поток этих путях настолько, насколько это возможно.
4.	Остановите процесс поиска тогда, когда станет невозможным дальнейшее нахождение пути от источника до стока с отличными от нуля мощностями всех дуг на пути в направлении потока.
Прежде чем рассмотреть детали алгоритма максимального потока, обсудим в общих чертах процедуру, которая убедит нас в том, что представленные выше шаги приводят к оптимальному решению задачи нахождения максимального потока от узла-источника к узлу-стоку.
Процедура позволяет первоначально определенному потоку принять альтернативный путь, используя фиктивные потоки в обратном направлении. Рассмотрим, например, дугу 3—6 на рис. 19.2а.
Рис. 19.2 а	Рис. 19.2 б
Первоначальная мощность потока в направлении 3—6 составляет 7000 автомобилей в час, в то время как в направлении 6—3 поток запрещен. Если мы допустим, что в направлении 6—3 будет двигаться поток 6000 автомобилей в час, то мы пересмотрим мощности потока и получим результат, показанный на рис. 19.26.
Отметим, что мы уменьшили мощность потока в направлении 3—6 на 6000 автомобилей в час и одновременно на ту же величину увеличили мощность потока в направлении 6—3. Пересмотренная мощность потока, равная 1000 автомобилей в час в направлении 3—6, теперь может интерпретироваться как остаточная мощность потока по дуге. Однако заметьте, что направление 6—3, которое раньше имело нулевую мощность, теперь характе-
ризуется пересмотренной мощностью потока, равной 6000 автомобилей в час. Теперь в этом направлении дозволен фиктивный Поток до 6000 автомобилей в час. Фиктивный поток не означает, что автомобили будут посланы в направлении 6—3, просто поток в направлении 3—6 будет ограничен по сравнению с первоначальным. А результатом введения фиктивного потока 6—3 будет являться то, что поток, первоначально направленный по дуге 3—6. будет в определенной части распределен между другими дугами сети.
Представленный выше процесс распределения мощностей потоков представляет собой важную часть метода максимального потока. Например, на предыдущем шаге метода мы можем зафиксировать поток на некоторой дуге. Позже из-за потоков, определенных на других дугах, может оказаться желательным уменьшить поток на первоначальной дуге. Процедура, которую мы описали выше, определит, в какой мере наше первоначальное решение зафиксировать некоторый поток следует пересмотреть, чтобы увеличить общий поток через сеть.
Рассмотрим теперь шаги метода максимального потока.
Шаг 1. Найдите какой-либо путь от узла-источника до узла-стока, который образован дугами, каждая из которых имеет в направлении потока мощность, превышающую нулевую. Если такой путь не обнаружен, то оптимальное решение достигнуто.
Шаг 2. Найдите наименьшее значение мощности дуги Pf на пути, выбранном на шаге 1. Увеличьте поток через сеть, направив количество Pf по пути, выбранному на шаге 1.
Шаг 3. На пути, выбранном на шаге 1, сократите на Pf мощности потоков на всех дугах в направлении потока и увеличьте на Pf мощности потоков на всех дугах в обратном направлении.
Перейдите к шагу 1.
Хотя процедура будет различной в зависимости от выбора путей на шаге 1, тем не менее алгоритм приведет к нахождению максимального потока. Наши расчеты применительно к сети дорог будут следующими.
Итерация 1. Выбран путь 1—3—6—7. Рр определяемая дугой 1—3, составляет 6. Пересмотренная сеть показана на рис. 19.3.
Итерация 2. Выбран путь 1—2—5—7. Р(, определяемая дугой 2—5, составляет 3 (рис. 19.3)
Общий поток через сеть может быть найден путем суммирования значений Pf на каждой итерации. Выполним еще три итерации.
Итерация 3. Выбран путь 1—2—3—5—7. Рр определяемая дугой 1~~2 (или 2—3), составляет 2.
Итерация 4. Выбран путь 1—4—6—7. Р(, определяемая дугой ^—7, составляет 1.
150
151
Рис 19.3
Итерация 5. Выбран путь 1—4—6—5—7. Рр определяемая дугой 6—5, составляет 1.
Теперь мы имеем общий поток, равный 13 тыс. автомобилей в час, и следующие пересмотренные показатели мощности дуг (рис. 19.5).
152
Существуют ли еще пути от узла 1 до узла 7, которые имеют в направлении потока мощности, превышающие 0? Попробуйте 1— д_-6—3—5—7 с потоком Р = 1, определяемым дугой 3—5. Это увеличивает поток до 14 тыс. автомобилей в час. Однако из приводимой ниже пересмотренной сети вы можете видеть, что больше не существует путей из узла 1 в узел 7 с мощностью, превышающей нуль на всем пути; таким образом, 14 тыс. — это максимальный поток через сеть (рис. 19.6).
Рис 19 6
Обратите внимание на то, что поток в 1000 автомобилей в час в направлении 6-3 стал разрешен на итерации 6. Однако из начальной сети мы знаем, что мощность потока в направления 6—3 равна нулю; таким образом, 1 тыс. единиц в час в направлении 6—3 представляет собой фиктивный поток. Реальный же эффект этого потока состоит в том, что 1 тыс. единиц потока, первоначально отданного дуге 3—6 на итерации 1, теперь предназначается дуге 3—5, чтобы сделать возможным добавить к общему потоку через сеть эту 1 тыс. единиц. Давайте теперь определим величину и направление потока на каждой дуге — так, чтобы достичь общей величины в 14 тыс. автомобилей в час.
Потоки по дугам для достижения максимального общего потока могут быть найдены путем сравнения конечных мощностей потоков по дугам с первоначальными мощностями. Если конечная мощность потока меньше первоначальной мощности потока, поток происходит по дуге с величиной, равной разнице «жду первоначальной и конечной мощностями потока. Рассмотрим, например, дугу 3—6 с первоначальной и конечной мощностями, показанными ниже.
Поскольку конечная мощность потока в направлении 3—6 Меньше первоначальной мощности потока, дуга имеет величину
20-3178
153
потока, равную 7 — 2 = 5 в направлении 3—6 Этот поток по дуге выражен следующим образом (рис 19.7а и 19 76).
Рис 19 7а	Рис 19 76
Сравнивая конечные и начальные мощности потока для всех дуг сети, мы получаем конечную модель потоков (рис 19.8).
Рис 19 8
Рис 19 9
2 Сколько автомашин в час должно проехать по дороге 5—6, чтобы обеспечить максимальный поток?
Задача 19.2
Результаты анализа максимального потока показывают, что планируемая сеть дорог не сможет выдержать пиковои нагрузки в 15 тыс автомобилей в час При планировании транспортировки необходимо либо расширить сеть дорог и увеличить действующие мощности потоков на дугах, либо подготовиться к серьезным проблемам, связанным с образованием автомобильных пробок Если сеть будет расширена или модифицирована, то последующий анализ максимального потока даст возможность определить, в какой степени достигнуто улучшение
Телефонная компания использует подземную кабельную сеть линии связи для обеспечения высококачественной аудиосвязи между двумя большими городами (узлы 1 и 7 сети) (рис 19 10) Переговоры осуществляются через серию кабельных линии и соединяющие их узлы сети, как это показано на рисунке. На нем показано также число телефонных переговоров (тыс.), которое допускается одно ременно в любой точке времени.
ЗАДАЧИ
Задача 19.1
Система автодорог “Север—Юг”,проходящих через Псковскую область, может обеспечить пропускные способности, показанные на приводимом ниже рисунке (тыс автомашин в час) (рис 19 9)
1 Каков максимальный поток через эту систему ( тыс автомашин в час)?
Рис 19 10
1 Каково максимальное число телефонных переговоров меж-ИУ двумя городами, которое может быть допущено одновременно (тыс шт.)?
20*
155
154
2 Какое число телефонных переговоров должно обеспечиваться кабелем 4—71 2 * * * * 7 *
Задача 19.3
Нефтяная компания “Лукойл” владеет сетью нефтепроводов, через которые нефть перекачивается от месторождений до нефтехранилищ Часть этой сети представлена на рис 19 11 (пропускная способность нефтепроводов показана в тыс т/ч)
1 Если фирма хочет поставить нефть в хранилище 7 и полностью использовать пропускную способность системы, то сколько времени займет поставка в седьмое нефтехранилище 10 тыс.т нефти9
2 Если на линии 2—3 случится авария и она будет закрыта,каким будет максимальный поток для системы (тыс т/ч)7
Задача 19.4
1 Чему равен максимальный поток автомашин (количество
автомашин в час) для системы автодорог, представленной
на рис 19 127
Рассматривается зможность введения секции 3—4 с пропускной способностью 3 тыс автомашин в час
2 На сколько увеличится величина максимального потока ав-
томашин7
Химический завод имеет сеть труб, предназначенных для перемещения жидких химических продуктов из одних частей предприятия в другие Сеть труб и пропускные способности (т/мин) показаны на рис 19 13
1	Каков максимальный поток для системы, еслх компания собирается перегнать из узла 1 в узел 9 стойко жидких химикатов, сколько это возможно?
2	Сколько химикатов будет поступать через секцию 3—57
Ключевые слова
Источник
Максимальный поток Пропускная способность Сеть
Сток
156
157
Раздел 9
МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ПЛАНИРОВАНИИ
Глава 20
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИ РОВАН ИЯ
Дискретные (целочисленные) задачи математического программирования могут возникать различными путями. Существуют задачи линейного программирования, которые формально к целочисленным не относятся (требование целочисленности переменных в них в явном виде не накладывается), но которые при целочисленных исходных данных всегда обладают целочисленным планом. Этим свойством обладает транспортная задача и различные ее варианты (задача о назначениях).
Первоначальным и наиболее естественным стимулом к изучению целочисленных и дискретных задач в собственном смысле слова явилось рассмотрение задач линейного программирования, в которых переменные представляли физически неделимые величины (скажем, количества единиц продукции разных видов). Для характеристики этого класса моделей используется термин — задачи с неделимостями.
Другим важным толчком к построению теории дискретного программирования явился новый подход к некоторым экстремальным комбинаторным задачам, для решения которых приходится вводить булевы переменные, носящие логический характер (х = 1 или х=0).
Й целочисленным (точнее, частично целочисленным) задачам линейного программирования удается свести также ряд задач, в которых явное требование целочисленности отсутствует, но зато имеются некоторые особенности, выводящие их за рамки линейного программирования. Эти особенности могут относиться:
а)	к целевой функции либо
б)	к области допустимых решений.
Итак, можно выделить следующие основные классы задач дискретного программирования.
158
1.	Транспортная задача и ее варианты.
2.	Задачи с неделимостями.
3.	Экстремальные комбинаторные задачи.
4.	Задачи с неоднородной разрывной целевой функцией.
5.	Задачи на неклассических областях.
Целочисленная задача линейного программирования. Целочисленная задача линейного программирования заключается в максимизации функции
СЛ + С2х2 + ... + СЛ ,	(1)
при условиях апх( + а(2х2 + ... + а1пхп < Ь(,
а21Х, + а22х2 + ... + а21хо < Ь2,	(2)
а ,х, + а ,х, + ... + а„,х < b ,
ml I m2 2	mn n m’
x(> 0, x2 > 0, ..., xn> 0,	(3)
Xj — целые числа, j € J,	(4)
где J — некоторое подмножество множества индексов N —{1, 2.. и}. Если J = N (т.е. требование целочисленности наложено на
все переменные), то задачу называют полностью целочисленной; если же J < N, она называется частично целочисленной.
Модель (1)—(4) естественно интерпретировать, например, в следующих терминах. Пусть через i=l,2,...,m обозначены производственные факторы, через j=l,2,..., п — виды конечной продукции. Обозначим далее:
а — количество факторов i, необходимое для производства единицы продукта j,
Ь — наличные ресурсы фактора i,
с — прибыль, получаемая от единицы продукта j.
Пусть продукты j для j € J являются неделимыми, т.е. физический смысл имеют лишь их целые неотрицательные количества (“штуки”)- Предположим, что целью является составление производственной программы, обеспечивающей максимум суммарной прибыли и не выводящей за пределы данных ресурсов. Обозначая через X' искомые объемы выпуска продукции, мы сводим эту задачу к модели (1)—(4).
Моделирование логической взаимосвязи в задаче с булевыми переменными.
Взаимоисключение. Запись PvP, обозначает, что в план может ныть включен либо проект Р , либо проект Рк. Вместе они включены быть не могут. С помощью этой записи выражается отношение взаимоисключения между проектами, направленными на решение одной задачи. Пусть х= 1, если проект Р реализуется, и х= 0 в противном случае. В этих обозначениях взаимозаключение PkvP выражается неравенством xk + xm < 1.
159
Взаимообусловленность. Запись Рк -> Р — проект Рк влечет за собой проект Р — означает, что проект Рк может быть включен в план только в том случае, если в план включен и проект Р. С помощью этой записи выражается отношение между обусловливающими друг друга проектами, например когда проект Рк является тиражированием проекта ?! на другом объекте или когда Р базируется на результатах реализации проекта Р.
В принятых обозначениях взаимообусловленность Pk -> Р выражается неравенством хк< х^
Пример. Имеется 10 работ, каждая из которых характеризуется тремя технико-экономическими показателями: а — объем работы, b — размер необходимых капвложений, с — ожидаемый годовой экономический эффект.
Работа	Р|	Рэ		Р4	Ps	Pfi	Р7		_b_	_blL
а»	3	3	3	4	4	2	4	3	6	5
Ь,	4	3	2	4	6	4	3	5	3	4
	&		3	7	5	6	8	4	7	4	7	6
Общий объем работ не должен превышать 20. Общий объем капиталовложений не должен превышать 20. Требуется определить, какие из 10 работ следует выполнить, чтобы максимизировать ожидаемый годовой экономический эффект, учитывая следующие условия взаимообусловленности и взаимоисключения.
Р]-> Р7 -> Р10 v Р?
I
V
I
?4
Рз -> Рк V Р9^ Р6
V
р5
Решение.
Помимо двух ограничений по общему объему работ и капиталовложений, данная задача характеризуется следующс системой неравенств.
Xj < х7, х, < х8, х7 < х10 , х9 < х6,
х10+ х2 < 1, xs+ х8 < 1, х7+ х4 < 1,
xR+ х,'< 1, хопт= (0101110010)
ЗАДАЧИ
Задача 20.1
Руководство завода предполагает провести комплекс организационно-технических мероприятии с целью модернизации про
изводства. Мероприятия предполагают затраты производственных плошадей, трудовых и финансовых ресурсов.
Мероприятие	Трудовые ресурсы, чел-дней	Финансовые ресурсы, млн р	Производственные площади, м2	Экономический эффект, млн р
Закупка станков с ЧПУ	350	400	130	13000
Текущий ремонт	250	90	-	3000
Монтаж транспортного кон-	100	60	300	8000
вейера Установка рельсового крана	200	300	150	12000
Ввод системы контроля каче-	130	-	150	2500
ства Разработка АСУП		800	500	100	15000
На реализацию всех мероприятий завод может выделить: трудовых ресурсов 1300 чел-дней, финансовых — 10 млрд р., производственных площадей — 700 м2.
Какие мероприятия следует провести, располагая этими ресурсами, чтобы общий экономический эффект был максимальным?
1. Каков максимальный экономический эффект от проведения мероприятий (млн р.)?
2. Какое количество мероприятий следует провести?
Задача 20.2
В текущем году заводу необходимо:
1) закупить два универсальных станка с ЧПУ общей стоимостью 200 млн р. Для этого требуются трудовые ресурсы в объеме 250 чел-дней и производственные площади 100 м2;
2) смонтировать транспортный конвейер стоимостью 100 млн р. Необходимы трудовые ресурсы 190 чел-дней и производственные площади 200 м2.
Для проведения этих мероприятий завод располагает финансовыми ресурсами — 250 млн р., трудовыми — 200 чел-дней и Производственными площадями — 200 м2. Недостаток средств и Ресурсов можно компенсировать, проведя некоторые из следующих мероприятий.
1.	Внедрить новые резцы для обработки металла. Экономия трудозатрат 130 чел-дней, затраты 50 млн р.
2.	Провести профилактический ремонт станочного парка. Трудозатраты 10 чел-дней, прибыль 20 млн р.
21~3178
160
161
3.	Внедрить систему контроля качества продукции. Экономия трудозатрат 190 чел-дней, затраты производственных плошадей 50 м1 2 , прибыль 5 млн р.
4.	Реализовать устаревшее оборудование. Трудозатраты 60 чел-дней, высвобождение производственных площадей 200 м2, прибыль 300 млн р.
5.	Провести инвентаризацию запасов материальных ресурсов Трудозатраты 20 чел-дней, высвобождение производственных площадей 150 м2.
1. Какое минимальное количество мероприятий следует провести, чтобы закупить станки с ЧПУ и смонтировать транспортный конвейер?
2. Какую максимальную прибыль можно получить (млн р.)?
Задача 20.3
В Южно-Уральском регионе работают четыре химических завода. Им предложено принять участие в конкурсе на размещение государственного заказа по производству изделий пяти наименований в объемах (шт.):
1	2	3	4	5
350	250	400	150	150
Каждый завод представил несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и соответствующие финансовые условия контракта.
	Варианты завода 1			Варианты завода 2		Варианты завода 3			Варианты завода 4		
	1	2	3	1	2	1	2	3	1	2	
Изделие 1	100	200	200	50	80	-	-	100	100		50
Изделие 2	200	100	150	-	-	200	250	100	40		60
Изделие 3	300	250	250	120	100	100	50	50	60		100
Изделие 4	100	50	100	100	50	-	-	-	50		-
Изделие 5	50	100	80	-	-	100	100	80	150		100
Объем финансир о вания, млрд р	12	16	14	7	9	16	15	17	5		8
1. Каковы минимальные затраты на выполнение заказа?
2. Следует ли реализовать вариант 2 завода 1?
Задача 20.4
Нефтеперерабатывающее предприятие использует в производстве нефть трех сортов. Резервные запасы нефти каждого сорта должны быть не меньше соответственно 20, 40 и 60 тыс.т. Для хранения нефти могут быть использованы четыре резервуара емкостью 25, 30, 35, 40 тыс.т. Затраты на хранение 1 т нефти сорта 2 на 10% выше, чем сорта 1, а сорта 3 на 20% выше, чем сорта 1. Смешение нефти разных сортов при хранении не допускается.
1. Сколько резервуаров следует использовать?
2. Укажите номер сорта нефти, который следует хранить в резервуаре емкостью 30 тыс.т?
Задача 20.5
Объединение кабельной промышленности состоит из трех заводов. Номенклатура выпускаемых изделий включает три позиции. 1 — кабель силовой, 2 — провод для осветительных установок, 3 — провод обмоточный. На период планирования в разрезе трех лет разработаны три варианта (1, 2, 3) развития завода 1, два варианта (4, 5) — завода 2 и один (6) — завода 3.
Вари анты	Производство кабельных изделий по годам									Затра-ты за три года
	Кабель			Провод силовой			Провод обмоточный			
	Год 1	Год 2	Год 3	Год 1	Год 2	Год 3	Год 1	Год 2	Год 3	
1	6,9	8,0	10,0	37	44	53	2,8	3,0	4,0	1557
2	7,0	7,0	8,6	25	-	-	3,0	18,0	20,2	1399
3	7,0	7,8	8,7	30	-	-	6,0	18,0	20,0	1034
4	19,2	23,0	28,0	-	-	-	12,8	15,0	18,0	2822
5	15,8	18,0	22,2	-	-	-	16,0	18,5	20,8 .	3044
__	6	-	-	-	-	864	950	-			364
Потребность по .годам	15	17	25	20	300	450	10	15	10	
Требуется определить план выпуска продукции на трех заводах, обеспечивающий удовлетворение заданной потребности в кабельных изделиях с минимальными затратами.
1. Каковы минимальные затраты?
2. Следует ли использовать третий вариант для первого завода?
21*
163
162
Задача 20.6
В последующие два года добыча угля К2 должна возрасти на 180 и 234 тыс.т соответственно, а угля СС — на 150 и 195 тыс. т. Для обеспечения роста добычи могут быть введены в действие три шахты. Для каждой из них разработаны два варианта добычи угля. Для первого года с момента ввода шахты данные по объемам добычи приводятся в таблице.
