К.С. КОЛЕСНИКОВ
АВТОКОЛЕБАНИЯ
УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС
АВТОМОБИЛЯ \

К. С. КОЛЕСНИКОВ
АВТОКОЛЕБАНИЯ
УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС
АВТОМОБИЛЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1955

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Конструктивные особенности автомобильной
осн с управляемыми колесами 10
§ 1. Автомобиль как колебательная система 10
§ 2. Устройство оси с управляемыми колёсами 13
§ 3. Рулевое управление 21
§ 4. Степени свободы колебательной системы ...... 26
Глава II. Сила взаимодействия пневматика с дорогой 29
§ 5. Деформация пневматика 29
• § 6. Качение ведомого колеса под углом к вектору ско-
скорости 34
§ 7. Качение ведомого колеса с переменным радиусом. . . 38
Глава III. Автомобильная ось с управляемыми колёсами —
автоколебательная система 45
§ 8. Особенности автоколебаний 45
§ 9. Виляние управляемых колёс 53
§ 10. Автоколебания управляемых колёс 57
Глава IV. Основные характеристики элементов колеба-
колебательной системы 68
§ 11. Предварительные замечания 68
§ 12. Радиальная жёсткость пневматика 69
§ 13. Определение сопротивлений по опытным кривым за-
затухающих колебаний 73
§ 14. Внутреннее сопротивление пневматика 90
§ 15. Коэффициент сопротивления уводу и угловая жёст-
жёсткость пневматика 99
§ 16. Жёсткость и внутреннее сопротивление стержневого
устройства подвески ПО
§ 17. Жёсткость и внутреннее сопротивление рессор ... 114
§ 18. Жёсткость рулевого управления, установленного на
автомобиле 121
§ 19. Внутреннее сопротивление рулевого управления . . 126
§ 20. Сопротивление амортизаторов 129
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Уравнения движения 135
§ 21. Предварительные замечания 135
§ 22. Уравнения движения 136
§ 23. Уравнения движения при наличии дисбалансов колёс 148
§ 24. Уравнения движения с учётом плоскопараллельного
движения корпуса автомобиля 160
§ 25. Определение частот колебаний 173
Глава VI. Устойчивость движения 178
§ 26. Предварительные замечания 178
§ 27. Основные определения и теоремы 183
§ 28. Теорема Гурвица 187
§ 29. Устойчивость движения автомобиля при заблокиро-
заблокированных управляемых колёсах 190
§ 30. Устойчивость движения при заблокированной перед-
передней оси 195
§ 31. Устойчивость движения управляемых колёс автомо-
автомобиля 208
§ 32. Пример определения критической скорости 225
§ 33. Повышение устойчивости движения управляемых
колёс автомобиля 229
§ 34. Устойчивость движения управляемых колёс при не-
независимой подвеске 231

ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги заключается в том, чтобы по возмож-
возможности просто разъяснить иногда встречающиеся установив-
установившиеся колебания управляемых колёс автомобиля.
Эти колебания, получившие наименование «шимми»,
являются весьма вредными, и при их наличии движение
автомобиля практически недопустимо. В связи с этим воз-
возникает вопрос об исследовании условий возникновения ко-
колебаний. Изучение же процесса установления стацио-
стационарного колебательного движения колес практического ин-
интереса не представляет и поэтому в настоящей работе не
проводится.
Автор стремился сделать книгу доступной для читателей,
имеющих лишь самое общее знакомство с устройством и
работой автомобиля и незнакомых с особенностями автоко-
автоколебаний, с основными положениями теории устойчивости дви-
движения. В книге кратко освещены как конструктивные осо-
особенности автомобильной оси с управляемыми колёсами, так
и особенности автоколебаний, основные определения и тео-
теоремы по устойчивости движения. Книга, таким образом,
должна быть доступна широкому кругу читателей и без при-
привлечения дополнительной литературы.
Книга может оказаться полезной при экспериментально-кон-
экспериментально-конструкторской доводке тех моделей автомобилей, у которых
наблюдаются автоколебания управляемых колёс. Для этого
подробно рассмотрены основные характеристики элементов
колебательной системы и приведены расчётные примеры.

В тексте сделаны ссылки на литературные источники,
включающие в себя наряду с работами, непосредственно ис-
использованными автором, также такие, которыми может вос-
воспользоваться читатель для более глубокого ознакомления
главным образом со специальными вопросами.
Автор выражает благодарность В. И. Феодосьеву, И. П.Ку-
П.Кунаеву, К. Ф. Теодорчику и Н. К. Веденееву, сделавшим
ряд замечаний при просмотре рукописи. Он будет также
благодарен всем товарищам, которые в дальнейшем выскажут
свои замечания о прочитанном.

ВВЕДЕНИЕ
Многолетняя практика эксплоатации автомобилей показы-
показывает, что у некоторых конструкций автомобилей на опреде-
определённых скоростях движения иногда возникают устойчивые
колебания управляемых колёс вокруг шкворней. Они воз-
возникают у автомобилей с хорошо отбалансированными колё-
колёсами при движении по дороге с ровным покрытием и
являются следствием конструктивных особенностей коле-
колебательной системы, в которой имеются двусторонние упру-
упругие и гироскопические связи. Эти колебания являются вред-
вредными и недопустимы. Они вызывают большие динамиче-
динамические нагрузки на детали подвески и рулевого управления и
приводят к потере управляемости автомобилем.
До сих пор колебания управляемых колёс изучены недо-
недостаточно, хотя автомобильные заводы и конструкторские бюро
давно нуждаются в разработке методов борьбы с ними. Наи-
Наиболее актуальным является этот вопрос для автомобилей,
имеющих зависимую подвеску управляемых колёс.
Впервые в нашей стране большие работы по теоретиче-
теоретическому и экспериментальному изучению колебаний управляе-
управляемых колёс автомобиля провёл в 1932—1937 гг. Б. А. Глух1).
Основное направление его работ заключалось в том, чтобы
выявить влияние некоторых параметров колебательной систе-
системы на устойчивость движения. Предположение об отсут-
отсутствии сил сопротивления в системе, а также существенные
неточности в оценке сил взаимодействия пневматика с доро-
дорогой не позволили при теоретическом исследовании получить
условие устойчивости движения в удовлетворительном виде.
Ценность экспериментальных исследований Б. А. Глуха
1) Глух Б, А., Теория шимми автомобиля, Известия НАТИ,
1, 1935.

8 ВВЕДЕНИЕ
состоит главным образом в том, что, кроме колебаний колёс
вокруг шкворней, записаны угловые колебания оси в верти-
вертикальной плоскости. Хотя запись и не позволяет проследить
взаимодействие между колебаниями в различных плоскостях,
она существенно облегчает выбор расчётной схемы.
В 1949 г. опубликовал работу по колебаниям управляемых
колёс Г. В. Аронович1). Он рассмотрел устойчивость прямо-
прямолинейного движения управляемых колёс в связи с общей
устойчивостью движения корпуса автомобиля. При этом
Г. В. Аронович предположил, что в системе нет сил сопро-
сопротивления и отсутствуют угловые движения оси в вертикальной
плоскости. Сделанные предположения, а также (слишком
упрощённая расчётная схема исказили свойства колебательной
системы, ввиду чего результаты исследования на устойчивость
не имеют какого-либо значения.
В других работах, насколько нам известно, вопрос об ав-
автоколебаниях управляемых колёс автомобиля не рассмат-
рассматривался.
Для изучения устойчивости движения управляемого колеса
трёхколёсного шасси автомобиля значительный интерес пред-
представляет работа М. В. Келдыша2), в которой дано ориги-
оригинальное решение, основанное главным образом на изучении
упругой деформации пневматика и на использовании неголо-
номных связей при учёте качения колеса. Однако неголономные
связи вряд ли удастся плодотворно использовать при изуче-
изучении устойчивости движения управляемых колёс четырёхко-
четырёхколёсного шасси автомобиля. Они на два порядка повышают
и без того высокий порядок дифференциального уравнения.
Успешное решение вопроса об устойчивости движения
управляемых колёс зависит от правильного выделения из ав-
автомобиля автономной колебательной системы и выбора расчёт-
расчётной схемы, что можно сделать, лишь хорошо зная кон-
конструкцию автомобиля и в первую очередь его передней под-
подвески. Изучение колебаний колёс вокруг шкворней показывает,
что ось с управляемыми колёсами при некоторых условиях
1) А р о н о в и ч Г. В., К теории шимми автомобиля и самолёта,
Прикл. матем. и мех., т. XIII, вып. 5, 1949.
2) Келдыш М. В., Шимми переднего колеса трёхколёсного
шасси, Труды ЦАГИ № 564, Издание бюро новой техники НКАП,
1945

ВВЕДЕНИЕ 9
может стать потенциальной автоколебательной системой.
Это свойство автомобильной оси является следствием наличия
двусторонних упругих и гироскопических связей и источ-
источника энергии.
Анализ устойчивости движения как в общем виде, так и
на частных примерах приводит нас к выводу о том, что
без учёта сопротивлений движение такой системы будет всегда
неустойчивым. Исследовать устойчивость движения надо обя-
обязательно с учётом имеющихся в системе сопротивлений.
В связи с этим в книге значительное место отведено во-
вопросу определения и учёта сопротивлений, а также и других
характеристик системы, что помогает лучше обосновать вы-
выделение автономной колебательной системы и составление
расчётной схемы.
В отличие от предшествующих работ при составлении
уравнений движения учтены особенности качения колеса при
колебаниях. Эти особенности заключаются в том, что при
равномерном движении автомобиля скорость центра колеса
при колебаниях не остаётся постоянной. Кроме того, угловые
колебания оси в вертикальной плоскости вызывают измене-
изменение радиусов колёс. Вследствие этих причин возникают до-
дополнительные силы, которые в свою очередь оказывают влия-
влияние на возникшие колебания.

ГЛАВА I
КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ
ОСИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЛЁСАМИ
§ 1. Автомобиль как колебательная система
Автомобиль представляет собой сложную колебательную
систему, состоящую из ряда масс, упругих элементов и га-
гасящих устройств. На фиг. 1 показан грузовой автомобиль
со снятыми кабиной и кузовом. На раме 6 укреплён двига-
двигатель / и жёстко соединённые с ним сцепление 2 и коробка
передач 3. Крутящий момент передаётся к заднему мосту 5
от коробки передач с помощью карданного вала 4.
Кузов и все агрегаты, укреплённые непосредственно
на раме, при изучении колебаний принято называть корпу-
корпусом автомобиля. Для смягчения ударов, воспринимаемых ко-
колёсами, и обеспечения плавности хода корпус автомобиля
соединяется с осями через рессоры 7, а колёса, кроме того,
снабжаются пневматическими шинами (пневматиками). Упру-
Упругие элементы имеются также в креплениях двигателя на раме,
в трансмиссии, в рулевом управлении и в ряде других узлов
и механизмов. Полное исследование всех колебаний, происхо-
происходящих в автомобиле, практически невозможно.
В зависимости от поставленной задачи приходится идти
на упрощения и выделять в автомобиле ряд так называемых
автономных колебательных систем. При этом, естественно,
приходится или пренебрегать связями, имеющимися между
отдельными системами., или учитывать их приближённо.
Правильность решений в таких случаях зависит от того,
насколько существенны или несущественны отброшенные
связи, насколько удачно выделена система.
Так, если пренебречь массами осей и упругостью пневма-
тиков, то при изучении колебаний корпуса последний можно

•f ff
Фиг. 1. Шасси и двигатель грузового автомобиля.

12 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. I
уполобить жёсткой балке, находящейся на упругих элементах
подвески (рессорах или пружинах). В некоторых частных слу-
случаях и эта сравнительно простая система допускает дальней-
дальнейшие упрощения.
Если отношение жёсткостей передних и задних рессор
обратно отношению расстояний центра тяжести от передней
и задней осей, то вертикальные прямолинейные колебания
корпуса оказываются независимыми от продольных угловых
колебаний. Вследствие симметрии автомобиля относительно
продольной оси поперечные угловые колебания корпуса ока-
оказываются независимыми от колебаний в продольной плоскости,
и их можно рассматривать обособленно.
Когда массы осей малы по сравнению с массой корпуса или
жёсткость рессор значительно меньше жёсткости пневматиков,
то колебания осей можно рассматриЕать вне связи с колебаниями
корпуса. Это очень наглядно проявляется при быстром движе-
движении автомобиля по булыжному шоссе. Мелкие и частые ко-
колебания осей почти не изменяют плавного движения корпуса.
При изучении крутильных колебаний трансмиссии выде-
выделяется колебательная система, состоящая из соединённых
между собой валов, начиная от двигателя и кончая ко-
колёсами. Связями крутильных колебаний с колебаниями блока
двигателя, балки ведущей оси, корпуса автомобиля, как правило,
пренебрегают, так как последние являются несущественными.
Практика эксплоатации показывает, что у некоторых
конструкций автомобилей возникают устойчивые колебания
управляемых колёс. Внимательное рассмотрение вопроса при-
приводит к выводу, что эти колебания являются проявлением
свойств «частной» колебательной системы, которую можно
выделить из автомобиля. Она состоит из оси с управляемыми
колёсами и рулевого управления.
Особенность устройства системы заключается в том, что
колёса могут совершать колебания не только в вертикальной
плоскости за счёт прогибов рессор и обжатия пневматиков,
но и относительно шкворней в горизонтальной плоскости
за счёт упругости рулевого управления. Вследствие этого
между угловыми колебаниями оси в вертикальной плоскости
и колёс в горизонтальной плоскости имеются гироскопические
и упругие связи, причём при некотором соотношении пара-
параметров системы и наличии источника энергии система ста-
становится автоколебательной.

§ 2] УСТРОЙСТВО ОСИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЛЁСАМИ 13
В первом приближении можно считать, что передняя ось
с рулевым управлением является автономной колебательной
системой. Такое допущение оправдывается тем, что частоты
собственных колебаний оси с колёсами значительно выше
частот собственных колебаний корпуса. На самом деле при
колебаниях колёс вокруг шкворней на корпус действуют
периодически изменяющиеся силы, вызывая вынужденные ко-
колебания с малыми амплитудами. Эти колебания корпуса могут
иметь значение при исследовании частот и амплитуд устано-
установившихся колебаний, но они несущественны при рассмотрении
механизма автоколебаний управляемых колёс. Движение кор-
корпуса лишь накладывается на автоколебания оси и колёс, но
не изменяет их свойств. Оно приводит к несколько иным
количественным результатам, не изменяя качественной сто-
стороны явления.
Поскольку при рассмотрении колебаний большое значе-
значение имеет выделение автономной системы и выбор расчёт-
расчётной схемы, остановимся кратко на устройстве передней оси
и рулевого управления.
§ 2. Устройство оси с управляемыми колёсами г)
В подавляющем большинстве конструкций автомобилей
управляемыми колёсами являются передние. У обычных авто-
автомобилей передние колёса являются ведомыми и лишь у авто-
автомобилей повышенной проходимости они могут быть также
ведущими. Конструктивные схемы оси с управляемыми колё-
колёсами довольно прочно установились: для грузовых автомо-
автомобилей и автобусов наиболее распространённой является не-
неразрезная ось, а для легковых автомобилей — разрезная, обес-
обеспечивающая независимую подвеску колёс.
Все основные агрегаты и механизмы автомобиля укреп-
укреплен i,i на раме, которую имеют все грузовые автомобили.
Рама (фиг. 2) обычно состоит из двух продольных балок,
соединённых несколькими поперечинами, и представляет до-
довольно прочную и жёсткую конструкцию. У некоторых, пре-
преимущественно легковых автомобилей, назначение рамы вы-
выполняет основание кузова. Такой кузов называется несущим.
') Подробно устройство автомобиля и его агрегатов описано
к многочисленных книгах и учебниках. См., например: А и о-
х и» В. И., Устройство автомобиля, Машгнз, 1953.

14 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. I
Рама или кузов соединяются с осями с помощью под-
подвески, которая служит для смягчения ударов и обеспечения
плавности хода автомобиля 1). Современная подвеска автомо-
автомобиля состоит из ряда упругих элементов, направляющих и
гасящих устройств. Упругими элементами обычно являются
или листовые рессоры, или спиральные пружины, а гасящими
устройствами — преимущественно гидравлические амортиза-
амортизаторы 2). Направляющее устройство определяет перемещения,
которые совершают колёса относительно рамы или корпуса
Фиг. 2. Рама грузового автомобиля.
автомобиля в пределах, допускаемых деформациями пружиня-
пружинящих звеньев подвески. От направляющих устройств подвески
зависит движение колёс относительно рамы, когда пружиня-
пружинящие звенья подвески деформируются.
На фиг. 3 показано типичное устройство неразрезной
передней оси с подвеской и рулевым управлением. Оно со-
состоит из жёсткой балки (оси) 3, на которую через рессоры 4
передаётся вес автомобиля, поворотных цапф 10 и шквор-
шкворней 12. Поворотные цапфы соединяются с осью посредством
шкворней и могут вокруг последних поворачиваться. На
шипах поворотных цапф на подшипниках качения монти-
монтируются колёсные ступицы, к которым крепятся колёса //.
Правое и левое колёса соединены между собой с помощью
1) Об устройстве подвески автомобиля см., например: Веде-
Веденеев Н. К., Развитие конструкций подвесок автомобилей. Сборник
«Подвеска автомобиля», Изд-во АН СССР, 1951.
2) В литературе и практике это название укоренилось за успо-
успокоителями (гасителями) колебаний.

2]
УСТРОЙСТВО ОСИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЛЁСАМИ
15
пулевой трапеции, состоящей из оси 3, поперечной тяги 2
с шарнирами 9 и двух рулевых рычагов. С помощью руле-
рулевого механизма 5, сошки 6, рулевой тяги 7 и поворотного
рычага 13 колёса могут поворачиваться вокруг шкворней
вправо или влево. Гашение колебаний корпуса автомобиля
осуществляется амортизаторами 8, рычаги которых с по-
помощью стоек шарнирно соединены с осью. П-образный
стержень 14 увеличивает угловую жёсткость подвески.
Фиг. 3. Передняя ось с подвеской и рулевым
управлением.
Автомобильные колёса состоят из жёстких металлических
ободов и дисков и пневматических шин (пневматиков). Пнев-
Пневматики, устанавливаемые на ободах колёс, служат для смяг-
смягчения толчков и поглощения ударов, воспринимаемых колё-
колёсами от препятствий дороги, и предохраняют ходовую часть
автомобиля, обеспечивая его плавный ход. Они также обес-
обеспечивают хорошую сцепляемость колёс с дорогой, придают
колёсам способность «держать» дорогу.
Чтобы колеса после поворота стремились возвратиться
в положение, соответствующее прямолинейному движению,
а управление автомобилем было более лёгким, передние ко-
л са имеют развал в вертикальной плоскости и схождение

16 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ.
в горизонтальной. Шкворни /—/ поворотных цапф имеют
наклон в продольной (фиг. 4, б) и поперечной (фиг. 4, а)
плоскостях.
Для того чтобы создавалась осевая сила, прижимающая
ступицу колеса к внутреннему большому подшипнику, ко-
колёса в вертикальной плоскости ставят с наклоном наружу
Фиг. 4. Установка управляемых колёс и шкворней.
(развалом). По мере появления зазоров в подшипниках и
шкворневом соединении развал колёс уменьшается и поло-
положение колёс приближается к вертикальному. Угол а развала
колёс для разных автомобилей выдерживается в пределах
от 0 до 2° (фиг. 4, а). Колёса, установленные в вертикаль-
вертикальной плоскости с развалом, при качении стремятся к разво-
развороту, т. е. стремятся удаляться в разные стороны от напра-
направления движения. Развороту колёс способствуют и силы

§ 21 УСТРОЙСТВО ОСИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЛЙСАМИ 17
сопротивления качению, создающие момент относительно осей
шкворней. Для устранения разворачивания, которое сопро-
сопровождается проскальзыванием пневматиков по опорной поверх-
поверхности, направляющие колёса устанавливаются в горизонталь-
горизонтальной плоскости с некоторым сходом. Схождение колбе изме-
измеряется как разность А — В расстояний между колёсами по
краям их ободов спереди и сзади (фиг. 4, в). Оно обычно
невелико — от 2 до 12 мм. Его рггулируют изменением
длины поперечной тяги рулевой трапеции.
Шкворни, являющиеся осями, относительно которых осу-
осуществляется поворот колёс при изменении направления дви-
движения автомобиля, устанавливаются под небольшими углами
к вертикали как в продольной, так и в поперечной плоско-
плоскостях. Вследствие поперечного наклона шкворней при значи-
значительных поворотах колёс в ту или другую сторону происхо-
происходит некоторый подъём передней оси. При этом под дей-
действием веса автомобиля колёса стремятся возвратиться
в среднее положение, т. е. с криволинейной траектории
перейти на прямолинейную. Поперечный наклон шкворня до-
достигается соответствующей формой передней оси. Угол f
(фиг. 4, а) поперечного наклона шкворня обычно равен 6—8°.
Продольный наклон шкворня (фиг. 4, б) сделан также
с целью увеличения сил, стремящихся заставить управляемые
колеса двигаться по прямолинейному пути. Вследствие такого
наклона продолжение оси шкворня пересекается с плоскостью
дороги впереди центра площадки контакта. При качении
колеса под углом к вектору скорости действующая со сто-
стороны дороги поперечная сила на плече Rfi создаёт момент,
стремящийся повернуть колесо по направлению вектора ско-
скорости. Угол j3 продольного наклона шкворней достигается
установкой передней оси в повёрнутом вокруг координатной
оси у (фиг. 3) положении. Он также небольшой и выдержи-
выдерживается в пределах от 0 до 4°. Вследствие того, что большие
углы наклона шкворней утяжеляют поворот автомобиля,
в легковых автомобилях эти углы делаются очень малыми
или равными нулю 1). В некоторых конструкциях автомобилей,
') Так как пневматик обладает угловой жёсткостью в горизон-
горизонтальной плоскости, то при качении колеса под небольшим углом
к вектору скорости центра колеса со стороны дороги на колесо начи-
начинает действовать реактивный момент, стремящийся повернуть колесо
так, чтобы этот угол уменьшился. Подробнее см. об этом в главе II.

18 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. 1
особенно с передними ведущими мостами, угол продольного
наклона шкворней делается более 4°.
Корпус автомобиля соединяется с осями с помощью под-
подвески, которая служит для смягчения возникающих при дви-
движении ударов. В качестве упругих элементов чаще всего
применяются листовые рессоры и спиральные пружины.
В грузовых автомобилях и автобусах наибольшее распро-
распространение получила рессорная подвеска. Большинство легко-
легковых автомобилей имеют рессорную подвеску для задней оси
и пружинную для передней. Пружинная подвеска выпол-
выполняется независимой.
Передняя ось или передний ведущий мост в грузовых
автомобилях обычно подвешиваются к раме на двух продоль-
продольных полуэллиптических рессорах (фиг. 3). Рессора средней
частью установлена на площадке оси и прикреплена к ней
стремянками. Один конец рессоры соединён с кронштейном
рамы шарнирно на пальце, а второй при помощи серьги с двумя
пальцами. Серьга, свободно поворачиваясь на верхнем пальце,
не препятствует изменению расстояния между ушками корен-
коренного листа рессоры, которое всегда имеет место при изме-
изменении прогиба рессоры. Рессорная подвеска обеспечивает до-
довольно жёсткое взаимное расположение оси и рамы автомобиля
в поперечном направлении. Рессоры выполняют одновременно
функции и направляющих устройств. При неразрезной перед-
передней оси подвеска является зависимой в том смысле, что пере-
перемещение одного колеса связано с перемещением второго,
наклон одного колеса в вертикальной плоскости определяет
наклон другого.
При независимой подвеске каждое колесо соединено с кор-
корпусом самостоятельно, и перемещения колёс относительно
корпуса в вертикальной плоскости совершаются независимо.
При независимой подвеске передних колёс можно разместить
упругий элемент с большей стрелой статического прогиба
и тем самым обеспечить более мягкую подвеску. Одна из схем
независимой подвески приведена на фиг. 5. Здесь передняя
балка 7 жестко прикреплена к кузову автомобиля. К перед-
передней балке и её кронштейнам с каждой стороны шарнирно
присоединена на рычагах 8 и 5 стойка 4 с закреплённым
в ней шкворнем //. На шкворне установлена поворотная
цапфа 3 со ступицей / и ободом колеса 2. Между крон-
кронштейном и нижним рычагом 8 подвески установлена спираль-

§21
УСТРОЙСТВО ОСИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЛЁСАМИ
19
ная пружина 9. Верхний рычаг 5 соединён с амортизато-
амортизатором 6, обеспечивающим плавную работу пружины. При таком
Фиг. 5. ПередняяГподвеска автомобиля ГАЗ-М-20.
устройстве подвески колёса могут перемещаться в вертикаль-
вертикальной плоскости независимо один от другого. Резиновый бу-
буфер 10 является ограничителем максимальных перемещений.
Фиг. 6. Схема работы подвески при поперечных
угловых перемещениях корпуса автомобиля.
Для увеличения угловой жёсткости подвески в поперечном
направлении без увеличения жёсткости рессор в подвеску

20
КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. I
включено стержневое устройство (фиг. 6). Основным элемен-
элементом этого устройства является П-образный стержень 6, закру-
закручивающийся только при взаимных угловых перемещениях оси
и корпуса автомобиля. Схема на фиг. 6 соответствует наклону
корпуса / по отношению к оси 3 влево. При этом стержень 6
Фиг. 7. Схема работы амортизатора: а) при
сжатии рессоры, б) при отдаче рессоры.
закручивается, создавая дополнительное сопротивление пово-
повороту корпуса относительно оси. Если при взаимных переме-
перемещениях корпуса и оси прогибы левой D) и правой E) рессор
остаются одинаковыми, то стержень 6 не работает и, следо-
следовательно, не увеличивает жёсткости подвески. Стержень 6
в средней своей части установлен в резиновых подшипни-
подшипниках 7, закреплённых на раме автомобиля, а концы его при
помощи стоек 2 шарнирно соединены с осью 3.
Амортизаторы включены в подвеску для гашения колеба-
колебаний корпуса автомобиля на рессорах. Наиболее распростра-
распространены гидравлические поршневые амортизаторы двухстороннего

§ 3] РУЛЕВОЕ УПРАВЛЕНИЕ 21
действия. Амортизатор этого типа (фиг. 7) состоит из кор-
корпуса, вала 2 с кулаком 8, поршней 3 и клапанов 5 и 6.
Два поршня 3, установленные в цилиндре, соединены винтами
и передвигаются вместе. Между опорными головками поршней
помещается кулак 8, закреплённый на внутреннем конце
вала 2. Снаружи на валу 2 закреплён рычаг /. Амортизатор
закреплён на раме автомобиля, и рычаг его при помощи тяги
соединён с осью. Амортизатор работает следующим образом.
При наезде колеса на неровность рессора сжимается, ось
приближается к корпусу и через тягу поворачивает рычаг /
амортизатора с валом и кулаком 2 против часовой стрелки.
Кулак перемещает поршни 3 вправо, при этом объём правой
полости (сжатия) уменьшается и масло по каналу 7 через
клапан 5 и канал 4 вытесняется в левую полость. После
сжатия рессора, стремясь перейти в прежнее положение,
отходит от рамы; при этом рычаг амортизатора с валом и
кулаком 2 поворачивается в другую сторону, и поршни 3
перемещаются влево (фиг. 7, б). Объём левой полости умень-
уменьшается, 'и масло, находящееся в левой полости, перегоняется
по каналу 4 и через клапан 6 в правую полость. Вследствие
сопротивления, оказываемого клапанами перетеканию жидко-
жидкости в амортизаторе, работа рессор становится более плавной,
и колебания кузова быстро гасятся.
§ 3. Рулевое управление
Кроме рассмотренных устройств, на колебания управляе-
управляемых колёс большое влияние оказывает рулевое управление,
которое служит для изменения направления движения авто-
автомобиля. Это изменение осуществляется поворотом передних
колёс вокруг шкворней. Чтобы при движении автомобиля на
повороте колёса его катились без скольжения, траектории
центров всех колёс в любой момент времени должны иметь
общий центр кривизны (фиг. 8I). Для соблюдения этого усло-
условия внутреннее к центру поворота направляющее колесо
должно поворачиваться на больший угол, чем наружное.
Одновременный поворот направляющих колёс на различ-
различные углы осуществляется рулевой трапецией. В трапецию
') Эта схема является упрощённой. Вследствие угловой подат-
линости пневматика в горизонтальней плоскости центр кривизны
не совпадает с линией, соединяющей центры задних колёс.

22
КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. I
(фиг. 9) входят передняя ось 3, рулевые рычаги 8, соеди-
соединённые с цапфами 10, и поперечная тяга 2. Цапфы соединены
с осью шкворнями. Кроме трапеции в рулевое управление
входят рулевое колесо 1 с валом 11 и рулевой колонкой 4,
рулевой механизм 5, заключённый в картер, рулевая сошка 6,
рулевая тяга 7, поворотный рычаг 9. Систему рычагов, со-
состоящую из рулевой сошки 6, рулевой тяги 7, поворотного
Фиг. 8. Схема поворота автомобиля.
рычага 9 и рулевой трапеции, называют рулевым приводом.
Поворот колёс осуществляется следующим образом: при пово-
повороте рулевого колеса в ту или другую сторону вместе с ним
вращается вал 11, приводя в действие рулевой механизм 5,
который поворачивает сошку 6. Нижний конец сошки пере-
перемещается вперёд или назад, поворачивая через рулевую тягу 7
Фиг. 9. Схема рулевого управления.
поворотный рычаг 9 с цапфой 10 и колесом. При повороте
левого колеса через рулевые' рычаги 8 и поперечную тягу 2
поворачивается и правое колесо. При этом вследствие изме-
изменения углов между рулевыми рычагами 8 и поперечной тя-
тягой 2 внутреннее к центру поворота колесо поворачивается
на угол 02, больший, чем угол Hi поворота наружного колеса.

§3]
РУЛЕВОЕ УПРАВЛЕНИЕ
23
Количественное соотношение между углами ftt и 02 иллю-
иллюстрируется графиком (фиг. 10), на котором по оси ординат
отложен угол Ь± поворота внешнего колеса, а по оси абсцисс
угол 02 поворота внутреннего колеса. Углы подсчитаны для
автомобиля ГАЗ-АА, причём кривая / выражает теоретическое
соотношение, а кривая 2 — действительное соотношение меж-
между углами вх и Ь.2, осуществляемое рулевой трапецией1).
35
ЗО
25
2О
75
Ю
А
А
А
А
{/
//
/>
1
/
Фиг. 10. Отклонение действительного угла
поворота колёс от теоретически необходимого.
Рулевая трапеция, изображённая на фиг. 9, применяется на
автомобилях, имеющих неразрезную переднюю ось. При неза-
независимой подвеске управляемых колёс рулевую трапецию
выполняют с несколько изменённым расположением тяг и ры-
рычагов, с тем, чтобы обеспечить одновременный поворот перед-
передних колёс на соответствующие углы при независимом их
J) График заимствован из книги: Чудаков Е. А., Расчёт авто-
автомобиля, Машгиз, 1947.

24
КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. I
качании. Для примера на фиг. 11 изображена схема расчле-
расчлененной рулевой трапеции автомобиля ЗИС-110. Рулевая тяга 4
соединяет рулевую сошку с центральным рулевым рычагом 3,
установленным в середине на передней балке основания кузова.
У
Фиг. 11. Схема рулевой трапеции автомобиля ЗИС-110.
Центральный рычаг 3 соединён поперечными тягами 2 и 5
с рычагами 1 и 6 поворотных цапф, образуя вместе с ними
рулевые трапеции.
Для смягчения толчков, передаваемых от колес на рулевой
механизм, и устранения излишнего дёргания рулевого колеса,
рулевая тяга выполняется со специальными наконечниками.
Устройство таких наконечников изображено на фиг. 12.
Усилие от рулевой сошки 6 к поворотному рычагу 7 и на-
наоборот передаётся через амортизирующие пружины 4, сухари 3
и шаровые пальцы 2. В некоторых конструкциях автомоби-
автомобилей шаровые пальцы соединяются с сошкой и поворотным
рычагом не жёстко, как показано на фиг. 12, а, а через
резиновые втулки (фиг. 12, б). За счёт сжатия пружин и ре-
резиновых втулок управляемые колёса могут повёртываться на
малый угол без поворота рулевого колеса. Шарнирные со-
соединения поперечной тяги 2 (фиг. 9) рулевой трапеции с ру-
рулевыми рычагами 8 (фиг. 9) не имеют амортизирующих
устройств. Они выполняются обычно саморегулирующимися,
обеспечивающими автоматический выбор появляющихся зазо-
зазоров (фиг. 12, в). Поэтому связь левого и правого колёс через
поперечную тягу является достаточно жёсткой, и, как это
следует из графика (фиг. 10), малые повороты колёс вокруг
шкворней являются одинаковыми.
Для колебаний управляемых колёс относительно шкворней
имеет значение обратимость рулевого управления. Рулевое

§3]
РУЛЕВОЕ УПРАВЛЕНИЕ
25
управление называется необратимым, если передача момента
возможна только в одном направлении: от рулевого колеса
к управляемым колёсам. Обратимым рулевым управлением
а)
Фиг. 12. Конструкция наконечников рулевых тяг: а) рулевая тяга
автомобиля ЗИС-150; б) и в) наконечники рулевой тяги автомо-
автомобиля ЗИС-110; г) наконечник поперечной тяги рулевой трапеции.
называется такое, в котором передача усилий возможна и
в обратном направлении, т. е. от колёс к рулевому колесу.
Обратимость рулевого управления зависит от устройства руле-
рулевого механизма. В большинстве автомобилей применяются
рулевые управления на пределе обратимости. При таких

26 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. 1
рулевых управлениях малые колебания управляемых колёс
совершаются за счет упругости поворотного рычага 9 (фиг. 9),
рулевой тяги 7 и сошки 6 (фиг. 9), не вызывая поворотов
рулевого колеса /. При больших амплитудах возникают зна-
значительные усилия, вызывающие повороты рулевого колеса.
Итак, для рассмотрения малых колебаний управляемых
колёс передняя ось с колёсами и рулевым приводом выде-
выделяется в самостоятельную колебательную систему. Эта система
имеет ряд масс упругих элементов и гасящих устройств.
Основными массами являются колеса и ось. К упругим эле-
элементам системы относятся пневматики, рессоры, стержень
угловой жёсткости подвески и рулевой привод. Гашение коле-
колебаний осуществляется амортизаторами и трением в пневмати-
ках, рессорах, шкворневых и всех других шарнирных со-
соединениях рулевого привода. Вопрос об упругих характери-
характеристиках и характеристиках трения рассмотрен в IV главе.
Остановимся на степенях свободы передней оси с управляе-
управляемыми колесами с тем, чтобы в последующем упростить рас-
расчётную схему.
§ 4. Степени свободы колебательной системы
Для удобства рассмотрения введем прямоугольную систему
координат xyz (фиг. 3), оси х и у которой расположены
в горизонтальной плоскости и направлены соответственно
вдоль и поперёк автомобиля, ось z направлена вертикально.
Начало координат фиксировано по отношению к корпусу и
совпадает с центром тяжести передней оси, когда автомобиль
находится в статическом состоянии.
Возможные отклонения передней оси относительно кор-
корпуса автомобиля, определяющиеся направляющими устрой-
устройствами подвески, могут быть охарактеризованы перемещениями
по направлениям трёх координатных осей и поворотами вокруг
этих осей. При этом перемещения управляемых колёс характе-
характеризуются дополнительно углами поворота их относительно
шкворней. Упругие связи оси и колёс с корпусом автомобиля и
полотном дороги позволяют ' трём из вышеуказанных восьми
движений совершаться с амплитудами, значительно большими
по сравнению со всеми остальными. Эти движения — сле-
следующие: 1) движение оси параллельно самой себе в вертикаль-
вертикальной плоскости (по направлению оси z), 2) вращение оси в верти-

§ 4] СТЕПЕНИ СВОБОДЫ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 27
кальной плоскости (вокруг оси х), 3) односторонние враще-
вращения колёс вокруг шкворней, при которых правое и левое
колёса поворачиваются одновременно в одну сторону. Первые
два движения могут совершаться со значительными амплиту-
амплитудами вследствие большой вертикальной податливости рессор,
а третье возможно вследствие наличия упругих элементов
в рулевом приводе.
Движению оси параллельно самой себе в вертикальной
плоскости всегда сопутствует движение по направлению коор-
координатной оси х. Сопутствующее движение является следствием
изменения прогибов рессор и возникает как за счёт изменения
угла наклона линии, соединяющей ушко рессоры с осью,
так и из-за изменения длины этой линии. Так как рессоры
на автомобиле установлены почти горизонтально и их выгну-
выгнутость в нагруженном состоянии обычно невелика, то движение
по направлению координатной оси х мало по сравнению с дви-
движением вдоль оси z.
Перемещение оси относительно корпуса по направлению
координатной оси у определяется боковой податливостью
подвески и при подвеске на двух продольных рессорах прак-
практически может быть принято равным нулю.
Вращение передней оси вокруг координатной оси у вызы-
вызывается поворотом рессор вокруг неподвижных шарниров. Ука-
Указанный поворот возникает при изменении прогиба и при про-
продольных ударах колёс о дорожные препятствия. Это враще-
вращение невелико, но, вообще говоря, изменяет угол наклона
шкворней в продольной плоскости.
Поворот передней оси в горизонтальной плоскости является
следствием вращения её вокруг координатной оси х. При
наличии этого вращения расстояния от точек крепления оси
с рессорами до неподвижных шарниров изменяются неоди-
неодинаково, что и приводит к повороту передней оси в горизон-
горизонтальной плоскости. В некоторых конструкциях автомобилей
у одной из рессор (обычно со стороны рулевой тяги) непо-
неподвижный шарнир заменяется упругим шарниром. За счёт подат-
податливости шарнира этот конец оси вместе с рессорой может
перемещаться в горизонтальной плоскости, вследствие чего
возможность поворота оси в горизонтальной плоскости и
перемещения её вдоль координатной оси х несколько увели-
увеличивается. Однако поворот оси в горизонтальной плоскости
очень мал по сравнению с поворотом вокруг координатной

28 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНОЙ ОСИ [ГЛ. I
оси х и при отсутствии упругого шарнира в креплении
рессоры может быть принят равным нулю.
Повороты колбе вокруг шкворней в противоположные сто-
стороны, т. е. навстречу друг другу, могут совершаться только
за счет упругости поперечной тяги рулевой трапеции, подат-
податливость которой мала по сравнению с податливостью руле-
рулевого привода. Поэтому за счёт упругости рулевого привода
возможны значительные повороты колёс в одну сторону и
малые по сравнению с ними повороты в разные стороны.
Таким образом, из всех составляющих возможного пере-
перемещения передней оси и колбе относительно корпуса преобла-
преобладающими по своим величинам являются односторонний поворот
колёс вокруг шкворней и перемещение передней оси в вер-
вертикальной плоскости, причём последнее состоит из переме-
перемещения вдоль координатной оси z и вращения вокруг коор-
координатной оси х. В дальнейшем будем считать, что положение
оси с управляемыми колёсами относительно корпуса автомо-
автомобиля определяется тремя независимыми координатами: пере-
перемещением z центра тяжести оси по направлению координатной
оси z, углом <J* поворота оси вокруг координатной оси х и
углом 6 поворота колбе вокруг шкворней.

ГЛАВА II
СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ
§ 5. Деформация пневматика
Автомобильное колесо состоит из двух частей: жёсткого
обода с диском и упругого пневматика. При рассмотрении
деформации колеса следует учитывать только деформацию
пневматика и можно, естественно, не учитывать деформации
обода и диска, так как последние малы по ,
сравнению с первой.
Для удобства изучения сложную де-
деформацию пневматика обычно расчленяют
на ряд более простых.
Основной деформацией пневматика
является радиальная (фиг. 13). Она воз-
возникает при действии на колесо силы GK,
нормальной к опорной плоскости, и ха-
характеризуется радиальным обжатием &R
пневматика. В естественных для автомо-
автомобильного пневматика рабочих условиях
радиальная деформация может быть вызвана
без наличия других видов деформаций,
при отсутствии трения между пневматиком
и опорной плоскостью; максимальная ве-
величина eS не зависит от состояния опор-
опорной плоскости. В этом случае поперечное
сечение пневматика как бы сжимается под действием двух
противоположно направленных, сил — нагрузки на колесо GK
и вертикальной реакции опоры Z. Все другие виды дефор-
деформаций возникают только при наличии радиального обжатия
пневматика. Максимальная величина их определяется силами
трения в площадке контакта и, следовательно, зависит как
Фиг. 13. Радиаль-
Радиальная деформация
пневматика.

30
СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ [ГЛ. II
от состояния опорной плоскости, так и от величины ра-
радиальной деформации >).
Поперечная деформация пневматика возникает при сме-
смещении обода колеса относительно площадки контакта в на-
направлении, перпендикулярном к плоскости обода. Такое
смещение показано на фиг. 14. Оно будет
возрастать с увеличением поперечной силы,
а когда эта сила превысит силы сцепления,
начнётся скольжение пневматика по опорной
плоскости. Поперечная деформация охваты-
охватывает значительную часть пневматика.
Как поперечная деформация, так и по-
податливость пневматика в поперечном направ-
направлении характеризуются линейным смещением к.
Если ввести систему реакций опорной пло-
скости на пневматик, отнесённую к центру Ot
контакта, то эта система приводится к нор-
мальной силе Z, поперечной силе Y и мо-
менту относительно оси, перпендикулярной к
. ,, „ плоскости чертежа. Этот момент появляется
Фиг. 14. Попе- к
речная деформа- в результате того, что система нормальных
ция пневматика, сил давления со стороны опорной плоскости
распределяется в поперечном направлении
несимметрично относительно центра контакта. Это, повиди-
мому, всегда имеет место, если только площадка контакта
смещена по отношению к ободу. Однако асимметрия
в распределении удельных давлений по смещённой пло-
площадке контакта пока еще не исследована и в дальнейшем
не будет учитываться.
Мы будем считать, что система элементарных нормальных
сил, действующих со стороны опорной плоскости на пнев-
пневматик, приводится только к нормальной силе Z, приложен-
приложенной к центру контакта.
Перемещение обода колеса в продольном направлении
или поворот его относительно оси вращения колеса вызывает
окружную деформацию пневматика (фиг. 15). Система
реакций опорной плоскости, на пневматик, отнесённая
!) В дальнейшем считается, что нормальная нагрузка на ко-
колесо GK и соответствующее ей радиальное обжатие Д/? пневматика
всегда имеют место, если это даже ие оговорено.

§5]
ДЕФОРМАЦИЯ ПНЕВМАТИКА
31
к центру контакта, сводится к нормальной силе Z, про-
продольной силе X и моменту Мо относительно оси, перпен-
перпендикулярной к плоскости чертежа. Окружная деформация воз-
возникает при качении полностью или частично заторможенного
Фиг. 15. Окружная деформация пневматика.
колеса, при передаче колесом крутящего момента. Подат-
Податливость автомобильных пневматиков в окружном направлении
очень мала. Это объясняется расположением нитей корда
Нити корда.
Камера
осу
Фиг. 16. Устройство пневматика. На правом рисунке
изображена схематически развёртка шины.
в покрышке. Нити корда расположены, как показано на
фиг. 16, под углами а = 40 — 45° к плоскости обода. Вос-
Воспринимая окружную силу, нити работают на растяжение
и тем самым создают пневматику большую жёсткость в

сила взаимодействия Пневматика с дорогой [гл. ч
окружном направлении. Для ведомого колеса окружную
деформацию пневматика обычно не учитывают.
При наклоне обода колеса в поперечном направлении
возникает угловая деформация пневматика в вертикальной
плоскости (фиг. 17).
Эта деформация характеризуется угловым смещением ф
обода колеса. Система реакций опорной плоскости на пнев-
матик, приведённая к центру контакта,сводится к нормаль-
нормальной силе Z, и поперечной силе Y. Мо-
Момент относительно оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости чертежа, здесь также
можно не учитывать.
Если к ободу колеса параллельно
опорной плоскости приложить момент,
то последний повернёт обод относи-
относительно площадки контакта на угол О
(фиг. 18), вызывая угловую деформа-
деформацию пневматика в горизонтальной пло-
плоскости. Система реакций на пневматик
приводится в этом случае к нормальной
силе Z и моменту М, действующему
в плоскости контакта. Угловое смеще-
смещение 6 срединной плоскости обода ко-
колеса по отношению к продольной оси
площадки контакта характеризует угло-
угловую податливость пневматика в гори-
горизонтальной плоскости. Это смещение
возрастает с увеличением нагружаю-
нагружающего момента. При дальнейшем увеличе-
увеличении нагружающего момента в наиболее удалённых от центра
поэорота участках площадки контакта начнётся скольжение
пневматика по опорной поверхности. С увеличением внешнего
момента скольжение будет распространяться ближе к центру
поворота. Нагружающий момент может возрастать до тех пор,
пока не будет вызвано скольжение во всех элементах пло-
площадки контакта. В последнем случае внешний момент будет
равен по величине моменту сил трения скольжения пневма-
пневматика по опорной плоскости.
В общем случае нагружения деформация пневматика ве-
ведомого колеса характеризуется радиальным обжатием Д/?,
поперечным смещением А плоскости обода по отношению
Фиг. 17. Угловая вер-
вертикальная деформация
пневматика.

