Text
                    Г. ХАНТЛИ
АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕ


ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
DIMENSIONAL ANALYSIS by H. E. HUNTLEY Dover Publications, Inc. NEW YORK 1967
Г. Хантли АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ Перевод с английского А. Ф. УЛЬЯНОВА Под редакцией И. Т. АЛАДЬЕВА и К. Д- ВОСКРЕСЕНСКОГО _1идРомеханики МГУ ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" МОСКВА 1970
УДК 1530.1? Книга, представляющая учебный курс, посвящена систематическому изложению метода анализа размерностей в объеме, необходимом для практического применения во многих областях науки и техники. В первой части книги традиционно изложены понятия о единицах измерения и размерностях, показано использование метода при решении задач физики и при постановке эксперимента. Вторая часть книги посвящена дальнейшему углублению метода анализа размерностей. Автор развивает здесь оригинальную идею о способах увеличения числа независимых единиц измерения при решении задач с большим количеством физических величин, рассматривает сложности и противоречия, присущие изучаемым методам, что, безусловно, увеличивает интерес читателей к данным проблемам. Книга написана просто и ясно, с большим количеством примеров. Предназначена для студентов, аспирантов, инженеров, научных работников весьма широкого круга специальностей, решающих физические задачи в своей повседневной практике. Редакция литературы по новой технике Инд. 3-3-10 141-70
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Небольшая книга Хантли «Анализ размерностей» задумана как учебное пособие для физиков. Но и в этом качестве книга отличается во многих отношениях от других известных монографий и пособий. Прежде всего элементарностью и полной доступностью изложения для широких кругов научных работников, аспирантов, инженеров и студентов разных специальностей. Автор обсуждает ряд фундаментальных положений, лежащих в основе точных наук. К числу их относится уже давно поставленный и до сих пор не решенный вопрос об основных (первичных) и производных (вторичных) единицах измерения. Хотя в книге нет решения этой проблемы, но рассуждения автора, анализ ее истории и состояния интересны как по содержанию, так и по форме и представляют определенный шаг в ее развитии. Читатель видит прагматическое и ощущает гносеологическое значение этой проблемы. Основные цели книги — почти исключительно прагматические— обучение методике и технике применения анализа размерностей для решения практических задач. Поэтому автор сосредоточил внимание на демонстрации возможностей анализа размерностей, подробно рассматривая ход решения различных задач, выбранных из многих разделов физики и техники. Анализ сильных и слабых сторон метода б
проводится на основе этих частных примеров. Рассмотрение в общем виде почти не проводится. Нет и строгих математических доказательств основных теорем анализа размерностей, в том числе, и я-тео- ремы. О ней в книге вообще нет упоминаний, хотя ее выводами автор постоянно пользуется, обосновывая их логически. Первые четыре главы посвящены изложению в основном известного материала. Здесь обсуждаются представления о единицах измерения, формулах размерностей, требованиях однородности физических уравнений и методах анализа размерностей; приве- дены решения классических задач, разбросанных по литературе. Новое, оригинальное, представляющее наибольший интерес, излагается в последующих главах, где описан обобщенный метод анализа размерностей, основанный на использовании так называемых «дифференцированных» единиц измерения. Сущность этого метода кратко заключается в следующем. Обычно три размера по трем взаимно перпендикулярным направлениям имеют одну единицу измерения. В новой дифференцированной, или векторной, системе единиц трем размерам соответствуют три различные единицы измерения, соответствующие высоте, длине и ширине трехмерного тела. Такой выбор единиц формально мотивируется тем, что для измерения трех упомянутых величин необходимо три раза повернуть масштабную линейку в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Физическое обоснование такого подхода основано на неравнозначности геометрических размеров исследуемой системы. Обычно это учитывается выбором так называемого определяющего размера. При этом считается, что единица измерения длины одна и та же для различных направлений пространства. Хант- б
ли в этой книге убедительно показал преимущества использования векторных единиц измерения вообще, длины в частности. Если использовать только векторные единицы пространства (длины), то число основных единиц измерения будет на два больше, чем прежде. Поэтому в соответствии с л-теоремой количество критериев сократится на два. Число первичных (основных) единиц длины можно еще увеличить, придав единице длины положительное н отрицательное значения. В этом случае число первичных единиц измерения в некоторых задачах увеличится на четыре. Аналогичным же образом обстоит дело и с массой, для которой возможны две единицы: единица массы как мера инерции и единица массы как мера количества вещества. Как известно, анализ размерностей позволяет получить полное решение задачи, с точностью до постоянной, если разность между числом существенных для процесса переменных и числом основных единиц измерения равна единице. Следовательно, такой подход позволяет существенно увеличить число задач, решаемых методом размерностей. Это и демонстрируют многочисленные задачи, приведенные в книге. Такой подход к анализу размерностей не является новым. Впервые о нем упоминал, как указывает автор, В. Вильяме в 1892 г. [6]. Аналогичные идеи высказывались А. П. Ваничевым [4] в 1938 г. и Л. И. Седовым в предисловии к книге [3]. Однако дальнейшего развития в отечественной литературе эти идеи не получили. Эти идеи, однако, представляются весьма важными, существенно расширяющими возможности метода размерностей. Книга в целом написана кратко, ясно, хорошим языком и читается с удовольствием и увлечением. 7
Мы надеемся, что перевод книги Хантли будет встречен с интересом нашим читателем. И. Аладьгв К. Воскресенский ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Афанас ьева-Эренфест Т., Принцип размерности, Журнал Русского физико-химического общества, X, IV, физический отдел, вып. 7, 245 A917). 2. Б р и д ж м е н П. В., Анализ размерностей, ОНТИ — ГТТИ, 1934. 3. Б и р к г о ф Г., Гидродинамика, ИЛ, М., 1962. 4. В а н и ч е в А. П., О расширении содержания физического подобия, ЖТФ, VIII, вып. 2, 198 A938). 5. Морозов Н., Качественный физико-математический анализ. 6. W i 11 i a m s W., Phil. Mag., 34, 234.
Глава I ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ ВВЕДЕНИЕ Физика — точная наука. Она базируется на тщательном измерении величин. Процесс измерения может быть как прямым (например, при нахождении длины стола), так и косвенным (например, при определении длины волны монохроматического светового излучения). В обоих случаях количественная мера той или иной физической величины выражается числом. Это число представляет собой отношение, полученное путем сопоставления одной величины с другой величиной того же рода. Если требуется сообщить такому числу конкретное содержание, то необходимо дать определение той количественной мере данной физической величины, которая используется в качестве основы для сравнения. Утверждение, что «длина стола равна 5 футам», означает, что нами уже была выбрана некоторая единичная длина, а именно один фут, и что отношение длины данного стола к этой выбранной длине равно 5. Аналогично одному футу выделены (условно) и некоторые другие величины, названные единицами измерения. Результат измерения выражается числом, за которым следует название единицы, использованной при измерении, например 5 футов. Каждой физической величине соответствует определенная единица измерения. Казалось бы, это должно обусловливать существование весьма большого количества различных названий таких единиц. Однако экономия в терминологии достигается выбором единиц, которые простым образом связаны как друг с другом, так и с той пли иной совокупностью измеряемых величин, и которые называются основными единицами измерения. Например, единица площади 9
связана с единицей длины следующим образом: пл .- шадь стола длиной 5 футов и шириной 3 фута равна E X 3) квадратным футам. Кроме, того, экономии способствуют и другие обстоятельства, например знание того факта, что энергия переходит из одного вида в другой. Так, единица количества тепла {калория) эквивалентна приблизительно 4,2-107 единицам работы (эрг); таким образом, количество тепла может быть выражено при необходимости в эргах. Основные и производные единицы. Этот пример напоминает нам о том, что основу физики в значительной мере составляют законы движения, безукоризненно сформулированные Ньютоном. В механике, которая является фундаментальной наукой, три единицы измерения, а именно единицы длины, массы и времени, приняты в качестве основных; в 1832 г. Гаусс назвал их абсолютными единицами. Очевидно, эти единицы представляют собой элементарные научные категории, которые не могут быть ни выведены одна из другой, ни сведены к еще более простым единицам. Остальные употребляющиеся в физике единицы называются производными. Например, единицы скорости и ускорения выражаются через две основные единицы: длину и время. Единицы измере* ния силы, момента, механической энергии и мощности зависят от всех трех основных единиц. Если при изучении механических явлений достаточно лишь трех основных единиц измерения, то изучение электричества и магнетизма показало желательность использования некоторых других основных единиц. Дальнейшие соображения по этому вопросу изложены ниже (см. стр. 149). Основные системы единиц измерения. В зависимости от выбора основных единиц измерения существует несколько так называемых абсолютных систем единиц. Основные единицы, принятые в физике: 1. Для длины — сантиметр. 2. Для массы — грамм. 3. Для времени — секунда. Это так называемая система СГС (сантиметр, грамм, секунда). Способ выбора таких единиц в значительной степени произволен: например, сантиметр был выбран Ю
Как доля земного меридиана. В принципе могли бы быть выбраны другие единицы, представляющие собой абсолютные физические константы, например скорость свега в вакууме, гравитационная постоянная или длина волны данной линии спектра. Употребляются также две другие системы абсолютных единиц. Основные единицы британской си- стемы или систем FPS: (фут, фунт, секунда): 1. Для дл ины — ярд. 2. Для массы — фунт. 3. Для времени — секунда. В метрической системе единиц (СГС) метр определен как расстояние между двумя штрихами, нанесенными на платино-иридиевом стержне, который находится н Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Грамм определен как тысячная часть килограмма — массы платино-иридиевого цилиндра, также хранящегося в Севре. Секунда определена как 1/86400 часть суток, продолжительность которых осредняется для периода 12 месяцев. В британской системе единиц FPS ярд первоначально определялся как расстояние между двумя штрихами на золотых штифтах бронзового стержня, хранившегося в Бюро стандартов министерства торговли в Лондоне. Впоследствии этот стержень был заменен платино-иридиевым стержнем. В научной практике при пользовании британской системой единиц употребляется 7з часть ярда — фут. Наконец, фунт — это масса платино-иридиевого цилиндра, так^ же хранящегося в Бюро стандартов. Система МКС, тесно связанная с системой СГС, имеет определенные практические преимущества, которые находят все более широкое признание''. Некоторые единицы измерения слишком малы (или велики) по сравнению с измеряемыми величинами. Именно поэтому полезно пользоваться единицами различного размера. Например, обычно используется целый ряд различных единиц длины на основе сантиметра. В спектроскопии употребляют ангстрем (А), равный 10~7 мм, и миллимикрон (ммк), ') Превосходный обзор по этой теме дал проф. Роуклиф в [1]; см. также [2]. 11
равный 10~б мм. В микроскопии используется микрон (мк), равный 10~3 мм, или одной миллионной доле метра. Межзвездные расстояния измеряются в световых годах; один световой год соответствует пути, проходимому лучом света в течение года со скоростью 2,99• 1010 см/сек (скорость света в вакууме). Подобные же замечания можно сделать о единицах массы и времени, однако нет необходимости развивать здесь' этот вопрос. Следует иметь в виду, что определение численных значений единиц измерения и пользование ими связаны с проведением физических экспериментов; между тем основным предметом рассмотрения в данной монографии является не размер, а природа основных и производных единиц. Размерности физических величин. Производные единицы измерения могут быть связаны с основными единицами не только простыми соотношениями кратности, но также степенными зависимостями, причем степени единиц длины, массы и времени могут находиться в разных комбинациях. Например, единица площади есть (единица длины) 2, единица объема есть (единица длины) 3; говорят, что площадь представляет собой 2-размерную категорию длины [L2], а объем — 3-размерную категорию длины [L3]. Скорость есть отношение числа, представляющего собой расстояние, проходимое движущейся точкой, к другому числу — времени прохождения этого расстояния, т. е. число единиц длины делится на число единиц времени. В математическом представлении это записывается как [V] = [LT~l], что означает: «размерность скорости равна размерности длины, деленной на время»; квадратные скобки заменяют понятие «размерность (данной величины)». В последующем тексте квадратные скобки обычно опускаются, а термин «размерность» подразумевается. Подобным же образом ускорение равно числу единиц измерения скорости, деленному на число единиц измерения времени; VT'1 = LT~2. Такое выражение называется формулой размерности. Показатели степеней в размерности физической величины являются степенями основных единиц, выражающих эту величину. Например, показатели степеней в размерности ускорения равны 1 для длины и —2 для времени. 12
Определение единицы силы, вытекающее из ньютоновского второго закона движения, выводится на основе уравнения Сила = Масса X Ускорение. Отсюда формула размерности для силы есть MLT~2. Термин «размерность» используется также как сокращенная форма выражения «показатель степени размерности». Следует отметить, что формула размерности любой физической величины не содержит численных коэффициентов. В этом отношении такая формула не полностью характеризует физическую величину. Кинетическая энергия частицы с массой т, движущейся со скоростью v, равна V2 mv \ Следовательно, размерность механической энергии M(LT~1J = = L2MT~2; коэффициент 7г в этой формуле отсутствует. В механике и смежных областях физики размерности физических величин можно получать, исходя из формального определения этих величин. Например, по определению, мощность — это работа, совершаемая в единицу времени, т. е. .. Сила X Путь Мощность == 5 —. Время Согласно этому определению, формула размерности для мощности имеет вид Ml^hLL, нли L2MT-\ Однако в других областях физики размерности физических величин не всегда удается получать лишь на основе их определения. Например, единица количества теплоты (калория) определяется как количество теплоты, нужное для нагревания 1 г воды от 14,5 до 15,5° С. Очевидно, такое определение не позволяет получить размерность физической категории «теплота» без дальнейшего изучения природы теплоты и связи ее с другими физическими величинами (см. гл. VIII). Такие же замечания можно сделать о размерности температуры и некоторых физических величин, 13
относящихся к области магнетизма и электричеств; (см. гл. IX). Выбор основных единиц. Следует отметить, чтс в качестве основных единиц измерения можно выбирать не только так называемые абсолютные единицы, хотя в общем случае это приводит к усложнению формул. Например, можно было бы предложить единицы силы (F), длины и времени полагать основными. В этом случае размерность массы будет FL'lT2, а плотности FL'^T2 вместо М и L-W. Хотя при выборе «искусственных» совокупностей основных единиц (таких, как F) достигается упрощение некоторых проблем, связанных с анализом размерностей, это не является общим случаем. Было отмечено, что признание основными единиц длины, массы и времени до некоторой степени носит интуитивный характер (кстати сказать, это обстоятельство могло бы послужить интересной темой для философского размышления). Кроме того, поскольку главными инструментами физика являются измерительная линейка, весы и часы, использование единиц длины, массы и времени в качестве основных рассматривается как свидетель* ство тесной связи теории размерностей с практикой. Следуя традициям многих поколений физиков, будем полагать здесь [L], [М] и [Т] основными единицами. Однако в гл. V будет показано, что первые две из них можно «разложить» на более простые, более фундаментальные единицы и что в итоге это приводит к существенному упрощению метода и к расширению его возможностей. В табл. I приложения (стр. 171) представлены формулы размерностей ряда физических величин при использовании единиц длины, массы и времени в качестве основных. Типы физических величин. Физические величины, присутствующие в уравнениях физики, являются либо переменными, либо постоянными; те и другие в свою очередь могут быть размерными или безразмерными. /. Размерные переменные величины. Эти величины — «разменная монета» физика — уже фигурировали выше; их перечень дан в табл. I. И
2. Размерные постоянные величины. Простым примером может служить скорость света в вакууме с. Она имеет постоянное значение и равна 2,99-1010 см!сек; ее размерность LT~l. В качестве другого примера приведем G — гравитационную постоянную, значение которой приближенно равно 6,67-10~8 единиц СГС; ее размерность L3M_ir-2. 3. Безразмерные переменные величины. Некоторые отношения физических величин являются безраз* мерными. Угол, определяемый как Длина дуги окружности Длина радиуса окружности ' имеет размерность -£- = L°. Объемная деформация, т. е. Изменение объема Объем ' имеет размерность -jy = L°, а относительный удельный вес -?Ч~ = L°M°. L~3M Сюда следует добавить группы размерных переменных величин в сочетании с размерными постоянными величинами или без них. Эти переменные скомбинированы таким образом, что в итоге размерность комбинации является нулевой для каждой из основных единиц. Примером может служить число Рейнольдса -^-, где v — скорость, р — плотность, / — длина и Г] — вязкость. Его размерность lt~1-l~3m- l-=l0m°t0. L~lMT~l Такие безразмерные величины Д. Томсон назвал численными. 4. Безразмерные постоянные величины. В формуле периода колебаний математического маятника t — 2n{l/g)'l> коэффициенты 2 и л— безразмерные постоянные величины. Они являются чистыми числами. Хотя число я, которое есть отношение длины 15
окружности к радиусу, имеет размерность -j- = L°, его можно представить как сумму ряда 4 (l ~~з" + -к-~ -;+■■•)■ С этой точки зрения п является чистым числом. Такого рода числовые коэффициенты не рассматриваются в теории размерностей. Приведенная классификация важна для последующего изложения материала. В дальнейшем тексте содержится много примеров физических величин всех четырех типов. В частности, объединение размерных переменных и размерных постоянных в безразмерные группы, которые становятся функционально зависимыми аргументами в уравнении, является методом, к которому часто прибегают для использования потенциальных возможностей анализа размерностей. ЛИТЕРАТУРА 1. Rawclif fe G. H., The School Science Review, XXXI, 113, 72. 2. S a s, Pidduck, MKS System of Electrical Units (Methuen Monograph Series).
Глава II МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ Использование размерностей физических величин для вывода формул и уравнений, а также возможности и ограничения метода размерностей легче уяснить на конкретных примерах. При первом ознакомлении с методом может вызвать удивление простота средств, позволяющих получать формулы элементарной механики без выполнения каких-либо аналитических операций, посредством которых обычно эти формулы выводятся. Нетрудно видеть, что метод размерностей, если оставить в стороне более важные случаи его применения, может также служить для контроля памяти и для проверки правильности полученных уравнений. Примеры. В качестве иллюстрации рассмотрим четыре примера из области элементарной динамики. Они связаны с несложными задачами о движении в гравитационном поле, хорошо известными студентам, изучающим основы физики. 1. Сделанное Галилеем открытие, состоящее в том, что существует определенное соотношение между расстоянием, которое проходит тело, свободно падающее из положения покоя, и временем его падения. 2. Закон тяготения Ньютона. 3. Определение g при помощи математического маятника. 4. Физический маятник. По мере дальнейшего изложения материала возникнут вопросы, касающиеся обоснования собственно метода размерностей, значения некоторых терминов " т. д. 2 Зак. 599
Мы кратко остановимся на этих вопросах, но в течение некоторого времени они будут оставаться без ответа. Их рассмотрение откладывается до той стадии, когда будут осуществлены текущие задачи показа практического использования анализа размерностей как рабочего инструмента без какого-либо обоснования методики его применения или обращения к его философским аспектам. Пример 1. Определить расстояние, проходимое за данный промежуток времени телом, свободно падающим из положения покоя. Первым этапом решения является выявление физических величин, от которых зависит проходимое телом расстояние s. Очевидно, оно зависит от времени падения I и от ускорения силы тяжести g. Зависит ли расстояние s от каких-либо иных переменных? В известной дискуссии Галилея с его оппонентами последние с уверенностью утверждали, что s зависит от массы тела т. Галилей экспериментально показал, что и тяжелый, и легкий камки, одновременно сброшенные с «падающей» Пизанской башни, достигают ее подножия также одновременно (этот опыт не убедил оппонентов Галилея). Этот классический спор должен постоянно напоминать нам о том, что при таком использосании метода размерностей задача выбора влияющих переменных и отбрасывания невлияющих переменных не всегда является простой. Допустим на время, что противники Галилея правы, и включим в список переменных массу тела т. Это означает, что s является функцией s = f(g, t, т). Наша цель состоит в отыскании вида этой функции. С некоторым ущербом для общности искомую функцию можно представить в виде ряда s = Cl-gatbmc + C2-ga'tb'mc' + .... где Си Сг... —неизвестные коэффициенты; требуется определить показатели степеней, 18
Однородность по размерностям. Метод размерностей требует, чтобы каждый член этого уравнения имел одинаковые размерности длины, массы и времени, т. е. а в а' - а" = ..., Ь = V = Ь" - ... и с = с' = с" = ... . Так как в выражении для s размерность длины равна 1, а размерности массы и времени равны О, то с = с' = с" = ... = 0. Таким образом, либо (как и утверждал Галилей) s не зависит от массы тела, либо при составлении уравнения была пропущена какая-то физическая величина. Рассмотрим последовательно эти альтернативы. Имеем s = C-gatb (С = С, + С2+ ...). Так как размерность g есть 1Г~2, то размерность g4b имеет вид (LT~z)a(Tb) = LaT~2a+b. Приравнивая последнее выражение формуле размерности для s, т. е. L, получаем L~LaT~Sa+b. Могут возникнуть следующие вопросы. Вопрос 1. Существует ли возможность неоднозначности формулы размерности физической величины? Неизвестные показатели степени а и Ь определяются согласно упоминавшемуся выше основному принципу теории размерностей: любое уравнение, однотипное с вышеприведенным, должно быть однородным по размерностям, т. е. показатели при основных единицах (длины, массы и времени) должны быть одинаковыми в каждом члене уравнения. Следовательно, налицо следующая система из двух уравнений: для показателей при L 1 «= а, для показателей при Т 0= — 2а+ Ь; отсюда о= 1, 6 = 2 и s = C-gt2. В связи с этим возникает следующий вопрос: Вопрос 2. Каким образом определять значения численных коэффициентов в формуле?. •i* 19
Пока будем полагать, что оценка численных коэффициентов методом размерностей невозможна. Рассмотрим теперь альтернативную возможность, которую могли бы выдвинуть оппоненты Галилея, а именно что в функциональное уравнение следует ввести некоторую влияющую переменную, например вес w падающего тела; таким образом, s = f(g, t, т, w): или s = С • gatbtncwd. Поскольку вес есть сила (тяжести), то формула размерности для w выражается как LMT~2 и соответствующее уравнение имеет вид L = (LT-2)a{T)b(Mf{LMT-2)a. Из условия, что показатели степени при единицах длины, массы и времени одинаковы в обеих частях уравнения, получаем следующую систему уравнений: для показателей при L 1 = а + а, для показателей при М О = с + d, для показателей при Т 0 = — la + b — 2d. Так как имеется четыре неизвестные величины и только три уравнения, необходимо выразить три неизвестные величины через четвертую. Выбрав d в качестве четвертой неизвестной, получаем а = 1 — d, 6 = 2, с— — d. Следовательно, s = C'.gx-dt2m-dwd или Известно, что для данного пункта земной поверхности вес пропорционален массе тела. Таким образом, здесь опять показано, что s не зависит от массы падающего тела, так как w/tng является чис- 20
ленной безразмерной величиной, которую можно объединить с коэффициентом С. В итоге имеем На основании других предпосылок С" имеет значение '/г, и s = l/2gt2. Выбор переменных. Этот простой пример может служить для подтверждения важности выбора наиболее существенных физических величин, которые следует вводить в соответствующее уравнение, а также для одной из интересных особенностей метода размерностей. Предположим, что, кроме переменных g и t, скорость v, которую приобретает тело за время t, также является влияющей переменной величиной. В этом случае первичное уравнение имело бы вид s = С • gavbf, а соответствующее уравнение размерности L = (LT-2)a{LT-lf{Tf, (длина) 1 = а + Ь, (время) 0 = — 2а — Ъ + с. Тогда Ь=\—а и с= I + а. Следовательно, s = С • gavl~atl+a или -Cvtffl. Обе части последнего уравнения имеют одинаковую размерность при любых значениях а. Если а — 1, то s = Cgt2, как и ранее. Если а = О, то s = C\vt\ при С\ = '/г эта формула является приемлемой, но неудобной, так как в условии задачи Дано t, но не дано v. Отсюда можно заключить, что введение в исходное уравнение невлияющих физических величин не всегда приводит к неправильным выводам, но может иметь следствием получение целого ряда менее удачных вариантных решений. 21
Итак, одна из интересных особенностей использования анализа размерностей состоит в том, что неудачный выбор переменных в большинстве случаев дает правильное, но не столь полезное и содержательное решение, как при более удачном выборе. Крайне неудачный выбор физических переменных величин может дать тривиальный ответ, но он не обязательно будет неверным. Тогда возникает следующий вопрос: Вопрос 3. Каков критерий выбора оптимальных физических величин для составления конкретного уравнения? Размерные постоянные. Второй пример относится к задаче (из области астрономии) о движении двух тел. Пример 2. Планета обращается вокруг своего солнца по эллиптической орбите с большой осью D. Найти период обращения планеты. По-видимому, основными физическими величинами, которые влияют на период обращения t, являются масса звезды М, масса планеты т и длина оси эллипса D. Ньютоновское уравнение для силы притяжения F между двумя массами, находящимися на расстоянии г друг от друга, имеет вид п МХт Метод размерностей позволяет произвести проверку этой формулы. В то время как основная единица измерения Т содержится в формуле размерности левой части уравнения, она не содержится ни в одном из сомножителей правой части. Следовательно, данное уравнение неоднородно по размерностям. Здесь пропущен коэффициент пропорциональности, а именно гравитационная постоянная G. Введение этого недостающего множителя (формула размерности L3M~lT-2) в правую часть уравнения позволяет сбалансировать это уравнение по размерностям. Таким образом, G является постоянной величиной, имеющей размерность. В связи с этим может быть поставлен такой вопрос: 22
Вопрос 4. Что такое размерная постоянная? Составим следующую таблицу для пяти физических величин: Физическая величина Период Масса звезды Масса планеты Большая ось орбиты Гравитационная постоянная Обозначение / М т D G Формула размерности Т м м L L3 М~1 Г2 Запишем функциональную связь между этими величинами в виде t = f(M, от, D, G). Приравнивая показатели степеней длины, массы и времени (по каждой из этих категорий), можно получить лишь три уравнения, связывающих между собой четыре переменных. При этом, как и в предыдущем примере, необходимо выражать некоторые показатели в функции одного из них. В этой связи возникает следующий вопрос: Вопрос 5. Можно ли получить правильное решение задачи путем анализа размерностей, когда число физических переменных величин превышает "число основных единиц измерения? Ответ на этот вопрос дается при решении нижеследующей задачи. Предположим, что функция f может быть представлена в виде произведений параметров, возведенных в степени: t = С • MambDcGd + Аналогичные члены уравнения. Согласно условию однородности по размерностям, необходимо, чтобы размерности длины и массы в каждом слагаемом были равны нулю, а размерность 23
времени была равна 1. В итоге уравнение размерности (для одного члена) будет иметь вид T = MaMbLc(L3M-!T-2)d. Как и в предыдущем примере, составляем систему уравнений: (длина) 0 = с + 3d, (масса) 0 = а + Ь — d, (время) 1 = — Id, откуда а = а, о = — — —a, c = -j, d = — у. Следовательно, t = C- M"m~4*"aD*hG~t!', т.е. t-C.Dl'iGm)-*^)'. (Gm) \ т ) Таким образом, в итоге мы получили закон Кеплера: квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой оси орбиты. Множитель I— является численной величиной. Данный пример интересен тем, что он показывает возможность получения важного результата весьма простым алгебраическим способом. Третий пример является обычным для лабораторного практикума. Пример 3. Найти период колебаний математического маятника. Как и в предыдущих примерах, вначале выявим все физические величины, определяющие собой период колебаний t. 1. Масса т тела маятника. 2. Сила тяжести f, действующая на тело маятника. 3. Длина / подвесного стержня. 4. Длина /' дуги колебаний. 5. Линейный размер /" тела маятника. 6. Ускорение силы тяжести g.
