НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«МИФИ»
Задания
по курсу
«Математика 5-6»
Для учащихся 6-х классов
Заочной школы МИФИ
АН. Рурукин
И.В. Чайковская
Москва

Рурукин А.К, Чайковская КВ. Задания по курсу
«Математика 5-6». Для учащихся 6-х классов Заочной школы МИФИ. - М.:
ЗШ МИФИ, 2011.- 16 с.
В данном сборнике представлены четыре задания, которые
включают задачи двух уровней сложности по основным темам,
изучаемым в 5-6-х классах средней общеобразовательной
школы. Ко всем задачам даются методические рекомендации.
Сборник предназначен для учащихся Заочной школы МИФИ,
а также может быть полезен учащимся физико-математических
школ и тем, кто хочет восполнить пробелы и углубить свои
знания по математике.
©ЗШМИФИ, 2011
Подписано в печать 23.09.2011. Формат 60*84 1/16.
П.л. 1,0. Тираж 200 экз. Заказ N 254
scan by myshunya
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»,
ЗШ МИФИ. Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское шоссе, 31

Дорогие друзья!
В этом сборнике представлены четыре домашних задания и
методические указания к их выполнению. Три задания соответствуют
основным темам, изучаемым в 5-6 классах и отражённым в нашем
пособии, и включают задачи по темам: задание 1 «Натуральные
числа», задание 2 «Дробные и рациональные числа», задание 3
«Уравнения. Задачи разных типов». Задание 4 является итоговым и
позволяет проверить усвоение пройденного материала.
Желательно выполнять первые три задания по порядку, но так
как в разных школах эти темы изучаются в разной
последовательности, то вы можете делать задания в той последовательности,
которая вам удобнее.
Каждое задание состоит из 20 задач, которые разделены на две
группы: 10 задач сложности «А» и 10 задач сложности «Б». В
группе «А» содержатся наиболее простые задачи (почти школьная
программа). В группе «Б» задачи сложнее (уровня математических
классов и школьных олимпиад). К каждой задаче даны
методические рекомендации (подсказки к решению): чем сложнее задача,
тем подробнее указание. Однако постарайтесь пользоваться этими
указаниями только в крайнем случае: одна самостоятельно
решённая задача полезнее, чем десять разобранных.
Старайтесь решать более сложные задачи (группы «Б»), тогда
вы большему сможете научиться. Но это не является обязательным,
и не будет влиять на оценку вашей работы. Лучше решить
правильно 8 задач группы А, чем 3 задачи группы Б.
После проверки мы вышлем вам вашу работу с оценкой и
замечаниями, а также вы получите брошюру с правильными
решениями всех задач. Рекомендуем очень внимательно ознакомиться с
присланными решениями, сравнить способы решений, разобрать
задачи, с решением которых вы не справились.
3

Рекомендации по выполнению и оформлению
заданий
Рекомендуем следующий порядок выполнения заданий.
1. Внимательно изучите пособие по теме задания (пособие
позволяет решить любые задачи из данного сборника).
2. Просмотрите все 20 задач задания. Выберите задачи
определенной группы (А или Б) и попробуйте решить их полностью
самостоятельно. Если возникнут трудности, обратитесь к методическим
указаниям (но не злоупотребляйте этим).
Если у вас не получается сложная задача, можете заменить её
менее сложной, но с тем же номером. Например, у вас не
получилась задача Б1.7, замените её на А1.7 (или наоборот). Но все
присланные вами задачи групп А и Б должны иметь разные номера
(нельзя присылать задачи с одним номером, например: А3.5 и
Б3.5).
На проверку вы должны выслать не более 10 задач любой
группы сложности. Лишние задачи проверяться не будут!
3. Решайте задачи на черновиках. Затем аккуратно
перепишите решения начисто.
Не забывайте правильно оформлять свою работу.
На первой странице сверху напишите ваши имя, фамилию и
регистрационный номер.
Ниже укажите номер задания и далее пишите номер задачи и
её решение. Условие переписывать не надо!
Используйте обе стороны листа (чтобы письмо не было
толстым).
Желаем успехов!
4