Уголь	Шахта 1		Шахта 2		Шахта 3	
	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 1	Вариант 2
К2	80	120	30	50	60	40
СС	130	70	90	40	90	60
Затраты	100	120	50	40	70	50
Во втором году с момента ввода: на шахте 1 добыча угля К2 и СС выше по обоим вариантам на 10% при росте затрат на 10%; на шахте 2 по первому варианту добыча К2 больше на 10%, а СС меньше на 10% при неизменных затратах, по второму варианту добыча К2 меньше на 10%, а СС больше на 10% при неизменных затратах; на шахте 3 по обоим вариантам объем добычи и затраты те же. Любая шахта может быть введена как в первый, так и во второй год планового периода. Введенные мощности продолжают использоваться в последующие периоды времени. Требуется составить план ввода мощностей по добыче угля, обеспечивающий выполнение плановых заданий с минимальными затратами.
1. Каковы минимальные затраты?
2. Следует ли использовать первый вариант развития второй шахты?
Задача 20.7
Для реконструкции машиностроительного предприятия было представлено 10 проектов, каждый из которых характеризуется четырьмя агрегированными показателями: затратами труда (нор-мо-часы), энергии (тыс.квт), материалов (млн.руб.), денежных средств (млн. руб.), а также ежегодной прибылью в случае реализации проекта (млн. руб.). Соответствующие данные и объем имеющихся ресурсов приведены в таблице.
При выборе проектов необходимо учесть ряд ограничений технологического характера:
-	одновременно может быть реализовано не более семи проектов;
-	пятый и восьмой проекты взаимно исключают друг друга;
164
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Ресурсы
Труд	50	60	30	40	80	70	50	20	40	50	300
Энергия	4	4	2	5	5	2	3	6	6	3	24
Материалы	3	2	4	5	3	2	4	2	2	3	20
Денежные	7	5	9	6	4	3	7	2	4	5	30
средства Прибыль	9	8	«•5	8,8	9	8	9	8,7		8	
-	первый проект может быть реализован лишь при условии реализации второго;
-	четвертый проект может быть реализован лишь при условии реализации хотя бы одного из двух проектов: либо третьего, либо десятого.
1. Каков размер максимальной прибыли (млн р.)?
2. Следует ли реализовывать третий проект?
Задача 20.8
Имеются одинаковые заготовки, которые могут быть раскроены тремя способами, из которых можно получить не менее 10 деталей первого типоразмера, не менее 8 деталей второго типоразмера и не менее 10 деталей третьего типоразмера.
Способы раскроя представлены в следующей матрице:
где ау — количество деталей типоразмера i, получаемое из одной заготовки путем ее раскроя способом j.
Количество заготовок, раскраиваемых каждым способом, должно быть целым и не превышать 4. Отходы от одной заготовки для каждого из способов раскроя составляют соответственно 4, 5 и 5 см.
Выполнить раскрой с минимальными суммарными отходами.
1. Сколько заготовок должно быть раскроено вторым способом?
2. Каковы минимальные суммарные отходы (см)?
Ключевые слова
Взаимоисключение
Взаимообусловленность
165
Задача дискретной оптимизации
Неделимость
Целочисленная задача
Глава 21
РАЗМЕЩЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Планирование размещения является одним из стратегических направлений, определяющих долгосрочную эффективность операций. Целью стратегического планирования размещения является разработка экономического плана, определяющего.
1)	вид и объем производимой продукции;
2)	производственное оборудование и мощности;
3)	уровень жизни работающих;
4)	производственные помещения и рабочие места.
Для обеспечения максимальной эффективности операций, а это и является одной из задач менеджера, разработаны различные стратегии.
Хороший план учитывает.
1)	потребности в производственных мощностях и площадях,
2)	оборудование по доставке материалов (конвейер, кран),
3)	окружение и эстетику,
4)	информационные потоки,
5)	затраты на передвижение между производственными участками.
В планировании размещения операций одна из наиболее важных задач — экономичное размещение отделов, или рабочих мест. Во многих производствах экономичное размещение подразумевает минимизацию общих затрат на доставку материалов. Процесс размещения операций увязывает размещение отделов с межот-дельскими потоками материалов и людей. Затраты на доставку материалов при этом определяются:
1) количеством грузов (или людей), перемещаемых в определенный период времени между двумя отделами;
2) затратами, связанными с взаимоудаленностыо двух отделов.
Затраты на доставку материалов могут быть выражены формулой
X Xxucij, i=ij=i
где
п — общее число рабочих центров или отделов, i,j — отделы,
х — объем грузов, перемещаемых из отдела i в отдел j, C'J— затраты на перемещение единицы груза из отдела i в отдел).
" Пример 1. Менеджер компании “Автодор” хочет разместить шесть отделов так, чтобы минимизировать общие затраты на транспортировку материалов между ними. Исходным для этой задачи является то обстоятельство, что каждый отдел может занять зал 20x20 м2 в помещении длиной 60 и шириной 40 м. Процедура планирования предусматривает шесть этапов.
Шаг 1. Построение матрицы, отражающей потоки материалов из одного отдела в другой (рис.21.1).
Шаг 2. Определение потребностей в производственной площади для каждого отдела (рис.21.2).
Шаг 3. Разработка исходной схемы, показывающей передвижение материалов между отделами с учетом их размещения. При этом следует попытаться разместить ближе друг к другу отделы, между которыми перемещаются большие объемы материалов (рис.21.3).
Шаг 4. Рассчитать общие затраты на доставку материалов по приведенной выше формуле.
В нашем примере предположим, что затраты на перемещение единицы груза между двумя отделами, расположенными в смежных комнатах, составляют 1 тыс р. Между двумя отделами, расположенными не в смежных комнатах, — 2 тыс р.
Следовательно, затраты на транспортировку между 1 и 2 отделами равны 50 (1x50 единиц груза), между 1 и 3 отделами — 200 (2х 1()0 единиц груза). Общие затраты для схемы размещения, показанной на рис. 21.3, составляют
50 + 200 + 40 + 30 + 50 + 10 + 40 + 100 +50=570. (1 и 2)(1 и 3)(1 и 6) (2 и 3)(2 и 4)(2 и 5)(3 и 4)(3 и 6) (4 и 5).
Шаг 5. Методом проб и ошибок (или с помощью компьютерной программы) попытаться изменить размещение отделов по помещениям так, чтобы общие затраты на перемещение грузов СНИЗИЛИСЬ.
Посмотрев на схему грузопотоков и расчет затрат, можно предположить, что отделы 1 и 3 следует разместить ближе друг к другу.
Одна из возможностей — поменять местами отделы 1 и 2. Это изменение порождает другую схему грузопотоков (рис. 21.4), которая показывает, что общие затраты на транспортировку материалов могут быть снижены до 480 тыс.р., т.е. на 90 тыс.р..
50 + 100 + 20 + 60 + 50 + 10 + 40 + 100 + 50=480.
(1 и 2)(1 и 3)(1 и 6) (2 и 3) (2 и 4)(2 и 5) (3 и 4) (3 и 6)(4 и 5).
166
167
Отдел
1
2
3
4
5
6
Количество грузов в неделю
1	2	3	4	5	6
50	100	0	0	20
30	50	10	0
20	0	100
50	0
0
Рис. 21.1
Комната 1
Комната 2
Комната 3
Отдел 1	Отдел 2	Отдел 3
Отдел 4	Отдел 5	Отдел 6
Комната 4 Комната 5 Комната 6
<—---------------------------
60 м
Рис.21.2
Рис.21.4
Это, конечно, лишь одно из возможных изменений (рис. 21.5). Для задачи с шестью отделами таких вариантов 720 (или 6! — 6x5* х4*3х2).
Комната 1
Комната 2
Комната 3
Отдел 2	Отдел 1	Отдел 3
Отдел 4	Отдел 5	Отдел 6
Комната 4
Комната 5
Комната 6
Рис.21.5
Пример 2. Госпиталь “Горный” расположен в курортном местечке для лыжного отдыха на Северном Кавказе и ориентирован в основном на оказание скорой помощи. Его администратор решил провести реорганизацию, использовав для этого метод планирования операций. План расположения отделов госпиталя показан на рис.21.6.
Вход и скорая помощь	Приемная комната 1	Приемная комната 2	Рентген, кабинет
Лаборатория Анализы, ЭКГ	Операционная комната	Больничная палата	Кабинет протезирования
10 м
V
*
10 м
<------------------------------------------------ >
40 м
Рис.21.6
Единственным физическим ограничением при реорганизации госпиталя является необходимость оставить вход и помещение для неотложной помощи на прежнем месте. Все другие отделения могут быть перенесены в другие комнаты в случае, если это будет целесообразным.
Данные, приведенные на рис. 21.7, позволяют определить общее расстояние, которое преодолевают в госпитале все пациенты в течение месяца. Задача имеет вид:
22-3178
169
1	2	3	4	5	6	7	8
	100	100	0	0	0	0	0	1	Вход и скорая помощь 2	Приемная комната 1 3	Приемная комната 2 4	Рентгеновский кабинет 5	Лаборатория (анализы и ЭКГ) 6	Операционная 7	Больничная палата 8	Кабинет протезирования
		0	50	20	0	0	0	
			30	30	0	0	0	
				20	0	0	20	
					20	0	10	
						30	0	
							0	
								
Рис 21 7 Число пациентов, переходящих из кабинета в кабинет в течение месяца
минимизировать общее расстояние
S SxijCij, i=ij=l
где
Х(] — число пациентов, переходящих ежемесячно из отделения i в отделение j,
сч — расстояние между отделениями i и j (это расстояние может рассматриваться как стоимость перевозки груза из i в j).
Отделения, расположенные рядом, находятся на расстоянии 10 м. То же можно сказать об отделениях, расположенных по диагонали. Например, вход, приемная 1, операционная. Между лабораторией и больничной палатой 20 м, входом и рентгеновским кабинетом, входом и кабинетом протезирования 30 м. Каждый метр принимается за единицу стоимости.
Решение.
Используя рис.21.8 для исходной диаграммы потока пациентов, определяем общее расстояние.
Общее расстояние = (100x10) + (100x20) + (50x20) +
1 и 2	1 и 3	2 и 4
+ (20x10) + (30x10)+ (30x20) + (20x30) + (20x10) + (20x10) + 2 и 5	3 и 4	3 и 5	4 и 5	4 и 8	5 и 6
+ (10x30) + (30x10) =
5 и 8	6 и 7
= 1000 + 2000 + 1000 + 200 + 300 + 600 + 600 + 200 + 200 + + 300 + 300 = 6700 м.
Невозможно доказать оптимальность решения. Однако можно сравнить общее расстояние, которое преодолевают пациенты при
Рис 21 8. Исходная диаграмма потока пациент®
каждом изменении в плане размещения. ЦелессхЙазно, например, поменять местами отделы 3 и 5, а также oiJe+i 4 и 6. Эти изменения приведут к варианту размещения, гР>азанному на рис.21.9.
Для нового варианта
общее расстояние = (100х Ю) + (100х Ю) + (50х ДО) + (2®ХЮ) + (ЗОх 10) + 1 и 2	1 и 3	2 и 4	3 и4
+ (30x20) + (20x10) + (20x20) + (20x10) + (10x10)+ (20x20) =
3 и 5	4 и 5	4 и 8	5 и 6	5 и S 4и8
= 1000 + 1000 + 500 + 200 + 300 + 600 + 200 +410 + 200 +
+ 100 + 300 = 4800.
Можно ли улучшить это размещение? Как?
ЗАДАЧИ
Задача 21.1.
Регистрационный период в Южно-Уральском университете — гго всегда напряженное время. Чтобы выполнить®® формально-ети, студенты должны пройти четыре кабинета.
Регистрация производится во флигеле.
170
22'
171
I А | В | С | р | |	30 м | 30 м | 30м I
Количество студентов, переходящих от выполнения одной операции к другой, показано в следующей таблице.
	Заполнение документов (А)	Консультации (В)	Получение зачетки (С)	Оплата (D)"
Заполнение документов (А)		450	550	50
Консультации (В)	200	-	200	0
Получение зачетки (С)	0	0	-	750
Оплата (D)	0	0	0	-
Как следует из таблицы, 450 студентов после оформления документов в комнате А направляются на консультацию в комнату В, а 550 идут сразу получать зачетки в комнату С. Аспиранты, хорошо изучившие эту процедуру, сразу после заполнения документов оформляют оплату в комнате D.
1. Каково общее расстояние, преодолеваемое студентами?
2. Предложите лучший план размещения операций по регистрации студентов и определите для него общее перемещение.
Задача 21.2
Вы приглашены менеджером в фирму “Шоколад Белла”, производящую шоколадные изделия. Фирма рассматривает четыре плана кухни для опытного производства. Необходимо выбрать такой план кухни, при котором кондитер расходовал бы свою энергию на изготовление качественной продукции, а не на беготню по кухне. От вас требуется изучить предлагаемые планы кухни и дать свои соображения руководству.
Число перемещений кондитера от одного вида оборудования к другому в процессе производства показано на рис. 21.10. На рис. 21.11 и 21.12 приведены также четыре плана размещения кухонного оборудования с указанием расстояний.
Число перемещений
—— СП -			К	Холодильник 1	Разделочный стол 2	Мойка 3	Склад 4	Плита 5
ХОЛОДИЛЬНИК	1	0	8	13	0	0
елочный стоп		2	5	0	3	3	8
Мойка	3	3	12	0	4	0
Склад	4	3	0	0	0	5
Плита		5	0	8	4	10	0
Рис 21 10
Рис 21 11
172
План 3
Пример 1. Требуется разработать схему сборки электронного копировального устройства. Полная его сборка требует 66 мин рабочего времени. Таблица и рис. 22.1 содержат информацию об операциях, времени выполнения операций и требования к последовательности выполнения операций.
Операция	Время выполнения, мин	Операции, предшествующие данной
А	10	-
В	п	А
С	5	В
D	4	В
Е	12	А
F	3	C.D
G	7	F
Н	11	Е
I	3	G.H
	66	
Глава 22
БАЛАНСИРОВКА ЛИНИЙ СБОРКИ
Настройка линий сборки предпринимается обычно для того, чтобы минимизировать дисбаланс между трудом и оборудованием-Для того чтобы обеспечить работу в определенном темпе, необходимо выбрать подходящее оборудование и соответствующую организацию труда Для этого должны быть установлены временны® условия для каждого участка сборки. Необходимо также знать последовательность выполнения операции по сборке изделия
Рис 22 1 Диаграмма последовательности выполнения операций
Для того чтобы обеспечить нужный темп выполнения работы, определенные операции группируются на рабочих местах. Этот процесс предполагает выполнение трех шагов.
1.	Определите спрос (или объем производства) в сутки и разделите на него рабочее время, доступное в течение суток. В результате получаем то, что называется временем цикла. Это то среднее вРемя, в течение которого каждое изделие может быть доступно На любом рабочем месте.
рабочее время в течение суток
время цикла = -------------------------------
объем производства в сутки
174
175
2.	Определите теоретически минимальное число рабочих мест. Эта величина равна суммарному времени выполнения всех опера, ций, деленному на время цикла. При этом дробную величину следует определить до ближайшего большего целого числа.
m
время выполнения операции
1=1
минимальное число рабочих мест =
время цикла
где ш — общее число операций.
3.	Обеспечьте баланс линии сборки, отнеся определенные операции к конкретным рабочим местам.
Эффективным является такое распределение, при котором обеспечивается сборка изделия и время простоя на каждом рабочем месте сводится к минимуму.
Пример 2. Используем предыдущую диаграмму и время выполнения операций, указанное в примере 1. Известно, что в течение дня время продуктивной работы каждого рабочего 480 мин. Известно также, что за день должно быть произведено 40 устройств. Следовательно,
480 мин время цикла = ----------= 12 мин/шт. ;
40 шт.
минимальное число рабочих мест
суммарное время выполнения операции
время цикла
= — = 5,5 или 6 мест.
Рис.22.2 показывает вариант решения задачи распределения операций по рабочим местам, при котором не нарушается последовательность операций. Точнее, на каждом рабочем месте выполняются только смежные операции. Причем все операции распределены между шестью рабочими местами. На выполнение всех операций, относящихся к любому рабочему месту, может быть отведено время, не превышающее время цикла, т.е. 12 мин На первом рабочем месте используется 10 из 12 мин. Время простоя составляет 2 мин. На втором рабочем месте одна операция выпоЛ" няется за 11 мин, а на третьем — 12 мин. На четвертом рабочем 176
Рис 22 2 Решение с шестью рабочими местами для задачи балансировки линии сборки
месте выполняются три небольшие операции в общей сложности за 12 мин. На пятом рабочем месте возникает 1 мин простоя, на шестом — 2 мин.
Мы можем рассчитать эффективность балансировки линии сборки путем деления суммарного времени выполнения всех операций на произведение числа рабочих мест и времени цикла:
22 время выполнения операций эффективность —----------------------------------------.
(число рабочих мест) х (время цикла)
Менеджеры часто сравнивают различные уровни эффективности при разном количестве рабочих мест. В этом случае фирма может определить чувствительность линии сборки к изменению темпа выпуска продукции и числа рабочих мест.
Мы можем определить эффективность сборки для примера 2 следующим образом:
66 мин	66
эффективность = -------------------------=------ = 91,7%.
(6 рабочих мест) х( 12 мин)	72
Открытие еще одного, седьмого, рабочего места снизило бы эффективность до 78,6%.
Пример 3. Линия сборки, данные которой приведены в следующей таблице, имеет время цикла 8 мин.
Нарисуйте граф связности для операций по сборке. Определите минимально возможное число рабочих мест. Распределите °перации
по рабочим местам так, чтобы сбалансировать линию сборки. Какая при этом достигается эффективность?
2з~3178	177
Операция	Время выполнения	Предшествующие операции
А	5	-
В	3	А
С	4	В
D	3	В
Е	6	С
F	1	с
G	4	d,e,f
Н	2	G
Решение.
X t,	28 мин
минимальное число рабочих мест =----------—--------
время цикла	8 мин
= 3,5 или 4 рабочих места.
Граф связности изображен на рис.22.3.
Рис 22 3
суммарное время
Эффективность =--------------------------------
(число рабочих мест) х (время цикла)
28
------= 87,5%.
(4)(8)
178
ЗАДАЧИ
Задача 22.1
Медицинское освидетельствование перед поступлением на службу в армию предполагает следующие семь процедур:
время
1)	изучение истории болезней	10,
2)	анализ крови	8,
3)	проверка зрения	5,
4)	измерения (рост, вес и т.д.)	7,
5)	медицинское обследование	16,
6)	психологическая беседа	12,
7)	заключительный диагноз	10.
Эти процедуры могут выполняться в любом порядке за исключением изучения истории болезни, которая должна выполняться первой, и определения заключительного диагноза в заключение. Каждого человека могут обслуживать три фельдшера и два врача. Только врач может ставить заключительный диагноз и проводить психологическую беседу. Другие процедуры могут проводиться как врачом, так и фельдшером.
1.	Сбалансируйте линию. Сколько человек может обслуживаться в течение часа?
2.	Какая процедура является узким местом?
3.	Если бы можно было добавить одного врача и одного фельдшера, как бы вы изменили распределение обязанностей? Какова пропускная способность?
Задача 22.2
Заключительная сборка диктофона ДТ требует выполнения шести ручных операций. В течение 400 мин ежедневной работы сборочной линии необходимо выпустить 80 диктофонов. Информация об операциях приведена в следующей таблице.
Операция	Время выполнения	Предшествующая операция
1	1	-
2	1	1
3	4	1,2
4	1	2,3
5	2	4
6	4	5
179
Какие из операций следует отнести к различным рабочим местам? Какова эффективность линии сборки?
Задача 22.3
Основным продуктом Нижегородской мебельной компании являются стулья повышенной комфортности. За 480-минутный рабочий день необходимо выпустить 50 стульев. Для изготовления одного стула необходимо выполнить восемь операций. Используя информацию, приведенную в следующей таблице, решите задачу балансировки линии сборки.
Операция	Время выполнения	Предшествую щие операции
1	4	
2	7	1
3	6	1 2
4	5	2 3
5	6	4
6	7	5
7	8	5
8	6	67
Ключевые слова
Балансировка линий сборки
Время цикла
Последовательность операций
Эффективность балансировки линий сборки
Раздел 10
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
Глава 23
СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ, ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ
Подходы к построению прогнозов. Так же, как при моделировании любых решений, существуют два основных подхода к прогнозированию. Первый — количественный анализ, второй — качественный подход. Количественный подход основывается на различных математических моделях, использующих ретроспективные данные и измеряемые величины для прогнозирования определенного экономического явления.
Основу качественного подхода составляют такие неформали-зуемые факторы, как интуиция и опыт персонала в построении прогнозов. Некоторые фирмы используют один подход, другие — другой, но наиболее эффективным в практическом отношении представляется их сочетание.
