Geometrija_Bevz

Similar

Трикутник і тетраедр у задачах

Математика у прикладах і задачах. 101 порада абітурієнту

Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування

Збірник задач республиканських математичних олимпіад

Text

Г.П. Бевз. В.Г. Бевз,
Н.Г. Владімірова. В.М. Владіміров

Геометрія

Профільний рівень

ІШИЯШЧШіМ
Підручник
для загальноосвітніх
навчальних закладів

Профільний рівень

Рекомендовано

Міністерством освіти
і науки України

КИЇВ
«ГЕНЕЗА»
2010

ББК 22.151я721
Г36

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
(наказ МОН України №177 від 03.03.2010р.)

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено

Наукову експертизу проводив

Інститут математики Національної академії наук України.

Психолого-педагогічну експертизу проводив

Інститут педагогіки Національної академії педагогічних наук України.

Експерти, які здійснювали експертизу:

Єргіна О.В.

Ткаченко В.М.

Загородна М.В.

Крикун НМ.

- методист Київського університету ім. Б.Д. Грінчен-
ка, ШПО;

- методист Інформаційно-методичного центру управ-
ління освіти і науки Сумської міської ради;

- учитель-методист Вишнівецької ЗОШІ-ІП ступенів,
Збаразький р-н, Тернопільська обл.;

- учитель-методист Смілянської ЗОШ І-Ш ступенів
№ 7, Черкаська обл.

Геометрія: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл.:
Г36 профіл. рівень / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова,
В.М. Владіміров. - К. : Генеза, 2010. - 232 с. : іл. - Біблі-
огр.: с. 221.

І8ВМ 978-966-504-997-5.

ББК 22.15ІЯ721

І8ВК 978-966-504-997-5

Геометрія - одна з найдавніших, найшляхетніших, корис-
них і цікавих наук. У ній - згусток значної частини загально-
людської культури, надбаної людством за кілька тисячоліть.
А ще вона є незамінним інструментарієм для науковців і
виробничників, засобом для розвитку логічного мислення,
просторової уяви, раціоналізаторських здібностей та інших
корисних якостей волі і характеру молоді.

Ось що писав про геометрію відомий архітектор XX ст. Ле
Корбюзьє: «Тільки дотримуючись законів геометрії, архітектори
давнини могли створити свої шедеври. Невипадково кажуть, що
піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії, а грецька архітек-
тура - зовнішнє відображення геометрії Евкліда. Минули сто-
ліття, але роль геометрії не змінилась. Як і раніше, вона зали-
шається граматикою архітектора». І не тільки архітектора чи
інженера-конструктора. Ця наука є своєрідною граматикою
кожного фахівця, який використовує геометричні форми.

Геометрія складається з двох частин: планіметрії і сте-
реометрії. У попередніх класах ви вивчали в основному
планіметрію, тепер переходите до вивчення стереометрії (від
грец. атєрєо£ - просторовий), в якій розглядаються власти-
вості геометричних фігур у просторі.

Стереометрія - геометрія тривимірного простору. За зміс-
том вона багатша від планіметрії і цікавіша, оскільки вивчає
властивості як плоских геометричних фігур, так і неплоских.

Перший розділ, за програмою, - матеріал для повторення,
систематизації та узагальнення найважливіших відомостей з
планіметрії.

Новий навчальний матеріал викладено в трьох розділах і
додатках. Кожен з розділів містить теоретичний матеріал і
задачі. Читаючи теорію, основну увагу слід звертати на слова,
надруковані курсивом і жирним шрифтом. Курсивом виділено
геометричні терміни, назви понять. Потрібно вміти пояснювати
їх зміст, наводити відповідні приклади. Жирним шрифтом на-
друковано важливі геометричні твердження, зокрема теореми.

У кожному параграфі підручника є рубрика «Для

допитливих». Вона містить додаткові відомості для тих, хто
хоче знати більше. У рубриці н «Виконаємо разом» наво-
дяться задачі з розв’язаннями. Радимо переглянути їх, перш
ніж виконувати домашнє завдання.
Знати геометрію - це насамперед уміти користуватися нею.
Вчитися користуватися геометричними знаннями найкраще
під час розв’язування геометричних задач. Завдання, реко-
мендовані для домашньої роботи, виділено кольором. Задачі і
вправи в підручнику поділено на: А «Виконайте усно», рівень А,

рівень Б і «ом «Вправи для повторення». У кожному розділі
є задачі за готовими малюнками. Умови таких задач подано
малюнками і короткими записами.

Для узагальнення і систематизації вивченого матеріалу
подано «Головне в розділі». Перевірити, наскільки ви засвоїли
новий матеріал, та підготуватися до зовнішнього незалежного
оцінювання ви зможете, розв’язуючи задачі та виконуючи

завдання з рубрик - «Тестові завдання» і — «Типові задачі
для контрольної роботи».

Програмну тему «Ортоцентричний тетраедр» дещо розши-
рено і вміщено в додатках «Елементи геометрії тетраедра».
Там міститься ще кілька тем, в яких поглиблено розгляда-
ються деякі найважливіші властивості найпростішого много-
гранника - тетраедра. Ці теми адресуємо для самостійного
опрацювання тим учням, які мають бажання займатися
посильною для початківців науково-дослідною роботою.
А задачі, що є в «Додатках», можна пропонувати всім учням.

Іноді вважають, що найважливіше в геометрії - доведення
теорем. Звичайно, учитися доводити теореми - справа корисна.
Але не меншу роль у цій науці відіграють поняття, їх означення
і класифікації; геометричні фігури, їх побудова і перетворення;
геометричні величини, їх вимірювання та обчислення. Один з
відомих геометрів XX ст. Д. Гільберт писав: «У величезному
саду геометрії кожний може підібрати собі букет за
смаком*.

Запрошуємо вас у цей багатий і дивний світ Геометрії.

Автори

рі > міні і

ОПОРНІ ФАКТИ ПЛАНІМЕТРІЇ

Пригадаємо найважливіші відомості з планіметрії, які
часто використовуються в стереометрії.

Аксіоми планіметрії. Основне в геометрії - її поняття і
твердження. Для більшості понять формулюються означення,
але існують поняття неозначувані. Це - точка, пряма, пло-
щина та деякі інші.

Переважну більшість геометричних тверджень доводять,
тобто показують, що вони як логічні наслідки випливають з
інших істинних тверджень. А як бути, коли на початку курсу
ще немає «інших тверджень»? У цих випадках кілька твер-
джень приймають за істинні без доведень. їх називають аксіо-
мами. А доводжувані твердження - теоремами.

Для планіметрії, як і для інших наук чи теорій, можна
обирати різні системи аксіом. Одна з них може бути такою.

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що їй не належать.

2. Через будь-які дві різні точки можна провести пряму і
тільки одну.

3. Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між
двома іншими.

4. Кожний відрізок має певну довжину.

5. Кожний кут має певну міру.

6. Пряма розбиває площину на дві півплощини.

7. На будь-якій прямій від заданої точки у заданому
напрямі можна відкласти відрізок даної довжини і тільки
один.

8. Від будь-якого променя у даній півплощині можна від-
класти даний кут з вершиною у початку променя і тільки
один.

9. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикут-
ник у заданому розміщенні відносно заданої прямої.

10. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна
провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій (ак-
сіома Евкліда).

Розділи про геометричні величини, геометричні перетво-
рення і побудови потребують додаткових аксіом.

Паралельні і перпендикулярні прямі. Дві прямі однієї
площини називаються паралельними, якщо вони не перетина-
ються. Два відрізки або промені називають паралельними,
якщо вони належать паралельним прямим.
Ознаки паралельності прямих. Дві
прямі а і Ь однієї площини паралельні
(мал. 1), якщо їх січна утворює з ними:

1) рівні відповідні кути (А1 = А2); або

2) рівні внутрішні різносторонні кути
(Л2 = АЗ)-, або

3) внутрішні односторонні кути, сума
яких дорівнює 180° (/.З 4- /А = 180°).

Властивості паралельних прямих.
Якщо прямі а і Ь паралельні, то викону-
ються всі три рівності, зазначені вище
(п. 1-3).

Відношення паралельності прямих
транзитивне: якщо а || Ь і Ь || с, то а || с.

Дві прямі називаються перпендику-
лярними, якщо вони перетинаються під
прямим кутом. Відрізки або промені на-
зивають перпендикулярними, якщо вони
належать перпендикулярним прямим.

Дві прямі однієї площини, перпендикулярні до третьої
прямої, паралельні (мал. 2). Якщо а ± с і Ь ± с, то а || Ь.

Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі перетинають
сторони кута і на одній його стороні відтинають рівні відрізки,
то і на другій його стороні вони відтинають рівні відрізки
(мал. 3).

Якщо АВ = ВС, то А1В1 = В1С1.

Узагальнена теорема Фалеса. Паралельні прямі, які пере-
тинають сторони кута, відтинають від них пропорційні від-
різки (мал. 4).

КМ = КХМХ

Геометричне місце точок - це множина всіх точок, які
задовольняють певну умову.

Мал. 2
Геометричним місцем точок площини,
рівновіддалених від кінців відрізка, є
серединний перпендикуляр до цього від-
різка (мал. 5).

Якщо АО = ВО і СО ± АВ9 то АС = ВС.

Геометричне місце точок кута, рівно-
віддалених від його сторін, - бісектриса
цього кута (мал. 6).

Трикутники. Трикутник - замкнена
ламана із трьох ланок. Частина площини,
обмежена такою ламаною, також нази-
вається трикутником. Кожний трикутник
має три сторони, три вершини і три кути.
Суму сторін трикутника називають його
периметром.

Якщо сторони трикутника а, Ь9 с9 а
протилежні їм кути а, р, у, то:

|&-с|<а<6 + с;а + р + у= 180°.

Ознаки рівності трикутників. Два трикутники рівні, якщо:
1) дві сторони і кут між ними одного трикутника дорів-
нюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого
трикутника; або

2) сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорів-
нюють відповідно стороні і прилеглим до неї кутам другого
трикутника; або

3) три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно
трьом сторонам другого трикутника.

Відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника, -
його середня лінія. Середня лінія трикутника паралельна його
третій стороні і дорівнює її половині.

Трикутники, в яких усі відповідні кути рівні, а відповідні
сторони пропорційні, називаються подібними.

Основна теорема про подібність трикутників. Січна
пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього
трикутник, подібний даному.

Ознаки подібності трикутників. Два трикутники подібні,
якщо:

1) два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом
кутам другого; або

2) дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторо-
нам другого, а кути між ними рівні; або

3) три сторони одного трикутника пропорційні трьом сто-
ронам другого.
Мал. 7

Два прямокутні трикутники подібні, якщо:

1) гострий кут одного трикутника дорівнює куту другого; або

2) катети одного трикутника пропорційні катетам другого; або

3) катет і гіпотенуза одного трикутника пропорційні катету
і гіпотенузі другого.

З ознак подібності трикутників випливають такі теореми.

• Бісектриса трикутника ділить його протилежну сторону
на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.

• Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка
ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вер-
шини трикутника.

• Катет прямокутного трикутника - середнє пропорційне
гіпотенузи с і його проекції на гіпотенузу. Висота прямокут-
ного трикутника, проведена до гіпотенузи, - середнє пропор-
ційне відрізків, на які висота ділить гіпотенузу (мал. 7).

а2 = ас • с; Ь2 = Ьс • с; к2 = ас • Ьс.

Якщо с - гіпотенуза, а а, Ь - катети прямокутного трикут-
ника (мал. 8), то:

с2 = а2 + Ь2 - теорема Піфагора;

а . Ь а х Ь

— = зша; — = соза; — = — = сі£а.

с с Ь а

Якщо а, Ь, с - сторони, а а, 0, у - протилежні їм кути
трикутника (мал. 9), то завжди

а2 = Ь2 + с2 - 2Ьссоза - теорема косинусів,
а Ь с

~ : - теорема синусів.

8іпа 8іпр 8іпу г &

Кожен з трьох останніх дробів дорів-
нює 2Я, де Я - радіус кола, описаного
навколо даного трикутника.

Навколо кожного трикутника можна
описати коло і до того ж тільки одне.
Центром кола, описаного навколо трикут-
ника, є точка перетину серединних пер-
пендикулярів до його сторін. У кожний
трикутник можна вписати коло і до того
ж тільки одне. Центром кола, вписаного в трикутник, є точка
перетину його бісектрис.

Кожний трикутник АВС має медіани, бісектриси, висоти,
півпериметр, радіус вписаного і описаного кіл, які відповідно
позначають: та, Іа, йа, р, г, В. Відомо, що:

т2а =|(2(Ь2 + с2)-а2); І2 = , 1 ^Ьс((Ь + с)2-а2);

4 (Ь + с)

Ла=^Р(р-«Хр-ЬХр-с); г = ^; К = ^.

Площа трикутника. Кожний трикутник (як частина пло-
щини, обмежена замкненою ламаною) має площу. Формули
для визначення площі трикутника:

5=|оА»;

8 = г • р',

5=^аЬзіпу;

4Я’

8 = 7р(р - аХр - ЬХР - с) - формула Герона.

Для прямокутних і рівносторонніх трикутників формули
простіші:

Прямокутний трикутник Рівносторонній трикутник
2 а+Ь-с Г~ 2 ’ й=^ с II II 11 II со ч й; <

Чотирикутники. Чотирикутник - проста замкнена
ламана із чотирьох ланок. Частина площини, обмежена такою
ламаною, також називається чотирикутником. Сума всіх кутів
кожного чотирикутника дорівнює 360°. Кожна сторона чоти-
рикутника менша від суми трьох інших його сторін.

Чотирикутник, кожна сторона якого паралельна проти-
лежній стороні, - паралелограм.

Ознаки паралелограма. Чотирикутник є паралелограмом,
якщо:

1) кожна його сторона дорівнює протилежній стороні;

2) дві його протилежні сторони паралельні й рівні;

3) його діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Ч— чотирикутники
П — паралелограми
Пр — прямокутники

Р — ромби

К — квадрати

Т — трапеції

Властивості паралелограма:

- кожна сторона паралелограма паралельна протилежній
стороні і дорівнює їй;

- кожний кут паралелограма дорівнює протилежному куту;

- кожна діагональ паралелограма точкою перетину ділиться
навпіл;

- сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі

квадратів усіх його сторін.

Окремі види паралелограмів - прямо-
кутники, ромби, квадрати - мають додат-
кові властивості:

- діагоналі прямокутника (квадрата)
рівні;

- діагоналі ромба (квадрата) перпендику-
лярні і лежать на бісектрисах його кутів.

Чотирикутник, у якого тільки дві сто-
рони паралельні, - трапеція. Паралельні
сторони трапеції - її основи, дві інші -
бічні сторони. Окремі види трапецій - рів-
нобічні і прямокутні трапеції. Відрізок,
що сполучає середини бічних сторін тра-
пеції, - її середня лінія. Середня лінія
трапеції паралельна ГЇ основам і дорівнює
їх півсумі.

Співвідношення між окремими видами
чотирикутників показано на малюнку 10.

Вписані й описані чотирикутники (мал.
11 і 12)

Вид чотирикутника Співвідношення між сторонами Співвідношення мі ж кутами
Вписаний у коло ас + Ьсі = е/ А + С = В + В
Описаний навколо кола а + с = Ь + (і , . 2 В , . 2 В ао 8іп — = са 8іп — 2 2
Площі чотирикутників. Площа прямокутника дорівнює
добутку двох його сусідніх сторін: 5 = аЬ.

Площа паралелограма:

5 = ака, або 5 = а&віп у,
де а, Ь - його сторони, у - кут між ними, Ла - висота, опущена
на сторону а.

Якщо діагоналі чотирикутника дорівнюють і й2, а кут
між ними а, то його площа

5 = сі^ 8Іпа.
лл

Площа ромба дорівнює 8 = - <^<4.

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на ви-

соту:

5 =

Коло. Кути та відрізки, пов'язані
з колом. Коло - фігура, що складається
з усіх точок площини, рівновіддалених
від даної точки - центра кола. Частина
площини, обмежена колом, - круг.
Радіус - відрізок, що сполучає будь-
яку точку кола з його центром. Відрізок,
що сполучає дві довільні точки кола,
називають хордою. Хорда, що прохо-
дить через центр кола, - діаметр.

Пряма, яка має з колом тільки одну
спільну точку і лежить у площині кола,
називається дотичною до кола.

Мають місце такі властивості:

• діаметр кола, проведений через
середину хорди, відмінної від діаметра,
перпендикулярний до неї;

• дотична до кола перпендикулярна
до радіуса, проведеного в точку дотику;

• відрізки дотичних, проведених до
кола з однієї точки, рівні;

• АМ ВМ = СМ ОМ (мал. 13);

• АК2 =АВ АС (мал. 14);

• вписаний кут вимірюється поло-
виною дуги, на яку він спирається
(мал. 15):

ЛАВС = -ЛАОС = - АС;

2 2
• ХАВС = |(АС + РЕ) (мал. 16);

• ЛАВС = -(АС - Е>Е) (мал. 17);

• кут між хордою кола і дотичною,
проведеною в її кінці, вимірюється по-
ловиною дуги, що міститься всередині
кута.

Довжину кола С радіуса г визначають
за формулою С = 2лг. Довжину І дути
кола радіуса г, яка має п градусів, мож-
на визначити за формулою І =----.

Площу 8 круга радіуса г знаходять
за формулою 8 = тгг2.

Частину крута, обмежену двома його
радіусами, називають сектором, а ча-
стину круга, обмежену його хордою і
дугою, - сегментом. Сегмент може бути
меншим від півкруга або більшим.

Півкруг - один з видів сектора і сегмента. Якщо сектор круга
я

радіуса г має п градусів, то його площа 8^ =--------. Площа

360

довільного сегмента дорівнює сумі або різниці площ сектора і

трикутника.

Сторона ап правильного п-кутника через радіус В описаного
кола і радіус г вписаного кола виражається формулами

. 180° . о . 180°

а„ = 2В 8іп----і а = 2г і#-----.

л — П ° —

П ТІ

Зокрема,

а3 - К>/3, а4 = Ял/2, а6= В.

а3 = 2г\ІЗ, а4 = 2г, а6 = ^^-г.

Теорема Птолемея. У кожному
АВС£>, вписаному в коло, добуток
довжин діагоналей дорівнює сумі
добутків довжин його протилежних
сторін, тобто АС • В£> = АВ • СВ +
4- ВС • АВ (див. мал. 11).

Теорема Менелая. Нехай Ар Вр
С± ~ три точки, які лежать відпо-
відно на сторонах ВС, СА, АВ ААВС
або на їх продовженнях (мал. 18).
Точки А19 Вг С2 тоді і тільки тоді

опуклому чотирикутнику

Мал. 18
Мал. 19

Мал. 20

лежать на одній прямій, коли, врахо-
вуючи напрями відрізків,

АС} .ВАХ

С|В А^С В^А

Теорема Чеви. Нехай Ах, Вх, Сг - три
точки, які лежать відповідно на сторо-
нах ВС, СА, АВ &АВС або на їх продов-
женнях (мал. 19). Для того щоб прямі
АА19 ВВі і СС1 перетиналися в одній
точці або були всі паралельні, необхідно
і достатньо, щоб виконувалась умова:

АС} ВА^ СВі ___і

С^В А^С В]А

Останню рівність називають умовою
Чеви.

Пряма Ейлера. Ортоцентр Н три-
кутника, його центроїд М і центр О
описаного кола лежать на одній прямій

(мал. 20), причому ОМ : МН = 1:2.

Коло Ейлера (коло дев’яти точок). Основи висот трикут-
ника, середини його сторін і середини відрізків, які сполуча-

ють ортоцентр трикутника з його вершинами, лежать на

одному колі (мал. 21). Центр цього
кола збігається із серединою від-
різка, який сполучає ортоцентр
трикутника і центр описаного кола.
Його радіус дорівнює половині
радіуса описаного кола.

Пряма Сімсона. Основи перпен-
дикулярів, опущених на сторони
трикутника з точки описаного кола,
лежать на одній прямій.

Коло Аполлонія. Геометричним міс-
цем точок, відношення відстаней від

яких до двох даних точок стале, є коло.

Координати на площині. Площину, на якій задано си-
стему координат, називають координатною площиною. Кожній
точці координатної площини відповідає єдина пара дійсних
чисел (координати цієї точки), а кожній парі дійсних чисел -
єдина точка координатної площини.

Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відпо-
відних координат його кінців. Тобто якщо кінці відрізка А(хх; і/х)
і В(х2; і/2), то серединою даного відрізка є точка з координатами
У- = 1 - рівняння прямої у відрізках на осях (числа а і Ь
о

*1 + *2 4 У1±У2
2 2 *

Відстань між точками А(хг; уг) і В(х2; у2):

АВ = >ДХ2 - Х1)2 + (Уг - У1)2-

Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів його
проекцій на дві взаємно перпендикулярні прямі.

Рівнянням фігури на координатній площині називають
рівняння з двома змінними, яке задовольняють координати
кожної точки даної фігури і тільки вони.

Рівняння кола радіуса г із центром у точці А(а; Ь) має вигляд
(х - а)2 + (у - Ь)2 = г2

Якщо центр кола радіуса г лежить у початку координат, то
його рівняння х2 4- у2 = г2.

Кожній прямій координатної площини відповідає лінійне
рівняння з двома змінними ах + Ьу + с = 0. Таке рівняння
називають загальним рівнянням прямої.

Рівність у = кх 4- Ь - рівняння прямої з кутовим коефіцієн-
том. Тут к = І£а, де а - кут, який утворює пряма з додатним
напрямом осі ОХ.

У-У1

„ _ „ ” _. - рівняння прямої, що проходить через дві

Х2 хі У2 Уі

дані точки А(хх; і/х) і В(х2; і/2).

—+
а

показують, які відрізки пряма І відтинає на осях координат).

Якщо прямі /х і 12 задані рівняннями уг = кгх 4- &х і у2 = к^с 4- Ь2,
то:

1) /х Ц 12 тоді і тільки тоді, коли йх = Л2;

2) /х ± 12 тоді і тільки тоді, коли Ах • к2 = -1.

Векторні величини - ті, які визначаються не тільки число-
вими значеннями, а й напрямами. Значення векторних вели-
чин - вектори. Геометрично вектори (ненульові) зображаються
напрямленими відрізками. Напрямлений відрізок має початок
і кінець. Відстань між ними - модуль (довжина) вектора.

Два вектори називають колінеарними, якщо відповідні їм
напрямлені відрізки розташовані на одній прямій або на паралель-
них прямих. Колінеарні вектори бувають співнапрямленими або
протилежно напрямленими. Два вектори рівні, якщо вони співна-
прямлені і мають рівні модулі. Два вектори називають протилеж-
ними, якшр вони мають рівні модулі і протилежно напрямлені.

Координатами вектора з початком А(хх; г/х) і кінцем В(х2; у2)
називають числа х = х2 - хх і у = у2 - уГ
Записують такий вектор у вигляді:

АВ = (х; у), або а = (х; у), або АВ = (х2 - хх; у2 - ух).

Модуль вектора АВ = (х; у) позначають символом |АВ|:
|ав| = +у2.

Сумою векторів а = (хх; ух) і Ь = (х2; у2) називають вектор
а + Ь = (х} + х2; ух + у2). Для додавання векторів виконуються
переставний і сполучний закони.

Геометрично додавати вектори можна за правилом трикут-
ника або паралелограма (мал. 22 і 23). Завжди правильні век-
торні рівності:

АВ + ВС=АС, АВ + ВС + СВ=АО.

Різницею векторів а = (хх; ух) і Ь = (х2; у2) називають вектор
а - Ь = («і - х2; Уі-Уг). _ _________ _

Різниця векторів АВ і КР дорівнює АВ + РК. Щоб відняти
від одного вектора другий, треба до першого додати вектор,
протилежний другому.

Які не були б вектори АВ і АС, завжди АВ - АС = СВ.

Добутком вектора а = (х; у) на число п називають вектор
па = (пх; пу). Завжди правильні рівності:

(п + т) а = па + та і п(а + Ь) = па + пЬ.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називають
добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними:
а • Ь = |а| • |Ь| созф.

Якщо хоч один з векторів нульовий, то їх скалярний
добуток дорівнює нулю.

Кут <р між ненульовими векторами а і Ь можна знайти,

а - Ь
користуючись формулою созф = і^| |^і.

Якщо а = (хх; ух) і Ь = (х2; у2), то а • Ь = ххх2 + уху2.

а = но або — = — - умова колінеарності ненульових векторів

а і Ь (к # 0);

а • Ь = 0 або хх • х2 4- ух • у2 = 0 - умова їх перпендикулярності.
•/ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Що таке геометрія? Що таке планіметрія?

2. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.

3. Що означають записи А є а, В і. а?

4. Як слід розуміти вислів «точка В лежить між А і С»?

5. Що таке промінь? Як позначають промені?

6. Що таке відрізок? Що таке кінці відрізка?

7. Що таке відстань між двома точками?

8. Яка фігура називається кутом? Як позначають кути?

9. Який кут називають гострим? Прямим? Тупим? Роз-
горнутим?

10. Які кути називають суміжними? Чому дорівнює їх
сума?

11. Які кути називають вертикальними?

12. Сформулюйте теорему про вертикальні кути.

13. Які прямі називають перпендикулярними?

14. Сформулюйте означення паралельних прямих.

15. Сформулюйте ознаку паралельності прямих.

16. Сформулюйте аксіому Евкліда про паралельність
прямих.

17. Що таке трикутник? Назвіть елементи трикутника.

18. Якими бувають трикутники?

19. Що таке бісектриса, медіана, висота трикутника?

20» Сформулюйте теорему про суму кутів трикутника.

21 ♦ Сформулюйте ознаки рівності трикутників.

22 . Який трикутник називають рівнобедреним?

3. Сформулюйте кілька властивостей рівнобедреного
трикутника.

24. Як називають сторони прямокутного трикутника?

25. Сформулюйте ознаки рівності прямокутних трикут-
никі^’’*^^

26. Що проекція похилої?

27. Що іаке. відстань від точки

28. Що таке коло? Центр? Радіуй?^ЦамМ^У Хорда?

29. Що таке круг? Чим відрізнгіється їф^від/кола?

ЗО. Сформулюйте означення і властивість дотичної до кола.

31. Що таке центральний кут? ВпйГсаний^аді/

2-беотеИа-ІОМ.
32. 33. Сформулюйте теорему про вписані кути. Як побудувати трикутник за трьома даними сторо- нами?
34. 35. 34. 37. Як побудувати кут, що дорівнює даному? Як побудувати бісектрису даного кута? Як поділити даний відрізок навпіл? Як через дану точку провести пряму, перпендикуляр- ну до даної прямої? А паралельну даній прямій?
33. 39. 40. 41. 42. Що таке геометричне місце точок? Наведіть приклади. Що таке серединний перпендикуляр даного відрізка? Як навколо даного трикутника описати коло? Як у даний трикутник вписати коло? Що таке чотирикутник?
43. Сформулюйте означення паралелограма.
45. Які властивості має паралелограм? Сформулюйте ознаки паралелограма. Що таке прямокутник? Які властивості має прямо- кутник?
47. 49. 50. Що таке ромб? Квадрат? Назвіть їх властивості. Сформулюйте теорему Фалеса. Сформулюйте теорему про середню лінію трикутника. Що таке трапеція? Рівнобічна трапеція? Прямокутна трапеція?
51. 52. 53. 54. 55. 56. Сформулюйте теорему про середню лінію трапеції. Які трикутники називають подібними? Сформулюйте ознаки подібності трикутників. Сформулюйте теорему Піфагора. Як знайти координати середини відрізка? Як знайти відстань між точками з даними коорди- натами?
57. 55. 59. 60. 61. 62. 63. Що таке рівняння фігури? Яке рівняння має коло? Пряма? Наведіть приклади векторних величин. Як зображають вектори? Що таке координати вектора? Що таке довжина вектора? Які вектори називають рівними? Колінеарними? Протилежними?
«4.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

73.

74.

75.

76.

78.

Що таке сума двох векторів?

Сформулюйте правило трикутника для додавання
векторів.

Сформулюйте правило паралелограма для додавання
векторів.

Що таке різниця векторів? Як Гї знаходять?
Сформулюйте правило множення вектора на число.
Сформулюйте властивості множення вектора на число.
Що таке синус, косинус, тангенс кута?

Сформулюйте теорему косинусів.

Сформулюйте теорему синусів.

Що таке многокутник?

Чому дорівнює сума кутів опуклого п-кутника?
Сформулюйте означення правильного многокутника.
За якою формулою знаходять довжину кола?

Що таке площа многокутника?

За якими формулами обчислюють площі прямокут-
ника, паралелограма, трикутника, трапеції?

Сформулюйте теорему про відношення площ подібних
многокутників.

За якою формулою знаходять площу круга?

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

Тематичні завдання в тестовій формі

Прямі і кути

1. Установіть, на скільки частин можуть розбити площину
дві її прямі.

а) На 2 або на 3; б) на 2 або на 4;

в) на 3 або на 4; г) на 3 або на 5.

2. Якщо один із суміжних кутів на 80° більший від другого,
то другий кут дорівнює:

а) 80°; б) 140°; в) 50°; г) 120°.

3. Відомо, що а ± с і Ь ± с. Укажіть правильне відношення.

а) а ± Ь; б) а г\ Ь; в) а || Ь; г) а є Ь.

4. Кут між однією з двох паралельних прямих і їх січною
дорівнює 60°. Під яким кутом бісектриса цього кута пере-
тинає другу пряму?

а) 60°; б) 40°; в) 30°; г) 120°.
5. Скільки прямих можна провести через дві різні точки?

а) Одну; б) дві; в) три; г) жодної.

6. Вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює:

а) 180°; б) 80°; в) 45°; г) 90°.

7. Яким знаком не позначають взаємне розташування двох
прямих?

а) а ± 6; б) а є 6; в) а || 6; г) а п Ь.

8. Прямі а і Ь не паралельні прямій с. Чи випливає з цього,
що прямі а і Ь не паралельні?

а) Так; б) ні; в) так, якщо а ± с; г) ні, якщо Ь ± с.

9. Скільки пар вертикальних кутів утворюють три прямі, що
перетинаються в одній точці?

а) 3; б) 6; в) 9; г) 12.

10. На одній стороні кута відкладено три відрізки АВ = 2,
ВС = 3 і СО = 5. Через точки А, В, С і В проведено паралельні
прямі АА19 ВВх, ССХ і £>ВХ до перетину з іншою стороною
кута. Знайдіть ВХСХ, якщо АХВХ = 20.

а) 9; б) 6; в) 4; г) 10.

Трикутники

1. Якщо кути трикутника пропорційні числам 2, 3 і 4, то
його найменший кут дорівнює:

а) 80°; б) 40°; в) 30°; г) 20°.

2. Найменший зовнішній кут прямокутного трикутника
дорівнює:

а) 180°; б) 90°; в) 135°; г) 125°.

3. Площа рівностороннього трикутника зі стороною 2 дм
дорівнює:

а) 4 дм2; б) 2>/3 дм2; в) 7з дм2; г) 0,5^3 дм2.

4. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС,
якщо АС = 3 см, /.В = 30°.

а) 3 см; б) 6 см; в) >/3 см; г) 12 см.

5. Менша медіана прямокутного трикутника з катетами 5 см
і 12 см дорівнює:

а) 2,5 см; б) 6,5 см; в) 6 см; г) 5 см.

6. У трикутнику провели три середні лінії. Скільки пар подіб-
них трикутників утворилося?

а) 4; б) 6; в) 10; г) 12.
7. За якою формулою обчислюють радіус кола, вписаного в
трикутник?

ч аЬс 45 ч 5 ч Р

а)—; б)—; в)~; г)о-

47? аЬс р 8

8. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорів-
нює х/20, а бісектриса, опущена на неї:

а) х/3; б) х/2; в) х/б; г) х/ЇО.

9. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівню-
ють 6 см і 14 см, а кут між ними 30°.

а) 42 см2; б) 21х/3 см2; в) 21х/2 см2; г) 21 см2.

10. Площі двох подібних трикутників відносяться як 4:9. Як
відносяться їхні сторони?

а) 16:81; б) 2:4,5; в) 1:2,5; г)2:3.

Чотирикутники

1. Кількість осей симетрії квадрата дорівнює:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5.

2. Основи трапеції дорівнюють 4 см і 10 см, а її середня
лінія:

а) 4 см; б) 7 см; в) 10 см; г) 3,5 см.

3. Периметр паралелограма дорівнює 16 см. Одна його сто-
рона - 5 см, а друга:

а) 5 см; б) 6 см; в) 11 см; г) 3 см.

4. Знайдіть кути ромба, якщо вони пропорційні числам 2 і 7.

а) 30° і 70°; б) 20° і 140°; в) 40° і 140°; г) 80° і 280°.

5. Менша сторона прямокутника дорівнює 5 см. Знайдіть
довжину діагоналі, якщо вона утворює з більшою сторо-
ною кут 30°.

а) 10 см; б) 5 см; в) 2,5 см; г) 20 см.

6- Знайдіть площу ромба, якщо його менша діагональ і сто-
рона дорівнюють 4 м.

а) м2; б) 6^3 м2; в) 8>/з м2; г) 2>/3 м2.

7. Якщо бісектриса кута прямокутника ділить його на час-
тини, площі яких пропорційні числам 1 і 3, то його суміжні
сторони відносяться як:

а) 1:2; 6)1:3; в) 1:4; г)2:3.

8. Периметр рівнобічної трапеції, описаної навколо кола,
дорівнює 20 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.

а) 5 см; б) 6 см; в) 11 см; г) 3 см.
9- Знайдіть найбільший кут прямокутної трапеції, якщо один
з її кутів удвічі більший за інший.

а) 130° або 170°; б) 120° або 135°;

в) 140° або 145°; г) 180° або 128°.

10- Один з кутів ромба дорівнює 120°, а периметр 24 см. Менша
діагональ ромба дорівнює:

а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 6 см.

Коло і круг

1- Довжина чверті кола радіуса 2л м дорівнює:
а) л2 м; б) 16л м; в) 2 м; г) 4л м2.

2. Площа круга дорівнює 100л см2. Знайдіть довжину його
кола.

а) ЮОтг см; б) 50л см; в) 20л см; г) 2500л см.

3. Кут між двома радіусами кола дорівнює 125°. Знайдіть кут
між дотичними, проведеними через кінці цих радіусів.

а) 125°; б) 95°; в) 35°; г) 55°.

4- Під яким кутом із центра кола, вписаного в рівносторон-
ній трикутник, видно сторону цього трикутника?

а) 30°; б) 60°; в) 90°; г) 120°.

5- Радіус кола, описаного навколо правильного шестикут-
ника з периметром 24 см, дорівнює:

а) 12 см; б) 3 см; в) 6 см; г) 4 см.

6. Кола радіусів 3 м і 7 м мають внутрішній дотик. Відстань
між їхніми центрами:

а) 2 м; б) 10 м; в) 4 м; г) 5 м.

7- Знайдіть площу кільця, утвореного концентричними
колами радіусів 3 м і 5 м.

а) 2 м2; б) 16л м2; в) 2л м2; г) 4л м2.

8. Сторона квадрата, описаного навколо кола завдовжки
16л см, дорівнює:

а) 16 см; б) 8 см; в) 4 см; г) 4>/2 см.

9. Правильний трикутник АВС вписаний у коло. Знайдіть
довжину кола, якщо довжина дуги ВАС дорівнює 6 см.

а) 12л см; б) 12 см; в) 9 см; г) 4>/3 см.

10. Знайдіть площу сектора круга радіуса 6 см з центральним
кутом 60°.

а) 6л см2; б) Зл см2; в) 9л см2; г) 2л см2.
Координати на площині

1- Середина відрізка КР, де К (1; -3), Р (7; 5), має коорди-
нати:

а) (-1; 3); б) (4; 1); в) (2; 1); г) (3; 4).

2. Який знак слід поставити в запису АС * ВС замість зірочки,
якщоА(-1; 3), В(5; 6), С(2; 4,5)?

а) >; б) <; в) =; г)

3. Яка з точок не належить прямій 2х + у = 7?

а) (-2; 11); б) (-0,5; 8); в) (2; 5); г) (0,5; 6).

4. Прямій у = ±х + 5 паралельна пряма:

а) у = 5; б) Зх + у = 4; в) 2у - х = 2; г) х + Зр = 6.

5. Пряма х + у = 5 утворює з додатним напрямом осі ОХ
кут:

а) 90°; б) 45°; в) 135°; г) 30°.

6. Центр кола х2 + (у - 2)2 - 8 = 0 має координати:

а) (0; 4); б) (1; 2); в) (0; 2); г) (2; 4).

7. Точка М, яка лежить на осі ОХ та рівновіддалена від точок
А(5; 4) і В(2; 1), має координати:

а) (0; 4); б) (1; 0); в) (0; 2); г) (6; 0).

8. Коло з діаметром АВ, де А(4; 3), В(-4; -3), має рівняння:

а) х2 + у2 = 5; б) х2 + у2 = 9;

в) х2 + у2 = 25; г) х2 + у2 = 3.

9. Якщо діаметр кола х2 + у2 = 25 проходить через точку
А(3; 4), то його рівняння:

а) Зх + 4р = 25; б) Зр = 4х;

в) у + х = 5; г) 4х + Зр = 0.

10. Яка з прямих не є дотичною до кола х2 + (р - 2)2 = 9?

а) х = 3; б) р = 3; в) х = -3; г) у = -1.

Вектори

1. Якщо А(1; -3) і В(-7; 12), то вектор АВ має координати:
а) (6; -15); б) (-8; 15); в) (-8; 9); г) (-6; 9).

2. Якщо вектори а і Ь перпендикулярні, то:

а) а + Ь = б; б) а - Ь = б;

в) а * Ь = 0; г) а: Ь = б.

3. Знайдіть координати вектора ш = 2р + Зр, якщо р = (-2; 1),
<7 = (4; -3).

а) (8; -7); б) (-14; 0); в) (8; 11); г) (-2; 3).
4. Знайдіть довжину вектора а = (-2; 4).

а) 2Л0; б) 20; в) 12; г) 2^5.

5. Вектор, колінеарний вектору а = (-1; 4), має координати:
а) (-2; -8); б) (0,5; 2); в) (3; -3); г) (4; -16).

6. Сумою векторів ВС + АВ + ВА + СВ є вектор:
а)АВ; б) АС; в) б; г)АВ.

7. Якщо скалярний добуток двох одиничних векторів дорів-
нює 0,5, то кут між ними:

а) 30°; б) 60°; в) 120°; г) 45°.

8. При якому значенні т вектори а = (-2; 6) і Ь = (9; т)
перпендикулярні?

а) -3; б) 27; в) 3; г) -27.

9- При якому значенні х вектори т = (3; х) і п = (-6; 7)
колінеарні?

а) 14; б) 3,5; в) -3,5; г) -14.

10. Проекції вектора АВ на осі х і у дорівнюють відповідно а і

6, а проекція вектора ВА на вісь у дорівнює:

а) -а; б) -Ь; в) Ь; г) а.

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
ПЛАНІМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

Планіметричні задачі бувають різних видів, здебільшого -
на обчислення, побудову, доведення чи дослідження. У зада-
чах на обчислення найчастіше вимагається знайти значення
геометричної величини: відстань, довжину дуги, міру кута,
периметр чи площу фігури.

ЗАД А ЧА 1. Знайдіть суму кутів А, В, С, В, Е зірки, зображеної
на малюнку 24.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі
двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. Тому, позначивши
на малюнку два кути цифрами 1 і 2, маємо:

Мал. 24

АВ +АВ = А1. АС + АЕ -А2. Отже,
АА +АВ +АС +АВ +АЕ = АА +
+ А1 +А2 = 180°.

ВІДПОВІДЬ. Сума кутів кожної
такої п’ятикутної зірки дорівнює
180°.

У задачах на побудову вимага-
ється побудувати фігуру зі вказаними
властивостями. Класичними вважають побудови, виконувані
тільки лінійкою і циркулем. При цьому часто використову-
ють методи геометричних місць, подібності, паралельного
перенесення, симетрії тощо.

* 7 Ч » ? Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотену-
зою с і сумою двох катетів т.

ріУЗВ'ЯЗ \нн < Аналіз. Припус-
тимо, що потрібний трикутник АВС
побудовано (мал. 25). Добудувавши
до нього прямокутний рівнобед-
рений трикутник ВСК9 матимемо
трикутник АВК9 у якого /.К = 45°,
АК = ті АВ = с - відомі відрізки. За
двома даними сторонами і кутом К
трикутник АВК побудувати можна.
Провівши в ньому перпендикуляр
ВС9 можна визначити третю верши-
ну С трикутника АВС.

Побудова. Відкладаємо відрізок
АК = т. При одному його кінці
будуємо кут АКВ = 45°, а з другого,
як із центра, проводимо дугу кола
радіуса АВ = с. Якщо ця дуга пере-
тинає промінь КВ у точці В, про-
водимо перпендикуляр ВС до АК.
Трикутник АВС той, який вима-
галося побудувати.

иння За побудовою АС1ВС, АВ = с і АС + СВ =
= АС + СК = АК = т.

Дослідження. Якщо с > т9 то згідно з нерівністю трикутника
розв’язків не існує.

Якщо с < то дуга кола не має з променем КВ спільних
точок, а тому розв’язків немає.

„ ту/2 ,

Якщо------< с < т9 то задача має один розв язок:

при с = коло і промінь КВ дотикаються;

в інших випадках, хоч дуга з променем і перетинаються у
двох точках (мал. 26), але утворені при цьому трикутники
АВС і АВ1С1 рівні.

У задачах на доведення пропонується довести яке-небудь
твердження.
ЗАДАЧА 3. Доведіть, що сума відста-
ней від довільної точки X внутрішньої
області правильного трикутника до
його сторін стала, тобто не залежить
від положення цієї точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай АВС - пра-
вильний трикутник зі стороною а і
висотою й, X - довільна точка у його
внутрішній області, а ХК, ХР, ХТ -
перпендикуляри до АВ, ВС, АС (мал. 27).
Виразимо двома способами площу 8

трикутника АВС.

Відрізки ХА9 ХВ9 ХС даний трикутник розбивають на три
трикутники з основами АВ9 ВС9 СА і висотами ХК9 ХР9 ХТ.
їх подвоєні площі дорівнюють а • ХК, а • ХР, а • ХТ, а подвоєна
площа всього трикутника а • й. Отже,

а • ХК + а • ХР 4- а • ХТ = а • й, звідси ХК + ХР + ХТ = й.

Отже, де б не була точка X (усередині ДАВС), сума відстаней
від неї до сторін не змінюється і дорівнює й.

У задачах на дослідження пропонується дослідити що-небудь.

ЗАДАЧА 4, Кожна сторона паралелограма паралельна про-
тилежній стороні. А чи існує чотирикутник, кожна сторона
якого перпендикулярна до протилежної сторони?

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Перший спосіб. Спробуємо накреслити хоча
б один з таких чотирикутників. Нехай АВ і СО - його проти-
лежні сторони - перпендикулярні відрізки. Провівши відрізки
АО і ВС, утворимо чотирикутник АВСО, у якого АВ ± СО
(мал. 28). Дві інші його сторони АО і ВС можуть бути не пер-
пендикулярні. Але продовживши або вкоротивши відрізок
АВ, можна досягти, щоб і вони стали перпендикулярними.

ВІДПОВІДЬ. Чотирикутник, кожна сторона якого перпен-
дикулярна до протилежної сторони, існує.

Другий спосіб. Нехай АВС - довільний гострокутний
трикутник, а його висоти перетинаються в точці Н (мал. 29).
Зафарбуємо неопуклий чотирикутник АВСН. Кожна його сто-
рона перпендикулярна до протилежної сторони.

Другий спосіб продуктивніший: він додатково показує, що
в такого чотирикутника діагоналі перпендикулярні. А отже,
середини сторін чотирикутника АВСН - вершини прямокут-
ника, а площа чотирикутника АВСН дорівнює півдобутку діа-
гоналей тощо.

Якщо в розв’язанні використовують тільки геометричні
відомості, таке розв’язання називають геометричним. Якщо
ж використовують відомості з алгебри чи математичного ана-
лізу, то кажуть про аналітичне розв'язання. Найчастіше
аналітичне розв’язання задачі зводиться до складання за умо-
вою геометричної задачі відповідних рівнянь чи систем
рівнянь.

ЗАДАЧА 5. Знайдіть площу ромба, якщо його висота і мен-

ша діагональ відповідно дорівнюють 12 см і 13 см.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай АВСВ - ромб
(мал. ЗО), а ВН і ВО - його висота і діа-
гональ. Тоді ВН = 12 см, ВО = 13 см, а
НВ = уівК2 - ВЯ2 = 7169-144 = 5 (см).

Нехай АН = х. Тоді АВ = АВ = АН +
+ НВ = х + 5.

З ДАВИ АВ2 = ВН2 + АН2. Можемо

Мал. ЗО

скласти рівняння:

(х + 5)2 = 122 + х2, або х2 4- Юх + 25 = 144 + х2, звідси
х = 11,9 (см).

Маємо АВ = х 4- 5 = 11,9 4- 5 = 16,9 (см). Знайдемо тепер
площу 8 ромба АВСО.

8 = ВН • АВ, тобто 5 = 12 • 16,9 = 202,8 (см2).

ВІДПОВІДЬ. 8 = 202,8 см2.

Ефективними методами розв’язування геометричних задач
є координатний і векторний методи.

Координатний метод полягає в тому, що розв’язуючи гео-
метричну задачу, оперують координатами окремих точок,
рівняннями прямих або інших ліній. Розв’язуючи задачу
координатним методом, розглядувані фігури розміщують на
координатній площині. Приписавши окремим точкам фігур
координати, а лініям — рівняння, далі обчислюють коорди-
нати інших точок, виводять рівняння інших ліній. У резуль-
таті отримуємо потрібну відповідь.

Раціональність розв’язання задачі цим методом значною
мірою залежить від того, як розглядувану фігуру розмістити
відносно координатних осей. Найзручніше цим методом
користуватися тоді, коли в задачі мова йде про прямі кути або
суми квадратів якихось відстаней.

ЗАДАЧА 6. Знайдіть суму квадратів
відстаней від довільної точки кола
радіуса 5 см до вершин описаного
навколо нього квадрата.

розв'язання. Коло радіуса 5 см і
описаний навколо нього квадрат роз-
містимо в системі координат так, щоб
її осі були серединними перпендикуля-
рами для сторін квадрата (мал. 31).
Тоді колу відповідатиме рівняння х2 +
+ у2 = 25, а вершини квадрата матимуть
координати А(5; -5), В(5; 5), С(-5; 5),

В(-5; -5).

Якщо М(х; у) - довільна точка кола, то МА2 + МВ2 + МС2 +
+ МВ2 = (5 - х)2 + (-5 - у)2 + (5 - х)2 + (5 - у)2 + (-5 - х)2 +
+ (5 - у)2 + (-5 - х)2 + (-5 - у)2 = 2((5 - х)2 + (5 + х)2 + (5 +
+ У)2 + (5 - у)2) = 200 + 4(х2 + у2) = 300 (см2).

ВІДПОВІДЬ. 300 СМ2.

Якщо задачу розв’язують, використовуючи властивості
векторів, то це - векторний метод розв’язування задачі. Для
ефективного його застосування слід уміти геометричні спів-
відношення (властивості геометричних фігур) записувати у
вигляді векторних рівностей. При цьому часто використову-
ють такі твердження та векторні рівності:

1) ОА = ОВ - точки А і В збігаються;

2) АВ = кСВ - прямі АВ і СВ паралельні або збігаються;

3) АВ = кАС - точки А, В, С лежать на одній прямій;

4) АВ • СВ = 0 - прямі АВ і СВ перпендикулярні;

5) АМ = — МВ9 а числа ті п додатні - точка М ділить
п

відрізок АВ у відношенні АМ:МВ = т:п;

6) а-Ь = |а|-|б|со8ф - кут між прямими, на яких лежать
вектори а і 6, дорівнює <р;

7) ХМ = - (ХА + ХВ) - М - середина відрізка АВ;

8) ХМ = і (ХА + ХВ + ХС) - М - точка перетину медіан
З

трикутника АВС;

9) ХМ = ——— ХА + т ХВ - точка М ділить відрізок АВ
т + п т + п

у відношенні АМ: МВ = т:п.
Користуючись цими співвідношеннями, можна розв’язувати
багато геометричних задач та доводити теореми.

Розв’язування задачі векторним методом складається з
кількох кроків:

- подані в задачі співвідношення «перекладають мовою»
векторів, тобто записують їх відповідними векторними
рівностями;

- отримані векторні рівності перетворюють, використову-
ючи правила векторної алгебри;

- від мови векторів переходять до мови геометрії.

ЗАДАЧА 7. Точка перетину прямих, яким належать бічні
сторони трапеції, та середини її основ лежать на одній пря-
мій. Доведіть.

РОЗВ'ЯЗАННЯ, На малюнку 32 зображено трапецію АВСВ.
Точки - середини її основ, а О - точка перетину прямих АВ

і СВ. Щоб довести, що точки М9 N10 лежать на одній прямій,
покажемо, що вектори ОМ і (Ж - ко-

лінеарні.

Оскільки М - середина ВС, а N -
середина АВ, то виконуються рівності:

ом = |(ов + осу і дії = ±(дА + до).

Оскільки І\ОВС <*> ДОАО, то ОА:ОВ =
- ОБ: ОС = к. Звідси

бА = кдв, дї> = кдс, дії - ^(кдв +
+ кдсу = ^к(дв + де) = кдм.

Маємо ОN = кОМ. Отже, точки М9 N і
О лежать на одній прямій.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

1. Через точку на площині проведено 3 прямі. Доведіть, що
міри принаймні двох з утворених кутів менші за 61°.

2. Установіть вид трикутника, якщо його кути пропорційні
числам 1, 2 і 3.

3. Визначте найбільший внутрішній кут трикутника, якщо
його зовнішні кути (взяті по одному при вершині) пропор-
ційні числам 2, 3 і 4.

4. Висота і медіана прямокутного трикутника, проведені з вер-
шини прямого кута, ділять кут на три рівні частини.
Знайдіть кут між висотою і бісектрисою, проведеною із
цієї вершини.

5. Точка О - спільна середина відрізків АВ і ВС. Пряма /, що
проходить через точку О, перетинає відрізок АВ у точці М,
а відрізок СВ у точці N. Доведіть:

а) МО = N0; б) АМ = В^, в) ^N0 = ЛАМО.

6. У рівнобедреному трикутнику АВС проведено медіани АМ
і ВУ до бічних сторін. Доведіть:

а) ААМВ = АВМА; б) АСАМ = ДСВМ

7. У рівнобедреному трикутнику АВС проведено бісектриси
АМ і ВN до бічних сторін. Доведіть:

а) кАМВ = №ЇА\ б) АСАМ = &СВМ.

8. Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого бічна сторона
і висота, проведена до основи, дорівнюють відповідно 8 см
і 6 см.

9. Побудуйте прямокутний трикутник, у якого один з кате-
тів дорівнює 3 см, а медіана, проведена до іншого катета,
6 см.

10. Поділіть заданий відрізок на 7 рівних частин.

11. Сума двох сусідніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює
100°. Знайдіть кут між бісектрисами двох інших його кутів.

12. Знайдіть усі медіани прямокутного трикутника з катетами
3,2 см і 4,8 см.

13. Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону
на відрізки 5 см і 15 см, починаючи від вершини гострого
кута. Обчисліть периметр паралелограма.

14. Перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута до
однієї з діагоналей прямокутника, поділяє її у відношенні
1:3. Доведіть, що одна зі сторін прямокутника дорівнює
половині діагоналі.

15. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 4>/б см, а висота,
проведена з їхньої спільної вершини, - 4 см. Знайдіть
площу трикутника.

16. Знайдіть основи трапеції, якщо їх різниця і середня лінія
трапеції дорівнюють 10 м.

17. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і
12 см. Знайдіть синуси, косинуси і тангенси кутів трикут-
ника.

18. Обчисліть кути рівнобічної трапеції, якщо синус одного з
них дорівнює 0,5>/3.

19. Побудуйте кут, косинус якого дорівнює 0,5. Знайдіть синус
і тангенс цього кута.

20. Побудуйте кут, тангенс якого дорівнює 5. Знайдіть синус і
косинус цього кута.
21. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною
л . 1
6 см і кутом при основі, косинус якого дорівнює
з

22. Косинуси гострих кутів трапеції дорівнюють 0,8 і 0,6.
Знайдіть синуси, косинуси і тангенси його тупих кутів.

23. Знайдіть невідому сторону ДАВС, якщо:

а) АВ = 3 см, ВС = 8 см, /.В = 60°;

б) АВ = 6>/2 см, АС = 4 см, ЛА = 45°,

24. Сторони трикутника пропорційні числам 7, 8 і 13. Знайдіть
найбільший кут трикутника, якщо його периметр 56 см.

25. Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 см і 32 см, а одна
зі сторін 14 см. Знайдіть периметр паралелограма і кут
між його діагоналями.

26. Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і 12 см. Знайдіть пери-
метр і площу ромба.

27. Периметр ромба дорівнює 6,8 см, а одна з діагоналей 1,6 см.
Знайдіть площу ромба.

28. Периметр паралелограма дорівнює 52 см, а його площа
60 см2. Знайдіть сторони і висоти паралелограма, якщо
його гострий кут 30°.

29. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 8 см і 18 см.
Знайдіть радіус вписаного кола.

ЗО. Бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на
відрізки 20 дм і 15 дм. Знайдіть площу трикутника.

31. Знайдіть діагоналі рівнобічної трапеції, основи якої дорів-
нюють 11 см і 21 см, а бічна сторона 13 см.

32. Знайдіть кути опуклого п’ятикутника, якщо вони про-
порційні числам 3, 4, 5, 7, 8.

33. Центральний кут правильного л-кутника у 4 рази менший
за його внутрішній кут. Знайдіть п.

34. Накресліть коло діаметра 6 см. Впишіть у коло й опишіть
навколо нього правильні л-кутники та обчисліть їх пери-
метри, якщо: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 12.

35. У коло вписано квадрат і правильний шестикутник. Пери-
метр квадрата 24 см. Знайдіть периметр і площу шести-

кутника.

36. Навколо кола описано правильний трикутник, а в коло
вписано правильний шестикутник, периметр якого 18 см.
Знайдіть периметр і площу трикутника.

37. Дано правильний шестикутник зі стороною 4 см. Знайдіть
ширину і площу кільця, утвореного колами, вписаним і
описаним навколо шестикутника.

38. Знайдіть сторони та площу ДАВС, якщо А(3; 4), В(-3; 4),
С(-3; -4).
39. Дано ААВС, у якого А(7; 5), В(4; 1), С(-4; 7). Знайдіть
довжини його медіан.

40. Відрізок МN точками К і Р поділено на три рівні частини
(МК = КР = Р№). Знайдіть координати точки .У, якщо
М(2; -4), Р(-6; 2).

41. На осі абсцис знайдіть точку М, яка рівновіддалена від
початку координат і від точки Р(2; 3).

42. Напишіть рівняння прямої, яка проходить через точки
А(1; 4) і В(-2; 1). Знайдіть площу трикутника, який відти-
нає ця пряма від осей координат.

43. Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; 4), В(6; -2),
С(-3; 1) - рівнобедрений. Знайдіть його площу.

44. Установіть вид чотирикутника АВСВ, якщо А(3; 1), В(4; 6),
С(9; 7), 0(8; 2). Знайдіть його периметр і площу.

45. Знайдіть координати точки, яка симетрична точці А(3; -5)
відносно: а) точки (0; 0); б) осі абсцис; в) осі ординат.