До сих пор не был дан ответ на вопрос 3 /стр. 22) о критерии выбора оптимальных переменных. Это позволяет нам принять следующие допущения: во-первых, величина /" мала и ею можно пренебречь, во-вторых, /' не влияет на конечный результат, если эта величина тоже мала. Следует заметить, что эти допущения должны быть удостоверены экспериментально. Оставшиеся физические величины можно свести в таблицу: Физическая величина Период колебаний Масса маятника Вес маятника Длина подвесного стержня Обозначение t т f 1 Формула размерности Т м L М Г2 L В виде попытки выразим искомую функцию как t = F{m,f,t). Задача состоит в выявлении характера функции/7. Придерживаясь той же методики, что и ранее, получаем. t = С ■ maflc. Здесь снова возникает вопрос о допустимости наложения ограничения на общность функции F и сведения ее лишь к представленной форме. Вопрос 6. Является ли оправданным представление функции в виде суммы произведений переменных величин, возведенных в степени? При составлении уравнения размерности в качестве основных единиц опять будут приняты единицы Длины, массы и времени; однако может возникнуть мысль о возможности использования некоторых других единиц в качестве основных. Может ли в данном случае быть получен удачный результат, если основными единицами остаются только единицы длины, массы и времени? 25
Вопрос 7. Достигаются ли какие-либо пренму. щества, если в качестве основных единиц измерения брать единицы не длины, массы и времени, а иппх физических величин? Читатель может попытаться ответить на этот во-1 прос самостоятельно, пробуя свои силы в решении рассматриваемой задачи. Уравнение размерности имеет вид T = Ma(LA4T~2?L'. Решение находим обычным способом: (длина) 0 = b + с, (масса) 0 = а + Ь, (время) 1 = — 2Ь, 1 и 1 1 откуда я = у> о = -у. с = у и t = Ст'ТЧ1' или / = С • 1/ -4-. Знание основ механики позволяет использов,. гь tng, т. е. вес маятника, вместо / (здесь g— ускорение силы тяжести); таким образом, г g Величина t(g/l)'/2 является численной. Значение С равно 2я, но, как было отмечено, ;запросы оценки численных коэффициентов выходят ;з рамки рассмотрения метода размерностей. Если читателю уже было известно, что период колебаний математического маятника не зависит от массы тела маятника, он мог бы получить реше'.чз более простым способом, приняв F = (/, g). Каков б:лл бы результат, если бы /', длина дуги качания, ;<е была исключена из числа переменных величин? Ответ на этот вопрос будет получен при решении следующего примера. Физический маятник. Пример 4. Найти период колебаний физического маятника, 26
Введем следующие обозначения: / — расстояние от оси вращения до центра тяжести тела маятника; /' — длина дуги колебаний, проходимая центром тяжести маятника; f — вес маятника; / — момент инер< ции. Эти пять величин указаны в нижеследующей таблице: Физическая величина Период колебаний Момент инерции Вес маятника «Длина» маятника Длина дуги колебаний, проходимая центром тяжести Обозначение t 1 f I V Формула размерности т и м L М Г' L L Как и ранее, представим t как исчерпывающую функцию табличных переменных: t-F(I,f,l,n. Естественно, этот список переменных не является единственно возможным. Однако выбор именно этих переменных величин не произволен; он основан на интуитивной оценке факторов, влияющих на /. Действительно, решение задачи можно получить, используя следующий набор физических величин: m — масса маятника; k — радиус вращения; I' — длина дуги колебаний, проходимая центром тяжести; g — ускорение силы тяжести. Читателю предлагается решить самостоятельно эту задачу с таким набором переменных. Предположим, что / = С • Iafblcl'd. Тогда уравнение размерности имеет вид T = {L2M)a(LMT-2)bLcL\ (длина) 0 = 2a + b + c + d, (масса) 0 = а + £>, (время) 1 = — 2Ь, 27
Следовательно, а — -^ , Ь= —у, с = —-^ — d, d=d. В итоге t = C.l''r'hr'''-Y или _ где I'll является численной величиной, равной углу отклонения маятника в радианах. Так как / = mg, где т — масса маятника, то окончательно t - С, • l/"-^- . 1 Г mgl Задача о периоде колебаний маятника рассматривалась здесь довольно подробно, так как она, с одной стороны, хорошо известна из курса основ физики, а с другой стороны, служит хорошей иллюстрацией простоты и широких возможностей (равно как и ограничений) метода размерностей. Значение метода размерностей. Бесспорно, теория колебаний маятника в той ее классической форме, которая разработана в механике, дает больший объем информации, чем анализ размерностей, поскольку позволяет получать численные коэффициенты. Кроме, того, она дает возможность глубже постигнуть физику явлений. Тем не менее метод размерностей обеспечивает получение отличных результатов весьма прямым образом. Можно по справедливости считать замечательным то обстоятельство, что такая простая операция, как сравнение показателей степеней (размерностей), является чрезвычайно результативной. Решение системы из двух или трех уравнений, достаточно простых для того, чтобы их можно было решить в уме, позволяет получить важные сведения о взаимосвязях, существующих между физическими величинами, фигурирующими в задаче. Для математического маятника было найдено, что период колебаний не зависит от массы маятника, прямо пропорционален корню квадратному из длины и обратно пропорционален корню квадратному из g. Для физического маятника было установлено, что его период колебаний прямо пропорционален корню квадратному из момента инерции и обратно пропорцио- 28
нален моменту вращения, он зависит не от длины дуги, а от угла отклонения маятника. Таким образом,'в обоих этих примерах метод размерностей позволил выявить все факторы в формуле для периода колебаний, за исключением численных коэффициентов; этот результат был достигнут с помощью простых и прямых операций. Ответы на вопросы.Рассмотрим теперь вопросы, которые возникали при анализе размерностей в пояснительных примерах. Ответы будут краткими, поскольку более удовлетворительное устранение некоторых трудностей станет возможным лишь после углубленного изучения существа вопроса. Для ряда случаев дальнейшие разъяснения можно будет почерпнуть из решения дополнительных примеров в гл. IV. Вопрос 1. Существует ли возможность неоднозначности формулы размерности физической величины? Можно принять в качестве аксиомы теории размерностей, что в случае принятия лишь одной совокупности основных единиц измерения формула размерности физической переменной величины или размерной постоянной может быть выражена лишь единственным способом, Однако при изменении основных единиц вид формулы также может изменяться. Например, при выборе единицы силы F в качестве основной формула размерности энергии имеет вид [FL]. Если в качестве основных единиц приняты L, М, Т, то формула размерности энергии принимает вид [Ь2МТ~2\. Следует отметить, что, в то время как одной физической величине, не могут соответствовать две разные формулы размерности, одна формула размерности может соответствовать двум разным физическим величинам. Например, формулы Размерности работы [V-MT'2] и момента вращения совпадают (см. стр. 90). Вопрос 2. Каким образом определять значения численных коэффициентов в формуле? Значения коэффициентов С определяются экспериментальным путем или на основании практического 29
опыта, но отнюдь не методом анализа размерностей, Это обстоятельство является одной из главных при- чин, по которым использование этого метода для вы. вода физических формул является ограниченным. Од. нако встречаются задачи, когда значение численного коэффициента устанавливается по соображениям здравого смысла или на основании практического опыта, без обращения к эксперименту. Вопрос 3. Каков критерий выбора оптимальных физических величин для составления конкретного уравнения? На этот вопрос не существует краткого ответа. Оптимальный выбор влияющих физических величин зависит от «физической интуиции», которую дает nc-i следователю его практический опыт. Новичок, впервые рассматривающий пример математического маятника, по-видимому, может задаться вопросом, почему не учитывались трение маятника о воздух или плотность тела маятника. Более опытный физик знает, что правильные результаты могут быть получены лишь при колебаниях маятника в вакууме и что плотность тела маятника имеет не больше значения, чем его цвет. Однако утешительным обстоятельством для новичка с его недостаточной «интуицией» является знание того, что неудачный выбор физических переменных обычно приводит к результату, который сразу же подсказывает более удачный выбор, и что общий итог неудачного выбора заключается в получении не неправильного решения, а лишь такого, которое оказывается менее удачным, чем оно могло бы быть при иных переменных. Вопрос 4. Что такое размерная постоянная? В физических задачах встречаются величины двух видов. Величины одного вида называются физическими переменными. Они часто зависят от времени а также изменяют свое численное значение при изменении единицы измерения. Величины другого видз не зависят от времени, но также изменяют свое численное значение при изменении единицы измерения* Следовательно, величины последнего вида не cyfl постоянные в том смысле, в каком ими являются, н»' 30
пример, 3 или я. Они называются размерными постоянными, имеющими неизменные размерности либо длины, либо массы, либо времени или же двух или всех трех этих основных переменных. Примером размерной постоянной является с скорость света в вакууме. Она равна произведению длины волны на частоту светового излучения Хх = с. Очевидно, Хит могут иметь самые различные значения, однако численное значение с для данной системы единиц является инвариантным. Тем не менее, если X измеряется в милях, а не. в сантиметрах, и т—в минутах, а не в секундах, численная величина с будет равняться 11160 000 миль/мин вместо 2,99 • 10ш см/сек. Другими примерами размерной постоянной величины могут служить гравитационная постоянная, плотность тела при постоянной температуре и т. д. Каждой размерной постоянной соответствует своя формула размерности. Ее численное значение, будучи однажды зафиксированным для данной системы единиц измерения, остается неизменным в процессе рассмотрения конкретной физической задачи. Вопрос 5. Можно ли получить правильное решение задачи путем анализа размерностей, когда число физических переменных величин превышает число основных единиц измерения? Ответ на этот вопрос был бы более понятным, если бы были рассмотрены дальнейшие примеры применения анализа размерностей. Ограничимся здесь лишь кратким пояснением. Если функция имеет р аргументов и q основных единиц, то р — q обычно является положительной величиной. Если р — q = \, то задача разрешима, но значения численных коэффициентов, как всегда, остаются неопределенными. Если же р — q ~ 2, то полное решение теоретически получить нельзя, хотя на практике оно обычно может быть найдено с помощью дополнительной информации, получаемой на основе имеющегося практического опыта или путем постановки экспериментов. В случае когда р — q = 3, Можно лишь выявить определенные соотношения, существующие между переменными. Однако не следует пренебрегать даже столь слабым анализом 31
некоторых задач физики, которые не поддаются решению обычными аналитическими приемами, тем более, что используемый метод такой быстрый и простой. Вопрос 6. Является ли оправданным представление функции в виде суммы произведений величин, возведенных в степени? Принятая методика представления одной физической величины в функции произведения остальных величин, возведенных в степени, явно нуждается в доказательстве. Если f(P,Q,R,S)=0, то без доказательства это выражение можно представить в виде Р = 2 const XQaRbSc. Можно принять без доказательства, что такая запись при наличии определенных условий допустима. Точное доказательство этого выходит за рамки этой книги. Вопрос 7. Достигаются ли какие-либо преимущества, если в качестве основных единиц измерения брать единицы не длины, массы и времени, а иных физических величин? Ответ положителен в тех случаях, когда этого требует решение конкретной задачи. Ранее указывалось, что если функция имеет р аргументов при q единиц измерения, то для получения полного решения р — q не должно превосходить 2. Это условие может быть иногда удовлетворено путем увеличения q, т. е. числа основных единиц (иллюстрацией служит пример 20 в гл. IV). Изменение размера единиц измерения. Закончим эту главу рассмотрением одного полезного применения анализа размерностей, состоящего в нахождении коэффициента пересчета, посредством которого значение физической величины, полученное в одной системе единиц измерения, может быть выражено в другой системе единиц. Используя формулы размерности и применяя изложенную в последующих примерах методику, можно сократить время вычислений и уменьшить объем умственной работы, а также уменьшить вероятность ошибки. 32
Как было указано, каждая физическая величина растеризуется, во-первых, численным значением и, ■ вторых, единицей измерения; например, «6 фу- в»—это физическая величина, где 6 представляет бой ее численное значение, а фут — единицу изменил. Численное значение физической величины из- няется при изменении размера единицы измерения, i произведение численного значения на единицу из- грения остается постоянным для любой данной 13Ической величины. Например, 2 ярда = 6 фу- м = 72 дюймам. Численное значение (п) физиче- ой величины обратно пропорционально размеру попользованной единицы измерения (и): 1 пи = пи, или п ~ —. Рассмотрим более общий пример. Пусть N.— численное значение какой-либо физической величины в ^которой системе единиц измерения и ее формула азмерности есть LaMbTc. Предположим, что в этой тстеме единица длины равна L\ и что в другой системе единица длины равна L2, причем L\ = IL2. Подобным же образом можно записать, что М\ = тМ2 и Т\ = tT2. Тогда N X LaxM\T\ = Л? X (lL2)a (mM2f (tT2)c. Таким образом, во второй системе единиц численное значение физической величины в lambtc раз больше, чем в первой системе; lambtc является коэффициентом пересчета. Согласно определению, он равен Рассмотрим несколько примеров. Величина ускорения силы тяжести g равна 32,2 фут • сект2 в системе единиц FPS. Каково ее значение в системе СГС? Так как ее формула размерности имеет вид LT~2, то 32,2(LiTr) = N(L2T2-2). Следовательно, N = 32,2-jr-(-^М . 3 Зак. 599 33
1 фут = 30,48 см, поэтому / = LJL2 = 30,48; Г2/7\ = 1, так как секунда является общей единицей для обеих систем. Следовательно, W = 32,2-30,48 = 981 см-сек-г (приблизительно). Предположим теперь, что требуется перевести 1 лошадиную силу в киловатты: '> 1 л. с, = 550 футо-фунтов работы в 1 сек = /V эрг в 1 сек, т. е. 32,2 X 550 футо-паундаль • сек-1 ~ — N см-дин-сек-1, 32,2 X 550(L'lMJ-3) = NX {lIm2To% * = 32,2X550(A)'(i)(i)8, £-I#- 30,48, «L.-^.tfa.* £-,. В результате вычислений получаем N = 746 X Ю7 эрг ■ сек'1 = 746 дж • сек'1 = 0,746 кет. При использовании этого классического метода перехода от одной системы единиц к другой объем вычислительной работы обычно уменьшается. Предположим, например, что требуется преобразовать поверхностное натяжение S дин/см в S' паундаль/фут. Так как величина поверхностного натяжения не зависит от характера употребляемых единиц, то L2M2T22 \ откуда 5 =7TS- Коэффициент пересчета МХ1М2 есть отношение грамма к фунту. >) 1 паундаль = 0,138255 н. — Прим. перев. «т-»4
Глава III ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР Метод размерностей, или анализ размерностей, основан на принципе, предложенном Ньютоном в его «Началах» (II, теорема 32). Это «принцип подобия». Он был использован Ньютоном в период разработки основ механики как фундаментальной науки. Хотя Галилей, Кеплер, Гюйгенс и другие ученые сделали многое для развития этой новой науки, которая начала оформляться в XVI—XVII вв., именно гений Ньютона продвинул вперед научную мысль его времени в отношении таких понятий, как инерция, сила и т. д., и наполнил механику логическим и философ- ским содержанием. В системе Ньютона были четко выделены три физические категории: длина, инерция (масса) и время, которые рассматривались как основные и независимые. Они до сих пор считаются первичными понятиями, и никакими философскими рассуждениями не удалось доказать, что одна из них зависит от любой из двух других. Другие, вторичные понятия были выведены из этих основных категорий. Скорость, момент, сила и энергия являются примерами производных понятий. Два века спустя при изучении магнетизма и электричества понадобилось ввести дополнительные первичные понятия, однако вопрос об их первичности до сих пор все еще остается спорным. На основе немногих простых принципов, четко сформулированных Ньютоном (например, тех, которые воплощены в его законах движения), были получены уравнения, описывающие поведение материальных частиц или тел при действии на них системы внутренних или внешних сил. Именно для таких Уравнений Ньютон применил «принцип подобия». 3* 3.5
Этот принцип можно пояснить с помощью простого примера. Уравнение дает конечную скорость у тела с массой т, перемещающегося прямолинейно из состояния покоя на расстояние s под действием постоянной силы F. Если имеется ряд тел с различными массами и одинаковым отношением Fjtn, то в этом случае принцип' подобия утверждает, что отношение v2/s также одинаково для всех тел. Или, другими словами, если конечные скорости, приобретаемые телами с различной массой на одинаковых расстояниях, равны, то действующие на них силы прямо пропорциональны их массам. Ньютон часто использовал принцип подобия; по-видимому, это было первое применение метода размерностей. Геометрическое моделирование. Принцип подобия применяется теперь для экспериментов с моделями. При движении снаряда или самолета в атмосфере, подводной лодки или надводного судна в океане возникает сопротивление среды, которое является сложной функцией скорости и линейных размеров движущихся тел, а также плотности, вязкости и упругости текучих сред, в которых движутся эти предметы, и других физических величин. Ученые и инженеры в области судоплавания, аэронавтики и баллистики в ряде случаев могут преодолевать трудности, возникающие при решении таких задач, применяя принцип подобия к уменьшенным моделям тел. В результате экспериментирования Бешфорт установил следующий закон (известный как закон Бешфорта): сопротивление движению тел, имеющих одинаковую форму, пропорционально квадрату их скоростей. Этот закон можно получить теоретическим путем, применяя принцип подобия при определенных упрощающих допущениях. Другим примером может служить закон Фруда. Каждому ясно, как важно для инженера-судостроителя знать сопротивление воды при разных скоростях движения судна данной конструкции. Для ответа на этот вопрос следует воспользоваться масштабными моделями судна, пере- 36
двигаемыми в длинномерном водном бассейне с различными скоростями. Определив сопротивление, инженер-судостроитель может применить принцип подобия: «сопротивление, испытываемое кораблями с одинаковыми геометрическими формами, пропорционально отношению кубов их характерных размеров, тогда как их скорости пропорциональны корню квадратному из отношения их характерных размеров» (закон Фруда). Авиаконструктор сталкивается с подобными же задачами и решает их путем наблюдения за поведением моделей, подвешенных в аэродинамической трубе. Исследование Фурье. Более ста лет спустя после Ньютона теория размерностей исследовалась Фурье в его классической работе «Аналитическая теория теплоты» [1], опубликованной в 1822 г. Фурье ввел два понятия, которые имеют важнейшее значение в современной теории размерностей. Первое является понятием того, что в настоящее время называется «формулой размерности», а второе соответствует «однородности по размерностям» уравнений физики. Эти идеи он изложил в связи с полученной им весьма сложной формулой, относящейся к проблеме теплового потока через проводники. Столь же успешно их можно выразить посредством простой формулы. /. Формула размерности Рассмотрим в качестве примера уравнение кинематики, связывающее расстояние s, пройденное телом за время t из состояния покоя с ускорением а: s — -g- at2. Данное соотношение между переменными не зависит от применяемых единиц измерения. Именно это и является важным. Правильно составленные уравнения физики остаются неизменными по форме при переходе от одной системы единиц к другой. Этот принцип был подчеркнут Лармором [2] в следующих словах: «В размерностях нет ничего трансцендентного; конечный принцип точно выражаем (по терминологии Ньютона), как принцип точного или приближенного 37
подобия, который следует проверять при помощи того правила, что простое изменение величин в принятой системе единиц измерения не должно заметно влиять на форму уравнений, которые адекватно выражают объективно существующие соотношения между величинами в задаче». Допустим, мы изменили единицу длины, и ее численное значение вместо s стало s', где s' = as, a a является отношением двух единиц длины. Допустим также, что а' = аа и f ■= xt. Тогда поскольку 1 з 1 s'*=-y-a't't as = -j сю (xtJ, то а = ат2 или а = стт-2. Показатель степени —2 был назван Фурье «показателем размерности времени»; таким образом,ускорение имело показатель размерности +1 по длине и —2 по времени. В настоящее время ради сокращения терминологии сами индексы часто называют «размерностями». Категории длины, массы и времени, принятые Ньютоном в качестве основных, обозначаются как [L], [М] и [Т]. Поэтому формула размерности производной физической категории «ускорение» имеет вид [£]|Т~2]. Последнее выражение можно рассматривать как сокращенный эквивалент определения ускорения, раскрывающий физический смысл этого понятия. Формула размерности любой постоянной или переменной физической величины выводится на основе определения этой величины. Последнее замечание является важным вкладом Фурье в рассматриваемый предмет. Для каждой физической величины может быть найдена формула размерности, основанная на формальном определении этой величины и показывающая ее связь с некоторыми физическими категориями, которые приняты в качестве основных. Каждой физической величине соответствует одна и только одна формула размерности. И наоборот, каждой формуле размерности соответствует одна и только одна физическая величина. (Исключения из этого правила рассмотрены на стр. 80.) 38
2. Однородность по размерностям Второй вывод Фурье был не менее ценным. Его можно назвать «принципом однородности по размер* ностям». Физическое уравнение обычно представляет собой алгебраическую сумму двух или более членов. Пользуясь терминологией Фурье, можно сказать, что «показатель размерности» длины (массы, времени) в любом члене уравнения должен быть одинаковым. Говоря современным языком, уравнение должно быть • однородным по размерностям». Если это не так, то, следовательно, при составлении уравнения была до- п\тщена ошибка. Принцип однородности по размерностям можно продемонстрировать на примере уравнения, которое нами уже рассматривалось: s = ut-\--^af. Показатель размерности длины для физической келичины s равен 1. Так как формула размерности для Ш есть if] ^ L " то показатель размерности длины в этом члене также равен 1, а так как формула размерности '/г^2 есть то показатель размерности длины опять равен 1, Другим примером является уравнение Wi»i + m2u2 | пце ч/ li4 ч V = ; ; X (Wo — Mi), пц + m2 mi + m2 v " u где и и v — скорости, m — масса, е — отношение скоростей. Принцип однородности по размерностям, который в сущности утверждает, что разнородные величины нельзя суммировать друг с другом, имеет важнейшее значение для теории размерностей. Он обнаруживает себя почти при всех применениях теории размерностей. Физик, который сегодня использует этот принцип как известный прием, может найти достойным 39
удивления тот факт, что впервые он был четко сформулирован лишь около столетия назад. Фурье не только выразил принцип однородности по размерно- стям в строгой формулировке, но и обосновал необходимость его использования [3]: «Следует отметить, что любой неизвестной величине или константе присуща только одна размерность и что члены одного и того же уравнения нельзя было бы сопоставлять друг с другом, если бы они не имели один и тот же показатель размерности. Мы ввели эти соображения в теорию теплоты для того, чтобы еде лать наши определения более точными, а также для проверки результатов анализа; они вытекают из первичных понятий о величинах; по этой причине в геометрии и механике они эквивалентны аксиомам, которые древние греки оставили нам без доказательств». Современное состояние вопроса. После работ Фурье наблюдался лишь сравнительно слабый прогресс в области теории размерностей. Нельзя сказать, чтобы этот предмет утратил интерес для физиков, так как за последние 50 лет в научных журналах появилось достаточно много работ по теории размерностей. В числе наиболее ранних молено отметить работы Рук- кера A888), Рассела A903) и Максвелла A904). Позднее к теории размерностей обращались в своих трудах Букингем A914),Релей A915),Толмен A917). Вопросам теории размерностей были посвящены также монографин Бриджмена в США A922), Портера в Англии A933) и Пельтри во Франции A945). Следует особо отметить блестящую и многостороннюю деятельность Релея по применению анализа размерностей для решения многих физических задач. Соединяя превосходное знание предмета с удивительным умением проникать в сущность изучаемого явления, он использовал анализ размерностей в качестве инструмента для четкого и простого решения разнообразных физических задач. Хотя исторически метод размерностей был развит применительно к изучению проблем теплопередачи, он гораздо более широко использовался при решении задач механики, в частности динамики и гидродинамики. Его ограниченное применение для решения задач в области теплофизики объясняется неясностью 40
вопроса о характере формул размерности теплоты и ■температуры. Литература по рассматриваемому предмету за последние годы не содержит каких-либо новых идей и посвящается преимущественно вопросам о том, какие размерности считать «действительно основными», действительно ли теплота и температура не зависят от длины, времени и массы, каковы размерности (если таковые вообще существуют) диэлектрической проницаемости k, магнитной проницаемости ц и каково минимальное число независимых основных единиц, позволяющее построить логическую и достаточную схему формул размерности. Типичным примером может служить дискуссия, которая имела место в 1915 г. на страницах журнала «.Nature» между Реле- ем и Рябушинским [4]. Рябушинский указывал, что формула для теплового потока, выведенная Релеем методом размерностей [5] в предположении, что количество тепла, температура, длина и время являются базисными независимыми величинами, была бы иной и менее удачной, если бы температура рассматривалась не как независимая величина, а как усредненная кинетическая энергия молекул, характеризуемая размерностями длины, массы и времени. В ответе Релея [6] содержится недвусмысленное мнение о том, что данная тема требует более глубокого освещения: «Вопрос, поднятый Рябушинским, относится скорее к логике, чем к применению анализа размерностей, преимущественно интересовавшему меня. Вопрос вполне заслуживает дальнейшего обсуждения. Мой вывод получен на основе обычных уравнений Фурье для теплопроводности, в которых температура и количество тепла учитываются какве^ личины sul generis. Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла, ставшее возможным благодаря молекулярной теория, привело нас к худшему положению, чем раньше, когда рассматривалась частная задача. Решение состоит, по-видимому, в том, что в уравнениях Фурье содержится нечто, учитывающее природу тепла и температуры. Это обстоятельство не принято во внима* ние в альтернативной аргументации Рябушинского». 41
Основные величины. Замечания Релея были приведены здесь с целью показать, что некоторые затруднения принципиального характера еще не решены даже наиболее выдающимися учеными из тех, которые обращались к теории размерностей. В настоящее время на страницах физических журналов все еще встречаются подобные расхождения точек зрения. Например, Браун и Данкенсон снова рассмотрели [7] вопрос о том, какие физические величины целесообразнее считать основными. Браун полагает, что достаточно иметь только две основные единицы — длину и время; масса имеет размерность (длинаK/ (времяJ, k и ц безразмерны. Данкенсон, напротив, приводит аргументы в защиту выбора четырех основных независимых единиц измерения, а именно длины, массы, времени и количества электричества Q. Эти интересные статьи с их различными точками зрения подтверждают, что при более внимательном подходе к предмету сам термин «размерность» все еще нуждается в разъяснении; ждет своей разработки и философская сторона вопроса. К счастью, эти обстоятельства не влияют на практическую ценность метода размерностей для многих областей физики, как это будет показано в дальнейших примерах. Между тем анализ размерностей важен для физиков главным образом своей практической полезностью. Также важными являются его логические и философские аспекты; история науки подтверждает, что глубокое изучение этих аспектов приносит свои плоды. Однако в последующих главах нас будет интересовать главным образом применение анализа размерностей как повседневного рабочего инструмента. На практике выбор основных единиц измерения определяется самим характером изучаемого явления. Например, в задачах, касающихся вопросов теплопередачи, удобно бывает использовать четыре основные единицы: длины (L), массы (М), времени (Т) и температуры (©). Иногда в число основных включают единицы силы (F) и количество тепла (Н) (если это дает какие-либо выгоды). Таким образом, критерий выбора единиц является чисто прагматическим. 4?
