/
Author: Джонсон К.
Tags: механика общетехнические дисциплины физика монография прикладная механика деформация издательство мир
ISBN: 5-03-000994-9
Year: 1989
Text
ББК 30.121
Д42
УДК 531/534
Джонсон К.
Д42 Механика контактного взаимодействия: Пер. с англ.—
М.: Мир, 1989. — 510 с., ил.
ISBN 5-03-000994-9
Монография известного английского специалиста, содержащая сжа-
тое и доступное изложение как классической теории контактного
взаимодействия деформируемых тел, так и новых разделов механики
контакта. Много внимания в ней уделено описанию эффектов неупруго-
сти, вязкости, накопления повреждений, скольжения и сцепления в об-
ласти контакта. Рассмотрены сложные прикладные контактные задачи
с учетом трения, динамики, теплообмена.
Для специалистов-механиков и инженеров-конструкторов, а также
для математиков-прикладников, студентов и аспирантов соответствую-
щих специальностей вузов.
„ 1603040000—331 „„
Д----™------------29—89
041(01)—89
ББК 30.121
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-000994-9 (русск.)
ISBN 0-521-34796-3 (англ.)
© Cambridge University Press 1985
This book was originally published in the
English language by Cambridge Univer-
sity Press of Cambridge, England
© перевод на русский язык, «Мир», 1989
Оглавление
От редактора перевода .............................................. 5
Предисловие .........................................................8
Гл. 1. Перемещения и силы в зоне контакта ... .........11
§ 1.1. Система отсчета...........................................11
§ 1.2. Относительное движение поверхностей — скольжение, качение и
верчение ........................................................13
§ 1.3. Усилия, передаваемые через точку контакта.................14
§ 1.4. Поверхностные усилия......................................15
§ 1.5. Примеры ..................................................16
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой ... 21
§ 2.1. Упругое полупространство..................................21
§ 2.2. Сосредоточенная нормальная сила...........................24
§ 2.3. Сосредоточенная касательная сила..........................27
§ 2.4. Распределенные нормальные и касательные усилия............29
§ 2.5. Равномерные распределения усилий...................... . 31
§ 2.6. Треугольные распределения усилий..........................37
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях, задаваемые в области на-
гружения ........................................................39
§ 2.8. Вдавливание жесткого штампа с плоским основанием ... 47
§ 2.9. Усилия, параллельные оси у................................54
Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на упругое полупространство 58
§ 3.1. Потенциалы Буссинеска и Черрути.........................58
§ 3.2. Сосредоточенная нормальная сила.........................63
. § 3.3. Давление, распределенное по области многоугольника ... 66
§ 3.4. Давление, приложенное по круговой области...............70
§ 3.5. Давление, приложенное по эллиптической области..........78
§ 3.6. Сосредоточенная касательная сила.......................'83
§ 3.7. Однонаправленные касательные усилия, распределенные по
эллиптической или круговой области.............................85
§ 3.8. Осесимметричные распределения усилий......................91
§ 3.9. Кручение .................................................96
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца.............. 100
§ 4.1. Геометрия контактирующих гладких поверхностей несогласо-
ванной формы....................................................100
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца...........................106
§ 4.3. Модель упругого основания................................122
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел.................125
§ 5.1. Напряжения на границе области контакта...................125
§ 5.2. Тупые клинья и конусы.................................. 130
508 Оглавление
§ 5.3. Согласованные поверхности................................133
§ 5.4. Влияние трения по поверхности контакта...................138
§ 5.5. Адгезия упругих тел......................................144
§ .5.6. Контакт цилиндрических тел..............................150
§ 5.7. Анизотропные и неоднородные материалы....................156
§ 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки.......................157
§ 5.9. Численные методы....................................... 166
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих -тел........... . . . . 176
§ 6.1. Начало пластического течения.............................176
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел.................180
§ 6.3. Вдавливание инденторов в упругопластические среды .... 197
§ 6.4. Разгрузка при пластическом внедрении, циклическое нагруже-
ние и остаточные напряжения . . ;................................207
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы...........................212
§ 6.6. Нелинейная упругость и ползучесть........................225
Гл. 7. Нагружение касательными усилиями н скользящий контакт . . . '232
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел несогласованной формы 232
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел.....................242
§ 7.3. Одновременное изменение нормальной и тангенциальной сил 253
§ 7.4. Осциллирующие силы.......................................257
§ 7.5. Кручение контактирующих упругих шаров....................265
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел . . . 268
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении . ................ 278
§ 8.1. Микропроскальзывание и скольжение........................278
§ 8.2. Свободное качение контактирующих тел с различными упру-
гими характеристиками............................................283
§ 8.3. Качение при наличии тангенциальной силы..................289
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной
силы и верчения..................................................294
§ 8.5. Качение шара по прилегающему желобу......................308
§ 8.6. Переходные процессы при качении..........................310
§ 8.7. Модель упругого основания для изучения контакта качения 315
§ 8.8. Пневматические шины......................................318
Гл. 9. Контактирование неупругих тел при качении...................324
§ 9.1. Упругий гистерезис.......................................324
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость..........326
§ 9.3. Качение жесткого цилиндра по идеально пластическому полу-
пространству .................................................. 337
§ 9.4. Качение вязкоупругих тел.................................344
§ 9.5. Трение качения...........................................349
Гл. 10. Каландрирование и смазка ... .... 355
§ 10.1. Упругая полоса между валками.............................355
§ 10.2. Начало пластического течения в тонкой полосе.............361
§ 10.3. Пластическая прокатка полосы.............................364
§ 10.4. Смазка роликов...........................................372
Гл. 11. Динамические эффекты и удар . ........................ 386
§ 11.1. Волны напряжений в телах.................................386
§ 11.2. Динамическое нагружение упругого полупространства .... 390
Оглавление
509
§ 11.3. Резонанс в условиях контакта.............................396
§ 11.4. Упругий удар.............................................398
§ 11.5. Неупругий удар...........................................408
§ 11.6. Подвижные нагрузки — качение и скольжение при высоких
скоростях .......................................................418
Гл. 12. Термоупругий контакт .................................. ... 424
§ 12.1. Введение ................................................424
§ 12.2. Распределение температур в полупространстве..............425
§ 12.3. Стационарные термоупругие деформации полупространства 430
§ 12.4. Контакт между телами с различными температурами .... 435
§ 12.5. Фрикционный нагрев и термоупругая неустойчивость .... 442
Гл. 13. Шероховатые поверхности................................... 449
§ 13.1. Действительная и кажущаяся области контакта..............449
§ 13.2. Контакт регулярных волнистых поверхностей................450
§ 13.3. Характеристики случайно шероховатых поверхностей .... 458
§ 13.4. Контакт изначально плоских шероховатых поверхностей . . 464
§ 13.5. Упругий контакт шероховатых криволинейных ’ поверхностен 470
Приложения..................................................... 478
§ А1. Главные значения Коши некоторых интегралов................478
§ А2. Геометрия гладких контактирующих поверхностей несогласован-
ного профиля.....................................................478
§ АЗ. Сводка формул теории Герца контакта упругих тел .... 480
§ А4. Напряжения в полупространстве при контакте в условиях пло-
ской задачи................................................481
§ А5. Линейные коэффициенты проскальзывания (уравнения (8.41) —
(8.43)), v = 0.3............................................... 482
Литература..................................................... 483
Именной указатель .................................. ...... ... 500
Предметный указатель ...........................................503
От редактора перевода
Механика контактного взаимодействия принадлежит к числу
актуальных областей механики деформируемого твердого тела
и трибологии. Ее развитие стимулируется в первую очередь за-
просами машиностроения, добывающих и перерабатывающих
отраслей промышленности. Экономические потери от трения,
износа и разрушения контактирующих элементов машин и иного
оборудования только в США составляют около 50 миллиардов
долларов в год. Неудивительно поэтому то внимание, которое
уделяется изучению процессов контактирования тел. По раз-
личным аспектам этой проблемы в последние годы в СССР
опубликовано много книг (библиографию см., например, в [1—
В] в литературе в конце предисловия).
Тем не менее предлагаемая читателю в переводе книга проф.
Кембриджского университета К- Джонсона уникальна. Она при-
влекает широтой охвата материала и глубиной его проработки,
ясностью постановок задач и мастерством их теоретического и
инженерного анализа, проводимого намеренно с привлечением
минимально необходимого математического аппарата. Автор
не ограничивается лишь получением решения, но обязательно
исследует механические эффекты и их следствия. Все это делает
книгу доступной не только механикам, но и инженерам. Инте-
ресна она и математикам, поскольку содержит постановки раз-
нообразных преимущественно нелинейных задач математической
физики, требующих еще своего исследования строгими матема-
тическими методами. Книга может служить и учебным пособием
по механике контактного взаимодействия.
Содержание и построение книги ясны из подробного оглав-
ления. Ограничимся здесь несколькими замечаниями по вопро-
сам, тесно связанным с материалом книги, но почти или сов-
сем не затронутым в ней.
1. Довольно большой круг контактных задач образуют за-
дачи с неизвестными границами области контакта, а при нали-
чии трения, кроме того, и границами зон проскальзывания и
сцепления. Применяемые в книге методы позволяют решать
такие задачи лишь в простых геометрических ситуациях. Для
общего исследования и построения приближенных решений кон-
тактных задач с неизвестными границами оказываются эф-
фективными вариационные подходы, в которых при числен-
ном решении широко используются методы математического
6
От редактора перевода
программирования (см. [9—12] и цитированную, там литера*
туру). Вариационные методы позволяют, в частности, решать
контактные задачи и при более сложных, чем кулоновский, за-
конах трения.
2. В ряде случаев для многопараметрических контактных
задач при сложной геометрии можно построить двусторонние
или изопериметрические оценки интегральных и (или) локальных
характеристик их решений. Первые результаты для простран-
ственных контактных задач в этом направлении были получены
Л. А. Галиным [13]. В частности, он установил, используя ре-
зультаты Полна и Сегё, изопериметрическое неравенство для
осадки штампа с плоским основанием, вдавливаемого в упругое
полупространство без трения. В дальнейшем качественные ме-
тоды получили развитие применительно к различным классам
контактных задач без трения и с трением. Подробнее об этом
см. [2, 11, 14], где имеется библиография.
3. В контактных задачах с трением важна история нагруже-
ния, а не только текущие значения нормальных и сдвиговых
нагрузок. Если внешние нагрузки изменяются в зависимости от
какого-то параметра, то в области контакта на участках, где
происходит проскальзывание, может наступить сцепление кон-
тактирующих поверхностей, причем, вообще говоря, с ненулевым
(«замороженным») скачком смещений. Отметим, что в разо-
бранных в книге (гл. 7) примерах простых траекторий нагру-
жения зоны сцепления с ненулевым скачком смещений отсут-
ствуют. Более общий случай, когда такие зоны возникают, рас-
смотрен в [15].
4. Проскальзывание — не единственный характерный вид на-
рушения условий на контакте при нагружении. В тех областях
границы контакта, где возникают растягивающие напряжения,
могут происходить отрывные нарушения. Показательны в этом
отношении контактные задачи для слоистых сред (см., напри-
мер, [16]). Контактное взаимодействие нередко сопровождается
возникновением трещин и трещиноподобных дефектов вблизи
границы и во внутренних областях. Классический пример — об-
разование конической трещины при вдавливании индентора
(опыт Бенбоу и Гейслера). Образование трещин сильно ослож-
няет задачу расчета параметров контактного взаимодействия.
Такого рода комбинированные задачи о контакте и разрушении
привлекают все большее внимание как в связи с созданием
эффективных методов разрушения и дробления различных мате-
риалов, так и ввиду необходимости количественного исследова-
ния параметров износа контактирующих поверхностей и повы-
шения их износостойкости.
Новые задачи механики контактного взаимодействия по-
стоянно возникают не только в технике, но и в других областях
ит редактора перевода
знаний, в частности связанных с изучением человека и среды
его обитания. Взаимодействие опорных элементов интраокуляр-
ной линзы с капсулой глаза, взаимодействие поверхностей раз-
ломов в земной коре — все это контактные задачи, хотя и нетра-
диционные.
Нет сомнения в том, что книга К. Джонсона будет способ-
ствовать дальнейшему развитию механики контактного взаимо-
действия и ее приложений.
Работа по переводу книги была распределена следующим об-
разом: В. Э. Наумов перевел предисловие, гл. 1—7 и приложе-
ния, А. А. Спектор — гл. 8—13. При подготовке перевода
устранены замеченные неточности в тексте и формулах.
В заключение пользуюсь случаем поблагодарить проф.
К. Джонсона за содействие при подготовке русского издания.
Р. В. Гольдштейн
ЛИТЕРАТУРА
1. Развитие теории контактных задач в СССР.—М.: Наука, 1976. — 494 с.
2. Ворович И. И„ Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические
смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 456 с.
3. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Комбалов В. С. Основы расчетов
на трение и износ. — М.: Машиностроение, 1977. — 576 с.
4. Рвачев В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для
неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977. — 236 с.
5. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.—
М.: Наука, 1980.—ДОЗ с.
6. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, тонких
включений и подкреплений.—М.: Наука, 1982. — 342 с.
7. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тон-
кими покрытиями и прослойками. — М.: Наука, 1983. — 488 с.
8. Горячева И. Г., Добычин М. Н. Контактные задачи в трибологии. — М.:
Машиностроение, 1988. — 256 с.
9. Кравчук А. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверх-
ности соприкосновения. — ПММ, 1980, т. 44, вып. 1, с. 122—129.
10. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел
конечных размеров. — ПММ, 1977, т. 41, вып. 2, с. 329—337.
И. Гольдштейн Р. В., Спектор А. А. Вариационные методы решения и ис-
следования пространственных контактных и смешанных задач с тре-
нием.— В кн.: Механика деформируемого тела.—М.: Наука, 1986
с. 52—73.
12. Гольдштейн Р. В., Вазовский А. Ф., Спектор А. А., Федоренко Р. П. Ре-
шение вариационными методами пространственных контактных задач ка-
чения с проскальзыванием и сцеплением. — Успехи механики, 1982, т 5,
вып. 3/4, с. 61—102.
13. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. — М.: Гостехтеор-
издат, 1953.
14. Гольдштейн Р. В., Ентов В. М. Качественные методы в механике сплош-
ных сред. — М.: Наука, 1989.
15. Гольдштейн Р. В., Житников Ю. В. Анализ равновесия плоской трещины
с учетом образования в областях налегания зон скольжения и сцепления
при сложном нагружении. — Изв. АН СССР, МТТ, 1987, №2, с. 141—148.
16. Никишин В. С., Шапиро Г. С. Пространственные задачи теории упруго-
сти для многослойных сред. — М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1970.
Предисловие
Можно сказать, что предмет механики контактного взаимо-
действия начал формироваться в 1882 г., когда Генрих Герц
опубликовал свою классическую работу «О контакте упругих
тел» [168]. В то время Герцу было только 24 года, и он рабо-
тал ассистентом Гельмгольца в Берлинском университете. Ин-
терес к проблеме контактного взаимодействия был связан с экс-
периментами по оптической интерференции между стеклянными
линзами. Возник вопрос: может ли упругая деформация линз
под действием сил, удерживающих их в контакте, существенно
влиять на картину интерференционных полос? Легко понять,
каким образом гипотеза об эллиптичности области контакта мо-
жет быть подсказана наблюдениями интерференционных полос,
подобных показанным на рис. 4.1 (стр. 102). Знание теории
электростатического потенциала позволило Герцу показать по
аналогии, что эллипсоидальное (герцевское) распределение кон-
тактных давлений вызывает в контактирующих телах упругие
перемещения, согласующиеся с предполагаемой эллиптической
областью контакта.
Герц представил свою теорию на рассмотрение в Берлинское
физическое общество в январе 1881 г.; присутствовавшие на
докладе сразу осознали ее практическое значение и убедили
автора, в необходимости опубликовать вторую статью в техниче-
ском журнале. Однако эта теория не получила развития до
начала нашего столетия, когда она стала стимулироваться тех-
ническими достижениями в железнодорожном транспорте, в соз-
дании судовых редукторов и подшипников качения.
Теория Герца применима только к идеально упругим телам
в отсутствие трения по поверхности контакта. Прогресс меха-
ники контактного взаимодействия во второй половине нынешнего
столетия связан главным образом с отказом от этих ограниче-
ний. Адекватный учет трения по поверхности контакта тел поз-
волил построить в рамках теории упругости описание реалисти-
ческого контактного взаимодействия со скольжением и каче-
нием. Развитие в это же время теорий пластичности и линейной
вязкоупругости дало возможность исследовать напряженно-де-
формированное состояние контактирующих неупругих тел.
Предисловие
9
Несколько удивительно, если учесть практическую важность
предмета, что имеется всего несколько книг по механике кон-
тактного взаимодействия. Появившаяся в 1953 г. на русском
языке книга Л. А. Галина «Контактные задачи теории упруго-
сти» подытожила основополагающие труды Н. И. Мусхелишвили
по механике упругого контакта. В 1980 г. была опубликована
книга Дж. Гладуэлла «Контактные задачи классической теории
упругости» [124], в которой обстоятельно отражено современ-
ное состояние вопроса. В этих книгах не исследуются задачи
контакта при качении и все рассмотрения относятся только
к идеально упругим телам. Исследования контактного взаи-
модействия неупругих тел разбросаны по техническим жур-
налам или кратко излагаются в книгах по теории пластич-
ности.
Цель предлагаемой книги заключается в том, чтобы дать
введение в более широкий круг вопросов механики контактного
взаимодействия тел с поверхностями несогласованной формы.
Тела с несогласованными поверхностями вступают в контакт
первоначально в точке или вдоль линии, и даже при действии
сжимающей нагрузки размеры участка контакта остаются, как
правило, малыми по сравнению с размерами самих тел. При
этом контактные напряжения создают локальную «концентра-
цию напряжений», которая может быть исследована независимо
от напряженного состояния в объеме каждого тела. Это обстоя-
тельство отчетливо осознавал Герц, который писал: «Мы можем
ограничить наше внимание частью каждого тела, непосред-
ственно примыкающей к точке контакта, так как здесь напря-
жения существенно выше напряжений вне зоны контакта и,
следовательно, слабо зависят от нагрузок, приложенных к дру-
гим частям тел». С другой стороны, тела с согласованными по-
верхностями вступают в контакт по области, размеры которой
сравнимы с характерными размерами обоих тел. В таких слу-
чаях уровень контактных напряжений сопоставим с уровнем об-
щего напряженного состояния каждого из тел и контактные
напряжения не могут быть исследованы независимо. Мы не бу-
дем заниматься контактными задачами такого типа.
Эта книга написана инженером и главным образом для
использования ее инженерами-профессионалами. Математиче-
ский аппарат излагается по возможности на инженерном уровне.
Распределения напряжений строятся с помощью подхода, осно-
ванного на простой суперпозиции решений для «точечных сил»
(метод функций Грина). Методы комплексных потенциалов и
интегральных преобразований, играющие важную роль в совре-
менном развитии теории контактного взаимодействия упругих
тел, упоминаются лишь попутно. В этом отношении в книге Гла-
Дуэлла искушенный в математическом отношении читатель най-
10
Предисловие
дет существенное дополнение к материалу, изложенному 'в
гл. 2—5.
Настоящая книга является скорее практическим справочни-
ком, а не руководством по курсу механики контактного взаимо-
действия. Материал сгруппирован в соответствии с приложе-
ниями: стационарный контакт, скольжение, качение и удар, а не
в соответствии с принятым академическим разделением на за-
дачи теории упругости, пластичности и вязкоупругости.
В гл. 2 и 3 рассматривается напряженно-деформированное
состояние упругого полупространства под действием поверхно-
стных усилий, которое служит теоретической основой для реше-
ния контактных задач теории упругости. Полученные здесь
результаты затем используются на протяжении всей книги. Эти
главы можно рассматривать как приложения, необязательные
для качественного понимания материала последующих глав.
Своими исследованиями в области механики контактного
взаимодействия, которые привели меня к написанию этой книги,
я обязан Р. Д. Миндлину, пионерская работа которого о влия-
нии касательных усилий на упругий контакт стимулировала
мой первоначальный интерес к этой области (и считаю своим
долгом выразить ему признательность), а'также Д. Табору, чьи
блестящие эксперименты и проникновение в существо физиче-
ских процессов взаимодействия поверхностей привели к поста-
новке многих нужных контактных задач.
Некоторые главы этой книги были прочитаны и улучшены
моими коллегами, знания и опыт которых в соответствующих
областях превосходят мои: д-ром Дж. Барбером, проф.
Дж. Даффи, проф. Дж. Гладуэллом, д-ром Дж. Гринвудом,
проф. Дж. Калькером, проф. С. Рейдом, д-ром У. Стронгом и
д-ром Т. Томасом. Вся рукопись была прочитана д-ром С. Грас-
си, сделавшим многочисленные и существенные предложения
по улучшению изложения. Ответственность за ошибки тем не
менее лежит только на мне, и я был бы очень признателен
читателям за информацию об обнаруженных ими неточностях.
Рисунки были с большой тщательностью вычерчены г-ном
А. Бейли, а рукопись в высшей степени квалифицированно на-
печатали г-жа Розалия Оррисс и г-жа Сара Кук. Наконец, не-
оценимую помощь оказала и моя супруга; без ее терпеливости
и поддержки книга никогда не была бы завершена.
Кембридж ‘ . К. Джонсон
Перемещения и силы в зоне контакта
§ 1.1. Система отсчета
Эта книга посвящена исследованию напряжений и деформа-
ций, которые возникают при контакте поверхностей двух твер-
дых деформируемых тел. Мы различаем контактное взаимодей-
ствие согласованных и несогласованных по форме тел. Будем
называть контакт согласованным, если поверхности обоих тел
в недеформированном состоянии точно «подогнаны» друг к дру-
гу по форме или имеют очень близкие очертания. Примерами
согласованного контакта служат плоские скользящие опоры и
подшипники скольжения. Тела, имеющие различные по форме
профили, будем называть несогласованными. Если такие тела
привести в контакт без деформаций, то они сначала соприка-
саются в точке—«точечный контакт» или вдоль линии — «ли-
нейный контакт». Например, в шарикоподшипнике между от-
дельным шариком и кольцом (обоймой) имеет место точечный
контакт, а между цилиндрическим роликом и кольцом в роли-
ковом подшипнике — линейный контакт. Линейный контакт воз-
никает, когда профили тел согласованы в одном направлении
и не согласованы в перпендикулярном направлении. Область
контакта между телами несогласованной формы, вообще говоря,
мала по сравнению с размерами самих тел. При этом в зоне,
примыкающей к области контакта, имеется высокая концен-
трация напряжений, которые слабо зависят от конфигурации
тел вдали от области контакта. Именно с такими ситуациями
мы будем иметь дело в этой книге.
Точки контакта поверхностей деталей, которые встречаются
в инженерной практике, часто совершают сложное движение;
через них передаются усилия и моменты. Например, точка кон-
такта пары зубьев шестерен сама движется в пространстве, в
то время как поверхности обоих тел в этой точке перемещаются
Друг относительно друга, причем их движение включает качение
и скольжение.
Эту вступительную главу мы начнем с определения системы
отсчета, в рамках которой могут быть в обобщенном виде пред-
ставлены перемещения и силы, реализующиеся в частных слу-
чаях. Такой подход позволяет формулировать и решать задачи
механики контактного взаимодействия независимо от специфиче-
12
Гл. 1. Перемещения и силы в зоне контакта
Рис. 1.1. Контакт несогласованных поверхностей в точке О.
ских технологических особенностей, и, кроме того, он облегчает
применение результатов к широкому спектру технических задач.
Тела несогласованной формы, приведенные в контакт прене-
брежимо малой силой, соприкасаются в точке. Примем эту
точку О за начало прямоугольной системы координат Oxyz.
Контактирующие тела, показанные на рис. 1.1, отметим циф-
рами 1 (нижнее) и 2 (верхнее). Ось Oz выберем таким обра-
зом, чтобы она совпадала с общей нормалью к поверхностям
обоих тел в точке О. Таким образом, плоскость ху является
касательной к обеим поверхностям и называется иногда сопри-
касающейся плоскостью. Направления осей Ох и Оу по возмож-
ности выбираются так, чтобы они совпадали с осями симмет-
рии профилей поверхностей.
Линейный контакт вдоль образующих двух цилиндрических
тел с параллельными осями является с точки зрения указанного
подхода частным случаем. Профили этих тел несогласованные
в плоскости поперечного сечения, но согласованные вдоль линии
контакта в плоскости, содержащей оси контактирующих цилинд-
ров. Тем не менее этот важный случай укладывается в рамки
общего подхода посредством следующего построения: ось х вы-
бирается лежащей в плоскости поперечного сечения, а ось у —
направленной вдоль осей цилиндров.
Недеформированные поверхности обоих тел в рамках опи-
санной системы отсчета задаются функциями Z\ = fi(х, у), х2 =
§ 1.2. Относительное движение поверхностей
13
=/г (*>!/)• Зазор между поверхностями перед нагружением
определяется соотношением
A = Zi + z2=--f (х, у). (1.1)
§ 1.2. Относительное движение поверхностей — скольжение,
качение и верчение
Движение тела в некоторый момент времени определяется
вектором линейной скорости произвольно выбранной отсчетной
точки тела и вектором угловой скорости тела во вращательном
движении относительно некоторой оси, проходящей через эту
точку. Выберем в качестве отсчетных точек каждого из двух
тел точку начального контакта О в данный момент времени, и
пусть тело 1 имеет линейную скорость Vi и угловую скорость
йь а тело 2 — линейную скорость V2 и угловую О2. Определен-
ная выше система отсчета движется с линейной скоростью
точки контакта Vo и поворачивается с угловой скоростью 12©
для сохранения своей ориентации относительно общей нормали
и касательной плоскости в точке контакта.
В выбранной системе отсчета контактирующие тела имеют
следующие линейные и угловые скорости:
v1=V1 —Vo, v2 = V2 —Vo, (1.2)
— C2q, сй2 • й2 — (1.3)
Рассмотрим декартовы компоненты векторов Vi, V2, и к>2.
Если контакт является неразрывным, так что поверхности не
отделяются друг от друга и не подвержены взаимопроникнове-
нию, то их компоненты скорости вдоль общей нормали должны
быть равны:
Vzl = Vz2 = Vz0, т. е. vzl = vz2 — 0. (1.4)
Определим скольжение как движение контактирующих по-
верхностей в точке О с относительной линейной скоростью, ко-
торую обозначим через Av:
Av = Vj — v2 = Vj — V2.
Скорость скольжения имеет компоненты
АПх = &xl &х2, KVy==Vgi ^у2- (1-5)
Качение определим как движение контактирующих тел с не-
которой относительной угловой скоростью вокруг оси, лежащей
в касательной плоскости. Угловая скорость качения имеет ком-
поненты
А<0х = <йх2 =
л —О л О-б)
AtOy —= to^ 12^2*
14
Гл. 1. Перемещения и силы в зоне контакта
Наконец, определим верчение (или спин) как движение с от-
носительной угловой скоростью вокруг общей нормали
Дсо2 = cozl • coz2 = QZ1 fiz2. (1 -7).
Любое движение контактирующих поверхностей должно
удовлетворять условию неразрывности контакта (1.4) и может
интерпретироваться как комбинация скольжения, качения и вер-
чения. Например, колеса транспортного средства при прямолиг
нейном движении испытывают качение без скольжения и вер-
чения. При развороте появляется верчение, а при блокировке
колеса в процессе торможения оно испытывает скольжение без
качения. й
§ 1.3. Усилия, передаваемые через точку контакта
Результирующая сила, передаваемая от одной поверхности
к другой через точку контакта, разлагается на нормальную
силу Р, действующую вдоль общей нормали, которая, вообще
говоря, должна быть сжимающей, и касательную (тангенциаль-
ную) силу Q, действующую в касательной плоскости и испыты-
вающую противодействие со стороны сил трения. Величина
силы Q должна быть меньше или в предельном состоянии равна
силе предельного трения, т. е.
(1.8)
где у.— коэффициент предельного трения. Сила Q расклады-
вается на компоненты и Qy, параллельные осям Ох и Оу.
При чисто скользящем контакте касательная сила, действующая
на поверхность каждого из контактирующих тел, достигает
своего предельного значения в направлении, противоположном
направлению вектора скорости скольжения, откуда
Q = — Оу = — 4-п-рР. (1.9)
| kv | 1 ’ 'У | Аг) | '
Усилия, передаваемые через точку контакта, приводят к сжа-
тию деформируемых тел, вследствие чего они вступают в кон-
такт по площадке конечных размеров. В результате становится
возможной передача через площадку контакта дополнительно
к силам еще и результирующего момента (рис. 1.2). Две состав-
ляющие этого момента Мк и Му называются моментами каче-
ния. Они предопределяют сопротивление движению относитель-
ного перекатывания контактирующих тел, называемое обычно
«трением качения» и в большинстве практических задач яв-
ляющееся достаточно малым для того, чтобы им пренебречь.
Третья составляющая результирующего момента дей-
ствующая относительно общей нормали, возникает вследствие
§ 1.4. Поверхностные усилия
15
Рис. 1.2. Силы и моменты, действующие на площадке контакта S.
трения по площадке контакта и называется моментом верчения
(спина). Если верчение сопровождает качение, то энергия, дис-
сипируемая моментом верчения, суммируется с энергией, дисси-
пируемой моментами качения, что определяет общее сопротив-
ление качению.
Попутно дадим определение свободного качения («качения
по инерции» в литературе на русском языке). Мы будем ис-
пользовать этот термин для описания качения, при котором
верчение отсутствует, а касательная сила Q в точке контакта
равна нулю. Такая ситуация соответствует ведомому незатор-
моженному колесу транспортного средства, когда сопротивление
качению и трение в подшипнике на оси подвески отсутствуют.
Противоположной является ситуация для приводного или затор-
моженного колеса, которое испытывает существенное действие
касательных усилий, передаваемых через площадку контакта
с дорогой или рельсом.
§ 1.4. Поверхностные усилия
Силы и моменты, которые мы только что рассмотрели, пе-
редаются через площадку контакта посредством поверхностных
усилий, распределенных по области контакта. Нормальные по-
верхностные усилия (давления) обозначаются через р, а каса-
тельные поверхностные усилия (обусловленные трением) — че-
рез q-, на рис. 1.2 они показаны действующими в положительных
16
Гл. 1. Перемещения и силы в зоне контакта
направлениях на нижней поверхности. Несмотря на то что зара-
нее о распределениях усилии р и q по области контакта S ничего
сказать нельзя, они должны подчиняться следующим условиям
общего равновесия:
P=^pdS, (1.10)
s
Qx=\qxdS, Qy=\qydS. (1.11)
s s
В случае контакта несогласованных поверхностей (включая
цилиндры с параллельными осями) можно приближенно счи-
тать, что область контакта лежит в плоскости ху, и пренебречь
ее слабым искривлением, откуда
Mx—^pydS, Му —— ^pxdS, (1-12)
s s
Mz — $ (qyx — qxy)dS. (1.13)
s
Если контактирующие тела имеют хорошо согласованные кри-
волинейные поверхности, как, например в случае шарикопод-
шипника с глубокой дорожкой качения, то отклонение области
контакта от соответствующего участка касательной плоскости
является уже значительным и выражения для моментов Мх и
Му (1.12) должны быть модифицированы с учетом членов,
включающих сдвиговые усилия qx и qy. Примеры решения по-
добных задач рассмотрены ниже в § 8.5.
Для иллюстрации подходов к описанию кинематики и ста-
тики контактных взаимодействий, представленных в этой главе,
кратко будут рассмотрены два примера из инженерной прак-
тики.
§ 1.5. Примеры
ПРИМЕР 1. ПРЯМОЗУБЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КОЛЕСА
На рис. 1.3(a) показано зацепление пары прямозубых ци-
линдрических колес. Колеса вращаются вокруг центров Cj и С2.
Линия ZiZ2 служит общей касательной к обеим окружностям
оснований, относительно которой формируются эвольвентные
профили зубьев. Точка Р является полюсом зацепления. Зубья
контактируют в точке О, которая выбирается в качестве нача-
ла принятой системы координат. Общая нормаль к поверхно-
стям двух зубьев, проходящая через точку О, совпадает с линией
ZiZ2 и принимается в качестве оси z. Ось х лежит в касательной
плоскости и в плоскости рисунка.
§ 1.5. Примеры
17
Рис. 1.3. Контакт зубьев при эвольвентном зацеплении прямозубых цилиндри-
ческих колес.
Точка контакта смещается вдоль линии р12 со скоростью Vo-
Точки, принадлежащие поверхностям зубьев и совпадающие
с точкой О, имеют скорости Vi и У2, направленные перпендику-
лярно радиальным линиям СГО и С2О. Поскольку траектория
точки контакта является прямолинейной, система координат не
вращается (йо = 0). Зубчатые колеса при этом вращаются
с угловыми скоростями — и ю2. (Ввиду того что движение
происходит в плоскости xz, можно опустить индекс у у угловых
скоростей и индекс х у линейных скоростей.)
На рис. 1.3(b) показаны скорости в выбранной системе от-
счета. Из уравнения неразрывности контакта (1.4) следует
Vi cosa = V2cos р — Vo, т. е. toj (CJj) — to2 (C2I2),
откуда
,_ 6*i/i _ CjP ,. ...
со, — c2l2 ~ C2P • >
Угловая скорость качения относительно оси у есть
Дго = — («! + со2). (1.15)
Скорость скольжения равна
Дс = V1 — о2 = У, sin а — V2 sin р = со, (011) — co2(OZ2) =
= со, (РЦ + OP) - со2 (Р12 - ОР),
Т8
Гл. 1. Перемещения и силы в зоне контакта
или
Ао = (©1 + и2) ОР, (116)
поскольку треугольники CiPIi и C2PI2 подобны.
Таким образом, скорость скольжения равна произведению
угловой скорости качения на расстояние от точки контакта до
полюса зацепления. Направление скольжения изменяется на
противоположное при переходе от участка дуги зуба, соответ-
ствующего увеличению зацепления, к участку разъединения,
а в полюсе зацепления имеет место чистое качение.
Заметим, что движение качения и скольжения в фиксирован-
ный момент цикла зацепления может быть воспроизведено с по-
мощью двух круговых дисков радиусами /10 и /20, вращающих-
ся с угловыми скоростями —и <в2 вокруг фиксированных цент-
ров в точках /1 и /2. Это обстоятельство послужило основой для
создания дисковой машины Меррита [259], предназначенной
для имитации условий контактного взаимодействия зубьев ше-
стерен с помощью простого лабораторного опыта. Поскольку
радиусы кривизны эвольвентных зубьев в точке О равны радиу-
сам дисков /10 и /20, дисковая машина позволяет также мо-
делировать контактные напряжения под действием заданной
контактной нагрузки. Очевидное нарушение адекватности опи-
санной модели связано с подменой циклического поведения зуб-
чатого зацепления установившимся движением, воспроизводящим
условия контактного взаимодействия только в один момент цикла
зацепления.
ПРИМЕР 2. РАДИАЛЬНО-УПОРНЫИ ШАРИКОПОДШИПНИК
На рис. 1.4 показано осевое сечение радиально-упорного
подшипника, проходящее через один из шариков. Внешняя и
внутренняя обоймы подшипника, а также выделенная ячейка
сепаратора (т. е. центр шарика С) вращаются вокруг оси под-
шипника с угловыми скоростями Qi, й2 и йс соответственно.
Чтобы ввести стандартные системы отсчета, которые движутся
вместе с точками контакта между обоймами и шариком О, и 0Ог
вычтем угловую скорость сепаратора из угловых скоростей
обойм:
COj — й( —-(7, (1)^ 1-2 '
Хотя часто предполагается, что точки контакта О, и 0о ле-
жат на противоположных концах диаметра шарика, в общем
случае это не так, и на рис. 1.4 они умышленно изображены
смещенными относительно диаметра. Таким образом, центры
двух систем координат OtXiyiZi и 0oxoyoZo не лежат на одной
прямой, проходящей через центр шарика С. Если шарик испы-
тывает качение без скольжения в двух точках контакта, то ось
§ 1.5. Примеры
Рис. 1.4. Шарикоподшипник с наклонным корпусом. Контакт шарика 3
с внутренней обоймой 1 в точке Oi и внешней обоймой 2 в точке 0о.
вращения шарика (в выбранных системах отсчета) должна ле-
жать в плоскости yz. Направление оси вращения в этой пло-
скости тем не менее подлежит определению. На рис. 1.4(a) ось
вращения шарика ориентирована в некотором произвольном
направлении, наклоненном под углом ф>£ к оси и под углом
“фо к оси 0оуо. Оси 0,у1 и 0оУо пересекают ось подшипника в
точках А и В под углами а, и ао соответственно.
При отсутствии скольжения в точке О, имеем =
т. е. to3r cos 4f>f = (Oi/?,. Аналогично в точке 0о: co3r cos ф0 = со2 Ro
Исключая из этих соотношений со3, получим
СО 2 COS фр ,. । у.
COl Ro cos ф/
Если точки контакта диаметрально противоположны, то углы
контакта <х£ и ао равны и ф>,- = фо. Только в этом случае отно-
шение угловых скоростей обойм (1.17) не зависит от ориента-
ции оси вращения шарика.
Исследуем теперь движение верчения в точке О/. Угловая
скорость верчения равна
(Acoz)f = tozl — coz3 = coj sin <xt- — co3 sin ф£-,
Или
(Д®Л='<014(:й“^г)- (1Л8)
20
Гл. 1. Перемещения и силы в зоне контакта
Из этого выражения видно, что верчение в точке Ot отсутствует,
если ось вращения шарика проходит через точку А, лежащую
на оси подшипника (поскольку при этом tgipz = r/(AOt)). Ана-
логично, чтобы верчение отсутствовало в точке 0о, ось враще-
ния шарика должна пересекать ось подшипника в точке В. Для
того чтобы верчение отсутствовало в обеих точках контакта,
либо обе касательные оси Oty, и 0оуо должны быть парал-
лельны оси подшипника, как в простом радиальном подшипнике,
либо точки Oi и 0о должны быть расположены таким образом,
чтобы оси Oiyi и 0оУо пересекали ось подшипника в общей
точке. Последнее условие реализовано в конических роликопод-
шипниках, в которых конические обоймы имеют общую вершину
на оси подшипника, но никогда не выполняется в радиально-
упорных шарикоподшипниках.
Обратимся теперь к анализу усилий, действующих на ша-
рик, показанных на рис. 1.4(b). Предполагается, что подшип-
ник подвержен действию чисто осевой нагрузки, так что все
шарики находятся в одинаковых условиях нагружения. Через
каждую точку контакта передается нормальное усилие Pi (или
Ро) и касательное усилие (Qy)i (или (СМо). Давление и трение
шарика в ячейке сепаратора вызывают малые касательные
усилия, действующие в направлении оси х в точках О, и 0о, ко-
торыми в данном примере будем пренебрегать. Моменты трения
качения (My)iiO также не будут учитываться, однако учет мо-
ментов верчения (Mz) ц о играет важную роль при определении
ориентации оси вращения шарика. При высоких скоростях вра-
щения шарик подвергается действию значительных центробеж-
ных сил Fc и гироскопического момента Ms.
Вычисляя моменты относительно линии 0t0o и имея в виду
условия равновесия шарика, получим
(Мг)( = (Мг)о. (1.19)
Однако положения точек контакта Ot и 0о, а также ориентацию
оси вращения шарика (угол чрг) нельзя определить только из
условий статики. Для дальнейшего анализа необходимо знать,
каким образом касательные усилия (Qy)i, о и моменты верчения
связаны с движениями качения и верчения в точках О£
и 0о. Этот вопрос будет рассмотрен в гл. 8, § 8.4.
Нагружение упругого полупространства
вдоль прямой
§2.1. Упругое полупространство
Контактное взаимодействие упругих тел несогласованной
формы, деформации которых достаточно малы для применимо-
сти линейной теории упругости, неизбежно связано с контактом
по области, размеры которой малы по сравнению с радиусами
кривизны недеформированных поверхностей. Напряжения в
зоне контакта характеризуются высокой концентрацией, и их
интенсивность быстро убывает с увеличением расстояния от
области контакта, так что зона, представляющая практический
интерес, примыкает к поверхности раздела контактирующих тел.
Таким образом, если размеры самих тел достаточно велики
по сравнению с размерами области контакта, то напряжения в
этой зоне слабо зависят от конфигурации тел вдали от области
контакта, а также от точного способа закрепления и опирания
тел. Напряжения с Достаточно хорошей степенью приближения
можно вычислить, рассматривая каждое тело как бесконечную
упругую среду, ограниченную плоской поверхностью, т. е. как
упругое полупространство. Эта идеализация, в которой тела с по-
верхностями произвольного профиля интерпретируются как по-
лубесконечные и имеющие плоскую границу, почти всегда
используется в контактных задачах теории упругости. Она упро-
щает граничные условия и обеспечивает возможность использо-
вания хорошо разработанного применительно к задачам для
упругого полупространства аппарата теории упругости.
В этой главе мы исследуем поэтому напряженно-деформиро-
ванное состояние упругого полупространства, нагруженного по
области на его поверхности, представляющей собой узкую пря-
молинейную полосу, ориентированную вдоль фиксированного на-
правления («линейное нагружение»). В принятой системе коор-
динат граничная поверхность совпадает с плоскостью ху, а ось z
направлена внутрь тела. Полоса нагружения направлена парал-
лельно оси у и имеет ширину а + b вдоль оси х; по этой полосе
действуют распределенные нормальные и касательные усилия,
зависящие только от координаты х. Будем предполагать, что в
полупространстве в результате прямолинейного нагружения реа-
лизуется состояние плоской деформации (еу = 0).
Чтобы допущение о плоской деформации было оправданно,
протяженность тела в направлении оси у должна быть достаточно
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
шириной полосы нагружения, что
большой по сравнению с
обычно имеет место. Другой предельный случай — плоское на-
пряженное состояние (<7у = 0) — реализуется только при нагру-
жении торца пластины, толщина которой мала по сравнению
с шириной полосы нагружения, — случай, почти не представ-
ляющий практического интереса.
На рис. 2.1 показано сечение упругого полупространства.
Поверхностные усилия р(х) и q(x) действуют на границу на
участке от х = —b до х — а, тогда как остальная часть поверх-
ности свободна от усилий. Требуется определить компоненты
напряжения стх, с>г и rxz во всех точках полупространства и
компоненты упругих перемещений их и uz произвольной точки
от их недеформированного положения. В частности, нас будет
интересовать деформированный профиль границы йг(х) (черта
сверху здесь и всюду далее относится к значениям переменных
на границе z = 0).
Вывод общих уравнений теории упругости читатель может
найти в книге Тимошенко и Гудьера [345]. Для удобства ниже
приводится сводка этих уравнений в случае плоской деформа-
ции. Компоненты напряжений всюду в теле должны удовлетво-
ции. Компоненты напряжений
рять уравнениям равновесия
д(Ух ,
дх
де? I
dxxz __q
dz ’ '
dxxz
(2.1)
• л —°-
dz дх
§ 2.1. Упругое полупространство
23
Соответствующие деформации еЛ, ег и ухг должны удовлетво-
рять уравнению совместности
д2&х I д2&г _ d2\xz f .
dz2 дх2 dxdz ' \ • f
причем деформации связаны с перемещениями соотношениями
_ дих _ диг _ дих । диг .
х~ дх ' bz~ dz ’ Ухг ~ dz "Г дх • t
В условиях плоской деформации
= 0, Gy = v (ах + ст2), (2.4)
тогда уравнения закона Гука, связывающие напряжения и де-
формации, можно записать в виде
[(1 — у2) стх — v (1 + v) ст2],
ez = -^r[(l — v2)ct2 —v(l+v)crj, (2.5)
Yxz q Hz Е ххг •
Если определить функцию ф(х, z) в соответствии с соотноше-
НИЯМИ <52<р д2<р т 12
°х ~ dz2 ’ °z ~ дх2 ’ ^xz~' dxdz ’ 7
то уравнения равновесия (2.1), совместности (2.2) и закона
Гука (2.5) будут выполнены, если функция (х, z) удовлетво-
ряет следующему гармоническому уравнению:
( д2 , Г д2Ф । I _ л
к дх2 dz2 J L дх2 “Г dz2 J
(2.7)
Дополнительно к приведенным уравнениям должны выпол-
няться соответствующие граничные условия. Для полупро-
странства, показанного на рис. 2.1, это следующие условия. На
границе z = 0, вне участка нагружения, поверхность свободна
от напряжений, т. е.
gz = xxz — 0, х < — Ъ, х > + а. (2.8)
На участке нагружения имеем
gz = — р(х), xxz= — q(x), — 6<х^а, (2.9)
а тангенциальные и нормальные перемещения суть йх(х) и
йг(х). Наконец, на большом удалении от участка нагружения
(х, z->oo) напряжения должны исчезать (ctz, gz, xxz~^0).
Для конкретизации постановки задачи в области нагруже-
ния необходимо задать какие-либо две из следующих четырех
24
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
функций: р(х), q(x), йх(х) и йг(х). Различные комбинации за-
данных функций соответствуют разным контактным задачам.
Например, при вдавливании в упругое полупространство жест-
кого штампа нормальные перемещения йг(х) определяются из-
вестным профилем подошвы штампа. Если при этом на поверх-
ности контакта отсутствует трение, то второе граничное условие
заключается в равенстве нулю касательных усилий q(x). Если,
наоборот, подошва штампа сцеплена с поверхностью полупро-
странства при отсутствии проскальзывания на участке кон-
такта, то -задаются тангенциальные перемещения йх(х), тогда
как функция q(x) подлежит определению. Если штамп скользит
по поверхности полупространства с коэффициентом трения р,
то возникает специальный вид граничных условий. В этом слу-
чае задаются только смещения йг(х), а второе граничное усло-
вие задается соотношением q(x)— +рр(х).
В некоторых случаях удобно пользоваться полярными ци-
линдрическими координатами (г, Q,y). Приведем соответствую-
щие уравнения относительно компонент напряжений о, сто и т^е,
компонент деформаций ег, ее и уге, а также радиальной и
окружной компонент перемещений иг и uq.
Функция напряжений гр (г, 6) должна удовлетворять бигар-
моническому уравнению
I _L_L < 1 д2 d2<p , 1 <Эср 1 g2<p р ,9]т
к дг2 г dr "И г2 де2 dr2 г dr г2 <5б2 ) ’ '
причем
_____ 1 dtp . 1 52<р __ 52<р
°г г дг г2 <?62 ’ °е дг2 ’
— _ ( 1 d(p X
Тге дг к г 50 ) '
(2-11)
Деформации связаны с перемещениями следующими соотноше-
ниями:
_ диг _ иг . 1 due
r dr ’ г ~~ г 50 ’
1 dur . due tie
Ъе = --^ + ^-г-------
(2.12)
Уравнения (2.4) и (2.5), определяющие связь напряжений и де-
формаций, сохраняют вид с заменой х и г на г и 6.
Перейдем • теперь к анализу решений конкретных контакт-
ных задач теории упругости.
§ 2.2. Сосредоточенная нормальная сила
В этой первой задаче мы исследуем напряжения в полупро-
странстве, вызванные сосредоточенной силой, интенсивность ко-
торой равна Р в расчете на единицу длины, измеренной вдоль
§ 2.2. Сосредоточенная нормальная сила
25
оси у и действующей в направлении нормали к поверхности по-
лупространства. Такое нагружение можно представить наглядно
как вдавливание лезвия ножа в полупространство вдоль оси у
(рис. 2.2).
Эта задача была впервые решена Фламаном [107]. Для
удобства воспользуемся сначала полярной системой координат.
Решение дается функцией напряжений
Ф (г, 0) = Агв sin 0, (2.13)
где А — некоторая произвольная постоянная.
Выразим с помощью соотношений (2.11) компоненты напря-
жений
ar = 2А cos 8/г, сте==тге = О. (2.14)
Полученное поле напряжений является чисто радиальным, на-
пряжения Or действуют по направлению к точке О приложения
силы. На поверхности полупространства 0 = ±л/2 нормальное
напряжение од = 0, за исключением начала координат, и сдви-
говое напряжение тге = 0. На большом удалении от точки при-
ложения силы (г->оо) напряжения стремятся к нулю, так что
все граничные условия выполнены. Заметим, что напряжения
убывают на бесконечности как 1/г. Теоретически бесконечные
напряжения в точке О являются очевидным следствием пред-
положения о том, что действующая сила сосредоточена вдоль
прямой. Постоянная А находится из условия равенства суммы
26 Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
вертикальных составляющих напряжений, действующих вдоль
полуокружности радиуса г, и приложенной внешней силы Р.
Имеем
эт/2 л/2
— Р — стг cos 6r d6 = 2А cos2 0 d6 — Ал,
-л/2 О
откуда
Заметим, что напряжение ог имеет постоянную величину
—2P/(nd) вдоль любой окружности диаметра d, проходящей
через точку О. Поскольку тго = 0, компоненты ог и сто являются
главными напряжениями. Максимальное касательное напряже-
ние Ti в произвольной точке (г, 0) равно ог/2 и действует на
площадках, наклоненных под углом 45° к радиальному направ-
лению. Следовательно, линии уровня напряжения п также обра-
зуют семейство окружностей, проходящих через точку О. Это
семейство наглядно демонстрируется (см. рис. 4.6(a)) изохро-
мами, полученными в эксперименте по методу фотоупругости.
Переписывая выражение (2.15) для радиального напряже-
ния щ с использованием прямоугольных координат, получим
эквивалентные компоненты напряжений
ох = ог sin2 0 = — ^2^2)2'. (2.16а)
gz = сгг cos2 0 = — , 21 -, (2.16b)
Tzx = orsin0cos0 = —(2.16с)
Для определения искажения тела под действием нагрузки
подставим выражения для напряжений (2.14) и (2.15) в закон
Гука (2.5). Получим формулы для деформаций, из которых
можно найти перемещения с помощью соотношений (2.12):
диг дг = 8Г = — (1 — т2) 2Р cos 0 (2.17а)
Е л г
w, 1 5Ид V (1 + V) 2Р cos 6
4- е —PZA 19 17М
г 1 г 56 е Е л г ’
1 дие г дв । ди$ дг ив — V — r Vr0 = -^- = 0. и (2.17с)
Из этих трех уравнений с помощью способа, продемонстриро-
ванного применительно к случаю плоского напряженного состоя-
§ 2.3. Сосредоточенная касательная сила
27
ния в книге Тимошенко и Гудьера [345], можно получить сле-
дующий результат:
и == -1 ~ v- 2Р cos 0 In г———Г0 sin 0 + Сх sin 6+С2 cos 6»
(2.18а)
и0 = 2Р sin 6 ln r + 2Р sin 6 ~
_ (1 — 2v) (1 + v). 2ре cQs е + (l-2v)(l+v) е
пЕ пЕ 1
+ Ci cos 0 — С2 sin 0 + Csr. (2.18b)
Если тело не испытывает перекоса, так что точки оси z сме-
щаются только вдоль Oz, то Ci = С3 = 0. На поверхности, где
0 = ±п/2, имеем
йг 1е=я/2 = йг 1е=_л/2 = - р, {2.19а)
й01е=«/2 = ~ «е 1е=-л/2 = 2Р 1п г + С, (2.19b)
где постоянная С определяется выбором точки поверхности на
некотором расстоянии г0 (или, наоборот, на оси z под поверх-
ностью), в которой задается фиксированное значение (напри-
мер, нулевое) нормального перемещения. Тогда
^01е=л/2 = ~~ 1е=-л/2== 2Р ~
Профиль деформированной поверхности показан на рис. 2.2.
Появления бесконечного перемещения в точке О следовало ожи-
дать вследствие сингулярности напряжений в этой точке. Выбор
подходящего значения г0 представляет некоторые трудности
ввиду логарифмического характера изменения йе в зависимости
от г. В этом состоит характерная особенность двумерной дефор-
мации упругого полупространства. Для преодоления отмечен-
ного затруднения необходимо рассмотреть фактическую форму
и размеры тела, а также способы его закрепления. Этот вопрос
обсуждается ниже в § 5.6.
§ 2.3. Сосредоточенная касательная сила
На рис. 2.3 изображена сосредоточенная сила Q, рассчитан-
ная на единицу длины оси у, действующая по касательной к по-
верхности полупространства в точке О и вызывающая радиаль-
ное поле напряжений, подобное таковому при действии нор-
мальной силы, но повернутое на 90°. Если мы будем измерять
полярный угол 0 от линии действия силы, в данном случае от
28
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
направления оси Ох, то формулы для напряжений будут такими
же, как и для нормальной силы:
2Q cos 6
л г
сте — тг6 — 0.
(2.20)
Линии уровня радиального напряжения в данном случае пред-
ставляют собой пары полуокружностей, проходящих через точ-
ку О, как показано на рис. 2.3. Впереди по направлению дей-
ствия силы, в квадранте с положительными значениями х, на-
пряжение о, сжимающее, а позади точки приложения, в квад-
ранте с отрицательными значениями х, растягивающее, как и
следовало ожидать.
Как и прежде, можно определить следующие выражения для
напряжений в координатной плоскости xz:
2Q х3
л (х2 + г2)2 ’
2Q xz2
Л (х2 + Z2)2 ’
2Q x2z
(2.21а)
о.
(2.21b)
OZ
XZ
(2.21с)
При соответствующем изменении определения угла 6 выра-
жения (2.18) для перемещений сохраняют свой вид. Если отсут-
ствуют повороты тела как жесткого целого и равны нулю вер-
тикальные перемещения точек оси z, то получим следующие
формулы для перемещений поверхности:
- йг |е=л = йг |е=0 = - 2Q In г + С. (2.22а)
Щ 1е=л = «е le-o = q, (2.22b)
§ 2.4. Распределенные нормальные и касательные усилия
29
аналогичные формулам (2.19) в случае действия нормальной
силы. Выражение (2.22b) показывает, что вся поверхность, рас-
положенная перед точкой приложения силы по направлению ее
действия [х > 0), подвержена сжатию на величину, пропорцио-
нальную Q, тогда как поверхность за точкой приложения силы
(х < 0) растягивается на равную величину. Снова тангенциаль-
ные перемещения изменяются по логарифмическому закону
с расстоянием от точки О, и значение постоянной С опреде-
ляется выбором некоторого фиксированного значения переме-
щения.
§ 2.4. Распределенные нормальные и касательные усилия
Вообще говоря, по поверхности контакта кроме нормальных
давлений передаются также касательные усилия, обусловленные
трением. На рис. 2.4 показано упругое полупространство, на-
груженное по полосе (—b х а) нормальными давлениями
Рис. 2.4.
р{х) и касательными усилиями q(x), распределенными некото-
рым произвольным образом. Определим компоненты напряже-
ний, вызываемые нагрузками р(х) и q(x), в любой точке А по-
лупространства и компоненты перемещения в любой точке С
на его поверхности.
Усилия, действующие на элемент поверхности шириной ds
в точке В, расположенный на расстоянии s от начала координат
О, можно интерпретировать как сосредоточенные силы величины
Pds, действующие по нормали к поверхности, и величины qds по
касательной. Напряжения в точке А, вызванные действием этих
сил, определяются уравнениями (2.16) и (2.21), в которых еле-
30
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
дует заменить х на х — s. Интегрируя эти выражения по области
нагружения, получим следующие компоненты напряжений в точ-
ке А, обусловленные действием полных распределений усилий
р(х) и q(x):
2z f р (s) (х — s)2 ds 2 Г q (s) (x — s)3 ds
я J [(-» — s)2 + z2]2 л J [(x — s)2 + z2]2 ’
-b -b
a a
2z3 C p (s) ds 2z2 Г q (s) (x — s) ds
11 J [(-к — s)2+z2]2 л J [(x— s)2 + z2]2 ’
—b —b
2z2 Г p (s) (x — s) ds 2z Г q (s) (x — s)2 ds
я J [(x — s)2 + z2]2 я J [(x — s)2 + z2]2
-b -ь
(2.23a)
(2.23b)
(2.23c)
Если распределения p(x) и q(x) известны, то напряжения
можно оценить, хотя интегрирование полученных выражений в
замкнутой форме затруднительно.
Упругие перемещения поверхности получаются аналогичным
образом — суммированием перемещений от сосредоточенных
сил, определяемых выражениями (2.19) и (2.22). Обозначив
тангенциальное и нормальное перемещения точки С при сов-
местном действии нагрузок р(х) и q(x) через йх и йг, получим
(1 — 2v) (1 + v) \ Г . ч , С ,
их = — ----------р (s) ds — р (s) ds
— b х
а
2(1n7V } § <7 (s) In 1 х — SI rfs 4-
-ь
(2.24а)
а
dz = — -2(1ядУ } р (s) In IX — s |ds +
—b
f x a \
+ "(1~22£(1+v) ) \q(s)ds- $<7(s)ds| + C2. (2.24b)
— b x *
Скачкообразное изменение перемещений в начале координат,
которое имеет место в выражениях (2.19а) и (2.22b), приводит
здесь к необходимости расщепления пределов интегрирования
в членах, заключенных в фигурные скобки.
Если вместо абсолютных значений йх и йг ввести в рассмот-
рение градиенты перемещений на поверхности дйх/дх и duz/dx,
го выражения (2.24) принимают более лаконичную и удобную
£орму. Этот прием, кроме того, позволяет избавиться от неопре-
деленности в значениях перемещений, связанной с наличием по-
§ 2.5. Равномерные распределения усилий
31
стоянных Ci и С2 *>. Дифференцируя члены в фигурных скобках
по пределу интегрирования х, а остальные под знаком инте-
грала, получим
(l-2v)(l+_v)_ 2(l-vl a\±M-dSt
дх Е г \ / J х — s ’
~ь
^ = _2(1 у2) f^(s)^+_(l-2v)(l+v)
дх ыЕ J х — s 1 Е ч \ /
-ь
(2.25а)
(2.25b)
Градиент ойх/ду. представляет собой компоненту деформа-
ции на поверхности, а градиент <Зйг/сД — текущий наклон
касательной к деформированной поверхности основания.
Отметим важный результат, вытекающий непосредственно
из соотношений (2.25). При действии только нормального давле-
ния р(х) (когда q(x) == 0) имеем
__ дйх _ (l-2v)(l+v) .
х дх Е Р (Х>-
С другой стороны, из закона Гука для плоской деформации (пер-
вое соотношение (2.5)) на границе полупространства имеем
К1 — 'v2) Ох — V (1 + т) ог].
Приравнивая оба выражения для ёх и учитывая, что ог =
= —р(х), получим
йЛ = ог = — р(х). (2.26)
Таким образом, при действии на поверхность произвольного
распределения давления обе нормальные компоненты напряже-
ний на границе полупространства являются сжимающими и
равными друг другу. Это обстоятельство ограничивает возмож-
ность развития пластического течения в поверхностном слое
под действием нормального давления.
§ 2.5. Равномерные распределения усилий
(а) НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ
В простейшем случае действия распределенной нагрузки дав-
ление в полосе —а х а однородно, а касательная на-
грузка отсутствует. В выражениях (2.23) постоянное давление р
!) Вопрос о правильном выборе постоянных в формулах для смещений
в задаче о действии распределенной нагрузки на границу полуплоскости
Рассмотрен в работе: Ишлинский А. Ю. О перемещениях упругой полу-
плоскости.— Учен. зап. МГУ, 1940, вып. 39, с. 83—86. (См. также Ишлин-
ский А. Ю. Прикладные задачи механики. Книга 2. Механика упругих и
абсолютно твердых тел. — М.: Наука, 1986. — 416 с.). — Прим. ред.
32
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
можно вынести за знак интеграла и положить q(s) всюду рав-
ным нулю. Выполняя интегрирование и пользуясь обозначе-
ниями, показанными на рис. 2.5, имеем
(01 - + (Sin 201 “ Sin 202)Ь (2.27а)
I2 (61 — 62) — (sin 26i — sin 262)], (2.27b)
Tjcz = tot (cos 201 — cos 20^’ (2.27c)
где tg0lj2 = z/(*Ta).
Если ввести обозначение a = 0i — 62, то главные напряже-
ния, показанные на круге Мора на рис. 2.6, равны
<?!, 2 = — (р/л) (а 4= sin а) (2.28)
и действуют под углом (61 + 62) /2 к поверхности. Максималь-
ное касательное напряжение есть
14 = (р/л) sin а. (2.29)
Из этого выражения видно, что линии равного напряжения Ti
представляют собой семейство окружностей, проходящих через
точки 01 и 02, как показано на рис. 2.7(a), а также на картине
фотоупругих полос на рис. 4.6(b). Максимальное касательное
напряжение достигает наибольшего значения р/л на полуокруж-
ности а = л/2. Линии уровня главных напряжений представляют
собой семейство софокусных эллипсов и гипербол с фокусами в
точках 01 и 02 (рис. 2.7(b)). Наконец, заметим, что напряжен-
ное состояние, которое мы только что рассмотрели, прибли-
жается к напряженному состоянию от действия сосредоточенной
нормальной силы, приложенной в точке О (§ 2.2), когда рас-
§ 2.6. Треугольные распределения усилий
33
Рис. 2.6. Круг Мора для напряженного состояния, вызванного нагрузкой, по-
казанной на рис. 2.5.
стояния ri и п становятся достаточно большими по сравне-
нию с а.
Для определения перемещений поверхности воспользуемся
выражениями (2.25). Для точек, лежащих внутри нагруженной
зоны (—а х а), имеем
дйх__ (1 — 2v) (1 + v)
дх ~ Е - У'
Отсюда, предполагая, что начало координат не смещается в
горизонтальном направлении, получим
Ux =
Далее из (2.25) имеем
(l-2v)(l+v)
Е рх.
(2.30а)
дйг _
дх
2(1 - уг) С ds
пЕ J х — s’
~а
Этот интеграл нуждается в комментариях: подынтегральная
функция имеет особенность при s = х и изменяет знак. При
интегрировании его следует расчленить на две части от s = —а
до х — е и от s = х + в до а, где величина е может быть беско-
нечно малой. Результат интегрирования называется главным
значением Коши этого интеграла:
“ х—е а
I ds С ds Г ds __
J х — s J х — s J s — х
~~а —а х+е
= In (х — s) |*~8 — In (s — х) |“+е = In (а + х) — 1п (а — х).
33Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
Рис. 2.7. Напряжения в полупространстве от действия нагрузки, показанной
на рис. 2.5; (а) линии уровня напряжений оь о2 и тг, (Ь) траектории на-
правлений главных напряжений.
Следовательно,
= — - (-\£v2) Р [In (а + x) — In (а — х)],
~ Р |> + 1п (^)2 + (2-30Ь)
+ {a_x)ln(-£zi£)2] + c.
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях
35
Для точек, лежащих вне участка загружения (|х| > а), имеем
(1~2У + У) ра, х<-а,
йх= (1—2v)(i + v) (2.30с)
— ------—— — ра, х> а.
В этом случае подынтегральное выражение в (2.25b) непре-
рывно, так что получим
«г = - Р [<* + 1П (?ЧГ-)2 - - °) 1П (^У] + С ’
(2.30d)
что совпадает с выражением (2.30b). Постоянная С в выраже-
ниях (2.30b, d) одна и та же и определяется выбранными значе-
ниями нормальных перемещений. На рис. 2.8 показаны нор-
мальные перемещения, полученные в предположении, что йг=0
при х -- ±с.
(Ь) КАСАТЕЛЬНЫЕ УСИЛИЯ
Аналогичным образом можно найти напряжения и переме-
щения поверхности от действия равномерно распределенных на
участке —а х а касательных усилий. Полагая р (х) = 0, из
выражений (2.23) находим
ох = [4 In—----(cos 20! — cos 202)1, (2.31а)
L ''г
oz = (cos 2©! — cos 202), (2.31b)
tzz = - [2 (Oj - 62) + (sin 2Bt - sin 20г)], (2.31c)
где ri>2 = [(x4=a)2 + z2]1/2.
36 Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
Анализ общих выражений для перемещений поверхности
(2.24) показывает, что перемещения поверхности в рассматри-
ваемой задаче можно найти непосредственно из выражений
(2.30), которые установлены для случая равномерного нормаль-
ного давления. Используя индексы р и q для обозначения пере-
мещений от действия однородных распределений нормальных и
касательных усилий соответственно, находим, что
(йД = (й2)р, (2.32а)
fe)9 = -(«JP, (2.32b)
где предполагается, что в каждом случае заданные значения
перемещений берутся в. одной и той же точке поверхности полу-
пространства.
Распределение напряжений в упругом полупространстве от
действия равномерно распределенных нормальных и касатель-
ных усилий р и q, определяемое соотношениями (2.27) и (2.31),
было найдено посредством суммирования компонент напряже-
ний, обусловленных действием сосредоточенных нормальных и
касательных сил (выражения (2.16) и (2.21)). Альтернативный
подход заключается в применении суперпозиции соответствую-
щих функций напряжений Эри и последующего вычисления на-
пряжений по формулам (2.6) или (2.11). Такой метод для ре-
шения задачи равномерного нагружения полупространства был
применен Тимошенко и Гудьером [345]. Хотя вычисления на-
пряжений этим методом проще, пока не существует другого
2. . Треугольные распределения усилий37
прямого способа определения функций напряжений, кроме под-
хода, основанного на опыте и интуиции.
Теперь представляется поучительным исследовать влияние
скачков величин р и q на краях участка равномерного нагруже-
ния на напряжения и деформации в этих точках. Остановимся
сначала на случае нормальной нагрузки. Из выражений (2.27)
найдем, что напряжения всюду конечны, а в точках (\ и О2
имеют место скачки напряжения сх от нуля вне участка нагру-
жения до —р внутри этого участка. Кроме того, есть также
скачки напряжения от нуля на поверхности до р/п под по-
верхностью. Поверхностные перемещения, определяемые выра-
жением (2.30b), также всюду конечны (если принято конечное
значение константы С), однако тангенс угла наклона поверх-
ности в точках 01 и О2 становится теоретически бесконечным.
Разрывность величины q на краях участка, загруженного
касательными усилиями, приводит к совершенно другим эффек-
уам. Наличие логарифмического члена в выражении (2.31а)
приводит к бесконечным значениям напряжения ох, сжимаю-
щего в точке Oi и растягивающего в О2 (рис. 2.9). Нормальные
перемещения поверхности в соответствии с соотношениями
(2.32) и (2.30а, с) непрерывны, однако есть разрывы наклона
поверхности в точках Oi и О2. Концентрация напряжений, свя-
занная с особенностями в точках С\ и О2, несомненно, играет
роль в формировании усталостных повреждений поверхностей,
подверженных действию осциллирующих сил трения. Это явле-
ние называется усталостью при фреттинге (fretting fatigue).
§ 2.6. Треугольные распределения усилий
Рассмотрим теперь другой простой пример распределенной
нагрузки. Пусть нормальные и касательные усилия линейно воз-
растают от нуля в точках поверхности О1 и О2, соответствующих
х = ±а, до максимальных значений р0 и qo в точке О (х — 0),
как показано на рис. 2.10, т. е.
р(х) = -^-(а —|х|), |х|<а, (2.33)
q(x) — ~(a —|х|), |х|<а. (2.34)
Такие треугольные распределения используются в численных
процедурах исследования напряжений в двумерных контактных
задачах (см. § 5.9).
Подстановка полученных выражений в соотношения (2.23)
и последующее интегрирование позволяют определить напряже-
38
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
ния в любой точке А (х, z) основания. При действии только нор-
мальных усилий получим
ох = [(х - а) 6( + (х + а) 62 - 2x6 + 2z In -^], (2.35а)
o^^-Kx-a^ + fx + a)6,-^0], (2.35b)
(0! + 62 - 26), (2.35с)
а при действии только касательных усилий будем иметь
а* = [2х In + 2« In - Зг (6, + 62 - 26)], (2.36а)
ог = “ + 02 - 26>’ (2.36Ь)
[<х “ 61 + <* + «) 62 - 2x6 + 2г In -^2-], (2.36с)
где
г? = (х — а)2 + г2, г2 = (х + а)2 + г2, г2 ~ х2 + г2,
tg 6, == z/(x — a), tg 62 = z/(x + а), tg 6 = г/х.
Перемещения поверхности определяются из выражений
(2.25). При действии только нормальных давлений р(х) для
точек нагруженного участка получим
^=-^W+v)^(a_|x|)| (237а)
й«=-—~2^ll+v> -g-x (а - 4^1). (2-ЭТЬ)
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях
39
если в начале координат задано нулевое значение перемещения.
Для точек, лежащих вне нагруженного участка, будем иметь
_ (l-2v)(l+v) рой
их г- JP 2
X £= 0.
Нормальное перемещение для всех точек поверхности равно
> - - +<> ь т2+«- <•) - mi •
+ (х - о)’ In ()2 _ 2х! In (i)2] + С. (2.37с)
Перемещения поверхности, вызываемые действием треугольного
распределения касательных напряжений, выражаются подоб-
ными формулами и могут быть определены из соображений
аналогии в соответствии с соотношениями (2.32).
Из анализа полей напряжений, определяемых выражениями
(2.35) и (2.36), следует, что компоненты напряжений всюду ко-
нечны и непрерывны. Из выражений (2.37) видно, что тангенс
угла наклона деформированной поверхности основания также
конечен. Эти выводы противоречат результатам, полученным в
предыдущем параграфе, где имели место разрывы напряжений
на концах участка нагружения.
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях, задаваемые
в области нагружения
До сих пор мы исследовали напряжения и деформации упру-
гого полупространства, к которому на участке нагружения при-
кладывались заданные распределения поверхностных усилий.
Поскольку поверхностные усилия вне участка нагружения рав-
ны нулю, то граничные условия в этих случаях сводятся к зада-
нию распределения усилий на всей границе полупространства.
Однако в большинстве контактных задач в области контакта
задаются перемещения или комбинация перемещений с поверх-
ностными усилиями, тогда как вне области контакта поверх-
ностные усилия равны нулю. Это так называемые смешанные
краевые задачи, которые мы будем рассматривать в этом пара-
графе.
Целесообразно провести классификацию различных комби-
наций граничных условий, с которыми нам придется иметь дело.
Во всех случаях будет предполагаться, что поверхность полу-
пространства свободна от усилий вне нагруженной области,
40 Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
а внутри полупространства напряжения убывают как 1/г на
больших расстояниях г от центра нагруженной области.
Существуют четыре класса граничных условий, задаваемых
в области контакта:
Класс 1. Задаются нормальные и касательные усилия р(х)
и q(x). Такие условия мы рассматривали в предыдущих пара-
графах. Напряжения и перемещения поверхности определяются
соотношениями (2.23) и (2.24) соответственно.
Класс II. Задаются нормальное перемещение йг(х) и каса-
тельные усилия q(x) или тангенциальные перемещения йх(х)
и нормальные давления р (х).
Граничные условия первого типа из этого класса возникают
обычно при описании контактного взаимодействия поверхностей
в отсутствие трения, когда усилия q(x) всюду равны нулю,
а перемещения йг(х) определяются недеформированными про-
филями двух контактирующих поверхностей. Граничные условия
второго типа возникают в тех случаях, когда нормальные уси-
лия р(х) известны, а усилия трения q(x) между поверхностями
при отсутствии проскальзывания по всей границе контакта или
части ее подлежат определению.
Класс III. Задаются нормальные и тангенциальные переме-
щения й-z(х) и йх{х). Граничные условия этого класса возни-
кают в задачах контактного взаимодействия поверхностей из-
вестного профиля в отсутствие проскальзывания по границе раз-
дела. Распределения как нормальных, так и касательных усилий
при этом подлежат определению.
Класс IV. Задаются нормальные перемещения uz(x), а нор-
мальные и касательные усилия считаются связанными соотно-
шением q(x) = ±рр(х), где р—постоянный коэффициент тре-
ния. Граничные условия этого класса встречаются в задачах
контактного взаимодействия тел с учетом скольжения. Переме-
щения йг(х) определяются известными профилями контакти-
рующих тел.
Следует заметить, что на различных участках нагруженной
области могут задаваться граничные условия, принадлежащие
различным классам. Например, при контакте двух тел может
иметь место проскаль-зывание по части области контакта, для
описания которого используются граничные условия класса IV,
тогда как граничные условия на остальной части области кон-
такта, где проскальзывание отсутствует, относятся к классу III.
Для формулировки двумерных задач для упругого полупро-
странства, на участке границы —b х а которого задаются
перемещения, воспользуемся соотношениями (2.25). Применяя
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях
41
штрих наверху для обозначения производной д/дх, перепишем
эти соотношения в виде
$=-"oi2;,1 р»-ы. <2-з8а>
~ь
= (2-38Ъ)
-ь
Для заданных перемещений соотношения (2.38) образуют
систему интегральных уравнений относительно неизвестных рас-
пределений усилий р(х) и q(x). Участок интегрирования вклю-
чает особую точку s = х, вследствие чего эти уравнения назы-
ваются сингулярными интегральными уравнениями. Приложе-
ния уравнений этого типа в теории упругости разработаны
советскими учеными: Н. И. Мусхелишвили [277, 278] и затем
С. Г. Михлиным [261] и Л. А. Галиным [119]. Дальнейшее
развитие этого направления выходит за рамки данной книги;
будут упоминаться только результаты, непосредственно относя-
щиеся к обсуждаемым вопросам.
Если граничные условия принадлежат к классу II, т. е. за-
даны функции й'(х) и q (х), то уравнения (2.38а) и (2.38b)
становятся несвязанными. Каждое из них принимает форму
а
\^=T<ls = g{x), (2.39)
-ъ
где g(x)—известная функция, составленная из известной ком-
поненты усилий и градиента известной компоненты перемеще-
ний, a F(x)—неизвестная компонента усилий. Это сингулярное
интегральное'уравнение первого рода; к таким уравнениям сво-
дится большинство двумерных контактных задач теории упру-
гости, рассматриваемых в данной книге. Общее решение этого
уравнения имеет вид (см. [261, 328])
F w =---------!------ f + g(s)ds +
л2 [(х + Ь) (а — х)]^ x — s
+---->---------i7T- (2.40)
л2 [(х + 6) (а - X)]1/2
Если начало координат расположено в центре нагруженной об-
ласти, вид решения упрощается:
F (х) =-----1____ ( {а2 ~ s2)— g (s) ds -]-----пт - (2.41)
л2 (a2 — x2)1/2 _J x — s л2(а2 —x2)lz-
12
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
Постоянная С определяется полной нормальной или касатель-
ной нагрузкой из соотношений
С = л F (х) dx. (2.42)
—ь
Интегралы в выражениях (2.40) и (2.41) имеют особенности
в точке s — х. Определим главное значение (р. V.) интегралов
такого типа следующим образом:
(2.43)
В приложении 1 приведены главные значения некоторых инте-
гралов, которые встречаются в контактных задачах.
В технических приложениях важны интегральные уравнения
рассматриваемого типа, в которых правая часть g(x) является
степенной функцией:
g(x) — Axn. (2.44)
В качестве простого примера рассмотрим плоскую задачу
о вдавливании гладкого штампа в упругое полупространство
(рис. 2.11). Если профиль подошвы штампа задается степенной
функцией г — Вхп+\ то нормальные перемещения поверхности
суть
uz (х) = uz (0) — Bxn+1, откуда й' (х) = — (п + 1) Вхп.
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях
43
Поскольку штамп гладкий, то q(x) = 0 и уравнение (2.38b)
принимает вид
а
5 Т=Я-^ = -2(Г^)- («+ 1)Вхп. (2.45)
—ь
Это — интегральное уравнение типа (2.39) относительно давле-
ния р(х), правая часть которого имеет форму Ах'\ Если участок
контакта симметричен относительно начала координат (Ь = а),
решение уравнения (2.45) имеет вид (2.41). Для дальнейшего
понадобится главное значение следующего интеграла:
/„=р. v. J .snu-p1/2. dSi (2.46)
-1
Где Х = х/a, S = s/а. С помощью таблицы интегралов, приве-
денной в приложении 1, находим
J Г (1 -S2)1/2 ,с
/о = Р- v \ —V—dS = пХ.
J -Л ~ о
Рекуррентная формула для определения 1п имеет вид
In = X j Sn~^~f}—dS~- J Sn~' (1 - S2)1'2 dS =
-i -i
— XIn_\ — J n~\ —
__ T Vn~^ T VJ t
--A /fl--A J0 ----Л ' ••• 1j
где
i
Jm= \sm(\-S^l2dS = .
-1
Таким образом,
зт/2, .
(от — 1)1!
(m + 2)!! ’
0,
m = 0;
m четное;
m нечетное.
In = Л |jr+1 - 4 xn~' - | xn~3 -
/„ = nkn+1 ~±xn~' -^xn~s-
L о
<2-47a>
n четное;
(n — 2)11 T эд
(«4-1)1! J’
n нечетное.
Если полная нагрузка на штамп равна Р, то, согласно соотно-
шению (2.42), С = лР. Распределение давлений под штампом
44Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
определяется с помощью выражения (2.41), т. е.
, , £(«+l)Ban+1 /„ . Р /плох,
Р 2\ /2 211/2 + /2 211/2 ' (2.48)
2(1— v2) л {а2 — х2)' л (а2 — х2) '
В этом примере предполагается, что нагрузка, действующая
на штамп, достаточна для обеспечения полного контакта при
положительных значениях давления по всей подошве штампа.
Если п нечетно, профиль подошвы штампа и распределение
давлений (2.48) симметричны относительно центральной линии.
С другой стороны, если п четно, профиль штампа кососиммет-
ричен и линия действия вдавливающей нагрузки будет обладать
эксцентриситетом, что приведет к возникновению момента
М. = \ хр (х) dx.
(2.49)
Наконец заметим, что, как следует из выражения (2.48), дав-
ление принимает теоретически бесконечные значения на краях
участка контакта (в углах штампа).
Обратимся теперь к анализу граничных условий классов III
и IV. Когда заданы обе компоненты перемещения поверхности
(класс III), интегральные уравнения (2.38) можно скомбиниро-
вать посредством объединения искомых поверхностных усилий
в виде единой комплексной функции:
F (x) = p(x) + iq (х).
Складывая уравнения (2.38а) и (2.38b), получим
F (Хх _ i АП-у). { ds
( ’ л (1 - 2v) j х - s as ~
—b
E
= — (l-2v)(l + v) lUx ~ iuz Wb
В случае скользящего контакта, когда задается перемещение
йг(х) в совокупности с соотношением <у(х)=рр(х) (граничные
условия класса IV), уравнение (2.38b) принимает вид
(2.50)
(2.51)
Е'
лц(1-2у) x-s ds р, (1 — 2v) (1 + v) f2-52)1
-b
С целью упрощения записи уравнений (2.51) и (2.52) перене-
сем начало координат в середину участка контакта (т. е. поло-
жим Ъ — а) и введем безразмерные переменные X = х/а и
S=s/a. Уравнения (2.51) и (2.52) представляют собой сингу-
§ 2.7. Граничные условия в перемещениях
4&
лярные интегральные уравнения второго рода и записываются
в форме
F(X)+4 \-y^-dS = G(X), (2.53)
-i
где величины G(X), F (X) и К могут быть вещественными или
комплексными. Функция G (X) известна и служит для опреде-
ления функции F(X); величина параметра Z зависит от конкрет-
ной задачи. Решение уравнения (2.53) дано Сёнгеном (328) в
виде
F(X) = Fl(X)+F0(X), (2.54)
где Fq(X)—-решение соответствующего однородного уравнения,
т. е. уравнения (2.53), в котором правая часть считается равной
нулю. Сёнген получил
X $ (1 - S2)1'2 ds> <2-55)
-1
<2-66>
где у— комплексная постоянная, связанная с параметром Z со-
отношением ctg(ny) = A, или ехр(2зпу) = (А—l)/(i%+ 1) и
подчиненная ограничению —1/2 Re у 1/2, а постоянная С
равна
С= \ F(X)dX = ±(P + iQ).
-1
Если параметр X чисто мнимый, так что % = 12ц, то величина М
должна лежать вне интервала (—1, 1). Это условие выполняется
для рассматриваемых здесь задач.
Остановимся сначала на случае задания двух граничных
перемещений (класс III) и получим решение уравнения (2.51)
для этого случая. Сопоставляя формы решений (2.55), (2.56) и
Уравнения (2.51), видим, что параметр 2. чисто мнимый (2.=
= i^-i), причем
X] = — (2 — 2v)/(l — 2v). • (2.57)
Поскольку 0<v^l/2, то 2ц <—2 и решение (2.56) приме-
нимо. Следовательно, величина у тоже мнимая и, полагая у =
= й), имеем
46
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
откуда
Ti==irln(3-4v)- (2.58)
Подставляя Л и у из (2.57) и (2.58) в выражение (2.56), полу-
чаем требуемое решение
р (X) + iq (X) = F(X) — Ft (X) + Fo (X),
где
f™ = (8-^u+v> к<X)]+
. z 2(1—v)£_________1 /1+Хуч
"Г (3-4v)(l+v) л (1 -X2)l/2 I 1 -Xj A
C „ l/9/ l-s уч Г й' (S) — lu, (S) 1
X J(1-S2) '(t+sJ [ x-s JdS> (2-59a)
E0(X) = - 2(1~^2--—-t<321/9 р+^у1. (2.59b)
(3 - 4v)1/2 яа(1 -X2)'12 k 1 —x)
Чтобы получить выражения для поверхностных усилий р(Х) и
q(X), необходимо вычислить интеграл в (2.59а). До сих пор
в замкнутой форме решено только несколько задач, в которых
распределения перемещений й'х(Х) и tz'(X) достаточно просты.
В случае несжимаемого материала (у— 1/2) основные ин-
тегральные уравнения (2.38) становятся несвязанными. В этом
случае из (2.58) видно, что я = 0, и общее решение системы
уравнений, получаемое отделением вещественных и мнимых ча-
стей в (2.59), совпадает с решением двух уравнений в форме
(2-41).
Если граничные условия относятся к классу IV, из сопостав-
ления форм уравнений (2.52) и (2.53) следует, что параметр к
вещественный:
Z ~ Дг-2^)- = ctg лу. (2.60)
Подставляя к в общее решение (2.55), (2.56), получим
Е cos2 лу 1 /1 — X \Y у
+ 2 (1 - v2) л (1 - Х2)1/2 k 1 - X J Х
-1
। Рcos лу / 1 + V /9 п
лаО-Х2)1'2 ll-xj ’
q(X) = pp(X).
§ 2.8. Вдавливание жесткого штампа с плоским основанием 47
Снова в случае несжимаемого материала или для коэффициента
трения, стремящегося к нулю, параметр у становится равным
нулю, а интегральные уравнения — несвязанными. Решение
(2.61) при этом распадется на два выражения вида (2.41).
Определив поверхностные усилия р(Х) и q(X), удовлетво-
ряющие граничным условиям в перемещениях, мы можем найти
напряжения внутри тела, воспользовавшись при необходимости
общими выражениями (2.23).
В качестве приложения результатов, полученных в этом па-
раграфе, целесообразно рассмотреть плоскую задачу о вдав-
ливании жесткого штампа с плоским основанием в упругое по-
лупространство. Эта задача обсуждается в следующем пара-
графе.
§ 2.8. Вдавливание жесткого штампа
с плоским основанием
В этом параграфе мы исследуем напряжения, возникающие
в полупространстве под действием жесткого штампа, вдавливае-
мого в его поверхность (рис. 2.12). Штамп имеет плоское осно-
вание шириной 2а и нескругленные прямые углы. Штамп счи-
тается достаточно протяженным в направлении оси у, так что
Z
Рис. 2.12.
можно принять условия плоской деформации. Поскольку штамп
жесткий, поверхность упругого тела на участке контакта с ним
Должна оставаться плоской. Ограничим рассмотрение случаем,
когда штамп не испытывает перекоса, так что участок контакта
остается плоским и параллельным недсформированной границе
полупространства.
Таким образом, первое граничное условие на участке кон-
такта состоит в задании нормального перемещения:
(х) = 6Z — const. (2.62)
48Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
Второе граничное условие на участке загружения зависит от
условий трения. Рассмотрим следующие четыре случая:
(а) в области контакта трение отсутствует, так что <?(%) = 0;
(Ь) трение на участке контакта достаточно для предотвра-
щения проскальзывания между основанием штампа и поверх-
ностью полупространства, так что йх(х) = 6% = const;
(с) имеет место частичное проскальзывание, ограничиваю-
щее величину касательных усилий |<?(х) |=£^ рр(х);
(d) штамп скользит по поверхности полупространства справа
налево, так что q(x) = iip(x) во всех точках участка контакта,
где ц— постоянный коэффициент трения скольжения.
Разумеется, ни один реальный штамп не может считаться
абсолютно жестким, однако это условие достаточно хорошо вы-
полняется, например, при вдавливании металлического штампа
в деформируемое тело из низкомодульного материала, такого,
как полимер или резина. При учете упругости штампа возни-
кают трудности, связанные с тем, что деформацию штампа
с прямыми углами нельзя определить методами, применимыми
для полупространства. Однако результаты этого параграфа
важны не только в связи с внедрением штампов. В дальнейшем
мы используем выражения для напряжений, вызванных равно-
мерными распределениями перемещений и б2, при решении
других задач (см. § 5.5, 7.2).
(а) ГЛАДКИЙ ШТАМП
Граничные условия
(х) — const, q (х) = 0, (2.63)
согласно определению, данному в предыдущем параграфе, отно-
сятся к классу II, и распределение давлений описывается инте-
гральным уравнением (2.38b), имеющим общее решение (2.41),
в котором
S (S) = - 2(Г-^) «г W = °’
В этом случае результат сводится к однородному решению, при-
чем С = лР:
Р(х) = - Р- 1/2 . (2.64)
л (а2 — X2)1
Найденное распределение давлений изображено на рис. 2.13(a)
(кривая Л). На краях штампа (х = ±а) давление принимает
теоретически бесконечные значения. Напряжения в полупро-
странстве в окрестностях углов штампа были найдены Надаи
§ 2.8. Вдавливание жесткого штампа с плоским основанием
49
Рис. 2.13. (а) Усилия под плоским основанием штампа, показанного на
рис. 2.12: кривая А — в отсутствие трения, выражение (2.64) для давления
р(-х); кривая В — в отсутствие проскальзывания, точное выражение (2.69)
для р(х); кривая С — в отсутствие проскальзывания, точное выражение (2.69)
для ?(х); кривая D — в отсутствие проскальзывания, приближенное выра-
жений (2.72) для ?(х); кривая Е— частичное проскальзывание, р(х); кри-
вая F — частичное проскальзывание, q(x) (кривые Е и F по данным Спенса
[331]). (Ь) Отношение касательных усилий q(x) к нормальным р(х): кри-
вая G — в отсутствие проскальзывания, приближенные выражения (2.72) и
(2.64); кривая Н — частичное проскальзывание по данным Спенса [331]
(V = 0.3, р, = 0.237, с = 0.5).
[279] . Сумма главных напряжений и максимальное касательное
напряжение равны
<71 + <*2
2Р . 0
—. --Оо- sin —,
л (2агу'- 2
Р • а
Ti ~----------------Гуо sm е,
2л (2<гг)1/2
(2.65а)
(2.65b)
где г, 0 — полярные координаты с началом в точках х = +а
и г а (см. картину фотоупругих полос на рис. 4.6(c)). На по-
верхности полупространства — — <зу. Из выражения
(2.65b) видно, что максимальное касательное напряжение при-
нимает теоретически бесконечные значения при г->0, так что
вблизи углов штампа даже при небольших нагрузках для ре-
альных материалов следует ожидать появления пластических
50
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
деформаций. Перемещения свободной поверхности вне участка
загружения можно вычислить с помощью соотношения (2.24b):
- / А я 2(1— У2) Р . Г к . / х2 Л1/21 тйс\
М*) = бг-------+ i) J, (2.66)
где величина б2, как обычно, определяется только с точностью
до произвольно выбранной постоянной. Заметим, что градиент
нормальных смещений поверхности й'г неограничен в точках
х = ±а. Из соотношения (2.24а) находим тангенциальное пере-
мещение под основанием штампа
‘ йх (х) = — ° ~2-)jj~+ —" arcsin -7 • (2.67)
В случае сжимаемого материала (у < 1/2) это выражение по-
казывает, что точки поверхности смещаются к центру штампа.
В действительности этим смещениям препятствует трение и,
если коэффициент трения достаточно велик, они полностью
исключаются. Перейдем к обсуждению этой ситуации.
(Ь) ВДАВЛИВАНИЕ ШТАМПА БЕЗ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
Если поверхность полупространства полностью сцеплена со
штампом в процессе внедрения, то имеют место следующие гра-
ничные условия:
йх (х) = (х) = 62, (2.68)
где бх и б2 — постоянные, задающие смещения штампа. Гранич-
ные условия, соответствующие заданию обеих компонент пере-
мещения, относятся к классу III. Интегральные уравнения
(2.38) относительно напряжений под основанием штампа в этом
случае являются связанными, и их общее решение определяется
соотношением (2.59). Поскольку перемещения (2.68) постоян-
ны, то й'х (х) = й'г (х) = 0 и результат определяется только реше-
нием однородного уравнения (2.59b):
Р (х) + iq (х)
___ 2 (1 — у) Р 4- iQ / а + х МП
~' (3 — 4у)1/2 л (а2 — х2)1/2 Га —х/
2(1 — у) P + IQ
(3 — 4v)1/2 л. (а2 — х2)^2
+ ,sln[nin(^±i)]},
(2.69)
где г] == (2л) 1 In (3 — 4у).
Ha рис. 2.13(a) (кривые В и С) показаны распределения
усилий р(х) и q(x), возникающие под действием только нор-
мальной нагрузки (Q = 0) и вычисленные для у = 0.3.
§ 2.3. Вдавливание жесткого штампа с плоским основанием 51
Характеристики особенностей напряжений в точках х = ±а
поразительны. Из выражений (2.69) видно, что напряжения
изменяют знак бесконечное число раз при Однако, по-
скольку максимальное значение г] равно (1пЗ)/(2л), давление
впервые становится отрицательным в точках
х — ± о: th [л2/(2 In 3)],
т. е. когда х — ±0.9997д, что очень близко к углам штампа.
Таким образом, мы приходим к выводу, что полученный ано-
мальный результат объясняется неправомерностью применения
линейной теории упругости для описания больших градиентов
деформации вблизи особых точек. Вдали от этих точек соотно-
шение (2.69), по-видимому, дает достаточно точные значения
напряжений.
Если кроме нормальной силы к штампу приложена танген-
циальная сила Q, на поверхности контакта возникают дополни-
тельные касательные и нормальные усилия. При полном сцепле-
нии они также определяются соотношением (2.69), так что для
единичных нагрузок имеем
[q (*)]<>=[р (*)]/>> (2.70)
Поскольку [<?(х) ] р — нечетная функция х, то наличие танген-
циальной силы приводит к уменьшению давлений под штампом
в области положительных значений х и к увеличению — в об-
ласти отрицательных х. При этом необходим момент сил для
удержания основания штампа в горизонтальном положении.
Вблизи точки х = а давление может стать отрицательным,
если не допустить возможности наклона штампа для обеспече-
ния прилегания его к полупространству по всему основанию.
Задачи для наклонного штампа решались Н. И. Мусхелишвили
[278] и обсуждаются в книге Гладуэлла [124].
Полезно провести сравнение распределения давлений при
наличии сцепления из соотношения (2.69) с распределением
давлений в отсутствие трения (2.64) (см. рис. 2.13(a)). Различие
невелико, что свидетельствует о малости влияния касательных
усилий на нормальные давления для v — 0.3. Для больших зна-
чений v различие становится еще меньше. Следовательно, в бо-
лее сложных задачах, нежели рассмотренные здесь, интеграль-
ные уравнения (2.38) можно сделать несвязанными, предполо-
жив, что распределение давлений при наличии трения является
таким же, как при отсутствии трения. Таким образом, мы мо-
жем положить (j(x) = 0 в уравнении (2.38b) и решить его отно-
сительно р(х) без учета трения. Найденное распределение р(х)
затем можно подставить в уравнение (2.38а) для определения
приближенного распределения <?(х). Каждое из интегральных
52
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
уравнений при этом является уравнением первого рода и имеет
решение в форме (2.41).
Если использовать этот прием в рассмотренном примере, то
подстановка распределения давлений (2.64) в уравнение
(2.38а) дает
Я (s) j _. _ 1 — 2v . Р
х — s 2(1—v) (а2 — х2)1^2
(2.71)
С помощью общего решения
(2.41) этого уравнения получаем
1 — 2v Р_________ f ds , Q
2л2 (1— v) (а2 —х2)1/2 J х — s л (а2— х2)1/2
—а
1 — 2у_____Р . /а + х \ _________Q
2л2(1— v) (а2 —х2)1/2 \а — х) л(а2 —х2)1/2
(2.72)
Это приближенное распределение касательных усилий также
отражено на рис. 2.13(a) при Q = 0 (кривая D). Оно почти не
отличается от точного решения,- определяемого соотношением
(2.69).
(с) ЧАСТИЧНОЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ
В случае (Ь), рассмотренном выше, предполагалось, что тре-
ние способно полностью предотвратить наличие проскальзыва-
ния между штампом и полупространством. Физическую возмож-
ность этого допущения при действии только нормальной на-
грузки Р можно проанализировать посредством рассмотрения
отношения касательных усилий к нормальным q(x)lp(x). На
рис. 2.13(b) (кривая G) показано это отношение, вычисленное
на основе приближенных выражений (2.72) и (2.64) для q(x)
и р(х) соответственно. Видно, что на концах участка контакта
это отношение принимает теоретически неограниченные значе-
ния. (Этот вывод остается справедливым и при использовании
точных выражений для q(x) и р(х).) Таким образом, на прак-
тике на концах участка контакта должно иметь место про-
скальзывание.
Проблема частичного проскальзывания применительно к
контактным задачам впервые была исследована Л. А. Галиным
[1181 и'затем более полно — Спенсом [331]9. При действии
!) Задача о действии штампа на полуплоскость при наличии частичного
проскальзывания с учетом трения на участках проскальзывания была рас-
смотрена Л. А. Галиным (в цитируемой в книге статье [118]) и без учета
трения С. В. Фальковичем. Их работы опубликованы в одном и том же
номере журнала ПММ: Галин Л. А. Вдавливание штампа при наличии тре-
ния и сцепления. — ПММ, 1945, т. 9, с. 413—431. Фалькович С. В. О дав-
лении жесткого штампа на упругую полуплоскость при наличии участков
сцепления и скольжения. — ПММ, 1945, т. 9, с. 425—432. — Прим. ред.
§ 2.8. Вдавливание жесткого штампа с плоским основанием 53
только нормальной нагрузки задача симметрична относительно
центральной линии, так что зона сцепления расположена цент-
рально, скажем от точки х =—с до х — с. Граничное условие
(х) — 6Z = const остается применимым для участка —а
х а, а условие йх(х) = бх = 0 — только для зоны сцепления
__с<х< с. В зонах проскальзывания с^|х|^ а имеем усло-
вие q (х) = (я) •
Протяженность зон проскальзывания определяется значе-
ниями коэффициента Пуассона v и коэффициента трения ц.
Задача существенно упрощается, если интегральные уравнения
становятся несвязанными за счет пренебрежения влиянием ка-
сательных усилий на нормальные давления. Используя это до-
пущение, Спенс показал, что величина с находится из уравнения
К'(т)А(-5-)-2<Т^- <2-73>
где К(с/а) — полный эллиптический интеграл второго рода,
а Ц'(с/а) = К[(1 — с2/о:2)1/21. На рис. 2.13(a), (Ь) приведены
.распределения р(х), q(x) и отношение q(x)/'p(x) в случае час-
тичного проскальзывания, вычисленные для v = 0.3, р, = 0.237
(кривые Е, F и Н соответственно).
(d) СКОЛЬЗЯЩИЙ ШТАМП
Для штампа, скользящего по поверхности полупространства
со скоростью, меньшей скорости упругих волн, когда влиянием
инерционных сил можно пренебречь, граничные условия имеют
вид
«а W = = const, q (х) = рр (х). (2-74)
Эти граничные условия относятся к классу IV. Система инте-
гральных уравнений (2.38) в данном случае приводится к един-
ственному уравнению (2.52), имеющему общее решение в виде
(2.61). Поскольку штамп имеет плоское основание, то й'г (х) —0,
и снова требуется определить только решение однородного урав-
нения:
где
. . Р cos nv
Р W =
л (а2 — х2) '
(2.75)
. 2(1—v)
ctgny=- tl(1_2v)--
На рис. 2.14 найденное распределение давлений (для v = 0.3
и 0 = 0.5) приведено вместе с распределением давлений, полу-
ченным без учета трения. При скольжении штампа справа на-
лево давление под передней половиной штампа за счет влия-
54 Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
Рис; 2.14. Давление под основанием скользящего штампа: кривая А—в
отсутствие трения; кривая В — с учетом трения (v = 0,3, р, = 0,5).
ния трения уменьшается, а под задней половиной.— увеличи-
вается. В этом случае также видно, что влияние усилий трения
на нормальные давления относительно мало.
§ 2.9. Усилия, параллельные оси у
Если касательные усилия действуют на поверхность полу-
пространства в направлении оси у, а их величина и распределе-
ние не зависят от координаты у, то имеет место разновидность
двумерной деформации, отличающаяся от рассмотренной
выше *>. Очевидно, что поперечные сечения основания, парал-
лельные плоскости xz, не остаются плоскими и испытывают ис-
кажение под действием поверхностных усилий. Поскольку все
сечения у = const деформируются тождественным образом, на-
пряженно-деформированное состояние не будет зависеть от коор-
динаты у.
Рассмотрим сначала действие сосредоточенной тангенциаль-
ной силы величиной Qy (в расчете на единицу длины вдоль
оси у) на поверхность полупространства в направлении оси у,
как показано на рис. 2.15. Эта сила вызывает распределение
Такая мода деформации называется обычно антиплоской. — Прим,
перев.
§ 2.9. Усилия, параллельные оси у
55
сдвиговых напряжений, которое легко получить следующим об-
разом.
Вообразим сначала два полупространства, склеенных вместе
по их границам и образующих неограниченную среду. Пусть
вдоль оси действует удельная сила 2Qy. Поле напряжений в
неограниченном пространстве в цилиндрических координатах
г, 6, у должно быть осесимметричным и не зависящим от 6 и у.
Рассматривая равновесие цилиндра радиуса г, находим 2пгхГу=
= —2Qy, откуда
тГ£, = — Qy/(nr). (2.76а)
Остальные компоненты напряжений равны нулю:
Gr = <те = Gy = 0. (2.76b)
Деформации, связанные с этим полем напряжений, совместны
и определяют идентичное искажение каждого поперечного сече-
ния у = const. Итак, никакие напряжения по поверхности раз-
дела двух склеенных полупространств не действуют, так что их
можно разделить без изменения распределения напряжений.
Следовательно, выражения (2.76) описывают искомое поле на-
пряжений. В декартовых координатах имеем
гХу = ггу cosG = — (2.77а)
Q z
туг ===== тГ£, sin 6 == --Лг. (2.77b)
56
Гл. 2. Нагружение упругого полупространства вдоль прямой
Деформированное состояние определяется единственной компо-
нентой деформации:
диу , диг _ хгу
дг + ду ~ Угу— G
Поскольку поле деформаций не зависит от у, то диг/ду = О,
тогда
&иу тгу_____Qy
dr G nGr
На поверхности z — 0 имеем
* дйу Qy
дх ' ztGx
йу = — ^G 1П । Х 1 + С’
(2.78)
(2.79)
(2.80)
д также, пренебрегая жестким смещением, йк = йг — 0.
Сравнивая полученный результат с выражениями (2.19) и
(2.22), замечаем, что это выражение для перемещения в на-
правлении действия силы подобно по форме выражениям, най-
денным для случаев сосредоточенной нормальной силы или со-
средоточенной тангенциальной силы, действующей в направле-
нии оси х. Однако в рассматриваемом случае перемещения в
направлениях, перпендикулярных линии действия силы, отсут-
ствуют.
Напряжения и перемещения, обусловленные действием ка-
сательных усилий, распределенных по участку —а х а, как
и ранее, находятся путем суммирования эффектов от сосредото-
ченных сил Qy — qy (s) ds, действующих на элементарные по-
лоски шириной ds. В качестве примера рассмотрим касательные
усилия
действующие
находим
qy{x) = q0{\-x^)m, (2.81)
на участке —a x а. Из соотношений (2.77)
Xxy
_ <7o f (a2 —s2)1/2 (x — s)
ла J (x — s)2 +
zz
ds,
(2.82а)
qoz
C (a2 — s2)1'2
i (v — ~2
ds.
(2.82b)
Вычисление интегралов производится непосредственно. На
поверхности z = 0 получим
( — q^x/a, — а х «С а.', .
= { (2.83а)
I — <7о {(х/а) -+- [(х/а)2 — 1 ]v’}, | х | > а,
§ 2.9. Усилия, параллельные оси у 57
а на оси симметрии (х — 0) будем иметь •
= — %{[!+ (z/a)2]1/2 — z/a}. (2.83b)
Перемещения поверхности получаются из соотношения (2.79):
,д“у <7о f (а2- s2)1/2 .
дх nG J х — s
—а
С помощью таблицы главных значений интегралов, приведенной
в приложении 1, находим
д“у <70*
дх Ga '
откуда
С. = --Ж-+С- <2-84>
Полученный результат будет использован в дальнейшем (§ 8.3)
при изучении контактных напряжений в катящихся цилиндрах,,
которые передают тангенциальные усилия в направлении, па-
раллельном осям цилиндров.
3
Действие сосредоточенных нагрузок
на упругое полупространство
'§ 3.1. Потенциалы Буссинеска и Черрути
В этой главе мы рассмотрим напряжения и деформации в
упругом полупространстве с граничной плоскостью 2 — 0, воз-
никающие под действием нормальных и касательных усилий,
приложенных по замкнутой области S границы в окрестности
.начала координат. Вне нагруженной области как нормальные,
так и касательные усилия равны нулю. Следовательно, рассмат-
риваемая задача относится к числу задач теории упругости, в
которых напряжения заданы на всей границе z — 0.
Поскольку область, к которой приложена нагрузка, ограни-
ченна, то все компоненты напряжений при увеличении расстоя-
ния от начала координат стремятся к нулю. Нагружение произ-
водится по двумерной области: нормальное давление р(х, у),
а также касательные усилия qx(x, у) и qy(x, у) вообще говоря,
.зависят от переменных х и у. Поэтому напряженное состояние
.в общем случае трехмерное и отличны от нуля все шесть ком-
понент напряжений: <зх, ву, <уг, тху, туг, тгх.
Отметим частный случай, соответствующий нагружению, осе-
симметричному относительно оси z. В цилиндрических коорди-
натах (г, 0, z) давление р(г) и касательные усилия q(r) не за-
висят от 0; кроме того, усилия q(r) действуют в радиальном
направлении, если они вообще имеют место. Компоненты напря-
жений тГ0 и тег отсутствуют, а остальные компоненты не зави-
сят от 0.
Классический подход к определению напряжений и дефор-
маций в упругом полупространстве от действия поверхностных
усилий был предложен Буссинеском [39] и Черрути [53], кото-
рые использовали теорию потенциала. Этот подход описан в
книге Лява [239]; здесь будут упомянуты лишь некоторые ре-
зультаты.
Рассматриваемое полупространство показано на рис. 3.1-
Пусть С(£, т]) — произвольная точка поверхности нагруженной
области S, а А (х, у, z)—-произвольная точка внутри тела (по-
лупространства). Расстояние между точками С и А равно
СА ^р = [(g-x)2 + (n-у)2 + z2]1/2. (3.1)
§ 3.1. Потенциалы Буссинеска и Черрути
59
Рис. 3.1.
В области S действуют распределения усилий p(g, т]) Т]) и
<7i/(g, Л)- Определим следующие потенциальные функции, каж-
дая из которых удовлетворяет уравнению Лапласа:
где Р\ = Q dr)’ S T])Qdg<fr], (3.2) s ^p(g, T])QdgdT], s Q = z In (p + z) — p. (3.3)
Кроме того, введем в рассмотрение функции
F = =\\qx & n) In (p + Z) dl dr], s G = -^-= n)ln(p + 2)^dr], (3.4) s H = p (g, T]) In (p + z) d£, dr]. sJ
60 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Теперь запишем
(3.5)
„ь .dF' I dG' । дН>
дх -r dy "Г dz ’
. dF . дО . dH
= —F-s—Ь-ч— • (3.6)
т dz дх 1 ду dz х ’
Как показал Ляв [239], компоненты упругих перемещений
.их, иу и иг в произвольной точке А (х, у, z) тела выражаются
через введенные функции следующим образом:
1 Г9 dF dH 4- 2-v 511,1 (3 7я4
4nG 12 dz dx + 2V dx dxi’
Uy 1 4nG Гn 3G L dz dH dy + 2v-^ dy dip] dy J’ (3.7b)
uz 1 4nG \dH I dz * -d- 2v) ф — z dz J ’ (3.7c)
Эти выражения убывают как 1/р на больших расстояниях от
нагруженной области. Следовательно, они определяют упругие
перемещения точек вблизи нагруженной области относительно
точек тела, расположенных на большом расстоянии от этой об-
ласти (р^-оо), где полупространство может считаться как бы
закрепленным. Указанное поведение перемещений в случае на-
гружения по двумерной области (пространственная задача),
когда отсчетные (нулевые) значения перемещений можно взять
на бесконечности, выгодно отличается от рассмотренного в пре-
дыдущей главе случая нагружения вдоль прямой (плоская за-
дача), где изменение перемещений по логарифмическому закону
(In р) препятствовало выбору отсчетных значений перемещений
на бесконечности и приводило к необходимости установления
произвольных отсчетных значений.
По найденным выражениям для перемещений с помощью
соотношений закона Гука определяются компоненты напря-
женин: 2vG (дих । duy ( dux + 2G-^-, 1 dx (3.8a)
1 — 2v k dx dy H 1 dz J
°y 2vG (du* -4- du у ~ duy + 2G-^-, 1 dy (3.8b)
1 — 2v k dx + dy 1 dz )
2vG (dUx + duy duz\ duz + 2G-^~, 1 dz (3.8c)
&z 1 — 2v k dx dy 1 dz )
l-xy -G(dUx , duy-y (3.8d)
Gk dy 1 dx )
tyz г(диУ — & I — V dz duzy 1 dy > (3.8e)
_ n( duz (3.8f)
Lzx dx 1 dz )
§3.1. Потенциалы Буссииеска и Черрути
61
При действии только нормального давления p(g, ц), что
имеет место при контакте в отсутствие трения, приведенные
выше соотношения упрощаются. В этом случае F — F\ = G =
(jj = 0, и получаем
Ч>1 = ^- = Я=^РЙ, ч)1п(р + г)^Л!, (3.9)
(З.Ю)
S
<я[(1-^>->+24Я (311а>
“»=-й-[(1-2’)>+г>]. (З-ПЬ)
<ЗЛ1с>
Учитывая, что -фиф! — гармонические функции аргументов х,
у и z, т. е. обе удовлетворяют уравнению Лапласа
V2ip == 0, у2Ф1 = О,
для объемной деформации А получим выражение
дих дии диг 1— 2v dib
А = -^—+ ^- + -^~= ’-тт-. (3.12)
дх ду dz 2л G dz к '
Подстановка соотношений (3.11) и (3.12) в (3.8) дает следую-
щие выражения для компонент напряжений в произвольной
точке тела:
= <ЗЛЗа>
(3.13Ь)
2л [ dz Z dz2 ]’ (3.13с)
Tz„=-^-[(l - 2v)/5^+ 2/^-1, (3.13d)
XU 2л L' dxdy 1 дх dy J ' '
(3.13e)
Vz 2tc dydz ’ ' '
T (3.13f)
zx 2л dz dx 7
Заметим, что компоненты напряжений orz, %yz и xzx зависят толь-
ко от функции ф. Компоненты напряжений csx и ау зависят от
Функции фь но их сумма не зависит:
^ + cr»==i[(1 + 2v)'3’ + 24fl- '
(3.14)
62 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
На поверхности полупространства нормальное напряжение
равно
- 1 рФА f — Ж П) в области S;
Gz 2л k dz )z=o ( 0 вне области S, '
а перемещения поверхности есть
«х = - -Ц2? (-54 . (3.16а)
х 4tcG к дх Jz=o
, (3.16b)
az=J^L(^L\ =-1-z2LJ . (3.16с)
2 2nG к dz Jz=o 2aG v |z=o v
Из выражений (3.15) и (3.16с) следует, что нормальное напря-
жение и нормальное перемещение на поверхности выражаются
через потенциальную функцию ф.
Приведенные выше соотношения дают формальное решение
задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого по-
лупространства, на поверхность которого действуют заданные
нагрузки. Если заданы распределения усилий по области S, то
в принципе можно определить напряжения и перемещения в
произвольной точке полупространства. Практически же получе-
ние соответствующих выражений в замкнутой форме даже в.
самых простейших задачах связано с затруднениями.
Применительно к некоторым частным случаям были разра-
ботаны более совершенные аналитические методы решения
с целью преодоления трудностей классического подхода. На-
пример, задачи, в которых область нагружения ограничена эл-
липсом, удобнее решать с помощью перехода от прямоугольных
координат к эллипсоидальным [244, 119, 78]. В задачах с кру-
говыми областями контакта применение специальной комплекс-
ной функции напряжений, предложенной Ростовцевым [311]
(см. также [136]), позволяет определить напряжения, если в.
области контакта заданы перемещения.
Применительно к осесимметричным задачам-Снеддон [327]
впервые применил метод интегральных преобразований, который
был развит затем Ноблом и Спенсом [282] (см. подробный ана-
лиз этого подхода в книге Гладуэлла [124]).
Альтернативный подход, которому мы следуем в данной
книге, основан на использовании полей напряжений и деформа-
ций, вызываемых сосредоточенными нормальными и тангенци-
альными силами. Результирующие поля напряжений и дефор-
маций от действия распределенных нагрузок можно определить
затем посредством суперпозиции. Достоинство этого подхода
§ 3.2. Сосредоточенная нормальная сила
63
состоит в том, что он допускает разработку на своей основе ме-
тодов численного анализа и дает возможность решать задачи,
к которым из-за геометрии неприменимы аналитические ме-
тоды *>.
§ 3.2. Сосредоточенная нормальная сила
Напряжения и смещения в полупространстве, вызванные
действием сосредоточенной силы Р, приложенной перпендику-
лярно поверхности в начале координат (рис. 3.2), могут быть
найдены непосредственно различными способами. Воспользуем-
ся результатами предыдущего параграфа с учетом того, что
область, по которой приложены нормальные усилия, стянута
в точку, так что
р = (х2 + у2 + z2)172,
Р (L п) di} = Р.
(3.17)
Потенциальные функции Буссинеска и ф, определяемые
соотношениями (3.9) и (3.10), в данном случае приводятся
к виду
Использование различных представлений решений уравнений теории
Упругости через потенциалы и сведение краевой задачи к граничным инте-
гральным уравнениям позволяет также прийти к численным методам реше-
ния контактных задач при сложной геометрии. — Прим. ред.
64 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Подставляя эти формулы в соотношения (3.11), получим сле-
дующие выражения для упругих перемещений в произвольной
точке:
ы ~_L-F2Eg._(1 _2v) х 1 (3.18а)
х 4nG L р3 v ' Р (Р + z) J
U« = -А- [< - (1 — 2v) . ,1, (3.18b)
V 4nG L р v Р (Р + z) J
Р Г 5-2 9 Л — .
где р определяется первым соотношением (3.17).
Компоненты напряжений находятся из соотношений (3.13):
р ( (1 - 2v) Г н-* о | м X2 — у2 | zy2 1 3zx2 ] . (3.19а)
2л 1 г2 L г2 ’ р3 J Р5 J
Р Г (1 - 2v) Г н-* о | м 1 у2~х2 4- гх21 Згу2 ] , (3.19b)
огу—• 2л 1 г2 L 1 r2 1 р3 J р5 J
ЗР z3 (3.19с)
Oz ‘ 2л р5 ’
Хху = Р 2л ( (1 ~ 2у) [ 1 г2 L о | м 1 ху хуг 1 г2 р3 1 _ Sxyz 1 J Р5 Г (3.19d)
ЗР xz2 (3.19е)
ХХ2 2л р6 ’ ЗР уг2
(3.19f)
2л р5 ’
где г2 = х2 + у2. Эти выражения пригодны для определения
напряжений от действия распределенной нормальной нагрузки
посредством суперпозиции.
К рассматриваемой задаче можно подойти иначе, заметив
с самого начала, что нагрузка осесимметрична, и использовав
цилиндрические координаты. Тимошенко и Гудьер [345] ввели
в рассмотрение функцию напряжений для осесимметричных за-
дач и использовали ее для определения напряжений в полупро-
странстве, вызываемых действием на его поверхность сосредо-
точенной нормальной силы:
<’е=-Я-(1-2’)(-Д—
— _ зр г3
2л р5 ’
ЗР rz2
Xrz~ 2л р5 •
(3.20а)
(3.20b)
(3.20с)
(3.20d)
§ 3.2. Сосредоточенная нормальная сила
65
Легко видеть, что выражения (3.19) и (3.20) идентичны, если
в (3.19) положить х = г, у — 0, ох = иг и = ое. Заметим
также, что
1 1 Р (1 +v)z /о г>л \
ar + °е + Gz — ---------• (3.20е)
Нормальные и касательные напряжения о2 и хгг действую-
щие внутри полупространства на площадках, параллельных
свободной поверхности, не зависят от „коэффициента Пуассона.
Рассмотрим результирующее напряжение S, действующее на
такой площадке. В точках пересечения таких площадок со сфе-
рической поверхностью диаметра d, касающейся поверхности
полупространства в точке О (см. рис. 3.2), имеем
2 »И + ^)1/2=& f=w = const>
а результирующее напряжение направлено к точке О. Суще-
ствует некоторая аналогия этого результата с полученным для
сосредоточенного вдоль прямой нагружения (см. § 2.2 и
рис. 2.2). Следует заметить, однако, что в пространственном
случае напряжение S не является главным, главные напряже-
ния действуют не в радиальном направлении и поверхности
уровня максимального касательного напряжения несферические.
Тимошенко и Гудьер [345] выразили деформации через на-
пряжения и посредством интегрирования, так же как в § 2.2,
определили перемещения
<3-21а>
Этот результат согласуется с выражениями (3.18). На поверх-
ности полупространства (z = 0) имеем
Ur~ 4nG г ’ (3.22а)
“z = 2nG V ’ (3.22b)
Из выражения (3.22b) видно, что профиль деформирован-
ной поверхности имеет форму гиперболоида, который асимпто-
тически приближается к недеформированной поверхности полу-
пространства при увеличении расстояния от точки О и отражает
наличие теоретически неограниченной осадки в точке О
(см. рис. 3.2).
Напряжения и перемещения от действия нормального дав-
ления, распределенного по области S поверхности полупро-
66 Гл Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
странства, теперь могут быть найдены посредством’ суперпози-
ции с использованием разультатов, полученных для сосредото-
ченной силы. В обозначениях рис. 3.1 мы будем находить нор-
мальные смещения йг в произвольной точке поверхности В (х, у)
и компоненты напряжений в любой внутренней точке А (х, у, z)
от действия давления р(£, ц), распределенного по области S на
поверхности полупространства.
Перейдем к полярным координатам (s, <р) с началом в точке
В; при этом давление p(s, <р), действующее на элемент поверх-
ности в точке С, эквивалентно силе величиной psdsdq. Переме-
щение поверхности в точке В под действием этой силы полу-
чается из выражения (3.22b),"в котором г = ВС = s. Переме-
щение в точке В от действия давления, распределенного по всей
области S, есть
йг = —j р (s, ср) ds dq>. (3.23)
s
Компоненты напряжений в точке А находятся интегрированием
соответствующих компонент напряжений от действия сосредото-
ченной силы, определяемых выражениями (3.19).
§ 3.3. Давление, распределенное по области многоугольника
(а) РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ
В этом параграфе мы рассмотрим случай равномерного рас-
пределения давления, приложенного по области поверхности,
ограниченной многоугольником с прямолинейными сторонами
(рис. 3.3(a)). Требуется определить нормальное смещение
(осадку) йг произвольной точки В(х, у) поверхности и компо-
ненты напряжений во внутренней точке А (х, у, z) полупро-
странства.
Обозначим через ВНЪ ВН2, ... отрезки перпендикуляров дли-
ной hi, hz, ..., опущенных из точки В соответственно на сто-
роны многоугольника DE, EF и т. д. Тогда полигональную об-
ласть нагружения можно представить в виде алгебраической
суммы восьми прямоугольных треугольников:
DEFG = [ВЕН1 + BEHZ + BFН2 + BFH3] -
- [BDHi + BDHi + BGH3 + BGHi}.
Аналогичное разбиение на прямоугольные треугольники можно
выполнить и в том случае, когда точка В лежит внутри много-
угольника. На рис. 3.3(b) показана типичная треугольная об-
ласть.
§ 3.3. Давление, распределенное по области многоугольника
67
(Ь)
Рис. 3.3.
Если давление распределено равномерно, выражение (3.23)
принимает вид
2 Ч>1 z si >. 2 <Р‘
й21в = -^^-р J I J ~£v р J Asecq>d(p =
о \о / о
= р JL 1пГ 1+М1. (3.24)
яЕ 2 L 1 — sin <Pi J 4
Результирующее перемещение точки В под действием равно-
мерно распределенного по полигональной области DEFG дав-
ления находится посредством комбинации соотношений вида
(3.24), соответствующих всем восьми треугольникам. Компо-
ненты напряжений во внутренней точке А (х, у, z) определяются
путем интегрирования компонент напряжений (3.19) от дей-
ствия сосредоточенной силы, однако это довольно громоздкая
процедура.
68 Гл. 3, Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Ляв [237] детально проанализировал случай равномерно
распределенного давления по прямоугольной области 2п X 2&.
Смещение (осадка) произвольной точки (х, у) поверхности
определяется выражением
А = (х + а) In J. <« + »> + Ц» + Ч’ + <?+-°>Ч” ) +
i-V2 р { (г,_Ь)+[(г,_Ь)2+(х + а)2]1/2 J
। 1 г.м„ Г (х + а)+ [({/ +Ь)2 + (х + а)2]1/2 ) ,
+ + { («-<,) + |(f + 6>> + (>-«)T'! J +
+ (х - a) In f ) +
(. (У + b) + [(г/ + b)2 + (x - a)2]1'2 J
+ (у — b) In f а.) + [(У ~ &)2 + (x ~ 1. (3.25)
I (x + a) + [(j/ - b)2 + (x + a)2J1/2 J
С помощью выражений, найденных Лявом [237], можно
определить компоненты напряжений в произвольной точке тела.
Ляв отметил то обстоятельство, что касательное напряжение хху
имеет теоретически бесконечные значения в углах прямоуголь-
ника. Во всех остальных точках все компоненты напряжений
конечны. На поверхности в центре прямоугольника имеем
Pxlo = —p[2v + -^-(l — 2v) arctg-|-j,
ов Io = — P [2v + (1 — 2v) arctg y],
0>z Io == P‘
(3.26а)
(3.26b)
(3.26с)
Эти результаты применяются при численном решении более
сложных контактных задач, когда используются равномерно на-
груженные прямоугольные «граничные элементы» (см. § 5.9).
(Ь) НЕРАВНОМЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ
Случай произвольного распределения давлений по много
угольной области может быть исследован только численно.
В этой связи обычно вводится в рассмотрение треугольная
область DEF, на которой давление линейно изменяется от зна-
чения ра в точке D до ре в точке Е и pf в точке F, как показано
на рис. 3.4, т. е. пространственная эпюра давлений имеет пло-
скую грань def. На треугольные элементы, подобные DEF, мож-
но разбить произвольную полигональную область. Таким обра-
зом, непрерывное неоднородное распределение давления по всей
области можно аппроксимировать линейными распределениями,
аналогичными показанным на рис. 3.4. Эта аппроксимация не-
прерывного неоднородного распределения давлений является
улучшенной по сравнению с аппроксимацией, основанной на
§ 3.3. Давление, распределенное по области многоугольника
69
использовании граничных элементов с равномерными распреде-
лениями давления, поскольку скачки давления на сторонах эле-
ментов в этом случае устранены и заменены скачками градиен-
тов давления.