46. Побудуйте два довільні вектори а і Ь. Побудуйте вектор Л
такий, що:

а) 4 = а 4- Ь; б) 5 = а - Ь;

в) 2 = а - 3&; г) 5 = 2а 4- 0,5Ь.

47. Чи рівні вектори АВ і СО, якщо А(1; 6), В(3; 2), С(0; -1),
В (2; -5)?

48. Знайдіть модуль вектора р = 2а - ЗЬ, якщо а = (1; 3), В =
= (-2; 0).

49. При яких значеннях х вектори а = (х; 2) і Ь = (4; 2х)
колінеарні?

50. При яких значеннях х вектори р = (2; х) і з = (х; х 4- 3)
перпендикулярні?

51. По різні сторони від прямої ММ позначено точки А і В так,
що МА = МВ і АА = 2УВ. Доведіть, що АВ ± А£У.

52. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює ЗО см. Ви-
сота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки у
відношенні 7:18, починаючи від вершини. Знайдіть площі
частин трикутника, на які його поділяє ця висота.

53. Сторона трикутника, медіана і висота, проведені до неї,
дорівнюють відповідно 34, 25 і 24 см. Знайдіть периметр
трикутника.

54. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 18 см. У якому відно-
шенні діагоналі діляться точкою перетину?

55. Довжина кола збільшилася на 20 %. На скільки відсотків
збільшиться площа вписаного в це коло правильного
трикутника?
56. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а
один з гострих кутів дорівнює 30°. Знайдіть радіус кола з
центром у вершині цього кута, яке поділяє даний трикут-
ник на дві рівновеликі частини.

57 Батько і дочка стоять одне навпроти одного. їхні тіні від-
повідно дорівнюють 3 м і 2,5 м. Який зріст має дочка,
якщо зріст батька 183 см?

58. Основи рівнобічної трапеції, в яку можна вписати коло,
пропорційні числам Зі 11. Знайдіть синуси кутів тра-
пеції.

59. Знайдіть невідомі сторони ДАВС, якщо:

а) АВ = 5 см, ВС = 8 см, /_В - 60°;

б) АВ = 6 см, АС = 4 см, соб В =

9’

в)АС -АВ = 6 см, ВС = 8 см, /.В = 120°;
г) АС = 6 см, ВС = 14 см, 2А = 60°.

Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 23 см і ЗО см.
Знайдіть довжину медіани, бісектриси і висоти, проведе-
них до найбільшої сторони.

61. У трикутику АВС АВ = ВС = 6 см, віп А = 0,4. Знайдіть від-
стань від точки перетину медіан трикутника до центра
кола, описаного навколо трикутника.

62. АЬ - бісектриса рівнобедреного іаАВС (АВ = ВС), ВЬ = а,
ЛА = 2а. Знайдіть сторони трикутника і довжини його
бісектрис.

63. ВМ - медіана трикутника АВС, ВМ - т, /АВМ = а, ЛСВМ -
= р. Знайдіть АВ.

64. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 24 см. Знайдіть радіуси
вписаного і описаного кіл.

65. На сторонах АВ і ВС трикутника АВС взято точки К і Т
так, що АВ = 10 см, АК = 2 см, ВС = 14 см, ТС = 9 см. Знай-
діть площу чотирикутника АКТС, якщо 8АВС = 28 см2.

66. Основи рівнобічної трапеції АВСВ дорівнюють 11 см і 21 см,
а бічна сторона - 13 см. Знайдіть радіуси кіл: а) описаного
навколо трапеції; б) вписаного в ЛАВС; в) вписаного в
ЛАСО.

6 Дано два круги з радіусами по 1 дм, відстань між їх
центрами дорівнює \[3 дм. Знайдіть площу спільної час-
тини цих кругів.

68 Сні іьна хорда двох кругів стягує дуги 60° і 120°. Знайдіть
підношення радіусів цих кругів.

69 ‘Іптмри серпики утворені колом, описаним навколо квад-
рига і півколами, побудованими на сторонах квадрата як

10М.
розділі

Мал. 33

на діаметрах (мал. 33). Доведіть, що сума площ цих чоти-
рьох серпиків дорівнює площі квадрата.

70. Знайдіть площу фігури, заштрихованої на малюнку 34.

71. На малюнку 35 зображено три різні попарно дотичні кола
і хорда, яка дотикається до двох менших кіл у їх спільній
точці. Знайдіть площу заштрихованої частини більшого
круга, якщо довжина хорди а.

72. У круговий сектор АОВ радіуса ОА = 10 см вписано коло.
Знайдіть відношення площ сектора і круга, якщо >ЗьАОВ =
= 25х/3 см2.

73. АК, ВЬ, СМ - медіани трикутника АВС. Знайдіть коорди-
нати точки В, якщо А(-3; -1), В(-2; 1), 1С(1; -1).

74. Знайдіть сторони та площу трикутника АВС, якщо А(а; Ь),
В(-а; &), С(-а; -&) і точка А лежить у Ш координатній чверті.

75. Дано трикутник АВС, у якого А(7; 5), В(4; 1), С(-4; 7).
Знайдіть довжини медіани, висоти і бісектриси, проведе-
них з вершини В.

76. Використовуючи умову попередньої задачі, напишіть рів-
няння медіани, висоти і бісектриси, проведених з верши-
ни В.

77. Точки А(2; -5) і С(2; -1) є вершинами квадрата АВСО. Напи-
шіть рівняння кола, вписаного в цей квадрат, та кола, опи-
саного навколо нього. Знайдіть невідомі вершини квадрата.

78. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через центри
двох кіл: х2 4- у2 - 4х 4- 2у = 0 і х2 4- у2 + 4х - 6у = 3.

79. Чи має трикутник АВС, у якого А(-6; -1), В(-3; 5), С(3; 2),
вісь симетрії? Якщо має, то запишіть її рівняння.

80. АС - діагональ квадрата. Запишіть рівняння осей симетрії
цього квадрата, якщо А(1; 2), С(5; 6).

81. Коло радіуса 3 дотикається до осей координат у І чверті.
Запишіть рівняння цього кола і кола, симетричного даному
відносно: а) початку координат; б) осі абсцис; в) осі орди-
нат; г) прямої^ = 2х.

82. О - точка Перетину медіан рівностороннього трикутника
АВС. При паралельному перенесенні точка А відобразилася
на точку О. Виконайте паралельне перенесення ДАВС. Знай-
діть периметр побудованого трикутника, якщо 8^АОВ = 5\/3.

Зі
83. При гомотетії відносно початку координат точка А(1; 2)
переходить у точку Ах(3; 6). У яку точку при цій гомотетії
перейде точка В(3; -2)? Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

84. Ромби АВСО іМИРК - подібні, АС: ВВ = 4:5. Знайдіть діа-
гоналі ромба МНРК, якщо його площа дорівнює 40 см2.

85. Пряма МИ, паралельна основі АС трикутника АВС, ділить
його на дві частини - трикутник і трапецію. Площі цих
фігур пропорційні числам 1 і 3. Знайдіть периметр ААВС,
якщо периметр АМВИ дорівнює 7 см.

86. Побудуйте три довільні вектори а, 6, с. Побудуйте вектор
З такий, що:

а) 5 = а + 26; б) З = 2а - 36;

в) 3 = 0,5а - 36 + 2с; г) 3 = а 4- 0,56 - 2с.

87. Знайдіть модуль вектора ш = а 4- 26, якщо |а| = 2, |6| = 1,
(аГ&) = 60°.

88. Знайдіть косинус кута А трикутника АВС, якщо А(-1; 2),
В (3; 5), С (2; -1).

89. При яких значеннях а кут між векторами т = (6; а) і
6 = (-5; а - 1) тупий?

90. Знайдіть кут між одиничними векторами а і 6, якщо век-
тор 5а - 46 перпендикулярний до вектора а - 2Ь.

91. Дано точки А(4; -2) і В(2; -5). Запишіть рівняння прямої,
яка дотикається до кола діаметра АВ у точці А.

92. Запишіть рівняння дотичних, проведених з точки А(5; 0)
до кола х2 4- у2 = 9.

93. На діаграмі Вороного зображено три антени А, В, С, їх
координати та області обслуговування (мал. 36). Ребра
ОМ, ОЛ\ ОК клітин на діаграмі Вороного будуються як
серединні перпендикуляри до відрізків АВ, ВС і АС.
Запишіть рівняння ребер діаграми Вороного і координати
точки О - вершини діаграми Вороного.

Георгій Феодосійович
ВОРОНИЙ (1868-1908)
А Вх С

Мал. 37

94*.На сторонах АВ, ВС і СА трикутника
АВС позначено точки Ах, Вх, Сх такі,
що АС1:С1В = ВА1: АгС = СВ±: В^А = 2
(мал. 37). Як відносяться площі три-
кутників АВС і КРТ*1

95*. На сторонах довільного трикутника
АВС зовні нього побудовано правильні
трикутники (мал. 38). Доведіть, що їх
центри К9 Р, Т - вершини правильних
трикутників.

96. На основі АС трикутника АВС взято
точки МіН такі, що АМ < АН. Прямі
ВМ і ВН ділять медіану АК на три рівні
частини. Знайдіть АС, якщо МН = 3.
97*. Протилежні сторони опуклого шес-
тикутника паралельні. Доведіть, що
прямі, які сполучають середини проти-
лежних сторін, перетинаються в одній
точці.

98*. Пряма Ейлера проходить через центр
вписаного у трикутник кола. Доведіть,
що трикутник рівнобедрений.

99*. Якщо вписане в трикутник коло дотикається до його сто-

рін АВ, ВС, СА в точках Ах, В19 Сх, то прямі ААр ВВЇ9
ССХ перетинаються в одній точці. Доведіть.

100’. На катетах АС і ВС прямокутного трикутника АВС зовні

нього побудовано квадрати АСКР і СВМТ. Доведіть, що
прямі АМ9 ВР і висота СН трикутника перетинаються в
одній точці.
ІОМІЇкл Гпмю розуму,
Л 1 *’ -а‘

Основні поняття стереометри.

МИМИМіШіМ

ГАксюми стереометри та наслідки з ник
.-і - *

Просторові геометричні фігури.
Початкові уявлення про многогранники
Найпростіші задачі на побудову
перерізів многогранників.

Поняття про аксіоматичний метод

&
§3 ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ СТЕРЕОМЕТРІЇ

Геометрія - наука про властивості геометричних фігур.
Вона складається з двох частин: планіметрії і стереометрії.
У планіметрії розглядаються фігури в одній площині.
Стереометрія (від грец. отєрєо^ - просторовий і цєтрєсо - вимі-
рюю) вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

Геометрична фігура - будь-яка множина точок. Скінченна
або нескінченна, на площині або в просторі.

У стереометрії вивчаються властивості як плоских геомет-
ричних фігур, так і неплоских. Фігура називається неплоскою
(просторовою), якщо не всі її точки лежать в одній площині.
Приклади неплоских фігур: куб, паралелепіпед, куля.

Розглядають у стереометрії й інші геометричні поняття:

- геометричні величини (довжини, площі, об’єми, міри
кутів);

- геометричні перетворення (паралельні перенесення,
різні симетрії, повороти, перетворення подібності тощо);

- вектори-

- геометричні відношення (перпендикулярності, паралель-
ності, рівності, подібності тощо).

Зміст більшості наукових понять звичайно розкривають за
допомогою означень. Але не все можна означити. Щоб означити
якесь поняття, треба підвести його під інше поняття, зміст
якого вже відомий. Наприклад, формулюючи означення
♦паралелограмом називається чотирикутник, у якого проти-
лежні сторони попарно паралельні», означуване поняття
«паралелограм» підводять під уже відоме поняття «чотирикут-
ник». А під які геометричні поняття можна підвести перші
поняття, такі як «точка», «пряма», «площина»? їх вводять без
означень і називають основними (неозначуваними) поняттями.

Властивості неозначуваних понять розкривають за допомо-
гою аксіом. Далі ми сформулюємо аксіоми стереометрії. Але
спочатку зробимо кілька зауважень про поняття «площина».

Про площину говорять і в планіметрії (згадайте хоча б
означення паралельних прямих). Але там розглядають тільки
одну площину; усі фігури, які вивчають у планіметрії,
належать цій єдиній площині. Отже, у планіметрії за
універсальну множину точок служить площина.

У стереометрії універсальною множиною точок є простір
(тривимірний), у ньому існує безліч різних площин.
Матеріальними моделями частини площини є, наприклад,
поверхня віконного скла, добре відпо-
лірована поверхня стола, мармурової
плити, поверхня аеродрому тощо.
Зрозуміло, що це грубі моделі. У гео-
метрії площину мислять необмеженою,
ідеально рівною і гладенькою, що не
має ніякої товщини.

Зображають площини у вигляді
паралелограмів або «шматків» пло-
щини, обмежених довільними замкне-
ними лініями (мал. 39). Позначають їх
зазвичай грецькими літерами а, Р, у, 6,

Мал. 39

о тощо.

Як і будь-яка геометрична фігура,
площина складається з точок. Якщо
точка А лежить у площині а, кажуть,
що площина а проходить через точку
А, і записують: А є а. Запис Ае а
означає, що точка А не лежить у пло-
щині а. Якщо кожна з точок А, В, С
(що не лежать на одній прямій) лежить
у деякій площині а, то її можна
позначати символом (АВС).

Якщо кожна точка прямої а нале-
жить площині а, кажуть, що пряма а
лежить у площині а, або площина а
проходить через пряму а. За допомо-
гою символів записують це так: аса.
На малюнку 40, а зображено площину
а, яка проходить через пряму а і точку
А. Запис означає, що пряма Ь не
лежить у площині а.

Якщо пряма а і площина а мають
тільки одну спільну точку А, кажуть,
що вони перетинаються в точці А.
Записують: апа=А. На малюнку неви-
диму частину прямої зображають
штриховою лінією (мал. 40, б).

Мал. 41

Якщо через пряму с проходять дві площини а і р, кажуть,
що ці площини перетинаються по прямій с. Записують: апр=с

(мал. 41).

О ЗАУВАЖЕННЯ. Коли кажуть «дві площини», то вважа-
ють, що вони різні, не збігаються. Так само розумітимемо
вирази «дві точки», «дві прямі» тощо.
ш РОЗДІЛ 2

:? ї- # » $ Є» -& % К « ф * •* « * * £ •* & $ » # < Є < * & & И- & ї- «і # £ «•

Для ДОПИТЛИВИХ ..........

Не слід до неплоских фігур відносити тільки такі, як
куб, куля, циліндр, конус, які мають поверхню чи об’єм.
Дві площини, які перетинаються (мал. 41), утворюють
одну неплоску фігуру, три прямі, які перетинаються

в одній точці і перпендикулярні кожна до кожної (мал. 42), — також
неплоска фігура. Такі фігури не мають ні площі, ні об’єму.

Крім понять пряма і площина, нерідко розглядають ще поняття
лінія і поверхня. Розуміють, що пряма - окремий вид ліній, а
площина - вид поверхонь (мал. 43). Однак пояснити, що таке

лінія і що таке поверхня, надто важко.

Різних ліній існує безліч, деякі з них мають окремі назви: коло,
ламана, парабола, спіраль, гвинтова лінія (мал. 44). Відрізок,

Мал. 44

промінь, пряма - простіші приклади
ліній. І різних поверхонь безліч: сфера,
циліндрична, конічна, многогранна.
Існують і досить цікаві поверхні: «лист
Мебіуса» (мал. 45, а), «пляшка Клейна»
(мал. 45, б) тощо. їх розглядають у вищій
геометрії. Площина та її частини (кут,
смуга, трикутник, круг) - приклади про-
стіших поверхонь.

Символи є, £,(=,<£ використовують не
лише в геометрії. Це - важливі символи
теорії множин, на основі якої будують
усю сучасну математику. їх читають:

є - є елементом;

£ - не є елементом;

- є частиною (підмножиною);

(Г - не є підмножиною.

Крім зазначених, часто використовують
інші символи: 0 - порожня множина; о -
об’єднання множин; п - переріз множин.

Наприклад, якщо пряма а і площина
а не мають спільних точок, то апа=0.
аоа - множина точок (фігура), якій
належать усі точки прямої а і площини а
(мал. 40, б).
Вступ до стереометрії М

і- « ? " І » * 5? а & й й « $ * -4 і > $. $ ® ® <§ .§ & ф $ « £

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

!• Поясніть походження слова стереометрія.

X Які фігури називають неплоскими?

3. Які поняття в стереометрії приймають без означень?

4. Що означають записи: А є а, В £ а?

5. Що означають записи: аса, а<хр?

Виконаємо разом

1. Дано пряму с і площину а. Яким може бути с п а?

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Якщо пряма с не має спільних точок з
площиною а, то спа = 0. Якщо пряма с перетинає пло-
щину а в точці А, то спа = А. Якщо пряма с лежить у
площині а, то с п а = с.

2. На скільки частин можуть поді-
лити простір три різні площини?

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Якщо жодні дві
з трьох даних площин не мають
спільних точок (мал. 46), то вони
поділяють простір на 4 частини.
В інших випадках три площини
можуть ділити простір на 6, 7 чи
8 частин (мал. 47).

3. На прямій дано 27 різних точок.
На скільки частин вони ділять

пряму? Мал. 46

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Одна внутрішня
точка ділить пряму, промінь чи відрізок на 2 частини, дві
точки - на 3 частини і т. д. Зі збільшенням на одиницю

Мал. 47
Мал. 48

числа точок на прямій збільшується
на одиницю і кількість частин прямої.
Отже, 27 різних точок прямої ділять її на
28 частин. Дві із цих частин - промені, а
решта - відрізки.

4. Чи правильні записи а є а, Ь єр
(мал. 48)?

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Ні. Слід писати а сі а,
&С2р.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

\ Виконайте усно

101. Наведіть приклади геометричних фігур:

а) плоских;

б) неплоских.

102. Чи є геометричними фігурами фігури вищого пілотажу,
які виконують льотчики? А шахові фігури?

103. Чи відрізняються поняття «площина» і «площа»?

104. Які з перелічених фігур неплоскі: відрізок, коло, призма,
циліндр, прямий кут, прямокутний трикутник, прямо-
кутний паралелепіпед, площина?

105. Скільки спільних точок можуть мати:

а) дві прямі;

б) пряма і площина;

в) дві площини?

106. Скільки спільних точок можуть мати:

а) пряма і відрізок;

б) пряма і коло;

в) коло і площина?

107. Намалюйте площину а і точку М, що лежить у ній.
Запишіть це за допомогою символів.

108. Намалюйте площину р, що проходить через пряму х.
Запишіть це за допомогою символів.

109. Намалюйте площину а і пряму с, які перетинаються у
точці М. Скільки точок прямої с лежить у площині а?

110. Намалюйте площини а і со, що перетинаються по прямій тп.

111. Пряма а лежить у площині а, а пряма Ь - у площині р
(мал. 48). Чи випливає із цього, що прямі а і Ь не лежать
в одній площині?

112. Пряма а проходить через точку А площини а. Чи випливає
з цього, що пряма а перетинає площину а?
113.

114.

115.

Запишіть за допомогою символів
взаємне розташування точок, пря-
мих і площин, зображених на
малюнку 49.

Накресліть куб АВСВА1В1С1В1.
Запишіть за допомогою символів
відповіді на запитання:
а) По якій прямій перетинаються

площини: 1) (АВС) і (АДрО^;

2) (АА^) і (ААрО); 3) (ВВ^^ і (СС^)?

б) Яким площинам належить точка: 1) А; 2) Сг; 3) О?

в) Чи належить точка Вх площині: 1) (АВС); 2) (ВВ1С1);

Накресліть трикутну піраміду АВСО. Запишіть за допо-

могою символів відповіді на запитання:

а) по якій прямій перетинаються площини (АВС) і (АВВ)?

б) якій площині не належить точка В?

в) яким площинам належить пряма АС?

116. Площини а, р, пряма а і точка А задовольняють такі
умови: аса, ас=р, А єр, Аеа. Зобразіть це на малюнку.

117. Площини а, р, у попарно перетинаються по прямих а, Ь і
с, причому а||Ь і Ь || с. Зобразіть це на малюнку.

118. Пряма а перетинає площину а в точці А. У площині а
дано ще точку В. Площина Р проходить через пряму а і
точку В. Зробіть відповідний малюнок.

119. Точки А і В лежать у площині а, а точка С - поза нею.
Намалюйте площину, в якій лежать усі три точки.

120. На скільки частин розділяється простір двома площинами?

121. На скільки частин можуть розділити Простір чотири
площини?

122. ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ. Зробіть з цупкого паперу чи
картону модель площин, що перетинаються.

Вправи для повторення ____

123. На скільки частин розбивають площину три різні прямі?

124. Чи лежать точки М9 К на одній прямій, якщо:

а) О=5-м, Л/Х'=11,65м, ЛЖ=5 —м;

15 25

б) ЛПУ=17 см, 1ЇК=2І,5 см, МК=5,5 см?

125. Об’єм куба дорівнює 8 см3. Знайдіть площу його
поверхні.
АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ
І НАСЛІДКИ З НИХ

У справедливості математичних тверджень переконуються
за допомогою доведень. Довести дане твердження - означає
показати, що воно випливає з інших тверджень, істинність
яких уже встановлено. Твердження, які доводять, називають
теоремами.

Не кожне геометричне твердження можна довести. Коли
виклад геометрії тільки починається, неможливо вивести
наслідки з інших тверджень, оскільки їх (інших тверджень)
ще немає. Ось чому кілька перших тверджень приймають без
доведення. їх називають аксіомами.

За геометричні аксіоми зазвичай приймають твердження,
які відповідають формам і відношенням, що спостерігаються
в матеріальному світі. У справедливості цих тверджень
люди переконалися в результаті багатовікової практичної
діяльності.

На будь-якій площині, як вона не була б розташована у
просторі, виконуються всі аксіоми планіметрії. Але для сте-
реометрії одних цих аксіом недостатньо. Потрібні аксіоми, що
виражають основні властивості точок, прямих і площин у
просторі. Сформулюємо їх.

В Сг У просторі існує (принаймні одна) площина і точка, що
е не лежить у цій площині.

С2. Через будь-які три точки, що не лежать на одній пря-
мій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

С3. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і вся
пряма лежить у цій площині.

С4. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони
перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

□ ЗАУВАЖЕННЯ. Ніяких інструментів, якими можна було б
проводити у просторі площини, немає. Тому вираз «можна
провести» в аксіомі С2 вжито в розумінні «існує». В аксіомі
С4 слова «яка проходить через цю точку» не обов’язкові. Але
сформульованою так аксіомою зручніше користуватися.

Розглянемо найважливіші наслідки з аксіом стереометрії.

У просторі є безліч точок. Адже простір містить площину
(аксіома С\), а з планіметрії відомо, що множина точок пло-
щини нескінченна.
З аксіом С1 і С2 випливає, що в просторі є безліч площин.
У кожній з них існують прямі, відрізки, кути, кола та інші
плоскі фігури. Отже, всі вони є і в просторі.

Два наслідки з аксіом стереометрії сформулюємо у вигляді
теорем.

Теорема 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній,
можна провести площину і до того ж тільки одну.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай дано пряму а і
точку К, що не лежить на ній (мал. 50).
Позначимо на прямій а дві довільні
точки А і В. Точки А, В і К не лежать
на одній прямій, тому через них можна
провести площину а (аксіома С2). Точки
А і В прямої а лежать у площині а,

Мал. 50

отже, і вся пряма а лежить у цій площині (аксіома С3). Як
бачимо, через пряму а і точку К одну площину провести можна.
А чи можна провести ще одну? Якби це було можливо, то через
точки А, В і К проходили б дві площини. Останнє суперечить
аксіомі С2. Отже, через пряму і точку, що не лежить на ній,
можна провести тільки одну площину.

Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, можна
провести площину і до того ж тільки одну.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай дано прямі а і Ь,
що перетинаються в точці К (мал. 51).
Позначимо на них точки А і В, відмінні від
К. Через точки А, В і К можна провести
площину а (аксіома С2). Прямі а і Ь лежать
у площині а (аксіома С3). Отже, через
прямі а і Ь площину провести можна.

Припустимо, що через дані прямі а і Ь можна провести ще
площину р, відмінну від а. У такому разі через точки А, В і
К, що не лежать на одній прямій, проходять дві різні пло-
щини. Це суперечить аксіомі С2. Отже, через дві прямі, які
перетинаються, можна провести тільки одну площину.

З аксіоми С2 і доведених теорем випливає, що площину
можна задати:

1) трьома точками, що не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що не лежить на ній;

3) двома прямими, які перетинаються.

Про задання площини двома паралельними прямими див.
на с. 67.
> Д”11 Д°питливих* • ......•............•........

Ви вже знаєте, що в геометрії є геометричні поняття,
відношення і твердження. Приклади геометричних
л ” понять: точка, промінь, відрізок, площина, коло,
куб, площа, об’єм тощо. Приклади відношень:
належить, паралельно, перпендикулярно, лежить між і т. ін. Зміст
поняття або відношення розкривають за допомогою означення.
Тому нерідко відношення вважають окремим видом понять.

Не кожне поняття і не кожне відношення можна означити за
допомогою інших уже відомих понять, тому деякі з них приймають
без означень. їх називають неозначуваними поняттями. Не кожне
твердження можна довести, тому деякі твердження приймають без
доведення. їх називають аксіомами.

Строгі наукові курси геометрії будують за такою схемою.
Спочатку називають неозначувані поняття і формулюють аксіоми.
Після того за допомогою означень поступово вводять інші поняття
(і відношення) і доводять інші важливіші твердження. Такий
виклад геометрії називають аксіоматичним. (Детальніше див. про
це на с. 215).

Системи неозначуваних понять і аксіом можуть бути різними.
У нашому підручнику неозначуваними вважаються поняття:
точка, пряма, площина і відношення: належить, не належить,
лежить між, перетинаються та деякі інші.

Кожний строгий аксіоматичний курс геометрії досить громізд-
кий і важкий. Наш курс також побудовано на аксіоматичній
основі, але - не строгій. У ньому доводяться не всі теореми, а
тільки найважливіші. А ще, аби полегшити сприймання, у ньому
розглядаються деякі стереометричні поняття, відомі вам з поперед-
ніх класів, наприклад куб, куля, грань, множина, простір тощо.
Простір - це множина всіх точок (універсальна множина).

1 •• ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1* Наведіть приклади геометричних понять.

2» Наведіть приклад геометричного твердження.

3. Що таке аксіома?

4« Сформулюйте аксіоми стереометрії.

5< Сформулюйте і доведіть наслідки з аксіом стереометрії.

6 Як можна задати площину в просторі?

Виконаємо разом

1. Точки А, В, С, В не лежать в одній площині. Доведіть, що
ніякі три з них не лежать на одній прямій.
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Припустимо, що які-небудь три з даних
точок, наприклад А, В, С, лежать на одній прямій. Через
цю пряму і точку £> можна провести площину а (теорема 1).
Усі чотири дані точки лежать у площині а. А це супере-
чить умові задачі. Отже, ніякі три з даних точок не можуть
лежати на одній прямій.

2. Доведіть, що через будь-які дві точки простору можна про-
вести пряму і до того ж тільки одну.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай А і В - довільні точки простору.
Через них і яку-небудь третю точку проведемо площину а.
У цій площині через точки А і В можна провести єдину
пряму а.

Припустимо, що через точки А і В у просторі проходить ще
пряма ар відмінна від а. Її точки А і В лежать у площині а,
тому і пряма аг лежить в а (аксіома С3). Виходить, що через
точки А і В у площині а проходять дві різні прямі а і аг. Це
суперечить планіметричній аксіомі 2 (див. с. 6). Отже, через
точки А і В у просторі можна провести тільки одну пряму.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

126. Скільки спільних точок можуть мати дві площини?

127. Два кінці відрізка належать площині. Чи належать цій
площині інші точки відрізка?

128. Дві різні точки відрізка не належать площині. Чи може
яка-небудь точка відрізка лежати на цій площині?

129. Один кінець відрізка належить площині, інший не
належить. Скільки спільних точок мають відрізок і
площина?

130. Чи можна провести площину через три (чотири) точки,
які лежать на одній прямій?

131. Через три точки проведено дві різні площини. Як розмі-
щені ці точки?

132. Чи можуть належати даній площині: а) тільки дві вер-
шини ромба; б) тільки три вершини ромба?

133. Задача-жарт. Три ластівки розлетілися в різні боки.
За яких умов вони будуть в одній площині?

134. Вугільний пласт зазвичай залягає так, що його верхня
межа (у грубому наближенні) є частиною площини. Яку
найменшу кількість свердловин слід пробурити, лцрб
визначити, як розміщено пласт?

135. Щоб перевірити, чи добре оброблено плоску поверхню, у
різних її місцях прикладають вивірену лінійку і
* $ & ‘

РОЗДІЛ 2

і? ? $ £ * і- - * <

Мал. 52

дивляться, чи немає зазору між ними.
У якому випадку кажуть, що поверхня
«неплоска»? Чому?

136. Якщо не всі точки дроту дотика-
ються до плоскої поверхні ковадла, дріт
«непрямий». Чому? Щоб вирівняти його,
б’ють молотком по його опуклостях, як
показано на малюнку 52. Після кількох
ударів дріт перевертають. Навіщо?

137. Доведіть, що в просторі існує безліч площин.

138. Площини а і р мають спільну точку А (мал. 53). Чи мають
ці площини спільні точки, відмінні від
А? Скільки їх? Зобразіть їх на малюнку.

139. У площині а лежать точки А і В, у
площині Р - точки В і С, у площині у -
точки А, В і С. Зробіть відповідний
малюнок.

140. Доведіть, що через будь-яку точку

141.

142.

простору можна провести площину.
Скільки площин можна провести через
дану точку?

Прямі а і Ь не мають спільних точок. Чи випливає з цього,
що через них не можна провести площину?

Скільки площин можна провести через дві дані точки?

Зобразіть відповідний малюнок.

143. Чотири точки не лежать в одній площині. Скільки пло-
щин можна провести через трійку цих точок?

144. Точка А належить площині а, а В не належить. Чи

належить площині а середина відрізка АВ?

145. Дано пряму а і точку В, що не лежить на ній. Доведіть,
що всі прямі, які проходять через точку В і перетинають
а, лежать в одній площині.

146. Дві вершини і точка перетину діагоналей трапеції нале-
жать площині а. Як розміщені дві інші вершини трапеції
відносно а?

147. Вершини А і В ромба АВСВ і точка перетину його
діагоналей лежать у площині а. Доведіть, що С є а, В є а.

148. Вершина А і медіана ВМ трикутника АВС належать пло-
щині а. Чи належить цій площині висота СУ?

149. Три вершини трикутника лежать у площині а. Дове-
діть, що кожна точка цього трикутника лежить у
площині а.
* % 4= Ф ' і «• £ »? * < « V

150. Три різні точки трикутника АВС лежать у площині а.
Чи випливає з цього, що кожна точка трикутника АВС
лежить у площині а?

151. Прямі МА і МВ перетинаються в точці М. Доведіть, що
всі прямі, які їх перетинають, але не проходять через
точку М, лежать в одній площині. Чи можна через точку
М провести пряму, яка не лежить у цій площині?

152. Прямі АВ.Айї і КР перетинають пло-
щину а в точках В, С і Р, як показано
на малюнку 54. Чи перетинаються
прямі АВ і КР?

153. Доведіть, що існує: а) пряма, яка
перетинає дану площину; б) пло-
щина, що перетинає дану площину -

154. На малюнку 55 зображено куб
АВСВА1В1С1В1, точка К - середина

Мал. 54

ребра ААГ Площини яких граней
куба перетинає пряма ВК? А пряма СК?

155. Прямі а, Ь, с лежать у площині а. На них взято точки
А є а, ВєЬ, Сєс, які належать площині 0. Доведіть, що
точки А9 В9 С лежать на одній прямій.

156. Площини а і 0 перетинаються по прямій а. У площині
Р взято пряму Ь9 яка перетинає площину а в точці К.
Доведіть, що Кєа.

157. Використовуючи малюнок 55, побудуйте точку перетину:

а) прямої ПГК з площиною (АВС); б) прямої ВК з площи-
ною (А1В1С1).

158. Накресліть малюнок 56 у зошит і побудуйте: а) точку
перетину прямих АГУ і А1В1; б) точку перетину прямої
А/?/ з (В^С); в) лінію перетину площин (ММВ) і (ВВуО^
г) лінію перетину площин (МАТО) і (АА^).

Мал. 55

4-ОотеМН.КМ
159. Точки А, В, С, В, які не лежать на
одній площині, попарно сполучені відріз-
ками. МєАО, N єСО9 РєВИ (мал. 57).
Накресліть малюнок 57 у зошиті й побу-
дуйте: а) точку перетину прямих МУ
і АС; б) точку перетину прямої МР з
(АВС); в) точку перетину прямої УР з
(АВС); г) лінію перетину площин (ММР)
і (АВВ).

160. Уявіть, що на малюнку 57 точка N
може змінювати положення на прямій
С£>. Визначте точку перетину прямої

МУ з площиною (АВС). Чи завжди така точка існує?

161*. Доведіть, що в просторі існують прямі, які не лежать в
одній площині.

162*. Дано дві прямі, які не лежать в одній площині. Через

кожну з них проведено площину, що перетинає другу
пряму. Доведіть, що пряма перетину цих площин пере-
тинає кожну з даних прямих.

163*. Дано п прямих. Доведіть, що в просторі є точки, які не
лежать на жодній із цих прямих.

Вправ* для повторення

164. Зобразіть: апр = І, ас^а9 Мєа, Кєа9 ЛГєр.

165. Дано куб АВСВА1В1С1В1, ГєССх. Яким площинам нале-
жить точка Р?

166. Діагональ грані куба дорівнює </. Знайдіть його об’єм.

МНОГОГРАННИКИ ТА ЇХ ПЕРЕРІЗИ

Мал. 58

Розглянуті в попередньому параграфі спо-
соби задання площин часто використовують
під час побудови перерізів многогранників.
Властивості многогранників та їх види ґрун-
товно вивчатимуться в 11-му класі, але з
курсу геометрії 9-го класу вам уже відомі два
види многогранників: призма і піраміда.

Призма - це многогранник, дві грані
якого - рівні п-кутники з відповідно пара-
лельними сторонами, а всі інші п гра-
ней - паралелограми. Два п-кутники -
основи призми, решта граней - бічні
грані. На малюнку 58 зображено шести-
кутну призму. Ребра призми, які не є
сторонами її основ, називають бічними
ребрами. Усі бічні ребра призми попарно
паралельні й рівні.

Окремі види призми - паралелепіпед і
куб. У паралелепіпеда всі грані пара-
лелограми (мал. 59), а в куба - рівні
квадрати. Якщо всі грані паралелепіпеда -
прямокутники, його називають прямокут-
ним паралелепіпедом (мал. 60). Він має
6 граней, 12 ребер, 8 вершин. Записуючи
♦паралелепіпед АВСВА1В1С1В1», мають на
увазі, що його основи АВСІ) і А1В1С1Р1, а
бічні ребра АА1, ВВр СС19 ВВГ.

Піраміда - многогранник, одна грань
якого - довільний многокутник, а всі інші
грані - трикутники, що мають спільну
вершину. Якщо основою піраміди є три-
кутник, чотирикутник,..., то її називають
відповідно трикутною, чотирикутною, ...
пірамідою. На малюнку 61 зображено
чотирикутну піраміду 8АВСВ. Трикутну
піраміду називають також тетраедром.

Тетраедр - чотиригранник (грец.
тетра - чотири). Він має 4 грані,
6 ребер, 4 вершини (мал. 62).

Усі грані тетраедра - трикутники.
Якщо всі вони - правильні трикутники,
його називають правильним тетраедром.

Що таке переріз многогранника? Якщо
жодна з двох точок не належить площині,
а відрізок, що їх сполучає, має з цією
площиною спільну точку, то кажуть, що
дані точки лежать по різні боки від пло-
щини. А якщо принаймні дві точки
многогранника лежать по різні боки від
площини, кажуть, що площина перетинає
многогранник. У цьому разі її називають
січною площиною. Фігура, яка складається
з усіх точок, спільних для многогранника
і січної площини, називається перерізом
многогранника даною площиною. На

Мал. 59

Мал. 60

Мал. 61
малюнку 63 зображено тетраедр АВСВ і
січну площину ф. Точки А і В лежать по
різні боки від січної площини. Плоский
чотирикутник КРТЬ - переріз даного
тетраедра площиною о.

Щоб побудувати переріз многогран-
ника площиною, треба задати цю пло-
щину: вказати три (що не лежать на
одній прямій) точки, через які проходить
ця площина, або точку і пряму тощо.

ПРИКЛАД 1. Побудуйте переріз куба
АВСВА1В1С1В1 площиною, що прохо-
дить через точки К9 Р9 Т - середини
ребер АВ, ВВ1 і ВС (мал. 64, а).

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Точки К9 Р9 Т не
лежать на одній прямій, тому задають
деяку площину. Треба на зображенні
куба побудувати зображення шуканого
перерізу.

Точки К і Р лежать у площині грані
АВВЇА1 куба і в січній площині. Отже, ці
площини перетинаються по прямій КР.
Січна площина перетинає квадрат АВВ1А1
по відрізку КР. Аналогічно переконує-
мося, що дві інші грані куба січна площина
перетинає по відрізках КТ і ТР.
Побудувавши їх, дістанемо трикутник
КРТ. Це і є шуканий переріз (мал. 64, б).

Іноді в задачах потрібно не тільки
побудувати переріз, а й знайти його
площу або периметр. Для цього треба
знати розміри даної фігури. Наприклад,
якщо довжина ребра розглядуваного
куба а, то ВК=ВР=ВТ= —, КР=РТ=ТК= Отже, площа
2 2

. _ КР*Л УІЗ 2

знайденого перерізу 5 = —-— = ~^~а •
ПРИКЛАД 2. На ребрах тетраедра АВСВ дано точки К9 Р9 Т9
як показано на малюнку 65, а. Побудуйте переріз тетраедра
площиною, що проходить через дані точки.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Проводимо відрізки КР і РТ.

Щоб побудувати інші сторони шуканого перерізу, знайдемо
точку, в якій січна площина КРТ перетинає ребро СВ. Прямі
КР і ВВ лежать у площині (АВВ) і не паралельні, отже,
Мал. 65

перетинаються у деякій точці Сі (мал. 65, б). Точка (} належить
площинам (КРТ) і (ВСВ). І точка Т належить цим площинам.
Тому кожна точка прямої СІТ належить січній площині, у
тому числі й точка М9 в якій перетинаються прямі СВ і СІТ.
Визначивши точку М9 сполучаємо її відрізками з К і Т.
Чотирикутник КРТМ — шуканий переріз (мал. 65, в).

Цей метод побудови перерізів називається методом слідів.

Слід січної площини в площині а - це пряма, по якій січна
площина перетинає площину а. Точка, в якій січна площина
перетинає пряму, - слід січної площини на цій прямій.

У даному випадку пряма СІТ — слід січної площини в пло-
щині основи ВСВ. З означення сліду випливає, що кожна його
точка - це точка перетину прямих, одна з яких належить січ-
ній площині, а друга - площині грані многогранника. Саме
цю властивість використовують для побудови перерізів
многогранників методом слідів.

ПРИКЛАД 3. Побудуйте переріз п’ятикутної піраміди
8АВСВЕ площиною, яка проходить через точки М9 ЛГ, К9 де
Мє(А8Е)9 N є(5ЕР), КєЗС (мал. 66).
ЯВ РОЗДІЛ 2

*▼ ¥

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Проведемо прямі 8М і 81Ї, які перетинають
сторони АЕ і ЕВ у точках М± і Пряма А£7У належить січній

площині, а пряма - площині основи. Прямі ЛІТУ і
лежать в одній площині Якщо вони не паралельні,

то перетинаються в деякій точці Ог. Аналогічно будуємо точку
О2 - точку перетину прямих ІСІЇ і С1ЯГ Тоді пряма О1О2, або
/, - слід січної площини в площині основи.

Знайдемо тепер лінії перетину січної площини з гранями
піраміди. Продовжимо ВЕ до перетину з І у точці О3 і прове-
демо пряму О3ЛГ, яка перетне грань Е8В по відрізку ЬР. Тоді
ЬТ і РК - лінії перетину січної площини з гранями АЗЕ і
С8В. Продовжимо ВС до перетину з І і через утворену точку
О4 проведемо пряму О4К, яка перетне грань В8С по відрізку
КВ. Сполучивши точки Тій, отримаємо шуканий переріз
ТВКРЬ.

Якщо точки АГ, N і К розташовані так, що пряма МІЇ чи
Х7У не перетинають площину основи піраміди, розв’язщіня
задачі треба змінити. Як це зробити, розглянемо далі.

Для допитливих •••••••••••••••••••••••••••

Іноді доводиться здійснювати перерізи многогран-
ників площинами, заданими точками, які лежать
не на ребрах многогранника, а поза ними.

ЗАДАЧА. Дано куб АВСВА1В1С1О1
(АВ = а) і точки К9 Р, Т такі, що вершини
куба Вг А, С - середини відрізків ВК,
ВР, ВТ. Побудуйте переріз куба площи-
ною (КРТ) і знайдіть площу перерізу.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. На променях ВВ19
ВА, ВС позначимо дані точки К9 Р, Т і
сполучимо їх відрізками (мал. 67).

Уявімо, щоАЛ/ - середня лінія АРВТ,
вона паралельна ВТ і дорівнює поло-
вині ВТ. Ребро АВ даного куба також
паралельне ВТ і дорівнює половині ВТ.
Отже, точка М збігається з В, відрізок
РТ, а отже, і січна площина, проходить

через вершину В куба. Так само можна показати, що січна площина
проходить через вершини А1 і Сг куба. Отже, розглядуваним пере-
різом є трикутник АуВС^ Сторони цього трикутника - діагоналі
рівних квадратів, тому трикутник А1ВС1 рівносторонній.

Якщо сторона квадрата дорівнює а, то його діагональ а\І2. Тому
шукана площа перерізу:

а .

2
ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Наведіть приклади многогранників.

І. Скільки граней, ребер і вершин має куб?

А паралелепіпед?

3. Скільки граней, ребер і вершин має тетраедр?

4. Що таке січна площина?

5. Скількома точками можна задати січну площину?
Що називається перерізом многогранника?

7. Що таке слід січної площини?

Виконаємо разом

1. Дано правильний тетраедр РАВС

а на його ребрі РВ точку К таку,
що РК=2КВ=3. Побудуйте переріз / \\

тетраедра площиною, що проходить / \ \

через ребро АС і точку К. Знайдіть кУ \ \
площу перерізу. /X. \ \

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Сполучимо точку К ~ т--\

з точками А і С (мал. 68). Трикутник & \

КАС - шуканий переріз. У ДКАС: \

АК-КС, оскількй трикутники АРК С

і СРК рівні Мал .68

Якщо КН - висота ДАлС, то

АН=НС. Знайдемо АС і КН.

Оскільки РК=2КВ=9>, то ХВ=4, РВ=12. Кожне ребро
тетраедра дорівнює 12, тому СН= 6.

У АСВК: ВС=12, ВК=4, ЛКВС=60°.
Тоді за теоремою косинусів знаходимо:

СК2=ВС2+ВК2-2ВС ВК сов 60°=
= 122 + 42- 2 12 4 0,5=112.

За теоремою Піфагора з &СНК знаходимо КН*.

КИ = 4сК2 ^СН2 = 7112-36 = 2719 •

Отже, шукана площа:

8 = -12-2х/Ї9 = 12719.
Мал. 69

І- ч? ' *> 5? А й І- »Л і? Є 2? і- *

2. Побудуйте переріз чотирикутної
призми площиною, заданою слідом
І в площині основи і точкою М грані
СС1В1В (мал. 69).

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай СВ перети-
нає І в точці Ог Тоді пряма О±М пере-
тинає грань СС1В1В по відрізку КР.
Якщо О2 - точка перетину ВС і 19 то
РТ - лінія перетину січної площини з
площиною ВВ1С1С. Аналогічно будуємо
відрізок ЬК (АВг^І = О3, О9Кґу(ААг[)) =
= КВ). Сполучивши точки Ь і Т, отри-
маємо шуканий переріз ЬТРК.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ
/ > Виконайте усно

Мал. 70

167. Чи може перерізом прямокутного парале-
лепіпеда бути прямокутник? А квадрат?

168. Чи може січна площина перетинати всі
ребра куба? А всі грані куба?

169. На скільки частин можуть розрізати куб
дві січні площини? А три?

170. Чи може бути перерізом куба рівнобедрений
трикутник, правильний трикутник, прямокут-
ник, квадрат, трапеція?

171. Доведіть, що перерізом тетраедра не може
бути п’ятикутник.

172. Учень намалював переріз куба площиною
(мал. 70, а-б). Чи є помилка на малюнках?

173. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда
АВСВА1В1С1В1 площиною, яка проходить через: а) точки
А, Вг і б) точки А, С і середину ребра ВВГ

174. Точка К - середина ребра АВ тетраедра АВСВ. Побудуйте
переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки
В, С і К.

175. Точка М - середина ребра СВ тетраедра. АВСВ. Побудуйте
переріз тетраедра площиною, яка проходить через пряму
АВ і точку М.

176- АВСВ - тетраедр. Точки К і М - середини ребер АВ і СВ.
Побудуйте переріз тетраедра площиною (ВКМ).
Мал. 71

УГ7. Накресліть малюнки 71, а-г у зошит і на кожному з них
побудуйте переріз многогранника площиною, яка прохо-
дить через точки К9 Р9 Т.

178- Побудуйте точку перетину прямої з площиною основи
чотирикутної піраміди, якщо ця пряма проходить через
дві точки, які належать: а) бічним ребрам однієї грані;
б) протилежним бічним ребрам; в) бічному ребру і проти-
лежній бічній грані; г) двом суміжним бічним граням;
ґ) двом протилежним бічним граням. За якої умови побу-
дова неможлива?

179- Розв’яжіть попередню задачу у випадку шестикутної
піраміди.

180. Дано правильний тетраедр, довжина ребра якого а. Побу-
дуйте його переріз площиною, що проходить через сере-
дини трьох ребер, які виходять з однієї вершини. Знайдіть
периметр і площу перерізу.

181. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що
виходять з однієї вершини, дорівнюють 6 см, 6 см і 8 см.
Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка прохо-
дить через середини цих ребер, і знайдіть його площу.

182. Знайдіть периметр і площу перерізу куба АВСБА1В1С1О1
(АВ=а) площиною, яка проходить через точки А, С9 ВГ

183. У кубі АВСВА1В1С1І>1 точки М і N - середини ребер ВС і
£>С, АВ=а. Знайдіть площу перерізу куба площиною, яка
проходить через точки М9 N і СГ

184. Дано куб АВСРА1В1С1£>1, АВ=а. Знайдіть периметр і
площу перерізу куба площиною, яка проходить через
точки М9 А9 Р1, якщо М - середина А1ВГ

185. Задайте на ребрах куба три точки так, щоб площина, яка
проходить через них, перетинала даний куб по: а) трикут-
нику; б) чотирикутнику; в) п’ятикутнику.
Мал. 72

186. Дерев’яний куб розпилюють так,
що пилка проходить через точки К9 Р9
Ту як показано на малюнку 72. Яка
фігура буде в перерізі?

187. Ребро куба дорівнює а. Чи може
площа перерізу цього куба мати зна-
чення, більше за 2а2?

188. На ребрах ААГ і СС1 паралелепі-
педа АВСРА1В1СГО1 дано точки К і Р

такі, що АК=КА19 СР\РСх = 1\ 2. Побудуйте переріз пара-
лелепіпеда площиною (В^КР).

189. Спробуйте перерізати куб площиною так, щоб перерізом

став правильний шестикутник. Знайдіть площу перерізу,

якщо ребро куба дорівнює а.

190. Побудуйте переріз чотирикутної призми АВСВА1В1С1£>1
площиною, яка задана слідом у площині основи і точкою
Р, РєРРх, якщо: а) І не перетинає основу АВСВ; б) І про-
ходить через точки А і С; в) І перетинає сторони АВ і
ВС.

191. Виконайте попередню задачу, якщо 8АВСВ - чотири-
кутна піраміда, Р є 8В.

192. Побудуйте переріз піраміди 8АВСВЕ площиною, яка про-
ходить через точки М9ТУ, К9 які належать: а) ребрам 5А,
8Су 8Е; б) Ме8В9 #є5В>, Ке(А8Е); в) Ме8А9 Ме8С9
КеВЕ.

193. Побудуйте переріз п’ятикутної призми площиною, яка
проходить через три точки, які лежать на трьох послідов-
них бічних ребрах.

194. Дано тетраедр АВСВ, М - середина ВС. Побудуйте переріз
тетраедра площиною, яка проходить через точки А, В, М,
і знайдіть його периметр та площу, якщо ВА=ВВ=ВС=5 см,
АВ=ВС=АС=6 см.

195. АВСВ - правильний тетраедр, АВ=а9 ВМ:МВ-1:3. Знай-
діть периметр і площу перерізу, який проходить через
точки А, Су М.

196. Дано правильний тетраедр АВСВ9 АВ=1. АМ і АК - меді-
ани, М е ВС9 К е ВВ. Знайдіть периметр і площу перерізу,
який проходить через точки А, М9 К.

197. АВСВА1В1С1В1 - куб, АВ=а, М - середина АА19 N - се-
редина ССХ. Знайдіть периметр і площу перерізу, який
проходить через точки М9 Вг

198. Дано куб АВСВАХВХСХВХ. М9 ІЇ9 К - середини відрізків
ВХСХ, СХВХ і ВВ± відповідно. Побудуйте переріз куба пло-
щиною (М1ЇК) та знайдіть периметр і площу утвореного
перерізу, якщоААх=а.
199- АВСВА1В1С1Я1 - куб, точка - середина відрізка ВВ2.
Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через
точки А9 В2 і С.

200. АВСОА1В1С1Л1 - куб. Точка Вх - середина відрізка ВВ2,
а С - середина відрізка ВС2. Побудуйте переріз куба пло-
щиною (АВ2С2). Знайдіть периметр перерізу, якщо
АВ=а.

201*. У паралелепіпеді АВСЛА1В1С1Л1 проведено відрізок, який
сполучає вершину А із серединою ребра ССХ. Побудуйте
точку перетину цього відрізка з площиною (ВВА1). У якому
відношенні цей відрізок ділиться даною площиною?

202. ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ. Зробіть з цупкого паперу моделі
тетраедра і паралелепіпеда.

Позначте середини трьох ребер многогранника, прове-
діть через них переріз, накресливши на гранях відповідні
відрізки, і обчисліть площі перерізів, виконавши потрібні
вимірювання.

Вправи для повторення

203. Три вершини прямокутника належать площині а.
Доведіть, що цій площині належить і точка перетину діа-
гоналей прямокутника.

204. М - внутрішня точка грані ВСБ тетраедра АВСЛ. Побу-
дуйте лінії перетину площини (АЛМ) з площинами (ВСІ))
і (АВС).

205. З точки М до прямої І проведено перпендикуляр МО= 12 см
і похилі МА9 МВ9 різниця довжин яких дорівнює 7 см.
Знайдіть довжини похилих, якщо їх проекції відносяться
як 5:16.
ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

Укажіть помилку на малюнку.

Знайдіть точку перетину прямої МУ з (АВС).

Знайдіть точку перетину прямої МИ з (РВК).
Побудуйте перерізи многогранників площиною, яка про-
ходить через точки ЛГ, ТУ, К.

Побудуйте переріз правильного тетраедра і куба площи-
ною (ММР). Знайдіть периметр і площу перерізу.
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

І Пряма а лежить у площині а. Який знак слід поста-
вити замість зірочки у запису а*а?
а) є; б) с; в) п; г) о.

І Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну
точку?

а) Так; б) ні; в) не можна встановити;

г) залежить від розташування площин.

І Скільки площин можна провести через три точки?
а) Одну; б) безліч; в) три; г) одну або безліч.

І Пряма а перетинає площину р у точці А. Тоді:
а)Ас=р, А є а; б) А є а, А еР;

в) А є р, А є а; г) А є р, А 0 а.

і Три прямі попарно перетинаються. Скільки різних
площин можна провести через ці прямі?

а) Одну; б) три; в) безліч; г) жодної.

(І Площини а і Р перетинаються по прямій т. Пряма а
\ лежить у площині а і перетинає пряму т. Яке взаємне
розміщення прямої а і площини р?

а) Перетинаються; б) не мають спільних точок;

І в) а лежить у площині Р; г) не можна встановити.

Пряма а перетинає площину а і лежить у площині р.
Скільки спільних точок мають площини а і р?
а) Одну; б) дві; в) жодної; г) безліч.

і Точки М і N належать ребрам ВВг і СС1 куба
АВСВА1В1С1В1. Укажіть лінію перетину площин
(ВВ^) і (АМЛГ).

а) АМ; б) М1У; в) ^N; г) площини не перетинаються.

І Бісектриса АЬ &АВС і центр кола, вписаного в цей три-
кутник, лежать у площині а. Чи належать цій площині
вершини В і СІ
а) Так; б) ні; в) одна належить, інша - ні;
г) не можна встановити.

І Перерізом куба площиною не може бути:

а) трикутник; б) п’ятикутник;

в) шестикутник; г) восьмикутник.
* $

ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ
РОБОТИ

1. Площина а, прямі а і Ь та точка А задовольняють такі
умови: ас=а, апр=А. Зобразіть на малюнку всі мож-
ливі варіанти.

2. Чи може середня лінія трикутника не лежати в пло-
щині цього трикутника? Відповідь обґрунтуйте.

3. Діагоналі прямокутника АВСВ перетинаються в точці О.
Точка Р не лежить у площині (АВС). Чи можна про-
вести площину через: а) пряму РВ та точки В і О;
б) пряму АО та точки Р і В? Відповідь обґрунтуйте.

4. Побудуйте переріз правильного тетраедра площиною,
що проходить через бісектрису грані і протилежну цій
грані вершину. Обчисліть площу утвореного перерізу,
якщо ребро тетраедра дорівнює 6 см.

5. Дві вершини трикутника лежать у площині а. Чи нале-
жить цій площині третя вершина трикутника, якщо
відомо, що площині а належить центр кола, описаного
навколо трикутника.

6. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда
АВСВА1В1С1В1 площиною, яка проходить через точки
К9 £, М, якщо КєАА19 ЬєСВ9 МєСС19 АК.КА^ІгЗ,
ВЬ:ЬС=1:19 СМ.МС^ЗА.

7. Точки М і N лежать у бічних гранях тетраедра АВСР.
Побудуйте точку перетину прямої М# з основою АВС.

8. Дано куб АВСВА1В1С1В1. Побудуйте лінію перетину
площин (АХСХВ) і (АВХС). Знайдіть довжину відрізка
цієї прямої, що знаходиться всередині куба, якщо ребро
куба дорівнює а.

9. Точка М лежить у грані АРС тетраедра РАВС. Побудуйте
точку перетину прямої ВМ з площиною (АРК)9 якщо
КєСВ9 СК:КВ=1:2.

10. Побудуйте переріз п’ятикутної піраміди площиною,
яка задана трьома точками, дві з яких належать біч-
ним граням піраміди, а третя - її основі.
V ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ 2

Як відомо, при аксіоматичному викладі геометрії кілька
перших понять і відношень приймаються без означень, а
всі інші означаються. У цьому підручнику за неозначу-
вані прийнято поняття точка, пряма, площина, простір
і відношення належати (точка належить прямій чи пло-
щині), лежати між (точка А лежить між В і С) та ін.

Якщо точка А належить (чи не належить) фігурі Р, то
пишуть відповідно: А є Р (А & Р).

Якщо пряма а лежить (чи не лежить) у площині а, то
пишуть відповідно аса (аса).

