И. И. Елисеева, В. О. Рукавишников

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

ЛОГИКА ПРИКЛАДНОГО
СТАТИСТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

И. И. Елисеева, В. О. Рукавишников

ЛОГИКА ПРИКЛАДНОГО
СТАТИСТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА

МОСКВА «ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА» 1982
ПРЕДИСЛОВИЕ

Одной из характерных черт современного сос-
тояния социально-экономических исследований является
широкое применение в них методов математической статис-
тики. При этом важен учет как природы изучаемого явле-
ния, так и математико-статистических особенностей исполь-
зуемого метода. Недооценка той или иной стороны этого
положения, как правило, приводит к неудачам.

Несколько слов о структуре книги.

Логика статистического метода определяется спецификой
объекта исследования, природой изучаемых связей, целя-
ми, задачами и гипотезами исследования. Этим вопросам
посвящена первая глава книги.

Во втором главе обсуждаются методологические и при-
кладные аспекты проблемы описания многомерных стати-
стических объектов. Рассмотрение этих вопросов ведется
на примерах регрессионного анализа, факторного анализа
н анализа главных компонент — сегодня едва ли не наи-
более распространенных на практике методов анализа ста-
тистических данных. Подробно обсуждаются проблемы
сравнения результатов факторного анализа, полученных
либо на различных массивах данных, либо различными ме-
тодами, тесно связанные с более общими проблемами обоб-
щения результатов статистических исследований. При рас-
смотрении различных аспектов применения регрессион-
ного анализа выделяются вопросы отбора существенных
переменных, сравнения моделей и построения регрессион-
ных моделей в условиях коррелированное™ входных пере-
менных. Обсуждение последнего вопроса связывается с ис-
пользованием в регрессии метода главных компонент.

В третьей главе всесторонне рассматривается сравни-
тельно малоизвестный отечественным специалистам подход
к построению объяснительных статистических моделей
в форме систем структурных уравнений множественной
регрессии. В тех случаях, когда предполагается причин-
ная интерпретация таких систем, они часто называются

з
причинными моделями. Вопросы методологии и методики
разработки структурных и причинных моделей в нашей
литературе до сих пор систематически изложены небыли.
Эти вопросы рассматриваются в книге во взаимосвязи с об-
щими проблемами методологии статистического объяснения,
эмпирического обоснования гипотез и построения теории.
Значителыюе внимание, как и во второй главе, уделено
здесь вопросам. сравнения моделей. Кратко излагается
схема одного из возможных подходов к разработке при-
чинных моделей систем с целенаправленным поведением на
основе нечисловой информации, который может быть поле-
зен при построении прогнозных моделей развития слож-
ных социально-экономических систем.

Ввиду распространенности категоризованных перемен-
ных в описаниях социально-экономических объектов, чет-
вертая глава книги посвящена методам анализа таблиц
сопряженности. Для анализа таких таблиц в последние
годы был создан ряд новых методов построения моделей,
описывающих и объясняющих связи переменных. В главе
дается обзор существующих подходов, среди которых вы-
деляется метод логлинсйного анализа. Показываются воз-
можности еще одного приема анализа таблиц сопряжен-
ности, пока не получившего должного распространения
в исследовательской практике, но заслуживающего внима-
ния: использование канонических меток — ортогонального
преобразования переменных — и канонических корреля-
ций, позволяющих получить хорошую аппроксимацию
структуры исходных данных, расклассифицированных
в таблице сопряженности.

Таким образом, в этой книге рассматриваются в основ-
ном вопросы методологии, методики и организации приклад-
ного статистического исследования с использованием мно-
гомерных методов изучения взаимосвязей. Такое сужение
проблематики логики прикладного статистического анализа
было обусловлено невозможностью в рамках книги неболь-
шого объема подробно и всесторонне осветить все много-
образие аспектов данной темы.

Доступность ЭВМ и внешняя простота решения задач
анализа данных с помощью стандартных программных
средств привели к тому, что зачастую на практике многие
из многомерных методов используются неправильно, что
в свою очередь порождает ошибочные решения и выводы
научно-практического характера, а тем самым дискредити-
руется н сама идея активного применения современных
методов прикладной статистики в комплексных системных
исследованиях социально-экономических явлений. Поэтому
в своей работе мы стремились показать не столько «техно-
логию» разработки статистических моделей, сколько труд-
ности, о которых должен знать каждый исследователь, ре-
шивший заняться этим увлекательным делом. А трудности,
как показывает опыт, даже при разработке простых моделей
заставляют по-иному взглянуть на многие этапы исследо-
вания, внешне, казалось бы, связанные, скорее, с теорети-
ческой проработкой проблемы, нежели со статистическим
анализом. Так, может обнаружиться, что неточности изме-
рительных инструментов излишне велики или вообще едва
ли могут быть оценены, что переменные сильно коррелиро-
ваны между собой или что нет достаточного числа перемен-
ных — непосредственно измеряемых индикаторов искомого
скрытого качества, что градации шкал качественных приз-
наков, используемых в таблицах сопряженности, описаны
не строго и этим осложняют изучение взаимосвязей призна-
ков, и т. д. Построение простой модели превращается в са-
мостоятельное, сложное и комплексное исследование, от-
крывающее новые аспекты проблемы, и в конечном итоге —
новые горизонты познания сущности изучаемого явления.

Рукавишниковым В. О. написаны § 1.1, главы 2 и 3,
§ 4.4, Елисеевой И. И. — § 1.2, 4.1, 4.2, 4.3.
Глава 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ПРИКЛАДНЫХ СОЦИАЛЬНО-
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

1.1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Статистический метод применяется в различных
областях науки и практики. Иногда для краткости его обоз-
начают просто термиком «статистика». Следует, однако,
различать употребление этого термина для обозначения ста-
тистики как метода и статистики как науки, ибо отсутствие
ясного осознания этих различий в условиях исторически
сложившегося неоднозначного его использования служит
основой для дискуссии о содержании в предмете статис-
тики1.

Статистический метод — это одно из средств познания
объективной действительности, выступающее в качестве
опосредствующего звена в познавательном процессе между
исследователем и изучаемыми им объектами. Любая конкрет-
ная наука, использующая статистический метод, не лишает-
ся при этом ни своего предмета, ни специфических приемов
исследования. Метод, о котором идет речь, дает возможно-
сть математически выразить найденные в процессе исследо-
вания конкретные зависимости и отношения, а в целом ря-
де случаев помогает находить их.

Таким образом, статистический метод в качестве орудия
познания выступает прежде всего как способ описания изу-
чаемых конкретной наукой явлений. Способ описания пред-
полагает и систему объяснения исследуемой области яв-
лений. Статистический метод как способ объяснения требует,
чтобы соответствующая область науки вли практики рас-
полагала определенным концептуальным аппаратом (сис-

тем., например, материалы дискуссии на страницах журнала
«Вестник статистики» в 1975—1978 гг., а также [28, с. 272—295).
темой понятий), с использованием которого производятся
систематизация, анализ и обработка статистических дан-
ных. При этом статистическими данными называются све-
дения о некотором числе объектов в какой-либо -более или
менее обширной совокупности, обладающей теми или иными
признаками, способными изменять свое количественное
значение или качественное состояние при переходе от одного
объекта — единицы совокупности к другому.

В статистике термины «признак» и «переменная», исполь-
зуемые часто как синонимы, определяются как величина,
которая может принимать любое значение из некоторого
заданного множества значений. Система признаков-пере-
менных и область определения каждого из них задаются
исследователем на основе теории изучаемого явления. Раз-
личают также переменные и случайные переменные (слу-
чайные величины). Случайная переменная — это величина,
которая в совокупности наблюдений, выполненных в пов-
торяющемся комплексе условий, может принимать различ-
ные значения из определенного множества, причем заранее
неизвестно, какие именно. Свойства случайной величины
будут полностью определены, если установлен закон (функ-
ция) ее распределения, устанавливающий связь менаду
возможными значениями случайной величины и соответст-
вующими им вероитностями или относительными частотами
их наблюдения в заданной ситуации. Наконец, переменные
могут быть качественными (нечисловыми) и количествен-
ными (дискретными или непрерывными).

Статистический метод обычно определяют как комплекс
приемов и принципов, согласно которым производятся
сбор, анализ, сравнение и интерпретация статистических
данных для получения научных и практических выводов.
Математическое содержание этого комплекса образует
математическая статистика — самостоятельная математи-
ческая наука, отрасль прикладной математики. В то же
время статистический метод исследования имеет и немате-
матическую сторону, к которой следует отнести вопросы
методологии, методики и логики организации и проведения
статистического исследования, включая вопросы планиро-
вания выборочных обследований, организации обработки
статистических данных различного типа средствами совре-
менной электронно-вычислительной техники, формы пред-
ставления результатов расчетов и т. п., к нематематической
стороне статистического метода относятся также методологи-
ческие и методические проблемы постановки задачи содержа-
тельной интерпретации итогов математико-статистического
анализа, обеспечения достоверности вывода. Таким образом,
статистический метод сегодня — это определенная страте-
гия научного поиска, которая использует математический
аппарат и математические концепции в рамках системного
подхода к изучаемым явлениям или объектам.

Конечная цель каждого конкретного (или, как принято
говорить, прикладного) экономического, социологического
и любого другого исследования, базирующегося на статисти-
ческих данных, — установление статистической законо-
мерности, которая при определенных условиях может быть
интерпретирована как закон. Примерами таких законов
в сфере технических наук являются законы Бойля — Ма-
риотта и Гей-Люссака, определяющие снойства газов, закон
Ома в электротехнике и т. д. Подобные законы не универ-
сальны, поскольку имеются причины, ограничивающие
сферу их действия. Они феноменологичны, поскольку спра-
ведливы на уровне совокупностей, рассматриваемых без
учета структуры и особенностей поведения отдельных еди-
ниц, из которых состоят эти совокупности (так, например,
названные выше законы сформулированы без учета молеку-
лярной или атомной структуры вещества). Они статистпч-
ны, поскольку описывают закономерности, отчетливо про-
являющиеся только при осреднении большого числа экс-
периментальных данных. Математическое описание каждой
из названных выше эмпирических закономерностей являет-
ся в то же время ее моделью, справедливой лишь при усло-
вии выполнения определенных допущений и предположе-
ний.

Термин «модель», использованный нами, как известно,
чрезвычайно многозначен. В контексте рассматриваемых
в этой книге вопросов мы будем понимать под моделью
любое формальное описание связей между определенными
символами.

Известно, что с развитием научного познания явлений
определенной предметной области теории феноменологи-
ческого типа уступают место теориям, в которых раскры-
вается конкретный механизм происходящих процессов.
Соответственно изменяются цели и задачи статистического
метода исследования. В первом случае целью статистическо-
го исследования является описание внешнего проявления
взаимосвязей измеряемых свойств изучаемых объектов,
адекватно и, как правило, однозначно, отображаемых в сис-
теме признаков-переменных, входящих в статистическое
е
описание. Во втором случае исследуются гипотезы о внут-
реннем механизме взаимосвязей, т. е. изучаются так назы-
ваемые структурные модели. При этом в моделях могут
присутствовать как непосредственно наблюдаемые перемен-
ные, так и ненаблюдаемые характеристики, адекватное отоб-
ражение которых в форме математической модели, равно
как и указание способа их косвенного измерения, представ-
ляет порой сложную теоретическую и методическую задачу.
Ненаблюдаемые непосредственно свойства объектов — это
характеристики, само существование которых оправдано
лишь в контексте определенной теории.

Принятая математико-статистическая модель в этом,
как и в любом другом случае, в свою очередь во многом оп-
ределяет математическую форму теории и границы приме-
нимости выводов.

Изложенное выше представление о статистическом методе
основано в основном на опыте его применения в техниче-
ских, естественных, медико-биологических, социологиче-
ских и экономических исследованиях1. Выявление и осмыс-
ление общих черт статистического метода, применяемого
к объектам разной природы, привело к появлению термина
«прикладная статистика» как наименования сложившейся
специфической области знания, прикладной дисциплины,
исследующей вопросы применения математической стати-
стики к реальным данным. Поэтому нельзя не упомянуть

’Все сказанное ранее относилось в первую очередь к области
применения статистических методов для анализа данных наблюде-
ний. Проникновение в структуру данных и составляет цель статис-
тического метода в этом случае. Модели, разрабатываемые иссле-
дователями, можно назвать аналитическими", выражения, описываю-
щие взаимосвязи зависимых и независимых величин, содержатся
в них в явном виде. К этому классу моделей следует отнести модели
распределения для описания вероятностных свойстн исследуемых
признаков (например, с помощью стандартных теоретических ста-
тистических распределений из семейства распределений Джонсона
или Пирсона), регрессионные модели и многомерные факторные
модели, модели планирования эксперимента и анализа временных
рядов и т. д. К статистическим (в широком смысле) моделям отно-
сят и имитационные модели, описанные с помощью последователь-
ности определенных математических операций, Vaxiix, как решение
систем дифферемпиальных уравнений с использованием случайных
или псевдослучайных чисел, неоднократное преобразование мат-
риц переходных вероятностей в цепях Маркова и т. д. Особенности
статистической методологии дан этого класса моделей нами не рас-
сматриваются; читателям, интересующимся этими вопросами, реко-
мендуем обратиться к литературе по методам системного моделиро-
вания и анализа стохастических процессов.
б том, что термины «статистический метод», «статистическое
исследование» широко используют также в рамках само-
стоятельной области знания — социально-экономической
статистики, где в силу сложившейся традиции в их содержа-
ние часто вкладывается смысл, несколько отличающийся
от представленного выше. В рамках социально-экономи-
ческой статистики были созданы специфические методология
и методы, не имеющие очевидной математико-статисти-
ческой природы, — индексный анализ, типологические
группировки и т. д. В последние годы общепринятый ха-
рактер приобретает точка зрения о том, что успех в решении
стоящих перед статистической практикой и социально-
экономической статистикой как наукой задач во многом
зависит от рационального сочетания в обработке, обобщении
и анализе данных методологии и приемов как собственно
социально-экономической статистики, так и прикладной
статистики. Дело в том, что пропагандировавшееся длитель-
ное время мнениео существовании принципиальной разницы
между математической статистикой, приложениями стати-
стического метода в сфере естественных и технических наук
и социально-экокомической статистикой привело к тому,
что в практической деятельности отечественных статистиков
и экономистов мало применялись математико-статистические
методы исследования.

Некоторые представители традиционной школы социаль-
но-экономической статистики критически относятся к воз-
можности использования математики в своей научной или
практической работе, утверждая, что математика имеет
цело с абстрактными величинами, а статистика — с коли-
чествами, являющимися отображениями свойств совокупно-
сти объектов определенного качества. Действительно, пред-
метом математики являются ие объекты или явления реаль-
ного мира, а абстрактные объекты — формальные, знаковые
модели. Поэтому вполне обоснована характеристика мате-
матики как своеобразного формального языка. Следователь-
но, решение вопроса о принципиальной приложимости или
неприложимости математики в той или иной сфере науки
сводится к выяснению возможности выразить ка матема-
тическом языке систему понятий и представлений данной
предметной области. Эго положение в полной мере примени-
мо и к рассмотрению возможностей математической статисти-
ки в изучении социально-экономических явлений. Поэтому
вопрос о взаимоотношении математической и социально-
экономической статистики следует ставить как задачу рас-
ширения сферы применения и содержания языка прикладной
статистики.

Многие проблемы на этом пути еще остаются нерешенны-
ми. К ним относится проблема модификации или адаптации
существующих математико-статистических методов, методо-
логии и методики их применения с учетом свойств социаль-
но-экономических данных, так как условия и предположе-
ния, использованные математиками при разработке этих ме-
тодов и выполняющиеся с разумной строгостью в других
приложениях, для социально-экономических данных чаще
нарушаются, чем выполняются. Отмеченная ограниченная
возможность переноса математических приемов исследова-
ния порождает методологические ошибки двоякого рода:
отрицание приложимости сложившегося математико-стати-
стического аппарата в социально-экономических исследо-
ваниях и представление, будто один и тот же метод без
каких-либо модификаций аппарата или методики примене-
ния способен равно удовлетворительно описывать явления
различной природы. Поэтому наряду с модификацией суще-
ствующих методов требуется разработка нового математи-
ческого аппарата, методологии и методики анализа, ориен-
тированных на социально-экономическую информацию, и
прежде всего иа нечисловые данные. Непосредственно к наз-
ванным выше примыкают проблемы интерпретации и устой-
чивости статистических выводов в условиях возможных
колебаний исходных данных и нарушения предпосылок,
использованных при разработке моделей и т. д.

Методы статистического анализа и моделирования
(в том числе н рассмотренные нами в этой книге) образуют
теоретическую основу организации всего процесса при-
кладного статистического исследования. Вместе с тем эта
теоретическая основа является лишь частью методологии
статистического исследования. Вопросы организации и уп-
равления процессом сбора и анализа эмпирических данных
также входят в статистическую методологию и в значитель-
ной степени определяют всю логику прикладного статисти-
ческого анализа. Можно выделить два подхода к организа-
ции процесса анализа данных, сложившиеся на практике
в зависимости от развитости представлений исследователей
о природе изучаемых ими явлений или объектов и, следова-
тельно, от уровня знаний о структуре анализируемых
данных, о взаимосвязях переменных и т. п.:

I.	Структура данных заранее известна; соответственно
заранее определяются методы их описания.
2.	Структура данных точно неизвестна; соответственно
заранее не определен набор и последовательность приме-
нения статистических приемов анализа, условия перехода
от одного метода (уровня анализа) к другому. Формирова-
ние «траектории анализа» происходит под управлением ис-
следователя. Повышение степени автоматизации процесса
анализа достигается за счет организации на ЭВМ диалогово-
го (интерактивного) режима обработки с переходом с одного
уровня анализа на другой в зависимости от результатов
расчетов и степени достижения поставленных целей.

Важно подчеркнуть, что весь процесс статистического
анализа подчиняется и регулируется исходной формулиров-
кой цели и задач исследования. Хотя до сих пор мы не уделя-
ли особого внимания вопросу об использовании ЭВМ, при-
менение ЭВМ в той или иной форме подразумевалось во
всех случаях. Мы сознательно не акцентировали внимания
читателя на этой стороне организации прикладного стати-
стического исследования, чтобы не возникло впечатления,
что современные многомерные статистические методы всегда
требуют применения больших ЭВМ. Тем не менее есть очень
веские аргументы в пользу использования ЭВМ в исследова-
ниях многомерных статистических объектов: а) большая
скорость вычислений; б) возможность оперирования очень
большими массивами данных и неоднократного обращения
к ним; в) возможности применения нескольких методов
анализа одновременно (или практически одновременно) и
гибкой параллельной разработки нескольких альтернатив-
ных моделей; г) наличие в современных ВЦ пакетов стан-
дартных программ статистических методов, в том числе
и тех, о которых идет речь в этой книге.

Все эти достоинства современных средств вычислитель-
ной техники в сочетании с богатым арсеналом методов ста-
тистического анализа данных различной природы делают
статистический метод чрезвычайно мощным орудием поз-
нания в умелых руках исследователей.

1 2. ОСОБЕННОСТИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ И ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОГО
СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Совокупность социально-экономических явле-
ний — это всегда реализация определенной закономерно-
сти в конкретных условиях места и времени, представлен-
ная целым рядом единичных явлений.
Единица любой совокупности социально-экономических
явлений обладает множеством различных свойств или, ина-
че говоря, признаков. Признаки, непосредственно отражаю-
щие качество явления, позволяющие уяснить его сущ-
ность — так называемые существенные признаки, — образу-
ют систему, в которой один признак взаимосвязан с другими.
Это порождает многомерность описания социально-эконо-
мических объектов. Вариация таких признаков всегда огра-
ничена единым качеством явления. Скажем, себестоимость
единицы одного и того же вида продукции по совокупности
однородных предприятий не может принимать сколь угодно
большие и сколь угодно малые значения, ее изменение будет
лежать в довольно узких пределах, определяемых примерно
одинаковой трудоемкостью производства продукции, уров-
нем развития техники, однородным характером организа-
ции труда и т. д. Очевидна связанность себестоимости
с другими существенными признаками: уровнем произво-
дительности труда на предприятии, фондооснащенностью
и фондоотдачей, квалификацией .работайков и др. Измене-
ние одной из этих характеристик необходимо приводит
к изменению других. Измерение отдельных признаков поз-
воляет построить интегральную характеристику явления,
уценка связи признаков — выявить связь различных сто-
рон явления.

Вопрос об определении единицы совокупности тесно
связвн с вопросом об уровне исследования природы явления.
Можно изучать, например, производительность Труда на
уровне отрасли, отдельного предприятия, цеха, бригады,
наконец, на уровне отдельного работника. В каждом случае
единица совокупности будет особой. Уровень исследования
определяет круг выдвигаемых задач, на каждом уровне в ка-
честве единицы наблюдения выступает то, в чем проявляет-
ся изучаемая закономерность, где можно проследить ее
действие.

Особенности условий формирования социально-эконо-
мических явлений, неодинаковость темпов их развития оп-
ределяют наличие в реальных совокупностях особых
типов элементов (классов явлений). Однако даже при доста-
точно полном описании типов не всегда можно точно решить,
к какому из них принадлежит объект. По-видимому, в дос-
таточно общем виде совокупность социально-экономиче-
ских объектов можно представить как статистический класс
или коллектив, включающий ядро и окружающие его яв-
ления.41 Ядро — концентрированное выражение специфи-
ческих свойств класса. Окружающие ядро явления — это
явления переходного качества, принадлежность которых
к данному классу может быть гарантирована лишь с опреде-
ленной вероятностью. Такие явления образуют полосу
размыва между классами.

Соотношение между ядром и окружающими его явления-
ми в разных классах будет, конечно, различным. Эго за-
висит от устойчивости класса, длительности его существо-
вания, взаимодействия с другими классами той же совокуп-
ности, с другими совокупностями.

Социально-экономические явления выделяются своей
динамичностью. Причина этого в особой природе социально-
экономических явлений и процессов, в центре которых чело-
век — сложный социальный организм с субъективными
установками, способностью активно воздействовать на окру-
жающий мир. Изменение социальных явлений имеет на-
правленность (тенденцию) и происходит достаточно интен-
сивно.

Сравним, например, динамику производительности
труда и динамику какого-либо биологического вида. Эво-
люция вида совершается тысичи лет, тогда как качествен-
ные сдвиги в производительности общественного труда могут
происходить неоднократно на глазах одного поколения.

Чтобы понить логику социально-экономических прило-
жений статистического метода, полезно представить сово-
купность социально-экономических объектов в виде упоря-
доченного набора данных с параметрами N, D, Т, где N —
численность единиц совокупности (I — 1 //);£) — число
признаков, фиксируемых по каждой единице (;-й признак,
принадлежащий i-й единице, будем обозначать xl}); Т —
моменты времени, в которые измеряются признаки х1Л.
Если совокупность изучается в статике, то все данные можно
представить в виде таблицы, в которой строка несет всю
информацию о единичном объекте, столбец — о признаке.
Размеры такой таблицы часто оказываются достаточно боль-
шими: число строк может колебаться от нескольких десят-
ков до сотен тысяч, а число столбцов — от одного-двух до
нескольких сотен. Основные статистические методы обработ-
ки социально-экономической информации исходят именно
из этой формы организации представления исходных дан-
ных.

Такое представление данных приводит по меньшей мере
к даум типам задач: выявлению сходства между объекта-
ми — строками таблицы (задача классификации) и анализу
взаимосвязей признаков. В конечном итоге целью в обоих
случаях является свертывание информации. Возможность
короткого описания исходного массива обусловливает не-
кая скрытая закономерность, и само получение свертки дан-
ных означает познание этой объективной закономерности.

Свертка столбцов таблицы, или редукция признакового
пространстаа, имеет объективную основу — связанность
признаков. Это позволяет говорить о необходимости вы-
явления скрытых фикторов, проявляющихся внешне в ус-
тойчивых сочетаниях значений непосредстненно измеряе-
мых признаков (подробнее речь об этом пойдет в гл. 2).

Информативность статистических данных многократно
возрастает, если минимизация описания включает как выде-
ление классов, так и редукцию их характеристик. При
решении задачи классификации важную роль играет нахож-
дение небольшого числа наиболее информативных признаков
описания. Это оказывается возможным благодаря взаимо-
связи признаков и дублированию ими информации, неин-
формативности тех признаков, которые- слабо варьируют
и т. д. Сокращение числа переменных и повышение их ин-
формативности можно осуществить путем агрегирования
ряда признаков. Тот или иной вариант конкретизации
постановки этой задачи, определяющий выбор меры инфор-
мативности и класса допустимых преобразований призна-
ков, приводит к тому или иному конкретному методу сни-
жения размерности (факторному анализу, экстремальной
группировке параметров и т. д.).

Задача измерения связей тесно сввзана с задачей изу-
чения динамики явлений. Анализ рядов динамики предпо-
лагает выделение качественно отличных периодов и их обоб-
щенную характеристику; выявление тенденции (тренда);
разложение факторов на основные (эволюционные), перио-
дические и случайные; прогаозированне. Анализ временных
рядов — чрезвычайно сложная проблема, характеризую-
щаяся специфическими постановкой задачи исследования и
используемыми методами — в настоящей работе не рас-
сматривается.

Разграничивая задачи статистического исследования,
можно разграничить и средства, используемые для их ре-
шения, однако это разделение весьма относительно, как
относительны и грани переходов от одной задачи к другой.

Исходным условием и основной гарантией достоверности
и сопоставимости первичной информации является правиль-
ное описание изучаемой совокупности, что в свою очередь
предполагает определение образующих ее единиц, продол-
жительности периода времени, достаточного для выявления
изучаемых процессов, и, наконец, местоположения единиц
совокупности. В ряде случаев время получения данных так-
же может влиять ка их достоверность.

Определение объекта исследования не так просто и оче-
видно, как это может показаться. Например, при изучении
образа жизни населения города встает вопрос — включать
или не включать в обследование лиц, живущих в общежи-
тиях, гостиницах; при анализе работы грузового автотранс-
порта — учитывать ли все те хозяйства, где есть хотя бы
один грузовой витомобиль или только крупные автохозяй-
ства и т. д.

Сбор сведений об изучаемой совокупности может произ-
водиться с разной степенью полноты охвата единиц- Сплош-
ной охват единиц не является обязательным условием,
так как и при несплошном учете можно обеспечить достовер-
ность статистических выводов, соблюдая правила выборо-
чного наблюдения.

Проектирование выборочного наблюдения, а также оцен-
ка его результатов предполагают заранее известной вели-
чину допустимой погрешности выборочного показателя и
соответственно знание того, какая ошибка является недо-
пустимой при замене сплошного учета несплошным- До-
пустимый размер погрешности устанавливают исходя из
целей исследований и особенностей изучаемой закономер-
ности. Довольно часто при этом учитывается эффект дейст-
вия погрешности на принятие решений. Например, по мате-
риалам выборочного учета населения города определяется
средний размер жнлой площади, приходящейся на 1 чело-
века. Возникает вопрос: какая при этом может быть допу-
щена погрешность? Если предел возможной ошибки выбор-
ки (с принятой доверительной вероятностью) получился
равным 1,7 м2, можно ли использовать выборочные данные?
Известно, что собранные материалы будут использоваться
не просто для характеристики обеспеченности населения
жилой площадью, а в связи с изучением семейной струк-
туры. В этом случае нужно иметь представление, когда на-
чинает проявляться эффект повышения жилищной обеспе-
ченности на образование новых семей. Можно полагать, что
на уровень брачности влияет изолированность жилища,
наличие отдельной комнаты, в переводе на размеры жилой
площади можно сказать, что возможность образования новой
брачной пары предполагает по крайней мере дополнительно
9 м2. При среднем размере семьи в 4 человека ошибка выбор-
ки при определении среднего размера жилой площади на
1 человека не должна превышать, следовательно, 2,2 м2.
Эго и есть допустимый размер погрешности в данном случае.

Иногда при установлении допустимого размера погреш-
ности учитывается нвличие тех или иных резервов, могущих
покрыть возможные ошибки. На пример, допустимый размер
погрешности в величине удойности коров при обследовании
работы сливного пункта молока определяется резервной
емкостью сливного пункта. Если существует резервная
емкость на 250 кг, то при стаде в 1000 голов допустимый
размер погрешности при определении Средней Дневной удой-
ности одной коровы равен 0,25 кг.

Большое влияние на достоверность результатов исследо-
вания оказывает качество инструментария наблюдения:
корректность формулировки вопросов программы наблю-
дения, их уточнение и разъяснение в инструкциях к про-
грамме обследования. Сложность объекта изучения обуслов-
ливает значимость всех вопросов организации сбора ис-
ходных данных, включая и выбор источников данных,
способов их регистрации и места сбора данных, и подготов-
ленность кадров счетчиков-регистраторов, распределение
работ и т. д.

В значительной степени на качество результатов иссле-
дования влияет статистическая обработка собранных дан-
ных. На этой стадии основой корректности конечного
результата является правильная типология данных, т. е.
выделение групп, соответствующих объективно выделившим-
ся типам явлений. Смешение качественно отличных типов
может лишить статистические показатели всякого смысла.

Иногда типы выделяются уже в процессе определения
объекта исследования. Тогда классификация типов не вхо-
дит в задачу исследования. Но, как правило, объект изуче-
ния внутренне дифференцирован. Недоучет этого может
привести к нелепым выводам, просчетам в практике управле-
ния и планирования, так как каждому типу соответствует
своя количественная определенность. При анализе рядов
динамики процедурой, аналогичной классификации, яв-
ляется периодизация — выделение особых этапов в разви-
тии изучаемого явления.

Принципы обеспечения достоверности лежат и в основе
получения обобщающих показателей по выделенным типам,
построения моделей. Успех дела определяется адекват-
ностью выбранного метода изучаемому свойству или
йроЦессу. Вместе с тем каждый показатель, каждый
конкретный прием анализа несет на себе отпечаток гипотез
исследователя, с одной стороны, и ограниченность возмож-
ностей измерения — с другой. Если для решения той или
иной задачи имеется ряд приемов и нет твердой уверенности
в предпочтительности одного из них, то полезно использо-
вать все параллельные методы. В этом случае близость ре-
зультатов, полученных разными методами, яаляется, не-
видимому, достаточным свидетельством их объективности.

