В. А. Бликов, А. В. Жибер
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Учебное пособие
Москва ¦ Ижевск
2003

УДК 530.1
Интернет-магазин
http ://s hop.rcd.ru
• физика
• \т a i с м a i и к а
• биология
• техника
Банков В. А., Жибср А. В.
Уравнения математической физики. — Москва-Ижевск: Институт компью-
компьютерных исследований, 2003, 252 стр.
Основу этой книги составляют лекции по базовому университетскому кур-
курсу «Уравнения математической физики» для студентов факультета прикладной ма-
математики Уфимскою юсударствеш1О1 о авиационного технического университета,
прочитанные в течение последних лет профессором В, Л. Байковым и профессо-
профессором A.R. Жибсром. Курс в основном посвящен изучению уравнений в частных
производных второго порядка с одной неизвестной функцией, в частности волново-
волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа. Также изложены
простейшие вопросы теории интегральных уравнений и специальных функций.
Предназначено для студентов 3 курса естествен но-научного факультета, изуча-
изучающих дисциплину «Уравнения математической физики».
ISBN 5-93972-242-3
© В. А. Банков, А. В. Жибер, 2003
© Институт компьютерных исследований, 2003
http://rcd.ru
Оглавление
Предисловие
Т. Введение
9
10
Лекция 1. Основные уравнения математической физики 10
§ 1. Уравнение колебаний 10
§2. Уравнение диффузии 14
§ 3. Стационарное уравнение 15
Задачи 16
Лекция 2. Классификация уравнений в частных производных второго
порядка с двумя независимыми переменными 18
§ 1. Замена независимых переменных 18
§ 2. Уравнения характеристик 19
§ 3. Канонические формы уравнения 21
Задачи 24
Лекция 3. Классификация уравнений второго порядка со многими неза-
независимыми переменными в точке. Характеристические поверхности 25
§ 1. Классификация уравнений в точке 25
§2. Характеристики 29
Задачи 31
Лекция 4. Постановка основных краевых задач для дифференциального
уравнения второго порядка 31
§ 1. Классификация краевых задач 31
§ 2. Задача Коши 33
§ 3. Краевая задача для уравнений эллиптического типа. Смешан-
Смешанная задача 34
§ 4. Корректность постановки задач математической физики. Тео-
Теорема Ковалевской. Пример Адамара 35
Задачи 38

4 Оглаштг.ниг,
II. Гиперболические уравнения
40
Лекция 5. Уравнение колебаний струны и его решение методом Далам-
бера 40
§ 1. Формула Даламбсра 40
§ 2. Неоднородное уравнение. Устойчивость решений 42
§ 3. Метод продолжений 44
Задачи 47
Лекция 6. Метод разделения переменных на примере уравнения коле-
колебаний струны 48
§ 1. Уравнение свободных колебаний струны 49
§2. Неоднородное уравнение. Общая первая краевая задача .... 53
Задачи 55
Лекция 7. Метод Римана 56
§ 1. Задача Кошн и ее решение по методу Римаиа 56
§ 2. Пример 61
Задачи 64
Лекция 8. Метод каскадного интегрирования Лапласа
§ 1. Преобразования неизвестной фуикпии
§ 2. Преобразование Лапласа
Задачи
64
65
68
72
Лекции 9. Уравнения, интегрируемые каскадным методом Лапласа . 73
§ 1. Каскад Лапласа 73
§ 2. Явные формулы для решений 75
§ 3. Уравнение Эйлера-Пуассона 76
Задачи 79
Лекции 10. Волновое уравнение. Формула Пуассона 80
§ 1. Частные решения 80
§ 2. Метод усреднения 82
Задачи 86
Лекция 11. Волновое уравнение (Метод спуска, метод отражения, фор-
формула Кирхгоффа) 86
§ 1. Метод спуска 87
§2. Метод отражения 88
§ 3. Формула Кирхгоффа 89
Задачи 91
Оглашение
5
Лекция 12. Колебания ограниченных объемов 92
§ 1. Схема метода разделения переменных 93
§ 2. Колебания прямоугольной мембраны 96
Задачи 99
III. Уравнение теплопроводности . .
100
Лекция 13. Одномерное уравнение теплопроводности. Постановка кра-
краевых задач. Принцип максимума. Теоремы единственности .... 100
§ 1. Постановка краевых задач 100
§2. Принцип максимума 103
§3. Теоремы единственности 106
Лекция 14. Метод разделения переменных для уравнения теплопровод-
теплопроводности. Однородная краевая задача. Функция мгновенного источника.
Неоднородное уравнение теплопроводности. Общая первая краевая
задача 108
§ 1. Однородная краевая задача 108
§ 2. Функция мгновенного источника 111
§ 3. Неоднородное уравнение теплопроводности 112
§ 4. Общая первая краевая задача 114
Задачи 115
Лекция 15. Задачи на бесконечной прямой (Задача Коши. Краевые за-
задачи для полуограниченной прямой) 116
§ 1. Задача Коши 116
§ 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой 122
Задачи 123
Лекция 16. Уравнение распространения тепла в пространстве. Фунда-
Фундаментальное решение. Решение задачи Коши 124
§ 1. Фундаментальное решение 125
§2. Задачи Коши 126
Задачи 131
Лекция 17. Распространение тепла в ограниченных телах. Схема метода
разделения переменных. Остывание однородного шара. Распростра-
Распространение тепла в прямоугольной пластинке 131
§ 1. Схема метода разделения переменных 132
§2. Остывание однородного шара 135
§ 3. Распространение тепла в прямоугольной пластинке 136
Задачи 138

OrjTARTTFHHF,
IV. Теория потенциала.
139
Лекция 18. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве. Теорема
максимума. Фундаментальное решение. Формула Грина. Потенциа-
Потенциалы объема простого слоя и двойного слоя 139
§ 1. Теорема максимума 140
§ 2. Фундаментальное решение. Формула Грина 142
§ 3. Потенциалы объема, простого слоя и двойного слоя 145
Задачи 146
Лекция 19. Основные свойства гармонических функций. Теорема о
среднем арифметическом. Поведение гармонической функции вбли-
вблизи особой точки. Поведение гармонических функций на бесконечно-
бесконечности 147
§ 1. Теорема о среднем арифметическом 147
§2. Изолированные особые точки 150
§ 3. Поведение гармонической функции па бесконечности 152
Лекция 20. Уравнение Пуассона в пространстве. Ньютонов потенциал 154
§ 1. Теорема единственности 154
§ 2. Построение решения уравнения Пуассона 155
Лекция 21. Решение задачи Дирихле для шара 160
§ 1. Функция Грина для задачи Дирихле 160
§ 2. Решение внутренней задачи Дирихле для шара 162
Задачи 166
Лекция 22. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства .... 167
§ 1. Теоремы единственности решений задач Дирихле и Неймана . 167
§ 2. Построение решений задач Дирихле и Неймана 170
Лекция 23. Свойства потенциалов объема, простого и двойного слоя 173
§ 1. Потенциалы объема 174
§2. Поверхности Ляпунова 176
§ 3. Потенциал двойного слоя 177
§4. Потенциал простого слоя 179
Лекция 24. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным урав-
уравнениям 180
§ I. Постановка задач и единственность их решений 180
§ 2. Интегральные уравнения для краевых задач 184
Оглашение 7
Лекция 25. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости 186
§ 1. Основные задачи 188
§ 2. Логарифмический потенциал 190
Задачи 193
V. Интегральные уравнения
194
Лекция 26. Уравнения Фрсдгольма второго порядка и Вольтера ... 194
§1. Классификация интегральных уравнении 194
§ 2. Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте 195
§3. Уравнение Вольтерра 199
Задачи 200
Лекция 27. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы
Фрсдгольма 202
§ 1. Уравнение с вырожденным ядром 202
§2. Теоремы Фрсдгольма 207
Задачи 208
Лекция 28. Интегральные уравнения с симметричным ядром .... 209
§ 1. Свойства собственных функций н собственных значений . ... 210
§ 2. Теорема о конечном спектре 214
§ 3. Спектр интегрированных (повторных) ядер 216
Лекция 29. Теорема Гильберта-Шмидта 217
§ 1. Разложение интегрированных ядер 218
§2. Теорема Гильберта-Шмидта 220
§3. Решение неоднородною уравнения 223
Задачи 225
VI. Специальные функции 227
Лекция 30. Функции Бесселя. Полное разделение переменных в урав-
уравнении колебаний круглой мембраны 227
§ 1. Функции Бесселя 227
§ 2. Полное разделение переменных в уравнении колебаний круг-
круглой мембраны 230
Задачи 234

Лекция 31. Многочлены Лежаидра. Определение потенциала внутри
сферы 236
§ 1. Многочлены Лежандра 236
§2. Потенциал полой сферы 241
Задачи 243
Предисловие
Лекция 32. Сферические функции. Задача Дирихле для шара .... 244
§ 1. Определение сферических функции 244
§ 2. Свойство ортогональности 246
§ 3. Гармонические многочлены 247
§ 4. Задача Дирихле для шара 248
д Курс «Уравнения математической физики» является базовым
Литература 251 университетским курсом для студентов факультета прикладной математики.
Для того чтобы понять его в полной мерс, необходимо знание и свободное
оперирование основными понятиями дисциплин «аналитическая геометрия»,
«высшая алгебра» и «математический анализ», поэтому в университете он
входит в программу обучения студентов в пятом и шестом семестрах
третьего курса.
Ошетим, чю выбор лшериала был ограничен как объемом
лекционных часов, так и желанием научить «прикладника» приемам
и методам решения прикладных задач. Желающих более глубоко разобраться
в предмете можно отослать к работам [ 1 ] - [9].
При подборе задач в качестве базового был взят «Сборник задач но
уравнениям математической физики» под редакцией B.C. Владимирова [10],
а при подготовке курса лекции мы использовали в основном книги [11] - [14].

I. Введение
Лекция 1. Основные уравнения математической физики
(уравнение колебаний, уравнение диффузии,
уравнения Пуассона и Лапласа)
11редмет теории уравнений математической физики составляет изуче-
изучение дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений, опи-
описывающих явления природы. Точные рамки этой дисциплины определить
довольно трудно. Кроме того, большое разнообразие вопросов, относящихся
к уравнениям математической физики, не позволяет охватить их сколько-
нибудь полно в университетском курсе.
Наш курс будет посвящен в основном изучению уравнений в частных
производных второго порядка с одной неизвестной функцией, в частности
волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа,
обычно называемых классическими уравнениями математической физики.
§1. Уравнение колебаний
Многие задачи механики (колебания струп, стержней, мембран и трех-
трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводят к урав-
уравнению колебаний вида
р—Y=
0)
1. Введение I I
где неизвестная функция u(x,t) зависит от п (п = 1,2,3) пространственных
переменных x=(xl,x2,...,xn) и времени t коэффициенты р, р н q опреде-
определяются свойствами среды; /г(х,/)-плотноеть внешнего возмущения. В урав-
уравнении A) в соответствии с определением операторов div и grad
д и
div(p grad «)=S— p— .
Продемонстрируем вывод уравнения A) на примере малых поперечных
колебаний струны. Струной называется упругая нить, не сопротивляющаяся
изгибу.
Пусть в плоскости \х,и) струна совершает малые поперечные колеба-
колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью ,v. Обозна-
Обозначим через г/(х,г) величину отклонения струны от положения равновесия в
точке .т в момент времени t, так что и =u(x,t) есть уравнение струны в мо-
момент времени t. Мы будем пренебрегать величинами высшего порядка мало-
ди
сти по сравнению с tg а=—.
дх
Так как струна не сопротивляется изгибу, то се натяжение T(x,t) в точ-
точке х в момент времени t направлено по касательной к струне в
точке А" (Рис. 1).
Цх+Ах. t)

12 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Любой участок струны {ft.b) после отклонения от положения равнове-
равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины
dxszb-a
н, следовательно, в соответствии с законом Гука величина натяжения
Г(х,г) будет оставаться постоянной, пе зависящей от х и/, ^(x,t) \ = Т().
Обозначим через F(x,t) плотность внешних сил, действующих па струпу в
ючке л- в момент времени t и направленных церпендикулярно оси х. Нако-
Наконец, пусть р(х) обозначает линейную плотность струны в точке х так, что
p(x)dx -масса элементы струны (x,x + dx). Составим теперь уравнение дви-
движения струны. На ее элемент [х,х + dx) действуют силы натяжения
T[x + dx,t), -T(x,t) (Рис.1) и внешняя сила, сумма которых, согласно зако-
законам Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента па его
ускорение. Проектируя это векторное равенство па ось и, получим
7J,sina
ir-rosina
B)
Но в рамках нашего приближения
и, следовательно, из B) имеем
d2i((x,t)
dt~ дх2
Уравнение C) и есть уравнение малых поперечных колебаний струнь
C)
I. Введение 13
Если плотность р постоянна, р(х) = р, то уравнение колебаний струны
принимает вид
&=а2Й+/' <4)
где обозначено а = —, / = —. Уравнение D) мы будем также называть од-
Р " Р
номерным волновым уравнением.
Уравнение вида A) описывает также малые продольные колебания уп-
pyL ого с гержня
pS—-= — \ES—\+F(x,tY E)
8t2 дх{_ дх)
где S(x) - площадь поперечного сечения стержня и Е(х) - модуль Юнга в
точке X.
Аналогично, выводится уравнение малых поперечных колебаний мем-
мембраны
32и _ | б2и д2и
at2 \3X] дх\
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны при
нимаст вид
+ F.
F)
д и
—f
dt
д и д и
^ + Г
дх{ дх-г
/
[ ) р р
Уравнение G) мы будем называть двумерным волновым уравнением.
Трехмерное волновое уравнение
г
dt1
д2и
G)
(8)
удх( Эх<2 Sxi,
описывает процессы распространения звука в однородной среде и электро-
электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению удов-
удовлетворяет плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также со-

14 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
ставляюшие напряжеииости электрического и магнитного полей и соответст-
соответствующие потенциалы.
Мы будем записывать волновые уравнения D), G) и (8) единой форму-
формулой:
— - 2Аи +
где Д - оператор Лапласа
д2и 82и В2и
F) т. п уг с! г"
§2. Уравнение диффузии
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описы-
описываются следующим общим уравненнем диффузии:
р—-div(/> gradw)-^ u+F{x,t}. (9)
Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через u{x,t)
температуру среды в точке x = {xl,x2,xi) в момент времени /, а через р(х),
с(х) н К(х)-соответственно ее плотность, удельную плотность и коэффици-
коэффициент теплопроводности в точке х. Пусть F[x, /) - интенсивность источников
тепла в точке х в момент времени t. Подсчитаем баланс тепла в произволь-
произвольном объеме V за промежуток времени \t,t + At). Обозначим через 5* границу
V, и пусть Я-внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье, через по-
поверхность 5 в объем V поступает количество тепла
Q =\\k^- dS At=At\\(k grad щ n)dS,
s on s
равное, в силу формулы Гаусса-Остроградского,
I. Введение 15
За счет тепловых источников в объеме V возникает количество тепла
Q2=\\\F(x,t)dxAt.
v
Так как температура в объеме V за промежуток времени \t,t + At) выросла па
величину
u{x,t + At)-
— At,
то для эгого необходимо затратить количество генла
С другой стороны, Q3 = Ql + Q2 и поэтому
dxA/=0,
откуда, в силу произвольности объема V, получаем уравнение распростране-
распространения тепла
ср
A0)
Если среда однородна, т.е. с, р и к — постоянные, то уравнение A0)
принимает вид
'+/> со
о и
81
i к , F
где a " - —, / - —.
ср ср
Уравнение A1) называется уравнением теплопроводности.
§3. Стационарное уравнение
Для стационарных процессов F(x,t)= F(x), u(x,t) = u(x) и уравнения
колебаний A) и диффузии (9) принимают вид
-6i\(p&&6u)+qu=F{x). A2)

I б В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
При р = const, q = 0 уравнение A2) называется уравнением Пуассона
F
Р*
при / = О уравнение A3) называется уравнением Лапласа
A3)
Рассмотрим потендиальное течение жидкости без источников, а имен-
именно, пусть внутри некоторого объема V с границей S имеет место стационар-
стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность р = const), характеризуемое
скоростью u(xl,x2,x-i). 1лсли течение жидкости не вихревое (rot 5 = 0), то
скорость 5 является потенциальным вектором, т.е.
и = grad и, A4)
где и -скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Вели отсутст-
отсутствуют источники, то
div 5 = 0. A5)
Теперь из формул (l 4) и (l 5) получим:
div grad и = 0
нли
т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Задачи
1. Абсолютно гибкая однородная нить закреплена на одном из концов и под
действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия.
Вывести уравнение малых колебаний нити.
дх
Ответ: —- = а — [I -х)— , а = g, где uyxjj-смещение точки,
Зг дх\ дх
I -длина нити, g -ускорение силы тяжести.
I. Введение 17
2. Вывести уравнение поперечных колебаний струны в среде, сопротивление
которой пропорционально первой степени скорости.
. 1 ди Г
„ д2и 2 д2
Ответ: —г-=«
дГ дх
ч о
а~ -J ¦
\ p
3. Тяжелая однородная нить длдшы / прикреплена верхним концом (л'-0) к
вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоро-
скоростью ю. Вывести уравнение малых колебаний нитн около своего вертикаль-
вертикального положения равновесия.
д2и 2 д Г/, \5м] 2 2
01-вет: —- - а — (/ - х)— + ю и, а - g.
dt2 dxl дх]
4. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся со скоростью и(х) в
направлении оси х, если поверхностями равной концентрации в каждый мо-
момент времени являются плоскости, перпендикулярные оси х.
6
„ dll О ( пЗиЛ 6 f \
Ответ: с— = — D— Von).
dt 6х{ дх) дху '
5. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для вещества, час-
частицы которого: а) распадаются со скоростью, пропорциональной концен-
концентрации; б) размножаются со скоростью, пропорциональной их концентра-
концентрации.
Отвега^^Ои^бК
' dt дх{ дх) н ' dt
6. Исходя из Максвелла в вакууме:
rot ?=--—, div ?*=0, div tf*=0, rot ~H =-—,
cdt с dt
где Н - напряженность магнитного поля, Е - напряженность электрического
ноля. Вывести уравнение для потенциала электрического ноля иостоянного
электрического тока, вывести уравнение для потенциала.

18 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 2. Классификация уравнений в частных
производных второго порядка с двумя
независимыми переменными
Пашей целью является приведение к каноническому виду в области
уравнения с частыми производными второго порядка с двумя независимы-
независимыми переменными линейного относительно старших производных
auiixx + 2а]2ип, + Q22uvy + F[x>y>u>ux<uv)= 0, A)
где коэффициенты аи , ап,а->_2 являются функциями х и у.
§1. Замена независимых переменных
Перейдем от независимых переменных х и у к независимым перемен-
переменным ^ и л ¦ Пусть
- дважды не1Трерывно дифференцируемые функции, причем якобиан
дх ду
Зт) 5л
д X д у
нигде в рассматриваемой области не обращается в нуль. Тогда систему B)
можно однозначно разрешить ошосительно л: и у в некоторой области то-
точек (%,Т|). Полученные функции Л' = x\t,, nj и у = у(^, л) будут также дважды
HeLipepbiBHO дифференцируемыми функциями ol' t и л. С помощью преобра-
преобразования B) мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному A). Ес-
Естественно возникает задача: как выбрать ?, и л, чтобы уравнение в этих пе-
переменных имело наиболее простую форму? Для решения этой задачи преоб-
преобразуем производные к новым переменным. Полагая
I. Введение
получаем
В новых переменных % и л уравнение A), согласно формулам C), записыва-
записывается так:
F = F + ап(и^хх +иТ]т]хх)+а12(и?ху + и^г\ху)+а22(и^уу +ит,л^)-
Выберем переменные Ъ, и г| так, чтобы коэффициент ап был равен
нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка
auzl+2auzxzy+a22z2y=(), E)
Пусть z = ср(х, _у)-какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если по-
положить ?, = cp(,t, у), то коэффициент ап, очевидно, будет равен ттулго. Итак,
задача о выборе новых независимых переменных связана с решением урав-
уравнения E).
§2. Уравнения характеристик
Уравнение E) связано со следующим обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнением
avydy -2a[2dxd}, +a22dy =0, F)

20 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
которое мы будем называть характеристическим, а его интегралы - характе-
характеристиками. Эта связь устанавливается в следующем предложении:
Лемма. Если г = ф(лг, у)— решение уравнения E), то соотношение ф(х,у) = С
представляет собой интеграл уравнения F). Обратно, если щх,у)=С — ин-
интеграл уравнения F), то функция z = (pyx, у) удовлетворяет уравнению E).
Доказательство. Пусть г = ф(х, у) удовлетворяет уравнению E). Соотноше-
Соотношение ф(дг, у) = С задает функцию у = f(x,C), для которой
dy _ фДх.у)
~dx~~^J^S)y-f["'y)'
Следовательно, у = /(х, С) удовлетворяет уравнению F), так как
1 dx
:=f(x,C)
Докажем вторую часть леммы. Пусть ц^х,у)=С - интеграл уравне-
уравнения 6). Через произвольную точку {хп,у0) проведем интегральную кривую
уравнения F), полагая (p{xo,yn)=CQ и рассматривая кривую y = f{x,C(t).
Очевидно, v0 = f(xQ, Со ). Для всех точек этой кривой имеем:
M в последнем равенстве х = х0, получим:
что и требовалось доказать.
Полагая ^ = ц{х,у), где ц>{х,у)= С есть интеграл уравнения F), мы об-
обращаем в нуль коэффициент при u?S. Если \^{х,у)- С -другой интеграл
уравнения F), независимый от ф(х,_у), то, полагая т| = \\;(х, v), мы обратим в
пуль также и коэффициент при и,^ .
1. Введение
Уравнение F) распадается на два уравнения:
dУ а\2 + \а\2 ~ а\\ап
dx а,.
dx
G)
(8)
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения A). Это уравнение
мы будем называть в точке М уравнением гиперболического типа, если в
точке М Л = а{~2 -аиа22 >0, эллиптического типа, если А<0, и параболи-
параболического типа, если Д = 0.
Нетрудно убедиться в правильности соотношения
а{2 -аиа22 =(а,22 -a]]a22)D2>
из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразовании пе-
переменных, так как якобиан D преобразования переменных отличен от нуля.
§3. Канонические формы уравнения
Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и
тот же тип. Разберем каждый из этих типов в отдельности.
I. Для уравнения гиперболического типа Д > 0 и правые части уравне-
уравнений G) и (8) действительны и различны. Общие интегралы их ф(.т,>)=С и
v|/(x, у) = С определяют действительные семейства характеристик. Полагая
^ = ф,у), r| = y(x,j), (9)
приводим уравнение D) к виду
uSi,=O^,ti,v,v5,vJ, A0)
где Ф = — —^—. Уравнение A0) называется канонической формой гипербо-
2a,2
лического уравнения A). Часто пользуются другой канонической формой.
Положим

22 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
т.е.
где х' н у'- новые переменные. Тогда, полагая u(t,r\)=W{x',y')> будем
иметь
В результате уравнение A0) примет вид
(Ф,=4Ф).
2. Для уравнения параболического типа Д = 0 уравнения G) и (8) сов-
совпадают, и мы получаем один общин интеграл уравнения F): ф(.т,^Л = const.
Положим в этом случае
?, = ф,у)кт) = \\1(х,у),
где v|/(x, v)—любая функция, независимая от <р. При таком выборе перемен-
переменных коэффициент
так как ап = Л/д^7Л/а22 ; отсюда следует, что
Таким образом, мы получаем каноническую форму для уравнения параболи-
параболического типа
3. Для уравнения эллиптического типа а]2 —а.\ \Ci2^ < 0 и правые части
уравнений G) и (8) комплексны. Пусть
- комплексный интеграл уравнения G). Тогда
1. Введение 23
где ф -сопряженная к ф функция, будет представлять собой общий инте-
интеграл сопряженного уравнения (8). При этом уравнение эллиптического типа
A) приводится к A0) при замене переменных
Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые пе-
переменные х' и у', равные
, ф + ф , ф — ср
-^ ~~ ^ ' У ~ ^ *
В этом случае, полагая u(^,r|)= W{x',y'), будем иметь
Следовательно, уравнение (|0) принимает вид
Wxy +Wyy =x?{x',y',W,Wy,Wy\ Ч' = 4Ф.
В заключение рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. ихх - уиуу = 0.
Здесь а}1 =], ап = 0, а22 =-у, А = ап -апа22 = у - Следовательно, в об-
области у > 0 уравнение гиперболично, в области у < 0 —эллиптично.
а) Рассмотрим сначала область гиперболичтгости. Дифференциальные
уравнения характеристик имеют вид
dy г dy г-
j-,=-^ -тх=Гу'
а х - 2-^fy = С. х + 2^ = С - нх общие интегралы.
Производя замену независимых переменных ^ = х- 2^[у, r\ = x + 2*Jy ,
получим каноническую форму преобразованного уравнения

24 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
б) В области эллиптичности (у < 0) производим замену переменных
х' = 1- = х
, г\ 1 , I
1- = х, у' = -!—- = 2J- v .
Каноннческий вид уравнения
Пример 2. хиы. -2yjxyuxy + уи>у +0,5иу -0.
Здесь а^ = х, aj2 =~-\хУ, a22 = J1*' Д = 0. Следовательно, это уравнение
всюду параболического типа. Оно имеет одно семейство характеристик, опи-
описываемых уравнением
dx i x "
Общий интеграл этого уравнения «Jx + ^у - С. Поэтому полагаем
4 = \х + ijy , Г| можно положить равной любой функции v|j(x,_y), независи-
независимой от ^. Полагаем, например, r\ = V.v . Тогда полу^шем следующий канони-
канонический вид уравнения
Задачи
1. Привести к каноническому виду уравнения;
а) х1и]а -у2и =0,
'2иуу - 0,
1. Введение 25
2. Введя функцию и = ие""№'и выбирая параметры >„ и ц., упростить сле-
следующие уравнения;
а) ихх + uyv +3их - 5у + 4 и = 0,
б) wVT + Aux -uv +ы = 0,
в) и^ -иуу +4их +4иу -2и = 0.
Лекция 3. Классификация уравнений второго порядка
со многими независимыми переменными
в точке. Характеристические поверхности
Прежде чем формулировать математические постановки решения раз-
различных физических задач, сводящихся к линейным дифференциальным вто-
второго порядка относительно старших производных, необходимо классифици-
классифицировать эти уравнения.
В случае уравнений с двумя независимыми переменными этот вопрос
исследован на предыдущей лекции. В этой лекции рассматриваются уравне-
уравнения вида
с непрерывными коэффициентами а j:\xj, х = {х±,х2,...,хп).
§1. Классификация уравнений в точке
Выясним, как преобразуется уравнение A) при произвольной невыро-
невырожденной замене независимых неременных t - ?,{х), т.е.

26 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
дхг д х2 д хп
д Х| д х2 д хп
дхх д х2 д хп
Так как D ф 0, то в некоторой окрестности можно выразить переменные
V через ^, х = х{?>). Обозначим м(.г(^)) = и(^); тогда и(^(х))=у(*). Считая
^ е С", имеем
ды " дху д^к д и А А 6"и с1^ ^^
С Х- /_it}^i С Х- С?Х;б X ¦ A-Is-If? Ej,6 ^,, СХ- СХ ¦
C)
Подставляя выражения для производных (з) в уравнение (|), получим
Здееь Ф (t;,и,Vu) = ф(х,г/,V?i). Обозначая теперь через afa новые коэффи-
коэффициенты при вторых производных
Зь=±±°„^^- E)
перепишем уравнение D) в виде (l):
F)
1. Введение 27
Далее фиксируем точку х0 и положим ^ = ^(х0), afo- =— . Тогда фор-
мула E) в точке х(] запишем в виде
G)
Полеченная формула преобразоваттия коэффициентов а(у в точке Л'а совпада-
совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратичной формы
при невырожденном линейном преобразовании
переводящим форму (8) в форму
(9)
A0)
Итак, чтобы упростить уравнение A) в точке х0 с помощью замены пе-
переменных B), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (8) с
помощью невырожденного линейного преобразования (9). Но в курсе линей-
линейной алгебры доказывается, что всегда существует преобразование (9), при
котором квадратичная форма A0) принимает следующий каноничный вид:
к=\ к=г+\
кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм, целые числа г и т.
не зависят от преобразования (9). Это позволяет классифицировать уравне-
уравнения A), а именно:
1) если в форме (II) т = п и все слагаемые одного знака (т.е. либо
г — ?п, либо г —0), то уравнение A) называется уравнением эллип-
эллиптического типа;

28 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
2) если т = п, но имеются слагаемые разных знаков (т.е. 1 < г < п - 1),
то уравнение A) - гиперболического типа (при г = 1 или
г = п-\ -нормально-гиперболического типа).
3) если гп<п, то это уравнение A) - параболического типа (при
г = п — 1 — нормально-параболического типа).
Пусть коэффициенты а(- в уравнении A) постоянны, т.е. не зависят от
Л", н пусть преобразование (9) приводит квадратичную форму (8) к каноннче-
скому виду A1). Тогда линейная замена независимых переменных
преобразует уравнение A) к следующему каноническому виду
t^-- ± ^+O(?.u,vu)=0.
A2)
Примеры. Уравнение Лапласа - эллиптического типа, волновое урав-
уравнение - гиперболического типа и уравнение теплопроводности - параболиче-
параболического типа.
Замечание. Выше мы привели способ приведения уравнения A) к канониче-
каноническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравнение. В связи с
этим возникает вопрос; нельзя ли одним и тем же преобразованием B) при-
привести уравнение A) к каноническому виду A2) в достаточно малой окрестпо-
С1И каждой ючки? Чюбы это приведение можно было сделать для любого
уравнения, необходимо, чтобы число условий
аь = О, к* s, k,s = \,2,...,n\
где &к =0,±1 не превосходило числа неизвестных функций ?,А, ?=1,2,.. „я:
-* '- + я -1 < я. т.е. я < 2.
Как мы показали в лекцни 2, эю привидение для п-2 всегда можно сделав
(для я = 1 это очевидно).
1. Введение
§2. Характеристики
Пусть функция &{х), х = (х, ,х2,...,хп), п > 2, класса С1 такова, что на
поверхности <в(х)=0 Усо(х)^0 и
Тогда поверхность ш(х)= 0 называется характеристической поверхностью
(или характеристикой) дифференциального уравнения A). ГТуеть ы е C2{g) и
со — с = 0 — характеристика при а<с<Ь. Тогда, если в преобразовании B)
взять ?, -ш(х). то в силу E), A3) коэффициент аи обраишея в нуль в соот-
соответствующей области G. Поэтому знание одного или нескольких семейств
характеристик дифференциального уравнення дает возможность привести
это уравнение к более простому виду.
Примеры характеристик.
1. Для уравнения колебаний струны
ut, -a2uxx =f{x,t)
характеристическое уравнение нмеет вид
= 0
д(п Эсо 9 со Eш
а = 0 + а = 0.
8t дх ' dt дх
Поэтому мы имеем два семейства характеристик
х + at = с и х — at = с.
2. Характеристическое уравнение для трехмерного волнового уравне-
уравнения
ии —a \iiКх + и +uZ7.J=f(x,y,z,t)

30 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
записывается так
Решением последнего является функция (o-dt-t0f -(х-х0J -{у-уоJ ~(z~zoJ
на поверхности ш = 0. Следовательно, поверхность
a{t-tof -{x-xQf -^у-у0J -{z-zQf =0,
называемая характеристическим конусом с вершиной в точке {х(],10), есть
характеристика волнового уравнения.
Волновое уравнение имеет и другое семейство характеристических по-
поверхностей - семейство плоскостей вида
at + а}х + агу + a%z = с.
3. Для уравнения теплопроводности
ип -а2\ихх +uVy + uzzj=f{x,y,z,t)
имеем характеристическое уравнение вида
= 0.
Его характеристиками, очевидно, являются семейство плоскостей t = с.
4. Уравнение Пуассона
«,,+V+^+/Cw)=0
не имеет вещественных характеристик, ибо из характеристического уравне-
уравнения
до:,
Ъ~у
вытекает, что grad ю = 0 на го = 0.
1. Введение
Задачи
Привести к каноническому виду уравнения:
1. ихх + 2vxv-2uxz+2uvy +6uz. =0.
2. Аихх —Аи — 2м +uv +uz —0.
3. uKV -uxz +uv +u -u: =0.
4. urx + 2m + 2m + 2mv^ + 2u t +2uzz +3ult — 0.
5. u,
k=2 k k=\
k=\ Uk
Лекция 4. Постановка основных краевых задач для
дифференциального уравнения второго порядка
§1. Классификация краевых задач
Как было показано в лекции 1, линейное уравнение 2-го порядка
p—r=d\\(p gradu)-qи + F(x,f)
описывает процессы колебаний, уравнение
р—= div(/? grad и)- q и + F(x, /)
описывает процессы диффузии, а уравнение
(I)
B)
C)
стационарные процессы.
Пусть Gc^R" -область, где происходит процесс и 5* -се граница. Та-
Таким образом, G -область задания уравнения C). Областью задания уравне-

32 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
ний A) и B) будем считать цилиндр QT = G х@т7") высоты Т и с основани-
основанием G . Его граница состоит из боковой поверхности S х (о, 7") и двух основа-
оснований: нижнего G х {о} и верхнего G х [7"} (Рис. 2).
Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравненнй A) - C)
не зависят от времени t; далее, в соответствии с их физическим смыслом,
будем считать, что р(^)> 0, р\х)> 0, <?(x)> 0, х е G .
При этих предположениях уравнение колебаний A) — гиперболическо-
гиперболического типа, уравнение диффузии B) - параболического типа и стационарное
уравнение C) — эллиптического типа.
Далее чтобы полностью описать физический процесс, необходимо,
кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное со-
состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области,
в которой происходит процесс (граничные условия).
Различают три тнпа задач для дифференциальных уравненнй.
а) Задача Кошн для уравнений гиперболического и параболического
типов: задаются начальные условия, область G совпадает со всем простран-
пространством R", граничные условия отсутствуют.
1. Введение 33
б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются гра-
граничные условия на границе S, начальные условия, естественно, отсутствуют.
в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболиче-
параболического типов; задаются и начальные, и граничные условия, G ф R".
Опишем подробнее постаповку каждой из перечислеппых краевых за-
задач для рассматриваемых уравнений A) — C).
§2. Задача Коши
Для уравнения A) задача Коши ставится следующим образом: найти
функцию u{x,i) класса C~{t > о)П Cl(t > О), удовлетворяющую уравнению
A) в полупространстве (>0 и начальным условиям при t — 0:
D)
При этом необходимо
Для уравнения диффузии B) задача Коти становится так: найти функ-
функцию u[x,tf класса C^(t > 0)ПС(/> О), удовлетворяющую уравнению B) в
полупространстве (>0 и начальному условию при t = 0:
u\l=o = uQ{x). E)
При этом необходимо F е C{t > 0)т и0 е C\R" J.
Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобще-
обобщение. Пусть даны дифференциальное уравнение 2-го порядка
д2и
б2и
ди
ди
кусочно-гладкая поверхность S: / = а(.т) и функции м0 и Mj на S. Задача
Копти для уравнения F) состоит в нахождении в некоторой части области