Задание № 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
-А-
А1.1. На какие из чисел 2, 3. 4, 5, 6, 8, 9 делится число
51371124?
А 1.2. Числа 378 и 396 разложите на простые множители.
Найдите для них НОД и НОК.
А1.3. Найдите двузначное число, если сумма его цифр втрое
меньше самого числа.
А1.4. Число п при делении на 5 даёт остаток 3. Какой остаток
при делении на 5 даёт число, в четыре раза большее (т.е. 4n)?
А1.5. Определите не вычисляя, является ли число 623713 - 1
простым или составным.
А 1.6. Некоторое натуральное число при делении на 9 даёт
остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2. Найдите это число.
А1.7. Витя раскладывает орехи кучками. Если он раскладывает
в кучки по 3, 5 и 7 штук, то получаегся натуральное число полных
кучек. Какое минимальное число орехов может быть у Вити?
А1.8. Вычислите без помощи калькулятора самым
рациональным способом: 38-27 + 63-15 + 62-27-43-15.
А1.9. Найдите наибольшее и наименьшее трёхзначные числа,
каждое из которых делится на 6 и имеет в своей записи цифру 7.
А1.10. Найдите сумму чисел 1+2 + 3 + ...+ 98 + 99+ 100.
-Б-
Б1.1. Найдите цифры X и Y пятизначного числа 51X3Y, если
оно без остатка делится на 36.
Б1.2. Произведение некоторых простых чисел равно 15015.
Каким числом является сумма таких чисел - простым или составным?
Б 1.3. К двузначному числу сначала приписали цифру 1 справа,
а затем слева. Разность между двумя полученными трехзначными
числами равна 279. Найдите это двузначное число.
5

Б 1.4. К трехзначному числу приписали такое же число.
Найдите остатки от деления этого шестизначного числа на простые числа
7, 11, 13.
Б 1.5. Найдите простое число р, если числа р +2 и р + 4 также
простые.
Б1.6. Сумма двух натуральных чисел, одно из которых при
делении на 3 даёт остаток 1, а другое при делении на 5 даёт остаток 3,
равна 69. Найдите эти числа.
Б 1.7. Если задуманное трёхзначное число разделить на 7, то
получится остаток 2; если его разделить на 8, то получится остаток
3; если его разделить на 11, то получится остаток 6. Найдите это
число.
Б 1.8. Вычислить без помощи калькулятора:
(500 + 310):9-5 + 52 + 125
(1000:100-40 + 350):50-(186 + 418)-0 '
Б1.9. Представьте число 21 в виде суммы нескольких
натуральных чисел так, чтобы произведение этих слагаемых тоже
равнялось 21.
Б 1.10. Установите закономерности в ряде натуральных чисел
1, 2, 3, 5, 8,13,... и напишите следующие три числа.
6

Задание № 2
ДРОБНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
-А-
А2.1. Половину пути туристы шли пешком, а половину пути
проехали на автобусе. На весь путь они затратили 5,5 ч. Если бы
они весь путь проехали на автобусе, то затратили бы 1 ч. Сколько
времени затратят туристы, если весь путь будут идти пешком? Во
сколько раз скорость автобуса больше скорости туристов при
движении пешком?
А2.2. От куска провода отрезали 40 %. После этого осталось
60 см провода. Сколько сантиметров провода было в куске?
А2.3. Поезд двигался 3 ч со скоростью 50 км/ч и 2 ч со
скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения поезда.
А2.4. За 3,6 кг огурцов заплатили 216 руб. Сколько будут
стоить 4,8 кг огурцов?
А2.5. К 600 г 15 %-ного раствора кислоты добавили 400 г воды.
Каким стало процентное содержание кислоты в растворе?
2
А2.6. Как от куска ткани длиной — м отрезать ровно полметра,
не проводя измерений?
2!.^-lI:(-2)
7 5 1 3
А2.7. Найдите значение выражения - .
(9-1,5): 25
А2.8. Вода при замерзании увеличивается на ^ своего объёма.
На какую часть своего объёма уменьшится лёд при превращении в
воду?
а*>о г х 373737 37
А2.9. Сравните дроби и —.
777777 77
А2.10. Вычислите наиболее рациональным способом:
2347—• 25 + 348:25 - 2346— • 25 - 48:25 + 3 .
12 12