Значение анализа размерностей. Очевидным достоинством анализа размерностей является приносимая им помощь физику в достижении его повседневных целей — как теоретических, так и практических. Укажем некоторые случаи применения этого метода. Не следует пренебрегать той мнемонической помощью, которую обеспечивает метод студентам младших курсов. Экзаменующимся знакомо состояние, когда бывает трудно восстановить в памяти полузабытую формулу или выписать все члены уравнения. В таких случаях может выручить даже беглое знакомство с методом размерностей. Студент-новичок, оторый, например, забыл правильную формулу пе- I иода колебаний маятника или обнаруживает, что учет размерностей позволяет быстро решить возникшую перед ним дилемму. Даже школьник, знакомый с применением этого метода, не будет использовать формулу 4яг2 для определения объема сферы или формулу 1/зЛг2Н для определения площади поверхности конуса. Сложные члены уравнений неэлементарной физики следует проверять по размерностям в порядке обычной процедуры. В тех случаях, когда получению окончательного результата предшествует длительный ряд аналитических выкладок, имеет смысл проверять однородность по размерностям как на промежуточных этапах работы, так и в конечном результате. Соблюдение принципа однородности по размерностям, который Фурье завещал всем, изучающим физику, должно стать образом мышления физика, его второй натурой. В этой связи целесообразно, по-видимому, отметить, что, в то время как метод размерностей доста» точен для обнаружения в уравнении, составленном правильно во всех прочих отношениях, «инородного тела», не выдерживающего проверку на однородность по размерностям, обратное утверждение не является правильным Если в уравнение необходимо ввести еще один член, хотя бы и подходящий по признаку его однородности по размерностям, то с помощью одного лишь анализа размерностей нельзя выяснить приемлемость этого действия. Другими словами, однородность 43
по размерностям является необходимым, но недостаточным условием правильности составления уравнения. Важным применением анализа размерностей является определение коэффициентов пересчета при переходе от одной системы единиц измерения к другой. Об этом простом и ускоренном средстве уже шла речь в гл. II. Выше было также рассмотрено использование анализа размерностей при моделировании. Путем экспериментов с моделями можно определять сопротивление движению самолетов в воздухе или кораблей в воде. Данные, полученные этим способом, оказы^ ваются полезными, тогда как математическая теория* явления чересчур сложна. Теория моделирования основанная на использовании метода размерностей] необходима инженерам в областях судостроения и авиастроения при планировании экспериментов. В то же время теория моделирования является одним из самых ранних применений метода размерностей. Ранее физики интересовались также системами, обладающими «динамическим подобием». Классическим примером является сравнение движений взрослого и молодого животных. Плотность тела обоих животных может быть принята одинаковой, в'то время как мускульная сила изменяется пропорционально площади поперечного сечения конечностей. Представив формулы размерности для плотности и силы в виле Г М 1 Г ML 1 Та" и \~f2~ > соответственно получаем Mi M,L, i? . Т :£? 1 =1 и-тЙ— =1, М2 MtL2 :L 2 ,3 т2 - ^2 L2 12 _ Li Lo откуда т~~т~' Таким образом, скорости взрослого и молодого животных одинаковы. При этом взрослое животное делает большие шаги медленнее, чем молодое животное. В последнее время профессор Хилл [8] вос- 44
пользовался методом «динамического подобия» для объяснения загадки высоких скоростей дельфинов и китов. 100-тонный голубой кит длиной 25 ж и 80-килограммовый дельфин длиной 2 м могут двигаться со скоростью 15 узлов и делать «рывки» со скоростью 20 узлов; однако их мускульной силы, по-видимому, совершенно недостаточно, чтобы двигаться с такими высокими скоростями'). Еще одним применением анализа размерностей является выявление необходимости в постановке того или иного эксперимента, так как в ряде случаев эк* сперименты оказываются ненужными и информация, которую они могли бы дать, выявляется уже на основании априорных выкладок. Весьма странно, что такой подход не привлек достаточного внимания со стороны физиков. Приведем высказывание Релея по этому поводу [9]: «Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия даже со стороны весьма крупных ученых. Перед- ко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые «законы», которые тем не менее можно было получить априорно в течение нескольких минут». Высказывание Релея сопровождалось многочисленными примерами. Простой пример (см. также гл. III, пример 2) достаточен для того, чтобы показать важность применения анализа размерностей в подобных случаях. Анализ размерностей без помощи эксперимента устанавливает следующее соотношение между натяжением Р горизонтальной проволоки, ее весом w, Длиной / и провесом s: Р = const w (у) , где а — неизвестный показатель степени. Отсюда сразу же следует, что нет необходимости экспериментально искать связь между натяжением и весом проволоки. Равным образом совершенно излишне ') Как известно, высокие скорости плавания у дельфинов Достигаются за счет управления пограничным слоем воды на их телах. — Прим. перев. 45
определять экспериментальным путем соотношение между провесом и длиной проволоки. Анализ размер, ностей устанавливает, что эти соотношения являются необходимыми следствиями условий эксперимента. Значение анализа размерностей ярко проявляется в тех случаях, когда с его помощью выявляется необходимость в постановке экспериментов, которые могут действительно дать полезные результаты. Например, нахождение зависимости Р от / или s позволило бы найти неизвестную величину а. Полезность анализа размерностей при планирова» нии необходимых экспериментов особенно ценна в тех случаях, когда математические соотношения между переменными сложны или вообще неизвестны. В ряде случаев может оказаться, что метод размерностей позволяет раскрыть некоторые характерные особенности конечного решения задачи, неразрешимой обычными методами математического анализа; это, как было уже отмечено, дает экспериментатору возмож* ность отбора экспериментов, имеющих правильные результаты. Предварительные сведения. Одним из наиболее интересных применений анализа размерностей является возможность вывода ряда основных формул физики путем оперирования одними лишь размерностями величин. Многочисленные примеры даны в гл. IV и V, где показано, что соотношения, существующие между некоторыми (или всеми) переменными величинами, которые входят в физическое уравнение, являются необходимыми соотношениями, которые выводятся из априорных предпосылок и не зависят от эксперимента. Формулы, которые считались драгоценными плодами многочисленных экспериментов, на поверку оказываются логическими и необходимыми следствиями постулатов и определений. Рассмотрение этих примеров уже подготовило читателя к восприятию прогрессивного взгляда Эддингтона [10] на это обстоятельство: ' «Я полагаю, что целая система основных гипотез может быть заменена науковедческими принципами. Иными словами, все законы природы, которые обычно рассматриваются как основные, могут быть предсказаны полностью на основе науковедческих понятий... все 46
основные законы и константы физики, без сомнения, можно получить на основе априорных соображений, и по этой причине они являются субъективными». Как бы ни судили потомки относительно этого поразительного утверждения, можно с уверенностью сказать, что начинающий физик, впервые осознающий возможности анализа размерностей при выводе формул, будет удивлен, узнав, что многие из его уравнений, которые, как он предполагал, были основаны исключительно на результатах экспериментирования, в действительности являются несомненным следствием природы входящих в эти уравнения физических величин, отраженной в их формулах размерности. Отметим еще одно применение анализа размерностей. Он удобен как дополнение к обычному математическому анализу в тех случаях, когда задача слишком сложна, а различные эксперименты, в том числе и на моделях, неосуществимы. Ученые и инженеры иногда сталкиваются с задачами, характеризующимися большим количеством переменных величин — плотностью, упругостью, эффектами трения, температурой, вязкостью и т. д. В таких случаях может оказаться, что, в то время как полное решение задачи получить в принципе невозможно, анализ размерностей позволяет найти частное решение, которое может показать, что, какой бы ни была форма недостижимого конечного решения, ему присущи некоторые характерные особенности, выявляемые с помощью формул размерностей величин, входящих в уравнение. В заключение этого обзора перечислим области применения анализа размерностей как метода исследования в современной науке: 1. Помощь при восстановлении в памяти забытых формул. 2. Выявление алгебраических ошибок (путем обнаружения неоднородности по размерностям в уравнениях). 3. Нахождение коэффициента пересчета при переходе от одной системы единиц к другой. 4. Обоснование поведения масштабных моделей и обобщение информации, получаемой из экспериментов на моделях. 47
5. Помощь экспериментатору в выборе экспериментов, обеспечивающих получение полезной инфор. мации. 6. Получение частных решений задач, слишком сложных для решения обычными приемами математического анализа. Этот итог показывает, что систематическое изучение анализа размерностей вполне оправдывает затраченное при этом время. Его практическое применение несложно, и он достаточно интересен сам по себе. Привычка рассматривать физические символы с «размерностной» точки зрения приобретается легко. Студент-физик вскоре обнаружит, что небольшие затраты времени и усилий существенно повысят его уровень знаний и обогатят его математическое мышление. ЛИТЕРАТУРА 1. Fourier J. В. J., La Theorie Analytique de la Chaleur, ch, 2, sec. 9 A822). 2. L a r m о r J., Nature, 95, 644 A915). 3. Brown В., Proc. Phys, Soc, 53, 298, 418. 4. Rayleigh, R i a b о u ch i n s k у D., Nature, 95, 591 A915). 5. R а у 1 e i g h, Nature, 95, March 18 A915). 6. Rayleigh, Nature, 95, 644 A915). 7. В г о w n G. В., D u n с a n s о п W. E., Proc. Phys. Soc, 53, 298. 8. H i 11 A. V„ Science Progress, 38, 150. 9. Rayleigh, Nature, 95, 66 A915). 10. E d d i n g t о n A., The Phylosophy of Physical Science, pp. 57, 62.
Глава IV ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ Для ученого-физика анализ размерностей может играть роль повседневного «инструмента», применяемого для исследования формул и для почленной проверки уравнений. В этом смысле выяснение философского значения или даже теории вопроса имеет меньшую ценность, чем знание практических способов применения анализа размерностей при решении конкретных физических задач. В связи с этим читателю целесообразно проштудировать элементарные примеры, которые приводятся ниже. Все они касаются знакомых вопросов физики и рассматриваются с помощью обычных методов. Можно надеяться, что студент, впервые соприкасающийся с данной темой, с помощью этих примеров приобретет некоторые навыки применения метода размерностей как инструмента исследований, даже если его пока не интересуют более сложные задачи, содержащиеся в последующих главах. С целью иллюстрации эффективности метода размерностей примеры были подобраны из нескольких основных разделов физики. Их решение (обычными математическими методами) содержится в большинстве учебников физики. Предполагается, что читатель уже знаком с классическими приемами решения этих примеров. Интересно отметить в связи с этими примерами, что многие физические законы, покоящиеся на строго экспериментальной основе, могут быть выведены априорно в результате весьма быстрого осознания логической необходимости соотношений, которые Должны существовать между физическими переменными в конкретной задаче. Это легко показать на примере задачи с мыльным пузырем. Большинство 4 Зак. 599 49
проверяющих этот вопрос экспериментально бывают удивлены тем, что избыточное давление газа в мыльном пузыре обратно (а не прямо) пропорционально его радиусу. Легко показать, однако, что последне* соотношение является необходимым между этими' двумя переменными; оно может быть быстро получено при рассмотрении размерностей основных физических величин, фигурирующих в задаче. Этот пример, подобно ряду других, напОхМинает о сходной проблеме, а именно: какой эксперимент из ряда возможных следует поставить, чтобы получить наиболее полезную информацию. Если, например, в эксперименте учитываются четыре физические величины (W, X, Y, Z) и предварительно с помощью анализа размерностей установлено, что ir-f(f)'. где численное значение показателя степени а неизвестно, то совершенно излишне экспериментально показывать, что W пропорционально X, так как это соотношение обусловлено априорно условиями эксперимента. С другой стороны, было бы полезно найти зависимость f от У или Z, поскольку тем самым становится определенной величина а. Допустим, было найдено, что W обратно пропорционально Z; тогда а — —1 и W не зависит от Y и равно X/Z. Мы уже упоминали на стр. 46, что Эддингтон утверждал, что некоторые так называемые законы природы, которые были установлены путем кропотливого экспериментирования, на самом деле обусловлены логически и могут быть сформулированы в результате априорных рассуждений. Таким же образом анализ размерностей показывает, что во многих физических задачах между переменными и размерными постоянными имеются обязательные соотношения, благодаря чему постановка экспериментов нужна лишь для нахождения численных коэффициентов (коэффициентов пропорциональности). Если в физической задаче, где рассматривается п переменных, число независимых основных величин может равняться п—1-, то функциональная связь между п переменными полностью определяется без экспериментов, на основе лишь предварительного анализа размерностей. Эта 60
точка зрения, которая, возможно, окажется новой для некоторых физиков, дает пищу для некоторых интересных предположений. Однако этому аспекту не будет здесь уделено внимания, так как наша главная цель — помочь читателю приобрести определенные практические навыки. Вывод основных уравнений физики путем рассмотрения лишь размерностей величин является одним из наиболее интересных применений метода размерностей. Этим объясняется наличие более чем двадцати примеров в этой главе. Конечно, все эти примеры можно найти в учебниках физики и они хорошо знакомы большинству читателей. Однако значительный интерес представляет то обстоятельство, что анализ размерностей позволяет не только быстро и легко получать знакомые ответы, но и позволяет получать весьма значительную по объему информацию, зависящую только от определений и «обязательных» соотношений между физическими переменными, без помощи каких-либо экспериментов. Более того, рассмотрение тех нескольких примеров, которые даны ниже, является, по-видимому, наилучшим способом ознакомления с этой формой анализа и приобретения практических навыков в его использовании. Однако результатом изучения всех этих многочисленных и разнообразных примеров не должно быть мнение, что при выводе физических формул метод размерностей может заменить собой обычные математические приемы. В данном случае цель заключается не в составлении рецептов легкого решения физических задач. Однако «физика без страха», т. е. без ошибок в уравнениях, без неточного запоминания формул — вполне законное пожелание тех, кто изучает эту науку. Проанализируем применение обычного метода размерностей в наиболее общем виде. Допустим, что в данной задаче фигурируют четыре физические величины (W, X, Y, Z) и нужно найти зависимость W от остальных трех величин. Запишем W = ClXaYbZc + C2Xa'Yb'zc'+ .... где С,, С2,... — неизвестные численные коэффициенты. Так как все слагаемые имеют одинаковую 4* 51
размерность, рассмотрим лишь первое из них. Пусть размерности W по длине, массе и времени будут соответственно wL, wm и wt; то же для X — xL, хт, xt; ана« логично для Y и Z. Затем приравнивая друг другу показатели степени длины в уравнении W = С • XaYbZc, имеем wL = xLa + yLb + zLc. Таким же образом, приравнивая друг другу показатели степени массы и (отдельно) времени, получаем ®т = хта + утЬ + zmc. и wt = xta + ytb + ztc. Решая систему трех уравнений, можно определить значения а, Ь и с. Часто, конечно, встречаются примеры, в которых число уравнений на одну, две или более единиц меньше, чем число неизвестных показателей степени. В таких случаях анализ размерностей не позволяет получить полное решение. С другой стороны, он может обеспечить получение полезной информации об «обязательных» соотношениях между двумя или несколькими переменными. Однако частные примеры дадут более ясное представление о предмете, чем общие утверждения. Пример 1. Найти ускорение точки, движущейся по окружности с постоянной скоростью. Запишем в виде таблицы обозначения и размерности трех переменных: Физическая величина Ускорение Скорость Радиус окружности Обозначение i V г Формула размерности L Г L 7-> L Поскольку требуется установить зависимость / от v и г, то можно эту зависимость представить как 52
f *= ф (w, г) и в менее общем виде как f — Cvarb + аналогичные члены. Подставляя формулы размерности переменных величин и исключая С, получаем LT-2=(LT~TLb. Приравнивая вначале показатели при основной единице длины, а также показатели при основной единице времени, мы используем тем самым. принцип (впервые сформулированный Фурье [1]), согласно которому каждое слагаемое правильно составленного физического уравнения должно иметь одинаковую размерность основных величин во всех членах. Таким образом, (длина) \=а + Ь, (время) — 2= — а. Поэтому а = 2, Ь = — 1 и, следовательно, / = С . Значение безразмерной постоянной С не может быть определено с помощью метода размерностей. Известно, что она равна единице, следовательно, f = v*lr. Этот пример, который может показаться тривиальным, рассмотрен здесь из-за простоты, а также потому, что на нем можно продемонстрировать возможности метода как средства подкрепления памяти. Однако нельзя переоценивать мнемоническую ценность анализа размерностей, в особенности для студентов младших курсов. Например, в случае когда студент колеблется в выборе формулы I— или -^-) ускорения точки, движущейся по окружности, это затруднение легко разрешить, если известны размерности физических величин, входящих в формулу. Следующая задача из области статики указывает на ограничения, присущие методу размерностей. Пример 2. Проволока однородного сечения натянута между двумя точками, расположенными в горизонтальной плоскости. Найти связь между натяжением и провесом проволоки. 63
Определим, во-первых, какие физические величины и размерные постоянные играют роль в данной задаче. Очевидно, к числу физических величин следует отнести массу проволоки, ее длину, натяжение и провес. Кроме того, следует учесть ускорение силы тяжести g. Все эти величины сведены в таблицу: Физическая величина Натяжение проволоки Масса проволоки Длина проволоки Провес проволоки Ускорение силы тяжести Обозначение Р т 1 s g Формула размерности L М Т~2 м L L L Т~г В задаче требуется найти Р как функцию остальных величин: P-f(m,l,s,g). Как и ранее, эту функцию можно представить в виде произведения аргументов, возведенных в степени: Р~С- malbscgd. Соответствующее уравнение размерности имеет вид LMT-2~MaLbLc(LT~2f. Так как оно должно быть однородным по размерностям, получаем следующую систему трех уравнений: (длина) 1 = b + с + d, (масса) 1 =а, (время) -2=-2d. В итоге а = 1, b = — с, с = с, й = \. Вследствие того что в трех уравнениях содержится четыре неизвестных показателя степени, вели* чина с остается неопределенной. Следовательно, Р = С • tng • (у) 54
Значение С нельзя определить этим же методом. Однако с можно определить, если воспользоваться усовершенствованным методом размерностей (гл. V). Примеры, подобные рассмотренным выше, а также нижеследующий пример в различных вариантах встречаются в учебниках механики. Их следует решать обычными математическими методами не только потому, что не существует других способов определения численных коэффициентов, но и потому, что такие методы обеспечивают ясное понимание физической сущности задачи. С другой стороны, если целью является выявление существенных для данной задачи физических величин или если необходимо проверить полузабытую формулу, то в этих случаях метод размерностей явно предпочтителен благодаря простоте и скорости получения результата. Краткость решения последующего примера подтверждает это. Пример 3. Найти натяжение проволочного кольца, вращающегося в собственной плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости вращения и проходящей через центр кольца. Краткий анализ условий задачи позволяет установить, что основными переменными, от которых зависит натяжение проволоки, являются линейная плотность проволоки, угловая скорость ее вращения и ее радиус. Все эти величины сведены в следующую таблицу: Физическая величина Натяжение проволоки Линейная плотность проволоки Радиус проволоки Угловая скорость Обозначение F m г со Формула размерности L М Г L М L т-1 Полагая F зависимой переменной: F-C- т"гьое,
получаем уравнение размерности LMT-2 = {L-lM)aLb{T-l)\ (длина) 1 = — а + Ь, (масса) 1 = а, (время) — 2 = — с. Отсюда F = С ■ тг2о>2 = С ■ то2, где v — линейная скорость элементарного участка кольца. Гидростатика. Ниже рассмотрен пример из области гидростатики, встречавшийся в экзаменационных билетах. Экзаменаторы, конечно, не требовали решать задачу непременно путем анализа размерностей, хотя полное решение (кроме значения численного коэффициента) можно получить и этим методом. Пример 4. Найти формулу для периода колебаний ареометра Никольсона массы М, плавающего в жидкости (например, в воде), при небольшом смещении его вниз от положения равновесия, а затем вверх; поперечное сечение стержня прибора равно s, плотность жидкости d. Прежде всего следует решить вопрос: какие физические величины определяют собой период колебаний ареометра? Очевидно, в дополнение к переменным, заданным в условии задачи, необходимо ввести ускорение силы тяжести g. В итоге составим следующую таблицу величин: Физическая величина Период колебаний Масса ареометра Поперечное сечение стержня прибора Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Обозначение М S d 8 Формула размерности т м L-3 М L Г-2 56
Представим t как произведение остальных величин, возведенных в ту или иную степень: / = С ■ Masbdcgd. Соответствующее уравнение размерности имеет вид T = Ma(L2)b(L-3M)e(LT-2f, (длина) 0 = 2Ь - Зс + d, (масса) 0 = а + с, (время) 1 = — 2d. Следовательно, а = а, 6 = --j- + j,c=-a, d= —|. т. е. t = C- Mas-3al2+4<d-ag-11' W i м или / -c-i/l g \ds Значение С нельзя определить с помощью этого метода. Оно равно 2л. Однако значение а можно найти путем анализа размерностей (см. гл. VI, стр. 97). Подставив ее величину, равную 7г, получим полное решение У sdg В следующем примере показано, что в случае, когда возникают сомнения относительно целесообразности учета какой-либо физической величины, разрешается включать ее в рассмотрение (в пробном порядке) и по виду конечной формулы судить затем о том, насколько необходима эта величина. Пример 5. U-образная трубка однородного сечения заполнена ртутью на высоту Л. Найти период собственных свободных колебаний столба ртути, выведенного из положения равновесия. При начальном выявлении переменных физических величин, влияющих, на период t, следует, во-пер- Bbix, указать на ускорение силы тяжести g. Поскольку от g зависит инерция системы, требуется учитывать также h. Выбор остальных переменных является не столь ясным. Зависит ли период колебаний от массы Ы
tii или плотности р ртути? Влияют ли на процесс начальное вертикальное смещение столба d или поперечное сечение А трубки? В нижеследующей таблице указаны все возможные переменные. Физическая величина Период колебаний Масса ртути Плотность ртути Высота столба ртути Начальное смещение Поперечное сечение Ускорение силы тяжести Обозначение t 111 Р Л d А S р L-3 L L L* L Формула азмерности Т м м f-2 Выявим вначале, влияет ли масса ртути или ее плотность на процесс колебаний? Запишем t = C- mahbgc, откуда уравнение размерности T = MaLb{LT-2)c. Отсюда ясно, что а = 0. По той же причине следует исключить и плотность р, имеющую размерность L~3M. Следовательно, можно считать, что ни общая масса, ни плотность ртути не влияют на период колебаний. Не следует при этом забывать о том обстоятельстве, что некоторые факторы, такие, как вязкость и трение, не учитываются ввиду приближенного характера решения. С учетом влияния величины d уравнение будет иметь вид t = С ■ dahbgc, чему соответствует формула размерности Т = LaLb (LT-J. Б8
Путем элементарных алгебраических операций по- :[учаем <=<-D)Vf Таким же образом можно показать, что уравнение t = C- Aahagc принимает вид t = C Г VI Ввиду того что на данной стадии еще не применяются усовершенствованные приемы, изложенные в гл. V, метод размерностей не позволяет определить показатель степени безразмерной постоянной (—I или (■tj-) . Однако, как показывает эксперимент, при малых d имеем а =0, С = я У^2, и поэтому ;яУу g Вязкость. Определим размерность вязкости, так как в примерах, касающихся поведения жидкостей, встречается коэффициент вязкости. Размерность любой физической величины в общем случае выводится на основании определения этой величины. Вязкость жидкости применительно к потоку, параллельному неподвижной поверхности, определяют как силу, действующую на единицу площади (которая параллельна поверхности) потока и деленную на градиент скорости, который н. блюдается в направлении, перпендикулярном поверхности. Таким образом обозначая коэффициент вязкости как Г|, получаем его размерость: г-. Сила Скорость LMT~~ . LT~ , ~.\ ,.~,-i v\\ = "т=т п = Га • ? = L Ml Площадь Расстояние U L Коэффициент кинематической вязкости жидкости равен г|/р, где р — плотность кидкости; его размерность ^Т-1. В следующем примере рассмотрим вывод формулы Пуазейля для расхода вязкой жидкости в грубе 59
с точностью до численного коэффициента. Фор. мула справедлива для скоростей ниже критической скорости перехода ламинарного течения в турбу. лентное. Пример 6. Определить объем вязкой жидкости, проходящей через трубу круглого сечения в 1 сек. Пусть г — радиус трубы и / — ее длина. Так как течение жидкости поддерживается за счет разности давлений на концах трубы {р\ — рг), то градиент давления Р составляет ( Pl ~р* ], а его размерность можно найти на основе его определения: ГГI Сила . n LMT~2 . , -2,,т~> [p] = ta^' Длш^-^.Z^L МТ . Пусть V — объемный расход жидкости в 1 сек. Вместо объемного расхода можно определять массовый расход жидкости, однако в этом случае нельзя исключать из числа переменных задачи плотность жидкости. Следует ли включать в число переменных еще какие-либо величины? Интуиция подсказывает отрицательный ответ. Такая «физическая интуиция» основана на приобретенном практическом опыте. Если, например, напрашивается использование в качестве фактора ускорения силы тяжести g, то можно показать, что эксперимент по определению расхода жидкости возможен и в отсутствие гравитационного поля; следовательно, введение g излишне. Итая уравнение, связывающее физические величины, ш держит следующие переменные: Физическая величина Объемный расход в 1 сек Градиент давления Радиус трубы Вязкость жидкости Обозначение V р г ч Формула размерности Z.3 Г-' L-2 M T-* L L-1 М Г Выражая зависимую переменную как произведем^ независимых переменных, возведенных в те или иные 60
степени, получаем V = С • Раг',Пс; соответствующее уравнение размерности имеет вид L3T~l = (L-2MT-2)" Lb (L-'MT-1)'. В данном случае можно получить почти полное решение задачи, так как три неизвестных показателя степени связаны системой из трех уравнений: (длина) 3 = — 2а + b — с, (масса) 0 = а + с, (время) — 1 = — 2а — с. Следовательно, а=1, Ь = 4, с——\, и поэтому V — С . Значение С, найденное с помощью других методов, равно -g-; в итоге уравнение Пуазейля имеет вид v _ п (pi - р2) г4 v ~ 8 1ц Этот результат показывает, что при пользовании этой формулой для определения ц радиус трубы должен быть измерен с весьма высокой точностью, так как коэффициент вязкости зависит от радиуса в четвертой степени. Полученная формула справедлива для ламинарного потока жидкости. Если скорость жидкости в трубе превысит определенную критическую величину, возникает турбулентное движение. В следующем примере вязкость газов рассматривается с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Пример 7. Полагая, что вязкость газа пропорциональна средней длине свободного пробега его молекул, показать, что при постоянной температуре она ие зависит от плотности газа. Предварительно требуется выявить физические величины, которые влияют на вязкость газа. Такими ^личинами должны являться плотность газа, средняя скорость движения его молекул, их диаметр и сРедняя длина свободного пробега. В число таких 61
величин не включены число молекул в кубическом сантиметре и молекулярный вес газа, так как они уже отражены в плотности газа. Ниже приведена таблица, содержащая размерности переменных величин. Физическая величина Вязкость Плотность Средняя скорость Диаметр молекул Средняя длина свободного пробега молекул Обозначение 11 Р с D X Формула размерности L~l М Т-1 L-3 М L Г L L Связь между этими величинами можно представить уравнением г, = С ■ pacbDcXd; соответствующее уравнение размерности имеет вид L~{MT-' = (L-*M)a{LT-')b LCL\ -l = -3a + 6 + c + d, I — a, -1 = - b. a= 1, 6 = 1, c— l—d, (длина) (масса) (время) Следовательно, d = i и поэтому Tj-CpgD^)*. Так как задано, что т) пропорционально %, то d — 1 и г| =* СрсХ. Легко показать, что плотность р должна быть о(г ратно пропорциональна К, т. е. р = kj%, где ft —постоянная, и окончательно т) = Ckd. Мы получили, таким образом, удивительный Ре' зультат: вязкость газа не зависит от его плотности Он был экспериментально подтвержден Максвеллов 62