Определенную роль в повышении достоверности резуль-
татов статистического анализа играют вероятностные оцен-
ки статистических гипотез о свойствах генеральной совокуп-
ности по имеющимся выборочным данным (статистические
тесты). Они позволяют получить выводы о статистической
значимости тех или иных выборочных характеристик.

Часто исходная информация не является выборкой из
реальной генеральной совокупности, а представляет собой
результат сплошного наблюдения или эксперимента. В этом
случае исследователь также должен быть уверен, что его
данные неслучайны, и поэтому потребность в вероятностной
оценке данных не отпадает. Обычно оцевку таких данных
производят в форме проверки статистической гипотезы
о свойствах гипотетической генеральной совокупности,
которая может быть определена как бесконечное множество
единиц, находящихся в тех же условиях, что и наблюдае-
мая совокупность. Такое определение гипотетической гене-
ральной совокупности, логически объяснимое при экспери-
ментальном характере данпых, приемлемо и для данных
сплошного наблюдения.

Надежность покавателей государственной статистики
обеспечивается развитой системой отчетности, мерами, кото-
рые осуществляет государстао для обеспечения достоверно-
сти данных. Иначе обстоит дело в специальных исследова-
ниях, имеющих локальный характер, охватывающих, как
правило, те сферы общественной жизни, которые не пла-
нируются. Трудоемкость специальных статистических ис-
следований приводит к тому, что почти все они строятся
либо на несплошном учете, либо на сплошном охвате стати-
стических коллективов ограниченной численности (напри-
мер, работников одной бригады, одного предприятия), и
поэтому проблема показательности таких данных стоит
особенно остро. Вероятностные критерии применяются
здесь, прежде всего, для анализа процессов внутри изучае-
мой совокупности. При малом числе единиц корреляцнои-
ные показатели и характеристики распределения могут
быть искажены действием случайных факторов, поэтому
рекомендуется проверить, не вызвана ли та или иная пра-
вильность стечением случайных обстоятельств, насколько
она характерна для того комплекса условий, в которых на-
ходится обследуемая совокупность.

Пусть, например, изучается фондоотдача по группам
предприятий химической промышленности города, разли-
чающихся по величине основных производственных фондов.

Таблица 11

ФОНДООТДАЧА ПРЕДПРИЯТИЙ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
ГОРОДА

Основные производственные фонды, тыс руб.	Число предприятий	Средняя
		
500-3000	5	3,66
3000-10000	4	5,20

Сравнивая значения фондоотдачи по группам, можно
сделать вывод, что, чем крупнее предприятие, тем выше фон-
доотдача. В какой мере можно доверять этим результатам,
можно ли на их основе делать вывод, что концентрация про-
изводства позволяет улучшить использование основных фон-
дов, повысить фондоотдачу? Средняя фондоотдача в группе
зависит от множества фикторов. Если бы в обеих группах
влияние прочих, кроме концентрации производства, фак-
торов было на одном и том же уровне, то различия груп-
повых средних можно было бы приписать влиянию груп-
пировочного признака. При малом числе единиц в группах
влияние всего множества прочих фикторов уравновешивает-
ся не полностью. Очевидно, из-за этого даже при полном
отсутствии зависимости признаков групповые Средние
будут различными. Однако существует предел такого рода
различий, и если фактические различия между групповыми
средними больше максимальных различий, которые могли
возникнуть в результате случайной разбивки, то фактор,
положенный в основу группировки, признается сущест-
венным.

Во многих случаях при использовании статистических
тестов испытуемой"является нулевая гипотеза (Но), отри-
цающая различия сравниваемых величин. Очевидна бес-
содержательность Иц для многих случаев. Тем не менее,
несмотря на определенные минусы сложившейся теории
статистических выводов и вероятностных оценок, дихото-
мический взгляд на мир (нулевая гипотеза Но и альтерна-
тивная ей На) позволяет принять решение, пусть даже в его
основе лежит не самая удачная модель данных.

Вероятностные оценки, если можно так выразиться,
дисциплинируют исследование. Изучение любой серьезной
проблемы включает определенную последовательность дей-
ствий, столь многообразных и взаимосвязанных, что в ка-
кой-то момент исследователь должен остановиться и решить,
что делать дальше, и в этих случаях статистические тесты
позволяют уменьшить частоту непрвиильных действий.

Задача статистического изучения социально-экономи-
ческих явлений — количественная характеристика зако-
номерностей окружающего нас мира. Это влечет за со-
бой необходимость глубокого проникновения в специфи-
ку исследуемых явлений с приспособлением к пей всех
используемых приемов. Если в процедуре типологиче-
ской группировки, периодизации рядов динамики, по-
строении систем обобщающих статистических показате-
лей (средних и относительных величии), индексном ана-
лизе очевиден примат объекта исследования, то
в методах, имеющих математико-статистический харак-
тер, природа объекта присутствует неявно. Каждое ста-
тистическое исследование требует специального реше-
ния проблем, возникающих при применении таких мето-
дов.
Глава 2. ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ
МЕТОДАМИ МНОГОМЕРНОГО
СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

2.1.	ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Многомерным статистическим анализом в на-
стоящее время именуют группу методов обработки данных,
являющихся многомерными в том смысле, что каждый
объект наблюдения характеризуется значениями многих
наблюдаемых переменных. Многочисленность методов мно-
гомерного анализа обусловлена, во-первых, различиями
в постановке задач и, во-вторых, пригодностью того или
иного метода в зависимости от свойств анализируемых дан-
ных. По постановке задач среди наиболее разработанных ме-
тодов многомерного анализа можно выделить статистические
методы классификации и анализа структуры данных (вклю-
чая близкие по целевой ориентации методы распознавания
образов), методы исследования зависимостей между анали-
зируемыми признаками, методы анализа динамических
данных (временных рядов), методы планирования экспери-
ментов и выборочных обследований.

Методы многомерного анализа различаются в зависимо-
сти от того: 1) являются ли исследуемые данные однородны-
ми или смешанными по характеру используемых перемен-
ных; какие из переменных являются количественными,
а какие категоризованными (качественными и классифика-
ционными, т. е. измеренными на порядковых и номинальных
шкалах); являются ли данные динамическими или статисти-
ческими; 2) постулируется ли коррелированность или неза-
висимость случайных переменных в исследуемом наборе
признаков; 3) каковы теоретические представления о линей-
ности или нелинейности взаимосвязей характеристик изу-
чаемого явления; 4) каковы характеристики функций рас-
пределения переменных и т. д. Безусловно, это далеко ие
исчерпывающая и весьма условная схема систематизации
методов многомерного анализа.
В этой книге мы будем рассматривать такие методы, как
регрессионный и причинный анализ, факторный анализ и
анализ главных компонент, а также методы изучения таблиц
сопряженности, поскольку именно эти методы в настоящее
время наиболее широко применяются в практике социально-
экономических исследований. В то же время вопросы методо-
логии, методики и корректной интерпретации результатов
применения этих сложных методов изучены еще недоста-
точно.

Построение описания многомерного статистического объ-
екта может быть представлено в виде решения двух самосто-
ятельных, хотя и взаимосвязанных задач: задачи выявления
набора существенных признаков, входящих в модель описа-
ния данных наблюдений, и задачи сравнения и выбора моде-
ли, наилучшим образом описывающей объект, из множества
альтернативных моделей. Математико-статистические и при-
кладные аспекты решения этих задач методами регрессион-
ного и факторного анализов будут подробно рассмотрены
в настоящей главе.

2.2.	РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

(МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ
ПОСТРОЕНИЯ И СРАВНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ)

Регрессионный анализ наиболее употребителен
в сравнении с другими методами многомерного анализа.
Отличительной особенностью уравнений в этом случае
является наличие двух видов переменных — зависимых и
независимых, изменения которых приводят к изменениям
зависимых переменных. Наиболее часто на практике исполь-
зуют модели, в которых одна зависимая переменная-функ-
ция и несколько независимых переменных-аргументов:
У = f (*i... Ъ).

Главная трудность в прикладном исследовании состоит
в выдвижении реалистичной гипотезы относительно предпо-
лагаемой структуры модели, заключающейся в определении
размерности задачи, отборе независимых переменных,
выяснении предполагаемого типа функции f. Различают
три характерные ситуации:

1.	Модель зарвиее  неизвестна. Требуется по данным
наблюдений (выборки) подобрать выражение, нвилучшим
образом описывающее данные.

2.	Внд функции и структура модели известны. Требуется
оценить параметры модели по данным наблюдений.
з.	Для описания исследуемого объекта может быть иС-
пользовано несколько моделей вида /. Требуется выбрать
лучшую из них и оценить ее параметры.

Заметим, что подобные ситуации характерны не только
для прикладного регрессионного анализа, ио и для многих
других многомерных методов описания зависимостей (на-
пример, для многомерного шкалирования, дисперсион-
ного анализа).

Разделение переменных на зависимую и независимые
в регрессионном анализе всегда производится исследовате-
лем на основе содержательных соображений; все перемен-
ные количественные, измеренные на интервальных шкалах.
Наблюдения предполагаются статистически независимыми,
т. е. значения признаков у одного объекта — единицы изу-
чаемой совокупности не должны зависеть от значений приз-
наков у других единиц выборочной совокупности. Число
единиц совокупности должно превосходить число перемен-
ных в 6—8 раз, чтобы показатели связей были статисти-
чески надежными. Множества значений каждой перемен-
ной должны быть качественно однородными по определе-
нию.

Исходные данные для решения этой задачи состоят из
совместных наблюдений независимых переменных х^ (i =
= 1, .... k; / = 1, ..., Л') и зависимой переменной у{,),
представляющей согласно регрессионной гипотезе значения
функции f, искаженные влиянием ошибок наблюдений. Для
линейной полиномиальной функции можно записать

j<‘> = Ь„ + Ь, х<‘> + ь2хи> +... + Ь, х!" +... + Ь, х?1 +4'>.

(2.1)

где — ошибка измерения у.

Уравнение (2.1) является линейным по параметрам
b и в общем случае нелинейным по переменным х,, которые
могут быть функциями от непосредственно измеряемых
характеристик объектов = <pf (-,-). Если число признаков-
аргументов два и больше (k 2), то (2.1) называют урав-
нением множественной регрессии; если k = 1, то (2.1) —
уравнение парной регрессии. Результативная переменная
у рассматривается как случайная величина, которая рас-
пределена в окрестностях некоторого среднего у, зависяще-
го от переменных х,. Считается, что этн переменные влияют
лишь иа среднее у и, в частности, что дисперсия постоянна;
что у распределена нормально в окрестности у.

Принципиальной особенностью любого уравнения рег-
рессии является его необратимость: по уравнению у = f (х)
нельзя путем тождественных преобразований построить
х — f (у). Это будут дае совершенно различные регрессии
как с содержательной, так и с математической точки зрения.

Параметры bit называемые коэффициентами регрессии,
оцениваются обычно по методу наименьших квадратов пу-
2 (у—у?
тем минимизации остаточной дисперсии s?CT = т N_k—
где у— значение функции f, рассчитанное по (2.1) ка
основе данных наблюдений Коэффициенты bi показы-
вают, на сколько единиц в среднем изменится результатив-
ный признак у при изменении i-ro признака-аргумента на
единицу шкалы его измерения при неизменных прочих ус-
ловиях (постоянных значениях всех других переменных).
Если bj > 0, то при увеличении значения х{ значения
у также возрастают — связь прямая; если b, <Z 0, то связь
обратная — при увеличении х, значение у уменьшается.
Данное свойство коэффициентов делает линейные регрес-
сионные модели просто интерпретируемыми. Параметр
feD трактуют либо как оценку действия на у признаков,
не учтенных явным образом в модели, либо нак оценку оши-
бок измерения, либо не интерпретируют содержательно
вообще. В линейной парной регрессии знак Ьо зависит от
соотношения показателей разнообразия результирующего
и независимого признаков: если у варьирует сильнее, чем
х, то b0 <Z 0, и наоборот.

Характерной чертой регрессионных уравнений является
линейность модели (по параметрам, по переменным). Пусть
вид функции f неизвестен. В этих условиях на основании
знания природы моделируемого явления (объекта) следует
прежде всего выяснить возможность использования в модели
непрерывной гладкой функции. Если такое представление
о механизме f допустимо, то в качестве модели могут быть
выбраны отрезки различной длины степенного ряда Тейлора,
получаемого при разложении гладкой и непрерывной
функции в окрестностях у в пространстве независвмых
переменных. При заранее заданном числе переменных
функция может иметь вид линейного полинома у = Ьо 4-
+	+ ... + f>k xh или в зависимости от длины отрезка

ряда полинома более высокого порядка:

У ~ &о+&Л+ Ьах24-... + ^ЛН-&и*Л+^1Лхз+	4~

+&ih*P*4- --+Ь1азг1л:яхз+---+^11*"+ 

Здесь коэффициенты Ь являются частными производными
при соответствующих функциях независимых переменных
в ряду Тейлора, т. е. например: bt = ду!дх±, biti =
= дуЧдх^дх? и т. д.

Если вид функции известен — принята полиномиальная
форма, то наступает очередь следующих этапов' построения
модели описания объекта: оценивания коэффициентов и,
когда это необходимо, отбора наилучшего регрессионного
подмножества переменных-аргументов из заданного числа
возможных и сравнения альтернативных моделей. Рассмот-
рим особенности действий на этих этапах.

Без потери общности все переменные можно выразить
в стандартизованном масштабе:

«-*=*-.

SU	SXJ

где у и Х{ — средние значения у и х, (но всему множеству
наблюдений); syH«Xf — средние квадратические отклонения
переменных у и х,- соответственно1. Как известно, среднее
значение любой из стандартизованных переменных равно
нулю, а дисперсия равна единице. Уравнение множествен-
ной регрессии, построенное с использованием стандартизо-
ванных переменных, называется стандартизованным урав-
нением регрессии, а его параметры — стандартизованными
регрессионными гкоэффициентами. Эти коэффициенты
саязаны с коэффициентами уравнения в натуральном масш-
табе соотношением

(2.2)

где р( — стандартизованный коэффициент регрессии. По-
скольку в стандартизованном уравнении регрессии все приз-
наки выражены в сравнимых единицах (в гл. 3 об этом мы
будем говорить подробнее), то коэффициенты р показывают

менных штрих опускается.
лишь сравнительную силу влияния каждого признака-
аргумента на результирующий признак.

При построении уравнения регрессии обычно основывают-
св на двух противоположных прагматических требова-
ниях: а) для повышения адекватности описания (точности
предсказания значений результирующего признака) в урав-
нение следует включать возможно большее число признаков-
аргументов; б) из-за затрат, связанных с проведением наб-
людений при большом числе признаков, необходимо стре-
миться к включению в уравнение возможно меньшего их
числа.

Компромисс между этими требованиями достигается
посредством тщательного предварительного отбора призна-
ков (прежде всего с позиций теории моделируемого явления)
и выбора наилучшего уравнения из нескольких возможных
путем оценки работоспособности различных моделей, в том
числе моделей, построенных на различных подмножествах
признаков-аргументов, и моделей, отличных по ферме урав-
нения регрессии.

На практике в качестве аргументов регрессионной моде-
ли часто используют коэффициенты корреляции нулевого
порядка — показатели парной связи данной переменной
с результирующей переменной. При этом в число «кандида-
тов» включаются переменные, тесно связанные с результи-
рующей переменкой. Подобные действия могут привести
к пренебрежению существенными для анализа явления пере-
менными, влияние которых может обнаружиться лишь после
устранения влияния других находящихся во взаимодейст-
вии переменных.

В гл. 3 мы покажем, обсуждая приемы раскрытия кор-
реляций через коэффициенты влияния (стандартизованные
коэффициенты регрессии в системе структурных уравнений),
что низкое значение коэффициента парной корреляции мо-
жет быть, в частности, обусловлено наличием длинной цепи
тесно взаимосвязанных переменных, передающих влияние
от перемениой-причипы к переменной-следствию.

Используя полную матрицу парных коэффициентов кор-
реляции R. отбор переменных целесообразнее проводить
на основе частных коэффициентов корреляции различных
порядков по принципу «включевия» — порядок частного
коэффициента корреляции зависимой переменной и перемен-
ной-аргумента последовательно повышается путем увели-
чения числа элиминируемых аргументов, потенциально
влияющих на эту связь. Таким способом, легко реализуе-

те
мым на ЭВМ, можно исключить из рассмотрения несущест-
венные переменные и снизить размерность регрессии еще
до построения уравнения. Его логическим развитием яв-
ляется метод пошаговой регрессии, о котором речь пойдет
далее.

Для того чтобы оценить качество построенной модели, не-
обходимо, в частности, оценить тесноту связи между резуль-
тирующей переменной и аргументами при помощи множест-
венного коэффициента регрессии



где Sy — общая дисперсия у\ s*.X1...Xh — дисперсия, объ-
ясненная данным уравнением регрессии; |Л’| — определи-
тель матрицы парных корреляций всех переменных модели,
включая у, |/?х[ — определитель матрицы корреляций
признаков-аргументов. Чем ближе	к единице,

тем точнее описывает уравнение регрессии эмпирические
данные. Однако в то же время при увеличении тесноты связи
между аргументами при 1 снижается точность оце-
нивания коэффициентов регрессионного уравнения, так как

>оо. Это обстоятельство необходимо иметь в виду
в практических ситуациях.

Рассчитав	и --»к. т- е-> получив ин-

формацию о точности оценивания коэффициентов pit можно
проверить гипотезы о существенности влияния каждой пере-
менной на результат с помощью /-критерия (т. е. оценить
значимости коэффициентов регрессионной модели при усло-
вии отклонения нулевых гипотез Но: — 0; t — 1,..., k).
Переменные с незначимыми коэффициентами могут исклю-
чаться из уравнения с последующим пересчетом всех дру-
гих коэффициентов. Отмечается, однако, что этот метод про-
верки существенности той или иной переменной-аргумента
заслуживает доверия лишь в тех случаях, когда перемен-
ные-аргументы некоррелированны (или весьма слабо кор-
релированны). В моделях множественной регрессии с взаимо-
коррелированными аргументами возможны ситуации,
когда проверка с помощью /-критерия будет давать ложные
результаты, указывая на статистическую незначимость
переменных, в действительности существенно влияющих
на результирующую переменную.
Кроме названного выше способа существуют различный
стратегии отбора [ill, среди которых наиболее распростра-
нена стратегия шагового отбора, реализованная в ряде алго-
ритмов так называемой пошаговой регрессии. Следуя этой
стратегии, признак включается в уравнение в том случае,
если его включение существенно увеличивает множествен-
ный коэффициент корреляции, что позволяет последователь-
но отбирать переменные, оказывающие существенное влия-
ние на результативный признак, даже в условиях мульти-
коллинеарности (высокой взаимозависимости) системы приз-
наков, отобранных в качестве аргументов из содержатель-
ных соображений. Напомним, что одним из основных посту-
латов множественного регрессионного анализа является
положение о том, что переменные — аргументы не должны
быть линейно-зависимыми между собой.

Формальные оценки должны дополнять качественный
анализ конкурирующих регрессионных моделей. Для целей
сравнения моделей могут быть использованы отношения
V(0 = sJ/sJct (/ = 1,	р), показывающие, во сколько раз

происходит снижение общей дисперсии звиисимой перемен-
ной у при использовании каждой из р проверяемых моделей.
Сравнивая уг для различных (Z — I, .... р) моделей, можно
модель с ушах считать лучшей. Отмечается, что для различ-
ных задач могут быть признаны эффективными различные
значения у; при этом удовлетворительная работоспособ-
ность модели достигается при у J55 3. Статистическая оценка
значимости различий о® и о*Ст может быть проведена путем
проверки Нс : <т£ = ogCT относительно альтернативной ги-
потезы HI:oJ>o2CT с помощью статистики Fрасч =
— s^IsSct; если верна Н, (ЕГвсч > ЕкРИТ), то достигнутое
снижение остаточной дисперсии у при использовании модели
значимо [31].

Порой высказываются суждения, что чем ближе
к единице, тем большую практическую ценность имеет мо-
дель, поскольку она адекватнее описывает данные наблюде-
ний. Здесь уместно напомнить парадокс Рассела [331: до-
пустим, что некто регулярно вызывает такси и строит гра-
фик, откладывая на оси абсцисс номер дня, на осн орди-
нат — номер машины. Если будет получено п наблюдений,
го их можно будет представить уравнением регрессии —
полиномом (п — 1)-й степени, при этом согласно теореме
Вейерштрасса кривая, соответствующая этому полиному,
пройдет через все наблюдения. Величина J?2 будет близка
к единице. Модель будет адекиатиой, но попробуйте теперь
предсказать номер машины, которая прибудет по вызову
завтра! Следовательно, вопрос о выборе модели описания
данных (объекта исследования) не решается простой про-
веркой гипотезы адекватности. Регрессионные модели при-
менимы для прогноза значений результирующего признака,
но при этом значения аргументов, по которым строится
прогноз, должны принадлежать области определения пере-
менных, по которым построено уравнение регрессии.

Использование формальных критериев качества моделей
необходимо, но недостаточно для построения удачных моде-
лей. Преимущества регрессионных моделей состоят в том,
что они отображают замысел исследователя простым и логи-
чески однозначным образом. Недостатки связаны с тем ис-
кажением, которое можно привнести в теорию моделируе-
мого явления, приняв и отстаивая модель, которая в дей-
ствительности может не соответствовать действительности,
например, просто вследствие того, что реальные выборочные
данные не соответствуют предпосылкам регрессионного
анализа и метода наименьших квадратов. Нарушение пред-
посылок может происходить по следующим причинам:
I) наличие узких диапазонов изменения признаков-аргу-
ментов; 2) низкая точность измерения и регистрации исход-
ных данных, малый объем выборки; 3) сильная коррелиро-
ванность признаков-аргументов; 4) нелинейный характер
связи зависимых и незвиисимых переменных. Практически
для всех причин, которые приводят к нарушению предпо-
сылок регрессионного анализа, развиваются модификации
этого статистического метода. О некоторых из них речь
пойдет далее в § 2.5.

Неудача модели может быть обусловлена невключением
в уравнение всех необходимых и реально существующих
независимых переменных (например, когда часть из них
практически невозможно измерить), вследствие чего оценки
коэффициентов могут оказаться настолько смещенными, что
модель потеряет всякий смысл (см., например, (27, с. 1621).

Здесь уместно заметить, что основной причиной повышен-
ного интереса ученых и практиков к многомерным задачам
анализа данных является сложившееся в настоящее время
в большинстве естественных, физико-химических, техни-
ческих и общественных наук соотношение между уровнем
развития теории и практикой, экспериментом. Теория
сегодня, скорее, служит целям создания некой системы
взглядов, подчас и не лишенной противоречий, и при реше-
йии конкретней задачи, как Правило, не навязывает иё»
следователю какой-либо однозначный алгоритм действий
в постановке эксперимента, анализе данных, объяснении
эмпирически наблюдаемых фактов. Все это приводит к тому,
что исследователи, особенно начинающие, зачастую стре-
мятся включить в описание изучаемых объектов возможно
большее число переменных либо, будучи не в состоянии
априорно, из содержательных, теоретических соображений
отбросить до проверки часть из них, либо в надежде выя-
вить новые связи, не предсказываемые существующей тео-
рией.

Признавая все этсУ, тем более необходимо подчеркнуть,
что возможности современных статистических методов и
ЭВМ, позволяющих оперировать одновременно с десятками
признаков, не должны служить прикрытием голого эмпириз-
ма, когда включение переменных-признаков в описание
объекта производится без достаточных оснований, базиру-
ющихся на содержательном и логическом анализе качества
изучаемого явления. Основополагающим гносеологическим
принципом, определяющим эффективность применения ста-
тистических методов, является примат качества объекта,
содержательного анализа изучаемого явления.

На конкретном примере рассмотрим логику действий
исследователя в процессе построения уравнения множест-
венной линейной регрессии. Наша задача — разработать
модель формирования производительности труда при про-
изводстве молока в совхозах. Исходные данные для этой
модели (табл. 2.1) взяты из работы [37J Там же, а также
в § 3.5 читатель может найти и обоснование отбора перемен-
ных-кандидатов на включение в модель, обусловленное эко-
номическим механизмом моделируемого явления. Отметим
также, что искомое уравнение регрессии является составной
частью системы уравнений причинной модели формирова-
ния себестоимости молока в совхозном производстве, рас-
смотренной в качестве примера причинной экономической
модели в § 3.5.

Предположим, что выполняются обычные предпосылки
регрессионного анализа:

а)	все переменные-аргументы Xj измеряются без ошибок;

б)	е(р — ошибка измерения выходной (зависимой)
переменной в бм объекте не наблюдаема и является нормаль-
но распределенной случайной величиной с нулевым мате-
матическим ожиданием М (ev) — 0, постоянной во всех
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
ДЛЯ МОДЕЛИ <2 4>

	Среднее	0	с/й. а]х	mln	max
У	1527	0,314	0.206	1.100	2,090
	562,726	240,726	0,428	350,000	500.000
	20,127	4.900	0,243	13,300	30.000
Л'з	10.992	4,625	0,421	5,770	22,399
	103,227	11.397	0,110	85,000	132,000
	48.095	26.416	0,549	7,000	IOO.OOO
к.	29,791	5.937	0,199	16,599	43,399
х?	23,761	4,612	0,194	17,730	33,410
хе	82,245	7,204	0.088	70.000	95599

наблюдениях дисперсией п2(ев) и некоррелированными
между собой значениями в различных наблюдениях (на
разных объектах);

в)	среди входных переменных нет линейно-связанных.

Задача состоит в нахождении по данным наблюдений
оненок коэффициентов регрессионного уравнения

- Ь„+ л<>, +... + fc, 4" + 4.	(2.4)

и построении модели, включающей только существенные
переменные:

У^К+Ь1х1-]-... + Ьтхт,	(2.5)

где т k.

В нашем примере t — 22, k = 8, все переменные количе-
ственные, измеренные на интервальных шкалах:

у — уровень производительности труда (затраты чело-
веко-дней на 1 ц молока за отчетный период времени;
в § 3.5 это переменная х7);

xi — уровень концентрации производства (количество
крупного рогатого скота, приходящегося на 1 ферму);

х2 — структура рациона коров молочного стада (удель-
ный вес концентрированных, сочных и грубых кормов);

хя — степень технической оснащенности ферм (сумма
амортизационных отчислений в рублях в расчете на 1 фу-
ражную корову);

х* — уровень белковой обеспеченности кормов (количе-
ство переваримого протеина в расчете на I кормовую еди-
ницу);
хв — уровень механизации доения (удельный вес коров,
переведенных на механическое доение в общем поголовье
скота на конец года);

хв — уровень кормления коров (затраты кормов в цент-
нерах кормовых единиц на 1 корову в год);

х-г — продуктивность скота (удой в центнерах на 1 фу-
ражную корову, в § 3.5 это переменная хв);

хв — яловость коров (выход телят на 100 коров и нете-
лей основного стада, в § 3.5 это переменная х13).

Мы отмечали ранее, что в рамках названных выше обыч-
ных предпосылок регрессионного анализа наилучшими
оценками Ь коэффициентов регрессионного уравнения (2.4)
являются оценки, найденные по методу наименьших квад-
ратов. Для решения вопроса об исключении переменных
из уравнения целесообразно рассматривать также и стан-
дартизованные коэффициенты регрессии р. Результаты
расчетов приведены в табл. 2.2.

Таблица 22

ПАРАМЕТРЫ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ (2.4) (ft0 =3.2329)

‘1	Ъ1	>Ч|		fPac4	р *,расч<~*нр>
ч	0,000	0,000	0,031	0.216	0,833
	—0,026	0,011	—0,400	—2,372	0,034
	—0,016	0,011	—0,233	— 1,407	0,183
	—0,009	0,039	—0,034	—0,240	0,814
	—0,001	0,002	—0,052	—0,318	0,755
V.	—0.024	0,014	—0,458	—1,767	0,101
к	—0,021	0.019	—0,302	—1,068	0,305
	0,004	0.007	0,083	0,500	0,626

Примечание Р — вероятность принятия гипотезы о равен-
стве нулю регрессионного коэффициента на основе испытания /-кри-
терия:

Проверим гипотезу о том, что все коэффициенты регрес-
сии (но не свободный член) одновременно равны нулю. Эта
проверка является полной проверкой уравнения регрессии,
г. е. если мы не отвергнем вышеназванную нулевую гипо-
тезу, то сделаем вывод, что ни одна из переменных-аргумен-
тов не вносит существенного вклада в объяснение зависимой
переменной. Проверка этой нулевой гипотезы относительно
альтернативной гипотезы, состоящей в том, чо не все рег-
рессионные коэффициенты равны нулю, обычно осущест-
вляется с помощью дисперсионного анализа и F-критерия.
Она основана на следующем разложении общей вариации
зависимой переменной:

Общая (полная) _ Вариация, объясненная  Остаточная
вариация уравнением регрессии (необъяснен-
ная) вариация.

Число степеней свободы: для общей вариации — df =
= Л- — 1; для объясненной вариации — df = k — 1; для
остаточной вариации — df = N — k — 1. Здесь N — число
наблюдений; k — число параметров уравнения регрессии.

Для нашего примера дисперсионный анализ представ-
лен в табл. 2.3. Поскольку

sU-x,-. к

*расч—	3	* кр I “ N, N—k —

SOCT

то можно отвергнуть нулевую гипотезу и сделать нывод
о существенности связи, т. е. о корректности предложенной
модели формирования производительности труда при про-
изводстве молока в совхозах.

Таблица 2.3

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ (2 4)

Вариация	Сумка квадратов отклонений-	степеней свободы	Величина F-критерия	р ^расч*-  <<риТ)
Объясненная регресспей	N  2 (И-Й8= 1.693  1 = 1	8	7,177	0,00102
Остаточная	N  2 <И-й)’=-0.383 1=1	13		
Общая	2 (и-Г)1-2-»™ 1—1	21		
Рассмотренный выше прием отнюдь не является единст-
венно возможным способом проверки нулевой гипотезы.
В работе 151 показан прием проверки нулевой гипотезы
с использованием статистики Г2, введенной Хоттелингом и
связанной с F следующим соотношением: F = T4k. Эта
же гипотеза может быть проверена и с помощью квадрата
множественного коэффициента корреляции либо, будучи
сформулированной как Но : KJ.*,... xh — 0, либо на осно-
ве сравнения Ry.Xl...xh с его стандартной ошибкой.