-Б-
Б2.1. Миша заплатил в кассу буфета за 3 шоколадки, а Саша -
за 2 шоколадки (все шоколадки одинаковые). За столом к ним
присоединился Юра, и мальчики втроём съели 5 шоколадок поровну.
Во время расчета оказалось, что Юра должен заплатить товарищам
100 руб. Сколько денег Юра должен отдать Мише и сколько Саше?
Сколько стоит одна шоколадка?
Б2.2. Туристы прошли за три дня некоторый путь. За первый
день они прошли — пути, за второй — оставшегося пути, а за тре-
8 5
тий день - последние 21,6 км пути. Какова длина всего пути?
Б2.3. Рыбак выловил 4 рыбы по 300 г, 5 рыб по 240 гиб рыб по
270 г. Каков средний вес пойманных рыб?
Б2.4. Вычислите наиболее рациональным способом:
225 + 375-138
375-139-150 '
Б2.5. Смешали 600 г 20 %-ного раствора кислоты и 400 г 10 %-
ного раствора такой же кислоты. Найдите процентное содержание
кислоты в полученном растворе.
Б2.6. Кузнечик может прыгать ровно на 0,5 м в любом
направлении. Может ли он за несколько прыжков переместиться ровно на
7,3 м? Если да, то сколько надо сделать прыжков?
Б2.7. Найдите значение выражения
Б2.8. Зарплату сначала повысили на 20 %, а затем понизили на
30 %. На сколько процентов уменьшилась зарплата по сравнению с
первоначальной?
ГЛ ft ^ - 41 411
Б2.9. Сравните дроби — и "^rj~y > не пользуясь калькулятором.
Б2.10. Найдите сумму дробей:
3
2
+ + + ...+
+
1-2 2-3 3-4
98-99 99100
8

Задание № 3
УРАВНЕНИЯ. ЗАДАЧИ РАЗНЫХ ТИПОВ
- А-
А3.1. Решите уравнение 5(х - 2) - 3(3 -х) = 2х + 5.
А1 - D Зх-2 5х-\2
А3.2. Решите уравнение —-— = —-—.
АЗ.З. Решите уравнение 3\х - 1| = 5.
А3.4. Машина проехала в первый день треть всего пути, во
второй день 90 % пути, проделанного в первый день, а за третий
день - остальные 440 км. Сколько километров машина проехала во
второй день?
А3.5. Оля прибавила к числителю и знаменателю дроби -^у
одно и то же число и после сокращения получила дробь ^. Какое
число прибавила Оля?
А3.6. Сколькими способами из отрезков длиной 7 см и 12 см
можно составить отрезок длиной 1 м?
А3.7. Две собаки начали есть батон колбасы с разных концов и
съели его целиком за 4 минуты. Одна из собак съела бы такой
батон колбасы за 12 минут. За сколько минут съела бы весь батон
вторая собака?
А3.8. Бригада из 6 маляров может закончить работу за 5 дней.
Сколько надо добавить маляров в бригаду, чтобы успеть закончить
работу за 3 дня?
А3.9. Среднее арифметическое двух чисел равно 18,3. Одно из
чисел больше другого в 2 раза. Найдите оба числа.
A3.10. Сейчас брат старше Вани на 5 лет. Пять лет назад он
был старше Вани в два раза. Сколько лет Ване сейчас?
9

-Б-
10
БЗ. 1. Решите уравнение 14 —j(Зх - 6) = 5 —у (7л: -21).
м - „ 5х-4 3jc + 8 х + 3
Б3.2. Решите уравнение — — = .
3 3
БЗ.З. Решите уравнение — ■ | 2х + 31 -— = 0 .
2
Б3.4. С овощной базы в первый день вывезли — всей моркови,
во второй день 60 % остатка, а в третий - остальные 7,2 т. Сколько
тонн моркови было на базе?
Б3.5. Витя прибавил к числителю некоторой дроби 4, а к
знаменателю 10. После сокращения полученной дроби он, к своему
удивлению, получил исходную дробь. Какой была исходная дробь?
Б3.6. Возраст дедушки является двузначным числом, которое
равно сумме цифры его десятков и квадрата цифры единиц.
Сколько лет дедушке?
Б3.7. Из пунктов А и В, находящихся на берегу реки,
одновременно навстречу друг другу отплыли две лодки. Они встретились
через 2 ч от начала движения, а ещё через 1 ч 36 мин первая лодка
причалила в пункте В. Через сколько часов после встречи вторая
лодка причалит в пункте А?
Б3.8. Бригада из 4 человек выложила кирпичную стену
высотой 2,4 м за 3 ч. За какое время может выложить стену высотой 4 м
бригада из 2 человек, работающих с той же производительностью?
Б3.9. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 32,4.
Найдите эти числа, если каждое из них, начиная со второго, на 3,2
больше предыдущего.
Б3.10. Два рыбака ловили рыбу. Первый поймал половину
числа рыб, которые поймал второй рыбак, и ещё 12 штук. Второй
рыбак поймал столько же рыб, сколько первый, и ещё 16 штук.
Сколько рыб поймал каждый рыболов?