Рассмотрим третий пример, связанный с вязкостью: задачу о падающей дождевой капле. Пример 8. Определить силу, с которой воздух противодействует падению мелкой дождевой капли. В числе переменных, существенных в данной задаче, оказываются сила сопротивления движению, плотность и вязкость воздуха, диаметр, вес и скорость капли. Очевидно, что это достаточно сложная задача. Полное решение, которое дано в гл. VI, можно получить с помощью метода, изложенного в гл. V. В целях упрощения задачи введем некоторые ограничения. Так как величина капли предположительно мала, можно пренебречь ее весом по сравнению с силой ее вязкого трения о воздух. Плотность воздуха также можно исключить, поскольку мала и скорость капли. Оставшиеся физические переменные даны в таблице. Физическая величина Сопротивление движению Вязкость воздуха Скорость дождевой капли Радиус капли Обозначение R ч V г L L- L L Формула размерности м г-8 1 м г-1 7-1 Зависимость R от остальных переменных выражается уравнением R = C- rfvbrc. Соответствующее уравнение размерности имеет вид LMT-^iL-'MT-JiLT-vf Le, ^е о=1, b = l, ■ с=\. Следовательно, R = Cr\vr (где С = 6л). Если плотность принять равной 1, то вес капли равен Tnr3g. Скорость падения постоянна, когда вес Уравновешен силой сопротивления R. Приравнивая 63
эти величины, найдем предельную скорость падения v = -г- — . Таким образом, скорость, будучи пропор. циональной г2, весьма мала для очень мелких капель, которые образуют вновь сформированные облака. Например, дождевая капля диаметром Vs мм падала бы с постоянной скоростью около 1 м/сек. Поверхностное натяжение. Поверхностное натяжение— широкая тема, требующая привлечения сложного математического аппарата для ее исследования. Элементарные примеры приведены здесь с целью показать, что применение анализа размерностей не ограничено лишь задачами кинематики. Прежде всего, найдем формулу размерности для поверхностного натяжения. Она выводится на основе определения этой физической величины. Принимается как нечто доказанное, что на каждой поверхности, разделяющей две жидкости, жидкость и твердое тело, жидкость и газ, существует поверхностное натяжение. Оно определяется как сила, действующая на единицу длины в плоскости, касательной к поверхности раздела, в направлении, перпендикулярном элементу линии, находящейся на этой поверхности и проходящей через эту точку. Поэтому размерность поверхност- LMT~ ,,„-2 ~ . ного натяжения имеет вид у— = МТ . Эта формула совпадает с формулой размерности для энергии на единицу площади L2MT~2 -2 L2 Поверхностное натяжение является абстракцией. На поверхности жидкости нет никакой «сжимающей пленки». Более близко к реальности понятие об энергии свободной поверхности. Обычным экспериментом в курсах элементарной физики является определение поверхностного натяжения жидкости путем измерения высоты ее столба в капиллярной трубке. Пример 9. Найти высоту поднятия жидкости " капиллярной трубке. 64
Можно полагать, что все физические величины, существенные в этой задаче, уже известны читателю. Физическая величина Высота столба жидкости Плотность жидкости Радиус трубки Поверхностное натяжение жидкости Ускорение, силы тяжести Краевой угол Обозначение h Р Г S g е Формула размерности L L- L L 0 3 м м г-2 Г-2 Считая h зависимой переменной, имеем h = С ■ parbScgdQe. Уравнение размерности имеет вид L = (L-3M)aLb{MT-J{LT-2y. Так как отсюда получаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными, можно представить любые три неизвестных через четвертое. Таким образом получаем «■«■'№)■• Эту формулу можно практически использовать, лишь дополнив ее каким-либо экспериментальным фактом, например тем фактом, что h обратно пропорциональна г; в этом случае а = — 1, и !г = С--^-, где C = 2cos9. Иногда предварительный анализ размерностей дает Указание экспериментатору на тот тип эксперимента, к°торый обеспечивает получение полезной информации. В данном случае очевидно, что полезным является определение зависимости h от г. S Зак. 599 65
Эта задача может быть решена методом размерно- стей без постановки дополнительных экспериментов, если вместо L ввести другую основную единицу измерения (см. стр. 99). Пример 10. Определить избыточное давление газа в мыльном пузыре. Здесь снова предполагается, что читатель уже знаком с этим вопросом и знает, что при данной температуре избыточное давление в мыльном пузыре зависит от его радиуса и от поверхностного натяжения мыльного раствора. Физическая величина Избыточное давление Радиус пузыря Поверхностное натяжение Обозначение Р Г S Формула размерности L М Т'2 L М Т'2 Представим искомую зависимость в виде Р = С ■ raSb, уравнение размерности в этом случае L-lMT-2 = La(MT-2f, откуда а = — 1, b = 1. Следовательно, Р = С • —. Значение С, найденное другими методами, равно 4, Следующая задача изучалась Релеем [2]. Его заинтересовало явление «пульсации» сферической капли, образующейся при истечении жидкости из круглого отверстия. Слегка деформированная сферическая капля, предоставленная затем самой себе, ввиду действия сил поверхностного натяжения «пульсирует> относительно положения равновесия с частотой, которая дает меру поверхностного натяжения жидкости. 66
Пример 11. Найти частоту «пульсации» небольшой сферической капли жидкости, падающей из круглого отверстия. Физическая величина Частота «пульсации» Поверхностное натяжение жидкости Плотность жидкости Радиус капли Обозначение V S Р г 1г L Формула размерности Т-1 м г-2 3 М Зависимость v от других переменных: v = С • Sapbrc. Уравнение размерности имеет вид T-l = (MT-T(L-3M)bLe. Отсюда получаем а = '/г, Ь = — 7я и с = — 8/з> Читатель может выразить удивление по поводу того, что вес капли не является фактором в данной задаче, и потребовать включения g в число переменных. Конечно, g является существенной для процесса величиной, но, так как капля мала, ускорением силы тяжести можно пренебречь. Если записать искомую зависимость как v = с ■ sy/V, то результат будет иметь вид Здесь необходимо определить величину а. По мере т°го как капля уменьшается в размерах, влияние g, второе пропорционально г3, уменьшается быстрее, чем влияние поверхностной энергии S, которое про- п°рЦионально г2. Таким образом, для мелких капель Сиянием g можно пренебречь по сравнению с S. По- 5* 67
этому в приближенном решении можно исключить g из формулы, если принять а = 7г; в результате полу, чаем тот же ответ, что и ранее. Подобное же рассуждение в отношении g спра- ведливо и в следующем примере. Пример 12. Найти скорость капиллярных волн в тонком слое жидкости. Составим таблицу существенных физических величин: Физическая величина Скорость волны Поверхностное натяжение Плотность жидкости Длина волны Ускорение силы тяжести Обозначение V S р 1 /У Формула размерности L Г м т-2 L-3 М L Имеем v = С ■ SapbXcgd. Формула размерности при этом имеет вид LT^=(MT'2)a(L-ZM)b Lc(LT-2f. Отсюда получаем В таком виде ответ имеет небольшую ценность; однако если учесть, что ввиду небольшой высоты волн можно пренебречь весом жидкости по сравнению с силами поверхностного натяжения, то g можно исключить при а = '/г- Таким образом, Оптика. Следующий пример дан как ввиду его эстетического интереса, так и в связи с тем, что оЯ показывает полезность (в ряде случаев) использования экспериментальных фактов в дополнение к ме- тоду размерностей. 68
Пример 13. Почему небо голубого цвета? Голубой цвет неба вызван рассеянием света на пылинках, капельках жидкости и твердых частицах молекулярных размеров, взвешенных в атмосфере. Теория этого вопроса достаточно сложна, однако Релей [3] показал, что полезный результат можно получить с помощью метода размерностей в сочетании с некоторыми известными законами оптики. Пусть частица с линейным размером / рассеивает солнечный свет с длиной волны X и амплитудой А. Амплитуда рассеянной волны уменьшается с увеличением расстояния от частицы. Пусть она равна S на расстоянии г от частицы. Требуется определить зависимость S от остальных переменных величин, собранных в таблице: Физическая величина Амплитуда волны рассеянного света Амплитуда падающей волны Линейный размер частицы Расстояние от частицы Длина волны света Обозначение S А 1 Г % Формула размерности L L L 1 L Выражая 5 как произведение остальных переменных, возведенных в ту или иную степень, получаем 5 = С • Аа1ьгсХа. Отсюда можно получить необычное размерное уравнение L = LaLbLcL\ Следовательно, 1 =a + b + c + d. На этом этапе решения анализ размерностей слезет, дополнить физическими законами. Во-первых, 63
амплитуда рассеянного света пропорциональна ащ. плитуде падающего света, поэтому а=\. Во-вторых амплитуда волны рассеянного света обратно пропдр' циональна расстоянию от частицы. Отсюда с = — 1 а следовательно, d — 1 ~ b. Таким образом, S = C- А1»г-хУ}-ь, или Релей отмечал: «Судя по динамике явления, / (отношение амплитуд волн падающего и рассеянного света) изменяется пропорционально Т (объем рассеивающей частицы)». Поэтому b = 3 и окончательно Поскольку интенсивность рассеянного света пропорциональна квадрату его амплитуды, эта интенсивность обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Если принять, что длина волны красного света приблизительно в два раза превышает длину волны синего света, то интенсивность рассеянного синего света в 16 раз больше, чем красного. Читатель может заметить, что в этом примере в большей мере использованы «физическая интуиция» и знание законов физики, чем анализ размерностей. С этим приходится согласиться, но верно также н то, что использование обоих источников привело простым и изящным образом к интересному результату, который невозможно получить методами элементарного анализа. Волновое движение. Волнообразование в глубоком резервуаре изучалось Релеем [4]. Пример 14. Найти скорость распространения волны в глубоководном резервуаре. Рассматривая вопрос о выборе физических величин, влияющих на скорость волн, мы сразу же видим, что этот случай отличается от предыдущей задачи о капиллярных волнах (пример 12), так как сила тяжести здесь существенна. Поэтому влияние поверхностного натяжения и вязкости можно не учи- 70
ть1вать. Плотность жидкости может быть уверенно включена в число переменных величин, а длину вол- Hbi включаем в предварительном порядке. Глубина воды предполагается достаточно большой для того, чтобы не оказывать влияния на скорость волны; наш практический опыт показывает, что при небольших амплитудах этот фактор не влияет на результат. Таким образом, имеются четыре переменные величины: Физическая величина Скорость волны Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Длина волны Обозначение V р g X Формула размерности L Т-1 L'3 М L T-* L Уравнение, связывающее эти переменные, имеет вид откуда найдем уравнение размерности: LT-l = {L-3M)a{LT-2fLc. Сразу же ясно, что a — О, и поэтому скорость распространения волны не зависит от плотности Жидкости. Конечный результат, полученный обычным образом, имеет вид »=*с- У kg. Предположим теперь, что глубина воды небольшая и ее влияние уже следует учитывать. Как глубина h влияет н,а скорость? Представив выражение для скорости в виде v = С ■ hagbkc, получаем соответствующее уравнение размерности: LT-l^-La{LT-2)"Lc, откуда о = с.ухе-(±у. 71
Если нам известен тот факт, Что скорость волщ| на мелководье не зависит от длины волны, то а — </j откуда v = Cy~gh. Таким образом, скорость волн щ мелководье пропорциональна корню квадратному из глубины воды. Пример 15. Найти скорость распространения колебаний вдоль натянутой струны. Согласно установившейся методике, выпишем все физические величины, от которых предположительно может зависеть скорость, хотя в зависимости от результата, который будет получен, одну или две такие величины можно будет впоследствии исключить. К таким величинам относятся натяжение струны, масса на единицу длины струны и амплитуда колебаний. Наша интуиция подсказывает, что скорость распространения колебаний не зависит от длины струны. Физическая величина Скорость распространения колебаний Сила натяжения струны Линейная плотность струны Амплитуда колебаний Обозначение V F т А L L L L Формула размерности г-1 М Т-2 -' м Из выражения V = С ■ FambA' получим уравнение размерности LT-[ = (LMT-2)a{L-lM)"Lc, откуда поэтому v-c/l (C-1). 72
Скорость распространения колебаний не зависит о7 амплитуды. С этой задачей связаны задачи о скорости распространения упругих колебаний в газе или жидкости. Акустика. П р и м е р 16. Найти скорость распространения упругих колебаний в жидкости. На скорость оказывают влияние такие физические величины, как плотность жидкости, объемный модуль упругости или, если идет речь о газе, давление. Физическая величина Скорость распространения колебаний Плотность жидкости Модуль упругости Обозначение V Р Формула размерности L Г L-3 М L М Т-2 Уравнению V = С • ра|ль соответствует уравнение размерности LT-l = (L-3M)a{L-lMT-2)b, откуда а = - -j, b = -^. Следовательно, V = С • 1 / — . По этой формуле Ньютон вычислил скорость звука в воздухе: 281 м/сек. Однако эта величина значительно занижена, Лаплас считал, что причина заключается в неправильном значении, приписанном величине ц. Сжатие и разрежение чередуются в звуковых волнах весьма быстро, ввиду чего изменения Давления и объема носят адиабатический, а не изотермический характер. Уточнение, внесенное Лапласом, позволило получить для скорости звука в воздухе значение 332 м/сек. Это число близко к значе- нию, полученному в результате эксперимента. Во многих учебных лабораториях по курсу элементарной физики в числе стандартного оборудовали имеются сонометры. Учащиеся экспериментально 73
определяют соотношение между частотой колебаний натянутой проволоки, ее натяжением, длиной и линейной плотностью. С помощью метода размерностей легко получить формулу, выражающую зависимость частоты от остальных переменных. Пример 17. Найти частоту поперечных колебаний натянутой проволоки. Физическая величина Частота колебаний Натяжение проволоки Длина проволоки Линейная плотность проволоки Обозначение V F 1 т р L L L- Формула азмерностн Т-1 м т-а 1 М Из уравнения v = С ■ Falbmc получаем уравнение размерности T-{ = {LMT-2)aLb{L-'Mf, откуда а = ~> о = -1, c=--j. Следовательно, v = — Т/ — (где С = у Найдем далее энергию колеблющейся проволоки. Очевидно, это постоянная величина, равная сумме кинетической и потенциальной энергий проволоки. Пример 18. Определить энергию натянутой проволоки, колеблющейся с частотой основного тона. Предыдущее решение показывает, что если в число существенных для этой задачи переменных входят частота колебаний, длина проволоки и ее линейная плотность, то можно исключить натяжение, которое является функцией этих переменных. С другой стороны, энергия является некоторой функцией амплН- Ц
туды. Существенные переменные приведены в следующей таблице: Физическая величина Энергия проволоки Частота колебаний Длина проволоки Линейная плотность проволоки Амплитуда пучности Обозначение Е V / т А Формула размерности L* М Т~2 L Г L-1 М L Из уравнения Е = С ■ valbmcAd получаем соответствующее уравнение размерности L2MT-2 = (T-yLb(L-lM)cLd, откуда а = 2, 6 = 3 — d, c=l, d = d. Следовательно, Е = С • v2/3mi-j-I . Этот результат показывает, что энергия проволоки сонометра пропорциональна квадрату частоты колебаний. Полного решения получить нельзя, так как число переменных (пять) превышает число основных единиц измерения (три) более чем на единицу. В гл. VI (стр. 98) будет показано, что полное решение может быть получено с помощью «более основной» единицы измерения, скрытой в понятии Длины. Пока же воспользуемся экспериментальным фактом, согласно которому Е изменяется пропорционально массе проволоки. Тогда d = 2 и окончательный результат имеет вид E = C-v2(ml)A2. Пример 19. Определить период колебаний кантона. Колебания поддерживаются за счет упругости ветвей камертона и их инерции. Отсюда следует, что 76
модуль упругости и плотность материала ветвей оказывают влияние на период колебаний. Еще одним фактором является длина ветвей, ввиду чего можно ввести фактор конфигурации поперечного сечения г, представленный как отношение ширины к высоте. Эти величины сведены в следующую таблицу: Физическая величина Период колебаний Модуль упругости Плотность материала Длина ветвей камертона Конфигурация сечения Обозначение / е Р 1 г V L-' L~3 L LL- Формула азмерностн Т М Т~2 м Период колебаний выражается как t = С ■ ea9blcrd, чему соответствует формула размерности T = (L~{MT-r(L-3M)bLc, откуда Поэтому t = С • /1/ -~ • f (г), где г — численная величина. Таким образом, период колебаний камертона прямо пропорционален длине его ветвей. Однако зависимость периода от г нельзя определить без усовершенствования анализа размерностей, которое рассмотрено в гл. V (безразмерному числу г можно при этом приписать размерность LyLz~l). 76
Как вводный к гл. V рассмотрим последний пример нз области акустики. Пример 20. Определить время реверберации'> для комнаты в зависимости от ее линейных размеров. Очевидно, что это время зависит от скорости звука в воздухе. Можно предположить, что оно зависит также от длины Lx, ширины Ly и высоты Lr комнаты, а также от ее объема V. Здесь размерность длины дана дифференцированно по направлениям Lx, Ly, Lz. Из соображений симметрии формулу размерности для скорости звука представим в виде Физические величины,__ существенные в этой задаче, даны в нижеследующей таблице. Физическая величина Время реверберации Скорость звука Длина комнаты Ширина комнаты Высота комнаты 'бъем комнаты 0Eозна- ченне Формула размерности / V ',' Ч h V Т h Lz LxLyLz Уравнение, связывающее эти переменные, имеет вид / = С ■ valllcyliVe. Соответствующая формула размерности выглядит как Т = {LH'№>T-l)e LbxLeyLi(LxLyLzy. ') Реверберацией называется время, в течение которого плотность звуковой энергии уменьшается до одной миллионной доли первоначального значения. — Прим. перев. 77
Пять неизвестных показателей степени связаны смете- мой из четырех уравнений: (длина по оси х) 0 = -g- + b + e, (длина по оси у) 0 = -^ + с + е, (длина по оси z) 0 = -^-\-d + e, (время) 1 = — а, а=— 1, 0 = -д- —е, с = -7г — е, а — -^ — е, е = е. Следовательно, / = Со-1/^"'^'-^1"^', т. е. t = C~ Перед тем как закончить эту главу, необходимо сделать следующее замечание. Читатель, уяснив себе возможности анализа размерностей, позволяющего легко, почти механически получать многие формулы из курса элементарной физики, с которыми он уже был знаком, может прийти к выводу, что области применения метода значительно шире, чем это фактически имеет место. Разнообразие задач, которые здесь рассматривались, действительно указывает на широкие возможности метода. Тем не менее имеются очевидные и жесткие ограничения метода размерностей. Соображения по этому вопросу уже были изложены в гл. III. Вывод полных физических уравнений и формул не может быть осуществлен с помощью метода размерностей, обычные математические методы действуют в этом случае лучше. С. этой точки зрения достоинства метода становятся его пороками, так как глубокое проникновение в физическую проблему и ясное понимание необходимых соотношений, существующих между сопутствующими ей переменными величинами, не вполне доступны исследователю из-за краткости и механической, стандартной однотипности приемов анализа размерностей. Тем не менее нельзя отрицать, что ценность метода заключается в способности восстанавливать забытые формулы, нахо- 78
дить алгебраические ошибки и т. д. Ясно поэтому, что следует приобрести привычку рассматривать уравнения физики с точки зрения их размерностей. ЛИТЕРАТУРА 1 Fourier J. В. J„ La Theorie Analytique de la Chaleur A822). 2 Rayleigh, Proc. Roy. Soc, 29A, 71; 34, 130; 47, 281; Nature, 95, 66 A915). 3. Rayleigh, Phil. Mag., 41, 107 and 274 A875). 4. Rayleigh, Nature, 95, 66 A915).
Глава V СОСТАВЛЯЮЩИЕ «ОСНОВНЫХ» ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ В гл. III указывалось, что со времен Фурье основы анализа размерностей не были развиты далее, хотя сам предмет и интересовал многих ученых. Поскольку такое положение вне сомнения сохраняется до сих пор, то следует рассматривать содержание этой главы как наиболее важный шаг вперед по сравнению со всем, что было предложено в этой области за весьма длительное время. На страницах этой книги не раз уже указывалось, что единственным критерием при оценке метода размерностей должна быть практическая пригодность. Приведет ли изменение старой точки зрения или освященного временем метода к расширению его возможностей или увеличению его полезности в качестве «инструмента» в руках ученого? В таком аспекте следует рассматривать любую попытку более полного освоения или улучшения метода размерностей. Мы увидим, что при таком подходе к делу новая точка зрения, изложенная ниже, значительно обогащает метод. Ниже будет показано, что две величины, долгое время считавшиеся основными, — длина и масса — могут быть преобразованы к более простым, первичным составляющим и что использование соответствующих компонентов позволяет разрешать многие неясные вопросы и делает анализ размерностей более содержательным. Рассмотрим прежде всего некоторые неудовлетворительные особенности формул размерностей. В первых наших примерах как плоский, так и телесный угол считаются безразмерными величинами. Угловая скорость и частота имеют одинаковую формулу размерности: Т~К Примером, встречающимся при изуче* 80
нии гироскопов и волчков, может служить также момент количества движения. Формула размерности скорости изменения момента количества движения имеет вид LMT~l>-j = LlMT~2. Но в то же время это и формула размерности для энергии. Конечно, это и формула для вращающего момента, который пропорционален скорости изменения момента количества движения. Итак, здесь одна и та же формула размерности соответствует более чем одной физической переменной. Еще одним примером могут служить модули упругости. Модуль сдвига _ Тангенциальное напряжение на единицу площади ' ~~ Угловая деформация ' Объемный модуль упругости _ Сила сжатия на единицу площади ~~ Относительное изменение единицы объема * Формула размерности в обоих случаях Ь.~ШТ~2. Следующий пример — коэффициент теплопроводности к. Он связан с количеством тепла Q, проходящего в единицу времени через площадь .4, соотношением d% . - где -т]—градиент температуры, t—время. Если принять, что размерность Q одинакова с размерностью энергии L2MT~2 и что размерность 8 одинакова с размерностью квадрата скорости (LT~1J, то Размерность коэффициента теплопроводности будет [k] = L~lMT~l. Однако это также и размерность физической величины совсем иного рода — вязкости. Эти примеры убеждают нас в существовании определенной двусмысленности системы единиц LM.T. ° то время как каждой физической величине можно 6 Зак. 89» 81
приписать лишь одну вполне определенную формулу размерности, обратное утверждение не является правильным. Существуют некоторые формулы размерностей, справедливые для более чем одной физической величины. Такое положение вещей нельзя признать удовлетворительным: должно существовать вполне определенное соответствие между физическими величинами и их формулами размерности. Теперь обратим внимание на другую сторону вопроса. Примеры в гл. IV показывают, что общее решение задач с помощью анализа размерностей возможно, когда число независимых физических величин превышает число основных величин (L, М,Т,.. .) на единицу. Если имеет место превышение на две или более единицы, то число неизвестных показателей степени превышает число уравнений, которые связывают их друг с другом. В этом случае становится необходимым выражение некоторых показателей через посредство других, что в итоге приводит к неполному решению задачи. Следовательно, в этом отношении мы получили бы определенное преимущество, если бы можно было увеличивать число независимых основных единиц измерения. В этой связи рассмотрим задачу о дальности полета пули. Дальность полета пули. Пример 1. Пуля выпущена с начальной скоростью и в горизонтальном направлении на высоте h от земной поверхности. Определить дальность горизонтального полета пули. В этой задаче имеются три переменные величины и одна размерная постоянная, представленные в следующей таблице: Физическая величина Дальность полета Начальная скорость Начальная высота Ускорение силы тяжести Обозначение R и h е Формула размерности L L Г L L Т~2 82
Представив искомую зависимость в виде R « С ■ uahbgc, получим формулу размерности L = (LT-yLb(LT-*f, (длина) 1 = а + b + с, (время) 0 = — а — 2с. Так как имеется система только двух уравнений с тремя неизвестными показателями, то два из них должны быть выражены через посредство третьего: , , а а а = а, 0 = 1—у, с= —у. Отсюда R-C-hf-ZJ)' Whgj • В этом примере четыре физические величины выражены через посредство двух основных величин; следовательно, полное решение получить невозможно. Число физических переменных не может быть уменьшено. Однако нельзя ли увеличить число основных единиц измерения? По вопросу о наиболее удобном выборе основных величин на страницах научных журналов высказывались различные мнения. В [1] предполагалось уменьшить число основных единиц до двух, оставив лишь единицы длины и времени. В этой системе масса имеет размерность L3T~2. В [2] к основным единицам длины, массы и времени предлагается добавить еще единицу количества электричества Q. Изучающие анализ размерностей обычно не обращают внимания на то, что размерность длины не является в той мере основной, в какой ее принято считать в связи с долговременным употреблением в этом качестве. В действительности она может быть разложена на составляющие, которые являются более «первичными», чем сама размерность длины. Такое разложение, увеличивая общее количество основных физических величин, независимых друг от друга, дает возможность получить точное выражение некоторых формул физики, показатель степени в которых ранее оставался неизвестной величиной. С другой стороны, это устраняет 6* 83
путаницу в формулах размерности, когда одна и та же формула справедлива для двух и более физических величин. Многие величины в физических уравнениях, такие, как скорость, ускорение, момент, называются векторными, поскольку они обладают свойством направленности и характеризуются численным значением. Они отличаются от других величин, называемых скалярными, таких, как масса, которые характеризуются лишь численным значением. Итак, направление является такой же основной характеристикой (например, момента), как длина, масса и время. Кроме того, эта величина не зависит от остальных основных величин. До сих пор при записи формул размерности не делалось различия между [L] в одной формуле и [L] в другой. Однако [L] в формуле размерности для плотности [ML~3] и в формуле скорости [LT~l] существенно различны. В формуле размерности для момента вращения [L2MT~2] размерность длины встречается дважды, и хотя эти длины взаимно перпендикулярны, различие между ними не принималось во внимание. В формулах размерности, связанных с волновым движением, имеются две разные длины, перпендикулярные друг другу, а именно длина волны и смещение. Однако обе эти величины обычно представлены одним и тем же обозначением размерности [L]. Рассмотрим еще один пример. Цилиндр с вертикальной осью падает под действием силы тяжести в вязкой среде. Сопротивление движению зависит от линейных размеров тела, а также от плотности и вязкости среды и других физических величин. Было найдено, что в формулу размерности входит [L2] — площадь. Однако к какой именно площади относится [L2] — к площади торцов цилиндра или его боковой поверхности или к площади обеих поверхностей? Метод размерностей в его обычном виде не дает ответа на поставленный вопрос. Однако если учитывать различие между направлениями по диаметру и по оси цилиндра, то можно легко выяснить, что площадь торца связана с плотностью, но не с вязкостью, а площадь боковой поверхности имеет отношение к вязкости, но не к плотности. 84
Таким образом, вывод состоит в том, что в случае i адобности можно увеличивать число основных еди- лиц длины, массы и времени, «разлагая» размерность длины по трем взаимно перпендикулярным направлениям •>. Векторные единицы длины. Эти основные величины можно назвать векторными единицами длины, различающимися индексами, т. е. [Lx], [Ly], [L2]. Первоначальную размерность для отличия будем называть скалярной единицей длины и обозначать как [L]. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть векторные свойства размерности длины, в то время как направление вектора не имеет значения, можно использовать обозначение [LJ. Векторная единица длины [Lv] образуется при сложении векторов [Lx], [Lv] и [Lz]. Этим способом три так называемые основные единицы измерения заменяются пятью единицами; кроме того, очевидно, что к новым размерностям в векторных единицах длины более подходит название основных, чем скалярных [L] (по старому правилу). Такое на первый взгляд тривиальное изменение в выборе основных величин имеет в действительности большое значение. Преимущества этого перехода станут более очевидными по мере изложения нашей аргументации. Некоторые из них кратко отмечены в ближайших нескольких разделах. При использовании векторных длин многие формулы размерности сразу же становятся более информативными. Например, в случае скорости различие между LT'1 и LXT'1 очевидно. Последняя формула не только напоминает читателю, что скорость — векторная величина, но также указывает направление скорости. Пуля обладает равномерной горизонтальной скоростью и равномерным вертикальным ускорением. Обычно их размерности записываются как LT~l и L-T~2 соответственно. Однако насколько более ясной становится запись в виде LXT~X и LZT~2\ В некоторых случаях линейную плотность проволоки можно Достаточно хорошо выразить в виде Ь~Ш; однако ') Идея этого метода была предложена в 1892 г. Вильямсом И вновь анализировалась Муном и Спенсером в 1949 г. [4]. 85
