Text
                    

эвклидовыхъ II А Ч А Л Ъ Г из М Пвстн*лва В О С Е М Ь К И II і- гіэіііі Ъ А «’Ш^А^ЙЧЕСКОГО Колледжа НМУ рвыя шесть , одиннадцатая и двѣ- надцатая , Содержащія въ себѣ ОСНОВАНІЯ ГЕОМЕТРІИ. Переводъ съ Греческаго Ѳ. ПЕТРУШЕВСКАГО, СЪ ПРИБАВЛЕНІЯМИ И ПРИМЬЧАН САНКТПЕТЕРБ* < ТИПОГРАФІЯ ДЕПАРТАМЕНТА ' ПРОСВѢЩЕНІЯ і 8 і д.
^.Лашаів Ііѵге «Зе зсіепсс п’а еп нп впссёз сотрагаЫе а, сеіиі сіся Еіётспз сІ’ЕпсІісІе. Не опі ёіё епзеі^пёз сх- сіаэіѵетепі репсіапі ріизісагз зіёсіез сіапз Іоиіез Іез ёсоіеэ <!& таі!іётаіі(|пез , ігаёоіів еі соттепіёз сіапз Іо о Іез Іев Іапдпез ; ргеиѵе сегіаіпе сіе Іеиг ехсеііепее. ВО88ѴТ. ’ІАТАТЬ ПОЗВОЛЯЕТСЯ тобы по напечатаніи , до выпуска изъ представлены были : одинъ экземпляръ Цензурнаго Комитета , другой для Де- Іароднаго Просвѣщенія; два экземпляра оской Публичной Библіотеки , и одинъ »рской Академіи Наукъ. Санктпетср- я іЗ дня 1818 года. т. Сое. и Кав. Г. Яценково.
ЕДПСЛОВІЕ. ^Эвклидъ жилъ въ Александріи , почти за .270 лѣтъ до Рождества Христова, куда онъ переселился изъ Греціи по приглашенію царствовавшаго тогда въ Египтѣ Птоле- мея Лага, и былъ ему совѣтникомъ и со- трудникомъ въ заведеніи славной Алексан- дрійской Школы- По описанію Паппа Эвк- лидъ , сколь великъ умомъ, сшольже отли- ченъ былъ и качествами сердца. Онъ, подобно великому Невтону , съ тихостію нравовъ соединялъ смиренное чувство собственнаго достоинства , былъ совершенно чуждъ гор- дости и предубѣжденія къ своимъ по- знаніямъ, съ непритворною готовностію отдавалъ справедливость достоинствамъ другихъ, и всегда оказывалъ особенное внима- ніе и даже пособіе всѣмъ тѣмъ , кои какимъ либо образомъ споспѣшествовали къ распро- страненію Маѳематическихъ наукъ. Изъ всѣхъ твореній Эвклида дошедшихъ до насъ славнѣйшее есть, такъ называемыя Начала (}. Оно названо просто.
VI и Началами, потому что содержитъ въ себѣ ос- нованія, какъ Геометріи такъ и Ариѳметики, а именно изъ тринадцати главъ или книгъ, на кои онѣ раздѣляются , восемь (издавае- мыя теперь] содержатъ основанія Геометріи, а остальныя , частію Ариѳметику, частію приложеніе оной къ Геометріи. Ни одна изъ классическихъ книхъ , не была столь ува- жаема просвѣщенными мужами , какъ Нача- ла , или по крайней мѣрѣ восемь оныхъ книгъ. Онѣ были около девятнадцати вѣ- ковъ почти единственнымъ руководствомъ къ изученію Геометріи , и переведены не только на всѣ Европейскіе языки, но и на многіе Азіатскіе, какъ то : на Еврейской , Арабской , Китайской и проч. Но и ни одна можетъ быть книга не потерпѣла столько, какъ Начала отъ издателей и переводчиковъ, которые по видимому старались напере- рывъ одинъ передъ другимъ отступать отъ подлинника , перемѣнять самыя лучшія мѣ- ста , которыя не могутъ быть иначе по- мѣщены и выражены , дополнять оныя предмѣтами пи мало не относящимися къ Началамъ , и находить ошибки . дѣйстви- тельно существующія только въ собствен- ныхъ ихъ понятіяхъ. Дабы въ семъ увѣ- ришься, довольно будетъ разсмотрѣть три
VII перевода, кои мы уже имѣемъ. (*] Каждый изъ нихъ, а особливо послѣдній , можетъ назваться хорошею Геометрическою кни- гою ; но ни одинъ не можно назвать Эвк- лидывыми Началами ; ибо въ нихъ сдѣ- лано столько перемѣнъ , прибавленій, и проч., что едва оставлена тѣнь подлин- ника. Настоящее изданіе есть переводъ съ под- линника напечатаннаго въ Оксфортѣ (**), кромѣ весьма не многихъ прибавленій и поправокъ очевидныхъ онаго погрѣшно- стей. Все прочее оставлено неприкосновен- нымъ , чтобы любителямъ Маѳематиче- скихъ наукъ доставить . удовольствіе имѣть Эвклида въ собственной такъ сказать одеждѣ, особливо же потому, что Нача- ла сіи и донынѣ превосходятъ все , что въ семъ родѣ ни писано было , какъ по краткости г ясности и точности , такъ по содержанію предмѣтовъ и удивитель- ному порядку. » Тщетно старались , (*) і. Сатарова, съ Латинскаго, 17З9. 2. Курганова, съ Французскаго, 1769. 3. Суворова и Никитина , съ Греческаго, 1784. (**) Еисіійіз, циае зирегзипіотпіа, Охоиіж, і;оЗ.
ѵш говоритъ Монтукла, разные Геометры, коимъ не нравилось Эвклидово расположе- ніе, перемѣнить оное , не ослабивъ си- лы доказательствъ. Безсильныя ихъ по- кушенія доказали, сколь трудно замѣнить Порядокъ симъ древнимъ Геометромъ изоб- рѣтенный другимъ порядкомъ столько же точнымъ. Таково было мнѣніе славнаго Лейб- ница , коего знаменитость въ семъ дѣлѣ должна имѣть полный віісъ • и Г. Вольфъ , объявляющій намъ сіе , признается , что онъ напрасно усиливался привести Геоме- трическія истинны въ совершеннѣйшій порядокъ, и что сего сдѣлать не возможно не предполагая того что не было еще доказано , пли не ослабивъ твердости до- казательствъ. Англійскіе Геометры,коп.орые Кажется болѣе другихъ соблюли вкусъ къ Геометрической точности , были всегда такого мнѣнія , и Эвклидъ имѣетъ между ими ревностныхъ защитниковъ въ разныхъ искусныхъ Геометрахъ. Въ Англіи менѣе расплодилось сего рода сочиненій , которыя облегчаютъ путь къ сей наукѣ токмо ослабляя оную. Тамъ руководствуются по- чти однимъ Эвклидомъ ; и однакожъ тамъ вееіда довольно Геометровъ.
IX « У прекъ дѣлаемый Эвклиду въ несоблю- деніи порядка заставляетъ меня воиши въ нѣкоторыя разсужденія о томъ порядкѣ, къ коему новые Авторы Геометріи столь- ко пристрастны , п о неудобствахъ отъ псю произходящихъ. Можно ли назвать истиннымъ порядкомъ тотъ } когпорып за- ставляетъ нарушать существеннѣйшую принадлежность Геометріи , я разумѣю сію строгость доказательства, которая одна токмо можетъ заставить разумъ убѣ- диться отвлеченными исшиннами. Между іцѣмъ нѣтъ ничего обыкновеннѣе у помя- нутыхъ Авторовъ, какъ нарушеніе Геоме- трической точности. Имъ непремѣнно нуж- но было отступишь до того , чтобы не начинать о какомъ либо родѣ протяжен- ностей , пока не изложено будетъ о дру- гомъ простѣйшимъ, и они любили лучше доказать въ половину, то есть вовсе не доказать, нежели нарушить мнимыи поря- докъ коимъ они ослѣплены. Мнѣ же кажет- ся нѣкоторымъ родомъ ребячества та при- вычка, чтобы не говорить, па примѣръ, преж- де о треугольникахъ, пока не будетъ все ска- зано о линіяхъ и объ углахъ...Я даже не боюсь сказать еще, что сей любимый
X порядокъ стѣсняетъ разумъ, и приучаегпъ къ ходу противному тому, чрезъ который открываются истинны » (*). Сіе мнѣніе знаменитаго Историка мо- жетъ сложить отвѣтомъ на всѣ возраже- нія противъ порядка Эвклидомъ наблюда- емаго , и доказательствомъ , что предмѣтъ Геометріи не требуетъ столь по видимо- му естественнаго раздѣленія на Геомет- рію линій , Геометрію поверхностей и Гео- метрію тѣлъ, ибо раздѣленіе сіе несовмѣ- стно съ Геометрическимъ порядкомъ, коего сущность состоитъ въ томъ , чтобъ пред- лагаемое ученіе выводить изъ несумнитель- тельныхъ основаній и посредствомъ умо- заключеній убѣждющихъ разумъ. Сверхъ возраженій противъ порядка На- чалъ вообще, есть еще нѣкоторыя противъ особенныхъ частей оныхъ. Важнѣйшія изъ нихъ суть слѣдующія : Первое. Одиннадцатая аксіома , говорятъ, не есть аксіома, а ѳеорема , и слѣдова- тельно должна быть помѣщена между пред- ложеніями , и доказана. Нельзя не согла- ситься , что аксіома сія тамъ, гдѣ она (*) Нізіоіге сіез МаіЬётаііцисз , раг Л. Г. Мопіисіа , ап VII, Іот. I} рад. 2о5.
XI помѣщена, не столь ясна , или лучше ска- зать не столь убѣдительна, какъ прочія аксіомы. Но есшьли замѣтимъ , что она въ первый разъ употреблена Эвклидомъ въ до- казательствѣ предложенія ад, и что она пос- лѣ 28 дѣлается почти очевидною: тіо сіе возраженіе перестаетъ быть важнымъ- піѣмъ паче, что сей ѳеоремы еще никто не до- казалъ совершенно удовлетворительно. Второе. Эвклидъ ? говорятъ , нѣко- торымъ предложеніямъ положилъ доказа- тельства не на всѣ случаи , каковы Кн. I, предл. 7 , 24, 25 , и другія. Болѣе нежели вѣроятно, что Эвклидъ зналъ всѣ случаи , но помѣстить оныхъ не хотѣлъ. Ибо для чего бы , на примѣръ , ему помѣщать вто- рою часть предложенія 5, гдѣ сказано: » а по продолженіи равныхъ прямыхъ и углы подъ основаніемъ взаимно равны , » есшьли бы онъ не зналъ , что безъ того не можно доказать втораго случая предложенія 7 ? Разсматривая съ нѣкоторымъ вниманіемъ всѣ таковыя предложенія, легко видѣть, что Эвклидъ излагалъ и доказывалъ толь- ко общіе случаи , и что прочіе мо- гутъ быть доказаны, пли па основаніи оныхъ} или посредствомъ предъидущихъ предложеній ; и слѣдовательно Эвклидъ
XII думалъ, что вЪ Началахъ, доказавъ общіе случаи, нѢтгіЬ нужды доказывать час- тные. Впрочемъ, что бы сдѣлать въ семъ отношеніи настоящее изданіе полнымъ, мы помѣстили сіи случаи въ прибавленіяхъ , оставляя на волю каждаго считать оные или нужными или токмо полезными. Третье. Ѳеорію величинъ пропорціональ- ныхъ Эвклидомъ предлагаемую находятъ слишкомъ отвлеченною и трудною;»! въ семъ заключается одна изъ, важнѣйшимъ причинъ, почему Начала не имѣютъ столь обшир- наго употребленія , какъ по изящности оныхъ ожидать бы должно. Изъ примѣчаній на главныя опредѣленія сей ѳеоріи ( ) легко видѣть, что въ пей нѣтъ ничего слишкомъ отвлеченнаго , кромѣ , мо- жетъ быть , опредѣленія 3 , которое впро- чемъ , какъ самые строгіе критики созна- ются , никакого вліянія не имѣетъ на са- мую ѳеорію, ибо оное ( опредѣленіе) даже вовсе оставить можно. Что касается до трудности, тпо она не раздѣльна съ самымъ предмѣтомъ : притомъ же сія трудность не такъ велика , чтобы начинающимъ преодо- (*) (*) Смоги, сгпран. 433 — 438.
ХІП пѣть оную было невозможно. Какъ бы то ни было , но новѣйшіе сочинители Гео- метрическихъ книгъ почти всѣ оставили Эвклидову ѳеоріто, и замѣнили оную Ариѳме- тическою, нѣкоторые частною, то есть однихъ токмо цѣлыхъ чиселъ, а нѣкото- рые немногіе общею, въ коей подразумѣ- ваются дроби и такъ называемыя несоиз- мѣримыя числа. Они принимаютъ , что по- елику протяженности въ общихъ правилахъ сей ѳеоріи имѣютъ съ числами одинакія свойства, ( что однакожъ извѣстно изъ Эвклидовой же ѳеоріи)} и поелику оныя можно изобразить или предположить изображенными въ числахъ} то и поступаютъ съ ними какъ съ настоящими числами , то есть умножа- ютъ , дѣлятъ, возвышаютъ , и проч. Безъ сомнѣнія протяженности и числа какъ ве- личины вообще необходимо имѣютъ одина- кія свойства } но поелику Ариѳметическая ѳеорія пропорцій изслѣдываетъ свойства чиселъ , какъ чиселъ токмо , а не какъ величинъ, то заключать отъ чиселъ ко всѣмъ вообще величинамъ не значитъ ли заключать отъ частнаго къ общему , и слѣ- довательно поступать противно здравой логикѣ ? притомъ можно ли поступать съ протяженностями какъ съ числами , не
XIV показавъ, какъ ихъ изображать числами ? на- конецъ, кто доказалъ, чгпо всякая протяжен- ность непремѣнно изобразится каки мъ либо числомъ;' Изъ сего явспіву ешъ , что обык- новенная то есть Ариѳметическая ѳеорія пропорціи совершенно недостаточна, ибо она нарушаешь главнѣйшее и необходимое качество Маѳематики , точность. Сему возраженію не подлежитъ ѳеорія Гурьева • но и она уступаетъ Эвклидовой тѣмъ , что въ сей послѣдней нѣтъ раздѣленія величинъ На соизмѣримыя н несоизмѣримыя , которое влечетъ за собою длинноспіи и трудности. Не говоря } же о томъ, что сіе раздѣленіе соб- ственно принадлежитъ къ Ариѳметикѣ, въ коей Геометрія , какъ говоритъ и самъ Гурьевъ , не имѣетъ никакой нужды ( * ). Четвертое, упрекаютъ также Эвклида въ томъ, что доказательства его на нѣ- которыя предложенія Кн. XI и ХИ трудны. Правда , что оныя не такъ удобны , какъ на примѣръ , продолженія Кн. I- но сія труд- ность, какъ и въ ѳеоріи пропорцій, зави- ситъ отъ сущности предмѣта , а не отъ порядка или вида доказательства. Въ семъ (*) Опытъ о усовершенствованіи Елементовъ Геометріи, сшр. іуН.
XV легко увѣриться, сравнивъ Эвклидовы дока- зательства съ обыкновенными. Первыя яс- ны, точны и вообще не подлежатъ ника- кому возраженію • напротивъ того послѣднія утверждаются на основаніяхъ, или темныхъ или вовсе несправедливыхъ. Ибо нельзя не назвать таковыми тѣ, въ коихъ допу- скается: что линіи состоятъ изъ точекъ, поверхности изъ линій , а тѣла изъ повер- хностей • что около кр^га описанный мно- гоугольникъ, имѣющій безконечно многія и безконечно малыя стороны, равенъ кругу- что паралельныя линіи въ безконечномъ разстоя- ніи встрѣчаются , и проч. И естьли справед- ливо утверждаютъ Даламбертъ и Гурьевъ , что чѣмъ выводъ строже, тѣмъ онъ къ уразу- мѣнію удобнѣе • то должно также согла- ситься и въ томъ, что не Эвклидовы дока- зательства труднѣе обыкновенныхъ, но обыкновенныя Эвклидовыхъ. Прочія возраженія, имѣющія какое либо основаніе , разсмотрѣны въ Прибавленіяхъ • и потому на семъ останавливаться болѣе не будемъ. О примѣчаніяхъ и прибавленіяхъ замѣ- тить должно, что часть оныхъ помѣщена для пополненія и поясненія Началъ, часть дла соображенія нѣкотырыхъ мнѣній из- вѣстныхъ Геометровъ и толкователей
XVI Эвклида , а часть для удобнѣйшаго уразу мѣ- нія прочихъ древнихъ Гео яегпровъ, а осоолі.во Архимеда и Аполлонія ; и вообще большая оныхъ чаешь помѣщены какъ полезныя , а не какъ нужныя. Въ числѣ ихъ не находятся нѣкоторыя предложенія относящіяся къ Кругу і цилиндру , конусу и шару, потому что предполагается издашь въ слѣдъ за симъ три книги Архимеда , а именно : двѣ о Шарѣ и Цилиндрѣ ( ггѵй яаі Кг/кіід^ ѵ) и одну о Измѣреніи круга ( КѵхХя Мітрцбіе]. Наконецъ въ разсужденіи самаго перевода издатель считаетъ за нужное предварить читателей — Геометровъ , что онъ старал- ся столько приближаться къ подлиннику, сколько свойство Россійскаго языка позво- ляло , и что посему точность выраженія и порядокъ мыслей предпочитаемы были красотѣ и плавности слога.
эвклидовыхъ и А ч А л ъ. КНИГА ПЕРВАЯ. ОПРЕДѢЛЕНІЯ. і; Тройка есть то, что не имѣетъ ни- какой части. 2. Линія есть длина безъ ширины. 3; Концы же линіи сушь точки, (і). 4- Прямая линія есть та, которая ле- житъ равно своими точками. (Еѵ’іьіа уцар,- ЦЧ ібтіѵ . г]ті$ іб~/ѵ гоід ё<р ёілѵті]ь бгцлыоі$ ж&ітаі,.] (2). 5. Поверхность есть то, что только длину и ширину имѣетъ. 6. Копцы же или края поверхности суть линіи, (і}. і
2 Э в К Л И Д. НАЧАЛЪ 7. Плоская поверхность или плоскость есть та, которая лежитъ равно своими прямыми линіями. (3). 8. Плоскій уголъ есть взаимное наклоне- ніе двухъ линій, па плоскости встрѣчающих- ся и не впрямь лежащихъ. р. Когда же линіи, содержащія уголъ сушь прямыя , то уголъ называется прямолиней- ны мъ. іо. Когда прямая^ поставленная на другую прямую, дѣлаетъ снѣжные углы взаимно равные: то каждый изъ равныхъ угловъ называется прямымъ • а поставленная прямая называется перпендикулярною или отвѣс- ною къ той, на которую поставлена. іі. Тупой уголъ есть тотъ, который больше прямаго. і2. А острый, который меньше прямаго. іЗ. Предѣлъ есть край или конецъ чего ни есть. іф фигура есть то, что содержится нѣкоторымъ или нѣкоторыми предѣлами. і5. Кругъ есть плоская фигура, содержи- мая одною линіею называемой окружностію, къ которой всѣ прямыя изходящія отъ одной изъ точекъ, внутрь сей фигуры лежащихъ, взаимно равны.
КНИГА ПЕРВАЯ. 3 іб. II сія точка называется центромъ пли средоточіемъ круга. (4)- іу. Поперечникъ же круга есть всякая прямая чрезъ центръ проведенная, и ограни- ченная съ обѣихъ сторонъ окружностію круга; и таковая прямая дѣлитъ кругъ по- поламъ. (5). і8. Полукружіе есть плоская фигура, со- держимая поперечникомъ и частію окруж- ности, отнимаемой симъ поперечникомъ.* ід. Отрѣзокъ круга есть плоская фигу- ра, содержимая прямою линіею и частію окружности. 20. Прямолинейныя фигуры суть тѣ, кои содержатся прямыми линіями. 2». Изъ нихъ, треугольники суть тѣ, кои содержатся тремя. 22. Четыре^тольники же, кои четырьмя. 23. А многоугольники, кои содержатся больше нежели четырьмя прямыми линіями. 2Д. Изъ тре.утольниковъ, равпосторопный есть тотъ, который имѣетъ всѣ три стороны равныя. з5. А равнобедренный , который имѣетъ двѣ только стороны равныя. 26. Разносторонныи же, который имѣетъ всѣ три стороны неравныя. * *
4 3 В К Л И Ді НАЧАЛЪ 27. Сверхъ гпого изъ треугольниковъ же, прямоугольный есть тотъ, который имѣетъ прямой у ІОЛЪ. 28. А тупоугольный, который имѣетъ тупой уголъ. 2(). Остроугольный же, который имѣетъ всѣ три угла острые. Зо. Изъ четыреугольниковъ,квадратъ есть тогпъ, который и равносторонный и прямо- угольный. Зі. Продолговатый же прямоугольникъ или просто прямоугольникъ, шошъ, ко- торый есть прямоугольный , но не равно- сторонный. За. А ромбъ, который есть равиосгпо- ронный, но не прямоугольный. 33. И ромбоидъ , который , имѣя взаимно равными прошивулежащія и стороны и углы, не есть ни равносторонный, ни прямо- угольный. 34- Прочія же четырссторонныя фигуры назовемъ трапеціями. 35. Параллельныя прямыя суть тѣ, кои будучи на тоиже плоскости, и продолженныя на оЬЬ стороны безпредѣльно, нигдѣ взаим- но не встрѣчаются. « 36. Параллелограммъ есть четы реуголь-
КНИГА ПЕРВАЯ. 5 пикъ, коего прошивулежащія стороны взаим- но параллельны. » (6) ТРЕБОВАНІЯ. і. Требуется чтобы можно, отъ всякой точки до всякой другой проводить пря- мую линію. 2. Опредѣленную прямую продолжать впрямь непрерывно. 3, Изъ всякаго центра, всякимъ раз- стояніемъ, писать кругъ, (7) АКСІОМЫ ИЛИ ОБЩІЯ ПОНЯТІЯ. і. Равныя гпом^же , цшь и взаимно равны. 2. Есшьли къ равнымъ приложены равныя, то и цѣлыя равны. 3. Естьли отъ равныхъ отняты равныя, то и остатки равны. 4- Естьли къ неравнымъ приложены рав- ныя , шо и цѣлыя неравны. 5. Есшьли отъ неравныхъ отняты равныя, то и остатки неравны. 6. Двукратныя гпогоже, суть взаимно равны. 7-Половины шогоже, суть взаимно равны. . 8, Совмѣщающіяся взаимно, суть взаим- но равны.
6 э в К Л И Д. НАЧАЛЪ 9- Цѣлое больше своей части. іо. Всѣ прямые утлы взаимно равны. [В] 11. Естьліі на двѣ прямыя падаетъ третья прямая , и дѣлаетъ углы внутренные и по туже сторону меньше двухъ прямыхъ; то оныя двѣ прямыя линіи; продолженныя безпредѣльно, взаимно встрѣтятся по гну сторону, по которую углы меньше двухъ прямыхъ. іа. Двѣ прямыя не заключаютъ про- странства. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. На данной опредѣленной прямой, соста- вишь равносторопиый треугольникъ. Пусть будетъ АВ данная опредѣленная прямая. Надлежитъ на,опредѣленной прямой АВ составить равносшоронный треуголь- никъ. Изъ центра А, разстояніемъ АВ, напиши ♦тр.З. круіъ ВСП;; и егце изъ центра В, разсто- яніемъ ВА, напиши кругъ АСЕ; и отъ точки С, въ которой круги взаимно пере- сѣкаются , къ точкамъ А, В протяни пря- *шр. і. мыя СА, СВ*. Поелику точка А есть центръ круга ♦опр.ів. ВСІ), то АС равна АВ*; еще же, поелику
КНИГА ПЕРВАЯ. 7 точка В есть центръ круга АСЕ, то ВС равна ВА. А доказано, что и СА равна АВ, посему каждая изъ прямыхъ СА, СВ равна АВ- Но равныя іпомуже, суть и взаимно равны*; по сему и СА равна СВ. Чего ради*акс.т. три СА, АВ, ВС взаимно равны. Итакъ треугольникъ АВС есть равно- сторонный*, и составленъ на данной опре- *опр.24. дѣленной прямой АВ. Что и сдѣлать над- лежало. ПРЕДЛОЖЕНІЕ II. Приданной точкѣ положить прямую рав- ную данной прямой. Пусть будетъ А данная точка, и ВС данная прямая. Надлежитъ при точкѣ А положить прямую равную прямой ВС. Протяни отъ точки А до точки В прямую АВ*, и составь на ней равносторопный *тр.і. треугольникъ НАВ ; и впрямь съ НА, ВВ *пр.і. продолжи прямыя АЕ, ВГ*; изъ центра В, *тр.2. разстояніемъ ВС, напиши кругъ С&Н*; и *шр 3. егце изъ центра В, разстояніемъ БС, на- пиши кругъ (Жіі. Поелику точка В есть центръ круга ССН, то ВС равна ВС*.'Еіце же, поелику точка *опр.і5.
8 э в К Л И Д. НАЧАЛЪ В есть центръ круга СКЬ, то ВЪ равна ВС: но въ нихъ ВА равна ВВ; посему *акс.З. остальная АЬ равна остальной ВС*. А до- казано, что и ВС равна ВС; посему каждая изъ прямыхъ АЬ, ВС равна ВС. Но равныя *акс.і. пюмуже, сушь и взаимно равны*; посему АЬ равна ВС. Итакъ при данной точкѣ А положена прямая АЬ равная данной прямой ВС. ч. и с. и. ПРЕДЛ СЖЕНІЕ Ш. Изъ двухъ данныхъ прямыхъ неравныхъ, отъ большей отнять прямую равную меньшей. Пусть будутъ АВ, С двѣ данныя прямыя неравныя, изъ коихъ АВ П) спіь будетъ боль- шая. Надлежитъ отъ большой АВ отнять прямую равною меньшей С. При точкѣ А положи прямую АВ равную *пр.2. С*; и изъ центра А, разстояніемъ АВ, на- ♦тр.з. пиши кругъ ВЕЕ*. Поелику точка А есть центръ круга *опр.і5. ВЕЕ, то АЕ равна АВ*; но и С равна АВ: чего ради каждая изъ прямыхъ АЕ, С равна АВ; слѣдственно и ЛЕ равна С.
КНИГА ПЕРВАЯ 9 Итакъ, изъ двухъ данныхъ прямыхъ не- равныхъ АВ, С, отъ большей АВ отнята прямая АЕ равная меньшей С. ч, и с. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IV. Ежели два треугольника имѣютъ двѣ стороны равныя двумъ сторонамъ, каждою каждой ; и одинъ уголъ равный одному углу, а именно, кои содержатся сими равными прямыми: то и основаніе будутъ имѣть равное основанію- и треугольникъ будетъ равенъ треугольнику- и прочіе углы будутъ равны прочимъ угламъ, каждый каждому, кои прошивулежашъ равнымъ сторонамъ. Пусть будутъ АВС, ВЕЕ два треуголь- ника , имѣющіе двѣ стороны АВ, АС равныя двумъ сторонамъ ВЕ, ВЕ, каждую каждой, а именно, АВ равную ВЕ, а АС равную ВЕ; и утолъ ВАС равный углу ЕВГ. Говорю, что и основаніе ВС равно основанію ЕЕ; и шреу гольникъ АВС будетъ равенъ тре- угольнику ВЕЕ; и прочіе углы будутъ равны прочимъ угламъ, каждый каждому, кои прошивулежашъ равнымъ сторонамъ, а именно, уголъ АВС углу ВЕЕ, а уголъ АСВ углу ВЕЕ. Ибо, естьли помѣстить треугольникъ
ІО Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ЛВС на треугольникъ БЕГ; и положить точку А на точку Б, а прямую АВ па прямую БЕ: то и точка В совмѣстится съ точкою Е, поелику ЛВ равна БЕ- Когда же АВ совмѣстилась съ БЕ, гпо и прямая АС совмѣстится съ прямою БЕ, поелику уголъ ВАС равенъ углу ЕБГ: слѣдственно и точка С совмѣстится съ точкою Г, поелику еще АС равна БЕ. Но и В совмѣстилась съ Е; слѣдственно основаніе ВС совмѣстится съ основаніемъ ЕЕ. А буде, по совмѣсченіи В съ Е а С съ Е, основаніе ВС не совмѣстится съ основаніемъ ЕЕ: то двѣ прямыя за- *акс.і2. ключатъ пространство, что не возможно*. Чего ради основаніе ВС совмѣстится съ *акс,8. основаніемъ ЕЕ, и будетъ равно ему*; слѣдственно и цѣлый треугольникъ АВС со- вмѣстится съ цѣлымъ треугольникомъ БЕГ и будетъ ему равенъ; и прочіе углы со- вмѣстятся съ прочими углами и будутъ равны имъ, а именно, уголъ АВС углу БЕГ, и уголъ АСВ углу БГЕ. Итакъ, ежели два треугольника имѣютъ двѣ стороны равныя двумъ сторонамъ, каждую каждой; и одинъ уголъ равный одному углу, а именно,кои содержатся сими равными прямыми: гпо и основаніе будутъ имѣть
КНИГА ПЕРВАЯ. 11 равное основанію; и треугольникъ будетъ равенъ треугольнику; и прочіе углы будутъ равны прочимъ угламъ, каждый каждому, кои прошивулежашъ равнымъ сторонамъ. Чшо и доказать надлежало. ПРЕДЛОЖЕНІЕ V. Равнобедренныхъ треугольниковъ углы при основаніи взаимно равны; и естьли про- должить равныя прямыя, то и углы подъ основаніемъ взаимно равны. Пусть будетъ АВС равнобедренный тре- угольникъ , имѣющій сторону АВ равную сторонѣ АС; и пусть впрямъ съ АВ, АС будетъ продолжены прямыя ВО, СЕ*. Говорю, %ір.2. что уголъ АВС равенъ углу АСВ, а уголъ СВБ углу ВСЕ. Возьми на ВІ) какую ниесть точку Г; и отъ большей АЕ отними прямую АС равную меньшей АЕ*; и протяни прямыя ЕС, СВ. *3. Поелику АЕ равна АС, а АС равна АВ; то двѣ прямыя ГА, АС равны двумъ прямымъ СА, АВ, каждая каждой, и содержатъ онѣ уголъ ГАС общій: посему* основаніе ЕС *4- равно основанію СВ; и треугольникъ АГС будетъ равенъ треугольнику АСВ; и прочіе
12 э В К Л И Д. НАЧАЛЪ. углы будутъ равны прочимъ угламъ, каждый каждому, кои противулежагпъ равнымъ сто- ронамъ , а именно, уголъ АСЕ углу ЛВС, а уголъ 1ГС углу ЛСВ. II поелику цѣлая АБ равна цѣлой АС- и въ ннхъ АВ равна АС; посему остальная БЕ равна остальног *акс.З. СС\ А доказано, что и ЕС равна СВ; посему двѣ прямыя ВЕ, ГС равны двумъ прямымъ СС, СВ, каждая каждой; и }голъ ВЕС равет углу ССВ; а основаніе ихъ общее ВС; чегс ради и треугольникъ ВВС будетъ равенъ треугольнику ССВ; и прочіе, углы будугт равны прочимъ угламъ , каждый каждому, ког противулежапіъ равнымъ сторонамъ ; по- сему уголъ ВВС равенъ углу ССВ, а уголі ВСЕ углу СВС. Поелику же цѣлый уголъ АСЕ подсказанному равенъ углу АВС; и въ нихі уголъ ВСЕ равенъ углу СВС: посему осгпалыюі *акс.З. уголъ АСВ равенъ остальному АВС5; и оні при основаніи треугольника АВС. А доказано что и уголъ ГВС равенъ углу ССВ; и оін суть подъ основаніемъ : Итакъ равнобедренныхъ треугольниковъ и проч. ч, и д. н. (р). ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Ежели треугольника два угла взаимне равны; гпо и равнымъ угламъ противу-
КНИГА ПЕРВАЯ. іЗ лежащія стороны будутъ взаимно равны. Пусть будетъ АВС треугольникъ) имѣ- ющій уголъ ВСА равный углу СВА. Говорю, что и сторона АС равна сторонѣ АВ. Ибо, буде АВ не равна АС- то одна изъ нихъ большая. Пусть будетъ АВ большая. Отъ большей АВ отними ВО равную мень- шей АС'- и протяни ОС. Поелику ОВ равна АС, а ВС общая; то двѣ прямыя ОВ, ВС равны двумъ прямымъ АС, СВ, каждая каждой ; и уголъ ОВС равенъ углу АСВ: посему* основаніе ОС равно осно- ванію АВ; и треугольникъ АВС будетъ равенъ треугольнику ОСВ, меньшему боль- шій , что нелѣпо. Чего ради АВ не будетъ неравна АС; слѣдственно равна. Ишакъ, ежели треугольника, и проч. Ч. и Д. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴП. На гпойже прямой, отъ двухъ различныхъ по туже сторону лежащихъ точекъ, не могутъ быть составлены двумъ прямымъ другія двѣ прямыя равныя , каждая каждой , и окончивающіяся вмѣстѣ съ первыми прямыми.
14 Э В К Л П Д. НАЧАЛЪ Ибо, буде возможно, пусть на піойже прямой АВ, отъ двухъ различныхъ по туже сторону лежащихъ точекъ С и В, будутъ составлены двумъ прямымъ АС, СВ другія двѣ прямыя АВ, ВВ равныя, каждая каж- дой , и оканчивающіяся въ А, В вмѣстѣ съ первыми прямыми : такъ что СА будетъ равна ВА, оканчиваясь вмѣстѣ съ нею въ точкѣ А, а СВ равна ВВ оканчиваясь вмѣ- стѣ съ нею въ точкѣ В; и протяни СВ. Поелику АС равна АВ^ то уголъ АСВ *5. равенъ углу АВС*: посему утолъ АВС больше *акс.5. угла ВСВ*} а посему утолъ СВВ гораздо больше утла ВСВ. Еще же, поелику СВ равна ВВ} то уголъ СВВ равенъ углу7 ВСВ: а по доказанному гораздо больше} что невозможно, (іі) Ишакъ на піойже прямой, и проч. Ч. И д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VIII. Ежели два треугольника имѣютъ двѣ стороны равныя двумъ сторонамъ, каждую каждой, и основаніе равное основанію: то и уюлъ будутъ имѣть равный углу, а именно, кои содержатся тѣми равными прямыми. Пусть будутъ АВС, ВЕЕ два треуголь- ника , имѣющіе двѣ стороны АВ, АС равныя
КНИГА ПЕРВАЯ. і5 двумъ сторонамъ СЕ, СЕ, каждую каждой , а именно, АВ равную СЕ, а АС равную СЕ* и основаніе ВС равное основанію ЕЕ. Говорю, что и уголъ ВАС равенъ углу ЕСЕ. Ибо, естьли помѣстить треугольникъ АВС на треугольникъ СЕЕ; и положить точку В на точку Е, а прямую ВС на прямую ЕЕ: то точка С совмѣстится съ точкою Г, поелику ВС равна ЕЕ. Когда же ВС совмѣстилась съ ЕЕ; то и прямыя ВА, АС совмѣстятся съ прямыми ЕС, СГ. А буде, по совмѣщеніи основанія ВС съ осно- ваніемъ ЕЕ, стороны ВА, АС не совмѣ- стятся съ сторонами ЕС, СЕ, но примутъ другое Положеніе, какъ ЕС, СЕ: то будутъ составлены на тойже прямой, отъ двухъ различныхъ по туже сторону лежащихъ точекъ, двумъ прямымъ другія двѣ прямыя равныя, каждая каждой , и оканчивающіяся вмѣстѣ съ первыми прямыми. Но онѣ не могутъ быть составлены*: посему, когда*/, основаніе ВС совмЬстилось съ основаніемъ Еі , не могутъ не совмѣстится стороны ВА, АС съ сторонами ЕС, СЕ: слѣдственно совмѣстятся. Чего ради и уголъ ВАС совмѣстится съ угломъ ЕСЕ и оудешъ равенъ ему*.
16 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Игпакъ , ежели двѣ , и проч. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Данный прямолинейный уголъ раздѣлить по поламъ. Пусть будетъ ВАС данный прямолиней- ный уголъ. Надлежитъ се и уголъ раздѣлить по поламъ. Возьми на АВ какую ішесшь точку и *3. отъ АС отними прямую АЕ равную АБ*} и протяни НЕ} и составь на БЕ равносгпорон- *і. ныи треугольникъ БЕЕ*' и протяни ЛР. Говорю у что уголъ ВАС раздѣленъ по по- ламъ прямою АЕ. Поелику АО равна АЕ, а АЕ общая ; то двѣ прямыя БА, АЕ равны двумъ прямымъ ЕА, А1, каждая каждой • и основаніе БЕ равно основанію ЕЕ: посему уголъ БАЕ ра- *8. венъ углу ЕАЕ*. Итакъ данный прямолинейный уголъ ВАС раздѣленъ по поламъ прямою АЕ. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Данную опредѣленную прямую раздѣлить по поламъ.
КНИГА ПЕРВАЯ. і п У Пусть будетъ АВ даііная опредѣленная прямая. Надлежитъ прямую АВ раздѣлить по поламъ. Составь на ней равносторонный тре- угольникъ АВС*' и раздѣли ^олъ АСВ по *і. поламъ прямою СВ*. Говорю, что прямая**). АВ раздѣлена по поламъ въ точкѣ В. Поелику АС равна СВ, а СВ общая' то двѣ прямыя АС, СВ равны двумъ прямымъ ВС, СО, каждая каждой; и уголъ АСВ равенъ углу ВСВ: посему основаніе АО равно основа- нію ВО*. Итакъ данная опредѣленная прямая АВ раздѣлена по поламъ въ точкѣ О. ч. И С. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Къ данной прямой, отъ данной на ней точки, провести подъ прямыми углами прямую линію. Пусть будетъ АВ данная прямая, а С данная на ней точка. Надлежитъ отъ точки С прямой АВ, провести подъ пря- мыми къ ней углами, прямою линію. Возьми па АС какую ниесть точку В; и положи прямую СЕ равную СВ*} и составь па ВЕ равносторонный треугольникъ ЕПЕ*;»і. и протяни ЕС. Говорю, что къ данной а
18 Э В К Л НД. НАЧАЛЪ прямой АВ, ошъ данной на ней точки С, проведена «одъ прямыми углами прямая линія СЕ. Поелику СВ равна СЕ, а СЕ общая • то двѣ прямыя ВС, СЕ равны двумъ прямымъ ЕС, СЕ, каждая каждой • и основаніе ВЕ равно основанію ЁЕ : по сему уголъ ВСЕ равенъ 3. углу ЕСЕ*; и они суть смѣжные. Когда же прямая, поставленная на другую прямую, дѣлаетъ смѣжные углы взаимно равные; то каждый изъ равныхъ угловъ называется *<шр. іо. прямымъ*: посему каждый изъ угловъ ВСЕ, ЕСЕ есть прямой. Итакъ, къ данной прямой АВ, отъ данной на ней точки С, проведена подъ прямыми углами прямая линія ГС. ч. И С. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XII. Къ данной неопредѣленной прямой, отъ данной внѣ ея точки , провести перпенди- кулярную прямую линію. Пусть будетъ АВ данная неопредѣленная прямая, а С данная внѣ ея точка. Над- лежитъ къ данной неопредѣленной прямой АВ, отъ данной внѣ ея точки С, провести перпендикулярную прямую линію.
КНИГА ПЕРВАЯ. ід Возьми, по другую сторону прямой АВ, какую внесть точку О} и изъ центра С, разстояніемъ СО, напиши кругъ ЕГО*; и *тр.З. раздѣли прямую ЕС по поламъ въ шочнѣ Ну и протяни СО, СН, СЕ. Говорю, что *,о къ данной неопредѣленной прямой АВ,- отъ данной внѣ ея точки С, проведена перпен- дикулярная СН. Поелику СН равна НЕ, а НС общая} то двѣ прямыя СН, НС равны двумъ прямымъ ПЁ, ПС, каждая каждой } и основаніе СС равно основанію СЕ: посему уголъ СНС равенъ углу ЕНС*} и они суть смѣжные. Когда же прямая, поставленная на другую прямую, дѣлаетъ смѣжные углы взаимно равные} то каждый изъ равныхъ угловъ называется прямымъ, а поставленная пря- мая называется перпендикулярною къ той на которую поставлена*: Т Итакъ на данную неопредѣленную прямую АВ, отъ данной внѣ ея точки С, проведена перпендикулярная СН. ч. и С. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIII. Какъ бы прямая, на прямую поставлен- ная, углы ни дѣлала} она сдѣлаетъ или два прямые, или равные двумъ прямымъ. * *
20 ЭВКЛПД. НАЧАЛЪ Пусть прямая АВ, на прямую СВ по- ставленная, дѣлаетъ углы СВА, АВВ. Говорю, что углы СВА, АВВ или суть два прямые, или равны двумъ прямымъ. Ибо, естьли уголъ СВА равенъ углу 'опр.ю. АВВ: то они суть прямые*. Естьли же нѣтъ • то проведи отъ точки В, подъ *п> прямыми углами къ СВ, прямую ВЕ*. Посему углы СВЕ, ЕВВ суть два прямые. И поелику уголъ СВЕ равенъ двумъ угламъ СВА, АВЕ} придай обще уголъ ЕВВ: посему углы СВЕ, *акс.а. ЕВВ равны тремъ СВА, АВЕ, ЕВВ*. Еще же, поелику уголъ АВВ равенъ двумъ угламъ АВЕ, ЕВО} придай обще уголъ ЛВС: посему углы СВА, АВВ равны тремъ СВА, АВЕ, ЕВВ. А доказано , что и углы СВЕ, ЕВВ равны тѣмъ же тремъ угламъ- а равныя томуже *акс.і. суть и взаимно равны*: посему углы СВА, АВВ равны угламъ СВЕ, ЕВВ. Но углы СВЕ, ЕВВ суть два прямые: чего ради углы СВА, АВВ равны двумъ прямымъ. Итакъ, какъ бы прямая, и проч. ч. И Д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV. Ежели при какой ниесть прямой, и при точкѣ на ней, двѣ прямыя, не лежащія по
КНИГА ПЕРВАЯ. 3.1 гпуже сторону, дѣлаютъ смѣтные углы равные двумъ прямымъ ; то сіи двѣ прямыя будутъ взаимно впрямъ. Пусть при какой ниесшь прямой АВ, и при точкѣ на ней В, двѣ прямыя ВС, ВП, не лежащія по туже сторону, дѣлаютъ смѣжные углы АВС, ѴВО равные двумъ прямымъ. Говорю, что ВП впрямъ съ СВ. Ибо, буде ВП не впрямъ съ ВС* то пусть ВЕ будетъ впрягъ съ ВС. Поелику прямая АВ поставлена на прямую СВЕ; то углы СВА, АВЕ равны двумъ прямымъ*. Но и углы СВА, ЛВП равны *іЗ. двумъ прямымъ; посему углы СВА, АВЕ равны угламъ СВА, АВП. Отними обще уголъ СВА; посему остальной уголъ АВЕ равенъ остальному АВП, меньшій большему; что невозможно. Чего ради ВЕ не впрямъ съ ВС. Подобно докажемъ, что ни другая какая ниесшь прямая, кромѣ ВП: посему ВБ есть впрямъ съ ВС. Итакъ, ежели при какой ниесшь, и проч. ч. и д. н.
2а Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XV. Ежели двѣ прямыя взаимно пресѣкутся; пю сдѣлаютъ противу полочные углы взаим- но равные. Пусть двѣ прямыя АВ, СВ взаимно пресѣкутся въ точкѣ Е. Говорю, что уголъ АЕС равенъ углу ВЕВ, а уголъ СЕВ уулу АЕВ. Поелику прямая АЕ, поставленная іщ прямую СВ, дѣлаетъ углы СЕА, АЕВ’ пто *гЗ. утлы СЕА, АЕВ равны двумъ прямымъ* Еще же, поелику прямая ВЕ, поставленная на прямую АВ, дѣлаетъ углы АЕВ, ВЕВ; то углы АЕВ, ВЕВ равны двумъ прямымъ, А доказано, что и углы СЕА, АЕВ равны двумъ прямымъ • посему утлы СЕА, АЕВ *акс.і. равны утламъ АЕВ, ВЕВ*. Отними обще уголъ АЕВ; посему остальной уголъ СЕА *акс.а. равенъ остальному ВЕВ*. Подобно докажется, что п уголъ АЕВ равенъ углу СЕВ. Итакъ, ежели двѣ, и проч. ч. и Д. н. Слѣдствіе. Откуда явствуетъ, что естьли сколько ниесть прямыхъ взаимно пресѣкутся; то сдѣлаютъ около сѣченія утлы равцые четыремъ прямымъ. (12).
КНИГА ПЕРВАЯ. и?» П Р Е Д Л О Ж Е И I Е XVI. Всякаго треугольника, ежели одна изъ сторонъ продолжена, внѣшный уголъ больше каждаго изъ внутреннихъ прошивулежащихъ угловъ. Пусть будетъ АВС треугольникъ ; и пусть будетъ продолжена одна его сторона ВС къ С. Говорю, что внѣшный уголъ ДСП больше каждаго изъ внутреннихъ Нрошивулежащихъ угловъ ВАС, СВА. Раздѣли АС но поламъ въ Е*; и про- *10 тянувъ ВЕ продолжи оную къ Г; и положи прямую ЕЕ равную ВЕ*; и протяни ЕС; и Продолжи АС къ Сг. Поелику АЕ равна ЕС, а ВЕ равна ЕЕ; то двѣ прямыя АЕ, ЕВ равны двумъ прямымъ СЕ, ЕЕ, каждая каждой; и уголъ ВЕА равенъ углу СЕЕ, ибо суть прогпивуположные*: **5" посему* основаніе АВ равно основанію ГС; и *4" треугольникъ АВЕ равенъ треугольнику Г ЕС} и прочіе углы равны прочимъ угламъ каждый каждому, кои противулежатъ равнымъ сторонамъ ; посему уголъ ВАЕ равенъ углу ЕС Г. Но уголъ ЕС О больше угла ЕСГ; посему уголъ АСН больше угла ВАЕ. Подобно же, раздѣливъ ВС по поламъ, докажется, что
2 4 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ и уголъ ВСС, то есть АСВ больше и угла СВА. Итакъ всякаго, и проч. ч. и д. н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVII. Всякаго треугольника два угла* всячески перебранные, меньше двухъ прямыхъ. Пусть будетъ АВС треугольникъ. Говорю, что треугольника АВС, два угла всячески перебранные, меньше двухъ прямыхъ. Продолжи ВС къ В. Поелику треугольника АВС уголъ АСВ есть впѣшный ; то онъ больше впушрен- *і6. наго противулежащаго угла АВС*. Придай обще уголъ АСВ; посему углы АСВ, АСВ *акс. 4- больше угловъ АВС, ВСА*. Но углы АСВ* *13. АСВ равны двумъ прямымъ*; посему углы АВС, ВСА меньше двухъ прямыхъ. Подобно докажемъ, что и углы ВАС, АСВ меньше двухъ прямыхъ; и также углы САВ, АВС. Итакъ всякаго, и проч. Ч И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVIII. Всякаго треугольника большая сторона рротивулежитъ большему углу. Пусть будетъ АВС треугольникъ , имѣ- ющій сторону АС больше стороны АВ.
КНИГА ПЕРВАЯ. 2Э Говорю, что и уголъ АВС больше угла ВС А. Поелику АС больше АВ; то положи АВ равную АВ*; и протяни ВС. ’З. II поелику треугольника ВСС уголъ АСВ рсгпь внѣшный ; то онъ больше внутрен- няго прогпивулежагцаго угла ССВ*. А уголъ *іб. АСВ равенъ углу АВС*, ибо сторона АВ *5. равна сторонѣ АС; посему и уголъ АВС больше утла АСВ: чего ради уголъ АВС гораздо больше утла АСВ. Итакъ всякаго, и проч, ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIX. Всякаго треугольника большему углу противулежитъ большая сторона. Пусть будетъ АВС треугольникъ, имѣю- щій уголъ АВС больше угла ВСА. Говорю, что и сторона АС больше стороны АВ. Ибо, буде не такъ; то АС или равна АВ, или меньше ея. Но АС не равна АВ; ибо уголъ АВС былъ бы равенъ углу ВСА*: а *5. онъ не равенъ; посему АС не равна АВ. II АС не меньше АВ; ибо уголъ АВС былъ бы меньше утла ВСА*: а онъ не меньше; посему *і 8. АС не меньше АВ. А доказано, что и ни равна: чего ради АС больше АВ. Итакъ всякаго, и проч. ч. II Д. Н.
аб э В К Л И Д. Н А Ч А Л Ъ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XX. Всякаго треугольника двѣ стороны, всяче-> скц перебранныя, больше остальной. Пусть будетъ АВС треугольникъ. Говорю, что треугольника АВС двѣ стороны, вся- чески перебранныя, больше остальной: а именно, ВА, АС больше ВС; а АВ, ВС больше АС; и ВС, СА больше А_В. Продолжи ВА къ точкѣ Б; и положи ДБ равную АС; и протяни БС. Поелику БА равна АС; то уголъ АБС •5. равенъ углу ЛСБ*: но уголъ ВСБ больше *акс.д. угли АСБ*; посему уголъ ВСБ больше и угла АБС. И поелику ВБС есть тре- угольникъ , имѣющій уголъ ВСБ большій угла СБВ; а большему углу прошивулежитъ *І9- большая сторона*: посему БВ больше ВС. Но БВ равна АВ, АС: чего ради ВА, АС больше ВС. Подобно докажемъ, что и АВ, ВС больше СА; а ВС, СА больше АВ, Итакъ всякаго, и проч. ч. и д, Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXI. Ежели на одной изъ сторонъ треуголь- ника, отъ концовъ ея, будутъ составле-
КНИГА ПЕРВАЯ. 27 иъі внутри его двѣ прямыя: то составлен- ныя прямыя будутъ меньше прочихъ двухъ сторонъ треугольника, по большій уголъ содержать будутъ. Треугольника ѴВС на одной изъ сторонъ ВС, пусть отъ концовъ ея В, С, будутъ составлены внутри его двѣ прямыя ВО, БС. Говорю, что ВО, ВС суть меньше прочихъ треугольника двухъ сторонъ ВА, АС} по содержатъ уголъ ВВС большій угла ВАС. Продолжи ВВ къ Е. Поелику всякаго треугольника двѣ сто- роны больше остальной*} то треугольника АВЕ двѣ стороны АВ, ѴЕ больше ВЕ. Придай обще ЕС} посему ВА, АС больше ВЕ, ЕС ". *акс,.{, Ещеже, поелику треугольника СЕВ двѣ сто- роны СЕ, ЕВ больше СВ} придай обще ВВ: посему СЕ, ЕВ больше СВ, ВВ. А доказано, что ВА, АС больше самихъ ВЕ, ЕС} чего ради ВА АС гораздо больше ВВ, ВС. Ещеже, поелику всякаго треугольнику, впѣшный уголъ больше внутреннаго противу- лежащаго*} то треугольника СВЕ впѣшный *іС, уголъ ВВС больше угла СЕВ. Потому же и треугольника ДВЕ внѣщный уголъ СЕВ больше лгла ВАС. Л доказано, что угодъ
28 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ. ВВС больше угла СЕВ: чего ради уголъ ВВС гораздо больше угла ВАС. Ишакъ, ежели на одной, и проч. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXII. Изъ трехъ прямыхъ, равныхъ тремъ даннымъ прямымъ, составить треугольникъ. Но надлежитъ двумъ изъ тѣхъ прямыхъ, всячески перебранныхъ, быть больше остальной. Пусть будутъ А, В, С данныя три прямыя, изъ коихъ двѣ, всячески перебранныя, пусть будутъ больше остальной: а именно, А, В больше С; а А, С больше В; и еще В, С больше А. Надлежитъ изъ прямыхъ, равныхъ прямымъ А, В, С, составить треугольникъ. Изложи какую внесть прямую ВЕ, опре- дѣленную при В, но неопредѣленную при Е* положи прямую ВЕ равную Л, прямую ГС равную В, и прямую СН равную С; изъ цен- тра Г, разстояніемъ РВ, напиши кругъ ВКІд и еще изъ центра С, разстояніемъ СН, напиши кругъ КІИ; и протяни КР, КС. Говорю, что изъ трехъ прямыхъ, равныхъ прямымъ А, В, С, составленъ треугольникъ КРС.
КНИГА ПЕРВАЯ. 29 Поелику точка Г есть центръ круга ІЖЬ- то ГК равна ГВ*: но и А равна ГВ; посему *опрл 5. рК равна А. Ещеже, поелику точка С есть центръ круга ЬКН; то СК равна СН: но и С равна СН; посему СгК равна С. А ГС равна В: чего ради три прямыя КГ, ГС, СК равны гаремъ А, В, С. Итакъ, изъ трехъ прямыхъ КГ, ГС, СК, равныхъ даннымъ прямымъ А, В, С, состав- ленъ треугольникъ КГС. ч. и С. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХІП. При данной прямой, и при данной на ней точкѣ, составить прямолинейный уголъ, равный данному прямолинейному углу. Пусть будутъ АВ данная прямая, и А данная на ней точка, и ВСЕ данный прямо- линейный уголъ. Надлежитъ при прямой АВ, и при точкѣ на ней А, составить прямо- линейный уголъ, равный данному прямо- линейному углу ВСЕ. Возьми на каждой изъ прямыхъ СВ, СЕ какія ниесть точки В, Е; и протяни ВЕ; и изъ трехъ прямыхъ, равныхъ тремъ прямымъ СВ, ВЕ, СЕ, составь треугольникъ АГС*, *22. Піакъ чтобъ СВ была равна АГ, а СЕ равна АС, и ВЕ равна ГС.
Зо Э В К Л И Д. 11 А Ч А Л Ъ Поелику двѣ прямыя ВС, СЕ равны двумъ прямымъ ГА, АС, каждая каждой* и основа^ ніе ВЕ равно основанію ГС: шо уголъ ВСЕ *8. равенъ углу ГАС*. Ишакъ, при данной прямой АВ, и при данной на ней точкѣ А, составленъ прямо- линейный уголъ ГАС, равный данному пря- молинейному углу ВСЕ. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIV. Ежели два треугольника имѣютъ двВ стороны равный двумъ сторонамъ, каждую каждой* а уголъ одного больше угла другаГо, а именно, кои содержатся сими равными прямыми : шо и основаніе одного будетъ больше основанія другаго. Пусть будутъ АВС, ВЕГ два шреуголь-1 ника , имѣющіе двѣ стороны АВ , АС равныя двумъ сторонамъ ВЕ, ВЕ , каждую каждой;- а именно , АВ равную ВЕ , а АС равную ВГ; а уголъ ВАС больше угла ЕВГ. Говорю, что и основаніе ВС больше основанія ЕЕ. Поелику уголъ ВАС больше угла ЕВГ : то составь при прямой ВЕ, и при точкѣ на *аЗ. нейВ, уголъ ЕВС равный углу ВАС*; и по-' ложи равную которой ни есть изъ прямыхъ1 ♦3. АС, ВГ прямую ВС*; и протяни СЕ, ГС.
КНИГА ПЕРВАЯ. Зі Поелику АВ равна БЕ, и АС равна ВС; то двѣ прямыя ВА, АС равны двумъ пря- мымъ ЕВ, БС, каждая каждой 5 и уголъ ВАС равенъ углу ЕВС : посему основаніе ВС равно основанію ЕС*. Еще же, поелику БГ равна *Д. ВС; то уголъ БГС равенъ углу ВСЕ*: по-*5. сему уголъ ВЕС больше угла ЕСЕ; а уголъ ЕЕС и гораздо больше угла ЕСЕ. И поелику треугольника ЕЕС уголъ ЕЕС больше угла ЕСЕ ; а большаму углу прогпивулежигпъ боль- шая сторона*: посему сторона ЕС больше*19- стороны ЕГ. Но ЕС равна ВС ‘ него ради и ВС больше ЕЕ. Итакъ, ежели двѣ стороны, и проч. ч. И д. н. ((5). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXV. Ежели два треугольника имѣютъ двѣ сто- роны равныя двумъ сторонамъ, каждую каж- дой" а основаніе одного больше основанія дру- гаго: то и уголъ одного будетъ больше угла другаго, а именно, кои содержатся тѣми равными прямыми. Пусть будутъ АВС у ВЕЕ два треуголь- ника , имѣющіе двѣ стороны АВ, АС рав- ныя двумъ сторонамъ ВЕ) ВЕ, каждую каж- дой у а именно , АВ равную ВЕ, а АС равную
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ За ВІ‘5 а основаніе ВС пусть будетъ больше основанія ЕЕ. Говорю, что и уголъ ВАС больше угла ЕІ)Г. Ибо, буде не такъ* то онъ или равенъ ГЛІУ? или меньше. Но уголъ ВАС неравенъ углу ЕІ)Г ; ибо основаніе ВС было бы равно 4- основанію ЕГ,:: а оно не равно ; посему уголъ ВАС не равенъ углу ЕІ)Г. II не меньше его ; ибо основаніе ВС было бы меньше основанія *24- ЕЕ*: а оно не меньше ; посему уголъ ВАС ни меньше угла ЕІ)Г . Доказано же , что и ни равенъ : чего ради уголъ ВАС больше уг- ла ЕОГ. Итакъ, ежели двѣ стороны, и пр. ч.ид.н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVI. Ежели два треугольника имѣютъ два утла равные двумъ угламъ, каждый каждому, и одну сторону равную одной сторонѣ, а именно, кои прилежатъ равнымъ угламъ, или коимъ прогпивулежашъ равные углы: то и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ, каждую каждой; и остальной уголъ равный остальному углу. Пусть будутъ АВС, ОЕЕ два треуголь- ника , имѣющіе два угла АВС, ВСА равные двумъ угламъ ВЕГ, ЕГЭ, каждый каждому;
к н п г а Первая. 33 а именно, уголъ АВС равный углу Г)Г.Г, а уголъ ВСА углу ЕГВ; и одну сторону пусть имѣютъ равную одной сторонѣ : и во пер- выхъ, кои прилежатъ равнымъ угламъ, то есть, сторону ВС равную ЕЕ. Говорю , что и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ, каждую каждой , а имен- но, АВ равную ВЕ, а АС равную ВГ, и о- стальной уголъ ВАС равный остальному уг- лу ЕВГ. Ибо , буде АВ не равна ВЕ ; то одна изъ Нихъ большая. Пусть будетъ АВ большая. Положи Прямую ВС равную ВЕ • и протя-*3. ни ОС. Поелику ВО равна ВЕ , а ВС равна ЕЕ; Гпо двѣ прямыя ВС, ВС равны двумъ пря- мымъ ВЕ, ЕГ, каждая каждой • и уголъ СВС равенъ углу ВЕЕ : посему* основаніе ОС рав- *4- но основанію ВГ • и треугольникъ СВС ра- венъ треугольнику^ ВЕЕ; и прочіе углы бу- дутъ равны прочимъ угламъ, каждый каж- дому , кои противу лежатъ равнымъ сторо- намъ , а посему уголъ ССВ равенъ углу ВІ’ Е. Но , по положенію, уголъ ВЕЕ равенъ углу ВСА: посему и уголъ ВСС равенъ углу ВСА, Меньшій большему • что невозможно. Чего ради АВ не неравна ВЕ} слѣдственно равна: 3
34 Э В к Л И Д. НАЧАЛЪ Но и ВС равна ЕГ ; посему двѣ прямыя АВ , ВС равны двумъ прямымъ БЕ, ЕЕ, каждая каждой ; и уголъ АВС равенъ углу ВЕЕ : а *4- посему* основаніе АС равно'основанію БЕ ; и оспіалыібй уголъ ВАС равенъ остально- му ЕВЕ. Но еще пусть будуГнъ стороны, противу- лежащія равнымъ угламъ, равныя ; а имен- но, пуспіь будетъ АВ равна БЕ. Говорю еще, что и прочія стороны будутъ равны про- чимъ сторонамъ, каждая каждой , а именно , АС равна БЕ, а ВС равна ЕГ; и остальной уголъ ВАС будетъ равенъ остальному уг"- лу ЕВЕ. Ибо, буде ВС не равна ЕЕ; то одна изъ нихъ большая. Пусть, буде возможно, ВС будетъ большая . Положи прямую ВН рав- '3- ную ЕЕ*; и протяни АН. Поелику ВН равна ЕГ, а АВ равна ВЕ ; то двѣ прямыя АВ, ВП равны двумъ прямымъ ВЕ, ЕГ, каждая каждой ; и содержатъ равные' *4- углы: посему* основаніе АН равно основанію ВЕ; и треугольникъ АВН равенъ треуголь- нику ВЕГ; и прочіе углы равны будутъ прочимъ угламъ, каждый каждому, кои про- піивулежагпъ равнымъ сторонамъ; а посему уголъ ВНА равенъ углу ЕЕВ. Но уголъ ЕГБ
КНИГА ПЕРВАЯ 35 равенъ углу ВСА: посему и уголъ ВТГ А равенъ углу ВСА; гпо есть , треугольника АНС уголъ впѣшный ВПА равенъ внутреннему противу- лежащему ВСА; что невозможно*. Чего ради ВС не неравна ЕЕ ; слѣдственно равна: Но и АВ равна НЕ ; посему двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ прямымъ БЕ , ЕЕ , каждая каж- дой; и содержатъ равные углы : а посему* % основаніе АС равно основанію НЕ; и тре- угольникъ АВС равенъ треугольнику НЕЕ ; и остальной уголъ ВАС равенъ осталь- ному ЕВЕ. Итакъ, ежели два углами Проч. ч. И д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVII. Ежели на двѣ прямыя падаетъ третья прямая и дѣлаетъ накось лежащіе углы взаимно равные; піо оныя прямыя будутъ Параллельны. Пусть на Двѣ прямыя АВ, СВ падаетъ третья прямая ЕЕ, и дѣлаетъ накось лежащіе углы АЕЕ, ЕГВ взаимно равные. Говорю, что прямая АВ параллельна къ СВ. Ибо, буде не такъ; іпо АВ , СВ продол- женныя встрѣтятся , или по ту сторону гдѣ ВВ , или по ту сторону гдѣ АС. Про- должи оныя, и пусть встрѣтятся по шу сторону гдѣ ІЗВ , въ точкѣ С.
36 Э В к Л И Д. НАЧАЛЪ Треугольника СЕЕ внѣшный уголъ АЕЕ больше внутренняго противулежащаго ЕГО*: но и равенъ ему: что невозможно. Посему АВ , СП} продолженныя , не встрѣтятся по ту сторону, гдѣ ВП. Подобно докажется, что и пи по ту сторону , ідѣ АС . А пи по которою сторону не встрѣчающіяся прямыя *опр.35. сушь параллельныя*: чего ради АВ параллель- на къ СП. Итакъ,ежели на двѣ прямыя, и проч. ч.ИД.Н* П Р Е Д Л О Ж Е Н 1 Е XX ѴШ. Ежели на двѣ прямыя падаетъ третья пря- мая и дѣлаетъ внѣшный уголъ равный внут- реннему прошивулежащему и по ш^же сто- рону* или дѣлаетъ внутреппые углы и по ту- же сторону, равные двумъ прямымъ ; то оныя прямыя будутъ взаимно параллельны. Пусть па двѣ прямыя АВ , СП падаетъ третья прямая ЕЕ , и дѣлаетъ внѣшный уголъ ЕСВ равный внутреннему противу ле- жащему и по туже сторону углу СНП • или іі} сть дѣлаетъ внутреииые, и по туже сто- рон}, углы ВСН , СНП равные двумъ прямымъ. Говорю , что АВ параллельна къ СП. Поелику .уголъ ЕСВ равенъ углу СНП • но *і5. уголъ ВСЕ равенъ и углу АСН : по сему уголъ
КНИГА П Е Г В А Я. 3? АСН равенъ углу СНВ; и они суть накось лежащіе : чего ради прямая АВ параллельна къ СП*. *2у. Еще же , поелику углы ВСН, СНВ равны двумъ прямымъ; а и углы АСН, ВСН равны двумъ прямымъ*: по сему углы АСН, ВСН*13- равны угламъ ВСН, СНГ). Отними обще уголъ ВСН; посему остальной .уголъ АСН равенъ остальному СНВ; и опи суть накось лежащіе. Чего ради прямая АВ параллельна къ СН*. Ишакъ, ежели па двѣ прямыя, и пр. ч. и д. п. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIX. Ежели на параллельныя прямыя падаетъ прямая: то опа дѣлаетъ накось лежащіе углы взаимно равные; и впѣшпый уголъ рав- ный внутреннему прошивулежащему и по туже сторону; и внутреппые углы и по туже сторону равные двумъ прямымъ, Пусть па параллельныя прямыя АВ, СН падаетъ прямая ЕЕ. Говорю, что она дѣ- лаетъ накось лежащіе углы АСН, СНВ вза- имно равные ; и впѣшный уголъ ВСЕ равный внутреннему прошивулежащему, и по туже сторону, углу СНВ; и внутреппые и по ту- же сторону, углы ВСН, СНВ равные двумъ прямымъ.
38 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Ибо, буде уголъ АСН неравенъ углу СНВ» гпо одинъ изъ нихъ большій. Пусть будетъ ДСН большій. II поелику уголъ АСЦ большоугла СНВ ; придай обще уголъ ВСН: посему)глы АСН , ВСН больше угловъ ВСН, СНВ. Но углы *іЗ. АСН, ВСН равны двумъ прямымъ4; посему углы ВСН, СНВ меньше дв^хъ прямыхъ. А прямыя, неопредѣленно продолженныя со стороны угловъ , кои меньше двухъ прямыхъ , *здс.и. встрѣчаются*; посему прямыя АВ , СВ, неопредѣленно продолженныя встрѣтятся. Ио онѣ не встрѣчаются; ибо предполагаютъ ся параллельными: чего ради уголъ АСН не неравенъ углу СНВ ; слѣдственно равенъ. Но уголъ АСН равенъ углу ЕСВ*; чего ра-» ди уголъ ЕСВ равенъ углу СНВ. Придай обще уголъ ВСН; по сему углы ЕСВ, ВСН равны угламъ ВСН, СНВ. Но *іЗ. углы ЕСВ, ВСН равны двумъ прямымъ*; че- го ради и углы ВСН, СНВ равны двумъ прямымъ. Итакъ, ежели на параллельныя, и проч» ч. И Д. Н. (іб), ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXX. Прямыя, параллельныя къ шойже прямой, суть и взаимно параллельны.
КНИГА ПЕРВАЯ. Зр Пусть будетъ каждая изъ прямыхъ АВ, СВ параллельна къ прямой ,ЕГ. Говорю, что и ДВ параллельна къ СВ. Ибо, пусть на оныя прямыя, падаетъ прямая ПК. Поелику на параллельныя прямыя АВ , ЕЕ падаетъ прямая СК* то уголъ АСН равенъ углу СНГ*. Еще же , поелику на параллель- *зд. ныя прямыя ЕГ, СБ падаетъ прямая СК; то уголъ СНГ равенъ углу СКВ*. А доказано, *2д. что уголъ АСК равенъ углу СНГ: посему уголъ АСК равенъ углу СКВ • и они суть на- кось лежащіе. Чего ради прямая АВ парал- лельна къ СВ*. *2?. Итакъ прямыя параллельныя, и пр. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXI. Чрезъ данную точку провести прямую, Параллельную къ данной прямой. Пусть будетъ А данная точка, а ВС дан- ная прямая. Надлежитъ чрезъ точку А провести прямую, параллельную къ пря- мой ВС. Возьми на ВС какую ниесшь точку В, и протяни АВ ; и при прямой АВ , и при точ- кѣ на ней А, составь уголъ ВАЕ равный углу АБС*; и продолжи впрямь съ.ЕА прямую АГ. *іЗ.
4» э В К А И Д. НАЧАЛЪ Поелику на двѣ прямыя ВС , ЕГ , падаетъ третья прямая АВ, и дѣлаетъ накось лежа- щіе углы ЕАВ, АВС взаимно равные; шо ЕГ *27- параллельна къ ВС*. Итакъ чрезъ данную точку А проведена прямая ЕАЕ , параллельная къ данной прямой ВС. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXII. Всякаго треугольника, ежели одна изъ сто- ронъ продолжена, внѣшный уголъ равенъ двумъ внутреннимъ противулежащимъ. В три угла треугольника внуріренные равны двумъ прямымъ. Пусть будетъ треугольнгкъ АВС; и одн^ его сторона ВС пусть будетъ продолжена къ В. Говорю, что внѣшный уголъ АСВ ра- венъ двумъ внутреннимъ прошивулежащимі угламъ САВ , АВС* и треугольника внутрон- ные три угла АВС, ВСА, САВ равны двумъ прямымъ. Чрезъ точку С проведи , параллельную кі *31 • АВ , прямую СЕ*. Поелику АВ параллельна къ СЕ , и на нихъ падаетъ прямая АС ; то накось лежащіе углы *29- ВАС , АСЕ взаимно равны*. Еще же, поелику АВ параллельна къ СЕ, и на нихъ падаетъ прямая ВБ; то внѣшный уголъ ЕСП равенъ
КНИГА ПЕРВАЯ. 4і ^нутреннему противулежащему углу АВС*. *29- А доказано» что и }голъ АСЕ равенъ }глу ВАС; чего ради цѣлый внѣшный уголъ АСВ равенъ двумъ внушрепнымъ прошивулежа- щимъ угламъ ВАС , АВС. Придай обще уголъ АСВ; посему утлы АСВ, АСВ равны тремъ угламъ АВС, ВСАі САВ. Но утлы АСВ , АСВ равны двумъ пря- мымъ*; чего ради и углы АСВ, СВА, САВ рав- *іЗ, ры двумъ прямымъ. Ишакъ всякаго, и проч. ч. и д. н. (17). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХІП. Прямыя, соединяющія концы равныхъ и па- раллельныхъ прямыхъ съ піойже сторонъ^ суть и сами равны и параллельны. Пусть будутъ АВ, СВ равныя и параллель- ныя прямыя ‘ и пусть соединяютъ концы ихъ съ тойже стороны прямыя АС, ВВ . Го-» ворю, что и прямыя АС, ВВ суть равны и параллельны. Протяни ВС. Поелику АВ параллельна къ СВ , и на нихъ падаетъ ВС; то накось лежащіе углы АВС, ВСВ взаимно равны*. И поелику АВ равна »2д. СИ, а ВС общая; гпо двѣ прямыя АВ, ЬС равны двумъ прямымъ СВ, ВС • и уголъ АВС равенъ углу ВСВ: посему* основаніе АС *4.
42 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ равно основанію ВВ} и треугольникъ АВС равенъ треугольнику ВСВ* и прочіе углы бу- дутъ равны прочимъ угламъ, каждый каж- дому , кои противулежагпъ равнымъ сторо- намъ} посему уголъ АСВ равенъ углу СВВ. И поелику на двѣ прямыя АС , ВВ падаетъ третья прямая ВС, и дѣлаетъ накось лежа- щіе углы АСВ, СВВ взаимно равные} то АС па- *зу. раллельна къ ВВ*. А доказано что и ей равна: Итакъ, прямыя соединяющія, и пр. ч. и Д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХГГ. Параллелограммовъ какъ противулежащія * стороны, такъ и прогпивулежащіе углы, суть взаимно равны’.и поперечникъ (Ьіа/льтцод) дѣ- литъ сіи фигуры по поламъ. Пусть будетъ АСВВ параллелограммъ, а ВС его поперечникъ. Говорю, что парал- лелограмма АСВВ, какъ противулежащія сто- роны, такъ и прогпивулежащіе углы, суть взаимно равны} и поперечникъ ВС дѣлитъ оный по поламъ. *опр.36. Поелику АВ параллельна къ СВ*, и на нихъ падаетъ прямая ВС} то накось лежащіе углы *зд. АВС, ВСВ суть взаимно равны*. Еще же, поелику АС параллельна къ ВВ, и на нихъ падаетъ ВС} то накось лежащіе углы АСВ,
КНИГА НЕРВА Д. 43 СВС сушь взаимно равны. Итакъ два тре- угольника АВС, ВСВ имѣютъ два угла АВС, ВСА равные двумъ угламъ ВСІ), СВВ, каж- дый каждому; и одну сторону равную одной сторонѣ , кои прилежатъ равнымъ угламъ , гпо есть, общую имъ сторону ВС : посему* *2б. и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ, каждую каждой; и о- сшальной уголъ равный остальному углу; посему сторона АВ равна СВ , а АС равна В1), и уголъ ВАС равенъ углу ВВС. И поели- ку уголъ АВС равенъ углу ВСВ, а уголъ СВВ углу АСВ; посему ц цѣлый уголъ АВВ ра- венъ цѣлому углу АСВ. А доказано, что уголъ ВАС равенъ углу ВВС: Итакъ параллелограммовъ какъ противу- лежащія стороны , такъ и противулежащіе углы, суть взаимно равны. Говорю же, что поперечникъ дѣлитъ сіи фигуры по поламъ . Поелику АВ равна СВ, а ВС общая ; то двѣ прямыя АВ , ВС равны двумъ прямымъ ВС, СВ, каждая каждой ; и уголъ АВС равенъ углу ВСВ: посему* и *4. основаніе АС равно основанію ВВ; и тре- угольникъ АВС равенъ треугольнику ВСВ. Ишакъ поперечникъ ВС дѣлитъ парал-. лелограммъ АСВВ по поламъ, ч И Д. Н. (18).
44 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXV. Параллелограммы, стоящіе на томъже основаніи и между тѣмиже параллельными , сушь взаимно равны. Пусть будутъ параллелограммы АВСО, ЕВСГ, стоящіе на томъже основаніи ВС, и между тѣмиже параллельными АЕ , ВС . 1 о- ворю, что параллелограммъ АВСІ) равенъ параллелограмму ЕВСЕ. Поелику ЛВСС есть параллелограммъ, то *34- АС равна ВС*; потому же и ЕГ равна ВС: слѣдовательно АС равна ЕЕ. И СЕ имъ есть общая : чего ради и цѣлая АЕ равна цѣлой СГ. А поелику и АВ равна ОС; то двѣ пря- мыя ЕА , АВ равны двумъ прямымъ ГС , СС, каждая каждой; и уголъ ГСС равенъ углу *29- ЕАВ, внѣшный внутреннему*: посему осно- ваніе ЕВ равно основанію ЕС; и шрсуголь-| никъ ЕАВ равенъ треугольнику ГСС. Отни- ми обще треугольникъ ВСЕ; посему осталь-і пая трапеція АВСО равна остальной трапе- ціи ЕССГ. Придай обще треугольникъ СВС; посему цѣлой параллелограммъ ЛВСО ра* венъ цѣлому параллелограмму ЕВСГ. Итакъ параллелограммы, стоящіе, и проч. Ч. И Д. н. (19).
КНИГА ПЕРВАЯ. Д5 ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXVI. Параллелограммы, стоящіе на равныхъ основаніяхъ и между гп'Ьмиже параллельны- ми, суть взаимно равны. Пусть будутъ параллелограммы ЛВСП, ЕГСН , стоящіе па равныхъ основаніяхъ ВС, ГС, и между шѣмиже параллельными АН, ВС. Говори^, что параллелограммъ АВСП равенъ параллелограмму ЕГСН. Протяни ВЕ, СН. Поелику ВС равна ЕС*, а и ЕН равна ГС* +34, посему и ВС равна ЕН. Онѣ же и параллель- ны; и соединяютъ концы ихъ прямыя ВЕ, СН. По прямыя, соединяющія концы равныхъ и параллельныхъ прямыхъ съ іпойже сторо- ны, суть и сами равны и параллельны*; по- *33. сему ЕВ, СН суть равны и параллельны. А по- сему ВСПЕ есть параллелограммъ*: и онъ ра- !>опр.36. венъ параллелограмму АВСП*; ибо стоитъ $35. на томъже съ нимъ основаніи ВС, и между т’Ьмиже параллельными ВС, АН. Потому же и параллелограммъ ЕГСН равенъ оному же параллелограмму ЕВСН. Чего ради параллело- граммъ АВСП равенъ параллелограмму ЕГСН. Итакъ параллелограммы , стоящіе и проч. ч- И д. н.
46 Э в к л и д. началъ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХѴП. Треугольники стоящіе на томъ же осно- ваніи и между тѣмиже параллельными, сушь взаимно равны. Пусть будутъ треугольники АВС, ВВС, стоящіе на пюмъже основаніи ВС, и между тѣмиже параллельными АВ, ВС. Говори1, что треугольникъ АВС равенъ треугольни- ку ВВС. Продолжи АВ на обѣ стороны къ точкамъ Е , Г; и чрезъ В проведи , параллельную къ *3і. СА.прямую ВЕ** а чрезъ С проведи, паралЛ лельную къ ВВ, прямую СЕ. Итакъ каждый изъ четыреугольниковъ ’опр.Зб. ЕВСА , ВВС# есть параллелограммъ8: и па- раллелограммъ ЕВСА равенъ параллелог- *35. рамму ВВСЕ*; ибо стоятъ на пюмъже осно- ваніи ВС, и между тѣмиже параллельными ВС, ЕЕ. Притомъ треугольникъ АВС есть *34- половина параллелограмма ЕВСА*, ибо по- перечникъ АВ дѣлитъ оный по поламъ* а треугольникъ ВВС есть половина паралле- лограмма ВВСЕ, ибо поперечникъ ВС дѣ- литъ оный по поламъ. По половины равныхъ суть взаимно равны : чего ради тре- угольникъ АВС равенъ треугольнику ВВС. Итакъ треугольники , стоящіе, и проч. ч. и д. и.
КНИГА ПЕРВАЯ. 4? ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXVIII. Треугольники , стоящіе на равныхъ осно- ваніяхъ и между тѣмиже параллельными, сушь взаимно равны. Пусть будутъ треугольники АВС , ОЕГ, стоящіе на равныхъ основаніяхъ ВС , ЕГ , и между тѣмиже параллельными ВГ , АО. Го- ворю , что треугольникъ АВС равенъ тре- угольнику ОЕГ. Продолжи АВ на обѣ стороны къ точ- камъ О, Н‘ и чрезъ В проведи, Параллельную къ СА, прямую ВС-'* а чрезъ Г проведи , па- *3г. раллельную къ БЕ, прямую ГН. Итакъ каждый изъ четыреугольниковъ СВСА , БЕГН есть параллелограммъ*: и па- *опр.36. раллелограмъ ОВСА равенъ параллелограмму БЕГН*; ибо стоятъ на равныхъ основаніяхъ *36. ВС, ЕГ, и между тѣмиже параллельными ВГ, СН. Притомъ треугольникъ АВС есть половина параллелограмма ОВСА*, ибо попе- *34- речникъ ВА дѣлитъ оный по поламъ • а тре- угольникъ ОЕГ есть Половина параллелограм- ма БЕГН, ибо поперечникъ БГ дѣлитъ оный по поламъ. Но половины равныхъ суть взаимно равны: чего ради треуголь- никъ АВС равенъ треугольнику ОЕГ. Итакъ треугольники, стоящіе , и проч. ч. и д. н.
48 Э в К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXIX. Равные треугольники , стоящіе на точъ- же основаніи и по туже сторону, суть меж- ду тѣмиже параллельными. Пусть будутъ равные треугольники АВС , ВВС, стоящіе на томъже основаніи ВС, и по туже сторону. Говорю, что они сушь >іежду тѣмиже параллельными. Ибо протяни АН. Говорю , что АН парал- лельна къ ВС. *3і. Буде же не такъ* то чрезъ точку А прове- ди, параллельную къ ВС, прямую АЕ*; и про-» тяни ЕС. *3;. Итакъ треугольникъ АВС равенъ тре- угольнику ЕВС*; ибо стоятъ па томъже основаніи ВС, и между тѣмиже параллель- ными ВС , АЕ. Но треугольникъ АВС равенъ треугольнику НВС: посему и треугольникъ ВВС равенъ треугольнику ЕВС, большій меньшему; что невозможно. Посему АЕ не Параллельна къ ВС. То же докажемъ и о вся- кой другой, кромѣ АВ ; чего ради АВ па- раллельна къ ВС. Ишакъ равные треугольники, и пр. Ч. и Д. Н-
КНИГА ПЕРВАЯ. 4д ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЕ. Равные треугольники, стоящіе на рав- ныхъ основаніяхъ и по туже сторону, суть между тѣмиже параллельными. Пусть будутъ равные треугольники ЛВС, ВСЕ, стоящіе на равныхъ основаніяхъ ВС, СЕ> и по туже сторону. Говорю, что они суть между тѣмиже параллельными. Ибо протяни ДБ. Говорю , что ЛП параллельна къ ВЕ. Буде же не такъ; то чрезъ Л гіроведи , па- раллельную къ ВЕ, прямую АЕ*; и протя- *3і. ни ЕЕ. Итакъ треугольникъ АВС равенъ тре- угольнику ЕСЕ*; ибо стоятъ на равныхъ *38. основаніяхъ ВС, СЕ, и между тѣмиже па- раллельными ВЕ, АЕ. Но треугольникъ АВС равенъ треугольнику ВСЕ; посему и тре- угольникъ ВСЕ равенъ треугольнику ЕСЕ, большій меньшему • что невозможно. По- сему АЕ не параллельна къ ВЕ. То же дока- жемъ и о всякой другой, кромѣ АВ: чего ради АВ параллельна къВЕ. Ишакъ равные треугольники, и пр. Ч. ИД. Н. 4
5о э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЫ. Ежели параллелограммъ и треугольникъ стоятъ на томъже основаніи и между тѣ- миже параллельными ; то параллелограммъ будетъ двукратный треугольника. Пусгпь будутъ параллелограммъ АВСН и треугольникъ ЕВС стоять на томъже осно- ваніи ВС, и между тѣмиже параллельными ВС, АЕ. Говорю что параллелограммъ АВСІ) есть дв_) кратный треугольника ЕВС. Протяни АС. Итакъ треугольникъ ЛВС равенъ тре-* ^7- Угольнику ЕВС*; ибо стоятъ на томъже ос- нованіи ВС , и между тѣмиже параллельными ВС, АЕ. По параллелограммъ АВСБ есть «3/. двукратный треугольника АВС*; ибо попе- речникъ АС дѣлитъ оный по поламъ. Чего ради параллелограммъ АВСБ есть двукрат- ный и треугольника ЕВС Итакъ, ежели параллелограммъ, и проч. Ч. и Д. Н. (го). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЫІ. Составить равный данному треугольнику параллелограммъ, въ углѣ равномъ данному прямолинейному углу.
КНИГА ПЕРВАЯ. 5і Пусть будетъ АВС данный треугольникъ , и 1) данный прямолинейный уголъ. Надле- житъ составить равный треугольнику АВС параллелограммъ, въ углѣ равномъ прямоли- нейному углу Н. Раздѣли ВС по поламъ въ Е*} и протяни АЕ; *10. и при прямой ЕС , и при точкѣ на ней Е, со- ставь уголъ СЕЕ равный углу П • и чрезъ А про- веди, параллельную къ ЕС , прямую АС} а чрезъ С проведи , параллельную къ ЕЕ, прямую СС. Итакъ ГЕСС есть параллелограммъ*. *опр.36. II поелику ВЕ равна ЕС і то треугольникъ АВЕ равенъ треугольнику АЕС*, ибо сто-*38. ятъ на равныхъ основаніяхъ ВЕ, ЕС, и между тѣмиже параллельными ВС, АС. По- сему треугольникъ АВС есть двукратный треугольника АЕС. Но и параллелограммъ ЕЕСС есть двукратный треугольника АЕС*} *Ді. ибо стоятъ на шомъже основаніи ЕС , и между тѣмиже параллельными ВС, АС: а посему параллелограммъ ГЕСС равенъ тре- угольнику АВС } притомъ имѣетъ уголъ СЕЕ равный данному углу Н. Итакъ составленъ равный данному тре- угольнику АВС параллелограммъ ГЕСС , въ углѣ СЕЕ равномъ углу В. ч. и С. Н. з *
ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЫП. Во всякомъ параллелограммѣ дополненія параллелограммовъ , кои около поперечника,, сушь взаимно равны. Пусгьь будетъ АВ СВ параллелограммъ, и АС его поперечникъ; и около поперечника АС параллелограммы ЕН, РОа такъ назы- ваемыя ихъ дополненія ВК, КВ. Говорю^ что дополненіе ВК равно дополненію КВ. Поелику АВСВ есть параллелограммъ , и АС его поперечникъ- то треугольникъ АВС 34- равенъ треугольнику АВС*. Еще же , поели^ ку АЕКН есть параллелограммъ , и АК его, поперечникъ- то треугольникъ АЕК равенъ, треугольнику АНК. Потому же и треуголь- никъ КЕС равенъ треугольнику КСС. И по- елику треугольникъ АЕК равенъ треуголъ-^ нику АНК , а треугольникъ КЕС треуюлні нику КСС : то треугольникъ АЕК вмѣстѣ съ треугольникомъ КСС равенъ треугольни- ку АНК вмѣстѣ съ треугольникомъ КЕС. Но и цѣлый треугольникъ АВС равенъ цѣ- лому треугольнику АВС: чего ради и о- стальное дополненіе ВК равно остальному дополненію КВ. Итакъ во всякомъ параллелограммѣ , и пр< Ч. И Д. Н.
КНИГА ПЕРВАЯ. 53 ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЫѴ. На данной прямой поставить равный данному треугольнику параллелограммъ, въ въ углѣ равномъ данному прямолинейному углу. Пусть будетъ АВ данная прямая, С а дан- ный треугольникъ , и Н данный прямолиней- ный уголъ. Надлежитъ на данной прямой АВ поставить равный данному треугольнику С параллелограммъ, въ углѣ равномъ уг- лу н. Составь равный треугольнику С парал- лелограммъ ВЕГС , въ углѣ ЕВС равномъ уг- лу В*; и положи ВЕ впрямъ съ ВА; и про- *42- должи ГС къ Н; и чрезъ А проведи , парал- лельную къ которой на есть изъ прямыхъ ВС, ЕГ, прямую АН*; и протяни НВ. И пое- *3і. лику на параллельныя АН , ЕГ падаетъ пря- мая НГ; то углы АНГ, НГЕ равны двумъ прямымъ*. Посему углы ВНС, СГЕ меньше *2д. двухъ прямыхъ. А прямыя, неопредѣленно продолженныя со стороны угловъ, кои мень- ше двухъ прямыхъ, встрѣтятся*; посему *акс. г і. Ив, ГЕ продолженныя встрѣтятся . Про- должи оныя, и пусть встрѣтятся въ К ; и чрезъ К проведи, параллельную къ которой Ниесшь изъ прямыхъ ЕА, ГН, прямую КЬ ;
54 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ и продолжи прямыя НА, СВ къ точкамъ Ь , М. опр.36. Итакъ НЬКГ есть параллелограммъ*, и НК его поперечникъ ; и около поперечника НК параллелограммы АС, МЕ , а такъ назы- ваемыя ихъ дополненія ЬВ, ВГ. Посему ЬВ *43- равно ВГ*. Но ВГ равно треугольнику С; посему и ГВ равно треугольнику С, И пое- *і5-лику уголъ СВЕ равенъ углу АВМно уголъ СВЕ равенъ и углу I): посему и уголъ АВМ равенъ углу П. Итакъ на данной прямой АВ поставленъ равный данному треугольнику С параллело- граммъ ВЬ , въ углѣ АВМ равномъ данному уг- лу Б. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЕѴ. Составить равный данной прямолинейной фигурѣ параллелограммъ, въ данномъ прямо- линейномъ углѣ. Пусть будетъ АВСБ данная прямолиней- ная фигура, а Е данный прямолинейный уголъ. Надлежитъ составить равный прямо- линейной фигурѣ АВСГ параллелограммъ, въ углѣ равномъ углу Е. Протяни НВ; и составь равный тре- угольнику АВС параллелограммъ ГН, въ углѣ *'2. НКГ равномъ углу Е*; и на прямой СН поставь
КНИГА ПЕРВАЯ. 55 равный треугольнику ВВС параллелограммъ СМ, въ углѣ СИМ равномъ углу Е*. *44- Поелику уголъ Е равенъ каждому изъ уг- ловъ НКЕ, СИМ ; то уголъ НКГ равенъ уг- Ду СИМ. Придай обще уголъ КНС ; посему углы ЕКН , КНС равны угламъ КНС , СИМ. Но углы ЕКН , КНС равны двумъ прямымъ*; *зд. посему и углы КНС, СНМ равны двумъ пря- мымъ. А посему при прямой НС и при точ- кѣ на ней Н , двѣ прямыя КН, НМ, не лежа- щія по туже сторону, дѣлаютъ смѣжные ут- лы равные двумъ прямымъ: чего ради КН есгпь впрямъ съ НМ. И поелику на параллель- ныя .прямыя КМ, ЕС падаетъ прямая НС; то накось лежащіе углы МНС, НСГ взаимно равны*. Придай обще уголъ ПСЬ; посему *гд. углы МНС, НСЬ равны угламъ НСГ , НСЬ. Но углы МНС, НСЬ равны двумъ прямымъ*; *29- посему и углы НСЕ , НСЬ равны двумъ пря- мымъ : чего ради ГС есть впрямъ съ СЬ*. *і 4- И поелику КГ равна НС и параллельна къ пей; но и МЕ равна НС и параллельна къ пей; посему КГ равна МЬ и параллельна къ пей*: и соединяютъ концы ихъ прямыя КМ, *зо. Іч Г ; посему и прямыя КМ , ЕЬ суть равны и параллельны*: чего ради КГИМ есть па- *33. раллелограммъ. И поелику треугольникъ АВИ
56 э в К Л II Д. НАЧАЛЪ равенъ параллелограмму ЕН; а треугольникъ ІЛІіС параллелограмму СМ: посему цѣлая прямолинейная фигура АВСИ равна цѣлому Параллелограмму КЕЬМ. Ишакъ составленъ равный данной прямо- линейной фигурѣ АБС1) параллелограммъ КЕЬМ, въ углѣ ЕКМ равномъ данному и- лу Е. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЬѴІ. Изъ данной прямой написать квадратъ. Пусть будетъ АВ данная прямая. Надле- житъ изъ прямой АВ написать квадратъ. Къ прямой АВ, отъ точки на неи А, про- . *и.веди подъ прямыми углами прямую АС*; и *?• положи АВ равную АВ*; и чрезъ точку I) про- ’Зі. веди , параллельную къ АВ , прямую ВЕу а чрезъ точку В проведи параллельную къ АВ, прямую ВЕ. '’опр.Зб Итакъ АВЕВ есть пареллелограммъ*; а *34- посему АВ равна ВЕ, а АВ равна ВЕ*. Но АВ равна АВ; посему четыре прямыя ВА, АВ, ВЕ, ЕВ взаимно равны: чего ради параллело- граммъ АВЕВ есть равносторонный . Говорю еще, что онъ и прямоугольный. Ибо , какъ на параллельныя АВ, ВЕ падаетъ прямая АВ; то углы ВлВ , АВЕ равны двумъ прямымъ*. Но
КНИГА ПЕРВАЯ. уголъ ВАВ прямой; посему и уголъ АВЕ есть прямой. А параллелограммовъ какъ противуле- жащія стороны , такъ и прогпивулежащіе уг- лы взаимно равны*; посему и каждый изъ про- *34- гпивулежащихъ угловъ АВЕ , ВЕВ есть пря- мой. Чего ради четыреугольникъ АВЕВ есть прямоугольный ; а доказано, что и равносто- ронныи : итакъ онъ есть квадратъ*, и наци- *опр.3о, санъ изъ прямой АВ. ч. и С. н. (21}* ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЬѴІІ. Въ прямоугольныхъ треугольникахъ, квад- ратъ изъ стороны , противулежащей прямо- му углу, равенъ квадратамъ изъ сторонъ, содержащихъ прямой уголъ. Пусть будетъ АВС прямоугольный тре- угольникъ , имѣющій уголъ ВАС прямой. Го- ворю , что квадратъ изъ ВС равенъ двумъ Квадратамъ изъ ВА, АС. Напиши изъ ВС квадратъ ВВЕС*; а изъ ВА , АС квадраты СВ , НС ; и чрезъ А прове- ди , параллельную къ которой ни есть изъ прямыхъ ВВ, СЕ, прямую АЬ*; и протяни *3і. ав,ес. Поелику каждый изъ угловъ ВАС, ВАС Прямой; то при прямой ВА, и при точкѣ па ней А, двѣ прямыя АС, АС , не лежащія По туже сторону, дѣлаютъ смѣжные углы
58 3 В К Л И Д. НАЧАЛЪ *акс. С равные двумъ прямымъ: посему АС есть впрямъ съ АС. Потому же и АВ есть впрямъ съ АТІ. II поелику уголъ ВВС равенъ углу Іо- РВА , ибо каждый есть прямой • придай об- ще уголъ АВС; посему цѣлой уголъ ВВА ра- венъ цѣлому углу ГВС. II поелику двѣ пря- мыя ВВ , ВА равны двумъ прямымъ СВ, ВР, каждая каждой *, и уголъ ВВА равенъ углу 4- РВС : то* основаніе АВ равно основанію РС 5 и треугольникъ АВВ равенъ треугольнику ГВС. Притомъ параллелограммъ ВЬ есть 41-двукратный треугольника АВВ** ибо стоятъ на томъже основаніи ВВ , и между тѣмиже параллельными ВВ , АЬ : а квадратъ ВС есть двукратный треугольника ГВС • ибо такъ же стоятъ на томъже основаніи ГВ, и между тѣмиже параллельными ГВ , СС. А двукрат- ныя равныхъ, взаимно равны: посему парал- лелограммъ ВЬ равенъ квадрату СВ. Подобію, протянувъ АЕ , ВК, докажется, что парал- лелограммъ СЬ равенъ квадрату ПС. Посему цѣлой квадратъ ВВЕС равенъ квадратамъ СВ, НС. Квадратъ же ВВЕС написанъ изъ ВС• а квадраты СВ, ПС изъ ВА, АС: чего ради квадратъ изъ стороны ВС равенъ квад- ратамъ изъ сторонъ ВА, АС. ІІп:акъ въ прямоугольныхъ шролголыш- кахъ, и проч. ч. И Д. Н.