Далее различные методы будут рассмотрены применительно к прогнозированию спроса.
Обзор качественных методов. В данном разделе представлены четыре различных качественных метода прогнозирования на примере прогнозирования спроса.
1	Жюри специалистов. Этот метод основывается на учете мнении небольшой группы специалистов высокой квалификации, часто в сочетании со статистическими моделями, и выражается в коллективном прогнозе спроса.
2.	Агрегирование объемов продаж. При этом подходе каждый продавец оценивает объем продаж в своем регионе. Этот подход Может давать реалистичные результаты, так как сочетает местный и национальный уровни при построении общего прогноза.
3.	Метод Дельфи. Этот итеративный коллективный процесс Предполагает участие экспертов, которые могут находиться в раз-ных местах. Различаются три типа участников, принимающие решения, обслуживающий персонал и респонденты. Принимающие Решения — это группа из пяти или десяти экспертов, которые Делают сам прогноз. Обслуживающий персонал помогает принимающим решения при подготовке, сортировке и обобщении се-
181
рии результатов опросов и обзоров. Респонденты — это группа людей, состав которой может меняться и подбираться специально. Эта группа является источником сведений для принимающие решения на этапе, предшествующем составлению прогноза.
4.	Обследование потребительского рынка. Этот метод учитывает мнения потребителей или потенциальных потребителей относительно планов их будущих покупок. Он может помочь не только при подготовке прогноза, но и при оформлении или планировании нового продукта.
Обзор количественных методов. В этом разделе представлены пять количественных методов прогнозирования:
1)	наивный подход,	X
2)	скользящие средние,	(	модели	временных
3)	экспоненциальное сглаживание, |	рядов
4)	проектирование тренда,	'
5)	модель линейной регрессии. /	причинные модели
Первые четыре из пяти названных методов используются для анализа временных рядов. Они основываются на предположении, что будущее является следствием прошлого. С их помощью выясняют, что случается за пределами определенного периода времени, и делают прогнозы, используя серии данных о прошлом.
Модель линейной регрессии — причинная модель — включает переменные, или факторы, которые могут оказывать влияние на количественное значение прогнозируемой величины.
Этапы прогнозирования. Независимо от используемого метода процесс прогнозирования включает восемь этапов.
1.	Определение пользы прогноза — какой цели мы пытаемся достичь?
2.	Выбор предмета прогнозирования.
3.	Определение временного горизонта прогнозирования — краткосрочное, среднесрочное, долгосрочное?
4.	Выбор модели или моделей прогнозирования.
5.	Сбор данных, необходимых для прогноза.
6.	Обоснование модели прогнозирования.
7.	Разработка прогноза.
8.	Реализация результатов.
Прогнозирование с использованием временных рядов. Временной ряд состоит из последовательности равномерно распределенных во времени (с интервалом в неделю, месяц, квартал и т.д.) данных. Прогнозирование некоторого показателя с использованием временных рядов основывается на том, что будущее значений показателя находится в зависимости только от его прошлых зна
чений, а другие параметры, какими бы потенциалы» изменчи-выми они ни были, игнорируются.
Анализ временных рядов означает разложение даных на компоненты, а затем проектирование их на будущее. Обыяо временные ряды имеют следующие компоненты: тренд, сезоиость, циклы, случайные отклонения.
1.	Тренд (Т) — это количественная характерисжа, постепенный рост или уменьшение данных во времени.
2.	Сезонность (S) — это количественная характерстика данных, повторяющаяся после определенного числа дий, недель, месяцев или кварталов. Существует шесть типичных сеяных фраг-
ментов.		
Фрагмент	Продолжительность сезона	Число сезонов» фрагменте
неделя	день	7
месяц	неделя	4-4,5
месяц	день	28-31
год	квартал	4
год	месяц	12
год	неделя	52
3.	Циклы (С) — это фрагменты данных, которые ввторяются каждые несколько периодов времени (лет, месяцев, жель, дней). Они обычно связаны с циклами деловой активности ш имеют существенное значение в краткосрочном планировании
4.	Случайные отклонения (R) — это “всплески в данных, вызванные случайными и необычными ситуациями.
На рис. 23.1. показан временной ряд и некоторыего характеристики.
Наивный подход. Наиболее просто получить проноз спроса можно, если предположить, что спрос в следующий триод будет в точности равен спросу в последний период времениНапример, если спрос на телефоны в январе составил 68 штук мы можем Предположить, что в феврале он также составит 68 пгж Есть ли в этом смысл? Оказывается, что при прогнозировании спроса на некоторые продукты этот наивный подход является нименее дорогостоящей и достаточно объективной моделью. Есможно, по Крайней мере, считать отправной точкой для других, юлее сложных моделей, представленных в данном разделе.
Скользящие средние. Скользящие средние оказывайся полезными в случае, если мы можем считать, что рыноный спрос ®УДет мало изменяться во времени. Например, сколшщая сред-
182
183
Рис.23.1. Спрос на продукт в течение четырех лет
няя за три месяца определяется простым суммированием спроса за последние три месяца и делением полученной величины на 3. После каждого прошедшего месяца спрос в последний месяц прибавляется к сумме спроса в предыдущие два месяца, а более ранний месяц уже не учитывается. Это приводит к сглаживанию кратковременных особенностей во временных рядах.
Математически наиболее просто скользящая средняя может быть записана в виде:
L спрос в предыдущие п периодов
скользящая средняя =
п
где п — число периодов в скользящей средней. Например три, четыре, пять месяцев дают соответственно три, четыре, пять периодов в скользящей средней.
Пример 1. В среднем столбце показан спрос на навесы для хранения кормов. Справа — скользящие средние за три месяца.
Месяц	Спрос на навесы	Скользящая средняя за три месяца _
Январь	10		“I
Февраль	12 		j 1
Март	13 			[-4—,
Апрель	16	(10+12+13)/3 = U 2/3
Май	19	(12+13+16)/3 = 13 2/3
Июнь	23	(13+16+19)/3 = 16
Июль	26	(16+19+23)/3 = 19 1/3
Август	30	(19+23+26)/3 = 22 2/3
Сентябрь		(23+26+30)/3 = 26 1/3
Октябрь	18	(26+30+28)/3 = 28
Ноябрь	16	(30+28+18)/3 = 25 1/3
Декабрь	14	(28+18+16)/3 = 20 2/3 	
184
Взвешенные скользящие средние. Если имеет место тренд или к3кая-то другая особенность в данных, для того чтобы придать go^cc высокую значимость последнему периоду, используются веса. Назначением последнему периоду более высокого веса обеспечивается подход, более восприимчивый к изменениям. Выбор весов обычно субъективен, так как нет формального подхода к их определению. Если последний период имеет слишком большой вес, прогноз может сразу реагировать на необычные изменения в спросе.
Математически взвешенная скользящая средняя может быть записана в виде:
взвешенная _ £ (вес периода п)(спрос в период п) скользящая средняя —	£ весов
Пример 2.
Веса	Период
3	Последний месяц
2	Предпоследний месяц
1	Два месяца назад
6	Сумма весов
Месяц	Спрос на навесы	Скользящая средняя за три месяца
Январь	10	-				
Февраль	12		1
Март	13 			1	1
Апрель	16	|(ЗХ 13)+(2+12)+( 10)1/6 = 12 1/6
Май	19	[(3* 16)+(2+13)+(12)|/6 = 14 1/3
Июнь	23	1(3* 19)+(2+16)+( 13)|/6 = 17
Июль	26	|(Зх23)+(2+19)+( 16)|/6 = 20 1/2
Август	30	[(Зх26)+(2+23)+(19)]/6 = 23 5/6
Сентябрь	28	[(Зх30)+(2+26)+(23))/6 = 27 1/2
Октябрь	18	1(Зх28)+(2+ЗО)+(26))/6 = 28 1/3
Ноябрь	16	|(3х 18)+(2+28)+(30)|/6 = 23 1/3
Декабрь	14	[(Зх 16)+(2 + 18)+(28)|/6 = 18 2/3
Оба метода — простых и взвешенных скользящих средних — позволяют сгладить неожиданные изменения в данных о спросе и получить стабильные оценки. Однако использование метода скользящих средних связано с тремя проблемами. Во-первых, увеличение числа п периодов усреднения обеспечивает лучшее сглаживание, но делает метод менее восприимчивым к реальным изменениям в данных. Во-вторых, скользящие средние не очень хорошо отражают тренд. Так как это средние, они всегда находятся недалеко от последнего фактического значения и не могут отражать изменения в сторону уменьшения или увеличения. Наконец, метод скользящих средних требует длительного хранения последних Данных.
Экспоненциальное сглаживание. Экспоненциальное сглаживание — удобный для использования и реализации на компьютере
24~3178
185
метод прогнозирования. Несмотря на то, что это разновидность методов скользящих средних, он предполагает лишь краткое хра. нение последних данных. Наиболее простая формула экспоненц^ ального сглаживания имеет вид:
новый прогноз = прогноз в последний период + а х х (фактический спрос в последний
период — прогноз в последний период), где а — весовой коэффициент, или константа сглаживания, значение которой заключено в интервале [0, 1].
Уравнение (1) может быть записано также в виде
F. =	+ aX(A-i “ Ft-i )*	(2)
где F — новый прогноз;
Ftч — предыдущий прогноз;
а — константа сглаживания (0 < а < 1);
At— фактический спрос в предыдущий период.
Смысл этой формулы достаточно прост. Последняя оценка спроса равна нашей предыдущей оценке, к которой добавляется часть разницы между фактическим спросом в последний период и предыдущей оценкой.
Пример 3. В январе торговый агент предсказал спрос на автомобиль “Нива” в количестве 142. Фактический спрос был 153. Используя константу сглаживания а = 0,2, мы можем дать прогноз спроса на март с помощью метода экспоненциального сглаживания. Воспользовавшись формулой, мы получим
новый прогноз (спрос в марте) = 142 + 0,2(153 — 142)= 144,2.
Таким образом, прогноз спроса на март — 144. Константа сглаживания а может изменяться с целью увеличения веса последних данных (когда а велико) или увеличения веса предыдущих данных (когда а мало). Чтобы лучше пояснить концепцию использования весового коэффициента, запишем уравнение (2) в виде:
Ft = ахА, t + (1 — a)xFtч , или	(3)
F = ахд+ а(1— а)хД12 -I- а(1— а)2* А, } +...+а(1— а У'-'хА, п .
Несмотря на то, что этот временной ряд может включать п периодов, где п может быть очень велико, значимость более ранних периодов быстро убывает, если а увеличивается. Если а достигает крайнего значения 1, уравнение (3) имеет вид: Ft = А, г Все более ранние значения отбрасываются и прогноз совпадает с тем, который может быть получен с помощью наивного подхода, описанного выше, т.е. прогноз на следующий период равен спросу в данный период. Это положение можно пояснить с помощью нижеследующей таблицы. Например, когда а = 0,5, прогноз в основном базируется на данных последних трех или четырех периодов-Если а = 0,1, вес последнего периода в прогнозе невелик и пр0' гноз базируется на данных большего числа периодов (около 20)-
'Константа сГлаживания	Последний период t-1 ( а )	Период t-2 а(1-а )	Период t-3 а(1-а )2	Период t-4 а(1-а )3	Период t-5 а(1-а )4
	а=0Л	0,1	0,09	0,081	0,073	0,066
а=0,5	. ——-	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031
Метод экспоненциального сглаживания легко применим и успешно используется банками, промышленными предприятиями, в оптовой торговле и других организациях. Тем не менее, в зависимости от выбора значения константы сглаживания, можно получить точный или неточный прогноз. Выбор значения константы сглаживания ставит своей целью получение как можно более точного прогноза.
Среднее абсолютное отклонение. Точность прогноза может быть определена путем сравнения прогнозируемых значений с фактическими, или наблюдаемыми, величинами. Ошибка прогноза определяется так:
ошибка прогноза = факт — прогноз.
Мерой совокупной ошибки прогноза для модели может служить среднее абсолютное отклонение (MAD). Оно вычисляется путем суммирования абсолютных значений всех ошибок прогнозов и деления полученной суммы на число периодов прогнозирования:
L | ошибка прогноза)
MAD = ---------------------- .
п
Пример 4. В течение последних двух кварталов Южный порт разгрузил суда с большим количеством зерна. Управляющий торговыми операциями использует метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования объема работ по разгрузке зерна. В первом квартале прогноз объема работ по разгрузке был 175 т. Сравниваются прогнозы, полученные для а = 0,1 и 0,5. Следующие таблицы отражают расчеты только для а = 0,1.
Квартал	Фактический объем работ	Прогноз при а = 0,1	Прогноз при а = 0,5
1	180	175	175
2	168	176=175,00+0,1(180-175)	178
3	159	175= 175,50+0,1(168-175,50)	173
4	175	173=174,75+0,1(159-174,75)	166
5	190	173=173,18+0,1(175-173,18)	170
6	205	175=173,36+0.1(190-173,36)	180
7	180	178= 175,02+0,1(205-175,02)	193
8	182	178= 178,02+0,1( 180-178,02)	186
^___9	?	179=178,22+0,1(182-178,22)	184
186
24*
187
Квартал	Фактический объем работ	Округленный прогноз при а=0,1	Абсолютное отклонение при а=0.1	Округленный прогноз при а=0,5	Абсолютное отклонение при а=0,5
1	180	175	5	175	5
2	168	176	8	178	10
3	159	175	16	173	14
4	175	173	2	166	9
5	190	173	17	170	20
6	205	175	30	180	25
7	180	178	2	193	13
8	182	178	4	186	4
Сумма абсолютных отклонений			84		100
		отклонений			
	MAD -	—	10,50		12,50
n
Этот анализ позволяет сделать вывод, что более точный прогноз можно получить при константе сглаживания а = 0,1, так как для нее значение MAD меньше.
Наряду со средним абсолютным отклонением (MAD) для определения точности прогноза иногда используются две другие величины: среднеквадратическое отклонение (MSE) — усредненные квадраты разностей между прогнозами и наблюдаемыми величинами:
L (факт — прогноз)2
MSE =----------------------;
п
средняя абсолютная процентная ошибка (МАРЕ) — усредненная разность между прогнозом и наблюдаемой величиной, взятая в процентах к наблюдаемой величине:
(факт — прогноз \
----,--------I X 100
факт 1
МАРЕ -----------------------------
п
Экспоненциальное сглаживание с поправкой на тренд.
Как и все методы скользящих средних, рассматриваемый метод экспоненциального сглаживания не отражает тренда. Существуют, однако, более сложные модели экспоненциального сглаживания, учитывающие тренд. Одна из них будет рассмотрена ниже. Суть ее состоит в том, чтобы вычислить, как и прежде, прогноз простым методом экспоненциального сглаживания, а затем скорректировать его с учетом позитивного или негативного тренда по формуле
прогноз с учетом тренда (FITt ) = новый прогноз (Ft) + (Т).
188
Уравнение для определения корректировки Т( содержит константу сглаживания b. Т, вычисляется по формуле
Т = (1 - b)T t + b(Ft - Ft_I ),	(4)
где Т, — сглаженный тренд в период t,
Tt j — сглаженный тренд в предыдущий период, b — выбранная константа сглаживания, F — прогноз, полученный простым экспоненциальным сглаживанием в период t,
Ftu — прогноз в предыдущий период.
Необходимо сделать три шага для расчета прогноза, учитыва
ющего тренд.
Шаг 1. Рассчитать простой экспоненциальный прогноз Ft в период t по формуле (2).
Шаг 2. Рассчитать тренд по формуле (4). Для того чтобы выполнить шаг 2, необходимо указать начальное значение тренда. Оно может быть получено на основе предположения, либо в результа
те изучения данных в предыдущие периоды времени.
Шаг 3. Рассчитать прогноз, полученный методом экспоненци-
ального сглаживания с поправкой на тренд.
Пример 5. Управляющий использует метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования спроса на станки, выпускаемые заводом. Оказалось, что существует тренд.
Константы сглаживания имеют значения а = 0,2, b = 0,4. Предположим, что начальный прогноз для месяца 1 был 11 штук.
Шаг 1. Прогноз для месяца 2 (F2 ) = = прогноз для месяца 1 (F^ + а (спрос месяца 1 — прогноз месяца 1).
Месяц	Спрос
1	12
2	17
3	20
4	19
5	24
6	26
7	31
8	32
9	36
F2 = 11 + 0,2 (12 - 11) = 11,0 + 0,2 = 11,2 шт.
Шаг 2. Расчет поправки на тренд. Предположим, что поправка
в первый период равна нулю, Tt =0.
Т2 = (1-Ь )Т, + b (F2 - F, ) = 0 + 0,4 (11,2 ~ 11,0) - 0,08.
Шаг 3. Расчет прогноза с учетом тренда (FIT)
FIT2 = F2 + Т2 = 1 1,2 + 0,08 = 11,28.
Проделаем аналогичные расчеты для третьего месяца.
Шаг 1. F3 = F, + а (спрос в месяц 2 — F2 ) = 11,2 + 0,2(17 — - 11,2)= 12,36.
Шаг 2. Т3 = (1 - b )Т2 + b (F3 - F2 ) = (1 - 0,4)0,08 + 0,4(12,36 -- 11,2) = 0,51.
Шаг 3. FIT3 = F3 + Т3 = 12.36 + 0,51 = 12,87.
Итак, простой экспоненциальный прогноз для месяца 2 был 11,2 штук, а прогноз с поправкой на тренд*— 11,28. В месяце 3 простой прогноз был 12,36, а прогноз с поправкой на тренд —
189
12,87. Разумеется, другой выбор значений Tt и b мог бы дать более точный прогноз. Следующая таблица содержит прогнозы для периода в девять месяцев.
Месяц	Фактический спрос	Прогноз без учета тренда	Тренд	Прогноз с поправкой на тренд
1	12	11,00	0	-
2	17	11,20	0,08	11,28
3	20	12,36	0,51	12,87
4	19	13,89	0,92	14,81
5	24	14,91	0,96	15,87
6	26	16,73	1,30	18,03
7	31	18,58	1,52	20,10
8	32	21.07	1,91	22,98
9	36	23,25	2,02	25,27
Большее значение константы сглаживания Ь, так же как и а, позволяет в большей степени отразить влияние последних изменений в тренде. Меньшее значение b придает меньший вес последним величинам тренда. Величина b может быть определена с помощью метода проб и ошибок при использовании значения MAD в качестве критерия сравнения.
Простое экспоненциальное сглаживание обычно называют сглаживанием первого порядка, а сглаживание с поправкой на тренд — сглаживанием второго порядка, или двойным сглаживанием. Используются и другие модели экспоненциального сглаживания, в том числе сглаживание с поправкой на сезонность, однако они в этой книге не рассматриваются.
Пример 6. Продажа кондиционеров воздуха постоянно возрастает в течение последних пяти лет. В 1992 г. менеджер предсказал спрос на 1993 г. в объеме 410. Постройте прогноз продаж на период с 1994 по 1998 г. методом экспоненциального сглаживания, используя константу сглаживания, равную 0,3.
Год	11родаж а	Прогноз
1993	450	410
1994	495	
1995	518	
1996	563	
1997	584	
1998	9	
Решение.
Год	Прогноз
1993 1994 1995 1996 1997 1998	410,0 422,0 = 410 + 0,3(450-410) 443,9 = 422 + 0,3(495-422) 466,1 = 443,9 + 0,3(518-443,9) 495,2 = 466,1 + 0.3(563-466,1) 521,8 = 495,2 + 0.3(584-495,2)
190
ЗАДАЧИ
Задача 23.1
Годовой спрос на удобрения, выпускаемые компанией “Донна” в 20-килограммовых мешках, показан в следующей таблице. Постройте скользящие средние для трехлетнего периода. Затем оцените спрос с помощью взвешенных скользящих средних с весом объема продаж для последнего периода 2 и для двух предыдущих периодов 1. Какой способ прогнозирования лучше?
Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Величина спроса, гыс мешков	4	6	4	5	10	8	7	9	12	14	15
1.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода скользящих средних?
2.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода взвешенных скользящих средних?
3.	Можно ли утверждать, что метод скользящих средних дает лучший результат ?
При тех же данных постройте скользящие средние для двух- и четырехлетнего периода. Какой из четырех способов прогнозирования лучше?
4.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода скользящих средних для двух лет?
5.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода скользящих средних для четырех лет?
6.	Можно ли утверждать, что метод скользящих средних для двух лет дает лучший результат из всех четырех методов?