позднее будет показано, что в других случаях предпочтительным является выражение LxlM. Вид формулы площади LXLV, LyLz или LZLX лучше, чем L2. Формула размерности плотности в виде 1ггМ обычно бывает достаточна для решения задач, однако формулу для давления L~lMT~2 следует преобразовать. Давление равно нагрузке на единицу площади, и поэтому новая формула имеет вид byLz Очевидно, эта формула или аналогичные две другие (которые можно составить путем круговой перестановки индексов) более информативны, чем старая Ь~1МТ~2. Площадь в противоположность объему часто рассматривается как векторная величина. Ее ориентация в трехмерном пространстве имеет важнее значение. Новый метод использования векторных единиц длины позволяет отобразить эту особенность в формуле размерности. Для случая распространения поперечных волн, очевидно, лучше выражать смещение и длину волны с отличными друг от друга размерностями [Lx] и [Lz], чем выражать обе величины с одинаковой размерностью [L]. Ниже будет показано, что путем сообщения векторного характера размерностям длины можно вывести некоторые уравнения волнового движения без постановки экспериментов. Дополнительным преимуществом при использовании векторных длин в качестве основных единиц измерения является то обстоятельство, что вместо трех теперь имеется пять основных единиц. Следовательно, если все они независимы, в общем случае мы получим систему из пяти независимых уравнений вместо обычных трех, связывающих неизвестные показатели формулы размерности. Таким образом, становится возможным выводить путем лишь анализа размерностей формулы физики, содержащие большее число переменных величин и размерных постоянных величин, чем раньше. Как мы уже видели, чтобы вывести физическую формулу, содержащую пять переменных, требовалась система из более чем трех уравнений, которые 86
составляются путем приравнивания показателей при I, М и Т. Используя L.x, Ly, Lz, M и Т, можно получить систему из пяти уравнений, хотя часто лишь четыре из этих уравнений являются независимыми. Используя новые приемы, рассмотрим снова задачу о полете пули, которая ранее была решена лишь частично. Было получено следующее решение: Нетрудно понять, что оценка значения а зависит от экспериментально найденной зависимости, например, R от Л. Однако эксперимент совершенно излишен, поскольку существует вполне определенная связь между обозначениями, сразу же вскрываемая при использовании «более основных» единиц измерения, чем те, которые применялись ранее. Используя векторы [Lx] и [Lz], можно получить полное решение с точностью до численного коэффициента. Обозначим вертикальные перемещения и т. д. индексом z, а горизонтальные перемещения и т. д. индексом х. Составим новую таблицу: Физическая величина Дальность полета Начальная скорость Начальная высота Ускорение силы тяжести Обозначение R и h 8 Формула размерности Lx LK T~l Lz L2 Г Как и ранее, Lx = (LxT-yLb,(LxT-*f, (длина по оси х) 1 = а, (длина по оси z) 0 = Ъ + с, (время) 0= — а — 2с. Отсюда а = 1, & = у > <? = - у • Т- е. я = с.И|/А. 87
Таким образом, зная, что С = 2, с помощью новых векторных основных единиц анализ размерностей позволяет получить полное решение задачи. В качестве дальнейшей иллюстрации использования векторных свойств некоторых физических величин рассмотрим следующий пример. Пример 2. Пуля выпущена с начальной скоростью и под углом а к горизонтальной плоскости. Найти дальность полета. Если не вводить векторные обозначения, то получим следующую таблицу: Физическая величина Дальность полета Начальная скорость Начальный угол наклона Ускорение силы тяжести Обозначение R и а S Формула размерности L L Г-1 LL~' L Т~2 Записав функцию в виде # = С • uagbof, получаем соответствующее уравнение размерности L = {LT-l)a{LT-2f. Угол а, который является безразмерной величиной, отсутствует в этом уравнении, и мы получаем формулу вида *-c-f Такой результат ничего не говорит о зависимости R от угла а. Повторим те же вычисления, принимая во внимание векторные свойства единиц длины. Как и ранее, обозначим горизонтальное и вертикальное перемеще- 8§
ния и т. д. индексами х и г. Вместо и запишем их и иг. Запишем функцию в виде R = С ■ uaxubzgc. Тогда Lx = (LxT-r(LzT-i(L2T~J, (длина по оси х) 1 = а, (длина по оси z) 0 = b + с, (время) 0= — а — Ь — 2с. Отсюда а=1, Ъ=\, с=—I. Поэтому R = С • к* -f или R = C и2 cos a sin а Зная, что С — 2, получаем полное решение задачи. Следующая задача предлагается читателю в качестве упражнения. Пример 3. Пуля выпущена с начальной скоростью и под углом а к горизонтали над плоскостью, наклонной под углом р к горизонтали. Показать, что время полета определяется формулой r sin (a-ft) 1~Ь' gcosp ' Обязательные соотношения между величинами. Пример крайне простого решения задачи о пуле позволяет высказать дополнительные соображения. В задаче фигурируют четыре физические величины, обозначенные как R, и, h, g. Необходимо связать их друг с другом функциональным соотношением f(R, и, h, g) = ~ 0. В случае отсутствия ограничивающих условий число возможных соотношений бесконечно велико. Однако, используя принцип однородности по размерностям в отношении длины, массы и времени, число возможных вариантов взаимосвязей четырех величин можно значительно уменьшить. Тем не менее это число не Доводится до единственной функции. Таким образом, не остается, по-видимому, ничего другого, как обращаться к помощи эксперимента, если требуется получить решение вида / = 0. Казалось бы, на первый 89
взгляд, что вид связи между R, и, hug диктуется природой физического явления, требующего в свою очередь проведения определенных экспериментов для обнаружения этой связи. Однако на самом деле это не так. Четыре величины образуют функциональное соотношение, определяемое не внешней упорядоченностью или характером явления, а определениями и методами измерения самих величин. Ошибка возникает из-за неумения глубоко анализировать физические величины по их основным составляющим. Когда единица измерения длины разлагается на компоненты, становится ясно, что существующие между R, и, h и g соотношения являются обязательными и единственными. Они могут быть установлены путем априорных рассуждений, что делает ненужным проведение эксперимента. Новый вывод формул размерности. Еще одно преимущество употребления векторных длин в качестве основных единиц состоит в том, что тем самым открывается новая возможность избежать использования одной и той же формулы размерности применительно к различным физическим величинам. Приведем несколько примеров. Хорошей иллюстрацией может служить формула размерности L2MT~2 для работы (или энергии) и вращающего момента. Так как вращающий момент представляет собой произведение двух взаимно перпендикулярных векторов, формулу размерности удобно представить в виде LXMT~2 • Lv — LxLyMT~- или путем круговой перестановки индексов в виде LyLzMT~2 или LZLXMT~2. С другой стороны, работу — произведение двух коллинеарных векторов — и ее формулу размерности можно представить как LVMT'2-LV = L2VMT~2, или L2XMT~2, L2yMT~s или L\MT~*. Таким образом, становится возможным провести разграничение между этими разнородными величинами. Угол также нет более необходимости считать безразмерной величиной. Плоский угол может быть опи- 90
■ан формулой LXLV . Подобным же образом форму- ia размерности для телесного угла будет иметь вид — 2 LxLyLz • Формула размерности угловой скорости еперь приобретает более содержательный вид lxL^lT~l взамен прежней формы Т~х. Ранее мы отмечали, что коэффициенту теплопроводности и вязкости соответствует одна и та же формула размерности L~lMT~l. С помощью векторных длин эти величины можно представить в виде отдельных формул. Примеры можно найти в гл. VI и VII. Следующей ступенью анализа размерности длины является различение положительного и отрицательного направления векторов. Знак и направление вектора являются существенными факторами. Проводя различие между Lx и L.x и т. д., можно разложить [L] на шесть составляющих. Такой прием не дает преимуществ в решении уже рассмотренных примеров, поэтому он здесь не рассматривается. Однако в примерах гл. VI и VII будет показано, что использование еще более «подробных» основных единиц при определенных условиях приносит ценные плоды. Векторные площади. Отметим еще один аспект преимущества использования векторных длин. Во многих физических формулах размерности направление длины не имеет особого значения. Например, L в формуле для плотности L~3M не имеет векторного характера. Однако в некоторых случаях придание векторных свойств единице длины является важным обстоятельством. Рассмотрим, например, сопротивление движению обтекаемого тела, допустим движению торпеды в воде. Эту задачу можно решить путем анализа размерностей. Сопротивление движению складывается из трех составляющих: лобового сопротивления воды, сопротивления трения и вязкостного сопротивления. Формула размерности для каждой из этих физических величин включает величину сила/площадь. Для всех трех видов сопротивления сила является вектором, параллельным линии движения торпеды Ох- Так как площадь, на которой проявляется лобовое давление, перпендикулярна оси Ох, то формула Размерности будет содержать произведение Lj'jLJ1. 91
С другой стороны, сопротивление трения и вязкостное сопротивление проявляются на боковых поверхностях, параллельных Ох, ввиду чего в формуле размерности будет присутствовать произведение LJ Ly1 или Lj'Z-J1. В силу симметрии системы относительно линии движения торпеды оба предыдущих выражения не обладают каким-либо преимуществом друг перед другом. Поэтому для сохранения условий симметрии мы обеспечим их равноценность, если запишем формулу размерности для площади таким образом: Vl^*Yl?l? = l71l?''l;\ Итак, мы рассмотрели некоторые преимущества использования векторных величин, «скрытых» в единицах измерения длины (примеры приведены в гл. VI и VII). Рассмотрим теперь возможность разделения единицы измерения массы (как основной единицы) на более простые элементы. Двойственный характер массы. С тех пор как начались изучение и применение метода размерностей, существовало единственное обозначение для размерности массы, и это обозначение [М] использовалось без каких-либо оговорок. В анализе размерностей возможность существования более фундаментальной единицы не рассматривалась. И хотя возможность существования размерных величин более фундаментального характера, чем [М], вполне была признана, в литературе нет указаний на то, что выгода использования таких величин для решения задач нашла свое практическое выражение. Такое положение вещей довольно странно, так как ученым-физикам давно известен двойственный характер массы. В физике масса обычно рассматривается с двух совершенно различных точек зрения: 1) как количество вещества и 2) как мера инерции. Хотя между этими двумя величинами существует строгая пропорциональность, они не идентичны1). В действительно- ') Как известно, в общей теории относительности показывается, что инертная и гравитационная массы совершенно идентичны. — Прим. ред. 92
сти они совершенно разнородны по своей природе, и поэтому их размерности должны обозначаться различным образом. До сих пор мы рассматривали примеры с инертной массой, однако в задачах, в которых фигурируют теплота и температура, следует рассматривать массу как количество вещества. На- фимер, составляя формулу размерности теплоемко- ти, мы имеем дело с массой в качестве количества ещества, а не инерции. Чтобы различать эти виды массы в формулах размерности, придадим им следующие обозначения: [Мц] — количество вещества, [М{] — инерция. Мы убедимся, что такое различие делает анализ размерностей более ясным и эффективным. Некоторые формулы размерности становятся более полными, а анализ некоторых задач — более многосторонним. Примером может служить формула для удельной теплоемкости, которая имела размерность #M_16_1 или Ь2Т~2в-1. Теперь эти формулы приобретают улучшенный вид, а именно ЯЛТ^'б-1 и L2vMiM^lT~2Q~l соответственно. Следующий пример иллюстрирует значение дифференциации понятия массы. Пример 4. Определить массовый расход вязкой жидкости, протекающей через трубу круглого поперечного сечения. Эту задачу можно решить обычным методом. Физическая величина Массовый расход Разность давлений Плотность жидкости Коэффициент вязкости Радиус трубы Ооозна чеиие m V р Ч г Формула оазмерности м г-1 L~2 M Г L~~3 M L 93
Представим искомую зависимость в виде т = С ■ р"рьцсг" или MT~l = (L-2MT~2)a (L~3M)" (L-lMT-lf Ld; отсюда легко получить следующие значения показателей: _ I с , _ 1 с _ , _ 5 Зс_ a-y-f. 0~!-T' с~с' d-T~ 2 * Следовательно, Здесь с имеет неопределенное значение. Поэтому решение является сравнительно мало ценным и на первый взгляд необходимо обратиться к эксперименту. Однако это не так. Принимая во внимание дифференциацию понятия массы, т. е. различая массу как количество вещества и массу как меру инерции, мы найдем, что эксперимент излишен и что между физическими величинами имеется определенная связь, отражаемая их формулами размерности, а также что решение может быть получено априорно. Таблица теперь имеет следующий вид: Физическая величина Массовый расход Разность давлений Плотность жидкости Коэффициент вязкости Радиус трубы Обозначение m Р Р ч г Формула размерности L~- Mi Т~2 L~3 M» Z.-1 Mi Т~х L Из выражения гп = С ■рарьцсга получаем MJ" = (L-2Af,r-TU-3Af,Jb llT*MtT-iyLd. Мы полагаем теперь, что это уравнение однородно по размерностям М^ и Ми т. е. мы рассматри- 94
ваем эти две физические величины как существенно разные и поэтому получаем два дополнительных уравнения: 6 = 1 и а + с = 0. Подставляя эти значения в наши прежние уравнения, получаем а= 1, с= — 1, d = 4. В итоге Мы видим, следовательно, что условие, состоящее в том, что части физического уравнения должны быть однородными по размерностям, и равнозначное по форме общему утверждению о невозможности суммирования разнородных величин, поддается теперь более строгой интерпретации, чем ранее. Необходимым, но уже не достаточным более является требование, чтобы показатели при [L] и [М] были одинаковыми в каждом члене уравнения. Согласно принципу однородности по размерностям, каждый член должен иметь одинаковый показатель при каждой из величин [Lx], [Ly\, [LJ; показатели должны быть одинаковыми также при величинах [MJ, [Mi], Такие более строгие условия, как мы уже видели, увеличивают эффективность анализа. В следующей главе будут даны примеры, иллюстрирующие эту дополнительную эффективность. ЛИТЕРАТУРА 1. Brown В., Proc. Phys. Soc, 53, 298, 418. 2. Duncanson, Proc. Phys. Soc, 53, 432. 3. W i 1 1 i a m s W., Phil. Mag., 34, 234. I Moon, Spencer, Jnl, Franklin Inst., Dec. 1949, p. 495.
Глава VI ВЕКТОРНЫЕ ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ. ПРИМЕРЫ В этой главе демонстрируется высокая эффективность метода размерностей при разложении единиц измерения длины на компоненты. (Преимущества рассмотрения размерности массы с двух точек зрения будут показаны на примерах в гл. VIII.) Примеры, которые даны ниже, представляют для нас существенный интерес. Они с ясностью показывают, что размерностный состав физических величин в той или иной конкретной задаче может обусловливать единственное соотношение между ними, причем вероятность этого значительно больше, чем в случае когда векторные длины не применяются. Эти примеры служат также целям развития практических навыков у читателя при пользовании улучшенными методами. Рассматривая занимательные на вид примеры, учащиеся приобретают привычку размышлять над уравнениями в категориях размерностей; такая привычка нужна для проверки точности формул и уравнений. Кроме того, новый метод обеспечивает выявление соотношений между физическими переменными в тех задачах физики, которые слишком сложны для решения обычными методами; поэтому за неимением полного решения можно будет найти частное решение задачи. Предлагаемые здесь примеры несколько сложнее, чем те, которые содержатся в предыдущих главах, но в каждом из них демонстрируется расширение возможностей нового метода по сравнению со старым. Таким образом, задачи, для которых не было получено полного решения в гл. IV, подвергаются здесь пересмотру с целью получения такого решения. Предлагаем читателю самостоятельно решить некоторые 96
из задач, а затем уже познакомиться с дальнейшим текстом. В гл. IV было показано, что задача из области гидростатики (пример 4, стр. 56) не имеет полного решения, если использовать обычный анализ размерностей. Рассмотрим снова эту задачу, используя новый метод анализа размерностей. Пример 1. Найти формулу периода колебаний ареометра Никольсона с массой М, плавающего в жидкости (например, в воде), при небольшом смещении его вниз от положения равновесия, а затем вверх; поперечное сечение стержня прибора равно S, плотность жидкости d. Ранее для этой задачи было найдено следующее решение: Обычный метод не позволяет определить значение показателя а. Примем теперь во внимание направление единичной длины, причем ось Ог будем считать вертикальной. Новые формулы размерности представлены в следующей таблице: Физическая величина Период колебаний Масса ареометра Поперечное сечение стержня прибора Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Обозначение / М s d 8 Формула размерности L-xLy r-i/-l/-l ьх иу ьг Lz Т м м т-2 Как и ранее, представим уравнение, содержащее эти Переменные в виде t = С ■ Masbdcgd. Однако уравнение размерности выглядит теперь следующим образом; 7 Зак. 599 97
T = Ma{ULu)b{L-x'L^L:xM)c{LzT-")d. Теперь у нас имеются четыре неизвестных показателя, определяемые системой из пяти уравнений. Од. нако эти уравнения зависят друг от друга; они сводятся к четырем ввиду симметрии системы относительно оси Oz: (длина по оси х) (длина по оси у) (длина по оси z) (масса) (время) Отсюда Следовательно, или, так как мы знаем из других источников, что С = 2л, '-2*/таг- Для дальнейшей иллюстрации возросшей эффективности метода размерностей обратимся к другой задаче, неполное решение которой было дано в гл. IV (пример 18, стр. 74). Пример 2. Определить энергию натянутой проволоки, колеблющейся с частотой основного тона. Таблица переменных величин, фигурирующих в этой задаче, составляется с необходимыми изменениями в формулах размерности. Проволока располагается вдоль оси х, а смещения, перпендикулярные проволоке, — параллельно оси г. Энергия колеблющейся проволоки — это работа, совершаемая при ее смещении вдоль оси г; следовательно, размерность энергии есть LZMT~2-LZ. 0 = 0 = 0 = 0 = 1 = а = с = /-= ■Ъ ■Ь — а ■ — 1 : 2 — С -с, -с, c + d, ¥с, 2d. , ь 1 2 • • M4ls~ = - rf = v,d-v, 1 2 — S 98
Физическая величина Энергия колебаний Частота колебаний Длина проволоки Линейная плотность проволоки Амплитуда пучности Обозначение Н V / т А Формула ч Lx *■? L, размерности М Т-2 г-1 м Уравнению Е = С • v"lbmcAd соответствует уравне- е размерности LlMT-2 = {T-l)aLbx{L?M)cLdz, (длина по оси х) О = Ь — с, 2 = d, - 2 = - а. а = 2, 6 = 1, с=1, d = 2, £ = C-v2(m/)A2. (длина по оси г) (масса) (время) Таким образом, и поэтому Полученный здесь результат отличается от прежнего решения (стр. 74), когда векторные единицы не использовались! £ = C-v2/3mD)d, где d было неизвестной величиной. Теперь можно найти полное решение еще одной задачи, неполное решение которой дано в гл. IV (пример 9, стр. 64). Пример 3. Найти высоту поднятия жидкости в капиллярной трубке. В этом примере с особой тщательностью должна быть составлена формула размерности для поверхностного натяжения S, которая раньше имела вид МТ~2. Эта формула недостаточно совершенна. Пусть 8ертикальное направление соответствует оси Oz в прямоугольной системе координат, Тогда 99
эффективная составляющая поверхностного натяжения выражается как Sz = S cos0 и, согласно определению поверхностного натяжения, размерность 5Г есть либо LzMT-2jLx, либо L2MT~2/LV, Но для сохранения условий симметрии относительно оси Oz выразим размерность так: ? _ LZMT~2 По той же причине размерность радиуса трубки будет иметь вид L'xLy. Новая таблица имеет следующий вид: Физическая величина Высота столба жидкости Плотность жидкости Радиус трубки Поверхностное натяжение Ускорение силы тяжести Краевой угол Обозначение h Р Г sz 8 е Формула размерности Lz г Чг, Чг l-4-4z м т-* Lz T-* 8 Новое уравнение имеет вид h = C-9arbSczgdBe. Уравнение размерности в этом случае lz = (l71l;1l;1mT {lHW (l;'!>l;4zmt-2)c {lj-2)". Отсюда мы получим пять уравнений, связывающих показатели а, Ь, с и d, два из которых ввиду осевой симметрии одинаковы. В результате решения уравнений найдем следующие значения показателей: а=—\, Ь=—\, с=\, d=-\. Отсюда 100
Так как С = 2я, окончательно получаем п = 2л . rpg Конический маятник. Задача о коническом маятнике является поучительной. Будет показано, что полное решение можно получить, если выбрать физические переменные так, чтобы уравнение было уравновешено в отношении взаимно ортогональных векторных величин. Отметим, что в задаче не проводится различие между положительным и отрицательным направлениями векторов. Тем не менее такое различие является желательным и иногда дает полезную информацию. Пример 4. Тело, подвешенное на нити, которая закреплена в неподвижной точке, движется по окружности в горизонтальной плоскости; при этом нить описывает поверхность конуса, ось которого направлена вертикально через точку подвеса нити. Найти скорость тела. Решение задачи зависит от значительного количества физических величин, сведенных в следующую таблицу: Физическая величина Длина нити Высота конуса Радиус вращения Масса тела Натяжение нити Ускорение силы тяжести Тангенциальная скорость Угловая скорость Период Наклон нити к вертикали значение 1 h г m F 8 V со t 9 L L L L L L LL Формула размерности м м -I у—2 ■f-2 Т-1 г-' Т-1 101
Не все эти величины независимы друг от друга. Например, ft = /cos0, ш = — , Fcos6 = mgy (ut = 2n и т. д. Так как ранее было установлено, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы, то т можно временно не учитывать. Отсюда следует, что F тоже не учитывается. В предварительном порядке представим v как функцию трех переменных: v = С • larbgc. Соответствующее уравнение размерности имеет вид LT~l = LaLb(LT-2y. В результате получим следующее решение: .-утЧ*)' или, в более общем виде, v = |/g7 • / (sin 6), где функция / остается неопределенной. Более содержательное решение можно получить, если представить переменные в виде векторных величин. Полагая, что ось z является вертикальной, разложим / на следующие составляющие: h (ось конуса), параллельную оси г, и г (радиус основания), перпендикулярную оси г. Обозначим размерность h как Lz. Возникает вопрос, как обозначить размерность г — через Lx или Ly, Ради сохранения осевой симметрии системы запишем формулу размерности г в виде L'xL'y. По этой же причине представим v в виде cor, где со — угловая скорость, имеющая размерность 7м. Таким путем получим новое уравнение юг = С • harbgc и соответствующую ему формулу размерности (длина по оси х) ~2==Y> (длина по оси у) -2=Т' (длина по оси z) 0 = a + c, (время) — 1 = 2с. 102
Таким образом, а= — -^, 6=1, С = Т и юг = С ■ h~l,'rg'; т. е. у2 = С • г2 -у- = g/ • sin a • tg а, так как величина С, определенная с помощью других методов, равна 1. Итак, использование векторных свойств размерности длины, приведшее к введению дополнительной физической величины, и позволило определить функцию /. Динамика вращательного движения. В этом разделе приводятся дополнительные примеры по проверке формул. Эти формулы должны быть уравновешены в отношении векторных величин, т. е. они должны быть однородными в отношении векторных длин. Заметим следующее. Осуществляя такую проверку, следует обратить внимание на то обстоятельство, что некоторые векторы, находящиеся в причинно- следственной связи, взаимно перпендикулярны. Магнитное поле, создаваемое движущимся электрическим зарядом, перпендикулярно направлению движения последнего. Вектор ускорения тела, движущегося по окружности, перпендикулярен вектору скорости. Такие особого рода взаимосвязи между векторами следует иметь в виду в ряде случаев. При использовании анализа размерностей в задачах по динамике вращательного движения твердых тел применение векторных длин позволяет избежать путаницы. Например, как отмечалось в гл. V, в этом случае можно провести различие между размерностью момента вращения и размерностью работы. Как известно, размерность работы есть L2M7~2; без Учета векторных свойств длины размерность момента вращения также выражается формулой L2MT~2. Но так как сила действует перпендикулярно плечу, момент вращения можно представить теперь в виде kLvMT-2. Найдем, например, выражение для момента инерции прямоугольной пластины длиной Р и шириной Q относительно оси, проходящей через ее центр и параллельной ее длине. Если т — масса, приходящаяся ШЗ
на единицу площади, то момент инерции / можно представить в виде I = C-maPbQc, а соответствующее уравнение размерности приобре- тает форму L2M = (L-2M)"LbLc. Отсюда / = С ■ тРьС?~\ т. е. / = С • Масса X Рь~1 X Q3-6. Значение Ь остается неопределенным. Однако, если полагать, что длина. Р параллельна оси х, а ширина пластины Q параллельна оси z, получаем новое уравнение размерности LlM = {L:]L7'M)aLbxLcz, откуда / = С • mPQ3 = С • Масса X Q2. Полное решение получаем, подставив С = 7з- Ниже приводится пример, когда величина угла рассматривается в качестве независимой основной величины. Пример 5. Найти пару сил, закручивающих проволоку с подвешенным на ней грузом. Определяем модуль сдвига материала проволоки. Допустим, что радиус проволоки г, а ее длина '• Пусть она закручена на угол ср парой сил с. Вначале найдем формулу размерности для модуля сдвига согласно его определению. Модуль сдвига равен отношению напряжение/сдвиг. Напряжение — это тангенциальная сила, деленная на площадь, нормальную силе. Сдвиг, который является срезающим, равен лр//. Вначале мы не будем учитывать направление размерности. Тогда формула размерности модуля сдвига имеет вид г 1 _ Напряжение Тангенциальная сила _ rqp * Сдвиг — Площадь, нормальная силе ' / ' Т. е. NLM1 L r -1 ,,^,-2 = L2 = T = L MT ' 104
Переменные величины сведены в следующую таблицу: Физическая величина Пара сил Модуль сдвига Радиус проволоки Длина проволоки Угол закручивания начение С п г 1 Ф Формула размерности L2 М Т-* £-' М Т~* L L е Если рассматривать пару сил в зависимости от остальных переменных, получаем с = С- iyV/У. Уравнение размерности имеет вид L2MT-2 = {L-lMT-2)aLbL. Безразмерная величина ф была опущена (длина) 2 = — а + b + с, (масса) 1 = а, (время) — 2= — 2а. Таким образом, с = С • y\r3~clc = С • r\r3f (Ifr). Этот ответ не представляет ценности. По одной из причин, пара сил является здесь функцией угла ф, и эта величина должна быть отражена тем или иным образом в уравнении размерности. Повторяя предыдущие вычисления, но без использования векторов, следует позаботиться о том, чтобы формула размерности сохранила симметрию. Если принять ось проволоки в качестве оси г, то возникает вопрос о том, как представить тангенциальную составляющую пары сил: в виде Fx = = LXMT'2 или Fv = LyMT~2. Для сохранения осевой симметрии представим ее как F^YTJl^L'tL^MT-'1. 105
Угол ф имеет нулевую размерность и, таким обра- зом, не входит в уравнение размерности. Однако, как мы уже видели, пара сил с является функцией (р. Поэтому в виде попытки предположим, что угол имеет размерность G и является основной величиной, как длина, масса и время. Срезающий сдвиг гср// теперь будет иметь формулу размерности ьЧ'Ь'уЪ/Ьг и f ]= Напряжение = F , гф ^ ф^Г2 _ ^8 ^" Сдвиг Площадь " I LxLy ' Lz » т. е. [r\] = L71L;1LzMT-2Q~'1. Переменные величины, которые зависят от с, сведены в следующую таблицу: Физическая величина Пара сил Модуль сдвига Радиус проволоки Длина проволоки Угол закручивания значение С ч Г 1 ф Формула размерности LxLy M Г-* L~>L-{LZ м г-* е-1 L2 е Отметим, что ни одна из этих формул размерности не симметрична относительно оси г. Представляя пару сил как функцию остальных переменных, полу* чаем и уравнение размерности LxLyMT-2=(L7lL;%MT-2Q-y(LKl'fLlQd. Теперь имеется шесть основных величин, связывающих четыре неизвестных показателя, но вследствие ранее установленной равнозначности Lx и Ц 106
удут иметь место два одинаковых уравнения: (длина по оси х) 1 = - а + у, (длина по оси у) 1 = - а + ~, (длина по оси z) 0 = я + с, (масса) 1 = а, (время) — 2 = — 2а, (угол) 0 = — а + d. Отсюда 0 = 1, 6 = 4, с=»—1, d—\. Таким образом, с = С • ту4/-1ф. 1мея в виду, что С — л/2, получаем полное решение: С~ 21 ' Еще один поучительный пример, показывающий лспользование — скорее в этом случае необходимость — векторных обозначений для размерности длины, связан с определением энергии бегущих или стоячих волн в жидкости. Эта задача не может быть решена путем анализа размерностей, если использовать обычные основные величины — недифференцированные длину, массу и время. Однако применение векторных величин позволяет получить полное решение. Пример 6. Определить полную энергию системы гюдяных волн между двумя плоскостями, находящимися на единичном расстоянии. Плоскости параллельны направлению движения волн. Нетрудно понять, что энергия есть функция плотности жидкости, длины и амплитуды волн, а также ускорения силы тяжести. Вначале не будем проводить различия для направлений единичных длин, как что отражено в нижеследующей таблице: 107