Аксіомами тут вважаються всі 10 аксіом площини (див.
с. 6) і 4 стереометричні аксіоми (див. с. 44). З такої си-
стеми аксіом випливають, зокрема, такі твердження.

У просторі:

- пряма однозначно визначається двома точками;

- площина визначається:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій
(аксіома С2);

2) прямою і точкою, яка не належить їй (теорема 2);

3) двома прямими, які перетинаються;

4) двома паралельними прямими (означення паралель-
них прямих).

Для наочної ілюстрації розглядуваних геометричних
понять і відношень найкраще підходять задачі про
перерізи многогранників площинами. У цьому розділі
даються перші уявлення про простіші многогранники:
призми (куби, паралелепіпеди) і піраміди (зокрема,
тетраедри). Задачі на побудови перерізів тут також роз-
глядаються найпростіші, розв’язувати які можна на
основі стереометричних аксіом. Зокрема таких.

• Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони
перетинаються по прямій.

• Якщо дві точки прямої лежать у деякій площині, то і
вся пряма лежить у цій площині.

Методи складніших побудов перерізів (метод слідів і від-
повідності) розглянуто в наступних розділах.
мймооіжніІіІпаркЯїельні прямі.

••

Паралельністілпрям'оі і площини.

площин

Щщалельне

ектув’ання і иою .

.стереометрія І
'перерІЗІЬ'

РОЗДІЛ

(>ЖЄНЬ

[сип

МИМОБІЖНІ І ПАРАЛЕЛЬНІ
ПРЯМІ

Якщо дві прямі лежать в одній пло-
щині, вони або перетинаються, або пара-
лельні. У стереометрії можливий і третій
випадок. Наприклад, якщо АВСО -
тетраедр (мал. 73), то прямі АВ і СВ не
перетинаються і не паралельні. Вони не
лежать в одній площині.

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають
мимобіжними.

Теорема 3 (ознака мимобіжності прямих). Якщо одна з двох
прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину,
але не перетинає першу пряму, то дані прямі мимобіжні.

Мал. 74

ДОВЕДЕННЯ. Нехай пряма а лежить у
площині а, а пряма Ь перетинає цю площину
в точці А, такій, що А & а (мал. 74).

Доведемо, що прямі а і Ь мимобіжні,
тобто - не лежать в одній площині. При-
пустимо, що через прямі а і Ь можна про-
вести деяку площину р. Вона не збігається
з а, оскільки Ь а і Ь а р. Площини а і р

проходять через точку А За аксіомою С4 вони повинні перетина-
тися по прямій, що проходить через точку А Але вони мають

спільну пряму а, яка не проходить через точку А Отже, зроблене
припущення приводить до суперечності. Виходить, що прямі а

і Ь не лежать в одній площині. Що і треба було довести.

Два відрізки називаються мимобіжними, якщо вони
лежать на мимобіжних прямих.

Якщо прямі або відрізки а і Ь мимобіжні, іноді пишуть а^Ь.

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать
в одній площині і не перетинаються.

З означення випливає, що через дві паралельні прямі
завжди можна провести площину, причому тільки одну. Адже
якщо припустити, що через паралельні прямі а ЇЬ проведено
дві різні площини, то з цього випливало б, що через пряму а
Паралельність прямих і площин у просторі
V -і *• Я ї*

і деяку точку прямої Ь проведено дві різні площини. Але цього
не може бути (теорема 1).

Отже, до перелічених на с. 45 способів задання площини
можна додати ще один: площину можна однозначно задати
двома паралельними прямими.

З аксіоми паралельності Евкліда випливає, що в площині через
дану точку можна провести не більше однієї прямої, паралельної
даній. А скільки таких прямих можна провести в просторі?

Теорема 4. Через будь-яку точку простору 9 яка пе лежить
на даній прямій, можна провести пряму, паралельну
даній9 і тільки одну.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай дано пряму а і точку А, що не лежить на
ній. Через них можна провести єдину площину (теорема 1). У цій
площині можна провести пряму, паралельну прямій а, до того ж
тільки одну (аксіома Евкліда). Отже, у просторі через дану точку А
можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій а.

О ЗАУВАЖЕННЯ. Доведена теорема справедлива тільки в евклі-
довій геометрії. Про неевклідові геометрії дивіться на с. 219.

Дві паралельні прямі завжди лежать в одній площині.
А три чи більше? Можуть і не лежати в одній площині.
Наприклад, усі ребра прямозубої
циліндричної шестірні лежать на

паралельних прямих, але не належать
одній площині. Те саме можна сказати
і про поздовжні ребра шпунтових
дощок (мал. 75), вертикальні колони
будинку тощо.

Мал. 75

Теорема 5. Дві прямі, паралельні третій 9 паралельні.

доведення. Нехай а || Ь і Ь||с.
Доведемо, що а||с. Прямі а і с не
можуть перетинатися. Інакше через
точку їх перетину проходили б дві
різні прямі, паралельні Ь9 що супере-
чило б теоремі 4.

Припустимо, що прямі а і с - мимо-
біжні (мал. 76). Через паралельні
прямі а і 6, Ь і с проведемо площини у
і а, а через пряму а і яку-небудь точку
С прямої с - площину р. Нехай пло-
щини а і Р перетинаються по прямій
т. Прямі Ь9 с і т лежать в одній
площині а, причому б||с. Тому пряма т, яка перетинає с9
перетинає в деякій точці Р і пряму Ь. Прямі т і Ь лежать від-
повідно у площинах р і у. Тому їх спільна точка Р належить
цим площинам, а отже, і їх спільній прямій а. Як бачимо, з
припущення випливає, що паралельні (за умовою) прямі аіЬ
мають спільну точку Р. Це - суперечність.

Отже, прямі а і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимо-
біжними. Залишається єдино можливе: а Це.

Доведену теорему називають теоремою про транзитивність
паралельності прямих (від Лат. ігапзіііоиз - перехідний),
оскільки в ній говориться про перехід властивості паралель-
ності двох пар прямих на третю: з а||& і &||с випливає: а Це.

Примітка. Щоб ця властивість була правильною завжди,
навіть з а||& і &||а випливало, що а || а, часто домовляються,
що кожна пряма паралельна сама собі.

Паралельними бувають не тільки прямі, а й відрізки, про-
мені. Два відрізки (промені) називають паралельними, якщо
вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Для ДОПИТЛИВИХ..............................

Як можуть розташовуватися в просторі частини
двох прямих: відрізки або промені? Оскільки
мимобіжні прямі не лежать в одній площині, то й
будь-які відрізки чи промені двох таких прямих не

лежать в одній площині.

Якщо ж дві прямі простору перетинаються, то їх відрізки можуть
не мати спільних точок (мал. 77, а) або мати одну спільну точку.
Кажуть, що два відрізки перетинаються, якщо вони мають тільки

одну спільну точку, яка є внутрішньою точкою для кожного з них
(мал. 77, б). Відрізки АВ і СР не перетинаються (мал. 77, в), хоч
переріз їх як множин точок не порожній.

Коли прямі і відрізки розглядають як множини точок, то їх
позначають різними символами: (АВ) - пряма, [АВ] - відрізок.

Переріз множин точок відрізків [АВ] і [АС] не порожній: [АВ] п [АС]
може дорівнювати точці А або відрізку АС чи АВ (мал. 78).

У геометрії в останніх випадках відрізки не вважають такими,
що перетинаються. Коли кажуть, що два відрізки чи промені

б)

Мал. 77
Паралельність прямих і площин у просторі

к * ® г? £ £ $ «£ І ? < -- ї

А С В

б)

Мал. 78

перетинаються, то розуміють, що вони мають тільки одну спільну
точку, яка не є кінцем відрізка чи початком променя.

Три прямі у просторі можна розташувати багатьма різними
способами. Усі вони можуть перетинатися в одній точці (мал. 79,
а), одна з них може перетинати дві інші, які не мають спільних
точок (мал. 79, б), вони можуть перетинатися попарно у трьох
різних точках (мал. 79, в). У перших двох випадках усі три прямі
можуть лежати або не лежати в одній площині; у третьому випадку
всі три прямі належать одній площині. Чому?

Мал. 79

Якщо пряма с мимобіжна з прямими
а і Ь, то дві останні прямі можуть
перетинатися, бути паралельними або
мимобіжними.

Нехай а і Ь - дві довільні мимо-
біжні прямі (мал. 80). Уявіть, що через
кожну точку прямої а проведено пряму,
паралельну прямій Ь. Усі вони заповнять
деяку площину а. Кажуть, що геомет-
ричним місцем прямих, які паралельні
одній з двох даних мимобіжних прямих
і перетинають другу, є площина.

Якщо пряма Ь перетинає площину а,
то геометричним місцем прямих, які
паралельні прямій Ь і перетинають пло-
щину а, є весь простір (мал. 81).

Площина а розбиває простір на два
півпростори. Площина а - межа півпро-
стору. Зверніть увагу на аналогію: точка
розбиває пряму на дві півпрямі (два про-
мені), пряма розбиває площину на дві
півплощини.

Мал. 80

Мал. 81
РОЗДІЛ з
ТІ $

1 • ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Які дві прямі називають паралельними?

2. Які дві прямі називають мимобіжними?

3. Наведіть приклади мимобіжних прямих, моделюючи
їх: двома олівцями, речами, що є в класі.

4. Сформулюйте і доведіть ознаку мимобіжності прямих.

5. Скільки прямих можна провести через дану точку
паралельно даній прямій?

6. Сформулюйте теорему про транзитивність паралель*
них прямих.

7. Які відрізки чи промені називаються паралельними?

Виконаємо разом

1. АВСОА1В1С1О1 - куб. Доведіть, що пряма АВ мимобіжна з
прямою ССг (мал. 82).

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Пряма ССХ лежить у площині ВСС1В1, а
пряма АВ перетинає цю площину в точці В, яка не

лежить на ССГ Тому згідно з ознакою мимобіжності прямі

Мал. 83

АВ і СС1 мимобіжні.

2. К, Р, Т, М - середини ребер АВ, АС,
СР, РВ тетраедра АВСР. Доведіть, що
чотирикутник КРТМ - паралелограм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Відрізки КР і МТ -
середні лінії трикутників АВС і ВВС
(мал. 83). Тому кожний з них пара-
лельний ребру ВС і дорівнює його поло-
вині. За властивістю транзитивності від-
різки КР, МТ паралельні й рівні. Отже,

чотирикутник КРТМ - паралелограм.

3. Прямі АВ і СР мимобіжні. Чи можуть
бути паралельними прямі АС і ВР?
А перетинатися?

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Якби прямі АС і ВР
були паралельними або перетиналися,
через них можна було б провести пло-
щину. У цій площині лежали б точки А,
В, С і Р, а отже, і прямі АВ і СР. Але за
умовою прямі АВ і СР не лежать в одній
площині. Отже, прямі АС і ВР не можуть
бути ні паралельними, ні перетинатися.
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

\ Виконайте усно

206. Чи паралельні відрізки а і с, якщо а||Ь і Ь||е?

207. Відомо, що а с: а, Ь|| а. Чи може пряма Ь перетинати а?

208. Дано куб АВСВА1В1С1В1 (мал. 82). Назвіть його ребра,
які: а) паралельні ААХ; б) перпендикулярні до ААХ;
в) мимобіжні з ААХ.

209. Назвіть три пари мимобіжних прямих, на яких лежать
ребра тетраедра АВСВ.

210. АВСВ - тетраедр (мал. 83). Чи паралельні його ребра АВ
і СР? Чи перетинаються прямі АС і ВВ?

211. Прямі АВ і СВ паралельні. Чи можуть бути мимобіж-
ними прямі АС і ВВ? А перетинатися?

212. Чи можна вважати правильним таке означення: *Дві
прямі називаються мимобіжними, якщо вони; не
перетинаються і не паралельні»?

213. Попарно паралельні прямі а, Ь і с перетинають площину а
у точках А, В і С, як показано на малюнку 84. Чи належать
дані прямі одній площині?

214. Прямі ВВХ і ССХ, зображені на малюнку 85, перетинають

пряму АХВ у точках В і С, а площину а - у точках Вх
Чи паралельні прямі ВВХ і ССХ?

215. Паралелограми АВСВ ЇАВС^В^ ле-
жать у різних площинах. Доведіть,
що чотирикутник СВВ1С1 - теж
паралелограм.

216. Точка М не лежить у площині
△АВС. Яке взаємне розміщення
прямих МА і ВС? А прямих ЕЕ і
РК, якщо точки Е і Р лежать на
прямій ЛГА, а точки Е і К - на пря-
мій ВС?

ІСГ

217. Через вершину А паралелограма
АВСВ проведено пряму а, яка не
лежить у площині паралелограма,
а через точку С - пряму Ь, яка па-
ралельна ВВ. Доведіть, що а і Ь -
мимобіжні.

218. АВСВА1В1С1В1 - паралелепіпед.
Доведіть, що площина (АССХ) про-
ходить через точку Ах.
Мал. 86

219. Прямі а і Ь паралельні, а Ь і с не
паралельні. Доведіть, що прямі а і с не
паралельні.

220. Доведіть, що паралельні прямі,
які перетинають дану пряму, лежать в
одній площині.

221. Відрізки О А і ОВ перетинають
площину а в точках Ах і Вх, які є
серединами цих відрізків. Знайдіть
відстань АВ, якщо АХВХ = 3,8 см.

222. Вершинами трикутника АВС є се-
редини відрізків ОАХ, ОВХ, ОСГ Точка
О не лежить у площині трикутника
АВС. У скільки разів периметр три-
кутника А1В1С1 більший від периметра
трикутника АВС?

223. Через кінці відрізка АВ і його
середину М проведено паралельні пря-
мі, які перетинають деяку площину
в точках Аг Вх, Мх (мал. 86). Знай-

діть довжину відрізка ММр якщо ААХ = 6,5 м, ВВХ =
= 8,5 м.

224. З точок А і В площини а проведено поза нею паралельні
відрізки АК = 16 см і ВМ = 12 см. Пряма КМ перетинає
площину а в точці С. Знайдіть відстань АС, якщо
АВ - 9 см. Розгляньте два випадки.

25 Точка С ділить відрізок АВ у відношенні АС:СВ = 2:3.
Паралельні прямі, які проходять через точки А, С, В,
перетинають деяку площину в точках Ах, Сх, Вг Знайдіть
відношення АХВХ: АХСГ

226. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через
кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні
прямі, які перетинають площину а в точках Вх і Сх.
Знайдіть довжину відрізка ССХ, якщо:

а) АС: СВ = 3:2 і ВВХ = 16 дм;

б) АСХ: СХВХ = 2:1 і ВВХ = 12 дм;

в) АВ :ВВХ = 4:3 і АС = тп.

227. У тетраедрі АВСВ точки М9 Р9 К — середини відрізків
РС, РВ, АВ, АС. Знайдіть АР і ВС, якщо АО:ВС = 3:2, а
периметр чотирикутника МNРК дорівнює 10 см.

228. Точки Мх, 7УХ, Рх, Кг - середини ребер РВ, РС, АВ і АС
тетраедра АВСР. Точки М, Р, К - середини відрізків
РМХ, РМр АРХ, АКГ Знайдіть периметри чотирикутників
ММРК і М^ХРХЖ'Х, якщо ВС = 20 см, а АР = 16 см
229. Прямі а і Ь мимобіжні. Точка М не належить прямим а і
Ь. Чи можна через точку М провести дві прямі, які будуть
перетинати прямі а і 67

230. Прямі а і Ь паралельні. М £ а, М £ Ь. Через точку М та
прямі а і Ь проведено площини а і 0 відповідно, які
перетинаються по прямій с. Доведіть, що а ||с і Ь||с.

231. Прямі а і Ь мимобіжні. М £ а9 М £ Ь. Через точку М та
прямі а і Ь проведено площини а і р відповідно, які
перетинаються по прямій с. Яке взаємне розміщення пря-
мих а і с, Ь і с? Відповідь обґрунтуйте.

232. Площини а і р перетинаються по прямій с. А є а, В є а,
С є р, Л є р. Прямі АВ і с перетинаються у точці М9 а СЛ
і с - у точці N. Яке взаємне розміщення прямих АВ і СЛ,
якщо: а) точки М і N збігаються; б) точки М і N не
збігаються?

233. Дано точки А, В, С, Л, які не лежать в одній
площині. Доведіть, що прямі, які сполучають середини
відрізків АВ і ЛС, АЛ і ВС, перетинаються в одній
точці.

234. Дано точки А, В, С, Л, які не лежать в одній пло-
щині. Доведіть, що прямі, які сполучають середини від-
різків АВ і СЛ, АС і ВЛ, АЛ і ВС, перетинаються в одній
точці.

235. Через вершину Л паралелограма АВСВ проведено
площину, а через точки А, В, С - паралельні прямі, які
перетинають цю площину в точках Ах, Вх, Сх (мал. 87).
Знайдіть ВВХ, якщо ААХ = 15 см, ССХ = 17 см.

236. Нехай О - точка перетину діагоналей паралелограма
АВСВ9 а а - площина, яка не перетинає паралелограм.
Через точки А, В, С, Л, О проведено паралельні прямі,
які перетинають площину а в точках Ах, Вх, Сх, Лх, Ох.
Доведіть, що: а) ААХ + ВВХ 4- ССХ 4- ЛЛХ = 4 • ООХ; б) ААХ 4-
+ ССХ = ВВХ 4- ллх.

237. Яку фігуру утворюють усі відрізки,
що сполучають будь-які точки двох
мимобіжних відрізків?

238*. Дано два мимобіжних відрізки.
Знайдіть геометричне місце середин
відрізків, що сполучають будь-яку
точку одного з них з будь-якою точ-
кою другого.
239*. Доведіть, що в просторі існує принаймні три попарно
мимобіжні прямі.

240*. Як побудувати пряму, що перетинає три дані попарно
мимобіжні прямі?

Вправи для повторення

241. Побудуйте переріз правильного тетраедра РАВС площи-
ною, яка проходить через точки Р, М, П, де М і N -
середини ребер АС і ВС. Знайдіть косинус кута МРИ.

242. АВСВА1В1С1В1 - куб, М - середина ААГ Побудуйте пере-
різ куба площиною, яка проходить через точки В, В, М.
Знайдіть діагональ куба, якщо площа перерізу дорівнює
64>/б см2.

243. Різниця катетів прямокутного трикутника 7 см, а медіана,
проведена з вершини прямого кута, дорівнює 6,5 см.
Знайдіть площу трикутника.

§7

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ
І ПЛОЩИНИ

Як можуть розташовуватися в просторі пряма і площина?
Вони можуть: 1) перетинатися, тобто мати тільки одну спільну
точку; 2) не мати жодної спільної точки; 3) кожна точка пря-
мої може лежати в площині. У другому випадку кажуть про
паралельність прямої і площини.

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони
не мають спільних точок.

Якщо пряма а паралельна площині а, пишуть: а||а.

Теорема 6 (ознака паралельності прямої і площини). Якщо
пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь
прямій площини, то вона паралельна і самій площині.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай пряма Ь не
лежить у площині а, пряма а лежить
в а і Ь || а. Доведемо, що 6||а.

Припустимо, що пряма Ь не
паралельна площині а, а перетинає
її у деякій точці Р (мал. 88). Ця
точка лежить у площині а і в
площині р, яка проходить через паралельні прямі а і Ь. Отже,
точка Р лежить на прямій а, по якій перетинаються площини
а і р. Прийшли до суперечності: прямі а і Ь паралельні й
одночасно мають спільну точку Р.

Отже, пряма Ь не може перетинати площину а.

Теорема 7. Якщо площина проходить через пряму,
паралельну другій площині, і перетинає цю площину, то
пряма їх перетину паралельна даній прямій.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай Ь||а, Ь с: р, ал р =а (мал. 89). Доведемо,
що а||д. Якби прямі а і Ь перетиналися, їх точка перетину

була б спільною для прямої Ь і площини а. Це неможливо,

оскільки Ь Ц а. Отже, прямі а і Ь не
перетинаються, а лежать в одній пло-
щині р. Тому а Ц Ь.

Відрізок або промінь називається
паралельним площині, якщо він є ча-
стиною прямої, паралельної площині.

Кожне ребро паралелепіпеда пара-
лельне площинам двох його граней. І
пряма, проведена в грані бруска за
допомогою рейсмуса (мал. 90), -

площинам трьох граней. Мул яри
кладуть стіну під висок, шнур якого
паралельний площині стіни. Гори-
зонтальні планки мотовила зернозби-
рального комбайна хоч і змінюють
своє положення під час роботи,
залишаються паралельними площині
поля. Усе це - матеріальні моделі
паралельності прямої і площини.

Мал. 89

Мал. 90

1 / ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1• Як можуть бути розташовані в просторі пряма і
площина?

3. Сформулюйте означення паралельності прямої і
площини.

Сформулюйте і доведіть ознаку паралельності прямої
і площини.

4* Чи може відрізок або промінь бути паралельний площині?

5. Який відрізок називають паралельним площині?
РОЗДІЛ з
# ~ -і

Виконаємо разом

1. Площина перетинає сторони А АВС у точках М і К (М є АВ
і К є ВС) так, що АС || а, АМ:МВ =2:5 (мал. 91). Знайдіть

АС9 якщо МК = а.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Оскільки АС || а і АС с: (АВС), то площина

ДАВС перетинає

Мал. 92

Мал. 93

площину а по прямій, яка паралельна
АС (теорема 7), тобто М1іГ||АС. Тоді
&МВК ™ ДАВС. Маємо:

МК МВ МК 5

= , звідси -= -, а АС =
АС-------------------АВ-АС 7

= 1,4 • МК= 1,4а.

2. Доведіть, що через будь-яку з двох
мимобіжних прямих аїЬ можна про-
вести площину а, паралельну іншій
прямій.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. На малюнку 92 зо-
бражено мимобіжні прямі а і Ь. Візьмемо
на прямій а точку А і проведемо через
неї пряму с, паралельну прямій Ь.
Через прямі а і с, що перетинаються,
проведемо площину а. Це і є шукана
площина.

3. Через середини М і N ребер АВ і СВ
паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1 прове-
дено площину паралельно Вх2). Побу-
дуйте переріз паралелепіпеда цією
площиною та встановіть, у якому відно-
шенні вона ділить ребро ВВГ

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай у паралеле-

піпеді АВСВАХВХСХВХ точки М і N -
середини ребер АВ і СВ (мал. 93).
Побудуємо площину ВВХВХВ, яка
перетинає відрізок АГУ у точці Р. Через
точку Р у площині ВВХВ.В проведемо
РК^В.

Знайдемо точку Е - точку перетину
прямих АВ і МN - та проведемо відрі-
зок ЕК9 який перетинає ребро АА1 у
точці X. Аналогічно будуємо відрізок
КЕ. Провівши відрізки ХМ і
отримаємо шуканий переріз МХКЯІЇ.
Паралельність прямих і площин у просторі

% • * Л * % 4 , ?

Оскільки АВСВ - паралелограм, то ВР\РВ = 3:1. Тоді
з подібності трикутників ВгВВ і КВР випливає, що
ВК.КВХ= 3:1.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

244. Знайдіть серед навколишніх предметів моделі прямих і
площин, які паралельні між собою.

245. Спростуйте твердження: «Якщо прямі а, Ь і площина а
такі, що а|]а і 6||а, то а||Ь».

246. Пряма а паралельна прямій Ь9 а Ь паралельна площині а.
Чи випливає з цього, що а||а?

247. Кожна з площин а і р паралельна прямій а. Чи можуть ці
площини перетинатися?

248. Пряма а перетинає площину а. Скільки можна провести
прямих, що: а) перетинають площину а і паралельні
прямій а; б) перетинають пряму а і паралельні площи-
ні а?

249. Скільки прямих, паралельних даній площині а, можна
провести через дану точку А, якщо А £ а?

250. Скільки площин, паралельних даній прямій, можна про-
вести через дану точку?

251. АВСВ - паралелограм. Площина со проходить через його
вершини А, В і не проходить через вершину С (мал. 94).
Доведіть, що СВ||со.

252. Доведіть, що коли площина перетинає трапецію по її серед-
ній лінії, то вона паралельна основам трапеції. Зобразіть
відповідний малюнок.

253. Точки А і В лежать у площині а, а О - поза площиною.
Доведіть, що пряма, яка проходить через середини відріз-
ків ОА і ОВ, паралельна площині а.

254. Площина а перетинає відрізки АВ і

АС в їхніх серединах - точках К і Р. в

Доведіть, що відрізок ВС паралельний \

площині а. Як відносяться: а) периме- \ \

три трикутників АВС і АКР; б) площі \_________

трикутників АВС і АКР; в) площі
многокутників АКР і ВКРС1 МО в )

255. Площини а і Р перетинаються по пря- \ .А

мій с. Пряма а || а і а||р. Доведіть, що

а || с. Мал. 94
.хі 256. У трикутнику АВС через точку М -

.Хр І середину сторони АВ - проведено

Л І площину а, а||ВС, а П АС = N.

| / \л І Знайдіть: а) ВС, якщо М?/ = а;

І / б> 8вмж: 8МА1ї-

І 257. Площина а перетинає середини

катетів АВ і АС рівнобедреного пря-
' мокутного трикутника АВС у точках

Мал. 95 МІМ. Доведіть, що ВС||а і знайдіть

відношення РВМКС '.РМАК-

258. Через точку М - середину гіпотенузи АВ прямокутного
трикутника АВС - проведено площину а, паралельну
катету ВС, яка перетинає катет АС у точці N. Знайдіть СМ,
якщо ВС: АС = 6:8, 8^АМ1^ = 24 см2.

259. Дано неплоску замкнену ламану АВСВА (мал. 95).
Доведіть, що середини всіх її ланок лежать в одній
площині.

260. РАВС - тетраедр, кожне ребро якого 6 см. Побудуйте
переріз тетраедра площиною, яка проходить через сере-
дину ребра РВ паралельно ребрам РА, РС. Знайдіть пери-
метр цього перерізу.

261. Побудуйте переріз тетраедра РАВС площиною, пара-
лельною ребру АВ, яка проходить через вершину Р і
середину ребра ВС. Знайдіть площу перерізу, якщо
АВ = ВС = СА = а, РА = РВ = РС = Ь.

262. Побудуйте, переріз куба АВСВА1В1С1В1 площиною, яка
проходить) через середини ребер АВ, АВ і паралельна
прямій ССК. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо
АВ = І. /

263. Побудуйте переріз тетраедра АВСВ площиною, яка про-
ходить через середину ребра СВ паралельно прямим АС і
ВВ. Визначте вид утвореного перерізу.

264. Побудуйте переріз тетраедра АВСВ площиною, яка
паралельна прямим АВ і ВС та проходить через точку М,
М є АС, АМ'.МС = 2:1. Знайдіть периметр перерізу, якщо
АВ = а, ВС = Ь.

265. Точки В і С не лежать на прямій а. Скільки існує пло-
щин, паралельних а, які проходять через точки В і С?
Розгляньте всі можливі випадки.

266. Якщо через кожну з двох паралельних прямих проведено
площину, причому ці площини перетинаються, то лінія
їх перетину паралельна кожній з
даних прямих (мал. 96). Доведіть.

267. Доведіть, що коли кожна площина,
яка перетинає одну з двох даних
прямих, перетинає і другу, то ці
прямі паралельні.

268. Доведіть, що всі прямі, які перети-
нають одну з двох мимобіжних пря-
мих і паралельні другій, лежать в
одній площині.

269. Через точку М - середину гіпо-
тенузи АВ трикутника АВС - про-

ведено площину а, яка паралельна катету АС і перетинає
катет ВС у точці N. В# - ММ = а/2, СМ = а. Знайдіть
$ААВС‘

270. На бічній стороні АВ трапеції АВСО взято точки М19 М2,
М3 так, що АМг = МгМ2 = М%М3 = М^В і через точки М19
М29 М3 проведено площини, які паралельні АВ. Ці пло-
щини перетинають сторону СВ у точках М29 М3.
Знайдіть: а) 8АВСІ); б)

АВ = а, ВС = Ь.

271. Трапеції АВСВ і АМNВ лежать у різних площинах.
Побудуйте точку перетину площини ВСР і прямої МВ9
якщо Р - довільна точка прямої АМ (мал. 97).

272. У тетраедрі АВСВ точка М - середина АВ9 N є ВВ9
В1У:МВ = 1:3. Побудуйте переріз тетраедра площиною,
яка проходить через точки М і N паралельно ВС. Обчисліть
периметр і площу перерізу, якщо всі ребра тетраедра

дорівнюють а.

773. Дано тетраедр АВСВ, уякото/АВС = 9(У\МєАВ9АМ:МВ=
= 1:3, N є ВС, ВІ^гІЇС =1:3. Знайдіть площу перерізу,

який проходить через точкиМЇN, паралельно ВС, якщо

ВА = ВВ = ВС = Ь9 АВ = ВС = АС.

274. Побудуйте переріз тетраедра АВСВ
площиною, яка проходить через
точки С, М (М є АВ) і паралельна
прямій ВЕ9 де Е - середина ВС.

275. Точка М - середина ребра
ВВХ прямокутного паралелепіпеда
АВСВА1В1С1ВГ Побудуйте переріз
паралелепіпеда площиною, яка
проходить через точки А і М
паралельно ВХВ. Знайдіть площу
перерізу, якщо ААХ = а, АВ =
= ВС = Ь.
276. У похилому паралелепіпеді АВСВА1В1С1Б1 взято точки
М є АгВ19 N є АХВХ такі, що В1М:МА1 =А11'Ї:МВ1 = 3:1.
Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка про-
ходить через точки N і М паралельно ВХВ. Знайдіть
периметр перерізу, якщо всі ребра паралелепіпеда дорів-
нюють а, /АВС = 120°.

277. У кубі АВСВАХВХСХВХ точка М - середина ребра ААГ
Через точки М9 В, І) проведено переріз. Доведіть, що цей
переріз паралельний прямій А±С9 та знайдіть площу пере-
різу, якщо АГС = Л.

278*. Через середини М і N ребер АВ і СС1 паралелепіпеда
АВСВА1В1С1В1 проведено площину паралельно ВХР.
Побудуйте переріз паралелепіпеда цією площиною та
встановіть, у якому відношенні вона ділить ребро ВВГ

Вправ» для повторення

279. Дано два паралелограми АВВХАХ і АСС1А1, які лежать у
різних площинах. Доведіть, що △ АВС = △ АХВХСГ

280. На відрізку АВ взято точку М таку, що АМ:МВ = 1:3. Через
точки А, В, М проведено паралельні прямі, які перетинають
площину а у точках Ах, Вх, Мх відповідно. ААХ = 10 см,
ВВХ = 16 см. Знайдіть 7И7ИХ, якщо: а) відрізок АВ не перетинає
площину а; б) відрізок АВ перетинає площину а.

281. Сторона ромба дорівнює а, а гострий кут а. Знайдіть діа-
гоналі ромба та його площу.

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПЛОЩИН

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не
перетинаються.

Якщо площини а і р паралельні, пишуть: а|| р.

Теорема 8 (ознака паралельності площин). Якщо дві прямі, що
перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом
прямим другої площини, то такі площини паралельні.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай прямі а і Ь9 що перетинаються, лежать
у площині а, а паралельні їм прямі ах і &х - у площині р
(мал. 98). Доведемо, що а||р.
Мал. 98

Припустимо, що площини а і р не паралельні, тобто пере-
тинаються по якійсь прямій с. Оскільки прямі аіЬ паралельні
прямим а1 і площини р, то згідно з теоремою 6 а || р і Ь||р.

Прямі а і Ь не перетинають с, оскільки пряма с лежить у
площині р, з якою а і Ь не мають спільних точок. Лежать усі
ці прямі в одній площині а. Виходить, а Це і &||с - дві прямі,
які перетинаються і паралельні третій. Це суперечить аксіомі
паралельності. Отже, площини а і Р не можуть перетинатися,
тобто вони паралельні.

Теорема 9. Паралельні площини перетинаються січною
площиною по паралельних прямих.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай площина у перетинає паралельні пло-
щини а і р по прямих а ІЬ (мал. 99). Доведемо, що а || Ь.

Припустимо, що прямі а і Ь не паралельні. Тоді вони
перетинаються в деякій точці Р, оскільки лежать в одній
площині у. Точка Р належить прямим а і Ь, отже, і площинам
а і р, в яких лежать ці прямі. Прийшли до суперечності:
паралельні площини а і Р мають спільну точку Р. Отже,
прямі а і Ь не можуть перетинатися, вони паралельні.

Теорема 10. Відрізки паралельних прямих, що відтина-
ються паралельними площинами, рівні.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай відрізки АВ і А1£1
їх кінці лежать у паралельних площинах а

Площина, яка проходить через прямі АВ
і А^р перетинає паралельні площини а
і Р по паралельних прямих: АА1||££1.
Крім того, за умовою теореми АВІІА^.
Чотирикутник А££]А1 - паралелограм,
отже, АВ = АД. Що і треба було до-
вести.

У паралельних площинах розміщують
перекриття поверхів багатоповерхових
будинків, шибки подвійних вікон, верхні
грані сходинок. Паралельні шари фанери,

паралельні, а
і р (мал. 100).

Мал. 100

6-веотвігііа.іОкІ.
Мал. 101

пилки, що розпилюють колоду па дошки (мал. 101), проти-
лежні грані цеглини, швелера, двотаврової балки (мал. 102),
губки слюсарних лещат та ін.

, Д™ Д°питливих..................................

Теореми 8 і 9 доведені для випадків, коли пло-
щини а і р різні. Якщо вони суміщаються (а = Р),
часто їх також вважають паралельними. Для цього
випадку теореми 8 і 9 очевидні.

Відношення паралельності площин має такі самі властивості, як
і відношення паралельності прямих.

Кожна площина паралельна сама собі (рефлексивність).

Якщо а II р, то р||а (симетричність);

Якщо а||р і р||у, то а||у (транзитивність).

Спробуйте обгрунтувати таке твердження:

«Якщо пряма а і площини а і Р такі, що а||а і а||р, то а||р».

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1* Які площини називають паралельними?

2. Сформулюйте ознаку паралельності площин.

З, Сформулюйте і доведіть теорему про перетин
паралельних площин січною площиною.

4» Сформулюйте і доведіть теорему про перетин двох
паралельних прямих паралельними площинами.

Виконаємо разом

1. Як через точку поза даною площиною провести площину,
паралельну даній?

РОЗВ'ЯЗАННЯ. У даній площині а проведемо які-небудь
прямі а і Ь, що перетинаються (мал. 103). Через дану точку
А проведемо паралельні їм прямі а1 і Ьг Прямі ах і Ьг
Мал. 103

Мал. 104

перетинаються, тому через них можна провести площину
р. За теоремою 8 площина р паралельна площині а.

Спробуйте розв’язати задачу іншим способом, як пока-
зано на малюнку 107.

2. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить
через ребро нижньої основи і точку перетину діагоналей
верхньої основи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай переріз проходить через ребро АБ
і точку О перетину діагоналей АХСХ і ВХРХ. Оскільки основи
паралелепіпеда паралельні, то січна площина перетинає
їх по паралельних прямих. Тому через точку О проведемо
відрізок МК, такий, що М7С||АО. Сполучимо точки А і М,
К і Б. Тоді АМКБ - шуканий переріз (мал. 104).

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

282. Відомо, що дві прямі, які лежать у площині а, паралельні
площині р. Чи випливає з цього, що сс|| р?

283. Кожна діагональ ромба АВСБ паралельна площині а. Як
розміщені площини а і (АВС)?

284. Чи буде площина трапеції паралельна площині а, якщо
цій площині паралельні:

а) основи трапеції; б) бічні сторони трапеції?

285. Чи можуть мати однакові довжини від-
різки иепаралельних прямих, що міс-
тяться між паралельними площинами?

286. Площина у перетинає площини а і р по
паралельних прямих. Чи випливає з
цього, що площини а і Р паралельні?

287. Чи паралельні прямі АВ і АХВХ, якщо
паралельні площини а і р вони пе-
ретинають у точках А, В, Ах, Вх, як
показано на малюнку 105?
РОЗДІЛ з

І- .. -ф і Ф ая-

® Ф £ *.. Ь & Ф $ З Ф *•

-& і? » £- І « Ф ф $ ф « « ф

288. Площини а і Р паралельні. Про-
мені ЗА і ЯА1 перетинають площину.а
в точках А і Аг (мал. 106). ЗА пере-
тинає площину Р у точці В. Побу-
дуйте точку Вг перетину 8Аг з площи-
ною р.

289. Пряма а паралельна площині а.
Як через пряму а провести площину,
паралельну а?

290. Площини а і Р паралельні. Дове-
діть, що кожна пряма площини а
паралельна площині р.

291. Відрізки ОА, ОВ і ОС не лежать в
одній площині. Доведіть, що площина,
яка проходить через їхні середини,
паралельна площині (АВС) (мал. 107).

292. Точка О - спільна середина кож-
ного з відрізків АА19 ВВР ССХ, які не
лежать в одній площині. Доведіть, що
площини (АВС) і (А1В1С1) паралельні.

293. Чи можуть перетинатися пло-
щини а і р, якщо кожна з них
паралельна площині у?

294. Доведіть, що коли пряма або пло-
щина перетинають одну з двох

паралельних площин, то перетинають і другу.

295. Площини а і р перетинаються. Доведіть, що будь-яка
площина простору перетинає хоча б одну з цих пло-

щин.

296. Доведіть, що через дві будь-які мимобіжні прямі можна
провести єдину пару паралельних площин.

297. Через точку С, яка лежить поза паралельними площинами
а і р, проведено прямі а і 6, що перетинають площину а
в точках А і Ах, а площину Р у точках В і Вх відповідно.
Знайдіть ААр якщо:

а) АС = 2 см, АВ = 6 см, ВВХ = 10 см;

б) АХС : АХВХ = 2:3, ВВХ = 10 см;

в) АС = 2 см, ВВХ = 8 см, СВ = ААХ;

г) АС = 2 см, ВВХ = 24 см, ВА = ААХ.

298. Точка С лежить між паралельними площинами а і р.
Через точку С проведено прямі а і &, які перетинають
площину а в точках А і Ах, а площину р у точках В і Вх
відповідно. Знайдіть ААХ, якщо:
Паралельність прямих і площин у просторі

« < ® *. * $ * « « & * ® .% ® $ » * « * > * «& « * • § & *

а) АС = 2 см, ВС = 5 см, ВгВ = 15 см;

б) АСіВС = 2:3, ВВ± = 9 см;

в) АС = 1 см, ВГВ = 6 см, ААГ = АВ;

г) АС = 3 см, ВгВ = 12 см, АА± = СВ.

299. Паралельні відрізки АВ і СО містяться між паралельними
площинами а і Р так, що точки А і С належать площині
а, а В і О - площині р. Знайдіть АЛ і ВС, якщо:

а) ВС = 25 см, АС =7 см, 2САР = 90°;

б) АС = 5 см, СР = 8 см, ЛАСО = 120°.

300. Дано тетраедр АВСВ. М є ВВ, N є ВВ, ВМ = МУ = УВ.
Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить
через точку М паралельно площині (АУС). Обчисліть
периметр і площу перерізу, якщо АУ = СУ = 25 см,
АС = 14 см.

ЗОЇ. Точка Ах ділить ребро РА тетраедра РАВС у відношенні
РА1: АгА = 2:3. Побудуйте переріз тетраедра площиною,
яка паралельна площині (АВС) і проходить через точку Аг
Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АВС - рівно-
сторонній трикутник і АВ = 20 см.

302. Точка X ділить ребро АВ куба АВСРАХВХСХВХ у відно-
шенні АХ.ХВ = 2:3. Побудуйте переріз цього куба пло-
щиною, яка паралельна площині (АА1С1) і проходить
через точку X. Знайдіть периметр перерізу, якщо
АВ = а.

303. Накресліть паралелепіпеди (мал. 108, а-г) в зошит і
побудуйте їх перерізи, які проходять через точки М9
N. К.

304. Рівні трикутники АВС і А1В1С1 розміщено в площинах а
і Р так, що прямі АА1, ВВХ, ССХ паралельні. Чи випливає
з цього, що площини а і р паралельні?

305. Доведіть, що коли перерізом паралелепіпеда є шестикут-
ник, то його протилежні сторони паралельні.
розділ з

306- Кожна грань дошки - прямокут-
ник (мал. 109). Доведіть, що в якому
напрямі не розпилювали б дошку,
перетинаючи всі її поздовжні ребра, у
перерізі завжди буде паралелограм.

307. Чи може перерізом куба бути пра-
вильний п’ятикутник?

308. АВСВЕЕА - неплоска замкнена
ламана із шести ланок. Доведіть, що

коли АВ\\ВЕ9 ВС\\ЕЕ і СВ||К4, то АВ = ВЕ9 ВС = ЕЕ і
СВ = ГА.

309. Відрізки АВ і СВ паралельних прямих розміщені між
паралельними площинами а і 0 так, що точки А і С
лежать у площині а, а В і В - у площині р. СВ = 7 см,
АВ = у/129 см. Знайдіть АВ і ВВ9 якщо ВС на 3 см біль-
ший, ніж АС.

310. Дано тетраедр АВСВ9 М є АВ9 АМ:МВ =1:3. Побудуйте
переріз тетраедра площиною, що проходить через точку
М паралельно площині (ВВС). Знайдіть площу і периметр
перерізу, якщо £\ВВС - рівносторонній і його площа
дорівнює 64 см2.

311. Дано тетраедр АВСВ.Р є ВС, ВР=СР,МєАС9 СМ:АС= 1:3.
Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить
через точку М паралельно площині (АВР). Знайдіть
сторони перерізу, якщо АВ = АС = 20 см, ВС = 16 см,
АВ = ВВ = ВС = 17 см.

312. Дано куб АВСВА1В1СХВГ М є ААр N є ВВ19 К є ССр
АМ:МАг = ВМ:МВг = СгК:КС = 2:1. Побудуйте переріз
куба площиною, що проходить через точки М9 ЛГ, К.
Знайдіть його периметр, якщо АВ = а.

313. Дано прямокутний паралелепіпед АВСВА1В1С12>1, М -
середина А1В1. Побудуйте переріз паралелепіпеда площи-
ною, що проходить через точку М паралельно площині
(ВВ12)1). Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо
АВ = а, АВ = Ь, ААг = с.

314. АВСРА1В1С1О1 - прямокутний паралелепіпед, АВ = ВС = а,
К - середина ребра А1В1 і ЛКАС = а. Побудуйте переріз
паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А,
С, К9 і знайдіть його площу. Обчисліть, якщо а = 3,78 дм,
а = 75°.

315. Дано куб АВСВА1В1С1£>1, М - середина ребра ССГ Побу-
дуйте переріз куба площиною, яка проходить через вер-
шину Сг паралельно площині (ВМВ). Знайдіть периметр і
площу перерізу, якщо ребро куба а.
Мал. 110 Мал. 111

316. Дано куб АВСВАХВХСХВХ, АВ = а. Побудуйте переріз куба
площиною, що проходить через вершину В, паралельно
площині (ДВ^С). Знайдіть периметр і площу перерізу.

317*. АВСВА1В1С1О1 - паралелепіпед. Точка Р лежить в грані
АА1В1В9 К - в грані АА^^, Ь є С^Ор М є ААХ (мал.
110). Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що
проходить через точку М9 паралельно площині (РКЬ).

318*. АВС£>А1В1С1£>1 - паралелепіпед. М є АХВХ, N лежить у
площині грані £>ВХСХС, К - у площині грані АВСЬ
(мал. 111). Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною,
що проходить через точку Р є £>2)х, паралельно площині
(МІЇК).

319*. Дано три паралельні площини а, ах, а2 і прямі а, &, які
перетинають їх відповідно в точках А, Ах, А2 і В, Вр В2.
Доведіть, що ААХ: А1А2 = ВВ±: ВХВ2.

320*. Проведіть дві паралельні площини, які відтинають на
трьох даних попарно мимобіжних прямих рівні відрізки.

321. ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ. Зробіть з картону або цупкого
паперу модель до теореми 8.

Вправи для повторення

322. Середня лінія трапеції дорівнює 8 см і поділяється
діагоналлю на два відрізки так, що різниця між ними
дорівнює 2 см. Знайдіть основи трапеції.

323. Прямі а і Ь - мимобіжні. Точки А і В лежать на прямій
а, а точки М і N - на прямій Ь. Яке взаємне розташу-
вання прямих А^ і ВМ1

324. АВСВ - квадрат, точка К не лежить в його площині.
Знайдіть периметр чотирикутника АХВХСХ£>Х, якщо Ах,
Вр Сх, £>х - середини відрізків АК, ВК9 СК9 ОК і
АВ = 8 см.
ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ
І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Для зображення просторових фігур у стереометрії, як і в
кресленні, користуються паралельним проектуванням. При-

гадаємо, що це таке.

Мал. 112

Нехай дано довільну площину о і точку А
(мал. 112). Проведемо через точку А пряму,
яка перетинає площину со у деякій точці Аг
Знайдену таким способом точку Аг називають
проекцією точки А на площину со, пряму
АА1 - проектуючою прямою, со - площиною
проекцій.

Щоб побудувати проекцію будь-якої фігу-
ри, треба спроектувати на площину проекцій

кожну точку даної фігури. Якщо проектуючі прямі проводять
через одну точку, кажуть про центральне проектування. Якщо
проектування здійснюється паралельними прямими, його нази-

вають паралельним проектуванням, а побудовані проекції -
паралельними проекціями. У стереометрії фігури зображають
зазвичай за допомогою паралельного проектування.

Теорема 11. Якщо відрізки, які проектуються, не па-
ралельні проектуючій прямій, то при паралельному
проектуванні:

1) відрізки фігури зображаються відрізками;

2) паралельні відрізки — паралельними відрізками, або
відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків або відрізків
однієї прямої зберігається.

ДОВЕДЕННЯ. 1) Усі прямі, паралельні проектуючій прямій І,

які перетинають даний відрізок АВ, заповнюють частину площи-

ни а, обмежену паралельними пря-
мими АА1 і ВВ1 (див. задачу 220). Ця
частина площини перетинає площину
проекцій со по відрізку А^В^ - проекції
відрізка АВ на площину со (мал. 113).

2) Нехай відрізки АВ і СВ, що про-
ектуються, паралельні. Усі прямі, що
їх перетинають і паралельні І, за-
повнюють частини однієї площини
(мал. 114) або паралельних площин
(мал. 115). Ці частини площин перетинають площину со відпо-
відно по відрізках однієї прямої або по паралельних відрізках
А1В1 і С1£>1 - проекціях даних відрізків на площину со.

3) Якщо відрізки АВ і СІ), які проектують» розміщені на
одній прямій (мал. 113), то за теоремою Фалеса:

А1В1:С1В1 = АВ:СВ.

Якщо відрізки АВ і СВ паралельні, а їх проекції АХВХ і
Сх£>х лежать на одній прямій (мал. 114), то АВВ2А2 - парале-
лограм. У цьому випадку

АХВХ:СХРХ =А2В2:СР=АВ:СР.

Нарешті, якщо проекції АХВХ і С1В1 даних паралельних
відрізків АВ і СВ не лежать на одній прямій (мал. 115), то
побудуємо паралелограм СВКВ. Його проекція - паралелограм
СХРХК'ХВХ. Маємо:

АХВХ: СХРХ = АХВХ: ВХЖ\ = АВ: ВК = АВ: СВ.

Отже, завжди

АХВХ:СХРХ = АВ:СВ,
тобто довжини проекцій паралельних відрізків або відрізків
однієї прямої відносяться, як довжини відрізків, які проектують.
Розглянуті властивості паралельного проектування дають
змогу наочно і з більшою визначеністю зображати неплоскі
фігури на площині.

Оскільки інших проекцій, крім паралельних, далі не
розглядатимемо, умовимося їх називати просто проекціями
без слова «паралельні».

Для допитливих*••••••••••••••••••••••••••

Крім паралельного проектування, чимало'фахівців
користуються і центральним проектуванням, коли
проектуючі прямі проходять через одну точку (мал.
116). Таким проектуванням, зокрема, користуються
Мал. 117

художники, називаючи його перспективою (мал. 117). Властивості цент-
рального проектування відрізняються від паралельного проектування.
Леонардо да Вінчі писав: «Живописець і є той, хто за потребою свого
мистецтва створив... перспективу». І А. Дюрер зізнавався: «Виявити
закони перспективи я бажав більше, ніж отримати королівство».

Властивості центрального проектування ми не розглядатимемо.
Говорячи далі про проекції, матимемо на увазі тільки паралельні
проекції.

9 ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ

ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1* Поясніть кількома реченнями, що таке проектування.

2» Які види проектування вам відомі?

З* Що таке паралельне проектування?

4. Сформулюйте і доведіть найважливіші властивості
паралельного проектування.

Н
\ . ж< Виконаємо разом

1. Доведіть, що коли ДА1ВХС1 - проекція ДАВС і площини
цих трикутників паралельні, то

ДАХВХСХ = ДАВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Оскільки площини
трикутників АВС і АХВХСХ паралельні
(мал. 118), то паралельні відрізки ААХ,
ВВХ, ССр що містяться між ними,
рівні. Отже, чотирикутники АВВХАХ,
АССХАХ і ВССХВХ - паралелограми,
АХВХ = АВ, АХСХ = АС, ВХСХ = ВС. За
трьома сторонами трикутники АВС і
АХВХСХ рівні.
2. Чи правильно, що плоска фігура дорів-
нює своїй проекції тільки за умови,
якщо вона розміщена в площині,
паралельній площині проекцій?

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Ні. Наприклад, якщо
АВСВ - правильний тетраедр, а проек-
туюча пряма АВ, то грань ВСО - про-
екція грані АСВ. Ці грані рівні, хоча й
не лежать у паралельних площинах.

3. Нехай трапеція А1В1С1Л1 (мал. 119, б)
є паралельною проекцією прямокутної
трапеції АВСО (мал. 119, а). Побудуйте
проекцію висоти СН цієї трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай у трапеції АВСО
кути А і В прямі. Тоді висота СН буде
паралельною стороні АВ. Оскільки при
паралельному проектуванні паралельні
прямі переходять у паралельні прямі,
то потрібно через точку С1, провести
пряму СгН 1, паралельну А1ВГ

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

325. Проекція фігури - точка. Назвіть цю фігуру.

326. Відрізок а - проекція відрізка Ь. Чи завжди а коротший,
ніж Ь?

327. АВСВ - паралельна проекція паралелограма А1В1С1Р1 на
площину а (мал. 120). Укажіть помилки на малюнках.

328. Чи може бути:

а) ромб проекцією квадрата;

б) ромб проекцією трапеції;
ЯІМ розділ з

•? « Я * Л • » 4 ♦ Яг 9' & % % $ < «? ® « # « « і> & «а *>«$-»•£ « •£ * « « -5» Ж « # і

в) рівнобічна трапеція проекцією нерівнобічної;

г) нерівнобічна трапеція проекцією рівнобічної;
ґ) відрізок проекцією неплоскої фігури?

329. Учень говорить: «Якщо фігура А така, що її проекції на
дві різні площини - відрізки, то А - відрізок». Чи пра-
вильно це?

330. Кожна сторона трикутника паралельна його проекції.
Зобразіть малюнок. Доведіть, що ці трикутники рівні.

331. Чи можуть непаралельні прямі проектуватися в паралельні
прямі? Відповідь обґрунтуйте. Виконайте малюнки.

332. Якою фігурою може бути паралельна проекція на пло-
щину двох прямих, які: а) перетинаються; б) паралельні;
в) мимобіжні? Розгляньте різні випадки. Виконайте
малюнки.

333. Якою фігурою може бути проекція прямого кута?

334. Як потрібно розмістити у просторі три точки, щоб їх
паралельними проекціями були: а) одна точка; б) дві
точки; в) три точки, які лежать на одній прямій; г) три
точки, які не лежать на одній прямій? Виконайте ма-
люнки.

335. Доведіть, що паралельною проекцією многокутника,
площина якого паралельна площині проекцій, є много-
кутник, рівний даному.

336. Чи перетинаються прямі АВ і СВ, зображені на малюнку
121, якщо А1В1 і С1Р1 - їхні проекції на площину а?

337. Трикутник А1В1С1 - проекція трикутника АВС. Побудуйте
проекції середніх ліній і медіан трикутника АВС.

338. Намалюйте довільний паралелограм. Нехай він - проек-
ція ромба з кутом 120°. Побудуйте проекцію висоти ромба,
проведеної з вершини цього кута.

Мал. 121

339. Нехай паралелограм А1В1С1В1 - проек-
ція квадрата АВСВ. Побудуйте проекції
осей симетрії цього квадрата.

340. Накресліть довільний паралелограм
А1В1С1Р1. Нехай він - проекція деякого
прямокутника АВСВ. Побудуйте проекції
прямих, які проходять через точку перетину
діагоналей, паралельно його сторонам.

341. ВН, ВМ, ВЬ - висота, медіана і бісек-
триса трикутника АВС. △А1В1С1 - паралель-
на проекція ДАВС. Чи буде паралельною проекцією від-
різків ВН9 ВМ9 ВЬ висота, медіана і бісектриса △А1В1С1?
Відповідь обґрунтуйте.

342. Накресліть довільний трикутник А1В1С1. Нехай він є па-
ралельною проекцією рівностороннього ДАВС. Побудуйте
проекції прямих, які проходять через точку М (М є АВ)
перпендикулярно до сторін трикутника.

343. Паралелограм А1В1С1Л1 є паралельною проекцією ромба
АВСВ. Побудуйте проекції перпендикулярів, проведених
з точки М (М є ВС) до діагоналей ромба.

344. Р - внутрішня точка квадрата АВСВ. Нехай паралелограм
А1В1С12>1 і його внутрішня точка М1 - паралельна
проекція цього квадрата і точки М. Побудуйте проекції
прямих, які проходять через точку М перпендикулярно
до: а) сторін квадрата; б) діагоналей квадрата.

345. Якою фігурою може бути паралельна проекція на пло-
щину: а) куба; б) тетраедра; в) чотирикутної піраміди?
Виконайте відповідні малюнки.

346. Намалюйте довільну трапецію А1В1С1В1. Нехай вона -
проекція деякої рівнобічної трапеції АВСВ. Побудуйте
проекцію висоти цієї трапеції, проведеної з вершини В.

347. Нехай паралелограм А1В1С1£>1 є паралельною проекцією
ромба АВСВ, у якого 2а = 60°. Побудуйте проекції висот
ромба, проведених з точки А.

348. Накресліть довільний АА1В1С1. Нехай він - паралельна
проекція ДАВС (/^С = 90°) з катетами 6 см і 8 см. Побудуйте
проекції центрів кіл, вписаного в трикутник і описаного
навколо нього.

349. Паралельною проекцією точок М9 N. К9 що лежать на
одній прямій на площину а, є точки М19 Знайдіть

М1М1 і МХК19 якщо Л47У = 6 см, МК = 4 см, = 5 см.

350. Чи правильно, що коли - проекція плоскої фігури Р9
то і В - проекція фігури Вт?

351. Ребро куба АВСВА1ВІС1В1 дорівнює 6 см. Знайдіть площу
проекції трикутника АВХС: а) на площину грані АВСВ в
результаті проектування в напрямі ВгВ; б) на площину
грані АВВуА^ в результаті проектування в напрямі С1А1;
в) на площину грані СВВуС1 в результаті проектування в
напрямі АСГ

352. РАВС - тетраедр, площа грані АВС дорівнює (}. Знай-
діть площу паралельної проекції його грані РВС на
розділ з

З» > % & « « =Є 3 « » •£ $ & 56- Я? ® *• $ >і $ * *. ®

площину (АВС) у результаті проектування: а) у напрямі
РА; б) у напрямі РМ9 де М - середина ребра АВ.