Используйте метод экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,3 для прогнозирования спроса на удобрения. Предположим, что прогноз для года 1 был 5000 мешков.
7.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,3?
8.	Можно ли утверждать, что метод экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,3 дает более лучший результат, чем метод взвешенных скользящих средних?
Задача 23.2
Продажа кондиционеров воздуха Сульмсна постоянно возрастает в течение последних пяти лет. В первом году рассматривае
191
мого периода менеджер предсказал спрос в объеме 410 Построите прогноз объема продаж, используя метод экспоненциального сглаживания с константами 0,6 и 0,9.
Год	Продажа	Прогноз
1	450	410
2	495	
3	518	
4	563	
5	584	
б	9	
1.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода экспоненциального сглаживания с константой 0,6?
2.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода экспоненциального сглаживания с константой 0,9?
3.	Можно ли утверждать, что метод с константой 0,6 дает лучший результат?
Задача 23.3
Доход консультационной фирмы “Ассоциация адвокатов” в период с февраля по июль приведен в таблице.
Месяц	Доход, млн р
Февраль	70,0
Март	68,5
Апрель	64,8
Май	71.7
Июнь	71,3
Июль	72,8
Используйте метод экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд для прогнозирования дохода на август. Начальный прогноз в феврале был 65 и начальная поправка на тренд — 0.
1. Какова прогнозируемая величина дохода на август для метода экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд при константах сглаживания а = 0,1 и b = 0,29
2. Какова прогнозируемая величина дохода на август для метода экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд при константах сглаживания а = 0,1 и b = 0,8?
Задача 23.4
Объем продаж промышленных вакуумных насосов за последние 13 месяцев показан в таблице
192
Месяц	Объем продаж» тыс шт
Январь	11
Февраль	14
Март	16
Апрель	10
Май	15
Июнь	17
Июль	11
Август	14
Сентябрь	17
Октябрь	12
Ноябрь	14
Декабрь	16
Январь	11
А. Используя метод скользящих средних для трех лет, определите объем продаж вакуумных насосов в следующем феврале.
Б. Определите объем продаж в феврале, используя метод взвешенных скользящих средних с весами 3 для предыдущего, соответственно 2 и 1 для более отдаленных месяцев.
В. Оцените точность каждого из этих методов.
1.	Каков прогноз объема продаж для метода скользящих средних?
2.	Каков прогноз объема продаж для метода взвешенных скользящих средних?
3.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) для лучшего прогноза?
Задача 23.5
В таблице показаны данные о количестве сигналов охранной сигнализации от 911 систем в Центральном административном округе за последние 24 недели.
Неделя	Сигналы	Неделя	Сигналы	Неделя	Сигналы
1	50	9	35	17	55
2	35	10	20	18	40
3	25	11	15	19	35
4	40	12	40	20	60
5	45	13	55	21	75
6	35	14	35	22	50
7	20	15	25	23	40
8	30	16	55	24	65
А. Определите методом экспоненциального сглаживания прогноз количества сигналов для каждой недели. Предполагается, что прогноз для первой недели равен 50. Используйте константу сглаживания а = 0,1.
25-3178
193
1.	Какова прогнозируемая величина количества сигналов на 25 неделю для метода экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,19
Б. Проведите аналогичные расчеты для а = 0,6.
2.	Какова прогнозируемая величина количества сигналов на 25 неделю для метода экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,6?
В. Определите прогноз для недель со 2 по 25 с помощью метода экспоненциального сглаживания с учетом тренда. Положите начальный прогноз для первой недели равным 50 и начальный тренд равным 0. Используйте константы сглаживания а = 0,3 и b = 0,1.
3.	Какова прогнозируемая величина количества сигналов на 25 неделю?
Ключевые слова
Временной ряд
Прогноз
Скользящие средние
Тренд
Экспоненциальное сглаживание
Глава24
ПРОЕКЦИЯ ТРЕНДА, ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ, СЕЗОННОСТЬ
Проекция тренда. Последний метод прогнозирования с помощью временных рядов, который мы рассмотрим, — метод проекции тренда. Этот подход состоит в построении линии тренда для временного ряда с последующим проецированием ее в будущее для получения средне- и долгосрочного прогноза. Можно использовать различные уравнения для моделирования тренда (например, экспоненциальные или квадратические), но в этой главе мы рассмотрим только линейный тренд (прямую линию). Если мы хотим построить линейную функцию тренда с помощью точного статистического метода, можно воспользоваться методом наименьших квадратов Этот метод позволяет получить прямую линию, которая обеспечивает минимум суммы квадратов отклонений по вертикали каждой точки временного ряда от прямой
Нижеследующий график иллюстрирует метод наименьших квадратов.
ГМ
Линия тренда характеризуется значением, при котором она пересекает ось у, и наклоном, или углом наклона, линии Если мы можем определить точку пересечения линии с осью у и ее наклон, то уравнение этой линии имеет вид
у = с + dx , где у — расчетное значение оцениваемой величины;
с — значение, при котором линия пересекает ось у;
d — наклон линии регрессии (или норма изменения у при фиксированном изменении х),
х — независимая переменная (в данном случае — время).
С помощью следующих соотношений значения end могут быть найдены для любого временного ряда. Наклон d определяется следующим образом.
Еху-пху
- пх где d — наклон линии регрессии, х — значения независимой переменной, у — значения зависимой переменной, х — среднее значение величин х, у — среднее значение величин у, п — число наблюдаемых точек Пересечение d с осью у можно определить из соотношения
с = у - dx.
Следующий пример показывает, как применить этот подход.
Пример 1. В нижеследующей таблице приведены величины спроса на электрические генераторы за период 1991 — 1997 гг. Построим линейную функцию тренда и сделаем прогноз спроса на 1998 г.
25'
195
Год	Продано генераторов	Год	Продано генераторов
1991	74	1995	105
1992	79	1996	142
1993	SO	1997	122
1994	90		
В качестве независимой переменной х рассмотрим время. Пусть для 1991 г. х=1, для 1992 г. х=2.
Год	Период времени	Спрос на генераторы	х2	ху
1991	1	74	1	74
1992	2	79	4	158
1993	3	80	9	240
1994	4	90	16	360
1995	5	105	25	525
1996	6	142	36	852
1997	7	122	49	854
Хх = 28;	= 692; Хх2=140; £ху = 3063;
x=Sx = 2JL4, у = Z2 = 692 = 98,86; п 7	п 7
d = Хху-пху = 3,063 - (7)(4)(98,86) = 295 =
X х2 - пх2 140 - (7)(42 )	28
с = у - dx = 98,86 - 10,54(4) = 56,70.
Следовательно, уравнение для тренда, полученное методом наименьших квадратов, имеет вид.
у = 56,70 + 10,54х.
Для того чтобы получить прогноз спроса на 1998 г., мы должны сначала определить его в новой системе координат как х = 8.
Спрос в 1998 г. = 56,70 + 10,54(8) = 141,02 или 141 генератор.
Мы можем оценить спрос в 1999 г., положив в этом уравнении х = 9.
Спрос в 1999 г. = 56,70 + 10,54(9) = 151,56 или 152 генератора.
Сезонные изменения в данных. Метод прогнозирования, использованный в примере 6, позволяет проследить тренд временного ряда. Иногда, однако, изменения в данных, связанные с определенными сезонами года, обусловливают необходимость внесения сезонной поправки в прогноз, полученный с помощью линии тренда.
Например, спрос на уголь и мазут обычно достигает максимума в холодные зимние месяцы. Обычно выявить сезонные особенности можно, анализируя данные, заданные помесячно или
196
поквартально. В этом случае с помощью описанных ниже методов можно определить сезонные индексы. Пример 2 иллюстрирует один из способов оценки сезонного фактора.
Пример 2. Ниже показан помесячный спрос на автоответчики в течение 1996—1997 гг.
Месяц	Спрос		Средний спрос 1996—1997	Средний ежемесячный спрос	Сезонный индекс
	1996	1997			
Январь	80	100	90	94	0,957
Февраль	75	85	80	94	0,851
Март	80	90	85	94	0,905
Апрель	90	НО	100	94	1,064
Маи	115	131	123	94	1,309
Июнь	НО	120	115	94	1,223
Июль	100	НО	105	94	1,117
Август	90	НО	100	94	1,064
Сентябрь	85	95	90	94	0,957
Октябрь	75	85	80	94	0,851
Ноябрь	75	85	80	94	0,851
Декабрь	80	80	80	94	0,851
среднегодовой спрос = 1128;
средний ежемесячный спрос =
-—*=94;
12
среднегодовой спрос в 1996—1997
сезонный индекс = ----------------------------
средний ежемесячный спрос
Если спрос на автомобили в 1998 г. оценивается в 1200 штук, то, используя сезонные индексы, мы можем следующим образом получить прогноз спроса помесячно:
Месяц	Спрос	Месяц	Спрос
Январь	1200 	х 0,957 = 96 12 1200	Июль	1200 	х 1,117 = 112 12 1200
Февраль		 х 0,851 = 85 12 1200	Август		 х 1,064 = 106 12 1200
Март		х 0,904 = 90 12 1200	Сентябрь		 х 0,957 = 96 12 1200
Апрель		х 1.064 = 106 12 1200	Октябрь		 х 0,851 = 85 12 1200
Маи			 х 1,309 = 131 12 1200	Ноябрь		 х 0,851 = 85 12 1200
Июнь		х 1,223 = 122 12	Декабрь		 х 0,851 = 85 12
Для простоты расчет тренда опущен и месячные индексы определены на базе только двух периодов.
197
Пример 3 показывает, как индексы могут использоваться в качестве поправки к прогнозу, полученному с помощью линиц тренда.
Пример 3. Управляющий магазина “Новый мир” использовал регрессию временного ряда для прогнозирования объема розничных продаж на следующие четыре квартала. Оценки спроса поквартально соответственно 100, 120, 140, 160 млрд р. Для каждого квартала рассчитаны сезонные индексы 1,3, 0,9, 0,7 и 1,15 соответственно.
Для того чтобы получить поправленный с учетом сезонности объем продаж, мы умножаем каждый сезонный индекс на прогноз тренда:
у . = ИНДЕКС х у
Итак
Квартал 1: у , =(1,3)(100)= 130 млрд р.
Квартал 2: у п =(0,9)(120)= 108 млрд р.
Квартал 3: у ш =(0,7)(140)= 98 млрд р.
Квартал 4: у w =( 1,15)( 160)= 184 млрд р.
Пример 4. В данном примере рассматриваются данные о спросе на услуги клиник Первого медицинского института. На основе учета свободных мест в течение 66 месяцев получено следующее уравнение:
у = 8091+21,5 х;
где у — пациенто-дни; х — время в месяцах.
На основе этой модели можно составить прогноз на следующий месяц спроса на услуги госпиталя в пациенто-днях:
пациенто-дни = 8091 + 21,5(67) = 9530 (тренд).
Эта модель характеризует возрастающую линию тренда в спросе на услуги госпиталя, но не учитывает сезонность. Таблица ниже содержит сезонные индексы, определенные на основе тех же 66 месяцев. Данные о сезонности типичны для спроса на госпитальные услуги. Обратите внимание, что в январе, марте, июле и августе спрос значительно выше среднего, а в феврале, сентябре, ноябре и декабре — ниже.
Месяц	Сезонный индекс	Месяц	Сезонный индекс
Январь	1,0436	Июль	1,0302
февраль	0,9669	Август	1,0405
Март	1,0203	Сентябрь	0,9653
Апрель	1,0087	Октябрь	1,0048
Май	0,9935	Ноябрь	0,9598
Июнь	0,9906	Декабрь	0,9805
Для корректировки экстраполяции временного ряда с учетом сезонности прогноз на месяц умножается на соответствующий сезонный индекс. Так, для 67-го месяца, который оказался январем, пациенто-дни = (9530)( 1,0436) = 9946 (тренд и сезонность). Полученный с помощью этой модели прогноз спроса на период с января по июнь (месяцы с 67-го по 72-й) выглядит следующим образом: 9946, 9236, 9768, 9678, 9554 и 9547. Такой подход обеспечивает тем более высокую точность прогноза, чем точнее ведется учет пациенто-дней.
Регрессионный анализ. Регрессионные модели прогнозирования обычно учитывают несколько переменных, определяющих значение прогнозируемой переменной. Если эти взаимосвязанные переменные известны, строится статистическая модель, которая используется для прогнозирования значения интересующей нас переменной. Этот подход является более мощным, чем методы анализа временных рядов, которые используют только реализовавшиеся значения прогнозируемой переменной.
В регрессионном анализе можно учитывать много факторов. Например, величина спроса на продукт фирмы может зависеть от бюджета на рекламу, назначаемой цены, цен, назначаемых конкурентами, уровня безработицы. В таком случае величину спроса следует назвать зависимой переменной, а другие переменные — независимыми переменными. Задача менеджера — установить наилучшую статистическую взаимосвязь между спросом и независимыми переменными.
Использование регрессионного анализа для прогнозирования. Для проведения регрессионного анализа мы можем использовать ту же самую математическую модель, которую получили с помощью метода наименьших квадратов при проецировании тренда.
Пусть у — зависимая переменная, которую мы хотим прогнозировать. Независимой переменной х уже не обязательно является время:
у = с + d х,
где у — значение зависимой переменной (здесь — спроса);
с — значение, характеризующее точку пересечения линии регрессии с осью у;
d — наклон линии регресии;
х — независимая переменная.
Пример 4. Компания “Веселые ребята” ремонтирует старые дома 11 Воронеже. Со временем компания обнаружила, что объем ремонтных работ зависит от уровня доходов в городе. Следующая
198
199
таблица содержит данные о доходе компании и денежных доходах наемных рабочих в Воронеже за период 1992—1997 гг.
Доход компании (100 млн р >, у	Доходы наемных рабочих (100 млрд р ), х
2,0	1
3,0	3
2,5	4
2,0	2
2,0	1
3,5	7
Управляющий компании хочет установить математическую зависимость для предсказания спроса на услуги компании. Во-первых, он должен оценить, существует ли линейная зависимость между доходами рабочих и спросом на услуги компании. Для этого следует изобразить приведенные данные в виде диаграммы.
Местные доходы (масштаб 100 млрд р.)
Рис 24 2
Шесть точек указывают на то, что существует прямо пропорциональная зависимость между независимой переменной — дохо
200
дом рабочих и зависимой переменной — доходом компании. Если возрастает доход рабочих, то увеличивается и доход компании.
Мы можем построить математическое уравнение регрессии, применив метод наименьших квадратов.
Спрос на услуги компании, у	Доход рабочих, х	х’~	ху
2,0	1	1	2,0
3,0	3	9	9,0
2,5	4	16	10,0
2,0	2	4	4,0
2,0	1	1	2,0
3,5	7	49	24А .
Zy = 15,0; Lx = 18,0, Lx2 =80,0, £ху = 51,5,
-_Zx 18 _
Х-"Г = Т = 3;
У = ~ ~ = 2,5: О о
d == Zxy-nxy = 51,5 -(6)(3)(2,5) = 2у Хх2-пх2 80-(6)(9)	’ ’
с = у - dx = 2,5 - (0,25)(3) = 1,75.
Регрессионное уравнение имеет вид
У = 1,75 + 0,25 х, или
спрос = 1,75 + 0,25 (доход рабочих).
Если налоговая инспекция Воронежа определяет объем доходов на следующий год в сумме 600 млрд р., мы можем получить оценку доходов компании.
спрос (в сотнях тысяч) = 1,75 + 0,25(6) = 3,25,
или	спрос = 325000 млн р.
Заключительная часть примера 4 характеризует основную слабость регрессионного анализа. После того как мы построили регрессионное уравнение, необходимо получить прогноз независимой переменной х — в данном случае, совокупных доходов рабочих — прежде, чем оценить значение зависимой переменной у Для следующего периода времени. Однако получить прогнозы некоторых независимых переменных сравнительно легко.
Множественная регрессия. Множественная регрессия — это развитие описанной выше модели. Она позволяет нам построить мо
26-3178
201
дель с несколькими независимыми переменными. Например, если компания “Веселые ребята” хочет включить в модель прогнозирования уровня доходов средний годовой уровень безработицы, соответствующее уравнение будет иметь вид
У = с + d, х, + d2 х2, где у — зависимая переменная;
с — пересечение с осью у,
Хр х2 — значения двух независимых переменных.
В математическом плане множественная регрессия достаточно сложна и обычно рассчитывается с помощью компьютера. Формулы для определения с, dj и d2 могут быть взяты из учебников по статистике.
Пример 5. Новая множественная регрессия для компании “Веселые ребята”, рассчитанная с помощью компьютерной программы, имеет вид
у = 1,80 + О,3х, - 0,5х2 .
Если мы можем оценить значения х1 и х2 для следующего года, то можем и сделать прогноз уровня доходов компании. Если Xj= 600 млрд р. и х2 = 0,12 (12%), то прогноз уровня доходов будет доход (сотни миллионов) = 1,80 + 0,30(6) - 5,0(0,12) = = 1,8 + 1,8 - 0,6 = 3,00, или доход = 300000 млн р.
Управляемый или контролируемый прогноз. Если прогноз рассчитан, забывать его не надо. Никто не желает, чтобы ему напомнили о том, что его прогноз был неточным, однако фирма должна понять, почему фактический спрос (или другая оцениваемая переменная) существенно отличается от значения прогноза.
Один из способов управления прогнозом с целью обеспечения его точности — использование трекинг-сигнала. Если прогноз рассчитывается каждые неделю, месяц или квартал, ставшие известными величины фактического спроса сравниваются с соответствующими прогнозными величинами.
Трекинг-сигнал рассчитывается как итоговая сумма ошибок прогнозирования (RSFE), деленная на среднее абсолютное отклонение (MAD).
RSFE трекинг-сигнал =----------=
MAD
X (фактический спрос в период i — прогнозируемый спрос в период 1)
MAD
202
где
Е (ошибка прогноза] MAD = ---------------------.
п
Положительный трекинг-сигнал означает, что фактический спрос выше, чем прогноз. Отрицательный — что фактический спрос меньше, чем прогноз. У хорошего трекинг-сигнала значение RSFE мало, т.е. для него положительные ошибки приблизительно равны отрицательным ошибкам. Другими словами, небольшие отклонения допустимы, но положительные отклонения должны уравновешиваться отрицательными отклонениями так, чтобы трекинг-сигнал имел небольшие отклонения от нуля в ту и другую сторону.
Если трекинг-сигналы рассчитаны, их следует сравнить с заранее определенной контрольной границей. Если трекинг-сигнал выходит за верхнюю или нижнюю границы, “поднимается флажок”. Это означает, что возникла проблема с методом прогнозирования и его следует скорректировать.
На нижеследующем рисунке показан трекинг-сигнал. Если для его получения использовалась модель экспоненциального сглаживания, то константу сглаживания следует изменить.
Как фирмы определяют верхний и нижний пределы трекинг-сигнала? Точного ответа на этот вопрос нет, но они пытаются подобрать разумные значения. Не слишком низкие, предполагаю
26’
203
щие слишком маленькие ошибки прогноза, и не слишком высокие, реагирующие только на плохие прогнозы. Экспертами установлены границы для жесткого контроля прогноза в 4 MAD и границы 8 MAD для слабого контроля. Один MAD соответствует приблизительно 0,8 стандартного отклонения, так что 2 MAD = = 1,6 стандартного отклонения, 3 MAD= 2,4 стандартного отклонения, 4 MAD = 3,2 стандартного отклонения. Это означает, что для контролируемого прогноза 89% ошибок находятся в пределах 2 MAD, 98% — в пределах 3 MAD и 99,9% в пределах 4 MAD.
В примере 6 показано, как рассчитывать трекинг-сигнал и RSFE.
Пример 6. Прогноз спроса и спрос на булочки, изготовляемые пекарней “Пышка”, указаны в таблице. Необходимо рассчитать трекинг-сигнал и определить адекватность метода прогнозирования.
Квартал	Прогноз спроса	Фактический спрос	Ошибка	RSFE	|Ошибка|	Суммарная ошибка	MAD	Трекинг сигнал
1	100	90	-10	-10	10	10	10,0	-1
2	100	95	-5	-15	5	15	7,5	-2
3	100	115	+ 15	0	15	30	10,0	0
4	но	100	-10	-10	10	40	10,0	-1
5	110	125	+ 15	+5	15	55	11,0	+0,5
6	но	140	+30	+35	30	85	14,2	+2,5
L (ошибка прогноза]	85
MAD = ----------------------- = -----= 14,2 .
п	6
RSFE 35
Трекинг-сигнал = --------=-------= 2,5 MAD .