В нашем случае Ry.x, ... Xfc = 0,9030 и Ry.x, ... xk =
= 0,85154, а стандартная ошибка равна 0,1717. Поскольку
R близко к 1, для проверки гипотезы о существенности
связи следует воспользоваться формулой {-критерия с ис-
пользованием преобразования Фишера:

{ = —, где z = —— In	, a sz— . 1	

sz	2	1-/?’	‘ VW-3

Проверка статистической значимости отдельных част-
ных коэффициентов регрессии (Но : |5j = 0) с помощью
{-критерия показана в табл. 2.2. Статистически значимыми
являются коэффициенты fe2, b3, fce, h7. Мы отмечвли выше,
что члены с незначимыми коэффициентами могут исключать-
ся из уравнения (в нашем случае это xlt xit хй, х8), однако
при принятии этого решения нужно учитывать возможную
коррелированность входных переменных. С этих позиций
наша модель рассматривается в § 2.5, где излагаются во-
просы построения регрессии на главных компонентах.

Допустим теперь, что мы приняли решение об исключе-
нии переменных. Это означает, что структура модели уста-
новлена. С целью калибровки параметров модели нужно
вковь оценить ее коэффициенты. Далее наступает этап содер-
жательной интерпретации значений параметров, который
мы рассматривать здесь не будем.

В заключение покажем оценку работоспособности урав-
нения (2-4) с использованием упоминавшегося выше пока-
зателя

В нашем примере у — 8,2 >3, что позволяет говорить об
удовлетворительной работоспособности разработанной мо-
дели. Заметим, что это утверждение справедливо и для мо-
дели после исключения несущественных переменных.
2.3.	ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И АНАЛИЗ
ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ

В очень многих практических случаях информа-
ция об изучаемом явлении может быть представлена в фор-
ме таблицы (матрицы) данных «объект-признак», в которой
строки соответствуют множеству наблюдений за состоянием
изучаемого явления (или числу объектов наблюдения),
а столбцы — множеству признаков-переменных характе-
ристик, описывающих данное явление и являющихся ре-
зультатами измерений. В экономических исследованиях
в качестве объектов наблюдения чаще всего выступают
предприятия или их подразделения, отрасли, виды продук-
ции и т. д. В социологических исследованиях в качестве
объектов наблюдения могут выступать отдельные индивиды
или их группы. Число объектов в социально-экономических
исследованиях исчисляется десятками, сотнями, а зачастую
и тысячами единиц наблюдения. В набор признаков теорети-
чески могут быть включены все непосредственно измеряе-
мые характеристики явления.

В любых статистических исследованиях встает вопрос:
нельзя ли собранную информацию выразить в компактной
форме. Если описание объекта исчерпывается несколькими
признаками (I—5), то распределение объектов, представ-
ленное в матрице данных, может быть охарактеризовано
такими широко известными статистическими показателями,
как средние, моды, дисперсии, совместные и условные рас-
пределения, параметры стандартных распределений (на-
пример, нормального, Пуассона), аппроксимирующих эм-
пирическое распределение объектов, и т. д. Связи между
признаками в этом случае легко оценить, представив, на-
пример, матрицу корреляции в ваде так называемой кор-
реляционной плеяды. Когда же число признаков больше
пяти, указанные выше статистические характеристики либо
не могут быть построены практически, либо их число ока-
зывается чрезвычайно большим и они не поддаются содержа-
тельной интерпретации. В частности, поэтому для анализа
структуры матриц данных большой размерности (с большим
числом признаков) были разработаны специальные методы:
факторный анализ, многомерное шкалирование, кластер-
ный анализ и т. д. При их разработке математики и статис-
тики, естественно, стремились исходить из каких-то доста-
точно общих, интуитивно легко воспринимаемых постула-
тов. Среди них, по нашему мнению, главным является поло-

2*

35
жение о том, что при осуществлении процедуры редукции
данных из результатов наблюдений должен извлекаться
максимум содержащейся в них информации.

Различия в формулировках задач, определяемые разли-
чием целей исследований, побуждают привлекать в качестве
исходных постулатов ряд специфических положений, опре-
деляющих технологию сжатия информации, выявления свя-
зей между признаками и построения математических моде-
лей, описывающих эти связи. Так, например, компактность
представления информации может быть достигнута путем
как группировки признаков, взаимосвязанных друг с дру-
гом (методы анализа системы признаков и выявления скры-
тых факторов), так и группировки объектов со сходными
сочетаниями признаков (методы автоматической классифи-
кации, таксономии).

В основе постановки первой из названных выше задач
лежит, в частности, представление о том, что в анализируе-
мой системе признаков наряду с признаками, необходимы-
ми для описания сущности изучаемого язления, содержатся
признаки необязательные, сопутствующие1. Этот тезис
можно обозначить как постулат априорной избьапочнбсти
исходного описания исследуемой системы. Здесь уместно
звметкть, что данный постулат не имеет никакого отношения
к вопросу о полноте описания исследуемого явления с точ-
ки зрения качественного анализа его сущности. Дело в том,
что предварительный теоретический анализ (даже если ис-
следователь в явном виде его не проводит) неизбежно при-
сутствует уже в определении самого перечня признаков,
в методике их измерения и т. д. и именно этот анализ опре-
деляет тот качественный уровень полноты описания объек-
тов, по отношению к которому правомерно говорить об
избыточности набора признаков-элементов описания.

Избыточность же возникает вследствие того, что многие
признаки заведомо взаимосвязаны. Такие признаки косвен-
но определяют существо явления. Так, по некоторому на-
бору внешне наблюдаемых признаков врач судит о более
общих «скрытых» характеристиках болезни, экономист —
об эффективности проводимых мероприятий н т. д. Избы-
точность особенно характерна для выборочных статисти-
ческих обследований населения, при которых существует

^Читатель, конечно, заметил, что это же представление ле-
жит в основе постановки рассмотренной ранее задачи по отбору су-
щественных переменных в регрессионном анализе.
довольно распространенная тенденция задавать вопросы,
часть которых впоследствии не анализируется. Порой ис-
следователь включает в опросные листы некоторые вопросы
в предположении, что при последующей статистической
обработке выяснится — являются ли эти вопросы лишними.
Следует помнить, однако, что перегруженный опросный
лист ухудшает качество ответе® как на важные, так и на вто-
ростепенные вопросы. А качество и надежность исходной
информации являются залогом успешности любой ее после-
дующей статистической обработки.

В основе ряда методов анализа подобных избыточных
данных лежит следующая гипотеза: наблюдаемые (или изме-
ряемые) параметры являются лишь косвенными характерис-
тиками изучаемого явления, на евмом же деле существуют
скрытые внутренние (латентные, фундаментальные) пара-
метры или свойства, число которых мало и которые опреде-
ляют значения наблюдаемых признаков1. Эти скрытые пара-
метры принято называть факторами. Измерить значения
фикторов можно лишь косвенным образом при помощи спе-
циально сконструированной модели взаимосвязи фактора
с непосредственно замеряемыми характеристиками объекта.
Эта модель и отождествляется с описанием некоего скрытого
свойства.

Выделяют три вида методов нахождения скрытых фак-
торов, отличающиеся по своим исходным предпосылкам
при общности названной выше гипотезы. Эго факторный
анализ, многомерное шкалирование и кластерный анализ
признаков. В связи с тем, что в исследовательской практике
в настоящее время наиболее широко распространен фиктор-
ный анализ, наше дальнейшее рассмотрение методологи-
ческих аспектов проблемы минимизации описания много-

1Следует указать, что некоторые зарубежные авторы связыва-
ют такую постановку задачи с распространенной в западной фило-
софии науки позитивистской трактовкой известного «принципа
экономии мышления», суть которого заключается в том, что закон
(модель) не может быть сложнее, чем эмпирические факты, на ко-
торых он основан. Следовательно, общих факторов должно быть
меньше, чем изучаемых признаков, и, кроме того, линейные сви-
сания факторов должны быть достаточно простыми (42, с. 1111.
Не вдаваясь в подробный критический анализ ограниченности
данного философско-методологического принципа, отметим лишь,
что термины «закон» и «модель» трактуются здесь в предельно узком
смысле. О материалистическом понимании принципа экономии
мышления см. j38].
мерных статистических объектов будет проведено на его
примере.

Предварительно сделаем несколько замечаний о спе-
цифике фикторного анализа как метода научного исследо-
вания. Факторный анализ — это один из приемов анализа
вариаций, т. е. того на первый взгляд неприятного обстоя-
тельства, что результаты измерений одних и тех же харак-
теристик у различных объектов или в разных опытах ока-
зываются неодинаковыми (переменными) величинами. При-
ступая к анализу вариаций, исследователи, как правило,
идут одним из следующих путей: выдвигают на основании
каких-либо теоретических соображений гипотезу или свсте-
му гипотез о природе анализируемой вариации; отказывают-
ся от всяких гипотез и ограничиваются сбором максимально
возможного количества точных данных из интересующей
области и лишь затем используют факторный анализ, счи-
тая, что методы фикторного анализа сами по себе позволяют
обнаружить природу скрытых закономерностей. В некото-
рых работах по теории фикторного анализа последний
путь объявляется даже основным методологическим достоин-
ством этого статистического приема анализа эмпирических
данных [16J, 120], [421. Между тем очевидны его методоло-
гические пороки и логическая слабость, обусловленная поро-
дившей его философией эмпиризма. Как мы отмечали выше,
уже на уровне определения набора признаков присутствует
(пусть не всегда в явном виде) теоретический анализ, а сле-
довательно, и гипотеза, утверждающая, что отобранные
признаки являются характеристиками исследуемого явле-
ния1- Просто при таком подходе центр тяжести качествен-
ного анализа смещается на конечный этап исследования —
интерпретацию результатов факторного эксперимента, кото-
рая при слепом следовании названной стратегии зачастую
оказывается очень трудной.

Можно согласиться с мнением, что наиболее плодот-
ворно использование фикторного аналвза на ранних ста-
диях исследования и в тех областях, где лишь начинается
научный поиск, где еще не окончательно сформулированы
законы и концепции [29, с. 16), однако при этом следует

ХВ этом плане столь же не корректно высказывание о том,
что факторный анализ не признает произвольных решений о важ-
ности тех или иных переменных для данной области исследования
[29, с. 211, поскольку известное априорное разделение переменных
по важности происходит уже на этапе отбора признаков, включае-
мых в анализ, из числа возможных.
помнить, что факторный анализ, как и многие другие инст-
рументы научного познания, есть прежде всего средство
проверки, селекции гипотез, а отнюдь не волшебная палоч-
ка, извлекающая из груды сырых фактов «скрытые зако-
номерности».

Рассмотрим теперь коротко математическую сторону
этого метода. Для удобства рассмотрения допустим, что
статистические свойства матрицы исходных данных X за-
даются ковариационной матрицей (т. е. мы предполагаем,
что выполняется гипотеза о нормальном распределении,
а переменные х измерены в отклонениях от средних (центри-
рованы х = — х), т. е.

2*х х2 ... хк

2*2*!	... 2*2*ь

Sxfe *t 2xft xz... 2*|

Здесь N — число объектов наблюдения; k — число перемен-
ных (признаков).

Диагональные элементы матрицы L являются дисперсия-
ми, внедиагональные — ковариациями. Если вычислить
ковариационную матрицу для стандартизованных перемен-
ных х' = х!ах, где оя — средненвадратическое отклоне-
ние, то мы получим корреляционную матрицу (штрих
опускаем)

1 Г12

Г21 1

... rltt

r2k

R =

rhl rh2 1

Здесь по диагонали стоят единицы, а неднагональные эле-
менты — обычные парные коэффициенты корреляции. Да-
лее несколько подробнее остановимся ка требованиях к ис-
ходным переменным, сейчас же отметим, что переход к но-
вым переменным (факторам) можно осуществить, ориекти-
руясь преимущественно на поведение либо дисперсий, либо
корреляций. В первом случае мы будем иметь дело с методом
главных компонент, во втором — с собственно факторным
анализом. Соответственно в первом случае искомые новые
переменные называют главными компонентами, во втором —
факторами. Впрочем, это различие в терминологии ныне не
всегда выдерживают и часто метод главных компонент
(вполне оправданно с практической точки зрения) считают
одним из приемов широко понимаемого факторного анализа,
разновидностью метода главных фикторов [3], (12], [14].

В методе главных компонент новые переменные ищутся
как некоррелированные нормированные линейные комби-
нации исходных признаков

k

z}= 2 аИхь h 1=1,2,..., k, (2.6)
f=l

дисперсии которых расположены в убывающем порядке,
т. е. о2 (zt) о2 (z2)	... о® (zfe). Тем самым корреля-

ционная (или ковариационная) матрица оказывается рас-
щепленной ка k ортогональных компонент.

От новых переменных можно вернуться к старым, за-
писав (учитывая ортогональность преобразования)

*«= 2 а» 2’-’k’ <2-7^

где Zj обозначает /-ю главную компоненту, a а}1 — вес
/-й компоненты в i-й переменной (или наоборот). Выражения
(2.6) и (2.7) — основные соотношения метода. Обратим
внимание ка то, что в них не содержится остаточной состав-
ляющей е, т. е. предполагается, что всей главных компонент
исчерпывают всю дисперсию всех k исходных переменвых.

На языке матричной влгебры суть метода можно записать
следующим образом: коэффициентами линейных комбинаций
(нагрузками) служат компоненты собственных векторов
корреляционной матрицы, а дисперсии главных компонент
равны собственным числам этой матрицы = о® (zf), ко-
торые удовлетворяют уравнению

|R — XI] = 0	(2.8)

степени k относительно X (I — единичная матрица). Некото-
рому значению соответствует собственный вектор ait
удовлетворяющий условию R а, = Х-с^. Справедливы сле-
дующие соотношения: а) условие нормировки aTfii = I;
б) условие ортогональности преобразования ofo = 0.

Выражение (2.6) в матричной форме записывается так:

Z = АГХ,	(2.9)
бде — транспонированная матрица А (со столбцами
а1г... Сь). Ковариационная матрица ZZr является диаго-
нальной, вследствие ортогональности главных компонент,
с диагональными элементами

Основная идея метода главных компонент легко воспри-
нимается интуитивно. Если под признаковым пространством
понимать геометрическое пространство, образованное сис-
темой осей координат, находящихся во взаимооднозначном
соответствии с множеством-признаков, а исходный массив
наблюдений представить в виде облака точек, расположен-
ных в этом пространстве, то нахождение главных компонент
сводится к переходу к новой ортогональной системе коорди-
нат факторного пространства: ее первая координатная ось
ищется так, чтобы соответствующая ей линейная форма из-
влекала возможно большую дисперсию, далее ищется орто-
гонвльная ось, которая делает то же самое с оставшейся
дисперсией, и т. д. Таким образом можно выделить все k
главных компонент. На практике же следят за размером
дисперсий выделяемых компонент. Если некоторые диспер-
сии мало отличаются от нуля1, то ими порой пренебрегают,
это сокращает размерность факторного пространства, т. е.
решается задача минимизации описания. Обычно число вы-
деляемых компонент не превышает 5—10 при числе исход-
ных признаков в несколько раз большем.

Перейдем к описвнию классического варианта фактор-
ного анализа. Основная модель факторного анализа записы-
вается следующим образом:

Xi= 2 aufi + Rb f = l....fc m<k. (2.10)

»=1

Здесь fj — искомая новая переменная — /*-й фиктор;
т — заданное число фикторов;

F — коэффициент фикторной нагрузки i-й перемен-
ной на /-й фиктор или фикторная нагрузка f-го фиктора на
i-ю переменную;

е£ = diUi — остаточный член с дисперсией о2 (ef) = df,
действующий только на х£; часто его называют специфиче-
ским фактором и, (a fj — соответственно простым или общим
фиктором).

1Если при этом применяется процедура вращения для получе-

ния такуназываемой простой структуры, то рекомендуется вращать
лишь оси, у которых собственное число 1.
Задача формулируется следующим образом: требуетсй
найти минимальное число фикторов ft....fm, после учета

которых корреляционная матрица R превратится в диаго-
нальную. Иными словами, это значит, что после учета дей-
ствия т фикторов все остаточные корреляции между х пе-
ременными должны стать незначимыми.

Вначале ради простоты будем полагать, что факторы
fi должны быть взаимно независимыми подобно тому, как
это предполагалось в методе главных компонент. Далее
предположим, что случайные величины е4 не зависят друг
от друга, а также от всех факторов fj (j = [,..., т).

Особенностью метода является то, что число искомых
фикторов задается исследователем априори. Это и его до-
стоинство и недостаток. Известно неравенство [3], 120],
определяющее наибольшее возможное число т при заданном
числе переменных k, которое должно выполняться, чтобы
задача не вырождалась в тривиальную: (k + т) <Z (k — т)а.

Напомним представление об основной теореме фактор-
ного анализа. Допустим, что исходные признаки Xi и xt
являются индикаторами одного и того же фиктора fj (на-
пример, — длина, Хъ — ширина, тогда fj можно назвать
размером тела). Можно легко показать, что в этом случае
с учетом (2.10) корреляция между и х2 будет опре-
деляться соотношением

г (л,х,) = ouo„.	(2.11)

В общем случае, когда ft переменных имеют т общих фак-
торов, можно написать

г (xtx2) = GUGW 4- а18аю + ... +	(2.12)

Данное соотношение — основное в факторном анализе —
показывает, что коэффициент корреляции любых двух пере-
менных можно выразить суммой произведений нагрузок
некоррелированных фикторов. В матричной форме эта
теорема запишется так:

R = ЛЛГ,	(2.13)

где А — матрица фикторных нагрузок размерности
(k Ут).

Введем еще ряд терминов, принятых в факторном анализе.
Систему уравнений (2.10) называют иногда факторным
отображением, тогда фикторные нагрузки называют эле-
ментами фикторкого отображения. Если фикторы f/ не кор-
релированы, то элементы факторного отображения равны
соответствующим элементам факторной структуры, как
называют иногда таблицу коэффициентов корреляции
между признаками и фикторами, получаемую из соотноше-
ния (2.10) обычным образом1.

Выразим теперь структуру дисперсий признаков х, че-
рев элементы факторного отображения. Будем считать, что
факторы, как и все другие параметры, заданы в стандарт-
ной форме (т. е. имеют нулевое среднее и единичную диспер-
сию). Имея это в виду, из (2.10) получим по определению
дисперсии:

S? = l- 2 0?р + 4Ч-2 2 alraitrtpl,+
р=|	р—1

«=₽+•!

+м, 2	Р-И)

р=|

Первая сумма (сумма квадратов факторных нагрузок) в вы-
ше приведенном равенстве указывает долю дисперсии приз-
нака xit приходящуюся на все т общих фикторов, она обоз-
начается символом й/ и называется общностью. Член равен-
ства df называется характерностью, так как определяет
вклад специфического фактора в дисперсию признака х{.
В случае, ногда не коррелируют между собой ни общие,
ни характерные факторы, ни общие фикторы с характерны-
ми, дисперсию признака можно ныразить следующим об-
разом:

sf = I = hl + d?.	(2.15)

При суммировании квадратов фикторных нагрузок на
фактор по всем признакам получим оценку полного вклада
фактора в суммарную дисперсию параметров

Vp’W»1...........m).	(2.16)

f=l

Полный вклад всех общих фикторов будет равен: V == S Vp;
v ₽=|
отношение^- • 100% (доля суммарной дисперсии, объясняе-
мой факторами) служит иногда показателем полноты фак-

хДля этого достаточно перемножить любые два уравнения из
(2.10), просуммировать по всем объектам наблюдения и разде-
лить на числе (N).
торизации, иначе говоря, того, насколько хорошо выявлен-
ные фикторы объясняют вариационное поведение призна-
ков, включенных в анализ.

Итак, с математической стороны задача фикторного
анвлиза заключается в линейном преобразовании ^-мерного
пространства в пространство существенно меньшей размер-
ности т. Ее нельзя решить однозначно. Нельзя проверить
непосредственно написанное выше соотношение (2.10), так
как в нем k исходных переменных выражается через
(k-J-m) других переменных — общих и специфических фик-
торов. Поэтому говорят, чтсТфикторизацию матрицы R,
удовлетворяющую (2.13), можко произвести бесконечно
большим числом различных способов (см. [421).

Если нам удалось найти некоторую матрицу F, удовлет-
воряющую (2. J3), то любое ее ортогональное преобразова-
ние (ортогональное вращение) приводит к такой же факто-
ризации с перераспределением нагрузок, а при вращении
главных компонент в ряде случаев и к изменению величин
дисперсий, объясняемых отдельными компонентами. Дело
в том, что по окончании процесса выделения фикторов мы
получаем некую совокупность нагрузок, соответствующую
определенному положению системы координат (напомним,
что факторы — оси этой системы). Это положение зависит
от метода, использованного при расчете фикторов.

Неоднозначность фикторных нагрузок atf вызвана тем,
что факторное решение, определяя m-мерное пространство,
содержащее общие фикторы, не определяет базиса в этом
пространстве, а следовательно, не определяет положения
векторов в нем. Рассмотрим геометрическую интерпретацию
этого момента несколько подробнее.

Исходные переменные можно представить в виде векто-
ре», координаты концов которых задаются нагрузками со-
ответствующих переменных на фикторы. Все векторы ле-
жат внутри окружностей единичных радиусов, так как
фикторные нагрузки имеют смысл’коэффициентов корреля-
ции между признаком и фиктором, и поэтому равны’проекции
вектора на' ось-фактор. Так как основная’конфигурация
системы векторов-переменных представляет собой неизмен-
ный элемент, заданный исходной корреляционной матрицей,
го ее проекции на различно расположенные оси могут взаим-
но преобразовываться, оставаясь эквивалентными, при
условии, что система осей вращается вокруг^нензменного
начала координат — точки, являющейся и начальной точ-
кой векторов-признаков. Осуществляя вращение, мы изме-
няем проекции векторов (фикторные нагрузки). Одни из
них растут, другие уменьшаются; неизменными остаются
лишь два параметра: суммы квадратов соответствующих
пар проекций (т. е. общности) и исходные корреляции между
переменными. Если второе условие отражает положение
о неизменности исходной конфигурации векторов, то первое
есть простое следствие теоремы Пифигора (длина вектора,
т. е. гипотенуза треугольника, не меняется при вращении,
изменяются лишь катеты — факторные нагрузки).

Когда же возникает необходимость вращения? Ответ на
этот вопрос трудно дать в отрыве от конкретного решения.
В ряде случаев оказывается, что первая фикторизация
(равным образом — выделенные т главных компонент)
трудно поддается интерпретации. Например, факторные
нагрузки в первом фикторе (компоненте) близки по величине
и сходны по знаку у многих переменных и трудно одноз-
начно определить, какое именно качество скрывается за
выделенной ^комбинацией значимых признаков. В таких
ситуациях исследователь может начать вращать фикторы
до тех пор, пока не получит результаты, более поддающиеся
осмысленной интерпретации. Так, вращение по критерию
варимакс приводит к увеличению нагрузок по одним пере-
менным и уменьшению по другим, что способствует более
отчетливому выделению групп признаков, ответственных
за тот'или иной фактор1. Будучи эквивалентными с матема-
тической точки зрения разные комбинации значений фактор-
ных нагрузок одних и тех же признаков оказываются раз-
личными при содержательной интерпретации 'результатов
фикторного эксперимента. &ти комбинации определяются
исключительно свойствами примененного метода выделения
факторов'и в этом смысле являются случайными. Вот почему
следует использовать процесс вращения для получения та-
кого положения факторных осей, которое в наибольшей
степени отвечает целям содержательной интерпретации.
Для подтверждения истинности выделенной факторной
структуры следует применять к одним и тем же данным раз-
ные методы выделения фикторов, чтобы элиминировать
влияние метода расчета на результат.

’Этот критерий является реализацией концепции Терстоуна
о простой структуре, при которой переменные, определяющие ин-
терпретацию данного фактора, должны иметь большие факторные
нагрузки, а остальные переменные — нулевые или близкие к нуле-
вым нагрузки [20], J42).
Содержательный смысл фактора выявляется на основе
признаков, обнаруживающих нысокую по абсолютной ве-
личине корреляцию с фактором, т. е. имеющих высокие
факторные нагрузки. Для отделения таких признаков обыч-
но используют определенные эмпирические критерии зна-
чимости, например ац 2? 0,6- Следует учитывать, что порог
значимости — величина относительная, и у разных фикторов
он может быть, вообще говоря, различным (у первого фик-
тора (компоненты) выше, чем у второго, и т. д.)1. Сущест-
вуют также формальные критерии, позволяющие оценить
статистическую значимость коэффициентов корреляции
х,- и fj — фикторных нагрузок ац. Применение их, одиако,
осложняется в случае, если рассматриваемая выборочная
совокупность, использованная в фикторном эксперименте,
не является случайной выборкой из генеральной совокуп-
ности с нормальным распределением по анализируемым
признакам.

Любое свойство эмпирических данных, которое способно
оказывать систематическое и предсказуемое влияние на
результаты компонентного или факторного анализа, яв-
ляется релевантным свойством, требующим учета при по-
становке задачи и интерпретации результатов. Прежде всего
следует еще раз подчеркнуть, что названные методы в их
классическом виде были разработаны для количественных
признаков, измеренных на интервальной шкале, таких,
как рост, вес, заработная плата, возраст, цена, доход. Пе-
ременные-признаки при этом явным или неявным образом
предполагались непрерывными и имеющими нормальное
распределение.

Психологи, раньше других начавшие применять эти
методы, быстро осознали, что при оперировании с данными,
не удоалетворяющими назаанным выше предположениям
(например, с дискретными балльными оценками), необхо-
димо принимать специальные допущения. Одно из важных
свойств нормально распределенных переменных состоит
в том, что средние и дисперсии таких переменных являются
функционально независимыми. Однако, если анализировать
дихотомические переменные, т. е. случай, когда допустимы-
ми являются только даа значения, например нуль или еди-

1 Эмпирические пороги значимости коэффициентов факторных
нагрузок могут быть связаны с критериями останова процесса выде-
ления факторов; эти правила реализованы в ряде программ для ЭВМ.
Ьица, встает проблема метрики. В этом случае между сред-
ней и дисперсией существует функциональная зависимость.
В то же время коэффициент корреляции таких переменных
(•^-коэффициент) является частным случаем классического
паркого коэффициента корреляции Пирсона — Браве для
интервальных переменных, и поэтому, казалось бы, методы
факторного анализа и главных компонент в принципе могут
быть использованы без каких-либо модификаций. Практика
показала, что при фикторном (компонентном) анализе
^-коэффициентов в принципе возможно появление ложного
фиктора (компоненты). В специальной литературе приво-
дятся рекомендации по способам исключения данного фик-
тора из матрицы корреляций до начала расчетов методом
фикторного анализа.

В методе главных компонент нет необходимости счи-
тать переменные случайными величинами, хотя чаще всего
их рассматривают как выборку из некоторой генеральной,
нормально распределенной совокупности (о нормальности
здесь приходится говорить лишь потому, что элементами
ковариационной матрицы служат аторые моменты, которы-
ми задается многомерное нормальное распределение).

Главные компоненты не инвариантны относительно из-
менения масштаба тех шкал, по которым измеряются приз-
наки. Эта неннвариактиость следует из того, что выделение
компонент производится по величине дисперсии, и поэтому
удобнее всего анализ методом главных компонент проводить
в тех случаях, когда измерения однородны, т. е. все пе-
ременные измерены в одних и тех же единицах. На прак-
тике для преодоления сложностей, связанных с ненн-
вариаитностью, часто применяется описанный выше прием
стандартизации данных = (xt — xt)lo (jtj), т. е. преобра-
зования переменных к безразмерному виду. Однако, про-
води такое преобразование, следует учитывать и то, что мы
производим произвольное уравнивание величин, несущих
разную информацию, и тем самым зачастую лишаем себя
возможности контрастного разделения признаков по их
дифференцирующей силе.

Говоря о требованиях к данным, используемым в анали-
зе, уместно остановиться еще на нескольких моментах. Ис-
следователь должен отдавать себе отчет о надежности своих
измерений. Например, в данных социологических опросов
могут встречаться ошибочные ответы ил и отсутствие ответа
ит-д1. Этот вопрос о надежности связан с оценками общно-
стей. В ряде публикаций встречаются переменные с общно-
стями, достигающими единицы. Являются ли данные в дей-
ствительности столь надежными или же имеются другие,
неучтенные свойства данных, ответственные за столь высо-
кие общности? В настоящее время мы можем только указать,
что этот вопрос требует изучения.

Иногда в набор включаются признаки-отношения, на-
пример доля предприятий, не выполняющих задание по не-
которому показателю. Можно представить случай, когда
в анализируемое множество признаков будут входить пе-
ременные-отношения с идентичными или сходными знаме-
нателями. Рассмотрение диаграмм рассеивания пар таких
переменных обычно показывает сильное отклонение от ли-
нейной зависимости. Этот тип данных порождает серьезные
проблемы анализа и интерпретации; могут быть получены
фикторы, которые будут отображать аналитическую струк-
туру данных, или же факторы, отражающие нелинейные
аспекты связи между переменными. К сожалению, особен-
ности процедур факторного анализа в подобных ситуациях
пока мало изучены.

Если вновь сравнить метод главных компонент и собст-
венно фикторный анализ, то следует отметить, что в фактор-
ном анализе в значительно меньшей степени сказываются
преобразования масштаба данных. Если, например, фикто-
ры выделяются по методу максимального правдоподобия,
то изменение масштабности по какой-нибудь из переменных
приводит просто к пропорциональному изменению в ее
нагрузках. В других методах фикторного анализа влияние
используемой метрики сказывается несколько отличным
образом.

Для применения методов факторного анализа к качест-
венным данным, измеренным на порядковых или номиналь-
ных шкалах, в последние годы были разработаны специаль-
ные приемы преобразования данных [31,126), а также моди-
фицированы сами процедуры фикторного анализа [40], [63].