Показанный на рис. 3.4 элемент далее упрощается посред-
ством разбиения на три тетраэдральных элемента давления; на
первом из них давление имеет величину ра в точке D и линейно
уменьшается до нуля на стороне EF\ на втором давление равно
Рис. 3.4.
ре в точке Е и линейно падает до нуля на стороне FD; на
третьем давление равно pf в точке F и исчезает на стороне DE.
Калькер и ван Ранден [219] в связи с численным решением
контактных задач вычислили коэффициенты влияния для нор-
мальных смещений uz(x,y) поверхности под действием распре-
деления давлений, показанного на рис. 3.4. Аналогичным обра-
зом Джонсон и Бенталл [197] исследовали осадку поверхности
под действием пирамидального распределения давления, при-
ложенного по области правильного шестиугольника на поверх-
ности упругого полупространства. При этом максимальное дав-
ление ро действует в центре О шестиугольника и линейно умень-
шается до нуля на его сторонах. Было найдено, что в центре
осадка равна
йг 1о = 3 д/З (In 3) (1 — v2) рос/(2л£),
где с — длина стороны шестиугольника, а в вершинах она равна
1/3 этой величины.
Свек и Гладуэлл [335] получили явные формулы в случае
полиномиального распределения давления по треугольной обла-
70 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок па полупространство
сти. Кунерт [226] вычислил напряжения и деформации, вызы-
ваемые распределением давлений вида ро (1 — х2/а2)1/2, при-
ложенным по прямоугольной области х — +tz, у =
§ 3.4. Давление, приложенное по круговой области
На рис. 3.5 показана круговая область радиуса а. Требуется
определить перемещение в точке В поверхности и напряжения
во внутренней точке А под действием давления, распределен-
ного по круговой области. Решения в замкнутой форме -можно
найти для осесимметричных распределений давления вида
p==Po(l-rW. (3.27)
Рассмотрим подробно решения для некоторых частных значе-
ний п.
(а) РАВНОМЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ (п = 0)
Интерпретируя давление р в точке С, действующее на эле-
ментарную площадку sdsdq> поверхности, как сосредоточенную
силу, с помощью выражения (3.23) найдем нормальное переме-
щение
\\d^ds-
s
Остановимся сначала на случае, когда точка В лежит внутри
круговой области (рис. 3.5(a)). Пределы интегрирования по s
равны
«1,2 = — г cos ср ± [г2 cos2 ф + (а2 — г2)]1/2. (3.28)
Тогда имеем
«г = -1"/ р $ 2 [г2 cos2 ф + (а2 — г2)]1/2 dtp =
о
л/2
4(1— v2) pa f Г, г2 . о "ji/2
=------------- И1 ~ S1IV =
о
= г<о, (329а)
*> Поля напряжений, создаваемые линейным распределением нагрузки,
действующим в прямоугольной и треугольной областях, аналитически най-
дены в работах А. Я- Александрова и его сотрудников. Библиографию
см. в работе: Александров А. Я. Решение плоских и пространственных основ-
ных задач теории упругости путем численной реализации метода интеграль-
ных уравнений. — В кн.: Механика деформируемого тела. — М.: Наука, 1986,
:. 9—23. — Прим. ред.
§ 3.4. Давление, приложенное по круговой области
71
Рис. 3.5. Давление, приложенное по круговой области. К вычислению пере-
мещений: (а) во внутренней точке В; (Ь) в точке В поверхности.
где Е(г/а) — полный эллиптический интеграл второго рода мо-
дуля г/а. В центре круга: г — О, Е(0) = л/2, тогда
«Z 1о = 2 (1 — V2) ра/Е.
На краю круга: г/а=\, Е(1)=1, откуда
L = 4 (1 — v2) раЦлЕ).
Среднее перемещение по круговой области равно 16(1—v2) X
X ро/(3л£).
Вследствие осевой симметрии тангенциальные перемещения
поверхности должны быть радиально направленными. Согласно
выражению (3.22а), тангенциальное перемещение в точке В под
Действием элементарной нагрузки в точке С равно
(1 — 2v) (1 + у) ps ds dtp
2ttE s
72 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
и действует в направлении т В к С. Следовательно, радиальная
составляющая этого перемещения есть
(1- 2v)(l+v) . ,
ur = 2----2лЕ----~ р cos “<р'
Результирующее перемещение под действием полной нагрузки
равно
2л
йг — ~ 22л/? Р 5 I— r cos cos2 Ф + °2 — г2)1/2] cos <р с?ф.
о
Интеграл от второго слагаемого в пределах от 0 до 2л дает
нуль, отсюда *
йг = -(1-2v)(l+ v)pr/(2E), (3.29b)
Обратимся теперь к случаю, когда точка В лежит вне кру-
говой области нагружения (рис. 3.5(b)). В этом случае пределы
интегрирования по <р равны ±фь так что
2 4,1
wz — 2 1"^v (а2 — г2 sin2 <р)1/2 dtp.
о
Выполняя здесь замену переменной интегрирования a sin % =
= г sin ф (угол % показан на рис. 3.5(b)), получим
л/2
_ 4(1—v2) С a2cos2ZdZ
~ л£ Р J r[l —(a2/r2) sin2 Л] ~~
о
(3.30а)
где K(a/r) — полный эллиптический интеграл первого рода мо-
дуля а[г.
Тангенциальное перемещение в точке В является радиаль-
ным и определяется формулой
<й
2 (1 — 2v) (1 + v) Г , 2 9-9 \1/2 .
иг —-------------- р \ cos ф {а2 — г2 sin2 ф) dtp.
о
Переходя, как ранее, к переменной получим
л/2
2 (1 — 2v) (1 + v) а2 р 9, „
Ur =------------------- р -- \ COS2 Л =
r пЕ г j
о
— (1“2^' + ',) Р^Г, г>а. (3.30Ь)
Отметим, что, поскольку величина рла2 равна полной нагрузке
на поверхность, тангенциальные перемещения вне нагруженной
§ 3.4. Давление, приложенное по круговой области 73
области, определяемые выражением (3.30b), совпадают с пере-
мещениями для случая, когда вся нагрузка сосредоточена в
центре круговой области (см. выражение (3.22а)). Из принципа
суперпозиции следует, что этот вывод справедлив для произ-
вольного осесимметричного распределения давлений по круго-
вой области.
Напряжения на поверхности в области нагружения можно
найти с помощью выражений (3.29). Имеем
- __ дйг - йг (1—2v)(l+-v) /поп
е, = -^- = ее = —=-------------------р, (3.31)
откуда, учитывая соотношения закона Гука, получаем
Gr = Ge = — '/2(1 4-2v)p, дг= — р. (3.32)
Для определения напряжений внутри полупространства в
точках оси z воспользуемся выражениями (3.21) для напряже-
ний от сосредоточенной силы. Рассмотрим кольцевой элемент
площадью 2nrdr и радиусом г. Нагрузка на кольцо равна 2nrpdr,
подставляя это в выражение (3.20с) и интегрируя по площади
круга, находим
ог = — Зр ( — rz 5/2- dr = — р Г1-----z . (3.33а)
2 r J (r2 + z2)5/2 I (a2 + z2)3/2J
На оси z имеем ог = с?е, следовательно, подставляя выражение
для давления на кольцевой элемент в (3.20е), получим
а
. . 1 + v С 2jtrz dr
<yr + oe + <Jz~ — р\ (r2 + z2}3l2 —
= 2 (1 + v) р [z (г2 + z2)~1/2 - 1],
откуда
ог —ое— р[ 2 (а2+.г2)1/2 + 2(а2 + г2)3/2 ] /3‘ Ь)
Компоненты напряжений в других точках внутри полупростран-
ства исследовались Лявом [237].
(Ь) ПОСТОЯННОЕ НОРМАЛЬНОЕ СМЕЩЕНИЕ (ОСАДКА) (п = —1/2)
Ниже будет показано, что распределение давлений вида
р = Ро(1-г2/«2Г1/2 (3.34)
приводит к одинаковым нормальным смещениям (осадкам) всех
точек круговой нагруженной области. Следовательно, приведен-
ное распределение давлений возникает под плоским основанием
74л.3. ействие сосредоточенных нагрузок на полупространство
гладкого цилиндрического штампа, вдавливаемого в упругое по-
лупространство по нормали к поверхности. Эта задача является
осесимметричным аналогом двумерной задачи, рассмотренной
в § 2.8.
Учитывая, что г2 = r2--|- s2 -f- 2rs cos ф в обозначениях
рис. 3.5(a), имеем
р (s, ф) = роа (а2 — 2ps — №)-1/2, (3.35)
где а2 = а2 — г2, р = г cos ф. Перемещения точек нагруженной
области, согласно выражению. (3.23), равны
йг (г) -1 -g роа Г 5 (а2 — 2ps — s2)~I/2 dsl dtp,
о Lo J
где пределом интегрирования sj служит положительный корень
уравнения а2 — 2ps — s2 = 0. Имеем
(а2 — 2fJs — s2)~1/2 ds = -arctg,
о
Р (<₽) , Р (<р + л)
arctg . — — arctg - -—- ,
следовательно, интеграл от arctg(p/a) в пределах изменения
от 0 до 2л равен нулю. Таким образом, перемещение равно
2л
1 — v2 Г Г л t Р 1 j л (1 — v2) роа
Uz = ~"л£ ' J [V ~ arctg a J = ~-----------Е ' ' ’ (3,36>
о
что является положительной величиной, не зависящей от г.
Полная нагрузка есть
Г z г2 ч —1/2
Р —у2лгр0 --------dr = 2na2p0. (3.37)
о
Если точка В лежит вне нагруженной области (см. рис. 3.5(b)),
то
р (s, ф) = рой (а2 + 2fJs — s2)-1/2,
а пределами интегрирования служат корни уравнения а2 +
+ 2ps — s2 = 0, следовательно,
s2
(а2 + 2р« — s2)"1/2 ds — л.
S1
Пределы интегрирования по ф есть <pi, 2 = arc sin(r/tz), откуда
йг {г) — ~~е V ' Рой arcsin . (3.38)
§ 3.4. Давление, приложенное по круговой области
75
Как и в случае двумерной задачи, давление теоретически бес-
конечно на углах штампа и градиент смещений поверхности на
концах участка контакта также неограничен. Напряжения
внутри полупространства исследовал Снеддон [325].
(с) ДАВЛЕНИЕ ГЕРЦА (и = 1/2)
Давление, развивающееся между двумя контактирующими
гладкими упругими телами вращения, определяется теорией
Герца (см. гл. 4):
р(г)-^(ц2-г2)1/2,
(3.39)
откуда полная нагрузка равна Р — 2/3лр0а2. Способ определе-
ния осадок остается таким же, как в предыдущей задаче
(§ 3.3b); обозначений также сохраняются. Таким образом, нор-
мальные перемещения точек нагруженной области равны
«г (О = -1—/ ' ДГ $ К (“2 — 2₽s — «2)1/2 ds d(P’
(3.40)
§ (а2 — 20s — s2)V2 ds = а0 -i- (а2 4- p2) [-2- — arctg .
*o
Члены а0 и arctg(0/a) при интегрировании по <р в пределах от
0 до 2л исчезают, так что
«г = 1 л/ ' ДГ $ Т “ r2 + cos2 Ф) d(P =
о
= -Цг±-1Ч2а2-'-2), (3.41а)
Для определения тангенциального перемещения в точке В, ко-
торое вследствие симметрии должно быть радиальным, восполь-
зуемся выражением (3.22а). Давление на элементарной пло-
щадке в точке С вызывает тангенциальное перемещение в
точке В, равное
(1~22лД—
направленное от В к С. Радиальная составляющая этого пере-
мещения есть
(1 — 2-v) (1 +v) , ,
— !~ Р cos <р dsdff.
76 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Следовательно, результирующее тангенциальное перемещение
в точке В под действием полного распределения давлений равно
Цг (г) = —--22пЕ + S f S (а2 — ~ S^1,Z cos &Р"
о L о J
Интегрирование по s дает такой же результат, как для нормаль-
ного перемещения, а после интегрирования по ср получаем
и, (г) - (. - j-)”], г<а. (3.41b)
Если точка В лежит вне нагруженной области, то, выполняя
аналогичные выкладки, получим
«г (И = — 1 [(2а2 — г2) arcsin у- +
+ г2-5-(1г > а. (3.42а)
Тангенциальное перемещение вне нагруженной круговой обла-'
сти такое же, как если бы нагрузка была сосредоточена в
центре, поэтому в соответствии с выражением (3.22а) имеем
иг
(1 — 2v) (I 4- v) а2 „
~ ~ ЗЕ р0~Г’ Г> °’
(3.42b)
Компоненты деформаций на поверхности ёг — дйг/дг и ёе —
— иг/г можно определить из соотношений (3.41) и (3.42), после
чего можно найти также компоненты напряжений на поверхно-
сти z = 0. Для точек нагруженной области получим
(3.43а)
(3.43b)
(3.43с)
а для точек вне нагруженной области
<тг _______ сге_____ (1 — 2у) а2
ро ро Зг2
(3-44)
Таким образом, вне нагруженной области радиальное на-
пряжение является растягивающим. Оно достигает своего мак-
симального значения на граничной окружности г = а. Это
аибольшее растягивающее напряжение в полупространстве. На-
пряжения на оси z нетрудно вычислить, рассмотрев элементар-
§ 3. . Давление, приложенное по круговой области
77
ное кольцо радиуса г, на которое действуют сосредоточенные
силы. Получим
= + - + 1(1+
к=~ (‘+5-Г- <ЗЛ5Ь>
Напряжения в других точках тела были вычислены Губером
[176], а также Мортоном и Клоузом [272]. Распределение на-
пряжений иллюстрируется на рис. 4.3, где оно сравнивается
с распределением напряжений, вызванных действием равно-
мерно распределенного по круговой области давления, опреде-
ляемого выражением (3.33). На оси z напряжения ог, ое и о2
главные. На рис. 4.3 нанесено также максимальное касатель-
ное напряжение п — ’/^[от— ое|- Оно достигает максимального
значения в точке, лежащей под поверхностью. Для распределе-
ния Герца наибольшее значение п достигается в точке z = 0.57 с
и равно
(tiUx = 0.31A) = 0.47P/(TO2). (3.46)
В случае равномерно распределенного давления наиболь-
шее значение достигается в точке z = 0.64с и равно
(TiUx = 0.33ро = О.ЗЗРДлс2). (3.47)
Оба значения вычислены для v = 0.30.
(d) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА (п = пг—1/2)
Распределение давления вида
1-2т / 2 2\т-1/2
рт — Pod \а — г ) 1 ,
(3.48)
где т — целое число, вызывает нормальное смещение внутри
нагруженной области, определяемое в обозначениях (3.35) сле-
дующим выражением:
1 2 С С
йг — ~v—\ \ (а2 — 2ps — s2)m-lP ds dtp. (3.49)
£ nf’*'1’ 1 J J
0 L 0 J
Формулы приведения для интеграла по s позволяют получить
решения в замкнутой форме [244]. Результирующие выражения
Для йг представляют собой полиномы переменной г порядка 2т.
В частности, для рассмотренных выше примеров случай т — 0
соответствует постоянному перемещению, а случай т = 1 —
перемещению, квадратичному по г.
Альтернативные методы, связывающие полиномиальные рас-
пределения перемещений с распределениями давлений вида
1—2m 2т/ 2 2\-1/2
Pm = Ptfl Г \CL — Г ) 1 ,
78 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
были разработаны Г. Я- Поповым [300] с использованием поли-
номов Лежандра и И. Я. Штаерманом [333]. Если в круговой
нагруженной области перемещение может быть представлено в
виде полинома по г четной степени, то с помощью этих методов
соответствующее распределение давления можно выразить в виде
суммы распределений указанного типа (см.' § 5.3).
§ 3.5. Давление, приложенное по эллиптической области
В гл. 4 будет показано, что при взаимном сжатии двух тел
несогласованной формы область контакта имеет эллиптическую
конфигурацию. Следовательно, исследование напряженно-де-
формированного состояния полупространства, к которому нор-
мальные и касательные усилия прикладываются по эллиптиче-
ской области, представляет практический интерес. Поскольку
окружность есть частный случай эллипса, можно ожидать, что
результаты для эллиптической области будут качественно по-
добны результатам, полученным в предыдущем параграфе для
случая круговой области. Это действительно так, и мы рассмот-
рим распределения давлений вида
р(х) = ро[1--5--ДП, (3.50)
которые действуют по области, ограниченной эллипсом х2/а2 -[-
+t/2/62 = 1. Как обычно, будем следовать классическому под-
ходу, основанному на применении потенциальных функций Бус-
синеска. Согласно выражению (3.10), имеем
Ф (х, у) = J J [1 — Р-1 (3.51)
s
где р2 = (g — A:)2 + (fl — t/)2 + z2. Нормальное перемещение по-
верхности определяется выражением (3.16с):
«2(х, у) = “^Фи-
Из теории потенциала (см., например, [312] ) следует, что для
произвольной точки тела справедливо представление
У’ ^^^ТТА + з/Г
ОС
X И1 - -------------------Г,/2 (3.52)
а + ш b2 + w w ) [(а2 + w) (fe2 + w) w]1/2
§ 3.5. Давление, приложенное по эллиптической области
где Г — гамма-функция, а X] — положительный
нения
хг у2 , г2
а2 + Л'г£>2 + Л'гЛ-
корень урав-
(3.53)
по геометрическому смыслу %] представляет собой параметр
эллипсоида, конфокального с данной эллиптической областью,
поверхность которого проходит через рассматриваемую точку
(х, у, z). Для определения функции ф(х, у, 0) в точках поверх-
ности, лежащих внутри нагруженной области, нижний предел
интегрирования в (3.52) следует взять равным нулю.
Рассмотрим некоторые частные случаи, соответствующие
различным значениям п.
(а) ПОСТОЯННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ (п = —1/2)
Подставляя п — —1/2 в (3.52), имеем
оо
ф (х, у, z) = лроаЬ \ -тт-2-—турт,—•
J Ца 4-от)(6 +от)от]м
(3.54)
а на поверхности z — 0 внутри нагруженной области
оо
Ф (х, у, 0) = лр(рЬ \ 7 2 ; 2- 1/2 . (3.55)
J ца +w)wi'
Этот интеграл равен константе независимо от значений х и у
(в пределах области приложения нагрузки); после приведения
его к стандартной форме эллиптического интеграла и подста-
новки в выражение (3.16с) находим
«г = -Ц^-2р06К(е), (3.56)
где е = (1 — Ь2/а2)1/2 — эксцентриситет эллипса (с^й). Итак,
получено постоянное перемещение граничных точек полупро-
странства в области нагружения, которое соответствует вдавли-
ванию в него жесткого гладкого штампа с плоским основанием
эллиптической в плане формы. Давление под штампом есть
IX Fl х2 У2 1~1/2 /О Г
р(х, £/) = А)[1 —-^г —-рг] . (3.57)
откуда полная нагрузка равна Р = 2nabp0. Осадку кругового
штампа, определяемую выражением (3.36), можно получить из
формулы (3.56), положив в ней а = Ь или е — 1.
80 Tjl 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
(Ь) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕРЦА (п = 1/2)
В этом важном случае давление определяется формулой
(3-58)'
Следовательно,
оо
ф(х, у, z) = 4-^Po$(l
X и 2 wj, ) 1I/2’. (3.59)
» [(a + w) (b + w) w] '
а на поверхности внутри нагруженной области
оо
ф(х, у, Q) = -Lnabp0^l--~^-1^-)x
о
Х l(a2 + w) (b2+w)w]1'2 ‘ (3‘60)
Перемещение поверхности в области нагружения можно пред-
ставить в виде
«г = ~ Мх* ~ (3-61>
где
оо
Л1 npBab f dm
~~ J [(а2 + ш)3 (b2 + w) w]1'2 ~
= Т§ЙК(е)-Е« (3.62а)
оо
д.__лрваЬ Г dw _
2 " [(я2 + ®) (Ь2 + то)3 то]
=т^[-^Е(е)-к(е)]’ (3-62Ь)
оо
L яр^ь С dm = яро&к (е)> (3>62с)
2 J [(а + и?) (fe -\-w)wi '
Полная нагрузка на эллиптическую область равна
P = 2l^w.bp0. (3.63)
Компоненты перемещений и напряжений в произвольной
точке полупространства с помощью представления (3.59) непо-
§ 3.5. Давление, приложенное по эллиптической области
81
средственно определить нельзя, во-первых, потому, что предел
интегрирования Xi является корнем кубического уравнения
(3.53), а, во-вторых, из-за того, что для вычисления компонент
напряжений необходимо определить дополнительную функцию
оо
•ф! = ф dz. Однако при определении напряжений на оси z эти
Z
трудности преодолимы. В этом случае Xi = z2 и интегрирование
по z для определения производных ф1 проводится непосред-
ственно. Соответствующие вычисления, выполненные в работах
[30, 243, 342], дают следующие выражения для напряжений в
точках оси Z'.
Ро =-^-(Gx+vq;), (3.64а)
Ро (3.64b)
b 1 — г2 (3.64с)
Ро е2а Т
где
Йх = -4-(1-7’) + Пр(<Р, е)-Е(<р, е)],
= 1 - -g-7' + g[-fi-E(<p, e)-F(<p, е)],
= 4—-Й-Г + ^[-р-Е(<Р. е) — F(<p, е)],
Q; = -l+T + g[F(<p, е)-Е(«р, е)],
Эллиптические интегралы F (ф, е) и Е (ф, е) затабулированы б.
В области- контакта вдоль оси х имеем
= —2vy - (1 - 2v) Д-IY1 - -~Агth
(3.65а)
-^==-2vy-(l -2v)-A-IW- 1) +— Ar th Y|,
Po ' ' ' ae2 L\ b ) ае k a + 6y ) J
(3.65b)
1} Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
математическими таблицами./Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана.—М.:
Наука, 1979, —830 с.
82 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
а вдоль оси у
= ~2vy — (1 — 2-v) -A 1------—)----------— arctg Г-гт—-
Ро ' ' ае2 \\ a J ае ь L b (ay + b) JJ
(3.66а)
— = _2vY - (1 - 2v) A |f А - 1) + — arctg kALj},
Ро г v / ае2 (к & ) 1 ае ь L о (ay + b) J J
(3.66b)
где у = (1—х2/а2— у2/&2)1/2. В центре (х = у = 0) имеем
^==_2v_(1_2v)_^_, (3.67а)
<3-67b>
Вне нагруженной области на поверхности полупространства
нормальные напряжения равны по величине и противоположны
по знаку, т. е. реализуется состояние чистого сдвига:
-тагс,в(-^)]' <3-68а>
= - (1 - 2v) [X Ar tb (X) _ X „с tg (“•-)}. (3.68b>
Фесслер и Оллертон [105] определили касательные напря-
жения Tzx и хуг в плоскостях симметрии у = 0 и х = 0 соответ-
ственно:
гл , Ar3/2(±L_|_.M-1/2
tzx ____b_ х ( z \2 Lk a2 J a2 J k a2 a2 )
Po a a \ a J f ax V / az V
\ a2 + Xi ) \ Л1 /
ГГ1 _Л1Л M“3y2
Чуг =_f_y_ Lk b2 ) b2 \ \,b2 л b2 )
Po b b \b) / by Vi/'62')2
(3.69a)
(3.69b)
где A,i — положительный корень уравнения (3.53). Сакфилд и
Хиллс [314] получили выражения, из которых можно опреде-
лить компоненты напряжений в произвольной точке полупро-
странства.
§ 3.6. Сосредоточенная касательная сила
83
(с) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА (п = т —1/2)
В этом случае из представления (3.52) следует выражение
для перемещения поверхности внутри эллиптической области
«2 (*, у) — пЕ Ф lz=0 е Г (п + 2/3)
оо
xj(1 [(а2+®)(б2+®)®]1/2 • (3-70)
Раскрывая скобки в подынтегральном выражении, получаем,
что перемещение принимает вид
йг = Со + £ Ctx2ly^m~lK (3.71)
z=i
Если, наоборот, в эллиптической области распределение переме-
щений задано в полиномиальном виде (3.71), что может иметь
место в случае вдавливания в полупространство жесткого глад-
кого штампа с основанием соответствующего профиля, то рас-
пределение давлений под штампом эллиптической в плане фор-
мы представляется в виде
Р(х. ^)"'2. (3.72)
Общие выражения для определения связи между коэффициен-
тами Ci и C'i даны Шейлом [320] и Гладуэллом [124].
§ 3.6. Сосредоточенная касательная сила
В этом и следующем параграфах мы займемся исследованием
полей перемещений и напряжений, ’возникающих в полупро-
странстве под действием касательных усилий qx(%, г]), прило-
женных по области S. Касательные усилия qy(i, т]), действую-
щие параллельно оси у, и нормальные давления р считаются
равными нулю. Полагая Gi = — G = Н — 0 в выражениях
(3.2) — (3.7), получим
ф =
дх ’ т дх dz
откуда
_ 1 Го , 9„ , d*Ft -|
их ~~ 4nG I dz2 дх2 дх2 dz ] ’
1 Г9 d2Ei d3Fi j
иУ 4nG L V дхдц Z дх dy dz J ’
1 Г,, о ч 1
Иг— 4nG Г1 dxdz Z dxdz2]’
(3.73a)
(3.73 b)
(3.73c)
84 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
где
Л = jj jj Ух (В. П) [г In (p + z) — p] d£di\,
P2 = (В — x)2 + (П — У)2 + z2.
Подставляя соответствующие производные в соотношения (3.73),
получим
1 С f /6 'if1 I 1 - 2v . (g — x)2
Ux~ 4nG J J Vх L p + p + z + p3
s
- (3.74a)
s
-(1 -2v) Л*), (3.74b)
s
+ d - 2v) .1 dt, dip (3.74c)
T J
Теперь примем, что касательные усилия сосредоточены в ис-
чезающе малой окрестности начала координат, так что инте-
грал от касательных усилий qx по области S сводится к сосре-
доточенной силе Qx, приложенной в начале координат (| =
= т] = 0) и действующей параллельно оси х. Выражения для
перемещений в теле сводятся к следующим:
их = J2- + + (1 - 2v) Г-1---( Х1 <г ]} > (3.75а)
х 4jeG ( р р3 1 4 Lp + z p(p + z) JJ
h„^4^[^--(1-2v) ,21, (3.75b)
У 4jtG L pd 4 P (p + z) J
Ы2^4^Г^ + (1-2у) /х.], (3.75c)
z 4nG L P3 v ' p (p + z) J
где p2 = x2 + y2 + z2. Посредством дифференцирования выраже-
ний (3.75) находятся компоненты деформаций, а затем и напря-
жений:
2лах Qx “ - р.+0 2<> р(р3;г)>+ 1 РЧР + г)- + Р-ЛЛ <3-76а>
2шуу Qx 7 +<1 2<р> р(р + г)4 1 + рч7+р>- 1 рчХ>4 (3-76Ь)
§ 3.7. Однонаправленные касательные усилия
85
2ло2 3xz2 Г у 4- (3.76с)
Qx %ЛХху Р5 ’ Зх2г/ , п
Qx р5 "Г (1 । х2у 'L p(p + z)2 1 2х2г/ ] (3.76d) (3.76е)
Р3 (Р + z)2 3xyz 1 р2(р + z)3 J’
Qx Р5 ’
2лт2Х Qx 3x2z Р5 ’ (3.76f)
2л , + + °г) = -2(1+v)-^. (3.76g)
Полагая в приведенных выражениях z = 0 и р = г, определим,
напряжения и перемещения на поверхности полупространства.
Полученные выражения можно использовать для определения
посредством суперпозиции компонент напряжений в полупро-
странстве от действия заданного распределения касательных
усилий.
§ 3.7. Однонаправленные касательные усилия, распределенные
по эллиптической или круговой области
Действие касательных усилий на поверхность упругого по-
лупространства исследовалось не так детально, как действие
нормального давления, тем не менее распределение касатель-
ных усилий вида
?х(х, У) = q0 [1-£ -Д", (3.77)
приложенных параллельно оси х по области, ограниченной эл-
липсом
x2/a2 + y2/b2 = 1, (3.78)
является важным в теории контактных задач. Это распределе-
ние касательных усилий аналогично распределению давлений,
рассмотренному в § 3.5 (см. соотношение (3.50)). Чтобы опре-
делить те рамки, в которых эти задачи аналогичны друг другу,
сравним выражения (3.73) для перемещений от действия каса-
тельных усилий с выражениями (3.11) для перемещений от дей-
ствия нормального давления. Учитывая, что ф] = dHx/dz и
ф = д2Нх/дг2, заключаем, что между этими двумя группами
соотношений нет полной аналогии. Выражения для перемеще-
ний от действия касательных усилий нельзя непосредственно
получить из известных выражений для перемещений от действия
86Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
подобного распределения нормальных давлений. Тем не менее
некоторая аналогия все же имеется. Если коэффициент Пуас-
сона равен нулю, перемещения поверхности от действия каса-
тельных усилий равны
1 d2Fl _ п 1 dzFl „
их = v-a- , , , и„ = 0, и, = .-7Т- , а , (3.79)
х 2nG dz2 ’ V ’ z 4nG dxdz v '
тогда как соответствующие перемещения от действия нормаль-
ного давления суть
- - 1 й2Д 1 _ 1 d2H!
их — ии — д д uz = о „ д-g-. (3.80)
х » 4nG dxdz' 2 2nG dz2 ' ’
Согласно определениям (3.2), потенциалы F\ и Н\ анало-
гичны и при действии идентичных распределений касательных
и нормальных усилий qx и р имеем .
(fix)q (Pz)p> tPz)q ' (Дк)р (3.81)
при условии, что -v = 0. Следует иметь в виду, что указанная
аналогия в случае нагружения полупространства, соответствую-
щего плоской деформации, справедлива для любого коэффи-
циента Пуассона (см. соотношения (2.30)).
Для ненулевых значений коэффициента Пуассона соотноше-
ние (3.52) теории потенциала нельзя использовать для опреде-
ления производной d^Fi/dz2, соответствующей функции ф, и мы
должны исходить из соотношений (3.74).
§ 3.7. Однонаправленные касательные усилия
87
(а) КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ, п = —1/2
Рассмотрим следующее распределение усилий:
qx (х, у) = q0 (1 — г2/а2)- '/2,
(3.82)
действующих параллельно оси х по круговой области радиуса а
(рис. 3.6). Распределение давления подобного вида (формула
(3.34)) вызывает одинаковые нормальные перемещения точек
поверхности внутри круга. По соображениям аналогии, которую
мы только что обсудили, при -v — 0 касательные усилия (3.82)
будут вызывать одинаковые тангенциальные смещения их всех
точек нагруженной части поверхности в направлении действия
усилий. Покажем теперь, что и для ненулевых значений v данное
распределение усилий вызывает одинаковые тангенциальные
смещения точек поверхности.
Для точек нагруженной области (г я) выражения для пе-
ремещений поверхности (3.74) сводятся к следующим:
ах=isg 5 5 [-Ц21+v (3-83а>
S
иу = $ $ qx (I, П) -(g <4 (3.83b)
s
(L n) drl’ (3-83c>
s
где s2 = (g — x)2 + (t) — y)2.
Эти выражения для смещений поверхности можно было бы
получить посредством суперпозиции с использованием выраже-
ний (3.75) для перемещений произвольной точки В(х, у) под
действием сосредоточенной тангенциальной силы Qx = qxd^dt],.
приложенной в точке С(|, ц).
Для вычисления интегралов по поверхности в (3.83) перей-
дем от координат (|, т]) к координатам (s, <р) (см. рис. 3.6)
с учетом соотношения
£2 + = (% -|- s cos <р)2 + {у + s sin (р)2.
Вводя обозначения а2 = а2 — х2 — у2 и р2 = х cos ср + у sin (р,
получим
qx(s, <р) = qya (а2 — 2ps — s2) V2.
(3.84)
88 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Тогда выражения (3;83) примут вид
2Л Si
§ ?*(s> ф)Ю — v) +vc°s2(p]d<pds, (3.85a)
0 0
2Л si
й» = '2л(Г§ ф) sin <P cos <p dtp ds, (3.85b)
о 0
2л si
uz = — §<7x(s> T)cos<pd<pds. (3.85c)
о 0
Предел интегрирования Si задается точкой D, лежащей на гра-
ничной окружности, для которой Si = —р + (а2 + р2)1/2. Выпол-
няя интегрирование по s, получим
(а2 — 2ps — s2)-1/2 ds = ---arctg .
.о
При интегрировании по <р в пределах от 0 до 2п следует учесть,
что р (<р) = —р (<р + л), тогда для г а будем иметь
2л
йх ~ К1 — v) + v c°s2 ф] ^Ф = ~~ 4G~V^ ‘Уо01 = const, (3.86а)
о
йу — 0, (3.86b)
2Л
(1 — 2v) qoa С , 6 ,
«г = —4лё • J cos Ф arct& ^Ф =
О
= _ U № [А (<? ~ ,г2)1/2.] (3 86с)
Нормальные усилия (3.34), которые вызывают постоянные
нормальные смещения точек поверхности в круге г а, физи-
чески интерпретировались как давление, создаваемое жестким
гладким штампом с плоским основанием круговой в плане
формы при вдавливании его в поверхность упругого полупро-
странства. По аналогии с этим может возникнуть вопрос: не
являются ли касательные усилия (3.82), которые мы только что
рассмотрели, сдвиговыми напряжениями в области контакта
упругого полупространства и склеенного с ним жесткого кру-
гового в плане штампа с плоским основанием при смещении по-
следнего в тангенциальном направлении параллельно оси х.
Строго говоря, нет, не являются, поскольку имеются отличные
от нуля нормальные перемещения (3.86с), из-за чего штамп
неплотно прилегает к поверхности полупространства без введе-
5 й./. однонаправленные касательные усилия
by
ния дополнительных нормальных и касательных усилий на гра-
нице контакта.
В. И. Моссаковский [273] и Спенс [330] определили напря-
жения, действующие на основание жесткого кругового в плане
цилиндрического штампа, сцепленного с поверхностью полупро-
странства, при заданном нормальном смещении штампа. Най-
денное распределение давлений при этом не сильно отличается
от случая гладкого штампа. Такое положение справедливо и
в случае плоской задачи (§ 2.8). Задача определения контакт-
ных усилий для сцепленного кругового в плане штампа, испы-
тывающего тангенциальное смещение, не решена, однако можно
предположить по аналогии со случаем нормального смещения
штампа, что сдвиговые напряжения под основанием штампа
будут близки к напряжениям, определяемым формулой (3.82).
Это приближение равносильно пренебрежению рассогласова-
нием нормальных смещений поверхности полупространства и
плоского основания штампа.
Определение замкнутых выражений для компонент напря-
жений в полупространстве чрезвычайно затруднительно. Изме-
нение касательного напряжения тЛ2 вдоль оси z при действии
усилий (3.82) определяется формулой
тх2 = — Ро (1 — z2/a2)~2. (3.87>
(Ь) ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ, п = —1/2
Если касательные усилия
= (3.88>
действуют параллельно оси х по эллиптической области с по-
луосями а и Ь, то, как показал Миндлин [265], тангенциальные
перемещения поверхности в точках нагруженной области в на-
правлении оси х снова постоянны:
' ^{К (е) - ~[(1 - е2) К (е) — Е (е)]}, а > Ъ,
йх = \ r . (3.89а>
^{К(е)-^[К(е)-Е(е)]}, а < Ь,
йв = 0. (3.89Ь>
(с) КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ, п=1/2
Распределение усилий
^ = ?о(1-/-7й2)1/2> (3.90>
действующих по круговой области радиуса а, можно иссле-
довать аналогичным образом, подставляя выражение (3.90)<
90 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
в соотношения (3.85) и определяя перемещения поверхности
в круге г а. Результат интегрирования по s получается такой
же, как в (3.40). Используя этот результат и отбрасывая члены,
не дающие вклада в интеграл по qp, находим
йх = t4 (2 - V) а2 - (4 - 3v) х2 + (4 - v) j/2]. (3.91а)
Аналогично получаем
й^-^-2-vx^ (3.91b)
В этом случае перемещение йх не постоянно в круговой области
нагружения, а йу отлично от нуля. Заметим, что нормальное
перемещение снова ненулевое, хотя его точного выражения мы
не приводим.
Тангенциальные перемещения поверхности вне нагруженной
области (г > а) под действием усилий (3.90) были найдены
Иллингуорсом (см. [183]):
йх = 8^{(2 “ [(2fl2 ~ агс sin Т + ar (1 — 7г-)1/2] +
+ -J- [г2arc sin -у + (2а2 — г2) (1 — 1/2(х2 — у2)},
(3.92а)
йд==’^’[/’2агс sin'7' +(2fl2 — f2)(1 — уг-У12у-]хУ- (3.92b)
Подробные исследования напряжений в полупространстве
под действием усилий (3.90) были выполнены Гамильтоном и
Гудменом [160] и затем Гамильтоном [159]. Их результаты об-
суждаются в § 7.1(b) при изучении скользящего контакта.
(d) ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ, п = 1/2
Распределение усилий
/. х2 у2\№
Ях — ?0 1 а2 Ь2 ) .
(3.93)
действующих по эллиптической области с полуосями а и Ь, об-
условливает тангенциальные смещения внутри этой области,
равные
йх = -|g- (С - Их2 - By2), (3.94а)
ay=-2g-Z)xy, (3.94b)
§ 3.8. Осесимметричные распределения усилий
91
где постоянные А, В, С и D зависят от формы и размеров эл-
липса. Они были представлены в терминах эллиптических ин-
тегралов в работе [358]. Напряжения в полупространстве были
найдены Брайантом и Киром [42], а также Сакфилдом и Хилл-
сом [315].
(е) ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ, n=m—1/2
Наконец, рассмотрим распределение усилий общего вида
ЧЛ*, У) = <7о (1 — - J — -p-)m~1/2. (3.95)
действующих по эллиптической области на поверхность полу-
пространства. В § 3.5 мы видели, что распределение давлений
такого вида приводило к нормальным перемещениям, которые
изменялись в эллиптической области как полиномы переменных
хну порядка 2т. Мы исследовали два частных случая рас-
пределения касательных усилий такого вида, соответствующие
т = 0ит=1. В первом из них мы получили постояннные пе-
ремещения — полином нулевого порядка, а во втором случае —
полиномиальные распределения перемещений второго порядка
по х и у (выражения (3.94)).
Калькер [209] установил, что общее распределение усилий
(3.95) приводит к полиномиальным распределениям тангенци-
альных смещений поверхности по х и у порядка 2т, и нашел
способ вычисления коэффициентов этих полиномов. Таким об-
разом, если в эллиптической области заданы тангенциальные
перемещения, которые могут быть аппроксимированы конечным
числом членов полиномиальных разложений, то результирую-
щие касательные усилия, обусловливающие заданные переме-
щения, можно найти в виде суммы такого же числа членов,
имеющих вид (3.95).
§ 3.8. Осесимметричные распределения усилий
Важный частный случай нагружения имеет место при дей-
ствии на границу полупространства нормальных и касательных
усилий, распределенных по круговой области симметрично от-
носительно оси z. Величины усилий в этом случае не зависят
от координаты 6, а касательные усилия направлены радиально
во всех точках. Напряженное состояние тел вращения под дей-
ствием осесимметричного распределения поверхностных усилий
исследовалось Тимошенко и Гудьером [345, гл. 13]. Из условий
симметрии следует, что компоненты напряжений тге и тдг тож-
дественно равны нулю, а остальные компоненты напряжений не
зависят от 6.
92 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Некоторые примеры осесимметричных распределений нор-
мальных усилий были рассмотрены в § 3.4. В этом параграфе
мы коснемся других задач с учетом радиальных касательных
усилий.
Начнем с рассмотрения нормальной нагрузки интенсивности
р' на единицу длины, действующей по окружности радиуса t
(см. рис. 3.6). Нормальное и тангенциальное смещения в точке
поверхности В (г, 0) находятся из выражений (3.18а, с) для слу-
чая сосредоточенной нормальной силы:
1 — v2 g С P't dd
J s
0
= 1 v2 4p't fa + r)2 — 4tr sin2 -|-1 1/2 d-%- =
0
= = <3-96a)
_ (1 — 2v)(14-v) 9 , C t cos <p dB __
rV> 2nE P J s
0
(l -2vHl+v) p2, r>t. (3.96b)
0, r < t. (3.96c)
Рассмотрим теперь нагружение касательной нагрузкой ин-
тенсивностью q' на единицу длины, действующей радиально в
точках окружности радиуса t. В произвольной точке С усилие
q' раскладывается на составляющие q'x == q' cos 6 и q'v — q' sin 6
Перемещения в точке поверхности В от сосредоточенных сил
q'xt dQ и q'yt dQ, действующих в точке С, находятся из соотно-
шений (3.75). Интегрирование по всему кольцу дает
Л
-г , ч 2 (1 — т2) , ,д , f cos 6 ,n
иг (И = - \e ? {t)t\ — dQ =
0
= *) (3.97a)
Й' (r) = I ~ ('~T+V) W. r < f; (3.97b)
I 0, Г > t. (3.97c)
Перемещения
осеси м м етр ичных
поверхности под действием распределенных
нормальных p(t) и касательных q(t) усилий
§ 3.8. Осесимметричные распределения усилий
93
определяются из соотношений (3.96) и (3.97):
й2 = ( ТТ7 Р & К W dt -
О
-~-л£~+-У) (3.98а)
Г
а
«,=S -пт Ч «[(£ - 1) к <А> —V Е («] dt -
о
_ ll-JvHl + y) J tp (/) dt. (3,98b)
0
Если r > а, то второе слагаемое в (3.98a) следует опустить,
а верхний предел интегрирования во втором слагаемом правой
части (3.98b) положить равным а. Эти выражения позволяют
определить перемещения поверхности, по крайней мере чис-
ленно, для произвольных осесимметричных распределений уси-
лий. Однако они неприменимы в тех случаях, когда задаются
перемещения поверхности, а поверхностные усилия неизвестны.
Для решения этих задач разработаны методы интегральных
преобразований. Изложение математической техники выходит
за рамки данной книги, заинтересованный читатель отсылается
к монографиям Снеддона [327] и Гладуэлла [124], а также
работе Спенса [330]. Тем не менее приведем следующие полез-
ные результаты.
Нобл и Спенс [282] ввели функции
1 1
т /о\_ 1 С РР (Р) dp м f 4 (Р) dp qq-.
— 2G J (р2 _ д,2)1/2 ’ М ™ 2G J (р2 — Л.2)1/2 ’
которые можно вычислить по известном распределениям дав-
ления р(р) и касательных усилий q(p) в нагруженной области
р = г/п^1. Если, наоборот, известны нормальные перемеще-
ния поверхности wz(p), обусловленные действием только рас-
пределенного по кругу давления р (р), то
(3.100)
или, если известны тангенциальные смещения йг(р), вызванные
Действием только касательных усилий q(p), то
х
М =. 2 (1 — v)« dT j (^^р2у/2 • (3.101)
94 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Перемещения и напряжения по поверхности полупространства
теперь можно выразить через функции Л(Х) и М(К) следующим
образом:
Ur (Р) 2 (1 — 2у)
а
KL (Л;) dK
р (л2-р2)*'2
р
4 (1 — v) Г КМ (Л.) dK
J (р2-*2)1'2
пр
р
(3.102а)
лр
ur (P) 2(1 — 2v) I (X) dK 1 1 V f KM (Л.) dK
a яр c J яр J 0 (p2-^)1'2’
«z(p) _ p 4 (1 — v) f L (K) dK 2(1— 2v) 1 С M (X) dK
a л J 0 (p2_ Л2)1/2 n j U2-P2)*'
«z(P) p 4 (1 — v) f L (K) dK ,
a Я J 0 (р2_Л2)1/2’ P- b
<7(P) 1 2 d C M(K)dK
Trz (P) 2G 2G яр dp У (Д.2 _ p2)I/2 ’ P ^5 1.
o, P> 1,
P(P) _ 1 2 d Г KL(K)dK
gz(P) . J 2G 2G яр dp J _ p2)l/2 ’ p П
'2
Р> 1
(3.102b)
(3.103а)
(3.103b)
0,
Р> 1,
Г- 1
gf(p) р(р) 2(1—2v) ( KL(K)dK
2G 2G лр2 L J (Л2-р2)‘/2
P
4 Z_d_______1 -vX Г KM (K).dK
+ яр \ dp p ) } (p2 _ ^2)1/2 ’
1
— J L (K) dK +
0 J
p< 1>
(3.103c)
яр J
i
4 _____1 -у X С KM (K) dK
яр k dp p ) J (p2_ ^2)1/2’
P> 1,
§ 3.8. Осесимметричные распределения усилий
95
ар (Р) vp(p) । 2(1—2v) [f ZL(Z)dZ
~2G G + яр2 [ J (л2-р2)1/2
1 -i
+
о J
p
4 ( d . 1 — v X f KL (Л) dZ - ,
। ° (3.103d)
0
1
. 4 / d i 1 — v Л Г ЛЛ4 (X) dZ .
+ ^r(.T dir + —J) ₽>L
Б том случае, когда в круговой нагруженной области заданы
обе функции йг и йг, соотношения (3.102а, Ь) представляют со-
бой систему парных интегральных уравнений относительно
функций £(Х) и Af(Z). Б. Л. Абрамян и др. [2], а также Спенс
[330] свели их к единственному интегральному уравнению, из
которого находятся функции L(X), Л4(Х), а следовательно, и уси-
лия р(р) и д(р).
Задача рассмотренного типа возникает при вдавливании
жесткого кругового цилиндрического штампа с плоским осно-
ванием радиуса а в упругое полупространство в условиях пол-
ного сцепления. Эта задача является осесимметричным анало-
гом плоской задачи для жесткого штампа, рассмотренной в
§ 2.8(b). Штамп внедряется в поверхность полупространства
с постоянной по области контакта осадкой 6. Таким образом,
в круговой области контакта г а имеем граничные условия
йг = б, izr = 0. (3.104)
В. И. Моссаковский [273] и Спенс [330] решили эту задачу
и показали, что нагрузка Р на штамп связана с осадкой б соот-
ношением
Р = 4G«6 In [(3 — 4v)/(l — 2v)]. (3.105)
Нагрузка на гладкий штамп определяется выражениями (3.36)
и (3.37), которые для сравнения с (3.105) можно записать в
виде
Р== 4Gad/(l — т).
Нагрузка на сцепленный штамп больше нагрузки на гладкий
штамп при той же осадке на величину, которая изменяется от
Ю % при v — 0 до нуля при т = 0.5.
96 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Спенс [332] исследовал также случай частичного проскаль-
зывания. При монотонном нагружении круговая область кон-
такта разделяется на центральную зону сцепления радиуса с и
кольцевую зону с г а, где поверхность полупространства
проскальзывает в радиальном направлении относительно осно-
вания штампа. Тернер [352] исследовал случай разгрузки. При
уменьшении нагрузки внутренняя граница зоны проскальзыва-
ния г = с стягивается к центру, при этом поддерживается на-
правление проскальзывания внутрь области. Одновременно по
периметру штампа образуется узкая кольцевая зона сцепления,
которая сохраняется до тех пор, пока нагрузка не уменьшится
примерно вдвое по сравнению с максимальным уровнем. После
этого с внешней граничной окружности г = а начинается про-
скальзывание, которое быстро охватывает всю область контакта.
Перемещения поверхности, вызванные осесимметричным
распределением давлений, вычисленные в § 3.3 с помощью клас-
сического метода, можно было бы определить посредством под-
становки давления р(р) в выражения (3.99) и затем в (3.102).
Напряжения на поверхности также можно было бы найти непо-
средственно из соотношений (3.103).
§ 3.9. Кручение
В этом параграфе мы изучим касательные усилия, которые
действуют в окружном направлении, т. е. перпендикулярны ра-
диусу, проведенному из начала координат. Такие усилия вызы-
вают кручение полупространства.
(а) КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ
Допустим, что величина касательных усилий q(r), действую-
щих на круговую область (рис. 3.7), зависит только от коорди-
наты г. Тогда
qx~ — q (г) sin 0 == — q (t) t\/t, (3.106a)
qy — q (r) cos 0 = q (t) %/t. (3.106b)
Выражения для перемещений ux, uy и uz можно представить в
виде (3.7), где Н = 0, a F и G определяются соотношениями
Т1 = — ^ т] In (р -[- z) dg dr], (3.107а)
s
G=^-^-gIn(p + z)dgdn. (3.107b)
s
§ 3.9. Кручение
97
В рассматриваемом случае из симметричности функций F и G
относительно координат следует, что дв/ду = —dF/dx, и выра-
жения для перемещений поверхности принимают вид
2п si
~ ~2nG~ 5 ~t 'П (3.108а)
о о
2л Si
= litG’ ~dz~= ~2nG S S t (3.108b)
о 0
мг = 0. (3.108c)
Рассматривая перемещение точки B(x, 0), показанной на
рис. 3.7, будем иметь t\/t = sin 0 и, следовательно, интеграл по
поверхности в формуле (3.108а) исчезает. Отличной от нуля
оказывается только окружная компонента перемещения йу, как
и следовало ожидать при чистом кручении.
Рассмотрим теперь распределение усилий
q (г) = qor (а2 — г2)~1/2, г а. (3.109)
Подставляя в (3.108b), получим следующее выражение для пе-
ремещения поверхности:
2л si
q0 С С х + s cos <р , ,
=------\ \ -----------------------ds охр.
v 2nG J J (a2 — x2— 2xscosq> — s2)1'2
о 0 ' ,
Интеграл такого типа уже встречался выше. Имеем йу =
== nqox/ (4G). Ввиду осевой симметрии можно записать
йв = nq0r/(4G), йг — йг = О. (3.110)
88 Гл. 3. Действие сосредоточенных нагрузок на полупространство
Таким образом, распределение окружных касательных усилий
вида (3.109) вызывает жесткий поворот нагруженной круговой
области на угол р = л<7О/(4б). Результирующий крутящий мо-
мент равен
а
Mz={ q (г) 2лг dr = 4- nc?q0. (3.111)
J *5
о
Следовательно, выражение (3.109) определяет усилия, дей-
ствующие по области контакта поверхности полупространства и
сцепленного с ней кругового цилиндрического штампа с пло-
ским основанием при повороте последнего вокруг своей оси.
Поскольку нормальные смещения йг при кручении равны нулю,
кручение не влияет на распределение давлений под основанием
штампа. Отмеченное обстоятельство противоречит поведению
штампа при поступательном тангенциальном смещении, когда,
как мы видели в § 3.7, нормальные давления и касательные
усилия не являются независимыми.
Хетеньи и Макдональд [170] рассмотрели распределение
усилий вида
9г = тг6 = 9о(1 — г2/№- г<а. (3.112)
Ими получены выражения для величин ие, т,е и tze, а также
затабулированы значения компоненты напряжения тге(г, г).
Максимальное значение, равное О.73^о, достигается на поверх-
ности при г = а.
(Ь) ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ
Обратимся теперь к случаю, когда нагруженная область
имеет эллиптическую форму, и определим распределение каса-
тельных усилий, которые приводят к жесткому повороту эллип-
тической области. В этом случае осевая симметрия не имеет
места и мы, пытаясь угадать требуемое распределение, запишем
qx = - q'oy (1 - *7«2 - Ж1'2, (3.113а)
qy = q"x (1 - х2/с? - f/^2)-172. (3.113b)
Эти выражения следует подставить в соотношения (3.2) для
определения потенциальных функций М и Gi, которые затем
подставить в (3.7) для определения тангенциальных смещений
произвольной точки поверхности (х, у). Выполнив интегриро-
вание обычным образом, Миндлин [265] показал, что переме-
щения соответствуют жесткому повороту эллиптической области
§ 3.9. Кручение
99
на малый угол р, т. е. их — —Р«/ и иу = p.v, если при этом вы-
полняются соотношения
, GP В— 2v (1 — е2) С
2а BD — vCE
„ G₽ D- 2vC
~ 2а BD — vCE ’
(3.114а)
(3.114b)
где величины D(e), В(е) и С(е) выражаются через стандарт-
ные эллиптические интегралы Е(е) и К(е) (е = (1 — а2//»2)1/2—
эксцентриситет эллипса):
D = (K~E)/e2, В = [Е-(1-е2)К]/е2,
С = [(2 — е2) К — 2Е]/е4.
*
Скручивающий момент Мг равен
Л/f 2 лзг-о Е — 4v (1 — е2) С
4
Нормальный контакт упругих тел:
теория Герца0
§4.1. Геометрия контактирующих гладких поверхностей
несогласованной формы
Тела несогласованной формы первоначально вступают в кон-
такт в точке или вдоль линии. Под действием даже небольшой
нагрузки они деформируются в окрестности точки начального
контакта и приходят в соприкосновение по конечной, хотя и
малой по сравнению с размерами обоих тел области. Теория
контактного взаимодействия должна предсказывать форму об-
ласти контакта и закономерности ее роста при увеличении на-
грузки, а также величины и распределения поверхностных нор-
мальных и, возможно, касательных усилий, передаваемых через
поверхность контакта. Кроме того, эта теория должна обеспе-
чивать возможность вычисления компонент деформаций и на-
пряжений в обоих телах вблизи области контакта.
Прежде чем мы перейдем к формулировке соответствующей
задачи теории упругости, необходимо дать описание геометрии
контактирующих поверхностей. В гл. Г мы договорились при-
нять точку начального контакта в качестве начала прямоуголь-
ной системы координат, в которой плоскость ху служит общей
касательной плоскостью к поверхностям обоих тел, и считать,
что ось ориентирована вдоль общей нормали к касательной пло-
скости и направлена внутрь нижнего тела (см. рис. 1.1). По-
верхность каждого из тел предполагается топографически глад-
кой на микро- и макроуровне. На микроуровне это означает
отсутствие или неучет поверхностных микронеровностей, кото-
рые обусловливали бы неполное прилегание поверхностей кон-
такта или резкие локальные изменения контактных давлений.
На макроуровне профили поверхностей считаются непрерыв-
ными в зоне контакта вместе со вторыми производными.
Таким образом, мы можем приближенно представить про-
фили поверхностей вблизи начала координат выражением сле-
дующего вида:
zx = Axx2 + Biy2 + Clxy+ , (4-1)
где члены более высокого порядка по х и у опущены. Выбирая
ориентацию осей х и у таким образом, чтобы член, содержащий
*> В приложении § А.З (стр. 480) дана сводка формул, определяющих
напряжения на герцевском контакте упругих тел.
§ 4.1. Геометрия контактирующих гладких поверхностей
101
произведение ху, исчез, мы можем записать в осях хь уц
+ (4.2а)
Zz\j Z/\j
где и В" — главные радиусы кривизны поверхности в начале
координат. Они имеют максимальное и минимальное значения
среди радиусов кривизны всех сечений профиля в этой точке.
Если у тела существует плоскость симметрии, то один из глав-
ных радиусов кривизны лежит в этой плоскости. Аналогичное
выражение можно записать и для поверхности второго тела:
z2 ~ ~~ Гт?/' х2 + "Z7" И) • (4.2b)
Зазор между двумя поверхностями равен h — Z\ — z2. Перепи-
сывая теперь выражение (4.1) и аналогичное ему для поверх-
ности второго тела в общей системе осей х и у, будем иметь
h = Ах2 + By2 + Сху.
Подходящим выбором осей можно сделать С равным нулю,
тогда
Л = Лх2 + By2 =х2 А-~^г У2, (4.3)
где А и В — положительные постоянные, а В' и В" называются
главными относительными радиусами кривизны. Если направ-
ления главных кривизн каждой поверхности, т. е. оси Xi и х2
составляют между собой угол а, то, как показано в приложе-
нии 2, имеют место соотношения
Введем в рассмотрение эквивалентный радиус Be, опреде-
ляемый соотношением
Be = (B'B")ll2 = 1/2(AB)~il2.
В приводимом описании начального зазора между двумя по-
верхностями через их главные радиусы кривизны мы полагаем,
что выпуклой поверхности соответствуют положительные ра-
диусы. Соотношения (4.4) и (4.Ь) применимы также к вогну-
тым или седлообразным поверхностям, если принять, что вогну-
тым сечениям соответствуют отрицательные кривизны.
102
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
Рис. 4.1. Интерференционные кольца при контакте двух одинаковых цилинд-
рических линз, оси которых скрещиваются под углом 45°: (а) ненагружен-
ное состояние; (Ь) нагруженное состояние.
Из выражения (4.3) следует, что линии постоянного зазора
h между недеформированными поверхностями представляют
собой эллипсы, отношение полуосей которых равно (В/Л)1/2 =
= (R'/R")1/2. Такие эллиптические контуры иллюстрируются
картиной интерференционных колец, возникающих при кон-
такте двух цилиндрических линз радиусом R каждая, оси кото-
рых скрещиваются под углом 45° (рис. 4.1(a)). В этом примере
7?, =7?'= 7?, R" — R" — 00 > а = 45°. Из соотношений (4.4) и
(4.5) имеем А В — 1/R, В — А = (д/2 7?) ', откуда А = (1 —
— 1/д/2)/(27?), В — (1 -]- 1/д/2)/(27?). Относительные радиусы
кривизны равны: R' = 1/(2Л) л; 3.42/?, R" = 1/(2В) » 0.5857?.
§ 4.1. Геометрия контактирующих гладких поверхностей 103
Эквивалентный радиус есть Re = (R'R")ll2 = ^2 R и (Р'/Р")1/2=
= (В/Л)1/2 ~ 2.41. Последняя величина определяет отношение
полуосей контуров равного зазора, показанных на рис. 4.1(a).
Теперь можно сформулировать более точно, что мы пони-
маем под несогласованными поверхностями. Для таких поверх-
ностей относительные кривизны 1/R' и 1/R" должны быть до-
статочно большими, чтобы члены Ах2 и By2 в правой части (4.3)
были велики по сравнению с отбрасываемыми членами более
высокого порядка. Представление о поверхностях согласован-
ной формы с этой точки зрения рассматривается в § 5.3.
Пусть теперь к телам прикладывается нормальная сжимаю-
щая нагрузка, в результате чего точка соприкосновения пере-
растает в область контакта. Если оба тела являются фигурами
вращения, то R' = R" = Rj, R2 = R" = R2 и A = В = >/2 (1/Ri +
+ 1/Р2)- Линии равного зазора между двумя поверхностями пе-
ред нагружением суть окружности с центром в начале коорди-
нат О. Из условия осевой симметрии очевидно, что и после на-
гружения область контакта будет круговой.
В случае контакта двух цилиндрических тел радиусов Rt
и R2, оси которых параллельны оси у, имеем R'y — R^ R" — <x>,
R'2 = R2, R"=oo, a = 0, так что A = */2 (1/R1 + 1/T?2), B = 0.
Линии равного зазора представляют собой прямые, параллель-
ные оси у, а поверхности при нагружении контактируют вдоль
узкой полоски, параллельной оси у.
В случае профилей общего вида из выражения (4.3) следует,
что линии равного зазора в плане представляют собой эллипсы.
Можно ожидать, следовательно, что при нагружении область
контакта будет иметь эллиптическую форму. В дальнейшем бу-
дет показано, что это действительно так.
Интересный частный случай имеет место при контакте двух
одинаковых цилиндров радиуса R с осями, скрещивающимися
под прямым углом. При этом /?[ = /?, R''—со, R'2 — R, r" = oo,
a = п/2, откуда А — В — 1j2R- В этом случае линии равного
зазора представляют собой окружности, идентичные тем, кото-
рые имеют место при контакте шара радиуса R с плоской по-
верхностью (/?' — R" = °°).
Рассмотрим теперь деформированное состояние, возникаю-
щее при приложении нормальной силы Р. На рис. 4.2 показаны
Два контактирующих тела произвольной формы (для удобства—
выпуклой) в поперечном сечении. В недеформированном со-
стоянии зазор между двумя соответствующими точками
Si(x, у, Xi) и S2(x,y,z2) на поверхностях тел определяется соот-
ношением (4.3). В силу симметрии выражения (4.3) относитель-
но точки О, область контакта должна иметь одинаковую про-
тяженность по обе стороны от точки О. При взаимном сжатии
104 Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
Рис. 4.2.
удаленные точки обоих тел Т\ и Т2 смещаются по направлению
к точке О вдоль оси z на расстояния 61 и б2 соответственно.
Если тела не деформируются, их профили перекрываются,
как показано на рис. 4.2 штриховыми линиями. Под действием
контактных давлений поверхности тел смещаются параллельно
Oz на расстояния uzi и щ2 (считающиеся положительными для
каждого тела) относительно удаленных точек 1\ и Т2. Если
точки Si и S2 приведены в соприкосновение в результате де-
формации, то
й-zi + ^z2 + h = б1 62. (4.6)
Обозначая 6 = 6] -f- 62 и используя (4.3), получаем соотношение
для упругих перемещений
й21 + йг2 = б — Ах2 — By2, (4.7)
§ 4.1. Геометрия контактирующих гладких поверхностей 105
где х и у — общие координаты точек Si и S2, спроектированных
на плоскость ху. Если точки Si и S2 лежат вне области кон-
такта, т. е. не соприкасаются, то
йг1 + йг2 < б — Ах2 — By2. (4.8)
Решение контактной задачи состоит в отыскании распреде-
ления давления, передаваемого от одного тела к. другому через
поверхность контакта, при котором нормальные упругие пере-
мещения поверхностей удовлетворяют условиям в форме равен-
ства (4.7) внутри области контакта и неравенства (4.8) вне ее.
Представляется поучительным перед детальным анализом
задачи теории упругости исследовать закономерность роста де-
формаций и напряжений при увеличении нагрузки на основе
элементарных соображений размерности. Для простоты ограни-
чимся рассмотрением (а) тел вращения (например, шаров), Для
которых область контакта есть круг радиуса а, и (Ь) плоскими
телами (цилиндрами с параллельными осями), для которых
область контакта есть полоса шириной 2а.
Из рис. 4.2 видно, что 61 — uzi (0) и 62 = uz2(0), так что
уравнение (4.6) можно переписать в безразмерной форме:
Г (0) iizl (х) ”1 . Г (0) Чг2 (х) ”1_____ 1 7 1 । 1 \ х2 .. q.
La a J Н L a a J— 2 I /?, + R2) а ’
Полагая здесь х—а и вводя обозначения t7z(0)—uz(a)=d,
получим следующее соотношение, характеризующее деформа-
цию в области контакта:
<4Л0)
Предполагая, что деформации малы (d<a), получаем, что де-
формированное состояние каждого тела характеризуется отно-
шением d/a. Но величина деформаций должна быть пропорцио-
нальна контактному давлению, отнесенному к модулю упруго-
сти. Следовательно, если рт — среднее контактное давление,
действующее на каждое тело, то из (4.10) будем иметь1)
рт/Е. + Рт/Е2 ~а (MR. + 1//?2),
т. е.
«(1/7?! + 1/7?г) (4111
Рт 1/Е. + 1/Е2 '
Таким образом, для заданных геометрии и свойств материалов
контактное давление и вызванные им напряжения возрастают
прямо пропорционально линейному размеру области контакта.
Для установления взаимосвязи между ростом области контакта
*) Известно, что применительно к контактным задачам следует исполь-
зовать «модуль плоской деформации» £7(1—V2). Здесь, однако, для про-
стоты употребляется модуль Юнга Е.
106 Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
и нагрузкой, следует отдельно рассмотреть случаи плоского и
осесимметричного контакта.
(а) При контакте цилиндров нагрузка на единицу длины оси
равна Р = 2арт. Тогда из (4.11) следуют соотношения
а~[Р (1/Е. + 1/ЕШР, + 1/Т?2)]1/2, (4.12)
рт ~ [Р (1/7? 1 + l/7?i)/(l/E 1 + 1/£2)]1/2> (4.13)
из которых видно, что ширина участка контакта и контактное
давление возрастают как квадратный корень из приложенной
нагрузки.
(Ь) При контакте шаров или других тел вращения сжимаю-
щая нагрузка равна Р = ла2рт. Из (4.11) получаем
а~[Р (1/£, + 1/£-2)/( 1/7?! + 1/Т?2)]'/3, (4.14)
Рт ~ [73 (l/7?i + 1/Ш/Е, + 1/Е2)2]1/3. (4.15)
В этом случае радиус круговой области контакта и контактное
давление возрастают как кубический корень из нагрузки.
В случае осесимметричного контакта осадки контактирую-
щих тел б] и 62 пропорциональны локальным внедрениям d} и
d2, вследствие чего для сближения удаленных точек имеем со-
отношение
б = б, -J- б2 ~ d{ + d2 ~ [Р2 (1/Е, + 1/Е2)2 (1/7?! + 1/Т?2)]1/3. (4.16)
Таким образом, в осесимметричном случае сближение двух тел
при упругом сжатии в области контакта пропорционально Р2/3.
В случае контакта в условиях плоской деформации переме-
щения 61 и 62 не пропорциональны di и d2, а зависят от произ-
вольно выбранных отсчетных значений упругих смещений. Вы-
ражение, аналогичное (4.16), для этого случая установить
нельзя.
Мы определили качественные закономерности увеличения
размеров области контакта, напряжений и деформаций, кото-
рым, как можно ожидать, они будут следовать при возрастании
нагрузки, а также установили влияние кривизн и модулей упру-
гости с помощью простых соображений размерности. Для коли-
чественной характеристики этих величин мы должны обратиться
к теории упругости.
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
Терц [168] впервые выполнил достаточно полный анализ на-
пряжений при контакте двух упругих тел. Занимаясь изучением
ньютоновских оптических интерференционных колец в зазоре
между двумя стеклянными линзами, он исследовал возможное
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
107
влияние упругой деформации линз, обусловленной наличием
контактного давления. Теория Герца, которую он разработал в
возрасте 23 лет во время рождественских каникул 1880 г., вы-
звала заметный интерес после первого опубликования и прошла
проверку временем. Кроме статического нагружения он иссле-
довал также квазистатический удар шаров (см. § 11.4).
Герц [169] попытался также использовать свою теорию для
точного определения твердости тел через контактное давление,
вызывающее начало пластического течения в теле при вдавли-
вании в него жесткого индентора. Эта методика оказалась не-
удовлетворительной вследствие трудностей локализации точки
зарождения течения под действием контактных напряжений.
Корректная методика определения твердости была разработана
в рамках теории пластичности. Этот вопрос рассматривается
в гл. 6.
Герц сформулировал условия, выраженные соотношениями
(4.7) и (4.8), которым должны удовлетворять нормальные пе-
ремещения на поверхностях тел. Он впервые выдвинул гипотезу
о том, что область контакта имеет в общем случае эллиптиче-
скую форму. При этом он, несомненно, опирался на свои наблю-
дения интерференционных колец, подобных показанным на
рис. 4.1(b). Он сделал предположение, согласно которому для
вычисления локальных деформаций каждое тело может рас-
сматриваться как упругое полупространство, нагруженное по
малой эллиптической области на его поверхности. В рамках
этого допущения, общепринятого в теории контактных задач,
контактные напряжения, концентрирующиеся вблизи зоны кон-
такта, исследуются независимо от общих распределений напря-
жений в контактирующих телах, которые определяются их
формой и способами закрепления. Кроме того, для решения кон-
тактных задач при этом применимы хорошо разработанные ме-
тоды решения краевых задач для упругого полупространства.
Чтобы это допущение было оправданным, должны быть вы-
полнены два условия: характерные размеры области контакта
должны быть малыми по сравнению (а) с размерами каждого
из контактирующих тел и (Ь) с радиусами кривизны их поверх-
ностей. Первое условие, очевидно, необходимо для обеспечения
того обстоятельства, что общее поле напряжений в теле, вычис-
ленное на основе представления о его неограниченной протя-
женности, несущественно зависит от наличия на его границе
высоконагруженной области. Второе условие необходимо для
того, чтобы, во-первых, поверхности вне области контакта, но
вблизи нее можно было считать близкими к плоской поверхно-
сти полупространства и, во-вторых, чтобы деформации в области
контакта были достаточно малыми для применимости линей-
ной теории упругости. Для металлических тел,- нагруженных
г?
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
в пределах чисто упругого поведения это последнее ограничение,,
безусловно, выполняется. Однако получаемые на основе этого-
ограничения теоретические результаты следует применять
осмотрительно к телам из низкомодульных резиноподобных ма-
териалов, которые легко приобретают деформации, выходящие
за рамки малых деформаций.
Наконец, поверхности контактирующих тел предполагаются
гладкими, вследствие чего по области контакта могут действо-
вать только нормальные давления. Хотя по физическому смыслу
контактные давления действуют перпендикулярно поверхности
контакта, которая необязательно должна оставаться плоской,
линейная теория упругости не учитывает изменения направле-
ний действия "Поверхностных усилий, вызванных деформацией
этой поверхности (за исключением некоторых частных случаев).
Таким образом, вследствие моделирования обоих тел полупро-
странствами с плоскими поверхностями нормальные усилия на
границе контакта считаются действующими параллельно оси .г„
а касательные усилия — в плоскости ху.
Обозначая характерный размер области контакта через а,
относительный радиус кривизны через R, характерные радиусы
кривизны обоих тел через и R2> а характерные размеры тел
в боковом направлении и вдоль оси сжатия через I, мы можем
резюмировать допущения теории Герца в следующем виде:
(i) Поверхности тел гладкие и несогласованные: a <С R.
(ii) Деформации малы: а < R.
(iii) Каждое из контактирующих тел может рассматриваться
как упругое полупространство: a<CRi,2, а-^1.
(iv) Трение отсутствует: qx = qy — 0.
Теперь можно сформулировать задачу теории упругости:
требуется найти распределение контактного давления р(х,у),
действующего по области S на поверхности двух упругих полу-
пространств, которое вызывает нормальные смещения поверх-
ностей йг\ и Uzz, удовлетворяющие -условиям в форме равенства
(4.7) в области S и неравенства (4.8) вне этой области.
(а) ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим сначала простейший случай контакта тел вра-
щения (R[ = R" = R1, — К" — Кг)- Область контакта будет
иметь форму круга радиуса, скажем а. Из соотношений (4.4)
и (4.5) следует, что А = В = */2 (1/Ri 1/R2), так что гра-
ничное условие для перемещений в области контакта (4.7) при-
нимает вид
«zi+«22 = 6-r2/(2R), (4.17)
где 1/R = (1/Ri -f- I/R2) — относительная кривизна.
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
109
Распределение давлений, приводящее к формированию пере-
мещений, удовлетворяющих условию (4.17), найдено в § 3.4.
Было показано, что предложенное Герцем распределение дав-
лений (см. выражение (3.39))
р = р0(1-г2/а2)1/2
обусловливает следующие нормальные перемещения (выраже-
ние (3.41а)):
1 — v2 яро ~
и, = —5------(2а2 — г2), г < а.
z £ 4а ' \
Давление, действующее на второе тело, тождественно найден-
ному; вводя в рассмотрение приведенный модуль упругости
согласно определению,
1 _ 1 - v? 1 - v2
£* £, + £2
и подставляя выражения для йг\ и й-л в условие (4.17), полу-
чим
(2а2 - г2) == б - . (4.18)
откуда находятся радиус области контакта
а = лр07?/(2Д) (4.19)
и взаимное сближение удаленных точек двух тел
б = лар0/(2£*). (4.20)
Полная сжимающая нагрузка связана с давлением соотноше-
нием
а
So
р (г) 2пг dr = v р0ла2. (4.21)
О
о
Следовательно, максимальное давление р0 в 3/2 раза превы-
шает среднее давление рт. В практических задачах обычно за-
дается полная нагрузка, так что удобнее пользоваться следую-
щими выражениями, определяемыми комбинацией соотношений
(4.21), (4.19) и (4.20):
( 3PR у/з
а ~ ( 4£* ) ’
_ аг __ ( 9Рг \V3
R k \&RE"2) ’
ЗР ( &РЕ*2 Y/3
р°~ 2ла2 ~\ n3R2 ) •
(4.22)
(4.23)
110 Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
Эти выражения имеют форму соотношений (4.14) — (4.16), ко-
торые были установлены на основе соображений размерности.
Они дают, однако, точные значения размера области контакта,
сближения тел и максимального давления.
Прежде чем считать найденные выражения решением
задачи, мы должны убедиться в том, что уравнение (4.17) удов-
летворяется только при установленном распределении давле-
ний, а также проверить, выполняется ли неравенство (4.8), ко-
торое гарантирует отсутствие соприкосновений и взаимопроник-
новений поверхностей двух тел вне области приложения
нагрузки. Подставляя выражение (3.42а) для нормальных пере-
мещений (г > а.) в (4.8) и используя соотношение (4.19), мож-
но показать, что герцевское распределение давлений не приво-
дит к контакту поверхностей вне окружности г — а.
Перейдем к вопросу единственности решения. Заметим, что,
как установлено в § 3.4, распределение давлений вида (выра-
жение (3.34))
р = р'(1 — г2/ц2)-1/2
вызывает одинаковые нормальные перемещения всех точек на-
груженной круговой области. Следовательно, если такое рас-
пределение добавить к герцевскому распределению или вычесть
из него, то условие (4.17) для нормальных перемещений будет
по-прежнему выполняться. Однако это распределение давлений
обусловливает появление бесконечного градиента смещений по-
верхности с внешней стороны нагруженной области, поскольку
оно равносильно внедрению в тело кругового цилиндрического
штампа с плоским основанием. Ясно, что между двумя упру-
гими телами с гладкими непрерывными профилями не может
иметь место такое распределение контактных давлений без на-
ложения поверхностей вне области, ограниченной окружностью
г — а.
С другой стороны, если такое распределение вычесть из гер-
цевского распределения, то нормальные усилия на краю области
нагружения будут растягивающими и неограниченными по ве-
личине. В отсутствие адгезии между поверхностями они не смо-
гут выдержать действия растягивающих нагрузок. Итак, на-
личие как положительных, так и отрицательных давлений та-
кого типа исключено. Но других распределений нормальных
усилий, вызывающих перемещения, удовлетворяющие условию
(4.17), нет, и мы заключаем, что герцевское распределение дав-
ления является единственным решением задачи.
Напряжения в телах от действия герцевского распределения
давлений были найдены в § 3.4 и проиллюстрированы на
рис. 4.3. На поверхности, в области контакта, компоненты на-
пряжений определяются выражениями (3.43); они всюду ежи-
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
111
Рис. 4.3. Эпюры напряжений на поверхности и вдоль оси симметрии, вы-
званные равномерным ри (слева) и герцевским рн (справа) - распределениями
давлений, действующими по круговой области радиуса а.
мающие, за исключением края области контакта, где радиаль-
ное напряжение является растягивающим и имеет максималь-
ное значение (1—2v)p0/3. Это наибольшее растягивающее на-
пряжение во всем теле, и именно оно ответственно за образо-
вание кольцевых трещин, которые наблюдаются при взаимном
сжатии двух контактирующих тел из хрупких, в частности стек-
лообразных, материалов. В центре области контакта радиаль-
ное напряжение сжимающее и имеет величину (l + 2v)p0/2.
Следовательно, для несжимаемого материала (v = 0.5) напря-
112
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
женное состояние в начале координат является гидростатиче-
ским. Вне области контакта радиальные и окружные напряже-
ния имеют равные величины и являются растягивающим и
сжимающим сооответственно (выражения (3.44)).
Выражения для напряжений в точках, расположенных под
поверхностью тела на оси z, определяются соотношениями
(3.45). Это — главные напряжения, и максимальное касатель-
ное напряжение ть равное модулю полуразности главных на-
пряжений, достигает, значения ~О.31ро на глубине ~0.48а (для
v = 0.3). Это — наибольшее значение ti во всем теле, которое
превышает касательное напряжение в начале координат, равное
« ОЛОро, а также касательное напряжение на по-
верхности на краю области контакта, равное */21 сц— со | «
~ О.13ро. Поэтому появления пластического течения следует
ожидать в подповерхностных слоях контактирующих тел. Этот
вопрос детально рассматривается в следующей главе.
(Ь) ПРОФИЛИ ОБЩЕГО ВИДА
В общем случае, когда расстояние между поверхностями
определяется выражением (4.3), форма области контакта за-
ранее неизвестна. Тем не менее предположим, что область S
имеет форму эллипса с полуосями а и Ь. Герц осознавал, что
рассматриваемая задача теории упругости аналогична соответ-
ствующей задаче теории электростатического потенциала. Он
заметил, что ток, интенсивность которого изменяется как орди-
ната полуэллипсоида по эллиптической области на поверхности
проводника, приводит к изменению потенциала вдоль этой по-
верхности по параболическому закону. По аналогии с этим
распределение давления, определяемое выражением (3.58):
р = р0 (1 — х2/а2 — У2/Ь2)112,
вызывает перемещения точек эллиптической области, равные
(см. выражение (3.61)):
йг = (L ~ Мх2 ~
Тогда для двух контактирующих тел имеем соотношение
й21 + uz2 — (L — Мх2 — Ny2)/(nE*), (4.25)
которое удовлетворяет условию (4.7): йг1 + йг2 = 6 — Ах2 —
— By2, если принять (с учетом формул (3.62)):
А = WIк - Е <4-26а)
= <4-26Ь>
’ = 'й?-=-р-м«е)' (4.26с>
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
113
где Е(е) и К(е)—полные эллиптические интегралы аргумента
е = (1 — fe2/a2)1/2, Ь < а. Распределение давлений является по-
луэллипсоидальным, поэтому, пользуясь известной формулой
для объема эллипсоида, находим полную нагрузку Р
P = z/3p0nab, (4.27)
откуда среднее давление равно рт — 2/3р0.
Для определения параметра формы (эксцентриситета) и
размера эллиптической области контакта запишем
В _ R^_ _ (a/fe)2E(e)-K(e) ,. OQ,
А ~ R" К(е)-Е(е) ’ V4.2«J
1 Y/2_ 1
2 I R'R" ) 2Re ~
= > К у)2 Е (е) ~ К <е)] [К (е) — Е (е)] }*/2. (4.29)
Обозначим теперь с — (ab)1/2 и подставим р0 из (4.27) в (4.29):
- (^) (4П [(I)2 В (4 - К (е)] X
Х[К(е)-Е(г)]}1К,
откуда
с - И)'/2 = (^)1/3А.(е)- (4.30)
Сближение тел находится из сотношений (4.26с) и (4.27):
л 3f> ( QP2 XWifbXiP
Д?) [Г,МГ’к(е)=
( 9Р2 у/3
= 11бЕ‘22?е7 ^(е),
(4.31)
а максимальное давление равно
Ро
ЗР
2паЬ
С, РЕ*2 X113
[Л (е)Г2/3.
(4.32)
Эксцентриситет эллиптической области контакта, который
не зависит от нагрузки, а определяется только отношением от-
носительных кривизн R'/R", находится из уравнения (4.28).
Из выражения (4.3) видно, что в недеформированном состоянии
линии равного взаимного удаления h суть эллипсы, для которых
b/а = (А/ВуР = (R"/R'yp. На рис. 4.4 приведена зависимость
величины {b/а) (B/Аур от (B/Аур. Если эллиптическая об-
ласть контакта характеризуется тем же параметром формы, что
и линии равного взаимного удаления в момент соприкосновения
114 Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
Рис. 4.4. Контакт тел, имеющих профили общего вида. Кривые зависимости
параметра формы (отношения полуосей) эллипса b/а и функций Fb F2 и
Fs = F\~2/3 (F3 отсчитывается по шкале справа) от величины (5/Д)1/2 =
— (7?77?")1/2, характеризующей отношение относительных кривизн. Приве-
денные зависимости используются в соотношениях (4.30)—(4.32).
поверхностей, то величина (b/d) (B/Ay/Z всегда будет иметь зна-
чение 1.0. Из рис. 4.4 видно, что величина (b/a) (В/А)1/2 убы-
вает от единицы при увеличении отношения относительных кри-
визн R'/R". Следовательно, эллипс, ограничивающий область
контакта, является более вытянутым, чем эллипс равного взаим-
ного удаления. Штриховой линией на рис. 4.4 нанесена вели-
чина (b/а) (В/А)1/2 « (S/Д)-1/6, соответствующая приближен-
ному равенству
Ыа ~ (В/А)“2/3 = (R'/R'T213- (4-33)
Мы определили выражения для эквивалентного радиуса об-
ласти контакта с = («б)1/2, максимального контактного давле-
ния р0 и сближения тел б через эквивалентный радиус Re —
= (R'R")1/2 (см. выражения (4.30) — (4.32)). Сравнение с соот-
ветствующими выражениями (4.22) — (4.24) для случая кон-
такта тел вращения показывает, что члены, заключенные в круг-
лые скобки, в обоих случаях одинаковы. Сомножители, стоящие
после скобок в выражениях, относящихся к общему случаю, мо-
гут рассматриваться как «поправочные коэффициенты», учиты-
вающие эксцентриситет эллипса. Эти поправочные коэффициен-
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
115
ты Fi(e), [Л(е)]~2/3 й F2(e) также нанесены в зависимости от
(R'/R")1/2 на рис. 4.4; соответствующие кривые более плавно
отходят от единицы прн увеличении эксцентриситета.
Рассмотрим в качестве примера контакт двух цилиндров
радиуса R каждый, оси которых скрещиваются под углом 45°
(этот случай иллюстрируется картиной интерференционных ко-
лец на рис. 4.1(b)). Как показано в § 4.1, отношение относи-
тельных кривизн и эквивалентный радиус равны
(R'/R")112 = (В/А)112 «2.41, Re = (R'R")112 = д/2 R.
В нагруженном состоянии отношение полуосей равно а/b « 3.18
по данным рис. 4.4 и а/b « 3.25 по выражению (4.33). Из
рис. 4.4 находим также Fi « К2 ~ 0.95 и №/3 ~ 1.08. Теперь
эквивалентный радиус области контакта с = (ab)i/2, сближение
тел 6 и максимальное контактное давление р0 можно определить
из выражений (4.30) — (4.32) соответственно.
Даже если эллипс, ограничивающий область контакта, имеет
отношение большой и малой полуосей 3:1, то, полагая FI =
= F2 = F3=1.0, т. е. пользуясь формулами для осесимметрич-
ного контакта с эквивалентным радиусом Re, мы получаем за-
вышенное значение размера области контакта с и сближения 6
всего лишь на 5 % и заниженное значение максимального кон-
тактного давления р0 только на 8 %
Различные авторы, в частности Дайсон [97], Бру и Хэмрок
[41], с целью упрощения вычислений предложили приближенные
алгебраические выражения через отношение А/В для замены
эллиптических интегралов в выражениях (4.30) — (4.32), Купер
[69] опубликовал соответствующие табличные данные.
Ранее было показано, что полуэллипсоидальное распределе-
ние давлений, действующих по эллиптической области, имею-
щей найденные выше размеры, удовлетворяет граничному усло-
вию (4.7) в области контакта. Для подтверждения гипотезы,
согласно которой область контакта имеет эллиптическую форму,
необходимо проверить, что неравенство (4.8) также выполняется,
т. е. что не может быть контакта поверхностей вне заданной
эллиптической области. В соответствии с выражением (3.60)
перемещения поверхности вне нагруженной эллиптической об-
ласти можно представить в виде
- __ 1 — у2 nab Г ________х2 ___ у2 \___________dw________
Z Е 2 J \ a2 + w b2 + w ) [(а2 + w) (b2 + w) w]I/2 ’
где — положительный корень уравнения (3.53). Обозначая
фигурирующий здесь интеграл через [7]^, запишем
По1.
116 Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
В рассматриваемой области г —0, х2/а2 + y2lb~ > 1, откуда сле-
дует, что [7]р’ отрицательно. Распределение давлений- и раз-
меры площадки контакта были выбраны таким образом, что
Следовательно, вне области контакта
+ йг2 > б — Ах2 — By2,
т. е. условие (4.8) удовлетворяется и тем самым предположение
об эллиптичности области контакта подтверждено.
Напряжения в телах определяются выражениями (3.64) —
(3.69). В целом напряженное состояние аналогично таковому
в случае круговой области контакта. Если а и Ъ — полуоси эл-
липса в направлениях х и у соответственно (« > Ь), то в центре
области контакта имеем
ах = —p0[2v + (l—2v) &/(« + &)], (4.34а)
Gy = — Ро [2v + (1 — 2v) а/(а + &)]. (4.34b)
На концах главных осей, которые лежат на краю области кон-
такта, имеют место равные по модулю радиальные (растяги-
вающие) и окружные (сжимающие) напряжения
Gx = — Gy = p0(l — ('yArthe— 1), x=±a, y = 0,
(4.35a)
<^=-<4 = Po(l-2v)-4j-(l --^-arctg-y-), x = 0, y = ±t>.
(4.35b)
Максимальное касательное напряжение достигается в точке
оси z, расстояние от которой до поверхности зависит от экс-
центриситета эллипса (табл. 4.1). Численные значения напря-
жений вдоль оси z приведены в работе [342] для v — 0;25 и
в [243].
Таблица 4.1
Ь]а 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
z/b 0.785 0.745 0.665 0.590 0.530 0.480
(Tl)max/Po 0.300 0.322 0.325 0.323 0.317 0.310
Простейшая экспериментальная проверка справедливости
теории Герца состоит в измерении закономерности роста разме-
ров эллиптической области контакта при увеличении нагрузки..
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца 117
В соответствии с соотношением (4.30) размеры эллипса должны
быть пропорциональны кубическому корню из нагрузки. Герц
выполнил этот эксперимент на стеклянных линзах, покрытых
сажей.
Фесслер и Оллертон [105] провели тщательные эксперимен-
тальные исследования, в которых максимальные касательные
напряжения в плоскостях симметрии, определяемые выражения-
ми (3.64) и (3.69), измерялись с помощью метода заморажива-
ния напряжений в фотоупругости. Измеренные отношения боль-
шей полуоси эллиптической области контакта а к минимальному
радиусу кривизны R изменялись от 0.05 до 0.3 для моделей из
аралдита (эпоксидной смолы), имеющих различные комбинации
положительных и отрицательных кривизн. При самых малых
значениях отношения a/R измеренные размеры области кон-
такта были несколько больше, чем предсказывает теория. Ука-
занное несоответствие наблюдалось главным образом при не-
больших нагрузках и, по-видимому, объясняется шерохова-,
тостью поверхностей экспериментальных образцов (см. гл. 13).
При высоких нагрузках обнаружено хорошее согласие экспери-
ментальных результатов и теоретических расчетов как для раз-
меров области контакта, так и для внутренних напряжений
вплоть до максимальных рассмотренных значений отношения
a/R — 0.3. Этот обнадеживающий вывод довольно удивителен,
поскольку указанное отношение a/R соответствует деформациям
в области контакта порядка 10 %.
(с) КОНТАКТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХ
ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
В случае контакта двух цилиндрических тел, оси которых
параллельны оси у выбранной системы координат, задача ста-
новится плоской. Предполагается, что цилиндры сжимаются
силой Р, рассчитанной на единицу длины оси. Область контакта
при этом представляет собой полосу шириной 2а, параллельную
оси у. Герц рассматривал эту задачу как предельный случай
контакта по эллиптической области, когда полуось b становится
неограниченно большой по сравнению с а. Альтернативный под-
ход заключается в учете с самого начала особенностей плоской
задачи и использовании полученных в гл. 2 результатов для слу-
чая нагружения полупространства вдоль прямой.
Выражение (4.3) для расстояния между соответственными
точками ненагруженных поверхностей цилиндров принимает вид
Zj + z2 = Ах2 =-g + "^) *2 = "2 (4.36)
где l/R = i/Ri + 1/Т?2 — относительная кривизна. Для точек,
лежащих в области контакта, соотношение (4.7) после нагру-
118
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
жения имеет вид
йг1 + йг2 = 6 — Лх2 = б — x2/(2R), (4.37)
а вне области контакта выполняется неравенство
«г1 + йг2 > б - x2/(2R). (4.38)
Мы воспользуемся приближением Герца, согласно которому
перемещения йг\ и uz2 могут быть определены на основе интер-
претации каждого тела как упругого полупространства. Однако
при этом возникает трудность, которая отсутствует в рассмот-
ренном выше пространственном случае. В гл. 2 мы видели, что
перемещение -определенной точки упругого полупространства
при нагружении вдоль прямой нельзя отсчитывать относительно
перемещения бесконечно удаленной точки, ввиду того что в слу-
чае плоской задачи перемещения изменяются с увеличением рас-
стояния г от участка нагружения как In г. Следовательно, пере-
мещения иг] и йг2 можно определить только относительно про-
извольно выбранных отсчетных значений.
Сближение удаленных точек цилиндров б в уравнении (4.37)
имеет значение, зависящее от выбора отсчетных данных. По фи-
зическому смыслу это означает, что сближение б нельзя опре-
делить только через локальные контактные напряжения, а не-
обходимо также исследовать распределение напряжений во
всем объеме каждого тела. Для круговых цилиндров это сдела-
но в § 5.6.
В данном случае для определения локальных контактных
напряжений отмеченная трудность устраняется путем диффе-
ренцирования уравнения (4.37) и перехода к градиентам сме-
щения поверхности. Имеем
-^- + ^-=-4- (4.39)
OX OX i\
В гл. 2 было установлено, что градиент смещений поверхно-
сти от действия давления р(х), распределенного по участку
—а х а, определяется выражением (2.25b). Поскольку дав-
ление на поверхность каждого тела одно и то же, имеем
а
дйг1 . дйг2 _____2 Г р (s)
дх ‘ дх лЕ* J х — s
~а
Подставляя последнее в уравнение (4.39), получим
а
(4.40)
J х — s п 2Е
—а
Это интегральное уравнение относительно неизвестного давле-
ния р(х) принадлежит к типу уравнений (2.39), в которых пра-
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
119
вая часть g(x) является полиномом первого порядка по х. Ре-
шение уравнений такого типа обсуждалось в § 2.7. Если в урав-
нении (2.45) положить п — 1 и ввести обозначение
лЕ (п+Г)В [2 (1 - v2)]-1 = nE*/(2R),
то искомое распределение давлений задается- выражением
(2.48), в котором, согласно (2.47), 1п = Ц = л(х2/а2 — 1/2).
Тогда
, , пЕ* х2 —а2/2 . Р .. ...
р (х) = — —— -------ip + ------. (4.41)
2R л (а2 — х2)' л (а2 — х2) /z
Это выражение неединственным образом определяет давление,
поскольку пока не установлена связь полуширины участка кон-
такта а с полной нагрузкой Р. Заметим, что из условия неот-
рицательности давления на участке контакта следует неравен-
ство
Р > nazE*/(4R). (4.42)
Если нагрузка Р строго больше правой части неравенства
(4.42), то давление имеет бесконечные значения при х = ±а.
Профиль поверхности полупространства, нагруженного распре-
делением давления вида р0(1 — х2/°2)-1/2, исследовался в
§ 2.7(a). Градиент смещения поверхности в точках границы,
непосредственно примыкающих к участку нагружения, бесконе-
чен (см. рис. 2.12). Очевидно, что деформированные профили
такого вида несовместимы с условиями рассматриваемой за-
дачи, поскольку, согласно неравенству (4.38), вне нагруженной
области контакта не должно быть. Мы приходим к заключе-
нию, что в (4.42) должно иметь место равенство Р —
= ла2Е*/(4R), откуда
az = 4PR/(nE*). (4.43)
Таким образом,
' PW = ^(«2-^)1/2- (4-44)
На концах участка контакта имеем нулевые давления.
Максимальное давление равно
2Р 4 /РЕ*\1/2 .. ._.
= = = ’ <4'45>
где рт— среднее давление.
Напряжения в контактирующих телах находятся посред-
ством подстановки распределения (4.44) в выражения (2.23).
На участке контакта ох = = —р(х); вне участка контакта
120 Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
все компоненты напряжений равны нулю. Напряжения на оси
z находятся из (2.23) непосредственным интегрированием
[(а2 + 2г2) (а2 + г2Г1/2 - 2z], (4.46а)
cz = — роа (а2 + z2)“,/2. (4.46b)
По этим главным напряжениям определяется максимальное ка-
сательное напряжение
Ti = Роа [z — z2 (a2 + z2)~I/2],
откуда
('Ti)max = O.3Opo при z = 0.78а. (4.47)
Все эти напряжения не зависят от коэффициента Пуассона,
но третье главное напряжение при плоской деформации равно
Gy — + Gz)- На рис. 4.5(a) приведены кривые изменения
напряжений сх, и ti по глубине от поверхности контакта. Эти
кривые подобны соответствующим эпюрам в случае осесиммет-
ричного контакта (см. рис. 4.3). На рис. 4.5(b) представлены
линии уровня максимального касательного напряжения ть кото-
рые интересно сравнить . с интерференционными кольцами
(рис. 4.6d), полученными по методу фотоупругости.
Рис. 4.5. Контакт цилиндров: (а) распределения напряжений вдоль оси z;
(b) линии уровня максимального касательного напряжения ть
§ 4.2. Теория упругого контакта Герца
I2T
Рис. 4.6. Двумерные картины интерференционных полос (линии уровня мак-
симального касательного напряжения), полученные в экспериментах по ме-
тоду фотоупругости: (а) точечное нагружение (§ 2.2); (Ь) равномерное дав-
ление (§ 2.5(a)); (с) жесткий плоский штамп (§ 2.8); (d) контакт цилинд-
ров (§ 4.2(c)).
Макивен [257] выразил напряжения в произвольной точке
(х, z) через величины т н.п, введенные согласно определениям
т2 = У2 {[(а2 - х2 + z2)2 + 4x2z2]1/2 + (а2 - х2 + z2)}, (4.48a)
n2 = Уз {[(я2 — х2 + z2)2 + 4x2z2]1/2 — (а2 — х2 + z2)}, (4.48b)
где знаки величин т и п совпадают со знаками z и х соответ-
ственно. Тогда выражения для напряжений принимают вид
o«“--7L[m(1+-Sr&)-24 <4лад
°.—(«9Ь>
122
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
Бичинг и Николлс [29], Порицки [301], Сакфилд и Хиллс
[314] предложили другие выражения для напряжений. В при-
ложении 4 приведена краткая таблица значений напряжений.
Зависимости напряжений от х при фиксированном z — 0.5а по-
казаны на рис. 9.3.
§ 4.3. Модель упругого основания
Трудности определения контактных напряжений в рамках
теории упругости обусловлены тем, что перемещения произволь-
ной точки поверхности контакта зависят от распределения дав-
лений по всей^области контакта. Следовательно, отыскание дав-
ления в какой-либо точке области контакта твердых тел задан-
ного профиля требует решения интегрального уравнения. Эти
Рис. 4.7.
трудности устраняются, если упругие тела рассматриваются не
как упругие полупространства, а моделируются простейшим
упругим основанием Винклера !). Эту модель можно представить
как «пружинный матрац» (рис. 4.7).
Рассмотрим упругое основание глубиной h, лежащее на же-
сткой подстилающей поверхности, в которое вдавливается же-
сткий индентор. Профиль индентора z(x, у) берется в виде сум-
мы профилей двух моделируемых контактирующих тел:
z (х, у) = Z! (х, у) + z2 (х, у). (4.50)
Между пружинами модели отсутствует взаимодействие, т. е.
сдвиги между соседними элементами игнорируются. Если внед-
Возможность замены одного из контактирующих тел винклеровским
•основанием определяется не только упругими свойствами тел, но и соот-
ношением их. геометрических параметров. Так, Л. А. Галиным рассмотрена
задача о действии узкого штампа прямоугольной формы на упругое полу-
пространство и найден диапазон значений параметра вытянутости штампа,
в котором реакция упругого полупространства эквивалентна действию вин-
клеровского основания (см. Галин Л. А. Контактные задачи теории упруго-
сти.— М.: Гостехтеориздат, 1953. — 264 с.). — Прим. ред.
§ 4.3. Модель упругого основания
123
рение (осадку) обозначить через б, то нормальные упругие пе-
ремещения будут
С б — z (х, у), б > 2;
иг{х, г/) = |0 (4-51)
Контактное давление в любой точке зависит только от переме-
щения в этой точке, т. е.
р (х, у) = (K/h) йг (х, у), (4.52)
где К — модуль упругости основания.
Для двух контактирующих тел, профили которых имеют от-
носительные радиусы кривизны R' и R", функция z(x,y) опре-
деляется выражением (4.3) и для точек, лежащих в области
контакта, можно записать
йг= Ь 2R" (4.53)
Поскольку йг = 0 вне области контакта, то эта область пред-
ставляет собой эллипс с полуосями п —(26/?')1/2 и 6 =
= (28R"y/2. Контактное давление в соответствии с (4.52) опре-
деляется формулой
£-•£•) (4-м>
Давление в этом случае распределено по параболоидальному
закону, а не по эллипсоидальному, как в теории Герца. Полная
нагрузка находится посредством интегрирования
Р = Кгш66/(2/г). (4.55)
В осесимметричном случае а — Ь = (267?)1/2 и
₽=т(тг)4- (4-66>
В задаче контакта длинных цилиндров в условиях плоской за-
дачи, согласно соотношению (4.37), будем иметь
йг = б - х2/(2/?) = (а2 - х2)/(2/?), (4.57)
следовательно,
= (4-58)
<4-69>
Соотношения (4.56) и (4.59) связывают величину нагрузки с
размером области контакта. Сравнивая их с соответствующими
формулами теории Герца (4.22) и (4.43), можно отметить их
аналогию, если положить K/h = 1.70£*/а в осесимметричном
случае и K/h = 1.18£*/б1 в плоском случае.
124
Гл. 4. Нормальный контакт упругих тел: теория Герца
Чтобы константа /С была постоянной материала, необходимо
обеспечить геометрическое подобие задачи, увеличивая глу-
бину основания h прямо пропорционально размеру области кон-
такта. Наоборот, полагая глубину h фиксированной, необхо-
димо уменьшать К обратно пропорционально а. То обстоятель-
ство, что для сопоставления с соответствующими формулами
теории Герца необходимо брать различные значения К в двух
рассмотренных конфигурациях (осесимметричной и плоской),
является следствием приближенного характера использованной
модели основания. Если тем не менее взять K/h = 1.35Е*/а, то
значение а при действии фиксированной нагрузки будет отли-
чаться от точного не более чем на 7 % как для контакта вдоль
прямой, так и в точке.
Податливость (деформативность) основания в случае точеч-
ного контакта моделируется не совсем удовлетворительно. Пре-
небрегая перемещениями поверхности вне области контакта, в
рамках рассматриваемой модели основания будем иметь 6 =
=а2/ (2R), что составляет ровно половину соответствующего
значения в теории Герца (выражение (4.23)). Если при примене-
нии модели большее значение придается уточненному описанию
податливости, то следует принять K/h = 0.60Е*/а. Однако при
этом размер области контакта а будет превышать истинный
в д/2 раз.
Разумеется, цель применения рассмотренной модели осно-
вания заключается в получении простых приближенных реше-
ний в тех случаях, когда использование теории упругости свя-
зано с затруднениями. Например, таким образом можно иссле-
довать нормальный контакт тел без трения, профили которых
невозможно адекватно представить их радиусами кривизны в
точке начального контакта (см. § 5.3). Форма и размер области
контакта при этом определяются непосредственно через про-
фили тел z(x, у) и осадку 6. Распределение давлений дается
формулой (4.52), а соответствующая полная нагрузка — интег-
рированием давления. В случае области контакта произвольной
формы для определения коэффициента жесткости основания
K/h необходимо использовать характерное значение а.
основания в дальнейшем применяется к исследова-
нию тангенциального нагружения (§ 8.7), а также в задачах
контакта вязкоупругих тел (§ 9.4)
*> В механике деформируемого тела рассматриваются наряду с моделью
винклеровского основания и другие модели оснований. См. по этому поводу,
в частности, обзор: Ишкова А. Г., Коренев Б. Г. Изгиб пластинок на упругом
и упругопластическом основании.—В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по
теоретической и прикладной механике, 1964, т. 3.—М.: Наука, 1966.—
Прим. ред.
5
Негерцевский нормальный контакт упругих тел
В предыдущей главе были намечены в общих чертах пред-
положения и ограничения, вводимые в герцевской теории упру-
гого контакта: параболические профили, отсутствие поверхно-
стного трения, соотношения упругого полупространства. В этой
главе рассматриваются некоторые задачи нормального упругого
контакта, в которых смягчаются те или иные из этих ограни-
чений. Прежде чем перейти к конкретным задачам, полезно
проанализировать напряженное состояние, которое может воз-
никнуть вблизи границы области контакта.
§ 5.1. Напряжения на границе области контакта
В гл. 4 было показано, что, когда два упругих тела несо-
гласованной формы, имеющих непрерывные профили, приводят-
ся в контакт, распределение давлений между ними определяется
не только профилями тел в пределах области контакта. Должны
быть выполнены два следующих условия: 1) поверхность кон-
такта не должна испытывать растяжения; 2) поверхности не
должны накладываться друг на друга вне области контакта.
Эти условия исключают в выражении для распределения дав-
лений члены вида С(1 — х2/«2)-1/2, которые определяют беско-
нечные сжимающие или растягивающие усилия в угловой точке
области контакта (х=±«) (см. выражение (4.41)). Резуль-
тирующее распределение давлений является полуэллиптиче-
ским, т. е. выражением вида р0 = (1 — х2/н2)1/2, обращающимся
в нуль при х == +а.
Если мы теперь вспомним поле напряжений, вызванных дав-
лением, равномерно распределенным вдоль отрезка прямой
(§ 2.5), то они всюду конечны, однако градиент смещений по-
верхности бесконечен на границе области контакта (уравнение
(2.30b) и рис. 2.8). Этот бесконечный градиент связан со скач-
ком давления от нулевого значения вне зоны контакта до зна-
чения р внутри нее. Ясно, что две поверхности, первоначально
гладкие и непрерывные, не могут деформироваться по такой
схеме без наложения друг на друга вне нагруженной области.
Эти рассуждения приводят к важному принципу: давление ме-
126 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
жду двумя упругими телами, профили которых непрерывны
вдоль границы области контакта, непрерывно убывает до нуля
при приближении к границе области контакта ’>.
Примеры, приведенные в подтверждение этого утверждения,
касаются поверхностей без трения, однако можно показать, что
принцип остается справедливым при наличии трения скольже-
ния на границе области контакта, так что q = рр, а также если
трение является достаточным для полного предотвращения
скольжения.
Если одно из тел имеет профиль с точкой излома на гра-
нице участка контакта, то ситуация резко изменяется и, вообще
говоря, следует ожидать высокой концентрации напряжений на
границе. Случай плоского жесткого штампа с прямыми углами
был рассмотрен в § 2.8. В отсутствие трения под штампом рас-
пределение давлений определяется выражением р0(1 —х2/а2)-112,
которое для малых расстояний р от одного из углов может быть
записано в виде р0(2р/а)-1/2.
Следует признать, конечно, что этих бесконечных напряже-
ний в действительности не существует. Во-первых, линейная
теория упругости, которая приводит к этому результату, спра-
ведлива только для малых деформаций и, во-вторых, реальные
материалы деформируются пластически при конечных напряже-
ниях. Тем не менее, как показало развитие линейной механики
разрушения, коэффициенты при сингулярности напряжений 2>,
вычисленные с помощью линейной теории упругости, дают по-
лезную информацию об интенсивности концентрации напряже-
ний и возможной степени проявления пластического течения.
Условия на границе контакта жесткого штампа с упругим
полупространством зависят от условий трения под основанием
штампа, а также от величины коэффициента Пуассона для по-
лупространства. Если трение полностью исключает проскаль-
зывание, то давление и касательные усилия под штампом опре-
деляются уравнением (2.69). Вблизи угла (р = а — х<О)
распределение давлений может быть записано в виде
Р <р>= (2ар)-1/2 cos [*1ln v] ’
где т] = (2зт)-11п(3 — 4v). Отмеченная сингулярность описыва!ет
осцилляции давления в угловой точке штампа (р—>0).
Для несжимаемого полупространства, однако, v = 0.5, т] = 0
и распределение давлений переходит в распределение, имеющее
место, если трения нет. В § 2.8 было показано, что при отсут-
ствии склейки поверхности должны проскальзывать. Форма
*> Этот принцип был отмечен Буссинеском [39].
В линейной механике разрушения эти коэффициенты называются ко-
эффициентами интенсивности напряжений. — Прим. ред.
§ 5.1. Напряжения на границе области контакта
127
распределения давлений вблизи угла штампа тогда может быть
определена из уравнения (2.75):
. . Pcos(jtv) ,-1/2 f 2а
Р(Р)=—(v)
(5.2)
где tg(ny) = — |л(1 — 2v)/[2(l — v)]. Когда коэффициент тре-
ния равен нулю или коэффициент Пуассона равен 0.5, имеем
у = 0 и распределение давлений приводится к распределению,
отвечающему условиям отсутствия трения.
В приведенном выше обсуждении исследовалась концентра-
ция напряжений, вызываемая жестким штампом с прямым уг-
лом. Теперь возникает вопрос: как изменится концентрация на-
пряжений, если штамп будет также упругим и угол на его краю
будет отличен от 90°? Этот вопрос был исследован Дундурсом
и Ли [95] для контакта без трения, Гдутосом и Теокарисом
[121] и Комниноу [64] для контакта с трением и Боджи [37]
в отсутствие проскальзывания. Эти авторы анализировали на-
пряженное состояние двумерного упругого клина с углом рас-
твора ф, который одной гранью вдавливается в упругое полу-
пространство, как показано на рис. 5.1. Полупространство мо-
жет рассматриваться как второй клин с углом раствора л.
Асимптотика компонент напряжений в зависимости от р вблизи
вершины клина может принимать одну из следующих форм:
(a) ps-1, если s вещественно и 0<s< 1;
(b) р^-1 cos (т]1пр) или р£-1 sin (т] In р), если s = § + гт] ком-
плексно и 0<£<1;
(с) 1пр;
(d) const (включая нуль)
128
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
в зависимости от упругих постоянных клина и полупростран-
ства, угла клина ф и условий трения на границе контакта. Дун-
дурс показал, что влияние упругих постоянных описывается
с помощью только двух независимых параметров:
__ [(1 — vi)IGi] — [(1 — vii/Gzj
[(1-'v1)/G1] + [(1-'v2)/G2] ’
Q_ 1 [(i-ZvO/Gd-tU^ViO/Gd
p— 2 [(1 - v1}/G1] + [(1 - vs)/G2]
(5.3a)
(5.3b)
Величина а служит мерой различия «модулей плоской дефор-
мации» (1—vz)/E; она изменяется от —1, когда полупростран-
ство жесткое, до ф-1, когда клин является жестким. Величина
р имеет экстремальные значения ±1/2, когда одно тело же-
сткое, а у другого нулевой коэффициент Пуассона. Если оба
тела несжимаемы, то р = 0. Некоторые характерные значения
аир приведены в табл. 5.1, из которой видно, что |р| редко
превосходит 0.25.
Таблица 5.1
Тело 1 Тело 2 Gi, ГПА V, О2, ГПА v2 a 6
Резина Металл < g2 0.50 >G, . 1.00 0
Плексиглас Сталь 0.97 0.38 80 0.3 0.97 0.19
Стекло 2> 22 0.25 80 0.3 0.57 0.21
Дюралюминий 2> 28 0.32 80 0.3 0.61 0.12
Чугун 2> 45 0.25 80 0.3 0.31 0.12
Карбид вольфрама 300 0.22 80 0.3 -0.54 —0.24
При наличии проскальзывания между клином и полупро-
странством напряжения в вершине могут иметь вид (а), (с) или
(d), как указано выше, но комплексных значений s, которые
приводят к осцилляции напряжений, не возникает. Чтобы дав-
ление было конечным в точке О (случай (d)), должно быть
а (я + <р) cos <р — (цл — 1) sin <р ,g 4)
(л — <р) cos <р — (pjt±l)sin<p ’ с /
Хотя давление при этом обращается в нуль в точке О, танген-
циальное напряжение а в полупространстве тем не менее имеет
логарифмическую особенность в точке О (случай (с)). Это было
установлено в случае равномерного давления и отражено в урав-
нении (2.31а) и на рис. 2.9. Если а больше правой части (5.4),
имеет место степенная особенность давления в точке О с пока-
зателем s, зависящим от величин а, р, ф и р. При этом клин
будет проскальзывать относительно полупространства в поло-
жительном направлении оси х, т. е. слева направо на рис. 5.1.
§5.1. Напряжения на границе области контакта
129
Для скольжения в противоположном направлении в уравнении
(5.4) должны использоваться отрицательные значения р. Кон-
центрация напряжений в точке О снижается при проскальзы-
вании в положительном направлении и повышается при про-
скальзывании в отрицательном направлении. Как можно было
предвидеть, концентрация напряжений усиливается с увеличе-
нием угла клина ф. Когда клин сцеплен с полупространством,
напряжения всегда бесконечны в точке О. Для относительно
больших значений |а| и |р| величина s будет комплексной
(случай (Ь)) и как давление, так и касательные усилия осцил-
лируют вблизи точки О. Для меньших значений |а| и |р| вели-
чина s вещественна и имеет место степенная особенность (слу-
чай (а)). Для нахождения значений s в любых частных слу-
чаях читатель может обратиться к цитированным работам.
В качестве примера рассмотрим упругий прямоугольный
блок или упругий цилиндр с плоскими торцами, сжатый между
двумя полупространствами. Распределения давлений и обуслов-
ленных трением касательных усилий на контактных прверхно-
стях блока или цилиндра были найдены в работах [222, 223]
для случаев: (а) отсутствия скольжения (т. е. полного сцепле-
ния) и (Ь) отсутствия трения на поверхностях контакта. Вблизи
границы области контакта напряженное состояние как для пря-
моугольного блока, так и для цилиндра может быть определено
с помощью рассмотренного выше двумерного клина с углом
ф = 90°. Если блок жесткий, а полупространства упругие с
v = 0.3 (а = 1.0; р = 0.286), ситуация совпадает со случаем же-
сткого штампа, исследованным в § 2.8. В отсутствие трения дав-
ление вблизи угла изменяется как р-0-5 в соответствии с уравне-
нием (2.64). Точки поверхности контакта смещаются по касатель-
ной внутрь к центру основания штампа соответственно отрица-
тельному проскальзыванию, определенному выше. Если смеще-
нию препятствует конечное трение (скажем, р — —0.5), то напря-
жения вблизи угла изменяются как р-0-45 согласно выражению
(5.2). В случае бесконечного коэффициента трения, когда сколь-
жение полностью отсутствует, величина s комплексна и давле-
ние осциллирует в соответствии с соотношениями (2.69) и (5.1).
Рассмотрим теперь обратную ситуацию, когда блок упругий
(v = 0.3), а полупространства жесткие (а — —1, р = —0.286);
тогда в отсутствие трения давление на контактных гранях бло-
ка будет распределено равномерно. В соответствии с коэффи-
циентом Пуассона блок будет расширяться в поперечном на-
правлении, так что проскальзывание в угловой точке снова бу-
дет отрицательным. Когда проскальзывание сдерживается тре-
нием (р = — 0.5), напряжения вблизи угла изменяются как
р-о.43; если ПрОскаль3ывание полностью исключается, напряже-
ния изменяются как р-°-29.
130
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Наконец, рассмотрим блок и полупространства из одного и
того же материала, так что а — р = 0. Для всех условий тре-
ния давление на границе участка контакта бесконечно: в отсут-
ствие трения оно изменяется как р-°-23; при наличии трения
скольжения для р = —0.5 оно изменяется как р-°-44. При отсут-
ствии проскальзывания величина s снова вещественна и давле-
ние изменяется как р-®-45.
§ 5.2. Тупые клинья и конусы
Контактная теория Герца ограничивается поверхностями,
профиль которых гладкий и непрерывный; как следствие этого
напряжения всюду конечны. С другой стороны, жесткий штамп,
имеющий прямые углы, как было показано в § 2.8, вызывает
Рис. 5.2. Вдавливание тупо-
го клина: (а) распределе-
ние давлений; (Ь) фото-
упругие полосы.
§ 5.2. Тупые клинья и конусы
131
бесконечные давления на границе участка контакта. В этом
параграфе мы исследуем влияние разрыва наклона касательной
к профилю внутри области контакта на примере контакта клина
или конуса с плоской поверхностью полупространства. Для
обеспечения достаточной малости деформаций с тем, чтобы
оставаться в рамках линейной теории упругости, угол полу-
раствора а клина или конуса должен быть близок к 90°.
Если предположить, что при вдавливании двумерного клина
в плоскую поверхность ширина участка контакта мала по срав-
нению с размерами двух тел, то можно использовать упругие
решения для полупространства применительно как к клину, так
и к плоской поверхности. Деформации показаны на рис. 5.2(a).
Нормальные смещения связаны с профилем клина соотноше-
нием
й21 + = б — | х | ctg а, ~а<х <а. (5.5)
Тогда
й'1 + й'г2 = — sign х ctg а, (5.6)
где sign х — +1 или —1, если х положительно или отрица-
тельно соответственно. Пренебрегая трением и подставляя это
выражение в уравнение (2.25b), для определения нормального
давления, действующего на поверхности контакта, получаем
а
Л? ^-7- ds = sign х ctg а. (5.7)
JiiLj J Jv О
—a
Это интегральное уравнение относительно р(х) принадлежит к
типу (2.39) с общим решением (2.41). Имеем
f (а2 — s2)172 sign s , Г (а2 — s2)172 , Г (а2 — s2)^2 ,
\ ---------------ds=\ ------------— as — \ ---------— ds =
J х — S J x -- s J x — s
~a 0 —a
a a I/O
f , 2 24l/2 fl I I , Q C (a2 —s2)1'2 ,
— \ (a2 — s2) (------— —i— / ds - - 2 \ —=------4— sds —
J ' ’ | X — S X + S j J x2 — s2
о о
= 2a - (a2 - s2)1/2 In { }. (5.8)
I a — (a2 — x2) ' )
Подставляя это соотношение в (2.41) и используя (2.42), по-
лучим
о/х\_, £*ctg« Г 2а _ in [а + (Д2~ *2)172 )~| , Р
2л L(a2 —х2)1/2 I а — (а2 — х2)172 J J я (а2 — х2)1/2
(5.9)
Если гладкие грани клина простираются за пределы границ
области контакта, давление должно обращаться в нуль на ее
132
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
границах во избежание растяжения или__перекрывания поверх-
ностей вне области контакта, откуда
Р — аЕ* ctg а. (5.10)
Тогда распределение давлений имеет вид
Р(х)
_ Е* ctg а f а + (а2 — х2)1/2 | _ Е* ctg а дг а_
2л (я — (а2 — х2)1'2 J зт х
(5.Н)
Это распределение давлений показано на рис. 5.2(a); дав-
ление принимает бесконечные значения в вершине клина. Вид-
но, что разрыв наклона касательной к профилю внутри области
контакта приводит к логарифмической особенности распреде-
ления давлений. Хотя давление бесконечно в вершине клина,
для касательного напряжения в плоскости хг это не так. Ком-
поненты напряжений в телах, обусловленные распределением
давления (5.11), могут быть вычислены с помощью уравнения
(2.23). Вдоль оси z, где главными являются напряжения сх и
oz, получаем выражение
Ti = ’/21 ох — ог | = (Е*а/л) ctg а (а2 + z2)-1/2, (5.12)
которое принимает максимальное значение под вершиной клина:
(Tl)niax == (Е*/л) ctg а.
Вдавливание тупого конуса в плоскую поверхность полупро-
странства дает аналогичные результаты. Ляв .[238] использо-
вал классический подход, описанный в § 3.1, для нахождения
соответствующей потенциальной функции. Показано, что дав-
ление на поверхность конуса определяется формулой
Р (г) = Ч2Е* ctg « Ar ch (а/г), (5.13)
а суммарная вдавливающая сила — выражением
Р = Ч^лсРЕ* ctg а. (5.14)
Снеддон [326] использовал аппарат интегральных преобразо-
ваний для нахождения этого же результата и оценки компонент
напряжений в контактирующих телах. Касательные усилия на
поверхности конуса, сцепленного с другим телом, были найдены
Спенсом [330].
Распределение давления на конус аналогично таковому в
случае клина: давление принимает теоретически бесконечные
значения в вершине. В этой точке касательные напряжения на
поверхности определяются выражением
<тг = <те = —х/2 (1 + 2v) ро,
которое также дает бесконечные значения. Заслуживает внима-
ния частный случай несжимаемого материала (v = 0.5). Рас-
§ 5.3. Согласованные поверхности
133
сматривая напряжения на поверхности, констатируем наличие
бесконечного гидростатического давления в вершине. Рассмат-
ривая изменения напряжений вдоль оси г, находим, что главное
касательное напряжение определяется выражением
= ’/21 — ог I = ll2E*a2 ctg а (а2 + z2)-1,
которое имеет конечное максимальное значение '/a^ctga в
вершине. Таким образом, напряженное состояние в вершине
конуса включает конечные касательные напряжения в ради-
альной плоскости, наложенные на бесконечное гидростатиче-
ское давление. Изолинии напряжения п под вершиной клина
показаны в виде фотоупругих полос на рис. 5.2(b).
§ 5.3. Согласованные поверхности
В предыдущей главе исследовался контакт гладких несогла-
сованных по форме поверхностей: начальное расстояние между
такими поверхностями в области контакта может быть пред-
ставлено с достаточной точностью полиномом второго порядка.
Следовательно, несогласованные поверхности могут быть пол-
ностью охарактеризованы их радиусами кривизны в точке ис-
ходного контакта. Однако, когда недеформированные профили
согласованы друг с другом по форме, требуется иное описание
начального расстояния между ними. Для контакта согласован-
ных поверхностей часто нарушаются условия, в которых приме-
нима теория Герца. При приложении нагрузки размеры области
контакта быстро растут и могут достигать величин, сравнимых
с характерными размерами контактирующих тел. Типичным
примером является вал, вставленный во втулку с малым зазо-
ром. Когда дуга контакта составляет существенную часть ок-
ружности втулки, ни вал, ни втулка не могут рассматриваться
как упругое полупространство, так что подход Герца непри-
годен.
Рассмотрим сначала контакт тел, профили которых в обла-
сти контакта нельзя адекватно представить полиномами вто-
рого порядка, но которые тем не менее могут быть рассмот-
рены как полупространства с целью вычисления упругих дефор-
маций и напряжений.
Профили представляются полиномами требуемой точности
аппроксимации. Итак, для контакта в условиях плоской задачи
(предполагая симметричность относительно точки начального
контакта) начальное расстояние между телами можно выра-
зить в виде
й = 21+ z2 = А*2 + А>*4+ ••• +Апх2п+ ..., (5.15)
134
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
а для осесимметричного контакта —
h = A^ + A2r*+ ... + Апг2п.
(5.16)
Подставляя (5.15) или (5.16) в уравнение (4.6), получим усло-
вие, которому должны удовлетворять нормальные перемещения
каждой поверхности внутри области контакта. И. Я- Штаерман
[333] нашел распределения давлений рп(х) и рп(г) для профи-
лей, имеющих форму Л „Д'1 и Апг2п соответственно. В двумер-
ном случае мы можем использовать уравнения (2.47) и (2.48).
Принимая индекс п в соответствии с определением (5.15) и счи-
тая оба тела упругими, запишем выражение (2.48) для контакт-
ного давления
Рп____________E*nAnaZn ( _ 1 (_х\
я (а2 — х2)112 (а2 — х2)112 (Да/ 2\а)
1.3 ... (2п — 3) 1
2 • 4 ... (2n) J ‘
(5.17)
Если профили гладкие и непрерывные, то бесконечных давле-
ний в точках х= ±а не может быть, откуда следует, что
’ ДДаД. (5-18)
рМ=^А^{^ + ^Г~'+ ... +
Профилям второго порядка, принимаемым в теории Герца,
соответствует п = 1; в этом случае выражения (5.17) и (5.19)
сводятся к выражениям (4.43) и (4.44) соответственно. Для
больших величин п давление достигает максимальных значений
на некотором расстоянии от центра контакта. При н—>оо ситуа-
ция приближается к случаю контакта двух плоских поверхно-
стей на участке |х|^ а, разделенных с обеих сторон вне уча-
стка контакта узкими зазорами или трещинами. Распределение
давлений в этом случае приближается к распределению для
плоского жесткого штампа, для которого характерны бесконеч-
ные давления на границе участка контакта. Когда профили мо-
гут быть представлены единственным членом в уравнении (5.15),
размер участка контакта связан с нагрузкой соотношением
(5.18). Для профилей более общего вида распределение давле-
ний и полная нагрузка определяются комбинацией выражений
типа (5.18) и (5.19).