MAD 14,2
Этот трекинг-сигнал находится в пределах от —2,0 до +2,5 MAD.
Пример 7. Данные о регистрации номеров в гостинице “Метрополь” хранятся за последние девять лет. Менеджер хочет определить тренд числа клиентов для того, чтобы предсказать спрос. Этот прогноз должен помочь определить, потребуется ли расширение отеля в будущем. С использованием приведенных ниже данных постройте регрессионное уравнение, связывающее число регистраций с временем. Затем постройте прогноз числа регистраций в 1998 г.
204
Год	Преобразованный год, X	Число регистраций, у (тыс )	X2	ху
1989	1	17	1	17
1990	2	16	4	32
1991	3	16	9	48
1992	4	21	16	84
1993	5	20	25	100
1994	6	20	36	120
1995	7	23	49	161
1996	8	25	64	200
1997	9	24	81	216
Ex = 45; Sy = 182; £x2 = 285; £xy = 978;
_ 45 c _ 182
x = — = 5; у =-----= 20,22;
9	9
d = ЕхУ-ихУ = 978 - (9)(5)(20,22) = 978 - 909,9 68,1	]35.
£x2-nx2	285 - (9)(25)	~ 285-225 ” 60 ~
с = у - d x = 20,22 - (1,135)(5) = 20,22 - 5,675 = 14,545. у (регистрации) = 14,545 + l,135x.
Проекция числа регистраций на 1998 г. (в данной системе координат х = 11)
у = 14,545 + (1,135)(11) = 27,03, или 27030 посетителей в 1998 г.
Пример 8. Квартальный спрос на автомобиль “Таврия” про-। вотируется на основе уравнения
у = 10 + Зх, где х = кварталы, и квартал I в 1996 = 0, квартал II в 1996 = 1, квартал III в 1996 = 2, квартал IV в 1996 = 3, квартал I в 1997 = 4
и т.д., и у — квартальный спрос.
Спрос на машины носит сезонный характер. Сезонные индексы для I, II, III и IV кварталов равны соответственно 0,8; 1,0; 1,3; 0,9. Постройте прогноз спроса для каждого квартала 1998 г. Скорректируйте этот прогноз с учетом сезонности спроса.
Решение. Квартал I в 1998 г. имеет порядковый номер х = 8, квартал II — х = 9 и т.д.
205
у (1998, квартал !)= 10+3(8)=34, скорректированный прогноз =(0,8)(34)=27,2,
у (1998, квартал П)=10+3(9)=37, скорректированный прогноз =(1,00)(37)=37,
у (1998, квартал 1П)=10+3(10)=40, скорректироавнный прогноз =(1,3)(40)=52,
у (1998, квартал IV)= 10+3(11)=43, скорректированный прогноз =(0,9)(43)=38,7.
ЗАДАЧИ
Задача 24.1
Коля Холодков разработал следующую модель прогнозирования.
у = 36 + 7 х, где у — средняя величина спроса на кондиционеры К10 (шт. в течение летнего месяца),
х — внешняя температура (°C).
1. Каков прогноз спроса, если температура 20°С?
2. Каков прогноз спроса, если температура 30°С?
Задача 24.2
Продажи кондиционеров воздуха Сульмена постоянно возрастают в течение последних пяти лет. Постройте прогноз продаж, используя метод проекции тренда.
Год	Продажа	Прогноз
1	450	410
2	495	
3	518	
4	563	
5	584	
6	9	
1.	Каково значение прогноза для года 6?
2.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) для этого метода?
3.	Какой из трех методов:
1)	экспоненциальное сглаживание с константой 0,3,
2)	скользящие средние для трех лет,
206
3)	проецирование тренда
следует использовать для прогнозирования спроса на кондиционеры?
Задача 24.3
В последние несколько лет возрос спрос на операции по трансплантации сердца в клинике Первого медицинского института.
Год	Число операций
1	45
2	50
'	3	52
4	56
5	58
6	7
Главврач спрогнозировал спрос шесть лет назад на первый год в объеме 41 операции.
А. Используя метод экспоненциального сглаживания, сначала с константой 0,6, а затем 0,9, разработайте прогноз для периода со 2-го по 6-й годы.
Б. Используя метод скользящих средних для трех лет, постройте прогноз для 4, 5 и 6-го года.
В. Используйте метод проекции тренда для прогнозирования спроса для 1—6 лет.
Г. Рассматривая MAD в качестве критерия, определите, какой из методов лучше.
1.	Какова прогнозируемая величина спроса для метода экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,6?
2.	Какова прогнозируемая величина спроса для метода экспоненциального сглаживания с константой сглаживания 0,9?
3.	Какова прогнозируемая величина спроса для метода скользящих средних?
4.	Какова средняя абсолютная ошибка (MAD) метода проекции тренда?
Задача 24.4
Менеджер фирмы, торгующей музыкальными инструментами, установил, что ежемесячный спрос на турецкие барабаны зависит от числа показов на телеэкране рок-групп в предыдущем месяце. Менеджер составил следующую таблицу.
207
Спрос на турецкие барабаны	Число показов на TV рок-группы
3 6 7 5 10 8	3 4 7 6 8 5
А. Нарисуйте эти данные, чтобы увидеть, существует ли линейная взаимосвязь между числом выступлений рок-групп по телевизору и количеством продаж турецких барабанов.
Б. Используйте метод линейной регрессии, чтобы получить уравнение для прогнозирования спроса.
В. Каков будет ваш прогноз спроса на турецкие барабаны, если в предыдущем месяце по телевизору будет показано 9 выступлений рок-групп?
1. Каков коэффициент наклона линейной регресии?
2. Каков прогноз спроса на барабаны после 9 выступлений рок-групп за месяц?
Задача 24.5
Исследование корреляции между величиной банковских депозитов и индексом потребительских цен позволил получить следующие, основанные на п = 5 измерениях, данные.
Е х = 15; Zy = 20, Ex2 = 55; £у2 = 130;
Е ху = 70.
А. Определите коэффициент корреляции. О чем говорит его значение?
Б. Какова стандартная ошибка измерения?
1. Каков коэффициент корреляции?
2. Какова стандартная ошибка?
Задача 24.6
Менеджер фирмы — оптового торговца углем — установил, что объем продаж угля связан с индексом погоды, ежегодно определяемым Бюро погоды. Чем холоднее погода (соответственно — выше индекс погоды), тем выше объем продаж угля. Менеджер
208
полагает, что на основании регрессионного уравнения, устанавливающего взаимосвязь спроса на уголь и индекса погоды, можно получить хороший прогноз спроса на уголь. На основании данных, указанных в таблице, постройте регрессионное уравнение, определите коэффициент корреляции и стандартную ошибку измерения.
Продажа угля, у (млн т)	Индекс погоды, х
4	2
1	1
4	4
6	5
5	3
1.	Чему равен коэффициент наклона линейной регресии?
2.	Каков коэффициент корреляции?
3.	Какова стандартная ошибка?
Задача 24.7
Доктор Мухин — психолог, занимающийся пациентами, испытывающими страх перед необходимостью покидать свой дом и выходить на улицу. В следующей таблице показано количество новых пациентов, обратившихся к нему за помощью в каждом из последних 10 лет, а также приведен индекс преступности в эти годы.
Год	Число пациентов	Индекс преступности, число преступлений на 1000 человек населения
1	36	58,3
2	33	61,1
3	40	73,4
4	41	75,7
5	40	81,1
6	55	89,0
7	60	101,1
8	54	94,8
9	58	103,3
10	61	116,2
Используя анализ тренда, определите, сколько пациентов будет у доктора в 11, 12 и 13-м годах. Насколько хорошо эта модель отражает данные9
1.	Сколько пациентов будет в году 119
2.	Сколько пациентов будет в году 13?
27-3178
209
3.	Чему равен коэффициент корреляции?
Постройте линейную регрессию для установления взаимосвязи между индексом преступности и числом пациентов.
4.	Сколько пациентов будет в году 11, если индекс преступности возрастет до 131,2?
5.	Сколько пациентов будет в году 11, если индекс преступности снизится до 90,6?
Задача 24.8
Управляющий фирмы “Грация” в целях планирования расходов на командировки провел исследование зависимости этих расходов у от продолжительности командировки в днях х1 и расстояния, которое проехал командированный сотрудник на автомобиле хг Изучение данных для 200 командированных позволило управляющему построить следующее регрессионное уравнение у = 90,00 + 48,5 х, + 0,4 х2.
1. Какие командировочные расходы будет иметь управляющий, если он направляется в 300 километровую поездку на пять дней?
Задача 24.9
В последние годы агент фирмы “Турист” продавал ежегодно в среднем 1000 путевок в подмосковный пансионат Причем в последние два года 200 и 250 путевок осенью, 300 и 350 — зимой, 150 и 165 — весной, 300 и 285 — летом. Ожидается, что в следующем году спрос составит 1200.
1.	Какой спрос на путевки ожидается в осеннем сезоне следующего года?
2	Какой спрос на путевки ожидается в зимнем сезоне следующего года?
3.	Какой спрос на путевки ожидается в весеннем сезоне следующего года?
4.	Какой спрос на путевки ожидается в летнем сезоне следующего года?
Задача 24.10
В таблице показана суммарная дальность пассажирских полетов (в тысячах километров), зарегистрированных Воронежским управлением Аэрофлота за последние 12 недель
210
Неделя	Дальность
1	17
2	21
3	19
4	23
в	18
6	16
7	20
8	18
9	22
10	20
11	15
12	22
А. Предполагая, что прогноз для 1-й недели был 17 000 км, постройте прогноз для периода со 2-й по 12-ю неделю методом экспоненциального сглаживания с константой сглаживания а = 0,2,
Б. Определите среднее абсолютное отклонение MAD для этой модели9
В Рассчитайте сумму ошибок прогноза и трекинг-сигналы. Находятся ли они в пределах 5 сигма?
1. Чему равно среднее абсолютное отклонение для этой модели?
2. Для какой недели трекинг-сигнал выходит за пределы 5 сигма?
Задача 24.11
Число пассажиров городского транспорта (автобус и метро) возрастает в Москве с увеличением числа приезжих в летние месяцы. В таблице показаны данные, связывающие число туристов и пассажиров в последние 12 лет.
Год	Число приезжих, млн	Число пассажиров, млн
1	7	1,5
2	2	1,0
3	6	1,3
4	4	1,5
5	14	2,5
6	15	2,7
7	16	2,4
8	12	2,0
9	14	2,7
0	20	4,4
11	15	3,4
12	7	1,7
27'
211
Постройте регрессионную зависимость числа пассажиров от числа приезжих.
1.	Сколько можно ожидать пассажиров (млн), если город посетят 10 млн туристов?
2.	Сколько будет пассажиров (млн), если туристов не будет совсем?
3.	Какова стандартная ошибка измерения?
4.	Каков коэффициент детерминации для этой модели?
Задача 24.12
В таблице показано среднее число ежедневных посещений московского зоопарка за последние три года
Год	Время года	Число посещений
1995	Зима	73
	Весна	104
	Лето	168
	Осень	74
1996	Зима	65
	Весна	82
	Лето	124
	Осень	52
1997	Зима	89
	Весна	146
	Лето	205
	Осень	98
1.	Чему равен индекс
2.	Чему равен индекс
3.	Чему равен индекс
4.	Чему равен индекс
сезонности для зимы? сезонности для весны? сезонности для лета? сезонности для осени?
Ключевые слова
Регрессия Сезонность Сезонный индекс Трекинг-сигнал
Раздел 11
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Глава 25
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Теория принятия решений. Теория принятия решений — это аналитический подход к выбору наилучшей альтернативы или последовательности действий. В теории принятия решений существуют три основных уровня классификации. Они зависят от степени определенности возможных исходов или последствий, с которыми сталкивается лицо, принимающее решения (ЛПР). Существуют три типа моделей.
1.	Принятие решений в условиях определенности — ЛПР точно знает последствия и исходы любой альтернативы или выбора решения. Например, ЛПР с полной определенностью знает, что вклад 100 тыс. р. на текущий счет приведет к увеличению баланса этого счета на 100 тыс.р.
2.	Принятие решений в условиях риска — ЛПР знает вероятности наступления исходов или последствий для каждого решения. Мы можем не знать, будет ли завтра дождь, но знаем, что его вероятность 0,3.
3.	Принятие решений в условиях неопределенности — ЛПР не знает вероятностей наступления исходов для каждого решения. Например, вероятность того, что демократ будет президентом России в течение ближайших двадцати лет, неизвестна.
Если имеет место неопределенность в отношении возможности реализации состояний среды (т.е. невозможность даже приблизительно указать вероятности наступления каждого возможного исхода), то для принятия решений мы можем воспользоваться тремя критериями.
1.	Maximax, или “критерий оптимизма” — этот критерий определяет альтернативу, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы.
2.	Maximin,или “критерий пессимизма” — этот критерий определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы
3.	Критерий безразличия — этот критерий выявляет альтернативу с максимальным средним результатом.
213
Таблица решений. Компания “Буренка” изучает возможность производства и сбыта навесов для хранения кормов. Этот проект может основываться на большой или малой производственной базе. Рынок для реализации продукта — навесов — может быть благоприятным или неблагоприятным. Василий Бычков — менеджер компании, естественно, учитывает возможность и вообще не производить эти навесы. При благоприятной рыночной ситуации большое производство позволило бы Бычкову получить чистую прибыль 200 млн р. Если рынок окажется неблагоприятным, то при большом производстве он понесет убытки в размере 180 млн р. Малое производство дает 100 млн р. прибыли при благоприятной рыночной ситуации и 20 млн р. убытков при неблагоприятной.
Применим критерии maximax, maximin и критерий безразличия к решению этой задачи. Составим таблицу решений.
Альтернативы	Состояние среды		Maximum	Minimum	Среднее по строке
	Благоприятный рынок	Неблагоприятный рынок			
Создать большое производство	200	-180	200	-180	10
Создать малое производство	100	-20	100	-20	40
Ничего не делать	0	0	0 Maximax	0 Maximin	0 Безразличие
1.	По критерию maximax следует создать большое производства.
2.	По критерию maximin не следует делать ничего.
3.	По критерию безразличия следует создать малое производство.
Ожидаемая стоимостная оценка альтернативы. Если определена таблица решений с оценками условий и вероятностями реализации для всех состояний среды, мы можем определить ожидаемую стоимостную оценку (EMV) для каждой альтернативы. Выбор альтернативы с максимальной EMV является одним из наиболее распространенных критериев. Для каждой альтернативы EMV есть сумма всевозможных оценок условий (выигрышей), умноженных на вероятности реализации этих выигрышей.
EMV (альтернатива i) = (выигрыш при первом состоянии среды) х (вероятность наступления первого состояния) + ... + (выигрыш при состоянии среды п) х (вероятность наступления состояния п).
1.	EMV(Al)=(0,5)(200)+(0,5)(—180) = 10.
214
2.	EMV(A2)=(0,5)(100)+(0,5)(—20) = 40.
3.	EMV(A3)=(0,5)(0)+(0,5)(0) = 0.
Дерево решений. Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи, однако, содержат последовательности решений и состояний среды. Если имеют место два или более последовательных решения и последующее решение основывается на исходе предыдущего, более предпочтительным является подход, основанный на построении дерева решений. Дерево решений — это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.
Анализ задач с помощью дерева решений включает пять этапов. 1) формулировка задачи, 2) построение или изображение дерева решений. 3) оценка вероятностей состоянии среды, 4) установление выигрышей для каждой возможной комбинации альтернатив и состояний среды, 5) решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной ценности (EMV) для каждой вершины состояния среды.
Дерево решений для компании “Буренка” изображено на следующей схеме.
Выигрыши
Создать большое производство
Благоприятный рынок (0,5)
Неблагоприятный рынок (0,5)
200 л
-180
Создать малое производство
Благоприятный рынок (0,5)
Н еблагоприятный рынок (0,5)
Ничего не делать
100
-20
0
EMV для вершины 1 = (0.5)(200)+(0,5)(—180)= 10.
EMV для вершины 2 = (0,5)( 100)+(0,5)(-20)= 40
Ожидаемая ценность достоверной информации. Предположим, 1то менеджер компании “Буренка” связался с фирмой, занимающейся исследованием рынка, которая предложила ему помочь в принятии решения о том, стоит ли создавать производство наветов для хранения кормов. Исследователи рынка утверждают, что
215
их анализ позволит установить с полной определенностью, будет ли рынок благоприятным для данного продукта. Другими словами, условия для компании меняются в зависимости от того, принимается ли решение в условиях риска или же в условиях определенности. Эта информация может предостеречь Бычкова от очень дорогостоящей ошибки. Фирма,занимающаяся исследованием рынка, хотела бы получить за эту информацию 65 млн р. Что бы Вы порекомендовали Бычкову? Следует ли заказать проведение исследования рынка? Даже если результаты этого исследования являются совершенно точными, оправдана ли плата в 65 млн р.?
Ожидаемой ценностью достоверной информации (EVPI) назовем разность между выигрышем в условиях определенности и выигрышем в условиях риска:
EVPI = ожидаемый выигрыш в условиях определенности — — максимум EMV.
Для того чтобы определить EVPI, мы должны вначале рассчитать математическое ожидание EMV в условиях определенности, которое равно ожидаемому, или среднему, доходу в случае, когда мы имеем достоверную информацию перед тем, как принять решение.
1.	Лучший исход для состояния среды “благоприятный рынок” — “создать большое производство” с выигрышем 200 млн. р. Лучший исход для состояния среды “неблагоприятный рынок” — “ничего не делать” с выигрышем 0. Ожидаемая ценность в условиях определенности = (200)(0,5) + (0)(0,5) = 100. Итак, если бы мы располагали достоверной информацией, то ожидали бы получить в среднем 100 млн р.
2.	Максимум EMV = 40 — ожидаемый доход без достоверной информации.
3.	EVPI = ценность в условиях определенности — максимум EMV = 100—40 = 60. Итак, Бычкову следовало бы платить за достоверную информацию не больше 60 млн р. Конечно, такой вывод основывается на предположении, что вероятность реализации каждого состояния среды равна 0,5.
Предположим, что Бычкову надо принять два решения, причем второе решение зависит от исхода первого. Прежде чем создать новое производство, Бычков имеет намерение заказать исследование рынка и заплатить за него 10 млн р. Результаты этого исследования могли бы помочь решить вопрос о том, следует ли создавать большое производство, малое производство или не делать ничего. Бычков понимает, что такое обследование рынка не может дать достоверную информацию, но может тем не менее оказаться полезным.
216
На рис. 25.1 показаны возможные состояния среды и решения, а также вероятности различных результатов обследования и вероятности наступления различных состояний среды.
Первая точка	Вторая точка
принятия решений	принятия решений
Выигрыши
Благонрнятный рынок (0,78)
Неблагоприятный рынок (0Д2)
Благоприятный рынок (0,78)
Неблагоприятный рынок (0,22)
Благоприятный рынок (0,27)
Неблагоприятный рынок (0,73)
Благоприятный рынок (0,27)
Неблагоприятный рынок (0,73)
Благоприятный рынок (0,50)
Неблагоприятный рынок (0,50)
Благоприятный рынок (0,50)
Неблагоприятный рынок (0,50)
190
-190
90
-30
-10
190
-190
90
-30
-10
200
-180
100
-20
0
Рис. 25.1
Дерево решений Бычкова с рассчитанными EMV представлено на рис. 25.2. Короткими параллельными линиями отсекается та ветвь, которая оказывается менее благоприятной по сравнению с другими и может быть отброшена.
28-3178
217
Первая точка принятия решений
Вторая точка принятая решений
Выигрыши
49а
Благоприятный рынок (0,78)
Неблагоприятный рынок (0,22)
Благоприятный рынок (0,78)
Неблагоприятный рынок (0,22)
Благоприятный рынок (0,27)
Неблагоприятный рынок (0,73)
Благоприятный рынок (0,27)
Неблагоприятный рынок (0,73)
Благоприятный рынок (0,50)
Неблагоприятный рынок (0,50)
Благоприятный рынок (0,50)
Неблагоприятный рынок (0,50)
190
-190
90
-30
-10
190
-190
90
-30
-10
200
-180
100
-20
0
Рис. 25.2
Ожидаемая ценность наилучшего решения в случае, если будет заказано обследование рынка, составляет 49,2 млн р. Ожидаемая ценность наилучшего решения без обследования составляет 40 млн р.