Физическая величина Энергия волн Плотность среды Длина среды Амплитуда волны Ускорение силы тяжести значение Е Р А А ё Формула размерности L2 М Т-2 L~2 M L L L Г-2 Следует отметить, что поскольку рассматривается двумерная задача, то здесь плотность — это масса на единицу площади. Уравнение, связывающее переменные величины, имеет вид и формула размерности есть L2MT~2 = (L-2M)aLbLc(LT-2)". Существенная особенность этого уравнения: здесь нет возможности провести различие между показателями Ъ и с. Следовательно, нельзя найти показатели при X и А, влияющие на Е. Решая уравнения относительно показателей, получаем а—\, 6 = 3 —с, с —с, d—\, откуда Форма зависимости энергии от длины и амплитуды волны остается неопределенной. Повторим вычисления, учитывая на этот раз направления единичных длин. Пусть ось х расположена горизонтально, параллельно ограничивающим плоскостям, а ось г направлена вертикально. Энергия волны, которая равна работе, совершаемой при перемещении воды против силы тяжести в вертикальном направлении, будет иметь размерность LzMT-~ X L* 108
Новые формулы размерности приведены в следующей таблице: Физическая величина Энергия волны Плотность среды Длина волны Амплитуда волны Ускорение силы тяжести Обозначение Е Р Я А 8 Формула размерности l\ м г-2 l-'l-1 м Lx lz Lz Т~* Как и ранее, уравнение, связывающее переменные величины, имеет вид E = C-palbAcgd, а из него мы получаем новое уравнение размерности Уравнение позволяет провести различие между показателями b и с, так как они относятся к разным основным величинам Lx и Lz. Число уравнений, связывающих четыре неизвестных показателя степени, возросло с трех до четырех: (длина по оси х) (длина по оси z) (масса) (время) Отсюда и поэтому О = - а + Ь, 2 = — а + c + d, \=а, -2 = -2d. а=\, &=1, с —2, Е = С- pXA2g. d=l Таким образом, с помощью дополнительной размерности становится возможным найти зависимость, которую ранее нельзя было получить обычными приемами анализа размерностей, а именно что энергия волн пропорциональна первой степени длины волны и квадрату амплитуды. Значение С равно '/2 для бегущих волн и lU для стоячих волн, причем половина 109
энергии приходится на кинетическую энергию, половина — на потенциальную. Классическая задача. Рассмотрим в качестве заключительного примера использования векторных размерностей более трудную задачу Стокса о падении шара в вязкой среде, Миллекен позднее блестяще использовал ее для определения заряда электрона по падению заряженных капель масла. Пример 7. Найти скорость шара, падающего под действием силы тяжести в вязкой среде. Предполагается, что шар имеет малые размеры и его скорость мала и равномерна. Ввиду этого падение шара не вызывает турбулентности. В задаче фи гурируют следующие переменные величины: Физическая величина Обозначение Скорость шара Плотность шара Диаметр шара Плотность среды Вязкость среды Ускорение силы тяжести V Pi d Р2 п 8 Формула разномерности L Г-' L-8 М L L-3 М L-1 М Г-> L Т~г Формула размерности для вязкости выводится на основе определения этой величины (сила, действующая на единицу площади при единичном градиенте скорости). Выражая v в функции остальных переменных, по- лучаем v = С • p^dbpp\dge и уравнение размерности LT~X - (L-3M)" L" (L~3M)C {L-'MT-1)" {LT^)\ Следовательно, мы имеем пять неизвестных показателей, связанных системой из трех уравнений. Решение их приводит к зависимости -'•£'[(*)№)]• Мы получили бесполезный результат. Из этого уравнения невозможно получить какую-либо инфор- 110
мацию, так как каждая независимая переменная является одним из аргументов неизвестной функции. Все было бы иначе, если бы эти шесть переменных были выражены в зависимости от четырех основных величин. Снова введение векторных величин длины обеспечивает необходимую дополнительную размерность. Поэтому проанализируем задачу с учетом этого добавления. Пусть ось 2 совпадает с направлением действия силы тяжести. Система имеет осевую симметрию относительно этого направления, и эта симметрия должна быть отражена в формулах размерности. Очевидно, что для вязкостного сопротивления имеет значение не диаметр шара, параллельный оси z, a диаметр (или окружность) в плоскости ху. Диаметр в направлении Lx равнозначен диаметру в направлении Ly. Поэтому формула размерности для диаметра d имеет вид L^'bl*. Асимметричность формулы размерности для вязкости должна быть исключена тем же путем. Один из видов этой формулы таков: Г 1 — / Сила _ Скорость \ _ LZMT~2 < Lzl ' ^ '*' \ Площадь ' Градиент J LyLz ' Lx ' Т. е. \4x\ = lxl;'l:1mt-\ Однако вязкость также можно представить формулой [i\y] = L?LeL?MT-\ В связи с требованием симметрии следует использовать выражение ы=/щ т. е. hi = L7XMT~\ Остальные формулы размерности уже удовлетворяют требованию осевой симметрии. Ш
Новая таблица переменных имеет следующий вид; Физическая величина Скорость шара Плотность шара Диаметр шара Плотность жидкости Вязкость жидкости Ускорение силы тяжести Обозначение V Pi d Р2 ■п 8 Формула размерносп L, L-{L-lL-1 M Г V>r'A L-'L-'L-" M L~x M Lz T-i T~\ f-2 Новое уравнение размерности записывается следующим образом: lzt-x = (L-xxLylLi[M)a{LH'l;)b{L;'L^L;lM)c х x(l-z1mt~1Y{lzt-2)c. Теперь пять неизвестных показателей связаны системой пяти уравнений, соответствующих пяти независимым основным единицам измерений. Однако из-за условий сохранения осевой симметрии уравнения, которые соответствуют размерностям Lx и Lv, одинаковы. Остающиеся четыре уравнения связывают пять неизвестных показателей. Решение имеет вид а — 1 — с, 6 = 2, с = с, d=- 1, е=1. В итоге мы получаем ответ, содержащий значительно больший объем информации: ,_г £щ_ Pig f ( Pa \ Ч ' \pi /' Эта задача, конечно, была уже решена обычными математическими методами. Если мы запишем С • п —) —■5"(l——)» то получаем полное решение Отметим, что при разложении размерности длины по трем координатам следует принять меры для со- 112
хранения симметрии, которая присуща системе (как это мы сделали в последнем примере), или обеспечить в случае асимметричности системы тот же самый вид асимметрии во всех формулах размерности, которые могут ее отразить. Нужно также помнить, что существенные для задачи размерности должны занимать соответствующее им место. В предыдущем примере диаметр шара, параллельный направлению его движения, не влияет на скорость движения. Поэтому размерность эффективного диаметра (или окружности в плоскости ху) представлена не величиной Lz, а комбинацией Lx и Ly. Чтобы выполнить условие осевой симметрии, обе эти размерности должны иметь одинаковое значение и размерность d должна записываться как YLxLy. Размерная однородность векторов. Основное заключение, которое можно сделать после изучения примеров этой главы и гл. V, состоит в том, что уравнения, связывающие физические переменные, должны быть однородны не только в отношении размерностей длины, массы и времени, но также и в отношении векторных величин, связанных с размерностями длины. Мы доказали, что введение этого дополнительного средства полезно для проверки правильности физических формул, а также для отыскания переменных, позволяющих получить важный результат и полное решение, которое невозможно получить обычным методом размерностей. Такое интересное повышение эффективности метода размерностей, которое дает последний пример, обнаруживает всю разницу между прежним результатом, имеющим такую общность, что она ничего не стоит, и новым результатом, содержащим почти максимально возможное количество информации. Для некоторых физических и технических задач, которые не решаются обычными методами при помощи метода размерностей, можно получить некоторые сведения о связях, существующих между ее переменными. Теперь полное решение таких задач должно стать реальным делом. 8 Зак. 599
Глава VII ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ До сих пор анализ размерностей применялся нами для таких физических задач, которые можно решать и обычными аналитическими методами. Ранее уже отмечалось то обстоятельство, что, хотя овладение методом размерностей является полезным приобретением для студентов-физиков, этот метод ни в коем случае не заменяет собой обычного математического подхода к решению элементарных физических задач не только потому, что последний дает возможность глубже проникнуть в существо задач, но и потому, что единственно он, этот подход, позволяет находить некоторые важные безразмерные коэффициенты. Более того, выше удавалось сравнивать результаты применения метода размерностей с результатами, полученными другими методами. Было выяснено также, что предварительный анализ задачи по размерностям входящих в нее величин иногда бывает полезным до начала ее экспериментального исследования, поскольку позволяет выяснить, какие именно из намечающихся экспериментов могут дать максимально полезную информацию, а какие окажутся излишними. Анализ размерностей будет рассмотрен далее в применении к сложным задачам, не имеющим полного решения. В этих случаях только эксперимент позволяет убедиться в правильности теоретических выкладок. Теперь метод размерностей будет служить не средством предварительного анализа задачи перед постановкой экспериментов, а средством интерпретации экспериментальных данных, как это, например, имеет место в случае, когда характеристики ряда моделей экстраполируются на геометрически подобные им полноразмерные объекты. 114
Механическое подобие. Использование «принципа подобия» при геометрическом моделировании является весьма важным обстоятельством. Число физических величин в некоторых задачах настолько велико, что не представляется возможным ни составить все уравнения, связывающие их, ни тем более решить эти уравнения. Однако, если все физические величины, входящие в задачу, известны, метод размерностей позволяет найти некоторые основные соотношения между этими величинами, что по сути дела ведет к уменьшению числа параметров. Примером может служить движущая сила винта в среде с известной вязкостью. Эта задача, не имеющая полного решения, содержит около семи параметров; она может оыть приведена к упрощенному виду, который позволяет экстраполировать характеристики геометрически подобной модели винта на полноразмерный зинт. Измерение физических величин на модели корабля, помещенной в экспериментальный бассейн, или на модели самолета, помещенной в аэродинамическую трубу, позволяет (с использованием принципа подобия) получить полезные данные наиболее экономичным путем. Таким образом, очевидно, что сочетание анализа размерностей с экспериментом в применении к исследованию задач, не разрешимых иным путем, представляет собой ценный метод получения частичной информации в тех случаях, когда другими методами ее получить вообще нельзя. Некоторые из таких сложных задач, уже исследованных в инженерной практике, являются развитием классических задач физики, таких, как задача о движении твердого тела определенной формы в вязкой среде. Примерами могут служить полет пули, сопротивление движению подводной лодки или самолета, проблемы обтекаемости и подобные им задачи, представляющие технический интерес. Имеется определенная связь между задачами этого рода и, например, физической задачей о скорости падения дождевой капли. Сопротивление, испытываемое телом при движении в вязкой среде, является функцией нескольких переменных, относительная значимость которых за- 8* 115
висит от скорости движения тела. При небольших скоростях можно пренебречь плотностью и сжимаемостью среды; однако при повышенных скоростях эти переменные приобретают гораздо более важное значение, чем вязкость. Как будет показано далее, сопротивление движению тела выражается как произведение аргументов, состоящих из безразмерных комбинаций переменных, причем все эти аргументы возведены в степени, численные значения которых неизвестны. Показатели степени аргументов не обязательно имеют единственные значения, поскольку эти значения зависят от скорости. При низких и весьма высоких скоростях значения этих показателей являются предельными, однако метод размерностей не позволяет найти численные значения показателей, если не использованы уточняющие приемы, которые были рассмотрены в гл. V и VI. Если приписать направление линейным размерам тела, то анализ размерностей может дать более важные результаты, чем до этого было возможно. В некоторых случаях можно определить величину показателя степени аргумента, а в других случаях показать, что показатель— величина переменная. Векторные величины. Применение усовершенствованного метода размерностей полезно в задачах, где форма тела является одним из определяющих факторов. При решении задач такого рода ранее не делалось различия между размерами тела, параллельными направлению движения и перпендикулярными ему; однако такое различие играет существенную роль. Если тело движется параллельно оси Ох в прямоугольной системе координат, его линейный размер вдоль этой оси, обозначенный как [Lx], связан с сопротивлением трения и вязкостью среды. Поперечные размеры [Ly] и [Lz] прямо связаны с плотностью среды и не зависят от вязкости. Можно показать, что такое придание векторного характера факторам конфигурации тела позволяет найти полное решение задач, для которых ранее анализ размерностей давал лишь частичное решение. Хотя задача определения R — сопротивления движению тела в вязкой среде — как функции физических величин, влияющих на R, очень сложна, можно по 116
крайней мере считать, что нам известны многие эти величины. Следовательно, существует . возможность составить уравнение размерности, которое соответствует функциональному уравнению. Хотя в общем случае нельзя получить полного решения этого уравнения, частичное решение дает информацию, которую нельзя получить никаким иным методом, в особенности, как уже указывалось, когда анализ размерностей применяется при изучении поведения модели. На сопротивление движению тела в вязкой среде оказывают влияние следующие переменные: скорость тела, его размеры и форма, плотность, вязкость и сжимаемость среды. Предположим, что имеется ряд геометрически подобных моделей; тогда, изучая их поведение и применяя анализ размерностей, можно приближенно определить характеристики полноразмерного объекта. Соответствующие физические величины и их формулы размерности приведены ниже. Физическая величина Сопротивление движению Скорость тела Плотность среды Вязкость среды Сжимаемость среды Линейные размеры Относительные размеры Обозначение R V Р Л dV/V dp I (например) / L L L- L- L L 0 Формула размерности м т-г T-l -3 м -> м т-1 М~1 Т2 Таким образом, имеется шесть взаимосвязанных физических величин (не считая относительных размеров). Так как существуют лишь три основные единицы измерения, можно полагать, что функциональная формула для R включает три аргумента, состоящих из безразмерных комбинаций переменных, причем 117
показатели степеней этих аргументов неизвестны. Такая формула все же не бесполезна; она имеет некоторое значение при поисках более содержательного решения. При этом существуют два пути: а) можно рассмотреть частные случаи общей задачи, когда некоторые физические величины несущественны, и б) можно получить общее решение и исследовать изменения полученного выражения при некоторых упрощающих допущениях. Вначале обратимся к первой из этих альтернатив. Предположим, что скорость тела в первом случае настолько мала, что можно пренебречь влиянием плотности и сжимаемости вязкой среды на движение. Если это так, то функцию R*=f(v, г), I, у] можно представить в виде R-Cv\ble(T)d. Соответствующая формула размерности есть LMT-2~(LT-x)a{L~lMT-iLc. В результате получаем решение Величина ///' является безразмерной, т. е. числом. Значение функции cpi может быть известно лишь в наиболее простых случаях. Например, если тело представляет собой шар диаметром /, то величина С • q>i, как показал Стоке, равна Зя. Это справедливо для падающей дождевой капли; значение Зя принято из известного эксперимента по нахождению вязкости жидкости путем измерения скорости падения в ней шаров различных диаметров. Даже если тело имеет несферическуко форму, то как для модели, так и для полноразмерного объекта справедлив вывод о том, что сопротивление при медленном движении тела пропорционально скорости, вязкости среды и 118
некоторой характерной длине тела. Какова эта длина, т. е. идет ли речь о длине, параллельной направлению движения, или о длине, перпендикулярной этому направлению? На этот вопрос можно получить ответ, прибегнув к методу, изложенному в гл. V. Пусть тело движется в направлении оси х в системе прямоугольных координат. Поскольку формулы размерности должны отражать симметричность системы относительно этой оси (например, размерность вязкости будет иметь вид L^MT'1), то LXMT~2 = (LxT-y {L-xlMT~i LlLX, что соответствует функциональному уравнению По виду уравнения размерности и в связи с соображениями симметрии легко заключить, что показатели d, e равны нулю; следовательно, R = С • vi\lx • ф2 (у J • Таким образом, при медленном движении тела на величину сопротивления оказывает влияние его размер, параллельный направлению движения. Линейные размеры, перпендикулярные направлению движения, не влияют на силу сопротивления. В частности, предыдущий анализ указывает на то, что площадь поперечного сечения, перпендикулярного направлению движения, не оказывает влияния на R. Последний результат не вызывает удивления, поскольку ясно, что сила вязкого трения действует вдоль /х, а не 1У или 1г. Моделирование в самолетостроении. Рассмотрим другой частный случай, когда скорость достаточно велика для того, чтобы вызвать турбулентность среды, в которой движется тело (это значит, что влиянием вязкости на сопротивление движению по сравнению с влиянием плотности можно пренебречь), но недостаточно велика, чтобы сделать значительным фактором сжимаемость среды. 119
Таковы скорости в аэродинамических трубах при экспериментировании с моделями самолетов. В этом случае R = f(v, p, /, -у)* tf = c.yyr(i)d. Формула размерности имеет вид LMT-2 = {LT-l)a(L-3M)bL\ откуда /? = С-г»2р/2.ф3(у). Рассмотрим вновь влияние фактора /. Так как Р есть площадь, представляет интерес определение ее ориентации относительно направления движения, которое принято параллельным оси Ох. Уравнение размерности, соответствующее выражению Я = С-юа9ь1с/уЦ.щ{±г), есть LxMT-2-{LJ-y{L?L?L?M)b LexLduLi Из этого выражения можно получить систему из пяти уравнений для пяти неизвестных показателей степени. Их значения: а = % й = 1, c = 0, d=\, <?=1. Таким образом, R = С • v2plylz • ф3 (у J. Как и следовало ожидать, движению препятствует поперечное сечение тела, перпендикулярное направлению его движения. Отметим также, что в рассматриваемом диапазоне скоростей размер тела в направлении, параллельном направлению его движения, вообще не влияет на сопротивление движению. 120
Средние скорости. Наконец, рассмотрим случай, когда скорости движения таковы, что следует учитывать влияние как вязкости, так и плотности, но в то же время можно пренебречь сжимаемостью среды. Тогда /?=■/(», Р. Л. /, у) и R = Cvap\cld(±-)e. Уравнение размерности принимает вид LMT-2 = (LT-1)"(Ь-3М)" (Ь-1МТ~1У b". Так как в этом случае имеется три уравнения с четырьмя неизвестными, то значение одного из показателей степени, например С, остается неопределенным; решение в этом случае примет вид Ясно, что полученный результат был бы более ценным, если бы удалось выяснить, что означают члены /2 и /. Повторим еще раз вычисления, представив / как сумму векторных величин. Тогда /? = С.оврУ##(у)', уравнение размерности принимает вид LXMT-2 = (LJ-Г {jL?L;lLIlMt WMT^Y LdxLeyLl Решение имеет следующий вид: где неопределенной величиной является d. Это интересный результат. Анализ размерностей позволил нам выявить, что в рамках соотношений, которые должны по необходимости возникать между физическими величинами в связи со структурой их формул размерности, допускается также, что один из показателей степени должен быть переменной величиной. В самом деле, d есть функция скорости v. В данном 121
случае неопределенность d нельзя рассматривать как неудачу применения метода размерностей. Напротив, это существенный и важный результат анализа размерностей. Предыдущее уравнение, как это будет показано ниже, является полным решением задачи. Это достижение анализа, являющееся результатом использования пяти основных единиц измерения вместо обычных трех, вытекает непосредственно из факта, что единицы длины можно рассматривать как векторы. Рассмотрим другие важные следствия. Произведение lylz представляет собой площадь, перпендикулярную направлению движения; обозначим ее А. Таким же образом, 1Х — это длина, параллельная направлению движения; обозначим ее /, Приняв затем Сц> = Си имеем Такая форма записи уравнения позволяет сделать выводы, которые ранее не были возможны. Например, для ряда геометрически подобных тел в диапазоне скоростей, где влияние вязкости существенно, R должно быть (в определенных пределах) пропорционально /. Следовательно, d = 1, и поэтому R = Ci • vr\l. Таким образом, сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, вязкости и линейному размеру тела, параллельному направлению движения. Она не зависит от плотности среды и поперечного сечения тела, перпендикулярного направлению движения. Для той области скоростей, где можно пренебречь вязкостью, R должно быть независимым от /, откуда d = Ои /? = С, .»8рЛ. Для области промежуточных скоростей, где влияние вязкости существенно, но не максимально, R должно быть функцией /; d поэтому может иметь величину в пределах от 0 до 1. Если d = 7г, то r=с{ • у (Т^йда 122
Следует отметить, что во всех этих уравнениях скорость v и линейная величина имеют одинаковые показатели степени. Следовательно, для тел одинаковой формы, движущихся в одной и той же среде при одинаковом сопротивлении движению, скорость обратно пропорциональна линейным размерам тел. Это так называемый «закон подобных скоростей». Усовершенствованный метод анализа с применением векторных единиц длины позволяет уточнить, какие именно «линейные размеры» имеются в виду при формулировании «закона подобных скоростей». Его можно выразить следующим образом: 1. Для небольших скоростей а~1// и не зависит от А. 2. Для средних скоростей v ~ l/vAt._ 3. Для больших скоростей о-~ l/VA и не зависит от /. Рассмотрим эти формулы в применении к простому случаю механического подобия. Значения подъемной силы двух геометрически подобных летательных аппаратов будут относиться друг к другу как кубы их линейных размеров. Предположим, что один из аппаратов в девять раз длиннее другого; тогда, если Pi означает подъемную силу большего аппарата, а Рг — меньшего, то Пусть Pvi и Rz — сила тяги, развиваемая двигателями летательных аппаратов при равных скоростях движения: 1£ Для малых скоростей Xi _ щк =9 Иг щк 2. Для средних скоростей fli _-i/7 рчМ \ _97 Rt V NWWJ 3, Для больших скоростей fll - V'2PAi — Q1 R» ~ i>2pA2 -оь 123
Отсюда становится ясным, что для достижения максимальной подъемной силы экономичнее создавать большие летательные аппараты. Тело, медленно движущееся в вязкой среде, создает в ней «волны». Это известное явление отчетливо наблюдается, когда, например, лодка движется в спокойной воде. Угол 0, который составляет волна с направлением движения, является функцией v, p, г\, I. Анализ размерностей показывает, что Аргумент этой функции называется числом Рейнольдса; это безразмерная величина. Отношение rj/p есть кинематическая вязкость, обозначаемая как v и имеющая формулу размерности L2T~X. Таким образом, число Рейнольдса можно представить как vl/v. Для ряда геометрически подобных тел с различными размерами, движущихся в различных средах с различными скоростями, угол 8 будет одинаков (т. е. волны будут иметь одинаковый вид) при условии равенства чисел Рейнольдса. Этот важный вывод позволяет решать гидродинамические и аэродинамические задачи путем исследования поведения мелкомасштабных моделей. Критическая скорость. При возрастании скорости тела достигается такое состояние среды, когда плавность движения внезапно нарушается и возникают вихревые токи, создающие турбулентность. Скорость Vc, при которой наступает это состояние, называется критической. Формула критической скорости может быть получена путем анализа размерностей. Значение критической скорости зависит от плотности и вязкости среды, а также от размеров движущегося тела. Посредством обычного анализа можно показать, что Эта формула свидетельствует о том, что для геометрически подобных тел, движущихся в одинаковой среде, критическая скорость обратно пропорциональна их линейным размерам. Однако формула не показывает, какие именно линейные размеры имеются в 124
виду. Более содержательный результат может быть получен при использовании векторных единиц длины. Формула для Vc принимает вид Vc = C9\blxl% чему соответствует уравнение размерности UT~X = {L-xlL;xL-jM)a{L-xlMT-x)b LxLdyLez. Следовательно, имеется пять неизвестных показателей степени, которые могут быть связаны системой из пяти уравнений. Решив их, найдем неизвестные: а= — 1, b = \, c=\, d= — 1, е=— 1. Таким образом, v —г ц1х — ^ (если использовать обозначения, которые были применены ранее). Эта формула применима к ряду тел, имеющих различную форму. Например, при движении в одной и той же среде цилиндрических тел различных размеров и форм, оси которых параллельны линии авижения, критическая скорость обратно пропорциональна А/1. Если цилиндры имеют одинаковую площадь поперечного сечения, то Vc прямо пропорциональна /. Рассмотрим далее случай, когда скорость тел не превышает критические значения. Для определенности предположим, что нужно найти сопротивление воздуха движению самолета путем экспериментирования на модели в 1/20 натуральной величины. Соответствующая формула уже была получена: Здесь vpA/r\l — число Рейнольдса в иной форме. Отметим, что d является функцией скорости. Хотя численное значение d не известно, это неудобство можно преодолеть, если принять, что аргумент vpAlr\l одинаков и для самолета, и для его модели. Поскольку 125
р и т) одинаковы для обоих объектов, то равны и величины vA/l. Следовательно, скорость модели в воздухе (или скорость потока воздуха в аэродинамической трубе) должна быть в двадцать раз больше, чем самолета. При этом сопротивление воздуха движению и самолета, и модели будет одинаковым. Однако скорости потока в аэродинамической трубе в этом случае возрастают до тысяч километров в час, что на практике неосуществимо; в связи с этим напрашивается вывод, что экспериментирование на модели приносит мало пользы. Однако это не так. Установлено, что при возрастании v величина vpA/r\l асимптотически стремится к некоторому постоянному значению; таким образом, в области высоких значений v сопротивление пропорционально квадрату скорости. Поэтому, чтобы определить сопротивление воздуха движению самолета, достаточно найти соответствующий коэффициент пропорциональности при экспериментировании на модели. Баллистические снаряды. Выше рассматривалось сопротивление движению геометрически подобных тел в трех диапазонах скоростей: во-первых, при скоростях ниже критической (например, падение дождевых капель под действием силы тяжести), во-вторых, при средних скоростях (например, движение судна), в-третьих, при высоких скоростях (например, движение самолета). Рассмотрим, наконец, область еще больших скоростей, а именно таких, какие достигаются при полете снаряда. Для таких скоростей ранее полученные уравнения оказываются недостаточными. При скоростях, приближающихся к скорости звука в данной среде, необходимо учитывать сжимаемость среды. Сопротивление в этом случае является функцией шести переменных: или Здесь пять неизвестных показателей степени могут быть связаны системой из трех уравнений; следовательно, два показателя (например, d и f) остаются 126
неопределенными. В результате обычных алгебраических действий получаем г,* (£P/y(f.2o dV/V\i A\ R~T\~) \vp-~dr) 'Чт)- о dV/V 1 , Запишем —-— = —г, где v —скорость звука в dp pv' данной среде. Следовательно, В области столь высоких скоростей, с которыми движется снаряд в воздухе, влиянием вязкости можно пренебречь, поэтому d = 2 и, таким образом, Направление величины / в этой формуле неопределенно. Также неясно, каков физический смысл величины Р. Если предположить, что это поперечное сечение, перпендикулярное направлению движения, то формула не раскрывает в этом случае характер зависимости R от длины снаряда в направлении его движения. Однако при использовании векторных единиц длины можно получить интересный вывод: при прочих равных условиях сила сопротивления, действующая на снаряд, уменьшается при увеличении его длины. Запишем соответствующее выражение для силы сопротивления: «-C.»y,^<(^y.„(i). О учетом симметрии системы формула размерности dV/V , yiя сжимаемости —j— будет выглядеть как } уравнение размерности примет вид п —2 LXMT~~ \b(r-l, = (LxT-r(L7'L7'L7{Mf [Ь?М-1Т-1У Ldx(LyLjX Обычными методами найдем, что *»^^IW(fJ]%(!). 127
или, вводя скорость звука v', получим упрощенное выражение где g=\-f, Л = -| и С, = СФ. Полагая влияние т) несущественным, получаем g = 1, откуда Этот результат более содержателен, чем предыдущий. Формула ясно показывает, что сопротивление движению зависит от площади поперечного сечения тела, перпендикулярного направлению движения. Она позволяет также сделать вывод о том, что при неизменных прочих условиях увеличение длины снаряда уменьшает действующую на него силу сопротивления. Так как R возрастает при увеличении v, то величина h не может быть отрицательной.