1 Данные измерений некоторых признаков по тому или иному
объекту могут отсутствовать в силу разных причин. Одной из
причин является неопределенность переменной (по определению)
для различных объектов, разных совокупностей. Например, пере-
менная «средний размер заработной платы рабочих» не определена
для совокупностей, где полностью отсутствуют рабочие. Любая
переменная-отношение не определена там, где не определен зна-
Итак, исследование системы признаков, проведенное
методом фикторного анализа, в ряде случаев позволяет
отделить взаимозависимые и взаимозаменяемые признаки
от независимых, существенные от несущественных и тем
самым уменьшить избыточность описания системы, обосно-
вать выбор той вли иной системы признаков, оценить ее
информативность и т. д. Многочисленные исходные приз-
наки в результате заменяются несколькими интегральными
переменными-фикторами, т. е. происходят минимизация
описания с сохранением большей части информации, содер-
жащейся в системе. Наряду с названной выше классической
для факторного анализа задачей минимизации описания
большой интерес представляют задачи сопоставлений, поис-
ка устойчивых моделей взаимосвязей переменных, сравни-
тельной оценки информативности наборов признаков, о ко-
торых подробнее речь пойдет в следующем параграфе.

2.4.	СРАВНЕНИЯ ФАКТОРНЫХ РЕШЕНИЙ

Выше мы неоднократко подчеркивали, что лю-
бой набор признаков описвния некоторого явления может
быть заменен многими, отличными друг от друга фикторны-
ми решениями, коль скоро найдено пространство общих
фикторов. Эго следует не столько из наличия разных мето-
дов факторизации корреляционной матрицы, сколько из
возможностей преобразования одного вида решения в дру-
гое с использованием различных критериев вращения.
Существует, однако, малоизученная проблема сравнения
факторных решений с целью выявления результатов, важ-
ных с позиций содержательной теории. Специфика поста-
новки задачи сравнения определяется: а) использован-
ными методами факторного анализа; б) наборами призна-
ков; в) числом совокупностей (выборок), где производилось
измерение признаков. Возможны семь отличных по смыслу
комбинаций названных условий, определяющих соответст-
венно семь типов задач сравнения:

1.	Различные методы применены к одним и тем же приз-
накам, измеренным на объектах одной и той же совокупно-
сти (различные методы, фиксированный набор признаков,
фиксированная выборка). Цель сравнения — выявление
устойчивой фикторкой структуры явления, устранение влия-
ния метода акализа на интерпретацию результатов. Пример
такого сравнительного анализа будет рассмотрен ниже.

2.	Один и тот же метод применен к одному и тому же
набору признаков, измеренному на объектах в разных сово-
купностях (фиксированный метод, фиксированный^набор
признаков, разные выборки). Цель сравнения — выявле-
ние стабильных ковариационных структур. Эта задача также
будет подробно рассмотрена ниже.

3.	Один и тот же метод применен к разным наборам
признаков, измеренным на объектах в одной и той же сово-
купности (фиксированный метод, разные признаки, фикси-
рованная выборка). Цель сравнения — поиск наиболее
информативного набора признаков, описывающих изучае-
мое явление и входящих в одни и те же (по смыслу) общие
факторы.

4.	Различные методы применены к одному и тому же
набору признаков, измеренному на объектах в разных сово-
купностях (разные методы, фиксированные признаки, раз-
ные выборки). Цель сравнения в этом случае сходна с целя-
ми задач I, 2, 3 — выявление стабильной фикторкой струк-
туры.

Целью сравнения в сложных ситуациях, описвнных под
номерами 5, 6, 7, также является поиск сходства и анализ
причин отличий в результатах различных фикторных экспе-
риментов, основанный, одиако, скорее на интуитивной вере
исследователя в единую природу изучаемого явления, чем
на сколь-нибудь строгих логических основаниях.

5.	Фиксированный метод, разные признаки, разные
выборки.

6.	Разные методы, разные признаки, фиксированная
выборка.

7.	Разные методы, разные признаки, разные выборки.

В каждом из казванных выше семи случаев имеется по
крайней мере даа набора фикторов, и задача, по сути дела,
состоит в выяснении того, насколько они сходны или, на-
оборот, различны. При этом под сходством понимается,
разумеется, степень сходства, а не полное совпадение.
В 142] отмечается, что многие исследователи предлагали
для количественного измерения сходства двух фикторов
в условиях фиксированного набора признаков использовать
коэффициент конгруэнтности:

_ гР ,ч

ЧРЧ = AZ'__________	'	(2.17)

У
Здесь р и 9 — сопоставляемые факторы в первом и втором
факторных решениях соответственно; а// — коэффициент
фикторной нагрузки на /й признак в Лфикторе i-ro решения.
Этот коэффициент можно применить и в случае, когда сос-
тавы наборов признаков несколько разнятся в первом и
втором решениях, а сами фикторы тем не менее могут быть
интерпретированы сходным образом. В таких случаях сум-
мирование в (2.17) следует вести только по совпадающим
признакам. Обычно в подобных ситуациях совпадает не-
большое число параметров, так что если алгебраические
знаки соответствующих фикторных нагрузок совпадают,
то значение коэффициентов <р₽4? будет достаточно высоким.
Коэффициент подобия факторов «^изменяется от -)-1 при
полном совпадении (или — 1 при полном обратном совпаде-
нии) до 0 при полном отсутствии связи. Различными авто-
рами были предложены коэффициенты, напоминающие
(ppq, измеряющие подобие фикторов в условиях фиксирован-
ной выборки и разных наборов признаков (см. [ 42, с. 291—
292]); все эти коэффициенты (равно как и <р) являются ре-
зультатами эмпирического подхода к проблеме сравнения
фикторных решений. Выбор значения q>pe, при достижении
которого фикторы могут считаться конгруэнтными, субъ-
ективен.

Выбор факторного решения в силу обстоятельств, о ко-
торых мы говорили ранее, производится на основе двух
принципов: 1) статистической простоты; 2) интерпретацион-
ной ясности. В свою очередь каждый из этих принципов
может быть по-разному истолкован в конкретных ситуациях,
свидетельством чему служит неоднозначное их понимание
и применение различными исследователями на практике.
Исследователи, следующие принципу простой структуру
Тэрстоуна, стремятся получить решение, в котором призна-
ки в каждом фикторе имеют либо большие, либо очень
маленькие нагрузки. Подобное простое разделение призна-
ков по абсолютной величине нагрузки призвано облегчить
смысловую интерпретацию фикторов.

Рассмотрим теперь задачу сравнения первого типа,
когда целью сравнения является доказательство существо-
вания некоторых латентных характеристик изучаемого яв-
ления, не зависящих от метода анализа, примененного для
их выявления. Элиминация метода позволяет говорить лишь
об относительной объективности выявленных характерис-
тик, поскольку при этом не анализировалось влияние спо-
соба описания явления (полнота и адекиатность набора
признаков-индикаторов) и подбора объектов совокупности
(надежность и обоснованность выборки). Указанные мо-
менты, вообще говоря, также могут оказать деформирую-
щее действие на результаты расчетов и породить ложные
факторы.

При сопоставлении результатов применения различных
методов фикторного анализа к одним и тем же данным мы,
абстрагируясь до известкой степени от смысловых элемен-
тов фикторизации, должны сопоставлять геометрии решений,
г. е. количество общих фикторов, распределения больших
и маленьких, положительных и отрицательных факторных
нагрузок. В теории факторного анализа отсутствует единый
критерий, решающий проблему определения числа значи-
мых факторов. В качестве меры значимости фактора часто
используют величину доли вариабельности, нызванкой ис-
следуемым фиктором, в общей картине изменчивости:

Ш, = А. .100%;
п

однако при этом нельзя забывать и о раз-
мерах факторных нагрузок, о характере изменения (умень-
шения) этих значений при переходе от первого общего фик-
гора (компоненты) к последующим и далее к специфическим.
Порог значимости факторной нагрузки, определяющей сте-
пень учета данного признака при построении смысловой ин-
терпретации фактора, задается, вообще говоря, произвольно,
ка основании опыта исследователя. Естествен ко, что заниже-
ние уровня значимости приводит к завышению числа общих
фикторов, для которых наличие, например, одной значимой
нагрузки не является характерным.

Возможны ситуации, когда даже при применении одного
и того же метода фикторного анализа к одному и тому же
набору признаков в различных совокупностях (задача
сравнения второго типа), выделенные фикторные структуры
будут сопоставимы лишь частично: например, один или два
общих фиктора будут совпадать во всех совокупностях,
а другие факторы будут различными или совпадающими
частичке. Понимая, • что именно геометрия фикторного ре-
шения и задает его смысловую интерпретацию, следует все
же допускать возможность существования различных по
геометрии решений, имеющих близкую содержательную
интерпретацию (особенно при некоторых различиях в сос-
тавах наборов признаков). Как поступать в подобных си-
52
туациях? Возможные пути решения этой проблемы ука-
заны несколькими авторами (см., капример 1201, [321, 1611,
165}). Однако прежде чем приходить к обсуждению возмож-
ных методик решения поставленной задачи, уместно не-
сколько подробнее остановиться ка ее цели, — что же мы
ищем и предполагаем найти в подобных ситуациях?

При проведении таких сравнений несколько изменяется
цель применения факторного анализа: не только выявление
латентных характеристик дифференциации в каждой сово-
купности, но и прежде всего установление единой нетриви-
альной модели связей между признаками исходного описа-
ния изучаемого явления на основе выявленных эмпири-
ческих структур ковариаций в разных совокупностях.
Установив стабильную, нетривиальную модель, общую
для разных совокупностей, несмотря на свойственные каж-
дой из них специфические условия ее ревлизации, получим
дополнительные основания для обобщенной предметно-
теоретической интерпретации общих фикторов. Дело в том,
что само выявление стабильных ковариационных структур
и оценка научного значения таких структур является от-
нюдь не простым вопросом. Какова природа наблюдаемой
стабильности, чем она объясняется?

Наличие одной и той же модели ковариации признаков
в разных совокупностях наводит на мысль о существовании
функционального единства анализируемого множества приз-
каков-переменных, когда члены этого множества обнаружи-
вают тенденцию изменяться координированно. Можно
предположить несколько альтернативных объяснений на-
блюдаемого функционального единства. Вот некоторые из
них:

1.	Аналитическая зависимость между признаками, вхо-
дящими в описание. В этом случае стабильность структуры
будет до некоторой степени простым отображением сущест-
вования совпадающих частей (например, общего знамена-
теля) в конструкциях признаков, а не отражением субстан-
ционального единства признаков как индикаторов латент-
ного качества. Набор признаков в таких случаях может быть
оценен как избыточный.

2.	Мультиколлинеарность и ложная корреляция между
признаками.

3.	Причинная зависимость между признаками, включен-
ными одновременно в анализ. Например, устойчивые кор-
реляции между некоторыми характеристиками жилища
(тип, местоположение и т. п.) и рядом характеристик образа
жизни людей обусловлены до известкой степени причинной
зависимостью между этими показателями. И если тип жи-
лища от одной совокупности к другой изменяется, то можно
наблюдать и соответствующее координированное изменение
характеристик образа жизни.

4.	Зависимость переменных от времени сбора данных.
Включенные в анализ переменные могут изменяться коорди-
нированно, будучи индикаторами процесса, зависящего
прежде всего от времени — фактора, не учтенного в рас-
смотрении. Например, измерения различных параметров
развивающихся систем (рост, масса человека и т. п.) пока-
зывают устойчивые корреляции в разных совокупностях.
Однако объяснение наблюдаемой теской связанности приз-
наков в этих случаях как проявления действия некоторого
патентного фиктора (например, корреляции между периоди-
чески измеряемыми ростом, массой тела, длиной рук и ног
и т. и. могут быть объединены в фактор размер тела) будет
непраномерным, поскольку наблюдаемые корреляции зави-
сит от общей на правлен кости процесса развития, от времени
и являются по сути выражением связей сопутствия. Следо-
вательно, размер тела в этой модели нельзя интерпретиро-
вать как причину массы или роста; единство массы и ро-
ста — вот что мы имеем в виду, когда говорим о размере
гела.

Наконец, не следует отбрасывать без достаточной про-
верки предположение о том, что стабильность выделенных
в разных совокупностях структур может быть объяснена не
только ныне существующей теорией, на основе которой фор-
мировалась система предпринятого факторного экспери-
мента, но и какой-то другой, еще не созданной теорией,
порождающей альтернативную модель объяснения наблю-
даемых корреляций.

Само установление одних и тех же структур в различ-
ных совокупностях — демонстрация стабильности модели
связей меаду признаками — является стимулом для поиска
новых теоретических объяснений этого фикта, является
важным вкладом в развитии теории изучаемого явления.

Разумеется, в специфических условиях различных выбо-
рочных совокупностей одни и те же ковариационные струк-
туры могут зависеть и от комбинаций вышеприведенных
возможностей. Отсюда следует, что на практике при про-
ведении срвинителького фикторного эксперимента следует
особо тщательно подбирать признаки, включаемые в описа-
ние, чтобы свести к минимуму вероятность возникновения
§мпирически стабильных ковариационных структур поД
действием искусственных причин, т. е. стремиться минимизи-
ровать влияние особенностей инструмента анализа (конст-
рукций показателей, метода расчета и т. л.) на результат.

Цель сравнительного анализа в задачах данного типа
требует от исследователя четкого осознания того, что иссле-
дуемый им метод фикторного анализа лишь способ матема-
тического описвния искомой структуры, а отнюдь не сред-
ство выявления латентных переменных. Мы считаем нуж-
ным еще раз подчеркнуть данное обстоятельство, поскольку
оно связано с проблемой выбора конкретного метода анали-
за данных: классического фикторкого анализа, традицион-
но концептуализированного в терминах ожидаемых латент-
ных переменных, или метода главных компонент, где отсут-
ствует необходимость априорного задания числа значимых
компонент, или фикторного анализа по максимуму правдо-
подобия и т. д. Эти методы могут быть эффективно исполь-
зованы и без какой-либо апелляции к концепции латентных
или фундаментальных переменных, которые предположи-
тельно ответственны за наблюдаемую ковариацию, если
их трактовать просто как средства анализа структуры
данных.

Если мы обнаруживаем незначительные различия между
матрицами ковариаций (корреляций) и соответственно фик-
торными структурами для разных совокупностей, то это
является существенным аргументом в пользу того, что су-
ществует еднкая модель связи для примененных в анализе
показателей, определяющая внутреннюю дифференциацию
изученных совокупностей, сущность исследуемого явления.
В то же время, если мы находим, что наблюдаются сильные
различия между матрицами (структурами), то это еще не
отвергает гипотезу о том, что может существовать некоторая
общия, но не распознанная примененными инструментами
анализа модель связи (искомая стабильная структура).
Встает новая задача — выяснение причин установленных
различий. Если же сходство структур показано, то центр
тяжести исследования перемещается ка теоретическое объ-
яснение выявленной стабильной структуры.

Сделаем еще несколько замечаний. Если мы используем
метод главных компонент, то, поскольку основная наша
цель — выявление стабильной структуры, правило отбора
существенных компонент не может быть введено априорно.
Несомненно, снижение размерности путем отбрасывания
части компонент желательно, одиако нам представляется.
что малая величина дисперсии у той или инои компоненты
в условиях сравнительного анализа разных совокупностей
не является достаточным основанием для безусловного
исключения такой компоненты из рассмотрения, тем более
что сама эта величина (дисперсия) зависит от размерности
задачи.

Известно, что результаты применения метода главных
компонент зависят от шкалирования наблюдаемых призна-
ков. Эго особенно серьезное ограничение в нашем случае,
когда для разных совокупностей дисперсии одних и тех же
признаков могут оказаться существенно отличными. Опреде-
ленные преимущества в этом случае имеет факторный анализ
по максимуму правдоподобия. Можно использовать также
процедуры стандартизации признаков. Однако строгого ло-
гического обоснования для выбора того или иного приема
стандартизации, вообще говоря, иет.

Примером решения задач сравнения второго и первого
типа может служить исследование внутренней социально-
пространственной структуры крупных капиталистических
и социалистических городов [35J. По-виднмому, излишне
подробно доказывать, что внутренняя структура современ-
ного крупного города, описываемая множеством разнород-
ных переменных, является чрезвычайно сложным социаль-
но-экономическим объектом, вскрыть скрытые закономер-
ности которого без использования методологических прин-
ципов системного подхода и применения методов многомер-
ного анализа данных иа ЭВМ невозможно. Не случайно
поэтому междисциплинарный подход к исследованию по-
добных систем типа «объект-среда» получил название «фак-
торная экология», где прилагательным «факторная» обоз-
начена статистическая техника анализа эмпирических дан-
ных. Одна из задач нашего исследования заключалась
в том, чтобы доказать однотипность факторно-экологических
моделей социалистических городов, и в частности сходство
факторных решений, полученных при обработке одним н
тем же методом данных, собранных независимо в двух круп-
ных городах — Казани и Таллине. Иначе говоря, требова-
лось решить задачу сравнения фиктор ных структур, выде-
ленных одним и тем же способом на разных совокупностях
выборочных данных при сходных перечнях показателей, —
задачу второго типа. При решении этой задачи были исполь-
зованы как прямые сопоставления выделенных в сравнивае-
мых выборках фикторов (по составу, величине и знаку фак-
торных нагрузок показателей, определяющих интерпрета-
цию общих факторов), так и расчеты коэффициентов кон-
груэнтности. В табл- 2.4 и 2.5 приведены фрагменты казанс-
кого и таллинского факторных решений, результаты рас-
четов коэффициентов конгруэнтности.

В обеих выборках методом главных компонент с вари-
максным вращением выделены аналогичные по смыслу общие
фикторы — качество жилой среды (в таллинском массиве
данных расчленение этого фиктора на три составляющие
нызвано как исторической спецификой системы расселения,
так и влиянием использованного набора показателей),
демографический состав населения, социальный состав на-
селения территориальных ячеек, ка которые разбивалась
территория города при сборе данных. Следовательно, внут-
ренняя неоднородность сопоставляемых совокупностей опи-
сывается одними и теми же конгруэнтными общими факто-
рами [351. Таким образом, решена задача сравнения второ-
го типа. Однако делать вывод о том, что тем самым доказана
и однотипность факторно-экологических моделей социально-
пространственной структуры Казани и Таллина, пока еще
нельзя, ибо полученные результаты могут явиться следст-
вием примененного метода фикторного анализа. Для того
чтобы элиминировать влияние метода на результат и тем
самым доказать его истинность, необходимо решить также и
задачу сравнения первого типа.

Остановимся коротко на вопросе о стабильности выяв-
ленных факторов (задача первого типа), поскольку, как мы
отмечали выше, и интерпретация, и число общих фикторов
существенно зависят от полноты набора исходных показа-
телей и от способа выделения факторов, т. е. от техники об-
работки. Чтобы получить определенные свидетельства ста-
бильности выделенных факторов, целесообразно, во-
первых, одни и те же массивы исходных данных обрабаты-
вать различными математическими способами фикторного
анализа и, во-вторых, варьировать составом набора исход-
ных показателей. Устойчивость результатов (факторов)
здесь следует, естественно, понимать не в смысле выделения
абсолютно тождественных факторных структур, а лишь
с точки зрения однозначности в интерпретации результатов
применения различных математических техник. Выделение
различными методами одних и тех же систем факторов диф-
ференциации на одних и тех же объектах дает исследовате-
лю определенные основания судить об объективном харак-
тере найденных фикторов, обусловленном реальностью
данных, об элиминации возмущаюп^ш воздействия инстру-
			Таблиц		а 2.4
ФАКТОРЫ СОЦИАЛЬНО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ					
г ТАЛЛИНА. ПОЛУЧЕННЫЕ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ					
С ВРАЩЕНИЕМ ПО КРИТЕРИЮ ВАРИМАКС					
	Факторы				
Наименование показателя	1	2	| 3		. I S	
Доля рабочих					0,503
Доля служащих-специалистов					-0,620
Доля жителей с образованием до 8 кл					0,602
Доля жителей с высшим и не-					
законченным высшим образо- ванием				-0,934	
Доля неработающих	—0,945				
Доля жителей в возрасте 35— 54 года	0,817				
Доля жителей в возрасте свы-					
ше 55 лет					
Доля простых семей с несоиер-					
шеннолетними детьми					
Доля семей с душевым дохо- дом свыше 110 руб./мес  Доля семей с жилплощадью ме-				-0,906	
нее 6 кв. м/чен.				0,582	
Доля семей, живущих в дере- вянном доме с печным отопле- нием постройки 1930—1940 гг.			0.877		
Доля семей, имеющих мини-					
мальные удобства					
Доля семей, живущих в квар- тирах на 1 семью		-0.824			
Доля семей, живущих в собст- венном доме		0,945			
Доля семей, живущих в доме, построенном по индивидуалы-		0,953			
иому проекту					
Собственное число	7,823	6,874	5,085	3,155	3,1
Доля суммарной дисперсий, %	15,04	13,22	9,77	6,07	6.02
Вклад фактора, %	29,4	25,9	9.1	11,8 11,7	

Примечание Показами только те из 52 использованных в
расчетах показателей,’ которые в наибольшей степени определяют
[интерпретацию факторов.
ФАКТОРЫ СОЦИАЛЬНО пространственной ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ
г. КАЗАНИ. ПОЛУЧЕННЫЕ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ

С ВРАЩЕНИЕМ ПО КРИТЕРИЮ ВАРИМАКС (35, с 151—153]

Наименование показателя	Факторы				
	1 1 2		’ 1 < 1 5		
Доля рабочих  Доля служащих-специали-  Доля жителей с образова- нием до 9 кл.  Доля жителей с высшим и незаконченным высшим об- разованием  Доля жителей в возрасте 19—25 лет  Доля жителей в возрасте 35—54 года  Доля семей из 2—4 чел.  Доля лиц, проживающих в городе до 5 лет  Доля живущих в общежи-  Доля живущих в ведомст- венных квартирах  Доля семей, имеющих теле- фон  Доля семей, живущих в квартирах местного Совета Доля квартир, имеющих центральное отопление Доля квартир, имеющих ванну  Доля квартир, обеспечен- ных горячей водой  Доля квартир, имеющих га- зовую плиту  Доля квартир, имеющих ка- нвлизацию  Доля квартир без удобств	—0,516  0,900  0,895  0,788  0,824  0,954  —0,517	0,714  —0,706  —0,670	0,864  -0,901  0,777  -0,779	0,940  0,941  0,04	0,827  —0,773
Собственное число  Доля суммарной диспер-	5.590	3,390	3,333	2,023	1,653
спи, %	11,89	7,21	7,09	4,31	3,52
Вклад фактора, %	34,95	21,19	20,84	12.67	10,35

Примечания:

I	. Показаны только те показатели из 47 использованных в рас-
четах, которые в наибольшей степени определяют интерпретацию
факторов.

2	Коэффициент конгруэнтности факторов «социальный состав»
(соответственно третьего фактора в табл 25 и питого в табл. 2.4),
рассчитанный по признакам, показанным в таблицах, равен 0,962
мента исследования на результат (в данном случае инстру-
мент — это способ обработки данных).

В рассматриваемом нами исследовании городов была
проведена обработка использованных данных и методом
максимального праздоподобия с последующим варимаксным
вращением (табл. 2.6). Выделенные фикторы оказались
аналогичны по содержанию факторам, показанным в
в табл. 2.4—2-5. Не привело к изменению факторной сис-
темы и изменение состава показателей (автором было изучено
несколько наборов показателей). Все это создало определен-
ные основания для вывода об объективности полученных
результатов

Вернемся к первоначальной формулировке задачи вто-
рого типа — сравнению фикторных решений в разных сово-
купностях.

Согласно одной из методик решения поставленной зада-
чи для интерпретации природы внутренней дифференциации
различных совокупностей в единой системе факторов было
бы желательно найти некоторые общие для всех совокупно-
стей факторы, линейной комбинацией которых можно было
бы выразить все факторы, выделенные в различных совокуп-
ностях (651- В таком случае исходными данными для сов-
местного (вторичного) фикторного анализа являются не
начальные данные — измерения признаков описания, а фак-
торные решения — результаты фикторного анализа в раз-
ных совокупностях; иритом использованные первоначально
конкретные методы факторного анализа и поворота факто-
ров, вообще говоря, не должны влиять на окончательные
результаты. В интерпретации вторичных общих факторов
должны найти отражение только те смысловые элементы,
которые наличествуют в первоначально выделенных фик-
торах, вошедших во вторичный (происходит своеобразная
«экстракция» общей составляющей первичных фикторов).
В работе эстонских авторов 1321 изложена процедура реше-
ния с помощью ЭВМ.

Важным вопросом, имеющим отношение к проблеме ста-
тистической простоты описания исследуемого явления, яв-
ляется вопрос об оценке свойств использованной в анализе
системы признаков и о сравнении различных фикторных
решений по этому критерию - задача сравнения типа 3.
Одним из возможных подходов к решению этой задачи яв-
ляется использование теоретико-информационных пред-
ставлений. Рассмотрим подход Росса 1661. Напомним, что
еще до появления математической теории информации
Таблица 26

ФАКТОРЫ СОЦИАЛЬНО-ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ
г. ТАЛЛИНА. НАЙДЕННЫЕ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ С ВАРИМАКСНЫМ ВРАЩЕНИЕМ [35. с. 150]

	Факторы				
Наименование покатлтеля	1	2	3	•	Б
Доля рабочих  Доля служащих-специали-  Доля жителей с образова- нием до 8 к л.  Доля жителей с высшим и незаконченным высшим об- разованней  Доля неработающих  Доля жителей в возрасте 35—54 года  Доля жителей в возрасте свыше 55 лет  Доля простых семей с не- совершеннолетними детьми Доля семей с душевым до- ходом свыше ПО руб./мес  Доля семей с жилплощадью 6,1—9 кв. м/чел.  Доля семей, живущих в де- ревянном доме с печным отоплением постройки 1930-1940 гг.  Доля семей, имеющих ми- нимальные удобства  Доля семей, живущих в квартирах на 1 семью  Доля семей, живущих в собственном доме  Доля семей, живущих в доме, построенном по ин- дивидуальному проекту	0,602  —0,521  0,535  -0,517	—0.533  0,635  0,636	0,567  0,461	—0,599  0,405	0,289  —0,361  0.350  —0,596

Примечание. Показаны только показатели, имеющие высо-
кие нагрузки, и поэтому определяющие интерпретацию факторов
Шеннона Р. Фишер указывал, что количественной оценкой
информации, извлекаемой из эксперимента по измерению
некоторого признака, может служить величина, обратная
его дисперсии. Это определение может быть легко обобще-
но и на многомерный случай с использованием понятия обоб-
щенной дисперсии (вариансы). Отличием подхода Шеннона,
как известно, является трактовка информации в терминах
снятой неопределенности: количество информации, получае-
мой в результате наблюдения, равно неопределенности
признака до наблюдения минус неопределенность после на-
блюдения В свою очередь неопределенность определена как
функция вероятности осуществления события: log4 р или
logs 11р, где р — вероятность события. Отсюда следует,
что и шенноновскую информацию можно представить как
функцию дисперсии в случае наблюдений нормально рас-
пределенных по континууму и обобщенной вариансы в мно-
гомерном случае. Были разработаны информационные меры
как функции дисперсий и ковариаций или корреляций
119].

Напомним читателю, что з случае п переменных с много-
мерным нормальным распределением (нулевые средние,
вариансы о’, о4, .... о*), имеющих матрицу корреляций
R, среднее количество информации может быть выражено
оотношением

7" = logfl o.-IR|''' + -j-log2ne.	(2.18)

где |/?| — детерминант матрицы R, или

r~log(VarX)+ilog2ne.	(2.19)

Здесь (Var X)2 = По^ |R| — обобщенная варианса случай-
ного вектора X, Выражение (2.19) будет справедливо для
любого 1 в предположении, что ранг ковариационной
матрицы 2 = X Хг не меньше, чем п.

Метод главных фикторов [14, с. 37—46], [42, с. [64—162]
дает декомпозицию матрицы R:

R = А Л АЛ	(2.20)

где А — ортогональная матрица, столбцы которой собствен-
ные векторыR, а Л — diag (At, As,.... Ай) -диагональная
матрица собственных значений1. Число ненулевых собст-
венных значений равно рангу R. Рассматривая детерминан-
ты, имеем

|R| —| АЛАГ| = | AATAI«|1A|=|A|.	(2.21)

Следовательно, детерминант |R| равен произведению
собственных значений. Более того, след матрицы R равен
следу матрицы Л, т. е. tr R — tr Л, или сумме собственных
значений

Если анализ производится методом главных компонент,
когда на главной диагонали R стоят единицы, то п векторов
в А являются линейно-независимыми, так что их детерми-
нант отличен от нуля. Поэтому для разложения на главные
компоненты можно рассчитать количество информации
(2.18) по формуле

7<”>=-l-log П Iog2ne. (2.22)

Используя количество информации (2-22), можно сопос-
тавлять между собой различные наборы признаков (матрицы
корреляций) по их информативности. Корректность со-
поставления требует, однако, чтобы количества сопостав-
ляемых признаков были равными, т. е. nt — п2 — п и
1,- =?ь 0.

Известно, что число существенных общих факторов в ме-
тоде главных компонент зависит от неравномерности в рас-
пределении величин Xf- и обычно значительно меньше п.
Выше мы уже касались проблемы отбора существенных
фикторов — здесь существует много различных правил.
Например, можно рассматривать лишь компоненты
с I. Тем самым, однако, мы пользуемся предположе-
нием, что фактически ранг R меньше п. А этот тезис и был
положен в основу метода главных факторов и других мето-
дов факторного анализа

Однако если матрица имеет ранг т<п, то—оо,
поскольку [R| в этом случае равен нулю.

Обобщенная варианса есть мера «-мерного объема, а ин-
формация есть монотонно возрастающая функция этого объ-

JB методе главных факторов характерности (или общности)
считаются известными (заданными), при этом выполняется нера-
венство hf 1.
ема. Стремление Л"’ к минус бесконечности отражает тот.
факт, что множество п переменных не имеет объема в п из-
мерениях, подобно тому как линия не имеет площади в двух
измерениях. Однако как уместен вопрос о длине плоскости
вдоль любой линии, по ней проходящей, так же уместен
вопрос о локальной вариансе п переменных в любом под-
пространстве, ими занимаемом, и соответственно о локаль-
ной информации рассчитываемой по формуле (2.22),
где в сумму входят лишь т существенных компонент.