218
ЗАДАЧИ
Задача 25.1
Лукерья Скальпель — администратор больницы в Почаеве. Она решает, следует ли сделать к больнице большую пристройку, маленькую пристройку или же не делать ее вообще. Если население Почаева будет продолжать расти, то большая пристройка могла бы принести ежегодно прибыль в 150 млн р. Если будет сделана маленькая пристройка, то она может приносить больнице 60 млн р. прибыли ежегодно при условии, что население будет увеличиваться. Если население Почаева не будет увеличиваться, то сооружение большой пристройки принесет больнице убыток в 85 млн р., маленькой — в 45 млн р. К сожалению, у Лукерьи нет информации о том, как будет изменяться численность населения Почаева. Постройте дерево решений. Определите наилучшую альтернативу, используя критерий безразличия.
1.	Чему равно значение EMV для наилучшей альтернативы?
2.	Получена дополнительная информация: вероятность роста населения равна 0,6, вероятность того, что его численность останется неизменной, — 0,4. Определите наилучшее решение, используя критерий максимизации ожидаемой стоимостной ценности. Чему равно значение EMV для наилучшей альтернативы при наличии дополнительной информации?
3.	Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?
Задача 25.2
Тамара Пончик предполагает построить ресторан недалеко от университетского общежития. Один из возможных вариантов — предусмотреть в нем пивной бар. Другой вариант не связан с продажей пива. В обоих случаях Тамара оценивает свои шансы на успех как 0,6 и на неудачу как 0,4. Предварительные обсуждения показывают,что план, связанный с продажей пива, может принести 325 млн р. Без продажи пива можно заработать 250 млн р. Потери в случае открытия ресторана с баром составят 70 млн р., в случае ресторана без бара 20 млн р. Выберите альтернативу для Тамары Пончик на основе средней стоимостной ценности в качестве критерия.
1. Следует ли реализовать план, предусматривающий продажу пива?
2. Чему равно значение EMV для наилучшей альтернативы?
28'
219
Задача 25.3
“Фото КОЛОР” — небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает “Фото КОЛОР” — фиксаж ВС-6. Адам Полутонов, президент “Фото КОЛОР”, продает в течение недели 11, 12 или 13 ящиков ВС-6. От продажи каждого ящика фирма получает 35 тыс.р. прибыли. ВС-6, как и многие фотографические реактивы, имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, Адам должен его уничтожить.Так как каждый ящик обходится фирме в 56 тыс.р., он теряет эту сумму в случае, если ящик не продан к концу недели. Вероятности продать 11, 12 или 13 ящиков в течение недели равны соответственно 0,45, 0,35 и 0,2.
1.	Сколько ящиков закупать фирме для продажи еженедельно?
2.	Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
3.	Сколько ящиков следовало бы закупать, если бы Адам мог достать ВС-6 с добавкой, которая значительно продлила бы срок его годности?
Задача 25.4
Компания “Молодой сыр” — небольшой производитель различных продуктов из сыра. Один из продуктов — сырная паста — продается в розницу. Вадим Ароматов, менеджер компании, должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков равны соответственно 0,1, 0,3, 0,5, 0,1. Затраты на производство одного ящика 45 тыс. р. Ароматов продает каждый ящик по цене 95 тыс. р. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода.
1. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?
2. Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
Задача 25.5
Дмитрий Мухин не знает, что ему предпринять. Он может открыть в своей аптеке большую секцию проката видеокассет или маленькую секцию. Он может получить дополнительную информацию о том, будет рынок видеопроката благоприятным или нет.
220
Эта информация обойдется ему в 3 млн р. Дмитрий считает, что эта информация окажется благоприятной с вероятностью 0,5. Если рынок будет благоприятным, то большая секция проката принесет прибыль 15 млн р., а маленькая — 5 млн р. В случае неблагоприятного рынка Мухин потеряет 20 млн р., если он откроет большую секцию, и 10 млн р. — если маленькую. Не имея дополнительной информации, Дмитрий оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,7. Положительный результат обследования гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,9. При отрицательном результате рынок может оказаться благоприятным с вероятностью 0,4.
1.	Следует ли получить дополнительную информацию?
2.	Следует ли открыть большую секцию?
3.	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения (млн р.)?
Задача 25.6
Павел Спицын провел анализ, связанный с открытием магазина велосипедов. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном рынке получит 60 млн р., при неблагоприятном же рынке понесет убытки 40 млн р. Маленький магазин принесет ему 30 млн р. прибыли при благоприятном рынке и 10 млн р. убытков при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного рынков он оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести профессор, обойдется Спицыну в 5 млн р. Профессор считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении рынок окажется благоприятным лишь с вероятностью 0,9. При отрицательном заключении с вероятностью 0,12 рынок может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь Павлу принять решение.
1.	Следует ли заказать проведение обследования рынка?
2.	Следует ли открыть большой магазин?
3.	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения?
Задача 25.7
Компания МРАК получает переключатели у двух поставщиков. Качество переключателей показано в следующей таблице.
221
Процент брака	Вероятность для поставщика А	Вероятность для поставщика В
1	0,7	0,3
3	0,2	0,4
5	0,1	о.з	
Так, 1% всех переключателей, поставляемых поставщиком А, с вероятностью 0,7 окажутся бракованными. Так как каждый заказ компании составляет 10 000 переключателей, это означает, что с вероятностью 0,7 они получат от поставщика А 100 бракованных переключателей. Бракованный переключатель можно отремонтировать за 0,5 тыс.р. Так как качество у поставщика В ниже, он уступает партию в 10 000 переключателей на 37 тыс.р. дешевле, чем поставщик А.
1. Какого поставщика следует выбрать компании?
2. Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения?
Задача 25.8
Леониду Хлоркину,главному инженеру компании “Белый каучук”, надо решить, монтировать или нет новую производственную линию, использующую новейшую технологию. Если новая линия будет безотказно работать, компания получит прибыль 200 млн р. Если же она откажет, то компания может потерять 150 млн р. По оценкам Хлоркина, существует 60% шансов, что новая производственная линия откажет.
Можно создать экспериментальную установку, а затем уже решать, монтировать или нет производственную линию. Эксперимент обойдется в 10 млн р. Леонид считает, что существует 50% шансов, что экспериментальная установка будет работать. Если экспериментальная установка будет работать, то 90% шансов за то, что производственная линия, если ее смонтировать, также будет работать. Если же экспериментальная установка не будет работать, то только 20% шансов за то, что производственная линия будет работать.
1.	Следует ли построить экспериментальную установку?
2.	Следует ли монтировать производственную линию?
3.	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения?
222
Ключевые слова
Альтернатива
Дерево решений
Критерий безразличия
Критерий оптимизма
Критерий пессимизма
Ожидаемая стоимостная оценка альтернативы
Ожидаемая ценность достоверной информации
Принятие решений в условиях неопределенности
Принятие решений в условиях определенности
Принятие решений в условиях риска
Состояние среды
Таблица решений
Глава 26
ОБУЧАЕМОСТЬ В ПРОИЗВОДСТВЕ*
Кривые обучения: история вопроса. Кривые обучения (learning curves) или, как еще их иногда называют, кривые опыта (experience curves), базируются на предпосылке о том, что организация, как и отдельные индивиды, с каждым разом исполняет одни и те же задания лучше и быстрее. Первый доклад о применении кривых обучения был опубликован в США в 1936 г. График кривой обучения показан на рис. 26.1 . По оси абсцисс откладывается количество производимого продукта, по оси ординат — затраты на производство соответствующей единицы.
Данный вид зависимости можно математически описать уравнением вида:
yn=y, n\ где Yn — время, которое нужно для производства единицы продукта с номером N, к — параметр, причем к < О, Y, — то время, которое требуется на изготовление первой единицы. Кривая обучения такого вида была получена при построении графика зависимости цены модели Т, производимой компанией “Форд Мотор”, от общего числа производимых автомобилей. Зависимость показывает способность сокращения издержек компанией с 1909 по 1923 г., когда модель Т не изменялась, а значит, снижение издержек происходило только из-за эффекта обучения.
*В главе использованы материалы, подготовленные А.Бусаровой
223
Доллары
4000
3000 2000 1000	X—1911 \j912				
	1913°-с 1914		>1916 j	,1918	1920
					1921
1	2	3	4	5
Произведено единиц (млн)
Рис 26 1 Вид кривой обучения
Рис 26 2 Вид кривой обучения в логарифмических осях
Кривая обучения превращается в прямую, если ее строить в логарифмических осях (рис.26.2).
Эмпирически построенные графики легко объяснить с содержательной точки зрения. На ранних стадиях производства активно приобретается опыт, а значит, издержки сокращаются быстрыми темпами (скорость изменения издержек (времени) при увеличении объема производства достаточно велика, следовательно, наклон кривой крутой). С течением времени технология производ
224
ства осваивается и практически выходит на уровень максимальных возможностей производства, обучение идет незначительными темпами, издержки (время) на производство последующих единиц практически не снижаются (наклон кривой горизонтальный). Из вышесказанного можно сделать два основных вывода по поводу кривых обучения:
1) требуется меньше затрат на создание каждой дополнительной единицы;
2) уменьшение затрат при каждом последующем изготовлении сокращается.
Если прологарифмировать кривую обучения
YN=Y,xNk, log Yn= log(Y, Nk), log YN=log Yt+ k log N, то получается линейная зависимость между логарифмическими функциями количества производимых единиц и издержками (временем) на их производство. Возможность линеаризации дает большие преимущества для практического исследования кривых обучения.
Уровень обучения. Принято, что уровень обучения базируется на удвоении производительности, т. е. если уровень обучения составляет L%, то это означает, что на производство второй единицы требуется L% издержек (времени) от тех, что потребовались на производство первой единицы, на производство четвертой единицы требуется L% издержек (времени) от тех, что потребовались на производство второй единицы, на производство восьмой единицы требуется L% издержек (времени) от тех, что потребовались на производство четвертой единицы, и т.д. Таким образом, при удвоении производства процент сокращения издержек постоянен:
Y2/Y,=(Y, 2k)/(Y| lk) = 2k, Y4/Y2=(Y> 4k)/<Y. 2к) = 2кит.д.
Таким образом, если L выражен в процентах, то
L/100 =2к,
logL — log 100 — к log2, следовательно,
к = (logL - 2)/ log2.
Если L выражен в долях, то
L=2k и к = logL/log2.
Таким образом, уравнение кривом обучения может быть записано следующим образом.
YN=Y, N<LogL 2)/Log2 где L — уровень обучения в процентах, или
Y =Yj NlosL/log2 ,
29-3178
225
где L — уровень обучения в долях.
Аналогично можно ввести понятие уровня обучения, базирующегося на росте производства в 3, 4, 5 раз и т. д. В дальнейшем мы будем говорить об уровне обучения, исходя из удвоения.
Примеры эффектов обучения в промышленности США
№	Пример	Улучшаемый параметр	Основной параметр	Уровень обучения, %	Временной промежуток it
1	Модель Т на предприятии “Форд Мотор”	Цена	Количество произведенных единиц	86	1910-1926
2	Сборка самолетов	Трудочасы на единицу	Количество произведенных единиц	80	1925—1957
3	Добыча нефти	Средние трудозатраты на баррель нефти	Миллионы баррелей	84	1860—1962
4	Производство электроэнергии	Мили на кВт-ч	Миллионы кВт • ч	95	1910—1955
5	Производство стали	Человеко-часы на единицу	Произведенные единицы	79	1920—1955
6	Сборка электросхемы	Средняя цена за единицу	Произведенные единицы	72	1964—1972
7	Карманный калькулятор	Средняя продажная цена	Произведенные единицы	74	1975—1978
8	Винчестер	Средняя цена за бит	Число бит	76	1975—1978
Следует особо подчеркнуть, что любые изменения в производственном процессе, продукте или персонале изменяют (разрушают) кривую обучения. Так что следует осторожно относиться к предположению о том, что кривая обучения является постоянной и долговременной.
Если говорить в общем, нс применяя терминологии удвоения или утроения выпуска, то можно сказать, что наличие единого уровня обучения в каком-либо процессе означает, что процентное сокращение издержек к процентному увеличению выпуска является постоянной величиной.
Пример 1. Уровень обучения в производстве для новой телефонной системы “Соловей” 80%. Требуется 56 000 ч на создание первой единицы системы. Сколько потребуется на производство восьмой, девятой, десятой единиц?
Решение:
У8 = 56000 8<|^08/|п«2’ часов.
226
Y, = 56000 9(lo*0R/“'«2) ч, Y(0 = 56000 10<“*° "'•«’в2» ч.
Для упрощения расчета обычно применяются таблицы. Использование такой таблицы сводится к следующему: во-первых, нужно знать издержки производства любой m-й единицы (Ym). Чтобы посчитать издержки (время) производства единицы с номером п, нужно издержки Ym умножить на коэффициент из таблицы, соответствующий уровню обучения (по горизонтали таблицы) и процентной базе (по вертикали таблицы). Причем процентная база определяется как отношение п/m, выраженное в процентах. Таким образом, расчет ведется по простой формуле:
Yn=Ym С (L,n/m х 100%).
Таблицы обычно составляются не только для процентной базы, большей 100%, но и для меньшей 100%. Тогда с их помощью можно не только вычислить, сколько потребуется на производство, например, 200-й единицы продукции, зная затраты на производство какой-либо предыдущей единицы, но и рассчитать, каковы были затраты на производство предыдущих единиц, зная современный уровень затрат. Это важно для фирм, которые только начинают какое-либо производство и пытаются скалькулировать свои будущие затраты, зная современные затраты конкурента и уже произведенный ими объем.
Коэффициенты таблицы рассчитываются следующим образом: Y = Y. nk , Y = Y, mk, Y /Y = (n/m)k.
Если b — процентная база (в процентах), L — уровень обучения (в процентах), то:
С (L,n/m х Ю0%) = (b/100)°o8L2>^2 .
Пример подобной таблицы — таблица коэффициентов кривых обучения.
Пример 2. Требуется 125 000 ч на производство первого буксирного судна, которое вы хотите закупить в компании “Рус флот”. Вторая и третья единицы были произведены с уровнем обучения 86%, при ставке заработной платы 4 тыс.р. за час. Сколько вы как агент по закупкам будете рассчитывать заплатить за четвертую единицу?
Решение.
Определяем уровень желаемой единицы по сравнению с базовой (в %):
процентная база = (4/1) 100% — 400%
Находим число в таблице, соответствующее, 400%-й базе и 86%-ому уровню обучения:
С = 0,7396 Y4 = 125000x0,7396 = 92450 ч.
Для нахождения издержек умножим 4 тыс.р. на время.
92450х 4 = 369800 тыс.р.
29
227
Коэффициенты кривых обучения
Процент-ная база	Уровень обучения						
	70	80	82	84	86	88	90
2	7,48591	3,52327	3,06494	2,67520	2,34251	2,05746	1,81238
5	4,67170	2,62324	2,35771	2,12451	1,91908	1,73757	1,57674
10	3,27019	2,09859	1,93332	1,78459	1,65041	1,52906	1,41906
20	2,28913	1,67887	1,58532	1,49905	1,41935	1,34557	1,27716
30	1,85805	1,47342	1,41157	1,35370	1,29949	1,24862	1,20082
40	1,60239	1,34309	1,29996	1,25920	1,22064	1,18410	1.14944
50	1,42857	1,25	1,21951	1,19047	1,16279	1,13636	1,11111
60	1,30064	1,17874	1,15748	1,13711	1,11756	1,09878	1,08074
70	1,20145	1,12167	1,10751	1,09386	1,0807	1,06799	1,05571
100	1	1	1	1	1	1	1
110	0,95213	0,96978	0,97308	0,97631	0,97947	0,98257	0,98561
120	0,91044	0,94299	0,94914	0,95517	0,96110	0,96693	0,97266
130	0,87371	0,91900	0,92763	0,93613	0,94451	0,95276	0,96090
140	0,84102	0,89734	0,90816	0,91884	0,92940	0,93983	0,95014
150	0,81168	0,87763	0.89039	0,90303	0,91555	0,92795	0,94022
160	0,78517	0,85958	0,87409	0,88849	0,90278	0,91697	0,93105
170	0,76105	0,84297	0,85905	0,87505	0,89095	0,90677	0,92251
180	0,73899	0,8276	0,84511	0,86256	0,87994	0,89726	0,91453
190	0,71872	0,81333	0,83213	0,85090	0,86965	0,88836	0,90704
200	0,7	0,8	0,82	0,84	0,86	0,88	0,9
220	0,66649	0,77582	0,79792	0,82010	0,84234	0,86466	0,88705
240	0,63731	0,75439	0,77829	0,80234	0,82655	0,85090	0,8754
260	0,61159	0,73520	0,76066	0,78635	0,81227	0,83843	0,86481
280	0,58871	0,71787	0,74469	0,77183	0,79928	0,82705	0,85512
300	0,56818	0,70210	0,73012	0,75855	0,78737	0,81659	0,84620
400	0,49	0,64	0,6724	0,7056	0,7396	0,7744	0,81
500	0,43684	0,59563	0,63078	0,66708	0,70454	0,74317	0,78298
600	0,39772	0,56168	0,59870	0,63718	0,67714	0,71860	0,76158
700	0,36739	0,53449	0,57285	0,61295	0,65480	0.69846	0,74394
800	0,343	0,512	0,55136	0,59270	0,63605	0,68147	0,729
900	0,32282	0,49295	0,53308	0,57540	0,61996	0,66682	0,71606
1000	0,30579	0,47651	0,51724	0,56035	0,60591	0,65399	0.70468
Существуют два типа задач, связанных с применением кривых обучения. Тип 1: определение затрат различного вида на производство продукции. При этом входной информацией является: время на производство первой единицы продукции; номер последней единицы; коэффициент кривой обучения. В результате мы получаем затраты на производство с первой по n-ю единицу и суммарное время на производство всех единиц.
Пример 3. Как закупочный агент занимающейся доставкой грузов компании “Вася” вы интересуетесь, сколько нужно заплатить за четвертое буксирное судно, если третье требует 20 000 ч на производство. И сколько за пятое и шестое, если уровень обучения 86%, а повременная ставка заработной платы 4 тыс.р. за час.
Y =Ym (b/100)"* ^2,
228
Y=20000 (i/3)lo«0-8'’/'og2 = 25400,8,
Y4=25400 (4)W>.8«/m>82 = 18786,4,
Ys=25400 (5)"^-86/“«2 = 17896 ,
Y6=25400 (б)^8^2 = 17200,
P4 = 18786x4 = 75145 тыс.р.,
P5 = 17896x4 = 71584 тыс.р.,
P6 = 17200x4 = 68800 тыс.р.
Тип 2: определение уровня обучения. Если нам достоверно известно о существовании постоянного уровня обучения при данной технологии, то мы можем решать задачу определения этого уровня, исходя из известных издержек. Известны: затраты на производство первой единицы, а также номер последней единицы и затраты на ее производство. Результат: L — уровень обучения, затраты на производство с первой по N-ю единицу и суммарные затраты на производство N единиц.
Пример 4. Настройщик затратил на настройку своего первого рояля 4 ч, пятого — 2,5 ч. Чему равен уровень обучения?
Решение (получено с помощью пакета АВ РОМ).
Время на первую единицу Y	— 4,
Номер последней единицы N	— 5,
Время на последнюю единицу YN	— 2,5,
Коэффициент обучения L	—0,8168.
Алгебраический метод построения кривой обучения, исходя из двух значений затрат (на производство первой и N-й единиц), безусловно, является наиболее простым. Он базируется на предположении о наличии постоянного во времени уровня обучения, который полностью определяет издержки следующего периода. На самом деле, поскольку речь идет об организации в целом, о наличии единого эффекта обучения можно говорить лишь в статистическом смысле. Следовательно, более корректным расчетом уровня обучения будет статистическое определение параметра к, а через него и L. Имея ряд издержек производства Yp Y2, ... , YN и рассматривая значение издержек как величину случайную, можно построить зависимость между этими издержками и порядковым номером соответствующей произведенной единицы. Форма этой зависимости известна, так как мы по-прежнему предполагаем наличие постоянного в среднем уровня обучения. Переходя к рядам
Z=( logY, , logY2, ... , logYN ) = (zp..., zN), X=(logN,, logN2, ... , log Nn) = (x,,..., xN), строим линейную регрессию z = b + kx.
Тогда константа k — параметр степенной функции, через который можно определить уровень обучения, а константу b можно
229
рассматривать как оценку издержек на производство первой единицы продукта. Но поскольку свободный коэффициент регрессии обычно имеет большой разброс, то оценка первоначальных издержек может оказаться плохой. А значит, и расчет будущих издержек лучше вести в усредненном, статистическом смысле.