§ 5.3. Согласованные поверхности
135
В осесимметричном случае И. Я- Штаерман получил анало-
гичные выражения:
рп — 4АпВ’па2п+1 (Д'С-, ' (5.20)
, ч - Г (2и)!! j ( г \2n-2 , \ ( г \2n-i , ,
PnU)— л L (2п — 1)!! j I I а ) 2 I а ) । • • • т"
<5-21>
Сближение также может быть найдено в этом случае:
<5'22>
В двух приведенных выше примерах удалось получить ана-
литические решения благодаря тому, что наперед была известна
форма области контакта. Для более общих профилей эта фор-
ма неизвестна; только для поверхностей второго порядка это
будет эллипс. Некоторые соображения относительно формы мо-
гут быть получены для контуров, равноотстоящих друг от друга
в недеформированном состоянии, но нельзя полагать, что эта
форма сохранится после деформации. Численные методы опре-
деления контактных напряжений между телами произвольного
согласованного профиля описаны в § 5.9.
Рассмотрим теперь две задачи о контакте между согласо-
ванными телами, которые не могут быть представлены как по-
лупространства: (а) плоская задача о контакте вала с отвер-
стием в неограниченной плоскости; (Ь) контакт шара с близкой
136 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
ему по размеру сферической полостью. Геометрические пара-
метры вала и отверстия показаны на рис. 5.3. Разность радиу-
сов ДУ? = R2 — Rx мала по сравнению с Ri или R2. Внешнее уси-
лие Р прикладывается в центре вала С и вызывает смещение
точки С на расстояние 6; это усилие компенсируется равномерно
распределенными напряжениями в плоскости на достаточно
большом расстоянии от отверстия. Деформации в области кон-
такта показаны на рис. 5.3(b). Точки Si и S2 на двух поверх-
ностях, которые вступают в контакт в точке S поверхности раз-
дела, претерпевают радиальные и тангенциальные перемеще-
ния йг и йе. Поскольку величины ДУ? и 6 малы по сравнению
с У?1 и У?2, име^м
(У?2 + аг2) — (У?! + йг1) = (ДУ? + б) cos <р, (5.23)
т. е.
йг2 — = б cos <р — ДУ? (1 — cos <р). (5.24)
Когда дуга контакта стягивает угол 2а, который не являет-
ся малым, выражение (5.24) существенно отличается от герцев-
ского приближения, определенного уравнением (4.37). Теперь
требуется найти распределение нормальных давлений (прене-
брегая трением), которое, будучи распределенным по дуге с
углом 2а, вызывает перемещения точек поверхностей вала и от-
верстия, удовлетворяющие уравнению (5.24) в интервале —а <
< <р < а. Эта задача детально исследовалась Перссоном [294]
с использованием функции напряжений для кругового диска и
круглого отверстия в неограниченной плоскости с целью опре-
деления полей напряжений при их контакте.
Распределения давления для различных значений а пока-
заны на рис. 5.4(a). Изменение угла дуги контакта а в зави-
симости от силы Р показано на рис. 5.4(b) как для вала с за-
зором (ДУ? положительно), так и для вала с натягом (ДУ? отри-
цательно). Для малых нагрузок или больших зазоров получен-
ные зависимости согласуются с соответствующими соотноше-
ниями теории Герца (уравнение (4.42)). Показана также за-
висимость, предсказанная теорией Штаермана. В этой теории
зазор между валом и втулкой представляется степенным рядом,
а контактное давление и нагрузка определяются из уравнений
(5.17) — (5.19). Получаемый при этом результат, хотя и лучше
предсказанного теорией Герца благодаря учету членов высшего
порядка при описании профиля, тем не менее неточен из-за
предположения Штаермана относительно возможности модели-
рования контактирующих тел полупространствами.
Аналогичная задача для шара, вложенного в сферическую
полость, без учета трения исследовалась Гудменом и Киром
[130] с помощью методов, разработанных применительно к сфе-
§ 5.3. Согласованные поверхности
137
(Ь)
Рис. 5.4. Вал в отверстии близкого радиуса: Е\ ~ Е% = Е, Vi = v% —:
(а) Контактное давление; (Ь) дуга контакта. (По данным Перссона [294].)
138 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
рическим телам. Установлено, что жесткость контакта при сжа-
тии на 25 % превосходит жесткость, предсказываемую теорией
Герца.
§ 5.4. Влияние трения по поверхности контакта
Трение на поверхности раздела двух тел несогласованной
формы, находящихся в условиях нормального контакта, играет
роль только в том случае, когда упругие константы двух мате-
риалов различны. Взаимное контактное давление вызывает тан-
генциальные перемещения на поверхности раздела наряду с
нормальным Сжатием (см. уравнение (3.41b) для случая кон-
такта шаров). Если материалы двух тел отличаются, то тан-
генциальные перемещения будут, вообще говоря, различны, так
что будет иметь место проскальзывание. Это проскальзывание
может ограничиваться и до некоторой степени сдерживаться
трением. Можно, следовательно, предполагать, что в централь-
ной части области контакта поверхности полностью сцеплены,
а зона проскальзывания примыкает к границе области контакта.
Если коэффициент предельного трения достаточно велик, про-
скальзывание может полностью исключаться.
В первых исследованиях этой проблемы [273, 274, 128] рас-
чет касательных усилий на поверхности раздела производился
пошагово при увеличении участка контакта от а до а + da. Од-
нако, как показал Спенс [330], при соответствующих условиях
поле напряжений остается подобным на всех этапах нагруже-
ния, так что решение может быть получено непосредственно
без обращения к инкрементальному подходу.
При установлении граничных условий в рассматриваемой
задаче мы начнем с предположения о том, что при наличии про-
скальзывания касательное усилие q связано с нормальным дав-
лением р соотношением
I q I == (5.25)
где р — постоянный коэффициент трения. Направление усилия
q противоположно направлению скольжения. В условиях пло-
ской задачи усилие q действует в направлении, параллельном
оси х, внутрь области контакта вдоль одной поверхности и на-
ружу вдоль другой. При осесимметричном контакте проскаль-
зывание, а следовательно, и усилие q должны быть распреде-
лены осесимметрично и ориентированы в радиальном направле-
нии. Для несогласованных поверхностей, имеющих квадратич-
ные профили, в § 4.1 (уравнение (4.11)) было установлено, что
величины напряжений и перемещений в какой-либо точке воз-
растают пропорционально размеру области контакта а. Вслед-
ствие соотношения (5.25) напряжения и деформации, вызванные
§ 5.4. Влияние трения по поверхности контакта
139
сдвиговыми усилиями, также увеличиваются пропорционально
а и граница между зонами сцепления и проскальзывания будет
разделять область контакта в постоянной пропорции. Таким об-
разом, поддерживается подобие поля напряжений на всех ста-
диях нагружения.
При возрастании нагрузки и увеличении размера области
контакта контактирующие точки обеих поверхностей, которые
первоначально лежали вне зоны сцепления, испытывают различ-
ные тангенциальные смещения. После того как эти точки охва-
тываются зоной сцепления, их дальнейшее относительное сме-
щение прекращается. Такие точки будут Сохранять относи-
тельное тангенциальное смещение (йХ1 — йхл) и относительную
деформацию (дй^/дх — дйхъ/дх), приобретенные ими до этого
момента. Теперь величина деформаций возрастает прямо пропор-
ционально а, так что для двух контактирующих точек, находя-
щихся в зоне сцепления на расстоянии х от центра, мы можем
записать
дй^__д^ = С\х\, (5.26)
дх дх 1 ” ' '
где С — константа, подлежашая определению.
Рассмотрим сначала контакт двух параллельных цилиндров.
На промежуточном этапе нагружения ширина участка контакта
равна 2а, и мы предположим, что трение предотвращает про-
скальзывание в центральной зоне шириной 2с. На поверхности
раздела действуют симметрично распределенное нормальное дав-
ление р(х) и кососимметрично распределенные касательные уси-
лия q(x). Градиенты нормальных смещений в полной области
контакта определяются выражением (4.39). Подставляя его в
уравнение (2.25b) и учитывая, что касательные усилия, дей-
ствующие на каждую поверхность, равны и противоположно на-
правлены, находим
j x — s' ds ~ (х) = - — а х а> (5.27)
—а
где 1/7? = l/Ri + I/R2, а константа р есть мера различия упру-
гих постоянных двух материалов, определенная выражением
(5.3b). Подставляя (2.25а) в условие отсутствия проскальзыва-
ния (5.26), получим для зоны сцепления
а
лрр(х)+ ( -^-ds = — ул£*С|х|,
—а
|х|<с.
Кроме того, в зоне сцепления
I q К V-P-
(5.28)
(5.29)
140
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
На участках проскальзывания
q = ± рр,
(5.30)
с < | х | < а,
где знак величины q определяется направлением скольжения.
Если уравнения (5.27) — (5.30) разделить на размер участка
контакта а, они переходят в уравнения относительно величин
p/а и q/a, которые не зависят от значения а. Таким образом,
подтверждается приведенное выше утверждение о сохранении
подобия поля напряжений при нагружении.
В качестве первого шага в решении уравнений (5.27) и
(5.28) относительно усилий р(х) и q(x) упростим задачу, пред-
положив, что проскальзывание в области контакта отсутствует.
Тогда уравнение (5.28) справедливо на всем участке (|х| а)
и вместе с уравнением (5.27) образует систему парных интег-
ральных уравнений относительно р(х) и q(x} описанного в § 2.7
вида с граничными условиями типа III. Дальнейшие упрощения
получим, пренебрегая влиянием сдвиговых усилий на нормаль-
ное давление, т. е. опуская второй член в левой части (5.27).
Уравнения оказываются, таким образом, несвязанными. Распре-
деление давлений дается теорией Герца (равенство (4.44)), а
уравнение (5.28) относительно касательных усилий может быть
записано в виде
-^ds = -jtPp0(l - ^-)'/2-±яГС|х|. (5.31)
—а
Это уравнение принадлежит к типу уравнений (2.39), имеющих
общее решение вида (2.41).
Удобно представить распределение q(x) состоящим из двух
слагаемых q'(x) и q"(x), которые удовлетворяют уравнению
(5.31), если в правой части оставить соответственно первый или
второй член. Таким образом, q'(х)-—касательные усилия, необ-
ходимые для устранения различий тангенциальных перемеще-
ний, вызванных нормальным давлением, a q"(x) — усилия, необ-
ходимые для получения дополнительных перемещений, пропор-
циональных |х|, которые требуются для удовлетворения условия
отсутствия проскальзывания. Подставляя указанное представле-
ние в (2.4) и интегрируя, получим
q' (х) = 2₽-£2-Г
зг L
/'(*)=—[-
2л L
, 2 Х g.i/2- + -7- (а2 — х2'.
(а2 — Xs) 1 2а
2х .
-----------По" + X 1П
(а2 — х2),/2
I а — х
а + (а2 — х2)1/2 1
а — (а2 — х2)1/2 J.
(5.32)
(5.33)
Константа С определяется из условия обращения усилий в нуль
на границе области контакта. Поскольку член (а2 — х2)-1/2 дол-
§ 5.4. Влияние трения по поверхности контакта
141
жен исчезать при сложении q'(x) и q"(x), то С = 2$р0/(Е*а) и
q (Х) = -₽₽£- Г - х2)1/2 In I + х In { (5.34)
v ла L I а —х Iе — (с2 — х2)1 ) J
Если проанализировать отношение q(x) к р(х), то мы обна-
ружим, что оно становится неограниченным на краях участка
контакта, следовательно, неизбежно наличие проскальзывания.
Реальная ситуация, когда с каждой стороны центральной зоны
сцепления ширины 2с имеет место проскальзывание, исследо-
валась Спенсом [332].
На основе соображений подобия Спенс показал, что для
одинакойых упругих констант и коэффициента трения относи-
тельные размеры зоны проскальзывания сохраняются для лю-
бого индентора, имеющего профиль z — Ахп, и равны соответ-
ствующим относительным величинам для штампа с плоским
основанием. Значение с теперь определяется уравнением (2.73),
в котором множитель (1 — 2v)/(l— v) следует заменить на 2р
для учета упругости обоих тел. Эта зависимость показана на
рис. 5.5 (кривая Л). Усилия, оценка которых дана в [332], по-
казаны на рис. 5.6 для ц/р = 0.99, что дает с = 0.7а.
Контакт шаров из разных материалов без проскальзывания
рассматривался Гудменом [128] на основе пренебрежения влия-
нием касательных усилий на нормальное давление. Контактные
усилия снова разложим на две составляющие: для снятия тан-
генциальных перемещений, возникших вследствие нормального
давления,
/ (Г) = ± ^2 (а2 - Г2)-1/2 _ 2 (а2 _ г2)1/2 +
+ (-----—175’In I dt\ (5.35)
J (t2 _ ,2)1/2 | t _ r J v ’
и для удовлетворения условиям отсутствия проскальзывания
(5.26)
q” (г) = [- г (а2 - г2)’1/2 + v!п { } ] (5.36)
Неизвестная константа С снова определяется из условия обра-
щения в нуль суммарного усилия при г — а, откуда
0 (Г) = Г- X (а> - + -> { ° + (“Уг=|1'а } +
+ —( /2 ...in A+L|d/I. (5.37)
ra J (/2-r2)1/2 t-r | J v
142
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Рис. 5.5. Нормальные уси-
лия при контакте тел из
разных материалов. Расши-
рение зоны проскальзыва-
ния: кривая А — случай
плоской деформации, урав-
нение (2.73); кривая В —
осесимметричный контакт,
уравнение (5.38).
Рис. 5.6. Касательные усилия при контакте тел из разных материалов,
(а) Контакт при плоской деформации: А — без проскальзывания, выраже-
ние (5.34); В — частичное проскальзывание, р/Р = 0.99. (Ь) Осесимметричный
контакт: С — без проскальзывания, выражение (5.37); D— частичное про-
скальзывание, p/р = 0.66. Штриховыми линиями показаны кривые рр/(рро)-
§ 5.4. Влияние трения по поверхности контакта 143
Эпюры касательных усилий изображены на рис. 5.6. Отно-
шение q(r)/p(r) снова неограниченно при г— а, так что может
.иметь место проскальзывание. Расширение зоны проскальзыва-
ния при монотонном нагружении происходит так же, как и для
жесткого плоского штампа, и определяется соотношением
£1"Сгй)=1к'(т)’ <в-38)
где К'(с/а)—полный эллиптический интеграл аргумента (1 —
I—Это соотношение также показано на рис. 5.5 (кри-
вая В), а эпюра касательных усилий при с = 0.7а изображена
на рис. 5.6. При уменьшении коэффициента трения круг, внутри
которого отсутствует проскальзывание, стягивается к централь-
ной точке и касательные усилия приближаются к величине
l-ip(r).
Полное решение задачи с учетом влияния касательных уси-
лий на давление было получено В. И. Моссаковским [274] и
Спенсом [330, 332]. Показано, что в зависимости от значения £
трение может увеличивать суммарную нагрузку, необходимую
для образования области контакта заданной площади, более
чем на 5% по сравнению с расчетом по теории Герца.
Распределения усилий трения для плоской и осесимметрич-
ной контактных задач показаны на рис. 5.6. Эти усилия дей-
ствуют по направлению во внешность области контакта на по-
верхность более деформативного тела и по направлению внутрь
области на поверхность более жесткого тела. При отсутствии
проскальзывания величина касательных усилий пропорцио-
нальна параметру р, который характеризует различие упругих
свойств материалов. Ясно, что параметр [3 обращается в нуль
не только в случае идентичных материалов, но также в том
случае, когда они оба несжимаемы (г = 0.5).
В этих случаях касательные усилия отсутствуют и приме-
нимо решение Герца. Некоторые значения р для типичных пар
материалов приведены в табл. 5.1. Максимально возможное зна-
чение р равно 0.5, а встречающиеся на практике значения редко
превышают 0.2. Таким образом, касательные усилия значитель-
но меньше нормальных давлений и их влияние на внутренние
напряжения невелико. Однако они существенно влияют на тан-
генциальные напряжения б\ или дг вблизи поверхности в зоне
контакта. В случае плоской контактной задачи в отсутствие
проскальзывания выражение (5.34) дает значения напряжений
на границе области контакта
ах (— а) = ах (а) = — 2₽р0, (5.39)
которые являются сжимающими для относительно податливой
поверхности и растягивающими для относительно жесткой. Про-
144
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
скальзывание приводит к снижению этих напряжений. Если бы
проскальзывание было полное, так что всюду |/?|= рр, то
ах (— «) = ох (а) = — (4/л) рр0. (5.40)
В действительности проскальзывание является частичным и в
центре области существует зона непроскальзывания шириной
2с. Тем не менее выражение (5.40) дает хорошую аппроксима-
цию при условии с/а < 0.7, т. е. когда p/р < 1.0.
Для осесимметричного случая радиальное напряжение
вблизи поверхности может быть вычислено с помощью выраже-
ний (3.103с). В отсутствие проскальзывания равенство (5.37)
дает следующее значение радиального напряжения на поверх-
ности при г = а:
дг (а) = -1.515 (1 -O.16v)Ppo. (5.41)
Если, наоборот, имеет место полное проскальзывание, то
аг(а) = ~ 1.185(1 —O.23v)ppo. (5.42)
Снова равенство (5.42) дает хорошее приближение в случае
частичного проскальзывания при с/а <0 7, когда p/р < 0.66.
В осесимметричном случае нормальное давление обусловливает
радиальные напряжения вне круговой области контакта, кото-
рые имеют максимальное значение '/з(1—2v)po при г = а и
уменьшаются как г-2 (равенство (3.44)). На более деформа-
тивной поверхности сжимающие напряжения, вызванные уси-
лиями трения, ослабляют растяжение, обусловленное нормаль-
ным давлением, и приводят к смещению положения максимума
растягивающих усилий в точку с радиусом, большим чем а. На
более жесткой поверхности радиальные напряжения, вызван-
ные трением, являются растягивающими и, складываясь с на-
пряжениями, обусловленными давлением, дают максимальную
величину растягивающих усилий в точке г = а. Эти эффекты
исследовались в работе Джонсона, О’Коннора и Вудворда [202],
где было показано, что они влияют на сопротивление хрупких
материалов герцевскому разрушению, когда материалы инден-
тора и образца различны.
Усилия трения, которые развиваются при уменьшении на-
грузки, также представляют интерес в связи с часто наблюдае-
мым образованием круговых трещин при разгрузке. Некоторые
оценки такого поведения были получены Тернером [352] для
случая разгрузки штампа с плоским основанием.
§ 5.5. Адгезия упругих тел
До сих пор в этой книге мы считали само собой разумею-
щимся, что между двумя контактирующими телами по поверх-
ности раздела может иметь место только взаимное сжатие, а
§ 5.5. Адгезия упругих тел
145
сопротивление усилиям отрыва отсутствует. Это допущение со-
гласуется с общими представлениями, согласно которым пло-
щадь области контакта между упругими телами несогласован-
ной формы, если не используется специальное клеящее веще-
ство, обращается в нуль при снятии нагрузки и, таким образом,
для разделения тел не требуется приложения растягивающих
усилий.
Однако описание взаимодействия идеальных поверхностей
двух упругих тел с физической точки зрения выглядит иначе
(см., например, [341]). В результате скомпенсированности сил
Рис. 5.7. Кривая «си-
ла — сближение» и по-
верхностная энергия (за-
штрихованная область)
для идеальных поверх-
ностей согласно уравне-
нию (5.43).
притяжения и отталкивания между отдельными атомами и мо-
лекулами обоих тел две идеально плоские твердые поверхности
будут отстоять друг от друга на некоторое равновесное рас-
стояние zo- При расстояниях, меньших z0, они взаимно отталки-
ваются, а при расстояниях, больших z0, притягиваются. Измене-
ние силы на единицу площади в зависимости от расстояния z
между поверхностями обычно представляется функцией
р (z) = — Az~n + Bz~m, т> п, (5.43)
показанной на рис. 5.7, где сжатие (отталкивание) считается
положительным. С этой точки зрения ясно, что для разделения
поверхностей (преодоления адгезионного сцепления) необхо-
димо приложить усилия отрыва. Величина максимальных уси-
лий отрыва достаточно велика, но эффективные пределы адге-
зионного взаимодействия весьма малы.
Ввиду трудностей непосредственного измерения поверхно-
стных сил обычно измеряют работу 2-у, ’ необходимую для раз-
деления поверхностей от г = го до г = оо, и приписывают каж-
дой из вновь образованных свободных поверхностей поверхно-
стную энергию у. Если твердые тела различны, то работа раз-
деления поверхностей равна yi + 72 — 2yi2, где yi и -уг — поверх-
ностные энергии, присущие каждому из двух тел, a yi2 — энер-
гия поверхности раздела.
146
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Причина того, что ожидаемая адгезия между двумя телами
обычно не наблюдается, даже когда тщательно удаляется за-
грязняющая пленка, заключается в неизбежной шероховатости
реальных поверхностей, размер неровностей которых велик по
сравнению с расстоянием действия адгезионных сил. Реальная
область контакта, которая образуется на гребнях выступаю-
щих неровностей, значительно меньше кажущейся области кон-
такта (см. гл. 13).
Адгезионные связи, сформировавшиеся между неровностями
меньшей высоты при нагружении, разъединяются при разгрузке
за счет сил взаимного сжатия между неровностями большей вы-
соты. Таким образом, адгезионное сцепление в точках реального
контакта постепенно ослабляется. Исключения при этом состав-
ляют, например, расслоенная слюда, поверхность которой мож-
но сделать гладкой на атомном уровне, а также низкомодуль-
ные твердые тела, такие, как желатин или резина, которые об-
ладают свойством самосогласования поверхностей за счет вза-
имной подгонки шероховатостей. В этих случаях реальная об-
ласть контакта совпадает с кажущейся.
Для изучения влияния адгезионных сил в отсутствие поверх-
ностной шероховатости рассмотрим два осесимметричных тела
несогласованной формы, которые вступают в контакт по круго-
вой области радиуса а. Усилия трения рассмотренного в преды-
дущем параграфе типа не учитываются (см. [195, 200]). Нор-
мальные упругие смещения в области контакта, вызванные нор-
мальными усилиями, должны удовлетворять уравнению (4.17):
«21 + йг2 = 6 — r2l(2R).
В § 4.2(a) было найдено, что это условие удовлетворяется при
распределении давлений следующей формы,
р (г) = р0 (1 - r2/a2)1/2 + р'о (1 - г2/с?Г'12, (5.44)
где р0 — 2aE*/(nR). Положительные* значения р'о не рассматри-
вались, поскольку бесконечное давление в точке г = а предпо-
лагает взаимоналожение обеих поверхностей вне области кон-
такта. Отрицательные значения р'о были исключены из рассмот-
рения на том основании, что поверхности не могут сопротив-
ляться отрыву. Однако при наличии адгезионных (притягиваю-
щих) сил возможность отрицательных значений давления р$
исключить нельзя. Рассматривая работу, совершенную давле-
нием (5.44) при сжатии, легко показать, что энергия упругой
деформации, запасенная обоими телами, выражается в виде
ив = (4 Ро + У РоРо + Ро2) • (5.45)
§ 5.5. Адгезия упругих тел
147
Суммарное сближение определяется из равенств (3.36), (4.20)
и равно
6 = ^(p0 + 2pQ. (5.46)
Рассмотрим теперь изменение энергии деформации Ue при
изменении радиуса площадки контакта, сохраняя общее отно-
сительное смещение двух тел 6 постоянным. При найденном
выше значении р0 имеем
dU г, л л2а2 г9
~да~J6 = £* ро '
(5.47)
Поскольку 6 поддерживается постоянным, работа внешних сил
равна нулю, так что в состоянии равновесия производная
дИв/да должна исчезать, откуда Pq = 0, что имеет место в тео-
рии Герца.
В рассматриваемой задаче адгезионные силы обусловли-
вают поверхностную энергию Us, которая уменьшается при
взаимном сближении поверхностей и увеличивается при их от-
делении друг от друга. Можно записать Us = —2рш2, где у —
поверхностная энергия на единицу площади каждой поверхно-
сти.'-Полная свободная энергия системы равна UT = Ue + Us-
В состоянии равновесия \dUT/da\ в = 0, откуда
Л2Ч2
<3t7„
— = 4луа,
да 1 ’
т. е.
(5.48)
где знак минус выбран с тем, чтобы исключить сжимающие
напряжения при г = а. Результирующее контактное усилие
равно
а
Р = 2л р (г) г dr = (у Ро + 2Ро) ад2-
о
Подставляя сюда выражения для р0 и р' и выполняя преобра-
зования, получим соотношение между а и Р:
(р~ == 16лу£”а3. (5.49)
\ б/\ Z
Эта зависимость показана на рис. 5.8, где дано ее сопостав-
ление с экспериментальными данными для контакта желати-
новых шаров с телом из плексигласа. Когда тела нагружены
сжимающими (положительными) усилиями, адгезионные силы
приводят к контакту поверхностей по области, размеры которой
148
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Рис. 5.8. Изменение безразмерного радиуса площадки контакта а/ас в зави-
симости от безразмерной нагрузки Р1РС- Сравнение расчетных значений по
уравнению (5.49) с экспериментальными данными для контакта желатиновых
шаров с телом из плексигласа. Светлые кружки соответствуют радиусу
R — 24.5 мм; крестики R = 79 мм, квадратики R = 255 мм.
превышают размеры, предсказываемые теорией Герца. При
уменьшении нагрузки до нулевого значения поверхности остают-
ся прилипшими друг к другу по области, радиус которой опре-
деляется точкой С на рис. 5.8. Приложение растягивающей
(отрицательной) нагрузки приводит к дальнейшему сокраще-
нию области контакта. В точке В, где
Р = — рс = —ЗлуЯ, (5.50)
ц = цс = (9/4уда*)1/3, (5.51)
контакт становится неустойчивым и поверхности отлипают. Та-
ким образом, усилие Рс, определяемое равенством (5.50), есть
«сила адгезии». Если вместо нагрузки контролировать относи-
тельное смещение 6 между телами, то адгезионный контакт бу-
дет устойчивым до точки А на рис. 5.8 (Р — —5Рс/9, а =
= ас/32/3). За этой точкой адгезионное сцепление разрушается.
Распределение нормальных усилий в соответствии с выра-
жением (5.44) и конфигурация деформированной поверхности
вне области контакта (согласно выражениям (3.38) и (3.42а))
показаны на рис. 5.9 для случая контакта упругого шара с же-
сткой плоской поверхностью. При г — а имеют место бесконеч-
ные растягивающие усилия, а деформированный профиль под-
§ 5.5. Адгезия упругих тел
149
ходит к плоской поверхности под острым углом. В действитель-
ности напряжения ограниченны, а угол не будет идеально ост-
рым. В угловой точке будет иметь место некоторое закругление,
поскольку поверхностные усилия согласованы с определяющей
зависимостью между силой и сближением, показанной на
рис. 5.7.
В предположении, что упругие перемещения велики по срав-
нению с эффективным расстоянием действия поверхностных сил,
проведенный выше анализ будет достаточно хорошо отражать
Рис. 5.9. Эпюра контактных усилий и деформация шара при контакте с
жесткой поверхностью. Сплошная линия соответствует контакту с адгезией
(выражение (5.44)), штриховая линия — контакту без адгезии (по Герцу).,
влияние адгезии на деформацию упругих тел при контакте.
Принятая при этом идеализация аналогична используемой при
рассмотрении трещины Гриффитса в линейной механике разру-
шения. В самом деле, зазор между двумя телами с внешней
стороны области контакта можно трактовать как раскрытую
трещину. В работах [140, 251, 252] для анализа адгезионного
контакта упругих и вязкоупругих твердых тел использована
концепция механики разрушения с привлечением понятия коэф-
фициента интенсивности напряжений
Трактовка задачи о трещине с точки зрения контактной задачи тео-
рии упругости дана в работе: Ishlinsky A. Yu. Consideration of the theory
of cracks from the point of contact problems of the theory of elasticity.—
In: Proc, of the IUTAM Symp. on the Mechanics of the Contact between
Deformable Bodies (Enschede, 20—23 Aug. 1974). —Delft Univ. Press, 1975,
p. 77—83. (См. также Ишлинский А. Ю. Рассмотрение теории трещин с точки
зрения контактных проблем теории упругости.— В кн.: Ишлинский А. Ю.
Прикладные задачи механики. Книга 2. Механика упругих и абсолютно
твердых тел.—М.: Наука, 1986,—416 с.) — Прим. ред.
150
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
§ 5.6. Контакт цилиндрических тел
Упругие деформации сжатия двумерных контактирующих
тел нельзя вычислить только через контактные напряжения,
определяемые теорией Герца. Необходимо учитывать также
форму и размеры самих тел, а также способы их закрепления.
В большинстве практических ситуаций такие вычисления трудно
осуществить, что привело к множеству приближенных формул
для расчета упругих деформаций сжатия тел при контакте в
условиях плоской задачи, как, например, в случае зубьев ше-
стерен или подшипников качения [164, 309]. Между тем сжатие
длинного кругового цилиндра, контактирующего с двумя дру-
гими поверхностями несогласованной с ним формы вдоль двух
.диаметрально противоположных образующих, может быть про-
анализировано достаточно удовлетворительно.
Поперечное сечение такого цилиндра показано на рис. 5.10.
-Сжимающее усилие на единицу длины оси Р приводит к гер-
.цевскому распределению давлений в окрестности точки Of
р(х)=------(1----г] . (5.52)
ЛЯ] 7
Полуширина зоны контакта определяется равенством
а2 = 4рц/(лЕ^, (5,53)
где £, — приведенный модуль контактной системы, образован-
ной цилиндром и контактирующим с ним телом.
Распределение напряжений в цилиндре, нагруженном диа-
метрально противоположными сосредоточенными силами, при-
ведено в книге Тимошенко и Гудьера [345]. Оно получено су-
перпозицией полей напряжений от действия двух сосредоточен-
ных сил Р, приложенных к плоским границам двух полупро-
странств, касательных к цилиндру в точках О] и О2 (см. выра-
жения (2.14)), совместно с равномерным двухосным растяже-
нием
oA. = oz = P/(nT?), (5.54)
которое освобождает круговую границу цилиндра от напря-
жений. -
Поскольку а <С R, можно считать, что цилиндр, показанный
на рис. 5.10, подвержен действию комбинации диаметрально
противоположных сил, распределенных согласно (5.52). Опре-
делим теперь компоненту деформации ez в точке А, лежащей
между 01 и С на оси симметрии. Напряженное состояние в точ-
ке А определяется вкладом трех составляющих: 1) напряже-
ниями, обусловленными герцевским распределением давлений
в зоне контакта в окрестности' точки Оь которое определяется
§ 5.6. Контакт цилиндрических тел
151
уравнением (5.52); 2) напряжениями от контактных давлений’
в окрестности точки О2, которые из-за большого расстояния от
А до О2 можно считать вызванными сосредоточенной силой Р
и определяемыми выражениями (2.16); 3) двухосным растяже-
нием согласно (5.54). Суммируя эти три составляющие, полу-
чим напряжения в точке А:
(5.55а)
(5.55b)-
При плоской деформации
1 — V2 Г V 1
ег — £ [°z J _ v Gx j •
Осадка верхней половины цилиндра О^С тогда находится в ре-
зультате интегрирования деформации ez от z = 0 до z = Р при
152
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
условии а <С R:
1). (5.56)
Аналогичное выражение получается для осадки нижней по-
ловины цилиндра, так что полная осадка диаметра по осевой
линии зон контакта OiO2 есть1)
6 = 2Pl~v2 (in—+ 1п—— 1). (5.57)
лЕ к. at а2 /
Для сравнения вычислим осадку полупространства в точке,
расположенной на глубине d под центром участка с герцевским
распределением контактных давлений. Получим
6 = P-L^l(21n —). (5.58)
лЕ \ а 1 — v) ' ’
Полагая d — R, находим, что осадка полуцилиндра (5.56)
превосходит осадку полупространства (5.58) менее чем на 10 %
в диапазоне реальных нагрузок.
Если одно из контактирующих тел принимает, грубо говоря,
форму прямоугольного -блока толщиной t, то распределение сме-
щений сжатия блока по его толщине может быть найдено с
достаточной степенью приближения подстановкой d = t в выра-
жение (5.58) с учетом того обстоятельства, что толщина блока
велика по сравнению с шириной области контакта ((3>я).
Другую важную особенность контакта цилиндрических тел
не удается описать в рамках теории Герца. Реальные цилиндры
имеют конечную длину и, несмотря на то что контактные напря-
жения, действующие вдоль большей части длины цилиндра, до-
статочно точно рассчитываются по теории Герца, вблизи торцов
имеют место значительные отклонения. В большинстве случаев
на торцах возникает концентрация контактных напряжений, что
определяет практическую важность этого эффекта. При проек-
тировании роликовых подшипников, например, осевой профиль
роликов подбирается таким образом, чтобы исключить концен-
трацию напряжений на торцах.
Различные возможные краевые условия, которые могут
иметь место при контакте цилиндра с поверхностью другого
тела, схематически показаны на рис. 5.11. В случае (а) оба тела
оканчиваются в плоскости одного и того же поперечного сече-
ния. В сечениях, удаленных от торцов, действует сжимающее
*) Это выражение отличается от многократно цитировавшегося резуль-
тата А. Фёппля, Л. Фёппля (Сила и деформация. Т. I — М.—Л.: Гостеор-
издат, 1933), что объясняется использованием ими параболического - распре-
деления контактных давлений.
Рис. 5.11. Краевые эффекты для роликов: (а) два совпадающих обрезанных
торца, (Ь) торец с прямоугольным краем, (с) скругленный край.
154
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
напряжение <уу — v(ox + ог), обеспечивающее условия плоской
деформации. На свободных торцах это сжимающее напряжение
исчезает, благодаря чему контактирующие тела несколько вы-
пучиваются в осевом направлении, а контактные давления на
торце уменьшаются.
Оценку уменьшения давлений на торце можно получить,
предполагая, что торец цилиндра находится в плоском напря-
женном состоянии. Запишем выражение (5.56) для радиаль-
ного сжатия цилиндра
6=-^-(2 1п-^-1), (5.59)
которое применимо как для плоской деформации, так и пло-
ского напряженного состояния. Если цилиндр не испытывает
перекоса, сжатие 6 равномерно по его длине, так что ширина
области контакта а также должна быть приблизительно оди-
наковой при подходе к концу. При плоской деформации а =
= 2p0R(\—vz)/E, тогда как в случае плоского напряженного
состояния a = 2p'R/E. Следовательно, давление на конце
p'~(l-v2)p0.
В случае (Ь) ролик имеет квадратный торец, а подстилаю-
щая поверхность простирается за торец ролика. В этом случае
имеет место резкая концентрация напряжений на торце ролика.
Природа сингулярности обсуждалась в § 5.1. Например, в от-
сутствие трения и при одинаковых упругих модулях контактное
давление на малом расстоянии у от торца (у С а) будет изме-
няться как у-0-23.
Случай (с) типичен для цилиндрических роликов. Подсти-
лающая поверхность простирается за торец ролика, а сам ролик
имеет торцевое скругление радиуса г, обеспечивающее гладкое
сопряжение цилиндрического тела с плоским торцом. Предпо-
лагается, что г существенно больше ширины области контакта
2а; тогда распределение осевых напряжений <уу, возникающих
в случае (а), невозможно для обоих тел и они оба могут быть
интерпретированы как полупространства с целью оценки кон-
тактных напряжений.
Некоторые соображения для изучения концентрации напря-
жений в этом случае можно получить, если вспомнить, что сжа-
тие Д1вух тел в центре нагруженной области будет не сильно от-
личаться от сжатия для случая бесконечно длинного ролика. На
торцах, однако, соответствующая деформация достигается при
действии нагрузки, простирающейся только в одном направле-
нии; за торцом полосы контакта поверхности не нагружены и
их сжатие уменьшается, как показано на рис. 5.11(c). Вблизи
конца участка контакта с внутренней стороны необходимое сжа-
тие вызывается увеличенным давлением, что приводит к воз-
§ 5.6. Контакт цилиндрических тел
155
растанию ширины полосы контакта. Экспериментально наблю-
дается конфигурация области контакта в виде «собачьей кости».
Для снижения концентрации напряжений на торцах осевому
профилю ролика должна придаваться слабо искривленная боч-
кообразная форма. Теоретически оптимальные условия дости-
гаются, когда контактное давление равномерно распределено по
длине. Эта ситуация исследована Лундбергом [242]. Предпо-
лагается, что герцевское распределение давления
(5.60)
действует в прямоугольной области контакта шириной 2а и
длиной 21, где I а, а величина а определяется теорией Герца
(равенство (4.43)). Можно показать, что смещение при сжатии
в центре прямоугольника есть
6(°, 0)-^г(1.886 + 1п1). (5.61)
Вдоль оси ролика имеем
Д(£/) = 6(0, 0) —6(0, у)~ 2^1п[1 -(f)2]- (5.62)
Это выражение становится неточным вблизи торцов ролика. На
концах (у=±/) имеем
д('>=1еИ1193+|"4)- (5-“>
Выражения (5.62) и (5.63) дают небольшую корректировку
осевого профиля ролика, необходимую для получения равно-
мерного осевого распределения давлений (5.60). Внутренние
напряжения, вызванные таким распределением, вычислены Ку-
нертом [226]. Указанную корректировку, однако, трудно реали-
зовать технологически, и она действительна только для проект-
ной нагрузки. Поэтому представляет практический интерес бо-
лее общее соотношение между осевым профилем и распределе-
нием давлений.
На большей части длины ролика распределение давлений
в трансверсальном направлении может считаться герцевским,
но ширина области контакта при этом будет изменяться по
длине. Наяк и Джонсон [280] показали, что давление р(0, у)
в некоторой точке на большей части длины связано с полуши-
риной области контакта а (у) в этой точке герцевским уравне-
нием (4.43). На торцах распределение давлений является про-
странственным и должно рассматриваться как таковое для по-
156 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
лучения корректных результатов. Некоторые расчеты в этой
области выполнены в работе [3].
§ 5.7. Анизотропные и неоднородные материалы
Упругие деформации в области контакта определяются тео-
рией Герца в предположении, что каждое тело деформируется
как упругое изотропное однородное полупространство. Если ма-
териал хотя бы одного из тел анизотропный либо неоднородный
или толщины этих тел невелики по сравнению с размером об-
ласти контакта, их податливость под действием контактных
давлений будет отличаться от податливости, принимаемой в
классической теории. Практические примеры контакта анизо-
тропных тел можно обнаружить при рассмотрении монокристал-
лов и полимерных волокон, полученных экструзией, а примеры
контакта неоднородных материалов — при анализе взаимодей-
ствия фундаментов со слоистыми горными породами и грунтами.
(а) АНИЗОТРОПИЯ
Детальный анализ контактного взаимодействия анизотроп-
ных тел выходит за рамки этой книги, однако один интересный
результат Уиллиса [367] заслуживает упоминания. Уиллис рас-
сматривал контакт двух тел произвольной несогласованной
формы в условиях, когда теория Герца применима, за исключе-
нием того обстоятельства, что оба тела наделены анизотропией
общего вида. Показано, что область контакта сохраняет эллип-
тическую форму, а распределение давлений остается полуэллип-
тическим (выражение (3.58)). При этом ориентация осей кон-
тактного эллипса определяется не только геометрией поверхно-
стей, но зависит также от упругих постоянных.
В частном случае трансверсально изотропных тел (пять не-
зависимых упругих констант), которые приводятся в контакт
таким образом, что оси их симметрии параллельны общей нор-
мали в точке контакта, аналитическое решение для контактных
напряжений и деформаций можно получить, но со значительно
большими трудностями, чем в случае изотропных тел (см.
[353]).
Двумерные контактные задачи для анизотропных тел рас-
сматривались Л. А. Галиным [119], вдавливание жесткого штам-
па в анизотропное полупространство исследовалось Грином и
Церной [136]. Выражение (5.57) для сжатия цилиндра было
обобщенно Пинноком и др. [296] применительно к трансверсаль-
но анизотропному полимерному волокну и использовано для
определения значений упругих констант посредством измерения
сжатия волокна вдоль диаметра. Общий анализ анизотропии
.можно найти в книге Гладуэлла [124].
§ 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки
157
(Ь) НЕОДНОРОДНОСТЬ
Неоднородные материалы представляют интерес в механике
грунтов для расчета осадок фундаментов. Упругие модули грун-
тов обычно возрастают с глубиной от поверхности, и наиболее
простой анализ может быть проведен для несжимаемого упру-
гого полупространства (т = 0.5), упругие модули которого уве-
личиваются пропорционально глубине, т. е.
G — г/зЕ — mz, (5.64)
где т — постоянная материала. Калладин и Гринвуд [47] про-
стым путем показали, что поля напряжений, вызванные нагруз-
кой, сосредоточенной в точке или вдоль прямой (плоская де-
формация), являются такими же, как для однородного полупро-
странства (равенства (2.14) и (3.19) соответственно). Переме-
щения в случае неоднородного материала при этом отличаются
и, оставаясь чисто радиальными, определяются выражением
иг = Р/(2лтг) для плоской деформации и ир = Р/(4птр2) для
сосредоточенной силы.
Следовательно, полупространство из такого материала ве-
дет себя подобно основанию Винклера, для которого нормальное
смещение йг в произвольной точке поверхности прямо пропор-
ционально давлению, приложенному в этой точке, с коэффи-
циентом жесткости 2т. Таким образом, удлиненный жесткий
фундамент шириной 2а и весом W на единицу длины, покоя-
щийся на полупространстве из рассмотренного материала, внед-
рится в него на глубину W/(4am). Распределение напряжений
под фундаментом будет совпадать с распределением напряже-
ний в однородном полупространстве от действия равномерного
давления р = W/2а согласно выражению (2.27).
§ 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки
(а) УПРУГИЙ СЛОИ
Контактное взаимодействие твердых тел, имеющих поверх-
ностные слои, упругие характеристики которых отличаются от
свойств основы, часто встречается на практике. Упомянем, на-
пример, валки, покрытые резиной, широко распространенные в
обрабатывающей промышленности. Типичная ситуация проил-
люстрирована на рис. 5.12(a), где тело 2 контактирует с поверх-
ностным слоем 1, покрывающим тело 3. Если толщина Ъ слоя
велика по сравнению с размером области контакта 2а, то основ-
ное тело оказывает слабое влияние и контактные напряжения
между телом 2 и слоем 1 определяются теорией Герца.
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда толщина
b сравнима или меньше, чем 2а. Контактное взаимодействие в
158
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Рис. 5.12.
этом случае зависит от способа крепления слоя к субстрату.
Возможны различные варианты: (а) слой может постоянно на-
ходиться в контакте с субстратом во всех точках, но свободно
проскальзывать относительно него; (Ь) в другом предельном
случае, наоборот, слой может быть полностью сцеплен с суб-
стратом; (с) может иметь место проскальзывание, когда каса-
тельные напряжения на поверхности раздела превосходят пре-
§ 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки 159
дельные напряжения трения; (d) слой, находившийся первона-
чально в полном контакте С субстратом, может частично отста-
вать от него под действием нагрузки.
На контакт слоя с телом 2 несогласованной формы может
также оказывать влияние трение. Даже если упругие постоян-
ные одинаковы (т. е. Ei = Е2, vi = v2), ограниченность толщины
слоя приводит к относительному тангенциальному смещению
по поверхности контакта, сопротивление которому оказывает
трение. В большинстве исследований в настоящее время тем не
менее предполагается отсутствие трения на поверхности кон-
такта, а также рассматривается контакт при плоской деформа-
ции или осесимметричный контакт тел вращения с круговой
областью контакта. Рассмотрим сначала случай плоской де-
формации.
Если ширина зоны контакта мала по сравнению с радиусами
кривизны- тел, искривлением слоя можно пренебречь при ана-
лизе его деформации, а тела 2 и 3 считать полупространствами.
В случае когда слой всюду контактирует без трения с жест-
ким субстратом, граничные условия на поверхности раздела
-слоя и субстрата есть xKZ = 0, иг — 0. Напряжения в слое тогда
такие же, как в половине слоя толщины 2Ь, к которому прило-
жено идентичное распределение давлений на двух противопо-
ложных сторонах (рис. 5.12(b)). Напряжения в слое можно вы-
разить с помощью интегрального преобразования Фурье, которое
питатель может найти в книгах Снеддона [327] и Гладуэлла
[124]. Снеддон показал, что в данном случае при четном рас-
пределении давления, симметрично приложенного по двум сто-
ронам z — ±Ь, нормальное перемещение каждой поверхности
равно
4 (1 — -Vj) г / 2 sh2a& \ , cos ах , /е
и, —-----н--- \ I о , о , I р (а)------da, (5.65)
г J k 2а& + sh 2ab )г' а ' ’
о
где р(а) — косинус-преобразование Фурье давления р(х), т. е.
оо
р (a) = р (х) cos ах dx. (5.66)
о
Выражения в терминах функции /?(«.), аналогичные (5.65),
‘Снеддоном получены также для тангенциального перемещения
и компонент напряжений ох, oz и т2х в слое. В случае когда
-слой сцеплен с субстратом, выражение для йг, соответствующее
(5.65), получено Бенталлом и Джонсоном [32].
Для давления р, равномерно распределенного на участке
—с<х<с, выражение (5.66) дает
р (a) = (p/а) sin ас. (5.67)
1 л. о негерцевскии нормальный контакт упругих тел
Для треугольного распределения давлений с пиковым значением
ро имеем
(5.68)
В пределе, когда с->0, преобразование сосредоточенной силы Р
есть Р/2. Действие касательных усилий q(x) на поверхностях
слоя можно рассмотреть аналогичным образом (см. [32]).
Сложность подынтегрального выражения в (5.65) и подоб-
ных равенствах приводит к серьезным трудностям при анализе
контактных напряжений в полосах и слоях. Остановимся на
Рис. 5.13. Вдавливание жесткого цилиндра в упругий слой на жестком
основании: (а) коэффициент Пуассона v < 0.45; (b) т = 0.5.
двух подходах. В одном из них подынтегральная функция ап-
проксимируется асимптотическими формулами, пригодными для
тонких (Ь <§: а) или толстых (b а) полос [5, 258]. В другом
подходе распределение давлений р(х) составляется из дискрет-
ных элементов, каждый из которых приложен на участке ши-
риной 2с. Это могут быть элементы, представляющие собой рав-
номерные распределения, преобразование которых определяется
формулой (5.67) [67, 68], или треугольные элементы, частично
перекрывающие участок и описываемые выражением (5.68)
[32]. Использование перекрывающихся треугольных элементов
приводит к кусочно-линейному распределению давлений; при-
менение этой техники для исследования контактного взаимодей-
ствия тел описано в следующем параграфе.
Вдавливание жесткого цилиндра без трения в упругий слой,
лежащий на жесткой плоскости, исследовалось многими авто-
рами в случаях, когда (а) слой жестко сцеплен с подстилающим
основанием; (Ь) слой может свободно проскальзывать относи-
тельно основания без трения. Различие этих двух случаев су-
' § 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки
161
щественно, когда материал слоя несжимаем (у = 0.5). Решение
для сравнительно толстого слоя (Ь > а) дано в [258, 290], а для
тонкого слоя (Ь < а) — в [5, 258].
В предельном случае, когда & < а, задача допускает эле-
ментарный анализ. Тонкий слой, в который без трения вдавли-
вается цилиндр, показан на рис. 5.13. Если тов первом
приближении естественно принять, что деформация слоя одно-
родна, т. е. плоские сечения остаются плоскими после сжатия,
как показано на рис. 5.13(a), так что напряжение ох распреде-
лено равномерно по толщине слоя. Рассмотрим сначала случай,
когда трение на поверхности контакта слоя и подстилающего
основания отсутствует и всюду ох = 0.
При плоской деформации имеем
ez £ £ Р (л-)* (5.69)
Деформация сжатия элемента определяется геометрией формо-
изменения
е*=-т(б~4)- <5-7°)
Поскольку давление должно исчезать при х — ±а, выражения
(5.69) и (5.70) дают б = а2/ (27?) и
Р« = Т^Ж(‘-Й. (5-71)
откуда полная нагрузка равна
(5.72)
В случае когда слой полностью сцеплен с основанием и плоские
сечения остаются плоскими, деформация ех всюду-равна нулю,
т. е.
е* = ’7 Ьх + YZ77РW] = 0.
В этом случае
1 — V2 Г I \ v 1
[— Р W ~ М •
Исключая их и подставляя ez из (5.70), получим
р(х)_ (1 -т)2 Е a2 f_ 1 - 2-v 1 - т2 2Rb V1 х2 X а2)’ (5.73)
р = 1 (1 —-v)2 Е а3 3 1 — 2т 1 — v2 Rb ' (5.74)
Для несжимаемого материала (v = 0.5) равенство (5.73) дает
бесконечные контактные давления, что свидетельствует о непри-
емлемости предположения о сохранении плоских сечений пло-
скими в данном случае.
162 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Если принять, что поперечные сечения слоя при деформации
приобретают параболическую форму (т. е. их имеет второй по-
рядок по г, как показано на рис. 5.13(b)), то можно показать,
что для тонкого слоя из несжимаемого материала
, , £а4 (, х2 \2
Р (х) ~ 24Rl)3 (J a2 J .
p____ ЧЕа?
1 45Rb3 ’
6 = a2/(6J?).
(5.75)
(5.76)
(5.77)
Зависимость между шириной зоны контакта и нагрузкой для
различных отношений толщины слоя к полуширине а показана
на рис. 5.14, где изображены зависимости величины а/ах от
Рис. 5.14. Ширина зоны контакта упругого слоя а/ает = \nEa2l4PR (1 — v2)]1^
на жестком основании и вдавливаемого в него жесткого цилиндра. Сплош-
ные линии — решение Мейерса [258]; штриховые линии — асимптотические
решения для b а (выражения (5.74) и (5.76)); штрихпунктирная линия —
решение Герца (Ь 2> а).
b/cr, а№ — [4PR(l— v2)/(лЕ)]1/2 — герцевская полуширина зоны
контакта (при &/а->-оо). Сплошные линии, полученные Мейер-
сом [258], отражают различие для случаев v = 0.3 и v = 0.5.
Для сравнения нанесены асимптотические соотношения при
b Са, определяемые равенствами (5.74) и (5.76).
Распределение давлений (5.75) отличается от распределе-
ния для сжимаемого материала (5.73). Оно имеет нулевой гра-
диент на краю участка контакта, как показано на рис. 5.13(b).
Наиболее резкие изменения контактных давлений на краю имеют
место в диапазоне коэффициентов Пуассона от 0.45 до 0.48.
§ 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки
163
Контактное давление изменяется как (6/а)-3, так что оно ста-
новится весьма большим для очень тонкого слоя; при этом уже
нельзя пренебрегать деформациями индентора и субстрата.
Напряжения в упругом слое на упругом основании исследова-
лись в работах Гупты и др. [149, 150] и Баровича и др. [26];
см. также § 10.1.
Осесимметричное распределение напряжений в слое было
найдено с помощью преобразования Ханкеля в книге Снеддона
(327). Основные свойства решения при этом аналогичны слу-
чаю плоской деформации; формальная связь обоих случаев об-
суждается в монографии Гладуэлла [124, гл. 10]. Асимптотиче-
ские решения для напряжений в слое при вдавливании инден-
тора без трения найдены В. М. Александровым [6, 7) для
столстого и тонкого слоев соответственно. Контактное взаимодей-
ствие кругового штампа и сферы с упругим слоем с учетом эф-
фектов трения исследовали Конвей и Энгель [67] численными
методами. Мэтьюсон [250] получил асимптотическое решение
для тонкого слоя, сцепленного с основанием, учитывающее на-
личие касательных напряжений в заделке; Маккормик [256]
рассмотрел круговые и эллиптические области контакта для
пластин произвольной толщины.
(Ь) КОНТАКТ С ОТСТАВАНИЕМ
Настоящая книга почти полностью посвящена контактному
взаимодействию тел несогласованной формы, соприкасающихся
сначала в одной точке или вдоль прямой, когда полная область
контакта расширяется при увеличении нагрузки. С другой сто-
роны, тела хорошо согласованной формы, которые первона-
чально вступают в контакт по определенной области, при нагру-
жении могут деформироваться таким образом, что область кон-
такта уменьшается. Например, плотно пригнанный по отверстию
штифт прилегает к нему сначала по всей ее окружности, при
нагружении перпендикулярно оси, появляется зазор между
штифтом и отверстием с ненагруженной стороны.
• Если область нагруженного контакта полностью содержится
внутри области ненагруженного контакта, то имеет место кон-
такт с отставанием и справедливы следующие свойства [348,
94]:
(i) область контакта изменяется скачком от начальной фор-
мы и размера при приложении первого приращения нагрузки;
(ii) если нагрузка возрастает по величине, но геометрия на-
гружения не изменяется, то область контакта не изменяется по
форме или в размерах;
(iii ) перемещения, деформации и напряжения возрастают
прямо пропорционально нагрузке.
164
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Для слоя и основания, показанных на рис. 5.15, характерен
контакт с отставанием, если слой может свободно отделяться
от основания под действием сосредоточенной силы Р. Гла-
дуэлл [123] при исследовании этой задачи рассматривал слой
как изгибаемую балку. Без учета собственного веса балки пока-
зано, что контакт с основанием под действием нагрузки имеет
место на участке длиной 2с, не зависящей от нагрузки, и опре-
деляемой формулой
, „ . 3 1 2 с ,
( с \ 1 — 1 — а
- ) = 1.845----------Ц- = 1.845------, (5.78)
\Ь) Е3 1-vf 1 + а
где величина а определена выражением (5.3а).
Кир и др. [221] получили решение указанной задачи с ис-
пользованием точных уравнений теории упругости для слоя.
Ширина зоны контакта между слоем и основанием найдена в
форме, аналогичной (5.78), за исключением случаев, когда а
близко к +1, т. е. когда основание или слой сравнительно
жесткие. Ратвани и Эрдоган [304] рассмотрели случай, когда
в слой, свободно лежащий на основании, вдавливается жесткий
цилиндр (Е2-+<х), как показано на рис. 5.12(a). При неболь-
ших нагрузках, когда а Ь, имеет место такая же ситуация,
как при действии сосредоточенной силы, и полуширина участка
контакта с между слоем и основанием приближенно опреде-
ляется равенством (5.78). Когда величина а, увеличиваясь
с ростом нагрузки, становится сравнимой с Ь, полуширина с
уже не является постоянной. Кир и др. [221] исследовали
также осесимметричный контакт с отставанием между слоем
и упругим полупространством.
(с) ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
Тонкие пластины или тела, подобные оболочкам, под дей-
ствием контактных усилий изгибаются. Таким образом, к кон-
тактным напряжениям добавляются изгибные напряжения. На-
§ 5.8. Слоистые тела, пластины и оболочки
165
пряженное состояние в окрестности точки приложения сосредо-
точенной силы, действующей на балку, рассматривалось Тимо-
шенко и Гудьером [345]. Если балка или пластина достаточно
толстая, поле напряжений можно представить как суперпози-
цию изгибных и герцевских контактных напряжений. Изгиб
приводит к появлению сжимающих напряжений в верхних сло-
ях пластины, которые будут складываться с продольной компо-
нентой поля контактных напряжений (выражение (4.46а)), ко-
торая также является сжимающей. В результате уменьшится
максимальное значение главного сдвигового напряжения (4.47)
и произойдет задержка начала пластического течения. Если
пластина тонкая по сравнению с размером зоны контакта, пре-
обладающими являются напряжения от изгиба.
В качестве примера рассмотрим жесткий цилиндр радиуса
R, который вдавливается в тонкую пластину длиной 2/, шири-
ной w и толщиной 2b, так что длина дуги контакта равна 2а,
где (рис. 5.16). Нагруженное состояние пластины
рассчитывается по элементарной теории изгиба. Во внутренних
точках дуги контакта пластина изгибается в виде дуги окруж-
ности радиуса R под действием равномерно распределенного из-
гибающего момента
.. 2Ewb3
М ="5^71----2Г •
3/?(1 — vj
Для того чтобы изгибающий момент был постоянным внутри
дуги контакта, контактное давление должно включать две со-
средоточенные силы на краях участка контакта и должно быть
равно нулю во всех других точках, откуда
= (5.79)
Это уравнение определяет длину дуги контакта для заданной
силы Р. Приведенный простой пример показывает, что при по-
стоянном увеличении нагрузки с момента начального контакта,
166
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
когда длина дуги контакта возрастает от малых до больших
по сравнению с толщиной пластины значений, распределение
контактных давлений изменяется от имеющего максимум в цент-
ре до распределения, в котором давление концентрируется на
краях. Если деформации большие, то необходимо учитывать из-
менение геометрии и применять теорию эластики (см. By и
Планкетт [370]).
Осесимметричный контакт параболоида с тонкой пластиной
исследовал Эссенбург [104], а сжатие тонкой сфероидальной
оболочки между двумя жесткими плоскостями — Апдайк и
Калнинс [355, 356]. Использование классической теории пла-
стин и оболочек, в которой не учитываются деформации сдвига,
приводит к контактным давлениям в виде сосредоточенных сил,
распределенных вдоль окружности по краю круглой области
контакта, аналогично случаю изгиба пластины, показанному на
рис. 5.16. Для получения более реалистического распределения
контактных давлений необходимо учитывать сдвиговую жест-
кость пластин и оболочек. Тем не менее для тонких пластин
давление остается минимальным в центре и принимает макси-
мальные значения на краях (см. [125]).
Сфероидальная оболочка в отличие от цилиндрической обо-
лочки не является развертывающейся поверхностью. При кон-
тактном сжатии без трения с жесткой плоскостью оболочка
сначала уплощается с развитием сжимающих мембранных на-
пряжений. При достижении критического сжатия оболочка те-»,
ряет устойчивость в зоне контакта с образованием впадины.
В работах [355, 356] исследовалась начальная стадия неустой-
чивости и обсуждались условия, при которых потеря устойчи-
вости предшествует пластическому течению или наоборот.
§ 5.9. Численные методы
Многие задачи негерцевского контакта не допускают анали-
тического решения в замкнутой форме. Это, в частности, так
в случае контакта согласованных поверхностей, когда началь-
ное расстояние между телами нельзя описать простым квадра-
тичным выражением вида (4.3), а также в задачах с учетом
трения и частичного проскальзывания.
Отмеченное обстоятельство привело к развитию различных
численных методов, которые обсуждаются в этом параграфе.
Суть проблемы заключается в отыскании распределения нор-
мальных и касательных усилий, которые удовлетворяют задан-
ным граничным условиям на поверхности раздела, вне и внутри
области контакта, форма и размер которой заранее неизвестны.
Вообще говоря, нормальные и касательные напряжения свя-
заны между собой, однако в § 5.4 была показана возможность
§ 5.9. Численные методы
167
Рис. 5.17. Дискретные элементы давления: (а) сосредоточенные силы,
(Ь) элементы с равномерным распределением (кусочно-постоянное распре-
деление), (с) перекрывающиеся треугольные элементы (кусочно-линейное
распределение).
существенного упрощения (с весьма небольшой потерей точ-
ности) за счет пренебрежения влиянием касательных усилий,
возникающих вследствие различия материалов двух тел, на нор-
мальные усилия. Таким образом, нормальные давления будут
определяться в рамках предположения об отсутствии трения
между поверхностями. Внутренние напряжения при необходи-
мости будут находиться после определения поверхностных
усилий.
Классический метод, который применяется в случае плоской
Деформации и для осесимметричных задач, когда форма обла-
168
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
сти контакта известна, заключается в представлении распреде-
ления давления в виде бесконечного ряда известных функций
(с неизвестными коэффициентами). Ряд затем усекается для
приближенного удовлетворения граничным условиям. Несмотря
на то что в результате находится непрерывное распределение
усилий, этот метод, вообще говоря, плохо обусловлен и может
приводить к большим ошибкам, если функции выбраны не-
удачно. Ряды Штаермана, рассмотренные в § 5.3, являются при-
мером использования этого метода.
Современные вычислительные средства делают более пред-
почтительными методы, основанные на замене непрерывных
распределений усилий дискретным набором «элементов», а гра-
ничные условия после этого удовлетворяются в конечном числе
точек—«точек коллокации». Простейшее представление распре-
деления усилий есть набор сосредоточенных нормальных или
касательных усилий, показанный на рис. 5.17(a). Трудность
применения такого представления заключается в бесконечных
перемещениях поверхности, которые имеют место в точках при-
ложения сосредоточенного усилия. Эта трудность преодоле-
вается, если искомое распределение заменить совокупностью
смежных столбцов с равномерными распределениями усилий,
действующих на дискретных сегментах поверхности, что приво-
дит к ступенчатому распределению, показанному на рис. 5.17(b).
Перемещения поверхности в этом случае всюду конечны, но
градиенты перемещений на границе соседних элементов беско-
нечны, поскольку имеются конечные скачки усилий.
Использование кусочно-линейного распределения усилий да-
ет всюду непрерывные и гладкие поверхностные смещения. Рас-
пределения усилий такого типа в контактных задачах при
плоской деформации может быть получено путем суперпозиции
частично перекрывающихся треугольных элементарных распре-
делений, показанных на рис. 5.17(c). Соответствующий элемент
распределения в случае пространственного контакта представ-
ляет собой регулярную пирамиду с шестиугольным основанием,
как показано на рис. 5.18.
Массив таких пирамид, построенных на сетке равносторонних
треугольников и перекрывающихся таким образом, что каждая
вершина совпадает с узлом треугольной сетки, складывается
и образует результирующее распределение усилий, составленное
из „ плоских треугольных граней. Одна из таких граней, по-
строенная на точках (2, 2), (3, 2) и (2, 3), показана на
рис. 5.18. Распределение давлений при этом полностью опреде-
ляется дискретными значениями р; в узловых точках.
Для нахождения значений усилий в узловых точках, наи-
лучшим образом удовлетворяющих граничным условиям, могут
быть использованы два следующих метода:
§ 5.9. Численные методы
169
Рис. 5.18. Перекрывающиеся гексагональные элементы давления, построенные
на сетке равносторонних треугольников на плоскости £т].
(а) Прямой метод, или метод обращения матрицы, в кото-
ром граничные условия удовлетворяются точно в заданных
«точках коллокации», в качестве которых обычно принимаются
средние точки граничных элементов.
(Ь) Вариационный метод, в котором узловые значения уси-
лий подбираются из условия минимизации функции энергии.
При описании обоих методов рассмотрим нормальный кон-
такт тел без трения с профилями произвольной формы, которые
не могут быть адекватно охарактеризованы их радиусами кри-
визны в точке начального контакта. Зазор между двумя поверх-
ностями до деформации при этом считается известным и описы-
вается функцией h(x,- у), которая предполагается гладкой и
непрерывной.
170
Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
Й21 + Uz2 + h (х, у) — 6
Из принципа, упоминавшегося в § 5.1, следует, что контакт-
ное давление непрерывно уменьшается до нуля на границе
участка контакта. Упругие перемещения соответствующих точек
двух поверхностей удовлетворяют соотношению
— 0 внутри зоны контакта,
> 0 вне зоны контакта, (5.80b)
где 5 — сближение достаточно удаленных отсчетных точек
двух тел.
При использовании любого метода сначала необходимо вы-
брать форму элементов давления и разбить участок контакта
на сегменты соответствующих размеров. Далее требуется сфор-
мировать матрицу коэффициентов влияния Ct}-, которая опреде-
ляет перемещение в некоторой точке / под действием единич-
ного элемента давления с центром в точке J (рис. 5.17). Полное
перемещение в точке / выражается формулой
{«л=- (1~/)с- £ caPi- <5-81>
Трудности возникают в задачах плоской деформации, когда
перемещения определяются с точностью до произвольной кон-
станты. Эти трудности преодолеваются посредством введения
перемещений относительно отсчетной точки, в качестве которой
обычно выбирается точка начального контакта, совмещенная с
началом координат. Поскольку й(0) =0, уравнение (5.80а) при-
менительно к плоской деформации перепишем в виде
fei (0) — uzi (х)} +
( = 0 внутри зоны контакта, (5.82а)
+ {«z2 (0) — «Z2 (*)} — h (х) ) /г оо, ,
1 v ' I > 0 вне зоны контакта, (5.82b)
а уравнение (5.81) принимает форму
fe (0) - uz (x)}t- = с £ (5.83)
где Вц — Cgj • Сij.
Для элементов давления с равномерным распределением при
плоской деформации коэффициенты влияния определяются из
уравнения (2.30d) заменой а на с и х на kc:
Сц (k) = -i- {{k + 1) In (k + I)2 — (k — 1) In (k — I)2} + const,
k = i - /. (5.84)
Для элементов давления с треугольным распределением коэф-
фициенты влияния определяются из уравнения (2.37с):
CU (k) = ~ {(/г+ l)2ln(k +1)2+(&- 1)21п(Ze — I)2- 2&2ln£2}+const
(5.85)
§ 5.9. Численные методы
171
В случае контакта по конечной площадке на поверхности
полупространства коэффициенты влияния для элементов давле-
ния с равномерным распределением, действующим на прямо-
угольных сегментах поверхности размерами 2а X 26, опреде-
ляются из уравнения (3.25) заменой х на Xi— х,- и у на yi— у,.
Элементы давления с пирамидальным распределением стро-
ятся на сетке с осями х = |с и у = цс, наклоненными под уг-
лом 60°, как показано на рис. 5.18. Расстояние Л равно
Л = г = ck = с {(li — gy)2 + (пг — Пу) + — Пу)2}1/2- (5.86)
Коэффициенты влияния определяются методом, описанным
в § 3.3. В -центре пирамиды (* = /): (0) = (3 д/з/(2зт)) In 3 =
= 0.9085; в вершине Сц = !/3С17 (0). Для k2 > 1 коэффициенты
находятся посредством замены пирамиды круговым конусом та-
кого же объема, т. е. обеспечивающего такую же нагрузку. Ре-
зультаты приведены в табл. 5.2. Для значений k? > 9 пирамиду
Таблица 5.2
gt--gr Пу-П; 1, 1 2,0 2, 1 3,0
k2 3 4 7 9
Ctj(k) 0.1627 0.1401 0.1051 0.0925
можно с достаточной точностью (ошибка менее 0.5 %) заменить
сосредоточенной силой, так что Сц (k) — -д/з/(2зт).
Полная контактная нагрузка Р связана с узловыми значе-
ниями для элементов давления формулой
Р = А^Р„ (5.87)
где А — постоянная, зависящая от формы и размеров элементов
давления. Для элементов с равномерным распределением А есть
площадь элемента; для пирамидальных элементов Л = д/Зс2/2.
Перейдем к обсуждению методов, определения значений pf.
(а) МЕТОД ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦЫ
Перемещения {wz}z в произвольной точке сетки / выра-
жаются через неизвестные значения давления р,- соотношением
(5.81) для контакта по пространственной площадке и соотно-
шением (5.83) для контакта при плоской деформации. Если
п — число элементов давления, то индексы i и j принимают зна-
чения от 0 до п—1. Подставляя упомянутые соотношения в
уравнения (5.80а) и (5.82а), получим следующие равенства со-
172 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
ответственно для контакта по пространственной площадке и кон-
такта при плоской деформации:
п—1
£сг/Р/=^(/гг-б), (5.88)
i=0
п— 1
= (5.89)
/=о
Если задана величина осадки б, то уравнения (5.88) можно не-
посредственно разрешить относительно п неизвестных значений
Pi путем обращения матрицы. Однако более естественно зада-
вать полную нагрузку Р. Осадка б образует при этом дополни-
тельную неизвестную величину; дополнительное уравнение дает
связь (5.87). В уравнении (5.88) для контакта при плоской де-
формации начало координат (i = 0) является особой точкой,
поскольку BOj = ho — O, но в этом случае связь (5.87) снова
дает дополнительное уравнение.
Маловероятно, что в задачах, требующих численного ана-
лиза, будут заранее известны форма и размеры области кон-
такта. Поэтому для начала необходимо сделать предположение
о форме поверхности контакта, а ее размер выбрать достаточно
большим так, чтобы она покрывала истинную область контакта.
Если значение б задано или может быть найдено, первое при-
ближение к области контакта получается из «кривой взаимопро-
никновения», определяемой расстоянием h (х, у) = б. Получен-
ная область разбивается на массив из п элементов давления.
После решения уравнений (5.88) или (5.89) относительно неиз-
вестных давлений окажется, что значения р, вблизи краев отри-
цательны. Это означает, что для поддержания контакта по всей
предписанной области в некоторых точках сетки необходимо
приложить растягивающие усилия.
На втором шаге итерационного процесса эти точки сетки
исключаются из предполагаемой области контакта и давления
в них полагаются равными нулю. Опыт вычислений свидетель-
ствует о том, что итерационный процесс сходится к набору по-
ложительных или нулевых значений р,, удовлетворяющих урав-
нению (5.80а) в области, где р, > 0, и неравенству (5.80b) в
области, где Pj — 0. Граница между этими двумя областями
определяет зону контакта с точностью до размера ячейки сетки.
В случае плоской деформации зона контакта есть участок
—Ь х а, где для заданной нагрузки значения а и b подле-
жат определению. Если деформация симметрична относительно
начала координат, так что Ь — а, то распределение давлений
может быть найдено без итераций. Целесообразно взять а в
§ 5.9. Численные методы
173
качестве независимой переменной, разбить участок контакта на
2п сегментов и рассмотреть 2п — 1 перекрывающихся треуголь-
ных элементов давления, как показано на рис. 5.17(c). Этим
самым обеспечивается равенство нулю давлений в точках х =
= ±а. Обращение -уравнения (5.83) непосредственно приводит
к нахождению значений р,. Этот метод был использован в [292]
для задач нормального контакта и в [31] для задач с касатель-
ными и нормальными контактными усилиями.
Описанная выше процедура пригодна для тел, профили ко-
торых гладкие и непрерывные. Если одно из тел имеет угловую
Рис. 5.19. Сингулярный элемент давления.
точку на краю области контакта, давление на краю вместо
обращения в нуль стремится к бесконечности как р~\ где р —
расстояние от края области контакта, а значение к зависит от
упругих свойств обоих тел и примерно равно 0.5 (см. § 5.1).
Контактные задачи такого типа также могут быть исследованы
с помощью описанного метода, если использовать элементы дав-
ления на сегментах, примыкающих к краям области контакта,
на которых давление изменяется как р~°-5 (рис. 5.19). Переме-
щение на расстоянии х от края области контакта, вызванное
таким элементом давления, определяется по формуле
1—^,2 г /г_„х2 / .1/2 /„1/2 ,1/2 х -I
«г(х) = _1_^—2срс 1п(^-^ +(-) 1п( 1/2' ,Z2') —4 +С-
пЕ L \ с / к с / \ х — с ' / J
(5.90)
(Ь) ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Вариационные методы применялись к задачам негерцевского-
контакта с двумя целями: 1) для установления условий, кото-
рые единственным образом определяют форму и размер области
174 Гл. 5. Негерцевский нормальный контакт упругих тел
контакта, а также контактные напряжения; 2) с тем, чтобы
дать возможность применить хорошо разработанные методы
оптимизации, в частности методы квадратичного программиро-
вания, для получения численных решений.
Фикера [106], а также Дюво и Лионе [96] установили об-
щие принципы, определяющие существование и единственность
решений контактных задач. Для. двух тел, имеющих непрерыв-
ные профили и приведенных в контакт с некоторым сближе-
нием 6, Дюво и Лионе показали, что на истинной области кон-
такта и истинных смещениях поверхности достигается минимум
полной энергии деформации UE (причем б поддерживается по-
стоянным) при условии отсутствия взаимопроникновения тел,
т. е. если всюду
Цг1 -]- Uz2 h (%, у) б 15? 0.
Пример использования этого принципа в задачах герцевского
контакта приведен в § 5.5.
При численном решении контактных задач более удобно ра-
ботать с неизвестными усилиями, нежели перемещениями. По-
этому Калькер [216, 217] предложил альтернативный принцип,
в котором истинная область контакта и распределение поверх-
ностных усилий минимизируют полную дополнительную энергию
V* при условии, что контактное давление р всюду положитель-
но. Полная дополнительная энергия может быть записана в
форме *>
V* = lfE+ J p(h — &)dS, (5.91)
s
где S — поверхность, на которой действует давление р, a Ue—
внутренняя дополнительная энергия двух сжатых тел.
Для линейно-упругих материалов дополнительная энергия
Ue численно равна энергии упругой деформации Ue, которая
может быть выражена через поверхностные усилия и смещения:
U*E = ue = т $ р («я + «г2) dS. (5.92)
$
Для получения численного решения предполагаемая область
контакта S разбивается сеткой, на элементах которой дей-
ствует давление. Используя уравнение (5.81), имеем
(p(4-«)dS-4 £₽,(*,-«). (5.94)
_________ S
*> По поводу принципа дополнительной энергии см. Richards Т. Н.
Energy methods in stress analysis. — Ellis Horwood, 1977, p. 256.
§ 5.9. Численные методы
175
где А определяется уравнением (5.87). Подставляя (5.93) и
(5.94) в (5.91), получим V* в виде квадратичной функции по р,-.
Значения р,-, минимизирующие V* при условии pi > 0, могут
быть найдены с помощью стандартных методов квадратичного
программирования [27, 369]. Область контакта после этого опре-
деляется в пределах точности сетки границей между зонами
нулевых и ненулевых давлений. Описанный метод был применен
к исследованию задач негерцевского контакта в отсутствие тре-
ния Калькером и Ван Ранденом [219].
Для определения напряжений в подповерхностных слоях
контактные усилия обычно представляются в виде массива со-
средоточенных сил, как на рис. 5.17(a). Компоненты напряже-
ния в произвольной точке тела тогда находятся суперпозицией
напряжений от сосредоточенных нормальных или касательных
сил, выражения для которых приведены в § 2.2, 2.3 или 3.2, 3.6.
Если размеры области контакта сравнимы с характерными
размерами одного или обоих тел, коэффициенты влияния, вы-
численные на основе интерпретации тел как полупространств,
неприемлемы. Бенталл и Джонсон [32] определили коэффи-
циенты влияния для тонких слоев и полос, однако, вообще го-
воря, для решения контактных задач необходимо использовать
другие подходы. Метод конечных элементов применительно к
контактным задачам с учетом эффектов трения успешно ис-
пользовался Фредрикссоном [115]. Более перспективным яв-
ляется метод граничных элементов, примененный для решения
двумерных контактных задач Андерссоном и др. [10].
6
Нормальный контакт неупругих тел
§6.1 . Начало пластического течения
Нагрузка, при которой начинается пластическое течение в
условиях сложного напряженного состояния двух контактирую-
щих тел, определяется пределом текучести более мягкого мате-
риала на растяжение или сдвиг, входящим в соответствующий
критерий текучести. Состояние текучести большинства пластич-
ных материалов обычно описывается либо критерием энергии
сдвиговой деформации Мизеса
/2 7e [(<Ti - + (tf2 - Оз)2 + (аз - <7,)2] = й2 = m (6.1)
либо критерием максимального касательного напряжения Тре-
ска
max [ | щ — <т2 |, I а2 — <т3 |, | <т3 — щ | ] = 26 = У, (6.2)
где оь о2 и <т3— главные напряжения в сложном напряженном
состоянии, a k и У — значения напряжений течения материала
при простом сдвиге и простом растяжении (или сжатии) соот-
ветственно. Тщательные эксперименты на металлических об-
разцах, поддерживаемых в изотропном состоянии, свидетель-
ствуют о справедливости критерия текучести Мизеса. Однако
различие в предсказаниях двух критериев невелико и вряд ли
существенно при учете анизотропии и изменчивости значений k
или У для большинства материалов. Поэтому целесообразно ис-
пользовать критерий Треска из-за его алгебраической простоты.
Третий критерий текучести, известный как критерий максималь-
ного приведенного напряжения, выражается формулой
шах [ | ст, — <т |, | <т2 — <т |, | <т3 — <т | ] == k = 2/3Y, (6.3)
где о = */з (щ + а2 + оз) - Исходя из условий инвариантности,
можно показать, что для устойчивого пластического материала
критерий Треска и критерий приведенного напряжения обра-
зуют пределы, между которыми должен находиться истинный
критерий текучести. Ниже мы убедимся, что эти пределы не
очень широки.
(а) ДВУМЕРНЫЙ КОНТАКТ ЦИЛИНДРОВ
Из условий плоской деформации в двумерных контактных
задачах следует, что осевая компонента напряжений оу пред-
ставляет собой главное напряжение промежуточной величины,
§6.1. Начало пластического течения
177
так что критерий Треска определяется максимальной разностью
главных напряжений (или максимальным касательным напря-
жением) в плоскости xz. Линии уровня максимального касатель-
ного напряжения Ti = ’/я | Щ— <72| изображены на рис. 4.5; в
виде фотоупругих полос они показаны также на рис. 4.1(d).
Максимальное касательное напряжение равно О.3ро в точке, ле-
жащей на оси z на глубине 0.78а. Подстановка в критерий
Треска (6.2) дает: О.бОро = 2/г = У, откуда следует, что течение
инициируется в точке 0.78а под поверхностью контакта, когда
максимальное контактное давление достигает значения
(Ро)у = (4/л) рт = 3.36 = 1.67У. (6.4)
Критерии Мизеса и приведенного напряжения зависят от треть-
его главного напряжения и, следовательно, от коэффициента
Пуассона. Принимая v = 0.3, получим, что максимальное зна-
чение левой части (6.1) равно 0.104 pg на глубине 0.70а, а мак-
симальное значение левой части (6.3) равно О.37ро на глубине
0.67а. Таким образом, согласно критерию Мизеса, течение начи-
нается в точке 0.70а под поверхностью контакта, когда
(р0)у = 3.16== 1.79У, (6.5)
а критерий приведенного напряжения впервые выполняется, когда
(ро)у = 2.7б=1.8ОУ. (6.6)
Из выражений (6.4) — (6.6) видно, что значение контактного
давления, обусловливающего начало течения, не сильно зависит
от используемого критерия текучести. Значение, определяемое
критерием Мизеса, лежит между пределами, устанавливаемыми
критериями Треска и приведенного напряжения.
Величина нагрузки, при которой возникает пластическое те-
чение, находится посредством подстановки критического значе-
ния р0 в уравнение (4.45):
Ру = ^(р0)?, (6-7)
где индекс У относится к состоянию начала течения, а 1/7? =
= 1/7?! + 1/Т?2.
(Ь) ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ КОНТАКТ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Максимальное значение касательного напряжения при кон-
тактном взаимодействии двух тел вращения также достигается
под поверхностью контакта на оси симметрии. Вдоль этой оси
главными напряжениями являются uz, сг и (Те и, кроме того,
<тг = <те. Значения этих напряжений определяются выражениями
(3.45). Максимальное значение |<тг— для v = 0.3 равно
178
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
О.62ро на глубине 0.48а. Согласно критерию Треска, значение
Ро, соответствующее началу течения, равно
Ро = 3/гРт = 3.2^ = 1.60У, (6.8)
тогда как по критерию Мизеса имеем
p0==2.8fe = 1.69F. (6.9)
Нагрузка, инициирующая пластическое течение, связана с мак-
симальным контактным давлением соотношением (4.24), откуда
находим
Py = ^S(P0)y- (6.Ю)
ОС ‘
Из выражений (6.7) и (6.10) ясно, что, для того чтобы мате-
риал выдерживал большую нагрузку, не переходя в пластиче-
ское состояние, желательно сочетать высокий предел текучести
или твердость с низким модулем упругости.
(с) ГЛАДКИЕ ПРОФИЛИ ОБЩЕГО ВИДА
В общем случае область контакта есть эллипс, а напряжения
определяются выражениями (3.64) — (3.69). Из оценки измене-
ния напряжений вдоль оси z следует, что максимальная разность
главных напряжений есть |о\/— <тг| и достигается в плоскости,
содержащей наименьшую ось эллипса (а >6). Указанная раз-
ность напряжений и, следовательно, максимальное касательное
напряжение ti остаются почти постоянными при изменении экс-
центриситета эллиптической площадки контакта от нуля до еди-
ницы (см. табл. 4.1). Таким образом, значения максимального
контактного давления, вызывающего пластическое течение со-
гласно критерию Треска, претерпевает незначительные вариа-
ции при изменении геометрии контакта от осесимметричной
(6.8) до плоской (6.4). Тем не менее точка, в которой впервые
возникает состояние течения, монотонно смещается с измене-
нием эксцентриситета с глубины 0.48а в осесимметричном слу-
чае на глубину 0.78а в плоском случае. Аналогичные результаты
получаются при использовании критерия Мизеса.
(d) КЛИН И КОНУС
В § 5.2 были найдены контактные напряжения в тупом клине
и конусе, которые вдавливаются в плоскую поверхность полу-
пространства. Показано, что в вершине имеют место теорети-
чески бесконечные давления. Можно ожидать, что бесконечные
давления неизбежно вызовут пластическое течение даже при
небольшой нагрузке, однако это не всегда так.
5 o.i. пачало пластического течения
179
Рассмотрим сначала случай несжимаемого материала. При
вдавливании без трения двумерного клина напряжение дх на
границе контакта равно нормальному давлению р (см. соотно-
шение (2.26)). Если v = 0.5, то осевое напряжение дг Для под-
держания условий плоской деформации также должно быть
равно р. Таким образом, на поверхности контакта реализуется
гидростатическое напряженное состояние. Вершина является
особой точкой.
Анализируя изменение разности главных напряжений
| ах— gz| вдоль оси z, можно показать, что эта разность до-
стигает максимального, но конечного значения (2Е*/зт) ctg а в
вершине. Тогда в соответствии с критерием Треска или Мизеса
(которые идентичны при v = 0.5, если их выразить через пре-
дел текучести k) пластическое течение инициируется в вершине
в том случае, если угол клина а удовлетворяет условию
ctg а nk/E*. (6.11)
Аналогичный вывод справедлив и для тупого конуса при v=0.5.
В вершине конуса развивается бесконечное гидростатическое
давление, но разность главных напряжений |ог — <тг| на оси z
конечна и имеет максимальное значение в вершине, равное
£*ctga. В этом случае два главных напряжения равны, так что
критерии Треска и Мизеса, выраженные через предел текучести
У, идентичны. Таким образом, пластическое течение зарождает-
ся в вершине при выполнении неравенства
ctga>Y/E‘. (6.12)
Для сжимаемых материалов полученные выше результаты
неверны. В этом случае предсказываемое упругим решением бес-
конечное давление в вершине обусловливает теоретически бес-
конечные значения разности главных напряжений, что вызывает
пластическое течение даже при сравнительно малых углах
клина или конуса. Однако развивающиеся пластические дефор-
мации в действительности очень малы и локализуются в малой
окрестности вершины.
В случае клина напряжение <зу меньше, чем равные между
собой напряжения ах и <rz, так что только незначительная часть
пластических деформаций развивается в плоскости yz. В усло-
виях плоской деформации течение в этой плоскости будет вы-
зывать сжимающие остаточные напряжения в направлении
оси у до тех пор, пока не установится состояние гидростатиче-
ского сжатия. Пластическое течение при этом прекращается.
Аналогичное поведение имеет место в случае конуса.
Поэтому представляется оправданным пренебречь наличием
малых пластических деформаций, развивающихся в окрестности
таг
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
вершины, и считать неравенства (6.11) и (6.12) приемлемыми
для оценки начала пластического течения в случаях соответ-
ственно клина и конуса из сжимаемых материалов.
Даже когда пределы упругого поведения, определяемые при-
веденными выше соотношениями, превзойдены и началось те-
чение, пластическая зона полностью окружена материалом, на-
ходящимся в чисто упругом состоянии. Это отчетливо видно на
рис. 4.1 и 5.2, где приведены линии уровня главных касательных
напряжений, определяемые полосами фотоупругости. Для тел,
имеющих гладкие профили, например цилиндров или шаров,
зона пластического состояния лежит под поверхностью кон-
такта, тогда как для клина или конуса она примыкает к вер-
шине. Следовательно, пластические деформации ограничены по
величине уровнем упругих деформаций, а усиление нагрузки на
цилиндр или шар, так же как и увеличение углов клина или
конуса, приводит лишь к слабому отличию внедрения, области
контакта и распределения давления от соответствующих пока-
зателей, получаемых в рамках теории упругости. По этой при-
чине предложение Герца [169] рассматривать возникновение
пластического течения при вдавливании жесткого шарика в ка-
честве разумной меры твердости материала представляется не-
практичным.
Точка зарождения течения расположена под поверхностью,
и ее наличие фактически оказывает незначительное влияние на
измеряемые величины, такие, как среднее контактное давление.
Уточненный подход к определению положения точки возникно-
вения пластического состояния при вдавливании шарика на
основе применения оптических методов предложен Дэвисом [77].
В § 6.3 мы обратимся к детальному анализу роста зоны
пластического течения, а пока остановимся на одном предельном
случае, когда пластические деформации настолько велики, что
упругими деформациями можно пренебречь по сравнению
с ними." При этом возможен анализ с использованием теории
жестко-идеально-пластических тел.
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел
При развитом пластическом течении пластические дефома-
ции велики по сравнению с упругими и последними можно пре-
небречь. Тогда, предполагая, что материал в достаточно широ-
ком диапазоне изменения деформацшг не обладает свойством
деформационного упрочнения, его можно идеализировать как
жестко-идеально-пластическую среду, которая подвержена те-
чению практически при постоянном напряжении k (при сдвиге)
или У (при растяжении или сжатии). Теория плоской деформа-
ции таких сред хорошо разработана: см., например, [111, 171].
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел
181
Нагруженное тело из жестко-идеально-пластического мате-
риала содержит области, в которых происходит пластическое
течение, и области жесткого состояния, где деформации отсут-
ствуют. (Из этого, однако, не следует, что напряжения в жест-
ких областях меньше предела упругости.) Напряженное состоя-
ние в областях течения описывается с помощью поля линий
скольжения. Линии скольжения проходят параллельно направ-
лению главных касательных напряжений в каждой точке поля,
т. е. под углом 45° к'направлениям главных нормальных напря-
жений. Таким образом, они образуют криволинейную сеть а-ли-
ний и p-линий, взаимно ортогональных в каждой точке. Фраг-
мент поля линий скольжения показан на рис. 6.1 (а).
Поскольку упругая сжимаемость не учитывается, главное
напряжение, действующее перпендикулярно плоскости деформа-
ции, равно
°’з =’/г (<Л + о^), (6.13)
где щ и о2— главные напряжения в плоскости деформации..
В этих условиях критерии пластического течения Треска и Ми-
зеса сводятся к равенству
| — сг21 = 2/г, (6.14)
где 6=У/2 для критерия Треска и й = У/^3 для критерия
Мизеса.
Итак, напряженное состояние в пластической зоне включает
переменное гидростатическое давление ’/2(01 + 02), обозначае-
мое через о, а также постоянное сдвиговое напряжение k в пло-
скости деформации. Это напряженное состояние представляется
кругом Мора постоянного радиуса k, положение центра которого
определяется значением а в рассматриваемой точке, как пока-
зано на рис. 6.1(b). Направления главных напряжений относи-
тельно фиксированных осей тела определяются направлениями
линий скольжения. Рассматривая равновесие элемента тела, по-
казанного на рис. 6.1(a), под действием переменного гидроста-
тического давления о и сдвигового напряжения k, получаем
2k 4^=0 (6.15а)
в направлении a-линии и
(6.15b)
в направлении p-линии, откуда !)
о — 2/гср = const вдоль а-линии, (6.16а)
О + 2/гср = const вдоль р-линии. (6.16b)
1) В некоторых руководствах о считается положительным при сжатии,
что приводит к изменению знаков в уравнениях (6.16).
582
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Рис. 6.1. (а| Напряжения, действующие на элемент, ограниченный линиями
скольжения; (Ь) круг Мора; о г— максимальное главное напряжение, о2—
минимальное главное напряжение.
§ 6.2. Контакт жестко-ндеально-пластических тел
183
Таким образом, начиная от точек на свободной поверхности
тела, напряжения в которых известны, уравнения (6.16) позво-
ляют определить изменение гидростатического давления о вдоль
линий скольжения в любой точке поля.
Определяющие уравнения' для пластически деформируемых
тел связывают напряжения с приращениями деформаций. Обыч-
но для удобства полагается, что приращения деформаций и пере-
мещений приобретаются за соответствующий промежуток вре-
мени dt и все рассмотрения проводятся в терминах скоростей
деформаций и скоростей перемещений вместо приращений де-
формаций и перемещений.
Непрерывное формоизменение элемента материала, показан-
ного на рис. 6.1(a), состоит из растяжения вдоль направления
максимального главного напряжения и сжатия вдоль направле-
ния минимального главного напряжения. При сохранении
объема ё2 = —ёр Это означает неизменность длины вдоль на-
правлений линий скольжения, так что пластическое формоизме-
нение может рассматриваться как деформация «сетки» нерас-
тяжимых нитей, служащих линиями скольжения.
При построении векторной диаграммы скоростей частиц
(годографа) в зоне деформации условие нерастяжимости линий
скольжения требует, чтобы «изображение скорости» сегмента
линии скольжения было перпендикулярно этому сегменту. Воз-
можны также разрывные моды деформации, при которых эле-
мент, подобный изображенному выше, целиком скользит отно-
сительно примыкающего элемента. Ясно, что линия разрыва
скоростей частиц при такой деформации должна совпадать
с линией скольжения.
Какой-либо единой методики построения поля линий сколь-
жения при решении конкретных задач нет; оно находится мето-
дом проб. Поле линий скольжения должно быть согласовано
с полем скоростей, и оба этих поля должны удовлетворять гра-
ничным условиям задачи. Наконец, необходимо, чтобы неде-
формированные (жесткие) области были в состоянии обеспечить
несущую способность тела без нарушения условия текучести.
Если все эти условия выполнены, то поле линий скольжения и
напряжения, найденные из уравнений (6.16), единственны,
однако относительно ассоциированного поля скоростей этого
сказать нельзя.
Перейдем теперь к анализу полей линий скольжения, ассо-
циированных с жесткопластическим деформированием полупло-
скости при контакте последней с клином. Во-первых, рассмотрим
случай, когда клин является значительно более жестким, чем
полуплоскость, и ограничимся при этом анализом только пла-
стического деформирования полуплоскости. Во втором случае,
184
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
.наоборот, плоскость будем считать более жесткой, чем клин, так
что при контакте происходит смятие вершины клина.
(а) ВДАВЛИВАНИЕ КЛИНА БЕЗ ТРЕНИЯ
В ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ
Нормальное вдавливание жесткого клина с углом полурас-
твора а в жестко-идеально-пластическое полупространство в
условиях плоской деформации показано на рис. 6.2(a). Пласти-
ческое течение локализовано в двух симметрично расположенных
областях, обозначенных буквами ABCDE. Материал, окружаю-
щий эти области, считающийся жестким, на рассматриваемой
•стадии внедрения клина не деформируется. Вытесняемый кли-
ном материал выдавливается в стороны. При условии несжимае-
мости площади треугольников AOF и FBC должны быть равны.
Поле линий скольжения показано на рис. 6.2(a). Поскольку
грань клина АВ гладкая, касательные напряжения на ней
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел
185
равны нулю. Поэтому нормальное давление pw на грань клина
является главным напряжением и линии скольжения подходят
к границе АВ под углом 45° Аналогичным образом и к гра-
нице ВС линии скольжения подходят под углом 45°.
Напряженное состояние в треугольной области BCD пред-
ставляет собой равномерное сжатие интенсивности 2Л, дей-
ствующее параллельно поверхности ВС. Оно характеризуется
кругом Мора, изображенным справа на рис. 6.2(b). Гидростати-
ческая составляющая напряженного состояния имеет значение
—k (центр правого круга Мора).
Напряженное состояние в треугольной области АВЕ также
есть равномерное сжатие и представлено левым кругом Мора на
рис. 6.2(b). Расстояние между центрами обоих кругов равно
разности гидростатических давлений в двух областях, которая
определяется из уравнения (6.16а) и имеет величину 2/?ф, где
ф — угол, на который повернуты друг относительно друга линии
скольжения в этих областях.
Напряженное состояние в секторе BDE характеризуется про-
межуточными кругами Мора, положение центров которых опре-
деляется наклоном линий скольжения в соответствующих точ-
ках. Давление на грань клина определяется точкой W на левом
круге: оно распределено равномерно и имеет интенсивность
рда = 2/г(1 + ф). (6.17)
Если полная нормальная нагрузка на клин равна Р, а проекция
области контакта имеет ширину 2а и единичную длину (в напра-
влении, перпендкулярном плоскости деформации), то среднее дав-
ление, действующее нормально к недеформированной поверхно-
сти полуплоскости, равно
рт =-Р/2а = pw = 2/г (1 + ^>)- (6.18)
Точка В является особой точкой, в которой напряжения ме-
няются скачком от состояния на свободной поверхности к со-
стоянию под гранью клина.
Для определения положения точки В и величины угла ф
необходимо проанализировать деформированное состояние.
Диаграмма скоростей (годограф) для области течения, лежащей
справа, показана на рис. 6.2(c). Предполагается, что клин внед-
ряется в полуплоскость с постоянной скоростью V, задаваемой
отрезком оа на годографе. Линия AEDC, отделяющая деформи-
рованную область от жесткой, является линией разрыва скоро-
стей. Область АВЕ движется без искажения параллельно АЕ со
скоростью ое и скользит относительно грани клина со скоростью
ае. Область BDC смещается без искажения параллельно DC со
скоростью od. Скорость участка поверхности ВС направлена
перпендикулярно ему и характеризуется отрезком og.
186
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Таким образом, напряженно-деформированное состояние,
показанное на рис. 6.2(a), должно не зависеть от глубины внед-
рения клина в полуплоскость. Другими словами, на всех ста-
диях внедрения должно иметь место геометрическое подобие
полей линий скольжения. Условие геометрического подобия на-
кладывает жесткое ограничение на форму свободной поверх-
ности ВС. Из этого условия следует, что расстояние по нормали
от начала координат О до некоторой точки свободной поверх-
ности ВС и грани клина АВ должно возрастать прямо пропор-
ционально компоненте скорости в этой точке, перпендикулярной
к поверхности. Это условие можно проиллюстрировать путем
наложения диаграммы скоростей на клин так, чтобы точка о
совпала с О и а совпала с А, как показано на рис. 6.2(a). Тогда
упомянутое выше условие удовлетворяется, если изображение
скорости в точке свободной поверхности лежит на касательной
к поверхности в этой точке.
В примере, показанном на рис. 6.2, где свободная граница
есть отрезок прямой, все точки этой границы имеют одинако-
вую скорость od, так что точки J (d) и G(g) должны лежать
на продолжении отрезка СВ. При этом-нормальные смещения
всех точек ВС определяются отрезком OG. Угол ф теперь может
быть найден из геометрических соображений. Обозначая АВ =
= ВС = I, определим расстояние от В до Л по вертикали:
I cos а = с 1 sin (а — ф). (6.19)
Условие того, что точка G должна лежать на продолжении от-
резка СВ, дает
I cos ф — с sin а с cos (а— ф). (6.20)
Исключая l/с из (6.19) и (6.20), получим
cos (2а — ф) = -г^-^-г. (6.21)
•откуда ф может быть найдено для любого значения а.. Тогда,
подставляя ф в соотношение (6.18), определим давление внед-
рения рт- Изменение рт в зависимости от угла клина а пока-
зано нижней кривой, соответствующей отсутствию трения, на
рис. 6.7.
Возвращаясь к более детальному исследованию деформи-
рованного состояния, заметим, что частицы материала, лежав-
шие первоначально на внутренней линии ОА, при внедрении
клина смещаются и располагаются на отрезке АН. Таким обра-
зом вершина клина действует подобно режущему инструменту.
Материал, находившийся внутри треугольника ОАЕ, переме-
щается в область НАЕ. Частицы, лежащие внутри треугольника
BDC, движутся в направлении od параллельно DC. Точка В
§ 6.2. Контакт жестко-идеально пластических тел
187
первоначально находилась на поверхности в позиции Во, при-
чем отрезок В0В параллелен DC, а материал в области дефор-
мации BDC первоначально находился в области BqDC. Мате-
риал, находившийся в области B0DE, претерпевает более слож-
ное формоизменение, определяемое веерным полем линий
скольжения в треугольнике BDE. Отрезок исходной границы
Рис. 6.3. Деформация тела при внедрении тупого клина: (а) в отсутствие
треиия; (Ь) в отсутствие проскальзывания.
полуплоскости ОВ0 входит в контакт с гранью клина вдоль уча-
стка ВН. Искажение квадратной сетки, вычисленное с помощью
годографа, показано на рис. 6.3(a). Детальное описание ме-
тода вычислений дано в работе Хилла с соавторами [173].
(Ь) ВЛИЯНИЕ ТРЕНИЯ НА ВНЕДРЕНИЕ КЛИНА
Трение между гранью клина и материалом полуплоскости
существенно влияет на картину деформации. В этом случае
относительное смещение материала по грани клина обусловли-
вает наличие противоположно направленных касательных на-
пряжений tw = [ipw, так что линии скольжения пересекают
грань клина под углом АВЕ — К, меньшим 45°. Модифициро-
ванное поле линий скольжения и круги Мора для напряжений
на грани клина показаны на рис. 6.4. Давление на грань клина
определяется теперь формулой
=/е (1 + 2-ф + sin 2Z), (6.22)
а касательное напряжение равно
rw = k cos 2Z, (6.23)
188
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
откуда получаем связь X с коэффициентом трения
cos 2Z, = у, (1 -ф 2ф + sin 27).
(6.24)
Из условия равновесия клина находим давление внедрения:
Pm = -^ = Pw^ + у ctg а). (6.25)
Если, как и ранее, наложить годограф на профиль клина, из
условия подобия снова следует, что точка / должна лежать на
продолжении отрезка свободной границы ВС. Определение
Рис. 6.4. Внедрение шероховатого клина с проскальзыванием по поверхности
контакта.
углов ф и X для заданных значений аир осуществляется пу-
тем подбора. Такие вычисления были выполнены в работе [148],
результаты представлены на рис. 6.7.
Заметим, что трение вызывает смещение точки Н к вер-
шине клина, что уменьшает эффект резания. При усилении тре-
ния достигается предел, при котором проскальзывание по грани
клина прекращается: граница тела сцепляется с клином и сдвиг
имеет место внутри тела. Для клина с углом полураствора ме-
нее 45° поле линий скольжения показано на рис. 6.5. Линия
скольжения совпадает с гранью клина, и имеет место сдвиго-
вое деформирование материала действующими по поверхности
контакта касательными напряжениями тда = k. Критическое зна-
чение у и соответствующие давления находятся подстановкой
Х = 0в уравнения (6.24), (6.22) и (6.25).
Для тупого клина (а > 45°) это решение непригодно, по-
скольку линии скольжения не могут пересекаться в вершине
под углом, меньшим 90°. В этом случае область недеформирую-
щегося материала сцепляется с клином, а сдвиг происходит по
линии скольжения BE, как показано на рис. 6.6. Напряженное
состояние вдоль линии скольжения БЕ определяется точкой S
на левом круге Мора. Из условия равновесия жесткой области
АВЕ следует, что напряжения на грани клина характеризуются
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел
189
точкой W, т. е. нормальное напряжение равно & (1 2-ф—
— cos 2а), а касательное напряжение равно fesin2a. Поскольку
область АВЕ сцеплена с клином, то
\ sin 2<Х fd Od\
P 1 + 2-ф — cos 2a ’ (6.26)
а давление внедрения равно
Рт = ^ = 2к(1 + ^-
(6.27)
Как и ранее, угол ф определяется из годографа и условия гео-
метрического подобия. На рис. 6.7 приведены результаты, полу-
ченные Хэддоу [151].
Рис. 6.5. Внедрение острого клина без проскальзывания.
Искажение квадратной сетки при деформировании тела сцеп-
ленным с ним клином показано на рис. 6.3(b) в сравнении с
картиной деформации в отсутствие трения. Очевидно очень
сильное различие. Во втором случае (в отсутствие проскальзы-
вания) деформация развивается ниже вершины клина, а сме-
щения угловых точек сетки от их начальных положений проис-
ходят примерно в радиальном направлении от точки О.
Влияние деформационного упрочнения на поле линий сколь-
жения при вдавливании клина исследовано в работе [33].
(с) СМЯТИЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО КЛИНА
ЖЕСТКОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ
Если клин состоит из существенно более мягкого материала,
чем полуплоскость, то при контакте клин будет деформировать-
ся пластически, а полуплоскость будет оставаться в жестком
состоянии. Поле линий скольжения, предложенное Хиллом
190
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
без проскальзывания.
Рис. 6.6. Внедрение тупого клина
Рис. 6.7. Среднее контакт-
ное давление при внедрении
жесткого клииа в жестко-
идеально-пластическую по-
луплоскость.
а
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел
191
(171] для контакта без трения между клином и полуплоскостью,
приведено на рис. 6.8(a). Линия AEDC есть линия разрыва ско-
ростей. Треугольная область АВЕ скользит относительно гра-
ницы полуплоскости, а линии скольжения в отсутствие трения
подходят к поверхности контакта под углом 45°. Равномерно
Рис. 6.8. Смятие пластического клина жесткой полуплоскостью: (а) без тре-
ния; (Ъ) в отсутствие проскальзывания.
распределенное давление на границе контакта имеет интенсив-
ность
pm = ^2k(l + ^, (6.28)
где угол ф определяется из условия геометрического подобия,
согласно которому точка J должна лежать на продолжении от-
резка СВ.
Другая картина формоизменения, соответствующая отсут-
ствию проскальзывания, и ассоциированное с ней поле линий
скольжения показано на рис. 6.8(b). Треугольная область АВЕ
жестко сцеплена с полуплоскостью и смещается вместе с ней
192
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
вертикально, так что сдвиг происходит по линии скольжения
BE. Давление на участке контакта по-прежнему определяется
выражением (6.28), однако в этом случае угол ф несколько
больше, чем в предыдущем случае, и давление, необходимое
для реализации рассматриваемой моды деформации, больше,
что и отражено на рис. 6.9. Различие давлений обусловлено
различием наклонов участков свободных поверхностей ВС, при-
мыкающих к полуплоскости.
Рис. 6.9. Среднее контакт-
ное давление при смятии
пластического клина жест-
кой полуплоскостью.
В случае идеально гладкой полуплоскости следует полагать,
что формоизменение будет реализовано по схеме рис. 6.8(a), по-
скольку при этом для обеспечения деформирования требуется
меньшее давление *>. Трение на участке контакта препятствует
скольжению и обусловливает выход линий скольжения на гра-
ницу в точке В под углом, меньшим 45°. Это приведет к полу-
чению неприемлемых напряжений в точке А, если только не
вводить предположения о сцеплении области недеформирующе-
гося материала с полуплоскостью в некоторой окрестности точ-
ки А. Аналогичная ситуация возникает при сжатии блока пря-
моугольного сечения между двумя жесткими пластинами [111].
При введении указанного допущения линии скольжения и
профиль свободной поверхности ВС будут криволинейными. Эта
*> Возможны также несимметричные моды деформации, однако они не
будут рассматриваться, так как реализуются при более высоком давлении,
чем симметричная мода.
§ 6.2. Контакт жестко-идеальио-пластических тел
193
задача пока не подвергалась количественному исследованию,
поэтому нельзя точно сказать, в какой мере трение по поверх-
ности контакта необходимо для предотвращения проскальзы-
вания и гарантированного получения моды деформации со
сцеплением, показанной на рис. 6.8(Ь)’>. Это обстоятельство,
однако, не является серьезным недостатком, так как различие
давлений внедрения для мод деформаций без трения и со сцеп-
лением невелико.
В некоторой степени парадоксально, что, хотя трение и не-
обходимо для обеспечения моды со сцеплением, тем не менее
усилия трения не передаются через границу контакта. Отме-
ченный парадокс объясняется тем, что (а) не учитываются упру-
гие деформации, которые оказывают влияние на условия трения
по поверхности контакта при наличии сцепления, а также тем,
что (Ь) используется допущение об идеальной пластичности, ко-
торое в некоторых случаях приводит к потере единственности
моды деформации. При учете деформационного упрочнения, при-
сущего реальным материалам, соответствующая мода формоиз-
менения характеризуется меныпими пластическими деформа-
циями и их более равномерным распределением в области те-
чения.
Решения, приведенные на рис. 6.8, становятся непримени-
мыми, если угол ф-равен нулю. В предельных случаях, когда
а = 26.6° или а = 14°, свободные границы вытесняемого мате-
риала параллельны и деформирующаяся область клина нахо-
дится в состоянии одноосного сжатия.
Если клин и полуплоскость состоят из материалов сравни-
мой твердости, то они взаимно деформируются. Задачи этого
круга исследовались Джонсоном с соавторами [206]. Были оп-
ределены предельные значения отношения пределов текучести,
при которых пластическая деформация имеет место или только
в клине, или в полуплоскости.
(d) КОНИЧЕСКИЕ ИНДЕНТОРЫ
Осесимметричные задачи пластического течения, вообще го-
воря, не поддаются решению с помощью метода характеристик
(линий скольжения), как это имеет место в случае плоской
деформации. Тем не менее Шилд [321] показал, что в некото-
ч Оценка полной (интегральной) силы трения, необходимой для полу-
чения моды деформации со сцеплением, может быть дана посредством при-
менения принципа виртуальной работы к моде деформации без трения, в
которую введены усилия трения по поверхности контакта. Вычисления дают
следующее критическое значение коэффициента трения: щ » 1 — (р™) si (Рт) а,
где (pm)s и (рт)а — значения среднего давления р,„ для мод деформации
без трения и со сцеплением соответственно. Из рис. 6.9 видно, что вели-
чина Щ, вообще говоря, мала.
194
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Рис. 6.10. Вдавливание жесткого конуса
в жесткопластическое полупростран-
ство. Сплошные линии — контакт без
трения [234]; штриховая линия — кон-
такт со сцеплением [100].
рых случаях для материала, находящегося в состоянии пласти-
ческого течения согласно критерию Треска, можно построить
поле линий скольжения, определяющее напряженное состояние.
Такое поле должно быть согласовано с полем скоростей для
осесимметричной деформа-
ции. В качестве примера
Шилд определил напряже-
ния в жесткопластическом
полупространстве при вдав-
ливании в него без трения
цилиндрического штампа с
плоским торцом.
Следуя методу Шилда,
Локетт [234] построил поля
линий скольжения в задаче
внедрения гладкого жестко-
го конуса в полупростран-
ство при условии, что угол
полураствора конуса превы-
шает 52.5°. Поле линий
скольжения в этом случае
подобно полю для плоского
клина, показанному на рис.
6.8, но линии скольжения и
профиль деформированной
свободной поверхности уже
не являются прямолиней-
ными. Давление на поверх-
ность конуса распределено
неравномерно и резко воз-
растает в вершине. Пре-
дельный случай, когда а =
= 90°, соответствует задаче
вдавливания цилиндриче-
ского штампа, исследованной Шилдом. Распределения давлений
и средние давления внедрения конуса приведены на рис- 6.10.
Среднее давление для конуса несколько превышает соответ-
ствующее среднее давление для гладкого клина с тем же углом
при вершине.
Вдавливание цилиндрического штампа в полупространство,
материал которого не может скользить относительно основания
штампа, исследовалось в работе [100]. Коническая область не-
деформированного материала сцеплена с основанием штампа.
Среднее контактное давление равно 6.05& по сравнению со зна-
чением 5.69^ для гладкого штампа. Строго говоря, распределе-
ние напряжений в жесткой конической области, сцепленной со
§ 6.2. Контакт жестко-идеально-пластических тел Г9о
штампом, определить нельзя. Однако некоторые оценки можно
получить, продолжая поле линий скольжения в эту область, что
приводит к распределению давления под штампом, показан-
ному штриховой линией на рис. 6.10. Из анализа отношения
касательного напряжения к нормальному вытекает, что коэффи-
циента трения р > 0.14 достаточно для предотвращения про-
скальзывания.
(е) КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНДЕНТОРЫ
При вдавливании в жесткопластическое тело индентора,
имеющего сложный профиль, геометрическое подобие не имеет
места. Интенсивность деформаций возрастает с увеличением
внедрения. Линии скольжения криволинейны, и возникают труд-
ности анализа, связанные с изменяемостью формы свободной
поверхности А. Ю. Ишлинский [181] в предположении, что сво-
бодная поверхность остается плоской, построил поле линий
скольжения для вдавливания без- трения жесткого шара в жест-
копластическое полупространство *>. На стадии внедрения, когда
отношение радиуса площадки контакта к радиусу шара a/R =
= 0.376, среднее контактное давление найдено равным 5.32А
Ричмонд с соавторами [307] получили точное решение за-
дачи вдавливания жесткого шара в идеально пластическое по-
лупространство при условии сцепления (отсутствия проскаль-
зывания) по поверхности контакта. Установлено, что среднее
контактное давление почти не зависит от глубины внедрения и
изменяется от 6.04& при a/R = 0.07 до 5.91Й при a/R = 0.30
(для сравнения рт — 6.05& в случае цилиндрического штампа
с плоским торцом). Этот результат не кажется неожиданным,
если учесть, что индентор окружен областью недеформирован-
ного материала. При этом профиль индентора может влиять
только на контактное давление, вызывая незначительные изме-
нения формы свободной поверхности вне зоны контакта.
При рассмотрении полей линий скольжения в этом пара-
графе не следует путать границу, разделяющую область пла-
стической деформации и жесткого состояния, с упругопластиче-
ской границей, которая существует в реальных материалах, об-
ладающих также и упругими свойствами. В рамках теории
жесткопластических сред нельзя определить положение упруго-
пластической границы, однако некоторые грубые оценки приме-
нительно к плоской деформации можно получить из распреде-
*> Впоследствии было показано, что предложенное А. Ю. Ишлинским
поле линий скольжения не совместно с ассоциированным полем скоростей,
поскольку существуют области, в которых пластическая работа неположи-
тельна. Его результат, таким образом, следует рассматривать как прибли-
женный. Для гладких криволинейных инденторов не имеется точных решений.
196
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
ления упругих напряжений в полупространстве при действии
на его поверхности равномерного давления (выражения (2.30)
и последующие).
Линии уровня максимального касательного напряжения ti
есть дуги окружности, упирающиеся в границы участка кон-
такта, как показано на рис. 2.7(a). Принимая среднее давление
внедрения в случае тупого клина равным 5.1й, находим, что ti
имеет значение k вдоль дуги окружности радиуса 1.6а. Если эту
дугу взять в качестве первого приближения к упругопластиче-
ской границе, то получим, что пластическая зона простирается
на глубину 2.9а под точкой начального контакта клина с полу-
пространством.,; Это существенно глубже залегания границ об-
ластей пластического формоизменения, показанных на рис. 6.2—
6.5. Другой простой способ' определения положения упругопла-
стической границы описан в § 6.3.
Метод продолжения поля линий скольжения внутрь жесткой
области описан Бишопом [34]. Он продолжил поле, возникаю-
щее вокруг двумерного штампа с плоским основанием (угол
клина а = 90°) до границы с нулевыми напряжениями. Пред-
полагая, что эти границы целиком лежат внутри свободных по-
верхностей тела, в которое вдавливается штамп, можно заклю-
чить, что жесткая область способна выдержать напряжения,
определяемые полем линий скольжения в области деформации
без пластического разрушения.
С помощью этих построений можно найти минимальные гео-
метрические параметры блока прямоугольного сечения, при ко-
торых размеры блока не влияют на процесс вдавливания в него
штампа. Минимальная высота блока равна 8.8а, а минималь-
ная полуширина (расстояние от вертикальной оси симметрии
сечения до боковой грани блока) равна 8.7а, где а — полуши-
рина основания штампа. Поскольку вдавливание штампа с пло-
ской подошвой представляет собой наиболее опасный случай
(с точки зрения несущей способности блока), блок указанных
размеров выдержит и внедрение штампа с другим профилем
основания. Подробное обсуждение этих вопросов имеется у
Хилла [172].
С помощью техники продолжения поля линий скольжения
под цилиндрическим штампом с плоским основанием, опреде-
ленного Шилдом [321], можно показать, что жесткопластиче-
ское тело должно иметь минимальную высоту 3.4а и минималь-
ный радиус, измеряемый от оси симметрии внедряемого штампа,
равный 3.2а.
При учете деформационного упрочнения, подробно рассмат-
риваемого в § 6.3, упругопластическая граница (на которой
предел пластичности меньше, чем в зоне с развитыми пласти-
ческими деформациями вблизи штампа) распространяется в
§ 6.3. Вдавливание инденторов в упругопластические среды 197
тело более глубоко, чем это предсказывается теорией идеальной
пластичности. Таким образом, для того чтобы размеры блока
из деформационно-упрочняющегося материала не оказывали
влияния на картину формоизменения при вдавливании в него
штампа, он должен иметь большие критические геометрические
параметры, чем определенные выше (см. эксперименты Даг-
дейла £90, 91]).
§ 6.3. Вдавливание инденторов в упругопластические среды
Упругие свойства реальных тел играют важную роль в про-
цессах пластического вдавливания. При первом превышении
предела упругости зона пластичности мала и полностью охва-
тывается материалом, находящимся в чисто упругом состоянии,
так что пластические деформации имеют одинаковый порядок
величины с упругими деформациями. В этом случае вытесне-
ние материала индентором компенсируется упругими смещения-
ми окружающей среды.
Если глубина внедрения увеличивается либо за счет увели-
чения нагрузки, когда индентор имеет криволинейный профиль,
либо за счет уменьшения угла при вершине клиновидного или
конического индентора, то для обеспечения необходимого рас-
ширения материала требуется повышение давления под инден-
тором. В конечном итоге пластическая зона выходит на свобод-
ную. поверхность и вытесненный материал может свободно пла-
стически течь по краям индентора. Это так называемая мода
нестесненного формоизменения, рассмотренная в предыдущем
параграфе в рамках теории жесткопластических тел. Следует
ожидать, что пластическая зона выйдет на внешнюю поверх-
ность и станет возможной мода нестесненной деформации,
когда среднее давление под индентором достигнет величины,
определяемой теорией жесткопластических сред. На основе ре-
зультатов предыдущего параграфа это давление есть
= (6.29)
где значение с зависит от геометрии индентора, а также трения
на поверхности контакта и примерно равно 3.0. Из результатов
§ 6.1 следует, что состояние течения достигается при давлении
(6.29), где константа с приблизительно равна единице. Суще-
ствует интервал промежуточных значений среднего контактного
Давления (от Y до ЗУ), для которых пластическое течение сдер-
живается окружающим упругим материалом, а деформация осу-
ществляется за счет радиального расширения среды. С точки
зрения инженерных приложений представляют интерес три ста-
дии нагружения: чисто упругая и упругопластическая (стеснен-
ная), а также полностью пластическая (нестесненная).
198
Гл. 6 Нормальный контакт неупругих тел
Деформирование упруго-идеально-пластических материалов,
описывается определяющими уравнениями Рейсса (см. [111,
171]). В принципе контактные напряжения, возникающие при
вдавливании штампа в упругопластическую среду при малых
Рис. 6.11. Внедрение
жесткого шара в упру
гопластическое полупро-
странство [163]: разви-
тие пластической зоны.
Штриховые линии — по
верхности уровня интен
сивности касательных
напряжений /2.
деформациях, можно вычислить. На практике это связано со
значительными трудностями, обусловленными тем, что форма
и размеры упругопластической границы заранее неизвестны.
Перспективным здесь является подход, основанный на замене
сплошной среды сеткой конечных элементов, однако концентра-
ция напряжений затрудняет получение уточненной картины на-
пряженного состояния в зоне контакта.
Впервые метод конечных элементов был применен к иссле-
дованию осесимметричного поля напряжений при вдавливании
цилиндрического штампа в работе [4]. Более полный численный
§ 6.3. Вдавливание инденторов в упругопластические среды
199
анализ внедрения цилиндра и шара в' упруго-идеально-пласти-
ческое полупространство дан в работах [92, 163, 230, 323]. В этих
-работах прослеживалось развитие пластической зоны при воз-
растании нагрузки. Вычислительные трудности возникали при
подходе к полностью пластическому состоянию, и вследствие
этого расчеты проводились для нагрузок Р < 1 ООРу, где Ру —
нагрузка, при которой впервые наступает состояние течения.
Рис. 6.12. Экспериментально определенные линии уровня пластической де-
формации при внедрении: (а) шарового индентора (шарик Бринелля), afR —
= 0.51; (Ъ) пирамидального индентора, используемого для определения
твердости по Виккерсу.
Упомянутые трудности были преодолены Фоллансби и Синкле-
ром [НО] при исследовании внедрения шара в упрочняющееся
тело, полностью охваченное пластической деформацией.
На рис. 6.11 представлены распределения давлений, полу-
ченные в работе Харди с соавторами [163]. Как и следовало
ожидать, пластическое течение приводит к уплощению распре-
деления давлений, пиковое значение которого при высоких на-
грузках смещается к краю области контакта. Показано также
развитие пластической зоны. Контуры пластической зоны при-
мерно совпадают с линиями уровня интенсивности напряжений
/г (определенной выражением (6.1)) и для исследованного диа-
пазона нагрузок почти целиком располагаются под областью
контакта.
Альтернативный подход к исследованию упругопластиче-
ского внедрения, свободный от сложностей численного конечно-
элементного анализа, вытекает из давнего предложения Бишо-
па, Хилла и Мотта [35], развитого Маршем [247] и Джонсо-
ном [192]. Этот подход основан на наблюдениях [275, 317] за
Рис. 6.13. Модель с шаровым ядром для анализа внедрения конуса в упруго-
пластическую среду.
смещениями поверхностных слоев, вызванными внедрением ту-
пого индентора (конуса, шара или пирамиды). Из этих наблю-
дений следует, что смещения под поверхностью примерно ради-
альны по отношению к точке начального контакта, а поверх-
ности равных деформаций имеют примерно полусферическую
форму (рис. 6.12).
В рамках этой упрощенной модели упругопластического
внедрения будем полагать, что поверхность контакта охваты-
вается полусферическим «ядром» радиуса а (рис. 6.13). Внутри
ядра предполагается наличие гидростатического напряженного
состояния интенсивностью р. Считается, что во внешности ядра
напряжения и перемещения обладают радиальной симметрией
и совпадают с напряжениями и перемещениями в неограничен-
ном упруго-идеально-пластическом теле со сферической по-
лостью, в которой действует давление р.
Упругопластическая граница определяется радиусом с, где-
с > а. На поверхности раздела ядра и пластической зоны
имеем: (а) гидростатическое давление в ядре равно радиальной
компоненте напряжения во внешности; (Ь) радиальное смеще-
ние частиц, лежащих на границе г = а, при приращении глу-
бины внедрения dh должно компенсироваться материалом, вы-
тесняемым индентором (сжимаемость ядра не учитывается).
Напряжения в пластической зоне а г с равны [171]
<yr/Y = —2 In (c/r) -2/3, (6.30а)
ое/Г = -2 In (с/г) + 1/3. (6.30b)
§ 6.3. Вдавливание инденторов в упругопластические среды
201
В упругой зоне г~^с
<гг 2 / с \з
ge
Y 3 V J
(6.31)
Давление в ядре и радиальное напряжение на границе ядра
равны
-?-=-М,„=4+21п7- <М2>
Радиальные деформации равны [171]
^r- = T[3(1“v)(T)2_2(1_2v)T]- (6-33)
Из условия несжимаемости ядра следует
2яа2 du (а) = па2 dh = на2 tg р da, (6.34)
где р — угол между образующей конуса и поверхностью осно-
вания (р = л/2 — а). Если положить г = а в (6.33) и заметить,
что из условия геометрического подобия при непрерывном внед-
рении конуса следует соотношение de/da — с/а = const, то
уравнения (6.33) и (6.34) определяют положение упругопла-
стической границы:
6 (1 — v) (с/п)3 - 4 (1 — 2v) = Е tg р/У. (6.35)
Подставляя найденное из этого уравнения выражение для с/а
в (6.32), получим давление в ядре. В случае несжимаемого
материала имеем простое выражение
Разумеется, напряженное состояние материала под индентором
не является чисто гидростатическим. Если через р обозначить
гидростатическую составляющую, то нормальное напряжение
будет иметь значение ог « —(р + 2У/3), а радиальная компо-
нента о, « —(р— У/3). Следовательно, верхняя оценка давле-
ния внедрения рт в рамках модели с шаровым ядром дается ве-
личиной р4-2У/3. Аналогичный анализ может быть выполнен в
случае вдавливания плоского жесткого клина [192].