Так для от = 5 формула (2.22) примет вид

/В,“"т2 1оВ’ч + -|',о®2яе = /*+С- (2-23)

Воспользуемся теперь данными табл. 2.4 и 2.5 и сравним
между собой фикторные решения, полученные для Казани
и Таллина, по информативности наборов признаков. Для
удобства расчетов по (2-23) исключим постоянную С. Ис-
пользуя натуральные логарифмы, получим 1г = 3,94 и
/к = 2,67, т. е. таллинский набор признаков более инфор-
мативен, чем казанский.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда сопоставляются два
набора признаков, каждый из которых покрывает, по мне-
нию исследователей, одни и те же аспекты изучаемого яв-
ления. При интерпретации результатов факторного анализа
выяснилось, что данные наборы признаков-индикаторов
порождают эквивалентные по смыслу системы факторов.
Теперь предстоит решить, какой из наборов признаков яв-
ляется лучшим дескриптором.

Если А — матрица факторных нагрузок для первого на-
бора признаков, а В — для второго, то будут справедли-
вы соотношения

ААГ = КЛ и BBr=Rfi,	(2.24)

где Йд ч Rb — соответствующие редуцированные матри-
цы корреляции1. Воспользовавшись соотношениями (2.24),

можно рассчитать

/Г—i-logl'U’l+C;

(2.25)



*В случае метода главных компонент используются и
Сопоставляя IJf1' и можно сделать определенные
заключения о признаках, входящих в наборы. Подобное
сравнение может быть проведено не только для полных мат-
риц факторных нагрузок, но и их подматриц, содержащих
только интересующие исследователя факторы.

Обратим внимание еще па одну особенность предлагае-
мого критерия сравнения. Так как |ААГ| = |Лл| , то

/<«) достигает максимума, когда П ?<> = max, что при
tr R = ЕХ,- = const возможно лишь, когда все X; приблизи-
тельно равны по величине. Соответственно величина
падает при очень неравномерных по вкладу факторах.

Иными словами, в первом случае (/ — max) мы имеем
дело с набором переменных, состоящим из групп с примерно
одикаковой важностью, во втором — с набором нескольких
весьма отличных друг от друга по составу и значимости
групп переменных, неравномерно распределенных по фак-
торам.

Методика Росса, изложенная выше, может быть исполь-
зована и при проверке гипотез о взаимозаменяемости приз-
наков-

Вновь обратимся к нашему примеру. Выше мы говорили,
что в таллинском и казанском исследованиях были выделены
сходные по смыслу факторы. Коэффициент конгруэнтности
факторов «социальный состав» равен 0,962. Сложнее обстоит
дело с сопоставлением факторов «качество жилья», посколь-
ку в таллинском исследовании эта характеристика диффе-
ренциации городского пространства представлена тремя
главными компонентами, а в казанском — двумя (соответ-
ственно вторая, третья и четвертая в табл. 2.4 й первая и
четвертая в табл. 2.5). Для сравнения воспользуемся выра-
жением (2.25), которое можно записать следующим об-
разом:

>, + In Л,)|-| In 2 ne .-2,421 | 2,835 5,256
И /T23’4)==1/2(ln^2+lnX3+lnXi)+3/2ln2ne—4,698+
+4,252—8,950.

Таким образом, таллинский набор из трех компонент яв-
ляется лучшим, чем казанский дескриптором фактора диф-
ференциации «качество жилья». Безусловно, следует пом-
нить об условном характере этого вывода, поскольку сопо-
ставляемые наборы признаков в таллинском и казанском ис-
следованиях не были идентичны друг другу.

3 Зак. 1010

65
Z5. РЕГРЕССИЯ НА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТАХ

Особую группу методик регрессионного анализа
составляют модификации, применяемые в условиях сильной
коррелированности входных переменных. К таким модифи-
кациям следует отнести гребневую регрессию [311, регрес-
сию на ортогональных полиномах и регрессию на главных
компонентах.

Логику действий исследователей в условиях коррелиро-
ванности переменных-аргументов рассмотрим на примере
регрессии на главных компонентах, поскольку о математи-
ческом и методическом аспектах метода главных компонент
мы говорили в предыдущих параграфах этой главы. Продол-
жим начатое в § 2.1 рассмотрение примера — построение
модели формирования производительности труда при про-
изводстве молока в совхозах. О коррелированности входных
переменных этой модели можно судить по матрице коэф-
фициентов парной корреляции R (табл. 2.7).

Напомним, что необходимость рассмотрения коррелиро-
ванности переменных возникла в §2.1 при решении вопро-
са об исключении из уравнения части переменных с незна-
чимыми статистически коэффициентами. По данным табл. 2.7
читатель может судить, насколько обоснованны были эти
предположения.

Можно показать, что при увеличении коррелирован-
ности переменных определитель матрицы корреляций стре-
мится к нулю: det R —> 0. В то же время известно, что
k

det R = П Xj, где X; — собственное число матрицы (0 «С

X,- «С 1, t = 1, —, k), и поэтому когда среди собственных
чисел X; есть близкие к нулю, то и det R —0. Матрица кор-
реляций в этом случае плохо обусловлена. В подобных слу-
чаях возникает необходимость регуляризации решения,
одним из приемов которой в рассматриваемом случае и яв-
ляется метод главных компонент.

Главные компоненты — это линейные комбинации ис-
ходных переменных, что позволяет осуществить переход от
регрессионного уравнения (2.26) с ^-коэффициентами и пе-
ременными в натуральном масштабе или же от уравнения
(2.27) с ^-коэффициентами и стандартизованными перемен-
ными к полностью эквивалентному уравнению регрессии
на главных компонентах (2.28):

y^bD+xrB = y + (x—x)TB^

(2.26)
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПО МОДЕЛИ (2.2в> - (2 28)	Т 3 б Л И Ц а 2.7

	1	г	3	4	s	б	7	в
	1,0000  -0,2369  —0,0964  0,1672  -0,1338  0,0919  —0,0315  0,1749	1,0000  -0,4263 0,2549 0,0008 0,0016 0,1292  0,4601	1,0000  -0,0012 0,4324 0,2229 0,2184  -0,3274	1,0000  -0,2283 0,1006 0,0892 0,1593	1,0000  0,4180  0,4934  0,0497	1,0000 0,8508 0,0730	1,0000 0,2988	1,0000
Rxv	0,1313	-0,3177	-0,2832	-0,1780	-0,4855	—0,7834	-0,7985	—0.1506
	2,3842	1,9478	1,2676	0,9583	0,6704	0,4245	0,2502	0,0969
Ci	0,2980	0,5415	0,6999	0,8197	0,9335	0,9566	0,9879	1,0000
Ai	—0,0314  -0,0029  0,3151  0,0058  0,4829  0,5396  0,5868  0,0954	—0,0842  -0,5636  0,4546  -0,3176  0,1329  -0.0872  —0.1842  —0 5554	0,7531  —0.3830 0,0906  0.4199  -0.2617 0,1796 0,0285 0,0083	-0,4125 0,1934 0,3291 0,7396  -0,1749  0,0095  -0,0170  -0,3282	-0,1687  -0,0808  —0,4780  -0,1700  —0,4634  0,4796 0,2452  —0,4524	-0,3829  —0,4381  0,2371  —0,0699  -0,4896  -0,0586 0,2191 0,5560	-0,2483  -0,5469  -0,5397  0,3763  0,4409  -0,0900  —0,0165  0,0608	-0,1335  -0,0264 0,0890  —0,0030 0,0365 0,6366  -0,7157 0,2431
by	-0,8090	0,2368	0,0733	—0,2047	—0,1343	0,0907	0,1751	—0,0219
=У+* ₽=

(2.27)

= y+yzT,	(2.28)

где В — вектор оценок частных коэффициентов рег-
рессии;

хг — транспонированный вектор переменных в на-
туральном масштабе;

— оценка свободного члена;

(х — х) — вектор отклонений значений переменных от
своих средних значений;

х — вектор стандартизованных переменных

р — вектор оценок ^-коэффициентов;

z — вектор главных компонент

z—А7"*;	(2.29)

А — матрица нагрузок на компоненты (собственных
векторов матрицы R);j

у — вектор оценок регрессионных коэффициентов при
главных компонентах.

Результаты расчетов по методу главных компонент при-
ведены в табл. 2.7. Как видим, собственное число корреля-
ционной матрицы Хв близко к нулю. Об объясняющей спо-
собности каждой из компонент в отдельности и в сочетании
с другими можно судить по кумулятивной доле суммарной
дисперсии переменных-аргументов

2 ч

С,--'—'----

8

2 4
/=|

объясняемой накапливаемой суммой главных компонент.

В табл. 2.8 приведены оценки регрессионных коэффициен-
тов при главных компонентах, их дисперсии и зна-
чения /-критерия.

Построение модели в форме рецессии на главных ком-
понентах может представлять как самостоятельный интерес
з силу того, что главные компоненты ортогональны, неза-
Таблица 2.8
регрессионные коээфициенты при главных

КОМПОненТЛХ МОДЕЛИ (2 28) (9=1.5268)

I I 2	3 | 4 | 5	6 I 7 f 6

<Т*(Ту)
О

- 0,1648 0,0533 0,02051—0,0658

10,5	12,9 19,8	26,2

4,97	1,48 0,46	1,28

—0,0516 0.0437 0,1101 —0,0221

37.5	59,7 100,0	259,0

0,84	0,57 1,10	0,14

висимы друг от друга и не коррелированы между собой, так
и средство для оценки регрессионных коэффициентов при
переменных в натуральном масштабе в силу эквивалентно-
сти уравнений (2.26) и (2.28).

При построении модели возникает ряд вопросов, свя-
занных с целесообразностью использования в ней всех или
части из компонент. Возможны следующие варианты:

а) компоненты отбрасываются лишь после построения
уравнения регрессии на главных компонентах путем исклю-
чения членов с у-коэффициентами, незначимыми по /-кри-
терию:

t Ivjl Iwl t

1	° (Vj) Овобш	Kp|-^-.N—fe—i

или no F-критерию:

б) отбрасываются компоненты, соответствующие мини-
мальным собственным числам X,, сохраняются компоненты,
дающие 80—90% объясняемой суммарной дисперсии. Ис-
ключение компонент из уравнения модели осуществляется
с целью снизить размерность задачи, сделать модель более
простой, сохраняя все ее прогностические и объяснительно-
описательные свойства.

В статистической литературе [31 отмечается, что в рег-
рессии на главных компонентах не имеет места существен-
ное снижение мощности F- и /-тестов в отличие от случая
-коррелированности входных переменных, так как ортого-
нальные компоненты не коррелированы. Последнее свойство,
кроме того, исключает необходимость перекалибровки
модели — пересчета параметров оставшихся компонент
при отбрасывании части из первоначально входивший
в модель.

В работе [91 показано, что на практике целесообразнее
применять первый из вышеназванных вариантов. Там же
делается вывод, что часто используемый на практике метод
отбрасывания компонент, соответствующих минимальным
собственным числам, в регрессионных задачах в общем слу-
чае является неоправданным, что для обоснования этого
способа необходимо привлекать дополнительные гипотезы
о векторе входных переменных. Нами были рассчитаны
/-отношения для оценки статистической значимости регрес-
сионных коэффициентов при главных компонентах
(см. табл. 2.7). Так как табличное значение критерия Стью-
дента для 5% уровня составляет /кр/ о.оав,- 1з = 2,13,
то из уравнения были отброшены семь компонент — со
2 по 8 включительно. Затем были заново рассчитаны коэф-
фициенты регрессионного уравнения при переменных в на-
туральном масштабе (табл. 2.9).

Таблица 29

ПАРАМЕТРЫ УРАВНЕНИЯ (2.26), ПОЛУЧЕННЫЕ ИЗ РЕГРЕССИИ
НА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТАХ ((>,=25295)

| Номер пе- ременной	2	3	4	5	6	7	8
bl Jo ,0000	0,0001	—0,0112	-0,0008	-0,0030	-0,0100	-0,0210	-0,0022

Эти коэффициенты и оценки, наеденные в § 2.1, различаются
незначительно. Тем самым подтверждается правильность
решения об исключении из уравнения (2.4) части перемен-
ных. Расчет 6-коэффициентов для исходных переменных на
основе регрессии на главных компонентах производился
пошаговым методом. Остаточная сумма квадратов при этом
составила 0,71747, значение F-критерия для модели равно
37,89 (F = &yls£T со степенями свободы k = 1 и N —
-~k—1 =20, k—число компонент в регрессии); в данном
случае F-критерий используется в качестве теста статисти-
ческой значимости всех коэффициентов уравнения (теста
полной проверки уравнения): Fpac4 > F / o,os; i; so.
Проверка на значимость использованной первой компоненты
показала, что значение /--критерия равно 87,89, в этом слу-
чае степени свободы равны I и ДО — k — I = 20. Квадрат
коэффициентов множественной корреляции (как одна из
оценок качества модели) составил R2 = 0,6545.

Наш опыт построения регрессий на главных компонентах
позволяет утверждать, что положение, высказанное в [9],
о том, что при использовании изложенного выше правила
отбора компонент с ^-коэффициентами, значимыми по
/-критерию, одновременно из спектрального разложения
R отбрасываются и компоненты, соответствующие минималь»
ным собственным числам, будучи в целом правильным,
в каиэдом конкретном случае выполняется по-разному.
Например, в олисвнных выше расчетах использовалась
лишь одна — первая — компонента, которая объясняла
только 29,8% суммарной дисперсии переменных. Для срав-
нения заметим, что несколько более 80% объясняли, взя-
тые вместе, первые четыре компоненты, а 90% — пять из
восьми компонент.

Оценивая применение метода главных компонент для
нашего примера в целом, следует признать целесообразность
использования этого приема, позволившего более обосно-
ванно осуществить отбор существенных переменных и на-
либровку модели.

Мы рассмотрели лишь один, но типичный пример ис-
пользования модификации классической схемы регрессион-
ного анализа в практической исследовательской работе.
Его использование помогло нам принять решение о струк-
туре изучаемого экономического явления более обоснованно.
И в этом заключается эвристическая ценность рассмотрен-
ной процедуры в общем контексте процесса прикладного
исследования. Следующим шагом в логике статистического
исследования является анализ структуры корреляций меж-
ду переменными. Этому вопросу посвящена следующая
глава.
Глава 3. СТРУКТУРНЫЕ
И ПРИЧИННЫЕ МОДЕЛИ

3.1. ПРИНЦИПЫ И ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ
СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Любое исследование начинается с постановки
проблемы. В логике научного исследования под проблемой
понимают вопрос, ответ на который не содержится в сущест-
вующем знании. Четко определив проблему, исследователь
приступает к поиску возможных путей ее разрешения.
Следует подчеркнуть, что этап постановки проблемы, выде-
ления предмета и объекта исследования, конкретной и точ-
ной формулировки задачи в значительной степени опреде-
ляет успех всех последующих действий. Мы обращаем вни-
мание читателя на это положение в связи с тем, что в дан-
ной главе будут рассматриваться вопросы разработки моде-
лей внутренней структуры сложных систем — объектов,
для которых еще недостаточно хорошо известны законы,
определяющие их функционирование или сущность. Моде-
лирование в этом случае представляет собой средство разре-
шения проблемы, и успешность его использования опреде-
ляется, во-первых, тем, насколько глубок и достаточен ис-
ходный качественный уровень проникновения в существо
проблемы, и, во-вторых, насколько адекватно и полно ка-
чественные особенности изучаемого объекта могут быть фор-
мализованы и отображены в количественных характеристи-
ках математической модели, использованной при объясне-
нии природы исследуемого феномена.

Специфика модельного обьяснения. Как известно, объ-
яснение — это процесс получения выводного по своему ха-
рактеру знания. В дедуктивной схеме эксплананс объ-
яснения формируется из теоретических положений, принад-
лежащих к ближайшему, более высокому уровню в системе
понятий данной науки. Так, например, объяснение действия
некоторой экономической закономерности сводится к выяв-
лению обусловленности этой закономерности действием дру-
гих законов, что подразумевает определенным образом
иерархически организованную структуру теории в целом.
На практике, однако, использование теоретических поло-
жений не всегда строго следует описанной выше схеме.

Здесь уместно вспомнить высказывание В. И. Ленина
о том, что «стремление искать ответов на конкретные вопро-
сы в простом логическом развитии общей истины... есть опош-
Лёние марксизма й сплошная насмешка над диалектическим
материализмом»1. Общие и тем более фундаментальные поло-
жения теории нужно уметь применять. Они должны служить
основой для выработки гипотез и на их базе моделей иссле-
дуемых явлений или систем, поскольку никакая модель не
может быть построена без предварительных теоретических
проработок, без каких-либо априорных предположений и
допущений. Недостаточная разработанность специальных
экономических и социологических теорий, сложность об-
щественных явлений приводит к тому, что во многих сов-
ременных прикладных исследованиях в данной области
объяснение можно считать лишь дедуктивнообразным или
даже индуктивно-дедуктивным во типу. Разработка моделей
адекватных действительности в подобных исследованиях
является зачастую главной задачей. Особая ценность таких
объяснительных моделей проявляется, когда они становятся
основой, на которой развивается теория явления.

Отметим, что проверку адекватности моделей можно осу-
ществить только через посредство эмпирической информа-
ции. В социально-экономических науках статистическая
обработка информации и моделирование на ЭВМ играет
такую же роль, как активный эксперимент в технике, мате-
матическая модель в этом случае — инструмент мысленного
(пассивного) эксперимента.

Главная методологическая проблема, стоящая на этом
пути, — проблема адекватности используемых математиче-
ских методов специфике (шире — природе) моделируемых
социально-экономических объектов и явлений. Подробное
обсуждение данного вопроса уведет нас далеко от темы параг-
рафа; поэтому ограничимся следующим замечанием.
В самой проблеме «метод — объект» содержится логически
нерасчленимое (нематематизируемое) реальное содержание
(в категории объект), устанавливаемое часто путем эмпири-
ческих обобщений и интуитивно. О распространенном среди
математиков-прикладников непонимании этого обстоятель-
ства свидетельствуют встречающиеся порой вопытки пре-
увеличения успехов применения вычислительной техники
для обработки огромвого фактического материала, исполь-
зуемой в большинстве случаев для описания, а не объясне-
ния эмпирических фактов. Результаты такого подхода часто
вызывают недоверие, непонимание у специалистов, не обла-
дающих достаточной математической подготовкой, статис-

•Ленин В. И. Полв. собр. соч., т. 3, с. 14.
тико-методической строгостью мышления. Однако едва ли
не чаще разочарование приходит к энтузиастам, внедряющим
математические методы в «неточные» науки и практику
-и требовательно относящимся к результатам своей работы.
Думается, что здесь дело в том, что любое обращение к мате-
матическому моделированию как методу научного исследо-
вания требует определенного обоснования целесообразности
его применения, знания его возможностей и ограничений.

Возьмем, например, часто используемые на практике
простейшие модели в форме уравнения регрессии. Специа-
лист (нематематик) обычно считает, что его задача предло-
жить переменные — аргументы, по которым можно прогно-
зировать значения переменной — функции, а задача мате-
матика — осуществить соответствующие расчеты. В случае
линейной регрессии эти уравнения имеют вид:

/ = !,..., т.	(3.1)

’	= b0] + е,.

где bi} — неизвестные коэффициенты регрессии; Uj симво-
лизирует ненаблюдаемые переменные, воздействующие на
У}, и рассматривается в качестве случайной величины (воз-
мущения) с заданными свойствами. Математический аппарат
данной модели требует, чтобы все переменные были изме-
рены на интервальной шкале.

Заметим, что рассматриваемая модель есть описание из-
вестной схемы черного ящика, поскольку в ней не раскры-
вается механизм зависимости выходных переменных у} от
входных переменных xita лишь констатируется факт наличия
такой зависимости. В схеме черного ящика постулируется
отсутствие развитой теории изучаемого объекта. Априорных
знаний исследователей достаточно лишь для того, чтобы
разделить переменные на входные (вкоды) и ныходные (вы-
ходы), а также указать на возможную функциональную
форму их взаимосвязи и ад дитивного случайного возмущения
Uj с заданными свойствами. Используя эконометрическую
терминологию, можно сказать, что исследователь в такой
ситуации способен провести лишь простейшую модельную
спецификацию.

Во многих случаях, однако, помимо информации о вхо-
дах и выходах системы в распоряжении исследователя
имеется и априорная информация о том, что объект обладает
определенной внутренней структурой. Последняя понимает-
ся в данном случае как совокупность связей переменных.
Эта априорная информация о структуре отношений между
переменными как о стабильной характеристике объекта
в целом суть набор теоретических предположений о природе
моделируемого объекта. В таких условиях желательно наи-
более точно отобразить в математической форме модели поло-
женные в ее основу предположения, поскольку единство
формы и содержания определяет качество модели.

Итак, существует иеобходимость заглянуть внутрь чер-
ного ящика, раскрыть его внутреннее устройство. Уже
в такой постановке вопроса обнаруживается глубокое разли-
чие между задачами статистического исследования в «экс-
периментальных» и «не экспериментальных» науках. В пер-
вом случае спецификация1 «вход — выход» («стимул —•
реакция», «причина — действие») основывается на устой-
чивой воспроизводимости анализируемой зависимости в ус-
ловиях контролируемых активных экспериментов, и задачи
статистического анализа сводятся к проблемам оценки
стохастических параметров моделей, к подбору иаиболее
подходящей функциональной формы модели и т. п. Во вто-
ром случае задачи подобного рода встречаются не менее
часто, однако их решение — дело более сложное. Проблема
спецификации модели выдвигается здесь иа первый план и
то или ииое ее решение определяет характер привлекаемых
математи ко-статистически х методов.

Независимо от используемого математического аппарата
построение структурной модели производится в общем
сходным образом. Логико-методическая схема построения
структурной модели будет рассмотрена нами далее.

Модельное объяснение наблюдаемых фактов на эмпири-
костатистическом уровне ограничено в силу того, что об-
щие посылки дедукции представляют собой фактически ги-
потезы ad hoc (на данный случай).

Между тем смысл и цель построения моделей заключают-
ся именно в том, чтобы выйти нз рамок ситуации ad hoc и
перейти иа уровень системной теории, т. е. получить воз-
можность дедуцировать достаточно общие заключения, спра-
ведливые без учета ограничений, накладываемых выбороч-

1Спецификация модели в широком смысле включает выбор
переменных, введение допущений и ограничений, указание на функ-
циональную форму уравнений, а также разработку собственно ма-
тематической модели — запись системы уравнений, идентифика-
цию и оценку параметров. В узком смысле в экономической лите-
ратуре под спецификацией понимается этап записи уравнений мо-
дели в так называемой структурной форме.
ным характером использованных при разработке модели
данных. Для того чтобы достичь названной выше цели,
исследователь должен продемонстрировать адекватность мо-
дели реальности, сопоставляя результаты ее верификации
на различных совокупностях данных. Следуя традицион-
ному для логики науки рассмотрению вопроса об истин-
ности модели, можно выделить три аспекта: формальную
правильность, опытную проверяемость и содержательную
истинность.

Структурная модель строится как система конечного
числа высказываний, записанных на определенном формаль-
ном языке (например, в форме регрессионных или логлиней-
ных уравнений и т. д.). Формальная правильность того или
иного положения, воплощенного в модели, проверяется
в рамках этого языка (использованной математической тео-
рии). Наряду с этим модель должна быть проверена на внут-
реннюю логическую непротиворечивость.

Опытная проверяемость в подобных случаях обычно
рассматривается как возможность подтверждения гипотез
об отношениях переменных по данным наблюдений без
проведения активного эксперимента. Далее мы рассмотрим
подробнее этот аспект, здесь же укажем, что важнейшей его
составной частью является выбор из нескольких альтерна-
тивных моделей одной, т. е. селекция объясняющих гипотез.
Следует обратить внимание читателя на то, что математи-
ческие модели в форме уравнений сами по себе еще ничего не
говорят об объективной реальности и обретают эвристи-
ческую ценность, лишь будучи включенными в контекст
содержательной теории, что в сущности и дает право имено-
вать данные построения моделями. Конкретную модель
следует рассматривать в качестве образа истинной структуры
объекта изучения, соответствующего целям исследования
и достигнутому уровню познания сущности явления. Оче-
видно, что возможны различные модели одного и того же
объекта, которые, будучи построенными для различных
целей и при помощи различных фсрмзльных средств, ста-
нут в различной степени выражать внутреннюю организа-
цию, закономерности, сущностные свойства объекта. Между
такими моделями может, вообще говоря, отсутствовать от-
ношение подобия. К сказанному нужно добавить, что на ос-
новании одних лишь выборочных данных невозможно пол-
ностью решить вопрос о содержательной истинности модели
как теории, ибо содержательная истинность теории в конеч-
ном итоге проверяется и доказывается практикой.
Логико-методическая схема построения структурной
модели. Независимо от того, какая функциональная форма
уравнений модели будет использована в дальнейшем,
разработка логического каркаса структурной модели про-
изводится сходным образом. Первым этапом в модельной
спецификации является разделение переменных на экзоген-
ные и эндогенные. Эндогенными называются переменные,
отношения между которыми характеризуют в соответствии
с выдвинутыми гипотезами существо изучаемого объекта;
иногда их именуют также внутрисистемными, взаимозави-
симыми. В состав эндогенных переменных входят выходы си-
стемы (если использовать кибернетическую терминологию).

В динамических моделях среди эндогенных выделяют
также запаздывающие (лаговые) переменные, т. е. внутри-
системные переменные, относящиеся к предыдущим мо-
ментам времени. Экзогенными называются переменные, рас-
сматриваемые как внешние, заданные относительно описы-
ваемого моделью явления. Их называют еще внесистемными.
В моделях они играют роль входов системы. В ряде случаев
в эконометрических моделях запаздывающие эндогенные и
экзогенные переменные объединяются в общую категорию
предопределенных переменных. В моделях, использующих
представления об асимметричных отношениях влияния
между переменными, наряду с введенным используются
разделения переменных на предшествующую и последую-
щую, иа причину и следствие.

Вторым и наиболее ответственным этапом модельной
спецификации является формирование собственно логиче-
ского каркаса — основы будущей структурной модели. На
этом этапе удобио воспользоваться представлением модели
в форме графа, построенного, иапример, следующим обра-
зом. Вершины графа соответствуют переменным, ориентиро-
ванные ребра (дуги) — постулируемым асимметричным от-
ношениям влияния, а неориентированные ребра (биориенти-
роваиные) — симметричным отношениям (отношениям,
в которых трудно выделить определяющую переменную).
Выходами модели являются вершины, из которых ие исхо-
дит ии одна дуга, входами — вершины, в которые не вхо-
дит ни одна дуга.

Построенный в соответствии с изложенными правилами
граф представляет лишь эскиз, логический скелет модели.
Однако уже на этом этапе разработчик модели получает
з свое распоряжение мощный аппарат теории графов, поз-
воляющий еще до представления модели в форме функцио-
нальных уравнений частично проверить ее на формальную
правильность. Так, например, графы причинных моделей,
о которых речь пойдет ниже, обычно не должны содержать
контуров (циклов), т. е. путей, по которым можно вернуться
в вершину, откуда начато движение по дугам графа. Это
положение является условием, определяющим согласован-
ность выдвинутых гипотез о причинных отношениях, в нем
отражается положение об асимметричности и необрати-
мости причинного влияния. Контур же означает наличие
обратной связи, и проблема его оценки — это проблема
различения причин и следствий, которая в свою очередь
связана с проблемой измерения временных 'лагов и т. д.
Выделить контуры можно и целесообразно уже на этапе
конструирования модели в форме графа. Поиск контуров
легко осуществить средствами теории графов.

Граф в наиболее обнаженной форме выявляет постули-
руемую систему отношений между переменными, и поэтому
любое априорное предположение (о влиянии одной перемен-
ной на другую, о некоррелированности переменных и т. п.)
должно найти отражение на графе и рассматриваться как
отдельная гипотеза, нуждающаяся в подтверждении.

Между графом отношений между переменными и матема-
тической моделью в виде системы уравнений должен суще-
ствовать определенный изоморфизм. Модель в виде системы
уравнений сложнее своей графической формы, поскольку
включает в явном или неявном виде набор дополнительных
допущений и ограничений, накладываемых используемым
математическим аппаратом и эмпирическими данными.
Каждое уравнение модели должно являться отображением
соответствующих теоретических представлений о механизме
взаимодействия внутри- и внесистемных переменных, о про-
цессе детерминации одних значений переменных соответст-
вующими значениями других, т. е. эндогенная переменная
xt должна рассматриватьсв как функция от других перемен-
ных модели;

*< = f (хь ...,).	(3.2)

Изоморфизм между графом отношений между перемен-
ными и математической моделью, записанной в общем виде
(3.2), дает возможность использовать также тактику разра-
ботки логической основы модели, отличную от описанной
выше: от функций в общем виде — к графу. Эти две тактики
не противоречат, а, скорее, дополняют друг друга. Рассмот-
рим последнюю [69]. Для удобства и общности рассмотрения
систему уравнения модели будем использовать в канони-
ческом виде:

h (*i. *2. -) = 0.	(3.3)

Введем несколько определений. Для краткости систему
(3.3) будем именовать структурой, если она удовлетворяет
следующему определению: структура есть множество т
функций вида (3.3), включающих п переменных (п т),
такое, что: 1) в любом подмножестве k функций имеется по
крайней мере k различных переменных; 2) в любом подмно-
жестве k функций, в котором содержится г (г^ &) перемен-
ных, при произвольном выборе значений любых (г — k)
переменных значения оставшихся k переменных будут
определяться однозначным образом. Для нахождения этих
единственных значений необходимо решить соответствую-
щие уравнения.