КНИГА ПЕРВАЯ. 5 9 ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЬѴШ. Ежели треугольника квадратъ изъ одной сто- роны равенъ квадратамъ изъ двухъ прочихъ сторонъ; гпо уголъ содержимый двумя про- чими сторонами треугольника есть прямой» Пусть будетъ треугольника АВС квад- ратъ изъ одной стороны ВС равенъ квадра- тамъ изъ сторонъ ВА, АС. Говорю, что уголъ ВАС есть прямой. Проведи отъ точки А, къ прямой АС подъ прямыми углами , прямую АП*; и положи АП *і <• равную ВА; и протяни ПС. Поелику ПА равна АВ; то и квадратъ изъ ВА равенъ квадрату изъ АВ. Придай обще квадратъ изъ АС; посему квадраты изъ ПА > АС равны квадратамъ изъ ВА, АС. Но квад- ратамъ изъ ПА, АС равенъ квадратъ изъ ВС*, ибо уголъ ВАС прямой; а квадра- *47- тамъ изъ ВА, АС равенъ крадратъ изъ ВС , по положенію: посему квадратъ изъ ВС ра- венъ квадрату изъ ВС; а посему и сторона ВС равна сторонѣ ВС. И поелику АВ равна АВ, а АС общая; то двѣ прямыя ВА, АС равны двумъ прямымъ ВА, АС; и основаніе ВС равно основанію ВС: посему уголъ ВАС равенъ углуВАС*. Но уголъ ВАС прямой; по- *8. сему и уголъ ВАС есть прямой. Итакъ, ежели треугольника и пр. Ч. и Д. Н.
эвклидовыхъ началъ. I КНИГА II. ОПРЕДѢЛЕНІЯ. і. О всякомъ прямоугольномъ параллело- граммѣ говорится, что оный содержимъ въ двухъ прямыхъ , содержащихъ прямой уголъ. 2. Во всякомъ параллелограммѣ , одинъ ко- торый ниесть изъ параллелограммовъ око- ло поперечника его , вмѣстѣ съ двумя допол- неніями, назовемъ наугольникомъ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. Ежели будутъ двѣ прямыя, и одна изъ нихъ разсѣчена на сколько ниесть отрѣз- ковъ ; то прямоугольникъ содержимый въ
КНИГА ВТОРАЯ. 6х спхъ двухъ прямыхъ, равенъ всѣмъ прямо- гольникамъ содержимымъ въ неразсѣченной У и въ каждомъ изъ отрѣзковъ разсѣченной. Пусть будутъ А, ВС двѣ прямыя; и пусть ВС разсѣчена будетъ какъ ниесть въ точкахъ П, Е. Говорю, что прямоуголь- никъ содержимый въ А, ВС равенъ прямо- угольнику содержимому въ А, ВП , и прямо- угольнику въ А, БЕ, и еще прямоугольнику въ А, ЕС. Проведи отъ В, подъ прямыми углами къ ВС прямую ВЕ** и положи прямую ВС рав-* и,I. ную А*; и чрезъ С .проведи , параллельную *3,і. къ ВС, прямую СП*; а чрезъ И, Е, С про-*3г,і. веди, параллельныя къ ВС, прямыя ПК у ЕЬ, СН. Итакъ прямоугольникъ ВН равенъ всѣмъ прямоугольникамъ ВК, ПЬ , ЕН. Но прямо- угольникъ ВН содержится въ А, ВС" ибо со- держится въ СВ, ВС*, а ВС равна А : прямо- *опр,т, угольникъ же ВК содержится въ А , ВП ’ ибо содержится въ ВС, ВП, а ВС равна А: а пря- моугольникъ ПЬ содержится въ А , ПЕ, ибо ®К, то есть ВС, равна А : подобно же и Прямоугольникъ ЕН содержится въ А , ЕС. Чего ради прямоугольникъ въ А, ВС равенъ всѣмъ прямоугольникамъ: въ А, ВП , и въ А, ЬЕ, и еще въ А, ЕС.
б2 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Ишакъ, ежели буду шъ двѣ прямыя, и проч. ч. и д. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ П. Ежели прямая линія разсѣчена какъ ни-* есть’шо прямоугольники содержимые въ цѣ- лой ивъ каждомъ изъ ея отрѣзковъ, равны квадрату изъ цѣлой прямой. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена какъ «несть въ точкѣ С. Говорю, что прямо- угольникъ въ ЛВ , ВС, вмѣстѣ съ прямоуголь- никомъ въ ВА, АС, равенъ квадрату изъ АВ. Изъ АВ напиши квадратъ АВЕВ*; и чрезъ С проведи , параллельную къ которой ни есть изъ прямыхъ АВ, ВЕ, прямую СЕ*. Итакъ прямоугольникъ АЕ равенъ прямо- угольникамъ АЕ , СЕ. Но АЕ есть квадратъ изъ АВ : а АЕ есть прямоугольникъ въ ВА, *опр.і. ДС , ибо содержится въ ВА, АС*, а ВА равна АВ • и СЕ есть прямоугольникъ въ АВ, ВС ! ибо ВЕ равна АВ . Чего ради прямоугольникъ въ ВА, АС , вмѣстѣ съ прямоугольникомъ въ АВ , ВС, равенъ квадрату изъ АВ. Итакъ, ежели прямая линія, и проч. Ч. И Д. и.
КНИГА ВТОРАЯ. 63 П Р Е Д Л О Ж Е III Е Ш. Ежели прямая линія разсѣчена какъ пи- есть*, іпо прямоугольникъ содержимый въ цѣлой и въ одномъ изъ ея отрѣзковъ , равенъ прямоугольнику содержимому вь обоихъ от- рѣзкахъ , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ отрѣз- ка прежде взятаго. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена какъ внесть въ точкѣ С. Говорю, что прямо- угольникъ въ АВ , ВС равенъ прямоугольнику въ АС, СВ , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ЬС. Изъ СВ напиши квадратъ СПЕВ^ и про- *46Д. должи ЕП къ Г • параллельную къ и чрезъ точку Л проведи^ которой ниесть изъ пря- мыхъ СП, ВЕ, прямую АЕ*. *3і Д. Итакъ прямоугольникъ АЕ равенъ прямо- угольникамъ АП, СЕ. Но АЕ есть Прямо- угольникъ въ АВ, ВС*, ибо содержится въ АВ, ВЕ, а ВЕ равна ВС • АП же есть прямо- угольникъ въ АС, СВ, ибо ПС равна СВ • а І)В есть квадратъ изъ СВ. Чего ради прямо- угольникъ въ АВ , ВС равенъ прямоугольнику вь АС, СВ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СВ. Итакъ, ежели прямая линія, и проч. Ч. и д. н.
64 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ IV. Ежели прямая линія разсѣчена какъ вв- есть; то квадратъ изъ цѣлой равенъ квад- ратамъ изъ отрѣзковъ, и вмѣстѣ дважды взятому прямоугольнику въ сихъ отрѣзкахъ содержимому. Пустъ будетъ прямая линія АВ разсѣчена какъ ниесть въ С. Говорю, что квадратъ изъ АВ равенъ квадратамъ изъ АС , СВ, и вмѣстѣ дважды взятому прямоугольнику въ АС , СВ. *4б,І. Изъ АВ напиши квадратъ АВЕВ ; и про- тяни ВВ; и чрезъ С проведи, параллельные къ которой ни есть изъ прямыхъ АВ, ЕВ, прямую ССГ; а чрезъ О проведи , парал- лельную къ которой ниесть изъ прямыхъ АВ, ВЕ , прямую НК. Поелику СГ параллельна къ АВ, и на нихъ падаетъ ВВ ; то внѣшный уголъ ССВ равенъ ®2д,г. внутреннему противу лежащему углу АВВ*. *5 ,і. Но уголъ АВВ равенъ углу АВВ*, ибо ВА равна АВ; посему и уголъ ССВ равенъ углу СВС ; слѣдственно и сторона ВС равна сторонѣ •З^д. С® Равна СК*, а СС равна ВК; посему и СК равна КВ. Чего ради четыреугольникъ ССКВ есть равносторонный. Говорю еще, что онъ и прямоугольный. Ибо , какъ СС па- раллельна къ ВК , и на нихъ падаетъ СВ ; пі°
КНИГА ВТОРАЯ. 65 углыКВС,ВСС равны двумъ прямымъ*. Но*2д,і. уголъКВС прямой; посему и уголъ ВСС есть прямой. Слѣдственно и противулежащіе имъ углы ССК, СКВ суть прямые*; чего ради *3|,і. четыреугольникъ ССКВ есть прямоуголь- ный. А. доказано } что онъ и равпосторон- ный; посему онъ есть квадратъ*, и написанъ *оп.3о,і. изъ СВ. Потому же и НЕ есть квадратъ, и написанъ изъ НО , шо есть изъ АС. По- сему НЕ, СК суть квадраты изъ АС, СВ, И поелику прямоугольникъ АО равенъ СЕ*; и АО содержится въ АС , СВ , ибо ОС равна СВ : посему и СЕ равенъ прямоугольнику въ АС, СВ. Чего ради прямоугольники АС , СЕ равны дважды взятому прямоугольнику въ АС , СВ. Но НЕ , СК суть квадраты изъ АС, СВ; посему четыре НЕ , СК , АС , СЕ рав- ны квадратамъ изъ АС , СВ, и дважды взя- тому прямоугольнику “въ АС , СВ. А четы- ре НЕ , СК, АС , СЕ дѣлаютъ цѣлое АНЕВ, которое есть квадратъ изъ АВ; чего ради квадратъ изъ АВ равенъ квадратамъ изъ АС, СВ, и вмѣстѣ дважды взятому прямо- угольнику въ АС , СВ, Итакъ, ежели прямая, и проч. Ч. и д. ц. ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Говорю , что квадратъ изъ АВ равенъ квадратамъ изъ АС- 5
66 Э В К Л И Д. Н А Ч А Л Ъ СВ} и вмѣстѣ дважды взятому прямоуголь- нику въ АС , СВ. Поелику, въ тойже фигурѣ, АВ равна АВ, *5>ь то уголъ АВВ равенъ углу АВВ*. И поелику всякаго треугольника всѣ три угла равны *32,і.дВуЛГЬ прямымъ • посему треугольника АВВ три угла АВВ, АВВ, ВАВ равны двумъ пря- мымъ. Но уголъ ВАВ есть прямой* посему остальные углы АВВ, АВВ равны одному пря- мому: они же и взаимно равны; посему каждый изъ угловъ АВВ, АВВ есть половина прямаго. Но уголъ ВСС есть прямой, ибо равенъ вну- треннему прошивулежащему, что при А; по- сему остальной уголъ ССВ есть половина прямаго ; а посему уголъ ССВ равенъ углу СВС ; слѣдственно и сторона ВС равна спіо- *34>ь ронѣ СС. Но СВ равна СК*, а СС равна ВК ; посему четыреугольникъ СК есть равносто- ронный. Онъ же имѣетъ и прямой уголъ СВК ; посему СК есть квадратъ, и написанъ изъ СВ. Потому же и НЕ есть квадратъ, и равенъ квадрату изъ АС; а посему СК, НЕ суть квадраты, и равны квадратамъ изъ АС , СВ. И поелику прямоугольникъ АС равенъ •ДЗ,!. СЕ*, и АС содержится въ АС, СВ, ибо СП равна СВ; посему и ЕС равенъ прямоуголь- нику въ АС, СВ: чего ради АС, СЕ равны
КНИГА ВТОРАЯ. 67 дважды взятому прямоугольнику въ АС, СВ. По СК , НЕ равны квадратамъ изъ АС , СВ * посему СК , НР , АС , СЕ равны квадра- тамъ изъ АС, СВ, и вмѣстѣ дважды взято- му прямоугольнику въ АС , СВ. Но СК, НР и АС, СЕ дѣлаютъ цѣлое АЕ, которое есть квадратъ изъ АВ* итакъ квадратъ изъ АВ равенъ квадратамъ изъ АС, СВ , и вмѣстѣ дважды взятому прямоугольнику въ АС , СВ. ч. и д. п. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что въ квадратахъ параллелограммы около попе- речника сушь также квадраты. (22]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ V. Ежели прямая линія разсѣчена на равныя и неравныя; то прямоугольникъ въ нерав- ныхъ отрѣзкахъ содержимый, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ прямой, которая между сѣ- ченіями , равенъ квадрату изъ половины цѣ- лой прямой. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена на ра- вныя въ С, и на неравныя въ Н. Говорю , чгпй прямоугольникъ въ АН, НВ, вмѣстѣ съ Квадратомъ изъ СН , равенъ квадрату изъ СВ. Изъ СВ напиши квадратъ СЕГВ*^ и про- *4бД. тяни ВЕ ; и чрезъ О проведи, параллельную
68 3 В КЛ II Д. Н А ЧАЛЬ къ которой ни есть изъ прямыхъ СЕ, ВГ, 4 прямую ВС • и чрезъ С проведи, параллель- на ю къ которой ни есть изъ прямыхъ АВ , ЕГ, прямую КЬМ ; и еще чрезъ А проведи, параллельную къ которой пи есть изъ пря- мыхъ СВ, ВМ, прямую АК. Поелику дополненіе СН равно дополненію *43,І- НГ*; придай обще НМ: посему цѣлой пря- моугольникъ СМ равенъ цѣлому НЕ. Но СМ *36,і. равенъ АЬ*, ибо АС равна СВ" посему и АЬ ра- венъ ПГ. Придай обще СН; посему цѣлой пря- моугольникъ АН равенъ двумъ ВГ и ПЬ. По АН содержится въ АН , БВ, ибо ВН равна ВВ; а два ГВ, ВЬ дѣлаютъ наугольникъ *оп.а. ]УОР*: посему наугольникъ ЛОР равенъ пря- моугольнику въ АП, ВВ. Придай обще ЬС, который равенъ квадрату* изъ СП; посему наугольникъ 1ѴОР и ЬС равны прямоугольни- ку въ АП ПВ и квадрату изъ СП. Но на- угольникъ 1ѴОР вмѣстѣ съ ЬС дѣлаютъ цѣ- лое СЕЕВ, которое есть квадратъ изъ СВ ; чего ради прямоугольникъ въ АП , ПВ , вмѣ- стѣ съ квадратомъ изъ СП, равенъ квадра- ту изъ СВ. Итакъ, ежели прямая, и проч. Ч. и Д. II.
КНИГА ВТОРА Я. 6р ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Ежели прямая линія разсѣчена по поламъ, и приложена къ пей впрямъ друіая какая пи- есгпь прямая• то прямоугольникъ содержи- мый въ цѣлой съ приложенною и въ прило- женной , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ поло- вины цѣлой , равенъ квадрату написанному изъ прямой , сложенной изъ оной половины и приложенной , какъ изъ одной. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена по по- ламъ въ точкѣ С ; и пу сть приложена бу- детъ къ ней впрямъ другая какая ниестьпря- мая ВВ. Говорю, что прямоугольникъ въ АВ , ])В , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СВ, равенъ квадрату изъ СВ. Изъ ( В напиши квадратъ СЕГВ • и про- тяни ВЕ • и чрезъ точку В проведи , парал- лельную къ которой ниесть изъ прямыхъ СЕ, ВЕ , прямую ВС • а чрезъ точку И про- веди , параллельную къ которой ниесть изъ прямыхъ АВ, ЕЕ, прямую КМ; и еще чрезъ А проведи, параллельную къ которой ниесть изъ прямыхъ СЬ, ВМ, прямую АК. Поелику АС равна СВ • то и прямоуюль- Иикъ ЛЬ равенъ прямоугольнику СН*. Но СН *ЗС,і. равенъ НЕ*; посему и ІА равенъ НЕ. При-*43,І. •Ѣ'и обще СМ • посему цѣлой прямоугольникъ
70 Э в к л М Д. НАЧАЛЪ АМ равенъ наугольнику ЛСР. Но АМ содер, сл:^. жишся въ АП, БВ, ибо БМ равна БВ*; по- сему и наугольникъ ЛОР равенъ прямоуголь- нику въ АБ , БВ. Придай обще ЬС, который равенъ квадрату изъ СВ ; посему прямоуголь- никъ въ АБ , БВ , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СВ, равенъ наугольнику КОР, вмѣстѣ съ ЕС. Но наугольникъ Л ОР вмѣстѣ съ ЕС дѣ- лаютъ цѣлое СЕЕБ , которое есть квад- ратъ изъ СВ ; чего ради прямоугольникъ въ АВ, ВВ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СВ, ра- венъ квадрату изъ СВ. Итакъ, ежели прямая, и проч, ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴП. Ежели прямая линія разсѣчена какъ ниесть; то квадраты изъ цѣлой и одного изъ ея отрѣзковъ , оба вмѣстѣ , равны дважды взя- тому прямоугольнику содержимому въ цѣ- лой и въ сказанномъ отрѣзкѣ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ остальнаго отрѣзка. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена какі? ниесть въ точкѣ С. Говорю, что квадраты изъ АВ, ВС равны дважды взятому прямо- угольнику въ АВ, ВС, вмѣстѣ съ квадра- томъ изъ АС. Изъ АВ напиши квадратъ АБЕВ , и допи- ши фигуру.
КНИГА ВТОРАЯ. 71 Поелику прямоугольникъ АСг равенъ СЕ*; *43,т. придай обще СГ ; посему и цѣлый АЕ равенъ цѣлому СЕ. А посему АЕ, СЕ суть двукрат- ные прямоугольника АЕ. Но АЕ, СЕ дѣлаютъ наугольникъ КЬМ и квадратъ СГ; посему наугольникъ КЬМ и квадратъ СГ суть дву- кратные прямоугольника АЕ. Но прямоуголь- ника АЕ двукратный также есть и дважды взятый прямоугольникъ въ АВ , ВС, ибо ВЕ равна ВС*; посему наугольникъ КЬМ, вмѣстѣ *СЛ:'. съ квадратомъ СЕ, равны дважды взятому прямоугольнику въ АВ, ВС. Придай обще НК, который есть квадратъ изъ АС; посе- му наугольникъ КЬМ, вмѣстѣ съ квадратами СЕ, ПК, равны дважды взятому прямоуголь- нику въ АВ, ВС, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ АС. Но наугольникъ КЬМ вмѣстѣ съ квадратами СЕ, НК,дѣлаютъ цѣлое АЬЕВ и СЕ , кои суть квадраты изъ АВ , ВС ; чего ради квадраты изъ АВ, ВС равны дважды взятому прямоугольнику въ АВ, ВС , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ АС. Итакъ, ежели прямая, и проч . Ч. И Д- н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴЩ. Ежели прямая линія разсѣчена какъ ни- есть;-то четырежды взягпый прямоуголъ-
71 ЭВКЛЛД. НАЧАЛЪ пикъ содержимый въ цѣлой и въ одномъ изъ ея отрѣзковъ , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ остальнаго отрѣзка, равенъ квадрату напи- санному изъ цѣлой и прежде сказаннаго от- рѣзка , какъ изъ одной прямой. П^сть будетъ прямая АВ разсѣчена какъ ниесть въ точкѣ С. Говорю , что четыреж- ды взятый прямоугольникъ въ АВ , ВС , вмѣ- стѣ съ квадратомъ изъ АС , равенъ квадра- ту написанному изъ АВ , ВС , какъ изъ одной прямой. Продолжи впрямъ съ АВ прямую ВП ; и по- *3,і. ложи прямую ВБ равную СВ’; и изъ АВ напи- ши квадратъ АЕГВ; и допиши двойную фи- »УРУ- *34,Т. Поелику ВС равна ВБ ; и СВ равна СК*, а ВВ равна К1Ѵ: посему и СК равна К№. По- тому же и рВ. равна В.Р. И поелику СВ равна ВВ , а СК равна КК; посему прямоугольникъ "36,1. СК равенъ ВЛ*, а СН равенъ КР. Но СК ра- *4М- венъ ІШ*; ибо суть дополненія въ параллело- граммѣ СР: посему ВЬТ равенъ СВ. Чего ради четыре СК, КВ, СН , В1Ѵ взаимно рав- ны , и суть четырекратны прямоугольника СК. Еще же , поелику СВ равна ВВ; и ВВ •34,1. равна ВК, то есть СС*, а СВ равна СК, то есть С(): посему и СС равна С(Э. И
КНИГА ВТОРАЯ. нЗ * і поелику СС равна С(), а ОВ равна РіР- по- сему прямоугольникъ АС равенъ АЩ } а (^Ь равенъ ВЕ*. Но АП^ равенъ ОЬ ; ибо суть до- *36,т. полненія въ параллелограммъ МЬ: посему и Дб равенъ ВЕ. Чего ради четыре АС, М(^ , (Ді, НЕ взаимно равны, и суть четыре- кратпы прямоугольника АС. А доказано, что и четыре СК, КБ, СВ., КХ четырекрат- ны прямоугольника СК 5 посему восемь, кои содержитъ наугольникъ 8ТѴ, суть четыре- кратны прямоугольника АК. И поелику АК содержится въ АВ , ВС, ибо КВ равна ВС*- то четырежды взятый прямоугольникъ въ АВ, ВС есть чегпырекратный прямоуголь- ника АК. А доказано, что прямоугольника АК есть чегпырекратный и наугольникъ 8ТѴ; посему четырежды взятый прямоугльникъ въ АВ , ВС равенъ наугольнику 5ТѴ. Придай обще ОН, который равенъ квадрату изъ АС*- посему четырежды взятый прямоуголъ- *Сл:4- никъ въ АВ , ВС, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ АС, равенъ наугольнику 5ТѴ вмѣстѣ съ ОН. Но наугольникъ 8ТѴ и ОН дѣлаютъ цѣлой крадратъ АЕЕС , который есть изъ АС- чего РаДи четырежды взятый прямоугольникъ въ АВ, ВС , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ АС , ра- венъ квадрату изъ АС, то есть, квадрату
74 Э Б К Л 11 Д. НАЧАЛЪ написанному изъ АВ и ВС, какъ изъ одной прямой. Итакъ, ежели прямая, и проч. Ч. И Д, Н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Ежели прямая линія разсѣчена на равныя и неравныя ; то квадраты изъ неравныхъ от- рѣзковъ прямой суть двукратные квадрата изъ половины и квадрата изъ прямой между сѣченіями. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена па равныя въ С, и на неравныя въ Б. Говорю, что квадраты изъ АБ, БВ суть двукратные квадратовъ изъ АС , СБ. Проведи отъ С , подъ прямыми углами къ ЛВ, прямую СЕ; и положи ее равную кото- рой ниесть изъ прямыхъ АС , СВ • и протяни АЕ, ЕВ; и чрезъ Б проведи , параллельную къ ЕС, прямую БЕ • а чрезъ Г проведи , парал- лельную къ АВ , прямую ГС; и протяни АЕ. Поелику АС равна СЕ; то уголъ ЕАС ра- *5Д. веиъ углу АЕС*. II поелику уголъ при С пря- мой, шо остальные ЕАС, АЕС равны одному ’З2’1-прямому*; они же и равные: посему каждый изъ угловъ СЕА, САЕ есть половина прямаго- Потому же и каждый изъ угловъ СЕВ, ЕБЦ есть половина прямаго; слѣдственно цѣлой
КНИГА ВТОРАЯ. ^5 уголъ АЕВ есть прямой. II поелику уголъ СЕЕ половина прямаго • и уголъ ЕСЕ прямой, ибо онъ равенъ внутреннему противулежа- щему ЕСВ“: то и остальной ЕГС есть по- 29’г довина прямаго ‘посему уголъ СЕЕ равенъ ^глу ЕГО’ слѣдственно и сторона ЕО равна сторонѣ СГ*. Еще же , поелику уголъ при В *6»1, половина прямаго; и уголъ ГОВ прямой, ибо также и онъ равенъ внутреннему противуле- жащему ЕСВ: то и остальной ВЕВ есть половина прямаго; посему уголъ при В равенъ углу ВЕВ ; слѣдственно и сторона ГВ равна сторонѣ ВВ. II поелику АС равна СЕ: то квадратъ изъ АС равенъ квадрату изъ СЕ • посему квадра- ты изъ АС, СЕ суть двукратные квадрата изъ АС. Но квадратамъ изъ АС, СЕ равенъ квадратъ изъ АЕ*, ибо уголъ АСЕ есть пря- *47’Г> мой ; посему квадратъ изъ АЕ есть двукрат- ный квадрата изъ АС. Еще же, поелику ЕС равна СЕ : то квадратъ изъ ЕС равенъ квад- рату изъ СГ ; посему квадраты изъ ЕС , СЕ суть двукратные квадрата изъ СГ. Но квад- ратамъ изъ ЕС , СГ равенъ квадратъ изъ ЕЕ*; *4?>г Посему квадратъ изъ ЕЕ есть двукратный квадрата изъ СГ. II какъ СГ равна СН; посе- му квадратъ изъ ЕГ есть двукратный ква- драта изъ СН. Но и квадратъ изъ АЕ есть
гб ЭВ КЛ1І Д. НАЧАЛЪ двукратный квадрата изъ АС • посему квадра- ты изъ АЕ, ЕЕ сушь двукратные квадра- товъ изъ АС, СП. Квадратамъ же изъ АЕ, ЕЕ равенъ квадратъ изъ АЕ, ибо уголь ѴЕГ есть прямой • посему квадратъ изъ АЕ есть двукратный квадратовъ изъ АС , СП. А ква- драту изъ АЕ равны квадраты изъ АП , ПЕ, ибо уголъ при П есть прямой’ посему квад- раты изъ А1) , ПЕ суть два кратные квадра- товъ изъ АС, СП. По ПГ равна ПВ • чего ра- ди и квадраты изъ Аі), ПВ сущъ двукрат- ные квадратовъ изъ АС , СП. Итакъ , ежели прямая , и проч. Ч. и д. II. П I’ Е Д Л О Ж Е И I Е X. Ежели прямая линія разсѣчена по поламъ, и приложена къ ней впрямь другая какая вн- есть прямая • гно квадраты изъ цѣлой съ приложенною , и изъ приложенной , оба вмѣ- стѣ , сушь двукратные квадрата изъ поло-1 вины, и еще квадрата паписакваю изъ прямой , сложенной изъ опой половины и при- ложенной , какъ изъ одной. Пусть будетъ прямая АВ разсѣчена по поламъ въ С; и пусть приложена будетъ къ ней впрямъ какая ниесть прямая ВП. Говорю, что квадраты изъ АО, ПВ суть двукратные квадратовъ изъ АС, СП.
КНИГА ВТОРАЯ. 77 Проведи ошъ С } подъ прямыми углами къ ДВ , прямую СЕ • и положи ее равную кото- *иД рой внесть изъ прямыхъ АС , СВ ; и протя- ни ЕЛ, ЕВ; и чрезъ Е проведи, параллельную кЪАВ, прямую ЕЕ*, а чрезь В еще проведи } *3і.і. параллельную къ СЕ , прямую ЕВ. II поелику на параллельныя прямыя ЕС , ЕВ падаетъ прямая ЕЕ: то углы СЕЕ, ЕЕІ) равны двумъ прямымъ*; посему углы ЕЕВ , ЕЕВ меньше*2!):1- двухъ прямыхъ. По прямыя продолженныя со стороны угловъ, кои меньше двухъ пря- мыхъ , встрѣтятся; посему прямыя ЕВ , ЕВ , продолженныя встрѣтятся со стороны ВО. Продолжи оныя, и пусть встрѣтятся въ С; к протяни АС. Поелику АС равна СЕ; то уголъ АЕС ра- венъ углу ЕАС*. Ио уголъ при С прямой ; по- сему каждый изъ угловъ ЕАС, АЕС есть по- ловина прямаго*. Потому же и каждый изъ І' угловъ СЕВ , ЕВС есть половина прямаго ; слѣдственно цѣлой уголъ АЕВ есть прямой. И поелику уголъ ЕВС половина прямаго; то и уголъ ВВС есть половина прямаго*. А и уголъ ВВС прямой, ибо онъ равенъ накось •'ежащему ВСЕ*: посему остальной уголъ*2!):1- ОСВ есть половина прямаго; а посему уголъ ІШВ равенъ углу ВВС; слѣдственно и сто- рона ВВ равна сторонѣ ВС*. Еше же, посли- *6Д-
э в к а н Д. НАЧАЛЪ ку уголъ ЕСЕ половина прямаго ; и уголъ вр(І Г прямой, ибо онъ равенъ противулежащеЧу *зд,і. чпю при С*: посему остальнойуголъ ЕЕС есщь половила прямаго ; а посему уголъ ЕСЕ равенъ углу ГЕО ; слѣдственно и сторона СЕ равна %,і. сторонѣ ЕЕ*. И поелику ЕС равна СА : то « квадратъ изъ ЕС равенъ квадрату изъ СА 5 посему квадраты изъ ЕС, СА суть двукрат- ные квадрата изъ СА. Квадратамъ же изъ • 47,1. ЕС, СА равенъ квадратъ изъ АЕ ; посему квадратъ изъ ЕА есть двукратный квадрата изъ АС. Еще же, поелику ЕС равна ЕЕ: то квадратъ изъ ЕС равенъ квадрату изъ ЕЕ> посему квадраты изъ СЕ, ЕЕ суть двукрат- ные квадрата изъ ЕЕ. Квадратамъ же изъ * 47,і. СЕ, ЕЕ равенъ квадратъ изъ ЕС*; посему квадратъ изъ ЕС есть двукратный квадра- та изъ ЕЕ. И ЕЕ равна СС; посему квадратъ изъ ЕС есть двукратный квадрата изъ СО. А доказано, что и квадратъ изъ ЕА есть двукратный квадрата изъ АС ; посему квадраты изъ АЕ,ЕС суть двукратные квад- ратовъ изъ АС, СС. Квадратамъ же изъ АЕ, * 47>і- ЕС равенъ квадратъ изъ АС*; посему квад- ратъ изъ АС есть двукратный квадратовъ изъ АС , СІ). А квадрату изъ АС равны квад- * 4?,і. раты изъ АС, СС*; посему квадраты изъ АС, СС суть двукратные квадратовъ изъ
КНИГА ВТОРАЯ. 79 СВ. Но ВС равна ВВ ; чего ради и квадра- ты изъ АВ, ВВ суть двукратные квадра- товъ изъ АС, СВ. • Итакъ, ежели прямая, и проч. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Данную прямую разсѣчь такъ , чтобы пря- моугольникъ содержимый въ цѣлой и въ од- номъ изъ ея отрѣзковъ былъ равенъ квадра- ту изъ остальнаго отрѣзка. Пусть будетъ АВ данная прямая. Надле- житъ АВ разсѣчь такъ , чтобы прямоуголь- никъ въ цѣлой и въ одномъ изъ ея отрѣзковъ былъ равенъ квадрату изъ остальнаго от- рѣзка. Изъ АВ напиши квадратъ АВІ)С*; и раз- *46,І. дѣли АС по поламъ въ точкѣЕ*; и протяни *ю,г. ВЕ; и продолжи СА къ Г; и положи прямую ЕЕ равную ВЕ;и изъ АЕ напиши квадратъ ГИ; и продолжи СН къ К. Говорю, что АВ раз- сѣчена въ Н такъ, что прямоугольникъ въ АВ , ВН равенъ квадрату изъ АН. Поелику прямая АС разсѣчена по поламъ Въ Е, и приложена къ ней впрямъ АЕ; то Прямоугольникъ въ СЕ , ГА, вмѣстѣ съ квад- ратомъ изъ АЕ, равенъ квадрату изъ ЕЕ*. *6. Но ЕЕ равна ЕВ ; посему прямоугольникъ въ
8о Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ СЕ, ГА, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ АЕ ,1 равенъ квадрату изъ ЕВ. А квадрату изъ- *47»1, ЕВ равны квадраты изъ ВА , АЕ*, ибо уголъ при А есть прямой ‘ посему прямоугольникъ въ СГ, ГА, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ АЕ, равенъ квадратамъ изъВА, АЕ. Отними об ще квадратъ изъ АЕ • посему остальной прямоугольникъ въ СГ, ЕА равенъ квадрату изъ АВ. Но прямоугольникъ въ СЕ, ЕА есть ЕК, ибо АГ равна ЕС• а квадратъ изъ АВ* есть АВ: почему ЕК равенъ АБ. Отними об- ще ЛК } посему остальной ГИ равенъ ос- тальному ІЮ. II поелику ИБ есть прямо- > гольникъ въ АВ, ВІІ, ибо АВ равна ВБ; а ЕН есть квадратъ изъ АН: чего ради пря- моугольникъ въ АВ, ВН равенъ квадрату изъ НА. Итакъ данная прямая АВ разсѣчена въ П такъ, что прямоугольникъ въ АВ , ВН равенъ квадрату изъ НА. Ч. П С. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХП. Въ тупоугольныхъ треугольникахъ , квад- ратъ изъ стороны, противулежащей тупому } глу, больше квадратовъ изъ сторонъ, со- держащихъ тупой уголъ, дважды взятымъ
КНИГА ВТОРАЯ. 81 прямоугольникомъ, содержимымъ въ одной изъ сторонъ около тупаго угла, на которую продолженную падаетъ перпендикуляръ , и въ прямой при тупомъ углѣ перпендикуляромъ внѣ отнимаемой. Пусть будетъ АВС тупоугольный тре- угольникъ) имѣющій уголъ ВАС тупой; и отъ точки В пусть будетъ' проведена, перпенди- кулярная къ продолженной СА, прямая ВВ. Го- ворю , что квадратъ изъ ВС больше квадра- товъ изъ ВА, АС, дважды взятымъ прямо- угольникомъ въ СА, АВ. Поелику прямая СВ разсѣчена какъ пиесть въ точкѣ А; то квадратъ изъ СВ равенъ квад- ратамъ изъ СА, АВ, и вмѣстѣ дважды взя- тому прямоугольнику въ СА, АВ*. Придай *.{• обще квадратъ изъ ВВ; посему квадраты изъ СВ, ВВ равны квадратамъ изъ СА , АВ , ВВ,и вмѣстѣ дважды взятому прямоуголь- нику въ СА, АВ. Но квадратамъ изъ СВ , ВВ равенъ квадратъ изъ СВ*, ибо уголъ при В *47>Т* есть прямой; а квадратамъ изъ АВ , ВВ ра- венъ квадратъ изъ АВ : посему квадратъ изъ СВ равенъ квадратамъ изъ СА, АВ, и вмѣстѣ Дважды взятому прямоугольнику въ СА, АВ. Чего ради квадратъ изъ СВ больше квадра- товъ изъ СА, АВ, дважды взятымъ прямо- Угольникомъ въ СА, АВ. Итакъ въ тупоугольныхъ, и пр. ч. и д. Н. 6
8з э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХШ. Въ остроугольныхъ треугольникахъ , квад- ратъ изъ стороны, противулежащей остро- му углу , меньше квадратовъ изъ сторонъ , содержащихъ острой уголъ , дважды взя- тымъ прямоугольникомъ , содержимымъ въ одной изъ сторонъ около остраго угла, на ко- торую падаетъ перпендикуляръ , и въ пря- мой при остромъ углѣ перпендикуляромъ внутрь отнимаемой. Пусть будетъ АВС остроугольный тр» гольникъ , имѣющій уголъ при В острой • и отъ точки А пусть будетъ проведена, пер- пендикулярная къ ВС, прямая АВ. Говорю, что квадратъ изъ АС меньше квадратовъ изъ СВ, ВА, дважды взятымъ прямоугольникомъ въ СВ, ВВ. Поелику прямая СВ разсѣчена какъ ниесть въ В 5 то квадраты изъ СВ , ВВ равны дваж- ды взятому прямоугольнику въ СВ , ВВ I *7- вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ВС*. Придай обще квадратъ изъ ВА • посему квадраты изъ СВ. ВВ , ВА равны дважды взятому прямоуголь- нику въ СВ , БВ , и вмѣстѣ квадратамъ изъ АВ , ВС. По квадратамъ изъ ВВ , ВА равенъ *4/3і. квадратъ изъ 4В , ибо уголъ при В есть пря- мой ; а квадратамъ изъ АВ, ВС равенъ
КНИГА ВТОРАЯ. 83 квадратъ изъ АС : посему квадраты изъ СВ, ВА равны квадрату изъ АС и вмѣстѣ два- жды взятому прямоугольнику въ СВ, ВВ. Чего ради одинъ квадратъ изъ АС меньше квадратовъ изъ СВ, ВА, дважды взятымъ прямоугольникомъ въ СВ , ВВ. Итакъ въ остроугольныхъ, и проч» Ч. И Д. Н. (аЗ). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV. Составить квадратъ равный данной прямо- линейной фигурѣ. Пусть будетъ А данная прямолинейная фигура. Надлежитъ составить квадратъ равный прямолинейной фигурѣ А. Составь прямоугольный параллелограммъ ВБ, равный прямолинейной фигурѣ А*. *Д5,г. И естьли ВЕ равна ЕВ: то требуемое сдѣлано; ибо составленъ квадратъ ВВ рав- ный прямолинейной фигурѣ А. Естьли же нѣтъ, то одна изъ прямыхъ ВЕ, ЕВ есть большая. Пусть будетъ ВЕ большая: про- должи оную къ Г; и положи прямую ЕГ рав- ную ЕВ ; и раздѣли ВГ по поламъ въ С*; и *ІОД. изъ центра С, разстояніемъ одной изъ пря- мыхъ СВ, СГ, напиши полукружіе ВНГ; и Продолжи ВЕ къ Н; и протяни СН. Поелику прямая ВГ разсѣчена на равный • «
84 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ въ С, и на неравныя въ Е; то прямоугольнику въ ВЕ, ЕГ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СЕ *5. равенъ квадрату изъ СЕ*. Но СГ равна СЦ- посему прямоугольникъ въ ВЕ, ЕГ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СЕ, равенъ квадрату изъ СН. Квадрату же изъ СП равны квадраты 4у,і. изъ НЕ, ЕС*; посему прямоугольникъ въ 13Е, ЕГ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ СЕ, равенъ квадратамъ изъ НЕ, ЕС. Отними обще квадратъ изъ СЕ, посему остальной прямо- угольникъ въ ВЕ, ЕЕ равенъ квадрату изъ ЕН. Но прямоугольникъ въ ВЕ, ЕЕ есть ВБ, ибо ЕЕ равна ЕН; посему параллелограммъ ВН равенъ квадрату изъ НЕ. Л ВН равенъ прямолинейной фигурѣ Л; чего ради прямо- линейная фигура А равна квадрату изъ ЕН. .Итакъ, составленъ равный данной прямо- линейной фигурѣ А квадратъ , то есть, на- писанный изъ ЕН. ч. и с. н.
эвклидовыхъ НАЧАЛЪ, КНИГА III. ОПРЕДѢЛЕНІЯ. е Равные круги сушь тѣ, коихъ попереч- ники равны; или въ коихъ прямыя изъ цен- тровъ равны. (24)* 2. Прямая называется касательною къ кру- гу, которая прикасается къ кругу, и будучи продолжена це пресѣкаетъ его. 3. Круги называются взаимно касательны- ми, кои взаимно прикасаясь, не пресѣкаютъ одинъ другаго. 4- Въ кругѣ прямыя называются рацноогп- спіояіцими отъ центра, когда отъ центра проведенныя перпердикулярііыя къ нимъ сушь равны.
86 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ 5. Больше же отстоящею называется та, па которую большая перпендикулярная па- даетъ. « 5а. Дуга круга есть часть его окружно- сти. » 6. Отрѣзокъ круга есть фигура,содержимая прямою и дугою круга. у. уголъ отрѣзка есть тотъ, который содержится прямою и окружностію круга. 8. Когда на дугѣ отрѣзка возмепіся какая ниесть точка, и отъ оной къ концамъ прямой, которая есть основаніе отрѣзка, протянутся прямыя • то содержимый про-г тянутыми прямыми уголъ, называется уг- ломъ въ отрѣзкѣ. д. Когда прямыя, содержащія уголъ, от- нимаютъ какую ниесть дугу; то говорит- ся, что уголъ стоитъ на ней. іо. Когда при центрѣ круга стоитъ уголъ; то фигура содержимая прямыми содержащими сей уголъ, и дугою, которую прямыя от- нимаютъ , называется вырѣзкомъ круга. и. Подобные отрѣзки круга суть тѣ, кои вмѣщаютъ равные углы; или въ коихъ углы взаимно равны. (а5).
К И ИГА ТРЕТЬ Я. «7 ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. Даннаго круга найгпи центръ. Пусть будетъ АВС данный кругъ. Над- лежитъ круга АВС найти центръ. Проведи въ немъ какую ниесть прямую АВ; и раздѣли оную по поламъ въ точкѣ С*; и отъ 1) проведи , подъ прямыми углами *ю,і. къ АВ, прямую СП*; и продолжи оную до*ц,І. Е; и раздѣли СЕ по поламъ въ Г. Говорю, чіпо I есть центръ круга АВС. Ибо, естьли нѣтъ; шо пусть, буде возможно, будетъ С. Протяни СА, СП, СВ. Поелику АП равна ПВ, а ПС общая; то двѣ прямыя АП, ПС равны двумъ прямымъ ВП, ВС, каждая каждой; и основаніе СА равно основанію СВ, ибо суть изъ центра С: по- сему уголъ АПС равенъ углу СПВ*. Когда *3д. же прямая, поставленная на другую прямую, Дѣлаетъ смѣжные углы взаимно равные; то каждый изъ равныхъ угловъ называется прямымъ: посему уголъ СПВ есть прямой. Но и уголъ ЕПВ прямой : посему уголъ ГПВ равенъ углу СПВ, большій меньшему; что Невозможно. А посему точка С не есть Центръ круга АВС. Подобію же докажемъ, чгпо и ни другая какая ниесть, кромѣ Г. Ишакъ точка Е есть центръ круга АВС. ч- И с. н.
88 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что есть- ли въ кругѣ какая ниесть прямая другую іірямую разсѣкаетъ по поламъ и подъ пря- мыми углами ; то на сѣкущей есть центръ Круга. П РЕДЛОЖЕНІЕ II. Ежели па окружности круга взяты какія риесть двѣ точки* то прямая протянутая чрезъ сіи точки, упадетъ внутри круга. Пусть будетъ АВС кругъ ; и на окруж- ности его пусть будутъ взяты какія ниесть двѣ точки А, В. Говорю, что прямая отъ А къ В протянутая, упадетъ вну- три круга. Ибо, естьли нѣтъ; то пусть, буде возможно, падаетъ внѣ, какъ АЕВ. Возьми ’ь центръ круга АВС*, и пусть будетъ оный I); и протяни БА, ВВ; и проведи ВГ до Е. Поелику БА равна ВВ; гпо уголь ВАЕ *5,і. равенъ углу ВВЕ*. И поелику треугольника ВАЕ одна сторона АЕВ продолжена; то уголъ ВЕВ больше угла ВАЕ*. Но уголъ ВАЕ равенъ углу ВВЕ, посему уголъ ВЕВ боль«- ше угла ВВЕ. А большему углу противуле- житъ большая сторона*; посему ВВ больше ВЕ. Но ВВ равна ДЕ; посему ВГ больше ВЕ, меньшая большей; что невозможно. А
КНИГА ТРЕТЬЯ. 89 посему прямая, протянутая отъ А къ В, не упадетъ внѣ круга. Подобно же докажемъ, чгпо и нп на окружность • чего ради упа- детъ внутри круга. Итакъ, ежели на окружности, и проч. Ч. и Д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ III. Ежели въ кругѣ прямая какая ниесгпь, про- ходящая чрезъ центръ, прямую какую ни- есть, не проходящую чрезъ центръ, раз- сѣкаетъ по поламъ ; то разсѣчетъ оную и подъ прямыми углами : и ежели разсѣкаетъ подъ прямыми углами ; то разсѣчетъ оную и по поламъ. Пусть будетъ АВС кругъ* и въ немъ Пусть прямая какая ниесть СП, проходящая чрезъ центръ, прямую какую ниесть АВ, не проходящую чрезъ центръ, разсѣкаетъ по поламъ въ точкѣ Г. Говорю, что раз- сѣчетъ оную и подъ прямыми углами. Возьми центръ круга АВС*, и пусть *ь будетъ оный Е; и протяни ЕА, ЕВ. Поелику АЕ равна ГВ, а ГЕ общая; то Двѣ прямыя равны двумъ прямымъ; и осно- ваніе ЕА равно основанію ЕВ: посему уголъ ЛГЕ равенъ углу ЕГВ*. Когдаже прямая, *8Д. поставленная на другую прямую, дѣлаетъ
9° Э в К Л И Д. НАЧАЛЪ смѣжные }глы взаимно равные 5 то каждый изъ равныхъ угловъ называется прямымъ: посему каждый изъ угловъ АІЕ, ВЕЕ есть прямой. Чего ради прямая СВ проходящая чрезъ центръ , и разсѣкающая по поламъ прямую АВ , непроходящую чрезъ центръ,, разсѣкаетъ оную и подъ прямыми углами. Но пусть же прямая СН прямую АВ раз- сѣкаетъ подъ прямыми углами. Говорю, что разсѣчетъ оную и по поламъ, то есть, что АЕ равна ЕВ. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, поелику ЕА *5,і. равна ЕВ; то уголъ ЕАЕ равенъ углу ЕВЕ*. Но и прямой уголъ ЛЕЕ равенъ прямому ВЕЕ; посему два треугольника ЕАГ, ЕГВ имѣютъ два угла равные двумъ угламъ, и одну сторону равную одной сторонѣ, шо есть, имъ общ^ю ЕЕ, прогпивулежащую одному изъ равныхъ угловъ : посему и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ*. Чего ради АЕ равна ЕВ. Итакъ, ежели въ кр^гѣ, н проч. Ч. и д. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ 1Г. Ежели въ кругѣ двѣ прямыя взаимно пре- сѣкаются , и не проходятъ обѣ чрезъ центръ; гпо обѣ не пресѣкутся взаимно по поламъ
КНИГА ТРЕТЬЯ. 9» Пусть будетъ АВСВ кругъ; и пусть въ немъ двѣ прямыя АС, ВВ взаимно пресѣкут- ся въ точкѣ Е, и не проходятъ обѣ чрезъ центръ. Говорю, что обѣ не пресѣкутся взаимно по поламъ. Ибо, буде возможно, пусть обѣ пре- сѣкутся по поламъ, такъ что АЕ равна ЕС, и ВЕ равна ЕВ. Возьми центръ круга АВСВ*, и пусть будетъ оный Г; и про-*і. тяни ЕЕ. Поелику прямая ЕЕ, проходящая чрезъ центръ, прямую АС, непроходящую чрезъ центръ, разсѣкаетъ по поламъ; то раз- сѣчетъ оную и подъ прямыми углами*: по-*}, сему уголъ ЕЕА есть прямой. Еще же, по- елцку прямая ЕЕ,«проходящая чрезъ центръ», Прямую ВВ, не проходящую чрезъ центръ, разсѣкаетъ по поламъ; то разсѣчетъ оную и подъ прямыми углами: посему уголъ ЕЕВ есть прямой. А доказано , что и уголъ ЕЕА прямой: посему уголъ ЕЕА равенъ углу ЕЕВ, меньшій большему; что невозможно. Чего ради АС, ВВ не Пресѣкаются взаимно По поламъ. Ишакъ, ежели въ кругѣ , и проч. ч. и д. н.
9а э В I Л И Д. и А Ч А л ъ ПРЕДЛОЖЕНІЕ V, Ежели два круга взаимно пресѣкаются* то ихъ центръ не будетъ гпотъже. Пусть два круга АВС , СНС взаимно пресѣкутся въ точкахъ В, С. Говорю, что ихъ центръ не іпошъже. Ибо, буде возможно, пусть будетъ оный Е: протяни ЕС 5 и проведи какъ ниесть прямую ЕГС. Поелику точка Е есть центръ круга АВС \ то ЕС равна ЕГ. Еще же, поелику точка Е есть центръ круга СНС* то СЕ равна ЕС. А доказано, что ЕС равна и ЕГ: посему ГЕ равна ЕС, меньшая большей * чпіо невозможно. Чего ради точка Е не есть центръ круговъ ЛВС, СНС. Итакъ, ежели два круга, и проч. Ч. ИД. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Ежели два круга взаимно касаются вну- три* то ихъ центръ не будетъ тошъже. Пусть два круга АВС, СНЕ взаимно каса- ются въ точкЬ С. Говорю , что ихъ центръ не шотъже. Ибо, буде возможно, пусть будетъ оный Г: протяни ГС; и проведи какъ ниесть прямую ГЕВ.
КНИГА ТРЕТЬ Я. дЗ Поелику точка Г есть центръ круга АВС; гпо ГС равна ВГ. Еще же, поелику точка Г есть центръ круга СІ)Е; то ЕС равна ЕЕ. V доказано , что ЕС равна и ЕВ: посему ЕЕ равна ЕВ, меньшая большей; что не- возможно. Чего ради точка Е не есть центръ круговъ АВС, СВЕ. Ишакъ, ежели два круга, и проч. ч. и Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴП. Ежели на поперечникѣ Круга взята будетъ какая ниесть точка, которая не есть центръ его, и отъ сей точки упадутъ въ кругѣ какія ниесть прямыя: то найбольшая будетъ та, па коей Центръ, а найменьшая осталь- ная; изъ другихъ же, ближайшая къ про- ходящей чрезъ центръ, всегда больше даль- нѣйшей; и токмо двѣ равныя прямыя отъ тойже точки могутъ упасть въ кругѣ, по обѣимъ сторонамъ наименьшей. Пусть будетъ АВСВ кругъ, и АВ по- перечникъ его; и па АВ пусть будетъ взята какая ниесть точка Г, которая не есть центръ круга ; центръ же круга пусть будетъ Е; и отъ Г пусть упадутъ въ кругѣ АВСВ какія ниесть прямыя ЕВ, ЕС, ЕС. Говорю, что найбольшая есть ГА, а пай-
()4 Э В к Л И Д. НАЧАЛЪ меньшая ГВ-изъ другихъ же ГВ больше ГС, а ГС больше ГС. Протяни ВЕ, СЕ, СЕ. Поелику всякаго треугольника двѣ сторо- *2о,і. пы больше остальной*, то ЕВ, ЕГ больше ВГ. Но АЕ равна ВЕ ; посему ВЕ, ЕЕ равна АГ: а посему АГ больше ВГ. Еще же , по- елику ВЕ равна СЕ, а ГЕ общая- то двѣ прямыя ВЕ, ЕГ равны двумъ прямымъ СЕ, ЕГ; но уголъ ВЕГ больше угла СЕГ: чего *2Д,і. ради основаніе ВГ больше основанія СЕ*. По тому же и СГ больше СГ. *2о,і. Еще же , поелику СЕ, ГЕ больше ЕС*, а ЕС равна ЕВ; посему СГ, ГЕ больше ЕВ. Отними обще ЕГ; посему остальная СГ больше остальной ГВ. Итакъ наибольшая есть ЕА, а наименьшая ГВ; и ГВ больше ГС, а ГС больше ГС. Говорю такожъ, что отъ точки Г токмо двѣ равныя прямыя могутъ упасть въ кругѣ АВСВ, по обѣимъ сторонамъ найменьшей ГВ. При прямой ЕГ, и при точкѣ на ней Е, составь уголъ ГЕН равный углу СЕГ*; и протяни ЕН. Поелику СЕ равна ЕН, а ЕН общая; то двѣ прямыя СЕ, ЕГ равны двумъ прямымъ НЕ, ЕГ; и уголъ СЕЕ равенъ углу НЕЕ: посему основаніе ГС равно основа- *4,і. нію ЕН*.
КНИГА ТРЕТЬЯ. 95 Говорю еще, чгпо прямой ГС другая равная прямая не можетъ упасть въ кругВ отъ точки Г. Ибо, буде возможно, пусть па- даетъ таковая ГК. Поелику же ГК равна ГС, а и ГН равна ГС* посему и ГК равна НГ, ближайшая къ проходящей чрезъ центръ рав- на дальнѣйшей • что невозможно. Пли и такъ. Протяни ЕК. Поелику СЕ равна ЕК, а ЕГ общая , и основаніе ГС равно основанію ЕК } то уголъ СЕГ равенъ углу КЕГ*. Но уголъ СЕГ равенъ углу ЕЕН; по- *8,г. сему и уголъ ЕЕН равенъ углу КЕГ, меньшій большему; что невозможно. А посему отъ точки Г не можетъ падать въ кругѣ другая прямая равная СГ , слѣдственно можетъ токмо одна. Итакъ, ежели на поперечникѣ , и проч-. Ч. и Д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴШ. Ежели внѣ круга взята будетъ какая ни- есть точка, и отъ сей точки проведены будутъ къ кругу прямыя, одна изъ нихъ чрезъ центръ, а прочія какъ ниесть: то изъ прямыхъ падающихъ на вогнутую окруж- Чосшь, наибольшая есть проходящая чрезъ Центръ • изъ другихъ же ближайшая къ Проходящей чрезъ центръ, всегда больше
дб ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ дальнѣйшей : А изъ прямыхъ падающихъ ца Выпуклую* окружность, найменьшая есггц та,коіпбрая между точкою и поперечникомъ; изъ другихъ же ближайшая къ наименьшей, всегда меньше дальнѣйшей: и іпокмо двѣ равныя падаютъ отъ точки къ кругу, по обѣимъ сторонамъ наименьшей. Пусть будетъ АВС кругъ • и внѣ АВС Пусть будетъ взята какая ниесть точка П; и отъ оной пусть будутъ проведены каКі'я ниесшь прямыя ПА, ПЕ, БЕ, ПС, и изъ нихъ прямая ПА чрезъ центръ. Говорю, что изъ сихъ прямыхъ , падающихъ на вогнутую окружность АЕГС, найбольшая есть ПА, проходящая чрезъ центръ ; ближайшая же къ проходящей чрезъ центръ, всегда больше дальнѣйшей, то есть, ПЕ больше ПЕ, а ПЕ больше ПС: а изъ сихъ прямыхъ, падающихъ на выпуклую окружность НЬКС, найменьшая есть ПС, которая между точкою И и по- перечникомъ АС; ближайшая же къ наймень- шей ПС, всегда меньше дальнѣйшей, гпо есть, ПК меньше ПЬ, а ПЬ меньше ПН. Возьми центръ круга АВС*, и пусть бу- детъ оный М; и протяни МЕ, МЕ, Мб, мк, мь, мн. Поелику АМ равна ЕМ, придай обще МПу посему АП равна ЕМ, МП. Но ЕМ,
КНИГА ТРЕТЬЯ. 97 больше ЕВ; чего ради и АВ больше ЕБ. Еще же> поелику ЕМ равна ГМ, а МВ общая; ,по ЕМ, МБ равны ЕМ, МВ; а уголъ ЕМБ больше угла ЕМБ : посему основа- ніе ЁБ больше основанія ЕБ*; Подобно до- *24>і- кажемъ, что и ГВ больше СВ. Итакъ наибольшая есть ВА , а ВЕ больше ВГ, и РЕ больше ВС. II поелику МК, КВ больше МВ, и МО равна МК; то и остальная КВ больше остальной СВ; а посему и ВС меньше ВК: слѣдственно она есть наименьшая. Поелику же треугольника МЬВ,на одной изъ сторонъ его МВ, составлены внутри двѣ іірямыя МК, КВ; шо МК, КВ меньше МЁ, ЕВ*: а*2іД« МК равна МЬ, посему остальная ВК меньше остальной ВЬ.. Подобно докажемъ , что и ВЬ меньше ВН. Ишакъ наименьшая, есть ВС, а ВК меньше ВЬ, и ВЬ меньше ВП. Говорю такожъ, что отъ точки В двѣ ток- мо равныя прямыя могутъ уііасшь къ кругу, по обѣимъ сторонамъ найменьшей ВС. При прямой МВ, и при точкѣ на ней М, составь уголъ ВМВ равный углу КМВ*; и протяни •аЗ,!. * ’В. Поелику МК равна МВ, а МВ общая; то Дьѣ прямыя КМ, МВ равны двумъ прямымъ МБ, каждая каждой; и уголъ КМВ равенъ 7
08 Э В К Л П Д. Н А Ч А л ъ углу БАЮ: посему основаніе ВК равно основанію ВВ. Говорю еще, чгпо прямой ВК равная другая прямая не можетъ упасть къ кругу отъ точки В. Ибо, буде возможно, пусть упадетъ, и пусть будетъ таковая ВК. По- елику же ВК равна ВК, а ВК равна и ВВ; по- сему и ВВ равна ВК, ближайшая къ наи- меньшей ВСг равна дальнѣйшей ; что, по доказанному і невозможно. Пли иначе. Протяни МК. Поелику КМ равна МК, а МВ общая, и основаніе ВК равно основанію ВК; посему уголъ КМВ равенъ углу КМВ. Но уголъ КМВ равенъ углу БМВ; посему и уголъ БМВ равенъ углу КМВ,меньшій большему; что невозмож- но. А посему отъ точки В, не больше какъ токмо двѣ равныя прямыя могутъ упасть къ кругу АВС, по обѣимъ сторонамъ наи- меньшей ВСг. Итакъ, ежели внѣ круга, и проч. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Ежели внутри круга взята будетъ какай ниесть точка; и отъ сей точки въ круг^ упадутъ больше нежели двѣ равныя прямыя* то взятая точка есть центръ круга. Пусть будетъ АБС кругъ, и внутри еГ°
КНИГА ТРЕТЬЯ, 99 точка В; и пусть отъ С въ кругѣ АВС упадутъ больше нежели двѣ равныя прямыя, какъ ВА, ВВ, ВС, Говорю, что точка В есть центръ круга АВС. Протяни АВ, ВС \ и раздѣли оныя по поламъ въ точкахъ Е, Г*- и протянувъ ЕВ, ЕВ, продолжи оныя къ точкамъ К, С, Ь, Н. Поелику АЕ равна ЕВ, а ЕВ общая* то двѣ прямыя АЕ, ЕБ равны двумъ прямымъ ВЕ, ЕВ; и основаніе ВА равно основанію ВВ: посему уголъ АЕВ равенъ углу ВЕВ. Чего ради каждый изъ угловъ АЕВ, ВЕВ есть прямой; посему прямая ИК разсѣкающая прямую АВ по поламъ, разсѣкаетъ ее и подъ прямыми углами. Но естьли въ кругѣ какая ниесть прямая другую прямую разсѣкаетъ по по- ламъ и подъ прямыми углами ; то на сѣкущей есть центръ круга*: посему на *слд:г. СК есть центръ круга АВС. Потому же и на НЬ есть центръ круга АВС. Прямыя же СК, НЬ никакой другой общей точки не имѣютъ, кромѣ точки В; чего ради точка Ь есть центръ круга АВС. Итакъ, ежели внутри круга, и проч. ч- И д. н. Иначе. Внутри круга АВС пусть будетъ взята какая ниесть точка В; и пусть отъ ®> въ кругѣ АВС упадутъ больше нежели ж *
юо ? В К Л И Д. НАЧАЛЪ двѣ равныя прямыя, какъ БА, ВВ, БС. Говорю, что взятая точка Б есть центръ кру, іа АВС. Ибо, естьли пѣтъ* то пусть, буде возможно, будетъ Е; и протянувъ БЕ, продолжи оную къ точкамъ Г, 6: посему ГС есть поперечникъ круга АВС. Поелику крута АВС на поперечникѣ ГС взята нѣкая точка Б , которая не есть центръ круга; то наибольшая будетъ БС, а ВС больше ВВ, и *]. ВВ больше ВА*: но и равна еи , что не- возможно ; чего ради Е не есть центръ круга АВС. Подобно докажемъ, что и ни другая какая ниесть, кромѣ В. Ишакъ точка В есть центръ круга А1>С. ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Кругъ не пресѣкаетъ другаго круга въ точкахъ больше двухъ. Ибо, буде возможно, пусть кругъ АВС пресѣкаетъ другой кругъ ВЕЕ, въ точкахъ больше двухъ , какъ В, С, Г, Н. Протянувъ ВН, ВС, раздѣли оныя по поламъ въ точкахъ •ю,і. К, Б*; и отъ К, Б, проведя подъ прямыми углами къ ВН, ВС, прямыя КС, БАГ, пр0' должи оныя къ точкамъ А, Е. Поелику въ кругѣ АВС нѣкая прямая
КНИГА ТРЕТЬЯ. ІОІ другую прямую ВН разсѣкаетъ по поламъ, и подъ прямыми углами; гпо на АС есть центръ круга АВС*. Еще же, поелику въ*сл:і. гпомъ же кругѣ АВС, нѣкая пря мая ЛО другую прямую ВС разсѣкаетъ по поламъ, и подъ прямыми углами; то на КО есіпь центръ круга АВС. А доказано , что и на АС; прямыя же АС , КО ни въ какой точкѣ взаимно не встрѣчаются, кромѣ Р: посему точка Р есть центръ круга АВС. Подобно докажемъ, чгпо и круга БЕЕ есть центръ Р. Чего ради двухъ круговъ АВС, БЕЕ, взаимно пресѣка- ющихся , будетъ центръ тотъ же Р; чгпо невозможно*. *5. Итакъ кругъ не пресѣкаетъ, и пр. ч. и д. Н. ИНАЧЕ. Пусть опять крутъ АВС пресѣкаетъ другой кругъ БЕЕ, въ точкахъ больше двухъ, какъ В, С , Е. Во ьми круга АВС центръК; и протяни КВ, КС, КЕ. Поелику внутри круга БЕЕ взята точка К, и опіъК въ кругѣ БЕЕ падаютъ больше нежели Двѣ равныя прямыя, какъ КВ, КЕ, КС; то •Почка К есть центръ круга БЕЕ*. Но и *9- Круга АВС есть центръ К: чего ради двухъ круговъ , взаимно пресѣкающихся , будетъ Центръ гпотъже К ; что невозможно*. *•’• Итакъ кругъ, и проч. Ч. И Д. н.
103 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Ежели два круга взаимно касаются впѵ- три • и взяты будутъ ихъ центры: то прямая протянутая чрезъ ихъ центры, будучи продолжена, упадетъ на прикоснове- ніе круговъ. Пусть два круга АВС, АВЕ взаимно ка- саются внутри, въ точкѣ А; и пусть взяты будутъ, круга АВС центръ Г, а круга АВЕ центръ С. Говорю, что прямая протяну- тая отъ С къ Г, будучи продолжена, упа- детъ въ точку А. Ибо, естьли нѣтъ; то пусть, буде возможно, упадетъ какъ ГСН. Протяни АЕ, АС. *2о,і. Поелику АС, СГ больше ГА*, то есть ЕН; отними обще ГС: посему остальная А6 больше остальной СИ. Но АС равна ВС: по- сему и СВ больше СИ, меньшая большей} что невозможно. А посему прямая протяну- тая отъ Г къ С, не упадетъ внѣ прикос- новенія А: слѣдственно упадетъ на оное. Итакъ, ежели два круга, и проч. ч. И Д. Н, ИНАЧЕ. Но еще пусть упадетъ какъ СГС: продолжи впрямъ съ СГС прямую къ точкѣ Н; и протяни АС, АК.
КНИГА ТРЕТЬЯ. іоЗ Поелику АО, СГ больше АЕ, а ГД равна ГС, то есть ЕН; ощними обще ЕС; посему остальная АС больше остальной СН, то еегпь СБ больше СН, меньшая большей; чпю невозможно. Подобно докажемъ, что сіе нелѣпо, есшьли центръ круга большаго будетъ внѣ круіа меньшаго. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XII. Ежели два круга взаимно касаются внѣ; то прямая протянутая чрезъ ихъ центры, прой- детъ чрезъ прикосновеніе. Пусть два круга АВС, АБЕ взаимно ка- саются внѣ, въ точкѣ А; и пусть будетъ круга АВС центръ Е, а круга АНЕ центръ С. Говорю, что прямая протянутая отъ Г къ С, пройдетъ чрезъ прикосновеніе А. Ибо, естьли нѣтъ; то пусть, буде воз- можно, пройдетъ какъ ЕСБС. Протяни ГА, АС. Поелику точка Г есть центръ круга АВС; то ГА равна ЕС. Еще же , поелику точка С есть центръ круга АБЕ; то АС равна СІ). А доказано, что ГА равна ГС; Посему ЕА, АС равны ГС, ВС: а посему ВЬлая ГС больше ЕА, АС: но и меньше ея*;*2о,і.
ю4 Э В КЛИ Д. НАЧАЛЪ что невозможно. А посему прямая протянутая ошъ Г къ С,не пройдетъ не чрезъ прикоснове- ніе А: слѣдственно пройдетъ чрезъ оное. Итакъ, ежели два круга, и проч. Ч. И д. п. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIII. Кругъ не касается къ другому кругу въ точкахъ больше одной, хотя каснется внутри, хотя внѣ его. Ибо, буде возможно, пусть кругъ АВВС каснется къ другому кругу ЕВЕВ, вопер- выхъ внутри, въ точкахъ больше одной, какъ В, Б. Возьми круга АВВС центръ С, а круга . ЕВГБ центръ Н*. Итакъ прямая, протянутая отъ С къ И, . упадетъ въ точки В, Б*. Пусть упадетъ какъ ВСНВ. И поелику точка С есть центръ круга АВВС, то ВС равна 6В: по- сему ВС больше НВ; а посему ВН гораздо больше НВ. Еще же, поелику точка Н есть центръ круга ЕВЕВ; то ВН равна НВ. А доказано, что она гораздо больше; что невозможно. Чего ради кругъ не касается къ другому кругу , внутри его , въ точкахъ больше одной. Говорю еще, что и не касается внѣ. И6° буде возможно, пусть кругъ АСК каснется К*
КНИГА ТРЕТЬЯ. іо5 другому кругу АВСВ внѣ , въ точкахъ боль- ще одной, какъ А, С. Протяни АС. Поелику на окружностяхъ обоихъ круговъ ДВВС, АСК, взяты нѣкія двѣ точки А, С; що прямая протянутая чрезъ сіи точки, упадетъ внутри каждаго*. Но она падаешь *г- впутри круга АВВС, а внѣ круга АСК*; что нелѣпо. Чего ради кругъ не касается къ другому кругу внѣ его, въ точкахъ больше одной, А доказано, что и ни внутри: Итакъ кругъ не касается, и проч. Ч. и Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV. Въ кругѣ равныя прямыя равно отсто- ятъ отъ центра; и которыя прямыя равно отстоятъ отъ центра, суть взаимно равны. Пусть будетъ АВПС кругъ, и пусть бу- дутъ въ немъ равныя прямыя АВ,СВ. Говорю, что онѣ равно отстоятъ отъ центра. Возьми центръ круга АВВС*, и пусть *і. будетъ оный Е; и отъ Е проведи пер- пендикулярныя къ АВ, СВ, прямыя ЕЕ, ЕС*; и протяни АЕ, СЕ. Поелику прямая ЕЕ, проходящая чрезъ Центръ, прямую АВ, непроходящую чрезъ Центръ, разсѣкаетъ подъ прямыми угла- ми ; то разсѣчетъ оную и по поламъ*; *3«
іоб ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ посему АГ равна ВГ; а посему АВ есть двукратная прямой АГ. Потому же и СВ есть двукратная прямой СС. Итакъ АВ равна СВ: посему и АГ равна СС. II поелику АЕ равна ЕС; то квадратъ изъ АЕ равенъ квадрату изъ ЕС. Но квадрату изъ АЕ равны квадраты изъ АГ, ГЕ*, ибо уголіь при Г есть прямой; квадрату же изъ ЕС равны квадраты изъ ЕС, СС, ибо уголъ при С есть прямой: посему квадраты изъ АГ, ГЕ равны квадратамъ изъ СС, СЕ. Но въ нихъ квадратъ изъ АГ равенъ квадра- ту изъ СС, ибо АЕ равна СС: посему осталь- ной квадратъ изъ ГЕ равенъ остальному изъ ЕС; а посему ГЕ равна ЕС. Въ кругѣ же прямыя называются равно отстоящими отъ центра; когда отъ центра проведенныя *опр. 4- перпендикулярныя къ нимъ равны*: чего ради АВ, СВ равно отстоятъ отъ центра. Но пусть прямыя АВ, СВ равно отстоятъ отъ центра, то есть, пусть будетъ ЕЕ равна ЕС. Говорю, что и АВ равна СВ. Сдѣлавъ то же строен’іе^юдобнодокажемъ, что АВ есть двукратная прямой АГ, а СП двукратная прямой СС. И поелику АЕ равна СЕ; то квадратъ изъ АЕ равенъ квадрату изъ СЕ. Но квадрату изъ АЕ равны квадра' гпы изъ ЕГ,ГА; квадрату же изъ СЕ равны
КНИГА ТРЕТЬЯ. 107 рВадраты изъ ЕС, ОС: посему квадраты изъ ЕА равны квадратамъ изъ ЕС, СС. Но въ лихъ квадратъ изъ ЕЕ равенъ квадрату изъ ЕС у ибо ЕЕ равна ЕС: посему осталь- ной квадратъ изъ АЕ равенъ остальному изъ СО; а посему АЕ равна СС. Но прямой ДЕ двукратная есть АВ , а прямой ССг двукратная СБ; чего ради АВ равна СБ. Итакъ въ кругѣ } и проч. Ч. И д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XV. Бъ кругѣ наибольшая прямая есть по- перечникъ ; изъ другихъ же, ближайшая къ центру всегда больше дальнѣйшей. Пусть будетъ АВСБ крутъ; и пусть будетъ поперечникъ его АБ, а центръ Е; ближайшая же къ центру пусть будетъ ВС, а дальнѣйшая ЕС. Говорю, что наи- большая есть АБ, а ВС больше ГС. Отъ центра Е проведи, перпендикулярныя Къ ВС, ГС, прямыя ЕН, ЕК*. Поелику бли- *п,І. жаишая къ центру есть ВС, а дальнѣйшая ВС; то ЕК больше ЕН*. Положи прямую ЕЬ *опр.5. равную ЕН; и чрезъ Ь проведя подъ прямыми углами къ ЕК, прямую БМ, продолжи оную Къ К; и протяни ЕМ, ЕЫ, ЕГ, ЕС. Поелику ЕН равна ЕЬ; то и ВС равна МК*. Еще же, поелику АЕ равна ЕМ, и ЕБ *і4-
ю8 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ равна ЕЬГ; то АВ равна МЕ, Е№. По МЕ, Г\ больше МАІ посему и АБ больше МА. А і\1\ равна ВС- посему АВ больше и ВС. II поелику двЬ прямыя МЕ, ЕА равны двумъ прямымъ ЕЕ, ЕС- а уюль МЕА больше угла ІЕС: посему основаніе МА больше основанія ЕС?, Но МЛ, но доказанному, равна ВС, посему п ВС больше ІС. Чего ради, наибольшая есть поперечникъ АБ, а ВС больше ЕС. 1 Ишакъ въ кругѣ, и проч. ч. ид. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVI. Прямая, проведенная отъ копца попереч- ника круга подъ прямыми къ оному углами, падаетъ внѣ круга: Въ пространствѣ же между прямою и окружностію не можетъ упасть другая прямая: II уголъ полукружія есть больше всякаго прямолинейнаго остраго угла; а остальной меньше. Пусть будетъ АВС кругъ около центра Б и поперечника АВ. Говорю, что прямая, проведенная отъ А подъ прямыми углами № АВ, падаетъ внѣ круга. Ибо, естьли нѣтъ- то пусть, 6уДс возможно, упадетъ внутри, какъ АС; и протяни БС.
КНИГА Т Р Е Т Ь Л. »од Поелику БА равна БС ; шо уголъ ВАС равенъ углу АСВ*. Но уголъ ОАС пряной; по-»5. сеау и у голъ АСВ есть прямой: а посему треугольника АСВ, два угла ВАС, АСВ равны двумъ прянымъ; что невозможно*. Посему * 7,1. прямая, проведенная отъ точки А подъ пря- мыми углами къВА,не падаетъ внутри круга. Подобно докажемъ, что ни на окружность; слѣдственно падаетъ внѣ круга, какъ АЕ. Говорю еще, что въ пространствѣ ме- жду прямою АЕ и окружностію СНА не- можетъ упасть другая прямая. Ибо, буде возможно, пусть упадетъ, какъ ГА. Ошъ точки В проведи , перпендикуляр- ною къ ЕА, прямую ВС. Поелику уголъ АСВ прямой , а уголъ ВАС меньше прймаго; то АВ больше ВС*. Но АВ равна ВН: посему ВН больше ВС, меньшая большей; что невозможно. Ишакъ въ про- странствѣ между прямою и окружностію не можетъ упасть другая прямая. Говорю гпакожь, что уголъ полукружія, СоДержимый прямою ВА и окружностію СНА, есіпь больше всякаго прямолинейнаго остраго Я-'а; а остальной, содержимый окружностію ГНД и прямою АЕ, меньше всякаго прямо- линейнаго остраго угла. Чбо, буде есть какой либо прямолинейной
I ІО Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ уголъ, который больше содержимаго прямою ВА и окружностію СНА, а меньше содержимъ го окружностію СНА и прямою "АЕ • то въ пространствѣ между окружностію СНА и прямою АЕ упадетъ прямая, которая сдѣ. лаетъ уголъ содержимый прямыми, больше угла содержимаго прямою ВА и окружностію СНА, а меньше содержимаго окружностію СНА и прямою АЕ. Но шаковая не можетъ упасть^ слѣдственно не можетъ быть такой острой уголъ, содержимый прямыми кошорый больше угла содержимаго прямою ВА иокруж- ностію СНА, ни такой,который меньше со- держимаго окружностію СНА и прямою АЕ. Что и доказать надлежало. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что пря- мая проведенная отъ конца поперечника кру га , подъ прямыми къ оному углами , ка- сается къ кругу; и что прямая касаеіпся къ кругу только въ одной точкѣ. 116° прямая встрѣчающая оный въ двухъ, у®' *2. детъ , по доказанному*, внутри его. (зб). (ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVII. Отъ данной точки провести прямую •’ч*1 нію, касательную къ данному кругу. Пусть будетъ А данная точка, а
КНИГА ТРЕТЬЯ III данный кругъ. Надлежитъ отъ точки А провести прямую линію, касательную къ кругу ВСГ>- Возьми круга центръ Е*; и протяни АЕ; и *, Іі3ь центра Е, разстояніемъ ЕА напиши Кругь АЕС; и отъ И проведи, подъ пря- мыми углами къ ЕА, прямую НЕ ; и про- іллни ЕЕ, АВ. Говорю , что отъ точки А проведена, касательная къ кругу ВСН, пря- мая АВ. Поелику Е есть центръ круговъ ВСН, АЕС: то ЕА равна ЕГ и ЕН равна ЕВ. Итакъ двЬ прямыя АЕ, ЕВ равны двумъ прямымъ ГЕ, ЕН • и содержатъ уголъ общій при Е: посему* основаніе НЕ равно основанію АВ; и треугольникъ ЕНЕ равенъ треуголь- нику ЕВА; и прочіе углы прочимъ угламъ, посему уголъ ЕНЕ равенъ углу ЕВА. Но уголъ ЕВГ прямои;посему и уголъ ЕВА есть прямой: но ЕВ есть прямая отъ центра; прямая же, проведенная отъ конца поперечника круга, подъ прямыми къ оному углами , касается Къ кругу*: чего ради прямая АВ есть ка- *сл-.іб. саніельная къ кругу. Игпакъ отъ данной точки А проведена, касательная къ данному кругу ВСВ, прямая •’пиіія АВ. ч. и с. н. (27).
112 Э ВКЛ И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVIII. Ежели прямая касается къ кругу; и отъ центра къ прикосновенію протянута будетъ прямая: то протянутая прямая будетъ перпендикулярна къ касательной. Пусть касается къ кругу АВС прямая ПЕ въ точкѣ С; и пусть будетъ взятъ круга АВС центръ Е; и отъ Г къ С пусть будетъ протянута прямая ЕС. Говорю что ГС перпендикулярна къ ВЕ. Ибо, буде пѣтъ; то отъ Е проведи, перпендикулярную къ 1)Е, прямую ЕС. Поелику уголъ ГОС прямой; то уголъ ГСС *Г7>І. есть острой*: а большему углу прошиву- 9,1. лежитъ большая сторона*; посему ЕС боль- ше ЕС. По ГС равна ГВ: посему и ГВ больше ЕС, меньшая большей ; что не- возможно. А посему ЕС не перпендикулярна къ НЕ. Подобно докажемъ , что и ни другая какая ниесть, кромѣ ГС; чего ради ГС перпендикулярна къ РЕ. Ишакъ, ежели прямая, и проч. ч. и д. Н- ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIX. Ежели прямая касается къ кругу; и огл* прикосновенія проведена будетъ прямая, поДь прямыми углами къ касательной: іпо **а проведенной прямой будетъ центръ круга-
КНИГА ТРЕТЬЯ I іэ Пусть касается къ кругу АВС прямая ВЕ въ точкѣ С; и пусть будетъ отъ С про- ведена , подъ прямыми углами къ ВЕ, прямая СА. Говорю, что на АС есть центръ круга. Ибо, естьли нѣтъ; то пусть, буде возможно, будетъ оный Г. Протяни СЕ. Поелику прямая ВЕ касается къ кругу АВС, и огпъ центра къ прикосновенію протянута прямая ЕС; то ГС перпендикулярна къВЕ*:*і8. посему уголъ ЕСЕ есть прямой. А и уголъ А СЕ прямой: посему уголъ ЕСЕ равенъ углу АСЕ,меньшій большему;чгпо невозможно. Чего ради Е не есть центръ круга АВС. Подобно докажемъ, что и ни другая какая либо точка , развБ которая на АС. Итакъ,ежели прямая, и проч. ч. и д. Н. (28). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XX. Въ кругѣ , уголъ при центрѣ есть дйу-' кратный угла при окружности , когда они ту же дугу имѣютъ основаніемъ. Пусть будетъ АВС кругъ; и при центрѣ его пусть будетъ уголъ ВЕС, а при окруж- иости уголъ ВАС, кои пусть имѣютъ ту ®е дугу ВС основаніемъ. Говорю, что уголъ &ЕС есть двукратный угла ВАС. Протянувъ АЕ, продолжи оную къ Г. 8
Іі4 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Поелику ЕА равна ЕВ \ то уголъ ЕЛЬ равенъ углу ЕВА: посему углы ЕАВ, ЕВД сушь двукратны угла ЕАВ. Но уголъ ВЕР Зі,і. равенъ угламъ ЕАВ, ЕВА*} посему и уголъ ВЕЕ есть двукратный угла ЕАВ. Потому же и уголъ ГЕС есть двукратный угла ЕАС. Чего ради цѣлой уголъ ВЕС есть двукратный цѣлаго угла ВАС. Наклони уголъ ВАС, и пусть будетъ другой уголъ ВВС- Протянувъ ВЕ, продолжи оную къ О: то подобно же докажемъ, что уголъ 6ЕС есть двукратный угла СВС. Но въ нихъ уголъ СЕВ есть двукратный угла СВВ} чего ради остальной уголъ ВЕС есть двукратный остальнаго ВВС. Ишакъ въ кругѣ, и проч. Ч. и Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXI. Въ кругѣ, въ томъ же отрѣзкѣ углы вза- имно равны. Пусть будетъ АВСВ кругъ} и въ его отрѣзкѣ ВАЕВ пусть будутъ углы ВАВ, ВЕВ. Говорю, что углы ВАВ, ВЕВ взаимно равны. *і. Возьми круга АВСВ центръ*, и пусть будетъ оный Г; и протяни ВЕ, ЕВ. Поелику уголъ ВЕВ есть при центрѣ, а уголъ ВАВ при окружности, и имѣютъ тУ
КНИГА ТРЕТЬЯ. л5 же дугу ВСБ основаніемъ то уголъ ВГВ есть двукратный угла ВАВ*. Потому же *ао- уголъ В1В есть двукратный и угла ВЕВ. Чего ради уголъ ВАВ равенъ углу ВЕВ. Итакъ въ кругѣ, и проч. Ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXII. Въ кругахъ , четыреугольниковъ проги и ву- лежащіе углы равны двумъ прямымъ. Пусть будетъ АВСВ кругъ • и въ немъ пусть будетъ четыреугольникъ АВСВ. Го- ворю , что его прошивулежагціе углы равны двумъ прямымъ. Протяни АС, ВВ. Поелику всякаго треугольника три угла равны двумъ прямымъ* • то треуголыіи- *ЗзД. ка АВС шри угла САВ , АВС , ВСА равны двумъ прямымъ. По углу ВАС равенъ уголъ СБВ’, ибо они въ томъже отрѣзкѣ ВАВС • *аі. а углу АВВ, равенъ уголъ АСВ, ибо они въ томъже отрѣзкѣ АВСВ: посему цѣлой уголъ ^ВС равенъ угламъ ВАС , АСВ. Придай обще уголъ АВС ; посему углы АВС , ВАС , АСВ равны угламъ АВС , АВС. Но углы АВС, ВАС, АСВ равны двумъ прямымъ • чего ради и углы АВС, АВС равны двумъ прямымъ. По- лобно докажемъ, что и углы ВАВ, ВСБ ₽ав,|ьі двумъ прямымъ. ііпіакъ въ кругахъ , и проч. Ч. И Д. Н. (29)’ л *
I іб Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIII. Па піойже прямой и по ту же ея сто- рону , не могутъ быть составлены два отрѣзка круговъ подобные и неравные. Ибо , буде возможно , пусть на той же прямой АВ и по ту же ея сторону, бу- дутъ составлены два отрѣзка круговъ по- добные и неравные АСВ, АВВ. Проведи АСВ • и протяни СВ , ВВ. Поелику отрѣзокъ АСВ подобенъ отрѣз- ку АВВ} подобные же отрѣзки круговъ сугпь *опр.п. тѣ , кои вмѣщаютъ равные углы* : то уголь АСВ равенъ углу АВВ , внѣшный внутрен- нему \ что невозможно*. Итакъ на тойже прямой, и пр. Ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIV. На равныхъ прямыхъ, подобные отрѣзки круговъ взаимно равны. Пусть будутъ на равныхъ прямыхъ АВ, СН подобные круговъ отрѣзки АЕВ, СРВ* Говорю, что отрѣзокъ АЕВ равенъ отрѣзку СЕН. Ибо, естьли помѣстить отрѣзокъ АЕВ на отрѣзокъ СЕН , и положить точку А на іпочку С , а прямую АВ на прямую СВ1,10 то’Іка В совмѣстится съ точкою Н , посл*1'
КНИГА ТРЕТЬЯ. 117 ку АВ равна СВ. Когда же АВ совмѣсти- лась съ СВ , гпо и отрѣзокъ АЕВ совмѣ- стится съ отрѣзкомъ СЕВ. Ибо , естьли по совмѣщеніи прямой АВ съ прямою СБ, отрѣзокъ АЕВ не совмѣстится съ отрѣз- комъ СЕВ: то пусть перемѣнитъ поло- женіе , какъ СНСВ. Но кругъ не пресѣкаетъ другаго круга въ точкахъ больше двухъ* • а *<о. кругъ С11СВ пресѣчетъ кругъ СЕВ боль- ше нежели въ двухъ точкахъ , въ С7 С, В; что невозможно. Посему, когда прямая АВ совмѣстилась съ прямою СВ , не можетъ песовмѣстишься отрѣзокъ АЕВ съ отрѣз- комъ СЕВ • слѣдственно совмѣститься, и будетъ равенъ ему. Итакъ на равныхъ, и проч. ч. и д. Н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXV. Дописать кругъ, коего отрѣзокъ данъ. Пусть будетъ АВС данный отрѣзокъ кру- га. Надлежитъ дописать кругъ, коего АВС еспіь отрѣзокъ. Раздѣли АС по поламъ въ I) * и опіъ точки Г) 7 17 проведи , подъ прямыми углами къ АС, прямую 1)В*; и протяни АВ. Итакъ уголъ ♦иД. АВВ или больше угла ВАВ, или равенъ ему, Иди меньше его.
и8 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Пусть будетъ , вопервыхъ, больше. При прямой ВА, и при точкѣ на ней А, составь уголъ ВАЕ равный углу АВВ*; и продолжи ВВ къ Е; и протяни ЕС. Поелику же уголъ АВЕ равенъ углу ВАЕ; то и прямая ВЕ •6,1. равна прямой ЕА*. II поелику АВ равна ВС, а ВЕ общая; то двѣ прямыя АВ, ВЕ равны двумъ прямымъ СВ, ВЕ, каждая каждой; и уголъ АВЕ равенъ углу СВЕ, ибо каждый изъ нихъ прямой: посему основаніе АЕ равно основанію СЕ. Но АЕ, по доказанному , рав- на ЕВ; посему и ВЕ равна СЕ; слѣдственно гпри АЕ, ЕВ, ЕС взаимно равны: а посему кругъ, изъ центра Е и разстояніемъ которой ниесть изъ прямыхъ АЕ, ЕВ, ЕС написан- *д, ный, пройдетъ чрезъ прочія точки*; и такъ кругъ, коего отрѣзокъ данъ, будетъ до- писанъ. Притомъ явно, что отрѣзокъ ЛВС будетъ меньше полукружія; поелику центръ Е падаетъ внѣ отрѣзка. Подобно , есігщли уголъ АВВ равенъ углу ВАВ, то’сдѣлана прямая АВ, равная каждой изъ прямыхъ ВВ, ВС: посему три ВА, ВБ, ВС будутъ взаимно равны, и В будетъ центръ дополненнаго круга; притомъ же АБС будетъ полукружіе. Естьли же уголъ АВВ меньше угла ВАВ; й естьли при прямой ВА, и при точкѣ 1,а
КНИГА ТРЕТЬЯ. і іу пей А, составимъ уголъ равный углуАВВ; то центръ упадетъ внутри отрѣзка ЛВС, на прямой ВВ; и притомъ отрѣзокъ АВС бу- детъ больше полукружія. Ишакъ дописанъ кругъ, коего отрѣзокъ данъ. ч. И С. н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVI. Въ равныхъ кругахъ, равные углы стоятъ на равныхъ дугахъ , хотя будутъ стоять при центрахъ, хотя при окружностяхъ. Пусть будутъ АВС, ВЕЕ равные круги; и въ нихъ пусть будутъ при центрахъ рав- ные углы ВСС, ЕНГ, а при окружностяхъ углы ВАС, ЕВГ. Говорю, что дуга ВКС равна дугѣ ЕЬГ. Протяни ВС, ЕЕ. Поелику круги АВС, ВЕЕ равны, то и прямыя изъ центровъ ихъ равны*; и такъ *опр. і. двѣ прямыя ВС, СС равны двумъ прямымъ ЕН, НЕ; и уголъ при С равенъ углу при Н: посему основаніе ВС равно основанію ЕЕ. I поелику уголъ при А равенъ углу при В; то отрѣзокъ ВАС подобенъ отрѣзку ЕВЕ*, и *опр.и. сУгпь на равныхъ прямыхъ ВС, ЕГ. На рав- ныхъ же прямыхъ, подобные отрѣзки кру- говъ , взаимно равны*; посему отрѣзокъ *2/{.
|2О ЭВ КЛИД. НАЧАЛЪ ВАС равенъ отрѣзку ЕВГ. А и цѣлый кругъ АВС равенъ цѣлому кругу ВЕГ \ посему остальной отрѣзокъ ВКС равенъ остально- му отрѣзку ЕЬГ: чего ради дуга ВКС равна дугѣ 'ГЕЕ. Итакъ въ равныхъ 1 и проч. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVII. Въ равныхъ кругахъ, на равныхъ дугахъ стоящіе углы взаимно равны, хотя бу- дутъ стоять при центрахъ , хотя при окружностяхъ. Пусть въ равныхъ кругахъ АВС , ВЕЕ, и на равныхъ дугахъ ВС , ЕГ, будутъ стоять при центрахъ С, Н, углы ВСС, ЕНЕ , а при окружностяхъ углы ВАС , ЕВЕ.‘ Говорю , что уголъ ВСС равенъ углу ЕНЕ; р уголъ ВАС углу ЕВГ. Ибо, естьли уголъ ВСС равенъ углу ЕНЕ; •20. то явно, что и уголъ ВАС равенъ углу ЕНГ*.| Естьли же нѣтъ • то одинъ изъ нихъ боль- шій: пусть будетъ уголъ ВСС большій. Нри прямой ВС, и при точкѣ на ней С, со- ставь уголъ ВСК равный углу ЕНГ. Н поелику равные углы стоятъ на раВ" *гб. ныхъ дугахъ , когда они при центрахъ1 } Піо дуга ВК равна дугѣ ЕГ. Но ЕГ равна
КНИГА ТРЕТЬЯ. 121 ВС: посему и ВК равна ВС , меньшая боль- шей , что невозможно. А посему уголъ ВВС нС неравенъ углу ЕНЕ; слѣдственно равенъ. ]|о угла ВВС есть половина уголъ при А, а угла ЕНЕ есть половина уголъ при В; чего ради и уголъ при А равенъ углу при В. Итакъ въ равныхъ, и проч. Ч. и д. н. (Зо). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХГПІ. Въ равныхъ кругахъ , равныя прямыя от- нимаютъ равныя дуги , большую дугу ра- вную большей, а меньшую меньшей. Пусть будутъ АВС , ВЕЕ равные круги} и въ нихъ пусть будутъ АВ , ВЕ равныя прямыя , кои отнимаютъ дуги АСВ , ВЕЕ большія , а АСВ , ВНЕ меньшія. Говорю, что большая дуга АСВ равна большей ду- гѣ БЕЕ , а меньшая дуга АСВ равна мень- шей ВНЕ. Возьми круговъ центры К, Ь*} и протяни *і. АК, КВ , ВЬ, ЬЕ. Поелику круги равны , то и прямыя изъ Центровъ ихъ равны. Итакъ двѣ прямыя А-К, КВ равны двумъ прямымъ ВЬ, ЬЕ } и основаніе АВ равно основанію ВЕ: по- сему уголъ АКВ равенъ углу ВЬЕ. Равные *е углы стоятъ на равныхъ дугахъ , когда
122 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ *2б. они при центрахъ*; посему дуга АСВ ра- вна дугѣ ВЕЕ. А и цѣлый кру гъ АВС равенъ цѣлому кругу ВЕГ: чего ради и осталь- ная дуга АСВ равна остальной дугѣ ВГЕ. Ишакъ въ равныхъ , и проч. ч. и д. н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIX. Въ равныхъ кругахъ, равныя дуги ста-» гиваются равными прямыми. Пусть будутъ АВС , НЕЕ равные крути; и въ нихъ пусть будутъ взяты равныя дуги ВСС , ЕНЕ , и протянуты прямыя ВС, ЕГ. Говорю, что прямая ВС равна прямой ЕГ. •і. Возьми круговъ центры*, и пусть бу- дутъ оныеК,Ь; и протяни ВК,КС, ЕЬ, ЕГ. Поелику дуга ВСС равна дугѣ ЕНГ ; то и «'зу. уголъ ВКС равенъ углу ЕЬЕ*. И поелику круги АВС, НЕГ равны; то и прямыя изъ центровъ ихъ равны. Итакъ двѣ прямыя ВК , КС равны двумъ прямымъ ЕЬ , ЕГ, и содержатъ равные углы; посему основа- ніе ВС равно основанію ЕГ. Ишакъ въ равныхъ , и проч. ч. И д. И, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXX. Данную дугу раздѣлить по поламъ. Пусть будетъ АВВ данная дуга. Надле- житъ дугу АВВ раздѣлишь по поламъ.