353*. Паралельною проекцією правильного п’ятикутника є
п’ятикутник АВСОЕ, у якого АВ = ВС - 1, /АВС = 90°.
Знайдіть довжини решти сторін п’ятикутника АВСВЕ.

Вправи для повторення

354. Дано пряму а і точку М9 М е а. Через точку М проведіть
пряму Ь так» щоб прямі аіЬ були: а) паралельні; б) мимо-
біжні; в) перетиналися.

355. К9 Р9 Т - середини ребер АВ9 СВ і А1В1 паралелепіпеда
АВСВА1В1С1В1. Побудуйте переріз цього паралелепіпеда
площиною, яка проходить через точки: а) К9 Р9 Т; б) К9
Р9 Ар в) С, Л, Т.

356. АВСВА1В1С1В1 - прямокутний паралелепіпед, АВ = ВС = а
і /.ВгАС = а. Знайдіть площу трикутника АВ1С.

{ § 101 ЗОБРАЖЕННЯ ФІГУР У СТЕРЕОМЕТРІЇ

У стереометрії розглядаються не тільки плоскі, а й неплоскі
фігури. Зображати неплоскі фігури на площині непросто:
неминуче доводиться спотворювати деякі їхні елементи.

Особливо живописці намагалися з’ясувати, як найкраще
просторові фігури зображати на плоскому полотні, щоб отримати
зображення, схожі з реальними. Вони виявили, що для цього
найбільш придатна перспектива - центральне проектування.

Для геометрів, креслярів та інших фахівців кращим вия-
вилося паралельне проектування - коли паралельні відрізки
фігури-оригіналу проектуються на паралельні відрізки.

Якщо маємо яку-небудь фігуру Е - оригінал і її паралельну
проекцію Ех на площині, то можна вважати зображенням
фігури Е. А як зображати на аркуші паперу надто великі
об’єкти, наприклад куб зі стороною 10 м? Домовилися зобра-
женням такого куба вважати його проекцію на площину,
зменшену в кілька разів.

У геометрії зображенням фігури називається будь-яка фігура,
подібна до паралельної проекції даної фігури. При цьому маються
на увазі проекції, які дають змогу однозначно визначити форму
зображуваної фігури. Оскільки, наприклад, кожний многокут-
ник можна спроектувати на площину так, що його проекцією
буде відрізок. Паралельною проекцією куба
може бути, крім інших, прямокутник з від-
різком (мал. 122). А такі зображення не
наочні і незрозумілі: існує безліч різних
геометричних тіл, відмінних від куба, що
мають такі самі проекції (мал. 123, 124).

Якщо проектуюча пряма паралельна пло-
щині плоскої фігури, то проекцією такої
фігури є точка, відрізок, промінь чи пряма.
Зокрема, проекцією трикутника, довільного
многокутника, кола і круга може бути від-
різок. Такі проекції називають виродже-
ними. Здебільшого у стереометрії розгля-
дають невироджені проекції.

Щоб зображення многогранника було
зрозумілішим, з усіх можливих його проек-
цій вибирають такі, на яких є зображення
усіх його ребер. При цьому «невидимі»
ребра (розташовані за іншими частинами
многогранника) зображають штриховими
відрізками. Креслярі користуються й інши-
ми видами ліній (мал. 125).

У стереометрії найчастіше доводиться
мати справу із зображеннями неплоских
фігур: призм, пірамід і т. п. А щоб правильно
виконувати їх, бажано знати, якими можуть
бути зображення трикутника, паралело-

грама, кола тощо.

Зображенням паралелограма може бути будь-який інший пара-
лелограм, оскільки при паралельному проектуванні паралельні
відрізки відображаються на паралельні відрізки. Зокрема, ромб,
прямокутник, квадрат можна зображати будь-яким паралелогра-
мом. І навпаки, будь-який паралелограм можна вважати зобра-
женням квадрата, ромба, прямокутника чи іншого паралелограма.

Зображенням трапеції може бути будь-яка інша трапеція з
таким самим відношенням довжин основ, оскільки при
паралельному проектуванні відношення довжин паралельних
відрізків зберігається.

------------тонка

— потовщена

- — штрихова

— штрихпунктирна

•••• пунктирна
Мал. 125
Зображаючи плоскі фігури при паралельному проекту-
ванні, корисно враховувати дві такі теореми.

Теорема 12. Довільний трикутник А'В'С може бути
зображенням даного трикутника АВС.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай в площині а дано ДА'В'С', а в просторі
ДАВС. Доведемо, що ДАВС можна так розмістити у просторі

відносно площини а і задати такий напрям проектування, що

проекцією ДАВС буде трикутник, подібний до ДА'В'С'.

Побудуємо у площині а ДА1В1С1,
подібний до ДА'В'С' так, щоб
А3ВХ = АВ (мал. 126). ДАВС роз-
містимо у просторі так, щоб сторони
А1В1 і АВ сумістилися, а площина
ДАВС не збігалася з площиною а.
Тоді при паралельному проектуван-
ні в напрямі СС± проекцією ДАВС
буде /ХА1В1С1, подібний до ДА'В'С'.
А це означає, що ДА'В'С' - зобра-
ження ДАВС.

Мал 126 Із теореми випливає, що

зображенням даного трикутника (у
тому числі й рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного)
може бути довільний трикутник.

Теорема 13. Якщо на площині зображень а зображенню
ААВС відповідає &А'В'С'9 то на площині можна одно-
значно побудувати зображення довільної точки, яка
лежить у площині ААВС.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай Р - довільна точка, що лежить у пло-
щині ДАВС (мал. 127), і промінь АР перетинає сторону ВС
у точці М. Побудуємо зображення точки Р у площині а.
Нехай ДА'В'С' - зображення ДАВС (мал. 128). Скориставшись
1 « «

Паралельність прямих і площин у просторі

< -і’ *- < ~ у V? -л? *• " * хг

умовою В9М9: М'С = ВМ: МС9 на прямій
В'С' побудуємо єдину точку М'. А за
умовою АМ9 : М9Р' = АМ : МР можемо
побудувати точку Р — зображення точки Р.

На основі цих теорем зображення
плоскої фігури Р можна виконувати в
такий спосіб:

1. Виділити в Р який-небудь трикут-
ник.

2. Зобразити цей трикутник довіль-
ним трикутником.

3. Побудувати зображення інших
точок фігури Р, користуючись тільки
тими її властивостями, які зберігаються
при паралельному проектуванні.

Для виконання деяких зображень
доцільно в заданій фігурі виділяти не
трикутник, а інший многокутник. На-

приклад, щоб побудувати зображення правильного шестикут-
ника АВСВЕР (мал. 129), потрібно врахувати, що АВСО -
ромб, точка О - центр симетрії шестикутника. Отже, щоб
зобразити цей шестикутник, потрібно (мал. 130):

1. Побудувати довільний паралелограм АВ9С9О9 - зобра-
ження ромба АВСО.

2. Побудувати точки 2)', Р', Рг, симетричні точкам А', В', С9
відносно точки О9.

Правильний шестикутник можна зображати довільним
шестикутником, кожна сторона якого паралельна протилежній
стороні й одній з діагоналей, що проходить через центр

Мал. 130

шестикутника.

Коло в стереометрії зображають довільним еліпсом (мал.
131), адже при паралельному проектуванні коло відобража-
ється на еліпс. Тому зображення циліндра, конуса та інших
фігур обертання містять різні еліпси. Детальніше з ними ви
ознайомитеся в 11-му класі.

При зображенні многокутників,
вписаних у коло або описаних навколо
нього, користуються поняттям спряже-
них діаметрів. Два діаметри еліпса
називаються спряженими, якщо кож-
ний з них ділить хорди, паралельні
іншому, навпіл. На оригіналі спряже-
ним діаметрам еліпса відповідають

7-веоте<^а.10М.
Мал. 132

Мал. 133

перпендикулярні діаметри кола. Щоб побудувати спряжені
діаметри еліпса (мал. 132), потрібно:

1. Побудувати довільний діаметр АВ.

2. Провести довільну хорду АПУ||АВ.

3. Знайти точку Р - середину хорди МІЧ.

4. Через точки О і Р провести діаметр СО.

Якщо сполучити послідовно точки А, С, В, І>, то отримаємо
зображення квадрата, вписаного в коло (мал. 133). Чому?

Креслити просторові фігури потрібно так, щоб зображення
було правильним (було фігурою, подібною до паралельної
проекції оригіналу) і наочним (давало правильне уявлення
про форму оригіналу), швидко і легко виконувалося.

Щоб зобразити піраміду (мал. 134), потрібно:

1. Побудувати зображення многокутника, який лежить в її
основі.

2. За умовою задачі знайти положення точки О - основи
висоти 80. (Пригадайте, що таке висота піраміди.)

3. З точки О вертикально вгору провести промінь, на якому
вибрати точку 8 - вершину піраміди.

4. Сполучити точку 8 з вершинами основи.

5. Виділити видимі і невидимі ребра піраміди.

Зображенням довільного тетраедра при паралельному про-
ектуванні може бути будь-який чотирикутник з проведеними
в ньому діагоналями. Для наочності невидимі ребра тетраедра
зображають штриховими лініями (мал. 135). Зображення
тетраедра на малюнку 136 правильне, але не наочне.

Мал. 134

Мал. 136

Мал. 135
Мал. 137

Мал. 138

Мал. 139

Паралелепіпед краще будувати, починаючи з основи (мал. 137):

1. Побудувати довільний паралелограм АВСВ.

2. По один бік від площини цього паралелограма провести
паралельні відрізки ААГ ВВГ СС19 ВВр що мають рівні довжини.

3. Побудувати паралелограм А1В1С1В1.

4. Виділити видимі й невидимі ребра.

Побудову призми виконують аналогічно, починаючи з
основи. Для наочності бічні ребра прямої призми зображають
вертикальними відрізками (мал. 138), а похилої призми - по-
хилими (мал. 139).

Різні способи зображення просторових фігур на площині
розглядаються в кресленні і в нарисній геометрії.

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

І • Що називають зображенням фігури у стереометрії?

2. Який вид проектування використовують при зобра-
женні фігур у стереометрії?

3. Сформулюйте і доведіть теорему про зображення
трикутника.

4. Якими фігурами можна зображати паралелограм,
прямокутник, квадрат, ромб?

5. Якими фігурами можна зображати трапецію?

6* Якою фігурою у стереометрії зображають коло?

Як побудувати спряжені діаметри еліпса?

З» Як побудувати прямокутний паралелепіпед, похилий
паралелепіпед, трикутну призму, чотирикутну піраміду?

и ____________________________- -___________________

> Виконаємо разом

1. Побудуйте зображення квадрата, вписаного в рівнобедре-
ний прямокутний трикутник, якщо дві вершини квадрата
лежать на гіпотенузі, а дві інші - на катетах.

7*
Мал. 141

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай квадрат ЕЕРК вписаний в ААВС, у
якого /.С = 90°, АС = ВС (мал. 140). Якщо трикутник рів-
нобедрений прямокутний, то /А = 45°, тоді /АЕЕ = 45°.
Значить, ЕАЕЕ - рівнобедрений прямокутний і АЕ - ГЕ = ЕР.
Аналогічно доводиться, що ВР = РК = РЕ. Тоді АЕ = ЕР = РВ.

Проведемо СМ ± АВ, тоді М - середина АВ. Оскільки
КР ± АВ, ЕЕ ± АВ, то ТСРЦЕРЦСЛ/. Враховуючи все це,
можемо виконати побудову зображення (мал. 141).

1. Побудуємо довільний ЬАВС, який є зображенням /АВС.

2. Точками Е' і Р' поділимо відрізок А'В' на три рівні
частини.

3. Проведемо відрізок СМ', де М' - середина А'В'.

4. Проведемо Е'Г|СЛГ і РК\СМ'. Чотирикутник Е'ГРК' -
зображення шуканого квадрата.

2. РN - діаметр кола. На промені NР знайдіть точку М таку,
що дотичні, проведені з неї до кола, утворюють кут 60°
(мал. 142). Побудуйте зображення точки М та дотичних.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай МА і МВ - дотичні, ЕАМВ = 60°.
Тоді ЛАМО = ЛОАК=30°, тому МО=2ОА=2ОР і ОК=0,5ОА=
= 0,5ОР. Враховуючи, що АВ ± МО, можемо будувати
зображення.

Нехай еліпс із центром О' є зображенням даного кола, а
діаметр Р'№ - зображенням діаметра Р^ (мал. 143).

Мал. 142

Мал. 143
1. Проведемо промінь №Р' і позначимо на ньому точку
М9 таку, що О'М' = 2О9Р9.

2. Позначимо точку К9 - середину Р9О9.

3. Побудуємо діаметр Е'Е\ спряжений до Р9М9.

4. Через точку К9 проведемо А9В91| Е9Е9.

5. Проведемо промені М9А9 і М'В\ які і будуть
зображенням шуканих дотичних.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

357. Чи може рівносторонній трикутник бути зображенням
прямокутного трикутника? А тупокутного?

358. Чи може зображенням квадрата бути ромб? А зображенням
трапеції паралелограм?

359. Зображенням якого трикутника є трикутник АВС,
якщо точка В лежить на еліпсі, а АС - діаметр цього
еліпса?

360. АВ і СВ два довільні діаметри еліпса. Зображенням якого
чотирикутника є чотирикутник АСВВ*1 А якщо діаметри
спряжені?

361. Яка з наведених на малюнку 144 фігур є зображенням
(паралельною проекцією) куба?

а)

б)

Мол. 144

362. Який із шестикутників, що на малюнку 145, є зображенням
правильного шестикутника? Чому?

Мол. 145
ТІ т

& Я & л =5 <• -5 < © і?- й-

Мал. 146

363. Чи можна малюнок 146 вважати зображенням пря-
мокутного паралелепіпеда? Чи наочне таке його зобра-
ження?

364. Точки А19 А2, А39 які не лежать на одній прямій, є пара-
лельними проекціями двох вершин і точки перетину
діагоналей паралелограма. Побудуйте зображення пара-
лелограма. Скільки розв’язків має задача?

365. Точки А19 А29 А39 які не лежать на одній прямій, є
паралельними проекціями однієї вершини і середин двох
сторін трикутника. Побудуйте зображення трикутника.
Скільки розв’язків має задача?

366. Побудуйте зображення прямих, які проходять через точку
М - внутрішню точку рівностороннього ДАВС, перпенди-
кулярно до сторін цього трикутника.

367. Трикутник А'В'С' - паралельна проекція рівностороннього
ДАВС. Побудуйте зображення центра кола, вписаного в

трикутник.

368. Трикутник А’В'С' - паралельна проекція рівнобедреного
прямокутного ДАВС (АС = 90°). Побудуйте зображення
серединних перпендикулярів, проведених до сторін три-
кутника.

369. Дано зображення трикутника і двох його висот (мал. 147).
Побудуйте зображення центра описаного кола.

370. Трикутник А'В'С' - паралельна проекція прямокутного
ДАВС (АС = 90°). Побудуйте зображення центра впи-

Мал. 147

саного в трикутник кола, якщо
ВС:АВ = 4:5.

371. У трикутнику АВС АВ: АС = 2:3.
Побудуйте зображення бісектриси,
проведеної з вершини А.

372. Основи рівнобедреної трапеції
пропорційні числам 1 і 2. Побудуйте
зображення цієї трапеції, її середньої
лінії та висот.
373. Накресліть еліпс і проведіть довільний діаметр АВ.
Побудуйте діаметр, спряжений до АВ.

374. Побудуйте зображення: а) квадрата, вписаного в коло;
б) квадрата, описаного навколо кола.

375. Побудуйте зображення правильного трикутника: а) впи-
саного в коло; б) описаного навколо кола.

376. Побудуйте зображення прямокутного трикутника,
вписаного в коло.

377. Побудуйте зображення прямокутника, вписаного в коло.

378. На колі дано точку М. Побудуйте зображення дотичної,
проведеної до кола в цій точці.

379. Побудуйте зображення квадрата, вписаного в прямокут-
ний трикутник, якщо вони мають спільний прямий кут і:
а) трикутник рівнобедрений; б) катети, пропорційні чис-
лам 3 і 5; в) гіпотенуза і катет відносяться як 13:5.

380. Побудуйте зображення паралелепіпеда АВСПА1В1С1І>1,
якщо дано зображення точок: а) А, В, С, Р1; б) А, В, В, Ах;
в) В, Вр Ср В.

381. Гострий кут ромба дорівнює 60°. Побудуйте зображення
висот цього ромба, проведених з вершини: а) тупого кута;
б) гострого кута.

382. Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника від-
носяться як 3:2. Побудуйте зображення центра кола,
вписаного в трикутник.

383. У рівнобедреному трикутнику АВС висота АН ділить
сторону ВС у відношенні ВН'.НС = 3:1. Побудуйте зобра-
ження центра кола, описаного навколо трикутника.

384. Еліпс, центр якого невідомий, є зображенням кола.
Побудуйте зображення центра кола.

385. Дано зображення кола, його центра та трикутника,
вписаного в це коло (мал. 148). Побудуйте зображення
висот цього трикутника.

386. Побудуйте зображення правильного шестикутника: а) впи-
саного в коло; б) описаного навколо кола.

387. На площині дано зображення кола,
його центра О, пряма І і точка М9 -----

яка не належить ні прямій, ні колу. у 1

Побудуйте зображення перпенди- )

куляра, проведеного з точки М до /у

прямої І.

388. Побудуйте зображення правильного 1

п’ятикутника. Мал. 148
ЯНК розділ з

ж « г її- *; Ч V Ч -* з- * ’-- Ч % * % ч? * > •¥ 3= -?.

389. Сторони прямокутника відносяться як >/3:1. Побудуйте
зображення перпендикуляра, проведеного з вершини
прямокутника до його діагоналі.

390. Діагоналі ромба відносяться як 1:2. Побудуйте зображення
висоти, проведеної з вершини тупого кута.

391. Побудуйте зображення правильного трикутника, вписа-
ного в квадрат, якщо одна його вершина збігається з вер-
шиною квадрата, а дві інші - лежать на сторонах
квадрата.

392. Побудуйте зображення квадрата, вписаного в рівносто-
ронній трикутник так, що дві його сусідні вершини
лежать на одній стороні трикутника, а дві інші - по одній
на двох інших сторонах трикутника.

393. Побудуйте зображення правильного трикутника, впи-
саного в квадрат так, що вони мають спільну сторону, а
вершина трикутника лежить всередині цього квадрата.

394. Побудуйте зображення ромба АМ1УК, вписаного в ААВС
так, що /А в них спільний, якщо:

а)АВ = ВС = АС;

б)АВ = ВС = 2АС;

в)АВ:АС = 3:5.

395. АВСВЕР - правильний шестикутник. Побудуйте зобра-
ження перпендикуляра, проведеного з вершини А на:

а) діагональ СР;

б) сторону СР;

в) сторону ВС.

Вправи для повторенню

396. Правильний шестикутник і площина а розміщені так, що:
а)АВ||аіВЕЦа;

б) ВСЦех і АЕ||а;

в) АВ||а і РСЦа.

Чи будуть паралельними площина шестикутника і пло-
щина а?

397. У кубі АВСРА1В1С1Р1 через середину ребра: а) А1Р1; б) СС1
проведено площину паралельно площині (АВ1Р1). Знайдіть
периметр і площу утвореного перерізу, якщо АВ = а.

398. Площини а і Р перетинаються по прямій с. У площині а
проведено пряму а, а|Іс. Укажіть кілька способів побу-
дови прямої Ь9 Ь с р, б||а.
МЕТОДИ ПОБУДОВИ ПЕРЕРІЗІВ
МНОГОГРАННИКІВ

Раніше ви вже будували перерізи многогранників площи-
ною. Виконували їх, використовуючи аксіоми стереометрії та
теореми про паралельність прямих і площин. Існують й інші
методи побудови перерізів. Найефективнішими є такі три
методи: 1) метод слідів; 2) метод внутрішнього проектування;
3) комбінований метод.

З методом слідів ви ознайомилися в § 5. Нагадаємо, що
пряма, по якій січна площина перетинає площину а,
називається слідом січної площини в площині а. Точка, в якій
січна площина перетинає пряму, - слід січної площини на цій
прямій.

Якщо многогранником, переріз якого будується, є призма,
то найчастіше використовуємо паралельне проектування на
площину основи. При цьому його напрям визначається біч-
ним ребром призми. Якщо ж многогранником є піраміда, то
використовується центральне проектування на площину
основи. Центром проектування є вершина піраміди, в якій
сходяться всі бічні ребра.

Розглянемо кілька прикладів.

З А Д А ЧА 1. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди 8АВСР
площиною, яка проходить через точки Л/, ТУ, К (мал. 149).

Побудуємо слід січної площини у площині основи. Для цього
спроектуємо точки М9 N9 К на площину основи з точки 8.
Отримаємо точки ТИХ, а проекція точки К збіжиться з
точкою Р. Знайдемо дві точки сліду, побудувавши точки О1
(1УК п = Ох) і О2 (ММ п ТИХТУХ = О2). Отже, пряма ОХО2 - слід
січної площини у площині основи. Тепер можемо побудувати
шуканий переріз. Нехай ВС П ОгО2 = Е, а МК П 8С = Р. Про-
вівши пряму ЕР9 отримаємо відрізок РР9 по якому січна площина
перетинає грань В8С. Далі, якщо РМ А А8 = Н, проведемо
відрізки РВ і ВК. Чотирикутник ВРРК - шуканий переріз.

ЗАДАЧА 2. Побудуйте переріз п’ятикутної призми площи-
ною, яка проходить через точки М9М9 К (мал. 150).

Спроектуємо точки М9 М9 К на площину основи паралель-
но бічному ребру призми. Отримаємо точки М19 Ух, Кг
Побудуємо точки сліду як точки перетину прямих МЛІ І
та прямих N1^ і Побудувавши слід ОХО2, зможемо

побудувати і шуканий переріз. Пропонуємо зробити це
самостійно.

Якщо точку К у грані дано вище (мал. 151), то

точку О2 побудувати складно, бо прямі перетнуться далеко за
межами малюнка. У цьому випадку краще користуватися
іншим методом. Виберемо на прямій 1УК довільну точку Р.
Тоді Р є (М1УК)9 а значить, точки М9 ТУ, Р визначають ту саму
площину, що і точки М9 К. Тепер побудуємо слід площи-
ни (ММР). Для цього спочатку на прямій #Х1СХ побудуємо
точку Р19 яка є паралельною проекцією точки Р (напрям
проектування не змінюється - паралельний бічному ребру
призми). Знайдемо точку О3 - точку перетину прямих РМ і
РгМг Отримали пряму О±О3 - слід січної площини. Зробивши
відповідні побудови, отримаємо шуканий переріз - п’ятикутник
їлищн.

Метод внутрішнього проектування. Цей метод універ-
сальний і має деякі переваги над методом слідів, особливо,
коли слід січної площини знаходиться далеко за межами

малюнка (як це було у задачі 2).

ЗАДАЧА 3. Побудуйте переріз призми АВСВА1В1С1В1 пло-
щиною, яка проходить через точки К, Р9 Т (мал. 152).

Нехай КРТМ - переріз, який треба побудувати. Одну з
його діагоналей КТ можна побудувати, оскільки дано точки К
і Т. Задача зводиться до побудови другої діагоналі. Проекції
обох цих діагоналей побудувати неважко, оскільки вони є
діагоналями основи призми. Встановимо відповідність: діаго-
налі перерізу КТ відповідає проекція В2); діагоналі перерізу
РМ - проекція СА; перетину діагоналей перерізу Ох - точка О.

З описаного аналізу випливає такий спосіб розв’язання

задачі:

1) проводимо діагоналі основи
призми АС, ВВ і позначаємо точку О
їх перетину;

2) проводимо діагональ перерізу КТУ
яку можна провести;

3) через точку О проводимо пряму,
паралельну АА1 до перетину з діаго-
наллю КТ в точці Ох;

4) проводимо пряму РОг до пере-
тину з ААХ у точці М.

Залежно від того, як розміщені
дані точки К, Р і Т, у перерізі може
Мал. 154

бути чотирикутник КРТМ (мал. 152) або п’ятикутник КРТЕЕ
(мал. 153).

Будувати переріз піраміди методом внутрішнього проекту-
вання можна аналогічно, тільки користуватися слід централь-
ним проектуванням.

ЗАДАЧА 4. Побудуйте переріз піраміди площиною, яка про-
ходить через точки М9 М9 К.

Спроектуємо точки М9 N^3 вершини 5 на площину АВСВ.
Отримаємо точки М1, ЛГ1, а точка збіжиться з точкою С
(мал. 154).

Якщо ВМг А СКг = Тр а 8Т± А МК = Т, МТ А 5В = Р9 то
визначаємо точки Е і Я, в яких січна площина перетинає ребра
8АЇ8В.

РК А 8А = Е9 ЕМ А 8В = В.

Провівши відрізки ВМ і МР9 матимемо шуканий переріз
ЕВМР.

Для допитливих ...............

З побудовами перерізів многогранників тісно по-
в’язані деякі планіметричні задачі на побудову.

ЗАДАЧА 5. Дано три паралельні прямі однієї

площини і три точки між ними. Побудуйте трикут-
ник так, щоб його вершини лежали на даних прямих, а сторони
проходили через дані точки (мал. 155).

Якщо користуватися тільки методами планіметрії, задачу розв’я-
зати важко (спробуйте!). Методами стереометрії вона розв’язується
порівняно просто.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Уявімо, що відрізки даних прямих - ребра

трикутної призми, а точки К9 Р9 Т лежать на її бічних гранях.
Паралельність прямих і площин у просторі

і ї £ ' -і ? * *

Залишається побудувати переріз призми площи-
ною, яка проходить через точки К, Р, Т (мал. 156).
Проекція побудованого перерізу АВС - трикут-
ник, який задовольняє умову задачі. Оскільки
точки К і Р можна уявляти то в одній грані
призми, то в іншій, задача може мати два різні
розв’язки. Переконайтеся самостійно.

Як бачимо, розв’язувати деякі планіметричні
задачі можна методами стереометрії, «вийшовши
в простір». Іноді зручно моделлю планіметричної
задачі вважати деяку стереометричну конфі-
гурацію. Це стосується не тільки задач, а й

Мал. 155

багатьох важливих теорем. Одна з них - теорема Дезарга.

Якщо трикутники АВС і АЇВ1С1 розташовані так, що прямі
АА19 ВВ19 ССг проходять через одну точку, то прямі АВ іАхВх, ВС
і ВХСХ, СА і С1А1 перетинаються в точках, що лежать на одній
прямій, або паралельні.

Спробуйте довести теорему, користуючись малюнком 157. Пока-
жіть на малюнку випадок, коли Х¥ II АС II А1С1.

Мал. 156

Мал. 157

1 •• ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ

ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1« Яку пряму називають слідом січної площини?

X Які методи побудови перерізів ви знаєте?

3. Як будувати перерізи многогранників методом слідів?

4Ф У чому полягає суть методу внутрішнього проекту-
вання побудови перерізів? Яку іншу назву має цей
метод?

5. Які методи побудови перерізів поєднуються в комбіно-
ваному методі?
Виконаємо разом

Побудуйте переріз призми АВСВА1В1С1В1 площиною, яка про-
ходить через точки М9 N паралельно прямій АК (мал. 158).

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Побудуємо допоміжний переріз призми,
який проходить через пряму АК і точку М. Для цього побу-
дуємо слід допоміжної площини в площині основи. Одна
точка сліду - точка А, оскільки вона лежить і в площині
перерізу, і в площині основи. Другу точку сліду - точку О1 -
побудуємо як точку перетину прямої МК з прямою ВВ, яка
є проекцією прямої МК на площину основи. Отже, АО1 - слід
січної площини. Тоді можемо побудувати точку О2 - точку
перетину ВС і АОГ Провівши пряму О^9 отримаємо точку Р
(Р є СС1), яку можемо сполучити з точкою К. Чотирикут-
ник АМРК - шуканий допоміжний переріз.

У площині АМРК проведемо пряму АГДЦАК'. Оскільки
пряма АК паралельна прямій МВ9 то вона паралельна
площині, яка проходить через пряму МВ. Це значить, що
площина, яка проходить через пряму МВ і точку ТУ, -
шукана січна площина. Для її побудови спочатку знайдемо
точку В1 - проекцію точки В на площину основи. Потім
будуємо точку О3 (О3 = МВ п ВВ1). Тоді пряма О&Н - слід
січної площини. Знайдемо точку перетину і ребра АВ -
точку В. Якщо О4 - точка перетину прямих О3М і ВС9 то
проведемо пряму О^М і отримаємо точку Е. Проведемо
пряму N71 і отримаємо точку 5, яку можемо сполучити з
точкою Е. Отримали шуканий переріз ВМЕ81У.
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

399- Чи може п’ятикутник бути перерізом шестикутної приз-
ми? А семикутник?

400. Чи може правильний п’ятикутник бути перерізом
паралелепіпеда?

401. Яку кількість сторін може мати многокутник, отриманий
у перерізі чотирикутної піраміди площиною?

402. Побудуйте переріз чотирикутної похилої призми
АВСВА1В1С1В1 площиною, яка проходить через три
точки, що лежать на ребрах ВВ19 СС19 АВ.

403. Побудуйте переріз п’ятикутної призми АВСВЕА1В1С1В1Е1
площиною, яка проходить через точки, що лежать на
ребрах АА19 СС19 ЕЕг

404. Побудуйте переріз п’ятикутної піраміди 8АВСВЕ площи-
ною, що проходить через точки М9 А, Р9 якщо М є 8А9
N є 8С9Р є (В8Е).

405. Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1 площи-
ною МАВ, якщо М є СС1, N є ВЛ19 В є А1В1. Задачу
розв’яжіть: а) методом слідів; б) методом внутрішнього
проектування; в) комбінованим методом.

406. Побудуйте переріз похилого паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1
площиною, яка проходить через точки К9 Ь9 А, якщо
К є (СС1І>1), Ь є (АА1І>1), N є ВВГ Задачу розв’яжіть:
а) методом слідів; б) методом внутрішнього проектування;
в) комбінованим методом.

407. Точка В належить ребру 8А піраміди 8АВСВ9 а точки Р і
Т - бічним граням 8ВС та 8СВ. Побудуйте переріз пі-
раміди площиною (РВТ).

408. Побудуйте перерізи многогранника площиною, яка про-
ходить через точки М9 А, Р (мал. 159, 160).

Мал. 159

Мал. 160
Б

409. Побудуйте переріз піраміди 8АВСВЕ площиною, яка про-
ходить через точки Р і ^9 які лежать у площинах (А8В) і
(АВС), та внутрішню точку В ребра 8Е.

410. Побудуйте переріз призми АВСВА1В1С1О1 площиною, яка
проходить через точки К, Ь9 М9 якщо вони лежать відпо-
відно в гранях АА1В1В, АА12)1Р, СС1В1В.

411. Побудуйте переріз призми АВСВА1В1С1В1 площиною,
яка проходить через точки Е9 Р9 Т9 якщо Е є АСр Р є В1І>,
Т є (\ВГ

412. На ребрах АС, 8В і 8С піраміди 8АВС задано точки М9М9 К.
Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить
через пряму МТУ, паралельно прямій ВК.

413*. На ребрах ВВ19 ЕЕХ і на продовженні ребра СС1 призми
АВСВЕА1В1С1Ь1Е1 задано точки М19 Р± відповідно, а
на ребрах ААр ВВ1 і СС1 - точки М29 И29 Р2. Побудуйте:
переріз призми площиною, що проходить через точки:
а) М19 Рг; б) М29 ?У2, Р2; в) лінію перетину площин

414*. На ребрі АО, на продовженні ребра ВВг і в площині грані
СС1О1О призми АВСОА1В1С1О1 задано відповідно точки
М9 К. Побудуйте переріз призми площиною (ММК)
і знайдіть точку перетину цієї площини з прямою ЕР9
якщо Е є А1В1, Р є ВС (мал. 161).

415. Побудуйте переріз піраміди 8АВСВ площиною, яка прохо-
дить через точки Р9 ^9 В, якщо (і є (5ВС), Р є СО, В є 8М9
де М - точка з площини АВСВ (мал. 162).
Вправи для повторення

416. Кожні дві з трьох прямих перетинаються, але не лежать в од-
ній площині. Як розташовані дані прямі? Виконайте малюнок.

417. Побудуйте зображення прямокутного рівнобедреного
трикутника, вписаного в коло, і точки перетину з колом
прямих, які проходять через середину гіпотенузи, пер-
пендикулярно до катетів.

418. Користуючись наведеною нижче таблицею, підготуйте розпо-
відь про різні види розташування прямих і площин у просторі.

Відношення паралельні не паралельні
Пряма і пряма а||Ь, Ь||с /1 / І ь 1 а у с О, Т4, т5 Пересічні Мимобіжні ь/ ( а УУУ 1 ( а У Тз
Пряма і площина аг\а = 0 а X \\ О, т6, т7 аса а с\ а=А а ґ а ) (а / Vх у о
Площина і площина аг>р = 0 С/ Г) /я. Л Сі /р' у/\ О» Т$, Тд» Т10 а г> р = т \ Г \/ V 'Х А / \ / \ / \ / х \

Тут О - означення, Т — теорема.

8-6еотв(г^а.іОМ.
ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

АС || а

ВМ’.МА = 1:3,
ВС||а,АВСВ - трапеція

ААЛВВЛММр

АМ-.МВ = 3:2

А є а; В є а; О є а

а || 0; АВСВ - паралелограм

М, N1 К, Р - середини ребер;

- МИ = З

РМККР = 26

А1В1С1В1 - паралелограм
АВСВ - трапеція; АВ||а;
” 54 см2

АВСВ ~ паралелограм;
В2Х = 7 см;

АС || а; О - точка перетину
медіан;

АА1\\ВВ1\\СС1\\ОО1

Знайдіть площу перерізу правильної піраміди площиною,
що проходить через АВ і точку К.

Знайдіть периметр перерізу куба площиною, яка пара-
лельна АС і проходить через задані точки МіN.

8*
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

АВ і СВ - основи трапеції АВСВ. Пряма простору а пара-
лельна АВ. Яке взаємне розташування прямих а і СВ?

а) Перетинаються; б) паралельні;

в) мимобіжні; г) не можна встановити.

Прямі а і Ь паралельні площині а. Яке взаємне розта-
шування прямих а і 6?

а) Перетинаються; б) паралельні;

в) мимобіжні; г) усі відповіді а)-в).

Площина проходить через пряму, паралельну іншій
площині. Як розташовані ці площини?

а) Перетинаються; б) паралельні;

в) перетинаються або паралельні; г) збігаються.

Точка М не лежить у площині прямокутника АВСВ.
Яке взаємне розташування прямих МА і ВВ?

а) Перетинаються; б) паралельні;

в) мимобіжні; г) не можна встановити.

Точки А, В, С, В не лежать в одній площині. Яке
взаємне розташування прямих АС і ВВ?

а) Перетинаються; б) паралельні;

в) мимобіжні; г) не можна встановити.

Прямі а і Ь мимобіжні. Скільки існує різних площин,
які проходять через а паралельно Ь?

а) Одна; б) жодної; в) безліч; г) жодної або безліч.

У трикутнику АВС АС = 8 см, М є АВ, АМ: МВ = 1:3.
Через точку М паралельно АС проведено площину, яка
перетинає ВС у точці Р. Знайдіть МР.

а) 24 см; б) 2,6 см; в) 6 см; г) 4 см.

АВСВА1В1С1В1 - куб, М є АВ. Через точку М проведено
площину, паралельну площині ВВХВХВ. У якому відношенні
точка М ділить АВ, якщо в перерізі утворився квадрат?

а) 1:2; б) 1:л/2;

в) 1: (42 - 1); г) перерізом квадрат бути не може.

Ребро правильного тетраедра АВСВ дорівнює 24 см, М є ВВ,
ВМ*. МВ=3:1. Знайдіть площу перерізу тетраедра площиною,
яка проходить через точку М тивралельн® площині (АВС).

а) 16>/3 см2; б) 9>/3 см2; в) 81>/3 см2; г) 36>/3 см2.

Ребро правильного тетраедра АВСВ дорівнює а. Через
середини ребер ВВ і СВ паралельно АВ проведено пло-
щину. Знайдіть периметр утвореного перерізу.

а) 1,5а; б) За; в) 2а; г) 4а.
ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ
РОБОТИ

Площини а і р паралельні. Прямі 8А9 8В9 8С пере-
тинають площину а в точках А9 В9 С9 а площину р - у
точках А19 В19 Сг М і М± - середини відрізків ВС і В1С1.
Знайдіть А1АГ1, якщо АМ = 6 см і 8А:АА1 = 3:2.

Чи можуть перетинатися діагоналі просторового чотири-
кутника, не всі вершини якого лежать в одній площині?

Побудуйте зображення перпендикулярів, проведених з
центра кола, описаного навколо трапеції, до її сторін, якщо
діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони.

Точки М9 Р, К - середини ребер АВ, ВВ, ВС, АС
тетраедра .АВСВ. Знайдіть довжцнй ребер АВ і СВ,
якщо МР = 1ЧК = 10 см і АКМР = 60°. Доведіть, що
і>с\\(ьтк).

Площина а перетинає сторону АВ трикутника АВС в
її середині і паралельна стороні АС. Знайдіть площу
△АВС, якщо площа чотирикутника, який відтинає від
трикутника площина а, дорівнює 24 см2.

АВСВ - правильний тетраедр, О - центр вписаного в
трикутник АВС кола. Побудуйте переріз тетраедра пло-
щиною, яка проходить через точку О і паралельна ВС
і АВ. У якому відношенні ця площина ділить відрізок
ЕР9 якщо Е і Р - середини ребер АВ і ВС?

Точки М і N лежать відповідно на ребрах АВ і СВ
паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1. Побудуйте лінію пере-
тину площин (АА^) і (ВВ1АГ). Доведіть, що вона
паралельна ААГ

У чотирикутній піраміді 8АВСО О1і О2 - точки пере-
тину медіан граней ВАВ і 8ВС. Чи паралельна пряма
ОгО2 площині (ВАС)?

У просторі проведено три прямі, які не лежать в одній
площині і при цьому жодні дві з них не мимобіжні.
Доведіть, що всі ці прямі проходять через одну точку
або паралельні.

Усі ребра чотирикутної піраміди 8АВСВ дорівнюють по
12 см. Побудуйте переріз піраміди площиною, яка про-
ходить через середину ребра ВС паралельно площині
(АВАГ), де М - середина СВ. Знайдіть периметр утворе-
ного перерізу.
Якщо дві прямі мають тільки одну спільну точку, кажуть, що
вони перетинаються. Іноді їх називають пересічними прямими.
Дві прямі в просторі можуть перетинатися, бути пара-
лельними або мимобіжними. Дві прямі називають мимо-
біжними, якщо вони не лежать в одній площині. Якщо
одна з двох прямих, які не перетинаються, лежить у
деякій площині, а друга перетинає цю площину, то такі
прямі мимобіжні (ознака мимобіжності прямих).

Дві прямі простору, які лежать в одній площині і не
перетинаються, називають паралельними прямими. Два
промені або відрізки, які лежать на паралельних прямих
або на одній прямій, називають паралельними.

Відношення паралельності прямих рефлексивне (а||а),
симетричне (якщо а || Ь, то і Ь||а) і транзитивне (якщо а || Ь
і Ь||с, то а ||с). Три або більше попарно паралельних пря-
мих простору можуть не лежати в одній площині.

Через будь-яку точку простору можна провести тільки
одну пряму, паралельну даній прямій.

Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.

Пряма і площина називаються паралельними, якщо
вони не мають спільних точок. Якщо пряма а паралельна
якій-небудь прямій площини а, але не лежить у цій пло-
щині, то а Ц а (ознака паралельності прямої і площини).

Дві площини називаються паралельними, якщо вони
не перетинаються. Паралельні площини або не мають
спільних точок або суміщаються всіма своїми точками.
Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини
паралельні двом прямим другої площини, то такі пло-
щини паралельні (ознака паралельності площин).

Якщо одну з паралельних площин перетинає яка-небудь
пряма або площина, то вона перетинає й другу площину.
Паралельні площини перетинаються січною площиною по
паралельних прямих. Паралельні площини, перетинаючи
паралельні прямі, відтинають від них рівні відрізки.

При паралельному проектуванні відрізки, не паралельні
проектуючій прямій, зображаються відрізками; пара-
лельні відрізки - паралельними відрізками, при цьому
відношення їх довжин зберігається.

Зображенням фігури називають фігуру, подібну проекції
даної фігури на деяку площину.

§12

КУТ МІЖ ПРЯМИМИ.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ

Щоб увести поняття кута між прямими у просторі, слід
розглянути три випадки:

- прямі перетинаються;

- прямі паралельні;

- прямі мимобіжні.

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири
кути. Кутова міра не найбільшого з них називається кутом
між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими,
що перетинаються, не перевищує 90°.

Позначають кут між прямими а і Ь символом Л(аЬ).

Ч ЗАУВАЖЕННЯ. Кут між прямими - не фігура, а кутова
міра, величина.

Теорема 14. Якщо дві прямі, які перетинаються, пара-
лельні іншим прямим, що перетинаються, то кут між
першими прямими дорівнює куту між другими.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай прямі АВ і АС, що перетинаються,
паралельні відповідно прямим АХВХ і А1С1. Доведемо, що кут
між прямими АВ і АС дорівнює куту між прямими АХВХ і АХСХ
(мал. 163).

Розглянемо спочатку випадок, коли дані прямі лежать у

різних площинах. Якщо /ВАС = ф - кут між прямими АВ і АС
(<р < 90°), то через довільні точки В і С його сторін проведемо

прямі ВВ1 і ССХ, паралельні ААГ Нехай прямі ВВ1 і АХВХ

перетинаються в точці Вх,

Мал. 163

а прямі СС1 і А1С1 - у точці СГ Чо-
тирикутники АА1В1В і А41С1С -
паралелограми, оскільки їх проти-
лежні сторони попарно паралельні.
Відрізки ВВ1 і ССХ паралельні та
рівні, оскільки кожний з них пара-
лельний відрізку ААг і дорівнює
йому. Отже, чотирикутник ВВХСХС
теж паралелограм, тому СВ = СХВХ.
За трьома сторонами ДАВС=АА1В1С1,
тому /ВГА1С1 = /ВАС = ф. Отже,
кут між прямими А1В1 і АХСХ дорів-
нює куту між прямими АВ і АС.

У випадку, коли прямі АВ, АС,
АХВХ і АХСХ лежать в одній площині,
можна дослівно повторити наведені
міркування. Тільки точку С треба
брати поза прямою ВВр щоб паралело-
грам ВВ1С1С не виродився у відрізок.

Якщо дві прямі паралельні, то
вони не мають спільних точок, а тому
кута, як геометричної фігури, не утво-
рюють. Вважають, що кут між пара-
лельними прямими дорівнює 0°.

Тепер введемо поняття кута між
мимобіжними прямими. Нехай а і Ь -
довільні мимобіжні прямі. Через

Мал. 164

будь-яку точку О простору проведемо прямі, паралельні а і Ь
(мал. 164). Кут ф між побудованими так прямими ах і Ь1, які
перетинаються, називають кутом між даними мимобіжними
прямими: А(аЬ) = 2^(а1Ь1). Цей кут не залежить від вибору
точки О. Адже якщо через яку-небудь іншу точку простору
провести прямі, паралельні прямим а і 6, кут між ними теж
дорівнює ф (теорема 14). Точку О можна брати і на будь-якій
з даних прямих. Якщо Ь || с, то завжди Х(аЬ) = А(ас); кожний
з цих кутів дорівнює 2^(а1Ь1).

Кутом між мимобіжними прямими називають кут між
прямими, які перетинаються і паралельні відповідно
даним мимобіжним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як
площини, не може мати більше від 90°.

Дві прямі називають перпендику-
лярними, якщо кут між ними дорів-
нює 90°.

Перпендикулярними можуть бути
як прямі, що перетинаються, так і
мимобіжні прямі. Наприклад, якщо
АВСВА1В1С1В1 - куб, то кожна з
прямих АВ, ВС, СВ, ВА, АХВХ, ВХСХ,
С1В1, В1А1 перпендикулярна до прямої

і між прямими однієї

АА1 (мал. 165).

Відрізки (промені) називають перпендикулярними, якщо

вони належать перпендикулярним прямим.

| Теорема 15. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з
І двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до
другої прямої.
Мал, 167

ДОВЕДЕННЯ. Нехай прямі а і Ь паралельні і й ± а. Доведемо,
що й ± Ь (мал. 166).

Якщо Ь Ц а, то завжди 2^(йЬ) = 2^(йа). У даному випадку
/(йа) = 90°, тому і 2^(йЬ) = 90°, тобто й ± Ь. Що й треба було
довести.

Коли будують багатоповерховий будинок, то спочатку
будують каркас, в якому кожна горизонтальна балка перпен-
дикулярна до вертикальної колони (мал. 167). Під прямими
кутами зварюють стальні прути в арматурі залізобетонних
конструкцій, скріплюють суміжні деталі віконної рами тощо.

Для ДОПИТЛИВИХ ...........

Як визначити кут між двома мимобіжними пря-
мими? Пізніше ви навчитеся робити це, користу-
ючись векторним чи координатним методом. А в
багатьох випадках це можна робити, утворивши

допоміжний трикутник, дві сторони якого паралельні даним

Мал, 168

мимобіжним прямим.

ЗАДАЧА. Усі ребра правильної трикутної
призми рівні. Знайдіть косинус кута між
мимобіжними прямими, яким належать діа-
гоналі двох бічних граней цієї призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай усі ребра призми
АВСА1В1С1 рівні. Знайдемо кут між пря-
мими АСг і ВАг (мал. 168). На даній призмі
побудуємо рівну їй призму А1В1С1А2В2С2
і розглянемо трикутник АгВС2. Оскільки
АСг Ц АгС2, то шуканий кут між прямими
АСг і ВАг дорівнює куту ВА1С2 або суміж-
ному з ним.

Нехай довжина ребра даної призми дорів-
нює 1. Тоді ВАг = А}С2 = \І2. За теоремою
Піфагора з ДВСС2 знаходимо ВС2 = л/б.

За теоремою косинусів
ВСІ = А.В1 2 4- А.СІ - 2АЛВ • А.С2 • соеф,
1. і а ± 1 1

5 = 2 + 2- 2’>/2’л/2’ соеф.

Звідси 4со8ф = -1, сов ф = -0,25.

Кут ф тупий, тому кут між прямими АС1
і ВАг дорівнює 180° - ф. А соз(180° - ф) =
= -соеф = 0,25.

Отже, косинус шуканого кута дорівнює
0,25.

Спробуйте розв’язати задачу іншим способом
(мал. 169). Оскільки С2А1 || АС19 то треба знайти
косинус кута ВА1С2.

Мал. 169

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

Що називають кутом між двома прямими, які
перетинаються?

Що називають кутом між двома мимобіжними
прямими?

Чи може кут між прямими бути тупим або розгорну-
тим?

Які дві прямі простору називають перпендикуляр-
ними?

Які відрізки або промені називають перпендикуляр-
ними?

Чому дорівнює кут між паралельними прямими? А між
перпендикулярними прямими?

Виконаємо разом

1. Знайдіть кут між мимобіжними діагоналями двох суміж-
них граней куба.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Знайдемо кут між
діагоналями АВг і ВСг граней куба
АВСВА1В1С1В1 (мал. 170). Оскільки
І)С1||АВ1, то кут між прямими АВХ і
ВС1 дорівнює куту ВСХВ. АВС^В=60°,
оскільки АВС1І> рівносторониій.
Відповідь. 60°.

2. Доведіть, що пряма, перпендику-
лярна до двох прямих, які перети-
наються, перетинає площину, що
проходить через них.
Мал. 171

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Припустимо, що пряма Л,
перпендикулярна до двох прямих а і 6, які
перетинаються, не перетинає площину а,
що проходить через них (мал. 171). Тоді
к Ц а або к с: а. В обох випадках у пло-
щині а знайдеться пряма кг паралельна к.
І якщо пряма к перпендикулярна до
прямих а і 6, то паралельна їй пряма кг

теж перпендикулярна до цих прямих.
Прийшли до суперечності, оскільки пряма, яка лежить у
площині, не може бути перпендикулярною до двох прямих
цієї площини, що перетинаються. Отже, пряма к перетинає

площину а.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

419. Кут між прямими - це фігура чи величина?

420. Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої,
можна провести через дану на цій прямій точку? А через
точку, яка не лежить на даній прямій?

421. Дано площину а і паралельну їй пряму а. Скільки пря-

Мал. 172

мих, перпендикулярних до прямої а,
можна провести у площині а?

422. З планіметрії відомо: дві прямі,
перпендикулярні до третьої, пара-
лельні. Чи правильне це твердження
для стереометрії?

423. АВСОА1В1С1О1 - куб (мал. 172).
Знайдіть кут між прямими:

а) ВС і ВС; б)АВ і ВВ±;

в) ААХ і О}С; г) ААГ і В1С1;

ґ) АХСХ і АС; д) АВ і В1В1.

424. АВСОА1В1С1О1 - куб. Знайдіть кут між прямими АВ1 і
АВГ

425. АВСОА1В1С1О1 - прямокутний паралелепіпед. Знайдіть
кут між мимобіжними прямими А2)1 і В1С, якщо:

а) АВ^СВ = 50°; б) ВС = а, ВСХ = 2а.

426. АВСОА1В1С1О1 - куб. Знайдіть кут між прямими:

а) ВС1 і АгВ;

в) ВуОі і СХС;

б) А^іАВ;
г^В^іАС.
427, АВСВА1В1С1В1 - прямокутний паралелепіпед, ААХ = 2АВ,
АВСВ - квадрат. Знайдіть кут між прямими:
а)В1СіАО; б)АВ1іСВ1; в)АВ1іА1С1.

428. Дано чотири прямі: а || аг і Ь || Ьг Доведіть, що коли а ± 6,
то ах ± Ьг

429. Чи можуть бути перпендикулярними прямі ОВ і ОС,
якщо ЛАОВ = ЛАОС = 60°?

430. Прямі а іЬ перетинаються під кутом 30°, а прямі а і с - під
кутом 40°. Чи можуть бути перпендикулярними прямі Ь і с?

431. Чи існує замкнена неплоска ламана з п’яти ланок, кожна
ланка якої перпендикулярна до суміжної?

432. АВСВА1В1С1В1 - куб. Доведіть, що АВг ± СВГ

433. А, В, С - точки на попарно перпендикулярних променях
ОА, ОВ, ОС. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо ОА =
= ОВ = ОС.

434. Промені ОА, ОВ, ОС попарно перпендикулярні. Знайдіть
периметр трикутника АВС, якщо: а) ОА = ОВ = ОС = 4 см;
б) ОА = ОВ = ОС = а; в) ОА = ОВ = 3 дм, ОС = 4 дм.

435. Дано тетраедр АВСВ, в якому АС = 6 см, ВВ = 8 см, М -
середина АВ, N - середина СВ і = 5 см. Знайдіть кут
між ВВ і АС.

436. Доведіть, що діагоналі протилежних граней куба або
паралельні, або перпендикулярні. Чи виконується це
твердження для прямокутного паралелепіпеда?

437. М - середина ребра АВ правильного тетраедра АВСВ.
Опустіть перпендикуляри з точки М на прямі АВ, ВВ,
ВС, АК, де К - середина ВВ. Знайдіть довжину кожного
перпендикуляра, якщо довжина ребра тетраедра дорів-
нює а.

438. Основою прямокутного паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1 є
квадрат зі стороною а. Його бічне ребро дорівнює аТз.
Знайдіть кут між прямими:

а) АВХ і ВХС; б) АВг і А^С^,

в) АХС і ВВ; г) АВХ і АХВХ.

439. АВСВА1В1С1В1 - куб, О - точка перетину діагоналей АС і
ВВ. Знайдіть кут між прямими:

а) ОВГ і ВВ^ б) ОВХ і А^; а

в) ВХО і ВВг; 4 г) ВХО і ВС.

440. АВСВ - тетраедр, М е АС, И єВВ,АМ :МС = ВИ:#В = 2:1,
ВС = 10,5 см, АВ = 24 см, МИ = 13 см. Знайдіть кут між
АВіВС.
441. У правильному тетраедрі АВСВ СМ = МВ (М є СВ). Знай-
діть кут між прямими АМ і ВР.

442. АВСВ - тетраедр, у якого ВА = ВВ = ВС, ААВВ = /АВС =
= /ВВС = 90°. Знайдіть кут між прямими ВМ 1АВ9 якщо
М - середина ВС.

443. У кубі АВСВА1В1С1В1 точки М9 М9 К - середини ребер
А1В1, В^, А41 відповідно, О - точка перетину діагона-
лей грані РР1С1С. Знайдіть кут між прямими:

а) МСг і КО;

б) СХК і ОМ;

в) ОАГ і МИ.

444. Кут між мимобіжними діагоналями суміжних граней
прямокутного паралелепіпеда дорівнює а. Знайдіть кут
між діагоналями цих граней, які виходять з однієї
вершини.

445. К і Р - середини ребер АВ і АВ куба АВСРА1В1С1Р1.
Опустіть перпендикуляр з вершини А1 на прямі ВВ9 АВр
КР9 СГВ9 КВГ Знайдіть довжину кожного перпендику-
ляра, якщо АВ = а.

446. Точки К і М - середини ребер АВ і СВ правильного тетра-
едра АВСВ. Доведіть, що КМ ± АВ і КМ ± СВ. Знайдіть
довжину КМ9 якщо АВ = а.

447. Три стержні з’єднані зварюванням своїми серединами
один до одного так, що кожний перпендикулярний до
двох інших. Чи можна такого «їжака» протягти через
люк, діаметр якого 1,8 м, якщо довжина і товщина кож-
ного стержня дорівнюють відповідно 2 м і 0,1 м?

448. Усі грані паралелепіпеда - ромби з кутом 60°. Знайдіть
кут між мимобіжними меншими діагоналями двох його
суміжних граней.

449*. Знайдіть косинус кута між медіанами двох граней пра-
вильного тетраедра. Розгляньте всі можливі випадки.

Вправи для повторення

450. Через точку М проведіть пряму, паралельну кожній з
двох площин, що перетинаються.

451. Побудуйте переріз тетраедра АВСВ площиною, яка про-
ходить через внутрішню точку грані (АСВ) паралельно
прямим АВ і СВ.

452. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі
сторонами 10 см, 10 см і 16 см.
§13

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ
І площини

Якщо пряма не лежить у площині і не
паралельна їй, вона перетинає площину.
Нехай пряма АО перетинає площину а в
точці О, а прямі ОВ, ОС, ОВ, ... лежать у
площині а (мал. 173). Кути АОВ, АОС,
АОВ, ... можуть бути різними. Заслуговує
на увагу випадок, коли всі вони прямі.
У такому разі кажуть, що пряма АО
перпендикулярна до площини а. Пишуть:
АО ± а, або а ± АО.

Мал. 173

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо
вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-
якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку
перетину.

Теорема 16 (ознака перпендикулярності прямої і площини).
Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна
до двох прямих цієї площини, що проходять через точку
перетину, то вона перпендикулярна до площини.