Задание № 4
ИТОГОВОЕ
Так как это задание завершает учебный год в нашей школе,
просим вас учесть следующее.
1. Вы уже представляете уровень своих знаний, поэтому
просим вас выбрать вариант устраивающей вас сложности (А или Б) и
решать только его. Задачи другого варианта здесь проверяться не
будут.
2. Варианты этого задания содержат типичные примеры по
всему курсу, уже изученному вами. Задачи по тематике и
сложности примерно такие же, как и в заданиях 1-3.
3. Учитывая, что задание является итоговым, методические
рекомендации не приводятся. Решения к заданию вам будут высланы
(как и ранее).
В заключение поздравляем вас с завершением учебного года в
нашей школе. Надеемся, что вы будете нашим учеником и в
следующем году.
Желаем успехов!
- А-
А4.1. Найдите цифру X шестизначного числа 37Х12Х, если
известно, что оно без остатка делится на 9.
А4.2. Известно, что сумма четырёх простых чисел равна 17.
Найдите произведение этих чисел.
2 2 2 2 2
А4.3. Найдите сумму дробей + + + + .
5-7 7-9 911 1113 1315
А4.4. К числителю и знаменателю дроби j прибавили одно и
то же число. Полученная дробь после сокращения равна . Какое
число было прибавлено?
11

а л =• ъ 2х-\ Sx-З _
А4.5. Решите уравнение —-— + —-— - 2 .
А4.6. Два тракториста вспахали поле за 3 ч. Если бы первый
тракторист работал один, то он вспахал бы поле за 7-^- ч. За какое
время вспашет всё поле второй тракторист, работая один?
А4.7. Чайник и 6 чашек стоят вместе 600 руб. Чайник стоит на
50 % дороже чашки. Сколько стоит чайник с тремя чашками?
А4.8. Катер, собственная скорость которого 22 км/ч, проплыл
по течению реки за 1 ч 15 мин такое же расстояние, как и за 1 ч 30
мин против течения. Найдите скорость течения реки.
2
А4.9. Число а составляет — числа Ь. На сколько процентов Ъ
больше а?
А4.10. Среднее арифметическое двух чисел равно 4,8. Одно из
чисел составляет у другого. Найдите эти числа.
-Б-
Б4.1. Найдите шестизначное число 523X4Y (где X и Y - цифры
числа), если оно без остатка делится на 45.
Б4.2. Найдите простое число р, если числа 2р + 1 и Ар + 1 тоже
простые.
Б4.3. Найдите сумму чисел
100+ 99-98-97 + 96 + 95-94-93 + ... + 4 + 3-2-1.
ълл ъ г 537
Б4.4. Если из числителя дроби вычесть некоторое число и
463
прибавить его к знаменателю, то после сокращения получится
дробь ^. Какое число вычиталось из числителя и прибавлялось к
знаменателю?
Б4.5. Решите уравнение х(х + 5)(7 - х) = 96 (где х - натуральное
число) методом подбора.
12

Б4.6. Бассейн наполняется водой через две трубы за 1 ч 36 мин.
Через первую трубу бассейн можно наполнить за 4 ч. За сколько
времени наполнится бассейн на своего объёма через одну
вторую трубу?
Б4.7. В винограде содержится 95 % воды, в сушёном винограде
(изюме) - 10 % воды. Сколько надо собрать винограда, чтобы
получить 10 кг изюма?
Б4.8. Пароход проплывает расстояние между двумя
пристанями по течению реки за 6 ч, а против течения реки - за 10 ч. За какое
время расстояние между этими пристанями проплывёт плот?
Б4.9. Число а на 10 % больше числа Ь, число с меньше числа а
на 30 %. На сколько процентов число с меньше числа Ы
Б4.10. За первый день Миша прочитал 20 % книги, за второй -
40 % остатка, за третий день - на 25 % больше, чем во второй, а за
четвёртый - оставшиеся 16 страниц. Сколько всего страниц в
книге?
13