Из выражения (6.36) видно, что гидростатическое давление
в ядре под индентором является функцией единственной безраз-
мерной переменной Etgp/У, которую можно интерпретировать
как отношение деформации, вызываемой индентором (tg р), к
упругой деформируемости материала (Y/E). Упругие свойства
индентора могут быть учтены заменой Е на Е* (см. определе-
ния в § 4.2(a)).
Давление внедрения в условиях чисто упругого, упругопла-
стического и полностью пластического состояний можно пред-
ставить в виде графика зависимости безразмерной величины
202
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Рис. 6.14. Внедрение шаров и конусов в упругопластическое полупростран-
ство. Штриховые кривые — упругие решения: А— конус, В — шар; сплошные
линии — конечно-элементные численные решения: С по [163], D по [110];
штрихпунктирные линии — модель с шаровым ядром: F — конус, G — шар;,
кривая Е — жесткопластическое решение для шара [307]. Эксперимен-
тальные данные: крестики — для пирамиды [247], кружки — для шаров [338].
рт/У от Е* tg р/У, где р — угол (считающийся малым) накло-
на профиля индентора к недеформированной поверхности осно-
вания на краю области контакта (рис. 6.14). В случае сфериче-
ского индентора принимаем tg р « sin р = a/R-, величина этого
отношения изменяется при внедрении. Интегрирование уравне-
ний (6.33) и (6.34) при условии с/а = 1, что соответствует точке-
зарождения течения (рт— 1.1У), приводит к уравнению (6.36)
с аддитивной константой («0.19) в правой части. В случае
алмазной пирамиды Виккерса в качестве угла р принимается
угол конуса (19.7°) с сохранением объема. Состояние течения
наступает в случае сферического индентора при среднем кон-
тактном давлении рт « 1.1 У, а для конического индентора —
при рт « 0.5У. Наступление состояния полной пластичности
дает верхний предел для давления внедрения ~ЗУ, которое до-
стигается при £*tgp/y « 40 для конуса и Е*а/(У/?)« 30 для
шара.
Приведенные выше результаты, справедливы для упруго-
идеально-пластических тел, имеющих постоянный предел теку-
чести У на одноосное сжатие. Табор [338] показал, что резуль-
таты для идеально пластического тела могут с хорошей сте-
§ 6.3. Вдавливание инденторов' в упругопластические среды 203
пенью приближения применяться к телам с упрочнением, если
заменить У на некоторое характерное напряжение течения Уд,
измеренное в опыте на одноосное сжатие при достижении де-
формации ед, равной
6R~G.2tgp. (6.37)
Для пирамиды Виккерса отсюда имеем ед « 0.07 (Табор пред-
ложил значение 0.08), а для сферического индентора ед «
» Q.2a/R. Мэтьюз (см. § 6.6) рассмотрел материал, упрочняю-
щийся по степенному закону с показателем п. Согласно этому
закону, ед = 0.28(1 + l/ri)~n(a/R); величина ед незначительно
изменяется от 0.17a/R до 0. №a/R при изменении п. В рамках
такого подхода получено хорошее согласие расчетов по теории
упругоидеальнопластичности с экспериментальными данными
для упрочняющихся материалов.
На рис. 6.14 представлены средние давления внедрения осе-
симметричных инденторов произвольного профиля в упругопла-
стические среды, для которых известны кривые «напряжение —
деформация» при одноосном сжатии. Эти кривые дают, в ча-
стности, связь между твердостью и напряжением течения при
одноосном сжатии. Так, для твердости Ну, определяемой по ме-’
тоду Виккерса, имеем
Яу = 0.93pm ~ 2.8YR, (6.38
где Уд — напряжение течения при одноосном сжатии, соответ-
ствующее деформации около 0.08.
В работе [113] проанализированы экспериментальные дан-
ные по внедрению сферических инденторов в различные мате-
риалы и установлена хорошая корреляция этих данных в тер-
минах введенных выше переменных.
На рис. 6.15 и 6.16 представлено сравнение распределений
напряжений вдоль оси z и вблизи поверхности в случае полного
пластического течения при вдавливании сферического инден-
тора, найденных методом конечных элементов [ИО] , а также
с помощью теории жесткопластичности (кривые 2) и модели с
шаровым ядром (кривые 3). Согласованность результатов жест-
копластического и конечно-элементного анализа в целом хоро-
шая, особенно если учесть, что последние были получены для
упрочняющегося материала. Сцепление материала с поверхно-
стью штампа приводит к локализации максимальных значений
напряжений ог и пг под поверхностью контакта. Этот эффект
проявляется и в результатах расчетов методом конечных эле-
ментов.
Полное пластическое течение в рамках модели с шаровым
ядром имеет место при pmjY — 3, Е* tg |3/У = 40; в соответствии
'С уравнением (6.35) положение упругопластической границы
204
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Рис. 6.15. Напряжения в приповерхностных слоях при вдавливании жесткого
шара в пластическое основание: (Л) без трения, (В) со сцеплением. Кри-
вые 1—решение методом конечных элементов [110]; 2 — жесткопластиче-
ское решение [100, 321]; 3— модель с шаровым ядром (выражения (6.30)
н (6.31)).
Рнс. 6.16. Поверхностные напряжения при внедрении жесткого шара в пла-
стическое основание. Обозначения кривых такие же, как на рис. 6.15.
§ 6.3. Вдавливание инденторов в упругопластические среды 2 5
определяется соотношением с/а ж 2.3. Напряжения при этом
определяются выражениями (6.30) и (6.31). Эпюры напряжений
вдоль оси z имеют такой же профиль, как и рассчитанные по ме-
тоду конечных элементов, однако величины напряжений зани-
жены.
На поверхности контакта модель со сферическим ядром
предсказывает растягивающие окружные и сжимающие ради-
альные усилия при г > 2а. В случае чисто упругого состояния,
наоборот, радиальные напряжения являются растягивающими.
Расчеты по методу конечных элементов также дают растяги-
вающие окружные напряжения, но меньшей величины. Теория
жесткопластичности дает ое — az = 0 (условие Хаара — Кар-
мана) как результат использования критерия текучести Треска.
Переход от радиального растяжения в чисто упругом состоя-
нии к растяжению в окружном направлении в упругопластиче-
ском состоянии существенно предопределяет изменение формы
разрушения при внедрении от образования кольцевой трещины
для хрупких материалов, таких, как стекло, к развитию ради-
альных трещин в полухрупких материалах, таких, как плекси-
глас [302]. Иначе ведут себя пористые материалы. При внед-
рении ,индентора они раздрабливаются, а давление внедрения
примерно равно У, где У— прочность на сжатие при одноосном
нагружении [368].
Помимо контактных давлений представляет интерес также
глубина внедрения индентора. Теоретическое определение этой
величины связано с затруднениями, обусловленными неизвест-
ным выпучиванием материала по краям лунки при внедрении.
В случае жесткопластического тела вытесняемый индентором
материал перемещается в зону бокового поднятия по краям
лунки. В случае упругопластического тела это не так. Большая
часть объема вытесняемого материала, если не весь, смещается
в радиальном направлении за счет расширения окружающей
среды, находящейся в упругом состоянии. Это проявляется в
незначительном увеличении внешних размеров тела, в которое
вдавливается индентор. На боковое поднятие оказывают также
влияние характеристики упрочнения материала. Большая де-
формируемость упрочняющегося материала приводит к смеще-
нию пластической зоны в глубь тела и тем самым уменьшает
выпучивание вблизи индентора.
График зависимости внедрения 6 от вдавливающего усилия
Р обычно называется кривой податливости. Для описания внед-
рения сферического индентора целесообразно использовать сле-
дующие безразмерные переменные:
б/бу^0.1486£*7(/?У2), (6.39а)
Р/Рг = 0.043Р£*7(£2У3), (6.39b)
Рис. 6.17.. Внедрение сферического индентора в упругопластическое полу-
пространство. Сплошные линии — внедрение при нагружении; штриховые ли-
нии— глубина лунки после разгрузки.
где Ру— внешнее усилие, при котором возникает течение, опре-
деляемое выражением (6.10), а бу — глубина внедрения, соот-
ветствующая нагрузке Ру и определяемая формулой (4.23). Со-
стояние полной пластичности достигается при E*a/(RY) » 40,
т. е. когда P/PY ~ 650. Если допустить, что в условиях, когда
во всей области происходит пластическое течение, материал по
краям лунки не поднимается и не опускается, то глубина внед-
рения приближенно равна °
б = a2/(2R). (6.40)
*’ См. выражение (6.82) для 6, которое учитывает упрочнение материала
§ 6.4. Разгрузка при пластическом внедрении
207
Принимая, что контактное давление в полностью пластическом
состоянии постоянно и равно ,3.0У, получаем
-^- = 0.81-^ = 5.5-А. (6.41)
Точные измерения глубины внедрения осуществить не так
просто, как измерения контактного давления. На рис. 6.17 при-
ведены в безразмерной форме экспериментальные данные Фос-
са и Брамфилда [112] для глубины внедрения при действии на-
грузки и для остаточной глубины лунки при разгрузке *>. Ре-
зультаты для материалов с различной твердостью и разными
упругими свойствами, представленные в терминах безразмер-
ных переменных (6.39), лежат на общей кривой, которая близка
к упругой линии при малых нагрузках, а в полностью пласти-
ческом состоянии близка к прямой, определяемой соотноше-
нием (6.41).
§ 6.4. Разгрузка при пластическом внедрении,
циклическое нагружение и остаточные напряжения
Контакт упругих тел под действием нормальных нагрузок,
обсуждавшийся детально в гл. 4 и 5, рассматривается, вообще
говоря, как обратимый процесс. В этом случае напряжения и
деформации, вызванные заданной контактной нагрузкой, не за-
висят от истории нагружения. Тем не менее могут иметь место
незначительные отклонения от идеальной обратимости, обуслов-
ленные двумя причинами: проскальзыванием и трением по по-
верхности контакта, а также внутренним гистерезисом мате-
риала под действием циклических напряжений.
В § 5.4 было показано, что если два контактирующих тела
состоят из различных материалов, то на периферии области
контакта возникает проскальзывание. При разгрузке направле-
ние скольжения изменяется на противоположное и касательные
поверхностные усилия будут отличаться от усилий, развиваю-
щихся при нагружении. Контактная нагрузка, необходимая для
образования заданной площадки контакта при нагружении не-
сколько больше, чем в процессе разгрузки. По завершении пол-
ного цикла нагружение — разгрузка небольшая часть энергии
оказывается рассеянной вследствие проскальзывания по поверх-
ности контакта. Хотя точных вычислений не проводилось, тем
не менее ясно, что отмеченная диссипация энергии весьма мала.
В целом различием напряжений в случаях нагружения и раз-
грузки можно пренебречь, однако при высокочастотном цикли-
О Поскольку Фосс и Брамфилд вместо напряжения течения пользова-
лись твердостью Н, в качестве У была принята величина /7/2.8.
08
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
ческом нагружении проскальзывание по поверхности контакта
и выделяемое при этом тепло приводят к прогрессирующей по-
вреждаемости поверхности.
Реальные материалы, даже металлы при напряжениях, не
превышающих их предела текучести, не являются идеально
упругими, но тем не менее проявляют гистерезисное поведение
при циклическом изменении напряженного состояния. Такой
«упругий гистерезис» или «внутреннее затухание» обусловли-
вает некоторую необратимость при циклическом изменении кон-
тактных напряжений. Из предположения о малости отклонений
поведения от идеально упругого следует, что влияние эффектов
неупругости на ~ распределение контактных напряжений также
мало. В рамках этого допущения можно оценить количество
энергии, диссипированной за один цикл изменения внешней на-
грузки.
Обычно для характеристики внутреннего гистерезиса мате-
риала используется отношение диссипированной за цикл энер-
гии AU7 к максмальной энергии упругой деформации за цикл
W. Отношение а = AW7/U7 называется коэффициентом потерь
или удельным коэффициентом затухания. Характерные значения
этого коэффициента для широкого спектра материалов приве-
дены в работе [229]. Коэффициент потерь для большинства ма-
териалов зависит от амплитуды циклических деформаций; его
значения увеличиваются при приближении к пределу упругости
и почти постоянны для малых и умеренных деформаций.
Энергия упругой дефармации при контакте двух тел может
быть вычислена из связи между нагрузкой и сближением:
W = Р d&. Для двух сферических поверхностей соотношение
между Р и б определяется уравнением (4.23), откуда
Потеря энергии при циклическом изменении нагрузки от
вого до максимального значения и обратно приближенно
AW7 = aW, где а — характерная величина коэффициента по-
терь. Выполненные автором непосредственные измерения по-
терь энергии при циклическом нормальном контакте шаров для
широкого диапазона нагрузок дают практически постоянное
значение а, равное 0.4 °/о для подшипниковой стали. Это значе-
ние не противоречит также измерениям внутреннего гистере-
зиса при высоких напряжениях.
Если при начальном нагружении материал переходит в пла-
стическое состояние, описанный выше подход неприменим, по-
скольку различие параметров нагружения и разгрузки уже не
является малым. Даже если в процессе нагружения развивают-
(6.42)
нуле-
равна
§ 6.4. Разгрузка при пластическом внедрении
209
ся большие пластические деформации, интуитивно ясно, что раз-
грузка происходит идеально упруго.
Простая проверка этой гипотезы была выполнена Табором
[337] в экспериментах по вдавливанию твердого стального ша-
рика радиуса R в плоскую поверхность более мягкого металла
с образованием остаточной лунки (рис. 6.18). При нагружении
индентор имеет радиус R', несколько больший радиуса R вслед-
ствие упругого сжатия шарика (рис. 6.18(b)). При снятии на-
грузки происходит уменьшение глубины лунки за счет упругого
Рис. 6.18. Разгрузка шарового индентора: (а) до нагружения, (Ь) под на-
грузкой, (с) после разгрузки.
возврата, так что ее остаточный радиус р несколько превышает
R' (рис. 6.18(c)). Если процесс разгрузки является упругим и,
следовательно, обратимым, то повторное нагружение при пла-
стическом внедрении будет включать упругую стадию, на ко-
торой шар радиуса R вдавливается в вогнутую сферическую
лунку радиуса р. Предполагая, что глубина внедрения не слиш-
ком велика, так что остаются приемлемыми допущения теории
Герца, для установления связи между радиусом остаточной
лунки и радиусом шарика воспользуемся уравнением (4.22).
Учитывая, что для вогнутой поверхности р отрицательно, имеем
^(i-f)=?- <6-43>
Измерения радиуса р, выполненные Табором, согласуются с
этим уравнением в пределах точности эксперимента.
Упругую часть прогиба, которая исчезает при снятии на-
грузки, можно оценить аналогичным образом. Исключая R из
уравнений (4.22) и (4.23), выразим упругое внедрение 6' через
среднее контактное давление рт:
9л Рр
с/2 tn
~ 16 Е*2 ’
(6.44)
210 Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
В состоянии, полной пластичности рт ~ З.ОУ, что позволяет пе-
реписать соотношение (6.44) в терминах безразмерных пере-
менных, использованных в уравнении (6.41):
^=8.1.10-’(^р)! = 0.38(-^)2. (6.46)
Таким образом, остаточная глубина внедрения после снятия
нагрузки есть б — 6'. В условиях полной пластичности эту ве-
личину можно оценить из соотношений (6.41) и (6.45); соот-
ветствующая кривая показана в правой части рис. 6.17. В левой
части этого рисунка нанесены значения глубины остаточной
лунки, вычисленные с помощью метода конечных элементов.
Видно, что упругая разгрузка, предсказываемая соотношением
(6.45), хорошо согласуется с измерениями Фосса и Брамфилда.
Аналогичные исследования разгрузки в случае конических
инденторов [334] показали, что проявляющееся при этом умень-
шение глубины отпечатка связано с упругой разгрузкой и может
быть вычислено в рамках анализа вдавливания конуса упру-
гости (§ 5.2).
Описанный подход к исследованию процесса разгрузки яв-
ляется приближенным, поскольку неявно предполагалось, что
перед разгрузкой имеет место герцевское распределение давле-
ний, а восстановленный профиль в связи с этим есть дуга ок-
ружности. В действительности распределение давлений являет-
ся более равномерным, чем герцевское распределение (рис. 6.11).
Такое распределение давлений при разгрузке приводит к фор-
мированию отпечатка, профиль которого не является в точности
круговым, но связан с давлением уравнениями, отвечающими
упругому решению. Следовательно, точные измерения восста-
новленных в результате упругой разгрузки профилей позволяют
определить действительное распределение давлений перед раз-
грузкой. Это было сделано в работе [191] для шаров и цилинд-
ров, а в [174] для случая вдавливания жесткого металлического
клина в основание из плексигласа.
После разгрузки из пластически деформированного состоя-
ния твердое тело переходит в состояние с остаточными напря-
жениями. Для определения остаточных напряжений необходимо
знать прежде всего напряженное состояние по завершении пла-
стического нагружения. После этого, предполагая разгрузку
упругой, остаточные напряжения можно определить посредством
наложения упругого напряженного состояния, вызванного рас-
пределением поверхностных нормальных усилий, равных по ве-
личине и противоположно направленных контактным давле-
ниям, на поле напряжений в пластически деформированном
состоянии. Поверхность контакта становится свободной от на-
пряжений, а поле остаточных напряжений самоуравновешенным.
§ 6.4. Разгрузка при пластическом внедрении
211
Подобные расчеты были выполнены с помощью метода конеч-
ных элементов Харди с соавторами [163], а также Фоллансби
и Синклером [ПО]. Они показали, что материал под инденто-
ром под действием остаточных напряжений остается в состоя-
нии сжатия, а поверхность во внешности отпечатка подвержена
сжатию в радиальном направлении и растяжению в окружном.
Остаточные напряжения, сформировавшиеся в теле в резуль-
тате пластического внедрения, можно оценить на основе реше-
ний, полученных в рамках теории линий скольжения или мо-
дели с шаровым ядром. Качественные представления можно по-
лучить с помощью простого рассуждения: при пластическом
внедрении материал под индентором испытывает сжатие в на-
правлении, перпендикулярном поверхности, и радиальное рас-
ширение в направлении, параллельном поверхности. При раз-
грузке напряжения, нормальные поверхности, исчезают, но
имеющее место радиальное расширение пластически деформи-
рованного материала приводит к появлению радиальных сжи-
мающих напряжений, создаваемых окружающим упругим ма-
териалом. Процесс упрочняющей дробеструйной обработки, по-
средством которого поверхность металла покрывается большим
числом пластических кратеров, создает двухосное поле остаточ-
ных сжимающих напряжений, действующих параллельно по-
верхности. Интенсивность этих напряжений наиболее велика
в приповерхностных слоях. Назначение этого процесса состоит
в использовании остаточных сжимающих напряжений в припо-
верхностных слоях для предотвращения распространения уста-
лостных трещин.
При пластическом внедрении вдоль оси симметрии имеем
1<Тг- <тг| = У. (6.46)
В процессе упругой разгрузки
\or-oz\ = Kpm = KcY, (6.47)
где К зависит от распределения давлений в конце процесса на-
гружения и от глубины под поверхностью контакта. Разность
остаточных напряжений определяется наложением соотношений
(6.46) и (6.47)1);
l^-^lres = (^-l)y- (6-48)
Поскольку на поверхности (Oz)res обращается в нуль, значения
этого напряжения будем считать малыми по сравнению с
(o>)res- При вдавливании в условиях полной пластичности
с « 3.0 и распределение давления приблизительно равномерно,
откуда посредством соотношения (3.33) получаем К — 0.65 при
1} Индекс res относится к остаточным напряжениям. — Прим, перев.
212 Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
z = 0.64а. Таким образом, /(с—1 « 0.95 и из условия (6.48)
следует, что повторное пластическое течение при разгрузке не-
возможно, иначе как в результате проявления эффекта Баушин-
гера. Если даже повторное пластическое течение возникнет, оно
будет происходить в условиях стеснения и его влияние на про-
филь поверхности будет незначительным.
На поверхности контакта имеет место иная ситуация. При-
мем давление р равномерным: аг = —р, а, = сд ——(р—У)-
При упругой разгрузке накладываются напряжения oz = р,
Or = сто — '/2(1 +2v)p «й 0.8р, в результате чего имеем следую-
щие остаточные напряжения:
(аДе8 = 0, (o,)res = (oe)res = Y - 0.2р. (6.49)
Полагая в случае полной пластичности при внедрении р = ЗУ,
получим остаточные напряжения (07) res = (од) res ~ 0.4У, кото-
рые являются растягивающими.
На поверхности пластической зоны вне области контакта на-
пряжения при нагружении приближенно определяются моделью
с шаровым ядром (выражения (6.30) и (6.31)). Радиальные на-
пряжения сжимающие, а небольшие по величине окружные на-
пряжения растягивающие. При упругой разгрузке накладывают-
ся напряжения
1 /1 о \ °2
а, = — ое = — у (1 — 2v) рт -рг,
однако дополнительное радиальное сжатие и окружное растя-
жение невозможны. Вместо этого появятся малые дополнитель-
ные пластические деформации практически при постоянных на-
пряжениях. Последующее нагружение и разгрузка будут чисто
упругими.
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
Многие материалы, особенно полимеры, обладают зависящей
от времени связью между напряжениями и деформациями. Та-
кое деформирование называется вязкоупругим. Общие черты
вязкоупругого деформирования проиллюстрированы на рис. 6.19,
где показано изменение деформации e(Z) образца материала
под действием постоянного напряжения сто в течение проме-
жутка времени t\. Деформация характеризуется начальным
упругим откликом ОА на приложенное напряжение. Дополни-
тельная запаздывающая упругая деформация АВ приобретает-
ся с течением времени. Если материал обладает свойствами
текучести или ползучести, он приобретает также монотонно воз-
растающую деформацию ползучести ВС. При снятии напряже-
ния происходит мгновенная упругая разгрузка CD = —ОА, а
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
213
в дальнейшем проявляется запаздывающая упругая разгрузка
DE. Образец сохраняет характеризующуюся точкой Е остаточ-
ную деформацию, которая приобретается в результате ползу-
чести.
Отмеченное поведение материала может быть строго учтено
в теории контактного взаимодействия, если допустить, что опре-
деляющее уравнение вязкоупругого поведения является линей-
ным. Для приемлемости этого допущения деформации должны
оставаться малыми (как в линейной теории упругости) и дол-
жен быть применим принцип суперпозиции. В случае линей-
ности увеличение напряжения в заданное число раз (рис. 6.19)
должно приводить к увеличению деформации в такое же число
раз. Изменение деформации в результате действующих одновре-
менно различных напряжений должно быть идентично сумме
откликов на напряжения, прикладываемые по отдельности.
Соотношения между напряжениями и деформациями для
вязкоупругих материалов могут формулироваться различным
образом, но обычно это делается с использованием функции
ползучести, которая определяет деформацию образца при при-
ложении единичной ступеньки напряжения, или с использова-
нием функции релаксации, выражающей изменение напряжения
в ответ на единичную ступеиьку деформации.
Для изотропного материала в случае сложного напряжен-
ного состояния требуются две независимые функции, опреде-
ляющие его отклик при сдвиговой и объемной деформациях.
Эти функции соответствуют модулю сдвига и объемному мо-
дулю для идеально упругих материалов. В дальнейшем для
214
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
простоты ограничимся рассмотрением несжимаемых материа-
лов, определяющие соотношения которых могут быть выражены
в терминах единственной функции, описывающей их поведение
при сдвиге!). Указанное ограничение вполне приемлемо для
полимеров, коэффициент Пуассона которых, как правило, пре-
вышает 0.4.
Определяющие соотношения удобно записывать в терминах
девиаториых компонент напряжений s = сг—б и девиаторных
деформаций е = е —ё, где б = УДсл + Сг + Сз) и ё = х/з(ei +
+ е2 + ез). Для несжимаемых упругих материалов ё = 0, так
что
s = 2Ge = 2Ge, (6.50)
где G — модуль сдвига. Соответствующее определяющее соот-
ношение для несжимаемого вязкоупругого материала можно
записать в одной из следующих двух форм:
t
s(Z)= (6.51)
о
или
t
(6.52)
о
'Здесь функция релаксации Чг(/) определяет напряженное со-
стояние, отвечающее единичной ступеньке деформаций, а функ-
ция ползучести Ф(/)— деформацию, соответствующую единич-
ной ступеньке напряжения. Для конкретных материалов эти
функции можно установить с помощью подходящих пружинно-
демпферных моделей или определить экспериментально (см. ра-
боту Ли и Роджерса [232]). Уравнение (6.51), выраженное че-
рез функцию релаксации Д^/), можно рассматривать как супер-
позицию откликов напряжений на последовательность малых
изменений деформации de(t') в моменты времени t'. Аналогично
уравнение (6.52) выражает суммарный отклик деформации на
последовательность бесконечно малых ступенчатых прираще-
ний напряжения.
В качестве примеров рассмотрим два идеализированных вяз-
коупругих материала, которые по отдельности проявляют эф-
фекты последействия и установившейся ползучести. Первый ма-
териал 2> представлен на рис. 6.20(a) моделью, состоящей из
*> Другое возможное упрощение состоит в том, что коэффициент Пуас-
сона считается постоянным во времени. В этом случае функции релаксации
при объемной и сдвиговой деформациях пропорциональны друг другу с коэф-
фициентом 2(1 + v)/[3(l —2v)].
2> Рассматриваемая модель известна как модель стандартного вязко-
упругого тела. — Прим, перев.
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
215
Отклик на ступеньку деформации е0
Рис. 6.20. Простейшие модели вязкоупругих материалов, обладающих свой-
ствами: (а) запаздывающей упругости (последействия); (Ь) установившейся
ползучести (модель Максвелла).
двух пружин с жесткостями gi и g2, а также демпфера с вяз-
костью т]. Для этого материала деформация, развивающаяся
под действием ступеньки напряжения So, равна
е(О = Ф(О*о = {-^
J_[l-exp(--l-)]}S(), (6.53)
где Tl=t}/g2. Отклик напряжения на ступенчатое изменение
деформации е0 равен
s (0 = W (0 е0 = • g — [g2 + exp (--£)]е0, (6.54>
где Т2 = n]/(gi +g2).
Второй материал — тело Максвелла — представлен на
рис. 6.20(b) моделью, состоящей из пружины жесткости g, по-
следовательно соединенной с демпфером вязкости тр Деформа-
ция ползучести равна
e(Z) = O(0s0=(j + ^/)s0,
(6.55)
216
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
а релаксация напряжения определяется соотношением
s(/) = W (/)e0 = gexp(— t!T)e0, (6.56)
где Т = ^\/g—время релаксации материала.
Первый материал обладает свойством запаздывания упру-
гой деформации (последействия), причем предельное значение
деформации ограничено конечной величиной. Второй материал
наделен свойством установившейся ползучести под действием
постоянного напряжения, так что деформация неограниченно
возрастает со временем. Разумеется, последняя модель приме-
нима на таких интервалах времени, пока деформации остаются
малыми. Для того чтобы модель Максвелла представляла «твер-
дое тело», а не «жидкость», вязкость т] должна быть достаточно
велика в сравнении с величиной модуля упругости g. Простей-
шей моделью материала, обладающего свойствами последей-
ствия и установившейся ползучести, является четырехэлемент-
ная модель, образованная добавлением второго демпфера к мо-
дели, изображенной на рис. 6.20(a), путем последовательного
соединения.
Рассмотрим теперь поведение вязкоупругого основания при
вдавливании в него жесткого сферического индентора. Под дей-
ствием постоянной нормальной нагрузки глубина внедрения
индентора и площадь области контакта будут увеличиваться
со временем, а распределение контактных давлений будет из-
меняться. Зададимся целью определить для данного материала
изменение со временем области контакта и распределения дав-
лений, обусловленное заданным законом изменения нагрузки
или глубины внедрения.
Простейший подход к этой проблеме предложил Радок [303].
Этот подход позволяет определять напряжения и деформации
в случаях, когда соответствующее решение для чисто упругого
материала известно. Он состоит в замене упругих постоянных
в известном упругом решении соответствующими интегральными
операторами из определяющих соотношений вязкоупругости.
Если история деформации известна, то напряжения находятся
заменой константы 2G интегральным оператором, выражен-
ным в терминах функции релаксации Чг(/) (уравнение (6.51)).
Если, наоборот, известна история нагружения, то изменение де-
формации находится из упругого решения заменой константы
1/(26) интегральным оператором, ядром которого является
функция ползучести Ф(/) (уравнение (6.52)). Ли и Радок [231]
показали, что этот подход применим для решения контактных
задач, если программа нагружения такова, что область кон-
такта монотонно увеличивается.
Если два упругих тела со сферическими поверхностями
сжаты силой Р, то радиус окружности контакта а, сближение 6
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
217
и контактное давление р определяются выражениями (4.22)-—
(4.24) соответственно. Если одно из тел жесткое, а другое со-
стоит из несжимаемого материала с модулем сдвига G, упомя-
нутые выражения для а и 6 принимают вид
а3 = (7?6)3/2 = | (^) RP, (6.57)
а распределение давлений определяется формулой
p(r) = ^-2G(a2-r2)1/2, (6.58)
где 1/R = l/^?i+ 1//?2 — относительная кривизна двух поверх-
ностей.
В случае вязкоупругого материала радиус а и давление р
изменяются со временем. Следуя подходу, предложенному Ра-
доном, перепишем выражение (6.58) для давления, заменяя кон-
станту 2G оператором релаксации для рассматриваемого ма-
териала:
Р (г, t) = $ W (t - t') -£r [a2 (П ~ г2]1'2 dt', г < а (/'). (6.59)
о
Аналогично запишем выражение для контактной нагрузки
t
а3 de- (6-60>
О/\ J lit
о
Если задано изменение глубины внедрения 6(/), то изменение
радиуса контакта a(t) непосредственно находится из соотно-
шения (6.57): a2(t) = R8(t). Подстановка этого выражения в
(6.59) дает изменение распределения давлений.
В более общем случае, однако, задается закон изменения
нагрузки P(t). Заменяя в этом случае константу 1/(2G) в соот-
ношении (6.57) оператором ползучести, получим
t
(/) = 4 R J Ф (t -1') ~ Р (П df. (6.61)
о
Интегральная форма уравнений (6.59) и (6.61) может интер-
претироваться как результат линейной суперпозиции малых
изменений давления р(г), обусловленных последовательностью
бесконечно малых ступенчатых изменений глубины внедрения 6
или нагрузки Р. Ли и Радок [231] показали, что распределение
давлений, определяемое выражением (6.59), вызывает нормаль-
ные смещения поверхности основания йг(г, i), которые согласо-
ваны с профилем поверхности жесткого шара в области кон-
такта (г а) для всех моментов времени t, т. е. ttz{r,t) =
= 8(t) — r2/(2R).
218
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Рис. 6.21. Увеличение
безразмерного радиуса
области контакта
3 RP0l8g)i/3a(f) в ре-
зультате приложения
ступенчатого усилия Ро
к жесткому шаровому
индентору радиуса R.
Кривая А — трехэле-
ментная модель
(рис. 6.20(a); g} = g2 =
= g, T = 4\/(2g); кри-
вая В — модель Макс-
велла, Т — t]/g', кривая
С — вязкий материал,
Т = 2t]/g.
Некоторые важные особенности вязкоупругого контакта про-
иллюстрируем на примере применения описанного подхода
к двум частным случаям. Рассмотрим реакцию идеализирован-
ных вязкоупругих материалов, представленных на рис. 6.20, на
ступенчатую нагрузку, прикладываемую к жесткому шаровому
индентору. Итак, пусть задан следующий закон изменения на-
грузки: P(t) = O, t < 0; P(t) = P0, t > 0. Выражение (6.61)
принимает вид
a3 (t) = %RP0® (0, t > 0- (6.62)
<а) МАТЕРИАЛ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
Материал, модель которого показана на рис. 6.20(a), харак-
теризуется функцией ползучести Ф(/), определяемой выраже-
нием (6.53). Подставляя это выражение в (6.62), получим закон
изменения радиуса области контакта
(6.63)
В момент приложения нагрузки к индентору проявляется упру-
гая мгновенная реакция вязкоупругого основания с образова-
нием области контакта радиуса ао = (3RPo/8gi)1/3. После этого
площадь области контакта увеличивается со временем, как пока-
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
219
зано на рис. 6.21 (кривая Л), асимптотически приближаясь
к величине
«1
-[W77+
1 у1/3
gT/l
В начальный момент времени распределение контактных
давлений соответствует упругому герцевскому распределению,
определяемому формулой (6.58), где следует положить 2G = gi
и а — ао. В пределе распределение давлений снова стремится
к упругому с константами 2G = gig2/(gi + £2) и а = ах. Для
Рис. 6.22. Эволюция рас-
пределения давлений
при действии ступенча-
той нагрузки на шаро-
вой индентор, вдавли-
ваемый в основание из
модельного вязкоупруго-
го материала (трехэле-
ментная модель,
(рис. 6.20(a)).
промежуточных моментов времени распределение давлений на-
ходится посредством подстановки выражения (6.54) для функ-
ции релаксации W(t) и выражения (6.53) для функции a(t) в
уравнение (6.59) и последующего интегрирования.
Такие вычисления были выполнены Янгом [372] для gi = g2;
результаты представлены на рис. 6.22. Видно, что распределе-
ние давлений не сильно отличается от герцевского на промежу-
точных стадиях деформирования. Таким образом, учет эффек-
тов последействия приводит к увеличению области контакта от
начальных до некоторых конечных размеров; распределение на-
пряжений в произвольный момент времени в продолжение этого
процесса приближенно определяется теорией упругого контакта..
(Ь) МАТЕРИАЛ, ОБЛАДАЮЩИЙ СВОЙСТВОМ УСТАНОВИВШЕЙСЯ
ПОЛЗУЧЕСТИ
Простейшей моделью материала, обладающего свойством
установившейся ползучести, служит модель Максвелла, изобра-
женная на рис. 6.20(b). Закон увеличения радиуса области
контакта при вдавливании в основание из такого материала
шарового индентора под действием ступенчатой нагрузки нахо-
дится путем подстановки функции податливости (6.55) в урав-
нение (6.62):
(6.64)
220
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Рис. 6.23. Эволюция распределения давлений при вдавливании шарового ин-
дентора ступенчатой нагрузкой. Сплошная линия — модель Максвелла, Т =
= штрихпунктирная линия — чисто вязкий материал, а3 = За^; штри-
ховая линия — упругий материал (решение Герца).
Снова в момент приложения нагрузки реализуется упругая
мгновенная деформация и образуется область контакта радиуса
а0 = (3RPo/8g)l/3. В дальнейшем радиус а непрерывно увели-
чивается в соответствии с выражением (6.64) (кривая В на
рис. 6.21), хотя следует помнить, что этот результат справедлив
только для малых по сравнению с R значений радиуса а.
Подставляя выражение для функции релаксации W (/) =
= gexp(—t/T) из (6.56) и выражение (6.64) в уравнение
(6.59), получим закон эволюции распределения контактных
давлений.
Результаты соответствующих расчетов представлены на
рис. 6.23. Начальный упругий отклик дает герцевское распре-
делёние давлений. При ползучести материала происходит замет-
ное перераспределение контактных давлений. Увеличение об-
ласти контакта приводит к вовлечению нового упруго деформи-
рующегося материала в зону контакта, так что на периферии
контактного круга распределение давлений локально приближа-
ется к соответствующему участку герцевского распределения,
формирующегося при мгновенном упругом контакте по кругу
данного радиуса. В центральной части области контакта дефор-
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
221
мации изменяются не очень сильно, вследствие чего напряжения
релаксируют и образуется зона пониженного контактного давле-
ния. Таким образом, с течением времени ползучесть материала
приводит к изменению распределения давления от упругого,
для которого характерно максимальное давление в центре обла-
сти контакта, к распределению, в котором давления концентри-
руются на краях области контакта.
(с) ЧИСТО ВЯЗКИЙ МАТЕРИАЛ
Интересно отметить, что в предельном случае, когда мате-
риал лишен упругой мгновенной реакции, мы сталкиваемся с яв-
лением концентрации давлений на краях участка контакта. Та-
кой чисто вязкий материал может, например, рассматриваться
как материал Максвелла (рис. 6.20(b)) с бесконечно большим
модулем упругости g. Для такого материала отклик напряжен-
ного состояния на ступенчатое изменение деформации (функция
релаксации) включает теоретически бесконечные напряжения,
действующие в течение бесконечно малого интервала времени.
Отмеченное затруднение может быть преодолено путем ис-
пользования определяющих соотношений между напряжениями
и деформациями (уравнения (6.51) и (6.52)), записанных в тер-
минах не интегральных, а дифференциальных операторов. Так,
для чисто вязкого материала с вязкостью г] (обычно известной)
имеем следующее определяющее соотношение:
s (0 = 2r]De (0, D = d/dt. (6.65)
Следуя методу Радока, мы можем теперь заменить кон-
станту G в упругом решении дифференциальным оператором
T]D. Из соотношения (6.57) для упругого случая получим
В случае ступенчатой нагрузки, когда нагрузка Р равна по-
стоянной Ро (/ > 0), имеем
а3 = (М/2 = 4тР0Л (6‘66)
Распределение давлений получается заменой константы 2G опе-
ратором 2r]D в соотношении (6.58):
Р <г' о = SD <М7>
Распределение давлений сохраняет форму при увеличении
области контакта; давление на краю области контакта имеет
теоретически бесконечное значение (рис. 6.23). Этот результат
не покажется таким неожиданным, если учесть, что при про-
хождении движущейся границы круговой области контакта че-
222
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
рез элемент материала, лежащий на поверхности, этот элемент
претерпевает скачок сдвиговой деформации, обусловливающий
теоретически бесконечное напряжение.
В случае других идеализированных материалов, лишенных
упругого мгновенного отклика, например материала Кельвина
(соответствует модели, представленной на рис. 6.20(a), если в
ней пружину gi считать бесконечно жесткой), также имеют
место неограниченные давления на краю участка контакта.
Реальные твердые деформируемые тела, разумеется, обладают
достаточной упругостью для ограниченности давлений на краю
области контакта.
До сих поромы рассматривали вдавливание жестких сфери-
ческих штампов в вязкоупругие основания. Янг [372] исследо-
вал контакт двух вязкоупругих тел произвольного профиля. Он
показал, что область контакта является эллиптической, а экс-
центриситет эллипса определяется только профилями обеих
поверхностей, как при контакте упругих тел, т. е. уравнением
(4.28). Кроме того, сближение тел в некоторый момент вре-
мени б(/) связано с размерами области контакта (полуосями
эллипса) a(t) и b(t) соотношениями, следующими из упругого
решения для данного момента. Если материалы обоих тел вяз-
коупруги, то деформации каждого тела изменяются со временем
таким образом, что они оказывают идентичные контактные дав-
ления друг на друга. При этом изменения контактных давлений
и размеров области контакта со временем определяются урав-
нениями типа (6.59) и (6.61), если в этих уравнениях функции
ползучести и релаксации Ф(£) и Т(/) считать соответствую-
щими некоторому фиктивному материалу, элементы которого
можно интерпретировать как последовательное соединение эле-
ментов двух контактирующих тел. Эта процедура эквивалентна
использованию приведенного модуля Е* для упругих мате-
риалов.
Использованный в этом параграфе метод анализа основан на
подходе Радока, заключающемся в замене упругих констант в
решении для упругого случая соответствующими интегральными
или дифференциальными операторами, которые входят в опре-
деляющие соотношения линейно вязкоупругих материалов. К со-
жалению, этот подход неприменим, если история нагружения
такова, что размеры области контакта уменьшаются. Причины
этого обстоятельства объяснены Ли и Радоком [231]. Они по-
казали, что если их подход применять в случае уменьшающейся
области контакта, то возникают отрицательные контактные дав-
ления. В действительности, разумеется, скорость уменьшения
размеров области контакта отличается от предсказываемой на
основе упомянутого подхода и давления всюду остаются поло-
жительными.
§ 6.5. Линейно вязкоупругие материалы
223
Тинг [346, 347] и Грэхем [132], исследовавшие указанную
ситуацию, пришли к неожиданным выводам. Для момента вре-
мени t, в который размер области контакта a(t) убывает,
определим момент времени 6, предшествующий моменту t, та-
кой, что размер области контакта a(ti) в этот момент возрас-
тает и равен размеру a(t). Тогда оказывается, что контактное
давление p(r, t) зависит только от изменения размера области
контакта на интервале времени, предшествующем 6, в течение
которого этот размер меньше a(t). Следовательно, выражение
(6.59) по-прежнему можно использовать для определения кон-
тактных давлений в момент времени t, если установить пределы
интегрирования от 0 до 6. Соотношение (6.61) можно исполь-
зовать для нахождения a(t'), поскольку область контакта рас-
ширяется в интервале О t' t\.
С другой стороны, глубина внедрения б(^) ведет себя иначе.
В течение периода времени О t' ti, пока a(t') возрастает
до величины а (Л), внедрение 6(t') связано с размером области
контакта a(t') соотношением упругости (6.57) и не зависит от
скорости нагружения. Но когда a(t) убывает, внедрение зави-
сит от истории изменения размера области контакта на интер-
вале от Л до t. Соотношение, описывающее изменение глубины
внедрения со временем при уменьшении области контакта, чи-
татель может найти в статье Тинга [346].
Если задан закон изменения нагрузки P(t), то изменение
размера области контакта a(t) находится без особых затрудне-
ний. В качестве примера исследуем вдавливание жесткого шара
в основание из материала Максвелла (рис. 6.20(b)) под дей-
ствием силы, возрастающей от нуля до максимального значения
Ро и затем убывающей снова до нуля по закону
Р(0 = Ро sin (t/T), (6.68)
как показано на рис. 6.24. Материал характеризуется констан-
той упругости g и константой Т = r\/g, имеющей размерность
времени. Пока область контакта увеличивается, ее радиус нахо-
дится подстановкой функции ползучести материала (6.55) и за-
кона изменения нагрузки (6.68) в уравнение (6.61):
о
= ^2-(sin 4г-cos 4г + 1). (6.69)
Это выражение справедливо только для достижения максималь-
ного значения a(t) в момент времени t = tm = ЗлТ/4. При убы-
вании a(t) воспользуемся тем обстоятельством, что контактное
Рис. 6.24. Контактное взаимодействие жесткого шара с основанием из ма-
териала Максвелла под действием усилия, изменяющегося по закону Р —
= Ро sin (t/T).
давление а следовательно, и полная нагрузка P(t) зави-
сят только от истории изменения контактных давлений до мо-
мента времени t\ tm, который определяется из равенства
a (tj) — a (f).
(6.70)
Для нахождения момента Л воспользуемся выражением
(6.60) для суммарной нагрузки. Поскольку пределы интегриро-
вания в (6.60) принадлежат интервалу возрастания радиуса об-
ласти контакта, мы можем подставить сюда выражение для
as(t') из (6.69). Получим .
/./г
P(t) = Рое-Пт j ещт
о
(cos — + sin у") у = рое~*>Те*'1Т sin у •
(6.71)
§ 6.6. Нелинейная упругость и ползучесть
225
Поскольку закон изменения нагрузки известен из (6.68), соот-
ношение (6.71) сводится к следующему:
е*!т sin (//7) — et,IT sin (ti/T). (6.72)
Это уравнение определяет момент t\, соответствующий задан-
ному моменту t. Найденное значение t\ затем используется сов-
местно с соотношением (6.69) для определения радиуса a(t) в
течение периода уменьшения области контакта На
рис. 6.24 показан график функции ef/rsin(Z/Z).
Из рисунка видно, что максимум радиуса области контакта
по времени не совпадает с максимумом нагрузки — область кон-
такта продолжает расширяться вследствие ползучести даже
после того, как нагрузка начала убывать. Только на последней
стадии цикла нагружения область контакта резко уменьшается
и полностью исчезает в момент снятия нагрузки. Внедрение
шара S(t) также достигает максимума в момент времени tm. На
интервале увеличения глубины внедрения (0 t tm) она свя-
зана с радиусом области контакта соотношением из упругого
решения (6.57). В продолжение периода убывания глубина
внедрения больше соответствующего «упругого» значения на
величину, зависящую от конкретного характера изменения ра-
диуса a(t) в этот период. Таким образом, некоторая ненулевая
осадка основания имеет место в момент полного снятия на-
грузки и исчезновения области контакта.
Рассмотренный пример связан с задачей удара жесткого
шара по вязкоупругому основанию. Во время удара, однако,
изменение силы только приближенно может считаться синусои-
дальным. В действительности сила связана с глубиной внедре-
ния уравнением импульсов для падающего шара. Тем не менее
из приведенного примера ясно, что максимум глубины внедре-
ния достигается после максимума нагрузки, т. е. имеет место
поглощение энергии вязкоупругим основанием и коэффициент
восстановления меньше единицы. Эта задача теоретически ис-
следовалась Хантером [178] и будет рассмотрена ниже в
§ 11.5(c).
§ 6.6. Нелинейная упругость и ползучесть
Многие материалы, особенно при высоких температурах, ха-
рактеризуются нелинейной связью напряжений, деформаций и
скоростей деформаций. Приложения строгих теорий нелинейной
вязкоупругости к исследованию сложного напряженного со-
стояния при контакте тел несогласованной формы разработаны
недостаточно, однако установлена пригодность некоторых упро-
щенных аналитических моделей. Заслуживают- внимания две
226
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
аналитические модели: нелинейно упругий материал со степен-
ным законом связи напряжений и деформаций '
8 = 80(о/<т0Г, (6.73)
и материал со степенным законом ползучести
ё = ё0 (п/по)" = Вап, (6.74)
где ио, 8о и ёо — характерные величины напряжения, деформа-
ции и скорости деформации, которые вместе с показателем сте-
пени п определяются из условия соответствия указанных соот-
ношений экспериментальным данным на одноосное нагружение.
Рис. 6.25. Диаграммы деформирования материалов с определяющими соот-
ношениями степенного вида: е = ео(о/о0)п- Для линейно упругого материала
п = 1, Е — о0/е0; для идеально пластического п = оо, Y = Оо.
Приведенная нелинейно упругая модель наиболее часто ис-
пользуется для описания пластического деформирования отпу-
щенных металлов, которые обладают ярко выраженным свой-
ством упрочнения. Эта модель, разумеется, применима только
при нагружении, т. е. когда приращения главных деформаций
удовлетворяют условию
(rfej — rfe2)2 -j- — rfe3)2 -j- (^83 — rfej2 > 0.
Изменение показателя степени n от 1 до оо соответствует ши-
рокому диапазону моделей материалов от линейно упругого
с модулем Юнга Е = <т0/80 до жестко-идеально-пластического
с пределом текучести У = п0 (рис. 6.25). Степенной закон пол-
зучести (6.74) применяется к исследованию установившейся
(вторичной) стадии ползучести металлов при повышенных тем-
пературах и скоростях деформации, меньших 10-2 с-1.
§ 6.6. Нелинейная упругость и ползучесть
227
СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НАГРУЗКА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Напряжения и деформации в полуплоскости (случай плоской
деформации), деформирование которой описывается одним из
степенных законов (6.73), (6.74), вызванные сосредоточенной
нагрузкой, могут быть найдены точно. Эта задача является не-
линейным аналогом линейно упругой задачи, рассмотренной в
§ 2.2. Для нелинейно упругого материала в случае плоской де-
формации 6 напряжения найдены В. В. Соколовским [329] (обо-
значения см. на рис. 2.2):
ar = --^(chke)lln,
од = тге = 0, (6.75)
Л/2
D — 2 (chЛ6)'/пcos0dG, k = n(n — 2).
о
Поле напряжений является чисто радиальным, как и в ли-
нейном случае. Для линейно упругой задачи имеем п = 1, k =
= (ch kQ)1/72 — cos 0, D = nl1 и выражение (6.75) при-
водится к выражению (2.15). Заметим, что напряжения обра-
щаются в нуль на свободной поверхности, где 0 = +л/2. При
/г = 2, k = 0, D = 2 имеем специальный случай, когда радиаль-
ное напряжение стг = —Р/Р2г) не зависит от 0.
Для материалов с умеренным упрочнением п > 2 и k > 0;
напряжение щ при фиксированном г возрастает по 0 от мини-
мального значения непосредственно под точкой приложения на-
грузки (0 = 0) до максимального на свободной поверхности
(0 = ±ц/2). Выражения для перемещений иг(г, 0) и ие(г, 0) в
случае плоской деформации определены Н. X. Арутюняном
[13], а в случае плоского напряженного состояния — Венкатра-
маном [357].
Напряжения, деформации и перемещения в произвольной
точке тела прямо пропорциональны величине приложенной на-
грузки Р. Это справедливо и для приращений напряжений и де-
формаций, приобретаемых телом за элементарный промежуток
времени dt. Следовательно, приведенное выше решение, полу-
ченное для нелинейно упругого материала с определяющим
уравнением (6.73), сохраняет силу и для случая нелинейной пол-
зучести с определяющим уравнением (6.74), если в этом реше-
нии деформации заменить скоростями деформаций, а перемеще-
ния — скоростями перемещений.
2) Для случая плоского напряженного состояния задача решена Вен-
катраманом [357]; при этом k — п(п — 3)/2.
228
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
Напряжения и деформации при действии сосредоточенной силы
на полупространство в случае осесимметричной задачи, являю-
щейся нелинейным аналогом задачи, рассмотренной в § 3.2, ис-
следовались А. И. Кузнецовым [227].
КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В случае линейно деформируемых материалов, упругих или
вязкоупругих, напряжения и перемещения, вызванные сосре-
доточенными силами, можно накладывать для определения на-
пряжений и перемещений, обусловленных действием распреде-
ленных нагрузок или контактными давлениями при взаимодей-
ствии тел известной формы. Для нелинейных материалов принцип
суперпозиции неприменим, однако Н. X. Арутюнян [13] пока-
зал, что перемещение поверхности, вызванное распределен-
ной нагрузкой, действующей на малом участке границы полу-
пространства из нелинейного материала, может быть представ-
лено в виде ряда, главный член которого определяется суперпо-
зицией перемещений, представляющих собой приведенные выше
решения для сосредоточенных сил. На основе этого приближен-
ного подхода были найдены выражения, с помощью которых
можно в произвольный момент времени численно определить
размер области контакта и распределение давлений, если задан
показатель степени в определяющих уравнениях (6.73) или
(6.74).
В задаче вдавливания жесткого штампа с плоским основа-
нием в полупространство из нелинейного материала имеем ана-
логичные граничные условия на поверхности контакта для слу-
чая нелинейной упругости (определяющее соотношение (6.73))
и для случая нелинейной ползучести (соотношение (6.74)).
В первом случае задаются перемещения uz — const = 6, а во
втором случае — скорость перемещения uz = const = 6. Таким
образом, имеет место ситуация, подобная нагружению полупло-
скости сосредоточенной силой: давления под основанием штампа
для случаев нелинейной упругости и ползучести совпадают.
При вдавливании штампа в случае плоской деформации
Н. X. Арутюнян [13] установил следующее распределение дав-
лений (Г — гамма-функция):
р (х, I) = Ц- Гг ( Г (—) sin —1-------' (6-76)
ал1'2 L \ Чп ) \2п/ 2nJ я (1 _ х2/а2)1/(2,г)
В случае осесимметричной задачи А. И. Кузнецов [227] пока-
зал, что
/ к 2М * 1 Р (t) /Г* ’~7Г7\
p(r’ <6J7)
§ 6.6. Нелинейная упругость и ползучесть
229
Для линейно упругого материала, когда п — 1, оба выраже-
ния сводятся, как и следовало ожидать, к соответствующим рас-
пределениям, определяемым выражениями (2.64) и (3.34).
В другом предельном случае идеально пластического материала,
когда п-^оо, распределения контактных давлений (6.76) и
(6.77) становятся равномерными. Этот результат полностью
согласуется с решением, полученным с помощью метода линий
скольжения для плоской деформации, когда контактное давле-
ние равно 2.97У, где Y—предел текучести на растяжение или
сжатие. Для штампа круглой в плане формы метод линий
скольжения дает контактные давления, несколько возрастающие
в центральной части штампа (см. рис. 6.10), средняя величина
которых равна рт = 2.85У.
При вдавливании индентора криволинейного профиля в ус-
ловиях установившейся ползучести параметры взаимодействия
отличаются от характеристик для случая нелинейно упругого
полупространства вследствие того, что: (а) перемещения точек
поверхности полупространства под основанием индентора рас-
пределены неравномерно, тогда как скорости точек основания
индентора одинаковы; (Ь) область контакта при внедрении ин-
дентора увеличивается таким образом, что элементы материала
не находятся в условиях пропорционального нагружения. В этих
условиях анализ методом Арутюняна становится весьма слож-
ным и в то же время остается приближенным вследствие ис-
пользования суперпозиции. Другой приближенный подход, при-
годный для случая вдавливания шарового индентора и привле-
кающий своей простотой, предложил Мэтьюз [249].
Остановимся вначале на задаче для нелинейного материала,
деформирующегося согласно уравнению (6.73) (рис. 6.25). Со-
гласно результатам А. И. Кузнецова для жесткого штампа (со-
отношение (6.77)), распределение давлений имеет вид
— (6-78)
Для линейно упругого несжимаемого материала (и=1) это
распределение переходит в распределение Герца, для которого
рт = l6Ea/(9nR) (соотношение (4.21), (4.22) и (4.24)). При
п = оо выражение (6.78) дает равномерное распределение дав-
лений. В случае идеально пластического материала распреде-
ление давлений, полученное с помощью метода линий сколь-
жения (рис. 6.10), близко к равномерному с рт « ЗУ. Оба этих
значения рт, соответствующие предельным значениям п (1 и
оо), получаются в виде частных случаев из следующей фор-
мулы:
Р впо0 ( 8а
ла2 — Рт 2п + 1 к 9л/?е0 7 ’ ^-7 )
230
Гл. 6. Нормальный контакт неупругих тел
поскольку в рамках определяющего уравнения (6.73) имеем
<Уо/ео1п—Е при п = 1 и По = У при п->оо. Есть основания пола-
гать, что уравнение (6.79) дает, приближенную связь силы Р и
радиуса области контакта а для промежуточных значений п.
Табор [338] при исследовании твердости предложил следующее
эмпирическое соотношение:
Рт - ЗУЛ, (6.80)
где Ук — напряжение при некотором характерном фиксирован-
ном значении деформации ед в опыте на простое сжатие.
Для материала со степенным упрочнением YR — Oo(6r/so)1/п-
Подставляя это выражение в (6.80), с помощью уравнения
(6.79) находим величину eR:
8 с 2п \п а /ком
e«=-S-(.S+Tj Т <6'81>
которая изменяется от 0.188а//? до 0.171а//? при изменении п
от 1 до оо. Величина er незначительно изменяется в зависимо-
сти от п, и ее значения удовлетворительно согласуются с эмпи-
рической формулой Табора &R ~ 0.2а//? независимо от конкрет-
ного варианта кривой напряжение — деформация.
Представляет интерес глубина внедрения индентора 6 в по-
лупространство. На основе экспериментальных ^данных [283]
Мэтьюз предложил зависимость
„ ( 2п х2<ге-1> аг
б=Ьг+г) -R- <6-82>,
В соответствии с этой зависимостью величина б изменяется от
упругого значения а2//? при п — 1 до 0.368а2//? при п = оо,
что хорошо согласуется с результатами Ричмонда и др. [307]
для идеально пластического основания. Когда 6 > а2/ (2/?),
часть поверхности, примыкающей извне к области контакта, осе-
дает ниже недеформированной поверхности основания, как опи-
сано в § 6.3. Такая ситуация имеет место для небольших значе-
ний п, т. е. для отпущенных металлов. Когда п превосходит 3.8,
го б<а2/(2/?) и происходит выпучивание материала на внеш-
ней стороне области контакта.
Обратимся теперь к задаче внедрения шарового индентора
з полупространство, обладающее свойством степенной ползуче-
сти и описываемое уравнением (6.74). Мэтьюз предположил, что
эаспределение давлений в этом случае остается таким же, как
эаспределение, найденное А. И. Кузнецовым для штампа с пло-
ским основанием (соотношение (6.77)), т. е.
Р (г, /) = ® (1 - W ‘ (6-83>
§ 6.6. Нелинейная упругость и ползучесть
231
При п = 1 уравнение (6.74) соответствует линейно вязкому
материалу с вязкостью т] = (т0/(Зё0) = 1/(ЗВ). Задача о вдав-
ливании шарового индентора в основание из такого материала
рассматривалась в § 6.5, где было показано (соотношение
(6.67)), что
' />(<•. о=-^-('-4)"’•
Дифференцируя уравнение (6.66) по времени, получим
pm(/)==±-^l = 2^Ld = —(6.85)
’ ла2 aR л (Rd)112 V '
При п-^-оо нелинейно вязкий материал также ведет себя по-
добно идеально пластическому материалу с пределом текучести
у - со, так что рт л ЗУ.
Запишем теперь следующее соотношение для случая нели-
нейно вязкого материала:
Р (О 6гг<То ( 8а \i,n
= • (6-86)
Соотношения (6.83) и (6.86) приводятся к соотношениям
(6.84) и (6.85), когда п=1 и Со/(Зё0) — ту а при п = оо они
дают рт = const = ЗУ. С помощью формулы (6.82) определяем
скорость осадки 6:
• / 6 \Р2 / 2ге \п~*
5(0= 2(1) (гДт) а(0, (6.87)
где скорость изменения радиуса области контакта а связана
с нагрузкой уравнением (6.86). В конкретных случаях задается
либо зависимость нагрузки от времени P(t), либо осадка 8(t).
При этом уравнения (6.86) и (6.83) позволяют определить ра-
диус области контакта a(t) и распределение контактных дав-
лений p(r, t), если известны материальные параметры Оо, ё0 и п.
Нагружение касательными усилиями
и скользящий контакт
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел
несогласованной формы
В вводных замечаниях к гл. 1, касающихся относительного
движения и усилий, возникающих при точечном контакте тел
несогласованной формы, было сделано различие между формами
движения, называемыми скольжением и качением. При сколь-
жении поверхности имеют относительную окружную скорость в
точке контакта. При качении тела обладают относительными
угловыми скоростями вокруг осей, параллельных плоскости ка-
сания. Ясно, что качение и скрльжение могут иметь место одно-
временно, однако в этой главе мы исключим из рассмотрения
качение и ограничимся только исследованием контактных на-
пряжений при простом прямолинейном скольжении.
На рис. 7.1 показана система двух тел, находящихся в сколь-
зящем контакте. Скользящее тело 2, имеющее криволинейный
профиль, движется справа налево по плоскому основанию. Со-
гласно подходу, принятому в гл. 1, будем рассматривать точку
начального контакта как начало неподвижной системы коорди-
нат, а основание будем считать движущимся вдоль участка кон-
такта слева направо с постоянной скоростью V. Направим для
удобства ось х параллельно направлению скольжения.
Нормальная сила Р, сдавливающая тела, приводит к обра-
зованию области контакта, которая при отсутствии сил трения
будет иметь размеры, определяемые теорией Герца. Таким об-
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел несогласованной формы 233
разом, для контакта без трения скольжение не оказывает влия-
ния на контактные напряжения. Однако при скользящем кон-
такте реальных тел или при отсутствии скольжения при нали-
чии внешних сдвигающих сил возникают касательные усилия
трения Q, действующие по поверхности каждого тела в направ-
лении, противоположном движению.
Исследуем влияние касательных усилий Q на распределение
контактных напряжений. В этом параграфе будем считать, что
тела находятся в условиях установившегося относительного
скольжения, так что сила Q представляет собой силу трения
скольжения между поверхностями. В следующем параграфе мы
займемся изучением контактного взаимодействия двух тел, фак-
тически не смещающихся друг относительно друга, но находя-
щихся под действием внешних сдвигающих сил. Усилие Q в
этом случае обусловлено «статическим трением»; оно может
принимать значения, не превосходящие усилие «предельного
трения», соответствующее началу скольжения.
Первый вопрос, который должен быть исследован, касается
влияния касательных усилий, обусловленных трением по поверх-
ности контакта, на размеры и форму области контакта, а так-
же на распределение нормальных давлений. Для расчета упру-
гих напряжений и перемещений при действии касательных уси-
лий будем опираться на основные допущения теории Герца, в
соответствии с которыми каждое из контактирующих тел вблизи
участка контакта может рассматриваться как упругое полупро-
странство. В рамках этих предпосылок применимы методы, из-
ложенные в гл. 2 и 3.
Из соотношения (2.22) для двумерного случая и из соотноше-
ния (3.75) для пространственного случая следует, что нормаль-
ная компонента перемещения поверхности uz в результате дей-
ствия сосредоточенной касательной силы Q пропорциональна
постоянной упругости (1—2v)/G. Касательные усилия, дей-
ствующие на поверхность каждого тела в области контакта, оди-
наковы по величине и противоположны по направлению:
91 (х> У) = — 9г(*> 9)- (7-1)
Следовательно, нормальные перемещения, вызванные дей-
ствием этих усилий, пропорциональны соответствующим значе-
ниям постоянной (1—2v)/G для каждого тела и противополож-
ны по направлению:
1-2V. (7-2)
i. VI * Z
Из уравнения (7.2) следует, что если тела имеют одинаковые
упругие постоянные, то касательные усилия, передаваемые че-
234 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
рез площадку контакта между ними, вызывают равные по ве-
личине и противоположно направленные перемещения в любой
точке контакта. Таким образом, искривление поверхности од-
ного тела сопровождается в точности согласованным искривле-
нием поверхности другого и перераспределения нормальных
давлений не происходит. При этом форма и размеры области
контакта определяются профилями поверхностей контактирую-
щих тел и действующими нормальными нагрузками и не зави-
сят от касательных усилий.
Для тел с различными упругими свойствами дело обстоит
иначе и касательные усилия находятся во взаимной зависимости
с нормальными давлениями. Ситуация вполне аналогична той,,
которая имела место при изучении взаимодействия нормальных
и касательных усилий при нормальном контакте тел из различ-
ных материалов в § 5.4. Тем не менее, как будет установлено в
дальнейшем, влияние касательных усилий на нормальные дав-
ления, а также форму и размеры области контакта, вообще го-
воря, мало, особенно когда коэффициент трения существенно
меньше единицы. Итак, при исследовании задач с учетом каса-
тельных усилий будем пренебрегать их влиянием на нормаль-
ные давления и геометрию области контакта и предположим,
что напряжения и деформации, вызванйые действием (а) нор-
мальных давлений и (Ь) касательных усилий, независимы, а ре-
зультирующее напряженно-деформированное состояние может
быть найдено их наложением.
Зададим соотношение между касательными усилиями и нор-
мальными давлениями при скользящем контакте. Обычно пред-
полагается, что для каждой элементарной площадки области
контакта применим закон трения скольжения Амонтона, со-
гласно которому
где ц — постоянный коэффициент трения скольжения, значение
которого определяется свойствами материалов и физическими
условиями на поверхности контакта. Некоторые указания о пре-
делах применимости закона Амонтона для сухих поверхностей
даны в гл. 13. Установлено также, что этот закон приближенно
выполняется при скольжении тел несогласованной формы при
наличии между ними тонкой смазочной пленки.
Экспериментальное подтверждение того обстоятельства, что
касательные усилия распределены прямо пропорционально нор-
мальным давлениям, дано в работе Олдертона и Хейнса [285],
в которой исследовались с помощью метода фотоупругости круп-
ные модели из материала на основе эпоксидной смолы. Полный
анализ физики трения и условий, определяющих величину коэф-
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел несогласованной формы 235
фициента трения, читатель может найти в книге Боудена и Та-
бора [40]
Перейдем к исследованию распределения упругих напряже-
ний при скользящем контакте. Двумерная задача о скольжении
цилиндра по полуплоскости в условиях плоской деформации в
направлении, перпендикулярном оси цилиндра, исследована бо-
лее подробно, чем аналогичная пространственная задача о
скольжении шара по полупространству. Рассмотрим сначала
плоскую задачу.
(а) СКОЛЬЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ЕГО ОСИ
Если цилиндр и полуплоскость, по которой он скользит,
имеют одинаковые упругие свойства, ширина зоны контакта и
распределение нормальных давлений, как уже отмечалось, опре-
деляются теорией Герца (соотношения (4.43) — (4.45)):
pW = ’S’(a2’-x2)1/2’
где Р — нормальная сила на единицу длины оси, вдавливающая
цилиндр в полуплоскость. Тогда, принимая закон трения Амон-
тона (соотношение (7.3)), для касательных усилий имеем
= + (7.4)
где знак «минус» соответствует положительному направлению
скорости V, показанному на рис. 7.1. Компоненты напряжений
для цилиндра и полуплоскости определяются выражениями
(2.23). Интегралы, фигурирующие в этих выражениях, вычис-
лялись в работах [257, 301, 316, 324]. Краткая таблица значений
напряжений приведена в приложении § А.4. Поскольку усилия
q(x) и р(х) пропорциональны, можно усмотреть некоторую ана-
логию между напряжениями, вызванными касательными уси-
лиями, и напряжениями, вызванными нормальными давлениями.
Эта аналогия выражается равенствами
<7о Ро
= (7.5b)
Чо Ро
где q0-=pp0—касательное усилие в точке х — 0, а индексы р
и q относятся к компонентам напряжений, обусловленным раз-
дельным действием нормальных давлений и касательных уси-
’> Недавно эта монография переиздана: Bowden F. Р„ Tabor D. The
friction and lubrication of solids. — Oxford: Clarendon Press, 1986.—Прим,
перев.
236 Гл. .агружение касательными усилиями и скользящий контакт
лий. Следовательно, величины (oz)<7 и (Тхг)<7 можно определить
непосредственно из выражений для (т*г)р и (стх)р на основе со-
отношений (4.49). Однако осевую компоненту напряжения
(Рх)9, действующую параллельно поверхности необходимо
определять независимо. В обозначениях, принятых в соотноше-
ниях (4.49), можно показать, что (см. приложение §А4)
(7.6)
На поверхности z — 0 это выражение сводится к следующему:
—‘Iq^x/a, | х | а, (7.7а)
( X / X2 1
1) }. 1%1>«. (7.7b)
Распределения напряжений на поверхности скользящей полу-
плоскости (см. рис. 7.1) показаны на рис. 7.2. Касательные уси-
лия, действующие на скользящую полуплоскость, отрицательны.
(ОхК =
Рис. 7.2. Поверхностные напряжения, обусловленные действием касательной
нагрузки q = <?0(1 — х2/а2),/2.
Осевое напряжение (стх)9 принимает максимальное сжимающее
значение —2<?0 на переднем крае участка контакта (х = —а) и
максимальное растягивающее значение 2<?0 на заднем крае
(х = а). Напомним, что нормальные давления создают постоян-
ное сжимающее осевое напряжение на поверхности (ох)р =
=—р(х) внутри участка контакта, а вне участка контакта это
напряжение равно нулю. Таким образом, для любого коэффи-
циента трения максимальное результирующее растягивающее
напряжение величиной 2цр0 при скользящем контакте разви-
вается на заднем крае участка контакта.
Начало пластического течения при скользящем контакте
определяется (при использовании критерия текучести Треска)
Напряжение сц действует на площадках, перпендикулярных поверх-
ности, и направлено вдоль нее. — Прим. ред.
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел несогласованной формы 237
максимальным значением главного касательного напряжения в
основании. Изолинии напряжения п в отсутствие трения при-
ведены на рис. 4.5. Максимальное значение 0.30рс достигается
в точке, лежащей на оси z на глубине 0.78а. На рис. 7.3 изо-
бражены изолинии максимального касательного напряжения п
при совместном действии нормального давления и касательных
усилий на участке контакта при pi = 0.2. В этом случае макси-
мальное значение достигается в точке, ближе расположенной
Z/<3
Рис. 7.3. Изолинии максимального касательного напряжения Т] при сколь-
зящем контакте (Qx = 0.2Р).
к поверхности. Для нахождения контактного давления р0, при
котором зарождается пластическое течение (согласно критерию
текучести Треска), следует определить наибольшую -величину
максимального касательного напряжения (а также положение
точки, где она достигается) и приравнять ее напряжению тече-
ния при простом сдвиге k. Результаты таких вычислений для
возрастающего коэффициента трения представлены на рис. 7.4.
Касательные усилия вызывают сдвиговые напряжения, кото-
рые могут достичь предела текучести, если коэффициент трения
достаточно велик. Напряжения на поверхности контакта в ре-
зультате совместного действия нормальных давлений и каса-
тельных усилий выражаются в виде
ох = — р0 [(1 — х2/а2)1/2 + 2рх/а], (7.8а)
аг = -Ро(1-^7а2)1/2. * (7.8b)
бу = —2-vpo [(1 — х2/а2)1,2 + цх/а], (7.8с)
тхг = -т(1-ЭД1/2- (7.8d)
238 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Рис. 7.4. Влияние трения скольжения на контактное давление, вызывающее
начальное течение и приспособляемость (см. § 9.2). Штриховая кривая —
плоская деформация, начальное течение (Треска); штрихпунктирная кри-
вая — плоская деформация, начальное течение (Мизес); сплошная кривая —
плоская деформация, приспособляемость (Треска); пунктирная линия — про-
странственный контакт, начальное течение (Мизес).
Максимальное касательное напряжение в плоскости деформации
равно
Ч = '/=[(«,- О,)2 + 4ту № = №а. (7.9)
Отсюда следует, что материал в области контакта переходит в
состояние текучести, когда
p0/k=l/[i. (7.10)
Текучесть вызывает так&е «растекание» материала в направ-
лении оси цилиндра, однако такое течение по необходимости
должно быть малым для сохранения условий плоской дефор-
мации.
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел несогласованной формы 239
Расчеты контактных давлений, соответствующих началу пла-
стического течения при скользящем контакте, были выполнены
Джонсоном и Джеффрисом [199] с использованием критериев
текучести Треска и Мизеса; результаты расчетов приведены на
рис. 7.4. При малых значениях коэффициента трения (р < 0.25
для критерия Треска и ц< 0.30 для критерия Мизеса) состоя-
ние текучести впервые достигается в точке, расположенной под
поверхностью контакта. Для больших значений р текучесть за-
рождается на поверхности контакта. Критерий Треска предска-
зывает расширение области течения при 0.25 < р < 0.44, а при
р > 0.44 начало пластического течения определяется из соот-
ношения (7.9).
В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что ка-
сательные усилия не влияют на нормальные давления. Это
предположение в точности выполняется только тогда, когда
упругие постоянные двух контактирующих тел одинаковы.
Влияние различия упругих постоянных исследовалось Бафле-
ром [43] с использованием методов § 2.7.
Граничное условие <?(%)= рр(х) принадлежит к классу IV,
что приводит к сингулярному интегральному уравнению второго
рода (2.53). Решая интегральное уравнение с помощью формул
(2.54) — (2.56), найдем распределение касательных поверхност-
ных усилий в области контакта:
я<*>- и.,,+(Д?)'(°2-₽•">
где р — мера различия упругих постоянных, определенная вы-
ражением (5.3), и
у = — (l/jr)arctg (Рц) ~—Ри/л, (7.12)
если Рц мало. Полуширина участка контакта определяется фор-
мулой
(7.13)
2 1 4PR
а 1 — 4у2 Е“ ‘
Участок контакта расположен при этом несимметрично; его
центр смещен от оси симметрии на расстояние
х0 = 2уа. (7.14)
Бафлер нашел также распределение осевого напряжения ах на
поверхности. Если упругие постоянные обоих тел одинаковы,
величина р, а следовательно, и у равны нулю. Участок контакта
в этом случае симметричен; его размер, а также распределение
давлений определяются теорией Герца. Значения р для раз-
личных комбинаций материалов приведены в табл. 5.1; эти зна-
чения не превышают 0.21. Поскольку коэффициент трения редко
240 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
превосходит 1.0, максимальное значение |у| составляет около
0.06. На основе соотношений (7.11) — (7.13), в которых принима-
лось у = 0.06, были рассчитаны распределение контактных ка-
сательных усилий и размер, участка контакта для схемы сколь-
жения, показанной на рис. 7.1. При этом предполагалось, что
материал полуплоскости является более податливым, т. е. 0 > 0,
р < 0. Результаты расчетов приведены на рис. 7.5.
Рис. 7.5. Влияние различия упругих постоянных на распределения давлений
(сплошная кривая) и касательных усилий (штриховая кривая) при сколь-
зящем контакте (0 = 0.2, ц = 1, у = 0.06).
Влияние касательных усилий выражается в смещении центра
участка контакта на расстояние хв ~ 0.12а в сторону заднего
края; ширина участка контакта возрастает на 0.8 %, а точка
максимального давления также смещается в сторону заднего
края участка контакта. Сравнение полученных результатов
с герцевским распределением давлений свидетельствует о ма-
лости влияния касательных усилий даже для экстремальных
значений произведения 0ц. Для умеренных значений 0ц влия-
нием касательных усилий на размер участка контакта и распре-
деление давлений можно пренебречь.
(Ь) СКОЛЬЖЕНИЕ ШАРА
Рассмотрим шар, находящийся под действием нормальной
силы Р, который скользит по плоской поверхности полупро-
странства в направлении некоторой оси х. Если пренебречь
взаимовлиянием нормальных давлений и касательных усилий,
обусловленным различием упругих постоянных двух тел, то ра-
диус круговой площадки контакта и распределение давлений
§ 7.1. Относительное скольжение упругих тел несогласованной формы 241
определяются теорией Герца (соотношения (3.39), (4.22) и
(4.24)). Касательные усилия, действующие параллельно оси х
всюду в области контакта, выражаются законом трения Амон-
тона:
^r)=S(Q2~r2)I/2- (7.15)
Исследуем компоненты напряжений в полупространстве, вы-
званные касательными контактными усилиями. В принципе их
можно найти с помощью решения для сосредоточенной каса-
тельной силы, определяемого соотношением (3.76), посредством
интегрирования по области контакта с использованием в каче-
стве весовой функции распределения касательных усилий (7.15).
Однако такое интегрирование может быть выполнено только
численно.
Другой подход использован в работе Гамильтона и Гудмена
[160], обобщивших метод анализа напряжений при нормальном
нагружении полупространства, предложенный Грином [135].
Они вычислили напряжения в плоскости xz и на поверхности по-
лупространства (в плоскости ху) для значений коэффициента
трения ц = 0.25 и 0.50 (v = 0.3). Точные соотношения для рас-
чета компонент напряжений в произвольной точке полупро-
странства приведены в работах Гамильтона [159], а также Сэк-
филда и Хиллса [316].
Для определения точки начала течения использовался кри-
терий Мизеса. Как и для плоского контакта точка зарождения
пластического течения при увеличении коэффициента трения
смещается к поверхности полупространства; течение иниции-
руется на поверхности, если р, превышает 0.3. Значения макси-
мального контактного давления (р0) у, вызывающего течение,
показаны на рис. 7.4. Видно, что эти значения незначительно
отличаются от соответствующих значений для плоского случая.
При нормальном контакте упругого шара с полупростран-
ством в точке г = а возникают радиальные растягивающие на-
пряжения величиной (1—2v)po/3 » О.13ро. Касательные кон-
тактные усилия при наличии скольжения складываются с этими
растягивающими напряжениями на одной части области кон-
такта и вычитаются из них на другой. Максимальное растяги-
вающее напряжение, развивающееся на поверхности в точке
(—а, 0), имеет значения О.5ро и 1.0р0 при ц = 0.25 и 0.5 соот-
ветственно. Эти результаты также сравнимы со случаем пло-
ского контакта.
Брайант и Кир* [42], а также Сэкфилд и Хиллс [315] рас-
смотрели случай эллиптической площадки контакта. Они пока-
зали, что контактное давление, вызывающее начало пластиче-
ского течения (р0)у почти не зависит от соотношения полуосей
эллиптической площадки.
242 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел
Приложенные к контактирующим телам сдвигающие силы,
если их величины меньше предельного усилия трения, не при-
водят к относительному скольжению этих тел, однако вызывают
касательные усилия на поверхности контакта. В этом параграфе
мы исследуем распределение касательных контактных усилий,
обусловленных действием внешних нормальных и сдвигающих
сил, которые не вызывают скольжения тел относительно друг
друга.
Постановка задачи проиллюстрирована на рис. 7.6. Действие
нормальных сдавливающих сил Р приводит к формированию
области контакта и распределению давлений, которые предпо-
лагаются не зависящими от наличия касательных усилий Q и
определяются поэтому теорией Герца. Действие касательных
усилий Q вызывает сдвиговую деформацию тел, как показано
на рис. 7.6 на примере искажения центральной линии. Точки
поверхности контакта претерпевают тангенциальные смещения
йх и йу относительно удаленных точек Tj и Т2, расположенных
в нсдеформированных областях каждого тела.
Очевидно, что если скольжение двух контактирующих тел
как целых отсутствует, то на поверхности контакта должна быть
Рис. 7.6.
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел
243
по крайней мере одна точка, в которой поверхности тел дефор-
мируются без относительного скольжения. Однако из этого не
следует, что скольжение в области контакта вообще не имеет
места. В действительности будет показано, что действие каса-
тельных усилий, не превосходящих предельное усилие трения
(Q < рР), приводит к небольшим по амплитуде относительным
смещениям по части поверхности контакта, называемым «про-
скальзыванием» или «микроскольжением». Остальная часть по-
верхности контакта деформируется без относительного движе-
ния, а соответствующие участки области контакта называются
зонами прилипания, или «сцепления».
Рассмотрим условия, определяющие состояния «сцепления»
и «проскальзывания». Точки Ai и А2 на рис. 7.6 означают точки
на поверхности контакта, которые совпадают перед приложением
касательных усилий. Под действием касательных усилий точки
Л и Тг двух тел, удаленные от поверхности контакта, претер-
певают жесткие смещения 6xi, 6^1 и 6Х2, 6^; точки А{ и А2 при
этом испытывают упругие тангенциальные перемещения йх1, йу\
и йх2, йу2 относительно точек и Т2. Если абсолютные переме-
щения точек Ai и А2 (т. е. их перемещения относительно точки
О) обозначить через Sxi, syi и sx2, sy2, то компоненту относи-
тельного проскальзывания между точками Ai и А2 можно за-
писать в виде
$х- «х1 $х2== (flxl ®xl) (Йх2 (^xl Йх2) (6x1 бх2)-
(7.16)
Аналогичное соотношение определяет относительное смещение
в направлении оси у. Если точки Ai и А2 расположены в зоне
«сцепления», проскальзывания sx и sy равны нулю, так что
йх1 — Йх2 = бх1 — 6х2 = бх, (7.17а)
Uy2=== 6^2 -— Ьу. (7.17b)
Заметим, что правые части равенств (7.17) определяют относи-
тельные тангенциальные смещения двух тел как жестких целых
под действием касательных усилий. Это означает, что 6S и 8У —
постоянные величины, не зависящие от положения точек Ai и
А2 в зоне «сцепления». Далее, если оба тела имеют одинаковые
упругие модули, то йх2 = —uxi и йУ2 = —uyi, поскольку они
подвержены действию равных по величине и противоположно
направленных поверхностных усилий. Таким образом, условие
отсутствия проскальзывания, выраженйое равенствами (7.17),
можно сформулировать следующим образом: все точки поверх-
ности в зоне «сцепления» испытывают одинаковые тангенциаль-
ные смещения. Это утверждение остается справедливым и в
том случае, когда упругие постоянные контактирующих тел раз-
244 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
личны, а общие относительные смещения б* и тел не равны
и соотносятся друг с другом согласно зависимости (7.2).
В точках зоны сцепления результирующие касательные уси-
лия не могут превышать предельного значения. В рамках за-
кона трения Амонтона с постоянным коэффициентом трения р.
это ограничение можно записать в виде
lq(x, Жи1р(х> У) I- (7.18)
В зоне проскальзывания равенства (7.17) не выполняются,
а касательные и нормальные усилия связаны соотношением
\q(x, у) | = р | р (х, у) |. (7.19)
b
Кроме того, направление усилий трения q должно быть проти-
воположным направлению проскальзывания, т. е.
У(х, у) = _ s(x, у) п 9т
I <7 (х, у} I 1s (х, у) Г 1 ’
Соотношения (7.17) — (7.20) определяют граничные условия,
которым должны удовлетворять поверхностные усилия и пере-
мещения в области контакта. Соотношения (7.17) и (7.18) от-
носятся к зоне сцепления, а соотношения (7.19) и (7.20)—к
зоне проскальзывания.
Трудность решения задач рассмотренного типа состоит в
том, что граница, разделяющая область контакта на зоны сцеп-
ления и проскальзывания, неизвестна и должна определяться
путем подбора. Учитывая это обстоятельство, обычно на первом
шаге решения полагают, что проскальзывание в области кон-
такта отсутствует. Тогда проскальзывание может появиться в
той зоне, где найденные касательные усилия превосходят пре-
дельное значение.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев.
(а) ПЛОСКИЙ КОНТАКТ ЦИЛИНДРОВ В ОТСУТСТВИЕ
ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
Рассмотрим сначала контактное взаимодействие двух ци-
линдров с осями параллельными оси у, сжатых нормальной си-
лой Р на единицу оси, к которым затем приложена удельная
касательная нагрузка Q (<рР) (рис. 7.7). Ширина /участка
контакта и распределение давлений, вызванные действием
силы Р, определяются теорией Герца. Предполагается, что эти
величины не зависят от приложенной впоследствии силы Q.
Поскольку трудно определить, вызывает ли сила Q какое-то
микроскольжение и если да, то где оно происходит, начнем
с предположения, что коэффициент трения достаточно велик
для предотвращения трения на всем участке контакта. Итак,
весь участок —а х а является зоной сцепления, в которой
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел
24&
Рис. 7.7. Контакт двух цилиндров с параллельными осями. Поверхностные
усилия и перемещения под действием касательной силы Q < цА Кривая
А — отсутствие проскальзывания (выражение (7.22)), кривая В — частичное
проскальзывание (выражение (7.28)).
выполняются условия отсутствия проскальзывания (равенства
(7.17)), т. е.
— wx2 = const — (7.21)
Таким образом, искомое распределение касательных усилий на
участке контакта должно вызывать одинаковые тангенциальные
смещения всех точек этого участка. Для нахождения неизве-
стных усилий будем рассматривать каждый цилиндр как полу-
пространство, к которому применимы результаты гл. 2. Анало-
гичная задача возникает при отыскании такого распределения
давлений, которое вызывает постоянное для всех точек участка
контакта нормальное перемещение, т. е. распределения давле-
ний на основание плоского гладкого штампа (§ 2.8). Распреде-
ление давлений определяется выражением (2.64). Используя
аналогию касательного и нормального нагружений упругого
246 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
лолупространства при плоской деформации, мы непосредственно
лолучаем распределение нормальных давлений:
<7(х) =--, g „-пг • (7.22)
7 3t(«2-X2)I/2
Эти усилия действуют на поверхность каждого тела во взаимно
противоположных направлениях, так что перемещения йх\ и йхг
имеют обратные знаки и поэтому складываются в равенстве
(7.21). Истинные значения йх\ и йхг, а следовательно, и значе-
ние 6х, как во всех двумерных задачах, зависят от выбора от-
счетных точек 71 и Т2.
Касательные усилия, определяемые формулой (7.22), пока-
заны на рис. 7.7 кривой А. На концах участка контакта они
имеют теоретически бесконечные значения. Этот результат не
покажется неожиданным, если учесть, что исходное допущение
об отсутствии проскальзывания на поверхности контакта экви-
валентно требованию, согласно которому два контактирующих
тела должны вести себя как одно. Тогда точки х = ±а могут
рассматриваться как вершины двух глубоких острых трещин на
боковых сторонах большого упругого блока, в котором следует
ожидать формирования особенностей напряжений.
Ясно, что эти бесконечные касательные усилия на концах
участка контакта в действительности не могут поддерживаться,
так как для этого требовался бы бесконечный коэффициент
трения. Таким образом, должно быть микроскольжение и полу-
ченный только что результат означает, что оно произойдет
вблизи краев участка контакта. Мы можем ожидать, что зона
сцепления локализована в центральной части области контакта,
где касательные усилия сравнительно малы, а давления велики.
Перейдем к исследованию этого случая.
(Ь) КОНТАКТ ЦИЛИНДРОВ С ЧАСТИЧНЫМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ
Впервые метод решения задач с частичным проскальзыванием
был независимо предложен в работах Каттанео [52] и Миндли-
на [265].
В предельном состоянии, предшествующем началу скольже-
ния, когда касательная нагрузка достигает своего предельного
значения цР, касательные усилия определяются выражениями
(7.4):
/(x)==gpo(l-«I/2. (7-23)
где р0 = 2Р/(ла).
Можно найти также тангенциальные перемещения на уча-
стке контакта, вызванные указанными касательными усилиями.
По аналогии с распределением нормальных перемещений в ре-
зультате действия герцевского нормального давления заклю-
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел
247
чаем, что тангенциальные перемещения поверхности на участке
контакта имеют параболическое распределение. Если в центре
участка контакта х = 0 проскальзывание отсутствует, то можем
записать
= 6xi - (1 - VT) V-P0x2l[aEj, (7.24)
а также аналогичное выражение с обратным знаком для пере-
мещений поверхности другого тела. Эти распределения танген-
циальных перемещений удовлетворяют уравнению (7.21) только
в начале координат; во всех остальных точках участка кон-
такта, согласно выражению (7.24), имеет место проскальзы-
вание.
Рассмотрим теперь дополнительные касательные усилия,
распределенные согласно выражению
/'W = --^Po(l -72-) . (7.25)
действующие в зоне —с х с (с < а), как показано на
рис. 7.7. Тангенциальные перемещения, создаваемые этими уси-
лиями в зоне —с х с, определяются по аналогии с (7.24)
следующим выражением:
+ т (1 --ir *’• Р-26>
Если теперь наложить распределения усилий q' и q", то ре-
зультирующие перемещения в центральной зоне —с х с
будут постоянными (рис. 7.7):
= ^xi "Ь uxi = ^xi "Ь ^xi ~ Ьх1, (7.27а)
а на поверхности другого тела, к которой приложены равные
по величине и противоположно направленные усилия, будем
иметь
йХ2 = — &Х2- (7.27b)
Подстановкой выражений для йх1 и йХ2 в уравнение (7.21) убеж-
даемся, что в зоне —с х с выполняется условие непроскаль-
зывания. Кроме того, результирующее распределение касатель-
ных усилий в этой зоне имеет вид
q (х) = q' (х) + q" (х) = m1(«2 - х2)1/2 - (с2 - х2)1/2]/«. (7.28)
Эти значения q(x) всегда меньше рр(х). Таким образом, вы-
полнены два условия, необходимые для того, чтобы центральная
зона была зоной сцепления. В концевых зонах участка кон-
такта cs^|x|s^a имеем q (х) = Щ) (х), как и должно быть в
зонах проскальзывания. Остается показать, что направление
касательных усилий обратно направлению проскальзывания в
248 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
этих зонах, как это требуется соотношением (7.20). Чтобы сде-
лать это, проанализируем перемещения поверхности в этих зо-
нах. Перемещения поверхности под действием эллиптического
распределения касательных усилий исследовались Порицки
[301]; результаты для u'xi и й"у нанесены на рис. 7.7 штрихо-
выми линиями.
Из соотношения (7.16) выразим смещение в результате про-
скальзывания: sx = (йх1 — йх2) — &х. Из рис. 7.7 видно, что ве-
личина йХ1 — йх2 в зонах проскальзывания меньше, чем 8Х, по-
этому смещение sx в этих зонах отрицательно. Полученный ре-
зультат согласуется с тем обстоятельством, что касательные
усилия, действующие на тело 1, положительны. Таким образом,
показано, что результирующее распределение касательных уси-
лий, показанное на рис. 7.7, вызывает перемещения поверхности,
которые удовлетворяют необходимым условиям в центральной
зоне сцепления —с С х < с и в двух концевых зонах проскаль-
зывания с |х| а.
Размер зоны сцепления определяется величиной касательной
нагрузки
а а с
С С / С с2
Q = \ q(x)dx — \ q (х) dx + \ q" (х) dx = [iP цЛ
~а —а ~~с
откуда
,7'29)
Из этого соотношения ясна физическая картина развития зон
проскальзывания. При монотонном возрастании Q от нуля при
постоянной нормальной нагрузке Р на краях участка контакта
немедленно образуются зоны проскальзывания, которые рас-
пространяются внутрь участка контакта согласно соотношению
(7.29). При увеличении Q до величины цР значение с стремится
к нулю и зоны проскальзывания смыкаются в точке х = 0.
Превышение Q над цР приводит к полному проскальзыванию.
Напряжения в контактирующих телах под действием эллип-
тического распределения касательных усилий q'(x) обсуждались
в предыдущем параграфе. Напряжения в результате действия
силы Q, меньшей чем рА могут быть найдены наложением рас-
пределения от усилий q"(x), имеющих эпюру подобной формы,
но меньшей интенсивности.
(с) КОНТАКТ ШАРОВ БЕЗ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
При взаимном сжатии двух шаров нормальной силой Р об-
разуется круговая область контакта, радиус которой опреде-
ляется выражением (4.22), а эллиптическое распределение кон-
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел
249
тактных давлений — выражением (3.39). Если после этого при-
кладывается касательная нагрузка Q, вызывающая упругую
деформацию без скольжения по поверхности контакта, то из
уравнения (7.17) следует, что тангенциальные перемещения всех
точек области контакта равны между собой. Если сила Q дей-
ствует параллельно оси х, то из соображений симметрии сле-
дует, что тангенциальные перемещения также должны быть па-
раллельны оси х.
В гл. 3 было найдено распределение касательных усилий,
вызывающих одинаковые тангенциальные перемещения точек
Рис. 7.8. Тангенциальные
перемещения при кон-
такте шаров по круго-
вой области под дей-
ствием силы Qx; пря-
мая А — без проскаль-
зывания, кривая В — с
учетом проскальзывания
по периферии области
контакта.
круговой области на границе упругого полупространства. Кон
тактные касательные усилия (соотношение (3.82)) характери
зуются осесимметричным распределением по величине и всюду
направлены параллельно оси х:
qx(r) = q0(i-r2/aT1/2, (7.30)
откуда qo = Qx/ (2зха2). Соответствующие перемещения, кото-
рые в данном случае можно найти точно, определяются выра-
жением (3.86а):
4G---q°a- (7-31)
Подставляя этот результат в уравнение (7.17), находим отно-
сительное тангенциальное смещение удаленных точек Т\ и Т2
Двух контактирующих тел
бх Ux2 — 8а I Gi G2 J' (7.32>
250 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Полученная прямо пропорциональная связь тангенциального
смещения 6Х и касательной силы Qx показана штриховой ли-
нией на рис. 7.8. Эта связь непохожа на соотношение между
сближением двух упругих тел и сдавливающей силой при нор-
мальном контакте из-за увеличения области контакта при воз-
растании нормальной нагрузки. Касательные усилия, необходи-
мые для предотвращения скольжения, принимают теоретически
бесконечные значения по периметру области контакта, так что
в краевой зоне неизбежно возникает проскальзывание.
(d) КОНТАКТ ШАРОВ С ЧАСТИЧНЫМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ
Методика, предложенная Каттанео [52], может быть при-
менена также в случае контакта шаров. Осевая симметрия рас-
пределения касательных усилий, определяемых соотношением
(7.30), указывает на то, что зона сцепления в этом случае
должна быть круговой и концентрической с областью контакта.
В состоянии полного проскальзывания, когда «сцеплены.» толь-
ко две точки обоих тел в начале координат, распределение уси-
лий есть
q' (х, у) = у,р (х, у) = (ip0 (1 — №/№• (7.33)
Тангенциальные перемещения в области контакта г а опре-
деляются при этом уравнениями (3.91):
[4 (2 - v) + (4 - v) + (4 - Sv)/], (7.34а)
(7.34 b)
Рассмотрим теперь следующее распределение усилий, дей-
ствующих по круговой области г с:
г ( г2\1/2
q"(x,y) = -^p0(l-^) . (7.35)
Аналогично предыдущему определим тангенциальные переме-
щения в указанной круговой области
Й = - 7 S’ t4 (2 - v) с2 + (4 - v) X2 + (4 - 3v) у2], (7.36а)
= <7-36Ь>
Результирующие перемещения в круге г с определяются сло-
жением выражений (7.34) и (7.36):
^=7gT(2-vH«2-c2), (7.37а)
йу = 0. (7.37b)
§ 7.2. Инициирование скольжения упругих тел
251
Мы видим, что найденные перемещения удовлетворяют условию
отсутствия проскальзывания (7.17), причем
+ (7.38)
х 16 \ О) о2 / а3 ' ’
Таким образом, зона сцепления представляет собой круг ра-
диуса с, значение которого определяется величиной внешней
сдвигающей силы
а с
Qx — 2nq'r dr — 2л, q" г dr == цР (1 — ,
о о
откуда
Касательные усилия действуют параллельно оси х во всех
точках; они определяются величиной q' (выражение (7.33)) в
кольце с г а и суммой величин q' и q" (которая меньше,
чем р,р) в центральной круговой зоне г с.
Для того чтобы убедиться в удовлетворении условий про-
скальзывания в кольцевой зоне с г а, необходимо иметь
выражения для перемещений в этой зоне под действием усилий
q". Эти выражения даются соотношениями (3.92). Относитель-
ные проскальзывания в произвольной точке кольцевой зоны
находятся после этого из уравнения (7.16) и аналогичного ему
для оси у, которые в данном случае имеют вид
SX — (и'х1 + их1) + (и'х2 + ихг) ~ (7.40а)
sv = Ki + <0 + (й^2 + <2), (7.40Ь)
где величина &х определяется выражением (7.38), смещения й'х
и й'у — выражениями (7.34), а смещения й" и й" — выраже-
ниями (3.92).
Из формы соотношения (3.92b) видно, что после подстановки
его в уравнение (7.40b) проскальзывание в направлении оси у
не обращается- в нуль, т. е. sy — 0. С другой стороны, усилия
трения q' в кольцевой зоне предполагались всюду параллель-
ными оси х. Следовательно, условие совпадения направлений
проскальзывания и действия усилий трения в точности не вы-
полняются. Тем не менее заметим, что отношение величин s3
и sx имеет порядок у/(4 — 2у) « 0.09, так что отклонение ре-
зультирующего направления проскальзывания От оси х не пре-
вышает нескольких градусов. Поэтому можно считать, что при-
нятое распределение касательных усилий, всюду действующих
параллельно внешней сдвигающей силе, служит достаточно хо-
рошим приближением к точному решению.
252 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Если внешняя сдвигающая сила возрастает от нуля, а сдав-
ливающая сила поддерживается постоянной, то, согласно соот-
ношению (7.39), зона сцепления уменьшается в размерах. Коль-
цевая зона проскальзывания распространяется от границы об-
ласти контакта до тех пор, пока зона сцепления не стянется в
точку (начало координат) и при значении сдвигающей силы
Qx — цР не начнется относительное скольжение.
Величина проскальзывания в точке с радиусом г в кольце
с г а находится из уравнений (7.40). Пренебрегая членами
порядка у/(4— 2v), получим
’^-^<2-'’)[('-|-в^"Н(1-2^) + >(,-ЭТ
1 ии и tv 3 L Г у X, Г у -f * *
(7.41а)
~0.
(7.41b)
Максимальные значения проскальзывания имеют место на гра-
нице области контакта.
Относительное тангенциальное смещение двух тел опреде-
ляется подстановкой выражения (7.39) в (7.38):
-Кривая, рассчитанная по этому нелинейному выражению,
показана на рис. 7.8. Для очень малых значений сдвигающей
силы, когда кольцевая зона проскальзывания весьма узкая, эта
кривая близка к прямой, определяемой линейным соотноше-
нием (7.32) для случая отсутствия проскальзывания. При при-
ближении значения Qx к рР тангенциальное смещение все боль-
ше отклоняется от решения для случая отсутствия проскальзы-
вания вплоть до достижения точки скольжения. В предельном
состоянии перед началом скольжения смещение бх два раза
превосходит относительное проскальзывание sx на границе об-
ласти контакта. Экспериментальные измерения [183] подтверж-
дают корректность выражения (7.42).
Поучительно сравнить с помощью теории Герца (соотноше-
ния (4.23)) податливость двух контактирующих сферических
тел под действием тангенциальной сдвигающей силы с подат-
ливостью этих тел, испытывающих действие нормальной сдав-
ливающей силы. Поскольку зависимость нормального смещения
6г от нагрузки нелинейна, целесообразно сравнивать производ-
ные смещений по нагрузке. Для тел, имеющих одинаковые упру-
гие постоянные, из соотношений (4.23) получаем
dt>z _ 2 г 9 / 1 - \2 / 1 . 1 \ 1 11/3 1 — V
dP 3 1.4 I Е J k /?2 J P J ~ 2Ga
(7.43)
§ Одновременное изменение нормальной и тангенциальной сил 253
Податливость по отношению к тангенциальной силе при малых
значениях нагрузки Qx определяется из выражения (7.32):
d&x __ 2 — у
40а
(7.44)
В соответствии с полученными выражениями отношение по-
датливостей при действии тангенциальной и нормальной нагру-
зок равно величине (2 — v)/[2(l—v)], которая изменяется от
1.17 до 1.5 при изменении коэффициента Пуассона от 0.25 до 0.5 и
не зависит от нормальной силы. Таким образом, тангенциальная
и нормальная податливости примерно одинаковы по величине.
Тела с поверхностями несогласованной формы при действии
нормальной нагрузки контактируют по эллиптической площад-
ке. Их поведение при последующем приложении тангенциаль-
ной силы качественно такое же, как в случае тел со сфериче-
скими поверхностями. Проскальзывание имеет место на пери-
ферии области контакта, а зона сцепления является эллипти-
ческой, причем ее эксцентриситет равен эксцентриситету эллип-
тической области контакта. Выражения для тангенциальных
перемещений в случае отсутствия проскальзывания установил
Миндлин (265), а в случае частичного проскальзывания — Дере-
севич [82].
§ 7.3. Одновременное изменение
нормальной и тангенциальной сил
В предыдущем параграфе мы рассмотрели контактные на-
пряжения, вызываемые постепенно увеличивающейся тангенци-
альной сдвигающей силой в телах, сжатых нормальной нагруз-
кой, которая поддерживалась постоянной. Было установлено,
что тангенциальная сила, даже если она мала, вызывает про-
скальзывание на части области контакта. «Необратимость», обу-
словленная проскальзыванием при трении, указывает на то, что
окончательное распределение контактных напряжений будет за-
висеть не только от конечных значений нормальной и танген-
циальной сил, но и от истории нагружения. Приведем два при-
мера в подтверждение этой мысли.
В задаче, рассмотренной в предшествующем параграфе, где
нормальная сила оставалась постоянной, а тангенциальная сила
возрастала, кольцевая зона проскальзывания расширялась
внутрь от границы области контакта. Если бы тангенциальная
сила затем начала уменьшаться, то этот процесс не был бы
просто обратным. Проскальзывание в противоположном направ-
лении возникло бы на краю области контакта. Следовательно,
напряженные состояния при разгрузке и нагружении разли-
чаются, что свидетельствует о необратимости процесса. Мы вер-
немся к этой задаче в следующем параграфе.
254 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
В качестве второго примера рассмотрим случай, когда тан-
генциальная нагрузка после приложения остается постоянной,
а нормальная сила изменяется. Увеличение нормальной силы
приводит к росту области контакта, однако оставляет неизмен-
ными касательные усилия, так что на периферии области кон-
такта расширяется кольцевая зона, свободная от касательных
усилий. Уменьшение нормальной силы обусловливает уменьше-
ние области контакта и перераспределение (частичное снятие)
Рис. 7.9. Контакт сферических тел, сжатых постоянной нормальной силой Ро
и наклонной силой F. Кривая А — случай отсутствия проскальзывания
(tg а < ц); кривая В — проскальзывание в кольцевой зоне с г а
(tga > р).
касательных контактных усилий. Для поддержания равновесия
при действии постоянной тангенциальной силы внутренняя гра-
ница кольцевой зоны проскальзывания должна постепенно стя-
гиваться к центральной точке до тех пор, пока при достижении
силой Р значения Q/p не начнется относительное скольжение.
Из этого примера также ясно, что при изменяющейся нормаль-
ной нагрузке поведение тел на стадии разгрузки отличается от
случая активного нагружения.
Из предыдущих рассмотрений очевидно, что напряженное
состояние при контактном взаимодействии двух тел, подвержен-
ных действию переменных нормальных и тангенциальных сил,
зависит от последовательности приложения нагрузок. При этом
поверхностные усилия могут быть определены только путем по-
следовательного инкрементального анализа всей истории нагру-
жения.
Миндлин и Дересевич в весьма сложной работе [267] иссле-
довали изменение поверхностных усилий и податливостей при
контакте двух сферических тел под действием различных воз-
§ 7.3. Одновременное изменение нормальной и тангенциальной сил 255
можных комбинаций инкрементальных изменений нагрузок: Р
и Q возрастают; Р убывает, Q возрастает; Р возрастает, Q убы-
вает и т. д. Таким образом можно определить изменения напря-
жений и перемещений в процессе заданной последовательности
нагружения.
В этом параграфе мы рассмотрим задачу, представляющую
практический интерес. Пусть к двум сферическим телам, пер-
воначально сжатым нормальной силой Ро, затем прикладывает-
ся возрастающая наклонная сила F, действующая под некото-
рым постоянным углом а к общей нормали. Такое нагружение
эквивалентно инкрементальному возрастанию тангенциальной
силы Q и нормальной силы Р, отношение которых сохраняется
постоянным и равным tga (рис. 7.9).
Радиус площадки контакта определяется текущим значе-
нием полной нормальной нагрузки в соответствии с теорией
Герца (выражение (4.22)):
о3 = КР, (7.45)
где К — соответствующий коэффициент пропорциональности.
При действии начальной нормальной нагрузки имеем
= (7.46)
При последующем приложении наклонной силы F возникают
приращения тангенциальной и нормальной сил, равные соот-
ветственно dQ = dF sin а и dP — dF cos а. Приращение радиуса
площадки контакта находится путем дифференцирования соот-
ношения (7.45):
За2 da = К dP = К dQ/tg а. (7.47)
Предположим сначала, что приращение тангенциальной силы
не приводит к появлению проскальзывания. Приращение каса-
тельных усилий определяется выражением (7.30):
^(Н = ^-(«2-/-2)"1/2. (7.48)
Для определения результирующего распределения касательных
усилий при возрастании радиуса площадки контакта до вели-
чины а следует подставить выражение для dQ из (7.47) в (7.48)
и проинтегрировать полученное соотношение по а. Для точек,
находившихся первоначально внутри круговой области контак-
та, нижним пределом интегрирования служит величина а0, а
точки, лежащие вне исходной площадки контакта, испытывают
Действие касательных усилий с момента подрастания области
256 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
контакта до соответствующего радиуса, так что нижний предел
интегрирования для них равен г. Таким образом, имеем
а,
q =$а ~ r2rI/2 da=
Яр
= [И~г2)1/2-(ао-г2)1/21’ 0</-<ао. (7.49а)
«1
q = J а № ~~ r^~112 da =
г
= 4^-(а?-/'2)1/2’ (7.49b)
Нормальные давления на этой стадии нагружения даются тео-
рией Герца:
= 3(P0 + F,cosa) ,2 _ 1/2 = __3_ , 2 _ г2у /2 (7 50)
v 2naj ' 1 } 2лК V '
Для того чтобы было справедливо исходное предположение об
отсутствии проскальзывания, величина q(r) не должна превос-
ходить р.р (г) ни в одной точке. Это условие выполняется при
tga<p. (7.51)
Таким образом, сила, наклоненная к нормальной оси под углом,
меньшим угла трения, не вызывает проскальзывания внутри
области контакта. Соответствующее распределение усилий по-
казано кривой А на рис. 7.9; они всюду меньше предельного
значения рр(г).
Если, однако, угол наклона силы F превышает угол трения
то имеет место проскальзывание и приведенный анализ теряет
силу. Кольцевая зона проскальзывания должна возникать и раз-
виваться от края области контакта. Внутри этой зоны каса-
тельные усилия будут поддерживаться на уровне предельных
значений рф(г) на всех стадиях нагружения -наклонной силой.
Внутренняя граница кольцевой зоны будет лежать внутри на-
чальной круговой области контакта; ее радиус определяется из
обычного условия равновесия при действии тангенциальной
силы:
! _ _______f sina /7
as p. (Po + F cos a) '
Соответствующее распределение усилий показано кривой В на
рис. 7.9. Исчезновение зоны сцепления (с = 0) и начало сколь-
жения имеют место при
F =------------?. (7.53)
cos a (tg a — ц)
§ 7.4. Осциллирующие силы
257
В случае когда начальное сжатие отсутствует, приведенные
результаты сводятся'к элементарному закону сухого трения:
если наклон сжимающей силы меньше угла трения, то проскаль-
зывание отсутствует и, кроме того распределение усилий трения
на поверхности контакта" всюду пропорционально распределе-
нию нормальных контактных давлений (q — ptga); если на-
клон силы превышает угол трения, то начинается проскальзы-
вание и усилия трения всюду равны своим предельным значе-
ниям (q = ур)-
§ 7.4. Осциллирующие силы
В этом параграфе мы исследуем контактное взаимодействие
тел, сжатых нормальной нагрузкой постоянной средней вели-
чины Ро и подверженных действию осциллирующей силы задан-
ной амплитуды. Будем предполагать, что амплитуда осцилли-
рующей силы не слишком велика, так что в процессе цикла
нагружения не происходит нарушения контакта или иницииро-
вания скольжения тел.
Рассмотрим сначала осциллирующую тангенциальную силу
амплитуды ±Q*, приложенную к контактирующим сферическим
телам. Поскольку нормальная сила поддерживается постоянной
и равной Ро, область контакта и нормальные давления в соот-
ветствии с теорией Герца остаются также неизменными. Пер-
воначальное приложение силы Q в положительном направле-
нии вызывает проскальзывание в кольцевой зоне с г а,
причем, как было найдено в § 7.2,
_с _______0_\‘/з
а V1 uPdJ
Распределение касательных усилий показано кривой А на
рис. 7.10(a); они достигают предельных положительных значе-
ний в кольцевой зоне проскальзывания. Тангенциальные сме-
щения одного тела относительно другого определяются соот-
ношением (7.42) и показаны линией О А на рис. 7.10(b). В точ-
ке А этой кривой Q — +Q*. В этом положении тангенциальная
сила начинает уменьшаться, что равносильно приложению от-
рицательного приращения Q. Если бы при этом уменьшении
не возникало проскальзывания, то на краю области контакта
имели бы место отрицательные и неограниченные приращения
касательных усилий. Следовательно, непосредственно после на-
чала разгрузки должны возникать некоторые проскальзывания
в отрицательном направлении и касательные усилия вблизи
края области контакта должны принимать значения ?(г) =
=—ИР (г).
258 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
(а)
Рис. 7.10. Контакт сферических тел, сжатых постоянной нормальной нагруз-
кой Ро и подверженных действию осциллирующей тангенциальной силы
с амплитудой Q*. (а) Распределения касательных усилий в положениях
•л (Q = Qs), в (Q = 0) и С (Q — — QJ; (Ь) гистерезисная петля нагрузка —-
перемещение.
§ 7.4. Осциллирующие силы
259
В процессе разгрузки кольцевая зона обратного проскальзы-
вания характеризуется внутренним радиусом с'\ внутри круга
этого радиуса проскальзывание в обратном направлении отсут-
ствует. Пользуясь методикой Каттанео [52], определим прира-
щение касательных усилий при разгрузке:
Aq = — 2|^-(а2 ~ г2)1/2> с'</<«, (7.54а)
Л? = -2'1^[(«2-'’2)1/2-(^2-г2)1/2]> (7.54Ь)
Результирующие усилия в состоянии разгрузки определяются
сложением полученных приращений с усилиями в положении А
(кривая В на рис. 7.10(a)):
q = — («2 — г2)'/2> С < г < а, (7.55а)
9=--©-[(«2-Г2)1/2-2(с,2-г2)1/2]. (7.55b)
9 [(а2 - /'2)1/2 - 2 (с'2 - г2)1/2 + (с2 -г2)1'2], г < с. (7.55с)
Радиусы зон сцепления находятся из уравнений равновесия по-
лученных распределений усилий с внешней силой. В положении
А имеем
В процессе разгрузки
(7.57)
откуда находится значение относительного радиуса зоны обрат-
ного проскальзывания с'/а. В положении В, когда тангенциаль-
ная сила снята (Q = 0), имеем
с'3 1 ( с3\
<7-58>
Тангенциальное смещение при разгрузке находится из соотно-
шения (7.38):
б=«. - -2 - Z)1 “
__3nP0f2-v1 , 2-v2Vofi Q.-QW
16a I G, G2 7 l/Ч 2цР0 )
<7-59>
260 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
На рис. 7.10(b) показана кривая АВС, соответствующая
этому выражению. В точке С, когда тангенциальная нагрузка
полностью реверсирована, подстановка Q = —Q* в соотношения
(7.57) и (7.59) дает с = с* и б = —6*.
Таким образом, зона обратного проскальзывания охваты-
вает кольцевую зону исходного проскальзывания, а распреде-
ление касательных усилий идентично таковому в положении А,
но с противоположным знаком. Параметры, соответствующие
точке С, противоположны по знаку соответствующим парамет-
рам в точке А, так что последующее реверсирование силы Q
вызывает последовательность состояний, подобных разгрузке
из точки А, но с обратным знаком. Кривая CDA замыкает сим-
метричную гистерезисную петлю.
Работа, выполненная тангенциальной силой за полный цикл
и равная площади, заключенной внутри гистерезисной петли,
диссипируется при реверсировании проскальзывания в кольце-
вой зоне с г а. Этот аспект задачи впервые исследовался
в работе Миндлина и др. [268], в которой получено следующее
выражение для диссипированной за цикл энергии:
_ В 9Н27о f 2 - vl 2 — v2\
~ 10а I G, + G2 J
{i -(i -4?/3—_(i -4-0. (7.60)
I \ цРв J 6p,P0 L \ цРо J J i '
В процессе повторяющихся осцилляций тангенциальной силы
следует ожидать изнашивания поверхности контакта в кольце-
вой зоне, в которой имеет место осциллирующее проскальзыва-
ние. Результаты измерений диссипируемой при проскальзыва-
нии энергии, выполненных Гудменом и Брауном [129], хорошо
согласуются с выражением (7.60).
Обратимся теперь к случаю, когда линия действия осцилли-
рующей силы ±F* не касается поверхности контакта, а накло-
нена к оси z под некоторым постоянным углом а. Если наклон
силы меньше угла трения, то, как мы видели в предыдущем
параграфе, начальное приложение наклонной силы F не вызы-
вает проскальзывания ни в одной точке области контакта. Спра-
ведливость этого результата сохраняется и в случае убывания
силы F, так что при циклических осцилляциях нагрузки про-
скальзывание не будет иметь места и, следовательно, диссипа-
ция энергии будет равна нулю.
Если наклон силы превышает угол трения, то проскальзы-
вание имеет место как при первичном нагружении, так и при
последующей разгрузке. Миндлин и Дересевич [267] исследо-
вали изменения проскальзывания, касательных усилий и тан-
генциальной податливости при контактном взаимодействии двух
§ 7.4. Осциллирующие -силы
261
сферических тел, сжатых постоянной нормальной силой Ро и
подвергнутых циклическому нагружению наклонной силой, ос-
циллирующей между предельными значениями F* и —F*. Они
показали, что исходное нагружение от F — 0 до F =-j-F^ и
последующая первичная разгрузка от F = +F# до F = —F*
происходят различным образом. В дальнейшем установившийся
цикл нагружения повторяется. Радиус площадки контакта, из-
меняющийся от а* до определяется максимальным и мини-
мальным значениями нормальной нагрузки Ро ± F* cos а. Осцил-
лирующее проскальзывание имеет место в кольцевой зоне
с* г а*> причем
(—Po-FJsinaVn (761)
V 7 Ро + г s cos a ' ’
Показано также, что диссипируемая за цикл осциллирующего
проскальзывания энергия определяется выражением
дU7 = + .Цр.) { • Г>±* (1 _ KL_
ЮДо \ Од иг 7 ( L 1 " Л
- (1 + 'А)5/3] - 6~6U-1^ (1 - l*)2/3 } ’ (7-62)
где Lt = F„ sin a/(pP0), — g/tg a, a0 — радиус площадки кон-
такта при действии силы Ро. Если сила F действует в танген-
циальном направлении, то а = л/2 и Z = 0. Выражение (7.62)
при этом сводится к (7.60). Когда угол а уменьшается до значе-
ния аге tg ц, то X = 1 и количество диссипируемой энергии, со-
гласно выражению (7.62), становится равным нулю.
Этот интересный результат, заключающийся в том, что ос-
циллирующие силы, амплитуда которых весьма мала по срав-
нению с постоянной сжимающей нагрузкой, вызывают осцилли-
рующее проскальзывание и диссипацию энергии, если их наклон
к нормали превышает угол трения, подвергался эксперимен-
тальной проверке в работе Джонсона [187] с использованием
стального шарика, контактирующего с твердой плоской поверх-
ностью. Угол трения приблизительно был равен 29° (ц « 0.56).
На рис. 7.11 приведены фотографии поверхностей, подверг-
нутых износу в результате действия циклически повторяющейся
тангенциальной нагрузки. Результаты измерений диссипируемой
за цикл энергии для различных амплитуд силы F* и углов на-
клона а представлены на рис. 7.12. Видно, что существенные
повреждения поверхности имеют место для значений а, превы-
шающих 29°, для которых теория предсказывает наличие про-
скальзывания, а при приближении угла а к 90° степень износа
значительно увеличивается. Этот экспериментальный результат
согласуется с теоретическим положением о резком возрастании
количества диссипируемой энергии при возрастании угла а.
262 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Рис. 7.11. Кольцевые зоны проскальзывания и фреттинга при контакте
стального шарика с плоской поверхностью, возникающие под действием
осцилирующей силы, приложенной под углом а к направлению нормали.
Имеется в целом удовлетворительное согласие между измерен-
ными количествами диссипированной энергии и предсказывае-
мыми соотношением (7.62) при р. = 0.56. Незначительная дис-
сипация, обнаруженная в экспериментах при а = 0, объясняется
упругим гистерезисом.
Из рис. 7.11 видно, что некоторые слабые повреждения по-
верхности имеют место для углов наклона осциллирующей
силы, при которых не следует ожидать возникновения проскаль-
зывания. В экспериментах Тайлера и др. [354] наблюдались
более существенные повреждения в кольцевой зоне а* г
О-* под действием чисто нормальной нагрузки. Различие
кривизн сферической поверхности и подстилающего плоского
основания может приводить к появлению тангенциальных уси-
лий и, возможно, к проскальзыванию, однако этот эффект от-
носится к эффектам второго порядка и не может быть исследо-
ван в рамках геометрически линейной теории упругости. Более
§ 7.4. Осциллирующие силы
263
правдоподобно, что отмеченные повреждения связаны с пласти-
ческим деформированием поверхностных шероховатостей.
Рассмотренные в этом параграфе задачи контактного взаи-
модействия при наличии осциллирующих нагрузок представ-
ляют интерес в связи с разнообразными инженерными приложе-
ниями. Осциллирующее проскальзывание по поверхности кон-
такта двух тел, подверженных вибрационным воздействиям,
часто в комбинации с коррозией, вызывает характерные повреж-
дения поверхностей, называемые фреттингом. В высоконагру-
женных деталях машин и конструкций наличие фреттинга мо-
жет привести к преждевременному усталостному разрушению.
Идеальным решением этой проблемы является исключение воз-
можности проскальзывания.
Из анализа примеров, рассмотренных в этом параграфе,
можно сделать два заключения. Во-первых, при проектирова-
Рис. 7.12. Энергия, диссипируемая при контакте стерического тела с пло-
ской поверхностью под действием постянной нормальной нагрузки Рв и
осциллирующей наклонной силы с амплитудой изменения F*, приложенной
под углом а к направлению нормали. Сравнение теоретических значений,
полученных согласно соотношению (7.62), с экспериментальными данными
Джонсона [187]. По оси ординат отложено количество диссипируемой за
цикл энергии A'llZ = sj»Ga0 (2 — v)
264 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
нии детали следует подбирать направления воздействия осцил-
лирующих нагрузок таким образом, чтобы они были близки к
направлению общей нормали для двух контактирующих по-
верхностей. Во-вторых, профили контактирующих поверхностей
следует проектировать так, чтобы при их контакте под нагруз-
кой предотвратить высокую концентрацию касательных усилий
на краю области контакта. В частности, следует избегать на-
личия острых щелевых зазоров на краях участков контакта не-
согласованных поверхностей, как показано на рис. 7.13. Подоб-
ные вопросы обсуждались в работе Джонсона и О’Коннора
[201].
Энергия, диссипируемая при проскальзывании контактирую-
щих поверхностей, представляет собой источник демпфирова-
Рис. 7.13. Влияние профилей контактирующих тел на наличие зон проскаль-
зывания и фреттинга.
ния вибраций в строительных конструкциях. В частности, мы
видели, что следует ожидать наличия проскальзывания и демп-
фирования из-за трения даже в тех случаях, когда амплитуда
осциллирующих усилий, передаваемых через поверхность кон-
такта, составляет лишь незначительную часть нагрузки, необ-
ходимой для полного относительного скольжения по поверхно-
сти раздела.
Если амплитуда осцилляций тангенциальной нагрузки мала,
т. е. Q,/(pE0) С 1, то выражение (7.60) для количества рассеи-
ваемой энергии на один цикл сводится к следующему:
АГ==-Зб^р-(-1Д^+1Д^')^’ (7‘63>
Зббфг'о \ V] U2 /
т. е. диссипация энергии пропорциональна кубу амплитуды
осциллирующей силы. Это утверждение справедливо и для на-
клонной силы (выражение (7.62)).
В своем обзоре, посвященном вопросам демпфирования
строительных конструкций посредством проскальзывания по
поверхностям контакта, Гудмен [127] показал, что изменение
количества рассеиваемой энергии пропорционально кубу ампли-
туды является общим правилом, применяемым к расчету со-
единений различной геометрической конфигурации. Все упомя-
§ 7.5. Кручение контактирующих упругих шаров 265
нутые случаи имеют одну общую черту: в них происходит раз-
витие зон проскальзывания, размер которых увеличивается
прямо пропорционально амплитуде нагрузки. Однако экспери-
ментальные измерения демпфирования при проскальзывании
приводят к заключению, что зависимость количества диссипи-
руемой энергии от амплитуды при малых амплитудах ближе к
квадратичной.
Указанные расхождения теории и эксперимента объясняются
отчасти неупругими эффектами внутри тел (внутреннее гистере-
зисное демпфирование), которые обусловливают более высокие
значения измеренных параметров демпфирования при малых
амплитудах. Кроме того, оказывают влияние также вариации
коэффициента трения и значение шероховатости поверхностей
экспериментальных образцов (см. [187]).
Третья сфера практического применения вопросов контакт-
ного взаимодействия, рассмотренных в этом параграфе, отно-
сится к механике гранулированных сред. Миндлин с коллегами
использовали анализ податливости при контакте упругих шаров
для расчета скорости распространения упругих волн через идеа-
лизированную гранулированную среду, представляющую собой
массив упругих шариков регулярной упаковки. Эти результаты
обобщены в работах [83, 266].