5]
ДЕФОРМАЦИЯ ПНЕВМАТИКА
33
к центру контакта и угловыми смещениями 6 и ^ плоскости
обода в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Окруж-
Окружная деформация отсутствует.
Реакции опорной плоскости, приведённые к центру Ot
контактной площадки, сводятся к нормальной силе Z, по-
поперечной силе Y и моменту М относительно оси, нормальной
к опорной площадке. При малых смещениях к, Ь и ф пред-
предполагается полное отсутствие скольжения пневматика по
опорной плоскости *).
Опыты показывают, что для малых деформаций пневмати-
пневматика систему реакций, действующих на ведомое колесо, мож-
можно связать с деформациями линей-
линейными зависимостями 2):
Y = ак + с<Ь,
Нормальная реакция Z при изме-
изменениях радиальной нагрузки на ко-
колесо в пределах zt50°/o от номи-
номинальной выражается через радиаль-
радиальное обжатие z по формуле
М
где ZCI — нормальная реакция на
колесо в положении равновесия. Про-
Продольная реакция X в этом случае
равна силе сопротивления движению Фиг. 18. Угловая гори-
(см._§ 14).
Коэффициенты св, а, с, о зависят
от конструкции пневматика и обода колеса, от давления
воздуха в пневматике, от вертикальной нагрузки на коле-
колесо. Методы теоретического определения указанных коэф-
коэффициентов вследствие больших трудностей не разработа-
разработаны и эти коэффициенты определяются из опытов (см.
главу IV).
зонтальная деформация
пневматика.
!) Деформации пневматика, характеризующиеся смещениями X,
8 и 6 обода колеса, считаются малыми по сравнению с радиальной
составляющей Д./?.
2) См., например, Келдыш М. В., Шимми переднего колеса
трёхколёсного шасси, Труды ЦАГИ, № 564, 1945.
3 Зак. 439. К. С. Колесников

34
СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ \гЛ. П
V
§ 6. Качение ведомого колеса под углом к вектору
скорости х)
В отличие от жёсткого колеса качение колеса с упругим
пневматикой под малыми углами к вектору скорости про-
происходит без скольжения. Это имеет важное значение при
оценке устойчивости движения как
управляемых колёс, так и автомобиля
в целом.
Более простым является качение ко-
колеса, плоскость которого перпендику-
перпендикулярна к опорной плоскости и повёрнута
на угол 0 к вектору скорости центра
колеса. Угол 6 в дальнейшем будем
называть углом увода. Для рассмотре-
рассмотрения качения удобно обратить движение
и считать ось колеса неподвижной,
а опорную плоскость перемещающейся
со скоростью v под малым углом Ь
к плоскости обода (фиг. 19). Каждая
точка беговой дорожки пневматика
после вступления в контакт с опорной
, ._ „ плоскостью движется совместно с ней,
Фиг. 19. Качение ведо-
мого колеса под углом удерживаемая от скольжения силами
к вектору скорости. трения. При этом точки по отношению
к ободу всё дальше и дальше отходят
в поперечном направлении. При малых углах 6, когда силы
упругости пневматика меньше сил сцепления пневматика
с опорной поверхностью, качение происходит без скольже-
скольжения, и продольная ось симметрии площадки контакта сов-
совпадает с направлением вектора скорости v. Увод беговой
дорожки пневматика от её естественного по отношению
к ободу положения вызывает большие поперечные деформа-
деформации пневматика в задней зоне площадки контакта по срав-
сравнению с передней. Вследствие этого эпюра внутренних сил
упругости пневматика имеет вид, схематически изображённый
!) Несмотря на наличие большого числа работ, качение колеса
с упругим пневматикой изучено ещё недостаточно. Более по-
подробно см., например, Метел ицын И. И., К вопросу о качении
колеса с эластичной шиной, ДАН, т. LXI, № 3 A948); Чуда-
Чудаков Е. А., Качение автомобильного колеса, Машгиз, 1947.

§ 6] КАЧЕНИЕ КОЛЁСА ПОД УГЛОМ К ВЕКТОРУ СКОРОСТИ
35
на фиг. 20, а. Её можно представить состоящей из двух:
симметричной (фиг. 20, б), являющейся следствием попереч-
поперечного смещения центра" площадки контакта на величину а,
и кососимметричной (фиг. 20, в), которая появилась из-за
того, что площадка контакта повёрнута на угол 6 по отно-
отношению к ободу. Соответственно этому в плоскости контакта
реакции дороги на колесо, отнесённые к центру контакта,
приводятся к поперечной силе Y, нормальной к плоскости
V
М=с>8
Фиг. 20. Эпюра внутренних сил в пневматике при каче-
качении колеса под углом к вектору скорости.
обода, и моменту М относительно оси, перпендикулярной
к опорной плоскости. Этот момент стремится повернуть
колесо так, чтобы угол 0 уменьшился. Как и в статическом
состоянии при качении колеса под малым углом 'J к вектору
скорости поперечная сила Y и момент М определяются ли-
линейными функциями координат л и 0:
Y—ak, М = аЬ.
Поперечная и угловая жёсткости пневматика зависят от
одних и тех же факторов: конструкции пневматика, диа-
диаметра и ширины обода, давления воздуха в пневматике и
нормальной нагрузки на колесо. При качении колеса без
скольжения под углом к вектору скорости координаты 0 и
а не являются независимыми. Каждому значению угла увода 6
соответствует вполне определённая величина поперечного
смещения а. Вследствие этого реакции опорной плоскости

36 Сила взаимодействия пневматика с дорогой (гл. и
можно определять в зависимости только от угла увода,
т. е.
Это обстоятельство значительно облегчает рассмотрение
вопроса об устойчивости движения автомобиля и его управ-
управляемых колёс.
Качение под углом к вектору скорости может осуще-
осуществляться без скольжения только при малых углах 0. Пре-
Предельное значение угла, при котором качение происходит без
скольжения, тем больше, чем больше поперечная и угловая
податливости пневматика и выше коэффициент сцепления
пневматика с дорогой.
Если качение колеса под углом к вектору скорости про-
происходит при наличии скольжения, которое всегда начинается
в задней части площадки контакта, момент М и поперечная
сила Y не могут быть определены вне зависимости от ха-
характера и состояния опорной плоскости. Очевидно, что чем
меньше коэффициент поперечного сцепления пневматика
с опорной плоскостью, тем, при прочих равных условиях,
скольжение пневматика начнётся при меньших углах.
Рассмотрим качение колеса, когда его ось перпендику-
перпендикулярна к вектору скорости, а плоскость обода наклонена на
угол ty к дороге (фиг. 21) 1). Представим себе, что колесо
катится по прямой, перпендикулярной к плоскости чертежа.
Разобьём колесо на отдельные тонкие диски, параллель-
параллельные его средней плоскости. Как видно из рисунка, внутрен-
внутренняя кромка колеса имеет большее радиальное обжатие по
сравнению с внешней, в связи с чем её радиус R2 меньше
радиуса Rt наружной кромки. При качении колеса по прямо-
прямолинейному пути его кромка, имеющая больший радиус, отно-
относительно оси колеса стремится вращаться с большей линей-
линейной скоростью, чем внутренняя кромка. Вместе с тем как
внутренняя, так и наружная кромки относительно оси колеса
вращаются с одной и той же угловой скоростью и, находясь
в контакте с дорогой, при качении без скольжения должны
1) Описание этого явления приведено в статьях: Е ч е и-
стов Ю. А., Исследование увода мотоциклетных шин, Вопросы
машиноведения (сборник статей), Издание АН СССР, 1950; Ч у-
д а к о в Е. А., Качение автомобильного колеса при наклонном рас-
расположении его средней плоскости, ДАН, т. ХС, № 3, 1953.

§ 6] К.АЧЕНИЕ КОЛЕСА ПОД УГЛОМ К ВЕКТОРУ СКОРОСТИ
37
иметь одинаковые относительные линейные скорости. Это
достигается тем, что в наружной кромке возникает окружная
деформация, стремящаяся уменьшить длину окружности
кромки, а во внутренней кромке — стремящаяся увеличить
длину её окружности.
При значительной раз-
разнице в радиусах #х и R2,
что зависит от угла ^ и
формы поперечного сечения
пневматика, длины окруж-
окружностей внешней и внутрен-
внутренней кромок колеса уже не
могут сравняться за счёт
только окружной деформа-
деформации пневматика. Возникает
проскальзывание кромок
пневматика по опорной по-
поверхности, причём внутрен-
няя и наружная кромки про-
проскальзывают в противопо-
противоположных направлениях.
Следовательно, при ка-
качении колеса в случае на-
наклонного расположения пло-
плоскости его обода в площадке
контакта на пневматик со
стороны дороги будут дей-
действовать продольные силы
Фиг. 21. Схема качения колеса
при наклонном расположении пло-
плоскости обода.
реакции Pt и Р.2. Эти силы
у левых и правых кромок
отпечатка будут противо-
противоположны по направлению и
создадут некоторый момент Ми стремящийся повернуть колесо
вокруг вертикальной оси по часовой стрелке.
Полагая, что тангенциальные деформации пневматика
пропорциональны разнице между радиусами отдельных ди-
дисков и средним радиусом, а действующие продольные уси-
усилия пропорциональны тангенциальным деформациям, можно
написать следующее выражение для момента Мх:

38 СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ [ГЛ. II
где п — коэффициент пропорциональности. Так как для ма-
малых углов <Ь наклона колеса Rt — R.2 = <bd (фиг. 21), то
Поскольку колесо удерживается от бокового перемеще-
перемещения и принуждено двигаться по прямолинейному пути, между
пневматикой и опорной плоскостью возникает поперечная
сила Yv аналогичная реакции, которая возникает при каче-
качении колеса под углом 0 к вектору скорости. Для малых
углов 6 её также можно считать пропорциональной углу,
т. е. Y\ = K$.
Коэффициенты К, Kv з, ot жёсткостей пневматика опре-
определяются из опытов (см. гл. IV, § 15).
§ 7. Качение ведомого колеса с переменным радиусом
При качении автомобильного колеса расстояние от его
оси вращения до опорной плоскости не остаётся постоянным,
ввиду чего представляется интересным рассмотреть дополни-
дополнительные силы, действующие при этом на подвеску автомо-
автомобиля. Эти силы имеют существенное значение и для авто-
автоколебаний управляемых колёс.
Переменный радиус катящегося колеса обусловливается
рядом технологических и динамических причин. К числу
первых относятся переменный свободный радиус (при неза-
незагруженном колесе) и неодинаковая радиальная жёсткость
в различных участках окружности пневматика. Динамические
причины сводятся к изменению радиального обжатия пнев-
пневматика вследствие изменения вертикальной нагрузки на ко-
колесо. Это имеет место главным образом при колебаниях
корпуса и его осей.
Рассмотрим плоскопараллельное движение ведомого колеса
и определим в зависимости от заданного закона изменения
радиуса продольную силу, действующую в площадке кон-
контакта пневматика с дорогой. Чтобы исключить из рассмо-
рассмотрения движение оси колеса, удобно обратить движение
и считать ось колеса неподвижной, а опорную плоскость
движущейся со скоростью v в горизонтальном и по закону
z = z(t) в вертикальном направлениях (фиг. 22). Радиус вра-
вращающегося колеса в этом случае является функцией времени

§71
КАЧЕНИЕ КОЛЕСА С ПЕРЕМЕННЫМ РАДИУСОМ
39
где через R = const, обозначен радиус колеса при радиальном
обжатии пневматика, соответствующем статической нагрузке
на колесо.
Применяя к вращающемуся колесу теорему о моменте
количеств движения, запишем:
я
A с\\ VD A 1 \
—г, \1цЫ) —- А/\г, yl . i)
где ts — полярный момент инерции колеса (считается посто-
постоянным); 2 — угловая скорость вращения колеса; X—про-
X—продольная сила реакции опорной плоскости на колесо, причём
Фиг. 22. Схема качения ведомого колеса
с переменным радиусом.
она считается положительной, если направлена против вра-
вращения колеса.
Будем считать пневматик жёстким в окружном напра-
направлении. Сделав предположение о том, что в площадке кон-
контакта отсутствует скольжение, получим:
Подставляя это выражение в уравнение G.1) и разрешая
последнее относительно искомого X, будем иметь J);
¦vz-\-vz
G.2)
Точки обозначают производные по времени.

40 СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ [ГЛ. II
С точностью до бесконечно малых первого порядка при
v = const, будем иметь:
X=l«QR(RZ+2zy
При движении автомобиля обычно z переменно по знаку и
|z|<C#- Тогда
X-^Qz. G.3)
Иными словами, при движении оси колеей с постоянной
линейной скоростью (v — const.) и переменным радиусом
сила, действующая со стороны дороги на колесо, пропор-
пропорциональна полярному моменту инерции колеса, угловой ско-
скорости его вращения, скорости изменения радиуса и обратно
пропорциональна квадрату радиуса колеса.
Направление действия силы X определяется знаком z.
Когда радиус увеличивается, z > 0 и Аг>0, т. е. направле-
направление силы реакции на пневматик совпадает с изображённым
на чертеже. Если z<0, то направление силы X будет об-
обратным. Физически это означает, что при постоянном поляр-
полярном моменте инерции колеса и постоянной скорости v кон-
контактной площадки уменьшение радиуса сопровождается
увеличением угловой скорости вращения колеса и, следова-
следовательно, увеличением кинетической энергии /к2'2/2 вращения.
Это увеличение возможно только п том случае, если на
раскручивание колеса будет затрачена работа, т. е. момент
внешних приложенных к колесу сил совпадёт с направлением
вращения. Увеличение радиуса колеса при тех же условиях
вызывает уменьшение угловой скорости 2, что может иметь
место, когда момент внешних сил направлен против враще-
вращения колеса.
Изменение радиусов колёс у прямолинейно движущегося
автомобиля происходит как от наездов на препятствия, так
и от вертикальных колебаний корпуса и осей. При переме-
перемещениях корпуса и осей вниз радиусы колёс уменьшаются,
вследствие чего продольные силы реакции X будут иметь
направление, совпадающее с направлением вращения колёс
и противоположное направлению движения автомобиля. Это
приведет к уменьшению скорости поступательного движения.
При перемещениях корпуса и осей вверх направление сил

§- 71 • КАЧЕНИЕ КОЛЕСА С ПЕРЕМЕННЫМ РАДИУСОМ 41
реакции X будет противоположным. Силы X, меняя свою
величину и направление в такт с колебаниями осей, будут
являться возмущающими для крутильных колебаний транс-
трансмиссии автомобиля.
Аналогичный вывод можно сделать и из рассмотрения
запаса кинетической энергии движущегося автомобиля, как
изолированной системы. Эта энергия состоит из энергии
поступательного движения автомобиля и энергии вращатель-
вращательного движения колёс, маховика двигателя и других деталей.
На основании закона сохранения энергии можно установить,
что увеличение угловой скорости колёс приводит к уменьше-
уменьшению скорости поступательного движения и наоборот.
Когда задан закон изменения радиуса Rz(t), количествен-
количественная оценка возникающих продольных сил не вызывает за-
затруднений и производится по выражению G.3). Эти силы
могут быть весьма существенными. Так, например, для авто-
автомобиля «Победа», имеющего полярный момент инерции колеса
совместно с тормозным барабаном /к = 0,141 кгмсек2,
/? = 0,342 м, при z = zosinQtn V — 80 км/час, продольная
сила реакции, действующая на одно колесо, равна
Я"=5100.г0 cos Qt кг.
Если предположить, что амплитуда переменной составляющей
радиуса равна z0 = 3 мм, то ^fmax = 15,3 кг. Для сравнения
заметим, что максимальное тяговое усилие, подводимое к ве-
ведущим колёсам, при V = 80 км/час равняется примерно 160 л"г.
Обратим внимание на особенности, которые возникают
при изменении радиусов управляемых колёс автомобиля. При
одинаковом изменении радиусов у левого и правого колёс
силы реакций X, кроме общего воздействия на движение
автомобиля, нагружают поворотные рычаги и поперечную
тягу рулевой трапеции то в одном, то в другом направлениях.
Однако если радиус одного из колёс увеличивается, а дру-
другого уменьшается, что имеет место при поперечных угловых
колебаниях корпуса и оси, направления сил реакций X у ле-
левого и правого колёс будут противоположными. Эти силы
в плоскости дороги будут создавать момент, стремящийся
повернуть автомобиль. В управляемой оси такие силы, кроме
того, вызывают согласованный поворот колёс вокруг шквор-
шкворней (фиг. 23), вследствие чего скорость центра колеса ста-
становится переменной.

42
СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ [ГЛ. II
Отвлекаясь от рассмотрения гироскопических моментов,
поперечных сил и моментов, действующих в площадках кон-
контакта, определим продольные силы реакции X с учётом
переменной скорости центра колеса.
Фиг. 23. Схема качения управляемых колёс с переменным
радиусом.
Обозначив через 0 угол поворота колеса по отношению
к вектору скорости V передней оси, получим скорость дви-
движения центров левого и правого колёс v = Vdt /0, где / —
расстояние от центра колеса до оси шкворня. Выражение
G.2) при принятом отсчёте углов 0 и при V= const, при-
примет вид
„_, zflRb + l2b±V2±lbz
причём верхний знак соответствует левому, а нижний — пра-
правому колесу.

§ 7] КАЧЕНИЕ КОЛЕСА С ПЕРЕМЕННЫМ РАДИУСОМ 43
Определим продольные силы реакций А'для случая, когда
при движении автомобиля радиусы управляемых колёс изме-
изменяются от того, что ось в вертикальной плоскости повёрты-
повёртывается вокруг своего центра тяжести на угол $, как это
показано на фиг. 23. От поворота оси на угол $ радиус
левого колеса увеличивается, а правого уменьшается на одну
и ту же величину z = Bfy/2. Продольные силы реакций для
правого и левого колёс будут одинаковыми по величине, но
противоположными по направлению и с точностью до бес-
бесконечно малых первого порядка определяются из выражения
Силы X дают моменты относительно шкворней одного знака.
Суммарный момент равен
Мt = 2X1 = - ^ 0 + ^ iRQ'y G.5)
Здесь под /к следует понимать сумму полярных моментов
инерции правого и левого колёс.
Правая часть выражения G.5) состоит из двух различных
по своему происхождению членов. Чтобы дать физическое
объяснение первому члену, предположим, что при качении
радиус колеса остаётся постоянным, а линейная скорость
его центра изменяется по закону г; = V —|— /0. В этом случае
колесо вынуждается катиться с угловым ускорением 14/R,
что возможно только в случае, если со стороны дороги на
колесо будет действовать сила X, которая равна моменту
сил инерции, делённому на радиус, т. е. X — iKl")IR2. Момент
этой силы относительно оси шкворня и выражен первым
членом уравнения G.5). Иными словами, первый член в пра-
правой части выражения G.5) является следствием только гори-
горизонтальных движений колёс и совсем не зависит от изменения
радиуса. Коэффициент inPIRi1 является как бы приращением
момента инерции колёс относительно оси шкворня при изме-
изменении угла 0.
В/
Второй член ^d2«kQ'1', наоборот, является следствием из-
изменения только радиусов катящихся колёс. Он имеет струк-
структуру гироскопического момента и действует с ним в фазе. За-
Заметим, что если гироскопический момент IbQ''j, действующий

44 СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМАТИКА С ДОРОГОЙ [ГЛ. 11
также в горизонтальной плоскости, возникает от вертикаль-
вертикальных угловых движений вращающегося колеса, то момент
1&\ (®г является только следствием изменения ра-
радиуса катящегося колеса и пропорционален скорости изме-
изменения этого радиуса.
Таким образом, при качении управляемых колёс с пере-
переменным радиусом возникающие в площахках контакта про-
продольные силы реакций на колёса создают относительно осей
шкворней момент, вызывающий поворот колёс. Другими сло-
словами, согласованные вертикальные колебания левого и правого
колёс стремятся вызвать колебания колёс вокруг шкворней.
Это имеет существенное значение для понимания механизма
автоколебаний управляемых колёс автомобиля.

ГЛАВА III
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ С УПРАВЛЯЕМЫМИ
КОЛЁСАМИ — АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
§ 8. Особенности автоколебаний1)
Автомобильная ось с управляемыми колёсами является
довольно сложной колебательной системой. При некоторых
условиях в ней возникают автоколебания. Автоколебаниями
называются незатухающие колебания, которые совершаются
в системах за. счёт источников энергии, не обладающих
колебательными свойствами. Автоколебания отличаются от
других видов колебаний, и их особенности лучше всего рас-
рассмотреть на конкретных примерах.
Простейшей автоколебательной системой является маятник
(фиг. 24) с падающей характеристикой трения (фиг. 25).
Вал вращается с постоянной угловой скоростью Q, а маятник
может качаться в плоскости, перпендикулярной к оси вала.
Предположим, что зависимость момента сил трения / между
втулкой маятника и валом от скорости скольжения ш = Q — 4
имеет вид, представленный на фиг. 25. При малой скорости
скольжения момент трения почти постоянный, при возрастании
скорости скольжения он убывает, а затем начинает возрастать.
Для простоты будем считать, что в некотором диапазоне
скоростей скольжения <at < 2 < о>2 зависимость между / и о
является линейной, т. е.
/ = /(Q) —«4,
где п = -J-.
') Андронов А. А. и Хайкин С. Э., Теория колебаний,
ч. I, ОНТИ, 1937; Стрелков С. П., Введение в теорию колеба-
колебаний, Гостехиздат, 1951; Теодорчик К. Ф., Автоколебательные
системы, Гостехиздат, 1952; X а р к е в и ч А. А., Автоколебания,
Гостехиздат, 1953.

46
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. lit
Уравнение малых колебаний маятника вокруг оси враще-
вращения вала в этом случае можно записать так:
$ + hi, + mgaty = f(Q) — nit, (8.1)
где / — момент инерции маятника, ф — угол отклонения маят-
маятника от вертикали, Щ — момент сил сопротивления воздуха
в предположении, что этот момент про-
пропорционален первой степени скорости,
Фиг. 24. Маятник на
вращающемся валу.
Фиг. 25. Характеристика трения
маятника.
т — масса маятника, а — расстояние от центра тяжести
маятника до оси вращения.
Введём новую переменную ср, отличающуюся от ty на по-
постоянную величину:
ср = <Ь —
mga '
тогда уравнение (Ь.1) примет вид
/ср4-(А + я)ср + от^а<р = О,
или
где е = -
(8.2)
2/
/* = ^.
Уравнение (8.2) есть уравнение затухающих колебаний и
его общее решение имеет вид
с» = De~lt cos (pyt -\- a),

§ 8) • ОСОБЕННОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ 4?
где Da a. — постоянные, зависящие от начальных условий,
что
а Л
В нашем примере затухающие колебания будут только
в случае пологой характеристики трения, когда — < А.
Если же крутизна характеристики момента сил трения такова,
- > А, то коэффициент затухания е < 0 и колебания
маятника от любого небольшого толчка будут нарастающими.
В этом также можно убедиться и без математического реше-
решения. В то время когда вал и маятник вращаются в одном
направлении, скорость скольжения о < 2, а момент трения
ft >/B). Этот момент помогает колебаниям маятника. За
следующий полупериод, когда направления вращений вала
и маятника противоположны (о> > 2), момент трения тормо-
тормозит колебания. Но в этом случае /2</B) и, тем более,
/2</i- Работа момента трения в первом случае больше,
чем во втором. Если разность этих работ, т. е. энергия,
передаваемая валом маятнику, больше работы сил сопроти-
сопротивления воздуха, то энергия колебаний маятника возрастает,
т. е. амплитуда колебаний маятника увеличивается. Если же
энергия, передаваемая валом маятнику, меньше энергии рас-
рассеяния, то колебания маятника будут затухающими.
На прямолинейном участке характеристики соотношение
между коэффициентами Аил остаётся постоянным и, сле-
следовательно, при | п | > h амплитуды колебаний с течением
времени будут нарастать. За пределами прямолинейного
участка п становится переменным и в нашем случае (фиг. 25)
уменьшающимся по модулю. Это равносильно уменьшению
интенсивности перехода энергии от вала к маятнику. Ампли-
Амплитуда колебаний будет увеличиваться лишь до тех пор, пока
не наступит баланс энергии, т. е. приток энергии будет
равен её расходу. Дальнейшие колебания маятника будут
установившимися, с постоянной амплитудой <ji0. Такие коле-
колебания и называются автоколебаниями.
Автоколебательные системы являются обязательно нели-
нелинейными. Уравнение (8.2) справедливо только для линейного
участка характеристики, оно в состоянии описать правильно
только начальную стадию колебаний. При увеличении ампли-
амплитуд за пределы линейного участка нелинейность начинает
играть принципиальную роль. Определение амплитуд и частот

48 АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
установившихся колебаний возможно только с помощью не-
нелинейной теории колебаний. Однако линейные уравнения
вполне правильно указывают условия, при которых колебания
становятся нарастающими. Эти условия называются условиями
самовозбуждения колебаний. Для маятника условие самовоз-
самовозбуждения г < 0 или | п | > А.
В большинстве автоколебательных систем довольно чётко
можно выделить 1) источник энергии, 2) основную колеба-
колебательную систему и 3) «обратную связь», управляющую по-
поступлением энергии от источника в колебательную систему.
В процессе колебаний все эти части взаимодействуют
между собой, вследствие чгго и поддерживаются устойчивые
незатухающие колебания с постоянной амплитудой. Колеба-
Колебательная система без источника энергии и обратной связи
способна совершать только затухающие колебания. В авто-
автоколебательной системе обратная связь связывает колебатель-
колебательную систему с источником энергии и за каждый период
колебаний направляет определённое количество энергии от
источника в колебательную систему. Обратная связь начинает
«работать», т. е. направлять энергию от источника в колеба-
колебательную систему только при наличии колебаний в основной си-
системе и во многих случаях является составной частью её
устройства.
В примере с маятником источником энергии является вра-
вращающийся с постоянной угловой скоростью вал, колебатель-
колебательной системой является маятник, а обратной связью — момент
трения между втулкой маятника и валом.
Приведём ещё пример автоколебательной системы, в ко-
которой так же чётко можно различить её составные части.
На фиг. 26 изображена в упрощённом виде принципиаль-
принципиальная схема часов. Маятник 3 представляет основную колеба-
колебательную систему; гиревой заводной механизм является источ-
источником энергии, передающим постоянный вращающий момент
на ходовое колесо /; спусковой механизм (анкерная скоба) 2
осуществляет обратную связь, маятника с заводным механиз-
механизмом. Эта связь заключается в следующем: при определённых
положениях маятника приходит в действие спусковой меха-
механизм и за счёт энергии заводного механизма сообщает маят-
маятнику некоторый импульс. Длительность этого импульса в раз-
различных часах бывает различна. Действует спусковой меха-
механизм обычно два раза за период и сообщает импульсы вблизи

ОСОБЕННОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ
49
положения равновесия маятника, т. е. когда скорость маят-
маятника является максимальной *). Как момент сообщения импульса,
так и характер этого импульса зависят от положений и ско-
скоростей отдельных частей системы. Они не зависят явно
от времени.
От предыдущих примеров часы отличаются тем, что для
возбуждения колебаний маятнику необходимо сообщить на-
начальный толчок не меньше определённой величины. Положе-
Положение статического равновесия маятника устойчиво. Источник
Фиг. 26. Схема часов.
энергии своим действием не может возбудить колебания
маятника. Чтобы часы начали ходить, надо дать возможность
спусковому механизму передавать импульсы от источника
энергии к маятнику. Если начальный толчок слишком мал,
то периодический процесс вообще не установится, колебания
затухнут. Эта область начальных значений, из которых система
стремится к состоянию равновесия, а не к состоянию пе-
периодического движения, в разных часах может быть раз-
различной и зависит от устройства часов. Как правило, она
существует во всех часах. Амплитуда установившихся коле-
колебаний маятника не зависит от величины начального импульса.
1) Подробнее см. Дроздов Ф. В., Детали приборов, Оборон-
гиз, 1948; Аксельрод 3. М., Часовые механизмы, Машгиз, 1947.

50 АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
Автоколебания наиболее распространены в электрических
системах. Однако они часто встречаются и во многих дина-
динамических системах. К их числу принадлежат двигатели внут-
внутреннего сгорания, паровые машины, смычковые и духовые
инструменты и т. д. Но не во всякой автоколебательной
системе можно так же чётко выделить её характерные части,
как в рассмотренных примерах. Ещё труднее это сде-
сделать у систем, имеющих не одну, а несколько степеней сво-
свободы.
Обратимся к понятию устойчивости колебательного дви-
движения. Для сравнения напомним понятие устойчивости равно-
равновесия системы. Равновесие системы называется устойчивым,
если система, получив малые отклонения и будучи предостав-
предоставлена самой себе, возвращается в своё исходное положение.
Равновесие системы называется неустойчивым, если система,
получив малые отклонения, не возвращается в исходное по-
положение. По аналогии с устойчивостью равновесия можно
ввести понятие устойчивости движения системы, в частности
колебательного движения. Движение системы называется
устойчивым, если оно, получив малые возмущения, с течением
времени возвращается к своему исходному режиму. Наобо-
Наоборот, движение будет неустойчивым, если после малых воз-
возмущений оно с течением времени всё более отходит от ис-
исходного режима.
Выясним теперь с помощью энергетических соотношений,
устойчиво ли движение рассматривавшегося нами маятника
(фиг. 24). Пусть его энергия в зависимости от амплитуды
колебаний представлена графиком на фиг. 27, а. Здесь
через ( + )? обозначена энергия, получаемая за период ко-
колебательной системой от источника, и через (— )Е — энер-
энергия, теряемая колебательной системой. Положение статиче-
статического равновесия маятника является неустойчивым. При сколь
угодно малом отклонении маятника от вертикального положе-
положения маятник будет терять энергии меньше, чем получать её
от источника. Амплитуда колебаний будет возрастать до вели-
величины 4*0. определяемой балансом энергии. Колебательный режим
маятника с амплитудой ^о устойчив, так как при уменьше-
уменьшении амплитуды колебаний приток энергии больше рассеяния,
что приводит к увеличению амплитуды, а при увеличении
амплитуды приток энергии будет меньше рассеяния и
поэтому амплитуда колебаний станет уменьшаться. Получив

§8]
ОСОБЕННОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ
возмущения, маятник с течением времени возвращается
к своему исходному режиму колебаний с амплитудой <ji0.
Система, график энергии которой представлен на фиг. 27,6,
обладает другими свойствами. Положение её статического
0
Фиг. 27. Изменение энергии колебательной
системы.
равновесия устойчиво, так как при малых отклонениях она
теряет энергии больше, чем получает её. Чтобы возбудить
систему, здесь недостаточно малого отклонения. Отклонение
должно быть более величины ^,. Система, получив возмуще-
возмущение, большее Ьл, начнёт раскачиваться и её амплитуда коле-
колебаний достигнет величины %. Колебательный режим, соот-
соответствующий амплитуде <\, является неустойчивым, а режимы
с амплитудами 0 и '}0 являются устойчивыми, если возмуще-
возмущения будут малыми.
Здесь уместно сделать замечание об устойчивости «в боль-
большом» и об устойчивости «в малом». Приведённые выше
понятия об устойчивости движения относятся к устойчивости

52 ¦ АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. Ш
движения «б малом». Движение системы неустойчиво «б боль-
большом», если после возмущений, больших наперёд заданной
величины, оно отходит от исходного режима. Движение только
что рассмотренной системы (фиг. 27, б) с амплитудами О
и tyc оказывается устойчивым «в малом», но неустойчивым
«в большом». Если, например, система совершает колебания
с амплитудой % и возмущения будут таковы, что амплитуда
уменьшается до ty < <Sft, то движение не вернётся к своему
исходному режиму (%), а перейдёт к новому с амплиту-
амплитудой ф = 0.
Автоколебательные системы способны к самовозбуждению
колебаний. Это надо понимать в том смысле, что системы,
неустойчивые «в малом», от любых случайных толчков, ко-
которые в действительности всегда имеют место, раскачиваются
и в дальнейшем совершают незатухающие колебания с по-
постоянной амплитудой. Системы, устойчивые «в малом», но
неустойчивые «в большом», для возбуждения незатухающих
колебаний требуют внешнего возмущения, большего наперёд
заданной величины.
Частота автоколебаний не зависит от величины начального
возмущения и определяется только параметрами системы.
В том случае, если амплитуда колебаний определяется устрой-
устройством системы и остаётся всегда постоянной, например
амплитуда колебаний поршней у двигателей внутреннего сго-
сгорания, то частота колебаний определяется соотношением энер-
энергии, поступающей в систему, и энергии рассеяния.
Начальная фаза автоколебаний произвольна. Это значит,
что пустить в ход часы или возбудить колебания маятника
на вращающемся валу можно в любой момент времени. В си-
системе с двумя и более степенями свободы момент возбужде-
возбуждения колебаний может быть произвольным, но соотношение
фаз внутри колебательной системы будет вполне определён-
определённым, зависящим от устройства системы.
Автоколебания не всегда являются желательными. В лам-
ламповом генераторе радиоволн, часах, духовых и смычковых
инструментах, двигателях внутреннего сгорания и т. д. авто-
автоколебательный режим является основным рабочим процес-
процессом. По отношению к таким системам главная задача состоит
в том, чтобы совершенствовать автоколебательный процесс.
Но, кроме перечисленных, существует много систем, в ко-
которых рабочим процессом является не автоколебательный,

§ 9] * ВИЛЯНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 53
но в которых при некоторых условиях могут возникать авто-
автоколебания. Такими системами являются все ламповые уси-
усилители, следящие системы, различные регуляторы. Возникаю-
Возникающие автоколебания в одних системах оказываются полезными,
в других вредными. Системы, в которых основной рабочий
процесс является не автоколебательным, но в которых при
некоторых условиях автоколебания могут возникать, получили
название потенциально-автоколебательных систем. К таким
системам относится и автомобильная ось с управляемыми
колёсами.
§ 9. Виляние управляемых колёс
В практике эксплоатации автомобилей управляемые колёса
совершают разнообразные колебания. К их числу относятся
виляния и дёргания, которые не имеют отношения к автоко-
автоколебаниям управляемых колёс, хотя по своему внешнему виду
и воздействию на подвеску они близко подходят к ним. При-
Причинами виляния и дёргания являются воздействия неровностей
дороги, несовершенство геометрии рулевого привода, неудов-
неудовлетворительное техническое состояние рулевого управления,
технологические дефекты производства. Мы останавливаем
на этом внимание читателя с целью отметить, что автоколе-
автоколебания совершаются независимо от причин, вызывающих виля-
виляние и дёргание колес.
Одной из причин дёргания колёс вокруг шкворней, прояв-
проявляющегося при движении автомобиля по крупным неровно-
неровностям, является несовершенная геометрия рулевого привода.
На фиг. 28 изображена схема качания оси и рулевой тяги авто-
автомобиля ЗИС-150. Две продольные полуэллиптические рессоры,
соединённые с осью, имеют неподвижные оси А спереди и ка-
качающиеся Е сзади. Рулевая тяга D передним концом шар-
нирно соединена с поворотным рычагом колеса, а зад-
задним— с рулевой сошкой (шарнир В). При прогибах рессор
передняя ось перемещается по дуге окружности аОс, опи-
описанной из неподвижного центра А, а передний конец руле-
рулевой тяги D перемещается при этом по дуге окружности ЬОй,
описанной из центра В. Вследствие этого во время движения
автомобиля по дороге с неровным покрытием при вертикаль-
вертикальных перемещениях колёс относительно рамы рулевая тяга
как бы дёргает колёса, вызывая их поворот вокруг шквор-
шкворней. У необратимого рулевого управления шарнир В остаётся

54
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
.неподвижным, и повороты управляемых колёс не передаются
на рулевое колесо. Если рулевое управление является обра-
обратимым, то дёргание колёс передаётся на рулевое колесо и
водитель автомобиля его ощущает руками. В первом случае
связь между вертикальными перемещениями оси и поворо-
поворотами колёс вокруг шкворней будет более жесткой, чем во
втором.
Более удачной следует считать схему взаимного располо-
расположения центров качания, изображённую на фиг. 29. Такая
схема применяется в большинстве современных автомобилей.
Фиг. 28. Схема качания передней оси и рулевой тяги
автомобиля ЗИС-150.
Здесь расхождение траекторий перемещения передней оси
и переднего конца рулевой тяги является значительно меньшим.
Наилучшей следует считать схему, в которой центры кача-
качаний А к В совпадают.
Поворот управляемых колёс вокруг шкворней при движе-
движении автомобиля по неровностям имеет и другую причину.
На.фиг. 29 изображён момент наезда колеса на дорожную
неровность. Горизонтальная составляющая X силы реакции,
действующей со стороны неровности на колесо, создаёт мо-
момент относительно оси шкворня, вызывающий поворот колёс.
В действительности дёргание колёс происходит как от не-
несовершенства геометрии рулевого привода, так и от возни-
возникающих моментов X/. При закономерном чередовании неров-
неровностей будут совершаться вынужденные колебания управ-
управляемых колёс, похожие по внешнему виду на автоколебания.

§9]
ВИЛЯНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЕС
55
У автомобилей, движущихся с небольшой скоростью
по шоссе с ровным покрытием, можно иногда наблюдать
виляния колбе из стороны в сторону, совершающиеся обычно
довольно плавно, с небольшими амплитудами. Возникают они
при наличии чрезмерных зазоров в подшипниках колёс, в со-
сочленениях рулевого управления, вследствие чего колёса имеют
Фиг. 29. Наезд управляемого колеса на дорожную неровность.
некоторую свободу в выборе направления движения. По своему
характеру такие виляния можно сравнить с колебаниями тела
между двумя пружинами при наличии зазоров в положении
равновесия. Они то пропадают, то вновь возникают от самых
незначительных толчков, и почти не ощущаются водителем.
При движении с большой скоростью колёса катятся более
устойчиво даже при наличии зазоров.
При движении автомобиля по шоссе с ровным покрытием
управляемые колёса могут совершать вынужденные: колебания

56
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
от сил, возникающих при наличии дисбаланса колёс*). Эти
колебания происходят как в горизонтальной, так и в вер-
вертикальной плоскостях и являются вполне закономерными.
Если число оборотов колеса будет совпадать с собственной
частотой системы, то возникнет резонанс и амплитуды коле-
колебаний возрастут до больших величин.
Причиной колебания колёс могут быть и свойства пне-
пневматика. Вследствие производственных причин радиальная
жёсткость пневматика в различных точках окружности бывает
27700
2В9ОО
Z67OO
?6500
?6300
26100
259OO
1
/
/
/
/
/
\
\
\
- -
'—.
/
/
/
\
\
\
\
\
60
720 780 240 300 360
Фиг. 30. Значение радиальной жёсткости в различных
точках окружности пневматика 7,50—17".
обычно неодинакэзой. Наглядным примером этого может слу-
служить график измгнени! радиальной жёсткости пневматика
размером 7,50—17", построгнный на основании опытных
данных (фиг. 30). По оси ординат на этом графике отло-
отложены значения радиальной жёсткости, а по оси абсцисс—длина
окружности пневматика в градусах центрального угла. Если
пневматики автомобиля имеют по окружности неодинаковую
радиальную жёсткость, то во время движения их радиальное
обжатие является переменным. Ось автомобиля начнёт совер-
совершать колебания в вертикальной плоскости. Когда скорость
движения автомобиля будет такой, что период изменения
радиальной жёсткости пневматиков в два раза меньше пе-
периода собственных колебаний системы, то наступит парамет-
!) Дисбаланс может быть даже у хорошо отбалансированного
Koieca, если оно при монтаже плохо центрировано иа ступице.

§ 10] АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 57
рический резонанс. Однако в виду наличия трения в системе
амплитуды колебаний остаются обычно небольшими.
Приведённые причины являются важнейшими, но не исчер-
исчерпывающими. Все они вызывают колебания управляемых колёс,
затрудняющие управление автомобилем. Методы устранения
или уменьшения подобных колебаний в каждом конкретном
случае вполне очевидны.
Автоколебания управляемых колёс принципиально отли-
отличаются от таких колебаний. Они обычно происходят при
движении автомобиля по дороге с совершенно ровным покры-
покрытием, при отсутствии всех выше указанных причин.
§10. Автоколебания управляемых колёс
Представим, что автомобиль движется равномерно и пря-
прямолинейно по дороге с ровным покрытием. Корпус автомо-
автомобиля не совершает никаких колебаний, так что его продоль-
продольная ось остаётся неизменной в пространстве, а поперечная
и вертикальная перемещаются равномерно и параллельно
самим себе. В просвете между корпусом и полотном дороги,
который сохраняется неизменным, движется ось с управляемы-
управляемыми колёсами. Как самостоятельная колебательная система, она
может совершать колебания между корпусом автомобиля и по-
полотном дороги. Такая система схематически представлена на
фиг. 31. Она состоит из оси, колбе с упругими пневматиками,
рессор или пружин, передающих вес корпуса автомобиля на
ось, рулевого управления и гасящих устройств. Упругие эле-
элементы рулевого управления заменены на схеме пружиной.
Рассматриваемая колебательная система имеет три основ-
основные степени свободы; её положение по отношению к кор-
корпусу автомобиля определяется тремя независимыми коорди-
координатами: z — перемещением центра тяжести оси по направле-
направлению координатной оси z, ty — углом поворота оси вокруг
координатной оси х и Н — углом поворота колёс вокруг
шкворней. В дальнейшем будет показано (см. гл. V, § 22),
что вертикальные колебания оси с координатой z не зависят
от координат |}иИи являются всегда затухающими. Поэтому
для выяснения автоколебательных свойств будем считать, что
наша колебательная система имеет две степени свободы, ко-
которым соответствуют координаты <Ь и Ь. Колебания, опре-
определяемые координатами 4 и Ь, связаны между собой.