34 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
t > а(х), примыкающей к поверхности 2, решения u{x,t), удовлетворяющего
па X краевым условиям
ди\
где п - нормаль к Y., направленная в сторону возрастающих t.
§3. Краевая задача для уравнений эллиптического типа.
Смешанная задача
Краевая задача для уравнения C) состоит в нахождении функции и{х)
класса C2{G)f\ C]{g), удовлетворяющей в области G уравнению C) и гра-
граничному условию на S вида
аи + C —
дп
G)
где а, C и v - заданные непрерывные функции на S, причем а > 0, C > 0,
а + |5>0.
Выделяют следующие типы граничных условий G):
Граничное условие Т рода (а = 1, р* = 0)
и\ s = uQ.
Граничное условие ТТ рода (а = 0, р = l)
ди,
-^-U=ui ¦
дп
Граничное условие 111 рода (E = 1, а > 0)
Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами 1, 11
и 111 рода.
Д.ш уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача 1 рода
Ди=-/, и s = u0
1. Введение
называется задачей Дирихле; краевая задача 11 рода
35
ди\
дп
называется задачей Неймана.
Для уравнения колебаний
сметанная задача ставится следующим
( ряющую
ий (I) сметанная задача ставится следующим
образом: наши функцию u(x,t) класса C~(fix )Г\С [il^j, удовлетво
образом: наши функцию u(x,t) класса C~(fix )Г\С [il^j, удовлетворяющую
уравнению A) в цилиндре Qx,, начальным условиям D) при t-0, .teC и
граничному условию G) при xeS, t>0.
у у () р
Аналогично для уравнения диффузии B) смешанная задача ставитея
так: найти функцию u{x,t) класса С2(ООТ)П С'(ООТ), удовлетворяющую
уравнению B) в Q^, начальному условию E) и граничному условию G).
§4. Корректность постановки задач математической физики.
Теорема Ковалевской. Пример Адам ар а
Поскольку задачи математической физики описывают реальные физи-
физические процессы, то математическая постановка этих задач должна удовле-
удовлетворять следующим требованиям:
а) решение до,окно существовать в каком-то классе функций М\;
б) решение должно быть единсшеннъш в некотором класса функций М2',
в) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и
граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.).
Непрерывная зависимость рещения и от данного задачи и обозначает
следующее: пусть последовательность данных ик, к = 1,2,3,..., в каком-то
смысле стремится к и и ик, к =1,2,3,..., «-соответствующие решения
задачи; тогда ик —>и, к —>¦ ее в смысле сходимости, выбранной надлежа-
надлежащим образом.
Требование непрерывной зависимости решения обуславливается тем
обстоятельством, что данные физической задачи, как правило, определяются

36 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
из эксперимента, приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что
решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям а)—с), называ-
называется корректно поставленной, а соответствующее множество функций
Л/j П М-) — классом корректности.
Нахождение корректных постановок задач математической физики и
методов построения их решений и составляет основное содержание предмета
уравнений математической физики.
В этом параграфе мы выделим довольно общий класс задач Коши, для
которых решение су шествует и единственно. А именно, рассмотрим сле-
следующею систему дифференциальных уравнений с N неизвестными функ-
функциями и] ,u2,...,uN:
U: f д и
г^-=Ф,- x,t,ul,u2 Mv —
дГк [ dta°dx"] ...aa-"-
i = l,2,...,N. Здесь правые части Ф, не содержат производные- порядка выше
k-t и производные по t порядка выше к} -1, т.е.
ао+а1н ь а „<?,-, Aq <kf — I.
Для системы уравнений (8) поставим следующую задачу Коши: найти ре-
решение v{,u-,,...,uN этой системы, удовлетворяющее начальным условиям
цры t = t0 :
О Uj
-Л
ф.Дх), Л: =0Д Аг,- — 1/ i' = l,2 iV,
)- заданные функции в некоторой области G a R".
(9)
Теорема Ковалевской. Если все функции ср^ (_v) аполитичны в некоторой окре-
окрестности точки Л'о и все функции Ф(- xj.u^.u-},...,и^:,..., :—
1. Введение
37
аполитичны в окрестности точки
то задача Коти (8), (9) имеет аналитическое решение в некоторой окрест-
окрестности точки (*о,?о) и притом единственное в классе аналитических функ-
Для доказательства этой теоремы решение ищется в виде
(( — Uj (а , t0 )
«i(x,t)= i i - i э^ Ug^'-ax^ —(t-tQp{x, -
«0=0^=1 a,,=i ао/а,/...аи,'
¦A0)
Из начальных условий (9) и из уравнений (8) последовательно определя-
определяются все производные uf в точке (.vflT/0). Равномерная
dta°dx^1 ...дх^"
сходимость рядов A0) в окрестности точки {xQ.tQ) доказывается методом
мажорант. Единственность построенного решения в классе аналитических
функпий следует из теоремы единственности для аналитических функ-
функций.
В заключение приведем пример, показывающий, что может вовсе не
быть непрерывной зависимости решения от начальных данных. Этот пример
построен Адамаром.
Решение задачи Кошн:
о и о и
7 = 0,
,,=0,
;0=-sin kx
есть w^(av)-—^—sin kx . Если к—>да, то —sin kx—>0; тем не менее при
х & / я, у = 0,±1,... Wj(. \x,t) не стремится к пулто при к —> да. Таким образом,
залача Копти для уравнения Лапласа поставлена некорректно.

38 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Задачи
1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде
с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что концы
струны закреплены жестко.
д2и 2 д2и ди , v , v ди(х,0) ( ч
Ответ: = а —- - р —; и\х,0) = ц>[х), —-—- = ц)[х),
df дх" dt 3t
u(O,t)=O, u(l,t)=0.
2. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны от-
относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец
(х - О) жестко закреплен, а ннжннй свободен.
1 д2и ди\,. ,ди] , , , s ди(х,0) , s
Ответ: -=— (/-*)— ," щх$)=$х\ —^—^^v|/(x).
g dt дх\_ дх] dt
и@,/)=0, \u{l,t)<M.
3. Рассмотреть задачу 2 в предположении, что струна вращается с угловой
скоростью (о = const относительно вертикального положения равновесия.
д2и ди\
аи с:и /, \ а и \ -,
Ответ: = g— I/ - jcI— + oi'u, дополнительные условия задачи 2.
dt2 5x1 дх\
4. На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвективный теп-
теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой и =ф(/)- По-
Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на одном
конце его поддерживается температура f}{t), а па другой подается тепловой
поток q{t).
Ответ:
: ср— = к ^-Аг~ А [и -$% ч{х,0)= f{x),
dt дх
»{0.1)=МЛ к U x(l,!)=<&)¦
1. Введение 39
5. Поставшь краевую задачу о нагревании полубесконечно! о стержня, конец
которого горит, причем фронт горения распространяется со скоростью v и
имее! температуру ф(/).
Ответ: Ср — = —\к—\ и(ж,0)=0. u(vt,!)=<?(?).
ot дх\_ дх]
6. Поставить краевую задачу об остывании топкого круглого кольца, па по-
поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньюто-
Ньютона со средой, имеющей температуру м0. Неравномерностью распределения
температуры по толщине пренебречь.
Ответ: -^- = а2 -^-- А [и -hJ и(9,0)=ф(е)| и(9 + 2n,t)=u{Q,t),
0 1 qQ
9— полярный угол, а" — —, R— радиуса кольца.
cpR-
7. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры в
тонкой прямоугольной пластинке ОЛСВ со сторонами ОА = а, ОЯ = 6,если:
а) па боковых сторонах пластины поддерживаются заданные температуры;
б) на сторонах ОА и ОВ заданы тепловые потоки, а стороны ВС и АС
теплоизолированы.
8. На плоскую мембрану, ограниченную кривой L, действует стационарная
поперечная нагрузка с плотностью f{x,y). Поетавшь краевую задачу об от-
отклонении точек мембраны от плоскости, если:
а) мембрана закреплена на краю;
б) край мембраны свободен;
в) край мембраны закреплен упруго.
9. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры
внутренних точек полусферы, если сферическая поверхность поддерживается
при заданной температуре /'(ф.9), а основание полусферы — при пулевой
температуре.

II. Гиперболические уравнения
Лекция 5. Уравнение колебаний струны и его решение
методом Даламбера
§1. Формула Даламбера
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений
гиперболического типа мы начинаем с задачи Коти для уравнения свобод-
свободных колебаний струны.
eh,
- а
дх"
B)
2 V
dt2 " дх2
Преобразуем уравнение A) к каноническому виду, содержащему сме-
смешанную производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения
dx
dt
dx
—
dt
интегралами которых являются
x-at-Cl, x + at =
II. Гиперболические уравнения
Теперь, полагая
r\=x-at.
уравнение (I) преобразуется к виду
C)
Общее решение уравнения C) дается формулой
где /iD) и f^y\)~ произвольные функции. Возвращаясь к переменным
х, t, получаем:
u = fl{x + at)+f2(x-at). D)
Полученное решение завист oi двух произвольных функций j\ и j\.
Оно называется решением Даламбера.
Далее подставляя формулу D) в B), будем иметь
откуда, интегрируя второе равенство F), получим
] -V
а ч
где х0 и С -постоянные. Из формул E) и G) находим
11ри этом, учитывая D), имеем
щх + at)-\—
<p(x-at)
G)

42 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
и окончательно получаем формулу
/ ч о(х + at) + о(х - at) I x+rr / \ , пч
u(x,t) = ^ '—^ f-+— \\i[y)dy. (8)
2 lax_m
Формула (8) называется формулой Даламбера.
Нетрудно проверить, что формула (8) удовлетворяет уравнению A) и
начальным условиям B) при условии, что ф(л)е С"(л), а \|/(х)е С \Щ- Таким
образом, изложенный метод доказывает как единственность, гак и существо-
существование решения поставленной задачи.
§2. Неоднородное уравнение. Устойчивость решений
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения колебаний:
r!2u ~ г'2п
Легко проверить, что решение задачи (9), A0) и предетавимо в форме
где и - решение задачи Коши A), B), а (а — решение следующей задачи:
д2и 2 д'ы , ч
дг Ох2
ш(.г,0) = 0, C<nvtl / = о, xgR.
dt
Пусть w(x,1;t)- решение вспомогательной задачи Коши:
82W _aiS2W x^R
dt2 ox2
W(x,t;x),=T = 0, -—\'' Z'|,=I = f(x
(9)
A0)
(И)
A2)
A3)
II. Гиперболические уравнения
Покажем, что решение to(.r,?) задачи A2) определяется формулой
где w(x,t;%)- решение задачи A3). Действительно
43
A4)
ra(x,0)=0,
dt
и, следовательно, -—^—! = 0 в силу начального условия A3). И, наконец,
Bt
dt ox- dt Q[ dt дх-
Решение задачи A3) дается формулой Даламбера:
A5)
Теперь, используя формулы (8), A1), A4) и A5), находим, что решение ис-
исходной задачи (9), A0) задается формулой:
( \-4>(x + at)+fp(x~at) ! Х+\ ( \И > ^ '{^hP )dEd
2 2ах_а, - 2aOx_ll{l_^'
Покажем, что задачи A), B) непрерывно зависят от начальных данных
(устойчиво). А именно: каков бы ни был промежуток времени [0,/0] и какова
бы пи была степень точности &, найдется такое б(еДо), что всякие два реше-
решения уравнения (I) U](x,t) и w2(-M) в течение промежутка времени tt) бугдут
различаться между собой меньше чем па е :
Ul(x,t)-U2(x,t)\<E,
если только начальные значения
и(х,0) = ф), к2(х,0)=ц>2(х),
\дщ(х,0) ../Л и
отличаются друг от друга меньше чем на б:
A6)

44 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Действительно функции u^xj) и u^xj) связаны со своими начальны-
начальными данными формулой (8), поэтому имеем
Откуда в силу неравенств A6) получаем:
\u](x,t)-u2(x,t)\<- + - + —&-2at<8(\+t0),
что и доказывает наше утверждение, если положить
1 + /0
§3. Метод продолжений
1. Полуограничеииая прямая. Рассмотрим задачу о распространении
волн на полуограниченной прямой х > 0. Эта задача имеет важное значение
при изучении процессов отражения воли от конца и ставится следующем об-
образом:
найти решение уравнений колебаний
д и 1 б и .. ,
—=г = а т при ()<л'<со, ;>(),
6 Г б х"
удовлетворяет граничному условию
и@,0=цD
или
з4и) = оИ
и начальным условиям
A7)
A8)
A9)
B0)
II. Гиперболические уравнения 45
Исследуем сначала краевую задачу A7), A8), B0). Решение этой задачи
можно представить так:
где функции u(.v,;) и \\{x,t)- решения следующих задач
3 v 2 5"и
дг
-, 0<х<ос, />0 .
и@, i) = 0, t>0,
х,0) = ср(л), С°^' = \\i(x), 0 < л
B2)
B3)
B4)
дг " зх2
»-{0,/)=цD t>0,
v ' at
соответственно.
Нетрудно проверить, что функция
, л_Ф(х + а)+Ф(х-а), 1 ",
B5)
B6)
B7)
где ф(-*) и "^(.г)— нечетные щтодолжепия ср(х) и \\i\x) удовлетворяет услови-
условиям B2) - B4). Последнею формулу можно записать так:
y- для x>at-х>0-
B8)
<o(x+at)-<f(at-x) 1 '+?' . .
-^ Z--Li L+— j \/{y)dy, для at>x, x>0.
Далее решение задачи B5) - B7) будем искать в форме
n{x,l)=f(x-at).
Определим функцию / из граничного условия

46 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
откуда
Однако эта функция определена лишь в области х — at < О, так как yiytj опре-
определена для t > О. Чтобы найти w[x, tj для всех значений аргументов, продол-
продолжим [i(t) на отрицательные значения t, пола!ая |.i(/)=0 для t<0. Тогда
функция
n{xj)=Jt--\ B9)
будет определена для всех значений аргументов, и будет удовлетворять пу-
пулевым начальным условиям.
Теперь формулы B1), B8) и B9) дают решение исходной задачи A7),
A8)Д20):
I л'«' . .
+— I \f(y)dy, для at<x,
x) ®(x+at)-®(at-x) 1 v+i" . .
\i\t— +-^ ^-^ Z+— J \\i(y)dy, для at>x.
Аналогично может быть построено решение задачи A7), A9), B0).
Отметим, что для этого начальные данные надо продолжить четным образом.
2. Задача для ограниченного отрезка. Здесь мы на примере следую-
следующей задачи:
дГ
при
dt
«(/.0=0,
/, t>0,
C0)
C1)
C2)
II. Гиперболические уравнения 47
покажем, как строить методом продолжения решения краевых задач для
уравнения колебаний.
Будем искать решение задачи в виде
где функции ф и f, подлежащие определению. Начальные условия C1) оп-
определяют Ф и 4* на интервале (О,/):
Ф(х)=ф(х), Ч-(д:)=?(дг).
Чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, наложим на
функции Ф(х) и У(х) требования нечетности относительно точек х = 0 и
т.е. Ф и *? являются периодическими функциями с периодом 21. Не-
Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно начала коорди-
координат и условия периодичности определяют Ф(х) и Т(х) на всей прямой.
Подставляя их в формулу C3), получаем решение задачи C0) — C2).
Задачи
1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным от ну-
нуля лишь на интервале (с,2с), имеющим форму ломаной с вершинами в точках
с, -с\ 2с. Построить (начертить) профиль струны для моментов времени
2. Бесконечной струне сообщена только на отрезке -с<х<с попереч-
поперечная начальная скорость v0-const. Решить задачу о колебании этой

48 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
струны. Построить профиль с 1 руны для момешов времени
Г,=—к, к = 1,2,3.
2а
3. Решить задачи:
а) игг=их^+6; и
/_0=х , ut
б) ип =ип +е>', и\(_0=sin х, uf\t_(j=x+cosx;
в) utt=9 uu.+s\n х; и /=0=1, ut /=0=l.
4. По.лубескопечпая струпа с жестко закрепленным концом возбуждена на-
начальным отклонением, отличным от нуля лишь на отрезке (с,3с\, имеющем
форму ломаной с вершинами в точках с, 2с, Ъс. Начертить профиль струны
для моментов времени tk = —к, к = 2,4,6.
2а
5. Какие линейные уравнения с постоянными коэффициентами вида
а1уиКХ + 2а12их1 + аг2ип + Ьхих + Ь2иг +си = 0
имеют решения:
а) в виде произвольных бегущих волн f[x — at), где a—const;
б) в виде произвольных бегущих волн с затуханием е~ш/(х - at).
Лекция 6. Метод разделения переменных на примере
уравнения колебаний струны
Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из
наиболее распространенных методов решения уравнений с частными произ-
производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях
струны, закрепленной на концах.
II. Гиперболические уравнения
§1. Уравнение свободных колебаний струны
49
И так, рассматривается следующая задача: найти функцию u{x,i) та-
такую, что
аи
—-
аи
,
8х2
u(p,t)=O, u(l,t)=0, t>0,
A)
B)
ot
Уравнение (I) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений
также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число
частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с неко-
некоторыми коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу:
Найти решение уравнения (I), удовлетворяющее одпородпограпичпым усло-
условиям B) и представимое в виде
u(x,l)=x(x)T{l). D)
Подставим предлагаемую форму решения D) в уравнение A), получим:
или, после деления на ТХ,
Т" 2 X"
— = а ,
Т X
E)
Правая часть равенства E) является функцией только переменного х, а ле-
левая — только t, поэтому правая и левая части равенства E) при изменении
своих аргументов сохраняют постоянное зпачепие. Это зпачепие удобно обо-
обозначить через -Ха2,т.с.
Т" -у X" 2,
— = а = —а к,
Т X
(б)

50 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Из соотношения F) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
для определения функций Х(х) и T(t)
X"(x)+VC(x)=0, G)
T"(t)+a2XT(t)=0. (Ю
Граничные условия B) дают".
u@,t)- X@)T(t)= 0, «(/,?)= X(l)T(t)=Q.
Отсюда следует, что функция Х\х) должна удовлетворять дополнительным
условиям
Х@) = Х(/)=0. (9)
Таким образом, мы приходим к простейшей задаче о собственных зна-
значениях;
Найти те значения параметра X, при которых существуют нетривиаль-
нетривиальные решения задачи G), (9).
Формулированную таким образом задачу часто называют задачей
Ш турма—Л иувилл я.
Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр X отрицателен, равен пу-
пулю или положителен.
1. При X < 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно
общее решение уравнения G) имеет вид
Граничные условия (9) дают
с, +с2 =0, схеа +с2е~а0, а - /V- X ,
т. е.
е - е~ }= 0.
Далее так как а > 0, то еа — е~а ф 0, поэтому
С]_ = 0, с2 = О
и, следовательно, А"(х)=О.
II. Гиперболические уравнения 51
2. При 1 = 0 также не существует нетривиальных решений. Действи-
Действительно, в этом случае общее решение уравнения G) имеет вид
х(х)=С\Х + с2.
Граничные условия (9) дают
с2=0, с,/ = 0,
т.е. с, =0, и с-, =0 и, следовательно, Х(д')=0.
3. При X > 0 общее решение уравнения G) может быть записано в виде
Х(л")=С| cos ¦'A x+c2sin\fk х.
Граничные условия дают:
с,=0, c2sinV^/=O.
Если х(х) па равно тождественно пулю, то с2 Ф 0, поэтому
где к-любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи
G), (9) возможны лишь при значениях
а именно, существуют ненулевые решения
Х„(х)=яп—х.
Этим же значениям Хп соответствуют решения уравнения (8)
, ч гт пк
Tn\t)A.ncos —a t+Bnsm —at,
где Ап и Вя -произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче A) - C), заключаем, что функции
/ Ч "^ / \ТТ / Ч ( А П"К Т, > П^ \ . ПИ
и(хч t\=X(x)T(t\=\ A cos—я/+Вя5ш—at sin—х
v ' v ' v ' \ I \ ) I

52 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
являются частными решениями уравнения A), удовлетворяющими гранич-
граничным условиям B).
Обратимся к решению задачи A) — C). В силу линейности и однород-
однородности уравнения A) сумма частных решений
^^l^ A0)
^siv
1I
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям B). Далее по-
потребуем, чтобы функция A0) удовлетворяла начальным условиям C)".
A1)
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и
кусочно-дифференцируемая функция fix), заданная в промежутке 0< х < I,
разлагается в ряд Фурье
/(*)=?Кsin^т-х, где Ь,=^\/ЩбЬ^ dt,. A2)
'i=l / I о I
Если функции tp(-v) и \\i\x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье,
то, учитывая A2), из A1) находим, что
An=— ftp(^)sin—?, dt,, B((= fv[/(?)sin—t, d\ . A3)
Используя сведения из гармонического анализа, нетрудно доказать
следующее предложение;
Теорема. Пусть <p(-v)e C2([0,/]), V|/(-t)e С]([0,/]), кроме этого, ср(л) имеет
третью, а \\i\xj—вторую кусочно-непрерывную производную и выполнены
соотношения ф@) = <р(/) = 0, ф"@) = ф"(/) = 0, \\i\0) = \\i\l) = 0. Тогда сумма
ряда A0) с коэффициентами, определенными формулами A3), является ре-
решением задачи (I) — C).
II. Гиперболические уравнения 53
§2. Неоднородное уравнение. Общая первая краевая задача
Рассмотрим неоднородное уравнение колебаний
t>0 A4)
f(,),
dt дх
с начальными условиями
»(x,0)=cpD ^fe2) = vD 0<х<1, A5)
dt
и однородными граничными условиями
u@,t)=0, u(l,t) = {). A6)
Будем искать решение задачи в виде разложения в ряд Фурье пох
u(x,t)= Z"„(/Jsin—х ,
A7)
рассматривая при этом t как параметр. Представим функцию f(x,t) в виде
ряда Фурье:
Подставляя ряды A7) и A8) в исходное уравнение A4)
видим, что оно будет удовлетворено, если все коэффициенты разложения
равны
Для определения un(t) мы получили обыкновенное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами. Далее начальные условия A5)
дают:
)X «F'@)sin—x

54 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
и, следовательно,
Ф„=ыл(о), \fn=K@)-
Условия B0) полностью определяют решение уравнения A9), а именно
,. ппа I ппа I К , . ппа, .,
uH(t\=tyncos 1+ V/7sm 1+ J/i(T)sin v~x) "T B1)
/ nna l пппц I
Таким образом, искомое решение задачи A4)-A6) согласно формулам A7),
B1) запишется в виде
пка I . ппа
I ппа " I
1 t /¦ / \ ¦ fin а{ ч , . п71
+ \Jn\x)&\n—-—[l-x ) dxWn—х,
где величины <р„,\|/„ и /„(т) вычисляются посредством A8) и B0).
И в заключение мы покажем, как общую первую краевую задачу для
уравнения колебаний:
ы(х,/)=х]фяс
/
^ 4
at1 дх1
B2)
B3)
привести к краевой задаче с однородными граничными условиями A4)—A6).
Для этого носфоим функцию V\x,t) для ко юрой выполняются гра-
граничные условия B4). Например, возьмем функцию, линейную относительно
переменной х
V(x,,)=A(,)x + B(,).
УсловияB4)дают
Следовательно
II. Гиперболические уравнения
Г
Теперь введем новую неизвестную функцию и(хд), полагая
u(x,t)=y(x,t)+v>{x,t). B5)
Далее подставляя функцию B5) в B2) - B4), получаем краевую задачу
для определения и(х,/):
of дх
t>0,
и@,»)=0, и(/,г)=0.
Здесь
)- Ш @) -f bii@)- ц'2(
Задачи
1. Решить следующие смешанные задачи:
2. Решить следующие смешанные задачи:
б) ии +2и1 =У^-и, 0<х<п; и =и =0; и л=пх-х^

56 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
в) и(г =ии.+и, 0<.т<2; и _ = 2t; и _,=0; и _ =и\ = 0.
3. Решить следующие смешанные задачи:
a) nu-ni:i+2u{ = 4х + 8Г cosx, 0<.т<—; ux\^_(j=2t,
и\ _п_ =nt\ u\ = cosx, и\ = 2х;
б) ии -u^-2ut = 4;(sin-x), 0<х< —;
и\. =3; и,\ =x + sinx.
4. Решить задачу о продольных колебаниях однородного стержня при произ-
произвольных начальных данных в каждом из следующих случаев;
а) один конец стержня [х = ()) жестко закреплен, а другой конец [х = /)
свободен;
б) оба конца стержня свободны;
в) один конец стержня (х = 0) закреплен упруго, а другой конец (х = /)
свободен.
Лекция 7. Метод Римана
§ 1. Задача Кош и и ее решение по методу Римана
Рассмотрим уравнение
дхду
о у
A)
К такому виду, как мы видели, приводится любое линейное гиперболи-
гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными.
Пусть на плоскости х, v задана кривая АВ, которая пересекается не
более чем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат и на ней
заданы две функции ф и у.
II. Гиперболические уравнения 57
Задача Коши состоит в следующем: 1ребуе-1ся найти решение уравне-
уравнения A), удовлетворяющее на кривой АВ условиям
ди
дп АВ
где п означает дифференцирование по нормали к кривой АВ.
Наряду с уравнением L(u)=Q рассмотрим сопряженное уравнение, ко-
которое определяется следующим образом:
,*/ ч 02d с?(яи) д(Ьх>) л
дхоу с д
ду
C)
Нетрудно непосредственным дифференцированием проверить сле-
следующее тождество
,/ ч ,*/ ч 1 д ( он до ~)
DLiu j — iiL (и) = — и — и ь 2аи и +
W К ' 2дх\ dv dv )
i a ( ей ' ао ' 1 D)
+ — — и — -и — + 2buv \.
2ду{ дх дх )
Возьмем теперь произвольную точку м(хо,у()) и проведем через нее харак-
характеристики х = хп, v = }'q, пересекающие кривую АВ соответственно в точ-
точках Р и Q (рис. 1). Обозначим через Q область ограниченную этими пря-
прямыми и дугой PQ.
У
О
л
м
-
р
п
У
в
—j Q
)

58 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Интегрируя обе част тождества D) по области ?1 и пользуясь извест-
известной формулой Грина, получим
E)
• 2/ ^ 5л- ах
i Bu du -i )j
+1 и и \-2au и Id у,
д v с? У J
где контур Г - гранипа области Q - состоит из трех частей: характеристик
QM и МР и дуги PQ.
Вычислим интеграл, взятый вдоль характеристик QM к МР.
Имеем
2
СП С' О I I 1_/ Л L/V^ I
и и — + 2buD \dх + \ и и — + 2аи v \d у =
1 r | ди 3d I ' r l LLI uu -, 1 , ,
= — и — -и — + 2bu v\d x + - I и — -и — + 2 и и a fif у =,/,
2U 5 O J 2л;Д 3.v ду ) '
так как вдоль ??^ меняется только х, а вдоль МР у.
Далее так как
ди 6и , 5 (wu) f ou
и w^~ + 2 о и и^—^—- + 2и\ о и
5х дх их у дх
F)
ди 0и „ с (ии) „ f си"]
и и — + 2 аи и = —-—-+ 2и\ а и L
ду ду ду ^ ду)
то выражение J представимо следующим образом:
G)
II. Гиперболические уравнения 59
Теперь, учитывая формулы F), G), из E) получаем следующее соотношение
/ \ (м и)р+(" и)о г Г, Эи) . г ( 3d) ,
[и и) = —- мои ад: 4- \u\au \dy +
К )м 2 JM I. дх) А- [ ду)
1,(8» So,,
, I ди So
rfv-
(8)
-\\[uL(u)-uf(u)\dxdy.
Пусть теперь и- решение задачи Коши A), B), аи- какое-нибудь
решение однородного сопряженного уравнения C). Тогда формула (8) может
быть переписана следующим образом:
(и»)Р+(иа)„ , (, Ой) ( Си
15SL \b\d
е
(ни) =-—-—-——- ju\bu- \dx+ \u \au-^—\dy+
(ин i/u _ , i, иU ОТ) Л ] .. „ ,
-\ и—-и—+26гуи ах+ и и— + 2 auv \d \>- ffu/ dxdv.
Рассматривая правую часть равенства (9), мы видим, что в интегралы
К")
Г Jbu-—)dx, I Jav- — )dy
qm { дх) рм \ ду)
A0)
входят неизвестные значения и, так как мы не знаем решения и на характе-
характеристиках QM и МР.
Следуя идее Римапа, исключим из формулы (9) эти неизвестные члены
путем выбора специального решения и сопряженного уравнения. А именно,
возьмем такое решение уравнения C), которое удовлетворяло бы следующим
трем условиям:
о и
1) bv = 0 на характеристике ОМ,
дх
2) — — аи = 0 па характеристике МР, (II)
3) и = 1 в точке М .

60 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Тогда интегралы A0) буду! равняться нулю, и равенство (9) перейдет в фор-
формулу Римана
и(м)=
(ии)Р +(ыи)е 1 r f ди
— и и \-2buv
¦}-*={ Яг Ят-
dx-
— и и \-2au\j \dy — [[vfdxdy
1 dv dv ' '
A2)
которая и дает решение задачи Копти, так как выражения, стоящие под зна-
знаком интеграла вдоль QP, содержат функции, известные на кривой АВ. В са-
л. г- ди ди
мом деле, функция и была определена выше, а функции и, — и — также
дх о у
определены на кривой АВ в силу условий B), а именно:
3_и
дх
ди
CU / \ б U / \| &ф / \ /
= cos(.v,_y)+ cos(n,_x) =—-cos(,v*)+V|/cos(п
д
где производная но направлению касат^шной к кривой АВ.
д s
Рассмотрим природу решения и сопряженного уравнения C), удовле-
удовлетворяющего условиям A1). Это решение является функцией двух пар пере-
переменных; текущих координат х,у и фиксированных координат Xq,}'q точки
М . Поэтснму, если ввести обозначение
то условия A1) могут быть переписаны таким образом:
1)
= Ъ{х, Т'о)и(х, ко;л-(),>'о) на характеристике QM ;
= а(х0,у)фа,у;ха,у0) на характеристике МР;
3) ъ(х(),уо;хо,уо)=1.
II. Гиперболические уравнения 61
Отсюда путем интегрирования получаем
и(х,у0;х0, v0) = ех° , и(х0,у;х0,у())= еУ0 . A3)
Решение \j[x,у;х^,у()) сопряженного уравнения C), удов]тетворяющее усло-
условиям A3), называется функцией Римана. Эта функция не зависит ни от дан-
пых Коши B) па кривой АВ, пи от вида этой кривой.
Изложенный здесь метод Римана приводит решение задачи Коши к по-
построению функции Римана u(.v,}','Xq, Vq). Можно доказать существование и
единственность функции Римана.
Сделанное выше предположение о том, что прямые, параллельные
осям, т.е. характеристики, пересекают линию АВ не более чем в одной точке,
является существенным. При невыполнении этого условия задача Коши A),
B), вообще говоря, неразрешима.
§ 2. Пример
Решим, с использованием метода Римана, следующую задачу: найти
функцию и(х,у) такую, что
-< б U
о у1
A4)
'СО- <15)
Уравнение A4) является гиперболическим при х у Ф 0, так как
Д=х2/>0.
Согласно обшей теории (см. Лекцию № 2) составляем уравнение характери-
характеристик
х d у" — v d х" = О
х d у + у d х = 0, .v d у - у d х = 0.