Глава VIII ТЕПЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В предыдущих главах не рассматривались тепловые и электрические величины. Методологически удобнее рассматривать физические величины, связанные с теплотой и температурой, отдельно. То же соображение относится к магнитным и электрическим величинам. Одна из причин этого связана с необходимостью обсуждения вопроса о наиболее удобных формулах размерности для величин, единицы измерения которых принимаются в качестве основных. Структура этих формул не так очевидна, как это было в задачах из области динамики. В начале этой главы будут рассмотрены формулы размерности некоторых тепловых величин, затем будет уделено внимание двойственному характеру размерности массы [М], а заключительная часть будет посвящена приложению новых идей, развиваемых в книге, к задачам теплопроводности и конвективного теплообмена. Единицы теплоты. Вопрос об определении «правильных» размерностей теплоты и температуры вызывал серьезные споры среди физиков. Отражением этих споров является известный диалог между Ре- леем и Рябушинским (стр. 41). Релей, решая путем анализа размерностей одну из задач о конвективном теплообмене, использовал четыре «независимые» величины, а именно длину, время, теплоту и температуру, считая теплоту и температуру тоже «независимыми» величинами. Рябушинский отметил, что если температуре приписать размерность кинетической энергии молекул, сведя таким образом четыре независимые величины к трем «действительно независимым» величинам, то решение будет гораздо менее определенным н полезным. В своем ответе Релей 9 Зак. 599 129
указал: «Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла, ставшее возможным благодаря молекулярной теории, привело нас к худшему положению, чем раньше, когда рассматривалась частная задача». Такую аргументацию нельзя считать убедительной. С того времени многие известные физики искали ответ на вопрос о том, какие из основных единиц измерения «действительно независимы» и, в частности, какую формулу размерности следует принять для температуры в единицах [L], [М], [Т]. Некоторые ученые, например Релей, рассматривая температуру в качестве самостоятельной величины, приняли для ее формулы размерности обозначение [9]; другие, например Ланчестер [1], записывали формулу размерности температуры как [L2T~2]; наконец, третьи, подобно Рябушинскому, предпочитали пользоваться формулой [L2MT~2]. Во втором из этих вариантов температура в соответствии с данными молекулярно-кинетической теории отождествляется с квадратом скорости молекул идеального газа, а в третьем варианте — с кинетической энергией молекул. До середины XIX в. теплота рассматривалась как невесомое текучее вещество под названием «теплород». Однако в работах Румфорда, Джоуля и других было показано, что (по выражению Тиндаля) «теплота — это род движения». В настоящее время считается, что теплота не просто эквивалентна энергии, а что она является энергией. Таким образом, исторически теплота рассматривалась с двух точек зрения. Она была принята в качестве калориметрической величины, а также в качестве динамической. Единица количества теплоты — калория — определена как количество тепла, которое необходимо сообщить одному грамму воды для нагревания от 14,5 до 15,5° С. Опыт показывает, что количество тепла, воспринятого телом, пропорционально его массе т, повышению температуры ср и- величине s, которую назвали удельной теплоемкостью вещества, т. е. Q ~ mscp. С другой стороны, согласно первому закону термодинамики, теплота и работа эквивалентны: теплота может быть измерена в единицах механической энергии. С помощью коэффи- 130
циента пересчета / число калорий можно заменить числом эргов: Энергия = / • ms(f, чему соответствует формула размерности /АМГ-2 = /.М.е (так как s является отношением однородных величин, т. е. числом). Размерности температуры. Отсюда ясно, что произведение /9 имеет размерность (скоростьJ. Если / является числом, то размерность 0 должна иметь вид IJT~2. Однако является ли J просто числом? Приведем мнение Руккера по этому вопросу [2]: «Я считаю, что было бы лучше отнести единицу температуры к классу вторичных основных единиц, которые либо по нашему неведению, либо из-за наших косвенных методов измерения нельзя выразить в единицах длины, массы и времени и которые поэтому должны рассматриваться в качестве основных по отношению к другим, производным единицам, зависящим от них». Если 9 рассматривать в качестве основной единицы измерения, то размерность / должна иметь вид L2r-29->. Отметим, что калориметрические и динамические методы измерений различны по своему характеру. Они ведут к различным определениям величин и,следовательно, к различным формулам размерности. Если учитывать динамический (а не калориметрический) аспект теплоты, то закон теплопроводности, выражаемый уравнением показывает, что размерность Ы6 имеет вид (энергия X длина) : (площадь X время), или LMT~3. Если единица 9 — основная единица, то размерность йесть LMT'3Q~l. Если бы 9 имела размерность (скоростьJ, то k имело бы ту же размерность, что и вязкость, т. е. L~XMT~X (если не принимать во внимание направление распространения тепла или потока вязкой 9* 131
жидкости)- Если тепловой поток параллелен оси Ох, то [k] = LxL;lLZlMT~\ Размерность вязкости при движении параллельно оси Ох имеет вид H = L^MT~. Кроме того, уравнение состояния идеального газа pV = RB показывает, что размерность RQ совпадает с размерностью энергии. Однако если R считать числом, как этого требуют некоторые ученые, то размерность температуры совпадает с размерностью энергии. Сравнивая эти результаты, имеем [/6] = [L2r-2], [kQ] = [LMT~3], [RQ] = [L2MT-2\. Полагая до сих пор, что размерности теплоты и энергии одинаковы, мы находились на твердой почве. Однако если считать, что температура—это энергия, приходящаяся на единицу массы и имеющая размерность [Ь2Т~2], то / в таком случае — безразмерная величина, размерность k имеет вид [L~lMT_1], а размерность R выражается как (М). Иными словами, в использовании дополнительной основной единицы 6 отпадает необходимость, если / выбрана в качестве безразмерной величины. В некоторых работах, например в [3], температура определяется согласно кинетическому уравнению для газов * = -§£. т. е. [0] = [L2MT~2]. Отсюда следует, что газовая постоянная R безразмерна, энтропия (= dE/Q) тоже представляет собой обычное число, а / имеет размерность [М-1]. Полученные таким путем противоречивые результаты свидетельствуют об отсутствии единодушия среди физиков по вопросу об «истинных» размерно- 132
стях тепловых величин. Это различие во мнениях широко распространено уже в течение длительного времени. Поэтому представляется вполне естественным исследовать причины бесплодности столь долгих споров. «Абсолютные размерности». Тщательное изучение соответствующей научной литературы показывает, что точка зрения некоторых физиков основана на предположении, которое невозможно доказать, а именно что каждой физической величине соответствует единственная формула размерности, которая может быть составлена единственным путем. Например, Старлинг [4], говоря о магнитной проницаемости и диэлектрической проницаемости, отмечал, что «до тех пор, пока мы не станем более информированными о свойствах светоносного эфира, нельзя утверждать, каковы должны быть их абсолютные размерности». Следует подчеркнуть, что не существует такого понятия, как абсолютная размерность физической величины, аналогично тому, как не существует понятия «абсолютная скорость». Размерности скорости и других подобных понятий являются относительными по своему определению. Мы придерживаемся следующей точки зрения. Формула размерности физической величины основана на определении этой величины, которое само по себе зависит от метода измерения величины с использованием основных единиц измерения, выбор которых (в определенных пределах) произволен. Если один из физиков пользуется формулой размерности той или иной физической величины, которая отличается от формулы, используемой другим физиком, то можно сделать вывод, что они прибегают к различным методам измерения величин и, следовательно, пользуются различными определениями этих величин. В случае возникновения затруднений в выборе формул размерностей некоторых физических величин причину следует искать не в каких-либо таинственных скрытых характеристиках этой величины, а в неоднозначности ее определения. Отсюда следует, что, когда мы встречаемся с взаимоисключающимися эквивалентными формулами 133
размерности, наш выбор определяется соображениями пригодности и удобства. В тех случаях, когда бросается в глаза энергетический характер тепла, предпочтительнее формула размерности [L2MT~2]; в других случаях, например в задачах теплопроводности,, лучше пользоваться размерностями [Н] и [8] ввиду их простоты. В одной из публикаций [5] была использована формула [теплота] = [Ь2Т~4]. Единственным критерием ее ценности является прагматическая сторона применения, что же касается логических обоснований, то против нее нет возражений. Итак, формулы размерностей тепловых величин могут быть различными в зависимости от методов, используемых для измерения этих величин, и выбора основных единиц измерения. В нижеследующей таблице приведены соответствующие примеры. Физические величины Количество тепла Температура Теплоемкость Теплопроводность Основные единицы измерения HLT в Н е /та-» LMT0 тепловые величины Aid е м L-ЩТ-1 механические величины /лиг-2 0 LMT LWT-2 L4-- М L-ШТ-1 Здесь мы приняли, что / является безразмерным коэффициентом пропорциональности. Таким образом, пятый столбец таблицы получается из третьего, если вместо 0 подставлять L2T~2. Аналогичным образом четвертый столбец получается из второго, если имеете Я подставлять L2MT~2. Среди равнозначных систем основных единиц измерения система LMT 6, вероятно, наиболее удобна. Принимая 6 в качестве независимой основной единицы, мы отказываемся тем самым от установления каких-либо ее соотношений с L, М и Т. Кроме того, для снижения числа безразмерных комплексов, образующих аргументы функции f( ) = О, желательно увеличивать число основных единиц измерения на 134
столько, чтобы число физических величин превышало их не более чем на 1. О единице измерения массы. Прежде чем перейти к рассмотрению примеров по применению анализа размерностей в задачах из области теплофизики, подведем итоги выводов, сделанных в гл. V в отношении двойственного характера массы, единица измерения которой является основной. Мы уже видели, что длина имеет, так сказать, сложную структуру, которую можно записать в виде L=[Lx)a[Ly?[L,\> (a + p + Y-I), и что оказалось полезным рассматривать как векторы многие физические величины. Компоненты L следует считать в большей степени «основными», чем собственно [L]. Как уже отмечалось в гл. V, «основная величина» — масса — не является столь основной, как ее обычно принимали авторы работ по теории размерностей. Будет показано, что различие, сделанное между массой как количеством вещества, имеющей размерность [Л1Д и массой как мерой инерции, имеющей размерность [МЦ, полезно учитывать при выводе формул и уравнений теплофизики. Очевидным успехом такой практики является то обстоятельство, что формулы размерностей некоторых тепловых величин становятся более содержательными. Например, теплоемкость единичной массы вещества численно равна в системе СГС (но не эквивалентна по размерности) удельной теплоемкости вещества; ее размерность можно представить как #М-,0-1- Однако эта формула имеет большое значение, если записать ее в виде НМ^ 0" , так как это означает, что масса как мера инерции не существенна для данной физической величины. Далее, если Н рассматривать как механическую, а не тепловую величину, то ее размерность уже не будет выражаться как L2MT~2, поскольку в этом случае размерность теплоемкости единичной массы была бы L~T~~Q~\ Новая формула размерности теплоты принимает вид L2MiT~~, откуда следует, что формула размерности теплоемкости единичной массы есть L"MiM^lT~3Q~l. Ранее употреблявшаяся упрощенная формула была 135
основана на предположении, что Л^Мц = М , т. е. две эти величины полностью тождественны; однако они, хотя и строго пропорциональны друг другу, все же являются разнородными. Как мы увидим впоследствии, такая, например, формула размерности, как L2MiM^ Г~'8_1, не только содержательнее, чем LT~2B~ , но и полезнее в том отношении, что ограничивает число возможных взаимосвязей между физическими величинами, вхо-: дящими в формулу. Это объясняется тем, что требование однородности членов уравнения по размерностям до сих пор относилось только к [М], а теперь оно относится как к [М^], так и к [Mi]. Ясно, что это приводит к увеличению на 1 числа уравнений в системе, связывающей показатели уравнения размерности, и, следовательно, к уменьшению на 1 числа показателей, для которых не может быть найдено численное значение. Несомненно, это весьма важное, преимущество. Кроме практической ценности, для метода размерностей эта новая идея имеет еще один интересный' аспект. Как мы ранее принимали, в некоторых физических формулах ряд соотношений между перемен-' ными величинами оставался неопределенным из-за требований однородности размерностей [L], [М], [Т] и мог быть найден только экспериментальным путем. Эти соотношения являются теперь столь же определенными, как и остальные, поскольку уравнения должны быть однородными не только относительно [М], но также относительно [М^] и [Mi]. Если бы физические эксперименты не были нужны для определения численных значений коэффициентов в формулах, то некоторые разделы физики отошли бы к области чистой математики! Нижеследующие примеры иллюстрируют применение метода размерностей к решению задач, где в качестве параметров фигурируют теплота и температура. Некоторые такие задачи с большей точностью решаются обычными математическими методами, однако задачи по теплопроводности и конвекции с большей эффективностью решаются с помощью анализа размерностей. 136
Уравнение состояния идеального газа. Пример 1. Определить соотношение между давлением, объемом п абсолютной температурой идеального газа. Сделаем попытку найти зависимость давления идеального газа от его плотности и абсолютной температуры на основе молекулярно-кинетической теории. Известно, что молекула с массой т занимает пренебрежимо малый объем и является идеально упругой. Давление газа р объясняется изменением количества движения молекул, отраженных от стенок сосуда. Плотность газа равна Ntn, где N—число молекул в единице объема. Следует учитывать также газовую постоянную R, отнесенную к единице массы. Физическая величина Давление газа Число молекул в единице объема Масса молекулы Абсолютная температура Газовая постоянная (на единицу массы) Обозначение Р N т Т R Формула размерности ZT1 М Т~2 м е l т е Представим р как функцию остальных величин: р = С ■ NambTcRd. Соответствующее уравнение размерности имеет вид L~lMT'2 = {L-")aM%c{L2T~2Q~l)d. Отсюда а = 1, 6 = 1, с = 1, d = I. Следовательно, р = С- NmTR. Таким образом, давление идеального газа пропорционально плотности и абсолютной температуре газа. Так как Ntn = const/объем у, то это уравнение принимает знакомый вид: pv = R'T. 137
Молекулярные силы. Следующий пример служит остроумным приложением метода размерностей к определению зависимости межмолекулярных сил от расстояния между молекулами [6]. Он основан на экспериментальном соотношении между вязкостью и температурой газа. П р и м е р 2. Определить характер изменения межмолекулярных сил, если известен закон изменения вязкости газа от температуры. Примем, что молекулы при сближении отталкиваются с силой, которая изменяется обратно пропорционально расстоянию между ними в некоторой степени п, т. е. г dn ' где k — размерная постоянная, имеющая формулу размерности Ln+lMT~2. Вязкость, зависимость которой от температуры выражается через среднюю скорость с молекул, зависит также от F через к и п и массу молекулы т. Физическая величина Коэффициент вязкости Средняя скорость молекул Масса молекулы Размерная постоянная Обозначение 1 С т k Формула размерности L-1 М Т~х L Г~' М Ln+1 M Т~* Показатель п является числом. ц = С ■ cambkc, L-lMT-l = (LT~l)aMb{Ln+iMT-2f, а = (п + З) (я + 0 (п-\) • "- (в-1) ' Таким образом, г\ = С (- с = ■2 £ft+3m«+l \1/(л-1) (я-1) * Согласно экспериментальным данным, ц = const X Тр, где Р 138
имеет различные значения для разных газов. Так как Г~с2, то ц = const • с2р. Отсюда 2р = ; _ .. . Например, для гелия р = 0,68, так что п — 12 и Это выражение показывает, что сила взаимодействия между атомами газообразного гелия уменьшается чрезвычайно быстро с увеличением расстояния. Для углекислого газа р = 0,98 и Следовательно, «радиус действия» молекулы углекислого газа сравнительно велик. Следующий пример выбран для иллюстрации возросшей эффективности анализа после введения векторных размерностей вместо [L] и дифференциации размерности массы на [Мд] и [Mi]. Одним из достижений молекулярно-кинетической теории газов было определение зависимости теплопроводности газов от свойств их молекул. Такой же результат можно получить методом анализа размерностей. Пример 3. Найти выражение для теплопроводности газа в зависимости от его молекулярных свойств. Предположим, что тепловой поток направлен параллельно оси Ох и что теплопроводность газа зависит от следующих семи физических величин: 1. Коэффициент теплопроводности k. Формула размерности основана на определении этой величины в виде ksB 2__ A-t- dQ/dl * Если представить формулу размерности Н в виде L'xL'yCl'MiT-2, то формула размерности для k будет изображаться как L: L^'kL~ ыМ(Т~гЬ~х. 2. Масса молекулы т. Ее размерность обозначается как Ми. 139'
3. Число молекул в единице объема N. Формула размерности этой величины есть Lx LylL7l- 4. Средняя скорость молекул с. Так как мы рассматриваем передачу энергии только вдоль оси Ох, то формула размерности этой величины имеет вид LXT~\ 5. Средняя длина свободного пробега молекул газа К. Ее размерность есть Lx. 6. Давление газа р. Эта величина, конечно, не является однонаправленной, ввиду чего ее формулу размерности можно представить как L.7 lL~j 'L^'l3MiT~2, 7. Теплоемкость единицы массы Ср.. Формула размерности Н/М^О или Для удобства эти величины сведены в таблицу. Ввиду весьма большого количества переменных здесь более удобен другой метод составления таблицы. Физическая величина Теплопроводность Масса молекулы Число молекул в единице объема Средняя скорость молекул Средняя длина свободного пробега молекул газа Давление газа Теплоемкость на единицу массы начение k 111 iV с Я Р С» Показатель степени размерности IX аХ Ьх сХ dX еХ fx L, 5/з -1 -1 1 1 -V» 2/з ч -ч* -1 -1 -'/з 2/з Lz -Vs -1 -1 -7з 2/з Mv 1 -1 .и, 1 1 1 т -3 -1 _2 -2 в -1 -1 Представим уравнение, связывающее эти переменные, в виде к = С • maNbccKdpeCl. 140
Соответствующее уравнение размерности, которое содержит обычные размерности [L] и [М], имеет вид LMT-'Q-1 = Ma(L~i (LT-J Ld (L~lMT-J (L2T-2Q~])f. Здесь четыре уравнения содержат шесть неизвестных показателей. В итоге получаем формулу, представляющую лишь небольшой интерес: k = C твА/*с2в-,Я,1-3в+зьр1-аСр,. Используя векторные составляющие [L] и проводя различие между [Мп] и [М,-], получим семь уравнений, связывающих шесть показателей степени. Шесть уравнений независимы. Так как уравнение размерности громоздко, то шесть независимых уравнений можно получить, используя приведенную выше таблицу. В итоге получим следующее решение этих уравнений: а=1, 6 = 1, с=\, d=\, e = 0, /=1. Таким образом, k = С- (mN)cXClx. Величина mN есть плотность р газа, а с приблизительно пропорциональна абсолютной температуре Т. Следовательно, к = С\рТКС1х. Эксперименты подтверждают, что теплопроводность газа приблизительно пропорциональна абсолютной температуре. Вызывает удивление, что теплопроводность газа не зависит от давления (е — 0), хотя это также находится в согласии с опытом. Решение этой задачи (полное с точностью до численного коэффициента), в которой фигурируют семь переменных, следует рассматривать как безусловный успех усовершенствованного анализа размерностей. Теплообменник [7]. Жидкость или газ протекает по трубе, погруженной в резервуар с жидкостью. Труба изготовлена из высокотеплопроводного материала, между внутренней и наружной поверхностями трубы поддерживается постоянная разность температур. Поток жидкости или газа может быть ламинарным или 141
турбулентным, но в любом случае у внутренней поверхности трубы имеется тонкий слой, движущийся без турбулентных пульсаций. Можно предположить, что толщина этого слоя зависит от вязкости и скорости жидкости или газа, а также от диаметра трубы. Теплоотдача зависит от толщины этого слоя. Попытаемся с помощью анализа размерностей установить, как теплопередача зависит от переменных, которыми она определяется. Пример 4. Определить коэффициент теплоотдачи в теплообменнике. Укажем на те шесть физических переменных, которые, по-видимому, существенны для этой задачи: 1. Коэффициент теплоотдачи h. Он определяется как количество тепла, переданного в единицу времени через единицу поверхности при единичной разности температур между границами слоя. Функциональная формула имеет вид Соответствующая формула размерности такова: L~2T~lHQ~l. Предположим, что следующие три величины влияют на h, поскольку они определяют собой толщину пограничного слоя. 2. Вязкость пограничного слоя ц. Ее формула размерности и~шт~к 3. Массовая скорость среды ри. Она равна количеству жидкости или газа, проходящему в единицу времени через единичную площадь поперечного сечения. Формула размерности есть L~2MT~l, 4. Диаметр трубы d, размерность L. Укажем еще два фактора. 5. Теплопроводность жидкости k. Формула размерности L"'T-^HQ-1, 6. Теплоемкость на единицу массы .жидкости Сц. Ее формула размерности M'XHQ~X. Все эти величины сведены в следующую таблицу: 142
Физическая величина Коэффициент теплоотдачи Вязкость жидкости или газа Массовая скорость жидкости или газа Диаметр трубы Коэффициент теплопроводности жидкости или газа Массовая теплоемкость начение Л л ри d k ^ IX аХ ЬХ сХ dX еХ Показатели степени L _9 -1 -2 1 -1 /.I Т 1 1 -I -1 -1 -1 -1 я 1 1 1 0 -1 -1 -1 Представим h в виде функции остальных переменных: или А = /(л, pf, d, k, Сц,) h = С ■ 4]awbdckdCl Уравнение размерности имеет вид L-2T~lHQ~l = (L-{MT-lf{L-2MT-l)b X хГа-'г-'яе-'Плг'яе-1/. Обычная система уравнений, связывающая показатели, может быть составлена либо на основе последнего уравнения, либо по табличным данным. Получаем в итоге b = b, c = b — l, d=l—e, e = e. а = е — b, Отсюда или *-<да'№ k (pvd\ /т,Сй\ 143
где / — неизвестная функция, которую необходимо найти экспериментальным путем. Читатель может убедиться, что тот же результат получается при использовании системы единиц LMT. Вынужденная конвекция. Когда жидкость или газ при своем движении переносит тепло из одной точки в другую, процесс теплопередачи называется конвекцией. Известны два вида конвекции. В одном случае движение среды возникает в результате изменения ее плотности вблизи нагретого тела; под действием силы тяжести она поднимается вверх. Такой процесс называется естественной конвекцией. В другом случае движение среды вблизи нагретого тела вызывается посторонним источником. Этот процесс называется вынужденной конвекцией. Задачи, связанные с конвективной теплопередачей, можно решать методами размерностей. Рассмотрим вначале пример решения задачи о вынужденной конвекции. Пример 5. Определить теплоотдачу тела при обтекании тела жидкостью, движущейся с постоянной скоростью. В этой задаче, известной как задача Буссинеска, фигурирует несколько физических переменных, собранных в нижеследующей таблице. Будем считать, что жидкость несжимаема и не обладает вязкостью. Физическая величина Плотность теплового потока Массовая скорость жидкости Разность температур Теплопроводность жидкости Теплоемкость жидкости на единицу массы Линейный размер начение h pv Ф k с» 1 Показатель степени размерности IX аХ ьх сХ г/Х еХ L 1 2 I \ 1 -1 м< 1 1 1 Г -3 -1 -3 _2 е 1 -1 -1 144
Уравнение Л = /(ро, ф, *, С», I) заменено рядом однородных по размерностям членов, каждый из которых имеет вид h = С ■ ^>\bkcCtle. Уравнения, связывающие показатели степеней этих членов, можно составить, воспользовавшись таблицей: (длина) 0 = — 2а + с + 2d + е, (масса)^ 0~a — d, (масса),- 1 = с + d, (время) 3 = а + Зс + 2d, (температура) 0 = Ъ — с — d. Отсюда а — а, Ь = 1, с = 1— a, d = a, е — а—1. Следовательно, п = С • -у I—т— Если ввести С„ — теплоемкость единицы объема, то Cv = рС|л и решение примет вид Если видоизменить аргумент, введя в него коэффициент вязкости т], который имеет размерность L~lMT~l, то в итоге получаем I \ k Введя же кинематическую вязкость v = r)/p и объемную теплоемкость Cv = рСц, получаем Ф/г / vC I С v \ Особенно интересен для экспериментатора случай, когда тело представляет собой длинную проволоку. Если h' — плотность теплового потока, отнесенная к единице длины, то эта величина не зависит от / 10 Зак. 599 145
для длинной проволоки и вместо / в формулу можно подставить d, т. е. диаметр проволоки. Кроме того, если жидкостью является двухатомный газ, то опыт показывает, что ——■ v — постоянная величина. Отсюда -г = / (—)• Тщательно выполненные эксперименты [8] показывают, что все точки зависимости h'/k от vd/v располагаются на плавной кривой в широком диапазоне значений d — от 0,003 до 5,0 см. Естественная конвекция. Пример 6. Определить теплоотдачу тела, погруженного в жидкость. Предположим для определенности, что рассматриваемые тела представляют собой цилиндры с вертикальной осью, параллельной оси Oz прямоугольной системы координат. Требуется определить коэффициент теплоотдачи. Здесь мы будем применять метод Робертса [9], но заменим [L] на [Lx], [Ly] и [Lz]. 1. Плотность теплового потока h. Размерность этой величины есть L~~T~XH или при использовании векторных основных единиц L^'L^'L^T^H. Эта формула, как и нижеследующие, отвечает условию симметрии системы относительно оси Oz. 2. Средняя разность температуры между телом и жидкостью ф. Соответствующую размерность можно обозначить как 9. 3. Теплопроводность жидкости k и ее размерность имеет вид L^lT~{HQ~\ 4. Объемная теплоемкость С. Размерность Lx Ly Lz НО . 5. Коэффициент объемного расширения жидкости а. Он равен 1/pdp/dQ и имеет размерность 0-1. С ним связано ускорение силы тяжести g\ таким образом, формула размерности есть ga, т. е. LZT~2Q~ • 6. Линейный размер тела /. Здесь его размерность можно представить в виде b'^Ly'L^". 7. Кинематическая вязкость v = rj/p; ее формула размерности LZlMT'1 , - = / L Т 146
Эти семь физических переменных сведены в таблицу: Физическая величина Плотность теплового потока Разность температур Теплопроводность жидкости Теплоемкость жидкости Ускорение силы тяжести Коэффициент объемного расширения Линейный размер Кинематическая вязкость начение h Ф k {-"V g а 1 V Показатели степени размерности IX аХ ЬХ сХ dX (IX еХ fx Lx -Ч2 -1 7з 1 h -Ч2 -1 7з 1 Lz -1 -1 -] 1 7з г -1 -1 -2 -1 я е 1 1 1 1 -1 -1 -1 Зависимость h от остальных величин можно представить в виде ряда, каждый член которого имеет одинаковую размерность; поэтому достаточно рассмотреть лишь одно уравнение h = С ■ cpVc^/V. Соответствующее уравнение размерности весьма громоздко, но уравнения, связывающие между собой показатели, можно составить, пользуясь таблицей. В результате получим следующие значения показателей: 7 1 a = -g-, b = b, c=l— b, d = -£, Отсюда 10» 147
Произведя замену Ъ — у — Ь', получаем Эта формула отличается от решения, полученного без учета векторного характера [L], поскольку вместо неизвестного показателя здесь фигурирует число '/е- Как и в предыдущем примере, этот результат проверен экспериментально, и, как отметил Роберте [9], «достигнуто замечательное согласование результатов, полученных как для паропроводов, так и для тонких проволок». Диаметр d изменялся от 0,004 до 30 см. Это убедительное подтверждение ценности анализа. ЛИТЕРАТУРА 1. Lane h ester, The Theory of Dimensions, p. 90. 2. Rucker, Phil. Mag., 27, 104 A888). 3. D u n с a n s о n W. E., Proc. Phys. Soc, 53, 298, 444. 4. Starling Electricity and Magnetism A926), p. 386. 5. В г о w n G. В., Proc. Phys. Soc, 53, 298, 426. 6. Champion, Davy, Properties of Matter A947), p. 194. 7. Mc Adams, Heat Transmission A942), p. 92. 8. Davis, Phil. Mag., 40, 692. 9. Roberts, Heat and Thermodynamics A949), p. 245.