КНИГА ТРЕТЬЯ. 123 Протяни АВ ; и раздѣли оную по поламъ вЪ С*; и отъ точки С проведи, подъ пря- *юД. мЫми углами къ АВ, прямую СВ*; ипро-*пД. тяни АБ, ВВ. Поелику АС равна СВ, а СВ общая ; Гпо двѣ прямыя АС, СВ равны двумъ прямымъ ВС} СБ • и уголъ АСБ равенъ углу ВСБ , ибо каждый изъ нихъ пря- мой : посему основаніе АВ равно осно- ванію БВ. Равныя же прямыя отнимаютъ ра- вныя Дуги, большую дугу равную боль- шей , а меньшую меньшей* ; и каждая изъ *2Й. дугъ АВ, ВВ есть меньше полукружія : чего ради дуга АВ равна дугѣ ВВ. Итакъ данная дуга раздѣлена по поламъ, ч. и с. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXI. Въ кругѣ , уголъ въ полукружіи есть пря- мой , въ отрѣзкѣ же большемъ полукружія уголъ меньше прямаго ; а въ отрѣзкѣ мень- шемъ уголъ больше прямаго. И еще , уголъ большаго отрѣзка есть больше прямаго ; а уголъ меньшаго отрѣзка меньше прямаго. Пусть будетъ АВСВ кругъ; и пусть Удегпъ ВС его поперечникъ , а Е центръ ; и нроіпяни ВА, АС, АВ, ВС. Говорю, что въ
І24 Э в к л и д. началъ полукружіи ВАС уголъ ВАС есть прямой • въ отрѣзкѣ же АВС большемъ полукру^ уголъ АВС меньше прямаго ; а въ отрѣэд АБС меньшемъ полукружія уголъ АВС боль, ше прямаго. Протяни АЕ • и продолжи ВА къ Г. Поелику ВЕ равна ЕА; то уголъ АВЕ равенъ углу ВАЕ. Еще же , поелику СЕ ра- вна ЕА ; шо уголъ АСЕ равенъ углу САЕ. Посему цѣлый уголъ ВАС равенъ двумъ угламъ АВС, АСВ. Но и уголъ ГАС, какъ внѣшный треугольника АВС, равенъ двумъ •32,г. угламъ АВС , АСВ' ; посему уголъ ВАС ра- венъ углу ГАС ; а посему каждый изъ нихъ есть прямой. Чего ради въ полукружіи ВАС уголъ ВАС есть прямой. II поелику треугольника АВС два угла АВС *І7Д- ВАС меньше двухъ прямыхъ* • и уголъ ВАС есть прямой : то уголъ АВС меньше прямаго; и онъ въ отрѣзкѣ АВС большемъ полукружія- II поелику АВСВ есть четыреугольникъ къ кругѣ ; а въ кругахъ, четыреу гольников *22. противу лежащіе углы равны двумъ прямымъ’- посему углы АВС, АБС равны двумъ пря мымъ. Но уголъ АВС меньше прямаго : че го ради остальной уголъ АБС есть боль' ше прямаго ; и онъ въ отрѣзкѣ АВС темъ полукружія.
КНИГА ТРЕТЬЯ. 120 Говорю еще , что уголъ большаго от- рѣзка, содержимый дугою АВС и прямою АС, есть больше прямаго ; а уголъ меньшаго от- рѣзка, содержимый дугою АВС и прямою АС, есть меньше прямаго. Сіе очевидно: Ибо, какъ уголъ содержимый прямыми ВА, АС есть прямой; то содержмый дугою АВС и прямою АС есть больше прямаго. Еще же, поелику уголъ содержимый прямыми АС, АГ есть прямой ; гпо содержимый прямою СА и дугою АСВ меньше прямаго. Итакъ въ кругѣ, и проч. ч. и д. н. Иначе. Доказывается , что уголъ ВАС прямой. Поелику уголъ ЛЕС есть двукрат- ный угла ВАЕ, ибо равенъ двумъ внутреи- нымъ прошивулежащимъ; а и уголъ АЕВ есть двукратный угла ЕАС: посему углы АЕВ, АЕС сушь двукратные угла ВАС. По углы АЕВ, АЕС равны двумъ прямымъ*; чего ради уголъ ВАС есть прямой, ч. и Д. н. Слѣдствіе. Ошсуда явствуетъ, что есть- ли сь треугольникѣ одинъ уголъ равенъ Деумъ прочимъ; то оный уголъ будетъ прямой, ибо и его смѣжный равенъ тѣмъ ”;е угламъ. А когда смѣжные углы равны, піо они суть прямые.
I 26 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХП.І Ежели прямая касается къ кругу, и отъ прикосновенія проведена будетъ въ кругъ какая ниесть прямая сѣкущая сей кругъ: то углы, которые она дѣлаетъ при касатель- ной , будутъ равны угламъ въ накосьлежа- щихъ отрѣзкахъ круга. Пусть къ кругу АВСВ касается прямая ЕГ въ точкѣ В* и отъ точки В пусть про- ведена будетъ въ кругѣ АВСВ прямая ВВ, сѣкущая оный. Говорю, что углы, которые ВВ дѣлаетъ съ касательною ЕГ, равны угламъ въ накосьлежащихъ отрѣзкахъ круга, то есть, что уголъ ГВВ равенъ углу въ отрѣзкѣ ВАВ составленному, а уголъ БВЕ равенъ углу въ отрѣзкѣ ВСВ. Проведи отъ В, подъ прямыми углами къ ЕГ, прямую ВА; и возьми на дугѣ ВВ ка- кую ниесшь точку С; и протяни АВ, ВС, СВ. Поелику къ кругу АВСВ касается прямая ЕГ въ точкѣ В, и отъ прикосновенія В про- ведена , подъ прямыми углами къ касатель- ной , прямая ВА: то на ВА есть центръ *і 9. круга АВСВ*; почему ВА есть поперечникъ круга АВСВ. Слѣдственно уголъ АВВ, -Зі. полукружіи составленный, есть прямой*; посему остальные углы ВАВ, АВВ « тре'
КНИГА ТРЕТЬЯ. 127 угольника АВВ » равны одному прямому. II уголъ АВЕ прямой же посему уголъ АВЕ равенъ угламъ ВАВ, АВВ. Отними обще уголъ АВВ • посему остальной уголъ ВВЕ равенъ углу ВАВ въ накосьлежащемъ от- рѣзкѣ круга. И поелику АВСВ есть четыре- угольникъ въ кругѣ; шо прошивулежащіе его утлы равны двумъ прямымъ*. А и утлы ВВС, *и. ПВЕ равны двумъ прямымъ* посему углы ВВЕ, ВВЕ равны угламъ ВАВ, ВСВ. Но въ нихъ уголъ ВАВ равенъ, по доказанному, углу ВВЕ* чего ради остальной уголъ ВВЕ равенъ углу ВСВ въ накосьлежащемъ от- рѣзкѣ ВСВ круга. Итакъ, ежели прямая, и проч. ч. и д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХШ. Па данной прямой написать отрѣзокъ кР)га, вмѣщающій уголъ равный данному прямолинейному углу. Пусть будетъ АВ данная прямая, а С Данный прямолинейный уголъ. Надлежитъ на Данной прямой АВ написать отрѣзокъ кру- Га> вмѣщающій уголъ равный углу С. уголъ 4е С есть или острой , или прямой , или ^пой. Пусть будетъ , вопервыхъ , острой , какъ первой фигурѣ, ііри прямой АВ, и при
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ і л8 *зЗ,і. точкѣ А, составь уголъ ВАВ’равный углу С посему и уголъ ВАВ есть острой. Проведи отъ точки А, подъ прямыми углами къ Др *іі,і. прямую АЕ*; и раздѣли АВ по поламъ въ Г; и проведи отъ точки Г, подъ прямыми углами къ АВ, прямую ГС; и протяни СВ. Поелику АГ равна ГВ, а ГС общая; пю двѣ прямыя АГ, ГС равны двумъ прямымъ ГВ, ГС; и уголъ АГС равенъ углу ВГС: по- сему основаніе АС равно основанію СВ. Слѣд- ственно кругъ, изъ центра С и разстояніемъ СА написанный,пройдетъ и чрезъ В. Напгішп сей кругъ; и пусть онъ будетъ АВЕ; и протяни ВЕ. Поелику отъ конца А по- перечника АЕ проведена, подъ прямыми угла- ми къ АЕ, прямая АВ ; гео АВ касательна къ * 16. кругу*. И поелику къ кругу АВЕ касается пря- мая АВ; и отъ прикосновенія А проведена въ кругѣ АВЕ прямая АВ: то уголъ ВАВ равенъ уг- »3г. лу АЕВ, въ накосьлежащемъ отрѣзкѣ круга*. Но уголъ ВАВ равенъ углу С; посему и уголъ С равенъ углу АЕВ. Итакъ на данной прямой АВ написавъ отрѣзокъ крута АЕВ, вмѣщаюЩ*0 уголъ АЕВ равный данному углу С. Но пусть будетъ уголъ С прямой; я пусть надлежитъ еще на АВ написать от- рѣзокъ круга, вмѣщающій уголъ равны11 прямому С. Составь еще уголъ ВАВ равны0
КНИГА ТРЕТЬЯ. 12д прямому углу С, какъ значится на вто- рОй фигурѣ ; и раздѣли АВ по поламъ въ Г; и изъ центра Г, разстояніемъ кото- рой ниесть кругъ АЕВ. на къ кругу изъ прямыхъ ЕА, ЕВ, напиши Итакъ прямая АБ касатель- АВЕ*, по причинѣ, что уголъ *і 6. при А есть прямой: и уголъ ВАІ) равенъ углу въ отрѣзкѣ АЕВ- поелику и сей уголъ есть прямой*, ибо находится въ полукружіи. Но *3г. ролъ ВАВ равенъ углу С ; посему и уголъ въ отрѣзкѣ АЕВ равенъ углу С. Итакъ на АВ еще написанъ отрѣзокъ круга АЕВ, вмѣщающій уголъ равный углу С. Но еще пусть будетъ уголъ С тупой. Составь при прямой АВ и при точкѣ А, сему углу равный, уголъ ВАІ), какъ значится н^ третьей фигурѣ; и проведи, подъ прямыми углами къ А1)> прямую АЕ; и раздѣли опять АВ по поламъ въ Е; и проведи, подъ прямыми углами къ АВ, прямую ГС; и протяни СВ. Поелику опять АЕ равна ЕВ, а ЕС общая; то Днѣ прямыя АЕ1, ЕС равны двумъ прямымъ ЬГ, ЕС; и уголъ АЕС равенъ углу ВЕС: по- сему основаніе АС равно основанію^ ВС. бѣдственно кругъ,изъ центра С и разсшоя- к’емъ СА написанный, пройдетъ и чрезъ В. Чусгпь проходитъ какъ АЕВ. Поелику же къ п°перечнику АЕ, отъ конца его, проведена 9
іЗо Э В К Л II Д. НАЧАЛЪ подъ прямыми углами, прямая АВ; то ДІ) *і6. касательна къ кругу АЕВ и отъ прикосіюве. нія, что въ А, проведена прямая АВ; посему уголъ ВАВ равенъ углу составленному въ па- !>3г. косьлежащемъ круга отрѣзкѣ АНВ’. Но уголъ ВАВ равенъ углу С; посему и уголъ въ отрѣзкѣ АНВ равенъ углу С. Итакъ на данной прямой АВ написавъ отрѣзокъ кр .га АНВ , вмѣщающій уголъ равный углу С. Ч. И с. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХПІ Отъ даннаго круга отнять отрѣзокъ, вмѣщающій уголъ равный данному прямо- линейному углу. Пусть будетъ АВС данный кругъ , а В данный прямолинейный уголъ. Надлежитъ отъ круга АВС отнять отрѣзокъ, вмѣща- ющій уголъ равный углу В. Проведи къ кругу АВС касательную ЕГ ^7. въ точкѣ В; и составь при прямой ЕЕ, й при данной на неи точкѣ В, уголъ ГВС рав- ный углу В. Поелику къ кругу АВС касается пря«аЯ ЕГ , и отъ прикосновенія В проведена пря'іаЯ ВС; то уголъ ГВС равенъ углу сосшавлея- ному въ ВАС, въ накосьлежащемъ отрѣзкѣ-
КНИГА ТРЕТЬЯ. іЗх По уголъ ГВС равенъ углу Б; посему и уголъ ръ отрѣзкѣ ВАС равенъ углу Б. Итакъ отъ даннаго круга АВС отнятъ отрѣзокъ ВАС, вмѣщающій уголъ равный данному прямолинейному^ углу В.Ч. И С. Н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXV, Ежели въ кругѣ двѣ прямыя взаимно пре- сѣкутся • то прямоугольникъ содержимый въ отрѣзкахъ одной равенъ прямоугольнику содержимому' въ отрѣзкахъ другой. Пусть въ кругѣ АВСВ, двѣ прямыя АС, ВБ, взаимно пресѣкутся въ точкѣ Е. Говорю', что прямоугольникъ въ АЕ, ЕС равенъ прямоугольнику въ ВЕ, ЕВ. Ежели прямыя АС, ВВ проходятъ чрезъ Центръ, такъ что Е будетъ центръ круга АВСВ; то явно, что по равенству прямыхъ АЕ, ЕС, ВЕ, ЕВ, и прямоугольникъ въ АЕ, ЕС равенъ прямоугольнику въ ВЕ, ЕВ. Но пусть прямыя АС , І)В не проходятъ чрезъ центръ. Возьми центръ круга АВСВ*, и *І- пусть будетъ оный Г; и отъ Г проведи, перпендикулярныя къ АС, ВВ, прямыя ЕС, ГН; и протяни ГВ, ЕС, ЕЕ. Поелику' прямая ГС, проходящая чрезъ Чентръ, прямую АС, непроходящую чрезъ
іЗз Э в к Л И Д. НАЧАЛЪ центръ, разсѣкаетъ подъ прямыми углами; *3. то разсѣчетъ оную и и > поламъ*: посему А(} равна СС. II поелику прямая ЛС разсѣчена па равныя въ С, и на неравныя въ Е; то прямо, угольникъ въ АЕ, ЕС, вмѣстѣ съ квадратомъ *5,ІІ. пзъ СЕ, равенъ квадрату изъ СС*. Придай обще квадратъ изъ СГ; посему прямоуголь- никъ въ АЕ, ЕС, вмѣстѣ съ квадратами изъ ГС, СЕ, равенъ квадратамъ изъ СС, СЕ. По квадратамъ изъ ЕС, СЕ равенъ квадратъ *47>і- изъ ЕЕ*; квадратамъ же изъ СС, СЕ равенъ квадратъ изъ ГС: посему прямоугольникъ въ АЕ, ЕС, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ЕЕ, равенъ квадрату изъ ГС. Но ГС равна ЕВ; по- сему прямоугольникъ въ АЕ, ЕС, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ЕГ, равенъ квадрату изъ ГВ. Потому же и прямоугольникъ въ ИЕ, ЕВ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ЕЕ, равенъ квадрату изъ ЕВ. А доказано, что и прямо- уголъ и.:къ въ АЕ, ЕС, вмѣстѣ съ квадра- томъ изъ ЕЕ, равенъ квадрату изъ ЕВ: по- сему прямоугольникъ въ АЕ, ЕС, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ЕЕ, равенъ прямоугольнику въ НЕ, ЕВ, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ГЕ. Отними обще квадратъ изъ ЕЕ; посему остальной прямоугольникъ въ АЕ, ЕС равенъ прямоугольнику въ 1)Е, ЕВ. Итакъ, ежели въ кругъ, и проч. ч. И Д.
КНИГА ТРЕТЬЯ. 133 ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXVI. Ежели внѣ круга взята будетъ какая вн- есть точка; и отъ нея на крутъ упадутъ двѣ прямыя, изъ коихъ одна пресѣкаетъ кругъ, а другая къ нему касается : то пря- моугольникъ , содержимый въ цѣлой и въ прямой, которая внѣ круга между то .кою и выпуклою окружностію, равенъ квадрату изъ касательной. Внѣ круга АВС пусть будетъ взята ка- кая ниесть точка Б * и отъ Б па круіъ АВС пусть упадутъ двѣ прямыя БСА , БВ ; и пусть прямая БСА пресѣкаетъ кругъ *1ВС, а БВ къ нему касается. Говорю, что прямоугольникъ въ АБ , БС равенъ ква- драту изъ БВ. Прямая БСл или проходитъ чрезъ центръ , или нѣтъ. Ну сть,вопервыхъ,проходитъ чрезъ центръ, и пусть будетъ Г центръ круга АВС* и протяни ГВ. Ишакъ уголъ ЕВБ есть пря- мой*. И поелику прямая АС разсѣчена по*і8. поламъ въ Г , и приложена къ ней прямая ^1), то прямоугольникъ въ АБ , БС , вмѣ- спіѣ съ квадратомъ изъ ГС , равенъ ква- драту изъ ГБ\ Но ГС равна ГВ 5 посему ®6,П- прямоугольникъ въ АБ , БС , вмѣстѣ съ ква- дратомъ изъ ГВ, равенъ квадрату изъ ГВ.
134 Э В К Л И Д> НАЧАЛЪ Квадратѣ же изъ ГВ равенъ квадратамъ •47Л- изъ ГВ, ВВ*, ибо лголъГВВ есть прямой; посему прямоугольникъ въ АВ , ВС , вмѣ- стѣ съ квадратомъ изъ ГВ,равенъ квадратамъ идъ ГВ, ВВ. Отними обще квадратъ изъ ГВ; чего ради остальной прямоугольникъ въ АВ , ВС равенъ квадрату изъ касатель- ной ВВ. Но пусть Прямая ВСА и не проходитъ чрезъ центръ круга АВС. Возьми его центръ **• Е*; и отъ Е проведи, перпендикулярную къ АС, прямую ЕГ ; и протяни ЕВ, ЕС, ЕВ, Итакъ уголъ ЕГВ есть прямой. И поели- ку прямая ЕГ , проходящая чрезъ центръ, прямую АС , непреходящую чрезъ центръ, разсѣкаетъ подъ прямыми углами ; ню раз- *3. сѣчетъ оную и по поламъ*: посему АГ равна ГС. И поелику прямая АС разсѣчена по поламъ въ Г ; и приложена къ ней пря- мая СВ: то прямоугольникъ въ АВ, ВС, вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ГС , равенъ ква- •6,11. драпіу изъ ГВ*. Придай обще квадратъ изъ ЕЕ; посему прямоугольникъ въ АВ , ВС, вмѣстѣ съ квадратами Изъ СГ, ГЕ, ра' венъ квадратамъ изъ ВГ, ГЕ. Но квадра- тамъ изъ ВГ , ГЕ равенъ квадратъ изъ ВЕ, ибо уголъ ЕГВ есть прямой ; а квадратамъ изъ СГ , ЕЕ равенъ квадратъ изъ СЕ: по-
КНИГА ТРЕТЬЯ. і35 сему прямоугольникъ въ АВ, ВС , вмѣстѣ сЪ квадратомъ изъ ЕС , равенъ квадрату и3-ь ЕВ. Но ЕС равна ЕВ ; посему прямо- угольникъ въ АВ, ВС, вмѣстѣ съ ква- дратомъ изъ ЕВ , равенъ квадрату изъ ЕВ. Квадрату же изъ ЕВ равны квадраты изъ ЕВ, ВВ, ибо уголъ ЕВВ есть прямой; посему прямоугольникъ въ АВ , ВС , вмѣстѣ съ квадратомъ изъ ЕВ, равенъ квадратамъ изъ ЕВ, ВВ. Отними обще квадратъ изъ ЕВ у чею ради остальной прямоу юльіткъ въ АВ , ВС равенъ квадрату изъ ОВ. Итакъ, ежели внѣ круга,и пр. Ч. И Д. Н. (Зі). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХѴП. Ежели внѣ круга взята будетъ какая ни- есгпь точка ; и отъ нее на кругъ упадутъ ДвЬ прямыя, изъ коихъ одна пресѣкаетъ кругъ , а другая къ нему падаетъ ; и будетъ прямоугольникъ въ цѣлой сѣкущей и въ пря- мой , которая внѣ круга между точкою и ььіпуклою окружностію , равенъ квадрату изъ падающей : то падающая будетъ ка- саться къ кругу. Внѣ круга АВС пусть будетъ взята ка- Кая ниесть точка В; и отъ В на кругъ ЛВС пусть упадутъ двѣ прямыя ВСА, ОВ ;
ІЭО э В к Л И Д. НАЧАЛЪ и пусть прямая РСА пресѣкаетъ кругъ а РВ къ нему падаетъ и пусть прямоуголь- никъ въ АР , БС равенъ квадрату изъ І)Ѣ Говорю, что РВ касается къ кругу АВС. *і7- Проведи къ кругу АВС касательную *і- и возьми круга АВС’} центръ Г и протя- ни ГЕ у ГВг ГР. ♦і8. Итакъ уголъ ГЕР есть прямой*. И по- елику РЕ касается къ кругу АВС , и ВСА пресѣкаетъ оный} то прямоугольникъ въ *36. АР , РС равенъ квадрату изъ РЕ*. Пред- полагается же, что прямоугольникъ въ АБ, РС равенъ квадрату изъ РВ } посему ква- дратъ изъ РЕ равенъ квадрату изъ І)В; а посему РЕ равна РВ: А и ГЕ равнаГБ; итакъ двѣ прямыя РЕ, ЕГ равны двумъ прямымъ РВ, ВГ} и основаніе ГР имъ общее: посему уголъ РЕГ равенъ углу РВР. Но уголъ РЕГ прямой} посему и уголъ РВГ есть прямой. Прямая же ВГ,продолженная есть по- перечникъ } а прямая, проведенная отъ кон- ца поперечника, подъ прямыми къ нему угл»" •іб. ми, касается къ кругу*} 'посему РВ ка- сается къ кругу ЛВС. Подобно же докажемъ, естьли центръ будетъ и на АС. Итакъ, ежели внѣ круга , и проч. Ч. И Д-
эвклидовыхъ НАЧАЛЪ. хѵ'ѵллх/ѵл/ѵѵч/ѵ-ѵѵ^'чгѵѵѵ^.ѵлгѵѵг >ъ/ч^ѵх/^-ѵ^х.^гЧ|і КНИГА IV. ОПРЕДѢЛЕНІЯ. і.Прямолинейная фигура называется впи- санною въ другой прямолинейной фигурѣ, когда каждый изъ угловъ вписываемой фи- гуры прикасается къ каждой сторонѣ гпой, ьь которой вписывается. 2. Подобно, фигура называется описан- ною около другой фигуры, когда каждая сторона описываемой фигуры прикасается Къ каждому углу пюй, около которой опи- сывается. 3. Прямолинейная фигура называется впи- санною въ кругѣ, когда каждый уголъ впи- сываемой фигуры прикасается къ окружно- СГІІ1> круга.
і38 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ 4- А прямолинейная фигура называете описанною около круга , когда каждая ситро, на описываемой фигуры касается къ окруж„ носши круга. 5. Подобно , кругъ въ прямолинейной гурѣ называется вписаннымъ, когда окруж- вость круга касается къ каждой сторонъ фигуры, въ которой вписывается. 6. Кругъ же называется описаннымъ около прямолинейной фигуры , когда окружность круга пр ікасается къ каждому углу фигу- ры, около которой описывается. «у. Прямая называется помѣщенною въ кру- гѣ, когда концы ея сушь на окружности круга. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. »I Въ данномъ кругѣ помѣстить прямую равную данной прямой , которая не больше поперечника онаго круга. Пусть будетъ АВС данный кругъ, а ® данная прямая, которая не больше поііерсЧ' ника онаго круга. Надлежитъ въ кругѣ АБ^ помѣстить прямую равную прямой О- »і,Ш. Круга АВС проведи поперечникъ ВС*« ежели ВС равна О; то предложенное сдѣ- Ъпр.у. дано, ибо въ кругѣ АВС помѣщена* прямаЯ
КНИГА четвертая. іЗд Г>С равная В. Естьли же ВС больше В: то положи прямую СЕ равную В*; и изъ центра *3,І. разстояніемъ СЕ, напиши кругъ АЕЕ • и протяни СА. Поелику точка С есть Центръ круга ДЕІу то (-‘А. равна СЕ. Но В равна СЕ} чего ради И равна и СА. Итакъ въ данномъ кругѣ АВС помѣщена прямая СА равная данной прямой В, которая не больше поперечника онаго круга. Ч. П С. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ II. Въ данномъ кругѣ вписать треугольникъ равноугольный данному треугольнику. Пусть будетъ АВС данный кругъ, а ВЕЕ данный треугольникъ. Надлежитъ въ кру- •Ѣ АВС вписать треугольникъ равноуголь- ный треугольнику7 ВЕЕ. Проведи прямую СН, касательную къ кР?гу АВС въ точкѣ А*} и составь при*іу,Ш. прямой АН, и при точкѣ на ней А, уголъ НДС равный углу ВЕЕ* } и еще при прямой *гЗ,і. и при точкѣ па ней А, уголъ САВ равный углу ГВЕ; и протяни ВС. Поелику прямая СА касается къ кругу и отъ прикосновенія проведена въ кругѣ Рямая АС: то уголъ САС равенъ углу въ
3 Б К Л И Д. НАЧАЛЪ і4о накосьлежащемъ отрѣзкѣ круга,то есть ѵглу •32,пі. АВС . Но уголъ САС,равенъ и углу БЕЕ; посе^ Му и уголъ АВС равенъ углу ВЕЕ. Потому же ц уголъ АСВ равенъ углу ЕВЕ : слѣдственно и остальной уголъ ВАС равенъ остальному •32,1. ЕРБ*. Чего ради треугольникъ АВС есть равноугольный треугольнику ЬЕЕ , и впи- ♦опр.З. санъ въ кругѣ АВС*. Итакъ въ данномъ кругѣ вписанъ тре- угольникъ равноугольный данному треуголь- нику Ч. 11 С. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ III. Около даннаго круга описать треуголь- никъ равноугольный данному треугольнику. Пусть будетъ АВС данный кругъ , а І)ЕГ данный треугольникъ. Надлежитъ около кру- га АВС описать треугольникъ равноуголь- ный треугольнику ВЕЕ. Продолжи ЕГ на обѣ стороны къ гпоч- •і,Ш. камъ С, Н; возьми крута АВС центръ К; и проведи какъ ниесть прямую КВ • при прямой КВ, и при точкѣ на ней К, сосгпаВІ1 *23>І. уголъ ВКА равный углу ВЕС*} а уголъ ВИ равный углу БГН • и чрезъ точки А, В; проведи , касательныя къ кругу АВС , Иря' •гу.Ш. мыя ЬАМ , МВК7 у 1ХСЕ*.
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. гДі Поелику къ кругу АВС касаются прямыя ЬМ, МГі, ЛЬ въ точкахъ А, В, С; и отъ центра К къ точкамъ А , В , С протяну- ты прямыя КА , КВ , КС : то углы при дочкахъ А , В , С суть прямые*. II по- *г8,Ш. елнку четыреугольника АМВК всѣ четыре угла равны четыремъ прямымъ*, ибо АМВК *32,Х. можетъ раздѣлиться на два треугольника ; и углы МАК , КВМ суть прямые : посему остальные углы АКВ , АМВ равны двумъ прямымъ. А и углы ВЕС, ВЕЕ равны двумъ прямымъ*; посему углы АКВ, АМВ равны *іЗ,і. угламъ ВЕС, ВЕЕ. Но въ нихъ уголъ АКВ равенъ углу ВЕС; посему остальной АМВ равенъ остальному ВЕЕ Подобно же дока- жегпся , что и уголъ 1ЛМ равенъ углу ВЕЕ ; посему и остальной уголъ МІЛѴ равенъ остальному ЕВЕ. Слѣдственно треуголь- никъ ІЛШ есть равноугольный треугольни- ку БЕГ, и описанъ около круга АВС*. *опр-4. Итакъ около даннаго круга описанъ тре- угольникъ равноугольный данному треуюль- Нику. Ч. и. с Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IV. ^Въ данномъ треугольникѣ вписать кругъ. ^Усть будетъ АВС данный треугольникъ. адлежитъ въ треугольникѣ АВС вписать кРугъ.
і42 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Раздѣли углы АВС , АСВ по поламъ пр# *9,і. мычи ВВ , СВ* , кои и встрѣтятся пусд) въ точкѣ В- и проведи отъ В, перпендпку лярныя къ АВ, ВС, СА, прямыя ВЕ,ВГ,І)С Поелику уголъ АВВ равенъ углу СВС ибо уголъ АВС раздѣленъ по поламъ* гп.нь,< и прямой уголъ ВЕВ равенъ прямому ВВЦ. то два треугольника ЕВВ, ГВВ пмЬюпц, два угла равные двумъ угламъ , и одну сто- рону равную одной сторонѣ; кон прогппс,. лежатъ равны >іъ угламъ , то есть , оіщѵи имъ сторону ВВ : плсему и прочія сторо- ны будутъ имѣть равныя прочимъ сгпоро- ♦26,1. намъ* ; а посему ВЕ равна ВЕ. Потому же и ВС равна ВГ: « чего ради три прямыя ВЕ, ВГ , ВС суть взаимно равны ». II потому кругъ, изъ центра В и разстояніемъ одной изъ прямыхъ ВЕ , ВГ , ВС написанный, прой- детъ и чрезъ прочія точки ; и будетъ ка- саться къ прямымъ АВ , ВС , СА , ибо углы при тючкахъ Е , Г , С суть прямые. А бу- де бы пресѣкалъ оныя, то прямая, провг* денная отъ конца поперечника подъ прямЫ' ми къ нему углами, упала бы въ кругъ, чгп°> по доказанному , нелѣпо*. А посему и кругЪ’ изъ центра В и разстояніемъ одной 1,311 прямыхъ ВЕ , ВЕ, ВС написанный , не ПИ сѣчетъ прямыхъ АВ, ВС , СА; слѣдсні®6*1
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. 1ДЗ яо къ нимъ каснется, и будетъ кругъ впи- санный въ треугольникѣ АВС*. « Впиши *опр.5. оный, какъ ІЕС. » Итакъ въ данномъ треугольникѣ АВС вписанъ кругъ ЕЕС. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ V. Около даннаго тпеугольника описать кругъ. ІНсть будетъ АВС данный треугольникъ. Надлежитъ около даннаго треугольника АВС описать кругъ. РаздБли прямыя АВ, АС по поламъ въ точкахъ О, Е* ; и отъ точекъ О , Е про-*ІО>г* веди, подъ прямыми углами къ АВ, АС, прямыя НЕ, ЕЕ*. Онѣ встрѣтятся или *иД. внутрь треугольника АВС, или на прямой ВС, или внѣ ВС. Пусть, вопервыхъ, встрѣтятся внутри Треугольника въ Е. Протяни ЕВ , ЕС, ГА. Поелику АО равна ВО, а ОЕ есть общая, 11 подъ прямыми къ нимъ углами; посему основаніе АЕ равно основанію ГВ ’. Подобно Докажемъ, что и СГ равна АЕ; слѣдсшвен- и° и ЕВ равна ГС: чего ради три прямыя ГВ, ЕС сушь взаимно равны. II пото- *’У кругъ, изъ центра Г и разстояніемъ одной 11аъ прямыхъ ЕА , ГВ, ЕС написанный, прой-
144 Э В К Л II Д. НАЧАЛЪ детъ и чрезъ прочія точки, и будетъ круц, »опр.б. описанный около треугольника АВС*. Опц. ши оный, какъ АВС. Но пусть ПЕ, ЕГ встрѣтятся и на при. мой ВС въ Г , какъ значится на второй фи. гурѣ. Протяни ЛГ: То подобно же докажемъ что точка Г есть центръ круга описанна- го около треугольника АВС. Но пусть НЕ, ЕГ встрѣтятся и внѣ тре- угольника АВС опять въ Г , какъ значите» на третьей фигурѣ. Протяни АЕ, ВГ,СГ, Поелику опять АН равна НВ, а НЕ есть общая, и подъ прямыми къ нимъ углами; посему и основаніе АЕ равно основанію ЕВ. Подобно докажемъ, что и ГС равна ГА: слѣдствено и ЕВ равна ГС. И потому опять кругъ, изъ центра Е и разстояніемъ одной изъ прямыхъ ГА, ЕВ, ЕС написанный, прой- детъ и чрезъ прочія точки , и будетъ кругъ ♦опр.б. описанный около треугольника АВС*. Напи- ши оный , какъ АВС. Итакъ около даннаго треугольника опи- санъ кругъ. Ч. и с. II. СЛѢДСТВІЕ. Отсюда явствуетъ, что ко- гда центръ круга падаетъ внутри треуголь- ника , то уголъ ВАС будетъ въ ошр’®31'5 большемъ полукружія , а потому меньше пря'
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. іД5 маго*; когда же на ВС, то будетъ въ полу-*Зі,Ш. кр)ЖШ, 11 потому прямой* ; упадетъ внѣ прямой ВС, а когда центръ *3і,іп. то уголъ ВАС будетъ въ отрѣзкѣ меньшемъ полукружія , и потому больше прямаго*. Слѣдовательно *Зі,Ш. и обратно, когда данный уголъ меньше пря- маго , то прямыя ВГ, ЕГ встрѣтятся вну- три треугольника ; когда же прямой , то на ВС; а когда больше прямаго, то внѣ ВС. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Въ данномъ кругѣ вписать квадратъ. Пусть будешь АВСВ данный кругъ. Над- лежитъ въ кругѣ АВСВ вписать квадратъ. Проведи въ кругѣ АВСВ два поперечника АС, ВВ, подъ прямыми углами одинъ къ другому; и протяни АВ, ВС, СВ, ВА. Поелику ВЕ равна ЕВ, ибо Е есть центръ, а ЕА есть общая, и подъ прямыми къ нимъ углами; посему основаніе АВ равно осно- ванію АВ. Потому же и каждая изъ прямыхъ ЬС, СВ равна каждой изъ прямыхъ ВА, АВ: Чегоради четыреугольникъ АВСВ есть равно- СіГіоронный. Говорю же, что онъ и прямо- угольный. Ибо, какъ прямая ВВ есть попе- речникъ круга АВСВ; то ВАВ есть по- лУкРужіе; посему уголъ ВАВ прямой*. По-*3і,пі іо
ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ • 146 тому жё и каждый изъ угловъ АВС, ВСВ,СВд есть прямой: чего ради четыреугольникъ АВСВ есть равноугольный. А доказано , чщ0 онъ и равносторонный; слѣдственно онъ оп.ЗоД. есть квадратъ* : II вписанъ въ данномъ “опр.З. кругѣ АВСВ*. Итакъ въ данномъ кругѣ АВСВ вписанъ квадратъ АВСВ. ч. и с. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VII. Около даннаго круга описать квадратъ. Пусть будетъ АВСВ данный кругъ. Над- лежитъ около круга АВСВ описать квадратъ. Проведи въ круги АВСВ два поперечника АС, ВВ, подъ прямыми углами одинъ къ другому ; и чрезъ точки А, В, С, В проведи касательныя къ кругу АВСВ прямыя ГО, СН, НК, КЕ. Поелику ГСг касается къ кругу АВСВ, и отъ центра Е къ прикосновенію А протяну- піа прямая ЕА ; то углы при А суть прямые*- Потому же и уілы при точкахъ В, С, В сугпь прямые. И поелику’ уголъ АЕВ есть прямой,11 уюлъ ЕВС прямой же; посему СН пара-''* ♦28.і. лельна къ АС*. Потому же и АС параллельна къ ЕК; слѣдственно и СН параллельна къ *3о,г. ЕК*. Подобно докажемъ, что и каждая язЬ
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. прямыхъ СЕ, НК параллельна къ ВЕБ. Ишакъ , СС, АК, ЕВ, ВК суть паралле- лограммы ; посему СЕ равна НК*, а СН *34»х* равна ГК. И поелику АС равна ВН; и ДС равна каждой изъ прямыхъ СН, ГК, а ВО каждой изъ прямыхъ СЕ, НК: посему каждая изъ прямыхъ СН, ГК равна каждой изъ прямыхъ СЕ, НК. Чего ради четыреугольникъ ГСНК есть равносторонный. Говорю же,что онъ и прямоугольный. Ибо, какъ СВЕА есть параллелограммъ • и уголъ АЕВ прямой :то и уголъ АСВ есть прямой*. Подобно докажемъ , *34 I. что и углы при Н,К,Е суть прямые: чего ради четыреугольникъ ЕСНК есть прямоутольный. А доказано,что онъ и равносторонный^ слѣд- ственно онъ есть квадратъ: И описанъ около круга АВСН*, *опр.4 Итакъ около даннаго круга описанъ квадратъ. ч. и С. Н. (За). ПРЕДЛОЖЕНІЕ VIII. Въ данномъ квадратѣ вписать крутъ. Пусть будетъ АВСН данный квадратъ. Надлежитъ въ квадратѣ АВСН вписать кругъ. Раздѣли каждую изъ прямыхъ АВ , АБ по °ламъ въ точкахъ Г, Е 5 и чрезъ Е прове- параллельную къ которой ниесть изъ п₽ямыхъ АВ, СП, прямую ЕН*• а чрезъ Г •Зі3і- * *
г48 Э В К Л П Д. П А ЧАЛЪ проведи, параллельную къ которой внесть изъ прямыхъ АБ , ВС , прямую ГК. Итакъ каждый изъ четыреугольниковъ АК, КВ, АН , НВ , АО , СС , ВС , СБ есть паралле- лограммъ • и противулежащія ихъ стороны суть равны*. И поелику АБ равна АВ • ц АЕ есть половина АВ , а АЕ половина АВ; посему и АЕ равна АГ ; слѣдственно и про- тивулежагнія имъ стороны равны , а посему и ГС равна СЕ. Подобно докажемъ , что и каждая изъ прямыхъ СН, СК равна каждой изъ прямыхъ ГС , СЕ : чего ради четыре прямыя СЕ, СГ , СН , СК взаимно равны. 11 потому кругъ, изъ центра С и разстоя- ніемъ одной изъ прямыхъ СЕ , СГ, СН, СК написанный , пройдетъ и чрезъ прочія точ- ки ; и будетъ касаться къ прямымъ АВ, ВС СБ, ВА , ибо углы при Е , Г , Н, К суть прямые. А буде бы кругъ пресѣкалъ прямыя АВ , ВС , СВ , ВА; то прямая, проведеипная отъ конца поперечника подъ прямыми къ нему углами, упала бы въ кругъ, что, по до- казанному , нелѣпо*. А посему и кругъ изъ центра С и разстояніемъ одной изъ прямыхъ СЕ, СГ , СН, СК написанный, не прссѣ' чет прямыхъ АВ , ВС , СВ, ВА : слѣд' ствепно къ нимъ касается , и будетъ крУ1* *опр.5. вписанный въ квадратѣ АВСВ*. « Впип11’ оный,какъ ЕМ1К. м
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. іДф Ишакъ въ данномъ квадратѣ вписанъ «ругъ- ч- 11 с' Н- ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Около данннаго квадрата описать кругъ. Пусть будетъ АВСВ данный квадратъ. Надлежитъ около квадрата АВСВ описать кдогъ. Протяни АС , ВБ, кои пресѣкутся пусть въ Е. Поелику ВА равна АВ, а АС общая ; то двБ прямыя ВА, АС равны двумъ прямымъ ВА, АС; и основаніе ВС равно основанію ВС: посему уголъ ВАС равенъ углу ВАС* ; а по- *8,І. сему уголъ ВАВ раздѣленъ по поламъ прямою АС. Подобно докажемъ, что и каждый изъ угловъ АВС, ВСВ, СВхА раздѣленъ по по- ламъ одною изъ прямыхъ АС , ВВ. И поели- ку уголъ ВхАВ равенъ углу АБС; и уголъ ЕАВ есть половина угла ВАВ, а уголъ ЕВА есть половина угла АВС : посему уголъ ЕАВ ра- венъ углу ЕВА ; слѣдственно и сторона ЕА равна сторонѣ ЕВ*. Подобно докажемъ, *б,і. что и каждая изъ прямыхъ ЕхА , ЕВ равна каждой изъ прямыхъ ЕС, ЕВ: чего ради Четыре прямыя ЕА, ЕВ, ЕС, ЕВ сушь взаимно равны. И потому кругъ, изъ центра и разстояніемъ одной изъ прямыхъ ЕА ЕВ>
і5о ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ЕС, ЕС написанный, пройдетъ и чрезъ прочія точки, и будетъ кругъ описанный *опр.6. около квадрата АВСС*. Опиши оный, какъ АВСС. Итакъ около даннаго квадрата описанъ кругъ. Ч. п С. Н. (33). ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Составить равнобедренный треугольникъ, имѣющій каждый изъ угловъ при основаніи двукратный остальнаго. Изложи какую ниесть прямую АВ; и разсѣки ее въ точкѣ С, такъ чтобы прямо- угольникъ въ АВ, ВС былъ равенъ квадрату *ы,и. изъ СА*; и изъ центра А, разстояніемъ АВ , напиши кругъ ВСЕ; и въ кругѣ ВСЕ *і- помѣсти прямую ВС равную прямой АС*, которая не больше поперечника круга ВСЕ; и протяни АО, СС; и около треугольника •5. АСО опиши кругъ АСС*. Поелику прямоугольникъ въ АВ, ВС равенъ квадрату изъ АС, а АС равна ВС; посему прямоугольникъ въ АВ, ВС равенъ квадрату изъ ВС. Итакъ поелику внѣ круга АСС взята точка В; и отъ В на кругъ АСС падаютъ двѣ прямыя ВА, ВС, изъ коихъ одна пресѣ- каетъ кругъ, а другая къ нему падаетъ; и пряи
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. і5і „оуголышкъ въ АВ, ВС равенъ квадрату изъ ББіпіо ВВ касается къ кругу АСВ*. И поелику РІ) касается, и отъ прикосновенія В про- ведена прямая ВС ; посему уголъ ВВС равенъ ^глу въ накосьлежащемъ ошрБзкѢ кру іа, то есть углу ВАС*, Поелику же у гольВВС равенъ •32,Ш. углу ВАС; придай обще уголъ СВА : посему цѣлый уголъВВА равенъ дву чъ угламъ СВА, ВАС. Но угламъ СВА, ВАС равенъ внѣшііыа уголъ ВСВ*; посему уголъ ВВА равенъ и углу ВСВ. уголъ же ВВА равенъ углу СВВ*, ибо *5»Ь сторона ВА равна сторонъ АЗ; слѣдственно и уголъ ВВА равенъ углу ВСВ. Итакъ три угла ВВА, ВВА, ВСВ суть взаимно равны.И поелику уголъ ВВС равенъ углу ЬСВ; то и сторона ВВ равна сгпоронБ ВС*. ЦоВВ,*6,Т» по положенію, равна СА; посему и АС равна СВ, слѣдственно и уголъ СВА равенъ углу ВАС: а п ісему углы СВА, ВАС сѵіьь дву- кратны угла ВАС. угламъ же СВА, ВАС равенъ уголъ ВСВ , посему и уголъ ВСВ есг°ь двукратный угла ВАС. уголъ же ВСВ равенъ каждому- изъ угловъ ВВА, ВВА; чего ради и каждый изъ угловъ ^ВА, ВВА есть Двукратный угла ВАВ. Итакъ составленъ равнобедренный тре- угольникъ АВВ, имѣющій каждый изъ угловъ пРи основаніи ВВ двукратный остальнаго- г И с. Н.
1Э2 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Въ данномъ кругѣ вписать равностороц, ный и равноугольный пятиугольникъ. Пусть будетъ АВСВЕ данный кругъ. Над, лежитъ въ кругѣ АВСВЕ вписать равно- сторонный и равноугольный пятиугольникъ. Изложи равнобедренный треугольникъ ГСП , имѣющій каждый изъ угловъ С, Ц двукратный угла Г** и впиши въ кругѣ АВСВЕ треугольникъ АСВ равноугольный *2. треугольнику ГСП*, такъ чтобы уголъ САВ былъ равенъ углу Г, а каждый изъ угловъ АСВ, СВА былъ равенъ каждому изъ угловъ С, И: посему каждый изъ угловъ АСВ, СВА есть двукратный угла САВ. Раздѣли каждый изъ у гловь АСВ, СВА по поламъ прямыми *9>г СЕ, ВВ** и протяни АВ, ВС, ВЕ, ЕА. Поелику каждый изъ угловъ АСВ , СВА есть двукратный угла САВ * и раздѣлены они по поламъ прямыми СЕ, ВВ : то пять угловъ ВАС , АСЕ , ЕСВ , СВВ , ВВА взаи- мно равны. Равные же углы стоятъ на ра" впыхъ дугахъ* • посему пять дугъ АВ, В^, СВ, ВЕ, ЕА взаимно равны. А равныя Д)' *2д,ш. ги стягиваются равными прямыми*; посе- му пять прямыхъ АВ, ВС, СВ, ВЕ, ЕА взаим- но равны. Чего ради пятиугольникъ АВСР^
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. >53 еспіь равпосторонный. Говорю же , что онъ и равноугольный. Ибо,какъ дуга АВ равна ВЕ; придай обще дугу ВСВ : посему цѣлая дуга дВСВ равна цѣлой дугѣ ЕВСВ. На дугѣ же дВСВ стоитъ уголъ АЕВ , а на дугѣ ЕВСВ уголъ ВАЕ ; посему уголъ ВАЕ равенъ углу ДЕВ*. Потому же и каждый изъ угловъ АВС, *27»пг- ВСВ, СВЕ равенъ каждому изъ угловъ ВАЕ , АЕВ : чего ради пятиугольникъ АВСВЕ есть равноугольный. А доказано, что онъ и ра- вносторонный : Итакъ въ данномъ кругѣ вписанъ равно- нпоронный и равноугольный пятиугольникъ. Ч. П С. II. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XII. Около даннаго круга описать равносто- рониый и равноугольный пятиугольникъ. Пусть будегпЪхАВСВЕ данный кругъ. Надле- житъ около круга АВСВЕ описать равно- ОДоронный и равноугольный пятиугольникъ. Возьми точки А,В,С,В,Е, при ко- торыхъ суть углы вписаннаго пятиугольни- Ьа*: итакъ дуги АВ, ВС, СВ, ВЕ,ЕА*и. Езаимно равны* ; и чрезъ А, В, С , В , Е *28,Ш. Доведи касательныя къ кругу прямыя СН , КЬ, ЬМ, МС ; и возьми круга АВСВЕ Неиіпръ Е ; и протяни ЕВ, ГК, ГС, ГЬ, ЕВ-
і54 9 В К Л II Д. НАЧАЛЪ Поелику прямая КЬ касается къ кругу АВСПЕ въ С, и отъ центра Е къ прикос- новенію С протянута прямая ЕС; то ЕС *і8,иі. перпендикулярна къ КЪ* ; посему каждый изъ угловъ при С есть прямой. Потому же и углы при точкахъ В , I) сушь прямые. Г1 поелику уголъ ЕСК прямой ; то ква- дратъ изъ ЕК равенъ квадратамъ изъ ЕС, СК*. Потому же и квадраійамъ изъ ЕВ, ВК равенъ квадратъ изъ ЕК: слѣдствен- но квадратамъ изъ ЕС , СК равны квадра- ты изъ ЕВ, ВК. Но въ нихъ квадратъ изъ ГС равенъ квадрату изъ ЕВ ; посему и остальной квадратъ изъ СК равенъ осталь- ному изъ ВК ; а посему С , равна ВК. Поели- ку же ЕВ равна ЕС , а ГК общая ; то двѣ прямыя ВЕ , ЕК равны двумъ прямымъ СЕ, ГК; и основаніе ВК равно основанію С : посему уголъ ВГК равенъ углу КГС , а уголъ •8,1. ВКЕ равенъ углу ГКС*; а посему уголъ ВЕС есть двукратный угла КЕС, а уголъ ВКС угла ЕКС. Потому же и уголъ СЕВ есть двукратный угла СГЬ , а уголъ СЕВ двукратный угла СЬЕ. II поелику дуга ВС равна дугѣ СП ; то уголъ ВЕС равенъ учлу СГИ*. По уголъ ВЕС есть двукратный}! а КЕС, а уголъ ПЕС двукратный угла ЬЕ^; посему и уголъ КЕС равенъ углу
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. 155 д п уголъ ЕСК равенъ углу ЕСЬ ; ишакъ два треугольника ЕКС , ГЬС имѣютъ два дгла раввые двумъ угламъ, каждый каждому, и одну сторону равную одной сторонѣ, то есть общую имъ сторону ГС : посему и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ, и остальной дголъ равный остальному углу • а посему пря- мая КС равна СЬ, и уголъ ЕКС равенъ углу ГЬС*. Поелику же КС равна СЬ" то *гб,г. КЪ есть двукратная прямой КС. Такъ же докажстся , что и НК есть двукратная ЕК. И какъ по доказанному , ВК равна КС ' и ІВ есть двукратная КС , а НК двукрат- ная ВК • посему и НК равна КЬ. Подобно докажешся , чгпо и каждая изъ прямыхъ НС, 6М , МЬ равна каждой изъ прямыхъ НК, КЬ : чего ради пятиугольникъ СПКЬМ есть равно- сторонный. Говорю же, что онъ и равно- угольный. Ибо, какъ уголъ ЕКС равенъ углу ; по доказанному же угла ЕКС есть Двукрагппый уголъ НКЬ, а угла ЕЬС дву- кратный уголъ КЬМ: посему уголъ НКЬ равенъ углу КЬМ. Подобно докажется, что и каждый изъ угловъ КНС , НСМ , СМЬ ра- ®енъ каждому изъ угловъ НКЬ, КЬМ : чего пять угловъ СПК , НКЬ, КЬМ,ЬМС, * взаимно равны. Итакъ пятиугольникъ
і56 Э В КЛИ Д. НАЧАЛЪ СНКЬМ есть равноугольный. А доказано что онъ и равносторонныи : И описанъ око, ло круга АВСВЕ. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIII. Въ даномъ равностороннемъ и равноуголь- номъ пятиугольникъ вписать кругъ. Пусть будетъ АВСВЕ данный равіюешо- ронный и равноугольный пятиугольникъ. На- длежитъ въ пятиугольникъ АВСВЕ впи- сать кругъ. РаздЪли каждый изъ угловъ ВСВ, СВЕ по поламъ прямыми СЕ , ЬЕ ; и отъ точ- ки Г , въ коей встрВтягпся взаимно пря- мыя СЕ , ВЕ, протяни прямыя ЕВ , РА, ГЕ. Поелику ВС равна СВ г а СЕ общая; то двЪ прямыя ВС, СЕ равны двумъ прямымъ ВС, СЕ; и утолъ ВСЕ равенъ углу БСр: посему основаніе ВЕ равно основанію 1 Р? и треугольникъ ВЕС равенъ треугольнику ВЕС ; и про Гіе углы равны прочимъ угламъ, кои противу лежатъ равнымъ сторонамъ- а посему уголъ СВЕ равенъ углу СБГ- поелику уголъ СВЕ есть двукратный угла СВЕ ; уголъ же СВЕ равенъ углу АВС, п уголъ СВЕ углу СВЕ • посему и уголъ СВА есть двукратный угла СВЕ. Итакъ уг°л*
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. і5у дВГ равснъ ЯЛУ ГВС*> посему уголъ АВС раз- д-Вленъ по поламъ прямою ВГ. Подобно до- лажется, чшо и каждый изъ угловъ ВАЕ, ДВР раздѣленъ по поламъ прямыми ГА, ГЕ. Отъ точки Г проведи, перпендикулярныя къ АВ, ВС, СИ, ПЕ, ЕА , прямыя ГС, ГН, ГК , РВ ГМ. Поелику уголъ НСГ равенъ углу КСГ, и прямой уголъ ГНС равенъ прямому ГКС; то два треугольника ГНС, ГКС имѣ- ютъ два угла равные двумъ угламъ, каждый каждому, и одну сторону равную одной сторонѣ, то есть, общую имъ сторону ГС , противолежащую одпомуизъ равныхъ угловъ: посему и прочія стороны будутъ имѣть ра- вныя прочимъ сторонамъ • а посему пер- пендикулярная ГН равна перпендикулярной ГК. Подобно докажется, что и каждая изъ. прямыхъ ГЬ , ГМ, ГС равна каждой изъ прямыхъ ГН, ГК: чего ради пять пря- мыхъ ГС, ГН, ГК, гь, гм взаимно равны. П потому кругъ, изъ центра Г и разстоя- ніемъ одной изъ прямыхъ ГС, ГН, ГК, ГЬ, написанный, пройдетъ и чрезъ прочія ’иочки ; и будетъ касаться къ прямымъ ВС, СП, ПЕ, ЕА, ибо углы при точкахъ ’ Н, К, Ь, М сушь прямые. А буде бы не ^еался, но пресѣкалъ оныя; то вышло бы, ІГГ1° прямая, проведенная отъ конца попереч-
і58 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ника подъ прямыми къ нему углами , ріала въ 6,ш. кругъ, чгпо,по доказнному уже.нелѣпо*. Л посе- му и кругъ, изъ центра Г и разстояніемъ од- ной изъ прямыхъ ГС, ГН, ГК,ГЬ, ГМ написан- ный, не пресѣчетъ прямыхъ АВ, ВС, СВ, ВЕ, ЕА; слѣдственно къ нимъ каснегпся. Наиишц оный, какъ СНКЬМ. Итакъ въ данномъ равностороннемъ и равноугольномъ пятиугольникѣ вписанъ кругъ, ч. И С. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV. Около даннаго равпостороннаго и равно- угольнаго пятиугольника описать кругъ. Пусть будетъ АВСВЕ данный равносто- ронный и равноугольный пятиугольникъ. Надлежитъ около пятиугольника АВСВЕ описать кругъ. Раздѣли каждый изъ угловъ ВСВ, СВЕ по поламъ прямыми ЕГ, ГВ; и отъ точки Г, въ коей встрѣтятся сіи прямыя, къ точ- камъ В, Л, Е протяни прямыя ГВ, ГА, ГЕ. Подобно прежнему докажется, что каждый изъ угловъ СВА, ВАЕ, АЕВ раздѣленъ по поламъ прямыми ГВ, АГ, ЕГ. И поелику уголъ ВСВ равенъ углу СВЕ; и угла ВСВ половина есть уголъ ГСВ, а угла СВЕ по-
КНИГА четвертая. і59 лови на уголъ СВЕ; посему и уголъ ЕСВ равенъ углу ГВС; слѣдственно и сторона УС равна сторонѣ ЕВ*. Подобно докажетсн, *б,І« чпю и каждая изъ прямыхъ ЕВ, ЕА, ЕЕ равна каждой изъ прямыхъ ГС, ЕВ : чего ради пять прямыхъ ЕА, ЕВ, ГС, ЕВ, ГЕ взаимно равны. II потому кругъ, изъ цен- тра Г и разстояніемъ одной изъ прямыхъ РА, ЕВ, ГС, ГВ, ГЕ написанный, пройдетъ и чрезъ прочія точки , и будетъ описанный около равносторонняго и равноугольнаго пятиугольника АВСВЕ. Опиши сей кругъ, и пусть будетъ онъ АВСВЕ. Итакъ около даннаго равносторонняго и равноугольнаго пятиугольника описанъ крутъ, Ч.и с. н. X ПРЕДЛОЖЕНІЕ XV, Въ данномъ кругѣ вписать равносгпроіь* иый и равноугольный шестиугольникъ. Пустъ будетъ АВСВЕЕ данный кругъ. Надлежитъ въ кругѣ АВСВЕЕ вписать ра- Ьносшоронный и равноугольный шести- угольникъ. д^Круга АВСВЕЕ проведи попеперечникъ , и возьми сего крута центръ С - и изъ Ченіира В разстояніемъ , ВС нациши кругъ
ібо Э В КЛ И Д. НАЧАЛЪ ЕССП 5 и протянутыя ЕС , СС продолжи къ точкамъ В, Г; и протяни АВ, Вс СВ, БЕ, ЕГ, ГЛ. Говорю, что шести- угольникъ АВСВЕГ есть равносторонный и равноугольный. Поелику точка С есть центръ Крѵа АВСВЕГ ; то СЕ равна СВ. Еще же, по- елику точка В есть центръ круга ЕССН; то ВЕ равна ВС. Но СЕ, по доказанно- му , равна СВ ; посему СЕ равна и ЕВ: итакъ треугольникъ ЕСВ есть равносгпо- ронный ; а посему три его угла ЕСВ, СВЕ, ВЕС взаимно равны, ибо равнобедренныхъ треугольниковъ углы при основаніи взаті- *5,і. но равны*. Поелику же треугольника всЬ *32,І. три угла равны двумъ прямымъ*: посему уголъ ЕСВ есть третья часть двухъ пря- мыхъ. Подобно докажется , что и уголъ ВСС есть третья часть двухъ прямыхъ. И поелику прямая СС на прямую ЕВ по- ставленная дѣлаетъ смѣжные углы ЕСС, *іЗ,і. ССВ равные двумъ прямымъ* ; то и осталь- ной ССВ есть третья часть двухъ пря- мыхъ. Итакъ три угла ЕСВ , ВСС , СО® взаимно равны ; но углы ВСА , АСГ, ГбЬ> какъ прошивуположные , равны угламъ ЕбВ> *г5,і.ВСС, ССВ*; посему шесть угловъ ЕСВ/ ВСС, ССВ, ВСА, АСГ, ГСЕ взаимно Ра'
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. ібі внЫ- Равные же углы стоятъ на равныхъ дугахъ* ; посему шесть дугъ АБ , ВС , СВ, РЕ,ЕЕ, ЕА взаимно равны. А равныя дуги стягиваются равными прямыми* • посему шесть прямыхъ взаимно равны. Чего ради шестиугольникъ АВСВЕЕ есть равносто- роиный. Говорю же, что онъ и равноугольный. Ибо, какъ дуга ГА равна дугѣ ЕВ; придай обще дугу АВСВ: посему и цѣлая дуга ЕАВ СВ равна цѣлой дугѣ ЕБСВА. На дугѣ же ЕАВСБ стоитъ уголъ ЕЕВ, а на дугѣ ЕБСВА стоитъ уголъ А ЕЕ • посему уголъ АГЕ равенъ углу ГЕБ*. Подобно до-*2?’111, кажется, что и прочіе углы шестиуголь- ника АВСВЕЕ, одинъ по одному’, равны каж- дому изъ угловъ АГЕ, ЕЕВ: чего ради шести- угольникъ АВСВЕЕ есть равноугольный. А доказано, что онъ и равносіпоронный: II вписанъ въ кругѣ АВСВЕЕ. Итакъ въ данномъ кругѣ вписанъ равно- спіороцный и равноугольный шестиуголь- никъ. ч, ц с. и. ЕлЬдствіЕ. Отсюда Явствуетъ, что Гггіороиа шестиугольника равна прямой изъ Чепщра круга. И есшьли чрезъ точки А, В, С, В, Е, Г Р°недемъ касательныя къ кругу • то I Ч
162 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ > опишется около крута равносторонный в равноугольный шестиугольникъ, въ силу того , что сказано о пятиугольникѣ. Такъ же сходно съ тѣмъ, что сказано о пя- тиугольникѣ, въ данномъ шестиугольникъ впишемъ кругъ, и опишемъ около него. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVI. Въ данномъ кругѣ вписать равностороп* пый и равноугольный пятнадцатиугольникъ. Пусть будетъ АВСВ данный кругъ. Над- лежитъ въ кругѣ АВСВ вписать равио- сторонный и равноугольный пятнадцатм- угольникъ. Напиши въ кругѣ АВСВ равносторонняго треугольника въ немъ вписаннаго сторону АС, и равностороннаго пятиугольника сто- рону АВ. Поелику окружность АВСВ должна быть раздѣлена на пятнадцать равныхъ частей; шо дуга АВС, какъ третья часть окружности, будетъ содержать въ себ® оныхъ пять, а дуга АВ, какъ пятая часть» будетъ содержать три: посему остальная дуга ВС будетъ содержать двѣ. Раздѣли ”30,111- ВС по поламъ въ Е*; посему каждая изъ Д)гЪ ВЕ, ЕС будетъ пятнадцатая часть окр)®' носгпи круга АВСВ. Ишакъ , естьли проЛ’*'
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ. ібЗ лѵвъ прямыя ВЕ, ЕС, помѣстимъ въ кругѣ АВСІ), одну за другою, равныя имъ прямыя; іПо и получится вписанный въ кругѣ АВСВ равносторонный и равноугольный пятнад- цатиугольникъ ч. и с. н. Сходно же съ тѣмъ, что сказано о пятиугольникѣ, естьли чрезъ точки дѣле- нія круга проведемъ касательныя къ нему* то опишется около круга равносгпорон- ный и равноугольный пятнадцатиугольникъ. II еще сходно съ тѣмъ, что сказано о пятиугольникѣ, въ данномъ пятнадцати- уголыіикѣ впишемъ кругъ, и опишемъ около него; ( 35 ). * *
эвклидовыхъ ОПР Е ДѢЛЕНІЯ. і Меньшля величина называется частною (^и«ро^) большей величины, когда меньшая измѣряетъ большую. (36). а. Большая же называется кратною ( яол- Халкавюѵ) меньшей, когда большая из- мѣряетъ меньшую. (З7). 3. Отношеніе есть взаимная нѣкая зави- симость двухъ однородныхъ величинъ по ихъ количеству, (у/о/о^ ёвті 8ѵо о/лоуіѵыѵ 7] хата лцХіхотцта л(юд лоіа б^ёбід ). (38). 4- Величины называются имѣющими о*11' ношеніе одна къ другой, кои будучи взяіпь1 кратно , могутъ быть больше °^на Другой. (З9).
КНИГА ПЯТАЯ. і65 5, Величины, говорится, суть въ шомъже отношеніи, первая ко второй и третья къ четвертой; когда равпократныя первой величины и третьей , и равнократныя вто- рой величины и четвертой, взятыя по како- му либо кратствованію, суть гпаковы, что поперемѣнно каждая каждой,или купно равны, или купно больше, или купно меньше. (4о). б. Величины имѣющія тоже отношеніе назовемъ пропорціональными. у. Когда же изъ равнократныхъ, крат- ная первой больше кратныя второй, 'но кратная третьей не больше кратныя чет- вертой ; тогда говорится, что первая ве- личина ко второй имѣетъ большее отноше- ніе, нежели третья къ четвертой. (4і). 8. Пропорція есть подобіе или тожество отношеній. ( Аѵакоуіа іотсѵ л/ таѵ 6у,оі- Оп?г, а подругміЬ'. таѵтбг^д}. (42). 9- Пропорція состоитъ, по меньшей мѣ- изъ трехъ членовъ. (43). іо Когда три величины пропорціональны, т° говорится , что первая къ третьей имѣетъ удвоенное отношеніе первыя ко второй. Т*. Когда четыре величины пропорці- °нальны (44). то говорится, что первая къ 'іегпвертой имѣетъ утроенное отношеніе
ібб ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ первыя ко второй: и такъ далѣе, п01;<1 пропорція продолжится. (45)- 12. Сходственными величинами называіощ, ся предъидущія съ предъидущими, а по, слѣдующія съ послѣдую Щ И МИ. (46], іЗ. Премѣненіе отношеній (ЕѵаЛАа^ Аоуос] есть взятіе предъидущей къ предъиду ще^ и послѣдующей къ послѣдующей. 14. Преложеніе отношенія [Лѵатса'кіѵ есть взятіе послѣдующей какъ предъиду- щей , къ предъидущей какъ послѣдую- щей. і5. Совокупленіе отношенія Лоуоѵ) есть взятіе предъидущей съ послѣ- дующею, какъ одной, къ сей послѣдующей. іб. Отдѣленіе отношенія (Лшірьоід Абуог) есть взятіе избытка предъидущей нредь послѣдующею, къ сей послѣдующей. 17. Обращеніе отношенія [Лѵабтдоц^ кбуоѵ ) есть взятіе предъидущей, къ избыт- ку предъидущей предъ послѣдующею. 18. РавномѣстІе отношеній [Лііб01' кбуо^) или равенство ихъ есть то, коГ,<а изъ имѣющихся многихъ величинъ и др}ГІ,л имъ равномпогихъ и находящихся по парйй въ томъже отношеніи, будетъ какъ и3” первыхъ величинъ первая къ послѣдней, изъ вторыхъ ввеличшіъ_ первая къ послѣдѣ
КНИГА ПЯТАЯ. іб? Д\и иначе: Когда взяты будутъ "крайніяі а среднія оставлены. (4?)' Ір. Стройная (Т&іау/лі-ѵі]) пропорція или прямая есть та, когда « изъ имѣющихся та- ковыхъ же величинъ » будетъ какъ « изъ пер- выхъ величины; предъидущая къ послѣдующей, піакъ «изъ вторыхъ величинъ в предъидущая къ послѣдующей; и какъ « изъ первыхъ вели- чинъ » послѣдующая къ другой нѣкоей, такъ а изъ вторыхъ величинъ » послѣдующая къ другой нѣкоей. (48). 20. Нестройная же (Тьта^ау/лёѵт]) про- порція илц обратная есть та , когда изъ имѣющихся трехъ величинъ и другихъ имъ равномногихъ, будетъ какъ изъ первыхъ величинъ предъидущая къ послѣдующей, такъ изъ вторыхъ величинъ предъидущая къ послѣ- дующей; и какъ изъ первыхъ величинъ послѣ- дующая къ другой нѣкоей, такъ другая нѣкая Кь послѣдующей вторыхъ величинъ. (4у)« Предложеніе первое, Ежели будетъ сколько ниесть вели- чинъ , кои друГИХъ равномногихъ величинъ Равн°кратны, каждая каждой; то сколько °Дна Изъ величинъ есть кратная одной, С{*Юлько и всѣ будутъ краіпны всѣхъ»
ібз Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Пусть будетъ сколько ниесть величинъ АВ, СВ, кои другихъ равномногпхъ вели- чинъ Е , Е равнократны, каждая каждой. Говорю , что сколько кратная есть АВ ве- личины Е , столько кратныя будутъ и АВ, СВ величинъ Е, Г. Поелику равнократныя суть, АВ величи- ны Е, и СВ величины Г } то сколько ве- личинъ въ АВ равныхъ Е, столько же ве- личинъ и въ СБ равныхъ Г. Раздѣли АВ на величины равныя Е, то есть , на АС., СВ; а СВ на величины равныя Г, гпо есть, на СН, НБ. Итакъ величины СН, НБ суть равномногія величинамъ АС, СВ. И поели- ку АС равна Е, а СН равна Е; то и АС, СН равны Е, Г. Такожъ , поелику СВ ра- вна Е, а НВ равна Е; то и СВ, НБ равны Е, Е. Посему сколько величинъ въ АВ ра- вныхъ Е, столько же величинъ и въАВ, СВ равныхъ Е, Е: чего ради сколько крат- ная есть АВ величины Е, столько крат- ныя будутъ и АВ, СВ величинъ Е , Е. Ишакъ , ежели будетъ, и проч. ч. И Д- Н- ПРЕДЛОЖЕНІЕ Н. Ежели первая величина второй , и тре^ьЯ четвертой равпократны; и также ВЯЛ1*
КНИГА ПЯТАЯ. 16д >гпор°й, и шестая четвертой равнокраш- яЫ; то и совокупленію, первая съ пятою второй, и третья съ шестою четвертой, будутъ равнократныя. Пусть первая величина АВ второй С, и третья БЕ четвертой Е , будутъ равно- краіпныя; и также , пусть пятая ВС вто- рой С у и шестая ЕН четвертой Г, будутъ равнократныя. Говорю, что и совокупленно, первая съ пятою то есть АС , второй С, и третья съ шестою, то есть БН, че- твертой Г, будутъ равнократныя. Поелику равнократныя суть, АВ величи- ны С, и БЕ величины Г; то сколько ве- личинъ въ АВ равныхъ С, столько же вели- чинъ и въ БЕ равныхъ Е. Потому же сколь- ко величинъ въ ВСг равныхъ С , столько же величинъ и въ ЕН равныхъ Г. Чего ради сколько величинъ въ цѣлой АС равныхъ С, столько же величинъ и въ цѣлой БН ра— кныхъ Е. Итакъ сколько кратная есть АС величины С , столько кратная будетъ и БН величины Е: чего ради и совокупленно , пер- Вая съ пятою то есть АС, второй С , и Третья съ шестою шо есть БН, чет- И’ьерпіой Г, будутъ равнократныя. ^ніакъ,ежели первая, и проч. Ч. И Д. И. [5о].
170 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПІ. Ежели первая величина второй, и третьи четвертой равнократпы • и взяты будуІ11Ь первой и третьей равнократпыя: то рав. номѣстно , сіи взятыя кратныя будутъ равнократныя каждая каждой, одна вто- рой , а другая четвертой. Пусть первая величина А второй В, и третья С четвертой П, будутъ равно, кратныя • и пусть будутъ взяты первой А и третьей С равнокрапіныя ЕГ , СН. Говорю, что ЕГ, величины В, и СН величины Б суть равнократныя. Поелику равнократныя суть , ЕГ вели- чины А, и СН величины С 5 то сколько величинъ въ ЕГ равныхъ А , столько же ве- личинъ и въ СН равныхъ С. Раздѣли ЕЕ на величины равныя А, то есть, на ЕК, КГ • а СН на величины равныя С , то есть, на СЬ , ЬН. Итакъ величины ЕК, КГ сушь равномногія величинамъ СЬ, ЬН. И поели- ку равнократныя суть, А величины В, й С величины Б ; и ЕК равна А , а СЬ раВ' на С: посему равнократныя суть, ЕК ве- личины В, и СЬ величины Б. Потому яе равнократны , КГ величины В , и ЬН в6- личины Б. Поелику же первая величина
КНИГА ПЯТАЯ. іпі вГПорой В , и равнокрашны ; и шестая третья СЬ четвертой 1) , и также пятая КР второй ЫІ четвертой Б, равнократ- вьі: посему и совокупленію , первая съ пяпіою , то есть ЕР , второй В , и третья съ шестою, то есть СИ , чет* вертой Б суть равнокрашны*. Ишакъ, ежели первая, и проч. Ч. И Д. Н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ IV. Ежели первая величина ко второй имѣетъ тоже отношеніе , что и третья къ четвертой; то и равнократныя первой величины и третьей, къ равнокрагпнымъ второй величины и четвертой, по како- му ниесть кратсшвованію , будутъ имѣть рюже отношеніе , взятыя поперемѣнно. Пусть первая величина Л ко второй В умѣетъ тоже отношеніе , что и третья С къ четвертой Б’ и пусть будутъ взя- ты величинъ А, С равнокрашньія Е , Р, а величинъ В, Б другія какія ниесть рав- чократныя С , Н. Говорю, что какъ Е къ С, такъ Р къ Н. Возьми величинъ Е , Г равнокрашньія К, В і а величинъ С , 11 другія какія ниесшь равнократныя М , К.
1^2 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Поелику равнокрашныя сушь, Е величи- ны А, и Е величины С} и взяты величинъ Е, Е равнократныя К , Е : посему равио- кратныя суть, К величины А , и Ь вели- •3. чины С*. Потому же равнократны суть, Ц величины В, и И величины В. II поелику какъ А къ В, такъ С къ Б; и взяты ве- личинъ А, С равнократныя К, Ь, а ве- личинъ В , В другія какія ниесть равно- кратныя М, IV: посему естьли К больше М, то и Ь больше К 5 и естьли равна, то *опр.5. равна 5 и естьли меньше, то меньше”. Но К, Ь суть величинъ Е, Г равнокраіпныя, а М , К суть величинъ Сг, Н другія какія ниесть равнократныя : чего ради какъ Е къ *опр.5. Сг, такъ Е къ Н*. Итакъ, ежели первая, и проч. Ч. И д. Н. (5і). Слѣдствіе. Поелику доказано, что естьли К больше М , то и Ь больше IV • и естьли равна, шо равна ; и естьли меньше, піо меньше : почему явно , что и обратно, естьли М больше К , то и И больше Е > и естьли равна , то равна } и естьли мень- ше , шо меньше : а посему будетъ , и какь *опр.5. С къ Е , такъ Н къ Е*. Отсюда явсшвусіпЪ чгпо естьли четыре величины пропори10' *опр.і4- нальны • шо и преложеніемъ* будутъ ор0' порціоналыіы.
КНИГА ПЯТАЯ. і^З ПРЕДЛОЖЕНІЕ V. Ежели цѣлая величина цѣлой , и отнятая оптъ оной , отнятой отъ другой суть ра- внократныя 5 гпо и остальная остальной, и цѣлая цѣлой будутъ равнократныя. Пусгпь^ цѣлая величина АВ цѣлой СБ, и отнятая АЕ отнятой СЕ} будутъ ра— внокрагпныя. Говорю, что и остальная ЕВ остальной ГБ, и цѣлая АВ цѣлой СБ бу- дутъ равнократныя. Сколько кратная есть АЕ величины СГ, пусть будетъ столько кратна и ЕВ ве- личины СС. Поелику равнократныя суть, ДЕ величи- ны СЕ, и ЕВ величины СС • то равно- кратны суть , АЕ величины СЕ, и АВ вели- чины СЕ*. А по положенію, равнократпы, *г. АЕ величины СГ, и АВ величины СБ: итакъ АВ есть равнократная каждой изъ величинъ СЕ, СБ • а посему СЕ равна СБ. Отними обще СЕ 5 посему остальная СС равна остальной БЕ. II поелику равнокрагп- ІІЬІЯ суть, АЕ величины СГ, и ЕВ величины а СС равна БЕ: то равнокрапіны суть АЕ величины СЕ, и ЕВ величины ЕБ. А по Положенію, равнократны АЕ величины СГ, и ® величины СБ; посему равццкрагпны суть
І?4 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ЕВ величины ЕВ, и АВ величины СБ. цего ради и остальная ЕВ остальной ГБ Ссгпь столько кратная, какъ и цѣлая АВ цѣлой СО Итакъ, ежели цѣлая, и проч. ч. и д. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Ежели двѣ величины равнократны двухъ величинъ; и отнятыя нѣкія будутъ равно- кратны ихъ самыхъ: то остальныя будутъ или равныя имъ же , или равнократныя ихъ. Пусть двѣ величины АВ, СБ будутъ двухъ величинъ Е , Е равнократныя; и пусть отс- нятыя АС , СП будутъ тѣхъ же Е, Р равпокрагпныя. Говорю, что остальныя СВ, НБ или равны величинамъ Е , Г , или равно- кратны ихъ. Вопервыхъ , пусть будетъ СВ равна Е. Говорю, что и НБ равна Е. Положи вели- чину СК равную Е. Поелику равнократныя суть $ АС вели- чины Е , и СН величины Е ; и СВ равна Е , а КС равна Е ; посему равнокрапіныя *2. суть , АВ величины Е, и КН величины ? • А по положенію, равнокрашны* АВ величй' ны Е, и СБ величины Г ; посему равно' кратны суть, КН величины Е , и СБ веЛЙ чины Г. И поелику каждая изъ величийЪ
КНИГА ПЯТАЯ. іу5 НВ. Но Е. Слѣ— г СВ есть величины Г равнократна; то ЬІІ равна СИ. Отними обще СН; посему остальная КС равна остальной ЬС равна 5 посему и ІЮ равна довательно естьли СВ равна Е, то НВ равна будетъ Е* Подобно докажемъ } что естьли величина СВ величины Е будетъ кратная ; то столь- ко кратная будетъ и величина НН вели- чины Е. Ишакъ, ежели двѣ, и проч. ч. и д. Н. (5з). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴП. Равныя величины къ той же имѣютъ тоже отношеніе: И таже величина къ равнымъ « имѣетъ тоже отношеніе. » Пусть будутъ А , В равныя величины ; а С другая нѣкая величина. Говорю, что каждая изъ величинъ А, В къ С имѣетъ ^оже отношеніе ; и С къ каждой изъ ве- личинъ А , В а имѣетъ тоже отношеніе. » Возьми величинъ А, В равнократныя П, і а величины С другую какую ниесть крат- кую Р. Поелику равнократпыя суть, П величины и Е величины В; и А равна В: посему а И равна Е. Но Г есть величины С другая
і;6 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ какая ниесть кратная: посему естьли В боль, ше Е, то и Е больше Г; и естьли равна, П]о равна• и естьли меньше, шо меньше, Цо В, Е суть величинъ А, В равнократныя • а р есть величины С другая какая ниесть кращ, опр.5. ная; чего радИ какъ А къ С, такъ В къ С*, Говорю гпакожъ, что и С къ каждой изъ величинъ А, В имѣетъ тоже отношеніе. Ибо , сдѣлавъ тоже строеніе, подобію докажемъ, что В равна Е. Но Е есть дрпац нѣкая величина: посему естьли Е больше В, то Е больше и Е: и естьли равна, пю равна, и естьли меньше, то меньше. НЕ есть величины С кратная; а В, Е суть величинъ А, В другія какія ниесть равно- кратныя : чего ради какъ С къ А, іпак* опр.5. С къ В*. Итакъ равныя, и проч. ч, и д. Н. (53]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴШ. Изъ неравныхъ величинъ большая къпіои- жс имѣетъ большее отношеніе , нежели меньшая: И таже величина къ меньШ01 имѣетъ большее отношеніе, нежели 0 большей. Пусть будутъ АВ, С неравныя величи ны , и пусть АВ будетъ большая; I
КНИГА ПЯТАЯ. 177 ниеСгпь величина. Говорю, имѣетъ большее отноше- нъ В ; и Б къ С имѣетъ пугая какая чПіо АВ къ Б йіе нежели С большее отношеніе у нежели къ АВ. Поелику АВ больше С • гпо положи ВЕ раину10 величинѣ С : итакъ меньшая изъ величинъ АЕ у ЕВ взятая кратно , будетъ наконецъ больше Б :. ВоИервыхъ , пусть ’опр.ф бреіпъ АЕ меньше величины ЕВ. Бери кратно величину АЕ, пока получится ве- личина больше Б, и пусть будетъ ГС тако- вая кратная , большая величины Б; и ко кратная есть ГС величины АЕ , будетъ столько кратная и СН чины ЕВ, а К величины С • и сколь- пусть вели- возьми величины Б двукратную величину Ь , тре- крашную Му и такъ далѣе всегда одною больше, пока взятая кратная величины О будешь первая , большая величины К. Возь- Ми таковую кратную; и пусть будетъ чепгырекратная величины Б , первая боль- 1яая величины К. Й поелику,«изъ кратныхъ величины Б,» вели- Чинаесть первая, которой К меньше* то К ®еченьше величины М. Поелику же равнократ- ^*я суть, ГС величины АЕ, и СН величины ,ГПо равнократны суть, ГСг величины АЕ, И величины АВ*. Но ГС величины АЕ, и К *ь 12
178 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ величины С , суть равнократны • посечТ равнократны и ГН величины АВ, и К ве.\ц, чины С1 а посему ГН, К суть величинъ АВ, С равнокрашныя. Еще же, поелику равно, кратныя сушь, СП величины ЕВ, и К. ве\и чины С; иЕВ равна С : Посему и К равна СЦ Но К и не меньше ЛІ: посему и СП не ме»ьш М: а ГС больше Б; посему цѣлая ГН 6о.льЩе обѣихъ вмѣстѣ Н, М. Но обѣ вмѣстѣ В, равгіы величинѣ К; посему ГН больше А « Ишакъ, поелику ГН больше IX, » а К не больше Л: и ГН, К суть величинъ АВ, С равнокрашныя ; а М есть величины Б друш какая ниестѣ кратная : то АВ къ Б имѣетъ ^опр.у. большее отношеніе , нежели С къ Б*. Говорю же, что иВ къ С имѣетъ большее отношеніе, нежели Б къ АВ. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, подобно до- кажемъ, что К больше К, а не больше ГН. И А есть величины Б кратная • а ГН, Ь суть величинъ АВ, С другія какія ннесшь равнокрашныя: чего ради Б къ С имѣеГО* *опр-7. большее отношеніе, нежели В къ АВ*. Но пусть АЕ будетъ больше ЕВ: иша61’ меньшая величина ЕВ взятая кратно, буд61’11’ ♦овр.4-наконецъ больше Б*. Возьми таковую,® пусть будетъ СН , кратная величины большая величины В; и сколько краіПЙ*і
КНИГА ПЯТАЯ. і;9 еСГПЬ СН величины ЕВ, пусть будетъ столь- ко кратная и ГС величины АЕ, а К вели- чины С. Подобно же докажемъ,что ГН, К суть величинъ АВ , С равнократпыя. II такъ же возьми величины Б кратную К, первую 6ольШ)К) величины ГО. Слѣдственно еще бхдепіъ ГС не меньше М, а СН больше Б: посему цѣлая ГН больше величинъ Б, М, то есть величины IV; а К не больше К, поелику даже и ГС, большая величины СН, то есть величины К, есть не больше И. Слѣдующее за симъ докажегпся подобно предъидущему. Ишакъ изъ неравныхъ, и проч. ч. 11 д. Н; ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Величины къ тойже величинѣ имѣющія тоже отношеніе, взаимно равны: И къ которымъ таже величина имѣетъ тоже отношеніе, и тѣ взаимно равны. Пусть имѣетъ каждая изъ величинъ А, В къ величинѣ С тоже отношеніе. Говорю, что А равна В. Буде же нѣтъ; то каждая изъ величинъ А» В къ С не имѣла бы тоже отношеніе*: но Ка«дая имѣетъ; посему А равна В. Пусть имѣетъ еще С къ каждой изъ Величинъ А, В тоже отношеніе. Говорюі '‘Шо А равна В.