§ 7.5. Кручение контактирующих упругих шаров
Ниже рассматривается задача, которая с качественной точ-
ки зрения подобна исследованной в предыдущем параграфе и
заключается в кручении двух сжатых постоянной нормальной
силой упругих тел вокруг оси, совпадающей с их общей нор-
малью, под действием переменного скручивающего момента. Не-
трудно представить возникающую при этом физическую кар-
тину контактного взаимодействия. Нормальное сжатие приводит
к формированию области контакта и распределения нормаль-
ных давлений, определяемых теорией Герца. Действие скру-
чивающего момента обусловливает поворот на малый угол |3
вокруг оси z одного тела относительно другого. Усилия трения,
действующие по поверхности контакта, препятствуют скольже-
нию. Каждое тело с точки зрения вычисления его упругих де-
формаций рассматривается как упругое полупространство. Под
действием пары скручивающих моментов Мг в каждом теле
реализуется напряженное состояние, соответствующее чистому
кручению, когда все нормальные компоненты напряжений рав-
ны нулю (см. § 3.9). В случае контакта шаров напряженно-де-
формированное состояние является осесимметричным; тг6 и
Tze — ненулевые компоненты напряжений, а ив — единственная
отличная от нуля компонента перемещения.
266 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Если скольжение по поверхности контакта отсутствует, то
из этого предположения следует, что площадка контакта может
поворачиваться как жесткое целое относительно удаленных то-
чек обоих тел. Тогда имеем = Pir, йег = —pzf. Распределе-
ние касательных усилий, вызывающих жесткий поворот круглой
области на поверхности упругого полупространства, определяет-
ся выражением (см. соотношения (3.109) и (3.111)):
= (7.64)
где усилие <?(г) действует в окружном направлении во всех точ-
ках круговой области контакта г а. Угол поворота равен
₽=p.+fe=4(^-+-ar)->- ,7-65)
Из соотношений (3.114) и (3.115) следуют аналогичные резуль-
таты для тел с профилями общего вида, область контакта ко-
торых является эллиптической.
Поскольку поверхностные усилия, необходимые для полного
предотвращения проскальзывания и задаваемые распределе-
нием (7.64), стремятся к бесконечности на контуре круговой
области контакта, то здесь, как и следовало ожидать, разви-
вается кольцевая зона проскальзывания. Оно происходит в ок-
ружном направлении, а поверхностные усилия в кольцевой зоне
с г а имеют предельные значения
q (г) = рр (г) = ag- (й2 _ Г2}'1\ (7.66)
Радиус с зоны сцепления находится из уравнения
£(-£)&+£)'’<*)“=$• M1-?)* <7-67»
где D (k) = К (k) — Е (k); К (k) и Е (k) — полные эллиптические
интегралы первого и второго рода соответственно. На
рис. 7.14(a) и (Ь) показаны соответственно распределения ка-
сательных усилий в зоне сцепления и соотношения между скру-
чивающим моментом Мг и углом поворота р. Эти результаты
принадлежат Лабкину [240].
При увеличении скручивающего момента радиус зоны сцеп-
ления уменьшается и в конечном итоге становится равным нулю
(зона сцепления стягивается в точку). Каждое из тел при этом
свободно вращается относительно другого под действием по-
стоянного момента
Mz =ЗлцРй/16. (7.68)
Касательные напряжения в этом случае достигают своих пре-
дельных значений во всех точках области контакта. Напряжен-
§ 7.5. Кручение контактирующих упругих шаров
267
(Ь)
Рис. 7.14. Контактное взаимодействие сферических тел под действием скру-
чивающего момента Мг. (а) Касательные усилия q(rla}-. кривая А — в от-
сутствие проскальзывания (распределение (7.64)); кривая В — в случае ча-
стичного проскальзывания — (b). Приведенный угол поворота
₽ = а2р [ц (1/Gi + 1/G2)]-1 в зависимости от скручивающего момента: пря-
мая А — без проскальзывания; кривая В — с учетом проскальзывания.
ное состояние тел в результате совместного действия касатель-
ных усилий и герцевского давления исследовалось Хетеньи и
Макдональдом [170] (см. § 3.9).
Контактное взаимодействие сферических тел под действием
осциллирующего скручивающего моменту ± М* изучалось Дере-
севичем [81]. Разгрузка после приложения моментаМ* в этом
случае приводит к обратному проскальзыванию по краям кру-
говой области контакта и соответствующему гистерезису угла
поворота. При полном колебании момента петля гистерезиса
аналогична петле, возникающей при колебании касательной
268 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
силы и показанной на рис. 7.10. Дересевич показал, что энергия,
диссипируемая за цикл и равная площади петли гистерезиса,.
равна
3 Мг
2 цРа
2/3
-^L1+11 -2^) Jr
(7.69}
В случае малых
к следующему:
амплитуд (7И* <С цРа) это выражение сводится
зм*3
АГ ~ , * р ,
loGcPpP
(7.70)
из которого следует, что количество рассеиваемой энергии снова
пропорционально кубу амплитуды скручивающего момента.
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел
В § 6.2 мы рассмотрели контактное взаимодействие жестко-
идеально-пластических тел под действием нормального сжатия.
Пластические деформации считались достаточно большими для
того, чтобы можно было пренебречь упругими деформациями
и использовать теорию жестко-идеально-пластических сред.
В этом параграфе мы рассмотрим контактное взаимодей-
ствие при наличии как нормальных, так и тангенциальных на-
грузок, под действием которых имеет место скольжение или по
крайней мере начальное проскальзывание. Описанный ниже
подход может быть применен главным образом для исследова-
ния взаимодействия неровностей на поверхностях скольжения
пластичных тел и вследствие этого имеет отношение к теории
трения и износа (см. [40]). Наиболее простой пример пол-
ностью решенной задачи этого круга касается сжатия и после-
дующего сдвига пластического клина [190]. Перейдем к изло-
жению этого примера.
(а) СОВМЕСТНОЕ СЖАТИЕ И СДВИГ ПЛАСТИЧЕСКОГО КЛИНА
Рассмотрим клин из жестко-идеально-пластического мате-
риала с углом полураствора а, деформируемый жестким штам-
пом с плоским основанием. Если трение на поверхности кон-
такта отсутствует, то касательные усилия через нее не пере-
даются и скольжение не дает вклада в деформированное состоя-
ние клина. Рассмотрим другой предельный случай, когда на по-
верхности контакта отсутствует проскальзывание.
Под действием первоначально приложенной нормальной
силы Р клин подвергается смятию, как описано в § 6.2(c) и по-
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел
269
Рис. 7.15. Совместное действие сдвига и давления на жестко-идеально-пла-
стический клин (а = 60°). (а) Начальная стадия (QIP <0.72); (b) вторич-
ная стадия (0.72 < Q/P < 1.0).
казано на' рис. 6.8(b). Давление на основание штампа опреде-
ляется формулой (6.28):
р0=т==2й(1 + ф0).-
В рассматриваемом случае нормальная сила поддерживается
постоянной, а к штампу прикладывается монотонно возрастаю-
щая тангенциальная сила Q, которая вызывает сдвиговые уси-
лия q на поверхности контакта. Поле линий скольжения при
совместном действии нагрузок Р и Q показано на рис. 7.15(a).
Линии скольжения выходят на поверхность контакта под углами
л/4±ср. Треугольная область АВС сцеплена с основанием
штампа и смещается вместе с ним в нормальном и тангенци-
альном направлениях. Треугольные области BDE и EHJ также
смещаются как жесткие блоки. Левосторонняя грань клина
270 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
(с вершиной Л) разгружается за счет силы Q и в дальнейшем
не деформируется. На стадии процесса деформирования, пока-
занной на рис. 7.15(a), давление и касательная нагрузка на
основание штампа соответственно равны
р — k (1 + 2ф + cos 2<р) = Ро — 2/г (<р — sin2 <р),
q = 2k sin <р cos <р.
Следовательно,
Q ___________________ q ________sin q> cos q>_
P p ~ (1 + “фо) — (Ф + sin2 <p)
При увеличении тангенциальной силы угол <р возрастает и в не-
который момент времени становится равным л/4. Процесс де-
формирования при этом переходит во вторую стадию, показан-
ную на рис. 7.15(b). На этой стадии имеем
р = 6(1 + 2ф), (7.74)
q — k = const, (7.75)
откуда
(7.71)
(7.72)
(7.73)
При дальнейшем увеличении силы Q блок BHJ поворачивается
по часовой стрелке, так что угол ф монотонно убывает до нуля
и отношение Q/Р приближается коединице. В этом состоянии
реализуется скольжение по поверхности контакта АВ. Для ре-
альных материалов, обладающих свойствами упрочнения, более
вероятным является дальнейшее деформирование клина, реа-
лизуемое за счет сдвига вдоль линии скольжения AJ.
Из приведенного анализа следует, что даже при постоянной
нормальной нагрузке Р тангенциальная сила Q вызывает уве-
личение области контакта. Этот процесс был назван Табором
[340] «ростом сцепления» (junction growth). При плоской де-
формации увеличение участка контакта определяется соотно-
шением
А 1 Ро
Ло Zo р
(7.77)
где р задается выражениями (7.71) и (7.74). Закономерность
расширения участка контакта для клина с углом а = 60° при-
ведена на рис. 7.16.
До сих пор предполагалось, что силы сцепления между
штампом и клином являются достаточными для предотвращения
скольжения по поверхности контакта. На рис. 7.16 показана(
также зависимость сдвиговых усилий от отношения Q/Р- Если
вследствие наличия загрязнений или смазки усилие сдвига на
поверхности контакта меньше предела текучести материала
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел
271
Рис. 7.16. Увеличение области контакта для пластического клина (а = 60°)
при действии постоянной нормальной нагрузки Р и возрастающей танген-
циальной силы Q.
клина k, то процесс пластического деформирования клина оста-
навливается из-за возникновения скольжения по границе раз-
дела.
График на рис. 7.16 может оказаться полезным при описа-
нии трения металлических поверхностей: он иллюстрирует влия-
ние загрязнений поверхности на величину эффективного коэф-
фициента предельного трения. Например, если максимальное
относительное сдвиговое напряжение, которое может выдер-
жать поверхность контакта, вследствие загрязненности умень-
шилось до 0.5, то коэффициент трения для поверхности металла
составляет только 0.15. В другом предельном случае, если на-
пряжение на поверхности контакта приближается к k, то, со-
гласно теоретической модели, коэффициент трения стремится к
единице, что согласуется с результатами экспериментов для хи-
мически чистых поверхностей пластичных металлов.
Коллинз [63] исследовал случай, когда клин деформируется
плоским жестким штампом, к которому приложены нормаль-
ная и тангенциальная силы, увеличивающиеся в заданной про-
порции. При малых и умеренных значениях отношения Q/Р фор-
моизменение клина происходит примерно таким же образом,
как показано на рис. 7.15. При Q/P-+ 1 возможен другой вид
Деформации, при котором формируется спиралеобразный зави-
272 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Рис. 7.17. Приложение наклонной силы к штампу, деформирующему пласти-
ческий клин. При Q/P -> 1 образуется «завиток» [63].
ток (рис. 7.17(b)). Экспериментальные исследования свидетель-
ствуют о том, что такой тип формоизменения может иметь место
и в только что рассмотренном случае постоянной нормальной
нагрузки при Q/P-*- 1, если материал обладает свойством де-
формационного упрочнения.
(Ь) ПРОПАХИВАНИЕ1' ПОВЕРХНОСТИ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО
ОСНОВАНИЯ ПРИ СКОЛЬЖЕНИИ ЖЕСТКОГО КЛИНА
В этом примере мы рассмотрим жестко-идеально-пластиче-
ское полупространство, в которое внедряется жесткий клин и-
затем смещается в горизонтальном направлении под действием
тангенциальной силы, перпендикулярной оси клина.
Предположим сначала, что трение граней клина о материал
основания отсутствует. Деформированное состояние основания
определяется посредством конструирования полей линий сколь-
жения и связанных с ними годографов для последовательности
положений клина, показанных на рис. 7.18. На стадии 1 прило-
жение только нормальной нагрузки вызывает внедрение клина
’> В оригинале «ploughing». В русской литературе употребляется тер-
мин «пропахивание». — Прим. ред.
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел 273
на глубину Со. Последующее приложение монотонно возрастаю-
щей тангенциальной силы Q при постоянной- нагрузке Р разгру-
жает левостороннюю грань клина, так что дальнейшая дефор-
мация реализуется за счет смещения клина направо от левого
края лунки, образовавшейся при начальном внедрении. Клин
продолжает скользить вправо до тех пор, пока Q не станет
равной Q = Р tg а, тогда как давление на левую грань клина
равно нулю (стадия 2).
В процессе деформации сила F, действующая на правую
(контактную) грань клина, остается постоянной (F = Р cosec а).
Рис. 7.18. Пропахивание поверхности жесткопластического полупространства
гладким жестким клином (а = 60°), к которому приложены постоянная
нормальная сила Р и возрастающая тангенциальная сила Q. Последователь-
ные стадии деформации.
Материал вытесняется из зоны вдавливания в зону деформа-
ции, которую клин «толкает» перед собой. При этом клин сколь-
зит на «волне» вытесненного из зоны вдавливания материала,
так что длина участка контакта h удовлетворяет соотношению
F = ph — 2k(\ + ф) Л = const. (7.78)
При дальнейшем деформировании (стадии 3—6) вершина клина
асимптотически выходит на свободную поверхность полупро-
странства. В процессе установившегося деформирования пла-
стическая волна сдвигается вдоль поверхности полупростран-
ства подобно складке на ковре, сообщая некоторое постоянное
сдвиговое смещение б поверхностному слою полупространства.
Установившееся состояние (а < л/4) представлено на
рис. 7.19(a). При этом имеем
ps = 2k (1 + 4>s) = 2k (1 — л/2 + 2a),
p = pshs sin a, Q = pshs cos a.
(7.79)
На рис. 7.20 приведены расчетные кривые, характеризую-
щие траектории вершины клина, полученные с помощью после-
274 Гл. 7.Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
Рис. 7.19. Пластическая «волна» вытесненного клином материала, образую-
щаяся при установившемся скольжении жесткого клина вдоль поверхности
полупространства из идеально пластического материала: (а) без трения;
(Ь) в отсутствие скольжения по грани клина.
Рис. 7.20. Неустановившееся пропахивание жестким клином поверхности
пластического основания: Q/P — отношение тангенциальной силы к нормаль-
ной; qlp — отношение сдвигового напряжения к нормальному давлению на
грань клина; б/с0 — относительная глубина внедрения.
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел 275
довательного построения полей линий скольжения и соответ-
ствующих годографов. В задаче смятия пластического клина
приложение тангенциальной силы приводит сначала к взаим-
ному сближению тел, приводящему к расширению области кон-
такта и уменьшению контактного давления. В случае внедре-
ния клина эта начальная стадия сменяется этапом деформи-
рования, в течение которого клин поднимается к поверхности,
толкая перед собой вдоль поверхности основания «волну» пла-
стически деформированного материала.
Наличие трения по грани клина изменяет описанный выше
характер деформации. Умеренное трение приводит к тому, что
линии скольжения выходят на грань клина под углами л/4 ± <р,
а более сильное трение выражается в адгезионном сцеплении
между гранью клина и материалом основания. Картина началь-
ного внедрения имеет вид, показанный на рис. 6.5 или 6.6. При
приложении тангенциальной силы клин продолжает внедряться,
наклоняясь сначала под углом 45°, а затем под углом полурас-
твора клина. Производя, как и выше, последовательное построе-
ние полей линий скольжения и годографов, можно определить
траектории вершины клина и усилия на его контактную грань
(рис. 7.20).. Клин, имеющий адгезионное сцепление с основа-
нием, проникает значительно глубже, нежели гладкий клин, и
формирует впереди себя большую складку. На рис. 7.19(b) по-
казана предельная ситуация, соответствующая выходу клина на
уровень недеформированной поверхности основания. На этой
стадии деформирования отношение Q/Р стремится к единице,
а складка свободно сдвигается вдоль линии скольжения ADEC.
На рис. 7.20 приведена также кривая, отражающая значения
отношения сдвигающих усилий к нормальным (q/p) на грани
клина в процессе деформирования. Для того чтобы в течение
всего процесса имело место адгезионное сцепление, коэффи-
циент трения между гранью клина и материалом основания
должен превышать ctg а.
Факт развития складки перед скользящим клином в соот-
ветствии с описанной выше схемой формоизменения для сильно
деформируемых материалов экспериментально подтвержден
Коксом [60], а также другими исследователями в опытах с очи-
щенными пластичными металлами. Чэллен и Оксли [54] на-
звали моду деформации, соответствующую образованию пла-
стических «волн» (рис. 7.19(a)), модой растирания (размазы-
вания), поскольку материал растекается вдоль поверхности
основания без отделения от него. Схему деформирования, по-
казанную на рис. 7.19(b), когда вытесненный материал сколь-
зит вдоль основания и может от него отделяться, они назвали
модой износа и исследовали диапазоны изменения угла полу-
раствора клина и параметров трения по поверхности контакта,
276 Гл. 7. Нагружение касательными усилиями и скользящий контакт
при которых реализуется та или другая мода деформации. Они
показали также, что возможна третья мода — мода резания,
при которой клин не поднимается на уровень недеформирован-
ной поверхности основания, а формирует непрерывную струж-
ку аналогично режущему инструменту.
(с) ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ КЛИНЬЕВ
С точки зрения исследования трения скольжения шерохова-
тых металлических поверхностей представляет интерес анализ
взаимодействия-' двух клиньев, которые вступают в контакт и
взаимно деформируются при относительном смещении поверх-
ностей. Этот случай отличается от рассмотренных выше приме-
ров, в которых относительное смещение клиньев считалось чи-
сто тангенциальным. При взаимодействии двух деформируемых
клиньев как тангенциальная сила Q, так и нормальная нагрузка
Р изменяются в течение цикла формоизменения. Действительно,,
при наличии адгезии по поверхности контакта нагрузка Р ста-
новится растягивающей непосредственно перед разделением
клиньев.
Поля линий скольжения для начальной деформации клиньев
в этой задаче были построены Грином [137]. Эдвардс и Хэл-
линг [101, 102] исследовали полные циклы контактного взаимо-
действия клиньев с помощью приближенного метода построения
«верхней оценки» по теории предельного равновесия, который
дает результаты, удовлетворительно согласующиеся с экспери-
ментальными данными (см. также [143]).
(d) ПРОПАХИВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ИНДЕНТОРОМ
Во многих практических случаях, в частности при действии
абразивного зерна шлифовального круга, пропахивание вклю-
чает пространственную деформацию основания. При этом об-
разуется складка и' материал вытесняется из борозды в бо-
ковых направлениях ’>.' Простейшей моделью такого процес-
са служит задача установившегося скольжения жесткого ко-
нуса или пирамиды по поверхности деформируемого основания,
однако даже эти случаи весьма затруднительны для теоретиче-
ского анализа.
В рамках наиболее простой моды деформации, при которой
вытесненный объем материала сцеплен с фронтальной поверх-
ностью конуса, Чайлдс [57] с использованием метода пластиче-
11 Подобные процессы пластического формоизменения называют иногда
царапанием. — Прим, перев.
§ 7.6. Скользящий контакт жестко-идеально-пластических тел 277
ской работы определил приближенные значения тангенциаль-
ной силы, необходимые для формирования борозды заданной
глубины. Материал вытесняется из борозды в двух боковых на-
правлениях, перпендикулярных направлению скольжения инден-
тора. Отмечено хорошее соответствие теоретических и экспе-
риментально измеренных значений усилий царапания, однако
наблюдаемая в опытах высота поднятия берегов борозды су-
щественно меньше теоретически предсказанной в рамках рас-
смотренной моды деформации.
8
Контактирование упругих тел при качении
§ 8.1. Микропроскальзывание и скольжение
В гл. 1 качение было определено как вращение двух кон-
тактирующих тел относительно осей, параллельных их общей
касательной плоскости (см. рис. 1.1). В системе отсчета, дви-
жущейся вместе с точкой контакта, поверхности «протекают»
через область контакта с тангенциальным-и скоростями Vi и V2.
Тела также имеют составляющие угловых скоростей вращения
относительно общей нормали к поверхности, обозначаемые через
<Ozi и (ог2. Если Vt и V2 различны, то качение сопровождается
проскальзыванием; если угловые скорости cozi и согг различны,
то оно сопровождается еще и верчением. Качение без. проскаль-
зывания и верчения обычно называется «свободным». Этот тер-
мин не совсем точен, так как отсутствие заметного проскальзы-
вания не исключает возможности передачи касательной силы,
меньшей по величине, чем, предельное значение, допускаемое
законом трения. Например, это имеет место при движении ве-
дущих колес экипажей. Будем в дальнейшем использовать тер-
мины свободное качение и качение при наличии тангенциальной
силы для того, чтобы описывать соответственно движение, когда
тангенциальная сила Q равна нулю и отлична от нуля.
Д5.ы должны теперь изучить влияние деформаций на контак-
тирование упругих тел при качении. Нормальные нагрузки, рас-
пределенные по конечной площадке, находятся по теории Герца.
Понятие «скольжение» здесь не столь очевидно, так как одна
часть точек в области контакта может находиться в условиях
проскальзывания, а другая — в условиях сцепления.
После рассмотрения в § 7.2 зарождающегося проскальзыва-
ния мы могли бы ожидать, что такая ситуация возникнет в об-
ласти взаимодействия, через которую происходит передача ка-
сательных напряжений. Разница между упругими деформа-
циями двух тел в области сцепления приводит к реализации
макропроскальзывания тел, называемого скольжением. Возник-
новение скольжения может быть проиллюстрировано на при-
мере качения деформируемого колеса по поверхности более же-
сткого основания. Если благодаря упругим деформациям под
нагрузкой тангенциальные (окружные) деформации растяги-
вающие, то поверхность колеса в области сцепления с основа-
нием вытягивается. Колесо как бы приобретает большую окруж-
§8.1. Микропроскальзывание и скольжение 279
ную скорость и при полном обороте вокруг оси проходит боль-
шее расстояние, чем в случае отсутствия деформаций. Доля
этого увеличения называется относительным скольжением. Если
тангенциальная деформация колеса сжимающаяся, то эффект
обратный.
Явление скольжения было описано Рейнольдсом в его исклю-
чительно содержательной работе [305]. Он обнаружил, что об-
ласть контакта разбивается на зоны сцепления и микропро-
скальзывания, определяемые силами трения и упругими дефор-
мациями, а также подтвердил свою модель измерениями сколь-
жения, проведенными при качении резинового цилиндра по ме-
таллической плоскости и, наоборот, металлического цилиндра по
резиновой плоскости Д
Далее будут получены граничные условия в областях про-
скальзывания и сцепления, которые образуются при качении.
В нашей системе координат будем считать, что качение про-
исходит относительно оси у таким образом, что при отсутствии
деформации и проскальзывания элементы поверхностей контак-
тирующих тел протекают через область контакта параллельно
оси х с общей скоростью V, называемой скоростью качения.
Кроме того, тела могут иметь угловые скорости cozi и coZ2 из-за
верчения. Добавление тангенциальных напряжений и появляю-
щихся упругих деформаций приводит к появлению скоростей
проскальзывания 6V! и 6V2, каждая из которых имеет проекции
на оси х и у и является малой по сравнению со скоростью ка-
чения V. Это — эйлерова точка зрения на сплошную среду, при
которой материал движется, в то время как поле деформаций
неподвижно в пространстве. На скорость материального эле-
мента также влияет распределение деформаций в рассматри-
ваемой окрестности. Если обозначить компоненты упругого ка-
сательного перемещения точки поверхности (х, у) через
ux(x,y,t) и йу(х, y,t), то к скорости в недеформированном со-
стоянии добавятся компоненты
dux __„ дйх . дйх
dt дх ' dt '
du,, дйи дйи
dt дх ~ dt
1) Рейнольдс обнаружил, что резиновый цилиндр движется вперед быст-
рее, чем в случае отсутствия деформаций, и отсюда вывел, что окружные
деформаций растягивающие. Он объяснял это влиянием коэффициента Пуас-
сона на радиальные сжимающие напряжения, вызываемые нормальной на-
грузкой. Однако, как следует из теории Герца [168], тангенциальные де-
формации, вообще говоря, сжимающие, а для несжимаемых тел типа
резины отсутствуют. Объяснение этого парадокса заключается в использова-
нии Рейнольдсом относительно тонких резиновых покрытий на жесткой
втулке для деформируемого ролика. При этом тангенциальные деформации
в покрытии растягивающие, что подтверждается экспериментами [31].
280
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Следовательно, результирующие скорости частиц, расположен-
ных на поверхности, с учетом скольжения, верчения и дефор-
маций определяются выражениями
vx(x, у) = V + 6VX — &гу + + (8.1а)
дйц дйи .
vy(x, y) = i)Vy + (i>zx + V+ (8.1b)
В случае когда поле деформаций не меняется со временем,
что имеет место при стационарном качении (т. е. равномерном
движении при постоянных силах), последние члены в выраже-
ниях для скорости отсутствуют. Члены дйх/дх и дйУ1дх возни-
кают из-за деформаций поверхности, которые могут быть опре-
делены, если известны поверхностные напряжения. Эти дефор-
мации должны быть существенно меньше единицы. Скорости
микропроскальзывания в точках области контакта при стацио-
нарном качении даются выражениями
«х у) = Vxl — Vx2 = (бVxi — бУж2) — (®zl — ®г2) У +
+ у(т~^г-)’ (8.2а)
Sy (^, У) == Vyi Vy2 == (6Vyl 6V^2) 4“ (®з1 ^22) % +
(дйщ дйиъХ
(8-2Ь)
Для эллиптической площадки контакта с полуосями а и b за-
пишем (8.2) в безразмерной форме
sx ___Р I ( duxi _ duxz Л
V с "Г \ дх дх ) ’
Sy фх (dUyl диу2\
V ~ Ьу + с дх дх )>
(8.3а)
(8.3b)
где = (6УЖ1 — 6Vx2)/V и = (6Vyl — б1/у2)/У — составляющие
относительного скольжения, ф — безразмерный параметр верче-
ния (ем — согг)c/V, с = (ab)1/2.
В области сцепления имеем
sx = Sy = 0. (8.4)
Кроме того, результирующие тангенциальные напряжения не
должны превышать предельной величины, т. е.
I q U, у) I «С W (х, у), (8.5)
где ц—коэффициент предельного трения.
С другой стороны, в области проскальзывания выполняется
соотношение
I Я (х, у) | = ур (х, у) (8.6)
§ 8.1.-Микропроскальзывание и скольжение
281
и направление q должно быть противоположно направлению
скорости проскальзывания, т. е.
q (х, у) s(x, у)
l<7(*. S/)l |s(x, t/)|‘
Соотношения (8.4) — (8.7) задают граничные условия в обла-
сти контакта двух тел при стационарном качении; первые два
относятся к той части области контакта, где проскальзывание
отсутствует, а вторые два — к области микропроскальзывания.
Из примеров, которые будут рассмотрены в этой главе далее,
станет ясно, что одна из главных трудностей проблемы заклю-
чается в нахождении границ областей проскальзывания и сцеп-
ления. В связи с этим важны условия на границах области кон-
такта. В точке входа, где материал втекает в область контакта,
деформации и скорости должны быть непрерывны.
Мы видели в § 2.5, что разрыв касательных напряжений q в
граничных точках приводит к сингулярности поверхностных де-
формаций вблизи границы области контакта вне нее. Отсюда
следует, что q = 0 во всех точках передней части границы об-
ласти контакта. Сзади области контакта ситуация иная. Если
мы постулируем, что коэффициент трения достаточно велик для
предотвращения скольжения при выходе элементов поверхно-
сти из области контакта, так что возникает разрыв напряжений,
то мгновенное изменение деформаций и, следовательно, скоро-
стей означает, что в действительности часть запасенной упру-
гой энергии необратимо рассеивается. При этом на переднем
крае в случае возвратного движения, очевидно, будет нарушено
выполнение термодинамических принципов.
ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ УПРУГОГО РЕМНЯ
Наиболее простой пример скольжения и микропроскальзы-
вания при качении дает гибкий упругий ремень, который дви-
жется между двух шкивов под действием приложенного крутя-
щего момента М (рис. 8.1). Если 7"i = Т"0 -f- f и 7’2 = 7’0— t—
натяжения на растянутой и ослабленной сторонах ремня соот-
ветственно, то
Л -T2 = 2t = MlR. (8.8}
Ремень проскальзывает на каждом из шкивов вдоль дуги 7?ср,
определяемой формулой
= 1 + W(2gTp). ,89>
£ “ Т2 1 - МЦ2ЯТ0)
Здесь предполагается, что крутящий момент М достаточно мад
и поэтому дуга проскальзывания короче дуги охвата шкива
ремнем (т. е. ф<л). Может быть поставлен вопрос, где рас-
положена дуга проскальзывания на каждом из шкивов. Вели-
282
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.1. Скольжение под действием крутящего момента М гибкого ремня
между двумя шкивами, вращающимися со скоростями <oi и о>2-
чины деформаций растяжения упругого ремня, податливость
которого равна Z, даются формулой е = КТ. Таким образом,
элемент ремня, имеющий в недеформированном состоянии длину
dx, при растяжении достигает длины dl =(1 + е,)ах. Скорость
этого элемента определяется формулой
°=^- = (1+е)-2Г = (1 + Л7')У’ <8Л°)
где V — dx/dt— скорость ремня при отсутствии растяжения.
Это выражение согласуется с общим уравнением (8.1). Таким
образом, скорость растянутой части ремня щ больше, чем ослаб-
ленной V2. Заметим, что силы трения q вращают ремень на ве-
дущем шкиве и сопротивляются этому на ведомом шкиве, как
показано на рисунке. Чтобы силы трения были направлены про"
тивоположно направлению проскальзывания (условие (8.7)),
шкив должен двигаться быстрее ремня на дуге проскальзыва-
ния ведущего шкива и медленнее ремня на дуге проскальзы-
вания ведомого шкива. Окружная скорость ведущего шкива
равна, следовательно, так что дуга сцепления расположена
на стороне набегания ремня на шкив. Аналогично окружная
скорость ведомого шкива равна v2 и дуга сцепления лежит так-
же на стороне набегания ремня на шкив. Относительное сколь-
жение всей системы определяется выражением
gs = v, v? =K(Ti_Tj= (8д!j
§ 8.2. Свободное качение контактирующих тел
283
Таким образом, ведомый шкив движется несколько медленнее,
чем ведущий шкив, пропорционально величине крутящего мо-
мента. Энергетические потери определяются рассеиванием энер-
гии на дугах проскальзывания. Особенности, выявленные в этом
одномерном примере, характерны и для более сложных слу-
чаев, которые будут теперь рассмотрены.
§ 8.2. Свободное качение контактирующих тел
с различными упругими характеристиками
Два геометрически идентичных упругих тела, которые имеют
одинаковые упругие характеристики, полностью симметричны
относительно плоскости расположения области контакта. Когда
тела катятся свободно под действием чисто нормальной силы,
тангенциальные напряжения и проскальзывания отсутствуют и,
таким образом, контактные напряжения и деформации опреде-
ляются по теории Герца статического контакта. При этом про-
цесс качения полностью обратим в термодинамическом смысле.
Проблема определения напряжений и микропроскальзывания
на контакте качения двух тел, упругие постоянные которых раз-
личны, качественно рассматривалась Рейнольдсом [305] в
1875 г. и около 100 лет ожидала своего количественного реше-
ния. Проблема возникает из-з'а разницы в тангенциальных де-
формациях на двух поверхностях, если упругие константы тел
различны. Это приводит к появлению тангенциальных напря-
жений и, возможно, проскальзыванию в области контакта. Эта
проблема контакта качения аналогична тем, которые возникают
в статических контактных задачах с учетом трения для тел с
различными упругими свойствами (см. § 5.4).
(а) СВОБОДНОЕ КАЧЕНИЕ ЦИЛИНДРОВ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ОСЯМИ
Цилиндры радиусов-и R2 вступают в контакт под дей-
ствием силы, погонная величина которой равна Р, в результате
чего образуется область контакта и. возникает давление на ней,
определяемое по Герцу. Как следует из условия (8.3), при ста-
ционарном качении разность градиентов тангенциальных пере-
мещений в области сцепления постоянна. Следуя обычному
подходу, рассмотрим сначала случай, когда трение достаточно,
чтобы полностью предотвратить проскальзывание. При этом
разность деформаций постоянна вдоль всего участка контакта
•—а х а. Деформация дйх/дх на каждой из контактирую-
щих поверхностей, определяемая тангенциальными q(x) и нор-
мальными р(х) напряжениями, находится из уравнения (2.25а).
Когда это выражение подставляется в уравнение (8.3а) при
284
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
скорости проскальзывания sx, равной нулю, получается следую-
щее уравнение:
а
л₽р(х)+ ds = у= const, —(8.12)
—а
Это уравнение, а также (5.27) представляют собой систему ин-
тегральных уравнений для р(х) и q(x). Она решалась Бафле-
ром [43] с использованием метода § 2.7 для граничных условий
класса III. Мы упростим проблему, пренебрегая влиянием тан-
генциальных напряжений на контактные давления, которые бу-
дут определяться по Герцу. Уравнение (8.12)—единственное
интегральное уравнение для q(x). Следуя методу решения ста-
тической задачи § 5.4, разбиваем q(x) на две составляющие
q'(x) и q"(x). Напряжение q'(х) необходимо, чтобы уничто-
жить разницу в деформациях, получаемую от нормального дав-
ления; они определяются из уравнения (5.32); q"(x)—напря-
жения, необходимые для реализации постоянной разности де-
формаций Эта составляющая определяется интегральным
уравнением, совпадающим по форме с (2.39) и (2.44), где п = О
и А = лЕ*£х/2, причем решение записывается в виде
<8ЛЗ)
На переднем крае площадки контакта при качении деформации
должны быть непрерывны, когда элемент поверхности входит
извне внутрь. Таким образом, q должно быть равно нулю на
переднем крае. Чтобы удовлетворить этому требованию, сингу-
лярные члены при х = —а должны сокращаться при сложении
q'(х) и q"(x). Это условие определяет величину относительного
скольжения
1Х = 4₽ро/л£” = 2₽а/л/?, (8.14)
где 1/R = 1/7?! + l/R2, после чего получим
q W = £ р0 (1 - aW2 In (-^) • (8.15)
Эти напряжения приведены на рис. 8.2. При реальных значе-
ниях р (см. табл. 5.1) они на порядок меньше нормальных дав-
лений и направлены во внешность площадки контакта для
более податливого тела и вовнутрь площадки — для более жест-
кого тела. Точное решение Бафлера, учитывающее влияние тан-
генциальных напряжений на нормальные давления, дает резуль-
таты, слегка отличные от (8.14) и (8.15).
Проанализируем теперь возможность возникновения про-
скальзывания. Из равенства (8.15) ясно, что отношение
§ 8.2. Свободное качение контактирующих тел
285
Рис. 8.2. Распределения тангенциальных напряжений при контакте двух ка-
тящихся цилиндров с различными упругими характеристиками (|3 = 0.3;
ц = 0.1). Без проскальзывания: сплошная линия — точное решение [43];
щтрихпунктирная линия — приближенное решение по (8.15). Полное про-
скальзывание: пунктирная линия: —q(x) = ±рр(х). Частичное проскальзы-
вание: линия с точками — численное решение [31].
д(х)/р(х) стремится к бесконечности при х=±а, так что не-
которое проскальзывание неизбежно. Чтобы изучить картину
проскальзывания, поучительно рассмотреть другой предельный
случай, когда коэффициент трения мал, так что проскальзыва-
ние неограниченно, а тангенциальные напряжения слишком
малы, чтобы изменить упругие деформации. Тангенциальные
деформации на каждой поверхности определяются первым чле-
ном в уравнении (2.25а), где р(х)— распределение герцевского
давления. Подстановка в (8.2) дает выражение для скорости
проскальзывания
sx/V = 1Х - (рп/47?) (1 - х2/п2)1/2. (8.16)
Если |х— подходящая положительная величина, то скорость
проскальзывания, задаваемая (8.16), положительна на концах
участка контакта и отрицательна в его центре. Напряжения
трения ±рр(х), несмотря на их малость, должны изменить свое
направление в двух точках, симметрично расположенных отно-
сительно начала. Положение этих точек и, следовательно, вели-
чина |х определены условием, что при чистом качении полная
286
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.3. Участки проскальзывания при контакте катящихся цилиндров с
различными упругими характеристиками.
Рис. 8.4. Сопротивление качению цилиндров с различными упругими харак-
теристиками.
§ 8.2. Свободное качение контактирующих тел
287
величина тангенциальной силы равна нулю. Это .условие опре-
деляет, что направление проскальзывания меняется при х —
= ±0.404а и, кроме того,
= 0.914₽a/fl. . (8.17)
Реальная ситуация находится между крайними случаями
отсутствия проскальзывания и полного проскальзывания. Мы
можем ожидать, что здесь будут два участка сцепления, разде-
ляющие три области, где проскальзывание происходит в разных
направлениях. Численное решение Бенталла и Джонсона [31],
построенное методом § 5.9, показало, что это действительно
имеет место. Решение есть функция параметра р/ц. Распро-
странение участков микропроскальзывания с ростом величины
Р/р показано на рис. 8.3. Типичное распределение тангенциаль-
ных усилий показано на рис. 8.2, где оно сравнивается с реше-
ниями, относящимися к случаям полного сцепления (уравнение
(8.15)) и полного проскальзывания. Интересно отметить быст-
рое изменение направления напряжения и проскальзывания по
мере движения точки через участок контакта.
Процесс качения больше не является обратимым, рассеяние
энергии на участках проскальзывания приводит к возникнове-
нию момента М сопротивления вращению цилиндров. Этот мо-
мент может быть подсчитан, и результаты показаны на
рис. 8.4 *>. Как предсказывал Рейнольдс, сопротивление качению
низкое, когда коэффициент ц велик и микропроскальзывание от-
сутствует; оно вновь низкое, когда ц мало и, следовательно,
силы трения малы. Максимум сопротивления имеет место при
промежуточном значении ц « р/5.
(Ь) СВОБОДНОЕ КАЧЕНИЕ ШАРОВ
К определению напряжений в области контакта катящихся
шаров, упругие характеристики которых различны, можно по-
дойти, следуя намеченному пути. Рассмотрим сначала случай
отсутствия проскальзывания и не будем учитывать влияние тан-
генциальных напряжений на нормальное давление. Для случая
отсутствия проскальзывания из равенства (8.3) вытекает требо-
вание, чтобы разности градиентов смещений
{(dUxi/dx) —- (дйх2/дх)} и {(дйу1/дх) — (дйу2/дх)}
были постоянны на площадке контакта и равны —и —со-
ответственно. Тангенциальное напряжение q(x, у), удовлетво-
*> Тангенциальные усилия и проскальзывание, по которым вычислялась
Диссипация, были определены в предположении, что распределение давления
симметрично и описывается по Герцу. В действительности асимметрия уси-
лий приведет к некоторой асимметрии давления, которая и вызывает момент
сопротивления.
288
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
ряющее этим условиям, вновь может быть разбито на компо-
ненту q'(x,y), которая уничтожает разность тангенциальных
перемещений от нормальных давлений, и компоненту q"(x,y),
которая обеспечивает постоянные коэффициенты проскальзы-
вания.
Тангенциальные перемещения от герцевского давления на-
правлены по радиусу и осесимметричны; следовательно, q'(x,y)
также радиальное и осесимметричное ( = q'(r)); оно дается ра-
венством (5.35). Напряжение содержит член (а2— г2)~1/2, ко-
торый должен быть сокращен на передней части границы за
счет равного и противоположного по знаку члена в выражении
q"(x,y). Для удовлетворения условиям непроскальзывания (ра-
венства (8.3) и (8.4)) результирующие перемещения внутри
области контакта должны удовлетворять требованию дйу/дх =
— 0. Эти условия удовлетворяются наложением постоянных по
двум координатам деформаций: дй.х[дх — дйу/ду — const. На-
пряжение, вызывающее такую деформацию, может быть най-
дено методом § 3.7 и имеет вид
q" (г) = {(а2 - г2)1/2 - а2 (а2 - г2)"1'2}. (8.18)
Чтобы убрать бесконечные напряжения при г = а, когда q"(r)
прибавляется к q'(r), возьмем
L = (8.19)
и, кроме того,
Точное решение этой задачи было получено Спенсом [330].
Как и в двумерном случае, должно быть определенное про-
скальзывание в конечной точке круга контакта; кроме того,
если проскальзывание имеет место, напряжения больше не яв-
ляются осесимметричными и соответствующее решение к на-
стоящему времени не получено.
Зависимость (8.19) была проверена с помощью эксперимен-
тов, в которых расстояние, пройденное шаром за один оборот,
было тщательно измерено и сравнивалось с таковым для слу-
чая отсутствия деформаций. Результаты экспериментов (а)
с дюралюминиевым шаром, катящимся между двумя параллель-
ными стальными плоскостями, и (Ь) со стальным шаром между
дюралюминиевыми плоскостями (Р —±0.12) приведены на
рис. 8.5. Средние результаты из этих двух экспериментов хо-
рошо согласуются с зависимостью (8.19) для скольжения, най-
денного из условий отсутствия локального проскальзывания.
§ 8.3. Качение при наличии тангенциальной силы
289
Малая разница между этими двумя экспериментами объясняет-
ся эффектами второго порядка:
(i) Точки поверхности шара лежат на различных расстоя-
ниях от оси вращения; этот эффект, часто называемый «про-
скальзыванием Хиткоута», рассматривается в § 8.5. Для шара
на плоскости относительное скольжение равно =
= —0.125 (a/R)2.
(ii) Поверхность контакта имеет кривизну, так что поверх-
ность шара сжимается, а поверхность основания растягивается
на величину порядка = —0.1 (a/R)2.
Рис. 8.5. Скольжение при свободном качении шара по плоскости с други-
ми упругими характеристиками. Крестики — дюралюминиевый шар на сталь-
ной плоскости; кружки — стальной шар на дюралюминиевой плоскости;
штриховая линия — средние данные по экспериментам; штрихпунктнрная ли-
ния— теория (равенство 8.19).
Эти отклонения совпадают по знаку и порядку величины
с разностью между измеренным проскальзыванием и подсчитан-
ным по (8.19), но они едва ли значительны по сравнению
с ошибками второго порядка, которые дает линейная теория
упругости.
§ 8.3. Качение при наличии тангенциальной силы
В этом параграфе рассматриваются катящиеся цилиндры
под действием тангенциальной силы, возникающей из-за трения
на поверхности соприкосновения тел, как, например, у ведущих
290- Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
и ведомых колес экипажей. Чтобы исключить эффекты, обсуж-
давшиеся в предыдущем параграфе, будем рассматривать ци-
линдры с одинаковыми упругими свойствами. Первое решение
задачи такого типа в случае плоского напряженного состояния
было получено в работе [511 и независимо в работах [116, 109,
55,301]. .
Из рассмотрения случая статического взаимодействия ци-
линдров при наличии тангенциальной силы, меньшей по вели-
чине, чем предельная (§ 7.2), можно ожидать, что область кон-
такта будет разбиваться на подобласти проскальзывания и
сцепления. Это приводит к мысли о том, чтобы начать анализ
с решения статической задачи с учетом условий проскальзыва-
ния и сцепления при контакте качения, установленных в § 8.1.
В статическом случае (рис. 7.7) реализуются участок сцепления,
расположенный в центре, где касательные перемещения по-
стоянны, и два равных участка проскальзывания, расположен-
ные по краям. Деформации на участке сцепления (дйх/дх — 0)
удовлетворяют условию (8.4) непроскальзывания при качении,
а напряжения, показанные на рис. 7.7, удовлетворяют условиям
(8.5) и (8.6). Однако условие (8.7), которое требует противо-
направленности проскальзывания и напряжений, нарушается на
участке проскальзывания, примыкающем к передней точке уча-
стка контакта. Этот результат приводит к предположению, что
участок сцепления должен примыкать к передней точке кон-
тактной области, а проскальзывание должно реализоваться на
единственном участке, примыкающем к точке выхода 1). Такой
же вывод был сделан в одномерном случае для задачи о ремне,
направляемом шкивами.
Распределение касательных напряжений в статическом слу-
чае представляет собой суперпозицию двух эллиптических эпюр
qx{x} и q"x (х), задаваемых соответственно равенствами (7.23) и
(7.25). Напряжение qx(x) = цр0(1—х2/а2)1/2 вызывает танген-
циальные деформации внутри области контакта, задаваемые
равенством (7.24),
дй' 2(1—v2)
~дГ= Sr рр°х‘
(8.21)
Переместим центр эпюры q"(x) на расстояние d — а — с таким
образом, что она становится примыкающей к передней точке,
*> Строгое обоснование такой схемы разбиения участка контакта на
зоны проскальзывания и сцепления дана в работе: Спектор А. А. О зонах
проскальзывания и сцепления на участке контакта катящегося упругого
цилиндра и основания из того же материала. — Изв. АН Арм.ССР, Механика,
1975, т. 28, № 6, с. 60—65. — Прим. ред.
§ 8.3. Качение при наличии тангенциальной силы
291
(Ь)
Рис. 8.6. Качение при наличии тангенциальной силы для случая контакти-
рования двух цилиндров из одинакового материала; (а) распределение каса-
тельных напряжений (штрихпунктирная линия — отсутствие проскальзывания,
уравнение (8.27)); (Ь) поверхностные деформации дйх1дх.
как показано на рис. 8.6. Тогда
W = - № {1 - U + 4?)2/с2}1/2 • (8.22)
Внутри участка сцепления —а х с — d возникают танген-
циальные деформации
дй" с 2 (1 — v2)
-дГ =«—г- <8-23>
292 Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Складывая (8.23) с (8.21), получаем результирующие танген-
циальные деформации на участке —а х с — d, равные
дйх 2 (1 — т2) , ±
-ar = аЕ— = const
Напряжения, действующие на каждую из поверхностей равны и
противоположно направлены, так что тангенциальные деформа-
ции на каждой из поверхностей равны по величине и противо-
положны по знаку. Таким образом, производя подстановку в ра-
венство (8.3), получаем, что условия непроскальзывания (8.4)
удовлетворяются на участке —а х а — d, если величина от-
носительного скольжения равна
* = -4 (1 - т2) ущЦаЕ. (8.24)
Результирующие напряжения qK (х) = q'K (х) + q" (х) удовлетво-
ряют условиям (8.5) и (8.6) и на участке сцепления, и на уча-
стке проскальзывания, а направление проскальзывания совпа-
дает с задаваемым (8.7). Как и в статическом случае (равенство
(7.29)), длина участка сцепления определяется величиной тан-
генциальной силы, т. е.
4 = 1 —J = 1 - (1- С?Л^))1/2 (8-25)
Далее, с учетом герцевского выражения для р0 относительное
проскальзывание задается равенством
^ = - -^-{1 - (1 - QJ(1XP))1/2}. (8.26)
где 1/7? = 1//?1 + Зависимость между g2 и Qx, приведен-
ная на рис. 8.7, известна под названием «кривой проскальзы-
вания».
Действие тангенциальной силы, достаточно малой, вызывает
проскальзывание в точке выхода, участок проскальзывания рас-
ширяется с увеличением тангенциальной силы, пока при Q =
= |1Р он не достигнет передней точки, что означает установле-
ние полного проскальзывания.
Распределение напряжений в цилиндрах, возникающее
вследствие поверхностной нагрузки q'(x), рассматривалось в
§ 7.1. Напряжения в случае контакта качения могут быть опре-
делены как суперпозиция q'x (х) и q" (х) (см. § 9.2).
При условиях большого трения, когда отношение Q/ (цР)
мало, участок проскальзывания, расположенный в окрестности
зоны выхода, становится исчезающе малым и распределение
напряжений стремится к предельному:
qK (х) = -^4172 — • (8.27)
ЧхУ ’ 2 (а2-х2)1/2 Р
§ 8.3. Качение при наличии тангенциальной силы
293
Соответствующее значение относительного проскальзывания за-
дается равенством
lx = aQx/(2RP).
(8.28)
Это соотношение соответствует линейной функции проскальзы-
вания (рис. 8.7), градиент которой задается «коэффициентом
проскальзывания». Напряжение (8.27) обращается в нуль в пе-
редней точке; следовательно, деформации непрерывны при пере-
ходе от внешности области контакта к ее внутренней части, как
Рис. 8.7. Кривая проскальзывания для качения цилиндров при наличии тан-
генциальной силы. Сплошная линия — теория Картера [51] (уравнение
(8.26)); штриховая линия — отсутствие проскальзывания (уравнение (8.28));
штрихпунктирная линия — теория упругого основания (уравнение (8.69)).
видно из рис. 8.6(b). В точке выхода имеет место сингулярность
в напряжениях во внутренней окрестности области контакта,
а также сингулярность в деформациях во внешней окрестности
области контакта. В действительности сингулярности снимаются
наличием проскальзывания, но можно их рассматривать как
отвечающие некоторому пределу, когда упругая энергия дефор-
мации, запасенная в окрестности области контакта, мгновенно
и необратимо рассеивается в окрестности точки выхода. Ско-
рость диссипации энергии определяется произведением танген-
циальной силы на относительное скольжение, т. е.
W = Q£XV = aQl V/(2RP). (8.29)
Результаты этого параграфа непосредственно применимы
только в задачах о двух упругих цилиндрах из одинакового
материала, в иных случаях, как было выяснено в предыдущем
294
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
параграфе, имеют место еще и дополнительные тангенциальные
напряжения. При сильном трении (малых областях микросколь-
жения) можно провести суперпозицию результатов двух этих
параграфов. В общем влияние касательной силы перевешивает
влияние разницы между упругими постоянными, поэтому пре-
дыдущими результатами можно пользоваться, заменяя Е/(1—
— v2) на 2Е*. Взаимодействие этих двух эффектов было проана-
лизировано численно в [213].
Когда тангенциальная сила Qy действует параллельно оси
цилиндра, возникают касательные напряжения и микропро-
скальзывание в осевом направлении. Поверхностные перемеще-
ния и внутренние напряжения вызывают распределение каса-
тельных напряжений
<fy (х) = цр0 (1 — х2/а2)1'2,
которое было найдено в § 2.9. Градиент поверхностных переме-
щений при —а х а определяется равенствами
Эти соотношения подобны задаваемым уравнением (8.21) с за-
меной (1—v2)/£ на 1/(2лб). Следовательно, анализ этого слу-
чая полностью аналогичен случаю приложения продольной тан-
генциальной силы. Участок контакта делится на расположенную
спереди зону сцепления и находящуюся сзади зону проскальзы-
вания. Так же как и ранее, осевые напряжения находятся су-
перпозицией q' и q" — — q'Kcla, где длина участка проскаль-
зывания задается (8.25). Осевое относительное проскальзывание
находится подстановкой уравнения (8.30) в (8.3b) для каждой
из поверхностей, что дает
+ 7^) 0 - U - ^/нП1/2}. (8.31)
Случаи одновременного действия поперечных и продольных на-
пряжений были изучены в [166, 209].
§ 8.4. Пространственные задачи качения
при наличии приложенной силы и верчения
Трехмерные тела при контакте качения могут быть нагру-
жены тангенциальной силой Qx в продольном и Qy в- поперечном
направлениях и, кроме того, иметь относительную угловую ско-
рость относительно нормали к поверхности контакта Дсо2 =
= ojzi — coz2, называемую верчением. Наличие верчения приво-
дит к взаимному повороту контактирующих элементов и, следо-
вательно, вызывает дополнительные напряжения и микропро-
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной силы 295
скальзывание. В рассмотренном выше случае плоской деформа-
ции зоны сцепления и скольжения занимают полоски, параллель-
ные оси у. Пространственная ситуация значительно более слож-
ная. Область контакта эллиптическая, форма подобластей
сцепления и скольжения не известна заранее и условие (8.7),
налагающее требование противонаправленное™ касательных на-
пряжений. и относительного проскальзывания, связывает нели-
нейным образом тангенциальные силы и верчение.
Предвидя трудности из-за неизвестного расположения под-
областей проскальзывания и сцепления, рассмотрим сначала слу-
чай, когда коэффициент трения достаточно велик, чтобы не было
проскальзывания, причем будем исходить из плоской задачи,
изученной в § 8.3.
(а) ИСЧЕЗАЮЩЕЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ Щ^оо): ЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
Если коэффициент трения достаточно велик, то проскальзы-
вание сосредоточено в предельно узкой зоне в окрестности зоны
выхода из области контакта. В этом случае будем разыскивать
касательные напряжения, удовлетворяющие условиям сцепле-
ния на всей площадке контакта (8.3) — (8.5). Для простоты нач-
нем со случая круговой площадки контакта под действием про-
дольной тангенциальной силы Qx, что является трехмерным ана-
логом ситуации, проанализированной в предыдущем параграфе.
По аналогии с двумерным случаем (уравнение (8.27)) рассмот-
рим напряжение
qx (х, = ( г° + * - (8.32)
2ла2 (а? — г2)1
Касательные смещения внутри круга контакта (г^а), возни-
кающие из-за приложения этих напряжений, могут быть най-
дены после их подстановки в уравнения (3.83а и Ь) и выполне-
ния интегрирования, что приведет к результату
дих___СМ4 —3v) диу
дх 32Ga2 ’ дх
(8.33)
Для этих перемещений градиенты постоянны по площадке кон-
такта и, следовательно, удовлетворяют условиям отсутствия
цроскальзывания (8.3) и (8.4) при относительных проскальзы-
ваниях
При действии поперечной тангенциальной силы Qy напряжение
Qy а + х
'Яу(х, у) — 2па2 {a2_r2)U2 ’
(8.35)
296 Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
удовлетворяет условию непроскальзывания и приводит к попе-
речному проскальзыванию
(4 — v) Qn
<8-36>
Из-за асимметрии распределения (8.35) возникает крутящий
момент, задаваемый выражением
М2 = - 43Qya = {16/[3 (4 - у)]}
Для случая чистого верчения могут быть найдены напряжения,
обеспечивающие выполнение условий непроскальзывания
8G(3-v) (а + х)у/а „ „7 .
Qx~ (8J7a)
_ 8G(l-v) (а2 - 2х2 - ах - у2)/а (8 37Ы
” ^(3-2v) {а2-г2)^ ’ (8‘37Ь)
где ф — параметр верчения, определенный на стр. 280. Это рас-
пределение напряжений соответствует нулевой результирующей
силе Qx = Qy = 0, но дает результирующий момент Мг, выра-
жающийся по формуле
= (8.38)
После подстановки градиентов перемещений (определяемых по
напряжениям (8.37)) в условия непроскальзывания (8.3) и (8.4)
относительные проскальзывания находятся из соотношений
Ь=0. = (8-39>
Возможно, на первый взгляд неожиданным является факт воз-
никновения поперечного скольжения при чистом верчении, од-
нако это было подтверждено экспериментально. Детали соответ-
ствующего анализа можно найти в [184, 185].
Распределение напряжений, определяемых уравнениями
(8.32), (8.35) и (8.37), не удовлетворяет полностью условиям
сцепления в случае качения с проскальзыванием и верчением.
Чтобы обеспечить это, напряжения должны обращаться в нуль
во всех точках передней части области контакта. Видно, однако,
что во всех случаях q = 0 только в единственной точке (—а, 0),
а в остальных точках q неограниченно.
Чтобы преодолеть эту трудность, Калькер [208, 209] исполь-
зовал известный факт (см. § 3.7(e)), заключающийся в том,
что напряжения вида
q (х, у) = Атп (х/а)т (y/b)n {1 - (х/а)2 - (y/b)2}~'12 (8.40>
вызывают тангенциальные перемещения йх и йу, каждое из
которых меняется в эллиптической области как полином от
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной силы 297
х, у порядка т + п. Соответствующим наложением напряжений
вида (8.40) можно обеспечить выполнение условий непроскаль-
зывания по всей площадке контакта, причем напряжения будут
обращаться в нуль вдоль всей передней дуги границы области
контакта. Выполняя необходимые преобразования, Калькеру
с использованием конечного суммирования для т + п = 5 уда-
лось минимизировать в интегральном смысле напряжения в
окрестности дуги набегания, за счет выполнения равенства
q = 0 в конечном числе точек на этой дуге. С этой точки зре-
ния результаты, представляемые уравнениями (8.32) — (8.38),
могут рассматриваться как первое приближение к решению
Калькера, в котором т + п — 2, а условие q = 0 удовлетво-
ряется только в точке (—а, 0).
Так как рассматривается линейная теория, то связи между
продольной и поперечной силами нет и можно использовать
суперпозицию решений этих сил. Это можно выразить в форме
трех линейных уравнений проскальзывания
(8.41)
^ = С22^ + С23ф, (8.42)
•G(^)3/2 = С^у + С33ф, . (8.43)
где Си, С22 и т. д. — безразмерные коэффициенты проскальзы-
вания, определяемые теоретически.
Укороченная таблица коэффициентов проскальзывания, по-
лученная в [209] для эллиптической площадки контакта при
различных значениях эксцентриситета, приведена в приложении
§ А5. Для сравнения также приведены приближенные величины
для круговой площадки, найденные по уравнениям (8.34), (8.36)
и (8.38).
(Ь) ПОЛНОЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ
В другом крайнем случае, когда проскальзывание и верче-
ние становятся большими, а коэффициент трения мал, упругие
перемещения, вызываемые тангенциальными усилиями, можно
не учитывать. Тогда в выражениях для скоростей проскальзы-
вания (8.3) члены с упругими перемещениями отбрасываются,
так что проскальзывания обращаются в нуль только в одной
точке Р (хР, уР) (рис. 8.8), где
хр1а = — Ур/а = (8.44)
Эта точка называется полюсом верчения-, она может лежать
внутри и вне области контакта. Так как упругими деформация-
ми в плоскости х, у пренебрегается, относительное движение
298
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.8. Качение с проскальзыванием и верчением: положение полюса вер-
чения Р.
поверхностей представляет собой жесткое вращение с угловой
скоростью cozi — coz2 вокруг полюса верчения. В любой точке
A(x, z/) результирующее тангенциальное напряжение q{x,y)
равно по величине ур(х, у), а по направлению перпендикулярно
линии РА. Силы Qx и Qy и момент Mz, соответствующие произ-
вольной комбинации проскальзывания и верчения, могут быть
легко подсчитаны численным интегрированием. Эти расчеты
для круговой площадки были выполнены в [245], а для эллип-
тической площадки — в [361] и [209]. Влияние верчения на
кривые проскальзывания при действии тангенциальной силы,
определенное для случая полного проскальзывания, проиллю-
стрировано на рис. 8.12. Взаимное влияние верчения и проскаль-
зывания играет важную роль при определении сопротивления
движению при качении.
(с) ЧАСТИЧНОЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ: НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
скольжения
Напряжения, подсчитанные в предположении отсутствия про-
скальзывания, обращаются в нуль в точке входа и резко воз-
растают до бесконечных значений в точке выхода. Следова-
тельно, можно ожидать возникновения проскальзывания в зоне
выхода и его распространения по площадке контакта с ростом
тангенциальной силы, как это имеет место в плоской задаче,
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной силы 299
рассмотренной в § 8.3. Это предположение подтверждается экс-
периментом. Опыты Олдертона и Хейнса [285] по наблюдению
эллипса контакта, реализующегося при взаимодействии фото-
упругих моделей, показали наличие области сцепления, имею-
щей форму лимона. Концевые точки областей сцепления и кон-
такта совпадают, а граница между областями проскальзывания
и сцепления является зеркальным отражением границы области
контакта. Эксперименты, выполненные при качении с верчением
резинового шара по прозрачной плоскости [188], установили
«грушеобразную» форму области сцепления, часть границы ко-
торой совпадет с границей контактного круга. Когда в области
контакта имеют место и проскальзывание, и сцепление, распре-
деление напряжений и выражение для относительного проскаль-
зывания могут быть найдены лишь приближенно. Для этой цели
использовались три метода.
В первом из них при действии тангенциальной силы (без
верчения) предполагается, что область сцепления — эллипс, по-
добный эллипсу контакта и соприкасающийся с ним в точке
(—а, 0), как показано на рис. 8.9. Это предположение дает воз-
можность получения простых выражений в замкнутой форме для
напряжений и относительного проскальзывания [184, 185, 358].
Для круговой площадки контакта под действием только силы
Qx относительное проскальзывание дается выражением
а под действием только силы Qy— выражением
Е 3|1Р (4 v) Ji / < QxV/3! (О
=-------16Gc2 f 1 Г (8-4Ь)
При Q рД эти уравнения переходят в линейные уравнения
для проскальзывания (8.34) и (8.36), в которых пренебрегается
проскальзыванием. Предположение об эллиптической форме
области сцепления, очевидно, содержит ошибку, так как при
этом передняя дуга области контакта не включается в нее.
Этой трудности можно избежать, используя совершенно от-
личный подход, предложенный Хейнсом и Олдертоном [154] и
развитый Калькером [210]. В этом методе область контакта
делится на тонкие полоски, параллельные направлению качения
(ось х). Теория, развитая для плоской задачи (см. § 8.3), ис-
пользуется для каждой такой полосы; при этом пренебрегается
их взаимодействием. Будем применять этот метод для случая
эллиптической площадки контакта при действии лишь продоль-
ной тангенциальной силы Qx (рис. 8.9).
300
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.9. Качение при наличии продольной тангенциальной силы Qx для
случая эллиптической области контакта. Штриховая линия — эллиптическая
область сцепления [184], штрихпунктирная линия — теория полос [154].
Характерная полоска, находящаяся на расстоянии у от оси х,
имеет длину 2а*, и на ней распределено давление
где
-^=v = <1-^2)1/2- <8-47>
Предположим, что теория Картера контакта цилиндров спра-
ведлива для полоски. Участок сцепления длины 2с* расположен
§ 8.4. Пространственные задачи качения прн наличии приложенной силы 301
спереди. Относительное проскальзывание задается уравнением
(8.24), где р0, d и а должны быть заменены на /?*, и а, со-
ответственно. Имеем
Ъ = ~ 2G^V) (8-48)
Далее относительное проскальзывание £,х должно быть постоян-
ным по всей площадке контакта, тогда из уравнения (8.48)
вытекает, что d* = а* — с* имеет одно и то же значение для всех
полосок, на которых есть участок сцепления. Таким образом, се-
редины участков сцепления должны лежать на прямой линии
х = —d*. Кривая, разделяющая области проскальзывания и
сцепления, является, следовательно, отражением передней дуги
относительно этой прямой, что дает «лимонообразную» форму
области сцепления, наблюдаемую экспериментально.
Распределение напряжений вдоль полоски определяется по
Картеру и показано на рис. 8.9. Тангенциальная сила dQx, при-
ходящаяся на полоску, определяется уравнением (8.25), т. е.
dQx = цР, (1 — dy = у рроа (1 — у2/с?) {1 — (1 — djaf} dy.
Полная сила Qx находится интегрированием (8.49) по области
контакта с учетом того, что, когда у > а2 — d2, участок сцепле-
ния исчезает, так что член 1 — d^/a^ обращается в нуль. Это
приводит к результату
QX/»P = arc cos (Q + {1 - (1 + >/2g2) (1 - g2)V2j, (8.49)
где t,x = txG/yp0- Для исчезающе малого проскальзывания (р->
—> оо) это выражение дает
= (8.50)
Величина коэффициента относительного проскальзывания, опре-
деляемого из теории полос (8.50), не зависит от формы области
контакта. Эта величина сравнивается со значением Калькера,
найденным для случая исчезающе малого проскальзывания
(см. приложение § А5). Как можно было ожидать, совпадение
хорошее для эллипсов, вытянутых в направлении качения (Ь^>
^>а), однако пренебрежение эффектами взаимодействия поло-
сок становится существенным, когда b <Z а.
Чтобы использовать теорию полос для случая передачи по-
перечной силы Qy или качения с верчением, следует использо-
вать плоскую задачу § 2.9, в которой рассматриваются попе-
речные напряжения. Дальнейшие детали могут быть найдены в
[210]. Ясно, однако, что теория полос не удовлетворительна,
если не выполняется неравенство b > а, и полностью теряет
3 2Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
смысл, когда верчение велико. Для этих условий Калькер [209]
предложил иной подход, основанный на методах численной
оптимизации.
Трудность задач с микропроскальзыванием заключается в
различной форме граничных условий, которые должны удовле-
творяться в областях проскальзывания и сцепления, причем кон-
фигурация этих подобластей заранее неизвестна. Подход Каль-
кера к решению этой проблемы заключается в объединении ус-
ловий для подобластей проскальзывания и сцепления в единое
условие, которое должно приближенно выполняться во всей об-
ласти контакта. Если обозначить касательные напряжения че-
рез q, а скорость проскальзывания через s, то условия (8.4) —
(8.7) можно записать в виде соотношений
| s | q + pps — 0, (8.51)
I q К HP- (8-52)
В подобласти сцепления s = 0 и условие (8.51) автомати-
чески выполняется; в подобласти проскальзывания | q | = цр и
векторы q и s противоположны по направлению; таким обра-
зом, условие (8.51) вновь выполнено. Следовательно, искомое
распределение напряжений и проскальзываний удовлетворяет
уравнениям (8.51) и (8.52) на всей площадке контакта. Мера
удовлетворения граничным условиям некоторого предполагае-
мого распределения может быть выражена интегралом по об-
ласти контакта
1= (| s | q + pps)zdA. (8.53)
А'
Так как этот интеграл положителен везде и равен нулю, когда
граничные условия удовлетворяются, его величина должна стре-'
миться к нулю при подстановке истинного распределения на-
пряжений и соответствующих им проскальзываний. Таким об-
разом, в классе допустимых напряжений «наилучшими» являют-
ся те, которые минимизируют функционал I. Хорошо развитая
техника нелинейного программирования позволяет выполнить
эту минимизацию.
Этот подход в отличие от обсужденных ранее снимает раз-
ницу между подобластями проскальзывания и сцепления, кото-
рые определяются теперь апостериори: там, где |s| ~ 0, — сцеп-
ление; там, где | q | « рр,— проскальзывание.
Приближенное распределение напряжений может быть пред-
ставлено в виде суперпозиции распределений вида (8.40). Кроме
того, они могут быть выражены через дискретные элементы на-
гружения в форме, описанной в § 5.9. Тангенциальные переме-
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной силы 303
Рис. 8.10. Качение с проскальзыванием колеса по рельсу. Продольное от-
носительное проскальзывание: gx = (Vs—Vi)/Vi, поперечное относительное
проскальзывание: = 6Vy/V, = tgср, параметр верчения: ip = a>{ab)l/2/Vi =
= {(aby/yn}tgk
щения их и иу могут быть подсчитаны методами § 3.6 и под-
ставлены в уравнения (8.3) для скорости проскальзывания s.
Оптимальное распределение напряжений находится затем пу-
тем минимизации интеграла I (8.53) Величины Qx, Qv и Мг
могут теперь быть определены для различных комбинаций про-
скальзывания и верчения ф и произвольных значений
эксцентриситета эллипса контакта. (Обобщение результатов см.
в [211].)
Силы, возникающие вследствие проскальзывания, играют
важную роль в управлении движением железнодорожных со-
ставов и обеспечении его устойчивости. Причины возникнове-
ния этих сил проиллюстрированы на рис. 8.10. Точка контакта
считается покоящейся, а рельс движется относительно нее со
*> В дальнейшем Калькер [2181 отказался от интегрального функцио-
нала (8.46) в пользу принципа дополнительной энергии Дюво и Лионса
[96], рассмотренного в § 5.9. При этом подходе эйлерова формулировка § 8.1
заменяется лагранжевой системой, связанной с движущейся площадкой кон-
такта, и напряжения определяются последовательными перемещениями от
начального состояния к установившемуся режиму. Такого рода переходные
процессы обсуждаются далее в § 8.6. [Рассматриваемая задача имеет экви-
валентную вариационную формулировку, для которой исходные граничные
условия являются необходимыми и достаточными условиями экстремума не-
которого функционала, зависящего от стационарного поля сил трения в об-
ласти контката. (См. Спектор А. А. Вариационный метод исследования кон-
тактных задач с проскальзыванием и сцеплением. Докл. АН СССР, 1977.
т. 236, № 1, с. 39—42.) —Прим, ред.]
зет
Гл. 8. Контактирование упругих тел прн качении
Рис. 8.11. Касательные напряжения q(x) на средней линии круговой обла-
сти контакта при действии продольной силы Qx = 0.72[i/J. Сплошная ли-
ния— численный расчет [209]; штрихпунктирная линия — теория полос;
кружки — эксперименты по методу фотоупругости.
скоростью состава Vi. Профиль колеса конический, так что про-
дольное проскальзывание возникает, когда два колеса пары
имеют различные окружные скорости. Продольное проскальзы-
вание возникает также при ускорении или торможении колеса.
Поперечное проскальзывание имеет место при движении ко-
леса, когда его плоскость перекашивается на малый угол <р от-
носительно оси рельса. Наконец, если общая нормаль в точке
контакта отклоняется на угол Z от оси вращения, то колесо
имеет угловую скорость верчения аг = со sin Z относительно
рельса. Для достаточно малых величин проскальзывания и вер-
чения линейная теория, определяемая уравнениями (8.41)—
(8.43), позволяет определить силы проскальзывания. Для боль-
ших величин может быть использована нелинейная теория, в
которой учитывается частичное проскальзывание. При боль-
ших значениях проскальзывания и верчения силы проскальзы-
вания, как говорят, «достигают насыщения» и могут быть опре-
делены по теории полного проскальзывания без учета упругих
касательных деформаций поверхностей.
Этот раздел заключим сопоставлением теории проскальзы-
вания с экспериментальными данными. Поверхностные напря-
жения и соответствующие внутренние напряжения могут быть
исследованы методами фотоупругости с использованием эпок-
сидных резиновых моделей при очень медленном качении [153,
154]. Подобласти проскальзывания и сцепления ясно видимы.
В подобласти проскальзывания напряжения близки к задавае-
мым законом трения Амонтона — Кулона, как это принимается
в теории. Измеренные напряжения для круговой площадки при
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной силы 305
действии продольной силы сравнивались с распределением Кар-
тера (теория полос) и с непрерывным распределением Каль-
кера [209] (рис. 8.11). Измеренные напряжения очень близки
по форме к распределению Картера, однако теория полос дает
ошибку при определении размеров участков проскальзывания
и сцепления. Метод Калькера не позволяет определить точно
границу зон проскальзывания и сцепления, но с учетом малого
числа членов разложения дает чрезвычайно точное приближе-
ние к измеренным напряжениям.
Рнс. 8.12. Продольное проскальзывание совместно с верчением: теории и
эксперимент (круговая область контакта). Сплошная линия — численный рас-
чет [209]; штриховая линия — теория полного проскальзывания [361]; пунк-
тирная линия — приближенная теория (уравнениее (8.45)); штрихпунктирная
линия — теория полос (уравнение (8.49)).
Эксперименты по наблюдению процесса проскальзывания
обычно выполняются путем точного измерения расстояния, njpofi-
денного катящимся телом за один оборот. Лабораторные экспе-
рименты [184—186] для медленного качения тел с поверхно-
стями высокого качества дали хорошее соответствие с теорией.
Случай продольного проскальзывания для кругового контакта
проиллюстрирован на рис. 8.12 (шар, катящийся по плоскости).
Влияние верчения определяется безразмерным параметром
X — где
1/R = 74 {(1/^0 + ( W) + (1//?0 + (1/^')}, С = (Пб)1'2.
Для шара радиусом /?, катящегося по плоскости, R — 2R, с = а.
Ясно, что с возрастанием верчения возникает эффект уменьше-
ния градиента на линейном участке кривой проскальзывания,
т. е. уменьшения коэффициента проскальзывания. Сплошные ли-
нии на рис. 8.12 отвечают численной нелинейной теории Каль-
кера, хорошо соответствующей экспериментам. Для случая от-
сутствия верчения (х — 0) штрихпунктирная и пунктирная ли-
306
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
нии отвечают соответственно теории полос (уравнение (8.49))
и приближенной теории Джонсона (уравнение (8.45)). Разли-
чие, заключающееся в противоположных знаках для этих двух
случаев, невелико и возникает частично из-за практической не-
определенности в величине р. При значениях продольной силы
Qx менее 50 % от предельной величины (Q^/pP <С 0.5) линейная
теория, соответствующая исчезающе малым значениям верче-
ния, дает удовлетворительное приближение. Расчеты по теории
полного проскальзывания Вернитца с пренебрежением танген-
циальными деформациями также приведены на рис. 8.12 штри-
ховыми линиями. В случае отсутствия верчения (% = 0) эта
теория полностью не соответствует действительности, так как
предсказывает нулевое проскальзывание для Qx < рР. С воз-
растанием верчения, однако, она более удовлетворительна, а
при % = 5 даваемые ею результаты не отличаются от полных
численных расчетов Калькера.
Случай поперечного проскальзывания не столь ясен, так как
верчение само по себе дает поперечную тангенциальную состав-
ляющую силы, известную в автомобильной промышленности
как сопротивление повороту. Следовательно, кривая проскаль-
зывания асимметрична относительно начала координат
(рис. 8.13). Этот эффект совершенно невозможно предсказать
теорией полного проскальзывания, так-как он целиком опре-
деляется тангенциальной упругой податливостью поверхности.
Теория полного проскальзывания дает, следовательно, очень
большую ошибку в этом случае даже при-большом верчении.
Однако численные результаты Калькера хорошо подтверждают-
ся экспериментами в диапазоне, где были точно выполнены из-
мерения.
Изменение поперечной силы с верчением, когда поперечное
проскальзывание отсутствует, т. е. сопротивление повороту
(задаваемое пересечением кривой проскальзывания на рис. 8.13
с осью = 0) приведено на рис. 8.14. Эта зависимость воз-
растает до максимального значения при « 2, а затем
падает с возрастанием верчения до нуля, когда реализуется
полное проскальзывание. Эта сила возникает не только при по-
вороте автомобиля, но и когда ось вращения тела наклонена к
поверхности, по которой оно катится.
При реальных условиях, с которыми сталкиваются, напри-
мер, на железных дорогах, наблюдаемые коэффициенты про-
скальзывания существенно ниже теоретически определенных
[175]. Важная причина этого различия заключается в обра-
зующихся на поверхностях качения пленках из смеси нефти или
смазки [156]. Поверхностные шероховатости и вибрация также,
по-видимому, вызывают уменьшение коэффициентов проскаль-
зывания.
§ 8.4. Пространственные задачи качения при наличии приложенной силы 307
Рис. 8.13. Поперечное скольжение и верчение: теории и эксперимент (кру-
говая область контакта). Сплошная линия — численный расчет; штриховая
линия — теория полного проскальзывания; пунктирная линия — приближенная
теория (уравнение (8.46)).
Рис. 8.14. Сопротивление повороту: поперечная тангенциальная сила в за-
висимости от верчения (круговая область контакта). Сравнение численного
расчета Калькера с экспериментом. Штриховая линия — линейная теория
(уравнение (8.42)).
308 Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
§ 8.5. Качение шара по прилегающему желобу
Качение шара по желобу, сечение которого представляет со-
бой дугу радиуса р, весьма близкого к радиусу шара, представ-
ляет собой специальный случай, важный для подшипников ка-
чения. При нормальной нагрузке область контакта — эллипс,
вытянутый в поперечном направлении. При достаточной степени
прилегания контактная область больше не является плоской,
а расположена между поверхностями шара и желоба; точки по-
верхности, расположенные на различных расстояниях, имеют
различные окружные скорости, что вызывает микропроскальзы-
вание. Хорошей аппроксимацией окружной скорости шара яв-
ляется формула
(8.54)
где — радиус шара, со — угловая скорость. Таким образом,
относительное проскальзывание выражается формулой
V»)—<8-ю>
При условиях свободного качения результирующая тангенци-
альная сила отсутствует, при этом область контакта делится на
три подобласти: центральная (у мало), где проскальзывание
положительно, и две внешние подобласти (у велико), где про-
скальзывание отрицательно. Три параллельные полоски износа
наблюдались на следах качения шарика в подшипнике при от-
сутствии смазки Хиткоутом [165], который развил теорию, осно-
ванную на предположении о полном проскальзывании, т. е. в
пренебрежении упругой податливостью шарика и кольца. Он
также получил, что вращение шара должно вызывать момент
сопротивления М:
M/(RP) = 0.08и62//?2, (8.56)
где 2Ь — поперечный размер эллипса контакта.
Влияние упругой податливости, вообще говоря, нельзя от-
брасывать, и ее можно учесть с помощью теории полос.
Размеры эллипса контакта а и Ь, максимум контактного
давления р0 определяются теорией Герца. Типичное распреде-
ление для полосы показано на рис. 8.15 в соответствии с тео-
рией Картера. Участок сцепления расположен вблизи точки
входа, его центр находится в точке х = —d, следовательно, уча-
сток проскальзывания находится сзади. Уравнение (8.24) для
относительного проскальзывания на полоске теперь подстав-
ляется в уравнение (8.55), что дает
d/G = r(y2-y2/fe2), (8.57)
где
г — _ &2РЕ <е) .,2 _ О П26 /г.2
Г ' 4цдоЯ2 2ца₽ (2р - R) ’ Y '
§ 8.5. Качение шара по прилегающему желобу
30&
Рис. 8.15. Теория полос для качения шара по прилегающему желобу. Чистое
качение на двух линиях у = ±у&; всюду имеет место микропроскальзыва-
ние: назад при у < yb и вперед при у >• yb.
Микропроскальзывание отсутствует при у = ±yb, а размеры об-
ласти проскальзывания в иных случаях определяются (8.57)
при условии, что d/а* < 1. На полосках, соответствующих
большим значениям у, проскальзывание полное, т. е. d/a,* — 1.
Для определения у используем условие отсутствия результирую-
щей тангенциальной силы. Из уравнения (8.25) тангенциальная
сила на единицу ширины полосы выражается в виде
Q* =-4ирХ— (2 — —) = рдоп -(2-^--'). (8.58}
ч: 2 ^'о * у а„ J 2 а \ а а ) v ’
Для свободного качения полная тангенциальная сила опреде-
ляется формулой
Q = J Q* dy = 0. (8.59}
—ь
Это условие определяет величину у, положение полосок, где
имеет место сцепление, и, следовательно, относительное сколь-
жение g0. Момент сопротивления качению задается следующим
образом:
ь ь
М = ( Q* (/? - ^/2/?) dy = - $ Q* (y2/2R) dy, (8.60}
-Ь -Ь
где интеграл есть функция геометрического параметра Г. Ре-
зультаты, полученные после интегрирования, приведены на
310
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.16. Момент сопротивления качению шара MR/(рР62) по прилегающему
желобу (уравнение (8.60)). Штриховая линия —случай исчезающе малого
проскальзывания, штрихпунктирная линия — полное проскальзывание (урав-
нение (8.56)) [165].
рис. 8.16. Если близость желоба и шара велика или коэффи-
циент трения мал, то Г велико и момент приближается к зна-
чению, полученному для условия полного проскальзывания,
заданному уравнением (8.56). Теоретически найденные подобла-
сти проскальзывания и сцепления показаны на рис. 8.16.
§ 8.6. Переходные процессы при качении
До сих пор в этой главе рассматривались контактные на-
пряжения, возникающие при стационарном качении, т. е. когда
силы и геометрия тел не меняются со временем и когда каче-
ние длится достаточное время, чтобы на поля напряжений не
влияли начальные условия. Различные случаи нестационарного
качения цилиндров при плоской деформации были рассмотрены
в серии работ Калькера [211, 212, 214].
Так как при нестационарном качении поля деформаций ме-
няются со временем, член diix/dt в уравнении (8.1а) для ско-
рости элемента поверхности больше не обращается в нуль и
фигурирует в з“аписи выражения для скорости проскальзыва-
§ 8.6. Переходные процессы при качении
311
нйя. При плоской деформации в'ерчение отсутствует и нет дви-
жения в направлении оси у, так что можно опустить индекс х.
Кроме того, в дальнейшем будем ограничиваться рассмотрением
упругих тел с одинаковыми свойствами. Уравнение (8.3а) для
скорости проскальзывания принимает вид
s(x, t) = VI (0 + 2V дй (х’ ° + 2 =
= VI (/) + 2V^^- + 2 4 (й (X, t)-u (0, 0) + .
(8.61)
Определенные трудности в случае плоской деформации воз-
никают при записи последнего члена в уравнении (8.61), так
как абсолютная величина й(0, t) зависит'от выбора отсчетного
значения перемещений. Этот выбор может быть сделан с ис-
пользованием трехмерной геометрии тел для какого-либо ча-
стного случая. Если ширина контактной области в перпендику-
лярном качению направлении определена (обозначим ее через
2&, b й), то в качестве аппроксимации й(0, f) можно взять
перемещение в центре прямоугольника 2b X 2а, подверженного
постоянному напряжению q = Q/4a:
« (°’ 0 = 2(1 “ -v) + ln №/а)},
где Q — тангенциальная сила на единицу ширины. Значение
й(0, f) не очень чувствительно к точному распределению напря-
жений. В тех случаях, когда нормальная нагрузка и, следова-
тельно, а сохраняются постоянными, имеем
<Эй(О, /) _2(1— v2) f 1 . . /26X1 dQ(t)
dt ~ пЕ j 1 — v "Г" П I a J J dt ’
(8.62)
Этот член входит в выражение для проскальзывания, меняю-
щегося во времени; но если определяются только напряжения,
то трудности отпадают.
Естественно ожидать, что во время качения будут реализо-
вываться участки проскальзывания и сцепления, подчиняющиеся
условиям (8.4) — (8.7), причем проскальзывание теперь связа-
но с упругими перемещениями уравнением (8.61). Распределе-
ние напряжений q(x, t) и величина относительного проскаль-
зывания £(/), которые удовлетворяют этим условиям, должны
определяться по шагам, начиная от данного начального усло-
вия и следуя далее заданной истории нагружения для данной
312
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
<?(х)
Рис. 8.17. Процесс перехода из состоя-
ния покоя под действием нормальной и
касательной сил: распределение каса-
тельных напряжений д(х) в зависимо-
сти от пройденного расстояния I.
Штрихпунктирная линия — отсутствие
скольжения (ц->оо); сплошная ли-
ния — частичное проскальзывание (Q =
= 0.75цР).
задачи. Технику этого реше-
ния можно найти в работах
Калькера [211, 212, 214];
здесь будут рассмотрены
два частных примера 1}.
(а) ПОСТОЯННАЯ
ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СИЛА,
ПРИЛОЖЕННАЯ
К ПОКОЯЩИМСЯ ТЕЛАМ
Если тангенциальная си-
ла, меньшая своего предель-
ного значения, приложена к
покоящимся цилиндрам, то
микропроскальзывание воз-
никает в окрестности обоих
концов участка контакта,
а тангенциальное напряже-
ние распределяется соответ-
ственно (7.28), как показа-
но на рис. 8.17 (/ = 0).
В случае полного сцепле-
ния (р,->оо) напряжение
стремится к бесконечному
значению на обоих кон-
цах, заданному уравнением
(7.22). Далее цилиндры на-
чинают катиться. При ста-
ционарном качении про-
скальзывание ограничивает-
ся зоной выхода, а напряже-
ния распределены в соответ-
ствии с суммой (7.23) и
(8.22). Стационарное рас-
пределение напряжений для
В нестационарном случае
пространственные задачи с тре-
нием при сложной кинематике
взаимодействующих тел исследо-
ваны в работе: Спектор А. А. Ва-
риационные методы в простран-
ственных задачах о нестацио-
нарном взаимодействии упругих
тел с трением. — ПММ, 1987,
т. 51, вып. 1, с. 76—83.— Прим,
ред.
§ 8.6. Переходные процессы при качении
313
случая отсутствия проскальзывания дается (8.27). Между нача-
лом качения и стационарным состоянием области проскальзыва-
ния и напряжения меняются с величиной I, расстоянием, пройден-
ным при качении. Так как инерционные эффекты отбрасывают-
ся, то d/dt = Vd/dl.
Распределения напряжений на различных стадиях процесса
показаны на рис. 8.17 при отсутствии проскальзывания (р-^-оо),
а также для случая частичного проскальзывания при Q =
— 0.75рР. В случае отсутствия проскальзывания сингулярность
в напряжениях, которая вначале располагалась в зоне входа,
затем перемещается по участку контакта со скоростью качения
и, наконец, пропадает при I = 2а, при этом распределение уси-
лий остается близким к стационарному. Начальное приложение
силы Q вызывает проскальзывание (если оно допускается) на
обоих концах участка контакта, но в процессе качения участок
проскальзывания сохраняется лишь в зоне выхода. Исходное
распределение перемещается по участку контакта со скоростью
качения, пока оно в момент I = 0.6а не совместится с участком
проскальзывания в зоне выхода. Стационарное состояние посте-
пенно достигается и далее устанавливается при I = 1.6а .
Качественно процесс можно описать следующим образом.
Взаимодействующие элементы поверхностей первоначально рас-
положены в передней части участка контакта и связанное с
ними распределение напряжений движется вдоль площадки кон-
такта, пока оно не выполаживается у зоны скольжения в зоне
выхода; этот момент достаточно близок к соответствующему
наступлению стационарного режима.
(Ь) ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СИЛА: Q (/) = Q* cos со/
При наличии осциллирующей тангенциальной силы с перио-
дом 2л/(», сравнимым со временем прохождения поверхностями
зоны контакта 2а/V, возникает распределение напряжений, за-
метно отличное от распределения, соответствующего стацио-
нарному качению. Переходные процессы имеют место вначале
и связаны с начальным распределением напряжений, однако
после нескольких циклов система переходит в стационарное ко-
лебательное состояние. В качестве примера на рис. 8.18(a)
показан пятый цикл при частоте со = V/a; откуда очевидно, что-
достигнуто стационарное состояние, при котором g (со/л) =
= —В этом примере допускалось полное сцепление и,,
как ожидалось, в точке выхода реализовывались осциллирую-
щие по знаку бесконечные напряжения, что фактически озна-
чало наличие там зоны микропроскальзывания. Однако Калькер
показал, что имеется ряд частот соп, при которых не возникает
314
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.18. Стационарное периодическое изменение напряжений при действии
осциллирующей тангенциальной силы: Q(/) = Q* cos со/. (а) со = Г/а;
(Ь) со = 2.405 Vfa.
бесконечных напряжений. Они задаются равенством
/0 (со„а/Р) = 0, (8.63)
где Jo—бесселева функция первого рода. Распределение напря-
жений в установившемся состоянии, соответствующее первой
такой частоте coi = 2.405V/a, показано на рис. 8.18(b). При этих
§ 8.7. Модель упругого. основания для изучения контакта качения 315
условиях проскальзывание отсутствует в любые моменты вре-
мени, если Q*/(pP) меньше 0.4.
Ввиду сложностей анализа переходных процессов при про-
скальзывании до сих пор рассматривались решения двумерных
задач. Трехмерные задачи с учетом поперечного проскальзыва-
ния и верчения в дополнение к продольному проскальзыванию
могут быть изучены с помощью приближенной модели упругого
основания, описанной в следующем параграфе.
§ 8.7. Модель упругого основания для изучения
контакта качения
В § 4.3 было показано, как существенно упрощаются задачи
нормального упругого контакта при моделировании упругих тел
простой моделью Винклера упругого основания вместо упругих
полупространств. То же самое можно использовать для опреде-
ления тангенциальных напряжений при контакте качения. Два
катящихся тела могут быть заменены жестким тороидом, имею-
щим те же самые относительные главные кривизны и движу-
щимся по упругому основанию глубиной h, лежащему на пло-
ской жесткой подложке. Упругость обоих тел определяется
модулями основания КР для нормального сжатия и Kq для каса-
тельного сдвига.
Форма и размеры контактного эллипса и контактное давле-
ние могут быть найдены с использованием теории Герца, од-
нако более последовательно использовать для этого модель
упругого основания, описанную в § 4.3. Касательные поверхно-
стные перемещения йх и йу связаны с компонентами касатель-
ных напряжений соотношениями
qx~(.Kqlh)Ux, qy = (Kqlh)uy. (8.64)
Такое основание иногда называют «проволочной щеткой», так
как локальные элементы «щетины» деформируются, согласно
(8.64), независимо от своих соседей. Условия проскальзывания
и сцепления, выражаемые уравнениями (8.1)—(8.7), также при-
ложимы и вместе с условием равенства нулю напряжений в
точке входа используются для нахождения распределения ка-
сательных напряжений на всей площадке контакта. Так как в
соответствии с уравнением (8.64) напряжения в любой точке
зависят от перемещений в этой же точке, уравнение для про-
скальзывания (8.3) может быть непосредственно проинтегриро-
вано для определения напряжений. При переходных режимах
изменение перемещений со временем может быть прослежено
шаг за шагом от начального состояния к стационарному ре-
жиму. Численная процедура проводится непосредственно. Каль-
кер [215] обсудил ее детали с той точки зрения, чтобы резуль-
31 Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
таты использования модели упругого основания соответствовали
по возможности ближе точному решению, основанному на ап-
проксимации упругими полупространствами.
В качестве примера рассмотрим контакт качения при нали-
чии приложенной силы для задачи о двух длинных цилиндрах,
решенной точно в § 8.3. Упругие перемещения обеих поверхно-
стей приводят к перемещению йх основания; таким образом,
уравнения (8.3) и (8.4) на участке сцепления переходят в соот-
ношение
+ = = (8-65)
Можно подставить йх из уравнения (8.64), чтобы получить обык-
новенное дифференциальное уравнение для q(x), которое, если
его проинтегрировать с условиями qx — 0 при х — —а, дает
fc=-(UM«+*)- (8.66)
Таким образом, напряжения линейно возрастают от точки входа
и, если проскальзывание полностью отсутствует, резко падают
к точке выхода. В противоположность точному решению эти
напряжения остаются конечными в точке выхода. Полная тан-
генциальная сила определяется непосредственно интегрирова-
нием (8.66) и имеет вид
= (8.67)
На практике проскальзывание будет иметь место вблизи точки
выхода, где давление обращается в нуль, что, однако, не имеет
места для напряжений (8.66). Чтобы быть последовательными,
возьмем параболическое распределение давлений, вытекающее
из теории упругого основания в соответствии с уравнением
(4.58). Участок сцепления шириной 2с начинается от точки вхо-
да. В точке начала проскальзывания х = 2с — а имеем
qx = (Kqlh) Их2с = рр = 4ц (KPl2Rh) {а — с) с,
что дает
Zs 2 (1 - с/а) = K^xRjKpV-a. (8.68)
Тангенциальная сила, найденная суммированием напряжений
в зонах проскальзывания и сцепления, задается в следующем
виде:
Qxtv^P = -3М (1 - '/2^ + 712^2). (8.69)
Это равенство, а также (8.67) дополняют точные решения (8.26)
и (8.28); сравнение приведено на рис. 8;7. Чтобы коэффициент
проскальзывания, т. е. линейный градиент, для модели основа-
ния совпадал с тем, который дает решение для полупростран-
§ 8.7. Модель упругого основания для изучения контакта качения 317
ства, тангенциальный модуль основания Kq должен быть равен
2/3 нормального модуля Кр. Таким образом, следует положить
Kqa/h «
Для трехмерной задачи, где имеет место лишь продольное
проскальзывание, каждая элементарная полоска, параллельная
оси х, ведет себя так, как в рассмотренном выше двумерном
случае. Напряжения растут линейно от нуля в точке входа,
пока не достигнут величины цр, когда начинается проскальзы-
вание. Если проскальзывание отсутствует, то интегрированием
по эллипсу контакта получаем
8а& С Каа\
НгЛ- (8-7°)
Для согласования с точным решением (8.41) модуль основания
Kq должен определяться в виде
Д?аМ = 3/8СС11 =3/8(1 - т)£*Сп, (8.71а)
где значения Си для различных форм эллипса контакта при-
ведены в приложении § А5. Аналогичное выражение с Си, заме-
ненным на С22, получено для чисто поперечного проскальзыва-
ния. Чтобы получить согласование с точной теорией при чистом
верчении, требуется
Kqa!h = 4 (4)1/2 (1 - V) ГС23. (8.71b)
'Ясно, что единственное значение модуля основания не гаранти-
рует согласия с точным решением во всем диапазоне условий
проскальзывания или отношений b/а. Однако, если взять
Kqd/h = 1.1Е*, как в двумерном случае, уравнение (8.71а)
даст (для v = 0.3) Сц = С22 = 4.2, а уравнение (8.71b) даст
С23 = 1.2(а/6)1/2, что удовлетворительно совпадает с величи-
нами, приведенными в таблице (см. приложение § А5), кроме
диапазона Ъ С а.
Если в случаях чисто продольного или поперечного про-
скальзывания принимается, что проскальзывание возникает там,
где тангенциальные напряжения достигают предельного значе-
ния цр (где р определяется уравнением (4.54)), то оказывает-
ся, что граница между подобластями проскальзывания и сцеп-
ления представляет собой отражение точки входа, как это имеет
место в эксперименте.
’’ Хотя используется комбинированный модуль Е*, учитывающий упру-
гости обоих тел, модель упругого основания не позволяет учесть напряже-
ния, возникающие из-за различия их упругих постоянных (см. § 8.2).
318
Гл. 8, Контактирование упругих тел при качении
§ 8.8. Пневматические шины
Колесо с пневматической шиной представляет собой упругое
тело, которому при контакте качения по основанию присущи
те основные особенности проскальзываия и микропроскальзы-
вания, которые обсуждались в этой главе. Фактически танген-
циальная сила и поворачивающий момент из-за поперечного
скольжения, обычно называемые «поворотное усилие» и «вырав-
нивающий момент», играют существенную роль в управлении
дорожным экипажем. Ясно, что сложная структура шины не
Рис. 8.19. Пневматическая шина как тонкая надутая мембрана.
допускает аналитического рассмотрения, которое возможно для
твердых изотропных тел; тем не менее для объяснения основ-
ных характеристик явления могут быть предложены простые
одномерные модели.
Тонкая гибкая мембрана тороидальной формы с внутренним
давлением, входящая в контакт с жесткой плоской поверх-
ностью, имеет область контакта, которая аппроксимируется
эллипсом. Он получается пересечением плоскости с недсформи-
рованной поверхностью тороида, причем его площадь доста-
точна, чтобы выдержать с помощью внутреннего давления внеш-
нюю силу. Самолетная шина, имеющая очень малую опорную
поверхность, может быть аппроксимирована тонкой мембраной.
В соответствии с рис. 8.19 кажущиеся размеры эллипса кон-
такта а' и Ь' связаны с вертикальным вдавливанием колеса ра-
венствами
</ = {(27?-6)6}1/2, = {(w — 6) б}1/2,
кажущаяся площадь контакта есть
а'Ь' = лб {(ш — б) (27? - б)},/2 2лш7?б. (8.72)
§8.8. .Пневматические шины
319
В действительности шина тангенциальна к плоской поверхно-
сти на периферии контакта, так что действительные значения
а и b меньше а' и Ь'. Действительная площадь составляет около
85 % от кажущейся величины; вдавливание приблизительно
пропорционально нагрузке при 80—90%, определяемой по вну-
треннему давлению. Жесткий протектор и форма поперечного
сечения автомобильной шины дают контактный след, имеющий
примерно прямоугольную форму с шириной, равной ширине
протектора, и слегка закругленными краями. Нагрузка, переда-
ваемая от основания к ободу через стенки, показана на
Рис. 8.20. Контакт автомобильной шины с дорогой: (а) ненагруженная шина,
(Ь) нагруженная шина:
рис. 8.20. Когда реакция основания Р приложена к шине, рас-
тяжение стенок уменьшается и возрастает их кривизна, в связи
с этим возрастает эффективное давление на ось колеса.
При мембранной модели контактные давления будут рас-
пределены однородно и равны внутреннему давлению, в то вре-
мя как жесткий протектор концентрирует давление в центре.
Эффект изгибной жесткости протектора приводит к пикам дав-
ления на концах области контакта (см. § 5.8), а влияние боко-
вых поверхностей — к повышению давления на краях. Относи-
тельная важность этих эффектов зависит от конструкции шины.
ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ ПРИ СВОБОДНОМ КАЧЕНИИ
Так же как и для упругого колеса в контакте с твердым осно-
ванием, для пневматической шины характерно продольное про-
скальзывание, если окружные деформации в области контакта
отличны от тех, которые имели место в ненагруженном состоя-
нии. Согласно мембранной теории, центральная линия движу-
щейся поверхности укорачивается в области контакта на раз-
ницу между хордой АВ и дугой АВ. На основе геометрических
320
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
соображений это приводит к деформациям и, следовательно,
относительное проскальзывание задается формулой
t _ дих б
— дх 3R ’
(8.73)
При выводе этого уравнения предполагается, что поведение во
всей области контакта определяется деформацией центральной
линии и что нет деформаций вне контакта, поэтому совпадение
полученных результатов с реальностью до некоторой степени
случайно.
ПОПЕРЕЧНАЯ ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СИЛА
ОТ БОКОВОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ И ВЕРЧЕНИЯ
Когда плоскость колеса слегка перекашивается относитель-
но плоскости качения (возникает боковое проскальзывание или
рыскание), появляются боковые силы и моменты; они возни-
кают также из-за верчения в процессе поворота на угол или
Рис. 8.21. Модель «натянутой струны» для описания поперечных смещений
шины. Каркас и протектор сопротивляются поперечному- смещению как
упругие основания, обладающие жесткостями Кс и Kt-
потому, что ось колеса при изгибе образует угол с основанием.
Явления качественно те же, что и для трехмерных тел (§ 8.4).
Контактная область делится на подобласти сцепления в точке
входа и проскальзывания в точке выхода. Подобласть проскаль-
зывания смещается вперед с возрастанием бокового проскаль-
зывания и верчения.
Одномерная модель для определения сопротивления шины
боковому смещению показана на рис. 8.21. Боковая деформа-
ция шины характеризуется боковым перемещением и эквато-
риальной линии, которое разбивается на перемещение каркаса
ис и перемещение протектора ut. Считается, что под действием
§8.8. .Пневматические шины
321
внутреннего давления каркас подвергается постоянному растя-
жению Т. Это растяжение препятствует боковому отклонению,
как в растянутой струне. Боковому отклонению также препят-
ствуют стенки, которые играют роль упругого основания же-
сткости К на единицу длины. Протектор также считается дефор-
мирующимся как упругое основание-(модель «щетки»), как опи-
сывалось в § 8.7. Шина сжимается боковым поверхностным
Рис. 8.22. Распределение напряжений в шине в зависимости от угла рыска-
ния | при условии отсутствия проскальзывания в зоне контакта (теория
Шлиппе).
напряжением q(x), сосредоточенным на участке контакта —
х а. Уравнение равновесия имеет вид
Ксис-Т^- = Ч(х} = К^,
(8.74)
где Kt — жесткость протектора. Боковая скорость проскальзы-
вания на участке контакта определяется уравнением (8.3b).
Основание предполагается жестким («2 = 0), а движение одно-
мерным, так что можно опустить индексы. Таким образом,
-А = ё + ф(х/п) + -^-. (8.75)
В подобласти сцепления s = 0.
Предполагались различные подходы к решению задачи.
Фромм [117] предполагал, что каркас жесткий (ис = 0), так
что вся деформация приходится на протектор (и = щ). Уравне-
ния (8.74) и (8.75) могут быть тогда решены непосредственно
для всего участка контакта при любом распределении давле-
ний. Деформациями каркаса, очевидно, нельзя пренебречь и
более реально, следуя Шлиппе [318] и Темплу (см. [152]), пре-
небречь деформациями проектора по сравнению с деформациями
322
Гл. 8. Контактирование упругих тел при качении
Рис. 8.23. Поворачивающая сила Q и выравнивающий момент Мг по теории
Шлиппе (X = За) из [287]. Штриховая линия — линейная теория (отсут-
ствие проскальзывания), уравнения (8.77), (8.78).
каркаса, как показано на рис. 8.22. Уравнение (8.74) принимает
вид
и — К2
d2u
dx2
Ч(х)
Кс
(8.76)
где X = (Т/Кс)1/2 — длина релаксации. Для развития линейной
теории предположим проскальзывание исчезающе малым, так
что в уравнении (8.75) s = 0 по всей области контакта. Рас-
сматривая сначала случай бокового скольжения, из (8.75) по-
лучаем, что перемещения внутри области контакта задаются
равенством и — щ — §х, где Ui — перемещение в точке входа
(х = —а). Вне области контакта q(x) = 0, так что в дополнение
к решению (8.76) получаем
и = щ ехр {(а + х)/К}
перед участком контакта и
и = и2 ехр {(а — х) Л}
за участком контакта.
Из рассмотрения в § 8.4 расположения подобластей про-
скальзывания и сцепления ясно, что градиент перемещений дол-
жен быть непрерывен в точке входа, где Щ Деформи-
рованная форма экваториальной линии и распределение напря-
жений приведены на рис. 8.22. Внутри области контакта
q' (х) = Кси = — К& (Л + а + х),
§ 8.8. Пневматические шины
323
что отвечает силе Q' — — 2Кса (X + а). В точке выхода (х = а)
разрыв производной du/dx вызывает- бесконечные напряжения
q"(a), что соответствует сосредоточенной силе Q" величиной
—ЧКс&Ск + а). Полная сила дается выражением
Q = Q' + Q" = -2КДа2 (Х/а + I)2. (8.77)
Подсчитывая моменты относительно точки О, для выравниваю-
щего момента получаем
а
лгг= J = + | + (8.78)
— а
Как и для твердых тел, бесконечные напряжения в точке выхода
необходимо означают проскальзывание, т. е. не должно быть
разрыва в градиенте и(х), и в подобласти проскальзывания удо-
влетворяются условия q(x)= цр(х). При подсчете поворачиваю-
щей силы Q и выравнивающего момента Мг Пацейка [287] сде-
лал предположение о параболическом распределении давления
и принял, что К = За (рис. 8.23).
В случае чистого верчения уравнения (8.75) требуют, чтобы
распределение сжатия в подобласти сцепления было параболи-
ческим, т. е.
« = «[-[- фх2/а.
Предполагая, как и ранее, непрерывность при х — —а, прихо-
дим к результирующей поперечной силе («сопротивлению пово-
роту»)
Q = -2KC^2(| + | + -^), Мг = 0. (8.79)
Уравнения (8.77) — (8.79) эквивалентны линейным (для малых
проскальзываний) уравнениям (8.41) — (8.43) для твердых тел.
Описанные выше исследования были выполнены Пацейкой
[287] с целью учета упругости протектора. Некоторые исследо-
ватели считали, что представление каркаса, в виде растянутой
струны не отвечает действительности, и включили член, пропор-
циональный d^u/dx^, в уравнение равновесия (8.74) для пред-
ставления изгибной жесткости каркаса (см. [114]). Однако
влияние этого члена на общие выводы теории относительно
мало, так как величины упругих постоянных шины Кс, Kt, X
и т. д. должны определяться из эксперимента, а не из конструк-
ции шины.
Продольное проскальзывание для ведущего и ведомого ре-
жимов может быть проанализировано таким же путем. Если по-
крытие рассматривается как упругий ремень, натянутый на
упругие стенки, то уравнение равновесия для окружных дефор-
маций ремня подобно (8.75). Современные обзоры исследований
по механике шин опубликованы в [59] и [288].
Контактирование неупругих тел при качении
§ 9.1. Упругий гистерезис
Абсолютно упругих тел не существует. При циклическом
нагружении и разгрузке даже без перехода так называемого
предела упругости часть энергии рассеивается. Энергетические
потери обычно характеризуются долей а максимальной упру-
гой энергии, запасенной в теле за цикл нагружения. Обычно а
Рис. 9.1. Деформация в контакте качения. Элемент материала, проходящий
цикл обратимого сдвига и сжатия А—В—С—D—Е.
называется коэффициентом гистерезисных потерь. Для боль-
шинства металлов, нагруженных в пределах упругости, вели-
чина а очень мала, обычно меньше 1'%, однако для полимеров
и резины она может быть существенно больше.
Материал тел, контактирующих при свободном качении, под-
вергается циклическим нагружению и разгрузке по мере про-
хождения деформированной области (рис. 9.1). Упругая энер-
гия элемента тела возрастает за время его движения к цент-
ральной плоскости (х = 0) в силу работы сжатия, производимой
контактным давлением, распределенным на передней половине
области контакта. После прохождения центральной плоскости
упругая энергия уменьшается и работа совершается против кон-
тактных давлений на остальной части области контакта. Если
§9.1. Упругий гистерезис
325
пренебречь трением в области контакта, упругую энергию эле-
мента, проходящего за время dt центральную плоскость, можно
определить по величине работы, совершенной давлением на пе-
редней половине области контакта. Для контакта цилиндров
единичной ширины получим
а
dW = ®dt^p(x)x dx,
о
где и = V/R— угловая скорость качения. Определяя р(х) по
теории Герца, имеем
W = (2/Зл) Ра®, (9.1)
тде Р — контактная нагрузка. Если теперь считать, что малая
часть а упругой энергии должна рассеиваться из-за гистерезиса,
то результирующий момент, требующийся для поддержания
движения, определяется приравниванием полной работы вели-
чине рассеиваемой энергии, т. е.
Му® = aW — (2/Зл) аРа®,
или
Ми 2а
Я = ~RR = а ЗлУ ’ (9‘2)
тде — так называемый коэффициент сопротивления качению.
Таким образом, сопротивление качению тел из не вполне упругих
материалов можно выразить через коэффициент гистерезисных
потерь. Эта простая теория трения качения была предложена
Табором [339] Д Выполняя аналогичные для эллиптической (или
круговой) площадки контакта вычисления, получаем
Му 3 а
PR~ ~ alG~R ’
где а — полуширина эллиптической области контакта в направ-
лении качения. Для шара, катящегося по плоскости, а пропор-
ционально (PR)1/3, так что эффективное сопротивление качению
.Fr — My/R должно быть пропорционально Р4/37?-2/3. Это соот-
ношение хорошо подтверждается экспериментами для резины
[141] и хуже для металлов [339].
У этой простой теории есть два недостатка. Во-первых, ко-
эффициент гистерезисных потерь а не является в общем слу-
чае константой материала. Для металлов он возрастает с де-
формациями a/R, особенно если предел упругости материала
достигнут.
*> Использование коэффициента гистерезисных потерь при качении в
принципе аналогично использованию коэффициента восстановления е при
ударе (см. § 11.5). Потеря энергии при ударе есть 1 —е2.
326 Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Во-вторых, коэффициент гистерезисных потерь при качении
не совпадает с частью энергии, рассеиваемой в условиях про-
стого цикла растяжения-—сжатия. Деформационный цикл при
контакте качения, проиллюстрированный на рис.. 9.1, заклю-
чается во вращении главных осей деформации при прохождении
элемента между точками В, С и D с очень малым изменением
полной упругой энергии. Гистерезисные потери для таких усло-
вий не могут быть получены из данных по одноосному напря-
женному состоянию, хотя правдоподобные гипотезы были сде-
ланы (и не без успеха) для резины [141].
Жесткий шар, катящийся по неупруго деформируемому пло-
скому основайию, производит тот же деформационный цикл на
поверхности, как и шар, проскальзывающий без трения по по-
верхности. Несмотря на отсутствие трения в области контакта,
скольжение шара будет сдерживаться сопротивлением движе-
нию из-за гистерезисных потерь в деформируемом теле. Это со-
противление называется деформационной компонентой трения.
Оно совпадает по величине с сопротивлением качению Fr, опре-
деляемым уравнением (9.3). Эксперименты со стальными ша-
рами, катящимися и скользящими по хорошо смазанной поверх-
ности -резины, подтвердили такую точку зрения [144]. На основе
этих представлений было предложено делать протектор автомо-
бильной шины из высоко гистерезисной резины, чтобы увеличить
деформационную часть сопротивления при проскальзывании ше-
роховатых поверхностей по дороге при дождливой погоде и в
условиях сильного скольжения.
Чтобы построить более тонкую теорию неупругого контакта
качения, необходимо более точно определить неупругие соотно-
шения между напряжениями и деформациями в теле.
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость
В этом параграфе будет рассмотрено поведение в контакте
качения тел, которые абсолютно упруги до критической вели-
чины, определяющей наступление течения: Y — при простом рас-
тяжении или сжатии, k — при простом сдвиге. После достиже-
ния этой точки тела деформируются как идеально пластические
в соответствии с соотношениями Рейсса.
(а) НАСТУПЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ
При свободном качении в пределах упругости напряжения
при качении определяются теорией Герца при условии, что
упругие свойства тел одинаковы. Влияние различия упругих по-
стоянных на упругопластическое поведение в общем случае
мало, и им можно пренебречь. Наступление течения при сво-
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость
В27
Рис. 9.2. Напряжения в контакте катящихся цилиндров при наличии каса-
тельных напряжений для Qx — 0.2Р. (а) Касательные напряжения на по-
верхности для различных р; (Ь) напряжения ,ох и тхх на поверхности для
р, — 0.3.
Годном качении происходит так же, как при нормальном кон-
такте в отсутствие трения (см. § 6.1). Течение сначала возни-
кает в точке под поверхностью, когда максимальное контактное
давление составляет р0 = cY, где с — постоянная (~ 1.6), точная
величина которой зависит от геометрии контактирующих тел и
условий текучести, используемых в соответствии с уравнениями
(6.4)-(6.6), (6.8) или (6.9).
Если качение происходит при наличии тангенциальной силы,
то касательные напряжения в области контакта влияют на по-
ложение точки начала течения. Случай полного проскальзыва-
ния, когда Q = рР, рассмотрен в § 7.1 (см. рис. 7.3 и 7.4).
С ростом трения точка начала течения приближается к поверх-
328
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Рис. 9.3. Контакт качения упругопластических цилиндров. Сплошная линия—
упругие напряжения на глубине z = 0.5а; штриховая линия — добавлены
напряжения (сц)г и (ои) г, обеспечивающие приспособляемость.
ности. При качении с тангенциальной силой Q < цР проскаль-
зывание имеет место лишь в задней части области контакта.
Компоненты напряжений дх и хгх на поверхности катящихся
цилиндров при касательных напряжениях q(x) были найдены
в § 8.3 и приведены на рис. 9.2. Изменяя коэффициент трения р.
при сохранении отношения Q/Р, можно добиться, чтобы зона
микропроскальзывания изменялась по величине; при этом рас-
пределение напряжений изменяется так, как показано на
рис. 9.2(a). Когда точка начала течения лежит под поверх-
ностью, на нее слабо влияют поверхностные напряжения. Если
течение начинается на поверхности, критическая точка попа-
дает между зонами проскальзывания и сцепления, как пока-
зано на рис. 9.2(b). С возрастанием трения величина контакт-
ного давления, при котором начинается течение, падает, как по-
казано штриховой линией на рис. 9.4.
(Ь) ЦИКЛИЧЕСКОЕ КАЧЕНИЕ: ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ
В большинстве практических приложений, где имеет место
контакт качения (подшипники качения, железные дороги), по-
верхность контакта подвергается циклически повторяющейся
нагрузке. Если на первом цикле предел упругости превзойден,
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость
329
то возникнут некоторые пластйчеекие деформации и, следова-
тельно, будут иметь место остаточные напряжения. На втором
цикле нагружения материал подвергается комбинированному
действию контактных и остаточных напряжений, возникших на
первом цикле. Вообще говоря, эти остаточные напряжения
имеют защитный характер в том смысле, что они уменьшают
вероятность течения при следующем цикле нагружения. Воз-
можно, что после нескольких циклов остаточные напряжения
возрастают до таких величин, что в последующих циклах про-
исходит деформирование в упругой области. Это и есть процесс
приспособляемости при повторяющемся нагружении, когда на-
чальные пластические деформации вызывают остаточные напря-
жения, которые обеспечивают в дальнейшем циклическое упру-
гое деформирование.
Чтобы определить, осуществляется ли приспособляемость,
можно прибегнуть к теореме Медана (см. [336]), которая гла-
сит: если может быть найдено не зависящее от времени распре-
деление остаточных напряжений, такое, что в сумме с упругими
напряжениями от нагрузки полученное распределение напряже-
ний обеспечивает деформирование в пределах упругости, то бу-
дет иметь место приспособляемость. Обратно, если такого рас-
пределения остаточных напряжений нельзя найти, то в системе
не будет приспособляемости и пластические деформации будут
развиваться во время каждого цикла нагружения 6.
Будем рассматривать случай свободного качения упругого
цилиндра по упруго-идеально-пластическому полупространству
[189]. До перехода через предел упругости распределение дав-
лений и область контакта определяются теорией Герца. Напря-
жения внутри полупространства задаются уравнением (4.49) и
показаны сплошными линиями на рис. 9.3 для постоянной глу-
бины z = 0.5а. Рассмотрим теперь возможные распределения
остаточных напряжений (обозначенных индексом г), которые
остаются в полупространстве после снятия нагрузки. Если пред-
положить, что деформации плоские, то (тХу)г и (туг)г отсут-
ствуют, а остальные компоненты остаточных напряжений не
зависят от у. Если предполагать, что распределение пластиче-
ских деформаций стационарно и непрерывно, то поверхность
полупространства будет оставаться плоской и остаточные на-
пряжения не будут зависеть от х. Наконец, для того чтобы оста-
точные напряжения были в равновесии с приложенными на-
грузками на свободной поверхности, напряжения (<J2)r и (т2Дг
9 Обзор современного состояния и применений теории приспособляемо-
сти см. в работе: Гохфельд Д. А., Чернявский О. Ф. Приспособляемость
упругопластических конструкций (обзор). — В кн. Проблемы теории пла-
стичности и ползучести. Новое в зарубежной науке. Механика. Вып. 18.—
М.: Мир, 1979, 302 с, —Прим. ред.
330
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
должны отсутствовать. Единственно возможная система оста-
точных напряжений сводится к следующей:
Ы = Л (z), (<уу)г = f2 (z),
(°rz)r == (Уху)г == (^yz)r == (Тгх)г == 0-
Главные напряжения, порождаемые комбинацией контактных
и остаточных напряжений, даются формулами
Cl = + (°x)r + ° г} + ~2~ [Ю + (ax)r + 4tJ 1, (9.5а)
°2=4 {Gx + ~ т ~ +4тУ1/2> (9-5Ь^
(Т3 = -v {orx + Ю, + <т2) + (<Уу)г. (9.5с)
Следуя теореме Медана, можно выбрать остаточные напряже-
ния, имеющие такую величину, чтобы на любой глубине избе-
жать течения. Можно выбрать так (щ,)г, чтобы о3 было средним
по величине главным напряжением. Тогда по критерию Треска
течения не будет, если
—о2)2<^2.
где k — константа текучести при чистом сдвиге, т. е.
74 + Юг — Ог)2 + т?гх < k2. (9.6)
Анализируя это выражение, можно видеть, что оно несправед-
ливо, если Tzx превышает k, но еще выполняется, если tzx = k
при (ax)r — Gz — gx. Таким образом, предельные условия для
приспособляемости имеют место, если максимальное значение
Тгх где-либо в теле достигнет k.
Из уравнения (4.49) максимальное значение т2х равно 0.25ро
в точке (±0.87а, 0.5а). Таким образом, чтобы приспособляе-
мость имела место, необходимо
ро<4.ОО/г. (9.7)
Такой же результат получается, если использовать критерий те-
кучести Мизеса. Остаточные напряжения на глубине 0.5а, необ-
ходимые для обеспечения приспособляемости, определяются вы-
ражениями
Юг = —О.134ро, Юг = - О.213ро. (9.8)
Согласно критерию Мизеса, величина ро, соответствующая на-
чалу течения, есть 3.1/г. Таким образом, отношение предельной
нагрузки приспособляемости к нагрузке, при которой достигает-
ся предел упругости, есть
-^-==-^-==1.66, (9.9)
' pY (Ро)у
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость 331
из чего следует, что нагрузка должна быть увеличена более чем
на 66 °/о сверх нагрузки, при которой возникает течение, для
того чтобы создать стационарное распределение деформаций
при повторяющихся циклах нагружения. Изменение в напря-
жениях при z = 0.5а из-за возникновения остаточных напряже-
ний показано штриховыми
линиями на рис. 9.3.
Аналогичный анализ
можно провести для каче-
ния под действием танген-
циальной силы, если упру-
гие контактные напряжения
известны [199]. При усло-
виях полного проскальзыва-
ния напряжения в полупро-
странстве вследствие каса-
тельных нагрузок, вызывае-
мых наличием трения, зада-
ются уравнениями (7.5) —
(7.8). Остаточные напряже-
ния определяются формулой
(9.4) и предел приспособ-
ляемости — по-прежнему
максимальной величиной tZx.
Точка максимума т;гх лежит
под поверхностью при
Q/Р 0.367. При больших
величинах напряжений кри-
тическое напряжение лежит
в поверхностном слое.
Влияние тангенциальных
Рис. 9.4. Цилиндры, катящиеся при
тангенциальной силе Qx = 0.2Р. Штри-
ховая линия — первоначальное течение;
сплошная линия — приспособляемость
(критерий текучести Треска).
напряжений на предел при-
способляемости сравнивается на рис. 7.4 с их влиянием на усло-
вия возникновения течения. Интервал между нагрузкой, вызы-
вающей начало течения, и нагрузкой, при которой достигается
предел приспособляемости, становится уже с ростом тангенци-
альной силы. Влияние частичного проскальзывания на начало
течения и наступление приспособляемости показано на рис. 9.4.
Приспособляемость для колеса, катящегося по жесткому пло-
скому основанию, изучалась Гаргом и др. [120].
Приложение теоремы Мелана к случаю качения трехмерных
тех значительно более сложно, так как могут быть отличны от
нуля все компоненты тензора остаточных напряжений и, кроме
того, плоская поверхность не сохраняется плоской после де-
формации. Если рассмотреть плоскость симметрии (у = 0) шара,
катящегося по упругопластическому полупространству, то, со-
332
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
гласно симметрии, (хху)г = (xyZ)r = 0, однако остаточные сдви-
говые напряжения (хгх)г могут существовать. Напряжения хгх
при чисто нормальном контактном нагружении имеют равные и
противоположные по знаку максимумы с каждой стороны пло-
скости х = 0. Таким образом, течение не может быть устранено
добавлением однонаправленных остаточных напряжений. От-
сюда следует поэтому, что предел приспособляемости вновь
определяется максимальной величиной (хгХ)г^. Если пренебречь
уменьшением контактного давления из-за образования пологого
пластического желоба, то (xzx) max = 0.21 р0, в то время как для
приспособляемости требуется
» р0<4.7/г. (9.10)
По Мизесу величина ро, при которой начинается течение, равна
2.8/г, следовательно,
= = (9.П)
что значительно больше, чем в двумерном случае.
Механизм приспособляемости может быть качественно
уяснен из рис. 9.1. Течение возникает в элементе С на централь-
ной линии благодаря сдвигу на плоскостях, расположенных под
углом 45° к осям: этот элемент сжимается в направлении пер-
пендикулярном поверхности и пытается расшириться парал-
лельно ей. Так как все элементы на этой глубине пластически
деформируются таким путем по очереди, то их поперечное рас-
ширение должно быть устранено остаточными сжимающими на-
пряжениями, действующими параллельно поверхности. Когда
эти остаточные напряжения полностью развиты, элементы боль-
ше не испытывают течения в точке С и прекращается нормаль-
ное сжатие поверхности. Взаимно обратные «ортогональные
сдвигающие» напряжения хгх в элементах В и D, с другой сто-
роны, не могут быть уменьшены введением остаточных сдви-
гающих напряжений (Tzx)r- Следовательно, именно ортогональ-
ный сдвиг на элементах В и D определяет предел приспособ-
ляемости и повторные пластические деформации, которые имеют
место, если этот предел превзойден.
Два дополнительных эффекта определяют приспособляе-
мость поверхностей при контакте качения. Первый, упомянутый
ранее, состоит в образовании желоба при взаимодействии трех-
мерных тел, что увеличивает площадь контакта и уменьшает
контактное давление. Таким образом, истинный предел приспо-
собляемости для круговой площадки контакта несколько боль-
Можно показать, что можно подобрать самоуравновешенную систему
остаточных напряжений так, что во всех точках полупространства деформи-
рование будет происходить в пределах упругости.