62 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Интегрируя эти уравнения, получим
ху = С„ ^ = С\.
Следовательно, нужно ввести новые переменные ?, и г\ по формулам
^ = ху, г)=^.
X
Тогда
A6)
ду2 ' д%2 д^дт) х2 дт\2'
Подставляя значения вторых производных в уравнение A4), мы приведем его
к каноническому виду
2Z,
A7)
Прямая у = 1 в новых переменных будет иметь вид равнобочной гиперболы
(рис. 2)
>;г, = 1. A8)
Далее из соотношений
Q (трг, У M(i0, n,,) jc = /i, у = ^ц ясно, что
1 б и \ д и
'л=1 ~2а^ + 2^а7
\
о х Ivy
Рис. 2 ^
Следовательно, в силу условий A5) имеем
II. Гиперболические уравнения
63
Полагая в формуле Римана A2) а = 0т6= , / = 0,получим
w(?.niTift)=
1 rf a« аи wuV,
— и и — -—\dc-
2ф{ с% д\ %)
о и д о
> — - и —
B0)
B1)
dr\ dr\J
Далее функция Римана u(?,r|/?,0 ,т|0) удовлетворяет сопряженному уравне-
уравнению
Я2п 1 C^V)
г-,—= 0 B2)
и следующим условиям на характеристиках:
и(^ло;^о,ло)= I— на MQ, и(^0.Л;^оЛо)=1 на мр- B3)
Легко убедиться, что функция
удовлетворяет уравнению B2) и условиям B3).
Подставляя A9), B0) и B4) в формулу B1), получим
?2 ™ ?2
Возвращаясь к старым переменным хну, получим решение задачи A4),
A5):

64 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Задачи
Решить методом Римана следующие задачи:
1. и х v + 2 wv + и v + 2 и = 1, 0 < х, у < 1; и
2. xyuxy + xux - yuv -u =2y, 0< x,y <x>;u xv=] = 1 - y, uy
3. uKV + -, Ль1х +uv)=2, 0 < x,y< со/
2 2
4. и -и +-к —и =0, х ->! < 1, х + v -2 < 1;
= ul(x\ w0eC2@,2) щеСЧО,!).
5. 2tiIV -e~"!wvv — 4%, -co<x,у < +co; и у=х=х:> cos x,
=i = x ¦
д.у=] = д: - 1.
Лекция 8. Метод каскадного интегрирования Лапласа
Цель настоящей лекции - изложить результаты Лапласа, касающиеся
интегрирования линейных гиперболических уравнений второго порядка с пе-
переменными коэффициентами
С + а(х, у)— + b(x, у)— + с(х, у)и = /(х, у). A)
дхду дх ду
Для уравнения канонического вида A) характеристиками, очевидно,
служат прямые, параллельные координатным осям. Легко видеть, что из всех
преобразований
такие прямые в себя переводят только преобразования вида
B)
II. Гиперболические уравнения 65
Такие преобразования сохраняют класс уравнений A) н могут быть исполь-
использованы для дальнейшего упрощения уравнения, приведенного к канониче-
канонической форме. Уравнение A) в результате преобразования B) переходит в
уравнение
-^- + afy,\\j)^- + Ьг (ф, \\})-^- + сх (ф, \\,)и = f\ (фл|/),
коэффициенты которого имеют вид
а _Ь _ с f - f
\\j' ф' Ф V Ф'у'
C)
§1. Преобразования неизвестной функции
Рассмотрим сдвиг
и(-т, у) = и{х, у) - а{х, у)
неизвестной функцни и{х,у) в уравненни A) на некоторую заданную функ-
функцию а(х,у). Легко видеть, что новая неизвестная и(х, v) удовлетворяет урав-
уравнению
Э^о dv , си
+ а— + о-^— + си = f -
дхду дх о у
5-ст до ди
+ а— + Ь— +сс
дхду дх д у
Из последней формулы видно, чю если в качес!ве а выбрав какое-нибудь
решение Uq[x, v) уравнения (I), то в результате сдвига получится уравнение
с нулевой правой частью. Поскольку действительную трудность в теории
уравнений с частными производными представляет не описание какого-
нибудь частного решения, а нахождение общего решения или решения, удов-
удовлетворяющего заданными начальным или граничным условиям, можно счи-
считать, что всякое уравнение A) сдвигом приводится к канонической форме
—— + а[х, у)— + Ь(х, у)— + с(х, у)и = 0.
д х д у д х о у
D)

66 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Другое часто применяемое преобразование для уравнений типа A). со-
сохраняя прежние независимые переменные х и у, заменяет неизвестную
функцию и(х,у) повой неизвестной о(х, у), связанной с и(х,у) соотношени-
соотношением вида
и{х.у)=К{х,у)ф,у), E)
где >.(;<:, _у)-некоторый известный множитель.
11ростое вычисление показывает, что преобразование E) переводит ка-
каноническое уравнение D) в новое каноническое уравнение
-^^ + al{x,y)— + bl(x,y)— + cl{x,y)v = Q,
oxcy дх ду
F)
и = а + —^— In X,
ду
с, =с + а,Ь, -а Ь
1
G)
дхду
Эти формулы G) показывают, что для того, чтобы уравнения D) и F)
были связаны преобразованием E), необходимо и достаточно, чтобы сущест-
существовала функция X, такая, что
Я " Я2
1пЛ,.
а -а = —^— In Л,, b}-b = —\пХ, с, -c = a/j] -ab +
ду ду дхду
Из чтих соотношений находим, что
д{а{ -а)_д(Ьх -Ъ)
= с] -с - axbx + ab,
или же, из равенства первой и в трон частей третьей
дх
ob.
дь
1 - Сл = — л- ао — с
II. Гиперболические уравнения 67
Если условия (8) выполнены, определение множителя X не представ-
представляет уже никакой трудности. А именно, замечая, что тогда
o(bl-b)=d(al-a)
д у д х
и выражение
(uj -b)dx + {al -a)dy
является полным дифференциалом, мы получаем для определения X
формулу
X - ехр {[(/?, -b) dx+(a} -a) dу].
Таким образом, доказано утверждение.
Лемма. Для того чтобы два уравнения канонического вида D) и F) были
приводимы одно к другому посредством некоторого мультипликативного
преобразования типа E), необходимо и достаточно, чтобы величины
п = v ао — с. и к = — Л- о а —с
дх ду
имели для обоих уравнений одно и то же значение.
Следствие. Уравнение D) заменой E) сводится к уравнению = 0, если
дхду
и только если h = k = 0.
Согласно лемме, функции h и к являются (абсолютными) инвариан-
инвариантами группы преобразований вида E). В литературе их обычно называют ин-
инвариантами Лапласа уравнения D).
Легко видеть, что инварианты h н к переходят один в другой при пе-
перестановке х и у. Выясним, как h н к меняются при заменах переменных
вида B). Дифференцируем две первые формулы C), находим, что
да, _ 1 да 36, _ 1 ob
бф ф'у' ох с\|/ ф'у' 5у

68 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Используя эти равенства и формулы C), получаем
h . к
hi = к\ =
ф'(х W'fy) Ф '(^- АК' 0-' J
Выражаясь научно, A0) означает, что h и к являются относительными инва-
инвариантами веса 1 группы преобразований вида B). Лемма и формулы A0) по-
показывают, что отношение инвариантов Лапласа к I h представляет собой (аб-
(абсолютный) инвариант как для преобразований E), так и для преобразова-
преобразований B).
§2. Преобразование Лапласа
Уравнение D), в зависимости от того, какой из двух инвариантов Лап-
Лапласа к или h желательно выделить, можно записать в двух равносильных
формах:
д~и ди ди (да , , , , l. , ц t, , ,
ь а — + b ь — + аЪ - h \и=\ ь b va \u -hu = 0,
дхд у дх ду удх J уд х ){ д у
д2и ди ди (дЪ | | w и L, |
I- а — + Ь — + — + ub - к \и = \ — + а — + о \и - к и = 0.
дхоу дх ду [ду ) [д у ){дх
Поэтому уравнение D) эквивалентно каждой из систем
— + а \и = и,, — + b lu-, - Ни =0,
ду I (ох
A1)
— + b \и = ы_,. \ — + а и_, - ки = 0. A2)
дх ) {ду )
Формулы A1), A2) показывают, что если хотя бы один из инвариантов h, к
тождественно равен нулю, то уравненне D) интегрируется в квадратурах.
Действительно, если й = 0, то второе из уравнений A1) становится
обыкновенным линейным дифференциальным уравнением относительно не-
неизвестной w,. Интегрируя его, получаем
II. Гиперболические уравнения 69
Используя метод вариации постоянной, из первого уравнения находим:
и = exp(-ja d}-)[x(x)+ }F(y)exp(|(a dy-b dx)) dу],
где Х\х) — произвольная функция переменного х, а У - переменного у.
При к = 0 из A2) аналогичным образом получаем формулу
и = ехр(-|6 dx)[Y(y)+ К(х)ехр(|(/> dx-a dy))dx\ .
В случае h = к = 0 уравнение D) эквивалентно уравнению = 0
д хд у
(см. следствие леммы) и поэтому
и =exp(-J(i dx+a dy)\x(x) + Y(y)).
К несчастью, очень редко оказывается, что h = 0 или к = 0! Однако и в
более общей ситуации может оказаться полезной запись уравнения D) в виде
одной из систем A1) или A2), поскольку она позволяет преобразовать задан-
заданное уравнение в два других уравнения вида D), одно из которых, в свою оче-
очередь, может иметь один из инвариантов Лапласа равный нулю. Соответст-
Соответствующие преобразования называются х- и у- преобразованиями Лапласа.
X —преобразование задается первой из формул A1) и состоит в переходе от
неизвестной и к неизвестной их.
Если h ф 0, то второе из уравнений A1) можно переписать в виде
A3)
Подставляя это выражение вместо и в первое уравненне A1), получим
(ду \h\Sx ' '
1 д2и, 1 д h ди, Ьди, 1 д Ь ад и, ah \ dh ,
^—I—^ -л -л и. л -л и. аи. —и. =
кдхду к- д у д х hdy ltd у hdx h h ду
й2и, ! 1 ch'Nu, ди, fob ( 1 dh\ A
— + \ а —*- + b —*- + ь а \Ь - h \u
dxdv { hdyjdx dv (д v ( hdy) J

70 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Аналогично, если 6^0, то, пользуясь A2), получаем
дх
а у
11 э V,
а \и_, - и, =
1 дк )ои_
~к~дх)~ду
да 1 дк)
— + b \а-к \и
дх { кдх
к I ахд \
Булем обозначать результат х- и ^-преобразования Лапласа соответ-
соответственно через Et и E_t, и записывать в более компактном виде:
дх
ох8у
д у
+ cl{x.y)ul =0,
c_](x,y)u_x =0,
д
| = а In h,
с у
y = b,
_y =b —Ink,
дЪ
x + — - h,
о а
ь к.
дх
(H)
Используя A4), нетрудно найтн инварианш Лапласа для уравненнй Е-\
иЯ_,:
к =2 h-k In A, h.=kt
1 дхду ~]
A5)
t =h, к , =2 k-h —
-\пк.
и х о у
№ формул A5) следует, что если к уравнению Ех применить у - преоб-
преобразование Лапласа, то результат будет иметь исходные инварианты Лапласа h
и к . Но выше было доказано, что если два уравнения вида D) имеют одинако-
одинаковые инварианты, то они связаны заменой вида E). Следующая выкладка
/ ч ( д ,| д2и Он 0а ,(си \
[и, ) , = — + к \и, = ь а — + и — + о — + аи \ =
V Ul {дх 1) ' дхду дх дх (оу )
дх
показывает, что коэффициент пропорциональности в E) совпадает с h~x.
II. Гиперболические уравнения 71
Аналогично проверяется, что в результате применения к Е_}
х- преобразования получается уравнение, связанное с исходным уравнением
Ео заменой E) с Х=к~1.
Важно отметить, что ввиду A3), если нам удалось тем или иным спосо-
способом проинтегрировать уравнение Е}, то мы решим и исходное уравнение ?.
Аналогичным образом уравнение Ео связано и с Е_х. А именно, переписы-
переписывая второе из соотношений A2) в виде
и = —\ ьа Iи ¦
Иду
A6)
мы получаем формулу для решений Ео, если нам известны решения Е_х.
Выше было показано, что применение к Е1 у- преобразования, факти-
фактически, приводит к исходному уравнению Еп. Однако, если hx Ф 0, то приме-
применяя к ?[ х- преобразование Лапласа, мы приходим к некоторому новому
уравнению Е-,. Аналогично, с помощью v-преобразования мы, исходя из
Е_{ строим уравнение ?_-, и т.д. Таким образом, мы имеем целую двусто-
двустороннюю последовательность уравнений
.„,Е_Ъ,Е_2,Е_Х,Е{),ЕХ,Е2,Е^.„, A7)
не обрывающуюся с той или другой стороны, до тех пор пока, возможно, не
встретится уравнение, однн нз инвариантов которого тождественно равен ну-
нулю. Этн уравнения находятся в такой взаимной связи, что, проинтегрировав
любое из них, мы проинтегрируем и все другие. В частности, если цепоч-
цепочка A7) обрывается хотя бы в одну сторону, то для крайнего из уравнений це-
цепочки однн из инвариантов Лапласа равен нулю. Согласно результатам, по-
полученным выше, это уравнение интегрируется в квадратурах, а затем с по-
помощью формул типа A3), A6) находятся решения всех остальных уравнений
цепочки A7) и, в частности, исходного уравнения Яо. Этот способ интегри-
интегрирования уравнений вида D) называется каскадным методом Лапласа.

72 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Часто построение последовательности A7) оказывается полезным при
исследовании уравнения Eq даже в случае, когда она оказывается бесконеч-
бесконечной в обе стороны. При этом, как правило, можно обойтись без явного нахо-
нахождения коэффициентов уравнений Е/ н ограничиться изучением последова-
последовательности инвариантов, соответствующих уравнениям A7). Выше было пока-
показано (см. формулу A5)), что kl+l =ht. Поэтому достаточно рассматривать
только последовательность
... , й_з, h_2, h_}, h = h§, /z|, h7, h^, ... .
Из формул A5) следует, что ее элементы можно вычислить с помощью ре-
рекуррентной формулы
д2
А.+1 =2/7. -/(._, In к, /eZ,
д х д у
исходя из начальных значении
h_] = к, h{) = h.
Задачи
1. Найдите инварианты уравнения {Еп\ если исходное уравнение имеет вид
«Р У п
л , I Til ' Til ' T i I 1
где а, р„ у - постоянные.
2. Покажите, что если уравнения (Ео) и (Я,) имеют одни и те же инвариан-
инварианты, то каждое нз ннх заменой переменных прнводится к виду и vv = и.
3. Покажите, что если инварианты уравнения \Е^) совпадают с инварианта-
инвариантами исходного уравнения (-?())> то
— \п(И-к) = 0
дхду К }
II. Гиперболические уравнения 73
и после соответствующей замены независимых переменных л--о-/(х),
„v^-Hp(,y) величины h и к являются решениями уравнения
д'со
= sin со.
дхду
4. Покажите, что если для некоторого уравнения h2 = к, то существует заме-
замена переменных вида х <-> f(x), У *-> g\y)s B результате которой получается
уравнение с к2 = h.
5. Уравнение
б" и о~и _,/ \ди / \ди ( ¦.
—- + —- + 21{х.у)— + 2т{х, V) \-п[х,у)и = О
дх" Ьу- ' дх ' 6у
подвергается замене и = Х[х,у)и. Докажите, что величины
01 dm dl dm 2 2
J = , А = 1 ь / + т -и
д у дх дхду
сеть инварианты этого преобразования.
Лекция 9. Уравнения, интегрируемые каскадным методом
Лапласа
§1. Каскад Лапласа
Как было показано на предыдущей лекции, х- преобразование Лапласа
генерирует из исходного уравнения Et)
д2и i \ди , ,ди / \ п
+ а[х,у)— + о[х,у)^— + с[х,у)и = О
8x0 v дх ду
уравнения Ei вида
д и- ди, ди:
+ а-{ + Ь; + с-, iii =0, i = 1,2,... ,
дхду дх д v
B)

74 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
коэффициенты н инварианты которых связаны между собой соотношения-
соотношениями:
д . i , , , db, ,
а.=а. , In к ., Ь=Ь. ., с.= а.о. + —- - п. .,
1 " ду " ' " ' " ду "
C)
Здесь й(| =а, bo=b, cQ=c. Аналогично, у-преобразование Лапласа дает
цепочку уравнений ?"_•:
Э'и
Oil; т О U.
— + а ¦ - + Ь , - + с -и ¦ =0,
бхду дх ду
D)
l l д 1 / l & а - ,
а . =а ., о.=о. 1пя ., с . =а . .о . . + —-к .,
' ' ' ' ' ' Эх ' ' ' ' дх
h . .=к ., к . =2к -h . In А- , / = 0 1 2,...
' ' ' д х о у '
E)
В виде систем первого порядка уравнения A), B) и D) записываются
в виде:
—+ а- L =ui+l, — + b [ui+l -hiui =0, F)
By j {дх
-^— + b_- \u_ = и_-._,, -^ + a \u_-_, -k-u_ =0. G)
дх ) [ду
Отметим, что инварианты Лапласа ht и к} уравнения E-t вычисляются по
формулам
А+| -2 hk -hk_} In Аь к е Z,
б J 5 j
кк+] =hk> k = h-\, h0 =h.
Здесь h и к -инварианты Лапласа уравнения Е{).
II. Гиперболические уравнения 75
§2. Явные формулы для решений
Как уже отмечалось выше, зная решение ип уравнения Еп, можно най-
найти решение и исходного уравнения Ео, не прибегая к операции интегриро-
интегрирования. Чтобы найти формулу, связывающую эти решения, перепишем второе
из соотношений F) в виде
\( д Л
и,- — — — + о г/;, 1.
Выражая с помощью этой формулы ип_х через и„, ип_2 через иЙ_х и т.д.,
приходим к формуле
h\ox
о
Поскольку
д -\bdx д \bdx
Ox Dx
(9)
последнюю формулу можно перепнсать в виде
[ь<1х 10 15 1 д I ibdx \
ые- = — \i'ne )¦
h дх й| бх /?„_| дх
Аналогичным образом получаем из соотношения G)
Шу 15 15 1 5 / !а(,у )
к ду к_} б у к}_т дуК '
Формулы (9) и A0) важны при интегрировании исходного уравнения
Efj каскадным методом Лапласа. Пусть hn = 0. Тогда из F) получаем
и„=е^"-")[х(х)+ Jr().>'(""''J-"")dy], (И)
где X и У" - произвольные функции переменных х и у соответственно. Вве-
Введем обозначения

76 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Тогда
и„ =a(x + lY$dy).
Подставляя это выражение для ип в (9), получаем, что и имеет вид
и = А(х+ \Y$dy)+Al\X'+ \Y^-dy ] + ••• + Ап\ Х{"К \Y^- d yV
\ dx ) \_ Ox" )
где А,А\,...Ап -заданные функции от х и у, а X ¦' -производная порядка
т произвольной функции Л'(х). Так как К-произвольная функция, то, пола-
полагая Y = О, мы имеем следующее специальное решение:
и-АХ + АхХ' + ... + АпХ[п). A2)
Итак, если инвариант я-го порядка hn тождественно равен нулю, то исходное
уравнение Et) A) имеет специальное решение A2), где Х[х) -произвольная
функция.
Можно доказать, что если для уравнения Ео ряд Лапласа обрывается в
обе стороны, то общее решение является суммой двух специальных. А имен-
именно, справедливо следующее утверждение:
Теорема. Пусть для уравнения (Г) hs -k_r -0. Тогда общее решение данного
уравнения представило в виде:
и = АХ + АХХ' + ...+ AflX{n] + BY+BiY' + ...+ BmY^'\
Здесь A,Al,...An,B,Bl,...Bm - некоторые конкретные функции, а X и
Y -произвольные функции переменных х и v соответственно.
§3. Уравнение Эйлера — Пуассона
В качестве примера применения каскадного метода Лапласа рассмот-
рассмотрим важное для приложений уравнение Эйлера - Пуассона
д2и р' ди р ди
дхду (х - у) дх (х - у) ду
A3)
II. Гиперболические уравнения 77
где р и Р' -некоторые постоянные. Следуя Дарбу, будем обозначать уравне-
уравнение A3) символом ^(р.р'). Сравнивая A3) с A), находим
х - у ' х - у'
Далее так как инварианты Лапласа уравнения (I) определяются по формулам
, да , ЗЬ
h = — + ab-c и к = — + ab-c,
Dx 0 у
то для рассматриваемого уравнения A3) имеем
[х-У Г {х-у)
Теперь из формулы (8) с помощью индукции нетрудно извлечь, что для цело-
целого п
где постоянные Ai связаны рекуррентными соотношениями
Ап+Х =2Ап - АпЛ +2.
Из A5) находим
Ап = {п + О^о ~ п А-\ + п{п + ')¦
Так как в соответствии с A4)
A5)
то окончательно имеем:
Итак, для любых целых п
A6)
A
h ^ к
{x-yf ' " (х-уI
Поскольку инварианты уравнения Еу$-п,Р' + л) совпадают с A7), то
результат «-кратного применения х-преобразования Лапласа к уравнению

78 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
?"(р,р'), согласно лемме (см. лекцию 8), дает уравнение, связанное преобра-
преобразованием вида
Второй факт, непосредственно вытекающий из формулы A7), состоит в
том, что уравнение Эйлера - Пуассона интегрируемо в квадратурах каскад-
каскадным методом Лапласа тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел р и
Р' является целым. В самом деле, в этом и только в этом случае hn = О или
k п= 0 для некоторого целого п.
Рассмотрим, например, уравнение
^) A8)
vxOy \x-y){Ox oyj
В этом случае p-p'--l и из A7) имеем hx -k_x - 0. Поскольку для уравне-
2
нияA8) h = k = - —, формулы C), E) дают
(х ~ У)
1 b 1
х — у х — у
Теперь нз формулы A1) получаем, что
и, следовательно, решение исходного уравнения A8) имеет вид (см. (9)):
-\bdx 1 д ( \hdx\
и=е т^Лще г-
(х) + ^Х'(х)- SY{y)(x-yYdy + (X-y)lY{y)(*-y)<fy. A9)
Полагая в формуле A9) Y[y) = 0, мы получаем специальное решение
и = ^ХЬ)-Х(х). B0)
II. Гиперболические уравнения 79
Совершенно, аналогично, используя формулу A0), получаем специаль-
специальное решение вида
Далее положим в формуле A9) Y[y) = — F'"(j). Тогда интегрированием
по частям приводим общее решение A9) к следуюшей форме
Таким образом, общее решение B2) уравнения A8) есть сумма специальных
решений B0) и B1).
Задачи
1. Докажите, что уравнение
-1—.ги=0
"¦ (х + у) ' (* + >•) ' (x + y
имеет решение вида
и-АХ л- А}Х' + ...+ А1?Х("К
где Х(х) - произвольная функция, если у = (а + л)(р - и - l), л-любое нату-
натуральное число. Найдите обшее решение для произвольного у при п = 1.
2. Проинтегрируйте уравнения:
а) иху + хиу + у и v + (l + х у)и = 0;
б) иv>, + mхих + nyuv +{2m- n + mnxy)u = 0;
в) uxv + myux + есу иу +{lc + my)ecy и = 0,
где /и, п, с-некоторые постоянные.
3. Покажите, что уравнение
и ху + х у их + п х z = 0, п - целое,
имеет решение вида
и- АХ + ЛХХ' + ...+ ЛпХ{п\

80 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где Х\х) — произвольная функция переменного х. Построить эти решения
для случая п = 2 и п = -1.
4. Проинтегрируйте уравнения:
а) и — и н— и и = 0, & = const;
ху у Y х v xy
б) uxv +\ \их --мг -—
VУ х~У) х ' х VУ х~У
в) игу -
(*->•) ' (х-у)
г«=0.
Лекция 10. Волновое уравнение. Формула Пуассона
В этой лекции рассматривается задача с начальными данными (задача
Коптя) для уравнения колебаний при отсутствии внешних возмущений.
=а2Аи, u=u(Mj)
of
A)
в неограниченном пространстве \М = М\х,у,z)). Здесь Д = ^-ч j-\ т
д х~ 8 у dz'
- оператор Лапласа.
§1. Частные решепия
Рассмотрим частные решения уравнения A), обладающие центральной
симметрией относительно некоторой точки JVf0, т.е. решения вида
u(M,t) = u(r,t\ B)
где г = ММ0 — расстояние между точками М и Mq . Для функции вида B)
результат применения оператора Лапласа в случае записывается в виде
л * ^2 ( \
Аи = -—zr\ru),
II. Гиперболические уравнения 81
в чем можно убедится дифференцированием. Поэтому уравнение A) прини-
принимает вид
32и _а2 д2 ,ч
Dt2 г дг2
Вводя теперь функцию
и = т, C)
получаем для нее уравнение колебаний струны
Э2и 2 Э2и
D)
8 Г дг*
Если функция u[r,t) ограничена при г = 0, то функция C) обращается
i нуль при г = 0, и@,/)=0. Поэтому задача Коши для исходного уравнения
1) с начальными данными
сводится к задаче о колебаниях полуограпичеппой струны @ < г < ос)
с закрепленным концом г = 0 :
—- = а , и(г,0)=Гф(г), —±L-l = ry(r), и@,?)=0, F)
df 8r~ at
рассмотренной в лекции 5.
Общее решение уравнения D) дастся формулой
и, следовательно,
где /i(?,) и /т(^) — произвольные дважды дифференцируемые функции. Ча-
Частные решения уравнения A)
1 г. ( Л 1 , ( г'

82 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
называются сферическими волнами: и,(г../) есть расходящаяся сферическая
волна, и2{r,t) - сходящаяся в точку г =0 сферическая волна, а - скорость
распространения волн.
Таким образом, общее решение уравнения A) в случае центральной
симметрии представляется в виде суммы двух сферических волтт.
Учитывая условие и@, /) = 0, находим f\ (/) + f2 (t) = 0 или
fi x ) =~f\ v ) JJiJ1 все^ значений t > 0, т.е.
a) r
при t> —
и, в частности,
«(o,t)=-f(t).
(8)
§2. Метод усреднения
Существует интегральное преобразование, существенно использующее
сферическую симметрию оператора Лапласа Д, которое сводит уравнение
A) к D). Этот классический метод решения принадлежит Пуассону. Мы при-
применим его для решения следующей задачи Коши:
R'\ t>0,
(9)
Предположим, что решение задачи (9) существует и пусть Мо (х0, >'о, z0 ) -
фиксированная точка.
Рассмотрим футткпито
u(r,t)= Mr[u] = —^—\\udsr, A0)
4яг Sr
являющуюся средним значением и на сфере sr радиуса г с центром в точ-
точке Мп.
II. Типерболические уравнения 83
Из A0) видно, что
i/(A/0,/) = «(<U). (И)
Покажем, что функция гп\г,t)= v(r,/), обладающая сферической сим-
симметрией относительно точки Mq, удовлетворяет уравнению D). Для
этого проектируем уравнение (9) по объему шара кг , ограниченного
сферой sr:
кг с Г к,.
Теперь, используя формулу Остроградского
A2)
для векторного поля A-grad«, соотношение A2) перепишем следующим
образом:
ди да
Здесь мы учли, что нормаль к sr направлена по радиусу и — = — . Далее,
бп дг
представляя шар как совокупность концентрических сфер, последнее соот-
соотношение можно представить так
A3)
A4)
Теперь, учитывая формулу A0), равенство (] 3) приводим к виду
О2 ', 2-1 \ j 2 ' dulr.t)
— Jp u[p,t)dp = a Г—^—'
Дифференцируя A4) по г и полагая v = ru , получим D). Следовательно, со-
согласно формулам A1) и (8), имеем
u(M^t) = u(^t) = -f\t) A5)

84 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Выразим / через начальные данные ф и у. Для этого продифференцируем
m(t\t)= f\ t + — - Л t - — (см. G)) по г и /
^ а) ' v а)
8 ,
3r
a J \ a
Из последних соотношений получаем, что
Далее полагая в A6) г-0 и г - a t, будем иметь
A6)
A7)
Здесь ф и у —средние значения функции ф и \|/ на сфере л'а, радиуса г = at
с центром в точке MQ, и наконец из A5) и A7) получаем формулу Пуассона
— (кр)+Л|/,
которую, учитывая A0). можно записать в виде
A8)
Мв/(ф) = —^ JJVrfs
4к a't iar ai
A9)
Из формулы Пуассона A8), полученной в предложении существования
решения задачи Копти (9), следует единственность указанного решения. В
самом деле, предполагая, что задача Коши имеет два решения г/, и и2, полу-
получим для разности начальные условия tp = 0, i|/ = 0. Применяя к функции
и[-и2 предыдущие рассуждения, приходим к формуле A8), в которой
Ф = 0, у = 0 и, следовательно, и = 0 или и^ и2.
Нетрудно доказать, что функция u{M(),t), определяемая формулой Пу-
Пуассона A8), в самом деле дает решение задачи Копти (9), если ср(х, y,z) ие-
II. Гиперболические уравнения 85
прерывна вместе со своими производными до третьего порядка, а
y{x,y,z)->\Q второго порядка включительно.
Из формул A8), A9) непосредственно видна непрерывная зависимость
решения задачи Коши от начальных данных. Действительно, опуская индекс
0 при Mq формулы A8),A9), можно представить так
u(x,y,zj)=—— t Г[ср(,т + д/Е,,у + аЩ, z +att)dsl
1 . е
ч \\iix + att,y + atr\. z
4n
B0)
Здесь sl -сфера, заданная уравнением ^"+г| +^~=1. Теперь вместо
функций ф и \|/ мы подставим в формулу B0) другие ф0 и \|/0, такие,
д х 8 х
ду ду
то решение и0 задачи Коши, как это вытетсает из формулы B0), для но-
новых начальнБтх данных будет мало отличаться от решения для старых,
ибо
р^ \a+tЬг
дх дх) \ °У
а<р<>
dz
3at)e.
Из последней формулы следует, что решение и задачи Копти (9) непрерыв-
непрерывным образом зависит от начальных данных па любом конечном временном
интервале.
И наконец, используя представление B0), нетрудно проверить, что эта
функция и(х,у,z,t)-решение задачи (9).

86 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Задачи
1. Пусть функция и{х, у, z,t) является решением задачи Копти
Доказать, что функция
utl=a2Au, u\
v(.x, у, z, t) = ju(x, у. z, т)с!т
является решением задачи Копти
vrt = а2А\>, v,=0 =0, v,|/=() = (p(x,y,z),
2. Доказать, что для существования решения задачи Коши
utT =a2Au, M(x,y,z)<=R3,
u\t=o=f(x)gbA ",|,=о=°
достаточно, чтобы функция g(y,z) бьтла гармонической и /(х)е с2(к).
Найти что решение.
3. Решить задачи:
а) ип = <з2(г/ы. +mvj +mz=), и /=q -ut t_Q -X2 + у2 +z2 ;
б) uft- a2(uxx+uvv+ii-\ , w|_ =
Лекция 11. Волновое уравнение (Метод спуска, метод
отражения, формула Кирхгоффа)
Явный вид решения и волнового уравнения в трехмерном пространстве
был получен в предыдущей лекции методом усреднения. А именно показано,
что решение следующей задачи Коши
32и _ 2\ ?2" с2и 82и | / ч „з
8t2 Q {8х2+ 8у2+ бг ) ^x>y'zfG
A)
B)
C)
II. Гиперболические уравнения
даегся формулой Пуассона
, а Г 1
u\x,y,z,t)= —— ^ (ТфС^ + Qt?>, У + cttx\, z + at^}ds н
н jj\\i(x + at^, у + atr\,z + att)ds,
где S — сфера заданная уравнением ?, +г\ + С, = I.
§ 1. Метод спуска
Чгобы получить решение двумерного волнового уравнения
д_^ = а2(с\ + с^Л
dt2 [ох2 ду2)
(уравнения колебаний мембраны), мы используем «метод спуска» Адамара.
Пусть и = и \х, у, () — решение уравнения D) с начальными условиями
/ ч / ч ди(х, v 0) /
и(х,у,0)=(?(х,у), Кд' ; = v(j,
E)
Тогда и можно рассматривать как решение задачи Коши (]), B) в специаль-
специальном случае, когда г/, ср, \|/ не зависят от z. Следовательно, решение задачи
D), E) согласно формуле C) вычисляется так:
н jj — —- d^d r\.
Полагая М(х,у), М'{х',у'), x' = x + att,, у' = у + atT\, последнюю форму-
формулу можно записать следующим образом
Я
<p(M')d x'd у'
ММ'

88 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§ 2. Метод отражения
Задача с начальными условиями для волнового уравнения в случае об-
областей, ограниченных плоскостями, может быть решена методом отражений.
Рассмотрим, например, задачу для полупространства z > 0 .* найти ре-
решение волнового уравнения
д2и _ 2(д2и д2и д2и~)
dt2 {дх2 ду2 dt2 )
удовлетворяющее начальным условиям
u(x,y,z$)=y(x,y,z)
и граничному условию
и (х, у,0, t)= 0 или ' ' ' ' = 0.
Решение этой задачи дастся формулой C), если начальные условия продол-
продолжить на вес пространство нечетно по z (при и [х, v,0, /)= 0)
Ф (х, у, z) = -ф (х, y-z); у (х, у, z) = -\|/ (х, y-z)
, du(x,y,Q,t)
или четно (при = 0)
ф (х, у, z) = ф (х, y-z); \\t (х, у, z) = у (х. y-z).
Проверим, что при нечетном по переменной г продолжении функций ф и \|/
граничное условие /; [х. у,0, t) выполняется автоматически.
В самом деле из C) следует, что
u(x,y,Q,t)= 'Яф(х + а t ?,,}' + atr\,att)d s +
+ — JJ\|/ (л: Н- at't, y + afr\, attyds = 0,
так как поверхностные интегралы равны пулто при нечетных функциях ф и \\i,
F)
II. Гиперболические уравнения 89
§ 3. Формула Кирхгоффа
Задача, которую мы рассмотрим в этом параграфе, - это задача с на-
начальными условиями для неоднородного волнового уравнения
д2и_а2(д2и | д2и | с
dt2 {дх2 ду2 dt- y
где «внешняя сила» /' - известная функция. Поскольку разность двух
решений уравнения F) удовлетворяет однородному уравнению, для
которого единственность установлена, то очевидно, что решение и
уравнения F) также определяется однозначно по начальным данным
B). Достаточно найти решение уравнения F) с начальными данными
вида
ди
— - 0 при / - 0.
dt
G)
Тогда решение с более общими начальными данными вида B) получится
прибавлением правой части выражения C).
Решение неоднородного дифференциального уравнения с однородны-
однородными начальными данными можно свести к решению набора задач с начальны-
начальными условиями для однородного волнового уравнения с помощью «интеграла
Дюамеля» (метод импульсов). Пусть v[M,t,s) для любого s > 0 обозначаем
решение уравнения
Э2о
дг
д и C~и д и
\сх" ду cz
удовлетворяющее начальным условиям
(8)
и = 0, ^ = f(M,s) при / = 0.

90 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Такая функция u{x,y,z,t,s) сушествуег и принадлежит классу С2, если
/ е С2. Покажем, что функция
u(M,t)=ju(M,t-s,s)ds A0)
о
и есть искомое решение задачи F), G). Действительно zv(M,0)= 0. Далее
—— = f — '-^-*-d s + v(M 0, A A1)
dt I dt \ • > > ^ t
Полагая в последнем соотношении t = 0, получаем, что - = 0. Итак,
dt
условия G) выполнены. Теперь из A0) и A ]) дифференцированием получаем
д ы -)\ д~и д~и д"и
—т -а~
dt2 (Зх2 о у2 dz2
dt
8t2
е2и е2и s2u
w + v + —T
дх- 8 у2 dz2
И, наконец, учитывая (8) и (9), приходим к равенству F).
Подставляя вместо и его представление в виде C), которое получается
при ф = 0, у = f(M,s), мы получим из A0):
llf( + (%y + ()T], + (t);,
4л s
Здесь мы заменим в формуле A0) параметр а- на т.
Полагая х' = х + a(t -х)%, у' = у + а(/-т)т|, z' = z + a{t -т)^, последнюю
формулу представим следующим образом:
' "-¦" г|?(„)П 'a2(t-,) "{'-X'
4ко- о rj;
A2)
-. ш пшА**1-'——wxdy'dz'.
II. Гиперболические уравнения 91
Таким образом, решение неоднородного уравнения F), удовлетворяюще-
удовлетворяющего начальным условиям B), является суммой правых частей формул C)
и A2):
и(Mj)- t\j(p{x + att, у + atT\,z + att)ds +
4я 811 s " J
— /Jh*(x + at?>> y+atr\,z + at?})ds
An v
h. f
f\M'.t-
M'M
dx'dy'dz'.
Формула A3) называется формулой Кирхгоффа.
При п — 2 формула A3) примет вид:
<t>(M')dx'cfy'
A3)
MM-\ia ^агГ -\ММ'
1 ,, w(M'\lx'dv' 1 ', ,, f(W xVlx'dy'
+ 2^ai,jl I 2 2 ' 2 +^a\l<Jl . j 2, ,2 ^TA
Задачи
1. Доказать, что если функции f,uo,u^ - гармонические в Rn
x = (xl,x7,..., х}]), ag(t)e Cl(t > О), то решение задачи Коши
и„ =а2Дн+^;/(,г-,,х2 х„);
выражается формулой
2. Найти решение за,дачи Копти
+ f(x); и
если Д™/ = 0, Д™м0 = 0, Д"^! = 0.