і8о Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Буде же нѣтъ; гпо С къ каждой изъ веди •8. чинъ А, В не имѣла бы тоже отношеніе». но она имѣетъ: посему А равна В. Итакъ величины , и проч. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Изъ величинъ къ тойже величинѣ имѣ- ющихъ отношеніе, которая имѣетъ большее отношеніе і та есть большая: И къ кото- рой величинѣ таже имѣетъ большее от- ношеніе , та есть меньшая. Пусть имѣетъ А къ С большее отноше- ніе, нежели В къ С. Говорю, что А больше Б. Буде же нѣтъ • то А или равна вели- чинѣ В, или меньше ея. Но А не равна В; ибо каждая изъ величинъ А, В къ *7- С имѣла бы тоже отношеніе*: но каждая не имѣетъ* посему А не равна В. II А не меньше В; ибо А къ С имѣла бы меньшее «8. отношеніе,нежели В къ С*: но она не имѣетъ; посему А не меньше В. А доказано, что и ни равна: слѣдственно А больше _В. Пусть имѣетъ еще С къ В большее от- ношеніе , нежели С къ А. Говорю, что В меньше А. Буде же нѣтъ; то или равна, больше. Но В не равна А; ибо С къ каЖД0”
КНИГА ПЯТАЯ. 18! й~ь величинъ А, В имѣла бы тоже отноше- -е*; но она не имѣетъ; посему А не *7- рЗВна В. II В не больше А; имѣла бы меньшее отношеніе ибо С къ В , нежели къ \ ; но она не имѣетъ • посему В не больше *8. Л. А доказано, чгпо и ни равна: слѣдственно В меньше А. Итакъ изъ величинъ, и проч. ч. и Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Отношенія, кои суть тѣже съ тѣмъже отношеніемъ, суть и взаимно тѣже. Пусть будутъ , какъ А къ В, такъ С къ В; и какъ С къ О такъ, Е къ Г. Говорю, что какъ А къ В, такъ Е къ Е. Возьми величинъ А, С, Е равнократныя С, Н, К; а величинъ В, Б, Е другія какія ни- есть равнократныя Ь, М, К. Поелику какъ А къ В, такъ С къ Б; и взяты величинъ А, С равнократныя О, Н, а Величинъ В, Б другія какія ниесть равно- кратныя Б, М: посему естьли О больше Ь, то * Н больше М; и естьли равна, то рав- йаі и есшьли меньше , то меньше*. Еще же, *опр.5. велику какъ С къ Б,такъ Е къ Е- и взяты ^личинъ С,Е равнократныя Н, К, а величину ’ Лругія какія ниесть равнократпыя М, К:
182 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ посему естьли Н больше М, то и К больщ* X; и естьли равна, то равна* и есгньлв •опр.5. меньше , то меньше*. Но естьли Н больще М, то и С больше Ь; и естьли равна, ІПо равна • и естьли меньше, то меньше: слѣд- ственно, и естьли Сг больше Ь, шо и X больше К; и естьли равна, то равна; и естьли меньше, то меньше. И С, К вели- чинъ А, Е с^ть равнокрашныя ; а Ь, К суть величинъ В, Е другія какія ниесть равно- ♦опр.5. кратныя: чего ради какъ А къ В, такъ Е къ Е*. Ишакъ отношенія , и проч. ч. и д. н. (54). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХП. Ежели будетъ сколько ниесть величинъ Пропорціональныхъ; то какъ одна предъ- идущая къ одной послѣдующей , такъ всѣ предъидущія ко всѣмъ послѣдующимъ. Пусть будетъ сколько ниесть величинъ пропорціональныхъ А , В , С , П , Е , Р > Я”’ есть , какъ А къ В, ріакъ С къ Н , и ]ГіаГ'ь Е къ Е. Говорю , что какъ А къ В та^ь ’ С, Е къ В, Б, Г. Возьми величинъ Л, С , Е равнокрагкнь1 Сг, Н , К ; а величинъ В , Б , Е дру1,я ** кія ниесть равнократныя Ь , М, №
КНИГА ПЯТАЯ. і83 Поелику какъ А къВ, такъ С къ В, и такъ р. кЪ р • и взяты величинъ А, С, Е равно- кратныя О, Н, К , а величинъ В , В, Е дрѵг’Ія какія ниесгпр равнокрашньія Ь , М, IV : посему, есшьли С больше Ь , то и Н боль- ше М, и К больше К • и есшьли равна, шо равна 5 и есшьли меньше, то меньше*. *оир.5. Слѣдственно естьли С больше Ь , то и С, Н , К больше Ь, М, IV ; и есшьли ра- вна , то равны 5 и естьли меньше , шо меньше. И С величины А, а (л, Н, К величинъ А, С , Е суть равнокрашиыя ; ибо, ежели будетъ сколько внесть ве- личинъ , кои другихъ равпомногихъ вели- чинъ равнокрашны , каждая каждой , тр сколько одна изъ величинъ есть кратная одной, столько и всѣ 6} душъ кратны всѣхъ*. Потому же Ь величины Д, и Е, М, IV *ь величинъ В, В , Е суть равпократныя. Чего ради какъ А къ В, такъ А, С, Е къ В, В, Г. Итакъ, ежели будетъ, и проч. ч. и д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХПІ. Ежели первая величина ко второй имѣетъ ^оже отношеніе , что и третья къ чет- Ьерпіой • третья же къ четвертой имѣетъ большее отношеніе,нежели пятая къ шестой^
і84 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Піо и первая ко второй будетъ имѣтк бодь шее отношеніе , нежели пятая къ шестой Пусть первая величина А ко второй В имѣетъ тоже отношеніе, что и третьи С къ четвертой О ; и пусть третья Сц четвертой В имѣетъ большее отноше- ніе , нежели пятая Е къ шестой Г. Говорю, что и первая А ко второй В будетъ имѣть большее отношеніе . нежели пятая Е къ шестой Г. Поелику С къ Б имѣетъ большее отно- шеніе , нежели Е къ Е : то суть нѣкіі величинъ С , Е равнократныя, и величинъ П, Е другія какія ниесть равнократпыя; такія, что кратная величины С больше кратныя величины В, а кратная величины *опр-7- Е не больше кратныя величину Г*. Возьми таковыя , и пусть будутъ величинъ С, Е равнократныя О, Н, а величинъ Б, Е дру- гія какія ниесть равнократныя К, Е? такъ что С больше К , а Н не боль- ше Ь: и сколько кратная есть С величи- ны С , пусть будетъ столько кратная й М величины А 5 а сколько кратная К вели- чины Б , пусть будетъ сйіолько кратнаЯ и IV величины В. 11 поелику какъ А къ В, такъ С къ и взяты величинъ А, С равиокрапіныя '
КНИГА ПЯТАЯ. і85 а величинъ В, В другія какія ниесть равнокраіпныя IV,К: посему естьли М больше то и С больше К} и естьли равна, то равна; и естьли меньше , шо меньше*. Но *опр.5. О больше К, посему и М больше №. А Н не больше Ь ; и М, Н сушь величинъ Е равнократныя, а №, Ь с^гпь вели- чинъ В , Е другія какаія ниесть равнократ- ныя : чего ради А къ В имѣетъ большее отношеніе, нежели Е къ Г*. *опр>7. Ишакъ, ежели первая, и проч. Ч. и д. Н. (55). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV’. Ежели первая величина ко второй имѣетъ тоже отношеніе, что и третья къ четвер- той, и первая больше третьей, то и вторая будешь больше четвертой; и ежели равна, Шо равна; и ежели меньше, шо меньше. Пусть первая величина А ко второй В ккѣегпъ тоже отношеніе, что и третья С кь четвертой Н; и пусть А будетъ больше С. Говорю, что и В больше В. Поелику А больше С , и В есть другая *акая ниесть величина; то А къ В имѣетъ Одьшее отношеніе, нежели С къ В*. Но *8. Ха,'ъ А къ Ву такъ С къ Н; посему и С Ъ И имѣетъ большее отношеніе, нежели
ібб Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ *іЗ. С къВ». Акъ которой величинъ таже имѣетъ *ю. большее отношеніе, піа есть меньшая *;посе, му В меньше В ; слѣдственно В больше р Подобно докажемъ , что естьли А равц С , то будетъ и В равна В : и естьли А меньше С , то будетъ и В меньше В. Итакъ, ежели первая , и проч. Ч. и ц, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XV. Частныя величины къ своимъ равнократ- нымъ имѣютъ тоже отношеніе, взятыя по- перемѣнно. • Пусть будутъ равноправныя, АВ вели- чины С , ВЕ величины Е. Говорю, что какъ С къ Г, такъ АВ къ ВЕ. Поелику равнократныя суть, АВ величи- ны С , и ВЕ величины Г ; то сколько вели- чинъ въ АВ равныхъ С, столько же вели- чинъ и въ ВЕ равныхъ Г. Раздѣли АВ И величины равныя С , какъ гпо на АО , бИ> НВ; а ВЕ на величины равныя Г, какъ то на ВК , КЬ, ЬЕ. Итакъ величины А&, СН, НВ суть равномногія величинамъ КЬ , ЬЕ. И поелику АС, ОН, НВ взаимно равны; и ВК, КЬ, ЬЕ взаимно равны же: какъ АС къ ВК , такъ СН къ КЬ, и гпаКѣ •7. НВ къ ЬЕ*. Того ради какъ одна преДъ
КНИГА ПЯТАЯ. 187 идущая къ одной послѣдующей , такъ всѣ пр*едъ»дущія ко всѣмъ послѣдующимъ*; и по-*і2. п10м5 какъ АС къ ВК, такъ АВ къ ВЕ. Но д(} равна С, а ВК равна Г : чего ради какъ С къ Е, такъ АВ къ ВЕ*. *іь Итакъ частныя, и проч. Ч. И Д- н, ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVI. Ежели четыре величины пропорціональ- ны; то и премѣненіемъ будутъ пропорціо- нальныя. Пусть будутъ четыре величины А, В, С , В пропорціональныя , то есть , какъ А , къ В, такъ С къ Б. Говорю, что онѣ и премѣненіемъ будутъ пропорціональныя, то есть*, какъ А къ С, такъ В къ В. *опр.іЗ. Возьми величинъ А, В равнократныя Е, Г; а величинъ С , В другія какія ниесть ра- внократныя С, н. Поелику равнокрашньія суть , Е величи- ньі А, и Г величины В : а частныя вели- чины къ своимъ равнокрагпнымъ имѣютъ то- Же отношеніе, взятыя поперемѣнно*: посему *1®* ^къ А къ В, такъ Е къ Е. Но какъ А къ В, Иіакъ С къ В; посему и какъ С къ В, піакъ Е къ Е*. Еще же , поелику С , Н вели-*11, чинъ С , В равнокрашны; то какъ С къ
і88 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ И, такъ С къ И. Но какъ С къ П, гпакъ р къ Е ; посему и какъ Е къ Г, такъ О к •іі-Н*. А естьли четыре величины проиорці0 *і4- пальны*; и первая больше третьей} іНо ц вторая будетъ больше четвертой; и есгпь\ц равна, то равна; и естьли меньше, Пю меньше*. Посему , естьли Е больше О, шо и Г больше II; и естьли равна, то равна;и естьли меньше, то меньше. И Е, Г с)піь величинъ А, В равнократныя ; а С, II сушь величинъ С, П другія какія ниесть равно- кратныя : чего ради какъ А къ С, такъ *опр.5. В къ П*. Итакъ, ежели четыре, и проч. Ч. И д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІ Е ХѴП. Ежели совокупленныя величины пропор- ціональны ; то и отдѣленныя будутъ про- порціональны. Пусть совокупленныя величины АВ, ВЕ, опр.і5. СП, ПЕ будутъ пропорціональны, то есть*, какъ АВ къ ВЕ, такъ СП къ ПЕ. Говорю, чПІ° онѣ и отдѣленныя будутъ пропорціональ- опр.іб.ны, то есть*, какъ АЕ къ ЕВ, такъ Я къ ЕП. Возьми величинъ АЕ, ЕВ, СЕ, ГП раі;|1° кратныя СН,НК,ЬМ, Л1ІМ; а величинъ ЕВ, ЕВ другія какія ниесть равнократныя
КНИГА ПЯТАЯ. і89 Поелику равнократныя суть, СН величины и НК величины ЕВ; то равнократны, (;ц величины АЕ, и СК величины АВ*. Но *і величины АЕ, и ЕМ величины СЕ равио- лрашпы; посему равнократныя Суть,- СК величины АВ, и ЬМ величины СГ. Еще же, поелику равнократпыя суть, ЕМ величины СГ, и ЬШ величины. ЕС; то равнократныя сѵпіь, ЕМ величины СГ, и Е2Ѵ величины СС. Но ^же ЕМ величины СГ, и СК величины АВ равнократны; посему равнократныя суть, СК величины АВ, и ЕА величины СС;. а по- сему СК, Е№ величинъ АВ, СС суть равно- кратныя. Еще же, поелику равнократныя суть, НК величины ЕВ, и ЬШ величины ГС; а также КР величины ЕВ, и №(} величины ГС равнократныя же: посему и совокупленію, НР величины ЕВ, и МО величины ЕС суть равно- вратныя*. И поелику какъ АВ къ ВЕ, такъ *2. СЬ къСГ; и взяты величинъ АВ, СС равне- кратныя СК, Е1Ѵ; а величинъ ЕВ, ГС другія какія ниесть равнократныя НР, М(^: посему есШьли СК больше НО, то и ЕК больше и естьли равна, то равна; и есіпьли тньше, то меньше*. Пусть будетъ СК*°лр.5 °льіне НР; посему, по отнятіи общей НК, и больше КР. Но естьли СК больше НР, то а ІЛѴ будетъ больше ЬЩ: посему Е_\ есть
ідо ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ * опр.5. больше М(^*; а} по отнятіи общей Му и ЕМ больше Х(^. Итакъ естьли СН 6одь ше КР, то и ЕМ больше АС,). Подобно докажемъ, что и естьли СН равна КР іц0 будетъ и ЕМ равна ХР; и естьли меньше, то меньше. И СН, ЕМ суть величинъ АЕ, СГ равнократныя; а КР, ІѴб) суть величинъ ЕВ, ЕВ другія какія ниесть равнократпыя: * опр.5. чего ради какъ АЕ къ ЕВ такъ СЕ къРВ\ Итакъ, ежели величины, и проч. Ч. п д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVIII. Ежели величины отдѣленныя пропорціо- нальны ; то и Совокупленныя будутъ про- порціональны. Пусть отдѣленный величины АЕ, ЕБ, СЕ, ЕВ будутъ пропорціональны, то * опр.і6. есть* , какъ АЕ къ ЕВ, такъ СЕ къ ЕВ. Го- воргр, чгпо онѣ и совокупленныя будутъ * опр.г5. пропорціональны, то есть*, какѣ АВ ,;ъ ВЕ, такъ СВ къ ЕВ. Ибо, естьли не будетъ какъ АВ къ ВЕ- такъ СВ къ ГВ ; то будетъ какъ АВ ВЕ, такъ СВ къ нѣкоей величинѣ, или мень- шей нежели ВЕ, или большей. Вопервыхъ, пусть будетъ къ меньше0 ВО. Поелику какъ АВ къ ВЕ, такъ СВ &
КНИГА ПЯТАЯ. рО, то есть і совокупленныя величины ПронорЦІоналыіы 5 слѣдственно и отдѣлен- ныя будутъ пропорціональны*: посему*^ кЪ АЕ къ ЕВ, такъ СО къ СВ. А по по- ложенье , какъ АЕ къ ЕВ, такъ СЕ къ ГО ; посему и какъ СС къ СО, такъ СГ къ I О*. *іі, Но первая СО больше третьей СГ • посе- му и вторая 60 больше четвертой ГО*. *і4 Она же и меньше : что невозможно • посему Не будетъ какъ АВ къ ВЕ, такъ СО къ вели- чинѣ меньшей нежели ГО. Подобно дока- жемъ , что и пи къ большей : слѣдственно къ ней самой. Ишакъ, ежели величины, и проч. Ч. и Д- Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIX. Ежели будетъ , какъ цѣлая величина къ Цѣлой , такъ отнятая къ отнятой ; то и остальная будетъ къ остальной, какъ Цѣлая къ цѣлой. Пусть будетъ какъ цѣлая величина АВ Къ Цѣлой СО , такъ отнятая АЕ къ от- стой СГ. Говорю , что и остальная ЕВ будетъ къ остальной ГО , какъ цѣлая ЕВ Къ Цѣлой СО. Поелику какъ АВ къ СО, такъ АЕ къ СГ; 1110 премѣненіемъ, какъ ВА къ АЕ такъ
’92 3 В К ЛИ Д. НАЧАЛЪ * іб. БС къ СГ*. II поелику совокупленныя чины пропорціональны , то и огпдѣѵ.І( * іу. ныя будутъ пропорціональны* • посем какъ ВЕ къ ЕА, такъ ВГ къ ГС • и ц мѣнепіемъ, какъ БЕ къ ВГ, такъ' ЕД къ * іб. ГС*. Но какъ АЕ къ СГ такъ, по положе нію , цѣлая АВ къ цѣлой СВ : чего ради и остальная ЕВ будетъ къ остальной ВК =»іі.какъ цѣлая АВ къ цѣлой СВ*. Итакъ, ежели будетъ , и проч. ч. и д. и. [ СЛѢДСТВІЕ. И поелику доказано, что какъ АВ къ СВ у такъ ЕВ къ ГВ; и пре- *іб. мѣнепіемъ*, какъ АВ къ ВЕ, такъ СБ къ ВГ: посему совокупленныя величины про- порціональны. Л доказано, что какъ ДВ къ АЕ такъ СВ къ СГ, что и есть об- ращеніе. Отсюда явствуетъ, что естьли совокупленныя величины пропорціональны то онѣ и обращеніемъ будутъ' пропорціо- нальны. ч. и д. н. ] (56). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XX. Ежели будутъ три величины , и ЛРУТ,Я имъ равномногія, взятыя по двѣ въ пЮ'іЪ же отношеніи- и ежели, равномѣстно, первая больше третьей , пю и четверн1315
КНИГА ПЯТАЯ. ір2 ^.дегпъ больше шестой ; и ежели равна , о равиа; и ежели меньше, то меньше. Пусть будутъ А, В, С три величины, я р, Е, Е Другія имъ равномногія , взя- я по Двѣ въ томъже отношеніи, то есть: какъ А къ В, такъ В къ Е‘, и какъ В къ С, такъ Е къ Г : и пусть, равномѣстно , Гудетъ А больше С. Говорю , что и В бѵдетъ больше Г: И естьли равна, то равна; есгйьли меньше , то меньше. Поелику А больше С, а В есть другая нѣкая величина* большая Же величина къ тойже имѣетъ большее Отношеніе , нежели меньшая*: поСелІу А къ В имѣетъ *8. большее отношеніе, нежели С къ В. Но какъ А къ В, такъ 1) къ Е ; а какъ С къ В, пре- ложеніемъ (57), такъ Г къ Е: посему7 и I) къ Е имѣетъ большее отношеніе, Нежели Г къ Е*. А изъ величинъ къ тойже величинѣ *іі иіЗ. Имѣющихъ отношеніе , которая имѣетъ большее отношеніе , та есть большая*; по- *ю. сему В больше Г. Подобно докажемъ, что р естьли А равна С, то и В будетъ равна ’ и естьли меньше, то меньше. Итакъ, ежели будутъ, и проч. Ч. И Д. И. іЗ
ід4 ЭВ К ЛИ Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ххх Ежели будутъ три величины, и дрѵГів имъ равномногія, взятыя по двѣ въ пюЧ]> же отношеніи, пропорція же ихъ 6удепіь обратная ; и ежели, равномѣсгпно, первая больше третьей, то и четвертая будетъ больше шестой* и ежели равна, то равна-и ежели меньше, то меньше. Пусть будутъ А, В, С три величины и Б, Е, Е Другія имъ равпомногія, взятыя по двѣ въ гпомъже отношеніи, пропорція же ихъ пусть будетъ обратная, то есть: какъ А къ В, такъ Е къ Г; и какъ В къ С, такъ ВкъЕ: и пусть, равпомѣстно, будетъ А больше С. Говорю, что и 1) будетъ больше Г: И естьли равна, то равна • и еспіьлп меньше , то меньше. Поелику А больше С, а В есть другая нѣкая величина; то А къ В имѣетъ боль- •8. шее отношеніе , нежели С къ В*. Но какъ А къ В, такъ Е къ Г’ и какъ С къ В, пред0' женіемъ (му) , такъ Е къ В: посему и Е къ Г имѣетъ большее отношеніе, нежели Е :іпиіЗ.В*. А къ которой величинѣ іпаже изгі’61’11’ *іс. большее отношеніе ,гп а есть меньшая*;110' сему Г меньше В • слѣдственно О 6ольи1 Е.Подобно докажемъ, что и естьлл А Ра®й
КНИГА ПЯТАЯ. ір5 іПо и О будетъ равна Е‘ и естьли мень- ше гпо меньше. Итакъ, ежели будутъ, и проч. ч. и д. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXII. Ежели будетъ сколько ниесть величинъ, и другихъ имъ равномногихъ, взятыхъ но двѣ БЪ пючъже отношеніи ’ шо и равномѣстно будутъ въ томъже отношеніи. Пусть будетъ сколько ниеСіпь величинъ А, В, С, и другихъ имъ равномногихъ Б, Е, Е, взятыхъ по двѣ въ томъже отношеніи, то есть: какъ А къ В, такъ Б къ Е- и какъ В къ С, такъ Е къ Е. Говорю, что и равномѣстно будутъ въ шомъже отноше- ніи, то есть*: какъ А къ С, такъ Б къ Е. *опр.і8. Возьми величинъ А, Б равнократныя С, Н- а величинъ В , Е другія кякія ниесть равно- крапніыя К, Ід и еще величинъ С, Е другія какія ниесть равнокрашныя М, X. Поелику какъ А къ В, такъ Б къ Е; и 83)11,11)1 величинъ А, Б равнократныя С, II, а Личинъ В, Е другія какія ниесть равно- ’фапіныя К, Е: то какъ О къ К, такъ II Къ Ь*. Потому же и какъ К къ М, такъ Ь *4- 1\. И поелику суть гпри величины 6, К, ’ н Другія имъ равпомногія Н, Ь, X взятыя
ідб ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ по двѣ и въ томъже равномѣстно і естьли отношеніи: 0} больше М п°селіу > то и Н больше К} и естьли равна і то равна • в *ао. естьли меньше, то меньше*. Но О, Н счгц, величинъ А, Б равнократныя} а М, ]\ ве личинъ С, Г другія какія ниесть раввокрапь *опр.5. ныя: чего ради какъ А къ С, такъ Б къ Г», Итакъ, ежели будетъ, и проч. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIII. Ежели будутъ три величины , и другія имъ равномногія, взятыя по двѣ въ томъ- же отношеніи , пропорція же ихъ будетъ обратная } то и равномѣстно будутъ въ томъже отношеніи. Пусть будутъ А , В , С три величины, и Б , Е, Е другія имъ равномногія , взятыя по двѣ въ томъ же отношеніи, пропорція же ихъ пусть будетъ обратная , піо *опр.2о. есть*: какъ А къ В, такъ Е къ Е; и какъ В къ С, такъ Б къ Е. Говорю, что каЫ> А къ С, такъ Б къ Г. Возьми величинъ А , В, Б равнократныя С , Н, К } а величинъ С, Е , Е другія ка кія ниесть равнократпыя Ь, М, X» Поелику равнократныя суть С, Н всЛі1 чинъ А, В; частныя же величины къ сВ°
КНИГА ПЯТАЯ. 107 м1> равнократнымъ имѣютъ тоже отноше- ніе*: посему какъ А къ В, такъ О къ И. *і5. Потому же и какъ Е къ Г, такъ М къ ]Ѵ. До какъ А къ В, такъ Е къ I; цосему и ракъ С къ И, такъ М къ IX*. II поелику какъ*и. В къ С, такъ В къ Е; и взяты величинъ В Р равнократныя Н , К ; а величинъ С, Е другія какія ниесгпъ равнокрашньія Е, Л; посему какъ Н къ Б, такъ К къ М*. *4- А доказано , что и какъ С къ Н, такъ М къ IV: Итакъ суть три величины И, Н, Б, и другія имъ равпомногія К, М , IV , взятыя по двѣ въ гпомъже отношеніи , пропорція же ихъ обратная : посему равномѣспіпо, естьли О больше Б , то и К больше IV ; и естьли равна , то равна ; и естьли мень- ше, то меньше*. Но С, К равнократны *2і. величинъ А, Б;а Ь, ]Ѵ величинъ С , Е: чего ради какъ А къ С, такъ Б къ Г*. *опр.5. Итакъ, ежели будутъ, и проч. ч. и д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIV. Ежели первая величина ко второй имѣетъ гп°же отношеніе, что и третья къ че- твертой ' и также пятая ко второй имѣетъ 1110 Же отношеніе,'что и шестая къ чеш- ВеРтоЙ : що и совокупленію , первая еъ пя-
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ тпою ко второй ношеніе г что и твершой. будутъ третья имѣть тоже ргп съ шестою Къ> П}сть первая величина АВ ко второй с имѣетъ тоже отношеніе г чшо и інреІ1ІЬ|( ВЕ къ четвертой Г ; и также пусть пя тая ВС ко второй С имѣетъ тоже отноще- ніе , что и шестая ЕП къ четвертой р Говорю, что и совокупленію, первая съ щ. тою , то есть АО, ко второй С будетъ имѣть тоже отношеніе , что и третья съ шестою , то есть ВН , къ четвертой Г, Поелику какъ ВС къ С, такъ ЕН къ Р; то преложеніемъ , какъ С къ ВО, такъ Е сл*д;$. къ ЕН*. II поелику какъ АВ къ С, такъ ВЕ къ Е; и какъ С къ ВО, такъ Г къ ЕН' то равномѣстно , какъ АВ къ ВО, такъ ВЕ * 22. къ ЕН*. А поелику отдѣленныя величавы пропорціональны , то и совокупленныя 6ѵ * ;8. дутъ пропорціональны*; посему какъ АЬ къ ВО, такъ ВН къ ПЕ. Но и какъ ВО і:ь С, такъ ЕН къ Г : чего ради равномѣстікч * 22. какъ АС къ С, такъ ВН къ Г*. Ишакъ, ежели первая, и проч. Ч. И
КНИГА ПЯТАЯ. ідд ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXV. Е«ели четыре величины пропорціональны, наибольшая съ наименьшею сушь боль- ше двухъ прочихъ. Пусть будупъ четыре величины АВ, СВ, Е, Г пропорціональныя, то есть, какъ АВ къ СВ такъ Е къ Р’ и пуспіь будетъ наиболь- шая изъ нихъ АВ, а наименьшая Е. Говорю, что АВ, Г сушь больше величинъ СБ , Е. Положи АС равную Е, а СН равную Г. Поелику какъ АВ къ СВ, такъ Е къ Е 5 и Е равна АС, а Е равна СН : шо какъ АВ къ СВ , такъ АС къ СН. II поелику какъ цѣлая АВ къ цѣлой СВ, такъ отня- тая АС къ отнятой СП • то и осталь- ная СВ будетъ къ остальной НВ , какъ Цѣлая АВ къ цѣлой СВ \ Но АВ больше СВ ; *ід. посему и СВ больше НВ. II поелику АС равна Е, а СН равна Е • то АС, Е ра- вны СН, Е. А поелику , естьли къ нера- внымъ приложены равныя , шо и цѣлыя не- равны; посему естьли , изъ неравныхъ ве- тчинъ СВ , НВ изъ коихъ СВ большая , Къ СВ приложишь АС , Е , а къ НВ при- л°Жигпь СН , Е \ то будутъ АВ , Е боль- Ше величинъ СВ , Е. Игпакѣ, ежели четыре, и пр. ч. и Д. П. (581.
ЭВКЛИДОВЫХЪ НАЧАЛЪ. КНИГА VI. ОПРЕДѢЛЕНІЯ. і.ТТодобныя прямолинейныя фигуры суть тѣ, которыя и всѣ углы имѣютъ равные, одинъ по одному, и около равныхъ угловъ стороны пропорціональныя. (5д). 2. Обратныя же фигуры суть, когда въ каждой фигурѣ находятся предъидуЩ,е и послБдующір члены отношеній. (6о). 3. Прямая линія называется разсѣченною въ крайнемъ и среднемъ отношеніи , ко'Да какъ цВлая прямая къ большему оіпрѣзн* > такъ большій къ меньшему.
КНИГА ШЕСТАЯ 261 Высота всякой фигуры есть прямая веденная отъ вершины перпендикулярно основанію. лр° КЪ 5. Отношеніе называется сложеннымъ изъ отношеній, когда количества сихъ отно- шеній въ нихъ кратствованныя дѣлаютъ нѣкое количество. (Лоуос; іх "кбуаѵ оѵу— ісіічііаі Муетаі, отаѵ аі ты» №>у<дѵ лтрЛ- х6тт]тед еср Сіѵтад ціМал&ао іаб&еібаі 9 яоіыбі иѵад). (62). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. Треугольники и параллелограммы, имѣющіе туже высоту, суть взаимно какъ основанія. Пусть будутъ АВС, АСВ треугольники, а ЕС, СЕ параллелограммы, имѣющіе туже высоту , перпендикулярную прямую отъ А къ ВВ проведенную*. Говорю, что какъ *опр-4« основаніе ВС къ основанію СВ, такъ гпре— )г°льникъ АВС къ треугольнику АСВ, и такъ параллелограммъ ЕС къ параллело- грамМу СЕ. Продолжи ВВ на обѣ стороны къ точкамъ Е; и положи сколько ниесть прямыхъ ВС, равныхъ основанію ВС, и сколько ниесть РЯмьіхъ ВК, КЬ равныхъ основанію СВ} и >тяпи АС, АН, АК, АЬ.
303 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Поелику СВ, ВС, СН и треугольники АНС, •38,1. равны*: посему сколько ваніе НС основанія ВС есть и треугольникъ взаимно равны, П10 АСВ, АВС взаиЧно кратное есгпь осц0, , столько кратны^ АНС треугольнику АВС. Попюмуже, сколько кратное еспіь основаніе СЬ основанія СВ, столько крапъ. рый есть и треугольникъ АЬС треуголъ-, ника АСВ. И естьли основаніе НС равно основанію СЬ, то и треугольникъ АНС •38,1. равенъ треугольнику АЬС*; и естьли осно- ваніе НС больше основанія СЬ, гпо и тре- угольникъ АНС больше треугольника АЬС; и естьли меньше,то меньше. Ишакъ изъ имѣю- щихся четырехъ величинъ , то есть, двухъ основаніи ВС, СВ, и двухъ треугольниковъ АВС , АСВ , взяты основанія ВС и тре- угольника АВС равнократныя , основаніе 11С и треугольникъ АПС; а основанія СВ и треугольника АСВ другія какія ниесть равнокрашныя , основаніе СЬ и треуголь- никъ АЬС: и доказано, что естьли осно- ваніе НС больше основанія СЬ, то и тре- угольникъ АНС больше треугольника АЬС;8 естьли равно, то равенъ; и естьли меньше то меньше: а посему какъ основаніе ВЬ основанію СВ, такъ треугольникъ АВС к” ©п.5,ѵ. треугольнику АСВ*.
: н и г л шестая. зоЗ Л поелику треугольника АВС двукратный есть параллелограммъ ЕС*, и треугольника *4»Л ДСП двукратный есть параллелограммъ ГС;а частныя величины къ своимъ равнокр т- нымъ имѣютъ тоже отношеніе*: посему♦,5.у. какъ треугольникъ АВС къ треуголь- нику АСБ, такъ параллелограммъ ЕС къ параллелограмму ЕС. Поелику же доказано , чгпо какъ основаніе ВС къ основанію СБ, такъ треугольникъ АВС къ треугольнику АСБ; и чщо какъ треугольникъ АВС къ треугольнику АСБ, такъ параллелограммъ ЕС къ параллелограмму ГС : посему и какъ основаніе ВС къ основанію СБ, такъ парал- лелограммъ ЕС къ параллелограмму ГС*. *ц,ѵ. Итакъ треугольники, и пр. ч. п д. И. [63]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Ц. Ежели къ одной изъ сторонъ треуголь- ника проведется какая ниесть параллель- ная прямѣя • то она разсѣчетъ прочія сто- роны треугольника пропорціонально : и еже- ли стороны треугольника разсЬчены про- порціонально ; то прямая протянутая чрезъ Ученія будетъ параллельна къ осталь- ной сторонѣ треугольника. Треугольника АВС къ одной изъ сторонъ
эо4 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ БС пусть проведена будетъ параллельная БЕ. Говорю, что какъ ВВ къ БД., такъ СЕ къ ЕА. Протянц ВЕ , СБ. Итакъ треугольникъ ВВЕ равенъ тре, угольнику СВЕ*; ибо стоятъ на томъже основаніи ВЕ, и между тѣмиже параллель- ными ВЕ, ВС: И АВЕ есть другой нѣ- кій треугольникъ; а равныя величины къ тойже имѣютъ тоже отношеніе* : посему какъ треугольникъ ВВЕ къ треугольнику АВЕ, такъ треугольникъ СВЕ къ треуголь- нику АВЕ. Но какъ треугольникъ ВВЕ къ треугольнику АВЕ, такъ ВВ къ ВА; ибо имѣютъ туже высоту , перпендикулярную прямую отъ Е къ АВ проведенную, и но- *і. тому взаимно суть какъ ихъ основанія*. Потому же какъ треугольникъ СВЕ кыпре- уголыіику АВЕ, такъ СЕ къ ЕА: чего ради •п«ѵ. и какъ ВВ къ ВА, такъ СЕ къ ЕА*. Но треугольника же АВС пусть сторо- ны АВ, АС будутъ разсѣчены пропори10' нально въ точкахъ В, Е, то есть, какъ ВВ къ ВА, такъ СЕ къ ЕА; и пусть бу- детъ протянута ВЕ. Говорю , что ВЕ яа“ раллелна къ ВС. Ибо , сдѣлавъ тоже строеніе, поел>,кУ какъ ВВ къ ВА, такъ СЕ къ ЕА: нокаК>
КНИГА ШЕСТАЯ, зо5 рр КЬ ВА, такъ треугольникъ ВВЕ къ треугольнику АВЕ** а какъ СЕ къ ЕА, такъ *і. треугольникъ СВЕ къ треугольнику АВЕ : посему какъ треугольникъ ВВЕ къ тре- угольнику АВЕ, такъ и треугольникъ СВЕ къ треугольнику АВЕ*. Итакъ каждый изъ*и,Ѵ. треугольниковъ ВВЕ, СВЕ къ треугольни- ку АВЕ имѣетъ тоже отношеніе 1 посему треугольникъ ВВЕ равенъ треугольнику СВЕ*: II стоятъ они на томъже основаніи *д,Ѵі ВЕ; а равные треугольники, стоящіе на томъже основаніи , суть между тѣмиже па- раллельными* : чего ради ВЕ параллельна »3д,і. къ ВС. Итакъ, ежели къ одной, и проч. ч. И д. н< ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕ Ежели треугольника уголъ раздѣлится по поламъ, и прямая разсѣкающая уголъ разсЬчепіъ и основаніе • то основанія от- рѣзки будутъ имѣть тоже отношеніе, что Прочія стороны треугольника: И ежели ос- нованія отрѣзки имѣютъ.тоже отношеніе , нпіо прочія стороны треугольника 5 то Прямая отъ вершины къ сѣченію протяну- 11)114 > раздѣлитъ уголъ треугольника по кодамъ.
2об ЭВКЛИД. Н А Ч А лъ Пусть будетъ АВС треугольникъ- и пусщь уголъ ВАС раздѣлится по поламъ прямою АП. Говорю, что какъ ВП къ ПС, такъ ВД къ АС. Чрезъ С проведи, параллельную къ БД *3і,і. Прямую СЕ*; и пусть продолженная ВД встрѣтится съ нею въ Е. Поелику на параллельныя Прямыя АП,ЕС падаетъ прямая АС ; то уголъ АСЕ равенъ углу САН*; Но уголъ САП равенъ , по по- ложенію, углу ВАП ; посему и уголъ В\В равенъ углу АСЕ. Еще же $ поелику на па- раллельныя прямыя АП , ЕС падаетъ прямая ВАЕ ; то внѣпіный уголъ ВАП равенъ вну- треннему АЕС. А доказано , что и уголъ АСЕ равенъ углу ВАП; посему уголъ АСЕ ра- венъ и углу АЕС ; слѣдственно и сторона АЕ *б,і. равна сторонѣ АС*. И поелику къ ЕС, одной изъ сторонъ треугольника ВСЕ, проведе- на параллельная АП; то какъ ВП къ ВС, •2. такъ ВА къ АЕ*. Но АЕ равна АС; посему *7,ѵ. какъ ВП къ ПС, такъ ВА къ АС*. Но пусть будетъ какъ ВП къ ПС, такъ ВА къ АС; и пусть будетъ протянугп» АП. Говорю, что уголъ ВАС раздѣлёнъ по поламъ прямою АП. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, поелпку какъ ВП къ ПС, такъ ВА къ АС: но как*
КНИГА ШЕСТА 207 рр къ БС, такъ и ВА къ АЕ*; ибо къ ЕС, *2. одной изъ сторонъ треугольника ВСЕ, про- ВРдена параллельная АБ: Посему какъ ВА къ дС, такъ ВА къ АЕ*. Итакъ АС равна *п,ѵ. ДЕ:; слѣдственно и уголъ АЕС равенъ углу *о,.ѵ дСЕ*. Но уголъ АЕС равенъ внѣшнему *і,і. ВДВ”; а уголъ АСЕ равенъ накосьлежащему СДБ: посему уголъ ВАБ равенъ углу САБ. Чего ради уголъ ВАС раздѣленъ По поламъ прямою АБ. Ишакъ, ежели треугольника, и пр. Ч. И д. Н; ПРЕДЛОЖЕНІЕ IV*; Равноугольныхъ треугольниковъ стороны , кои около равныхъ угловъ, суть пропор- ціональны: и равнымъ угламъ противуле- яапіъ сходственныя стороны. Пусть будутъ АВС, БСЕ равноугольные Треугольники, имѣющіе уголъ АВС равный углу БСЕ, а уголъ АСВ углу БЕС, и еще Уголь,, ВАС углу СБЕ. Говорю, что тре- угольниковъ АВС, ВСЕ стороны , кои около Равныхъ угловъ, сдгаь пропорціональны; и Равнымъ угламъ прошивулежашъ сходствен- на стороны. Положи ВС впрямъ съ СЕ. И поелику Б-Ш АВС, АСВ меньше двухъ прямыхъ*; а
ао8 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ уголъ АСВ равенъ углу ВЕС: то и уІДЬ( АВС , ВЕС меньше двухъ прямыхъ; посему •акс.п. прямыя ВА, ЕБ продолженныя встрѣтятся* Продолжи оныя > и пусть встрѣтяш я въ Г< Поелику уголъ ВСЕ равенъ углу АВС; ц10 48,г. ВГ параллельна къ СВ*. Еще же , поелику уголъ АСВ равенъ углу ВЕС; то АС парал- лельна къ ЕЕ; Ишакъ ГАСБ есть паралле- лограммъ ; и потому ГА равна БС, а АС «34,1. равна ЕВ*. И поелику къ ГЕ , одной изъ сторонъ треугольника ГВЕ, проведена па- раллельная АС ; то какъ ВА къ ЛГ, такъ *э. ВС къ СЕ*. Но АГ равна СБ : посему какъ •;,Ѵ- ВА къ СВ, такъ ВС къ СЕ*; и премБне- пі'ёмъ, какъ АВ къ ВС, такъ ВС къ СЕ*. Еще же, поелику СВ параллельна къ ВГ; гпо какъ ВС къ СЕ , такъ ГВ къ ВЕ. Но ЕО равна АС: посему какъ ВС къ СЕ , такъ А къ ЕВ; и премѣненіемъ, какъ ВС къ СА, такъ СЕ къ ЕВ. Поелику же доказано, ч(П какъ АВ къ ВС, такъ ВС къ СЕ; а ка«ь ВС къ СА, такъ СЕ къ ЕВ: чего ради равно *22,К мѣстно, какъ ВА къ АС, такъ СВ къ НЕ- Ишакъ равноугольныхъ, и проч. Ч. ИД,Й
КНИГА ШЕСТАЯ. зск, ПРЕДЛОЖЕНІЕ V, ЕжеЛи два треугольника имѣютъ стороны Пропорціональныя : то они будутъ равно- угольные ; и будутъ имѣть равные углы пііз, коимъ противулежатъ сходственныя стороны. Ііусшь будутъ АВС, ВЕЕ два треуголь- ника , имѣющіе стороны пропорціональныя , а именно : какъ АВ къ ВС, такъ ВЕ къ ЕЕ} и какъ ВС къ СА, такъ ЕЕ къ ЕВ; и еще, какъ ВА къ ДС, такъ ЕВ къ БЕ. Говорю, что треугольникъ АВС есть равноуголь- ный треугольнику ВЕЕ; и что они бу- дутъ имѣть равные углы тѣ , коимъ про- тпвулежатъ сходственныя стороны , то есть: уголъ АВС углу ВЕЕ , а уголъ ВСА углу ЕЕВ ; и еще , уголъ ВАС углу ЕВЕ. При Прямой ЕЕ, и при точкахъ на ней Ё, Р, составь уголъ ЕЕСг равный углу ЛВС*, *аЗ,і. а уголъ ЕЕ6 равный углу ВСА : посему ^стальной уголъ ВАС равенъ остально- ®У ЕСЕ*. *32д. Итакъ треугольникъ АВС есть равно- }г°лыіый треугольнику СЕЕ. Посему тре- угольниковъ АВС , ЕСЕ стороны, кой око- Ло равныхъ угловъ , суть пропорціональны; 11 равнымъ угламъ противулежатъ сход- >4
210 9 В К Л И Д. НАЧАЛЪ *4- ственныя стороны* : а посему какъ др ВС, такъ СЕ къ ЕГ. Но какъ АВ къ рд; такъ, но положенію, НЕ къ ЕГ; посему *и,Ѵ. какъ ПЕ къ ЕГ, такъ СЕ къ ЕГ*. Пгпакъ каждая изъ прямыхъ НЕ , СЕ къ ЕГ имѣетъ *9>Ѵ. тоже отношеніе ; посему ПЕ равна СЕ’. Потому же и ПГ равна СГ. И поеликі НЕ равна ЕС , а ЕГ общая ; гпо двѣ пря- мыя ПЕ, ЕГ равны двумъ прямымъ СЕ, ЕГ; и основаніе ГН равно основанію ЕС • *8,І. посему уголъ НЕЕ равенъ углу СЕГ ; И треугольникъ ПЕГ равенъ треугольнику СЕГ ; и прочіе углы равны прочимъ угламъ, •4,1. кои проіпивулежатъ равнымъ сторонамъ*; посему уголъ НГЕ равенъ углу СЕЕ ; и уголъ ЕНГ равенъ углу ЕСГ. II поелику у голъ ЕЕВ равенъ утлу ГЕС ; а уголъ СЕГ равенъ углу АВС : то уголъ АВС равенъ углу НЕЕ Потому же и уголъ АСВ равенъ углу ВЕЕ; и еще, уголъ при А равенъ углу при О- Чего ради треугольникъ АВС есть равно- угольный треугольнику НЕЕ. Итакъ,ежели два треугольника,и пр. Ч .ИД-{,‘ ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Ежели два треугольника имѣютъ оді>й1* уголъ равный одному углу, и около р
КНИГА ШЕСТАЯ. 211 йь1Хъ угловъ стороны пропорціональныя : гго треугольники будутъ равноугольные ; „ будѵшъ имѣть равные углы тѣ, коимъ I „рошивулежатъ сходственныя стороны. Пусть будутъ АВС , ВЕЕ два треуголъ- инка, имѣющіе одинъ уголъ ВАС равный одному углу ЕВГ; и около равныхъ угловъ стороны пропорціональныя , а именно : ру къ АС, такъ ЕВ къ ВЕ. Говорю, I тпрѵголыіикъ АВС есть павноѵголыіый какъ что треугольникъ АВС есть равноугольный тре- угольнику БЕЕ; и будетъ уголъ АВС равенъ рлу ВЕЕ, а уголъ АСВ равенъ углу ВЕЕ. При прямой ВГ, и при точкахъ на ней Б, Е, составь уголъ ЕВС равный ко’торому внесть изъ угловъ ВАС, ЕБЕ, а уголъ ВЕС равный углу АСВ: посему остальной уголъ При В равенъ остальному углу при С*. *ЗзД. Итакъ треугольникъ АВС есть равно- угольный треугольнику БСЕ: посему какъ къ АС, такъ СБ къ БЕ*. А по положе- В1®, Какъ ВА къ АС, такъ ЕБ къ ВЕ: посему «къ ЕВ кь р)Г, такъ и СВ къ ВЕ*. Чего *і і,ѵ. РМи ЕВ равна ВС5; а ВЕ общая: итакъ *д,ѵ. п прямыя ЕВ, ВЕ равны двумъ прямымъ и уголъ ЕВЕ равенъ углу СВЕ: по- ЧУ основаніе ЕГ равно основанію ЕС ‘ и ЬСрТ°ЛЬНИКЪ равенъ треугольнику ’ и йрочіе углы равны будутъ прочимъ
212 Э В К Л П Д. НАЧАЛЪ угламъ, каждый каждому, кои прогпивуЛе "ф1- жатъ равнымъ сторонамъ*: посему угоЛъ ВЕСг равенъ углу ВЕЕ; и уголъ при С равенъ углу при Е. По уголъ 1)1(3 равенъ углу Д(^. посему и уголъ АСВ равенъ углу ВЕЕ. А По положенію, и уголъ ВАС равенъ углу ЕВр. посему и остальной уголъ при В равенъ остальному углу при Е. Чего ради тре- угольникъ АВС есть равноугольный тре- угольнику ВЕЕ. Итакъ , ежели два треугольника, и проч Ч. И д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VII. Ежели два треугольника имѣютъ одинъ уголъ равный одному углу, и около другихъ угловъ стороны пропорціональныя ; и ежели изъ остальнымъ угловъ каждый меньше, или не меньше прямаго: то треугольники буд)Иіъ равноугольные; и будутъ имѣть равный углы тѣ, около которыхъ стороны про* порціоналыіы. ] ЛІ Пусть будутъ два треугольника ВЕЕ, имѣющіе одинъ уголъ равный одн°51.ѵ углу, а именно, уголъ ВАС углу ЕВЕ» около другихъ угловъ АВС, ВЕЕ сіпор01^ пропорціональныя, а именмо: какъ А
КНИГА ШЕСТАЯ. 2іЗ ВС, такъ ВЕ къ ЕЕ; и пусть изъ остальныхъ угловъ , то есть, кои при С, Е, будетъ каж- дый, вопервыхъ, меньше прямаго. Говорю, «нпо треугольникъ ЛВС есть равноугольный треугольнику ВЕЕ; и будетъ ) голъ АВС равенъ углу ВЕЕ, и остальной уголъ при С равенъ остальному углу при Г. Ибо, буде уголъ АВС не равенъ углу ВЕЕ; то одинъ изъ нихъ большій. Пусть будетъ уголъ АВС большій. При прямой АВ?, и при точкѣ на ней В, составь уголъ АВС равный углу ВЕЕ. Поелику уголъ А равенъ углу В, а уголъ АВС равенъ углу ВЕЕ; то и остальной уголъ АСВ равенъ остальному углу ВЕЕ. Итакъ треугольникъ АВС есть равноуголь- ный треугольнику ВЕЕ; посему какъ АВ къ ВС, такъ ВЕ къ ЕЕ.* Но какъ ВЕ къ ЕЕ, *{- пакъ, по положенію, АВ къ ВС; посему и какъ АВ къ ВС, такъ АВ къ ВС*. Ишакъ АВ Къ каждой изъ прямыхъ ВС, ВС и чѣешъ ложе отношеніе; посему ВС равна ВС*; *9:ѵ- бѣдственно и уголъ ВСС равенъ углу ВСС*. *3-1- Г|о положенію, уголъ при С меньше пря- Маго; посему и уголъ ВСС меньше пряма- Го5 слѣдственно смѣжный ему уголъ АСВ есіТ,ь больше прямаго*. Доказано же, чшо*іЗ,г, °Нъ равенъ углу при Г; посему и уголъ при Е
2<4 3 В К Д И Д. НАЗАДЪ есть больше прямаго. А по положенію Чі| меньше прямаго: что нелѣпо; посему уГо АВС не неравенъ углу БЕГ; сл'бдсігівеІІІІ() равенъ. Но уголъ при 1 равенъ углу цри р. посему и остальной уголъ при С раврць остальному углу при Г: чего ради ГПре_ угольникъ АВС есть равноугольный шрѵ. угольнику БЕЕ. Но пусть еще будетъ каждый изъ угловъ, кои при С , Е, не меньше прямаго. Говорю еще, что и тогда треугольникъ АВС есть равноугольный треугольнику БЕЕ. Ибо , сдѣлавъ тоже строеніе, подобію докажемъ , что БС равна ВО ; слѣдственно и уголъ при С равенъ углу ВСС. Но уголъ при С не меньше прямаго; посему не меньше пря- маго и уголъ ВСС. Итакъ треугольника ВСС два угла суть не меньше двухъ пря- 17,Т. мьіхъ , что невозможно*; посему опять не будетъ уголъ АВС неравенъ углу БЕГ; слѣд- ственно равенъ. Но и уголъ при А равенъ углу при Б ; посему и остальной уголъ При С равенъ остальному углу при Г: чег0 ради треугольникъ АВС есть равноуголъ' ныи треугольнику ВЕЕ, Итакъ, ежели два треугольника, и йроЧ‘ Ч. И Д. н.
КНИГА ШЕСТАЯ. 2і5 ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѴПІ. Ежрли въ прямоугольномъ треугольникѣ отъ аго угла къ основанію проведена пер- пендикулярная ; гпо треугольники, кои при перпендикулярной , подобны суть и цѣлому треугольнику и взаимно. Пусть будетъ АВС прямоугольный тре- угольникъ , имѣющій уголъ ВАС прямой; и пусть отъ А проведена будетъ къ ВС пер- пендикулярная АВ. Говорю, что каждый изъ треугольниковъ АВВ, АВС подобенъ цѣ- лому треугольнику АВС , и также подобны суть взаимно. Поелику уголъ ВАС равенъ углу АВВ, ибо каждый изъ нихъ прямой ; и общій двумъ треугольникамъ АВС и АВВ есть у голъ при В; посему остальной уголъ АСВ равенъ остальному ВАІ): чего ради треугольч ікъ АВС есть равноугольный треугольнику АВВ. Посему какъ ВС, противулежащая прямому Углу треугольника АВС , къ ВА, протпву- лежащей прямому углу треугольника АВВ ; ^акъгпа же АВ, противулежащая углу при С треугольника АВС , къ ВВ, противуле- *аіЦей углу, коему равенъ уголъ при С , то есгі7ь углу ВАВ треугольника АВВ; и такъ АС къ АВ, проти вулежащей углу
2іб Э В КЛИ Д. НАЧАЛЪ *4- при В, общему обоимъ треуголъ и икамъ* Итакъ треугольникъ АВС и равноую^ ный есть треугольнику АВВ , и около ра вныхъ угловъ имѣетъ стороны пропорці0 нальныя ; слѣдственно треугольникъ АВС опр.ь подобенъ треугольнику АВВ*. Подобію до- кажемъ , что и треугольникъ АВС подо- бенъ треугольнику АВС. Чего ради каждый изъ треуголньниковъ АВВ , АВС подобенъ цѣлому треугольнику АВС. Говорю еще , что треугольники АВС, АВС подобны и взаимно. Поелику прямой уголъ ВВА равенъ пря- мому углу АВС; а и уголъ ВАВ равенъ углу При С , цо доказанному: посему остальной уголъ при В равенъ остальному БАС: чего ради треугольникъ АВВ есть равно- угольный треугольнику АВС. Посему какъ ВВ, сторона треугольника АВВ, прогпиву- лежащая углу ВАВ, къ ВА, сторонѣ тре- угольника АВС, противулежащей углу при С равному ВАВ; такъ та же АВ, сторона треугольника АВВ, прогпивулежащая УгДУ при В, къ ВС, сторонѣ треугольника А®^’ противулежащей углу ВАС равному УгЛ^ при В; и такъ же ВА, прогпивулежащая ПРЯ мому углу АВВ, къ АС, противулежаШеІ* прямому углу АВС. Чего ради треугольн,іК
КНИГА ШЕСТАЯ. 2І7 подобенъ треугольнику АВС. Итакъ, ежели въ прямоугольномъ, и проч, ц. П Д. п- Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что есть- въ прямоугольномъ треугольникѣ отъ прямаго угла къ основанію проведена бу- детъ перпендикулярная : то проведенная есть средняя пропорціональная отрѣз-г качъ основанія ; и также сторона при копюромъ ниесть отрѣзкѣ , есть сред- няя пропорціональная основанію и оному отрѣзку. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Оптъ данной прямой отнять назначенную часть. Пусть будетъ АВ данная прямая. Надле- житъ отъ прямой АВ отнять назначенную часть. Пусть назначена будетъ третья. Про- веДи отъ А прямую АС , содержащую ка- к°й ниесшь уголъ съ прямою АВ; и возьми На АС какую ниесть точку О; и положи прямыя ВЕ, ЕС равныя прямой АВ*; и протя- 1,11 ВС; и чрезъ В проведи , параллельную ВС, прямую ВЕ'. Поелику къ ВС , одной изъ сторонъ тре-
аі8 Э В К Л И Д, НАЧАЛЪ угольника АВС , проведена параллельная рр ** то какъ СБ къ ВА, такъ ВЕ къ Ед* ц' СВ есть двукратная прямой ВА; посем и ВГ двукратная прямой РА. Чего ради ВА есть трекрашная прямой АЕ. Итакъ отъ данной прямой АВ отнята назначенная третья часть, прямая АГ Ч. И С. н. (64). ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Данную перазсѣченную прямую разсѣчь по- добно данной разсѣченной прямой. Пусть будетъ АВ данная поразсѣченная прямая , а АС разсѣченная. Надлежитъ не- разсѣченную АВ разсѣчь подобно разсѣчен- ной АС. Пусть разсѣчена будетъ АС въ точкахъ В, Е. Положи прямыя АВ , АС, такъ чтобы онѣ содержали какой ниесть уголъ ; и про- тяни СВ; и чрезъ В , Е проведи, парал- лельныя къ ВС, прямыя ВЕ, ЕС; и чрезъ С же проведи, параллельную къ АВ,прямую ВНЬ Итакъ каждый изъ четыреугольниковъ ГН , НВ есть параллелограммъ ; посему *34,і-равна ЕС, а НК равна СВ*. II поелику къ ГС одной изъ сторонъ треугольника ВКЕ ’ проведна параллельная НЕ; то какъ СЕ кЪ
КИНГА ШЕСТАЯ. 2ід рр такъ КН къ 11В*. Но КН равна ВО, а *з. рр равна 6?; посему какъ СЕ къ ЕВ, такъ рб къ СГ". Еще же, поелику къ ЕС, одной *7ИІІА'« изъ сторонъ треугольника АСЕ , проведена параллелыіая ГВ ; то какъ ЕВ къ ВА. такъ СГ къ ГА. А доказано, что какъ СЕ къ ЕВ, піакъ ВО къ ОГ : чего ради , какъ СЕ къ рр, такъ ВО къ СГ; ц какъ ЕВ къ ВА, такъ ОГ къ ГА. Итакъ данная неразсѣченная прямая АВ разсѣчена подобно данной разрѣченной пря- мой АС. Ч. и С. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Двумъ даннымъ прямымъ найти третью пропорціональную. П\ сть будутъ АВ , АС двѣ данныя пря- мыя 5 и пусть положены будутъ такъ, чтобы содержали какой ппесть уголъ. На- длежитъ найти прямымъ АВ, АС третью пропорціональную. Продолжи АВ , АС къ точкамъ В , Е; и положи прямую ВВ равную АС ; и протяни ; и чрезъ В проведи къ пей параллель* "ую ВЕ. Ноелику къ ВЕ , одной изъ сторонъ тре- .'г°лыіика АВЕ, проведена параллельная ВС;
220 Э В К Л П Д. НАЧАЛЪ *2. що каръ АВ къ ВВ, такъ АС къ СЕ ц ВВ равна АС : чего ради какъ АВ къ др •ущцѴ.такъ АС къ СЕ*. ’ Итакъ двумъ даннымъ прямымъ АВ найдена гпрещья пропорціональная И ч. И с. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XII. Тремъ даннымъ прямымъ найти четвер- тую пропорціональную. Пусть будутъ А, В,С три данныя прямыя. Надлежитъ найти прямымъ А, В, С четвер- тую пропорціональную. Проведи двѣ прямыя ВЕ, ВЕ содержа- щія какой ниесть уголъ ЕВЕ; и положи прямую ВС равную А, и прямую СЕ равіпю В, и еще прямую ВН равную С • и про- тянувъ СН, проведи чрезъ Е къ ней на" раллельную ЕГ. Поелику къ ЕГ, одной изъ сторонъ трс' угольника ВЕГ, проведена параллельная СП > •з. то какъ ВС къ СЕ, такъ ВН къ НЕ*. Но В равна А, а СЕ равна В, и ВН равна С. чего ради какъ А къ В, такъ С къ НЕ. Итакъ тремъ даннымъ прямымъ А, В, найдена четвертая пропорціональная Яг Ч. И С. И.
КНИГА ШЕСТАЯ. 221 ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХШ. пропорціональную. Пусть будутъ Двумъ даннымъ прямымъ найти среднюю АВ ВС двѣ данныя пря- ныя. Надлежитъ найши прямымъ АВ, ВС среднюю пропорціональную. Положи ихъ впрямъ • и напиши на АС полукружіе АВС • и проведи отъ точки В, подъ прямыми углами къ АС і прямую ВВ" и протяни АВ , ВС. Поелику уголъ АВС есть въ полукружіи,то онъ прямой*. II Поелику въ прямоугольномъ *3і}ці. треугольникъ АВС, отъ прямаго угла къ основанію проведена перпендикулярная ВВ 5 то ВВ есть средняя пропорціональная ос- нованія отрѣзкамъ АВ , ВС*. *слѣ:8. Итакъ двумъ даннымъ прямымъ АВ, ВС вайдена средняя пропорціональная ВВ. Ч. И С. п. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV. Равныхъ параллелограммовъ и имѣющихъ °Динъ уголъ равный одному углу, Стороны, около равныхъ угловъ , обратно суть пропорціональныя: И которыхъ паралле- Лограммовъ, имѣющихъ одинъ уголъ равный
□ 22 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ одному углу, стороны около равныхъ ѵг- ловъ обратно пропорціональны, тѣ сугА равные. Пусть будутъ АВ, ВС равные Паралле- лограммы,' имѣющіе углы при В равные. Положи впрямъ ПВ, ВЕ; посему и ГВ, ВС 14>Т- будутъ впрямъ*. Говорю , что параллело- граммовъ АВ,ВС стороны,кои около равныхъ угловъ, обратно сушь пропорціональныя, ню есть , что какъ ПВ къ ВЕ, такъ СВ къ ВК. Дополни параллелограммъ ГЕ. Поелику параллелограммъ АВ равенъ парал- лелограмму ВС; а ГЕ есть другой нѣкій Параллелограммъ: то какъ АВ къ ГЕ, такъ *;,ѵ. ВС къ ГЕ*. Но какъ АВ къ ГЕ, такъ ПВ къ *і. ВЕ*; а какъ ВС къ ГЕ, такъ СВ къ ВГ*: по- сему какъ ПВ къ ВЕ, такъ СВ къ ВГ. Чего ради параллелограммовъ АВ, ВС стороны, кой околс? равныхъ угловъ,- обратно суть пропорціональныя. Но пусть будутъ стороны около равныхъ угловъ обратно ііропорціопалыіыя,- шо есть, пусть будетъ какъ ПВ къ ВЕ, такъ СВ къ ВГ. Говорю , что параллелограммъ АВ равейъ параллелограмму ВС. Поелику какъ ПВ къ ВЕ, такъ СВ къ ВГ; но какъ ПВ къ ВЕ, такъ параллело- *і. граммъ АВ къ параллелограмму ГЕ-*; а какъ
КНИГА шестая. 22З 6В КЪ ВЕ, такъ параллелограммъ ВС къ папаЛлелограмму СЕ: посему какъ АВ къ ЕЕ, ^акъ ВС къ ЕЕ*. Чего ради параллелограммъ *ц,Ѵ. дВ равенъ параллелограмму ВС*. »9,у. Пгпакъ равныхъ параллелограммовъ^ и пр* Ч. И А- н- (б5)- предложеніе хк , Равныхъ треугольниковъ и имѣющихъ одинъ уголъ равный одному углу , стороны , кои около равныхъ угловъ,обратно су піь про- порціональны: II которыхъ треугольниковъ, имѣющихъ одинъ уголъ равный одному углу, стороны около равныхъ угловъ обратно пропорціональны, тѣ суть равные. Пусть будутъ АВС, ЛВЁ равные тре- угольники, имѣющіе одинъ уголъ равный одному углу, а именно, уголъ ВАС углу ®АЕ. Говорю, что треугольниковъ АВС, АВЕ оиіоропьцкои около равныхъ угловъ, обратно сУ>пь пропорціональныя, то есть , что какъ къ АВ, такъ ЕА къ АВ. Воложи впрямъ СА съ АВ, посему будетъ Е,,р ямъ и ЕА съ АВ*’ и протяни ВВ. *і4-г Воелику треугольникъ АВС равенъ шре- ВольнИКу ДПЕ; а АВВ есть другой нѣкій голь никъ: то какъ треугольникъ САВ
Э В К Л И Д. НАЧАЛА къ треугольнику ВАВ, такъ треѵго.лЬни •;,ѵ. АВЕ къ треугольнику ВАВ*. Но какъ щре угольникъ САВ къ треугольнику ВАВ, п-Іаі; •і. СА къ АВ - а какъ треугольникъ ЕАВ Къ треугольнику ВАВ^ такъ ЕА къ АВ: посему *п,ѵ. какъ СА къ АВ, такъ ЕА къ АВ*. Чего ради треугольниковъ АВС , АВЕ стороны, кои около равныхъ угловъ, обратно суть про- порціональныя. Но пусть будутъ треугольниковъ АВС, АВЕ стороны обратно пропорціональныя то есть, какъ СА къ АВ, такъ ЕА къ АВ. Говорю что треугольникъ АВС равенъ треугольнику АВЕ. Ибо, протянувъ оііять ВВ, поелийу какъ СА къ АВ, такъ ЕА къ АВ- но какъ СА къ АВ, такъ треугольникъ АВС къ треуголь- *і.нику ВАВ*; а какъ ЕА къ АВ, такъ тре- угольникъ ЕАВ къ треугольнику ВАВ: по- сему какъ треугольникъ АВС къ треуголь- нику ВАВ, такъ треугольникъ ЕАВ къ гаре' угольнику ВАВ*. Итакъ каждый изъ пірс' угольниковъ АВС, АВЕ къ треугольнику ВАВ имѣетъ тоже отношеніе: чего ради іпре' »д,Ѵ. угольникъ АВС равенъ треугольнику ЕАВ • Ишакъ равныхъ треугольниковъ, и йро4, Ч. И д. н. (66].
КНИГА шестая. аэ5 ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVI. Еягелгі четыре ПрЯмыя Пропорціональны’ 0 прямоугольникъ содержимый въ край- вйХЪ равенъ прямоугольнику содержимому въ среднихъ: И ежели прямоугольникъ со- I держимый въ крайнихъ равенъ прямоуголь- нику содержимому въ среднихъ» ; гпо Сіи четыре прямыя будутъ Пропорціональны. Пусгпь будутъ четыре прямыя АВ , СП, Е, Г пропорціональныя , гпо есть какъ АВ къ СП, такъ Е къ Е. Говорю , что пря- моугольникъ содержимый въ АВ , Г равенъ прямоугольнику содержимому въ СВ , Е. Проведи отъ точекъ А, С, подъ прямыми углами къ АВ, СВ, прямыя АС, СН; и Положи прямую АС равную Г, а Прямую СН равную Е; и доПолни Параллелограммы ВС, ВН. Поелику какъ АВ къ СВ, такі» Е къ Г ; в° Е равна СН , а Г равна АС : то Какъ АВ къ СП? такъ СН къ АС*} посему парйлле- *7 «и V Граммовъ ВС, ВН стороны, кои около рав- I иыхъ угловъ, обратно суть пройорціопаль- ®Ыя- А которыхъ равноугольныхъ параллело- грамовъ стороны около равныхъ угловъ об- Рагг<но пропорціональны, тЪ суть равные*; *і4- п°сему параллелограммъ ВС равенъ парал- ел°грамму ВН. Но ВС есть прямоуголь- 15
216 Э В К Л II Д. Н А Ч Д дъ никъ въ АВ, Е , ибо АС равна Г . а есть прямоугольникъ въ СВ, Е, ибо СЦ вна Е : чего ради прямоугольникъ содер/„ мый въ АВ , Е равенъ Прямоугольнику Со держимому въ СВ) Е. Но пусть прямоугольникъ содержимый еі АВ, Е будетъ равенъ прямоугольнику содер- жимому въ СВ , Е. Говорю , что сіи че- тыре прямыя будутъ пропорціональныя* а именно, какъ АВ къ СВ, такъ Е къ Г. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, поелику пря- моугольникъ въ АВ, Г равенъ прямоугольный въ СВ, Е: но прямоугольникъ въ АВ, Е есть ВС, ибо АС равна Г; а прямоугольникъ въ СП, Е есть ВН, ибо СН равна Е: посему прямо- угольникъ ВС равенъ прямоугольнику ВН. Они же и равноугольные: А равныхъ и равноуголь- ныхъ параллелограммовъ стороны около рав- ныхъ угловъ Сушь обратно пропорціональ- »14. пыя*: посему какъ АВ къ СВ, такъ СН къ Но СН равна Е у а АС равна Е: чего ради 7ші,ѵ.какъ АВ къ СВ, такъ Е къ Е*. Ишакъ, ежели четыре, и пр. Ч. И Д. Н. (б;)- ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХѴП. Ежели три прямыя пропорціональны ? 111 прямоугольникъ содержимый въ кра*11,иХ
КНИГА ШЕСТАЯ. 237 лвенъ квадрату изъ средней: И ежели чоуГольникъ содержимый въ крайнихъ лвеПъ квадрату изъ средней ; то сіи три I прямыя будутъ пропорціональны. Щсть будутъ три прямыя А, В, С про- порціональныя , то есть, какъ А къ В, такъ В Къ С. Говорю, чі ю прямоугольникъ со- держимый въ А, С равенъ квадрату изъ В. Положи прямую Б равную В. Поелику какъ А къ В, такъ В къ С; но В равна Б: то какъ А къ В, такъ Б къ С*. | естьли четыре прямыя пропорціональны; то прямоугольникъ содержимый въ крайчихъ ' равенъ прямоугольнику содержимому въ сред- нихъ*: посему прямоугольникъ въ А, С равенъ *іб. прямоугольнику въ В, Б. Но прямоугольникъ ВЪ В, В равенъ квадрату изъ В, ибо В равна Ь: чего ради прямоугольникъ содержимый въ А, С равенъ квадрату изъ В. Но пусть прямоугольникъ въ А, С будетъ равенъ квадрату изъ В. Говорю , что какъ къ В, такъ В къ С. , сдѣлавъ тоже строеніе, поелику ^'оугольнпкъ въ А, С равенъ квадрату изъ ’ ’ Но Квадратъ изъ В равенъ прямоугольнику ] Ъ В, ибо В равна Б: посему прямоуголь- въ с равенъ прямоугольнику въ В, Б. ес*Пьли прямоугольникъ въ крайнихъ
из8 ЭВКЛИД: НАЧАЛЪ равенъ прямоугольнику въ среднихъ • .. . * Ч]0 еіи четыре прямыя пропорціональны*; сему какъ А къ В, такъ В къ С. Но В равна В: чего ради какъ А къ В, такъ В къ С Итакщежели три прямыя,ипр. ч. и д. н.[(^ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХѴЩ. Изъ данной прямой написать прямолиней- ную фигуру подобную данной прямолинейной фигурѣ и подобно положенную; Пусть будетъ АВ данная прямая, а СЕ данная прямолинейная фигура. Надлежитъ изъ прямой АВ написать прямолинейную фигуру подобную прямолинейной фигурѣ СЕ и подобно положенную. Протяни ВЕ • и составь при прямой АБ и при точкакъ на ней А, В, уголъ САВ рав- ный углу С, а уголъ АВС равный углу СВЕ посему октальной уголъ СРВ равенъ осталь- ному АСВ. Итакъ треугольникъ ЕСВ есть равноугольный треугольнику САВ*; а пос?’1' какъ ЕВ къ СВ такъ ГС къ СА, и такъ *4- СВ къ АВ*. Еще же, составь при иряѵ°® ВС и при точкахъ на ней В, С, уголъ ѣ равный углу ВЕЕ, а уголъ СВН равный ЕВЕ; посему остальной уголъ при Е равСІ остальному углу при Н. Итакъ тре)г°л
КНИГА ШЕСТАЯ. 229 ицісь ГЕЕ есть равноугольный треуголъ- ку 6ВН; а посему какъ ВЕ къ СВ, пІІ,къ ГЕ къ СН, и піакъ ЕВ къ НВ. А доказано, что какъ ЕВ къ СВ, такъ и ЕС къ СА, и такъ СВ къ АВ; посему и какъ ЕС къ АС, такъ и СВ къ АВ, и такъ ГЕ къ СН, и еще, такъ ЕВ къ НВ*. II поелику уголъ *ц,ѵ. СЕВ равенъ углу АСВ, и уголъ ВЕЕ углу ВСН; посему цѣлый уголъ СЕЕ равенъ цѣлому углу АСН. Потому же и уголъ СВЕ равенъ углу АВН. II еще уголъ при С равенъ углу при Л, а уголъ при Е углу при Н: посему фигура АІ1 равноугольна фигурѣ СЕ, и стороны ихъ, кои около равныхъ угловъ, суть пропорці- ональныя; чего ради фигура АН подобна фигурѣ СЕ*. опр. і Итакъ, изъ данной прямой АВ написана прямолинейная фигура АН подобная данной прямолинейной фигурѣ СЕ и подобно поло- женная. ч. ц с. н ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIX. Подобные треугольники взаимно суть въ .'Двоенномъ отношеніи сходственныхъ сто- ронъ. Пусть будутъ треугольники АВС, ВЕЕ Удобные, имѣющіе уголъ при В равный
аЗо Э В КЛ И д. началъ углу при Е; и АВ къ ВС какъ ВЕ къ Е|' такъ что сторона ВС есть сходственная ЕЕ. Говорю, что треугольникъ АВС Къ треугольнику СЕЕ имѣетъ удвоенное 0П] ношеніе стороны ВС къ сторонѣ ЕГ. Возьми прямымъ ВС, ЕЕ третьи) про- порціональную ВС, такъ чтобъ было, какъ ВС къ ЕЕ, такъ ЕЕ къ ВС*; и протяни СД. Поелику какъ АВ къ ВС, такъ СЕ къ ЕЕ- то премѣненіемъ, какъ АВ къ СЕ, такъ ВС къ ЕЕ*. Но какъ ВС къ ЕГ, такъ ЕГ къ ВС • посему и какъ АВ къ СЕ, такъ ЕГ къ ВС*; а посему треугольниковъ АВС, ВЕЕ стороны около равныхъ угловъ суть обратно пропорціональныя. А которыхъ треугольни- ковъ, имѣющихъ одинъ уголъ равный одному углу, стороны около равныхъ угловъ обрат- но пропорціональны, тѣ суть равные*; по- сему треугольникъ АВС равенъ треугольнику ПЕ ?. II поелику какъ ВС къ ЕЕ, такъ ЕЕ къ ВС; а естьли три прямыя пропорціональ- ны , то говорится , что первая къ третьей имѣетъ удвоенное отношеніе первыя к° второй*: посему ВС къ ВС имѣетъ удвоен- ное отношеніе прямыя ВС къ ЕГ. А каІСЬ ВС къ ВС, такъ треугольникъ АВС къ тр® угольнику ЛВС*; посему и треугольникъ А къ треугольнику ЛВС имѣетъ удвоенно®
КНИГА ШЕСТА ради ВЕЕ аЗг ^ношеніе прямыя ВС къ ЕГ. Но гпреуголь- щікъ АВС равенъ треугольнику БЕЕ; чего и треугольникъ АВС къ треугольнику имѣетъ удвоенное отношеніе прямыя БС къ ЕГ*- *7>г- Итакъ, подобные, и проч. Ч. И д. Н. Слѣдствіе. Откуда явствуетъ , что естьли три прямыя пропорціональны • то какъ первая къ третьей, такъ треугольникъ изъ первой къ треугольнику подобному и подобно написанному изъ второй: поелику доказано, что какъ СВ къ ВС, такъ тре- угольникъ АВС къ треугольнику АВС, то есть къ треугольнику БЕЕ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XX. Подобные многоугольники раздѣлять Можно на подобные треугольники , равно- чиогіе, и сходственные съ цѣлыми много- угольниками : II многоугольникъ къ много- угольнику имѣетъ удвоенное отношеніе Сходсгпвеіпіыя стороны къ сходственной с*поропѣ. Пусть будутъ многоугольники ЛВСБЕ, подобные ; и пусть будетъ сто- рона Др сходственная съ ГС. Говорю, что ‘”гогоугольники АВСВЕ, ГСНКБ раздѣлять
□За ЭВКЛРД. НАЗАДЪ можно на подобные треугольники, равно многіе, и сходственные съ цѣлыми много угольниками \ и чшо многоугольникъ АВС1)р ] къ многоугольнику І'СНКЬ имѣетъ удвоен ное отношеніе прямыя АВ къ ЕС. Протяни ВЕ, ЕС, СЬ, ЫІ. Поелику многоугольникъ АВСБЕ подобенъ многоугольнику ЕСНКЬ : то уголъ Вдр равенъ углу СЕЬ; и какъ ВА къ АЕ, піакъ чмір.і. ЕС къ ЕЬ*. Итакъ, поелику два треугольника АВЕ, ГСЬ имѣютъ одинъ уголъ равный одному углу, и стороны около равныхъ угловъ пропорціональныя': то треугольникъ • 6. АВЕ есть равноугольный треугольнику Г6Ц % слѣдственно и подобенъ ему*" посему уголъ АВЕ равенъ углу ЕСЬ. Но и цѣлый уголъ АВС равенъ цѣлому ГСН, по подобію многоуголь- никовъ; посему остальной уголъ ЕВС ра- венъ остальному ЬСН. И поелику, по по- добію треугольниковъ АВЕ, ГСЬ, какъ ЕВ къ ВА, такъ ЬС къ СГ; а по подобію мно- гоугольниковъ , какъ АВ къ ВС, такъ къ СН: то равномѣстно, какъ ЕВ къВС *22,ѵ. такъ ЬС къ СН*; то есть, около равныхъ угловъ ЕВС, ЬСН стороны пропорціональны) посему треугольникъ ЕВС есть равноуголъ • 6. ный треугольнику ЬСН*, слѣдственно и по * 4- добенъ ему*. Потому же и треугольникъ В
КНИГА ШЕСТАЯ. аЗЗ подобенъ треугольнику ІДІК. Итакъ по- добные многоугольники АВСВЕ, ЕСНКЬ раздѣлены на подобные треугольники равно- многіе. Говорю же, что сіи треугольники сход- ственны съ цѣлыми многоугольниками, то есть пропорціональны имъ; и что предъ- идущіе суть АВЕ, ЕВС, ЕСВ, а послѣдую- щіе ихъ ЕСЬ, ЬСН, ЬНК; и что много- угольникъ АВСВЕ къ многоугольнику ЕСНКЬ имѣетъ удвоенное отношеніе сходственной стороны къ сходственной сторонѣ, то есть АВ къ ГС. Протяни АС, ЕН. Поелику, по подобію многоугольниковъ, и уголъ АВС равенъ углу ЕСН, и какъ АВ къ ВС такъ ЕС къ СН: гпо треугольникъ АВС есть равноугольный треугольнику ГСП*; по-*6. сему уголъ ВАС равенъ углу СЕН, а уголъ ВСА углу СНГ. И поелику уголъ ВАМ равенъ углу СЕА; доказано же, что и уголъ АВМ равенъ УГЛУ ГСК: посему и остальной уголъ АМВ Равенъ остальному ЕКС*; и потому гпре-ЧгД. Дольникъ АВМ есть равноугольный тре- угольнику ЕСК. Подобно докажемъ, что и треугольникъ ВМС есть равноугольный щре- Уг°льнику СКН. Чего ради, какъ АМ къ такъ ГК къ КС; и каьѣ ВМ къ МС,
ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ % такъ С№ къ КН*: слѣдственно, и равц0 *22,г. мѣстно, какъ АМ къ МС, такъ ГК къ Но какъ АМ къ МС, такъ треугольникъ АВА! къ треугольнику МВС, и такъ треугольникъ АМЕ къ треугольнику ЕМС, ибо они суть взаимно какъ основанія* и какъ одинъ предъ- идущій къ одному послѣдующему , такъ всѣ •і2,Ѵ. предъидущіе ко всѣмъ послѣдующимъ*; по- сему какъ треугольникъ АМВ къ треуголь- нику ВМС, такъ треугольникъ АВЕ къ треугольнику СВЕ. Но какъ треугольникъ АМВ къ треугольнику ВМС, такъ АМ къ МС; посему и какъ АМ къ МС, такъ шре- *п,ѵ. угольникъ АВЕ къ треугольнику ЕВС*. По- тому же и какъ РК къ КН, такъ треуголь- никъ РСЕ къ треугольнику СЕН. Поелику же какъ АМ къ МС, такъ РК къ КН: посему и какъ треугольникъ АВЕ къ треугольнику ВЕС, такъ треугольникъ РСЕ къ треугольнику *п,Ѵ. СІІЬ*) и премѣненіемъ, какъ треугольникъ АВЕ къ треугольнику РСЕ, такъ гпреуголь- *іб,Ѵ. никъ ВЕС къ треугольнику СЕН*. Подобію докажемъ, протянувъ ВВ, СК, что какъ гпре' угольникъ ВЕС къ треугольнику СЕН, такъ треугольникъ ЕСВ къ треугольнику ЕНК И поелику какъ треугольникъ АВЕ къ тре" угольнику РСЕ, такъ ЕВС къ ЕСН, и такъ ЕСВ къ ЕНК: то и какъ одинъ преДъ
КНИГА ШЕСТАЯ. 235 идущій КЪ одному послѣдующему, такъ всѣ предъидущіе ко всЬмъ послѣдующимъ*; посе- *і2,Ѵ. ,п какъ треугольникъ АВЕ къ треугольнику рбЬ, такъ многоугольникъ АВСВЕ къ много- угольнику ГСНКЬ. Но треугольникъ АВЕ къ треугольнику ГСЬ имѣетъ удвоенное от- ношеніе сходственной стороны АВ къ сход- ственной сторонѣ ГС; ибо подобные тре- угольники суть въ удвоенномъ отношеніи сходственныхъ сторонъ*: чего ради и много- *і9* угольникъ АВСВЕ къ многоугольнику ГСНКЬ имѣетъ удвоенное отношеніе сходственной стороны АВ къ сходственной сторонѣ ЕС. Итакъ подобные , и проч. Ч. и д. И. Слѣдствіе I. Такимъ же образомъ до- кажешся и о подобныхъ четыреугольникахъ, что они сушь въ удвоенномъ отношеніи сходственныхъ сторонъ. Доказано же сіе и о треугольникахъ: слѣдственно вообще Подобныя прямолинейныя фигуры суть вза- имно въ удвоенномъ отношеніи сходст- ®енныхъ сторонъ. Слѣдствіе II. Ежели прямымъ АВ, ЕС *°зьмемъ третью пропорціональную О; то Ь къ О имѣетъ удвоенное отношеніе пря- >ІЬ1Я АВ къ ГС*. А и многоугольникъ къ много- ^гольнику и четыреугольникъ къ четыре- *ОП.ІО;У
Э ? к Л И Д. НАЧАЛЪ угольнику имѣетъ удвоенное ошвоще^ сходственной стороны къ сходсшвеццОи сторонѣ, то есть АВ къ ЕС; доказано Чд. сіе и о треугольникахъ*: слѣдственно ц вообще явствуетъ, что естьли три прямыя пропорціональны; то будетъ какъ первая къ третьей, такъ прямолинейная фигура изъ первой къ прямолинейной фигурѣ подоб- ной и подобно написанной изъ второй. (6д). иначе. Мы докажемъ иначе и короче, что треугольники суть сходственные. Цзложп еще многоугольники АрСВЕ, ГСНКЕ; и протяни ВЕ, ЕС, СЬ, ЕН. Гово- рю, что какъ треугольникъ АВЕ къ тре- угольнику ЕСЬ, такъ ЕВС къ ЬСП, и такъ СПЕ къ ІІКЬ. Поелику треугольникъ АВЕ подобенъ тре- угольнику ЕСЬ’ то треугольникъ АВЕ къ треугольнику ЕСЕ имѣетъ удвоенное ош- ♦ід. ношеніе прямыя ВЕ къ СЕ*. Потому же « треугольникъ ВЕС къ треугольнику' СіЛ имѣетъ удвоенное отношеніе прямыя БЕ къ СЕ: чего ради какъ треугольникъ АБЕ къ треугольнику' ЕСЕ, такъ ЕВС къ ЬСН- Еще же, поелику треугольникъ ЕВС по- добенъ треугольнику' ЕСІІ; то шреуг°и’ никъ ЕВС къ треугольнику ЕСН и-мѣегп1»
КНИГА ШЕСТАЯ. 2З7 ѵдвоепнос отношеніе прямыя СЕ къ НЬ уоПіому же и треугольникъ ЕСІ) къ тре- ѵгольнику ЫІК имѣетъ удвоенное от- ношеніе прямыя СЕ къ ИЬ: чею ради какъ шр(^ іоДьникъ ЕВС къ треугольнику ЬСН, піанъ ЕСЙ къ ЬНК*. А доказано , что какъ*іі,Ѵ. РВС къ Е6Н, такъ и АВЕ къ ЕСЬ; слѣд- ственно какъ АВЕ Къ ЕСЬ, такъ ВЕС къ СШ, и такъ ЕСВ къ ЬНК. II потому какъ одинъ предъидущій къ одному послѣ- дующему , такъ всѣ предъидущіе ко всѣмъ послѣдующимъ, и прочее какъ въ первомъ показано. Ч. И Д. Й. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXI. Прямолинейныя фигуры, подобныя тойже прямолинейной фигурѣ, суть и взаимно подобны. Пусть будетъ каждая изъ прямолинейныхъ фигуръ А, В подобна фигурѣ С. Говорю, чіпо и А подобна В. Поелику фигура А подобна фигурѣ С: п’° °нѣ равноугольны ; и стороны ихъ, кои °Кол° равныхъ угловъ , суть пропорціо- ,'альныя*. Еще же, поелику фигура В подобна *опр.і г’Туріз (у. то оп^ равноугольны * и сторо- Яьі Ихъ, Кои около равныхъ угловъ, суть
238 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ "опр.і. пропорціональныя*. Посему каждая изъ фи туръ А, В фигурѣ С равноугольна ; и спю роны ихъ, кои около равныхъ угловъ сушь пропорціональныя: и слѣдственно фигура А равноугольна фигурѣ В- и СіПо роны ихъ, кои около равныхъ угловъ *ы,Ѵ. суть пропорціональныя*. Итакъ фигура А Подобна фигурѣ В. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXII. Ежели четыре прямыя сушь пропорціо- нальны ’ то и прямолинейныя фигуры по- добныя и подобно изъ нихъ написанныя, будутъ пропорціональны: И ежели прямо- линейныя фигуры подобныя и подобно изъ четырехъ прямыхъ написанныя сушь про- порціональны ’ то и самыя прямыя будутъ пропорціональны. П)сгнь будутъ четыре прямыя АВ, СВ, ЕГ, СН пропорціональныя, шо есть, какъ АВ къ СБ, такъ ЕГ къ СН; и пусть бу- дутъ написаны изъ прямыхъ АВ, СВ і10' добныя и подобно положенныя прямблинен- ныя фигуры КАВ, ЬСБ; а изъ Прямыхъ ВЕ СН подобныя и подобно положенныя пря- молинейныя фигуры МГ, ХН. Говорю, чгП°
КНИГА ШЕСТАЯ. 2З9 какъ фигура КАВ къ фигурѣ ЕСВ, такъ фигура МГ къ фигурѣ КН. Возьми прямымъ АВ, СВ третью пропор- ціональную 0} а прямымъ ЕГ, ОН третью *ц. пропорціональную Р. Поелику какъ АВ къ СВ, такъ ЕГ къ СН} а какъ СВ къ О, такъ СН къ Р: то равномѣстно, какъ АВ къ О, такъ ЕГ къ Р*. Но какъ АВ къ О, *22,ѵ. піакъ фигура КАВ къ фигурѣ ЕСВ*} а какъ*сл.2,2е ЕГ къ Р, такъ фигура МЕ къ фигурѣ КН: чего ради какъ фигура КАВ къ фигурѣ ЕСВ, такъ фигура МГ къ фигурѣ ЛИ*. *и,ѵ. Но пусть будетъ какъ фигура КАВ къ фигурѣ ЕСВ, такъ фигура МЕ къ фигурѣ КН. Говорю, что какъ АВ къ СВ, такъ ЕГ къ СН. Сдѣлай какъ АВ къ СВ, такъЕГ къ (^В*} *і-і. и напиши изъ ()Рі прямолинейную фигуру 8К*, подобную каждой изъ фигуръ МГ, КН *і8. и подобно положенную. Поелику какъ АВ къ СВ, такъ ЕГ къ' ()К} и написаны изъ прямыхъ хАВ, СВ подобныя и подобно положенныя фигуры КАВ, ЕСВ} а изъ прямыхъ ЕЕ, ()Н подобныя и подобно Положенныя фигуры МГ, 8Н: то какъ фи- гУра КАВ къ фигурѣ ЕСВ, такъ фигура къ фигурѣ 8Н. А по положенію , какъ ФІІ!Ура КАВ къ фигурѣ ЕСВ, такъ фигура
Э В К Л И Д. НАЧАДИ 2,{О МЕ къ фигурѣ МІ; посему фигура МГ каждой изъ фигуръ КН, 8В. имѣетъ піоаіе *п,ѵ. отношеніе*; а посему фигура КН равна фи *9>г- гурѣ 8ВЛ Но она ей подобна и подобно по. *лёмм*. ложенная; посему СП равна (Ѵ)К*. II поед0. ку какъ АВ къ СВ, такъ ЕЕ къ ур. а ()Г! равна СН: посему какъ АВ къ СВ, такъ ЕЕ къ СН*. Ишакъ, ежели четыре, и пр. Ч. И д. н. (п0). ЛЕММА. А что, ежели прямолинейныя фигуры равны и гібдобны, то сходственныя ихъ стороны взаимно равны, мы фіе такъ докажемъ : Пусть будутъ фигуры КН, 8В равныя и подобныя; и пусть будутъ какъ НС къ СК, такъ В(^ къ (^8. Говорю, что Е() равна НС. Буде же онѣ неравны; гпо одна изъ нихъ больше. Пусть будетъ В<2 больше СН. Поелику какъ В() къ (<>8, такъ НС къ СЬ; то и премѣненіемъ, какъ В() Къ НС, такъ •хб,Ѵ. ()8 къ СК*. Но ()К больше НС; посезі] и ()8 больше СК; слѣдственно В8 большг НК. Но и равна ей: что невозможно. ^еГ0 ради ()В не неравна СН; слѣдственно равІ,а ей. ч, и д. н.
КНИГА ШЕСТАЯ. 24Г ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIII. Равноугольные параллелограммы взаимно имѣютъ отношеніе сложенное изъ отноше- ній сторонъ, « кои около равныхъ угловъ ». Пусть будутъ АС, СГ, равноугольные па- раллелограммы , имѣющіе уголъ ВСН равный ѵглу ЕСВ. Говорю, что параллелограммъ АС къ параллелограмму СГ имѣетъ отношеніе сложенное изъ «отношеній}) сторонъ, кои около равныхъ угловъ, шо есть, изъ от- ношенія какое имѣетъ ВС къ СО, и от- кошенія какое имѣетъ НС къ СЕ. Положи • впрямъ ВС съ СО) то будетъ впрямъ и НС съ СЕ** и дополни паралле- *і4Л Лограммъ НС* и изложи какую ниесть прямою К; и сдѣлай какъ ВС къ СВ , такъ К кі Ь*, а какъ’ НС къ СЕ,' такъ Ь къ М*. *із. Итакъ отношенія К къ Е, и Ь къ М суть шѣже съ отношеніями сторонъ, ВС къ СВ, и ЬС къ СЕ. Но отношеніе К къ М сложенію изъ отношенія К къ Ь, и изъ отношенія Ь Къ М; слѣдственно и К къ М имѣетъ от- ношеніе сложенное изъ « отношеній » сто- ронъ*. Ц поелику какъ ВС къ СВ , такъ *опр.5. йараллелограммъ АС къ параллелограмму СН** *і. 110 какъ ВС къ СВ, такъ К къ Ь: то и ^акъ X къ Ь, такъ параллелограммъ АС къ 46
2$2 Э Ѣ К Л И Д. НАЧАЛЪ параллелограмму СН*< Еще же , Поелику какъ ВС къ СЕ, такъ параллелограммъ СЦ Къ параллелограмму СГ; но какъ ВС къ СЕ, такъ Е къ М: то и какъ Ь кѣ М, такъ паралле_ лограммъ СН къ параллелограмму СГ. 1'Ігпакъ, поелику доказано, что какъ К къ Ь, такъ параллелограммъ АС къ параллелограмму СН; и что какъ Ь къ М, такъ параллелограммъ СН къ параллелограмму СГ: то равномѣеш- но, какъ К къ М, такъ параллелограммъ АС *22}Ѵ. къ параллелограмму СГ*. Не* К къ М имѣетъ отношеніе сложенное изъ «отношеній» сторонъ: чего ради и параллелограммъ АС къ параллелограмму СГ имѣетъ отношеніе сложенное изъ « отношеній » сторонъ. Итакъ равноугольные^ Проч. Ч. И Д. Н. (71). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIV. Во всякомъ параллелограммѣ параллело- граммы кои около поперечника, подобны суть и цѣлому и взаимно. Пусть будетъ АВСВ параллелограммъ, я АС его поперечникъ; и пусть около ііопереЧ' ника АС будутъ параллелограммы ЕС, Говорю, что каждый изъ параллелогра’1' мовъ ЕС, НК подобенъ цѣлому АВСВ, 11 также подобны суть взаимно.
КНИГА .ШЕСТАЯ. 2^3 Пделийу къ ВС, одной изъ сторонъ тре- .гольника АВС, проведена параллельная ЕС- 1і;0 какъ ВЕ къ ЕА, такъ СГ къ ГА*. Еще *а. іе поелику къ СВ , одной изъ сторонѣ (преугольника АСВ, проведена гіараллельная рО; то какъ СГ къ ГА, такъ ВС къ СА. Но какъ СГ къ ГА, такъ, по доказанному , и ВЕ къ ЕА 5 посему какъ ВЕ къ ЕА, такъ ВО къ СА*; а посему совокупленіемъ, какъ * г г, V. ВА къ АЕ такъ ВА къ АС*; а премѣненіемъ г *і8,ѵ. какъ ВА къ АВ, такъ ЕА къ АС*: Итакъ *і6,ѵ. параллелограммовъ АВСВ, ЕС стороны, кои около общаго угла ВАВ, суть пропорціональ- ны: И поелику СГ параллельна къ ВС; то уголъ АСГ равенъ углу АВС, а уголъ СГА углу ВСА*; и общій двумъ треугольникамъ АВС, *29Д- АСГ есть уголъ ВАС : посему треуголь- никъ АБС есть равноугольный треугольнику АСГ. Потому же и треугольникъ АСВ есть равноугольный треугольнику АГЕ: Чего ради и Цѣлый параллелограммъ АВСВ есть равно- угольный параллелограмму ЕС; и будетъ*: *4- *акъ дп къ ПС; такъ /АС къ СГ; и какъ къ СА такъ СГ къ ГА; и какъ АС къ итакъ АГ къ ГЕ; и еще, какъ СВ къ Ъ піакъ ГЕ къ ЕА. И поелику доказано, ,Гп° какъ ВС къ СА, такъ СГ къ ГА; и *акь АС къ СВ, такъ АГ къ ГЕ: то равно-
^44 э В К Л И Д. НАЧАЛЪ *22,ѵ. мѣстио, какъ ВС къ ВС, такъ СГ Къ рр, Итакъ параллелограммовъ АВСВ, ЕС сто- роны , кои около равныхъ угловъ, суть про. порціопальныя: И потому параллелограммъ *опр.і. АВСВ подобенъ параллелограмму ЕС*. Пото- му же параллелограммъ АВСВ подобенъ н параллелограмму НК. А посему каждый изъ параллелограммовъ ЕС, ПК подобенъ парал- лелограмму АВСВ. Но Прямолинейныя фи- гуры, Подобныя шойже прямолинейной фн- *2і. гурѣ , суть и взаимно подобны*: чего ради и параллелограммъ ЕС подобенъ параллело- грамму НК. Ишакъ во всякомъ, и проч. ч. и Д. Н. (72). > і- ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXV. Составить прямолинейную фигуру, одной данной прямолинейной фигурѣ подобною/ и другой данной равную. Пусть будутъ даны прямолинейныя фи' туры : одна, АВС , коей требуется соста- вить подобную, а другая, В, коей равп}’0- Надлежитъ составить фигуру, одной АЗС подобную, и друі ой В равную. Поставь по прямой ВС равный трсуг°лЬ„ 44иД5,І. нику АВС параллелограммъ ВЕ*- а по пря,,“И СЕ равный фигурѣ В параллелограммъ 1
прямымъ пі т СП’ КНИГА ШЕСТАЯ. зДэ й углѣ ЕСЕ равномъ углу СВЕ*: посему рС есгпь впрямъ съ СЕ, а ЕЕ съ ЕМ*. Возьми *2дш4,і ВС, СГ среднюю пропорціональ- *; и напиши изъ СН фигуру КСЦ*іЗ. подобную фигурѣ АВС и подобно по- ложенную*. *і8 Поелику какъ ВС къ СН, такъ СН къ СР; а естьли три прямыя пропорціональны, ЛЮ какъ первая къ третьей, гпакъ прямо- линейная фигура изъ первой къ подобной и подобно написанной прямолинейной фигурѣ изъ второй*: посему какъ ВС къ СЕ, такъ *сл.2,2о. треугольникъ АВС къ треугольнику КСН. Но какъ ВС къ СЕ, такъ и параллелограммъ ВЕ къ параллелограмму ЕЕ*; посему какъ*і- треугольникъ АВС къ треугольнику КСН, такъ параллелограммъ ВЕ къ параллелограм- му ЕЕ*; а посему премѣненіемъ, какъ шре-*и,г. угольникъ АВС къ параллелограмму ВЕ, такъ треугольникъ КСН къ параллелограмму ЕЕ*. *іб:Ѵ. Но треугольникъ АВС равенъ параллело- грамму ВЕ; посему и треугольникъ КСН равенъ параллелограмму ЕЕ. А параллело- граммъ ЕЕ равенъ фигурѣ В; посему и Треугольникъ КСН равенъ фигурѣ Н. Онъ *е и подобенъ треугольнику АВС. Ишакъ составлена прямолинейная фигура одной данной прямолинейной фигурѣ
□46 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ АВС подобная г а другой данной Б равная я. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVI. Ежели отъ параллелограмма отнимете# параллелограммъ, подобный цѣлому и по- добно положенный, имѣющій общій съ нимъ уголъ ’ то онъ будетъ около тогоже попе- речника что и цѣлый. Пусть отъ параллелограмма АВСБ от- нятъ будетъ параллелограммъ АЕГС, по- добный параллелограмму АВСВ и подобно положенный, имѣющій общій съ нимъ уголъ ВАВ. Говорю, что АВСБ есть около пю- гоже поперечника что ц АЕЕС. Ибо, естьли нѣтъ, то пусть, буде возможно , ихъ поперечникъ будетъ АНС; и проведи чрезъ Н, параллельную къ кото- рой ниесть изъ прямыхъ АБ, ВС, прямую НК. Поелику параллелограммы АВСВ, КС суНН» около тогоже поперечника; то параллело- ?24- грамъ АВСБ подобенъ параллелограмму КС*; •опр.і. посему какъ ВА къ АВ, такъ СА къ АК*- А по подобію параллелограммовъ АВСВ, ЕС, какъ ВА къ АВ, такъ и СА къ АЕ; посе~ му и какъ СА къ АК, такъ СА къ ^Е*- Ишакъ СД къ каждой изъ прямыхъ АК;АЕ
к П Г А ШЕСТАЯ. а47 имѣетъ тоже отношеніе ; и потому АЕ ра- вна АК*, меньшая большей, что невозможно. *9Л"> посему параллелограммы АВСВ, ЕС не будутъ не около тогоже поперечника : слѣд- ственно параллелограммъ АВСВ есть око- ло гпогоже поперечника что и параллело- граммъ АЕГ6. Итакъ, ежели отъ параллелограмма, и проч. ч, Ц Д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVII. Изъ всѣхъ поставляемыхъ по тойже пря- мой параллелограммовъ , коихъ недостатки суть параллелограммы подобные написан- ному изъ половины сей прямой и подобно положенные, параллелограммъ поставлен- ный по половинѣ, подобный своему недо- статку, есть наибольшій. Пусть будетъ АВ прямая, и пусть она раздѣлена будетъ по поламъ въ С‘ и пусть По АВ поставленъ будетъ параллелограммъ •И), коего называемый недостакокъ есть параллелограммъ СЕ подобный и одобно Положенный написанному изъ половицы Прямой АВ , то есть изъ СВ. Гово- Р10 > что изъ всѣхъ поставляемыхъ по Аѣ 41 параллелограммовъ, коихъ недостатки
243 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ суть параллелограммы подобные параѵ_ лелограмму СЕ и подобно написанные Наи большій есть АБ. Ибо поставь по прямой АВ параллелограммъ АЕ, коего недостатокъ есть параллелограммъ КН подобный пара_ѵ лелограмму СЕ и подобно положенный: то говорю, что АВ больше АЕ. Поелику параллеллограммъ СЕ подобенъ параллелограмму КН: то они суть около *2б. тогоже поперечника*. Проведи ихъ попе- речникъ ВВ’ и допиши фигуру. Поелику параллелограммъ СЕ равенъ па * 43,Г. раллелограмму ЕЕ*, придай обще КН’ посе- му и цѣлый параллелограммъ СН равенъ цѣ- • 36,1. лому КЕ. Но СН равенъ СС*, ибо АС ра- вна СВ; посему и СС равенъ ЕК. Придай обще СЕ; посему цѣлый параллелограммъ АЕ равенъ наугольнику ЬМАГ; и слѣдственно * 36,і. параллелограммъ СЕ, гпо есть АВ*, боль- ше параллелограмма АЕ. Пусть еще будетъ АВ раздѣлена по по- ламъ въ С; и поставленъ по ней пара-' лелограммъ АЬ, коего недостатокъ есіп* СМ. Поставь еще по АВ параллелогра'1ЧЪ АЕ, коего недостатокъ есть паралде'0 граммъ ВЕ подобный и подобно положенный параллелограмму СМ написанному изъ по-'0 вины прямой АВ. Говорю, что поставленный
КНИГА ШЕСТАЯ. 2 49 )]0 половинѣ прямой АВ параллелограмму дР, больше параллелограмма АЕ. Поелику параллелограммъ ВГ подобенъ па- раллелограмму СМ: шо они сушь около шо-» гоже поперечника*. Пусть будетъ ихъ по- *зб. перечникъ ЕВ; и допиши фигуру. Поелику параллелограммъ ЬГ равенъ па- раллелограмму ЕН*, ибо ГС равна СН; то *36Д. ІГ больше КЕ. Но ЬЕ равенъ ВЬ*; посему *43,Е и ПЬ больше ЕК. Придай обще КВ: чего ради и цѣлый параллелограммъ АЪ больше цѣлаго АЕ. Итакъ изъ всѣхъ, и проч. ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХѴІП. По данной прямой поставить равный данной прямолинейной фигурѣ параллело- граммъ, имѣющій недостатокъ подобный Данному параллелограмму. Но данная прямо- линейная фигура , коей равный надлежитъ доставить параллелограммъ, доджна быть Не больше параллелограмма поставленнаго 110 половинѣ той прямой, когда будутъ ^Достатки подобные, какъ поставлен- ваго по половинѣ, такъ и того , коему Долженъ быть подобенъ недостатокъ. ^усгпь будетъ АВ данная прямая; и С
э5о ЭѴКЛІІД- НАЧАЛЪ данная прямолинейная фигура, коей равны надлежитъ по АВ поставить параліе\0 грамму, не большая поставленнаго по подо винѣ оной , когда ихъ недостатки подобны- а В параллелограммъ , коему долженъ быіпь подобенъ недостатокъ. Надлежитъ по дан- ной прямой АВ поставить равный дайной Прямолинейной фигурѣ С параллелограммъ имѣющій недостатокъ подобный параллело- грамму Н. Раздѣли АВ по поламъ въ точкѣ Е; и изъ ЕВ напиши параллелограммъ ЕВРО подобный ♦18. параллелограмму Н и подобно положенной'; и дополни параллелограммъ АО. Ишакъ па- раллелограммъ АО или равенъ фигурѣ С, или больше оной , по ограниченію. Естьли АО равенъ С, гпо требуемое сдѣлано; ибо по данной прямой АВ поставленъ равный дан- ной прямолинейной фигурѣ С параллело- граммъ АС, имѣющій недостатокъ ЕЕ по- добный параллелограмму В. Естьли нѣтъ, то НЕ больше С. Но НЕ равенъ •36,1.0В*; посему и ОВ больше С. Итакъ со- ставь параллелограммъ КЕ1УШ равный из- бытку параллелограмма СВ предъ фигур0® С, а параллелограмму Н подобный и подобнр •з5. положенный*. Но Н подобенъ ОВ; посему •іі-Н КМ подобенъ СВ*. Пусть будетъ сщпр.Рна
к н и Г А ШЕСТАЯ. 2^1 Схо,дспівенна съ СЕ, а ЬМ съ СР. И поелику параллелограммъ СВ равенъ С, КМ; іі)0 СВ больше КМ; а посему и сіпо- р0ІІа СЕ больше стороны ЬК, и СГ боль- ше ІМ*. Положи прямую СО равную КЬ, *зо. и прямую СР равную ЬМ; и дополни парал- лелограммъ ОСРр. Чего ради параллело- граммъ Ср равенъ и подобенъ параллелограм- му КМ*. Но КМ подобенъ СВ; посему и Ср подобенъ СВ*; а посему Ср и СВ суть*яі. около того же поперечника*. Пусть будетъ *г6. ихъ поперечникъ СрВ; и допищи фигуру. Поелику параллелограммъ ВС равенъ С , КМ; и въ нихъ Ср равенъ КМ: гпо осталь- ной наугольникъ ѴХУ равенъ остальной фигурѣ С. II поелику РК равенъ 08*, придай *4М* обще рВ; посему и цѣлый РВ равенъ цѣлому ОВ. Но ОВ равенъ ТЕ*, ибо и сторона АЕ *36,Т. равна сторонѣ ЕВ; посему и ТЕ равенъ №. Придай обще 08; посему цѣлый парал- лелограммъ Т8 равенъ цѣлому наугольнику ѴХУ. Нр наугольникъ ѴХУ равенъ, по до- казанному, фигурѣ С: чего ради и парал- Лелограммъ Ар равенъ фигутрѣ С. Итакъ по данной прямой АВ поставленъ Равный данной прямолинейной фигурѣ С Парадлелограмъ 8Т, имѣющій недостатокъ подобный параллелограмму П, ибо рВ п°Добенъ Ср. Ч. И С. Н. (7З).