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость 333
ше, чем определяемый соотношением (9.10). Этот процесс был
изучен Элдриджем и Табором [339] для больших нагрузок,
когда образуется глубокий желоб. При повторяющихся циклах
качения глубина и ширина желоба достигают устойчивых вели-
чин, и это дает основание заключить, что последующие дефор-
мации чисто упругие. Стабилизация размеров желоба не гаран-
тирует истинного достижения приспособляемости, так как пла-
стический сдвиг, параллельный поверхности (ортогональный
сдвиг), может еще иметь место.
Второй эффект, который ведет к приспособляемости, состоит
в деформационном упрочнении. При повторном деформировании
величина k может возрастать, так что нагрузка, которая вна-
чале превышает предел приспособляемости, впоследствии лежит
внутри этого предела. Изложенная теория относится к идеаль-
но пластическим телам, однако возникают некоторые трудно-
сти в приложении ее к материалам с деформационным упроч-
нением. Понтер [298] развил теорию на случай идеализирован-
ного материала, у которого начальное течение происходит при
k — k', но который способен к кинематическому упрочнению
вплоть до предельной величины k — k" (k" > k')9.
Для реализации приспособляемости теорема Мелана долж-
на выполняться при k = k". В то же время течения можно из-
бежать при k = k' путем комбинации напряжений от нагрузки
с остаточными напряжениями, которые не должны удовлетво-
рять уравнениям равновесия. В двумерном случае, который рас-
сматривался выше, единственно возможная система остаточных
напряжений, определяемая уравнением (9.4), автоматически
удовлетворяет уравнениям равновесия, так что предел приспо-
собляемости для кинематически упрочняющегося материала еще
может быть задан уравнением (9.7) с k = k'. Приспособляе-
мость трехмерного контакта изучалась для кинематически упроч-
няющегося материала в [313], а для идеально пластического
материала в [299].
(с) ЦИКЛИЧЕСКОЕ ПЕРЕКАТЫВАНИЕ: НАКОПЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
Когда нагрузка превышает предел приспособляемости, из
предыдущего обсуждения ясно, что следует ожидать ортогональ-
ного пластического сдвига в подповерхностных элементах В и
D (рис. 9.1). Упругие напряжения и деформации в В и D равны
и противоположно направлены, однако эксперименты Крука
[73] и Гамильтона [158] показали, что при свободном качении
полное приращение остаточных сдвиговых напряжений имеет
Р Такая идеализация поведения материала означает, что поверхность те-
кучести «радиуса» k' свободно перемещается в пространстве напряжений,
оставаясь вписанной в фиксированную поверхность радиуса k".
334 Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
место в направлении элемента D, уходящего с площади кон-
такта. При циклическом качении пластические деформации на-
капливаются таким образом, что поверхностные слои сдви-
гаются «вперед», т. е. в направлении течения, относительно
более глубоко расположенных слоев (см. рис. 9.11(a)).
Приближенный анализ упругопластического поведения был
выполнен в [260] с использованием соотношений Рейсса напря-
жения— деформации и распределения деформаций из упругого
решения. При этом компоненты напряжений в элементе на не-
которой глубине могут быть подсчитаны, когда он течет через
деформированную область. При таком подходе условие совмест-
ности деформаций и соотношения между напряжениями и де-
формациями выполняются точно, однако уравнения равновесия
напряжений удовлетворяются приближенно. Однако равновесие
остаточных напряжений, выражаемое уравнением (9.4), соблю-
дается. Предположение, что поле деформаций, включающее пла-
стическую составляющую, такое же, как и без нее, по-види-
мому, разумно, если пластическая зона полностью находится
под поверхностью и, следовательно, окружена упругим мате-
риалом. Это будет иметь место, когда нагрузка не слишком пре-
вышает. предел приспособляемости.
Пусть некоторое число циклов нагружения действует на сво-
бодное от напряжений тело. Остаточные напряжения форми-
руются очень быстро и установившееся состояние' достигается
за 4 или 5 циклов.
Полный численный анализ позволяет проследить изменение
всех компонент напряжений в каждой точке под поверхностью.
Однако существенные компоненты напряжений и деформаций —
это xZx и угх, и поэтому механизм накопления пластических де-
формаций может быть выяснен из простой модели, которая рас-
сматривает только эти компоненты. Стационарный цикл напря-
жений — деформаций изображен на рис. 9.5. Элемент, прибли-
жающийся к нагруженной окрестности, деформируется упруго
от А до Bi, где достигается состояние течения (хгх — +&) За-
тем этот элемент деформируется пластически при постоянном
напряжении, в то время как деформация продолжает непре-
рывно возрастать до максимума yzx = yzx в точке В2. От В2
через состояние С к Di этот элемент разгружается упруго и
деформируется в противоположном, т. е. отрицательном, на-
правлении, пока не достигается Состояние текучести (хгх = —k)
в точке £)j.
Обратные пластические деформации теперь имеют место до
тех пор, пока максимальные отрицательные деформации
Угх — ~Угх не реализуются в £>2- Затем элемент разгружается,
пока не становится свободным от напряжений в точке Е. Он не
свободен от деформаций, так как имеет место приращение от-
§ 9.2. Упругопластические материалы: приспособляемость
335
Рис. 9.5. Накопление пластических деформаций при контакте качения: упро-
щенный цикл ортогональных сдвигов деформаций на глубине z = 0.5а.
рицательных остаточных деформаций (угх)г- Перемещение по-
верхности за один цикл нагружения получается интегрированием
(Tzx)t по глубине пластически деформированного слоя. Резуль-
таты таких расчетов с использованием полного численного ана-
лиза сравниваются с экспериментальными данными на рис. 9.6.
Сопротивление качению может быть определено из расчета
полной пластической работы на единицу пройденного расстояния
качения, когда элементы проходят через пластическую зону.
При первом цикле пластическая зона распространяется на глу-
бину, где упругие напряжения, если бы они могли реализовать-
ся, превышали бы предел пластичности. При установившемся
режиме непрерывные пластические деформации ограничены бо-
лее узким слоем (рис. 9.7). Сопротивление качению тогда зна-
чительно меньше, чем на первом цикле, но значительно больше,
Рис. 9.6. Накопление пластических деформаций сдвига при контакте каче-
ния: сравнение теории [260] с экспериментами: кружки — Cu/Cu; треуголь-
ники— Си/Al; квадраты — Си/сталь.
Рис. 9.7. Остаточные напряжения, возникающие при свободном качении дюр-
алюминиевых роликов. Окружные напряжения (ox)r: 1 — расчет; 2 — экспе-
римент. Осевые напряжения 3 — расчет, 4—эксперимент.
§ 9.3, Качение жесткого цилиндра
337
чем обычно ожидается по теории упругого гистерезиса (см.
рис. 9.13).
Наконец, анализ предсказывает остаточные напряжения
(вх)г и (Gy)r, которые образуются из-за пластических деформа-
ций. Изменение напряжений с глубиной для р0 — 4.8& показано
на рис. 9.7. На этом же рисунке штриховой линией нанесены из-
мерения [297] окружных и осевых компонент остаточных напря-
жений в диске из алюминиевого сплава в условиях свободного
качения. По основным чертам согласование теории и экспери-
мента удовлетворительное; обе компоненты напряжений сжи-
мающие; они возрастают в слое, где рассчитанные по упругому
решению напряжения превышают предел упругости; максималь-
ные значения примерно совпадают на глубине, где т;гх имеет
максимум. Величины измеренных напряжений заметно ниже
рассчитанных. Эти различия, по-видимому, объясняются в основ-
ном тем, что в эксперименте не реализовывались условия пло-
ской деформации.
§ 9.3. Качение жесткого цилиндра
по идеально пластическому полупространству
При высоких нагрузках пластические зоны выходят из-под
катящегося тела на свободную поверхность, так что большие
пластические деформации реальны. В этих условиях можно про-
водить анализ, пренебрегая упругими деформациями и поль-
зуясь теорией жестко-идеально-пластического тела. Общая кар-
тина нагружения катящегося тела приложенными в центре нор-
мальной Р и тангенциальной Q нагрузками, а также моментом
MG показана на рис. 9.8. Ведущее колесо имеет положительный
момент MG, отрицательную силу Q; у ведомого колеса момент
отрицательный, а сила положительная; при свободном качении
Q = 0. Мода пластической деформации зависит от величины и
знака приложенных сил.
Рассмотрим сначала случай положительной силы Q и до-
пустим, что трение достаточно для предотвращения проскальзы-
вания в области контакта. Предположения о несжимаемости
материала и плоской деформации требуют, чтобы при устано-
вившемся движении уровень поверхности не менялся при каче-
нии. Приближенное поле линий скольжения и годограф скоро-
стей получены Манделем [246] для случая, показанного на
рис. 9.9(a). Часть материала основания ODC сцепляется с кат-
ком и вращается вместе с ним относительно мгновенного
центра I, фиксированного в полупространстве. Линия разрыва
скорости находится на линии скольжения АВСО. Из рассмот-
рения годографа ясно, что скорость на свободной поверхности
в точке D несколько больше, чем в точке А, так что действи-
338
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
тельная поверхность AD может быть слегка вогнутой и, следо-
вательно, линии скольжения DB и DC не могут быть в точности
прямыми, как показано. Однако эта ошибка невелика, при усло-
вии что отношение размера области контакта к радиусу катка
a/R не слишком велико.
Рис. 9.8. Контакт качения жесткого цилиндра по жестко-идеально-пластиче-
скому полупространству.
Геометрия поля определяется двумя независимыми парамет-
рами: отношением a/R и углом а. Давление на DC тогда дается
формулой
pDC = k (1 + jt/2 + 2а - 2ф), (9.12)
а на ОС — формулой
рос = k (1 + л/2 + 20 - 2ф). (9.13)
Интегрированием напряжений вдоль DC и СО могут быть опре-
делены силы Р и Q, а также момент Mq. Мандель упростил этот
анализ в случае малых значений a/R с использованием пред-
положения, что деформированная поверхность ADO сохраняется
плоской, тогда ф = 0. Решение в этом случае есть функция
только одной независимой переменной а. Такая аппроксимация
является разумной, когда мгновенный центр I расположен в
окрестности О и угол а велик, что реализуется в режимах, близ-
ких к свободному качению. В условиях резкого торможения,
с другой стороны, угол а становится малым, а ф не является
более малым в сравнении с ним. В предельном случае сцеплен-
ного колеса, которое скользит без вращения, центр / движется
к бесконечности под поверхностью, <х->0 и ф->-л/4. Предельное
поле линий скольжения охватывает малый клин материала, ко-
торый сдвигается вдоль линии АО. Это аналогично скольжению
§ 9.3. Качение жесткого цилиндра
339
(а)
(0
Рис. 9.9. Поле линий скольжения для жесткого цилиндра, катящегося по
жестко-идеально-пластическому полупространству [246]. (а) схема I, (Ь) схе-
ма II, (с) схема III.
340
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Рис. 9.10. Силы и моменты при качении, отвечающие полям линий сколь-
жения на рис. 9.9.
клина, которое рассматривалось в § 7.6(b) и показано на
рис. 7.19(b). В пределе имеем
P = Q = k(fl + a2/2R).
(9-14)
Подсчитывая моменты относительно О, получаем
Мо == MG + QR= '/Ла2^ + a/R + a2/4R2) = >/2P2/fe. (9-15)
Величины Р, Q и Мо были подсчитаны для некоторого диа-
пазона величин а с использованием геометрии поля, показанной
на рис. 9.9(a), вместе с уравнениями (9.12) и (9.13). Соответ-
ствующие результаты нанесены на правой стороне рис. 9.10 в
форме безразмерной зависимости Mok/P2 от Q/Р. Соотношение
определено для a/R = 0.2, но эта кривая почти не зависит от
величины a/R, при условии что a/R не очень велико.
Степень пластической деформации определяется при по-
мощи годографа. В первом приближении точки поверхности в
деформированной зоне имеют горизонтальную скорость движе-
ния справа налево относительно твердого тела, определяемую
равенством ih = ар. Скорость поступательного движения центра
ролика есть V = a(R + р), так что время прохождения точки
поверхности через деформированную зону от А к О определяет-
ся равенством
Т = АН/V ~ (72 г + а)/[® (R + р)],
§ 9.3. Качение жесткого цилиндра
Рис. 9.11. Пластические деформации в контакте качения (а) умеренные
нагрузки — накопление перемещений впереди (см. § 9.2(c)); (Ь) сильные на-
грузки— перемещения назад в одном проходе (см. уравнение (9.16)).
где г —DC, р —/О, как показано на рис. 9.9(a). Пластическое
перемещение А этой поверхности задается равенством Д ==
= — арТ, т. е.
Д Р (а +
R “ /?(/?
йг- <916>
342
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Поверхность полупространства непрерывно перемещается назад
из-за действия катка. Это отличается от поведения при меньших
нагрузках, описанного в предыдущем параграфе, когда действие
окружающего упругого материала заставляло поверхность пе-
ремещаться вперед (см. рис. 9.11).
Следует рассмотреть два частных случая:
(1) Условие свободного качения, определяемого равенством
Q/P = 0 (а — 73.5°); тогда
Мо —Ma=^0A04P2/k. (9.17)
(ii) Условие катка, ведомого вперед горизонтальной силой,
приложенной веточке G (т. е. 7Ио = 0), определяется соотноше-
нием Мо = QR и, следовательно, задается на рис. 9.10 точкой
пересечения кривой линии с прямой, имеющей наклон Rk/P.
Сопротивление качению в этом случае несколько выше, чем при
свободном качении.
Точный анализ деформаций в схеме I, показанной на
рис. 9.9(a), был выполнен Коллинзом [62]. Свободная поверх-
ность AD оказалась правильным вогнутым профилем, а линии
скольжения DC и DB были соответственно искривлены. Точное
решение показано штриховыми линиями на рис. 9.10. Оно зави-
сит от Ма и Q, но отличие от приближенного решения Манделя
невелико. Как отмечено Петриком [295], даже точное решение
Коллинза не является единственным, однако возможный диа-
пазон изменения невелик, за исключением случая высоких на-
грузок, когда достигается предел полного сдвига (Q/P — 1).
Когда I приближается к О и угол а возрастает, материал
справа от СО становится перенапряженным и деформируется
пластически. Новое распределение деформаций не может быть
однозначно найдено. В качестве него Мандель предложил рас-
пределение, показанное на рис. 9.9(b), с разрывом скоростей
вдоль линии DCE и разрывом напряжений в Е. Элемент DCE
сцепляется с катком и вращается с ним относительно мгновен-
ного центра I, который лежит выше точки О. Давление вдоль
СЕ дается равенством
Рсв = {1 + 2а —26—sin (а — л/4)}, (9.18)
а угол р определяется равенством давлений в С, заданных урав-
нениями (9.12) и (9.18). Мандель показал, что переход от пер-
вой схемы деформирования ко второй имеет место при Q/P =
= —0.09. Это изменение сопровождается сильным ростом обла-
сти контакта и сменой знака остаточных деформаций поверх-
ности, которые теперь определяются равенством
Д а (р cos а — г2]а) /п ,
fl- — R(R-p cos а) ' 1». 1У1
§ 9.3. Качение жесткого цилиндра
343
Однако момент Мо непрерывно убывает при переходе от первой,
схемы деформирования ко второй (см. рис. 9.10).
С возрастанием ведущего момента на цилиндре схема де-
формирования меняется вновь, когда а л/4, приобретая те-
перь только разрыв скорости вдоль дуги DE, как показано на
рис. 9.9(c). Исчезающе малый веер углов (л/4— а) имеет свою
вершину в точке Е, в то время как давление на линии скольже-
ния DE определяется равенством
pDE== k(l + л/2 — 20). (9.20)
Интегрированием напряжений вдоль этой линии скольжения
находится зависимость Мо от Q/Р, приведенная на рис. 9.10.
Полный сдвиг, который реализуется при вращении ведущего
колеса, имеет место при а->0, т. е. когда Q/P-*-—1/(1 + л/2)..
Проведенный анализ соответствует случаю полного сцепле-
ния вдоль дуги контакта. В обеих схемах деформирования кон-
тактное давление минимально в точке выхода, так что проскаль-
зывание может ожидаться именно там. Модификация первой
схемы, деформирования, учитывающей микроскольжение на вы-
ходе с дуги контакта, была выполнена Манделем [246], а также
Сегалом [319]. Этот эффект приводит к некоторому уменьше-
нию величины момента Мо на рис. 9.10 и ограничивает предель-
ное значение Q/Р. Полный анализ для случая отсутствия трения
в области контакта был выполнен Маршаллом [248]. В этом
случае MG — 0 и
P2k f Р } . .
= +?(2 + ».)w}- (9'21>
При типичных значениях P/kR = \ уравнение (9.21) дает
Mo/P2k = 0.1. Нанося линию с наклоном 1.0 на рис. 9.10, полу-
чаем Mo/P2k = 0.125, так что полное сцепление приводит
к росту сопротивления качению на 25 % по сравнению со слу-
чаем отсутствия трения.
Измерения Манделя сопротивления качению для стального
цилиндра, движущегося по поверхности из свинца, также при-
ведены на рис. 9.10. Значение k поверхности из свинца было
выбрано так, чтобы приблизить эксперимент к теории в случае
свободного качения (Q = 0), однако теоретический характер из-
менения Мо с Q/Р при постоянной нагрузке хорошо подтверж-
дается экспериментами. Это подтверждает, что нет разрыва в
величине момента Мо при переходе от движения в режиме ве-
дущего колеса к режиму торможения. Измерения сопротивления
качению, и поверхностных смещений [204] для стального ролика
на медном основании в случаях Q = 0 и MG — 0 дали резуль-
таты, приведенные в табл. 9.1. В общем экспериментальные дан-
ные следуют теории Манделя, однако величины сопротивления
344 Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Таблица 9.1
PlkR Q=o MG =0
МС/КР A/R Q/P A/R
0.73 Теория 0.076 -0.013 0.085 -0.030
Эксперимент 0.047 —0.007 0.053 —0.012
1.05 Теория 0.110 —0.017 0.130 —0.042
Эксперимент 0.078 —0.016 0.085 —0.032
качению и поверхностных смещений меньше теоретических. Эта
разница скорее всего объясняется влиянием упругих деформа-
ций, и это подчеркивает, что жестко-идеально-пластический ана-
лиз дает верхнюю оценку сопротивления качению и остаточных
деформаций.
§ 9.4. Качение вязкоупругих тел
Когда напряжения в материале тел при контакте качения
зависят от скорости деформаций, контактные напряжения и де-
формации будут зависеть от скорости качения. Простейшие
определяющие соотношения материала с зависимостью от вре-
мени соответствуют линейной вязкоупругости. Они были рас-
смотрены в § 6.5 в связи с изучением контакта без трения. Даже
в этом случае приложение линейной теории вязкоупругости
к случаю качения непросто, так как соответствующее решение
не может быть получено непосредственно из упругого решения.
Причину возникающих трудностей легко понять. При качении
материал в передней части области контакта сжат, в то время
как на выходе он релаксирует. В абсолютно упругом материале
деформации обратимы, так что и область контакта, и распреде-
ление давлений симметричны относительно центральной линии.
С другой стороны, вязкоупругий материал релаксирует бо-
лее медленно, чем сжимается, так что между телами образуется
зазор в точке, расположенной ближе к центру, чем точка пер-
воначального контакта. Таким образом, на рис. 9.12 Ъ < а,
а разгрузка продолжается после того, как контакт прекратился.
Геометрические условия контакта качения при вязкоупругости,
следовательно, отличны от случая идеально упругих материа-
лов, так что вязкоупругое’ решение не может быть непосред-
ственно получено из упругого решения. Более того, точка раз-
деления тел (х = Ь) не может быть задана заранее; она должна
быть определена как точка, где контактное давление обращается
в нуль.
§ 9.4. Качение вязкоупругих тел
345
Ввиду этих сложностей будем рассматривать одномерный
случай, где вязкоупругое тело моделируется простым вязкоупру-
гим основанием параллельно сжатых и не взаимодействующих
между собой элементов [255]. Рассмотрим контакт жесткого
цилиндра радиуса R без трения, катящегося по такому основа-
нию (рис. 9.12).
Скорость качения есть V, и цилиндры впервые начинают
контактировать с телом при х ——а. Так как нет сдвигового
взаимодействия между элементами основания, поверхности не
Рис. 9.12. Качение жесткого цилиндра по вязкоупругому основанию.
изменяются перед роликом. При обычной аппроксимации для
а С R деформации сжатия элемента основания в точке х опре-
деляются равенством
е = — (б — x2!2R)lh, —a<^x<^b, (9.22)
где б — максимальная глубина внедрения ролика.
Если бы тело было абсолютно упругим с модулем К, кон-
такт был бы симметричен (Ь = а) и напряжения о в каждом
элементе были бы Кг. Распределение давления под роликом и
полная нагрузка определяются уравнениями (4.58) и (4.59).
Для вязкоупругого материала упругий модуль К заменяется
функцией релаксации ЧЦО, как объяснено в § 6.5. Таким обра-
зом, по уравнению (6.51) напряжения в вязкоупругом элементе
в точке х даются равенством
t
р(х, = = 1') dt'. (9.23)'
О
При установившемся качении d/dt = Vd/dx, и, таким образом,
из (9.22) для деформаций имеем дг/dt = Vx/Rh. Подставляя
346
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
в (9.23) и заменяя переменную t на х, получим
X
р(х) = — x'W (х — х') dx'.
—X
(9.24)
Чтобы двигаться дальше, необходимо определить функцию
релаксации для материала. Две простые модели запаздывания
упругости и установившейся ползучести были рассмотрены в
§ 6.5 (см. рис. 6.20). Будем использовать первую из этих мо-
делей, у которой функция релаксации задается уравнением
(6.54):
* W (0 = К (1 + pe-^). (9.25)
Этот материал имеет начальный динамический упругий отклик
с модулем К(1 + (3), однако при статических условиях (усло-
виях релаксации) модуль есть К и Т — время релаксации. Под-
ставляя эту функцию релаксации в уравнение (9.24), меняя
переменную t на х и выполняя интегрирование, получим сле-
дующее выражение для распределения давления:
Р = "Йг [т t1 “ ~ (1 + х/а) +
+ (1 + g) {1 - е~ «+^)/Е}], (9.26)
где g = УТ/а — отношение времени релаксации материала ко
времени, за которое элемент проходит расстояние, равное по-
луширине а области контакта. Его иногда называют числом Де-
боры О.
Давление обращается в нуль при х = —а и падает вновь
до нуля при х = Ь; последнее условие определяет величину
b/а как функцию png.
Нормальная нагрузка находится из соотношения
ь
Р = J р(х)сД = -§рР(р, g), (9.27)
—а
и так как давление теперь асимметрично, то момент сопротив-
ления вращению определяется равенством
ь ’
Г Ка*
М = хр (x)dx~-^-FM (Р, g). (9.28)
—а
*’ Более подробно о числе Деборы (обычно обозначаемом De) и его
использовании см., например, книгу: Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы
гидромеханики .неньютоновских жидкостей. — М.: Мир, 1978. — 309 с. — Прим,
ред.
§ .4. Качение вязкоупругих тел
347
50=КТ/а0
(Ъ)
Рис. 9.13. Качение жесткого цилиндра по вязкоупругому полупространству
(₽= 1). (а) Размеры области контакта, (Ь) сопротивление качению. Сплош-
ная линия — полное решение [179]; штриховая линия — модель вязкоупру-
гого основания, уравнения (9.26)—(9.29); пунктирная линия — тангенс угла
энергетических потерь, уравнение (9.36).
Таким образом, коэффициент сопротивления качению опреде-
ляется в виде
= M/(PR) = (a/R) Fr (р, Q. (9.29)
Вычисления были выполнены для материала с р = 1.0; вели-
чины b/а и ця нанесены на рис. 9.13 как функции £0 = VT/ай,
где Оо — полуширина области контакта в статике. Эта диаграм-
ма демонстрирует основные особенности вязкоупругого контакта
качения.
При низких скоростях качения, когда время прохождения
области ' контакта больше времени релаксации материала
(?с< 1), распределение давления (9.26) и нагрузка (9.27) при-
ближаются к соответствующим случаю идеально упругого ма-
териала с модулем К и задаются уравнениями (4.58), (4.59)..
Момент 714 близок к нулю.
348 Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
При очень высоких скоростях (£0 1) распределение дав-
ления и нагрузка вновь приближаются к случаю упругости, но
с динамическим модулем упругого основания К(1 + р). Релак-
сационные эффекты важны лишь в случаях, когда, грубо го-
воря, время прохождения области контакта равно времени ре-
лаксации (So ~ 1). При этих условиях площадка контакта ста-
новится существенно асимметричной и реализуется максимум
момента сопротивления. Подобный анализ для жесткой сферы,
катящейся по вязкоупругому основанию, был выполнен Фломом
и Буше [108].
Этот анализ был проведен для жесткого цилиндра, катя-
щегося по вязкоупругому полупространству. Так же как и в
теории упругости, это справедливо и при качении вязкоупругого
цилиндра по жесткому основанию. Подобный анализ может
быть проведен для двух вязкоупругих тел, если эквивалент-
ная функция релаксации выражается рядом из комбинаций ма-
териальных элементов каждого из тел. Подходящее значение
отношения K/h для основания может быть получено сравнением
статических деформаций с герцевскими, как это обсуждалось
ГВ' § 4.3.
Полное решение задачи качения жесткого цилиндра по вяз-
коупругому полупространству было получено Хантером [179]
для материалов с одним временем релаксации. Иной метод, ко-
торый приложим к случаю контакта двух вязкоупругих тел, об-
ладающих функциями релаксации общего вида, был развит
Морландом [270, 271], однако для получения с его помощью
результатов необходимы трудоемкие вычисления.
Для жестких цилиндров, катящихся по основанию из мате-
риала с простейшей функцией релаксации вида (9.25), реше-
ния Хантера и Морланда совпадают. Результаты для материала
с постоянным коэффициентом Пуассона v и |3 — 1 приведены
на рис. 9.13, где они сравниваются с расчетами по одномерной
модели упругого основания. Качественное поведение решения
по простой модели близко к полученному путем полного ана-
лиза; контактная область существенно асимметрична, а сопро-
тивление качению максимально при числе Деборы, близком к
единице. Максимум момента сопротивления ниже для модель-
ной задачи, так как в ней не учитывается рассеяние энергии
при сдвиге между элементами и этот максимум достигается
при несколько меньших значениях VT/a0, так как длина дефор-
мированной зоны в модельной задаче меньше, чем для полу-
пространства.
Материалы с несколькими временами релаксации имеют
максимум сопротивления качению, если время прохождения дли-
ны контактной дуги совпадает с одним из времен релаксации.
§ 9.5. Трение качения
349
§ 9.5. Трение качения
Идеальный контакт качения не должен давать сопротивле-
ния движению, однако в действительности энергия рассеивает-
ся различными путями, что приводит к «трению качения». Боль-
шая часть результатов в этой и предыдущей главах, касалась
выяснения точного механизма сопротивления качению. Таким
-образом, представляется разумным заключить настоящую гла-
ву суммированием наших представлений об этом механизме.
.Различные источники рассеяния энергии при качении могут
быть классифицированы следующим образом: (а) реализую-
щиеся при микроскольжении и трении в области контакта, (Ь)
возникающие из-за несовершенной упругости материала, (с)
-сопротивление из-за шероховатости поверхностей качения. Рас-
смотрим каждое из них последовательно.
«Свободное качение» рассматривалось как движение в от-
сутствие результирующей тангенциальной силы. Сопротивление
качению проявляется благодаря моменту Му, который полу-
чается из-за асимметрии эпюры давления: более высоким дав-
лением на передней части области контакта, чем на задней. Зад-
ние колеса экипажа, однако, вращаются в опорах предположи-
тельно без трения и сопротивление качению преодолевается
тангенциальной силой Qx, приложенной к опоре и уравновеши-
ваемой в области контакта.
При условии что сопротивление качению мало (Qx С Р), эти
два режима укладываются в обычную аппроксимацию теории
малых деформаций, т. е. до величин порядка a/R. Тогда удобно
записать сопротивление качению в виде безразмерного коэффи-
циента pR, выраженного через скорость диссипации энергии ТС7:
_ Му _ Qx _ Г
PR ~~ Р ~ PV '
(9.30)
Величина ХГ/V есть диссипация
лого пути.
энергии на единицу пройден-
(а) МИКРОПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ В ОБЛАСТИ КОНТАКТА
Было показано (§ 8.2), что микропроскальзывание в обла-
сти контакта имеет место при контакте качения тел с различ-
ными упругими постоянными. Сопротивление, возникающее по
этой причине, зависит от разницы упругих постоянных, выра-
жаемой параметром |3 (см. уравнение (5.3)), а также коэффи-
циента трения скольжения ц. Сопротивление качению достигает
максимума:
= 15 ’ 10"4fW) (9-31)
350
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
при p/р. л; 5. Так как для типичных комбинаций упругих по-
стоянных р редко превышает 0.2, то сопротивление качению,
вызванное указанной причиной, крайне мало.
Часто предполагалось, что микропроскальзывание возникает
также, когда различны кривизны двух тел. Легко видеть, что
разница в деформациях этих двух поверхностей будет второго
порядка по a/R и, следовательно, пренебрежимо мала в тео-
рии малых деформаций. Частный случай представляет собой
качение шара по прилегающему желобу. Максимальное сопро-
тивление качению дается (§ 8.5) формулой
s =-й °-08^ <9-32>
Форма эллипса контакта (b/а) есть функция прилегания шара
и желоба; если степень близости высока, как в шариковом под-
шипнике, то Ъ а и сопротивление качению, вызванное этой
причиной, становится существенным.
При качении с тангенциальной силой, когда возникают боль-
шие передаваемые между телами силы и моменты, не суще-
ственно, в какой форме выражать сопротивление качению —
через Qx или My/R.- Тем не менее энергия диссипируется при
микропроскальзывании, и для сравнения со случаем свободного
качения обычно вводится эффективный коэффициент сопротив-
ления качению = ХГ/ИР. Это определяет меру снижения эф-
фективности тягового устройства: ремня, ведущего колеса и
зубчатой передачи. В случае ведущего ремня (§ 8.1) момент М
передается между двумя валами, однако ведомый вал движет-
ся несколько медленнее, чем ведущий, и по разности входящей
и выходящей мощностей можно подсчитать диссипацию энергии
от микропроскальзывания. Именно
<мз>
где g — относительное проскальзывание. Этот подход справед-
лив и для качения под действием тангенциальной силы других
упругих тел. Для катящихся цилиндров, передающих танген-
циальную силу Qx, относительное проскальзывание задается
уравнением (8.26) и, следовательно,
PrSSW/VP = ^{1 -(1 -Q>P)iP}A;
« 4 (Qx/P)2 (a/R) для (Qx/P) < g, (9.34a)
pR=p2(a/R) для (Qx/P) — p,. (9.34b)
Подобные выражения для эффективного сопротивления качению
сферических тел, передающих тангенциальные силы Qx или Qy,
§ 9.5. Трение качения
351
могут быть получены из уравнений проскальзываний (8.45) и
(8.46). Если приложенная сила мала в сравнении с предельным
значением силы трения, то из (9.34а) ясно, что энергетические
потери невелики, однако с наступлением проскальзывания по-
тери становятся существенными, особенно если коэффициент
трения высок.
Наконец, микропроскальзывание порождается верчением.
Угловая скорость верчения со2 вызывает момент сопротивления
Мг, определяемый при малых со2 уравнением (8.43). При боль-
ших значениях верчения момент сопротивления возрастает до
максимальной величины ЗлрРа/16 для круговой площадки кон-
такта, тогда
(9.35)
что приводит к существенному снижению эффективности пере-
дач с контактом качения.
(Ь) НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ МАТЕРИАЛА
Кроме частных случаев, рассмотренных выше, сопротивление
•свободному качению в основном определяется неупругими дет
формациями одного или обоих тел. В этом случае энергия рас-
сеивается внутри тел на глубине, соответствующей максималь-
ному сдвигающему напряжению от контактных нагрузок, а не
на контакте. В материалах, имеющих плохую теплопровод-
ность, высвобождение энергии под поверхностью может приве-
сти к высоким внутренним температурам и разрушению от тер-
мических напряжений [359].
Поведение металлов обычно отличается от поведения неме-
таллических тел. Неупругие свойства металлов (и твердых кри-
сталлических неметаллических тел) определяются движением
дислокаций, которое при нормальных температурах слабо за-
висит от значения температуры или скорости деформации. Те-
дам низкой плотности, таким, как резины или полимеры, при-
суще вязкоупругое деформирование, сильно зависящее от тем-
пературы и скорости деформации.
На рис. 9.14 показаны характеристики сопротивления каче-
нию для материала, имеющего на диаграмме, типичной для
металлов с высокой твердостью, упругий участок, заканчиваю-
щийся резко выраженным пределом текучести, за которым на-
ступает не зависящее от времени пластическое течение. Безраз-
мерное сопротивление качению G\tR/k нанесено на этом ри-
сунке в зависимости от безразмерного параметра нагрузки
для контакта жесткого цилиндра с деформируемым
основанием, где G модуль сдвига, а' k — предел текучести
352
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Рис. 9.14. Сопротивление качению жесткого цилиндра по упругопластиче-
скому телу: 1 — жесткопластическое решение; 2 — упругоплас'тическое реше-
ние; 3 — упругий гистерезис.
при сдвиге. При низких нагрузках деформация преимуществен-
но является упругой и сопротивление качению определяется
уравнением упругого гистерезиса (9.2). Коэффициент гистере-
зисных потерь а, найденный из эксперимента, в общем случае
порядка нескольких процентов.
Предел упругости достигается при первом прокатывании при
нагрузке, определяемой уравнениями (6.5) и (6.7), но после
повторных прокатываний непрерывные пластические деформа-
ции имеют место, только если нагрузка превышает предел при-
способляемости, определяемый уравнением (9.9). Сопротивле-
ние из-за стесненной пластической деформации было определено
Мервином и Джонсоном [260] для нагрузок, не слишком пре-
вышающих предел приспособляемости. При высоких нагрузках,
когда пластическая деформация больше не стеснена, т. е. до-
стигаются условия полной пластичности, сопротивление каче-
нию может быть определено по жесткопластической теории
Манделя. Начало полной пластичности не может быть точно
установлено, однако из условий статического вдавливания, где
Р/2а ш 2.6 и Ea/YR » 100, вытекает, что она наступает при
§ 9.5. Трение качения
353
GP/(&R)^ 300. Экстраполяция в упругопластическую зону до-
полняет картину. Эксперименты Гамильтона [158] показали,
что упругопластическая теория, в которой пренебрегается поте-
рями в упруго-деформированном материале, занижает сопро-
тивление качению, в то время как эксперименты Джонсона и
Уайта [204] показали, что жесткопластическая теория, в кото-
рой пренебрегается упругими деформациями, завышает сопро-
тивление качению. Тем не менее общее согласие теории и экс-
перимента удовлетворительное, и рисунок показывает, что
резкий рост сопротивления качению можно ожидать, когда пла-
стическая зона, непрерывно изменяясь, развивается под поверх-
ностью.
Поведение вязкоупругих материалов несколько иное. В пре-
дыдущем параграфе было показано, как можно проанализи-
ровать сопротивление качению простого линейного вязкоупру-
гого материала. К сожалению, большинство вязкоупругих ма-
териалов нелинейно и, кроме того, их релаксация обычно не
может быть описана в терминах одного времени релаксации,
как в моделях, показанных на рис. 6.20. Однако возможен обыч-
ный эмпирический подход с использованием выражений (9.2) и
(9.3) для сопротивления качению и привлечением коэффициента
гистерезисных потерь а. Наиболее общий метод измерения ги-
стерезисных свойств вязкоупругих материалов состоит в измере-
нии диссипации за цикл деформаций как функции частоты. Ре-
зультаты этих измерений обычно выражаются через тангенс
угла потерь 6, где б — фазовый угол между напряжениями и
деформациями. Сопоставляя значения tg б с сопротивлением
качению, можно сравнить гистерезисную теорию с полным ана-
лизом (§ 9.4) для простого материала с функцией релаксации
(9.25). Для такого материала тангенс угла потерь равен
tg б (со) = М7{ 1 + (1 + ₽) со2?’2}, (9.36)
где Т — время релаксации материала. Это соотношение для
Р = 1 сравнивалось с изменением сопротивления качению в
зависимости от числа Деборы £о — VT/a0 на рис. 9.13(b). Кри-
вые подобны по форме. Их пики могут быть сделаны совпадаю-
щими при оТ, равном 1.83£, т. е. когда период цикла дефор-
маций приблизительно равен времени прохождения элемента
материала через зону контакта. Эти пики совпадают, если вели-
чина а в уравнении (9.2) выбирается равной 2.6 tg б. Таким пу-
тем сопротивление качению для вязкоупругих материалов мо-
жет быть определено по измерениям тангенса угла потерь на
цикле деформаций при условии, что уровень напряжений сдви-
га, при котором производятся эксперименты, приблизительно
такой же, как в контакте качения.
354
Гл. 9. Контактирование при качении неупругих тел
Изменение с температурой гистерезисных потерь в вязкоуп-
ругих материалах связано с их зависимостью от частоты, так
что'может быть получена единая кривая зависимости tg6 от
где ат — функция сдвига Вильямса — Ландена — Ферри,
определяемая, например, в виде
1пог= cf+V-ee.) <9'37’
6S = 6g+ 50, где 0g — температура стеклования, a Cj и С2 —
постоянные для данного полимера (см. [360]) °. С использова-
нием (9.37) можно показать, что изменение гистерезисных по-
терь с температурой может быть определено по зависимости их
от частоты. Измерения Лудемы и Табора [241] зависимости
трения качения от температуры при постоянной скорости пока-
зали, что они следуют изменению гистерезисных потерь с тем-
пературой при постоянной частоте.
(с) ШЕРОХОВАТОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ
Из повседневного опыта вытекает, что сопротивление каче-
нию колеса выше на шероховатой поверхности, чем на гладкой,
однако этот аспект не получил достаточного аналитического
описания. Шероховатости поверхности влияют на трение каче-
ния двояко. Во-первых, при этом возрастают истинные контакт-
ные давления, так что возникают локальные пластические де-
формации, даже если напряжения в объеме тела находятся в
пределах упругости. Если взаимодействующая поверхность твер-
дая и гладкая, то шероховатости будут деформироваться пла-
стически при первом проходе, однако далее их деформация
существенно ближе к упругой. Уменьшение сопротивления каче-
нию при повторных циклах качения было экспериментально об-
наружено Хэллингом (155). Во-вторых, шероховатости влияют
на сопротивление благодаря рассеянию энергии при их взаимо-
действии. Это становится существенным для твердых шерохо-
ватых поверхностей при небольших нагрузках. Центр масс катя-
щегося тела движется вверх и вниз при продвижении вперед,
что приводит к нестационарности процесса. Измерения силы
сопротивления [89] показали очень большие высокочастотные
флуктуации: энергия диссипируется при частых небольших уда-
рах шероховатостей контактирующих поверхностей. Это напо-
минает качение колеса повозки по булыжной мостовой. Из-за
диссипации энергии при ударе сопротивление качению возрас-
тает при увеличении скорости качения.
15 Подробнее о принципе температурно-временной эквивалентности см., на-
пример, в книге: Ферри Дж. Вязко-упругие свойства полимеров. — М.: ИЛ,
1963.—535 с. — Прим. ред.
кг;
Каландрирование и смазка
§ 10.1. Упругая полоса между валками
Многие процессы включают в себя прохождение полосы или
листа материала, сопровождающееся сжатием между валками.
В этом параграфе будет рассматриваться полоса идеально уп-
ругого материала и определяться напряжения в ней, длина дуги
контакта с валком, максимальное вдавливание полосы и точ-
ная величина скорости, которую полоса приобретает в процессе
сжатия в зависимости от скоростей точек поверхностей валков.
Если полоса широкая, а валки длинные в осевом направлении,
то естественно рассматривать плоское деформированное со-
стояние.
Статическое вдавливание в полосу жестких цилиндров без
трения кратко рассматривалось в § 5.8. Напряжения в упругой
полосе при симметрично приложенном с двух противополож-
ных сторон давлении были получены Снеддоном £327] через
преобразование Фурье. Форма соответствующих интегралов не-
удобна (см. уравнение (5.65)), и в большинстве задач требует-
ся проделать трудоемкие вычисления для получения решения.
Однако, когда толщина полосы 2Ь значительно меньше дуги
контакта 2а, иногда возможно элементарное решение. Ситуация
осложняется наличием трения между полосой и валками. За-
дачу можно проанализировать для случаев: (а) отсутствия тре-
ния (р = 0) и (Ь) полного сцепления (р->со), однако изуче-
ние контакта качения приводит к мысли, что реально на дуге
контакта должны возникать зоны сцепления и скольжения.
Сначала рассмотрим случай, когда модуль упругости по-
лосы того же порядка, что у валков. Запишем
С
(Ю.1)
1—а’
где а определяется уравнением (5.3а), а индексы 1, 2 относятся
соответственно к полосе и валкам. Если полоса толстая
(Ь а), то она будет деформироваться подобно полупростран-
ству и контактные напряжения приближаются к величинам,
определенным в § 8.2. При равных упругих постоянных дефор-
мации определяются по Герцу, в противном случае трение при-
356
Гл. 10. Каландрирование и смазка
водит к тангенциальным напряжениям, которые в отсутствие
проскальзывания задаются уравнением (8.15).
Для другого крайнего случая, когда b » а, деформация по-
казана на рис. 10.1. Сжатие валков теперь значительно больше,
Рис. 10.1. Сжатие тонкой упругой полосы упругими валками.
чем полосы, так что давление вновь аппроксимируется герцев-
ским, т. е.
(10.2)
Можно принять, что при деформировании полосы выполняется
гипотеза плоских сечений, так что
-vQp(O) 2b(l-v?)P
£i ла£1
Если деформированные поверхности полосы аппроксимировать
дугами окружности радиуса R', то
1 2d 4&(1 —у2''0
Ц' а2 лаэ£1
Валки меняют кривизну от R до R', так что по уравнению (4.43)
2 4Р(1~
а=—5ЙЁ7
d =
(10.3)
1
7?
Исключая R' ИЗ (10.3) и (10.4), получаем
(Ю.4)
(10.5)
где a0 = {4W?(l — — полуширина области контакта для
очень тонкой полосы.
При отсутствии трения продольные напряжения в полосе <ух
либо обращаются в нуль, либо равны некоторому внешнему рас-
тяжению полосы. Из-за уменьшения толщины полоса продольно
§ 10.1. Упругая полоса между валками
357
расширяется; в то время как поверхность валков сжимается в
соответствии с теорией Герца, так что напряжения трения q(x)'
возникают (действуя внутри полосы) независимо от того, оди-
наковы материалы валков и полосы или нет. Для равновесия
элемента полосы имеем
(10-6>
Проскальзывание между валками и полосой определяется урав-
нением (8.3). Если проскальзывания нет, то уравнение (8.3)
сводится к следующему:
(10.7)
дх дх ’ ' '
где g— относительное проскальзывание (V)— Е2)/Га полосы
относительно поверхности валков. Продольная деформация в
полосе определяется равенством
— 2 z- X
(10.8)
дх Et х 1 1 — Vi ' ' ') ' '
s. поверхностные деформации валка в пределах дуги контакта
даются уравнением (2.25а). Для тонкой полосы можно при-
нять, что распределение давления герцевское (10.2). Выражения
(10.8) и (2.25а) для деформаций в полосе и валках можно под-
ставить в уравнение (10.7), которое вместе с (10.6) приводит
к интегральному уравнению относительно касательных напря-
жений q(x). Это уравнение будет удовлетворено при
<7 (*) = (1 — i + а ) 27 Р° (д2_х2)1/2 ’ (10.9)
где р определяется из (5.3b). Это выражение для q(x) справед-
ливо вдали от концов дуги контакта, однако бесконечные значе-
ния давления при х = ±а являются следствием гипотезы пло-
ских сечений. Фактически давление обращается на концах
в нуль.
Полный численный анализ этой задачи был выполнен в [32]
для некоторого диапазона значений b/а; соответствующие ре-
зультаты приведены на рис. 10.2. Контактные напряжения близ-
ки к распределению Герца при всех значениях b/а. Напряжения
трения равны нулю в крайних случаях, т. е. для толстых и тон-
ких полос. Они достигают максимума при Ъ/а » 0.25. Хотя
касательные напряжения q(x) и обращаются в нуль при х =
= ±а, в отсутствие проскальзывания отношение q(x)/p(x) до-
стигает больших значений. Это означает, что некоторое микро-
проскальзывание, по-видимому, возникает на концах дуги кон-
такта.
358
Гл. 10. Каландрирование и смазка
Картина микропроскальзывания зависит от отношения упру-
гих постоянных полосы и валков. Если материалы одинаковы
или если валки более податливы (0 0), то. тангенциальные
напряжения всегда направлены внутрь, а расположение трех
участков проскальзывания независимо от толщины полосы по-
добно тому, которое имеет место для двух цилиндров из раз-
личных материалов (рис. 8.2). Распределение контактных на-
пряжений, а также разность |ox— oz| в срединной плоскости
полосы показаны на рис. 10.3 для 0 = 0; 6/а = 0.1 и р = 0.1.
Рие. 10.2. Упругая полоса между упругими валками: полуширина области
контакта а, вдавливание d и относительное проскальзывание g (С = 1,
Р — 0, Vi = v2 = 0.3).
Проскальзывание имеет место в одинаковых направлениях на
входе и выходе, а участок проскальзывания обратного направ-
ления расположен у выхода. Проскальзывание не влияет ни на.
ширину области контакта а, ни на сближение d, однако относи-
тельное проскальзывание чрезвычайно чувствительно к величине
коэффициента трения (рис. 10.2).
Когда полоса более податлива, чем валки (0 > 0), каса-
тельные напряжения трения действуют наружу для толстых по-
лос и внутрь для тонких, так что картина проскальзывания за-
висит от толщины полосы, однако она такая же, как показано
на рис. 10.3 для тонких полос.
Выше мы рассмотрели случаи, когда упругие постоянные по-
лос и валков одного порядка, например когда металлическая
полоса сжимается металлическими валками. Несколько иная
картина имеет место, когда валки относительно жестче, чем по-
лоса, особенно если она несжимаема, например когда резиновый
лист сдавливается металлическими валками. Для достаточно
толстых полос контактные напряжения приближаются к зна-
чениям, которые имели место для вдавливания жесткого цилинд-
§ 10.1. Упругая полоса между валками
359
Рис. 10.3. Упругая полоса между валками (С = 1, 0 = 0, Vi = v2 = 0.3).
(а) Распределение давления р(х) и тангенциальные напряжения <?(х);
(Ь) разность напряжений |ох— ау|.
ра в упругое полупространство. Тонкая полоса, сжимаемая без
трения между валками, ведет себя подобно упругому слою,
опертому без трения на основание и сдавливаемому без трения
цилиндрическим телом. Эта задача рассматривалась в § 5.8.
Однако, когда учитывается трение между валками и полосой,
.простые решения, основанные на предположении об однород-
ности деформаций, не удовлетворительны.
Полное численное решение для С = 1000 и vi = 0.5 при усло-
виях отсутствия проскальзывания представлено на рис. 10.4.
Для несжимаемого материала в контакте с относительно же-
стким телом р = 0, так что решение для полупространства, пре-
Рис. 10.4. Деформация без проскальзывания несжимаемой
упругой полосы относительно жесткими валками (С = 1000,
Р = 0, Vi = 0.5, va = 0.3). (а) Распределение давления и
касательных напряжений; (Ь) отношение q(x)!p(x).
§ 10.2. Начало пластического течения в тонкой полосе
361
дельное при b 3> а, не включает напряжений трения, а напря-
жения и деформации определяются по Герцу. Более тонкие во-
лосы испытывают продольное сжатие, что приводит к появле-
нию направленных внутрь касательных сил. Отношение
g(x)/p(x), показанное на рис. 10.4(b), определяет значение
коэффициента трения, необходимое для предотвращения про-
скальзывания на концах дуги контакта. Для b т 0.25а распре-
деление давления, показанное на рис. 10.4(a), примерно пара-
болическое, что подтверждается уравнением (5.71). Для
Рис. 10.5. Деформация несжимаемой упругой полосы относительно жесткими
валками (С = 1000, (3 = 0, Vi = 0.5, V2 = 0.3). Полуширина области кон-
такта а, вдавливание d и относительное проскальзывание Сплошная ли-
ния — отсутствие проскальзывания (р. = оо); штриховая линия — отсутствие
трения (р. = 0); величины отнесены к а<».
Ь » 0.1а распределение давления для несжимаемого материа-
ла становится колоколообразным, грубо говоря, отвечающим
уравнению (5.75). Дальнейшее уменьшение толщины полосы
приводит к тому, что существенными становятся деформации
валков. В пределе, когда Ъ исчезающе мало, деформации опре-
деляются валками; напряжения вновь даются теорией Герца
для контакта двух одинаковых цилиндров, так что касательные
силы трения также отсутствуют. Изменение ширины зоны кон-
такта, степени вдавливания и относительного проскальзывания
в зависимости от ширины полосы приведено на рис. 10.5.
§ 10.2. Начало пластического течения в тонкой полосе
В металлургическом производстве тонкие листы получают
на прокатных станах из толстых заготовок путем пластических
Деформаций. Этот процесс будет рассматриваться ниже в § 10.3,
362
Гл. 10. Каландрирование и смазка
однако предварительно требуется изучить условия, необходи-
мые для начала пластического течения в полосе между вал-
ками. Толстая заготовка может быть аппроксимирована полу-
пространством, так что начальное пластическое течение (по
критерию Треска) наступает, когда максимальные контактные
упругие напряжения ро достигают 1.67У (уравнение (6.4)), где
У—предел текучести при сжатии материала заготовки. В тон-
кой полосе между валками, как показано на рис. 10.1, будет
начинаться течение, когда
lax-aJmax^y”. (10.10)
При сжатии без трения <ух близко к нулю и az — —р, так что
течение в этом случае имеет место, когда р0 ~ У; это значение
ниже, чем для толстой заготовки. Однако из опыта известно,
что для пластического течения в тонкой полосе необходимы
очень высокие контактные давления. Касательные напряжения
трения действуют внутрь в направлении середины участка кон-
такта (см. уравнение (10.9) для полоски, сцепленной с поверх-
ностью валка), что вызывает сжимающие продольные напря-
жения (Ух, приводящие к течению.
Подробные вычисления напряжений в срединной плоскости
полоски были выполнены Джонсоном и Бенталлом [196] для
|i = 0, 0.1 и для случая отсутствия проскальзывания (ц->оо).
Типичный характер изменения величины |ox—стг| в зависимо-
сти от величины сжатия показан на рис. 10.3(b). Влияние тре-
ния на значение |ox— оДтах очень заметно. На рис. 10.6 для
различных значений h приведена в безразмерном виде нагрузка
Py, вызывающая пластическое течение и полученная с исполь-
зованием критерия текучести (10.10). Наиболее удивительным
является влияние трения на увеличение нагрузки, вызывающей,
течение в тонкой полосе.
Зарождение течения не обязательно ведет к заметным пла-
стическим деформациям. Если пластическая зона полностью
охвачена упругим материалом, то пластические деформации
ограничены величинами, равными по порядку упругим дефор-
мациям. Точка зарождения течения (где |ох — oz|max) лежит
ближе к краю зоны сжатия в середине участка проскальзыва-
ния, обозначенной на рис. 10.3 через L. На этом участке полоса
движется быстрее, чем валки. Если при обжатии должно проис-
ходить непрерывное уменьшение толщины полосы, то она при
*> Использование этого критерия предполагает, что ау — среднее по ве-
личине из главных напряжений. Для очень тонких полос это неверно, поэтому
в действительности течение возникает из-за растекания материала в боковом
направлении. Однако в условиях плоской деформации такие пластические
деформации пренебрежимо малы.
§ 10.2. Начало пластического течения в тонкой полосе
363
Рис. 10.6. Нагрузка, вызывающая первоначальное течение, Ру и нагрузка,
вызывающая нестесненную пластическую деформацию, PF при прокатке по-
лосы толщины h.
обжатии движется быстрее, чем валки. Для того чтобы это име-
jio место, второй участок сцепления и последняя зона противопо-
ложно направленного проскальзывания, полученная из упругого
решения (рис. 10.3(a)), должны исчезнуть. Средний участок
проскальзывания, где происходит пластическая разгрузка, бу-
дет распространяться к выходу из зоны обжатия. Тогда мо-
гут быть определены распределение контактных напряжений и
соответствующее изменение | ст.» — ог|, сравнимые между собой
при единственной зоне проскальзывания на выходе. Величина
|ox —oz|max имеет равные максимумы в начале и конце уча-
стка сцепления, так что пластическое течение начинается в точ-
ке F на рис. 10.3. Полагая | <ух — ог| тах = У для этого случая,
приходим к величине нагрузки Pf, при которой начинается не-
стесненное пластическое течение. Изменение Р? с шириной по-
лосы (при р. = 0.1) приведено также на рис. 10.6. Оно показы-
вает, что нагрузка, при которой осуществляется переход к за-
метной пластической разгрузке, почти вдвое выше нагрузки
зарождения течения. Эффект влияния трения на предупреж-
дение пластического течения в очень тонких полосах вновь ясно
проиллюстрирован. Наложение внешнего растяжения в полосе
уменьшает продольное сжатие, вызванное трением, и пластиче-
ское течение наступает раньше.
364
Гл. 10. Каландрирование и смазка
§ 10.3. Пластическая прокатка полосы
Когда металлическая полоса проходит через прокатный стан
с целью существенного уменьшения толщины, пластические де-
формации обычно большие по сравнению с упругими, так что
материал может рассматриваться как жестко пластический.
В первом приближении упругими деформациями валков также
можно пренебречь. При непрерывном пластическом течении про-
катываемая полоса выходит из зоны обжатия со скоростью
более высокой, чем при входе в нее. Эти скорости обратно про-
порциональны толщинам, если деформация в поперечном на-
правлении к прокатке отсутствует. Ясно, что проблема про-
скальзывания ii сцепления валков и полосы, которая обсужда-
лась в предыдущих главах, возникает и в исследовании про-
цессов прокатки металлов. При горячей прокатке отсутствие
смазки и низкий предел текучести металла вообще означают, что
предельные напряжения трения на поверхности контакта пре-
вышают предел текучести в полосе при сдвиге, так что про-
скальзывание в обычном смысле должно отсутствовать.
Именно для условий отсутствия проскальзывания, имеющих
место при горячей прокатке, был сделан возможно полный ана-
лиз процесса. В предыдущем параграфе было показано, что
контактное трение способствует переходу к пластичности, так
что при холодной прокатке полосу специально смазывают во
время ее прохождения через валки для облегчения проскальзы-
вания. На входе полоса движется медленнее, чем поверхности
валков, так что она проскальзывает назад; на выходе полоса
движется быстрее, так что она проскальзывает вперед. В неко-
торой точке области обжатия (называемой «нейтральной точ-
кой») полоса движется с той же скоростью, что и валки. В этой
точке проскальзывание и напряжение трения меняют направ-
ление. В действительности, однако, нельзя ожидать, что это
изменение происходит в точке.
В последнем параграфе при рассмотрении прокатки тонкой
упругой полосы между упругими валками мы видели, что пла-
стические деформации и проскальзывание будут инициироваться
на входе и выходе; между ними находится зона сцепления и от-
сутствия пластических деформаций. Представляется возмож-
ным, что малая зона сцепления будет продолжать существо-
вать, даже если значительное пластическое уменьшение тол-
щины будет иметь место во всей зоне обжатия. Современные
теории холодной прокатки, которые ограничиваются представ-
лением о нейтральной точке, следует интерпретировать как ре-
шения с полным проскальзыванием (см. гл. 8 и 9).
Полное решение задачи плоского деформирования жестко-
идеально-пластического материала требует построения поля ли-
§ U.3. Пластическая прокатка полосы
ний скольжения!). До сих пор оно было построено лишь для
условия отсутствия проскальзывания, что имеет место при горя-
чей прокатке. Перед получением этого решения проанализируем
элементарные теории, относящиеся к случаям наличия и отсут-
ствия проскальзывания, восходящие к Карману [220].
Геометрия прокатываемого тела и валков в зоне контакта
в пренебрежении их упругими деформациями показана на
рис. 10.7. Среднее значение продольного (сжимающего) напря-
жения в полосе обозначим через дх, а поперечные напряже-
ния— через й2. Из условия равновесия элемента получаем
<уг dx, = (р cos <р + q sin <р) R dq>, (10.11)
d (hox) = (p sin Ф — q cos ф) 27? dq>. (10.12)
*> При теоретическом описании процесса прокатки используются и упруго-
пластические модели. См., например, книгу: Ковалев С. И., Корягин Н. И.,
Ширко И. В. Напряжения и деформации при плоской прокатке.—М.: Метал-
лургия, 1982.—255 с., где имеется библиография по этому вопросу. — Прим,
ред.
366
Гл. 10. Каландрирование и смазка
При этом простейшем исследовании предполагается, что в пла-
стической зоне дх и аг связаны критерием текучести
cz — dx — 2k. (10.13)
Это упрощение приводит к однородному полю напряжений в
элементе, что неверно для поверхности полосы, где действуют
касательные напряжения трения. Несмотря на это, путем ком-
бинации уравнений (10.11)—(10.13) получаем
{h (р + q tg Ф — 2k)} = 2R (р sin ф — q cos ф). (10.14)
Это — уравнение Кармана. Можно непосредственно проинтегри-
ровать численно это уравнение (см. [9]), чтобы найти измене-
ние контактного давления р(ф), если условия трения в области
контакта известны. До того как стали использоваться электрон-
ные вычислительные машины, были, однако, предложены раз-
личные упрощения уравнения Кармана для облегчения интег-
рирования. Для относительно больших валков разумно принять
sin ф ш ф, cos ф = 1 и т. д. и сохранить члены только первого
порядка по ф. Профиль валка при этом аппроксимируется кри-
вой
/г~/го + Яф2~ (Ю.15)
Выполняя такую аппроксимацию в (10.14), пренебрегая членом
q tg ф по сравнению с р, переходя от переменной ф к х, получим
= (10Л6)
Кроме того, удобно, пренебрегая членами второго порядка по
Ф, заменить h средней толщиной h — 1/z(ho + hi). Для того
чтобы продвинуться дальше, надо задать напряжение трения q.
(а) ГОРЯЧАЯ ПРОКАТКА — ОТСУТСТВИЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
Для горячей прокатки предполагается, что q достигает пре-
дела текучести материала при сдвиге k по всей дуге контакта.
Уравнение (10.16) переходит в следующее:
h^L=2k(2^±\\. (10.17)
dx \ R J
Знак (-{-) относится к области входа, где полоса движется
медленнее валков, знак (—) относится к области выхода. Ин-
тегрируя (10.17) и беря дх = 0 на входе и выходе, получаем
следующее распределение давления:
На входе
^-')-(' + т)-Н'-^)- <10-18а>
§ 10.3. Пластическая прокатка полосы
367
На выходе
4(4-1)“-т + <- (10.18Ь>
Давление в нейтральной точке, подсчитанное по обоим выраже-
ниям, должно быть одинаково. .Это определяет положение ней-
тральной точки:
Х/г 1 । &
а ~ 2 ‘ 27? '
(10.19)
Величина суммарной нагрузки на единицу ширины определяется
из равенства
(10-20)
—а
а момент, приложенный к валкам, находится следующим обра-
зом:
о
2L = _L f xp(x)dx ~ 1 + —Д(1 Y (10.21)
ka2 ka2 j r' 4 h k R J v
—a
Этот анализ аналогичен теории горячей прокатки Симса [322],
за исключением множителя л/4, введенного Симсом в правую
часть уравнения (10.13), чтобы учесть неоднородность напря-
жения. Из приведенных выражений для силы и момента ясно,
что отношение h/a есть основная независимая переменная: па-
раметр a/R мал в диапазоне, где справедлив проводимый ана-
лиз (<р мало), и играет второстепенную роль. Зависимости
(10.20) и (10.21) для силы и момента нанесены штриховыми
линиями на рис. 10.10.
Изложенный подход, в котором критерий текучести (10.13)
относится к средним напряжениям, действующим в сечении по-
лосы, делает уравнение '(10.14) для контактных сил статически
определимым, однако истинное распределение напряжений и
деформаций внутри полосы остается неизвестным. В действи-
тельности напряжения внутри полосы соответствуют статически
допустимому полю линий скольжения, а деформации — годо-
графу, совместимому с этим полем. Убедиться в такой совме-
стимости— весьма нелегкое дело. Впервые этого добился Алек-
сандер [8] путем использования графического метода проб и
ошибок для одной конфигурации (h/a = 0.19, a/R = 0.075) и
в предположении, что —k q +& по всей дуге контакта.
Поле линий скольжения и годограф показаны на рис. 10.8(b)
и (с). В центре области обжатия имеется зона недеформиро-
ванного материала, примыкающая к валку вдоль дуги CD. Тан-
генциальные напряжения удовлетворяют неравенству | q | < k
368
Гл. 10. Каландрирование и смазка
Рис. 10.8. Горячая прокатка полосы (ft/a = 0.19, a/R = 0.075). (а) Распреде-
ление давления: сплошная линия — от поля линий скольжения [8]; штрихо-
вая линия — по уравнению (10.18); (Ь) поле линий скольжения (схема I:
h/a < 0.29); (с) годограф.
на этой дуге. Имеется тонкая прослойка недеформированного
материала на дуге АВ на входе. Материал деформируется пла-
стически в зонах ABCNF и DEGN. Разрыв скорости следует ли-
ниям скольжения АВ, CN и ND. Имеет место «квазипроскаль-
зывание» между валками и полосой на участках ВС и DE, имею-
щих форму «пограничного слоя» с интенсивностью сдвига, рав-
ной пределу текучести k. Распределение напряжений в полосе
получается из анализа поля скольжения от точки входа А или
от точки выхода Е. В нейтральной точке N значения напряже-
§ 10.3. Пластическая прокатка полосы
369
Рис. 10.9. Поля линий скольжения при горячей прокатке, (а) Схема II:
0.29 < h/a < 0.43; (Ь) схема III: 0.43 < h/a < 0.72; (с) схема IV: 0.72 <
< h/a < 8.8.
ния, полученные при подходе с любой стороны, одинаковы. Рас-
пределение давления вдоль дуги контакта показано на рис. 10.8
сплошными линиями, где оно сравнивается с найденным по уп-
рощенной теории (уравнение (10.18)) (штриховая линия).
Поля линий скольжения для иных геометрических условий
были построены Крейном и Александером [71] для тонких по-
лос, а Дьюхерстом [85] — для полос большей толщины. Обнару-
жилось, что решение почти целиком зависит от отношения h/a
и слабо от параметра a/R. Примеры различных полей линий
скольжения показаны на рис. 10.9. Решение Александера
(рис. 10.8) применимо к тонким полосам. При отношении h/a w
0.29 участок квазипроскальзывания ВС исчезает и разрыв
скорости, который следует линии скольжения AN, теперь лежит
целиком внутри материала (рис. 10.9(a)).
Второе критическое значение h/a достигается примерно при
0.43, когда участок квазипроскальзывания DE исчезает и же-
сткая область охватывает всю дугу контакта. Поля линий сколь-
жения для больших значений h/a были определены Дьюхер-
стом [85]. Жесткая область AGE теперь не вдавливается в цен-
тральную линию полосы, а разрыв скорости_ следует по линиям
скольжения AN и NE (рис. 10.9(b)). При h/a т 0.72 дуга GE
вырождается в единственную точку, в то время как жесткая
370
Гл. 10. Каландрирование и смазка
Рис. 10.10. Изменение полной нормальной силы Р и момента сопротивления
качению М от h/a. Сплошная линия — от полей линий скольжения;' штри-
ховая линия — по уравнениям (10.20) и (10.21); светлые кружки — решение
Александера (рис. 10.8).
зона приобретает форму, показанную на рис. 10.9(c) с линией
разрыва скорости вдоль границы АЕ.
С учетом слабой зависимости решения от радиуса валков
(т. е. от a/R) коэффициент трения качения P/(ka) и коэффи-
циент сопротивления вращению M/(ka2) нанесены на рис. 10.10
едиными кривыми в зависимости от h/a. Минимальные значе-
ния обеих характеристик достигаются при отношении й/а, при-
мерно равном единице. При тонких полосах трение на по-
верхностях контакта вызывает пластическое течение в центре
области обжатия благодаря высокому гидростатическому давле-
нию; при толстых полосах для реализации пластического тече-
ния требуется большее контактное давление. При дальнейшем
увеличении толщины полосы достигается ее критическое зна-
чение, при котором давление, требуемое для реализации пла-
стического течения в сечении полосы, больше, чем то, которое
нужно для возникновения пластического течения в поверхност-
ных слоях, как это было рассмотрено в § 9.3. Если распростра-
нить поле линий скольжения, показанное на рис. 9.9(a), в тело,
то можно определить, что критическое значение толщины есть
~ 8.8а.
§ 10.3. Пластическая прокатка полосы
371
Теперь необходимо проанализировать предположение о том,
что трение на поверхностях контакта достаточно для предотвра-
щения проскальзывания. Во всех случаях контактное давление
минимально на выходе. В решениях Крейна и Александера для
более тонких полос коэффициент трения до 0.7 требовался для
того, чтобы касательные напряжения стали равными величине
k в зоне DE (рис. 10.8(b))х). В решениях Дьюхерста для более
толстых полос существует небольшой диапазон условий, когда
точка G приближается к Е (рис. 10.9(b)), что приводит к от-,
рицательности давления в Е. Практически некоторое проскаль-
зывание в окрестности Е должно снять эту аномалию.
(Ь) ХОЛОДНАЯ ПРОКАТКА С ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ
Будем рассматривать теперь случай холодной прокатки,
когда полоса проскальзывает относительно валков во всех точ-
ках дуги контакта, так что в уравнении (10.16) следует напи-
сать <7= ±рр. Заменяя h средней толщиной Я, получим линей-
ное дифференциальное уравнение для контактного давления
d (p/2k) 2ра / р X _ 2а2Х
~dX
(10.22)
где X = х/а. Знак (—) относится к входу, знак (+) относится
к выходу. Интегрируя это уравнение при р/2£ = 1 в X = 0 и
X = —1, получаем давление в зоне входа
p/2k = {1 + (y/Z,) — у} ек (1+*> — уХ — y/Z, (10.23а)
и в зоне выхода •
p/2k = (1 + y/Z.) е~кх+ уХ - y/Z,, (10.23b)
где 'K = 2pa!h и y = a/pR.
Приравнивая давления, даваемые выражениями (10.23а) и
(10.23b), находим положение нейтральной точки
_l + i(l -e-V2). (10.24)
CL LX
Интегрирование давления по всей дуге контакта дает выраже-
ние для силы сопротивления качению
Р =4(Х + У) { (_щ _ 1} + Y + (4уХ„М) - 2уХ2„. (10.25)
rCCL
Дентон и Крейн [80] предложили теорию, допускающую проскальзы-
вание на выходе.
372
Гл. 10. Каландрирование и смазка
Аналогично для момента сопротивления качению имеем
Хп ехр (-Щ + 1 (1 - 4Х2п + 4Хп/К) +
+-|~у(1 + 2^)-2/Х. (10.26)
При условии что у не очень велико, величины силы и момента
сопротивления качению, данные в замкнутой форме уравне-
ниями (10.24) — (10.26), очень близки к результатам численного
интегрирования уравнения Кармана (10.14) Блэндом и Фордом
[36]. При ведущей роли экспоненциальных членов в (10.25)
и (10.26 )сила и момент в основном зависят от параметра
Х = 2ца/й, в то время как влияние у —о/(р7?) относительно
слабое. Уменьшение толщины полосы при ее прокатке связано
с параметрами К и у следующим образом:
___ht — ho Ху
~ hi 2 + Ху/2 ‘
В этом кратком обзоре механики пластических деформаций
полосы при ее прокатке пришлось опустить многие аспекты
проблемы, важные в технологических процессах. При холодной
прокатке обычно существенно деформационное упрочнение по-
лосы. Это можно учесть в теории приближенным введением
константы текучести k как заданной функции деформации и,
следовательно, величины х в уравнении (10.17). Внутреннее
тепловыделение из-за работы пластических деформаций также
изменяет величину k. Валки заметно уплощаются из-за упругих
деформаций. Это обычно учитывается введением предположе-
ния, что контактное давление распределено по Герцу, в то время
как валки деформируются по дуге окружности измененного ра-
диуса R', связанного с Д уравнением (10.4). Однако нечувстви-
тельность деформации полосы к радиусу валка подтверждает,
что это — не существенный эффект, за исключением очень тон--
ких твердых полос, где важны упругие деформации полосы и
валков. Наконец, толстые заготовки будут расширяться в по-
перечном направлении при прокатке, так что деформации пере-
стают быть плоскими, особенно на торцах полосы.
§ 10.4. Смазка роликов
Для технических поверхностей с целью их удовлетворитель-
ного функционирования в контакте скольжения обычно необхо-
димо использовать смазку. Гладкие поверхности при контакте
качения, как в шариковых подшипниках, обычно, испытывают
некоторое микропроскальзывание, для которого необходима
. § 10.4. Смазка роликов
373
смазка, чтобы избежать разрушения и износа этих поверхно-
стей. Жидкая смазка оказывает двоякое влияние. Во-первых,
она создает тонкое предохраняющее покрытие твердых поверх-
ностей, предохраняя их от адгезии, а также уменьшает трение,
создавая промежуточный слой низких сдвиговых напряжений.
Это действие известно как «граничная смазка». Смазочный слой
(пленка) очень тонкий (может быть несколько молекулярных
слоев), и его поведение существенно зависит от физических и
химических свойств как смазки, так и твердых поверхностей.
Смазка может действовать совершенно другим путем. Отно-
сительно толстая связующая пленка формируется между по-
верхностями, и в ней развивается достаточное давление, чтобы
выдерживать нормальную нагрузку, не допуская контакт по-
верхностей твердых тел. Это действие известно как «гидроди-
намическая смазка»; она зависит только от геометрии контакта
и вязких свойств жидкости. Способ образования слоя, выдер-
живающего нагрузку и расположенного между двумя цилинд-
рами в контакте качения со скольжением, будет изучаться в
этом параграфе. Теория применима, например, к смазке зубча-
тых передач, испытывающих относительное движение, которое,
как показано в § 1.5, можно рассматривать как мгновенный
эквивалентный контакт двух цилиндров при их качении со
скольжением.
На рис. 10.11 показан тонкий слой несжимаемой смазываю-
щей жидкости вязкости т] между двумя твердыми поверхностя-
ми, движущимися со скоростями Vi и Уг- При тонких пленках
с почти параллельными границами компоненты скорости, пер-
пендикулярные к пленке, пренебрежимо малы, так что давление
постоянно поперек слоя пленки. При малых числах Рейнольдса
(тонкие слои и вязкие жидкости) силами инерции можно пре-
Гл. 10. Каландрирование и смазка
небречь. Тогда для двумерного установившегося течения из ус-
ловия равновесия заштрихованного элемента жидкости имеем
др дт д f dvX d2v
дх ~ dz dz k*1 dz )~^ dz2 ’ (10.27)
где v — скорость течения. Так как др/дх не зависит от z, урав-
нение .(10.27) можно проинтегрировать по z. Полагая v = V2
и v — Vi при 2 = 0 и z = h соответственно, получаем парабо-
лическое распределение скоростей, выражаемое формулой
v & = & - hz) + - у2) (z/A) + v2. (10.28)
Скорость протекания объема жидкости F через рассматривае-
мое сечение (расход, отнесенный к плотности жидкости) дается
формулой
h
F = j v (z)<fe - (£) + (V, + VjA.
0
Вследствие условия неразрывности течения F одинаково во всех
сечениях, т. е.
А*
^ = (Vi + V2)^->
где h* — толщина пленки, в которой градиент давления др]дх
равен нулю. Исключая F, получаем
-g- = 6n (V! + у2) - (10.29)
Это уравнение Рейнольдса для установившегося течения в тон-
ком смазывающем слое. Задавая изменение толщины пленки
Л(х), это уравнение можно проинтегрировать, чтобы получить
давление р(х), создаваемое течением в смазочном слое. Для
более, полного изучения уравнения Рейнольдса читатель может
обратиться к книгам по смазке (см., например, [49])1). Исполь-
зуем теперь уравнение (10.29) для нахождения давления, разви-
вающегося в смазке при контакте двух вращающихся цилинд-
ров.
(а) ЖЕСТКИЕ ЦИЛИНДРЫ
Узкий зазор между вращающимися цилиндрами показан на
рис. 10.12. На стороне входа предполагается наличие обильной
° В связи с отмечавшимся в 1986 г. столетием со дня публикации осново-
полагающей работы Рейнольдса по гидродинамической теории смазки в жур-
нале J. Tribology, 1987, v. 109, № 1 опубликованы обзорные статьи, отра-
жающие историю развития и современное состояние гидродинамической тео-
рии смазки. — Прим., ред.
§ 10.4 Смазка роликов
375
Рис. 10.12. Смазка жестких роликов. Штриховая линия — распределение дав-
лений при полностью прилегающей пленке; сплошная линия — распределение
давления без отрицательного давления.
смазки. Внутри рассматриваемой зоны толщина пленки выра-
жается формулой
h « hQ + х2/2/?, (10.30}
где 1/7? — l/7?i ф-1/Т?2, a h0— толщина пленки при х = 0. Под-
ставляя (10.30) в (10.29), получаем
dp _ 6т) (У, + У2) | 1 - (ЛУЛО) + (х2/2&г0)
dx h20 I (1 + х72/?Л0)3
(10.31}
Используя подстановку у = arctg{x/(27?/io)I/2}, уравнение (10.31)
можно проинтегрировать, чтобы получить распределение дав-
hp_________р__________ у sin 2у _
(2/?/г0),/2 6т] (13 + У2) “ 2 ф 4
9 * ( Зу . sin 2у sin 4у Ч я /1ПО„.
— sec2y + ~4-------------Ь-32— J+Л (10.32}
где у* = arctg {х7(2^Ло)1/2}> а х* ~ значение х, где h = h* и
dp]dx = 0. Значения у* и Л находятся из условий на концах.
Первоначально примем нулевое давление в удаленных от
входа и выхода точках, т. е. р — 0 при х = ±оо. Соответствую-
щее распределение давлений показано кривой А на рис. 10.12.
376
Гл. 10. Каландрирование и смазка
Давление положительно в области сужения входной части и от-
рицательно (равное по величине) в области расширения выход-
ной части -зоны контакта. Общая сила Р, выдерживаемая сма-
зочным слоем, очевидно, в этом случае равна нулю. Однако это
решение неправильно, так как область больших отрицательных
давлений не может существовать при нормальных окружающих
условиях.
Практически течение на выходе расщепляется на потоки,
разделенные воздушными клиньями, всосанными в зону контак-
та извне. Давление здесь примерно равно внешнему (т. е. нуле-
вому). Расположение точки расщепления пленки смазки опреде-
ляется рассмотрением трехмерного потока в каждом из образо-
вавшихся течений и зависит от сил поверхностного натяжения.
Однако было показано, что ее положение с достаточной точ-
ностью может быть найдено из условия dp/dx = р = 0 в этой
точке. Применяя это условие вместе с требованием р — 0 при
х — —оо к уравнению (10.32), получаем, что у* = 0.443, отсюда
х* = 0.475 (2Д/г0)1/2. Распределение давления показано кривой В
на рис. 10.12. В этом случае общая нагрузка, которую выдержи-
вает пленка, есть
X*
Р = j p(x)dx = 2A5(Vl + V2)B^ha. (10.33)
— оо
В наиболее практической ситуации величина нагрузки задана,
тогда уравнение (10.33) служит для определения минимальной
толщины пленки h0. Для эффективной гидродинамической смаз-
ки h0 должно быть не меньше высоты поверхностных шерохова-
тостей. Из уравнения (10.33) видно, что несущая способность
пленки определяется условиями качения, которые характери-
зуются суммой скоростей Vi ф- V2. Если цилиндры вращаются
с одинаковыми окружными скоростями в противоположных на-
правлениях, то Vi ф- V2 равно нулю, давление отсутствует и плен-
ка распадается.
(Ь) УПРУГИЕ ЦИЛИНДРЫ
При любых нагрузках, кроме очень малых, цилиндры упруго
деформируются в области действия давления и выражение для
толщины пленки приобретает вид
h (х) = йо 4- х2/2Д ф- {йг1 (х) — йг1 (0)} ф- {йг2 (х) — йг2 (0)},
где нормальные упругие перемещения поверхностей йг\ и йг2
задаются уравнением (2.24b). Таким образом,
' оо
h(x)^h0 + x’2l2R~^- ( p(s)lnl^-|rfs. (10.34)
Jv-C J I О J
— oo
§ I .4. Смазка роликов
377
Рис. 10.13. Смазка упругих валков при постоянной вязкости. Кривые А, В,
С, D соответствуют: 7 = 0 (жесткое тело), 7 = 0.536, 7 = 7.42, 7=143;
(а) распределение давления р(х); (Ь) форма пленки й(х).
Это уравнение вместе с уравнением Рейнольдса (10.29) обра-
зуют систему уравнений для нахождения толщины пленки h(x)
и давления р(х). Они могут быть объединены в одно интеграль-
ное уравнение для h(x), которое решалось численно [167]. Про-
филь деформированной поверхности показан на рис. 10.13(b).
Этот профиль пленки должен быть подставлен в уравнение Рей-
нольдса, откуда можно найти распределение давления р(х) (как
показано на рис. 10.13(a)). Решение зависит от единственного
безразмерного параметра
/={р2/п7?(у1 + У2)лГ}1/2>
378
Гл. 10. Каландрирование и смазка
который характеризует величину отношения гидродинамиче-
ского давления в пленке к давлению от упругих деформаций.
Этот параметр равен нулю для жестких цилиндров и возрастает
•с увеличением упругости. Из рис. 10.13 очевидно, что эффект
упругих деформаций состоит в образовании утончающейся плен-
ки в большей части ее длины, которая близка к реализующейся
в упорном подшипнике. С другой стороны, когда упругое упло-
щение поверхностей становится велико по сравнению с толщи-
ной пленки, распределение давления приближается к герцев-
•скому в контакте без смазки.
С точки зрения эффективности смазки важна минимальная
толщина пленки hmm- Во всех случаях hmm ~ 0.8/г*. Изменение
безразмерной Толщины пленки Н = Phmm/r<\R(V\ + V2) от пара-
метра J приведено в табл. 10.1. Для жестких цилиндров (/ = 0)
Таблица 10.1
J=< Р2 1 1/2 0 (жесткие цилиндры) 2.45 0.536 2.91 2.34 4.11 7.42 6.05 26.9 9.51 143 17.6
»]Р (V1 + Г2) jj ^^min OP (V1 + к2)
.минимальная толщина равна ho и дается уравнением (10.33).
Из приведенной таблицы видно, что, допуская выбор более вы-
годной формы поверхностей для реализации гидродинамиче-
ского давления, можно получить, используя упругие валки, бо-
лее толстые пленки при аналогичных условиях для скорости,
и нагружения.
Эта сторона поведения смазки, когда упругие деформации
твердых тел играют существенную роль в происходящих явле-
ниях, известна под названием упругогидродинамической смазки
(см. [87]).
(c) ПЕРЕМЕННАЯ ВЯЗКОСТЬ
До сих пор вязкость т] рассматривалась как постоянная ха-
рактеристика смазочной жидкости, однако на самом деле боль-
шинство практически используемых смазок очень чувствительны
к изменению давления и температуры. В контакте неприлегаю-
щих поверхностей давление стремится расти, так что не удиви-
тельно, что возрастание вязкости с давлением есть также су-
щественный фактор в упругогидродинамической смазке. Во время
скольжения фрикционный разогрев вызывает рост температуры
в пленке, что уменьшает ее вязкость. Однако по причинам, ко-
торые будут ясны ниже, окажется возможным разделить эф-
§ 10.4, Смазка роликов
379>
(а)
(Ь)
Рис. 10.14. Численное решение упругогидродинамических уравнений (10.34)
и (10.36) [88]. (а) Распределение давления; (Ь) форма пленки. Кривые Л,
В, С, D, E, F соответствуют значениям / и К:
7 = 0.54, К =18; 7=1.7, К = 58; 7 = 5.4, К =180; 7=17, К = 580; 7 = 54
К = 1800; 7 = оо, К = оо (сухой контакт).
фекты от давления и от температуры. Поэтому для начала
будем рассматривать изотермическую смазку, в которой изме-
нение вязкости с давлением определяется уравнением
п = Пое°Р, (10.35)
где т]о — вязкость, соответствующая внешним давлению и тем-
пературе, а а-—постоянный коэффициент вязкости. Это — ра-
зумное описание наблюдаемого изменения вязкости большин-
ства смазок в характерном диапазоне давлений. Подставляя эту
зависимость в уравнение Рейнольдса (10.29), получаем
е-ар лГ = (гг) (Ю-36)
Это модифицированное уравнение Рейнольдса для гидродинами-
ческого давления должно решаться одновременно с уравнением
(10.34), определяющим влияние упругих деформаций на фор-
му пленки. Численное решение этой задачи было получено Доу-
соном и др. [88]. Типичные формы пленки и распределения дав-
лений приведены на рис. 10.14. Введение коэффициента вязко-
380
Гл. 10. Каландрирование и смазка
сти а приводит к использованию второго безразмерного пара-
метра
7<s{a2p3/Tlo7?2(yi + y2)}l/2.
Из сравнения рис,- 10.13 и 10.14 следует, что зависимость
вязкости от давления заметно влияет на поведение тел в кон-
такте. На значительной части области контакта поверхности
пленки приблизительно параллельны. Это следует из уравнения
(10.36). Когда член ар превышает единицу, левая часть уравне-
ния становится малой, следовательно, мало и h — h*, т. е. h ~
« h* = const. Соответствующее распределение давления в
основном то же, что в сухом контакте Герца, однако острый
пик давления имеет место в зоне выхода, затем следует бы-
стрый спад давления и утончение пленки, при этом вязкость
падает до значения т]о- Доусон и др. [88] показали, что допу-
щение о сжимаемости смазки приводит к некоторому уменьше-
нию пика. Более реальная зависимость вязкости от давления
вместе с некоторым сдвиговым утончением смазки, по-видимому,
еще больше уменьшают интенсивность теоретического пика.
Тем не менее эти характеристические черты высоконагружен-
иого упругогидродинамического контакта — примерно параллель-
ные поверхности пленки с сужением на выходе и распределением
давления, близким к герцевскому, но имеющим острый пик у вы-
хода, — к настоящему времени хорошо обоснованы эксперимен-
тально (см. [74, 161]). Минимальная толщина пленки составляет
примерно 75 % от ее толщины в той части, где поверхности
пленки параллельны..
В диапазоне проводимых расчетов результаты Доусона и
Хиггинсона могут быть аппроксимированы формулой
Н = 1.4К°'5Т06. (10.37)
При этих условиях толщина пленки слабо зависит от параметра
упругости J. Встает вопрос: при каких условиях допустимо пре-
небречь упругими деформациями и (или) изменением вязкости?
Этот вопрос был рассмотрен Джонсоном [193], который выра-
ботал следующее правило. Если параметр J <Z 0.3 и 0.7, то
деформациями и изменением вязкости можно пренебречь и
можно пользоваться подходом разд. 10(a). Относительное влия-
ние переменной вязкости и упругости зависит от параметра
(№//3)1/4. Для значений этого параметра, меньших 0.4, измене-
ние вязкости пренебрежимо мало по сравнению с влиянием
упругости и анализ, приведенный в разд. 10(b), применим. Ука-
занное условие, по-видимому, удовлетворяется только для резин
или других высокоэластичных полимеров (при типичных смаз-
ках), когда большие упругие деформации получаются при срав-
нительно низких давлениях. Результаты Доусона и Хиггинсона,
§ 10.4. Смазка роликов 381
с другой стороны, справедливы при значениях (№/J3)I/4, боль-
ших примерно 1.5. Это — эксплуатационный режим для метал-
лических поверхностей, смазанных типичными минеральными
маслами. Значения безразмерных толщин пленок Н при под-
ходящих величинах К, соответствующих (А2//3)1/4 = 4, приве-
дены в табл. 10.2. Из данных таблицы очевидно, что совмест-
ный эффект упругих деформаций и переменной вязкости состоит
в возрастании минимальной толщины пленки на один или два
порядка по сравнению с эквивалентной толщиной для постоян-
ной вязкости и жестких роликов.
Таблица 10.2
//<2x1/4 К 0 (постоянная 50 100 500 1000 5000
(тН =4 вязкость)
I 0 (жесткие цилиндры) 2.1 3.4 9.9 15.8 46.2
Доусон и Хиггинсон (уравнение (10.37)) Н 2.45 12 18 46 68 175
Грубин {уравнение (10.43)) Н — 14 21 53 80 203
Хотя численные решения упругогидродинамических уравнений
на компьютере дают полезные результаты, они не позволяют про-
никнуть в механику процесса, как это удавалось в старых при-
ближенных подходах А. Н. Грубина [147], развитых также
Гринвудом [138]. А. Н. Грубин показал, что при высоких кон-
тактных давлениях со смазкой, у которой вязкость зависит от
давления, так что член ар0 заметно превышает единицу (скажем,
офо>5), из уравнения Рейнольдса (10.36) вытекает, что по-
верхности пленки должны быть почти параллельны в области
высокого давления с толщиной h » h*. Грубин, кроме того, пред-
положил, что упругая деформация валков такая же, как при
сухом контакте, и что параллельные поверхности пленки толщи-
ной h* распространяются на длину 2а герцевской области,
определяются подстановкой распределения давления Герца в
Упругие перемещения вне зоны параллельности поверхностей
определяются подстановкой распределения давления Герца в
уравнение (2.24b), и тогда форма пленки в зоне входа имеет вид
ЛМ = Л' + ^[1(у-
Хорошей аппроксимацией этого громоздкого выражения в соот-
ветствующем диапазоне является выражение
h (х) ~ h + 3R а J ,
(10.38)
Рие. 10.15. Упругогидродинамическая смазка роликов модель Трубима — Грин-
вуда.
где % = —(х-(-а)— расстояние от конца х = —а зоны парал-
лельности поверхностей (рис. 10.15). Определим теперь давление
р' формулой
р' = (1 — е~ар)1а
или
р = -In (1-ар'). (10.39}
Подставляя (10.38) и (10.39) в гидродинамическое уравнение
(10.36), получаем
_ fin IV J- V 1 Г ^K-Ia')3^2 I
- -6no (V. + V2) [ {(a2/3/?) (2x/fl)3/2 + J
или, вводя (2 У2а2/ЗТ?/Г)2/3(х/а) = £, находим
< = (1МО)
Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно для
|восстановления давления в зоне входа, если принять р' = 0
§ 10.4. Смазка роликов 383
при g — оо. В начале области параллельности поверхностей
смазки (при § = 0) имеем
' а л/ I .м/ у/з a f g3/2
ро — 6no(^i + Уг)^2^а2) A*2 J (g3/2+1)3
Далее
так что
1.417 f^(F1 + ^r/4C- (Ю.41)
(. Ро ) а
Из уравнения (10.39) ясно, что давление р' не может превы-
шать величины 1/а, в противном случае истинное давление р'
становится бесконечным. Это. условие дает нижний предел тол-
щины пленки h*, следовательно,
К > 1.417 {аПо (^! + Г2))3/4/?1/2а-1/4. (10.42)
Кроме того, так как подход Грубина ограничен высокими дав-
лениями, при которых аро значительно превышает единицу, то
аро приближается очень близко к единице и, следовательно, пра-
вая часть неравенства (10.42) является хорошей аппроксима-
цией истинной толщины пленки в области параллельности ее
поверхностей. Вспоминая, что по Герцу а2 = APR/лЕ*, уравне-
ние (10.42) можно переписать в форме
Н = О.89К0’75/-0-23. (10.43)
Значения Н, полученные из этой приближенной формулы, срав-
ниваются в табл. 10.2 с численными результатами. Соответствие
довольно хорошее.
Проведенный до сих пор анализ целиком ограничивался зо-
ной на входе и показал, что толщина пленки в зоне параллель-
ности ее поверхностей с хорошей точностью определяется пото-
ком смазки в этой области. Он также показал, что толщина
пленки относительно нечувствительна к величине нагрузки. При
возрастании нагрузки растет длина 2а зоны параллельности,
однако это мало влияет на форму пленки в зоне входа и, сле-
довательно, на ее толщину.
Предположение теории Грубина о параллельности поверх-
ностей пленки, толщина которой приблизительно постоянна и
равна h*, не является корректным в зоне выхода. Здесь гра-
диент давления становится отрицательным, что в силу уравне-
ния Рейнольдса означает падение h ниже h*. Это является при-
чиной утончения пленки на выходе, что характерно для всех
.упругогидродинамических профилей пленки.
384
Гл. 10. Каландрирование и смазка
Гринвуд [138] расширил анализ Грубина, чтобы распростра-
нить анализ на зону выхода, постулируя некоторое укорочение
области параллельности поверхностей смазочного слоя. Распре-
деление давления внутри этой области, требуемое для реализа-
ции соответствующих упругих деформаций, находится из урав-
нения (2.45). Это проиллюстрировано на рис. 10.15. Упругое
давление обращается в нуль на входе в зону параллельности,
однако резко возрастает до сильной особенности на ее конце
в соответствии с утончением пленки. И пик давления, и утон-
чение пленки отражают характерные черты численного решения
для значений аро > 5. При практических величинах скоростей
условия на входе не зависят от условий на выходе, так что ве-
личина h*, дйваемая уравнением (10.42), не меняется при вве-
дении модификации Гринвуда. Минимальная толщина пленки в
области выхода составляет 75—80 % от h*.
Механизм упругогидродинамической смазки при зависимости
ее вязкости от давления теперь ясен. Давление развивается по
гидродинамическим причинам на входе, что сопровождается
очень большим ростом вязкости. Толщина пленки в конце зоны
сужения ограничивается необходимостью поддержания конеч-
ного давления. Это условие определяет толщину пленки через
скорость, радиусы роликов и вязкостные свойства смазки. Воз-
растание нагрузки вызывает рост упругого уплощения роликов
при слабом влиянии на толщину пленки. Жидкость высокой вяз-
кости проходит через зону параллельности поверхностей смазки,
пока давление и вязкость не спадают на выходе, что приводит
к утончению пленки. Зоны входа и выхода эффективно незави-
симы; они встречаются в конце зоны параллельности, где имеет
место скачок наклона поверхности, который связан с наличием
острого пика давления.
Теперь можно возвратиться к эффекту изменения вязкости
от температуры. Диссипация за счет вязкости имеет место в
зоне входа даже при отсутствии кажущегося проскальзывания,
т. е. при Vi = Гг- Диссипация вызывает сопротивление качению
[75] и повышает температуру. И сопротивление качению, и тем-
пература возрастают вместе с вязкостью и скоростью качения.
Исследование выделения тепла на входе вследствие вязкости,
выполненное Мерчем и Уилсоном [276], показало, что выделе-
ние тепла не влияет существенно на толщину пленки, до тех
пор пока параметр (Vi + V2)2(dr\0/dG) /К не превысит единицу,
где dt}o/dQ — скорость изменения вязкости с температурой, К.—
температурная проводимость смазки. Эксперименты показали,
что подходящие для теоретического использования значения т]о
и а соответствуют температуре поверхностей качения.
Если качение сопровождается проскальзыванием (Vi =# V2),
то вся пленка сдвигается, что приводит к результирующей тан-
§ 10.4. Смазка роликов 385
генциальной силе и значительно большему тепловыделению
благодаря вязкости, чем при чистом качении. Величина напря-
жения и соответствующее повышение температуры зависят от-
сдвиговых свойств смазки при высоких давлениях. Имеет место
очевидное неньютоновское поведение смазки, и для вычисления
касательных сил необходимо использовать соответствующие
определяющие уравнения для жидкости при высоких давлениях,
например уравнения, предложенные Джонсоном и Теваарверком
[203]. Такие вычисления выходят за рамки этой книги.
К счастью, пленка образуется в зоне входа и сдвиговый разо-
грев в области параллельности поверхностей смазки имеет
место слишком поздно, чтобы существенно изменить толщину.
Измерения толщины пленки, выполненные (а) Доусоном и др.
[98] с использованием электрического сопротивления и (Ь)
Ваймером и Камероном [371] с использованием оптической ин-
терферометрии, дают хорошее подтверждение для изотермиче-
ской теории как с проскальзыванием, так и без него.
Упругогидродинамическая смазка при точечном контакте
изучалась в работах [11, 56, 162], что привело к нахождению
формулы для толщины пленки.
11
Динамические эффекты и удар
§ П.1. Волны напряжений в телах
До сих пор в этой книге обсуждались контактные задачи,
в которых скорость нагружения достаточно низкая, так что на-
пряжения находятся в статическом равновесии с внешними на-
грузками на всем протяжении цикла нагружения. В отличие
от этого в условиях удара скорость нагружения очень велика
и динамические эффекты могут быть существенными: при кон-
такте качения и скольжения с большими скоростями инерция
материальных элементов, проходящих через деформированную
область, может оказать влияние на поле напряжений. В этой
главе в ряде контактных задач будет проанализировано влия-
ние сил инерции.
Инерционные силы включаются в механику деформируемых
тел добавлением в уравнения равновесия (2.1) членов,- равных
произведению плотности материала р на ускорение рассматри-
ваемого материального элемента ('A-u/dt2 в рассматриваемой точ-
ке. Когда эти модифицированные уравнения равновесия скомби-
нированы с уравнениями совместности и соотношениями напря-
жения— деформации, то получаемые решения для напряжений
и перемещений могут интерпретироваться как импульсы или
волны, которые движутся по телу со своими характеристиче-
скими скоростями (см. [345, 224, 131]).
Введем волны напряжения, рассматривая одномерную за-
дачу о волнах сжатия в тонком упругом стержне (рис. 11.1).
В этом простом примере будем рассматривать импульс напря-
жений интенсивности —и, движущийся слева направо вдоль
стержня со скоростью с0. За время dt фронт волны продвинется
на расстояние dx — codt и элемент массы pAdx приобретет
скорость v при действии импульса давления. Здесь р — плот-
ность материала, А — площадь поперечного сечения стержня. За-
кон сохранения количества движения для элемента стержня
имеет вид
—с A dt = (р/1 dx) v = рЛс0о dt,
т. е.
о = —рс0о.
(11.1)
§ 11.1. Волны напряжений в телах
387
А -6
dx-Cpdl
I.
du'
v
Рис. 11-1- Удар жесткой массы М о конец упругого стержня. Волна сжатия
интенсивности —о распространяется вдоль стержня со скоростью с0.
Элемент будет сжат на величину du — vdt, так что его дефор-
мация равна
v
du
dx со
Исключая о и и из уравнений (11.1)
жение для скорости распространения
жения
о
~ Т’
и (11.2), получаем выра-
волны (импульса) напря-
(H.2)
c0 = (£7p)1/2,
(Н.З)
которая является характеристикой материала. Так как упругие
деформации, вообще говоря, малы, из (11.2) ясно, что скорость
частиц стержня v значительно меньше скорости распростране-
ния волны с0. Отметим, что для волны сжатия, которая здесь
рассматривается, частицы движутся в том же направлении, что
и волна, в то время как для волн растяжения — картина про-
тивоположная.
С целью осветить ниже случай удара двух тел следует те-
перь рассмотреть движение волн в тонком упругом стержне
(рис. 11.1), фиксированном на одном конце и подвергающемся
удару с другого конца жестким блоком массы М, движущимся
со скоростью V. Выпучивание стержня учитывать не будем.
Мгновенно вслед за ударом левый конец стержня приобретает
скорость блока V, и волна сжатия распространяется вдоль
стержня со скоростью со, заданной формулой (11.3). Начальное
напряжение сжатия в стержне, определяемое уравнением (11.1),
есть —рс0К Блок замедляется от действия сжимающей силы
в стержне при их взаимодействии. Последующее развитие про-
цесса соударения зависит от соотношения масс ударника М и
стержня pAL.
Легкий ударник быстро переходит в состояние покоя при
давлении на него стержня; давление стержня на блок падает
одновременно с падением скорости блока. Далее возможно боль-
шое изменение напряжений в точках стержня: от —pcoV на вол-
новом фронте до малой величины в области взаимодействия
с блоком. Тем временем волна давления отражается от фикси-
388
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
рованного конца стержня. Когда отраженная волна возвращает-
ся к свободному концу, она ускоряет блок и сама частично от-
ражается. Таким образом, блок отскакивает от конца стержня
со скоростью, меньшей V, и стержень остается в состоянии ко-
лебаний. Максимальное напряжение в стержне, возникающее
в результате удара, равно pc0V и не зависит от М. Оно дости-
гается первый раз в момент удара и затем вновь, когда отра-
женная волна доходит до блока.
В другом крайнем случае, если масса ударника много боль-
ше массы стержня, волна давления отражается вперед и назад
вдоль стержня многократно, пока блок не придет в состояние
покоя. Состояние напряжений в стержне в любой момент при-
близительно постоянно по его длине, а внезапные изменения,
связанные с прохождением волны напряжений в стержне, малы
по сравнению с общим уровнем напряжений. Напряжение в
стержне можно тогда найти с хорошей точностью, если прене-
бречь динамическими эффектами и моделировать стержень пру-
жиной малой жесткости. Максимальное напряжение в стержне
в момент перехода ударника в состояние покоя можно найти
приравниванием максимальной энергии деформаций, запасен-
ной в стержне, потерям кинетической энергии ударника. В ре-
зультате получим
omax = V (ME/AL)112.
Это значение зависит от М и существенно отличается от полу-
ченного выше. Анализ такого рода динамических задач, когда
влиянием сил инерции на деформируемый материал пренебре-
гается, обычно называют квазистатическим, так как внешние
динамические нагрузки приводятся к равновесию со статически
определенным полем напряжений.
Два крайних случая, описанные выше, отвечают ситуации,
когда масса ударника либо много больше, либо много меньше
массы стержня; иначе говоря, эти условия соответствуют ма-
лому и большому времени прихода массы в состояние покоя
по сравнению со временем пробега волны вдоль стержня. Когда
эти времена сравнимы, поведение системы значительно более
сложное. Эта проблема и другие, включая продолжительный
удар стержней, обсуждались Голдсмитом [126] и Джонсоном
[205].
До сих пор обсуждалось идеально упругое поведение, однако
ударные напряжения в общем высоки и неупругие деформации
играют на практике важную роль. Для соблюдения условий
упругого деформирования напряжения, получаемые из (11.1),
должны быть меньше предела текучести У, что ограничивает
скорость удара условием
ц<У/(рс0). (11.4)
§. 11.1. Волны напряжений в телах
389
Продольная скорость волны для стали, определенная из (11.3),
равна примерно 5200 м/с. Выбирая Y = 300 Н/мм2, получаем
максимальную скорость удара для упругих деформаций, равную
7.5 м/с. При скоростях, меньших этого значения, упругий ги-
стерезис в стали приводит к замедлению движения упругой вол-
ны в течение времени прохождения стержня. Если эта скорость
превышается, то конец стержня становится деформированным
пластически и за упругой волной, движущейся со скоростью Со,
следует более медленная пластическая волна.
В трехмерных упругих телах возможны два типа волновых
движений: (i) волны дилатансии (или давления), когда мате-
риальные элементы меняются в объеме без деформации сдвига,
и (П) волны дисторсии (или сдвига), когда элементы искажают-
ся без изменения объема. Скорости распространения этих волн
в изотропных материалах определяются равенствами
для дилатансии:
Г 2(1 — v)G V/2
1 (1 —2v)p J
для дисторсии: c2 = (G/p)1/2,
(П.5)
(11.6)
где G — упругий модуль сдвига._
Для v = 0.25 имеем С] = д/3с2. Если фронт волны плоский,
что приближенно имеет место на больших расстояниях от источ-
ника, то движение материальных частиц в дилатансионной волне
происходит в направлении распространения фронта и, таким об-
разом, этот тип волн иногда называют продольными волнами.
С другой стороны, в волнах дисторсии частицы движутся под
прямым углом к направлению распространения волны, так что
эти волны называют поперечными.
Когда тело ограничено плоской или почти плоской поверх-
ностью, как это имело место в рассмотренных выше упругих
контактных задачах, волны, называемые волнами Рэлея, могут
распространяться вдоль поверхности со скоростью
с3 — acz = a (G/p)1/2,
(11.7а)
Таблица 11.1. Скорости упругих волн (м/с)
Сталь Медь Алюминий Стекло Резииа
Одномерное растяже- ние/сжатие со 5200 3700 5100 5300 46
Дилатансия С1 5900 4600 6300 5800 1100
Дисторсия Сч 3200 2300 3100 3400 27
Волна Рэлея Сз 3000 2100 2900 3100 26
390
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
где а — корень уравнения
(2 - а2)4 = 16 (1 - а2) (1 - а2с2/с2).
(11.7b)
Величина а зависит от коэффициента Пуассона; для v = 0.25
а — 0.919, а для v = 0.5 а = 0.955, так что скорость поверх-
ностных волн слегка меньше скоростей поперечных волн. Зна-
чения скоростей распространения волн для некоторых мате-
риалов приведены в табл. 11.1.
§ 11.2. Динамическое нагружение упругого полупространства
Исходной точкой для рассмотрения статического нагружения
упругого полупространства в гл. 2 и 3 была задача о действии
сосредоточенной силы нормально к его поверхности. Напряже-
ния и деформации от распределенной нагрузки могут затем
быть найдены путем суперпозиции. Эквивалентными пробле-
мами в динамике нагружения являются задачи о сосредоточен-
ной вдоль прямой, или точечной, нагрузке Р, которая (а) при-
ложена мгновенно и далее сохраняется постоянной (ступенча-
тая нагрузка), или (Ь) имеет вид импульса
или (с) гармонически изменяется: Р = Р* cos mt. Каждое из этих
фундаментальных, решений можно использовать для определе-
ния распределенных нагрузок суперпозицией по пространствен-
ным переменным, а переменного во времени импульса P(t) — по
времени.
Волновое движение, инициированное в полупространстве от
ступенчатой во времени (тип (а)) нагрузки, анализировалось
Пекерисом [293] и изображено на рис. 11.2. После приложения
нагрузки в момент t = 0 сферические волны давления (Р) и
сдвига (S) распространяются от точки приложения нагрузки
со скоростями Ci и С2- В точке Д] внутри тела на расстоянии
Rx = (г? + z?)1/2 от точки О материал не напряжен до момента
t = R\/c\, когда приходит P-волна, и в нем скачком возникают
радиальные перемещения. Далее при t = Ri/c^ прибывает
S-волна и вызывает скачкообразные окружные перемещения.
Величины перемещений убывают как i/R, а напряжений — как
I//?2. Пересечение P-волны со свободной поверхностью полу-
пространства инициирует слабое возмущение — «головную вол-
ну» или SP-волну, — которая распространяется со скоростью с2,
как показано на рис. 11..2(a), и которая изменяет слегка пере-
мещения и напряжения в точках под поверхностью (например,
§ 11.2. Динамическое нагружение упругого полупространства 391
Рис. 11.2. Волновое движение в упругом полупространстве, вызванное сту-
пенчатой нагрузкой Ро. (а) Волновой фронт, (Ь) нормальные перемещения
на поверхности 2 = 0 (v = 1/4).
А2 на рис. 11.2). Взаимодействие S-волны со свободной поверх-
ностью вызывает волну Рэлея, которая распространяется со ско-
ростью с3, несколько меньшей, чем скорость S-волны, и оказы-
вает влияние главным образом на точки, расположенные на
поверхности или вблизи нее. История изменения во времени
нормального перемещения йг в точках на поверхности показана
на рис. 11.2(b). Очевидно, что решающее влияние оказывает
рэлеевская волна, которая затухает как 1//?1/2 и распростра-
няется медленнее, чем Р- и S-волны. После прохождения рэ-
леевской волны устанавливается статическое распределение
перемещений поверхности, отвечающее действию стационарной
силы Ро, определяемой уравнением (3.22b).
Эффекты импульсной нагрузки, распределенной вдоль ли-
нии, а также гармонической нагрузки, распределенной вдоль
прямой и сосредоточенной в точке, были рассмотрены в клас-
392
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
сическом труде Ламба [228]. Здесь будет рассмотрена точеч-
ная нагрузка
Р (t) = Р* cos со/, (11.8)
действующая нормально к поверхности в начале координат О.
В установившемся состоянии волновая система охватывает
P-волны, движущиеся со скоростью щ, и S-волны, движущиеся
со скоростью с2 со сферическими волновыми фронтами с цен-
тром О. Кроме того, волны Рэлея распространяются вдоль по-
верхности полупространства от источника со скоростью сз.
Внутри тела на расстоянии R от центра, большем длины
волны, радиальное перемещение ur полностью определяется
волной давления и дается формулой [228, 263]
Р* cos 6 (g2 — 2 sin2 6) , , , п,
ик = „ ------[Г . . -77--- cos (со/ — kjR).
к 2nGR (sin 0) ' 17
(11.9а)
Поперечное перемещение ые обусловлено волной сдвига и опре-
деляется соотношением
ip3P* sin20(p.2 sin20 — 1)1/2 . , . .
Ыо = „ л-Б--------г—,--д.------Sin (со/ — k2R). (11.9Ь)
° 2nGR (p sin 0) ' z 7 ' ’
Здесь
6 = arccos (z/R), kx = co/cb k2 — a/c2,
p, = Cj/c2 = {2 (1 — v)/(l — 2v)}1/2,
Fo (?) = (2S2 - P2)2 - 4S2 (S2 - H2)I/2 (S2 - 1)1/2 •
На поверхности на расстоянии г от центра О, большем длины
волны, перемещения йг и йг обусловливаются волной Рэлея и
даются формулами
«г = 4" (^г) 72 Pr (v) sin (со/ — k3r — л/4), (11.10а)
йг = 4" (^г)1/2 (v) cos И — — ^/4), (11.10b)
где &з = со/сз; Fr(y) и Fz(y)— функции коэффициента Пуассона
(см. [263]). Для v = 0.25 Fr(y) = 0.125, Fz(v) = 0.183.
Соотношения (11.9) и (11.10) не точны в окрестности начала
координат, но в любом случае перемещения и соответствующие
напряжения обращаются в бесконечность в точке приложения
сосредоточенной силы (когда R и г стремятся к нулю). Более
реальная ситуация приложения равномерного давления р, дей-
ствующего на круговой площадке радиуса а и осциллирующего
с частотой со,, была рассмотрена Миллером и Персеем [263].
Это динамический эквивалент статической задачи, изученной в
§ 3.4(a). Волновое движение на больших расстояниях от круга
нагружения (R, г^> а) такое же, как в случае сосредоточенной
§ 11.2. Динамическое нагружение упругого полупространства 393
силы Р = ла2р, а упругие перемещения определяются равен-
ствами (П.9) и (11.10). Среднее нормальное перемещение вну-
три контактной площадки (йг)т представляет интерес, так как
оно определяет так называемую «податлив'ость» (receptance)
полупространства под действием осциллирующей силы. Подат-
ливость определяется как отношение среднего поверхностного
перемещения (йг)т внутри площадки нагружения к полной на-
грузке °. Податливость выражается комплексным числом: ве-
щественная часть дает перемещение, синфазное с приложенной
силой, мнимая часть — смещение, которое сдвинуто по фазе на
л/2 от силы.
Если записать обратную к податливости величину в форме
l£)^==GG{^cosco/-(-^-)f2sinco/}, (11.11)
то окажется, что это соотношение соответствует выражению для
обратной податливости некоторой пружины, соединенной па-
раллельно с вязким элементом (демпфером). Функции fi и f2
зависят от коэффициента Пуассона и частотного параметра
&а/с2. Их значения, взятые из работы [263], показаны на
рис. 11.3 сплошными линиями. В рассматриваемом диапазоне
fi и f2 не сильно меняются с частотой, так что в рамках разум-
ной аппроксимации упругое полупространство можно модели-
ровать пружиной, соединенной параллельно с вязким элемен-
том. Энергия, рассеиваемая этим элементом, отвечает энергии,
излучаемой в полупространство при волновом движении. Жест-
кость пружины может быть определена независимо от частоты
и равна статической жесткости полупространства, задаваемой
уравнением (3.29а). Пружина и вязкий элемент характеризуют-
ся константой времени Т = f2a/fic2 т Таким способом
можно легко определить энергию, излучаемую через полупро-
странство при волновом движении. Для v = 0.25 она опреде-
ляется по формуле
W = O.O74P2co2/Gc2. (11.12)
С использованием выражений (П.9) и (11.10) распределение
энергии между различными типами волн было найдено Милле-
ром и Персеем [264]. Волны давления забирают 7 % энергии,
волны сдвига 26 % и поверхностные волны 67.% излучаемой
энергии. Если учесть, что волны давления и сдвига затухают
по амплитуде (без учета диссипации) как (расстояние)"1, а по-
верхностные волны как (расстояние)-1/2, то становится ясно, что
основной эффект на том же расстоянии от источника будет
° Другой общеупотребительной величиной, которая дает ту же инфор-
мацию о системе, является «импеданс»; определяемый отношением силы к
средней скорости точек поверхности в нагруженной области.
Гл. И Динамические эффекты и удар
Рис. 11.3. Функции fi и fi для упругого полупространства: сплошная ли
ния — постоянное давление на круге радиуса а; штриховая линия — постоян-
ное давление на полосе шириной 2а; штрихпунктирная линия — постоянное
давление полубесконечного стержня; пунктирная линия — постоянное переме-
щение на круге радиуса а.
от поверхностных волн. Этим объясняется разрушительный ха-
рактер землетрясений на большой площади.
Модель пружины и вязкого элемента может быть использо-
вана и для других условий. Пусть полубесконечный тонкий стер-
жень проводит одномерные продольные волны, как описано в
§ 11.1. Благодаря своей бесконечной длине стержень обладает
нулевой статической жесткостью на растяжение и сжатие. По
уравнению (11.1) сила на конце стержня пропорциональна ско-
рости на конце. Таким образом, при действии осциллирующей
£илы стержень ведет себя подобно чисто вязкому элементу,
функции fi и fa принимают значения 0 и 0.384. Миллер и Пер-
§ 11.2. Динамическое нагружение упругого полупространства 395
сей [263] также рассмотрели упругое полупространство при
двумерной нагрузке осциллирующим давлением по полосе шири-
ной 2а. В этом случае функции fi и f2 выявляют большую зави-
симость от частоты (рис. 11.3).
В связи с интересом к процессам передачи движения на
грунт от основания вибрирующей машины Арнольд и др. [12],
Робертсон [310] и Гладуэлл [122] изучали родственную задачу
о круговой области на поверхности упругого полупространства,
в которой задано осциллирующее равномерное нормальное сме-
щение. В этом случае распределение давления неравномерно.
Функции fi и f2, найденные Гладуэллом для этого случая, при-
ведены на рис. 11.3. Не удивительно, что они не слишком отли-
чаются от случая равномерного давления. При со -> 0 функция
fi задается статическим перемещением, отвечающим жесткому
круговому штампу (уравнение (3.36)).
В этом параграфе рассматриваются напряжения и переме-
щения в упругом полупространстве при синусоидально осцил-
лирующем давлении, приложенном по малому кругу на поверх-
ности. На языке теории колебаний мы определили линейный
динамический отклик на гармоническое возбуждение. В следую-
щем параграфе при рассмотрении удара мы изучим отклик
упругого полупространства на единичный импульс давления.
Однако если изменение интенсивности импульса со временем и
P(t) известно, то его можно представить непрерывным спектром
гармонического возбуждения /’(со) вида
оо
77 И-(4)1/2 $ P(t)elatdt. (11.13)
— оо
В этом параграфе дан отклик на гармоническое возбуждение
фиксированной частоты со. Отклик на гармоническое возбужде-
ние У7(со) может быть найден суперпозицией, т. е. интегрирова-
нием по со. На практике интегрирование редко осуществляется
непосредственно и требует численных вычислений.
В заключение отметим, что, хотя мы рассматривали только
динамическое -деформирование полупространства при действии
«нормальной» нагрузки, качественно аналогичное поведение
имеет место и для случаев приложения касательных сил или
моментов к поверхности. Например, круговой диск радиуса а,
соединенный с поверхностью, кроме нормальных колебаний, рас-
смотренных выше, может испытывать три другие формы коле-
баний: сдвиг параллельно поверхности, качание вдоль оси, ле-
жащей на поверхности, кручение относительно нормальной оси.
Функции «податливостей» для каждого из этих случаев приве-
дены в удобной форме Гладуэллом [122].
396 Гл. 11. Динамические эффекты и удар
§ 11.3. Резонанс в условиях контакта
В предыдущем параграфе было показано, что отклик упру-
гого полупространства на осциллирующую силу, приложенную
к поверхности, подобен отклику пружины, параллельно соеди-
ненной с вязким элементом. Если теперь тело массы т приво-
дится в контакт с полупространством, результирующая система,
представляющая собой массу, пружину и вязкий элемент, обла-
дает характеристической частотой колебаний и может вступать
в резонанс при приложении осциллирующей силы.
Рассмотрим сначала случай взаимодействия жесткого мас-
сивного тела, прикрепленного к полупространству по фиксиро-
ванной круговой области радиуса а. Эта задача исследована
Арнольдом и др. [12]:, Она имеет очевидные приложения при
исследовании вибрации почвы, возбужденной тяжелым меха-
низмом, а также вибрации зданий, возбужденной колебаниями
земли [306].
Для движения, нормального к поверхности, податливость
полупространства определяется в (Н.П), так что, обозначая
перемещение массы через йг, имеем уравнение движения си-
стемы под действием осциллирующей силы Р cos at:
тиг + (Ga2f2/c2) иг + Gaf^ — Р cos со/. (11 • 14)
Частота свободных колебаний равна соо(1—t2)1/2> где собствен-
ная частота в отсутствие затухания соо дается равенством
ai = GafJm, (11.15а)
а коэффициент затухания — равенством
С = */2 О1) (®оо/с2) = */2 (f2/f 1/2) (ра3М1/2. (11 • 15b)
Острый резонансный пик будет получен при 1. Здесь
*/2 (f2/fl1/2) - 1, так что коэффициент затухания распространяю-
щейся волны мал, если масса прикрепленного тела велика по
сравнению с массой куба со стороной а из материала полупро-
странства. В этом случае резонансная частота очень близка к
частоте ©о, задаваемой уравнением (11.15а). Резонансные кри-
вые для различных величин ра3/т и различных типов колеба-
ний приведены в работе [12].
Теперь обратимся к случаю, когда два контактирующих тела
с несогласованными поверхностями сжимаются стационарной
силой Ро и затем подвергаются осциллирующей силе ДР cos at.
Как и в статической теории контактных напряжений, примем,
что размер области контакта мал по сравнению с размерами
каждого тела, откуда следует, что параметр $а3/т должен быть
§ 11.3. Резонанс в условиях контакта
397
мал для обоих тел. Это означает, что вибрационная энергия, по-
глощаемая волновым движением, мала. Следовательно, для
каждого тела член, характеризующий затухание в уравнении
(11.14), пренебрежимо мал, а упругая жесткость определяется
статической жесткостью Gafifa = 0). Так как оба тела дефор-
мируемы, то эффективная «контактная жесткость» определяет-
ся комбинацией жесткостей обоих тел, рассматриваемых как
полупространства. Масса каждого тела может считаться сосре-
доточенной в его центре массы. Теперь легко подсчитать их ча-
стоты при контактном резонансе.
К частоте контактного резонанса можно прийти другим пу-
тем. Соотношение между нормальной контактной нагрузкой и
относительным смещением двух тел дается уравнением (4.23)
для круговой области контакта и уравнением (4.26с) для эллип-
тического контакта. Оба они могут быть объединены формулой
Р = 7<63/2, (11.16)
где постоянная К зависит от геометрии и упругих постоянных
обоих тел. Это соотношение нелинейное, но для малых вариа-
ций ДР около среднего значения Ро эффективная жесткость есть
5==4г=т^2₽о)1/2- (11Л7>
Если тела имеют массы mi а та а свободно оперты, то частота,
при которой имеет место контактный резонанс, дается формулой.
со2=я(т1 + тг) . (11.18)
rn.im.2 ' '
Как было показано, эффективным затуханием из-за распро-
странения волн можно пренебречь, однако на практике будет
иметь место затухание из-за упругого гистерезиса, как это опи-
сывалось в § 6.4.
При резонансе, когда достигаются большие амплитуды ко-
лебаний, на поведение системы влияет нелинейная форма зави-
симости силы от перемещений (11.16). При постоянной средней
нагрузке Ро эффективная жесткость уменьшается с амплиту-
дой, так что резонансная кривая имеет изогнутую форму, свя-
занную с «уменьшением жесткости» модельной пружины (см.
[79]). Таким образом, частота при максимальной амплитуде
меньше собственной частоты, определяемой уравнением (11.18).
При сильных резонансных условиях контакт между телами мо-
жет нарушаться в течение части цикла взаимодействия.
Выше было показано, как контактный резонанс возникает
в ответ на приложение осциллирующей силы. Это также имеет
место при контакте качения, когда профили поверхностей ка-
чения обладают периодическими шероховатостями (см. [134]).
398
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
Рис. 11.4. Кривые контактного резонанса для катящихся дисков, поверхность
одного из которых имеет периодические нерегулярности. Отношение ампли-
туды нерегулярностей к статическому сжатию равно 0.3 (кружки), 0.55 (кре-
стики). Пунктирная линия отвечает скачку амплитуды вибрации при потере
контакта.
Амплитуда колебаний двух дисков, один из которых катится со
скоростью V вдоль поверхности другого, имеющей синусоидаль-
ную неровность с длиной волны к, показана на рис. 11.4. При
меньших неровностях амплитуда колебаний не превышает сме-
щения при статическом сжатии, так что поверхности находятся
в непрерывном контакте. Получена соответствующая резонанс-
ная кривая. При больших неровностях поверхности контакт ди-
сков при резонансе нарушается и на резонансной кривой по-
является скачок, характерный для сильно нелинейных систем.
§ 11.4. Упругий удар
Классическая теория удара упругих тел без трения была
дана Герцем и вытекала непосредственно из его статической
теории контакта (гл. 4). Эта теория является квазистатической
в том смысле, что деформации считаются сосредоточенными в
окрестности области контакта и определяются статической тео-
рией: волновым движением в телах пренебрегается и предпо-
лагается, что каждое тело движется в любой момент времени
со скоростью его центра масс. Такой удар может быть проил-
люстрирован на примере столкновения двух жестких железно-
дорожных платформ, снабженных легкими пружинными буфе-
рами; деформация сконцентрирована в пружинах, инерцией ко-
§ 11.4. Упругий удар
399
торых можно' пренебречь, а платформы движутся как твердые
тела. Справедливость сделанных предположений будет исследо-
вана ниже.
(а) КОЛЛИНЕАРНЫЙ УДАР ШАРОВ
Два упругих шара с массами т\ и m2, показанные на
рис. 11.5, движутся со скоростями vzi и Vz2 вдоль линии, соеди-
няющей их центры, и сталкиваются в точке О. Начнем рас-
смотрение коллинеарного удара при vxi = vX2 = сощ = «»г/2 = 0.
Во время удара из-за упругих
деформаций центры шаров при-
ближаются друг к другу на рас-
стояние Их относительная
скорость равна vz2 — vzi — d8z/dt,
а сила взаимодействия в любой
момент P(t) определяется в сле-
дующем виде:
„ dvzi
р = т^^Г-~т^-аГ’
т. е.
_ /я, + /и2 р _
mim2
Соотношение между Р и берет-
ся таким, как в статическом кон-
такте (уравнение (4.23)), т. е.
Рис. 1.1.5.
Р ^(4/3)р',2Е*ьТ = КбТ, (11.20)
где 1/Д = 1/7?! + 1/Д2 и 1/Д* = (1 — vi)/^ + (1 —vD/E. Заменяя
(1//Щ + l/m2) на 1/ш, получаем
= (11.21)
Интегрируя относительно бг, имеем
1 ( 2 / dbz VI _ 2 К 5/2
2 Vz I dt J J ~' 5 m ’
где Vz — (vz2 — vzl)t=0 — скорость сближения тел.