92 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
3. Решить задачи (я = 2):
а) ии=Аи+2, и
б) ип—а Аи, и
1=0 = -v, ut t=0 = у;
в) ии = а2Аи + е'\х2 + у2) , и t=Q = uf [=0= 0.
4. Решить задачи {п — 3):
а) ип = ЗА и + 6 I.v2+y2+z4, и t
б) ии = а2Аы + \х2 +у2 +Z2),
Лекция 12. Колебания ограниченных объемов
Одним из наиболее эффективных методов решения многомерных крае-
краевых задач является метод Фурье (разделения переменных). В настоящей лек-
лекции мы применим этот метод для решения первой краевой задачи для урав-
уравнений колебаний;
р—2" = div(/?gratk/) -q л, MeQ, t>0,
A)
B)
C)
Здесь Q— некоторый объем, ограниченный замкнутой поверхностью S, а
функции р(м), р(м) и q(M) определяются свойствами среды такими, что
р{м)> 0, р{м)> 0, д{м)> 0.
Задачи типа A) — C) встречаются при изучении процесса колебаний
мембраны (случай двух независимых пространственных переменных), аку-
акустических колебаний газа, электромагнитных процессов в непроводящих
средах.
II. Гиперболические уравнения
§1. Схема метода разделения переменных
93
В этом параграфе мы ограничимся изложением формальной схемы ре-
решения задачи A) — C). С этой целью рассмотрим основную вспомогательную
задачу:
Найти нетривиальное решение однородного уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющее граничному условию C), представимое в виде произведения
u(M,t)=u(M)T(t). D)
Подставляя предполагаемую форму решения D) в A) и разделяя, как обычно,
переменные, приходим к следующим уравнениям для функций о(м) и г(/):
div(p grad и) - ц и + X р и - 0, E)
и| s=о;
Т"
F)
Для и(м) получаем задачу на собственные значения (задачу Штурмана-
Лиувилля):
Найти те значения параметра а, при которых существуют нетривиаль-
нетривиальные решения задачи E), а также найти эти решения. Такие значения пара-
параметра X называются собственными значениями, а соответствующие им не-
нетривиальные решения - собственными функциями задачи E).
В пашем случае уравнение для собственных функций представляет со-
собой уравнение с частными производными, вследствие чего трудно рассчиты-
рассчитывать на получение явного представления собственных функций для произ-
произвольной области Q. Мы рассмотрим общие свойства собственных функций и
собственных значений и проведем формальную схему метода разделения пе-
переменных. Перечислим эти свойства.
1. Существует счетное множество собственных значений
А.1 <Х2 <"'<Xfl <•••, которым соответствуют собственные функции

94 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Собственные значения ХИ с возрастанием номера п неограниченно
возрастают; Xfl ->ъ> при п-><ю.
2. При q>i) все собственные значения X положительны:
Х„ >0.
3. Собственные функции {о„} ортогональны между собой с весом
р(м) в области Q:
ДОр(м)од(м)ит(м)с/и=0 при пФт. G)
Q
4. Теорема разложимости. Произвольная функция F[Mj из класса
С (Q) и удовлетворяющая граничному условию
разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным
функциям (иДА/)}.'
где Ft — коэффициенты рашолсения определяются по формулам
Ft =- Г" ' '=1.2,.» •
Q
Доказательство свойств 1 и 4 основывается обычно па теории инте-
интегральных уравнений. Перейдем к доказательству свойств 2 и 3, не требую-
шему специального математического аппарата. Докажем ортогональность
собственных функций {и„} (свойство 3). Пусть и„{м) и ит{м)- две соб-
собственные функции, соответствующие различным собственным значениям Хп
div(/j grad оя)~ q uw + Xn p uH = 0,
div(p grad ит}-дип(+Хт рищ = 0, uw S= 0.
II. Гиперболические уравнения 95
Умножая первое уравнение на ит(м) и вычитая из него второе уравнение,
умноженное на ^^{М), находим:
J]j[uffi div(p gradu,r)-undiv(/? gradu,n)+(^n- л,„) р un um](A) = ().
о
Отсюда с использованием формулы Остр ограде ко го нетрудно
\\\&[\Adu=\\A-nd,s
получить соотношение
ff и„ р—— - о„ р^—— \ds + {Xtl - A.m)fffpu и с/и = 0.
Теперь в силу граничных условий ин = 0 и ит =0 на 51,
откуда и следует, что при Хп
Ри« иот с/и = 0,
т.е. собственные функции, соответствующие разным собственным значени-
значениям, ортогональны между собой с весом р(м).
Если собственные функции, соответствующие некоторому Хп, не орто-
ортогональны между собой, то мы можем ортогоналнзировать их и получить но-
новую систему собственных функций, ортогональных между собой и соответ-
соответствующих тому же Х}1.
Совокупность таких систем собственных функций для разных Х„ обра-
образует ортогональную систему собственных функций рассматриваемой краевой
задачи E).
Для доказательства положительности собственных значений (свойство
2) достаточно воспользоваться первой формулой Грина
111{р Sra^u«) ^U=~JJ!U<7 div(/j graduft) d\j+l\\jn p—- ds-=
о. a s д п
= -\\\qод d\> + Xn JJJp vrit dи.
n a
Отсюда видно, что при q > 0 собственные значения Хп положительны.

96 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Вернемся теперь к уравнению в частых производных. Решение урав-
уравнения F) при Х = Хп имеет вид
Tn{t) = 4,cos^" t+Bn sin^X~ t,
так что решение нашей основной вспомогательной задачи будет произведе-
произведение
Решение исходной задачи A) - C) естественно искать в виде суммы
Удовлетворяя начальным условиям B)
и пользуясь теоремой разложимости 4, находим:
где ф„ и \|/и — коэффициенты Фурье функций ф(А-/) и i|/(A-/) в их разложе-
разложении по ортогональной с весом р{м) системе функций ип(м). Тем самым
формальное построение решения исходной задачи закончено.
§2. Колебания прямоугольной мембраны
Пусть в плоскости (х,у) расположена прямоугольная мембрана со сто-
сторонами 6, и Ъ2. закрепленная по краям и возбуждаемая с помощью началь-
начального отклонения и начальной скорости. Для нахождения функции u(x,y,t),
характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия, мы
должны решить уравнение колебаний
О U 2| v и . I/ it | „
II. Типерболические уравнения
97
при начальных данных
и граничных условиях
(9)
w@,,v, t)= 0, u(buy,t)=0, (Ю)
и(х,0, t) = 0, и(х, b2j)=0. A1)
Мы ищем решение методом разделения переменных, полагая
u(x,y,t)=u{x,y)T(t). A2)
Подставляя A2) в (8) и разделяя переменные, получаем для функции T(t)
уравнение
T"(t)+a2XT = 0, A3)
а для функции и(х,у)- следующую краевую задачу:
ихх +uvy +Xu = 0; A4)
и@, у) - 0, и(б,, у) = 0, и(х,0) - 0, ф, Ь2 ) = 0.
Теперь и задачу A4) будем решать методом разделения переменных, полагая
Проведя разделение переменных, получаем следующие одномерные
задачи на собственные значения:
Х" + %Х = 0, Х@)=0, Х(^)=0; A5)
7" + li 7 = 0, 7@) = 0, Y(b2) = 0, A6)
где ук[1— постоянные разделения переменных, связанных соотношением
X + \-i = X. A7)
Решения уравнений A5) и A6) имеют вид
., / ч . пп Inn) , ч
A\,m=sin х, у, = и Ym[y)=sm
"W b A1 i b ) mV}
b2
соответственно. Таким образом, согласно A7) собственным значениям
f \- / Л2
f пп тк 1
X = + задачи A4) соответствуют собственные функции
U h )
. пп . тк
Sin^— A" "Sin-— у,
Ь\ Ь-,

98 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где Ап т - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы нор-
норма функций ипт свесом 1 была равна единице
1 fan т d % d у = А~ т Jsin" xd x ¦ Jsin yd y=\.
Отсюда
4h\ b2
Ортогональность функций \опт j очевидна. Следовательно, функции
2 . nn . mn
unm= sin x ¦ sin у
^b{ b2 b] b2
A8)
образуют ортонормированную систему собственных функций прямоуголь-
прямоугольной мембраны A4). Далее из A3) получаем, что
Тп „,(/)= А1П11 cos^JXn m at л- Bnm sm^jXllrm at,
и таким образом получаем семейство частных решений задачи (8), A0), A1):
Теперь искомое решение уравнения (8) при дополнительных условиях
(9)- A1) имеет вид
u(x,y,t)=
at
где u?J nj определяются формулой A8), а коэффициенты Л1: т и Вп т равны
2
А„,т = j /ф(х,у)и„,„(ж,>-)с/хс/>' =
О О
1 ;
, . . ппх . тпу
.т,у) sin —— sin —-dxdу,
bl b2
( \ . пкх . mnv
6 6
Сходимость ряда A9) и возможность его почленного дифференцирова-
дифференцирования можно обосновать, используя теорию кратных рядов Фурье.
II. Гиперболические уравнения
Задачи
1. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной мембраны
(О < х < р, 0 < у < р), закрепленной вдоль контура, если
п х . и у
1 Sin —,
р р
2. Решить следующую смешанную задачу:
и1( = Аи, 0 < х < я, 0 < х < я,
' у=0=и\у=Л=0,
и М) = 3 sin х sin 2у, и, /=0 = 5 sin Зх sin Ay.
3. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны
(О < х < р, 0 < у < q), закрепленной вдоль контура, если
си
¦i\tdi= Аху(х-р){у-ч\ -z-Uo = O.

Ш. Уравнение теплопроводности
Лекция 13. Одномерное уравнение теплопроводности.
Постановка краевых задач. Принцип
максимума. Теоремы единственности
Процесс распространения температуры в стержне, теплоизолирован-
теплоизолированном с боков и достаточно топком, чтобы в любой момент времени темпера-
температуру во всех точках поперечною сечения можно было считать одинаковой,
может быть описан функцией u(x,ty представляющей температуру в сече-
сечении х в момент времени t. Эта функция и(х,1) - решение уравнения
пи д ,аи) , ч
ср—=— к— \ + F(x,t),
Bt дх{ Эх V '
A)
называемое уравнением теплопроводности. Здесь р (х), с (х) н к (х) - соответ-
С1веино плотность, удельная теплоемкость н коэффициент теплопроводности
стержня в точке х, a F[x,t) - интенсивность источников тепла в точке х в
момент времени t.
§ 1. Постановка краевых задач
Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности
необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.
Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа со-
сюит лишь в задании значений функции u(x,i) в начальный момент tQ.
111. Уравнение теплопроводности 101
Граничные условия могут быть различны в зависимости от темпера-
температурного режима на границах. Рассматривают три основных типа граничных
условий.
1. На конце стержня х = 0 задана температура
и@,0=и@.
где u{t) - функция, заданная в некотором промежутке t0 <f<T, причем Т
есть промежуток времени, в течение которого изучается процесс.
2. Па конце х = 1 задано значение производной
К этому условию мы приходим, если задана величина теплового потока
Q\l,t), протекающего через торцевое сечение стержня
(?? (А 0 ~11J10TH0CTb теплового потока, равная количеству тепла, протекшего в
единицу времени через площадь в 1 см2), откуда = К(/), где V(t)-
известная функция, выражающаяся через заданный поток Q (/, t) по формуле
3. На конце х = I задано линейное соотношение между производной и функ-
функцией
Это граничное условие соответствует теплообмену но закону Ньютона иа по-
поверхности тела с окружающей средой, температура которой 9 известна.
Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через се-
сечение х = I,
Q = h(u-Q)

102 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
получаем математическую формулировку третьего граничного условия в ви-
где А, = — - коэффициент теплообмена, 9(?) - некоторая заданная функция.
Для конца х = 0 стержня (О,/) третье граничное условие имеет вид
5«@,/)_ г / ч fl/vi
дх
Граничные условия при х = 0 и х = I могут быть разных типов, так что
число различных задач велико.
Первая краевая задача состоит в отыскании решения и =u(x,t) уравне-
уравнения теплопроводности при 0<х</, 0<t<T, удовлетворяющего условиям
u(O,t) = ^(t), и (/,*) = ц2(*), 0<t<T,
где ф(х), щ@ и \i2(t) -заданные функции.
Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными комбина-
комбинациями краевых условий при _т = 0 и х = I. Возможны краевые условия более
сложного типа, чем те, которые были рассмотрены выше.
Кроме названных здесь, задач часто встречаются их предельные слу-
случаи. Рассмотрим продссс тсплопроводиости в очеиь длинном стержне. В те-
течение небольшого промежутка времени влияние температурного режима, за-
заданного на границе, в центральной части стержня сказывается весьма слабо,
и температура на этом участке определяется в основном лить начальным
распределением температуры. В задачах подобного типа обычно считают,
что стержень имеет бесконечную длину. Таким образом, ставится задача с
111. Уравнение теплопроводности 103
начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бес-
бесконечной прямой:
Найти решение уравнения теплопроводности в области - те < х < оо и / > /0,
удовлетворяющее условию
«(Мо)=Ч>(*) (-°° < х <+м),
где ф(.г) - заданная функция.
Аналогично, если участок стержня, температура которого пас интере-
интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, го в этом случае
температура практически определяется температурным режимом близкого
конца и начальными условиями. В задачах подобного типа обычно считают,
что стержень полубесконечен, и координата, отсчитываемая от конца, меня-
меняется в пределах 0 < х < х>. Приведем в качестве примера формулировку пер-
первой краевой задачи для полу бес конечно го стержня:
Найти решение уравнения теплопроводности в области 0<х<те и to<t,
удовлетворяющее условиям
и (х, f о ) = ф (х) 0 < х < оо,
и@,/) = ц(/), />/о,
где ф (ж) и ll(/) - заданные функции.
§ 2. Принцип максимума
В этом параграфе мы рассмотрим однородный стержень, т.е. к,с,р -
постоянные. Кроме того, будем считать, что тепловые источники отсутству-
отсутствуют (F(x,?)=0) Тогда уравнение теплопроводности (I) принимает простой
вид:
он 2 д2и
Здесь а' = к / ср. Докажем следующее свойство решений этого уравнения,
которое мы будем называть принципом максимального значения.

104 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теорема 1. Если функция u(x,t), определенная и непрерывная в замкнутой
области 0< /<Т и 0< х</, удовлетворяет уравнению теплопроводности
B) в точках области 0 < х < /, 0 < t < Т, то максимальное и минимальное
значение функции u{x,t) достигаются или в начальный момент, или в точ-
точках границы х = 0 или х = 1.
Доказательство. Так как теорема о минимуме сводится к теореме о макси-
максимуме переменной знака у u{x,i), то мы ограничимся доказательством тео-
теоремы о максимуме.
Доказательство теоремы ведется от противного. Обозначим через М макси-
максимальное значение и (х, /) при / = 0 @ < х < /), или при jc = 0, или при
х = 1 (О < / < Г) и допустим, что в некоторой точке (л,/0)
@<х(,</, 0</(|<7т) функция u[x,t) достигает своего максимального значе-
значения
Сравним знаки левой и правой частей уравнения B) в точке (x^Jq) функция
достигает своего максимального значения, то необходимо должно быть
и д "fro'^o. C)
дх
Далее, так как и (х0, i) достигает максимального значения при t = t0, то
dt
'Гак как, если tn < Т, то "' = 0, если же ?0 = Т, то °' ° > 0.
Dt dt
Далее рассмотрим вспомогательную функцию
где к - некоторое постоянное число. Очевидно, что
D)
E)
111. Уравнение теплопроводности
105
k{to-t)<kT.
был меньше —.
ное значение v(x,t) при t = 0 или при х = 0,х = / tie будет превосходить
Выберем к > 0 так, чтобы кТ был меньше —.т.е. к <^, тогда максималь-
максимальv(x,t)<M + — (при / = 0 или jc=O, или х = 1), F)
так как для этих аргументов первое слшаемое формулы E) не превосходит
М , а второе .
В силу непрерывности функции o(x,t) она должна в некоторой точке
(„Vj, /j) достигать своего максимального значения. Очевидно, что
и(х1,?1)>и(х0,?0)=М+?.
Поэтому t} >0 и 0<Xj </, так как при t — 0 или х = 0,/ имеет место нера-
неравенство F). В точке (.^i, ^ ) по аналогии с C) и D), должно быть
g2 "(*"'¦) < 0, Э "(*'¦'¦) ? о. Учитывая E), находим:
d2u{xllt})=d2v{xvt1)<
с х" д х
Du(x},tl)^dv(x},tl) | к^}
dt dt
Отсюда следует, что
at
т.е. уравнение B) во внутренней точке (-Vi,/]) не удовлетворяется. Тем са-
самым доказано, что решение u(x,t) уравнения B) внутри области не может

106 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
принимать значений, превосходящих наибольшее значение u{x,t) иа границе
(т.е. при t = 0, х = 0, х = 1).
§ 3. Теоремы единственности
Обратимся теперь к установлению ряда следствий из принципа макси-
максимального значения. Прежде всего докажем теорему единственности для пер-
первой краевой задачи.
Теорема 2. Если две функции u{{x,i) и u-,(x,i), определенные и непрерывные
в области 0 < х < I, 0 <t <T, удовлетворяют уравнению теплопроводности
д2и
2
dt бх2 + f{x,ir
одинаковым начальным и граничным условиям
(для 0<х<1, t>0).
Доказательство. Рассмотрим функцию
u(x,/) = w2(_v,/)-^(x,/).
Функция u(x,/f) является решением уравнения теплопроводности B).
Таким образом, в силу чеоремы 1 оиа достигает своего максимальною и ми-
минимального значений или при t = 0, или при х - 0, или при х = L Однако по
условию мы имеем:
Поэтому
111. Уравнение теплопроводности
107
Отсюда следует, что решение первой краевой задачи единственно.
Нетрудно доказать справедливость следующих следствий из принципа
максимального значения.
Следствие 1. Если два решения уравнения G) U\ \x,t) и и*, \x,t) удовлетво-
удовлетворяют условиям
и1(х,0)<и2(х,0). щ @,г)<и2 (О,?) u1(l,t)<u2(l.t),
то м1 \x,t)<U2 \х,1) для всех значений 0<х<1, 0<t<T.
Следствие 2. Если для двух решений уравнения теплопроводности G)
zv, (x,t) и и-> \x,t) имеет место неравенство
w, {x,t)-u2 (х,?))<е для t = 0, х = 0, х = 1, то их [x,t)-u2 {x,t^<z для
всех х,t,O<x<I,O<t<T,
Следствие 2 позво.шет установить непрерывную зависимость решения
первой краевой задачи от начального и граничных значений.
Теорема 3. Если и^ (x,t) и и-, \x,t) - непрерывные, ограниченные во всей об-
области изменения переменных \x,t) функции, удовлетворяют уравнению G)
при — ее < х < оо, t > 0 и условию U] \х,0) = и2 \х,0) (— оо < х < ооУ то
«j (x,t)=u-> (x,t) (-ос < х<<х, t> О).
Из теоремы 3 вытекает единственность решения задачи Коши для
уравнения теплопроводности в классе ограниченных функций.
Доказательство этой теоремы также основано па принципе максимума.

108 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 14. Метод разделения переменных для уравнения
теплопроводности. Однородная краевая задача.
Функция мгновенного источника.
Неоднородное уравнение теплопроводности.
Общая первая краевая задача
§1. Однородная краевая задача
Изучение общей первой краевой задачи для уравнения теплопроводно-
теплопроводности на отрезке:
dt
ф,0) = ф(х) 0<х</, B)
«@,0 = 1-4 D "(/.0 = Ц2@> f~°* C)
мы начнем с решения следующей простейшей задачи.
Найти непрерывное в замкнутой области @ < х < I, 0 < I < Т) решение
однородного уравнения
удовлетворяющее начальному условию
и(х,0)=ф),
и однородным граничным условиям
:/, 0<t<T, D)
E)
и@,/) = 0, ы(/^) = 0, 0</<Г. F)
Предположим, что решение u(x,t) задачи D) - F) можно представить
как сумму ряда Фурье
(V)
111. Уравнение теплопроводности 109
который можно почленно дифференцировать дважды но х н одни раз по t.
Тогда граничные условия F) выполнены, а подстановка ряда G) в D), E)
приводит к соотношениям
ип@} = — J<pD) sin 4 d с,, п = 1,2,...
I и I
из которых определяются коэффициенты un\f)'-
/ A /
(8)
Выясним теперь, каким требованиям должна удовлетворять функция
ф(х), чтобы ряд G) с коэффициентами (8) являлся решением исходной задачи
D)-F).
Предположим сначала, что ф(х) ограничена, | ф(х)| < М и рассмотрим
ряды производных
ъ d и At) . п п х *
2_ si n и 2- w
Имеем
d ujt) . п п х
dt I
«.@I«
то получаем оценку
<2М,
d и [А . п я х
dt I

ПО В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
и аналогично
Вообще
и п ) . и ж х
; г^Лп\ Sill
для t ^ t.
' -а^ е v ' ' для t > I.
Исследуем сходимость мажорантного ряда ^ап , где
а„ =Nn° e ^ l J '.
По признаку Даланбера этот ряд сходится, так как
Отсюда вытекает возможность почленного дифференцирования ряда G) лю-
любое число раз в области t>t>0. Таким образом, функция, определяемая
этим рядом, удовлетворяет уравнению D). В силу произвольности t это име-
имеет место для всех I > 0.
Пусть теперь функция ф(.т) непрерывна, имеет кусочио-иепрерывную
производную и удовлетворяет условиям tf>(o)=O, ф(/)=0. Тогда ряд из мо-
модулей коэффициентов Фурье функции ф(х) сходится, т.е.
и поэтому в силу неравенства
ы„@)| (при/>0, 0<х</
сразу же следует равномерная сходимость ряда G) при * > 0, 0<х</. Сле-
Следовательно, ряд G) определяет непрерывную функцию при t>0.
111. Уравнение теплопроводности 111
Итак, задача нахождения решения первой краевой задачи для однород-
однородного уравнения с нулевыми граничными условиями и непрерывным, кусоч-
кусочно-гладким начальным условием решена полностью.
§2. Функция мгновенного источника
Преобразуем полученное решение G), заменяя un(t} их значениями (8):
. п л
¦Sill X(J X =
I
— Y. с sin x sin c.
I
1
Изменение порядков суммирования и интегрирования всегда законно при
t > 0 в силу того, что ряд в скобках сходится равномерно по ?, при t>0.
Обозначим
(пт.а У
C(x,q,f) = yle^ ' J sin——-sin—j^.
Пользуясь функцией G{x,^,t), можно представить функцию u(x,l) в виде
о
Функция G{x,^,t) называется функцией мгновенного точечного источника.
Покажем, что функция источника G(x,?,,i), рассматриваемая как функ-
функция х, представляет распределение температуры в стержне 0<-V</ в мо-
момент времени t, если температура в начальный момент t = 0 равна нулю и в
этот момент в точке х = Ъ, мгновенно выделяется количество тепла Q = с р, а
иа краях стержня все время поддерживается иулевая темпера1ура.
Пусть функция Фс(.к), равная нулю вне интервала (^ - g, ^ + к), а внут-
внутри этого интервала положительная и непрерывно-дифференцируемая, задает
начальное распределение температуры в стержне. Тогда количество тепла,

112 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
вызвавшее изменение температуры иа величину cpe(x), вычисляется по фор-
формуле
Q = cp J cpE(?)</?, (Ю)
а сам процесс распространения температуры в этом случае определяется
формулой (9):
i
о
Совершим теперь предельный переход при е -> 0. Принимая во внима-
внимание непрерывность G при (>0и равенство A0) и применяя теорему о сред-
среднем значении при фиксированных значениях x,t, формулу A1) представим
так
Ь-е. S-g с Р
где ^ е (^ - к,?, + ?;). Теперь в силу непрерывности функции G[x,?,,t) по с,
при t > 0 получаем:
/ ч О ( ¦* \ О 2
\imu,(xj)=^G[x,e, J\ = ——
i:-M> Л С p \ ' / С p I „
sin.
Отсюда следует, что G(x,?,,t) представляет температуру в точке х в мо-
момент t, вызванную действием мгновенного точечного источника мощности
Q = ср, помещенного в момент ( = 0 в точке ? промежутка (О,/).
§3. Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим иеодиородиое уравиеиие теплопроводности
д t о х2
с начальным условием
и(х,0)=0
A2)
A3)
111. Уравнение теплопроводности 113
и граничными условиями
н@,/) = 0, u(j,t) = O. A4)
Будем искать решение этой задачи u(x,t) в виде ряда Фурье по фуик-
. . п к ,
циям -, sin х (¦:
(x,t) - Т un{t) sin х,
A5)
считая при этом t параметром. Для нахождения u(x,i) надо определит]
функции un{t). Представим фуикцию f(x,i) в виде ряда
A6)
Подставляя функции A5), A6) в исходное уравнение A2), будем иметь
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты разложения
равны нулю, т.е.
duT1{t) f armY
dt
«*@+/„(О-
A7)
Пользуясь начальным условием для u\x,t)
u(x,Q)= lHrt@)sin-^x = 0,
получаем начальное условие для un\ty.
ип@)=0. A8)
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение A7) с пулевым началь-
начальным условием A8), находим:
A9)

114 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Подставляя выражения A9) для u^it) в формулу A5), получим решение ис-
исходной задачи в виде
. п ж
sin x.
B0)
И, накоиед, воспользовавшись выражением A6) для fn[t), найденное
решение B0) можно нредставшъ с помощью фуикпин гочечиого источиика
G(x,?,,i) следующим образом
§4. Общая первая краевая задача
Рассмотрим общую первую краевую задачу для уравнения теплопро-
теплопроводности A) - C). Введем новую неизвестную функцию щх, t)
\>(x,t)=u(x,t)-U(x.t),
представляющую отклонение от некоторой известной фуикции U(x,i).
Эта функция v(x,t) будет определяться как решение уравнения
3U о д2и]
c дополнителыгыми условиями
u(.t,0) = ф(дг) ф(х) = ф(л) - U(x,0),
Выберем вспомогательную функцию U\x,t) таким образом, чтобы
дJш чего достаточно положить
111. Уравнение теплопроводности 115
Таким образом, нахождение функции м(х,/), дающей решение общей крае-
краевой задачи, сведено к нахождению функции и(х,/), дающей решение краевой
задачи с нулевыми граничными условиями. Последнею функцию v(x,t)
можно представить как сумму решений задачи D) - F) и задачи A2)- A4).
Задачи
1. Дан топкий однородный стержень 0 < х < I, боковая поверхность которого
теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x,t) в стержне, если:
а) концы стержня теплоизолированы, а начальное распределение тем-
температуры задается формулой
щ = const, если 0 < х < —,
0,
если —<х<1.
Изучить поведение u(x,t) при t -> ос;
б) концы стержня теплоизолированы, а
2щ
если 0 < х < —,
если — < х < /,
где и0 = const. Найти пщ и (х, ?);
в) концы стержня имеют постоянную температуру и т=0 = и}, и х=1 = и},
а начальная температура задается формулой и ,_$ = АхA-х), где А = const.
Найти \ln\u(x,f).
2. Решить следующие смешанные задачи;
а) и( =икх, 0 < х < /, и т ^_0 = 1, и x_i = 0, и ,_0 = 0;
б 1 х + 2t, 0 <х</,
( = мо. - 1их
и /=0 - e^sinn x;

116 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
в) ит =ихх +6и+х2(\ -6t)-2(t + 3x)+ sin2x, 0<x</,
и, , „=1, и,
Лекция 15. Задачи на бесконечной прямой (Задача Коши.
Краевые задачи для полуограниченной прямой)
§ 1. Задача Коши
Рассмотрим па бесконечной прямой задачу с начальными данными (за-
(задачу Коши): иайти функцию u(x,i) (t >0,-<x <x <сс), удовлетворяющую
уравнению теплопроводности
dt Эх2'
A)
к начальному условию
и (х,0) = ф (х) (- оо < х < +оо), B)
где (р(х) - непрерывная и ограниченная функция.
Используя принцип максимума (см. лекцию 13), можно доказать, что
решение задачи A), B) в классе ограниченных функций единственно.
Докажем существование решения этой задачи. Найдем сначала частные
решения уравнения A) вида
u(x,t)=T(t)x(x). C)
Подставляя C) в уравнение A) и разделяя переменные, получим
a2 T{t) X(x)
где X" — постоянная. Мы получаем, таким образом,
T'(t) + a2X2T(t)=Q, X"(x)+ Х2Х(х)= О,
111. Уравнение теплопроводности 117
откуда, полагая постоянный множитель в выражении г(/) равным единице,
T(t)-e~a ht, а х(х) выберем таким: х(х)- А(х)е"^, имеем частное решение
уравненияA) вида
uk(x,,)=A(iy2"*r'-1. D)
Здесь X - любое вещественное число -оо<Х<+сс. Интегрируя D) по пара-
параметру X, получим также решение уравнения A)
и (х, t) = \А (X) e~a2}?'+ckxdk. E)
Требуя выполнения начального условия при t = 0, будем иметь
Воспользуемся теперь формулой обратного преобразования интеграла Фу-
Фурье:
Подставляя эту функцию в E) и меняя порядок иптегрировапия, получим:
2п
Внутренний интеграл в F) равен
(в)
(V)
Подставляя G) в F), приходим к интегралы тому представлению искомого
решения
u{x,l)= fG(jc.^/)cpfe)^,
(8)

118 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где
(9)
Функцию (9) называют фундаментальным решением уравнения теплопро-
теплопроводности.
Можно убедиться в том, что фундаментальное решение (9) дает распределе-
распределение температуры в бесконечном стержне, если в начальный момент времени
/ = 0 в точке ?, мгновенно выделяется количество тепла Q = ср.
Теперь выясним условия применимости формулы (8).
Докажем, что формула
A0)
называемая интегралом Пуассона, для любой непрерывной и ограниченной
функции ф {х) представляет при t > 0 ограниченное решение уравнения теп-
теплопроводности, непрерывно примыкающее при г = 0кф (_v).
Покажем, во-первых , что если функция ограничена,
| ф(а-)|<Л/, то интеграл A0) сходится и представляет ограниченную функ-
функцию. В самом деле
[e *A
м
= —-== I e da. = м,
Покажем далее, что интеграл A0) удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности при t>0. Для этого достаточно доказать, что производные этого
интеграла при t > 0 можно вычислять при помощи дифференцирования под
знаком интеграла.
111. Уравнение теплопроводности 119
В случае конечных пределов интегрирования это законно, так как все
производные функции (9) при t>0 непрерывны. Для возможности диффе-
дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно
убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после диффе-
дифференцирования под знаком интеграла. После дифференцирования под знаком
интеграла выделяется множитель ? - л" в положительной степени, который
остается под знаком интеграла, и множитель / в некоторой степени, который
можно вынести нз под знака интеграла. Таким образом, дифференцируя A0)
несколько раз по х и t, мы получим сумму интегралов вида
U?> <%. (И)
I
Производя замену переменных
преобразуем интеграл A1) к виду
I=(la)m+lt 2 (-1)"' la'"e~a\(x + 2aa^Tt)da.
Отсюда легко видеть, что этот интеграл равномерно сходится при t > t0 > 0,
так как подынтегральная функция мажорируется фуикцией
М а '" е~а ,
которая интегрируема в промежутке (- ее, да).
Таким образом, функция u(x,t), определяемая формулой A0), непре-
непрерывна и имеет производные любого порядка по х и t при / > 0. Гак как по-
подынтегральная функция удовлетворяет уравнению A) при t>0, то отсюда
следует, что и функция и (x,i) удовлетворяет этому уравнению при t>0.
Докажем теперь, что функция A0) удовлетворяет начальному условию
B), т.е. что
lim и (х, t) = (p (x)

120 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
при любом х из (- со,со). Запишем интеграл A0) так
Далее так как
и (х, t) = —^= ]е~а~ ср (а- + 2 a a-yftjda. A2)
ср(х) = ^ \е~а <$>(x)da,
то, вычитая это равенство из A2), получим
откуда
гк' с/а,
и (х,/)- ср(х) < -L J |р(х + 2aaV7)- р(х\ е" da. A3)
•Vn -a:.
Пусть s > 0 - сколь угодно малое число. Выберем число Л' столь большим,
что
(И)
Разбивая промежуток интегрирования па три:
(-«,/V) (-/V,,V), (ЛГ.оо)
и принимая во внимание неравенство
ср (х + 2 a aV7)- ср(х\ < 2М
и оценки A4), будем иметь
da.
В силу непрерывности cp(.vj при всех t, достаточно близких к нулю, и при
а. < N имеем
и последнее неравенство дает
и (х, t) - ср (х)| < - с + - —j= jV (i da
и тем более
111. Уравнение теплопроводности
u(x,t)-iP(x]<-? + ^^ \e~a'da,
т.е., в силу равенства
мы имеем г/(х,г)-ср(х)| <с при всех ?, достаточно близких к нулю, и при
всех х, откуда ввиду произвольности s > 0 и следует
limw (x,t)-(p(x).
Пусть u[x,t) - решение уравнения A), удовлетворяющее начальному
условию B), а u{x,t) - решение этого же уравнения, удовлетворяющее на-
начальному условию
Тогда нетрудно показать, что если ср(х)- ср(х\ < е, то \и(х,t)-u(x,tj<c при
любых х и />0. Последнее означает, что решение задачи Копти непрерыв-
непрерывным образом зависит от начальной функции.
Решение неоднородного уравнения
— = а2 ^- + f(x,t) (-ас<х<со,/ > 0) A5)
<? t д х
с пулевыми начальными условиями
очевидно, должно представляться формулой
A6)
как то следует из физического смысла функции G(x, ?,,/).
Ясно, что решение задачи Коши A5), B) есть сумма решения задачи
A), B) и задачи A5), A6).