ЭЙ2 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIX. По данной прямой поставить равный данной прямолинейной фигурѣ параллело- граммъ, имѣющій избытокъ подобный дан- ному параллелограмму. Пусть будетъ АВ данная прямая, и С данная прямолинейная фигура, коей равный надлежитъ по АВ поставить параллело- граммъ ; а В параллелограммъ, коему дол- женъ быть подобенъ избытокъ. Надлежитъ по прямой АВ поставить равный прямоли- нейной фигурѣ С параллелограммъ, имѣющій избытокъ подобный параллелограмму В. Раздѣли АВ по поламъ въ Е; и изъ рВ напиши параллелограммъ ВЕ подобный *і8. параллелограмму Б и подобно положенный'; и составь параллелограммъ СН равный обѣ- имъ фигурамъ ВЕ, С, а параллелограмму О *а5. подобный и подобно положенный*. Посему и *2і. СН подобенъ ЕІЛ Пусть будетъ сторона КН сходственна съ ГЬ, а КС съ ГЕ. И поелику параллелограммъ СН больше ГВ; то и сторона КН больше стороны ГЕ, и КС больше ЕЕ. Продолжи ЕЬ, ГЕ; и пусгн* будетъ ЕЬМ равная КН, а ЕЕК равная КО; й дополни параллелограммъ МК. Чего ради па раллелограммъ МК равенъ и подобенъ параД
КНИГА ШЕСТАЯ. а53 лелограмму СН*. Но СН подобенъ ЕЬ; по-*з4- сему И МК подобенъ ЕЬ*; а посему ЕЬ и*п. суть около тогоже поперечника*. Про-*2б. вРди ихъ поперечникъ ЕО; и допиши фигуру. И поелику Параллелограммъ СН равенъ ЕЬ С; но СИ равенъ МК: посему и МК равенъ ЕЬ, С. Отними обще ЕЬ; посему остальной наугольникъ XV/ равенъ фигу- рѣ С. II поелику АЕ равна ЕВ; то и парал- лелограммъ АК равенъ параллелограмму КВ*, *36,і. то есть параллелограмму ЬР*. Придай *43,і. обще ЕО; Посему цѣлый параллелограммъ АО равенъ наугольнику ХѴХ Но науголь- никъ ХѴ2 равенъ фигурѣ С: чего ради и параллелограммъ АО равенъ фигурѣ С. Итакъ по данной прямой АВ поставленъ равный данной прямолинейной фигурѣ С параллелограммъ АО, имѣющій избытокъ Р₽ Подобный параллелограмму Б, ибо ЕЬ подобенъ (_)₽• Ч. И С. Н. (;4). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXX. Данную опредѣленную Прямую разсѣчь въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Пусть будетъ АВ данная опредѣленная прямая. Надлежитъ прямую АВ разсѣчь въ крайнемъ и среднемъ отношеніи.
І54 ЙВКЛІ1Д. НАЧАЛЪ •ДбД. Напиши изъ АВ квадратъ ВС** и поставь по АС равный квадрату ВС параллелограммъ <а9- СБ, имѣющій избытокъ АН подобный ВС*. Поелику ВС есть квадратъ • то и ДИ есть квадратъ. И поелику квадратъ ВС равенъ параллелограмму СВ; отними общій СЕ: посему остальной ВЕ равенъ осталь- ному АН. Сіи же Параллелограммы и равно- угольны ’ посему и стороны ихъ, кои около равныхъ угловъ, обратно суть пронорціо- ’г4. нальны*: чего ради какъ ГЕ къ ЕН, такъ *34,і. АЕ къ ЕВ. Но ЕЕ равна АС*, гпо есть АВ; а ЕІ) равна АЕ: посему какъ ВА къ АЕ, такъ АЕ къ ЕВ. Но АВ больше АЕ; посему й ДЕ *М-Ѵ. больше ЕВ*. Итакъ прямая АВ разсѣчена въ крайнемъ й среднемъ отношеніи въ точкѣ Е; и боль- *апр.З. шій ея отрѣзокъ есть АЕ*. Ч. И С. Н. Иначе. Пусйіь будетѣ АВ данная прямая. Надлежитъ прямую АВ разсѣчь въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Разсѣки АВ въ С, такъ чтобы прямоуголь- никъ въ АВ, ВС былъ равенъ квадряіпу *п,п. изъ АС*. Поелику прямоугольникъ въ АВ, ВС равенъ квадрату изъ СА: то какъ АВ къ АС, таШ *іу. АС къ СВ*. Иіпакъ прямая АВ разсѣчея*
КНИГА шестая. а55 въ крайнемъ и среднемъ отношеніи въ точ- кѣ С. ч. и С. н. (75). ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХІ. Въ прямоугольныхъ треугольникахъ, фи- іура изъ стороны, противулежащей прямо- му углу, равна фигурамъ подобнымъ и по- добно написаннымъ мзъ сторонъ, содержа- щихъ прямой уголъ. Пусть будетъ АВС прямоугольный тре- угольникъ , имѣющій уголъ ВАС прямой. Говорю , что фигура изъ ВС равна фигу- рамъ подобнымъ и подобно написаннымъ изъ ВА, АС. Проведи перпендикулярную АП. Поелику въ прямоугольномъ треугольникѣ АВС, отъ прямаго угла при А къ основанію ЬС проведена перпендикулярная АВ: то при Перпендикулярной треугольники АВВ, АВС Подобны суть и цѣлому АВС и взаимно*. И *8. Поелику треугольникъ АВС подобенъ тре- угольнику АВВ: то какъ СВ къ ВА, такъ къ ВВ. Но еегпьли три прямыя ііропор- Ч*°нальны; то какъ первая къ третьей фигура изъ первой къ фигурѣ подоб- и подобно написанной изъ второй*: по- *ел.з,2г»’ '"У какъ СВ къ ВВ, такъ фигура изъ СВ
НОЙ Піакъ э56 .'З В к Л 11 Д. и А Ч А Л Ъ къ фигурѣ подобной и подобно написан изъ ВА. Потому Же > какъ ВС къ фигура изъ ВС къ фигурѣ изъ СА: слѣд- ственно, и какъ ВС къ ВБ, БС, такъ фи_ Гура изъ ВС къ фигурамъ подобнымъ и по- добно написаннымъ изъ ВА , АС*. Но Пря» ’ мая ВС равна прямымъ ВБ, БС* чего ради и фигура изъ ВС равна фигурамъ подобнымъ и подобію написаннымъ изъ ВА, АС. Итакъ въ прямо} гольныхъ, и ггр. Ч. йд. и. Иначе. Поелику подобныя фигуры сѵть въ удвоенномъ отношеніи сходственныхъ *2о. сторонъ*: то фигура изъ ВС къ фигурѣ изъ ВА имѣетъ удвоенное отношеніе пря- мыя СВ къ ВА. А и квадратъ изъ ВС къ квад- рату изъ ВА имѣетъ удвоенное отношеніе сл.і.эо. прямыя СВ къ ВА** посему какъ фигура изъ СВ къ фигурѣ изъ ВА, такъ квадратъ изъ *лгѴ. СВ къ квадрату изъ ВА*. Потому же , какъ фигура изъ ВС Къ фигурѣ изъ СА, такъ квадратъ изъ ВС къ квадранту изъ СА: слѣд- ственно и какъ фигура изъ ВС кь фПІУ рамъ изъ ВА, АС, такъ квадратъ. изъ Бб У. къ квадратамъ изъ ВА, АС*. Но квадраг11Ъ *47,і. изъ ВС равенъ квадратамъ изъ ВА, АС*: чеГ° ради и фигура изъ ВС равна фигурамъ поД^ нымъ и подобно написаннымъ изъ ВА> л
КИПРА ШЕСТАЯ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXII. Ежели два треугольника, имѣющіе двѣ стороны пропорціональныя двумъ сторо- намъ, будутъ приставлены взаимно на одномъ углѣ гпакъ, чтобъ сходственныя ихъ стороны были параллельны ; то осталь- ныя стороны сихъ треугольниковъ будутъ впрямъ. Пусть будутъ два треугольника ЛВС, ВСЕ, имѣющіе двѣ стороны ВА, АС про- порціональныя двумъ сторонамъ СВ, ВЕ, то есть, какъ АВ къ АС такъ ВС къ ВЕ, и сторону АВ параллельную къ ВС, а АС па- раллельную къ ВЕ. Говорю, что ВС есть впрямъ съ СЕ. Поелику АВ параллельна къ ВС , и па чихъ падаетъ прямая АС* то накосьлежащіе )тлы ВАС, АСВ взаимно равны*. Потому же *2<}.г и уголъ СВЕ равенъ углу АСВ: слѣдственно 11 уголъ ВАС равенъ углу СВЕ. II поелику ^ва Треугольника ЛВС, ВСЕ имѣютъ одинд, Олъ при А равный одному углу при В, и ^Шороцы около равныхъ угловъ пропорціо- ®альі,ыя, пю есть, какъ ВА къ АС, гпакъ КъВЕ: то треугольникъ АВС есть равно- ^Аьный треугольнику ВСЕ*; посему уголъ *б. ь равенъ углу ВСЕ. А доказано , что и
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ а58 уголъ АСВ равенъ углу ВАС: посему цѣлый уголъ АСЕ равенъ двумъ угламъ АВС* ВАС Придай обще уголъ АСВ- посему углы АС]? АСВ равны угламъ ВАС, АВС, АСВ. Но углы ♦ЗаД. ВАС, АВС, АСВ равны двумъ прямымъ*- 110_ сему и углы АСЕ, АСВ равны двумъ пря- мымъ. Итакъ при прямой АС, и при точкѣ на ней С, двѣ прямыя ВС, СЕ, нележащія По туже сторону, дѣлаютъ смѣжные углы АСЕ, АСВ равные двумъ прямымъ: чего ради «цд. ВС есть впрямъ съ СЕ*- Итакъ, ежели два, и проч. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕН ІЕ XXXIII. Въ равныхъ кругахъ, углы имѣютъ тоже отношеніе чшо и дуги, на коихъ они сто- ятъ • При центрахъ ли они будутъ стоять, или при окружностяхъ: <с Также и вырѣзки, кои при центрахъ составлены. А Пусть будутъ АВС, ВЕЕ равные круги ; и пусть при центрахъ ихъ Сг, Н будупГЬ углы ВСС, ЕНЕ, а при окружностяхъ углы ВАС, ЕВГ. Говорю, чшо какъ дуга ВС къ дугѣ ЕГ, такъ уголъ ВСС къ углу ЕНГ, и такъ уголъ ВАС къ углу ЕВЕ • « и гпаі>же вырѣзокъ СВС къ вырѣзку НЕЕ. » Положи по порядку сколько ниесть А)1Ъ
КНИГА ШЕСТАЯ. КЬ равныхъ дугѣ ВС; и сколько ниесть ,)ГЪ гм, МК равныхъ дугѣ ЕГ; и протяни сК, СЬ,НМ,НК. Поелику дуги ВС, СК, КЬ взаимно равны; №о и углы ВСС, ССК, КСЬ сушь взаимно равны*. Посему сколько кратная есть дуга *27>іп. ВЬ дуги ВС, столько кратный есть и уголъ ВСЬ угла ВСС. ГІотомуже, сколько кратная есть дуга ЕК дуги ЕЕ, столько кратный есть и уголъ ЕНК угла ЕНГ. И естьли дуга БЬ равна дугѣ ЕК, то и уголъ ВСЬ равенъ углу ЕНК; и естьли дуга ВЬ больше дуги ЕК, гпо и уголъ ВСЬ больше угла ЕНК; и естьли меньше, то меньше. Итакъ изъ имѣющихся четырехъ величинъ, то есть, двухъ дугъ ВС, ЕГ, и двухъ угловъ ВСС, ЕНГ, взяты дуги ВС и угла ВСС равно- кратныя, дуга ВЕ и уголъ ВСЬ; а дуги ЕГ и угла ЕНГ равнокраіпныя , дуга ЕК и уголъ ЕНК; и доказано, чшгі естьли дугаВЬ больше Дуги ЕК, шо и уголъ ВСЬ большеугла ЕНК ; иестьли равна , шо равенъ; и естьли мепь- 1116, тгі меньше : а посему какъ дуга ВС къ Лугѣ ЕГ, такъ уголъ ВСС къ углу ЕНГ*. *оп5,Ѵ. Но какъ уголъ ВСС къ углу ЕНГ, такъ , Й уголъ ВАС къ углу ЕІ)Г", ибо каждый «і5,ѵ. каждаго есть двукратный*; посему какъ ВС къ дугѣ ЕГ, такъ и уголъ ВСС
3 В К Л И Д. НАЧАЛЪ 260 къ углу ЕНЕ, и такъ уголъ ВАС Кь •іі,Ѵ. углу ЕНЕ*. Итакъ въ равныхъ кругахъ, углы имѣютъ тоже отношеніе что и дуги, па коихъ Ощг стоятъ; при центрахъ ли они буд}Л]ъ стоять, или при окружностяхъ, ч. и д. ц_ «Говорю такожъ, что какъ дуга ВС къ Дугѣ ЕЕ, такъ вырѣзокъ СВС къ вырѣзк НЕЕ. Протяни ВС, СК; и взявъ на дугахъ ВС, СК точки О, Р, протяни ВО, ОС, СР, РК. Поелику двѣ прямыя ВС, СС равны двумъ Прямымъ СС, СК, и содержатъ равные %!• углы: то* и основаніе ВС равно основанію СК; и треугольникъ ВСС равенъ треуголь- нику ССК. И поелику дуга ВС равна дугѣ СК: то и остальная дуга цѣлаго крута АБС равна остальной дугѣ сего же круга ; сѵЬд- е27,Пі. ствепно и уголъ ВОС равенъ углу СРК.’ чего ради и отрѣзокъ ВОС подобенъ оіп- ^пр.іідіі. рѣзку СРК: Они же сутпь и на равныхъ пря- мыхъ ; а на равныхъ Прямыхъ подобны6 *24>пі. отрѣзки круговъ взаимно равны*: посему отрѣзокъ ВОС равенъ отрѣзку СРК. Но й треугольникъ ВСС равенъ треугольнику ССК: чего ради и Цѣлой вырѣзокъ СВС равенъ цѣлому вырѣзку ССК. Потому №' и вырѣзокъ СКЬ равенъ каждому изъ к1’1
КНИГА ШЕСТАЯ, 261 рѣзковъ СКС, ССВ: чего ради три вырѣз- ка рВС, ССК, СКЬ взаимно равны. Пото- му же и вырѣзки НЕЕ, НЕМ, ПЛЕѴ взаимно равны. Посему сколько кратная есть дуга ВЬ дуги ВС, столько кратный есть и вы- рѣзокъ СВЬ вырѣзка СВС. Потому же сколь- ко кратная есть дуга ЕК дуги ЕГ, столь- ко кратный есть и вырѣзокъ НЕІ\ вырѣзка ІІЕЕ. И естьли дуга ВЬ равна дугѣ Е1Ѵ, шо и вырѣзокъ СВЬ равенъ вырѣзку НЕ1Ѵ; и естьли дуга ВЬ больше дуги ЕК, шо и вырѣзокъ СВЬ больше вырѣзка ПЕРУ- и естьли меньше , то меньше. Итакъ изъ имѣющихся четырехъ величинъ , то есть, двухъ дугъ ВС, ЕГ, и двухъ вырѣзковъ СВС, ІІЕЕ, взяты , дуги ВС и вырѣзка СВС раг внократііыя, дуга ВЬ и вырѣзокъ СВЬ* а Дуги ЕГ и вырѣзка НЕЕ равнократныя, дуга ЕМ и вырѣзокъ НЕМ: и доказано, чшо естьли дуга ВЬ больше дуги ЕК, то 11 вырѣзокъ СВЬ больше вырѣзка ПЕЛ; и 'сгпьли равна, шо равенъ- и естьли меньше, шо меньше: чего ради какъ дуга ВС къ дугѣ такъ вырѣзокъ СВС къ вырѣзку НЕЕ'. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что какъ Вь,рѣзокъ къ вырѣзку, такъ и уголъ кг.
эвклидовыхъ НАЧАЛЪ. I книги х ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. КІЗЪ двухъ неравныхъ излагаемыхъ вели- чинъ , ежели отъ большей отнято будетъ больше половины , и отъ оставшейся боль- ше половины , и сіе всегда дѣлаемо будетъ; то останется напослѣдокъ нѣкая величина, которая будетъ меньше излагаемой мень- щей величины. Пусть будутъ АВ, С (таб. іЗ , ф- ’) двѣ неравныя величины , изъ коихъ АВ воль шая. Говорю , что естьли отъ АВ 0111 нягпо будетъ больше половины, и оГП оставшейся больше половины , и сіе всегД дѣлаемо будетъ • то останется напоо докъ нѣкая величина , которая будетъ меи ще величины С.
КНИГА ДЕСЯТАЯ. збЗ Цбо величина С будучи взята кратно, будетъ когда либо больше АВ. Пусть бу- дешь взята, и пусть величины С будетъ кратная ПЕ такая, которая больше АВ. раздѣли ПЕ на величины равныя С, а имен- но, на ПЕ, ЕСг, СЕ: и отъ АВ отними боль- ше половины, какъ ВН; и отъ оставшей- ся АН отними больше половины, какъ НК} и пусть сіе всегда дѣлаемо будетъ, пока раз- дѣленія въ АВ будутъ равпомногія раздѣле- ніямъ въ ПЕ. Пусть раздѣленій АК, КН, ПВ будутъ равномпогія раздѣленіямъ НЕ, ГС, СЕ. Поелику ПЕ больше АВ; и отъ ПЕ от- нята ЕС меньше половины, а отъ АВ от- нята ВН больше половины: то остальная 6Б больше остальной НА. II поелику 6В больше НА; и отъ СП отнята СЕ половина , а отъ НА отнята ПК больше половины: шо остальная ПЕ больше осталь- ной АК. Но ПЕ равна С; посему и С боль- ше АК; слѣдственно АК меньше С. Итакъ отъ величины АВ остается величина АК^ которая меньше излагаемой меньшей вели- чины С. ч. и д. Н. Подобно сіе докажешся, есшьли отни- маемыя будутъ и половины.
эвклидовыхъ КНИГА XI. ОПРЕДѢЛЕНІЯ. г.Тѣло есть то, что имѣетъ длину, ширину и вышину. 2. Предѣлы же тѣла суть поверхности. 3. Прямая линія называется перпенди- кулярною или прямою къ плоскости , когда она со всѣми прямыми линіями съ нею встрѣчающимися, и лежащими на гпой пло- скости , дѣлаетъ углы прямые. 4- Плоскость называется перпендикуляр- ною или прямою къ плоскости, когда пря- мыя линіи, проводимыя на одной изъ си№» плоскостей, подъ прямыми углами ко вза- имному оныхъ сѣченію, будутъ къ Др}г011 плоскости подъ прямыми углами.
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. а65 5. Наклоненіе или уголъ наклоненія пря- мой линіи къ плоскости есть острой уголь содержиМЬ,й сею ПРЯМОЮ и Другою на шой плоскости протянутою , отъ сѣченія по- ставленной прямой и плоскости , до точ- кп въ которую падаетъ перпендикулярная, оспъ внѣшняго конца поставленной же пря- мой къ плоскости проведенная. (77). 6. Наклоненіе или уголъ наклоненія двухъ плоскостей есть острой уголъ содержи- мый прямыми линіями, проводимыми въ каж- дой плоскости , подъ прямыми углами ко взаимному плоскостей сѣченію , отъ одной онаго точки. [;8]. 7. Плоскость къ плоскости называется подобно наклоненною , какъ другая къ дру- юй, когда помянутые углы наклоненій ихъ взаимно равны. (79). 8. Параллельныя плоскости суть тѣ, кои нигдѣ взаимно не встрѣчаются. 9- Подобныя толстыя фигуры суть тѣ, к°и содержатся равномногими подобными Носкостями. (8о). Равныя же и подобныя толстыя фи- ‘Ры суть тѣ, кои содержатся равномногими Узостями подобными и равными. (8і). Толстый уголъ есть взаимное наклоне- 1і1еі больше нежели двухъ линій, взаимно
збб Э в к Л И Д. НАЧАЛЪ встрѣчающихся, и непаходящихся на же поверхности. ИНАЧЕ. Толстый есть тотъ; который содержится 11 ю іи ѵголі, 6одь, ще нежели двумя плоскими углами, К0(1 не лежатъ на тойже плоскости, и сосгпа влены при одной точкѣ. (8з). 12. Пирамида есть тѣло, содержимое пло- скостями , на одной изъ коихъ и при одной « внѣ ея » точкѣ всѣ прочія составляются. іЗ. Призма есть тѣло , содержимое пло- скостями , изъ коихъ прошивулежащія двЬ суть параллельны, равны и подобны, про- чія же суть параллелограммы. іД. Шаръ есть тѣло, производимое чрезъ обращеніе полукруж я на неподвижномъ его поперечникѣ, пока оное опять возставит- сятамъ, откуда началось его обращеніе. (83). і5. Ось же шара есть оная неподвижная пря- мая , на которой полукружіе обращается. 16. А центръ шара есть тотъ же, 411,0 и полукружія. 17. Поперечникъ же шара есть всякая прЯ' мая чрезъ центръ проведенная, и ограничен- ная съ обѣихъ сторонъ поверхностію шара. і8. Конусъ есть тѣло, производимое чрсзъ обращеніе прямоугольнаго треугольника ,іа неподвижной его сторонѣ, одной изъ т®'*’ кои суть около прямаго угла, пока оВЬІ
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. з5у «рѵгольникъ опять возставишся тамъ 9 У а " Т/Т оТПкуДа началось его обращеніе. 11 естьли цсподвижная пРямая равна будетъ осталь- ной сторонѣ, которая при прямомъ углѣ 06раЩаегпся » то конусъ будетъ прямоуголь- ный: естьли же меньше, то тупоугольный; і естьли больше, то остроугольный. ір. Ось же конуса есть оная неподвиж- ная прямая , на которой треугольникъ обра- щается. 2о. А основаніе конуса есть кругъ, обра- щающеюся прямою написанный. 20. Цилиндръ есть тѣло, производимое чрезъ обращеніе прямоугольнаго параллело- грамма на неподвижной его сторонѣ, одной изъ гпВхъ, кои суть около прямаго угла, пока оный параллелограммъ опять возста- вится тамъ, откуда началось его обра- щеніе. 22- Ось же цилиндра есть оная непод- ви®ная прямая , на которой параллелограммъ вращается. 23. А основанія цилиндра суть круги , Двумя противулежащими сторонами нани- еанііые. а4- Подобные конусы и цилиндры суть коихъ и оси и поперечники основаній с)пгь пропорціональны.
268 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ 25. Кубъ есгпь тѣло, содержимое шестью равными квадратами. 26. Тетраедръ есгпь тѣло, содержимое че- тырьмя треугольниками равными и равно, сшоронными. 27. Окіпаедръ есть тѣло, содержимое восьмью треугольниками равными и равно- сторонными. 28. Додекаедръ есть тѣло, содержимое двѣнадцатью пятиугольниками равными, равносторонными и равноугольными. 2р. Икосаедръ есть тѣло, содержимое двадцатью треугольниками равными и ра- вносторонными. я Зо. Параллелепипедъ есть тѣло, со- держимое шестью плоскостями , изъ коихъ каждыя двѣ противулежащія суть парал- лельны. Зі. Надстоящими же называются тѣ стороны его плоскостей, кои суть меж- ду основаніемъ и противулежащею плос- костію ». ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. Прямой линіи одна часть не можетъ быть на подлежащей плоскости , а другая ’іасіпЬ на другой плоскости.
книга одиннадцатая. аСд Ибо , буде возможно , пусть прямой линіи 41)С часть АВ будетъ на подлежащей плос- кости , я часть ВС на другой плоскости. Ишакъ на подлежащей плоскости есть кЬкая прямая линія, лежащая впрямъ съ АВ непрерывно. Пусть будетъ оная ВП. Чего ра Щ ЩІН двѣ прямыя АВС, АВВ имѣютъ об- ошрѣзокъ АВ, что невозможно: ибо прямая съ прямою встрѣчается не больше какъ въ одной точкѣ; инако сіи прямыя совмѣстились бы взаимно. Ишакъ прямой линіи, и пр. Ч. И д. Н. [85]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ II. Ежели двѣ прямыя взаимно пресѣкутся; то' онѣ суть на одной плоскости. II всякій треугольникъ весь на одной плоскости. Пусть двѣ прямыя АВ, СП взаимно пре- сѣкутся въ точкѣ Е. Говорю, что АВ, СВ гушь на одной плоскости ; и весь треуголь- никъ на одной плоскости. возьми на ЕС ЕВ, какія ниесть точки и протяни СВ, ГО, и проведи ГН, &К. ^Ов°рю вопервыхъ, что треугольникъ ЕСВ *есь на одной плоскости. Ибо есшьли гпре— Ельника ЕСВ часть ГСН, или СВК есть «а подлежащей плоскости, а остальная
аго Э В К Л И Д: НАЧАЛЪ Часть на другой ; то будетъ одной Изъ Прямыхъ ЕС, ЕВ часть на подлсжащ^ плоскости, а другая часть на другой цло_ скости : и естьли треугольника ЕСВ часпп, ЕСВ6 будетъ на подлежащей плоскости, а остальная на другой; то будетъ и каждЫя изъ прямыхъ ЕС, ЕВ нѣкая часть на под- лежащей плоскости , а остальная па другой плоскости: что нелѣпо, по доказгіннози •і. нами*, посему треугольникъ ЕСВ весь на одной плоскости. А на которой весь тре- угольникъ ЕСВ, на той и каждая изъ пря- мыхъ ЕС; ЕВ; на которой же каждая изъ *х. ЕС, ЕВ, на той и АВ, СВ*. Итакъ Прямыя АВ, СВ на одной суть плоскости ; и весь треугольникъ на одной плоскости. Ч. И д.Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ НЕ Ежели двѣ плоскости пресѣкаются; 1110 взаимное оныхъ сѣченіе есть линія прямая. Пусть двѣ Плоскости АВ, ВС взаимно Пресѣкаются • и пусть будетъ ВВ взаимно? *оп.б, I. оныхъ сѣченіе, которое есть линія*. Говор10, что линія ВВ есть прямая. 1 $ Ибо, буде нѣтъ, то протяни отъ В Д° на плоскости АВ прямую ВЁВ, а на 1ІЛ° скости ВС прямую ВЕВ.
к II ИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 27І Итакъ двѣ прямыя линіи ВЕВ, ВЕВ рмѣюш'ь гпѣже концы, и потому заключа- ь пространство; что нелѣпо*. Посему *акс. 12 йИніи БЕВ, БГВ не суть прямыя. Подобно другая какая линія, изъ Б къ В, есть прямая, взаимнаго сѣченія докажемъ, что ни проводимыхъ отъ кромѣ линіи БВ, скосшей АВ, ВС. Итакъ, ежели двѣ плоскости , и ч. и д. н. пло- проч. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IV. Ежели прямая къ двумъ прямымъ, пре- сѣкающимся взаимно, будетъ поставлена подъ прямыми углами, при взаимномъ оныхъ сѣченіи; то сія прямая будетъ подъ пря- мыми углами и къ плоскости что на тѣхъ прямыхъ. Пусть пресѣкутся взаимно двѣ прямыя Ц СВ въ точкѣ Е; и пусть при Е будетъ поставлена прямая ЕГ подъ прямыми угла- Ми къ каждой изъ прямыхъ АВ, СВ. Говорю, ,Пі0 ЕГ есть подъ прямыми углами и къ Носкости на АВ, СБ. Н°зьми равныя прямыя АЕ, ЕВ, СЕ, ЕВ; и *Р°веди Чрезъ ]? какъ ниесть прямую СЕН; и '₽Оійянн СВ; и отъ какой ниесть
2^2 ЭВ К Л И Д. НАЧАЛЪ точки Г на прямой ЕГ, проведи прЛм ГА. ЕС, ЕВ, ГС, ЕН, ЕВ. Поелику двѣ прямыя АЕ, ЕВ равны двуМъ прямымъ СЕ, ЕВ, и содержатъ уІЛьі равные*: то и основаніе АВ равно основа н'ію СВ, и треугольникъ АЕВ будетъ равенъ треугольнику СЕВ; слѣдственно и уголъ ВАЕ равенъ углу ЕВС. Поелику Же и уголъ АЕС равенъ углу ВЕН’; то два треугольника АСЕ , ВЕН, имѣютъ два ѵгла равные двумъ угламъ, каждый каждому, и одну сторону равную одной сторонѣ, кои при равныхъ углахъ , а именно АЕ равную ЕВ: посему и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ сгпоро- ♦26,1. намъ*; а посему СЕ равна ЕН, а АС равна ВН. II поелику АЕ равна ЕВ, а ЕЕ есть общая , и подъ прямыми къ нимъ углами; то основаніе ГА равно основанію %!• ЕВ*. Потому же и ГС равна ЕВ. И поели- ку АВ равна СВ, и ЕА равна ЕВ;. то Дв^ прямыя ГА, АВ, равны двумъ прямымъ ЕВ, ВС, каждая каждой ; доказано же, чГП° и основаніе ЕВ равно основанію 1 *8>і. посему уголъ ЕАВ равенъ углу ЕВС*. Еще же, поелику доказано, что АС ра®яа ВП, а ГА равна ЕВ ; то двѣ прЯ'ІЬ'а 1'А , АС равны двумъ прямымъ ЕВ; ** ’
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 2^3 доказано же, что и уголъ ГАО равенъ углу рВЙ: посему основаніе ГО равно основа- нію ГН*. Еще же , поелику ОЕ, по доказан- *дд. иому, равна ЕН, а ЕЕ общая; то двѣ пряныя ОЕ, ЕЕ равны двумъ прямымъ НЕ, рр. но и основаніе ЕО равно основанію ЕН: посему уголъ СЕЕ равенъ углу НЕЕ** а посему каждый изъ угловъ СЕЕ, НЕЕ есть прямой*. Слѣдственно прямая ЕЕ есть подъ*0п.іо,і прямыми углами къ прямой ОН^ какъ ниесть чрезъ Е проведенной. Подобно докажемъ , что РЕ подъ прямыми углами и ко всякой пря- мой проведенной чрезЪ Е, и находящейся на подлежащей плоскости. Но прямая называет- ся перпендикуляргіою къ Плоскости, когда она со всѣми Прямыми линіями, съ нею встрѣ- чающимися и лежащими на той плоскости, дЬлаегпъ углы Прямые*: чего ради Прямая ЕЕ *ОПр.З бсгпь перпендикулярная къ подлежащей плос- кости. Но подлежащая плоскость есть на АВ, СН • посему ГЕ есть подъ прямыми углами къ плоскости на АВ, СБ. Итакъ, ежели прямая, и проч. Ч. И д. н; ПРЕДЛОЖЕНІЕ V. р ®ели прямая къ тремъ прямымъ, вза- '1Н° встрѣчающимся въ одной точкѣ, 6у- і8
2^4 Э В К Л МД. НАЧАЛЪ детъ поставлена подъ прямыми углами при общемъ сѣченіи \ то всѣ гири оныя прямыя будутъ на одной плоскости. Пусть Прямая АВ Къ тремъ прямымъ ВС у ВВ, ВЕ, взаимно встрѣчающимся въ точкѣ Ву будетъ поставлена подъ прямы- ми углами, при общемъ сѣчейіи. Говорю, что всѣ три Прямыя ВС; ВВ; ВЕ суть па одной плоскости. Естьли же нѣтъ, то пусть, буде воз- можно , будутъ прямыя ВВ, ВЕ на подлежа- щей плоскости , а ВС на другой; и чрезъ АЕ, ВС проведи плоскость: то взаимное сѣче- ніе сей плоскости съ подлежащею будетъ *3. прямая линія*. Пусть оная будетъ ВГ. Итакъ три прямыя АВ, ВС, ВГ суть на одной плоскости, то есть на Плоско- сти прямыхъ АВ, ВС. И поелику АВ пер- пендикулярна къ каждой изъ прямыхъ ВВ. ВЕ; то АВ есть перпендикулярная и къ плоскости прямыхъВВ,-ВЕ*: По плоскость прямыхъ ВВ,ВЕ есть подлежащая; посему АВ перпендикулярна къ подлежащей плоскости, слѣдственно АВ со всѣми прямыми линіями- съ нею встрѣчающимися и лежащими на *опр.З. сей плоскости, дѣлаетъ углы прямые • Встрѣчается же съ нею прямая ВГ,лежаіЦаЯ и‘ плоскости прямыхъ ВВ,ВЕ: посему уголъ А
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 27Э есть прямой. А по положенію, и уголъ АВС прямой; посему уголъ АВЕ равенъ углу АВС*: *акс.іо. Оии же и на одной плоскости: что не- лозмо'жно*. Посему прямая ВС не на другой *акс.д. плоскости, па которой суть прямыя ВП, БЕ. Чего ради всѣ три прямыя ВС, ВП, ВЕ сушъ па одной Плоскости. Ишакъ, ежели прямая, и проч. Ч. И Д. Н ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Ежели двѣ прямый суть подъ прямыми углами къ тойже плоскости • то оныя прямыя будутъ взаимно параллельныя. Пусть двѣ прямыя АВ, СП будутъ подъ прямыми углами къ подлежащей плоскости; Говорю чта АВ параллельна къ СП. Пусть сіи прямыя встрѣчаютъ Подле- жащую плоскость въ точкахъ В, П. Про- тяни ВП ; и на той же подлежащей плос- кости проведи, подъ прямыми углами къ ЬВ, прямую ПЕ; и положи АВ, ПЕ равныя; и протяни ВЕ, АЕ, АП. Поелику АВ перпендикулярна къ подле&а- п1ей плоскости ; шо она со всѣми прямыми Линіями, съ нею встрѣчающимися и лежащи- ми на сей плоскости , дѣлаетъ углы пря- мые*. Встрѣчается же съ АВ каждая изъ *опр.З- * ♦ *
2^6 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ, Прямыхъ ВВ, ВЕ, лежащихъ на той гво скосгпи : посему каждый изъ угловъ АЕВ АВЕ есть прямой. Потому же и каждый изъ угловъ СВВ, СВЕ есть прямой. I] По_ елику АВ равна ВЕ, а ВВ общая • то двѣ прямыя АВ, ВВ равны двумъ прямымъ ЕВ, ВВ; и содержатъ углы прямые: по- %і. сему основаніе АВ равно основанію ВЕ*. Ц поелику АВ равна ВЕ, и АВ равна ВЕ; то двѣ прямыя АВ, ВЕ равны двумъ пря- мымъ ЕВ, ВА, и основаніе АЕ имъ общее: посему уголъ АВЕ равенъ углу *8,і. ЕВА*. По уголъ АВЕ прямой; посему и уголъ ЕВА есть прямой, и ЕВ перпенди- кулярна къ ВА. Но она перпендикулярна и къ каждой изъ прямыхъ ВВ, ВС: итакъ ЕВ къ тремъ прямымъ ВВ, ВА , ВС, при общемъ ихъ Сѣченіи , поставлена подъ прямыми углами; а посему всѣ три прямыя * 5. ВВ, ВА, ВС суть на одной плоскости*. Но на которой плоскости ВВ, ВА, на той «е есть и АВ; ибо всякій треугольникъ веоь * 2. на одной плоскости*: посему АВ, ВВ, ВС суть на одной плоскости. И каждый изъ угловъ АВВ, СВВ есть прямой: чег0 * з8,і. ради АВ, параллельна къ СВ*. Итакъ, ежели двѣ прямыя, и пр. ч. И Д-
КНЦГА ОДИННАДЦАТАЯ. 277 предложеніе ѵц. Ежели двѣ прямыя сушь параллельныя; и на каждой изъ нихъ взяты какія ниесшь точки: то прямая протянутая чрезъ сіи точки бу- детъ на одной плоскости съ параллельными. Пусть будутъ двѣ прямыя АВ, СН па- раллельныя; и пусть на каждой изъ нихъ взяты будутъ какія ниесть точк Е, Е. Говорю, что прямая протянутая чрезъ точки Е, Е есть на одной плоскости съ параллельными. Естьли же нѣтъ, то пусть, буде воз- можно , будетъ она внѣ плоскости ихъ, какъ ЕСЕ. Проведи чрезъ ЕСЕ плоскость; то взаимное сѣченіе сей плоскости съ Плоскостію параллельныхъ будетъ прямая линія*. Пусть будетъ оная ЕЕ: слѣдствен- *3. но двѣ прямыя ЕСЕ, ЕЕ заключатъ про- странство , что невозможно*. Посему пря- *акс.п. мая протянутая чрезъ Е къ Е це есть внѣ плоскости, а будетъ слѣдственно на одной Плоскости съ параллельными АВ, СП. Итакъ,ежели двѣ прямыя,и пр.Ч.ИД.Н. [86]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ѵт. Ежели двѣ прямыя суть параллельныя ; и °Дна изъ нихъ будетъ къ плоскости подц
3 в к Л И Д. НАЧАЛЪ прямыми углами: гпо и другая будетъ Къ той же плоскости подъ прямыми углами Пусть будутъ двѣ прямыя АВ, СВ П;, раллельныя ; и пу сть одна изъ нихъ ДВ будетъ подъ прямыми углами къ подлежащей плоскости. Говорю, что и другая СВ І;ъ іпой же плоскости будетъ подъ прямыми углами. Пусть прямыя АВ, СВ встрѣчаютъ по- длежащую плоскость въ точкахъ В, В. Про- тяни ВВ: итакъ АВ, СВ, ВВ суть на одной ♦7. плоскости*. На подлежащей плоскости про- веди прямую ВЕ подъ прямыми углами къ ВВ' и положи АВ, ВЕ равныя; и протяни ВЕ, АЕ, АВ. Поелику АВ перпендикулярна къ подле- жащей плоскости ; то АВ ко всѣмъ пря- мымъ, съ нею встрѣчающимся и лежащимъ *опр.З. на сей плоскости, есть перпендикулярная*: посему каждый изъ угловъ АВВ, АВЕ есть прямой. И поелику на параллельныя пря- мыя АВ, СВ падаетъ прямая ВВ; то углы *29,г. АВВ, СВВ равны двумъ прямымъ*. Но уголъ АВВ прямой; посему и уголъ СВВ есть прямой, и СВ перпедикулярна *оп.іо,і. ВВ*. 11 поелику АВ равна ВЕ, а ВВ °6' щая ; то двѣ прямыя АВ, ВВ равны дв)'мь прямымъ ЕВ, ВВ' и уголъ АВВ равенъ угЛ/
КНИГА О Д И Н Ц А Ц А Т А Я. ЕВВ, ибо каждый изъ нихъ прямой: посему основаніе АБ равно основанію ВЕ*. Еще же, *4:т. поелику АВ равна СЕ, и ВЕ равна АВ; то двѣ прямыя АВ, ВЕ равны двумъ прямымъ ЕВ, СА, каждая каждой ; и основаніе АЕ имъ оъщее: посему уголъ АВЕ равенъ углу ЕВА*. 8,1. Но уголь АВЕ прямой; посему и уголъ ЕВА есть прямой, и ЕС перпендикулярна къ АС*. Но она перпендикулярна и къ*Оп.іо-Г ВВ: итакъ ЕС и къ плоскости на ВС, ВА есть перпендикулярная*; а посему ЕС со *4* всѣми прямыми линіями, съ нею встрѣчаю- щимися и лежащими на сей плоскости , дѣ- лаетъ углы прямые. На плоскости же пря- мыхъ ВА, АС лежитъ прямая ВС; ибо пря- мыя АВ, ВО суть на плоскости прямыхъ ВВ,ОА*, а О.С есть на той же плоскости,что и АВ, ВО*: посему ЕС есть подъ прямыми *7- углами къ СС; а посему и СС есть подъ пря- мыми углами къ ВЕ. Но СС подъ прямыми углами и къ ВВ: итакъ СС къ двумъ прямымъ СЕ, ОВ пресѣкающимся, при взаим- номъ ихъ сѣченіи О, поставлена подъ пря- мыми углами; посему СО и къ плоскости на ЬЕ,ОВ есть подъ прямыми углами*. Но пло- *4- скосгпь на ВЕ, СВ есть подлежащая: чего РаДи СО есть подъ прямыми углами къ ПоДЛежащей плоскости. Ч. и д. н.
з8о Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Прямыя , параллельныя къ гпойже прямой хотя и не всѣ на одной плоскости , суть И взаимно параллельныя. Пусть будетъ каждая изъ прямыхъ АВ СВ параллельна къ прямой ЕГ* и пусть АВ СВ не будутъ на одной плоскости съ ЕГ Говорю , что АВ параллельна къ СВ. Возьми на ЕГ какую ниесть точку С- и отъ сей точки проведи , на плоскости прямыхъ ЕГ, АВ, подъ прямыми углами къ *ыД. ЕГ, прямую СН*; и еще на плоскости пря- мыхъ ГЕ, СВ, подъ прямыми углами къ ЕГ, прямую СК. Поелику ЕГ къ каждой изъ прямыхъ СН, СК есть подъ прямыми углами; то ЕЕ и къ плоскости на СН, СК есть подъ пря- •Д. мыми углами*. Но ЕГ параллельна къ АВ; посему и АВ къ плоскости на II, С, К, есть подъ прямыми углами*. Потому же и СВ къ плоскости на Н, С, К, есть іюдь прямыми углами. Итакъ каждая изъ прямыхъ АВ, СВ къ плоскости на П, С, К, есть подъ прямыми углами. Но ежели двѣ прямыя будутъ къ тойже плоскости подъ прямыми углами; то оныя двѣ прямыя суть взаимно *6. параллельныя*: чего ради АВ параллельна къ СВ. ч. и д. и.
ДНПГА ОДИННАДЦАТАЯ. 281 ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Ежели двѣ прямыя, взаимно встрѣчающія- сЯ параллельны къ другимъ двумъ, взаимно встрѣчающимся, но лежащимъ не на тойже плоскости: то сіи прямыя будутъ со- держать углы равные. Пусть двѣ прямыя АВ, ВС взаимно встрѣ- чающіяся, будутъ параллельны къ другимъ двумъ БЕ, ЕГ взаимно встрѣчающимся , но лежащимъ не на тойже плоскости. Говорю, что уголъ АВС равенъ углу БЕГ. Отними прямыя ВА, ВС, ЕБ, ЕГ взаимно равныя; и протяни АВ, СГ, ВЕ, АС, БГ. Поелику ВА равна ЕБ, и параллельна къ пей 5 то и АВ равна ВЕ, и параллельна къ ней*. Потому же и СГ равна ВЕ,и параллельна *38д. къ ней. Итакъ каждая изъ прямыхъ АБ, СГ равна ВЕ, и параллельна къ ней" а прямыя па- раллельныя къ тойже прямой, суть и взаимно Параллельныя*: посему прямыя АБ, СГ суть *д. Параллельныя^ такъ же равныя. Соединяютъ *е концы ихъ прямыя АС, БГ: посему и АС, Вр суть равныя и параллельныя. Итакъ, п°слику двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ пР»мымъ ВЕ, ЕГ; и основаніе АС равно Основанію БГ: посему уголъ АВС равенъ ІГлУ БЕГ*. *8Д. Чтакъ, ежели двѣ прямыя, и проч. Ч. ид. н.
282 Э В К Л И Д, НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Къ данной подлежащей плоскости, ОП1Ь дайной внѣ ея точки, провести перпец, дикулярпую прямую линію. Пусть будетъ А данная точка внѣ данной подлежащей плоскости. Надлежитъ отъ точки А провести перпендикулярную прямую линію къ сей плоскости. Проведи на подлежащей плоскости какъ ниесть прямую ВС • и отъ А проведи, пер- пендикулярную къ ВС, прямую АВ*. Естьли прямая АВ будетъ также пер- пендикулярна и къ подлежащей плоскости;то предложенное сдѣлано. Естьли же пѣть: пю отъ точки Б проведи на подлежащей пло- скости, перпендикулярную къ ВС, прямую *ц,І. БЕ*; и отъ А проведи, перпендикулярную къ ВЕ, прямую АГ*; и чрезъ Г проведи, па- *Зі,І. раллелыіую къ ВС, прямую СН*. ПоеЛику ВС къ каждой изъ прямыхъ ВА,ВБ подъ прямыми углами; то ВС будетъ я къ плоскости на ЕВ, ВА подъ прямыми *4- углами*. Она же и параллельна къ СН. Но ежели двѣ прямыя параллельны, и еже.'й одна изъ нихъ къ нѣкоей плоскости ІІІ)ДЪ прямыми углами ; то и другая къ той ® •8. плоскости подъ прямыми углами*: посе")
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 283 п СН къ плоскости на ЕС , БА есть подъ прямыми углами; и слѣдовательно ко всѣмъ прямымъ, съ нею встрѣчающимся и лежа- щимъ па сей плоскости, СН есть пер- пендикулярная*. Встрѣчается же съ СН *опр.З. прямая АЕ лежащая на плоскости прямыхъ ЕВ, РА: посему СН перпендикулярна къ ГА; слѣдственно и ЕА перпендикулярна къ 6II. Но АГ перпендикулярна къ НЕ, по строенію; посему АЕ къ каждой изъ пря- мыхъ СН, НЕ перпендикулярна. Но ежели прямая къ двумъ прямымъ, пересѣкающимся взаимно , будетъ поставлена подъ прямыми углами, при взаимномъ оныхъ сѣченіи; то сія прямая будетъ подъ прямыми углами и къ цлоскости что на тѣхъ прямыхъ*: посему % ГА есть подъ прямыми углами къ плоско- сти на ЕН , СН. Но плоскость на ЕП , СН есть подлежащая: чего ради АГ къ подлежа- щей плоскости есть подъ прямыми углами. Ишакъ къ данной плоскости, отъ дщі- и°и точки А внѣ ея , проведена перпенди- Е)лярная прямая линія АГ. Ч. И С. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХП. Къ данной плоскости, отъ данной на Вей точки , возставить подъ прямыми угла- 11 Прямую линію.
а84 рвклид. началъ Пусть будетъ дана подлежащая Плос кость ; и пусть будетъ А данная на цед точка. Надлежитъ отъ точки А возста- вить , подъ прямыми углами къ подлежа- щей плоскости, прямую линію. Отъ какой ниесть точки В, взятой внѣ Подлежащей плоскости , проведи перпенди- •п. кулярную къ ней прямую ВС*- и чрезъ шочі^ Д ’Зі,І. проведи, параллельную къ ВС, прямую АВ», Поелику двѣ прямыя АВ, СВ параллельны} и одна изъ нихъ, ВС, есть къ подлежащей плоскости подъ прямыми углами: пю и другая АВ къ сей же плоскости есть подъ *8. прямымы углами*. Итакъ, къ данной плоскости, отъ данной на ней точки , возглавлена подъ прямыми углами прямая линія. Ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХШ. Отъ тойже точки данной плоскости} не могутъ быть возставлены, по туже ы сторону, двѣ прямыя подъ прямыми къ ней углами. Ибо, буде возможно, пусть отъ пкт®е гпочки А данной плоскости, будутъ в°3 ставлены, по туже ея сторону, двѣ пря>ІѴІ АВ, АС подъ прямыми къ ней углами.
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 285 Проведи чрезъ ВА, АС плоскость: то рзаимное сѣченіе сей плоскости съ дайною будетъ прямая линія*, проходящая чрезъ А. *3- Пусть оная будетъ ВАЕ. ІІшакъ прямыя АВ, АС, БАЕ суть на рдвой плоскости. И поелику СА подъ пря- ными углами къ данной плоскости; гпо? она со всВми прямыми линіями, съ нею встрѣчающимися и лежащими на сей плос- кости, дѣлаетъ углы прямые*. Всшрѣчает- *опр 3. ся же съ ЕА прямая БАЕ, лежащая на дан- ной плоскости : посему уголъ САЕ есть прямой. Потому же и уголъ ВАЕ есть пря- мой. Чего ради уголъ САЕ равенъ углу ВАЕ; и онп суть на одной плоскости : что невоз- можно. Итакъ отъ тойже, и проч. Ч. и д. Н. (87}. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV Плоскости, къ коимъ глаже прямая есть Перпендикулярная , суть взаимно параллель- ныя. Пусть прямая АВ будетъ къ каждой изъ Пл°скостеіі СВ, ЕГ перпендикулярная. Го- 'Рю, что сіи плоскости суть взаимно 1Раллельныя. Ибо} естьли нѣтъ; шо онѣ, будучи
точку К; І86 3 В К Л И Д. Й А Ч А Л Ъ Продолжены взаимно встрѣтятся. Пусть встрѣтятся; то взаимное ихъ сѣченіе будетъ прямая линія. Пусть оная 6удеп,ъ СН. Возьми на СН какую ниесть іі протйни АК, ВК. Поелику АВ перпендикулярна къ плоскос- ти ЕГ; то и къ прямой ВК, лежащей на продолженіи плоскости ЕГ, есть АВ щр- опр.З. пендикулярная*: посему уСолъ АВК есть ппя- мой. Потому же и уголъ ВАК есть прямой. Посему треугольника АВК два угла АВК, ВАК равны двумъ прямымъ; что нёвоз- можно*. Слѣдственно Плоскости СВ, ЕГ; будучи продолжены, не встрѣтятся: чего ради Плоскости СБ, ЕГ суть взаимно! па- орр.8. раллельныя*. Итакъ плоскости , Къ коимъ, и пр(Уч. Ч. И Д. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XV. Ежели двѣ прямыя, взаимно встрѣчаю- щіяся , параллельны къ другимъ двумъ »РЯ' йымь взаимно встрѣчающимся, и лежа щимъ не на тойже плоскости ; піо Плоскости на оныхъ будутъ взаимно па раллельны. Пусть двѣ прямыя АВ, СБ взаимно всіпр
КИНГА ОДИННАДЦАТАЯ. 287 чаЮпряся; будутъ параллельны къ другимъ двѵмЬ прямымъ ВЕ, ЕГ взаимно встрѣчаю- щемся и лежащимъ не на тойже Плоскости. Говорю, что плоскости на АВ, ВС, и на ])Е, ЕЕ, будучи и Продолжены не встрѣ- тятся взаимно. Проведи отъ точки В, къ плоскости пря- мыхъ БЕ, ЕЕ перпендикулярную, прямую ВС*, *ц. которая пусть встрѣтитъ сію плоскость въ точкѣ С ; и проведи чрезъ О, парал- лельную къ ЕВ прямую СН*, и параллель-*3ід. ную къ ЕЕ прямую СК» Поелику ВС перпендикулярна къ плоскос- ти прямыхъ ВЕ, ЕЕ* то она со всѣми прямыми , съ нею встрѣчающимися и лежа- щими на сей плоскости , дѣлаетъ углы прямые*. Встрѣчается же съ ВС каждая изъ*опр.З. Прямыхъ СН, СК, кои лежатъ на ^ілоскос- ГПИ прямыхъ ВЕ, ЕЕ: посему каждый изъ )гловъ ВСН, ВСК есть Прямой. И поелику параллельна къ СН*" то углы СВА, ВСН *<)• равны двумъ прямымъ*. Но уголъ ВСН пря-*29А- М0|і: посему и уголъ СВА прямой ; іі ВС ссгпь подъ прямыми углами къ ВА. Пото- ку же ВС подъ прямыми углами и къ Итакъ, поелику прямая ВС къ двумъ прямымъ ВЛ, ВС, взаимно пресѣкающимся, ІІОспіавлена подъ прямыми углами • то ВС
□88 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ будетъ й къ плоскости прямыхъ ВА, ВС •4. подъ прямыми углами*. Потому же ВС (С|||Ь и къ плоскости прямыхъ СН, СК подЪ прямыми углами. Но плоскость прямыхъ СН, СК есть та же; что и плоскость при, мыхъ ВЕ, ЕЕ: посему ВС къ плоскости Прямыхъ БЕ, ЕЕ есть подъ прямыми угла- ми. А доказано , что прямая СВ есть подъ Прямыми углами къ плоскости Прямыхъ АВ, ВС; ещё же сія прямая къ плоскости пря- мыхъ ВЕ, ЕЕ перпендикулярна: посему ВСг къ каждой изъ плоскостей; что на АВ, ВС, и па ВЕ, ЕЕ, есть перпендикулярная. А плоскости , къ коимъ таже прямая есть *і4. перпендикулярная,' суть взаимно парал- лельныя*: чего ради плоскость на АВ, ВС параллельна къ плоскости на ВЕ," ЕГ. Итака^ ежели двѣ, и пр. Ч. И д. П. (88]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХѴІ. * Ежели двѣ Параллельныя плоскости пере- сѣчены какою ниесть плоскостію; гпо вза- имныя ихъ сѣченія суть параллельны. Пусть двѣ параллельныя плоскости АВ, СВ будутъ пересѣчены какою ниесть плос- костію ЕГНП: и пусть взаимныя ихъ сѣ- ченія будутъ ЕГ,' СН. Говорю, что Е? параллельна къ СН.
КП II Г А ОДИННАДЦАТАЯ. 589 ІІбо , буде не такъ: шо прямыя ЕГ, СН продолженныя встрѣтятся, сШоронУ ГЛЪ ИЛИ по или по ту ту сторону ГДВ Е, С. Продолжи оныя, и пусть встрѣ- тятся по ту сторону, вопервыхъ, гдѣ р Н, въ точкѣ К. Поелику прямая ЕГК есть на плоскости АВ; то всякая точка на прямой ЕГК есть на плоскости АВ*: но одна изъ точекъ на *«- прямой ЕГК есть К; посему точка К есть на плоскости АВ. Потому же точка К есть и на плоскости СБ. Итакъ плоскости АВ, СП, продолженныя взаимно встрѣтятся. Но онѣ не встрѣчаются, ибо, по положенію, С)піь параллельныя: посему и прямыя ЕЕ, СН продолженныя не встрѣтятся по ту сторону гдѣ Г , Н. Подобно докажемъ, что прямыя ЕЕ, СН не встрѣтятся ни по ту сторону гДѣ Е, С. А ни по которую сторону не- «сшрѣчающ'іяся прямыя суть параллельныя*: ѣп.35-1. тего ради ЕГ, параллельна къ СН. Ишакъ,ежели д вѣ параллельныя,и пр. ч. и Д. И. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVII. Ежели двѣ прямыя пересѣчены будутъ Параллельными плоскостями; то онѣ раз- СЧѴіпся въ томъже отношеніи. >9
200 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Пусть двѣ прямыя АВ, СО будутъ псре сѣчейы параллельными плоскостями КЬ, МК въ точкахъ А, Е, В, С, Г, О. Говор/ что какъ АЕ къ ЕВ, такъ СЕ къ ЕБ. Протяни АС, ВВ, АВ; и пусть АВ всіпрв. гпится съ плоскостію КЬ въ точкѣ О; и протяни ЕО, ОЕ. Поелику двѣ параллельныя плоскости КЬ, МК пересѣчены плоскостію ЕВВО; то вза- имныя ихъ сѣченія ЕО, ВВ суть параллель- *16. ныя*. Такъ же, поелику двѣ Параллельныя плоскости СхН, КЬ пересѣчены плоскостію ЛОГС; то взаимныя ихъ сѣченія АС, ОС суть параллельныя. Итакъ , поелику къ ВА, одной изъ сторонъ треугольника АВВ, про- ведена параллельная ЕО; то какъ АЕ къ ЕВ, *2,Ѵі. такъ АО къ ОВ*. Еще же, поелику къ АС, одной изъ сторонъ треугольника ЛВС, про- ведена параллельная ОГ; то какъ АО къ ОС, такъ СЕ къ ГВ. А доказано, что какц^О къ ОВ, такъ АЕ къ ЕВ: чего ради какъ АЕ *п,Ѵ. къ ЕВ, такъ СЕ къ ЕВ*. Итакъ, ежели двѣ , и проч. ч. И Д. И. (8д)- ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХѴШ. Ежели прямая будетъ подъ прямыми угЛ‘‘ ми къ какой ниесть плоскости ; то
КНИГА -ОДИННАДЦАТАЯ. 291 плоскости, проходящія чрезъ сію прямую, огдуіпь къ той же плоскости подъ прямы- ми углами. Пусть прямая АВ будетъ подъ прямыми углами къ подлежащей плоскости. Говорю чпю всякія плоскости, проходящія чрезъ АВ* сѵіпь къ той же подлежащей плоскости подъ прямыми углами. Пусть чрезъ АВ пройдетъ Плоскость БЕ; и пусть будетъ СЕ взаимное сѣченіе пло- скости БЕ съ подлежащею. На прямой СЕ возьми какую ниесть точку Г; и отъ точки Г проведи йа плоскости БЕ, подъ прямыми углами къ СЕ, прямую ГС*. *и,І. Поелику АВ перпендикулярна къ подлежа- щей плоскости ; тоЛВ ко всѣмъ прямымъ, съ нею встрѣчающимся и лежащимъ на сей плоскости, есть перпендикулярная*: слѣд-*опр.3. ственно АВ перпендикулярна къ прямой СЕ; а посему уголъ АВЕ есть прямой*. Но*оп.ю,І. г уголъ СРВ прямой же; посему АВ па- раллельна къ ГС*. Но АВ перпендикулярна *28,і. Къ подлежащей плоскости; посему и ГС Перпендикулярна къ сей плоскости*. Но плос- *8- к°сть называется перпендикулярною къ пло- Гк°сіии , когда прямыя линіи, проводимыя на ивъ сихъ плоскостей, подъ прямыми ,ТглаМи ко взаимному оныхъ сѣченію, суть
202 Э В К Л В Д. НАЧАЛЪ къ другой плоскости подъ прямыми уГла лопр-4. ми*} доказано же, что прямая РСг проведен- ная на плоскости БЕ, подъ прямыми угла- ми къ СЕ, взаимному сѣченію плоскостей есть подъ прямыми углами и къ подлежа- щей плоскости : слѣдственно плоскость І)р; есть перпендикулярная къ подлежащей плос- кости. Подобно докажется, что всякія плоскости, проходящія чрезъ прямую АВ, перпендикулярны къ подлежащей плоскости. Ишакъ, ежели прямая, и проч. Ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIX. Ежели двѣ плоскости, взаимно пресѣка- ющіяся , перпендикулярны къ какой ниесть плоскости} то и взаимное оныхъ сѣченіе будетъ къ той же плоскости перпендику- лярное. Пусть двѣ плоскости АВ, ВС, вза^р"0 пресѣкающіяся, будутъ перпендикулярны кь подлежащей плоскости} и пусть взаимное оныхъ сѣченіе будетъ прямая ВО. Говоры, что ВО есть перпендикулярная къ 111011 же плоскости. Буде же нѣтъ : то отъ точки О ПР°‘ веди на плоскости АВ, подъ пря'10’ *і і,і. углами къ АО, прямую БЕ*} и отъ точки
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 29З р проведи на плоскости ВС, подъ прямыми уГЛами къ СИ, прямую РЕ. Поелику плоскость ЛВ перпендикулярна къ подлежащей плоскости; и прямая ВЕ пооведена на плоскости АВ, подъ прямыми углами къ ЛВ, взаимному сѣченію сихъ пло-» скосшей • то ВЕ есть перпендикулярная къ подлежащей плоскости*. Подобно докажемъ, *опр-4. чпю и ВЕ есгпь перпендикулярная къ подле- жащей плоскости. Итакъ отъ тойже точки Б подлежащей плоскости , возставлены, по туже ея сторону, двѣ прямыя подъ прямыми къ ней углами; что невозможно*. Посему отъ *<?• точки В не могутъ быть возставлены,подъ прямыми углами къ подлежащей плоскости, иныя прямыя, кромѣ прямой ВВ , взаимнаго сЪченія плоскостей ЛВ, ВС. Итакъ, ежели двѣ плоскости , и проч. ’• И д. н. (90]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XX. Ежели толстый уголъ будетъ содержимъ •премя плоскими углами; то два изъ сихъ И-^скпхъ угловъ, всячески перебранные, с.ѵгпь больше остальнаго. Пусть толстый уголъ при А будетъ со- 4ержимъ тремя плоскими углами ВАС, САВ?
294 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ ВАВ. Говорю, что изъ угловъ ВАС, СДу> ВАВ , два , всячески перебранные , больше остальнаго Ибо, естьли углы ВАС, САВ , В ѴВ всѣ Взаимно равны ; то явно , что два Изъ сихъ угловъ , всячески перебранные, болыче остальнаго. Естьли же нѣтъ,то пусть уголъ ВАС будетъ большій. При прямой АВ и при точкѣ на ней А , составь на плоскости ВАС уголъ ВАЕ равный углу РАВ; и положи АП, АЕ равныя* и проведи чрезъ Е прямою ВЕС пересѣкающую прямыя АВ, АС въ точ- кахъ В, и протяни ВВ, ВС. Поелику ВА равна АЕ, и АВ общая 5 то двѣ прямыя ВА, АВ равны двумъ прямымъ АЕ, АВ’, и уголъ ВАВ равенъ }глу ВАЕ; посему основаніе ВВ равно основанію ВЕ. И поелику двѣ прямыя ВВ, ВС больше *2о,і. прямой ВС*} а ВВ равна ВЕ: то осталь- ная ВС больше остальной ЕС. Итакъ, пое- лику ВА равна АЕ, а АС общая ; основаніе же ВС больше основанія ЕС; то уголъ ВАС *з5,і. больше угла ЕЛС*. Но уголъ ВАВ равенъ углу ВАЕ, по строенію: чего ради }глЫ РАВ, ВАС больше угла ВАС. Взявъ др}г’в каке ниесть два угла, подобно докажемъ, что они больше остальнаго. Итакъ,ежели толстый уголъ, и пр.ИД’ '
КЦИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 2$) ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXI. Плоскіе углы, содержащіе всякій тол- спіый уголъ, сушь меньше четырехъ .угловъ прямыхъ. Пусть толстый уголъ при А будетъ со-» держимъ плоскими углами ВАС, САВ, ВАВ. Говорю, что углы ВАС, САВ, ВАВ суть меньше четырехъ прямыхъ. На каждой изъ прямыхъ АВ, АС, АВ возь- ми какія ниесть точки В, С, В' и про- тяни ВС, СВ, ВВ. Поелику толстый уголъ при В содержимъ тремя плоскими углами СВА, АВВ, СВВ; то всякіе два изъ нихъ больше остальнаго*; *2 о., посему углы СВА, АВВ больше угла СВВ. Потому же и углы ВСА, АСВ больше угла ВСВ; и углы СВА, АВВ больше угла СПВ. Слѣдственно шесть угловъ СВА, АВВ, ВСА, АСВ, СВА, АВВ сушь больше трехъ угловъ СВВ, ВСВ, СВВ- Но три угла СВВ, ВСВ, СВВ равны двумъ прямымъ»; посему *32;г. Шесть угловъ СВА, АВВ, ВСА, АСВ, СВА, АПВ больше двухъ прямыхъ. И поелику Каждаго изъ треугольниковъ АВС, АСВ, АВВ Шри угла равнь1 двумъ прямымъ ; то трехъ с«хъ треугольниковъ девять угловъ СВА, ЛсВ, ВАС, АСВ, ВАС, СВА, АВВ, ВВА, ВАВ
296 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ равны шести прямымъ. Но въ нихъ шесть угловъ АВС, ВСА, АСВ, СВА, АВВ, |)]ц больше двухъ прямыхъ : чего ради осггіальНьі три угла ВАС, САВ, ВАВ, содержащіе шо\ сшый у голъ,сушь меньше четырехъ прямыхъ Итакъ, плоскіе углы , и проч. ч. и д. щ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXII. Ежели будутъ три плоскіе угла , изъ коихъ два, всячески перебранные, больше остальнаго • содержать же ихъ будутъ Прямыя всѣ взаимно равныя: то изъ прямыхъ, сопрягающихъ въ нихъ равныя прямыя, воз- можно будетъ составить треугольникъ. Пусть будутъ три плоскіе угла АВС, ВЕЕ, СНК, изъ коихъ два, всячески пере- бранные, пусть будутъ больше остальнаго; а именно , углы АВС, ВЕЕ больше угла СНК, углы же ВЕЕ, СНК больше угла АВС I еще , углы СНК , АВС больше угла ВЕ?; и пусть прямыя АВ, ВС, ВЕ, ЕЕ, СН, НК будутъ всѣ взаимно равныя; и пусть про- тянуты будутъ АС, ВЕ, СК. Говорю, чгп° изъ прямыхъ, равныхъ прямымъ АС, В ,СК, возможно составить треугольникъ; есть, что изъ прямыхъ АС, ВЕ, СК, всякія двѣ суть больше остальной.
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. Есніьли углы АВС, БЕГ, СНК взаимно рав- ны: то, поелику и ЛС, ВГ, СК будутъ вза- имно равны, явно, что изъ прямыхъ, равныхъ пнямымъ АС, ВГ, СК, возможно составишь треугольникъ. Естьли же неравны : то при прямой НК, и при точкѣ на ней II, составь Аголъ КНЬ равный углу АВС*; и положи *23,І. НЬ равную которой ниесть изъ прямыхъ АВ, ВС, БЕ, ЕГ, СН, НК; и протяни КЬ, СЬ. Поелику двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ прямымъ КН, НЕ; и уголъ при В равенъ углу КНЬ: посему основаніе АС равно основанію КЬ*. И поелику углы АВС, СНК *4,г. больше угла БЕГ; а уголъ АВС равенъ углу КНЬ: посему и уголъ СНЬ больше угла БЕГ. Итакъ, поелику двѣ прямыя СН, НЬ равны двумъ прямымъ БЕ, ЕГ; но уголъ СНВ больше угла при Е: посему и основа- ніе СЬ больше основанія ВГ*, Но СК , КЬ *24’Т- больше СЬ; посему СК, КЬ и гораздо больше ВГ. А КЬ равна АС; посему АС, больше остальной БГ. Подобно дока- жемъ , что и АС, ВГ больше СК; и еще СК больше АС. Итакъ возможно изъ пРямыхъ, равныхъ прямымъ АС, ВГ, СК, со- СІИавить треугольникъ*. *22>і- Иначе, Пусть будутъ даны три плоскіе
2д$ 3 В К Л И Д, НАЧАЛЪ угла АВС, БЕГ, СИК, изъ коихъ два, В(,а чески перебранные , пусть будутъ больщ». остальнаго ; и пусть содержатъ ихъ равныя прямыя АВ, ВС, БЕ, ЕЕ, СН, НК; и пусть протянуты будутъ АС, БЕ, СК. Говорю что изъ прямыхъ, равныхъ прямымъ АС, Ьр СК, возхможнр составить треугольникъ; пю есть, что двѣ изъ сихъ прямыхъ , всячески перебранныя , суть больше остальной. Есшьли углы при точкахъ В, Е, Н суть взаимно равные : то и прямыя АС, НЕ, СК 4>г будутъ взаимно равныя*; и двѣ изъ нихъ будутъ больше остальной. Есшьли же пѣтъ , гпо пусть углы при точкахъ В, Е, Н будетъ неравны, и пусть уголъ при В будетъ больше каждаго изъ угловъ Е, Н: посему пря- мая АС будетъ больше каждой изъ пря- мыхъ БЕ, СК*; и явно, что АС съ каж- дою изъ прямыхъ БЕ, СК больше осталь- ной. Говорю также , что и БГ, СК бол^пе АС. При прямой АВ, и при точкѣ на ней В, составь угохъ АВЬ равный углу иЯ и положи ВЬ равную которой ниесть изъ прямыхъ АВ, ВС, БЕ, ЕЕ, СН, НК; и про- тяни АЬ, ЬС. Поелику двѣ прямыя АВ, ВЬ равны ДВУМ прямымъ СН, НК, каждая каждой; и с ’ держатз» углы равные: то основаніе
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. $дд равно основанію СК . II поелику углы при *4Л ^очкахъ Е, Н больше угла АВС; а угрлъ ІіНК равенъ углу АВБ: посему и осталь- ной уголъ при Е больше угла ЕВС. Цпіакъ, поелику двѣ прямыя ЕВ, ВС равны двумъ прямымъ БЕ, ЕЕ, каждая каждой; но уголъ БЕЕ больше угла ЕВС: посему „ основаніе БЕ больше основанія ЕС*. *?4Д» Доказано же , что СК равна АБ; посе- му БЕ, СК суігф больше АБ, БС. Но АЬ, БС больше АС*: посему БІ?, СК и *2о,і. гораздо больше АС. Чего ради двѣ изъ пря- мыхъ АС, БЕ, СК, всячески перебранныя, сушь больше остальной. Итакъ изъ пря- мыхъ, равныхъ прямымъ АС, БЕ, СК, воз- можно составить треугольникъ*, ч. и д. Н. *2чЛ ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIII, Изъ трехъ плоскихъ угловъ составить тол- №іый уголъ. Но надлежитъ двумъ изъ сихъ Данныхъ трехъ угловъ, всячески перебран- аьімъ, быть больше остальнаго; и всѣмъ Иренъ быть меньше четырехъ угловъ пря- мыхъ. Чусггіь будутъ три данные плоскіе утлы БЕЕ, СНК; изъ коихъ два , всячески Пере6ранные , Иу сть будутъ больше осталь-
Зоо 3 В К Л И д. НАЧАЛЪ наго; и пусть всѣ три будутъ меньше чеіцЬ1 рехъ прямыхъ. Надлежитъ изъ угловъ, рав ныхъ угламъ АВС, НЕЕ, СНК, составить толстый уголъ. Отними равныя прямыя АВ, ВС, НЕ, Ер СН, НК; и протяни АС, НЕ, СК. Почему изъ прямыхъ равныхъ прямымъ АС, НЕ, СК *32- возможно составить треугольникъ*. Со- 22,1. ставь треугольникъ ЕМК*, такъ чтобы была ЕМ равная АС, а МК равная І)Г, и БИ равная СК; ц около треугольника *5,іѵ. БМК опиши кругъ ЕМ№*: и возьми онаго *і,Ш. центръ*, который будетъ или внутрь тре- угольника илц на его сторонѣ, или внѣ онаго. Пусть будетъ вопервыхъ внутрь, и пусть будетъ оный въ Отротяни ЕО,МО,КО. Гово- рю, что АВ больше ЕО. Ибо, буде нѣтъ; то АВ или равна ЪО, или меньше ея. Пусть 6у- деігіъ,вопервыхъ,равна.Поелику АВ равна ЬО, а и АВ равна ВС; то ЪО равна ВС: но ЬО равна и ОМ: итакъ двѣ прямыя АВ, ВС равны *8,т. двумъ прямымъ ЬО, ОМ, каждая каждой; и основаніе АС равно, по положенію, основанію ЕМ: посему уголъ АВС равенъ углу Потому же уголъ ВЕЕ равенъ углу и уголъ СНК углу ГЮБ. Чего ради хпр11 угла АВС, БЕГ, СНК равны тремъ угла**
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. Зоі МОК, КОЬ. Но три угла БОИ, МОА, равны четыремъ прямымъ : посему и [при Угла АВС, БЕГ, СНК равны четы- ремь прямымъ} они же по Положенію, и меньше четырехъ прямыхъ: что нелѣпо. (ДФдсгпвенно АВ не равна ЕО. Говорю еще , что АВ и не меньше ЕО. Ибо, буде возможно, пусть будетъ меньше } и положи ОР равную АВ, и Ор равную ВС- и протяни Рр. По- елику АВ равна ВС, то и ОР равна ОР} посе- му и остальная ЕР равна остальной рМ: а по- сему ЕМ параллельна кьРр’} и треугольникъ *2.ѴІ. ШО есть равноугольный треугольнику РрО. Чего ради какъ ОБ къ ЕМ, такъ ОР къ Рр*} *4>ѴІ. и премѣненіемъ, какъ ЕО къ ОР, такъ ЕМ къ Рр*. Но ЕО больше ОР} посему ЕМ *іб31/’. больше Рр: а ЕМ равна АС, по строенію} посему и АС больше Рр. Итакъ, поелику двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ прямымъ РО, ОР} но основаніе АС больше основанія ₽(): шо и уголъ АВС больше угла РОр*. *25,і. Подобно докажемъ , что уголъ БЕГ больше Угла МО А, и уголъ СНК больше угла КОЕ. Чего ради три угла АВС, БЕГ, СНК суть больше трехъ угловъ БОМ, МО А, ЛОБ. И° углы АВС , БЕГ, СНК, по положе- 11110, меньше четырехъ прямыхъ • посему УгАы БОМ, МО А, АОБ и гораздо меньше
ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Зо2 четырехъ прямыхъ; они же равны четы ремъ прямымъ: что нелѣпо. Слѣдственъ АВ не меньше ЬО. А доказано, чіпо и . равна ей: ишакъ АВ больше ЬО. Ошъ точки О возставь , подъ прямыЧц •і2. утами къ плоскости круга ЬМА,прямую 01{ Пусть будетъ избытокъ квадрата изъ АВ Предъ квадратомъ изъ ЬО равенъ квадрату *лемма. Изъ ОВ.*; и протяни ВЬ, ВМ, ВА\ Поелику прямая ОВ перпендикулярна къ плоскости Круга ЬМХ; то КО Перпендикулярна и къ *опр.З. каждой изъ прямыхъ ЬО, МО, Г\О*. II по- елику ЬО равна ОМ, а ОВ есть общая, и подъ прямыми къ нимъ углами: шо осно- %І. вані'е КЬ равно основанію КМ*. Потому же и К1Х равна каждой изъ прямыхъ ВЪ, КМ. Итакъ три прямыя КЬ, КМ, № сушь взаимно равны. И поелику квадратъ изъ ОК равенъ, по положенію , избытку квадра- та изъ АВ предъ квадратомъ изъ ЬО; ню квадратъ изъ АВ равенъ квадратамъ изъ ІД ОК. Квадратамъ же изъ ЬО, ОК равенъ и *4уЛ- квадратъ изъ ЬК*, ибо уголъ ЬОК есгпь прямой : посему квадратъ изъ АВ равеиь квадрату изъ КЬ; слѣдственно АВ равна ВЬ Но прямой АВ равна каждая изъ прямыхъ ВЬ, ПЕ, ЕГ, СН, НК; а прямой КЬ равна «аЖ- дая изъ прямыхъ КМ, КЛ: посему кажДа*
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ, ЗоЗ илъ прямыхъ АВ, ВС, БЕ, ЕГ, СП, НК ра- (іа каждой изъ прямыхъ ВЬ, КМ, К1Ѵ. А поелику Двѣ прямыя ЬВ, ВМ равны двумъ лр мьпіъ АВ, ВС; и основаніе ЕМ равно, по положенію , основанію АС: посему уголъ ЩМ равенъ углу АВС*. Потому же , уголъ *8,і. МК5 равенъ углу НЕЕ, а уголъ Е1ІА углу 6НК. Итакъ изъ трехъ плоскихъ угловъ ЬКМ, МВГі, ЕКІѴ, равныхъ тремъ даннымъ угламъ АВС, НЕЕ, СНК, составленъ уголъ іполсгпый При К, содержимый углами ЕКМ, мкк, ьвлт. Но пусть центръ круга будетъ на одной изъ сторонъ треугольника, а именно, на М?і, и пусть будетъ оный въ О: протяни ОЬ. Говорю еще, что АВ больше ЬО. Ибо , буде нѣтъ; то АВ или равна ЬО, или Меньше ея. Пусть будетъ, вопервыхъ, равна. Посему двѣ прямыя АВ, ВС, то есть ПЕ, ЕГ равны двумъ прямымъ МО, ОЬ, то есть прямой МГЕ Но М№ равна, по положенію, ЕЕ: посему ПЕ ЕЕ равны ВЕ; что невоз- можно*; слѣдственно АВ не равна ЬО. По- . ''"оно докажемъ, что и не меньше ея; выдепіъ еще большая нелѣпость : ЙІпакъ АВ больше ЕО. Естьли же еще воз- сШавимъ, подъ прямыми углами къ плос- к°СіПи круга,прямую КО равную прямой, коея
Зо4 9 Е К Л II Д. НАЧАЛЪ квадратъ равенъ избытку квадрата изъ Д|] ♦лемма, предъ квадратомъ изъ IX)*: то задача будетъ рѣшена. Пусть центръ круга будетъ еще ЕнЬ треугольника 1ЛШ, и пусшь будетъ оный въ О: протяни IX), МО , КО. Говорю еще что АВ больше ЬО. Ибо, буде нѣтъ* ГПо или равна, или меньше. Пусть будешь, вопервыхъ , равна. Ишакъ двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ прямымъ МО, ОЬ, каждая каж- дой ; и основаніе АС равно основанію МІ: *8,і> посему уголъ АВС равенъ углу МОІЛ Пото- му же уголъ СНК равенъ углу ЮК. Чего ради цѣлый уголъ МОЛ равенъ двумъ угламъ АВС, СНК. Но углы АВС, СНК больше угла БЕГ посему и уголъ МОЛ больше угла ВСГ. И поелику двѣ прямыя НЕ, ЕГ равны двумъ прямымъ МО , О1Ѵ, и основаніе НЕ равно основанію МА: то уголъ МОА равенъ углу ОЕГ; доказано же , что онъ больше • что нелѣпо: Чего ради АВ не равна ЬО: по- слѣже мы докажемъ, что и не меньше: слѣд- ственно больше. Естьли возставимъ опять, подъ прямыми углами къ плоскости круга> прямую ОВ; и естьли возьмемъ сію нря1'1)10 равную прямой, коея квадратъ равенъ и3 бы тку квадрата изъ АВ предъ квадраШ°-'1Ь ♦лемма, изъ IX)*: то задача будетъ рѣшена.
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. Зо5 Теперь говорю, что АБ не меньше ЬО, Пбо, буде возможно , пусть будетъ мень- ше: положи прямую ОР равную АВ, и пря- м)іо 0(2 равную ВС; и протяни Р(2- Поели- ку АВ равна ВС, то ОР равна 0(2; посему и остальная РЬ равна остальной (^М: а по- сему ЬМ параллельна къ (^Р*; и треуголъ- •з,П. никъ ЬМО есть равноугольный треуголь- нику (^ОР. Чего ради какъ ОЬ къ ЬМ, такъ ОР къ Р(2*; и премБненіемъ , какъ ЬО къ*4,ѵі. ОР, такъ ЬМ къ Р(2*. Но ЬО больше ОР, по- сему ЬМ больше Р(^: а ЬМ равна АС; посему и АС больше Р<). II поелику двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ прямымъ РО, 0(2, каждая каждой ; но основаніе АС больше основанія Р<2: то и уголъ АВС больше угла Р0СР. *25,і. Естьли отнимемъ прямую ОѴ равную каждой изъ прямыхъ ОР, 0(2; и протянемъ РѴ: то подобно докажемъ , что уголъ СНК больше }гла РОѴ. При прямой ЬО, и при точкѣ на пей О, Составь уголъ Ь08 равный углу АВС, а уголъ равный углу СНК; и положи каждую изъ Прямыхъ 08, ОТ равную прямой РО; и про- гни Р8, РТ, 8Г. Поелику двѣ прямыя АВ, ВС равны двумъ Прямымъ. РО, 08 ; и уголъ АВС равенъ углу то основаніе АС, то есть прямая ЬМ чо
Зоб ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ равна основанію Р5. Потому же и ІЛѴ равна Р1. II поелику двѣ прямыя МЬ, ЬА равны двумъ прямымъ 5Р, РТ; а уголъ МЬК боль- ше угла 5РТ: пю и основаніе ЛШ больше *2Д,і. основанія 5Т*. Но КШ равна НЕ ; посему и НЕ больше 5Т. Ишакъ , поелику двѣ прямыя НЕ, ЕЕ равны двумъ прямымъ 50, О Г- ц0 основаніе ВЕ больше основанія 8Т: пю и *з5,і.уголъ ВЕЕ больше угла 50Т*. уголъ же 50Т равенъ угламъ АВС, СНК; чего ради уголъ ВЕЕ есть больше угловъ АВС, 6ИК: онъ же и меньше • что невозможно. Лемма. Мы покажемъ, какъ составишь квадратъ изъ ОВ. равный избытку квадрата изъ АВ предъ квадратомъ изъ ЬО. Пусть будутъ изложены прямыя АВ, ЬО; и пусть АВ будетъ большая : напиши на ней полукружіе АВС ; и помѣсти въ полукружіи АВС прямую АС равную ЬО; и протяни ВС- Поелику уголъ АСН есть въ полукружіи *3г,ні. АВС; то уголъ АСВ прямой *. Посему ква- дратъ изъ АВ равенъ квадратамъ изъ АС, *47А-СВ*: и потому квадратъ изъ АВ больше квадрата изъ АС квадратомъ изъ СВ. Но АС равна ЬО ; посему квадратъ изъ АВ больше квадрата изъ ЬО квадра- томъ изъ СВ. Ишакъ, есшьли мы поло- жимъ прямую ОВ. равную ВС : то квадрашъ
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 03Ъ АВ будетъ избытокъ квадрата изъ ОЬ прРДъ квадратомъ изъ ОК. Что мы и сдѣ- лать хотѣли. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIV. Ежели тѣло содержится параллельными плоскостями; то противулежащія онаго плоскости суть параллелограммы равные. Пусть будетъ СПНСг тлѣло содержимое параллельными плоскостями АС, 6Е,АН, НЕ; БЕ, АЕ. Говорю, что противулежащія онаго плоскости суть параллелограммы равные. Поелику двѣ параллельныя плоскости ВС, СЕ пересѣчены плоскостію АС* то общія ихъ сѣченія суть параллельныя: посе- му АВ параллельна къ НС*. Еще же, по-*іб. Мику двѣ параллельныя плоскости ВЕ, АЕ пересѣчены плоскостію АС; то общія ихъ сѣченія суть параллельныя; посему ВС параллельна къ АН. А доказано , что и АВ Параллельна къ НС: чего ради плоскость АС есть параллелограммъ*. Подобно дока-*оп. 36.1. *емъ, что и каждая изъ плоскостей НЕ, СгВ, ВЕ, АЕ есть параллелограммъ. Протяни АН, НЕ. Поелику АВ параллельна къ ПС, а ВЦ Параллельна къ СГ: шо двѣ прямыя АВ, ВН, * ♦
ЗоЗ э в к л и д. началъ взаимно встрѣчающіяся, параллельны къ гимѣ двумъ прямымъ БС, СГ, взаимно встръ, чающимся и нележащимъ на піойже п\о скости; посему сіи прямыя будутъ сщер- *іо. жать утлы равные*: а посему уголъ равенъ углу БСГ. И поелику двѣ прямыя *34Д. АВ, ВН равны двумъ прямымъ БС, СГ*; ц уголъ АВН равенъ углу БСГ: то основаніе АН равно основанію БГ; и треугольникъ АВН равенъ треугольнику БСГ. Но тре- угольника АВН есть двукратный паралле- *34Л лограммъ ВС*, а треугольника БСГ двукрат- ный параллелограммъ СЕ: посему паралле- лограммъ ВС равенъ параллелограмму СЕ. Подобно докажемъ, что параллелограммъ АС равенъ параллелограмму СГ; а параллело- . граммъ АЕ параллелограмму ВГ. Итакъ, ежели тѣло содержится, и проч. Ч. Й д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХК Ежели параллелепипедъ пересѣченъ будегпь плоскостію параллельною къ прогпивулеЖ щимъ плоскостямъ: то оный разсѣчет па два тѣла, пераллелепипеды же, кои суГП веаимно какъ основанія. Пусть параллелепипедъ АВСБ буДеП
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. Зод пересѣченъ плоскостію ЕС параллельною къ противолежащимъ плоскостямъ НА, ВН. Говорю , что какъ основаніе АЕЕѴ къ осво- енію ЕНСГ, такъ тѣло АВГІІ къ тѣлу ЕбСВ- Продолжи АН на обѣ стороны ; и положи сколько ниесть прямыхъ АК, КЪ равныхъ прямой АЕ; положи также сколь- ко ниесйіь прямыхъ НМ, МХ равныхъ прямой ЕН; и дополни параллелограммы ЬР, КѴ, НХ, М5, и параллелепипеды Е(), КВ, ВМ, МТ. Поелику прямыя ЬК, КА, АЕ взаимно равны; то равны и параллелограммы ЬР, КѴ, АГ взаимно, и параллелограммы КО, КВ, АС взаимно*: еще же и параллелограммы ЬТ,К(^, *3б,1. АВ равны взаимно*,ибо суть прошивулежащіе. *а4- Потому же равны суть, и параллелограммы ЕС, НХ, М5 взаимно, и параллелограммы ИС, взаимно, еще же и параллелограммы ЕН, МХ, ]\ГГ взаимно. Итакъ три плоскости Котораго либо изъ тѣлъ ІА^), КВ, АІІ равны Горемъ плоскостямъ другаго. Но у каждаго ,Г|Ъла оныя три плоскости равны прочимъ ^ремъ противулежащимъ*: посему три тѣла Кіі , ДЕГ суть взаимно равны*. Потому *0Пр. і®. *е и Шри тѣла ЕВ, ВМ, МТ взаимно равны. чіакъ сколько кратное есть основаніе ТЕ ^новація АЕ, столько кратное есть и тѣло І1гЬла ДИ. Потому же сколько кратной
ЗіО ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ есть основаніе КГ основанія ГН, сгпольго кратное есть и тѣло КЕ тѣла НИ. ] [ есіГ)ь ли основаніе ЬГ равно основанію КГ, Пю тѣло ЬЕГ равно тѣлу КЕ; и естьли основа- ніе ЕГ больше основанія КЕ , то и тѣло ЬЕ больше тѣла КЕ; и есгпьли меньше, по меньше. Итакъ изъ имѣющихся четырехъ величинъ, то есгпь, двухъ основаній АГ, ГН, И двухъ тѣлъ ЛИ, ЕН, взяты основанія АЕ и тѣла АІІ равнократныя, основаніе Ьр и тѣло ЕЕ; а основанія НЕ и тѣла РШ равнократныя основаніе КЕ и тѣло КЕ: и доказано, что естьли основаніе ЬГ больше основанія КГ, то и тѣло ЫІ больше тѣла КЕ; и естьли равно, то равно ; и естьли меньше, то меньше: слѣдственно какъ основаніе АЕ къ основанію ГН, такъ тѣло Чои5,Ѵ. АП КЪ тѣлу ЕИ*. Ч, И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVI. При данной прямой, и при данной на не» точкѣ , составить толстый уголъ, равный данному толстому углу. Пусть будетъ АВ данная прямая, и данная на ней точка : и уголъ при В дянНЬІ толстый уголъ, содержимый плоскими Угла ми ЕБС, ЕБГ, ГВС. Надлежитъ при прям°й
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 311 и при точкѣ на ней А, составить толстый уголъ, равный толстому углу про О- Возьми на СГ какую ниесть точку Г; и проведи отъ Г, перпендикулярную къ плос- кости прямыхъ ЕС, СС, прямую ГС*, и*іі. щсть она встрѣтитъ сію плоскость въ С; и протяни СС; и при прямой АВ, и при точкѣ па ней А, составь уголъ ВАЕ равный углу ЕСС, и уголъ ВАК равный углу ЕВС" и положи прямую АК равную ІДС; и отъ точки К возставь.нодъ прямыми углами къ плоскости прямыхъ ВА, АЬ, прямую КН*;*іа. и положи КН равную СГ; и протяни НА. Говорю, что толстый уголъ при А, содер-; жиуый углами ВАЕ, ВАН, НАЕ, равенъ тол- стому углу при И, содержимому угламц ЕВС, ЕСЕ, ГСС. Отними равныя прямыя АВ, СЕ; и протяни НВ, КВ, ГЕ, СЕ. Поелику ГС перпенди- кулярна къ подлежащей плоскости; то онц СЦ всѣми прямыми , съ нею встрѣчающими^ ся и на сей плоскости лежащими, дѣ- лаетъ углы прямые*: посему каждый изъ *опр.З. Угловъ ГСС, ГСЕ есть прямой. Потому же 11 каждый изъ угловъ НКА, НКВ есть пря- Лі°1'»- И поелику двѣ прямыя КА, АВ равны *®умъ прямымъ СС, СЕ, каждая каждой;
Зі2 Э В К. Л 1Ц. н Л Ч А Л ь. и содержатъ углы равные: то основаніеВК %і. равно основанію ЕС*. Но и КН равна СГ; в каждый изъ угловъ НКВ, ЕСЕ прямой; р0_ *4,І- сему НВ равна ГЕ*. Еще же , поелику днѣ прямыя АК у КН равны двумъ прямымъ НС, СГ , и содержатъ углы прямые’: то основаніе АН равно основанію БГ. Но и АВ равна БЕ: итакъ двѣ прямыя НА, АВ равны двумъ прямымъ ЕБ, НЕ; и основаніе НВ равно основанію ГЕ: посему уголъ ВАН *8Д. равенъ углу ЕБГ*. Потому ж,е уголъ 11АЬ равенъ углу ГБС: ибо положивъ АВ равную БС, и протянувъ КБ, НБ, СС, ГС, поелику цѣлый уголъ ВАЕ равенъ цѣлому ЕБС; и въ нихъ уголъ ВАК равенъ углу ЕБС: то остальной уголъ КАЕ будетъ равенъ остальному СБС. Поелику же двѣ прямыя КА,-АЕ равны двумъ прямымъ СБ , БС , и содержатъ углы равные: то основаніе КЕ равно основанію СС. Но и КН равна СГ: итакъ двѣ прямыя БК, КН равны Двумъ прямымъ СС, СЕ; и содержатъ углы прямые : посему основаніе НБ равно основа- нію ГС. Еще же , поелику двѣ прямыя НА, АБ равны двумъ прямымъ ЕБ , ВС; я основаніе НЕ равно основанію ГС: 1110 уголъ НАЕ равенъ углу ЕБС. А и Уг°лЭ ВАБ равенъ углу ЕБС:
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 313 Итакъ при данной прямой , и при данной на пей точкѣ, составленъ толстый ^голъ, равный данному толстому углу. ч. И с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXVII. Изъ данной прямой написать параллеле- пипедъ, подобный данному параллелепипеду и подобно положенный. Пусть будетъ АВ данная прямая , и ВС данный параллелепипедъ. Надлежитъ изъ данной прямой АВ написать параллелепи- педъ , подобный данному параллелепипеду ВС и подобно положенный. При прямой АВ, и при точкѣ на ней А, составь, равный толстому углу при С, толстый уголъ*, содержимый плоскими угла- ми ВАН, НАК, КАВ , такъ чтобы равенъ былъ уголъ ВАН углу ЕСЕ, и уголъ ВАК углу ЁССг, и еще уголъ КАН углу ССГ} сдѣлай какъ ЕС къ СО, такъ ВА къ АК*} и какъ *< 2,VI. СС къ СЕ, такъ КА къ АН: посему равдіо- мѣстно, какъ ЕС къ СГ, такъ ВА къАН^*223Ѵ, Дополни параллелограммъ ВН, и параллеле- п«педъ АЬ. Поел ику какъ ЕС къ СС, такъ ВА къ АК} ” с,и пропорціональныя стороны суть око- равныхъ угловъ ЕСС, ВАК: посему
314 ЭБКЛІІД. НАЧАЛЪ параллелограммъ СЕ подобенъ параллелоГрам му КВ. Потому же параллелограммъ Кр подобенъ параллелограмму СГ; и параллело- граммъ ГЕ параллелограмму НВ. Ишакъ ггіри параллелограмма параллелепипеда СВ по- добны тремъ параллелограммамъ паралле- лепипеда АЬ. Но сіи три и равны тремъ прочимъ прошивулежащимъ*, и подобны оп.і,і'і. имъ* Чего ради и цѣлый параллелепипедъ *опр.р. СБ подобенъ цѣлому параллелепипеду АЬ*. Ишакъ изъ данной прямой АВ написанъ параллелепипедъ АЬ, подобный данному па- раллелепипеду СБ и подобно положенный. Ч. п с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХѴПЬ Ежели параллелепипедъ пересѣченъ будетъ плоскостію чрезъ діагонали прогаивуле- жащихъ его плоскостей: шо оный раз- сѣченъ будетъ сею плоскостію по поламъ. Пусть параллелепипедъ АВ будетъ пе- ресѣченъ плоскостію СВЕГ чрезъ діагона- ли СГ, ВЕ Двухъ противулежащихъ его плоскостей. Говорю, чшо параллелепипедъ АВ разсѣченъ плоскостію СБЕГ по поламъ- Поелику треугольникъ ССГ равенъ тре' 34Д. угольнику СГВ*, а треугольникъ
книга одиннадцатая. Згэ. треугольнику ИЕН* поелику же и параллело- граммъ СА равенъ параллелограмму ВЕ*, ибо *»4- онн суть противулежащія плоскости • по- іпому же и параллелограммъ СЕ равенъ па- раллелограмму СИ: то призма, содержимая двумя треугольниками ССГ, АВЕ и тремя параллелограммами СЕ, АС, СЕ, равна приз- мѣ , содержимой двумя треугольниками СГВ, ВЕН и тремя параллелограммами СН, ВЕ, СЕ.*, пбо онѣ содержатся равномногими и ’овр.го. равными плоскостями. Итакъ цѣлый па- раллелепипедъ АВ разсѣченъ плоскосгпііц СВЕГ по поламъ, ч. и д. Ц. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXIX. Параллелепипеды , имѣющіе тоже основаніе и туже высоту, и коихъ надстоящія окан- чиваются на шѣхъжр прямыхъ , сущь взаим- но равные. Пусщь будутъ параллелепипеды СМ, С]Ѵ, имѣющіе тоже основаніе ЛВ, и туже вы- соту • и пуещь надстоящія ихъ АС АГ, Ыі, Е\; СН, СЕ, ВН, ВК будутъ на гпѣхъ- 46 прямыхъ Г1Ѵ, НК. Говорю , что парал- лелепипедъ СМ равенъ параллелепипеду СМ. Поелику каждая изъ фигуръ СН, СК есть параллелограммъ*; то каждая изъ прямыхъ *24
3 іб Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ * 34>т- ЕК равна прямой СВ*; посему и ВЦ равна ЕК. Отними обще ЕН: посему осталь ная БЕ равна остальной НК; слѣдственно и треугольникъ БЕС равенъ треугольнику * 8,І. НКВ*, и параллелограммъ Б(л параллело- *36,1. грамму НК*. Потому же треугольникъ ГД(} равенъ треугольнику МЬК. Еще же , па- раллелограммъ СГ равенъ параллелограмму ВМ; и параллелограммъ СС параллелограмму * 24-ВЛ’: ибо суть противулежащіе. Итакъ призма, содержимая двумя треугольниками АГС, СБЕ и тремя параллелограммами АБ. БС, СС, равна призмѣ , содержимой двумя треугольниками МЬК, НВК и тремя па *епрдо. раллелограммами ВМ, НК, КВ*. Придай къ каждой изъ сихъ призмъ тѣло , коего осно- ваніе есть параллелограммъ АВ, а проти- вулежащая плоокость СЕНМ: посему цѣлый параллелепипедъ СМ будетъ равенъ цѣлому параллелепипеду СК. Итакъ параллелепипеды, и проч. Ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXX. Параллелепипеды, имѣющіе тоже осно- ваніе и туже высоту , и коихъ надсгпоящ,я оканчиваются не па тѣхъже прямыхъ ? суть взаимно равные.