Особый интерес представляют линейные структуры,
т. е. системы линейных уравнений, в которых: 1) в любом
подмножестве k уравнений содержится по крайней мере
k различных переменных с ненулевыми коэффициентами
в одном или более уравнениях; 2) в любом подмножестве
k уравнений, в котором имеется г (г fe) переменных с не-
нулевыми коэффициентами, при произвольном выборе зна-
чений (г — k) переменных эти уравнения могут быть разре-
шены единственным образом относительно оставшихся
k переменных. Структура называется замкнутой, если число
переменных в ней равно числу функций.

На практике в ходе разработки модельной спецификации
структура может быть представлена матрицей нулей и еди-
ниц, различные столбцы которой ассоциируются с перемен-
ными, а строки — с функциями. Тогда наличие единицы на
пересечении j-го столбца и f-й строки означает, что /-я пе-
ременная присутствует в i-й функции, нуль в этой же пози-
ции символизирует отсутствие этой переменной в данной
функции1.

Задавая только наличие или отсутствие отдельных пере-
менных в каждом соотношении, можно определить класс

••Заполнять эту матрицу легко при наличии графа отношений
между переменными, правила построения которого были изложены
выше. Единицы соответствуют переменным, непосредственно свя-
занным с i-й вершиной дугами (ребрами). При заполнении матрицы
можно воспользоваться и соответствующей матрицей инцинденций
графа отношений. Наличие графа отношений не является необхо-
димым условием для разработки данной матрицы.
причинных структур (обоснованность использования здесь
термина причинный будет показана далее). Подобный ана-
лиз имеет большое значение хотя бы потому, что те свойства,
которыми обладает класс, выполняются для всех структур
из этого класса [52].

Использование описанного приема целесообразно и эф-
фективно при обсуждении вопросов о механизмах детерми-
нации поведения внутрисистемных переменных, поскольку
оно облегчает достижение взаимопонимания между специа-
листом в конкретной области, для которого термин функция
лишь символ, синоним математического отображения реаль-
ного механизма взаимозависимости, и математиком-приклад-
ником, понимающим данный термин в соответствии с тра-
дициями своей кауки.

Покажем, каким образом введенный выше искусствен-
ный прием может быть использован для построения графа
отношений между переменными. Для этого предположим,
что матрица заполняется путем независимого рассмотрения
каждой из ее строк и при этом граф отношений в явном
виде отсутствует. Иными словами, разработчик модели рас-
сматривает каждый механизм детерминации одной перемен-
ной другими независимо от других механизмов и при этом
каждый раз включает в рассмотрение только переменные,
непосредственно воздействующие на исследуемую.

Предварительно введем несколько вспомогательных ут-
верждений. ЕслиД есть функция только отxi( то такое урав-
нение — тоже структура и, очевидно, минимальная из
возможных. Линейную замкнутую структуру А можно раз-
ложить на две части — часть А', являющуюся объединени-
ем минимальных, замкнутых подмножеств, и остаток А".
Целесообразно различать три возможных случая такого
разложения: 1) А' состоит из единственного замкнутого
множества, не содержащего замкнутых подмножеств, при
этом А" — пустое подмножество, а структуру А можно на-
звать полностью интегрированной-, 2) А' состоит из одного
или более замкнутых подмножеств структуры А, А" —
пустое подмножество, структуру А можно назаать неинте-
грированной', 3) А' состоит из одного или более замкнутых
подмножеств, А" — непустое подмножество, структуру А
можно назвать блочно-упорядоченной (а в ряде случаев ин-
терпретировать даже как причинно-упорядоченную). Во
всех трех случаях будем называть минимальные замкнутые
подмножества, принадлежащие А, полными структурами
нулевого порядка.

во
Проиллюстрируем использование введенных понятий
на следующем примере. При изучении процесса социальной
мобильности ряд исследователей рассматривали влияние
таких факторов, нак образование отца (хд), социально-про-
фессиональный статус отца (х2), образование сына (хя) н
социально-профессиональный статус сына (х4) в начале тру-
довой деятельности, на социально-профессиональный ста-
тус сына, достигнутый на момент обследования (х6) [361,
[601, [67]. Они полагали, во-перных, что образование сына
в начале его трудовой деятельности зависит от образова-
ния и социально-профессионального положения отца, во-
вторых, что начальный профессиональный статус сына за-
висит от его образования и социальной позиции отца, но не
зависит непосредственно от образования отца, в-третьнх,
что достигнутый сыном социально-профессиональный ста-
тус на момент опроса во миогом определяется как его ха-
рактеристиками в начале трудового пути, так и социальной
позицией отца. Приведенные интуитивно ясные предполо-
жения о механизмах детерминации значений соответствую-
щих переменных можно представить в виде функциональ-
ных отношений и записать в форме матрицы (табл. 3.1).

Таблица 3.1

ИСХОДНАЯ СТРУКТУРА

Так как Д и содержат каждая по одной переменной
(соответственно хх и х2), то каждая из них есть полная струк-
тура нулевого порядка. Если мы подставим Хд и х2 в f я, ft,
fs, то получим производную структуру первого порядка,
матрица которой показана в табл. 3.2.

В свою очередь в этой производной структуре можно ны-
делить минимальную замкнутую структуру — подмножест-
во /з, разрешимое относительно ха. Далее, подставляя ха
в /4 и fs . получим произ-
водную структуру второго
порядка, состоящую из
полной структуры fi, раз-
решимой относительно х4,
которую можно выделить,
и Д- И наконец, подставляя
х4 в ft, можно найти xs.

Таким образом, осу-
ществляя последователь-
ную (цепную) подстанов-
упорядоченности дизъюнк-
тивных подмножеств структуры A = A'UA"U А"' ...
U А", где А” — производная структура высшего поряд-
ка (либо полностью интегрированная, как в данном
примере, либо неинтегрированная). Это свидетельствует

Рис. 3.1.

Рис. з 2.

о том, что в постулированной системе зависимостей нали-
чествует определенная асимметрия среди отношений пере-
менных исходной структуры, такая, что определенные под-
множества уравнений (структуры низших порядков) мо-
гут быть разрешены без привлечения других (высших)
уравнений, но не наоборот.

Можно изоморфно отобразить установленный порядок
в форме графа функций (рис. 3.1) или графа отношений меж-
ду переменными (рис. 3.2).

В последнем случае переменные, входящие в полные
структуры низшего (нулевого) порядка, суть внешние (экзо-
генные), а оставшиеся — внутрисистемные (эндогенные) пе-
ременные. Таким образом устанавливается взаимно-одно-
значиое соответствие между числом замкнутых структур
и подмножествами эндогенных переменных, входящих в
эти структуры. В случае использования линейных струк-
тур разработанный граф будет изоморфен рекурсивной сис-
теме уравнений (подробнее эти вопросы будут рассмотрены
далее).
Обратим внимание на то, что три функции — fа, Д, f6,
формализующие высказанные выше гипотезы о механиз-
мах детерминации статуса, не образуют совместно замкну-
тую систему, поскольку в них содержится пять переменных.
В таких случаях говорят, что система недоопределена. Сле-
довательно, исходную (базисную) структуру необходимо
дополнить. Сделать же это можно различными способами
и, в частности, предположив, что Д (хх) = 0 и (2 (х2) = О,
как в нашем примере. Недоопределенность является теоре-
тической, а не статистической проблемой. Раскрытие недо-
определенности — это введение дополнительных теоретиче-
ских (содержательных) предположений о существе модели-
руемого явления в форме гипотез об отношениях между
переменными, без которых невозможно идентифицировать
систему (модель) по данным наблюдений.

Следует особо подчеркнуть, что итоговая структура
(логический каркас) будущей модели .всегда должна быть
полной (замкнутой) структурой. Уточним, что, строго гово-
ря, модель становится конкретной структурой лишь после
придания числовых значений всем параметрам, т. е. после
полного описания структурных связей (калибровки модели).
Дополнение же базисных предположений путем введения
вспомогательных положений (путем вычленения ее причин-
ной структуры) — это элемент этапа спецификации модели.
Очевидно, что, дополняя базисную структуру различным
образом, можно прийти к набору различных по форме
и содержанию моделей.

Допустим теперь, что мы имеем линейную структуру
(полную). Мы можем, вообще говоря, заменить любую из
функций на линейную комбинацию ее с одной или более
функциями этой же структуры. Новая структура также бу-
дет полной и будет иметь то же самое решение, что и исход-
ная структура. Тем не менее переменные в них могут быть
упорядочены по-разному, а это означает, что мы будем иметь
дело с разными по своей логической основе структурными
моделями. Возьмем в качестве примера Д, fz, ft из табл. 3.3
(см. также рис. 3.3).

Пусть производная структура будет отличаться второй
функцией fz = kjj+kJz-}- k^s, где kj =^0. Ей будет со-
ответствовать матрица, показанная в табл. 3.4, и граф,
изображенный на рис. 3.4.

Сравнив табл. 3.3 и 3.4 и рис. 3.3 и 3.4, нетрудно
видеть, что это разные структуры по отношениям между
переменными. В этом и заключается операциональный ста-
тус понятия упорядоченности (причинной упорядоченности)
переменных. Причинная упорядоченность линейной струк-
туры инвариантна лишь относительно умножения исходной
матрицы на неединичную диагональную матрицу, ибо
только в этом случае сохраняется исходное расположение
нулевых и ненулевых коэффициентов. Линейные структуры
в таких случаях представляют рекурсивные системы урав-
нений множественной регрессии.

Таблица 33

Рис. 3.3

Рис. 3.41

Линейные структурные уравнения (идентификация и
оценка параметров). Линейные структурные уравнения
имеют следующий матричный вяд:

Ae Yt+ S Ai */-i + BX4—Ut = 0,	(3.4)

где Ac — невырожденная матрица {aiJ0} коэффициентов
при эндогенных переменных размерности л х л;

Af (i = 1, ..., р) — матрицы {ai}h} коэффициентов при
запаздывающих эндогенных переменных, причем период
наиболее длительного запаздывания равен р;

В — матрица (Ьц) коэффициентов при экзогенных пе-
ременных размерности л х k;
 t-i — вектор эндогенных переменных длины п со-
ответствующий моменту времени t — i, где i — порядко-
вый номер запаздывания (i = 0,	р);

Х4 — вектор экзогенных переменных для /-го момента
времени длины

Vt — вектор случайных возмущений /-го момента вре-
мени, относительно которого делаются вероятностные пред-
положения.

Ковариационная матрица системы £2t = М (Uf, U/}.

Объединяя экзогенные и запаздывающие (лаговые) эн-
догенные переменные в одну группу предопределенных
переменных, можно рассматривать модель как теоретически
объясняемый способ определения совместно зависимых пере-
менных yit через предопределенные переменные Хц и воз-
мущение u-lt. Длина вектора равна М.

Разделяя предопределенные и взаимозависимые пере-
менные, запишем уравнения (3.4) в виде

ГУ = ВХ 4- и	(3.5)

или

= 2 tn л + 2 Ря Ki+“/•	(3.6}

W	leBf

ieAj	3

j =	1 = 1, .... М,

где Aj — подмножество взаимозависимых (эндогенных), а
Bj — подмножество предопределенных (экзогенных) пе-
ременных, непосредственно воздействующих на yt, уц и
Рл — коэффициенты при соответствующих переменных.
Предполагается, что det Г 0.

Разрешив структурную форму модели (3.4) относитель-
но эндогенных переменных, можно получить модель в фор-
ме так называемых приведенных уравнений

Y,= -А~" (е А, ¥,_;+ВХ,-и,)	(3.7)

илн в эквивалентной форме, полученной из (3.5),

Y = ХП + т],	(3.8}

где П = ВГ-1, т] = UA-1.

Предположим без потери общности, что ненаблюдаемые
величины uj — некоррелированные случайные величины
с нулевыми математическими ожиданиями М («;) — 0 и
одинаковыми дисперсиями:

Здесь t — I,..., N — номер наблюдения. В каждый момент
времени экзогенные переменные xt не коррелированы с и},
г. е. М (xfc4) = 0 для всех 1=1, .... k; j = 1..М;

t = 1, N. Читатель может найти подробное рассмотре-
ние этих и ряда других предположений в монографиях
[101, 12П, [30], [41].

После того как система уравнений записана в форме
(3.4) или (3.7), этап спецификации модели считается завер-
шенным. Следующие этапы—идентификация и оценка пара-
метров. В силу специфики нашей книги мы не будем под-
робно рассматривать сугубо математические вопросы иден-
гификации и оценки параметров, обстоятельно разобран-
ные в ряде указанных выше монографий. Обратим внимание
читателя на некоторые аспекты логики действий разра-
ботчика модели, оставшиеся без должного внимания в
многочисленной эконометрической литературе. Прежде все-
го это относится к различиям в возможностях использова-
ния и интерпретации модели в структурной и приведенной
формах. Следует сказать, что приведенная форма (3.7) —
система многофакторных уравнений регрессии есть не что
иное, как модель, построенная по схеме черного ящика.
Все сказанное выше о методологических особенностях моде-
ли (3.1) справедливо и для нее. Коэффициенты приведен-
ных уравнений — это чисто формальные параметры. По-
этому если в логике модели допущена неточность и перемен-
ная Xj не действует непосредственно на yit то коэффициент
Ъц не имеет какого-либо содержательного смысла. Следо-
вательно, если мы хотим воспользоваться уравнениями ре-
грессии (3.7) для прогнозирования, то эти уравнения поз-
воляют надежно предсказывать значения выходных пере-
менных при тех и только при тех значениях непосредствен-
но наблюдаемых характеристик моделируемого явления
(значениях экзогенных переменных из области их определе-
ния), на основе которых были получены оценки коэффи-
циентов.

Если разрешить уравнения в структурной форме, на-
пример, типа (3.4) или (3.5) относительно эндогенных пере-
пенных, то они дают дополнительную возможность: не
видоизменяя модель, прогнозировать, что произойдет в си-
стеме в условиях изменения одной или нескольких входя-
щих в нее переменных. Известно, что состоятельные оцен-
ки1 параметров приведенной системы могут быть найдены
обычным способом методом наименьших квадратов. Поэто-
му естественно попытаться найти состоятельные оценки па-
раметров структурных уравнений из соотношения, связы-
вающего матрицы коэффициентов этих систем уравнений:

пг = в.

(3.9а)

Соотношение (3.9 а) представляет собой совокупность п
систем уравнений (по числу эндогенных переменных —
структурных блоков) относительно коэффициентов уц,
рц. Выпишем одну из таких систем для j-й эндогенной пере-
менной. Для этого разобьем систему на блоки и перенуме-
руем строки и столбцы матрицы П так, чтобы первыми
стояли строки с номерами I £ В;, включающие предопре-
деленные переменные, непосредственно воздействующие на
j-ю эндогенную переменную, и столбцы с номерами k € Гу,
т.- е. с эндогенными переменными, влияющими на j-ю пере-
менную.

Системы уравнений, подобные описанным выше, облада-
ют следующими характерными особенностями:

1.	Расположение эндогенных переменных и порядок
следования структурных уравнений таковы, что t-e струк-
турное уравнение включает j-ю эндогенную переменную
и может включать также эндогенные переменные с мень-
шими номерами, предшествующие t-й переменной в причин-
ной цепи и алияющие на нее, но не включает эндогенных
переменных высшего порядка. В общем случае считается,
что i-e уравнение служит для определения i-й эндогенной
переменной через эндогенные низшего ранга и предопре-
деленные переменные.

В моделях, включающих запаздывающие (относящиеся
к предыдущим моментам времени) эндогенные переменные,
такие переменные рассматриваются в статусе предопределен-
ных и могут входить в любое уравнение.

Если эндогенные переменные и уравнения упорядоче-
ны таким образом, то Ьц = 0 при j ><’. Матрица В явля-

Шапомним, что состоятельной называется оценка, которая с
увеличением числа наблюдений Д' в пределе по вероятности схо-
дится к истинному значению параметра.
Стоя треугольной, т. fe. над главной диагональю содержит
только нули.

2.	Для систем матрица ковариаций ошибок U( диаго-
нальна, т. е. предполагается, что ошибки различных
структурных уравнений независимы.

3.	Ограничения для коэффициентов структурных урав-
нений относятся каждое к коэффициентам только одного
уравнения. Таким образом, эти ограничения можно разде-
лить на п групп, причем i-я группа будет включать огра-
ничения, которые относятся к коэффициентам только /-го
структурного уравнения.

Рис 3 5

Системы уравнений, обладающие свойствами I—3, на-
зываются рекурсивными и блок-рекурсивными. Тогда ма-
трица П и столбцы матриц Г и В будут иметь вид, пока-
занный на рис. 3.5, и для коэффициентов ykj, Ри можно
записать систему уравнений:

— 2 «А th] +	— ₽ц>

(3.96)

— 2	1 &

*ег.

(3.9в)

При любых fkj уравнения (3.96) могут быть удовлетво-
рены с помощью выбора p,j. Поэтому задача сводится к оп-
ределению коэффициентов ук} из (3.9в).

Обозначим через tij число эндогенных, а через т> —
число предопределенных переменных, входящих в /-е урав-
нение, т. е. прямо влияющих на j-ю переменную. Система
(3.96) состоит из М — гп] уравнений (М — число всех пре-

88
допределенных модельных переменных) относительно rtj
неизвестных Тогда в случае

М — т} = п}	(3.10а)

система (3.9в) имеет единственное решение; если

М — m}>nf	(3.106)

система (3.9в) оказывается противоречивой, иначе говоря,
сверхидентифицируемой (переопределенной), а в случае

М — mj

(3.10в)

имеет бесконечно много решений, т. е. является неиденти-
фицированной*. Ограничения (3.10, а, б) эффективны
по отношению к матрице коэффициентов М — т.) предо-
пределенных переменных, не входящих в j-e уравнение.

Проблема идентификации в литературе обычно тракту-
ется как исследование ограничений на матрицы коэффици-
ентов и возмущений с тем, чтобы в конечном итоге анали-
зируемому массиву данных соответствовала одна и только
одна структурная форма. Иными словами, это проверка —
насколько хорошо спецификация модели удовлетворяет тре-
бованиям математического аппарата и эмпирическим дан-
ным.

Г. Г. Пирогов в предисловии к русскому изданию моно-
графии Ф. Фишера «Проблема идентификации в экономе-
трии» пишет: «В понимании советских авторов (например:
Райбман Н. С. Что такое идентификация. М., Науна, 1970)
идентификация есть отождествление модели с объектом в
смысле поиска оценки оператора, связывающего ныход мо-
дели некоторого объекта со входом ... В таком понимании
термин «идентификация» всегда относится к приведенной
форме. ... Проблеме использования априорной информации
для получения определенных структур на некоторых масси-
вах эмпирической информации советскими авторами боль-
шого внимания не уделялось. Очевидно, это не случайно
и связано с менее широкой сферой приложения моделей
в форме систем одновременных уравнений в социалистиче-
ском хозяйстве, а также с тем, что проблемы наентифика-

1 Чтобы не загромождать изложение, мы исключили из рас-
смотрения формально иоэможные. но на практике маловероятные
случаи, когда матрица П или расширенная матрица {Пу;л,) (см.
рис. 3.5) являются матрицам» неполного ранга.
ции советскими исследователями разрабатывались большей
частью применительно к техническим системам» [41, с. 12].

Устойчивая терминология для обозначения различных
сторон сложного процесса установления адекватности моде-
ли реальному объекту еще не сложилась. Здесь применяет-
ся несколько терминов, имеющих разные смысловые оттен-
ки: идентификация, верификация, калибровка, проверка
на валидность. Добавим также, что интерес советских уче-
ных к структурным моделям в последние годы возрос в
связи с разработкой разного рода моделей и прогнозов.

Укажем теперь на условия идентифицируемости. Усло-
вие порядка можно задать, капример, так: для того, чтобы
любое одно структурное уравнение в системе (3.5) было иден-
тифицируемо, необходимо, чтобы число исключенных из
уравнения предопределенных переменных было бы по край-
ней мере на единицу меньше числа участвующих в нем эн-
догенных переменных (Л1 — гщ п, — 1) [21],-[41].
Достаточным условием является условие ранга — требова-
ние.чтобы из столбцов матрицы коэффициентов исключен-
ных переменных мог быть изалечен, по крайней мере, один
детерминант (п,— 1)-го порядка. Выше речь шла только
о наиболее распространенных исключающих ограничениях
на структурные параметры, вообще же, ограничения, на-
кладываемые на систему, могут быть разного типа, напри-
мер, на ковариационную матрицу ошибок и т. д.

Обратим внимание на то, что полная спецификация
приведенной формы эквивалентна полной спецификации эн-
догенных переменных. Отсюда следует, в частности, что в
t-м структурном уравнении может содержаться совместно
эндогенных и предопределенных переменных с ненулевы-
ми коэффициентами не более, чем число всех предопределен-
ных в модели плюс единица, поскольку идентификация —
это установление связи, позволяющей определить коэффи-
циенты структурной формы через коэффициенты приведен-
ной формы.

Воспользуемся изоморфизмом между системой структур-
ных уравнений и ориентированным графом, в котором вер-
шины соответствуют переменным, а дуги символизируют
влияние одной переменной на другую. Тогда отсутствие
дуги означает отсутствие влияния, т. е. наличие исключаю-
щего ограничения на соответствующие коэффициенты р или
у, а число входящих в вершину дуг равно числу воздейст-
вующих предопределенных и эндогенных переменных. Сфор-
мулированное выше условие порядка можно перефразиро-
30
батЬ в терминах графа: число входящих во внутреннюю
вершину графи дуг (входов в t-й блок) не может быть боль-
шим, чем общее число вершин, соответствующих
предопределенным переменным (входам в систему в целом).
В этой формулировке мы использовали то, что экзогенные
н шаговые эндогенные переменные на графе ассоциируют-
ся с вершинами (входами), из которых исходят дуги, но в
которые не входит ни одна дуга. Иными словами, это всег-
да причины, но никогда не следствия.

По существу, данное условие есть правило запрета —
ограничение, накладываемое математическим аппаратом
теории линейных структурных уравнений на вариант-
ность модельного объяснения. Это правило устанавливает
предел внутренней сложности коммуникационной сети си-
стемы, описание которой возможно на языке данной тео-
рии. Ограничительный принцип, обеспечивающий иден-
тифицируемость модели, в предложенной нами выше форму-
лировке удобно использовать еще на этапе спецификации
модели — при конструировании логического каркаса моде-
ли. Дело в том, что любая система уравнений должна быть
проверена на идентифицируемость еще до всяких процедур
оценки параметров. В нендеитифицируемой системе нет
никакого смысла находить эмпирические оценки парамет-
ров. Если содержательная теория, на основе которой раз-
рабатывается модель, приводит к неидентифицируемой
системе, то возможны два пути видоизменения модели.
Можно либо исключить из рассмотрения в неидентифици-
руемых уравнениях некоторые эндогенные переменные (т.е.
ввести исключающие ограничения), либо, напротив, ввести
в модель дополнительные объясняющие переменные, так,
чтобы были выполнены условия идентифицируемости (допол-
нить структуру). Таким образом, проблема идентифика-
ции — это проблема теоретическая, относящаяся к сфере
системного предметного анализа моделируемого явления
или объекта.

Все сказанное ранее о критериях идентифицируемости
Справедливо и обязательно и для рекурсивных систем.

При выполнении предположения о некоррелированности
имплицитных переменных (ошибок) и, между собой рекур-
сивная система идентифицируема. Если же еще предпо-
ложить, что не коррелирует с объясняющими перемен-
ными модели (включая у,-), то со статистической точки зрения
становятся несущественными различия между эндогенны-
ми и экзогенными переменными и к f-му структурному
уравнению для оценки параметров можно применить ме-
тод наименьших квадратов, причем так, что в случае точно
идентифицируемых уравнений каждое уравнение системы
можно рассматривать независимо от других как простое
уравнение множественной регрессии.

Вернемся к соотношениям (3.10) и рассмотрим коротко
вопросы оценки коэффициентов p;j- и уц. В случае (3.10а)
для нахождения состоятельных оценок параметров j-ro
блока достаточно решить систему (3.9в) и подставить по-
лученные значения в (3.96). Поэтому основное внимание
в литературе уделяется случаю (3.106).

Вообще говоря, в этом случае достаточно решить сис-
тему из произвольно выбранных из (3.106) уравнений, что-
бы получить состоятельные оценки параметров у*/. Одна-
ко на возможную произвольность отбора, как правило,
накладываются дополнительные требования, вытекающие
из других менее формальных целей: использовать при на-
хождении оценок всю наличную информацию об элементах
структуры, устранить неоднозначность решения, связанную
с произвольным отбором уравнений в систему, и т. п.
Поэтому при решении задачи оценки параметров уравне-
ний (3.6) приходится прибегать к довольно сложным ме-
тодам.

Одним из наиболее распространенных методов оценки
параметров структурных уравнений на ЭВМ является двух-
шаговый метод наименьших квадратов. На первом шаге
этого алгоритма методом наименьших квадратов находят-
ся оценки параметров приведенной системы уравнений:

+	/-1.....

Z=I

и вычисляются новые переменные у/ = У, На втором
шаге эти переменвые подставляются в правые части струк-
турных уравнений вместо соответствующих эндогенных
переменных. Построенные таким способом уравнения

S Уч S Ри xt+ufi /= I...., п

рассматриваются как обычные уравнения регрессии и их
параметры находятся методом наименьших квадратов.-
Полученные таким образом оценки параметров и (j,j
состоятельны.

В заключение параграфи укажем на некоторые недо-
статки изложенного традиционного подхода к структур-
ному моделированию сложных систем. Эго предположение
о линейности моделей связей между переменными и о том,
что данная линейная модель идентична реальному объекту
с точностью до аддитивных случайных возмущений, иначе
говоря, что в модель включены все необходимые переменные.
Последнее из названных предположений непосредственно
связано с проблемой верификации модели, оценки ее ка-
чества, о которой речь подробнее пойдет далее. Стремле-
ние учесть реальный (часто нелинейный) характер связей
между переменными привело ряд исследователей к созда-
нию оригинальных методов структурного моделирования,
модификации постановки задач [71, [22], [34], [75].

3.2. ЛОЖНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И ПРИЧИННАЯ
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СИСТЕМЫ СТРУКТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Экономические модели в форме структурных
уравнений обычно разрабатываются для целей прогно-
зирования значений выходных переменных сложной
системы при различных изменениях ее экзогенных и
эндогенных переменных. Установление собственно струк-
туры отношений между различными элементами системы
играет в этом случае второстепенную, подчиненную глав-
ной цели роль. Для больших систем связи между эмпири-
ческими числовыми моделями — конкретными структу-
рами и качественными теоретическими выводами зачастую
неочевидны. Существующие методы направлены, главным
образом, на получение количественных оценок параметров
моделей, т. е. полное описание структурных связей, что
требует, как правило, большого количества эмпирической
информации. Между тем характерной чертой экономичес-
ких исследований является необходимость использования
данных, полученных из выборок небольшого объема. Все
это обусловливает большой интерес к проблеме построения
такой модели системы, относительно которой известны толь-
ко априорные гипотезы о ее возможной структуре. По сути
дела, речь идет о переносе центра тяжести в постановке
задачи моделирования с оценки параметров на поиск струк-
туры связей между элементами системы, адекватной эмпи-
рическим данным.
Именно Б такси постановке, характерной лишь для
ряда новейших работ по моделированию экономических
систем [52], [56], методы структурного моделирования
применялись и применяются в биометрике и социологи-
ческих исследованиях, где прогноз числовых значений пе-
ременных не представляет обычно существенного интереса.
Структурные модели в этих областях часто называются
причинными, а методы их построения — методами причин-
ного анализа (см, § 3.4 — 3.6). Традиции подобного
использования приемов структурного моделирования для
целей обоснования теоретических построений и интерпре-
таций взаимосвязей переменных восходят к работам 1920 —
1930 гг., поскольку идея структурного раскрытия взаимо-
связей между переменными имеет непосредственное отно-
шение к известной статистической проблеме ложной, или
кажущейся корреляции [78].

Проблема ложной корреляции. Проблеме ложной кор-
реляции посвящено множество публикаций 145], [46]. Как
известно, К. Пирсон понимал под ложной корреляцией
связь, возникающую между имеющими общий делитель
относительными величинами (индексами), при допущении,
что корреляция между абсолютными величинами, на ос-
нове которых были вычислены эти относительные величи-
ны, отсутствует. Формула коэффициента корреляции меж-
ду двумя индексами xx/xa и xjx9, построенными на основе
переменных xlt х2, ха, имеет вид:

р_	 (3 11)

+^—2rI3 »2 У*? +^3— 2r23 -2 Vs

где Vt — коэффициент вариации xt. Если же допустить, что
попарная корреляция между xlt х2, х3 отсутствует, т. е.
г1а = г1з = газ = 0, то приведенная формула приобретет
вид:

В этом случае природа ложной корреляции объясняет-
ся тем, что в состав индексов входит одна и та же переменная
с3. Очевидно, что ложная корреляция в данном примере
проявляется лишь в том случае, когда v3 =/= 0, т. е. когда
делитель у коррелируемых индексов изменяется от пары
к паре сопоставляемых показателей. В противном случае
Р ~ а Ро — 0. Подчеркнем особо то обстоятельство,
чтоб рассмотренном примере ложная корреляция образуется
в силу конструкции вторичных показателей (относитель-
ных величин), т. е. на чисто формальных основаниях, и
не нуждается в объяснении с точки зрения тех объектив-
ных явлений, которые могут определять корреляцию меж-
ду переменными в действительности. Поэтому представле-
ние о том, что в основе механизма возникновения ложно-
корреляционной связи всегда лежит действие на обе пере-
менные какнх-то общих факторов, является ошибочным.
Гипотеза о корреляции как результате действия третьей
переменной нуждается в самой тщательной проверке с уче-
том того, что природа ложной корреляции многообразна
н зачастую связана с различными нарушениями принци-
пов применения теории корреляции. Ложную корреляцию
могут породить ошибки в построении показателей, их шка-
лировании и преобразованиях, неучете в расчетах эффекта
группировки, когда всем наблюдениям в группе придает-
ся значение, равное среднему значению интервала группи-
ровки, объединение (смесь) разнпродных данных и т. д.
Объяснение возникновения корреляции действием общих
для обеих переменных причин, справедливое только в част-
ном, конкретном случае, должно быть статистически дока-
занным. Объективные отношения корреляции — симметрич-
ные и нетранзитивные; они не являются, вообще говоря,
каким-либо образом, прямо или косвенно, связанными с
временной асимметрией причинного воздействия.