58
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
Колёса с упругими пневматиками являются наиболее важ-
важной частью колебательной системы. Как было уже отмечено
в главе II, колесо с упругим пневматикой может катиться
без скольжения под небольшим углом к вектору скорости
центра колеса. При этом в площадке контакта со стороны
дороги на.пневматик будут действовать реакции: поперечная
Фиг. 31. Схема колебательной системы оси с управляе-
управляемыми колёсами и рулевого управления.
сила Y и момент М. Такое качение под переменными углами
к вектору скорости и происходит во время малых колебаний
колёс вокруг шкворней.
Угловые колебания оси в вертикальной плоскости или
колёс вокруг шкворней всегда вызываются случайными неров-
неровностями, даже при движении автомобиля по ровной дороге.
В некоторых случаях наблюдается не затухание таких коле-
колебаний, а их дальнейшее усиление, самовозбуждение колебаний.
Механизм этого самовозбуждения заключается в следующем.
При случайном и быстром повороте колёс вокруг шквор-
шкворней, в площадках контакта на пневматики будут действовать
•реакции: поперечные силы Yv Г2 и моменты Mv M%. От по-
поворотов вращающихся колёс возникают также гироскопиче-
гироскопические моменты, действующие в вертикальной плоскости;, при-

§ 10] * АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС .59
чём суммарная величина обоих моментов равна /К2Й, где
/в — полярный момент инерции двух колёс, аи—их угловая
скорость, считаемая постоянной. Суммарные поперечная сила Y
и гироскопический момент iKQ'i вызывают поворот оси вокруг
координатной оси х, определяемый углом '}>. Иными словами,
при повороте колёс вокруг шкворней обязательно возникает
угловое отклонение оси в вертикальной плоскости. Так как
в вертикальной плоскости ось с колёсами движется как одно
целое, то при повороте вращающихся колёс на угол ^ воз-
возникает гироскопический момент isQ^, действующий в гори-
горизонтальной плоскости, и из-за изменения радиусов вращаю-
вращающихся колёс в площадках контакта возникают продольные
силы X, дающие согласно формуле G.5) момент относительно
осей шкворней, равный BliKQ^2R2. Эти моменты и будут
увеличивать первоначальные повороты колёс вокруг шквор-
шкворней. Поскольку поперечная сила Y и продольная сила X свя-
связаны с упругими свойствами шины, условимся называть
моменты Yh и BUKQ')I2R} упругими моментами связи. Они
осуществляют в системе связь между колебаниями колёс,
определяемыми координатой 0, и колебаниями передней оси,
определяемыми координатой ty.
Упругая связь, так же как и гироскопическая, является
двусторонней, т. е. колебания системы, связанные с изме-
изменением одной координаты, оказывают влияние на колебания,
связанные с другой, и наоборот. Если случайно возникнут
угловые колебания оси в вертикальной плоскости, то возник-
возникнут гироскопический момент 1КЩ и упругий момент связи
BHKQ^/2R2, действующие в горизонтальной плоскости, которые
и вызовут колебания колёс вокруг шкворней. При этом возни-
возникают гироскопический момент <KQ'J и упругий момент связи Yh,
которые в свою очередь вызовут усиление угловых колеба-
колебаний оси в вертикальной плоскости.
Таким образом, из-за конструктивных особенностей си-
системы между колебаниями колёс вокруг шкворней и угло-
угловыми колебаниями оси в вертикальной плоскости существуют
двусторонние гироскопические и упругие связи. Случайно
возникшие колебания, связанные с изменением одной коорди-
координаты, вызывают колебания, определяемые другой координатой,

60
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
а последние усиливают первые и т. д. Положения колёс во
время таких колебаний изображены на фиг. 32.
Проследим для рассматриваемой системы механизм пере-
передачи энергии от источника в колебательную систему. При
повороте колёс вокруг шкворней поперечная сила Y, поддер-
поддерживающая угловое движение оси в вертикальной плоскости,
Фиг. 32. Положения управляемых колёс при автоколебаниях.
создаёт дополнительное сопротивление движению Yb (sin Ьт^Ь
для малого 0). Для поддержания движения с постоянной на-
начальной скоростью двигатель- развивает дополнительное тяго-
тяговое усилие АР, необходимое для преодоления возросшего
сопротивления. От углового движения оси в вертикальной
плоскости возникают гироскопический момент и упругий
момент связи, действующие в горизонтальной плоскости и
вызывающие поворот колёс вокруг шкворней в другую сто-
сторону. От этого поворота возникает поперечная сила Y, имею-

§ 101
АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС
61
щая обратное по отношению к плоскости диска направление.
Она поддерживает угловое движение оси в противоположном
направлении и вновь создаёт дополнительное сопротивление
движению Yb. В дальнейшем всё повторяется.
Дополнительное сопротивление является переменным по
величине и за период колебаний дважды изменяется от нуля
до своего максимального значения (фиг. 33). Двигатель, пре-
преодолевая это сопротивление, как бы направляет свою энергию
в колебательную систему.
Однако тяговое усилие, раз-
развиваемое двигателем, остаёт-
остаётся при равномерном движе-
движении практически постоянным.
Как и в примере с маятни-
маятником, который вследствие
О 9
Фиг. 33. Изменение дополнительной
силы сопротивления движению при
автоколебаниях колёс.
особой характеристики тре-
трения отнимал у вращающегося
вала энергию отдельными
порциями, ось с управляе-
управляемыми колёсами принимает от источника энергию частями,
величина которых в каждый момент пропорциональна F'J.
Движение автомобиля, строго говоря, не будет равномерным.
Скорость автомобиля будет пульсирующей, причём частота
пульсации в два раза больше частоты колебаний колёс. Эта
пульсация скорости движения автомобиля практически неза-
незаметна. Она сглаживается за счёт окружной деформации пнев-
матиков ведущих колёс, закрутки валов трансмиссии и имею-
имеющихся зазоров в передаточных механизмах трансмиссии *).
Упругий пневматик, катящийся без скольжения под малым
углом к вектору скорости, является в данном случае «обрат-
«обратной связью», связывающей основную колебательную систему
с источником энергии.
Приток энергии в колебательную систему вызывает уве-
увеличение амплитуд колебаний и расходуется на преодоление
сопротивлений в элементах колебательной системы.
Опыты показывают, что в случае самовозбуждения ко-
колебания управляемых колёс нарастают только до определён-
определённого предела, после чего устанавливается стационарный
1) На трансмиссию в этом случае действует переменное усилие
закрутки, способствующее возникновению крутильных колебаний
в ней.

62 АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ — АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [г'Л. IH
колебательный режим (автоколебания). Если сопоставим ампли-
амплитуды установившихся колебаний с упругими характеристиками
пневматика и рулевого управления, то придём к выводу, что
стационарный колебательный режим устанавливается за пре-
пределами линейных участков этих характеристик. По аналогии
с маятником, имеющим падающую характеристику трения
(фиг. 25), нелинейные характеристики пневматика и рулевого
управления можно считать ограничителями колебаний.
Описанный процесс автоколебаний управляемых колёс
хорошо согласуется с опытом. Для примера на фиг. 34
представлена запись колебаний оси и колёс, произведённая
6 5 4 3
7 0/7/2 13 14 15 16 17 73
Вниз
6
6
5 4 3 2
5 4 3 2
Вправо
Влево
О 1! 12 13 14 15 16 17 1в
О 17 72 73 74 15 16 77 IS
/'об. колеса
7секунда
/wwwvvwvww*
6 5 4 3 2 7 О 71 72 73 74 75 16 17 1в
Фиг. 34. Запись колебаний управляемых колёс при V=41,5 км/час:
а) относительно рамы в вертикальной плоскости, б) вокруг шкворней.
самописцами на меловой бумаге. Запись производилась при
движении автомобиля по ровному асфальтовому шоссе, ско-
скорость движения поддерживалась постоянной. На верхних
лентах (а) записаны вертикальные движения колёс относи-
относительно рамы автомобиля, а на нижних (б) — колебания од-
одного из колёс вокруг шкворня. Направления движения колёс
пояснены надписями на левом конце каждой ленты. Отметки
времени (верхняя линия) и чисел оборотов колеса позволяют
определить частоту колебаний, скорость движения автомобиля
и синхронизировать запись обоих самописцев.

§ 10] АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 63
Для сравнения на фиг. 35 и 36 представлены записи
вертикальных движений колёс относительно рамы (а) и од-
одного из колёс вокруг шкворня (б) при движении автомобиля
без автоколебаний управляемых колёс. Записи произведены
на том же дорожном участке при движении с постоянными
Вниз .-< /секунда
Вверх'
А Правое
Вниз
- /секунда
Фиг. 35. Запись движений управляемых колёс при V = 26 км\час\
а) относительно рамы в вертикальной плоскости, б) вокруг шкворней.
скоростями в 26 км/час и 60 км/час. Приведённые записи
свидетельствуют, что даже при отсутствии колебаний колёс
вокруг шкворней рама и ось в вертикальной плоскости имеют
всё время взаимные перемещения. Эти перемещения возни-
возникают вследствие неровностей дороги и не имеют никаких
периодических закономерностей. Амплитуды перемещений,
а также «частота» увеличиваются с увеличением скорости
движения.
На фиг. 34 обращает на себя внимание запись строго
периодических колебаний колёс вокруг шкворней. На угло-
угловые колебания оси в вертикальной плоскости наложены воз-
возмущения от неровностей дороги, и поэтому их запись иска-
искажена. Несмотря на искажения, по приведённым записям
вполне можно проследить как угловые колебания оси, так и
автоколебания в целом. Для этой цели через одинаковые
промежутки времени, соответствующие одному полному ко-
колебанию, влево и вправо от линий синхронизации лент О—О

64 АВТОМОбИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА (гЛ. Ill
проведён ряд вертикалей. Одинаковые номера линий для
каждой фигуры соответствуют одним и тем же моментам
времени. Небольшое их несовпадение на фиг. 34, а и 34, б
является следствием несколько отличающихся скоростей дви-
движения лент в приборах.
На графике фиг. 34, а отчётливо выделяются выступы и
впадины, повторяющиеся через одинаковые промежутки вре-
времени. Рассматривая их в моменты, отмеченные вертикальными
Вниз
1се/сунда
а)
Вверх
Левое
J оборот колеса
Ш
Вверх
х. Зправо
б) Ij. Левое
т/ оборот колеса
Фиг. 36. Запись движений управляемых колёс при V =60 км/час
а) относительно рамы в вертикальной плоскости, б) вокруг шкворней
линиями,'легко видеть, что если левое колесо подпрыгивает
вверх, то правое сильнее прижимается к земле, и наоборот.
Зрительные наблюдения колебаний оси в вертикальной пло-
плоскости показывают, что ось совершает простые угловые пе-
периодические колебания. Характер этих колебаний такой же,
как и у колебаний колёс вокруг шкворней.
Представленная на фиг. 34 запись колебаний оси в вер-
вертикальной плоскости и колёс вокруг шкворней подтверждает,
что между ними имеется совершенно чёткое взаимодействие.
Эти колебания являются согласованными: если левое колесо
движется вверх, то оно одновременно начинает поворачи-
поворачиваться вокруг шкворня вправо, а если движется вниз—-то влево.
Для правого колеса наоборот: если оно движется вверх, то
одновременно поворачивается вокруг шкворня влево. Установив-
Установившиеся колебания в обеих плоскостях происходят с одной и той же

АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЙС
65
частотой, и сдвиг фаз между ними всё время остаётся постоян-
постоянным. Амплитуды колебаний сохраняются постоянными сколь
угодно большой промежуток времени. В приведённых приме-
примерах они равны: 1 20' для оси в вертикальной плоскости
и 7°30' для колёс вокруг шкворней.
Самовозбуждение автоколебаний управляемых колёс на-
наблюдается только на вполне определённых скоростях движе-
движения, когда соотношение гироскопической и упругой связей
' § 4 3 2 7 0 77 72 73 74 .
Вверх
"^~\*^7евое\ П Ч-» ~7се
7оборот колеса
5 4 3 2 1 017 12 73 74
5 4 3 2 7 О 77 72 73 74
5 4 3 2 7 О 77 12 73 14
Фиг. 37. Запись затухания колебаний управляемых колёс при пони-
пониженной скорости, V=19 км/час: а) относительно рамы в верти-
вертикальной плоскости, б) вокруг шкворней.
в системе оказывается благоприятным для взаимодействия
колебаний колбе вокруг шкворней с угловыми колебаниями
оси в вертикальной плоскости. Для автомобилей, отличающихся
конструктивными параметрами, естественно, эти скорости бу-
будут различными.
Автоколебания продолжаются в некотором диапазоне ско-
скоростей движения автомобиля и пропадают за его пределами.
Например, возникнув при скорости 40 км/час, автоколеба-
автоколебания управляемых колёс продолжаются и при других скоро-
скоростях движения автомобиля, как меньших, так и больших
40 км/час. Это явление присуще нелинейным системам и на-
называется затягиванием колебаний. Для иллюстрации сказан-
сказанного на фиг. 37 и 38 приведены записи колебаний в момент

66
АВТОМОБИЛЬНАЯ ОСЬ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА [ГЛ. III
затухания. Параметры колебательных систем в этих опытах
были различными, так что стационарный режим в первом
случае устанавливался при скоростях автомобиля от 36,5 до
38 км/час, а во втором случае, при скоростях от 46 до 48 км/час.
С целью погашения установившихся колебаний в первом опыте
скорость автомобиля плавно уменьшалась, а во втором плавно
увеличивалась. Стационарный режим колебаний оказался
1? Ю 9 8' 7 6 5
Я Ю 387654321
77 10 9 8 7 6 5 4 3 2/
О
О
77 70 & 8 7 6 5 4 3 2 1
Фиг. 38. Запись затухания колебаний управляемых колёс при повы-
повышенной скорости, V =57 км/час: а) относительно рамы в верти-
вертикальной плоскости, б) вокруг шкворней.
в обоих случаях устойчивым при значительном изменении ско-
скоростей автомобиля. Гашение колебаний произошло соответ-
соответственно при 19 км/час и 57 км/час.
Величина диапазона скоростей движения автомобиля, при
котором стационарный режим является устойчивым, опреде-
определяется устройством колебательной системы и в первую оче-
очередь её нелинейными элементами. В литературе имеются до-
довольно различные сообщения о величине диапазона. Можно
считать, что меньшему диапазону соответствует разность
скоростей, равная 10 км/час, большему диапазону — разность
скоростей в 45 км/час.
Практика показывает, что для самовозбуждения автоколе-
автоколебаний управляемых колёс необходимы первоначальные возму-
возмущения не менее определённой величины. Это объясняется на-

§ 10] * АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЕС 6?
личием в системе сухого (постоянного) трения, которое даёт
значительный момент сопротивления движению даже при ма-
малых амплитудах и скоростях. Только при вполне достаточных
первоначальных угловых отклонениях 0 (или <!/) возникают гиро-
гироскопические и упругие моменты связи, способные преодолеть
моменты трения, вызвать изменение координаты ty (или Ь),
а затем поддерживать и развивать соответствующее движе-
движение. Для данной системы величина начальной амплитуды,
необходимой для возбуждения колебаний, определяется мо-
моментом сухого трения.
Рассматривая автомобильную ось с управляемыми колёсами,
мы имеем дело как раз с тем случаем, когда при небольших
амплитудах колебательная система получает энергии меньше,
чем теряет её (фиг. 27, б). Равномерное и прямолинейное
движение её устойчиво «в малом» и неустойчиво «в большом»
(ср. с часами, стр. 49).
Автоколебания колёс могут начаться не только от резкого
толчка. Они могут начаться и в том случае, если при каче-
качении колёс возникли колебания в системе, развившиеся до
некоторых достаточных амплитуд.
Возмущения в движении колёс со стороны дороги бывают
самыми разнообразными и обычно сказываются одновременно
на обеих координатах. От них в системе возникают колеба-
колебательные процессы. Если эти возмущения таковы, что они вы-
вызывают согласованные колебания в обеих координатах, воз-
возможно самовозбуждение системы. В противном случае будут
возникать или затухающие колебания, или переходные про-
процессы к самовозбуждению. Всё зависит от характера возму-
возмущений. Этим обстоятельством и объясняется, что не каждое
возмущение со стороны дороги, если даже оно достаточно
велико, вызывает самовозбуждение колебаний управляемых
колёс.
Таким образом, для того чтобы самовозбуждение коле-
колебаний управляемых колес имело место, необходимы: 1) опре-
определённое соотношение параметров колебательной системы,
т. е. ось с управляемыми колёсами должна быть потенциально-
автоколебательной системой; 2) определённая скорость дви-
движения автомобиля; 3) первоначальные возмущения со стороны
дороги определённой величины и направления.

ГЛАВА IV
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ
КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
§ 11. Предварительные замечания
При изучении колебаний управляемых колёс вокруг шквор-
шкворней следует выделить колебательную систему, состоящую из
оси с управляемыми колёсами, подвески и рулевого управле-
управления. Эта система отличается большим количеством входящих
в неё деталей и устройств. К их числу относятся автомо-
автомобильный пневматик, рессоры (спиральные пружины) и стер-
стержень угловой жёсткости, являющиеся упругими элементами
подвески; амортизаторы; рулевое управление, состоящее из
рулевого механизма и рулевого привода; ось автомобиля и
ряд других вспомогательных устройств.
Кроме упругих характеристик, которыми характеризуются
пневматик, рессоры, стержень угловой жёсткости, рулевое
управление, важны также характеристики трения, возникаю-
возникающего в указанных составных частях системы. Многие из этих
характеристик являются нелинейными. Вследствие имеющихся
трудностей (ряд вопросов ещё недостаточно изучен) боль-
большинство характеристик рассматриваемой колебательной си-
стещы получают не расчётным путём, а с помощью опытов.
При изучении колебаний управляемых колёс автомобиля
важно знать не только качественно, но и количественно за-
зависимости упругих сил от параметров движения. Ниже бу-
будут даны методы экспериментального определения этих сил,
что позволит остановить внимание па имеющих практическое
значение особенностях рассматриваемого вопроса.
Большое внимание должно быть при этом уделено полу-
получению характеристик и определению параметров пневматика—•
одной из главных и вместе с тем сложных для изучения со-
составных частей колебательной системы.

§ 12]
РАДИАЛЬНАЯ ЖЁСТКОСТЬ ПНЕВМАТИКА
69
Исследования показывают, что нельзя изучать колебания
управляемых колёс автомобиля без учёта сопротивлений,
возникающих в колебательной системе. Для определения
сопротивлений рекомендуется метод изучения собственных
колебаний, в связи с чем и изложена методика расшифровки
опытных кривых затухающих колебаний. Изложение даже
основных характеристик колебательной системы не претендует
на исчерпывающую полноту. Оно проведено лишь в той мере,
в какой это необходимо для рассмотрения автоколебаний
управляемых колёс 1).
§ 12. Радиальная жёсткость пневматика
Упругую радиальную характеристику автомобильного пнев-
пневматика получают из опыта путём статического нагружения
и разгружения. Сущность этого метода заключается в сле-
следующем.
Колесо, установленное вертикально с помощью рычага
второго рода, медленно нагружается через динамометр D
'/////////////Л///У//////////,
Фиг. 39. Схема нагружения пневматика при снятии
упругой радиальной характеристики.
радиальной нагрузкой GK = PLJL (фиг. 39). Периодически
приостанавливается нагружение и записывается уменьшение
радиуса пневматика. Так как изменение радиуса пневматика
зависит от скорости нагружения и быстроты снятия показаний,
') Более подробное рассмотрение отдельных вопросов можно
найти в специальной литературе (см. ссылки).

70
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
при снятии статической радиальной характеристики пнев-
пневматика принимается плавное нагружение винтом от не-
неподвижного упора, а снятие показаний индикатора (измене-
(изменение радиуса) должно производиться в течение 25—30 сек.,
включая нагружение. Проводя такое ступенчатое нагружение
пневматика до полной нагрузки, получим ряд точек, по ко-
которым можно провести кривую. Аналогичным образом можно
получить ряд точек и при разгружении колеса от радиальной
нагрузки, а затем и по-
построить упругую характе-
характеристику пневматика. Такая
характеристика изображена
на фиг. 40. Вследствие на-
наличия внутреннего трения
кривая при разгрузке распо-
располагается ниже кривой, соот-
соответствующей нагрузке, об-
образуя петлю гистерезиса.
Для получения стабиль-
стабильных результатов при экспе-
экспериментах перед началом ра-
рабочих замеров необходимо
пневматик деформировать
радиальной нагрузкой, вели-
величина которой равна макси-
максимальной нагрузке при испы-
испытании. Такие предваритель-
предварительные обжатия продолжаются до тех пор, пока индикатор не
станет показывать одну и ту же величину остаточной ра-
радиальной деформации, возникающей вследствие внутренних
потерь.
Многочисленные испытания показывают, что в рабочем диа-
диапазоне нагрузок и давлений воздуха изменение радиуса пневма-
пневматика пропорционально радиальной нагрузке. В качестве примера
на фиг. 41 показана упругая радиальная характеристика авто-
автомобильного пневматика размером 7,50—17" при статическом
нагружении до Ов = 1180 кг для различных давлений р кг/см*
воздуха в камере пневматика.
Радиальная жёсткость пневматика определяется в кг/м
или kzjcm по тангенсу угла наклона касательной к средней
линии, проведённой в точке, соответствующей рабочей на-
Фиг. 40. Упругая радиальная ха-
характеристика пневматика.

РАДИАЛЬНАЯ ЖЁСТКОСТЬ ПНЕВМАТИКА
71
§ 121
грузке на колесо *). В рабочем диапазоне изменений нагру-
нагрузок и давлений воздуха её можно считать не зависящей от
радиального обжатия и, таким образом, при расчётах пнев-
матик заменить упругим элементом с линейной характери-
характеристикой. Изменение AZ нормальной силы реакции, действую-
ЮОО
800
всю
4ОО
гоо
л
У/1
у/
/
/
ю
2О
ЗО
40
50
SOAR мм
Фиг. 41. Упругая радиальная характеристика пневма-
пневматика 7,50—17": 7) /> = 3,0 кг/см*, 2) /?г=2,5 Щсм\
3) р = 2,0 кг/см2, 4) р = 1,5 кг/см*.
щей на колесо, определяется через изменение z радиального
обжатия по формуле
AZ = cBz,
где св — радиальная жёсткость пневматика. Вследствие того,
что в различных точках окружности радиальная жёсткость
пневматика не остаётся постоянной (§ 9, фиг. 30), для по-
получения среднего значения радиальной жёсткости необходимо
!) Некоторые количественные данные по жёсткостям пневмати-
ков и упругих элементов подвески приведены в книге: Ротен-
б ер г Р. В., Теория подвески автомобиля, Машгиз, 1951.

72
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
её замерить в нескольких точках, равноотстоящих по окруж-
окружности друг от друга.
Опыты показывают, что радиальная жёсткость пневматика
увеличивается с увеличением числа слоев в каркасе шины
и поперечных размеров пневматика, зависит от рисунка про-
протектора и прямо пропорциональна давлению воздуха в пнев-
пневматике. Плавность хода автомобиля улучшается при умень-
уменьшении радиальной жёсткости пневматика.
Описанным выше методом определяется статическая ра-
радиальная жёсткость пневматика. Опыты показывают, что ди-
динамическая жёсткость пневматика больше статической.
Для определения динамической радиальной жёсткости
пневматика может быть использована схема, изображённая
на фиг. 42. Она состоит из балки, которая может качаться
вокруг оси О, груза Q, создающего радиальную нагрузку на
Фиг. 42. Схема определения динамической радиальной
жёсткости пневматика.
колесо, и колеса автомобиля, пневматик которого является
упругим элементом системы. Различным местоположением
груза Q на балке и его величиной можно задавать различные
моменты инерции системы и радиальную нагрузку на колесо.
Чтобы определить динамическую жёсткость пневматика,
надо подсчитать момент инерции / системы относительно
оси О и определить из опыта период её собственных коле-
колебаний. При отсутствии трения в системе или при наличии
только сухого трения связь между периодом Т собственных
колебаний и параметрами системы выражается формулой
где с —• угловая жёсткость системы, причём с = cBL?.

§ 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 73
При наличии в системе трения, пропорционального ско-
скорости, связь между периодом собственных колебаний и пара-
параметрами системы имеет вид
г= 2*
Ут-*'
где г = А/2/, h — коэффициент сопротивления, пропорцио-
пропорционального скорости.
Если во время опытов коэффициент сопротивления h
остаётся неизвестным, с достаточным приближением динами-
динамическую радиальную жёсткость пневматика можно подсчитать,
принимая s = 0. Это оправдывается тем, что обычно s<^ с//.
Опыты показывают, что при Т= 0,25 -s- 0,6 сек динами-
динамическая радиальная жёсткость пневматика больше статической
(увеличение до 15%).
§ 13. Определение сопротивлений по опытным кривым
затухающих колебаний
При создании большинства механических колебательных
систем трение в них неизвестно. Оно определяется из опы-
опытов после того, как система уже построена. Для изучения
затухания колебаний важно знать характер трения (сопроти-
(сопротивления) в системе, т. е. его
зависимость от движения.
Рассмотрим методы опреде-
определения сопротивлений по опыт-
опытным кривым затухающих коле-
колебаний в различных случаях. фиг. 43. Простейшая колеба-
1 . Постоянное сопро- тельная система,
тивление (сухое трение).
Для простоты рассуждений рассмотрим прямолинейные коле-
колебания некоторой массы ш, находящейся на шероховатой го-
горизонтальной плоскости, под действием пружины жёсткости с
(фиг. 43). Дифференциальное уравнение колебаний тогда
запишется в виде
mz~\-cz = ± ftng, A3.1)
где /—коэффициент трения. В этом уравнении знак плюс
соответствует направлению скорости влево (z < 0), а знак
минус — вправо (г > 0).
|v^лм/www
у/////)
/77
V///////////A

74 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
Положив
перепишем уравнение A3.1) в виде
z + о>92 -f- ш2г sign г = О
(sign z = 1 при z > 0 и s'gn г = — 1 при z < 0), или
г + ш2 (г + r sign z) = 0.
Введя новую переменную _у = z-f- г sign z, получим уравне-
уравнение гармонических колебаний:
общее решение которого будет
у = A cos(
Переходя к исходной переменной, получим:
z — A cos (o>t -f-cp) — г sign г. A3.3)
Здесь о) = Yclm — круговая частота собственных колебаний,
г—величина, на которую убывает амплитуда колебаний при
каждом движении влево и при каждом движении вправо,
постоянные А и <р определяются начальными условиями.
Из выражения A3.3) следуют два важных вывода: 1) по-
постоянная сила трения не влияет на величину частоты соб-
собственных колебаний; 2) за каждые два полуколебания, или
за каждый период колебаний, амплитуда уменьшается на
величину 2г. Это означает, что если в системе существует
только сухое трение, то вершины опытной кривой собствен-
собственных колебаний, находящиеся по одну сторону от положения
равновесия, должны лежать на одной прямой (фиг. 44).
Проведя от вершин параллельные между собой линии под
углами а к касательным АВ и CD, замерим величину 2г,
на которую уменьшается амплитуда колебаний за период.
Зная величины массы т и жёсткости пружины с, на осно-
основании A3.2) подсчитываем коэффициент постоянного трения
f=—r. A3.4)
mg K '
Если известен масштаб времени опытной кривой, то ко-
коэффициент трения можно определить и не зная параме-

§ 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 75
тров т и с системы. Действительно, период колебаний Т
связан с частотой соотношением
или
Тогда выражение A3.4) через период колебаний будет сле-
следующим:
Замерив по опытной кривой продолжительность Т полного
колебания и величину г погашения одного полуколебания,
Фиг. 44. Кривая собственных колебаний при наличии
сухого трения.
по формуле A3.5) определяем коэффициент постоянного тре-
трения /.
В случае, когда .сила сухого трения F не выражается
непосредственно через вес tng колеблющегося груза, в пра-
правой части уравнения A3.1) будет стоять величина постоян-
постоянной силы трения F. Тогда, обозначая
г = --

76 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
получим аналогично A3.4) и A3.5):
F=cr, \
и. \ A3-6)
2°. Сопротивление, пропорциональное ско-
скорости. Уравнение собственных колебаний в этом случае
имеет вид
mz-{-hz-\-cz — О,
где h — коэффициент сопротивления, или
z-\-2zz-\-<o*z = Q, A3.7)
причем
8 = ^Г A3'8)
называется коэффициентом затухания.
Общий интеграл уравнения A3.7) будет
z = Ae~%t cos
где [i. — круговая частота собственных колебаний
[х = /со2 — s2, A3.9)
а постоянные величины А и ср определяются начальными
условиями.
Напишем выражения координат для двух моментов вре-
времени, отличающихся один от другого на период Т. Для мо-
момента времени t1
zx = Ae~tf' cos
для момента времени t2 — tt + T
z2 = Ае-ч*>+т) cos
От изменения аргумента на |лТ"= 2и значение косинуса не
изменяется. Легко видеть, что если в момент времени ty как
раз имеет место наибольшее смещение zx — Ае~'1', то через
период оно будет z.2 = Ae-t{^+T). Отношение последующей
амплитуды к предыдущей равно

§ 13] Определение сопротивлений по опытным кривым 7?
что можно записать так:
A3.10)
Таким образом, при наличии в системе трения, пропор-
пропорционального скорости, отношение двух последовательных
Т
амплитуд равно постоянной величине е
у
~шТ
т. е. амплитуды
затухающих колебаний образуют геометрическую прогрессию
(фиг. 45).
Нулевая линия опытной кривой — линия, соответствующая
положению равновесия, проводится по конечному участку
О
Фиг. 45. Кривая собственных колебаний при наличии
сопротивления, пропорционального скорости.
кривой затухающих колебаний. Критерием правильного про-
проведения нулевой линии является постоянная величина отно-
отношения амплитуд (логарифмический декремент):
или
г.,
= 1п
= !„_}-= ••• =1n3.
Если известен масштаб времени, то, замерив по опытной
кривой амплитуды отклонений и определив натуральный ло-
логарифм отношения последовательно расположенных в по-
порядке убывания амплитуд, найдём коэффициент сопротивле-
сопротивления. На основании A3.8) и A3.10) имеем:
h = -у-In о,
A3.11)

78 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
где 3 = zjz.2 = z^zu = ... = z'Jz'2 — отношение амплитуд,
последовательно расположенных через период колебаний Т.
Заменим период Т в выражении A3.11) через параметры
системы. На основании A3.8), A3.9) и принимая во внима-
внимание, что 7'=2'гс/|л, после преобразований получим:
h= 2lnbV™ =.. A3.12)
/B*J+Aп5J
Выражением A3.12) можно пользоваться для определения
коэффициента сопротивления в том случае, когда масштаб
времени опытной кривой неизвестен, но известны параметры
m и с системы.
Мы рассматривали в случаях 1° и 2° прямолинейные ко-
колебания точечной массы. При определении же коэффициента
сопротивления системы, совершающей угловые колебания,
во всех предыдущих формулах и уравнениях надо заменить
массу m и жёсткость с соответственно на момент инерции
системы и угловую жёсткость.
3°. Сопротивление, состоящее из постоян-
постоянного сопротивления и сопротивления, пропор-
пропорционального скорости1). Уравнение движения си-
Фиг. 46. Схема колебательной системы
с постоянным сопротивлением и сопро-
сопротивлением, пропорциональным скорости.
стемы относительно оси О (фиг. 46) можно записать в сле-
следующем виде:
где /—момент инерции системы относительно оси качания О,
А — коэффициент сопротивления, пропорционального скоро-
скорости, с — угловая жёсткость при изменении координаты <|>,
!) Методика определения коэффициентов сопротивлений для
этого случая обобщена И. П. Кунаевым, см. Элементы расчёта точ-
точных приборов (сборник статей), Оборонгиз, 1954,

§ 131 определение сопротивлений по опытным кривым 7э
F—величина постоянного сопротивления, направление кото-
которого противоположно скорости. Полагая
-?¦ = 28, 7 = ">2. F=cr, A3.13)
получим:
$фг s'gn •?) = О,
или, обозначив ^ —|— г sign <^ = H, перепишем последнее урав-
уравнение так:
Общее решение этого уравнения затухающих колебаний
имеет вид
или
(Ji = Ae~lt cos (\it -\- cp) — г s'gn <Ji,
где Л и ср — константы, зависящие от начальных условий,
причём А — амплитуда, уменьшающаяся на величину г через
каждый полупериод колебаний. Величины s и г характери-
характеризуют соответственно влияние линейного и постоянного со-
сопротивлений на затухание системы.
В рассматриваемом случае для определения А-й ампли-
амплитуды имеем уравнение *)
& = (% - г) 8? - 2г h (\Z\ ) - г, A3.14)
где % — начальная амплитуда, т. е. амплитуда в момент
времени, соответствующий началу отсчёта, k — число полу-
полуколебаний,
и называется декрементом затухания. После преобразований
выражение A3.14) можно записать в виде
Обозначив
1) См., например, Булгаков Б. В., Колебания, стр. 272—274,
Гостехиздат, 1954.

80 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
перепишем последнее уравнение так:
• = Д*. A3.16)
A3.17)
Продолжительность двух полуколебаний будет
2тг
Т =
Пусть на фиг. 47 представлена опытная кривая затухаю-
затухающих колебаний, причём затухание произошло от одновре-
одновременного действия линейного и постоянного трения. Разобьём
7-я четная группа
2-я чётная группа
7-я нечетная группа 2-я нечётная группа
Фиг. 47. Примерная опытная кривая собственных колебаний.
эту кривую на ряд групп, каждая из которых объединяет
одинаковое чётное число т полуколебаний.
Обозначим через <{<(*_!) m и tyim абсолютные величины
первой и последней амплитуд в /-й группе, причём /=1,
2, 3, ... В этом случае амплитуды <^т, Ь.2т, tyam, . . . явля-
являются как последними амплитудами предыдущих групп, так
и первыми амплитудами последующих групп. Применяя фор-
формулу A3.16) поочерёдно к каждой группе, получим:
A3Л8)

§ 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 81
ИЛИ
^1 — <Wn _ _ ¦Ww» — 4W _ — А1" ЛЧ ]Q\
—; ; • • • —  ; — • • • — ii ¦ I 1O. l j)
tym — ^m tybm — ^ът V '
Так как выбранное число полуволн т в каждой группе чёт-
чётное, то, как видно из фиг. 47, выражения
соответствуют разностям амплитуд (первой и последней
в группе), расположенных по одну сторону от положения
равновесия. Замеряя по опытной кривой эти разности в каж-
каждой группе, вычисляем по выражению A3.19) Д'и, а затем Д.
Так как согласно A3.15)
то
n = —= -!lli. A3.20)
Кроме того, из формул A3.9), A3.17) и A3.20) вытекает,
что
A3.21)
r=-2l/l-|-v'. A3.22)
(О ' '
Если известен масштаб времени опытной кривой, можно
установить продолжительность одного колебания Т, затем
по формуле A3.22) определить о>— круговую частоту гармо-
гармонических колебаний, по выражению A3.20) — коэффициент
линейного затухания s, а затем по выражению A3.13) и коэф-
коэффициент линейного сопротивления h. Если масштаб времени
опытной кривой неизвестен, но известны параметры си/
системы, то коэффициент затухания е можно согласно вы-
выражению A3.21) определить непосредственно по формуле
A3.23)
Заметим, между прочим, что если известны параметры с
и / системы и масштаб времени опытной кривой, коэффици-
коэффициент затухания s можно определить и без обмера амплитуд

82 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
кривых затухающих колебаний, непосредственно из выраже-
выражения A3.17). Опытную кривую в этом случае можно и не
записывать. Достаточно определить период колебаний Г.
Однако при малых коэффициентах затухания вследствие
небольшой разницы между величинами jj. и со и имеющихся
погрешностей в определении параметров системы и периода Г
значение коэффициента затухания е получается, как правило,
менее точным. Это замечание относится и к случаю, когда
в системе действует только линейное сопротивление.
Для определения другой части сопротивления — постоянного
сопротивления — разобьём опытную кривую на ряд групп, ка-
каждая из которых объединяет нечётное число п полуволн. Обо-
Обозначим через tyy-!)» и tyjn абсолютные величины первой и
последней амплитуд в каждой группе, причём ] ¦== 1, 2, 3.. .
Так же как и раньше, последняя амплитуда предыдущей
группы будет одновременно являться первой амплитудой
последующей группы.
На основании выражений A3.16), A3.18) по аналогии
с предыдущим можно записать:
Так как выбранное число полуволн п в данном случае нечёт-
нечётное, то из фиг. 47 видно, что суммы
представляют собой расстояния по направлению оси ординат
между вершинами первой и последней полуволн в группе,
расположенных с той и другой стороны от положения равно-
равновесия. Эти суммы замеряются непосредственно по опытной
кривой для каждой группы полуколебаний. Поскольку вели-
величина Д известна из предыдущих расчётов, равенства A3.24)
позволяют определить коэффициент о. Зная Д и о, по выра-
выражению A3.15) определим коэффициент постоянного сопроти-
сопротивления
г = ^, A3.25)
а затем и сопротивление F=cr. Для определения величины г
масштаб амплитуд опытной кривой не нужен, в то время
как для определения величины г, а следовательно, и F он
необходим.

§ 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 83
4°. Сопротивление, пропорциональное поли-
полиному скорости. Во многих случаях по характеру опыт-
опытной кривой трудно угадать, от каких видов сопротивлений
произошло затухание колебаний. В этом случае коэффициент
сопротивления приходится определять наиболее универсаль-
универсальным методом — в функции какого-либо полинома скорости.
В общем виде этот вопрос решён И. Ньютоном в его
знаменитых «Математических началах натуральной философии»
теоремой: «Если сопротивление, испытываемое качающимся
телом в каждой отдельной части описываемой им дуги, будет
увеличено или уменьшено в постоянном отношении, то и
разность между длиною дуги нисходящей части его размаха
и следующей за нею восходящей увеличится или уменьшится
в том же отношении» 1). Из этой теоремы И. Ньютон вывел
ряд следствий, сущность которых заключается в следующем.
1) Если сопротивление пропорционально скорое ги, то
разность дуг пропорциональна полной величине размаха
и наоборот, т. е. если
причём F(''j) — некоторый полином скорости, то
a — b = A1(a-\-b),
где а и b — абсолютные величины нисходящей и восходящей
дуг размаха (полуколебания), a At — постоянный коэффициент.
2) Если сопротивление пропорционально квадрату, кубу
или какой-либо иной степени скорости, то и разность дуг
будет пропорциональна той же степени величины полного
размаха и обратно, т. е. если
то
a — b =
где Аа— постоянный коэффициент.
3) Если сопротивление частью пропорционально первой
степени скорости, частью второй, то разность будет также
частью пропорциональна первой степени величины размаха,
*) Перевод А. Н. Крылова: Собрание трудов акад. А. Н. Кры-
Крылова, т. VII, Изд-во АН СССР, 1936.

84 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
частью второй, и обратно. Вообще закон, выражающий за-
зависимость сопротивления от скорости, таков же, как и закон
зависимости дуг от полной величины размаха. Это означает,
что если
hF (i) = h [Nqii + N/f + N8V +•••].
TO
a —b^hlA^a + bf + A^a + bY + As(a + b)a+...],
где Nq, Nr, Ns, ... и Aq, Ar, As, ...—постоянные коэф-
коэффициенты.
Таким образом, когда колеблющееся тело совершает за-
затухающие колебания, то можно найти зависимость погаше-
погашения размахов от их величины и затем получить зависимость
сопротивления от скорости.
А. Н. Крылов дал аналитическое доказательство теоремы
и следствий Ньютона, позволяющее сравнительно просто
определить сопротивление в функции скорости. Приведём
здесь только окончательные выводы этого доказательства,
которые в дальнейшем используем для расшифровки опыт-
опытных кривых затухающи:; колебаний 1).
Когда сопротивление мало, то разность между размахами
будет равна
-а
где ш2 = с//, d = (a-\-b)/2 — средняя амплитуда размаха.
В частных случаях результаты получаются следующими:
1. Если сопротивление пропорционально первой степени
скорости:
( '
то
a — b = A1d = jj^d. A3.26)
2. Если сопротивление пропорционально квадрату скоро-
скорости:
1) См. Крылов А. Н., Собрание трудов, т. X, Изд-во АН СССР,
1943.

§ 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 85
то разность между размахами
а — * = iV* = 1 A d9.. A3.27)
3. Если сопротивление пропорционально какой-либо
вообще степени скорости:
то
где
A3.29)
Г (х) есть эйлеров интеграл второго рода1). В частности,
при х = п целых положительных числах
Г(п) = (п— 1)!= 1 • 2-3...(п —2)(п—1),
например ГA)= 1, ГB)= 1, ГC)= 1-2 = 2 и т. д; отме-
отметим также
В общем случае выражается с помощью бесконечного
1 \Х)
произведения
где 4 = 0,577 215 665...—постоянная Эйлера.
Для функции Г (х) имеются таблицы2), и поэтому при
любом значении а выражение Q(ot) легко вычисляется.
1) См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики,
т. III, часть 2, Гостехиздат, 1950; Л а в р ей т ье в М. А. и Ш а-
б а т Б. В., Методы теории функций комплексного переменного,
Гостехиздат, 1951.
2) Янке Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кри-
кривыми, Гостехиздат, 1949; Энциклопедический справочник «Машино-
«Машиностроение», т. I, книга 2, Машгиз, 1У47.

86 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
4. Если сопротивление выражается полиномом
А/*(ф) = h\NJp-\-NrY-\-N&-\- ...],
то разность между размахами
а — Ь = А^-\-Агйг-\-Авйв-\- ..., A3.30)
причём коэффициенты связаны формулами
Ла = §Йд(«) (а = ?, г, *,...)• 03.31)
Применим выводы А. Н. Крылова для определения сопро-
сопротивления в колеблющейся системе. Пусть на фиг. 48 пока-
показана опытная кривая, записанная в известном нам масштабе.
Разобьём её на ряд групп, каждая из которых объединяет
mt полных размахов. Обозначим величину Л-го размаха в
i-й группе через 2dk. Тогда средняя амплитуда размаха в
/-й группе будет
Для малых колебаний средняя разность между нисходящей
и восходящей дугами за один размах для г-й группы равна
2j ak
*=1
где Дл — разность между величинами двух соседних разма-
размахов.
Для каждой группы размахов можно написать уравнение
A3.30). Тогда получим систему уравнений с неизвестными
Аа, Аг, А8, . .. и q, r, s, .. .:
= Aqd%
A3.32)
Решение такой системы можно проводить в следующем по-
порядке.

§ 13] ОНРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 87
По данным обмера кривой затухающих колебаний (фиг. 48)
строится в виде графика зависимость погашения размахов Д^
от средней амплитуды размахов <^(фиг. 49). Затем по харак-
характеру кривой устанавливается приближённо низшая степень q для
начального участка и высшая степень s для конечного участка
кривой. В зависимости от разности s и q принимается ряд
промежуточных значений, показателей степени. Число групп
выбирается равным числу принятых q, r, s, ... Тогда в урав-
уравнениях A3.32) неизвестными остаются только коэффициенты
Аа, Ar, As, которые и определяются обычными методами:
где
Д1
д2
Дз
4 di
4 4
4 4
д
д =
к
dl
dl
dl
di
r
4
4
4
д
di
dl
dl
d\ Дх d\
d\ Д2 <*J
4 Дз 4
д
Д1
Да
Дз
dl
dl
dl
A3.33)
Коэффициенты hNq, hNr, hNs,
деляются по формулам A3.31):
-2QW
сопротивления опре-
A3.34)
a Q(q), Q(r), Q(s) вычисляются из выражения A3.29).
В частных случаях коэффициент сопротивления h опре-
определяется непосредственно из формул A3.26), A3.27), A3.28).
Для наглядности разберём один пример. На фиг. 48
представлена опытная кривая собственных колебаний груза Р,
упругим элементом которого является стержень угловой
жёсткости передней подвески автомобиля ЗИС-110. Пара-
Параметры колебательной системы при опыте такие: Я = 41 кг
(/я = 0,0459 кг см'1 сек2), круговая частота собственных

88
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
гармонических колебаний ю = 26,7 1/сек. Обмер кривой,
записанной в масштабе 1:1, дал следующие значения
Фиг. 48. Опытная кривая собственных колебаний груза.
Упругий элемент — стержень подвески автомобиля.
размахов колебаний (мм), расположенных один непосред-
непосредственно после другого:
15,60; 14,40; 13,26; 12,25; 11,40; 10,60;
9,85; 9,15; 8,55; 8,05; 7,55; 7,10;
6,70; 6,32; 5,97;
4,80; 4,54; 4,30;
3,49; 3,33; 3,17;
2,64; 2,54; 2,44;
2,08; 2,00; 1,92;...
5,65; 5,35; 5,07;
4,07; 3,86; 3,67;
3,02; 2,88; 2,76;
2,35; 2,26; 2,17;
Зависимость погашения размахов Д^ от средней ампли-
амплитуды размахов dt построена для этого случая в виде гра-
графика на фиг. 49. Из графика следует, что для малых раз-
размахов можно принять д= 1, а для больших размахов s = 2.
Фиг. 49. Зависимость погашения размахов
от их средней амплитуды.
Ввиду плавности кривой погашения размахов вполне можно
ограничиться тремя значениями показателей степени, приняв
в качестве промежуточного г = 1,5.
Выберем на опытной кривой фиг. 48 три участка и
определим для каждого из них значения коэффициентов dt,
dv dA и свободных членов Д4 уравнений A3.32).

§ 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО ОПЫТНЫМ КРИВЫМ 89
Принимаем я^^^Ю (от 2dn = 2,00 мм до 2d110 =
= 2,88 мм); тогда
тг = 0.1206
7»! = 10
Д1=-*^ =^ = 0,005 см.
Принимаем т2 — б (от 2cf21 = 4,30 лл до 2^ = 5,65 мм),
Т0ГДа da = 0,2476 см,
-Ла = ^ = 0,0127 ел.
Принимаем /к^ = 4 (от 2d31 = 11,40 мм до 2cf34 = 14,40 мм);
Т0ГДа rf3= 0,6637 ел,
0 99
Д3 = ^ = 0,055 ел.
Таким образом,
rf« = 0,1206, ^ = 0,04184, rfJ =
rf« = 0,2476, dj = 0,1232, d| = 0,06131,
d« = 0,6637, d|: = 0,5410, ^ = 0,4405.
Подставляя Дх, Д2, Д3 и d?, dj, d^ в выражения A3.33),
находим:
Aq = 0,0306, Лг = 0,0071, Л8 = 0,068.
Значения функции Т(х), взятые из таблиц, будут следующие:
Г(|)==ГA)=1.

90 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
Тогда
Q (?) = 0,25*, Q (г) = 0,404 У г,,
Q(s) = 0,376/я.
В рассматриваемом примере мы можем пользоваться фор-
формулами A3.34), заменив в них момент инерции/на массу т.
Коэффициенты сопротивлений равны
AQm
hNq = 20 М ~ 0>024 кг сек см'1,
hNr — 0,000118 кг сек1-5 см-™,
hNs — 0,00235 кг сек* см.-*.
Таким образом, зависимость сопротивления колебательной
системы от скорости имеет вид
A/=1(i) = 0,024^ + 0,000118^ll5 + 0,00235i2. A3.35)
Если для приведённой кривой считать сопротивление про-
пропорциональным первой степени скорости (hz) и среднее
значение отношения амплитуд принять 8= 1,05, то на осно-
основании выражения A3.11) коэффициент сопротивления будет
равен
h = ?j- In 3 = 0,038 кг сек/см.
Как видно из выражения A3.35), для малых колебаний со-
сопротивление в рассматриваемой колебательной системе можно
считать пропорциональным скорости.
Итак, в тех случаях, когда по характеру опытной кривой
трудно оценить, от какого вида сопротивлений произошло
затухание колебаний, коэффициент сопротивления надо опре-
определять наиболее общим способом — в функции какого-либо
полинома скорости. Этот метод даёт тем более точные ре-
результаты, чем меньше величина затухания колебаний.
§ 14. Внутреннее сопротивление пневматика
Сила внутреннего сопротивления автомобильного пнев-
пневматика при радиальной его деформации может быть опре-
определена по петле гистерезиса (фиг. 40) как половина верти-
вертикального отрезка между кривыми нагружения и разгружения.