122 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§ 2. Краевые задачи для полуограииченной прямой
В тех случаях, когда иитересуютея распределением температуры вбли-
вблизи одного нз концов стержня, а влияние другого конца несущественно, при-
принимают, что этот коиед находится в бесконечности. Это приводит к задаче об
определении решения уравнения теплопроводности
о и 2 ди
— = а , х > 0, t > О,
ot Ox2
удовлетворяющего начальному условию
г/(х,0)=ср(х), *
A7)
A8)
и граничному условию, которое, в зависимости от заданного характера гра-
граничного режима, берется в одном из следующих видов:
и (О, /) = ц (t) (первая краевая задача),
3u@,t)
Ох
-=V (t) (вторая краевая задача),
—- = X\u @, t) - 9 \t)\ (третья краевая задача).
Здесь мы ограничимся построением решения только первой краевой
задачи в случае ц (/)= 0, г.е.
и @,f)=0, t>Q. A9)
Положим
fcp(x) для х > О,
|-ф(-х) длях<0,
и функцию о (х, t) определим по формуле
111. Уравнение теплопроводности 123
Легко проверить, что и@,?) = 0. Таким образом, согласно § 1 функция
u(x,t)=\j(x,tj при х > 0 дает решение краевой задачи A7)—A9). Пользуясь
определением функции ф (х), будем иметь:
\е *"
Соединяя оба интеграла вместе, получим искомую функцию
(x-cf (x+cf "
Задачи
1. Решить задачи:
а) и( = 4usx + t + e',
(=о = sm А";
в) ut =urr + sin/, и
г) ut = u^ и tH) =xe *'.
2. Показать, что уравнение
и( -а"ихх -Ьих - си = f(x,t),
где a,h,c. - постоянные, заменой
о {у, i) = е~аи (_>' - bt, i)
сводится к уравнению теплопроводности.
3. Найти решение задачи
иг -а2ихх -bux -cu = f(x,t), ы|,_0 = и0(.тс)

124 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
со следующими данными:
а)/ = 1, ио=1, с = 1;
б) /' - е', щ - cos х, а-c-l, Ь- 0;
в) / = е', uf] = cos x, a = с = 2, 6 = 0;
г) / = /sinx, Щ = \, а = с = I, 6 = 0.
Лекция 16. Уравнение распространения тепла
в пространстве. Фундаментальное решение.
Решение задачи Коши
В лекции 1 оыло показано, что процесс распространения тепла в одно-
однородном изотропном пространстве определяется уравнением теплопроводно-
теплопроводности
BJL = A^L + ^L + ^\ + f^yM A)
fit уЗх б у" czl)
где u(x,y,z,t) - температура точки M(x,y,z) в момент t, а1 = —, р-
ср
плотность, с - коэффициент удельной теплопроводности, а ср/ - плотность
тепловых источников.
Рассмотрим в неограниченном пространстве следующую задачу.
Найти решение уравнения теплопроводности A) при начальном усло-
Рептение этой задачи может быть представлено в виде суммы
и — ii] + и2,
где и{ -решение однородного уравнения
ои
dt
ди ди ди
дх2 оу2 dz2
B)
C)
111. Уравнение теплопроводности 125
С неоднородными начальными условиями B) и2 - решение неоднородного
уравнения A) с нулевыми начальными условиями. При изучении соответст-
соответствующих одномерных задач мы видели (см. лекцию 15), что их решения опре-
определялись с помощью фуидамешальиого решения.
§1. Фундаментальное решение
Введем в рассмотрение функцию
1
D)
Докажем несколько утверждений относительно этой функции.
Лемма 1. Функция G — удовлетворяет однородному уравнению теплопро-
теплопроводности C).
Доказательство. В самом деле, дифференцирование дает
и аналогичные выражения для производных по у и z, откуда
здесь Д = ь — н и далее
дх2 б у" oz
ее
ct
-3 + ^
2alt
Следовательно
2-\jna t

126 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лемма 2. При t > 0 имеет место равенство
] 7 )G(x4y,zsXr\tt)d% dr\ rfC=l-
E)
Доказательство. В самом деле интеграл E) можно представить в виде про-
произведения трех интегралов, каждый из которых равен единице:
tl dC,
Функция D) представляет собой температуру в точке M{x,y\z) в мо-
момент времени t, вызываемую точечным источником мощности Q = cp, по-
помещенным в момент (=0 в точку М'(^,г\,С,). Функцию G называют функ-
функцией температурного влияния мгновенного источника тепла или фундамен-
фундаментальными решением уравнения теплопроводности.
§2. Задачи Кпши
Используем теперь фундаментальное решение D) для решения задачи о
распространении начальной температуры в неограниченном пространстве.
Пусть требуется найти решение уравнения
с и си
\, - ОС < X, }', Z < +СО, t>0,
F)
удовлетворяющее начальному условию
и(х, у, z, о) = (p(.Y, у, z). G)
Начальное температурное состояние, очевидно, можно представить как
результат суперпозиции действия мгновенных источников, создающих на-
111. Уравнение теплопроводности 127
чальиую температуру. Рассмотрим элемент объема dtdr\d^, содержащий
точку М'(^,П-С)- Д1151 создания начальной температуры ф(^,т|,^) необходимо
в объеме dt,dr\ dC, поместить количество тепла dQ = срср(^,т\,^)dt,dr\ c/?.
Это сосредоточенное количество тепла создаст в точке M(i;,r|,^) в мо-
момент t температуру.
(Л)(ЛОр(Л)^^ )
ер
В силу принципа суперпозиции решение пашей задачи может быть по-
получено интегрированием (8) по всему пространству
u(x,y,z,t)= J J
(9)
Формула A0) получена нами в результате наводящих рассуждений, ие
определяющих границы ее применимости и не имеющих доказательной си-
силы.
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Если функция ср непрерывна и ограничена, |ср| < М, то функция
и определяема выражением (9),
1) ограничена во всем : и <М;
2) является решением уравнения теплопроводности при t > 0;
3) при t = 0 функция и непрерывно примыкает к ср т.е.
lim м (x,y,z,t) = ф(х,y,z) .
Доказательство. Ограниченность функции и, определяемой формулой (9),
устанавливается непосредственно, если принять во внимание равенство E):
и < A J J $Gd\dx\dCi = A.
Далее, как известно, дифференцирование по параметру под знаком не-
несобственного интеграла возможно, если:

128 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
1) производная по параметру от подынтегральной функции непрерывна;
2) интеграл, полученный после формального дифференцирования, равномер-
равномерно сходится.
Производя формальное дифференцирование интеграла (9) по д- полу-
получим:
I
т ИЛ-
Подынтегральная функция непрерывна при 0 < t < Т, а наличие множи-
множителя ехр< - ^ ^ -^- ^ '— > обеспечивает равномерную сходи-
[ Aa-t \
мость, если ср ограничено: ср < А. Аналогичные результаты мы получим при
повторном дифференцировании по х и при дифференцировании по t; то же
относится и к диффсреицироваиию по у иг. Теперь в силу леммы 1 функ-
функция и при t > 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Перейдем к доказательству непрерывности u{x,y,z,t) при t = 0. Для
этого формулу (9) перепишем в виде
u(M,t)= \ \ $G(M,M',t)<p(M')dv, M =M(x,y,z), М' = М%г\,й).
Рассмотрим точку _д/0 (х0 у0. zo ) и докажем, что для любого с > 0 су-
существует такое б(е) > 0, что
при |
A0)
Далее пусть Vv- область, содержащая точку Мо; ее размеры будут определе-
определены ниже; остальную часть пространства обозначим через V2. Принимая во
внимание равенства
u(M,t)=
(M0)=
111. Уравнение теплопроводности 129
атакже положительность функции G{M,M',i), будем иметь:
u(M,t)-y(M0)<J]+J2, (И)
Jl =
')-(p(M0)|^, J2=2A\\\G(M,M',t)dv.
Теперь в качестве области Vi выберем шар в точке M[x~,y,z) радиу-
радиуса р. Зададим к > 0. Тогда в силу непрерывности функции ср в фиксировац-
ной точке Mq , найдется Й' > 0, что
|cp(,W')-cp(M0)<-, если \М'М0\<Ь'.
Таким образом, если диаметр шара Vy не превосходит Й', т.е. р < — Й',
>
A2)
Переходя к сферической системе координат с центром в точке М, по-
полу чаем
)
)
о
)е 4' r2dr=^=~ f'a2^?/a
2-yja2t
Г 2 -а2 1 1 -a2 t I t -a2 i * Л
л е d а = --ае \+— \е da = .
I 2,2, 4
Таким образом,
JJjG (Л) = 1 - JJjG du -> 0 при / -> 0,

130 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
г.е. для всякого s > 0 можно указать такое Й", чю
и, следовательно,
если только t < 5".
1
Выбирая из чисел -Й' и Й" наименьшее и обозначая его через Й, бу-
будем иметь неравенство A0):
tt(/W,?)-cp(/W0)|<s при \ММ{)\<Ъ и t<b,
которое и доказывает непрерывность и{М,t) при t = 0 во всякой точке Мо.
11ерейдем теперь к решению неоднородного уравнения
ди j\ о'11 о~и &"и
5 >> "
Н ^ + Д*. У. 2, ^ - да < л- < )', г < ее, t > О
при пулевом начальном условии иух, у, г, о) = 0 .
Рассмотрим точку М'(^, т], ^) в момент времени г < t. Количество тепла, вы-
выделяющегося в элементе dtdr\dC, за время dr нравное
dQ = cpf dt,dr\dC,dr,
вызывает в точке M(x,y,z) в момент времени / температуру
G(M,M\ t - r)f(W,r)d\dr\d^dr.
Пользуясь принципом суперпозиции, мы можем написать решение постав-
поставленной задачи в виде
u(M,t)=f\ ) '°\G(MlM'.t-r)f(M'tr)dbfir\dCidr.
Задачи для полупространства с однородными 1раиичиыми условиями
первого и второго рода решаются методом отражения.
111. Уравнение теплопроводности
131
Задачи
1. Пусть функция f(x,tjEC (t> о) является гармонической по х при каждом
фиксированном />0. Доказать, что функция u(x,i)= jf{x,r)dr является ре-
о
шеиием задачи Коши и; =a2Au + f(x,t), и !=0 =0.Здесь x&R" , « = 2,3.
2. Решить задачи (и = 2J :
a) ut = Аи +е , и
,_„ =cosxsin i'.
б) ut = Аи + sin / sin .vsin _v, и T=Q =1.
В) 2uf = Аи , и 1=q - cos xy .
3. Решить задачи {п = 3):
а) и, = ЗАи + ет, и f=0 = sin (x-y-z).
б) ut = Аи + cos (х - у + z), и /=0 = е~'Л
в)И;=Дй, и r=0 = cos (л* у) sin z.
Лекция 17. Распространение тепла в ограниченных телах.
Схема метода разделения переменных.
Остывание однородного шара. Распространение
тепла в прямоугольной пластинке
При изучении распространения тепла в ограниченном теле необходимо
к уравнению и начальному условию добавить условия на границе тела, кото-
которые в простейших случаях являются 1раиичиыми условиями первого, второ-
второго или третьего рода.

132 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим простейшую задачу с однородным граничным условием
первого рола:
найти решение уравнения теплопроводности
си
, д'и д и д и) _ _
— = а \ + + внутри Г при / > 0 A)
$t I Sx2 cv2 cz2
с начальным условием
и граничным условием
u(x,y,z,Q)=(p(x,y,z)
и 2 = U,
B)
C)
где X - граница области Т.
Решение этой задачи может быть получено обычным методом разделе-
разделения переменных, изложенным применительно к уравнению
Я3 "i2
в лекции 12; применение этого метода к пашей задаче проходит совершенно
аналогично.
§1. Схема метода разделения переменных
Рассмотрим вспомогательную задачу: найти нетривиальное решение
уравнения A), удовлетворяющее однородному граничному условию C) и
представимое в виде произведения
и(М, t) = и(м)г(* )* О, М = М(х, у, z). D)
Подставляя функцию D) в уравнение A), приходим к следующим ус-
условиям, определяющим функции о(м) и T\ty.
ох су' cz
и = 0
E)
па X
111. Уравнение теплопроводности
133
Т' + а-ХТ =0. F)
Для функции о получаем задачу иа отыскание собственных значений, с ко-
которой мы встречались при рассмотрении колебаний ограниченных объемов
(см. лекцию 12).
Пусть 1|Д2,.,.Д„,.„- собственные значения, а о,,о2,...,о,,,...-
собственные функции задачи E). Функции {ога} образуют орюгональную
систему, т.е.
Д[оН7(Л/)- \)п(м)с1 xdydz = 0 при тФп.
т
Соответствующие функции Т„{т) имеют вид
и вспомогательная задача имеет нетривиальное решение
un(M,t)=Cn и„(м)е~а~к"'.
Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде
Удовлетворяя начальному условию
находим коэффициенты
С„ =-
(8)
||urt II = \\[on\M)d xd у d z - норма функции uw.
It ]
Функция и{м j}, определяемая формулами G), (8), дает решение исходной
задачи A)-C).

134 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Уравнение
при однородных граничном и начальном условиях может быть также решено
методом разделения переменных.
Полагая, как обычно,
A0)
и разлагая функцию f{M,i) по собственным функциям u;j(m)
f(M,t)= ±fn(t)»AM\ /;,(')=^/ЯДМ.'К М^>-^.
из (9) получаем для определения Tu[t) уравнение
Г,; +ы2а„Г„ =/„(»)
с начальным условием Tn\Qf— 0, так как ыуМ flf— 0. Следовательно, имеем
T,,{f)= Je^'"(M)/,,(T)rfT.
о
Теперь формулу A0) с учетом A1) перепишем так
A1)
Здесь М' = М'у^Г],^). Выражение в фигурных скобках, очевидно, соответст-
соответствует функции влияния мгновенного источника мощности Q = ср, помещен-
помещенного в точку М' в момент времени т,
Решение первой краевой задачи п для уравнения теплопроводности с неод-
неоднородными граничными условиями п = \|/ на поверхности S легко приво-
111. Уравнение теплопроводности 135
дшея к решению и неоднородного уравнения с однородными граничными
условиями и = 0 на X, если положить
и = и + ф,
где ф - произвольная (достаточно гладкая) функция, принимающая значения
i|/ па 2.
Таким образом, основная трудность при решении задач о распростра-
распространении тепла в ограниченной области состоит в нахождении собственных
функции и собственных значений для данной области.
§2. Остывание однородного шара
Рассмотрим задачу об остывании однородного шара радиуса R,
имеющего некоторую начальную температуру зависящую только от расстоя-
расстояния г точки от центра тара, если на его поверхности поддерживается темпе-
рагура равная нулю.
В этом случае задача приводится к интегрированию уравнения тепло-
теплопроводности
Oil
dt " [dr2 r dr
при начальном условии
и при 1раиичиом условии
0<r<R
A2)
A3)
u(R,t)=0. A4)
Согласно методу разделения переменных (см. §1) задача на собственные зна-
значения E) имеет вид
d r r d r
0<r<R,
A5)
о(Я) = 0.

136 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Полагая w = rv A5), приводим к следующей задаче:
d2w
dr'
w = Q, w(
A6)
Собственные значения и собственные функции краевой задачи A6), как из-
известно, даются формулами:
"Id '
. пи
= sin — г .
R
Таким образом,
далее, удовлетворяя начальному условию A3), находим (см. (8))
ппг
—
Следовательно, решение задачи A2) - A4) вычисляется по формуле
, ч S Г 2 ;t / \ . и л г
' 1 . ппг
-sin-—
Г К
§3. Распространение тепла в прямоугольной пластинке
Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластинку, кошур
которой поддерживается при температуре 0° . Начальное распределение тем-
температуры задано, и задача заключается в определении температуры пластин-
пластинки в любой момент времени t > 0, в предположении, что тепловой обмен ме-
между боковой поверхностью пластики с окружающей средой отсутствует.
Эта задача приводится к решению уравнения
и -,[ 0 и д и
0<х<р,
q, t>0
A7)
при граничных условиях
и@, у, t) = 0, и(р, у, t) = 0, w(x-,0, t) = 0, u(x, q,t)=O A8)
111. Уравнение теплопроводности
и при начальном условии
137
u{x,y.t)=<p(x,y). A9)
Согласно методу разделения переменных, будем искать частные реше-
решения уравнения A7) в виде произведения
u = T(t)x(x)Y(y);
тогда для определения функции х(х), y(j>) и т(т) получим следующие урав-
уравнения:
i-де )? и j.i2 - постоянные.
Общие решения этих уравнений имеют вид:
Х = С1 cos X х + С2 sin X х, 7 = С3 cos [iy + C4 sin ц >•, T{t) = А е~^+^ '/.
Для выполнения граничных условий A8) следует положить
С,=0, С3=0, Х= —, ц = — (т,я = 1,2.3,...).
Р Я
Таким образом, частными решениями уравнения A7), удовлетворяющими
граничным условиям A8), будут:
Составим ряд
2 , !ПП ПП
¦ sin х sin — у.
Р Ч
, ЩП , 777Г
sin х ¦ sin — v .
Р Ч
B0)
^м » sin х - sin — у.
m-i пЛ Р q
Требуя выполнения начального условия A9), получим
<р(*. У) =
m
Написанный ряд представляет собой разложение функции ср(х,у) в двойной
ряд Фурье, и коэффициенты Лтп определяются, как не трудно видеть, но
формуле
4 рЛ , ч . тих . пну
А-тп- J Jср(,^, >Jsin sin а ха у .
РЧоо ' Р Ч

138 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Внося эти значения коэффициентов Атп в ряд B0), получим решение задачи
A7)-A9).
Задачи
1. Дап однородный шар радиуса R с центром в начале координат. Опреде-
Определить температуру внутри шара, если:
а) внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температу-
температуре, а начальная температура зависит только от расстояния от центра шара,
т.е. и|/=о = ио(г);
б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен по за-
закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру, а и /=0 = uQ (г);
в) иа поверхности шара происходит конвективный теплообмен со сре-
средой, имеющей температуру их = const, а и ,_(] = м() = const;
г) внутрь шара, начиная с момента t = 0, через его поверхность подаст-
подастся постоянный тепловой поток плотности q = const, а начальная температура
j = ми = const.
2. Сфера радиуса R содержит растворенное вещество с начальной концен-
концентрацией Со = const. Концентрация па поверхности сферы поддерживается
постоянной, равной С, > Со. Найти количество абсорбированного вещества в
момент времени t > 0.
3. Однородное твердое тело ограничено двумя концентрическими сферами с
радиусами R и 2 R. Внутренняя поверхность тела непроницаема для тепла.
Шаровой слой нагрет до температуры и$ и затем охлаждается в среде с нуле-
нулевой температурой. Найти температуру в точках внутри шарового слоя в мо-
меит времени t > 0.
IV. Теория потенциала
Лекция 18. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве.
Теорема максимума. Фундаментальное
решение. Формула Грина. Потенциалы объема,
простого слоя и двойного слоя
Целый ряд вопросов математической физики сводится к решению тех
или иных уравнений эллиптического типа. Мы займемся простейшими таки-
такими уравнениями: уравнением Лапласа
Att(x,y,z)=Q A)
и уравнением Пуассона
Д и(х, у, г) = -4 тг р(х, у, г). B)
Напомним, что Д =
ду2
Всякая функция, имеющая непрерывные вторые производные и удов-
удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа, называется гармони-
гармонической функцией в этой области.
Прежде чем переходить к решению задач, связанных с этими уравне-
уравнениями, мы изучим некоторые обшис свойства, которыми обладают решения
этих уравнений.

140 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§1. Теорема максимума
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если функция p(x,y,z) положительна в точке Л/о[Xq ,_у0,z0), ле-
лежащей внутри области, где определено уравнение B), то решение этого
уравнения не может достигать минимума в этой точке.
Доказательство: В самом деле, если бы в этой точке функция
и{м), М = М(х, у, z), удовлетворяющая уравнению B), достигала бы мини-
минимума, то и(м) достигала бы минимума в этой точке по каждому переменно-
переменному в отдельности. Но тогда все первые производные от и должны были бы
быть равными нулю в этой точке, а вторые производные по каждому пере-
переменному - неотрицательными. Следовательно, сумма вторых производных
должна была быть также неотрицательной, что противоречит условию
рЮ>о.
Лемма доказана.
Следствие. Если р{м) отрицательна в точке Мо, то и(м) в этой точке
не может достигать максимума.
Доказывается переменой знака р и и,
Теорема 1. Гармоническая фунщия, заданная в некоторой области Q и не-
непрерывная вплоть до границы S, нигде внутри Q не может принимать зна-
значении больших, чем наибольшее ее значение па границе, или меньших, чем ее
значение на границе, т.е.
min и(М) < и(М) < max u(M).
Доказательство. В самом деле, пусть
«(Мо) > max «(А/) + е.
IV. Теория потенциала 141
Тогда функция
и(м)=и(м)+г\\ММ0\2.
где г] - некоторая положительная постоянная, будет при достаточно малом т\
принимать в точке Л/о значения все еще большее, чем тахи(Л/).
s
В самом деле, и{м0 ) = и(м0 ) и по предположению
?/(М0) > тахЦм) + s >(и(М) - п, \ММй ~\s + s.
Выбрав т\ настолько малым, чтобы иметь во всей области Q
и(Л/0)> птахи(М) + —.
Следовательно, и будет достигать максимума где-то внутри области. Но
Это противоречит лемме 1.
Вторая часть теоремы доказывается заменой и па - и.
Следствие 1. Гармоническая функция, равная нулю на границе некоторой
конечной области, тождественно равна нулю во всей области.
Отсюда вытекает, что две гармонические функции, принимающие
одинаковые значения в точках границы области, совпадают и всюду внутри
области.
Следствие 2. Если последовательность функций ип, гармонических в облас-
области Q и непрерывных вплоть до границы, сходится равномерно на границе S
этой области, то она сходится равномерно во всей замкнутой области.
Это вытекает из того, что разность

142 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
будучи сколь угодно малой на границе при достаточно большом Л', будет
малой и внутри. 11ризпак Коши дает пам равном ер путо сходимость и п, во
всей замкнутой области, что и требовалось доказать.
§2. Фундаментальное решение. Формула Грииа
Прямым вычислением получаем, что функция
1 I
r V(* - *о Y+b- у о Y + (z - ч У
удовлетворяет уравпеттито Лапласа
C)
везде, кроме точки M0(x0,y0,z0), где - обращается в бесконечность.
При изучеттии уравттеттии эллиптического типа мы часто будем пользо-
пользоваться формулами Грина, являющимися прямым следствием формулы Ост-
Остроградского.
Формула Остроградского имеет вид
JJJdiv AdQ. = \[A-nds, D)
n s
где Q—область, ограниченная достаточно гладкой поверхностью 5, вектор-
векторное поле А = Pi +Qj+ Rk ,
<\\\А = + —— + -—, А-п = Pcosa + Q cos [3 + R cos у,
дx ay о z
a a = Zn,x, fi = Zn,y, у = Zn,z -углы внешней нормали Я к поверхно-
поверхности S.
Пусть u{x,y,z) и u(x,y,z)- функции, непрерывные вместе со своими
первыми производными внутри Q и имеющие непрерывные вторые произ-
производные внутри ?2.
Полагая
IV. Теория потенциала 143
и пользуясь формулой D), приходим к так называемой первой формуле Грина
|||HADdn = -fflVM.VDdn+||« — ds. E)
Меняя местами функции и и и в E), будем иметь:
(ТГиДй dfi — ~jjfvw ¦ VvdQ. + ffu—d s. F)
q n s дп
Вычитая из равенства E) равенство F), получаем вторую формулу Грина
Ш. * \ .*-. г/ dv> ди) j
a s V б п
Лемма 2. Если и е С2(о)П С](о), то имеет место формула:
Агдп дп
(8)
Доказательство. Вырежем из области Q шар Ки радиуса {-; с центром в
точке Mt) и применим к оставшейся области формулу Грина G), полу-
получим и = - :
дп{г) dr\r) r2
п\кк V W /"У i4 у" \г S r unJ s. \ "" W г С п
Здесь 5*Е -сферарадиуса s с центром в точке М{].
Далее нетрудно видеть, что на сфере Sc
и, следовательно
где п -среднее зпачепие функции и{м) па Se. Итттеграл
Гds ffrfi' 47 4
i'rdn с'Jon
on с [en [дп
A0)
A1)

144 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
| О U | д U
где — — среднее значение нормальной производной — на сфере S1:.
11одставляя выражения A0) и A1) в формулу (9) и учитывая, что Д — — 0 в
Q \ Ki:, будем иметь:
ггг 1 . ,о г/ С ( \\ I CU\ _ (дпЛ
- JJJ -Аи <К1=Щ и— - \--—\ds + 4nu-4nz\ — . A2)
a\Kj s{ <-<-r*\r) r on) yon)
Устремим теперь радиус s к нулю. Тогда получим:
1) limw"-w(M0), так как и(м)-непрерывная функция, а п-ее среднее зна-
значение по сфере радиуса с с центром в точке 'V/o;
2) lim 4 тге = 0, так как из непрерывности первых производных функ-
ции и(м) в Q сразу же вытекает ограниченность нормальной производной в
окрестности точки Мо;
3) по определению несобственного интеграла
Jim №-A
l
В результате указанного предельного перехода е-> 0 в формуле A2)
мы приходим к ин'1 егральной формуле Грина (8).
Если точка А/() находшея вне области Q. то и = — не имеет особенно-
г
сти во всех точках Q и тогда формула G) имеет вид
гдп)
Если точка Mq принадлежит поверхности S, то, повторяя выше при-
приведенные рассуждения, мы в результате приходим к формуле, получающейся
из (8) при замене 4тг на 2 тт.
IV. Теория потенциала 145
Объединяя все случаи, запишем основную формулу Грина в виде
q г
s\rdn
04)
4 тг, если Мо е Q,
а = <2п, если МоgS,
[о, еслиМп?О.
Часто функцию — = называют фундаментальным решением
г \ММ0\
уравнения Лапласа.
3. Потенциалы объема, простого слоя и двойного слоя
Если бы нам были известны, из каких-либо соображений, значения
и, Аи и —, входящих в формулу Грина (8):
дп
А и = -4 тг р. и s = f1, — у = /2,
10 формула Грина дала бы нам явное представление д.)тя неизвестной функ-
функции и:
Однако мы не можем задать произвольно f\ и /2, и поэтому формула A5) не
дает возможности строить ретпепие уравпеттия B) по произвольным предель-
предельным значениям на границе его самого и его нормальной производной. Мы
дадим особые названия интегралам, стоящим в правой части этой формулы.
Интеграл jjf— dQ. мы будем называть ньютоновым потенциалом, а
функцию р- плотностью тгого потенциала. Аналогично, \\-fid s мы назо-

146 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
д f "[Л
всм потенциалом простого слоя с плотностью /т а (Г/, — \ds — потсн-
¦ -" 3f dn{r)
циалом двойного слоя с плотностью /|.
Ньютонов потенциал имеет очень простой физический смысл. Он явля-
eica потенциалом тяготения массы, распределенной с плотность р в объе-
объеме Q.
Ту же интерпретацию допускает и потенциал простого слоя. Это есть
1Ю1енциал тяготения массы, распределенной с плотностью /2 на поверхно-
поверхности S.
Задачи
1. Вычислить объемный потенциал для шара |х| < R со следующими плотно-
плотностями:
б) р = р0 = const;
в) р = |*|;
г) р = е~^ ;
д) р = sin х .
2. Для сферного слоя /?1 < х < R2 вычислить объемный потенциал масс, рас-
распределенных с плотностями:
а) р = р0 = const;
3. В точке, лежащей на оси 6 = 0 (о < 8 < тг), найти потенциал простого слоя,
распределенного на сфере г = R со следующими плотностями:
а) п -пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 6 - —;
Q
б) n = sin-;
IV. Теория потенциала 147
в)(а = еф, 0<ф<7ти ц = е ^ф, 7т<ф<27т.
4. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью и0 для сферы
Ш = R.
Лекция 19. Основные свойства гармонических функций.
Теорема о среднем арифметическом. Поведение
гармонической функции вблизи особой точки.
Поведение гармонических функций
на бесконечности
-fff-
"г
Основная интегральная формула Грина имеет вид
4пи(МA), юшМ,еО,
2пы(Д/0), если M0<eS, A)
Jjf-— -и—{-\\ds =
0, если M,,ES.
Вывод соотношения A) был основан па использовании второй форму-
формулы Грина
B)
Сейчас мы получим несколько важнейших свойств гармонических
функций.
§1. Теорема о среднем арифметическом
Лемма 1. Если и - функций, гармоническая в области Q, ограниченной по-
поверхностью S, то
\\"^-ds = 0, C)
где S' —любая замкнутая поверхность, целиком лежащая в области Q.

148 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Доказательство. Подставляя в B) гармоническую функцию и, Ди = 0 и
функцию и = 1, сразу же получим формулу C).
Из формулы C) следует, что вторая краевая задача:
может иметь решение только при условии
flfds = 0.
s
Теорема 1 (Теорема о среднем арифметическом). Значение гармонической
функции в центре некоторого шара равно среднему арифметическому ее
значений на поверхности этого тара.
Доказательство: 11римепим формулу A) к шару Ка с центром в точке MQ и
радиуса а:
D)
Здесь Sl; - сфера. Принимая во внимание, что
11
-=-
г а
оп\г
ог\г
и формулу C), из D) получаем соотношение
2§
4па с
E)
Теорема доказана.
Записывая E) в виде
4тгр2у(м0)= \\uds
IV. Теория потенциала 149
и интегрируя по р от 0 до а, получаем
и(Л/0) = —JJJwrfn, Va=—a\
т.е. u[Mq) есть среднее по объему шара Ка с границей So .
Теперь используя теорему 1. установим справедливость утверждения:
Лемма 2. Функция, гармоническая внутри ограниченной области П и непре-
непрерывная в замкнутой области Q, достигает своего наибольшего и наимень-
наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта
функция есть постоянная.
Доказательств о. Пусть и(м) достигает наибольшего значения в некоторой
внутренней точке M0(x0,y0,zQ) области Q. Проведем сферу 5*р с центром в
точке М{) и радиусом р, принадлежащую целиком области Q, применим
теорему о среднем арифметическом и заменим подынтегральную функцию
и(м) ее наибольшем значением w(M') - maxw(M) на сфере. Таким образом,
McSp
получим
и(мо) = —X—\\uds<—X—[[u(M')ds = u(M').
471 р^ .J 47Ipi,J,
причем знак равенства имеет место только в том случае, когда и на сфере S
есть постоянная, равная и{м0). Поскольку по предположению и(М0) есть
наибольшее значение и[М) в области Q, мы можем утверждать, что имеет
место знак равенс!ва и что, следовательно, и\М) равна постоянной внутри и
на поверхности всякой сферы с центром Мп, целиком принадлежащей об-
области Q. Покажем, что отсюда следует, что u\Mj есть постоянная и во всей
области Q. Действительно, соединим точку М$ с произвольной внутренней
точкой М при помощи какой-либо гладкой кривой Л, лежащей целиком
внутри Q. При этом минимальное расстояние от точек линии L до точек

150 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
границы области, будет положительным. Следовательно, существует такое
положительное число ё, что шар радиуса е, описанной вокруг любой точки
линии L, будет лежать целиком внутри Q. На линии L можно указать ко-
конечное число точек М^,М\ ,...,Мп =М, обладающих тем свойством, что
каждая последующая лежит внутри шара радиуса е, описанной вокруг пре-
предыдущей. Пользуясь доказанным свойством постоянства и на любой внут-
внутренней сфере, окружающей всякую точку, где и принимает максимальное
значение, и переходя последовательно от одной вершины ломанной к ..другой,
получим:
Аналогично доказывается, что гармоническая функция не может дос-
достигать наименьшего значения внутри П. Согласно теореме Вейерштрасса
функция и\М) в замкнутой ограниченной области достигает своего наи-
наибольшего и наименьшего значения, и она достш ает их на i ранице области ?1,
ибо, по доказанному, внутри области Q гармоническая функция и\М) не
может достигать наибольшего и наименьшего значений. Теорема доказана.
Нетрудно показать, что гармоническая функция и(м) не может иметь
внутри области Q пи максимумов, пи минимумов.
§2. Изолированные особые точки
Рассмотрим особые точки гармонической функции. Пусть Mf) — изо-
изолированная особая точка, лежащая внутри области гармоничности функции
и. 11редставляется возможным два случая:
1) гармоническая функция ограничена в окрестности точки М();
2) гармоническая функция не ограничена в окрестности точки М{).
С особыми точками второго рода мы уже встречались и = —, г = |_ММ01.
г
Следующая теорема показывает, что первый тип особых точек не мо-
может быть осуществлен.
IV. Теория потенциала 151
Теорема 2. Если ограниченная функция и(м) является гармонической внут-
внутри области Q, за исключением точки М(), то молено так определить значе-
значение и(м0), чтобы функция и(м) была гармонической всюду внутри Q.
Доказательство. Возьмем шар Ка радиуса а с центром в точке Мп, цели-
целиком лежащей внутри Q, и рассмотрим внутри него гармоническую фушшию
фй ф SКа
щ ур , рр ур
и, совпадающую с функцией и на сфере Sи шара Ка.
Составим разность
iv — и — U ,
которая
гармонична всюду внутри Ко, кроме точки Мо, в которой w не оп-
оп1) гар
ределена;
2) непрерывно примыкает к нулевым граничным условиям S в;
3) ограничена в замкнутой области Ка U So (jiv| < A).
Далее рассмотрим неотрицательную гармоническую функцию
Здесь с - произвольное положительное число, о - радиус шара Ки,
Построим шар Кь с центром в точке Л/о, выбрав его радиус b так,
чтобы на его сфере значение и превосходило А, и рассмотрим область
Ка \ Kh. Функция w непрерывна в замкнутой области Ь < г < а, и на границе
этой области имеет место неравенство п\ < U . В силу принципа максималь-
максимальною значения неотрицательная функция U является мажорантой функции vv
iv| < ?/(м) для Ь < г <а.
Фиксируя произвольную точку М области Ка, не совпадающую с Мо, и со-
совершая предельный переход при е -> 0, получим

152 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
следовательно, всюду, за исключением, быть может, точки М{)
w = ().
Таким образом, функция и всюду в области Q, за исключением точки М{),
совпадает с функцией U. Полагая н(мо)=и(мо), мы получим функцию
u = U, гармоническую всюду внутри области Q. гГем самым теорема доказа-
доказана.
При доказательстве теоремы 'этого пункта мы предполагали, что функ-
функция и О1раничена в окрестности ючки М§. Однако те же рассуждения ocia-
ются в силе, если предположить, что функция и в окрестности точки Мп
удовлетворяет неравенству
|«(A/J<c(r)i, F)
где s(r)- произвольная функция, етремящаея к нулю при г -> 0. т.е. в окре-
окрестности точки Л/о функция и(м) растет медленнее, чем -.
Итак, если гармоническая функция и[М) в окрестности изолированной
особой точки М§ растет медленнее, чем —, т.е. выполнена оценка F), то она
г
ограничена в окрестности этой точки, и можно так определить значения
и(Мо ), чтобы функпия и{м{)) была гармонической и в самой точке Мо.
§3. Поведение гармонической функции на бесконечности
Гармоническая функция и\М) называется регулярной па бесконечно-
бесконечности, если
ди\ _А_
при достаточно большом г > г0.
IV. Теория потенциала 153
Теорема 3. Если функция и(м) гармонична вне некоторой замкнутой по-
поверхности S 11 равномерно стремится к пулю на бесконечности, т.е. суще-
существует такая функция е(г), что
\и(м] < z(r), c(r)-> 0 при г -»ж, G)
где г — радиус-вектор точки М , то она регулярна на бесконечности.
Доказательство. Совершая преобразование Кельвина
и(г',0,(р) = гм(гДср). 1де г' = -,
(8)
получим, что функция и гармонична всюду внутри поверхности S, в кото-
которую переходит поверхность S при преобразовании обратных радиус-
векторов за исключением начала координат, где она имеет изолированную
особую точку.
Из условия G) следует, что в окрестности начала координат (см. (8))
для функции и имеет место неравенство
|и(г',0,ф)|<& — — = е(г')—,
е(г') - s — -> 0 при г' -> 0.
\.r'J
На основании выводов §2 функция и(г',0,ф) ограничена и гармонична
при г'<г$:
|и(г',0,ф)| < А при г'<го'л
В силу гармоничности функции и при г' = 0 можно нацисагь:
о и д (\ , , , Л х 1 Г г? и дх' 5 и д у' си cz'
— = — -щх ,у ,z)\ = —^"и + - + + |,
дх дх\ г ) у2 г\_дх'дх ду дх 8z' дх J