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. З17 Пѵ сть будутъ параллелепипеды СМ, СА > имѣющіе тоже основаніе АВ, и туже высо- ту; но пУсть наД стоящія ихъ АГ, АО, ЬМ, ѢУ, СБ, СЕ, ВН, ВК оканчиваются не на ціѣхъже прямыхъ. Говорю, что паралле- лепипедъ СМ равенъ параллелепипеду С1Ѵ. Продолжи КК, БН, и СЕ, ГМ, и пусть встрѣтятся онѣ въ точкахъ Р, Н, (), 0} и протяни АО, ЬР, Ср, ВВ. Итакъ параллелепипедъ СіМ, имѣющій основаніемъ параллелограммъ АСВЬ проПіи- вулежащій параллелограмму ГБНМ, равенъ параллелепипеду СР, имѣющему основаніемъ параллелограммъ АСВЬ противулежащ’ій па- раллелограмму ОрКР*; ибо они имѣютъ тоже основаніе АСВЬ, и надстоящія ыхъ АГ, АО, ЬМ, ЬР, СБ, Ср,- ВН, ВН оканчи- ваются на шѣхъже прямыхъ ГР, БН. Но параллелепипедъ СР, имѣющій основаніемъ параллелограммъ АСВЬ противулежащ’ій па- раллелограмму ОрВР, равенъ параллелепипеду СК, имѣющему основаніемъ параллелограммъ АСВЬ противулежащій параллелограмму СЕКІГ: ибо и опп имѣютъ тоже осно- *зд. ваніе АСВЬ, и надегпоящія ихъ АС, АО, СЕ, Ср, ЫѴ, ЬР, ВК, ВК оканчиваются на тѣхъ- прямыхъ Ср, КВ. Чего ради параллеле- Нииедъ СМ равенъ параллелепипеду С]Ѵ.
318 эвк лид; началъ Ишакъ параллелепипеды, и проч. ч. п д ц ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXI. Параллелепип еды, имѣющіе равныя основа- нія и туже высоту , суть взаимно равные. Пусть будутъ параллелепипеды АЕ, СГ, Имѣющіе равныя основанія АВ, СВ, и туже высоту. Говорю; что параллелепипедъ АЕ равенъ параллелепипеду СГ. Пусть,вопервыхъ,будутъ надстоящія НК, ВЕ, АС, ЕМ, Р<2, ВЕ, СО, К8 подъ прямыми углами къ основаніямъ АВ, СВ ; и пусть уголъ АЕВ будетъ не равенъ углу СРВ. Проведи впрямъ съ СК прямую КТ' и прямой КТ, и при точкѣ на ней К) ставь уголъ ТКИ равный углу АЕВ; и ложи прямую КТ равную АЬ, и прямую равную ЕВ; и чрезъ точ^у II проведи раллельную къ КТ прямую ЕГХ; и дополни основаніе КХ, и параллелепипедъ XII. П°" елику двѣ прямыя ТК, КІІ равны ДвумЪ прямымъ АЕ, ЕВ; и содержатъ углы равные. то параллелограммъ КХ равенъ* и подо- *опр.і,ѵі. бенъ* параллелограмму НЕ. Ещеже, поелпьу КТ равна АЕ, и К8 равна ЕМ; и содер- жатъ углы прямые: то параллелограммъ ВТ равенъ и подобенъ параллелограмму при со- по- вв па-
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. З19 Потому же и параллелограммъ ЕЕ равенъ и подобенъ параллелограмму 817. Итакъ три параллелограмма параллелепипеда АЕ равны тремъ параллелограммамъ параллелепипеда у[І, и подобны имъ. И поелику у каждаго сіи три равны прочимъ тремъ противу- лежащимъ* и подобны имъ: то и цѣлый па- раллелепипедъ АЕ равенъ цѣлому параллеле- ’опр.іо пипеду УП*. Продолжи прямыя ПК, ХГГ, и щ сть онѣ встрѣтятся въ Ъ • и чрезъ Т прове- диріараллельную къ ВХ, прямую Тц и продол- жи прямыя Ть , и РБ, и пусть онЬ встрѣтят- ся въа ; и дополни параллелепипеды ХУ, КЕ Ишакъ параллелепипедъ УХ, имѣющій основаніемъ параллелограммъ КУ противо- лежащій параллелограмму Хр, равенъ парал- лелепипеду УЦ, имѣющему основаніемъ параллелограммъ КУ противулежащій па- раллелограмму ЦѴ*^ ибо они имѣютъ то- же основаніе КУ, и туже высоту, и надспюящія ихъ КХ, КІІ, Ті, ТХ, 85, Ч Ур, УѴ оканчиваются на тѣхъже пряліыхъ XX, $Ѵ. Но параллелепипедъ VII равенъ параллелепипеду АЕ: посему и па- раллелепипедъ УХ равенъ параллелепипеду АЕ. И поелику параллелограммъ КСГХТ ра- венъ параллелограмму ХТ*, ибо они стоятъ *35,г. На гпомъже основаніи КТ, и между іпѣмиже
□20 3 В К л 1ІД. Н А Ч А Л Ь параллельными КТ, XX* а параллелограмаь ВБХТ равенъ и параллелограмму СВ, и^0 равенъ АВ: посему параллелограммъ ХТ ра- венъ параллелограмму СБ. Но ВТ есгщ драгой параллелограммъ: посему какъ осно- ваніе СВ къ основанію ВТ, такъ основаніе •;,Ѵ. XI къ основанію ВТ*. И поелику парал- лелепипедъ СІ пересѣченъ плоскостію НЕ параллельною къ противу лежащимъ плос- костямъ ; то какъ основаніе СБ къ осно- *з5- ванію БТ, такъ тѣло СЕ къ тѣлу Ш*. Такожъ , поелику параллелепипедъ XI пере- сѣчёнъ плоскостію КУ параллельною къ прогпивулежащимъ плоскостямъ • то какъ основаніе ХТ къ основанію БТ, такъ тѣло ХУ къ тѣлу, ЕК Но какъ основаніе СБ къ основанію ВТ, такъ основаніе ХТ къ основанію ВТ: посему какъ тѣло СГ къ тѣлу ВІ, такъ тѣло ХУ къ тѣлу Ш* Итакъ каждое изъ тѣлъ СГ,' ХУ къ тѣлу ВІ имѣетъ тоже отношеніе : посему іпѣ- *д,ѵ. ло СЕ равно тѣлу или параллелепипеду XX • А доказано, что параллелепипедъ XI равенъ и параллелепипеду АЕ: слѣдственно пара- ллелепипедъ АЕ равенъ тѣлу СЕ. Но пусть надстоящія АС, НК, ВЕ, 1^’ СО, Р(^, БЕ, В5 не будутъ подъ прямъ1'111 углами къ основаніямъ АВ, СВ. Говорю еіЦе/
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. Ззі 0 параллелепипедъ АЕ равенъ паралле- лепипеду СГ. Оніъ точекъ К, Е, С, М, (I, Г, О, 8 про- жди, перпендикулярныя къ подлежащей плос- кости , прямыя К\, ЕТ, (>С, МѴ, ОХ, ГУ, и пусть онѣ встрѣтятся съ плос-*п. костію въ точкахъ X, Т, 17, V, X, У, X, I; „ протяни ЛТ, ІІѴ, Х17, ТѴ, ХУ, XX, Х.І, VI. Ишакъ параллелепипедъ КѴ равенъ па- раллелепипеду р.І ; ибо они имѣютъ равныя основанія КМ, р8, и туже высоту, и над- апоящія ихъ суть къ основаніямъ подъ пря- мыми углами. Но параллелепипедъ КѴ равенъ параллелепипеду АЕ, а ()І равенъ СГ*; ибо *3о. оии имѣютъ тоже основаніе и туже высо- ту, и над стоящія ихъ оканчиваются не па тѣхъже прямыхъ. Чего ради параллелепи- педъ АЕ равенъ параллелепипеду СГ. Ишакъ параллелепипеды, и проч. Ч. Н Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXII. Параллелепипеды, имѣющіе туже высо- ЧЬ суть взаимно какъ основанія. Пусть будутъ АВ, СН параллелепипеды, ^тщіе туже высоту. Говорю, что па- РаАлелепипеды АВ, СН суть взаимно какъ °СНованія; то есть, какъ основаніе АЕ зі
322 3 В К Л И Д. НАЧАЛЪ къ основанію СГ, гпакъ параллелепипедъ Д|> къ параллелей ипеду СС. По прямой ГС поставь, равный пйрадле- ’45,і. лограмму АЕ, параллелограммъ ГН*; и изъ основанія ГН, а по высотѣ параллелепипеда СС, дополни параллелепипедъ СК. Итакъ параллелепипедъ АВ равенъ парал- **3і. лелепипеду СК*" ибо они имѣютъ равныя основанія АЕ, ГН, и туже высоту. И поели- ку параллелепипедъ СК пересѣченъ плоско- стію СС параллельною къ противулежаіцимь плоскостямъ: то какъ основаніе НЕ къ осно- •яэ. вйнпо СГ*, такъ тѣло НС къ тѣлу СС. По основаніе ГЙ равно основанію АЕ, а тѣло СК равно параллелепипеду АВ: чего ради и Какъ основаніе АЕ къ основанію СГ, такъ *;иц,ѵ. параллелепипедъ АВ къ параллелепипеду СВ • Итакъ параллелепипеды, и проч. Ч. И Д- Н- ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХШ. Подобные параллелепипеды -взаимно с]шь въ утроенномъ отношеніи сходственны* сторонъ. Пусть будутъ АВ,СС подобные ііаралле- пипсды, и пусть будутъ АЕ, СГ сходсгпв пыя ихъ стороны. Говорю, что паралде пипедъ АВ КЪ' параллелепипеду СС и»1
КНИГА О Д И Н Н АД Ц А Т А Я. ЗаЗ угпроенное отношеніе прямыя АЕ къ СГ. Продолжи впрямъ съ АЕ, СЕ, НЕ прямыя ЕЬ, ЕМ; и положи прямую ЕК равную и ЕЬ равную ГіѴ, и еще ЕМ равную ГК; и дополни параллелограммъ КЬ, и паралле- лепипедъ КР. Поелику двѣ прямыя КЕ, ЕЬ равны двумъ прямымъ СГ, ГК; и уголъ КЕЬ равенъ углу СЕК, ибо уголъ АЕС равенъ углу СГК, по подобію параллелепипедовъ АВ, СН: посему параллелограммъ КЬ равенъ и подобенъ па- раллелограмму СК. Потому же и параллело- граммъ КМ равенъ и подобенъ параллело- грамму СК, и параллелограммъ ЕР паралле- лограмму НГ. Итакъ три Параллелограмма Параллелепипеда КР равны тремъ параллело- граммамъ параллелепипеда СН и подобны имъ. Но у каждаго сіи три равны Прочимъ тремъ Прогппвулеасащимъ , и подобнъі имъ ; посему Цѣлый параллелепипедъ КР равенъ и подо- бенъ цѣлому параллелепипеду СН*. Дополни *опр.ю параллелограммъ СК; и изъ основаній СК, КЬ, а по высотѣ параллелепипеда АВ, до- полни параллелепипеды ЕО, Ь(). Поелику, по подобію* параллелепипедовъ АВ, СО, какъ АЕ *опр.«). СР, такъ ЕС къ ЕЛ, и такъ ЕН къ ЕВ*; 110 ГС равна ЕК, а ГДТ равна ЕЕ, и еще равна ЕМ: Шо будетъ какъ АЕ къ ЕК,
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ З24 *7 и и, V. гпакъ (ЗЕ къ ЕЬ, и такъ НЕ къ ЕМ какъ АЕ къ ЕК, такъ параллелограмму д^ *г,Ѵі. къ параллелограмму СК*; и какъ СЕ къ Ц такъ параллелограммъ СК къ КЬ; и еще, кат, НЕ къ ЕМ , такъ параллелограммъ (ІЕ і КМ : посему какъ параллелограммъ ДО къ СК, такъ параллелограммъ СК къ КЬ *п,У. такъ параллелограммъ СЕ къ КМ*. Но каі.ь АС къ СК , такъ параллелепипедъ АВ м *2ди32. параллелепипеду ЕО*; и какъ СК къ КЬ, шаьъ параллелепипедъ ОЕ къ параллелепипеду (Д; и еще , какъ СЕ къ КМ, такъ параллелепи- педъ СЕ иъ параллелепипеду КР: посет какъ параллелепипедъ АВ къ ЕО, шакь параллелепипедъ ЕО къ С)Е, и піакъ парал- лелепипедъ СЕ къ КР. Но естьли четыре величины непрерывно пропорціональны: то первая къ четвертой имѣетъ утроенное *оп.и,V. отношеніе первыя ко второй*: посему па раллелепипедъ АВ къ КР имѣетъ утроенное отношеніе параллелепипеда АВ къ ЕО- какъ АВ къ ЕО , такъ параллелограммъ АО къ СК, и гпакъ прямая АЕ къ ЕК: посем) параллелепипедъ АВ къ КР имѣетъ угпр°е1і' ное отношеніе прямыя АЕ къ ЕК. Но параЛ лелепипедъ КР равенъ параллелепипеду Е0’Я прямая ЕК прямой СЕ. Чего ради парал-леде пипедъ АВ къ параллелепипеду СР имѣеіп
КНИГА Одиннадцатая. 3>.5 ^роенное отношеніе сходственной сторо- ньі АЕ къ сходственной сторонѣ СЕ. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что есть- Д11 четыре прямыя пропорціональны (44) > то какь первая къ четвертой, такъ параллеле- пипедъ изъ первой къ параллелепипеду подобному и подобно написанному изъ вто- рой: ибо и первая къ четвертой имѣетъ утроенное отношеніе первыя ко второй*. *оп.іі,ѵ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXIV. Равныхъ параллелепипедовъ основанія суть обратно пропорціональны высотамъ: И которыхъ параллелепипедовъ основанія обратно пропорціональны высотамъ, тѣ суть равные. Пусть будутъ АВ, СВ равные параллеле- пипеды. Говорю, что параллелепипедовъ АВ, СВ основанія суть обратно пропорціо- нальны высотамъ, піо есть, какъ основа- ніе ЕН къ основанію Г\(А , такъ высота параллелепипеда СВ къ высотѣ параллеле- П|,,|еда ЛВ. ®°первыхъ, пусть надстоящія АС, ЕЕ, > НК, СМ, ІѴО, РВ , С)11 буду тъ подъ прямыми углами къ основаніямъ. Говорю, что
Заб Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ какъ основаніе ЕІІ къ основанію Т\(), такъ СМ къ АС. Естьли основаніе ЕН равно основанію ??(), а и параллелепипедъ АВ равенъ паралле- лепипеду СВ; іпо и высота СМ равна высотъ АС. Ибо когда основанія ЕН, равны, а высоты АС, СМ не были бы равны; то и параллелепипедъ АВ, не былъ бы равенъ *3і. параллелепипеду СВ*. Но онъ равенъ, по положенію ’ посему и высота СМ не неравна высогпЪ АС, слЪдственно равна. Чего ради какъ основаніе ЕН къ основанію Ь(), такъ СМ къ АС: и потому явно , что паралле- лепипедовъ АВ, СВ основанія суть обратно Пропорціональны высотамъ. Но пусть основаніе ЕН не будетъ равно осно- ванію 1ХС), и пусть ЕН будетъ большее, (ф-2}. И поелику параллелепипедъ АВ равенъ парал- лелепипеду СВ; то высота СМ больше высо- ты АС: буде же нетакъ, то параллелепипеды *3і. АВ , СВ опять не были бы равны*; а они равны суть, по положенію. Ишакъ поло»в СТ равную АС; и изъ основанія №<2, а по вы- сотъ СТ, дополни параллелепипедъ ѴС. П°е лику параллелепипедъ АВ равенъ ііарал'е лепипеду СВ, и СѴ есть другой нЪкій раллелепипедъ; а равныя величины къ Ш011 же имЪюшъ тоже отношеніе*:» гпо каГІ
КНИГА одиннадцатая. З27 параллелепипедъ АВ къ параллелепипеду СѴ іпакъ параллелепипедъ СС къ параллелепипеду гѴ. Но какъ параллелепипедъ АВ къ паралле- лепипеду СѴ,гпакъ основаніе ЕН къ основанію *3а. Д(2*,ибо параллелепипеды АВ,СѴ суть равно» Ві>ісогпные;а какъ параллелепипедъ СВ къ па- раллелепипеду СѴ, такъ основаніе М(^ къ основанію рТ*,и такъМС къ СТтосему и какъ *а5. основаніе ЕН къ основанію такъ МС къ СТ-. Но СТ равна АС: посему какъ основаніе *і ьѴ. ЕН къ основанію такъ МС къ АС*. Чего*;ии»ѵ ради основанія параллелепипедовъ АВ, СВ супь обратно пропорціональны высотамъ. Еще же, пусть основанія параллепипедовъ АВ, СВ будутъ обратно пропорціональны высотамъ5 то есть, какъ основаніе ЕН къ основанію ]Ѵр, такъ высота параллеле- пипеда СВ къ высотѣ параллелепипеда АВ. Говорю, что параллелепипедъ АВ раненъ параллелепипеду СВ. Пусть еще надстоящія будутъ къ осно-4 ваніямъ подъ прямыми углами. Естьли основаніе ЕН равно основанію то, цоелику какъ основаніе ЕН къ основанію такъ высота параллелепипеда СВ къ Ььісотѣ параллелепипеда АВ, и высота па- раллелепипеда СВ равна будетъ высотѣ Параллелепипеда АВ. По параллелепипеды х
Зз8 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ имѣющіе равныя основанія и туже высоту *3і. суть взаимно равные*: чего ради парадіе’ ленипедъ АВ равенъ параллелепипеду СВ Но пусть основаніе ЕН не будетъ равно основанію Ар, и пусть ЕН будетъ большее- то и высота параллелепипеда СН будешь больше высоты параллелепипеда АВ, то есть, СМ будетъ больше АС. Опять по- ложи СТ равную АС, и дополни также па- раллелепипедъ СѴ. И поелику какъ осно- ваніе ЕН къ основанію Мр, такъ СМ къ АС; но АС равна СТ: то какъ основаніе ЕН къ основанію ДОС), такъ МС къ СТ. Но какъ основаніе ЕН къ основанію АС), такъ па- *3г. раллелепипедъ АВ къ параллелепипеду СѴ*, ибо параллелепипеды АВ, СѴ сушь равно- высотные; а какъ МС къ СТ, такъ основаніе і,ѵі. М() къ основанію С)Т*, и такъ параллелепи- "32. педъ СН къ параллелепипеду СѴ*: посему какъ параллелепипедъ АВ къ параллелепи- педу СѴ, такъ параллелепипедъ СН къ параллелепипеду СѴ; а посему каждый изъ параллелепипедовъ АВ, СН къ параллелепи- педу СѴ имѣетъ тоже отношеніе. Итакъ параллелепипедъ АВ равенъ параллелепкпс- *д,Ѵ. ДУ СН*. Что и доказать надлежало. Но пусть надстоящія ГЕ, ВЬ, СА, КН, ОН; НР, МС, Н(2 (ф. 3). не будутъ къ основаніям1’
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. Зщ) параллелепипедовъ подъ прямыми углами. Ошъ точекъ Г, О, В, К, О, М, В, В про- жди къ плоскостямъ основаній ЕН, Р\(^ перпендикулярныя прямыя, кои пусть ”.сгпрѣ— піпіпь сіи плоскости въ точкахъ 8, Г, ЕГ, X, V, а, и дополни параллелепипеды IV, О/. Говорю, что равныхъ параллелепи- педовъ АВ, СН основанія суть обратно про- порціональны высотамъ* то есть, какъ основаніе ЕН къ основанію ЛС), такъ высо- та параллелепипеда СИ къ высотѣ парал- лелепипеда АВ. Поелику парллелепипедъ АВ равенъ параллелепипеду СН: но параллелепипеду АВ равенъ параллелепипедъ ВТ*, ибо они *3о. имѣютъ тоже основаніе ГК, и туже высоту, и надстоящія ихъ оканчива- ются не на тѣхъ же прямыхъ 5 а паралле- лепипедъ СН равенъ параллелепипеду НУ, ибо и они имѣютъ тоже основаніе ВО, и туже высоту, и надстоящ'ія ихъ оканчиваются не на тѣхъже прямыхъ: то и параллелепипедъ ВТ равенъ параллелепи- педу НХ. А равныхъ параллелепипедовъ , иоііхъ высоты суть подъ прямыми углами основаніямъ, основанія суть обратно пропорціональны высотамъ : посему какъ °гнованіе ГК къ основанію ОВ., такъ вы-
ЗЗо ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ сота параллелепипеда СУ къ высотѣ па раллелепипеда ВТ. По основаніе ГК равно основанію ЕН, основаніе же ОК основанію *’4- посему какъ основаніе ЕН къ основа- аіцѴ'нію ЛС), такъ высота паралелепипеда Ьу къ высотѣ параллелепипеда ВТ*. Но высо- ты парллелепипедовъ СУ, ВТ суть тѣже, что и параллелепипедовъ СС, ВА: посему какъ основаніе ЕН къ основанію ІѴС), такъ высота параллелепипеда СС къ высотѣ параллелепипеда АВ. Чего ради основанія параллелепипедовъ АВ, СС суть обратно пропорціональны высотамъ. Пусть наконецъ основанія параллелепи- педовъ АВ, СС будутъ обратно пропорціо- нальны высотамъ 5 то есть, какъ основа- ніе ЕН къ основанію 1Х(), такъ высота параллелепипеда СО къ высотѣ параллеле- пипеда АВ. Говорю, что параллелепипедъ АВ равенъ параллелепипеду СО. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, поелику какъ основаніе ЕН къ основанію №(2, ПіаКЪ высота параллелепипеда СО къ высотѣ параллелепипеда АВ} и основаніе ЕН равно основанію ЕК, основаніе же К() основаній ОВ: то какъ основаніе ГК къ основанію ОВ., такъ высота параллелепипеда СС высотѣ параллелепипеда АВ. Но высоп'і11
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 3-Б параллелепипедовъ АВ, СБ суть тѣже, чП1о и параллелепипедовъ ВТ, БУ: посе- лу какъ основаніе ГК къ основанію ОК, такъ высота параллелепипеда БУ къ вы- сотѣ параллелепипеда ВТ; а посему осно- ванія параллелепипедовъ ВТ, БУ суть об- ратно пропорціональны высотамъ. А ко- торыхъ параллелепипедовъ, имѣющихъ вы- соты подъ прямыми углами къ основаніямъ, основанія обратно пропорціональны высо- тамъ тѣ сушь взаимно равные: посему параллелепипедъ ВТ равенъ параллелепипе- ду БУ. Но параллелепипедъ ВТ равенъ па- раллелепипеду АВ*, ибо они имѣютъ то- *3в, же основаніе ГК, и туже высоту, и над- сіпоящія ихъ оканчиваются не на іпѣхъже прямыхъ; а параллелепипедъ БУ равенъ параллелепипеду БС, ибо и они имѣютъ тоже основаніе ОВ, и туже высоту, и иадстоящія ихъ оканчиваются не на іпѣхъ- же прямыхъ: итакъ параллелепипедъ АВ равенъ параллелепипеду СБ. ч. пд. Н. (91). ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXV. Ежели будутъ два плоскіе угла равные, 4 отъ вершинъ ихъ возсшавятся въ вы- соту прямыя содержащія со сторонами ихъ>
332 э в К Л И Д. НАЧАЛЪ углы равные , каждый каждому ; и есгпьн, на сихъ прямыхъ взяшы будутъ какія ниесть точки , и отъ сихъ точекъ проведутся перпендикулярныя прямыя къ плоскостямъ данныхъ угловъ; и естьли изъ точекъ въ коихъ онѣ встрѣтитъ плоскости, про- тянуты будутъ прямыя къ вершинамъ дан- ныхъ угловъ: то углы, содержимые сими прямыми съ прямыми возставленными отъ вершинъ угловъ въ высоту ихъ плоскостей, будутъ взаимно равные. 11} сть будущъ два плоскіе угла ВАС, ЕВГ равные; и пусть отъ вершинъ ихъ А, В будутъ возставлены въ высоту прямыя АС, БМ, содержащія со сторонами ихъ углы равные, каждый каждому, а именно, уголъ САВ равный углу МрЕ, а уголъ САС углу МБР; и пусть на прямыхъ АСг, БМ взяты будутъ какія ниесть точки (3, М, и отъ точекъ С, М проведутся перпендикулярныя къ плоскостямъ ВАС, ЕБЕ прямыя СЬ, М$, кои пусть встрѣтятъ сіи плоскости въ Ь, і; и пусть буду тъ протянуты пря- мыя ЬА, КБ. Говорю, что уголъ САЬ равенъ углу МИЛ. Положи АП равную БМ; и чрезъ Н ПР0' веди, параллельную къ СЬ, прямую Ш\. поеликуг СЬ перпендикулярна къ плоскосіп*1
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 333 прямыхъ ВА, АС; гпо и НК перпендикулярна къ плоскости прямыхъ ВА, АС*. Ошъ точекъ К, *8- у проведи, перпендикулярныя къ прямымъ АВ, дСД)Г,БЕ, прямыя КВ, КС, КР, КЕ; и протя- ни ПС, СВ, МР, РЕ. Поелику квадратъ изъ ЦУ равенъ квадратамъ изъ НК, КА*; квад-*47>г- рапі} же изъ КА равны квадраты изъ КС, СА: то квадратъ изъ НА равенъ квадратамъ ИЗЪ НК, КС, СА. А квадратамъ изъ НК, КС равенъ квадратъ изъ НС: посему квадратъ изъ Н V равенъ квадратамъ изъ НС, СА; а посему уголъ НСА есть прямой*. Потому *48,І. же и уголъ БРИ прямой. Чего ради уголъ АСН равенъ углу БРИ. Поелику же и уголъ НДС равенъ углу МНР; шо два треугольника МНР, НАС имѣютъ два угла равные двумъ )гламъ, каждый каждому; и одну сторону равную одной сторонѣ, кои прилежатъ равнымъ угламъ, а именно, сторону АН равную сторонѣ НМ: посему и прочія стороны будутъ имѣть равныя прочимъ Сторонамъ, каждую каждой; а посему АС равна БГ*. Подобно докажемъ, что и АВ *2б,і- равна БЕ. Протяни НВ, МЕ. II поелику Квадрагпъ изъ АН равенъ квадратамъ изъ КН; квадрату же изъ АК равны квадраты Изъ АВ, ВК; то квадраты изъ АВ, ВК, КП Равны квадрату изъ АН. Но квадратамъ
334 3 В К Л И Д. НАЧАЛЪ *4;д. изъ ВК, КН равенъ квадратъ изъ ВІГ; п§0 уголъ НКВ прямой , потому что НК пер, пендикулярна къ подлежащей плоскости : по» сйму квадратъ изъ АН равенъ квадратамъ изъ АВ, ВН; а посему уголъ АВН есть *48,і. прямой*. Потому же и уголъ БЕМ прямой. Но уголъ ВАН равенъ, по положенію, уГЛу ЕБМ; и АН равна БМ: посему и АВ равна БЕ. Итакъ, поелику АС равна НЕ, и АВ равна БЕ; то двѣ прямыя СА, АВ равны двумъ прямымъ ГН, НЕ; и уголъ САВ равенъ углу ЕНЕ' посему гі основаніе ВС равно основанію ЕГ, и треугольникъ равенъ тре- угольнику, и прочіе углы равны прочимъ *4д. угламъ*; а посему .уголъ АСВ равенъ углу НГЕ. Но прямой уголъ АСК равенъ Прямому Же углу БГК; посему и остальной уголъ ВСК равенъ остальному ЕІ’’К. Потому же и уголъ СВК равенъ углу ГЕК. Итакъ два треугольника СВК , ГЕА имѣютъ два угла равные двумъ угламъ, каждый каждому; и одну сторону равную одной сторонѣ, кои прилежатъ равнымъ угламъ, а именно сторону ВС равную сторонѣ ЕГ: посему и прочія стороны будутъ имѣть равныя про- •збД.чимъ сторонамъ*; а посему СК равна ГК. Но и АС равна БГ: итакъ двѣ прямыя АС, СК равны двумъ прямымъ БГ, ГК; и содержатъ
КНИГА одиннадцатая. 335 углы прямые: посему основаніе АК равно основанію Б1Ѵ. И поелику АН равна БМ; то квадратъ изъ АН равенъ квадрату изъ рМ. Но квадрату изъ АН равны квадраты изъ АК, КН, ибо уголъ АКН есть прямой; а Квадрату изъ НМ, равны квадраты изъ Б1Ѵ, КМ, ибо и уголъ БКМ есть прямой: посему квадраты изъ АК, КН равны квадратамъ изъ Б1Ѵ, КМ. Но квадратъ изъ АК равенъ квадрату изъ НЗѴ: посему и остальной ква- дратъ изъ КН равенъ остальному изъ Г\М; а посему и НК равна МК. Итакъ, пое- лику двѣ прямыяІІА, АК равны двумъ пря- мымъ МБ, БМ, каждая каждой ; и, по доказан- ному, основаніе НК равно основанію КМ ; то и уголъ НАК равенъ углу МВ1Ѵ. к Итакъ,ежели будутъ, и проч. Ч. И Д. Н. » Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что естьли будутъ два плоскіе угла равные; и отъ вершинъ ихъ возсгпавятся въ высоту прямыя взаимно равныя, содержащія со сторонами сихъ угловъ углы равные, каж- дый каждому : то прямыя, проводимыя отъ Концовъ возставленныхъ прямыхъ, пер- пендикулярно къ плоскостямъ первыхъ уг- ловъ, суть взаимно равныя.
336 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХѴі. Ежели три прямыя пропорціональны • П10 параллелепипедъ изъ всѣхъ трехъ равенъ равностороннему параллелепипеду изъ сред- ней, и равноугольному съ параллелепипедомъ преждесказаішымъ. Пусть будутъ три прямыя А, В, С про- порціональныя; а именно, какъ А къ В, такъ В къ С. Говорю, что параллелепипедъ изъ всѣхъ трехъ А, В, С равенъ равносторон- нему параллелепипеду изъ В, и равноугольно- му съ параллелепипедомъ преждесказаішымъ. Изложи какой ниесть толстый утолъ при Е, содержимый тремя плоскими углами ВЕС, СЕГ, ГЕВ; и положи каждую изъ прямыхъ ВЕ, СЕ, ЕГ равную В; и дополни параллелепипедъ ЕК. И положи прямую ЕАІ равную А; и при прямой ЬМ, и при точкѣ на ней Ь, составь, равный *2б. толстому углу при Е, толстый уголъ*, содержимый плоскими углами ХЬО, ОІАІ> М ІА; и положи прямую ЬО равную Б, и ЬХ равную С. Поелику какъ А къ В, такъ В къ С; по А равна ЬМ, а В равна каждой изъ прямыхъ ЬО, ЕГ, ЕС, ЕВ, и С равна ЫМ: то какъ уиіі,ѵ. ЬМ къ ЕГ, такъ ВЕ къ ЫѴ*; посему
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 33? стороны около равныхъ угловъ МЬ]Ѵ, БЕГ суть обратно пропорціональныя : а посему параллелограммъ ЛШ равенъ параллелограмму рЕ*. II поелику два плоскіе прямолинейные *і4,ѴТ. угла БЕЕ, КЬМ суть равные• и отъ вершинъ ихъ возставлены въ высоту пря- мыя ЕО,ЕС взаимно равныя; и содержащія, со сторонами сихъ угловъ, углы равные,каждый каждому • то опіъ точекъ Сг, О проведенный перпендикулярныя Прямыя къ плоскостямъ ’ ВД, БЕГ, взаймно равны*! слѣдственно *слѣ;35. параллелепипеды ЬН, ЕК имѣютъ туже высоту. Но параллелепипедъ!, имѣющіе рав- ныя основанія и туже высоту, суть взаимно равные*: посему параллелепипедъ НЬ равенъ *3ь параллелепипеду ЕК. Но параллелепипедъ НЬ есть изъ А, В, С* а параллелепипедъ ЕК есть изъ В: чего ради параллелепипедъ изъ А, Ё, С равенъ равностороннему паралле- лепипеду изъ В, и равноугольному съ парал- лелепипедомъ пр е жд е ск аза н н ы мъ. Итакъ, ежели іПри прямыя, и Проч. Ч.ИД.П. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXVII. Ежели четыре прямыя пропорціональны • 0 параллелепипеды изъ оныхъ , подобные п подобно написанные , будутъ пропорціо- 32
338 Э В К Л И Д. НАЧАЛѢ нальные: И ежели параллелепипеды, подоб-і ные и подобно изъ четырехъ прямыхъ написанные, пропорціональны 5 11,0 и самыя прямыя будутъ пропорціональныя. Пусть будутъ четыре прямыя АВ, СВ, ЕГ, СН пропорціональныя ; а именно, какъ АВ къ СВ, такъ ЕГ къ СН; и пусть будутъ написаны изъ прямыхъ АВ,СВ,ЕГ, СН подоб- ные и подобно положенные паралелепипеды КА, ЬС, МЕ, КС. Говорю , чшо какъ КА къ ЬС, такъ МЕ къ КС. Поелику параллелепипедъ КА подобенъ параллелепипеду ЬС : то параллелепипедъ КА къ ЬС имѣетъ утроенное отношеніе *33. прямыя АВ къ СВ*. Потому же параллеле- пипедъ МЕ къ КС имѣетъ утроенное от- ношеніе прямыя ЕГ къ СН. Но какъ АВ къ СВ, такъ ЕГ къ СН : чего ради какъ АК къ ЬС, такъ МЕ къ КС*. Но пусть будетъ какъ параллелепипедъ АК къ параллелепипеду ЕС, такъ парал- лелепипедъ МЕ къ параллелепипеду КС. Го- ворю, что какъ прямая АВ къ СВ, такъ прямая ЕГ къ СН. Поелику параллелепипедъ КА къ ЬС имѣ етъ утроенное отношеніе прямыя АВ кЪ СВ; и параллелипедъ МЕ къ КС имѣетъ утроенное же отношеніе прямыя ЕГ 1<ъ
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ, 33д| СЙ; и поелику какъ КА къ ЬС, такъ МЕ лъ 1Ѵ0: то какъ АВ къ СБ, такъ ЕЕ къ СН*. Итакъ, ежели четыре, и проч. Ч. и д. н ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХХХѴІП. Ежели плоскость къ плоскости перпен- дикулярна;и отъ какой ниесть точки,взятой на одной изъ нихъ, проведена будетъ прямая перпендикулярная къ другой плоскости: Ню сія проведенная перпендикулярная упадетъ на общее плоскостей сѣченіе. Пусть плоскость СБ будетъ къ плос- кости АВ перпендикулярная 5 и общее Ихъ сѣченіе пусть будетъ Л1); и пусть на плоскости СИ взята будетъ какая ниесть точка Е. Говорю, что отъ Е проведен- ная прямая, перпендикулярная къ плоскости АВ, упадетъ на прямую БА. Ибо, естьли не такъ; то пусть, буде возможно , она упадетъ внѣ АБ, какъ ЕГ, 11 пусть встрѣтитъ плоскость АВ въ Шочкѣ Г. Отъ Г проведи на плоскости АВ, перпендикулярную къ БА, прямую ГО‘ то °на будетъ перпендикулярна и къ плоско- чпи СБ': и протяни ЕО. Поелику ГО перпендикулярна къ плос- ,1°сігіИ СБ‘ встрѣчаетъ же она прямую ЕО,
ЗДо Э в к л и д. началъ I которая на плоскости СБ: то уголъ РСЕ *лпр.З. есть прямой*. Но ЕЕ перпендикулярна Къ плоскости АВ: посему и уголъ ЕЕВ еспіь прямой. Итакъ треугольника ЕГО два уіда равны двумъ прямымъ; что нелѣпо*: по- сему отъ точки Е проведенная перпенди- кулярная прямая къ плоскости АВ не па- даетъ внѣ прямой ВА; слѣдственно упадетъ на прямую ВА. Итакъ, ежели плоскость; и пр. Ч. Ид. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XXXIX. Ежели параллелепипеда стороны двухъ какихъ ниесть противулежащихъ Плоско- стей будутъ разсѣчены по поламъ; и чрезъ сѣченія будутъ проведены плоскости : то общее сѣченіе сихъ плоскостей и попе- речникъ параллелепипеда пересѣкутся п0 поламъ. Параллелепипеда АЕ пусть стороны двУхъ Противулежащихъ плоскостей СГ, АН бу- дутъ разсѣчены по поламъ въ точкахъ К, Ь, М, К, О, О, Р, В; и чрезъ сѣченія пусть будутъ проведены плоскости ОВ; и пусть общее сѣченіе сихъ пл°с костей будетъ Ѵ8; а параллелепипе^а поперечникъ пусть будетъ ВСг. Говорю*
книга одиннадцатая. ЗДі чГПо Ѵ8, ВСг взаимно пересѣкаются по по- ламъ , то есть, что ѴТ равна Т8, а ВТ равна ТО. Протяни ВѴ, ѴЕ, В8, 86. Поелику ВО параллельна къ РЕ; то на- косьлежащіе углы ВОѴ, ѴРЕ взаимно равны*. *ад,ц II поелику ВО равна РЕ, и ОѴ равна ѴР* и содержатъ онѣ углы равные: то осно- ваніе ВѴ равно основанію ѴЕ; и ціреуголь- 4 никъ ВОѴ равенъ треугольнику РѴЕ; и прочіе углы равны прочимъ углцмъ: посему уголъ ОѴВ равенъ углу РѴЦ; итакъ ли- нія ВѴЕ есть прямая*. Потомуже и линія ♦«Зиг^Г» В8С есть прямая , и В8 равна 86. И по- елику СА равна ВВ, и параллельна къ ней*; *а4- а и СА равна ЕС, и параллельна къ ней: то и ВВ равна ЕС*, и параллельна къ*акс.і. нец*. Соединяютъ же концы ихъ прямыя *д. ВЕ, СВ; посему и ВЕ параллельна къ ВС*. *33,І, Взяты же на каждой изъ оныхъ точки В, Ч С, 8; и протянуты прямыя ВС, Ѵ8; посему ВС, Ѵ8 суть на одной плоскости*. *7° Ишакъ, поелику ВЕ параллельна къ ВС; то Уголъ ЕВТ равенъ углу ВСТ, ибо суть Накосьлежагціе: но и уголъ ВТѴ равенъ углу* *2<М* СГ8\ ЧеГО ради два треугольника ВТѴ, СТ8 *і5Л Имѣютъ два угла равные двумъ угламъ, и °АВУ сторону равную одной сторонѣ, кои
ЗДз Э В К л II Д. НАЧАЛЪ противулежатъ равнымъ угламъ, а именно БѴ равную (18, ибо онѣ супіь половины р/ вныхъ БЕ, ВС: посему и прочія стороны аб,і. будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ*- (Слѣдственно БТ равна ТО, и ѴТ равна Т§. Итакъ, ежели параллелепипеда, и проч ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХЕ. Ежели будутъ двѣ призмы равповысогп-г ныя; и основаніе одной параллелограммъ, а другой треугольникъ; и ежели параллело- граммъ будетъ двукратный треугольника: то сіи призмы будутъ взаймно равныя. Пусть будутъ АВСБЕГ, 61ІКЕМХ призмы равновысотныя ; и пусть основаніе одной будетъ параллелограммъ АГ, а другой тре- угольникъ СНК; и пусть будетъ паралле- лограммъ АЕ двукратный треугольника СНК. Говорю, что призма АВСБЕГ равна призмѣ СНКІЖ. Дополни параллелепипеды АО, СР. Поелику параллелограммъ АГ есть дву- кратный треугольника СНК; йо| и паралле- лограммъ НК есть двукратный треугольни- *34Д-Ка СНК*; то параллелограммъ АГ равенъ Параллелограмму НК. А параллелепипедѣ >
КНИГА ОДИННАДЦАТАЯ. 343 имѣющіе равныя основанія и туже высоту, сугпь взаимно равные*: посему параллелепи- *3ь подъ АО равенъ параллелепипеду СР. Но по- ловина параллелепипеда АО, есть призма дВСОЕГ, а половина параллелепипеда СР призма СНКЫІШ: чего ради и призма ДВСБЕР равна призмѣ СНКЬМК. Итакъ, ежели будутъ двѣ, и пр. ч. и Д. Н.
эвклидовыхъ НАЧАЛЪ. КНИГА XII. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ПЕРВОЕ. Подобные многоугольники въ кругахъ, сушь взаимно какъ квадраты изъ поперечниковъ. Пусть будутъ АВСВЕ, ЕСНКЬ круги; и въ нихъ подобные многоугольники ЛВСБЕ, ГКСНЬ; и пусть будутъ ВМ, ОЙ' попереч- ники круговъ. Говорю, что какъ квадратъ изъ ВМ къ квадрату изъ (Ж такъмногоу- гольникъ АВСВЕ къ многоугольнику ЕСНКЬ- Протяни ВЕ, АМ, СЬ, ЕІѴ. Поелику многоугольникъ АВСВЕ подобенъ .і,ѵг. многоугольнику ГСНКЬ: то* и уголъ ВАЕ равенъ углу СГЬ; и какъ ВА къ АЕ, такъ СГ къ ГЬ: Чего ради два треугольника ВАЕ, СГЬ имѣютъ одинъ уголъ равный одному углу, 4 именно , уголъ ВАЕ углу СГЬ, и стороны около равныхъ угловъ пропорЦІ0'
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 3_р вальныя; итакъ треугольникъ АВЕ есть равноугольный треугольнику ЕСЬ*- посему ролъ АЕВ равенъ углу ГЬС. Но уголъ АЕВ равенъ и углу АМВ*, ибо суть на тойже *2і ДП. д\ гѣ; и такъ же уголъ ГЬС равенъ углу Е\6: посему и уголъ АМВ равенъ углу ЕІѴС. А и прямой уголъ ВАМ* равенъ прямому ’ЗіДіі. СЕМ і посему и остальной уголъ равенъ остальному: итакъ треугольникъ АВМ есть равноугольный треугольнику ГСМ: посему какъ ВМ къ С№, такъ ВА къ СЕ*. Но квадратъ *4»ѴТ. изъ ВМ къ квадрату изъ СК имѣетъ удвоенное отношеніе прямыя ВМ къ С1Ѵ*; а *2о,ѵі многоугольникъ АВСВЕ къ многоугольнику ГбНКЬ имѣетъ удвоенное отношеніе пря- мыя ВА къ СЕ : чего ради какъ квадратъ изъ ВМ къ квадрату изъ С1Х* такъ многоу- *к>к гольникъ АВСВЕ къ многоугольнику ЕСНКЕ, Итакъ подобные, и проч. Ч. И Д. Н. (да). ПРЕДЛОЖЕНІЕ П- Круги суть взаимно, какъ квадратъ, изъ Поперечниковъ. Пусть будутъ АВСВ, ЕЕСН круги • и ВВ, ГН ихъ поперечники. Говорю, что какъ Квадратъ изъ ВВ къ квадрату изъ ЕН, такъ кругъ АВСВ къ кругу ЕЕСН.
346 Э В К Л ИД. НАЧАЛЪ Ибо, естьли не будетъ какъ квадратъ изъ РО къ квадрату изъ ГН, такъ кругъ АВСЬ къ кругу ЕГСН; то будетъ какъ квадратъ изъ ВВ къ квадрату изъ ГН,такъ кругъ ЛВСВ къ нѣкоему пространству, или меньшему круга ЕГСН, или большему. Пусть , вопер- выхъ, будетъ къ меньшему, пространству 8. *6,гі‘. Въ кругѣ ЕГСН впиши квадратъ ЕГСН'; То сей вписанный квадратъ будетъ больше половины круга ЕГСН. Ибо естьли чрезъ точки Е, Г, С, Н проведемъ касательныя і;ъ кругу; то опишемъ квадратъ, карго половина *4/>Т> есть квадратъ ЕГСН*: но кругъ меньше и Зі,Ш. квадрата описаннаго;посему вписанный квад- ратъ ЕГСН больше половины круга ЕГСН. *ЗоДП. Раздѣли дуги ЕЕ, ЕС, СН, НЕ по поламъ* въ точкахъ К, Ь, М,К; и протяни ЕК, КГ , ЕЬ, ЬСг, СЛІ, МН, НК, КЕ: То каждый изъ тре- угольниковъ ЕКГ , ГЬС, СМИ , НКЕ есть больше половины отрѣзка, въ коемъ онъ помѣщается. Ибо , естьли чрезъ точки К, Ь, М, К проведемъ касательныя къ кругу, и на параллельныхъ къ нимъ прямыхъ ЕГ, ГС, СН, НЕ, дополнимъ параллелограммы? то каждый изъ треугольниковъ ЕКГ, ГЕб, СМН, НКЕ будетъ половина параллелограм- ма, въ каемъ онъ помѣщается: но отрѣзоь'1’ меньше параллелограмма , въ #оемъ °,ІЪ
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. ЗД? „обѣщается; слѣдственно каждый изъ треугольниковъ ЕкГ, ГЕС, СМН , IІЛЕ больше половины отрѣзка, въ коемъ онъ помѣщается. Естьли же и оставшіяся дуги будемъ раздѣлять по поламъ, и протягивать прямыя; и сіе всегда будемъ дѣлащь; гпо останутся напослѣдокъ нѣкіе отрѣзки круга, кои будутъ меньше избытка кру- га ЕГСН предъ пространствомъ 8. Ибо доказано въ первой ѳеоремѣ десятой книги, что изъ двухъ неравныхъ излагаемыхъ ве- личинъ, естьли отъ большей отнято бу- детъ больше половины, и отъ оставшейся больше половинъ), и сіе всегда дѣлаемо бу- детъ : то останется напослѣдокъ нѣкая величина, которая будетъ меньше излагае- мой меньшей величины. Итакъ пусть оста- нутся ; и пусть будутъ отрѣзки стоящіе на прямыхъ ЕК, КГ, ГЬ , ЬСг, СМ, МН , Н1Ѵ, ]ѴЕ , тѣ самые, кои суть меньше избытка круга ЕГСН предъ пространст-г номъ 8: посему остальной многоугольникъ ЕКГЬСМНК есть больше пространства 8. кругѣ АВСВ впиши многоугольникъ А О В Р С (Э В В. подобный многоугольнику ^КЕЕСМНК. Посему какъ квадратъ изъ ВВ квадрату изъ ГН, такъ и многоугольникъ АОВРСС)ВК къ многоугольнику ЕКГЬрМНЭ)*. *І:
348 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Но какъ квадратъ изъ ВС къ квадрату Ип ГН, такъ кругъ АВСВ къ пространству §. посему какъ кругъ АВСВ къ пространству 3 такъ многоугольникъ АОВРСС^ВК къ много- ?и,ѵ. угольнику ЕКГЬСМНЛ*; и премѣненіемъ ракъ крутъ АВСВ къ многоугольнику что въ немъ , такъ. пространство 8 къ много- Ъ 6,V. угольнику ЕКГЬСМНМ*. Но кругъ АВСВ больше многоугольника что въ немъ; посему и пространство 8 больше много- угольника ЕКГЕСМНК: Оно же и мень- ше; что невозможно. Посему не (гудетъ какъ Квадратъ изъ ВВ къ квадрату изъ ГН, ціакъ кругъ АВСВ къ нѣкоему пространству меньшему круга ЕГСН. Подобно докажемъ, что не будетъ какъ квадратъ изъ ГН къ квадрату изъ ВВ, такъ кругъ ЕГСН къ нѣкоему пространству меньшему круга АВСВ. Говорю же, что и не будетъ какъ квадратъ изъ ВВ къ квадрату изъ ГН,такъ кругъ АВСВ къ нѣкоему пространству большему круга ЕГСН. Ибо, естьли возможно, пусть будетъ къ большему,пространству 8. Посему премѣ- неніемъ, какъ квадратъ изъ ГН къ квадрату изъ ВВ,такъ пространство 8 къ кругу АВСВ- Но какъ пространство 8 къ кругу АВСВ , такъ кругъ ЕГСН къ нѣкоему пространству
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ щепьшему круга АВСВ*:гіосему какъ квадратъ *лемма й3ъ ЕН къ квадрату изъ ВВ ? такъ кругъ ЕЕСН къ пространству меньшему круга ДВСВ; что, по доказанному уже, невозможно: а посему не будетъ какъ квадратъ изъ ВВ 1;ъ квадрату изъ ГН, такѣ кругъ АВСВ къ нѣкоему пространству большему круга ЕЕ6Н. А доказано , что и ни къ меньшему: чего ради какъ квадратъ изъ ВВ къ квад- рату изъ ГН , такъ кругъ АВСВ къ кругу ЕГ6Н. Ишакъ круги суть, и проч. Ч. и д. н. Лемма. Естьли пространство 8 больше круга ЕГСгН: то говорю, что какъ про- странство 8 къ кругу АВСВ, такъ кругъ Еі'СН къ нѣкоему пространству меньшему Пруга АВСВ. Ибо пусть будетъ какъ пространство 5 къ кругу АВСВ, такъ кругъ ЕГСН къ пространству Т. Говорю, что простран- ство Т меньше круга АВСВ. Поелику какъ Пространство 8 къ кругу АВСВ, такъ кругъ ЕРСгН къ Пространству Т ; то, премѣне- ніемъ, какъ пространство 8 къ кругу ЕЕСП,такъ кругъ АВСВ къ пространству Т*. *16,Ѵ. Ко пространство 8 больше круга ЕГОН; по- сему и кругъ АВСВ больше пространства Т.
35о 3 В К Л И Д. НАЧАЛЪ Чего ради какъ пространство 8 къ Кругу АВСВ, такъ кругъ ЕЕСН къ нѣкоему цр04 етрансгпву меньшему круга АВСБ. (дЗ]. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Ш. * 1ІЙ1 Всякую пирамиду, имѣющую треуголь- ное основаніе, можно раздѣлять: на двѣ, треугольныя же основанія имѣющія, пира- миды , кои суть взаимно равны и подобны, и еще подобны цѣлой; и на двѣ призмы равныя: и сіи двѣ призмы суть больіне половины цѣлой пирамиды. Пусть будетъ пирамида, коея основаніе треугольникъ АВС, а вершина точка В. Говорю, что пирамиду АВСБ можно раз- дѣлишь : на двѣ , имѣющія треугольны» же основанія , пирамиды , кои суть взаим- но равны и подобны , и еще подобны цѣлой ; и на двѣ призмы равныя : и что сіи двѣ призмы суть больше половины цѣлой пирамиды. (д4)' Раздѣли АВ, ВС, СА, АВ, ВВ, ВС по по- ламъ въ точкахъ Е, Е, С, Н, К, Ь; и про- тяни ЕН, ЕС, СН, ПК, КЬ, ЬН, ЕК, КЕ, Е&- Поелику АЕ равна ЕВ, и АН равна П®- *2,ѵг. то ЕН параллельна къ ВВ*. Потому »е и НК параллельна къ АВ. Итакъ ИЕВК есіЛь
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 35г Параллелограммъ : Но ЕВ равна ЕА: Доелику же и АН мыя ЕА, АН равны каждая каждой; и посему НК равна ЕВ*; *34Д« посему и ЕА равна НК. равна НБ; пю двѣ пря- двумъ прямымъ КН, НБ, уголъ ЕАН равенъ углу ННБ*: посему основаніе ЕН равно осно- *ад,г. ванію КБ: а посему и треугольникъ АЕН равенъ и подобенъ* треугольнику НКБ. Потому же и треугольникъ АНО равенъ и подобенъ треугольнику НЕБ. И поелику двЬ прямыя ЕН, НО, взаимно встрѣчаю- щіяся , параллельны къ двумъ прямымъ КВ, НБ, взаимно встрѣчающимся, и ле- жащимъ не па тойже Плоскости: то содер- жатъ Онѣ углы равные*: посему уголъ ЕНО *іо,Хі. равенъ углу, КНЬ. Итакъ, поелику двѣ пря- мыя ЕН, НО равны двумъ прямымъ КН, БЬ; каждая каждой;и уголъ ЕНО равенъ углу КБЬ: То основаніе ЕО равно основанію КЪ; посему й треугольникъ ЕНО равенъ и подобенъ Треугольнику КБЬ. Потому же и тре- угольникъ АЕО равенъ и подобенъ тре- угольнику НКЬ. Чего ради пирамида, коея основаніе треугольникъ АЕО а вершина •очка Н, равна и подобна пирамидѣ , коея ^снованіе треугольникъ НКЬ а вершина Точка Б*. И поелику къ АВ, одной изъ *ОПІО>ХГ. т фонъ треугольника АБВ, проведена
35э ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Параллельная НК : то треугольникъ АІЩ *2д,т. есть равноугольный треугольнику ВіЦу . *4-Ѵі. и стороны ихъ суть пропорціональная*. чего ради треугольникъ АВВ подо6еі1ь треугольнику ВігК. Потому же треуголь- никъ ВВС подобенъ' треугольнику 1Л\1. и треугольникъ АВС подобенъ треуголь- нику В1Л. И поелику двѣ прямыя ВА, АС, Взаимно встрѣчающіяся Параллельны къ двумъ прямымъ КН, НЬ, взаимно встрѣчаю- щимся , и лежащимъ не на гпойже плоско- Го-Хі. сіпи; то онѣ содержатъ углы равные*: по- сему уголъ ВАС равенъ углу КМЬ. Но какъ ВА къ АС, такъ КН къ ЬН; посему тре- угольникъ АВС подобенъ треугольнику •6,VI. НКІЛ Итакъ пирамида, коея основаніе треугольникъ АВС а вершина точка В, гіодобна пирамидѣ, коея основаніе тре- угольникъ НКЬ а вершина точка В. До- казано же , что пирамида , коея осно- ваніе треугольникъ НКЬ а вершина точка В, подобна пирамидѣ , коея основаніе тре- угольникъ АЕС а вершина: точка Н: посе- му и пирамидакоея основаніе треуголь- никъ АВС а вершина точка Б, подобна пирамидѣ,- коея Основаніе треугольникъ АЕ а вершина точка Н. Чего ради каждая І13Ъ пирамидъ АЕСН, ІІКЫ) подобна цѣл°®
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 353 рнрампдБ АВСБ. И поелику ВГ равна ГС, ЛЮ параллелограммъ ЕВГСі есть двукрат- ні,ій треугольника (ЗГС*. Но ежели будутъ дбБ призмы равновысотныя , изъ коихъ основаніе одной параллелограммъ , а дру- гой треугольникъ, и ежели паралле- лограммъ есть двукратный треугольника 5 Ірю сіи призмы взаимно равны*: посему призма, содержимая двумя треугольниками ВКГ,ЕН6г и тремя параллелограммами ЕВГО, ЕВКН, НКГ6, равна призмѣ , содержимой двумя треугольниками СЕС, НКЬ и тремя параллелограммами КГСЬ, ЬССН, НКГО. Явствуетъ же, что каждая изъ сихъ призмъ: и ша, коея основаніе параллелограммъ ЕВГО ' прошивулежащій прямой НК, и та, коея основаніе треугольникъ ОГС противулежа- щій треугольнику КЬН, есть больше каждой изъ пирамидъ , коихъ основанія суть гпреу- угольники АЕС, НКЬ, а вершины точки Н, О. Ибо, ежели протянемъ прямыя ЕГ, ЕК; шо Призма, коея основаніе Параллелограммъ ЕВРО прошивулежащій прямой НК, есть больше пирамиды , коея основаніе треуголь- никъ ЕВГ а вершина точка К. По пира- мида , коея основаніе треугольникъ ЕВГ а *ершина точка К, равна пирамидѣ, коея основаніе треугольникъ АЕСг а вершина
354 ЭВЙЛИД. Й А Ч Алъ *оп.іо,Хі, точка И*; ибо онѣ содержатся плоскости ми равными и подобными: посему призЧа коея основаніе параллелограммъ ЕВРО Пр0’ тивулежащій прямой НК, есть больше пи рамиды , коея основаніе треугольникъ ДЗД а вершина точка Н. Но призма , коея осно- ваніе параллелограммъ ЕВЕС прошивулежа- щій прямой НК , равна призмѣ , коея осно- ваніе треугольникъ СЕС Прогпивулежа- щій треугольнику НКЬ; а пирамида, коея основаніе треугольникъ АЕС а вершина точка Н, равна пирамидѣ , коея основаніе треугольникъ НКЬ а вершина точка В: посему двѣ сказанныя призмы суть боль- ше двухъ пирамидъ , коихъ основанія треу- гольники АЕС, НКЬ, а вершины точки Н, Итакъ цѣлая пирамида, коея основаніе треугольникъ АВС а вершина точка О, раздѣлена на двѣ пирамиды , кои взаимно равны и подобны, и еще подобны цѣлой пирамидѣ , и на двѣ призмы равныя } и сіи двѣ призмы сушь больше половины цѣло» пирамиды. ч. И д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ М Ежели будутъ двѣ пирамиды , имѢй)Щ1Я туже высоту и треугольныя основанія,
КНИМ ДВѢНАДЦАТАЯ. 355 аздѣлена же будетъ каждая изъ нихъ на двВ пирамиды равныя взаимно и подобныя цѣлой , и на двѣ призмы равныя ; естьли ее и изъ сихъ произшедшихъ пирамидъ каждая будетъ раздѣлена тіакимъ же обра- зомъ ; сіе же и всегда будетъ дѣлаемо: то будетъ какъ основаніе одной пирами- ды къ основанію другой , такъ всѣ призмы въ одной пирамидѣ , ко всѣмъ призмамъ равномііогимь въ другой пирамидѣ. Пусть будутъ двѣ пирамиды , имѣющія туже высоту, и треугольныя основанія АВС, БЕЕ, а вершины точки 6, Н; и пусть каждая изъ нихъ будетъ раздѣлена на двѣ пирамиды взаимно равныя и подобныя цѣлой у и на двѣ равныя призмы*; и вообрази, *з. что каждая изъ сихъ произшедшихъ пи- рамидъ раздѣлена такимъ же образомъ; йе же и всегда пусть будетъ дѣлаемо. Говорю, что какъ основаніе АВС къ осно- ванію ВЕЕ, такъ всѣ призмы въ пирамидѣ АВСС ко всѣмъ призмамъ равномногимъ въ Пирамидѣ ВЕЕН. Поелику ВО равна ОС, и АЬ равна ЬС, 11,0 АВ параллельна къ 01.*: посему гпре- Угольникъ АВС подобенъ треугольнику ЬОС*. *4»ѴХ. Потому же и треугольникъ ВЕЕ подо- бенъ треугольнику В.ѴЕ. И поелику прямая
356 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ВС есть двукратная прямой СО, и Ер двукратная прямой ЕѴ; то какъ ВС Къ СО, такъ ЕГ къ ГѴ. Но изъ ВС, СО а. писаны подобныя и подобно положенныя прямолинейныя фигуры АВС, ЬОС^ а цзъ ЕЕ, ГѴ подобныя и подобно положенныя прямолинейныя фигуры БЕЕ, ВГѴ; посему какъ треугольникъ АВС къ треугольнику БОС, такъ треугольникъ БЕЕ къ тре- *22,ѴІ. угольнику НѴЕ*; и премѣненіемъ, какъ треугольникъ АВС къ треугольнику БЕГ, такъ треугольникъ БОС къ треугольнику КЕѴ*. Но какъ треугольникъ БОС къ тре- угольнику В.ЕѴ, такъ призма, коея осно- ваніе треугольникъ БОС противулежащій треугольнику Р1УЕѴ, къ призмѣ, коея осно- ваніе треугольникъ В.ѴЕ противулежащій ♦лемма. треугольнику 5ТІГ: посему и какъ тре- угольникъ АВС къ треугольнику БЕЕ, такъ призма, коея основаніе треугольникъ БОС противулежащій треугольнику РМЛ, къ призмѣ, коея основаніе треугольникъ 1Б? =*п,ѵ. противулежащій треугольнику 8ТБ*- П по- елику' двѣ призмы въ пирамидѣ АВС О сУ,пЬ взаимно равны • а и двѣ призмы въ пи рамидѣ БЕГН взаимно равны: то какЪ призма, коея основаніе параллелогра**1 КБОВ противулежащій прямой МР, къ іф1К
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 35? цѣ, коея осиован’іе треугольникъ ЪОС про- ^ивулежащій треугольнику РМЛ, такъ призма , коея основаніе параллелограммъ Е()КѴ прогпивулежащій прямой 8ЕГ, къ приз- мѣ, коея основаніе треугольникъ В.ѴЕ про- іпивулежащій треугольнику 8ТЕГ* и сово- купленіемъ, какъ призмы КВОБМР, БОСМАР къ призмѣ БОСМАР, такъ призмы (2ЕѴВ8ЕГ, В.ѴГ8ТѴ къ призмѣ ВѴЕ8ТБ*; и премѣне- *і8.ѵ. кіемъ, какъ призмы КВОБМР, ЕОСРМГі къ призмамъ (^ЕѴВЯБ, В.ѴЕ8ТБГ, такъ приз- ма БОСМКР къ призмѣ ВѴЕ8ТБГ*. Но до- *ібаѵ. казано , что какъ призма БОСМАР къ приз- мѣ ВѴЕ8ТБГ, такъ основаніе ЬОС къ осно- ванію В.ѴЕ, и такъ основаніе АВС къ осно- ваніе БЕЕ: посему какъ основаніе АВС къ ос- нованію БЕЕ, такъ двѣ призмы въ пирамидѣ АВСС къ двумъ призмамъ въ пирамидѣ БЕЕН. Есшьли каждую изъ произшедшихъ пирамидъ РМКС,8БіТН раздѣлимъ такимъ же образомъ: піо будетъ, какъ основаніе РММ къ основанію 8ѴТ, такъ двѣ призмы въ пирамидѣ РМАС кь двумъ призмамъ въ пирамидѣ 8БГТН. Но Какъ основаніе РМА къ основанію 5БГГ, •пакъ основаніе АВС къ основанію БЕЕ: п°сему какъ основаніе АВС къ основанію ^ЕР, такъ двѣ призмы въ пирамидѣ АВСС *ь двумъ призмамъ въ пирамидѣ БЕЕН,
358 Э В К Л И Д. началъ и такъ двѣ призмы въ пирамидѣ РМ]ѴС двумъ призмамъ въ пирамидѣ 817ТН, и такъ всѣ четыре ко всѣмъ четыремъ. Сіе Же докажется и о призмахъ, кои произойд^І1ъ отъ раздѣленія пирамидъ АКЬР, й вообще о всѣхъ призмахъ равномногихъ. Лемма. Мы докажемъ слѣдующимъ обра- зомъ; что какъ треугольникъ ГОС къ треугольнику ЕѴЕ, такъ призма, коея основаніе треугольникъ ЬОС противуле- «ащій треугольнику РАШ, къ призмѣ, коея основаніе треугольникъ ЕѴЕ прошивуле- жащій треугольнику 8ТЕГ. Вообрази , что въ тѣхъ же фигурахъ отъ точекъ С, Н проведены перпендикляру- ныя прямыя къ плоскостямъ треугольниковъ АВС, БЕЕ : то сіи прямыя будутъ равныя, ибо пирамиды предполагаются равновысот- ными. Поелику же и прямая СС и перпен- дикулярная прямая отъ точки С проведен- ная , разсѣчены параллельными плоскостя- ми АВС, РМГ\Т: то онѣ разсѣкаются про- порціонально*. Но прямая СС разсѣчена по поламъ въ Ьі плоскостію РЛШ: посему и проведенная отъ точки С перпендикуляра ная прямая къ плоскости АВС, разсѣчена по поламъ плоскостію РАШ. Попіому И
КНИГА (ДВѢНАДЦАТАЯ. 35д Лроведенная огнь точки Н перпендикуляр- иая къ плоскости БЕГ, разсѣчена по по- «амь плоскостію 5ТЫ. Но проведенныя отъ О II перпендикулярныя къ плоскостямъ АВС, рЕК суть взаимно равны; посему и про- йденныя отъ треугольниковъ РМК, 8ТЫ перпендикулярныя къ треугольникамъ АВС, рЕГ взаимно равны • а посему и призмы, имѣющія основаніями треугольники ЬОС, ЦѴР противулежащіе треугольникамъ РМ1Ѵ, 8ТІІ, суть равновысотныя : слѣдственно параллелепипеды дописанные изъ сказанныхъ призмъ, будучи равіювысоіпные, суть взаим- но какъ основанія*} чего ради и половины *Зз}ХІ. сушь какъ половины, то есть: основанія ЬОС, ВѴГ суть взаимно какъ сказанныя призмы. Ч. И д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ V. Пирамиды, имѣющія треугольныя осно- ванія и туже высоту, суть взаимно какъ основанія. Пирамиды , коихъ основанія треугольники АВС,БЕЕ, а вершины точки О, Н, пусть будутъ имѣть туже высоту. Говорю , чгпо Какъ основаніе АВС къ основанію БЕГ, такъ Пирамида АВСЫ къ пирамидѣ БЕЕН.
Збо Э В К л и Д. началъ Ибо, естьли не будетъ какъ основаніе АВС къ основанію БЕГ , такъ пирамида АВСС къ пирамидѣ ВЕГИ; то будетъ какъ Ос_ нованіе АВС къ основанію ВЕЕ, такъ пира мида АВСВ къ нѣкоему тѣлу, или меньшему пирамиды ВЕГИ , или большему. Пусть вопервыхъ, будетъ къ меньшему, тѣлу X. Раздѣли пирамиду ВЕЕН на двѣ пирамиды взаимно равныя и подобныя цѣлой, и на •3. двѣ равныя призмы*: то сіи двѣ призмы *3. суть больше половыны цѣлой пирамиды*. И еще, пирамиды произшедшія отъ сего раздѣленія , раздѣли такимъ же образомъ• сіе же и всегда пусть будетъ дѣлаемо , пока отнимутся нѣкія пирамиды отъ пирамиды ВЕЕН , кои будутъ меньше избытка пи- ’і,Х. рамиды ВЕГИ предъ тѣломъ X*. Пусть отнимутся • и пусть онѣ будутъ, на примѣръ, пирамиды В(^)Рі8, 8ТСГН: то остальныя призмы въ пирамидѣ ВЕЕН суть больше тѣла X. Раздѣли же и пирамиду АВСС такимъ же образомъ , такъ чтобъ призмы въ оной были равномногія призмамъ въ пирамидѣ ВЕЕН. Посему какъ основаніе АВС къ основа- нію ВЕЕ, такъ призмы въ пирамидѣ АВ^б къ призмамъ въ пирамидѣ ВЕГИ*. Но каКЪ основаніе АВС къ основанію ВЕЕ, гнак11!
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 361 до положенію , пирамида АВСС къ тѣлу X: посему какъ пирамида АВСС къ тѣлу X, піакъ призмы въ пирамидѣ АВСС къ призмамъ ви пирамидѣ І)Е1И- и премѣненіемъ,какъ пи-*ц,ѵ. рамида АВСС къ призмамъ, кои въ ней , такъ тѣло X къ призмамъ въ пирамидѣ БЕГН*. *іб,ѵ. Но пирамида АВСС больше призмъ, кои въ ней ; посему и тѣло X больше призмъ, кои вь пирамидѣ БЕГН: Оно же и меньше ; что невозможно. Чего ради ие будетъ какъ осно- ваніе ЛВС къ основанію ВЕР, такъ пира- мида АВСС къ нѣкоему тѣлу меньшему пирамиды ВЕЕН. Подобно докажемъ , что не будетъ какъ основаніе БЕЕ къ основанію АВС, такъ пира- мида БЕГН къ нѣкоему тѣлу меньшему пи- рамиды АВСС. Говорю же, что и не будетъ какъ основаніе АВС къ основанію БЕГ, такъ пирамида АВСН къ нѣкоему тѣлу большему пирамиды БЕГН. Ибо, естьли возможно, п^сть будетъ къ большему, тѣлу X. Посему , преложеніемъ*, *оп.і^,Ѵ. какъ основаніе ВЕЕ къ основанію АВС, такъ тѣло X къ пирамидѣ АВСС. Но какъ тѣ- ло X къ пирамидѣ АВСС, такъ пирамида БЕГН къ нѣкоему тѣлу меньшему пира- миды АВСС, по доказанному предъ симъ: Посему какъ основаніе ВЕЕ къ основанію
І»б2 а ВКЛИД. НАЧАЛЪ АВС, тѣлу такъ пирамида ВЕГИ къ меньшему пирамиды АВСС; иѢкое му что, ц0 доказанному, нелѣпо : посему не 6удСП1ъ какъ основаніе АВС къ основанію ВЕЕ, піанъ пирамида АВСС къ нѣкоему тѣлу большему пирамиды ВЫ II. А доказано, что и ни къ меньшему: чего ради какъ основаніе ЛВС къ основа пію БЕЕ, такъ пирамида АВССкъ пирамидѣ ВЕЕН. Итакъ пирамиды, имѣющія, и нр. ч. и д,н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VI. Пирамиды , имѣющія туже высоту и мно- гоугольныя основанія, сушь взаимно какъ * основанія. Пирамиды , коихъ основанія многоуголь- ники АВСВЕ, ГСНКЬ, а вершины точки М, IV, пусть будутъ имѣть туже высоту. Говорю , что какъ основаніе АВСВЕ къ основанію ЕСНКЬ, такъ пирамида АВСБЕМ къ пирамидѣ ГСНКЬРС Раздѣли основаніе АВСВЕ на треуголь- ники , ЛВС, АСВ, АВЕ* и основаніе ЕСН КЬ на треугольники ЕСН, ЕНК, ГКЬ; и во- образи на каждомъ изъ сихъ треугольниковъ пирамиды равновысотныя цѣлымъ пира- мидамъ.
КНИГА двѣнадцатая. 363 Поелику какъ треугольникъ АВС къ тре- угольнику АСВ , рирамидѣ АСВМ’: такъ пирамида АВСМ къ то, совокупленіемъ, какъ *5. Л1рапеція АВСБ къ треугольнику АСВ, такъ пирамида АВСВМ къ пирамидѣ АСВМ*. Но*і8,ѵ. какъ треугольникъ АСВ къ треуі ельнику дРЕ, такъ пирамида АСВМ къ пирамидѣ ДВЕМ*: посему, равномѣстно, какъ основа-*5. піе АВСВ къ основанію АВЕ, такъ пирамида АВСВМ къ пирамидѣ АВЕМ*; а посему, сово-*22’1’ купленіемъ, какъ основаніе АВСВЕ къ осно- ванію АВЕ, такъ пирамида АВСВЕМ къ пирамидѣ АВЕМ. Потому же , какъ основаніе ЕСНКЕ къ основанію ГКБ, такъ пирамида ГСНКІЛХ къ пирамидѣ ЕКЕ№. И поелику двѣ пирамиды АВЕМ, ГКБІ\ имѣютъ треуголь- ныя основанія и туже высоту: то какъ основаніе АВЕ къ основанію ЕКЬ, такъ пи- рамида АВЕМ къ пирамидѣ ГКІЛѴ*. Итакъ, *5< поелику какъ основаніе АВСВЕ къ основанію АВЕ, такъ пирамида АВСВЕМ къ пирамидѣ АВЕМ; и какъ основаніе АВЕ къ основанію ГК.Е,такъ пирамида АВЕМ къ пирамидѣ ЕКЕ1Ѵ: то, равномѣстно, какъ основаніе АВСВЕ къ основанію ГЕБ, такъ пирамида АВСВЕМ къ пирамидѣ ГКЕ№. Но какъ основаніе 1НВкъ*22,ѵ. основанію ЕСІІКБ, такъ пирамида ЕКБ1Ѵ къ Пирамидѣ Г6НЕЕІЧ : посему, равномѣстно,
364 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ какъ основаніе АВСВЕ къ основанію ГСПКВ такъ пирамида АБСВЕ.М къ пирами -ь ГСНКШ Итакъ пирамиды, имѣющія, и пр. ч. и д, н ПРЕДЛОЖЕНІЕ VII. Всякую призму, имѣющую треугольное основаніе , раздѣлять можно на три пира- миды равныя взаимно, имѣющія треуголь- ныя основанія. Пусть будетъ призма, коея основаніе треугольникъ АВС противулежащій тре- угольнику ВЕЕ. Говорю, что призму АВСВЕЕ раздѣлить можно на три пира- миды равныя взаимно, имѣющія треуголь- ныя основанія. Протяни БВ, ЕС, СВ. *опр.іЗ,хі. Поелику АВЕВ есть параллелограммъ*, а ВВ его поперечникъ \ то треугольникъ АВВ равенъ треугольнику ЕВВ*: посему пирамида , коея основаніе треугольникъ АВВ а вершина точка С, равна пирамидѣ , коея основаніе треугольникъ ЕВВ и вершина *5. точка С*. Но пирамида , коея основаніе треугольникъ ЕВВ а вершина точка есть гпаже что и пирамида, коея основаніе *оп.ю,хі. треугольникъ ЕВС а вершина точка В :1,(10
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ, 365 опѣ содержатся тѣмиже плоскостями : по- сСму и пирамида , коея основаніе треуголь- никъ АВВ а вершина точка С , равна пи- аѵіидѣ, коея основаніе треугольникъ ЕВС вершина точка В. Еще же , поелику ГСВЕ есть параллелограммъ*, а СЕ его попереч- *опр.іЗ,ХІ. никъ} то треугольникъ ЕСЕ равенъ тре- угольнику СВЕ; посему пирамида, коея осно- ваніе треугольникъ ВЕС а вершина точка р, равна пирамидѣ? коея основаніе треу- гольникъ ЕСЕ и вершина точка В*. А до- *5. казано, что пирамида, коея основаніе тре- угольникъ ВСЕ а вершина точка В , равна пирамидѣ, коея основаніе треугольникъ АВВ а вершина точка С: посему и пирамида, коея основаніе треугольникъ СЕЕ а вершина точка В, равна пирамидѣ , коея основаніе треугольникъ АВВ а вершина точка С. Ишакъ призма АВСВЕЕ раздѣлена на три пирамиды равныя взаимно, имѣющія треу- гольныя основанія. 11 поелику пирамида, коея основаніе треугольникъ АВВ а вершина точка С, есть таже что и пирамида, коея основаніе треугольникъ САВ а вершина точ- ка В*, ибо онѣ содержатся тѣмиже плос- *огі.іо,Хг» Костями } пирамида же , коея основаніе тре- угольникъ АВВ а вершина точка С, есть, доказанному, третья чаешь призмы,
366 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ коея основаніе треугольникъ АВС противу лежащій треугольнику ВЕЕ: чего ради и пирамида, коея основаніе треугольникъ АВС а вершина точка Б, есть третья чаешь призмы, имѣющей тоже основаніе, 1Г1О есть треугольникъ АВС нротивулежащій треугольнику БЕЕ. ч. и д. н. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что вся- кая пирамида есть третья часть призмы, имѣющей тоже основаніе и одинакую высо- ту. Ибо, есшьли основаніе призмы будешь и другая какая либо прямолинейная фигура, то и противу лежащая основанію будетъ ей *оп,іЗ,XI. равная и подобная*; и сио призму можно раздѣлишь на призмы , имѣющія тре- угольныя основанія и проживу лежащія тре- угольникамъ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ VIII. Подобныя пирамиды , имѣющія треуголь- ныя основанія, суть взаимно въ утроен- номъ отношеніи сходственныхъ сторонъ» Пусть будутъ подобныя и подобно по- ложенныя пирамиды, коихъ основанія суть треугольники АВС, БЕЕ, а вершины точки (л, Н. Говорю/ что пирамида АВССг къ 11ІГ
КНИГА двѣнадцатая. З67 рамиДѣ ВЕЕН имѣетъ утроенное н,е прямыя ВС къ ЕЕ. отноще- Дополни параллелепипеды ВСМЬ, І’ІІОР. Поелику пирамида АВСС подобна пира- мидѣ ВЕЕН: то* уголъ АВС равенъ углу*оп.д,хі. ЦЕЕ, и уголъ СВС углу НЕЕ, а уголъ АВС углу ВЕ1Ц и какъ АВ къ ВЕ, такъ ВС къ ЕЕ, и такъ ВС къ ЕН. Итакъ, по- елику какъ АВ къ ВЕ, такъ ВС къ ЕЕ, и сіи пропорціональныя стороны суть око- ло равныхъ угловъ: то параллелограммъ ВА1 подобенъ параллелограмму ЕС). Потому же параллелограммъ ВА подобенъ параллело- грамму ЕК, и параллелограммъ ВК паралле- лограмму ЕО. Чего ради три параллело- грамма ВМ, ВК, ВА подобны тремъ парал- лелограммамъ ЕГ), ЕО, ЕК. Но три парал- лелограмма МВ, ВК, ВА равны* и подоб- *24,Хі. ны тремъ прочимъ противулежащимъ* а и шри параллелограмма ЕГ), ЕО, ЕК равны и Подобны тремъ прочимъ прошивулежащимъ: ишакъ параллелепипеды ВСМЬ, ЕН()Р со- держатся плоскостями подобными и равно- иногими : а посему йараллелепипедъ ВСМЬ Подобенъ параллелепипеду ЕНОР*. Но по—*оп.д,ХТ. Д°6ные параллелепипеды суть взаимно въ Утроенномъ отношеніи сходственныхъ сто- ронъ*: посему параллелепипедъ ВСМЬ къ па- *33,хі.