Я. Нехай пряма АО, яка перетинає площину а в
точці О, перпендикулярна до прямих ОВ і ОС цієї площини
(мал. 174). Доведемо, що пряма АО перпендикулярна до будь-
якої прямої ОХ, яка лежить у площині а. Для цього прове-
демо довільну пряму, яка перетинає прямі ОВ, ОС і ОХ у
точках В, С і X. А на прямій ОА по різні боки від О відкла-

демо рівні відрізки ОА і ОМ. Сполучивши
відрізками точки А і М з точками В, С, X,
дістанемо кілька пар трикутників.
Трикутники АВМ і АСМ рівнобедрені, ос-
кільки їхні медіани ВО, СО є і висотами.
Отже, АВ = ВМ і АС = СМ. Трикутники
АВС і МВС рівні за трьома сторонами,
тому /АВС = /МВС. Рівні також трикут-
ники АВХ і МВХ - за двома сторонами і
кутом між ними. Отже, АХ-МХ. Оскільки
трикутник АХМ рівнобедрений, то його
медіана ХО є і висотою, тобто АО ± ХО.
Що й треба було довести.
Мал. 175

Доведену теорему можна узагаль-
нити. На основі теореми 15 пряму АО
можна замінити будь-якою прямою КР,
паралельною їй, а пряму ОХ - будь-
якою прямою ЕР, що лежить у пло-
щині а і паралельна ОХ (мал. 175).
Варто також врахувати, що пряма,
перпендикулярна до двох прямих,
які перетинаються, обов’язково пере-

тинає площину, що проходить через них (задача 2, с. 123). Тому

можна вважати доведеними такі твердження.

Пряма, перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються,
перпендикулярна до площини, яка проходить через ці прямі.
Пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна
до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Наслідок. Якщо пряма перпендикулярна до двох сто-
рін трикутника, то вона перпендикулярна і до третьої
його сторони (мал. 176).

Теорема 17. Якщо одна з двох паралельних прямих пер-
пендикулярна до площини, то і друга пряма перпендику-
лярна до цієї площини.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай а | і а ± а. Доведемо, що 1а (мал. 177).
Оскільки а ± а, то в площині а знайдуться прямі Ь і с, які пере-
тинаються і перпендикулярні до а. Через те що Ь і с перпенди-
кулярні до прямої а, то за теоремою 15 вони перпендикулярні і
до прямої а19 паралельної а. Отже, пряма а1 перпендикулярна
до прямих Ь і с площини а, що перетинаються, тобто аг ± а.

Теорема 18. Дві прямі, перпендикулярні до одніа пло-
щини, паралельні.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай а ± а і Ь ± а. Доведемо, що а Ц Ь (мал. 178).
Припустимо, що прямі а і Ь не паралельні. Тоді через яку-
небудь точку М прямої а проведемо пряму а19 паралельну Ь.
Оскільки Ь ± а, то і аг ± а (теорема 17). А за умовою а ± а.
Якщо А і В - точки перетину прямих а і ах з площиною а, то
з припущення випливає, що в &МАВ два прямих кути. Цього
не може бути. Тому прямі а і 6 паралельні.

Відрізок називається перпендикулярним до площини, якщо
він лежить на прямій, перпендикулярній до даної площини.

Для допитливих ••••••••••••••••••••••••••

Деякі стереометричні твердження схожі на твер-
дження планіметричні, тільки в них замість поняття
«пряма» треба написати «площина».

Співставимо деякі планіметричні і стереоме-
тричні твердження.

У планіметрії

1) Дві прямій перпендикулярні
до третьої прямої, паралельні.

2) Через дану точку проходить
тільки одна пряма, перпенди-
кулярна до даної прямої.

У стереометрії

1) Дві прямі, перпендикулярні
до однієї площини, паралельні.

2) Через дану точку проходить
тільки одна пряма, перпенди-
кулярна до даної площини.

Подібних аналогій між твердженнями планіметрії і стереометрії
можна навести багато. Корисно помічати їх. Науковці на такі ана-
логії звертають особливу увагу.

С. Балах: «Математик - це той, хто вміє знаходити аналогії між
твердженнями ».

Й. Кеплер: «І я найбільше ціную Аналогії, моїх найвірніших
учителів. Вони знають усі секрети Природи, і ними найменше
треба нехтувати в Геометрії».

Спробуємо, міркуючи аналогічно, здогадатися, чим є в просторі
геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
Пригадаємо, що на площині таким ГМТ є серединний перпендику-
ляр даного відрізка. А у просторі?

Розглянувши кілька прикладів, можна здогадатися, що таким
ГМТ є площина. Залишається довести, що це справді площина, і
з’ясувати, як вона розміщена відносно даного відрізка (див. мал. 179).

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

Яку пряму називають перпендикулярною до площини?
Сформулюйте і доведіть ознаку перпендикулярності
прямої і площини.

Наведіть кілька властивостей відношення перпендику-
лярності прямих і площин.
Сформулюйте і доведіть властивість прямих, перпен-
дикулярних до однієї площини.

Яке слово пропущене в такому реченні:

а) Якщо один катет прямокутного трикутника пер-
пендикулярний до площини, то другий катет ... до неї;
б) Якщо одна діагональ ромба перпендикулярна до
площини, то друга ... до неї?

АА

Виконаємо разом

1. Доведіть, що геометричним місцем точок, рівновіддалених
від кінців відрізка, є площина, яка перпендикулярна до

даного відрізка і проходить через його середину.

РОЗВ'ЯЗАННЯ, Нехай площина а перпендикулярна до
відрізка АВ і проходить через його середину О (мал. 179).
Точка О рівновіддалена від А і В. Якщо М - будь-яка інша
точка площини а, то АМОА = ДМОВ (за двома катетами).
Тому МА = МВ. Як бачимо, кожна точка площини а рівно-
віддалена від кінців відрізка АВ.

Якщо точка К не лежить у площині а, а розміщена,

наприклад, з точкою В по різні боки від а, то відрізок КВ

перетинає площину а у такій точці Р,
що РА = РВ. Тоді ВК = ВР + РК = АР +
4- РК > АК. Виходить, ВК > АК. Отже,
тільки точки площини а рівновіддалені
від кінців відрізка АВ.

Точка М знаходиться на відстані аТз
від кожної вершини рівиостороннього
трикутника зі стороною а. Знайдіть
довжину перпендикуляра, проведеного
з точки М до площини трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай МО - перпен-
дикуляр до площини /\АВС (мал. 180).
АМОА = 1\МОВ = АМОС за катетом і
гіпотенузою, тоді ОА = ОВ = ОС. Зна-
чить, О - центр кола, описаного навколо

ЛАВС. Тоді ОА = З АМОА за теоре-
мою Піфагора ОМ2 = МА2 - ОА2.

ОМ2 = За2-—=—,ОМ = = 2^.

33’ 73 З

Мал. 179
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

\ Виконайте усно

453. АВСВА1В1С1В1 - прямокутний па-
ралелепіпед (мал. 181). Назвіть
прямі, перпендикулярні до пло-
щини грані: а) ВВ1С1С; б) А1В1С12>1;
в) АВВХАГ

454. Пряма к перпендикулярна до пря-
мих а і & площини а. Чи випливає з
цього, що пряма к перпендикулярна

Мал. 181

до площини а?

455. Скільки площин, перпендикулярних до даної прямої,
можна провести через дану точку?

456. Скільки прямих, перпендикулярних до даної площини,
можна провести через дану точку? А відрізків?

457. Пряма а перпендикулярна до площини а. Як розміщені
відносно площини а прямі, перпендикулярні до пря-
мої а?

458. Пряма а перпендикулярна до площини а. Чи існують у
площині а прямі, не перпендикулярні до прямої а?

459.

460.

461.

462.

463.

Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через
середину його ребра перпендикулярно до цього ребра.
Знайдіть площу перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.

Трикутник АВС - рівнобедрений, АВ = ВС = 10 см, АС =
= 12 см. Пряма МВ перпендикулярна до АВ і ВС, К -
середина АС (мал. 182). Доведіть, що £\МВК і £\МАК
прямокутні. Знайдіть їхні площі, якщо МВ = 15 см.

Пряма МО перпендикулярна до діагоналей паралело-
грама АВСВ, які перетинаються в точці О. Встановіть вид

трикутника МОК. Знайдіть МО і МК, якщо К є АВ,

ОК = а, ЛОМК = а.

До площини квадрата АВСВ прове-
дено перпендикуляр МВ. Яким є три-
кутник МАВ2 Знайдіть МВ, якщо
АВ = МВ = а.

До площини квадрата АВСВ про-
ведено перпендикуляр МВ, О -
точка перетину діагоналей квадрата.
Доведіть, що МО ± АС. Знайдіть
МО, якщо £\АМС - рівносторонній і
АВ = а.
464. Через вершину прямого кута С трикутника АВС з кате-
тами 6 см і 8 см до його площини проведено перпендику-
ляр МС9 МС = 12 см, С£ - медіана даного трикутника.
Знайдіть МЬ.

465. АВСВАХВХС1ВХ - прямокутний паралелепіпед. Доведіть,
що АВ1С12) - прямокутник.

466. Відстані від точки М до всіх вершин квадрата однакові,
точка О - центр квадрата. Доведіть, що пряма МО пер-
пендикулярна до площини квадрата.

467. Точка М рівновіддалена від вершин квадрата АВСВ.
Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точ-
ки М до площини квадрата, якщо АМ = 10 см, АВ =
= 6^2 см.

468. О - центр кола, описаного навколо прямокутника АВСВ9
МО - перпендикуляр до площини прямокутника. Знайдіть
відстані від точки М до вершин прямокутника, якщо
ОМ = ал/б, а довжина кола 4ла.

469. Сторони прямокутника пропорційні числам 2 і 3, а його
периметр 40 см. Точка Р рівновіддалена від вершин
прямокутника, РА = 14 см. Знайдіть довжину перпенди-
куляра, проведеного з точки Р до площини прямокут-
ника.

470. Точка М рівновіддалена від вершин трикутника АВС, МО -
перпендикуляр до площини трикутника, О є (АВС). До-
ведіть, що О - центр кола, описаного навколо трикут-
ника.

471. Точка М рівновіддалена від вершин рівностороннього
трикутника АВС, АВ = а, АМ = 2а. Знайдіть довжину пер-
пендикуляра, проведеного з точки М до площини
трикутника.

472. Точка 5 знаходиться на відстані 13 см від вершин трикут-
ника зі сторонами 10 см, 10 см і 12 см. Знайдіть довжину
перпендикуляра, проведеного з точки 8 до площини
трикутника.

473. Трикутник АВС рівносторонній, а відрізок АМ перпенди-
кулярний до його площини. Знайдіть периметр і площу
трикутника МВС9 якщо: а) АВ - 3 см, АМ = 4 см;
б)АВ=АМ = с.

474. Площина а перпендикулярна до катета АС прямокутного
трикутника АВС і ділить його у відношенні
ААХ : АХС = т : п. У якому відношенні площина а ділить
гіпотенузу АВ?

475. Прямі ААХ і ВВХ, перпендикулярні до площини а, пе-
ретинають її у точках Ах і Вх, а пряма АВ - у точці С

(мал. 183). Знайдіть відстань ВХС,
якщо ААХ = 12 см, А1В1 = ВВГ = 3 см.
476. З кінців відрізка АВ і точки М цього
відрізка до площини а, яка не
перетинає відрізок АВ, проведено
перпендикуляри ААХ, ВВХ і ММГ
Знайдіть ММХ, якщо ААХ = 6 см,
ВВХ = 10 см і: а) М - середина АВ;
б)АМ : МВ = 1 : 3.

477. З вершин паралелограма АВСВ на
площину а, яка не перетинає пара-
лелограм, опущено перпендикуляри
ААХ, ВВХ, ССХ, В£>х. Знайдіть £>1>х,
якщо:

Мал. 183

а) ААХ = 9 см, ВВХ = 20 см, ССХ = 13 см;

б) ААХ = 15 см, ВВХ = 25 см, ССХ = 13 см.

478. АВСВА1В1СХВХ - куб. Доведіть, що пряма АС перпендику-
лярна до площини, яка проходить через точки В, Вх, Лх.

479. Побудуйте переріз правильного тетраедра АВСВ пло-
щиною, яка перпендикулярна до ребра АВ і проходить
через його середину. Знайдіть площу перерізу, якщо
АВ = 12 см.

480. Через вершину В тупого кута ромба АВСВ до площини
ромба проведено перпендикуляр ВМ. Знайдіть МВ, якщо
різниця діагоналей ромба дорівнює 4 см, АВ = 10 см,
АМ = 2 >/89 СМ.

481. МА - перпендикуляр до площини ромба АВСВ. Доведіть,
що МС ± ВВ.

482. О - центр квадрата АВСВ, МО - перпендикуляр до його
площини, К - середина ВС. Доведіть, що ВС ± (МОК). Знай-
діть МО, якщо МС = 2у/34 см, МК = 10 см.

483. АР - перпендикуляр до площини квадрата АВСВ, К є РС.
Доведіть, що ВВ _І_ АК.

484. Через вершину А рівнобедреного прямокутного трикут-
ника АВС (ЛС = 90°) до його площини проведено перпен-
дикуляр РА. Знайдіть площу трикутника РСВ, якщо
АВ = 10 см, /_РСА = 30°.

485. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27>/3 см2.
Через точку О перетину медіан трикутника до його пло-
щини проведено перпендикуляр МО, МО = 8 м. Доведіть,
що точка М рівновіддалена від вершин трикутника і
знайдіть цю відстань.
486. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 15 см і 17 см. Че-
рез точку 39 яка рівновіддалена від вершин трикутника,
до його площини проведено перпендикуляр 80. Знайдіть
8А, якщо 80 = 2у/2Ї см.

487. Точка М рівновіддалена від вершин прямокутного три-
кутника і не лежить у його площині, Р - середина гіпоте-
нузи. Доведіть, що МР - перпендикуляр до площини
трикутника.

488. Точка Р знаходиться на відстані 26 см від усіх вершин
трикутника АВС (АС = 90°). Знайдіть довжину перпенди-
куляра, проведеного з точки Р до площини трикутника,
якщо його площа 96 см2, а різниця катетів 4 см.

489. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки М до пло-
щини прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть
периметр трикутника, якщо бісектриса, проведена з вер-
шини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки пропор-
ційні числам 24 і 7, а точка М знаходиться на відстані
12,5 см від усіх вершин трикутника.

490. Точка Сі рівновіддалена від вершин трапеції з основами
4 см і 20 см та бічною стороною 10 см. Довжина перпен-
дикуляра, проведеного з точки (і до площини трапеції,
дорівнює 5\/її см. Знайдіть відстань від точки 0 до вер-
шин трапеції.

491. З кінців відрізка АВ і точку М(М є АВ) до площини а,
яка перетинає відрізок АВ, проведено перпендикуляри ААр
ВВр ММГ Знайдіть ММ19 якщо АА1 = 5 см, ВВГ = 11 см і:
а) М - середина АВ; б) АМ : МВ = 3:1.

492. Через вершини трикутника АВС (АС = 90°) до площини а,
яка паралельна найбільшій середній лінії трикутника,
проведено перпендикуляри ААр ВВр ССг (мал. 184).
Знайдіть сторони трикутника АВС, якщо А^! = 4>/43 см,
ВгСг = 16 см, А1С1 = 12 см.

493. ВК - пряма, проведена перпендикулярно до площини

Мал. 184

квадрата АВСВ. Знайдіть відстань від
точки К до вершин квадрата, якщо
АВ = а, ВК = Ь.

494. Доведіть, що дві площини, перпенди-
кулярні до однієї і тієї самої прямої,
паралельні.

495. Доведіть, що дві прямі, перпендику-
лярні до паралельних площин, пара-
лельні. Чи можуть бути паралельними
прямі, перпендикулярні до двох площин,
які перетинаються?
496. Через дану точку проведіть пряму, перпендикулярну до
даної площини.

497. На даній прямій а знайдіть точки, однаково віддалені від
даних точок А і В.

498. Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновіддале-
них від усіх вершин квадрата.

499. Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновіддале-
них від вершин трикутника.

500. Рівнобедрені трикутники АВС і АВС мають спільну основу
і лежать у різних площинах. Доведіть, що АС ± ВВ.

501. Точки А, В, С, В розміщені в просторі так, що АВ = ВС і
СВ = ВА. Доведіть, що АС 1 В2).

502* .КАВС і РАВС - правильні тетраедри. Доведіть що пряма
КР перпендикулярна до площини трикутника АВС.

503. Точка О - центр грані АВС правильного тетраедра РАВС.
Доведіть, що пряма РО перпендикулярна до площини
грані АВС.

504* . Периметр рівностороннього трикутника АВС дорівнює 2р,
а відрізки АА1 і ВВ1 перпендикулярні до площини цього
трикутника. Знайдіть периметр, площу і косинуси кутів
трикутника А1В1С, якщо АВВ1А1 - квадрат.

Вправи для повторення

505. АВСОА1В1С1О1 - куб, М, N. К - середини ребер А1В1,
В1С1, ААХ відповідно. Знайдіть кут між прямими Л/Ш і
АС, МЛГ і ВВ, СгКіАС9 МКіАС.

506. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції з діаго-
наллю Л і гострим кутом а.

507. З точки Р до прямої а проведено перпендикуляр РМ і
похилі РА = 15 см, РВ = 13 см. Знайдіть РМ9 якщо різ-
ниця проекцій похилих дорівнює 4 см.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА
ДО ПЛОЩИНИ

Перпендикуляром9 опущеним з даної точки на дану пло-
щину 9 називають відрізок прямоі9 перпендикулярної до
площини9 що міститься між даною точкою і площиною.

Наприклад, якщо пряма АС перпендикулярна до площини
(і і перетинає її в точці С, то відрізок АС - перпендикуляр,
З £ £ $ £ » « £ -9 е> £ & > =® ® 4 ® 8 > © * ‘5 * Ф « % Ь Ь ® ® І & & й & & £• « 4 $ Є *

Мал. 185

опущений з точки А на площину а. Точка
С - основа перпендикуляра (мал. 185).

Якщо АС - перпендикуляр до площини
а, а В - відмінна від С точка цієї пло-
щини, то відрізок АВ називають похилою,
проведеною з точки А на площину а. Точка
В - основа похилої, а відрізок СВ - про-
екція похилої АВ на площину а.

Зауважимо, що тут ідеться про прямо-

кутну проекцію похилої. Такі проекції дістають за умови, що
всі проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій.

Теорема 19. Якщо з однієї точки, взятої поза площиною,
проведені до цієї площини перпендикуляр і похилі, то:
1. Дві похилі, які мають рівні проекції, рівні.

2. З двох похилих та більша, проекція якої більша.

3. Перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.

Мал. 186

ДОВЕДЕННЯ. Нехай АС - перпендику-
ляр, а АВ, АК, АР - похилі до площини а
(мал. 186).

1) Якщо СВ = СК, то ААСВ = ЬАСК (за
двома катетами). Тому АВ = АК.

2) 3 прямокутних трикутників АСВ і
АСР маємо:

АВ = 4ЛС^ + СВ2 і АР = ^АС2 +СІР.

Отже, якщо СВ < СР, то АВ < АР.

3) Перпендикуляр АС - катет, а будь-яка похила АВ - гіпо-
тенуза трикутника АВС. Тому АС < АВ. Теорему доведено.

Приклади матеріальних моделей перпендикулярів до пло-
щини: стовп, телевізійна вежа. Перпендикулярно до площини
зазвичай забивають палі, бурять свердловини, проходять
шахтні стволи, запускають космічні апарати. Тільки підняв-
шись на певну висоту, ракета-носій відхиляється в потрібному
напрямі.

Теорема 20 (про три перпендикуляри). Пряма, проведена
на площині перпендикулярно до проекції похилої, пер-
пендикулярна до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на
площині перпендикулярна до похилої, то вона перпенди-
кулярна і до проекції похилої.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай АС і АВ - перпендикуляр і похила до
площини а (мал. 187). Якщо пряма КР лежить у площині а,
• * » $ # Ф -8= Я? » ♦ » * * ? » Ф <• V $ £- .«• *
то КР ± АС. Якщо, крім того, пряма КР
перпендикулярна до ВС або АВ, то вона
перпендикулярна до площини трикутника
АВС (наслідок з теореми 16), а отже, і до
прямої АВ або ВС. Тобто: якщо КР ± ВС,
то КР ± АВ; якщо КР ± АВ, то КР 1 ВС.
Що і треба було довести.

З доведення випливає, що коли пряма
КР не перпендикулярна до ВС, то вона не

Мал. 187

перпендикулярна і до АВ. Тому теорему можна сформулювати

одним твердженням.

Пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до
похилої тоді і тільки тоді, коли ця пряма перпендику-
лярна до проекції похилої.

Це твердження називають теоремою про три перпенди-
куляри, маючи на увазі перпендикуляри: АС ± а, ВС ± КР,
АВ 1КР.

Дм допитливих ••••••••••••••••••••••••••

Як побудувати перпендикуляр, опущений з даної
точки А на площину а? Виконати це можна таким
способом (мал. 188).

1) У даній площині а проведемо довільну пряму т.

2) Через т і дану точку А проведемо площину р.

3) У площині р через точку А проведемо пряму АМ, перпенди-
кулярну до прямої т.

4) У площині а через точку М проведемо пряму п, перпендику-

лярну до т.

5) Через прямі АМ і п проведемо
площину у.

6) У площині у з точки А опустимо
перпендикуляр АН на пряму п. Цей
перпендикуляр - відрізок, який і треба
було побудувати.

ДОВЕДЕННЯ. Оскільки пряма т
перпендикулярна до п і АМ, то вона
перпендикулярна до площини у, а
отже, і до прямої АН. Пряма АН пер-
пендикулярна до прямих піт, які
перетинаються, тому - й до площини а.
Відрізок АН перпендикулярний до
площини а, тому він - перпендикуляр,
опущений з А на а.
ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Що таке перпендикуляр до площини?

2. Що таке похила, проведена з даної точки до площини?
А проекція похилої на площину?

3. Укажіть найважливіші властивості перпендикуляра,
похилої і її проекції на площину.

4. Сформулюйте і доведіть теорему про три перпенди-
куляри.

\ /в Виконаємо разом

1. З точки 5 до площини проведено три похилі, завдовжки
25 см, ЗО см і 40 см. Знайдіть проекцію третьої похилої на
цю площину, якщо різниця проекцій перших двох похилих
дорівнює 11 см.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай ОА = х, тоді ОВ = х 4- 11 (мал. 189).
З Д5ОА і АЗОВ за теоремою Піфагора ЗО2 = ЗА2 - ОА2 і
ЗО2 = 8В2 - ОВ2. Тоді ЗА2 - ОА2 = 8В* - ОВ2, або 625 - х2 =
= 900 - (х 4- II)2, звідси х = 7. Тоді АО = 7 см, ВО = 18 см,
80 = 5/625-49 = 24 см. З Д5ОС за теоремою Піфагора зна-
йдемо, що ОС = >/1600-576 = 32 (см).

2. МА - перпендикуляр до площини ромба АВСВ, /.ВАЛ = 60°.
Побудуйте висоту МИ трикутника МСЛ.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Треба побудувати перпендикуляр МН до
прямої СЛ (мал. 190). За теоремою про три перпендикуляри
АН ± СЛ. Оскільки /АЛН = 60°, то точка Н повинна лежати
на прямій СЛ поза відрізком СЛ так, щоб НЛ = 0,5СВ.
Побудувавши точку Н, проводимо відрізок МН. Він і є
висотою АМСЛ, яку треба було побудувати.

□

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

508. Дано куб АВСВА1В1С1В1 (мал. 191). Ука-
жіть проекції відрізка ВгВ на площини
АВСВ. АуВ^СуВ^. АВВ^. ВСС^.

509. З точки 8 до площини проведено пер-
пендикуляр і похилу, кут між якими
а (мал. 192). Знайдіть: а) довжину
перпендикуляра і проекції похилої,
якщо довжина похилої І; б) довжину
похилої і її проекції, якщо перпенди-
куляр дорівнює А; в) довжину похи-
лої і перпендикуляра, якщо довжина
проекції дорівнює а.

510. Доведіть, що в кубі АВСВА1В1С1В1
(мал. 191) ВСг ± ВС, АгС 1 ВВ.
АС ± ВВГ

511. ВМ - перпендикуляр до площини
чотирикутника АВСВ (мал. 193). Які
з пар прямих МА і АВ. МС і СВ. МО і
АС перпендикулярні, якщо: а) АВСВ -
прямокутник, відмінний від ква-
драта; б) АВСВ - ромб, відмінний від
квадрата; в) АВСВ - квадрат.

Мал. 192

512.

513.

514.

515.

З точки А проведено до однієї і тієї самої площини пер-
пендикуляр АС = 40 см і похилу АВ = 50 см. Знайдіть
довжину проекції похилої.

З точки М до площини проведено перпендикуляр МО і
похилі МА та МВ. Знайдіть МО. якщо довжини похилих

пропорційні числам 5 і 13, а їх проекції дорівнюють 4 см

і 4\/Ї0 см.

З точки М до площини проведено
перпендикуляр МО і похилі МА. МВ.
ЛАМО = 60°, ЛВМО = 45°. Знайдіть
довжини похилих, якщо проекція
меншої похилої дорівнює а.

З точки Р до площини проведено пер-
пендикуляр РО і похилі РА. РВ.
РО = а. ЛРАО = 45°, ЛРВО = 30°.
Знайдіть кут між похилими, якщо
кут між їх проекціями дорівнює 90°.
4И РОЗДІЛ 4

$ з- а $ ® * $ к- $ * & & -* е & & » & ф $ < < « « ф ф в « *

516. З точки 5 до площини проведено перпендикуляр 80 та
похилі 8А = 13 см і 8В = 20 см. Знайдіть кут між проек-
ціями похилих, якщо АО = 5 см, а косинус кута між похи-
лими дорівнює 0,4.

517. Через вершину А ромба АВСВ проведено пряму АЛГ, пер-
пендикулярну до його площини. Знайдіть відстані МВ і
МС, якщо МА = АВ = а і /АВС = 120°.

518. Знайдіть сторону ромба АВСВ, якщо АС - проекція похи-
лої МС на площину цього ромба і МА = а, /ВАВ =
= /МСА = а.

519. АВ - перпендикуляр до площини а, С є а і В є а. Доведіть,
що АС = АВ тоді і тільки тоді, коли ВС = ВВ.

520. Через вершину С прямокутного трикутника АВС
(/С = 90°) проведено площину а, а || АВ. Проекція мен-
шого катета на площину дорівнює 8 см. Знайдіть проекції
інших сторін трикутника на площину а, якщо АВ = 26 см,
а різниця катетів 14 см.

521. З вершин В і С ромба АВСВ до площини а, яка проходить
через сторону АВ, проведено перпендикуляри ВВ1 і ССГ
Знайдіть проекції діагоналей і сторін ромба на площину
а, якщо АС = 16 см, ВВ = 12 см, ВВг = 8 см.

522. Два відрізки, довжини яких 13 дм
і 37 дм, упираються кінцями в дві
паралельні площини (мал. 194).
Проекція меншого з них на площину
дорівнює 5 дм. Знайдіть довжину про-
екції другого відрізка.

523. Пряма а перетинає площину а,
точка М належить а. Проведіть у пло-
щині а пряму МК, перпендикулярну
ДО а.

524. Учень каже: «Пряма, перпендикулярна до похилої, пер-
пендикулярна і до проекції цієї похилої». Наведіть контр-

приклад.

525. Трикутник АВС - рівнобедрений, АВ = ВС, ВМ - перпенди-
куляр до площини трикутника. Побудуйте МК -і АС, К є АС.

526. АВСВ - прямокутник, О - точка перетину його діагона-
лей, МО - перпендикуляр до площини прямокутника.
Побудуйте перпендикуляри, проведені з точки М до сто-
рін прямокутника.

527. Трикутник АВС - прямокутний, /С = 90°. МВ - перпен-
дикуляр до площини трикутника. На прямій АС знайдіть
точку К, у якій МК ± АС.

528. Через точку О перетину медіан рівностороннього трикут-
ника проведено перпендикуляр МО до його площини.
Побудуйте перпендикуляри, проведені з точки М до сто-
рін трикутника.

529. АВСРА1В1С1Р1 - куб. Знайдіть кут між прямими АСІ і ВВ.

530. АВСВА1В1С1Р1 - прямокутний паралелепіпед. АСг ± ВВ.
Доведіть, що грань АВСВ - квадрат.

531. МА — перпендикуляр до площини рівностороннього
трикутника АВС9 К - середина сторони ВС. Доведіть, що
МК ± ВС.

532. МВ - перпендикуляр до площини прямокутника АВСВ.
Доведіть, що трикутники АМВ і МСВ прямокутні.

533. Основою тетраедра 8АВС є прямокутний трикутник АВС
(АС = 90°). Ребро А8 перпендикулярне до площини основи.
Доведіть, що всі бічні грані піраміди - прямокутні
трикутники.

534. Доведіть, що в правильному тетраедрі протилежні ребра
перпендикулярні.

535. АВСВА1В1С1В1 - куб. Точки К, Ь, М - середини ребер
АА1, ССр АВ відповідно, О — точка перетину діагоналей
грані А1В1С1В1. Доведіть, що ОМ ± АВ і ОВ ± КЬ.

536. К - середина сторони ромба, МК = 12 см - перпендику-
ляр, проведений до площини ромба. Побудуйте перпенди-
куляри, проведені з точки М до діагоналей ромба. Знайдіть
довжини цих перпендикулярів, якщо сторона ромба
20 см, а кут 60°.

537. О - середина гіпотенузи прямокутного трикутника з кате-
тами 10 см і 18 см. 08 - перпендикуляр до площини
трикутника, 08 =12 см. Побудуйте перпендикуляри, про-
ведені з точки 8 до катетів трикутника, і знайдіть їхні
довжини.

538. Сторони трикутника АВС дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см,
О - центр вписаного в трикутник кола, МО - перпенди-
куляр до площини трикутника. Знайдіть довжини відріз-
ків перпендикулярів, проведених з М до сторін трикут-
ника, якщо МО = 3 см.

539. У трикутнику АВС АВ = ВС = 10 см, ААВС = 120°. МВ -
перпендикуляр, проведений до площини трикутника.
Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки
М до АС, якщо МС = 15 см.

540. У трикутнику АВС АС = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см. СМ -
перпендикуляр до площини трикутника. Знайдіть СМ,
якщо МК ± АВ, К є АВ і МК = 10 см.

541. АВСВ - тетраедр, усі ребра якого дорівнюють а. ВО -
перпендикуляр до площини ААВС. Побудуйте переріз
тетраедра площиною, яка проходить через 2Х>, перпенди-
кулярно до АС. Знайдіть площу перерізу.
542. З точки М до площини проведено перпендикуляр МО і
похилі МА та МВ. Різниця між похилими дорівнює 7 см,
а між проекціями 11 см. Знайдіть довжину МО, якщо
більша похила відноситься до своєї проекції як 5 : 4.

543. З точки Р до площини проведено перпендикуляр РО і три
похилі РА9 РВ9 РС9 С є АВ, АС = ВС = 10 см. Знайдіть
довжини найбільшої і найменшої похилих, якщо
ВО = 16 см, /АОВ = 90°, і^РСО = 0,5.

544. Із центра О кола, вписаного в прямокутний трикутник,
до його площини проведено перпендикуляр ОМ. Точка
дотику ділить гіпотенузу на відрізки 5 см і 12 см. Знайдіть
доржини похилих, проведених в точки дотику, якщо
ОМ = 4 см.

545. Відрізки АВ і М7У з кінцями на паралельних площинах а
і р (А є а, М є а) лежать на мимобіжних прямих. Знайдіть
- проекцію відрізка МN на площину р, якщо АВ ± р,
АМ = 3 см, ВN = 8 см, /.КВN = 60°.

546. З вершин А і С ромба АВСВ до площини а, яка проходить
через діагональ ВР, проведено перпендикуляри АМ і СД\
Знайдіть проекції сторін та діагоналей ромба на площину
а, якщо АС : ВВ = 12 : 5, АМ = 2>/її м, а площа ромба
120 м2.

547*. Коло з центром О дотикається до сторони ВС трикутника

АВС у точці М, а продовження сторін АВ і АС у точках
Р і К (мал. 195). 80 - перпендикуляр до площини три-
кутника. Знайдіть довжини похилих 8М, 8Р9 8К9 якщо
периметр ДАВС дорівнює 2р, /ВАС = а, /8К0 = р.

548. Одна зі сторін правильного трикутника АВС, площа якого
16\[3 см2, лежить у площині а, а проекції двох інших сто-
рін на цю площину дорівнюють 2у/ї см. Знайдіть довжини

549.

550.

551.

проекцій медіан цього трикутника на площину а.

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 15 см, а кут

120°. З точки перетину діагоналей
трапеції до площини, яка прохо-
дить через більшу основу, проведено
перпендикуляр завдовжки 6 см.
Знайдіть довжини проекцій сторін
трапеції на цю площину.

Дано правильний тетраедр АВСВ.
Побудуйте його переріз АВК, який
би мав найменшу площу.

З вершини А прямокутника АВСВ
проведено перпендикуляр до його

Мал. 195
площини. Знайдіть довжину цього перпендикуляра, якщо
його кінець Н віддалений від вершин В, С і £) відповідно
на 5 м, 11 мі 10 м.

552. АВСВА1В1С1В1 - куб. Доведіть, що пряма АгС перпенди-
кулярна до площини трикутника АВ1Р1.

553. Доведіть, що коли в тетраедрі АВСВ АВ ± С£> і АС ± ВР,
то АВ±ВС.

554. АВСРА1В1С1Р1 - куб, М і N - середини АВ і СВ відпо-
відно. Доведіть, що ВХМ ± АУ.

555*. АВСРА1В1С1Р1 - прямокутний паралелепіпед, АВ = а,
АР = 2а, К - середина ААр М - точка перетину діагона-
лей грані ВВ1С1С9 N є АР, АN : УР =1:7. Доведіть, що
КМ 1 ВХУ.

556. Ромб АВСВ зігнули по діагоналі ВР так, що точка А не
належить площині (ВСР), О - точка перетину діагоналей
ромба. Доведіть, що:

а) проекція АО на площину (ВСР) лежить на прямій СО;
б) перпендикуляр, опущений з точки С на площину (АВР),
перетне пряму АО.

557. О - точка перетину діагоналей ромба АВСР, АВ = 10 см,
АС : ВР = 4:3. МО - перпендикуляр, проведений до пло-
щини ромба. Знайдіть довжини відрізків, проведених з
точки М перпендикулярно до сторін ромба, якщо
МО = 2 см.

558. 8В - перпендикуляр до площини трикутника АВС. Знай-
діть площу трикутника АВС, якщо АВ = 15 м, ВС = 13 м,
АС = 14 м, 8В = 5 м.

559. ВК - перпендикуляр, проведений до площини рівнобе-
дреного прямокутного трикутника АВС (АС = 90°).
Знайдіть площу трикутника АКС, якщо ВК = Л,
АКСВ = а.

560. 8АВС - правильний тетраедр, 80 - його висота. Побудуйте
переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку
О паралельно А8 і ВС, та знайдіть площу перерізу, якщо
АВ = а.

561*.Три ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять
з однієї вершини, мають довжини а, а і а>/2. Знайдіть
площу перерізу паралелепіпеда площиною, яка перпен-
дикулярна до діагоналі паралелепіпеда і проходить через
її середину.

562*. Через середину діагоналі куба, перпендикулярно до неї,
проведено площину. Визначте площу фігури, утвореної в
перерізі, якщо ребро куба дорівнює а.

Вправи для повторення

563. Основою піраміди 8АВСВ є ромб АВСВ, 8А = 8С. Доведіть,
що АС ± (5ВВ).

564. АК і АР - медіани граней АВВ і АВС тетраедра АВСВ. Чи
паралельна пряма КР якій-небудь грані тетраедра?

565. Пряма т паралельна одній з двох мимобіжних прямих.
Доведіть, що т не може бути паралельною іншій прямій.

§ 15 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПЛОЩИНИ

Мал. 196

Спочатку введемо поняття кута між
площинами. Нехай а і р - площини,
які перетинаються по прямій с (мал.
196). Проведемо в цих площинах прямі
а і Ь, перпендикулярні до прямої с.
Нехай кут між ними Л(аЬ) = ф. Якщо в
даних площинах провести які-небудь
інші прямі аг і Ь19 перпендикулярні до
с, кут між ними буде такий самий:
2^(а1Ь1) = ф (див. теорему 14, с. 120).
Тому можна прийняти таке означення.

Кутом між площинами, які перетинаються, називається
кут між прямими, проведеними в цих площинах перпенди-
кулярно до лінії їх перетину. Якщо площини паралельні,
то вважають, що кут між ними дорівнює 0°.

Кут між площинами а і р позначають 2^(аР). Він набуває
значень у тих самих межах, що і кут між прямими:

0° < 2Г(аР) < 90°.

Дві площини називаються перпендикулярними, якіио кут
між ними дорівнює 90°.

Теорема 21 (ознака перпендикулярності площин). Якщо
одна з двох площин проходить через пряму, перпен-
дикулярну до другої площини, то ці площини перпен-
дикулярні.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай площина Р проходить через пряму Ь,
перпендикулярну до площини а (мал. 197). Доведемо, що Р ± а.
0 & Л

Е © & й & ® ® ® ® * & АЇ Я

» ф з

Пряма Ь перетинає площину а у
деякій точці О. Ця точка спільна для
площин а і р. Тому дані площини
перетинаються по прямій с, яка про-
ходить через точку О. Проведемо у
площині а через точку О пряму а,
перпендикулярну до с. Оскільки пря-
мі а і с лежать у площині а і & ± а, то
Ь ± а і Ь ± с. Крім того, а ± с. Отже,
</(аР) = /_(аЬ) = 90°, тобто р ± а.

Теорема 22. Пряма, проведена в одній з двох перпендику-
лярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину,
перпендикулярна до другої площини.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай перпендикулярні площини а і р пере-
тинаються по прямій с, і в площині р проведено пряму Ь пер-
пендикулярно до с (мал. 197). Доведемо, що Ь ± а. Для цього
проведемо у площині а пряму а, перпендикулярну до прямої
перетину площин а і р. Тоді кут між прямими а і Ь дорівнює
куту між площинами а і р, тобто 90°. Отже, пряма Ь перпен-
дикулярна до прямих а і с площини а, які перетинаються.
Маємо: Ь ± а. Що й треба було довести.

Під однаковими кутами до горизонтальної площини бува-
ють нахилені вугільні пласти, стіни каналів, відкоси насипів,
схили дахів тощо. У перпендикулярних площинах розміщені

суміжні грані цеглини, бруска, швелера,
багатьох столярних виробів, стіна і під-
лога, стіна і стеля кімнати.

Теорему 22 можна ілюструвати таким
наочним прикладом. Якщо пряма, яка
проходить через центри петель дверей,
перпендикулярна до площини підлоги,
то як би не повертали двері, їхня
площина буде перпендикулярною до
площини підлоги.

Відношення перпендикулярності пло-
щин симетричне (якщо а ± Р, то Р ± а),
але не транзитивне: якщо а ± Р і Р ± у,
то площини а і у необов’язково перпен-
дикулярні. Вони можуть перетинатися
під довільним гострим кутом (мал. 198,
а) і можуть бути навіть паралельними
(мал. 198, б).

Мал. 198

10-(зеоте<гііа.10кІ.
Мал. 199

Якщо три площини а, Р і у попарно
перпендикулярні, то вони перетинаються
по попарно перпендикулярних прямих х,
у і х таких, що х±і/, з±х (мал. 199).
Якщо такі попарно перпендикулярні
прямі х, у, 2 - координатні прямі зі
спільним початком координат О, то вони
становлять систему координат тривимір-
ного простору. Вона дає можливість
кожній точці простору поставити у від-
повідність єдину впорядковану трійку
дійсних чисел, а кожній трійці дійсних

чисел - єдину точку простору. З системою координат триви-

мірного простору ви ознайомитеся згодом.

Для допитливих.............................

Розглянемо задачу.

Три промені, які виходять з однієї точки, утворюють
три гострі кути: а, р, у. Доведіть, що коли площини

кутів а і р перпендикулярні, то соз а • сов Р = сов у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай ДЬс) = а, 2(са) = р, 2(ад) = у (мал. 200).
З довільної точки А променя а опустимо перпендикуляри АС
на промінь с і АВ на промінь Ь. Оскільки площини кутів а і Р
перпендикулярні, то СВ - проекція АВ на площину кута а. За

теоремою про три перпендикуляри СВ ± Ь.
Отже, трикутники АСО, СВО і АВО пря-
мокутні. Тому

о ВО СО ВО

СО8 а • СО8 Р =----=---= СО8 у.

н СО АО АО

Доведену рівність соз а • соз р = соз у
називають теоремою про три косинуси.

Справедливе й обернене твердження.

Якщо три промені, що виходять з однієї
точки, утворюють три гострі кути а, р і
у, для яких соз а * соз р = соз у, то площини
кутів а і р - перпендикулярні. Спробуйте
це довести методом від супротивного.

Доведіть, що теорема має місце і у випадку, коли не всі кути а,

р, у - гострі.

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

Сформулюйте означення кута між площинами.
Які площини називаються перпендикулярними?
3. Як визначається кут між паралельними площинами?

4, Сформулюйте і доведіть ознаку перпендикулярності
площин.

5. Сформулюйте властивість прямої, проведеної в одній з
двох перпендикулярних площин.

6« Чи є відношення перпендикулярності площин симет-
ричним? А транзитивним?

Виконаємо разом

1. Катети прямокутного трикутника АВС дорівнюють а і Ь.
Площина а проходить через гіпотенузу трикутника і утво-

рює з його площиною кут ф. Знайдіть відстань від вершини
прямого кута до Гї проекції на площину а.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай СР ± а і СР ± АВ, тоді РО - проек-

ція СР на площину а (мал. 201).
За теоремою про три перпендику-
ляри РР ± АВ. Отже, /.РОС = ф.

З ААВС:СР АВ = АС ВС,

звідси СР =

АС ВС _ а Ь

З ЬСРО*. СР = СР • зіп ф. Отже,

СР =

аЬ

ЗІП ф.

2. Промінь ОР утворює з променями ОН і ОМ кути по 45°. Знай-
діть кут між площинами РОМ і РОН, якщо /МОН = 60°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Перший спосіб. На промені ОР оберемо
довільну точку А і побудуємо АВ ± ОР і АС ± ОР (мал. 202).
Тоді /ВАС - шуканий.

Трикутники ВАО і САО - прямокутні і рівнобедрені, а
тому АВ = АО, АС = АО і ОВ = ОС. Оскільки ЛСОВ рівно-

бедрений і містить кут в 60°, то він
рівносторонній, а тому ОВ = СВ.

Маємо: ДСАВ = АОАВ (за трьома
сторонами).

Отже, /ВАС = /ВАО = 90°.

Другий спосіб. Оскільки за умовою
задачі промені утворюють між собою
кути 45°, 45° і 60°, а сов 45° • сов 45° =
= ^ = соз 60°, то для цих кутів вико-
нується рівність соз а • соз Р = соз у.
ш РОЗДІЛ 4

ф » 4 е * « « й а й а « ® * * * & * * -в « *- е * « » * « * * * * $ ? *- і» « 0 й ♦

Отже, за теоремою, оберненою до теореми про три коси-
нуси, площини (РОМ) і (РОН) утворюють прямий кут.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

566. Скільки площин, які перетинають дану площину під
кутом 50°, можна провести через дану точку?

567. Дано площину а і паралельну їй пряму а. Скільки пло-
щин, які перетинають площину а під даним кутом <р,
можна провести через пряму а?

568. Скільки пар перпендикулярних площин можна провести
через дану пряму?

569. Скільки пар перпендикулярних площин можна провести
через дві дані паралельні прямі?

570. Чи можна через пряму а, перпендикулярну до площини
а, провести площину, не перпендикулярну до а?

571. Чи правильно, що дві площини, перпендикулярні до тре-
тьої, паралельні?

572. Чи можна через дві перпендикулярні прямі провести пло-
щини, які перетинаються під кутом 30°? А під будь-яким
наперед заданим гострим кутом?

573. Точка М рівновіддалена від вершин квадрата АВСВ.
Доведіть, що площини (МАС) і (МВВ) перпендикулярні.

574. О - точка перетину діагоналей ромба, ОМ - перпендику-
ляр до площини ромба. Доведіть, що площини, які прохо-
дять через точку М і діагоналі ромба - перпендикулярні.

575. Трикутник АВС і прямокутник АВМN лежать у взаємно
перпендикулярних площинах. Доведіть, що кут САН
прямий.

576. Із центра О квадрата АВСВ проведено відрізок ОМ пер-
пендикулярно до площини квадрата. Знайдіть кут між
площиною квадрата і площиною, проведеною через ВС і
точку М, якщо квадрат і ДВМС - рівновеликі.

577. Доведіть, що коли дві площини, які перетинаються, пер-
пендикулярні до третьої, то лінія їх перетину перпенди-
кулярна до цієї площини.

578. Доведіть, що площина, перпендикулярна до однієї з двох
паралельних площин, перпендикулярна і до другої.

579. Кінці відрізка АВ лежать у перпендикулярних площи-
нах. АС і ВВ - перпендикуляри, проведені до лінії пере-
тину цих площин. Знайдіть СВ, якщо: а) АС = 6 см,

ВВ = 8 см, АВ = 12 см; б) АВ = 4 см,
ВС = 7 см, АВ = 8 см; в) АС = ВО = а,
АВ = 2а.

580. Кінці відрізка АВ лежать у перпен-
дикулярних площинах. АС і ВО -
перпендикуляри, проведені до лінії
перетину цих площин, АС = 6 м,
ВО = Зл/З м. Знайдіть довжину від-
різка АВ, якщо /.ВВС = 30°.

581. Трикутник АВС - рівнобедрений,
АВ = 24 см, /С = 120°. Точки А і В
лежать у перпендикулярних площи-
нах, а точка С на прямій а - лінії

перетину цих площин. Знайдіть довжини перпендикуля-
рів, проведених з точок А і В до прямої а, якщо кут між
АС і прямою а дорівнює 45° (мал. 203).

582. Квадрат АВСВ зігнули по діагоналі АС так, що площини
(АВС) і (АВС) стали перпендикулярними. Знайдіть від-
стань між точками ВІВ, якщо АВ = а.

583. Квадрати АВСВ і АВС1В1 лежать у площинах, кут між
якими 60°. Знайдіть відстань між їхніми центрами, якщо
АВ = 2т.

584. Площини квадратів АВСВ і АВС1В1 перпендикулярні,
АВ = а. Знайдіть: а) відстань ССХ; б) відстань СХВ; в) кут
між діагоналями АС і АСГ

585. Два рівносторонні трикутники АВМ і АВМ лежать у різ-
них площинах. Знайдіть ЛГУ, якщо АВ = а і кут між пло-
щинами дорівнює: а) 90°; б) 60°.

586. Площини рівносторонніх трикутників АВС і АВВ перпен-
дикулярні. Знайдіть кут <р = /.САВ.

587. Знайдіть довжини сторін правильних трикутників АВС і
АВВ, якщо їх площини перпендикулярні і СВ = а.

588. АВСВА1В1С1В1 - прямокутний паралелепіпед. Точки ЛГ,
N і К - середини ребер АВ, В1С1 і ВС відповідно. Побудуйте
переріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через
точки М, N і К. Доведіть, що площина основи і площина
перерізу перпендикулярні. Обчисліть периметр і площу
перерізу, якщо В1В = 16 м, ВгВ = 20 м.

589. Основою прямого паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1 є ромб
АВСВ. Доведіть, що площини перерізів АСС1 і ВВХВ -
взаємно перпендикулярні. Знайдіть відношення площ
утворених перерізів, якщо АС : ВВ = т : п.

590. Основою тетраедра АВСВ є трикутник АВС (ЛС = 90°) і
ВА = ВВ = ВС. На ребрі СВ взято точку К так, що
СК : КВ = 2:1. Побудуйте переріз тетраедра площиною,
що проходить через точку К паралельно АО і ВВ. Доведіть,
що площина перерізу перпендикулярна до площини
основи. Знайдіть площу перерізу, якщо площа грані АВВ
дорівнює В.

591. Доведіть, що площина, яка перетинає одну з двох пара-
лельних площин під кутом <р, перетинає і другу під ку-

том ф.

592. Площини а, р, у попарно перпендикулярні. Доведіть, що
і прямі, по яких вони перетинаються, попарно перпен-
дикулярні.

593. Як через дану пряму провести площину, перпендику-
лярну до даної площини? Розгляньте всі можливі

випадки.

594. Точка М рівновіддалена від вершин прямокутного три-
кутника АВС, АС = 90°. Доведіть, що площини (АМВ) і
(АВС) перпендикулярні.

595. Прямокутник АВСВ і ромб АВММ розміщені так, що їх пло-
щини перпендикулярні. Доведіть, що кут МВС - прямий.

596. Два правильні трикутники АВС і МВС розміщені у двох
перпендикулярних площинах. Знайдіть кут між площи-
нами (АВС) і (АМВ).

597*.АВСВ - ромб, АВ = 120°. Пряма АР перпендикулярна до
площини ромба, АВ = АР. Знайдіть кут між площинами:
а) (АВС) і (АРВ); б) (АРВ) і (АРВ); в) (СРВ) і (АВС);
г) (АРВ) і (ВРС); ґ) (ВСР) і (ВСР).

598. Точки А і В розміщені у двох взаємно перпендикулярних
площинах, СІВ- основи перпендикулярів, проведених з
точок А і В відповідно до лінії перетину площин. АС =
= Зх/6 см, ВВ = 12 см, СВ = 15 см. Знайдіть ААМВ, якщо

М є СВ, СМ : МВ = 2:1.

599. Катет і гіпотенуза рівнобедреного
прямокутного трикутника лежать у двох
взаємно перпендикулярних площинах.
Вершина прямого кута віддалена від лінії
перетину площин на 12 см, а вершина
гострого кута - на 5^7 см. Знайдіть
площу трикутника (мал. 204).

600. Прямокутник АВСВ зі сторонами
АВ = 15 см, АВ = 20 см зігнули по діаго-
налі ВВ так, що площини (АВВ) і (ВСВ)
виявилися перпендикулярними. Знайдіть довжину від-
різка АС.

601. У трикутнику АВС (ХС = 90°), АС = 12 м, ВС = 16 м.
Трикутник зігнули по медіані СМ так, що площини
(АСМ) і (ВСМ) стали перпендикулярними. Знайдіть дов-
жину відрізка АВ.

602. Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу
завдовжки 16 см, а їх площини утворюють кут 60°. Бічна
сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а другий три-
кутник прямокутний. Знайдіть відстань між вершинами
трикутників.

603. Площі двох рівнобедрених трикутників, які мають спіль-
ну основу, дорівнюють 48 см2 і 90 см2. Бічна сторона
першого трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть кут між
площинами трикутників, якщо відстань між їхніми вер-
шинами дорівнює 13 см.

604*. Трикутники АВС і АВВ лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань СВ, якщо АС = АВ = а,
ВС = ВВ = Ь і АВ = с.

605*. Площини правильних шестикутників АВСВЕЕ і
АВС1Р1Е1Р1 перпендикулярні. Знайдіть міри кутів ЕАЕ19
ВАВХ і САСГ

606. Площини квадрата АВСВ і правильного трикутника АВК
перпендикулярні. Знайдіть міру кута АСК.

607 АВСВА1В1С1В1 - прямокутний паралелепіпед, М є АгВ19
АХМ : МВ± = 1:2. Побудуйте переріз паралелепіпеда пло-
щиною а, яка проходить через АВ і точку М. а) Доведіть,
що площина перерізу перпендикулярна до площини грані
АА1В1В. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо
АВ = 15 см, ААг = 12 см, АВ = 20 см. б) Побудуйте переріз
паралелепіпеда площиною, яка проходить через ВС,
перпендикулярно до площини а. Знайдіть його периметр
і площу.

608. АВСВА1В1С1В1 - куб. Побудуйте перерізи куба площинами
(ВСВ^ і (І>С1В1). Доведіть, що площини перерізів перпен-
дикулярні.

609. АВСВА.В.СЛВЛ - куб, М є ВС, N є ССЛ, ВМ :МС=СК: ЛГС. =
іііі*7’ ’ і’ і

= 2:1. Доведіть, що площини перерізів, проведені через
АВ і N та А1В1 і М9 взаємно перпендикулярні. Знайдіть
площі перерізів, якщо ребро куба а.

610 АВСВ - правильний тетраедр з ребром а. М9 К - середини
АС і ВВ відповідно. Побудуйте перерізи тетраедра площи-
нами, які проходять через точки М9 В9 В і К9 А9 С. До-
ведіть, що площини перерізів перпендикулярні. Знайдіть
відношення їхніх площ та периметрів.
А у 611 «Основою тетраедра АВСВ є трикут-
ник АВС (АС = 90°), М - середина СЛ.

/ \ Точка Л рівновіддалена від вершин

І ДАВС. Побудуйте переріз тетраедра пло-

О<~------т ~7 щиною, яка проходить через точку М,

х. / / перпендикулярно до (АВС) так, щоб у

х,// перерізі утворився: а) довільний трикут-

ник; б) рівнобедрений трикутник; в) тра-
х пеція; г) довільний чотирикутник.

Мал. 205 612. З вершини В трикутника АВС прове-

дено похилу ВР, яка утворює зі сторо-
нами ВА і ВС рівні кути. Доведіть, що площина (ЬВК)
перпендикулярна до площини трикутника (ВК - бісек-
триса ДАВС).

613. Плоскі кути при одній вершині тетраедра дорівнюють
45°, 60° і 45°. Який кут утворюють грані тетраедра, що
містять рівні кути?

614. Промені ОА, ОВ і ОС утворюють три гострі кути такі, що
ААОВ = ААОС = 60°, а АВОС = 90° (мал. 205). Доведіть,
що площина (АВС), яка відтинає на променях відрізки
рівної довжини, перпендикулярна до площини прямого
кута.

615*. З вершини прямого кута А трикутника АВС проведено
перпендикуляр АМ до площини трикутника. Знайдіть
косинуси кутів трикутника МВС, якщо ААВМ = а,
2АВС = р.

616*. З точки поза площиною проведено перпендикуляр і дві
похилі, що утворюють з площиною кути а, а між собою
кут р. Знайдіть кут у між проекціями цих похилих.

Вправи для повторення

617. Один з кутів ромба дорівнює 60°. Побудуйте зображення
цього ромба і його висот, проведених з вершини: а) тупого
кута; б) гострого кута.

618. Пряма ВК перпендикулярна до площини квадрата АВСВ.
Доведіть, що пряма перетину площин (АВК) і (ВСК) пер-
пендикулярна до площини (АВК).

619. Дано прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що пряма,
яка проходить через центри його протилежних граней,
перпендикулярна до площин цих граней.
ОРТОГОНАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ

Про паралельне проектування йшлося в § 9. Якщо проек-
туючі прямі перпендикулярні до площини проекцій, то таке
проектування називають ортогональним, або прямокутним.
Ортогональне проектування - вид паралельного проектування,
тому воно має властивості, доведені в § 9. У геометрії ортого-
нальне проектування основне. Далі, говорячи про проекту-
вання і проекції, ми матимемо на увазі тільки ортогональне
проектування, ортогональні проекції.

Проекцією точки, що не лежить на площині, називається
основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину.
Якщо точка лежить на площині проекцій, то вона збігається зі
своєю проекцією. Проекцією фігури на площину називається
множина проекцій усіх точок цієї фігури на дану площину.

Проекцією відрізка, променя або прямої, не перпендику-
лярних до площини проекцій, є відповідно відрізок, промінь
або пряма. Проекцією п-кутника, площина якого не перпен-
дикулярна до площини проекцій, - л-кутник.

Теорема 23. Площа проекції многокутника на площину
дорівнює площі даного многокутника, помноженій на
косинус кута між їх площинами.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай площина Р даного многокутника і пло-
щина проекцій а перетинаються під кутом ер по прямій І.

Розглянемо спочатку випадок, коли даний многокутник -

трапеція АВСИ, основи якої АВ і СВ паралельні І (мал. 206).