§ 14] . ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПНЕВМАТИКА 91
Метод получения упругих радиальных характеристик пнев-
пневматика по нагружению и разгружению его был описан
в § 12. На основании этого метода внутреннее сопротивле-
сопротивление в пневматике определяется вне зависимости от скорости
его радиальной деформации.
Между тем при снятии кривых нагружения и разгружения
можно заметить, что петля гистерезиса будет зависеть от
скорости нагружения и разгружения и от быстроты снятия
показаний. Скорость же деформации пневматика на автомо-
автомобиле во время колебаний значительно больше той скорости
деформации, которая имеет место при описанном в § 12
методе определения радиальной жёсткости пневматика. По-
Поэтому, несмотря на простоту, такой метод определения со-
сопротивления в пневматике не может считаться удовлетво-
удовлетворительным.
Описываемый ниже метод выгодно отличается от пре-
предыдущего тем, что учитывает влияние скорости радиальной
деформации на величину внутреннего сопротивления пнев-
пневматика. По этому методу записываются и затем обрабаты-
обрабатываются кривые собственных колебаний определённой массы
на пневматике, как на упругом элементе *). Для этой цели
можно использовать колебательную систему, схема которой
изображена на фиг. 42. Она состоит из балки, которая
может качаться вокруг оси О, груза Q, создающего ради-
радиальную нагрузку на колесо автомобиля, пневматик которого
и является упругим элементом системы. Изменение моментов
инерции колеблющейся системы достигается изменением
местоположения и величины груза Q, обеспечивающим по-
постоянную радиальную нагрузку на колесо.
Если балке сообщить начальное отклонение на малый
угол ^0 от статического положения и затем предоставить
самой себе, возникнут колебания балки и груза на пневма-
пневматике, как на упругом элементе. При наличии сил сопротив-
сопротивления эти колебания будут затухающими, причём затухание
будет зависеть от характера и величины сил сопротивления.
В рассматриваемой колебательной системе силами сопротив-
сопротивления являются: сопротивление в пневматике, в опоре О
и сопротивление окружающего воздуха. Сопротивлением
!) Для получения стабильных результатов предварительно
также проводится многократное обжатие пневматика.

92
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
окружающего воздуха можно пренебречь вследствие малых
скоростей движения. При надлежащем конструктивном выпол-
выполнении опоры О момент сил трения в ней также можно свести
к минимуму. Тогда моментом сил сопротивления относи-
относительно оси О колебательной системы с достаточной точ-
точностью можно считать момент сил сопротивления в пневма-
б)
Фиг. 50. Колебательная система, упругим элементом
которой является автомобильный пневматик.
тике. Обработкой кривых затухающих собственных колеба-
колебаний системы можно определить величину и характер сил
сопротивления в пневматике.
Схема для записи собственных колебаний (фиг. 42) прак-
практически позволяет записать колебания с частотой не более
четырёх герц. Для получения колебаний с более высокими
частотами груз надо располагать ближе к оси качания О,
а так как при этом должна быть сохранена радиальная на-
нагрузка на колесо, величину груза необходимо увеличивать,.
Это вызывает трудности при размещении груза на раме
стенда, причём тем большие, чем больше радиальная на-
нагрузка на колесо.
Запись собственных колебаний более высоких частот
проводится на стенде, выполненном по несколько изменённой
схеме (фиг. 50). Эта схема отличается от предыдущей тем,
что в ней радиальная деформация пневматика вызывается не

§ 14] • ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПНЕВМАТИКА 93
грузом Q, а изменением расстояния а между верхней и
нижней опорными площадками, она имеет вдвое большую
жёсткость (работают как бы два упругих элемента, фиг. 50, б)
и может иметь значительно меньший момент инерции по
сравнению со схемой фиг. 42. Вследствие этих особенностей
схема, показанная на фиг. 50, позволяет получить значи-
значительно большие частоты собственных колебаний.
Величины грузов Qt и Q2 и места их расположения на
раме подбираются, исходя из двух условий: 1) общий момент
инерции системы должен быть таким, чтобы обеспечить
требуемую частоту собственных колебаний; 2) при удалении
верхней опорной площадки пневматик не должен быть де-
деформирован также и снизу. Если второе условие выполнено,
то радиальные деформации в положении статического равно-
равновесия должны быть равны. Тогда при колебаниях условия
работы пневматика в зонах обеих площадок будут также
одинаковы.
Ввиду того, что радиальная деформация распространяется
на центральный угол, меньший 180°, условия работы пнев-
пневматика в зонах обеих площадок являются независимыми.
Коэффициент сопротивления, полученный в результате об-
обработки кривых собственных колебаний, характеризует со-
сопротивление одновременно в зонах двух, площадок пневма-
пневматика. Коэффициент сопротивления h в зоне одной площадки
будет в два раза меньше.
Величины коэффициентов сопротивлений h, полученные
при обработке кривых собственных колебаний, характери-
характеризуют сопротивление всей колебательной системы. Один и
тот же пневматик, установленный на различных расстояниях L
от оси качания О, будет давать различные коэффициенты
сопротивления h системы, так же как и различные угловые
жёсткости с. Если предположить, что сопротивление в пнев-
пневматике пропорционально скорости, и обозначить коэффи-
коэффициент сопротивления собственно пневматика при радиальных
перемещениях через Л„ [кгсек/м], то для коэффициента со-
сопротивления h [кг м сек) системы при угловых движениях
получим формулу
h = hBL2.
При одинаковых значениях hB коэффициенты сопротивления
систем относятся между собой как квадраты расстояний от

94
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
опорных площадок до осей качания
Большая серия опытов с целью изучения внутреннего
сопротивления автомобильного пневматика была проведена
в МВТУ им. Баумана. Примеры записанных кривых соб-
собственных колебаний, когда упругим элементом являлся авто-
автомобильный пневматик размером 7,50—17", при внутреннем
Фнг. 51. Кривые собственных колебаний, записанные по схемам
фиг. 42 и 50: а) N = 2,29; б) N=2,55; в) N=2,72;
г) N = 4,9; д) N=6,9 герц.
давлении воздуха р = 2,0 кг/см2 и статической радиальной
нагрузке на колесо GB = 800 кг показаны на фиг. 51.
Кривые записаны вибрографом BP-I на меловой бумаге,
запись проводилась на стендах, выполненных по схемам
фиг. 42 и 50.
Опыты, проведённые при различных частотах колебаний
и различных начальных амплитудах, показывают, что убы-
убывание амплитуд колебаний довольно стабильное и его можно
принять подчинённым закону геометрической прогрессии.
Тогда можно считать, что внутреннее сопротивление в авто-
автомобильном пневматике пропорционально скорости колебания.
Колебания вокруг оси О в этом случае совершаются по
закону

§ 14].
ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПНЕВМАТИКА
95
Как показали опыты, коэффициент линейного сопротив-
сопротивления h можно считать постоянным лишь для неизменной
частоты колебаний. Он является функцией частоты колеба-
колебаний, причём убывает с увеличением частоты. График изме-
изменения коэффициентов сопротивления от частоты колебаний
при статической радиальной нагрузке на колесо GK = 800 кг
/?в кгмсек
740
720
юо
во
60
40
2О
/р=/,5к8/смг
,/3=2,01 кг/см*
7,0 Ыкал/сек
Фнг. 52. Зависимость коэффициента сопротивления hB
от частоты колебаний для пневматика 7,50—17".
и различных внутренних давлениях воздуха в пневматике
представлен на фиг. 52. Для построения графика коэффи-
коэффициенты сопротивления h приведены к расстоянию от оси
качания, равному 1=1 л. В этом случае коэффициент
линейного сопротивления системы численно равен коэффи-
коэффициенту сопротивления собственно пневматика при радиаль-
радиальных колебаниях h = hB. Из графика видно, что с увеличе-
увеличением частоты колебаний коэффициент сопротивления h
уменьшается, но в меньшей степени, чем увеличивается
частота.
Рассмотрение графика показывает также, что произве-
произведение коэффициента сопротивления А и частоты колеба-
колебаний N увеличивается с увеличением N, что свидетельствует

96 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
о росте силы сопротивления с увеличением частоты ко-
колебаний.
Для иллюстрации сказанного подсчитаем работу сил
внутреннего сопротивления за один период колебаний при
условий, что амплитуда остаётся постоянной. Если от угло-
угловых колебаний перейти к прямолинейным, то будем иметь
z = Lty, z = z0 cos [it, а сопротивление R = hBz. Работа
сил внутреннего сопротивления за период колебания равна
«о ТЦ,
Rd 4h j z sin y.tdt = 2t?zlNhB,
т. е. работа сил внутреннего сопротивления пневматика про-
пропорциональна квадрату амплитуды, частоте колебаний и
коэффициенту сопротивления. Для постоянной амплитуды
эта работа пропорциональна произведению из частоты ко-
колебаний N на коэффициент сопротивления hB.s
Если внутреннее сопротивление в пневматике считать,
как это часто делается, постоянным, т. е. R = F = const.,
то работа сил внутреннего сопротивления за период коле-
колебаний не будет зависеть от частоты колебаний (скорости
деформации) и равна
so
= 4 J
Таким образом, опыты показывают, что сила внутреннего
сопротивления пневматика, определённая при статическом
нагружении и разгружении, не равна силе сопротивления
при колебаниях. Внутреннее сопротивление пневматика при
радиальных колебаниях можно считать пропорциональным
скорости, а коэффициент сопротивления зависящим от ча-
частоты колебаний.
На качение автомобильного пневматика по дороге без
колебаний затрачивается энергия, причём при качении по
дороге с твёрдым покрытием эта энергия идёт как на 'пре-
'преодоление сил поверхностного трения при проскальзывании
пневматика по дороге, так и на преодоление внутреннего
трения в материале пневматика. Суммарный эффект этих
явлений принято называть сопротивлением качению пнев-
пневматика.

§ 14] ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПНЕВМАТИКА 97
Исследования показывают1), что для ведомого колеса
проскальзывание элементов поверхности пневматика по дороге
мало, и сопротивление качению пневматика по дороге с твёр-
твёрдым покрытием в основном является следствием внутреннего
трения в материале пневматика.
При рассмотрении упругой радиальной характеристики
пневматика отмечено, что вследствие наличия внутреннего
трения при одной и той же величине радиального обжатия Д/?
Фиг. 53. Схема сил, действующих при качении
на ведомое колесо.
усилие при нагружении больше, чем при разгружении. При
качении ведомого колеса (фиг. 53) пневматик как бы нагру-
нагружается на участке / — 2 и разгружается на участке 2— 3,
вследствие чего суммарная нормальная реакция Z опорной
плоскости смещается по отношению к оси колеса в сторону
движения на расстояние а. Момент сопротивления качению Za
преодолевается активным моментом PR, который создаётся
толкающей силой Р.
При равномерном движении
PR = Za,
i) См., например, 3 и м е л е в Г. В., Теория автомобиля, Воен-
издат, 1951. В этой книге довольно подробно изложен вопрос о со-
сопротивлении качению.

98 Основные характеристики элементов системы (гл. iV
сила Рр направленная противоположно толкающей силе Р,
называется силой сопротивления качению. В случае равномер-
равномерного движения она равна по величине силе Р, т. е.
/>r = Z^- или Pf=Omf,
где f=-n коэффициент сопротивления качению, Ок — ра-
радиальная нагрузка на колесо.
При качении пневматика каждый его элемент деформи-
деформируется через некоторые промежутки времени. Методы непо-
непосредственного определения коэффициента сопротивления ка-
качению по гистерезису пневматика при однократном радиаль-
радиальном его обжатии в достаточной мере ещё не уточнены.
Поэтому коэффициент сопротивления качению определяется
обычно экспериментальным путём.
Коэффициент сопротивления качению может быть опреде-
определён или путём лабораторных испытаний колеса на специаль-
специальных стендах, или дорожными испытаниями. В дорожных
испытаниях коэффициент сопротивления качению чаще всего
определяется путём замера усилий, возникающих при движении
специальной прицепной тележки. По силе, требующейся для
качения тележки, и весу, приходящемуся на её колесо, можно
подсчитать величину коэффициента сопротивления качению.
Для определения коэффициента сопротивления качению
проведено довольно значительное количество опытов. Можно
считать, что при движении по дорогам с твёрдым покрытием
коэффициент сопротивления качению увеличивается по мере
уменьшения давления воздуха в пневматике. Коэффициент
сопротивления качению возрастает с увеличением скорости
движения, причём это возрастание особенно проявляется при
скоростях движения выше 50—60 км/час. При скоростях,
меньших 50—60 км/час, коэффициент сопротивления качению
может быть принят не зависящим от скорости движения.
Коэффициент сопротивления качению незначительно возрастает
с увеличением радиальной нагрузки на колесо. В практиче-
практических расчётах он может быть принят не зависящим от ра-
радиальной нагрузки.
Величины коэффициентов сопротивления качению можно
найти в специальной и справочной литературе1). В частности,
!) См. сноску на стр. 97, а также Энциклопедический справоч-
справочник «Машиностроение», т. XI, Машгиз, 1948.

§ 15j* КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ УВОДУ 99
для случая качения пневматика по асфальтовому шоссе, на-
находящемуся в удовлетворительном состоянии, этот коэффи-
коэффициент равен 0,018—0,020.
§ 15. Коэффициент сопротивления уводу и угловая
жёсткость пневматика
Коэффициент сопротивления уводу и угловая жёсткость
характеризуют свойства упругого пневматика при качении
под углом к вектору скорости центра колеса. Известно, что
качение пневматика под малым углом 0 к вектору скорости
происходит без скольжения. В этом случае обжатие пневма-
пневматика получается довольно сложным, и горизонтальные реак-
реакции дороги на пневматик приводятся к поперечной силе Y
и моменту М, стремящемуся повернуть колесо так, чтобы
оно катилось по направлению вектора скорости v. Зависи-
Зависимость поперечной силы Y и момента М от угла увода, т. е.
характеристики пневматика Y=-ft(})) и Ж = /2@), получают
в настоящее время экспериментальным путём. Нетрудно ви-
видеть, что при качении без скольжения под углом к вектору
скорости поперечная и угловая характеристики пневматика
будут вполне определёнными, не зависящими от состояния
дороги. Они будут полностью определяться конструкцией
пневматика и обода колеса, внутренним давлением воздуха
в пневматике и радиальной нагрузкой на колесо. Их с полным
основанием можно считать упругими характеристиками пнев-
пневматика. Для конкретного автомобильного колеса характе-
характеристики Y=^f1(b) и М = /2@) получают для различных ра-
радиальных нагрузок на колесо и давлений воздуха в пневма-
пневматике. Примерный вид таких характеристик изображён на
фиг. 54.
Опыты показывают, что при малых углах 0 (до 3—4°)
зависимость поперечной силы Y и момента М от угла О
очень мало отличается от линейной. При больших углах не-
нелинейность становится существенной, причём с увеличением
угла Ь всё большее значение приобретает увеличивающееся
скольжение пневматика по опорной поверхности.
Если качение под углом к вектору скорости совершается
при наличии скольжения в площадке контакта, реактивные
момент и поперечная сила будут определяться не только
вышеназванными условиями, но дополнительно характером и

100
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
состоянием дорожного покрытия. Совершенно очевидно, что
чем меньше коэффициент бокового сцепления пневматика
с дорогой, тем, при прочих равных условиях, при мень-
меньших углах Ь начнётся скольжение.
Экспериментальное определение поперечной силы и момента
можно производить и за пределами «чистого» качения, т. е.
Фиг.'54. Поперечные (а, б) и угловые (в, г)
упругие характеристики пневматика.
при наличии частичного или даже полного скольжения шины
по опорной поверхности V). Но в этом случае получают экспея
риментальные зависимости поперечной силы Y и момента М
от угла Й, не являющиеся упругими характеристиками пнев-
пневматика.
1) Местное скольжение пневматика по опорной поверхности
имеет место и при качении без угла увода 6.

§ 151* коэффициент сопротивления уводу 101
Коэффициент сопротивления уводу К = -пг определяется
по тангенсу угла наклона касательной к кривой У = /г(Ь)
в пределах её упругого участка. Как это следует из графи-
графиков (фиг. 54), величина коэффициента сопротивления уводу
зависит от угла увода и лишь для небольших углов может
быть принята постоянной. Коэффициент сопротивления уводу
численно равен величине поперечной силы, которая действо-
действовала бы со стороны дороги на пневматик при качении ко-
колеса под углом в один радиан к вектору скорости.
Угловая жёсткость пневматика о = —т=- определяется по
тангенсу угла наклона касательной к кривой Л1 = /2@)
(фиг. 54) в пределах её упругого участка. Угловая жёсткость
также зависит от угла, под которым катится пневматик, и
только для малых углов может считаться постоянной вели-
величиной. Угловая жёсткость пневматика численно равна вели-
величине момента, который действовал бы со стороны дороги на
пневматик при качении колеса под углом в один радиан
к вектору скорости.
Методы получения характеристик Г = /1@), Л1 = /2@)
в настоящее время ещё нельзя считать полностью разрабо-
разработанными. Для получения этих характеристик колесо прока-
прокатывают под различными углами к вектору скорости или
в лабораторных условиях на барабане, или в дорожных усло-
условиях на динамометрической тележке. При этом замеряют"
реакции, действующие со стороны опорной поверхности на
пневматик1). Определение поперечных сил и моментов на
барабане хотя и позволяет наилучшим образом использовать
измерительную аппаратуру, но не может считаться удовле-
удовлетворительным вследствие искажений, вносимых в обжатие
пневматика кривизной беговой поверхности барабана. Эти
искажения особенно существенны в случае установки колеса
под углом к оси барабана. При прокатывании колеса под
углом к вектору скорости на динамометрической тележке
полностью сохраняются рабочие условия обжатия пневматика,
так как последний катится по плоскости. Поэтому для полу-
получения поперечной и угловой характеристик автомобильного
!) Фалькевич Б. С, Диванов Н. В., Испытания авт<)-
мобиля, Мащгиз, 195?,

102
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
пневматика следует отдать предпочтение динамометрической
тележке.
Принципиальная схема замера реактивных усилий, дей-
действующих со стороны дороги на колесо, при прокатывании
его под углом к вектору скорости центра колеса па динамо-
динамометрической тележке изображена на фиг. 55.
Ось колеса может устанавливаться под различными уг-
углами 'J к вектору скорости v и в небольших пределах
Фиг„ 55. Принципиальная схема динамометрической
тележки.
является плавающей в горизонтальной плоскости. При букси-
буксировке тележки с колесом, установленным под углом 0 к век-
вектору скорости, со стороны дороги на колесо в горизонтальной
плоскости дороги действуют поперечная сила Y и момент М.
Для замера усилий поставлены датчики Др Д2, Д3,.Д4,
каждый из которых соединён с измерительным прибором,
регистрирующим давления, создаваемые в датчиках. Попе-
Поперечная сила Y воспринимается датчиком Дх, а момент, как
пара сил,—датчиками Д2, Д3, Д4.
Если обозначить силу сопротивления качению через Р
а М =
усилия:
р
то на датчики будут действовать следующие
(Рм > Pf),
датчик Д.,: Р2 = РМ — Рг
датчик Д4: Р^ = Рм-\-Рг,
датчик Д;!: Ps = Pf—Р„
{Pf > Рж).

§ 15] • КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ УВОДУ 103
Таким образом, замерив усилия, действующие на дат-
датчики, можно определить поперечную силу Y, момент М и
силу сопротивления качению Pf. По приведённой схеме вы-
выполнена динамометрическая тележка в автомобильной лабора-
лаборатории МВТУ им. Баумана. Чувствительными элементами в ней
являются гидравлические мембранные датчики, а регистрирую-
регистрирующими приборами — особо точные манометры. Сравнительно
Фиг. 56. Динамометрическая тележка.
небольшие перемещения опорных шайб гидравлических дат-
датчиков дают возможность сохранить стабильное положение
оси колеса как по отношению к вектору скорости, так и
к датчикам. Общий вид динамометрической тележки МВТУ
показан на фиг. 56. Ценное качество тележки заключается
в том, что она одновременно с поперечной силой позволяет
замерить и момент при качении колеса по дороге под раз-
различными углами к вектору скорости.
Приводим некоторые результаты опытов, проведённых на
этой тележке с целью получения характеристик К = /г@)
и М = /2@). На фиг. 57 и 58 показаны характеристики
К = /,F) пневматиков 7,50—17" и 6,50—20", полученные
при испытаниях на дороге с сухим .асфальтовым покрытием

104
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [гЛ. IV
при v — 5 км/нас. Сплошными линиями изображены хара-
характеристики для давления воздуха в пневматиках, равного
р = 1,5 кг/см2, и пунктирными линиями — для давления
р = 3,0 кг/см?. Из графиков видно, что максимальная попе-
поперечная сила увеличивается с увеличением радиальной на-
нагрузки на колесо. Поскольку боковое скольжение наступает
20
25 в"
Фиг. 57. Зависимость поперечной силы Y от угла
увода 6 для пневматика 7,50—17".
тем раньше, чем меньше радиальная нагрузка, при больших
радиальных нагрузках поперечная сила достигает своего
максимума при больших углах Ь. Графики подтверждают,
что для малых углов 6 зависимость поперечной силы от угла
можно считать линейной, а коэффициент сопротивления уводу
/(=-зг—постоянной величиной.
Значения коэффициентов сопротивления уводу К
[кг/радиан], определённые на основании упругих характери-
характеристик Y = ft(b) для различных радиальных нагрузок на ко-
колесо, представлены на фиг. 59 в виде графиков в зависи-
зависимости От давления воздуха в пневматике. Сплошными линиями

§ 15]
КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ УВОДУ
105
2S9C
Фиг. 58. Зависимость поперечной силы Y от угла
увода 6 для пневматика 6,50—20".
Ккг/радиан
7000
ВООО
5000
4000
3000-
2000
1000
500
650
8ОО
300 400 50О 6,r=6OO
15
2,0
2,5
3,0 ркг/смг
Фиг. 59. Изменение коэффициента сопротивления
уводу от давления воздуха в пневматике.

106
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
построены графики для пневматика 7,50—17", пунктирными
линиями—для пневматика 6,50—20". При изменениях радиаль-
радиальной нагрузки на колесо в пределах 30°/0 от номинальной
коэффициент сопротивления уводу возрастает как с увели-
увеличением нагрузки, так и с повышением давления воздуха
It
8-ST
Фиг. 60. Фотографии следа пневматика при качении под
углом 6 к вектору скорости.
в пневматике. В первом случае этот рост происходит вслед-
вследствие того, что с увеличением площадки контакта боковая
деформация пневматика распространяется на больший цен-
центральный угол, во втором случае—-при повышении давления
воздуха в пневматике возрастает его боковая жёсткость.
На фиг. 60 показаны фотографии следа пневматика
7,50—17" при качении его по фанере для различных углов О,
причём р = 2,0 кг/см2 и GK = 800 кг. Из рассмотрения при-
приведённых снимков видно, что при угле ') = 7°40' начинается
заметное проскальзывание пневматика по опорной поверх-

§ 15]
КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ УВОДУ
107
ности, которое быстро растёт с увеличением угла увода.
При качении с углами увода 0 < 7°40' проскальзывание пнев-
пневматика по опорной поверхности очень незначительно. Имеет
место главным образом деформация каркасной и протектор-
протекторной части шины, которую можно проследить по отпечаткам.
Несмотря на то, что коэффициент сцепления при качении
пневматика по фанере значительно больше такового при ка-
качении по гладкому асфальту, приведённые отпечатки вполне
согласуются с характером кривых изменения поперечных сил.
М(кгм;
Фиг. 61. Зависимость момента М от угла у код а 6
для пневматика 7,50—17" в случае сухого укатан-
укатанного асфальта и скорости движения v = 5 ~км\час.
Коэффициент поперечного сцепления при качении /п =
= ^гаах/^к> так же как максимальная поперечная сила и момент,
в большой степени зависит от вида и состояния дорожного
покрытия. При движении по повой гладко укатанной сухой
асфальтовой дороге для пневматика 7,50—17"/,, — 0,75-:-0,85,
а для пневматика 6,50—20" /п — 0,92 -.- 0,98. Коэффициент
поперечного сцепления пневматика при прокатывании по ста-
старому шероховатому асфальту составил 1,13.
Угловые характеристики пневматика размером 7,50—17"
для различных радиальных нагрузок на колесо показаны на
фиг. 61. Характеристики получены экспериментально на
сухой асфальтовой дороге при v = 5 км\час. Сплошными

108 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
линиями проведены графики для давления воздуха в пневма-
пневматике /7 = 3,0 кг/см?, пунктирными линиями — для давления
/7=1,5 кг/см2. Из графиков видно, что для малых углов
момент растёт с увеличением угла увода. При одних и. тех же
углах увода момент увеличивается с увеличением радиальной
нагрузки на колесо. Угол 0, при котором для данного пнев-
пневматика момент принимает максимальное значение, растёт
с увеличением радиальной нагрузки на колесо и равен при-
примерно половине угла для Ym&7L.
Упругие характеристики поперечной силы К = /1@) и
момента Ж=/2F) для малых углов увода можно в первом
приближении принять линейными:
где К, <з — соответственно коэффициент сопротивления уводу
и коэффициент угловой жёсткости пневматика, определённые
по соответствующим характеристикам при 6 = 0. Сравнение
с опытными данными свидетельствует о том, что для малых
углов 6 принятое приближение является достаточно хорошим.
Опыты показывают, что при изменениях радиальной на-
нагрузки на колесо в пределах ± 20°/0 от номинальной коэффи-
коэффициент сопротивления уводу и коэффициент угловой жёсткости
можно принять зависящими от нагрузки GK линейно. В част-
частности, для пневматика 7,50—17" при давлении воздуха
р = 2,0 кг/см? эта зависимость представлена графиками на
фиг. 62. По вертикалям на этих графиках отложены отно-
относительные коэффициент сопротивления уводу К' и коэффи-
коэффициент угловой жёсткости о', а по горизонтали — относитель-
относительное изменение радиальной нагрузки GK. За единицы приняты
номинальная нагрузка на колесо и соответствующие этой
нагрузке коэффициенты сопротивления уводу и угловой
жёсткости.
Поперечная сила и момент возникают не только при ка-
качении пневматика под углом к вектору скорости, но и в случае
наклона его средней плоскости. Проведённые на барабане
опыты по определению зависимости горизонтальных моментов
и поперечных сил от угла ty наклона средней плоскости
диска показали, что эти реакции увеличиваются с увеличением
угла ty, причём при 6 = 6° поперечная сила изменяется при-

§ 151
КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ УВОДУ
109
мерно на 10—15°/0 по сравнению с её значением в случае
отсутствия наклона (^ = 0)*).
Угол развала управляемых колёс в современных автомо-
автомобилях принимается в пределах от 0 до 2°. При прямолиней-
прямолинейном движении автомобиля с неразрезной осью поперечные
силы и горизонтальные моменты, действующие со стороны
дороги на колесо вследствие наличия угла развала, на правом
7,2
7.7
W
0,9
as
—¦
——
к'
^^
1 —
¦¦¦"
7,2
7,О
ав
QS
ол
аз аз
17 tf G*
Фиг. 62. Изменение коэффициентов со-
сопротивления уводу и угловой жёсткости
от радиальной нагрузки на колесо.
и левом колёсах имеют противоположные направления и урав-
уравновешиваются через поперечную тягу рулевой трапеции. При
малых угловых колебаниях неразрезной оси в вертикальной
плоскости изменение углов наклона колёс незначительно и
им можно пренебречь.
Что касается определения упругого момента, действующего
в поперечной вертикальной плоскости со стороны дороги
на колесо, а следовательно, и угловой жёсткости пневматика
в этой плоскости, то этот вопрос ещё ждёт своего разрешения.
Можно, однако, предполагать, что для малых углов ^ наклона
колеса этот момент будет незначительным по сравнению с упру-
упругим моментом, создаваемым поперечной силой Y относительно
оси колеса.
r) E ч е и с т о в Ю. А., Исследование увода мотоциклетных
шин, Вопросы машиноведения (сборник статей), Изд-во АН СССР,
1950.

Пб ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ (ГЛ. IV
§ 16. Жёсткость и внутреннее сопротивление
стержневого устройства подвески
Одним из упругих элементов подвески автомобиля является
П-образный стержень (фиг. 3 и 6), работающий при взаимных
поперечных угловых перемещениях кузова и оси. Он крепится
к раме или кузову автомобиля в двух резиновых втулках и
с помощью стоек через резиновые втулки и шайбы соеди-
соединяется с осью.
При приложении нагрузки к стойкам, кроме закручивания
стержня и изгиба его концов, деформации подвержены также
все резиновые элементы (втулки и шайбы)
Фиг. 63. Схема нагружения и записи собственных
колебаний.
Построить упругую характеристику стержневого устрой-
устройства на основании расчёта*) трудно вследствие сложной формы
стержня и наличия ряда резиновых элементов; поэтому сле-
следует отдать предпочтение опыту, тем более, что его поста-
постановка не вызывает затруднений. Для снятия упругой хара-
характеристики стержневого устройства может быть использована
схема, подобная изображённой на фиг. 63. При этом стер-
1) Мазалов Н. Д., Подбор и испытания стабилизаторов попе-
поперечной устойчивости легковых автомобилей. Сб. «Подвеска автомо -
биля», Изд-во АН СССР, 1951.

§ 16] ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВОГО УСТРОЙСТВА ПОДВЕСКИ Ш
жень / на стенде устанавливается в сборе со всеми его
резиновыми элементами 2 и 3 в таких же условиях, в каких
он находится на автомобиле.
На фиг. 64 для примера показана упругая характеристика
стержневого устройства передней подвески автомобиля
ЗИС-110, имеющего диаметр стержня 20 мм, длину рычагов
г = 200 мм и базу Ве = 1025 мм (фиг. 63). На этом гра-
графике по оси ординат отложено усилие Р, растягивающее
Рке
гоо
ж
МО
720
7ОО
во
ВО
4D
Рг
в—
/0
f
z2
\ZMM
О JO 20 ЗО 40 50 60 70 80 SO
Фиг. 64. Упругая характеристика стержневого устрой-
устройства подвески.
стойку, а по оси абсцисс — взаимное перемещение z по вер-
вертикали концов стоек. Отметим, что упругая характеристика
получается линейной лишь в окрестности изменения прямого
угла а. между рычагом и стойкой.
Жёсткостью стержневого устройства называется величина
крутящего момента, которую нужно приложить, например,
к корпусу автомобиля, чтобы закрутить его относительно оси
на угол, равный одному радиану, в предположении, что рес-
рессоры выключены. Жёсткость стержневого устройства
определяется по углу наклона касательной к средней линии
его упругой характеристики. Поэтому для определения жёстко-
жёсткости стержня, кроме упругой характеристики, дающей зависи-
зависимость Р от z, должна быть известна ещё и база стержня Во.

Ш Основные характеристики элементов системы (гл. IV
Тогда жёсткость устройства в случае линейной упругой ха-
характеристики определится из следующего выражения:
с.= — 1Дс [кгм/радиан].
Внутреннее сопротивление в стержневом устройстве со-
состоит из потерь в металле и резиновых элементах. Из гра-.
фика, представленного на фиг. 64, видно, что вследствие на-
наличия внутреннего сопротивления кривые при нагружении
и при разгружении не совпадают. По ординате, заклю-
заключённой между этими кривыми, можно сулить о силе вну-
внутреннего сопротивления при статическом нагружении и раз-
разгружении.
Определение внутреннего сопротивления при быстро ме-
меняющихся нагрузках производится с помощью изучения соб-
собственных колебаний. Аналогично методу, применяемому при
определении внутреннего сопротивления в пневматике, запи-
записывают собственные колебания определённой массы, нагру-
нагружающей исследуемый упругий элемент. Эти колебания при
наличии сопротивления в системе будут затухающими. Обра-
Обрабатывая кривые затухающих колебаний, можно определить
характер и величину внутреннего сопротивления стержневого
устройства.
Схема -нагружения и записи кривых собственных колеба-
колебаний системы изображена на фиг. 63. Если груз Р отклонить
вверх или вниз от положения равновесия и предоставить его
самому себе, он начнёт совершать собственные колебания.
Эти колебания и записываются вибрографом. Ввиду лёгкости
всех элементов стержневого устройства при достаточно за-
затянутых резиновых шайбах можно считать, что система,
изображённая на фиг. 63, имеет одну степень свободы. Необ-
Необходимая частота собственных колебаний задаётся изменением
величины груза Р. Примеры записанных кривых собственных
колебаний показаны на фиг. 65.
Результаты большого числа, произведённых опытов пока-
показали, что убывание амплитуд колебаний можно считать под-
подчинённым закону геометрической прогрессии, а внутреннее
сопротивление стержневого устройства для практических рас-
расчётов принять линейно зависящим от скорости. Для того
чтобы выяснить^ какие параметры колебательной системы
(фиг. 63) следует использовать для подсчёта соответствующего

§ 1б] ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВОГО УСТРОЙСТВА ПОДВЕСКИ Ш
коэффициента внутреннего сопротивления, напишем уравнение
собственных колебаний груза Р. Оно имеет вид
где/ = — В~о—-момент инерции груза Р относительно непо*
о
движной точки крепления стойки, сс — жёсткость стержневого
устройства, яс — коэффициент внутреннего сопротивления при
взаимных угловых перемещениях оси и рамы автомобиля,
Фиг. 65. Кривые собственных колебаний груза (фиг. 63) для
а) N = 2,86; б) ЛГ = 4,25; в) ЛГ = 5,85 герц.
<|) = zjBa — угол взаимного перемещения оси и рамы
автомобиля.
Коэффициент сопротивления я„ можно подсчитать на осно-
основании формул A3.11), A3.12). Если известен масштаб вре-
времени экспериментальной кривой, то
где Т— период полного колебания, 8 — отношение преды-
предыдущей амплитуды к последующей, расположенной через период.
Эта величина определяется из кривых затухающих колебаний
(фиг. 65). Если масштаб времени экспериментальной кривой
неизвестен, то
°~~
2 in 8
8 'J2K. 430- К. С. Ко.тсгникпв

114 основные Характеристики элементов системы (гл. iv
На фиг. 66 показан график изменения коэффициента со-
сопротивления кл [кгмсек] стержневого устройства автомобиля
ЗИС-110 в зависимости от числа колебаний в секунду. Коэф-
Коэффициент сопротивления ha уменьшается с увеличением частоты
40
32
Q8
ло
4.0
5,0 6,0
Ыкол/сек
7,0
Фиг. 66. Изменение коэффициента сопротивления
стержневого устройства от частоты колебаний.
колебаний, но это уменьшение происходит в меньшей про-
пропорции, чем рост частоты колебаний. Поэтому сопротивле.
ние h<$ растёт с увеличением частоты колебаний. В количе-
количественном отношении внутреннее сопротивление стержневого
устройства значительно меньше, чем, например, сопротивле-
сопротивление в пневматиках (фиг. 52).
§ 17. Жёсткость и внутреннее сопротивление рессор
Листовые рессоры и винтовые пружины сжатия являются
наибэлее распространёнными упругими элементами подвески
автомобиля. Упругая характеристика пружины может быть
или получена экспериментально, или построена по формуле
f=k
Od*
где /—осадка пружины, Р — нагрузка, сжимающая пружину,
D — средний диаметр нружины, п — число рабочих витков

§ 17j ЖЕСТК*ОСТЬ И ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ РЕССОР lie
пружины, G — модуль упругости второго рода, d — диаметр
прутка, из которого навита пружина, коэффициент k, зави-
зависящий от отношения диаметров, равен
* 1+ c
Таким образом, зависимость между силой Р и осадкой
пружины / в пределах рабочих нагрузок, когда число
рабочих витков пружины не меняется, является линейной.
Р кг
/200
/000
800
BOO
400
200
n
P,
A
у
//
>
A
у
t
/ft
/a
f
-
A
4Of. 80 720 ¦¦ /50 200
' /(mm;
Фиг. 67. Упругая характеристика листовой
рессоры.
Упругую характеристику листовой рессоры получают
обычно из опытов. Такая опытная характеристика одинна-
дцатилистовой рессоры показана на фиг. 67. На графике по вер-
вертикали отложена нагрузка Р на рессору, по горизонтали —
прогиб / средней опорной части рессоры. В пределах рабо-
рабочих нагрузок на рессору её упругая характеристика является
линейной.

116 ОСНОВЙЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ (ГЛ. IV
Жесткость рессоры численно равна величине нагрузки,
приходящейся на единицу перемещения опорной части рес-
рессоры. Жёсткость обычно измеряют в кг/м или кг/см и при
рабочей нагрузке на рессору определяют по углу наклона
средней линии упругой характеристики. В пределах рабочих
нагрузок жёсткость рессор можно считать постоянной и опре-
определять по формуле (фиг. 67)
с р*~р1
Жёсткость рессоры зависит от того, как стянуты её листы,
центровым болтом или стремянками. Если при испытании
средняя часть рессоры не затянута стремянками, что равно-
равноценно как бы увеличению длины рессоры, то её жёсткость
несколько уменьшается.
Однако жёсткость подвески отличается от жёсткости её
упругих элементов. Это объясняется направляющим устрой-
устройством подвески, т. е. способом соединения упругих элемен-
элементов с корпусом и осью колеса. Для зависимой рессорной
подвески это различие является следствием влияния подвиж-
подвижного кронштейна, а' для независимой пружинной подвески —
следствием влияния рычагов подвески.
Чтобы уменьшить изменение высоты автомобиля с изме-
изменением нагрузки и вместе с тем иметь мягкую подвеску
в пределах рабочих нагрузок, характеристику подвески стре-
стремятся делать нелинейной. Под упругой характеристикой под-
подвески понимается зависимость между нормальной нагрузкой Р
на ось и проекцией / перемещения оси на направление дей-
действующей нагрузки. Для того чтобы при линейной характе-
характеристике рессоры получить желаемую нелинейную характери-
характеристику подвески, применяют чаще всего несколько упругих
элементов. Наряду с основными ставят дополнительные упру-
упругие элементы, которые действуют после перемещения колеса
на определённую часть хода.
Примерный вид упругой характеристики подвески показан
на фиг. 68. На этом графике отмечены номинальная на-
нагрузка Р„ на подвеску и соответствующий ей номинальный
прогиб /я. При прогибах, меняющихся в интервале ft—/2,
жесткость подвески меняется только из-за изменения поло-
положения подвижного кронштейна рессоры или рычагов подвески.
При перемещениях, больших /2 и меньших fv включаются

§ 1-7] жёеткЪсть и внутренйее сопротивление рессор 117
в работу дополнительные упругие элементы, вследствие чего
жёсткость подвески резко возрастает.
Для изучения колебаний в подвеске функцию Р = P(f)
упругой характеристики подвески в окрестности номинального
прогиба /я разложим в ряд Тейлора. Имеем:
получим
где с' —жёсткость подвески, определённая по упругой хара-
характеристике подвески в точке, соответствующей номинальному
Р
Удерживая только линейные члены разложения,
функцию первого приближения в виде
Фиг. 68. Упругая характеристика подвески
автомобиля.
прогибу /„. В первом приближении эта жёсткость может
быть лринята постоянной и равной
Рассмотрим угловую жёсткость подвески. Под угловой
жёсткостью подвески понимают изменение момента угругих
сил подвески на единицу изменения угла ty поворота оси отно-
относительно корпуса автомобиля (кгм/радиан). Угловая жёсткость
обусловливается угловой жёсткостью стержневого устройства

lie
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
и угловой жёсткостью, создаваемой рессорами или пружи-
пружинами. Для зависимой подвески последняя может быть под-
подсчитана так (фиг. 69, а):
4 — ? Cp«fipo'
При независимой подвеске (фиг. 69, б)
В случае неразрезной оси и рессорной подвески приведённое
выражение для подсчёта угловой жёсткости можно применять
Фиг. 69. Угловые перемещения передней оси:
а) при зависимой и б) при независимой под-
подвеске.
лишь при небольших угловых перемещениях, когда скручи-
скручивание рессор несущественно. При больших угловых переме-
перемещениях скручивание рессор существенно увеличивает угло-
угловую жёсткость рессорной подвески. Опыты показывают, что
в зависимости от расстояния между рессорами это увели-
увеличение достигает 5—25%.
Возникающее в рессорах трение складывается из двух
частей: а) из молекулярного трения внутри металла листов
и б) из поверхностного трения между соприкасающимися
1) Корпус автомобиля считается неподвижным, а рычаги ОК
подвески согласованно повёртываются, как показано на схеме.

§ 17] ЖЁСТКОСТЬ И ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ РЕССОР Ц9
листами, между рессорными втулками и пальцами вследствие
их относительного скольжения. Молекулярное трение зависит
от объёма материала, напряжения, возникающего в нём, от
качества материала и по своей величине является незначитель-
незначительным по сравнению с поверхностным трением. Величина по-
поверхностного трения зависит от качества соприкасающихся
поверхностей, наличия смазки между ними и удельного да-
давления.
При статическом нагружении и разгружении сила трения
в направлении прогиба рессоры определяется по петле гисте-
гистерезиса (фиг. 67). Для изучения трения в рессоре при коле-
колебаниях следует применить способ записи собственных коле-
колебаний, когда упругим элементом системы является рессора.
Поскольку поверхностное трение зависит от удельных давле-
давлений между трущимися поверхностями, рессора в колеба-
колебательной системе в положении равновесия должна быть
нагружена номинальной нагрузкой.
Для записи кривых собственных колебаний при малых
частотах может быть применена колебательная система, схема
Фиг. 70. Схема для записи колебаний
рессоры с низкими частотами.
которой показана на фиг. 70. Так как груз Р должен не
только задавать частоту собственных колебаний системы,
но и создавать нагрузку на рессору, то эта схема не позво-
ляет записать собственные колебания в значительном диапа-
диапазоне частот. В этом отношении схема колебательной системы,
показанная на фиг. 71, несмотря на более сложное устрой-
устройство, обладает значительным преимуществом. Здесь рессоры

120.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
2 н 3 соединены между собой балкой, несущей грузы Q.
Номинальная нагрузка на рессоры создаётся балкой, грузами Q
и. главным образом винтовой стяжкой 4, усилие в которой
замеряется динамометром. Если известна упругая характери-
характеристика рессоры, требуемую нагрузку также можно определить
по стреле прогиба рессор.
. В этой колебательной системе балка с грузами Q совер-
совершает угловые колебания в вертикальной плоскости относи-
относительно точки О. Так как величина грузов Q не связана
щ
л
<
<
7
b
п
0
4
—V--
V77?
j
\з
Фиг. 71. Схема колебательной системы, упругими
элементами которой являются рессоры.
с обеспечением номинальной нагрузки на рессоры, то грузы
и расстояния от них до неподвижной точки О подбираются
такими, чтобы получить требуемую частоту собственных колеба-
колебаний. Если расстояние Врс между рессорами сделать доста-
достаточно большим, то при малых угловых отклонениях <J< изменение
прогиба рессор в направлении осей z будет значительным,
а скручивание рессор — малым. Для учёта влияния скручи-
скручивания рессор расстояние Врс надо взять равным расстоянию
между рессорами на автомобиле.
Вследствие трения в рессорах собственные колебания будут
затухающими. Они записываются^ самописцами или виброгра-
вибрографами / (фиг. 70 и 71). На основании обработки кривых
затухающих колебаний определяется величина и характер
сил сопротивления, возникающих в рессорах. Поскольку
основная часть трения в рессорах появляется вследствие
взаимного скольжения листов рессоры, характер сопротивле-
сопротивления рессоры .является довольно сложным^ Приближённо его

§ 18] : * ЖЁСТКОСТЬ РУЛЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ 121
можно считать постоянным, более точно — выражающимся через
полином скорости.
' Внутреннее сопротивление в спиральной пружине, как
показывают опыты, очень незначительно по сравнению с со-
сопротивлением, возникающим в рессоре. В независимой рычаж-
рычажной подвеске, кроме сопротивления в пружине, следует учесть
и сопротивление в шарнирных соединениях.
Нелинейные сопротивления в рессорах и шарнирных соеди-
соединениях подвески вызывают большие затруднения при изучении
колебаний систем со многими степенями свободы. Особенно
большие затруднения возникают при исследовании устойчи-
устойчивости движения. При исследовании угловых колебаний нераз-
неразрезной оси в вертикальной плоскости упрощающим обстоя-
обстоятельством является небольшое расстояние между рессорами,
что уменьшает влияние сопротивления рессор на эти колебания.
§ 18. Жёсткость рулевого управления, установленного
на автомобиле
Рассмотрим некоторые особенности рулевого управления
(фиг. 9 и 12).
Если управляемые колёса лишить сцепления с опорной
поверхностью и приложить к ним момент в плоскости, пер-
перпендикулярной к осям шкворней, то колёса будут поворачи-
поворачиваться вокруг шкворней. Этот поворот в общем случае воз-
возможен за счёт зазоров во всех сочленениях, деформации
рулевой тяги и её упругих элементов, деформации поворотных
рычагов, сошки руля и изменения взаимного расположения
оси и рамы автомобиля. При обратимом рулевом управлении
после преодоления суммарного момента сопротивления, в том
числе и сопротивления в рулевом механизме, поворот упра-
управляемых . колёс вызовет также поворот рулевого колеса.
В этом случае упругая характеристика рулевого управления,
представляющая зависимость нагружающего момента Mf от
угла 0 поворота колёс, может быть определённой только при
закреплённом рулевом колесе или заблокированном рулевом
механизме. Выбор места блокировки не имеет решающего
значения. Это объясняется, во-первых, тем, что угол закру-
закручивания рулевого вала и его колеса мал вследствие их сравни-
сравнительной жёсткости, во-вторых, тем, что добавочный угол
поворота колёс вокруг шкворней будет в I раз меньше угла

123 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
закручивания вала и рулевого колеса, если i— передаточное
число рулевого управления (обычно / = 15-=-25).
Приближённую упругую характеристику рулевого упра-
управления можно получить и расчётным путём. При этом необ-
необходимо в первую очередь учесть деформации наименее жёстких
элементов системы (резиновых втулок, пружин, поворотных
Динамометр
Фиг. 72. Схема снятия упругой характеристики
рулевого управления.
рычагов, сошки). Однако ввиду многочисленности элементов,
входящих в рулевое управление, действительную упругую
характеристику определяют экспериментально.
Экспериментальное снятие упругой характеристики руле-
рулевого управления, установленного на автомобиле, удобно про-
производить по замкнутой схеме, изображённой на фиг. 72. Для
этого колёса автомобиля освобождаются от сцепления с опор-
опорной плоскостью, а рулевое колесо закрепляется в положении,
соответствующем прямолинейному движению, два рычага /
длиною b крепятся своими фланцами к ступицам колёс, про-
противоположные концы рычагов стягиваются стяжкой, которая.