154 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где
х , v , , z ,
х =— г , у = — г , z =-г .
г г г
дх' ду' oz'
Отсюда, вычисляя производные , ——, —— и принимая во внимание ог-
д X С X ОХ
раниченность первых производных функции и в окрестности точки г' = 0,
получаем;
<—т при
д и ди
Аналогичные оценки имеют место для производных и .
ду dz
Лекция 20. Уравнение Пуассона в пространстве.
Ньютонов потенциал
Здесь мы исследуем уравнение Пуассона
Аи =-4np(x,y,z)
в области, которая совпадает со всем пространством.
(О
§1. Теорема единственности
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Решение, уравнения Пуассона A) в неограниченном пространст-
пространстве, стремящееся, к нулю на бесконечности, единственно.
Доказательство. В самом деле, если щ и и2 - два таких решения, то их раз-
разность
IV. Теория потенциала 155
есть гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, а имен-
именно
где е(й)-> 0 при R -> оо \R = ^jx2 + у2 +z2].
Теперь, применяя теорему 1 лекции 18 к сколь угодно большому шару,
видим, что в любой точке пространства значение гармонической функции
сколь мало в силу B). Отсюда и вытекает справедливость теоремы.
§2. Построение решения уравнения Пуассона
Переходим теперь к решению уравнения A) в неограниченном пространстве.
Пусть функция p{x,y,z) интегрируема и удовлетворяет неравенетвам
C)
|р(.г, у, z)j < А, если г < 1,
При выполнении условий C) решение уравнения A) легко построить с
помощью интегральной формулы Грина. Пусть u(xQ,y(),z())-решение A),
стремящееся к нулю на бесконечности. Взяв произвольный объем Q, огра-
ограниченный поверхностью S, мы имеем па основании чтой формулы:
Su[)dS, D)
где г —расстояние между точкой М[х, v,z) и точкой Mq(xq, vo,z0).
Возьмем за объем Q тиар радиуса R с центром в начале координат и
устремим R к бесконечности. При этом первое слагаемое правой части D)
будет стремиться к определенному пределу, так как в силу условий C) объ-
объемный интеграл сходится. Сумма двух других слагаемых представляет собой

156 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
некоторую гармоническую функцию. Мы покажем далее, что предел первого
слагаемого дает решение поставленной задачи. В силу доказанной единст-
единственности решения отсюда будет следовать, что сумма второго и третьего сла-
слагаемых стремится к нулю.
Докажем, чю функция
*о.Уо,го)= J J
E)
действительно удовлетворяет уравнению A) и поставленным условиям.
Функция E) называется ньютоновым потенциалом, а р (х, у, z)—его
плотностью.
Покажем прежде всего стремление к нулю функции и на бесконечно-
бесконечности. Используя C), из формулы E) получим
Переходя к оттенке последнего интеграла, заметим, что величина его
зависит от Ro =д/х0' + у(} + z0 , и если положить х0 = R0, у0 =0, z0 =0, то
она не изменится. В еамом деле, очевидно, этот интеграл не меняется при по-
повороте координатных осей, и можно выбрать, эти координатные оси так, что-
чтобы ось ОХ проходила через точку М{)(х0,yo,z0). Делая теперь замену пе-
переменных
приведем его к виду
1111ф"р2+а Р] Ro2 111 P] р2+а '
где /?-V^2 +112 +^2 , Р\ ^
Последний интеграл сходится, так как:
1) при р -> со подынтегральная функцшт убывает как —^—;
р'+а
IV. Теория потенциала
1
157
2) вблизи р = 0 особенность порядка —'-— интегрируема (ввиду того, что
р +а
без ограничения общности можно считать а < 1), ибо в противном случае
замена а на а, < а только ослабит неравенство C));
3) вблизи Р\ =0 особенность порядка — ингетрируема.
Р\
Обозначим
будем иметь
-ъ-.„-,лР\р
что и доказывает стремление к ттулто функции и па бескопечттости.
Докажем теперь, что и имеет непрерывные производные, которые по-
получаются дифференцированием под знаком интеграла.
Например,
dli '%'%'% S (П , , ,
4тг——= J J J p - \dxdydz.
Дифференцирование под знаком интеграла выполнимо, так как нолу-
четтпый интеграл равттомерпо по х0 сходится. В самом деле.
д \
1
откуда и следует сходимость. Одновременно доказано существование непре-
непрерывных первых производных у ньютонова потенциала. Чтобы доказать су-
шествование и непрерывность вторых производных, необходимо наложить
некоторые новые ограничения па функцию p(x,y,z). Именно, мы положим,
что эта функция имеет непрерывные производные первого порядка. Это ог-

158 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
раничение не яв^ется существенным, но замена ехо друхим, более слабым,
потребовала бы больших усилий.
Функцию р всехда можно разбить на два слахаемых pi и р2 так, чтобы
в окрестности данной точки M0(x0,y0,zQ) функция р2 была бы тождест-
тождественна нулю, а функция р, была бы тождественна нулю в некоторой окрест-
окрестности бесконечности, т.е. везде вне некоторой области Q. При этом можно
добиться того, что pj и р2, в свою очередь, будут иметь, непрерывные про-
производные первого порядка. Тогда
4ttw(xII,>-o,zu)= f f j— dxdydz+ f if j—dxdydz.
Ввиду того, что р2 =0 в окрестности точки _M()(.Vu,_>'0.Zq), можно из
второхо интехрала исключить эту окрестность и тохда дифференцировать но
параметру два раза, получая равномерно сходящиеся интегралы. Займемся
первым интегралом. Булем иметь, например:
<т х х та v- -с ( \
с г г г Р1 , , , г г г \х ~ х0) , , ,
I I I — dx dy dz = I I I p t dx ay dz.
Вводя новые переменные х = xQ + ?,, у = уц + т\, z = z(i + С,, получим
и, очевидно, что по параметрам xo,y(],zo этот последний интеграл диффе-
дифференцировать можно. Это следует из того, что интегралы от производных бу-
будут сходиться равномерно.
Нам осталось доказать, что ньютонов потенциал удовлетворяет урав-
уравнению Пуассона.
Возьмем функцию у(хи, _у0, z^ ), равную нулю везде, кроме некоторого
шара К с центром M0(x0,y0,z0), и имеющую непрерывные производные
IV. Теория потенциала 159
нескольких порядков, и рассмотрим интегральную формулу Грина для функ-
функции \|/:
I ак как вне тара К \[/ и равны нулю, получим
On
v(*o.:V<bzo)=-— f f i dxdydz.
4ti _.fs _ъ _ъ г
Умножая последнее соотпотеттие па р(.т0, vo,z(|) и интегрируя по xo,y(],z(|,
будем иметь
f \ Jv(^u • >'о > zo )?(xi)' У о. Ч ) dxi) Фо <&о =
47I[ L
dydz= F)
= ~ J J $и(х' У- z)^4>{x' У<z) dx dy dz.
Далее для достаточно большой области Q
jjju A\\fdQ= JJf\|/ AudQ. G)
Теперь из формул F) и G) получаем, что
} ] ]y(x,y,z)[Au+p]dxdydz = Q.
Из произвольности \[/(х, у, z) вытекает
А и = -р.
Игак, доказано утверждение:
Теорема 2. Пусть функция р = р(лг, у, z) имеет непрерывные первые произ-
производные и, кроме этого, выполнены условия C). Тогда формула E) задает ре-
решение уравнения Пуассона A), стремящееся к н\'лю на бесконечности.

160 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 21. Решение задачи Дирихле для шара
Пусть Q-конечная область, ограниченная поверхностью S. Внутрен-
Внутренняя задача Дирихле для уравнения Пуассона ставится так: найти решение
и\М) уравнения
Аи =р{м). м{х,у,г)&О., A)
непрерывное в замкнутой области Q и принимающее на поверхности S за-
заданные значения
и = /(м), M(x,y,z)eS. B)
В настоящей лекции мы будем занимался решением задачи Дирихле
для тара.
§1. Функция Грина задачи Дирихле
Применяя интегральную формулу Грнна (см. лекцию 19) к решению и
уравнения Пуассона A), получим
Пусть известна функция g(M, Мо), обладающая следующими двумя
свойствами: 1) как функция переменной точки М она является гармониче-
гармонической внутри области Q и имеет непрерывные первые производные вплоть до
поверхности S; 2) па поверхности S функция g(M,M0) принимает грапич-
1
ные значения —.
г
Применяя вторую формулу Грина (см. лекцию 18) к функциям и(м) и
g{M,MQ ), получим
IV. Теория потенциала
или, в силу граничных значений для функции g{M, Мо ),
1 rrr _ 1 ГГГ 0g 1ди~\,
Вычитая это равенство из C), мы найдем
Положим
D)
ФМо) f
Anr An
Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона на-
называется функция G(M,M0), удовлетворяющая следующим условиям:
1) G(M,A/o) как функция точки М есть гармоническая внутри области Q,
исключая точку М{), где она обращается в бесконечность: 2) она удовле-
удовлетворяет граничному условию
С{М,Мй\ =0; E)
3) в области Q функция G\M, Мп) допускает представление
G\M, М()) = 1 , F)
An r An
где г = |М0М| и g(M,MQ)-гармоническая функция везде внутри П_
Построение функции Грнна сводится к нахождению ее регулярной час-
части g{M, MQ), которая определяется из решения задачи Дирихле для уравне-
уравнения Лапласа:
Ag(M, М()) = 0, g(M, МЛ =--, MQ g Q.
s г
С помощью функции Гршта рептегтие впутрепттей задачи Дирихле (если оно
существует) даегся формулой, согласно B), D), F):
\М0}Х1- \\/(м)-^-0(М, MQ )ds. G)

162 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Прн выводе формулы G) мы предполагали существование функции
и{м} - решения внутренней задачи Дирихле с граничными значениями
f[M), непрерывного вместе с первыми производными вплоть до границы S.
Таким образом, не давая доказательства сушествования решения, формула
G) даст интегральное представление существующих достаточно гладких ре-
решений задачи Дирихле. Подробное исследование формулы G), проведенное
A.M. Ляпуновым, показало, что для поверхностей, называемых поверхностя-
поверхностями Ляпунова, она представляет решение задачи Дирихле при лгобом выборе
непрерывной функции /(Л/), входящей в граничное условие, и при условии
непрерывной дифференцируемое™ правой части р(м).
Используя принцип максимума, нетрудно показать, что функция Гритта
Gin, Mq ) удовлетворяет неравенствам
О < С(М, МЛ< —, М е П .
An r
Кроме того, функция Грина симметрична, т.е.
g(m,mo)=g(mo,m).
(8)
§2. Решение внутренней задачи Дирихле для шара
Перейдем теперь к решению задачи Дирихле для тара. В этом случае
можно построить функцию Грина в явном виде. Пусть R— радиус щара с
центром в точке 0; возьмем внутри его произвольную точку Мо (д:0, v0, z0 ) и
обозначим через р расстояние этой точки от центра шара (рис. 1). Подверг-
Подвергнем точку Мо преобразованию инверсии относительно сферы S. Преобразо-
Преобразованная точка Л/, (х,, _у,, Z}) будет лежать на прямой OMQ вне шара па рас-
расстоянии р, от центра шара, причем
РР1=Я2- (9)
IV. Теория потенциала
163
Рис. 1
Далее обозначим через г и г, расстояние от точки М соответственно
до точек Мо и Л/,. Найдем соотношение между г и гх когда точка М нахо-
находится на поверхности шара. Треугольники ОМпМ и ОЫХМ подобны, так
как они имеют общий угол при вершине О и стороны, образующие эти углы,
пропорциональны в силу (9). Из подобия треугольников следует, что
г, R
-- — . — = 0 при M<eS.
г р г.
A0)
Покажем теперь, что функция Грина для шара будет иметь следуюшии
-¦-¦
р Г[
A1)
Действительно, функция G(M.Mo) как функция точки М является гармо-
гармонической внутри шара, за исключением точки Мо, где она обращается в бес-
бесконечность. На поверхности S шара она обращается в нуль, что следует из
A0). Таким образом, построенная функция удовлетворяет всем условиям, на-

164 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
лагаемым на функцию Грнна задачи Дирихле. Подставляя найденную функ-
функцию Грина в формулу G), получим
рП) 4тГ/ с)ц\,г рг1у
Проверим теперь, что формула A2) действительно дает решение задачи
Дирихле для шара.
Докажем сначала, что функция
( 1 Т> \
П A3)
обращается в пуль па границе и удовлетворяет уравнению I lyaccona.
Так как для функции Грина G{M, М(}) выполнены неравенства, то ин-
интеграл A3) сходится равномерно в точке Мо; следовательно, он представляет
собой непрерывную функцию. Значение ее, если Мо является точкой грани-
границы, есть нуль, следовательно, интеграл A3) стремится к нулю, если Мо
стремится к точке границы.
Пусть точка А/о лежит внутри шара; запишем интеграл A3) в виде
»,(M0)jJjrfr +
471 Q Г
Первое слагаемое есть ньютонов потенциал и, следовательно, применение к
нему оператора Лапласа дает р . Второе слагаемое есть гармоническая функ-
функция, так как
(Мы обозначим здесь оператор Лапласа До, чтобы подчеркнуть, что произ-
производные берутся по аргументам xfl,y0,zQ.) Следовательно, формула A3) дает
нужное нам решение уравнения Пуассона.
Второе слагаемое, стоящее в правой части A2), обозначим так:
ds.
A4)
Оп\у рг
Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в шаре существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе
IV. Теория потенциала 165
с первыми производными, то это решение представнмо по формуле A4). Эта
формула носит название формулы Пуассона.
Преобразуем формулу A4). Имеем
Таким образом
3A1 1 ,_ __
—А — |=—^cos| r-r,и
Зи1
3 1 R1 I I R
—\ —^cos а н Tcos p на 5 .
Зп^г srtj г" р г{
A4)
Здесь а - угод между векторами г-гоиг7,аР- между г - г, н п (рис. 2).
Рис.2

166 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Из треугольников ОММ{] , ОММ[ имеем
р — R~ + г~ - 2R /¦cosa,
Определяя отсюда cosa и cosf> и подставляя их в A4), получим
cn\r pi\
или, в силу (9), A0),
д(\ R ) р2 -R1
— = -
на S.
дп[_г prj Rr3
Подставляя в формулу A4), окончательно получим
[R~ -
Можно доказать, что если функция /(м) непрерывна, то формула A5)
дает решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
Например гармоничность функции гь(Л/0) следует из того, что при
р < R имеем
A,— =
2о
(MeS).
Задачи
1. Построить функцию Грина для следующих областей в R :
а) полупространства z > 0;
б) двугранного утола у > 0, z > 0;
в) октанта х > 0, у > 0, z > 0.
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R :
а) полушара х7 + у + z~ < R" , г > 0;
IV. Теория потенциала
б) четверти тиара х2 + у2 + z2 < R2 , у>0, z>0.
3. Найти решение задачи Дирихле
Au=-f(x,y,z), z>0; u\z_Q =uQ(x,y),
для следующих / и и0:
а) / = 0, м0 = cosхcos;';
5)/=е'sinxcos v, щ = 0.
4. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полущара
х2 + у2 + z2 <R2 , z > 0.
Лекция 22. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства
Мы встречались уже с постановкой двух основных задач теории урав-
уравнения Лапласа, а именно, с задачами Дирихле и Неймана.
Напомним, что задача Дирихле для уравнения Лапласа сосюит в опре-
определении функции и в области Q с границей S, удовлетворяющей уравнению
Ди = 0, лф^еП, A)
и граничным условиям
Н|,= /,(М). B)
Задача Неймана состоит в отыскании решения уравнения A), удовле-
удовлетворяющего условию
я,/
C)
§1. Теорема единственности решений задач Дирихле и Неймана
Пусть П - полупространство г > 0; поверхность S является тогда
плоскостью oxv.

168 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теорема 1. Решение и(м) задачи Дирихле A), B) единственно в классе огра-
ограниченных функций.
Доказательство. Пусть задача A), B) имеет два решения щ н и2. Тогда раз-
разность и = W[ — и2 будет гармонической функцией, обращающейся в нуль при
z = 0. Определим и для отрицательных значений z нечетным образом:
u{x,y,z)=-\)(x,y,-z).
Докажем, что эта функция будет теперь гармонической во всем про-
пространстве, включая и плоскость z = 0.
Построим сферу а произвольного радиуса с центром на плоскости
z = 0 и определим функцию и,, гармоническую внутри тара, ограниченного
этой сферой, и принимающую на поверхности значения
u,(m)=u(m) Мее. D)
Легко видеть, что о, будет равна нулю при z = 0. В самом деле, функ-
функция
w, (х, v, z) = - [и, (х, у, z) + и, (х, y,-z)]
будет гармонической и примет на сфере а значения нуль, следовательно,
w,(-r,y,0)=0.Ho
Плоскость z=0 рассечет наш шар на два полушара. Функция и, на
границе каждого нз них совпадает с и; на поверхности а это следует из D), a
на части плоскости z = 0 обе эти функции равны нулю. Следовательно,
и = и,, н, значит, функция и имеет все производные всюду внутри шара и
гармонична в нем. Так как положение центра шара произвольно, то и будет
гармонической во всем пространстве. Теперь согласно теоремы Лиувилля
IV. Теория потенциала 169
она тождественно равна некоторой постоянной. Эта постоянная может быть
только нулем, так как и = 0 при z = 0.
Теорема 2. Решение и(м) задачи Неймана A), C) стремящееся к нулю, ко-
когда точка Мух, у, z) стремится к- бесконечности единственно.
Доказательство. Для любого s > 0 имеем оценку
и(х,у, г)| < s, если уд-2 + у2 + z2 > r(&) E)
(^(s) -> со, приs -> 0\. Далее пусть щ и и2 -два решения задачи Неймана.
Тогда функция и = и{ -иг удовлетворяет условию:
3d
Д и = 0 при z > 0, — = 0 при z = 0.
dz
Определим для отрицательных z функцию и с помошью формулы
\)(x,y,z)=\)(x,y,-z).
Докажем, что функция и будет гармонической всюду, включая плос-
плоскость z = 0.
Рассмотрим производную
6и / \
^— = v\x,y,z).
О Z
Это будет функция, гармоническая в верхнем и в нижнем полупространстве,
удовлетворяющая условиям
ч{х, у, z) = -w[x, y,-z), w{x, у,О) = 0,
и, следовательно, как мы только что доказали, гармоническая во всем про-
пространстве.
При этом функция
(n(x,y,z)='+jv(x.y.Z)d$ = u(x, y,z + \)-u(x,y,z)

170 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
гакже будег гармонической во всем пространстве. Эю легко проверить непо-
непосредственным дифференцированием.
Отсюда следует, что функция v>(x,y,z)- также гармоническая во всем
пространстве. В самом деле, она могла бы не быть гармонической только на
плоскости z = 0. Но
u(x,y,z) = v>(x,y,z + \)+Qi(x,y,z). F)
Правая часть F) гармонична па этой плоскости, следовательно, гармо-
гармонична и левая.
Ввиду ограниченности и во всем пространстве по теореме Лиувилля
имеем
и = const.
Следовательно, решение задачи Неймана единственно с точностью до
постоянного слагаемого в классе ограниченных решений.
11ри выполнении условия E), очевидно, что о = 0.
Теорема доказана.
§2. Построение решений задач Дирихле и Неймана
Предположим, что рассматриваемая нами гармоническая функция
удовлетворяет условиям
ox
д UlX, у, Z
du(x,y,z)
А
Oz
G)
. A
где R = л]х2 + у2 + г', а > 0, a A - постоянная.
После того как явное решение задач будет нами получено, надобность
в Гэтом предположении отпадет.
IV. Теория потенциала 171
Применим к функции и инге1ральную формулу Грина, выбрав за объ-
объем Q полушар с центром в начале координат
R<B, z>0.
Так как Д и = 0, то
, ч 1 „Г1ЙИ Э (I
где г=л1(х-х0J +{у-у0У +(z-z()J .
Поверхность S состоит из куска S^ плоскости z = 0 н из поверхности
S2 полусферы R=B, поэтому формулу (8) можно переписать так
1 Jl ди
— ii\-—
An "\r дп
lcu д
ii\ — -u—\
4п "\г on dn\r
Оцепим второй интеграл правой части (9). Имеем в силу G)
^\h\d*<-^.
ds<
2пАБл
(9)
гг 1 9 и д A
S п д n\r
Поэтому
a(-lo.-)'o.zo)= lim-—Ш — и—\ - \ds =
=— \u~-ui- - \\ds
"СП ОП\Г I
A0)

172 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим вместе с Мо (х0, у0, z(,) еще точку А/, (х0, у0 ,-z0 ), н пусть
/-, =д/(х-х0J +{у-}'оУ +(z + zoJ - В верхней полуплоскости гармо-
гармоническая функция, так же как и и . Поэтому
\u-uA\-)\dQ = 0
н, следовательно, согласно второй формуле Грина имеем
1 8U -и
s\_rx дп U 6п{п Л "| Г, ОП 6п\Гг
\ ди д ( 1
——- -и—| -
г, on i
Переходя к пределу, когда В стремится к бесконечности, и пользуясь теми
же оценками, что и при выводе формулы A0), получим
Заметим теперь, что не плоскости z = 0 имеют место равенства
в (\Л д (\\ ,
гх =г, — — = (радиус-векторы г, и г симметрштны относи-
дпуг^ ) Dn\r)
телыто плоскости z = 0), откуда
— [[ и—\-\\ds=0.
4п:Ц[г8п дп{г)\
Складывая A0) и A1), получаем
2яг10 гд
Вычитывая A1) из F), будем иметь
A2)
IV. Теория потенциала
173
с д
Формулы A2) и A3) перепишем, учитывая, что = , следующим
en dz
ооразом
A2')
—
z«fi(x,y)d x d у
A3')
Можно показать, что если f\{x,y) и $\{х>у)- непрерывные функции,
удовлетворяющие неравенствам
где р = ух +у , а>0, а А— постоянная, то формулы A2') и A3') датот
решения задач Неймана и Дирихле, при этом интеграл A3') представляет со-
собой ограниченную функцию, а интеграл A2') функцию w(,rn,j0,zfl), обра-
обращаются в нуль на бесконечности.
Лекция 23. Свойства потенциалов объема, простого
и двойного слоя
Чтобы рассмотреть задачи Дирихле и Неймана кроме шара и полупро-
полупространства еще и для областей, мы должны рассмотреть в отдельности инте-
интегралы
/, = jjjPMrffi , /2 =-Я/,(м)-р-и , /з = \\^dS.
п г s дп\г) s г
которые встречались нам уже неоднократно. Как мы упоминали раньше, ин-
интеграл /, называйся потенциалом объема, а функция р(м) - его плотно-

174 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
стью; интеграл 12 называется потенциалом второго слоя, а /[{м) - его
плотностью; интеграл /3 называется потенциалом простого слоя, а /Д^О ~~
его плотностью.
§1. Потенциал объема
Рассмотрим потенциал объема
r=\M0M\),
A)
где П - конечная область. Предположим, что плотность р(Л/) ограничена и
интегрируема в Q. Интеграл A) является собственным, если точка Мо лежит
втте П (г ф о). В этом случае функция и {м0 ) непрерывна и имеет частные про-
производные всех порядков. Эш производные могут бьпъ получены дифференци-
дифференцированием под знаком интеграла, и и (м0 ) удовлетворяет уравнению Лапласа
Аи = 0 вне области Q. Покажем, что при стремлении точки Мо в бесконеч-
бесконечность по любому направлению функция и (м0 ) стремится к нулю, так что
у(Л/()) <—, Л = const
R
Пусть начало координат принадлежит области П. Тогда
r>R- \OM\.
Обозначим через d — диаметр области Q. Тогда
r>R-d.
Будем считать, что точка Mq настолько удалена от начала координат,
что R > 2d, т.е. d < W~ , тогда г > К^ или 1/ < —. Теперь
IV. Теория потенциала
Таким образом, потенциал объема и (Л/О ) есть гармоническая функция
вне области Q.
Пусть теперь гочка Мо лежит внутри области Q. То1да интеграл A)
будет несобственным. В силу ограниченности плотности р(Л/) интеграл A)
сходится гак, как
Кроме ioio, можно показать, что погенциал /,/(Мо) и eiо производные
первого порядка непрерывны во всем пространстве и эти производные могут
быть получены дифференцированием под знаком интеграла.
Для существования производных второго порядков требуется наложить
на плотность потенциала р(м) дополнительные ограничения. А именно,
справедливо утверждение:
Теорема 1. Если плотность р{м) непрерывна в замкнутой области Q и
имеет непрерывные производные второго порядка внутри Q, то потенг\иал
объема A) имеет непрерывные производные второго порядка внутри Q и
удовлетворяет внутри П уравнению Пуассона
Итак, если /'(Л/)е CfQJn С (q), то уравнение Пуассона
ди(м„)+/(мо)=о
имеет частные решение

176 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§2. Поверхности Лапунова
Для возможного строгого установления свойств потенциалов простого
и двойного слоя необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на
которых расположены эти слои.
Будем называть замкнутую поверхность S поверхностью Ляпунова,
если выполнены следующие трн условия:
1. Поверхность S имеет везде касательную плоскость.
2. Вокруг каждой точки Mq поверхности можно описать такой шар радиуса
h, не зависящего от Mq, внутрь которого попадет лишь участок X по-
поверхности S, встречающий прямые, параллельные нормам Uq в точке
Mq , не более чем один раз.
3. Если Э - острый угол, образованный нормалями к S в двух ее точках М\
и М-,, и г - расстояние между этими двумя точками, то имеет место не-
неравенство
В<ага,
где а и а - постоянные числа, причем 0 < а < 1.
Условие 1 дает возможность в точке М поверхности Ляпунова по-
построить местную прямоугольную систему координат XYZ, беря точку М
за начало координат, касательную плоскость в точке М за плоскость X Y и
нормаль поверхности в точке М за ось 07.. Условие 2 показывает что в этой
местной системе координат уравнение части поверхности S, заключенной
внутри сферы С с центром в точке М и радиусом h, может быть представ-
представлено в виде, разрешенном относительно Z :
Из условия 3 следует, что частные производные /-> и у4, являются не-
непрерывными функциями х и у.
IV. Теория потенциала 177
§3. Потенциал двойного слоя
Рассмотрим потенциал двойного слоя непрерывной плотности /"ДМ),
заданной на поверхности Ляпунова
со(х0 ,yo,zo)=- JJ/, (M)^-(-)dS . B)
s on\r j
11отетщиал двойного слоя имеет везде вне S производные всех порядков и
удовлетворяет уравнению Лапласса. Покажем, что потенциал двойного слоя
стремится к нулю на бесконечности. Возьмем начало координат внутри об-
области Q, ограниченной поверхностью S. Тогда
м(,м\>\ом(,\-\ом
r>R-\OM .
Обозначим через L наибольшее расстояние точек поверхности от начала ко-
координат. Тогда
r>R-L.
Будем считать, что точка Mti настолько удалена от начала координат,
R > 2L, т.е. L < у~ , т
у~ или j/ < —. Далее обозначим через ц>
угол, образованный векторами п и MqM , где п - внешняя нормаль к по-
поверхности S в точке Ы . Тогда формулу B) можно представить так
Теперь
1^ds < ? JJI/Иds=y-'
= A\\<\\\f}(M\dS.

178 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Следовательно, потенциал двойною слоя стремится к нулю на беско-
бесконечности как у -, .
Далее мы приводим свойства двойного слоя, не останавливаясь на их
доказательстве.
Пусть теперь точка М(> лежит на поверхности S . Тогда г = Мо М об-
обращается в нуль при совпадении точек MQ и М и интеграл B) является не-
несобственным. Можно показать, что он сходится. Таким образом, потенциал
двойного слоя B) определен во всем пространстве.
Если точка Мо лежит на поверхности S, то значение интеграла B) в
этой точке называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть
теперь точка MQ(x0,yQ,zQ) находится вне поверхности S и пусть точка Л/о
приближается к точке No e S. Если при этом приближении оказывается, что
потенциал двойного слоя ы(М0) стремится к некоторому конечному преде-
пределу, то мы будем говорить, что потенциал двойного слоя принимает в точке
,Vfl предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала двой-
двойного слоя, вообще говоря, не совпадают. Оказывается, что предельные значе-
значения потенциала двойного слоя to (Mq ) различны в зависимости от того, извне
нли изнутри стремится точка Mq к поверхности S, и эш предельные значе-
значения не совпадают с прямыми значениями, а именно, справедливо утвержде-
утверждение:
Теорема 2. Потенциал двойного слоя <а(М0)имеет пределы при стремлении
точки Мд к точке No поверхности S извне или изнутри.
Если пределы значений <о(Л/0) извне обозначить через соДЛ^), а предел из-
изнутри - через (Hj (jVq ), то имеют место формулы
<"„(#„)=«.(.?„)-2*/,(#„),
ы,(л'0)=ы(л'0)+2я./;(л'0).
IV. Теория потенциала 179
Итак, потенциал двойного слоя ы(Л/0) есть разрывная функция, кото-
которая претерпевает разрыв непрерывности при переходе через поверхность.
§4. Потенциал простого слоя
Рассмотрим потенциал простою слоя непрерывной плотности /г(Л/),
заданной па поверхности Ляпунова S:
Во всех точках M0(x0,y0,z0) пространства, не принадлежащих по-
поверхности S, потенциал простого слоя имеет производные любого порядка н
удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как в §3, можно по-
показать, что потенциал простого слоя стремится к нулго на бесконечности, как
Можно доказать, что потенциал простого слоя с непрерывной плотно-
плотностью есть функция, непрерывная во всем пространстве.
Рассмотрим нормальную производную петенциала простого слоя. Вы-
Выберем произвольную точку jVq на поверхности S и обозначим через Щ на-
направление внешней нормали в этой точке. Производная по направлению п§ в
точке Mq , не лежащей на поверхности, будеч
дп0 ""^ ' дщ'
Оказывается, что интеграл D) сохраняет смысл также в том случае, ес-
если точка Mq совпадет с точкой Л70 на поверхности, и является непрерывной
функцией точки Лг0 на этой поверхности.
Обозначим через
дпн

180 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
соответственно предельные значения нормальной производной при прибли-
приближении точки Мо к точке JV0 по нормали изнутри S и извне S. Имеет место
предложение:
Теорема 3. При непрерывной функции f~, справедливы формулы:
За(Л'„I _Э<т(Л0)
E)
Из формулы E) непосредственно следует величина скачка нормальной
функции производной потенциала простого слоя
Лекция 24. Сведение задач Дирихле и Неймана
к интегральным уравнениям
§ I. Постановка задач и единственность их решений
Пусть S -замкнутая достаточно тладкая поверхность. Обозначим через
Q| ограниченную этой поверхностью, а через Q2 —бесконечную область,
внешнюю по отношению к S, также ограниченную поверхность s .
Рассмотрим четыре задачи:
1. Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию и, гармоническую в Q], при
условии
IV. Теория потенциала 181
2. Внешняя задача Дирихле. Найти функцию и, гармоническую в Q3, при
условиях:
а) и = /\(м), MgS,
б) lim и = 0, R = \jx2+y2+z2 .
3. Внутренняя задача Неймана. Найти функцию и, гармоническую в П|,при
условии
|^ = /2(м), MsS.
4. Внешняя задача Неймана. Найти функцию, гармоническую в Q-,, при ус-
условиях :
а) — = f2M, MeS
дп
б) Нти = 0.
Прежде чем намечать пути решения этих задач, займемся их исследо-
исследованием.
Теорема I. Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно,
Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу Дирихле. Предпо-
Предположим, что существую! два решения их{м) н и2(м) одной и той же задачи
Дирихле. Тогда их разность
и(м)=и](м)-и2(м)
будет гармонической функцией, равной нулю на S. Отсюда из принципа
максимума следует, что u(;W)=0, т.е. и1(м)=и^(м) во всей области Qb так
как в противном случае она должна была бы достигать внутри области Q,
положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего
значения, что невозможно.

182 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле. Как и выше, предполо-
предположим, что существуют два решения их{м) и и2(м). Тогда их разность
и(м) = и: (Л/)-ы2(Л/) будет гармонической функцией, равной нулю па S и
и\М)—>0 при М —> ее 5 т.е. для любого е > 0 можно указать такое А, что
u(m)\<f. при R>A. Пусть M(x,y,z)-произвольная точка бесконечной
области Q2. Проведем сферу SK() с центром в начале координат н радиусом
Rq > А столь большим, чтобы точка М и поверхность S лежали внутри этой
сферы. Тогда и(м)\ < р., что следует из теоремы о максимуме и минимуме,
примененной к конечной области, заключенной между 5н5Я||.В силу про-
произвольности в > 0 заключаем, что и(Л/)=0, а так как М — любая точка об-
области Q2, то и =0 в О.2, т.е. и} =и2-
Теорема 2. Решение внешней задачи Неймана, имеющее непрерывные вплоть
до границы производные первого порядка, единственно, решение внутренней
задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной,
Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачу Неймана. Пусть
иДА/) и и2\М)—1ц,Вс\ решения задачи Неймана в области Qt с границей S,
удовлетворяющие одному и тому же граничному условито
дп дп
Тогда их разность и = и{ - и2 будет гармонической функцией внутри области
ди(м) Л
Q|, для которой —*—- = 0 при MeS.
дп
Воспользуемся первой формулой Грина для гармонических функций
S {Вх
0 у
" Вп
IV. Теория потенциала 183
Правая часть равна нулю, значит, и левая часть равна нулю. Тогда в силу не-
непрерывности функции и(м) и ее первых производных следует, что
5и _ди _5и _
с х 8 у д z
т.е. zv(M) = «[(м) - w2(M) = const, что и требовалось доказать.
Отметим, что внутренняя задача Неймана не всегда разрешима. Для ее
разрешимости необходимо, чтобы
Необходимость вытекает из свойства гармонических функций. Для рассмот-
рассмотрения внешней задачи возьмем сферу SR радиуса RQ, где йи —достаточно
большое число, н пусть Q3 — объем, заключенный между S и SR . Далее
пусть и,(м) и и2{м) ~ лва решения виетпией задачи Неймаиа, удовлетво-
удовлетворяющие одному и тому же граничному условито. Тогда их разность есть гар-
гармоническая функция в бесконечной области, для которой
— = 0, MeS,
дп
R2
A)
Теперь, применяя формулу Грина для гармонических функций к области
Q з, получим
da.
B)
,, ди , „ йа „II ди\ ди\ (д
fjnds+}tTnds-B^) та +Ь
пни, в силу A),
dn= JJ и
Ои ,
В силу оценок A) имеем
Пои
и — <Ь

184 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Тогда из B) получаем, что при достаточно большом Ro имеем
гO.1\
№ •(?) -If) •
прн любом с > 0, что возможно лишь при условии
ди ди Он
д х су cz
Значить, и = const; так как иуМ) —> 0 при М —> =о, то щМ) = 0, т.е.
и](м)=и2(м).
§2. Инге! ральные уравнения для краевых задач
Полученные нами в предыдущей лекции свойства потенпиалов позво-
позволяют решать задачи Днрихле и Неймана для любых областей, ограниченных
достаточно гладкими поверхностями, приведением их к интегральным урав-
уравнениям.
Рассмотрим решение внутренней задачи Дирнхле. Будем предполагать,
что искомая функция и есть потенциал двойного слоя w с неизвестной пока
плотностью и.(Л/);
Как известно, потенциал двойного слоя есть гармоническая функция. Мы
должны подчинить w тому условию, чтобы ее предельное значение изнутри
равнялось /[(Л^)/
Из теоремы 2 лекции 23 имеем
TaifflM образом, для неизвестной плотности \х\М) получим уравнение
/1(Л'„)=2яц(л'„)-/Ям)АГ1Л|А..
IV. Теория потенциала 185
Здесь г -расстояние между точками М и jV0 поверхности S.
Полагая F](NQ) = — /\{^о)> —^— - =K(jV/,JV0),приходим куравиениго
2тг 2п дп\г)
H(jV0)=F1(jV0)+JjK(MlJV0V(^)flfr. C)
s
Интегральное уравнение C) называется интегральным уравнением
Фредгольма Bropoio рода. К изучению таких уравнений мы вскоре перейдем.
Так же точно можно свести и задачу Дирихле для внешней области, ог-
ограниченной поверхттостьто S, т.е. для бесконечной области, границей кото-
которой служит S, опять к уравнению Фредгольма второго рода.
В самом деле, отыскивая решение снова в виде потенциала двойного
слоя из условия w(,(N(i)=f]{N(i), NQeS, получим (см. теорему 2 лек-
лекции 23), аналогично прежнему, для неизвестной плотности и.(Л/)
Откуда
1ВОДЯ обозначение ———— = Ф, (л0 ), получим
оМ^оМ- D)
Это уравнение есть уравттеттие того же типа и рода, что и предыдущее.
К интегральным уравнениям приводятся также внутренняя и внешняя
задачи Неймана.
Будем искать решение внутренней задачи Неймана в виде потенциала
простого слоя
4хо ¦ >'о. vo ) = Что. >'о ¦ zn ) = JJ-^-^fc ¦
s r
Как н выше, из формулы E) (см. лекцию 23) имеем
Г dv 1 _5у(Дго) | /у \_ f rN \
[дпц] дп{)

186 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
откуда
Полагая — /2(^0) =-^2(^0), получим для ц(Л/) уравнение
2л'
E)
Наконец, если искать решение внешней задачи Неймана в виде потен-
потенциала upoc'101'O слоя v, будем иметь согласно формулы E) лекции 23 cooi-
ношсныс
сп„ I ti na
- V
получим для неизвестной плотности (д(Л/ J уравнение
F)
1лсли нам удастся найти такие функции |д(А/), удовлетворяющие урав-
уравнениям C) - F), то соответствующие задачи математической физики будут
решены.
Лекция 25. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
Мы разобрали довольно подробно уравнения Лапласа и Пуассона в
пространстве. На практике часто бывает, что функция иие зависти от одного
IV. Теория потенциала 187
из переменных, например z. Тогда уравнения переходят в уравнения с двумя
независимыми переменными. Те же самые задачи, которые мы ставили для
пространства, мы можем теперь ставить на плоскости оху для уравнения
Аи = —- + - = р{х,у).
ОХ ду
Рассмотрим некоторые свойства таких двумерных задач, отличающие
их от трехмерного случая.
Совершенно так же, как и в пространстве, легко доказать, что функция,
гармоническая в некоторой области D плоскости оху, достигает своего мак-
максимального и минимального значений па контуре этой области. Отстода сле-
следует единственность решения задачи Дирихле для любой ограниченной об-
области. Однако задача Дирихле для неограниченной области в прежней поста-
постановке смысла не имеет. Ставить вопрос об отыскании гармонической функ-
функции, равной пулю па бесконечности, здесь тте имеет смысла. Дело в том, что
решения, обращающегося в нуль на бесконечности, вообще говоря, не суще-
существует, и вопрос о единственности такого решения лишен содержания.
Нетрудно проверить, что функция
есть гармоническая функция переменных х и у.
В самом деле,
д2\пг _ 1 2(x-xof
д х2 г2 г4
дЧп г _ 1 2(y-yQf
дх2 г2+ г4
Д1п- = 0.