Глава IX ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Существуют две системы абсолютных электрических единиц, и они определяют собой два различных метода измерения электрических величин. Речь идет об электростатической и электромагнитной системах. Поэтому можно ожидать, что мера любой данной величины в одной из этих систем в общем случае отличается от ее меры в другой системе, однако ее формула размерности не должна зависеть от используемой системы единиц. Электростатическая система единиц базируется на фундаментальном уравнении где / — сила притяжения или отталкивания между двумя точечными электрическими зарядами Ц\ и q%, находящимися на расстоянии г, a k — постоянная, называемая проницаемостью среды, находящейся между зарядами. Фарадей дал этой величине название диэлектрической проницаемости. Для вакуума ее значение равно единице, а для воздуха при атмосферном давлении оно составляет 1,000590. Если размерность q обозначить как Q, то, считая k безразмерной величиной, получаем из A), что Q = Ь',!М1,2Т~\ B) В электростатической системе единица силы тока определяется как перенос единицы количества электричества в единицу времени; 149
Отсюда можно получить уравнение размерности / = Q7'-1 = L'/lMl/T. D) Электромагнитная система единиц основана на искусственном понятии об изолированной магнитной массе. Фундаментальное уравнение в этом случае имеет вид / = ^. E) где Ш\ и т.2 — магнитные массы и (j, — постоянная, называемая проницаемостью среды, в которой они расположены. Принимая Р в качестве обозначения размерности m и полагая ц. безразмерной величиной, получаем p = L'uM4,T~\ F) Третье фундаментальное уравнение, основанное на результатах опытов Ампера, определяет силу притяжения или отталкивания между двумя параллельными проводниками ds и ds', несущими токи i и i\ как f _ Ц»' ds ds' ,_* / ~* ri ' \') Поскольку dsds'/r2 — безразмерная величина, то, согласно уравнению G), получаем / = L4,MlhT~l (8) и, так как dq = i dt, Q = l'/jM'/j. . (9) Сравнение уравнений D) и (8) и уравнений B) и (9) показывает, что нами получены различные формулы размерности в единицах длины, массы и времени для одинаковых физических величин. Так как это противоречит одной из аксиом анализа размерностей, то, по-видимому, имело место какое-то допущение, которому не было придано значения. Эта ситуация сходна с принятием G в качестве безразмерной величины в формуле всемирного тяготения / = GMM'jr2. Таким образом, становится возможным 150
утверждение, что, хотя k и ц порознь могут быть безразмерными величинами, по крайней мере одна из них непременно должна быть размерной. Этот вывод был сделан Рюккером [1] в 1889 г. Ранее было принято повсеместно включать в формулы размерности электрических величин две основные величины k и |л. Оставался открытым вопрос, действительно ли они являются основными и можно ли их выразить через L, М и Т. На основе определения единицы количества электричества, формулируемого согласно уравнению A), можно построить систему единиц магнитных и электрических величин, включающих диэлектрическую проницаемость k. Это электростатическая система единиц. Таким же образом на основе определения единичного полюса, формулируемого согласно уравнению E), можно построить систему единиц тех же физических величин, включающих магнитную проницаемость ц. Это электромагнитная система единиц. Обе системы, использующие в качестве основных единиц сантиметр, грамм, секунду, называются абсолютными системами. Значения ц и k принимаются равными 1 для вакуума. Электромагнитная система. Выведем формулы размерности некоторых известных электрических и магнитных величин из уравнений, которые им соответствуют. Существуют две системы таких формул, которые становятся идентичными лишь в случае, когда можно найти соотношение между j.i и k. Рассмотрим вначале электромагнитную систему, которая основана на уравнении E) в предположении, что читатель знаком с основами предмета, его главными определениями и уравнениями. /. Магнитная масса. Из уравнения E) получаем Хотя такие обозначения, как Мх,г, не имеют физического смысла, напомним, что эта формула полностью базируется на результатах опытов с двумя магнитными массами и что она является просто математически удобным вариантом уравнения Р2 = Ь3МТ~2ц. 151
2. Напряженность магнитного поля. Сила, действующая на магнитную массу m в магнитном пола напряженностью Я, / = Htn. Следовательно, используя Н как обозначение раз- мерности напряженности магнитного поля, получаем 3. Магнитная индукция. Она определяется каи произведение ц,#. Поэтому ее размерность есть ь^-м^т-у*. 4. Магнитный момент. Магнитный момент диполя или стержневого магнита есть пара сил, действую щих на него со стороны магнитного поля. Он равен также произведению длины магнита на магнитную массу. Оба эти определения приводят к формуле размерности PL = L'hM4'T-Vk. 5. Сила тока. Из уравнений E) и G) получаем следующее соотношение между силой тока и взаимодействующим с ним магнитным полем: г mi ds Отсюда получаем формулу размерности / = L,/2M,/T""V_'A. 6. Количество электричества. Из последней формулы и уравнения i = dq/dt имеем Q = L,/'AfV'/'. 7. Электродвижущая сила или разность потенциалов. Формулу размерности этой величины можно вывести из следующего соотношения: Мощность = Сила тока X э. д. с, т. е. L2MT~3 = = иШЧ*Т-1 X э. д. с. Обозначая э. д. с. через Е, получаем следующую формулу: E = L":--M''*T-y'. 152
8. Электрическое сопротивление. Сопротивление равно отношению э. д. с./сила тока. Поэтому формула размерности имеет вид Я = £/-' = Lr-'ц,- Таким образом, если полагать ц, безразмерной величиной, то сопротивление имеет размерность скорости. 9. Емкость. Емкость равна отношению количества электричества к разности потенциалов: г Пр-1 1'%'/аЦ-'/а , -12-1 /0. Индуктивность. Размерности самоиндукции / и взаимной индукции m одинаковы. Они выводятся из следующих соотношений: , di di э. д. с. = l—jj или э. д. с. = m -^, откуда F77-. L'W'T-V!' Таким образом, если ц — величина безразмерная, то индуктивность измеряется в сантиметрах. Электростатическая система. Рассмотрим теперь вторую систему абсолютных единиц. В электромагнитной системе мы были обязаны использовать дополнительную основную единицу ц магнитной проницаемости, отложив выяснение вопроса о том, каким образом эта величина может быть выражена через L, М и Т. Аналогичным образом мы должны теперь ввести в рассмотрение другую основную единицу, а именно единицу измерения диэлектрической проницаемости, или диэлектрической постоянной, отложив на время решение вопроса об ее связи с другими основными единицами. /. Количество электричества. Формула размерности в электростатической системе основана на определении количества электричества согласно уравнению A). Отсюда получаем формулу размерности для электрического заряда или количества электричества: Q = L!"Al,/,7'-1ft,A. 153
Отсюда выводятся формулы других электростатических величин. 2. Напряженность электрического поля. Эта величина, аналогом которой является магнитное поле, определяется как сила, действующая на единичный электрический заряд: Заряд LW'T-^k1' 3. Индукция электрического поля. Индукция аналогична магнитной индукции и равна произведению k X напряженность электрического поля; соответственно она имеет размерность 4. Сила тока. Формулу размерности этой величины можно получить более прямым путем, чем в электромагнитной системе. Она получается из соотношения / = dq/dt: I = QT~{ = Ll!MHiT~2k'!\ 5. Магнитная масса и напряженность магнитного поля. Из уравнения, которое мы уже использовали для связи магнитного заряда и электрического поля, t mi ds получаем формулу размерности магнитной массы: p = l42mV\ Напряженность магнитного поля получается, если воспользоваться уравнением / = тН. Отсюда Н = L,hMlhT~2k\ 6. Электродвижущая сила или разность потенциалов. Как и ранее, из соотношения Мощность = Сила тока X 9. д. с. получим формулу размерности Е = LsMT~3rl = L"!M'/,T-lk~'/: 151
7. Электрическое сопротивление. Формула размерности получается, как и ранее, на основе отношения э д. с/сила тока R = EI~[ = L-[Tk~l. 8. Емкость. Эта величина равна отношению количества электричества к разности потенциалов, ее формула размерности C = QE~{ = Lk. 9. Индуктивность. Мы уже видели, что формулы размерности самоиндукции и взаимной индукции получаются из соотношений , di di э. д. с. = l-fif или э. д. с. — т-тг. Отсюда ЕТГ1 = lTlfk~l. Другие основные единицы измерений. Приведенные выше размерности наиболее важных магнитных и электрических величин даны в приложении (см. табл. II, стр. 173). Эта таблица показывает, что большое количество размерностей имеет дробные показатели степеней. Ввиду того что некоторые обозначения размерностей с дробными показателями, например М*1', не имеют физического смысла, многие ученые предлагали выбрать какую-либо четвертую основную единицу измерения с целью упрощения формул. Уже указывалось, что выбор единиц измерения, которые можно было бы считать основными, определяется соображениями удобства. Если, например, в качестве основной выбрать единицу сопротивления R в дополнение к единицам L, М и Т, мы можем получить таблицу формул, в которых не будут содержаться ц, и&, хотя дробные показатели степеней останутся. К существенному упрощению размерностного представления магнитных и электрических величин ведет предложение проф. Кремпа [2], состоящее в том, чтобы считать единицу количества электричества Q в качестве четвертой основной единицы (вместо единиц ц и k). Дав примеры формул, соответствующих этому предложению, Кремп указывает: 155
«Следует заметить, что введение новой единицы измерения автоматически исключает все дробные показатели степенен. Рассмотрение размерностей показывает, что, в то время как Q появляется в числителе, М появляется в знаменателе, и наоборот. Следовательно, если рассматривать М как функцию Q, она полностью исчезнет из таблицы размерностей, и все механические, электрические и магнитные величины можно будет выразить через Q, L и Г». Это предложение в дальнейшем было развито Данкенсоном [3], который доказывает предпочтительность использования единицы Q вместо единицы k как четвертой основной единицы. Размерность (\ak). Одновременное использование двух абсолютных систем электрических единиц, приводящее не только к различным численным значениям одной и той же величины, но также и к различному виду формул размерности, может быть причиной ошибок. Хотя здесь не рассматриваются собственно единицы измерения, представляется необходимым выяснить возможность выражения размерностей ц и k через обычные основные единицы. Мы уже видели, что формула размерности электрического заряда или количества электричества в электромагнитной системе единиц имеет вид Q = LVlAf VV*. а в электростатической системе — q = l'W'T-W: Эти две системы можно согласовать теоретически на основе двух экспериментальных фактов. Первый из них состоит в том, что движущийся поток электронов создает электрический ток, второй — что движущийся электрический заряд создает магнитное поле. Следовательно, обе формулы количества электричества эквивалентны в отношении размерности, т. е. LlkM\-*h = LlhNthT-lklh или 156
Таким образом, хотя размерности ц и k в отдельности неизвестны, величина, обратная корню квадратному из их произведения, имеет размерность скорости. Тот же результат получаем, если сравним формулы размерности для силы тока в этих двух системах* откуда Сопоставление размерностей любой электрической величины дает тот же результат; читатель может самостоятельно проверить это по табл. III приложения (стр. 173). Так как все подобные сопоставления приводят к одному и тому же заключению, а именно что \JY\ik имеет размерность скорости, то, следовательно, сравнивая экспериментально численные значения любых электрических величин в двух указанных системах, можно найти значение этой скорости. Наиболее подходящей величиной для этой цели является емкость конденсатора простой конструкции. Емкость в электрической системе определяется непосредственно по линейным размерам, а емкость в электромагнитной системе можно определить с помощью баллистического гальванометра. Если Cft — емкость в электростатических единицах и Су,— емкость в электромагнитных единицах, то Ck(IJ)^CjL-lTYll и 1 _, г— = v см- сек \ где Это отношение было измерено; в результате было получено, что v = 2,99 • 10'° см ■ сект1. Таким образом, l/Y~jik равно скорости света в вакууме. 157
Этот замечательный факт привел Максвелла 1865 г. к догадке о том, что как свет, так и электрс] магнитное излучение распространяются в виде вол! в среде, которая в то время именовалась светонос ным эфиром. Фарадей несколько ранее отметил, «Вполне возможно, что если бы существовал эфир, он мог бы не только быть простой радиационной средой, но и выполнять другие функции» [4]. Три десятилетия спустя после проницательной догадки Максвелла, а именно в 1889 г., когда Рюккер изучал вопрос о размерностях \х и k, Герц в серии классических опытов доказал, что электромагнитные волны обладают всеми свойствами световых волн. Хотя, как мы уже видели, можно определить размерность произведения \ik в функции L и Г, однако размерности магнитной проницаемости или диэлектрической проницаемости, взятые в отдельности, остаются неопределенными. Возможно, что одна из этих величин безразмерна; однако предположение о том, что они обе безразмерны, немедленно приводит к неувязке. Фитцджеральд [5] высказал предположение, что размерности ц. и k следует считать «идентичными размерности „медленности", т. е. величине, обратной скорости (L'lT)». В этом случае, как отмечал Фитцджеральд, «две системы становятся одинаковыми в отношении размерностей и различаются только численными коэффициентами, подобно тому как различаются сантиметр и километр». Однако хотя конечной целью является получение идентичных размерностей одних и тех же физических величин в двух системах, метод Фитцджеральда все же не является единственным путем достижения этой цели; желательно, чтобы такая идентичность формул основывалась не только на догадках и предположениях. Магнитная проницаемость и диэлектрическая проницаемость имеют весьма различный физический смысл, и нет оснований считать их размерности одинаковыми. Размерности ц и k [6]. Если бы размерности ц и k можно было определить раздельно, то тем самым была бы существенно упрощена таблица размерностей физических величин. Покажем теперь, что такой результат может быть получен на основе гипотезы 158
Ампера о природе магнетизма. Хотя дробные показатели степени при этом не ликвидируются, можно найти по отдельности зависимости ц0, магнитной про-. ницаемости вакуума, и k0, диэлектрической проницаемости вакуума, от L, М и Т; кроме того, достигается унификация формул размерности в электромагнитной п электростатической системах, когда для выражения той или иной магнитной или электрической величины достаточной оказывается только одна формула. Теория Ампера была основана на предположении, что магнетизм вызывается круговыми токами молекулярного масштаба, образующими элементарные «магнитики»», которые могут поляризоваться при действии электрического тока соленоида, окружающего магнит. После открытия электрона электрическая теория магнетизма обрела прочный фундамент. Полагая, что эта теория точно соответствует опытным данным, мы можем рассматривать магнитные массы как проявление суммарного действия большого числа круговых электрических токов в контурах атомного масштаба. Рассмотрим теперь основные уравнения с этой точки зрения. Имеем f = mm' с _ W ds ds' l~ kxr* Умножая A1) на A2), получаем г _ mi ds где h = Wo^i Уравнение A2) можно записать в виде t 1_ dq_ dq' '~Tt ~r T' Приравнивая его размерность размерности уравнения A0), получаем уравнение размерности ^-L2T~\ A5) м 1 в виде ds ds' It dT' (И) A2) A3) (И) 159
Таким же образом, сравнивая A1) и A2), получаем -jL = -!±=r. A6) Максвелл показал, что скорость (ЬТ~]) в уравнении A5) есть скорость света с. Отсюда -j- = с2. Однако из A4) k{=klj\xQ. Поэтому k\J\iQk0 = c2. A7) Так как было установлено, что с2 = //[Ло&о, то из A7) следует, что fo — безразмерная величина. Согласно гипотезе Ампера, члены уравнений A1) и A2) должны соответствовать друг другу. Эти два уравнения одинаковы в отношении размерностей, и поэтому Vo = ki. Следовательно из A4) (.ю = k2 и из A6) Р = IL. Как мы уже установили, k%—безразмерная величина, следовательно, щ также безразмерная величина и ь -J- «0 ~ С2 ■ Таким образом, так как цо — численная величина, размерности всех магнитных и электрических величин можно выражать через L, М и Т, причем формулы размерностей в электростатической и электромагнитной системах будут одинаковыми. Применения. Применение формул размерности магнитных и электрических величин для вывода известных уравнений будет показано на нескольких примерах. Ввиду того что ранее было рассмотрено много примеров, иллюстрирующих общий метод, здесь достаточно будет привести по одному примеру из областей магнетизма, электричества и электромагнетизма. Пример 1. Найти напряженность магнитного поля стержневого магнита в точке Р, находящейся от магнита на расстоянии, намного превышающем его длину. 160
Искомая напряженность магнитного поля Н зависит от расстояния d, на котором находится точка Р от магнита, от магнитного момента М магнита и от магнитной проницаемости \i среды. Формулы размерности величин даны в нижеследующей таблице. Физическая величина Напряженность магнитного поля в Р Магнитный момент магнита Расстояние от Р до магнита Магнитная проницаемость Обозначение Я м d Формула размерности L-l>> M'l' Г ц-'А С1' М'>> Т~1 ц'/! L Взяв один член из ряда одинаковых по размерности членов, получаемых в результате разложения функции H = f(M,dtV), получаем уравнение Я = CMadb\ac. Соответствующее уравнение размерности имеет вид L-VT-y-* {l'Wt- V/s)fl l V. Отсюда обычным методом получаем а= 1, b = — 3, е= — 1. Следовательно, ц = 1 (приблизительно) для воздуха. Если точка Р расположена на оси магнита, то С = 2 в случае, если Р находится в экваториальной плоскости магнита, С = 1. Пример 2. Электрическая цепь с пренебрежимо малой индуктивностью содержит заряженный конденсатор и сопротивление, соединенные последовательно. Определить заряд конденсатора через время t после начала его разрядки через сопротивление. Пусть первоначальный заряд конденсатора при t = О равен до, ^ Я — заряд, оставшийся по истечении 11 Зак. 599 161
времени t. В число переменных задачи входят также емкость с конденсатора и величина г сопротивления. Запишем размерности всех этих величин в следующей таблице: Физическая величина Отношение оставшегося заряда к первоначальному Емкость Сопротивление Время Обозначение <7/<7о с г t Формула размерности L0 М° Т° L Т~' ц Т Имеем q/qQ = f(c, r,t) или q/q0 = С ■ carbf. Формула размерности L°M°Tn = (L~lf\i~l)a X X (LT~lixf Г. Отсюда получаем q/q0 = C • f ( —I. Для определения вида функции требуется привлечение других методов, дающих следующий результат: t_ q = q0e-4°r = qQe \ где К — постоянная времени электрической цепи. Приведем следующий.пример, подобный предыдущему. Пример 3. По цепи, состоящей из индуктивности и сопротивления, проходит электрический ток. Найти величину электрического тока через время t после внезапного уменьшения э. д. с. до нуля. Эта задача предлагается читателю в качестве упражнения. Ее решение, полученное обычным аналитическим методом, имеет вид i = he l = he k, 162
где % — Ijr — постоянная времени электрической цепи. Результатом решения следующей задачи является формула, известная изучающим атомную физику. Она находится в основе многих экспериментальных методов в ядерной физике и описывает движение заряженных частиц в циклотронах и других ускорителях. Формула содержит шесть физических величин; тем не менее здесь можно получить полное решение задачи (если известен численный коэффициент). Пример 4. Электрон движется под прямым углом к однородному магнитному полю. Найти радиус кругового движения электрона. Пусть т — масса электрона, е — его электрический заряд и v — скорость. Допустим, что он движется по кругу радиусом г с угловой скоростью со. Пусть Н — напряженность магнитного поля. Число переменных можно уменьшить, если воспользоваться соотношением со = v/r. Приводим таблицу формул размерности: Физическая величина Угловая скорость электрона Масса электрона Заряд электрона Напряженность магнитного поля Магнитная проницаемость среды значение Ш т е Н И Формула размерности Г-1 м L-Ч' id'*' Г-' ц-V* Р- Представим ю непосредственно как функцию остальных переменных © = /(т, е, Н, ц). Один из членов ряда имеет вид со = С • таеьНсца. 11* 163
Отсюда а=—\, b = \, c=l, d = l, поэтому со = Сц — или, если ц=1, r = C—jj-v, (C=l). Приведенных примеров достаточно, чтобы показать применение обычных приемов анализа размерностей к магнитным и электрическим явлениям так же, как это было сделано при рассмотрении задач механики, общей физики, теплотехники, оптики и акустики. Одно из главных отличий состоит в том, что в уравнениях размерности появляются дробные показатели степеней. Верно и то, что возможности применения метода размерностей к задачам из области электричества более ограничены по сравнению с другими разделами физики. С другой стороны, имеется достаточная область, где можно использовать анализ размерностей в каждодневной практике для проверки правильности уравнений. Любой учебник по электротехнике содержит большое количество уравнений и формул, которые читатель может проверить с точки зрения размерностей. Рассмотрим один пример. Мы уже знаем, что магнитный момент элементарного магнита, связанный с движением электрона, является величиной, кратной eh/4ntn, называемой «магнетоном Бора». Читатель, привыкший исследовать формулы в отношении их размерности, немедленно задастся вопросом: «Имеет ли выражение е/г/4ят размерность магнитного момента?» Здесь е — заряд электрона, имеющий размерность VltMxit\rxl,t /г — постоянная Планка, имеющая размерность момента количества движения UMT~X. Так как размерность магнитного момента есть U^M'^T-1^'/', мы должны записать равенство в следующем виде: l^m'^'V' = z,'am V • l2mt~x • мг\ Это выражение является правильным, если (х — числовая величина; справедливость последнего утверждения уже была показана ранее. Изучающим физику хорошо известно, что такие примеры встречаются достаточно часто. 164
Подобную проверку, которая может оказаться весьма длительным процессом, легко ускорить, если иметь под рукой таблицу формул размерностей. ЛИТЕРАТУРА 1. Rucker, Phil. Mag. Eth Series), 27, 104. 2. Cramp, Nature, 130, 368, 892. 3. Duncanson, Proc. Phys. Soc, 53, 432. 4. Faraday, Experimental Researches in Electricity, v. Ill, p. 330. 5. Fitzgerald G. F„ Phil. Mag. Eth Series), 27, 323. 6. henderson, Engineering, 14, 348—349, 454—455.
Глава X ЗАКЛЮЧЕНИЕ В предыдущих главах изложен анализ размерностей для студентов-физиков. Приведенные объяснения, примеры и общие соображения были изложены языком, принятым среди физиков. Однако не следует забывать, что не только физики используют метод размерностей. В отдельных отраслях техники также достаточно широко используется этот метод. Это подтверждает ряд уже рассмотренных примеров. Так, пример 6 (стр. 146) представляет интерес для инженеров-теплотехников, а пример на стр. 126 — для изучающих баллистику. В то время как почти все предложенные выше иллюстрации анализа размерностей возникли на базе экспериментальной физики, этот метод имеет также полезные применения к задачам теоретической физики. Поэтому представляется целесообразным в этих заключительных замечаниях отметить, что сфера применения метода шире, чем это показано в книге. Иногда возможно применение принципов этого метода в самых неожиданных областях науки. Это можно показать при кратком экскурсе в элементарную аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия. Известно, что выражение у = а+ Ьх является уравнением прямой линии. Так как каждый член имеет одинаковую размерность и так как х и у — длины, то а — также длина и Ь — число. , Отрезок, который прямая отсекает на оси Оу, развей а, а Ь является тангенсом угла наклона прямой к оси Ох, или первой производной функции у. С дру* гой стороны, уравнение — 4^=1 166
является уравнением эллипса. Поскольку это уравнение однородно по размерностям и так как в правой части находится число, а х и у — длины, то а и Ь должны иметь размерности [Lx] и [Lu]. Действительно, они являются взаимно перпендикулярными осями эллипса. Наконец, уравнение у = а + Ъх + сх2 является уравнением параболы. Каждое слагаемое справа имеет размерность [Ly], если уравнение однородно по размерностям: а имеет размерность [Ly], поскольку является отрезком, который отсекает парабола на оси Оу, Ьх имеет размерность [Ly], если размерность b представить в виде [LuLx\. Это выражение является точной размерностью Ъ, так как Ь — это «наклон» dyldx параболы в точке пересечения параболы с осью Оу. Слагаемое сх2 имеет размерность [Ly], если размерность с есть [LyLx% Но это как раз точная размерность с, так как с является кривизной параболы в точке перегиба, ее размерность равна размерности d2y/dx2 или d/dx(dy/dx), т. е. \LyLx% Не будем далее развивать здесь этот метод. Изучающие аналитическую геометрию легко найдут для себя дальнейшее применение метода размерностей в этой области. Однако этих простых примеров достаточно, чтобы показать более широкие возможности метода, чем это представлено в книге. «Рабочий инструмент». Главная цель метода размерностей, который рассматривался выше, состояла в практическом его применении. При постановке вопросов, изложении новых идей и выборе примеров автор руководствовался желанием вызвать у читателя достаточный встречный интерес для того, чтобы помочь ему приобрести, хотя бы даже подсознательно, привычку рассматривать физические уравнения с точки зрения их размерности. Метод размерностей расхваливался не ради него самого и не преподносился как законченная теория, а был рекомендован как средство достижения конкретных целей. Реальная ценность анализа размерностей заключается в том, что он способен служить ученому физику в качестве 1&7
рабочего инструмента в различных областях науки, о чем уже было подробно сказано. Физик, приобретший привычку мыслить категориями размерностей, применяет это умение для восстановления забытых формул, проверки уравнений, преобразования единиц, для исключения излишних и выбора решающих экспериментов, для извлечения максимального количества информации, связанной с естественными соотношениями, существующими между переменными нерешенной задачи, и для других целей. Так как эти цели носят практический характер, то ценным дополнением к анализу размерностей служит опыт и интуиция. Замечательным примером такого комплексного анализа является объяснение Релеем с помощью метода размерностей голубого цвета неба (см. стр. 69). До тех пор пока рассматриваемое явление не выражено посредством уравнения или формулы, нет оснований отвергать помощь, которую приносит знание экспериментальных результатов или соотношений, подсказанных интуицией. С другой стороны, создается иное положение, если анализ размерностей изучается не как средство для достижения цели, а как самостоятельный предмет. Очевидно, что в этом случае необходимо вести исследование с более общей точки зрения. Следует рассматривать его так, как это делал великий Ньютон. Некоторые принципиальные вопросы еще требуют ответа и весьма возможно, что хорошо обоснованные принципы метода приведут к плодотворному увеличению количества и значения его практических приложений. В прошлом попытки формально обосновать метод являлись обильным источником противоречий, и даже в настоящее время нет установленных и всеми принятых основ метода размерностей. Возможно, прошло уже время дискуссии о том, какие единицы измерений являются «действительно» основными; однако до сих пор еще нет согласия по вопросу о количестве основных единиц, все еще под вопросом находится метод наиболее рационального выбора соответствующих физических величин. Один из ученых считает, что достаточно двух величин, а именно длины и времени. С другой стороны, уточнение метода, представленное в этой книге, показывает значение 168
увеличения числа основных единиц при условии, что они не зависят друг от друга. «Разложение» единицы длины на три независимые векторные единицы и разложение единицы массы на две независимые основные единицы является важным развитием теории размерностей и должно учитываться в любой формальной теории анализа размерностей. Весьма интересным было бы объяснение факта, что признание этих дополнительных основных единиц сразу же привело к возрастанию упорядоченности физических формул и уравнений. Однако показатели степеней при обозначениях величин и взаимосвязи обозначений друг с другом в любой физической формуле сложны и определяются частично (или иногда полностью) размерностями физических величин, соответствующих ■ этим обозначениям; замечательно, что область, доступная такого рода детерминизму, возрастает при использовании дополнительных основных единиц, введенных в этой книге. В некоторых случаях было показано, что формула, структура которой зависит (по крайней мере частично) от опытных данных, в действительности однозначно определяется размерностями переменных — новыми размерностями, соответствующими дополнительным, «более основным» единицам, чем те, которые применялись ранее. Это увеличение числа необходимых соотношений в формуле и соответствующее ограничение числа необходимых экспериментов приводят к вопросу: «Может ли этот процесс иметь свое завершение?» Как мы уже отмечали, Эддингтон утверждал, что формулы могут быть установлены нами исключительно на основе априорных соображений, если только имеется исчерпывающее понимание реальной сущности задачи. Пока эта точка зрения не получила всеобщего признания; однако интересно отметить, что введение в гл. V дополнительных единиц Lx, Lv, Lz и Мд, Mt сделало ненужными некоторые эксперименты благодаря более жесткому ограничению числа допустимых соотношений между величинами в формуле. Рассмотрение предыдущих примеров показало, что из всех возможных связей между величинами, входящими в физическое уравнение, соотношения между их 169
размерностями допускают одну и только одну связь. Существующий взгляд, что так было бы всегда, если бы наши знания были глубже, с этой точки зрения выглядит весьма обоснованным. Эти вопросы рассматриваются здесь не только ввиду "их самостоятельного интереса, но и обоснования того, что анализ размерностей имеет более глубокое значение и содержание, чем это выясняется в его приложениях. По-видимому, пришло время для изучения предмета на основе строгой теории и для выработки его прочной логической основы. Такое изучение, несомненно, благотворно отразится и на практических аспектах теории. Однако было бы ошибкой полагать, что формальное исследование теории предмета должно предшествовать практическим приложениям, которые выполнены в этой книге. Дисциплина, которая вырабатывается у учащегося при изучении многочисленных и разнообразных примеров и при попытках разобраться в методах и принципах, которые иллюстрируются этими примерами, предваряет эстетическую оценку любого строгого исследования логической основы предмета. Именно тот учащийся, который старается овладеть методом размерностей как инструментом для каждодневного применения, будет лучше подготовлен к осмыслению более глубоких и тонких философских аспектов этого предмета.
ПРИЛОЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ РАЗМЕРНОСТИ Таблица I Размерности механических величин Таблица разделена на три группы, которые обладают симметрией и повторяемостью в отношении показателей степеней при размерностях длины, массы и времени. Полезно найти связь между физическими величинами, имеющими одинаковые порядковые номера во всех трех группах. Физическая величина 1а. Объемная плотность 2а. Длина на единицу объема За. Поверхностная плотность 4а. Кривизна 5а. Линейная плотность 6а. Угол 7а. Масса 8а. Длина 9а. Масса X длина 10а. Площадь Па. Момент инерции 12а. Объем 16. Скорость изменения плотности 26. Скорость на единицу объема 36. Количество движения на единицу объема Показатели степеней размерности L —3 —2 —2 — 1 — 1 0 0 1 1 2 2 3 —3 —2 —2 /VI 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 т 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —1 —1 —1 Формула L-3 L-2 L-2 L-1 L-1 L L L2 L* L3 L~3 L-2 L-2 М М м м м м м г-1 г-1 м г-1 171
Физическая величина 46. Скорость на единицу площади 56. Вязкость 66. Частота 76. Массовый расход 86. Скорость 96. Количество движения 106. Кинематическая вязкость 116. Действие 126. Объемный расход 1в. Ускорение изменения плотности 2в. Ускорение на единицу объема Зв. Сила на единицу объема 4в. Ускорение на единицу площади 5в. Давление 6в. Угловое ускорение 7в. Поверхностное натяжение 8в. Ускорение 9в. Сила 10в. Температура 11в. Энергия, момент вращения 12в. Скорость изменения объема (в секунду) 1г. Мощность. Продолжение табл. 1 Показатели степеней размерности L — 1 -1 0 0 1 1 2 2 3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 2 М 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Г -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 _2 -3 Формула L-> L-1 L L L* и L3 L-* L-* L-3 £,-' L-1 L L L2 L* L3 V М М м м м м м м м м м Т~1 y-i г-> Т-1 т-1 г-1 Т-1 Т-1 Т-1 у-з у-г у-г у— s у—2 у-2 у—2 у —2 у-2 у—2 у—2 у-2 г-3
Таблица II Размерности тепловых величин Физическая величина 1. Температура 2. Количество тепла 3. Удельная теплоемкость 4. Теплоемкость единицы массы 5. Теплоемкость единицы объема 6. Температурный градиент 7. Коэффициент теплопроводности 8. Энтропия L° L-3 L-1 L-1 Тепловые единицы е н безразмерная м~1 т" н е-' м° та н е-1 м° т° н° е-1 м° г-» я° е-1 н е-1 Динамические единицы е и м т-3 безразмерная l2 м° г-2 е-1 L-i м Т-* е-1 /,-< м° т° е-1 l м т~з е-> L2 м г-2 е-1 Таблица III Размерности магнитных и электрических величин Физическая величина 1. Магнитная масса Р 2. Напряженность магнитного поля Я 3. Магнитная и электрическая индукция \iH, kF Электромагнитная система L*1*- М''' Т-1 ц'А L-'l> М'!' Т-1 ц-'А £-'/. МЧ, J-l ^ Электростатическая система z> м'а г° а- L'A М'А Г ftV, Z.-'A М'1' Г-1 А'А
Продолжение табл. Ill Физическая величина 4. Магнитный и электрический моменты PL, QL 5. Сила тока / 6. Количество электричества Q 7. Разность потенциалов Е 8. Сопротивление R 9, Емкость С 10. Индуктивность ЕТ I 11. Магнитная проницаемость ц 12. Диэлектрическая постоянная А Электромагнитная система z> z> L''> if' L L~l L L° L-2 Л*''» Ф M* M'l' M° Ma M° M° M° T-l T-l ■pQ T-2 T-i j2 T<> r° j2 nv* n"v' n-,/s ^ 11 J*-1 n n I*-1 Эле L'/' L'l' Z> Z.V» L-1 z. L~l L-2 L° ктростатнческая система м'к м* M'l* M'l' м° м° м° м° м° т-1 Т-2 т-1 у-1 г J0 т? 7*2 г° А'/' *'/* ft'/. *-'/> А-1 А А-' А-1 А БИБЛИОГРАФИЯ Bridgman P. W., Dimensional Analysis, Yale University Press; есть в русском переводе: Б р и д ж м е н П. В., Анализ размерностей, ОНТИ — ГТТИ, 1934. Porter A. W., The Method of Dimensions, Methuen. Stubbings'G. W., Dimensions on Engineering Theory, Crosby Lockwood. Esnault-Pelterie R., L'Analyse Dimensionelle, F, Rouge et Cie, Lausanne, Switzerland.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Глава I. Единицы измерения и размерности 9 Глава II. Метод размерностей 17 Глава III. Исторический обзор 35 Глава IV. Простые примеры 49 Глава V. Составляющие «основных» единиц измерения . 80 Глава VI. Векторные единицы длины. Примеры ... 96 Глава VII. Движение тел в вязкой среде. Моделирование 114 Глава VIII. Тепловые величины 129 Глава IX. Электрические величины 149 Глава X. Заключение 166 Приложение. Таблицы формул размерности 171
Г. ХАНТЛИ АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ Редактор В. Шеманина Художественный редактор В. Варлашин Технический редактор И. Дерва Корректор О. Иванова Сдано в производство 22/IV 1970 г. Подписано к печати 2/Х 1970 г. Бумага 84xl08,/j:=2,75 бум. л. 9,24 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 7,45. Изд. № 20/5566 Цена 67 коп. Зак. 599 ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва, 1-й Рижский пер., 2 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Измайловский пр., 29