мальном сжатии &z имеем dbjdt = 0, что дает
« f5mVlY/S_f 15тУг ¥/5
б»=1”4К"7 ~ V 16Я1/2а* )
При макси-
(11.22)
400
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
Зависимость сжатия от времени, найденная повторным интегри-
рованием, выражается в виде
kJ о чW/2},/2 ‘
(11.23)
Этот интеграл численно оценен Дересевичем [84] и представлен
в виде зависимости силы от времени на рис. 11.6. После момента
максимального сжатия t* шары вновь восстанавливают форму.
Рис. 11.6. Изменение сжатия 6? и силы Р со временем при герцевском ударе.
Штриховая линия означает sin(n//2/*).
Так как они идеально упруги, трение отсутствует, а энергией,
переходящей в волновое движение, пренебрегается, то дефор-
мации абсолютно обратимы. Общее время удара Тс, следова-
тельно, дается формулой
2б; f1 d(&z/tQ
о {1 - (ОТ
= 2.87
2.94бЖ =
(11.24)
Проведенный выше анализ приложим к контакту шаров
или других тел, имеющих круговую область упругого контакта.
Он может быть применен к телам общего профиля путем вве-
дения параметра К в закон статического сжатия из уравнения
(4.26с). Квазистатический удар жесткого конуса с упругой по-
луплоскостью был проанализирован Грэхемом [133].
Теперь можно оценить справедливость предположения, на
котором основана теория удара Герца — квазистатичность де-
формаций. В § 11.1, когда рассматривался удар тонкого стерж-
ня, обсуждалось, что деформации в стержне квазистатические,
если продолжительность удара настолько велика, что волны
§ 11.4. Упругий удар
401
напряжения могут многократно пересечь стержень по длине.
Ляв [239] предположил, что то же самое условие приложимо
к случаю взаимодействия шаров. При этом время прохождения
продольной волной удвоенного диаметра шара есть AR/c^. Вре-
мя удара, определяемое уравнением (11.24), выражается как
5.6 (/?s/coVz)1/5, так что отношение времени контакта к времени
движения волны приближенно равно (Vz/co)1/5- Согласно часто
цитируемому критерию Лява, эта величина должна быть зна-
чительно меньше единицы для применимости к исследованию
удара квазистатического анализа.
Однако, как теперь выяснилось, критерий Лява, по крайней
мере в предложенной форме, не подходит для анализа столк-
новения трехмерных тел. Он, очевидно, приводит к логическим
трудностям, когда одно из тел столь велико, что отраженные
волны не возвращаются к точке удара! Опишем теперь в общих
чертах другой подход, предложенный Хантером [177], который
базируется на работе, описанной в предыдущем параграфе. Там
было показано, что динамический отклик упругого полупро-
странства можно определить с хорошей точностью представле-
нием полупространства как упругой пружины, параллельно
соединенной с демпфером; энергия, поглощаемая демпфером,
соответствует энергии, излучаемой через полупространство вол-
новым движением. Если характерное время системы мало по
сравнению с периодом пульсации приложенной силы, то вариа-
ция силы за время удара будет определяться главным образом
деформацией пружины, т. е. в квазистатическом смысле, и энер-
гия, поглощаемая демпфером, будет малой частью полной энер-
гии удара. Найдем теперь условия, когда это имеет место.
Зависимость силы от времени для квазистатического упру-
гого удара описывается уравнениями (11.20) и (11.23) и при-
водится на рис. 11.6. Из рисунка ясно (хотя это и не совсем
точно), что эта зависимость может быть аппроксимирована сле-
дующей:
P(t) = Р* sin со/ = Р* sin (л//2/*), (11.25)
Модель пружина — демпфер для описания упругого полупро-
странства имеет жесткость s ~ 5Ga и постоянную времени
Т 0.74ц/с2 ~ 1.2а/со. Когда такая система подвергается пуль-
сирующей нагрузке, определяемой уравнением (11.25), энергия,
поглощаемая демпфером, мала, и динамический отклик опре-
деляется пружиной, если время релаксации Т мало по сравне-
нию с.периодом пульсации 21*. Если принять а постоянной и
равной а*, то соответствующее отношение времен запишется
в виде
а*с0
2— « о 4-^^ = 0 4-^-
21* U- б*с0 ас0
(11.26)
402 Гл. И. Динамические эффекты и удар
Чтобы условия были близки к квазистатическим, это отноше-
ние должно быть много меньше единицы. Для сравнения с кри-
терием Лява рассмотрим два одинаковых шара, где т1 = т2 =
= (4/3) пр Д? и R = RJ2. Уравнение (11.26) сводится к сле-
дующему:
T/2f «0.3(Е2/со)3/5. (11.27)
Это гораздо менее ограничительное условие, чем введенное Ля-
вом: 7/2/* меньше 1 %, при условии что Vz < О.ОО2со. Как бу-
дет показано, однако, более жесткие ограничения для приме-
нимости приведенной выше теории налагаются на скорость
удара тем, что. большинство реальных материалов перестает
упруго деформироваться при скоростях удара, намного мень-
ших, чем определяемые критерием (11.27).
Хотя удар упругих шаров при реальных скоростях является
квазистатическим, Томпсон и Робинсон [344] рассмотрели их
поведение сразу после первого контакта. При квазистатических
условиях радиус области контакта а связан со сближением 6?
выражением а2 = 8zR, так что а растет со скоростью а —
= bzR/2a, где 6? приближенно равно скорости удара Vz- Таким
образом, при первом контакте, когда радиус а исчезающе мал,
скорость а может превысить скорость, с которой упругие волны
распространяются по поверхности. Однако оказывается, что эта
так называемая «суперсейсмическая фаза» занимает долю об-
щего времени контакта порядка Vz/cx, что несущественно.
(Ь) КОСОЙ УДАР ШАРОВ
Если шары на рис. 11.5 совершают общее компланарное
движение, то возникают касательные vx и угловые скорости
в точке контакта. Для случая отсутствия трения между поверх-
ностями касательные и вращательные движения не чувстви-
тельны к удару. При трении, с другой стороны, возникают ка-
сательные напряжения в области взаимодействия, которые
сложным образом влияют на движение системы. Обозначим че-
рез Qx результирующую касательную силу; тогда
Qx = = ~m2i (Vx2 ~ 0h28)
Тогда момент количества движения каждого шара относительно
оси Оу сохраняется, т. е.
"^7 (Ri + kx) =
= W 4” nk (^?2 + = о, (11.29)
§ 11.4, Упругий удар
403
где k\ и k%— радиусы вращения шаров относительно их центров
масс. Исключая co^i и из (11.28) и (11.29^, получаем
п _ mi dvxi ______т2 dvx2 .
l+R2Jki dt 1 + ^/4
Записывая mt-/(l + Rifei) = tni и 1/m* = 1/т* + получаем
~nfQx^~dt ^VxX ~ Vx2^ ==~dir ’ (11.31)
где 8X — упругое тангенциальное перемещение между двумя ша-
рами в точке контакта. Это уравнение определяет тангенциаль-
ную деформацию в контакте так же, как уравнение (11.19)
определяет нормальное сжатие. Деформация при наличии тан-
генциальных сил усложняется еще наличием микропроскальзы-
вания. Если Qx достигает своей предельной величины ±рР, то
поверхности полностью проскальзывают, однако если Qx <
<|рД|, то может реализоваться и сцепление, однако в общем
случае следует ожидать микропроскальзывания в кольцевой
области в окрестности границы области контакта, где давление
низкое. Изменения тангенциального напряжения и микропро-
скальзывания, возникающие при одновременном изменении ка-
сательной и нормальной сил, изучались Миндлином и Дересеви-
чем (267) и кратко обсуждались в § 7.3. Напряжения в данный
момент зависят не только от величин Р и Q, но и от предысто-
рии изменения Р, Q. Этот подход был применен к задаче о ко-.,
сом ударе [253,254]. Тангенциальные напряжения не меняются
от нормальных компонент движения, если упругие свойства ма-
териалов двух тел одинаковы (т. е. р = 0 согласно (5.3)). Од-
нако в § 5.4 было показано, что даже для разных материалов
перекрестное влияние касательных и нормальных компонент
мало и им можно пренебречь. Изменение размера области кон-
такта и контактного давления при ударе даются, таким обра-
зом, теорией удара Герца независимо от наличия сил трения.
Изменения касательных напряжений ’ и микропроскальзыва-
ния при ударе могут быть найдены пошаговым методом для
различных условий соударения. Упругие постоянные двух тел
входят в расчет через отношение тангенциальной податливости
к нормальной (см. уравнения (7.43) и (7.44)). Определим отно-
сительную жесткость х в виде
±_(2^+!ц?е)|(1^+2^-). (11.32)
Здесь х — постоянная материала, близкая к единице, для оди-
наковых материалов и при т = 0.3 х = 0.824. Соответствую-
щие условия соударения определяются безразмерным парамет-
ром ф = xVjv/iiVz, где Vx — (щ-i — fx2)t=o — тангенциальная ско-
404
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
Рис. 11.7. Косой удар однородных твердых шаров: изменение тангенциальной
силы при ударе (v = 0.3; % =1.44).
рость сближения перед контактом. Обозначим через
arctg(Vx/V2) угол, под которым поверхности сближаются в точ-
ке О. Поведение при ударе зависит от второго параметра %=
'= xm/2m*. Для подобных шаров из одинаковых материалов
при v = 0.3 имеем % = 1.44. Изменение силы Qx во время удара
показано для различных условий соударения на рис. 11.7. При
углах соударения, меньших, чем углы трения (ф 1), в начале
удара проскальзывание отсутствует. При больших углах соуда-
рения (1<ф<4х—1) удар начинается и заканчивается в
условиях полного проскальзывания; в промежутке имеет место
частичное проскальзывание. При достаточно больших углах со-
ударения (ф 25s 4%— 1) проскальзывание имеет место в течение
всего времени удара.
При условии не очень больших углов соударения, как видно
из рис. 11.7, тангенциальная сила Qx меняет направление во
время удара, в то время как нормальная сила совершает поло-
вину цикла. В предыдущем параграфе было показано, что два
контактирующих тела обладают частотой «контактного резо-
нанса», определяемой нормальной контактной жесткостью и их
массами (уравнение (11.18)). Подобного поведения можно ожи-
дать и в тангенциальном движении. Отношение тангенциальной
и нормальной частот контактного резонанса имеет вид
= (xm/m*)1/2 = (2у)1/2. (11.33)
§ 11.4. Упругий удар
405
Для жестких сфер &t/&n = 1.7, поэтому период изменения тан-
генциальной силы почти равен периоду соударения, в то время
как период изменения нормальной силы совпадает с половиной
цикла.
Благодаря отрицательной касательной силе в конце удара
возникает отрицательное касательное восстановление. Выра-
жая скорость восстановления Vx через параметр восстановле-
ния -ф' = uVx/itVz, можно описать условия восстановления как
функцию параметра соударения ф (рис. 11.8). Тангенциальная
Рис. 11.8. Тангенциальные скорости нагружения и восстановления при косом-
ударе однородных твердых шаров. Штриховая линия — теория для жесткого-
«тела. A: v = 0.3; В: v — 0.5.
скорость восстановления Vx в основном отрицательна, кроме
диапазона ф >• 4%. Классическая теория контакта жестких тел,
когда контактными деформациями пренебрегается, предсказы-
вает, что тангенциальная скорость восстановления V' либо по-
ложительна, если проскальзывание непрерывно, либо обращает-
ся в нуль, если проскальзывание исчезает во время контакта,
как показано штриховой линией на рис. 11.8. Отрицательные
скорости тангенциального восстановления были подтверждены
экспериментом (см. [254]). Они наиболее вероятны в условиях
больших коэффициентов трения, например для сухих резиновых,
поверхностей.
(с) ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИ УДАРЕ
Хотя часть энергии удара, излучаемая упругими волнами,,
очень мала, однако в ряде приложений, например в сейсмоло-
гии, она может быть существенной. Цай и Кольский [351] ис-
следовали упругий удар при падении стальных шаров на боль-
406
Гл. И. Динамические эффекты и удар
шой стеклянный блок и измеряли радиальные деформации в
поверхностных волнах. Изменение деформации со временем для
некоторой фиксированной точки показано на рис. 11.9. Был вы-
полнен теоретический анализ этой задачи по следующей схеме.
Использовалась зависимость силы от времени из теории удара
Герца (рис. 11.6). В соответствии с уравнением (11.13) она
преобразовывалась в непрерывный спектр гармонически изме-
няющихся сил F(со). Радиальное смещение поверхности йт, со-
ответствующее единственной частоте возбуждения, определя-
лось уравнением (11.10а). Подставляя спектральное разложе-
ние F(a) для Р, интегрируя по а и дифференцируя по г, полу-
чаем изменение радиальной деформации со временем дйг/дг
Рис. 11.9. Поверхностная волна в стеклянном блоке, вызванная ударом
•стального шара [351]. А—приближенный расчет [351], В — улучшенные ре-
зультаты [349]; сплошная линия — эксперимент.
вследствие ударного импульса. Результаты этого расчета пока-
заны кривой А на рис. 11.9. Соответствие эксперименту весьма
удовлетворительное. Тщательный анализ был сделан Цаем
[349] с использованием более точных выражений для радиаль-
ных перемещений, полученных Миллером и Персеем [264];
кроме того, учитывалось также неоднородное распределение
давления и изменение радиуса области контакта во время
удара. Эти результаты показаны кривой В. Тщательность про-
деланного исследования не приводит к существенному измене-
нию в результатах, однако она позволила получить острый вто-
ричный пик измеренного импульса деформаций.
Более точный динамический анализ упругого удара был вы-
полнён Цаем [350] для сферических тел и Беддингом и Уилли-,
сом [28] для вдавливания жестких клина и конуса в упругое
полупространство.
В данном параграфе до сих пор рассматривались задачи
взаимодействия соударяемых тел, когда лишь малая часть энер-
гии удара переходит в волны напряжений и несущественно ме-
§ 11.4. Упругий удар
407
няет локальные деформации. Если одно или оба тела вытяну-
тые, то это перестает иметь место.
Вернемся к примеру тонкого стержня (см. § 11.1), по концу
которого наносится удар шаром, движущимся со скоростью Ё.
Трехмерное состояние напряжений в окрестности конца стержня
требует выбора некоторой аппроксимации. Удобным подходом
в этом случае является выбор некоторой точки Н вблизи конца
стержня (рис. 11.10(a)) и предположение о том, что квазиста-
тические деформации при ударе имеют место слева от Н, а од-
номерное распространение упругих волн — справа от Н. Выбор
Рис. 11.10. (а) Удар ша-
ра по концу тонкого
стержня; (Ь) модель
пружина — вязкий эле-
мент.
расположения точки Н несколько произволен, однако для ана-
лиза большинства вопросов можно считать, что эта точка нахо-
дится непосредственно вблизи конца стержня. Если P(t)—кон-
тактное усилие при ударе, то уравнение количества движения
для шара определяет скорость его центра С:
t
V1 = V-^\P(t)dt, (11,34).
о
где т — масса шара. Для стержня из уравнения (11-1) полу-
чаем скорость точки Н:
<1L36>
Сближение 62 центра шара С и точки Н дается выражением
<5г = ( (У1 __ у2) at = Vt - dt\ Р (t) dt — ( р (/) dt. (11.36}
О о О Р 0 oJ
-408
Гл. И. Динамические эффекты и удар
Такую систему можно моделировать нелинейной пружиной,
представляющей контактные деформации, соединенной после-
довательно с демпфером, представляющим волновое движение
(см. рис. 11.10(b)). Если определена зависимость контактной
силы от сжатия, например, уравнением (11.20) для упругого
удара, то уравнение (11.36) может быть решено численно с
целью нахождения функции P(t) и динамических напряжений
в стержне. И наоборот, если динамические деформации в стерж-
не замерены, то уравнение (11.36) может быть использовано
для определения зависимости силы от деформации в точке кон-
такта (см. [72]). Для возможности применения такого подхода
достаточно, чтобы соударение полностью закончилось прежде,
чем отраженные волны по стержню вернутся в точку удара. Для
этого требуется, чтобы масса ударника не была слишком боль-
шой по сравнению с массой стержня. С другой стороны, если
масса ударника чересчур мала, то v2, определяемое формулой
(11.35), становится пренебрежимым по сравнению с щ и стержень
движется подобно полупространству. Дэвис [76] показал, что
это имеет место, когда диаметр шара меньше половины диаметра
•стержня.
Описанный подход может быть применен для изучения про-
дольного удара двух стержней с закругленными краями. Ана-
логичная ситуация возникает при поперечном ударе тела по
балке; зависимость силы от сжатия определяется на основе ква-
зистатического анализа, однако значительная часть энергии
здесь переходит в энергию изгибных колебаний балки (см.
[126] или [205]).
§ 11.5. Неупругий удар’>
(а) НАЧАЛО ТЕЧЕНИЯ
В предыдущем параграфе была изложена теория упругого
удара Герца. Упругопластический материал будет достигать
предела упругости в точке под поверхностью, если максималь-
ные контактные напряжения ро в момент максимального сжа-
тия достигнут величины 1.60У, определяемой уравнением (6.9),
где У— предел текучести материала меньшей жесткости. Мак-
симальная величина р* при упругом ударе может быть полу-
чена с использованием уравнений (11.20) и (11.22), откуда вы-
текает
, 3 f 4Е* М/5/ 5 /И о-п
11 Более полно см. в работах [205] или [373].
§ 11.5. Неупругий удар
409
где 1/т = 1/mi + l/ms, 1//? = l//?i + 1Д?2Й V—-относительная
скорость удара *>. Подстановка критического значения р0 дает
выражение для скорости Vy, необходимой для возникновения
течения
Ц2тVy ~ бЗ^/Г4. (11.38)
В случае однородного шара единичного радиуса, ударяющего
по плоской поверхности большого тела, уравнение (11.38) пе-
реходит в следующее:
рУ2/У = 26(У/£*)4,
(11.39)
где р — плотность шара. Скорость удара, приводящая к возник-
новению течения на поверхности металлических тел, очень
мала; для закаленного стального шара при ударе по закален-
ной стальной детали средней твердости (У = 1000 Н/мм2)
Vy « 0.14 м/с. Ясно, что большинство ударных взаимодействий
между металлическими телами сопровождаются некоторыми пла-
стическими деформациями.
(Ь) ПЛАСТИЧЕСКИЙ УДАР ПРИ УМЕРЕННЫХ СКОРОСТЯХ
В предыдущем параграфе рассматривался квазистатический.
подход к нахождению контактных напряжений при упругом
ударе в предположении, что скорость удара мала по сравнению
со скоростью упругой волны. Это условие остается справедли-
вым и в случае пластических деформаций, так как наличие пла-
стического течения уменьшает интенсивность контактного дав-
ления и, следовательно, энергию, идущую на упругое волновое
движение. При средней скорости удара (скажем, до 500 м/с)
можно использовать соотношения для неупругих контактных,
напряжений при статических условиях "(см. гл. 6) с целью ис-
следования процесса соударения. Прежде всего рассмотрим нор-
мальный удар.
Вплоть до момента максимального сжатия кинетическая
энергия переходит в локальные упругие и пластические дефор-
мации сталкивающихся тел, т. е.
с* '
±-mV2 = W=\Pdt>, (11.40)
о
где 1/щ = 1/mi + 1/т2 и V — относительная скорость соударе-
ния. После момента максимального сжатия кинетическая энер-
'*> Так как здесь рассматривается лишь нормальный удар, то индекс z
будем опускать.
410
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
гия при отскоке равна работе, совершенной за время упругого
восстановления, т. е.
б*
-1-тУ'2 = 1Г'= (11.41)
о
где величины со штрихом относятся к восстановлению. Далее
нужно определить максимальные контактные напряжения, про-
ничимся рассмотрением сферических профилей, однако анализ
через скорость удара V и свойства соударяющихся тел. Огра-
должительность удара и «коэффициент восстановления» V /V
без особых трудностей может быть распространен на более об-
щие формы профилей.
Из уравнений (11.40) и (11.41) ясно, что поведение при
ударе определяется функцией податливости Р(б) для удара как
при нагружении, так и при разгрузке. Эти соотношения для
статических условий обсуждались в § 6.3 и 6.4 (см. рис. 6.17).
В упругом диапазоне Р Ру нагружение и разгрузка иден-
тичны и описываются уравнением (1L20). Течение начинается в
точке под поверхностью, и, по мере того как распространяется
пластическая зона, среднее контактное давление возрастает от
~ 1.1 У до -ЗУ, когда достигается полная пластичность. В даль-
нейшем, если нет деформационного упрочнения, контактное дав-
ление сохраняется примерно постоянным и называется давле-
нием течения или давлением текучести.
К сожалению, изменение податливости для упругопластиче-
ского контакта в точной форме не определено, так что теория
упругопластического удара необходимо должна быть прибли-
женной. Поскольку большинство соударений металлических тел
приводит к полностью пластическому вдавливанию, сосредото-
чим внимание на рассмотрение этого режима. В приводимом
статическом анализе предполагается, что (а) полное упругое
и пластическое сжатие 6 связано с размерами контактной зоны
соотношением 6 = (т. е. ни султан, ни «воронка» не об-
разуются в зоне контакта) и (Ь) среднее контактное давление
рт постоянно и равно З.ОУ. Эти предположения приводят к со-
отношению податливости (6.41), которое дает, как показано
на рис. 6.17, хорошее соответствие экспериментальным резуль-
татам. Делая здесь те же предположения и используя уравне-
ния (11.40), получим
ас М
V тV2 = ( na2pd (a/R) da = , (1 1.42)
о
где ра — среднее контактное давление при динамическом нагру-
жении. Отметим, что величина зтп*4/47? есть «кажущаяся» вели-
чина объема материала va, замещаемого индентором радиуса
§ 11.5. Неупругий удар
411
Р. Для материала со степенным деформационным упрочнением
с показателем степени п (см. (6.73)) Мок и Даффи [269] пока-
зали, что правая часть уравнения (11.42) умножается на мно-
житель 4n/(4n+ 1) и ра. есть динамическое давление в момент
максимального сжатия.
Предполагая, что отскок упругий, энергию при отскоке W'
можно получить подстановкой уравнения (6.45) для податли-
вости в уравнение (11.41), где Р* — n*2pd— сила сжатия между
Рис. 11.11. Измерения коэффициента восстановления при ударе стального-
шара о блоки из различных материалов [126]. Крестики — твердая бронза,,
кружки — медь, треугольники — свинец; линии имеют наклон —1/4.
телами в начале отскока. Используя уравнение (4.22) для ис-
ключения радиусов, кинетическую энергию отскока можно оп-
ределить через размер области вдавливания:
Дт|/'2 = 1Г' = ^-^Л«й/£-. <11.43>
Исключая а* из уравнений (11.42) и (11.43), получаем выра-
жение для коэффициента восстановления
1
-1/4
, V'2 Зл5/443/4
е ~ V2
10
(11.44)
или, если записать ра « 3.0Yd (Yd — динамический предел теку-
чести), то
е ~ 3.8 (Yd/Eye (-у mV2lYd^y&. (11.45}
Из этого анализа ясно, что коэффициент восстановления не яв-
ляется характеристикой материала, однако он зависит лишь от
жесткости при ударе. При достаточно малых скоростях (И < Vr
согласно уравнению (11.38)) деформации упруги и коэффициент
412
Гл. И. Динамические эффекты и удар
е очень близок к единице. С возрастанием скорости коэффи-
циент восстановления постепенно падает. Когда наступает пол-
ная пластичность вдавливания, рассматриваемая теория пред-
сказывает, что е пропорционально К-1/4. Некоторые экспери-
ментальные данные, взятые из [126] и показанные на рис. 11.11,
иллюстрируют это.
Коэффициент восстановления также сильно зависит от твер-
дости материала: в соответствии с уравнением (11.45) он про-
порционален У^8. На рис. 11.12 приведено сравнение расчетов
Рис. 11.12. Изменение коэффициента восстановления в зависимости от дина-
мической твердости ра. Темные кружки — сталь, треугольники — сплав алю-
миния, квадратики — медь, кружки — свинец.
по уравнению (11.45) с экспериментами Табора [337] для раз-
личных материалов. В общем экспериментальные данные сле-
дуют теории Р, однако измеренные значения е несколько ниже их.
Табор [337] и Крук [72] использовали результаты ударных
экспериментов для определения динамического давления теку-
чести ра,- Как и ожидалось, они обнаружили, что динамическое
давление больше статического давления текучести рт и коэффи-
циент пропорциональности несколько выше для мягких метал-
*> Табор [337] развил несколько иную теорию. Вместо использования соот-
ношения б = cPfiR он предполагал, что энергия расходуется на пластиче-
скую деформацию (IF—W") = pavr, где vr — остаточный объем вдавливания
после отскока. Это предположение изменяет уравнение (11.42) на следующее:
i/2m (V2 - 3/8 V'2) = Pdva = na^pjAR, (11,42а)
где V' — дается уравнением (11.43). Влияние на коэффициент восстановления
показано на рис. 11.12.
§ 11.5. Неупругий удар
413
лов, предел текучести которых чувствителен к скорости дефор-
маций (табл. 11.2). Кроме того, было найдено, что контактное
давление не сохраняется постоянным в процессе пластического
Таблица 11.2
Метал PdlPm Рг/Рт
Сталь 1.28 1.09
Медь 1.32 1.10
Алюминиевый сплав 1.36 1.10
Свинец 1.58 1.11
деформирования, а снижается по мере того, как ударник замед-
ляется, пока не становится близким к статическому давлению
в начале отскока (обозначенному рг в табл. 11.2). Этот факт
объясняет то, что наблюдаемые коэффициенты восстановления
ниже, чем предсказываемые простой теорией, основанной на
предположении о сохранении давления течения постоянным
вплоть до момента максимального сближения.
Полное время удара разбивается на два периода: время пла-
стического вдавливания tp и время упругого отскока t'. Прини-
мая высказанные выше предположения о том, что давление те-
чения ра постоянно и что б = a2/2R, время вдавливания можно
легко определить. Уравнение относительного движения двух
тел имеет вид
т -^2- = —na2pd — ~2nRpdt>,
где \1т — 1/т.х + 1/т2 и l/R= 1/Ri + 1/R2- Решение этого урав-
нения дает
'' = (wt) • <1Е46>
откуда видно, что время tp не зависит от скорости удара. Для
стального шарика диаметром 10 мм, падающего на более мяг-
кий металл, величина tp составляет 10~4ч- 10~5 с. Предполагая
отскок упругим и подчиняющимся теории Герца, время отскока
t' можно найти из уравнений (11.45) и (11.24):
f=\.2etp, (11.47)
где коэффициент восстановления е дается соотношением (11.45),
а время tp — выражением (11.46). Если деформации при ударе
становятся более пластическими, то коэффициент восстановле-
ния е падает и время отскока t' составляет меньшую часть пол-
ного времени (tp + t') удара.
414Гл. 11. Динамические эффекты и удар
При косом пластическом ударе силы трения между снарядом
и мишенью становятся существенными и образуется вытянутый
кратер. Косой удар жесткого шара по пластическому телу был
проанализирован в работе [308] в значительной степени при
тех же предположениях, что и в описанной выше теории нор-
мального удара. При этом предполагалось, что поверхность
пластически деформированной мишени остается плоской вне
кратера, а вдавливанию шара противодействует постоянное ди-
намическое давление течения ра вместе с касательными напря-
жениями трения рра. Выполненные пошаговым методом расчеты
движения шара, объема кратера и потерь кинетической энергии
снаряда хорошо подтверждены экспериментом [180].
Изложенные выше простые теории пластического удара ос-
нованы на предположении, что максимальное вдавливание 6*
приближенно равно a*2/2R. Чтобы это имело место, отношение
a*/R должно быть меньше примерно 0.5, так что в силу уравне-
ния (11.42) величина /zmV2 /раВ3) должна быть меньше 0.05.
Для стального шара, ударяющего по стальной поверхности, это
требует, чтобы скорость V была меньше 100 м/с.
(с) ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР
При более высоких скоростях, которые имеют, например,
пули, а в наиболее ярко выраженных случаях — метеориты,
остаточные деформации значительно больше и природа ударных
явлений изменяется соответственно механическим свойствам и
снаряда, и мишени. Кроме того, диссипация энергии при ударе
приводит к локальному росту температуры, который сущест-
венно влияет на свойства материала.
Джонсон [205] предложил характеризовать режим соударе-
ния металлических тел безразмерным параметром рК2/Уд кото-
рый приведен в табл. 11.3, заимствованной из его работы.
Таблица 11.3
Режим Pvvyd Приближенное значение скорости, м/с
Упругий < 1(Гз < 0.1
Вдавливание при полной пластич- ~ 10 ~5
ности Границы теории поверхностного ква- ~ ю-1 ~ 100
экстатического вдавливания Обширное пластическое течение, на- ~ 10 ~ 1000
чало гидродинамического пове- дения Сверхскоростной удар ~ 103 ~ 10 000
§ 11.5. Неупругий удар
415
Для иллюстрации рассмотрим удар твердого шара плотно-
стью .pi о массивный блок плотностью р и динамическим преде-
лом текучести Yd. Полагая pd = 3Yd, параметр llztnV2lpdR3 мож-
но записать в виде
/ 1/2тУ2 \ _ n 7„ /рУ2\ _ РР2
I Р^3 J Р Yd ’
где pi/p слабо отличается от единицы по сравнению с существен-
ными изменениями параметра pV2/yd (см. табл. 11.3). Для боль-
шинства металлов отношение упругого модуля к пределу теку-
чести Е*/Yd равно 100 и более, так что для чисто упругих дефор-
маций в соответствии с уравнением (11.39) параметр pV2/Yd
должен быть меньше 10~6. Когда предел упругости впервые
оказывается превзойденным, пластическая зона сохраняется
под поверхностью, однако полностью пластические деформа-
ции возникают, когда параметр aE*/YdR превышает пример-
но 30 (рис. 6.15), что соответствует рК2/Уа~ 10-3. В диапа-
зоне значений параметра рТ^/Уа, равном 10~3—10-1, соударение
удовлетворительно описывается квазистатической теорией, изло-
женной выше, в которой предполагается, что вдавливание со-
провождается малыми деформациями вдавливания. В рассмот-
ренных диапазонах скоростей эффектами тепловыделения можно
пренебречь.
Дальнейшее повышение скорости удара приводит к более
выраженным пластическим деформациям. Пластические дефор-
мации велики, а выделение тепла при сдвиге понижает динами-
ческий предел текучести материала. Если снаряд тверже, чем
мишень, то диаметр кратера становится больше диаметра сна-
ряда и вдавливание происходит на глубину, также большую
диаметра. Это типичный диапазон скоростей полета пуль. Когда
pV2/Yd стремится к единице, механизм деформаций меняется и
они не могут больше считаться квазистатическими. При этих
условиях инерционные напряжения, связанные с локальной пла-
стической деформацией, сравнимы по величине с пределом теку-
чести материала, который воспринимает удар. Инерционные на-
пряжения становятся существенными в зоне пластических де-
формаций из-за высоких скоростей деформации, имеющих там
место. В окружающем упруго деформированном материале
инерционные эффекты остаются малыми. Параметр pV2/Yd мо-
жет рассматриваться как отношение «давления торможения»
движущегося снаряда (по аналогии со струей жидкости) к пре-
делу текучести мишени. Когда это отношение значительно пре-
вышает единицу, инерция деформированного материала стано-
вится более существенной, чем предел текучести, так что мате-
риал становится более похожим на идеальную жидкость, чем
на пластическое тело. Теоретический анализ высокоскоростного
416
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
удара с таких позиций выполнен относительно успешно Бьер-
ком и др. (см. [225]).
Теперь можно записать
рУ2 _ / Е \ ( рУ2 \ _ Е / V у
Yd Е J- Yd {c0J
Так как E/Kd больше 100, то ясно, что параметр рЕ2/Уй будет
превышать единицу и поведение материала подобно жидкости
будет до того, как V/c0 достигнет единицы и внутри всего объе-
ма тела появятся динамические эффекты. Однако, когда рУ2/Уй
достигнет величин около 103, отношение V/c0 приближается или
превышает единицу и в материале возникают интенсивные удар-
ные волны. Этот диапазон сверхскоростей удара обычно ассо-
циируется с метеоритами и лазерным воздействием. Высвобож-
даемое при этом тепло может быть достаточным, чтобы распла-
вить или испарить часть мишени или снаряда. Из кратера
извергается сильный поток осколков, скорость которых превы-
шает скорость удара. В результате образуется более пологий
кратер с выраженным краем. Если снаряд пластичный, то он
принимат грибовидную форму при ударе и отскакивает. Поведе-
ние пластичного снаряда при ударе было смоделировано Джон-
соном и др. [207] с использованием пластилиновых ударника
и мишени, где из-за низкого предела текучести было возможно
получать условия сверхскоростного удара при скоростях до
1000 м/с. Дополнительную информацию о сверхскоростных уда-
рах можно найти в работе [225].
(d) УДАР ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ
До сих пор в данном параграфе рассматривалось неупругое
поведение материалов в зависимости от пластического течения,
характеризуемого динамическим пределом текучести У^. Это
подходит для металлов, однако не является хорошей моделью
для полимеров, например резины, которые лучше описываются
в терминах вязкоупругости. Квазистатический удар снаряда по
линейно вязкоупругому телу может быть проанализирован ме-
тодами, описанными кратко в § 6.5.
При условии что энергия, рассеиваемая при ударе, состав-
ляет весьма небольшую часть а от кинетической энергии удара,
грубую и быструю оценку коэффициента восстановления можно
получить из измерений энергии, рассеиваемой в течение цикла
деформирования, период которого сравним со временем удара.
Полезно представить диссипацию энергии в течение цикла де-
формирования через тангенс потерь tg <р, где <р—фазовый угол
между напряжениями и деформациями. Нагружение и разгруз-
§ 11.5. Неупругий удар
417
ка во время удара, грубо говоря, соответствуют половине цикла,
тогда коэффициент восстановления дается формулой
е = (1 — a)I/2 = (1 — л tgq>)1/2. (11.48)
В качестве примера рассмотрим материал Максвелла (см.
§ 6.5), растянутый при частоте со с тангенсом потерь = 1/(®7'),
где Т — время релаксации материала. Если Тс — время удара,
то можно положить со = л/71 с, откуда
е==(1-а)1/2«1-72а=1-1/2(7с/П, (И.49)
при условии что а мало, т. е. Тс/Т 1. Так как удар преиму-
щественно упругий, Тс может быть определено как время упру-
гого удара, рассчитываемое по (11.24).
С целью выполнения более точного анализа для жесткого
шара массы т, ударяющего по вязкоупругому полупростран-
ству, будем пользоваться результатами Тинга [346], которые
излагались в § 6.5. Несжимаемый линейный вязкоупругий мате-
риал общего вида характеризуется функцией податливости при
ползучести Ф(/) и функцией релаксации W(t). Нагружение и
разгрузку при ударе описывают различные уравнения. При на-
гружении (0 < t < t*) вдавливание б(£) связано с размером
области контакта соотношением
6 (0 = а2 (0//?. (11.50)
Шар тормозится под действием контактной силы P(t). Уравне-
ние движения с учетом уравнения (6.60) записывается в виде
t
- ml (t) = Р (0 = V (/ -t') -£г аэ (t') dt'. (11.51)
О*\ J ClL
0
Изменение силы и вдавливания со временем во время нагруже-
ния получается путем одновременного решения уравнений
(11.50) и (11.51). При t = t* максимальный размер зоны кон-
такта совпадает с максимальным вдавливанием.
При отскоке (£>£*) a(t) убывает, тогда P(t) и б(/) зави-
сят от времени на этапе активного нагружения, при котором
размер области контакта а (Л) равен текущему размеру a(t).
Вдавливание определяется в виде
* Г* 1
б (0 = a2 (t)/p - \ Ф (t -f) -±г К W (Г -t") {a2 (t")} dt" dt',
t* *-ti -•
(11.52)
418
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
а контактная сила — уравнением
ti
mi) (t) = Р (0 = -±- (/ _ t') -±- a? (f) dt'. (11.53)
о
Совместное решение уравнений (11.52) и (11.53) дает измене-
ние силы и перемещения при отскоке.
Решение этих уравнений в замкнутой форме было получено
Хантером [178] для простого случая материала Максвелла, в
котором диссипация мала (т. е. время удара Тс мало по сравне-
нию с временем релаксации Т материала). Коэффициент вос-
становления был определен как
е«1-(4/9)(7с/7). (Н.54)
Этот ,'результат очень близок к приближенной величине, полу-
ченной из уравнения (11.49) путем подсчета потерь энергии за
цикл деформирования.
Для материалов с более сложными определяющими уравне-
ниями или когда Тс/Т не является малым, уравнения (11.50) —
(11.53) должны решаться численно пошаговым методом. Это
было выполнено Калвитом [48] с использованием функций пол-
зучести и релаксации, найденных из экспериментов на плекси-
гласе при циклическом нагружении. Коэффициенты восстановле-
ния и время удара, найденные в эксперименте, оказались не-
сколько ниже теоретических.
§ 11.6. Подвижные нагрузки — качение и скольжение
при высоких скоростях
При обсуждении контакта качения со скольжением в гл. 7
и 8 предполагалось, что скорость движения точки контакта по
поверхности была достаточно низкой и деформации считались
квазистатическими. Это имеет место для большинства инженер-
ных приложений, однако если скорости приближаются к скоро-
стям распространения упругих волн, то инерционные эффекты
играют роль и изменяют контактные напряжения. По аналогии
с движением тела в жидкости определим три режима: «дозву-
ковой», «звуковой» и «сверхзвуковой» в зависимости от отно-
шения скорости движения к скорости упругой волны. На по-
верхности упругого тела положение осложняется наличием трех
скоростей волн: продольных С\, поперечных с2 и поверхностных
с3. В этом параграфе будем анализировать основные динамиче-
ские эффекты, ограничиваясь лишь плоской деформацией
Ч Трехмерная задача о сосредоточенной силе, движущейся по поверх-
ности упругого полупространства, рассмотрена Исоном [99].
§ 11.6. Подвижные нагрузки
419
(а) ДВИЖЕНИЕ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ВДОЛЬ ПРЯМОЙ
ПО УПРУГОМУ ПОЛУПРОСТРАНСТВУ
Фундаментальной проблемой является определение напря-
жений и деформаций при движении, по полупространству со ско-
ростью V нагрузки, сосредоточенной вдоль прямой, с интенсив-
ностью Р на единицу длины. Это — динамический эквивалент
статической задачи § 2.2. Решение задачи, использующее аппа-
рат комплексной переменной для дозвукового, звукового и сверх-
звукового режимов, было выполнено Коулом и Хатом [61]. Они
рассматривали лишь установившееся движение в эйлеровой си-
стеме координат, движущейся вместе с нагрузкой. Числа Маха
Mi и М2 определялись как Mi = V/сх и М2 = V/с2.
При дозвуковых условиях, когда Mi и М2< 1, определим
р1==(1—Mf)I/2, р2 = (1—М2)1/2
и
М = (2-М|)2-4р,/р2.
Коул и Хат показали, что поверхностное перемещение йг в точке
на расстоянии х от нагрузки равно
2(1 + v)P ₽,м2
= + (1L55>
где С — постоянная, определяемая отсчетным перемещением.
При низких скоростях V —> О, Р —> 1 и N ^>2 (М2 — М2) =
= — М2/(1 — v). Таким образом, выражение для поверхностных
перемещений сводится к следующему:
2 (1 — v2) Р , . . . п
Uz==-----лЁ-----1п|х| + С, (11.56)
что совпадает со статическим решением, полученным в (2.19).
При возрастании скорости логарифмическая форма поверхности
не меняется, однако величина перемещения возрастает на мно-
житель {PjM2/(l — v)MJ, стремясь к бесконечности, когда N стре-
мится к нулю. Сравнивая выражение для N с уравнением
(11.7), видим, что эта ситуация возникает, когда скорость V
совпадает со скоростью с3 рэлеевских поверхностных волн.
Тогда М2 = а и М! = ссс2/сь Не удивительно, что амплитуда
волны поднятия поверхности, свободно перемещающейся вдоль
поверхности со скоростью с3, стремится к бесконечности, если
усилия движутся с той же скоростью !). Коул и Хат получили
Анализ резонанса, связанного с движением источника возмущений по
поверхности упругого полупространства с рэлеевской скоростью, на основе
решения соответствующих нестационарных задач дан в работах: Гольд-
штейн Р. В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах. — ПММ,
1965, т. 29, вып. 3, с. 516—526. Слепян Л. И. Нестационарные упругие вол-
ны.— Л.: Судостроение, 1972. — Прим. ред.
420
Гл. 11. Динамические эффекты и удар
выражения для компонент напряжений под поверхностью в
функции скорости и упругих свойств поверхности, распределе-
ния нормальных напряжений ог(х) вдоль прямой на глубине z
для значений М2 = 0, 0.5 и 0.9 показаны на рис. 11.13. Усиле-
xjz
Рис. 11.13. Нормальные напряжения tr2
от сосредоточенной вдоль прямой на-
грузки Р, движущейся с дозвуковой
скоростью (V < с2) по поверхности
упругого полупространства, М2 = 0, 0.5 и
0.9 (v = 1/3, M2/Mi = 2).
ние напряжения с прибли-
жением скорости V к с3
(М.2 ~>0.93) видно ясно, од-
нако для М2 < 0.5 отличие
от статического распределе-
ния мало. При высоких до-
звуковых скоростях нор-
мальные ускорения йг при-
водят к напряжениям ог,
которые становятся растяги-
вающими на некотором рас-
стоянии от нагрузки. При
дозвуковом режиме нор-
мальные поверхностные пе-
ремещения симметричны пе-
ред и за нагрузкой, так что
движущаяся нагрузка не со-
вершает работы.
Если теперь обратимся к
полностью сверхзвуковому
случаю, когда V больше максимальной из волновых скоро-
стей, то Mi > 1 и М2> 1. Теперь можно написать
p( = (Mf-l)^, р' = (М2-1)^, JV' = (2-M2) + 4p[p'.
Решение для перемещений и напряжений полностью отлично от
дозвукового случая. Поверхностные перемещения можно запи-
сать в
виде
uz = '
0, х < 0,
2(l+v)P
£ , X > U.
(11.57)
N'
Перед нагрузкой поверхность не возмущена; за нагрузкой она
сжата равномерно на величину, зависящую от скорости. Напря-
жения в полупространстве равны нулю всюду, кроме точек на
фронтах двух ударных волн, распространяющихся от точки при-
ложения нагрузки. На волновом фронте напряжение теоретиче-
ски бесконечно. Ударные волны движутся со скоростями Ci и с2
и, следовательно, составляют углы arcctg(Pj) и arcctg^) с по-
верхностью, как это показано на рис. 11.14. Этот процесс боль-
ше не является консервативным; движущаяся нагрузка совер-
§ 11.6. Подвижные нагрузки
421
шает работу, непрерывно сжимая поверхность, и энергия де-
формации стационарно излучается ударными волнами.
Звуковой режим более сложен. В узком диапазоне скоро-
стей Сз < V < С2 величина N меняет знак, так что действие
силы вниз вызывает перемещение вверх в окрестности силы.
Для С2 < V < Ci величина N становится комплексной, так что
напряжения и деформации представляют собой комбинацию
Рис. 11.14. Сосредоточенная нагрузка, движущаяся со сверхзвуковой ско-
ростью (V > С[) по поверхности упругого полупространства с ударными
волнами (у = 0.25).
ударных волн, перемещающихся со скоростью с2, и дозвукового
поля, движущегося со скоростью щ. Детально вопрос разобран
Коулом и Хатом [61] •
(Ь) ВЫСОКОСКОРОСТНОЕ КАЧЕНИЕ ИЛИ СКОЛЬЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА
Рассмотрим теперь напряжения и деформации, возникаю-
щие, когда длинный жесткий цилиндр без трения скользит или
катится по поверхности упругого полупространства со ско-
ростью, перпендикулярной его оси [70]. Мы видели, что при до-
звуковом режиме деформация поверхности движущейся нагруз-
кой по форме подобна реализующейся при статической нагруз-
ке; динамический эффект приводит к увеличению перемещений
за счет скоростного множителя —v) Mj, где 0i, М2 и N
определены выше. Таким образом, полупространство деформи-
руется так, как если бы его жесткость. уменьшилась в это же
количество раз. Таким образом, контактное давление для дви-
жущегося цилиндра можно получить как суперпозицию сосре-
доточенных нагрузок, интенсивности которых подобраны так,
чтобы результирующие перемещения поверхности в зоне кон-
такта отвечали профилю цилиндра. Отсюда следует, что рас-
422
Гл. И. Динамические эффекты и удар
пределение давлений будет подобно статическому (герцевскому)
случаю, и ширина зоны контакта возрастает до величины
(4(1+т)РЯ PiM;h1/2
т)^/2 = |-Ц^--------. (11.58)
Следовательно, при такой же нагрузке Р максимальное кон-
тактное давление po(V) должно уменьшиться на ту же вели-
чину. Из рис. 11.13 ясно, что распределение подповерхностных
напряжений не подобно статическому случаю. Они могут быть
найдены из результатов Крэггса и Робертса [70].
Рис. II.15. Качение или скольжение без трения со сверхзвуковой скоростью
цилиндра по полупространству при V > с,.
Из уравнения (11.58) непосредственно следует, что вдавли-
вание в полупространство цилиндра становится чрезвычайно
большим, когда V стремится к скорости рэлеевских волн (N
->0). Выше рэлеевской скорости (с3 < V < сг) изменение знака
поверхностных перемещений делает невозможным наличие кон-
такта цилиндра с полупространством вдоль непрерывной кри-
вой. Фактически не существует физически приемлемого стацио-
нарного решения при с3 < V < щ [70].
В сверхзвуковом режиме (V > щ), однако, может быть най-
дено простое решение с использованием результатов для сосре-
доточенной вдоль прямой нагрузки. Поверхность является невоз-
мущенной до встречи с цилиндром при х — —а. Согласно
уравнению (11.57), каждое приращение давления на pdx увели-
чивает осадку поверхности на величину
2(1 +v) р[М2
duz =---------jp-pdx.
§ 11.6. Подвижные нагрузки 423
Таким образом, давление пропорционально наклону профиля
duz/dx., который является треугольным (рис. 11.15). Поверхность
основания сходит с цилиндра в его наинизшей точке на глубине
d, определяемой уравнением
а2 2(1 + v)P ₽[м2
d = "ад7 = Е W'
как показано на рис.' 11.15. Следы от волн напряжений распро-
страняются от дуги контакта со скоростями ci и с2.
12
Термоупругий контакт
§ 12.1. Введение
Классическая теория упругих контактных напряжений отно-
сится к телам, .в которых температура распределена равномерно.
Изменение температуры внутри тел может само по себе вы-
звать термические напряжения, а также привести к изменению
условий в области контакта из-за термических искажений про-
филей поверхностей. Например, если два тела с несогласован-
ными поверхностями, контактирующие по малой области, под-
держиваются при различных температурах, то тепло будет пе-
ретекать от горячего тела к холодному через «перемычку» в
области контакта. Зазор между поверхностями, где они не ка-
саются, действует в какой-то степени как изолятор. Если поверх-
ность соприкосновения приобретает промежуточную темпера-
туру, которая выше температуры холодного тела, то термиче-
ское расширение вызовет увеличение выпуклости профиля этого
тела в области контакта. Наоборот, если промежуточная тем-
пература ниже температуры горячего тела, то термическое
сжатие приведет к уменьшению выпуклости или к вогнутости
профиля этого тела. Только если и упругие, и термические свой-
ства материалов обоих тел одинаковы, то расширение одного
тела совпадает со сжатием другого. Во всех других случаях тер-
мические искажения приведут к изменению контактной области
и распределения контактных давлений. Этот вопрос будет про-
анализирован ниже в § 12.4.
Несколько иная ситуация возникает, когда тепло генери-
руется в (или в окрестности) области контакта тел. Очевидным
практически важным примером является тепловыделение при
трении скольжения. Кроме того, при неупругих деформациях в
процессе контакта качения высвобождается тепло под поверх-
ностью, что при плохой теплопроводности материалов приводит
к некоторым термическим напряжениям. Прохождение сильных
электрических токов между несогласованными контактирую-
щими поверхностями приводит к высокой плотности тока и
локальному нагреву.
Анализ термоупругих контактных задач состоит из трех
частей: (i) решение задачи теплопроводности с целью опреде-
ления распределения температур в обоих телах; (ii) анализ
§ 12.2. Распределение температур в полупространстве
425
термического расширения в телах для нахождения термиче-
ского искажения профилей поверхностей; (iii) решение изотер-
мической контактной задачи для нахождения напряжений, воз-
никающих от деформации профилей. В простейших случаях эти
три аспекта не связаны и анализ может производиться в изло-
женной последовательности. Однако во многих случаях эти
аспекты не независимы. Например, если выделение тепла про-
исходит в контакте скольжения, то его распределение по по-
верхности, которое определяет распределение температуры,
пропорционально распределению контактного давления, которое
само по себе зависит от термоупругих искажений тел. Тем не
менее рассмотрение термоупругих контактных задач будет про-
водиться в указанной последовательности.
Читатель уже оценил преимущества, которые дает при вы-
числении упругих деформаций тела замена реального профиля
полупространствами, ограниченными плоскими поверхностями.
Та же самая идеализация полезна при вычислении температур
в задачах теплопроводности. Она может быть обоснована тем
же самым образом: температурные градиенты, которые приво-
дят к термическим напряжениям или искажениям поверхностей
тел, велики только в окрестности области контакта, где реаль-
ные поверхности тел близки к плоским. Изменения температуры
внутри всего объема тел приводят лишь к растяжениям и сжа-
тиям, близким к равномерным, которые не создают термических
напряжений и не меняют заметно профиль тел в области кон-
такта.
§ 12.2. Распределение температур в полупространстве
Теория теплопроводности в твердых телах не является пред-
метом этой книги. Полное изложение такой теории и решение
большинства необходимых нам задач содержатся в книге [50].
Здесь будут суммированы лишь результаты. Будем интересо-
ваться потоком тепла в полупространство через ограниченную
область поверхности. Начнем с отыскания распределения темпе-
ратуры в полупространстве от точечного источника тепла, дей-
ствующего на его поверхности. Так как уравнение теплопровод-
ности линейное, то распределение температур от произвольного
распределения тепла на поверхности можно найти как супер-
позицию решений для точечных источников. Это аналогично
тому, как распределения упругих напряжений от поверхностных
усилий были определены в гл. 2 и 3 по решениям для сосредо-
точенной силы.
Полупространство предполагается однородным с коэффициен-
том теплопроводности k, плотностью р, удельной теплоемкостью
с коэффициентом температуропроводности х = Л/рс.
426
Гл. 12. Термоупругий контакт
(а) МГНОВЕННО ПРИЛОЖЕННЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК
Пусть количество тепла Н мгновенно высвобождается в мо
мент t = 0 в начале координат О на поверхности полупростран-
ства, температура которого изначально постоянна и равна 6о.
Температура в последующие моменты времени в точке на рас-
стоянии R от начала координат дается выражением [50,
§ Ю.2].
6-60 = -Я ехр(-Т?2/4х/). (12.1)
4рс (лх/)'
В любой точке тела температура быстро возрастает от 6о до
максимальной величины при t = 7?2/6х и медленно падает до Оо
по мере того, как тепло проходит через тело,
(Ь) МГНОВЕННО ПРИЛОЖЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ
ВДОЛЬ ПРЯМОЙ
Исследование двумерных проблем облегчается использова-
нием распределения источников вдоль прямой, в котором Н еди-
ниц тепла на единицу длины мгновенно высвобождаются на
поверхности полупространства в направлении оси у. Распреде-
ление температуры осесимметрично относительно оси у и на
расстоянии R дается формулой [50, § 10.3]
е-ео=(ж)ехР(- ^4х/)-
(12.2)
(с) НЕПРЕРЫВНОЕ ПО ВРЕМЕНИ ТОЧЕЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Если тепловой источник приложен к полупространству в
точке О и скорость выделения тепла Н постоянна, то темпера-
тура на расстоянии R от точки О может быть найдена интегри-
рованием соотношения (12.1) по времени. Она меняется в соот-
ветствии с формулой
6 — 60 = (Hl2nkR) erf с (7?/4я0, (12.3)
%
где erfc (/) = 1 — erf (х) = 1 — (2/л1/2) ехр (— s2) с?£.
о
После того как пройдет достаточное время, в окрестности ис-
точника (т. е. где R 4xf) устанавливается стационарное со-
стояние, определяемое формулой
е-0о = Я/2лйЛ (12.4)
Бесконечная температура при R = 0 есть следствие предполо-
жения, что тепло сосредоточено в точке.
§ 12.2. Распределение температур в полупространстве
427
(d) РАСПРЕДЕЛЕННЫЙ ТЕПЛОВОЙ ИСТОЧНИК [50, § 10.5]
В действительности тепло проникает через поверхность тела
по конечной площадке. Предполагая, что остальная поверх-
ность тела абсолютно изолирована, температуру внутри тела
можно найти суперпозицией решений от точечных источников
или распределения источников вдоль прямой. Если тепло при-
кладывается с постоянной скоростью И на единицу площади, то
могут быть использованы уравнения (12.3) и (12.4).
Предположим, что требуется найти стационарное распреде-
ление температуры на поверхности полупространства, когда
стационарное распределение тепла задано по малой площадке
А поверхности. Применим формулу (12.4) для точечного источ-
ника, обозначая через 0 температуру поверхности на расстоя-
нии г от источника. Читатель обнаружит, что уравнение (12.4)
аналогично уравнению (3.22b), которое выражает нормальные
перемещения uz в точке поверхности упругого полупространства
от сосредоточенной силы г, т. е.
1 — т2 Р
Uz=" пЕ
Эта аналогия может быть использована при определении уста-
новившегося распределения поверхностной температуры от рас-
пределенного теплового источника. Например, температура от
равномерного приложения тепла по круговой площадке радиуса
а аналогична смещению от равномерного давления. Если
(1—т2)/Е заменяется на k/2 и р — на И, то поверхностное рас-
пределение температуры дается уравнением (3.29). Максималь-
ная температура в центре круга равна
0тах — 60== ha/k, (12.5а)
а средняя температура в круге, где задано распределение тепла,
0тах — 6о — 8/ш/Зл^. (12.5b)
Точно так же температура поверхности от равномерно распре-
деленного по многоугольнику источника может быть найдена из
результатов § 3.3.
Та же самая аналогия полезна, когда требуется найти рас-
пределение тепла от заданного на малой площадке поверхности
стационарного распределения температуры. Например, рас-
смотрим полупространство, по поверхности которого на круго-
вой площадке радиуса а поддерживается стабильная равномер-
ная температура 0С. Температура вдали равна 0О, а поверхность
вне круга является изолированной. Аналогичная задача теории
упругости возникает при вдавливании в упругое полупростран-
428
Гл. 12. Термоупругий контакт
ство жесткого кругового штампа с заданной осадкой wz. Дав-
ление под штампом дается уравнениями (3.34) и (3.36), из ко-
торых находится требуемое распределение тепла
/____ 2fe (6g 6о)
л (а2 — г2)1/2
(12.6)
(е) ДВИЖУЩИЕСЯ ТЕПЛОВЫЕ ИСТОЧНИКИ [50, § 10.7]
Чтобы исследовать температуру, возникающую из-за фрик-
ционного выделения тепла при контакте скольжения, требуется
найти температуру в полупространстве от теплового источника,
движущегося по поверхности. Если рассматривается стационар-
ный процесс, то удобно зафиксировать тепловой источник и счи-
тать полупространство движущимся со скоростью V параллель-
но оси х. При этом температурное поле становится функцией
положения, а не времени.
Будем теперь анализировать двумерную задачу о бесконечно
длинном источнике тепла вдоль оси у, равномерно распределен-
ном на полосе —а <х<О. В соответствии с рис. 12.1 распре-
деленный источник рассматривается как набор источников ин-
тенсивности й, действующих вдоль прямой. Элемент материала
в точке ( х, z) в момент t был расположен в точке (х—Vt', г)
в предыдущий момент t — f. Тепло, высвобождаемое источни-
ком в точке s за время dt', составляет hdsdf, и, таким образом,
стационарная температура элемента, расположенного в данный
момент в точке х, находится интегрированием уравнения (12.2)
от t = —оо до текущего момента t = 0.
. а о
6(х,г)-е0 = ^г J ds [ [ехр{--^=^Р^}4-]- (12-7>
—а — оо
§ 12.2. Распределение температур в полупространстве
429
(Ь)
Рис. 12.2. Рост температуры поверхности при равномерном движении теп-
лового источника, сосредоточенного вдоль прямой, (а) Распределение тем-
пературы; (Ь) максимальная и средняя температуры как функции скорости.
Л — распределение источников по полосе (максимальное); В — распределе-
ние источников по квадратной области (максимальное); С — то же (среднее).
430
Гл. 12. Термоупругий контакт
Максимальная температура имеет место на поверхности z = О
и может быть, согласно (12.7), записана в форме
e-e0=^F(L,x),
(12.8)
где L=(Va/2x) и X = (Vx/2x). Интегралы были вычислены
Егером [182]. Поверхностное распределение температуры пока-
зано на рис. 12.2(a). Максимум температуры имеет место у
конца нагретой зоны, который дольше всего подвержен воздей-
ствию тепла. Максимальная и средняя температуры нагретой
зоны нанесены в зависимости от параметра L на рис. 12.2(b).
Параметр L, известный как число Пекле, может быть интерпре-
тирован как отношение скорости поверхности к скорости диф-
фузии тепла в тело. При больших числах Пекле (L > 5) тепло
диффундирует лишь на небольшое расстояние в тело за время,
которое требуется поверхности для прохождения через нагретую
зону. Поток тепла почти перпендикулярен поверхности во всех
точках. Температура точки поверхности дается выражением
[50, § 2.9]
е -е0 = 2foigf2 = -Y-f-(1 + x)V/2, -a<x<a. (12.9)
л1 k k I л \ Va / J
Средняя температура для ленточного источника дается фор-
мулой
л ________ л ,_ 4 г —1/2
Dmean °0 ~ „ 1/9 ,
ОТС к
(12.10)
Так как уравнение (12.9) базируется на представлении об одно-
мерном потоке тепла в тело, оно приложимо к случаям равно-
мерного распределения источников в любой плоской области.
Так, средняя температура для распределения источников по об-
ласти квадрата со стороной 2а также дается формулой (12.10).
При очень низких скоростях (Т<0.1) распределение тем-
ператур становится симметричным и подобным тому, которое
имеет место для стационарного источника. В случае бесконечно
длинного ленточного распределения источников стационарная
температура не достигается, однако для распределения по квад-
рату достигается максимальная температура 60+ 1.12fia/k в
центре и средняя температура в нагретой зоне, равная 6о +
+ 0.946/ia/fe.
§ 12.3. Стационарные термоупругие деформации
полупространства
Формулы, выражающие напряжения и перемещения в упру-
гом полупространстве при произвольном стационарном распре-
делении температур, были введены различными авторами (см.,
§ 12.3. Стационарные термоупругие деформации полупространства 431
например, [38]). Если поверхность z = 0 свободна от напряже-
ний, то можно показать, что все параллельные плоскости также
свободны от напряжений, т. е. gz = tyZ — txz — 0 всюду. Нор-
мальные перемещения на глубине z даются формулой (см.
[365])
иг— — (1 + v)a Qdz. (12.11)
Уильямс выразил термоупругие напряжения и перемещения
через две гармонические в полупространстве функции, а Барбер
[19] использовал эту формулировку для получения некоторых
общих результатов, полезных для термоупругих контактных
задач.
(i) Если тепло подводится со скоростью fi на единицу пло-
щади поверхности полупространства, то поверхностные искаже-
ния удовлетворяют уравнению
-&+-^'=^.(х, I/). (12.12а)
При осевой симметрии это уравнение превращается .в следую-
щее:
т4(^)-<12.12Ь)
где c = (14-v)a/& называется коэффициентом «искажения» ма-
териала.
В двумерном случае д^йг/ду2 =0, так что уравнение (12.12а)
означает, что кривизна поверхности в некоторой точке прямо
пропорциональна скорости теплового потока в этой точке; по-
верхность имеет выпуклость, если тепло втекает в тело, и вог-
нутость— если оно вытекает наружу. Изолированная первона-
чально плоская поверхность остается плоской. Таким образом,
при равномерном тепловыделении на поверхности полупростран-
ства вдоль длинной узкой полосы возникают такие искажения
поверхности, что она приобретает выпуклость постоянной кри-
визны внутри полосы и переходит в наклонные плоскости вне
полосы. Эта общая теорема была доказана Дундурсом [93]
(см. также [22]).
(ii) Если поверхность полупространства z = 0 нагревается
так, что она имеет некоторое распределение температуры
6(х, у), то поверхностное напряжение, требуемое для поддержа-
ния поверхности плоской, т. е. такой, что йг = 0, дается фор-
мулой
аг= - ’/2 {сЕ/(1 - V2)} ё (х, у). (12.13)
432
Гл. 12. Термоупругий контакт
Приложение равных и противоположных по знаку растяжений
освободит поверхность от растягивающих напряжений и позво-
лит ей исказиться. Как следует из уравнения (12.13), поверх-
ностные смещения будут такими же, которые были бы вызваны
поверхностным давлением р(х, у), пропорциональным распре-
делению поверхностной температуры 6(х, у). Таким путем с
использованием методов, изложенных в книге ранее, можно
найти стационарное распределение температурных деформаций
полупространства, если распределение температуры на поверх-
ности задано. Однако в большинстве контактных задач обычно
предполагается, что тепло не передается через поверхность вне
области контакта; граничные условия, следовательно, более
удобно формулировать в терминах теплового потока, а не тем-
пературы.
Далее рассмотрим несколько практически интересных слу-
чаев.
(а) ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК ТЕПЛА
Распределение температуры от непрерывного во времени то-
чечного источника тепла в начале координат дается формулой
(12.4). Нормальное перемещение в точке на поверхности на рас-
стоянии г от О по формуле (12.11) равно
«г = — (1 +v)a^ H/{2nk(r + z2)'l2}dz, (1214)
йг — — (cH/2d) In (г0/г),
где го—координата на поверхности, uz = Q. Так как тепло не-
прерывно передается телу и поверхность предполагается изоли-
рованной, за исключением точки О, расширение поверхности ра-
стет беспредельно в силу уравнения (12.14) при г->-оо.
<Ь) РАВНОМЕРНОЕ НАГРЕВАНИЕ ПО КРУГОВОЙ ПЛОЩАДКЕ
Когда тепло стационарно подводится по малой части поверх-
ности, то искажение поверхности можно найти суперпозицией
решений для точечных источников [15]. Например, подвод тепла
по тонкому круговому кольцу радиуса а вызывает поверхност-
ные перемещения (постоянные при г а)
йг = — (сН12л) In {гold}, г^а, (12.15а)
йг — — (сЯ/2п) In (r0/r), r>a, (12.15b)
которые совпадают с перемещениями, возникающими от точеч-
ного источника в центре. Отсюда легко получить результат для
§ 12.3. Стационарные термоупругие деформации полупространства 433
Рис. 12.3. Термоупругое искривление поверхности полупространства, нагре-
того по круговой области радиуса а. А — равномерный тепловой поток, урав-
нение (12.16); В — равномерная температура, уравнение (12.17).
равномерного нагрева круговой области радиуса а, т. е.
иг =
— (с/7/4л) {2 In (r0/a) + (1 — r2/a2)},
— (сН/2п) In (r0/r),
a,
r> а.
(12.16а)
(12.16b)
г
Искривленная поверхность показана на рис. 12.3. Иным путем
результаты, определяемые уравнениями (12.16), можно полу-
чить непосредственно интегрированием уравнения (12.12b) при
h — Н[лс? для г а и h — О при г > а.
(с) КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ С ЗАДАННОЙ РАВНОМЕРНОЙ
ТЕМПЕРАТУРОЙ
Чтобы поддерживать на поверхности круговой площадки по-
стоянную равномерную температуру 0С, отличную от внешней
температуры 0О, требуется приложить поток тепла интенсивно-
стью й(г) на единицу площади и распределением, соответствую-
щим. (12.6). Следовательно, подставляя ^nrh (г) dr вместо Н
в (12.13) и интегрируя от г — 0 до г — а, получаем [16]
-А^^-еофп^-)-
- In {1 + (1 - rW2J + (1 - - J)’'2],
— — cka (0С — 0О) In (Го/r), г > а.
г а,
(12.17а)
(12.17b)
434
Гл. 12. Термоупругий контакт
Рис. 12.4. Термоупругое искривление поверхности полупространства, вызван-
ное движущимся источником тепла.
Соответствующее искажение поверхности также приведено на
рис. 12.3.
(d) ДВИЖУЩИЙСЯ ИСТОЧНИК ТЕПЛА
Будем стремиться найти температурную деформацию поверх-
ности от движущегося источника тепла, показанного на рис. 12.1.
Барбер показал, что сосредоточенный вдоль прямой источник
тепла Н, движущийся со скоростью V, создает перемещение
поверхности в точке на расстоянии | впереди источника, опре-
деляемое по формуле
йг = - (2mH/V) ехр (- X2) /0 (X2), (12.18а)
где X — (V|/2x)I/2 и /о — модифицированная функция Бесселя
Во всех точках за источником перемещения постоянны и равны
uz=~--2ckHIV. (12.18b)
Температурную деформацию, соответствующую постоянной ско-
рости выделения тепла й на полосе —а х а, можно найти
11 См.: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
математическими таблнцами./Под ред. М. Абрамовича и И. Стигаиа. — М.:
Наука, 1979. — 830 с, где имеются определения и таблицы модифицированных
функций Бесселя 10 и /ь а также проводится интегрирование уравнения
(12.18а).
§ 12.4. Контакт между телами с различными температурами 435
суперпозицией. Перемещение йг(х) точки поверхности находится
подстановкой g — s — х в формулу (12.18а), когда g положи-
тельно, т. е. когда рассматриваемая точка находится перед эле-
ментом fids теплового источника, и с использованием (12.18b),
когда g отрицательно. Определенные таким методом формы
искаженных поверхностей приведены на рис. 12.4 как функции
определенного выше числа Пекле L. На переднем крае области
источников (х = —а) термоупругие смещения меняются со ско-
ростью в соответствии с соотношением
йг (— а) = — 2cha2e~2L {10 (2L) + Ц (2L)}/L « (12.19а)
-2cha2(nL3)~112 (12.19b
для больших L. На выходе перемещение дается формулой
йг (а) = — 2cha2!L. (12.19с)
С возрастанием скорости теплопроводность перед источником
становится менее эффективной, так что перемещения в зоне
входа падают. При высокой скорости перемещения возрастают
почти пропорционально расстоянию от переднего конца.
§ 12.4. Контакт между телами с различными температурами
Будем рассматривать сначала ситуацию, когда горячее тело
с температурой 0j приводится в контакт с более холодным телом
с температурой 02, и будем ограничиваться случаем отсутствия
трения, а также круговой площадки контакта радиуса а.
Если сначала предположить, что между телами осуществля-
ется идеальный термический контакт и что каждое тело заменя-
ется полупространством, то задача теплопроводности решается
непосредственно. Температура в области соприкосновения 0С
постоянная, а поток тепла определяется формулой (12.6), т. е.
/ , \(01 6С) _ 2fe2 (6е 6g)
л (а2- г2)1'2 ~ л(а2-г2)1/2 ’
из которого можно видеть, что 0С делит разность между темпе-
ратурами тел обратно пропорционально их коэффициентам теп-
лопроводности k\ и k2. Суммарный поток тепла определяется ра-
венством
Н = 4kta (0, - 0С) = 4k^a (0с - 02) = 4ka (0! - 02), (12.20)
где k = £,£2/(6, + k2).
Искажение поверхности упругого полупространства, вызван-
ное этим потоком тепла, дается соотношением (12.17). Так как
тепло течет в более холодное тело, это приводит к образованию
436
Гл. 12. Термоупругий контакт
выпуклости на его поверхности, где перемещения пропорцио-
нальны по величине коэффициенту искажения Сг — аг(1 + ^2)/&2,
в то время как на поверхности более теплого тела образуется
впадина подобной формы, глубина которой пропорциональна
Cj. Если Сг = Ci, то выпуклость в холодном теле будет такой же,
как впадина в более теплом теле, и контактные напряжения
из-за внешней нагрузки не будут изменяться от наличия потока
тепла.
Для идентичных материалов это очевидно. Когда материалы
различны, то поток тепла вызывает дополнительные («терми-
ческие») контактные давления, такие, какие требуются, чтобы
компенсировать «несоответствие» этих двух искаженных поверх-
ностей. Требуемое давление, действующее в круге радиуса г а,
таково, что в силу уравнения (12.17) оно приводит к совокуп-
ным перемещениям обеих поверхностей:
(йг)1 + (йг)2 = ~ (с2 — cj) Я [In (г0/а) — In {1 + (1 — r2/a2)if2} +
+ (l-r2/a2)1'2]. (12.21)
Методами гл. 3, а также используя результаты Барбера [18],
можно найти, что
\ НЕ* Г л2 fa-(а2-г2)1/2 И
р <D=fe-р.)[т-ь[д+;д,_г,;„т]. (12-22)
где ^2(х)— гиперболическая функция Лежандра, определяемая
равенством D
X т=оо
/ \ 1 С t f 1 + S \ <fs v1 х2т '
Хг (аг) —= 2 In Q J _ s J s — 2_, (2/n—I)2'
0 m=l
Соответствующее распределение давлений приведено на
рис. 12.5. Оно отвечает полной нагрузке
Р' = (1/2л) (с2 — С1) НЕ* а = (2/л) k (с2 — cj (61 — 62) Е*а2. (12.23)
Разность термических расширений двух тел (12.21) компенси-
руется приложением термического давления, распределенного со-
гласно .(12.22). Чтобы найти полное давление, следует добавить
герцевское контактное давление, отвечающее изотермическим
упругим деформациям
р" (г) = (2£*а/лЯ) {1 - (r/a)2}1/2, (12.24)
и соответствующая нагрузка равна
P" = 4E”a3/3/?. (12.25)
1} Lewin L. Dilogarithms and Associated Functions. — London: MacDonald,
1958.
§ 12.4. Контакт между телами с различными температурами
437
Равенство полной силы Р сумме термической и изотермической
Р' -|- Р" нагрузок приводит к условию
0 (а/оо)2 + (а/оо)3 = 1, (12.26)
где а0 = (ЗРР/4£'*)1/3 — радиус площадки контакта при изотер-
мических (герцевских) условиях, а 0 — (3kR/2nan) (с2— с,)Х
Х(01—62)- Эта зависимость для 0 > О приведена в правой части.
Рис. 12.5. Контакт шаровидных тел с различной температурой: тело с более-
низким коэффициентом искажения имеет более высокую температуру: А —
распределение давлений по (12.22); В — изотермическое распределение дав-
лений (Герц).
рис. 12.6. Как и следовало ожидать, возрастание разности темпе-
ратур, или «коэффициентов искажения», вызывает рост относи-
тельной кривизны двух поверхностей и уменьшение области кон-
такта. В случае двух изначально плоских поверхностей (/?->оо)
изотермическая компонента давления обращается в нуль. Любое
небольшое отклонение от плоскости вызовет концентрацию теп-
лового потока от одного тела к другому в окрестности точки
максимального сближения поверхностей. Возникшее термиче-
ское расширение вызовет более тесный контакт поверхностей в
круговой области и разделение поверхностей вне ее. Размер
области контакта определяется уравнением (12.23).
Приведенный анализ контакта двух различных тел с раз-
ными температурами совершенно корректен, если (с2— Ci)X
X(6i—62) положительно. Если ситуация меняется, так что тело
438
Гл. 12. Термоупругий контакт
Рис. 12.6. Контакт шаровидных тел при различных температурах. Точное
решение при наличии кольцевой зоны неидеального контакта b < г < а.
Штриховая линия — приближенное решение (12.26) в предположении пол-
ностью идеального контакта.
с более высоким коэффициентом искажения имеет более высо-
кую температуру, то из-за изменения знака термического дав-
ления р'(г) в задачу вводятся новые характеристики. Из
рис. 12.5 можно заключить, что это распределение давления
стремится к нулю при r^-а значительно более резко, чем гер-
цевское. Можно показать, что в этой области р'(г) всегда пре-
вышает р"(г), так что отрицательные (растягивающие) терми-
ческие давления, добавленные к изотермическому давлению,
создают кольцевую зону, где суммарные контактные напряже-
ния растягивающие, как бы ни была мала разность температур
поверхностей. Это наводит на мысль, что поверхности должны
были отслаиваться на краю площадки контакта, однако они
этого не могут сделать, не нарушая равновесия тел при задан-
ной нагрузке. Отсюда можно заключить, что не существует ре-
шения задачи в форме, принятой ранее.
Барбер [21] показал, .что этот парадокс связан с темпера-
турными граничными условиями, которые предполагают идеаль-
ный контакт внутри области контакта, т. е. отсутствие скачков
§ 12.4. Контакт между телами с различными температурами
439
температуры при переходе через поверхность, а также идеаль-
ную теплоизоляцию поверхностей вне области контакта. Труд-
ность может быть устранена введением дополнительного предпо-
ложения о «неидеальном контакте», в котором перемещения
(упругие и термические) таковы, что поверхности только сопри-
касаются и проводят некоторое количество тепла, однако при
этом контактное давление равно нулю. Такие граничные условия
реализуются введением скачка температуры в области контакта.
Это оправдывается тем, что в действительности переход от иде-
альной изоляции к идеальной проводимости не является скач-
ком, когда поверхности находятся в контакте. Когда зазор
между поверхностями достаточно мал, некоторое малое количе-
ство тепла может передаваться путем излучения или теплопро-
водности через находящийся в промежутке газ; кроме того, при-
месные пленки и неизбежные шероховатости реальных поверх-
ностей приводят к термическому сопротивлению в области их
взаимодействия, которое, как можно ожидать, обратно пропор-
ционально контактному давлению.
Для объяснения этого удобно использовать одномерную мо-
дель, показанную на рис. 12.7(a). Стержень длиной I с модулем
Юнга Е и коэффициентом термического расширения а помещен
между двумя жесткими проводящими стенками А и В с темпе-
ратурами 0Л и 0Д. Стержень закреплен в точке А, и первона-
чально, когда 0Л=ОВ, имеется небольшой зазор g = ga между
концом стержня и стенкой В. Если 0Л становится выше 0 а, то
в стационарном состоянии стержень приобретает температуру
0Л и зазор приближается к величине
£ = go — аЦбл — 9в)- , (12.27)'
Это выражение справедливо, только если g > 0, т. е.
6л-6в<£(М (12.28}
Если стержень расширяется и возникает идеальный контакт со
стенкой В, то его температура изменяется линейно от 0Л до 0В.
Тогда «нестесненное» расширение будет равно ’/2а/(0л— 6в).
Однако истинное расширение не может превысить g0, поэтому
давление будет развиваться на конце стержня
р = i/2fa (0Л - 0В) - Eg0/l. (12.29}
Контактное давление должно быть положительным, поэтому
0Л - 0В > 2g0/ccZ. (12.30}
Таким образом, существует диапазон разностей температур
gjal < (0Л — 0В) < 2g0/aZ,
440
Гл. 12. Термоупругий контакт
Рис. 12.7. Контакт упругого стержня между двумя жесткими стенками при
различных температурах (6д > 6Е). (а) Общий вид системы; (Ь) термиче-
ское сопротивление f(P) как функция зазора g или контактного давления р.
в котором стационарное решение невозможно. Здесь складыва-
ется такая же ситуация, как при рассмотренном выше контакте
упругих шаров. Чтобы устранить этот парадокс, введем терми-
ческое сопротивление R(g), которое меняется непрерывно с за-
дором, становясь очень большим при достаточно больших зазо-
рах. Так как отрицательных зазоров быть не может, то следует
заменить «нестесненный» зазор —g на контактное давление р =
= —Eg/l. Сопротивление R(p) будет падать, если р возрастает.
Температура свободного конца стержня, обозначаемая через 0с,
определяется из условия равенства потока тепла в стержне
теплу, проходящему через зазор. В результате имеем
5^(6л-6с)//-(0с-ев)/7?,
где S — площадь поперечного сечения стержня. Таким образом,
ел-ос=(бл-бв)т (12.31)
где f(R) = (1 -j- SkR/l)-1. Эта функция представлена кривой I
§ 12.4. Контакт между телами с различными температурами 441
на рис. 12.7(b). Для больших положительных зазоров величина
R велика и, следовательно, f(R) стремится к нулю; при высоком
контактном давлении (больших «отрицательных» зазорах) ве-
личина R мала и f(R) приближается к единице, хотя точная фор-
ма этой зависимости неважна.
Выражение для зазора теперь принимает вид
g — go — V^al (®л — 6с — 20в) = go al (бл — 6В) l/2al (0Л — 0С).
(12.32)
Исключая 0л — 0С из уравнений (12.31) и (12.32), находим
f(R) = 2 + 2 (g - g0)M (6л - 0В). (12.33)
Это уравнение приведено на рис. 12.7 (Ь) в виде прямой линии,
проходящей через точку (go, 2), с тангенсом угла наклона, об-
ратно пропорциональным разности температур 0л — 0В. Там,
где эта линия пересекает кривую f (R), получается стационарное
решение задачи: определяется зазор g, если точка пересечения
справа от нуля, и давление р, если точка пересечения слева от
нуля. Отметим, что точка пересечения имеет место для линии
с любым наклоном и, следовательно, решение можно найти при
всех значениях 0л — Ов.
Если далее кривая сопротивления f(R) более чувствительна
к зазору и контактному давлению, как кривая II на рис. 12.7, то
она в пределе переходит в «ступеньку», равную нулю справа от
нуля и единице слева. Более существенно, что имеется верти-
кальный сегмент между нулем и единицей, когда g = 0. Пере-
сечение с прямой линией, определяемой уравнением (12.33), еще
возможно в диапазоне go/al < 0л — 0в <. 2g0/al, что отмечено
точкой Р на рис. 12.7(b). В этой точке и зазор, и контактное
давление равны нулю; температура конца стержня 0С, проме-
жуточная между 0л и 0в, получается, если положить g = 0 в
уравнении (12.32) и задать некоторый поток тепла через об-
ласть взаимодействия стержня со стенкой. Это — граничные
условия, названные Барбером [21] неидеальным контактом [21]
и исследованные далее в работе [65].
Возвращаясь к случаю контакта шаров, когда поток тепла
таков, что Р < 0, из существования растягивающих напряжений
при г-+-а в предположении идеального контакта следует, что
область контакта делится на центральную часть (г Ь) идеаль-
ного контакта, окруженную кольцом (Ь < г а) неидеального
контакта. Барбер [21] исследовал описанную ситуацию; соот-
ветствующие результаты для отрицательных р показаны на
рис. 12.6. Для сравнения приведена также зависимость радиуса
площадки контакта a/cto, определяемая выражением (12.26) в
Предположении всюду идеального контакта. С ростом (отрица-
тельной) разности температур возрастает размер области кон-
442
Гл. 12. Термоупругий контакт
такта, так как термическое искажение делает поверхности более
прилегающими. Точное изменение не сильно отличается от пред-
сказанного формулой (12.26).
Радиус Ъ круга идеального контакта, внутри которого дав-
ление ограниченно, также растет, но более медленно. Зависи-
мости Ь/акЬ/аь показаны на рис. 12.6. Среднее контактное дав-
ление падает, но не так, как если бы полностью везде реализо-
вывался идеальный контакт. При идеальном контакте тепловой
поток Н в области контакта пропорционален радиусу области
контакта а, так что влияние термического искажения на вели-
чину Н приближенно описывается зависимостью а/аъ от р, за-
данной (12.26) и показанной штриховой линией на рис. 12.6. На
этом рисунке приведено также точное изменение теплового по-
тока. Влияние кольца, где реализуется неидеальный контакт, на
тепловой поток невелико; уменьшение теплопроводности поверх-
ности взаимодействия тел до некоторой степени компенсируется
увеличением размера области контакта. Аналогичные двумерные
задачи о контакте цилиндрических тел и номинально плоских
волнистых поверхностей были решены в работах [66] и [289].
Если рассматривается контакт между плоским жестким
штампом и другим полупространством, когда последнее горячее
штампа, то на первый взгляд можно ожидать, что из-за впадины
в полупространстве контакт в центре штампа будет потерян.
Однако это не случается, так как, согласно уравнению (12.12b),
поверхность может стать вогнутой, если тепловой поток дви-
жется от поверхности, в то время как теплового потока нет,
если нет контакта. Это другой случай, исследованный Барбером
[24], когда под центральной частью штампа имеется неидеаль-
ный контакт.
Основные черты результатов, приведенных на рис. 12.6, ну-
ждаются в пояснении: для данной разности температур между
телами поток тепла от тела с более низким коэффициентом
искажения ко второму телу (случай р < 0) больший, чем поток
в обратном направлении (Р>0). Это явление, названное тер-
мической ректификацией, часто наблюдалось при передаче тепла
между телами с различными свойствами. Изложенная теория,
с некоторыми модификациями учитывающими геометрию экспе-
риментального устройства, показала хорошее соответствие изме-
рений теплового потока между стержнями в контакте, имею-
щими закругленные концы [16].
§ 12.5. Фрикционный нагрев и термоупругая неустойчивость
При контакте скольжения изначально плоских поверхностей
тепло выделяется от трения в области соприкосновения со ско-
ростью
h — pVp, (12.34)
§ 12.5. Фрикционный нагрев и' термоупругая неустойчивость 443
где V — скорость скольжения, ц— коэффициент трения. Если
давление р равномерное, то тепловой поток к поверхностям так-
же будет равномерным и то же самое будет иметь место для
температуры поверхности. Как это, например, часто наблюдает-
ся в тормозных устройствах, на стационарно движущейся
поверхности развиваются «горячие пятна», где температура су-
щественно превышает ожидаемую среднюю. Это явление иссле-
довано Барбером [14]. Он показал, что малые начальные от-
клонения от идеального соответствия поверхностей приводят к
концентрации давления и, следовательно, к фрикционному теп-
ловыделению на отдельных участках поверхности контакта. Эти
участки расположены выше уровня окружающей поверхности
и уменьшают область действительного контакта, как описано
выше, поэтому локальная температура повышается еще больше.
Этот процесс, названный «термоупругой неустойчивостью», изу-
чался подробно Бертоном [44]. Если проскальзывание продол-
жается, то поднятые участки, где концентрируется давление, бу-
дут понижаться вследствие износа, пока контакт не наступит
всюду. Новые контактные участки начинают нагреваться, рас-
ширяются и воспринимают нагрузку; старые снижают нагрузку,
охлаждаются и на них поверхности отделяются. Этот цикличе-
ский процесс часто наблюдается в контакте скольжения приле-
гающих поверхностей. Масштаб нагретых участков велик по
сравнению с масштабом поверхностных шероховатостей, и время
описанного цикла велико по сравнению с временем взаимодейст-
вия шероховатостей. Характерный механизм термоупругой не-
устойчивости может быть проанализирован на простом примере,
рассмотренном ниже.
На рис. 12.8 показаны две полубесконечные изначально пло-
ские поверхности, сдавливаемые между собой средним давле-
нием р. Чтобы избежать переходных явлений, связанных с по-
током тепла через движущуюся поверхность, выберем эту по-
верхность идеально гладкой и непроводящей. Неподвижное тело
имеет коэффициент искажения с, и его поверхность содержит
малую начальную волнистость амплитуды А с длиной волны X.
В настоящем примере, где скользящая поверхность непроводя-
щая, не важно, являются ли эти волнистости параллельными или
перпендикулярными направлению скольжения. Изотермическое
давление, требуемое для уплощения этой волнистости, найдено
в гл. 13 (уравнение (13.7)) и равно
р" (лЕ*к/к) cos (2,тгх/Х). (12.35)
Стационарное термическое искажение поверхности определяется
из уравнения
“2- = ch = cpVр (х). (12.36)
444
Гл. 12. Термоупругий контакт
Рис. 12.8. Механизм термоупругой неустойчивости. Термическое расширение,
вызывающее рост малых начальных флуктуаций давления при V -> Vc. При
высоких скоростях контакт становится прерывистым с дальнейшим ростом
неравномерности давления.
Ясно, что начальная синусоидальная волнистость длины волны
X дает флуктуации давления той же длины, выражаемые фор-
мулой
р (х) = р + р* cos (2лх/Л). (12.37)
Рассмотрим здесь только флуктуационные компоненты давления
и потока тепла, которые после подстановки в (12.36) и интегри-
рования, дают термическое искажение поверхности
й2 = — (cpV р*Л2/4л2) cos (2зтх/Л). (12.38)
Термическое давление р'(х), требуемое, чтобы сжать эту волну
до плоской поверхности, может теперь быть добавлено к изотер-
мическому давлению (12.35), что даст выражение
р* = (А + СрКрЧ2/4л2),
отсюда
р ~~ 1-сц7£*Х/4л ’ uz.oy;
Когда скорость скольжения приближается к критической вели-
чине Vc, задаваемой формулой
Ус = 4зт/срЕ*Л, (12.40)
флуктуации давления, определяемые (12.39), быстро возрастают
по величине (рис. 12.8(c)).
§ 12.5. Фрикционный нагрев и 'термоупругая неустойчивость 445
Когда флуктуации давления р* достигнут среднего давления
р, поверхности будут разделены на впадинах начальной волни-
стости и контакт будет сконцентрирован в гребнях (рис. 12.8(d)).
Простое исследование такой ситуации может быть выполнено в
предположении, что давление на контактных участках
—asCxsCa герцевское, т. е. р(х) — р0(1 — (х/а)2)1/2, где
ра = аЕ*1Ж (12.41)
Кривизна 1/7? искаженной поверхности при х = 0 дается фор-
мулой
1//?==срКр0 + 4зт2А/Л2» (12.42а)
cpVp0, (12.42b)
если начальная волнистость мала по сравнению с последующим
термическим искажением. Таким образом, (12.42) дает б
я ~ 2/cp.VE*. (12.43)
Переход от непрерывного контакта к прерывистому имеет место,
когда скорость V стремится к значению Nc, определяемому фор-
мулой (12.40). Подставляя V = Vc в (12.43), получаем при-
ближенное выражение для критического значения размера об-
ласти контакта
ас ~ Л/2л. (12.44)
Неравномерное распределение давления непосредственно
приводит к неравномерному тепловому потоку и неравномер-
ному распределению температуры поверхности. Распределение
температуры можно найти путем использования аналогии с
перемещениями поверхности, обусловленными давлением, про-
порциональным тепловому потоку на поверхности. При скоро-
стях, меньших критического значения, когда поверхности нахо-
дятся в непрерывном контакте, колебания давления синусоидаль-
ные с амплитудой р*, определяемой (12.39). Отсюда следует, что
колебания теплового потока и температуры также синусоидаль-
ные с амплитудами h* и ,6*. В силу упомянутой аналогии нахо
дим
е* = Kh*l2nk = pVKp'/2nk. (12.45)
При скорости выше критической поверхности находятся в
прерывистом контакте. Поверхностные перемещения и контакт-
ные давления для прерывистого взаимодействия волнистой по-
верхности с плоской приводятся в § 13.2. Из этих результатов
О Более точное рассмотрение, связывающее давление и деформацию на
участке контакта, выполнено Бертоном и Нерликаром [45] для множествен-
ного контакта, а для единичного контакта Барбер [20] нашел, что а =
= 2,32/cpV£*:
446
Гл. 12. Термоупругий контакт
Рис. 12.9. Изменение ширины зоны контакта а и амплитуды давления, а
также температурных флуктуаций со скоростью проскальзывания.
можно заключить, что разность температур между центром
участка контакта и центром впадины дается выражением
6 (0) — 6 (Л/2)
pVP sin ф
nk ф
1 — cos ф
sin2 ф
+ '"(4hvL)}.
где ф = .тш/Л.
Механизм термоупругой неустойчивости теперь может быть
описан с использованием приведенного выше примера (рис. 12.8
и 12.9). При статическом контакте любая волнистость контакти-
рующих поверхностей приводит к неравномерному распределе-
нию контактного давления. При низких скоростях скольжения
отклонения давления от стационарной средней величины увели-
чиваются из-за термоупругого искажения в соответствии с
(12.38). Когда скорость достигает критического значения Ус>
определяемого соотношением (12.40), амплитуда колебаний воз-
растает очень быстро, и если этого ранее уже не произошло, то
поверхности разделяются в местах начальных впадин. Контакт
становится прерывистым, а размер участков контакта доходит
примерно до 1/3 начальной длины волны (уравнение (12.44)).
Дальнейшее возрастание скорости приводит к стабильному
уменьшению размера участка контакта в соответствии с (12.43).
Внезапное повышение давления и уменьшение площадки кон-
§ 12.5. Фрикционный нагрев и термоупругая неустойчивость
447
такта при критической скорости сопровождается резким увели-
чением температурных флуктуаций, как показано на рис. 12.9.
Реальные поверхности обладают, конечно, целым спектром
начальных отклонений. Из соотношения (12.39) следует, что
изменение давления возрастает пропорционально отношению
Л/Л, т. е. наклону поверхностных несовершенств. Критическая
скорость Vc, однако, не зависит от амплитуды и обратно про-
порциональна длине волны. Отсюда вытекает, что длинноволно-
вые отклонения становятся неустойчивыми раньше, чем коротко-
волновые, и, следовательно, определяют процесс. Размер тела
накладывает ограничение на верхний предел для длины волны
и, следовательно, на нижний предел для критической скорости.
Отклонения реальных поверхностей двумерные и имеют кривиз-
ну в обоих направлениях. Используя те же самые соображения,
которые привели к соотношению (12.43), получим формулу для
радиуса дискретной круговой площадки контакта ’>
а ~ зт/срУЕ*. (12.47)
Другой путь выражения влияния размеров тела состоит в том,
чтобы сказать, что, если номинальный размер контактной пло-
щадки меньше 2а (уравнение (12.47)), то контакт будет устой-
чивым.
Приведенный выше анализ упрощает реальную ситуацию в
двух направлениях: (i) термоупругие решения описывают уста-
новившиеся процессы, в то время как неустойчивое изменение
контактного давления и площадки контакта есть существенно
нестационарный процесс и (ii) обе поверхности являются в боль-
шей или меньшей степени проводящими и деформируемыми. Что-
бы исследовать эти эффекты, Доу и Бертон [86] и Бертон и др.
[46] изучили устойчивость малого синусоидального возмущения
давления, отвечающего непрерывному контакту скользящих по-
верхностей. Использовалось уравнение нестационарного распро-
странения тепла. Они показали, что пара идентичных мате-
риалов чрезвычайно устойчива; однако для того, чтобы вызвать
неустойчивость, при высокой скорости скольжения требуются
нереальные значения коэффициента трения (больше двух).
Когда два материала различны, термическое возмущение, вклю-
чающее флуктуации давления и температуры, движется вдоль
поверхности взаимодействия со скоростью, отличной от скоро-
стей его распространения вдоль поверхностей каждого из мате-
риалов в отдельности. Заметная разница в теплопроводностях
двух материалов ведет, однако, к возмущению, которое сконцен-
трировано в теле более высокой теплопроводности; большая
часть тепла направляется в эту поверхность. В пределе мы
’> Более точно для единичного участка контакта Барбер [20] нашел
« = 1.28л/сцУ£'*.
448
Гл. 12. Термоупругий контакт
Рис. 12.10. Нестационар-
ное термоупругое изме-
нение радиуса круговой
площадки контакта от
начального значения а0
до стационарного значе-
ния Goo.
имеем ситуацию, проанализированную выше, когда одна из по-
верхностей не проводит тепло. Критическая скорость тогда при-
ближается к величине, определяемой (12.40). Некоторое коли-
чество тепла фактически идет во второе тело со скоростью,
определяемой соотношением (12.10); при этом термоупругая
деформация более проводящей поверхности уменьшается и, сле-
довательно, повышается критическая скорость по сравнению
с определяемой (12.40).
При прерывистом контакте анализ нестационарной термо-
упругости становится более сложным. Некоторые основные слу-
чаи искажения полупространства из-за нестационарного нагрева
на малой площадке исследовались Барбером [17] и Барбером
и Мартин-Мораном [25]. Эти результаты были использованы
для исследования нестационарного сокращения круговой кон-
тактной площадки из-за фрикционного нагрева, когда движу-
щаяся поверхность непроводящая. Считается, что неподвижная
поверхность имеет слабую кривизну, так что перед началом
скольжения имеется начальная контактная площадка радиуса
ао- При скольжении в установившемся режиме контактная пло-
щадка сужается до размеров, определяемых радиусом а™. При
таком анализе используются ранее введенные упрощающие
предположения: распределение давления герцевское, а кривизна
термоупругого искажения поверхностей согласуется лишь в на-
чале координат. При этих предположениях ат определяется фор-
мулой (12.47). Барбер [23] показал, что радиус области кон-
такта сначала уменьшается с постоянной скоростью 1.34и/а<^.
Лишь на последующих стадиях он стремится к ак асимптоти-
чески, как показано на рис. 12.10.
Шероховатые поверхности
§ 13.1. Действительная и кажущаяся области контакта
До сих пор в этой книге предполагалось, что поверхности
контактирующих тел топографически гладкие, что они строго
очерчиваются исходными профилями, рассмотренными в гл. 1
и 4. Вследствие этого контакт между ними был непрерывным
внутри исходной площадки и отсутствовал вне нее. В действи-
тельности такое встречается крайне редко. Слюда может быть
расщеплена вдоль атомных плоскостей, чтобы получить атомар-
но гладкую поверхность; такие две поверхности были использо-
ваны для идеального контакта в лабораторных условиях. Не-
ровности на поверхностях сильно податливых тел, таких, напри-
мер, как мягкая резина, если они достаточно малы, могут быть
при упругих деформациях сплющены контактным давлением,
так что идеальный контакт имеет место по всей исходной пло-
щадке. В общем, однако, контакт твердых тел не является
непрерывным, и действительная область контакта составляет
малую часть исходной. Не так легко осуществить сплющивание
изначально шероховатых поверхностей путем пластических де-
формаций неровностей. Например, зазубрины, нанесенные то-
карным инструментом на номинально гладких торцах образца
для испытаний на сжатие пластического материала могут пла-
стически сминаться твердыми плоскими плитами испытательной
машины. Зазубрины будут вести себя подобно пластическим
клиньям (§ 6.2(c)) и деформироваться пластически при кон-
тактном давлении порядка ЗУ, где У— предел текучести мате-
риала. В образце в целом будет происходить объемное пласти-
ческое течение при номинальном давлении У. Следовательно,
максимальное отношение реальной площадки контакта плиты
и образца к номинальной площади составляет примерно */з-
Деформационное упрочнение сминающихся неровностей умень-
шает эту величину еще более.
В этой главе будет изучаться влияние шероховатости поверх-
ностей и прерывистого контакта на результаты обычной теории
контактного взаимодействия, которая строится в предположе-
нии о непрерывном контакте гладких профилей.
Большинство реальных поверхностей, например тех, которые
получаются после шлифования, не регулярные: высоты и длины
450
Гл. 13. Шероховатые поверхности
волн неровностей поверхностей изменяются случайным образом.
Поверхности после токарной обработки имеют регулярную
структуру, связанную с глубиной резания и скоростью подачи,
однако высоты бороздок будут изменяться статистически. Боль-
шинство обработанных поверхностей, например после шлифо-
вания, имеют сформированный слой, который в первом прибли-
жении может моделироваться одномерными шероховатостями.
Нелегко создать полностью изотропную шероховатость поверх-
ности. Обычная процедура, проводимая в экспериментальных
целях, состоит в обработке металлической поверхности потоком
газа, содержащим скопление мелких частиц, что вызывает на
ней случайные вмятины. Однако, прежде чем перейти к поверх-
ностям со случайными шероховатостями, рассмотрим контакт
регулярных волнистых поверхностей.
Простейшая модель шероховатой поверхности есть регуляр-
ная волнистая поверхность синусоидального профиля. При усло-
вии, что амплитуда А. мала в сравнении с длиной волны А, так
что деформации остаются упругими, контакт такой поверхности
с упругим полупространством можно проанализировать мето-
дами гл. 2 и 3.
§ 13.2. Контакт регулярных волнистых поверхностей
(а) ОДНОМЕРНАЯ ВОЛНИСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Начнем с рассмотрения упругого полупространства, подвер-
женного синусоидальным поверхностным напряжениям
р — р* cos (2зтх/А), (13.1)
которые попеременно вдавливают поверхность и приподнимают
ее. Нормальные перемещения поверхности при таких напряже-
ниях могут быть найдены подстановкой (13.1) в соотношение
(2.25 b), т. е.
дйг 2(1—v2 * *) С р* cos (2ns/Z)
дх пЕ J х — s ’
— оо
2 (1 — V2) [ cos {2л (х — g)/Z)
~ пЕ Р У Е S‘
— ОО
Разлагая в ряд числитель и интегрируя, получим
= - 2(17V2)-Р sin (2лхД), (13.2)
или
й2 = '1 р* cos (2лх/Л) + const. (13.3)
§ 13 2. Контакт регулярных волнистых поверхностей
451
Рис. 13.1. Контакт одномерной волнистой поверхности с упругим полупро-
странством. (а) До приложения нагрузки (р = 0), (Ь) полный контакт
(р = р*), (с) частичный контакт (р<р*).
Не удивительно, что синусоидальное изменение в напряжениях
приводит к синусоидальной форме поверхности с той же длиной
волны.
Напряжения внутри тела можно найти суперпозицией напря-
жений от нагрузки, действующей вдоль прямой (см. (2.23)),
или более непосредственно с использованием (2.6) и функции
напряжения
<р (х, z) = (р*/аг) (1 + аг) е~аг cos ах, (13.4)
где а = 2л/Х. Максимум главных сдвиговых напряжений /и
имеет место на глубине z = 7./2л под точкой максимальных на-
пряжений (х — пл). Это значение напряжения равно р*/е.
Если упругое полупространство с плоской поверхностью
вступает в контакт с упругим телом, плоская поверхость кото-
рого перед нагружением имеет форму одномерной поверхност-
ной волны малой амлитуды А и длины 'К, то зазор между по-
верхностями может быть записан1) (см. рис. 13.1(a)) в виде
h (х) = А {1 — cos (2лх/Л)}, (13.5)
*’ Такая форма для зазора в недеформированном состоянии получается,
если обе поверхности имеют параллельно расположенные отклонения одина-
ковой длины волны, даже если они сдвинуты по фазе, так что начальный
контакт не реализуется на гребешках.
452
Гл. 13. Шероховатые поверхности
Если поверхности теперь приведены в контакт средним давле-
нием р, достаточным для полного сжатия неровностей и реали-
зации непрерывного контакта, то распределение давлений может
быть найдено из предыдущих результатов. Упругие перемещения
поверхностей таковы, что
(йг)1 + (йг)2 = д~/1(х), (13.6)
где 6 — сближение отсчетных точек каждого из тел. Из (13.3)
следует, что (13.6) удовлетворяется, если давление имеет вид
р (х) — р + р* cos (2лх/Л), (13.7)
где р* = лЕ*Д/Л, при этом равномерное давление р дает равно-
мерное перемещение. Чтобы контакт был непрерывным, давле-
ние должно быть всюду положительным, т. е. р р* (см.
рис. 13.1 (Ь)).
Если среднее давление меньше р*, то непрерывного контак-
та между поверхностями не будет. Они будут контактировать
по параллельным полоскам ширины 2а, расположенным у гребеш-
ков шероховатостей, а будут отделяться у впадин (см.
рис. 13.1(c)). Вестергаард [362] показал, что поверхностное
распределение давления вида
р w = {sin2 (зш/Л) _ sin2 W4}1'2 <13-8)
создает в упругом полупространстве нормальное смещение по-
верхности
и = cos+с> (1з-9а)
bill фд
йг [C0S + 2 Sin (Sin2 “ Sil12 ^'/2 ~
о . 2 . f sin ip + (sin2 ip — sin2ipa)^2)l . „
— 2 Sin2 In •{---—— Н-т--------——? + С,
I. an -фд J J
а<|х|<Л/2, (13.9b)
где p — среднее давление, ip — tnx/k, = ла/К и C — постоян-
ная, определяемая из условий отсчета перемещений. Перемеще-
ния (13.9а) удовлетворяют условиям контакта (13.6) для
|х| а, при условии что
р = (лЕ*Д/Л) sin2(«a/A), (13.10)
а перемещения вне полоски контакта а | х | Х/2 таковы, что
зазор остается положительным. Так как по (13.7) имеет место
равенство л£*ДД —/?*, то выражение (13.10) можно обратить,
чтобы выразить отношение «действительной» области контакта
к «кажущейся», т. е.
2а/л = (2/л) arc sin (р/р*)1/2>
(13.11)
§ 13.2. Контакт регулярных волнистых поверхностей
453
Рис. 13.2. Действительная область контакта одномерной волнистой поверх-
ности и упругого полупространства. Сплошная линия — точное решение
(13.11); штриховая линия — асимптотическое решение (13.12) и (13.15).
Эта зависимость приведена на рис. 13.2. Когда р -С р*, то
2о <С л и давление под гребешком каждой волны будет незави-
симым от других волн, так что можно применять теорию Герца.
Нагрузка Р, приходящаяся на каждый гребешок, если рк, а кри-
визна 1/Р каждого гребешка равна 4л2Л/Х. Подставляя эти ве-
личины в герцевскую зависимость (4.43), получаем выражение
2а/Л == (2/л) (р/р*)1'2, (13.12)
которое является предельным для (13.11) при р р*. Это со-
ответствует штриховой линии на рис. 13.2.
В другом предельном случае, когда р-ь-рР, только малая
полоска ширины 2Ь -С к остается вне контакта; здесь b =
= Х/2 — а. Асимптотическое выражение для b можно найти,
рассматривая зону без контакта как сжимаемую трещину
длины 26 в бесконечном теле. Давление в зоне отсутствия кон-
такта равно, разумеется, нулю, но оно может быть представ-
лено .как суперпозиция давления, необходимого для поддержа-
ния поверхностей в контакте и задаваемого (13.7), а также рав-
ного отрицательного давления, действующего на поверхности
«трещины» (а^х^Х— а). При условии что 6<Сл/2, давле-
ние внутри трещины можно записать в виде
р (х') ~ 2л2 (х'/Л)2 р* — (р — р),
(13.13)
454
Гл. 13. Шероховатые поверхности
где х' = х — 7/2. Так как граница соединения не обладает «ад-
гезионной прочностью», то трещина будет раскрываться до тех
пор, пока коэффициент интенсивности напряжений не обратит-
ся в нуль. Коэффициент интенсивности на концах трещины дли-
ны 2b при нагрузках р(х') дается формулой (см. [291])
ь
Ki = (л&)-1/2 р (х') {(& + х')КЬ — X)}1'2 dx'. (13.14)
-ь
Подставляя р(х') из. (13.13), интегрируя и приравнивая Ki
нулю, получаем длину зоны отсутствия контакта
2&/Л = (2/л) (1 - р/р*)1/2> (13.15)
которая получается как предельная из (13.11) при р->/?*. Эта
зависимость также приведена на рис. 13.2, где можно ^видеть,
что асимптотические формулы (13.12) и (13.15) позволяют полу-
чить близкие к точным результатам оценки. Как будет видно
ниже, в случае двумерной волнистой поверхности в замкнутой
форме могут быть получены лишь асимптотические результаты.
(Ь) ДВУМЕРНАЯ ВОЛНИСТОСТЬ
Зазор между плоской поверхностью и поверхностью, обла-
дающей регулярной волнистостью в двух направлениях, может
быть выражен формулой
h (х, у) = Aj + А2 — At cos (2лх/7<ц) — А2 cos (2л#/Л2). (13.16)
Поверхности соприкасаются в узлах прямоугольной сетки раз-
мером ячейки Xi X 72; максимальный зазор, который совпадает
с впадиной на поверхности, имеет глубину 2(Ai-j-A2) в сере-
дине прямоугольной ячейки. После сжатия упругие перемеще-
ния в области контакта получаются подстановкой (13.16) в
(13.6). Давление, необходимое для того, чтобы контакт был по
всей поверхности, можно найти суперпозицией давлений, необ-
ходимых для сжатия каждой неровности, взятой отдельно.
Тогда, в силу уравнения (13.7), получим
р (х, у) = р + р*х cos (2лх/\) + Ру cos (2ш//Л2), (13.17)
где р*х = лЕ*А1/к1 и р*у==я,Е*К21'К2. Чтобы осуществить полный
контакт, необходимо выполнение неравенства Р^ Р*х^г Р*у
Если среднее давление меньше этой величины, то на поверхно-
стях возникают площадки контакта и разделения. При низких
давлениях контактные зоны под гребнями эллиптические и оп-
ределяются по теории Герца. При высоких давлениях малые
области раздела поверхностей также будут эллиптическими и
могут быть найдены с использованием модели трещины под дав-
§ 13.2. Контакт регулярных волнистых поверхностей
455
Рис. 13.3. Действительная область контакта между двумерной волнистой по-
верхностью и упругим полупространством. Штриховая линия — асимптоти-
ческие решения (13.19) и (13.20); темные кружки — численные решения;
светлые кружки — экспериментальные данные (см. рис. 13.4).
лением. В промежутке между этими предельными случаями
форма области контакта не эллиптическая и решение в замкну-
той форме кажется невероятным.
Для изотропной волнистой поверхности At = А2 = A, Xi =
= = А уравнение (13.17) можно тогда записать в виде
р (к, у) = р-[- Ч2Р* {cos (2лх/Л) + cos (2лу/К)}, (13.18)
где р* = 2л£*АД. Кривизна пика поверхности равна 1/R —
= 4л2АД2, а нагрузка на каждый пик Р = р№. Подставляя эти
величины в формулу Герца (4.22), получаем отношение пло-
щади реальной (круговой) области к номинальной (квадрат-
ной)
( 3 Р /1 Q |f|\
= • (13Л9)
В другом крайнем случае, когда контакт является почти
полным, почти круговая область отсутствия контакта рассмат-
ривается как круговая трещина, подверженная внутреннему
давлению, равному и противоположному задаваемому (13.18).
Как и ранее, радиус трещины b находится из условия обраще-
ния в нуль коэффициента интенсивности на вершине трещины.
Отсюда определяем (см. [198])
<=-£(> ~Я- <1320>
456
Гл. 13. Шероховатые поверхности
Рис. 13.4. Площадка контакта между пластиной из плексигласа и резино-
вым блоком с изотропной волнистой поверхностью при значениях pip*'.
(а) 0.024; (Ь) 0.08; (с) 0.139; (d) 0.345; (е) 0.55; (f) 0.759.
.Оба асимптотических результата,, даваемые соотношениями
(13.19) и (13.20), приведены на рис. 13.3. Расположенное ме-
жду ними численное решение Джонсона и др. [198] показывает,
как отношение реальной площади контакта к кажущейся ме-
няется в зависимости от контактного давления. Фотографии ре-
зиновой модели на рис. 13.4 иллюстрируют изменение формы
области контакта.
(с) ПЛАСТИЧЕСКОЕ СМЯТИЕ ЗАЗУБРЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если регулярная волнистая поверхность, сжатая жестким
плоским штампом, начинает пластически течь до того, как она
упруго уплощается, гребни поверхностных волн пластически
сжимаются. Наблюдалось [142], как трудно осуществить упло-
щение поверхности путем пластического смятия неровностей.
Это явление было смоделировано Чайлдсом [58] представле-
нием шероховатой поверхности в виде регулярного ряда клино-
подобных зазубрин, в которые вдавливался плоский жесткий
штамп с шириной L, много большей высоты зазубрин
(рис. 13.5(a)). При нагружении штампа нормальной силой Р
вершины зазубрин сминаются, при этом каждая имеет длину
участка контакта I. Для материала с жестко-идеально-пласти-
ческими поверхностными шероховатостями зазубрины будут
первоначально сминаться в соответствии с полем линий сколь-
§ 13.2. Контакт регулярных волнистых поверхностей 457
Рис. 13.5. Пластическое смятие регулярной зазубренной поверхности жест-
ким плоским штампом (а ==65°). Объемное внедрение штампа реализуется
при р//% = р = PjL = 5.14ft, т. е. при Z/A = 0.81.
жения, приведенным на рис. 6.8(b), откуда можно найти дав-
ление на шероховатости р. С ростом нагрузки эта составляющая
деформации будет нарастать до тех пор, пока поля деформаций
соседних шероховатостей не начнут перекрываться, т. е. пока
точка С на рис. 6.8(b) не достигнет промежутка между зазуб-
ринами. Для случая клина с полууглом раствора а. = 65° это
происходит при /Д = 0.36. Дальнейшее деформирование опре-
деляется теперь взаимодействием между соседними неровно-
стями. Поля линий скольжения для этого случая были по-
строены Чайлдсом [58], что дало возможность установить рез-
кое возрастание давления на шероховатостях при /Д->1.
458
Гл. 13. Шероховатые поверхности
Описываемую ситуацию можно наблюдать при обратном
выдавливании, когда материал, выдавленный штампом, движу-
щимся вниз, должен быть вытеснен вверх через малые остав-
шиеся зазоры между контактирующими поверхностями. Среднее
давление на штамп р определяется по формуле
Р Р Р 1
2k 2kL — 2k Л
(13.21)
Когда р достигает предельного давления для пластического
вдавливания плоского штампа 5.14Л, штамп будет вдавливать
блок материала как жесткое целое и дальнейшего деформи-
рования шероховатостей не будет. На примере, проиллюстриро-
ванном на рис. 13.5(b) (а —65°), этот предел достигается при
отношении /Д = 0.81. На практике происходит деформацион-
ное упрочнение неровностей по сравнению с объемным материа-
лом, так что максимальное значение /Д меньше 0.81. Таким
образом, при чисто нормальном нагружении поверхности невоз-
можно смять шероховатости при пластическом деформировании
до полного уплощения. Мы видели, что это связано со стесне-
нием, создаваемым соседними шероховатостями. Если, однако,
блок материала как целое пластически растягивается парал-
лельно поверхности штампа (в пренебрежении трением), то
стеснение снимается и шероховатости уплощаются при малом
давлении штампа. Такая ситуация реализуется при действии
штампа в процессах обработки металлов давлением. Это также
имеет место, когда брусок (рис. 13.5(a)) уже штампа, так что
объемное пластическое течение имеет место при р > 2k. Нако-
нец, фрикционный сдвиг зазубрин касательной силой, прило-
женной к бруску, облегчает рост отношения реальной площади
контакта к кажущейся /Д. Характер пластических деформаций
зазубрин становится аналогичным тому, который происходит в
клиньях на рис. 7.15.
§ 13.3. Характеристики случайно шероховатых поверхностей
Обсудим теперь кратко топографические характеристики
случайно шероховатых поверхностей, которые важны при их
изучении в процессе контакта-.
Поверхностная текстура наиболее часто измеряется с по-
мощью профилометра, игла которого перемещается по выбран-
ной линии на поверхности, при этом след профиля поверхности
воспроизводится в увеличенном масштабе, как показано на
рис. 13.6. Отметим, что след дает сильно искаженное изображе-
ние истинного профиля, так как используется большее увели-
чение в нормальном, чем в тангенциальном направлении. Со-
временные профилометры оцифровывают след через подходя-
§ 13.3. Характеристики случайно шероховатых поверхностей
459
щий интервал отсчета и сопряжены с компьютером, который
позволяет получать статистические данные по результатам из-
мерений. Прежде всего определяется центральная линия как
прямая (или круговая дуга для окружной компоненты), для ко-
торой минимальным является среднеквадратическое отклонение
профиля. Это означает, что площадь, описываемая следом над
линией, равна площади под ней. Средняя шероховатость опре-
деляется по формуле.
L
= (13.22)
о
где z(x)—высота поверхности над средней линией, a L — длина
стандартного отрезка. Менее общая, но статистически более
Рис. 13.6. Профилограмма.
существенная мера средней шероховатости есть среднеквадра-
тическая шероховатость, или стандартное отклонение о высоты
поверхности от центральной линии
L
a2 — -j-^z2dz. (13.23)
о
Соотношение между а и Ra в некоторой степени зависит от
природы поверхности; для регулярной поверхности синусоидаль-
ного профиля а = (л/2 для профиля, отвечающего гаус-
совскому распределению о = (л/2) l/2Ra-
Величина Ra сама по себе не дает информации о форме про-
филя поверхности, т. е. о распределении отклонений от средней
линии. Первой попыткой сделать это было введение так называе-
мой опорной кривой [1]. Эта кривая выражает в виде функ-
ции высоты z ту часть площади, которая ограничена поверхно-
стью на высоте z. Она может быть получена из следа профиля
(рис. 13.6) путем проведения линий, параллельных средней
линии на различных высотах z, и измерением доли длины
участков этих линий, лежащих внутри профиля (рис. 13.7). За-
метим, между прочим, что опорная кривая не определяет ре-
альной несущей площади, когда шероховатая поверхность на-
ходится в контакте с гладкой плоской поверхностью. При по-
460
Гл. 13. Шероховатые поверхности
строении опорной кривой предполагается, что материал на пло-
щадке взаимопроникновения исчезает и контактные деформа-
ции не принимаются во внимание. Реальная несущая или кон-
тактная площадка будет изучаться в § 13.4.
Альтернативный подход к понятию опорной кривой может
быть осуществлен через элементарную статистику. Если обозна-
чить через tp(z) вероятность того, что высота поверхности в не-
которой точке лежит между z и z + dz, то вероятность, что вы-
<P(z) Ф(г)
Рис. 13.7. Распределение высот <p(z) и опорная кривая, определяемая функ-
цией распределения высот Ф(г).
сота в точке на поверхности более, чем z, дается кумулятивной
оо
вероятностной функцией Ф (z) = <р (z') dz'. Это дает S-образ-
Z
ную кривую, идентичную опорной кривой.
Было найдено, что многие реальные поверхности, особенно
только что шлифованные, дают распределение высот профиля,
близкое к гауссовскому «нормальному», которое определяется
функцией
<р (z) = а (2л)-1/2 ехр (— z2/2<j2), (13.24)
где о—стандартное (среднеквадратичное) отклонение от сред-
ней высоты. Кумулятивная вероятность
г/а
ф (г) = 1 - -* j exp (- z'W) d (z'/a) (13.25)
может быть найдена с помощью статистических таблиц. Если ре-
зультаты нанести на специальную вероятностную бумагу, то
данные, отвечающие нормальному, или гауссовому, распределе-
нию, попадут на прямую линию, наклон которой определяет
стандартное отклонение о (рис. 13.8(a)). С математической
точки зрения удобно использовать функцию нормального рас-
пределения для анализа случайно шероховатых поверхностей,
однако следует иметь в виду, что немногие реальные поверхно-
Рис. 13.8. Функция распределения высот, нанесенная на вероятностную бумагу для нормальных распределений: тем-
ные кружки — высоты поверхности; крестики — пики высот; треугольники — вершины высот, (а) Алюминий, обрабо-
танный струей со стеклянными шариками; (Ь) мягкая сталь, шлифованная и полированная; (с) мягкая сталь после
токарной обработки [366].
462
Гл. 13. Шероховатые поверхности
сти являются гауссовскими. Например, распределение шерохо-
ватостей для поверхности, которая после предварительной обра-
ботки полируется так, что вершины более высоких шероховатостей
снимаются, заметно отклоняется от прямой линии, в области
«больших высот» (рис. 13.8(b)). Поверхность после токарной об-
работки далека от случайной; ее пики находятся приблизительно
на одной высоте, а впадины — на одной глубине. Это обнару-
живается на вероятностной бумаге,как показано на рис. 13.8(c).
До сих пор обсуждались только отклонения высоты поверх-
ности; следует изучить также пространственные отклонения.
Есть несколько путей определения пространственных отклоне-
ний. Будем здесь использовать среднеквадратичный наклон не-
ровностей от и среднюю кривизну оги, которые определяются
следующим образом *>.
Элемент поверхности стандартной длины L строится с по-
мощью профилометра и откладываются высоты z через задан-
ные интервалы длины h. Если z(-i, zt и Zt+i— три соседние вы-
соты, то наклон определяется по формуле
т = (zi+l — z^/h, (13.26)
а кривизна —
и = (zl+! - 2zt + (13.27)
Среднеквадратичный наклон и кривизна определяются соотно-
шениями
i—n
= (13.28)
i—l
i~n
(13.29)
где n = L/h — общее число интервалов.
Можно было бы думать, что параметры о, от и представ-
ляют собой характеристики описываемой поверхности. К сожа-
лению, эти величины на практике зависят как от длины вы-
борки L, так и выборочного интервала h, используемых при из-
мерениях. Если представить случайно-шероховатую поверхность
как обладающую непрерывным спектром волн, то ни волны с
длинами, большими L, ни волны с длинами, меньшими h, не бу-
дут воспроизведены профилометром. Реально верхний предел
для длины выборки ограничен размером образца, а нижний
предел для выборочного интервала — радиусом пера профило-
метра. Среднеквадратичная шероховатость о фактически не за-
висит от выборочного интервала, при условии что h — малая ве-
’1) Другие определения случайно шероховатой поверхности через автокор-
реляционную функцию и спектральную плотность можно найти в [343].
§ 13.3. Характеристики случайно шероховатых поверхностей 463
личина по сравнению с выборочной длиной L. Параметры
и <зк, однако, очень чувствительны к величине h: их величины
беспредельно увеличиваются, когда h уменьшается, и вклю-
чаются в рассмотрение все более и более короткие волны. Этот
неприятный факт ведет к необходимости введения функцио-
нального фильтра, позволяющего выбирать стандартные длину
и интервал подходящими для конкретного приложения. В даль-
нейшем еще будет возможность вернуться к этому вопросу
в § 13.5.
Когда шероховатые поверхности приводятся в контакт, они
касаются по высоко расположенным пятнам этих поверхностей,
которые деформируются, приводя к вступлению в контакт боль-
шего числа пятен. Как будет показано в следующем параграфе,
чтобы количественно характеризовать поведение поверхностей,
требуется знать стандартное отклонение высот неровностей щ,
среднюю кривизну их вершин и плотность неровностей r]s, т. е.
их количество на единицу площади поверхности. Эти величины
должны быть получены из информации, содержащейся в следе
профилометра. Следует иметь в виду, что максимум на профи-
лометрическом следе, называемый «пиком», не обязательно со-
впадает с действительным максимумом на поверхности, назы-
ваемым «вершиной», так как след представляет собой одномер-
ное сечение двумерной поверхности. На базе теории случайных
процессов, следуя работам Лонге-Хиггинса [235, 236], авторы
работ [139, 281, 364] изучили соотношение между свойствами
вершин и свойствами профилометрического следа. Получены
следующие выводы:
(i) Для изотропной поверхности, имеющей гауссовское рас-
пределение высот со стандартным отклонением о, распределе-
ние вершин близко к гауссовскому со стандартным . отклоне-
нием
щ « о. (13.30)
Средняя высота вершин лежит между 0.5<т и 1.5<т над средним
уровнем поверхности. Такой же результат справедлив для вы-
сот пиков на профилометрическом следе, как было показано на
рис. 13.8(a). Из этих данных вытекает, что высоты пиков и вы-
соты вершин расположены приблизительно параллельно самой
поверхности, откуда следует, что они имеют приблизительно
одинаковое стандартное отклонение. Пик на профилометриче-
ском следе идентифицируется, если из трех соседних высот zi-\,
zi и zt^i средняя высота Zi больше двух других.
(ii) Средняя кривизна вершин.того же порядка, что и сред-
неквадратическая кривизна поверхности, т. е.