188 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Приведем аналог интегрируемой формулы Грина в пространстве для
плоскоети. Пусть D— некоторая область па плоскости оху, ограниченная
контуром С, а п- направление нормали к этому контуру, внешнее по отно-
отношению к области D. Проводя рассуждения, подобные тем, которые были
проведены для трехмерного случая, получим основную интегральную фор-
формулу Гритта па плоскости
Пи(М,,)= \\\п-°и(М} -u(M)—(\n-]\dl-\\Au(M)\n-dxdy,
4 ' с \ г дп v 'dn\ r)\ d f
Г 2 я, еслиЛ/0 лежит внутри D,
Г1 = 1к, если Мо лежит на границе С,
[ 0, если Мй лежит вне D.
Если и\М)— гармоническая внутри D функция и М1} лежит внутри
n- dl.
§1. Основные задачи
Задача о нахождении решения уравнения Пуассона
Д и = р(х, у)
на всей плоскости, обращающегося в нуль на бесконечности, для уравнения с
двумя переменными, вообще говоря, неразрешима. Заметим, что интеграл
х « 1
J J p In - d x d у,
-Xi —XT. Г
если р отлично от нуля лишь в конечной области, есть все же частные реше-
решения уравнения Пуассона, но, вообще говоря, неограниченно растущие на
бесконечности.
IV. Теория потенциала 189
Задача Днрнхле для полуплоскости при некоторых ограничениях на
граничную функцию имеет решение в классе функций, обращающихся в
нуль па бескоттечттости. Пусть функция j\ (x) удовлетворяет неравенству
/ \i A
где а > 0.
Решение уравнения
при условии
Аи=0
при
v = 0,
обращающееся в нуль на бесконечности, имеет вид
,. 01л!
п _rt, д п
Задача Пеймана для полуплоскости не только равных нулю на беско-
бесконечности, но даже и просто ограниченных решеннй не имеет.
Задача Дирихле для круга решается приемом, аналогичным прежнему.
Так решение задачи Дирнхлс для уравнения Лапласа в круге:
А ы = 0, р - Jx2 + у2 < а,
дается формулой
р2 -2 a pcos(cp-y) + <72
в том случае когда функция /(ср) является непрерывной.
Формула A) называется интегралом Пуассона.
Решение внешней краевой задачи, очевидно, имеет вид
1 " (р2-а2)
2 ,
p -2 a pco
при р > и и w(p, ф)=/(ф) при р =а.

190 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§2. Логарифмический потенциал
На функции двух переменных можно перенести также понятие о по-
потенциалах.
Интеграл вила
с г
называется логарифмическим потенциалом простого слоя. Это гармониче-
гармоническая функция вне и внутри области D, ограниченной контуром С. Функция
эта непрерывна при переходе через С, а ее нормальная производная терпит
разрыв.
Обозначим через щ вттетптпото нормаль к контуру С в точке NQ. Если
М{) ~ё С, то ясно, что существует производная —'—^ и
дп
Оказывается, что интеграл B) имеет смысл в случае, если точка Л^о(-го-Уо)
лежит па границе С. Обозначим через
предел интеграла
B) при стремлении точки М$ в направлении нормали п() к точке JVg eC из-
изнутри (нзвне) области D . Тогда справедливы формулы
Г д и 1 / \ д и(Л'о) \ ды
Интеграл вида
с ' дп{ г)
называется логарифмическим потенциалом двойного слоя. Это гармониче-
гармоническая функция как внутри, так и вне области D, ограниченной контуром С.
На контуре С эта функция терпит разрыв.
IV. Теория потенциала 191
Если точка Мо(х0,у0) лежит на контуре (мо = NQ), который мы
предполагаем достаточно гладким, то интеграл C) имеет смысл. Обозначим
через (D;(jVo) и (й0(Л'и) пределы интеграла C), когда точка Mq стремится к
точке Лг0 на контуре С изнутри и извне области D соответственно. Можно
показать, что имеют место соотношения
ю*("о)=-М"о)+Фо) «/(д/0)=яц(/У0)+оз(Л'0).
Аналогично пространственному случаю можно поставить задачу Ди-
Дирихле и Неймана также и для плоскости. При этом, однако, будут некоторые
особенности во внешних задачах.
Во внешней задаче Дирихле вместо обрашення и в нуль на бесконеч-
бесконечности нужно требовать ограниченности этой функции в окрестности беско-
бесконечно удаленной точки. При этом задача Дирихле получаст определенное и
единственное решение.
Во виетпией задаче Неймана нужно по-прежнему искать решение, рав-
равное ттулто па бесконечности, по в отличие от прежнего эта задача уже не бу-
будет, вообще говоря, иметь решения.
Необходимое и достаточное условие существования такого решения
будет
где /2 (Л/) ~ значения нормальной производной на контуре.
Можно аналогично, как и в предыдущей лекции, свести задачи Дирих-
Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям.
Для плоской задачи интегрирования уравнения Лапласа существует
еще один чрезвычайно мощный метод, основанный на применении теории
функций комплексного переменного. Мы укажем лишь сущность этого мето-
метода, не останавливаясь иа нем подробно.

192 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим какую-либо аналитическую функцию co(z)=zv+z"u ком-
комплексного переменного z = x + iy. Считая независимыми переменными х и
у и применяя оператор Лапласа к to, получим
, О СО д СО „/ \ 2 я/ \ л
Дсо = + ^- = to (z) + i (я (z)=0.
дх бу~
Отсюда следует, что функция to(z) является гармонической функцией пере-
переменных х и у. Следовательно, ее действительная и мнимая части ы(х, у) и
и(х,у) порознь будут гармоническими в области аналитичности o)(z).
Введем новое независимое комплексное переменное q = 't, + ir\, поло-
положив
где \|/ - какая-нибудь аналитическая функция. Тогда
При этом аналитическая функция co(z) перейдет в аналитическую функцию
переменного q:
Следовательно,
будут снова гармоническими функциями переменных ?,, г\.
Как доказывается в курсах теории функций комплексно! о переменного,
формулы D) осуществляют конформное отображение плоскости х, у на
плоскость ?,, т), причем лгобое конформное отображение может быть полу-
получено таким образом. Итак, гармоническая функция переменных х, у в неко-
некоторой области остается гармонической, если эту область подвергнуть кон-
конформному преобразованию.
Для любой односвязной области D плоскости х, у получаем следую-
следующий метод решения задачи Дирихле. Найдем конформное отображение D),
переводящее область D в крут. Как известно, такое отображение существует.
IV. Теория потенциала 193
Функция #*(?,, л) должна быть гармонической в круге функцией, прини-
принимающей иа границе заданные значения. Такую функцию можно построить
при помощи формулы Пуассона, возвращаясь к переменным х, у, получим
решение рассма!рнваемой задачи.
Задачи
1. Найти логарифмический потенциал круга с постояииой плотностью.
2. Найти логарифмический ио1енциал простого слоя отрезка с постоянной
плотностью зарядов.
3. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной
плотностью моментов.
4. С помощью потенциала двойного слоя решить первую краевую задачу для
уравнения Лапласа:
а) впе круга;
б) в полуплоскости.

V. Интегральные уравнения
Лекция 26. Уравнения Фредгольма и Вольтерра
Мы уже видели в прошлых лекциях, что решения некоторых задач ма-
математической физики приводятся к решению линейных интегральных урав-
уравнений. Ниже мы изложим начальные сведения о таких уравнениях. Для про-
простоты записи будем рассматривать одномерный случай. Все результаты вер-
верны и для многомерного.
§1. Классификация интегральных уравнений
Уравттеттие вида
0)
где ср(х)- искомая функция, /(-г), K(x,s)- известные функции, л- чи-
числовой параметр, ттазьтвается итттегралытьтм уравнением Фредгольма вто-
второго рода. Если /(х)=0. уравнение называется однородным, в противном
случае — неоднородным. Функция Kyx,s) называется ядром интегрального
уравпеттия.
Уравнение вида
V. Интегральные уравнения 195
называется интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Уравнение B)
является частным видом уравнений Фредгольма A). Действительно, если по-
положить
, . [О, x<s<b.
\k(x,s), a<s<x,
io уравнение Вольтерра B) можно записаль как уравнение Фредгольма с
ядром K^x.s)
Ядра ATj(jr,s) указанного вида иногда называется ядрами Вольтерра.
Уравнения вида
\l<(x,sLt)ds=f(x)
называются интегральными уравнениями Фредгольма первого рода, а урав-
lK(x,s)q(s)ds=f(x)
называются уравнениями Вольтерра первого рода.
Заметим, что параметр X и функции ср(х)„ k(x,s) и f(x) могут прини-
принимать как действительные, так н комплексные значения.
Характер иптегральпого уравпеттия в существеттттом определяется свой-
свойствами его ядра. В приложениях часто приходится иметь дело с непрерыв-
непрерывным ядром, но встречаются и разрывные ядра.
§2. Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте
Мы докажем существование решения уравнения A) (при достаточно
малых значениях 1^1) методом последовательных приближений.

196 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Для просюгы выкладок будем предполагать, чю:
1) ядро К[х,sj непрерывно в квадрате а< х,s <Ъ\ тогда оно ограничено не-
некоторой константой А, | К | < А;
2) функция f(x) непрерывна на отрезке [д,й], следовательно, она ограниче-
на иа этом отрезке некоторой константой В, I f I < В. Построим последо-
последовательность функций
но следующему правилу:
Ф] (х) = f(x) + I//ф,л)Фп(v)ds ,
где Фо(-О~ произвольная фиксированная непрерывная функция,
C)
E)
Теорема 1. Последовательность C) — E) функций срДх) равномерно схо-
сходится на отрезке [a, b] к функции ц>(х), являющейся решением уравнения A)
1
при X <
A(b-a)'
Доказательство. Преобразуем формулы для получения функций фДх)
Подставляя функцию ср, (х) в формулу для Ф3(*), получим
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, получим
V. Интегральные уравнения
K2(x,s)= \K](x,t)K](t,s)dr.
Аналогично находим
»(*) = Л*) + Х\К1 (*¦ s)f(s)ds + X2 \к2(x.s)f(s)ds
- + А""' ]к„_,(х,.,)/(»)ds + Г )к„(х,.у)ф(,(s)dS,
197
K,,(x,s)=\Kl(x,t)Kn_l(t,s)dt.
Предел функции cpn(.v), если он существует, равен сумме ряда
^(x)=f(x)+X\K](x,s)f(i)dS + -+V\Kll(x,,)f(,)dS + -. F)
Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для этого опеним интегралы
)K,{x,s)f{s)ds.
Имеем
K2(x,s)\ < J| K,(x,t)K,(t,s)\ dt< A2(b - а),
K3(x,s)\<)\Kl(x,t)K2(t,S)\dt<A'(b-af,
поэтому
s < A"B(b-af.

198 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Следовательно, числовой ряд
Y,AnB\\\n(b-a)n
G)
является мажорантным для ряда F). Если Х<
^, то ряд G) сходится.
)
А(Ь - а)
Следовательно, при таких X ряд G) сходится, а вместе с ним и последова-
последовательность функций ф„(х) равномерно сходится к функции ф(х). Эта функ-
функция является решением уравнения A). В самом деле, переходя в формуле E)
к пределу при п —» да, получим
Переход к пределу под знаком иитетрала здесь законен, так как последова-
последовательность сходится равномерно.
Заметим, что предел Д/и Ф„(*) = ф(л) пе зависит от выбора функции
сро(х) (нулевого приближения). В самом деле, если существует еще одно ре-
птеттие y(x) уравнения (I), то, полагая в процедуре построения функций
C)-E) ср0 (х) = у(х), получим
ф 1 (*)=v(*) ф : М=vM • • •. ф Лх)=хЛх)
Эта последовательность имеет пределом функцию ф(х). Но вместе с тем оче-
очевидно:
Нтф„(х) = у(х).
Таким образом, ф(х) = у (х). Теорема доказана.
Поскольку ряд G) сходится при }.<—-. ^, то при таких же X схо-
А(Ь-а)
V. Интегральные уравнения
Но этот ряд являйся мажорантным для ряда
±\" к „(*¦«)¦
199
(8)
Следовательно, ряд (8) сходится равномерно. Поэтому ряд F) можно запи-
записать в виде
ф(х) = f(x) + %)r(x, s, X)f(s) d s ,
где функция
(9)
называется резольвентой уравнення A).
§3. Уравнения Вольтерра
Если мы описанную выше процедуру применим к уравнению Вольтер-
Вольтерра B), то получим последовательность функций:
Эта последовательность равномерно сходится па [a,b\ при любых значениях
параметра X. В самом деле, очевидно, справедливы неравенства:
JI^MII <Po@| dS<B+\X\ABQ(x-a),

200 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где |<P
< В +1 X л)[в + \Х\Л B0(s - a)}ds = В +1 X \Л В(х - а)+1 л |2 А2В0 {х~">
Вообще
ф„(,г| < В +1 X \АВ(х - д)+ - +1 л р' А"-1 В (*' ~ "У + | X |° А"В„ ^ ~ °)
Поскольку ряд
равномерно сходится на отрезке [а,^] и его частичные суммы являются ма-
жорапттшми для функций ср„(л), то последовательность {ср/7(л')} также схо-
сходится равномерно; ф(х)= 1%щ ^„{х), очевидно, является решением уравнения
B) и притом единственным. Таким образом, справедлива следующая
Теорема 2. Если K(x,s)<EC{[a,b]y[a,b\} и /(i)eC([«i]), то последова-
последовательность приближения для уравнения Вольтерра B) сходятся при всех зна-
значениях X. Предельная функция является единственным решением этого
уравнения.
Задачи
1. Пусть L - интегральный оператор с непрерывным ядром К.(х, у)
\lf= lK{x,y)f{y)dy . Доказать, что операторы IP = L\Lp~lj, /7 = 2,3,...,
являются интегральными операторами с непрерывными ядрами Кр{х,у) и
эти ядра удовлетворяют
V. Интегральные уравнения
2. Показать, что резольвента R.(x,s,X) непрерывного ядра ЛГ
ряет при л. < —, с (| ^(^,i-)| < Л ) каждому из уравнений:
А[Ъ - а)
ъ
а) R(x,s, X) = X$к(х, t)R(t, s, X)dt + к(х, ,s);
ь
б) R(x,sX)=X\K(t,s)R(x,t,X)dt + K(x,s);
201
удовлетво-
удовлетвоb)lH(x.t,x№.s.X)dt.
дХ а
3. Показать, что дифференциальное уравнение
с непрерывными коэффициентами йДх) 1 = 1,2 п при начальных услови-
условиях >'(о)= Со, v'(o)= C1,...t>'^""l'(o)= СпЛ равносильно интегральному урав-
уравнению
/(х)=Г(х)-С„_1а|(х)-(С„_,.г+С„_2)а2(х)-...
4. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром
б)К(х,у)=х-у.

202 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
5. Решить следующие интегральные уравнения;
а) ср(х) = х + J0' - *)фМ d У i
6. Показать, что если ср е С1 (.г > 0), ср(о)= 0, 0 < а < 1, то функция
п о(х-у)
удовлетворяет интегральному уравнению Абеля
Ub^9D
о (х - у)
Лекция 27. Интегральные уравнения с выраженным ядром.
Теоремы Фредгольма
Мы рассматриваем уравнение Фредгольма второго рода
ь
ср(л)-X \k{x,q)y{s)dS + f{x).
§1. Уравнения с вырожденным ядром
Ядро К \x,s) называется вырожденным, еслн оно имеет вид
A)
где а-ух) можно считать линейно независимым; в противном случае число
слагаемых в B) можно уменьшить.
V. Интегральные уравнения 203
Точно так же можно считать независимыми и функции bi (s).
Интегральное уравнение A) с вырожденным ядром представляется в
следующей форме:
Обозначим
C)
D)
Величины ci суть постоянные, неизвестные, так как неизвестна функ-
функция ф(л'). Из уравнения C) мы получаем теперь согласно D)
и дело сводится к определению постоянных с,-. С этой целью поставим вы-
выражение E) в интегральное уравнение C). После простых преобразований мы
получим:
Так как функции а1 (х) литтейпо независимы, то из последнего равенства сле-
следует:
с/ - l>]bl(Af(s)+\f,4<'t{^\dS = 0, г =1,2 и.
„ L *-i J
Обозначим етце для краткости
Тогда
F)
Для определения постоянных ci мы получим систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений. Решив ее, мы тем самым решим и уравнение C); его реше-

204 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
ние дается формулой E). Наоборот, если система F) неразрешима, то не
имеет решения и интегральное уравнение.
Определитель системы F) равен
-Ха7, 1-А,а7? ... -Ха
- Ха п| - л,а п2 ... l-Хо. пп
Это полипом от X степени не выше п; отт не равен тождественно пулто, так
как ирн !1 = 0 он обращается в единицу. Отсюда следуем, что существуют не
более п различных значений X, при которых D(^.)=Q. При этих значениях X
система F), а с ней н интегральное уравнение C), либо неразрешимо, либо
имеет бесчисленное множество решений. При всех остальных значениях X
интегральное уравнение разрешимо и имеет единственное решение.
Теорема 1. Система уравнении F) при значениях X, для которых D{x)^ 0,
однозначно реишма пру любых f-, и уравнение C) разрешимо при любой
функции /(х).
i частности уравнение
О)
имеет при этом только тривиальное решение.
Утверждение теоремы доказывается в курсах алгебры.
В случае D()J)=0 система F) разрешима ие при всяких /;, а следова-
следовательно, уравнение A) - ие при всяких fix).
При этом однородная система
с,- -Х?а/А. ск =0, / = 1,2,...,и (8)
к-\
имеет п- q линейно независимых решений, где q -ранг матрицы системы.
V. Интегральные уравнения 205
Пусть эти решения будут
с^.с^ с,}<\ S = l,2,-..n-q.
Уравнение G) будет, очевидно, также иметь ровно п - q линейно независи-
независимых решений
Известно, что в том случае, когда определитель системы равен нулю,
неоднородная система может не иметь пи одного решения. Напомним необ-
необходимое и достаточное условие для разрешимости системы F).
Рассмотрим систему уравнений, которая задается транспонированной
матрицей но отношению к матрице системы (8)
Р* ->-ZaLA=0, *=1.2,...и. (9)
Определитель системы (9) D(^.)= 0. Как доказывается в курсах алгебры, чис-
число линейно независимых решений (9) опять n-q.\ 1усть эти решения будут
Р,М.Р2<!) P,,W. s=\,2,...n-q.
Для разрешимости F) необходимо и достаточно выполнения равенств
?/)=а s = \,2,...,n-q (Ю)
Подобно тому как система F) соответствовала уравнению A), а систе-
система (8) — уравнению G), можно установить соответствие между системой (9) и
уравнением
h
которое будем называть однородным уравнением, сопряженным с уравнени-
уравнением G).
Решения уравнения A1) имеют вид
A2)
где рА *' - числа, удовлетворяющие (9). Отсюда получаем теорему.

206 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теорема 2. Однородное уравнение G) и сопряженное с ним уравнение A1)
имеют одинаковое число решений, линейно независимых между собой. Это
число равняется r = n-q, где q - ранг матрицы системы F), an- число
слагаемых в вырожденном ядре B).
Подставим в уравнения A0) вместо /J- их выражения.
Будем иметь
или согласно A2)
x = 0,
s=\,2,...n-q.
A3)
Очевидно, что A0) и A3) равносильны.
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 3. Необходимым и достаточным условием разрешимости уравне-
уравнения C) при D[X,)= 0 является ортогональность его свободного члена f[x) ко
всем решениям сопряженного однородного уравнения.
Очевидно, что при этом общее решение уравнения C) имеет вид
фМ=Ч>о(*)+ Dca Ф*М>
где ([>о(х) ~ некоторое частное решение, а (рА (х), k = 1,2,...л - q - частные ре-
решения однородного уравнения G).
Замечание. Теорема 1 по сушеству следует из второй н третьей. В самом деле,
если число линейно независимых решений у сопряженного уравнения и у соот-
соответствующего однородного уравнения равно нулю, то условия ортогональности
пропадают, и неоднородное уравнение булет однозначно разрешимо.
V. Интегральные уравнения
§2. Теоремы Фрсдгольма
Однородное уравнение
207
A4)
при любых значениях параметра л, очевидно, имеет тривиальное решение
(p(jt)=O. Однако при некоторых значениях л. оно может иметь н нетриви-
нетривиальное решение.
Определение. Значение параметра X, при которых уравнение G) имеет не-
нетривиальные решения (т.е. не равные тождественно нулю) называются
собственными значениями уравнения G) (ядра Kyx.sj). а соответствующие
им решения ц>{х)— собственными функциями уравнения (ядра).
Справедливо утверждение
Лемма 1. Если а уравнении A) X неравно собственному значению соответ-
соответствующего однородного уравнения A4), то уравнение A) может иметь
лишь единственное решение.
Доказательство. Пусчь ср](т) и (P2vv ~~ ¦"ва решения уравнения A). То1да
справедливы тождества
^(x)^X\K(x,s)^(s)dS + f(x),
92 (х)= >-K(*.*)q>2 {s)dS + f(x),
откуда

208 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Следовательно, разность tp(.xr)= tp2 (-^)— tpi (jc) является решением однородно-
однородного уравнения. Поскольку X не является собственным значением, то
cp(.v)= (р2 {х)~ Pi (х)= 0 ¦ Лемма доказана.
Теоремы 1, 2 и 3 (см. § 1) oci аются справедливыми не только для урав-
уравнений с выроженным ядром C), но и для более общих уравнений A). Для бо-
более общего случая они называются соответственно 1-й, 2-й, 3-й теоремами
Фредгольма.
Мы приведем формулировки теорем Фредгольма, не вдаваясь в их до-
доказательства.
2-я теорема Фредгольма. Число q линейно независимых решений соответ-
соответствующего однородного уравнения A4) для уравнения A) и сопряженного с
ним A1) совпадают.
3-я теорема Фредгольма. Необходимое и достаточное условие разрешимо-
разрешимости уравнения A) состоит G том, чтобы свободный член его был ортогона-
ортогонален ко всем решениям сопряженного однородного уравнения A 1).
1-я теорема Фредгольма. Если уравнение A) разрешимо при любой функции
f\x) в правой части, то решение его единственно, и, значит, соответст-
соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Наобо-
Наоборот, если однородное уравнение имеет только тривиальное решение, то
уравнение разрешили.) при любой функции f\x).
Эта теорема, как отмечено выше, есть следствие 2-й и 3-й теорем
Фредгольма.
Задачи
1. Решить интегральное уравнение
V. Интегральные уравнения
в случаях:
&)К(х,у)=х-1, /(я)=х;
б)К(х,у)=2ех+у. f(x)=ex;
в) к(х, у) = х + у - 2ху, f(x) = х + х2,
2. Решить интегральное уравнение
209
в случаях:
а) К(х, >')= sin(x - 2у} f(x)=cos 2x;
б) к{х, у) = sin у + у cos х, f{x) = 1 - —'-;
к
в) К(х, у) = cos 2 (д- - у), /(г) = 1 + cos Ах.
3. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные
функции следующих интегральных уравнений:
) ср(х) =Х\\ xin(x + у) + - <р(y)dy;
о L 1А
б) (p(-v) = X
)=Х J\cos2(x + y)+- cp
о L 2}
Лекция 28. Интегральные уравнения с симметричными ядрами
В зтой лекции мы будем рассматривать уравнения Фредгальма только с
симметричными ядрами. Ядро K{x,s) называется симметричным, если для
всех л" н s из квадрата a<x,s<b выполняется тождество

210 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Если ядро ЛГ(.г,з) симметрично, то, очевидно, н все итерированные ядра
ъ
К„ (x,s)= iK^x.^K^ (t,s)dt, и = 2,3,...,
К{ (x,s)=K {x,s) также симметричны.
Уравнения с симметричными ядрами чаще других встречаются в зада-
задачах математической физики. Они обладают целым рядом специфических
свойств, главное из которых выражает
Теорема 1. Всякое непрерывное симметричное ядро, не равное тождествен-
тождественно нулю, имеет по крайней мере одно собственное значение.
Совокупность всех собственных значений уравнения (ядра) будем на-
называть спектром уравнения (ядра).
§ 1. Свойства собственных функций н собственных значений
Очевидно, справедливы следующие два свойства.
Свойство 1. Если ср (х) есть собственная функция, соответствующая соб-
собственному значению ?,, то С ср (л) - где С- произвольная постоянная, так-
также является собственной функцией, соответствующей тому же X.
Постоянный множитель С можно выбрать так, чтобы норма собствен-
собственной функции С ср (х) т.е.
(ь у/2
|Сср|= Uc\2(x)dx\ =1.
Свойство 2. Если две собственные функции ц>± (х) и ср2 (х) соответствуют
одному и толп! же собственному значению X, то, каковы бы ни были посто-
V. Интегральные уравнения 211
янные С] и С2 функции С|ср, (-*")+С2ср2 (х) также являются собственными
функциями, соответствующими тому же собственному значению X.
Докажем
Свойство 3. Собственные функции ф| (х) и ср2 \х)
соответствующие различным собственным значениям Х\ и Х2 ортогональ-
ортогональные на отрезке \a,h\, т.е.
Доказательство. Имеем тождества
Первое из них умножим на ср2(^), второе на ср,(-т) и почленно вычтем ре-
результаты один из другого. Полученное тождество интегрируем по х по от-
отрезку \a,b\:
( i \Ль ьь
\Х{ Х2 ) а ' аа
— j J^I х,s)tf>2\.'^) Pi (¦^•J d^ dx.
Меняя порядок интегрирования во втором члене правой части равенства и
учитывая симметричность ядра, получим
)^(x)di dx=\\K (x,X)ih(S)i?2(x)dX dx.
Следовательно,
Отсюда и следует ортогональность.

212 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Если ортогонализировать собственные функции, соответствующие од-
одному собственному значению X, то можно утверждать, что любые две ли-
линейно независимые собственные функции ф,(*) и ср2 (^) ортогональны. Та-
Таким образом, можтто считать, что семейство собственных функций является
ортоиормироваиным.
Свойство 4. Все собственные значения интегральных уравнений с симмет-
симметричными ядрами вещественны.
Доказательство. Предположим, что Х = а + ф, р4 Ф 0, есть комплексное
собственное значение, а ty {х) = \\i {{х) + i\\> 2(х) - соответствующая ему соб-
собственная функция. Тогда
ь
у 1 (х) + щ, (х) = (а + ф) \К (х, s)[у, (л)+ ц/2 (х)]ds.
Отсюда следуют тождества
Ь b
?1(х)=а /к(*,*)ч'1 {s)ds-$\K(x,.sL2 (s)ds,
b b
?2(-v)=a \K (x,s)y2 (s)ds-$JK (x,,v)?l (s)ds.
Следовательно,
Таким образом,
X = a - ф и ф (х) = у, (х)- iy2{x)
также являются соответствующими друг другу собственным значением и
co6ciвенной функцией. Поскольку ХфХ (ибо E^0), то но свойству 3 функ-
функции ф (д-) и ф (л") ортогональны, т.е.
V. Интегральные уравнения 213
Отсюда ввиду непрерывности функций \\) х {х) и \\i 2 (х) следует, что
у ^х)^ у2\XJ= t). А тогда ф (-v)= 0, что невозможно. Свойство доказано.
Свойство 5. На каждом конечном отрезке \А,В\ содержится лишь конеч-
конечное число собственных значений.
Доказательство. Допустим, что на некотором отрезке \Л, в\ содержится бес-
бесконечное множество собственных значений. Выберем из этого множества
бесконечную последовательность собственных значений {^„}. Пусть {<р„(*)} -
последовательность соответствующих им собственных функций, а ряд
С,(х)(р1(»)+С,(х)ф2E)+.. + С„(х)ф„E)+...
является рядом Фурье ядра К\х,$). Поскольку семейство {(р„(я)} является
ортонормированным, то коэффициенты
и сщ^аведливо неравенство Бесселя
Следовательно, для любого целого р > 0
Интегрируя это неравенство по отрезку [a,b], получим
A)
п=]Х~п
Так как Хп е [^O'-^oL то ^7; —С> ГДС С = тах уЛо >Во )¦ Тогда из A) полу-
получаем
tY]\
что невозможно, ибо ряд ? расходящийся.
п=\В2

214 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Из свойства 5 следует, ую:
1) все собственные значения можно занумеровать в порядке роста их абсо-
абсолютных величин, т.е.
2) если спектр собственных значений бесконечный, то \Хп —> со при п -> со.
Свойство 6. Каждому собственному значению X соответствует конечное
число ц собственных функций Pi(x),qb (*)¦¦-> 9» (х)
Доказательство. Допустим, что некоторому А, соответствует бесконечная
последовательность собственных функций ср,(л:), ф2 {х),..., ср„ (*),.., . Из нера-
неравенства Ьесселя следует, что для всякого целого р > 0 выполняется неравен-
неравенство
п-\ К
Откуда интегрированием получаем
?—< \\K2(x,s)dsdx или р<Х2 [ \K2(x,s)dsdx,
п=\У} act a a
что невозможно.
§ 2 Теорема о конечном спектре
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы спектр симметрического ядра был конечным,
необходимо и достаточно, чтобы ядро было вырожденным.
Доказательство. Из изложенного в лекции 27 следует, что вырожденное
симметрическое ядро имеет лишь конечный спектр. Верно и обратное: если
V. Интегральные уравнения 215
ядро AT(x,j) имеет конечный спектр, то оно вырожденное. Действительно,
пусть Х|,л:,...;?,л - спектр ядра, а срДх), ф2(¦*).—-Ф,((л) ~ совокупность всех
собственных функций. Рассмотрим симметрическую непрерывную функцию
Если К^(х,$)ч? 0, то по теореме 1 ста имеет собственное значение и.
и соответствующую собственную функцию у(х):
Функция у (.y) оргогональнавсем собсiвенным функциям ср,-(-т) ядра К {x,s)
ибо
= 0.
Далее (J, и \|/ (х) суть собственное значение и собственная функция ядра
К (r,.v), так как
HJAT (,,,>, (»)Д = И)\к "(х.,)- ±*№
Поскольку ij/ (.т) ecib собственная функция ядра К \x,s) и функции
ф|(х),ф2(л-),.._,фй(х) образутот полную систему собственных функций ядра
К {x,s), то у (.х) должна быть линейной комбинацией функций

216 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
ф|(х), (|>2(х),...,([>„(_*). Но это невозможно, так как \|/(х) ортогональна всем
этим функциям. Следовательно, К" yx,s)=0 или
т.е. ядро К(х,,%) является вьтрождештьтм. 'Георема доказана.
§ 3 Спектр итерированных (повторных) ядер
Положим
ь
A q> = JK (x,s)ip(s)ds .
Из определения итерированных ядер следует, что
Anq> = A[A"-lq>)= \К„ (x,s)<p(s)ds.
Для собственных функций ср^ (х) и собственных значений Хк ядра K\x,s)
справедливы равенства
... = ХпкА\?к = Х"к \Кп (x,s)i?k(s)ds
из которых следует
Теорема 3. Если ц>к(х) и \к суть собственные функции и собственные зна-
значения ядра К [х, s), то ф^ (.v) и Х'\ будут собственной функцией и собствен-
собственным значением ядра Кп [х, s).
Справедлива также
Теорема 4. Если \х есть собственное значение ядра Kj} (x,s), то собствен-
собственным значением ядра К (x,s) будет, по крайней мере один из вещественных
корней п-й степени числа \i.
V. Интегральные уравнения 217
Доказательство. Легко показать, что сели hl,h^,...,h}l - корни уравнения
h" =(i, то
hi +h'\ +... + Й* =0 B)
для 5 =1,2,...,?? - 1.
Пусть теперь \\i (xj — собственная функция ядра Кн \x,s), соответст-
соответствующая собственному значению. Определим функции ср/г (х) по формулам
Суммируя равенства C) и принимая во внимание B), получим
C)
D)
Далее применяя оператор А к равенству C) и умножая результат на hk, получим
hkA<pk =—[hkAvf + h}A2\\) + ... + hk"~lA"~l\if)+— hi An\j
ny n
или
hk Аук = фА (x)- - \\i (x) + -h[ АП\\} = ф/( (а-),
n n
поскольку hi = (j. и \x A"\y = у. Таким образом, не равные тождественно ну-
нулю функции фД-г) являются собственными функциями ядра K(x,s), а Нк -
соответствутощими им собственными значениями. По свойству 4 ядро
K{x,s) имеет лишь вещественные собственные значения. Следовательно,
функции фуДх), отвечающие комплексным корням hk, тождественно равны
ттулто. Ч'еорема доказана.
Лекция 29. Теорема Гильберта — Шмидта.
В этой лекции мы докажем одну из фундаментальных теорем теории
линейных интегральных уравнений, имеющую многочисленные приложения
теорему разложения.