18J
ЖЁСТКОСТЬ РУЛЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ
123
имеет винты с левой и правой резьбами. Для замера усилий
в стяжку включён динамометр. Замер углов поворота произ-
производится для каждого колеса отдельно индикаторами или
другими регистрирующими приборами. Тормозные барабаны
затормаживаются в таком положении, чтобы рычаги и стяжка
находились в одной плоскости, перпендикулярной к осям
шкворней. Преимущество рассматриваемой схемы состоит
в том, что для создания нагружающего момента не требуется
внешних по отношению к автомобилю упоров. При равен-
равенстве длин рычагов оба колеса нагружаются одинаковыми
моментами. Углы поворота
левого и правого колёс из
нейтрального положения бу-
будут различными, так как для
одного из них в упругую
систему включена дополни-
дополнительно поперечная тяга.
При закреплённом в ней-
нейтральном положении рулевом
Фиг. 73. Упругая характеристика
рулевого управления.
колесе вследствие наличия
зазоров и трения в много-
многочисленных сочленениях поло-
положение управляемых колёс не
является точно определён-
определённым. Поэтому необходимо
тщательно исследовать пе-
переход колёс через нейтраль-
нейтральное положение, т. е. при
повороте колёс справа налево и наоборот. Этот переход
даёт возможность судить о наличии зазоров в сочленениях
системы.
Суммарный момент, приложенный к колёсам, равен уд-
удвоенному произведению усилия, действующего в стяжке, на
расстояние d от стяжки до оси О шкворня. Поперечная
тяга рулевой трапеции нагружается усилием от половины
суммарного момента, тогда как рулевая тяга, сошка
и рулевой механизм нагружаются полным суммарным
моментом.
Примерный вид упругой характеристики рулевого упра-
управления, установленного на автомобиле, показан на фиг. 73.
По оси ординат на графике отложен суммарный момент,

124 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
приложенный к управляемым колёсам, по оси абсцисс — угол
поворота колёс.
Жёсткость рулевого управления определяется по углу
наклона касательной к средней линии упругой характеристики.
Для изучения колебаний управляемых колёс вокруг шкворней
разложим упругую характеристику Мр = /8@) рулевого
управления в окрестностях 0 = 0 в ряд Тейлора. Имеем:
Удерживая только члены первого приближения и принимая
во внимание, что (МрH = 0, получим:
fdMb\
где cp = \—jcr) —жёсткость рулевого управления, опреде-
определённая при 0 = 0.
Таким образом, жёсткость рулевого управления есть изме-
изменение момента на единицу угла поворота колёс. Жёсткость
рулевого управления численно равна моменту, который нужно
приложить к управляемым колёсам в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к осям шкворней, при закреплённом в нейтральном
положении рулевом колесе, для того, чтобы вызвать их по-
поворот на угол, равный одному радиану.
На фиг. 74 представлена упругая характеристика руле-
рулевого управления одной из моделей автомобиля ЗИС-110,
снятая непосредственно на автомобиле. Кинематическая схема
рулевого привода показана на фиг. 72. Вследствие некоторой
упругости рулевой трапеции левое колесо поворачивается
на больший угол по сравнению с правым. Эта разница в углах
поворота увеличивается при повороте влево. Однако для прак-
практических расчётов можно принять жёсткость рулевой трапе-
трапеции бесконечно большой по сравнению с жёсткостью-руле-
жёсткостью-рулевого управления и считать, что при малых углах колёса
поворачиваются на одинаковые углы. Приведённая характе-
характеристика является как раз примером, когда первое прибли-
приближение для функции Мр = /3@) является вполне удовлетвори»
тельным.
. Можно ли применить полученную описанным методом
жёсткость рулевого управления для исследования колебаний

жесткость Рулевого
125
колёс вокруг шкворней, если на автомобиле установлено
обратимое рулевое управление? При малых амплитудах руле-
рулевое колесо остаётся неподвижным, так как возникающие
в рулевом управлении силы упругости воспринимаются как
трением в_рулевом механизме, так и руками шофёра. При
Левое колесо
Правое колесо
200
Г6О
гго
во
40
Поворот влево
8 6 4 2
V,
7/
Мр кгм
,т
6 89s
Поворот вправо
40
ВО
120
160
200
Фиг. 74. Экспериментальная упругая харак-
характеристика рулевого управления.
развившихся колебаниях наблюдаются колебания и рулевого
колеса. В этом случае упругий момент рулевого управления
является неопределённым. Поэтому лишь для малых амплитуд
колебаний управляемых колёс, при которых не вызывается
ещё поворот рулевого колеса, можно воспользоваться жёст-
жёсткостью рулевого управления, определённой описанным выше
способом.

12б ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ (гЛ. iV
§ 19. Внутреннее сопротивление рулевого управления
Внутреннее сопротивление рулевого управления состоит
из трения в металле, трения в шкворневых соединениях,
в резиновых элементах и шарнирных соединениях рулевых
тяг, в рулевом механизме. Величина внутреннего сопротивле-
сопротивления в многочисленных сочленениях рулевого управления
зависит от качества приработки сопрягаемых деталей, каче-
качества сборки и регулировок, технического состояния рулевого
управления, наличия и качества смазки и ряда других причин,
которые в процессе эксплоатации автомобиля могут меняться.
Вполне понятно, что сопротивление в деталях и сочленениях
рулевого управления можно определить только для вполне
конкретного состояния механизма.
При повороте управляемых колёс на угол 0 внутреннее
сопротивление рулевого управления зависит от того, каким
способом совершается поворот управляемых колёс: моментом,
прикладываемым к рулевому колесу или непосредственно
к управляемым колёсам при закреплённом рулевом колесе.
В первом случае сопротивление в рулевом управлении будет
значительно больше, чем во втором, вследствие низкого коэф-
коэффициента полезного действия рулевого механизма. Для изу-
изучения колебаний управляемых колёс вокруг шкворней вну-
внутреннее сопротивление рулевого управления надо определять
при неподвижном рулевом колесе.
Внутреннее сопротивление в рулевом управлении характе-
характеризуется половиной вертикального отрезка между кривыми
упругой характеристики в случаях нагружения и разгружения.
Величина этого сопротивления уменьшается, если характе-
характеристика снимается до меньших нагрузок. Чтобы ответить на
вопрос, какова будет величина сопротивления при быстро
меняющихся нагрузках, т. е. при колебаниях, надо проана-
проанализировать собственные колебания колёс вокруг шкворней.
Схема нагружения для записи собственных колебаний
колёс вокруг шкворней изображена на фиг. 75". Ось авто-
автомобиля поднимается на подставки, колёса освобождаются от
сцепления с опорной плоскостью и устанавливаются в поло-
положение, соответствующее прямолинейному движению азтомо-
биля. В этом положении и закрепляется рулевое колесо. Так
как поперечная тяга рулевой трапеции является достаточно
жесткой, а момент инерции рулевой тяги относительно шквор-

§ 19] ВНУТРЕННЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ РУЛЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ \$
ней О мал по сравнению с моментами инерции колёс, то
можно считать, что эта колебательная система имеет одну
степень свободы. Упругими элементами её являются пружины
рулевой тяги и рулевая сошка.
Фиг. 75. Схема нагружения рулевого управ-
управления для записи собственных колебаний.
Не изменяя устройства упругих элементов системы, полу-
получить собственные колебания колёс с разчичными частотами
можно изменением моментов инерции колёс относительно
осей шкворней. Это изменение удобно производить с помощью
вспомогательной балки А (фиг. 75). Изменение момента
инерции системы достигается тем, что вспомогательная
балка А прикрепляется на различных расстояниях от оси
вращения О. Тормозной барабан затормаживается в таком

128
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [гл. IV
положении, чтобы балка находилась в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к оси шкворня. Чтобы не увеличивать погреш-
погрешностей, вызываемых упругостью поперечной тяги рулевой
трапеции, вспомогательную балку надо прикреплять к тому
колесу, которое соединено непосредственно с рулезой тягой.
Если колёса из нейтрального положения отклонить на
первоначальный угол 'Jo и предоставить самим себг, то под
действием упругих сил они будут совершать собственные
г)
Фиг. 76. Кривые собственных колебаний управляемых
колёс при частотах: а) N — 2,1; б) N = 2,34; в) N = 2,69;
г) N=3,12; д) N = 4,12 герц.
колебания. Вследствие наличия внутреннего сопротивления
в системе эти колебания будут затухающими. Запись колеба-
колебаний производится самописцем или вибрографом, укреплённым
на автомобильной оси. Для получения стабильных результатов
перед записью производится необходимое предварительное
обжатие системы.
На фиг. 76 показаны кривые собственных колебаний
управляемых колёс вокруг шкворней при рулевом управлении,
упругая характеристика которого представлена на фиг. 74.
Обработка этих кривых показывает, что закон изменения
сопротивления рулевого управления довольно сложный. Для
практических расчётов можно принять, что сопротивление
состоит из двух частей: одна часть является сухим трением,
вторая же часть пропорциональна скорости. Как постоянное

§20]
СОПРОТИВЛЕНИЕ АМОРТИЗАТОРОВ
129
сопротивление F, так и коэффициент линейного сопроти-
сопротивления Лр зависят от частоты колебаний. Обе эти величины
уменьшаются с увеличением частоты колебаний, причём по-
постоянное сопротивление уменьшается очень незначительно.
Характер изменения этих величин показан в виде графиков
на фиг. 77, где по вертикали отложены значения коэффи-
коэффициента линейного сопротивления hf [кг м сек] и постоянного
ЛрКгмсе/е
Ркгм
3.0 4Х> 5.0 &0 7.0 Ытл/сек
Фиг. 77. Характеристика трения рулевого управления.
сопротивления F\kzm], а по горизонтали — число колебаний
в секунду.
Как уже было сказано в начале параграфа, величина и
характер сопротивления зависят от технического состояния
рулевого управления, от устройства его упругих элементов.
Для более полной характеристики сопротивления недостаёт
опытных данных.
§ 20. Сопротивление амортизаторов
Для гашения колебаний корпуса автомобиля на рессорах
в подвеску включаются демпферы, которые в автомобильной
литературе и практике получили название амортизаторов.
Несмотря на наличие трения в рессорах и шарнирных соеди-
соединениях, в подвеску дополнительно включаются амортизаторы,
позволяющие придать силам сопротивления наиболее жела-
желательный характер. На современных автомобилях применяются

130
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
почти исключительно гидравлические амортизаторы. Их устрой-
устройство и принцип работы кратко описаны в § 2.
Зависимость силы сопротивления R, создаваемой гидравли-
гидравлическим амортизатором, от скорости в общем случае может
быть выражена следующим образом:
R = Aaift,
где Ла — коэффициент сопротивления амортизатора, z — ско-
скорость вертикального перемещения оси колеса относительно
корпуса, k — показатель некоторой степени. В зависимости
R
Сжатие-
-Отбой
Фиг. 78. Характеристика гидравлического
амортизатора.
от конструкции клапанов амортизатора и вязкости жидкости
показатель степени k может быть больше, равен или меньше
единицы.
Характеристикой амортизатора называется зависимость
силы сопротивления от скорости перемещения конца рычага.
Характеристики амортизаторов определяются опытным путём.
Типичная характеристика гидравлического амортизатора
показана на фиг. 78. В начале координат она претерпевает
излом, поэтому её разложение в ряды Тейлора должно быть
произведено отдельно при работе амортизатора на отбой
(ось удаляется от корпуса автомобиля) и при работе на
сжатие (ось сближается с корпусом).
При работе на отбой:

§ 20] • СОПРОТИВЛЕНИЕ АМОРТИЗАТОРОВ 131
При работе на сжатие
Так как при z = 0, /?от = Rox = 0, удерживая только линей-
линейные члены разложения, получим:
Яот = Ла от* (г > 0),
Яся = Ла ож^ (z < 0),
где /?oti Rex — силы сопротивления на конце рычага аморти-
амортизатора соответственно при работе на отбой и при работе
на сжатие, h& От» Ла сх — коэффициенты сопротивления амор-
амортизатора при работе на отбой и при работе на сжатие,
определённые по углу наклона касательной к характеристике
в окрестности z = 0. Так как сопротивление амортизатора
при работе на сжатие увеличивает жёсткость подвески, то
коэффициент сопротивления сжатия подбирается обычно
меньше, чем коэффициент сопротивления отбоя. При работе
на отбой амортизатор поглощает основное количество меха-
механической энергии, запасённой корпусом.
Во многих случаях на характеристике амортизатора можно
выделить ряд участков, близких к прямолинейным. Таких
участков имеется обычно два в области отбоя и два в области
сжатия. При практических расчётах их можно заменить
прямыми линиями, тангенсы углов наклона которых и будут
характеризовать коэффициенты сопротивления амортизатора.
Таким образом, характеристика современного амортиза-
амортизатора является нелинейной, а коэффициент сопротивления
амортизатора — переменной величиной. При исследовании
малых колебаний характеристики многих амортизаторов можно
считать линейными, однако с различными наклонами при
работе на сжатие и при работе на отбой. Иными словами,
при ходе на сжатие и при ходе на отбой должны быть
учтены два разных коэффициента сопротивления.
На фиг. 79 представлены характеристики передних амор-
амортизаторов автомобиля ЗИС-110 (с — левого, б—правого),
снятые в координатах R, z. Характеристики получены опыт-
опытным путём. Коэффициенты сопротивления левого и правого

132 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
амортизаторов, определённые по углам наклона касательных
к средним линиям характеристик, при малых скоростях z
соответственно равны Аа 01 == 1,71; 2,30 и Аасж = 0,53;
0,76 кг сек/см.
До сих пор некоторое распространение(особенно в завод-
заводской практике) имеют характеристики амортизаторов, снятые
R/сг
10 ZO 30 40 50 z слг/сех
Ю 2О 30 40 50 ZCM/сек
Фиг. 79. Экспериментальные характеристики:
а) переднего левого и б) переднего правого ги-
гидравлических амортизаторов автомобиля ЗИС-110
в координатах R, г.
в координатах: сила — перемещение рычага. Примеры таких
характеристик для тех же двух амортизаторов ЗИС-110
показаны на фиг. 80. Их получают в результате испытаний
при определённом числе колебаний в минуту (обычно 70) и
ходе конца рычага амортизатора (обычно 100—ПО мм).
Согласно этим характеристикам о работе амортизатора судят
по максимальному усилию на конце рычага, что нельзя счи-
считать правильным.
Амортизатор, установленный на автомобиле, работает
при различных частотах колебаний и переменных ходах конца
рычага. Условия работы амортизатору задаются совместными

§20]
СОПРОТИВЛЕНИЕ АМОРТИЗАТОРОВ
133
перемещениями оси и корпуса. Поэтому о работе амортиза-
амортизатора нужно судить не по максимальному усилию при опре-
определённом ходе и заданной частоте колебаний, а по величине
этого усилия при различных скоростях движения конца рычага.
Зная характер изменения усилия на конце рычага амортиза-
амортизатора в зависимости от изменения скорости его движения,
а)
5&ЫОЗО 2О
вО1-
47-
70
40-
ВО'
0}
йкг
70
20 30 40 ~M0zcm
80-
40-
30 20
Ю
40-
йкг
20 30 4О \50 гсм
60-
Фиг. 80. Экспериментальные характеристики:
а) переднего левого и б) переднего правого ги-
гидравлических амортизаторов автомобиля ЗИС-110
в координатах R, г.
можно подсчитать силу сопротивления амортизатора для
любой скорости его перемещения.
Рассмотренные характеристики, а также приведённые
коэффициенты сопротивления амортизаторов получены из
опытов при низких частотах колебаний @,5—1,5 герц),
которые соответствуют частотам колебаний корпуса авто-
автомобиля на рессорах. Именно для гашения этих колебаний и
включаются амортизаторы в систему подвески. Частоты соб-
собственных колебаний оси значительно больше частот колебаний
корпуса. Перемещения оси относительно корпуса во время
возбуждения колебаний управляемых колёс происходят с от-
относительно малыми амплитудами и большими частотами. Как

134 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
работает амортизатор в этих условиях, т. е. при больших
частотах и очень малых амплитудах, например при ампли-
амплитудах конца рычага в 1—2 мм и частотах в 5—10 герц,
насколько нам известно, ещё не установлено. Из рассмо-
рассмотрения конструкции гидравлических амортизаторов (фиг. 7)
и их характеристик (фиг. 79), на которых имеются большие
несовпадения кривых «нагрузки» и «разгрузки», можно сде-
сделать вполне обоснованное предположение, что сопротивление
амортизаторов будет иным, нежели при малых частотах и
больших амплитудах. При малых амплитудах и больших
частотах через клапаны амортизаторов прогоняются малые
объёмы жидкости с частой переменой направления движения.
Это нарушает работу клапанов.
Было бы, следовательно, неправильным применять для
исследования малых колебаний с большими частотами коэф-
коэффициенты сопротивлений амортизаторов, определённые при
малых частотах и значительных амплитудах колебаний. Это
обстоятельство надо иметь в виду при изучении колебаний
оси в вертикальной плоскости.

ГЛАВА V
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 21. Предварительные замечания
Автомобильная ось с управляемыми колёсами, так же как
и всякая другая автоколебательная система, является нелиней-
нелинейной колебательной системой. Амплитуды, частоты и формы
автоколебаний, а также существование стационарного авто-
автоколебательного режима могут быть определены только из
решения нелинейных уравнений, что для системы со многими
степенями свободы сопряжено с большими трудностями.
Автоколебания управляемых колбе вредны для нормальной
работы автомобиля и должны устраняться; при их возникно-
возникновении движение автомобиля недопустимо. Заниматься опре-
определением амплитуд и форм колебаний нет необходимости, так
как они не имеют практического значения. Задача изучения
автоколебаний управляемых колёс заключается в выявлении
соотношений параметров колебательной системы, при которых
могут возникать автоколебания. Эти соотношения являются
очень важными. Изменением некоторых параметров можно
добиваться, чтобы они не выполнялись и, следовательно,
система лишалась способности к самовозбуждению колебаний.
Если не удаётся полностью лишить систему автоколебатель-
автоколебательных свойств, то соотношения параметров надо сделать неблаго-
неблагоприятными для самовозбуждения колебаний. Пусть такая система
будет способна самовозбуждаться только на высоких, не
имеющих практического значения скоростях движения авто-
автомобиля. Эту практически важную задачу можно разрешить
на основании исследования малых колебаний, когда уравнения
движения приводятся к линейным.
Понятно, что, решая задачу в линейном приближении, мы
оставляем открытым вопрос о существовании стационарного

136 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
автоколебательного режима. Здесь мы можем сослаться на
опыт. Практика эксплоатации автомобилей показывает, что
при сохранении прямолинейного движения корпуса прямоли-
прямолинейное движение управляемых колёс может стать неустойчи-
неустойчивым, причём при качении без скольжения неустойчивость
имеет колебательный характер. Приведённые на фиг. 34 и 94
записи движений управляемых колёс показывают, что в случае
потери устойчивости устанавливается стационарный колеба-
колебательный режим системы, т. е. мы имеем дело с автоколеба-
автоколебаниями. Поэтому, руководствуясь данными опыта, мы иногда
будем отождествлять нарушение устойчивости движения
системы с самовозбуждением автоколебаний. В дальнейшем
рассматривается задача о малых колебаниях управляемых
колёс и изучаются условия самовозбуждения системы.
При исследовании колебаний управляемых колёс авто-
автомобиля возникает ряд трудностей. С одной стороны, точность
теоретического решения зависит от того, насколько полно
учтены связи рассматриваемой автоколебательной системы
с другими колебательными системами автомобиля. С другой
стороны, чем точнее решать задачу, тем большее число
параметров и степеней свободы надо рассматривать, что услож-
усложняет решение и приводит к громоздким и трудно обозримым
результатам. Кроме того, точность изготовления оси с колёсами
такова, что параметры колебательной системы не являются
строго определёнными. В некоторых пределах они могут
принимать любые значения. Поэтому для того чтобы получить
достаточные для практики сравнительно простые выводы,
целесообразно, сделав ряд допущений, несколько идеализи-
идеализировать систему.
§ 22. Уравнения движения
Будем предполагать корпус автомобиля настолько массив-
массивным, что он не совершает никаких колебаний и движется
равномерно и прямолинейно. Передняя ось, кроме равно-
равномерного движения вместе с корпусом, совершает малые
колебания в просвете между корпусом автомобиля и по-
полотном дороги. Величину этого просвета будем считать по-
постоянной.
Расчётная схема, составленная на основании устройства
автомобильной оси с управляемыми колёсами, показана на

§ 22]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
137
фиг. 81. Силы и параметры, относящиеся к левому колесу,
обозначены индексом 1, а относящиеся к правому — индексом 2.
Рулевое колесо остаётся неподвижным, и колебания колёс
Фиг. 81. Колебательная система оси с управляемыми
колёсами.
вокруг шкворней происходят за счёт упругости рулевого
управления.
В соответствии с выбранной системой координат (§ 4,
фиг. 3) положение оси с колёсами относительно корпуса
определяется тремя независимыми координатами:
1) координатой z центра тяжести передней оси автомо-
автомобиля, отсчитываемой по вертикали от положения равновесия,

138 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
причём z > 0 при отклонении вверх от положения равно-
равновесия;
2) углом <|» поворота передней оси вокруг координатной
оси х, положительное значение которого отсчитывается от
горизонтального положения передней оси в направлении вра-
вращения часовой стрелки, если смотреть по ходу автомобиля
(фиг. 81);
3) углом 8 поворота колёс вокруг шкворней, отсчитывае-
отсчитываемым от положения средней плоскости обода, параллельного
оси х, причём положительное направление отсчёта соответ-
соответствует повороту колёс вправо; принимается, что колёса жёстко
связаны между собой и при колебаниях вокруг шкворней
повёртываются одновременно на одинаковые углы 6.
В дополнение к обозначениям, принятым в главе IV, обо-
обозначим через /^ момент инерции передней оси автомобиля
с колёсами относительно координатной оси х; iK — сумму
полярных моментов инерции обоих колёс; / — момент инерции
колбе и рулевой трапеции при повороте колёс вокруг осей
шкворней; т — массу оси с колёсами.
При составлении уравнений движения будем считать, что
силы и моменты сопротивления пропорциональны первым
степеням соответственно линейных и угловых скоростей
движения. Как показывают опыты, такая зависимость спра-
справедлива для основных сил сопротивления, имеющихся в рас-
сматриваемой колебательной системе. В общем случае коэф-
коэффициенты Ae, A^ и Аг сопротивлений, соответствующих изме-
изменениям координат 6, ^ и z, выражаются через коэффициенты
сопротивления составных частей системы.
Колебания колёс вокруг шкворней гасятся сопротивлением
рулевого управления и, следовательно,
Ае = Ар.
На повороты оси, соответствующие изменению угла ty, ока-
оказывает влияние сопротивление пневматиков, рессор, аморти-
амортизаторов, стержневого устройства. Так как линейная скорость
радиальной деформации пневматика равна В'^2, где В— рас-
расстояние между пневматиками, то момент сил сопротивления
пневматиков будет равен квВЩ2. Моменты сил сопротивле-
сопротивления рессор, амортизаторов и стержневого устройства соот-
соответственно равны Ар05р0^/2, (Aaow+Aa от) В1Щ4, Л^. Отсюда
найдём выражение суммарного коэффициента сопротивления

§ 22] . УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 139
при изменении координаты ty:
В2 В3 В2
Аф = Л„ ~2 ~\- fli0 -7} 1- (Аа еж + Аа от) -? -\~ Ас-
Вертикальным колебаниям оси, соответствующим изменению
координаты г, препятствуют сопротивления в пневматиках,
рессорах и амортизаторах. Стержневое устройство в этом
случае не работает. Суммарный коэффициент сопротивления Az
равен удвоенной сумме всех составляющих сопротивлений, т. е.
Az = 2 (Ав -+- Аа еж + Аре) ДЛЯ 2 > О,
Аг = 2 (Ав -j- Аа от -\- Аре) для z <С О
(здесь скорость z имеет знак обратный принятому на
фиг. 78 и 79).
Уравнения'движения оси с управляемыми колёсами отно-
относительно корпуса автомобиля с учётом гироскопической связи
запишем в следующем виде:
- ср0 — гяЩ = Mit
,Ф + /,9$=,М+, B2.1)
¦ 2срог = Qz.
Здесь 2 = V/R — угловая скорость вращения колёс; V—ско-
V—скорость автомобиля; c^ — угловая жёсткость подвески; Мь, М^,
Qz — моменты и сила, действующие на систему со стороны
дороги при изменениях соответственно координат 6, if, z и
выражающиеся через реакции дороги на пневматик, которые
при приведении к центру контакта сводятся к нормальной силе Z,
поперечной силе Y, продольной силе X, моменту М и силе
сопротивления качению Pf.
Поскольку координата z отсчитывается от положения равно-
равновесия передней оси, вертикальная сила Qz равна приращению
суммы нормальных реакций на пневматики при изменении их
радиального обжатия на величину г, т. е.
Перепишем третье уравнение B2.1) так:
z -\- ezz -f- c2sz = О,
где „. .
"г
т ' zm

140 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
Это уравнение оказывается не зависящим от первых двух и
его решение имеет вид
г = zoe~ -' ¦•' cos (^ + ?г). B2<2)
Здесь z0 и »г — константы, определяющиеся начальными
условиями; ;л = 1/ с\ — (-о^)" — круговая частота вертикаль-
вертикальных колебаний оси.
При вертикальных прямолинейных колебаниях оси, которым
соответствует изменение координаты z, суммарное сопро-
сопротивление, состоящее из сопротивления пневматиков, рессор и
амортизаторов, является значительным. Следовательно, коэф-
коэффициент затухания должен быть велик, и вертикальные колеба-
колебания оси, как это следует из выражения B2.2), будут довольно
быстро затухать. В дальнейшем при рассмотрении колебаний,
соответствующих изменению координат ф и 0, вертикальные
колебания оси можно не учитывать.
Обозначим через / расстояние от центра колеса до оси
шкворня, через А — расстояние от опорной плоскости до центра
тяжести оси в положении равновесия, через C — угол наклона
шкворня в продольной плоскости, причём угол C принимается
положительным, когда верхний конец шкворня наклонён назад,
а нижний — вперёд. Будем считать, что для малых колебаний
смещение центра контактной площадки в поперечном напра-
направлении мало по сравнению с конечной величиной /.
Силы Zv Yv X, Pft создают моменты относительно оси ле-
левого шкворня, соответственно равные Zxl$, — YXR^, XI, — Pfil.
Суммарный момент реакций левого и правого колёс отно-
относительно осей шкворней равен
— Pf,)l-\-2Xl, B2.3)
где
При изменении координаты ^ от поперечных сил Y и верти-
вертикальных сил Z возникает момент

§ 22] • УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 141
Угловая жёсткость подвески состоит из жёсткости сс
стержневого устройства и жёсткости, создаваемой рессорами,
и равна
В2
с — с -А-с —— Г22 5"»
Поперечную силу Y и момент М для малых углов 0 счи-
считаем пропорциональными этим углам:
К = /О), ЛГ = а6, B2.6)
где /Си о — коэффициенты сопротивления уводу и угло-
угловой жёсткости, равные сумме соответствующих коэффи-
коэффициентов для правого и левого колёс. Эти коэффициенты
несколько меняются в зависимости от вертикальной нагрузки
на колесо. При угловых колебаниях оси в вертикальной
плоскости происходит только перераспределение нагрузки
с одного колеса на другое, и сумма вертикальных нагрузок
на оба колеса остаётся величиной постоянной. Так как
в пределах ± 20°/0 изменения радиальной нагрузки попереч-
поперечная сила Y и момент М зависят от этой нагрузки линейно,
то коэффициенты К и о можно считать постоянными, опре-
определяемыми при номинальной нагрузке на пневматик.
Вертикальные реакции ZY и Z2 пропорциональны радиаль-
радиальным обжатиям пневматиков
В
в
B2.7)
где ZCT — статическая нагрузка на пневматик.
Силы сопротивления качению Pfl и Pf2 будем принимать
пропорциональными вертикальным нагрузкам на колесо,
а коэффициент сопротивления / считать величиной постоян-
постоянной. Тогда
Pn = ZJ, Pf2 = Z2f. B2.8)
Момент продольных сил X относительно осей левого и
правого шкворней, как было выяснено в § 7 G.5), равен

142 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
Коэффициент iJPIR? является как бы приращением момента
инерции катящегося колеса, а момент iRBlQty/2FB является
упругим моментом связи между угловыми колебаниями оси
в вертикальной плоскости, характеризуемыми координатой ^,
и колебаниями колёс вокруг шкворней (координата 6).
На основании B2.6)—B2.8) и G.5) выражения B2.3) и
B2.4) перепишем в виде
Bl
B2.9)
После подстановки значений моментов Мь, Жф B2.9)
в первые два уравнения B2.1) получим:
где
суть коэффициенты затухания при колебаниях, характери-
характеризуемых координатами Ь и ф;
'i = '+?'- B2.12)
— приведённый момент инерции колёс относительно шквор-
шкворней;
— квадраты парциальных частот;
D^w B2Л4)
— коэффициенты гироскопической связи, причём коэффи-
коэффициент D, кроме гироскопической связи iKll1Rt выражает и

§ 22] * УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 143
упругую связь, пропорциональную скорости <{<; коэффициент
этой связи /EB//2it/?3;
— коэффициенты упругой связи, причём коэффициент Н1
характеризует, кроме того, интенсивность перехода энергии
от источника в колебательную систему.
Мы вывели, таким образом, уравнения малых колебаний
управляемых колёс автомобиля B2.10). Коэффициенты этих
уравнений определяются элементарным образом через пара-
параметры колебательной системы по выражениям B2.11)—B2.15).
Для малых колебаний радиус колеса будем считать величи-
величиной постоянной. Как это следует из рассмотрения парамет-
параметров системы (см. гл. IV), коэффициенты уравнений B2.10)
являются постоянными.
Рассматриваемая нами сложная система с двумя степенями
свободы состоит из двух связанных друг с другом систем,
каждая из которых обладает одной степенью свободы. Такие
системы называются парциальными. Парциальная система
получается из полной, когда все координаты, кроме рассма-
рассматриваемой, равны нулю.
При ty = 0 (отсутствуют угловые колебания передней
оси в вертикальной плоскости) уравнение колебаний колёс
вокруг шкворней будет таким:
При Ь = 0 (отсутствуют колебания колёс вокруг шкворней)
уравнение угловых колебаний оси в вертикальной плоскости
имеет вид
Каждая из выделенных парциальных систем способна со-
совершать только затухающие колебания
Никакого самовозбуждения колебаний в парциальных системах

144 уравнения движения [гл. v
возникать не может. Отбрасывая связи, существующие
между парциальными системами, мы получаем в рассматри-
рассматриваемом случае системы, качественно отличные от исходной,
лишаем исходную систему её основного свойства — способ-
способности к самовозбуждению колебаний. Поэтому автоколебания
управляемых колёс автомобиля не могут совершаться в пар-
парциальных системах, выделенных из передней оси.
Предположим, что частное решение системы дифферен-
дифференциальных уравнений B2.10) имеет вид
где Л9, Лф и р — некоторые постоянные величины. Подста-
Подставляя B2.16) в B2.10), получим два уравнения для опреде-
определения Л9, Лф и р:
W + ЧР+Еь) А» + (- DVp+H) Лф = 0, \
A^O.f ( • 7)
Система B2.17) линейных однородных уравнений относи-
относительно неизвестных Лв и А^ имеет ненулевое решение, если
определитель этой системы равен нулю:
—DVp + H
Это и есть уравнение для определения характеристического
показателя р, которое можно переписать так:
—HHt = 0. B2.18)
Решение этого уравнения четвёртой степени представляет
довольно трудную задачу. Поэтому на практике часто при-
прибегают к приближённым методам. Пример такого решения
приведён в § 25.
Анализ коэффициентов уравнения B2.18) показывает,
что наиболее вероятным является случай, когда это уравне-
уравнение имеет две пары комплексно-сопряжённых корней, у ко-
которых действительные части обозначим через е и ¦») и мнимые

§ 22] * УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 145
через q и г:
pl2 = s±iq, \ B2.19)
Этот случай имеет наибольшее практическое значение, по-
поскольку, как показывают опыты, рассматриваемое движение
оказывается всегда колебательным (затухающим или нара-
нарастающим).
Так как колебания в рассматриваемом случае не являются
гармоническими, то говорить об их частотах, строго говоря,
нельзя. В таких случаях принято называть собственными
частотами комплексные величины р B2.19), действительная
часть которых равна коэффициенту затухания или нараста-
нарастания, а мнимая часть — частоте гармонического сомножителя
затухающего или нарастающего колебания.
Найдём из уравнения B2.17) отношение амплитуд
Оно равно
.-А,- -DVp + Н ~ ^ ^
Отношение двух амплитуд для данной частоты есть величина
постоянная, определяющаяся параметрами системы и не за-
зависящая от начальных условий. Это означает, что амплитуда
колебаний частоты q в одной координате может быть про-
произвольной величиной, в то время как амплитуда колебаний
этой же частоты в другой координате будет всегда нахо-
находиться в определённом отношении к амплитуде в первой
координате. Величину к называют коэффициентом распреде-
распределения амплитуд по координатам.
Определив корни уравнения B2.18) pv plt p2 и р.2 и
подставив их в уравнения B2.17), получим соответственно
по четыре постоянных значения коэффициентов Aiv Л01, Лф1,
Лф1, Л92, Л92, Л^, Лф2, которые также являются попарно
комплексно-сопряжёнными величинами1). Подставляя pt, pt,
р2 и р2 в соотношение B2.20), найдём соответственно две
пары комплексно-сопряжённых величин Xlt kl и л2, л2.
1) Чёрточка наверху обозначает здесь комплексно-сопряженную
величину.

146 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
Решение уравнений B2.10) в развёрнутом виде можно
записать так:
B2.21)
Если обозначить
2Л9.2 = А2е'-*>, к.2 = v*4.
то выражения B2.21) можно записать в тригонометрической
форме
Ь = А±егг cos {qt -\- cpt) -(- A^f cos (rf -|- cp2), \
ф = ^Л«1'со8(^+?1 + а1)+ B2.22)
-f- /l2VT'f cos J
Постоянные величины Av A.2, cpj и <р2 произвольны и
определяются из начальных условий. Величины е, т], q, r,
vlf v2, «j и a2 определяются параметрами системы.
Если величины е и -rj будут отрицательными, каждая
координата 6 и 6 совершает затухающие колебания с двумя
частотами q и г и соответственно с двумя коэффициентами
затухания е и ¦»). Коэффициенты распределения vt и v2 —
величины комплексные; это значит, что начальная фаза ко-
колебаний одной и той же частоты в различных координатах
различная, фазы сдвинуты на величины <xt и «2, которые
определяются параметрами системы и не зависят от началь-
начальных условий.
Рассматриваемая система отличается от обычных систем
с трением. Кроме трения, она имеет гироскопические и
упругие связи, соотношение между которыми меняется в за-
зависимости от скорости движения автомобиля. Вообще говоря,
соотношения параметров системы и скорость движения
автомобиля могут быть такими, что действительные части е
и г\ характеристического показателя р будут не отрицатель-
отрицательными, а нулевыми или положительными.
Если одна из действительных частей, например е, будет
нулевой, а другая t\ — отрицательной, то колебания обеих

§ 22] . УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 147
координат с частотой q будут гармоническими, а с частотой
г — затухающими. При одной положительной действительной
части, например в, и другой т\ — отрицательной, колебания
обеих координат с частотой q будут нарастающими, а с ча-
частотой г — затухающими. Нарастание амплитуд колебаний
происходит за счёт поступления энергии от источника в ко-
колебательную систему. Опыты показывают, что как только
амплитуды колебаний увеличатся настолько, что колебания
будут совершаться в нелинейных областях характеристик,
нарастание амплитуд прекратится. Колебания с частотой г
быстро затухнут, и в дальнейшем колебания обеих коорди-
координат будут продолжаться с одной частотой q и постоянными
амплитудами. Это и есть автоколебания управляемых колёс
автомобиля.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
B2.10) правильно описывают лишь начальный период раз-
развития колебаний, когда они совершаются в пределах линей-
линейных участков характеристик. В дальнейшем нелинейность
играет решающую роль. Однако линейные уравнения позво-
позволяют подойти к решению основной задачи в изучении авто-
автоколебаний управляемых колёс автомобиля, а именно: к опре-
определению соотношений между параметрами системы и ско-
скоростью равномерного движения автомобиля, при которых
колебания становятся не затухающими, а нарастающими. По
существу, это задача об устойчивости движения; она будет
рассмотрена в следующей главе.
Отметим один частный случай, когда малые колебания
управляемых колёс являются чисто гармоническими. Это
имеет место, если сопротивление в системе равно нулю,
т. е. е9 = вф = 0, и соотношение между гироскопическими и
упругими связями удовлетворяет равенству DHt — DtH = 0.
Характеристическое уравнение в этом случае будет уравне-
уравнением частот
+ DD, 1/2) р2 _|_ ?9яф _ ННХ = 0,
имеющим корни
Р\, 2 = ~ т
+ DDl Vy —

148
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V
§ 23. Уравнения движения при наличии дисбалансов колёс
Рассмотрим случай, когда центры тяжести колёс не сов-
совпадают с их осями вращения. Схематически такой случай
показан на фиг. 82, где на колёсах на одинаковых (для про-
простоты) расстояниях г изображены дополнительные массы т',
которые и вызывают указанное несовпадение.
Радиусы колёс с пневматическими шинами всегда не-
несколько отличаются один от другого, вследствие чего взаим-
взаимное расположение дисбалансов левого и правого колёс не
Фиг. 82. Расположение дисбалансов на управляе-
управляемых колёсах.
остаётся постоянным. Оно изменяется и потому, что из-за
неровностей дорожного покрытия и непрямолинейности траек-
траектории движения колёса за одинаковые промежутки времени
проходят различные пути.
Рассмотрим наиболее неблагоприятное для колебаний ко-
колёс вокруг шкворней взаимное расположение дисбалансов,
когда последние расположены в одной плоскости с перед-
передней осью автомобиля, но по разные стороны от неё (фиг. 82).
При таком расположении дисбалансы создают как бы внеш-
внешние гармонические силы, вызывающие угловые колебания оси
в вертикальной плоскости и колебания колёс вокруг шквор-
шкворней. Частота этих гармонических сил пропорциональна ско-
скорости движения автомобиля, а амплитуда пропорциональна
квадрату этой скорости.

§ 23] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСОВ 149
Величина центробежной силы будет равна
F =
где Q, как и раньше,—угловая скорость колеса. Суммар-
Суммарный момент центробежных сил относительно шкворней равен
МнР — 2/7 cos Qt
(если угол Qt отсчитывается от плоскости, перпендикулярной
к осям шкворней). В вертикальной плоскости эти силы создают
момент
— FB sin Qt.
Уравнения колебаний оси и управляемых колёс автомобиля
при наличии дисбалансов можно получить из B2.10) добавле-
добавлением в правые части уравнения внешних гармонических сил.
Получим:
О + з,') + ЕЬЬ — DQi + Щ = FjQ* cos Qt, .
$ ? h /J = F.^ sin Qt,
где
„ 2/ra'r/ „ m'rB
остальные коэффициенты соответствуют прежним обозначе-
обозначениям B2.11) —B2.15).
Уравнения B3.1) являются уравнениями вынужденных ко-
колебаний оси и колёс под действием гармонических сил, про-
пропорциональных квадрату скорости автомобиля. Решение этих
уравнений состоит из общего решения однородных (без пра-
правой части) уравнений и частного решения неоднородных урав-
уравнений. Общее решение однородных уравнений, найденное
в § 22,
О = Ate« cos {qt + «^ + А.2е^ cos (rt-\-<?2),
ty = A^e** cos (qt + ?t + at) + A.2x2e^ cos (rt + »2 + ai)<
выражает собственные колебания в системе. Для автоколе-
автоколебательной системы они могуг быть и нарастающими.

150
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V
Частное решение уравнений B3.1) будет выражать вы-
вынужденные колебания. Его можно искать в виде
Ь = AHlcosQt-\-AH.2sin Qt, ty = Лф1 cos Qt-\-A^sin Qt. B3.2)
После подстановки решения B3.2) в систему B3.1) получим
четыре уравнения для определения коэффициентов Л91, Л92,
(Ев —
= 0,
j Q^ _— 0
?) Q2 JL I J-J Д s Q Д _|_ (?. Qp"\ Д.9 == р J
Отсюда найдём выражения для коэффициентов
DQ9 Я
(Яф-22)
Я — D22
Я
Я
Нх
— 22)
Н
DQ2
Я
Я
(Ee — 22
Я1
Я
Dt22
B3.3)
^62»
BЪЛ)
, B3.5)
, B3.

§ 23] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСОВ 151
Н
— О3)
где
DQ Я
, B3.7)
B3.8)
— определитель системы уравнений B3.3).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1°. Трением в системе, гироскопическими и одной упру-
упругой связями можно пренебречь, т. е. ц = 8ф=О = О1=//=0.
Тогда из B3.4) —B3.8) имеем:
Ал... =
(Ен-Щ(Е^-Щ'
Обозначив
^9 „2 * V9 /-OQ О\
па" — '9' "па — 'ф* ^iO.yj
запишем выражения для координат Ь и <|> в следующем виде:
Й = 1 cos Qf = Д, cos 2f,
B3.10)
где разность фаз обоих колебаний B3.10) равна
o^arctg °/?'Д~1).