368 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ , раллелепипеду ЕІК^Р имѣешь утроенное ношеніе, сходственной стороны ВС къ сход сшвенной сторонѣ ЕГ. Но какъ параллелепи- педъ ВЕЛІЕ къ параллелепипеду ЕІН^Р, піакъ пирамида АВСС къ пирамидѣ ВЕГИ; ие0 пирамида есть шестая часть паралле- лепипеда , потому что призма, то еспіь половина параллелепипеда, есть трекратная •7. пирамиды*: посему пирамида АВСС къ пира- мидѣ ВЕЕН имѣетъ утроенное отношеніе прямыя ВС къ ЕГ. ч. и д. н. Слѣдствіе. Изъ сего явствуетъ, что Подобныя пирамиды , имѣющія многоуголь- ныя основанія, суть взаимно въ утроен- номъ отношеніи сходственныхъ сто- ронъ. Ибо сіи пирамиды можно раздѣлишь на пирамиды , имѣющія треугольныя осно- ванія • потому что основанія, кои сут *оп.іЗ»хі. подобные многоугольники*, можно раздѣ- лить па треугольники равномногіе , взаим- но ‘подобные , и пропорціональные сим *2о,ѵі. многоугольникамъ*. Посему какъ одна йЗЪ имѣющихъ треугольное основаніе пирамидъ кои въ первой пирамидѣ, къ одной и5Ь имѣющихъ треугольное основаніе пирамидъ кои во второй пирамидѣ, такъ всѣ имѣюШіЯ треугольное основаніе пирамиды, кои
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. З69 первой, ко всѣмъ имѣющимъ треугольное основаніе пирамидамъ , кои во второй*, то *і2,Ѵ. есгпь, такъ первая изъ пирамидъ имѣющихъ многоугольное основаніе , ко второй изъ пирамидъ имѣющихъ многоугольное же осно- ваніе. Но тѣ пирамиды , то есть имѣющія треугольныя основанія , суть взаимно въ утроенномъ отношеніи сходственныхъ сторонъ: чего ради и сіи пирамиды, то есть имѣющія многоугольныя основанія , суть взаимно въ утроенномъ отношеніи сходственныхъ сторонъ*. (д5). *іі,ѵ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ IX. Равныхъ пирамидъ , имѣющихъ основанія треугольныя, основанія суть обратно про- порціональны высотамъ: И которыхъ пи- рамидъ , имѣющихъ основанія треугольныя, основанія обратно пропорціональны высо- тамъ , тѣ суть равныя. Пусть будутъ равныя пирамиды, имѣ- ющія треугольныя основанія АВС, НЕЕ, а Вершины точки С, Н. Говорю, что пирамидъ АВСС, БЕГН основанія суть обратно пропор- Ч'ональны высотамъ; то есть, какъ основа- **Іе АВС къ основанію БЕЕ, такъ высота йирамиды БЕГН къ высотѣ пирамиды АВССг. 24
ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ ___ Дополни параллелепипеды ВСЛІЬ^Ні^р Поелику пирамида АВСС равна нирамИд^ ИЕЕН 5 а параллелепипедъ ВСМЬ есть *въ 8. стикратный пирамиды АВСС*, и паралле- лепипедъ ЕН(^Р шестикратный же пира- миды І)ЕЕН : то параллелепипедъ ВСМЕ равенъ параллелепипеду ЕН()Р. А равныхъ параллелепипедовъ основанія суть обратно к34,XI. пропорціональны высотамъ*: посему какъ основаніе ВМ къ основанію Е<2 , такъ высо- та параллелепипеда ЕІ1()Р къ высотѣ па- раллелепипеда ВСМЬ. Но какъ основаніе В1М къ основанію Е(), такъ треугольникъ АВС къ треугольнику НЕЕ*: посему какъ треугольникъ ЛВС къ треугольнику ВЕЕ, такъ высота параллелепипеда ЕН(2Р къ *и,Ѵ. высотѣ параллелепипеда ВСМЬ*. Но высота параллелепипеда ЕІІСД? есть таже чпіО и пирамиды НЕЕП, а высота параллелепи- педа ВСМЬ таже что и пирамиды АВСС: посему какъ основаніе ЛВС къ основанію НЕЕ, такъ высота пирамиды ПЕЕН къ высотѣ пирамиды АВСС. И такъ пира- мидъ АВСС, БЕЕН основанія суть обратно пропорціональны высотамъ. Но пусть будутъ пирамидъ АВСС, НЕ?Н основанія обратно пропорціональны вЫС° тамъ ’ то есть } какъ основаніе А®
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 3 71 кЪ основанію БЕГ, такъ высота пирамиды рЕ?Н къ высотѣ пирамиды АВССг. Говорю , чггіо пирамида АВСС равна пирамидѣ ВЕЕН. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, поелику какъ основаніе АВС къ основанію ВЕЕ, такъ вы сота лирамиды ВЕЕН къ высотѣ пирамиды АВСС5 а какъ основаніе АВС къ основанію ВЕЕ, такъ параллелограммъ ВМ къ параллело- грамму Е(_): то какъ параллелограммъ ВМ къ параллелограмму ЕС),такъ высота пирамиды ВЕГИ къ высотѣ пирамиды АВСС. Но высо- та пирамиды БЕЕН есть таже что и парал- лелепипеда ЕНГ)Р, а высота пирамиды АВССг таже что и параллелепипеда ВСМЬ: посему какъ основаніе ВМ къ основанію Е(Ц, такъ высота параллелепипеда ЕН(^Р къ высотѣ параллелепипеда ВСМЬ. А которыхъ парал- лелепипедовъ, основанія обратно пропор- ціональны высотамъ,тѣ сушь равные*: посе- *34,хг. му параллелепипедъ ВСМЬ равенъ параллеле- пипеду ЕН(,)Р. Но пирамида АВСС есть ше- стая часть параллелепипеда ВСМЬ, а пи- рамида БЕЕН шестая же часть параллеле- пипеда ЕНС^Р: чего ради пирамида АВьС равна пирамидѣ БЕЕН. Итакъ равныхъ, и проч.- Ч. и Д. И. (96}. * ♦
ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ З72 ПРЕДЛОЖЕНІЕ X. Всякій конусъ есть третья часть ци_ линдра, имѣющаго тоже основаніе и ра_ вную высоту. Пусть имѣютъ конусъ и цилиндръ тоже основаніе > кругъ АВСВ, и равную высокій. Говорю, что конусъ есть третья часть цилиндра* то есть, цилиндръ есть тре- кратный конуса. Ибо, буде цилиндръ не есть трекрагпный Конуса ‘ гпо онъ будетъ, или больше или меньше нежели трекрашный конуса. Пусть, вопервыхъ, будетъ больше нежели шре- крашный. Въ кругѣ АВСН впиши квадратъ АВСВ*: то квадратъ АВСВ больше половины круга АВСВ. На квадратѣ АВСВ возставь призму, равновысошную цилиндру: то сія призма 6угдетъ больше половины цилиндра. Ибо, естьли около круга АВСВ опишемъ квадратъ; то квадратъ вписанный бу'детъ половина квадрата описаннаго: И естьли восшавимъ на нихъ призмы равновысотныя, то егпь па- раллелепипеды ; а параллелепипеды, им®“ юіціе туже высоту, суть взаимно какъ *3г,хі. основанія*: посему призма , возставленная на квадратѣ АВСВ, есть половина призмъ’»
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. З7З 03СГпавленной на квадратѣ описанномъ око- \0 круга АБСБ: Но цилиндръ есть меньше рризмы, возставленной на квадратѣ описан- номъ около круга АВСБ: слѣдственно призма, возставленная на квадратѣ АВСБ и равно- высоіпная цилиндру , есть больше половины цилиндра. Раздѣли дуги АВ, ВС, СБ, БА по поламъ въ точкахъ Е, Г, С, Н‘ и про- гляни АЕ, ЕВ, ВЕ, ГС, СС, СБ, БН, НА: то каждый изъ треугольниковъ АЕВ, ВЕС, ССБ, Б11А больше половины отрѣзка круговаго, въ коемъ онъ помѣщенъ, какъ доказано выше*. На каждомъ изъ треугольниковъ АЕВ , ВЕС , ССБ , БНА возставь призмьТ равновысотныя цилиндру: то каждая изъ сихъ призмъ больше половины объ- емлющаго оную отрѣзка цилиндра. Ибо, естьли чрезъ точки Е, Е, С, Н проведемъ параллельныя прямыя къ АВ, ВС, СБ, БА, и на АВ, ВС , СБ, БА дополнимъ параллело- граммы , и на нихъ, возставимъ параллелеп- ипеды равновысотные цилиндру, то приз- мы, кои па треугольникахъ АЕВ, ВЕС, ССБ, , будутъ половины каждаго изъ сихъ Параллелепипедовъ: Но отрѣзки цилиндра супіь меньше сихъ же параллелепипедовъ: по- призмы, кои на треугольникахъ АЕВ, , ССБ, БНА, суть больше половины *ВЪ2. сему Ьгс
374 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ соотвѣтствующихъ отрѣзковъ цилиндра Естьли же и оставшіяся дуги будемъ раздѣ- лять по поламъ,и протягивать прямыя, и на произшедшихъ треугольникахъ возставлять призмы равновысотныя цилиндру- и естьли сіе всегда будемъ дѣлать: то останутся наконецъ нѣкіе отрѣзки цилиндра, ыщ _ будутъ меньше избытка цилиндра предъ *і,х. трекратнымъ конусомъ*. Пусть таковые останутся: и пусть сіи отрѣзки цилиндра будутъ а на » АЕ, ЕВ, ВГ,ГС,ССг,СіВ,ВН, ЦД. Посему остальная призма, коея основа- ніе многоугольникъ АЕВГССВП а высота таже что и цилиндра , больше трекрат- наго конуса. По призма, коея основаніе многоугольникъ АЕВГССВН, а высота таже что и цилиндра, есть трекрагппая пирами- ды,коея основаніе многоугольникъ АЕВРССВН а вершина таже что и конуса*^ посему и пирамида , коея основаніе многоугольникъ АЕВГССВІІ а вершина та же что и конуса, больше конуса имѣющаго основаніемъ кр31Ъ АВСВ: Она же и меньше , ибо конусомъ о(гь- емлется; что невозможно. Чего ради Ци“* линдръ не больше нежели гпрекратпый конуса. Говорю же, что и ни меньше нежели тре~ кратный. Ибо, естьли возможно, пуспі*
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. цилиндръ будетъ меньше нежели прекрат- или конуса : посему обратно конусъ есть больше нежели третья часгт» цилиндра. Въ кругѣ АВСВ впиши квадратъ АВСВ: гпо квадратъ АВСВ больше половины круга і ДВСВ. На квадратѣ АВСВ возставь пирами- I ду,имѣющую туже вершину что и конусъ: то ' сія пирамида будетъ больше половины конуса. Ибо, по доказанному уже,естьли опишемъ око- ло круга АВСВ квадратъ; то квадратъ АВСВ есть половина квадрата описаннаго около се- го круга. И естьли на сихъ квадратахъ воз- ставимъ параллелепипеды , то есть призмы, равновысогпныя конусу; гпо возставлен- ная на квадратѣ АВСВ будетъ половина возставленной на квадратѣ описанномъ около круга, ибо сіи параллелепипеды сушь взаимно какъ основанія: А и третія ихъ ча- сти суть взаимно какъ основанія ; чего ради пирамида, коея основаніе квадратъ АВСВ, есть половина пирамиды, возстав- ленной на квадратѣ описанномъ около круга: Но пирамида, возставленная на квадратѣ описанномъ около круга , больше конуса, ибо оный объемлепіъ; слѣдственно и пирамида , коея основаніе квадратъ АВСВ а вершина Піаже что и конуса, есть больше подо- бны конуса. Раздѣли дуги АВ, ВС, СВ, ВА
3;6 ЭВКЛИД, НАЧАЛЪ по поламъ въ точкахъ Е, Г, С, Н* и прогляни АЕ, ЕВ, ВГ, ГС, СС, СБ, БН, НА; ІІЮ каждый изъ треугольниковъ АЕВ, ВГС ССБ, БНА больше половины отрѣзка, въ коемъ помѣщается. Возставь на каждомъ изъ треугольниковъ АЕВ, ВГС, ССБ, БНА пи- рамиды, имѣющія туже вершину что и ко- нусъ : то каждая изъ сихъ пирамидъ больше половины отрѣзка конуса объемлющаго оную. Естьли же и оставшіяся дуги будемъ раз- дѣлять по поламъ, и протягивать прямыя, и на произшедшихъ треугольникахъ возста- влять пирамиды, имѣющія туже вершину что и конусъ } и естьли сіе всегда будемъ дѣлать: то останутся наконецъ нѣкіе от- рѣзки конуса, кои будутъ меньше избытка *ЦХ. конуса предъ третьею частію цилиндра*. Пусть таковые останутся^ и пусть сіи от- рѣзки цилиндра будутъ тѣ,кои на отрѣзкахъ АЕ, ЕВ, ВГ, ГС СС,' СБ, БН, НА. Посему остальная пирамида, коея основаніе много- угольникъ АЕВГССБН а вершина таже чіпо и конуса, есть больше нежели третья часть Цилиндра. Но пирамида,коея основаніе много- угольникъ АЕВГССБН а вершина піаже чіпо И конуса, есть третья часть призмы, коеЯ Основаніе многоугольникъ АЕВГССБН, а вер- *у. шина піаже что и цилиндра*: посему призма;
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. З77 кЪея основаній многоугольникъ АЕВГССВИ а высота таже что и Цилиндра, есть больше цилиндра , коего основаніе кругъ ДБСВ : Она же и меньше цилиндра, ибо* цилиндромъ объемлепіся; что невозможно. Чего ради цилиндръ не меньше нежели трекратный конуса. А доказано, что и ни больше нежели трекратный: посему цилиндръ есть трекратный конуса ; и слѣдовательно конусъ есть третья часть цвли ндра. Ишакъ всякій конусъ есть, и пр. Ч. и д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XI. Конусы и цилиндры, имѣющіе туже вы- соту , суть взаимно какъ основанія. Пусть конусы и цилиндры , коихъ осно- ванія суть круги АВСВ, ЕГСН, а оси КЬ, МЛТ, и основаній поперечники АС, ЕСт, имѣютъ туже высоту. Говорю, что какъ Кругъ АВСВ къ кругу ЕГСН, такъ конусъ ЛЬ къ конусу ЕХ. Ибо , естьли не такъ; то будетъ какъ Кругъ АВСВ къ кругу ЕГСгН, такъ конусъ къ нѣкоему тѣлу, или меньшему конуса или большему. Пусть будетъ,вопервыхъ, Кь меньшему, тѣлу О; и пусть будетъ
3?8 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ избытокъ конуса ЕГ\ предъ тѣломъ О равенъ тѣлу У: посему конусъ ЕГ\ равенъ тѣламъ О, У. *6,Н'. Въ кругѣ ЕГСН впиши квадратъ ЕГСН*; шо сей квадратъ больше половины круга. На квадратѣ ЕГСН возставь пирамиду ра- вновысогпную конусу: то сія пирамида боль- ше половины конуса. Ибо, естьли опишемъ около круга ЕГСН квадратъ , и естьли на семъ квадратѣ возставимъ пирамиду піа- кожъ равповысошную конусу; то пирамида впи.саная будетъ половина пирамиды они- писанной, ибо онѣ суть взаимно какъ осно- *5. ван’ія*: Но конусъ меньше пирамиды описан- ной ; посему пирамида} коея основаніе квадратъ ЕГСН а вершина таже что и кону- са , есть больше половины конуса. Раз- дѣли дуги ЕГ, ГС, СН, НЕ по поламъ въ точкахъ Р, (^, К, 8; и протяни НР, РЕ, Е(2 , рГ , ГК, КС, С8, 8Н : то каждый изъ треугольниковъ НРЕ, ЕрГ, ГКС, С8Н есгпь больше половины отрѣзка, въ коемъ онъ помѣщается. Возставь на каждомъ изъ тре- угольниковъ НРЕ, ЕрГ, ГКС, С8ІІ пирами- ды равновысогпныя копусусто каждая изъ сихъ Пирамидъ больше половины отрѣзка конуса объемлющаго оную. Естьли же и оставшіяся дуги будемъ раздѣлять по поламъ, и прогпя-
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. З79 Гіівагпь прямыя, и на каждомъ изъ произшед- щихъ треугольниковъ возставлять пира- миды равновысопіныя конусу • и естьли сіе всегда будемъ дѣлать : то останутся на- конецъ нѣкіе отрѣзки конуса , кои будутъ меньше тѣла V*. Пусть таковые оста- *і,х. нушся; и пусть сіи отрѣзки конуса будутъ тѣ , кои на отрѣзкахъ круга НР, РЕ, Е(2, С>Г, ГЕ, ВС, С8, 8Н. Посему остальная пирамида, коея основаніе мно- гоугольникъ НРЕС2ГКС8 а высота та- же чшо и конуса , есть больше тѣла О. Въ кругѣ АВСВ впиши многоугольникъ В'ГАСВѴСХ подобный многоугольнику НРЕрГВС8 и подобно положенный; и на многоугольникѣ ВІЛЬВѴСХ возставь пира- миду равновысошную конусу АЬ. Поелику какъ квадратъ изъ АС къ квадрату изъ ЕС, такъ многоугольникъ ЬТАСВѴСХ къ многоугольнику НРЕ(Ч)ГКС8’:; Ъо.ѵі. и какъ квадратъ изъ АС къ квадрату изъ и і>ХИ. ЕС, такъ кругъ АВСБ къ кругу ЕГСН*: то *2. какъ кругъ АВСВ къ кругу ЕГСН, такъ многоугольникъ ВТАЫВѴСХ къ многоуголь- нику НРЕ(^ГВС8*. По какъ кругъ АВСВ къ *і Кругу ЕГСН, такъ конусъ АЬ къ тѣлу О; а какъ многоугольникъ ВТАЫВѴСХ къ Многоугольнику НРЕ(^ЕКС8, такъ пирамида,
38о эвклид. НАЧАЛЪ коея основаніе многоугольникъ ВТДѴВѴс^ а вершина точка Ь, къ пирамидѣ, Коед основаніе многоугольникъ НРЕ(^ГВСз а вершина точка К: посему какъ конусъ АІ* къ тѣлу О, такъ пирамида , коея основа- ніе многоугольникъ ВТАСВѴСХ а вершина точка Ь, къ пирамидѣ, коея основаніе многоугольникъ НРЕС^ЕКСЗ а, вершина точ- ка IV: а посему премѣпей'іемъ, какъ конусъ АЬ къ пирамидѣ что въ немъ, такъ тѣло О къ пирамидѣ что въ конусѣ ЕІѴ. Но конусъ АЬ больше пирамиды что въ немъ } посему тѣло О больше пирами- ды что въ конусѣ Е№: Оно же и мень- ше 5 что нелѣпо. Чего ради не будетъ какъ крутъ АВСВ къ кругу ЕГСН, такъ конусъ АЬ къ нѣкоему тѣлу меньшему конуса Е]Ѵ. Подобно докажемъ, что ни какъ круП» ЕГ6Н къ кругу АВСВ, такъ конусъ ЕІѴ къ нѣкоему тѣлу меньшему- конуса АЬ- Говорю же , чігю и не будетъ какъ кругъ АВСВ къ кругу ЕГСН, такъ конусъ АЬ къ нѣ- коему тѣлу большему конуса ЕМ. Ибо, еспіь- ли возможно, пусть будетъ къ большему, тѣлу О. Посему премѣненіемъ, какъ крутъ ЕГСН къ кругу АВСВ, такъ тѣло О къ конусу АВ. Но какъ тѣло О къ конусу АВ;
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 381 діакъ конусъ ЕК къ нѣкоему тѣлу мень- шему конуса АЕ: посему какѣ кругъ ЕГСН къ КРУГУ АЙСВ, такъ конусъ ЕК къ тѣлу меньшему конуса АЬ; что , по доказан- ному уже , невозможно. Посему не будетъ какъ кругъ АВСВ къ кругу ЕГСН, такъ ко- нусъ АЬ къ нѣкоему тѣлу больше іу кону- са ЕК. А доказано, что и пи кь мень- шему : Чег© ради какъ кругъ АВСВ къ кр)гу ЕГСН, такъ конусъ АЬ къ конусу ЕК. Но какъ конусъ къ конусу, такъ ци- линдръ къ цилиндру , ибо каждый каждаго есть трекратный*: посему круги АВСВ, *ю. ЕГСН суть взаимно какъ цилиндры на нихъ равновысотные конусамъ. Итакъ конусы и цилиндры, и проч. Ч. И д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XII. Подобные конусы и цилиндры суть взаим- но въ утроенномъ отношеніи поперечни- ковъ основаній. Пусть будутъ подобные конусы и ци- линдры, коихъ основанія круги АВСВ, ЕГСН, Поперечники же основаній ВВ, ЕН, а КЪ, оси конусовъ и цилиндровъ. Говорю, что Конусъ , коего основаніе кругъ АВСВ а вер-
38а э в К Л и, Д. НАЧАЛЪ шипа точка Ь, къ конусу, коего основаніе кругъ ЕГСН а вершина точка К, имѣешь утроенное отношеніе прямыя ВВ къ ГН. Ибо , буде не имѣетъ конусъ АВСВЕ къ конусу ЕГС1Ш утроеннаго отношенія пря- мыя ВВ къ І Н: то будетъ имѣть утроенное ихъ отношеніе конусъ АВСВЕ къ нѣкоему тѣлу, или меньшему конуса ЕГСНМ, или большему. Пусть, вопервыхъ, имѣетъ къ меньшему, шЬлу О. •6,іѵ. Въ кругѣ ЕГСН впиши квадратъ ЕГСН*: шо квадратъ. ЕГСН больше половины кру- га ЕГСН. На квадратѣ ЕГСН возставь пирамиду, имѣющую туже вершину что и конусъ: то сія пирамида будетъ больше половины конуса. Раздѣли дуги ЕГ, ГС, СН, НЕ по поламъ въ точкахъ Р, (}, К, 8; и протяни ЕР, РГ, Г(^, (}С, СК, КН, Н8, 8Е: гпо каждый изъ треугольниковъ ЕРГ, ГС^С, СКН, Н8Е будетъ больше половины каждаго изъ отрѣзковъ круга объемлю- щихъ оные. На каждомъ изъ треугольни- ковъ ЕРГ, 1\)С, СКН , Н8Е возставь пирамиды , имѣющія туже вершину что и конусъ: то каждая изъ сихъ пирамидъ больше половины отрѣзка конуса объ- емлющаго оную. Естьли же и оставшіяся дуги будемъ раздѣлять по поламъ, и проШ**
КНИГА ДВЬНАДЦДТАЯ. 383 гпвать прямыя, и на каждомъ изъ произшед— тихъ треугольниковъ возставлять пирами- ды, имѣющія туже вершину что и конусъ; и естьли сіе всегда будемъ дѣлать: то останутся наконецъ нѣкіе отрѣзки кону- са , кои меньше избытка конуса ЕГСНХ предъ тѣломъ О*. Пусть таковые останут- *і,х. ся; и пусть сіи отрѣзки конуса, будутъ тВ, кои на отрѣзкахъ круга ЕР, РЕ, І'(), ()(х, СгВ., ВН, Н8, 8Е. Чего ради осталь- ная пирамида, коея основаніе многоуголь- никъ ЕРЕ(}СгВН§ а вершина точка X, есть больше тѣла О. Въ кругѣ АВС!) впиши многоугольникъ АТВІІСѴВХ подобный мно- гоугольнику ЕРЕ()СІШ8 и подобно положен- ный; и на многоугольникѣ АТВССѴВХ возставь пирамиду , имѣющую туже вер- шину что и конусъ. Пусть будетъ ЬВТ одинъ изъ треугольниковъ содержащихъ Пирамиду , коея основаніе многоугольникъ АТВЕГСѴВХ а вершина точка Ь; и ХРГ Одинъ изъ треугольниковъ содержащихъ пирамиду, коея основаніе многоугольникъ ЕРГ(2(ЛШ8 а вершина точка X: и протя- ни КТ, МР. Поелику конусъ АВСВЕ по- добенъ конусу ЕГСНХ: то какъ ВВ къ ГН, такъ ось КЬ къ оси М№*. Но какъ ВВ къ ЕН, *опр.24,хі. йіакъ ВК къ ЕМ: посему какъ ВК къ ЕМ,
384 ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ •п,ѵ. такъ КЬ къ МК** и премѣненіемъ, какъ Ві{ •16,ѵ. къ КЬ, такъ ГМ къ МК*. И поелику уГЛы ВКЬ, ГМК взаимно равны, ибо суть пря_ мые • и стороны около сихъ равныхъ угловъ суть пропорціональныя: то треуголь- •6,Ѵі. никъ ВКЬ подобенъ треугольнику ГМК* Еще же, поелику какъ ВК къ КТ, такъ ГМ къ МР; и сіи прямыя суть около па- вныхъ угловъ ВКТ, ГМР, ибо углы ВКТ, ГМР суть равночастные четырехъ прямыхъ угловъ, кои при центрахъ К, М: то, по причинѣ, что стороны около равныхъ угловъ С} ть пропорціональныя, треугольникъ ВКТ •6,ѵі. подобенъ треугольнику ГМР*. Еще же, по- елику , по доказанному, какъ ВК къКЬ, такъ ГМ къ МК ; но ВК равна КТ, а ГМ равна *7ип,Ѵ«РМ: то какъ КТ къ КЬ, такъ РМ къ ЛШ. •И сіи пропорціональныя стороны суть около равныхъ угловъ ТКЬ, РМК, ибо они прямые: итакъ треугольникъ ЬКТ подобенъ тре- угольнику КМР. II поелику, по подобію тре- угольниковъ ЬКВ, Л МГ, какъ ЬВ къ ВК, такъ КГ, къ ЕМ а по подобію треугольниковъ ВКТ, ГМР , какъ КВ къ ВТ, такъ МГ къ ГР: то равномѣстно, какъЬВ къ ВТ, такъ *22,Ѵ. КГ къ ГР*. Еще же, поелику, по подобію треугольниковъ ЬТК, КРМ, какъ ЬТ къ ТК> такъ КР къРМ; а по подобію треугольниковъ
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 385 КБТ, РМГ, какъ КТ къ ТВ, такъ МР РГ: то равномѣстно, какъ ЕТ къ ТВ, такъ КР къ РГ. А доказано, что какъ ТВ КъВЬ, такъ РГ къ ГК: посему равномѣстно^ какъ ТЬ къ ЬВ , такъ РК къ КГ. Чего ради стороны треугольниковъ ЬТВ, КРГ суть пропорціональныя: а посему треугольники ЬТВ, КРГ суть равноугольны*, слѣдственъ- *5,ѵ1. но и подобны. Ишакъ пирамида, коея основа- ніе треугольникъ ВКТ а вершина точка В, подобна пирамидѣ, коея основаніе треуголь- никъ ГМР а вершина точка К; ибо сіи пирамиды содержатся равномногими подоб- ными плоскостями. Но подобныя йирамиды , имѣющія треугольныя основанія, суть вза- имно въ утроенномъ отношеніи сходствен- ныхъ сторонъ*: посему пирамида ВКТЬ къ *8« Пирамидѣ ГМРК имѣетъ утроенное от- ношеніе прямыя ВК къ ГМ. Естьли же точ- ки А, X, Б, V, С, ЕГ соединимъ съ точкою К, а точки Е, 8, Н, Н, О, съ точкою М; и естьли на каждомъ изъ произшедшихъ Треугольниковъ возставимъ Пирамиды, имѣ- ющія гпѣже вершины съ конусами : то ПоДобно докажемъ, что каждая изъ пира- *!идъ^ «кои на многоугольникѣ АТВЕГСѴБХ», І:ъ каждой соотвѣтствующей ей пирамидѣ, акои на многоугольникѣ ЕРГрСННЗи,имѣетъ □5
386 Э В КЛ ІІД. НАЧАЛЪ утроенное отношеніе сходственной сгпоро ны ВК къ сходственной ГМ,то есть,прямы# ВВ къ ЕН. Но какъ одинъ предъидущій къ од ному послѣдующему, такъ всѣ предъидущ,е *і2,Ѵ. ко всѣмъ послѣдующимъ*: посему какъ пи- рамида ВКТЬ къ пирамидѣ ІіМРѴ, гпакъ цѣлая пирамида, коея основаніе много- угольникъ АТВІІСѴВХ а вершина точка Е къ цѣлой пирамидѣ, коея основаніе много- угольникъ ЕРГ<2СгКН8 а вершина точка К: слѣдственно и пирамида, коея основаніе многоугольникъ АТВІІСѴВХ а вершина точ- ка Ь, къ пирамидѣ, коея основаніе много- угольникъ Е]’1\)СШІ8 а вершина точка ]Ѵ, имѣетъ утроенное отношеніе прямыя ВВкъ ЕН*. А по положенію, и конусъ, коего осно- ваніе кругъ АВСВ а вершина точка Ь, къ тѣлу О имѣетъ утроенное отношеніе пря- мыя ВВ къ ЕН : посему какъ конусъ , коего основаніе кругъ АВСВ а вершина точка В, къ тѣлу О , такъ пирамида, коея основаніе многоугольникъ АТВІІСѴВХ а вершина точ- ка Ь, къ пирамидѣ , коея основаніе много- угольникъ ЕРЕ(^СВЕГ8 а вершина точка К- а посему премѣненіемъ , какъ конусъ, коего основаніе кругъ АВСВ а вершина точка Ь,кЪ пирамидѣ что въ немъ,коея основаніе много- угольникъ АТВІІСѴВХ а вершина точка Ъ
КНИГА двѣнадцатая. З87 іпакъ тѣло О къ пирамидѣ, коея основаніе многоугольникъ ЕРГ(2(ЖИ8 а вершина точ- уа ДО. Но сказанный конусъ больше пирами- ды чіпо въ немъ, ибо оную объемлетъ: по- сему и тѣло О больше пирамиды, коея основаніе многоугольникъ ЕРГі^СННЗ а вер- шина точка № Оно же и меньше; что невозможно. Чего ради конусъ, коего осно- ваніе кругъ АВСВ а вершина точка Е, къ нѣкоему тѣлу, меньшему конуса, коего основаніе кругъ ЕГСН а вершина точка Й, не имѣетъ утроеннаго отношенія прямыя ВВ къ ЕН. Подобно докажемъ , что и конусъ ЕГСНР^ къ нѣкоему тѣлу меньшему конуса АВСВЕ не имѣетъ утроеннаго отношенія прямыя ГН къ ВВ. Говорю же , что конусъ АВСВЕ къ нѣ- коему тѣлу и большему конуса ЕГСНЛ не имѣетъ утроеннаго отношенія прямыя ВВ Къ ГН. Ибо , буде возможно , пусть имѣетъ къ большему, тѣлу О. Итакъ, преложеніемъ, тѣло О къ конусу АВСВЕ имѣетъ утроенное отношеніе прямыя ГН къ ВВ. Но какъ тѣло О къ конусу АВСВЕ, такъ конусъ ЕГ6НДО Къ нѣкоему тѣлу меньшему конуса АВСВЕ*: *лем.2. Посему конусъ ЕГСНА къ нѣкоему тѣлу, Меньшему конуса АВСВЕ, имѣетъ утроен-
388 Э Іі К Л й Д. НАЧАЛЪ ное отношеніе прямыя ГН къ ВВ^ Чги по доказанному уже, невозможно. Посему конусъ АВСБЬ къ нѣкоему тѣлу, боль- тему конуса ЕГСгНІЯ, не имѣетъ утроеннаго отношенія Прямыя ВН къ ГН. А доказано, что и ни къ меньшему: Чего ради конусъ АВСБЬ къ самому конусу ЕГСНМ имѣешь утроенное отношеніе прямыя ВБ къ ГН. Но какъ конусъ къ конусу , такъ цц- *і5,Ѵ. линдръ къ цилиндру*; ибо цилиндръ , имѣю- щій тоже основаніе съ конусомъ и высо- ту равную есть шрекратный сего ко- нуса , поелику , 'по доказанному, всякій ко- нусъ есгпь третья чаешь цилиндра , имѣ- ющаго тоже основаніе и равную высо- *іо. ту*: чего ради и цилиндръ къ цилиндру имѣетъ утроенное отношеніе прямыя ВВ *іі,ѵ. къ ГН*. Ишакъ подобные конусы и цилиндры, и проч. ч. И Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ ХШ. Ежели цилиндръ пересѣченъ плоскостію параллельною къ прогпивулежащимъ плос- костямъ: шо изъ произшедшихъ ЦИЛИН- дровъ будетъ какъ одинъ къ другому, такъ ось перваго къ оси втораго.
КИНГА двѣ и А Д Ц А Т А Я. 389 Пусть цилиндръ АВ будетъ пересѣченъ параллельною къ противулежащимъ плос- костямъ АВ, СВ плоскостію СН, встрѣ- чающею его ось ЕГ въ точкѣ К. Говорю, чгпо какъ цилиндръ ВС къ цилиндру СВ, такъ ось ЕК къ оси КГ. Продолжи ось ЕГ на обѣ стороны къ точ- камъ Ь, М; и возьми сколько ниесть прямыхъ ЕМ, ХЬ равныхъ оси ЕК; и сколько ниесть прямыхъ ГО, ОМ равныхъ оси ГК; и чрезъ точки Ь, X, О, М проведи плоскости парал- лельныя къ плоскостямъ АВ, СВ; и па плос- костяхъ проходящихъ чрезъ точки Е, IV,О, М п около центровъ Ь, К, О, М вообрази круги В8, ТЦ, ѴХ равные кругамъ АВ, СВ ; и еще вообрази цилиндры ОН, ВВ, ВТ, ТХ. Поелику оси ЕХ, ХЕ, ЕК взаимно равны: шо цилиндры ()В, НВ, ВС суть взаимно какъ основанія*: но основанія ихъ равны ; *ц. посему и цилиндры <^)П, ВВ, ВС взаимно равны. Итакъ, поелику оси ЕХ, ХЕ, ЕК взаимно равны; и цилиндры , ВВ, ВС взаимно равны; и оси ЬХ, ХЕ, ЕК суть равномногія цилиндрамъ (^В, ВВ, ВС: то сколько кратная есть ось ЕК оси ЕК, Столько кратный есть и цилиндръ ()С ци- Лі1ндра СВ. Подобно докажемъ , что сколь- 1:0 Кратная есть ось МК оси КГ, столько
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ 3^0 кратный есть и цилиндръ ХС Цилиидра СС. II естьли ось КЬ равна оси КМ, ГПо и Цилиндръ ОС равенъ цилиндру СХ; и естьли ось КЬ больше оси КМ; то и Цилиндръ <2>О больше цилиндра СХ; и естьли меньше, то меньше. Итакъ изъ имѣющихся четырехъ величинъ, гпо есть двухъ осей ЕК, КГ и двухъ цилиндровъ ВС, СВ, взяты оси ЕК и цилиндра ВС равнокрагппыя, ось КЬ и цилиндръ ОС, а оси КГ и цилиндра СВ равнократныя, ось КМ и цилиндръ СХ’. и доказано , что естьли ось КЬ больше оси КМ, то и цилиндръ ОС больше цилиндра СХ ; и есшьли равна , то равенъ; и есшьли Меньше,то меньше: чего ради какъ ось ЕК къ оси КГ, такъ цилиндръ ВС къ цилин- ‘оп.э.ѵ. дру СВ*. Ч. и Д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XIV. Конусы и цилиндры, имѣющіе равныя основанія, суть взаимно какъ высоты. Пусть будутъ цилиндры ЕВ, КО иа равныхъ основаніяхъ АВ, СВ. Говорю, чП10 какъ цилиндръ ЕВ къ цилиндру ГР, ШаКЪ ось СИ къ оси КЬ. Продолжи* ось КЬ къ точкѣ К; и положи прямую Ь\ равную оси СН; и около оси вообрази цилиндръ СМ.
КНИГА двѣнадцатая. Зді Поелику цилиндры ЕВ, СМ имѣютъ туже высоту; то они сушь взаимно какъ осно- ванія*: но основанія взаимно равны; посему “іі. и цилиндры ЕВ, СМ взаимно равны. И по- елику цилиндръ ЕМ пересѣченъ плоскостію С1), параллельною къ противу лежащимъ плоскостямъ: то какъ цилиндръ СМ къ цилиндру ЕВ, такъ ось къ оси КЬ*. Но *іЗ» цилиндръ СМ равенъ цилиндру ЕВ, и ось Ш равна оси СН: посему какъ цилиндръ ЕВ къ цилиндру ГВ, такъ ось СН къ оси КЬ*. *; ип,Ѵ. Но какъ цилиндръ ЕВ къ цилиндру ЕВ, такъ конусъ АВС къ конусу СВК*, ибо*«5,Ѵ- цилиндры суть трекрашные конусовъ*: чего *ю. ради какъ ось СН къ оси КЬ, такъ конусъ АВС къ конусу СВК, и такъ цилиндръ ЕВ КЪ цилиндру ЕВ*. ч, И д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XV. Равныхъ конусовъ и цилиндровъ основанія суть обратно пропорціональны высотамъ: П которыхъ конусовъ и цилиндровъ , ос- нованія обратно пропорціональны высо- тамъ, шѣ с)іпь равные. Пусть будутъ равные конусы и цилин- дры , коихъ основанія суть круги АВСВ, ^-1 СН, а ихъ поперечники АС, ЕС; и оси
Э Р к Л И Д, НАЧАЛЪ З92 КЬ, МК, кои суть и высоты конусовъ ИЛ1, Цилиндровъ: И ДОПОЛНИ Цилиндры АО, Ер Говорю, чіпо цилиндровъ АО, ЕР основанія суть обратно пропорціональны высотамъ- то есть, какъ основаніе АВСБ къ основа- нію ЕГСН, такъ высота МК къ высотѣ КЬ. Высота КЬ, или равна высотѣ МК, или нѣтъ. Пусть будетъ, вопервыхъ, равна, Поелику цилиндръ АО равенъ цилиндру ЕР; а конусы и цилиндры, имѣющіе туже высоту, суть взаимно ракъ основанія*: посе- му и основаніе АВСБ равно основанію ЕГСН. Чего ради основанія суть обратно пропор- ціональны высотамъ ; то есть, какъ осно- ваніе А$ЗСБ къ основанію ЕГСН,такъ высота МК къ высотѣ КЬ. Но пусть не будетъ высота КЬ равна высотѣ МК; и пусть МК будетъ большая. Ошъ высоты МК отними прямую (ИІ равную КЬ; и чрезъ точку 0 разсѣки цилиндръ ЕР плоскостію ТѴ5 параллельною къ противулежащимъ плоскостямъ круговъ ЕГСН, КР; и на основаніи ЕГСН а по Высотѣ 0М вообрази цилиндръ Е8. Поелику цилиндръ А0 равенъ цилин- дру ЕР, а Е5 есть друтой нѣкій Ци- линдръ: то* какъ цилиндръ АО къ цилиндру *7,Ѵ. Е8 , такъ цилиндръ ЕР къ цилиндру '
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. З9З Ло какъ цилиндръ АО къ цилиндру } такъ основаніе АВСВ къ основанію ЕГбІГ, ибо цилиндры АО, Е8 имѣютъ*». ]П)же высоту; а какъ цилиндръ ЕР къ Е8, ріакъ высота АШ къ МО*, ибо цилиндръ *іЗ. ЕР пересѣченъ плоскостію ТѴ8 параллель- рою къ противулежаіцимъ плоскостямъ: по- сему какъ основаніе АВСВ къ основанію ЕГСН, такъ высота ЛШ къ высотѣ ЛЩ*. Но *и,Ѵ. высота МО равна высотѣ КЬ: посему какъ основаніе АВСВ къ основанію ЕГСН, такъ высота М№ къ высотѣ КЬ*. Итакъ основа- *^Иц,Ѵ. ція цилиндровъ АО, ЕР сущъ обратно пропорціональны высотамъ. По пусть основанія цилиндровъ АО , ЕР будутъ обраіпнопропорціопалыіы высотамъ; то есть, какъ основаніе АВСВ къ основа- нію ЕГСН , такъ высота МГѴ къ высотѣ КГ. Говорю, что Цилиндръ АО равенъ Цилиндру^ ЕР. Ибо, сдѣлавъ тоже строеніе, поелику какъ основаніе АВСВ къ основанію ЕГСН, такъ высота ЙШ къ высотѣ КЬ; а ььісота КЬ равна высотѣ МО: то какъ основаніе АВСВ къ основанію ЕГСН, такъ высота Ю къ высотѣ МО*. Но какъ осно-*тип,Ѵ. ьаніе АВСВ къ основанію ЕГСН, такъ ци- линдръ АО къ цилиндру Е8*, ибо имѣютъ *п.
ЗдІ Э Б К ЛИ д. НАЧАЛЪ туже высоту 5 а какъ высота Т\І\ къ высотъ *і4- М(^, такъ цилиндръ ЕР къ цидиндру Е8*: посему какъ Цилиндръ АО къ цилиндру Е8 *ы,Ѵ- такъ цилиндръ ЕР къ цилиндру Е8*: а посему *9>г- Цилиндръ ДО равенъ цилиндру ЕР*. Подобно докажемъ сіе и о конусахъ. Ч. И д. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVI. Въ большемъ изъ двухъ круговъ, нахо- дящихся около тогоже центра, впи- са пщ многоугольникъ, имѣющій равныя стороны и въ четномъ числѣ, не при- касающійся къ меньшему кругу. Пусть будутъ данные два круга АВСВ, ЕГС1І около тогоже центра К. Надле- житъ въ большемъ изъ нихъ , кругѣ АВСВ, вписать многоугольникъ , имѣющій равныя стороны и въ четномъ числѣ, не прика- сающійся къ меньшему кругу ЕЕСІІ. Чрезъ центръ К проведи прямую ВКВ; и отъ точки О проведи, подъ прямыми углами къ ВБ, прямую СА' и продолжи оную до С: то *д6;ПГ. АС будетъ касательная къ кругу ЕЕСН • Ежели полуокружность ВАВ раздѣлимъ по поламъ, и половину ея по поламъ, м еешьлц, сіе всегда будемъ дѣлать • 111 - останется наконецъ нѣкая дуга, меньШаЯ
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. Зд5 д^ги АВ*. Пусть таковая останется; *і,Х. я пусть будетъ оная ЬВ. ОтъЬ проведи, перпендикулярную къ ВБ, прямую ЬМ; и продолжи оную до IV; и протяни ЬВ, БіѴ. Итакъ ЬБ равна ВК*. II поелику ЬК па- *2д,ш. раллельна къ АС; и АС прикасается ток- мо къ кругу ЕГСН: то ЫѴ не прикаснется къ кругу. ЕГСН; а тѣмъ паче прямыя ЬВ, ВК не прикаснутся къ кругу ЕГСН. Итакъ, естьли въ кругѣ АВСВ непреры- вно помѣстимъ прямыя равныя прямой ЬВ: то вписанъ будетъ многоугольникъ , имѣю-, щій равныя стороны и въ четномъ числѣ, не прикасающійся къ меньшему кругу ЕГСН, ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVII. Въ большемъ изъ двухъ шаровъ , нахо- дящихся около тогоже центра, вписать Многогранникъ, поверхностію своею не Прикасающійся къ меньшему шару. Вообрази два шара около тогоже центра А. Надлежитъ въ большемъ шарѣ впи- саігіь многогранникъ, поверхностію своею #е Прикасающійся къ меньшему шару. Пусть шары будутъ пересѣчены чрезъ Чеіццръ какою ниесть плоскостію: шо
Зоб Э Б К Л И Д. НАЧАЛЪ сѣченія будутъ круги. Ибо шаръ ироц3_ ходитъ чрезъ обращеніе полукружія І)а мы^Х. неподвижномъ его поперечникѣ*’ слѣд, ственно при всякомъ положеніи сего полу, кружія, продолженная его плоскость на- сѣчетъ па поверхности шара кругъ. II явно , что сей кругъ будетъ наибольшій ; ибо поперечникъ шара, который есть и поперечникъ полукружія, то есть круга, есть болыце всѣхъ прямыхъ проводимыхъ »і 5,ш. въ кругѣ или въ шарѣ*. Ишакъ пусть бу- детъ ВСВЕ кругъ большаго шара, а ГСН кругъ меньшаго 5 и проведи круговъ сихъ поперечники ВВ, СЕ подъ прямыми уг- лами одинъ къ другому. И поелику суть два круга ВСВЕ, ЕСН около піогоже центра: пю въ большемъ изъ нихъ , ВСВЕ, впиши многоугольникъ, имѣющій равныя стороны и въ четномъ числѣ, не прикасающійся *іб. сторонами кг? меньшему кругу ГСН*; и пусть стороны сего многоугольника, кои въ четверти ВС круга, будутъ ВК, КГ, ЕМ, МЕ. Протяни КА, и продолжи оную до К; отъ точки А возставь, подъ пря- мыми углами къ плоскости круга ВСОК, 42,XI. прямую АО*, которая пусть встрѣпіингь поверхность шара въ точкѣ О. Чре3* АО и каждую изъ прямыхъ ВВ,
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. Проведи плоскости: то общія сѣченія сихъ плоскостей съ поверхностію шара будутъ, п0 доказанному уже , два наибольшіе круга.. Пусть будутъ таковые ; полукружія же , Кои на поперечникахъ ЕЮ, К)Ѵ, пусть бу- дутъ ВСЮ, КО А. II поелику ОА перпенди- кулярна къ плоскости круга ВСВЕ5 то всѣ плоскости , проводимыя чрезъ ОА, будутъ перпендикулярны къ плоскости крута ВСВЕ*: *і8,ХГ. посему полукружія ВОВ, КОМ перпендику- лярны къ плоскости круга ВСВЕ.II поелику полукружія ВЕБ, ВОВ, КОІ\ равны , ибо суть на равныхъ поперечникахъ ЕС, ВВ, КЛТ: то и четверти ВЕ, ВО, КО взаимно равны. Посему сколько сторонъ помянутаго мно- гоугольника помѣщено въ четверти ВЕ, столько же возможно помѣстить и въ каж- дой изъ четвертей ВО, КО прямыхъ, рав- ныхъ прямымъ ВК, КЬ, ЕМ ІМЕ: помѣсти таковыя, и пусть оныя будутъ ВР, Р(2, 21 >, КО, К8, 8 Г, ТО, 1)0' и протяни 8Р, ІЛ{. Отъ точекъ Р, 8 проведи пер- пендикулярныя прямыя къ плоскости кру- га ВСВЕ*$ то онѣ упадутъ на ВВ, КА *п,хг. взаимныя сѣченія плоскостей*, ибо плоско- *38,хі. с,|іи полукружій ВОВ, КО А перпендику- лярны къ плоскости круга ВСВЕ. Пусть У»адупіъ оные ; и пусть сіи прямыя
Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ З98 будугпъРѴ, 8Х; и протяни ѴХ. Поелику Па равныхъ полуокружностяхъ ВСЮ, КОЛ взя- ты равныя дуги ВР, К8, и проведены пер- пендикулярныя прямыя РѴ, 5Х: то ру равна 8Х,и ВѴ равна КХ. (97). Но Цѣлая пря- мая ВА равна цѣлой КА" посему и остальная ѴА равна остальной ХА; а посему какъ ВѴ къ ѴА, такъ КХ кь ХА: чего ради XV параллельна къ КВ. И поелику каждая изъ прямыхъ РѴ, 8Х перпендикулярна къ плос- кости круга' ВСПЕ; то РѴ параллельна къ *6,Х . 5Х* : а доказано, что онѣ и равны; чего ради и прямыя V X, 8Р суть взаимно равны *33,і. и параллельны*. Итакъ, поелику XV па- раллельна къ 8Р и къ КВ, то и 8Р парал- лельна къ КВ; но сіи прямыя соединены прямыми ВР, К8: посему четыреугольникъ КВР5 есть на одной плоскости ; ибо ежели двѣ прямыя суть параллельныя, и на каждой изъ нихъ взяты какія ниесть точки, то прямая протянутая чрезъ сіи точки есть на одной плоскости съ параллельны- *8,хт. ми*. Потому же и каждый изъ четыреуголь- никовъ 5РЦТ, ТСУШ есть на одной плоское ши. [д8]. А и треугольникъ ІІКО есть на оД- *2,ХІ. ной плоскости*. Посему, естьли вообразись прямыя отъ точекъ Р, 8, , Т, кЬ точкѣ А протянутыя: то составленъ
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. Зд<) будетъ между дугами ВО, КО нѣкій много-* гранникъ, состоящій изъ пирамидъ, коихъ основанія суть четыреугольники КВР8, 5Р()Т, ТіИШ и треугольникъ ІТРіО, а общая вершина точка А. Естьлижъ и на каждой изъ сторонъ КЬ, ЬМ, МЕ состроимъ тоже, какъ и на КВ* и естьли сіе же состроимъ въ прочихъ трехъ четвертяхъ полушарія ,п еще въ остальномъ полушаріи: то со- ставленъ будетъ нѣкій многогранникъ, впи- санный въ большемъ шарѣ, состоящій изъ пирамидъ, коихъ основанія суть ска- занные четыреугольники и треугольникъ ГКО , и плоскости соотвѣтствующія имъ въ прочихъ частяхъ шара; а общая вер- шина точка А. Говорю еще , что помянутый многогран- никъ поверхностію своею не прикасается къ меньшему шару, на коемъ кругъ ЕСИ. Отъ точки А проведи, перпендикулярную кь плоскости четыреугольника КВР5, пря- мую АУ*, которая пусть встрѣтишь еію*п,ХІ. члоскосгпь въ точкѣ У" и протяни ВА, УК. Поелику ЛУ перпендикулярна къ плоско- сти КВР5- то АУ перпендикулярна ко всѣмъ Прямымъ съ нею встрѣчающимся и лежг:- *Ччмъ на сей плоскости’': посему АУ пер- оп.ЗаХі. Пендикулярна къ каждой изъ прямыхъ ВУ,УК.
4оо ЭВКЛИД. НАЧАЛЪ Но поелику АВ равна АК; гпо квадрагпъ изъ АВ равенъ квадрату изъ АК. Но квад, *47,і. рашу изъ АВ равны квадраты изъ АУ, Ур» ибо уголъ при У есть прямой ; а квадрату изъ АК равны квадраты изъ АУ, У^ • посему квадраты изъ АУ, УВ равны квад- ратамъ изъ АУ, УК. Отними обще квадратъ изъ АУ; посему остальной квадратъ изъ ВУ равенъ остальному изъ УК; а посему и ВУ равна УК. Подобно докажется , что каж- дая изъ прямыхъ, протянутыхъ отъ точки У до точекъ Р, 8, равна каждой изъ прямыхъ ВУ, УК. Итакъ кругъ у написанный изъ центра У разстояніемъ которой ниесть изъ прямыхъ УВ, УК, пройдетъ и чрезъ точки Р, 8; и четыреугольникъ КВР8 будетъ въ кругѣ. И поелику КВ больше XV, а X' равна 8Р; гпо КВ болыпе и 8Р. Но КВ равна каждой изъ прямыхъ К8, ВР; посему и каждая изъ прямыхъ ВР, К8 больше 8Р. И поелику четыреугольникъ КВР8 вписанъ въ кругѣ, и Прямыя КВ, ВР, КЗ равны, а прямая меньше, и ВУ есть’ прямая отъ Центра". 1110 е квадратъ изъ КВ есть больше нежели ДБ3 кратный квадрата изъ ВУ (99). Отъ точкп К проведи, перпендикулярную къ ВН, прям) КХ. Поелику ВН меньше нежели двукратиа НХ; и какъ НВ къ ПХу такъ прямоугольнвЬ
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. /{оі въ ВВ, ВХ къ прямоугольнику въ ВХ, ХВ*: посему , естьли изъ ВХ написать квадратъ, и на ХВ дополнить параллелограммъ, то будетъ прямоугольникъ въ ВВ , ВХ меньше двукратнаго прямоугольника въ ВХ , ХВ. Протяни еще КВ: Итакъ прямоугольникъ въ ВВ, ВХ равенъ квадрату изъ КВ ‘ и прямо- *слѢ-8,и угольникъ въ ВХ, ХВ равенъ квадрату изъ КХ: ,ѴІ' посему квадратъ изъ КВ меньше двукратнаго квадрата изъ КХ. Но квадратъ изъ КВ боль- ше двукратнаго квадрата изъ ВУ • посему и квадратъ изъ КХ больше квадрата изъ ВУ. И поелику ВА равна КА; то квадратъ изъ ВА равенъ квадрату изъ КА. Но квадрату ІизъВА равны квадраты изъ ВУ, УА; а квад- рату изъ КА равны квадраты изъ КХ, 7.А: посему квадраты изъ ВУ, УА равны квадратамъ изъ КХ, ХА : По въ нихъ квад- ратъ изъ КХ больше квадрата изъ ВУ; по- сему остальной квадратъ изъ АХ меньше Іостальнаго изъ УА; а посему АУ больше АХ: слѣдственно АУ гораздо больше АС. Но АУ есть перпендикулярная отъ центра кь одному цзъ основаній многогранника Iдоведенная, а АС прямая отъ центра мень- Іиаго шара до поверхности его: чего ради тогпъ многогранникъ не прикасается къ юверхности шара меньшаго. 26
4оз э в к л и д. н а ч а л ъ Иначе. Мы еще докажемъ иначе и Ко_ роче, чшо АУ больше АС. Отъ точки С проведи, подъ прямы- ми углами къ АСг, прямую СЕ; и про- тяни АЬ. Естьли раздѣлимъ дугу ЕВ по поламъ; и половину ея раздѣлимъ по поламъ* и естьли сіе всегда будемъ дѣлать: то останется наконецъ нѣкая дуга, которая будетъ меньше дуги круга ВСІ)Е, сгня- *і,х. гиваемой прямою равною СЬ*. Пусть та- ковая останется ; и пусть она будетъ дуга КВ: посему прямая КВ будетъ мень- ше прямой СЕ. По поелику четыреугольникъ ВК.8Р вписамъ въ кругѣ, и прямыя РВ, ВК, К8 равны., а Р8 меньше : шо уголъ ВУК есть тупой (іоо) ; посему прямая БК * 19,1. больше ВУ*: Но СЕ больше ВК; а посему СЕ и гораздо больше ВУ; слѣдствен- но и квадратъ изъ СЕ больше ква- драта изъ ВУ. II поелику АЕ равна АВ; то квадратъ изъ АЕ равенъ квадрату изъ АВ. Но квадрату изъ АЕ равны квадраты изъ АС, СБ; а квадрату иЗЪ АВ равны квадраты изъ ВУ, УА: посему квадраты изъ АС, СЕ равны квадратами изъ ВУ, УА. По квадратъ изъ ВУ меньш квадрата изъ СЕ; чего ради квадраІ1,і'
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. ДоЗ изъ ѴА больше квадрата изъ АС: а посе- му и прямая ЛѴ больше прямой АС. (ю^. Ишакъ въ большемъ изъ двухъ шаровъ , около тогоже Центра находящихся , вписанъ многогранникъ , поверхностію своею не При- касающійся къ меньшему шару. Слѣдствіе. Ежели вписанъ будетъ въ другомъ шарѣ многогранникъ , подобный вписанному въ шарѣ ВСВЕ: то много- гранникъ, вписанный въ шарѣ ВСБЕ, къ мно- гограннику , вписанному въ другомъ шарѣ, будетъ имѣть утроенное отношеніе по- перечника шара ВСВЕ къ поперечнику дру- гаго шара. Ибо, раздѣливъ сіи многогран- ники на равномногія и равпорасположенныя пирамиды , произойдутъ пирамиды подоб- ныя. Но подобныя пирамиды сушь взаимно утроенномъ отношеніи сходственныхъ сторонъ*: посему пирамида , коея основа- ніе четыреугольникъ КВР8 а вершина точка къ соотвѣтствующей пирамидѣ въ дру- гомъ шарѣ имѣетъ утроенное -отношеніе Родственной стороны къ сходственной сторонѣ , то есть, утроенное отно- шеніе прямой линіи АВ отъ центра шара, ’^о около точки А , къ прямой отъ ’^нгпра другаго шара. Подобно и каждая изь 4 А !слЬд:8.
^о4 Э 15 к л 11 А* Н А Ч 4 Л Ъ прочихъ пирамидъ, содержащихся въ шарѣ коего центръ А, къ каждой изъ пирамидъ имъ соотвѣтствующихъ въ другомъ шарі^ будетъ имѣть утроенное отношеніе пря, мыя АВ къ прямой отъ центра другаго шара. Но поелику какъ одинъ предъидущій къ одному послѣдующему, такъ всѣ предъ- идущіе ко всѣмъ послѣдующимъ: посему цѣлый многогранникъ въ Шарѣ , коего центръ А, къ цѣлому многограннику г что въ другомъ шарѣ , имѣетъ утроенное от- ношеніе прямыя АВ къ прямой отъ цен- тра другаго шара, то есть утроенное отношеніе поперечника ВВ къ поперечни- ку другаго шара. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ XVIII. Шары суть взаимно въ утроенномъ от- ношеніи поперечниковъ. Вообрази шары АВС, БЕГ, коихъ попе- речники ВС, ЕЕ. Говорю, что шаръ АБС къ шару ВЕЕ имѣетъ утроенное отно- шеніе поперечника ВС къ ЕГ. Ибо , буде шаръ АВС къ шару БЕГ не имѣетъ утроеннаго отношенія ВС къ ЕГ; то шаръ АВС къ нѣкоему шару, или мень- шему нежели БЕЕ, или большему, будс1ПЪ
КНИГА ДВѢНАДЦАТАЯ. 4°^ имѣть утроенное отношеніе ВС къ ЕЕ. П^сть, вопервыхъ, имѣетъ къ меньше- му , шару СНК. Вообрази , что шары ВЕЕ, СНК суть около тогоже центра* и въ большемъ ша- I рѣ НЕЕ впиши многогранникъ, своею по- верхностію не прикасающійся къ меньшему шару СНК*; и впиши въ шарѣ АВС мно- *<7- гогранникъ подобный многограннику , что въ шарѣ НЕЕ. Итакъ многогранникъ въ шарѣ АВС къ многограннику въ шарѣ НЕЕ имѣетъ утроен- ное отношеніе поперечника ВС къ ЕЕ*. Но и *слѣ:і;. шаръ АВС къ шару СНК имѣетъ утроен- ное отношеніе ВС къ ЕЕ: посему какъ шаръ АВС къ шару СНК, такъ многогран- никъ въ шарѣ АВС къ многограннику въ шарѣ НЕЕ*; а посему, премѣненіемъ, какъ**1,1' піаръ АВС къ многограннику что въ немъ, такъ шаръ СНК къ многограннику въ шарѣ ВЕЕ. Но шаръ АВС больше многогранни- ка что въ немъ: посему и шаръ СНК больше Многогранника что въ шарѣ НЕЕ; онъ же и Меньше многогранника, ибо онымъ объемлет- ея: что невозможно. Чего ради шаръ АВС КЪ нѣкоему шару меньшему, нежели БЕЕ, не имѣетъ утроеннаго отношенія поперечника ВС къ ЕЕ.
4о6 Э В К Л И Д. НАЧАЛЪ Подобно докажемъ, что и шаръ ВЕГ къ вѣко ему шару меньшему, нежели АВС це имѣетъ утроеннаго отношенія поперечника ЕГ къ ВС. Говорю же,чшо шаръ АВС и къ нѣкоему ша- ру большему, нежели ВЕГ , не имѣетъ утро- еннаго отношенія поперечинка ВС къ ЕР. Ибо , бу де возможно , ну ешь имѣетъ къ большему , ішіру ЕЛЕѴ Посему, прело- женіемъ , шаръ Ы\Ж къ шару АВС имѣетъ утроенное отношеніе поперечші- ка ЕГ къ ВС*. Но какъ шаръ ЕМ№ къ шару АВС, такъ шаръ БЕГ къ нѣкое- му шару меньшему нежели АВС, по дока- занному уже , ибо шаръ Е1УШ больше шара ВЕГ: посему и шаръ ВЕГ къ меньшему ша- ру, нежели АВС, и мѣетъ у троенное огппо- шепіе поперечника ЕГ къ ВС*; что, по до- казанному уже, невозможно. Посему шаръ АВС къ нѣкоему шару большему , нежели ВЕГ, не имѣетъ утроеннаго отношенія - поперечника ВС къ ЕГ. А доказано , чшо п “и къ меньшему: Итакъ шаръ АВС имѣетъ къ самому шару ВЕГ утроенное отношеніе поперечника ВС къ ЁГ. Ч. И д, Н. (юз). КОНЕЦЪ ВОСЬМИ КНИГАМЪ ЭВКЛИДОВЫХЪ НАЧАЛЪ.
П Р И М Ъ Ч А Н I Я И ПРИБАВЛЕНІЯ КЪ ВОСЬМИ КНИГАМЪ ЭВКЛИДОВЫХЪ НАЧАЛЪ, содержащимъ въ себѣ ОСНОВАНІЯ ГЕОМЕТРІИ.

ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ КЪ КНИГѢ ПЕРВОЙ. ' (і) Сіе опредѣленіе есть слѣдствіе предъидущаго. (2) Прямую линію опредѣляютъ различными об- разами. Платонъ говоритъ : прямая линія есть та, которой края заслоняются посредствующими точ- ками. Сіе опредѣленіе въ сущности не разнится отъ Эвклидова. Архимедъ въ книгѣ <1е Ьрііаега еі Суітсіго принимаетъ за начало, что прямая есть кратчайшая изъ линій тѣже концы имѣющихъ (*). Новые Геомет- ры обыкновенно употребляютъ сіе начало какъ опре- дѣленіе. Но Даламбертъ противу онаго не безъ основа- нія возражаетъ : откуда извѣстно , что отъ одной Почки до другой есть токмо одинъ путь крат- чайшій ? Для чего не могли бы быть многіе, всѣ различные , всѣ равные и всѣ кратчайшіе ? ( * ** )• слѣдствіе сего Гурьевъ отвергаетъ предъ- и4Ущее опредѣленіе прямой линіи , а принимаетъ бѣдующее : Когда двѣ точки одной линіи лежа на ДОухъ точкахъ другой, дѣлаютъ , что и самыя і ) АгсЬішеЛія орега, рег Э. Ваггоѵѵ. 1675. Сіе изданіе почи- ^«Пся лучшимъ. (**) Мёіапдсз <1с Ііііёгаіиге, еіс. Т. V. рац. ао5.
ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ 4 Ю линіи лежатъ одна на драгой ; то каждая изъ Оны называется прямою (*). По входя въ разбираіпельсіпі обоюдности сего опредѣленія, замѣтимъ только, ч, неправильно полагаютъ , якобы таково было пер, начально и Эвклидово опредѣленіе, но въ посч ствіи худыми переписчиками и толкователями пер.. мѣнено. Ибо для чего бы Эвклиду въ предложеніи ^мъ книги I говорить : А бцде, по совліѣсгеніи. В сЪ Е а С сЪ V, основаніе вс не совмЪстит, я сЪ осиоеаніеліЪ ЕЕ. Для чего бы также ему пола- гать 12Ю аксіому ? и проч. ( 3 ) Геронъ говоритъ . плоскость есть такая поверхность , что прямая лежащая на какихъ бы то ни было двухъ ея точкахъ , лежитъ и вся на ней. Сіе опредѣленіе принимается почти всѣми новыми Геометрами. Однакожъ нельзя не согласить- ся, что Эвклидово показываетъ гораздо ощутитель- нѣе нежели Героново , чгпо плоская поверхность есть тс между поверхностями, что прямая линія между линіями. Притомъ изъ Геронова опредѣленія не- посредственно слѣдуетъ, или лучше сказать, въ немъ предполагается предложеніе іе книги XI . которое при опредѣленіи Эвклидовомъ должно быть доказа- но , а сіе одно діеть уже послѣднему преимущество Ибо чѣмъ меньшими свойствами что нпесіп опредѣляется (изъ коихъ однакожъ могутъ выведены быть всѣ прочія ), тѣмъ опредѣленіе лучше. Изъ с го видно, что Роберту Симсону не слѣдовало замѣняй1 Эвклидова опредѣленія Героновымъ , тѣмъ паче- чт (*) Опытъ о усовершенствованіи Елеменшовъ ГеомеПФ сшр. 3.15. Основанія Геометріи.- изд. і8іі г. спір- 3.
КЪ КНИГЪ ПЕРВОЙ. 4іІ оКЪ опредѣленіе прямой премѣны (')• линіи оставилъ безъ (д) Здѣсь можно прибавить : а оныя равныя прямыя радіусами или полупоперечниками именуются. Эвк- лидъ называетъ радіусъ прямою отъ центра. (э) Послѣдняя часть сего опредѣленія есть слѣд- ствіе изъ онаго , которое можно доказать такъ: ПРЕДЛОЖЕНІЕ Л. • Кругъ дѣлится поперечникомъ по поламъ. Пусть будетъ кругъ АВСІ) ( Фиг. 2. ), а Е центръ н-о, и АЕС поперечникъ Говорю, что кругъ АВСВ цѣлится поперечникомъ АС по поламъ. Ибо, естьли помѣстимъ сего круга часть АВС, не Перемѣняя АС, на часть АВС, то линія АБС со- .мѣстится сь линіею АВС. Еуде же не такъ ; пю і ііа упадетъ или внутрь, или внѣ . или частію внутрь, а частію внѣ АВС. Пусть упадетъ внѣ, '"къ АЕС. Протяни какъ ниесть прямую ЕВЕ. Поелику АЕС есть часть круга , то АЕ равна ЕЕ*, *о ”бо суть прямыя отъ центра. Потому же ДЕ равна 11 ЕВ. Итакъ каждая изъ прямыхъ ЕЕ, ВЕ равна АЕ. равныя пюмуже, суть и взаимно равны*; посему ЕЕ *акс г. Р;'"на ЕВ. боіьшая меньшей, что невозможно*. Чего *.ікс.-, Р“ци \І)С не упадепіъ внѣ АВС. Подобно докажемъ, что *а це упадетъ и внутрь, и ни частію внутрь а частію : слѣдственно А1)С совмѣстится съ АВС. Итакъ кругъ дѣлится поперечникомъ по по- ’амъ. ч. и д. н. (') ЕпгІіНі: Еіешепіогиш ІіЬгі рпоіез зех, і|рт ипйесійшз е| Йио<1есіоіи8 сіе. а В'ЬегІо Вішзоп. СІаз^иае. іу56.
412 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ ПРЕДЛОЖЕНІЕ В. Двѣ прямыя линіи не могутъ имѣть обіцеи части. Ибо , естьли возможно, пусть будутъ двѣ прямые АВ, АС, (фиг. 3). имѣющія общую часть АП. Возьми на ней какую ниесть точку А; и изъ центра С *и.р. 3. разстояніемъ ПА напиши кругъ АЕВЕ*, который прямыя АВ, АС пусть еще пересѣчетъ въ В, С. *опр іу. Поелику АПВ поперечникъ*, то АЕВ есть полу- *опр. і₽-кружіе*. Еще же , поелику АПС поперечникъ , пто “А- и АЕС есть полукружіе. Посему АЕВ равно АЕС*: что нелѣпо. Итакъ двѣ прямыя линіи , и проч. Ч. и д. н. ( 6 ) Все заключающееся между знаками « » при- бав лено , частію для пополненія , а частію для пояснен ія. (у) Кестнеръ объясняетъ предмѣтъ всѣхъ сихъ требованій слѣдующимъ образомъ (*) : « Точка есть « предѣлъ линіи , а посему и безъ всякаго протяже- « нія; слѣдственно не имѣетъ она ни частей , ип « протяженія , и множество одна подлѣ другой « положенныхъ точекъ не составляютъ линіи. Но « поелику линію вездѣ можно кончить по произ- « воленію ; то вездѣ въ цѣломъ ея протяженіи можно « имѣть точки. И какъ здѣсь дѣло идетъ о воз « можности ; пто все равно сказать, чійо линія « вездѣ можетъ имѣть точки, или что она вездѣ их « имѣетъ. Итакъ можно вездѣ на линіи прпнп’',апі Ч. П (*) Нл'іалъпыя основанія Математики А* Г. Кеслгнера сптран. 3 и
КЪ КНИГѢ ПЕРВОЙ. 413 „ точки. Но нѣтъ разности въ томъ, вездѣль на # диніи принимать точки, или представлять себѣ (І сдну только точку , которая мало по малу пере- (1 ходила въ разныя мѣста линіи, ибо одна точка „ ни чѣмъ не разнствуетъ отъ другой точки. Чего и ради и говорятъ, что линія происходитъ отъ «движенія точки. Сіе не значить однакожъ, будтобъ «линія состояла изъ точекъ лежащихъ одна подлѣ и другой ; ибо не можно представить себѣ движенія, «не полагая мѣста занимаемаго точкою теперь, и «чѣста занимаемаго послѣ , въ нѣкоторомъ раз- і!стояніи. Сіе разстояніе есть уже линія; и боль- «іиая линія состоитъ изь меньшихъ, а не изъ и точекъ ». Что сказано о линіи въ отношеніи точки , то самое можно сказать о поверхности въ отноше- ніи линіи. ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. (8) Всѣ прямые углы равны взаимно. Пусть будутъ углы АВС, ВЕЕ (фиг. 3) прямые. Говорю, что уголъ АВС равенъ углу ВЕЕ. Ибо, естьли углы АВС, ВЕЕ не равны ; то одинъ ’Ьъ нихъ большій : пусть АВС будетъ большій. Помѣсти уголъ ВЕЕ на АВС , и положи точку *• на В , и прямую ЕВ на ВА ; то , поелику уголъ А'іС больше угла ВЕЕ , прямая ЕЕ упадетъ вну- три угла АВС. Пусть упадетъ , какъ ВС ; посему Уг°л-ь АВС равенъ углу ВЕЕ. Продолжи впрямъ съ прямую ВН*, и впрямь съ ВС прямую ЬК*. *гпр.2. Поелику уголъ АВС прямой , то опъ равенъ углу
4і4 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ *опр.ю. АВК.*. Потому же и уголъ А ВС равенъ угЛу Но уголъ АВС , то есть АВН бо іьше угла Аі!С ; с сгпвенно онъ больше и угла АВК , меньшій большаго что нелѣпо. Чего ради углы АВС, СЕЕ не неравны слѣдственно равны. Итакъ всѣ прямые углы, и проч. ч. и д. н. ( 9 ) С іѢдствіе. Отсюда явствует ь , что естьли треугольника всѣ три стороны взаимно равны; то и всѣ три угіа взаимно равны. (іо) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что ссшьні треугольника всѣ три угла взаимно равны ; то и всѣ три стороны взаимно равны. (Іі) Эвклидъ доказываетъ сіе предложеніе пюьмо въ томъ случаѣ , когда одна изъ точекъ отъ коихъ проводятся прямыя , будетъ внѣ угла со- ставляемаго проведенными прямыми отъ другой точки. Естьли же будетъ внутрй, то Клавій Р. Симсонъ и другіе толкователи доказываютъ такъ : Но пусть будетъ вершина одного , угла АВВ. *тр.і. внутрь другаго АСВ. Протяни СО*; и продолжи *гпр.а. АС, АО къ точкамъ Е, Г*. Поелику АС равна АО, и онѣ продолжены къ Е, Г» *5. то уголъ ЕСВ равенъ углу ЕВС*; посему уголъ ГОС больше угла ВСО; а тѣмъ паче уголъ ВОС больше угла ИСВ. Еще же , поелику СВ равна (*) Еисіійіз еіетепіогит ІіЬгі XV , аисіоге Сг>5*0Р 0 Сіаѵіо 5.1.165 ч.
КЪ КНИГѢ ПЕРВОЙ. 4‘5 ліо уголъ СВВ равенъ углу ВСВ*; а по доказан- *5. ло'іу гораздо больше : чшо невозможно. Встьли же точка В будетъ на ВС; гпо предло- женіе само собою явствуетъ*. *а„ д. Пейрардъ думаетъ (") , что вышепредложен- яаго случая нѣтъ нужды доказывать , потому чшо оНый доказанъ самимъ Эвклидомъ въ пред: эімъ. Но сего принять нельзя: пбо 2іе предложеніе чрезъ посредство 11 го и нѣкоторыхъ другихъ, само осно- вывается на 8мъ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Б. (12) Естьли при какой ниесть прямой и при точкѣ на ней , двѣ прямыя , не лежащія по туже торону, дѣлаютъ противуположпые углы взаимно равные; шо сіи двѣ прямыя будутъ взаимно впрямъ. Пусть при какой ниесть прямой АВ (фиг. пр. і5), и при -точкѣ на ней Е, двѣ, прямыя ЕС, ЕВ, не- лежащія по туже сторону , дѣлаютъ противу- положные углы АЕС, ВЕВ взаимно равные. Говорю* что СЕ будетъ впрямъ съ ЕВ. Поелику прямая СЕ поставлена на прямую АЕВ; то углы АЕС, СЕВ равны двумъ прямымъ*. Но *іЗ. 'голъ АЕС равенъ , по положенію , углу ВЕВ; по- йму и углы СЕВ, ВЕВ равны двумъ прямымъ: и ВДи сушь смѣжные. Но естьли при какой ниесть пРямой и при точкѣ на пей , двѣ прямыя , не- •’ежащія по туже сторону , дѣлаютъ смѣжные С) Ілез Еістенг йе Соотёігіе й’ЕисІіЛе, раг Е. Рсугагіі. і8о4- 1 '• 56о, 56 г.
416 ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ углы , равные двумъ прямымъ ; иго сіи двѣ пр,-ц1ь1 суть взаимно впрямъ*: посему СЕ есть впрямъ съ ЕБ. Итакъ , ежели при какой ниесть, и проч. ч. и д. и. ( 13 ) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что отъ точки взятой по которую ниесть сторону прямой линіи , не можно провести болѣе одной къ ней перпендикулярной ; ибо въ противномъ случаѣ былъ бы треугольника внѣшный уголъ равенъ внутрен- нему противулежащему $ что невозможно. ( IД) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что есть ш треугольникъ имѣетъ одинъ уголъ прямой, или одинъ тупой ; то прочіе суть оспірые. (і5) Здѣсѣ могутъ быть три случая: то есть, прямая ЕСг или упадетъ надъ прямою ЕГ , какъ у Эвклида , или по самой ЕЕ, или подъ опою. Чтобы всѣ случаи заключить въ одномъ , Р. Симсонъ прежде словъ : Поеликц цголЪ АВС и проч. по- мѣщаетъ сіи: Изб прялмыл’б ѢЕ, ВГ пцсть бцр,етпЪ ВЕ не больше прялкой ВГ. ( гб) По принятому порядку всѣми почти из- дателями Эвклида , здѣсь слѣдовало бы доказать І2К> аксіому (допустивъ, что она требуетъ д казательства ) : но поелику все, что доселѣ 1 предложено Геометрами о семъ предмѣтѣ , есГП болѣе или менѣе несовершенно , то здѣсь доволь будетъ сказать , что аксіома І2я еще не доказа Впрочемъ, желающіе имѣть понятіе, сколько Д,я сдѣ іано усилій , и сколько оныя успѣшны бы могутъ читать о семъ : въ Мётоігев сіе 1 Асаі е
КЪ книгѣ ПЕРВОЙ, 417 ,1е Ве,,^,и’ на '7®® и *7®9 ГОАЬІ ’ также въ сочиненіяхъ дежандра (*), Бершранда (**) и Гурьева. Доказа- тельство Россійскаго Геометра есть лучшее. (I?) Слѣдствіе, і. Посему всѣ три угла всякаго треугольника равны всѣмъ тремъ угламъ другаго треугольника. Итакъ, естьли два угла одного тре- угольника равны двумъ угламъ другаго , или вмѣ- стѣ , или каждый каждому; то и остальной равенъ остальному. Слѣдствіи 2. Равнобедренныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ каждый изъ острыхъ угловъ есть половина прямаго. Слѣдствіе 3. Равносторонныхъ треугольниковъ каждый уголъ есть треть двухъ угловъ прямыхъ, или двѣ трети прямаго. ПРЕДЛОЖЕНІЕ. Ё. Прямой уголъ раздѣлить на три равныя части. Пусть будетъ прямой уголъ АВС ( фиг. 6). Йадлежипіъ уголъ АВС раздѣлиійь на три равныя части. Возьми на ВС кгікуто нИ°сшь точку С; и на опредѣленной прямой ВС составь равносторонный •преугольникъ ВВС*; и раздѣли уголъ ПВС по поламъ *і, прямою ВЕ*. Говорю, что прямыми ВП, ВЕ уголъ прямой АВС раздѣленъ на три равныя части. Поелику уголъ ВВС есть двѣ трети прямаго*; *сл 3,(11") (*) Еіётепз де Сёотёігіе , аѵес Нев иоіез ; раг А. М. ЕерепЛге. Ч еще. КоиѵеІ1е Лёогіе дез РагаІІёІез, аѵес ип Аррепдісе (**) Коиѵеаи Лёѵеіорретепі Не Іа рагііе ёіётепіаіге Лея ^а|ЪётаІі<ріез , раг ВегІгапЛ , Т. П. 27
/{18 ПРИМѢЧАНІЯ и ПР1ІБАВЛЕШ1Я и уголъ Г)ВС раздѣленъ по поламъ : гпо каждЬі- изъ угловъ СВЕ , ЕВВ есть трешь прямаго, то есть угла АВС; слѣдственно и остальной уголь іуду есть треть прямаго. Итакъ прямой уголъ АВС раздѣленъ на три рав, ные угла прямыми ВЕ, ВО. ч. и с. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Г- Всѣ углы внутри всякой прямолинейной фи- гуры , вмѣстѣ съ четырьмя прямыми, равны столько разъ двумъ угламъ прямымъ, скоіько въ фигурѣ сторонъ. Пусть будетъ АВСИЕ (фиг. 7) прямолинейная фигура. Говорю , что всѣ углы внутри фигуры ДВСОЕ, вмѣстѣ съ четырьмя прямыми, равны столько разъ двумъ угламъ прямымъ, сколько въ АВСОЕ сторонъ. Внутри фигуры АВСОЕ возьми какую ниесть точку Г; и протяни ЕА, ЕВ, ЕС, ЕО, ЕЕ. Итакъ фигура АВСОЕ раздѣлена на столько треугольниковъ , сколько въ ней сторонъ. И поелику всякаго -треугольника всѣ три угла равны двумъ *3г. прямымъ*: то каждаго изъ треугольниковъ АВЕ, ЕВС, СЕО, ОЕЕ, ЕЕА всѣ три угла равны двумъ прямымъ ; а посему всѣ углы сихъ треугольниковъ равны столько разъ двумъ угламъ прямымъ, сколь- ко всѣхъ треугольниковъ. Треугольниковъ столько , сколько сторонъ фигуры; посему всѣ углы сихъ, треугольниковъ равны столько разъ двумъ угламъ прямымъ, сколько сторонъ въ фигуР® ДВСГ)Е. Но сіи утлы треугольниковъ равны угламъ внутри фигу ры , вмѣстѣ съ углами около іпочьИ >
къ книгѣ первой. 4'9 ьОпюрая есть общая вершина сихъ треугольниковъ; уг<Ы же около точки Е равны четыремъ прямымъ*; *слѣд:і5. чего ради всѣ углы внутри фигуры АВСПЕ , вмѣстѣ сЪ четырьмя прямыми , равны столько разъ двумъ угламъ прямымъ , сколько сторонъ вь фигурѣ дВСИЕ. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. (і8) Всякій четыреугольникъ, имѣющій противу- лежащія стороны взаимно равныя, есть паралле- лограммъ. Пусть будетъ четыреугольникъ АП (ф. пр. 33) , имѣющій противулежащія стороны взаимно рав- ныя, шо есть АС равную І)В, а АВ равную ПС. Говорю , что АП есть параллелограммъ, то есть , чшо АС параллельна къ ПВ, а АВ параллельна къ ПС. Протяни ВС. Поелику АС равна ПВ , а ВС общая , то двѣ прямыя АС, СВ равны двумъ прямымъ ОВ, БС; и основаніе АВ равно основанію ОС : посему уголъ АСВ равенъ углу СВО*; они же суть и накось лежа- щіе: чего ради АС параллельна къ ПВ*. Подобно докажемъ, что и АВ параллельна къ СП. Слѣд- ственно АВПС есть параллелограммъ*. *оир.3іѵ Итакъ всякій четыреугольникъ, и проч. ч. и д. н. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что квадра- ты , прямоугольники , ромбы и ромбоиды суть параллелограммы. предложеніе и. Всякій четыреугольникъ, имѣющій противулежа- Ціе углы взаимно равные, есть параллелограммъ. » •
420 ПРИМЬЧАШЛ II ПРИБАВЛЕНІЯ Пусть будетъ четыреугольникъ ЛВСВ ( ф, имѣющій прогпивулежащіе углы взаимно равные то есть уголъ А равный углу С, а уголъ В углу () Говорю, что четыреугольникъ АВС1) есть парал- лелограммъ , то есть , что АВ параллельна къ ВС а АС параллельна къ ВС. Поелику уголъ А равенъ углу С, а уголъ В равенъ углу В ; то два угла А , Л , равны двумъ угламъ В, С. Но всѣ четыре угла А, П, В, С равны четыремъ угламъ прямымъ: посему два угла А, О равны двумъ угламъ прямымъ ; слѣдственно АВ параллельна къ ВС*. Подобно докажемъ, чіпо и АО параллельна къ ВС. Слѣдственно АВС О есть опр.36. параллелограммъ*. Итакъ всякій четыреугольникъ, и проч. ч. и д. п. Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что' четыре- угольникъ , имѣющій всѣ четыре угла прямые, есть параллелограммъ. (ід) Клавій , Р. Симсонъ и другіе прибавляютъ къ доказанному Эвклидомъ случаю еще слѣдующіе два : Пусть параллелограммовъ противулещащіл осно- ваніямъ стороны имѣютъ общую точку В, (ф. 9) > то сходно съ первымъ случаемъ докажемъ , что треугольникъ АВВ равенъ треугольнику ВСЕ. При- дай обще треугольникъ ВВС : посему параллело- граммъ АС равенъ параллелограмму ВЕ. Пусть еще параллелограммовъ противулежащія 1* П основаніямъ стороны имѣютъ общую часть - (ф. іо); то сходно съ первымъ же случаемъ докажемъ, то АО равна ЕЕ. Отними обще ЁВ: посему оста-’ А лая АЕ равна остальной ВЕ; и треугольникъ +8. равенъ треугольнику ВСГ*. Придай обще л’Р3
къ книгѣ ПЕРВОЙ 4аі цецію ВСВЕ; посему параллелограммъ АС равенъ параллелограмму ВЕ. (2о) Слѣдствіе. Такъ же докажется , что есіпьли параллелограммъ и треугольникъ стоятъ ва равныхъ основаніяхъ и между тѣмиже парал- лельными ; то параллелограммъ есть двукратный треугольника. ПРЕДЛОЖЕНІЕ К. (2і) Изъ равныхъ прямыхъ квадраты суть равные: И равные квадраты суть изъ равныхъ прямыхъ. Пусть будутъ равныя прямыя АВ, СО (ф. 11). Говорю , что квадраты изъ АВ, СО суть равные. Изъ АВ, СО напиши квадраты АЕ, СО*; и про- шяни ЕВ, НО. Поелику АВ равна АЕ*, и СО равна СИ*; но АВ* опр.Зо- равна СО; посему и АЕ равна СН. Итакъ, поелику двѣ прямыя АВ, АЕ равны двумъ прямымъ СО, СН; и уголъ А равенъ углу С*; посему и основаніе ра- *акс.іо. вно основанію ; и треугольникъ АВЕ равенъ тре- угольнику СОИ*. Но треугольника АВЕ есть дву- кратный квадратъ АЕ*, а треугольника СОН ‘З^- Авукратный квадратъ СС: посему квадратъ АЕ ра- венъ квадрату СС*. *акс,6 Но пусть будетъ квадратъ АЕ, (ф. 12) то есть изъ прямой АВ, равенъ квадрату АС, то есть изъ пРямой АО. Говорю , что и АВ равна АО. Помѣсти квадраты АЕ и АС при углѣ А, такъ ‘Ияобы ЕА была впрямъ съ АО; то и АВ будетъ “пРямъ съ АС*. Протяни поперечники ЕВ, СО и *І>. "Рямыя ЕО, ВО. і
^2 2 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ Поелику квадратъ АЕ равенъ квадрату ДИ, ГПо и половина равна половинѣ, то есть треугольникъ ДВр треугольнику ДСП. Придай обще треугольникъ В \О- посему цѣ іыи треугольникъ ВВП равенъ цѣлому тр,_ угольнику (.ВП: и они суть на томъже основаніи гр. А равные треугольники, стоящіе на томъже осно- *3д, ваніи , суть между тѣмиже параллельными *; посему І)В параллельна къ СЕ. Поелику же прямоугольный треугольникъ АЕВ есть равнобедренный; то уго.гь 2,(17). АЕВ есть половина прямаго*. Потому же и уголъ А 1)0 есть половина прямаго. Чего ради уголъ ПЕВ равенъ углу ЕВС; они же суть и накосьлежащіе: *а8. посему ЕВ параллельна къ О!)*. А доказано , что и СЕ параллельна къ ВВ; посему четыреугольникъ опр.36 ЕВЛС есть параллелограммъ*; а посему ЕВ равна *3^. СВ*. И поелику уголъ АЕВ равенъ углу АВС, по доказанному ; и прямой уголъ Е АВ равенъ прямому акс.іо. ВАС*; то треугольники ЕАВ, АСВ имѣютъ два угла равные двумъ угламъ , каждый каждому; они же имѣютъ и одну сторону равную одной сторо- нѣ , кои противулежатъ равнымъ угламъ, то есть ЕВ равную СВ: посему и прочія двѣ сторо- ны равны прочимъ двумъ сторонамъ , каждая каж- *аб.дой*: а посему »В равна АВ. Ишакъ изъ равныхъ прямыхъ , и проч. ч. и Д. я' къ книгѣ ВТОРОЙ. ( 22 ) Слѣдствіе. Оттуда же явствуетъ, чіп0 іп0 естьли прямая линія разг+ч^і а по поламъ , квадрата, изъ цѣлой равенъ четырежды взято. У квадрату изъ половины.
КЪ КНИГѢ ВТОРО И. 42З (з Сіе предложеніе есть одинъ случай слѣ- дующаго : ПРЕДЛОЖЕНІЕ А. Во всякомъ треугольникѣ квадратъ изъ стороны, противулежащей острому углу, меньше квадра- товъ изъ прочихъ двухъ сторонъ, содержащихъ оный острый уголъ, двукратнымъ прямоугольни- комъ , содержимымъ въ одной изъ сторонъ около остраго угла , на которую, продолженную буде нужно , падаетъ проведенная отъ вершины проти- вулежащаго угла перпендикулярная, и въ прямой при остромъ углѣ, которую перпендикулярная от- нимаетъ. Пусть будетъ АВС (ф. іЗ, і4 и і5) треуголь- никъ , имѣющій уголъ при В острый; и отъ точ- ки А пусть будетъ проведена перпендикулярная къ ВС, продолженной буде нужно , прямая А И. Говорю, что квадратъ изъ АС меньше квадратовъ изъ СВ, ВА цвукрашнымъ прямоугольникомъ въ СВ, ВГ». Поелику при прямой ВС , на которую падаетъ Перпендикулярная, уголъ при В есть острый, то Уголъ при С будешь или острый , или тупой, іли прямой. Пусть будетъ угдлъ при С острый (ф. іЗ). По- елику же и уголъ при В острый, то перпендику- лярная отъ А къ ВС проведенная упадетъ внутри піреугольника. Пусть она упадетъ какъ АБ. И поелику прямая ВС разсѣчена какъ ниесть въ *п°чкѣ Б; то прямоугольникъ , итакЪ далѣе, кя’сй Доказано ц Эвклида,
4з4 ПРИМѢЧАНІЯ и прибавленія Но пусть будетъ уголъ При С тупой (ф. посему перпендикулярная, отъ А къ ВС проведенная упадетъ ввѣ угла АСВ на продолженіе ВС. Продолжи ВС къ О, и пусть перпендикулярная упадетъ какъ А О. М поелику прямая ВО разсѣчена какъ ниесть въ точкѣ С ; то квадраты изъ СВ , ВВ равны двукратному прямоугольнику въ СВ , ВВ вмѣстѣ *у. съ квадратомъ изъ ГС*. Разсуждая потомъ какъ и въ первомъ случаѣ, докажемъ , что квадратъ изъ АС меньше квадратовъ изъ СВ, ВА двукрат- нымъ прямоугольникомъ въ СВ, Ві). Пусть же уголъ при С будетъ прямой (ф. і5): посему перпендикулярная отъ А къ ВС проведенная будетъ самая іС; и прямая, которую отнимаетъ перпендикулярная при остромъ углѣ, будетъ са- мая ВС. И поелику квадраты изъ АС, СВ равны квадрату "4/Л изъ АВ*, ибо уголъ при С прямой ; придай общ квадратъ изъ ВС: посему квадратъ изъ АС вмѣстѣ съ двукратнымъ квадратомъ изъ СВ, равенъ квадратамъ изъ АВ, ВС. Итакъ квадратъ изъ \С меньше квадра- товъ изъ АВ . ВС двукратнымъ изъ СВ, то есть двукратнымъ прямоугольникомъ въ ( В, ВТ). Итакъ во всякомъ треугольникѣ, и проч ч. и д. ПРЕДЛОЖЕНІЕ В. Ежели въ треугольникѣ квадратъ изъ одной стороны больше квадратовъ изъ прочихъ ДЕУ*'Ь сторонъ; шо уголъ содержимый сими сторонами будетъ туной: А естьли меньше , то встрый"
къ книгѣ ВТОРОЙ. 4%5 Пусть будетъ треугольникъ АВС (ф. і5) , въ роем'ь квадратъ изъ АВ пусть , во первыхъ, будетъ больше квадратовъ изъ АС, СВ. Говорю , что уголъ дСВ тупой. Буде же не такъ ; то уголъ АСВ или прямой , или острой. Но уголъ АСВ не будетъ прямой ; ибо квадратъ изъ АВ былъ бы равенъ квадратамъ изъ АС, СВ*: а онъ не равенъ; посему уголъ АСВ 4?'1* »е прямой. И уголъ АСВ не острой ; ибо квад- ратъ идъ АВ былъ бы меньше квадратовъ изъ АС, СВ*: *А- І онъ не меньше ; посему уголъ АСВ не острой. А доказано, что и ни прямой: слѣдственно уголъ АСВ есть тупой. Но пусть квадратъ изъ АВ будетъ меньше квад- ратовъ изъ АС , СВ ; то подобно докажемъ , что уголъ АСВ не прямой , и ни тупой ; слѣдственна острый. Итакъ, ежели въ треугольникѣ, и проч. ч. и д. и. КЪ КНИГЪ ТРЕТЬЕЙ. (аД) Опредѣленіе. А неравные круги суть тѣ, Коихъ поперечники неравны. Эвклидово опредѣленіе, равно и сіе легко доказать чРезъ наложеніе , какъ то всякому видѣть можно. (а5) Опредѣленіе. Подобныя дуги суть тѣ , на вторыхъ стоящіе углы при центрахъ или при окружностяхъ взаимно равны. (26) Слѣдствіе. Чрезъ точку, взятую на окру- ^Иогши круга , можетъ проведена быть одна токмо касательная къ нему прямая.
ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ ПРЕДЛОЖЕНІЕ А. (97) Отъ точки взятой внѣ круга могутъ пр». ведены быть къ нему двѣ касательныя, одна ц0 Одну сторону поперечника проходящаго чрезъ оную точку , а другая по другую и сіи двѣ касащсль. ныя прямыя сушь взаимно равны. Болѣе же двухъ жасашальныхъ отъ той точки провести не можно. Пусть будетъ взята точка А (ф. іб) внѣ круга ВСІ). Говорю , что предлагаемое справедливо. Отъ точки А проведи касательную АВ къ кру. гу ВСН , сдѣлавъ тоже строеніе , какъ въ предъ, идущемъ предложеніи; и продолжи еще ЕІ)къН; и про- тяни ЕКН , АК: то подобно докажемъ, что и АК есть касательная. И поелику квадраты изъ АВ, ВЕ равны квадрату изъ АЕ*, ибо уголъ АВЕ есть прямой ; и квадрату изъ АЕ равны квадраты изъ АК, КЕ,потой- же причинѣ : посему квадраты изъ АВ, ВЕ равны ква- дратамъ изъ АК, КЕ. Но квадратъ изъ ЕВ равенъ ква- *К,і. драту изъ ЕК*, ибо ІВ равна ВК; посему и осталь- ной квадратъ изъ \В равенъ остальному изъ АК, *К I. слѣдственно и АВ равна АК*. Говорю еще, что отъ той же точки А болѣе двухъ касательныхъ къ кругу провести не можно. Ибо пусть , буде возможно , проведена будетъ третья АС,-протяни Е.С: посему уголъ АСЕ есть пря мой. Но и уголъ АКЕ есть прямой: а посему уг0-^ АСЕ равенъ углу АКЕ, что невозможно*. Чего ради не есть касательная къ кругу. Тоже докажется лК АК» 6 всякой другой , кромѣ двухъ прямыхъ АО, Ишакъ отъ точки взятой , и проч. ч. и А-
КЪ КНИГѢ ТРЕТЬЕЙ. (2Й) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что естьли прямая касается къ кругу, и проведена будетъ отъ центра круга перпендикулярная къ касательной ; [до сія перпендикулярная упадетъ на прикосновеніе. ПРЕДЛОЖЕНІЕ В. (29) Четыреугольника въ кругѣ ежели одна сто- рона продолжится , то внѣшный уголъ равенъ вну- треннему протпвулежащему. Пусть будетъ кругъ АВСВ (ф. 17) , и въ немъ четыреугольникъ АВСВ; и пусть одна его сторона ВС продолжена будетъ къ Е. Говорю , что внѣш- ный уголъ ВСЕ равенъ внутреннему противулежа- щему ВАВ- Поелику два угла ВСЕ, ВСВ равны двумъ угламъ прямымъ*; а и два угла ВАВ, ВСВ равны двумъ прямымъ*: то два угла ВСЕ, ВСВ равны двумъ *а2. угламъ ВАВ , ВСВ. Отними обще уголъ ВСВ: посему' остальной уголъ ВСЕ равенъ остально- му ВАВ. Итакъ четыреугольника, и проч. ч. и д. я. ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. (Зо) Ежели чрезъ средину дуги круга , стягиваемой прямою, проведена будетъ касательная къ кругу ; По она .параллельна къ стягивающей прямой : И ссіпьли проведена будетъ параллельная къ ней , то °на касашельна къ кругу. Въ кругѣ АВС (ф. 18) пусть будетъ прямая ВС, сгПягивающая дугу ВАС ; и чрезъ средину А АУ™
ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ 4^8 ВАС пусть проведена будетъ касательная кь кру- гу прямая ВАЕ. Говорю , что ВАЕ параллельна къ ВС. Возьми круга ДВС центръ. Е, и протяни ГСД: *18. то ЕСА перпендикулярна къ БЕ*. И поелику 'дуга ВА равна дугѣ АС, то и уголъ ВЕА равенъ углу *27‘АЕС*. Итакъ, поелику ЕВ равна ЕС, а ЕС общая; то двѣ прямыя ВЕ, ЕС равны двумъ прямымъ *4- СЕ, ГС; и уголъ ВЕС равенъ углу СЕС: посему* и основаніе равно основанію , и треугольникъ ра- венъ будетъ треугольнику , и прочіе углы равны прочимъ угламъ , каждый каждому, кои проппіву- лежагпъ равнымъ сторонамъ ; а посему уголъ ВСЕ равенъ углу ССЕ. Чего ради каждый изъ угловъ, *опр.ю,І. при С есть прямой*. Но и каждый изъ угловъ при А есть прямой : посему уголъ ВСЕ равенъ углу *а8,і. ВАЕ: слѣдственно ВС параллельна къ БЕ*. Но пусть будетъ БАЕ параллельна къ ВС. Го- ворю , что ВАЕ касательна къ кругу. Ибо , сдѣлавъ тоже строеніе, такъ же докажемъ, что углы при С суть прямые. И поелику ВЕ па- раллельна къ ВС, и на нихъ падаетъ АЕ; то внѣшныи уголъ ВСЕ равенъ внутреннему прошивулежащему *ад,і. ВАЕ*: но уголъ ВСЕ прямой; посему и уголъ ВА? прямой ; а посему ВА перпендикулярна къ ЕА ; слЬ- ‘слѣдмб. довательно и касательна къ нему*. Итакъ , ежели чрезъ средину, и проч. ч. и д- я- (Зі) Слѣдствіе. Естьли внѣ круга взята будетъ какая ниесть точка, и отъ нея на кругъ упадутъ сколько ниесть прямыхъ, пересѣкающихъ оный - прямоугольникъ, содержимый въ одной цѣлой прямо’1 м въ ея внѣшнемъ отрѣзкѣ , равенъ прямоугольншФ
КЪ книгѣ ТРЕТЬЕЙ. 429 содержимому въ другой цѣлой прямой и во внѣш- немъ ея отрѣзкѣ. Ибо, проведя еще отъ той же са»ой точки прямую касательную, будетъ каждый изъ помянутыхъ прямоугольниковъ равенъ квадрату изъ касательной. КЪ КНИГЪ ЧЕТВЕРТОЙ. (З2) Слѣдствіе. Изъ сего явствуетъ , что сторона квадрата описаннаго около круга, равна поперечнику сего круга. (33) Слѣдствіе. Естьли въ кругѣ вписанъ квад- ратъ , и около тогоже круга описанъ другой ; то описанный есть половина вписаннаго. ( Зд ) Слѣдствіе. Естьли протянуть прямыя АЕ , ЕС, СА , то въ кругѣ будетъ вписанъ треуголь- никъ равносторонный и равноугольный ; какъ то всякому легко доказать можно. (35) Опредѣленіе. Многоугольники правильными на- зываются тѣ, кои суть равносторонные п равно- угольные. ПРЕДЛОЖЕНІЕ А. Естьли въ кругѣ вписанъ правильный многоуголь- никъ ; то вписать въ томъ же другой правильный Многоугольникъ , рдвое больше сторонъ имѣющій. Въ кругѣ АВСВЕ (ф. пред. іо, кн. XII) пусть Г;Удегпъ вписанъ правильный многоугольникъ АВСВ. Надлежитъ въ томъ же кругѣ АВСВ вписать Яругой правильный многоугольникъ, вдвое больше боронъ имѣющій.