Проекцією даної трапеції є трапеція А1В1С1В1, її основи А1В1
і С1В1 теж паралельні І (чому?). АВВ1А1 і ОСС1В1 - прямокут-
ники, тому А1В1 = АВ, СХВХ = СВ.

Якщо СК - перпендикуляр до і, то за теоремою про три

перпендикуляри і С±К ± І. Отже,
/-СКС1 = ер. Якщо СК п АВ = Н і
СгК п АгВг = Нр то СН і С^ - ви-
соти розглядуваних трапецій, при-
чому С1Н1 - проекція СН. Отже,
С1Н1 = СН соз ф. Тому, якщо 8 і 5п
площі трапецій АВСВ ІА1В1С1В1, то
-8П=|(АВ1+С1Р1)С1Я1 =

= 4(АВ + СВ)СН соз <р = 5 соз <р.
А

Мал. 206
У випадку, коли дана фігура - трикутник АВС, у якого
АВ ЦІ, повторивши майже дослівно наведені вище міркування,
дістанемо ту саму залежність: 5П = 5 сов ер.

Нарешті, нехай дано довільний многокутник АВС...Р. Про-
ведемо через його вершини прямі, паралельні /. Вони розіб’ють
даний многокутник на скінченне число трапецій і трикутни-
ків, основи яких паралельні прямій І. Якщо 81, 52, ... , 8к -
площі цих трапецій і трикутників, а 5р 52, ... , 8к - площі їх
проекцій, то за доведеним вище:

= 5хсо8 <р, 52 = 52соз ф, ..., 8к = 5лсоз ф.

Отже,

5П = 5і + 52 + ... + 8к = (5і + 52 + ... 4- 5л)сов ф = 5 сов ф.

Теорему доведено.

Розглянемо ще проекції фігур на пряму.

Проекцією точки на пряму (що не проходить через цю
точку), називається основа перпендикуляра, опущеного з
даної точки на пряму. Якщо точка лежить на прямій, то вона
є своєю проекцією на дану пряму. Проекцією фігури на пряму
називають множину проекцій усіх точок цієї фігури на дану

пряму.

Мал. 207

Щоб побудувати проекцію відрізка АВ
на пряму /, достатньо через точки А і
В провести площини, перпендикуляр-
ні до прямої І (мал. 207). Обмежений
цими площинами відрізок А^ прямої І
і буде шуканою проекцією відрізка АВ
на пряму І. Довжини проекцій двох
паралельних відрізків на пряму відно-
сяться як довжини відрізків, що проек-
туються.

Нехай у площині дано перпенди-
кулярні прямі ОХ, ОУ і відрізок АВ
(мал. 208). Якщо АХВХ, АуВу - проекції
відрізка АВ на прямі ОХ, ОУ і якщо
АВ 4Г ОХ, АВ ЇЇ ОУ, то за теоремою
Піфагора АВ2 = АХВХ2 4- АуВу2. Ця рів-
ність справедлива і тоді, коли АВ || ОХ
або АВ Ц ОУ. Отже, теорему Піфагора
можна узагальнити так: квадрат дов-
жини відрізка дорівнює сумі квадратів
його проекцій на дві перпендикулярні
прямі.

Аналогічне твердження правильне і
для простору.
Теорема 24 (просторова теорема Піфагори). Квадрат
довжини будь-якого відрізка дорівнює сумі квадратів
довжин його проекцій на три взаємно перпендикулярні
прямі.

ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо загаль-
ний випадок, коли даний відрізок
АВ не перпендикулярний до жод-
ної з даних попарно перпендику-
лярних прямих ОХ, ОУ, 02 (мал.
209). Проекції відрізка АВ на пло-
щини ХОУ, ХОИ, ТО2 позначимо
відповідно через А1В1, А3В3,

а на прямі ОХ, ОУ, 02 - через А*ВХ,
А В , А2В2. Тоді, якщо АС ± ВВр то
АС = А1В1 і ВС = В^А2. Отже,
АВ2 = АС2 + ВС2 = АХВ2 + А^В2.
За доведеним вище АВ.2 = АВ2 +
+ Ауву2- ТомУ

АВ2=АВ2+А>

(*)

Якщо, наприклад, АВ ± ОИ, то А*Вг = 0 і АВ2 = А1В12 = А^В2 +
+ АуВу2- Бачимо, що рівність (*) справедлива при будь-якому
розташуванні відрізка АВ.

Для ДОПИТЛИВИХ.............................

Поняття проектування, паралельне проекту-
вання і ортогональне проектування пов’язані
між собою, як показано на діаграмі (мал. 210).
Тобто ортогональне проектування - окремий вид

паралельного проектування, а паралельне проектування - вид
проектування. Інший вид останнього - центральне проектування
(перспектива).

Зображати фігури при ортогональному проектуванні можна

різними способами, докладно їх розглядають у кресленні - ізо-

метричні і диметричні зображення (мал. 211) та епюри - у проек-

тивній геометрії.

Мал. 210

А - проектування

Б - паралельне

В - ортогональне

Г - перспектива
ОН| РОЗДІЛ 4
«««•»« -з > ф & ф $ & « Є $ « Ч? * » $ ф «• й <% -? > * ®. ф $ * а ф # З? 4> Ф Є » %»

*•* ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ

ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Які види проектування ви знаєте?

2. Яке проектування називають ортогональним?

3. Що називається проекцією точки на площину?

4. Сформулюйте означення проекції фігури на площину.

5. Сформулюйте і доведіть теорему про площу ортого-
нальної проекції многокутника.

4. Що називається проекцією точки на пряму?

7. Сформулюйте і доведіть просторову теорему Піфа-
гора.

Виконаємо разом

1. Доведіть, що коли А1В1 - проекція від-
різка АВ на пряму і, а ф - кут між АВ і /, то
А1В1 = АВ сов ф.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Проведемо через кінці
даного відрізка АВ площини а і Р, перпенди-
кулярні до прямої І (мал. 212). Вони перетнуть
пряму І у точках Ах і Вг Площини а і р пара-
лельні, тому якщо АВВгМ - паралелограм, то
МВг = АВ, АМВуА1 = ф і АГВГ : МВг = сов ф,

Мал. 212 звідси А1В1 = МВ1 соз ф = АВ соз ф.

2. У тетраедрі АВСВ АС = ВС = 37 см,
АВ = ВВ = 13 см, АВ = 24 см, ВС = 35 см. Знайдіть площу
ортогональної проекції грані АВВ на площину (АВС).

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай АВСВ заданий тетраедр (мал. 213).
Знайдемо кут між площинами (АВВ) і (АВС). Якщо К -
середина АВ, то СК ± АВ і ВК ± АВ, оскільки ААВС і ААВВ
рівнобедрені. Тоді /.ВКС - шуканий кут. З ААКС і ААКВ
за теоремою Піфагора знайдемо, що КС = 35 см, КВ = 5 см.
Тоді за теоремою косинусів з АВКС знайдемо:

созЛВКС =

КС^+КР^-РС^= 1

2КСКБ ~и

Мал. 213

Оскільки 8ііАОВ = кАВ • ИК =
= 60 (см2), то

5_ = 8.,п„ = 8..п„ соз /ВКС =
пр ІХАОІІ ши)15

^(ем2).
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

> Виконайте усно

620. Чи може площа ортогональної проекції фігури бути біль-
шою за площу самої фігури? А дорівнювати?

621. Сторона квадрата дорівнює 6 см, а площа його ортого-
нальної проекції 18 см2. Знайдіть кут між площинами
квадрата та його проекції.

622. Площа трикутника дорівнює 5. Знайдіть площу ортого-
нальної проекції цього трикутника на площину, яка утво-
рює з площиною трикутника кут 60°.

623. Як розміщені дві прямі, якщо їх проекції на площину -
прямі, які перетинаються?

624. Як розміщені дві прямі, якщо їх проекції на площину -
паралельні прямі?

625. Чи може проекцією правильного тетраедра на площину
бути: а) правильний трикутник; б) неправильний три-
кутник; в) квадрат; г) чотирикутник, відмінний від квад-
рата?

626. Чи може проекцією куба на площину бути: а) квадрат;
б) прямокутник, відмінний від квадрата; в) п’ятикутник;
г) шестикутник?

627. АВСОА1В1С1О1 - куб, М є ВВГ Доведіть, що проекції три-
кутника МІ)О1 на площини граней АВВ1А1 і ВСС1В1 рівні.

628. Доведіть, що проекції будь-якого многокутника на дві
паралельні площини рівні.

629. Чи можуть бути рівними проекції однієї і тієї самої фігури
на непаралельні площини? Наведіть приклади.

630. Площини а і р перетинаються по прямій а. Довільна
точка А проектується на а, р і а. Доведіть, що точка А і її
проекції лежать в одній площині.

631. Дві похилі, проведені з однієї точки, дорівнюють 15 і 20.
Проекція однієї з них 16. Знайдіть проекцію другої.

632. Кожна з похилих АВ і СВ дорівнює 10 см, їх проекції НВ
і НО дорівнюють відповідно 6 см і 8 см. Знайдіть від-
стань АС.

633. З точки М до площини проведено похилі МА і МВ, дов-
жини яких дорівнюють 10 см і 8>І2 см. Різниця проекцій
цих похилих 2 см, кут між проекціями 90°. Знайдіть про-
екції похилих на пряму АВ.

634. Відрізки двох прямих лежать між паралельними площи-
нами і відносяться як 20 : 13. Проекція одного відрізка
на одну з площин дорівнює 16 см, а іншого відрізка на
іншу площину - 5 см. Знайдіть довжини цих відрізків.

635. Відрізок завдовжки 26 см опирається кінцями на дві
взаємно перпендикулярні площини. Довжини перпенди-
кулярів, опущених з кінців відрізка до лінії перетину
площин, дорівнюють 10 см і 20 см. Знайдіть проекцію
відрізка на кожну з площин.

636. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу,
довжини яких дорівнюють 16 см і 20 см. Обчисліть про-
екцію перпендикуляра на похилу.

637. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу,
різниця довжин яких дорівнює 2 см. Обчисліть проекцію
перпендикуляра на похилу, якщо проекція похилої на
площину дорівнює 6 см.

638. Яка довжина відрізка, якщо довжини його проекцій на
три попарно перпендикулярні прямі дорівнюють а, Ь і с?

639. Яка довжина відрізка, якщо довжини його проекцій
на три попарно перпендикулярні площини дорівнюють а,
Ьіс?

640. Через вершини рівностороннього трикутника провели три
прямі, перпендикулярні до його площини. Чи можуть на
таких прямих лежати вершини прямокутного або тупо-
кутного трикутника?

641. Площа многокутника 70 см2, а його проекції - 35 см2.
Знайдіть кут між площиною многокутника і площиною
проекції.

642. Ортогональною проекцією прямокутника, сторони якого
дорівнюють 6 см і 4 см, є чотирикутник, площа якого
12 см2. Обчисліть кут між площинами чотирикутників.
Чи може дана проекція бути квадратом?

643. Ортогональною проекцією прямокутника є квадрат. Площа
прямокутника 128 см2, а кут між площинами 60°. Знайдіть
периметр прямокутника.

644. Ортогональною проекцією правильного трикутника зі
стороною 20 см на площину, паралельну одній із сторін,
є рівнобедрений трикутник, одна зі сторін якого 5\ЦЗ см.
Знайдіть кут між площинами трикутників.

645. Ортогональною проекцією правильного трикутника є
трикутник зі сторонами 13 м, 14 м, 15 м. Кут між пло-
щинами трикутників 30°. Знайдіть периметр даного три-
кутника.

646. Ортогональною проекцією трапеції, площа якої 5 2 >/2 см2,
є рівнобічна трапеція з основами 16 см і 10 см та бічною
стороною 5 см. Знайдіть кут між площинами трапецій.
647. Чотирикутник АВ1С12)1 - ортогональна проекція ромба
АВСВ на площину, паралельну меншій діагоналі. Знайдіть
довжини проекцій діагоналей, якщо АВ = 20 см, ВВг =
= 10 см, ЛВ = 120°.

648. Ортогональною проекцією паралелограма АВСВ на пло-
щину, яка проходить через вершину А паралельно ВВ, є
чотирикутник АВ1С1В1. Обчисліть АС, якщо ВВ = 3>/2Ї м,
ССХ = 10 м, АВг = 12 м, В1С1 = 9 м.

649. АВСВ - правильний тетраедр, ребро якого дорівнює а.
Побудуйте проекцію грані СВВ на площину (АВС).
Знайдіть площу проекції та кут між площинами (АВС) і
(СВВ).

650. АВСВА1В1С1В1 - прямокутний паралелепіпед. АВ: АВ :АА1 =
= 1 : 2 : З, М є ССХ, СМ : МСг = 2:1. Знайдіть кут між
площиною /\ВМВ та його проекцією на площину: а) (АВС);
б) (ВВ.В).

651. Побудуйте проекцію діагоналі основи куба на площину,
яка проходить через дві діагоналі його суміжних бічних
граней. Знайдіть довжину проекції, якщо довжина діаго-
налі дорівнює (і.

652. У кубі через ребро основи і середини двох бічних ребер
проведено площину (мал. 214). Знайдіть кут між даною
площиною і площиною основи і площу перерізу, якщо
ребро куба дорівнює а.

653. В основі тетраедра лежить правильний трикутник зі сто-
роною І. Через ребро основи і середину протилежного
ребра проведено площину, яка утворює з площиною
основи кут р. Знайдіть площу перерізу, якщо всі бічні
ребра тетраедра рівні.

В основі прямого паралелепіпеда лежить квадрат зі сто-
роною а. Через середини двох суміжних сторін основи
проведена площина, яка перетинає три бічні ребра пара-
лелепіпеда і утворює з площиною основи кут а. Знайдіть

площу перерізу.

655. Нехай Ц - площа грані правильного
тетраедра, а (?х - площа проекції цієї
грані на площину другої грані. Знайдіть
:<?.

656. Ребро правильного тетраедра дорів-
нює а. Знайдіть площу проекції цього
тетраедра на площину, перпендикулярну
до його ребра.
РОЗДІЛ 4

» 4 £ Є Ф * > > Ф Ф Є * 4 $ * § « » * й « * » « 4? *& > ># Є Ф З ♦ « З* ф

~~1 Г^х* 657. Намалюйте або опишіть фігури,
І проекції яких на дві взаємно перпен-

__| І_______ дикулярні площини зображено на

. ...- малюнку 215.

658. Сторони прямокутника дорівню-
ють 20 см і 25 см. Його проекція на
площину подібна до нього. Знайдіть
а) в) периметр проекції.

Мал. 215 659. З точки К до площини проведено

похилі КА = 13 см і КВ = 20 см, а кут
між їх проекціями дорівнює 120°. Проекція більшої похи-
лої дорівнює 16 см. Знайдіть проекцію на цю площину
відрізка КР, якщо Р є АВ і АР : РВ = 5 : 16.

Основа рівнобедреного трикутника паралельна площині а,
а його ортогональна проекція на цю площину - пра-
вильний трикутник. Кут між площинами трикутників
30°. Обчисліть кут при вершині рівнобедреного трикут-
ника.

661. Ортогональною проекцією трапеції є рівнобічна трапеція
з основами 7 см і 25 см та діагоналями, які перпендику-
лярні до бічних сторін. Кут між площинами трапецій 45°.
Обчисліть площу даної трапеції.

662. Ортогональною проекцією трапеції, основи якої пара-
лельні площині проекції, є рівнобічна трапеція з осно-
вами а і Ь, діагоналі якої взаємно перпендикулярні. Кут
між площинами трапецій <р. Знайдіть висоту даної
трапеції.

663. Через більшу основу АО рівнобічної трапеції АВСО прове-
дено площину. АВ1С1В - ортогональна проекція трапеції
АВСО на цю площину. О - точка перетину діагоналей АС
і ВО, О1 - її проекція. Обчисліть площу трапеції АВСО,
площу її проекції та кут між площинами трапецій, якщо
ООг = 12 см, АВ1 = 15 см, АО = 42 см, ВС = 28 см.

664. Рівнобедрені трикутники АВС і АВО зі спільною основою
АВ лежать у різних площинах. Знайдіть площу ортого-
нальної проекції ДАВС на площину АВО, якщо АВ = 24 м,
АС = 13 м, АО = 37 м, СО = 35 м.

665. В основі тетраедра АВСО лежить трикутник АВС, у якого
/.С = 90°, ВС = а, АС = Ь. Побудуйте проекцію грані АОС
на площину (АВС). Знайдіть кут між площинами (АВС) і
(АВС), якщо ОА = ОВ = ОС = І.

666. АВСВА1В1С1В1 - куб, М - середина ВВГ Побудуйте про-
екцію перерізу куба площиною, яка проходить через
точки А, М, Ср на площину (ВВ1В1). Знайдіть кут між
площинами.
667*. АВСВАХВХСХВХ - куб, М.И.К- середини ребер ВХСХ, ССХ,
СВ відповідно. Побудуйте переріз куба площиною, яка
проходить через точки М9 N1 К, Обчисліть проекцію діаго-
налі ВХВ на цю площину, якщо ребро куба дорівнює а,
АВСОА1В1СІО1 - куб, М9 М, К - середини ребер ААр АО,
ВХСХ відповідно. Побудуйте переріз куба площиною, яка
проходить через точки М9 М, К9 і побудуйте проекцію
цієї площини на площину (АВС). Обчисліть площі пере-
різу та проекції, якщо АВ = а. Знайдіть кут між цими
площинами.

669. Якщо проекція прямої АВ на площину а утворює з пря-
мими АС і АО цієї площини рівні кути, то і пряма АВ з
прямими АС і АО утворює рівні кути. Доведіть це.

670 Через вершину В кута АВС проведено промінь ВМ9 який
утворює з ВА і ВС рівні кути. Доведіть, що проекція точ-
ки М на площину кута лежить на бісектрисі цього кута.

671. Через вершину С трикутника АВС проведено похилу СМ,
яка утворює зі сторонами АС і ВС рівні кути. М1 - про-
екція точки М на площину (АВС), Мх є АВ. Знайдіть
довжину похилої та її проекцію, якщо АВ = 13 см,
ВС = 18 см, АС = 21 см, ММХ = 4>/15 см.

67? Через вершину прямого кута С трикутника АВС прове-
дено похилу СМ9 яка утворює зі сторонами АС і ВС рівні
кути. N - проекція М на площину трикутника, N є АВ.
Знайдіть проекцію похилої СМ9 якщо проекції АМ і ВМ
дорівнюють відповідно 20 м і 15 м.

673. У тетраедрі АВСВ /АОВ = /ВОС = /АОС = 90°. Доведіть,
що ортогональною проекцією точки В на площину (АВС)
є точка перетину висот (ортоцентр) трикутника АВС.

674. Доведіть, що проекція прямого кута на площину буде
прямим кутом лише тоді, коли хоча б одна сторона кута
паралельна площині проекцій.

675 Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Знайдіть площу
проекції цього тетраедра на площину, паралельну двом
мимобіжним його ребрам.

676. Доведіть, що коли проекцією паралелепіпеда на площину
є шестикутник, то кожна сторона цього шестикутника
паралельна протилежній.

677*. Доведіть, що проекцією куба на площину, перпенди-
кулярну до його діагоналі, є правильний шестикутник.
Знайдіть площу цього шестикутника, якщо ребро куба
дорівнює а.

678*. АВСВА1В1С1В1 - куб. Доведіть, що проекції точок В і Вх на
діагональ АСХ ділять цю діагональ на три рівні частини.

11-а«хпеІліа.1(ЖІ
679*. Доведіть, що квадрат площі трикутника дорівнює сумі
квадратів площ його проекцій на три взаємно перпенди-
кулярні площини.

Вправи для повторення

680. Через точку перетину прямих АВ і АС проведено пряму /,
яка не лежить з ними в одній площині. Доведіть, що
прямі І і ВС не перетинаються.

681. АР - перпендикуляр до площини паралелограма АВСВ,
РС ± ВВ. Доведіть, що АВСВ - ромб.

682. З точок А і В, які лежать у перпендикулярних площинах,
опущено перпендикуляри АС і ВВ на пряму СВ перетину
цих площин. Знайдіть довжину АВ, якщо АС = а, СВ = Ь,
ВВ = с.

§17

ВІДСТАНІ МІЖ ФІГУРАМИ

Що таке відстань між точками, нам уже відомо. Узагальнимо
це поняття для випадку довільних фігур.

Нехай дано дві фігури Р і Рг (мал. 216). Точки А є Р і В є Рг
називають найближчими точками цих фігур, якщо для будь-
яких точок А1 є Р і В1 є Рг виконується нерівність АВ < АХВГ

Відстанню між двома фігурами називають відстань між
найближчими точками цих фігур (якщо такі точки існують).
Якщо дві фігури мають спільні точки, то вважають, що від-
стань між ними дорівнює 0.

ЗАУВАЖЕННЯ. Не будь-які дві фігури мають найближчі
1 точки. Про це дізнаєтеся згодом, а поки ми вивчатимемо
тільки такі фігури, для яких найближчі точки існують.

Розглянемо конкретні приклади.

Відстань від точки до прямої. Перпендикуляр, опущений

Мал. 216

з точки на пряму, коротший від будь-
якого відрізка, що сполучає цю точку з
даною прямою. Тому відстань від точки
до прямої дорівнює довжині перпенди-
куляра, опущеного з даної точки на
пряму.

Відстань від точки до відрізка не
завжди дорівнює відстані від точки до
прямої, якій належить цей відрізок. Вона може дорівнювати
відстані від даної точки до кінця відрізка. Подивіться на
малюнок 217. Відстань від точки М до відрізка РС дорівнює
МР, а не МН.

Відстань від точки до площини. Оскільки перпендикуляр
коротший від похилої (теорема 19), то відстань від точки до
площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з
даної точки на площину. Наприклад, якщо АВСРА1В1С1Р1 -
куб з ребром а, то відстань від точки А1 до площини грані
АВСВ дорівнює а. Але якщо - середина відрізка РХР,
то відстань від точки Р до квадрата АВСВ дорівнює а\Ї2
(мал. 218). Взагалі, відстань від точки до плоскої фігури не
завжди дорівнює відстані від цієї точки до площини, в якій
лежить дана фігура.

Відстань між паралельними площинами. Якщо площини
а і Р паралельні, то перпендикуляри, опущені з точок однієї з
цих площин на другу, рівні (мал. 219). Справді, всі ці перпен-
дикуляри паралельні один одному, а відрізки паралельних
прямих, які відтинаються паралельними площинами, рівні
(теорема 10). Довжина перпендикуляра, опущеного з будь-
якої точки площини на паралельну їй площину, є відстанню
між даними паралельними площинами.

З тієї самої причини відстань між
прямою і паралельною їй площиною
дорівнює довжині перпендикуляра,
опущеного з будь-якої точки прямої
на дану площину.

Відстань між паралельними пря-
мими дорівнює довжині перпендику-
ляра, опущеного з будь-якої точки
однієї прямої на другу.

Відстань між мимобіжними прями-
ми. Нехай дано мимобіжні прямі а і Ь.

и*
*

Мал. 220
ним перпендикуляром

Проведемо через яку-небудь точку Ах
прямої а пряму а19 паралельну Ь
(мал. 220). Прямі ах і а визначають
площину а, паралельну прямій 6. Не-
хай с - проекція прямої Ь на площину
а і с п а = А. Пряма, яка проходить
через А і перпендикулярна до пло-
щини а, перетинає пряму Ь у деякій
точці В. Відрізок АВ перпендикуляр-
ний до кожної з даних мимобіжних
прямих а і &, його називають спіль-
мимобіжних прямих. Для будь-яких

мимобіжних прямих існує єдиний їх спільний перпенди-
куляр. Спільний перпендикуляр двох мимобіжних прямих
коротший від будь-якого відрізка, що сполучає довільні точки
цих прямих. Тому відстань між двома мимобіжними пря-
мими дорівнює довжині їх спільного перпендикуляра.

Корисно пам’ятати таке. Дві мимобіжні прямі визначають
пару паралельних площин (див. задачу 296). Відстань між
цими площинами дорівнює відстані між даними прямими.

Отже, відстань між мимобіжними прямими можна знайти
кількома способами:

1) побудувати спільний перпендикуляр до даних мимобіж-
них прямих. Його довжина дорівнює шуканій відстані;

2) через одну з мимобіжних прямих а провести площину а,
паралельну прямій Ь і знайти відстань від довільної точки
прямої Ь до площини а або до ортогональної проекції прямої Ь
на площину а. Ця відстань і буде шуканою;

3) через дані мимобіжні прямі провести паралельні пло-
щини і знайти відстань між цими площинами. Це і буде
шукана відстань.

Проілюструємо всі ці способи при розв’язуванні задачі.

АВСВА1ВХСХВХ - куб з ребром а (мал. 221). Знайдіть відстань д
між прямими: а) ВВ1 і СІ); б) СС1 і
ВХВ; в) АВГ і СВХ; г) АС і ВХВ.

а) Оскільки ВС _І_ ВВ1 і ВС ± СВ,
то ВС - спільний перпендикуляр
прямих ВВ1 і СВ, тому відстань між
ними дорівнює довжині відрізка ВС.
Отже, (І = а.

б) Через пряму ВХВ проведемо
площину ВВХВХВ, яка паралельна
ССХ, оскільки ССХ Ц ВВХ. Знайдемо
відстань від точки С до площини
ВВХВХВ. Ця відстань дорівнює довжи-
ні відрізка СО. Дійсно, СО ± ВВ і СО ± ООГ Отже, СО ± (ВВХР).
/— і

Якщо АВ = а, то АС = а>/2, тоді СО =^АС Отже, сі =

л 2 2

в) Прямі АВ1 і СРХ лежать у паралельних площинах АА1В1В
і ССХВХР відповідно. Тому відстань між прямими АВг і СВХ
дорівнює відстані між цими площинами, тобто довжині відрізка
АО, який перпендикулярний до цих площин. Отже, Л = а.

г) Через ВХР проведемо площину ВВХРХР і в цій площині
проведемо ОМ ± ВХВ. ОМ - спільний перпендикуляр до пря-
мих АС і ВХВ. Дійсно, АС ± ВВ і АС ± ООХ, тоді АС ± (ВВХВХ).
Оскільки ОМ а (ВВХРХ), то АС ± ОМ. ОМ ± ВХІ) за побудовою.
Отже, відстань між даними прямими дорівнює довжині від-
різка ОМ.

ОМ ВВ1 ОВ ВВ1

&МОВ ™ ЛВВХ2), тоді 7777 = ^77’ звідси ОМ = —=-77—.

Оскільки ОВ = ——, ВгВ = а\І39 то ОМ =

Для допитливих» • •••••••••••••••••••••••••

Інколи для знаходження відстані між мимо-
біжними прямими зручно користуватися методом
ортогонального проектування. Нехай а і Ь - мимо-
біжні прямі (мал. 222). Побудуємо площину а, пер-

пендикулярну до прямої а, і спроектуємо на площину а пряму Ь.
Отримаємо пряму Ьг У площині а з точки А проведемо АМ ± Ьг
Оскільки площина, яка проходить через Ь і Ьх, перпендикулярна
до а, то вона паралельна а. Отже, відстань між мимобіжними пря-
мими під дорівнює довжині перпендикуляра АМ.

ЗАДАЧА 1. АВСИА1В1С1В1 - куб з ребром а (мал. 223). Знайдіть
відстань між прямими ОгА і СО, де Ог - центр грані А1В1С1Р1.
ЯНВ РОЗДІЛ 4
1V Т

Оскільки СР ± (АА1Р1), то спроектуємо ОГА на площину (АА1Р1).
Отримаємо відрізок АР. У площині (АА1В1) проведемо ВК 1 АР.
Довжина ВК і є шукана відстань. Розглянемо ЬАРВ. Якщо Н -
середина АО, то, використовуючи метод площ, отримаємо, що

АВ РН

АВ • РН = АР ВК. звідси ВК =------. Оскільки АВ = РН = а і

АР

. п /л л2 , л г>2 /2 а1 2 2а 2а^5

АР = АА} + А]Р — <1 а ч------, то ВК = — —-—.

V 4 2 5

ЗАДАЧА 2. Точка К ділить ребро АВ правильного тетраедра

АВСВ у відношенні АК : КВ = 2:1. Знайдіть відстань між ВК і

ВС, якщо АВ = а (мал. 224).

Нехай М - середина ВС. Проведемо
площину (АВМ). Оскільки ВМ 1 ВС і
АМ ± ВС, то ВС ± (АВМ). Спроектуємо
ВК на площину (АВМ). Оскільки тетра-
едр правильний, то центр О грані АВС
лежить на АМ ЇАО : ОМ =АК : КВ = 2:1.

Отже, проекцією точки К буде точ-
ка О. Тоді шукана відстань дорівнює
довжині перпендикуляра, проведеного
у площині (АВМ) з точки М до ВО.
тобто довжині МО. Якщо АВ = а, то

ОМ = —АМ = —---= —

З 3 2 6

* • ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ

ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Що називається відстанню між двома фігурами?

2« Дайте означення відстані від точки до: а) прямої;
б) відрізка; в) площини.

З» Як знайти відстань між паралельними площинами?
А між прямою і паралельною їй площиною?

4. Що називається спільним перпендикуляром двох ми-
мобіжних прямих?

5« Як знайти відстань між мимобіжними прямими?

Виконаємо разом

1. Через вершину прямого кута С &АВС проведено перпенди-
куляр СМ до площини трикутника (мал. 225). АС = 6 см,

ВС = 8 см, СМ = 6,4 см. Знайдіть відстань: а) від точки М
до прямої АВ; б) від точки С до площини (АМВ).
РОЗВ’ЯЗАННЯ, а) Проведемо СК± АВ
і точку К сполучимо з точкою М. За
теоремою про три перпендикуляри
МК ± АВ. Отже, довжина відрізка
МК - відстань від точки М до АВ.

З ААВС за теоремою Піфагора зна-
йдемо, що АВ = 10 см. Тоді за мето-
АС ВС 6 8 А о
дом площ СК = ——= -^ = 4’8-
З ЬМСК за теоремою Піфагора зна-
йдемо МК\ _________ _________

МК = 4м^+СК2 = >/б,42 + 4,82 = 8.

б) Оскільки КС ± АВ і КМ ± АВ, то АВ ± (МКС), а отже,
площини (АМВ) і (МКС) перпендикулярні, то МК - лінія
їх перетину. У площині (МКС) проведемо СР ± МК9 тоді за
властивістю перпендикулярних площин СР ± (АМВ). Отже,
СР - відстань від точки С до площини (АМВ). Знайдемо її.
З ЬМСК за методом площ:

Отже, СР = 3,84 см.

Відповідь:

а) МК - 8 см;

б) СР = 3,84 см.

2. Кожна з трьох попарно перпендикулярних площин прохо-

дить через точку О. Точка А відда-
лена від цих площин на 90 см, 120 см
і 80 см. Знайдіть відстань ОА.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай А4Х = 80 см,
АА2 = 90 см і АА3 = 120 см - відстані
від даної точки А до площин а, р і у
(мал. 226). Площина, яка проходить
через точки А, Ах і А2, перетинає
пряму перетину площин а і Р у такій
точці И, що чотирикутник ААх2А2 -
прямокутник. Чотирикутник ААгО2
теж прямокутник. За теоремою

Піфагора:

оа = ^лД+лг^ = у[аД+аа%+ааІ =

= л/1202+902+802 = 170.

Відповідь: 170 см.
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

683. АВСВА1В1С1В1 - куб з ребром а,
М - середина АО (мал. 227).

а) Знайдіть відстані АС, МС9 МВГ
б) Яка з відстаней АС, МС, ВС най-
більша, а яка найменша?

в) Порівняйте відстані МС, МВ19

МАГ

г) Знайдіть відстань від точки М
до прямих А1І)1, В1С1, до площин
А1В1С1В1, ВВ^С.

ґ) Знайдіть відстань між площинами АВСВ і А1В1С1В1.

д) Знайдіть відстань від прямої А1М до площини ВВ1С1С.
е) Знайдіть відстань між прямими АО і ВХСХ, ССХ і АХВХ.

684. Через середину відрізка АВ проведено площину. Доведіть,
що відстані від точок А і В до даної площини рівні.

685. Через діагональ паралелограма проведено площину. До-
ведіть, що кінці другої діагоналі однаково віддалені від
цієї площини.

686. Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від
неї на 7 см і 13 см. Як віддалена від площини середина
відрізка?

687. Точки С і В, які ділять відрізок АВ на три рівні частини,
віддалені від площини, що не перетинає відрізок АВ, на
4 см і 8 см. Як віддалені від площини кінці відрізка?

688. Відрізок завдовжки а перетинає площину, а його кінці
віддалені від площини на Ь і с. Знайдіть довжину проек-
ції відрізка на площину.

689. МА - перпендикуляр до площини квадрата АВСВ. Знай-
діть відстань від точки М до прямих АВ, ВС і ВВ, якщо
АВ = 3 дм, МА = 4 дм.

690. До площини трикутника з центра вписаного в нього кола
радіуса г проведено перпендикуляр завдовжки й. Знайдіть від-
стань від кінця цього перпендикуляра до сторін трикутника.

691. З вершини В рівнобедреного трикутника АВС до його пло-
щини проведено перпендикуляр ВК = 12 см. Знайдіть від-
стань від точки К до сторони АС, якщо АС = 24 см,
АВ = ВС = 20 см.

692. З вершини В рівнобедреного прямокутного трикутника АВС
(ЛС = 90°) до його площини проведено перпендикуляр ВМ.
Відстань від точки М до сторони АС дорівнює 15 см, а до
точки А - 3>/34 см. Знайдіть відстань від точки М до пло-
щини трикутника.

693. З центра О кола, описаного навколо прямокутного три-
кутника з кутом 30°, до площини трикутника проведено
перпендикуляр ОК. Точка К віддалена від більшого
катета на 10 см. Знайдіть відстань від точки К до мен-
шого катета, якщо ОК = 8 см.

694. АК - перпендикуляр, проведений до площини три-
кутника АВС. Знайдіть відстань від точки К до сторони
ВС, якщо АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см, АК =
= 16 см.

695. Через вершину В трикутника АВС проведено перпендику-
ляр ВМ до площини трикутника. Точка М рівновідда-
лена від вершин А і С. Знайдіть відстань від точки М до
сторони АС9 якщо АС = а, ВМ = /.В = 60°.

696. Периметр трикутника АВС дорівнює 96 см, АС = 36 см.
Через вершину В проведено перпендикуляр ВР до пло-
щини трикутника, РА = РС = 50 см. Знайдіть відстань:
а) від Р до площини трикутника АВС; б) від точки В до
площини трикутника АРС.

697. Точка М знаходиться на відстані 26 см від усіх сторін
прямокутного трикутника. Знайдіть відстань від точки М
до площини трикутника, якщо його висота, проведена до
гіпотенузи, дорівнює 24 см і ділить гіпотенузу у відно-
шенні 9:16.

698. Точка Я знаходиться на відстані 2а від усіх сторін пра-
вильного трикутника зі стороною а. Знайдіть відстань від
точки В до площини трикутника.

699. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см.
Точка простору О знаходиться на відстані 12,5 см від усіх
сторін трикутника. Знайдіть відстань від О до площини
трикутника.

700. Більша діагональ ромба дорівнює сі9 а гострий кут а.
Точка простору М рівновіддалена від сторін ромба і зна-
ходиться на відстані 2(1 від його площини. Знайдіть від-
стань від точки М до сторін ромба.

701. З точки Р до площини проведено дві рівні похилі РМ і
РЛ\ кут між якими 60°, а кут між їх проекціями 120°.
Знайдіть відстань від точки Р до площини і до прямої
МЛГ, якщо ЛГУ = а.

702. З точки до площини проведено дві похилі, які дорівню-
ють 17 м і 10 м. Різниця проекцій цих похилих 9 м.
Знайдіть відстань від даної точки до площини.
703. Точка А віддалена від однієї з двох перпендикулярних
площин на х, а від другої - на у. Знайдіть відстань від
точки А до прямої перетину даних площин.

704. Площина а проходить через сторону АВ паралелограма
АВСВ і віддалена на (1 від точки перетину його діагона-
лей. Знайдіть відстань від прямої СР до площини а.

705. Вершини А, В, С квадрата АВСВ віддалені від площини,
яка не перетинає його, на 13 м, 14 м і 17 м відповідно. Як
віддалені від площини центр квадрата і вершина В?

706. Вершини трикутника віддалені від площини, яка не пере-
тинає його, на 6 м, 8 м і 10 м відповідно. Знайдіть відстань
від точки перетину медіан трикутника до площини.

707. Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Знайдіть від-
стань від його вершини до протилежної грані.

708. Дві вершини трикутника і точка перетину медіан відда-
лені від площини, яка не перетинає його, на 40 см, 24 см
і 38 см відповідно. Знайдіть відстань від третьої вершини
до площини.

709. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює
40 см. Відрізок завдовжки 50 см своїми кінцями впира-
ється в ці площини. Знайдіть довжини проекцій відрізка
на кожну з площин.

710. ЗАДАЧА З НЕСПОДІВАНОЮ ВІДПОВІДДЮ.

На книжковій полиці стоїть тритомник
(мал. 228). Товщина кожної книжки 40 мм,
а книжки без обкладинки 35 мм. Знайдіть від-
стань від першої сторінки першого тому до
останньої сторінки третього тому.

711. З точки К9 розміщеної по один бік від
паралельних площин а і р, проведено дві прямі,
які перетинають а у точках А і С, а р - у точ-

Мал. 228 ках ВІВ відповідно. Знайдіть відстань між
площинами, якщо точка К віддалена від р на
14 м, АК = 9 м, СВ = 16 м, КС = АВ.

712. Через точку О, яка лежить між паралельними площи-
нами а і р, проведено дві прямі, які перетинають а у точ-
ках А і С, а Р - у точках ВІВ відповідно. АО = ОВ9
ОС = 18 м, ОВ = 32 м. Знайдіть відстань між площинами,
якщо точка О віддалена від р на 16 м.

713. М9 N. К середини ребер РА, РВ9 РС правильного тетра-
едра РАВС. Знайдіть відстань між площинами (ММК) і
(АВС), якщо АВ = а.

714. АК - перпендикуляр до площини квадрата АВСВ, АВ = а,
АК = 2а. Знайдіть відстань між прямими КВ і СВ9 КВ і
АВ.
715. Ребро куба дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між діаго-
наллю куба і мимобіжною з нею діагоналлю основи.

716. Ребро куба АВСВА1В1С1Х>1 дорівнює а. Знайдіть відстань
між ССХ і ВВ.

717- Ребро правильного тетраедра а. Знайдіть відстань між
його протилежними ребрами.

718- Ребро куба а. Знайдіть відстань між мимобіжними діаго-
налями його протилежних граней.

719. Знайдіть відстань між діагоналлю куба, ребро якого дорів-
нює а, і будь-яким ребром, мимобіжним з цією діаго-
наллю.

720- Діагоналі ромба АВСВ дорівнюють ЗО см і 40 см. З вер-
шини А до площини ромба проведено перпендикуляр АК.
Знайдіть відстань від точки К до сторін ромба та до
прямих, які містять сторони ромба, якщо АК = 10 см.

721. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить
висоту, проведену до основи у відношенні 5:4, бічна сто-
рона трикутника дорівнює 60 см. Точка М рівновіддалена
від сторін трикутника і знаходиться на відстані 12 см від
площини трикутника. Знайдіть відстань від точки М до
сторін трикутника.

722. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см.
Точка Р віддалена від сторін трапеції на 10 см. Знайдіть
відстань від Р до площини трапеції.

723- Центр кола, вписаного в трапецію, віддалений від кінців
бічної сторони на ЗО см і 40 см. Точка 5 віддалена від сто-
рін трапеції на 26 см. Знайдіть відстань від точки 5 до
площини трапеції.

724- Точка простору рівновіддалена від двох сторін трикут-
ника і перпендикуляр, проведений через цю точку до пло-
щини трикутника, перетинає третю сторону. Доведіть,
що основа цього перпендикуляра лежить на бісектрисі
кута трикутника.

725. МК = 2 см - перпендикуляр, проведений з точки М до
площини трикутника АВС (АС = 90°), К є АВ. Точка М
рівновіддалена від сторін АС і ВС. Знайдіть відстань від
точки М до катетів трикутника, які дорівнюють 6 см і
8 см.

726. Точка Р рівновіддалена від сторін АВ і ВС трикутника
АВС, РК - перпендикуляр до плошини трикутника, К є АС.
Знайдіть відстань від точки Р до сторін АВ і ВС, якщо
РК = 4>/5 см, АВ = 4 см, ВС = 8 см, ЛВ = 60°.
727. У трикутнику АВС АВ = 15 см, ВС = 21 см, АС = 24 см.
Л£№ - перпендикуляр до площини трикутника, N є АС, а
точка М віддалена від сторін АВ і ВС на 10 см. Обчисліть
відстань від точки М до площини трикутника.

728- У прямокутному трикутнику дано гіпотенузу с і гострий
кут, що дорівнює 30°. Визначте відстань від вершини
прямого кута до площини, яка проходить через гіпоте-
нузу і нахилена до площини даного трикутника під кутом
45°.

729. У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона про-
порційні числам 6 і 7. Вершини основи трикутника від-
далені від площини, яка не перетинає трикутник, на
20 см і 12 см, а центр вписаного кола на 19 см. Знайдіть
відстань від третьої вершини трикутника до цієї пло-
щини.

730. Середня лінія трапеції паралельна площині а і віддалена
від неї на 12 см, а точка перетину діагоналей віддалена
від а на 10 см. Знайдіть відстань від основ трапеції до
площини а, якщо основи трапеції відносяться як 1 : 3 і
площина а трапецію не перетинає.

731. Діагоналі АгС і В£>х куба АВСОА1В1С1О1 перетинаються в
точці О. Знайдіть відстань від точки О до площини (АВХВХ),
якщо ребро куба дорівнює а.

732. АВСО і АВС1О1 - квадрати, АВ = а, 2СВСХ = а. Знайдіть
відстань між відрізками: а) ОС і ВСХ; б) ОС і О1С1.

733. У тетраедрі РАВС АР = РС, АВ = ВС, АС = 20 см, РВ = 25 см.
Знайдіть відстань між АС і РВ, якщо площі трикутників
АРС і АВС дорівнюють відповідно 250 см2 і 300 см2.

734. РАВС - правильний тетраедр з ребром а, О - проекція
точки Р на площину АВС. Знайдіть відстань між ВС і:
а) РО; б) РЬ - бісектрисою грані АРС; в) АМ - медіаною
грані АРС.

735. АВСОА1ВуС1О1 - прямий паралелепіпед, АХВ = 25 м, АО =
= 13 м, ААХ = 20 м, ВО = 14 м. Знайдіть відстань між ОО±
ІАХВ.

736. Прямі а, Ь мимобіжні і лежать у перпендикулярних пло-
щинах а і р. Пряма а перпендикулярна до лінії перетину
площин. Відстань від точки М (М є а) до площини р
дорівнює тп, а до прямої Ь ~ п. Знайдіть відстань між пря-
мими а і Ь.

737. Площини рівностороннього трикутника АВС і рівнобедре-
ного трикутника АВО (АО = ВО = 10 см, АВ = 16 см) пер-
пендикулярні. Знайдіть відстань між прямими АВ і СО.

738. У правильному тетраедрі АВСО з ребром а точка О - про-
екція точки О на площину АВС, Р і Е - середини ребер
ВЛ і СЛ відповідно. Знайдіть відстань між прямими:
а) АО і ВС; б) АС і ЕР; в) ОО і ЕР; г) АО і ЕР.

739*. Знайдіть відстань між мимобіжними діагоналями двох
сусідніх граней куба, ребро якого дорівнює а.

740. Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновіддале-
них від сторін трикутника.

741*. Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновідда-
лених від прямих, на яких лежать сторони трикутника.

742*. АВСОА1В1С1О1 - куб з ребром а. Знайдіть відстань між
тетраедрами АА1В1О1 і С1СВВ.

- Вправи для лов торення

743. Ортогональною проекцією трикутника є прямокутний
трикутник з гіпотенузою 15 см і катетами, які пропор-
ційні числам 3 і 4. Кут між площинами цих трикутників
30°. Знайдіть площу даного трикутника. Чи може цей
трикутник бути правильним?

744. Чи можуть бути паралельними прямі, утворені при
перетині двох площин, що перетинаються, третьою пло-
щиною?

745. АВСО - правильний тетраедр, АВ = а, О - точка перетину
медіан трикутника АВС. Знайдіть площу перерізу тетра-
едра площиною, яка перпендикулярна до відрізка ОО і
проходить через його середину.

‘ $ 18 КУТИ В СТЕРЕОМЕТРІЇ

Вище ми розглянули випадки розташування прямої і пло-
щини: пряма лежить у площині; пряма паралельна площині;
пряма перпендикулярна до площини. Залишається дослідити
випадок, коли пряма перетинає площину, але не перпенди-
кулярна до неї. Такі прямі можуть бути нахилені до площини
під різними кутами.

Що розуміють під кутом між прямою і площиною?

Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то вва-
жають, що кут між такою прямою і площиною дорівнює 0°.
Якщо пряма перпендикулярна до площини, кут між ними
дорівнює 90°. У решті випадків кутом між прямою і площи-
ною називають кут між прямою і Ті проекцією на площину.

Якщо <р - кут між прямою і площиною, то 0° < ф < 90°.
Мал. 229

*£ <Р2 =

ССХ

СА

приклад. Нехай АВСВА1В1С1В1 -
куб (мал. 229). Під якими кутами нахи-
лені до площини його грані АВСВ прямі
АВг і АСХ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Проекції відрізків
АВГ і АСГ на площину грані АВСВ -
відрізки АВ і АС. Тому шукані кути:
Фх = ХВ1АВ і <р2 = ХСгАС, фх = 45°,
оскільки ДАВВХ - прямокутний і рівно-
бедрений.

» 0,707, звідси ф2 « 35°16'.

Кутом між похилою і площиною називають кут між похи-
лою і її проекцією на дану площину. Якщо ф - кут між похи-
лою і площиною, то 0° < ф < 90°.

Теорема 22. Кут між похилою і площиною найменший з
усіх кутів, які похила утворює з прямими, проведеними
на площині через основу похилої.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай АВ - похила, АС -
перпендикуляр до площини о, ВМ — будь-
яка відмінна від ВС пряма площини о,
ХАВМ - кут між прямими АВ і ВМ.
Доведемо, що ХАВС < ХАВМ (мал. 230).

Якщо прямі ВМ і ВС не перпендику-
лярні, то опустимо перпендикуляр СМ на
ВМ і проведемо відрізок АМ. За теоре-
мою про три перпендикуляри АМ ± МВ.
Отже,

АС АМ

зіп ХАВС = —, зіп ХАВМ = —

АВ9 АВ

Оскільки АС < АМ, то зіп ХАВС < зіп ХАВМ. Розглянуті кути
не перевищують 90°, тому ХАВС < ХАВМ.

Якщо ВМ ± ВС, то за теоремою про три перпендикуляри
ХАВМ = 90°. Кут АВС менший від 90°. Отже, і в цьому випадку
ХАВС < ХАВМ. Теорему доведено.

Поняття кута між прямою або похилою і площиною вико-
ристовується багатьма фахівцями. Під певними кутами до
площини горизонту споруджують ескалатори на станціях
метро, шахтні уклони, фунікулери, похилі мости доменних
печей і багато інших споруд. Під різними кутами до площини
аеродрому злітають літаки.
Для допитливих •••••••••..............

Кути між прямими і площинами часто доводиться
вимірювати астрономам, геодезистам, географам, марк-
шейдерам, працівникам транспорту. Найпростіший

саморобний прилад для вимірювання кутів між гори-
зонтальною площиною і похилими - екліметр (мал. 231, а).

Бувають екліметри і фабричного виготовлення (мал. 231, б). Якщо
потрібна більша точність, користуються теодолітом (мал. 232).
Теодоліт має два круги з градусними поділками (лімби).
Користуючись горизонтальним лімбом, визначають кути у гори-
зонтальній площині, вертикальний лімб дає змогу вимірювати кут
між горизонтальною площиною і похилими до неї напрямами.

Мал. 231

Мал. 232

Крім відомих вам геометричних понять кут, кут між прямими,

кут між площинами, кут між прямою і площиною, у стереометрії

розглядають ще кілька понять, назви яких
містять слово «кут»: двогранний кут, три-
гранний кут, многогранний кут, тілесний
кут, кут між векторами тощо.

Двогранним кутом називають частину
простору, обмежену двома півплощинами,
які виходять з однієї прямої (мал. 233, а).
Цю пряму називають ребром двогранного
кута. Дві площини, які виходять з однієї
прямої, також називають двогранним кутом.
Перерізом двогранного кута площиною,
перпендикулярною до його ребра, є кут. Його
називають лінійним кутом даного двогран-
ного кута.

Тригранним кутом називають частину
простору, обмежену трьома плоскими кута-
ми, кожні два з яких мають спільну сторону
(мал. 233, б). Кожний тетраедр має 6 дво-
гранних кутів і 4 тригранні, а куб - 12 дво-
гранних і 8 тригранних.
ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ
ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

В Що таке кут між прямою і площиною?

7. Яким може бути кут між прямою і площиною?

3. Що таке кут між похилою і площиною?

4• Сформулюйте теорему про кут між похилою і площиною.

5* Якими приладами вимірюють кут між прямою і гори-
зонтальною площиною?

Виконаємо разом

Мал. 234

1. Якщо один з катетів рівнобедреного
прямокутного трикутника лежить у пло-
щині а, а другий утворює з нею кут 45°,
то кут між гіпотенузою і площиною -
30°. Доведіть це.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай АВС - трикут-
ник, у якого ЛАСВ = 90°, АС = СВ9 &АО -
перпендикуляр до площини а, яка про-
ходить через ВС (мал. 234). Доведемо,

що коли ЛАСО = 45°, то ЛАВО = 30°. Нехай АС = а, тоді

ВС = а, АО = 4-, АВ = а>І2, аіп ЛАВО = 4? = -т-: <ь/2 =|.
уі2 АВ 72 2

Отже, ЛАВО = 30°.

Мал. 235

2. 8АВС - правильна трикутна піраміда,
ЛВ8С = 2а. Знайдіть кут нахилу бічного
ребра піраміди до площини основи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ. Нехай 8АВС - пра-
вильна трикутна піраміда (мал. 235), у
якої ЛВ8С = 2а. Знайдемо Л8АО = <р.

Проведемо 8К ± ВС. Нехай ВС = а,

тоді з 6.8КВ 8В = 8В =
зіпа 2зіпа

Оскільки ААВС - правильний, то ОА =

= — АК9 АК = отже, ОА = Тоді
З 2 З

ОА

С°8Ф=^,

СО8 ф =

ах/3 2зіпа _ 2\/з&іпа
За ~ З

. 2л/3зіпа 2>/38Іпа

Отже, соз ф =----------, а ф = агссов--------
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

746.

747.

748.

749.

750.

Відрізки ОА, ОВ, ОС рівні і попарно перпендикулярні
(мал. 236). Знайдіть: а) кути ААВС; б) кут між площиною

(АОВ) та прямими АС, ВС, ОС; в) кут між площиною

(АОС) та прямими АВ і ВС.

Скільки прямих, які перетинають
дану площину під кутом 50°, можна
провести через дану точку?

Під яким кутом до площини потрібно
провести відрізок ММ, щоб він був
удвічі більший за свою проекцію?

Кут між перпендикуляром і похи-
лою, проведеними до площини а,
дорівнює 40°. Знайдіть кут між по-
хилою і площиною а.

Нехай на малюнку 236 ОА = ОВ = ОС = 10 см. Прикиньте,
якими можуть бути кути між прямими ОА, ОВ, ОС і
площиною ААВС.

751. Пряма АВ з площиною а утворює кут 60°. Знайдіть довжину
проекції похилої АВ на площину а, якщо АВ = 48 см.

752. Довжина похилої АВ дорівнює 50 см, а точка А віддалена від
площини на 25 см. Знайдіть кут між похилою і площиною.

753. АВСІ>А1В1С1Р1 - прямокутний паралелепіпед, виміри
якого АВ = а, ААХ = &, АО = с. Знайдіть тангенси кутів
нахилу прямих АВХ, АОХ, АСХ до площини грані АВСВ.

754. Доведіть, що коли пряма перетинає одну з двох паралель-
них площин під кутом ф, то і другу площину вона пере-
тинає під таким самим кутом.

755.

756.

757.

Доведіть, що паралельні прямі нахилені до однієї і тієї
самої площини під рівними кутами. Чи правильне обер-
нене твердження?

Визначте товщину иг вугільного
пласта, якщо вертикальна сверд-
ловина нахилена до нього під ку-
том ф = 72° і проходить по вугіллю
відстань й = 2,5 м (мал. 237).

На якій глибині знаходиться стан-
ція метро, якщо її ескалатор зав-
довжки 85 м нахилений до пло-
щини горизонту під кутом 42°?

Мал. 237

12-6воте&Ча.10кі.
758. Одна з двох прямих, що перетинаються під кутом 50°,
перпендикулярна до деякої площини. Доведіть, що і
друга пряма перетинає цю площину. Знайдіть кут між
другою прямою і площиною.

759. Знайдіть кут між мимобіжними прямими, якщо одна з
них перпендикулярна до деякої площини, а друга перети-
нає цю площину під кутом ф.

760. Як через пряму, що перетинає площину а під кутом ф,
провести площину, яка перетинає площину а також під
кутом ф?

761. Пряма а перетинає площину а під кутом 45°. Чи можна
через пряму а провести площину, яка перетинає площину
а під кутом 30°? А під кутом 60°?

762. АН - перпендикуляр до площини трикутника АВС, АВ =АС.
Доведіть, що похилі НВ і НС з площиною даного трикут-
ника утворюють рівні кути.

763. Площина р проходить через вершини В і О ромба АВСО.
Доведіть, що прямі АВ, СВ, АО і СО утворюють з площи-
ною Р рівні кути.

764. З однієї точки до площини проведено дві рівні похилі.
Кут між ними 60°, а між їхніми проекціями 90°. Знайдіть
кути між похилими і площиною.

765. З точки, віддаленої від площини на 8 дм, проведено дві
похилі під кутами 45° до площини. Знайдіть відстань між
їхніми основами, якщо кут між проекціями похилих 120°.

766. Сторона квадрата АВСО дорівнює 6 см, точка М знахо-
диться на відстані 6 см від кожної з його вершин. Знайдіть
кут між прямою МА і площиною квадрата.

767. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює а,
точка М віддалена від кожної з його вершин на —а. Під
якими кутами нахилені прямі МА, МВ і МС до площини
трикутника АВС?

768. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника АВС
дорівнює с. Через вершину прямого кута С до площини
трикутника проведено перпендикуляр СК. Точка К
віддалена від АВ на Знайдіть кути, які утворюють
прямі АК і ВК з площиною трикутника.

769. Трикутник АВС - рівнобедрений, ЛА = 120°, АР = а - пер-
пендикуляр, проведений до площини трикутника.
Знайдіть відстань від точки Р до сторони ВС, якщо пряма
ВР утворює з площиною трикутника кут а.

770. Знайдіть кут між бічним ребром і площиною основи пра-
вильного тетраедра.
771. Усі ребра правильної чотирикутної піраміди рівні. Знай-
діть кут між бічним ребром і площиною основи.

772. У тетраедрі РАВС РА = РВ = РС = с. Знайдіть відстань від
точки Р до площини (АВС), якщо ребро РА утворює з пло-
щиною (АВС) кут а.

773. Точка Р знаходиться на відстані а від усіх вершин ква-
драта АВСВ. Знайдіть відстань від точки Р до площини
квадрата і до його сторони, якщо пряма РА утворює з пло-
щиною квадрата кут а.