Очевидно, что выявление корреляций лишь первый
шаг на пути к причинному объяснению. Причины
корреляции могут лежать как на данном структурном
уровне описания, так и на более глубоком. При анализе
корреляций, причинное объяснение которых, по мнению
исследователей, разумно и возможно, оправданным пред-
ставляется различение корреляционных связей двух ти-
пов. Во-первых, это квази причинные (субпричинные) кор-
реляции, т. е. связи, у которых можно специфицировать
переменные как причину и следствие в рамках некоторой
теории (модели) и тем самым объяснить эту связь, во-вто-
рых,— соотносительные связи. Здесь не совсем очевиден
факт нвличия причинной связи, и корреляция выражает
характер сопряженного изменения переменных. Основа
этой корреляции может быть различной. Координированное
изменение двух признаков может явиться следствием не-
которых общих причин (результатом действия некоего
третьего фиктора), лежащих на данном уровне рассмотре-
ния явления, т. е. корреляция может быть объяснена в
рамках используемой системы переменных и допущений.
Возможно и то, что эта корреляция не может быть раскрыта
описанным выше способом, будучи обусловленной иными
обстоятельствами.

Для того чтобы проверить не является ли наблюдаемая
корреляция ложной, обычно пользуются приемом введения
в анализ дополнительного (третьего) фактора (группы фак-
торов), фиксируя действие которого производят измерепие
очищенной от внешних влияний связи путем расчета част-
ного коэффициента корреляции Гц.з... порядка, соответст-
вующего числу фиксируемых дополнительных факторов.
Этот коэффициент сравнивается с первоначальным коэф-
фициентом корреляции г1г нулевого порядка. В случае,
если частный коэффициент корреляции равен или близок
к нулю, а парный коэффициент корреляции отличен от ну-
ля, считают, что наблюдаемая корреляция может быть наз-
вана ложной.

Между тем изложенная логика сравнения не дает до-
статочных оснований для подобных утверждений. Если г^.з
близок к нулю, а г12 — нет, мы лишь можем заключить,
что: а) либо корреляция между и х2 обусловлена одно-
временным действием ха на обе переменные; б) либо xs
есть промежуточный фиктор в причинной связи xt хя ->
х2 или х2 -> хэ -► Xi, причем определить направленность
причинного влияния без привлечения дополнительных пред-
положений мы не можем. Простое сопоставление ri2- э и
г12 не дает возможности отличить случай а)—ложную
корреляцию от случая б); тем более нельзя различить эти
случаи, если г14.3 и г12 отличны от нуля.

Причинная интерпретация структурных уравнений.
Г. Саймон проанализировал данную проблему, используя
аппарат теории структурных уравнений [681. В системе
из трех переменных х1( х2, ха возможны различные струк-
туры взаимовлияний, некоторые из них изображены на
рис. 3.6 (стрелы на дугах графов указывают направление
асимметричного влияния одной переменной на другую,
М (xtx2) =/= О, М (х^з) =/= О, М (хахз) =?ь 0). При обычных
допущениях о линейности связей, некоррелированности
переменных х, и возмущений с различными номерами
(i =/= /') и различных возмущений Uj между собой для каж-
дой из структур, подобной изображенным на рис_ 3.6,
можно записвть соответствующие системы уравнений. Нй*
95
пример, для варианта связи, изображенного на рис. 3.6, а,
система будет иметь вид:

*s — ыа>

= ЬззХд + и2;

Х1 — Ь13Х3 + и1-

(3.13)

Коэффициенты Ьц равны или отличны от нуля в тех
случаях, когда предполагается отсутствие или наличие
соответствующих влияний /‘-й переменной на i-ю перемен-
ную и, что эквивалентно, соответствующих дуг на графе.



Рис. 3.6:

a)	62i—®w=0: Ьз]=йз2=0;	г) 623=612=613=632=0;

6)	612 = 613"632=621=0;	Д) 632=623=631 = 612=0,

в)	612=621=0; 6|з=б2з=0;	е) 619=613=623=0

Перемножая уравнения (3.13) попарно и применяя опе-
рацию математического ожидания, получим следующие
соотношения между коэффициентами корреляции г12, г1в,
г23 и коэффициентами уравнений (считаем, что переменные
определены в терминах отклонения от среднего, т. е. х£ =
= % -7£):

М (лухз) = 618M ус$);

М (х2х3) = &28М (х§);	(3.14)

М (ххх2) = Ь18М (эд) — fe13&S8M (х%) +

4* i'lsM (Л1хз)>
откуда

М(л,	.	(3.15)

м (*>)

Известно, что частный коэффициент корреляции первого
порядка рассчитывается по формуле

.	(3.16)

Числитель этой формулы не что иное, как
м (*! *а)________________MX-ч *з) М(ха Хз)

у М (х?) Е (х|) М (х|) V м (х*) М (х|)’ ’

Подставляя сюда М (xtx3) из (3.15), получим, что для слу-
чая ложной корреляции г1В.э = 0. Читатель может про-
делать аналогичные выкладки для других структур,
изображенных на рис. 3.6, и убедиться в том, что
без дополнительных предположений об асимметричных от-
ношениях между переменными, подобных записанным для
рис. 3.6, различить эти случаи нельзя. Такие предположе-
ния должны следовать из некоторых априорных суждений,
и прежде всего о временной последовательности переменных.
Так отличить структуру рис. д от рис. б можно лишь, на-
пример, зная, чтох8 предшествует во времени, или наобо-
рот. Исходя из подобных соображений Г. Саймон, а позд-
нее Г. Вольд и другие указывали на целесообразность при-
чинной интерпретации структурных одновременных урав-
нений типа (3_13)_

Заметим, что в этом случае возможна причинная интер-
претация отношений между переменными двоякого рода —
как связи состояний и как связи изменений состояний. Пер-
вый вариант причинной интерпретации непосредственно вы-
теквет из формальной записи уравнений (3.13) —численное
значение одной переменной (состояние следствия) опреде-
ляется численным значением другой переменной*(состоянием
причины) в соотношении, задаваемом коэффициентом при
переменной-причине, и с учетом, в общем случае, искажаю-
щих связь влияний численных значений других переменных-
причин и условий, выражаемых*свободным членом уравне-
ния.

Линейная форма уравнений определяет возможность
второго варианта причинной интерпретации, более удобной
при содержательном анализе} моделируемого явления
с позиций управления и прогнозирования и более привыч-
ной при обсуждении проблемы на обычном неформализо-
ванном языке. Поясним сказанное на примере. Обозна-
чим Дх£ — изменение численного значения i-й переменной
за период времени от /до t-j-1 или при переходе из состоя-
ния, характерного для Z-го объекта, к состоянию, харак-
терному для (/-(- 1)-го объекта из изучаемой выборки. Для
переменной х3 из (3.13) можно записать:

Axz^xt+l—x,B х‘+' + п2)—(ба х» +

+«г)=Ьа (х*+1 —4)=Ь23 Дхэ.	(3.18)

Таким образом, структурные уравнения, которые опи-
сывают связи между значениями переменных, можно
однозначно преобразовать в форму, которая описывает
саязи между изменениями значений переменных; при этом
сохраняются неизменными коэффициенты уравнения, но
в уравнениях саязи состояний отсутствуют свободные
члены

Формальной моделью причинно-следственного отноше-
ния переменных х£ и Xj в случае множественной регрессии
(3.13) является соотношение

s4 = -^-sA	(3.19)

где s£ и sj — среднее квадратическое отклонение соответст-
венно Xi и х/, Ьц — частный коэффициент регрессии; Р,-/ —
стандартизованный коэффициент регрессии. Соотношение
(3.19) в явном виде показывает статистический характер
саязи переменных, воплощающийся в детерминации на-
блюдаемого разнообразия значений одной перемеввой раз-
нообразием значений другой переменной, поскольку s —
мера разнообразия. В тех случаях, когда причинная ин-
терпретация связей между переменными возможна и
разумна, соотношение (3.19) естественно рассматривать
как описание механизма причинной связи. Как показано в
135], рассматриваемые ками причинные модели в форме
рекурсивных систем регрессионных уравнений являются
частным случаем формализации достаточно общих предста-
влений о природе причинной связи, развитых в рамках
современной концепции «вероятностной причинности».
Сущность этой концепции заключается в принятии статис-
тической точки зрения на механизм причинной связи,
учете реальной нестабильности условий, в которых на прак-

4*	99
тике осуществляется связь, и поэтому в отказе от требо-
вания жесткой однозначности связи состояний или изме-
нений переменной-причины и переменной-следствия, яв-
лявшегося центральным в традиционной механистической
концепции причинности.

В заключение заметим, что термин причинная модель
может быть использован в качестве указателя природы
описываемых моделью связей лишь в том случае, если
моделируемые связи специфицированы как причинные в
рамках теоретического описания явления, ибо причинная
интерпретация обусловливается не математической формой
модели, а тем содержанием, которое вкладывается в ма-
тематическую форму ad hoc. Природа любой модели ре-
альной системы, процесса или явления такова, что в ней
не учитываются некоторые стороны моделируемого объекта,
которые могут быть существенными в другом контексте.
Эвристическая функция причинных моделей как пассивного
эксперимента в социально-экономических исследованиях
состоит в том, что модель выступает как бы в роли «эскиза»
будущей теории явления, сущность которой до начала
исследования была еще недостаточно ясна. Следует помнить
при этом, что возможности математического моделирования,
как и любого другого метода научного познания, ограни-
чены.

3.3. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
ПРИЧИННЫЕ МОДЕЛИ. ПУТЕВОЙ АНАЛИЗ

В предыдущих параграфах мы изложили ос-
новные принципы и правила построения структурной мо-
дели как формального описвния механизма изучаемого
явления. Теперь необходимо рассмотреть вопросы практи-
ческого применения методологии статистического причин-
ного анализа при решении реальных задач с тем, чтобы
понять, что кроется за важнейшим этапом прикладного
статистического исследования — этапом построения объяс-
нительной модели.

Метод путевого анализа Райта. С. Райт указал на связь
между алгебраическими саойстиами системы множественных
уравнений регрессии и изоморфным ей графом (диаграм-
мой) [ 78]. Стандартизованные коэффициенты регрессии
(Р-коэффициенты) рекурсивной системы уравнений он ин-
терпретировал как показатели интенсивности непосредст-
венного влияния причины на следствие по дуге (ориенти-
роваииому ребру), связывающей йоответствукйцие вершины*
переменные в гипотетическом графе связей системы, и

предложил называть «путевыми (path) коэффициентами»
(далее мы будем использовать этот термин и обозначение
Ри), а оригинальный прием построения модели и расчета
оценок коэффициентов — методом «путевого анализа».

Чтобы продемонстрировать в
явном виде логику и технику вы-
числений с помощью метода пу- /[
тевого анализа, рассмотрим не- /
сколько примеров. Простейший / /
случай —модификация схемы чер- I /
него ящика -изображен на рис.
3.7, где дуги с символами рц по- \\
называют прямое влияние /-й ле- V.
ременной на i-ю, ребра с двумя
стрелками — наличие между экзо-
генными переменными корреля-

ционных связей; u-t — неизмеряе- Рис. 3.7
мая переменная, символизирую-
щая воздействие на ж,- факторов, не включенных в модель
и не коррелирующих с х} (j = 1, i — 1). Моделью этой

схемы является уравнение регрессии:

Ъ = Рл *1 + Ра *г+ — + pn-t xr-1 + piUi (3.20)

Уравнение (3.20), как и все уравнения в последующих
примерах, согласно традиции, сложившейся в литературе
по причинному анализу, записано для стандартизованных
переменных с выделением в явном виде ошибки — члена
е{ — р 1ииi. Здесь piu — коэффициент, показывающий влия-
ние на Xi комплекса не включенных в уравнение переменных
н условий:

Ui (М (и,-) = 0; о2 (u4) = 1; г (х} щ) = 0; r(uh Uj) = 0).
df	df	df	df

Для нахождения оценок коэффициентов plt применим
следующий прием. Вычислим коэффициенты корреляции
между зависимой переменной и каждой из объясняю-
щих переменных:

ГЦ = -Ь	(3-21)

Здесь N — число наблюдений, суммирование ведется по
всем парам значений хг и xj. Подставляя в (3.21) вместо
Xi правую часть (3.20), получим:

ru = -^2*j(pii*i+-+P/i-i	+Plu.4i)—

Л (f>

=‘% Pur»+Pip	(3.22)

k=l
tk+n

В вышеприведенном преобразовании учтено, что корре-
ляция Ut с Xj по определению равна нулю. Если учесть, что
rjj = 1, то соотношение (3.22), называемое иногда основ-
ной теоремой путевого анализа, можно записать так:

ГИ = ^РИ1 rk}>

(3,23)

Здесь / указывает на объясняющую переменную, связь
которой с объясняемой переменной i раскрывается в струк-
турной модели; k пробегает по подмножеству всех перемен-
ных, непосредственно влияющих на i-ю переменную (на
графе эти вершины связаны с i дугами). Соотношение
имеет общий характер, т. е. справедливо для любой
рекурсивной системы, а не только для частного случая
(3.20).

Для рассматриваемой нами модели можно записать
систему п оценочных уравнений вида (3.22), в которых со-
держится п неизвестных рц (п = i — 1). Это обычная сис-
тема п линейных уравнений, она разрешима.

Для полного описвния модели необходимо найти оцен-
ку параметра piu . Воспользуемся уравнениями (3.22),
(3.20) и вычислим величину rfi:

Hi =2 Р» ги+рЪ. =*•
й=1

откуда

р'-i 1 “ Др«г«-

(3.24)

(3.25)
В оЬщем случае, используя теорему (3.23), запишем:

Piut — |/ t ~ S Л*	(3.26)

Интерпретация piu. аналогична интерпретации pif (или
₽-коэффициента) — коэффициенты влияния неявных фак-
торов и показывают, какую долю дисперсии i-й эндо"
генной переменной (i-ro следствия) не объясняет предло-
женная система предопределенных или экзогенных пере-
менных (причин)1. Разность 1 —р& = Ryx,, .... х._ есть
квадрат коэффициента множественной корреляции (ко-
эффициент множественной детерминации). Легко показать,
ЧТО

...	= £ P?t 4- 2	2 Ри rik pih. (3.27)

Второе слагаемое в правой части называют иногда показа-
телем корреляционной детерминации. С. Райт-, получив
эти соотношения, отметил, что при таком применении ме-
тода путевого анализа для нахождения наилучшего ли-
нейного выражения одной переменной через другие, ис-
пользуя коэффициенты корреляции, т. е. при решении
обычной задачи множественной регрессии, не делается ника-
ких предположений о причинных отношениях.

Соотношение (3.22) демонстрирует важную особенность
коэффициента р1}— он может быть как больше, так и
меньше соответствующего коэффициента корреляции, как
положительным, так и отрицательным. Отрицательный
коэффициент свидетельствует о том, что изменение пере-
менной j ведет к противоположному изменению переменной
i. Коэффициенты влияния рц могут, в отличие от коэффи-
циентов корреляции, превышать ±1. Некоторыми авто-
рами отмечается, что этот факт должен трактоваться как

’Численное значение коэффициента ру можно интерпретиро-
вать как долю стандартного отклонения зависимой (эндогенной)
переменной Xi, объясняемую в рамках модели непосредственным
влиянием экзогенной переменной X/. т. е. как долю, которую можно
было бы выделить в состазо стандартного отклонения ст,-, если бы
воздействие всех остальных переменных (включай 14), кроме Xj,
было фиксировано. Знак этого коэффициента имеет тот же смысл,
что и знак обычного коэффициента регрессии или корреляции.
свидетельство некорректно специфицированной модели,
необходимости ее переработки 1.

Остановимся подробнее на методиках декомпозиции кор-
реляции с учетом структуры графа и интерпретации соот-
ветствующих величин. Введем понятия полная (совокупная)
саязь, совокупное влияние, прямое влияние, косвенное
влияние. Если коэффициент корреляции нулевого порядка
го- рассматривать как измеритель полной связи двух пере-
менных, то мерой совокупного влияния /-Й переменной на
i-ю переменную (ft,) будет являться ее часть, не зависящая
ни от общих для них переменных-причин, ни от корреля-
ции между общими для j-й и f-й переменными-причинами
(компоненты ложной корреляции), ни от наличия не ана-
лизируемой в модели априорной корреляции предопреде-
ленных переменных-входов. Таким образом;, мы разложи-
ли совокупную связь двух переменных на четыре состав-
ляющих: на совокупное (причинное) влияние j-й пере-
менной на t-ю, на две компоненты, измеряющие эффект
ложной корреляции, и на компоненту, еще не имеющую
общепринятого названия. В свою очередь совокупное влия-
ние может быть разложено на две составляющие с учетом
того, каким образом оно осуществляется — непосредст-
венно или через другие переменные. Прямое влияние од-
ной переменной на другую измеряется коэффициентом
PiP, в этом случае в цепи между объясняющей и объясняе-
мой переменной нет промежуточных звеньен. Косвенное
злияние— это совокупность тех составляющих совокуп-
ного влияния одной переменной на другую, которые обра-
зуются при учете эффекта передачи воздействия через по-
средство переменных, специфицированных в модели как про-
межуточные звенья в причинной цепи, связывающей изу-
чаемые переменные. Поскольку строение совокупного влия-
ния всецело зависит от системы гипотез — постулируемой
причинной структуры отношений между переменными, то
и все введенные выше понятия имеют смысл только лишь
по отношению к причинной модели с заданным графом свя-
зей.

Проиллюстрируем введенные понятия на уже исполь-
зовавшемся ками в § 3.1 примере модели процесса социаль-

’Значение | рц |	1 может быть обусловлено тесной взаимо-

коррелированностью переменных причин, их мультиколлинеар-

ностью. В этом случае одна из мультиколлииеарных переменных

должна быть исключена из модели.
йой мобильности (рис. 3.8). Система структурных уравне-
ний имеет вид:

*	1 =	pIU1 «ь

Xg=	Р»“г <j2j

*	»= p3lxt +Рз2хг	+рзи.иэ; (3.28)

•	*4 =	рю хг "Ь Раз *з	+ Р<“.

Х6 —	Рз2 к2 + р53 Х3 + Рб4 Xi + рйи» И5-

Обычные ограничения на корреляции имплицитных пере-
менных: riu. = га к. = 0_(/, / = 1, .... 5); предполагается,
что переменные xt измере-
ны на интервальной шка-
ле без ошибок.

Используя (3.22), мож-
но записать:

г за = Рэг + Рг1г21- (3.29)

Здесь г33 есть измери-
тель полной связи между
х2 и хя; рЭ2 — измеритель
одновременно совокупного

и прямого влияния х8 на ха, a pgit21 — компонента свя-
зи х2 и ха, зависящая от корреляции х2 с Aj — другой
экзогенной переменной (причиной для Хз).

Для га2 можно записать:

Г*а = р42 + Pi3r9f	(3.30)

Подставляя (3.29) вместо г32, получим

Г42 = Pi» + РюРз» + AsPs/si- (3.31)

Ряс. 3.8

Совокупное влияние х2 на х4 есть сумма прямого
р4г и косвенного (через *в) влияния. Третье слагаемое в
правой части (3 31) — это непричинная компонента связи
хе и хв, обусловленная корреляцией xt и х2. Примером уче-
та ложнокорреляционной связи (в данном случае она яв-
ляется и измерителем эффекта’ корреляции входов) мо-
жет служить раскрытие корреляции между двумя эндо-
генными переменными ха и х4:

Г*Я — Pts + Р12Г23 — Pia + Ри (Рэг 4" PjZjO —

= Pt3 + РлгРзг + Р42г2»Рз1-	(3.32)
Уравнение (3.32) показывает, что pt3 — единственная при-
чинная компонента связи, измеритель и общего, и прямого
влияния х* па х6. Все остальные слагаемые служат измери-
телями ложной корреляции, обусловленной наличием у
хэ и х4 общих причин хъ х2 и неанализируемой в рамках
данной модели корреляции между предопределенными
переменными лу и х2.

В сложных структурных моделях (орграфах с большим
числом вершин и дуг) выделение различных компонент
связей и вычисление их оценок без помощи соответствую-
щих программ для ЭВМ является утомительным и трудным
делом1. Эти трудности, приводящие к ошибкам в логике
и вычислениях, заставляют некоторых исследователей да-
вать неполную интерпретацию полученных ими результа-
тов.

Связи между уравнениями модели в приведенной фор-
ме и в структурной ферме — способ облегчить такую си-
туацию. Рассмотрим подход, предложенный Д Алвином
и Р. Хаузером, [47). Подставим структурное уравнение для
ха в уравнение для хл:

*а = р«х2 + pt3 (р31х3 + рВ2х2 + p8„s«2) + р4и<«4 =

= РазРзЛ + (Р*2 + РдзРзг) ха + (P«3p8u8us +	(3.33)

Уравнение (3.33) представляет собой линейную регрессию
от хг и х2, которую можно записать, используя обозначения
совокупных влияний*

Х4 = <?41Х1 + Чаг*а +	(3.34)

W = ₽*sp3Us “ з 4- Р*О4«4-

Если теперь обычным методом наименьших квадратов
найти оценки коэффициентов приведенной фермы
уравнения для л4 и оценки коэффициентов pi} его структур-
ной формы, то разности между соответствующими коэффи-
циентами qi}—pij будут оценками косвенных влияний:
в нашем случае ху и х2 на xt через х3 без дополнительного
вычисления регрессии л 3 от лу, х2:

Чаа — Раз = Р1зРза’> 4ai ~ Ptipsi (3.35)
с учетом того, что р41 = 0 по определению.

В том случае, если в цепи между двумя переменными
имеется более, чем одна промежуточная переменная, сле-

*В этой связи укажем на алгоритм построения оценочных
уравнений, описанный Д. Хейсом [54, С. 70—71[.
дует действовать аналогичным образом. Например, до-
пустим, что мы подставили уравнение для х4 в уравнение
ДЛЯ хъ:

Хв = ХвгХ2 pi3Xs + Ps4 (р43^2 + РдА'з + Р*или1) V

4* Pbubut = (Рб2 4" РыРаг) х2 + (Ръз + РмРи) хз 4~

+ (РиР«и4«а + Psus“s)-	(3-36)

Обозначим

?52^Р5г+рз4 Р«:	(3-37)

?53 = Р58 + Ры Р«з>	(3.38)

*11! = Рм р«ы. и4 4" Р5ыь ИБ	(3.39)

и перепишем (3.38) квк

xb=q*6i *г+?58 *s4- *к-	(3.40)

Как ясно из рис. 3.8, 953 — это совокупное влияние хэ
на х6, так как х3 может влиять на х5 только через х4. В от-
личие от <763 ^52 —это не оценка всего совокупного влияния
х2 на хъ, а оценка лишь той его части, которая включает
в себя прямое влияние р52, косвенное— через хл — pMpi2, но
не включает непрямое влияние через х3. Поэтому разность
9*а — рб2 дает лишь оценку косвенного влияния через
х4. Для получения выражения полного влияния ха на хБ
нужно в уравнение (3.36) подставить еще уравнение для
х3 (читатель может проделать это самостоятельно). Тогда
получим выражение для совокупного влияния как сумму
влияний х2 на хъ по всем путям:

?В2 = Рбз 4" РыР*2 4“ РмРзг 4“ РмРзэРзг ~

= <752 + W32-	(3-41)

Разность Tjj — qi) может служить оценкой пепричинных
компонент взаимосвязи переменных i и / в рамках
данной структурной модели.

Методика Алвина—Хаузера, реализованная полностью,
предусматривает построение и расчет для каждой i-й эндо-
генной переменной нескольких уравнений приведенной фор-
мы с последовательно увеличивающимся числом аргумен-
тов — от уравнения, содержащего только экзогенные (пре-
допределенные) переменные до специфированного в мо-
дели структурного уравнения. В каждом из уравнений,
следующих за исходным (уравнением, записанным в чистом
виде), последовательно вводится одна (новая) переменная-
регрессор в соответствии с порядком следования пере-
менных в пути от входов к данной i-R эндогенной переменной-
следствию. Поэтому показателем совокупного влияния
/-й переменной на »-ю эндогенную будет коэффициент q^ в
том уравнении приведенной формы, где /-я переменная впер-
вые появляется как регрессор. Компоненты косвенного влия-
ния будут измеряться разностями между соответствующими
последовательными уравнениями проведенной формы (на-
помним, что, как было показано выше, вычисленные в та-
ких уравнениях параметры q будут оценивать влияние пе-
ременной j на i не только исключительно через промежуточ-
ную переменную k, но и одновременно через переменные,
стоящие за k на пути от j к г). Наконец, прямое влияние /
на i оценивается коэффициентом при j-й переменной в по-
следнем из построенной последовательности уравнений при-
веденной формы, т. е. в заданном структурном уравненкв.
Очевидно, что методика Алвина—Хаузера позволяет наи-
более точно рассчитать компоненты влияния в полностью
рекурсивных моделях, где между переменными-причинами
и переменными-следствиями специфицированы все возмож-
ные пути их связи, т. е. орграф модели максимально связ-
ный. Она легко реализуется на ЭВМ.

Методика, изложенная выше, основывалась на связи
структурной и приведенной форм уравнений модели. Одна-
ко, поскольку декомпозиция корреляции имеет смысл лишь
по отношению к причинной модели с заданным графом свя-
зей между переменными, для вычисления оценок компонент
совокупного влияния можно воспользоваться свойствами
графи для выработки более простого правила раскрытия
корреляции. Напомним, что каждому ориентированному
ребру (дуге) на графе соответствует коэффициент прямого
влияния pij, а неструктурируемая в модели корреляция
предопределенных переменных (обычно это выходы) обозна-
чается на графе биориентированным ребром. Напомним чи-
тателю определение простой цепи на графе- цепь—это чере-
дующаяся последовательность вершин и ребер Ху, xi + l, ....
Ki=j+n (наличие ребер х*хА+1 подразумевается), где все
вершины (а следовательно, и ребра) различны. Тогда пол-
ную декомпозицию корреляции г1} (например, аналогичную
выражению (3 31) или (3.32)) можно осуществлять при по-
мощи следующего правила; корреляция между f-й и J-й
переменными (вершинами графи) в правильно сконструи-
рованной причиной структуре равна сумме совокупного
влияния j-й переменной и непричиниых компонент, относя-
щихся ко всем цепям, по которым можно пройти от исход-
ной j-й вершивы к »-й (в цепь включаются лишь вершины,
предшествующие вершине-следствию), не допуская при
этом в одной и той же цепи повторного захода в одну и ту
же вершину и не возвращаясь к исходному элементу после
начала движения вперед; при этом в одной цепи может со-
держаться не более одного биорментированного ребра, сим-
волизирующего в причинных графих неструктурируемую
непричинную корреляцию между соответствующими вер-
шинами (обычно «входами»)1 * * * * * * В. Компоненты влияния по цепи,
не включающей биориентированное ребро, задаются выра-
жениями Pl = pnplfcpfcmpmJ, где I, k, m — промежу-
точные вершины в цепи, связывающей i и j, а р — соответ-
ствующие ребрам коэффициенты; компоненты непричинного
характера задаются выражениями типа р, (|mW = p«Gmpmj,
где rim — коэффициент корреляции, соответствующий био-
риентированиому ребру. Читатель может самостоятельно
воспользоваться этим приемом и проверить правильность
раскрытия корреляции в приведенных выше оценочных
уравнениях. Вычисление компонент влияния по отдельным
цепям и через отдельные вершины (как и в методе Алвина—
Хаузера) позволяет более тонко и детально интерпретиро-
вать внутреннюю структуру модели с учетом количествен-
ных оценок распределения влияния по различным целям,
полученным при расчетах на основе конкретных эмпири-
ческих данных. Подробнее эти моменты мы рассмотрим да-
лее на конкретном примере. Отметим, что наличие среди
компонент корреляции мультипликативных членов р X
X р х р отражает положение”о затухании влияния от-
даленной причины в причинной цепи.

Завершая рассмотрение примера (см. рис. 3.8), выпи-
шем полностью систему оценочных уравнений (без полной

1На ориентацию ребра (дуги) в данном случае внимания обра -

щать не надо, важен лишь факт наличия ребра. Частичную деком-

позицию можно осуществить, основываясь на приведенной выше

теореме (3.27). В графах причинных моделей неструктурируемые в

модели корреляции следует либо обозначать биориептировапным

ребром, либо полагать равными нулю (наличие ненулевых корреля-

ций между соответствующими переменными в реальности может
быть обуслоалено случайными прнчинамн).

В [431 изложены другие приемы декомпозиции совокупного
причинного алияния, в том числе не рассмотренных нами графов,
имеющих петли.
декомпозиции корреляционных связей переменных моде-
ли):

г1з — Рз1 4” Рзгг21‘>

ГМ ~ PitrIS + PtS (Рз1 4~ РУ8Г12)'>

Ль = Р52Л2 4“ Рк (Psi 4- РэзЛа) 4- РыЛ«>

гяз ~ Рэг 4- РзЛв»

Гм = Раг 4" Paa^ssJ	(3.42)

rts ~ Рм 4- Резгза 4- РмЛъ

Л* = Раз 4" Р«гаа>

r3S ~ Pi3 4" РбЗГЯЗ 4“ Рб*Г43>

гк — Рм 4* Ps2fw 4* Pf/34-

Система оценочных уравнений (3.42) дает возможность, в
принципе, по эмпирическим значениям коэффициентов кор-
реляции найти оценки коэффициентов влияния, не решая
системы структурных уравнений. Данное обстоятельство
делает причинные модели публикабельными — нужно лишь
сообщить читателю граф модели, матрицу коэффициентов
структурных уравнений и матрицу эмпирических корреля-
ций. Этих саедений зачастую бывает достаточно для срав-
нения различных моделей без знания всего множества эм-
пирических наблюдений, на основе которых построены оцен-
ки коэффициентов структурных уравнений.