4<3о ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ Дуги АВ, ВС, СГ), ОА, стягиваемыя сгпороиач вписаннаго многоугольника , раздѣли по поламь въ *3о,III. точкахъ Е, Е, С, II*; и протяни АЕ, ЕВ, ВЕ, СС, СО , 1)11 , НА. Говорю , что многоугольникъ АЕВЕССІИ1 есть правильный. Поелику дуга АЕ равна дугѣ ЕВ, то дуга АВ есть двукратная дуги АЕ. Подобно докажемъ , что и дуга АО есть двукратная дуги \Н. Но дуга АВ равна *а8,ш. дугѣ АІ)*, ибо прямая АI» равна прямой АО; по ему и дуга АЕ равна АН ; а посему и прямая АЕ равна *2д,ІП. прямой АН*. Подобно докажемъ, что и каждая изъ прочихъ прямыхъ ЕВ, ВЕ, ЕС, СС, СО, ПН равна прямой АЕ или АН- Чего ради многоугольникъ АЕВЕССІШ есть равносторонный. Говорю же, что онъ и равноугольный. Ибо, какъ дуга АН равна дугѣ ЕВ, придай обще дугу ВСН; посему дуга В(,А равна дугѣ ЕВН. Но на дугѣ ВСА стоитъ уголь А! В, а на дугѣ І'ВП уголъ НАЕ : посему уголъ НАЕ. равенъ *Э7,ІП. углу ВЕА*. Подобно докажемъ , что и каждый изъ угловъ, кои при В, Е, С, С, І>, Н, равенъ углу при А или Е. Чего ради многоугольникъ АЕВЕССОН есть равносторонный. А доказано , что и равноуголь- ный ; слѣдственно онъ правильный. Притомъ имѣешь число сторонъ вдвое больше , нежели многоугольникъ АВС О. ч. и д. н. ‘Слѣдствіе. Поелику въ кругѣ можно вписать пра пильный четыреугольникъ , то есть квадратъ, таь іпо же пяти, шести и пятнадцати угольникъ можно вписать , начиная отъ четыреугольниь' и проъ восьми э шестнатцаіпи , тридцати двухъ , » дрСЯГВ^ I угольникъ; начиная отъ пятиугольника . л двадцати , и проч. угольникъ ; начиная оптъ иіесіП
КЪ КНИГѢ ЧЕТВЕРТОЙ. дольника : двѣнадцати, двадцати четырехъ , и проч. дольникъ; и наконецъ, начиная отъ пятнадцати- .сольника : тридцати , и проч. угольникъ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Е. Естьли въ кругѣ вписанъ правильный многоуголь- никъ ; то описать около сего круга другой , столько же сторонъ имѣющій , правильный много- угольникъ. Въ кругѣ АВСОЕ (ф. нр. 19.) пусть будетъ вписанъ правильный многоугольникъ;иПусть точки А,В,С,О,Е будутъ вершины угловъ вписаннаго многоугольника: итакъ дуги АВ. ВС, < Б, БЕ, ЕА взаимно равны*. *а8,11І. Чрезъ А, ,В, С, I), Е проведи касательныя къ кру- гу прямыя СН, НК, КЬ, 1,М, МС; и возьми кру- га АВСВЕ центръ Е; и протяни ЕВ, ЕК, ЕС, 1'Ь, ГО. Разсуждая потомъ,такъ какъ предложено о пяти- угольникѣ*, докажемъ , что многоугольникъ СІІКЕМ *выз. есть равносторонный и равноугольный , то есть правильный ч. и с. н. Слѣдствіе,, Отсюда явствуетъ , что упомянутые •ь слѣдствіи предъидущаго предложенія многоуголь- ники можно описывать около круга. ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. Вь данномъ правильномъ многоугольникѣ вписать •'Ругъ. Пусть будетъ АВСВЕ (ф. пр. іЗ) данный правиль- ной многоугольникъ. Надлежитъ въ многоуголь- никѣ АВСБЕ вписать кругъ.
43а примѣчанія и Прибавленія Раздѣли каждый изъ угловъ ВСВ," СОЕ по п *9,І. ламъ прямыми СЕ, НЕ*, кои пусть встрѣтятся въ Г; и прг.тяни РВ, РА, РЕ; и ошь Р проведи , пер- пендикулярныя къ АВ, ВС, СП , і)Е , ЕА , прямЫ(! «2,1. ЕС, РН, ЕК, РЬ, РМ*: то , разсуждая такъ какъ ьіЗ. и при пятиугольникѣ*, докажемъ , что каждый изъ остальныхъ угловъ АВС, ВАЕ, АЕ!) раздѣленъ по поламъ прямыми ВЕ’, РА, РЕ; и что прямыя ГС, РН, РК, РЕ, РМ всѣ взаимно равны. И по- тому кругъ , изъ центра Р’ и разстояніемъ одной изъ тѣхъ прямыхъ написанный, будетъ касатель- ный ко всѣмъ сторонамъ многоугольника , и бу- детъ кругъ вписанный. Напиши оный , какъ СНКЕМ. Итакъ въ данномъ правильномъ многоугольникѣ впи- санъ кругъ, ч. и с. н. Слѣдствіи. Отсюда явствуетъ , что прямыя , про- водимыя отъ центра круга въ правильномъ мно- гоугольникѣ вписаннаго , къ вершинамъ онаго, раздѣ- ляютъ углы его по поламъ. ПРЕДЛОЖЕНІЕ О. Около даннаго Правильнаго многоугольника оПгі- сать кругъ. Пусть будетъ АВСОЕ (фиг. пр. і4) ДанньІІ< правильный многоугольникъ. Надлежитъ около многоугольника АВ( Г)р описать кругъ. Раздѣли опять каждый изъ угловъ ВСП, СІ)Е п° поламъ прямыми СР, ПР, кои пусть встрѣтяпіс въ Р; и протяни РВ, ЕА, РЕ: то по причинѣ, и каждый изъ остальныхъ угловъ СВА , ВАІ , раздѣленъ по поламъ прямыми ЕВ, ГА, ГЕ, докажем'ь
КЪ КНИГѢ ЧЕТВЕРТОЙ. ^ЗЗ ^акъ же какъ и при пятиугольникѣ*, что прямыя ‘въ іА. рА, ЕВ, РС, ЕВ, ГЕ всѣ взаимно равны. И потому кругъ , изъ центра Г и разстояніемъ одной изъ сцхъ прямыхъ написанный, пройдетъ чрезъ вершины ксѣхъ угловъ многоугольника , и будетъ кругъ опи- санный. Напиши оный, какъ АВСОЕ1. Итакъ около даннаго правильнаго многоугольника описанъ кругъ, ч. и с. н. Слѣдствіе, і. Отсюда явствуетъ , что прямыя , проводимыя отъ центра круга описаннаго около правильнаго многоугольника , къ вершинамъ угловъ его, раздѣляютъ сіи углы по поламъ. Слѣдствіе 2. И поелику сіе доказано и о кругѣ вписанномъ: то явно, что круговъ описаннаго около правильнаго многоугольника и вписаннаго въ немъ , центръ есть шотъже. КЪ КНИГЪ ПЯТОЙ. (36) Когда говорится , что величина измѣряетъ АРугую или измѣряется другою ; то всегда разумѣть Должно, что измѣряетъ или, измѣряется безЪ Статка. ( Зу ) Опредѣленіе. Когда двѣ большія величины Равно измѣряются двумя меньшими, каждая каж- ’Ю; то есть , одну большую одна меньшая из- ,м1ряетъ столько разъ , сколько другую большую "’угая меньшая: то большія называются равнократ- >Ьіми меньшихъ , а меньшія равночасшными боль- "'Чхъ. Тоже разумѣется о трехъ и болѣе вели-1 5іІ|іах.ъ, измѣряемыхъ равномногими меньшими. 28 I
434 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ ( 38 ) Подъ именемъ зависимости величинъ по ихъ количеству разумѣть , кажется , должно всякое ихъ сравненіе. Напримѣръ, когда изслѣдывается, чѣмъ или во сколько одна другой больше , или меньше - равна ли одна величина другой или неравна, и пр0Чі Клавій , Валлисъ (*) и нѣкоторые другіе Геометры изъясняютъ опредѣленіе отношенія иначе. (З9) Опредѣленіе. Величины , имѣющія отношеніе называются членами онаго ; первая предъидущимъ , а вторая послѣдующимъ. (4о) Пусть будутъ четыре величины А, В, С, Б; и пусть величинъ А, С будутъ какія ниесть равно- кратныя Е , Е , и величинъ В , С какія ниесть равнократныя О, II; и пусть величины Е, О, ₽, И будутъ таковы , что естьли Е больше Сг, то и Г больше Н; и естьли Е равна С, то и Е равна II; и естьли Е меньше О , то и Е меньше Н: или иначе: пусть будутъ два неопредѣленныя цѣлыя числа т , п ; и пусть величины А , В , С, Б будутъ таковы , что естьли тА (то есть т разъ взятая величина А ) больше пВ , то и тС больше пБ ; и естьли тА равна пВ , то и иіС равна пП ; и естьли меньше, пто меньше: въ такомъ случаѣ говорится , что отношеніе А къ В есть тоже съ отношеніемъ С къ Б , или >ІПІ какъ А къ В, такъ С къ Б. (41), Естьли изъ величинъ А, В, С, П, детъ тА больше юВ, а тС не больше пБ; гп° (* ) 3. ЛѴаІІіз орега МаіЬсгааІіса, ѴоІ. I, Сар. а5, е* сі ѴоІ. II, Сар. гд.
къ Книгѣ пятой. 435 говорится , что А къ В имѣетъ большее отношеніе нежели С къ О; или С къ И имѣетъ меньшее •опг- ноіненіе , нежели А къ В. При чѣмъ замѣтимъ что в1, в могутъ быть нѣкія, то есть опредѣленныя чи- сла. Па примѣръ, есйіьли іА больше ЗВ, а 2С не больше 30, то А къ В имѣетъ'большее отношеніе , нежели С къ ІЭ, хотя бы при другихъ кратствованіяхъ се- го и не было. ОБЩЕЕ ПРИМѢЧАНІЕ КЪ ОПРЕДѢЛЕНІЯМЪ 3, 5, и у. Поелику на сихъ опредѣленіяхъ основывается вей веорія величинъ пропорціональныхъ , то нужно еще войти въ подробнѣйшее оныхъ объясненіе. Пусть будутъ двѣ однородныя величийы А, В. Естьли сіи величины равны ; то онѣ всегда имѣютъ отношеніе, ибо одна изъ нихъ взятая кратно будетъ больше другой. Естьли же величины А, В не равны ; то меныпая взятая кратно или сдѣлается когда либо большею большей, Пли нѣтъ. Естьли сдѣлается или , что все равно , естьли можетъ сдѣлаться ; то ве- личины А, В имѣютъ отношеніе.: естьли же нѣтъ , то не имѣетъ. Слѣдственно уголъ , содержимый ка- гащелытіо ьъ кругу и окружностію его , къ прямо- линейному углу не имѣетъ отношенія. ( Равнымъ образомъ точка къ линіи , линія къ Поверхности , иуль къ нулю , нуль и конечная величина кь безконеч- ной не имѣютъ отношенія ). Напротивъ того окруж- ЧЬій уголъ ( то есть , содержимый дугами равныхъ круговъ обращенными въ одну сторону ) къ прямоли- оейному углу имѣетъ отношеніе : ибо первой мо- нетъ быть равенъ Пли прямому, или туПому, * *
436 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ или острому, какъ доказалъ Проклъ (*). Равнымъ образомъ поперечникъ круга къ его окружности квадратъ изъ поперечника къ кругу , имѣютъ от- ношеніе : ибо три поперечника меньше окру- жности , а четыре больше оной , какъ доказалъ Архимедъ ; квадратъ изъ полупоперечника меньше круга , а квадратъ изъ поперечника больше круга какъ то легко доказать изъ предлож. 6 и 7 кн. 1к. Пусть еще будутъ двѣ величини С , Б , имѣющія взаимное отношеніе. Есть.іи сравнимъ отношеніе А къ В съ отношеніемъ С къ II: то оныя будутъ или' шѣже, или нѣтъ. Когда равнократныя, взятыя по опредѣленію 5му, имѣютъ свойство въ немъ изъ- ясненное; Шо отношенія суть тѣже или равныя, а въ противномъ случаѣ суть неравныя. Изъ сего слѣдуетъ , что естьли величины А, В, С, II предполагаются пропорціональными или дока- зываются таковыми : то ни въ какомъ случаѣ не И дѣйствительно,пу сіпь будетъ уголъ ЛВС (ф ід)прямой, и пусть взяты будутъ прямыя ВЛ , ВС равныя, и на нихъ написаны полукружія АББ , ВЕС , одно внѣ угла, а другое внутрь Онаго. Поелику полукружіе ЛПВ равно полукружію ВЕС, ибо АВ равна ВС, піо и уголъ ОВА равенъ углу ЕВС. Придай обще смѣшенный уголъ АВЕ 5 посему и цѣлый уголъ І)ВЕ равенъ цѣлому АВС 5 то есть окружный уголъ СВЕ равенъ прямому- Но пусть уголъ АВС будешь тупой. Сдѣлавъ такое ж* строеніе , подобно докажемъ э чшо уголъ СВЕ равенъ тупому углу АВС. Пусть, наконецъ, уголъ АВС будетъ острый. Сдѣлавъ шоЛІ° строеніе, подобно же Докажемъ, что уголъ ОВА рл®еЯ* углу ЕВС. Отними обще уголъ ЕВ А ; посему и осШаЛьН01- уголъ СВЕ равенъ остальному АВС. ч. и д, н.
къ книгѣ пятой 437 0о;ксшъ быть, когда изъ ихъ кратныхъ первая больше второй , чтобы третья была не больше четвертой; а когда равна , чтобы была не равна; а когда меньше, чтобы была не меньше; ибо сіе противно опредѣленію 5. Но естьли А, В, С, В предполагаются или доказываются неимѣющими тогоже отношенія » то сіе уже означаетъ , что суть нѣкія кратныя , кои имѣютъ свойство показанное въ опредѣленіи умъ; слѣдственно не можно будетъ ни сказать , ни доказать о величинахъ А, В, С, П, что по взятіи ихъ раьнокрагпныхъ , по какому ниесть кратство- ванію , сіи кратныя всегда будутъ или купно въ избытку , или купно въ равенствѣ , или купно въ недостаткѣ. Изъ сего явствуетъ , что величины удовлетворяющія опредѣленію 5му не могутъ уже удовлетворять уму, а удовлетворяющія уму не могутъ удовлетворять 5му. Сообразивъ все выше сказанное , нельзя кажется не согласиться , что напрасно говорятъ , будто ученіе Эвклидово о пропорціяхъ принужденно и не прямо , и будто нѣтъ достаточныхъ при- знаковъ , по которымъ бы можно отличить ве- личины ,. имѣющія тоже отношеніе . отъ величинъ , Имѣющихъ большее или меньшее ; то есть вели- чины опредѣленія 5го оптъ величинъ опредѣленія уго ; будто Эвклидъ величины послѣдняго отъискиваеть Ча удачу , и ироч. (Да) Изъ предъидущаго примѣчанія видно , что слова: тоже , большее или меньшее (отношеніе), Чмѣютъ совсѣмъ различный смыслъ отъ того , Въ коемъ онѣ приемлются обыкновенно, ибо тутъ °нѣ не болѣе значатъ , какъ простое наименованіе
438 ПРИМѢЧАНІЯ п ПРИБАВЛЕНІЯ свойствъ , излагаемыхъ въ опредѣленіяхъ 5мъ ц Слѣдственно подобіе или тожество отношеній есть не что иное , какъ когда величины оныхъ имѣютъ свойство означенное въ опредѣленіи 5мъ. И поелику таковыя величины , то есть , имѣющія взаимно тоже отношеніе, называются для кратко- сти пропорціональными, то для краткости названо тожество отношеніи пропорціею. ( ДЗ ) Опредѣленіе а. Двѣ величины назь ваюгцсгг обратно пропорціональными другимъ двумъ величи- намъ , когда одна изъ первыхъ къ одной изъ вто- рыхъ имѣетъ тоже отношеніе, что другая изъ вторыхъ къ другой изъ первыхъ. Опредѣленіе Ь. Величины называются непрерывно пропорціональными, когда Первая ко второй имѣетъ тоже отношеніе , что вторая къ третьей, а вторая къ третьей тоже, что третья къ четвертой, итакъ далѣе. Изъ опредѣленій ірго и иго явно , что отношеніе удвоенное , утроеннное и проч. не означаетъ тоже, что двукратное , трекратное , и проч. (44) Разумѣется : непрерывно. (Д5) Опредѣленіе. Ежели будетъ одинъ рядъ вели- чинъ , имѣющихъ взаимное отношеніе, а другой РЯЛЪ отношеній тѣхъже съ отношеніями величинъ пер- ваго'ряда ; то говорится , что первая величина къ по слѣдней перваго ряда имѣетъ отношеніе сложенное изъ отношеній втораго ряда. А Т? С Г)? На примѣръ : пусть будетъ рядъ величинъ А,»,*-1» и рядъ отношеній : М къ К ; Р къ ; В къ Пусть будетъ отношеніе АкъВтоже съ отношеніе’'1^ М къ К, И отношеніе ѣ къ С тоже съ отношеніемъ
къ книгѣ пято й, 439 къ (?,и еще отношеніе С къ Б тоже съ отношеніемъ К къ 5; гпо говорится , что А къ О имѣетъ отношеніе сложенное изъ отношеній М къ И ; Р къ О, и Н къ 8. Эвклидъ сіе опредѣленіе выражаетъ иначе. (Си. опр. 5, кни. VI). (46) Называются іпакожъ и сходственными членами. (47) Пусть будутъ многія величины А, В , С, и имъ равномногія В, Е, Г, кои по двѣ въ каж- домъ ряду суть въ томъже отношеніи, то отно- шенія , А къ С, и Б къ Е называются равномѣст- ными ; (48) пропорція же: какъ А къ В такъ Б къ Е» и какъ В*къ С такъ Е къ Е, именуется порядочною. (4<)) Но естьли будутъ три величины А , В, С и другія равномногія Б, Е , Е, имѣющія слѣдующія отношенія: какъ А къ В такъ Е къ Р; какъ В къ С такъ Б къ Е: то сія пропорція именуется обрат- ною или смѣшенною. По мнѣнію нѣкоторыхъ толкователей , послѣ опре- дѣленій можно еще помѣстить въ сей книгѣ слѣ- дующія аксіомы: а. Какое отношеніе имѣетъ одна величина къ другой своего рода , такое отношеніе имѣетъ всякая данная величина къ нѣкоей величинѣ своего же рода. Иначе: ежели будутъ три величины , изъ коихъ двѣ первыя имѣютъ отношеніе ; то всегда есть четвертая величина , къ коей третья имѣетъ тоже отношеніе, что и первая ко второй. Ь. Равнократныя или равночастныя тогожс или равныхъ, суть и взаимно равны. с. Равнократныя или равночастныя неравныхъ, сушь и взаимно неравны.
44о ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ (5о) Слѣдствіе. Ежели первая величина второй и третья четвертой будутъ равнократныя ; пятая и; будетъ равная второй , и шестая равная четвер- той: то подобно докажещся, что совокупленно,первая съ пятою второй , и третья съ шестою четвер- той будутъ равнократныя Сіе же докажется еще ежели первая равна второй , а третья четвертой; Пятая же второй и шестая четвертой равнократны.' ПР Е Д Л О Ж Е Н I Е А. (5і) Ежели первая величина ко второй имѣетъ тоже отношеніе , что и третья къ четвертой: то и равнократныя первой и третьей будутъ ко второй и четвертой имѣть тоже отношеніе: И также величины первая и третья будутъ къ ра- внократнымъ второй и четвертой имѣть тоже отношеніе. Пусть первая величина А ( фиг. пр. Д ) ко второй В имѣетъ тоже отношеніе, что и третья С къ четвертой И; и пусть , вопервыхъ , будутъ первой и третьей А, С равнократныя Е, Г. Говорю, что какъ Е къ Б, такъ Г къ И. Возьми величинъ Е, Е равнократпыя К, ІД а величинъ В, 1У равнократныя С, Н. Здѣсь доказать ♦дъД можно какъ и въ предложеніи*, что К, Ь суть ра- внократныя величинъ А, С. И поелику какъ А къ В, такъ С къ В; и суть величинъ А, С равно- краіпныя К, Ь, а величинъ В, В равнократныя 6, Н; посему естьли К больше Сх, то и Б боль- ше Н; и естьли равна, то равна ; и естьли меньше , *опрЛ. то меньше*. Итакъ, поелику величинъ Е, Г Ра' рнокра.пныя суть К., Ь, а величинъ В, С равно-
КЪ КНИГѢ ПЯТОЙ. 44і „ратныя С. П; и доказано , чгпо естьли К больше О, то и Ь больше Ц; и естьли равна , то равна; и есіпьли меньше, то меньше: слѣдственно какъ Е къ В, такъ Е къ В*. оп₽’ Естьли будутъ величинъ второй и четвертой В, И равнократныя С , Н, то подобно докажемъ , чтпо. какъ А къ С, такъ С къ Н. Итакъ , ежели первая величина , и проч. ч. и д. н ( 5^ ) Р. Симсонъ послѣ сего предложенія по-< лѣщаепіъ еще между прочимъ слѣдующія: ПРЕДЛОЖЕНІЕ В. Ежели первая величина ко второй имѣетъ тоже отношеніе , что и третья къ четвертой ; будетъ же первая больше второй : то и третья больше тепгвергпой ; а естьли ранна, то равна ; и естьли меньше , то меньше. Пусть будетъ .какъ А къ В, такъ С къ О. Говорю , что ежели А больше В, то и С больше О; а естьли равна , то равна ; и естьли меньше, то меньше. Возьми*величинъ А,В, С, И равнократныя Е,Е, С,Н. И вопервыхъ пусть будетъ А больше В. Поелику А больше В, и величинъ А, В равнократныя суть Е, Е ; то и Е больше Г*. И поелику полагается , *акс.с. какъ А къ В, такъ С къ П; и величинъ А, С равнокрашныя суть Е , О, а величинъ С , ТУ Раннократныя суть Е , Н ; и доказано , что Е бодыпе Е : посему и С больше И*. Но С , Н *<>ПР.5- суть величинъ С , В равнократныя : посему 11 С больше ІУ*. Слѣдственно естьли А больше В , *акс с- «По и С больше В. Подобно докажемъ , что естьли А
іЦз ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ равна В, гпо и С равна В; и есшьли меньше , іп меньше. Ишакъ, ежели первая величина, и проч. ч. и д, н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. Ежели будутъ четыре величины , изъ коихъ первая и третья равнократны , или равночасшны, вто- рой и четвертой , каждая каждой ; то какъ первая ко второй, такъ третья къ четвертой. Пусть будутъ четыре величины А, В, С, В, (ф. 2о) изъ коихъ первая А и третья С пусть , вопсрвыхъ, будутъ равнократны второй В и четвертой Б, каждая каждой. Говорю , что какъ А къ В, >пакъ С къ В. Величинъ А, С возьми равнокрапшыя Е, Г; а ве- личинъ В, В равнократныя С, Н. И пусть, во- первыхъ , будетъ Е больше С. Поелику первая величина Л второй В и третья С четвертой I) суть равнократныя , и взяты первой величины и третьей равнократныя же Е, Р : посему •3. Е, Е суть равнократныя величинъ В, В*. Но и 6 Н суть равнократныя величинъ В, В; Ишакъ, ежели Е есть большая кратная величины В, нежели 6 тойже В; то и Г есть большая кратная величи- ны В , нежели Н тойже В; а естьли меньшая, то меньшая ; ежели же равная, то равная. Но по- елику Е, по положенію , больше С, то Е есть большая кратная величины В, нежели С тойже Б, посему и !•’ есть большая кратная величивы В > *жс.с, нежели И тойже В; а посему Е больше Н*- СI сшвецно естьли Е больше О, то и Е больше И-
къ книгѣ ПЯТОЙ. 443 Подобно докажемъ: чшо естьли Е равна С», то и р’ равна Н; и есшьли меньше , шо меньше. Ишакъ , роелику величинъ А, С равнокрагпныя сушь Е, р, а величинъ В, Б равнокрагпныя С, Н; и доказано , цгпо есшьли Е больше О, шо и Е больше Н; Л есшьли равна , шо равна ; и есшьли меньше , шо меньше : слѣдственно какъ А къ В, такъ С ь'ь I)*. *опр.5. Но пусть первая А и третья С будутъ равно- частныя второй В и четвертой И, каждая каж- дой. Говорю , чшо какъ А къ В, такъ С къ И. Поелику Д, С сушь равночастныя величинъ В, П; тоВ, В суть величинъ А, С равнократныя; слѣдственно , по доказанному уже , будетъ , какъ В къ А, такъ I) къ С: и потому преложеніемъ, какъ А къ В, такъ С къ В*. *слѣд.-^.^ Итакъ , ежели будутъ четыре, и проч. ч. и д. н. Слѣдствіи. Ежели изъ четырехъ величинъ , первая равна второй , и третья равна четвертой; то такъ же докажется , какъ въ первомъ случаѣ пред- ложенія, что какъ первая ко второй , такъ третья (іъ четвертой. ПРЕДЛОЖЕНІЕ В. Ежели изъ четырехъ величинъ пропорціональ- ныхъ , первая есть кратная , или частная , вто- рой ; то и третья будетъ равнокрагпная , или Равпочастная , четвертой. Пусть будутъ четыре величины А, В, С, В (ф- 21) пропорціональныя , то есть , какъ А къ В , такъ С
444 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ къ В; и пусть, вопервыхъ., будешь А кратная Ве. личины В. Говорю , что и С есть равнокрагпнач величины В. Возьми Е равную А ; и сколько кратна А, то есть Е величины В, возьми столько кратную Е ке іичины 1) Поелику какъ А къ В, такъ С къ В; и величинъ В, В, второй и четвертой взяты равнократныя ЛА. Е, Е; то какъ А къ Е, такъ С къ Е*. Но А равна Е, посему и С равна Е*. И поелику сколько Е, то есть А есть кратная величины В , столько Е есть кратная величины В; и Е равна С: посему сколько А есть кратная величины В , столько и С есть кратная величины В. Но пусть будетъ А частная величины В. Говорю, что и С есть равночастная величины В. Поелику А есть частная величины В, то В есть кратная величины А. И поелику какъ А къ В, такъ С къ В; то преложеніемъ, какъ В къ А, такъВ къ С*. Но В есть кратная величины А ; чего ради , по доказанному, и В есть равнократная вели- чины С; а посему А, С суть равночасіпныя вели- чинъ В , В. Ишакъ , ежели изъ четырехъ, и проч. ч. и Д- н. (53) Слѣдствіи. Подобно докажемъ , что равныя величины къ равнымъ имѣютъ тоже отношеніе, взятыя поперемѣнно. (54) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что естьлИ •тношенія величинъ суть тѣже или тожественны съ какими ниесть тѣмиже отношеніями ; то оныя суть тѣже и взаимно.
къ книгѣ пятой. 445 (55) Слѣдствіе, і. Ежели первая величина ко „піорой имѣетъ большее отношеніе , нежели третья четвертой, а третья къ четвертой имѣетъ тоже 01пношеніе , что пятая къ шестой ; то подобно до- кажемъ, что первая ко второй будетъ имѣть большее отношеніе, нежели пятая къ шестой. Слѣдствіе. 2. Ежели первая величина ко второй имѣетъ большее отношеніе , нежели третья къ четвертой, а третья къ четвертой большее, нежели пятая къ шестой; то первая ко второй и тѣмъ паче будетъ имѣть большее отношеніе, нежели пятая къ шестой. (56) Слѣдствіе сіе весьма темно и, какъ кажет- ся , неудовлетворительно доказано. Грегори оное доказываетъ такъ (*) : Есшьли будетъ какъ АВ къ ВЕ, такъ СП къ ВГ; то отдѣленіемъ , какъ АЕ къ ВЕ, такъ СЕ къ ВЕ*: а преложеніемъ , какъ ВЕ къ АЕ, такъ ВЕ къ СЕ*: *слЬд: и совокупленіемъ.какъ АВ къ АЕ,такъ СВ къ СЕ,что и есть обращеніе отношеній пропорціи : какъ АВ къ ВЕ, такъ СВ къ І)Е. Отсюда явствуетъ, и проч. ( 57 ) То есть, сдѣлавъ преложеніе отношеній предположенной пропорціи: какъ В къ С,такъ Е къ Е. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Е. (58) Отношенія сложенныя изъ тѣхъЖе отно- шеній, суть взаимно тѣже. Пусть будетъ какъ А къ В, такъ С къ В; и ‘йкъ Е къ Е’, такъ С къ Н; и еще какъ К. къ Ь, С) Епсіісііз дий яірепіті отпіа. Охопіаг. іуоЗ.,
446 ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ такъ М къ И. Говорю , А* В. Е. Г. к. Е что отношеніе сложенное С. О. С. Н. ТЦ. ДО изъ отношенія А къ В , 7Т Р. (~Г уу—• и отношенія Е къ Г, и 8. Т. V. у еще отношенія К къ Б, есть тоже съ отношеніемъ сложеннымъ изъ отношенія С къ I), и отношені (л къ Н, и еще отношенія М къ К. Возьми какую ниесть величину О: й пусть бу- 'а*с.а. детъ какъ А къ В, такъ О къ Р*; и какъ Е къ Е, такъ Р кѣ <2; и еще какъ К къ Б, такъ (А къ В. Возьми еще какую ниесть величину 8; и пусть будетъ какъ С кь Н, такъ 8 къ Т; и какъ (і къ Н, такъ Т къ V; и еще какъ М къ М, такъ V къ X. Поелику какъ А къ В, такъ С къ О: но какъ А къ В, такъ О къ Р; а какъ С къ II, такъ 8 * и,Акъ Т: посему какъ О къ Р, такъ 8 къ Т*. Пото- му же какъ Р къ (А, такъ Т къ V; и какъ къ В, такъ V къ X. Итакъ четыре суть величины О, Р, В, и другія имъ равномногія 8, Т, V, X, взятыя по двѣ въ томъже съ ними отношеніи : посему , равномѣсшно , какъ О къ В, такъ 8 къ *22,Ѵ. X*. Но отношеніе О къ В называется сложеннымъ *(.ф. изъ отношеній А къ В, и Е къ Е, и К къ 1л а отношеніе 8 къ X называется сложеннымъ изъ отношеній С къ Е), и О къ II, и М къ Р»: чего ради отношеніе сложенное изъ отношеній А къ В, и Е къ Е, и К къ Е есть тоже съ отношеніемъ сло- женнымъ изъ отношеній С къ I), и Сі къ Н,и М къ Итакъ отношенія сложенныя, и проч. ч. и Д- я' Слѣдствіе:. Отсюда явствуетъ , что отноіпен удвоенныя шѣхьже отношеній , или утроенныя, сушь и взаимно тѣже.
къ книгѣ пятой. 447 ПРЕДЛОЖЕНІЕ Е. Ежели первая величина ко второй имѣетъ боль- шее отношеніе , нежели третья къ четвертой ; то рреложеніемь , вторая къ первой имѣетъ меньшее отношеніе, нежели четвертая къ третьей : И еже- іи меньшее , то большее. Пусть первая величина А (ф. 22) ко второй В имѣетъ большее отношеніе , нежели третья С къ четвертой Н. Говорю , что преложеніемъ , В нъ А имѣетъ меньшее отношеніе , нежели П къ С. Вообрази величину Е, которая къ В имѣетъ то- же отношеніе , что и С къ Б*. акс.а. Ишакъ А къ В имѣетъ большее отношеніе*, нежели ♦ Е къ В: посему А больше Е*; а посему Е меньше А. *10е Поелику же Е меньше А, и В есть другая нѣкая величина ; а таже величина къ меньшей имѣетъ большее отношеніе , нежели къ большей*: посему В *8. въ Е имѣетъ большее отношеніе, нежели В къ А. И поелику Е къ В имѣетъ тоже отношеніе , что С къ О; то преложеніемъ , В къ Е имѣетъ то- же отношеніе , что и I) къ С*. Доказано же , что *слід.‘4 В къ Е имѣетъ большее отношеніе, нежели В къ А; то есть В къ А имѣетъ меньшее отношеніе , Нежели В къ Е: чего ради В кь А имѣетъ мейь- Ніее отношеніе , нежели и О кь С*. *і34 Подобно докажемъ , что естьли первая ко вто- рой имѣетъ меньшее отношеніе , нежели третья Нь четвертой : шо преложеніемъ , вторая къ пер- вой имѣетъ большее отношеніе , нежели четвер- ІІГая къ третьей. Итакъ , ежели первая величина, и проч. ч. и. д. н.
4$8 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. Ежели первая величина ко второй имѣетъ боль- шее отношеніе , нежели третья къ четвертой - то и премѣненіемъ имѣетъ большее. Пусть А (ф. 22) къ В имѣетъ большее отно- шеніе , нежели С къ Н. Говорю , что и премѣне- ніемъ , Л къ С имѣетъ большее отношеніе нежели В къ П. Вообрази величину Е, которая къ В имѣетъ тоже *акс.а. отношеніе , что и С къ Г)*. Итакъ А къ В имѣетъ большее отношеніе, нё- * хЗ. жели Е къ В*і и потому А больше Е. Поелику же А больше Е, а С есть другая нѣкая величина; шо А * 8. къ С имѣетъ большее отношеніе, нежели Е къ С*. И поелику Е къ В имѣетъ тоже отношеніе , что и С къ В: то и премѣненіемъ , Е къ С имѣетъ то- слѣд.-^. же отношеніе, что и В къ I)*. Доказано же , что А къ С имѣетъ большее отношеніе , нежели Е къ С: чего ради А къ С имѣетъ большее отношеніе » • хЗ. нежели и В къ П*. Итакъ, ежели первая величина, и проч. ч. и д. Н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Н. Ежели первая величина ко второй имѣетъ боль- шее отношеніе , нежели третья къ четвертой ; то и совокупленно, первая со второю ко второй имѣетъ большее отношеніе , нежели третья съ четвертою къ четвертой. Пусть АВ (ф. 23) къ ВС имѣетъ большее от- ношеніе , нежели НЕ къ ЕГ. Говорю , что и со- вокуплено , АС къ ВС имѣетъ большее отношеніе» нежели ПЕ къ ЕГ.
КЪ КНИГѢ ПЯТОЙ. 449 Вообрази величину СВ, которая къ ВС имѣетъ щоже отношеніе, что и БЕ къ ЕЕ*. *ЙКС. Итакъ АВ къ ВС имѣетъ большее отношеніе дежели СВ къ ВС*; а посему АВ больше СВ. При-*іЗ. дай обще ВС; Посему цѣлая АС больше цѣлой СС. Но ВС есть другая нѣкая величина : посему АС къ ВС имѣетъ большее отношеніе,нежели СС къ ВС*. ‘8. И поелику, по положенію, СВ къ ВС имѣетъ тоже отношеніе , что БЕ къ ЕЕ; шо, совокупленіемъ, СС къ ВС имѣетъ тоже отношеніе, что и БЕ' къ ЕЕ’*. *і8. Доказано же, что АС къ ВС имѣетъ большее отноше- ніе, нежели СС къ ВС : Чего ради АС къ ВС имѣетъ большее отношеніе, нежели и БЕ' къ ЕЕ*. Ишакъ, ежели первая величина , и проч. ч. и д. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ К Ежели первая величина со второю ко второй имѣетъ большее отношеніе , нежели третья съ четвертою къ четвертой ; то и отдѣленно , первая ко второй имѣетъ большее отношеніе, нежели третья къ четвертой. Пусть АС (фиг. гЗ) къ ВС имѣетъ большее отношеніе, нежели БЕ къ ЕЕ. Говорю, что й отдѣленно , АВ къ ВС имѣетъ большее отноше- ніе , нежели ПЕ къ ЕГ. Вообрази величину СС , которая къ ВС имѣетъ тоже отношеніе , что и БЕ къ Е1Е. Итакъ АС къ ВС имѣетъ большее отношеніе , не- жели СС къ ВС посему АС больше СС*. Отними обще "ІО- посему остальнаяАВ больше остальной СВ. Но ВС ‘сть другая нѣкая величина- посему АВ къ ВС имѣетъ 39
45о ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ "В.большее отношеніе, нежели СВ къ ВС*. И поелику, по положенію, СС къ ВС имѣетъ тоже отношеніе , чиів и ВГ къ ЕЕ: то, отдѣленіемъ , СВ къ ВС имѣетъ *7 тоже отношеніе , что и ВЕ къ ЕЕ1*. Доказано же что АВ къ ВС имѣетъ большее отношеніе, нежец, СВ къ ВС: чего ради АВ къ ВС имѣетъ большее *13. отношеніе , нежели и ВЕ къ Е.Е*. Ишакъ, ежели совокупленіемъ, и проч. ч. и д. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Е. Ежели первая величина со второю ко второй имѣетъ большее отношеніе, нежели третья съ четвертою і.ъ четвертой ; то, обращеніемъ , первая со вто- рою къ первой имѣетъ меньшее отношеніе, нежели третья съ четвертою къ третьей. Пусть АВ ( фиг. 2^ ) къ ВС имѣетъ большее отношеніе , нежели ВЕ къ ЕГ. Говорю, что, обра- щеніемъ , АВ къ АС имѣетъ меньшее отношеніе , нежели ВЕ къ НЕ. Поелику АВ къ ВС имѣетъ большее отношеніе, нежели ВЕ къ ЕЕ : то , отдѣленіемъ , АС къ СВ *К. имѣетъ большее отношеніе,нежели БГ къ ГЕ*. Посему преложеніемъ, ВС къ СА имѣетъ меньшее отношеніе, 'Г-нежели ЕЕ къ ЕВ*: чего ради совокупленіемъ, АВ +П. къ ДС имѣетъ меньшее отношеніе,нежели ВЕ къ ВЕ • Итакъ , ежели первая величина , и проч. ч. и д- я‘ ПРЕДЛОЖЕНІЕ М. Ежели будетъ сколько ниесть величинъ, и ДРУгихЪ имъ равномиогихъ , взятыхъ по двѣ по порядку > ві>
къ книгѣ ПЯТОЙ. 451 большемъ отношеніи: то и равномѣстно бѵдуогь въ большемъ отношеніи. Пусть будетъ сколько ниесть величинъ А, В, С (ф. з5), и другихъ имъ равномногихъ О,Е,Е, взятыхъ по двѣ въ большемъ отношеніи ; а именно , А къ В имѣетъ большее отношеніе, нежели П къ Е, а В къ С большее нежели Е къ Е. Говорю, чпю и равномѣстно, Д къ С имѣетъ большее отношеніе , нежели Г) къ Е. Вообрази величину О , которая къ С имѣешь тоже отношеніе , что Е къ Е’. Итакъ В къ С имѣетъ большее отношеніе , нежели С къ С*: посему *<3. В больше С*. И поелику В больше Сг, а А‘ю, есть другая нѣкая величина : то А къ В имѣетъ меньшее отношеніе , нежели А къ Сг, шо есть А къ С имѣетъ большее отношеніе, нежели А къ В. Полагается же , что А къ В имѣетъ большее отношеніе , нежели і) къ Е : чего ради піѣмъ паче А къ С имѣетъ большее отношеніе , нежели В къ Е*. *сл2,(Ь5)- Вообрази еще величину Н, которая къ С имѣетъ тоже отношеніе , что и О къ Е. Итакъ А къ & Имѣетъ большее отношеніе , нежели И къ С; посему А больше Н. Но С есть друган нѣкая величина: посему А къ С имѣетъ большее отношеніе , нежели И къ С. И поелику В къ Е имѣетъ тоже от- ношеніе , что и ЕЕ къ С, а Е къ Е1 таже что О Къ С : то равномѣстно , 1) къ Е имѣетъ тоже отношеніе . что Н къ С*. Доказано же , что А *аа. Къ С имѣетъ большее отношеніе, нежели Н къ С: чего Ради А къ С имѣетъ большее отношеніе , нежели Ч В къ Г*. *‘3- Ишакъ , ежели будетъ , и проч. ч. и д. н.
45а ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІИ Слѣдствіе. Ежели А къ В имѣетъ большее от- ношеніе, нежели О къ Е; и будетъ О меньше В; то доказано, что тѣмъ паче А къ О имѣетъ большее отношеніе , нежели. Б къ Е. Изъ сего явст- вуетъ : что изъ пяти величинъ , естьли первая ко второй имѣетъ большее отношеніе, нежели третья къ четвертой , и будетъ пятая меньше второй; то тѣмъ паче первая къ пятой имѣетъ большее отношеніе, нежели третья къ четвертой. ПРЕДЛОЖЕНІЕ К. Ежели будутъ три величины, и другія имъ ра- вномногія , взятыя по двѣ обратно , въ большемъ отношеніи: то и равномѣстно будутъ въ большемъ отношеніи. Пусть будутъ три величины А, В, С (ф. 25), и другія равномногія имъ Б, Е, Е, съ коими тѣ взятыя по двѣ обратно суть въ большемъ отношеніи, а именно : А къ В имѣетъ большее отношеніе , не- жели Е къ Е, а В къ С большее нежели Б къ Е. Говорю , что и равномѣстно , А къ С имѣетъ боль- шее отношеніе , нежели В къ Е. Вообрази величину С, которая кь С имѣетъ шо- *акс.а, же отношеніе , Что и Б къ Е*. Итакъ В къ С "іЗ. имѣетъ большее отношеніе , нежели С къ С*: по* •іо. сему В больше &*; а посему С меньше В. Но А есть другая нѣкая величина : посему А къ С имѣетъ •8. большее отношеніе, нежели А къ В*. Но А къ имѣетъ большее отношеніе , нежели Е къ Е: чеГ0 ради тѣмъ паче А къ С имѣетъ большее огпноте- •сл.а,(55). ніе, нежели Е къ Е*.
къ книгѣ пятой 453 Вообрази еще величину И, которая къ С имѣетъ ріоже отношеніе , что и Е къ Г. Итакъ А къ С „мѣетъ большее отношеніе , нежели Н къ С*: по- *іЗ. се.му А больше Н*. Но С есть другая нѣкая ве- ‘ю. личина : посему А къ С имѣетъ большее отноше- ніе , нежели Н къ С*. Поелику же какъ В къ Е *8. такъ О къ С; а какъ Е къ Р, такъ Н къ С: то равномѣстно , какъ П къ Р, такъ Н къ С*. Доказано *а3- же, что А къ С имѣетъ большее отношеніе, не- жели Н къ С : чего ради А къ С имѣешь шее отношеніе , нежели и П къ Р*. боль- *іЗ. Итакъ, ежели будутъ три , и проч. ч. и д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ О. Ежели цѣлая величина къ цѣлой имѣетъ большее отношеніе , нежели отнятая отъ первой къ отня- той отъ другой ; то и остальная къ остальной будетъ имѣть большее , нежели цѣлая къ цѣлой. Пусть цѣлая АВ (ф. пр. ід) къ цѣлой СП имѣетъ большее отношеніе, нежели отнятая АЕ къ отня- той СР. Говорю, что и остальная ЕВ къ остальной ЕП будетъ имѣть большее отношеніе, нежели цѣлая АВ къ цѣлой СП. Поелику АВ къ СИ имѣетъ большее отношеніе, нежели АЕ къ СР: то и премѣненіемъ, ВА къ АЕ имѣетъ большее отношеніе , нежели ПС къ СР*. *<і. Но естьли величины имѣютъ большее отношеніе, Шо обращеніемъ будутъ имѣть меньшее*: посему АВ Къ ЕВ имѣетъ меньшее отношеніе , нежели СИ къ РП; и премѣненіемъ, АВ къ СП имѣетъ меньшее отношеніе , нежели ЕВ къ ЕП; шо есть, остальная
/{54 ПРИМѢЧАНІЯ’И ПРИБАВЛЕНІЯ ЕВ къ оста іьной ГВ имѣетъ большее отношеніе нежели цѣлая АВ къ цѣлой СВ. Итакъ, ежели цѣлая величина , и проч. ч. и д. и. ПРЕДЛОЖЕНІЕ Р. Ежели будетъ сколько ниесть величинъ, и другихъ имъ равномногихъ; и перваго ряда величины къ вели- чинамъ втораго будутъ имѣть непрерывно большее отношеніе : то всѣ величины перваго ряда, к<? всѣмъ величинамъ втораго ряда , будутъ имѣть менынее отношеніе , нежели первая къ первой , а (большее, нежели послѣдняя къ послѣдней : такожъ большее, нежели всѣ перваго ряда кромѣ первой , ко всѣмъ втораго ряда кромѣ первой же. Пусть будутъ величины А,В, С (ф. пр. 2о),и другія имъ равномногія В, Е, Г; и пусть А къ В имѣешь большее отношеніе , нежели В къ Е, а В къ Е большее нежели С къ Г. Говорю, вопервыхъ, чшо всѣ А, В, С ко всѣмъ В, Е, Е имѣютъ большее отношеніе , нежели Б, С къ Е, Е. Поелику Л къ В имѣетъ большее отношеніе, не- жели В къ Е: то и премѣненіемъ , А къ В боль- но щее , нежели В къ Е*, и совокупленіемъ , А, В къ В *Н. большее нсгкели В , Е къ Е*: и еще премѣненіемъ , А , В къ В , Е большее нежели Б къ Е. Итакъ, поелику цѣлая А, В къ цѣлой В, Е имѣетъ боіь- шее отношеніе , нежели отнятая В къ отнятой Е- то и остальная А къ остальной В имѣетъ боль- шее отношеніе , нежели цѣлая А , В къ цѣлой *0.В, Е*. П одобно докажется , что В къ Е имѣетъ большее отношеніе, нежели В, С къ Е, Е- Но,
къ книгѣ пятой. 455 положенію , Д къ В имѣетъ большее отно- шеніе , нежели В къ Е: посему и тѣмъ паче А къ Б имѣетъ большее отношеніе, неже- ли В, С къ Е, Е*: а посему премѣненіемъ А *сл.-а,(55). ръ В, С большее нежели Б къ Е, Е; и совокупле- ніемъ А, В, С .къ В, С большее нежели Б, Е, Е къ Е , Г : и еще премѣненіемъ А, В, С къ Б, Е, Е большее нежели В , С къ Е , Е. Говорю же , что А, В, С къ Б, Е, Г имѣетъ меньшее отношеніе , нежели А къ В. Поелику , по доказанному , цѣлая А , В , С къ цѣлой I), Е, Е' имѣетъ большее отношеніе , нежели отнятая В, С къ отнятой Е , Е : то осталь- ная А къ остальной В имѣетъ большее отношеніе , нежели цѣлая А. В, С къ цѣлой В, Е, Г*, то есть , "о. А, В С къ В3 Еі, Е имѣетъ меньшее отношеніе , Нежели А къ В. Говорю еще , что А , В , С къ В , Е, Г имѣетъ большее отношеніе , нежели С къ Е. Поелику В къ Е имѣетъ большее отношеніе , Нежели С къ Е: то премѣненіемъ , В къ С имѣетъ большее, нежели Е къ Г ; и совокуп- леніемъ В , С къ С большее , нежели Е, Е къ Е’: и еще премѣненіемъ, В3 С къ Е, Г большее , нежели С къ Е". Но , по доказанному, А , В , С къ В, Е, Е имѣетъ большее отношеніе, нежели В, С къ Е , Е : чего ради тѣмъ паче А , В , С къ В, Е. Е имѣетъ большее отношеніе , нежели С къ Е'. Итакъ , ежели будетъ , и проч. ч. и д. и.
456 ПРШіБЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ ПРЕДЛОЖЕНІЕ 9. Отношенія сложенныя изъ большихъ отношеніи сушь больше сложенныхъ изъ меньшихъ. Пусть имѣетъ А къ В 6о іыпее отношеніе, нежели С ръ И , а Е къ Е большее нежели С къ Н, и К кі Е большее нежели М къ К. А: В. Е: Е. К: Е С: Р, О; Н. М; И О. Р. о? вг 8- Т V. X. Говорю , что от- ношеніе сложенное изъ отношенія А къ В и отношенія Е къ Г, и есть больше отношенія нія С къ Р, и отношенія НІЯ М кь К. еще отношенія К ;«ъ I , сложеннаго изъ отноте- & къ Н, И еще оіпноіпе- Еозьми какую ниесть величину О. и пусть бу- дешъ какъ А къ В, такъ О къ Р*; и какъ Е къ Г, такъ Р къ (I; и еще какъ К къ Ь, такъ () кь В. Возьми еще какую ниесть величину 5: ?акс,а. и пусть будетъ какъ С къ Р , такъ 8 къ I*; и какъ & къ II, такъ ’Г къ V; и еще какъ М къ К, такъ V къ X. Поелику А къ В Имѣетъ большее отношеніе, нежели С къ Р; но какъ А къ В, такъ О къ Р, а какъ С къ Р, такъ 8 къ Т: погему О къ Р іі и іЗ. имѣетъ большее отношеніе , 8 къ Т*. Потому же и Р къ имѣетъ большее отношеніе, нежели Т къ и (А къ К имѣетъ большее отношеніе , нежели V къ X. Итакъ четыре суть величины О, Р, и другія имъ равномногія 8, Т, V, X, в іяпіыя і'° двѣ въ большемъ отношеніи : посему и равномѣстно *М. будутъ нъ большемъ*; а посему О къ И имѣетъ большее отношеніе , нежели 8 къ X. Но О къ В. есть
къ книгѣ пятой. 457 ръ отношеніи сложенномъ изъ отношеній А къ В3иЕ (сь Е? К къ 1.*; а къ X есть въ отношеніи сложен- йо'іъ изъ отношеній С къ 1>, и С къ Н, и М Къ К: посему и отношеніе , сложенное изъ отношеній А ці> В, и Е къ Е, и К. къ Ь, есть больше отноше- нія сложеннаго изъ отношеній С къ И, и О къ Н, Л М къ И. Итакъ отношенія сложенныя, и проч. ч. и д. н. Слѣдствіе. Отношенія удвоенныя , рлр утроен- ныя , большихъ, суть большія. КЪ .КНИГѢ ШЕСТОЙ. (39) Подобныя прямолинейныя фигуры называют- ся подобно положенными, или подобно написанными изъ тѣхъ ихъ сторонъ , кои суть сходственныя. (6о) Или такъ : обратныя фигуры суть тѣ , кои имѣютъ стороны около своихъ угловъ обрат- но пропорціональныя. (6і) Или: высота треугольника есть-прямая, отъ вершины перпендикулярно къ основанію про- веденная. (62) Сіе опредѣленіе изъясняютъ различнымъ об- разомъ. Здѣсь довольно замѣтить , что Эвклидъ и ісѣ древніе Геометры употребляютъ оное въ •пакомъ смыслѣ какъ предложено выше*. Къ Эвклидовымъ опредѣленіямъ можно еще при- совокупить слѣдующія :
458 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ а. Прямыя линіи подобно разсѣченныя сушь пі% коихъ отрѣзки суть пропорціональные. Ъ. Параллелограммъ по нбкоей прямой линіи по- мѣщенный называется имѣющимъ недостатокъ когда не занимаетъ цѣлой линіи , а имѣющимъ из- бытокъ , когда занимаетъ прямую большую той по которой помѣщается : и естьли на цѣлой допол- нить параллелограммъ , то въ первомъ с іучаѣ прибавится параллелограммъ, называемый избы- токъ , а во второмъ отнимется , называемый не- достатокъ. (63) Слѣдствіи. Треугольники и параллелограммы равныхъ высотъ , суть взаимно какъ ихъ основанія. (64) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, какъ данную прямую раздѣлять на сколько ниесть равныхъ частей. (65) Слѣдствіе. Равныхъ параллелограммовъ осно- ванія обратно пропорціональны высотамъ. И ко- торыхъ параллелограммовъ основанія обратно про- порціональны высотамъ , тѣ суть равные. (66) Тоже сказать можно и о треугольникахъ. (67) Что сказано о прямоугольникахъ, можно сказать и о параллелограммахъ , имѣющихъ вмѣсто угловъ прямыхъ равные. (68) И здѣсь вмѣсто прямоугольныхъ параллело- граммовъ могутъ быть всякіе равноуго.ѵьные. (69) Новые Геометры вмѣсто удвоеннаго отно- шенія двухъ сходственныхъ сторонъ , подобныхъ фигуръ , употребляютъ отношеніе квадратовъ изъ оныхъ линій : но сіе употребленіе, какъ замѣ- чаетъ Гурьевъ , произошло болѣе отъ при ложе-
къ книгѣ ШЕСТОЙ. 4^9 яія Числительной науки нъ Геометріи, неже- ли отъ сущности предмѣта ; ибо квадраты сами суть подобныя фигуры , и находятся какъ и прочія въ удвоенномъ отношеніи сторонъ своихъ ; и потому принаравливать квадраты къ другимъ фигурамъ стольже при лично, какъ и сіи другія фигуры къ квадратамъ. (го) Предложеніе сіе имѣетъ свою силу , когда будетъ вмѣсто четырехъ три прямыя. (71) Слѣдствіе, і. Треугольники , въ коихъ одинъ уголъ равенъ одному углу, суть взаимно въ сло- женномъ отношеніи изъ отношеній сторонъ , кои около сихъ равныхъ угловъ. Слѣдствіе 2. Треугольники и параллелограммы, имѣ- ющіе по одному углу равному, суть взаимно какъ прямоугольники содержимые вь сторонахъ, кои около равныхъ угловъ. Слѣдствіи 3. Треугольники и параллелограммы суть Взаимно въ отношеніи сложенномъ, изъ отношенія основанія къ основанію и отношенія высоты къ высотѣ. (72) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ, что парал- лелограммы , имѣющіе по одному углу равному и стороны около равныхъ угловъ пропорціона ль- иыя , суть подобны. (7З) Вмѣсто: Но данная прямолинейная фиецра, Коей . . . недостатокъ , можно сказать но данная Прямолинейная фигура не должна быть больше па- раллелограмма , постав іеннаго по Половинѣ той
46о ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ прямой , и котораго недостатокъ подобенъ тому жв данному параллелограмму. (74) Оба предъидущія предложенія , то есть аде и Зое употребляются весьма часто древними Геометрами. (п5) Слѣдствіе. Ежели къ прямой , которая раз- сѣчена въ крайнемъ и среднемъ отношеніи, при- ложенъ будетъ впрямъ большій отрѣзокъ ; то цѣлая прямая, въ точкѣ гдѣ приложенъ отрѣзокъ, будетъ опять разсѣчена въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Ибо пусть АВ (ф. 26) будетъ разсѣчена въ Свъ край- немъ и среднемъ отношеніи , такъ что АС будетъ большій отрѣзокъ; и пусть впрямъ съ АВ при- ложена будетъ ВО равная АС. И поелику какъ АВ къ АС, такъ АС къ СВ; то преложеніемъ , какъ АС къ АВ, такъ СВ къ АС; и совокупленіемъ , какъ АС съ ЛВ къ АВ такъ АС съ СВ къ АС ; но АС равна ВІ): посему какъ АВ съ ВО къ АВ такъ АС съ СВ къ ВО; то есть, какъ АО къ АВ, такъ АВ къ ВО. (пб) Часть сего предложенія , заключенная въ зна- кахъ « », помѣщена извѣстнымъ древнимъ издате- лемъ и толкователемъ Эвклида Ѳеономъ , коему Р Симсонъ и другіе новые издатели обыкновенно при- писываютъ погрѣшности (большею частію мни- мыя ) , находимыя ими въ Началахъ. Слѣдствіе. I. Какъ уголъ при центрѣ круга есть къ четыремъ угламъ прямымъ , такъ дуга, па коей онъ стоитъ , къ окружности того круга. Ибо, ежели провесть въ кругѣ два поперечника, одинъ къ другому подъ прямыми углами , то сіи углы будутъ стоять на равныхъ дугахъ, кои суть
къ КНИГѢ ШЕСТОЙ. 46і четверти окружности ; посему какъ уголъ при центрѣ къ четыремъ прямымъ , такъ дуга , на коей онъ стоитъ , къ четверти окружности. Но ракъ прямой уголъ къ четыремъ прямымъ , такъ четверть къ цѣлой окружности: чего ради равно- Нѣсшно , какъ уголъ при центрѣ , и проч. Точно также докажется , что какъ вырѣзокъ къ четверти круга , такъ основаніе вырѣзка къ четвер- ти окружности. Слѣдствіе 2. Подобныя дуги круговъ суть взаим- но какъ окружности. Ибо каждая изъ нихъ есть къ своей окружности , какъ углы при центрѣ на нихъ стоящіе , кои взаимно равны , къ четыремъ угламъ прямымъ. Итакъ , поелику послѣднія отношенія суть тѣже , то и отношенія подобныхъ дугъ, къ своимъ окружнос- тямъ суть тѣже. Слѣдственно подобныя дуги, и проч. КЪ КНИГѢ ОДИННАДЦАТОЙ. (77) Прямая же оная называется наклоняющеюся, или наклонною. (78) Новые Геометры въ семъ опредѣленіи про- пускаютъ слово : острой. (79) Такъ же опредѣляются и подобныя накло- ненія прямыхъ линій къ плоскостямъ. Опредѣленіе. Прямая есть параллельная къ плос- кости , когда , будучи неопредѣленно продолжена на обѣ стороны , нигдѣ съ плоскостію не встрѣчается. (8о) Сіе опредѣленіе объяснено въ слѣдующемъ примѣчаніи.
/{6г ПРИМѢЧАНІЯ и ПРИБАВЛЕНІЯ (8і) Сіе опредѣленіе есть болѣе аксіома , дли какъ многимъ толкователямъ кажется , есть ьео- рема , то есть предложеніе , которое должно быть доказано. Р. Симсонъ въ примѣчаніи своемъ на оное , говоритъ : « поелику смыслъ слова , равно, » извѣстенъ и установленъ прежде сего опредѣле- » нія ; то предложеніе , которое въ немъ заклю- » чается , есть ееорема , коея справедливость или » несправедливость должна быть доказана , а не при- »> нята ; и потому Ѳеонъ или иной какой изда- » тель, обративъ ѳеорему , которая должна быть » доказана , въ сіе опредѣленіе , поступилъ невѣ- н жественно. Ибо , что фигуры подобны , доказа- » тельство сему должно быть выведено изъ опре- п дѣленія подобнымъ фигурамъ ; а что онѣ равны, і» то доказательство сему должно быть выведено » изъ аксіомы : совмѣщающіяся! взаимно , суть и и взаимно равны; или изъ предложеній В или юго >» или і4го пятой книги. » Р. Симсонъ потомъ утверждаетъ , что сіе опре- дѣленіе даже не можешь быть и ѳеоремою , ибо оно въ нѣкоторыхъ случаяхъ , говоритъ она., ложно; что и доказываетъ слѣдующимъ примѣромъ : Вообра- зимъ , что къ какому ниесть многограннику пристанлена пирамида , имѣющая основаніемъ пло- скость многогранника ; вообразимъ еще, что > вмѣсто того , чтобы приложить пирамиду , оная будетъ отнята , сдѣлавъ въ многогранникѣ вогну- тость пирамидѣ равную : то получимъ два тѣла , коихъ плоскости равны, каждая каждой; и° совсѣмъ тѣмъ сіи два тѣла будутъ не равны- Основываясь на семъ Р. Симсонъ уничтожаешь
КЪ книгѣ ОДИННАДЦАТОЙ. 46З вовсе опредѣленіе тѣламъ равнымъ, а опредѣленіе подобнымъ тѣламъ замѣняетъ другимъ. Лежандръ , разбирая Эвклидовы де и іое опредѣ- ленія и замѣчанія Р. Симсона, говоритъ ; « фигуры , (( коихъ равенство или подобіе доказываетъ Эвклидъ, « основываясь на дмъ и I омъ опредѣленіяхъ , суть « таковы, что углы ихъ толстые содержимъ! не- в больше какъ тремя плоскостями : но естьли два в угла толстые составлены изъ трехъ плоскихъ , в кои равны каждый каждому ; то довольно ясно « доказано во многихъ мѣстахъ Эвклида, что сіи в углы равны. Съ другой стороны, естьли два к многогранника имѣютъ плоскости равныя или в подобныя, каждую каждой; то сходственные углы « толстые будутъ составлены изъ равномногихъ « угловъ плоскихъ , кои равны каждый каждому. « Естьли же сходственныя плоскости равны и сход- « сшвенные толстые углы равны ; то нѣтъ со- іі мнѣнія , что тѣла равны , ибо оныя могутъ чрезъ « наложеніе совмѣститься , или по крайней мѣрѣ « 6}дутъ взаимно симметрическія (*)• Изъ сего : явствуетъ, что опредѣленія де и і ое справедливы « и могутъ быть допущены, покрайией мѣрѣ, когда <і углы толстые будутъ трегранные, который «случай одинъ токмо и встрѣчается у Эвклида. « Слѣдственно упрекъ въ неосновательности, (*) О симметріи и неудобствахъ оной смога, въ Опытѣ °Усов. Елем. Геом. Гурьева, стр. 8а Здѣсь нельзя не замѣтить, 'Шо симметрія предполагаетъ опредѣленіе іое; слѣдственна •'сжандръ, доказывая чрезъ симметрію предложенія изъ сего '"’редѣленія непосредешкенво слѣдующія , доказываетъ і<1сш Рбг ісіет.
464 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ « « дѣлаемый Эвклиду или его толкователямъ, пере стаетъ быть важнымъ, и относится токмо нѣкоторымъ ограниченіямъ или объясненіямъ, Имь к пропущеннымъ ». Послѣ сего Лежандръ , ПрИ изслѣдованіи случая , когда въ тѣлахъ толстые углы суть многогранные , приведя вышепомѣщенное нами возраженіе или примѣръ Р. Симсона о тѣлахъ съ приложенною и отнятою пирамидами , говоритъ что « одно изъ сихъ тѣлъ имѣетъ входящій уголъ • « а болѣе нежели вѣроятно , что Эвклидъ дѣлаетъ « изключеніе тѣламъ неправильнымъ имѣющимъ « вогнутости или углы входящіе, И что онъ ограни- « чилъ себя многогранниками выпуклыми. По при- « нятіи же сего изключенія ] безъ котораго впро- « чемъ другія предложенія были бы несправедливы, « приводимый Р. Симсономъ примѣръ противъ іого « опредѣленія или ѳеоремы Эвклидовой ничего не « доказываетъ ; напротивъ того послѣ многократ- <с ныхъ о семъ размышленій я думаю, что сія « ѳеорема совершенно справедлива , но повидимому « не легко оную доказать ». И дѣйствительно равенство таковыхъ тѣлъ за- виситъ наипаче отъ того , что сопровождающія ихъ одинакія обстоятельства (равенство и подо- біе плоскостей ) дѣлаютъ каждую съ своей сто- роны фигуру непремѣнною ; и что нѣтъ никакой причины , чтобы одна фигура была неравна другой Словомъ, опредѣленіе относительно равенства тѣлъ есть такое предложеніе , котораго справедливости Почти очевидна , и которое, по сей можетъ быт самой причинѣ, легче понимать , нежели доказать. Въ заключеніе скажемъ съ Лежандромъ : сопіте
къ книгѣ одиннадцатой. 465 іЬёогёте сзі іоіёгез.чапі раг Іиі-тёте, іі зегаіі а ёёчігег ди’оп еп ігоиѵаі ипе (Іётопзігаііоп §ёпёга!е. Чшо касается до подобія многоугольниковъ значу* щагося въ опредѣленіи умъ и частію юмъ, то Г Симсонч. замѣняетъ оныя слѣдующимъ: «Подобныя «прямолинейныя тѣла суть тѣ , кои содержимъ! « равномногими подобными плоскостями и имѣютъ всѣ « толстые углы равные каждый каждому. » Но Ле- жандръ справедливо замѣчаетъ , что сіе опредѣленіе не можетъ быть принято , ибо заключаетъ въ себѣ лишнія условія: отбросивъ же условіе, заключающее равенство толстыхъ угловъ , сіе опредѣленіе превратится въ Эвклидово , которое находитъ онъ недостаточнымъ , потому что предполагается въ немъ равенство тѣлъ. На семъ основываясь Ле- жандръ отвергаетъ опредѣленіе Симсоново и замѣ- няетъ. оное слѣдующими двумя : « I. Двѣ трехсто- » ронныя пирамиды суть подобныя , когда имѣютъ » двѣ стороны подобныя , подобнорасположенныя » и равно между собою наклоненныя. 2. Два много- » гранника суть подобные, когда имѣютъ основа- л нія подобныя, и сходственныхъ угловъ вершины , » которыя суть внѣ сихъ основаній , опредѣлены » вершинами подобныхъ трехсторонныхъ пирамидъ.» Но сіе опредѣленіе, какъ замѣчаетъ Гурьевъ , сверхъ Неудобства , что раздѣлено на двѣ части , имѣетъ еще то , что весьма принужденно , и что вторая часть его сомнительна ; при чемч> въ самомъ упо- требленіи требуетъ многихъ ѳеоремъ , какъ то видѣть можно изъ предложенныхъ, на сей конецъ ЛежАндромъ. Впрочемъ , поелику подобіе многогран- никовъ есть токмо простое наименованіе свойствъ Зо
ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ ' подъ сийъ именемъ означенныхъ ; то и нѣтъ нф какой причины отвергать Эвклидова опредѣленія тѣмъ болѣе , что подобіе тѣлъ съ подобіемъ пло- скихъ фигуръ имѣетъ весьма близкое сходство. И дѣйствительно , естьли дана плоская прямоли- нейная фигура , и еще пря іая линія; то изъ сей прямой извѣстнымъ строеніемъ опредѣлятся всѣ стороны и всѣ углы многоугольника , то есть всѣ величины предполагаемыя въ опредѣленіи подобныхъ плоскихъ фигуръ. Равнымъ образомъ , естьли данъ многогранникъ , и еще прямая сходственная съ его стороною ; то опредѣлятся всѣ плоскости подоб- ныя плоскостямъ данннаго многогранника , шо есть всѣ величины предполагаемыя въ опредѣленіи по- добныхъ многогранниковъ. (82) Опредѣленіе. Подобныя прямолинейныя тѣла называются подобно положенными , или подобно на- писанными изъ тѣхъ ихъ сторонъ , кои суть сход- ственныя стороны подобныхъ ихъ плоскостей. (83) Слѣдствіе. Изъ сего явствуетъ , что пря- мыя , исходящія отъ центра шара до поверхности онаго , суть взаимно равныя ; и также всѣ попе- речники шара равны взаимно. (84) Опредѣленіе. Высота тѣла , находящагося между плоскостію и прямою къ ней параллельною, или между двумя плоскостями параллельными , есть прямая , перпендикулярно къ основанію проведенная, оть какой ниесть точки взятой па прямой или на плоскости проіппвулежащей основанію. Высо- та же пирамиды и конуса есть прямая, отъ вер- шины перпендикулярно къ основанію проведенная.
къ КНИГѢ ОДИННАДЦАТОЙ. 467 (85) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что прямая линія пересѣкаетъ плоскость въ одной токмо точкѣ. (86) По мнѣнію нѣкоторыхъ толкователей сіе предложеніе Непосредственно слѣдуетъ изъ опр. 35 И 7 кн. I. (87) И отъ тойже точки внѣ плоскости не могутъ быть проведены двѣ прямыя перпендикуляр- ныя къ оной. Ибо , естьли возможно , пусть про- ведены будутъ ; то онѣ будутъ параллельны*, что *6. нелѣпо. (88) Въ семъ предложеніи должно, или по крайней мѣрѣ можно , пропустишь слѣдующее : потому же Вь есть и къ плоскости . . . прямыхъ АВ, ВС. ПРЕДЛОЖЕНІЕ А. (89) Прямая, перпендикулярная къ одной изъ параллельныхъ плоскостей , перпендикулярна и къ другой. Пусть будутъ параллельныя плоскости АВ , СВ (.ф. 27 ) ; и пусть прямая ЕГ будетъ перпендикуляр- на къ одной изъ параллельныхъ плоскостей , АВ. Говорю , что ЕЕ перпендикулярна и къ плоско- сти СВ. Пусть чрезъ ЕЕ проведены будутъ двѣ плоско- сти ; и одна изъ нихъ пусть пересѣкаетъ парал- лельныя плоскости въ прямыхъ ЕА, ЕС , а другая прямыхъ ЕВ, ЕВ. Итак ъ ЕА параллельна къ ЕС, а ЕВ къ ЕВ*. *16. И поелику ЕЕ перпендикулярна къ плоскости АВ; *Чо ЕЕ со всѣми прямыми линіями , съ нек» * *
468 ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ встрѣчающимися и лежащими на ссй плоскосгпй *опр.З. дѣлаетъ углы прямые*. Встрѣчается же съ ЕЕ каждая изъ прямыхъ ЕА , ЕВ , лежащихъ иа пюй плоскости: посему каждый изъ угловъ ЕЕА , ЕЕВ есть прямой. И поелику ЕС параллельна къ АЕ, и на нихъ падаетъ ЕЕ: то два угла ЕЕА, ЕЕС равны *гдД. двумъ прямымъ*; но уголъ ЕЕА прямой, посему и уголъ. ЕЕС прямой. Потому же и уголъ ЕЕ1) прямой. Чего ради ЕЕ къ каждой изъ прямыхъ ЕС , ЕИ есть подъ прямыми углами. Но ежели прямая, къ двумъ прямымъ встрѣчающимся взаимно , будетъ поставлена подъ прямыми углами , при взаимномъ оныхъ сѣченіи ; то сія прямая будетъ подъ прямыми *4- углами и къ плоскости тѣхъ прямыхъ*: посему ЕЕ подъ прямыми углами къ плоскости прямыхъ ЕС, ЕВ. Но сія плоскость есть плоскость СВ: по- сему ЕЕ перпендикулярна къ плоскости СВ. Итакъ прямая перпендикулярная, и проч. ч. И д. н. ПРЕДЛОЖЕНІЕ В. (до) Плоскость, Перпендикулярная къ одной изъ параллельныхъ плоскостей , перпендикулярна и къ другой. Пусть будутъ, параллельныя плоскости АВ , СВ ( ф. 28 ); и пусть плоскость ЕЕ' будетъ перпенди- кулярная къ одной изъ параллельныхъ плоскостей, АВ. Говорю , что ьі перпендикулярна и къ плос- кости (?В. Пусть взаимныя сѣченія плоскостей АВ , СВ съ плоскостію ЕЕ" будутъ прямыя СЕ, ЕІІ; возьмй на СЕ какую ниесть точку С ; п отъ точки О
къ книгѣ ОДИННАДЦАТОЙ. 4^;) проведи на плоскости ЕЕ , подъ прямыми углами къ СЕ, прямую СЕ*. *и,І. Поелику плоскость ЕЕ перпендикулярна къ пло- скости АВ , и прямая СЕ проведена на плоско- сти ЕЕ, подъ прямыми углами къ СЕ взаимному сѣченію сихъ плоскостей ; то прямая СЕ пер- пендикулярна къ плоскости АВ*. Но плоскость АВ *опр.^. параллельна къ плоскости СІ); а прямая, перпен- дикулярная къ одноц изъ параллельныхъ плоско- стей , перпендикулярна и къ другой*: посему СЕ *А перпендикулярна и къ плоскости СО. Но ежели пря- мая будетъ подъ прямыми углами къ какой ниесть плоскости; то всякія цлоскости, проходящія чрезъ сію прямую , будутъ къ тойже плоскости подъ прямыми углами*: слѣдственно и плоскость ЕЕ пер-^ів. пендикулярна къ плоскости СО. Итакъ плоскость , и проч. ч. и д. и, ПРЕДЛОЖЕНІЕ С. (ді) Параллелепипеды , содержимые равноугольны- ми плоскостями, суть взаимно въ отношеніи сло- женномъ изъ отношеній сторожъ , кои около ихъ толстыхъ угловъ. Пусть будутъ параллелепипеды АВ, СО ( ф. 29 )» содержимые равноугольными плоскостями; а именно: пусть будетъ равноугольна плоскость АС плоско- сти СИ, плоскость АН плоскости СВ, и плоскость НС плоскости ВГі: посему и прочія три плоскости параллелепипеда АВ равноугольны прочимъ тремъ параллелепипеда СП. Говорю , что АВ къ СП Имѣетъ отношеніе сложенное изъ отношеній АЕ къ СЕ, и ЕС къ ГК, и ЕН къ ГВ
470 ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ Продолжи АЕ, СЕ, НЕ впрямь ; и положи ЕК равную СЕ, и ЕЕ равную ЕК, и еще ЕМ равную ГК; и дополни параллелограммъ ЕК, который бу- въЗЗ. дешъ , какъ уже доказано было*, равенъ паралле- лограмму СК. Изъ основанія ЕК дополни паралле- лепипеды Ер и КР; и возьми какую ниесть пря- *адс.а,Ѵ. мую 8; и сдЬлай какъ АЕ къ ЕК, такъ 8 къ Т* и какъ СЕ къ ЕЬ, такъ Т къ V, и какъ ПЕ къ ЕМ, такъ V къ X. Поелику параллелепипеды АВ, Ер имѣютъ ту- же высоту ; то какъ АВ къ Ер, такъ основаніе *3э. АС къ основанію КЕ*. Но АС къ КЕ имѣетъ отношеніе сложенное изъ отношеній АЕ къ ЕК, *аЗ,Ѵ1. и СЕ къ ЕЬ*, которое есть отношеніе прямыя 8 къ посему какъ 8 къ V, такъ параллелепипедъ АВ къ параллелепипеду Ер. И поелику параллелепипедъ рР пересѣченъ плоскостію ЕК, параллельною къ про- тивулежащимъ плоскостямъ : то какъ основаніе НК къ основанію КМ, такъ параллелепипедъ рЕ *а5. къ параллелепипеду КР*. Но какъ основаніе НК *і,Ѵі. къ основанію КМ, такъ НЕ къ ЕМ*, и такъ V къ X, по строенію : посему какъ V ьъ X, такъ *ы»Ѵ-рЕ къ КР*. Итакъ, поелику доказано, что какъ 8 къ V, такъ параллелепипедъ АВ къ ЬР; и какъ V къ X, такъ параллелепипедъ рЕ къ КР: то равномѣстно , какъ 8 къ X, такъ параллелепипедъ *22,Ѵ. АВ къ параллелепипеду КР*. По КР равенъ СО: и ы,У-посему какъ 8 къ X, такъ АВ къ СН*. И по- елику есть одинъ рядъ величинъ 8 , Т , V , X имѣющихъ взаимное отношеніе ; а другой рядъ отношеній : АЕ къ ЕК; СЕ къ ЕЕ; НЕ ьъ ЕМ, которыя суть тѣже съ отношеніями величинъ
КЪ КНИГЪ ОДИННАДЦАТОЙ. 4?1 перваго ряда ; шо 8 къ X имѣетъ отношеніе сложен- ное изъ отношеній АЕ къ ЕК, и СЕ къ ЕЬ, и НЕ къ ЕМ*: посему параллелепипедъ АВ къ параллелепи- педуСі) имѣетъ отношеніе сложенное изъ отношеній АЕ къ ЕК, и СЕ къ ЕЕ, и НЕ къ ЕМ. Но отношеніе сложенное изъ сихъ есть тоже съ отношеніемъ сложеннымъ изъ отношеній АЕ къ СЕ, и СЕ къ КГ, и ЕН къ ЕВ*; ибо ЕК равна СЕ, а ЕЬ равна ЕК, *уиЕ,Ѵ. и ЕМ равна ЕН: чего ради параллелепипедъ АВ къ параллелепипеду СП имѣетъ отношеніе сложенное изъ отношеній АЕ къ СЕ, и СЕ къ КЕ, и ЕН къ' ГК*. » *и,Ѵ Итакъ параллелепипеды , и проч. ч. и д. н. КЪ КНИГѢ ДВѢНАДЦАТОЙ. (92) Слѣдствіе. Очертанія подобныхъ многоуголь- никовъ въ кругахъ , суть взаимно какъ поперечники Кругова,. Ибо премѣненіемъ , какъ АВ къ ЕС , такъ ВС къ СН, и такъ СБ къ НК, и такъ ОЕ къ НЕ, и еще така, ЕА къ ЬР\ Но какъ одна предъ идущая къ одной послѣдующей , такъ всѣ предъидущія ко всѣмъ послѣдующимъ*: посему какъ АВ къ ГС, такъ *із,Ѵ. АВ, ВС, СБ, БЕ, ЕА къ ЕС, СН, НК, КЬ, ЬЕ; то есть, такъ очертаніе многоугольника АВСОЕ къ очертанію многоугольника ЕСНКЕ. Доказано же, что кака, АВ къ ГС, такъ поперечникъ ВМ къ попе- речнику СК : слѣдственно кака, очертаніе много- угольника авсбе къ очертанію многоугольника ЕСНКЬ,такъ поперечникъВМ къ поперечнику СК*. *и»Ѵ.
472 ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ (9З) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что подобные многоугольники въ кругахъ, суть взаимно какъ круги. Ибо и многоугольники и круги суть взаимно въ удвоенномъ отношеніи поперечниковъ. (94) Предложенную нами фигуру можно замѣнить фигурою Зо. (д5) Сіе слѣдствіе можно еіце доказать такъ; Пусть будутъ подобныя пирамиды, коихъ осно- ванія многоугольники АВСВЕ , РСНКЬ , а вершины точки М , X ; сходственныя же стороны пусть будутъ АВ; ЕС; и пусть основанія АВСОЕ, РСНКЬ раздѣлены будутъ на подобные треугольники АВС, *2о,Ѵі.АСі>, АВЕ, РСН, РНК, ЕКЬ*. Поелику треугольникъ АВМ подобенъ треуголь- нику РСХ, и треугольникъ АВС треугольнику ЕСН: то какъ АМ къ АВ, такъ РМ къ РС; и какъ АВ къ АС, такъ РС къ РН: посему, равномѣстно , *2Э,Ѵ. какъ АМ къ АС, такъ ЕХ къ РН*. Потому же и какъ АС къ СМ, такъ РН къ НХ. Чего ради еще равномѣстно , какъ АМ къ МС, такъ Е'Х къ ХН. Итакъ стороны треугольниковъ АСМ,РНХ суть про- порціональныя : и потому треугольникъ АСМ есть ♦5 VI. равноугольный треугольнику РНХ*; слѣдственно и по- добенъ ему. Чего ради пирамида АВ( М подобна пира- *оп.д,ІХ.мидѣ РСИХ*, ибо онѣ содержатся равномногими по- добными плоскостями. Потому же и пирамида АСВМ подобна пирамидѣ ГНКХ, а пирамида АВЕМ пирамидѣ ЕКІ.Х. И поелику подобныя пирамиды, имѣющія треугольныя основанія , суть взаимно въ утроен- ’8. номъ отношеніи сходственныхъ сторонъ*: то пи- рамида АВСМ къ пирамидѣ І'.СНХ имѣетъ утроенное
къ книгѣ двѣнадцатой. 47^ отношеніе прямыя АС къ ЕН. Потому же и пира- мида АС1)М къ пирамидѣ ГНКІ\ имѣетъ утроен- ное отношеніе АС къ ЕН- Чего ради какъ пира- мида АЬСМ къ пирамидѣ ЕСгНК, такъ пирамида ДСОМ къ пирамидѣ ЕНКМ*. Подобно же докажемъ , *сл что какъ пирамида АСБМ къ пирамидѣ Е1ІК№, діакъ пирамида АІ)ЕМ къ пирамидѣ ЕКЬК. И по- елику какъ одна предъидущая къ одной послѣ- дующей , такъ всѣ предъидущія ко всѣмъ послѣ- дующимъ*; посему какъ пирамида АВСМ къ пира- *із мидѣ ЮНІ'І, такъ цѣлая пирамида , АВСИЬМ къ цѣлой ГСіНКЫѴ. Но пирамида АВСМ къ пирами- дѣ ЕОНМ имѣетъ утроенное отношеніе прямыя АВ къ ЕС: посему и пирамида АВСПЕМ къ пира- мидѣ ЕСНКЕМ имѣетъ утроенное отношеніе пря- мыя \В къ ЕС. Слѣдствіи. Всякія подобныя прямолинейныя тѣла суть взаимно въ утроенномъ отношеніи сходствен- ныхъ сторонъ. Ибо отъ нѣкихъ точекъ внутри ихъ или отъ вершинъ толстыхъ ихъ угловъ , можно раздѣлить сіи тѣла на пирамиды , коихъ вершины будутъ при іпѣхъ точкахъ , а основанія плоскости , коими ограничиваются тѣла. Сіи пи- рамиды будутъ взаимно подобны и пропорціональны цѣлымъ тѣламъ , что докажется какъ и предъи- дущее слѣдствіе. Но поелику сіи пирамиды суть взаимно въ утроенномъ отношеніи сходственныхъ сторонъ; то и оныя цѣлыя тѣла будутъ взаимно Въ утроенномъ отношеніи тѣхъ же сходственныхъ сторонъ. (96) Слѣдствіе. I. Подобно докажемъ, что равныхъ Пирамидъ , имѣющихъ основаніями параллелограммы,
4^4 ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ основанія сущъ обратно пропорціональны высотамъ- И которыхъ пирамидъ, имѣющихъ основаніями па- раллелограммы , основанія обратно пропорціональны высотамъ , тѣ суть равныя. Слѣдствіи 2. Равныхъ пирамидъ, имѣющихъ основа- нія многоугольныя , основанія суть обратно про- порціональны высотамъ: И которыхъ пирамидъ имѣющихъ основанія многоугольныя, основанія обрат- но пропорціональны высотамъ , тѣ суть равныя. Ибо , естьли составлены будутъ параллелограммы равные основаніямъ пирамидъ ; и на сихъ параллело- граммахъ возставлены будутъ пирамиды равновы- сотныя первымъ пирамидамъ : то пирамиды на параллелограммахъ будутъ равны пирамидамъ на многоугольникамъ. И потому предлагаемое спра- ведливо. (97) Ибо, протянувъ А8, АР (ф. Зі ), поелику АК равна АВ, и КМ равна ВР; то двѣ прямыя АК, К8 равны двумъ прямымъ АВ , ВР, каждая каждой; и основаніе А8 равно основанію АР: посему уголъ АК8 •8,1.равенъ углу АВР*. А и прямой уголъ 8ХК равенъ прямому углу ВѴР : итакъ два треугольника К8Х, ВРѴ имѣютъ два угла равные двумъ угламъ , они же имѣютъ и одну сторону равную одной сторонѣ , кои противулежатъ равнымъ угламъ , то есть 8К равную РВ : посему и прочія стороны а6,І. будутъ имѣть равныя прочимъ сторонамъ*; а посему 8Х равна РѴ, и КА равна ВѴ. (98) йбо вообрази , что отъ точекъ (), Т (ф- Зі) проведены перпендикулярныя прямыя къ плоскости круга ВСВЕ, то и онѣ упадутъ на ВГ), КА; и чрезъ точки, въ коихъ встрѣтятъ сіи прямыя, протяни
КЪ книгѣ ДВѢНАДЦАТОЙ. 4;5 прямую; и еще протяни ВО , КТ : то подобно докажется , что КВ параллельна къ ТЦ. Доказано де, что КВ параллельна и къ 8Р: посему *»р па- раллельна къ Тр*: слѣдственно четыреугольникъ *9>ХІ' •,1'РТ есть на одной плоскости. Потому же и четыре- угольникъ ТРКН есть на одной плоскости. (99) И дѣйствительно, поелику КВ, ВР, К8 (ф. Зі) равны , а Р8 меньше ; то и углы КУВ, ВУР, КУ8 взаимно равны, а угодъ РУ8 меньше. Но четыре угла КУВ, ВУР, РУ8, 8ѴК ранны четыремъ пря- мымъ; посему уголъ КУВ тупой, и треугольникъ КВУ есть тупоугольный. Въ тупоугольныхъ же треугольникахъ квадратъ изъ стороны , противу- лежащей тупому углу , больше квадратовъ изъ сторонъ, содержащихъ тупой уголъ : посему квад- ратъ изъ ВК больше квадратовъ изъ КУ, ВУ. Но квадратъ изъ КУ равенъ квадрату изъ ВУ, ибо КУ равна ВѴ: посему квадратъ изъ ВК больше нежели двукращный квадратъ изъ ВУ, Далѣе потомъ, вмѣсто «Отъ точки К проведи перпендикулярную къ ВО прямую К2 » лучше сказать: « Протяни КѴ: то подобно какъ и прежде докажемъ, что уголъ КВУ равенъ углу РВѴ. И поелику КВ равна ВР, а ВѴ общая; то двѣ прямыя КВ, ВѴ равны двумъ прямымъ РВ, ВѴ; и содержатъ углы равные: посему и уголъ К V В равенъ углу ВѴ Р. Но уголъ ВѴР прямой ; посему и уголъ ВѴК прямой ; Слѣдственно КѴ перпендикулярна къ АВ». Итакъ явно , что линію К2 должно считать за одну и туже съ КѴ. ( юо ) Какъ доказано въ началѣ (99)-
4;6 ПРИМѢЧАНІЯ II ПРИБАВЛЕНІЯ (іоі) Говорю же, что и прочія плоскости вписаи- наго многогранника, кои между дугами ВО, КО (ф. 3,) не прикасаются къ меньшему шару. Отъ А проведи , перпендикулярную къ плоскости четыреугольника 8РрТ , прямую Ау ; и протяни Ру, у8: то подобно тому какъ доказано о четыре- у'гольникѣ КВР8 и точкѣ У, докажемъ, что точ- ка у есть центръ , а Ру прямая отъ центра кру- га описаннаго около 8Р(^Т; и что 8Р больше Тр. И поелику четыреугольники КВР8 , 8Р()Т суть вписываемые въ кругахъ, и двѣ противулежаіція «тороны 8К, РВ четыреугольника КВР8 равны двумъ противулежащимъ сторонамъ Т8, ()Р че- тыреугольника 8Р(^Т, каждая каждой ; а прочія двѣ стороны КВ, 8Р больше двухъ прочихъ сто- ронъ 8Р, Т(І, каждая каждыя : посему и прямая лемма. КѴ больше прямой 8у*- Поелику же АК равна А8; то и квадратъ изъ АК равенъ квадрату изъ А8. Квадрату же изъ АК равны квадраты изъ КТ, ТА; а квадрату изъ А8 равны квадраты изъ 8у, уА: посему квадраты изъ КТ, ТА равны квадратамъ изъ ?»у, уА. Но въ нихъ квадратъ изъ КТ больше квадрата изъ .Ъу,ибо КТ больше 8у: посему остальной квадратъ изъ АТ меньше остальнаго изъ у А ; а посему Ау больше АТ. Но АТ больше АО или итакъ тѣмъ паче Ау больше А§. Сіе же подобно докажется и о четыреугольникѣ ТрВІІ и о треуголь- никѣ В)ВО. Такъ же докажемъ и о всѣхъ прочихъ плоскостяхъ помянутаго многогранника, что оныя ие прикасаются къ меньшему шару. Лемма. Ежели будутъ два четыреугольника АВСП: ЕЕСН (ф. За) вписанные въ кругахъ , коихъ ценшрь1
КЪ КНИГЪ ДВѢНАДЦАТОЙ. 4?7 внутри сихъ четыреугольниковъ ; и естьли двѣ противулежащія стороны НА, СВ одного будутъ равны двумъ противулежащимъ сторонамъ НЕ, СЕ другаго , каждая каждой , а прочія двѣ стороны ДБ, СО будутъ больше прочихъ двухъ ЕЕ, СН, каждая каждыя : то и прямая отъ центра круга ДВСО будетъ больше прямой отъ центра круга ЕЕСН, то есть АК больше ЕЕ. Ибо, буде не такъ ; то АК или равна ЕЕ, или меньше ея. Пусть, вопервыхъ, будетъ равна. Про- тяни КВ, КС, КО, ЬЕ, ЬС, ЕН. И поелику двѣ прямыя АК, КО равны двумъ прямымъ ЕЬ, ЕН, и основаніе АО равно основанію НЕ; посему и уголъ БКА равенъ углу НЕЕ. Потому же и уголъ ВКС, равенъ углу СЕЕ. Еще же , поелику двѣ прямыя АК, КВ равны двумъ прямымъ ЕЕ, ЕЕ; но основа- ніе АВ больше основанія ЕЕ: посему и уголъ АКБ больше угла ЕЕЕ. Потому же и уголъ ОКС больше угла НЕС. Чего ради четыре угла около то*іки К суть больше четырехъ угловъ около точки Е. Но Четыре угла около К равны четыремъ прямымъ: посему четыре угла около Е меньше четырехъ Прямыхъ: что невозможно : слѣдственно АК не равна ЕЕ. Говорю еще, что и не меньше. Ибо , буде воз- можно, пусть будетъ меньше. Возьми каждую изъ прямыхъ ЕМ, ЕК равную АК ; и протяни МК. Итакъ двѣ прямыя АК, КВ равны двумъ прямымъ Мѣ, І.К, и содержатъ углы равные: посему осно- ваніе АО равно основанію МК. И поелику ЕН па- раллельна къ МИ то треугольникъ ЕНБ есть ра- вноугольный треугольнику КЬМ, слѣдственно и
ПРИМѢЧАНІЯ И ПРИБАВЛЕНІЯ 478 подобенъ ему. Посему какъ ЬЕ къ ЬМ, такъ ЕП къ МЫ: но ЬЕ больше ЬМ; посему ЕН больше М№. По положенію же ЕН равна АИ, посему и АН больше ЗУ1ГЧ; но и равна ей, по доказанному ; что невозможно : чего ради А К не меньше ЕЬ. Доказано же, что и ни равна; слѣдственно АК больше ЬЕ. ч. и д. н. Естьли будетъ остроугольный треугольникъ ОРО, коего двѣ стороны ОР, ОО равны двумъ противулежащимъ четыреугольника АВСІ) сторо- намъ [>А, СВ, каждая каждой ; а основаніе его Р() будетъ меньше которыя ниесть изъ осталь- ныхъ сторонъ АВ, СГ): то подобно докажемъ , что АК будетъ больше прямыя отъ центра круга опи- саннаго около треугольника ОР(^. (102) Слѣдствіе. Отсюда явствуетъ , что подоб- ныя прямолинейныя тѣ іа , вписанныя въ шарахъ , сушь взаимно какъ сіи шары. К О И Е Ъ




5.
/у/>////<// У' < /'-

8.


^/,;///7"7>7.Г7, г Л</;///л г ///7//г^/,№/67/7/.


ь