4. Точка М рівиовіддалена від вершин правильного трикут-
ника АВС і віддалена від площини трикутника на й.
Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника,
якщо кут між прямою МА і площиною (АВС) дорів-
нює а.

775. Точка простору М знаходиться на відстані 20 см від усіх
вершин трикутника АВС (ЛС = 90°). Знайдіть периметр
трикутника, якщо його площа дорівнює 96 см2, а пряма
МС утворює з площиною трикутника кут 60°.

7б. В основі прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат.
Знайдіть об’єм цього паралелепіпеда, якщо його діаго-
наль дорівнює (І і утворює з площиною основи кут р.

777. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює І і утво-
рює з площиною основи кут а, а з площиною бічної грані
кут р. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

778. Кінці відрізка АВ, які лежать у перпендикулярних пло-
щинах а і р, віддалені від лінії перетину площин с на
15 см і 6 см, а відстань між основами перпендикулярів,
проведених з цих точок до прямої с, дорівнює 8 см.
Знайдіть довжину відрізка АВ та кути, які цей відрізок
утворює з площинами а і р.

79. Кінці відрізка АВ лежать у перпендикулярних площинах
а і р. Знайдіть відстань між основами перпендикулярів,
проведених з точок А і В до лінії перетину площин, якщо
довжина відрізка АВ дорівнює а і він утворює з площи-
нами а і р кути 30° і 45°.

780. Висота і бічна сторона трапеції дорівнюють відповідно
12 см і 15 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сто-
рони. Прямі, які проходять через вершини трапеції та
деяку точку М, утворюють з площиною трапеції кути
45°. Знайдіть відстань від точки М до площини трапеції.

31, Точка простору Р віддалена від вершин трапеції АВСО на
4 см. Знайдіть кути, які утворюють з площиною трапеції
прямі, що проходять через точку Р і вершини трапеції,
якщо АА = 60°, АС = 2>/з см.

782. У трикутнику АВС АВ = ВС = а, АС = 30°. МВ - перпен-
дикуляр до площини трикутника, МВ = а42. Знайдіть

783.

кут між прямою АМ та площиною (МВС).

СК - перпендикуляр до площини трикутника АВС, у

якого АС = ВС, АС = 120°. Пряма АК утворює з площиною
\/з

(АВС) кут а, соз а = —. Знайдіть кут, який утворює пряма

АК з площиною (КСВ).

784. З однієї точки проведено до площини дві похилі, проекції
яких дорівнюють 4,5 м і 1,5 м. Знайдіть довжини похилих,

якщо одна з них утворює з площиною кут, удвічі більший,
ніж друга.

785*. З однієї точки проведено до площини дві похилі, довжини
яких 3 см і 8 см. Знайдіть проекції похилих на цю пло-
щину, якщо різниця кутів, утворених похилими з пло-
щиною, дорівнює 60°.

786. Дано площину со і пряму АВ, віддалену від неї на відстань а.
Через точку А проведено прямі, перпендикулярні до АВ,
які утворюють з даною площиною кути 45° і 30° та пере-
тинають цю площину в точках Р і <2. Знайдіть довжину
відрізка Р(2.

787*. Через дві точки, які лежать у даній площині на відстані а,
проведено паралельні похилі під кутом 45° до площини.
Визначте відстань між ними, якщо відстань між їхніми
проекціями на дану площину дорівнює Ь.

788*. У просторі дано три попарно мимобіжні прямі. Через одну
з них проведіть площину так, щоб інші дві прямі були до
неї однаково нахилені.

789*. У просторі дано площину а і дві точки А і В. Знайдіть
геометричне місце точок Р площини а, для яких прямі
АР і ВР утворюють з площиною а рівні кути.

Вправи для повторення

790. Пряма а лежить у площині а, а пряма Ь ± а. Відстань від
точки М (М є Ь) до площини а дорівнює 4 см, а до прямої
а - 5 см. Знайдіть відстань між прямими а і Ь.

791. АВСВ - правильний тетраедр з ребром а. Через центр О
основи АВС проведено площину, яка паралельна ВС і
перетинає ребро АО у точці М. У яких межах можуть
змінюватися периметр і площа утвореного перерізу
залежно від положення точки М на ребрі АО?

792. Користуючись таблицею, перерахуйте всі можливі випад-
ки розташування прямих і площин у просторі, сформу-
люйте їх найважливіші властивості.
ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

АВСВА1В1С1В1 - куб
Знайдіть кут між прямими:
1) АВХ і СВ; 2) АВ1 і ВВ;

3) АВ1 і ВСГ

АВ = ВС__________

Доведіть: В?/ ± АС

АО±а

ВО : ОС = 5 : 8

ААІ

АВСВ - паралелограм,
МО 1 (АВС), АВ = 24 см,
АР = 40 см, МО = 8 см

АВ ВС АС8 см

АВ = 10; А АСВ = 90°;

АС = ВС

2а

АР Ц ВС, АР : ВС = 3 : 1,
ААг = 11 см, АА1Ц ВВГ Ц СС11| РР19
ВВГ - 21 см, АА11 а, СС1 = 23 см
СО 1 р; Л АСВ = 90°;

АС = 15; СВ = 20; СО = 6

АВ = 25; АХВХ= 24
Кут між а і р

ВО 1р; АВ = ВС=АС;

ЛОМВ = 60°_____

ЛОАВ; ЛОСВ

ВО 1 Р; = 48 см2;

АС = 14 см

ЛАОВ = ЛАОС = 60°;

ЛВОС = 90°_____

Кут між ОА і (ВОС)

АС 1а

АВСВ - правильний
тетраедр; АВ = а
Відстань між АР і ВС

АВСВ А1В1С1В1 - куб;

АВ = 8 см

Відстань між АВ і ВгВ
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1. Дано три різні площини а, р, у: а ± р, р ±у. Яке взаємне
розташування площин а і у?

а) Паралельні; б) перетинаються або паралельні;

в) перпендикулярні; г) перпендикулярні або паралельні.

2. Дано Ь ± а, Ь || с. Яке взаємне розташування площини а
і прямої с?

а) Паралельні; б) перпендикулярні;

в) перпендикулярні або паралельні; г) інша відповідь.

л. Дано куб АВСВА1В1С1В1. Яка з площин не перпендику-
лярна до площини (АА1С1)?

а) (ВВВХ); б) (АВС); в) (ВССХ); г) (А^С^.

4. 8А - перпендикуляр до площини ромба АВСВ, О - точка
перетину його діагоналей. Установіть вид трикутника 80В.
а) Гострокутний; б) прямокутний;

в) тупокутний; г) не можна встановити.

5. Перпендикуляр, проведений з точки, рівновіддаленої
від вершин трикутника, до площини цього трикутника,
проходить через:

а) центр вписаного кола; б) центр описаного кола;

в) точку перетину медіан; г) точку перетину висот.

6. Перпендикуляр, проведений з точки, рівновіддаленої
від сторін трикутника, до площини цього трикутника,
проходить через:

а) центр вписаного кола; б) центр описаного кола;

в) точку перетину медіан; г) точку перетину висот.

7. Мі Мг - середини ребер СВ і С^ куба АВСВА1В1С1В1.
Знайдіть відстань між прямими АВг і ММ19 якщо АВ = 2а.
а) 2а; б) 2а\/2; в) аТб; г) а>/з.

8. Ортогональною проекцією трикутника, площа якого
8 см2, є рівносторонній трикутник зі стороною 4 см.
Знайдіть кут між площинами трикутників.

а) 30°; б) 60°; в) 45°; г) 150°.

9 М - середина ребра ВС правильного тетраедра АВСВ.
Кутом між площинами (АВС) і (ВВС) є кут:

а) 2АСВ; б) АВМА\ в) ^ВВА; г) ААВМ.

10. Правильний трикутник АВМ і квадрат АВСВ мають
спільну сторону АВ, а площини їх перпендикулярні.
Знайдіть АМАВ.

а) 60°; б) 90°; в) 120°; г) не можна встановити.
ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ
РОБОТИ

1. Ребро правильного тетраедра АВСВ дорівнює а. Знайдіть
периметр і площу перерізу тетраедра площиною, яка
проходить через ребро АС перпендикулярно до ВВ.

2. Доведіть, що основа висоти піраміди збігається із цен-
тром кола, описаного навколо основи піраміди, якщо
бічні ребра утворюють рівні кути з висотою піраміди.

3. З точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини,
проведено до цієї площини дві похилі, кут між якими
90°. Знайдіть кут між проекціями похилих, які дорів-
нюють 9 см і 16 см.

4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см.
Точка М знаходиться на відстані 13 см від кожної його
вершини. Знайдіть відстань від точки М до площини
трикутника.

5. Основи трапеції дорівнюють 12 см і 20 см. Через більшу
основу трапеції проведено площину а на відстані 16 см
від меншої основи. Знайдіть відстань від точки пере-
тину діагоналей трапеції до площини а.

6. У тетраедрі АВСВ АВ = ВС, ЛВВС = /.ВВА. Доведіть,
що АС ± ВВ.

7. Кінці відрізка АВ, довжина якого 24 см, належать пло-
щинам а і р, а _1_ р. Відстань між основами перпенди-
кулярів, проведених з точок А і В до лінії перетину
площин, дорівнює 12 см. Знайдіть кут, який пряма АВ
утворює з площиною а, якщо з площиною Р вона утво-
рює кут 30°.

8. Сторони прямокутника 2 см і 6 см. Менша сторона
прямокутника лежить у площині а, а його діагональ
утворює з а кут 60°. Знайдіть кут між площиною пря-
мокутника і площиною а.

9. Висоти тетраедра АВСВ, проведені з вершин А і В,
перетинаються. Доведіть, що АВ ± ВС.

10. Ребро куба АВСВА1В1С1В1 дорівнює а9 М - середина
ВВГ Знайдіть кут і відстань між прямими АВг і ВМ.
Кут між прямими. Кут між двома прямими, що пере-
тинаються, - менший з утворених ними чотирьох кутів.
Кут між паралельними прямими дорівнює 0°. Кутом між
мимобіжними прямими називають кут між прямими, що
перетинаються, і паралельні даним прямим.

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між
ними дорівнює 90°. Якщо пряма перпендикулярна до
однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і
до другої прямої.

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо
вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної
прямої, що лежить у площині і проходить через точку пере-
тину (означення). Якщо пряма перетинає площину і перпен-
дикулярна до двох різних прямих цієї площини, що про-
ходять через точку перетину, то вона перпендикулярна і до
площини (ознака перпендикулярності прямої і площини).
Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна
до площини, то й друга пряма перпендикулярна до неї. Дві
прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.
Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану пло-
щину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до
площини, що міститься між даною точкою і площиною.
Пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до
похилої тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна
до проекції похилої (теорема про три перпендикуляри).
Кутом між прямою і площиною називають кут між пря-
мою і її проекцією на площину. Якщо пряма паралельна
(перпендикулярна) площині, то кут між ними дорівнює
0° (90°). Кутом між площинами називають кут між прямими,
проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх
перетину. Кут між паралельними площинами дорівнює 0°.
Дві площини називають перпендикулярними, якщо кут
між ними прямий. Якщо одна з двох площин проходить
через пряму, перпендикулярну до другої, то такі площини
перпендикулярні (ознака перпендикулярності площин).
Проектування називають прямокутним, або ортогональ-
ним, якщо проектуючі прямі перпендикулярні до пло-
щини проекцій. Якщо 5 і 8^ - площі многокутника і
його ортогональної проекції, а кут між їх площинами ср,
то

Яцр = 8 совф.
лементи геометрії
тетраедра

Обміні
. Середні лінії і медіани тетраедра
. Прямі ^еви в тетраедрі.
. Перерізи тетраедра.
. Ортоцентричні тетраедри}
• Прямокутні тетраедри'
СЕРЕДНІ ЛІНІЇ І МЕДІАНИ ТЕТРАЕДРА

1. Слово тетраедр походить від двох грецьких слів: тєтра -
чотири і є§ра - грань. Тетраедром називають кожний много-
гранник, який має чотири грані, тобто будь-яку трикутну
піраміду.

Будемо вживати такі позначення:

А9 В, С9 О - вершини тетраедра;

а, 6, с, ах, Ь19 сх - його ребра;

ав, рв, ув - плоскі кути при вершині В;

АВ9 а19 сг - двогранні кути;

по, пь, пс - середні лінії тетраедра;

йл, йв, йс, - висоти тетраедра;

Ал, Вл, Сл, Вл - основи висот тетраедра;

тА9 тв> тс9 “ медіа™ тетраедра;

Сл, ®в» ~ основи медіан (центроїди граней) тетраедра;

О - центроїд тетраедра;

Н - ортоцентр (точка перетину висот) тетраедра;

®в» ” ПЛ°ЩІ граней;

V - об’єм тетраедра.

2. Тетраедр має чотири вершини і шість ребер (мал. 238).
Два ребра тетраедра, які не лежать в одній площині, назива-
ють протилежними. У тетраедра три пари протилежних ребер:
а і ах, Ь і с і сг

Сума будь-яких двох протилежних ребер тетраедра менша
від суми всіх інших його ребер.

ДОВЕДЕННЯ. Відомо, що в трикутнику кожна сторона
менша від суми двох інших його сторін, тобто

а < & + Ср аг < Ь + с9

а < &х + с, аг < 6Х + сг

Додавши ці нерівності, дістанемо:
2(а + ах) < 2(6 + Ьх + с + сх),
або

а + ах < Ь + 6Х + с + сг

' Сума трьох ребер тетраедра9 що
виходять з однієї вершини, більша від
півсуми трьох інших його ребер.

Для доведення розглянемо трикут-
ники АВР, ВСІ), АСВ й зацишемо
нерівності між їх сторонами:
а 4- Ь > ср Ь 4- с > а19 а 4- с > Ьг
Додамо ці нерівності:

2(п + Ь 4- с) > аг 4- 614- Ср

Звідси а 4- 6 + с > $ (аі 4- 4- сД

3. Відрізок, який сполучає середини двох протилежних ребер
тетраедра, називається його середньою лінією.

Точками К, Ь9 Е9 Р9 М9 N позначимо
середини ребер АВ, АС, АО, ВС9 СВ9
ВВ тетраедраАВСВ (мал. 239). Відрізки
КМ9 ІАЇ і ЕР - його середні лінії. Вве-
демо такі позначення: ЕР = па9 ЬМ = пь,
КМ = пс (індекс а у записі па означає,
що лінія па сполучає середини ребер а
і ах).

Усі три середні лінії тетраедра пе-
ретинаються в одній точці9 яка ділить
кожну з них навпіл.

доведення. КЬ і ЛГУ - середні лінії
трикутників АВС і ВСВ9 отже, вони

рівні між собою і паралельні. Тоді чотирикутник КРАЯМ ~
паралелограм, а його діагоналі КМ і перетинаються в
точці С9 що ділить їх навпіл.

Чотирикутник ЕЬРМ - теж паралелограм, і його діагоналі
ЕР і також діляться точкою перетину навпіл. Як бачимо,
через точку С - середину - проходять КМ і ЕР9 і всі вони
точкою О діляться навпіл, що й треба було довести.

Середня лінія тетраедра менша від півсуми двох проти-
лежних ребер, які вона не перетинає.

Справді, з ЬЕЬР (мал. 239) маємо:

ЕР < ЕЬ + ЬР = ІСР+-АВ,
1 2 2

звідси па < + Сі).

Аналогічно можна довести, що па < ^(Ь 4- 61).

4. Виразимо середні лінії тетраедра через його ребра. Це
легко зробити, користуючись малюнком 239. Але ми зробимо
це інакше. Спочатку введемо поняття описаного навколо
тетраедра паралелепіпеда.

Нехай дано тетраедр АВСВ (мал. 240). Його протилежні
ребра АВ і СВ мимобіжні, тому через них можна провести дві
паралельні площини. Можна провести по парі паралельних
площин і через ребра АС і ВВ9 АВ і ВС. Усі шість площин,
перетинаючись, утворюють парале-
лепіпед АО1СВ1РС1ВА1. Справді, кож-
на з шести площин перетинає дві
паралельні площини по паралельних
прямих. Тому АСг Ц1ХВ || СА1|| Вх£>,
АВ^С^В^С.

Отже, шестигранник - паралеле-
піпед. Його називають описаним
паралелепіпедом даного тетраедра.

Як випливає з побудови, вер-
шини тетраедра є ще й вершинами
описаного паралелепіпеда. Кожна
середня лінія тетраедра сполучає
центри протилежних граней опи-
саного паралелепіпеда, тому вона

паралельна чотирьом ребрам цього паралелепіпеда і дорівнює
кожному з них. Наприклад, КМ = АВ19 ІМ = АС 19 ЕР = АВГ

Як відомо, у паралелограмі сума квадратів діагоналей
дорівнює сумі квадратів усіх його сторін. Тому

АО2 + ВС2 = А£>2 + В^2 =
= 2АВ2 + 2АС2 = 2КМ2 + 2£№,
звідси випливає:

а2 + а? = 2л? + 2л2,
1 о с1

або

пь + «! = |(«2 + а2).

Аналогічно можна отримати:

Па + ПЬ= +

Па + П2 = ±(Ь2+Ь2).

Додавши ці рівності і врахувавши, що п% + п2 = |(а2 + а^),
матимемо: 2п2 = ^(Ь2 + Ь2 + с2 + с2 - а2 - а2),

ЗВІДСИ

гаа = |(&2 + Ь2 + с2 + с2-а2- а2).

5. Відрізок, який сполучає вершину тетраедра з точкою
перетину медіан протилежної грані, називається медіаною
тетраедра. Наприклад, якщо ОА - точка перетину медіан грані
ВСР, то відрізок АСа - медіана тетраедра АВСО (мал. 241).
У тетраедрі можна провести чотири медіани: АСа, ВСВ9 СОС9
Теорема. Усі чотири медіани тетраедра перетинаються
в одній точці і діляться нею у відношенні 1:3.

доведення. Розглянемо спочатку дві медіани - АСа і ВСв
(мал. 242). Сполучимо середину М ребра СВ з вершинами А і В.
Оскільки АМ і ВМ - медіани трикутників АВС і ВСВ9 то СА
лежить на ВМ9 ьСв~ няАМ. Таким чином, медіани тетраедра
АСа і ВСв лежать у площині трикутника АВМ. Вони не пара-
лельні, а перетинаються в деякій точці С. Відомо, що медіани
трикутника точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1
у напрямі від вершини. Тому МСА : МВ = МСВ : МА. Однак
тоді відрізок САСВ паралельний АВ і дорівнює ^АВ. Отже,
З

трикутники СКта(тв І СгАВ подібні (коефіцієнт подібності їх —).
Тому 3

С.С : СА = 1 : З, СВС : СВ = 1 : З,

і медіана ВСв тетраедра проходить через точку 6, яка ділить
АСа у відношенні 1:3. Так само можна довести, що кожна з
медіан ССс і ВСв тетраедра проходить через точку С і ділиться
нею у відношенні 1 : 3.

6. Точка перетину медіан тетраедра збігається з точкою
перетину його середніх ліній.

Для доведення проведемо пряму МС (мал. 242). Вона
обов’язково перетне ребро АВ9 оскільки точки М іС лежать у
площині трикутника АВМ. Як видно з доведення попередньої
теореми, чотирикутник АВСаСв - трапеція. Відомо, що пряма,
яка проходить через точку перетину діагоналей трапеції і
точку перетину продовжень її бічних сторін, ділить кожну з її
основ навпіл1. Отже, пряма МО проходить через середину К
ребра АВ. Таким чином, середня лінія МК проходить через
точку перетину медіан тетраедра С. Аналогічно можна пока-
зати, що й дві інші його середні лінії проходять через цю саму
точку.

Точку С - спільну точку перетину середніх ліній і медіан
тетраедра - називають центром мас, або центрбідом
тетраедра.

Отже, центроїд тетраедра ділить кожну з його медіан у від-
ношенні 1:3, а кожну середню лінію навпіл.

7. Медіана тетраедра лежить на діагоналі описаного
навколо нього паралелепіпеда і дорівнює — цієї діагоналі.

Опишемо навколо тетраедра АВСВ
паралелепіпед; проведемо його діаго-
наль ААГ і відрізок СУ, де N - центр
паралелограма АХВСХВ (мал. 243).
Оскільки АС||АХСХ, то ААХ і СУ пе-
ретинаються. Позначимо точку їх
перетину літерою ОА. Трикутники
АССа і АхУСа подібні і АС = 2АХУ,
отже, ССгА = 2САУ. Відрізок СУ -
медіана трикутника ВСБ, оскільки
ВУ = УВ. Таким чином, СА - центр
мас трикутника ВСВ, а АСа -
медіана тетраедра АВСВ.

З подібності трикутників АССа і
АхУСа випливає, що

АСа : СаАх = АС : УАХ = 2:1,
2
звідси АС. = —АА..
а з 1

Отже, медіана АСа тетраедра АВСБ лежить
ААХ паралелепіпеда, описаного навколо даного

дорівнює - цієї діагоналі. Аналогічно можна
З

на діагоналі
тетраедра, і

довести, що

2
медіана ВСв лежить на діагоналі ВВХ і дорівнює - її.

8. Медіана тетраедра менша від середнього арифметич-
ного трьох ребер, які виходять з тієї самої вершини.

Як доведено вище (мал. 243), АСа = ^^^і’ Де^Сд “ медіана
тетраедра АВСВ, а ААХ - діагональ описаного навколо нього

1 Див. с. 29, мал. 32.
паралелепіпеда. Однак ААг < АК -І- АХЛГ, причому АХЛГ = АС
і А№ < (АВ + АО), оскільки медіана трикутника менша від
півсуми його сторін, що виходять з тієї самої вершини. Тоді
АА1 < ±(АС +АВ+ АЯ)

і, отже,

ЛОА < ^(АВ 4- АС 4- АО), або тА < ^(а 4- &х4- сх).

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Доведіть твердження 793—807.

793.

794.

795.

796.

797.

У кожного тетраедра з ребрами а, ах, &, Ьх, с, сх
аах 4- ЬЬХ 4- сс1 < 2(аЬ 4- ас 4- Ьс).

Сума всіх середніх ліній тетраедра більша від —, але
• - л 4

менша від з, де з - сума всіх його ребер.

Сума всіх середніх ліній тетраедра більша від півпериметра
будь-якої його грані.

Сума відстаней від довільної точки простору до: а) вершин

тетраедра більша від - суми всіх його ребер; б) середин
З

ребер тетраедра більша від - суми всіх його ребер.

4 1

Сума квадратів середніх ліній тетраедра дорівнює - суми

4
квадратів усіх його ребер.

798.

799.

800.

801.

802.

„ . 2 . 4

Сума всіх медіан тетраедра менша від —, але більша від —
суми всіх його ребер.

Кожна медіана тетраедра менша від - суми всіх його
середніх ліній.

„ . 8 .8

Сума всіх медіан тетраедра більша від —, але менша від —
9 З

суми всіх його середніх ліній.

„ ... .4

Сума квадратів усіх медіан тетраедра дорівнює — суми
У

квадратів усіх його ребер.

У кожному тетраедрі

4(а2 + а.2 + Ь2 + Ь2 + с2 + с2) =
= 9(т^ + лід + т2 + т£) = 16(п2 + п2 + п2).

13-6вотеігі|в.10кІ.

198
803. Сума квадратів відстаней від центроїда тетраедра до його
вершин дорівнює сумі квадратів його середніх ліній.

804. Сума квадратів ребер тетраедра дорівнює сумі квадратів
ребер описаного навколо нього паралелепіпеда.

805. Сума квадратів відстаней від центроїда тетраедра до се-

* • 1 . . - -
редин його ребер дорівнює — суми квадратів усіх його ребер.

8 4

806. Квадрат медіани тетраедра дорівнює — різниці суми квад-
ратів трьох його ребер, що виходять з однієї й тієї самої
вершини, і суми квадратів усіх його середніх ліній.

807. Сума квадратів трьох ребер тетраедра, які належать одній грані,
менша від потроєної суми квадратів трьох інших його ребер.

ПРЯМІ ЧЕВИ В ТЕТРАЕДРІ

9. У попередньому параграфі було доведено, що всі середні
лінії тетраедра і всі його медіани проходять через одну точку.
Ця властивість є лише окремим випадком більш загальної
теореми Чеви.

Мал. 244

Якщо на кожному ребрі тетраедра
задати по одній точці, то може трапи-
тися, що в деяких гранях цього тетрае-
дра виконуватиметься умова Чеви (див.
с. 14). Особливо цікавий випадок, коли
в усіх чотирьох гранях цього тетраедра
виконується умова Чеви. Щоправда,
досить, щоб ця умова виконувалася в
яких-небудь трьох гранях тетраедра.

Нехай К9 Ь9 М9 N. Е9 Р - точки9
які лежать відповідно на ребрах АВ9
АС9 СВ9 ВВ9 АВ і ВС тетраедра АВСВ

так9 що в яких-небудь трьох його гранях виконується умова

Чеви. Тоді умова Чеви виконуватиметься і в четвертій грані.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай, наприклад, умова Чеви виконується в
гранях АВС9 АСВ і АВВ тетраедра АВСВ (мал. 244), тобто

ак: вг сь т см —=1 ™ вк

КВ РС ЬА~ ’ ЬС МВ АЕ~ 9 ЕВ N В КА

Перемножимо ці рівності:

АК ВР СЬ АЬ СМ ВЕ АЕ ВИ ВК ^
КВ РС ЬА ЬС МВ АЕ ЕВ МВ КА~
Після скорочення дістанемо:

ВГ СМ рк±

ВС МР ’

тобто умова Чеви виконується і в грані ВСР.

10. Щоб через точки К, N. М9 Ь9 які належать відповідно
ребрам АВ9 ВР9 РС9 СА тетраедра або їх продовженням9
можна було провести площину, необхідно й досить, щоб вико-
нувалась така умова:

АК В7УВМ СЬ

КВ № МС ЬА~

ДОВЕДЕННЯ. Припустимо, що через точки К9 ЛГ, М9 Ь9
задані на ребрах тетраедра АВСР9 можна провести деяку пло-
щину (мал. 245). Опустимо з усіх вершин даного тетраедра на
площину со перпендикуляри ААр ВВр ССР РР± і сполучимо
їх основи послідовно відрізками. Зрозуміло, що цим відрізкам
належатимуть точки К9 N. М9 Ь. Унаслідок цього матимемо
чотири пари подібних трикутників:

ААА^ ™ △ВВ1ЛГ, АВВХ# ™ АРВ^,
™ △СС1М, АССХ£ ™ ДАА^.

Тому

А£_ААі ВЯ- ВІ^ РМ^ РР^ СЬ СС^

КВ~ ВВ19 МР~ РР1 ’ МС ” ССі ’ ЬА “ ААі ’

Якщо деякі з точок К9 Ь9 М9 АГ, що належать одній пло-
щині, задані на ребрах тетраедра, а інші - на продовженнях
ребер, як показано на малюнку 246, то і в цьому випадку
співвідношення справджуються:

АК_АА1 В^ВВ1 РМ РРі СЬ_СС1

КВ~ ВВ19 РРг 9 МС~ СС/ ЬА~ АА/

Мал. 246
АК ВЛГ РМ СЬ _ААХ ВВ± ССХ х

КВ N0 МС ЬА ~ ВВ1 РРі С(\ ААі~

Цим доведено необхідність сформульованої умови. Тепер
доведемо її достатність.

Якщо на ребрах АВ, ВВ, ВС, СА тетраедра АВСВ або їх
продовженнях вибрати точки К9 ЛГ, М9 Ь так, щоб виконува-
лась умова

АК ВК РМ СЬ

КВ КРМС ЬА~ ’

то всі чотири точки К9 М9 Ь належатимуть одній пло-
щині.

Доведемо методом від супротивного.

Проведемо площину через точки К9 N і М. Нехай вона
перетне ребро СА в точці Ьг. Тоді, як показано вище,

АК ВК_ РМ СЬі

КВ КР МС \а~

АК ВК РМ СЬ .
А за умовою —— • • ——— , _ « —=1.
КВ КР МС ЬА

Прирівнявши ліві частини цих рівностей і скоротивши на
їх спільні множники, дістанемо:

СД СЬ
ЬуА~ ЬА"
а це можливо тільки в тому випадку, якщо ЬЇЬ1 збігаються.
Звідси випливає, що точки К9К9 М9 Ь належать одній пло-
щині. Доведену теорему називають теоремою Менелая для
тетраедра (див. с. 13).

11. Нехай К9 Ь9 М9 N. Е9 Е - точки9 що лежать відповідно
на ребрах АВ9 АС9 СР9 РВ9 АР і ВС тетраедра АВСР. Щоб
прямі КМ9 КЬ і ЕР мали спільну точку, необхідно й достат-
ньо9 щоб у трьох яких-небудь гранях цього тетраедра викону-
валась умова Чеви.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай прямі КМ9 КЬ і ЕР мають спільну
точку О (мал. 247). Тоді через кожні дві з них можна провести
площину і, як випливає з теореми Менелая для тетраедра,

АК ВК РМ СЬ

КВ КР МС ЬА~ ’

ЬС РВКРЕА ’ ( ’

АЕ РМ СР ВК
ЕР МС РВ КА~
Перемноживши ці рівності, ді-
станемо:
ВЛГ РМ ср
ю'мсрв"

Як бачимо, в грані ВСР умова
Чеви виконується. Якщо поділимо
першу з рівностей (*) на добуток
двох інших, матимемо

АК ВР СЬ
КВ РС ЬА~

Звідси випливає, що умова Чеви
виконується і в грані АВС. Поділив-
ши другу з рівностей (*) на добуток
двох інших, дістанемо:

4Е СМ РЕ

ЬСМР ЕА

А це означає, що умова Чеви виконується в грані АСР.

Як бачимо, умова Чеви виконується в трьох гранях тетра-
едра, тому (див. с. 194) вона виконується і в четвертій його
грані.

Тепер припустимо, що на ребрах тетраедра АВСР дано
точки К9 Ь9 М9 27, Е, Р так, що в яких-небудь трьох його
гранях, наприклад АВС, АСР ЇАВР, виконується умова Чеви,
тобто

АК ВР СЬ Л АЬ СМ РЕ Л АЕ РN ВК .

КВ РС ЬА ЬС МР АЕ ЕР КВ КА '

Перемножимо дві перші рівності. Спростивши, дістанемо:
АК ВГ СМ РЕ_}
КВ РС МР АЕ~ ’

Це означає (див. с. 195), що точки К9 Р9 М9 Е лежать в
одній площині і прямі КМ і ЕР перетинаються. Якщо
перемножити першу і третю, другу і третю рівності (**),
відповідно дістанемо:

ВЕ СЬ АЕ {АЬ СМ РК ВК

РС ЬА ЕР КВ~ 1ЬС МР КВ КА~

Звідси випливає, що ЕР і ЛГЕ, МК і АВ теж перетинаються.
Але прямі КМ9 КЬ і ЕР не лежать в одній площині. Проте
вони попарно перетинаються, а це означає, що всі вони про-
ходять через одну й ту саму точку О.

12. Нехай точки К9 Ь9 М9 К, Е9 Р задані на ребрах АВ, АС,
СР9 ВР9 АР, ВС тетраедра так, що в яких-небудь трьох його
гранях виконується умова Чеви. Тоді, як ми знаємо,
виконуватиметься умова Чеви і в четвертій грані. Позначимо
точки перетину чевіан граней, протилежних до вершин А, В,
С, В, відповідно через Ар Вх, Сх, Вг Прямі ААХ, ВВ19 СС19 ВВ±
теж проходять через спільну точку О прямих КМ9 N1., ЕР
(мал. 247).

Доведемо, наприклад, що пряма ААХ проходить через точку О.
Для цього через ребро АВ і точку О проведемо площину.
Оскільки К і О належать цій площині і КМ проходить через
точку О, то М теж належить цій площині. Отже, ця площина
перетинає грань ВСВ по прямій ВМ. Так само переконуємось,
що площина, яка проходить через ребро АС і точку О, пере-
тинає грань ВСВ по прямій СУ.

Але ВМ і СУ перетинаються в точці Ах. Тоді, очевидно, дві
січні площини (АВМ) і (АСУ) перетинаються по прямій ААХ.
Кожна з цих площин проходить через точку О. Тому і їх
спільна пряма ААХ проходить через точку О.

Аналогічно можна довести, що кожна з прямих ВВХ, ССХ,
ВВг теж проходить через точку О.

Як висновок з цих міркувань, можна сформулювати таку
теорему.

Якщо точки К9 Ь, М9 У, Е9 Р розташовані на ребрах АВ9
АС9 СВ9 ВВ9 АВ9 ВС тетраедра АВСВ так9 що в яких-небудь
трьох його гранях виконується умова Чеви9 то прямі
КМ9ІЛ9 ЕР і прямі ААХ, ВВХ, ССХ, ВВХ проходять через одну
точку.

Цю теорему називають теоремою Чеви для тетраедра.

Правильні й обернені теореми. Якщо з трьох таких
тверджень:

1) точки К9 Ь, М9 У, Е9 Р розташовані на ребрах тетраедра
так, що в кожній його грані виконується умова Чеви;

2) прямі КМ9 Ь1>ї9 ЕР перетинаються в одній точці;

3) прямі ААХ, ВВХ, ССХ, ВВг перетинаються в одній точці -
справджується яке-небудь одне, то справджуються й інші.

НАСЛІДОК. Нехай К9 Ь9 М9 1>ї9 Е9 Р - середини ребер тетра-
едра АВСВ. Тоді в кожній грані цього тетраедра виконується
умова Чеви і тому відрізки КМ9 ВУ, ЕР9 ААХ, ВВХ, ССХ, ВВ±
перетинаються в одній точці. Це вже відома нам теорема,
оскільки в цьому випадку КМ9 Ь1Ч9 ЕР - середні лінії, а ААХ,
ВВХ, ССХ, ВВ± - медіани тетраедра АВСВ.

Прямі ААХ, ВВХ, ССХ, ВВг у тетраедрі, які перетинаються в
одній точці, називають прямими Чеви, або чевіанами9 тетрае-
дра АВСВ.
УЛ.Якщо АА19 ВВ19 СС19 ПОх - чевіани тетраедра АВСО9
які перетинаються в точці О9 то

^-+^+^. + ^.=1 АО , ВО , СО , -Р€> 3

ААі ВВ1 ССі ’ ААХ ВВ1 ССі Ш\

ДОВЕДЕННЯ. Проведемо в тетрае-
дрі АВСО висоту ААК і паралельний
їй відрізок ООА (мал. 248). Тоді

АА4ЛА1« ДОО^Ар звідси

Але відрізки ООА і ААк - висоти
тетраедрів ОВСО і АВСО. Основи цих
тетраедрів рівні між собою, отже,
висоти їх відносяться, як їх об’єми:

О®А _ Урвср
ААК ^авср

Тому і

ОАХ
ААХ

УрВСР
^АВСР

Так само можна довести, що

0^*1 _ УрАСР _ УрАВР А _ *ОАВС

В&1 УВАСР УсАВР УРАВС

Додамо всі ці рівності:

+ О&1 + ОС1 + _ УрВСР + УрАСр+УрАВР + УрАВС _ |

ААХ ВВі С(\ ОО^ Кавср

Зробивши деякі перетворення, можна довести другу частину
теореми:

ОАХ ОВ1 СК\ ОІ)1=АА1-ОА1 ВВ1-ОВ1

ААіВВ^СС^ ОО1 “ ААХ В В1

^СС\—О(\ і ОО-^—ОО-^ ОАХ ОВі ос^ оо^ 2

ООі “ ~АА^~ВВ^~СС^~ОО^'~

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Доведіть твердження 808-810.

808. Чотири відрізки, що сполучають вершини правильної
трикутної піраміди з центрами кіл, вписаних в її проти-
лежні грані, перетинаються в одній точці.

809. Нехай М9 N9 Р - середини ребер СО9 ОВ9 ВС тетраедра
АВСО9 а К9 Ь9 Е - точки на ребрах АВ9 АС9 АО9 які ділять
ці ребра в рівних відношеннях, рахуючи від вершини А
Тоді прямі КМ, Ґ*ІЬ9 ЕР перетинаються в одній точці.

810. У кожній зрізаній трикутній піраміді відрізки, що сполу-
чають вершини більшої основи з точками перетину діаго-
налей протилежних бічних граней, перетинаються в одній
точці. Через цю саму точку проходять і відрізки, які спо-
лучають вершини меншої основи із серединами проти-
лежних сторін більшої основи, і відрізок, який сполучає
центроїди основ цієї зрізаної піраміди.

Для тетраедра АВСВ з чевіанами, які перетинаються в
точці О, доведіть нерівності 811—815.

ОА, ОВ, ОС, ОР,^ 1
' АА, ВВ, СС, РР, 256’

812 і В&1 і і > І**

' АО ВО СО РО~ 3 ’

АА, ВВ, СС, РР, л

813. —^+—*-+—^-+—^>16.

АХО В,О С,О Р,О

Я1Д ОА1 , 02? , ОС? ОВ? 1

В АА* ВВ? СС? 2)2? " 4 *

АО ВО СО БО

815. +-----+----+---->12.

ОАі ОВі ОСі ОБі

816. Використовуючи властивості тетраедра, сформулюйте і
доведіть найважливіші властивості неплоского чотири-
кутника АВСБ (мал. 249).

817. Довільну внутрішню точку X трикутника АВС сполучено
відрізками з його вершинами. Дослідіть властивості такої
конфігурації, розглядаючи її як вироджений тетраедр
АВСХ.

$21 ПЕРЕРІЗИ ТЕТРАЕДРА

14. Відомо, що три точки, які не лежать на одній прямій,
визначають площину. Тому три точки, задані на ребрах або
гранях тетраедра, однозначно визначають переріз його
площиною.

Нехай треба побудувати переріз тетраедра АВСР площи-
ною, яка проходить через точки К9 Ь і М9 що лежать на ребрах
АВ9 АС і СР (мал. 250). Очевидно, для побудови перерізу треба
знайти точку N на ребрі ВР. Довільно взяти її не можна. Щоб
визначити положення точки можна спочатку знайти точку
Р перетину прямих КЬ і ВС, а потім провести пряму РМ до
перетину з ребром ВВ. Нехай РМ і ВВ перетнуться в точці N.
Це й буде шукана четверта точка перерізу. Сполучивши послі-
довно відрізками точки К, Ь, М, дістанемо шуканий пере-
різ. Якщо КЬ Ц ВС, тоді точку Р визначити не можна. Треба
провести МТУ Ц ВС.

Можна побудувати переріз інакше: спочатку визначити
точку Е перетину прямих ЬМ і АО, а потім точку в якій
пряма КЕ перетинає ребро ВВ. Обидва способи визначають
одну й ту саму точку.

Площина може перетнути три або чотири ребра тетраедра.
Залежно від цього в перерізі дістанемо трикутник або
чотирикутник.

Якщо січна площина паралельна яким-небудь двом проти-
лежним ребрам, то в перерізі дістанемо паралелограм.

15. Якщо січну площину провести через середини К і М
ребер АВ і СВ тетраедра так, щоб вона перетнула ребра АС і
ВВ відповідно в точках В і ЛГ, а продовження ребер АО і ВС - у
точках В і В, то АЬ : ЬС = Ьії/ : УВ = ВР : РС = АЕ : ЕВ і
КЕ :№ = КР : КЬ = ЕР : ЬМ.

ДОВЕДЕННЯ (мал. 251). Оскільки точки К, Ь, М, N лежать
в одній площині, то за теоремою Менелая для тетраедра (див.
с. 196) маємо:

АК ВУ ВМ СЬ

КВ МВ МС ЬА~

Точки К, М9 Р, Е теж лежать в одній площині, отже,
АК ВР СМ ОВ-*
КВ РС МВ ЕА~

Мал. 250
АЬ СР

ЬС РВ

За умовою КІМ- середини ребер АВ і СР, тобто АК = КВ
і ОМ = МС. Тому утворені співвідношення можна записати
так:

В^ .ЬС=1 і ВР РЕ

ОМ ЬА~ 1 РС ЕА~ ’

або В# : ИО = АЬ : ЬС, ВР : РС = ДЕ : ЕО. (*)

Точки N9 Ь, Р9 Е теж лежать в одній площині, отже,

АЬ СР ВМ РЕ г
ЬС РВ N0 ЕА~

Якщо врахувати доведені вище пропорції (*), дістанемо:

= 1, звідси АЬ : ЬС = РВ : СР.

Отже, АЬ : ЬС = ВАГ : N0 = ВР : РС = АЕ : ЕО.

Щоб довести другу частину теореми, опустимо перпендику-
ляри КК19 ВВ1, на пряму АО і КК2, АА29 ЬЬ2 - на ВС.

КЕ _ ККг _ ВВ1_ ВО _ ВИ+ИО _ ВМ 1
ЕИ ” МИ1 ~ 2ММУ “ 21Ж “ 2РМ “ 22Ж 2

КР _ КК2 _ АА^ _ АС _ АЬ
1 РЬ ЬЬг 2£І2 2£С 2£С + 2’

але
ВМ АЬ .КЕ КР
ОМ~ ЬС' ТОД1 ЕМ~ РЬ’

Отже,
ЬКЬМ ™ ЬКРЕ і КМ : КЕ = КЬ : КР = МЬ : ЕР.

НАСЛІДОК. Якщо площина проходить через середню лінію
КМ тетраедра АВСО і перетинає ребра АС і ВО у точках Ь і М9
а продовження АО і ВС - у точках В і В, то

а) пряма КМ ділить кожний з відрізків і ЕР навпіл;

б) трикутники КЬЕ і КМР9 ММЕ і МЬР рівновеликі.

16. Розглянемо ще властивості бісекторних площин дво-
гранних кутів тетраедра.

Двогранний кут - фігура, утворена двома півплощинами,
які виходять зі спільної прямої (див. с. 175). Півплощини, які
утворюють двогранний кут, називають його гранями9 а їх
спільну пряму - ребром двогранного кута. Півплощина, яка
виходить з ребра двогранного кута і кожна точка якої
рівновіддалена від граней, називається бісектором даного
двогранного кута, або його бісекторною площиною. На
малюнку 252, а зображено двогранний кут з ребром АВ, його
грані а і р, а бісектор - со. На малюнку 252, б півплощина
АВМ - бісектор двогранного кута АВ тетраедра АВСО.
Бісектор двогранного кута тетра-
едра ділить протилежне ребро цього
тетраедра на частини, довжини
яких відносяться як площі граней,
що утворюють цей двогранний кут.

Нехай, наприклад, АВМ - бісек-
тор двогранного кута АВ тетраедра
АВСБ (мал. 252, б). Доведемо, що
БМ :МС = 8с: 8р.

Бісекторна площина ділить даний
тетраедр на два: АВМБ і АВСМ.
Позначимо їх об’єми через і

^авсм- Оскільки ці тетраедри мають
рівні між собою висоти, то об’єми їх
відносяться як площі трикутників
ВМБ і ВСМ або як основи БМ і СМ
цих трикутників:

УавмО-УавСМ = ^М:МС.

Якщо за основи тетраедрів АВМБ
і АВСМ взяти грані АВБ і АВС, то
висоти їх дорівнюватимуть ММС і
ММБ - відстаням від М до цих
граней. Але точка М лежить на
бісекторній площині двогранного
кута АВ і, отже, ММС = ММ^ Тоді

^АВМБ ’ ^АВСМ = &С ’

Мал. 252

Зіставивши цю пропорцію з попередньою, дістанемо:
БМ : МС = 8С : 8п,
що й треба було довести.

НАСЛІДОК. Якщо дві які-небудь грані тетраедра рівнове-
ликі, то бісектор двогранного кута, утвореного цими гранями,
ділить протилежне ребро навпіл. У цьому і тільки в цьому
випадку бісектор тетраедра проходить через його центроїд.

17. За якої умови бісекторна площина тетраедра перетинає
його грані по їх бісектрисах? За якої умови, наприклад, бісек-
торна площина АВМ (мал. 252, б) перетинає грань ВСБ по
ВМ так, що /.БВМ = А МВС?

Щоб відповісти на ці запитання, згадаємо властивості бі-
сектриси трикутника: якщо ВМ - бісектриса АВС, то БМ: МС =
- БВ : ВС.

Якщо ж АВМ - бісекторна площина, то

БМ : МС = 8С: 8Л = ВБзіпХАВБ : ВСзіпХАВС.
ш ДОДАТКИ

-А ' і!- ?

Тому

ВВ : ВС =
= ВОвіпААВВ : ВСвіпХАВС.

Щоб рівність була правильною,
досить, щоб міри кутів АВБ і АВС
були однаковими. Але ця умова не є
необхідною. Якщо міри кутів АВБ і
АВС неоднакові, але їх сума дорівнює
180°, то бісекторна площина АВМ
перетне грань ВСВ по бісектрисі ВМ.

Проведемо в тетраедрі АВСВ через
вершину А бісекторні площини всіх
трьох його двогранних кутів (мал. 253).
Позначимо ці площини так: АВМ,

АСN і АОВ. Вони перетинаються по прямій, яка проходить
через А Справді, нехай дві з них, наприклад АВМ і АСІЇ,
перетинаються по прямій А4Г Кожна точка цієї прямої лежить
на бісекторних площинах АВМ і АСІЇ, отже, однаково
віддалена від граней АВВ і АСВ, АВС і АСВ. А це означає, що
площина АВВ також проходить через пряму ААГ Як бачимо,
три бісекторні площини тетраедра перетинаються по одній
прямій, яка проходить через його вершину. Її частину, що

міститься всередині тетраедра, називають бісектрисою тетра-
едра. Тетраедр має 4 бісектриси.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

818. Тетраедр перетинає площина, паралельна двом його про-
тилежним ребрам. Визначте форму і площу перерізу. За
якої умови площа цього перерізу буде найбільшою?

819. Дослідіть, за якої умови перерізом тетраедра площиною є
ромб.

820. Доведіть, що центр паралелограма, утвореного внаслідок
перерізу тетраедра площиною, паралельною двом його
ребрам, лежить на відрізку, що сполучає середини цих
ребер.

821. Якщо площина перетинає тетраедр так, що в перерізі
утворився трикутник, то площа цього трикутника менша
за площу принаймні однієї з граней даного тетраедра.
Доведіть це.

822. Якщо в тетраедрі два протилежні двогранні кути прямі,
то площі перерізів, які проходять через ребра цих дво-
гранних кутів і центроїд, рівні між собою. Доведіть це.
Елементи геометрії тетраедра

Й 13- Я ' V І '

823. Доведіть, що коли бісекторна площина АВМ тетраедра
АВСВ перетинає дві його грані по бісектрисах АМ і ВМ,
то /АВВ = /АВС або /ВАВ = /ВАС. У цьому випадку М -
середина СВ, а бісекторна площина АВМ проходить через
центроїд С даного тетраедра.

824. За якої умови бісектриса тетраедра проходить через точку
перетину бісектрис його протилежної грані?

825. Якщо через точку, що лежить всередині тетраедра АВСВ,
паралельно його граням провести чотири площини, на
яких тетраедр висікає трикутники з площами ств, ос,
Ор і які висікають на гранях тетраедра трикутники з пло-
щадди

826. Доведіть, що коли АА1 - бісектриса тетраедра АВСВ, то
о _ о _ о _ &А&С

АхВС 8В+8С+8О’ А'СО 8В+8С+8О’ А1ВІ> 8В+8С+8В

ОРТОЦЕНТРИЧНІ ТЕТРАЕДРИ

18. Кожний тетраедр має чотири висоти. Іноді, наприклад
у правильній трикутній піраміді, усі висоти або їх продо-
вження мають одну спільну точку - ортоцентр. Але є й такі
тетраедри, які не мають ортоцентра. Наприклад, якщо в
тетраедрі АВСВ ребра АВ і СВ дорівнюють а, а всі інші по 2а,
то висоти ААк і ВВк перетинаються в одній точці Н1, а дві
інші висоти через цю точку не проходять (мал. 254). Є й такі
тетраедри, в яких жодна пара висот не має спільної точки.
Якщо всі чотири висоти або їх продовження мають спільну

точку, то такий тетраедр називають
ортоцентричним.

Перш ніж розглядати властивості
ортоцентричних тетраедрів, з’ясуємо,
за яких умов дві висоти тетраедра
мають спільну точку.

Нехай у тетраедра АВСВ висоти
ААЬ і ВВН перетинаються в точці Нг
(мал. 254). Тоді обидві висоти і ребро
АВ лежать в одній площині, яка пере-
тинає пряму СВ у деякій точці М.

Мал. 254
Оскільки ААЬ ± (ВСР) і СР належить площині (ВСР), то ААН ± СР.
Так само переконуємося, що ВВЛ ± СР. Отже, СР ± (АВМ),
звідси СР ± АВ.

Правильне й обернене твердження. Якщо АВ ± СР, то висоти
ААН і ВВЛ тетраедра АВСО (або їх продовження) перетинаються.

Для доведення через ребро АВ і висоту А4Л проведемо пло-
щину (АВМ). Оскільки СР ± АВ і СР ± ААЛ, то СР ± (АВЛГ), а
отже, (ВСР) ± (АВМ). Отже, висота ВВЛ лежить у площині
(АВМ). У цій площині лежить і висота ААК. Але висоти ААН і ВВЛ
не паралельні, тому вони перетинаються в деякій точці Нг

Отже, дві висоти тетраедра перетинаються тоді і тільки
тоді, коли ребро, з кінців якого опущено ці висоти, перпенди-
кулярне до протилежного ребра тетраедра.

НАСЛІДОК. Якщо дві висоти тетраедра перетинаються, то
перетинаються й дві інші його висоти. Справді, якщо ААЛ і
ВВЛ перетинаються, то АВ ± СР. Але тоді ССЛ і РРЛ теж
перетинаються.

19. Для подальших досліджень властивостей тетраедра
треба знати формулу кута між протилежними ребрами тетра-
едра. Знайдемо, наприклад, кут між АР і ВС. Оскільки АР = а,
ВС = ар то кут між цими ребрами позначатимемо: ааГ

Нехай К, £, N - середини ребер АВ, АС, ВР (мал. 255). Тоді
КЛ Ц АР, КЬ Ц ВС і ЛККЬ = ааГ

У трикутнику ІЇКЬ за теоремою косинусів маємо:

МЬ2 = КМ2 + КЬ2 - 2КМ • КЬ созаяр

Але КЛ = КЬ = ^

2 2

і N1? = п2 = (а2 + а2 + с2 + с2 - Ь2 - Ь2).

Отже,

і 2 2

~(а2 + а£ +с2 + є*-&2-&12) = ^ + ^-^-со8аа1,

звідси

Мал. 255

созаа1

2асц

Права частина цієї формули може
бути й від’ємною. Тому якщо кутом аах
вважають менший з двох суміжних
кутів, утворених прямими АР і ВС, то
треба писати так:

_ |Ь2+Ь2_с2_с2|

согаа. = ------------к

1 2аау
Аналогічно можна дістати формули:

_ |а2+с2-с2| ІаЧа2-*2-*2!

соз&б, =-----------сов се і =----------

1 2ЬЬЇ 9 1 2ссг

НАСЛІДКИ. І. а ± а± тоді і тільки тоді, коли

Ь2 4- Ь2 = с2 + с2.

II. Якщо а ± аг, то ЬЬГ сов ЬЬХ = ссх сов ссг

III. Якщо а ± а± і Ь ± Ь1, то с 1 сг

IV. Якщо а2 4- а2 = Ь2 4- Ь2 = с2 4- с2, то а 1 ар Ь 1 Ь1, с ± сг

Якщо тетраедр має дві пари взаємно перпендикулярних
протилежних ребер, то, як показано в наслідку III, два інші
його ребра теж взаємно перпендикулярні. У такому тетраедрі
кожні дві висоти мають спільну точку. Але чотири прямих,
які не лежать в одній площині і попарно перетинаються одна
з одною, проходять через одну й ту саму спільну точку.

Цим доведено, що коли тетраедр має дві пари взаємно
перпендикулярних протилежних ребер, то він ортоцентрич-
ний. Правильне й обернене твердження: у кожному ортоцен-
тричному тетраедрі протилежні ребра попарно перпендику-
лярні. Адже коли висоти ААЛ, ВВн, ССк, ВВн тетраедра АВСВ
мають спільну точку, то з наведених вище міркувань випливає,
що АВ ± СВ, АВ ± ВС, АС ± ВВ.

20. Кожна висота ортоцентричного тетраедра проходить
через ортоцентр протилежної грані.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай тетраедр АВСВ ортоцентричний
(мал. 256). Тоді ВС кАВ. Але АНВ - проекція АО на площину (ВСВ),
тому ВС ± АЛЛ. Так само із співвідношень ВВ ± АС і СР ± АВ
випливає, що ВР ± АНС і СВ ± АЛВ. Як бачимо, Ал - спільна
точка трьох висот І\ВСВ, тобто його ортоцентр.

Аналогічно можна показати, що основа Вн висоти ВВЛ, є
ортоцентром &АСВ і т. д.

Правильне й обернене твердження: якщо одна висота
тетраедра проходить через ортоцентр протилежної грані, то
такий тетраедр ортоцентричний.

Справді, нехай ААН ± (ВСР) і Ан - ортоцентр £\ВСВ. Тоді
ВС ± АЛР, ВР ± АЛС, СР ± АЛВ, звідси за теоремою про три
перпендикуляри маємо: ВС ± АВ, ВВ ± АС, СВ ± АВ. А це
означає, що тетраедр АВСВ ортоцентричний.

НАСЛІДКИ. І. Якщо одна висота тетраедра проходить через
ортоцентр грані, то й інші висоти тетраедра теж проходять
через ортоцентри відповідних граней.

II. В ортоцентричному тетраедрі (і лише в такому) основи
висот кожних двох граней, опущених на їх спільне ребро,
збігаються.

21. В ортоцентричному (і лише в такому) тетраедрі
суми квадратів протилежних ребер рівні між собою:

а2 + а2 = Ь2 + Ь2 = с2 + с2.

Справді, якщо а2 + а2 = Ь2 + Ь2 = с2 + с2, то а ± а1г Ь ± 6Х
(див. наслідок IV на с. 207), тому тетраедр ортоцентричний.

НАСЛІДОК. Якщо в ортоцентричному тетраедрі поміняти
місцями які-небудь два протилежні ребра, то дістанемо тетра-
едр (якщо такий існує), який також буде ортоцентричний.

В ортоцентричному (і лише в такому) тетраедрі всі
середні лінії рівні між собою.

ДОВЕДЕННЯ. Оскільки в ортоцентричному тетраедрі проти-
лежні ребра попарно перпендикулярні, то паралелограми
КЬМІЇ, КЕМР, ЬЕМР (див. мал. 239) у такому тетраедрі є
прямокутниками. А в кожному прямокутнику діагоналі між
собою рівні. Отже, в ортоцентричному тетраедрі КМ = ГЛГ = ЕР,
або п=п> = п.
а о с

Навпаки, якщо КМ = ІЛУ = ЕР, то паралелограми КЬМІХ,
КЕМР і ЬЕНР - прямокутники. Тоді КЬ ± ЬМ, КЕ ± ЕМ,
ЬЕ ± ЕN і, отже, ВС ± АВ, ВВ ± АС, СВ ± АВ. А це означає,
що тетраедр АВСВ ортоцентричний.

Щоб виразити середні лінії ортоцентричного тетраедра
через його ребра, досить у формули для середніх ліній тетраедра
загального виду (див. с. 190) підставити а2 + а2 = Ь2 + Ь2 = с2 + с2,
тоді дістанемо:

па = пь = пс = |7а2+Оі2 =|7д2+&! =|>/с2+сі •
сі Сі
22. В ортоцентричному тетраедрі (і лише в такому)
точка перетину висот Н ділить кожну висоту на частини,
добутки яких рівні між собою.