Эти соображения послужили основанием для включения этой главы именно в данный раздел, хотя все задачи, рассмотренные ниже, являются детерминированными и могут быть решены с помощью приведенных выше алгебраических моделей.
ЗАДАЧИ
Задача 26.1
Производителям системы “Соловей” требуется 26 686 ч на производство десятой единицы. Сколько потребуется времени на производство одиннадцатой единицы, и сколько вы как закупочный агент компании “Печкин Ltd” заплатите за партию с десятой по двенадцатую единицу, если один трудочас оценивается в 3 тыс.р.?
Задача 26.2
Первая страница работы с новым текстовым редактором требует у машинистки в среднем 60 мин. Уровень обучения средней машинистки 80%. Сколько времени потребуется на восьмую страницу?
Задача 26.3
В городе Солнечный есть фирма “Живая вода”, производящая автоматы для газирования воды. Фирма “Свежесть”, производитель кофеварок, решила также производить аппараты для газированной воды. Организаторы нового производства узнали, что в данное время автомат собирается на “Живой воде” за 4,5 ч из готовых деталей, причем в настоящее время в городе насчитывается 10 работающих автоматов, а также до 10 автоматов было вывезено в соседние города. Все эти автоматы были произведены компанией “Живая вода”. Технология производства на “Свежести” будет полностью идентична. Уровень обучения на производстве в целом 70%.
Сколько времени потребуется фирме “Свежесть” на производство первых двух автоматов? (Дать максимальный и минимальный прогнозы.)
230
Задача 26.4
Необходимо 28 718 ч на производство восьмого локомотива типа “паровозик из Ромашкова”. Уровень обучения на производстве 80%. Сколько времени потребуется на производство десятого локомотива?
Задача 26.5
Требуется 125 000 ч на производство первого буксирного судна в компании “Рус флот”. Уровень обучения 86%. Ставка 4 тыс.р. в час. Какова себестоимость четырех судов, произведенных на “Рус флоте” соответственно 12, 13, 14 и 15-м по порядку?
Задача 26.6
Первое платье цех “Мода” производит за 1 ч. Уровень обучения 80%. Сколько времени потребует изготовление 100-го платья?
Задача 26.7
Требуется 80 000 ч на производство первого летательного аппарата типа “Икар”. Сколько потребуется на производство восьмого, если уровень обучения 90%?
Задача 26.8
Производство систем управления самолетами “Ласточка” на заводе “Иван Сусанин” осуществляется с постоянным уровнем обучения. Переменные затраты на производство первой системы 8 млн р., 13-й — 6,5 млн р.
Каковы будут переменные затраты на производство 20-й системы?
Задача 26.9
Фирма "Надежда” произвела первый двигатель “Богатырь” с издержками 1000 млрд р. и считает, что уровень обучения в ее производстве 80%. Сколько будет стоить двигатель для фирмы “Путь”, если “Надежда” обязалась продать им двигатель по цене, равной издержкам, а “Путь” стоит тысячным в очереди на данный двигатель?
231
Ключевые слова
Кривая обучения
Обучение на производстве
Уровень обучения
Глава 27
КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА*
Существуют три основных подхода к определению качества
1)	пользовательский подход предполагает, что качество “лежит на глазах у наблюдателя”, этот подход характерен для потребителей и специалистов-маркетологов, для них более высокое качество означает лучший внешний вид, больший набор возможностей и другие, иногда весьма дорогостоящие, улучшения,
2)	производственный подход качество определяется соответствием продукта определенным спецификациям и исправным состоянием продукта в течение гарантийного периода, данный подход характерен для управленческого персонала на производстве,
3)	продуктовый подход рассматривает качество как точную и измеримую величину, например, действительно качественное мороженое отличается высоким содержанием сливочного масла
Фирма будет предпочитать такой уровень качества, при котором положительная разница между ценой и издержками производства продукта заданного качества будет наибольшей (рис 27 1) При очень низких уровнях качества продукт не будет пользоваться спросом, так как он не будет отвечать ожиданиям потребителей и часто будет нуждаться в ремонте Продукт низкого качества может иметь даже отрицательную стоимость для потребителей Очень высокий уровень качества оказывается разорительным для производителя, так как при высоких издержках не приводит к повышению ценности продукта для потребителей Таким образом, фирма должна определить оптимальный уровень качества своей продукции и поддерживать его.
Методы контроля качества
1 Статистический технологический контроль Статистический технологический контроль — это статистический метод, широко используемый для обеспечения гарантии того, что процесс соот-
* В главе использованы материалы, подютовленные Н Столповских
232
Рис 27 1 Учет дохода и издержек при выборе уровня качества
ветствует установленным стандартам Все процессы имеют некоторую степень изменчивости Задачей системы технологического контроля является принятие решений относительно факторов, оказывающих влияние на производственный процесс Выделяют две основные группы причин, оказывающих влияние на технологический процесс естественные и специальные (неслучайные) Процесс признается находящимся под контролем, когда единственным источником изменчивости являются естественные причины
Естественные колебания Естественные колебания присущи практически всем производственным процессам Они являются результатом действия определенной системы случайных причин
Неслучайные колебания Неслучайные колебания процесса происходят из-за специальных причин Такие факторы, как износ машин, неприспособленное оборудование, утомленные и неподготовленные рабочие, — все это потенциальные источники неслучайных колебаний
Процесс может быть подвержен статистическому контролю с целью выявления и исключения неслучайных причин изменчивости Затем ход процесса оказывается предсказуемым, что позволяет оценить способность удовлетворять ожидания потребителей
Способность процесса функционировать в рамках статистического контроля определяется общим изменением, которое обус
30-3178
233
ловливается естественными причинами, — минимумом изменчивости, который может быть достигнут после того, как будут исключены все неслучайные причины колебаний. Таким образом, целью системы технологического контроля является выработка статистического сигнала в том случае, если на функционирование процесса оказывают влияние неслучайные причины. Такой сигнал ускорит принятие мер по их исключению.
Контрольные диаграммы. В 20-е тт. было предложено простое, но действенное средство технологического контроля — контрольные диаграммы. Контрольные диаграммы — графическое представление информации с течением времени. Контрольные диаграммы представляют собой графики, на которых изображены верхняя и нижняя границы характеристики контролируемого процесса. Эти границы могут быть установлены для температуры изделия, длины, веса и т.д. При построении контрольных диаграмм используется среднее значение характеристики для небольших выборок. Индивидуальные значения (для отдельного изделия) обычно слишком неустойчивы для того, чтобы по ним можно было быстро обнаруживать тенденцию. Контрольные диаграммы построены таким образом, что новые данные могут легко сравниваться с предыдущими значениями.
При построении диаграммы берется выборка из продуктов данного процесса, измеряются значения показателя качества и среднее значение выборки наносится на контрольную диаграмму, на которой обозначены верхний и нижний контрольные пределы. Если среднее по выборке оказывается в установленных пределах и не просматривается никаких устойчивых тенденций в распределении средних, то процесс считается находящимся под контролем; в противном случае процесс признается вышедшим из-под контроля и необходимо исключить неслучайные причины ко-
Нормальное	Выход за верхний	Выход за нижний
поведение	предел требует	предел требует
анализа	анализа
Рис 27 2 Контрольная диаграмма
234
Контрольные диаграммы параметров используются при проведении проверок качества по характеристикам (параметрам). В данном случае строятся контрольные диаграммы для средних значений и диапазона выборки, т.е. для х и R, где
R = Xmax- Xmui — ДИаПаЗОН ВЫборКИ.
х — среднее значение показателя качества для выборки.
Диаграммы выборочных средних предназначены для выявления проблем, имеющих отношение к основной тенденции данного процесса. Проблемы могут возникнуть под воздействием таких факторов, как изношенность инструментов, постепенное увеличение температуры, различия в оборудовании, используемом в первой и второй рабочих сменах, различия в сырье и материалах и т.д. R-диаграммы предназначены для контроля однородности продукции. Такие изменения могут стать следствием выхода из строя части инструментов, неустойчивой подачи смазочных материалов для машин и оборудования и т.п.
Теоретической основой для использования х-диаграмм является центральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает, что независимо от распределения генеральной совокупности, распределение выборочных средних будет сходиться к нормальному распределению по мере роста размера выборок. Даже если берется выборка маленькой размерности, распределение выборочных средних является приближением кривой нормального распределения. Отсюда следуют:
1) среднее значение распределения выборочных средних будет равно среднему значению всей генеральной совокупности ц.
х = щ
2) стандартное отклонение выборочного распределения будет равно стандартному отклонению генеральной совокупности, деленному на квадратный корень размерности выборки
/ (П) •
Для нормального распределения верны следующие утверждения. 99,9999998% наблюдений будут распределены в интервале (—6стх, 6ох), 99,73% — в интервале (—Зох, Зох), 95,5% — в интервале (—2сх, 2стх), 68,3% — в интервале (—ох, ох). Таким образом, если на контрольной диаграмме наблюдение выйдет за пределы интервала (-Зсх, Зсх), то с 99,73%-м уровнем достоверности можно сказать, что процесс изменился и на него оказывают влияние неслучайные факторы.
Пример 1. Средний рост 20 студентов равен 175 см. Пусть лх = 1 см. Тогда при условии, что рост студентов описывается нормальным
30
235
распределением, 68,3% всех студентов имеют рост 175 ±ох, т.е. от 174 до 176 см; 99,7 % всех студентов имеют рост 175 ± Зох , т.е. от 172 до 178 см.
Пример 2. Рассмотрим продукцию компании “Моторола”. Контрольные пределы ±3ох означают 2700 бракованных единиц продукции на 1 000 000 шт. Если изделие состоит из 1200 деталей, то это означает в среднем 3,2 дефекта на одно изделие. Цель “Моторолы” заключается в достижении “шести сигм”, что означает 0,2 бракованных единиц продукции на один миллион.
Установление контрольных пределов для х- диаграмм. Если известно стандартное отклонение процесса для генеральной совокупности ох, то верхний и нижний контрольные пределы устанавливаются по следующим формулам :
UCLj = х + zns; LCLX = х - zox .
UCLX — верхний контрольный предел для выборочных средних;
LCLX — нижний контрольный предел для выборочных средних:
х — среднее значение, построенное по выборочным средним;
z — число стандартных отклонений (z = 2 для 95,5%-го доверительного интервала, z=3 для 97,73% интервала);
стх — стандартное отклонение выборочных средних = ок/(п)0-5.
Если ох не дано и его сложно рассчитать, что часто является серьезной проблемой, то приведенные выше формулы использовать нельзя. На практике для вычисления контрольных пределов вместо стандартного отклонения используется среднее значение R. В этом случае верхний и нижний контрольные пределы вычисляются по следующим формулам:
ucls = х + a2r; lclx = х - a2r •
где R — средний диапазон выборок;
А2 — табличное значение, которое зависит от размерности выборки;
х — среднее значение, построенное по выборочным средним.
Установление контрольных пределов для R- диаграмм. Выше были определены верхний и нижний контрольные пределы для выборочных средних. Однако на практике большое внимание уделяется дисперсии или вариации процесса. Даже если среднее значение процесса находится под контролем, т.е. в границах контроля, изменчивость процесса может быть слишком большой для того, чтобы
236
его можно было считать находящимся под контролем. По этой причине общепринятым является построение диаграмм для диапазонов в целях управления изменчивостью процесса. Аналогично предыдущему случаю пределы устанавливаются таким образом, чтобы они содержали три стандартных отклонения от среднего диапазона. С учетом ряда упрощающих допущений, устанавливают следующие верхний и нижний контрольные пределы:
UCLR = D4R, LCLR = D3R,
где D, и D4 - табличные значения, зависящие от размерности выборки;
UCLR — верхний контрольный предел для уровней выборок;
LCLR — нижний контрольный предел уровней.
Параметры для построения х- и R- диаграмм показаны в следующей таблице.
Размер выборки, п	а2	d4	D3
2	1,880	3,268	0
3	1,023	2,574	0
4	0,729	2,282	0
5	0,577	2,114	0
6	0,483	2,004	0
7	0,419	1,924	0,076
8	0,373	1,864	0,136
9	0,337	1,816	0,184
10	0,308	1,777	0,223
12	0,266	1,716	0,284
14	0,235	1,671	0,329
16	0,212	1,636	0,364
18	0,194	1,608	0,392
20	0,180	1,586	0,419
25	0,153	1,541	0,459
Можно выделить пять основных этапов при практическом использовании х- и R- диаграмм.
1.	Извлекают 20—25 выборок размерностью п=4 или п=5. Для каждой выборки вычисляется среднее значение х и R.
2.	Определяются Я и R, устанавливаются соответствующие контрольные пределы,’обычно на уровне достоверности 99,73% .
3.	Строятся соответствующие контрольные диаграммы, на них наносят выборочные данные и определяют, не выходят ли средние значения и R за установленные пределы.
4.	Устанавливают, находится ли процесс под контролем. Если нет, то проводят исследование причин изменчивости и возобновляют процесс после исключения причин неслучайных колебаний.
237
5.	Проводят сбор новых данных и при необходимости переопределяют контрольные пределы.
Контрольные диаграммы дефектности. Контрольные диаграммы для выборочных средних и уровней выборок не применяются при проведении проверки признаков, в процессе которой продукты подразделяются на хорошие и бракованные. Проверка дефектов заключается в их подсчете, тогда как при проверке параметров продукты измеряются по длине, весу, объему и т.д. Существуют два вида контрольных диаграмм дефектности.
1) р- диаграммы определяют процентное содержание дефектных изделий в выборке;
2) с- диаграммы отражают количество дефектов в выборке.
р- диаграммы — это основное средство для осуществления контроля дефектности. Свойства продукта подчиняются биномиальному распределению ( продукт может быть либо хорошим, либо бракованным), однако при больших размерах выборки для вычисления контрольных пределов может использоваться нормальное распределение.
Формулы для вычисления верхнего и нижнего контрольных пределов:
UCLp — р + z<Tp, LCLp=p-z<Tp, где р — средняя доля бракованных изделий в выборке;
z — число стандартных отклонений,
ор — стандартное отклонение выборочного распределения.
°Р= (₽ (1-р)/п)05 .
где п — размер выборки.
с- диаграммы. Необходимо учитывать, что бракованное изделие может содержать более одного дефекта, с- диаграммы используются для того, чтобы контролировать число дефектов на единицу продукции. Такие контрольные диаграммы оказываются очень полезными для контроля процессов, в которых число дефектов существенно превышает число бракованных изделий, т.е. на одно бракованное изделие может приходиться один и более дефектов.
Основой для с-диаграмм является пуассоновское распределение с дисперсией, равной среднему числу дефектов.
Пусть с — среднее число дефектов на единицу продукции. Тогда стандартное отклонение будет равно (С )°s. Для вычисления 99,7% контрольных пределов для с можно использовать формулы:
UCLc = с + 3(c)0’5; LCLc = с - 3(c)0'5.
Выборочный контроль при приемке. При проведении выборочного контроля при приемке извлекают случайные выборки из
238
партии готовой продукции, для того чтобы провести проверку изделий в соответствии с принятыми стандартами. Случайное выборочное обследование партии товаров с экономической точки зрения является более эффективным, чем проведение 100%-й проверки всей партии. При выборочном обследовании возможно осуществлять проверку как характеристик продукции, так и ее дефектности. Общепринятой практикой является проверка дефектности, и именно такой тип выборочного обследования описывается в данной работе.
Выборочный контроль при приемке может осуществляться на различных стадиях производственного процесса. Часто он используется для проверки качества закупленных предприятием сырья и материалов. Причем применение метода выборочного обследования при приемке не исключает использования методов статистического технологического контроля. При последовательном, одновременном использовании этих методов можно добиться производства высококачественной продукции.
План выборочных обследований. Проверка партии товаров может осуществляться различными способами, включая использование одинарного, двойного или последовательного выборочных обследований.
Одинарное выборочное обследование. План одинарного выборочного обследования характеризуют два числа.
а)	размер выборки п;
б)	заданное допустимое число дефектов с.
Если в извлеченной выборке число дефектов меньше или равно с, то тогда вся партия товаров принимается. Если же число дефектов в выборке превысило допустимое значение с, то вся партия признается бракованной и будет либо возвращена поставщику, либо подвергнута 100%-й проверке.
Двойное выборочное обследование. Часто партия товаров оказывается столь хорошей или содержит такое число бракованных товаров, что можно принять решение относительно ее качества после рассмотрения выборки меньшего размера, чем при проведении одинарного выборочного обследования. В этом случае план выборочного обследования характеризуют уже три числа:
а)	размер выборки Пр
б)	с( — приемлемое число дефектов в выборке,
в)	с2 — допустимое число дефектов в выборке, где ct < с2.
Если число дефектов в выборке (размера гц < п) меньше или равно Ср то партия принимается, если число дефектов в выборке превышает контрольное значение с2, то вся партия отвергается. В случае, если число дефектов в выборке находится в интервале (Ср с2), извлекается еще одна выборка. На основе совокупных ре
239
зультатов обследования делается вывод о том, принимать данную партию товаров или нет.
Многократное выборочное обследование. Многократное выборочное обследование — это обобщение метода двойного выборочного обследования для выборок еще меньшей размерности, последовательно извлекаемых до тех пор, пока не будет принято решение относительно качества рассматриваемой партии товаров.
Если совокупное число дефектов находится в верхней части рис. 27.3, то вся партия будет отклонена. Если совокупное число дефектов окажется в нижней части, то вся партия будет принята. Если число дефектов принимает значение в указанных пределах, то необходимо продолжать последовательное выборочное обследование, пока не станет возможным принятие решения относительно качества данной партии товаров. Некоторые планы последовательного выборочного обследования приводят к 100%-й проверке партии, и только тогда становится возможным принять решение относительно ее качества.
Общее число проверенных изделий
Рис 27 3 Схема многократного выборочного обследования
240
Выбор наилучшего способа выборочного обследования — одинарного, двойного или многократного — зависит от характеристик проверяемой продукции и ее ожидаемого уровня качества. Очень низкокачественная партия товаров, например, может быть наиболее быстрым и дешевым способом обнаружена при проведении многократного выборочного обследования. В этом случае проверка, зачастую являющаяся очень длительной и дорогостоящей, будет завершена быстрее. С другой стороны, существует множество ситуаций, когда одинарное выборочное обследование является наиболее легким и простым, несмотря на то что размер выборки больше, чем при двойном или многократном выборочном обследовании.
Кривые оперативных характеристик. Кривые оперативных характеристик описывают, насколько хорошо принятый план выборочного обследования распознает “плохие” и “хорошие” партии товаров. Кривая оперативных характеристик строится для конкретного плана, который характеризуется двумя параметрами: размером выборки п и приемлемым уровнем дефектов в выборке с. Она предназначена для того, чтобы показывать вероятность приемки партий товаров различных уровней качества. На рис.27.4(a) изображен идеальный план проверки, в результате которого со 100%-й вероятностью отклоняются все партии товаров, которые содержат более 2,5% бракованных изделии, и принимаются все партии с более низким содержанием брака. На практике единственным путем достижения 100%-й приемки “хороших” партии товаров и отклонения “плохих” является проведение проверки всей партии, которая является очень дорогостоящей. Рис.27.4(б) отражает тот факт, что ни одна кривая оперативных характеристик, построенная на основе реального плана выборочного обследования, не является в достаточной степени дискриминационной для того, чтобы обеспечивать 100%-ю приемку “хороших” партий и отклонение “плохих”. Кроме того, на рис.27.4(б) видно, что одним из путей увеличения крутизны кривой оперативных характеристик является снижение приемлемого числа брака в партии при постоянном размере выборки. Таким образом, установление низкого порогового значения с повышает степень распознаваемости партий товаров различного уровня качества.