152
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[гл. v
Амплитуды вынужденных колебаний пропорциональны ве-
величине дисбаланса т'г и зависят от квадратов отношений
парциальных частот собственных колебаний к угловой ско-
скорости вращения колёс. Так как по условию система имеет
одностороннюю упругую связь Н^ФО, то гармоническая сила,
вызывающая изменение координаты Ь, через эту упругую
связь вызывает изменение и координаты <j». Амплитуда вынуж-
вынужденных колебаний координаты ф существенно увеличивается
Фиг. 83. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний
от угловой скорости вращения колёс в случае, когда
е9 = %ij = D = Dx = Н = 0.
от наличия упругой связи. Если угловая скорость вращения ко-
колёс совпадает с парциальной частотой У^, то амплитуды
вынужденных колебаний в обеих координатах с течением
времени возрастают до очень больших величин. Такое явле-
явление называется резонансом. Совпадение угловой скорости
.вращениячколёс с парциальной частотой У~Е^ приводит к бес-
бесконечно -большому нарастанию амплитуд только для коор-
координату ф и не оказывает никакого влияния на амплитуды
колебаний координаты f), так как в системе не существует
связи для передачи колебаний от координаты ^ к.координате 0.
При беспредельном увеличении скорости движения автомо-
автомобиля, когда 4fjj<Cll и
амплитуды вынужденных ко-
колебаний становятся равными FL и F^. Зависимость амплитуд

§ 23] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСОВ 153
вынужденных колебаний от угловой скорости вращения ко-
колёс иллюстрируется графиком (фиг. 83).
Реальная колебательная система всегда обладает трением
и в ней амплитуды вынужденных колебаний остаются огра-
ограниченными даже при совпадении частоты внешней силы с пар-
парциальными частотами колебаний системы.
При наличии дисбаланса вынужденные колебания в си-
системе существуют всегда, частота этих колебаний равна ча-
частоте внешней силы. Иными словами, колёса и ось делают
по одному полному колебанию за каждый оборот колеса.
2°. В системе существует двусторонняя упругая связь.
Трением и гироскопическими связями можно пренебречь, т. е.
Из B3.4) —B3.8) получим:
F?? Щ - Щ
- Q»)
г-(Еь - i») (?+ - Щ' л+а - HHj-iEt - Щ (Е^ - Щ'
Выражения для координат Ь и 6 с учётом B3.9) будут сле-
следующими:
b=A1cos(Qt+at),
К • )
где
B3.12)
и разность фаз обоих колебаний
а9 = arc ig -
Амплитуды вынужденных колебаний, как и в предыду-
. щем случае, пропорциональны -величине дисбаланса и -зави-

154
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V
. сят от квадратов отношений парциальных частот к угловой
скорости вращения колёс. Они, кроме того, зависят от упру-
упругих связей. Отличие от предыдущего случая заключается
в том, что амплитуды колебаний беспредельно возрастают
не в случае совпадения угловой скорости вращения колёс
с одной из парциальных частот, а при
ЯЯ^ОЧтг-ОСТ»*-1).
Это равенство с ростом угловой скорости выполняется дважды:
перед достижением низшей парциальной частоты \^Eq и после
И
14
Фиг. 84. Зависимость амплитуд вынужденных коле-
колебаний от угловой скорости вращения колёс в случае
е9 = Е+ = D = Dx = 0.
превышения высшей парциальной частоты YEif, т. е. при
1$ > 1 и f| < 1. Зависимость амплитуд вынужденных коле-
колебаний от угловой скорости вращения колёс изображена на
графике (фиг. 84). Из выражений B3.12) следует, что дву-
двусторонняя упругая связь способствует увеличению амплитуд
колебаний в обеих координатах, причём это увеличение де-
делается менее значительным с повышением угловой скорости
вращения колёс. Упругая связь не устраняет возможности
резонанса, а лишь смещает момент его возникновения.
3°. В системе существует двусторонняя гироскопическая
связь. Трением и упругой связью можно пренебречь, т. е.
ев = Еф = Н = Ht = 0.

§ 23] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСОВ
Из B3.4) —B3.8) получаем:
155
_ Q2) _
Тогда
— cos!
•sin
B3.13)
Здесь, так же как и при наличии только упругих свя-
вей, колебания могут достигать бесконечно больших вели-
величин. Двусторонняя гироскопическая связь смещает моменты
Фиг. 85. Зависимость амплитуд вынужденных коле-
колебаний от угловой скорости вращения колёс в случае
// # ()
возникновения бесконечно больших амплитуд колебаний.
Беспредельное нарастание амплитуд имеет место как при
угловой скорости, меньшей низшей парциальной частоты
q, так и при угловой скорости, большей чем высшая пар-
парциальная частота Ye^, т. е. при -ft > 1 и при -^<1

156
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V
(фиг. 85). Так как сумма работ гироскопической связи за
период колебаний равна нулю, то гироскопическая связь
вынужденные колебания в одной координате усиливает,
а в другой уменьшает.
4°. Трением и одной упругой связью можно пренебречь,
т. е. ?б = гф = Я=0.
Из B3.4) —B3.8) имеем:
-491 =
B3.14)
[(tS-D (tV-O-
Н D
B3.15)
Представив выражения для координат 0 и Ь в виде B3.11),
найдём значения амплитуд At и Л2 из следующих формул:
B3.16)
Знаменатель выражений B3.14) и B3.15) никогда не
обращается в нуль. Это означает, что при наличии гиро-
гироскопической и упругой связей амплитуды колебаний не могут
увеличиваться беспредельно даже при отсутствии трения.
Они остаются всегда конечными.
5°. Трение в системе мало, а упругие и гироскопические
связи являются существенными, т. е.
Нхф0, D-ф О, DX ф 0.

§ 23] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСОВ
Из B3.4) —B3.8) получаем:
¦ = ^i (T<v— 1) (Те — 1)(Тф—ч—DDt ^ — I
157
B3.17)
л,,д = _/>, {?[(т;_1)^-0-f]-^} -
Q2 '
H;D
B3.17')
где
= [(те - 1) (ТФ - 0
^ (HtD -
B3.18)
Как и в предыдущем случае, значения амплитуд колеба-
колебаний определяются из формул B3.16).
Определитель Д, как видно из B3.18), может обращаться
в нуль при HD — HDt. Это означает, что если соотноше-
соотношение упругих и гироскопических связей удовлетворяет этому
равенству, то амплитуды вынужденных колебаний в системе
могут нарастать беспредельно. Беспредельное нарастание
амплитуд колебаний имеет место при такой угловой ско-
скорости вращения колёс, когда
т. е. один раз при ^>1 и второй раз при т|< 1-
Таким образом, если в системе существует только упру-
упругая связь или только гироскопическая связь, то при неко-
некоторых угловых скоростях вращения колёс амплитуды выну-
вынужденных колебаний могут беспредельно возрастать. Когда

158 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
связи односторонние, наибольшее возрастание амплитуд про-
происходит при совпадении угловой скорости вращения колёс
с одной из парциальных частот системы (fe = 1 или -ц = 1).
При двусторонних связях беспредельное нарастание ампли-
амплитуд происходит при ^9 > 1 и ПРИ TL < 1 •
Если в системе одновременно существуют и упругая и
гироскопическая связи, то при односторонних связях Н и Dt
или #! и D амплитуды вынужденных колебаний остаются
всегда конечными, причём наибольших величин они дости-
достигают, когда fe > 1 и "(. < 1. При односторонних связях Н
и D или Ях и D± амплитуды вынужденных колебаний бес-
беспредельно нарастают при -ув =^ 1 и -( = 1. Когда упругие и
гироскопические связи являются двусторонними, то при
Hfi = HDX амплитуды вынужденных колебаний могут нара-
нарастать до бесконечно больших величин, а если HtD ф HDV
они остаются всегда конечными, причём наибольших вели-
величин достигают, когда f9 > 1 и -^ < 1.
6°. Существенными являются как трение, так и все связи.
Этот случай является наиболее общим.
Значения коэффициентов Леь А%2, А|4. Л^, а следова-
следовательно, и амплитуд вынужденных колебаний можно найти,
используя формулы B3.4) — B3.8), но получаемые выраже-
выражения ещё более громоздки, чем предыдущие, и мы их выпи-
выписывать не будем. Рассмотрим определитель системы B3.8).
Имеем:
+ ±[I(//1D_//D1)_ee(T»- 1)-ч(та-1)]\ B3.19)
Если
^(Я1С-ЯЛ1)-вв(т»-1)-в+(т;-1) = 0 B3.20)
и при той же угловой скорости вращения колёс
-T-ODi = 0. B3.21)
то определитель Д обращается в нуль. Следовательно, если
в системе существуют упругие и гироскопические связи, то
даже при наличии трения амплитуды вынужденных колеба-

§ 23] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСОВ 159
ний могут достигать бесконечно больших величин. Для этого
необходимо, чтобы одновременно удовлетворялись равенства
B3.20) и B3.21).
Во всех рассмотренных случаях решение системы диф-
дифференциальных уравнений B3.1) вынужденных колебаний
состоит из общего решения уравнений без правой части и
частного решения уравнений с правой частью. В соответ-
соответствии с этим колебания координат Ь и ty будут состоять из
суммы собственных колебаний, рассмотренных в § 22, и
вынужденных колебаний. Если собственные колебания являются
затухающими, они обычно быстро исчезают и в системе
происходят только вынужденные колебания с частотой внеш-
внешней силы, равной угловой скорости вращения колёс. Когда
собственные колебания являются нарастающими, суммарные
колебания будут довольно сложными. Они состоят из нара-
нарастающих колебаний, частота которых равна частоте собствен-
собственных колебаний, и вынужденных колебаний, происходящих
с частотой внешней силы. При наличии дисбалансов колёс
вынужденные колебания существуют всегда, и для заданных
параметров системы их амплитуда зависит только от ско-
скорости движения автомобиля.
Опыты показывают, что амплитуды вынужденных коле-
колебаний, так же как и «амплитуды» собственных нарастающих
колебаний, не могут возрастать до больших и тем более до
бесконечно больших величин. Они всегда остаются конеч-
конечными. Это объясняется тем, что полученные решения спра-
справедливы только для линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, какими являются уравнения B3.1). Коэф-
Коэффициенты этих уравнений можно считать постоянными только
для малых колебаний. Как только амплитуды колебаний
возрастут до таких величин, что функции Y = fx(b),
M = f2(l>) и МР=/8(Й) нельзя будет считать линейными,
коэффициенты уравнений станут переменными, а сами урав-
уравнения, кроме того, нелинейными. Для них выше приведённые
решения, конечно, несправедливы.
Из пунктов 5° и 6° следует, что если соотношение упру-
упругих и гироскопических связей таково, что HtD — HD1 равно
малой величине или нулю, то амплитуды вынужденных коле-
колебаний могут достигать больших или даже бесконечно боль-
больших величин. Такое соотношение связей при наличии дис-
дисбаланса является невыгодным.

160 Уравнения движения (гл. V
Обратный вывод получается при рассмотрении малых
колебаний управляемых колёс при отсутствии дисбаланса.
В § 31 будет показано, что если #tD — HDt равно нулю
или малой величине, то в этом случае колебания будут
всегда затухающими. Иными словами, равенство
является условием невозможности самовозбуждения колеба-
колебаний, когда колёса не имеют дисбаланса. Поэтому для умень-
уменьшения амплитуд вынужденных колебаний Нельзя стремиться
увеличивать разность HtD — HDt. Чтобы вынужденные коле-
колебания были практически неощутимыми, колёса надо подвер-
подвергать тщательной балансировке с тем, чтобы дисбаланс в них
свести к малой величине.
Значения парциальных частот для существующих автомо-
автомобилей таковы, что при малых скоростях движения -^е > 1 и
•у. > 1, а при больших скоростях (у многих автомобилей
даже при средних) -у9 < 1 и у < 1. Такое изменение коэф-
коэффициентов -j9 и -у. для наиболее употребительных в прак-
практике скоростей движения является невыгодным. При наличии
дисбаланса оно приводит к появлению вынужденных колеба-
колебаний со значительными амплитудами.
§ 24. Уравнения движения с учётом плоско-
плоскопараллельного движения корпуса автомобиля
При колебаниях управляемых колёс корпус автомобиля
не движется, строго говоря, прямолинейно. На корпус авто-
автомобиля через рессоры передаются возмущения от угловых
колебаний оси в вертикальной плоскости. Возникающие от
этого поперечные угловые колебания корпуса вызывают до-
дополнительное перераспределение вертикальной нагрузки между
колёсами. Амплитуда этих колебаний корпуса, однако, неве-
невелика, так как частота возмущающей силы (частота угловых
колебаний оси) значительно выше частоты собственных ко-
колебаний корпуса. Поэтому мы в дальнейшем не будем учи-
учитывать поперечные угловые колебания корпуса. Пренебрегая
также прямолинейными вертикальными колебаниями корпуса,
мы будем далее рассматривать его движение как плоско-
плоскопараллельное.

§ 24] УЧИТ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА
161
Горизонтальные реакции дороги на колёса: продольные
силы X, поперечные силы Yv K2 и моменты Mlt Л12, воз-
возникающие при колебаниях оси и колёс, вызывают движение
всего автомобиля как изолированной системы в горизонталь-
горизонтальной плоскости. Углы увода колёс, а следовательно, попе-
поперечные силы Y и моменты М, определяются теперь не только
о
Фиг. 86. Схема плоскопараллельного движения корпуса
автомобиля.
поворотом колёс вокруг шкворней, но и движением автомо-
автомобиля, параллельным горизонтальной плоскости. Вектор ско-
скорости движения становится переменным как для центров
передних колёс, так и для центров задних. Возникают попе-
поперечные горизонтальные реакции дороги и на задние колёса.
На схеме фиг. 86 величины, относящиеся к задней оси,
снабжены дополнительным штрихом. Система осей коорди-
координат х, у, лежащих в горизонтальной плоскости, связана
с корпусом и имеет начало в центре тяжести С автомобиля,
причём ось х совпадает с его продольной осью. Система
осей х', у' является неподвижной.
В дополнение к § 22 введём следующие обозначения:
т&—масса автомобиля; / — момент инерции автомобиля
относительно вертикальной оси, проходящей через центр

1Й2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ |ГЛ. V
тяжести; а и Ъ — расстояния от центра тяжести С автомо-
автомобиля до вертикальных плоскостей, проходящих через перед-
переднюю и заднюю оси; а — угол поворота продольной оси х
автомобиля относительно неподвижной оси х'\ а> = а—угло-
а—угловая скорость этого поворота; V, Vxh Vy — скорость центра
тяжести автомобиля и её проекции на оси х и у. Для малых
углов а можно считать V^paV.
Напишем дифференциальные уравнения плоскопараллель-
плоскопараллельного движения автомобиля, т. е. два уравнения движения
центра тяжести С в проекциях на оси х и у и уравнение
вращения автомобиля вокруг вертикальной оси, проходящей
через центр тяжести С:
ma(Vy — *Vx) = Py, | B4Л)
fo-\-ib — iKQi = Ma. J
Здесь Рх и Ру представляют проекции на ось х внешних
сил, действующих со стороны дороги на автомобиль, а Ма—
их момент относительно вертикальной оси, проходящей через
центр тяжести С.
Для малых углов 0 будем иметь:
Pv = — Y—Y', } B4.2)
Ma = aY—bY' — M — M'-\-XB-\-X'Br,
где Р — тяговое усилие, подводимое от двигателя к колёсам,
Pw — сила сопротивления воздуха, Pf, Pf — силы сопро-
сопротивления качению передних и задних колёс.
Суммарные поперечные силы К и У и моменты М и М'
для малых углов увода будем считать пропорциональными
этим углам.
Углы увода определим с помощью фиг. 87 *): для задних
колёс '
; B4.3)
!) Такое определение углов увода заимствовано у Г. В. Ароновича;
см. сноску на стр. 8.

§ 24] учёт плоскопараллельного движения корпуса 163
для передних колёс
з* = Vy~aU> . B4.4)
Тогда поперечные силы
и моменты
Ff у/
м =
vx '
B4.5)
B4.6)
где /f' и о' суть коэффициенты сопротивления уврду и угло-
угловой жёсткости, равные сумме коэффициентов левого и пра-
правого задних колёс.
Фиг. 87. Схема для определения углов увода.
Найдём величину продольной силы ^для передних колёс,
которая, в данном случае, будет определяться выражением,

164
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V
отличным от G.4). Скорость центра колеса v с учётом угло-
угловых движений автомобиля в горизонтальной плоскости будет:
v = V±IH±— ш, B4.7)
где -^-а> — составляющая скорости, являющаяся следствием
поворота автомобиля (фиг. 88). Знаки плюс соответствуют
левому (по ходу автомобиля) колесу, а минус — правому.
Фиг. 88. Вращение автомобиля с угловой скоростью ш.
На основании выражений G.2), B4.7) и принимая z =
= rt В^/2, с точностью до бесконечно малых первого порядка
B4.8)
Задняя ось не совершает никаких движений относительно
корпуса, а поэтому радиусы её колёс остаются неизменными.
Продольные силы реакций X' возникают вследствие пере-
переменной скорости центров колёс из-за вращения автомобиля
вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.
Для задних колёс на основании выражения B4.8)
1 В' •'¦'¦ B4.9)
у, J_ &_
где I' — сумма полярных моментов инерции задних колёс.

§ 24] УЧЕТ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА 165
В выражениях B4.8) и B4.9) верхний знак соответствует
левому колесу, а нижний — правому.
Перепишем выражения для Рх, Ру, Ма с учётом B2.8),
B4.5), B4.6), B4.8), B4.9). Имеем:
Р =-КП-
B4.10)
Линеаризованные уравнения B4.1) с учётом выражений
B4.10) представим в виде
Via
где
A.2Vy
— D.2V4 — 0,
B4.11)
К+К'
аК-ЬК'
/v2 —
1 ~Г ЛРЧ к ~Г АР2
с, = -
B4.12)
Для получения уравнений движения системы к уравне-
уравнениям B4.11) плоскопараллельного движения автомобиля надо
добавить уравнения колебаний передней оси и колёс (фиг. 81),

166
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V
которые будут отличаться от B2.1) только величиной гиро-
гироскопического момента:
ф ш) = М^.
Моменты М$ и М^ определяются из выражений B2.3) и
B2.4), которые с учётом B2.7), B2.8), B4.5), B4.6) и
B4.8) перепишем так:
?* + \
= —(о
(а
В1
Линеаризованные уравнения малых колебаний оси и колёс
принимают вид
Vb 4-'
~П B4.14)
где
а(° +
Ct = aHv
B4.15)
Коэффициенты s9, е^, Еь, Е^, D, Dv H, Ht определяются
из выражений B2.11)—B2.15).
Первое уравнение B4.11)- не зависит от остальных урав-
уравнений системы. Оно описывает движение центра тяжести
автомобиля в направлении его продольной оси. Функция F(VX)
характеризует сопротивление воздуха. Она возрастает с ро-
ростом скорости Vx. При постоянных тяговом усилии Р и
коэффициенте / сопротивления качению рассматриваемое урав-
уравнение имеет решение V^ = const,

§ 24] УЧЁТ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА 167
Окончательно линеаризованные уравнения системы имеют
вид
.2o>—A.2Vv-\~B.2Vl — С2
D.2V4 = 0,
, V» +
B4.16)
Первое и второе уравнения системы B4.16) описывают
движение автомобиля в горизонтальной плоскости. Третье и
четвёртое уравнения являются уравнениями колебаний оси и
колёс. Колебания оси и колёс связаны с колебаниями кор-
корпуса через коэффициенты связи Вг, Dt, Hv В2, С2, D.2, As,
В3, Са и С4, выражающиеся через параметры системы.
Уравнения B4.16) являются однородными линейными диф-
дифференциальными уравнениями. Для малых колебаний при
V= const, коэффициенты этих уравнений являются постоян-
постоянными, и частное решение уравнений можно представить
в виде
Уу = АуеР*. is> = AmePt, Ь = АьеР*, <!/= А^еР*, B4Л7)
где Ау, Аш, Л9, А*/ и р — в общем случае комплексные ве-
величины.
Подставляя выражения B4.17) в систему B4.16), полу-
получим четыре уравнения для определения неизвестных Ау, Аю,
Л9, Лф и р. Характеристический показатель р определяется
из уравнения
0 -(V-2 + Ct) Vp+Al
—D2V2p V/? + /V2 — Л2
ВаУр — Ся As
— (C4—DtV2) Ht
или
axpb + a.^ +
+ a5p + aa = 0, B4.18

168 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
где коэффициенты at выражаются через параметры системы
следующим образом:
* B4.19)
+ (Л, + N.2 + 5,С. - ^ВД) V, B4.20)
4D — A.2 —
— AjBg 4 ДА — Я.ДА — C4D, + E *
lN?, B4.21)
— DtW— A1DDl
fi) V+ (AtB2C.i4 — Л^.^зф — Afirt— A.2C^ +
i^iA). B4-22)
^e — ЛаО,О.2 — A,DDt
4- a^d.h- с.2ср + /лолга 4- c3d,^) i^ 4-
4- (С.В^г, — А.АВ^ — А&В& — С^бф 4 А&С
.fi.HH, 4- ^яСА — A.6B.2CtE^ —
2С^ — Afifi^ -+- АХВ.2СЬЕ^ +
4- АХЕ^Щ 4- АхЫ2гщ + ^?9/V2 — АуВ.2С^Н), B4.23)

§ 24] УЧЕТ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА 169
аь = (C2DHX — ДДЗД — A9B1DDl
— A2DHt + i42ZI//+ Л^/^Ее — C^H-i- A^DDJ Vs 4-
<l 4" СтР.&Нь — AuD.flHl —
4- i41C8Da//14 »i
4- A
— Л !ЯЯХ — ЯЯ^2 4
4- С2С4Я — A1C2CiD) V+
lEbN#il), B4.24)
— CJ1H14 Л 3С2Еф —
кН4
4 A.2BtC,6E^ — CXC.2HH14
4-
2~\-АГС2С^). B4.25)
Решение уравнения B4.18) представляет довольно труд-
трудную задачу и ввиду сложности выражений для коэффициен-
коэффициентов в общем виде практически невозможно. При трёх парах
комплексно-сопряжённых корней уравнения B4.18)
общее решение уравнений B4.16) будет следующим:
Ь = Aelt cos (qt -\- «,) 4- Be^ cos (rt 4 ср.,) 4-
45
T'* cos (rt 4- cs.2 + a2) 4 C^eV cos (^ 4" ?3 + »з).
= /b4e'* cos (^ 4" ?i 4" °ч) 4"
v cos (rt 4- <?„ 4 a5) 4- Сvw cos (pf 4" ?3 + «6)>
y = ^v7e«* cos (qt 4-«! 4- a7) +
7!* cos (r^ 4- ?2 + 7s) + Счяе& cos (p^ 4 Ts + as)-

170 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
Постоянные А, В, С, <pt, <?-2> ?з определяются из началь-
начальных условий. Величины г, т\, %, q, г, р, \, \2, . . ., \9 и
ох, а2, ..., а9 определяются устройством системы.
При отрицательных г, т, и $ каждая координата О, Л,
ш, Vy совершает затухающие колебания с тремя частотами
q, r и р и соответственно тремя коэффициентами затухания
s, i\ и $. Как только соотношения между параметрами си-
системы и скоростью движения автомобиля будут такими, что
одна из вещественных частей корней уравнения B4.18)
будет положительной, а остальные две отрицательными, то,
как это следует из выражений B4.26), колебания во всех
координатах с частотой, соответствующей положительной
вещественной части, будут нарастающими, а с двумя осталь-
остальными частотами — затухающими. В дальнейшем колебания
перейдут в области нелинейных участков характеристик, и,
как показывают опыты, нарастание амплитуд прекратится.
Система будет совершать стационарные периодические коле-
колебания во всех координатах с одной частотой.
Решение задачи о малых колебаниях управляемых колёс
с учётом движений корпуса автомобиля является чрезвы-
чрезвычайно громоздким. Вследствие большого числа степеней сво-
свободы и параметров, входящих в систему, не удаётся вы-
выявить влияния ни отдельных параметров, ни их комбинаций
на возникновение автоколебаний. Полное решение задачи
возможно только в частных случаях. Некоторые общие вы-
выводы, как показывают исследования, могут быть получены,
если колебания описываются системой дифференциальных
уравнений не выше чем четвёртого порядка.
При рассмотрении физической картины автоколебаний
управляемых колёс в § 10 мы пришли к выводу, что авто-
автоколебания возможны при наличии взаимодействия между дви-
движениями колёс вокруг шкворней и угловыми движениями
оси в вертикальной плоскости. Принимая движение корпуса
прямолинейным, мы получили систему дифференциальных урав-
уравнений четвёртого порядка B2.10). В действительности при
автоколебаниях автомобиль как изолированная система со-
совершает вынужденные колебания с малыми амплитудами.
Учёт только горизонтальных движений автомобиля приводит
к системе дифференциальных уравнений шестого порядка
B4.16). Если учесть дополнительно поперечные угловые
колебания корпуса автомобиля, порядок системы дифферен,-

§ 24] УЧЁТ'ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА
171
циальных уравнений повысится до восьмого. Решение урав-
уравнений таких высоких порядков практически возможно лишь
в частных случаях.
Рассмотрим случай, когда автомобильная ось лишена
возможности совершать угловые движения в вертикальной
плоскости ('1/ = const. = 0). Уравнения колебаний управляемых
колёс с учётом плоскопараллельного движения автомобиля
получим из системы B4.16), положив t = <l = fy = 0:
\1Vy-!rB1Vl> — (V2-\-CJo> = 0,
-\-B.2V<\ — C2V4 = 0, B4.27)
,4-fl3l4 —С3ш = 0.
Первые два уравнения B4.27) описывают движение авто-
автомобиля в горизонтальной плоскости (при К== const.), третье—
движение колёс вокруг шкворней при наличии упругой и
инерционной связей с корпусом. Для малых колебаний коэф-
коэффициенты уравнений являются постоянными и определяются
через параметры системы.
Полагая Уу=АуеР{, ш—АфеР*, Н=АьеР*, из B4.27) получим
уравнение для определения характеристического показателя р:
— A.2Vy
!2 —А.2 = 0.
p* + 4Vp-\-EbV BsVp—Ca А.л
Это уравнение четвёртой степени относительно неизвестного
р напишем в виде
Яо^ + я^ + я^ + Яа/? 4^4 = 0, B4.28)
где
B4.29)
B4.30)
ах = цУ2 4- (Л 4- Л/а 4" Bica ~ \В2Ва) V'
а,2 = (Ее — Л24 В.ЛС2 — АаВ.2) V1 -\- (A^-\-N.2) цУ 4
4 (AtN.2 — А.2СХ + А^В.2С, — А.,В.2СХ),
4- Л^С,

172 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
В случае, когда уравнение B4.28) имеет две пары ком-
комплексно-сопряжённых корней
Pi, 2 = s — 1Я> P-i, 4 = "») =t /Л
решение уравнений B4.27) в тригонометрической форме
можно записать так:
U = Ае** cos (qt + <Pi) + Be* cos (rt + <p.,), )
<o = 4v1e«< cos (qt-\- ?!+«!>+Sv4' cos (^+?-2+72). [ B4.31)
Ky = /4v3e«' cos (^-(-«i-HsH-.Bv^V cos (rt+?2+ a4). )
Как и прежде, постоянные величины А, В, tpt, <p2 опре-
определяются из начальных условий, а величины е, t\, q, r, \,
v2, v3, v4, ^t a2, а3, а4 определяются параметрами си-
системы.
При s < 0 и f\ < 0 колебания всех координат будут
затухающими. Если же одна из вещественных частей (е или
1\) будет положительной, то колебания будут нарастающими.
Если два корня уравнения B4.28) будут комплексно-сопря-
комплексно-сопряжёнными, а остальные вещественными, то движение в каж-
каждой координате будет состоять из суммы колебательного и
апериодического движений. О нарастании или затухании
этих движений можно судить по знакам вещественных частей
корней уравнений B4.28).
Линейные уравнения B2.10), B4.16), B4.27) справед-
справедливы лишь для малых колебаний, когда последние совер-
совершаются в пределах прямолинейных участков характеристик
системы. Так как эти уравнения правильно описывают на-
начальный процесс колебаний, по ним можно сделать заклю-
заключение о том, будут возникшие колебания затухающими или
нарастающими, и тем самым определить условия самовоз-
самовозбуждения колебаний. Как видно из B2.22), B4.26), B4.31),
о нарастании или затухании колебаний можно судить по
показателям затухания е, i\, %. Последние определяются из
соотношений параметров системы по уравнениям B2.18),
B4.18), B4.28).
Таким образом, задача изучения автоколебаний управляе-
управляемых колёс автомобиля сводится к изучению условий само-
самовозбуждения колебаний, к исследованию устойчивости дви-
движения.

§ 25) • ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ 173
§ 25. Определение частот колебаний
Коэффициенты сопротивлений hB и hf зависят от частот
колебаний (см. гл. IV) и поэтому при исследовании на устой-
устойчивость возникает необходимость определения последних.
Если колебания координат h и ^ являются несвязанными,
уравнения собственных колебаний записываются так:
О —J— ев0 —J— ?"а0 = О,
Частоты собственных колебаний этих парциальных систем
определяются из выражений:
—\ Еь — (у
При наличии упругих и гироскопических связей уравне-
уравнениями собственных колебаний являются уравнения B2.10):
x VU + Щ) = 0.
Характеристическим уравнением системы является уравне-
уравнение B2.18):
+ [еез+ + ?+Ч + («tD — WDt) V] р + Е9Еф — ЯЯг = 0.
Обозначив комплексно-сопряжённые корни этого уравнения
через
Pi. 2 = s — 1Я и ^3,4 = ^ — Г>
запишем решение уравнений B2.10) в тригонометрической
форме B2.22):
О = Aelt cos (^+<?i) + Betf cos (rt-\-<?.2),
•!? = Лv[e«' cos (qt + ?! + at) -f- Ву2ет.' cos (/"/-(-«p.2-(-aa).
Величины s и ч\ принято называть коэффициентами затуха-
затухания или нарастания колебаний, а величины q и г — частотами

174 уравнения движения [гл. v
гармонических сомножителей затухающего или нарастаю-
нарастающего колебания.
Если сопротивление в системе равно нулю (ге = еф = 0),
а соотношение между гироскопическими и упругими связями
удовлетворяет равенству HtD — HDX = 0, характеристиче-
характеристическое уравнение B2.18) превращается в биквадратное урав-
уравнение частот
ф ^ - НН{ = 0.
В этом случае в системе будут совершаться чисто гармо-
гармонические колебания с частотами
- 4 (ЕеЕф
- НН,)]}1.
Высшая частота г гармонического колебания системы
больше высшей парциальной частоты (будем считать [j..), a
низшая частота q ниже низшей частоты [хе.
В общем случае, когда ев и а,^ не равны нулю или
HtD ф HDV собственные частоты системы будут комплекс-
комплексными, а колебания — негармоническими. Частоты собствен-
собственных колебаний определяются из уравнения B2.18).
Точное решение алгебраического уравнения четвёртой
степени сводится к решению одного кубического и двух
квадратных уравнений. Однако такое решение является очень
трудоёмким, и поэтому при решении алгебраических урав-
уравнений четвёртой степени и выше часто пользуются прибли-
приближёнными методами. В нашем случае это тем более допу-
допустимо, что значения большинства коэффициентов уравнения
B2.18) определяются из экспериментов и, следовательно,
сами являются приближёнными.
Приведём здесь один из методов приближённого решения
уравнения четвёртой степени, основанный на зависимостях,

* ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ1 КОЛЕБАНИЙ
175
которые существуют между коэффициентами уравнения и
его корнями *).
Запишем уравнение B2.18) в виде
pl-\-axpb-\-a2pl-\-a$p-\-ai = О, B5.-1)
где
B5.2)
Между корнями уравнения и его коэффициентами сущест-
существуют следующие зависимости:
а.2 = и
w
а4 =
B5.3)
где
и =
да = -гK + /-2 B5.4)
— квадраты модулей комплексных корней. Определив из
уравнений B5.3) г, т(, и, да, найдём частоты
г = |/даэ —
B5.5)
Решение проводим так. Из первого и третьего уравнений
B5.3) определяем показатели затухания s и ц:
к — а>
f| —г . п
• 2 к —и»
B5.6)
Последовательные приближения берём в следующем порядке.
Примем за первое приближение для w квадрат высшей
!) См., например, О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, Гостех-
издат, 1944. См. также: Гельфгат Д. В., Аналитическое опре-
определение плавности хода автомобиля, Автомобильная промышлен-
промышленность, № 3, 1949.

176 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. V
парциальной частоты
«Ч =
Из последнего уравнения B5.3) находим первое приближе-
приближение для и
Определяем приближение для е и ч\ из уравнений B5.6)
_ _ 1 а3 —
 ~ 2 «!—и»! '
_ 1 ^itot — a3
^~ 2 И1 —и»! '
Переходим ко второму приближению. Пользуясь вторым
уравнением B5.3), вычислим второе приближение для w.
По найденному значению w2 определяем второе приближение
для и, а затем по выражениям B5.6) — вторые приближения
для s и ч]. Затем находим третье приближение для w и
т. д. Обычно после четвёртого-пятого приближений опреде-
определяемые величины изменяются очень мало, и дальнейшее их
уточнение проводить нет необходимости.
Необходимо иметь в виду, что частота автоколебаний не
будет равна ни одной из определённых приведённым выше
способом частот q или г. Частоты q и г, определённые из
характеристического уравнения B2.18), соответствуют коле-
колебаниям в пределах линейных участков характеристик си-
системы, а стационарный колебательный режим устанавли-
устанавливается после перехода колебаний на нелинейные участки
этих характеристик. Для стационарного колебательного
режима частоты колебаний нельзя определить из характе-
характеристического уравнения B2.18). Они могут быть опре-
определены из уравнений, составленных с учётом нелинейных
участков характеристик. Так как упругие связи системы
являются мягкими *), то частота установившихся нелинейных
колебаний должна быть меньше частоты линейных колебаний.
1) Мягкой упругой связью (например, мягкой пружиной) назы-
называется такая, у которой жёсткость уменьшается с увеличением
смещения.

§ 25] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ 177
Для определения коэффициентов сопротивления hB и Аг,
необходимых при рассмотрении устойчивости движения
управляемых колёс, нужна частота именно линейных коле-
колебаний, соответствующих начальному периоду их самовоз-
самовозбуждения.
Всё сказанное относится к частоте собственных колеба-
колебаний системы. Частота вынужденных колебаний не зависит
от устройства системы. Она всегда равна частоте внешней
силы. При наличии дисбаланса частота вынужденных коле-
колебаний равна угловой скорости вращения управляемых колёс.

ГЛАВА Vt
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
§ 26. Предварительные замечания
Понятие об устойчивости движения является непосред-
непосредственным обобщением понятия устойчивости равновесия. Об
устойчивости статического равновесия системы обычно судят
Фиг. 89. Различные случаи равновесия шарика.
по поведению этой системы при малых отклонениях от по-
положения равновесия.
Об устойчивости равновесия можно получить предста-
представление из рассмотрения фиг. 89. На фиг. 89, а изображён
тяжёлый шарик, находящийся в положении равновесия на
вогнутой поверхности (трение между шариком и поверх-
поверхностью отсутствует). Если отклонить шарик от положения
равновесия, возникает сила, стремящаяся вернуть его в ис-

§ 26] • ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 179
ходное положение. В рассматриваемом случае равновесие
системы устойчиво как «в малом», так и «в большом», так
как система возвращается в своё исходное положение равно-
равновесия как после малых, так и после больших отклонений.
На фиг. 89, б шарик находится в положении неустойчивого
равновесия, так как при сколь угодно малых отклонениях
возникает сила, способствующая дальнейшему удалению
шарика от исходного положения.
Равновесие шарика, изображённого на фиг. 89, в, назы-
называется безразличным. В новом положении шарик так же на-
находится в равновесии, как и в прежнем.
На фиг. 89, г равновесие шарика оказывается устойчивым
лишь в том случае, если отклонения не переходят за положе-
положение А. Если шарик отклонить вправо за положение А, то
он не только не возвращается в первоначальное положение,
но ещё дальше отходит от него. В этом случае можно
сказать, что при малых отклонениях равновесие шарика
является устойчивым, при отклонениях, больших некоторой
величины, — неустойчивым. Аналогичную картину можно
наблюдать, рассматривая равновесие карандаша, стоящего
плоским торцом на горизонтальной крышке стола. Если ка-
карандаш отклонить от вертикального положения настолько,
чтобы его центр тяжести переместился в боковом направле-
направлении на величину менее половины диаметра карандаша, ка-
карандаш будет стремиться возвратиться в исходное положе-
положение. Если центр тяжести отклонится в боковом направлении
более чем на половину диаметра, вес карандаша будет спо-
способствовать дальнейшему движению карандаша. Равновесие
карандаша устойчиво «в малом» и неустойчиво «в большом».
Таким образом, об устойчивости равновесия судят по
поведению системы вблизи её положения равновесия. Если
система после отклонений от положения равновесия возвра-
возвращается к нему вновь, равновесие называется устойчивым, и,
наоборот, когда система не возвращается в исходное поло-
положение, равновесие называется неустойчивым. Для исследо-
исследования устойчивости равновесия «в малом» отклонения должны
быть меньше любой наперёд заданной величины. Для иссле-
исследования устойчивости равновесия «в большом» отклонения
должны быть малыми, но больше наперёд заданной вели-
величины, определяемой в каждом конкретном случае устрой-
устройством системы. Если движение системы точно описывается

180 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
линейным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами, то система, устойчивая «в малом», устойчива
и «в большом». Нелинейная система может быть устойчива
«в малом» и неустойчива «в большом».
В положении равновесия потенциальная энергия системы
имеет экстремальное значение, причём в положении устой-
устойчивого равновесия это значение является минимумом, а в поло-
положении неустойчивого равновесия — максимумом. Когда в окре-
окрестностях устойчивого равновесия потенциальная энергия
системы может принимать другие экстремальные значения,
равновесие системы устойчиво «в малом» и неустойчиво
«в большом».
Аналогично устойчивости равновесия можно судить и об
устойчивости движения системы. Для этого надо рассмот-
рассмотреть, будет ли система стремиться сохранять исходное
движение после воздействия на неё возмущающих факторов,
или, наоборот, её движение будет значительно отличаться
от исходного, называемого невозмущённым движением. Этим
исследованием и занимается теория устойчивости движения.
Под возмущающими факторами понимаются силы, не учи-
учитываемые при составлении уравнений движения вследствие
их малости или случайного характера по сравнению с основ-
основными силами. Они могут действовать мгновенно или непре-
непрерывно, но во всех случаях остаются обычно неизвестными.
Когда возмущённое движение мало отличается от невозму-
невозмущённого, движение считается устойчивым, если же возму-
возмущённое движение значительно отличается от исходного, ис-
исходное движение считается неустойчивым. Так как в дей-
действительности возмущающие факторы всегда существуют,
то задача устойчивости движения приобретает важное прак-
практическое значение. Необходимо установить признаки, по ко-
которым можно сделать заключение об устойчивости или не-
неустойчивости движения.
Основы теории устойчивости движения в наиболее общем
виде сформулированы А. М. Ляпуновым в знаменитой док-
докторской диссертации «Общая задача об устойчивости дви-
движения» х). Этот труд явился отправным пунктом всех даль-
дальнейших исследований по устойчивости движения.
1) Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения,
Харьков, 1892; 3 изд., Гостехиздат, 1950.

§ 26] * ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 181
Отметим особенность вопроса об устойчивости движения
управляемых колёс автомобиля. Ось с управляемыми колё-
колёсами, кроме сопротивления, пропорционального первой сте-
степени скорости, имеет и нелинейные сопротивления. В част-
частности, в рулевом управлении, листовых рессорах имеется
значительное постоянное сопротивление (сухое трение), ве-
величина которого не зависит от амплитуд колебаний. Постоян-
Постоянное сопротивление может быть учтено в уравнениях движе-
движения в виде слагаемых, постоянных по величине, но меняю-
меняющихся по знаку при изменении направления движения (rt F),
В этом случае уравнения движения не линеаризуются, и
вследствие невозможности применения теорем Ляпунова по
первому приближению значительно усложняется исследование
устойчивости движения. Для простоты изложения постоянное
сопротивление было отброшено при составлении уравнений.
Наличие сухого трения в реальной системе делает её
поведение несколько отличным от того, которое получается
из решения уравнений, составленных без учёта сухого тре-
трения. Практика эксплоатации автомобилей показывает, что
автоколебания управляемых колёс возникают не от любых
возмущений. При наличии критической скорости и благопри-
благоприятного соотношения параметров системы они возникают при
возмущениях, больших некоторой определённой величины.
Иначе сказать, прямолинейное движение реальной системы
устойчиво «в малом» и неустойчиво «в большом». Система
обладает жёстким самовозбуждением 1).
Чтобы выявить эту особенность системы математически,
надо в уравнениях движения учесть нелинейные члены и
сухое трение. Однако для системы с двумя степенями сво-
свободы эта задача является чрезвычайно трудной. Ограничимся
лишь качественным замечанием и поясним влияние сухого
трения на устойчивость движения графиком энергии, изо-
изображённым на фиг. 90.
Энергия, поступающая в систему, при малых амплитудах
увеличивается пропорционально квадрату амплитуды (АГЙ2),
а затем вследствие уменьшения коэффициента пропорцио-
пропорциональности К рост энергии уменьшается. Эта энергия изо-
изображена в виде графика (-\-)Е.
') Жёстким самовозбуждением называется такое, которое вы-
вызывает автоколебания в системе после достаточной величины на-
начального возмущения.

182
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
Энергию рассеяния можно представить состоящей из двух
частей: сопротивление, пропорциональное первой степени
скорости, вызывает энергию рассеяния, пропорциональную
квадрату амплитуды (а^9), а постоянное сопротивление —
энергию рассеяния, пропорциональную первой степени ам-
амплитуды (Ьчр). Как видно из графика, суммарная энергия
рассеяния (— ) Е = аг№ -f- b-fi при малых амплитудах больше
НЕ
(+)?
Фиг. 90. График энергии колебательной
системы.
энергии поступления в систему {-\-)Е, и движение будет
устойчиво «в малом». Когда амплитуды колебаний больше Hlt
в систему поступает энергии больше, чем рассеивается,
избыток энергии идёт на увеличение амплитуд колебаний.
Движение теряет устойчивость. Из соотношения коэффициен-
коэффициентов К, alt bt определяется то минимальное возмущение 6lt
после превышения которого движение теряет устойчивость.
При чрезмерно большом постоянном сопротивлении мини-
минимальное начальное возмущение должно быть настолько боль-
большим, что практически движение будет всегда устойчивым.
Примером автоколебательной системы с жёстким само-
самовозбуждением являются упоминавшиеся ранее стенные часы.
Если начальное отклонение маятника будет очень малым, то
часы не пойдут. При достаточно большом толчке маятник
у заведённых часов начнёт совершать незатухающие коле-
колебания; следовательно, система неустойчива «в большом»,

§ 27] * ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 183
В этой главе будет рассмотрен вопрос об устойчивости
«в малом» прямолинейного и равномерного движения авто-
автомобиля, в предположении, что постоянное сопротивление
в системе отсутствует. Такая постановка задачи позволяет
использовать теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости по
первому приближению (см. ниже) и тем самым избежать
сложного математического аппарата.
Рассмотрение вопроса об устойчивости движения «в ма-
малом» даёт возможность определить необходимые для устой-
устойчивости движения соотношения между параметрами системы.
Надо иметь в виду, что устойчивость движения реальной си*
стемы всегда выше, чем идеализированной, не имеющей
постоянного сопротивления. Постоянное сопротивление, имею-
имеющееся в подвеске и рулевом управлении, делает движение
управляемых колёс автомобиля более устойчивым.
§ 27. Основные определения и теоремы *)
Предположим, что движение произвольной динамической
системы описано системой дифференциальных уравнений
первого порядка, разрешённых относительно производных:
Ув = Ув(Уи У», • • •> Уп. О E= 1, 2, .... я), B7.1)
где ys — некоторые параметры движения или их функции.
-Допустим, что движению нашей системы соответствует не-
некоторое частное решение уравнений B7.1):
Л=Л@. Л = Л@.--.. Уп = Ш. B7.2)
Это движение принято называть невозмущённым.
Вследствие воздействия на систему возмущающих фак-
факторов параметры движения fs(t) получают некоторые при-
приращения и будут иметь новые значения ys. В отличие от
исходного, невозмущённого, новое движение системы назы-
называется' возмущённым. Разности xs значений новых величин
ys и старых /s@ в каком-нибудь возмущённом и невозму
щённом движениях
*. = Л—/.@ E=1,2 п) B7.3)
!) См., например, Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И.,
Курс теоретической механики, том II, Гостехиздат, 1948; Мал-
Малки н И, Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат 1952.

184 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
называют возмущениями. Приняв за новые переменные xs,
получим дифференциальные уравнения возмущённого дви-
движения:
xs = Xs (xt, х2, . . ., хп, f) =
— Yg{fvf2 /„, t). {27A)
Каждому возмущённому движению системы соответствует
частное решение уравнений B7.4). В частности, невозму-
невозмущённому движению соответствует тривиальное решение
х± — х2 = ... = хп = 0, при котором функции Xs(х±, х2
хп, t) обращаются в нуль.
Пусть система в начальный момент времени t0 получила
некоторые малые возмущения xa(t0)-^.f\. Каковы будут эти
возмущения в следующий момент времени t? Движение
будет устойчивым или неустойчивым в зависимости от того,
будут ли они оставаться также малыми, и в этом случае
возмущённое движение будет мало отличаться от невозму-
невозмущённого, или, наоборот, они с течением времени будут воз-
возрастать и тогда возмущённое движение будет значительно
отличаться от исходного.
Определение устойчивости движения формулируется сле-
следующим образом:
Невозмущённое движение называется устойчивым по отг
ношению к величинам уа, если для всякого положительного
числа г, как бы мало оно ни было, можно подобрать дру-
другое положительное число т,(е), такое, что для всех возму-
возмущённых движений ys =^s(i), для которых в начальный мо-
.мент времени t0 выполняются неравенства
|«,(/оI<1. B7.5)
при всех / > t0 будут выполняться неравенства
|*,(*I<в. B7.6)
В противном случае движение называется неустойчивым.
Если невозмущённое движение устойчиво и, кроме того,
lim *„(/) = О,
*->оо
то иевозмущённое движение называется устойчивым асимпто-
асимптотически.