ДОВЕДЕННЯ. Оскільки висоти ААЛ
і ВВН ортоцентричного тетраедра
перетинаються, то точки А, В, Ан,
Вн лежать в одній площині (мал. 257).
Крім того, відрізок АВ з АЛ і Вн
видно під прямим кутом. Отже,
через ці чотири точки можна
провести коло. Висоти ААН і ВВк -
хорди цього кола. Тому, застосову-
ючи теорему про добуток відрізків
хорд, що перетинаються всередині
кола, дістанемо:

АН • НА. = ВН • НВК.
п л

Мал. 257

Аналогічно можна показати, що

ВН • НВк = СН • НС. = ВН • НВ..
л л л

Отже, АН • НА. = ВН НВ„ = СН • НС„ = ВН • НВ„, що й
’ Л Л Л Л’ ’

треба було довести.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Доведіть твердження 827—833.

827. Три відрізки, які сполучають основи висот граней, що
лежать на протилежних ребрах ортоцентричного тетрае-
дра, проходять через ортоцентр тетраедра.

828. Якщо К9 Ь9 М9 N - основи висот граней, розміщені відпо-
відно на ребрах АВ9 АС9 СВ9 ВВ ортоцентричного тетрае-
дра АВСВ9 тоді точки К9 Ь9 М9 N і ортоцентр Н даного
тетраедра лежать в одній площині.

829. У паралелепіпеді, описаному навколо ортоцентричного
тетраедра, усі дванадцять ребер рівні між собою.

830. В ортоцентричному тетраедрі суми квадратів протилеж-
них ребер однакові. Доведіть це твердження, користую-
чись властивостями паралелепіпеда, описаного навколо
тетраедра.

831. В ортоцентричному тетраедрі сума квадратів добутків
протилежних ребер вчетверо більша від суми квадратів
площ граней:

а2а2 + Ь2Ь2 4- с2с2 = 4(5* + + В2 + В2).
832. В ортоцентричному тетраедрі сума квадратів середніх
1

перерізів становить — частину суми квадратів площ гра-
4

ней, тобто якщо К, Ь, М, Е, Р - середини ребер, то
+ 82кемр + 5^) = «і + 5* + 8* + 8*.

833. Якщо ортоцентр тетраедра збігається з його центроїдом,
то такий тетраедр правильний.

$23

ПРЯМОКУТНІ ТЕТРАЕДРИ

23. Прямокутними називаються такі тетраедри, в яких при
одній вершині три плоских кути прямі. Таким є, наприклад,
тетраедр, утворений внаслідок перерізу прямокутного парале-
лепіпеда площиною, проведеною через кінці трьох його ребер,
що виходять з однієї вершини (мал. 258).

Мал. 258

Вершину з прямими кутами прямо-
кутного тетраедра позначатимемо літе-
рою Л, а ребра ЛА, ЛВ, ЛС, як і раніше, -
літерами а, Ь, с. Грань, що лежить проти
вершини з прямими кутами, називати-
мемо гранню-гіпотенузою прямокутного
тетраедра, а інші - гранями-катетами.

Кожний прямокутний тетраедр -
ортоцентричний, оскільки його ребра,
що утворюють прямі кути, перпендику-
лярні до протилежних граней, а отже, і

до протилежних ребер. Ортоцентром прямокутного тетраедра
є вершина його прямого тригранного кута.

Отже, прямокутні тетраедри мають усі властивості, харак-

терні для ортоцентричних тетраедрів. Крім того, вони мають
ще й інші властивості, характерні тільки для прямокутних

тетраедрів.

24. Грань-гіпотенуза прямокутного тетраедра має най-
більшу площу.

Доведемо, наприклад, що в прямокутному тетраедрі АВСО
площа грані-гіпотенузи більша від площі грані-катета ВА,
яка лежить напроти вершини А (мал. 259). Для цього опус-
тимо перпендикуляри з А і Л на ВС. Оскільки тетраедр АВСО
ортоцентричний, то ці перпендикуляри перетнуться в одній
точці Р.

Тоді 8а = 0,5 • ВС • ЛГ, = 0,5 • ВС • АР.
Але £АОР прямокутний, у ньо-
му АГ - гіпотенуза, АГ > ОР. Отже,
і > 8А.

Аналогічно можна довести, що
> 8В і > 8С.

Очевидно, що й периметр грані
8О найбільший. Тому грань-гіпо-
тенузу ми називатимемо також
найбільшою гранню прямокутного
тетраедра.

Оскільки в кожному тетраедрі
добутки площ граней на відповідні

висоти однакові (дорівнюють по ЗТ7), то висота прямокутного
тетраедра, проведена до найбільшої грані, менша від кожної з

трьох інших його висот. Називатимемо її найменшою висотою

прямокутного тетраедра.

25. Найбільша грань прямокутного тетраедра - трикут-
ник гострокутний.

Доведемо це методом від супротивного. Нехай у грані АВС
прямокутного тетраедра АВСО який-небудь кут, наприклад
АВС, прямий або тупий (мал. 259). Тоді АС2 > АВ2 4- ВС2 або
АО2 4- РС2 > АВ2 4- ВС2. А цього не може бути, оскільки АР < АВ
і РС < ВС.

Отже, у найбільшій грані прямокутного тетраедра не може
бути ні прямого кута, ні тупого. Цей трикутник завжди
гострокутний.

Оскільки ортоцентр гострокутного трикутника лежить все-
редині трикутника, а кожна висота прямокутного (ортоцен-

тричного) тетраедра проходить через ортоцентр протилежної
грані, то найменша висота прямокутного тетраедра завжди
міститься всередині тетраедра. З цього випливає, що три пло-

щини, які проходять через найменшу висоту прямокутного

тетраедра і його ребра-катети, перетина-
ють протилежні їм ребра (а не їх продов-
ження).

Найбільша грань однозначно визначає
прямокутний тетраедр. Іншими сло-
вами, існує єдиний прямокутний тетра-
едр, в якого найбільшою гранню є даний
гострокутний трикутник.

Нехай дано гострокутний трикут-
ник АВС; позначимо його ортоцентр
літерою Н (мал. 260). Щоб побудувати
розгортку прямокутного тетраедра з
£ -і

і- із » Й $ '-Г 'і <= ї « І.' & І Я 5 V і г? й Ч

найбільшою гранню АВС, треба провести прямі АН, ВН і СН
до їх перетину з півколами, описаними зовні на сторонах
даного трикутника АВС. Адже прямокутний тетраедр
ортоцентричний, і його висота повинна проходити через
ортоцентр протилежної грані.

Нехай прямі АН, ВН, СН перетинають півкола у відповід-
них точках РА, Вв, Вс. Утворений шестикутник АВсВВ^2Вв і
є шуканою розгорткою прямокутного тетраедра АВСВ. Зігнемо
шестикутник по діагоналях АВ, ВС і СА так, щоб вершини
£>Л, Вв, Вс сумістилися в одній точці В. Внаслідок цього ді-
станемо шуканий прямокутний тетраедр АВСВ.

Як бачимо, за даною найбільшою гранню можна побуду-
вати єдиний прямокутний тетраедр. А це й означає, що най-
більша грань однозначно визначає прямокутний тетраедр.

26. У прямокутному тетраедрі сума квадратів площ
граней-катетів дорівнює квадрату площі грані-гіпотенузи:

82 + 82 + 82 = 82
Л в С АГ

ДОВЕДЕННЯ. Нехай у прямокут-
ному тетраедрі ВАВС ВА = а, ВВ = Ь,
ВС = с,ВК±ВСіАК ГВС(мал. 261).
Позначимо ще площу грані-гіпоте-
нузи літерою а граней-катетів -

8в, 8с Тоді 82 + $в + 8с = 0,25 х
х(а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2).

Виразивши через а, Ь, с довжини
відрізків ВК і АК, неважко пока-
зати, що таке саме значення має і
5В2.

Отже, + 82,

Цю теорему називають аналогом теореми Піфагора для
прямокутного тетраедра.

У прямокутному тетраедрі

8р < 8д+ 5В4- 8С < у[з Зд.

ДОВЕДЕННЯ. Ліва частина цієї подвійної нерівності
очевидна. Доведемо праву. Як відомо, для будь-яких чисел а,
Ь і с справджується нерівність1:

3(а2 + Ь2 + с2) > (а + Ь + с)2.

Мал. 261

що й треба було довести.

хДовести її можна так:

3(а2 + Ь2 + с2) - (а + Ь + с)2 = За2 + ЗЬ2 + Зс2 - а2 - Ь2 - с2 - 2аЬ -
- 2ас - 2Ьс = 2а2 + 2Ь2 + 2с2 - 2аЬ - 2Ьс - 2ас = (а - Ь)2 + (а - с)2 +
+ (Ь - с)2 > 0.
Тому 3(52 + 52 + 82) > (8а + 8в+ 5с)2,
або 352 > (8а + 8В + 8С)2,

звідси 8а + 8В + 8С < \І38О.

Рівність тут можлива тільки в тому випадку, якщо

8а = 8в = 8с.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Доведіть твердження 834—839.

834. У прямокутному тетраедрі тільки два протилежні ребра
можуть бути однакової довжини. Наприклад, якщо АВ = СІ),
то АС ВО і АО & ВС.

835. У кожному прямокутному тетраедрі:

ч 1 1 1 1 73 Л а Ь с к в) аЬс >>/27й3; ~ 1 . 1 . 1 _ 1. „2 + . 2 + 2 ь2 ’ а о с п г) У>—Л3; л
х 5 а 8 д 8(2 8п д)—+~г + — = ~г- а Ь с к

836. У прямокутному тетраедрі сума квадратів площ перері-
зів, проведених через ребра-катети і центроїд, вдвічі
менша за квадрат площі грані-гіпотенузи.

837. Сума квадратів площ перерізів, проведених через сторони
найбільшої грані прямокутного тетраедра і його центроїд,
дорівнює квадрату площі найбільшої грані.

838. У прямокутному тетраедрі АВСВ з цеитроїдом С

^АВО + ^СВО + + &ВІЮ +

839. Якщо ар Ьх, сх - міри двогранних кутів при ребрах най-
більшої грані прямокутного тетраедра, то
а) соз2а1 4- соз2^ 4- соз2с1 = 1;

б) созах • созЬх • созсх <

в) соз а, • созЬ. • созс. = .

111 аЬс
ІСТОРИЧНИЙ НАРИС

Геометрія - одна з найдавніших наук. Досліджувати різні
просторові форми здавна спонукала людей їхня практична
діяльність. Давньогрецький учений Евдем Родоський у IV ст.
до н. е. писав: «Геометрія була відкрита єгиптянами і виникла
для вимірювання Землі. Ці вимірювання були їм необхідні
через розлиття річки Ніл, яка постійно змивала межі. Немає
нічого дивного в тому, що ця наука, як і інші, виникла з
потреб людини».

Багато початкових геометричних відомостей відкрили
також шумеро-вавилонські, китайські та інші вчені давніх
часів. Установлювалися вони спочатку тільки дослідним шля-
хом, без логічних доведень.

Як наука геометрія вперше сформувалась у Стародавній
Греції, коли геометричні закономірності і залежності, зна-
йдені спочатку дослідним шляхом, були зведені в систему і
доведені як теореми. Одна з математичних праць тих далеких
часів дійшла і до нас. Це - «Основи» александрійського мате-
матика Евкліда (бл. 365-300 рр. до н. е.).

Про життя Евкліда відомостей мало. Він народився в
Афінах і навчався у Платона. На запрошення Птолемея І
переїхав працювати до Александрії, яка на той час була цен-
тром наукової думки. Папп Александрійський зображає
Евкліда як людину лагідну і скромну, винятково чесну і
незалежну.

Основну свою працю Евклід грецькою мовою називав
♦Ітоїхєїа», тобто стихії. Латинською мовою її називали «Еіе-
тепіа» (елементи), російською - «Начала», тобто початки,
або основи.

Праця Евкліда складається з 13 книжок. Планіметричний
матеріал викладено в п’яти книжках (І-ІУ, VI). Стерео-
метричний - у книжках XI, XII і XIII. Матеріал, що розгля-
дається зараз у 10-му класі, викладено в книжці XI. Спочатку
подається 28 означень, серед яких означення прямої, перпен-
дикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин,
піраміди, призми, сфери, конуса, циліндра, куба, октаедра,
ікосаедра, додекаедра. А потім розглядаються 39 положень.
Зокрема, положення про паралельні і перпендикулярні прямі
та площини, про кути, утворені прямими і площинами.
Тут досліджуються також паралелепіпед і призма.

Не слід думати, що автор «Основ» першим відкрив і довів
усі викладені ним теореми. Багато з них були відомі і його
попередникам. Але Евклід настільки вдало систематизував
математичні відомості, що його «Основи» були головним під-
ручником математики майже для всього світу протягом більш
як 2000 років. Книжка Евкліда цікава не тільки своїм бага-
тим змістом, а й формою викладу. У ній спочатку сформульо-
вані означення і аксіоми, а всі наступні твердження доведені
як теореми. Це - перша спроба аксіоматичної побудови
геометрії.

Аксіоматичний метод побудови геометрії полягає в тому,
що:

- вводяться без означень основні геометричні поняття;

- за їх допомогою даються означення всіх інших геоме-
тричних понять;

- формулюються аксіоми;

- на основі аксіом і означень доводяться теореми.

У розвитку аксіоматичного методу розрізняють три етапи.
Перший етап характеризується змістовим застосуванням
аксіоматичного методу. Характерним для нього є викорис-
тання посилань на геометричну очевидність та інтуїцію,
а також відсутність точного опису структури доведень. Як
змістову аксіоматичну теорію викладено геометрію в «Основах»
Евкліда.

«Основи» Евкліда були зразком логічної строгості до XIX ст.,
аж поки не виявилися суттєві недоліки в їх побудові. Системі
аксіом та постулатів Евкліда бракує повноти та аксіом
порядку.

На другому етапі (кінець XIX - початок XX ст.) відбува-
ються поступове звільнення від спроб змістової аксіоматичної
побудови теорій і перехід до формального розуміння аксіома-
тичного методу. Цей перехід був підготовлений відкриттям у
1826 р. М.І. Лобачевським (1792-1856) неевклідової геоме-
трії. Строге аксіоматичне обґрунтування геометрії Евкліда
вперше було здійснено наприкінці XIX ст. у роботах
італійського математика Маріо Пієрі (1860-1904), професора
Геттінгенського університету Давида Гільберта (1862-1943) і
приват-доцента Новоросійського (Одеського) університету
Веніаміна Федоровича Кагана (1869-1953). В.Ф. Каган
побудував «метричну» систему аксіом евклідової геометрії.
Векторну аксіоматику евклідової геометрії створив Герман
Вейль (1885-1955).

На третьому, сучасному етапі аксіоматичний метод розу-
міють як спосіб конструювання формалізованих мовних систем,
що веде до чіткого розрізнення штучної формалізованої мови і
тієї змістової предметної області, яка в ній відображена.

Аксіоматичний метод широко застосовується в математиці,
математичній логіці, у деяких розділах фізики і біології. І все
ж за межами логіко-математичних наук сфера його
застосування незначна.

Розвивалася геометрія і після Евкліда. Зокрема, Архімед
(III ст. до н. е.) дав нові способи обчислення площ і об’ємів
геометричних тіл, Аполлоній (III—II ст. до н. е.) дослідив
перерізи конуса, Менелай (І—II ст. н. е.) розвинув геометрію і
тригонометрію сфери. Але в наступні століття аж до
Відродження в Європі геометрія не розвивалася. Тільки в
другій половині минулого тисячоліття тут знову почали
з’являтися геометричні відкриття. Створювалися нові методи
дослідження властивостей геометричних фігур і зароджува-
лися невідомі раніше галузі стародавньої науки: аналітична,
проективна, нарисна, диференціальна геометрії. Особливо
вагомим є внесок у їх розробку Р. Декарта, Ж. Дезарга,
Л. Ейлера, Г. Монжа.

Рене Декарт (1596-1660) - французький математик, фізик,
фізіолог. У книжці «Геометрія» (1637) вперше ввів поняття
змінної величини, яка стала поворотним пунктом у матема-
тиці. Крім того, він заклав основи аналітичної геометрії.
Заслуговують на увагу й філософські праці Р. Декарта
♦Правила для керівництва розумом», ♦Трактат про світло».
♦Міркування про метод», «Початки філософії». Протягом
кількох століть учені всіх континентів зверталися до праць
Декарта.

Жирар Дезарг (1591-1661) - французький математик і
архітектор. У його книжці, виданій у 1639 р., викладено
початки проективної геометрії. Він доповнив евклідів простір
невласними (нескінченно віддаленими) точками і невласною
площиною, яка складається з усіх невласних точок. У геомет-
рії Дезарга дві прямі однієї площини завжди перетинаються.
Маємо ніби новий простір. Геометрію цього простору пізніше
назвали проективною геометрією, оскільки її ідеї виникли
під час вивчення проектування.

Одну з важливих теорем проективної геометрії (точки
перетину протилежних сторін шестикутника, вписаного в
конічний переріз, лежать на одній прямій) сформулював у
1639 р. Б. Паскаль. На той час йому було 16 років.

Довгий час ідеї Дезарга більшість математиків не визнавала.
Тільки в XIX ст. почалося бурхливе і плідне відродження його
геометрії.

Однією зі складових проективної геометрії є нарисна
геометрія, головний метод якої - метод ортогональною
проектування на дві взаємно перпендикулярні площини.
Нехай V і Н - горизонтальна і
вертикальна площини проекцій, а
ху - пряма їх перетину. Площини Н
і V розбивають увесь простір на
4 квадранти. Якщо точка А розміще-
на у першому квадранті (мал. 262),
то, повернувши площину V навколо
прямої ху до суміщення її з площи-
ною Н, дістанемо зображення двох
проекцій точки А на одній площині
(мал. 263). Це комплексний малю-
нок, або епюр. Якщо умовитися про-
екції точок А, В, С, ... на площину Н
позначати літерами а, Ь, с, ..., на
площину V — а', Ь’9 с'9 ... і позначати
проекції відрізків Аа і Аа\ ВЬ і
В&', ..., то дістанемо спосіб одно-
значно відображати точки простору
на одну площину. Наприклад, на

лмалюнку 264 позначено: точку А, яка міститься у першому
Квадранті, В - у другому, С - у третьому, В - у четвертому,
Е - на верхній вертикальній півплощині, Р - на нижній
вертикальній півплощині.

Такий метод зображати точки простору на одній площині,
доповнений відповідними правилами перетворення епюра, дає
змогу порівняно легко розв’язувати багато складних приклад-
них задач. На честь творця цього методу його називають
методом Монжа.

Мал. 264
Гаспар Монж (1746-1818) - французь-
кий геометр і суспільний діяч. Свій метод
він запропонував, ще будучи слухачем
військового училища. Багато років метод
Монжа вважався військовою таємницею,
настільки він був важливим для військо-
вої справи. Тільки в 1794 р. метод було
розсекречено. Цей метод став основою
нарисної геометрії, яку зараз вивчають в
усіх технічних вузах.

Важлива частина сучасної геометрії -
топологія, Вона вивчає властивості
фігур, які не змінюються в результаті
топологічних перетворень, тобто в

результаті перетворень, які зберігають нескінченну близькість
точок. Якщо топологічне перетворення відображає точки А і
В, відстань між якими нескінченно мала, на точки і Вг, то
відстань А1В1 теж нескінченно мала. Таке перетворення може
відобразити, наприклад, куб на піраміду, на кулю, на довільну
фігуру у формі картоплини. Для топології всі ці фігури -
одного типу. Тор, гиря з однією ручкою, деталь з одним отво-
ром - фігури другого типу.

Особливо значний внесок у розвиток геометрії, як і всієї
математики, зробив Л. Ейлер.

Леонард Ейлер (1707-1783) наро-
дився у Швейцарії. Двадцятирічним
юнаком приїхав у Росію, через 3 роки
очолив кафедру фізики, а ще через
З роки став академіком. У Петербурзі
він прожив ЗО років, де й похований.
Більшу частину своїх математичних
творів Ейлер написав у Росії. Майже в
усіх галузях математики він залишив
настільки глибокий слід, що й зараз
основоположними є теореми Ейлера,
формули Ейлера, кути Ейлера, рівняння
Ейлера, критерії Ейлера, підстановки
Л. Ейлер Ейлера, функція Ейлера, коло Ейлера,

пряма Ейлера, ейлерова характерис-
тика, ейлерів клас тощо. Загалом він написав 900 робіт,
понад 50 томів. Серед них «Вступ в аналіз нескінченно
малих», «Диференціальнечислення», «Інтегральнечислення»,
«Морська наука», «Елементи алгебри», «Обчислення затем-
нення Сонця», «Нова теорія Місяця», «Навігація», 3 томи з
питань оптики, 3 томи з артилерії, більше 140 праць з теорії
чисел. Більше половини своїх праць він написав, будучи
сліпим.

Вище названо лише найвидатніших учених, які створили
великі галузі геометричної науки. У розробці цих та інших
галузей багато зробили також Й. Кеплер, К.Ф. Гаусе,
Ж. Лагранж, Ж. Понселе, А. Мебіус, Д. Гільберт, Г. Ріман,
Г. Мінковський та десятки інших учених.

Особливо вагомий внесок у розвиток геометрії М.І. Лоба-
чевського. Він перший відкрив існування зовсім нової геометрії,
пізніше названої на його честь геометрією Лобачевського.

Микола Іванович Лобачевський (1792-
1856) народився у Нижньому Новгороді
(Росія), навчався у Казанському універси-
теті, пізніше був викладачем, деканом, а
з 1827 по 1846 рр. - ректором цього уні-
верситету. Його рід походив з Волині.

Відкриття М.І. Лобачевського було
настільки глибоким і несподіваним, що
навіть деякі видатні вчені спочатку
визнали його дивацтвом і висміювали
автора. Тільки пізніше виявилося, що до
подібних висновків незалежно один від
одного прийшли також К.Ф. Гаусе і

М. Лобачевський

Я. Больяї. Але Больяї опублікував свою працю на кілька років
пізніше, ніж Лобачевський, а Гаусе результатів з цієї теми
взагалі не публікував, побоюючись, що його ідеї не будуть
зрозумілими. Ось чому нову геометрію в усьому світі справед-
ливо називають геометрією Лобачевського.

Ця геометрія істотно відрізняється від евклідової.
Наприклад, у ній стверджується, що через дану точку можна
провести безліч прямих, паралельних даній прямій, що сума
кутів будь-якого трикутника менша від 180°. У геометрії
Лобачевського не існує прямокутників, подібних трикутників
тощо. Багато в чому дивна і незвичайна ця геометрія, хоча в
логічному відношенні не поступається евклідовій.

Геометрію Лобачевського вивчають у вищих навчальних
закладах. У школі ж розглядають лише евклідову геометрію.

Багато зробив для розвитку геометрії відомий український
математик Г.Ф. Вороний (1868-1908) - творець геометричної
теорії чисел. Зокрема він досліджував різні заповнення про-
стору рівними многогранниками. Значний внесок у розвиток
геометричної науки зробили українські математики
М.Є. Ващенко-Захарченко (1825-1912), С.Й. Шатуновський
(1859-1929), В.Ф. Каган (1869-1953), О.С. Смогоржевський
(1896-1969), М.І. Кованцов (1924-1987) та багато інших.
Аксіоми планіметрії 6
- стереометрії 44

Аналогії 129

Бісектор двогранного кута 202

Відношення паралельності пло-
щин 85

- прямих 7

- прямої і площини 74

Відрізки паралельні 6

- перпендикулярні 7

Відстань між точками 15

- паралельними площина-
ми 163

- паралельними прямими 163

- прямими мимобіжними 163

- фігурами 162

Властивості паралельного про-
ектування 88

Геометричне місце точок про-
стору, рівновіддалених від двох
точок 129

Двогранний кут 175

Екліметр 175

Еліпс 97

Епюр 155, 217

Кут між двома площинами 144

- похилою і площиною 174

- прямими 120

- прямою і площиною 173

Лист Мебіуса 40

Лінійний кут двогранного

кута 175

Лінія 40

- штрихова 39, 95

- штрихпунктирна 95

Мимобіжні прямі 66

Моделі паралельності 75

Ознака мимобіжності прямих 66
- паралельності площин 80
- перпендикулярності пло-
щин 144
- перпендикулярності пря-
мої і площини 127

Ортогональне проектування 153

Основа перпендикуляра 153

- піраміди 51

- похилої 136

- призми 51

Паралелепіпед 51

- прямокутний 51

Паралельне проектування 88

Паралельні площини 80

Паралельність відрізків 6

- площин 80

- прямої і площини 74

Переріз многогранника 51

Перпендикуляр 135

Перпендикулярні відрізки 7

- площина і пряма 127

- площини 144

— прямі 121

Перспектива 90, 94, 155

Півкруг 13

Півпростір 69

Піраміда 51

Планіметрія З

Площа круга 13

- проекції многокутника 153

- трикутника 10

Площина 6

- проекцій 88

- січна 53, 105

Площини паралельні 80

- перпендикулярні 144

Поняття неозначувані 38

Похила 136

Початок вектора 15

Правило паралелограма 16

- трикутника 16

Призма 51
Додаткова література

Проектування ортогональне 153

- паралельне 88

Проекція вироджена 95

- похилої 136

- фігури 88

Простір 38

Радіус круга 12

Ребро двогранного кута 175

Рівність векторів 15

Рівняння кола 15

- прямої 15

- фігури 15

Різниця векторів 16

Сегмент 13

Сектор 13

Серпик 34

Синус кута 9

Система координат 14

Січна площина 51

Скалярний добуток векторів 16

Спільний перпендикуляр 164

Стереометрія З

Сума векторів 6

Тангенс кута 9

Теодоліт 175

Теорема косинусів 9

- Піфагора просторова 155

- про три перпендикуля-

ри 136

- синусів 9

Фігура неплоска 38

- плоска 38

Формула Герона 10

- площі трикутника 10

- площі чотирикутника 12

Хорда круга 12

Центр круга 12

- симетрії шестикутника 97

Центральне проектування 155

ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

1. Александров А.Д., Вернер А.П., Рьіжик В.И. Геометрия для
9—10 классов. — М.: Просвещение, 1984.

2. Бевз Г.П. Геометрія трикутника і тетраедра. - К.: Вежа,
2009.

3. Василенко О.О. Серенада математиці. — Харків: Основа, 2003.

4. Гончарова І.В., Скафа О.І. Евристики в геометрії. - Харків:
Основа, 2004.

5. Кушнир И.А. Триумф школьной геометрии. — К.: Наш час,
2005.

6. Математика після уроків / Упоряд. І.С. Маркова. — Харків:
Основа, 2004.

7. Понарин Я.П. Злементарная геометрия. — М.: МЦНМО,
2006. - Т. 2.

8. Тадеєв В.О. Геометрія: 10 клас. - Тернопіль: Навчальна
книга—Богдан, 2003.

9. Філіпповський Г.Б. Авторська шкільна геометрія. — Харків:
Основа, 2009.

10. Шмигевський М.В. Видатні математики. — Харків: Основа,
2004.
ВІДПОВІДІ

3. 100°. 4. 15°. 11. 50°. 12. 4 см; 1,6>/Ї0 см; 0,8-/ЇЗ см.
ІЗ» ЗО см. 15.12>/5 см2. 16. 5 см і 15 см. 23. а) 7 см; б) 2у/Ї0 см.
24.120°. 25. (4-797 + 28) см; 60°. 29. 6 см. ЗО. 294 см2. 31. 20 см.
33. п = 10. 35. Р = 18-72 см; 8 = 27>/з см2. 36. Р = 18>/3 см;

8 = 27-Тз см2. 37. (4 - 2>/3) см; 5 = 4л см2. 39. 5>/2;

40. М-10; 5). 41. М (3,25; 0). 42. у = х + 3; 8 = 4,5. 44. Ромб; Р =

= 4-726; 5 = 24.48.10.49. х = ±2.50. х = 0; х = -5.52.84 см2 і 216 см2.

53. (60 + 24-72) см. 54.1 : 3. 55. На 44 %. 56.6^2.57. 152,5 см.

59. б) ВС = 3~ см або 6 см; в) АВ = 7 см; АС = 13 см; г) АВ = 16 см.
о

60. тп= 10 см; Л = 1,6-?2Ї; 2 = >/253 см. 61. 5,9 см. 63. — 8ІП Р .

17 зіп(а+Р)

64. г = 6 см; Я = —Лї см. 65. 20 см2. 66. а) 10^ см; б) 3 см;
8 6

в) 4— см. 67. [ | дм2. 68.

З ІЗ 2 )

7з : 1. 70. 2а2. 71. —. 72. З : 2.

73. Ґ-; -2І 74. -2а; -26; 2,/а2+62; 5 = 2а6. 75. 2Тб; .

1^2 ; 2 3

77. В(0; -3); С(4; -3); (х - 2)2 + (у + З)2 = 2; (х - 2)2 + (у + З)2 = 4.

78. у = 1 - х. 79. у = -Зх - 4. 82.6>/38.83. к = 3; В/9; -6). 84.8 см
і 10 см. 85.14 см. 87. 2>/з. 88. —. 89. а є (-5; 6). 91. 2х + Зу - 2 =

= 0. 92. Зх - 4у - 15 = 0; Зх + 4і/ - 15 = 0. 93. Зх + у - 10 = 0;
х + 2у - 5 = 0; х - Зу = 0; 0(3; 1). 94. 7 : 1. 96. 10. 111. Ні.
120. На 3 або 4 частини. 138. Безліч. 141. Ні. 142. Безліч.

143. Чотири. 144. Ні. 180. 181. 182. Зу/2а;

2 16 2

2^. 183. 184. 8 = ^1. 186. Шестикутник. 187. Ні.

194. 8 = см2. 197. 2а>/5; 198. за>/2.

2 2 4

200. 2а\І5. 201. 2 : 3. 223. 7,5 см або 1 см. 224. 36 см або

5 і см. 225. 5 : 2. 226. а) 9,6 дм; б) 8 дм; в) 227. 6 см і
4 см. 228. 34 см; 36 см. 235. 32 см. 237. Тетраедр. 238. Ч<>
тирикутник. 256. а) 2а; б) 3 : 1. 257. (2>/2 - 1): 1. 258. 10 см.
260. 9 см. 261. а^16&2~5а2.262. 72(1 + >/2)1; ~ І2. 263. Пара-
16 2

лелограм. 264. -(а + 2Ь). 269. 0,75а2. 270. а) 1 : 2; б)

З а + ТЬ

272. р = -(1 + 2ТЗ); 8 = 273. ^2. 275. ь<4ь2+2д2.

4 64 32 4

276. 5(4 + 77). 277. 278. 1 : 5. 297. а) 2,5 см; б) 4 см;

& X &

в) 4 см; г) 6 см. 298. а) 6 см; б) 6 см; в) 3 см; г) 6 см. 299. а) 24 см;
2л/І93 см; б) д/129 см; 7 см. 300. 32 см; 42 см2. ЗОЇ. 24 см; 16\/з см2.

302. | — + 2 |а. 309. 8 см і 5 см. 310. 4^27 см; 4 см2. 311. 5 см;
\ 5 )

17 4^1 ,<<> 2а(ТЇ0+з) о-о о Г~2—І2 1 Г~2—Гг

— см; ------см. 312. —--------313. 2с + у]а +Ь ; -с\аг+1г

3 3 3 2

314. |а2і®а «19,99. 315. 2аТб; . зю. ЗаТ2; . 320. В к а -

о 2 2

зівка: через довільну точку однієї з прямих проведіть прямі,
паралельні двом іншим прямим. 349. 15 см і 10 см або 3 см
і 2 см. 350. Ні. 351. а) 18 см2; б) 0; в) 18 см2. 352. а) <?; б) 0,5©.

353. . 424. 60°. 425. а) 80°; б) 60°. 426. б) агссоз^; г) 90°.

2 о

427. б) агссов 0,6; в) агссоз^?. 429. Так. 430. Ні. 431. Так

434. б) ЗаТ2; в) (10 + 372) дм. 435. 90°. 437.

-. 438. а) 60°; б) агссоз—; в)-г) 90 . 439. а) агсі£—; б) - в) 90°;
4 4 2

г) агссоз—. 440. 60°. 441. агссоз^. 442. 60°. 443. б) агссоз^;

6 6 5

в)30°.444.а.445.^; —.446.^.447.Так.

2 2 4 2 3 2

448. 60°. 449. - 461. асі^а; -^-.462. аТз. 463. —.

6 6 3 3 зіпа 2

464. 13 см. 468. За. 469. 12 см. 472. — см. 474. т : п.

475. 1 см. 476. б) 7 см. 477. а) 2 см; б) 3 см. 480. 20 см. 482. 8 см.

484. ^Дсм2. 485. ю см. 486.12,5 см. 488. 24 см. 489. 33,6 см.

З
490. 20 см. 491. а) 3 см; б) 7 см. 492. 12-72 см; 20 см; 4-743 см

504. |р(2л/2 +1); соаА1 = созВ1 = созС = . 513. З см

514. 2а; а^2. 515. агссоз—. 516.120°. 517. а^2; 2а. 518. асІ£а
4 „ а

2соз—
2

520.6л/15 см; 26 см. 536.13 см; 7219 см. 537.13 см; 15 см. 538.5 см

_2 /о

539. бТб см. 540. 2,8 см. 541. =-!=. 542. 12 см. 543. 7281 см;
4

5х/б см. 544. 5 см. 545. 7 см. 546.

созр

548. 2у/з см; 739 см; >/39 см. 549.6 см; 6 см; 5 см; 15 см. 551. 2 см

х а

557. 5,2 см. 558.91 см2.559. 580. 581. о2 72.382.

2віпа 9 4

576. агссоз—. 579. а) 2^її см; б) 1 см; в) а42. 580. 6-72 см
4

581.4Тб см. 582. а. 583. т. 584. а) а>/2; б) а>/3; в) 60°. 586. соз<р=|

587. —. 588. 44 см; 96 см2. 589. т : п. 590. 596. агсі«2

О У

\ 4- \ і. -а 1 К.ИО 25>/154

597. в) агссі£—; г) агсі£—; ґ) агссоз-. 598. п - агссоз -

599. 200 см2. 600. х/337 см. 601. 0,8х/337 м. 602.13 см. 603. 60°

- ЮЗ ч/2(а + с + Ь)(а + с-дХл - с + Ь)(д - а +с)

або я - агссоз——. 604. --------------------------

2160 2с

13 З

605. 90°; агссоз-; агссоз—. 606. агссоз—. 613. 90°.
4 4 4

в15.созВ=со8асозР; созС= . іСО8 м =-----а

^/1+сІ&2рІ£2а соз ау]їе2а + І£2р

зіп£

616. 2агсзіп--— . 632. 2 см. 633. 3,6 см і 6,4 см. 635. 24 см

соз а ________

і 2>/б9 см. 636. 12,8 см. 637. 6,4 см. 638. >Іа2 +Ь2 +с2.

Іп( 2 ТІ 2\

639.5/10 + +с 7.640. Так. 643.48 см. 644.30°. 645.12^14 см.

2 2 Г

646. 45°. 647. 20 см; 20^2 см. 648. 19 см. 649. ———; агссоз—.

12 З

десГЬ \ "^6 1^ Л (Іу/З “^3

650. а) агссоз——; б) агссоз./-. 651. Л і-------. 653. -------

' 6 ' \6 3 бсозр

654. . 655.1: 3.656. . 658. 72 см або 90 см. 659.3 Ц см.

8 соз а 4 21
660.2 агссі£2.661.19272 см2.662. .663.840 см2; 14оТЇЇ см2;

2сО8ф

агссоз----. 664. 4-м2. 665. агссоз ,—-666. агссоз^.

6 7 74/2-&2 З

НОГЧ 2лТб ЛЛО 373л Зо АІГ9-А ПЛ А Гґ>А

667. —-—. 668.---------;----; агссоз — . 671. 24 см; 4721 см.

З 4 4 З

672. 1272. 675. 0,5а2. 677. а27з. 688. >/а2-(Ь + с)2. 689. 4 дм і

5 дм; 720,5 дм. 690.7й2 + г2.691. 20 см. 692.12 см. 693.2ТЇЗ см.

694. 20 см. 695. а. 696. а) 40 см; б)

см. 697. 24 см.

698. . 699.12 см. 700. ./16 + зіп2 £. 701. ™. 704 2гі.

6 2\ 2 3 2

705. 15 см; 16 см. 706. 8 м. 707. 708. 50 см. 710. 45 мм.

711. 8 м. 712. 28 м. 713. —. 714. а; . 715. 7б см. 716. —.
6 5 2

717. —. 719. —. 721.20 см. 722.8 см. 723.10 см. 725. см.

2 2 7

726. 727. 5 см. 728. 729. 26 см. 730. 8 см і 16 см.

З 8

731. £2/3 732. а) азіпа; б) 2а зіп 733. 24 см. 734. а) —;
6 2 6

б)-в) . 735.11,2 см. 736.4п^т?. 737. см. 738. а) —;

11 19 2

б) в) ; г) . 739. —у - 740. Пряма, яка перпендику-
лярна до площини трикутника і проходить через центр вписаного
кола. 741.4 прямі. 742. — (див. задачу 739). 764 45°. 765.8>/3 дм.

766.45°. 767.30°. 768.45°. 769.174 + сі<2а. 770. агссоз^-.

771. 45°. 772. сзіпа. 773. азіпа; а.

1+зіп2а 1, Г. ~ 2

-------. 774. -Л74 + сі£ а.

2 "

775. 48 см. 776. і</3зіпрсо82р. 777. І3 зіп а зіп Р-Усоз2 р - зіп2 а.
778. бТЇЗагсі® |; агсІ£ А. 779. |. 780.12,5 см. 781.60°. 782.30°.

783. 30°. 784. З м; зТз м. 785. | см; у см. 786. а(7з ± 1).
787. • 793. Помножте нерівності < Ь + с, Ьг < а + с,
с± < а + Ь відповідно на а, Ь, с і утворені нерівності додайте.
794. Як випливає з п. З, па < т>(Ь 4- Ьг), пь < ^(с 4- сх), пс < т>(а 4- а1).
Тому па + пь + пс < ^(а 4-а14-Ь4-614-с4- сД Крім того, па 4-
4- пь > с, па + пь> сг Отже, па 4- пь > |(с 4- сД Аналогічно
па 4- пс > 2 (Ь 4- 6Х), пь 4- пс > $ (а 4- ах). Тепер додайте почленно ці
три нерівності. 795. Скористайтесь такими нерівностями
(мал. 239): СР + СМ > РМ, СМ 4- СN > МК, СК + СР > КР.
796. а) Якщо х - довільна точка, то ХА 4- ХВ > АВ, ХА+ХВ > АВ,
ХА + ХС > АС, ХВ + ХВ> ВВ, ХВ + ХС > ВС, ХС + ХВ > СВ.
Додавши ці нерівності і поділивши обидві частини резуль-
тату на 3, дістанемо: ХА 4- ХВ 4- ХС 4- ХВ > ^(АВ 4- АС 4-
4- АВ 4- ВС 4- ВВ 4- СВ). Якщо X лежить на якому-небудь ребрі
тетраедра або збігається з його вершиною, доведення тре-
ба дещо змінити, замість > написати >. Остаточний результат
не зміниться, б) Якщо вказана в задачі точка - центроїд
тетраедра С, то правильність сформульованого твердження
випливає із задачі 794, бо СК 4- СМ 4- СЬ 4- СК 4- СЕ 4- СР =
= па 4- пь 4- пс > і (а 4- ах 4- Ь 4- Ьг 4- с 4- сх). Якщо X Ф С, то
ХК 4- ХМ + ХЬ + ХК + ХЕ + ХР > па +пь + пс. 797. Виразіть
квадрати середніх ліній тетраедра через його ребра
(див. п. 4) і додайте почленно три рівності. 798. Як випливає
з п. 8 (с. 192), тА < -(а 4- Ь± 4- сх), тв < ^(Ь 4- ах 4- сх), тс < ^(ах +
3 3 3

4- Ьг 4- с), тв < -(а 4- Ь 4- с). Додавши почленно ці нерівності,
$ 2

дістанемо: тА 4- тв 4- тс 4- тпр < -(а + а14-Ь4-Ь14-с4- сх).
Щоб довести другу частину твердження, додайте шість нерів-
ностей (мал. 242): АВ < АС 4- СВ, АС < АС 4- СС, АВ < АС 4- СВ,
ВС < ВС 4- СС, ВВ < ВС 4- СВ, СВ < СС 4- СВ. 799. Доведіть, що
коли СА - точка перетину медіан £ХРМК (мал. 239), то АСа -
медіана тетраедра АВСВ і ССА < -(СР 4- СМ 4- ОТУ). Звідси
2 3

випливає, що тА < -(па 4- пь 4- пс). 800. З попередньої задачі
З

випливає: тА 4- тв 4- тс 4- < — (па 4- пь 4- пс). Щоб довести,

що тА 4- тв 4- тс 4- тпр > —(па + + пс), досить використати

твердження, сформульовані в задачах 794 і 798. 801. Виразіть
квадрат кожної медіани тетраедра через його ребра і додайте
чотири утворені рівності. 802. Рівність, яку треба довести,
випливає з тверджень, сформульованих у задачах 797 і 801.

803. З попередньої задачі випливає, що п2 + п2 + п2 = ^(тл +
4- 4- лір 4- т2) = С?А2 4- СВ2 4- ОС2 4- ОБ2. Із задачі 797

випливає: а2 4- 52 4- с2 4- а2 4- б2 4- с2 = ±п2 4- 4п2 4- п2. А в
описаному навколо тетраедра паралелепіпеді довжини ребер
дорівнюють по, пд, пс (див. мал. 240). Зверніть увагу на те, що
відстань від центроїда до середини ребра тетраедра дорівнює
половині відповідної середньої лінії. 806. Скористайтесь зада-
чею 797. 807. Як випливає з теореми Лейбніца, для довільної
точки X правильна така нерівність: ХА2 4- ХВ2 4- ХС2 4- ХБ2 >
> ОА2 4- ОВ2 4- ОС2 4- ОБ2. Якщо X збігається з вершиною В,
то БА2 + БВ2 + БС2 > ОА2 + ОВ2 + ОС2 + ОБ2. Але БА = а,
ОВ = Ь, ОС = с- СА2 + СВ2 + СС2 + СО2 = |(а2 + а2 + 62 +
+ Ь2 + с2 + с2), і(а2 + а2 + Ь2 + б2 + с2 + с2), отже, а2 + Ь2 + с2 >

> (а2 + а2 + &2 + д2 4- с2 + с2), звідси 3(а2 + Ь2 + с2) > а2 + Ь2 + с2,
що й треба було довести. 808. Використайте теорему Чеви.

809. З умови задачі випливають співвідношення (мал. 244):

АК АЕ АЬ ВМ БМ СЕ - т . АК ВМ БЕ .

КВ ЕБ ЬС МБ МС ЕВ КВ МБ ЕА

Отже, в грані АВБ умова Чеви виконується. Аналогічно можна
показати, що умова Чеви виконується в двох інших гранях.
Далі треба використати теорему Чеви. 810. Продовжте бічні
ребра зрізаної піраміди так, щоб утворився тетраедр, і ви-
користайте теорему Чеви. 811. Нерівності 811-815 випли-
вають з рівностей п. 13 і співвідношень -у—-—- < ^хугі <

'_____________ X у 2 І

І 2 2 2 ЇГ

X +у +2 + І „

<------------------—---------. 815. Скористайтесь малюн-

АО АК АЬ АЕ ВО ВК ВЕ ВМ СО СЬ

ОАі КВ ЬС ЕБ ОВі КА ЕС МБ ОСГ ЬА

СЕ СМ БО БЕ БМ БМ ' . . . .

4- — +-----,----=-----+---+-----. Якщо додати ці рівності і

ЕВ МБ ОБу ЕА МВ МС

згадати, що сума двох взаємно обернених додатних чисел не
о АО ВО СО БО .

менша 2, дістанемо: ----4-----+-----+----> 12. Рівність тут

ОАХ ОА ОСХ О А

має місце лише тоді, коли ААр ВВ1, ССГ ББ± - медіани даного
тетраедра. 818. Якщо тетраедр АВСБ перетнути площиною,
паралельною ребрам АВ і СБ9 то в перерізі утвориться
паралелограм (мал. 265). ЯкщоАЕ: ЕВ =
= т : п, то з подібності двох пар трикут-
ників випливають такі пропорції:
АЬ: ЬС = т: пі ВМ: МВ= т:п. Отже, ЕЬ =
= ——— СВ, ЕМ = ——— АВ. Площа цьо-
т + п т + п

го паралелограма 8Еи^ = ЕЬ • ЕМ • зіпсд =
= --—-о • сс.зіпсс.. Добуток сс.зіп^

(т + п)

„ тп (т п ОУ1 1

тут сталий,-----5- = — + — + 21 ч —.

Оп + пГ \п тп ) 4

Таким чином, площа перерізу 8ЕЬЕМ буде
найбільшою, якщо Е, Ь, Г, N - середини

ССі

ребер тетраедра. У цьому випадку маємо: 8ЕЬЕ1^ = _^“зіпсс1 або

8ЕЬР!^ ~ — \4с2с2 - (а2 + я? ~Ь2 - &і2) . 819. Щоб паралелограм,

про який ішлося в попередній задачі, був ромбом, треба, щоб
виконувалася умова: ——— • СВ = ——— • АВ або т : п = АВ : СВ.
т + п т + п

821. Розгляньте окремо три випадки: а) переріз проходить
через ребро тетраедра; б) переріз проходить через вершину

тетраедра; в) січна площина перетинає три ребра тетраедра у
їх внутрішніх точках. 822. Нехай у тетраедрі АВСВ двогранні
кути при ребрах АВ і СВ прямі. Доведіть, що 8АВС = 0,5^82 + 82,
8сбс = 0’ 5\]ва + & в * & в = 8а + 8 в* Тому 8^$ = 8СІЮ.

825. Площі паралельних основі перерізів піраміди відносяться,
як квадрати їх відстаней від вершини. Тому : 8А = 1іА : НА,
кА і НА - відстані площин ВАСАВА і ВСВ від вершини А. Але

Л. : НА = АО : АА., тому — = або 4. Якщо запи-

А А 1 8а ЛАІ \8а АА.

сати ще три аналогічні співвідношення і додати їх, дістанемо:

^8а ^8с

АО ВО СО ВО „

—— + + • За теоремою

АА. ВВ. СС. ВВ.

п. 13, права частина цієї рівності дорівнює 3. Доводячи друге

співвідношення, покажіть, що

ОАХ

АА.

од | од ОВ.

ВВ. СС. вв.

і також скористайтесь теоремою Жергона для

тетраедра. 826. Доведіть, що 8АіВС : = 8Л1СВ : 8В = 8АіВІ) : 8С і

^АіВС + &А1СВ + ^АіВВ = &а- Тепер поділіть 8Л на три частини,
пропорційні 5р, 8В і 8С. 827. Скористайтесь твердженням п. 13,
врахувавши, що в ортоцентричному тетраедрі АВСВ усі висоти
ААЛ, ВВк, ССк, ВВк проходять через ортоцентр Н і що точки
Ак, Вк, Ск, Вк - ортоцентри граней. 828. Застосуйте теорему
Чеви для тетраедра. 829. В ортоцентричному тетраедрі проти-
лежні ребра попарно перпендикулярні, тому перпендикулярні
й діагоналі кожної грані описаного паралелепіпеда (мал. 240).
Отже, усі шість граней такого паралелепіпеда - ромби. 830. Як
показано в попередній задачі, усі грані паралелепіпеда, описа-
ного навколо ортоцентричного тетраедра, - ромби з рівними
сторонами. Отже, суми квадратів діагоналей цих ромбів рівні
між < обою. Слід урахувати, що діагоналі цих ромбів дорівнюють
протилежним ребрам даного тетраедра. 831. В ортоцент-
ричному тетраедрі основи висот кожних двох граней, опуще-
них на їх спільне ребро, збігаються. Тому а2а2 + Ь2Ь2 + с2с2 =
= 4(8 2 + 8В + 82 + 5р). 832. Використайте результат поперед-
ньої задачі. 834. Довести це твердження можна методом від
супротивного. Якщо припустити, наприклад, що в прямокут-
ному тетраедрі АВСВ АВ = СВ і АС = ВВ, то його грані АВС і
ВВС мають бути рівними трикутниками. Отже, якщо кут ВВС
прямий, то й ВАС прямий. А цього бути не може. 835. а) У
ЗИ о ЗУ о ЗУ

кожному прямокутному тетраедрі 8А = —, 8В = —, 8С = —,
ЗУ а Ь с

8П = —, тут а, Ь, с - ребра, а Л - висота, яка виходить з вер-
к

шини прямого тригранного кута. Якщо підставити ці значення в
ос . 37 ЗІ7 ЗУ ЗІ' Зу/ЗУ

подвійну нерівність п. 26, дістанемо:— <-1-ч---< -----.

к а Ь с к

б) Поділіть обидві частини рівності 82 4- 8В + 52 = 8 2 на 9К
в) Використайте нерівність між середнім арифметичним і се-
реднім геометричним чисел ~2 > -у І "У - 836. Доведіть, що в
а Ь с

кожному тетраедрі 482Б8 = 8В + 82 + 28в8ссовАВ і т. д. Якщо
двогранні кути при ребрах АВ, ВВ і СВ прямі, то 4(8 2 -І- 8ВІЮ +
+ = + 8В 4- 82) = 25р, звідси 8АІЮ 4- 8ВІ)С 4- 8ВВС = 25р.

837. Використайте результат попередньої задачі. 839. а) Можна
цю рівність довести, виходячи із співвідношення 82 4- 8В 4- 52 =
= 8р. б) СО82а1 4; СО82&1 4- СО82Сх > ЗР^/соз2 СО82 сов2 сх і, як
показано в попередній задачі, ліва частина цієї нерівності
дорівнює 1. в) Доведіть, ЩО С08 01 = —, СО8&! = —, СО8 Сх = —.

а Ь с
ЗМІСТ

Шановні старшокласники!..............................З

< < Систематизація та узагальнення фактів
і методів планіметрії................................5

§ 1. Опорні факти планіметрії........................6

Запитання і завдання для самоконтролю..........17

Перевірте себе. Тематичні завдання
в тестовій формі...............................19

Прямі і кути...................................19

Трикутники.....................................20

Чотирикутники..................................21

Коло і круг....................................22

Координати на площині..........................23

Вектори........................................23

§ 2. Методи розв’язування планіметричних задач.....24

/ Вступ до стереометрії.....................37

§ 3. Основні поняття стереометрії...................38

§ 4. Аксіоми стереометрії і наслідки з них..........44

§ 5. Многогранники та їх перерізи...................50

Задачі за готовими малюнками...................60

Тестові завдання...............................62

Типові задачі для контрольної роботи...........63

Головне в розділі 2............................64

РпзгЛл ». Паралельність прямих
і площин у просторі.................................65

§ 6. Мимобіжні і паралельні прямі...................66

§ 7. Паралельність прямої і площини.................74

§ 8. Паралельність площин...........................80

§ 9. Паралельне проектування і його властивості.....88

§10. Зображення фігур у стереометрії...............94

§11. Методи побудови перерізів многогранників.....105

Задачі за готовими малюнками..................114

Тестові завдання..............................116

Типові задачі для контрольної роботи ......... 117

Головне в розділі 3...........................118
іл Перпендикулярність прямих
і площин у просторі................................119

§ 12. Кут між прямими. Перпендикулярність прямих . . . 120

§13. Перпендикулярність прямої і площини..........127

§ 14. Перпендикуляр і похила до площини............135

§15. Перпендикулярні площини......................144

§ 16. Ортогональне проектування....................153

§17. Відстані між фігурами........................162

§ 18. Кути в стереометрії..........................173

Задачі за готовими малюнками..................182

Тестові завдання..............................184

Типові задачі для контрольної роботи..........185

Головне в розділі 4...........................186

(одатки Елементи геометрії тетраедра ..............187

§19. Середні лінії і медіани тетраедра............188

§ 20. Прямі Чеви в тетраедрі.......................194

§21. Перерізи тетраедра...........................200

§ 22. Ортоцентричні тетраедри......................205

§ 23. Прямокутні тетраедри.........................210

Історичний нарис...................................214

Предметний покажчик................................220

Додаткова література...............................221

Відповіді..........................................222
Навчальне видання

БЕВЗ Григорій Петрович

БЕВЗ Валентина Григорівна
ВЛАДІМІРОВА Наталія Григорівна
ВЛАДІМІРОВ Володимир Миколайович

ГЕОМЕТРІЯ

Підручник для 10 класу загальноосвітніх
навчальних закладів

Профільний рівень

Рекомендовано Міністерством
освіти і науки України

Видано за рахунок державних коштів.

Продаж заборонено

Редактор О. Мовчан.

Обкладинка, ілюстрації В. Соловйова.

Макет С. Железняк.

Художній редактор В. Соловйов.

Технічний редактор В. Олійник.

Комп’ютерна верстка О. Дружинського,
О. Білохвост.

Коректори І. Іванюсь, Л. Леуська.

Формат 60х90/і6. Умови, друк. арк. 14,5.

Обл.-вид. арк. 13,37. Наклад 124 350 (1-й з-д: 1-77310) прим.
Вид. № 1043. Зам. № 291.

Видавництво «Генеза», вул. Тимошенка, 2-л, м. Київ, 04212.
Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої спра-
ви до Державного реєстру видавців серія ДК № 25
від 31.03.2000 р.

Віддруковано з готових позитивів на

ДП «Видавництво і друкарня “Таврида”»,
95000, АРК, м. Сімферополь, вул. Генерала Васильєва, 44
Е-шаіІ: тагкеіш£@іауг ідаЬоок. сот. иа
Свідоцтво серія ДК № 1174 від 25.12.2002 р.

їм і Ні Д(Н І І'.І'І'.ОМІ'ГІ ГІІ

І німі* іричні ІІНІІІП г»і

і ІЧіМНТрИЧНІ
І І І’ОМі । рр Пі ।
І І < ІІМ* і ричні
11 • омі і ричні

І-іі . р»|

ІІІ і іііііііі її П <1

нгрг іііоргнн ||

НІ'ІІИЧИІІИ

І І II. «І І <1, І < <1

а ' а= , А є а, а <х а

Многогранники

Перерізи многогранників
Відношення

Паралельні

Не паралельні

Тут О — означення, Т — теорема.
Відношення

Перпендикулярні

Не перпендикулярні

Пряма
і пряма

Пряма
і площина

Теорема про три
перпендикуляри

Площина
і площина

Ф 90

О, Т20, Т21
Ортогоішльпо прімчпу ІІІІІІІІ н

Грецький алфавіт

Друковані літери Назви літер Друковані літери На «ви лі гер
Аа альфа Му ню (ні)
вр бета ксі
Гу гамма Оо омікрон
Д6 дельта Пл пі
Ее епсилон Рр ро
дзета Ео сигма
Нті ста Тт тау
оо тета її) іпсилон
її йота Фф фі
Кк капа Х% хі
АХ ламбда псі
Мц мю (мі) По омега

Латинський алфавіт

Друковані літери Рукописні літери Назви літер Друковані літери Рукописні літери II 1 ПНІ /ІІ тер
Аа Аа а N0 Кп <*н
ВЬ ВЬ бе Оо Оо - о
Сс Сс це Рр Рр ІІ<*
па 04 де Яя ку
Ее Ее е Кг Вг гр
РГ еф 8з 88 «<’
ге (же) Ті Ті ге
нь Нк ха (аш) ІІи Ои У
Ті Іі і Уу Уо ІИ'
V йот (жі) \¥и> IV" і’ '
Кк Кк ка Хх Хх Ікс
Ь1 ІЛ ель ¥у Уу Ігрек
Мпі Мт ем 7л 72 асі