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К заданию № 1
А1.1 Используйте признаки делимости натуральных чисел.
А1.2. Примените признаки делимости, разложите числа на
множители.
А1.3. Запишите число в десятичной системе счисления.
А1.4. Запишите деление числа п на 5 с остатком 3.
А1.5. Найдите последнюю цифру данного числа.
А1.6. Используйте для числа запись деления с остатком.
А1.7. Вспомните понятие НОК чисел.
А1.8. Сгруппируйте первое—третье и второе-четвёртое
слагаемые.
А1.9. Примените признаки делимости на 2 и 3.
А1.10. Сгруппируйте первое и последнее, второе и
предпоследнее и т.д. слагаемые.
Б 1.1. Используйте признаки делимости на 4 и 9.
Б 1.2. Разложите данное число на простые множители и найдите
их сумму.
Б 1.3. Подумайте, к чему приводит приписывание цифры 1
справа и слева к любому числу л: (сначала на примерах).
Б 1.4. Установите, к чему приводит приписывание числа х к
тому же числу х (сначала на примерах).
Б 1.5. Подберите простое число р и докажите, что других нет.
Б 1.6. Используйте запись деления числа с остатком и
делимость натуральных чисел.
Б 1.7. Рассмотрите число, на 5 большее, и выясните его
делимость на 7, 8, 11.
Б 1.8. Учтите порядок действий при вычислениях.
Б 1.9. Разложите число 21 на множители и сообразите, какими
должны быть слагаемые.
1.10. Подумайте, как связаны между собой числа 1, 2, 3; числа
3, 5, 8; числа 5, 8, 13.
14

К заданию № 2
А2.1. Определите время, за которое туристы пройдут пешком
половину пути.
А2.2. Решите с использованием схемы или примите длину
провода за jc и составьте уравнение.
А2.3. Используйте определение средней скорости движения.
А2.4. Учтите, что величины связаны прямо пропорциональной
зависимостью, и используйте пропорцию.
А2.5. Примените понятие процентного содержания вещества в
растворе.
2 112 1
А2.6. Учтите равенства = — и —: 4 = —.
3 2 6 3 6
А2.7. Учтите порядок действий при вычислениях.
А2.8. Составьте выражения для объёма замёрзшей воды и
изменения объёма.
А2.9. Разложите числитель и знаменатель первой дроби на
множители и сократите её.
А2.10. Сгруппируйте слагаемые в выражении и вынесите
общие множители и делители за скобки.
Б2.1. Учтите, что шоколад ели все три мальчика. За какую
часть всего шоколада заплатил Юра (какую часть шоколада он
съел)?
Б2.2. Составьте схему или примите весь путь за jc и составьте
уравнение.
Б2.3. Используйте определение среднего веса.
Б2.4. Представьте число 139 в виде 139 = 138 + 1.
Б2.5. Используйте понятие процентного содержания вещества
в растворе.
Б2.6. Обратите внимание, что кузнечик может прыгать в любом
направлении.
Б2.7. Учтите порядок действий при вычислениях.
Б2.8. Проследите поэтапно за изменениями зарплаты.
Б2.9. Найдите дроби, дополняющие данные до 1, и сравните их.
Б2.10. Представьте каждую дробь в виде разности дробей с
более простыми знаменателями.
15

К заданию № 3
16
А3.1. Раскройте скобки и приведите подобные члены.
А3.2. Используйте свойство пропорции.
АЗ.З. Используйте схему решения уравнений с модулем.
А3.4. Примите длину всего пути за х км и по условию задачи
составьте уравнение.
А3.5. Пусть было добавлено число х. Составьте уравнение.
А3.6. Взяли х отрезков длиной 7 см и у отрезков длиной 12 см.
Составьте и исследуйте уравнение с двумя натуральными
неизвестными х и у.
А3.7. Эта задача на совместную работу. Повторите по пособию,
как они решаются.
А3.8. Задача решается способом пропорций.
А3.9. Примите меньшее число за х и составьте уравнение.
A3.10. Примите за х то, что требуется найти. Составьте
уравнение по условию задачи.
Б3.1. Раскройте скобки и приведите подобные члены.
Б3.2. Умножьте все члены уравнения на произведение 2-7-5.
БЗ.З. Используйте схему решения уравнений с модулем.
Б3.4. Примите массу всей моркови за х т и по условию задачи
составьте уравнение.
Б3.5. Пусть исходная дробь —. Найдите связь между а и b.
Ъ
Б3.6. Запишите возраст дедушки как 10а + b, составьте
уравнение и исследуйте его.
Б3.7. Используйте способ решения задач на совместную
работу.
Б3.8. Задача решается способом пропорций. Учтите, что
изменяются все три величины.
Б3.9. Примите меньшее число за х и составьте уравнение.
Б3.10. Примите за х рыб улов второго рыбака и составьте
уравнение.