§ 27] * ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 185
В качестве примера на составление дифференциальных
уравнений возмущённого движения рассмотрим колебания
груза на пружине, которые, как известно, при отсутствии
трения описываются дифференциальным уравнением
y = —ofly, B7.7)
где у — отклонение груза от положения равновесия, ш —
круговая частота колебаний.
Пусть требуется составить дифференциальное уравнение
возмущённого движения для исследования устойчивости дви-
движения по отношению к у. Соответствующее частное реше-
решение уравнения B7.7) имеет вид
.У = /(*)•
Полагая x—y — f(t), получим дифференциальное уравнение
возмущённого движения в виде
откуда
х = —и>2х. B7.8)
Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение не-
невозмущённого движения B7.7). Вообще дифференциальные
уравнения возмущённого движения по написанию не отли-
отличаются от уравнений невозмущённого движения, если урав-
уравнения B7.1) не зависят явно от времени ^ и их правые
части являются линейными функциями относительно пара-
параметров у8.
Невозмущённое движение называется установившимся,
если соответствующие дифференциальные уравнения возму-
возмущённого движения не содержат явно времени t. Случай
установившихся движений является наиболее простым при
исследовании устойчивости.
Приведём без доказательства основные теоремы А.М.Ля-
А.М.Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Допустим, что дифференциальные уравнения возмущён-
возмущённого движения имеют вид
х» — а8Л+я82*2+ • • • +aanxn-)rXs(xl, х2 хп) B7.9)
- .. ¦ E= 1, 2 П),

186 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ' [ГЛ. VI
где Xs(xi, x2. ..., *п) разлагаются в ряды по степеням
х1% х2, • • ¦, хп, начинающиеся членами не ниже второго по-
порядка. Теоремы, установленные. А. М. Ляпуновым, дают
возможность чрезвычайно просто разрешить основную задачу
об установлении необходимых и достаточных условий, при
которых вопрос об устойчивости для системы B7.9) разре-
разрешается рассмотрением лишь уравнений первого прибли-
приближения:
••• 4-е»*» B7.10)
независимо от того или иного выбора функций Xa(xv
*g» •. •, хп). Эти теоремы следующие:
Теорема 1. Если все корни характеристического урав-
уравнения системы первого приближения имеют отрицательные
вещественные части, то невозмущённое движение устойчиво
и притом асимптотически, каковы бы ни были члены высших
порядков в дифференциальных уравнениях возмущённого
движения.
Теорема 2. Если среди корней характеристического
уравнения системы первого приближения имеется хотя бы
один с положительной вещественной частью, то невозму-
невозмущённое движение неустойчиво, каковы бы ни были нелиней-
нелинейные слагаемые, откинутые при составлении уравнений воз-
возмущённого движения.
Теорема 3. Если характеристическое уравнение си-
системы первого приближения не имеет корней с положитель-
положительными вещественными частями, но имеет корни с веществен-
вещественными частями, равными нулю, то вопрос об устойчивости
решается членами выше первого порядка в уравнениях воз-
возмущённого движения.
Таким образом, все случаи, которые могут иметь место
при исследовании устойчивости, когда уравнения возмущён-
возмущённого движения имеют вид B7.9), можно разбить на две
группы. К первой относятся случаи, когда все корни харак-
характеристического уравнения имеют положительные или отри-
отрицательные вещественные части. Вопрос об устойчивости
утвердительно решается по дифференциальным уравнениям
первого приближения вида B7.10). Ко второй группе отно-
относятся случаи, когда характеристическое уравнение не имеет
корней с положительными вещественными частями и имеет
корни с вещественными частями, равными нулю. Такие слу-

§ 28] * ТЕОРЕМА ГУРВИЦА 187
чаи называются критическими. Для решения вопроса об
устойчивости требуется рассмотрение дифференциальных
уравнений возмущённого движения с членами более высоких
порядков, чем первый.
Возникает вопрос: как исследовать устойчивость движе-
движения, если автомобиль будет находиться под постоянным воз-
воздействием небольших возмущающих сил? Эти силы обычно
также неизвестны и учесть их в уравнениях практически
невозможно.
В приведённых выше определениях и теоремах А. М. Ля-
Ляпунова рассматривается устойчивость невозмущённого дви-
движения по отношению к мгновенно действующим возмущениям.
Однако методы А. М. Ляпунова пригодны также и для
исследования устойчивости движения при постоянно дейст-
действующих возмущениях. Для установившихся и периодических
движений достаточным условием устойчивости движения при
постоянно действующих возмущениях является асимптотиче-
асимптотическая устойчивость по Ляпунову1).
§ 28. Теорема Гурвица
В связи с приведёнными теоремами А. М. Ляпунова об
устойчивости по первому приближению большое значение
приобретает вопрос о знаках вещественных частей корней
характеристического уравнения. В частности, важно знать
необходимые и достаточные условия, при которых все корни
уравнения имеют отрицательные вещественные части. Эти
условия сформулированы Гурвицем, и мы приводим их без
доказательства2).
Пусть дано алгебраическое уравнение n-й степени
-i+...+<!„_!/> +в. = 0. B8.1)
Для того чтобы все корни уравнения B8.1) имели отрицатель-
!) Дубошин Г. Н., К вопросу об устойчивости движения от-
относительно постоянно действующих возмущений, Труды ГАИШ,
т. XIV, вып. I, 1940; Артемьев И. А., Осуществимые движения.
Изв. АН СССР, сер. матем. №3, 1939; Малкин И. Г., Теория
устойчивости движения, Гостехиздат, 1952.
2) Доказательство теоремы Гурвица можно найти в кни-
книгах: К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, изд. 3, Гостех-
Гостехиздат, 1952; Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиз-
Гостехиздат, 1946.

188
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
ные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы
определитель
«1
а0
0
0
0
а3
а.2
at
0
аь ..
а4 ••
а3 ..
а, ..
. 0
. 0
. 0
. 0
о
и все его диагональные миноры *¦)
а* а.
О
были положительны. Как следствие вытекает необходимое,
но недостаточное условие, что все коэффициенты уравнения
B8.1) должны быть одного знака.
Правило составления определителя Гурвица n-го порядка
заключается в следующем: 1) выписываем по главной диа-
диагонали все коэффициенты от at до ап в порядке возраста-
возрастания индексов; 2) дополняем столбцы вверх и вниз от диа-
диагональных членов, причём при дополнении вверх вписываем
в столбец коэффициенты с последовательно возрастающими
индексами, а вниз — коэффициенты с последовательно убыва-
убывающими индексами; 3) на место коэффициентов, индексы ко-
которых больше чем п и меньше чем нуль, подставляем нули.
Для того чтобы из определителя Гурвица получить ми-
миноры первого, второго, третьего и т. д. порядков, надо
вычеркнуть все столбцы, стоящие правее, и все строки,
¦расположенные ниже диагональных коэффициентов с инде-
индексами соответственно 1, 2, 3 и т. д.
В приведённой теореме даются необходимые и достаточ-
достаточные условия, при которых вещественные части корней харак-
1) Минором (л — Л)-го порядка называется определитель, полу-
получающийся из основного определителя л-го порядка вычёркиванием
k строк и столбцов.

§281
ТЙОРЕМА ГУРВИЦА
189
теристического уравнения будут отрицательными, а движе-
движение, следовательно, — асимптотически устойчивым.
Для уравнения второй степени
a0P> + alP + a2 = 0 B8.2)
имеем условия:
ао>О, 2) А1 = а1>0, 3) Д2 = 1
или окончательно
а0 > 0, а{ > 0, а2 > 0.
Для уравнения третьей степени
= а±а2 > 0
B8.3)
B8.4)
имеем:
ао>0, 2) Д1 = в1
3) Д2 =
4) Д:1 =
а0 в3 О
О а± а.л
а. а,х
а0 а..
0,
= аЛ2 > О,
откуда а3 > 0.
Окончательно условия устойчивости для уравнения треть-
третьего порядка можно записать так1):
1) а0 > 0, а, > 0, а2 > 0, а3 > 0,
2) Да = в1а9 —в„ва>0.
Для уравнения четвёртой степени
B8.6)
имеем:
ао>О, 2) Д1 = а1>0, 3) Д2 =
4) Д3 =
at a,( 0
а.л
«о а-2
at 0 !
5) Д4 = а4Д.3 >0.
х) Эти условия для уравнения третьей степени получены впер-
впервые в 1876 г. И. А. Вышнеградским.

190
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[глг. vr
2) Д3 =
B8.7)
Из условий 4) и 5) следует, что а4 > 0. Тогда из условия 4)
вытекает, что а3 > 0. Окончательно условия, при кото-
которых вещественные части корней уравнения B8.6) являются
отрицательными, будут следующие:
1) а0 > 0, at > 0, а2 > 0, а3 > 0, а4 > 0,
ах а3 0
О aj fl3
Для уравнения шестой степени
аоР6 Н~ aiP5 Н~ ^-гР* Н~ ^з^3 Ч~ а4Р2 Н~ аб^ ~Ь flg = 0 B8.8)
аналогично получим:
1) ао>О, в1>0, e2>0, a3>0, a4>0, аб>0, ай>0,
2) Д3 — ауаф3 — п\п^ — попз ^> О,
B8.9)
— (ata4 — a^l — а6
з — а0а3) (eg — 0^5) —
оахайаъ\ > 0.
Условия Гурвица хорошо удаётся использовать для иссле-
исследования уравнений не выше четвёртой степени. Уже миноры
четвёртого и пятого порядков оказываются чрезвычайно гро-
громоздкими, так что условиями Гурвица практически поль-
пользуются для исследования уравнений лишь в некоторых ча-
частных случаях.
§ 29. Устойчивость движения автомобиля при
заблокированных управляемых колёсах
Прежде чем приступить к рассмотрению основного во-
вопроса — об устойчивости движения управляемых колёс,
кратко остановимся на устойчивости прямолинейного движе-
движения автомобиля. При этом вначале рассмотрим устойчивость
движения автомобиля с заблокированными управляемыми ко-
колёсами. Такая постановка вопроса позволяет выявить требо-
требования к расположению центра тяжести автомобиля между
осями в зависимости от коэффициентов сопротивления уводу
и угловых жёсткостей пневматиков передних н задних колёс.

§ 29] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННЫХ КОЛЁСАХ 191
Следующим усложнением является допущение возможности
поворота управляемых колёс относительно шкворней, но при
отсутствии движения передней оси в вертикальной плоскости.
Этому вопросу посвящен следующий параграф. Наконец, мы
рассмотрим устойчивость движения управляемых колёс ав-
автомобиля в случае возможности движений оси в верти-
вертикальной плоскости. Такая последовательность рассмотрения
вопросов позволяет более отчётливо выявить особенности
автоколебаний управляемых колёс и устойчивости их дви-
движения.
Рассмотрим устойчивость прямолинейного движения авто-
автомобиля с заблокированными управляемыми колёсами. Допу-
Допустим, что со стороны дороги автомобиль получил малые
возмущения. Как эти возмущения повлияют на дальнейшее
движение автомобиля, будет ли оно сохранять прямолиней-
прямолинейность?
Будем рассматривать движение автомобиля только в пло-
плоскости, параллельной дорожному покрытию. От воздействия
возмущающих факторов прямолинейное движение автомобиля
нарушается. Возмущённое движение можно считать состоя-
состоящим из двух: движения центра тяжести в поперечном на-
направлении и поворота всего автомобиля вокруг вертикальной
оси, проходящей через центр тяжести. Положение системы
относительно исходной прямолинейной траектории характе-
характеризуется линейной у и угловой а координатами. Так как
колёса теперь будут катиться под углами к векторам ско-
скорости, то в площадках контакта пневматиков с дорогой воз-
возникнут поперечные силы Y и моменты М. Вследствие пово-
поворота автомобиля в горизонтальной плоскости на некоторый
угол а угловая скорость вращения колёс станет переменной,
и поэтому в площадках контакта возникнут продольные
силы X (фиг. 91).
Считая скорость V продольного движения автомобиля
постоянной, запишем дифференциальные уравнения возму-
возмущённого движения в виде *)
*) Для простоты опускаем штрих у буквы у, означающий, что
координата у берётся в неподвижной системе координат.

191
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[гл. vr
Здесь Ру есть сумма проекций всех внешних сил (дейст-
(действующих со стороны дороги на автомобиль) на ось у, а Ма —
их момент относительно вертикальной оси, проходящей через
центр тяжести С, которые определяются из выражений B4.2).
о'
Фиг. 91. Плоскопараллельное движение автомобиля
с заблокированными управляемыми колёсами.
Как и прежде, для малых углов увода поперечные силы и
моменты будем считать пропорциональными этим углам, т. е.
У =
М' = з'З'.
B9.2)
По аналогии с формулами B4.3) напишем выражения для
определения углов увода о и о':
S-
, _ у -\-Ьа
V
о = —
B9.3)
Так как скорость центра колеса v меняется только от угла i.
поворота автомобиля в горизонтальной плоскости, продоль-

§ 29] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННЫХ КОЛЁСАХ
193
ные силы X к X' найдём из B4.8) и B4.9), положив
1 В , -
у, 1 В' '"
B9.4)
Уравнения B9.1) с учётом B4.2) и B9.2) —B9.4) перепи-
перепишем так:
B9.5)
Уравнения B9.5) есть уравнения возмущённого движения
в первом приближении. Коэффициенты этих уравнений выра-
выражаются через параметры системы следующим образом:
. _ К Л-К' с _аК-ЪК.'
B9.6)
аК— ЬК' — и —
да
Частное решение уравнений B9.5) будем искать в виде
Уравнение для определения характеристического показателя р
получим, приравняв нулю определитель
или
= 0
— Л2К2] = 0. B9.7)
Мы имеем критический случай (§ 27), так как два корня
уравнения B9.7) равны нулю. Следовательно, по уравнениям
первого приближения ничего нельзя сказать об устойчивости
или неустойчивости движения, если даже вещественные части
двух других корней будут отрицательными. . .

194 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Обозначим y=:VyHa = <o и рассмотрим устойчивость
движения по отношению не к координатам у и а, а к ско-
скоростям Vy и ш. Уравнение для определения характеристи-
характеристического показателя в этом случае будет следующим:
9 — A/:1 — AaV* = 0. B9.8)
Чтобы движение было устойчивым относительно скоро-
скоростей Vy и.ш, коэффициенты уравнения B9.8) должны быть
положительными. Как видно из B9.6),
и N,=
так как коэффициенты сопротивления уводу К и К' и угло-
угловые жёсткости пневматиков <з и <з' — величины положитель-
положительные, а аК—о всегда больше нуля.
На основании B9.6) свободный член уравнения B9.8)
можно преобразовать к следующему виду:
AXN9 — Л2Сг — Л2 V2 =
_ (а + Ь) [К{аК' + °0 + К' (ЬК— <0]
_аК-ЬК>-*-*^ B99)
h
Так как ft/C всегда больше о, то первая дробь правой части
равенства B9.9) всегда положительна. Свободный член харак-
характеристического уравнения B9.8) будет всегда положитель-
положительным, а движение, следовательно, устойчивым, если
ЬК' + <? + о>аК. B9.10)
Если коэффициент Аг > 0, т. е. аК > WC'-f-o'-f-o, то
существует такая скорость движения автомобиля, при кото-
которой свободный член характеристического уравнения стано-
становится отрицательным, а движение — неустойчивым. Эта ско-
скорость вависит только от параметров системы и на основании
B9.9) будет
V2 ^(а + Ь) [К(аКг + °') + К' (ЬК- »)]
v ^ т^аК-ЪК! — *1-*)
Таким образом, прямолинейное движение автомобиля
с заблокированными управляемыми колёсами всегда устой-

§ 30] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 195
чиво относительно поперечной скорости Vy и угловой ско-
скорости ш, если выполняется неравенство B9.10).
Если неравенство B9.10) не выполняется, то прямолиней-
прямолинейное движение автомобиля может быть как устойчивым, так
и неустойчивым. Всё зависит от скорости движения авто-
автомобиля. Когда скорость автомобиля такова, что выполняется
неравенство
.„ {а + *) \К{аК' +
v ^ т^аК
прямолинейное движение устойчиво относительно Vy и ш.
Предельная скорость, при которой неравенство B9.11) ста-
становится равенством, называется критической. Если скорость
движения автомобиля более критической, свободный член
характеристического уравнения B9.8) будет отрицательным,
корни этого уравнения становятся вещественными, а один
из них — обязательно положительным. Исходное движение
теряет устойчивость, причём неустойчивость будет иметь
не колебательный характер, а апериодический. Поперечная
скорость Vy и угловая скорость ш будут со временем беспре-
беспредельно нарастать. Автомобиль будет совершать боковое
движение и поворот со всё увеличивающимися скоростями.
§ 30. Устойчивость движения при заблокированной
передней оси
В порядке усложнения рассмотрим случай, когда упра-
управляемые колёса не заблокированы, а за счёт упругости
рулевого управления могут повёртываться вокруг шкворней
на малые углы 6. Движение оси в вертикальной плоскости
запрещается.
1) Если из сил, возникающих в площадках контакта пневмати-
.ков с дорогой, учитывать только поперечные силы К и не учиты-
учитывать моменты (<j = <j' = O), то найдём:
тл(аК—ЬК')
— выражение, которое приводится во многих курсах по теории авто-
автомобиля. См., например, Певзнер Я. М., Теория устойчивости
автомобиля, Машгиз, 1947; Чудаков Е. А., Теория автомобиля,
Машгиз, 1950.

196 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Невозмущённое движение автомобиля является прямо-
прямолинейным и равномерным. От воздействия возмущающих
факторов система получила отклонения: линейное у и угло-
угловые а и 6. Возмущённое движение характеризуют не только
скорость Vy и угловая скорость ш, но дополнительно и угол
поворота управляемых колёс Ь. Повороты управляемых колёс
оказываются связанными с движениями корпуса через гори-
горизонтальные реакции в площадках контакта, которые в свою
очередь определяются совместными движениями корпуса и
поворотами управляемых колёс. Как и в предыдущем случае,
исследование устойчивости движения относительно коорди-
координат у и а приводит к критическим случаям, в которых
нельзя воспользоваться ' теоремами Ляпунова по первому
приближению. Поэтому рассмотрим устойчивость движения
относительно скорости Vy поперечного движения корпуса, его
угловой скорости ш и угла поворота управляемых колёс Й.
Дифференциальными уравнениями возмущённого движения
будут уравнения B4.27):
.Vb - (V* + С,)« = О,
— A2Vy + B2Vii— C2Vb = 0,
Vb + цУЬ + VEtb + AbVy + BsV<a — C3u> = 0.
Выражения для коэффициентов характеристического уравнения
аор* + ах р? + а^Р + asp + а4 = 0
были даны формулами B4.29) и B4.30).
Исходное движение устойчиво по отношению к перемен-
переменным Vy ш и б, если
1) а0 > 0, ау > 0, о2 > 0, о3 > 0, ai > 0,
2) в1вА —ejo4 —воР;>О.
Выясним, как выполняются эти условия.
Ввиду громоздкости коэффициентов характеристического
уравнения сделаем ряд упрощений. Положим 52 = 0. Это
означает, что при повороте автомобиля с угловым ускоре-
ускорением ш вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
тяжести, учитывается только инерция автомобиля как единого
целого и не учитывается инерция передних колёс от допол-
дополнительного поворота их вокруг шкворней с ускорением Ь .

§ 30] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 197
Поскольку момент инерции автомобиля относительно верти-
вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, в сотни раз
больше момента инерции управляемых колёс относительно
шкворней, такое предположение вполне допустимо. Второе
предположение сделаем на основании выводов, полученных
в предыдущем параграфе. Будем считать, что А2 = аК—
— ЬК' — о' — з = 0. В этом случае движение автомобиля
с заблокированными управляемыми колёсами всегда устойчиво.
Какое влияние на устойчивость движения оказывает поворот
управляемых колёс? Будет ли прямолинейное движение авто-
автомобиля устойчивым, если управляемые колёса за счёт упру-
упругости рулевого управления могут поворачиваться на малые
углы б? Если будет, то всегда ли или только до определён-
определённых скоростей движения, зависящих от параметров автомо-
автомобиля? Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим сначала
коэффициенты характеристического уравнения.
Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо
прежде всего, чтобы все коэффициенты характеристического
уравнения были одного знака с а0, т. е. положительными.
Коэффициент
так как
9> l ,,
а 1
Коэффициент
а.2 = (ВВС2 + А) V2 + (А, + лу 4V-+- AtNt > 0,
так как все составляющие его слагаемые положительны.
Коэффициент
а3 = (АгЕа + ВД - С?в - ASBX) V+ М^. C0.1)
Из выражений B4.15) и B2.13) следует, что
Cb = aAs, ?, = Л8+-?. C0.2)
Тогда выражение C0.1) перепишем так:

198 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Все члены в правой части равенства положительны, и сле-
следовательно, коэффициент а3 > 0.
Наконец, коэффициент
а, = Afi9V* + А??9 — AtC.2Cs + АВД — A^B.N,. C0.3)
Принимая во внимание C0.2) и равенство
N2 = eCa-|
перепишем выражение C0.3) в следующем виде:
а, =
В этом выражении отрицательные члены содержатся
только в квадратной скобке. Так как по условию
аК=ЬК' — а' — а,
выражение, стоящее в квадратной скобке, перепишем так:
\аК— ЬК' аК—° К аЩ+ЬЩ' — си-
а 1
Оно всегда положительно, а поэтому и а4 > 0.
Таким образом, все коэффициенты характеристического
уравнения оказываются положительными, и движение будет
устойчивым, если предпоследний определитель Гурвица также
положителен, т. е.
Дз = аА°8 —°К — аоа1>°-
Определим знак Д3 в предположении, что в системе нет
трения (ее = 0) и отсутствует инерционная связь между пово-
поворотом автомобиля и поворотом управляемых колёс вокруг

§ 30] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 199
шкворней (В3 = 0). Отсутствие инерционной связи означает,
что не учитывается изменение скорости качения управляемых
колёс за счёт поворота всего автомобиля со скоростью <а
вокруг вертикальной оси. Полагая коэффициент Bs равным
нулю, мы тем самым уменьшаем положительные члены пред-
предпоследнего определителя Гурвица и не изменяем отрицатель-
отрицательные, отчего устойчивость движения системы уменьшается.
Предположение об отсутствии трения в системе делает
систему также менее устойчивой в движении, так как в слу-
случае поступления в систему энергии последняя не рассеивается,
а идёт на увеличение возмущённого движения.
При г9 = В.А = 0 коэффициенты характеристического урав-
уравнения остаются положительными, т. е. попрежнему выпол-
выполняется первое условие устойчивости движения, а именно:
в,- > 0. Подставляя значения коэффициентов ai во второе
условие B8.7), получим:
Д3 = V* (А, + Лу (Е.КЗ+^Л/з) [(А, + Лу Eb-C2C3-A3Bt]—
— V* [(At
Принимая во внимание, что С3 = aAs, после преобразований
получим:
- V» [(А,
М.)С,-(аС2+Bt) f+f
C0.4)
Все коэффициенты этого равенства определяются через пара-
параметры системы из выражений B2.J3), B4.12) и B4.15).
Для определения знака Д8 рассмотрим в отдельности
выражения, стоящие в квадратных скобках. Коэффициенты Alt
N2, Вг, С2 всегда положительны, а
1 т*
может быть как положительным, так и отрицательным. При
аК—ЬК' — о' — а = 0 имеем Сг > 0. В целом выражение,
стоящее в первой квадратной скобке, может быть как поло-
положительным, так и отрицательным.

200 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Выпишем члены, стоящие во второй квадратной скобке
C0.4). Введём обозначение
Mf^Bf- C0.5)
Правая часть этого равенства для различных конструкций
автомобилей может быть как положительной, так и отрица-
отрицательной. Обозначим
[ ^] C0.6)
В зависимости от знаков Wx и W2 возможны следующие
случаи:
1) Если
W^O и W2<0, C0.7)
то критической скорости не существует, и прямолинейное
движение всегда устойчиво.
2) Если
U^>0 и Щ > 0, C0.8)
то движение устойчиво, если скорость автомобиля меньше
критической, т. е.
С2 \аА\ - (Al + N2) С, + ?
у* <¦ Ъ
I
I дг
Однако эта скорость обычно невелика. При достижении
автомобилем критической скорости, когда неравенство C0.9)
превращается в равенство, два корня характеристического
уравнения B4.28) будут мнимыми сопряжёнными, так как
определитель Гурвица C0.4) обращается в нуль. Возмущён-
Возмущённое движение будет иметь колебательный характер, причём
амплитуда будет увеличиваться. '
3) Если
Wi<0 и W9 > 0, C0.10)
то движение всегда неустойчиво.
. 4) При
WX<Q и Wa<0 C0,11)

§ 30] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 201
движение устойчиво, когда скорость автомобиля больше кри-
критической, т. е.
\ + C + ^
(A1+ N2)C2-(aC2 + BJE» +
V. C0.12)
Для большинства автомобилей, повидимому, можно предпо-
предполагать коэффициент W% как положительным, так и отрица-
отрицательным, а коэффициент Wx — положительным.
Таким образом, если соотношение между упругими харак-
характеристиками пневматиков и расположением центра тяжести
автомобиля таково, что А2 = аК. — ЬК' — о' — а = 0, а сопро-
сопротивление в системе мало и им можно пренебречь (sj = 0),
то движение автомобиля с заблокированными управляемыми
колёсами в смысле устойчивости отличается от движения
автомобиля с незаблокированными управляемыми колёсами.
В первом случае оно всегда устойчиво, в то время как
во втором оно может быть как устойчивым, так и неустой-
неустойчивым.
Необходимо иметь в виду, что если удовлетворяются
неравенства C0.8), критическая скорость, определённая из
выражения C0.9), является сильно заниженной. Занижение
происходит главным образом от того, что при определении
знака Д3 было отброшено трение. На самом деле в сочле-
сочленениях оси и рулевого управления имеется трение, которое
способствует устойчивости движения. С учётом трения
выражение для критической скорости получается очень гро-
громоздким и непригодным к использованию. В этом случае
критическую скорость приходится определять из второго
условия B8.7), подставляя в него значения коэффициентов ai
из выражений B4.29) и B4.30).
Приведём пример. Рассмотрим устойчивость прямолиней-
прямолинейного движения семиместного легкового автомобиля, колеба-
колебательная система которого характеризуется следующими пара-
параметрами:
1. Номинальная нагрузка на переднее колесо Ок = 800 кг.
2, Пневматик размером 7,50—17" при внутреннем давлении
р = 2,0 кг/см2 имеет:
а) радиус при номинальной нагрузке R = 0,392 м,

202 устойчивость движения [гл. vi
б) радиальную жёсткость съ = 26 500 кг/м,
в) коэффициент сопротивления уводу АГ = АГ' =
= 4350 кг/радиан,
г) угловую жёсткость о = о' = 225 кгм/радиан,
д) коэффициант сопротивления, пропорционального ско-
скорости, при радиальных колебаниях с частотой
в 8,5 герц, равный Ав = 76 кгсек/м.
3. Колея передних колёс имеет ширину Б = 1,658 м.
4. Расстояние между рессорами 5ро = 0,88 м.
5. Жёсткость рессоры сро=6150 кг/м.
6. Жёсткость стержневого устройства передней подвески
с0 = 2250 кгм/радиан.
7. Коэффициент сопротивления стержневого устройства при
частоте колебаний в 8,5 герц равен ha = 2 кг м сек.
8. Жёсткость рулевого управления, установленного на авто-
автомобиле, ср=1240 кгм/радиан.
9. Коэффициент сопротивления рулевого управления при
частоте колебаний в 8,5 герц Ар = 3,8 кг м сек.
10. Угол наклона шкворней в продольной плоскости
р = 9°15'.
11. Расстояние от центра средней плоскости колеса до оси
шкворня 1 = 0,Н2 м.
12. Полярный момент инерции двух колёс /к = 1,23 кг м сек2.
13. Момент инерции двух колёс и рулевой трапеции отно-
относительно шкворней / = 0,955 кг м сек'2.
14. Момент инерции передней оси с колёсами относительно
оси, проходящей через середину передней оси перпен-
перпендикулярно к ней, 7^=16,835 кг м сек2.
15. Масса автомобиля /геа = 350 кг м-1 сек2.
16. Расстояния центра тяжести от передней и задней осей
соответственно равны а= 1,91 м, Ь= 1,85 м.
Для этого автомобиля ЬК' -\-а' -\-а = 1700 кгм, аК =
= 1660 кгм или ЬК'-\-а'-\-а > аК, а поэтому если упра-
управляемые колёса не могут поворачиваться вокруг шкворней,
то прямолинейное движение автомобиля устойчиво относи-
относительно переменных Vy и ш.
Определим, устойчиво ли движение автомобиля в случае
возможности поворота управляемых колёс вокруг шкворней.
Значения коэффициентов уравнений, подсчитанные согласно

§ 30] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 203
формулам B2.13), B4.12) и B4.15), будут следующими:
Л = ^±^ = 49,8
а
к
/и,
= 24,9 м сек~2,
пК~ЬК'
= 1,49 м> сек~*,
в = 1,132 кг леек2,
= 1965 сек:-2
C0.13)
и далее, принимая квадрат радиуса инерции р2 = 0,89ab,
получим:
В2 В'2 '
/t = /Пар2 + Tog г'к Н~ тж 'к — 1100 кг л сек2,
Л„ = -=— = 0,036 сек~2,
^ = 865 сек~2,
= 1650 м сек~2.
C0.14)
При подстановке значений коэффициентов C0.13) и C0.14)
в выражения C0.5) и C0.6) получим:
Следовательно, движение автомобиля всегда устойчиво.
Чтобы оценить устойчивость движения с учётом трения,
подсчитаем значения коэффициентов характеристического
уравнения. Для автомобиля, параметры которого используются
здесь, коэффициент сопротивления, определённый из опытов

204 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [Г,П. VI
при частоте колебаний в 8,5 герц, равен Ав = 3,8 кг м сек.
Тогда
ев = -^ = 3,36 сек-1. C0.15)
Подставляя C0.13), C0.14) и C0.15) в B4.29) и B4.30)
при прежних условиях (Л2 = В2 = В9 = 0), получим следую-
следующие значения коэффициентов характеристического уравнения:
а0 [л2 сек-Ц = V2,
ах [м2 сек-*] = 3,36 V2-+- 105,3 V,
а2[м2сек-*] = 1965V2+354V+2760,
аа[м?сек-6] = 161 500V+9370,
at [л2 сек-*] = 12 540V2 + 3 048 000,
где У[м/сек] — скорость движения автомобиля.
Воспользовавшись вторым условием B8.7), получим:
Д8 = я^,^ — a\ai. — а а\ = (— 0,14V5 + 1060V* +
-r-7400V8+4280V2 + 13 500V+2700)V- 10°.
Совершенно очевидно, что Д8 > 0 для всяких V, а поэтому
движение является устойчивым при любых скоростях авто-
автомобиля.
Таким образом, можно сделать следующие выводы. Если
передняя ось автомобиля не может совершать угловые дви-
движения в вертикальной плоскости, то устойчивость прямо-
прямолинейного движения автомобиля зависит от возможности
поворотов управляемых колёс вокруг шкворней. Когда пово-
повороты управляемых колёс запрещены и
то движение будет устойчивым, если скорость автомобиля
меньше критической. Если скорость больше критической, то
движение неустойчиво, причём нарастающее возмущённое
движение имеет апериодический характер.
Когда
ЬК'-\-о'-1га>аК,
то прямолинейное движение автомобиля всегда устойчиво,

§ 30] УСТОЙЧИвОСТЬ Ш>И ЗАБЛбКИЮВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 205
При отсутствии трения в сочленениях передней оси и
рулевого управления возможность поворота управляемых колёс
вокруг шкворней приводит к некоторым особенностям, а именно:
если соотношение параметров удовлетворяет неравенствам
C0.8), то движение устойчиво лишь на малых скоростях
автомобиля, определяемых неравенством C0.9); если же соот-
соотношение параметров автомобиля таково, что выполняются
неравенства C0.11), то наоборот, движение неустойчиво лишь
на малых скоростях и устойчиво на больших, определяемых
из неравенства C0.12).
В сочленениях передней оси и рулевого управления в дей-
действительности всегда имеется значительное трение. Поэтому
движение является всегда устойчивым.
В связи с изложенным отметим, что устойчивость движе-
движения автомобиля, у которого запрещены угловые движения
передней оси в вертикальной плоскости, при наличии пово-
поворотов управляемых колёс вокруг шкворней рассмотрена
в 1949 г. Г. В. Ароновичем*). Уравнения возмущённого
движения, составленные Г. В. Ароновичем без учёта углов р
наклона шкворней и моментов М, отличаются от уравнений
B4.27) тем, что в них коэффициенты Аъ и С3 равны нулю.
Равенство этих коэффициентов нулю является следствием
предположения об отсутствии наклона шкворней и об отсут-
отсутствии горизонтальных моментов, действующих со стороны
дороги на колесо, когда оно катится под углом к вектору
скорости своего центра. Когда р = 0, поперечные силы Y не
могут создавать моментов относительно осей шкворней и тем
самым оказывать влияние на повороты. Пренебрежение момен-
моментами, в дополнение к этому, приводит к исключению упругой
связи между движениями корпуса и управляемыми колёсами.
В действительности же коэффициенты упругой связи As
и С3 тем больше, чем больше угол р наклона шкворней
и угловая жёсткость о пневматиков. При р = 0 эти коэффи-
коэффициенты зависят только от угловой жёсткости пневматиков.
Как видно из C0.13) и C0.14), коэффициенты Аъ и Сь имеют
существенное значение.
Для сравнения остановимся на исследовании устойчивости
движения при .43 = C3 = s9 = 0. Обозначим
1 — ДД, = п.
1) См. сноску1) на стр. 8.

206
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
Тогда коэффициенты характеристического уравнения, полу-
полученные из B4.29) и B4.30), будут иметь вид
2-АА, C0.16)
а3 = [?« {Ах + Л/а) + ЛАА — Л^Яд] V,
а4 = Et (ALN2 — А2С± — A2V2).
Коэффициенты а0, av a2 и as являются всегда положи-
положительными. Коэффициент а4 > 0, если Л2<0; при А2 > 0
ai > 0, если
V*<AM-A*CK C0.17)
Если не учитывать моменты, действующие со стороны
дороги на управляемые колёса, и углы наклона шкворней,
то величины, входящие в неравенство C0.17), можно выразить
через параметры системы следующим образом:
аК— ЬК'
/А* —•
1
А2-
тв
аК-ЬК'
C0.18)
Подставив выражения C0.18) в неравенство C0.17), получим:
т. е. выражение, которое приведено в сноске на стр. 195.
Движение будет всегда устойчиво, если ЬК' > аК, а также
устойчиво при аК > ЬК', если скорость автомобиля меньше
критической. Эти условия устойчивости ранее были получены
для автомобиля с заблокированными управляемыми колесами.
Подставим коэффициенты C0.16) во второе условие
устойчивости B8.7). После преобразований и сокращения
на V2 будем иметь:
! A— /i)
п)+пА2 (В
N2 (С2В3 —
. C0.19)

§ 30] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ЗАБЛОКИРОВАННОЙ ПЕРЕДНЕЙ ОСИ 207
Рассмотрим случай, когда Л2< 0, т. е. ЪК' > аК. Оценим
знак выражения, стоящего в последней квадратной скобке.
Первое слагаемое в этой скобке положительно, так как
1^>я; второе слагаемое положительно, потому что 58яз1,
а Аи как это следует из B4.12), по меньшей мере в два
раза больше, чем fit; третье и четвёртое слагаемые также
положительны, поскольку 53>52 и А2<0. Поэтому выра-
выражение, стоящее в последней квадратной скобке, всегда поло-
положительно. Все остальные члены C0.19) также всегда
положительны, так как AVN2— A^Cj^^O. Следовательно,
предпоследний определитель Гурвица никаких дополнительных
условий устойчивости не даёт. Единственным условием устой-
устойчивости движения попрежнему является ЪК' > аК, а в случае
аК > ЪК'— неравенство
^ тй(аК-ЬК'У
При наличии сопротивления в системе (ее =?0) прямолиней-
прямолинейное движение автомобиля всегда устойчиво.
Из изложенного следует, что если пренебречь упругими
связями корпуса с управляемыми колёсами (Л3 = С3 = 0), то
при запрещении угловых движений оси в вертикальной пло-
плоскости возможность поворотов управляемых колёс вокруг
шкворней в смысле устойчивости прямолинейного движения
не даёт никаких дополнительных особенностей по сравнению
со случаем заблокированных колёс.
Учёт упругих связей корпуса с колёсами при отсутствии
трения в сочленениях передней оси и рулевого управления
приводит к некоторым особенностям, а именно: в зависимости
от соотношения параметров движение может быть как устой-
устойчивым, так и неустойчивым. Возмущённое движение в этом
случае имеет колебательный характер. Но рассмотрение
устойчивости движения управляемых колёс автомобиля без
учёта трения должно считаться только первым прибли-
приближением к решению вопроса. Реальная система обладает тре-
трением, которое делает движение управляемых колёс всегда
устойчивым.
Таким образом, если передней оси запрещены угловые
движения в вертикальной плоскости, то при наличии трения,
а оно всегда оказывается значительным, автоколебания упра-
Еляемых колёс возникать не могут.

208 устойчивость движения [гл. vi
Столь подробное исследование устойчивости движения,
когда запрещены вертикальные движения оси, было нами
произведено потому, что существует мнение, согласно кото-
которому при отсутствии угловых движений оси в вертикальной
плоскости могут возникать автоколебания управляемых колёс
автомобиля1). В действительности же автоколебания упра-
управляемых колёс автомобиля могут возникать лишь вследствие
взаимодействия поворотов колёс вокруг шкворней с угловыми
движениями оси в вертикальной плоскости.
К рассмотрению этого вопроса мы и перейдём.
§ 31. Устойчивость движения управляемых
колёс автомобиля
Задачу об устойчивости движения управляемых колёс
автомобиля можно сформулировать так: при прямолинейном
и равномерном движении автомобиля управляемые колёса со
стороны дороги получили какие-либо малые возмущения, от
чего возникли колебания колёс вокруг шкворней и связанные
с ними угловые колебания оси в вертикальной плоскости;
требуется определить, каким соотношениям должны удовле-
удовлетворять параметры системы и скорость автомобиля, чтобы
возникшие колебания были затухающими и колёса стреми-
стремились всегда возвратиться к прямолинейному движению.
Постановка задачи в этом параграфе существенно отли-
отличается от предыдущих параграфов. В § 29 рассматривалась
устойчивость прямолинейного движения автомобиля, когда
запрещены как угловые движения оси в вертикальной пло-
плоскости; так и повороты управляемых колёс вокруг шкворней.
В § 30 задача об устойчивости была рассмотрена для случая,
когда запрещены угловые движения оси в вертикальной
плоскости, но имеют место повороты управляемых колёс
вокруг шкворней. Здесь вопрос ставится иначе. Ось
с управляемыми колёсами выделяется в самостоятельную
колебательную систему, которая получает возмущение от
неровностей дороги, причём ' движение корпуса остаётся
невозмущённым.
1) См. работу, цитированную на стр. 8, а также Долго-
ленко Ю. В., Замечания к статье Г. В. Ароновича «К теории
шимми автомобиля и самолёта», Прикладная математика и механика,
т. XIV, вып. 4, 1950.

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 209
Как было отмечено выше (§ 22), при поворотах упра-
управляемых колёс относительно шкворней колебания оси в верти-
вертикальной плоскости будут только угловыми, а поэтому
возмущённое положение системы характеризуется двумя
координатами: углом 6 поворота оси в поперечной верти-
вертикальной плоскости и углом 6 поворота управляемых колёс
относительно вектора скорости автомобиля. Последний
остаётся неизменным несмотря на возмущения, полученные
управляемыми колёсами.
Дифференциальными уравнениями возмущённого движения
системы будут уравнения B0.10):
где ее и s^ — относительные коэффициенты сопротивлений
движению, ?е и ?ф— квадраты парциальных частот, D и
Dt — коэффициенты гироскопических связей, Я и Нх — коэф-
коэффициенты упругих связей. Все эти коэффициенты опре-
определяются элементарным образом через параметры системы
из выражений B2.11) — B2.15) и для малых колебаний при
V = const, их можно считать постоянными.
Частное решение уравнений будем искать в виде
Уравнение для определения характеристического показателя р
будет следующее:
—DVp + H _
=0>
или, раскрыв определитель,
l = O. C1.1)
Дифференциальные уравнения B0.10) возмущённого дви-
движения являются уравнениями первого приближения, так как
в этих уравнениях оставлены члены, содержащие первые
степени неизвестных и их производных, и отброшены члены

210 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
с произведениями и высшими, чем первая, степенями пере-
переменных. Поэтому для исследования устойчивости движения
выбранной системы воспользуемся, как и раньше, теоремами
А. М. Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Согласно этим теоремам движение устойчиво и притом
асимптотически, если вещественные части всех корней
характеристического уравнения C1.1) будут отрицательными.
Для этого надо, чтобы все коэффициенты этого уравнения,
а также предпоследний определитель Гурвица были положи-
положительны. Посмотрим, как выполняются эти условия.
Уравнение C1.1) запишем в виде
dc\P^ —I— &лу ~\~ @оР —1~ ^чР —Г" ^4 ~~ »
где
ап= 1,
C1-2)
Так как из B2.11) и B2.12)
то ах > 0.
Коэффициент а2 при неизвестном второй степени также
положителен, поскольку составляющие его члены B2.13) и
B2.14)
Ев = ——
= Ещ + Е^, + (HtD — HDj) V,
всегда положительны.
Знак коэффициента а3 зависит от соотношения упругих
и гироскопических связей. Запишем коэффициенты упругих
связей через параметры системы B2.15):
Дсв/(р-/) hK

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДЙИЖЕНЙЯ УПРАЙЛЯЕМЫХ КОЛЕС 2ll
Если соотношение коэффициентов упругих и гироскопических
связей таково, что HtD — ЯДг>0, то всегда Оз>0.
Коэффициенты D и D1 гироскопических связей, а также
коэффициент Ht упругой связи являются всегда положитель-
положительными. Коэффициент И упругой связи является в большинстве
случаев положительным. Он может быть и отрицательным,
если угол р наклона шкворня меньше коэффициента /
сопротивления качению. -В последнем случае а3>0. При
Р >/ коэффициент Я>0, а следовательно, выражение
HtD — HD1 может быть как положительным, так и отрица-
отрицательным. При H-yD — HD1 < 0 коэффициент а3 > 0, если
Е^ + Е^Ч
Это неравенство, как правило, всегда выполняется.
Коэффициент а4 > 0, так как для всех автомобилей про-
произведение квадратов парциальных частот всегда больше произ-
произведения коэффициентов упругих связей, т. е. ЕбЕ^ > HHV
Предпоследний определитель Гурвица для уравнения
четвёртой степени можно записать в виде
Д3 = at ага3 — афц — а^ъ. C1.4)
Если Д3 > 0, то вещественные части корней характери-
характеристического уравнения будут отрицательными, а движение,
следовательно, устойчивым. Подставив значения коэффициен-
коэффициентов из B2.11) — B2.15) в C1.4), получим следующее усло-
условие устойчивости движения:
+ KH.D — НОг) {(Я+ -Е6)(ц — е9) + (.Ц +
+ [DDL (Еьг^ + Ефц) (в+ + *) ~ WXD — HDJ] V2 +
-f-DD^D — WD1)(s+ + se)Ks>0> C1.5)
или
^O, C1.6)
где So, St, S2 и 53— свободный член и коэффициенты,
равные выражениям, стоящим множителями в неравенстве
C1.5) при соответствующих степенях скорости V.

й\й Устойчивость движения [гл. Vi
Неравенство C1.5) выражает соотношения между пара-
параметрами системы и скоростью движения автомобиля, при
выполнении которых вещественные части корней характери-
характеристического уравнения будут отрицательными, а исходное
движение управляемых колёс устойчивым.
Остановимся поподробнее на неравенстве C1.5). Отметим
прежде всего два важных свойства рассматриваемой колеба-
колебательной системы:
1) Если соотношение упругих и гироскопических связей
таково, что произведение коэффициента упругой связи одного
направления на коэффициент гироскопической связи другого
направления равно произведению двух других соответствую-
соответствующих коэффициентов противоположного направления, т. е.
H1D=HDV C1.7)
то коэффициент а3 ]> О, а неравенство C1.5) выполняется
всегда независимо от скорости движения автомобиля. Это
значит, что вещественные части корней характеристического
уравнения отрицательны и движение устойчиво. Колебания
управляемых колёс являются всегда затухающими, автомо-
автомобильная ось с управляемыми колёсами не является автоко-
автоколебательной системой. Заменив по формулам B2.14), B2.15)
коэффициенты гироскопических и упругих связей через па-
параметры системы, получим вместо равенства C1.7) сле-
следующее:
(^ C1.8)
Если параметры оси с управляемыми колёсами удовлетво-
удовлетворяют равенству C1.S), то автоколебания управляемых колёс
не будут возникать.
Когда HtD — Я?I>0, то менее жёстким, но вполне
достаточным для того, чтобы в системе не возникали авто-
автоколебания и прямолинейное движение управляемых колёс
было устойчивым, является требование положительности
коэффициента S2 в неравенстве C1.6), т. е.
DDt (Еь% + Е^) (зф + вв) - (H.D - HDX? > 0. C1.9)
Углы $ наклона шкворней обычно невелики и равенство
C1.8) в большинстве практических случаев не выполняется.
В дальнейшем будем предполагать именно этот случай.