~ <зк. (13.31)
464
Гл. 13. Шероховатые поверхности
(iii) Если определять пики по профилометрическому следу
так, как описано выше, то может быть подсчитано их число на
единицу длины следа т]р. Если волнистая поверхность имеет
регулярный характер, как это было в § 2(b), то число вершин
на единицу площади r]g составит т]®. В [281] показано, что для
случайно изотропной поверхности с исчезающе малым стандарт-
ным интервалом будем иметь t]s = 1.209т)р. Было показано [139],
что в широком диапазоне значений конечных стандартных ин-
тервалов
i]s-1.8^. (13.32)
Хотя величина стандартного интервала дает лишь эффект
второго порядка в соотношении между характеристиками вер-
шин и свойствами профиля, выражаемыми соотношениями
(13.31) и (13.32), следует подчеркнуть, что сами по себе харак-
теристики о>и и т]р очень чувствительны к размеру этого интер-
вала.
§ 13.4. Контакт изначально плоских шероховатых поверхностей
На протяжении всей этой книги мы видели, что при контакте
упругих тел без трения контактные напряжения зависят только
от относительного профиля поверхностей, т. е. от формы зазора
поверхности
Рис. 13.9. Контакт случайно-шероховатой поверхности с гладкой плоскостью.
между телами до приложения нагрузки. Таким образом, си-
стема без потери общности может быть заменена плоской же-
сткой поверхностью, контактирующей с телом, имеющим эф-
фективный модуль £*, и профилем, соответствующим зазору
между недеформированными поверхностями.
Будем рассматривать контакт двух изначально плоских по-
верхностей, имеющих среднеквадратичные отклонения Qi и о2
соответственно. Однако вместо этого изучим контакт жесткой
плоской поверхности с деформируемым телом с эквивалентной
шероховатостью о — (о^ + o^)172. Эта ситуация проиллюстриро-
вана рис. 13.9. Будем следовать анализу Гринвуда и Уильям-
§ 13.4. Контакт изначально плоских шероховатых поверхностей 465
сона [146]. В качестве отсчета берется средний уровень поверх-
ности и расстояние между ними и жесткой плоскостью опреде-
ляет отклонение. На рис. 13.9 показаны пики на профиле следа,
однако применительно к контактной задаче будем интересо-
ваться вершинами поверхностных шероховатостей. Обозначим
функцию высот вершин через zs со средним значением zs и
функцией распределения <p(zs), которая выражает вероятность
нахождения высоты вершины zs между zs и zs -ф dzs. Если N —
число вершин на номинальной площади поверхности Ао, то чис-
ло вершин в контакте, находящихся на расстоянии d, равно
п = N \ <р (zs) dz.
(13.33)
Для простоты мы будем следовать [146] и предположим, что
неровности шаровидные с постоянной кривизной xs. Если высота
вершины превышает отклонение d, то будет иметь место сбли-
жение 6 = zs — d и, следовательно, контакт по малой круговой
площадке радиуса а. Вершина с номером i, следовательно,
имеет контактную площадку
_4f = = f (6f),
(13.34)
а сила, требующаяся для сжатия, выражается формулой
(13.35)
где функции f(6) и g(6) зависят от свойств материалов поверх-
ностей. Если деформация находится полностью в пределах упру-
гости, то из зависимости Герца (4.23) имеем
f (б) = n&/xs,
g(6)=4/№V.
(13.36)
(13.37)
Для сжатия идеально пластической неровности, если пре-
небречь образованием «наплыва» или углубления, имеем
f (б) ₽« 2лб/хя,
g (б) ~ рА ~ 6nYf»/ns,
(13.38)
(13.39)
где Y — предел текучести более мякой поверхности. Хэллинг
и Нури [157] предложили иные функции f(6) и ^(б), подходя-
щие для материалов со степенным законом деформационного
упрочнения.
Чтобы найти полную действительную площадь контакта А
и полное номинальное давление р — Р/Ай, следует просуммиро-
вать выражения (13.34) и (13.38) для всех неровностей в кон-
466
Гл. 13. Шероховатые поверхности
Дэг/2/Л®*б|'2
Рис. 13.10. Реальная область контакта случайно-шероховатой упругой по-
верхности с гладкой плоскостью: А — гауссовское распределение высот не-
ровностей [146]; В — экспоненциальное распределение (уравнение (13.46)).
такте, т. е. тех, которые имеют высоту zs, превышающую d.
Тогда
оо
А = N J f (zs - d) <р (zs) dzs, (13.40)
d
CO
pAo = P — N^ g(zs — d)cp (zs) dzs. (13.41)
d
Гринвуд и Уильямсон [146] вычислили эти интегралы численно
для упруго деформирующихся неровностей (см. (13.36) и
(13.37)) и гауссовского распределения их высот.
Площадь контакта (безразмерная) приведена на рис. 13.10
в зависимости от безразмерной нагрузки, откуда можно видеть,
что область контакта приблизительно пропорциональна нагруз-
ке в пределах трех порядков ее изменения. Величина зазора
между поверхностями может быть нормирована введением пе-
ременной t, = (d — zs) /<Js- Теория основана на предположении,
что деформация каждой неровности не зависит от соседних.
Ошибка от этого предположения возрастает, когда реальная
область контакта не мала по сравнению с номинальной площад-
кой, при значениях нормированного зазора между поверхно-
стями, скажем, меньших 0.5. Другим крайним случаем является
§ 13.4. Контакт изначально плоских шероховатых поверхностей 467
диапазон величин зазора, превышающих 3.0, когда нормиро-
ванная вероятность контакта весьма мала.
Основные моменты результатов Гринвуда и Уильямсона
можно проиллюстрировать, не прибегая к численному анализу,
приняв вместо гауссовской экспоненциальную функцию распре-
деления
<р (zs) = (С/щ) ехр (— zs/as), zs > 0, (13.42)
где С — произвольная постоянная. Число неровностей, находя-
щихся в контакте, определяемое (13.33), записывается в виде
оо
П = (CN/gs) ехр (— zs/gs) dzs =
d
оо
= CN ехр (— rf/ors) ехр (— 6/crs) d (&/os) — CNexp (— d/os). (13.43)
о
Аналогично соотношение (13.40) для площади контакта при-
обретает форму
оо
А = (CN/c>s) f (б) ехр (— zs/ors) dzs =
d
со
= CN ехр (— d/e>s) J f (6/os) exp (— 6/os) d (6/os) =
о
= nlf, (13.44)
a (13.41) для нагрузки — форму
co
P = CN exp (— d/as) g (6/ors) exp (— 6/ors) d (&/os) = nlg. (13.45)
о
Определенные интегралы в (13.44) и (13.45), обозначенные че-
рез If и ls соответственно, представляют собой постоянные, не
зависящие от зазора между поверхностями d. Таким образом,
реальная область контакта А и среднее давление р пропорцио-
нальны числу неровностей в контакте и и, следовательно, про-
порциональны друг другу независимо от характера деформации
неровностей, выражаемого функциями f и g. Эти резуль-
таты означают, что хотя размер каждого частного пятна кон-
такта растет с уменьшением зазора между поверхностями, чис-
ло пятен, вступающих в контакт, возрастет с такой скоростью,
что средний размер а сохраняется постоянным.
Если деформации неровностей упругие, то f(8/os) и g(6/ors)
определяются формулами (13.36) и (13.37), которые, будучи
468
Гл. 13. Шероховатые поверхности
подставленными в (13.44) и (13.45), дают
/|. = лог8/ив и /g = 3T1/2£'*o®/2x~1/2.
Таким образом, отношение действительной области контакта к
кажущейся определяется соотношением
Р If _ 1/2 .-1/2 Р /12 ИК'1
Ав Р Ав~ Ig Р~:п £* ’ (13-46)
где р— номинальное контактное давление P/Aq. В этом случае
при экспоненциальной функции распределения число неровно-
стей в контакте и действительная площадь контакта в точности
пропорциональны нагрузке. Сравнение с более реальным гаус-
совским распределением приведено на рис. 13.10.
Поучительно сравнить отношения действительной площади
к кажущейся для случайно-шероховатой поверхности (13.46) и
для регулярно-волнистой поверхности. Теперь соотношение
(13.19) для реальной площади контакта плоской поверхности
и регулярно-волнистой с амплитудой А может быть записано
в виде
ЛМ0 = 0.762 (Axs)“1/2 (pl?)™. (13.47)
Заметив, что стандартное отклонение от случайно-шероховатой
поверхности представляет собой величину, сравнимую с ампли-
тудой А регулярно-волнистой поверхности, мы видим, что урав-
нения (13.46) и (13.47) включают одинаковые безразмерные па-
раметры. В то время как регулярная поверхность деформирует-
ся так, что реальная область контакта растет пропорционально,
нагрузке в степени 2/3, область контакта случайно-шерохова-
тых поверхностей растет прямо пропорционально величине на-
грузки. Это заключение находится в согласии с законом трения
Амонтона. Силы трения должны развиваться в точках реаль-
ного контакта и можно ожидать, следовательно, что полная
сила трения должна быть пропорциональна действительной
площади контакта, которая, как было показано, прямо пропор-
циональна нагрузке. Дальнейшее экспериментальное подтверж-
дение высказанного заключения было получено путем проведе-
ния измерений термического и электрического сопротивления
между телами, проводящими через поверхностные шероховато-
сти. Проводимость единичной круговой площадки равна 2Ка,
где К — объемная проводимость тел. Общая проводимость гра-
ницы раздела равна, следовательно, 2йС^а = 2йСиа. Далее мы
видели, что средний размер зоны контакта а сохраняется при-
близительно постоянным, в то время как число пятен контакта
п возрастает пропорционально нагрузке, тем самым подтверж-
дая, что суммарная проводимость возрастает пропорционально
§ 13. . онтакт изначально плоских шероховатых поверхностей 469
нагрузке. Закон трения требует, чтобы общая площадь кон-
такта (J2 °2) возрастала пропорционально номинальному кон-
тактному давлению (нагрузке); эксперименты по определению
проводимости требуют, чтобы возрастала пропорционально
нагрузке. Есть только один простой путь, чтобы оба этих усло-
вия были выполнены одновременно — средний контактный раз-
мер а должен сохраняться постоянным, а число пятен действи-
тельного контакта п должно возрастать пропорционально на-
грузке.
Дальнейшим следствием пропорциональности действитель-
ной площади контакта нагрузке является постоянство действи-
тельного среднего контактного давления. Для экспоненциальной
функции распределения и упруго деформирующихся неровно-
стей
рг=4=7г==0-56Г(ог^)1/2- (13-48)
Для гауссовского распределения высот рг изменяется от 0.3 до
0.4 Е* (orsxs)1/2 в разумном диапазоне нагрузок. Так как каждая
неровность моделируется шаровидной, начало пластического те-
чения определяется формулой (6.9), т. е. равенством р = 1.1 У «
« 0.39Я, где Н — твердость материала, а У—предел текучести.
Таким образом, среднее контактное давление, достаточное для
возникновения течения, удовлетворяет неравенству рг0.39Я,
т. е.
ф^Г/Ш^Х, (13.49)
где С — постоянная, зависящая в какой-то мере от распреде-
ления высот, но близкая к единице. Безразмерный параметр ф
называется «пластическим показателем». Он описывает дефор-
мационные свойства шероховатой поверхности. Если величина
этого параметра заметно меньше единицы, то деформации не-
ровностей в контакте с плоской поверхностью будут полностью
упругими; если ф превышает единицу, то деформации будут
преимущественно пластическими.
В описанной выше теории предполагается, что неровности
имеют постоянную кривизну xs, в то время как в действитель-
ности кривизна вершин меняется случайным образом. В каче-
стве аппроксимации можно использовать среднюю кривизну
вершин х в выражениях (13.44) — (13.49), которая, как было
видно из (13.31), приблизительно равна среднеквадратичной
кривизне поверхности, определенной по следу профилометра.
Такая процедура не совсем корректна, так как кривизна вершин
не является независимой от высоты вершин, однако соответ-
ствующее подтверждение было дано Онионсом и Арчардом
[286].
4/U
1 л. 13. Шероховатые поверхности
Иное определение пластического показателя было предло-
|жено Микисом [262]. В § 6.3 было показано, что степень пла-
стической деформации при вдавливании в упругопластическую
поверхность жесткого клина или конуса определяется безраз-
мерным параметром f^tgp/y, где (3— угол наклона клина или
конуса к поверхности тела, а У — предел текучести. Таким обра-
зом, когда две шероховатые поверхности находятся в контакте,
то можно ожидать, что степень пластической деформации неров-
ностей будет пропорциональна их наклону. Учитывая, что пре-
дел текучести пропорционален твердости, Микис [262] предло-
жил следующее определение пластического показателя:
ф = (13.50)
где ит — среднеквадратичный наклон поверхности, который оп-
ределяётся непосредственно по профилометрическому следу.
При таком определении пластического показателя не требуется
нахождение двух статистических характеристик, которые не яв-
ляются независимыми, однако нельзя избежать зависимости ит
от длины выборочного интервала, используемого при его изме-
рениях.
§ 13.5. Упругий контакт шероховатых
криволинейных поверхностей
Теперь можно перейти к ответу на главный вопрос этой
части: как упругие контактные напряжения и деформации в
контакте криволинейных поверхностей зависят от поверхностной
шероховатости? Качественное поведение ясно уже из того, что
было изложено. В задаче имеются два масштаба длины: (i)
характерный размер номинальной области контакта, на кото-
рой упругие сжатия могут быть подсчитаны по теории Герца
для гладких средних профилей и (ii) масштаб и распределение
неровностей по высоте и поверхности. Чтобы было можно про-
вести количественный анализ задачи, эти два масштаба должны
быть существенно различными. Другими словами, в номиналь-
ной области контакта должно располагаться много неровностей.
Когда два тела прижимаются друг к другу, реальный контакт
имеет место только между вершинами неровностей, которые
сжимаются, как было показано в § 13.4. В любой точке номи-
нальной области контакта номинальное давление возрастает с
внешней нагрузкой и реальная область контакта пропорциональ-
но растет; среднее истинное контактное давление сохраняется
постоянным (величина его определяется формулой (13.48)) для
упруго деформирующихся шероховатостей. Точки действитель-
ного контакта вершин более высоких шероховатостей могут быть
§ 13.5. Упругий контакт шероховатых криволинейных поверхностей 471
Рис. 13.11. Контакт гладкого упругого шара с номинально плоской случай-
но-шероховатой поверхностью: сплошная линия — распределение эффектив-
ного давления р(г); штриховая линия — герцевское давление (гладкие по-
верхности). Эффективный радиус а* определен по (13.56).
расположены вне номинальной контактной площадки, так что
шероховатости в контакте подобны неровностям морского дна,,
которые создают изрезанную береговую линию с фьордами и
прибрежными островами. Шероховатости действуют подобно по-
датливому слою на поверхности тела, так что контакт распро-
страняется на большую площадь, чем это было бы для гладких
поверхностей, и вследствие этого контактные давления при за-
данной нагрузке уменьшаются. Количественный анализ этих эф-
фектов с использовании моделирования упругих шероховатостей
шаровидными поверхностями постоянной кривизны был выпол-
472
Гл. 13. Шероховатые поверхности
нен для точечного контакта Гринвудом и Триппом [145] и Ми-
кисом [262] и Ло [233] для контакта цилиндров вдоль прямой.
Рассмотрим теперь осесимметричный случай, который может
быть сведен к контакту гладкого шара радиуса 7? с номинально
плоской шероховатой поверхностью, имеющей стандартное рас-
пределение высот вершин crs, где 7? и crs связаны с радиусами и
шероховатостями двух поверхностей соотношениями 1/7?== 1/7?!+
+ 1/Т?2, а* = 0^ + 0^
По рис. 13.11 можно определить данные для среднего уровня
шероховатой поверхности. Профиль недеформированного шара
относительно этого уровня дается равенством у — уо— r2[2R.
При любом радиусе совокупное нормальное перемещение обеих
поверхностей складывается из объемных перемещений wb и пе-
ремещений неровностей wa. Зазор d между поверхностями со-
держит лишь объемную деформацию, т. е.
d (г) = wb (г) — y(r) = — y0 + r2/2R + wb(r). (13.51)
Перемещение неровностей удовлетворяет равенству wa = zs — d,
где zs-—высота вершин шероховатостей относительно уровня
отсчета. Если теперь предположить, что шероховатости дефор-
мируются упруго, то функция g(wa) дается формулой (13.37)
с заменой б на wa. Затем после подстановки в (13.41) полу-
чается эффективное давление на расстоянии г на поверхности
оо
Р (г) = (4nsE'73’<'/2) J {rs — d (г)}312 ф (zs) dzs, (13.52)
а
где тр— плотность шероховатостей N/Ao. Объемное сжатие wb,
которое фигурировало в выражении (13.51) для d, связано с
эффективным давлением р(г) выражением для осесимметрич-
ной деформации упругого полупространства § 3.8. В обозначе-
ниях данного параграфа выражение (3.98а) для нормального
перемещения при осесимметричном распределении давления мо-
жет быть записано в виде
а
wb(r) = -^-\T^7p(t)K(k)dt, (13.53)
о
где К — полный эллиптический интеграл первого рода с аргу-
ментом k = 2(rt)l/2(r + t). Уравнения (13.51) — (13.53) были
решены Гринвудом и Триппом [145] для гауссовского распре-
деления высот неровностей с использованием итерационной чис-
ленной процедуры определения р(г)1}.
В случае использования модели упругого основания вместо уравнения
(13.53) для определения объемных перемещений Шь, а также экспоненциаль-
ной функции распределения высот шероховатостей решение можно получить,
как показал Джонсон [194], в замкнутом виде.
§ 13.5. Упругий контакт шероховатых криволинейных поверхностей 473
Рис. 13.12. Влияние поверхностной шероховатости на максимальное кон-
тактное давление р(0), отнесенное к ро, по Герцу.
Зависимость распределения эффективного давления от коор-
динаты г (они обезразмерены соответственно на максимальную
величину давления ро и радиус контакта ао для гладких тел при
той же нагрузке Р) приведена на рис. 13.11(b) и (с). Как и
ожидалось, эффект поверхностной шероховатости проявляется
в уменьшении максимального контактного давления р(0) и
в распределении нагрузки по большей области контакта. Реше-
ние уравнений (13.51) — (13.53) зависит от двух безразмерных
параметров. Первый, обозначаемый через а, имеет вид
и— 2 os
о0 а0
167? (£*)2М/з
9Р2 )
(13.54)
где б0 — сближение и а0 — радиус области контакта для глад-
ких поверхностей при нагрузке Р, даваемые теорией Герца1).
Второй параметр, введенный Гринвудом и Триппом, имеет вид
= (13.55).
Он зависит от топографии поверхности и не зависит от нагруз-
ки. Отношение максимального эффективного давления р(0)
° Гринвуд и Трипп [145] используют иной безразмерный параметр Т —
= (8/3 72 ) а~312.
474
Гл. 13. Шероховатые поверхности
к максимальному герцевскому давлению для гладких поверхно-
стей р(0) приведено в зависимости от а на рис. 13.12 для двух
значений ц, которые охватывают широкий диапазон реальных
шероховатых поверхностей. Из рис. 13.11(b) и (с) ясно, что
для шероховатых поверхностей эффективное давление асимпто-
тически стремится к нулю. Поэтому область контакта опреде-
ляется неточно. Одна из возможностей заключается в определе-
нии некоторого «радиуса контакта», для которого эффективное
Рис. 13.13. Влияние поверхностной шероховатости на эффективный радиус
площадки контакта а*, отнесенный к герцевскому радиусу а0. Результаты
экспериментов: р, = 4 (кружки); р = 5 (треугольники); р = 15 (квадраты).
давление падает до некоторой произвольно выбранной части
максимального значения. Гринвуд и Трипп определили произ-
вольно эффективный контактный радиус а* в виде
ОО ОО
а*==3л^ гр (г) dr[b р (f) dr. (13.56)
о о
Его величина показана на рис. 13.11(b) и (с). Теоретические
значения а*/а приведены на рис. 13.13 в зависимости от а для
р = 4 и р. = 17, где они сравниваются с экспериментальными
результатами измерения области контакта. В действительности
область контакта имеет изрезанную границу (рис. 13.14), что
вносит неопределенность в измерение такой области. Таким об-
разом, довольно произвольный выбор а* не имеет серьезных
последствий.
Из рис. 13.12 и 13.13 ясно, что влияние поверхностной шеро-
ховатости на контактное давление и размеры области контакта
§ 13.b. Упругим контакт шероховатых криволинейных поверхностей 475-
Рис. 13.14. Контакт гладкого стального шара диаметром 25.4 мм с шерохо-
ватой стальной плитой: (а) о = 0.19 мкм, Р = 10 кг, а = 0.043; (Ъ) в = 0.54 мкм;
Г = 60 кг, а = 0.043; (с) о = 0.54 мкм, Р = 4 кг, а = 0.22; (d) а = 2.4 мкм.
Р = 40 кг, а = 0.22.
определяется прежде всего параметром а; параметр р дает
вторичный эффект. Кроме того, можно сделать вывод, что тео-
рия Герца контакта гладких поверхностей может быть исполь-
зована с ошибкой в несколько %, если а <_ 0.05, т. е. если сово-
купная шероховатость двух поверхностей os составляет менее
5 % от сближения бо.
Влияя на распределение давления и область контакта, по-
верхностная шероховатость изменяет величину и положение
максимума касательного напряжения в теле и, следовательно,,
изменяет нагрузку, при которой может начаться течение внутри
тела. При герцевском контакте гладких поверхностей макси-
мальное сдвиговое напряжение равно 0.31ро и достигается в точ-
ке, расположенной на глубине 2 = 0.48а. Гринвуд и Трипп пока-
зали, что при распределении давления, соответствующем шеро-
47Е
Гл. 13. Шероховатые поверхности
ховатым поверхностям, максимальные касательные напряжения
примерно равны 0.29р(0) и достигаются на глубине z т 0.35а*.
Однако, так как р(0) заметно убывает с ростом шероховатости
(рис. 13.12) и а* возрастает (рис. 13.13), максимальное каса-
тельное напряжение уменьшается и располагается на большей
глубине, чем для гладких поверхностей.
Теперь можно вернуться к вопросу о «функциональном
фильтре»: как выбирать длину выборки и выборочный интервал,
чтобы получить соответствующие значения параметров аир?
Стандартная длина определяется без больших трудностей. Дли-
ны волн поверхностного профиля, которые существенно превы-
шают номинальный диаметр области контакта, не влияют
существенно на контактные деформации, так что можно выби-
рать L < 4а0. Так как практически о меняется приблизительно
как L1/2, точный выбор L не является критическим. Далее будем
использовать соотношение Гринвуда (13.30) и примем, что стан-
дартное отклонение высот вершин сц равно среднеквадратичной
высоте поверхности <т, найденной по профилометрическому сле-
ду. Если требуется найти только параметр а, то дальнейшие
рассмотрения не нужны, так как величина а не чувствительна
к величине выборочного интервала. Если нужен также и пара-
метр р, то необходимо определить еще и плотность неровностей
rjs, и кривизну вершин неровностей %s. Они определяются фор-
мулами (13.31) и (13.32) в терминах максимальной плотности т]*-
и среднеквадратичной кривизны сги, определенной по профило-
графическому следу, однако обе эти величины сильно зависят
от стандартного интервала. Интуитивно можно было бы ожи-
дать, что существует уровень шероховатостей, ниже которого
они немедленно сминаются пластическими деформациями и
не вносят существенного вклада в контактное давление, поэтому
разумно не брать стандартный интервал меньше этого уровня.
Однако трудно количественно определить это критическое зна-
чение. В настоящее время в большинстве профилометров исполь-
зуют произвольно назначенный стандартный интервал ~10 мкм.
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ
Когда два тела, имеющие шероховатые поверхности, нахо-
дятся в контакте, то представляет интерес также оценка влия-
ния шероховатостей на их тангенциальную податливость. Мож-
но ожидать, что в контакте качения поверхностные шерохова-
тости влияют на коэффициенты проскальзывания.
Экспериментальное исследование [284] твердых гладких
стальных шаров, приведенных в контакт с шероховатой плоско-
стью постоянной нормальной силой, показало, что тангенциаль-
ная податливость, задаваемая соотношением (7.42), меняется
пругии контакт шероховатых криволинейных поверхностей 477
очень мало из-за шероховатости поверхности. В этом случае
твердой стальной поверхности деформация неровностей была
в основном упругой. Для поцарапанной поверхности образца
из мягкой стали, где деформации шероховатостей были полно-
стью пластическими, тангенциальная податливость была при
малых нагрузках несколько выше определяемой (7.42) для глад-
ких поверхностей, но при больших нагрузках приближалась к
рассчитываемой по (7.42). Малое влияние шероховатостей на
тангенциальную податливость может быть объяснено следующим
образом. Тангенциальная упругая податливость индивидуальной
неровности при малых отношениях нормальной нагрузки к тан-
генциальной сравнима с ее нормальной податливостью, как это
вытекает из (7.43) и (7.44), при условии что отношение танген-
циальной силы к нормальной относительно мало по сравнению
с коэффициентом предельного трения.
В центральной части области контакта, как показывает
рис. 7.7, тангенциальные напряжения минимальны, в то время
как нормальные давления максимальны. Доля реальной области
контакта в этой зоне будет высокой и, следовательно, податли-
вость, связанная с наличием неровностей, будет малой. Так как
здесь и тангенциальные напряжения малы, то вклад деформа-
ций неровностей в объемную податливость будет пренебрежимо
малым. На краях области контакта, где тангенциальные напря-
жения выше, а нормальные напряжения ниже, имеет место неко-
торое микропроскальзывание, как это описывалось в § 7.2(d).
При контакте качения коэффициент проскальзывания g опре-
деляется деформациями в области сцепления, расположенной
в зоне набегания участка контакта. Там тангенциальные напря-
жения меньше, чем нормальное давление, так что приложимо
то же объяснение малого влияния поверхностной шероховатости
на проскальзывание в контакте качения.
Параметр а, который оценивал меру влияния поверхностной
шероховатости на статический контакт при чисто нормальной
нагрузке, может также быть использован для статического кон-
такта и контакта качения при действии тангенциальной силы.
Однако условие а < 0.05, которое обеспечивает пренебрежимо
малое влияние шероховатостей при нормальном контакте, по-
видимому, слишком ограничительное в случае, когда приложены
тангенциальные силы.
Приложения
§ Al. Главные значения Коши некоторых интегралов
а С ds 1 f х — b X \ = In I I, b sC x sC j x — s \ a — x J b a, (Al.l)
1 5 = + -X2)ln( — 1 4^). (Al.2)
S S (х^-?1/2 = лХ2 - у, -1 - 1 1, (A1.3)
e £_S2)i/2 \ aS —- «гсуС f 1 л -i =C 1, (Al.4)
$ sl8n(Sj2s rfS = 2(l - Л1е1п[-гт^ЬрГ]. “1
(A 1.5)
C1SI(1-^%S=2X+2X(1 -1 X - s -X2)!n Г 1*-/?1, L i + (i +x2)I/2 J
-1<Х<1.
(А1.6)
§ А2. Геометрия гладких контактирующих поверхностей
несогласованного профиля
Профили контактирующих тел вблизи начала координат
можно представить в следующем виде:
§А2. Геометрия гладких контактирующих поверхностей
479
В этих выражениях координатные оси для каждого тела ориен-
тированы по направлениям главных кривизн. В общем случае
соответственные координатные оси могут быть наклонены друг
относительно друга на некоторый произвольный угол 6, как по-
казано на рис. А2.1 (а).
Рис. А2.1.
Выполним теперь переход к новой единой системе осей (х, у),
где ось х наклонена под углом а к оси и под углом 0 к оси х2.
Расстояние между соответствующими точками обеих поверхно-
стей можно записать в виде
где
h = zl — z2 — Ах2 + By2 + Сху,
sin 20 (-1------sin 2а.
R" ) 2 в")
Из треугольника, показанного на рис. А2.1(Ь), видно, что усло-
вие равенства константы С нулю, при котором расстояние меж-
ду поверхностями равно h = Ax2-[-By2, равносильно выполне-
нию следующего соотношения:
А — В = — (—7----cos 2а + — ---cos 20,
В" ) 2^2 В2 )
480
Приложения
откуда находим А = 1/(27?') и В = 1/(27?"). Заметим, что кри-
визна вогнутой поверхности считается отрицательной.
§ АЗ. Сводка формул теории Герца контакта упругих тел
1-^? , l~V2 А"’
Е ёГ~ + —ёг) ’
7?^(1/7?1 + 1/7?2)-’.
(а) Контакт вдоль прямой (нагрузка Р на единицу длины)
Полуширина участка контакта
( 4PR V/2
Н у '
Максимальное контактное давление
_ 2Р _ ( РЕ* у /г
Ро я,а у зхТ? )
Максимальное касательное напряжение
Ti = O.3Opo при х = 0, z = 0.78а.
(Ь) Точечный контакт по круговой области (нагрузка Р)
Радиус области контакта
( 3PR \1/з
а ~ У 4£” ) •
Максимальное контактное давление
ЗР _ ( &РЕ*2 у/з
Ро ~ 2па2 ~ У st3R2 ) '
Сближение удаленных точек
. _ а2 __ / 9Р2 у/з
° — Е ” У 167?£*2 ) '
Максимальное касательное напряжение
Ti = O.31po при г —0, z = 0.48а.
Максимальное растягивающее напряжение
о'г = 7з(1 ~ 2v) ро при г —a, z = 0.
(с) Точечный контакт по эллиптической области (нагрузка Р)
а — большая полуось; b — малая полуось; с — (ab)l/2\ R' и 7?"—
большой и малый относительные радиусы кривизны (см. прило-
жение § А2); 7?е = (7?'7?")1/2 — эквивалентный радиус кривизны;
§ А4. Напряжения в полупространстве при контакте
481
кривизны;
а/b «(R'/R")2'3,
с = (ab)W = (^)'/3FI (/?'//?").
Максимальное контактное давление
Ро=~^ = 1Л (ОТ')]-2Ч
Сближение удаленных точек
Функции Ft(R'/R") и F2(R'/R") приведены на рис. 4.4. В первом
приближении их можно принять равными единице. Значения
максимального касательного напряжения приведены в табл. 4.1
§ А4. Напряжения в полупространстве
при контакте в условиях плоской задачи
Распределение действующих усилий:
Р = Ро (1 — x2/a2)I/2; q = q0 (1 — х2/а2)1/2.
z/a ±х/а
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2.0
0 1.000 0.980 0.917 0.800 0.600 •0 0 0
0.2 0.659 0.642 0.591 0.507 0.402 0.329 0.124 0.060
0.4 0.426 0.416 0.391 0.357 0.330 0.316 0.197 0.109
0.6 0.275 0.272 0.267 0 265 0.270 0.276 0.221 0,142
0.8 0.180 0.182 0.188 0.200 0.217 0.232 0.218 0.160
1.0 0.121 0.125 0.135 0 153 0.173 0.192 0.201 0.165
1.5 0.051 0.054 0.065 0.081 0.099 0.118 0.148 0.148
2.0 0.025 0.027 0.034 0.045 0.059 0.073 0.103 0.117
-feWPo
±х/а
г/а 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 5 2.0
0 1.000 0.980 0.917 0.800 0.600 0 0 0
0.2 0.981 0.959 0.892 0.767 0.549 0.212 0.006 0.001
0.4 0.928 0.906 0.834 0.705 0.509 0.281 0.034 0.007
0.6 0.857 0.834 0.765 0.648 0.490 0.320 0.074 0.020
0.8 0 781 0.760 0.699 0.600 0.474 0.342 0.114 0.038
1.0 0.707 0 690 0.638 0 557 0.457 0.352 0 148 0.059
1.5 0.555 0.544 0.514 0.468 0.410 0.346 0 202 0.107
2.0 0.447 0.441 0.424 0.396 0.361 0.322 0.221 0.140
482
Приложения
+(.rzx)p/p0 и .±fe)Q/?o
z/tt- ±х[а
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2.0
О 0 0 0 0 0 0 0. 0
0.2 0 0.038 0.080 0.131 0.192 0.192- 0.025 0.007
0.4 0 0.064 0.130 0.195 0.242 0.230 0.076 0.027
0.6 0 0.075 0.147 0.209. 0.245 0.238 0.119 0.051
0.8 0 0.075 0.145 0.200 0.231 0.231 0.147 0.075
1.0 0 "0.070 0.133 0.182 0.211 0.217 0.161 0.095
1.5 0 0.050 0.096 0.134 0.160 0.173 0.162 0.121
2.0 0 0.035 0.068 0.096 0.118 0.133 0.142 0.124
+(°а:)^/|7о
±х/а
z[a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2,0
0 0 0.400 0.800 1.200 1.600 2.000- •0;764 0.536
0.2 0 0.282 0.550 0.782 0.934 0,958 0.712 0.521
0.4 0 0.185 0.354 0.489 0.577 0.625 0.596 0.481
0.6 0 0.117 0.223 0.309 0.375 Q.426 0.473 0.425
0.8 0 0.073 0.141 0.200 0.251 0.297 0.368 0.36'5
1.0. 0 0.046 0.090 0.132 0.172 0.210 0.285 о;зо7
1.5- 0 0.016 0.033 0.0-52 0.073' 0.095 0.151 0.192
2.0 0 0.007 0.014 0.023 0.034 0,046 0.083 0.118-
А5. «Линейные коэффициенты проскальзывания
(уравнения (8.41)—(8.43)), v = 0.3(no данным [209])
Эллиптичность “£*22 £* 23 ” ^32 —Сэз
0.2. 3.56- 2.65, 0.62 4.68
о© 0.4 3.72 2.91 0.83 2.42
0,6 3.90 3.17 1.04 1.74
Ъ 0.8 4.08 3.46 1.27 1.38
1.0 4.29 3.73 1.50 1.18
ъ 0.8 4.58 4.11 1.82 1.01
0.6 4.99 4.65 2.29 0.86
а 0.4 5.80 5.59 3.27 0.70
0.2. 7.93 8.45 6.76 0.57
1.0® 5.16 4.32 2.041 -1.44/ 1.84
При всех ОЙ) 3.52 2.47
значениях,*
(i) Полуось а расположена в направлении качении.
(и) Приближенные значения из уравнений (8.34), (8.36), (8.38), (8.39).
(iii) Теория полос, уравнение (8.50).
Литература
1. Abbott Е. J., Firestone F. A. Specifying surface quality. — Mechanical
Engineering (ASME), 1933, 55, p. 569.
2. Абрамян Б. Л., Арутюнян H. X., Баблоян А. А. О симметричном дав-
лении круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцеп-
ления. —ПММ, 1966, т. 30, вып. 1, с. 143—147.
3. Ahmadi N., Keer L. М., Mura Т. Non-Hertzian contact stress analysis —
normal and sliding contact. — Internal. J. Solids and Structures, 1983,
19, p. 357.
4. Akyuz F. A., Merwin J. E. Solution of nonlinear problems of elastoplasti-
city by finite element method. — AIAA Journal, 1968, 6, p 1825. [Имеется
перевод: Акьюц, Мервин. Решение нелинейных задач упругопластично-
сти методом дискретных элементов.—Ракетная техн, и космон., 1968,
№ 10, с. 3.1
5. Alblas J., Kuipers М. On the two-dimensional problem of a cylindrical
stamp pressed into a thin elastic layer. — Acta Mechanics, 1970, 9,
p. 292.
6. Александров В. M. Асимптотические методы в контактных задачах
теории упругости. — ПММ, 1968, т. 32, вып. 4, с. 672—683.
7. Александров В М. Асимптотическое решение контактной задачи для
тонкого упругого слоя. — ПММ, 1969, т. 33, вып. 1, с. 61—73.
8. Alexander J. М. A slip-line field for the hot rolling process. — Proc. Inst.
Meeh. Engrs., 1955, 169, p. 1021.
9. Alexander J. M. On the theory of rolling. — Proc. Roy. Soc., 1972, A326,
p. 535.
10. Andersson T., Fredriksson B., Persson B. G. A. The boundary element
method applied to 2-dimensional contact problems. — In: New Develop-
ments in Boundary Element Methods, ed. Brebbia. — Southampton: CML
Publishers, 1980.
II. Archard J. F., Cowking E. W. Elastohydrodynamic lubrication at point
contacts. — In: Symposium on Elastohydrodynamic Lubrication. — Proc.
Inst. Meeh. Engrs., 1956, 180, Pt. 3B, p. 47.
12. Arnold R. N., Bycroft G. N., Warburton G. B. Forced vibrations of
a body on an infinite elastic solid. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl.
Meeh., 1955, 22, p. 391.
13. Арутюнян H. X. Плоская контактная задача теории ползучести.—ПММ,
1959, т. 23, вып 5, с. 901—924.
14. Barber J. R. Thermoelastic instabilities in the sliding of conforming
solids. — Proc. Roy. Soc., 1969, A312, p. 381.
15. Barber J. R. Solution of heated punch problem by point source methods. —
Internal. J. Engng. Sci., 1971, 9, p. 1165.
16. Barber J. R. Effect of thermal distortion on constriction resistance. —
Internal. J. Heat and Mass Transfer, 1971, 14, p. 751.
17. Barber J. R. Distortion of the semi-infinite solid due to transient surface
heating. — Internal. J. Meeh. Sci., 1972, 14, p. 377.
18. Barber J. R. Indentation of a semi-infinite solid by a hot sphere.—
Internal. J. Meeh. Sci., 1973, 15, p. 813.
Литература
19. Barber J. R. Thermoelastic contact problems. — In: Mechanics of
Contact between Deformable Bodies, eds. de Pater and Kalker. — Delft:
University Press, 1975.
20. Barber J. R. Some thermoelastic contact problems involving frictional
heating —Quart. J Meeh and Appl. Math., 1976, 29, p. 2.
21. Barber J. R. Contact problems involving a cooled punch. — J Elasticity,
1978, 8, p. 409.
22. Barber J. R. Some implications of Dundurs’ theorem for thermoelastic
contact and crack problems. — J. Meeh. Engng. Sci., 1980, 22, p. 229.
23. Barber J. R. The transient thermoelastic contact of a sphere sliding on
a plane. — Wear, 1980, 59, p. 21.
24. Barber J R. Indentation of an elastic half space by a cooled flat
punch. — Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1982, 35, p. 141.
25. Barber J. JR., Martin-Moran C. J. Green’s functions for transient thermo-
elastic contact problems for the half-plane. — Wear, 1982, 79, p. 11.
26. Barovich D., Kingsley S. C., Ku T. C. Stresses on a thin strip or slab
with different elastic properties from that of the substrate. — Internat. J.
Engng. Sci., 1964, 2, p. 253.
27. Beale E. M. L. On quadratic programming. — Naval Res. and Logistics
Quarterly, 1959, 6.
28. Bedding R. J., Willis J. R. Dynamic indentation of an elastic half-
space.— J. Elasticity, 1973, 3, p. 289.
29. Beeching R., Nicholls W. Theoretical discussion of pitting failures in
gears. — Proc. Inst Meeh Engrs., 1948, 158, p. 317
30. Беляев H M. Применение теории Герца к подсчетам местных напря-
жений в точке соприкасания колеса и рельса. — Вестник инженеров,
1917, т. 3, № 12, с. 281—288.
31. Bentall R. Н., Johnson К. L. Slip in the rolling contact of two dissimilar
elastic rollers. — Internat. J. Meeh. Sci., 1967, 9, p. 389.
32. Bentall R. H., Johnson K. L. An elastic strip in plane rolling contact. —
Internat. J. Meeh. Sci, 1968, 10, p. 637
33. Bhasin Y. P., Oxley P. L. B., Roth R. N. An experimentally-determined
slip-line field for plane-strain wedge indentation of a strain-hardening
material. — J. Meeh, and Phys. Solids, 1980, 28, p. 149.
34. Bishop J. F. W. Complete solutions to problems of deformation of a '
plastic-rigid material —J. Meeh, and Phys. Solids, 1953, 2, p. 43.
35. Bishop R. F., Hill R., Mott N. F. The theory of indentation and hardness
tests. — Proc. Phys. Soc, 1945, 57, p 147.
36. Bland D. R., Ford H. The calculation of roll force and torque in cold
strip rolling.-—Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1948, 159, p. 144.
37. Bogy D. B. Two edge bonded-elastic wedges of different materials and
wedge angles. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1971, 38, p. 377.
[Имеется перевод: Боджи. Действие поверхностных нагрузок на си-
стему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев,
изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные
углы. — Прикладная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков, .
1971, т. 38, № 2, с. 87—96.]
38. Boley D. В., Weiner J. Н. Theory of thermal stresses. — New York:
Wiley, 1960. [Имеется перевод: Боли Б. А., Уэйнер Д. X. Теория тем-
пературных напряжений. — М. Мир, 1964.— 517 с]
39. Boussinesq J. Application des potentials a 1’etude de I’equilibre et du
mouvement des solides elastiques —Paris: Gauther-Villard, 1885. ,
40. Bowden F. P„ Tabor D. Friction and Lubrication, of Solids. — London:
Oxford University Press, vol. I, 1951; vol. II, 1964.
41. Brewe D. E., Hamrock B. J. Simplified solution for elliptical-contact
deformation between two elastic solids. — J. Lubrication Technology,
Trans. ASME, Ser. F, 1977, 99, p. 485.
Литература
485
42. Bryant М. D., Keer L. M. Rough contact between elastically and geo-
metrically similar curved bodies. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh.,
1982, 49, p. 345.
43 Buffer H. Zur Theorie der rollenden Reibung. — Ing.-Arch., 1959, 27,
' p. 137.
44 Burton R. A. Thermal deformation in frictionally heated contact. — Wear,
’ 1980, 59, p. 1.
45. Burton R. A., Nerlikar V. Large disturbance solutions for thermoelastic
deformed surfaces. — J. Lubrication Technology, Trans. ASME, Ser. F,
1975, p. 97.
46. Burton R. A., Nerlikar V., Kilaparta S. R. Thermoelastic instability in
a seal-like configuration. — Wear, 1973, 24, p. 177.
47. Calladine C. R., Greenwood J. A. Line and point loads on a non-homo-
geneous incompressible elastic half-space. — Quart. J. Meeh, and Apnl.
Math., 1978, 31, p. 507.
48. Calvit H. H. Numerical solution of impact of a rigid sphere on a linear
viscoelastic half-space and comparison with experiment. — Internat. J.
Solids and Structures, 1967, 3, p. 951.
49. Cameron A. Principles of Lubrication. — London: Longmans, 1966.
50. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids, 2nd ed. —
Oxford: Clarendon, 1959. [Имеется перевод: Карслоу Г., Егер Д. Тепло-
проводность твердых тел. — М.: Наука, 1964. — 487 с.]
51. Carter F. W. On the action of a locomotive driving wheel. — Proc. Roy.
Soc., 1926, A112, p. 151.
52. Cattaneo C. Sur contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli
sforzi. — Rend. dell’Academia nazionale dei Lincei, 1938, 27, Ser. 6,
p. 342, 434, 474.
53. Cerruti V.— Roma, Acc. Lincei, Mem. fis. mat., 1882.
54. Challen J. M., Oxley P. L. B. Different regimes of friction and wear
using asperity deformation models. — Wear, 1979, 53, p. 229.
55. Chartet A. Proprietes generates des contacts de roulement. — Comptes
rend. Acad. Sci., 1947, 225, p. 986.
56. Cheng H. A numerical solution of the elasohydrodynaraic film thickness
in elliptical contact.—Trans. ASME, Ser. F, 1970, 92, p. 155.
57. Childs T. H. G. The sliding of rigid cones over metals in high adhesion
conditions. — Internal. J. Meeh. Sci., 1970, 12, p. 393.
58. Childs T. H. C. The persistence of asperities in indentation experiments. —
Wear, 1973, 25, p. 3.
59. Clark S. K. (ed.). Mechanics of Pneumatic Tyres. — Washington D. C.:
National Bureau of Standards, 1971, Monograph 122.
60. Cocks M. Interaction of sliding metal surfaces. — J. Anpl. Phys., 1962,
33, p. 2152.
61. Cole J. D., Huth J. H. Stresses produced in a half-plane by moving
loads. — Trans. ASME, J. Appl. Meeh., 1958, 25, p. 433.
62. Collins I. F. On the rolling of a rigid cylinder on rigid/perfectly plastic
half-space. — J. Meeh. Appliquee, 1978, 2, p. 431.
63. Collins I. F. Geometrically self-similar deformations of a plastic wedge. —
Intern. J. Meeh. Sci., 1980, 22, p. 735.
64. Comninou M. Stress singularities at a sharp edge in contact problems
with friction. — ZAMP, 1976, 27, p. 493.
65. Comninou M., Dundurs J. On the Barber boundary conditions for the
thermoelastic contact. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh 1979 46
p. 849.
66. Comninou M., Dundurs J., Barber J. R. Planar Hertz contact with heat
conduction. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1981, 48, p. 549.
67. Conway H. D., Engel P. A. Contact stresses in slabs due to round rough
indenters. — Internat. J. Meeh. Sci., 1969, 11, p. 709.
486
Литература
68. Conway Н. D., Vogel S. M., Farnham K. A., So S. Normal and shearing
contact stresses in indented strips and slabs. — Internat. J. Engng. Sci.,
1966, 4, p. 343.
69. Cooper D. H. Hertzian contact-stress deformation coefficients. — Trans.
ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh. 1969, 36, p. 296. [Имеется перевод: Ку-
пер Д. Коэффициенты, характеризующие деформацию в контактной за-
даче Герца.-—Прикладная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-меха-
ников. — М.: Мир, 1969, т. 36, № 2, с. 159—167.]
70. Craggs J. W., Roberts А. М. On the motion of a heavy cylinder over
the surface of an elastic solid. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh.,
1967, 34, p. 207. [Имеется перевод: Крэггс, Робертс. О движении тя-
желого цилиндра по поверхности упругой среды. — Прикладная меха-
ника. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1967, т. 34,
№ 1, с. 93—95.]
71. Crane F. A. A., Alexander J. М. Slip-line fields and deformation in hot
rolling of strips. — J. Inst. Metals, 1968, 96, p. 289. ,
72. Crook A. W. A study of some impacts between metal bodies by piezo-
electric method. — Proc. Roy. Soc., 1952, A212, p. 377.
73. Crook A. W. Simulated gear-tooth contacts: some experiments on their
lubrication and subsurface deformation. — Proc. Inst. Meeh. Engineers,
1957, 171, p. 187.
74. Crook A. W. Elastohydrodynamic lubrication of rollers. — Nature, 1961,
190, p. 1182.
75. Crook A. W. Lubrication of rollers, Pt. IV. — Philos. Trans. Roy. Soc.,
1963, A255, No. 1056, p. 281.
76. Davies R. M. A critical study of the Hopkinson pressure bar. — Philos
Trans. Roy. Soc., 1948, A240, p. 375.
77. Davies R. M. The determination of static and dynamic yield stresses
using a steel ball. — Proc. Roy. Soc., 1949, A197, p. 416.
78. de Pater A. D. On the reciprocal pressure between two elastic bodies in
contact. — In: Rolling Contact Phenomena, ed. Bidwell. — New York:
Elsevier, 1964.
79. Den Hartog J. P. Mechanical Vibrations, 4th ed., chapter 8, § 8. — London:
McGraw-Hill, 1956.
80. Denton В. K., Crane F. A. A. Roll load and torque in the hot rolling of
steel strip. — J. Iron and Steel Inst., 1972, 210, p. 606.
81. Deresiewicz H. Contact of elastic spheres under an oscillating torsional
' couple. — Trans. ASME, J. Appl. Meeh., 1954, 21, p. 52.
82. Deresiewicz H. Oblique contact of non-snherical bodies. — Trans. ASME,
J. Appl. Meeh., 1957, 24, p. 623.
83. Deresiewicz H. Mechanics of granular materials. — Advances in Anol.
Meeh., 1958, 5, p. 233.
84. Deresiewicz H. A note to Hertz impact. — Acta Mechanics, 1968, 6, p. 110.
85. Dewhurst P., Collins I. F., Johnson W. A class of slip-line field solu-
tions for the hot rolling of strip.— J. Meeh. Engng" Sci., 1973, 15,
p. 439.
86. Dow T. A., Burton R. A. Thermoelastic instability in the absence of
wear. — Wear, 1972, 19, p. 315.
87. Dowson D., Higginson G. R. Elastohydrodynamic Lubrication. 2nd ed. —
Oxford: Pergamon, 1977.
88. Dowson D., Higginson G. R., Whitaker A. V. Elastohydrodynamic lubri-
cation: a survey of isothermal solutions. — J. Meeh. Engng Sci., 1962, 4,
p. 121.
89. Drutowski R. C. Energy losses of balls rolling on plates. — Trans. ASME,
Ser. D, 1959, 81, p. 233.
90. Dugdale D. C. Wedge indentation experiments with cold worked metals. —
J. Meeh, and Phys, of Solids, 1953, 2, p, 14.
Литература
487
91 Dugdale D. C. Cone indentation exneriments. — J. Meeh, and Phys, of
’ Solids, 1954, 2, p. 265.
92. Dumas G., Baronet C. N. Elasto-plastic indentation of half-space by
a long rigid cylinder. — Internal. J. Meeh. Sci., 1971, 13, p. 519.
93 Dundurs J. Distortion of a body caused by thermal expansion. — Meeh.
' Res. Comm., 1974, 1, p. 121.
94. Dundurs J. Properties of elastic bodies in contact. — In: Mechanics of
Contact between Deformable Bodies, ed. de Pater and Kalker. — Delft:
University Press, 1975.
95. Dundurs J., Lee M.-S. Stress concentration at a sharp edge in contact
problems. — J. Elasticity, 1972, 2, p. 109.
96. Duvaut G., Lions J.-L. Les inequations en mecanique et en physique. —
Paris: Dunod, 1972. [Имеется перевод: Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравен-
ства в механике и физике. — М.: Наука, 1980, 383 с.]
97. Dyson A. Approximate calculations of Hertzian compressive stresses and
contact dimensions. — J. Meeh. Engng. Sci., 1965, 7, p. 224.
98. Dyson A., Naulor H., Wilson A. R. Measurement of oil film thickness
in elastohydrodynamic contacts. — Symposium on EHL, Proc. Inst. Meeh.
Engrs., 1956, 180. Pt. 3B, p. 119.
99. Eason G. The stresses produced in a semi-infinite solid by a moving
surface force. — Internal. J. Engng. Sci., 1965, 2, p. 581.
100. Eason G., Shield R. T. The plastic indentation of a semi-infinite solid
by a perfectly rough punch. — ZAMP, 1960, 11, p. 33.
101. Edwards С. M., Hailing J. An analysis of the plastic interaction of
surface asperities. — J. Meeh. Engng. Sci., 1968, 10, p. 101.
102. Edwards С. M., Hailing J. Experimental study of plastic interaction of
model surface asuerities during sliding. — J. Meeh. Engng. Sci., 1968, 10,
p. 121.
103. Eldridge K. R., Tabor D. The mechanism of rolling friction. I: The
plastic range. — Proc. Roy. Soc., 1955, A229, p. 181.
104. Essenburg F. On surface constraints in plate problems. — Trans. ASME,
Ser. E, J. Appl. Meeh., 1962, 29, p. 340. [Имеется перевод: Эссенбург.
О принудительно изогнутых пластинах. — Прикладная Механика. Тр.
Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1962, т. 29, № 2, с. 136.]
105. Fessler Н., Oilerton Е. Contact stresses in toroids under radial loads.—
British J. Appl. Phys., 1957, 8, p. 387.
106. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterale: il problema di
Signorini con ambique condizioni al contorno. — Mem. Accad. Naz. Lincei,
Series 8, 1964, 7, p. 91.
107. Flamant.—-Compt. Rendus, 1892, 114, p. 1465.
108. Flom D. G., Bueche A. M. Theory of rolling friction for spheres.— J.
Appl. Phys., 1959, 30, p. 1725.
109. Foeppl L. Die strange Losung die Rollende Reidung. — Miinchen,
1947.
110. Follansbee P. S., Sinclair G. B. Quasi-static noftnal indentation of an
elastic-plastic half-space by a rigid sphere. — Internal. J. Solids and
Structures, 1984, 20, p_81.
111. Ford H., Alexander J. M. Advanced Mechanics of Materials. — London:
Longmans, 1963.
112. Foss F. E., Brumfield R. C. Some measurements of the shape of Brinell
ball indentation. — Proc. ASTM, 1922, 22, p. 312.
113. Francis H. A. Phenomenological analysis of plastic suherical indentation:—
Trans. ASME, Ser. H, 1976, 98, p. 272.
114. Frank F. Grundlagen zur Berechnung der Seiten fiihrung Skennlinien
von Reifen. — Kaut. Gummi, 1965, 8, p. 515.
115. Fredriksson B. On elastostatic contact problems with friction: a finite
element analysis. — Doctoral dissertation, Linkoping, Sweden, 1976.
488 - Литература
116. Fromm Н. Berechnung des Schlupfes. beim Rollen deformierbaren Schei-
ben. — ZAMP, 1927, 7.
117. Fromm H. Lilienthal Gesellschaft Report, 169, 1943. Резюме на англ. яз.
см. в [152, 59].
118. Галин Л. А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления.—
ПММ, 1945, т. 9, вып. 5, с. 413—424.
119. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. — М.: Гостехтеорет-
издат, 1953, 264 с.
.120. Garg V. К., Anand S. С., Hodge Р. С. Elastic-plastic analysis of а
wheel rolling on a rigid track. — Internat. J. Solids and Structures, 1974,
10, p. 945.
121. Gdoutos E. E., Theocaris P. S. Stress concentrations at the apex of
a plane indenter acting on an elastic half-plane. — Trans ASME, J.
Appl. Meeh., Ser. E, 1975, 42, p. 688.
122. Gladwell G. Ml L. The calculation of mechanical impedances relating
to an indenter vibrating on the surface of a semi-infinite elastic body.—
J. Sound and Vibration, 1968, 8, p. 215.
123. Gladwell G. M. L. On some unbounded contact problems in plane
elasticity theory. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1976, 43, p. 263.
124. Gladwell G. M. L. Contact Problems in the Classical Theory of Elasti-
city.—Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Noordhoff, 1980.
125. Gladwell G. M. L., England A. H. Contact problems for the spherical
shell. —Proc. 12th. Annual Meeting of Society of Engineering Sciences.—
Austin: University ot Texas, 1975.
126. Goldsmith W. Impact. — London: Arnold, 1960.
127. Goodman L. E. A rewiew of progress in analysis of interfacial slip
damping. — Proc, of ASME Colloquium on Structural Damping, ed.
Ruzicka. — New York: Pergamon, 1960.
128. Goodman L. E. Contact Stress analysis of normally loaded, rough
spheres. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1962, 29, p. 515. [Имеет-
ся перевод: Гудман. Исследование контактных напряжений в нормально
нагруженных шероховатых сферических телах. — Прикладная механика.
Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков.—М.: Мир, 1962, т. 29, № 3,
с. 74—82.1
129. Goodman L. Е., Brown С. В. Energy dissipation in contact friction:
constant normal and cyclic tangential loading. — Trans. ASME, Ser. E,
J. Appl. Meeh., 1962, 29, p. 17. [Имеется перевод: Гудмэн, Браун. Дис-
сипация энергии при контактном трении. Постоянная нормальная и цик-
лическая тангенциальная нагрузка. — Прикладная механика. Тр. Амер,
об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1962, т. 29, Ns 1, с. 20—26.]
130. Goodman L. Е., Keer L. М. The contact stress problem for an elastic
snhere indenting an elastic cavity. — Internat. J. Solids and Structures,
1965, 1, p. 407.
131. Graff K. F. Wave Motion in Elastic Solids. — Oxford: Clarendon, 1975.
132. Graham G. A. C. The contact problem in the linear theory of viscoelasticity
when the contact area has any number of maxima and minima. — Internat.
J. Engng. Sci., 1967, 5, p. 495.
133. Graham G. A. C. A contribution to the Hertz theory of impact. — Internat.
J . Engng. Sci., 1973, 11, p. 409.
134. Gray G. G., Johnson K. L. The dynamic response of elastic bodies in
rolling contact to random roughness of their surfaces. — J. Sound and
Vibration, 1972, 22, p. 323.
135. Green A. E. On Boussinesq’s problem and penny-shaped cracks. — Proc.
Cambridge Philos. Soc., 1949, 45, p. 251.
136. Green A. E., Zerna W. Theoretical Elasticity. — Oxford: Clarendon, 1954.
137. Green A. P. The plastic yielding of metal junctions due to combined
shear and pressure. — J. Meeh, and Phys. Solids, 1954, 2, p. 197.
Литература
489
148 Greenwood J. A. An extension of the Grubin theory of elastohydrodynamic
’ lubrication. — J. Phys. D. (Appl. Phys.), 1972, 5, p. 2195.
139 Greenwood J. A. A unified theory of surface roughness. — Proc. Roy.
' Soc., 1984, A393, p. 133. r
140. Greenwood J. A., Johnson K. L. The mechanics of adhesion of viscoelastic
solids. — Philos. Magazine, 1981, 43, p. 697.
141. Greenwood J. A., Minshall J., Tabor D. Hysteresis losses in rolling and
sliding friction. — Proc. Roy. Soc., 1961, A259, p. 480.
142. Greenwood J. A., Rowe G. W. Deformation of surface asperities during
bulk plastic flow.— J. Appl. Phys., 1965, 36, p. 667.
143. Greenwood J. A., Tabor D. Deformation properties of friction junctions.—
Proc. Phys. Soc., Ser. B, 1955, 68, p. 609.
144. Greenwood J. A., Tabor D. The friction of hard sliders on lubricated
rubber: the importance of deformation losses. — Proc. Phys. Soc., 1958,
71, p. 989.
145. Greenwood J. A., Tripp J. H. The elastic contact of rough spheres.—
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1967, 34, p. 153. [Имеется перевод:
Гринвуд, Трипп. Упругий контакт шероховатых сфер. — Прикладная ме-
ханика. Тр. Амеи. об-ва инженеиов-механиков. — М.: Мии, 1967, т. 34,
№ 4, с. 7—13.]
146. Greenwood J. A., Williamson J. В. R. Contact of nominally flat sur-
faces.— Proc. Roy. Soc., 1966, A295, p. 300.
147. Грубин A. H. Основы гидродинамической теории смазки тяжелонагру-
женных пилиндрических поверхностей. — Тр. Центр, иаучн.-иссл. ин-та
технологии и машиностроения, 1949, кн. 30.
148. Grunsweig J., Longman I. М., Petsch N. J. Calculations and measurements
of wedge indentation.—J. Meeh, and Phys. Solids, 1954, 2, p. 81.
149. Gupta P. K., Walowit J. A. Contact stresses between an elastic cylinder
and a layered solid. — J. Lubrication Technology, Trans. ASME, Ser. F,
1974, 94, p. 251.
150. Gupta P. K-, Walowit J. A., Finkin E. F. Stress distributions in plane
strain layered elastic solids subjected to arbitrary boundary loading. —
J. Lubrication Technology, Trans. ASME, Ser. F, 1973, 93, p. 427.
151. Haddow J. B. On a plane strain wedge indentation paradox. — Internal.
J. Meeh. Sci., 1967, 9, p. 159.
152. Hadekel R. The Mechanical Characteristics of Pneumatic Tyres.—-Ministry
of Supply, London, S. and T. Memo 10/52, 1952.
153. Haines D. J. Contact stresses in flat elliptical contact surfaces which
support radial and shearing forces during rolling. — Proc. Inst. Meeh.
Engrs., 1964—65, 179, Part 3.
154. Haines D. J., Ollerton E. Contact stress distributions on elliptical contact
surfaces to radial and tangential forces. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1963,
177, p. 95.
1-55. Hailing J. Effect of deformation of the surface texture on rolling resi-
stance.— British J. Appl. Phys., 1959, 10, p. 172.
156. Hailing J., Al-Qishtaini M. A. Some factors affecting the contact con-
ditions and slip between a rolling ball and its track. — Proc. Inst. Meeh.
Engrs., 1967—68, 182, Part 1, p. 757.
157. Hailing J., Nuri K. A. Contact of rough surfaces of working-hardening
materials. — In: Mechanics of Contact between Deformable Bodies, eds. de
Pater, Kalker. — Delft: University Press, 1975.
158. Hamilton G. M. Plastic flow in rollers loaded above the yield point.—
Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1963, 177, p. 667.
159. Hamilton G. M. Explicit equations for the stresses beneath a sliding
spherical contact. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1983, 197C, p. 53.
160. Hamilton G. M., Goodman L. E. The stress field created by a circular
sliding contact. — Trans. ASME, J. Appl. Meeh., 1966, 33, p. 371. [Имеется
90
Литература
перевод: Гамильтон, Гудмен. Поле напряжений, создаваемое круговым
контактом скольжения. — Прикладная механика. Тр. Амер, об-ва ин-
женеров-механиков.— М.: Мир, 1966, т. 33, № 2, с. 125—131.]
161. Hamilton G. AL, Moore S. L. Deformation and pressure in an elastohydro-
dynamic contact. — Proc. Roy. Soc., 1971, A322, p. 313.
162. Hamrock B. J., Dowson D. Isothermal elastohydrodynamic lubrication of
point contacts. — Trans. ASME, Ser. F, 1977, 99, p 264
163. Hardy C., Baronet C. N., Tordion G. V. Elastoplastic indentation of
a half-soace by a rigid sphere. — J. Numerical Methods in Engng., 1971,
3, p. 45I.
164. Harris T. A. Rolling Bearing Analysis. — London, New York and Sidney:
Wiley, 1966.
165 Heathcote H. L. The ball bearing: In the making, under test and on
service.-—Proc. Inst. Automobile Engrs., 1921, 15, p 569
166. Heinrich G., Desoyer K- Rollreibung mit axialem Schub. — Ing Arch.,
1967, 36, S. 48
167. Herrebrugh K. Solving the incompressible and isothermal problem in
elastohydrodynamic lubrication through an integral equation. — Trans.
ASME, J. Lubrication Technology, 1968, Ser. F, 90, p. 262.
168. Hertz H. Ober die Beriihrung fester elastischer Korper (On the contact
of elastic solids). — J. reine und angewandte Mathematik, 1882, 92,
S. 156—171. [Английский перевод см Miscellaneous Papers by H. Hertz,
eds. Jones and Schott. — London: Macmillan, 1896]
169. Hertz N. Uber die Beriihrung fester elastischer Korper und fiber die
Harte (On the contact of rigid elastic solids and on hardness). — Ver-
handlungen des Vereins zur Beforderung des Gewerbefleisses, Leipzig,
Nov. 1882. [Английский перевод см? Miscellaneous Papers by H. Hertz,
eds. Jones and Schott. — London: Macmillan, 1896.]
170. Hetenyi M., McDonald P. H. Contact stresses under combined pressure
and twist. — Trans. ASME, J. Appl. Meeh, 1958, 25, p. 396.
171. Hill R. Theory of Plasticity. — Oxford: University Press, 1950. [Имеется
перевод: Хилл P. Математическая теория пластичности. — М.: Гостех-
издат, 1956, 407 с.]
172. Hill R. A theoretical investigation of the effect of specimen size in the
measurement of hardness. — Philos. Magazine, 1950, 41", p. 745.
173. Hill R., Lee E. H., Tupper S. J. Theory of wedge indentation of ductile
metals. — Proc. Roy. Soc., 1947, A188, p. 273.
174. Hirst W., Howse AL G. J. W. The indentation of materials by wedges.—
Proc. Roy. Soc., 1969, A311, p. 429.
175 Hobbs A. E. W A Survey of Creep. — British Rati Dept DYN 52, Derby,
176 Huber AL T. Zur Theorie der Beriihrung fester elastische Koruer.— Ann.
der Phys., 1904, 14, S. 153.
177. Hunter S. C. Energy absorbed by elastic waves during impact. — J. Meeh,
and Phis, of Solids, 1956—57, 5, p. 162.
178. Hunter S. C. The Hertz problem for a rigid spherical indenter and a
viscoelastic half space. — J. Meeh. and Phys. Solids 1960, 8,
p. 219.
179 Hunter S. C. The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic
half-space. — Trans ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh, 1961, 28, p 611.
[Имеется перевод: Хантер. Контактная, задача качения жесткого ци-
линдра по вязко-упругому полупространству. — Прикладная механика.
Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мип, 1961, т. 28, № 4,
с. 146—153.]
180. Huntchings I. AL, Macmillan N. H., Rickerby D. G. Further studies of
the oblique impact of a hard sphere against a ductile solid.— Internal
J. Meeh. Sci., 1981, 23, p. 639.
Литература
491
181. Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба
' Бринелля. — ПММ, 1944, т. 8, вып. 3, с. 201—224.
182. Jaeger J. С. Moving sources of heat and temperature of sliding con-
tacts.— Proc. Roy. Soc. NSW, 1942, 56, p. 203.
183. Johnson K. L. Surface interaction between elastically loaded bodies under
tangential forces. — Proc. Roy. Soc., 1955, A230, p. 531.
184. Johnson K. L. The effect of a tangential contact force upon the rolling
motion of an elastic sphere on a plane. — Trans. ASME, J. Appl. Meeh.,
1985, 25, p. 339.
185. Johnson K. L. The effect of spin upon the rolling motion of an elastic
sphere on a plane. — Trans. ASME, J. Appl. Meeh., 1958, 25, p. 332.
186. Johnson K. L. The influence of elastic deformation upon the motion of
a ball rolling between two surfaces. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1959,
173, p. 795.
187. Johnson K- L. Energy dissipation at spherical surfaces in contact trans-
mitting oscillating forces. — J. Meeh. Engng. Sci., 1961, 3, p'. 362.
188. Johnson K. L. Tangential tractions and microslip in rolling contact.—
In: Rolling Contact Phenomena, ed. Bidwell. — New York: Elsevier, 1962.
189. Johnson K. L. A shakedown limit in rolling contact. — Proc. 4th US
National Congress of Applied Mechanics. — Berkeley: ASME, 1962.
190. Johnson K. L. Deformation of a plastic wedge by a rigid flat under the
action of a tangential force. — J. Meeh, and Phys. Solids, 1968, 16,
p. 395.
191. Johnson K- L. An experimental determination of the contact stresses
between plastically deformed cylinders and spheres. — In: Engineering
Plasticity, eds. Heyman and Leckie. — Cambridge: University Press, 1968.
192. Johnson K. L. The correlation of indentation experiments. — J Meeh, and
Phys. Solids, 1970, 18, p. 115.
193. Johnson K. L. Regimes of elastohydrodynamic lubrication. — J. Meeh.
Engng. Science, 1970, 12, p. 9.
194. Johnson K. L. Non-Hertzian contact of elastic spheres. — In: Mechanics
of Contact between Deformable Bodies, eds. de Pater and Kalker. — Delft
University Press, 1975.
195. Johnson K. L. Adhesion of the contacts of solids.— In: Theoretical and
Applied Mechanics. — Proc. 4th UTAM Congress, de. Koiter. — Amsterdam:
North-Holland, 1976. [Имеется перевод: Джонсон К. Л. Сцепление и кон-
такт деформируемых тел. — В кн.: Теоретическая и прикладная механика.
Труды XIV Международного конгресса IUTAM. — М.: Мир, 1979
с. 346—365.]
196. Johnson К. L., Bentall R. Н. The onset of yield in the cold rolling of
thin strips. — J. Meeh, and Phys, of Solids; 1969, 17, p. 253.
197. Johnson K. L., Bentall R. H. A numerical method for finding elastic
contact pressures. — Cambridge University Engineering Department Re-
port C-MECH/TR14, 1977.
198. Johnson K. L., Greenwood J. A., Higginson J. G. The contact of elastic
wavy surfaces. — Internat. J. Meeh. Sci., 1985, 27.
199. Johnson K- L., Jefferis J. A. Plastic flow and residual stresses in rolling
and sliding contact. — Proc. Inst. Meeh. Engrs. Symposium on Rolling
Contact Fatigue. — London: 1963, p. 50.
200. Johnson K. L., Kendall K., Roberts A. D. Surface energy and the contact
of elastic solids. — Proc. Roy. Soc., 1971, A324, p. 301.
201. Johnson K. L., O’Connor J. J. The mechanics of fretting. — Proc. Inst.
Meeh. Engrs., Appl. Meeh. Convention, Newcastle, 1964, 178, Part 3J
P- 7.
202. Johnson K. L., O’Connor J. J., Woodward A. C. The effect of indenter
elasticity on the Hertzian fracture of brittle materials. — Proc. Roy. Soc.,
1973, A334, p. 95.
49?
Литература
203. Johnson К. L., Tevaarwerk J. L. Shear behaviour of elastohydrodynamic
oil films.-—Proc. Roy. Soc., 1977, A352, p. 215.
204. Johnson K. L., White I. C. Rolling resistance measurements at high
loads. — Internat. J. Meeh. Sci., 1974, 16, p. 939.
205. Johnson W. Impact Strength of Materials. — London: Arnold, 1972.
206. Johnson W., Mahtab F. U., Haddow J. B. Indentation of a semi-infinite
block by a wedge of comparable hardness. — Internat. J. Meeh. Sci.,
1964, 6, p. 329.
207. Johnson W., Travis F. W„ Loh S. Y. High speed cratering in wax and
plasticine. — Internat J. Meeh. Sci., 1968, 10, p. 593.
208. Kalker J. J. The transmission of a force and couple between two elasti-
cally similar rolling spheres. — Proc. Kon. Ned. Akad. van Wetenschappen,
1964, B67, p. 135.
209. Kalker J. J. On the rolling contact of two elastic bodies in the presence
of dry friction. — Doctoral Dissertation, Technical University Delft (Nad.
Drukkering Bedrigf NV-Leiden), 1967.
210. Kalker J. J. A strip theory for rolling with slip and spin. — Proc. Kon.
Ned. Akad. van Wetenschappen, 1967, B70, p. 10.
211. Kalker J. J. Transient phenomena in two elastically similar cylinders in
the presence of dry friction. — Lab. v. Tech. Meeh., Technical University
Delft, 1969, Report No. 11.
212. Kalker J. J. Transient phenomena in two elastic cylinders rolling over
each other with dry friction. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh.,
1970, 37, p. 677. [Имеется перевод: Каякер. Переходные явления в двух
упругих цилиндрах, катящихся друг по другу с сухим трением. — При-
кладная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир,
1970, т. 37, № 3, с. 102—114.]
213. Kalker J. J. A minimum principle for the law of dry friction, Pt. 1. Trans.
ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1971, 38, p. 875. [Имеется перевод: Кая-
кер. Принцип минимума для закона сухого трения (с приложением к
задаче о качении упругих цилиндров). Часть 1. Основные положения.
Приложение к установившемуся качению. — Прикладная механика. Тр.
Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1971, т. 37, № 4, с. 160—
166.]
214. Kalker J. J. A minimum principle for the law of dry friction, Pt. 2.
Application to поп-steady rolling elastic cylinders. — Trans. ASME, Ser. E,
J. Appl. Meeh., 1971, 38, p. 881. [Имеется перевод: Калкер. Принцип
минимума для закона сухого трения. Часть 2. Приложение к задаче
о неустановившемся качении упругих цилиндров. — Прикладная меха-
ника. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1971, т. 37, № 4,
с. 166—173.]
215. Kalker J. J .Simplified theory of rolling contact. — Defit Progress Report,
Ser. C, 1973, 1, p. 1.
216. Kalker J. J. Variational principles of contact elastostatics. — J. Inst.
Math, and Appl., 1977, 20, p. 199.
217. Kalker J. J. Numerical contact elastostatics. — In: Contact Problems and
Load Transfer in Mechanical Assemblages. — Proc. Euromech. Coll.
No. 110, Linkoping, Sweden, 1978.
218. Kalker J. J. The computation of 3-D rolling contact with dry friction.—
Internat. J. Numerical Methods in Engng., 1979, 14, p. 1293.
219. Kalker J. J., van Randen Y. A minimum principle for frictionless elastic
contact with application to non-Hertzian half-space contact problems. —
J. Engng. Math., 1972, 6, p. 193.
220. von Karman T. On the theory of rolling.-—Z. angew. Math. Meeh., 1925,
5, S. 139.
221. Keer L. M.. Dundurs J., Tsai K-- C. Problems involving receding contact
.between a layer and a half-space. — Trans. ASME, Ser. E, J. AppL
Литература 493
Meeh., 1972, 39, р. 1115. [Имеется перевод: Кир, Дандерс, Цзай. Кон-
тактная задача для слоя, лежащего на полупространстве. — Прикладная
механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, .1972, т. 39,
№ 4, с. 260—266.)
222. Khadem R., O’Connor J. J. Adhesive or frictionless compression of an
elastic rectangle between two identical elastic half-spaces. — Internat. J.
Engng. Sci., 1969, 7, p. 153.
223. Khadem R., O’Connor J. J. Axial compression of an elastic circular
cylinder in contact with two identical elastic half-spaces. — Internat J.
Engng. Sci., 1969, 7, p. 785.
224. Kolsky H. Stress Waves in Solids. — Oxford: University Press, 1953.
[Имеется перевод: Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. —
М.: ИЛ, 1955.1
225. Kornhauser М. Structural Effects of Impact. — Sutton, Surrey: Spartan,
1964.
226. von Kunert K. Spannungsverteilung im Halbraum bei elliptische Flachen-
pressungsverteilung fiber einer rechteckigen Druckflache. — Forschung a. d.
Gebiete des Ingenieurwesens, 1961, 27, S. 165.
227. Кузнецов А. И. Вдавливание жестких штампов в полупространство при
степенном упрочнении и при нелинейной ползучести материала. -— ПММ,
1962, т. 26, вып. 3, с. 481—491.
228. Lamb Н. On the propagation of tremors over the surface of an elastic
solid. — Philos. Trans. Roy Soc., 1904, A203, p. 1.
229. Lazan B. J. Damping of Materials and Members in Structural Mecha-
nics.— Oxford: Pergamon, 1968.
230. Lee С. H., Masaki S., Kobayashi S. Analysis of ball indentation. —
Internat. J. Meeh. Sci., 1972, 14, p. 417.
231. Lee E. H., Radok J. R. M. The contact problem for viscoelastic bodies.—
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1960, 27, p. 438.
232. Lee E. H., Rogers T. G. Solution of viscoelastic stress analysis problems
using measured creep of relaxation functions. — Trans. ASME, Ser. E,
J. Appl. Meeh., 1963, 30, p. 127. [Имеется перевод: Ли, Роджерс. На-
хождение вязкоупругих напряжений при помощи измеренных функций
ползучести и релаксации. — Прикладная механика. Тр. Амер, об-ва ин-
женеров-механиков.— М.: Мир, 1963, т. 30, № 1, с. 151—159.]
233. Lo С. С. Elastic contact of rough cylinders. — Internat. J. Meeh. Sci.,
1969, 11, p. 105.
234. Lockett F. J. Indentation of a rigid-plastic material by a conical indent-
er.— J. Meeh, and Phys, of Solids, 1963, 11, p. 345.
235. Longuet-Higgins M. S. The statistical properties of an isotropic random
surface. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1957, A249, p. 321.
236. Longuet-Higgins M. S. The statistical analysis of a random moving
surface. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1957, A250, p. 377.
237. Love A. E. H. Stress produced in a semi-infinite solid by pressure on
part of the boundary. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1929, A228, p. 377.
238. Love A. E. H. Boussinesq’s problem for a rigid cone. — Quart. J. Math.
(Oxford series), 1939, 10, p. 161.
239. Love A. E. H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity,
4th ed. — Cambridge: University Press, 1952. [Имеется перевод: Ляв A.
Математическая теория упругости. — М. — Л.: Гостехтеориздат, 1935,
674 с.]
240. Lubkin J. L. Torsion of elastic spheres in contact. — Trans. ASME,
Ser. E, J. Appl. Meeh., 1951, 18, p. 183.
241. Ludema К. C., Tabor D. The friction and viscoelastic properties of
polymeric solids. — Wear, 1966, 9, p. 329.
242. Lundberg G. Elastische Berfihrung zweier Halbraume. — Forschung a. d.
Gebeite des Ingenieurwesens, 1939, 10, S. 201.
494
Литература
243. Lundberg G., Sjovall H. Stress and Deformation in Elastic Solids.—
PubL No. 4, Inst. Th. of Elast., Chalmers University of Technology. —
Goteborg: Sweden, 1958.
244. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. — М.: Гостех-
издат, 1955, 492 с.
245. Lutz О. Grundsatzliches fiber stufenlos verstellbare Walzgetriebe. —
Konstruktion, 1955, 7, S. 330; 1957, 9, S. 169, 1958, 10, S. 425.
246. Mandel J. Resistance au roulement d’un cylindre indeformable sur un
massif parfaitement plastique. — In: Le Frottement and 1’Usure. — Paris:
GAMI, 1967.
247. Marsh D. M. Plastic flow in glass. — Proc. Roy. Soc., 1964, A279, p. 420.
248. Marshall E. A. Rolling contact with plastic deformation. — J. Meeh, and
Phys. Solids, 1968, 16, p. 243.
249. Matthews J. R. Indentation hardness and hot pressing. — Acta Met,
1980, 28, p4311.
250. Mattewson*M. J. Axi-symmetric contact on thin compliant coatings.—
J. Meeh, and Phys. Solids, 1981, 29, p. 89.
25LMaugis D., Barquins M. Fracture mechanics and the adherence of visco-
elastic bodies. — J. Phys. D (Appl. Phys.), 1978, 11, p. 1989.
252. Maugis D., Barquins M., Courtel R. Griffith’s crack and adhesion of
elastic bodies. — Mefaux, Corrosion, Industries, 1976, 51, p. 1.
253. Maw N., Barber J. R., Fawcett J. N. The oblique impact of elastic
spheres. — Wear, 1976, 38, p. 101.
254. Maw N., Barber J. R., Fawcett J. N. The role of tangential compliance
in oblique impact. — J. Lubrication Technology, Trans. ASME, Ser. F,
1981, 103. p. 74.
255. May W. D., Morris E. L., Atack D. Rolling friction of a hard cylinder
over a viscoelastic material. — J. Appl. Phys., 1959, 30, p. 1713.
256. McCormick J. A. A Numerical Solution for a Generalized Elliptical
Contact of Layered Elastic Solids. — MTI Report No. 78 TR 52, Meeh.
Tech. Inc., Latham, New York, 1978.
257. McEwen E. Stresses in elastic cylinders in contact along a generatrix.—
Philos. Magazine, 1949, 40, p. 454.
258. Meijers P. The contact problem of a rigid cylinder on an elastic layer. —
Appl. Sci. Res., 1968, 18, p. 353.
259. Merritt H. E. Worm gear performance. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1935
129, p. 127. '
260. Merwin J. E., Johnson K. L. An analysis of plastic deformation in
rolling contact. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1963, 177, p. 676.
261. Михлин С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым
проблемам механики, математической физики и техники. — М. — Л.:
Гостехиздат, 1949. — 380 с.
262. Mikic В. В. Thermal contact conductance: theoretical considerations. —
Internat. J. Heat and Mass Transfer, 1974, 17. p. 205.
263. Miller G. F., Pursey H. Field and radiation impendance of mechanical
radiators. — Proc. Roy. Soc., 1954, A223, p. 521.
264. Miller G. F., Pursey H. Partition of energy between elastic waves. —
Proc. Roy. Soc., 1955, A233, p. 55.
265. Mindlin R. D. Compliance of elastic bodies in contact. — Trans. ASME,
Ser. E, J. Appl. Meeh., 1949, 16, p. 259.
266. Mindlin R. D. Mechanics of Granular Media. — Proc. 2nd US National
Congress on Applied Mechanics. — New York: ASME, 1954, p. 13.
267. Mindlin R. D., Deresiewicz H. Elastic spheres in contact under varying
oblique forces. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1953, 20,
p. 327.
268. Mindlin R. D., Mason W. P., Osmer J. F., Deresiewicz H. Effects of an
oscillating tangential force on the contact surfaces of elastic spheres. —
Литература
495
Proc. 1st US National Congress of Applied Mechanics. — New York:
ASME, 1952, p. 203.
269. Мок С. H., Duffy J. The dynamic stress-strain relation as determined
from impact tests. — Internat. J. Meeh. Sci., 1965, 7, p. 355.
270. Morland L. W. Exact solutions for rolling contact between viscoelastic
cylinders. — Quart. J. Meeh, and Appl., Math., 1967, 20, p. 73.
271. Morland L. W. Rolling contact between dissimilar viscoelastic cylinders.—
Quart. J. Appl. Math., 1967, 25, p. 363.
272. Morton W. B„ Close L. J. Notes on Hertz’s theory of contact problems. —
Philos. Magazine, 1922, 43, p. 320.
273. Моссаковский В. И. Основная смешанная задача теории упругости для
полупространства с круговой линией раздела граничных условий. —
ПММ, 1954, т. 18, вып. 2, с. 187—196.
274 Моссаковский В. И. Сжатие упругих тел в условиях сцепления. —
ПММ, 1963, т. 27, вып. 3, с. 418—427.
275. Mulhearn Т. О. Deformation of metals by Vickers-type pyramidal in-
denters.— J. Meeh, and Phys, of Solids, 1959, 7, p. 85.
276. Murch L. E., Wilson W. R. D. A thermal elastohydrodynamic inlet zone
analysis. — Trans. ASME, J. Lubrication Technology, Ser. F, 1975, 97,
p. 212.
277. Мусхелишвили H. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные
задачи теории функций и некоторые’ их приложения к математической
физике. — М. —Л.: Гостехиздат, 1946. — 448 с.
278. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической тео-
рии упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Круче-
ние и изгиб.—М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1949. — 635 с.
279. Nadai A. I. Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. II.— New York,
- Toronto, London: McGraw-Hill, 1963, p. 221. [Имеется перевод: Надаи A.
Пластичность и разрушение твердых тел. т. 2. — М.: Мир, 1969.—
863 с.]
280. Nayak L., Johnson IQ L. Pressure between elastic bodies having a slender
area of contact and arbitrary profiles. — Internat. J. Meeh. Sci, 1979, 21,
p. 237.
281. Nayak P. R. Random process model of rough surfaces. — Trans. ASME,
J. Lubrication Technology, Ser. F, 1971, 93, p. 398.
282. Noble B., Spence D. A. Formulation of Two-dimensional and Axi-symmetric
Boundary Value Problems. — University of Wisconsin Math. Res. Centre
Report TR 1089, 1971.
283. Norbury A. L., Samuel T. The recovery and sinking-in or pulling-up of
material in the Brinnel test. — J. Iron and Steel Inst, 1928, 117, p. 673.
284. O’Connor J. J., Johnson K- L. The role of surface asperities in transmitt-
ing tangential forces between metals.—Wear, 1963. 6, p. 118.
285. Ollerton E., Haines D. J. Contact stress distributions on elliptical contact
surfaces subjected to radial and tangential forces..— Proc. Inst. Meeh.
Engrs., 1963, 177, p. 95.
286. Onions R. A., Archard J. F. The contact of surfaces having a random
structure. — J. Phys. D, 1973, 6, p. 289.
287. Pacejka H. B. The tyre as a vehicle component. — In [59].
288. Pacejka H. B., Dorgham M. A. Tyre Mechanics arid its Impact on Vehicle
Dynamics. — St Heiler, Jersey: Int. Association for Vehicle Design,
Interscience Enterprises, 1983.
289. Panek C., Dundurs J. Thermoelastic contact between bodies with wavy
surfaces. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1979, 46. p. 854.
290. Pao Y. C., Wu Т.-S., Chiu Y. P. Bounds on the maximum contact stress
of an indented layer. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1971, 38,
p. 608. [Имеется перевод: Пао, By, Чу. Пределы максимальных кон-
тактных напряжений в упругом слое при вдавливании пуансона. —
496
Литература
Прикладная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир,
1971, т. 38, № 3, с. 30—36.]
291. Paris Р. С., Sih G. С. Stress analysis of cracks. — In: Fracture Toughness
Testing and its Applications. — ASTM STP, 1965, 381, p. 30.
292. Paul B., Hashemi J. Contact pressure on closely conforming elastic
bodies. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1981, 48, p. 543.
293. Pekeris C. L. The seismic surface pulse. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
1955, 41, p. 469.
294. Persson A. On the Stress Distribution of Cylindrical Elastic Bodies in
Contact. — Dissertation, Chalmers Tekniska Hogskola, Goteborg, 1964.
295. Petryk H. A slip-line field analysis of the rolling contact problem in
high loads. — Internat. J. Meeh. Sci., 1983, 25, p. 265.
296. Pinnock P. R., Ward I. M., Wolfe J. M. The compression of anisotropic
fibre monofilaments II. Proc. Roy. Soc., 1966. A291, p. 267; см. также
Hadley D. W;-, Ward I. M., Ward J. — Proc. Roy. Soc., 1965, A285, p. 275.
297. Pomeroy R. J., Johnson K. L. Residual stresses in rolling contact. —
Inst. Meeh. Engrs., J. Strain Analysis, 1969, 4, p. 208.
298. Ponter A. R. S. A general shakedown theorem for inelastic materials. —
Proc. 3rd Int. Conf, on Struct. Meeh, in Reactor Tech., Section L, Imperial
Colledge, London, 1976.
299. Ponter A. R. S., Hearle A. D., Johnson K. L. Application of the kinematical
shakedown theorem to rolling and sliding contact. — J. Meeh, and Phys,
of Solids, 1985, 33.
300. Попов Г. Я. Контактная задача теории упругости при наличии круговой
области контакта. — ПММ, 1962, т. 26, вып. 1, с. 152—164.
301. Poritsky Н. Stresses and deflections of cylindrical bodies in contact.—
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1950, 17, p. 191.
302. Puttick К. E., Smith L. S. A., Miller L. E. Stress and strain fields round
indentations in polymethylmethacrylate. — J. Phys. D: Appl. Phys., 1977,
10, p. 617.
303. Radok J. R. M. Viscoelastic stress analysis. — Quart. Appl. Math., 1957,
15, p. 198.
304. Ratwani M., Erdogan F. On the plane contact problem for frictionless
elastic layer. — Internat. J. Solids and Structures, 1973, 43, p. 921.
305. Reynolds O. On rolling friction. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1875, 166,
p. 155.
306. Richart F. E., Woods R. D., Hall J. R. Vibration of Soils and Foun-
dations. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-hall, 1970.
307. Richmond O., Morrison H. L., Devenpeck M. L. Sphere indentation with
application to the Brinell hardness test. — Internat. J. Meeh. Sci., 1974,
16, p. 75.
308. Rickerby D. G., Macmillan N. H. On the oblique impact of a rigid sphere
on a rigid-plastic solid. — Internat. J. Meeh. Sci., 1980, 22, p. 491.
309. Roark R. J. Formulas for Stress and Strain, 4th ed. — New York,
St Louis, San Francisco, Toronto, London, Sidney: McGraw-Hill, 1965.
310. Robertson I. A. Forced vertical' vibration of a rigid circular disc on
a semi-infinite solid. — Proc. Cambridge Philos. Soc., 1966, 62, p. 547.
311. Ростовцев H. А. Комплексные функции напряжений в осесимметричной
контактной задаче теории упругости. — ПММ, 1953, т. 17, с. 611—614.
312. Routh Е- J- Analytical Statics, vol. III. — Cambridge: University Press,.
313. Rydholm G. On Inequalities and Shakedown in Contact Problems.—
Dissertation No. 61, Meeh. Eng. University of Linkoping, 1981.
314. Sackfield A., Hills D. A. Some useful results in the classical Hertz
contact problem. — J. Strain Analysis, 1983, 18, p. 101.
315. Sackfield A., Hills D. A. Some useful results in the tangentially loaded
Hertz contact problem. — J. Strain Analysis, 1983, 18, p. 107.
Литература
497
316. Sackfield A., Hills D. A. A note on the Hertz contact problem: Correlation
of standard formulae. — J. Strain Analysis, 1983, 18, p. 195.
317. Samuels L. E„ Mulhearn T. O. The deformed zone associated with
indentation hardness impressions. — J. Meeh, and Phys. Solids, 1956, 5,
p. 125.
318. von Schlippe B., Dietrich R. Das Flattern eines bepneuten Rades. Ber.
Lilienthal Ges., 1941, 140, S. 35.
319. Сегал В. M. Пластический контакт при движении шероховатого ци-
линдра по идеально пластическому полупространству. — Изв. АН СССР,
МТТ, 1971, № 3, с. 184—189.
320. Shail R. Lame polynomial solutions to some elliptic crack and punch
problems. — Internat. J. Engng. Sci., 1978, 16, p. 551.
321. Shield R. T. On plastic flow of metals under conditions of axial sym-
metry. — Proc. Roy. Soc., 1955, A233, p. 267.
322. Sims R. D. Calculation of roll force and torque in hot rolling mills. —
Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1954, 168, p. 191.
323. Skalski K. Contact problem analysis of an elastoplastic body. — Prace
Naukowe Mechanica, Warsaw Polythechnic, 1979, z. 67.
324. Smith J. O., Liu С. K. Stresses due to tangential and normal loads on
an elastic solids. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1953, 20,
p. 157.
325. Sneddon I. N. Boussinesq’s problem for a flat-ended cylinder. — Proc.
Cambridge Philos. Soc., 1946, 42, p. 29.
326. Sneddon I. N. Boussinesq’s problem for a rigid cone. — Proc. Cambridge
Philos. Soc., 1948, 44, p. 492.
327. Sneddon I. N. Fourier Transforms. — New York, Toronto, London:
McGraw-Hill, 1951. [Имеется перевод: Снеддон И. Преобразования
Фурье.— М.: ИЛ, 1955. —668 с.]
328. Sohngen Н. Zur Theorie der endlichen Hilbert Transformation. — Math.
Zeitschrift, 1954, 66, S. 31.
329. Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа, 1969.—
608 с.
330. Spence D. A. Self-similar solutions to adhesive contact problems with
incremental loading. — Proc. Roy. Soc., 1968, A305, p. 55.
331. Spence D. A. An eigenvalue problem for elastic contact with finite
friction. — Proc. Cambridge Philos. Soc., 1973, 73, p. 249.
332. Spence D. A. The Hertz contact problem with finite friction. — J. Elasti-
city, 1975, 5, p. 297.
333. Штаерман И. Я. К теории Герца местных деформаций при сжатии
упругих тел. — Докл. АН СССР, 1939, т. 25, № 5, с. 360—362.
334. Stilwell N. A., Tabor D. Elastic recovery of conical indentations. —
Proc. Phys. Soc., 1961, 78, p. 169.
335. Svec O. J., Gladwell G. M. L. An explicit Boussinesq solution for a
polygonal distribution of pressure over a triangular region. — J. Elasticity,
1971, 1, p. 167.
336. Symonds P. S. Shakedown in continuous media. — Trans. ASME, Ser. E,
J. Appl. Meeh., 1951, 18, p. 85.
337. Tabor D. A simple theory of static and dynamic hardness. — Proc. Roy.
Soc., 1948, A192, p. 247.
338. Tabor D. Hardness of Metals. — Oxford: University Press, 1951.
339. Tabor D. The mechanism of rolling friction: the elastic range. — Proc.
Roy. Soc., 1955, A229, p. 198.
340. Tabor D. Junction growth in metallic friction. — Proc. Roy. Soc., 1959,
A251, p. 378.
341. Tabor D. Interaction between surfaces: adhesion and friction. — In: Surface
Physics of Materials. Vol. II, Chap. 10, ed. Blakely. — New York, San
Francisco and London: Academic Press, 1975.
498
Литература
342. Thomas Н. R., Hoersch V. A. Stress Due to the Pressure of One Elastic
Solid upon Another. — University of Illinois, Engineering Station, Bulletin,,
No. 212, 1930.
343. Thomas T. R. (ed.) Rough Surfaces.-—London: Longman, 1982.
344. Thompson J. C., Robinson A. R. An exact solution for the superseismic
stage of dynamic contact between a punch and an elastic body. — Trans.
ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1977, 44, p. 583.
345. Timoshenko S., Goodier J. N. Theory of Elasticity, 3rd ed. — New York,.
London et al.: McGraw-Hill, 1951. [Имеется перевод: Тимошенко C. IL,
Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. — 560 с.]
346. Ting Т. С. Т. The contact stress between a rigid indenter and a visco-
ellastic half-space. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1966, 33,
p. 845. [Имеется перевод: Тинг. Контактные напряжения между жест-
ким штампом и вязкоупругим полупространством. — Прикладная меха-
ника. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1966, т. 33,
№ 4, с. 137—148.]
347. Ting Т. С. Т. Contact problems in the linear theory of viscoelasticity. —
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1968, 35, p, 248.. [Имеется перевод:
Тинг. Контактные задачи линейной теории вязкоупругости. — Приклад-
ная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1968,
т. 35, № 2, с. 42—50-]
348. Tsai К. С. Dundurs J., Keer L. М. Elastic layer pressed against a half-
space.— Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1974, 41, p. 707.
349. Tsai Y. M. A note on surface waves produced by Hertzian impact. — J.
Meeh, and Phys. Solids, 1968, 16, p. 133.
350. Tsai Y. M. Dynamic contact stresses produced by the impact of an axi-
symmetrical projectile on an elastic half-space. — Internat. J. Solids and
Structures, 1971, 7, p. 543.
351. Tsai Y. M., Kolsky H. A study of the fractures produced in glass blocks
by impact. — J. Meeh, and Phys, of Solids, 1967, 15, p. 263.
352. Turner J. R. The frictional unloading problem on linear elastic half-
space.— J. Inst. Math, and its Appl., 1979, 24, p. 439.
353. Turner J. R. Contact on a transversely isotropic half-space, or between
two transversely isotropic bodies. — Internat. J. Solids and Structures,
1980, 16, p. 409.
354. Tyler J. C., Burton R. A., Ku P. M. Contact fatigue under an oscillatory
normal load. — Trans. ASLE, 1963, 6, p. 255.
355. Updike D. P., Kalnins A. Axisymmetric behaviour of an elastic spherical
shell compressed between rigid plates. — Trans. ASME, Ser. E. J. Appl.
Meeh., 1970, 37, p. 635. [Имеется перевод: Апдайк, Калнинс. Осесим-
метричное деформирование упругой сферической оболочки, сжатой
между двумя жесткими плитами. — Прикладная механика, Тр.
Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1970, т. 37, № 3
с. 62—68.]
356. Updike D. Р., Kalnins A. Contact pressure between an elastic spherical
shell compressed between rigid plates. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl.
Meeh., 1972, 39, p. 1110. [Имеется перевод: Апдайк, Калнипс. Распреде-
ление давления при контакте упругой сферической оболочки с жесткой
пластиной. — Прикладная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-меха-
ников,—М.: Мир, 1972, т. 39, № 4, с. 255—259.]
357. Venkatraman В. Creep in the presence of a concentrated force at a
point. — Conference on Thermal Loading and Creep. — London, Proc. Inst.
Meeh. Engrs, 1964, 178, Pt. 3L, p. 111.
358. Vermeulen P. J., Johnson K. L. Contact of поп-spherical elastic bodies
transmitting tangential forces. — Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh.,
1964, 31, p. 338. [Имеется перевод: Вермелен, Джонсон. Контакт несфе-
рических упругих тел, передающих касательные силы. — Прикладная ме-
Литература
499
ханика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1964, т. 31,
№ 2, с. 202—204.]
359. Wannop G. L., Archard J. F. Elastic hysteresis and catastrophic wear
mechanism for polymers. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1973, 187, p. 615.
360. Ward I. M. Mechanical Properties of Solid Polymers. — New York: Wiley-
Interscience, 1971.
361. Wernitz W. Walz-Bohrreibung. — Braunschweig: F. Vieweg and Sohn,
1958.
362. Westergaard H. M. Bearing pressures and cracks. — Trans. ASME, Ser. E,
J. Appl. Meeh., 1939, 6, p. 49.
363. Whitehouse D. J., Phillips M. J. Discrete properties of random surfaces. —
Philos. Trans. Roy. Soc., 1978, A290, p. 267.
364. Whitehouse D. J., Phillips M. J. Two-dimensional discrete properties of
random surfaces. — Philos. Trins. Rey. Soc., 1982, A305, p. 441.
365. Williams W. E. A solution to the steady state thermoelastic equations. —
ZAMP, 1961, 12, p. 452.
366. Williamson J. В. P. The microtopography of surfaces. — In: Properties and
Metrology of Surfaces. — Proc. Inst. Meeh. Eng., 1967—68, 182, Pt. 3K,
p. 21.
367. Willis J. R. Hertzian contact of anisotropic bodies. — J. Meeh, and Phys.
Solids, 1966, 14, p. 163.
368. Wilsea M., Johnson K. L., Ashby M. F. Indentation of foamed plastics. —
Internat. J. Meeh. Sci., 1975, 17, p. 457.
369. Wolfe P. The simplex method for quadratic programming. — Econometrica,
1959, 27, p. 382.
370. Wu Т.-S., Plunkett R. On contact problems of thin circular rings. —
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Meeh., 1965, 32, p. 11. [Имеется перевод:
By, Планкетт. Контактная задача для тонких круговых колец. — При-
кладная механика. Тр. Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир,
1965, т. 32, № 1, с. 13—22.]
371. Wymer D. G., Cameron A. Elastohydrodynamic lubrication of a line
contact. — Proc. Inst. Meeh. Engrs., 1974г 188, p. 211.
372. Yang W. H. The contact problem for viscoelastic bodies. — Trans. ASME,
Ser. E, J. Appl. Meeh., 1966, 33, p. 395. [Имеется перевод: Янг Вей-суй,
Контактная задача для вязко-упругих тел. — Прикладная механика. Тр.
Амер, об-ва инженеров-механиков. — М.: Мир, 1966, т. 33, № 2, с. 140—
147.]
373. Zukas J. A., Nicholas Т. Impact Dynamics. — New York: Wiley, 1982.
Именной указатель
Абрамовиц (Abramowitz М.) 81, 434
Абрамян Б. Л. 95
Александер (Alexander J. М.) 367—
371
Александров А. Я. 70
Александров В. М. 163
Амонтон (Amonton) 234, 235, 241,
244, 304, 468
Андерссон (Andersson Т.) 75
Апдайк (Updike D. Р.) 166
Арнольд (Arnold R. N.) 395—396
Арутюнян Н. X. 227—229
Арчард (Archard J. F.) 469
Астарита (Astari’ta G.) 346
Барбер (Barber J. R.) 10, 431—448
Барович (Barovich D.) 163
Бафлер (Bufler Н.) 239, 284
Беддинг (Bedding R. J.) 406
Бенталл (Bentall R. Н.) 69, 159, 175,
287, 362
Бертон (Burton R. А.) 443—447
Бессель (Bessel F.) 434
Бичинг (Beeching R.) 122
Бишоп (Bishop J. F. W.) 196
Бишоп (Bishop R. F.) 199
Блэнд (Bland D. R.) 372
Боджи (Bogy D. В.) 127
Боуден (Bowden F. Р.) 235
Брайаит (Bryant М. D.) 91, 241
Брамфилд (Brumfield R. С.) 207, 210
Браун (Brown С. В.) 260
Бринелль (Brinell J.) 199
Бру (Brewe D. Е.) 115
Буссинеск (Bussinesq J.) 58, 63, 78,
126
Буше (Bueche А. М.) 348
Бьерк (Bjork) 416
Ваймер (Wymer D. G.) 385
Венкатраман (Venkatraman В.) 227
Вернитц (Wernitz W.) 306 '
Виккерс (Vickers) 202
Вильямс (Williams) 354
Винклер (Winkler Е.) 122, 157
By (Wu T.-S.) 166
Вудворд (Woodward А. С.) 144
Галин Л. А. 9, 41, 52, 122, 156
Гамильтон (Hamilton G. М.) 90, 241,
333, 353
Гарг (Garg V. К.) 331
Гдутос (Gdoutos Е. Е.) 127
Герц (Hertz Н.) 8, 75—80, 100—175,
180, 220, 235, 244, 279, 283, 315,
325, 355, 380, 398, 403, 413, 453,
465, 470, 480
Гладуэлл (Gladwell G. М. L.) 9, 51,
62, 69, 83, 93, 156, 159, 163, 164,
395
Голдсмит (Goldsmith W.) 388
Гольдштейн Р. В. 419
Гохфельд Д. А. 329
Грасси (Grassie S. L.) 10
Грин (Green А. Е.) 156, 241
Грин (Green А. Р.) 276
Гринвуд (Greenwood J. А.) 10, 157,
381—384, 464—467, 472—475
Грубин А. Н. 381—384
Грэхем (Graham G. А. С.) 223, 400
Губер (Huber М. Т.) 77
Гудмен (Goodman L. Е.) 90, 136,
141, 241, 260, 264
Гудьер (Goodier J. N.) 22, 27, 36,
64, 91, 150, 165
Гук (Hooke R.) 26, 60
Гупта (Gupta Р. К.) 163
Дагдейл (Dugdale D. S.) 197
Дайсон (Dyson А.) 115
Даффи (Duffy J.) 10
Дебора (Deborah) 346, 353
Дентон (Denton В. К.) 371
Дересевич (Deresiewicz Н.) 253, 254,
260, 267, 400, 403
Джеффрис (Jefferis J. А.) 239
Доу (Dow Т. А.) 447
Доусон (Dowson D.) 379, 380, 385
Дундурс (Dundurs J.) 127, 431
Дьюхерст (Dewhurst Р.) 369, 371
Дэвис (Davies R. М.) 180, 408
Дюво (Duvaut G.) 174, 303
Именной указатель
501
Егер (Jaeger J. С.) 430
Иллингуорс (Illingworth) 90
Исон (Eason G.) 418
Ишкова А. Г. 124
Ишлинский А. Ю. 31, 149, 195
Калвит (Calvit Н. Н.) 418
Калладин (Calladine С. R.) 157
Калнинс (Kalnins А.) 166
Калькер (Kalker J. J.) 10, 69, 91,
174, 175, 296, 299, 301, 306, 312
Камерон (Cameron А.) 385
Карман (von Karman Т.) 205, 365,
366, 372
Картер (Carter F. W.) 301, 305, 308
Каттанео (Cattaneo С.) 246, 250, 259
Кельвин (Kelvin) 222
Кир (Keer L. М.) 91, 136, 164, 241
Клоуз (Close L. J.) 77
Ковалев С. И. 365
Кокс (Cocks М.) 275
Коллинз (Collins I. F.) 271, 342
Кольский (Kolsky Н.) 405
Комниноу (Comninou М.) Г27
Конвей (Conway Н. D.) 163
Коренев Б. Г. 124
Корягин Н. И. 365
Коул (Cole J. D.) 419—421
Коши (Cauchy А.) 33, 478
Крейн (Crane F. А. А.) 369, 371
Крук (Crook A. W.) 333, 412
Крэггс (Craggs J. W.) 422
Кузнецов А. И. 228—230
Кунерт (von Kunert К.) 70, 155
Макдональд (McDonald Р. Н.) 98, 267
Макив.ен (McEwen Е.) 121
Маккормик (McCormick J. А). 163
Максвелл (Maxwell J. С.) 215, 218,
219, 221, 417
Мандель (Mandel J.) 337, 342, 352
Марруччи (Marrucci G.) 346
Мартин-Моран (Martin-Moran С. J.)
448
Марш (Marsh D. М.) 199
Маршалл (Marshall Е. А.) 343
Max (Mach Е.) 419
Мейерс (Meijers Р.) 162
Мелан (Melan) 329, 331
Мервин (Mervin J. Ё.) 352
Меррит (Merritt Н. Е.) 18
Мерч (Murch L. Е.) 384
Мизес (von Mises R.) 176—181, 238—
241, 330
Микис (Mikic В. В.) 470
Миллер (Miller G. F.) 392—395, 406
Миндлин (Mindlin R. D.) 10, 89, 98,
246, 253, 254, 260, 265, 403
Михлин С. Г. 41
Mop (Mohr О.) 32, 182, 185, 188
Морланд (Morland L. W.) 348
Мортон (Morton W. В.) 77
Моссаковский В. И. 89, 95, 143
Мотт (Mott N. F.) 199
Мусхелишвили Н. И. 9, 41, 51
Мэтьюз (Mathews J. R.) 203, 229
Мэтьюсон (Mattewson М. J.) 163
Наяк (Nayak L.) 155
Нерликар (Nerlikar V.) 445
Николлс (Nicholls W.) 122
Нобл (Noble В.) 62
Нури (Nuri К- А.) 465
Лабкин (Lubkin J. L.) 266
Ламб (Lamb Н.) 392
Ланден (Landen) 354
Лаплас (Laplace Р. S.) 59, 61
Левин (Lewin L.) 436
Лежандр (Legendre А.) 78, 436
Ли (Lee Е. Н.) 127, 214—217
Лионе (Lions J.-L.) 174, 303
Ло (Lo С. С.) 472
Локетт (Lockett F. J.) 194
Лонге-Хиггинс (Longuet-
Higgins М. S). 463
Лудема (Ludema К. С.) 354
Лундберг (Lundberg G.) 155
Ляв (Love А. Е. Н.) 58—60, 68, 73,
132, 401—402
О’Коннор (O’Connor J. J.) 144, 264
Оксли (Oxley Р. L. В.) 275
Оллертон (Ollerton Е.) 82, 117, 234,
299
Онионс (Onions R. А.) 469
Пацейка (Pacejka Н. В.) 323
Пекерис (Pekeris С. L.) 390
Пекле (Peclet) 430
Персей (Pursey Н.) 392—395, 406
Перссон (Persson А.) 136, 137
Петрик (Petryk Н.) 342
Пиннок (Pinnock Р. R.) 156
Планкетт (Plunkett R.) 166
Понтер (Ponter A. R. S.) 333
502
Именной указатель
Попов Г. Я. 78
Порицки (Poritsky Н.) 122
Радок (Radok J. R. М.) 216, 217
Ранден Ван (van Randen Y.) 69, 175
Ратвани (Ratwani М.) 164
Рейд (Reid S. R.) 10
Рейнольдс (Reynolds О.) 279, 283,
287, 374, 377, 381, 383
Рейсс (Reuss А.) 198, 326, 334
Ричмонд (Richmond О.) 230
Робертс (Roberts А. М.) 422
Робертсон (Robertson I. А.) 395
Робинсон (Robinson А. К.) 402
Роджерс (Rogers Т. G.) 214
Ростовцев Н. А. 62
Рэлей (Rayleigh) 389, 391
Сакфилд (Sackfield А.) 82, 91, 122,
241
Свек (Svec О. J.) 69
Сегал В. М. 343
Сёнген (Sohngen Н.) 45
Симс (Sims R. D.) 367
Синклер (Sinclair G. В.) 199, 211
Слепян Л. И. 419
Снеддон (Sneddon I. N.) 62, 75, 93,
132, 159, 163, 355
Соколовский В. В. 227
Спектор А. А. 290, 303, 312
Спенс (Spence D. А.) 49, 52, 62, 89,
93, 95, 96, 132, 138, 141, 143, 288
Стиган (Stegun I. А.) 81, 434
Стронг (Stronge W. J.) 10
Табор (Tabor D.) 10, 202, 209, 230,
235, 270, 333, 354, 412
Тайлер (Tyler J. С.) 262
Теваарверк (Tevaarwerk J. L.) 385
Темпл (Temple) 321
Теокарис (Theocaris Р. S.) 127
Тернер (Turner J. R.) 96, 144
Тимошенко С. П. 22, 27, 36, 64, 91,
150, 165
Тинг (Ting Т. С. Т) 223, 417
Томас (Thomas Т. R.) 10
Томпсон (Thomson J. С.) 402
Треска (Tresca Н.) 176—181, 205,
237—239, 330
Трипп (Tripp J. Н.) 472—475
Уайт (White I. С.) 353
Уиллис (Willis J. R.) 156, 406
Уилсон (Wilson W. R. D.) 384
Уильямсон (Williamson J. В. R.)
464—467
Фалькович С. В. 52
Фёппль (Foeppl) 152
Ферри (Ferry J. D.) 354
Фесслер (Fessler Н.) 82, 117
Фикера (Fichera G.) 174
Фламан (Flamant А.) 25
Флом (Flom D. G.) 348
Фоллансби (Follansbee Р. S.) 199,
211
Форд (Ford Н.) 372
Фосс (Foss F. Е.) 207, 210
Фредрикссон (Fredriksson В.) 175
Фромм (Fromm Н.) 321
Фурье (Fourier J.) 159, 355
Хаар (Haar А.) 205
Ханкель (Hankel Н.) 163
Хантер (Hunter S. С.) 225, 348, 401,
418
Харди (Hardy С.) 199
Хат (Huth J. Н.) 419—421
Хейнс (Haines D. J.) 234, 299
Хетеньи (Hetenyi М.) 98, 267
Хиггинсон (Higginson G. R.) 380
Хилл (Hill R.) 187, 189, 196, 199
Хиллс (Hills D. А.) 82, 91, 122, 241
Хиткоут (Heatcote Н. L.) 289, 308
Хэддоу (Haddow J. В.) 189
Хэллинг (Hailing J.) 276, 354, 465
Хэмрок (Hamrock В. J.) 115
Цай (Tsai Y. М.) 405, 406
Церна (Zerna W.) 156
Чайлдс (Childs Т. Н.) 276, 456
Черрути (Cerruti V.) 58
Чернявский 6. Ф. 329
Чэллен (Challen J. М.) 275
Шилд (Shield R. Т.) 193, 194, 196
Ширко И. В. 365
Шлиппе (von Schlippe В.) 321
Штаерман И. Я. 78, 135, 136, 168
Шейл (Shail R.) 83
Эдвардс (Edwards С. М.) 276
Элдридж (Eldridge) 333
Энгель (Engel Р. А.) 163
Эрдоган (Erdogan F.) 164
Эссенбург (Essenburg F._| 166
Юнг (Young Т.) 105, 226, 439
Янг (Yang W. Н.) 219, 222
Предметный указатель
Адгезии сила (force of adhesion) 148
Адгезия (adhesion) 144
Анизотропия (anisotropy) 156
Блок прямоугольный упругий (rect-
angular elastic block) 129
Вал упругий (elastic pin) 135
Вариационные методы (variational
methods) 173
Верчение (spin) 14, 19, 278
Верчения параметр (spin parameter)
280
— полюс (—pole) 297
Волны дилатансии (dilatational wa-
ves) 389
• — дисторсии (distortional —) 389
• — напряжений (stress —) 386
— поперечные (transverse —) 389
— продольные (longitudinal —) 389
— Рэлея (Rayleigh —) 389
— ударные (shock —) 420
Восстановление (rebound) 405
Вязкость (viscosity) 221, 384
— переменная (variable —) 378
Вязкоупругость (viscoelasticity) 212,
344, 416
Гистерезис (hysteresis) 208, 258, 262,
324
Градиент перемещений (displacement
gradient) 30, 118
Демпфирование (damping) 264
Деформации накопление (cumulative
deformation) 333
Деформация плоская (plane strain)
21, 23, 47
Давление нормальное (normal pressu-
re) 31, 36
— Герца (Hertz —) 75, 80
Жидкость вязкая (viscous fluid) 373
Загрязнение (contamination) 270
Закон Гука (Hooke’s law) 23
— (ползучести) степенной (power—)
226
— трения скольжения Амонтона
(Amonton’s — of sliding friction}
234, 244, 468
Значение главное интеграла (prin-
cipal value of integral) 33, 42
Зона проскальзывания (slip zone) 53,
139, 244
— сцепления (adhesion —) 139, 243
Изнашивание (attrition) 260
Индентор сферический (spherical in-
denter) 216, 225, 231
Инденторы криволинейные (curved
indenters) 195, 229
Источник точечный (point source) 426
Источники распределенные (distribu-
ted sources) 426
— тепловые движущиеся (moving
heat —) 428
Каландрирование (calendering) 355
Качение (rolling) 13, 232, 278
— высокоскоростное (high speed —)
418
— с проскальзыванием (creep motion)
303
— свободное (free —) 15, 278, 283,
319
— co сверхзвуковой скоростью (su-
personic —) 422
— стационарное (steady —) 280
— циклическое (repeated —) 328
Клин (wedge) 127.
— двумерный упругий (two-dimensio-
nal elastic —) 127
— тупой (blunt —) 130, 178, 184, 272
— пластический (plastic —) 189, 268
504
Предметный указатель
Колесо прямозубое цилиндрическое
(involute spur gear) 16
Контакт линейный (line contact) 11,
21, 480
— негерцевский (-non-Hertzian —)
125 •
—• несогласованный (non-confor-
ming —) 11, 21
— скользящий (sliding —) 232, 268
— согласованный (conforming —) 11,
133
— с отставанием (receding —) 163
— термоупругий (thermoelastic —)
424
— точечный (point —) 11, 480
Конус тупой (blunt cone) 130, 178,
194, 200
Концентрация напряжений (stress
concentration) 21, 127
Коэффициент восстановления (coeffi-
cient of restitution) 412
— затухания удельный (specific dam-
ping capacity) 208
— интенсивности напряжений (stress
intensity factor) 149, 454
— потерь (hysteresis-loss factor) 208,
324
•— проскальзывания (creep coefficient)
293
—• температуропроводности (thermal
diffusivity) 425
— трения (coefficient of friction) 14,
40, 235, 239
Кривая опорная (bearing area curve)
459
— податливости (compliance —) 205
— проскальзывания (creep —) 292
Критерий максимального приведен-
ного напряжения (maximum redu-
ced stress criterion) 176
Круг Мора (Mohr’s circle) 33, 182
Кручение (torsional loading) 96, 265
Линии уровня напряжений (contours
of stress) 34, 121, 237
— скольжения (slip-lines) 181, 269
Материал вязкий (viscous material)
221
— вязкоупругий (viscoelastic —) 215,
344, 353, 416
— жестко-идеально-пластический (ri-
gid-perfectly-plastic —) 180, 268,
337
— Кельвина (Kelvin solid) 222
— Максвелла (Maxwell body) 215,
417
— упругопластический (elastic-plas-
tic —) 203, 326
Машина дисковая (disc machine) 18
Мембрана надутая (inflated membra-
ne) 318
Микроскольжение (micro-slip) 243,
278, 349, 358, 403
Модели пружинно-демпферные
(spring-dashpot models) 214, 393,
401
Модель натянутой струны (stretched
string) 320
Момент качения (rolling moment) 14
— верчения (спина) (spin —) 15
Нагрев локальный (local heating) 424
— фрикционный (frictional —) 442
Напряжение касательное максималь-
ное (principal shear stress) 112, 177,
238
Напряжений сингулярность (singula-
rity in stress) 27, 51, 126
Напряжения остаточные (residual
stresses) 207
Неоднородность (inhomogeneity) 157
Неустойчивость термоупругая (ther-
moelastic instability) 442
Область контакта кажущаяся (appa-
rent contact) 449
Оболочки (shells) 164
Осцилляция напряжений (stress os-
cillation) 126, 128
Основание вязкоупругое (viscoelastic
solid) 216
— Винклера (Winkler foundation) 122
— упругое (elastic substrate) 163,
315
Пластины (plates) 164
Плоскость касательная (соприкасаю-
щаяся) (tangent (osculating) pla-
ne) 12
Плотность спектральная (spectral den-
sity) 462
Площадка контакта (contact area) 15,
138
Повреждения (damage) 261
Податливость тангенциальная (tan-
gential compliance) 260, 477
Предметный указатель
505
Показатель пластический (plasticity
index) 469
Поле линий скольжения (slip-line
field) 181
Ползучесть (creep) 225
— установившаяся (steady —) 215
Полюс зацепления (pitch point) 16
Потенциал Буссинеска (potential
function of Boussinesq) 58
— Черрути (-----Cerruti) 58
Предел текучести (yield stress) 176
Приспособляемость (shakedown) 238,
326
Прокатка (rolling) 364
— горячая (hot —) 366
— холодная (cold —) 371
Пропахивание (ploughing) 272
Проскальзывание (slip) 48, 50, 129,
138, 188, 207, 243
— исчезающее (vanishing —) 295
— отрицательное (negative —) 129
— полное (complete —) 297
— частичное (partial —) 49, 142, 245,
250, 298
Профилограмма (profilometer trace)
459
Разгрузка (unloading) 96, 144, 206,
209', 259 .
Разрушение (fracture) 144
— усталостное (failure by fatique)
263
Разрушения линейная механика (li-
near fracture mechanics) 149
Резонанс контактный (contact reso-
nance) 396
Роликоподшипник конический (taper-
roller bearing) 20
Сепаратор (cage) 18
Сила касательная (tangential force)
14, 233, 257
--- сосредоточенная (concentra-
ted ------) 27
— нормальная (normal —) 14
---сосредоточенная (concentra-
ted ------- ) 24, 63
осциллирующая (oscillating —) 37,
257, 313
Скольжение (sliding) 13, 40, 53, 232
— высокоскоростное (high speed —)
418
— co сверхзвуковой скоростью (su-
personic —) 422
Скольжения инициирование (incipient
sliding) 242, 257
Скорость линейная (linear velocity) 13
— скольжения (sliding—) 17
— угловая (angular —) 13
-----верчения (angular— of spin)
19
Слой упругий (elastic layer) 157
Смазка (lubrication) 372
— упругогидродинамическая (elasto-
hydrodynamic —) 378
Смятие (crushing) 189, 268, 456
Сопротивление повороту (camber
thrust) 306
Твердость no Виккерсу (Vickers py-
ramid hardness) 199, 203
Текучести критерий (yield criterion)
176, 181
-----Мизеса (von Mises--------) 176
-----Треска (Tresca’s---------) 176,
362
Тепловыделение при трении (frictio-
nal heating) 424
Течение пластическое (plastic yield)
176
.Течения пластического начало (onset
of plastic yield) 112, 178, 236, 241,
326, 361, 408
Точка контакта (point of contact) 12,
14
Трение (friction) 40, 48, 129, 138, 187
— качения (rolling —) 14, 349
Трещины (cracks) 149, 246, 454
Угол потерь (loss angle) 353
Удар (impact) 225, 386
— высокоскоростной (high speed —)
414
— косой (oblique —) 402
— неупругий (inelastic —) 408
— сверхскоростной (hypervelocity —)
416
— упругий (elastic —) 398
Упрочнение деформационное (strain-
hardening) 203
Упругость нелинейная (nonlinear elas-
ticity) 225
— запаздывающая (delayed —) 215
Уравнение Кармана (Karman’s equa-
tion) 366
— Рейнольдса (Reynolds’ —) 374,
379
Уравнения сингулярные интегральные
(singular integral equations) 41
Условие Хаара — Кармана (Haar —
von Karman condition) 205
506
Предметный указатель
Условия граничные (boundary condi-
tions) 40
Усталость при фреттинге (fretting fa-
tigue) 37, 263
— Пекле (Peclet —) 430
— Рейнольдса (Reynolds’ —) 373
Фильтр функциональный (functional
filtering) 463, 476
Фреттинг (fretting) 262
Фронт волновой (wave front) 391,420
Функция напряжений (stress func-
tion) 23
— потенциальная (potential —) 59,
63
— автокорреляционная (autocorrela-
tion —) 462
— ползучести (creep compliance) 216,
417
— релаксации (relaxation —) 216,
417
— сдвига (shift factor) 354
Цикл зацепления (meshing cycle) 18
Цилиндр упругий (elastic cylinder)
129, 139, 150, 235, 244, 283, 376
Число Деборы (Deborah number) 346,
353
— Маха (Mach —) 419
Шар упругий (elastic sphere) 135,
141, 240, 250, 265, 287, 398, 471
Шарикоподшипник радиально-упор-
ный (angular contact ball-bearing)
18
Шероховатость (roughness) 146, 354,
449
— случайная (random —) 358
— среднеквадратичная (mean squa-
re—) 462
Шины пневматические (pneumatic ty-
res) 318
Штамп с плоским основанием (flat
punch) 47
— жесткий (rigid —) 42, 126
— гладкий (frictionless —) 48, 95
Энергия поверхностная (surface ener-
gy) 145
— полная свободная (total free —)
147
— упругой деформации (elastic
strain —) 146
— диссипированная (dissipated —)
15, 260, 354
Contact mechanics
К. L. JOHNSON
Professor of Engineering, University of Cambridge
First published 1985
First paperback edition (with correction) 1987
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
CAMBRIDGE
NEW YORK NEW ROCHELLE
MELBOURNE SYDNEY
К. Джонсон
МЕХАНИКА
КОНТАКТНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Перевод с английского
В. Э. Наумова и . А. А. Спектора
под редакцией
Р. В. Гольдштейна
МОСКВА «МИР» 1989