218 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§1. Разложение интегрированных ядер
Напомним (см. предыдущую лекцию), что если ср/(х) и Xt суть собст-
собственных функции и собственные значения ядра К\х,$), то срД.т) и А," являют-
являются собственными функциями и собственными значениями интегрированного
ядра Kn{x,s).
Теорема 1. Для всякого п>Ъ справедливо разложение
KAX-S)~ Li ~ ' U)
в котором ряд сходится абсолютно и равномерно в квадрате a <x,s <b.
Доказательство. Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой част A), схо-
днтся абсолютно и равномерно. Для этого оценим отрезок ряда
Мы при этом воспользовались неравенством
и тем, что |?^| монотонно стремятся к бесконечноеш ирн i—>ca. По нера-
неравенству Бесселя
2(x,s)ds<M, C)
1 = 1 X't а
где М = const. Поэтому из B) с учетом C) имеем
яа? 1
D)
Так как |^,w|—»оо при ш^-со, ю из неравенс1ва E) но критерию Кошн и
следует абсолготттая и равномерная сходимость ряда A).
Пусть
V. Интегральные уравнения
ф(х, s) = X — Ч>,- {х)<р{
219
Нам надо доказать, что Kl1(x,s)=ct>(x,.s). Предположим, что это неверно. То-
Тогда симметричная функция
Q(x,s) = Kn(x,s)-<l>(x,s),
как известно, имеет собственное значение ц и собственную функцию \|/(х),
т.е.
Функция \\)\х) ортогональна всем собственным функциям 9,(-v) ядра K\x,s),
так как
b bb
Jv(.v)cp, (x)d x = (л J \Q(x,s)^(s)<pl (x)ds d x =
поскольку ip-(s)=Xf'{K^yx^sjtyilxjdx. Функция \|/(х) является собственной
функцией ядра Kn(x,s), так как
[ 1 X \
Следователыто, v|;(x) должна быть линейной комбинацией функций
ср,-(л'). Но это невозможно, так как \|/(д-) ортогональна всем функциям ср;(*).
Таким образом, ттельзя предполагать, что О\х,,<>)Ф 0.
Замечание. Разложение A) справедливо и для Ko\x,s) [n = 2j, а таюке при
некоторых дополнительных условиях, и для ^T(.y,s).

220 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики V. Интегральные уравнения 221
§2. Теорема Гильберта - Шмидта то
Ь bjb_
Справедливо утверждение J = J
i
Лемма 1. Для того чтобы непрерывная функция Q(x) была ортогональной = J | )^2\X'!)Q\X)" х J^2V>Wlv" s Г ij \^2\Х'ЧУ\Х)" хГ dt ={).
ядру K(x,s), т.е. „
v ' Следовательно
E) !\K2(x,t)Q(x)dx^. G)
необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональной каждой собст- , / \ г п
Умножая тождество G) на Q\t) и интегрируя резулыат по отрезку |я,»_|, по-
венной функции ядра, т.е.
лу^птм
h
\Q(x)ipi(x)dx = Q, / = 1.2 F) ь h
\\K2(x,t)Q(x)Q(t)dxdt=0.
b
Доказательство. Имеем Заменяя в этом равенстве K2(x,t) интегралом JK(x,s)K(s,t)ds и производя
\y\Xftpf\Xf х - ; j jfiyXtSfipfyxf^jyxf s x - преобразования, аналогичные произведенным выше, получим
= 0 )K(x,s)Q(x)dx^0.
при условии E). Итак, достаточность E) доказана. Лемма доказана.
Далее рассмотрим интеграл ТепеРь' ^пользуя лемму 1, докажем основное утверждение:
Ь I)
J J 4V ¦ / V / v / ¦ Теорема 2 (Теорема Гильберта - Шмидта). Если функция f(x) может
Он равен пулю, так как, используя разложение A) для п = 4 и равенства F), быть представлена в форме
получим . . '-' . ...
^ f(x)=\K(x,s)h(<)d^ (8)
где h(s)~ кусочно-непрерывная на [a,b], то она представляется рядом Фу-
Поскольку рЬе по собственным функциям ядра Кух, s), т.е.
h
Kt(x,S)=\K2(x,l)K2(t,S)dl, f>\ =y, IЛ

222 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
где
и этот ряд сходится абсолютно и равномерно па отрезке \а,Ь\.
Доказательство. Имеем
fi = jAxht(x)dx = j<?i{x)J
s dx =\
Следовательно, коэффициенты Фурье f-t функции f(x) равны —, где к- - коэф-
фициешы Фурье функции h(s)t поэтому вместо ряда (9) можно рассматривать ряд
Докажем сначала абсолтотнуто и равномерную сходимость ряда A0).
По неравенству Коши - Бупяковского имеем
По неравенству Бесселя
Jl,hf <jh2(s)ds и ?^-^< JK2(xj)dt<M.
Следовательно, ряд Y^hf сходится, поэтому его отрезок ?й,2 может быть
/-1 г-н
сделан меньшим — (где е - произвольное число), если п взять достаточно
М
большим. Отсюда для достаточно больших п
Y, -^-ipi(x) <? для всех jce[a,&J.
Что и означает абсолютную и равномерную сходимость ряда A0).
V. Интегральные уравнения
223
Далее пусть
Функция Q(x) непрерывна па \ft,b\ и ортогональна всем функциям срД
Следовательно, согласно лемме 1, она ортогональна ядру k(x,s), т.е.
JK(x,s)Q(x)dx = 0.
Теперь в силу ортогопалыюсти функций Q(x) и ф((
A1)
Заменяя здесь f(x) по формуле (8) и используя A1), получим
\Q2(x)dx = -JQ(x)JK(x,s)h(s)dsdx = -jh(s)JK(x,s)Q(x)dxds = 0.
Следовательно,
i=I ^ ;
Теорема доказана.
§3. Решение неоднородного уравнения
Пусть в уравнении
ф(х) = Л )к{х, s)ip{s) d s + f(x)
A2)
X не равно пи одному из собственных значений. Тогда по 1 -й теореме Фред-
гольма это уравнение имеет единственное решение, которое можно записать
в виде
ф(*)=/(*)+>-Ч'(*). A3)
где

224 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
По теореме Гильберта - Шмидта функция \|/(х) может быть представлена ря-
рядом по собственным функциям ядра K(x,s):
Подставим в уравнение A2) функцию ф(х), определенную формулами A3),
A4), получим
/(л-) + Х±сг Ф/(х)- /(х) + Цк(х.s)\f(s) + Xt ct Ф,-(si d s
Z^/ Ф,-М= JK(x,s)f(s)ds + Х±с, JK(x,Sy?I
Применяя теорему Гильберта - Шмидта к функции
ь
и заменяя \K\x,s)(pj(s)ds через —'-^—^t получим
с- =—н с- или
A5)
Таким образом, искомое решение уравнения A2) представляется следующим
абсолютно и равномерно сходящимся рядом
Если Х- равно некоторому собственному значению Хг. которому от-
отвечают собственные фупктцти ф,. (д-), ipr+, (x),..., (рг+([ (д), то
V. Интегральные уравнения
В этом случае из формул A5) получаем
225
jf(x)ipr+i(x)dx = Q, / = 0,1 q.
При этом коэффициенты сг,с!,+[..... cr+q остаются произвольными и решение
уравнения A2) имеет вид
где 2, означает суммирование по всем значениям /, кроме г,г + \ г + q.
Задачи
1. Пусть к(х,у)- симметричное непрерывное ядро, К„(х,у)- повторное
ядро ядра K[x,yj. Доказать формулы:
L - интегральный оператор я ядром К[х, у у,
Здесь фт(л-)- собс!венная функция соотвегствующая собственному значе-
значению Хт.
2. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функ-
функции интегрального уравнения

226 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
в следующих случаях:
, [х, если 0<х<у<1,
а) К(х,у) = {
4 ' [у, если ()<>¦<х<1;
Г.гA-\Л, если 0<х<v<l,
б) K(x,v) = \ К '
[у{1-х), если
в)К{х,у) =
[sin.r sin(l-j), если 0<x<>'< 1,
[sin A-х) sin у, ссли()<у<х<1.
1
3. Решить интегральное уравнение ср(х) = ^JK(x, y)q>{y)d у + /(х), e
о
\х, если 0<х<9у<\,
/(х)еС2[0,]]и К(х,у) =
[у, естО<у<х<1.
VI. Специальные функции
Лекция 30. Функции Бесселя. Полное разделение перемен-
переменных в уравнении колебаний круглой мембраны
При решении мнотих задач математической физики приходят к линей-
линейному дифференциальному уравнению
xdx
A)
К такому уравнению мы придем, например, при решении задачи о колебании
круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра методом разделения
переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными)
координатами. Уравнение (I) носит название уравнения Бесселя. В курсах
аналитической теории дифференциальных уравнений и в курсах теории спе-
специальных функций устанавливается ряд важных свойств решений этого
уравнения, которые мы приведем без полного доказательства.
§1. Функции Бесселя
Так как уравнение A) имеет особую точку j = 0, то его частное реше-
решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:
к=0
I [одставляя ряд B) в уравнение A), получим
(a2 -v%x° +[(а + 1K -v2]a,x°+> + |{(а + kf - v2]ak + ак_2}х°+к =0.

228 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теперь приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х, будем
иметь
ct2-v2 =0,
C)
Г(ст+/сJ-у21 ак+ак_2=0, к =2,3,... .
Из первого уравнения C) следует, что
CT = ±V.
Далее предположим, чю
(ст + кJ - v2 - (ст + к + v\a + к - v) ^ 0,
то есть a + v или а - v (и соответственно - 2v или 2v) не равно отрицатель-
отрицательному целому числу. Тогда из C) получаем рекуррентную формулу для опре-
определения ак через ак_2:
[а + к + уДа + « - v)
Так как, а1 =0, то из формулы D) заключаем, что все нечетные коэффици-
коэффициенты равны нулю.
Пусть <j = v. Из D) следует, что каждый четный коэффициент может
быть выражен через предыдущий:
2~(т + vjin
Последовательное применение этой формулы позволяет найти д^щ через а0
а1т (!) :^::г-
2 m!(v+ lXv + 2)-"(v+ m)
Теперь воспользуемся свойством гамма-функции г(,у);
Вели s - целое число, то
Г(л+ !)=,*.<
VI. Специальные функции
Коэффициент а0 до еих пор оетавалея произвольным. Положим
229
и, используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получим
O2t=(-i)'-s__J___-.
Внося найденные значения коэффициентов c'hk+[ и а2к в ряд B), поду-
подучим частное решение уравнения A). Это решение носит название функции
Бесселя 1 -го рода у- го порядка и обозначается обычно через Jv (л).
Таким образом
E)
Используя, второй корень ст = -!->, можно построить второе частное ре-
решение уравнения A), Оно может быть получено, очевидно, из решения 95)
простой заменой v па - v , так как уравнение (I) содержит только v и не
меняется при замене v на - v:
(-if
F)
Для нецелых значений v частные решения E) и F) уравнения A) будут
линейно независимыми, так как разложения, стояшие в правых частях фор-
формул E) и F), начинаются с разных степеней д".
Для целых значений v = т функции Бесселя порядка т и порядка - т
уже не будут независимыми:
Для того чтобы найти общее решение уравнения A) в этом случае, необхо-
необходимо построить второе, линейнонсзачисимое от Jv(x) частное решение. Для
этого введем новую функцию Y,,(_v) no формуле

230 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Введенная функция Y,,(j) называется функцией Бесселя второго рода
v-ro порядка. Эта функция является решением уравнения A) и в том случае,
когда v -целое число, причем функции Jv{x) и Y,.(jr) линейно независимы
при любом . Следовательно общее решение уравнения A) может быть пред-
сшвлено в виде
где Cj и с2 -произвольные постоянные.
Отметим, что для функций Бесселя первого и второго рода имеют ме-
место следующие рекуррентные соотношения:
dx
dx
dx
dx
Далее, используя правило J [опиталя при целом положительном п,
из G) получаем, что функция Бесселя второго рода преде является в виде
\-п+2к
1 * (- 1)'' Гг'(«- + 1) | Г'(д + к + \ЦхУ*
§ 2. Полное разделение переменных в уравнении колебаний круглой
мембраны
Рассмотрим волновое уравнение на плоскости:
dt2 \дх2 dv2
VI. Специальные функции 231
При изучении круглой колебаний мембраны полезно перейти к полярным
координатам х = г cos ф, у = г sin cp. Тогда волновое уравнение запишется в
виде
1 д2и _ 1 д ( диЛ 1 с2 и
a2 dt2 f et\ or) r2 дц>2
Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных дан-
и граничном условии
(Ю)
A1)
(закрепленная по краям мембрана радиуса 1).
Согласно методу Фурье частные решения уравнения (9) ищем в следующей
форме
м(г,ф,«)=и(г,фO'(«).
Подставляя эту функцию в уравнение (9), мы получим уравнение для 7"(/)
T"(t)+a2XT(t) = Q,
T(t) = с, cos yja2X t + с^ sin ^a\ t,
и следующую задачу на собственные значения для функции и(г,ср):
1 д f_dv) . 1 32и . ... А А
-Хи = 0, 0<г<1, A2)
иA,ф)=0. A3)
Мы налагаем на функцию и(/",ф) условие ограниченности в точке г =0 и ус-
условие периодичности с периодом 2я по переменной ф.
Далее положим

232 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Тогда из уравнения A2) получаем
d ( dR
г г
а Л
— + Хг = 0.
R Ф
Отсюда согласно A3) и наложенных О1раничений на функцию v(r,(p) прихо-
приходим к уравнениям
Ф" + |.1"Ф=0, ф(ф) = ф(ф + 2л:),
Нетривиальные периодические решения для Ф(ф) существуют лишь при
ц2 = п~ (п -целое число) и имеют вид
Ф„Гф) — A^cos/гф + B^sin иф.
Для определения функции R{r) мы имеем задачу
d2R I dR | „|
—- + + \X—-\R = Q
dr- r r
Вводя новую переменную
и обозначая
получим для определения функции 1'(л') уравнение Бееееля A) «-го поряд-
порядка (у = п)
d2y \ d у
dх х dx
с дополнительными граничными условиями
A4)
у{0)\«*>.
A5)
VI. Специальные функции
Общее решение уравнения A4) имеет вид (см. §1)
233
Из второго условия A5) согласно формуле (8) имеем с2 = 0, а первое условие
дает:
Jn (vX) = 0 или J п (ц) =0 (ц = VX).
Это трансцендентное уравнение имеет бесконечное множество вешествен-
ных корней \i^, т = 0,1.2, Таким образом, мы имеем последовательность
собственных значений
}~п,т=Ш])~' ™ = 0,1,2,....
которым принадлежат собственные функции
Таким образом, для собственного значения Хп т задачи A3) имеем две собст-
собственные функции
Ufim =-Лг(М-т r)C0S71<P > Unm = Л( Ит ' I 8^П П Ф "
Теперь решение исходной задачи о колебаниях мембраны (9)-(П) согласно
методу Фурье можно представить так:
A7)
Можно показать, что собственные функции A6), принадлежащие раз-
различным собственным значениям, ортогональны с весом г :
A8)
Норма этих функций равна

234 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Коэффициенты Апт, Впт, С11т и Dnm ряда A7) определяются из началь-
начальных условий A0)
m,n=Q
^
Теперь, используя соотношения A8), A9) из B0), находим, что
B0)
2 i \ul{r,4>y,,[>]Kmr)C0StJ<p rd Г С
В — —®-^
я'т R Г , I FT
2 | f«,(r, 4>)Jn(^K^r)smnq> rd r d Ф
D =-2-°
B1)
Здесь s(, =
2 при п - 0,
1 при и = 1.
Таким образом, решение задачи (9) - A1) вычисляется по формулам
, B1).
Задачи
1. Решить задачу о свободных колебаниях однородной круглой мембраны
радиуса R, закрепленной по краю, в следующих случаях:
VI. Специальные функции
а) начальное отклонение определяется равенством и
235
, где
u/f -положительный корень уравнения Jii[jj.)=O; начальная скорость равна
нулю;
б) начальное отклонение и начальная скорость зависят только от г :
в) начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальная
скорость равна нулю.
2. Найти решение смешанной задачи
utt =ихл. +—их + f(t\j()[u.kx\
X
где [хк -положительный корень уравнения ,/0(ц) = 0, 0<х<1,
« .,_, = « . л = и: ,_п = 0, и ._„ < да, если
б) f(t) = sint + cost.
3. Дан нешраниченный кру1повой цилиндр радиуса R, Найти распределение
температуры внутри цилиндра в момент времени /, если :
а) на поверхности цилиндра поддерживается все время нулевая темпера-
температура, а температура внутри цилиндра в начальный момент равна
0 =AJ0 ^- , где цк -положительный корень уравнения У0(и) = 0;
б) поверхность цилиндра поддерживается при постоянной температуре
и0, а начачьная температура внутри цилиндра равна нулю;
в) с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание в окружающую
среду, температура которой равна нулю, а начальная температура равна
И1,_о=ыо(г)-

236 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 31. Многочлены Лежандра. Определение потен-
потенциала внутри сферы
Простейшим классом сферических функций являются многочлены Ле-
Лежандра от cosG. Эти многочлены мы обозначим как Pn(voaQ\ и определим
их несколько формальным способом - через производящую функцию. По-
Последнее позволит нам проще и короче получить их основные свойства.
§ 1 Многочлены Лежандра
Производящая функция
Функция
Г T-i-
/(A,0=|l-2x; + rp
называется производящей функцией многочленов Лежапдра. Разложим эту
функцию в степенной ряд по степеням t,
Получим
f(x,t)=Pl)(x)+Pl(x)t + ... + P,(x)t"+.., A)
Нетрудно проверить, что коэффициенты этого разложения Р„(х) являются
многочленами. Эти многочлены носят название mhoi очленов Лежандра.
Полагая в разложении A) х = 1, получим
/O,r)=Y37 = 1 + r + ... + r"+... .
Следовательно, PB(l) = l, и =0,1,2,.., .При х = -1 имеем
поэтому Р„ (-1) = (- l)" . Ясно, что
B)
VI. Специальные функции
о"/
237
С другой стороны, производная п -го порядка
et"
при г = 0 с применением интегральной формулы Коши вычисляется как
C)
где С - замкнутый контур, охватывающий точку ?, = 0. Далее полагая
в интеграле C) и учитывая B), получаем
-dz.
2™ с, (z-x)n+l
Здесь С, - замкнутый контур, охватывающий точку z = х. Теперь, используя
формулу для п -й производной интеграла Коши, будем иметь
2" п ! d x" L -I
Из формулы D) следует, что P>,t(x) - четная функция, a P2k-i(x) ~ нечетная,
Так для п = 0,1,2 имеем Ро (х) = 1, Р, (х) = х, Р2 (х) = -х--.
Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра
Получим дифференциальное уравнение, решением которого является
Р„ (х). Для этого введем функцию w = [х2 - \) .
Очевидно, что
(х2 -])—--2nxw = Q.
Дифференцируя это тождество (п + l) раз, получим
1 'dx2 dx '\dx"

238 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Таким образом, функция , а следовательно, и Р„(х) (поскольку
d х"
Рп(х)= )' удовлетворяет уравнению
2п п ! dx"
Это уравнение называется уравнением Лежандра.
Отметим, что полиномы Лежандра можно построить и иначе: искать
ограниченное на отрезке [-1, l] решение уравнения E) в виде степенного ря-
ряда у{х)= Со + С\х +.,. + Сихп +... . При % = п(п + l) этот ряд обрывается на
члене с п -й степенью, т.е. при X = п (п + \) решением будет полином п -й
степени, который отличается от полинома Лежандра п -й степени лишь по-
постоянным множителем.
Свойство ортогональности
Докажем, что многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [-1, l], т.е.
1
JP^ (x) Pk (x) d х = 0, если п ф к.
-1
Действительно в силу уравнения E) имеем два тождества:
Первое из них умножим па Pk (х), второе - на Рп (х); результаты вычтем один
из друшто и полученную разность проищет рируем по промежутку [—l,l].
Получим
VI. Специальные функции
239
Следовательно
dx dx " J
при п ф к .
Прежде чем вычислить норму многочлена Лежандра, мы докажем
справедливость двух рекуррентных соотношений
(п+\)Рп+](х)-Bп + ])х Рп(х)+ пРп_](х) = 0, F)
1 й _
'„-iMl- G)
" ' 2и + 1 dxL""y/ ч "
Для этого продифференцируем по переменным t и х соотношение A). По-
Получим тождества:
dt (]-2jc/ + rj
8/М tf(x,t) dP^+dAt+ +</H +
дх \\-2xl + t2) dx dx dx"
Следовательно, имеем
(j + «)[P(i + P,t + .,.+ Pnt" +...\s([-2xt + t2)
t[pa +PO + ...+ P
.]= (l-2jrr + r-) -A + ^-i
dPn
Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при одинаковых степенях
t, получим равенства F)
(и + l)j=n_i (х)-Bп + \)хР„(х)+ п Р„_, (x)s О
dx
dx dx
(8)

240 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теперь, дифференцируя соотношения F), получим
И, наконец, исключая из этого соотношения и соотношения (8) произведение
xdP (л)
—, приходим к формулам G).
dx
Отметим, что с помощью F) и формул
/>„(*)=!, Pt(x)=x
можно определить все многочлены Лежандра, а формулы G) позволяют вы-
выразить интеграл \Pltyx)dx через многочлены Pn-i\x) и Pn-i\x).
Для вычисления квадрата нормы многочлена Лсжаидра
\\P,,f = Vt(x)<
один из множителей подьтптегральной функции Рп{х) выразим через Р„_\{х)
и Рп_2 \х) по формуле F), заменив в ней п па п — 1, Получим
-1 „ я-1 „ 1 , 2я-1
Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов Рп и Рд_?. Далее
в последнем интеграле произведение хРп заменим по формуле F) через Рп+1
и Pn_Y будем иметь
J ]\ +l 2n
(9)
из (9) получаем, что
" "" 2и + 1 " °"
VI. Специальные функции
Теорема о разложимости
241
В этом пункте мы приведем без доказательства теорему о разложимо-
разложимости функции в ряд Фурье по многочленам Лежандра:
Теорема I. Пусть функция (p(.v) кусочпо-пепрерывиа вместе с производной
первого порядка ^^ на интервале [—1,1 ]. Тогда в каждой точке непре-
dx
рывности ф(х) ее ряд Фурье по многочленам Лежандра сходится к этой
функции.
§ 2. Потенциал полой сферы
Применим введенные выше многочлены Лежандра для вычисления по-
потенциала внутри полой сферы радиуса R, составленной из двух полусфер,
изолированных друг от друга топкой прокладкой и заряжепттьтх до потенциа-
потенциалов U[ И Uт.
Математическая постановка этой задачи: требуется найти решение
и у,Q) уравнения
Ди = 0, 0<r<R, A0)
удовлетворяющее краевым условиям:
(И)
Так как потенциал и(г,0,ф)=и(г,0) гте зависит от ф, то уравнение Лапласа
A0), записанное в сферических координатах, для него будет иметь вид
— га — + —— sin е— = о
дг{ дг
Сначала найдем решения уравнения A2) вида
A2)

242 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
удовлетворяющее только условию ограниченности, Разделяя, переменные
получим
f(r) <p(e)
Следовательно,
1
sine <
В последнем уравнении произведем замену переменной ?, - cosO.
Получим уравнение
которое при \ = п(п+ l) имеет ограниченное тта [-1,1 ] решение в виде мно-
многочлена Лежандра Р„{^)- При таких значениях X уравнение для f{r) имеет
ограниченное решение вида
Теперь решение исходной задачи A0), A1) ищем в виде, согласно теоремы 1
u(r,Q)= tcnr"Pn(cosQ). A3)
Коэффициенты Сп определим из второго краевого условия A1), пользуясь
свойством ортогональности многочленов Лежандра:
C, = )u(R,Q)PlmsQ)AnQdQ=
2 о 2
Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами F) и G). Полу-
ПолуС„ =
(р, - о, Х2я + 1)
2и
(И)
Итак, решение задачи A0, A 1) вычисляется по формулам A3) и A4).
VI. Специальные функции
243
Задачи
1. Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиуса R с центром в
начале координа1 и такую, что
a)
) = cos26;
в) /F) = cos26;
2. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R и такую, что:
(г-/ + иг) r=R - 1 + cos2 6.
3. Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса R и такую, что:
а) и,
,_R = sin H;
б) (u-ur\r=R =sin26;
в) иг
4. Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < г < 2 функцию такую, что
,-=,=/, (в). «U = /2(e),
a) f, = cos2 в; f2 = i(cos2 в+l);
б) /J = cos28; /2=4cos28--;
в) /; = icos8; /2=l + cos28.
5. Найти стационарную температуру внутренних точек полусферы радиуса
R, если сферическая поверхность поддерживается при постоянной темпера-
температуре Го, а основание полусферы - при нулевой температуре.

244 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 32. Сферические функции. Задача Дирихле для шара
Сферические функции проще всего могут быть введены при решении
уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных.
§1. Определение сферических функций
Будем искать решения уравнения Лапласа, записанного в сферических
переменных г.6,ф
Аи- ——{г2—1 + —"——(sin6 —1 + 1 д2и -0 A)
г2дг{Г д г)+ r2smQ6Q{ 1 д Q ) + г2 sin 2Qd ф2
Тогда для определения F(r) получаем уравнение Эйлера
а для определения функции 7F, ф) - уравнение
дО
B)
C)
Определение. Ограниченные в области 0<Q<n, 0<ф<2л решения урав-
уравнения C), такие что
называются сферическими функциями.
Если ограниченные решения уравнения C) искать в классе функций вида
7@, ф) = У(())ф(ф), Ф(ф + 2 тс) = Ф(ф),
то для функций ?(б) и Ф(ф) получим уравнения
Л—^_AWe) sin q) + (x- -У=-1 т(е) = о, D)
Z1 y J } { sin2ej y J
Ф"(ф)+цф(ф) = 0. E)
VI. Специальные функции 245
Из условия периодичности функции Ф(ф) находим \х = к^ (где к- целое
число). Поэтому
Ф(ф) = ^соб^ф + 5 sin А ф.
В уравнении D) произведем замену переменной
cos6-^.
Получим уравнение
Определение. Ограниченные на отрезке [- 1,1 ] решения уравнения F) назы-
называются присоединенными функциями Лежаидра.
Для отыскания их произведем замену
Для функции z (^) получим уравнение
Отметим, что такое же уравнение мы получим из уравнения Лежапдра
G)
если продифференцируем его к раз. Поэтому ограниченным на отрезке
[- 1,l] решением уравнения G) при Х = п(п + \) будет функция
Здесь /*„(?,) -полипом Лежапдра (см. лекцию 31).
Следовательно, ограниченное па [-l,l] решение уравнения F) при
X = п {п + |), т.е. присоединенная функция Лежандра Рп (?,), имеет вид
0<k<n.
(8)

246 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Итак, у =/*/(?,), и поэтому сферическими функциями вида
\к(б)ф(ср), ф(ф + 2тг)=ф(ф)
будут следующие функции;
7^(e,(p)=/^(cose) sin к ф, У^*(е>ф) = -^*(cos0)cos А:ф, к = 0,1,2,... .
Эти функции называют фундаментальными сферическими функциями
п -го порядка. Ясно, что функции
будут также сферическими функциями. Они называются сферическими
функциями п-го порядка. При Х = п{п + l) уравнение B) имеет решения
Следовательно,
I
являются гармоническими функциями. Они называются шаровыми функ-
функциями л-го порядка.
Таким образом, сферические функции п-то порядка, К„(в,ф), являются
значениями шаровых функций п -го порядка на единичной сфере.
§ 2. Свойство ортогональности
Используя свойство ортогональности многочленов Лежандра и форму-
формулу (8) нетрудно показать, что присоединенные функции Лежандра ортого-
ортогональны на промежутке [- 1, l]
\Рп fe) Ps fe)^ = 0, при п Ф s.
Квадрат нормы присоединенной функции дается формулой
(9)
A0)
VI. Специальные функции 247
Сферические функции обладают свойством ортогональности на единичной
сфере s:
\\Y:!@,ф)• Ys@,(p)tfo = 0, если пфх.
е <iq ?/ф = о. (И)
Для доказательства этого заметим, что свойством ортогональности обладают
фундаментальные сферические функции:
= 0 при (n,k)*(s,p\
ибо
,<p)-7/(G,<p)sinG dQ dу = Пcosk ycos
при \п, к) Ф {s, pj. Если к Ф р, то первый интеграл правой части равенства ра-
равен нулю. Если же к = р, но пф s , то второй интеграл в силу (9) равен нулю.
Из ортогональности фундаментальных сферических функций следует
ортогональность A1).
И, наконец, вычислим квадрат нормы
||Г^(е,фI эте^е^ф^ jcos
оо о
Следовательно, учитывая A0), будем иметь
Г Bя + 1)'(я-А-у ' \2, к=0, К }
§ 3. Гармонические многочлены
В этом параграфе мы докажем справедливость следующего утвержде-

248 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теорема 1. Шаровые функции г"К„(в,<р) являются однородными гармониче-
гармоническими многочленами п -й степени по переменным х, у, z.
Доказательство. Поскольку
нам достаточно доказать теорему для функций
гякп(е,<р),
Для определенности полагаем k > 0. Тогда
где t, = cos 6. Очевидно, достаточно доказать теорему для функций вида
rf!sin*r6(cos6)'7 ~Ч С
СОЭ&ф.
Для таких функций мы имеем
г" sm*0(cosO)"~2'Jl cos *Ф = г1' sin »0Re (е'к Ф1 г2"г"-2"-'(cosО)"
Очевидно, это однородный многочлен п-й степени,
§ 4. Задача Днрнхле для шара
Пусть дана сфера радиуса R. Поместим в центр этой сферы начало
сферической системы координат (г, 9, ф) и рассмотрим две задачи Дирихле:
Аи =0 при г < R, и r=R= /@,ф) (штутретшяя задача), A3)
Аи=0 при г > R, и г=н = /ф,Ц>) (внешняя задача), A4)
VI. Специальные функции 249
где / = /(б, ф) - заданная функция на поверхности сферы. Предполагая воз-
возможность разложения функции /(б, ф) в ряд по сферическим функциям
(возможность такого разложения для дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемой функции можно обосновать), допускающей почленное интегрирование,
получим
/(йф)= Z Z (Anmcosm ф+ ЙИИ1 sinтф)^'(cosG), A5)
n=Q m-Q
где Апщ и Влт —коэффициенты Фурье, определяемые формулами
A6)
Здесь значение нормы р„ определяется из A2).
Формулу A5) перепишем в виде
00 „
/(б,ф)— 2 ? (б,ф),У((б,ф) — 2^ \Аптсозшф + Вптsintrup) i^m'(cos6). A7)
п—О П т
Далее общее решение уравнения Лапласа для внутренней краевой задачи A3)
можно представить в виде
/7=ov R )
Пользуясь граничным условием при г = R и учитывая разложение для
/(б,ф), находим
Таким образом, решение исходной задачи A3) дается формулами A8), A9),
A7) и A6).
Аналогично находим решение внешней задачи A4):
"М.ф)= z -ы
G = 0V "

250 В. А. Банков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Задачи
1. Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы и такую, что:
а) и г
б) и
2. Найти функцию, гармоническую вне единичной сферы и такую, что:
а) и
б)ь
,=] - cos 2ф + — sirrB;
(=I = sin6 (sin ф + sin 6).
f=I = cos 6sin 6-sin ф + — |.
3. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < г < 2 и та-
такую, что и\ г=1 = /\ @, ф) и г=2 = fi (О, ф), где:
а) /, = sin6sin<p, /-, = 0;
б) fx = 3 sin 2 ф sin2G, f2 = 3 cos 6;
в) /| = 7sin 6 cos ф, f\ = 7 cos 6.
251
Литература
1. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Изд. 2-е, Наука,
1971.
2. Годунов С.К. Уравнения математической физики. Наука, 1971.
3. Котляков Н.С., Глипер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных произ-
производных математической физики. Высшая школа, 1970,
4. Куракт Р. Уравнения с частными производными. Мир, 1964.
5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I и II, Гостех-
издат, 1951.
6. Лебедев П.П. Специальные функции и их приложения. Изд. 2-е, Физмат-
гиз, 1963.
7. Михлин С,Г. Курс математической физики. Наука, 1968.
8. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд,
3-е, Физматгиз, 1961.
9. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. Изд, 3-е,
Наука, 1965.
10. Владимиров B.C., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидо-
Сидоров Ю.В., Шабуттитт М.Н, Сборник задач по уравнениям математической
физики. Наука, 1974.
11. Арсснин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специаль-
специальные функции. Наука, 1966.
12. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Наука, 1966.
13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
14. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных
второго порядка. М: Наука, 1964.
15. Жибер А.В., Соколов В.В, Метод каскадного интегрирования Лапласа и
уравнения, интегрируемые по Дарбу. Уфа: БГУ, 1996.

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через
наш Интернет-магазин:
http: //shop, red. г u
Книги также можно приобрести:
1. Москва. ФТИАТТ, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332-48-92 (почтовый адрес; Нахимовский проспект, д, 34),
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корн. 3, к, 414, тел. 135-54-37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ. 1 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр.. 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Лрбат, 8)
«Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
С-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр,, 28)
Байков Виталий Анварович
Жнбер Анатолий Васильевич
Уравнения математической физики
Дизайнер М, В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерная верстка Д. 11. Вакуленко
Корректор М.А, Ложкина
Подписано в печать 07.02.03. Формат 60 X 847^.
Печать офсетная. Усл. нст.л, 14.65, Уч. изд.л, 14,34,
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная №1. Заказ №
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, i: Ижевск, ул. Универапегская. 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ „Ч°084 от 03.04.00,
httpirccl.ni E-mail: borisoviibicd.rii