Другим путем увеличения крутизны кривой оперативных характеристик является увеличение размера выборки. Рисунок 27.4(b) иллюстрирует тот факт, что даже если приемлемое содержание дефектов в выборке определяется в виде постоянного процентного содержания в выборке, то увеличение размера выборки приведет к повышению качества принимаемых партии товаров. В данном примере приемлемое содержание брака устанавливается на уровне 4% от размера выборки. На рисунке 27.4^в) видно, что
31-3178
241
Рис 27 4 Кривые оперативных характеристик а) — кривая оперативных характеристик с совершенной способностью различать партии товаров различного уровня качества, б) — кривые оперативных характеристик для двух различных значений с (с=1, с=4) при постоянном размере выборки п=100, в) — кривые оперативных характеристик для двух различных размеров выборок (п=25, п=100), но с одинаковым допустимым процентным содержанием дефектов в выборке (с=4%)
кривая оперативных характеристик для п=25, с=4 отклоняет больше “хороших” партий товаров и принимает больше “плохих”, чем кривая с параметрами п=100, с=4. Ниже приведены цифры, подтверждающие данное утверждение
Риск производителя и потребителя При выборочном обследовании обычно задействованы две стороны производитель и потребитель продукта. При спецификации плана выборочного обследования каждая сторона стремится избежать дорогостоящих ошибок при приемке или отклонении партии товаров Производи-
ма
Кривые оперативных характеристик в табличной форме
Действительное процентное содержание дефектов в выборке	Вероятность приемки всей партии для кривой оперативных характеристик с параметрами п=100, с=4, %	Вероятность приемки всей партии д ля кривой оперативных характеристик с параметрами п=25, с=4, %
1	97	90
3	15	47
5	3	Л
7	1	6
тель стремится избежать отклонения “хорошей” партии товаров (риск производителя), так как все издержки по транспортировке и замене бракованных изделий несет производитель. С другой стороны, покупатель или потребитель стремятся избежать приемки некачественной партии товаров (риск потребителя), так как за дефекты, обнаруженные в партии товаров, уже прошедшей проверку, обычно несет ответственность потребитель.
Кривые оперативных характеристик отражают особенности плана выборочного обследования, включая риск принятия неправильных решений. Любой план выборочного обследования характеризуется следующими четырьмя сновными понятиями.
1.	Приемлемый уровень качества (AQL) — наиболее низкий уровень качества, который потребитель готов принять. Потребитель согласен принять партию товаров данного или более высокого уровня качества. Если приемлемый уровень качества равен 20 дефектам в партии из 1000 изделий, то AQL равен (20/1000)100% = 2% дефектных изделий.
2.	Недопустимый уровень качества (LTPD) — уровень качества партии товаров, который потребитель оценивает как “плохой”. Потребитель стремится забраковать партию товаров данного или еще более низкого уровня качества. Если достигнуто соглашение о том, что неприемлемый уровень качества равен 70 дефектам в партии из 1000 изделий, то LTPD =(70/1000)100% = 7% брака.
Для установления плана выборочного обследования потребитель и производитель должны не только определить “хорошие” и “плохие” партии товаров, но и установить уровни риска
3.	Риск производителя а — вероятность того, что “хорошая” партия будет отвергнута. Это риск извлечения случайной выборки с большим процентным содержанием дефектных изделий, чем во всей партии. Партия с приемлемым уровнем качества, равным AQL, может быть забракована с вероятностью а. Обычно планы выборочного обследования разрабатываются с учетом того, что риск производителя а= 0,05, или 5 %
31
243
4. Риск потребителя р — вероятность того, что “плохая” партия товаров будет принята. Это риск извлечения случайной выборки, которая будет характеризоваться более низким процентным содержанием дефектов, чем в целом вся партия. Общепринятая величина потребительского риска в планах выборочного обследова-
ние 27 5 Риск производителя и потребителя
Для примера, показанного на рис.27.5, “хорошая” партия — это партия, содержащая меньше или ровно 2% дефектных изделий, “плохая” партия содержит 7% брака или более.
В статистике отклонение “хорошей” партии получило название ошибки первого рода, а принятие “плохой” партии — ошибки второго рода. Для построения кривых оперативных характеристик используются специальные таблицы Эти кривые могут быть также построены с помощью пуассоновского распределения. Для пуассоновского распределения среднее (лямбда) принимается равным п*р, где п — число изделий в выборке, р — вероятноегь наличия дефекта в одном изделии.
244
Пример 3. Груз из 2000 портативных батарей для микрокомпьютеров, импортируемых из США в Россию, должен подвергнуться проверке. Производитель и импортер установили план выборочного обследования, по которому риск производителя а ограничен 5% при приемлемом уровне качества (AQL) 2% дефектных изделий в партии, а потребительский риск установлен на уровне 10% при допустимом процентном содержании брака (LTPD), равном 7. Необходимо построить кривую оперативных характеристик для плана со следующими параметрами, размер выборки п = 120 и приемлемый уровень дефектов с=3. Будет ли этот план удовлетворять требованиям потребителя и производителя относительно риска и качества продукции?
Вероятности того, что (с) или меньшее количество событий будут иметь место при среднем их количестве, равном Л=пр
х, или пр	с=0	с=1	с=2	с=3	с=4	с=5	с=6	с=7
0,02	0,98	1						
0,04	0,961	0,999	1					
0,06	0,942	0,998	1					
0,08	0,923	0,997	1					
0,10	0,905	0,995	1					
0,15	0,861	0,990	0,999	1				
0,20	0,819	0,982	0,999	1				
0,25	0,779	0,974	0,998	1				
0,30	0,741	0,963	0,996	1				
0,35	0,705	0,951	0,994	1				
0,40	0,670	0,938	0,992	0,999	1			
0,45	0,638	0,925	0,989	0,999	1			
0,50	0,607	0,910	0,986	0,998	1			
0,55	0,577	0,894	0,982	0,998	1			
0,60	0,549	0,878	0,977	0,997	1			
0,65	0,522	0,861	0,972	0,996	0,999	1		
0,70	0,497	0,844	0,966	0,994	0,999	1		
0,75	0,472	0,827	0,959	0,993	0,999	1		
0,80	0,449	0,809	0,953	0,991	0,999	1		
0,85	0,427	0,791	0,945	0,989	0,998	1		
0,90	0,407	0,772	0,937	0,987	0,998	1		
0,95	0,387	0,754	0,929	0,984	0,997	1		
1,00	0,368	0,736	0,920	0,981	0,996	0,999	1	
1,1	0,333	0,699	0,900	0,974	0,995	0,999	1	
1,2	0,301	0,663	0,879	0,966	0,992	0,998	1	
1,3	0,273	0,627	0,857	0,957	0,989	0,998	1	
1,4	0,247	0,592	0,833	0,946	0,986	0,997	0,999	1
1,5	0,223	0,558	0,809	0,934	0,981	0,996	0,999	1
1,6	0,202	0,525	0,783	0,921	0,976	0,994	0,999	1
1,7	0,183	0,493	0,757	0,907	0,970	0,992	0,998	1
1,8	0,165	0,463	0,731	0,891	0,964	0,990	0,997	0,999
1,9	0,150	0,434	0,704	0,875	0,956	0,987	0,997	0,999
2,0	0,135	0,406	0,677	0,857	0,947	0,983	0,995	0,999
245
Решение. Необходимо обратиться к таблице Она построена таким образом, что в зависимости от приемлемого содержания дефектов в выборке (с) можно определить вероятность приемки партии товаров при различных 1, где X — число дефектов, которое мы ожидаем обнаружить в выборке Л= пр. Учитывая тот факт, что п =120 для данного примера, можно определить вероятность приемки партии товаров при различных значениях доли бракованных изделий в выборке (при различных значениях р).
Для данного примера (с=3) получаем следующие результаты.
Кривая оперативных характеристик в табличной форме
р, доля брака в выборке	Х=пр при п= 120	Вероятность приемки партии товаров с долей бракованных изделий р
0,01	1,20	0,966
0,02	2,40	0,779 1-<х при p=AQL
0,03	3,60	0,515
0,04	4,80	0,294
0,05	6,0	0,151
0,06	7,20	0,072
0,07	8,40	0,032 (1 при p=LTPD
0,08	9,60	0,014
Рис 27 6 Кривая оперативных характеристик
246
Теперь можно ответить на вопрос о том, удовлетворяет ли данный план выборочного обследования требованиям относительно качества и риска. Для приемлемого уровня качества р=0,02 (2%) вероятность приемки партии товаров составляет 0,779, что создает риск для производителя а = 1—0,779 = 0,221, или =22,1%, и значительно превышает 5%-й уровень, установленный производителем. Потребительский риск [3 = 0,03, или 3,2%, оказывается значительно ниже требуемой 10%-й величины. Таким образом, можно сделать вывод, что план выборочного обследования с параметрами п = 120 и с =3 не будет удовлетворять требованиям относительно риска производителя и, следовательно, необходимо проведение новых расчетов с большим размером выборки для того, чтобы понизить уровень риска производителя.
ЗАДАЧИ
Задача 27.1
Рассматривается партия рефрижераторов Средняя температура, поддерживаемая этими рефрижераторами, равна 3°С. Средний уровень для партии рефрижераторов равен Г. Для того чтобы проконтролировать процесс, извлекается выборка из 6 единиц. Определите верхний и нижний контрольные пределы для средних значений и диапазонов.
Задача 27.2
Установленный в стандартную позицию автобросатель может бросать бейсбольные мячи по направлению к игроку с битои со средней скоростью 60 км/ч Автоматические устройства для бросания мячей были созданы для того, чтобы при помощи тренировок повысить среднее количество отбиваемых мячей. Производители автобросателей извлекают выборку из 10 устройств за один раз для того, чтобы проверить их качество. Средний диапазон для автобросателей равен 3 км/ч. Определите контрольные пределы для выборочных средних и диапазонов скорости этих автоматических устройств.
Задача 27.3
Компания “Пышка” производит различные пищевые продукты, в частности сладкую овсяную кашу Для того чтобы проконтролировать вес коробки каши, извлекается выборка из шести па
247
чек сладкой овсяной каши. Средний вес пачки каши равен 170 г, а средний диапазон (разброс) — 5 г. Определите верхний и нижний контрольные пределы для среднего веса и среднего диапазона коробки овсяной каши.
Задача 27.4
Коробки с овсяными хлопьями на завтрак имеют следующую надпись. “Вес нетто =100 г”. Каждый час случайная выборка размерностью п=4 извлекается и взвешивается для того, чтобы определить, находится ли процесс производства под контролем. После пяти часов наблюдений были получены следующие результаты.
Время	9 ч	10 ч	11 ч	12 ч	13 ч
Коробка 1	98	101	99	97	97
Коробка 2	104	102	105	98	101
Коробка 3	99	99	103	103	99
Коробка 4	103	98	101	102	99
Используя эти данные, постройте контрольные пределы для выборочных средних и диапазонов. Находится ли данный процесс под контролем? Какие шаги должны быть предприняты отделом контроля качества в данном случае?
Задача 27.5
Компания “Электротехника” производит детали для компьютеров. Каждый час извлекается выборка, состоящая из четырех деталей. В течение предыдущих 24 часов были получены следующие результаты.
Номер выборки	X	R	Номер выборки	X	R
1	3,25	0,71	13	3,11	0,85
2	3,10	1,18	14	2.83	1,31
3	3,22	1,43	15	3,12	1,06
4	3,39	1,26	16	2,84	0,50
5	3,07	1,17	17	2,86	1,43
6	2,86	0,32	18	2,74	1,29
7	3,05	0,53	19	3,41	1,61
8	2,65	1,13	20	2,89	1,09
9	3,02	0.71	21	2,65	1,08
10	2,85	1,33	22	3,28	0,46
11	2,83	1,17	23	2,94	1,58
12	2,97	0,40	24	2,64	0,97
248
Здесь X — среднее значение показателя качества для выборки. R — значение диапазона для выборки.
Рассмотрите соответствующие контрольные диаграммы и определите, есть ли какие-либо причины для беспокойства относительно контроля данного процесса.
Задача 27.6
Из-за снижения качества поступающих полупроводниковых деталей микрокомпьютерная лаборатория приняла решение развивать систему контроля качества. Так как полупроводниковые детали, которые поступали от поставщика, оценивались либо как хорошие, либо как плохие, было принято решение рассматривать контрольные диаграммы дефектов. Общее число полупроводников в каждой выборке равнялось 200. Было решено определить верхний и нижний контрольные пределы для различных долей бракованных полупроводников (р) в извлекаемых выборках. Постройте таблицу, в которой бы указывались различные значения UCL и LCL в зависимости от р (р варьируется от 0,01 до 0,1 с шагом 0,01). Определите UCL и LCL для уровня достоверности 99,7%.
Задача 27.7
В течение последних двух месяцев мастер Ломастер все больше и больше беспокоился относительно работы машины 5 во втором цехе. В отличие от начальника цеха он считал, что основания для такого беспокойства имелись. Для того чтобы проконтролировать работу машины 5, было извлечено несколько выборок, каждая из которых состояла из 12 единиц продукции, произведенной данной машиной. Для каждой выборки были определены среднее значение и диапазон. В результате были получены следующие результаты.
Номер выборки	X	R	Номер выборки	X	R
1	46	1,1	7	50	0,86
2	45	1,31	8	49	1,11
3	46	0,91	9	51	1,12
4	47	1,1	10	52	0,99
5	48	1,21	11	50	0,86
6	47	0,82	12	52	1,2
Здесь X — среднее значение показателя качества для выборки,
32-3178
249
R — значение диапазона для выборки.
При установке машины для нее были определены следующие параметры работы: х = 47 и R = 1. Согласны ли вы с мнением мастера Ломастера, что процесс производства на машине 5 вышел из-под контроля?
Задача 27.8
Компания “Пушок” производит различную продукцию для домашних кошек, начиная с кошачьей еды и заканчивая наполнителями для кошачьих туалетов. Компания разработала целый ряд новых продуктов, одним из которых является средство для предотвращения выпадения шерсти у длинношерстных кошек. Данный продукт производится на автоматической линии, настроенной таким образом, чтобы каждый тюбик содержал 63,6 грамма пасты. Для того чтобы поддерживать процесс наполнения под контролем, каждые 4 ч извлекается случайная выборка. Спустя несколько дней были получены данные, отраженные в таблице.
Номер выборки	X	R	Номер выборки	X	R
1	63,5	2,0	14	63,3	1,5
2	63,6	1,0	15	63,4	1,7
3	63,7	1,7	16	63,4	1,4
4	63,9	0,9	17	63,5	1,1
5	63,4	1,2	18	63,6	1,8
	63,0	1,6	19	63,8	1,3
	63,2	1,8	20	63,5	1,6
8	63,3	1,3	21	63,9	1,0
9	63,7	1,6	22	63,2	1,8
М	63,5	1,3	23	63,3	1,7
11	63,3	1,8	24	64,0	2,0
12	63,2	1.0	25	63,4	1,5
13	63,6		L8				
Здесь X — среднее значение веса тюбика пасты для выборки;
R — значение диапазона для выборки. Определите контрольные пределы для этого процесса.	1
Находится ли процесс под контролем?
Задача 27.9
Незначительный дефект в компьютерном чипе может привести к полной негодности чипа. Таким образом, строгий контроль качества при производстве этих чипов становится совершенно необходимым. В прошлом доля бракованных чипов для компании со
250
ставляла 1,1%. Для размера выборки п = 1000 и с 99,7%-й степенью достоверности (три стандартных отклонения, z = 3) определите контрольные пределы для процесса производства компьютерных чипов.
Задача 27.10
Компания “Карандаш” производит зажимы для бумаги и другую продукцию для офиса. Хотя цена зажимов для бумаги невелика, они производятся в основном для фирм с высоким уровнем доходов. Доля бракованных зажимов для бумаги, которые производятся компанией “Карандаш”, в среднем равна 2,5%. Была извлечена выборка, состоящая из 200 зажимов. Установите верхний и нижний контрольные пределы для этого производства с 99,7%-й степенью достоверности.
Задача 27.11
Проводится ежедневное выборочное обследование 100 электрических сверл, целью которого является проверка их качества. За 21 день была собрана следующая информация.
Номер выборки	Число дефектных изделий	Номер выборки	Число дефектных изделий
1	6	12	5
2	5	13	4
3	6	14	3
4	4	15	4
5	3	16	5
6	4	17	6
7	5	18	5
8	3	19	4
9	6	20	3
10	3	21	7
11	7		
Постройте р-диаграмму для трех стандартных отклонений. Находится ли процесс под контролем9
Задача 27.12
Была обследована случайная выборка, состоящая из 100 обеденных столов. Тщательная проверка выявила 2000 пятен. Каким будут верхний и нижний контрольные пределы при 99,7%-м уровне достоверности? Должны ли быть предприняты специальные действия, если один стол имеет 42 пятна?
32
2S1
Задача 27.13
Восемь единиц продукции случайным образом извлекаются из партии товаров, состоящей из 6000 игрушечных зверей. Вся партия принимается, если число бракованных игрушек не превышает с=2. Постройте кривую оперативных характеристик для данного плана выборочных обследований.
Задача 27.14
Компания “Светлячок” только что получила партию из 200 настольных ламп. Будет проведена случайная выборка размерности п=5. Если более чем одна лампа в выборке окажется бракованной, то вся партия будет возвращена поставщику. Постройте кривую оперативных характеристик для данного плана выборочных обследований.
Задача 27.15
Каждую неделю компания “Престиж” получает для реализации партию из 1000 штук популярных швейцарских часов. Компания “Престиж” и производитель часов из Швейцарии договорились о следующем плане выборочного обследования: риск производителя — 5%, риск потребителя — 10%, AQL=1%, LTPD=5%. Постройте кривую оперативных характеристик для следующего плана выборочных обследований: п=100, с=2. Будет ли данный план удовлетворять требованиям потребителя и производителя?
Ключевые слова
Верхний контрольный предел
Выборочный контроль
Диапазон выборки
Качество
Контроль
Контрольная диаграмма
Кривая оперативных характеристик
Нижний контрольный предел
План выборочных обследований
Риск производителя
Риск потребителя
252
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение..............................................................3
Раздел 1. Модели линейного программирования...........................b
Глава 1,	Оптимизация плана производства..........................6
Глава 2.	Оптимальное смешение...................................15
Глава 3.	Оптимальный раскрой....................................20
Глава 4.	Оптимальное планирование	финансов......................24
Раздел 2. Специальные вопросы разработки модели линейного программирования................................................................30
Глава 5. Несобственные оптимизационные задачи...................30
Глава	6. Задачи многокритериальной оптимизации.................38
Раздел 3. Модели транспортного типа и размещения производства.........44
Глава	7. Задача о назначениях .................................44
Глава 8. Транспортная задача ...................................49
Глава	9. Задачи размещения производства .......................52
Раздел 4. Системы массового обслуживания .............................61
Глава	10. Модели очередей .....................................61
Раздел 5. Системы управления запасами ................................84
Глава	11. Модели управления запасами ..........................84
Раздел 6. Имитационное моделирование .................................96
Глава 12. Имитационные модели массового обслуживания............96
Глава 13. Имитационные модели управления запасами .............103
Раздел 7. Управление проектами; PERT/CPM ............................111
Глава 14. Управление проектами с детерминированным временем выполнения работ (СРМ)......................................111
Глава 15. Управление проектами с неопределенным временем выполнения работ (PERT) ......................................115
Глава 16. Минимизация затрат на сокращение времени реализации проекта (PERT/COST) ........................................120
Раздел 8. Модели сетевой оптимизации.................................131
Глава 17. Задачи определения	кратчайшего пути .................131
Глава 18. Построение коммуникационной сети минимальной длины .... 143
Глава 19. Задачи определения максимального потока .............148
Раздел 9. Модели дискретной оптимизации в планировании...............158
Глава 20. Целочисленные задачи линейного программирования.......158
Глава 21. Размещение операций .................................166
Глава 22. Балансировка линий сборки ...........................174
Раздел 10. Прогнозирование.......................................... 181
Глава 23. Скользящие средние, экспоненциальное сглаживание ... 181
Глава 24. Проекция тренда, линейная регрессия, сезонность .....194
Раздел 11. Стохастические модели ....................................213
Глава 25. Принятие решений в условиях риска ...................213
Глава 26. Обучаемость в производстве...........................223
Глава 27. Контроль качества....................................232
Учебное издание
АЛЬБЕРТ БОРИСОВИЧ АРОНОВИЧ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ АФАНАСЬЕВ БОРИС ПАВЛОВИЧ СУВОРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ
Заведующая редакцией НА Рябикина Редактор Т Г Трубицына Художественный редактор 10 М Добрянская Художник Б С Казаков
Технические редакторы Н И Смирнова, Н И Матюшина Корректоры В А Ветров, ГА Ярошевская Компьютерная верстка ИД Труфанов
Изд лиц № 040414 от 18 04 97
Подписано в печать 16 06 97 Формат 60x90/16 Бумага офс N° 1 Гарнитура Таймс Офсетная печать Усл печл 16,0 Уч -изд л 13,99 Тираж 2000 экз Заказ 3178 Изд № 6371
Ордена “Знак Почета” издательство Московского университета 103009, Москва, ул Б Никитская, 5/7
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ 140010, Люберцы, Октябрьский пр 403
Тел 554-21-86