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 213
2) Когда сопротивление движению в системе настолько
мало, что им можно пренебречь (ге = г = 0), то неравен-
неравенство C1.5) не выполняется. Из этого следует вывод: если
в сочленениях и упругих элементах автомобильной оси
с управляемыми колёсами отсутствует трение, то прямоли-
прямолинейное движение управляемых колёс неустойчиво. Иными
словами, при отсутствии трения автомобильная ось с упра-
управляемыми колёсами является автоколебательной системой.
Трение придаёт системе устойчивость в движении.
Если HtD=HDlt то при отсутствии трения (гв=г=0)
предпоследний определитель Гурвица (Д3), коэффициенты at
и а3 характеристического уравнения равны нулю. Характе-
Характеристическое уравнение превращается в биквадратное урав-
уравнение частот. Поскольку действие гироскопической связи
компенсируется действием упругой связи, а трение в системе
отсутствует, то система совершает гармонические колебания
с двумя частотами. Автоколебания в такой системе не воз-
возбуждаются.
Так как в подавляющем большинстве случаев HXD—HDt >0
(поэтому в дальнейшем, где это не оговорено, будет рас-
рассматриваться" именно этот случай), коэффициенты So, S± и 53
неравенства C1.6) всегда положительны. Коэффициент S.2
может быть как положительным, так и отрицательным. Когда
52< 1, движение устойчиво, если
\S,\V*< So + SjV + SeV*. C1.10)
В противном случае движение неустойчиво.
При HtD — HDt < 0 абсолютная величина этой разности
обычно мала, абсолютные величины коэффициентов 6\ и 53
неравенства C1.6) малы по сравнению с коэффициентами
So и S2, причём, как правило, 52 > 0. Неравенство C1.5)
всегда выполняется. Критическая скорость автомобиля, до
превышения которой движение будет устойчивым, опреде-
определяется из выражения C1.3). Эта скорость оказывается очень
большой и не ограничивает возможности движения автомо-
автомобиля. Поэтому в большинстве встречающихся на практике
случаев неравенство C1.5) является основным. Отметим ещё
ряд свойств колебательной системы.
Из неравенства C1.5) следует, что для повышения ско-
скорости устойчивого движения нужно увеличивать разность

214 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
между квадратами парциальных частот (Е.—Ее). При этом,
чтобы коэффициент St в неравенстве C1.6) был положи-
положительным, необходимо иметь:
Е«, > Еъ< если еФ > V
и
ЕС, < ЕЪ> еСЛИ % < V
Эти неравенства означают, что если относительный коэффи-
коэффициент сопротивления при повороте управляемых колёс вокруг
шкворней меньше относительного коэффициента сопротив-
сопротивления при угловых колебаниях оси в вертикальной плоскости,
то выгодно иметь частоту собственных колебаний колёс
вокруг шкворней меньшую, чем частота собственных угло-
угловых колебаний оси, и наоборот. При увеличении разности
квадратов парциальных частот увеличение каждой парциаль-
парциальной частоты способствует повышению устойчивости движения.
Коэффициенты St и 53 C1.6) значительно меньше коэф-
коэффициентов So и S2, и если устойчивое движение ограничи-
ограничивается небольшими скоростями V, то условия устойчивости
определяются в основном коэффициентами So и S2. В этом
случае предельную скорость устойчивого движения прибли-
приближённо можно определить из C1.10). Положив 5t = 5s = 0,
получим:
или, в развёрнутом виде,
V» < 1(?ф - Еь? v
+ (Е,в« + V») V* + HHi ^ + геЯ X
X KHfi-HD^-DD^E^ + EfiJ^ + iJl-i. C1.11)
При уменьшении коэффициента сопротивления уводу К,
что равносильно уменьшению ¦ коэффициента Н упругой
связи, знаменатель C1.11) уменьшается быстрее, чем числи-
числитель, и поэтому предельная скорость устойчивого движения
значительно увеличивается. Аналогичное влияние оказывает
и полярный момент инерции колёс. В этом легко убедиться,
если коэффициент S.2 представить в преобразованном виде.
Заменив согласно формулам B2,14) и B2.15) коэффициенты

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 215
гироскопических и упругих связей через параметры системы,
неравенство C1.11) запишем в виде
X
Ci.no
Так как полярный момент инерции управляемых колёс не
входит ни в один из коэффициентов Еь, Е,, Н, Hv е9 и е,,
то, как это следует из C1.1 Г), предельная скорость устой-
устойчивого движения обратно пропорциональна квадрату поляр-
полярного момента инерции колёс. Чем меньше гироскопическая
связь, т. е. чем меньше полярный момент инерции управляе-
управляемых колёс, там выше критическая скорость автомобиля.
С увеличением угла р наклона шкворней увеличивается
коэффициент Н упругой связи, знаменатель неравенства
C1.11') уменьшается в большей пропорции, чем числитель.
Поэтому с увеличением угла ,3 увеличивается скорость устой-
устойчивого движения управляемых колёс автомобиля.
В литературе иногда можно встретить сообщения, что
при экспериментальном исследовании самовозбуждения коле-
колебаний управляемых колёс изменение одних и тех же пара-
параметров у различных автомобилей приводило к различ-
различным или даже противоречивым результатам. Это нетрудно
объяснить. Из неравенства C1.5) следует, что лишь для не-
немногих величин можно вполне определённо указать, как они
влияют на устойчивость движения. Влияние же большинства
параметров может быть различным. Оно зависит от их соот-
соотношения и может быть определено из неравенства C1.5),
когда значение всех параметров будет известно. Например,
колея В управляемых колёс влияет на коэффициенты D, Н,
Е. и е , а через моменты инерции колёс относительно
шкворней и момент инерции передней оси относительно оси
вращения при угловых колебаниях в поперечной плоскости
определяются все без исключения коэффициенты уравнений
возмущённого движения. Наибольшие осложнения вызывает
упругий пневматик, у которого изменение одного параметра

216 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
вызывает изменение всех остальных. Так, с увеличением
давления воздуха в пневматике увеличивается его радиаль»-
ная жёсткость св, изменяются коэффициент сопротивления
уводу К, угловая жёсткость о, коэффициент внутреннего
сопротивления йв, а всё это вызывает изменение коэффици-
коэффициентов уравнений Се, Е^, Н, Н1 и е+ в различных пропор-
пропорциях. Кроме этого, при увеличении внутреннего давления
воздуха уменьшается радиальная деформация, уменьшается
площадка контакта, что может привести к другим качест-
качественным зависимостям сил взаимодействия пневматика с доро-
дорогой. Очевидно в таком случае нельзя сказать, как влияет
изменение давления воздуха в пневматике на устойчивость
движения управляемых колёс. Для одной конструкции авто-
автомобиля изменение давления воздуха будет оказывать влияние
в одном направлении, для другой конструкции это влияние
может быть противоположным. Всё зависит от соотношения
между всеми параметрами. Так обстоит дело и со многими
другими величинами. Отсюда понятно, почему изменение
одного и того же параметра при различных соотношениях
между всеми остальными приводит к противоречивым ре-
результатам.
Для иллюстрации влияния отдельных параметров системы
на устойчивость движения приводим фиг. 92 и 93. На каж-
каждой из них 1io вертикальной оси отложена критическая ско-
скорость VrP автомобиля, а по горизонтальной оси — относи-
относительные величины рассматриваемых параметров системы.
Графики выражают зависимость критической скорости авто-
автомобиля от какого-нибудь одного параметра колебательной
системы при условии, что другие остаются неизменными.
Графики построены по выражению C1.5) для автомобиля,
параметры колебательной системы которого приведены на
стр. 201—202. За единицы приняты величины параметров
этого автомобиля.
В этой колебательной системе парциальная частота угло-
угловых колебаний оси в вертикальной плоскости больше пар-
парциальной частоты колебаний колёс вокруг шкворней Е^^>Ен.
Соотношение упругих и гироскопических связей таково, что
ЯХО — HD1^>0, коэффициент S2 неравенства C1.6) является
отрицательным, т. е.
) (еф + ее) - {Hfi —

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 217
Критическая скорость, подсчитанная для этого автомо-
автомобиля по выражению C1.5), равна 30 км/час и обозначена
на графике кружочком. Через эту точку проходят все кри-
кривые, построенные при изменении обозначенных параметров.
75
50
25
as
w
7,2
7,4
-frt
O,4 0,6 O.8 7,0 7,2 7,4 7,6
Ж ?
—be
ОА Q6 Q8 W JZ 14 16
US Q7 Q8 6,9 7,0 /,/ i2 7J /A fa*
Фиг. 92. Зависимость критической скорости от
параметров /к, Л,, Ло, К-
Ниже пунктиром проведены кривые критических скоростей
для другого автомобиля, который отличается от первого лишь
тем, что у него парциальная частота угловых колебаний оси
в вертикальной плоскости меньше парциальной частоты ко-
колебаний колёс вокруг шкворней, причём для подсчёта при-
принято Сф = Ев и ?'в = ?'ф-
Из графиков видно, что уменьшение коэффициента сопро-
сопротивления уводу К и полярного момента инерции колёс is,
а также увеличение коэффициентов сопротивления Ав и Аф,
увеличение угла J3 наклона шкворней способствуют увеличению

218
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
критической скорости автомобиля. Это и было отмечено
выше при рассмотрении неравенства C1.5). Другие пара-
параметры могут как увеличивать устойчивость движения, так и
6,2 Q4 as as io
J27А 16
i,4 ie i.8 id
Фиг. 93. Зависимость критической скорости от
параметров /ф, ?в, Е^, р.
уменьшать её. Всё зависит от того, каковы значения осталь-
остальных величин, характеризующих колебательную систему. Так,
увеличение квадратов парциальных частот Ен и Е^ вначале
приводит к понижению, а затем к повышению критической
скорости. Аналогичное влияние оказывает момент инерции /ф
оси и ряд других параметров. Несмотря на то, что пара-
параметры второго автомобиля отличаются от параметров пер-
первого лишь парциальными частотами, интенсивность влияния
коэффициентов сопротивления ^ и Ь и угла р наклона

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 219
шкворней оказывается различной. Для первого автомобиля
(Еф > Ее) более крутой подъём кривой даёт коэффициент
сопротивления Аф, тогда как для второго — коэффициент
сопротивления А9 и угол р наклона шкворней.
Отметим ещё раз, что графики, подобные показанным
на фиг. 92 и 93, применимы только к автомобилю заданной
конструкции, так как они построены для вполне определён-
определённых значений параметров колебательной системы. При дру-
другом соотношении параметров характер графиков может быть
иным.
При составлении уравнений возмущённого движения ось
с управляемыми колёсами была выделена в самостоятельную
колебательную систему. Особенность этой системы состоит
в том, что между угловыми колебаниями оси в вертикаль-
вертикальной плоскости и колебаниями колёс вокруг шкворней суще-
существуют двусторонние упругие и гироскопические связи,
приводящие к возникновению устойчивых колебаний. Через
колёса с пневматиками осуществляются упругие и гироско-
гироскопические связи, сущность которых заключается в следующем.
При случайном и быстром отклонении колёс от прямолиней-
прямолинейного- движения в площадках контакта пневматиков с дорогой
возникают реакции: поперечная сила Y и момент М. Воз-
Возникает также гироскопический момент isQb , действующий
в вертикальной плоскости. Поперечная сила и гироскопиче-
гироскопический момент, являясь внешними по отношению к угловым
движениям оси в вертикальной плоскости, вызывают эти дви-
движения. Так как в вертикальной плоскости ось с колёсами
движется как одно целое, то возникает гироскопический
момент /RQ<k В площадках контакта возникают продольные
В1 '
силы X, дающие относительно шкворней момент ^m '«2 ф .
Когда fi >/, то создаётся также момент относительно шквор-
шкворней, равный Всъ1($—/)<!* и являющийся следствием угла
наклона шкворней и перераспределения вертикальной на-
нагрузки между колёсами при угловых колебаниях оси. Мо-
менты isQty, лм/цЙ^, BcBlQ — f)fy, возникающие вслед-
вследствие угловых колебаний оси, являются внешними по отно-
отношению к колебаниям колёс вокруг шкворней. Таким обра-
образом, конструктивные особенности оси с управляемыми ко-
колёсами таковы, что, как уже указывалось, колебания колёс,

220
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[гл. vi
случайно возникшие в одной плоскости, вызывают коле-
колебания в другой плоскости, а последние усиливают первые
и т. д.
Упругий пневматик, обладающий свойством катиться без
скольжения под малым углом к вектору скорости, является
«обратной связью» основной колебательной системы с источ-
источником энергии. Приток энергии вызывает увеличение ампли-
амплитуд колебаний и расходуется на преодоление сопротивления.
5 4 3
/ О 7! 72 /3 74 75 7В 77
5 4 3 2 7 О 77 !2 13 /4 /5 !6 !7
5 4 3 2 7 О 77 72 73 74 75 76 77
73 74 /5 /S /7
Фиг. 94. Запись колебаний управляемых колёс при V = 44,5 км/час:
а) относительно рамы в вертикальной плоскости, б) вокруг шкворней.
Нелинейные характеристики пневматика и рулевого управ-
управления служат ограничителями амплитуд колебаний.
Описанный процесс автоколебаний управляемых колёс
автомобиля хорошо согласуется с действительностью. В до-
дополнение к фиг. 34 на фиг. 94 представлены записи коле-
колебаний оси и колёс, произведенные с помощью самописцев
на меловой бумаге, автомобиля, параметры которого приве-
приведены на стр. 201—202. Движение автомобиля происходило
с постоянной скоростью по ровному асфальтовому шоссе. На
йерхних лентах (а) записаны вертикальные движения колёс
относительно рамы автомобиля, а на нижних (б) — колеба-
колебания одного из колёс вокруг шкворня. Отметки времени
(верхняя линия) и чисел оборотов колеса (нижняя линия)

§ 31] УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЁС 221
позволяют определить частоту колебаний, скорость автомо-
автомобиля и синхронизировать записи обоих самописцев.
Как видно из приведённых записей, колёса совершают
стационарные периодические колебания вокруг шкворней
(лента б), в то время как ось с колёсами — угловые коле-
колебания в вертикальной плоскости. Запись движений оси в вер-
вертикальной плоскости менее совершенна, так как она иска-
искажена посторонними взаимными перемещениями оси и рамы
(фиг. 35 и 36). Однако, несмотря на искажения, на кривых
отчётливо выделяются выступы и впадины, повторяющиеся
через одинаковые промежутки времени и соответствующие
движениям колёс вверх и вниз. Рассматривая их в моменты,
отмеченные вертикальными линиями, видно, что если левое
колесо подпрыгивает вверх, то правое сильнее прижимается
к земле, и наоборот. Это свидетельствует о том, что при
колебаниях колёс вокруг шкворней ось совершает угловые
колебания в поперечной вертикальной плоскости. Зритель-
Зрительные наблюдения подтверждают, что ось в вертикальной пло-
плоскости, так же как и колёса вокруг шкворней, совершает
периодические стационарные колебания.
Из записей (фиг. 34, 94) видно, что между колебаниями
оси и колёс имеется совершенно чёткое взаимодействие.
Если левое колесо движется вверх, то оно одновременно
начинает поворачиваться вокруг шкворня вправо, а при дви-
движении вниз — поворачиваться влево. Правое колесо, наобо-
наоборот, при движении вверх поворачиваться влево. Установив-
Установившиеся колебания в обеих плоскостях совершаются с одной
и той же частотой, сдвиг фаз между ними остаётся всегда
постоянным. Записи колебаний подтверждают правильность
предположения, положенного в основу составления уравнений
возмущённого движения, а именно: неустойчивое движение
управляемых колёс автомобиля может иметь место при на-
наличии не менее двух обязательных степеней свободы—пово-
свободы—поворотов колёс вокруг шкворней и поворотов оси в вертикаль-
вертикальной плоскости.
Как было найдено в § 22, решение уравнений возмущён-
возмущённого движения можно записать в следующем виде:
О = Ахе'1 cos (qt -\- cpt) + А^г cos (rt -\- <р2),
^ = /liV'' cos (^ + ?i + «t)+ ^2Vs' cos

222 Устойчивость движения [Гл. Vi
Из решения характеристического уравнения B2.18)х)
следует, что в момент самовозбуждения колебаний один из коэф-
коэффициентов (fj) становится положительным и, следовательно,
является коэффициентом не затухания, а нарастания колеба-
колебаний, а второй коэффициент (е) остаётся отрицательным.
В соответствии с этим в обеих координатах колебания с ча-
частотой q быстро затухают, и система будет совершать коле-
колебания с одной частотой г, при которой коэффициент t\
является положительным. Отношение амплитуд колебаний
Ф
-j- определяется из B2.20) и для системы, параметры
которой приведены на стр. 201—202, оно меньше единицы.
С течением времени (как показывают наблюдения, через
1—2 секунды) амплитуды колебаний достигают максималь-
максимальных значений и в дальнейшем остаются постоянными. Ста-
Стационарные колебания совершаются в пределах нелинейных
участков, характеристик Y = ft(b), M = f2(j)), Жр = /3(в).
Амплитуды записанных колебаний для поворота колёс
вокруг шкворней и угловых колебаний оси в вертикальной
плоскости равны соответственно 7°30' и 1°20'.
Экспериментальное подтверждение имеет не только каче-
качественная сторона автоколебаний, но и граница устойчивости
прямолинейного движения управляемых колёс. Так, критиче-
критическая скорость рассматриваемого автомобиля, определённая
из неравенства C1.5), равна 30 км/час. На самом деле
прямолинейное движение управляемых колёс становится не-
неустойчивым и возникают автоколебания при скорости
в 45—48 км/час, т. е. в полтора раза выше той, которая
получается из неравенства C1.5). Для уравнений первого
приближения это сравнение можно считать удовлетвори-
удовлетворительным.
С целью определения критической скорости при соотноше-
соотношениях параметров, отличающихся от указанных на стр. 201 —202,
на автомобильном заводе им. Сталина в 1952 г. автором был
проведён следующий опыт. На управляемые колёса стави-
ставились хорошо центрированные дополнительные металлические
диски. Число дисков было переменным и доходило до пяти.
В зависимости от изменения числа дополнительных дисков
(от одного до пяти) изменялись полярный момент инерции
1) См. § 32.

§ 31] Устойчивость движения Управляемых колес
223
каждого колес», момент инерции колеса относительно шкворня,
а также момент инерции передней оси относительно коор-
координатной оси х (фиг. 3). При пяти дисках, насаженных на
каждое колесо, полярный момент инерции увеличивался
в 1,44 раза, момент инерции колеса относительно шкворня—
в 2,49 раза, момент инерции оси — в 1,86 раза1). Коэффи-
Коэффициенты уравнений B2.10) изменялись при этом в различных
пропорциях.
Критические скорости, определённые из неравенства C1.5),
показаны в виде графика на фиг. 95. По оси абсцисс на этом
V км/час
ЗО
го
70
Опытные
точки
Рас четная крь вал
и 7 2 3 4 5
Число дисков на колесе
Фиг. 95. Зависимость критической скорости от числа
дисков иа колесе.
графике отложено число дополнительных дисков на каждом
колесе, по оси ординат — критическая скорость в км/час.
С увеличением числа дисков расчётная критическая скорость
несколько уменьшается. Опыты, проведённые с целью опре-
определения критических скоростей, в качественном отношении
вполне согласуются с расчётом. Во время этих опытов
автоколебания возникали, как и у автомобиля с неизменными
параметрами, при скоростях примерно в полтора раза выше
расчётных. Эти скорости на графике обозначены точками.
*) Фиг. 34 соответствовала одному дополнительному диску,
фиг. 37 — четырём, фиг. 94—двум.

йй4 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. VI
Это расхождение объясняется главным образом тем, что при
выводе уравнений возмущённого движения были учтены только
сопротивления, пропорциональные первой степени скорости,
и отброшены сопротивления, изменяющиеся согласно другим
закономерностям. Это упрощение приводит к понижению
устойчивости движения, поскольку трение в сочленениях
передней оси и рулевого управления повышает устойчивость
движения управляемых колёс. На расхождение в скоростях
оказывает влияние и то, что движение корпуса автомобиля
принимается невозмущающимся. Выделение оси с колёсами
в самостоятельную колебательную систему является тем более
правильным, чем больше отношения моментов инерции кор-
корпуса автомобиля относительно его центральных осей к мо-
моментам инерции оси и колёс. Эти отношения возрастают
с увеличением базы автомобиля и, следовательно, для длинно-
базных автомобилей такое предположение даёт наименьшие
ошибки. Для короткобазных автомобилей, таких как ГАЗ-67,
моменты инерции корпуса невелики и неучёт возмущённых
движений корпуса при оценке скорости устойчивого движе-
движения может привести к большим количественным погрешностям.
При возмущённом движении корпуса вследствие наличия
дополнительных степеней свободы критическая скорость авто-
автомобиля, повидимому, несколько понизится. Характеристическое
уравнение B4.18) в этом случае имеет высокую (шестую)
степень, и выражения его коэффициентов через параметры
системы являются очень громоздкими. Эти причины вызывают
большие трудности при определении критической скорости
автомобиля. Тем более не удаётся установить влияние пара-
параметров автомобиля на устойчивость его движения.
Выделение же оси с управляемыми колёсами в самостоя-
самостоятельную колебательную систему имеет явные преимущества.
Сохраняя две основные степени свободы, характеризующиеся
координатами (I и ф, удаётся получить условия устойчивости
движения в обозримом виде. В частных случаях можно вы.
явить и влияние любого параметра на устойчивость движения.
Так как ось с управляемыми колёсами является составной
частью автомобиля, то многие её параметры определяются
из соображений прочности, износоустойчивости, плавности
хода, лёгкости управления и ряда других факторов. Такие
параметры не могут меняться в широких пределах. Выбирать
их надо так, чтобы они обеспечивали устойчивое движение

§ 32] ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ 225
управляемых колёс на всех практически употребляемых ско-
скоростях и вместе с тем удовлетворяли основным требованиям,
которые предъявляются к оси с управляемыми колёсами,
как составной,части автомобиля.
§ 32. Пример определения критической скорости
Как видно из графиков (фиг. 52 и 77), коэффициенты
сопротивления Л„ и Лр, а следовательно, s9 и в^ зависят от
частот колебаний. Частота колебаний определяется из харак-
характеристического уравнения методом последовательных при-
приближений и в свою очередь зависит от скорости движения.
Поэтому определение критической скорости автомобиля надо
производить методом последовательных приближений. Порядок
расчёта проследим на конкретном примере.
Определим критическую скорость автомобиля, все пара-
параметры колебательной системы которого известны и приведены
на стр. 201—202. Для этого воспользуемся выражением C1.5),
которое- получено из рассмотрения возмущённого движения
оси с управляемыми колёсами как самостоятельной колеба-
колебательной системы, причём движение корпуса автомобиля
в расчёт не принималось:
(?ф - Ebf еееф + (?ф + ??е) в|«« + (??„ з| + Erf) еезф +
+ НН1 (еф + «g» + {(HJ) - HDJ [(?ф - ?е) (зф -
- (Нр — HDj*\ V2 + DD, (Hp — HDt) (зф + ее) V» > 0.
Для определения коэффициентов hB и Лр из графиков
(фиг. 52 и 77) нужно знать частоту колебаний. Её подсчи-
подсчитаем методом последовательных приближений (§ 25) из
характеристического уравнения B2.18):
- HDJ V\p + ЕЬЕ^ - НН% = 0.
Можно принять следующий порядок расчёта. За первое при-
приближение для частоты колебаний принимаем высшую пар-
парциальную частоту системы без учёта сопротивления

226 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
По графикам, представленным на фиг. 52 и 77, находим
коэффициенты сопротивления А„ и Ар, соответствующие
данной частоте, и подсчитываем е. и ед. Коэффициент еф
определяем для автомобиля без амортизаторов. При опреде-
определении коэффициента еф будем учитывать только сопротивле-
сопротивление пневматиков и не будем учитывать сопротивления рессор
и стержневого устройства, так как последние малы по сра-
сравнению с первым.
Используя найденные е. и ед, из неравенства C1.5) опре-
определяем критическую скорость. Имеем:
гх^=^УЩ =7,95 кол/сек,
А, = 76 кгмсек,
Ар = 3,82 кгмсек,
е+=-г5 в6-2 llceKt
ве = -^ =3,38 1/сек,
= 6 642 000 1/сек6,
'=16 870 000
= 23 512 000
= 1540
S[ (HtD — HDt) = 1 325 000 1/мсекЬ,
= — 560000
.S8 = DDX (WjD — HDJ (*+ + 3j) = 7600
Уравнение для определения V будет:
23512 000+1 325 000V— 560 000У2 + 7б00К8 = 0,
откуда наименьшее положительное значение скорости
V=8,32 м/сек.
Полученную скорость подставляем в характеристическое
уравнение B2.18) и решаем его методом последовательных
приближений.

§ 32] пример определения критической скорости
Имеем:
u ^^— ?л ^^* С i gft g —
Я 8 ¦ Ф в ф
8 "^^ 9 Ф ' Ф 8 1 ^'
ai — ce ф — /7/71
1-е приближение:
wt = E^
и =-^-
= 9,58 1/сек,
-1-DDjV2 =4 490 l/ce«2,
HtD — HDJ V=27 550 1 /секй,
= 4 640 000 1/сек*;
= 2440 1/сек2,
= 1900 1/сек2,
4.7^5? -3.84
2-е приближение:
=2724 1/сек2,
=-.1705
3-е приближение:
то8 ^ с2 — и.2 — 4s2fJ = 2801 1 /сек1,
иА = ^- =1658
-0.318
4-е приближение:
то4 = с2—и3—4г8тK =2839 1/сел:2,
«4—^- =1635 1/сек*,
4
0'145

228 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
5-е приближение: :
wb = с2 — а4 — 4г4тц = 2861 1 /сек2,
«6 = |t = 1622
г = 2^-yV — т^ = 8,52 герц,
Я = si /й731^ = 6-22
Как видно из приведённых вычислений, на пятом прибли-
приближении можно остановиться, так как определяемые величины
стабилизируются. Характерно, что один из коэффициентов
затухания (ч\) приближается к нулю, в то время как другой
остаётся отрицательной величиной. Нулевое значение коэф-
коэффициента ч\ затухания системы соответствует той критиче-
критической скорости движения, превышение которой нарушает
условие C1.5). Движение становится неустойчивым. Из
приведённого решения также следует, что колебания с часто-
частотой q, соответствующие коэффициенту затухания г, быстро
пропадут вследствие того, что е < 0. Устойчивые колебания
колёс вокруг шкворней и угловые колебания оси в верти-
вертикальной плоскости будут совершаться с одинаковой часто-
частотой г, коэффициент затухания при которой становится
положительным.
По найденной частоте колебаний г из графиков (фиг. 52
и 77) находим второе приближение для Лв и йр, а затем
и для s и ее. Используя неравенство C1.5), находим второе
приближение для критической скорости V. Эта скорость
во втором приближении будет равна 1/кр = 8,31 м/сек.
Дальнейшие приближения нецелесообразны, так как полу-
полученная во втором приближении критическая скорость почти
не отличается от скорости первого приближения и подста-
подстановка её в характеристическое уравнение не приводит
к изменениям частот колебаний.
Скорость V=8,31 м/сек^ЗО км/час и есть та кри-
критическая скорость, которая приводилась в § 31.

§ 33) повышение устойчивости движения колёс 229
§ 33. Повышение устойчивости движения управляемых
колёс автомобиля
Если бы соотношение между упругими и гироскопиче-
гироскопическими связями в оси с управляемыми колёсами было таким,
что удовлетворяло равенству
то прямолинейное движение управляемых колёс было бы
всегда устойчивым. Но при конструировании автомобилей
это равенство в большинстве случаев выполнить не удаётся.
Более того, коэффициент
S2 = DDl (E,e+ + E{j> (% + з9) - (HtD -
часто оказывается отрицательным, вследствие чего ось
с управляемыми колёсами становится потенциально-автоко-
потенциально-автоколебательной системой. Если для такой системы скорость
автомобиля больше критической, то прямолинейное движение
управляемых колёс неустойчиво и, как показывают опыты,
возникают автоколебания. Повышение критической скорости
движения автомобиля приобретает в этом случае важное
значение. Нужно, чтобы автомобиль, у которого ось с упра-
управляемыми колёсами является потенциально-автоколебательной
системой, имел критическую скорость выше своей максималь-
максимальной скорости. При этом условии практически исключается
возможность возникновения устойчивых колебаний управляе-
управляемых колёс.
Для определения критической скорости движения авто-
автомобиля надо знать параметры колебательной системы, между
тем при проектировании автомобиля многие из этих пара-
параметров остаются неизвестными. Современный уровень техно-
технологии производства автомобилей и автомобильных шин таков,
что ряд параметров, оказывающих большое влияние на
устойчивость движения, а именно: коэффициент сопротивле-
сопротивления уводу К, угловая жёсткость пневматика о, коэффициент Лр
сопротивления в сочленениях рулевых тяг и др. не регла-
регламентируется. Они остаются неизвестными до тех пор, пока
агрегаты и узлы изготовленного автомобиля не будут под-
подвергнуты соответствующим испытаниям. Не удаётся восполь-
воспользоваться и методом сравнения, так как, во-первых, .при

230 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
сравнении можно впасть в ошибку и, во-вторых, для суще-
существующих автомобилей определены не все интересующие
нас параметры. Поэтому определить критическую скорость
проектируемого автомобиля чаще всего не удаётся.
Для повышения предельной скорости устойчивого движе-
движения, как это следует из неравенства C1.5), нужно уменьшить
полярный момент инерции управляемых колёс, коэффициент
сопротивления уводу, увеличить трение в колебательной
системе, увеличить угол |3 наклона шкворней. Однако все
эти параметры могут изменяться лишь в очень незначитель-
незначительных пределах, а коэффициент сопротивления уводу нельзя
сильно уменьшить вследствие того, что автомобиль не будет
«держать дорогу» на поворотах.
Поскольку при проектировании автомобилей в большинстве
случаев нет возможности проверить, выполняется ли условие
устойчивости C1.5), то возникает следующий вопрос: как
добиваться устранения автоколебаний управляемых колёс
у экспериментального автомобиля, прежде чем начать его
массовое или серийное производство. Имеется в виду, ко-
конечно, что эти колебания имеют место при хорошо отба-
отбалансированных колёсах и правильной геометрии рулевого
привода.
Как следует из изложенного в предыдущих параграфах,
необходимая работа должна проводиться в следующем порядке:
1) определяются все параметры колебательной системы
автомобиля;
2) на основании неравенства C1.5) строятся графики
критических скоростей в зависимости от тех параметров,
которые в конструктивном отношении допускают изменения;
3) изменяется какой-либо из параметров в направлении,
приводящем к повышению критической скорости;
4) для нового соотношения параметров вновь строятся
аналогичные графики;
5) вновь изменяется какой-либо из параметров в благо-
благоприятную сторону;
6) изменяются в соответствии с этим параметры физи-
физической колебательной системы .(оси с управляемыми колё-
колёсами);
7) проводятся дорожные испытания автомобиля с целью
определения действительного повышения критической ско-
скорости.

§ 34] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ НЕЗАВИСИМОЙ ПОДВЕСКЕ 231
Если критическая скорость повышена недостаточно, то
работа в рекомендуемом порядке продолжается до тех пор,
пока на всём рабочем диапазоне скоростей автомобиля дви-
движение управляемых колёс не станет устойчивым.
§ 34. Устойчивость движения управляемых колёс
при независимой подвеске
Не рассматривая вопрос подробно, сделаем только не-
некоторые замечания об автоколебаниях управляемых колёс
автомобиля, когда передняя ось является разрезной. Поскольку
частота собственных колебаний корпуса автомобиля на рес-
рессорах значительно меньше собственной частоты колебаний
колёс, предоставляется возможным разрезную ось с колёсами,
подвеской и рулевым управлением выделить в автономную
колебательную систему и считать, что колебания управляемых
колёс независимы от колебаний корпуса. Расчётная схема,
составленная на основании устройства разрезной передней
оси, изображена на фиг. 96.
Обозначим через / момент инерции колёс относительно
шкворней, /к — полярный момент ингрции колеса, /ф — мо-
момент инерции колеса с деталями подвески относительно оси О
качания колеса, ср — жёсткость рулевого управления при одно-
односторонних поворотах колёс вокруг шкворнеЛ, с.—жёсткость
рессор и стержневого устройства при колебаниях колеса
относительно оси качания, из, Л> — коэффициенты сопро-
сопротивления, пропорционального скорости.
Так как связь колёс в горизонтальной плоскости является
довольно жёсткой, то колебания колёс относительно шкворней
могут быть только согласованными, т. е. как правое, так
и левое колёса могут повёртываться одновременно в одном
направлении на угол О (угол отсчитывается от направления
вектора скорости движения автомобиля). Левая и правая части
оси с колёсами могут совершать повороты в поперечной
вертикальной плоскости, характеризуемые углами <ЬХ и <Ji2,
причём положительными будем считать углы, соответствую-
соответствующие подъёму левого и опусканию правого колеса (по ходу
автомобиля).
Предполагая движение корпуса автомобиля прямолинейным
и равномерным, напишем дифференциальные уравнения воз-

232 устойчивость движения [гл. vi
мущённого движения управляемых колёс в следующем виде:
/ 0 + Ае0 + СрО — /„Q8 (^ + fo = Mo,
где индексом 1 обозначены параметры, относящиеся к левому
колесу, а индексом 2 — к правому колесу. В этих уравне-
уравнениях Q = V/R = const. — угловая скорость вращения колёс,
Фиг. 96. .Расчётная схема для независимой подвескн.
Же, Mi/i, -Мфз — моменты, действующие на колёса со сто-
стороны дороги, 8 — коэффициент изменения угла поворота
колёс в вертикальной плоскости по сравнению с углами
поворота jjij и ^ оси.

§ 34] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ НЕЗАВИСИМОЙ ПОДВЕСКЕ 233
Моменты, действующие со стороны дороги, определяются
из следующих выражений:
= — Mt — Ms — Yx Я? —
C4.2)
Поперечные силы Y и моменты М для малых углов 6
считаем пропорциональными этим углам. Они зависят от
вертикальной нагрузки на колесо и вследствие разницы
в опорных реакциях Zx и Z2 для левого и правого колёс
будут различными:
C4>3)
где Кх, K.2 — коэффициенты сопротивлений уводу соответ-
соответственно левого и правого колёс, a ot, o2 — их угловые
жёсткости. При изменении вертикальной нагрузки на колесо
в пределах rtr20°/r от номинальной эти коэффициенты изме-
изменяются прямо пропорционально нагрузке. Вертикальные реак-
реакции Zt и Z2 линейно зависят от радиальных обжатий
пневматиков, а силы сопротивления качению РГ1 и Pfi
пропорциональны нормальным реакциям Zx и Za:
Zx = Z0T — Bacaifv Z2 = Zcr-\-BKcB<!f2, |
p —Zf P -7 f C4>4)
Hfl — Zj/, yf2 — z2/, j
где ZCI — нагрузка на пневматик в положении равновесия,
/—коэффициент сопротивления качению.
Продольные силы Кх и Х2, являющиеся в основном след-
следствием ивменения радиусов колёс при качении, на основании
G.4) определяются из следующих выражений:

234 ' устойчивость движения [гл. vi
Выражения C4.2) с учётом C4.3) — C4.5) запишем так:
М в = —(ot + з2 + А^+А^ЯЗ) Ъ—Вясв1 Q—f) <!ft— '
C4.6)
ZCT,
Подставив C4.6) в C4.1), получим:
.2R?) Ь
(
cB/ 0 -
а = О,
C4.7)
Прежде чем проводить дальнейшие преобразования урав-
уравнений, обратимся к физической стороне задачи о колеба-
колебаниях управляемых колёс при независимой подвеске. В отличие
от неразрсзюй оси здесь вертикальные отклонения колёс
являются независимыми. Кроме этого, кинематика независимой
подвески такова, что угол поворота колеса в вертикальной
плоскости меньше углового отклонения <{i оси. Уменьшение
угла поворота колеса характеризуется коэффициентом S. От
колебания колеса вокруг шкворня возникает гироскопический
момент 1SQ>, действующий в вертикальной плоскости. Вели-
Величина этого момента такая же, как и в случае неразрезной
оси. Угол отклонения колёс в вертикальной плоскости (ty)
составляет только часть угла отклонения оси, и гироскопи-
гироскопический момент /В23^, действующий в горизонтальной плоско-
плоскости, составляет по величине лишь часть момента, возникаю-
возникающего при неразрезной оси, у которой углы поворота оси и
колеса в вертикальной плоскости равны. Следовательно,
в сравнении с неразрезной осью при разрезной оси гироско-

§ 34] устойчивость при независимой подвеске 235
пическая связь от горизонтальных колебаний к вертикальным
получается нормальной, а в обратном направлении, т. е. от
вертикальных колебаний к горизонтальным, значительно
ослабленной. *Для параллелограмной подвески она равна нулю
(8 = 0). В этом случае воздействие вертикальных колебаний
колёс на горизонтальные осуществляется ввиду наличия угла J3
наклона шкворня в продольной плоскости и упругой связи,
зависящей от скорости изменения радиуса катящегося колеса.
При вертикальных колебаниях изменяется радиус качения
колеса; поэтому в площадке контакта шины с дорогой возни-
возникает продольная сила реакции X, создающая вокруг шкворня
момент XI, через который и осуществляется воздействие
вертикальных колебаний колёс на горизонтальные. Таким
образом, даже при отсутствии горизонтальной связи и углов
наклона шкворней в продольной плоскости воздействие
вертикальных колебаний колёс на горизонтальные всегда
существует.
Поскольку связь колёс в горизонтальной плоскости является
довольно жёсткой, малые повороты левого и правого
колёс относительно шкворней можно считать одинаковыми.
Поперечные силы К, и У8 и моменты Mt и М.2, являющиеся
реакциями дороги на колёса, катящиеся под углами h к вектору
скорости, имеют также одинаковые направления. Поперечные
силы реакции Yx и Y2, посредством которых колебания колёс
вокруг шкворней воздействуют на вертикальные колебания,
при этом вызывают и поддерживают угловые колебания как
правой, так и левой части оси не навстречу друг другу,
а также в одном направлении. Иными словами, согласованные
повороты колёс вокруг шкворней вызывают одинаково на-
направленное вращение обеих частей разрезной передней оси.
При одинаково направленном вращении передней оси про-
продольные силы X поддерживают горизонтальные повороты
колёс также в одном направлении. Повороты колёс вокруг
шкворней в противоположные стороны, т. е. навстречу друг
другу, вызывают повороты правой и левой части оси также
навстречу друг другу и наоборот. Высказанные соображения
следуют также и из уравнений C4.7). Так, из первого урав-
уравнения следует, что вертикальные колебания оказывают
небольшое влияние на горизонтальные колебания, характери-
характеризуемые координатой 6, в том случае, когда углы поворо-
поворотов <J»j и <[>3 будут иметь одинаковые знаки.

236 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VI
Так как параметры левой половины оси и правой поло-
половины оси можно считать практически одинаковыми, то,
кроме Кх и К.2, одинаковыми являются и все соответствующие
коэффициенты второго и третьего уравнений C4.7). Коэф-
Коэффициенты сопротивления уводу Кг и К2 и угловые жесткости ot
и о2 в пределах rtr20°/o изменения номинальной нагрузки
на колесо зависят от этой нагрузки линейно и, следовательно,
пропорциональны отклонениям i} и 0.
По условиям симметрии колебательной системы пред-
предположим, что угловые отклонения tyt левой части оси всегда
равны угловым отклонениям ^а правой части оси. При таких
вертикальных колебаниях центр тяжести системы не будет
иметь вертикальных перемещений, а сумма вертикальных
нагрузок на правое и левое колёса будет величиной постоян-
постоянной, равной статической нагрузке. Это предположение наи-
наилучшим образом согласуется с отсутствием вертикальных
колебаний передней части корпуса автомобиля. Если ^ =
= — Ь2, вертикальные колебания не будут воздействовать
на колебания колёс относительно шкворней и, как видно из
C4.7), первое уравнение будет выражать лишь собственные
колебания в парциальной системе с координатой 0, которые
всегда являются затухающими.
Итак, рассмотрим случай, когда условия взаимосвязи
между вертикальными колебаниями являются наименее выгод-
выгодными для сохранения устойчивого движения. Будем в даль-
дальнейшем считать, что tyt = ty.2 = ф. Перепишем C4.7), пред-
предварительно сложив второе и третье уравнения. Получим:
где
1
hK
C4.9)
2/„

§ 34] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ НЕЗАВИСИМОЙ ПОДВЕСКИ 237
В этих выражениях коэффициенты /+, ц, св, о, К равны
сумме соответствующих коэффициентов правого и левого
колёс. Коэффициенты сопротивления уводу Ку и К2, коэф-
коэффициенты угловой жёсткости Oj и о2 пневматика пропорцио-
пропорциональны вертикальным нагрузкам на колёса, а их соответ-
соответствующие суммы равны удвоенным коэффициентам сопроти-
сопротивления уводу К и угловой жёсткости о, определённым при
номинальной нагрузке на колесо. При этом и других при-
принятых выше допущениях коэффициенты C4.9) являются
постоянными. Уравнения C4.8) и являются уравнениями малых
колебаний управляемых колёс автомобиля с независимой
подвеской. По написанию они одинаковы с уравнениями B2.10).
Разница заключается в коэффициенте Dn гироскопической
связи, в который, для независимой подвески, входит вели-
величина 3 < 1.
Условие устойчивости движения получим из C1.5), заменив
в нём коэффициент D на DH:
(?+ - Е ВУ ?бзф + (?+ + Ен) гЦ + (Е,в* + Ef*) збЧ +
+ ННХ C,v + г,? + {(HxDa — Ш\) Щ - Еь) (e+ -
- (^DH - HDjH V* + DnDt (//, DH - HDt) (вф + sJV*> 0.
C4.10)
Так как коэффициент гироскопической связи DH для
независимой подвески существенно меньше коэффициента D
для зависимой подвески, то в первом случае соотношение
упругих и гироскопических связей значительно более благо-
благоприятно по сравнению с зависимой подвеской. Соответствую-
Соответствующим подбором величины 3 можно добиться, чтобы разность
H1Dn — HDt равнялась нулю или небольшой величине. Если
соотношение параметров таково, что
Da Dt (Еьг^ + Zy6) (еф + s6) - (Я^ - HDJ* > 0,
то прямолинейное движение колёс всегда устойчиво.
Таким образом, независимая подвеска по сравнению
с зависимой в отношении устойчивости прямолинейного дви-
движения управляемых колёс обладает существенным преимуще-
преимуществом. Соотношение упругих и гироскопических связей для

2з8 Устойчивость движения (гл. Vi
прямолинейного движения в независимой подвеске более
благоприятно, чем в зависимой.
Все проведённые выше рассуждения справедливы для
наименее выгодного случая, а именно, когда tyt = ty2. На
самом деле в независимой подвеске это условие может и не
выполняться, Наиболее вероятно, что при воздействии на
систему произвольных возмущающих факторов оно не выпол-
выполняется, отчего возможность самовозбуждения колебаний
управляемых колёс значительно затрудняется. Поэтому в авто-
автомобилях с независимой подвеской автоколебания управляе-
управляемых колёс, как правило, почти не наблюдаются.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
ГОСТЕХИЗДАТ
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ
Воронков И. М., Курс теоретической механики,
издание шестое, стереотипное. Допущено Министерством
высшего образования СССР в качестве учебника для
высших технических учебных заведений, 552 стр., цена
11 р. 65 к.
Николаи Е. Л., Теоретическая механика, часть II,
Динамика. Издание десятое, стереотипное. Допущено
Министерством высшего образования СССР в качестве
учебника для высших технических учебных заведений,
484 стр., цена 10 р.
Кирпичев В. Л., Беседы о механике. Издание пятое.
360 стр., цена 8 р. 65 к.
Мещерский И. В., Работы по механике тел пе-
переменной массы. С предисловием и вступительной
статьей А. А. Космодемьянского. Издание второе. 280 стр.,
цена 6 р.
Чаплыгии С. А., Избранные труды по механике
и математике, 567 стр., цена 14 р. 60 к.
Филонеико-Бородич М. М., Теория упругости. Изда-
Издание третье, переработанное и значительно дополненное.
Допущено Министерством высшего образования СССР в
качестве учебника для высших технических учебных за-
заведений. 300 стр., цена 8 р. 50 к.
Фабрикант Н. Я., Аэродинамика, часть первая. 624 стр.,
цена 18 р. 15 к.
Кобринский Н. Е., Математические машины не-
непрерывного действия (основы их устройства).
447 стр., цена 16 р. 05 к.
Книги продаются в книжных магазинах и высылаются
также почтой наложенным платежом без задатка всеми
республиканскими, краевыми и областными отделениями
„КНИГА —ПОЧТОЙ".