Система уравнений (3.42) переопределена, т. е. содер-
жит больше уравнений, связывающих щ и рц, нежели не-
известных параметров рц, поскольку в ней присутствуют
два уравнения, раскрывающие корреляции переменных с ап-
риори постулированным отсутствием прямого причинного
влияния одной переменной на другую (см. соотношения для
ГМ4 и Ль)-

Возможны несколько вариантов действий исследова-
теля. Во-первых, можно исключить уравнения для гм и
rIt и, решив образовавшуюся замкнутую линейную струк-
туру, найти все исксмые ру. Затем, подставив в исклю-
ченные уравнения расчетные значения pi}, найти ги и rib.
Сравнивая их с эмпирическими значениями ru и ги, мож-
но делать выводы об эмпирической адекватности модели.
Значительные расхождения предсказанных и эмпиричес-
ких коэффициентов корреляции будут говорить о том, что
постулируемая в модели причинная структура не соответ-
ствует'эмпирически'”наблюдаемым фактам. Во-вторых, не-
известные параметры”этой системы уравнений можно оце-
нить методом наименьших квадратов [481. Однако такая
110
оценка, хотя и является несмещенной, ведет к большей вы-
борочной дисперсии, нежели оценки, полученные решением
системы выше описанным способом [57]. Неизучен еще воп-
рос о соотношении этих оценок и оценок, полученных при
решении системы структурных уравнений двухшаговым
методом наименьших квадратов.

На практике соотношения между гц и Гу, вытекающие
из факта переопределенности системы оценочных уравне-
ний, точно не выполняются никогда в силу различных при-
чин. Можно выделить наиболее типичные [61:

1)	гипотеза о причинной структуре неверна;

2)	измерения переменных произведены либо с ошибками,
либо на различных генеральных совокупностях;

3)	влияние имплицитной переменкой (и() зависит от
формы представления эндогенной переменной (количества
дискретных позиций и пр.);

4)	не выполняется условие о взаимоиезависимости имп-
лицитных факторов ut;

5)	связь между переменными нелинейна;

6)	исследователь имеет дело с выборкой, а не с генераль-
ной совокупностью.

Методы регрессионного анализа (путевой анализ не ис-
ключение) были разработаны для количественных данных.
При их использовании обычно предполагалось, что пере-
менные, измеренные ка интервальных шкалах или шкалах
отношений, являются гомоскедастичными и немультикол-
линеарными. Наряду с количественными интервальными
данными в социально-экономических исследованиях широ-
ко используются качественные данные, измеренные на по-
рядковой или номинальной шкалах. В ряде работ рассмат-
риваются модификации методов причинного анализа для
использования в исследованиях систем с качественными
данными (см [49J, [70], [71]). Перспективным следует при-
знать и путь соединения методик арифиетнзации качест-
венных данных с традиционными приемами структурного
анализа. В тех случаях, когда связи между переменными
нелинейны, используются либо приемы их линеаризации
[54], либо методы нелинейного регрессионного анализа [75],
или не регрессионные методы причинного анализа [81.

Учет временного фактора в причинных моделях. Выше
мы рассматривали модели, в которых корреляции перемен-
ных были получены путем осреднения миожестаа наблю-
дений по множеству объектов; при этом предполагалось.
что все измерения сделаны в один и тот же момент времени.
Временная асимметрия действия переменных-лричнн на
переменные-следствия явным или неявным образом учиты-
валась в моделях путем подбора соответствующих перемен-
ных. Например, в рассмотренном примере модели процесса
социальной мобильности временная асимметрия взаимосвя-
зи переменных «образование отца» (на момент начала тру-
довой деятельности сына) и «образование сына» (на этот же
момент) очевидна: событие-причина (уровень образования
отца) предшествует событию-следствию (уровень об-
разования сына). При измерении переменных в одной вре-
менной точке фиксируется статическая картина — следы
причинно-следственных отношений, в действительности про-
тяженных во времени. Наблюдая одно и то же множество
объектов в различные моменты времени, мы получаем до-
полнительную возможность не только изучить систему свя-
зей между переменными в каждый момент времени, но и
динамику перехода одних значений переменных в другие,
взаимосвязи значений равличных переменных, измеренных
в разных временных точках. Нвличие подобных данных
позволяет рассматривать модели, в большей степени соот-
ветствующие реальности, выявлять не только статичес-
кую, но и динамическую сторону структуры связей и влия-
ний переменных.

В реальных процессах причинная связь реализуется в из-
менении состояний объектов, отображающихся в измене-
ниях значений признаков, которые можно наблюдать не
тотчас же в момент взаимодействия объектов, а через неко-
торый промежуток времени. Таким образом, естественным
является предположение о наличии причинного лага —
интервала времени между двумя отличными состояниями
объекта (до взаимодействия и после него), который, вооб-
ще говоря, может быть сколь угодно малым, но отличным
от нуля1.

Изучение динамических процессов требует применения
соответствующих моделей. Простейшим случаем является

1Из анализа некоторых философских концепций причинности
следует, что причинный характер связи обнаруживается только
в момент взаимодействия и поэтому причинная связь должна быть
«мгновенной» (иными словами, действие и реакция как причина и
следствие проявляются одновременно). На наш взгляд, эта точка
Зрения в значительной степени есть результат абстракции. В про-
цессах со скоростями, далекими от скорости света, причинная связь
Реализуется в изменениях, которые проявляются не тотчас, а через
некоторый промежуток времени.
ситуация с наличием обратной связи в системе с двумя пе-
ременными (рис. 3.9). Дискретизация процесса позволяет
представить его в виде

Х1 (^1) —* Х2 (^з) ~Х1 (^з) —* Х2 ((*) ~--»

где переменные xt и xz, измеренные в различные моменты
времени, рассматриваются как новые переменные.

Подобная формализация предполагает также, что внутри
интервала Д/ внешние воздействия на переменные неизмен-
ны. Такое представление системы с обратной связью может
быть описано структурными уравнениями по тактам (/.,

*1 (<i) = «n

Х2 fe) = P1*i Х1 (Л) + Ы2«

Х1 (« = 0-Х1 (/1) + Х2 (*з) + Чз,

xz (£а) == О-Хц (/х) + 0-Х2 (/г)+р14х xi (^з) + ил и Т- Д-

(3.43)

Рис. 3.9

Для проверки адекватности модели используются соот-
ношения р‘ц = рц~1 - ptj~s = ... — р‘/~‘ т 0. Для иден-
тификации этой рекурсивной системы необходимо отсутст-
вие автокорреляции между и, в
различные моменты времени.
Автокорреляция уменьшается
при увеличении временного ин-
тервала между замерами значе-
ний переменных.

Дискретизация процесса с
обратной связью, подобная при-
веденной выше, предполагает,

что между действием причины и проявлением следствия
наличествует некоторый временной интервал (лаг), а изме-
рения производятся в моменты проявления в следствии на-
ибольшего эффекта действия причины.

Если прямая и обратная связи реализуются мгновенно,
то они не различимы в эмпирических данных. В действи-
тельности мгновенной обратной связи не существует, что
следует из конечности причинного воздействия и наличия
временного лага. Однако в исследованиях реальных про-
цессов с нензаестной периодичностью (ритмикой) установ-
ление длительности причинного лага составляет сложную
и не всегда реализуемую задачу. Поэтому возможна ситуа-
ция, когда группировка данных во времени приводит к то-
му, что действительный причинный лаг окажется меньше
принятой единицы отсчета, тогда прямая и обратная связи
сумеют реализоваться в течение одного интервала времени
и должны будут рассматриваться как одновременные. Это
обстоятельство отражается петлей (контуром) в графе свя-
зей модели. Возможна также ситуация, когда процессы из-
менения переменных имеют лагн различной длительности.
Это различие также должно быть учтено при подготовке и
обработке данных, так как для устранения коктура доста-
точно, чтобы хотя бы одна из саязей (прямая или обратная)
имела лаг, превышающий длину временного интервала,
использованного при группировке данных. Для контроля
за правильностью построенного графа причинной модели
целесообразна проверка его на наличие контуров (петель,
циклов).

Модели с ненаблюдаемыми переменными. В причинном
анализе особый интерес представляют модели, содержащие
переменные, непосредственное измерение которых невоз-
можно, а эмпирические оценки влияния таних переменных
на наблюдаемые переменные могут быть найдены расчетным
путем1.

Возможность получения эмпирической оценки влияния
ненаблюдаемых переменных на наблюдаемые оказывается
полезной, по крайней мере, в нескольних случаях. Ненаблю-
даемая переменная может трактоваться как отображение
сложного теоретического понятия, для которого либо нет
приемлемых эмпирических референтов, либо исследова-
тель вынужден рассматривать его как агрегат—совокуп-
ность ряда непосредственно замеряемых переменных, рас-
крывающих его отдельные стороны. Целесообразно исполь-
зование ненаблюдаемых переменных при изучении ошибок
измерения и при анализе расхождения между эмпирическим
и рассчитанным по модели коэффициентами корреляции.
Данная постановка задачи связана с двоякой трактовкой ха-
рактера свободных членов в структурных уравнениях.
Во-первых, их наличие связывают с неточным выполне-
нием балансового соотношения в уравнении, когда они вво-
дятся в дополнение к аргументам и символизируют все те
переменные, которые не включены в уравнение, но действие
которых на Xi может сказаться на изучаемом процессе. В

*Из советских исследователей такие модели одним иэ первых
рассматривал В. Г Андреенков [21. См. также [81, [53[, |761-
этом случае и, часто называют возмущениями, остатками.
Во-вторых, «1 трактуется как выражение ошибки измерения
переменной х{. При этом предполагается, что значения на-
блюдаемой переменной Xt есть отягощенные ошибками из-
мерения значений некоторой (ненаблюдаемой) переменной
ц. т. е. *г — *! + “ь где ’] — истинное значение перемен-

Рис. 3.10

t t	I	t t	f

Ч Чг и* Ufa Щ

Рис. 3.11

Ч «I V* Щ., Ifa Ut

Рис. 3.12

ной, Ut —ошибка измерения; обычно предполагается, что
ошибки ut не коррелируют с переменными т]4 и между собой.

В соответствии со сказанным выше можно выделить не-
сколько вариантов применения ненаблюдаемых переменных
в качестве элементов причинных моделей. Первый простей-
ший тип, изображенный на рис. 3.10, соответствует трак-
товке ненаблюдаемой перемен-
ной Ft как общей латентной
причины эмпирически наблю-
даемой системы индикаторов.
Второй тип (рис. 3.11) пред-
ставл яет собой логическое раз-
витие предыдущей модели, при
котором F\ рассматривается
уже и как элемент причинной
цени — частичная причина
другой ненаблюдаемой пере-
менной F2, имеющей собст-

венную систему эмпирических индикаторов. Переменная
Fs, подобно наблюдаемым переменным, рассматривается в
этой модели совместно с в2 — символом влияния на F2
множества не включенных в модель переменных. На рис.
3.12 показана модель, в которой фиктор Ft также рас-
сматривается как результат действия комплекса 6Ь что
позволяет оценить полноту измерения ненаблюдаемой пе-
ременной Fi посредством системы индикаторов хи .... xft.
Третий тип (рис. 3.13) отличается от предыдущих рас-
смотрением Fx в качестве внутрисистемного (эндогенного)
блока. Переменная Рл в этой схеме сможет трактоваться,
во-первых, как черный ящик — символ сложного теорети-
ческого конструкта, для которого нет приемлемых эмпири-

Рис. 3.13

Рис. а.14

чески фиксируемых индикаторов и который является при-
чиной по отношению к ряду непосредственно замеряемых
характеристик системы и одновременно следствием по от-
ношению к одной или ряду входных наблюдаемых перемен-
ных. Во-вторых, Fj может рассматриваться и как выход
системы, косвенное измерение характеристик которого про-
изводится через посредство эмпирических индикаторов

*k-t Чг Чм I'm

Рис. 3.16

Xfc+i, Входные переменные-причины для Ft могут
априори считаться взаимосвязанными (рис. 3.14).

Четвертый, пятый и шестой типы (рис. 3.15, 3.16, 3.17,
3.18) являются синтезом предыдущих типов. Обратим вни-
мание на модели, в которых х — переменные-индикаторы
F2 одновременно являются непосредственными следстви-
ями F, (рис. 3.17 и 3.18). Это довольно распространенная в
социально-экономических исследованиях ситуация, когда
одна и та же характеристика является комплексным след-
станем сочетающегося воздействия нескольких взаимодей-
ствующих латентных причин, разделить алияние которых
сложно. Очевидно, что из комбинаций рассмотренных вы-
ше типов могут быть образованы различные причинные
структуры.

Рассмотрим теперь коротко математические модели неко-
торых из вышеприведенных типов и вопросы их идентифи-
кации. Для простоты изложения, как и в предыдущих раз-

делах, будем считать, что все
переменные (как наблюдаемые

Рис 317

W

И- -й Й @

I t f f

ue.3

xt, так и ненаблюдаемые Fj) стандартизированы и имеют
нулевое среднее и единичную дисперсию, a ut не коррели-
рованы с Fj, Xj и между собой.

Для первого типа соответствующие структурные урав-
нения будут иметь вид (для удобства положим k = 3):

*2=/£fZi+<«	(3.44)

хз = Рзр1

где p'F, — неизвестные коэффициенты. Следуя изложен-
ным выше правилам, можно записать:

Г12— P\F,P1F, 

Г13 = plF, Рзр,-

r*p-2F,p'3F;.

-W+vfo; ’’ }

1==(₽зл)2+¥(“з)-

Здесь V (uj = pi. — дисперсия возмущения щ.
В данном случае система (3.45) может быть легко раз-
решена относительно р*р после подстановки выборочных
оценок rit. Для большей общности последующего изложе-
ния укажем, что в матричной записи уравнения (3.44) име-
ют вид:

X — PF + U,	(3.46)

а соотношения (3.45) могут быть записаны как

R = РФРГ 4- У4,	(3.47)

где

[1	г12 г13 I

гг1 1 Г23 I—матрица корреляций;

Г31 r32 I J

Ф = [ 1) — корреляционная матрица фактора Fp,

IV(m) 0	0 1

0 V(«2) 0 I—диагональная матрица;

0 0 V(u3)J

V2

Рис. 3 19

Р — вектор-столбец коэффициентов;
Р< — транспонированный вектор Р.

Таким образом, видим, что уравнения (3.44)—(3.47)
есть не что иное, как выражения основной модели фиктор-
ного анализа, т. е. и для по-
лучения оценок коэффициен-
тов piF в данном случае мо-
гут быть использованы мето-
ды, разработанные в фиктор-
ном анализе.

Частный случай модели
третьего типа показан на
рис. 3.19. В этом случае Гх—
= Pf,i*i+6i, где©! не корре-
лирует ни с ц2, ни с и3. Урав-
нения (3.45) будут справедли-

вы, и в этом случае мы можем аналогично оценить неизвест-
ные параметры. Заметим, однако, что данная модель являет-
ся лишь частным случаем моделей третьего типа, в общем
же случае (см. рис. 3.13), когда на Ft действуют две или бо-
лее переменные xt (например, х, А “*-*2), первое уравне-
ние системы (3.45) не выполняется, и поэтому р*Р и rx+i не

I
Могут быть идентифицированы. В случае, показанном на
рис. 3.14, коэффициенты рр,х- могут быть идентифицирова-
ны, поскольку из уравнений

k

rFlK. + 2 гж( х} pFl Xj i =1 > - >

pX[P, =rXlF, =

(3.48)

несложно записать выражения для pFlX. в явной форме. Од-
нако для получения оценок pF- в этом случае нужно знать
корреляции между входами xt (i = 1,.... k) и 7\. Система
структурных уравнений в этом случае переопределена. Вос-
пользовавшись методом фикторного анализа для причинных
моделей с одним общим ненаблюдаемым фактором, можно
оценить искомые корреляции как компоненты матрицы
Ф и затем получить оценки коэффициентов влияния (см.
[761, где разобраны вопросы оценки и некоторых других
моделей).

Как показано в ряде работ [531, [76], в целом задача
оценки параметров модели с ненаблюдаемыми переменны-
ми аналогична задаче факторного анализа с коррелирую-
щими факторами и может быть с успехом решена методом
максимального правдоподобия и другими приемами.

В заключение укажем, что в использовании ненаблю-
даемых переменных в качестве элементов структурных мо-
делей содержится важное интерпретационное преимущест-
во концепции причинных моделей по сравнению с традици-
онным подходом к моделированию с помощью систем одно-
временных уравнений множественной регрессии. С чисто
математико-статистической точки зрения между путевым
анализом, теорией рекурсивных структурных уравнений
и множественным регрессионным анализом нет различий.
Отличия лежат в методологии моделирования. Не случай-
но многие исследователи подчеркивали, что следует разли-
чать статистическую сторону причинного анализа, методо-
логию и методику его применения в качестве средства соз-
дания моделей реальных объектов1.

’Формальная схема этой концепции на языке теории графов
хорошо изложена в работе [561.
ЗА ПРОБЛЕМЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
КОЭФФИЦИЕНТОВ. СРАВНЕНИЯ
И СЕЛЕКЦИИ ПРИЧИННЫХ МОДЕЛЕЙ

Обсуждаемую в настоящей работе концепцию
причинных моделей следует рассматривать прежде всего
как концепцию построения формализованных объясняющих
схем. В этой концепции привлекательно единство качест-
венного и количественного аспектов в анализе исследуе-
мого явления. Синтез гипотетического графи причинно-
следственных отношений представляет собой начальный,
преимущественно качественный этап анализа рассматри-
ваемой многофакторной системы, предполагающий предва-
рительную формулировку основных понятий, выделение их
эмпирических индикаторов, постулирование гипотез о
взаимоотношениях между переменными и т. д. Все это —
итог априорного анализа проблемы на содержательном
уровне. Для более детального анализа, т. е. для установле-
ния степени адекватности выдвинутой совокупности гипо-
тез реальной структуре взаимосвязей формулируется ма-
тематическая модель, получаются количественные оценки
ее параметров, тем самым в известной степени верифи-
цируются выдвинутые гипотезы.

Встает задача селекции гипотез. Изаестен формальный
прием ее решения, основанный на рассмотренных выше
идеях Саймона о ложной корреляции и причинной упоря-
доченности, иногда называемый процедурой Саймона—
Блейлока (см. (541). Основная идея процедуры в том, что
модель, которая не воспроизводит эмпирических корреля-
ций, должна быть отвергнута.

Рассмотрим, при каких условиях модель не будет вос-
производить эмпирические корреляции. Для этого восполь-
зуемся примером, позаимствованным в [54]. Предположим,
что истинкая модель изображена на рис. 3.20. Корреля-
ционная матрица этой модели приведена в табл. 3.5. Пусть
выдвинутой гипотезе соответствует модель, граф которой
изображен на рис. 3.21. На основании эмпирических кор-
реляций (табл. 3.5) для этой модели можно рассчитать зна-
чения коэффициентов влияния: р21 = 0,5 и рэз = 0,75.

Пользуясь этими значениями коэффициентов, рекон-
струируем корреляционную матрицу (табл. 3.6). Видим, что
эмпирически наблюдаемые и расчетные значения коэффици
ента корреляции г13 сильно разнятся. По Саймону—Блей-
локу это означает необходимость отклонения предложен-
ной гипотезы и модели как некой схемы реальности.

Подобное расхождение может возникнуть только в слу-
чаях, когда гипотетическая модель представляет собой не-
полную рекурсивную систему регрессионных уравнений,

Таблица 3.5	__

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА	Lid's, р у

т. е. когда в модели отсутствуют отношения, которые могут,
возможно, существовать в действительности. Граф такой
модели немаксимально связный.

Если же в качестве модели-гнпотезы используется пол-
ная замкнутая рекурсивная система, то всегда можно вос-
произвести корреляции, даже если модель абсолютно невер-

Таблица 3.6

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА

Рис. 321

ная. Предположим, что взамен гипотезы, граф которой был
изображен на рис. 3.21, предложена модель, изображен-
ная на рис. 3.22.

Опреденяя значения коэффициентов, получим следую-
щие результаты: р1а = 0,13, р1Э = 0,84 и р2Э = 0,75.

Воссозданная на базе значения коэффициентов матрица
корреляций приведена в табл. 3.7. Эта матрица идентична
матрице эмпирических корреляций за исключением неболь-
той погрешности вычислений, хотя модель не соответству-
ет истине.

Таким образом, в любом случае полную рекурсивную мо-
дель нельзя отвергнуть, используя процедуру Саймона—
Блейлока. Где же целесообразно применение этого приема?

Во-первых, когда известен причинный приоритет среди
переменных, но имеются две гипотезы, постулирующие раз-
личные причинные цепи, связывающие переменные. Ис-
пользуя процедуру Саймона—Блейлока, можно реконст-

Та блица 37

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА

		2	3
	1	0,5	0,74
2		1	0.75
3			1

Рис. 322

руировать матрицу корреляций и отвергнуть ту систему
причинных цепей, где рассогласование с эмпирическими
корреляциями слишком большое.

Во-вторых, когда неизвестен причинный приоритет сре-
да переменных. Допустим, что для набора переменных име-
ются две гипотезы, каждая по-своему устанавливает упо-
рядоченность переменных, постулируя отсутствие тех или
иных возможных отношений. Описвнный выше подход
может быть применен как для сравнения этих гипотез,
так и для отбрасывания их обеих. Заметим, что в данной
процедуре сравнения одна модель-гипотеза может оказать-
ся лучше другой, но никогда — правильней. Более того,
если одна из гипотез близка к тому, чтобы описываться пол-
ной рекурсивной системой, то обычно она лучше воспроиз-
водит корреляционную матрицу и, естественно, будет вы-
бираться как более удачная, даже если она весьма далека
от истины. Последнее замечание связано также с искуше-
нием исправлять неадекватные модели введением дополни-
тельных связей, безотносительно к тому, будет ли вновь
созданная модель теоретически более обоснованной.

Известной альтернативой введению дополнительных свя-
зей является вычеркивание связей в чрезмерно связном
122
графе с целью изучения поведения модели системы и от-
дельных ее элементов в ноных условиях. Устойчивость
базисной структуры может означать верность гипотезы.
Решение о вычеркивании тон или иной связи в модели мо-
жет быть принято на основании содержательных соображе-
ний, критерия статистической значимости коэффициента
влияния и, наконец, произаольно установленного порого-
вого значения коэффициента причинного влияния.

Итак, процедура Саймона—Блейлока является формаль-
ным приемом, создающим базис для отклонения гипотез,
но никоим образом не индуктивной процедурой для созда-
ния новых теорий. Этот прием зависит, очевидно, также от
точности и надежности измерений, математической коррек-
тности модели.

Надежность и точность оценивания структурных коэф-
фициентов требуют, чтобы оценки корреляций переменных
модели имели незначительную ошибку, что предполагает
использование выборок большого объема. Неточность из-
мерения корреляционных связей по выборочным данным
может существенно исказить картину прямых и косвенных
влияний переменных, полученную в результате расчетов
оценок параметров, особенно в тех случаях, когда наблю-
дается высокая степень коллинеарности между переменны-
ми-причинами (удачный пример, доказывающий этот тезис
см. в [43, с. 164]). Проблема мульти коллинеарности, о сущ-
ности которой мы говорили во второй главе, существует,
когда корреляция между переменными—причинами гораз-
до выше, чем между зависимой и определяющими перемен-
ными. Поэтому на этапе калибровки причинной модели в
случае сильной коллинеарности экзогенных (или предоп-
ределенных) переменных следует рассмотреть вопрос о ви-
доизменении модели с целью исключения из нее одной или
нескольких из таких переменных.

На точность оценок структурных коэффициентов влияет
и малая абсолютная величина коэффициента парной кор-
реляции, что особенно проявляется при оценке влияний
отдаленных (по причинной цели) причин даже при относи-
тельно небольших ошибках выборочных оценок коэффи-
циентов корреляции. Д. Хейс называет такие экзогенные
переменные инструментальными и связывает их использо-
вание в моделях с исследованием возможностей управления
(прогнозирования) изменениями выходных переменных по-
средством изменения значений входных (инструменталь-
ных) переменных [431. Такой подход может оказаться чрез-
вычайно продуктивным на практике1. Проблема Слабого
влияния отдаленной переменной существует всегда, когда
корреляция этой переменной со своим следствием близка
к нулю; выборочные ошибки оценок таких связей увеличи-
ваются в процессе расчетов оценок коэффициентов влияния,
которые становятся ненадежными. Последнее обстоятель-
ство осложняет интерпретацию нулевых коэффициентов.

Нулевой коэффициент прямого влияния означает, что
изменения в значениях переменной-причины не влекут не-
посредственно изменений переменной-следствия. Иными
словами, первая переменная не является непосредственной
причиной второй, и гипотеза, постулировавшая наличие та-
кой прямой связи, неверна. Однако наличие ошибок изме-
рений и выборочных оценок коэффициентов корреляции,
малой тесноты связей переменных может породить некоторые
сомнения в правильности такого вывода. Для оценки веро-
ятности того, что оцениваемый коэффициент действительно
равен нулю, можно использовать обычную технику провер-
ки статистических гипотез. Следует помнить при этом, что
на решение вопроса об отклонении или принятии гипотезы
при статистических испытаниях большое влияние оказы-
вает объем выборочных данных, использованных в расчетах.
В случае малых выборок существует опасность признания
незначимой связи, в действительности имеющей существен-
ное значение, а в случае больших выборок проявляется, тен-
денция признания значимыми связей, порожденных случай-
ными обстоятельствами сбора данных и измерения перемен-
ных. Поэтому результаты статистических испытаний долж-
ны рассматриваться при решении вопроса о признании того
или иного влияния не значимым, нулевым, лишь как одни
из аргументов, кар яду с оценкой сравнительной величины
проверяемого влияния в сопоставлении с другими коэффи-

’Значнтельиый интерес в этой связи представляет рассмотре-
ние модели как отображения системы причинной детерминации
статистического разнообразия переменных-следствий статисти-
ческим разнообразием переменных-причин (выше мы отмечали, что
регрессионные модели отображают именно этот аспект причинной
связи) [34]. Разнообразие выходных переменных прямо зависит от
разнообразия входов и от разнообразия u-переменных (имплицитных
факторов, влияющих на следствие). Ситуация усложняется в тех
случаях, когда входы положительно или отрицательно кор-
релированы между собой, и когда структурные коэффициенты влия-
ния в причинных цепях отрицательны. Конкретный анализ возмож-
ного поведения моделируемой системы в терминах разнообразия
с учетом знаков коэффициентов имеет несомненную эвристическую
ценность для управления и прогнозирования [431.
цивнТами влияния, а также теоретическим обоснованием
необходимости исключения или сохранения отношений
прямого влияния между причиной и следствием. Исключе-
ние из модели коэффициентов равных или близких к нулю
дает возможность упростить систему гипотез о механизме
моделируемого явления. Коэффициенты новой модели вновь
оцениваются с учетом введенных ограничений для получе-
ния улучшенных оценок параметров.

Оценки стандартизованных коэффициентов модели, вы-
численные по эмпирическим двнным, могут считаться точ-
ными только в тех случаях, когда надежно и достоверно
измерены переменные. Оцен-
ки параметров по неточным из-
мерениям переменных обычно
смещены и устранить это сме-
щение простым увеличением
объема выборки невозможно.
Учет влияния возможных оши-
бок измерения при получении
оценок структурных параметров, как правило, требу-
ет видоизменения модели; это, по существу, возврат к этапу
идентификации. Возможные пути раскрытия этой проблемы
на практике были перечислены нами в §3.3 (см. также [22]).

Прежде чем отвергнуть модель на основании^различий
в величинах наблюдаемого и расчетного коэффициентов кор-
реляции следует проверить выполнение статистических пред-
положений, положенных в основу математической модели. В
первую очередь это насается допущения о некоррелирован-
ности имплицитных факторов

Рассмотрим логику действий исследователя на простей-
шем примере (см. рис. 3.21). Для этой модели справедливы
соотношения:

или

Г31 — РззРм.

Г31 ~ гзаг21-

(3.49)

(3.50)

Если выборочный коэффициент rsl и восстановленный по
(3.50) с учетом (3.49) коэффициент г31 существенно отлича-
ются друг от друга, то положение о некоррелированности

(i = 1, 2, 3) может быть подвергнуто проверке. Мы мо-
жем рассмотреть, например, модель, в которой изучается
предположение, что иа коррелирует как с и2, так и с Xj
(рис. 3.23).
Заметим, что система структурных уравнений для этой
модели будет та же, что и для предыдущей модели. Однако,
пользуясь в данном случае обычным методом наименьших
каадратов, мы не сможем получить несмещенные оценки
коэффициентов влияния, поскольку нарушено допущение о
некоррелированности ир.

cov (u3, Xj) #= 0.	(3.51)

И тем не менее оценки коэффициентов получить все же
можно, если предположить, что и, не коррелирована с
(предыдущим эксплицитным элементом цепи), т. е. что в
нашем случае М (хп uj = 0 и М (х2, и3) — 0. Тогда

Г18 = РЗ2Р21 + Pau/liu	(3.52)

и аналогично

г2U, ~ Pzi r I и, + Р2«, ги,и,= 0-	(3.53)

Как и для предыдущей модели, будем считать, что спра-
ведливы соотношения:

Pzi —ftb Рбв—гза»	(3.54), (3.55)

f~i2 ~ 1 = pii + p2u,l *зэ — I — Рз24" Рзи,г (3-56), (3.57)

Из системы (3.52)—(3.57) легко найти все коэффициенты.

Другой путь раскрытия несоответствия между наблю-
даемыми и расчетными коэффициентами корреляции осно-
ван на представлениях о наблюдаемых переменных как ин-
дикаторах некоторых ненаблюдаемых факторов и связан-
ных с этим обстоятельством ошибках измерения. Например,
можно предположить, что ха и — индикаторы некоторо-
го ненаблюдаемого фактора F (как бы выделить его в явном
виде из состава Граф такой схемы показан на рис. 3.24.
Для получения оценок коэффициентов влияния можно ли-
бо применить методы, описанные в §3.3, либо рассмотреть
последовательно цепи xt F х3 и хг F -► ха, для ко-
торых будут справедливы выражения:

rsi = рзг рп", Гц = Pzf Pfi", (3.58), (3.59)

r»i = P2FP3F	(3.60)

и условия

1 = P^F + Р3ид, 1 = P?F + p2ut",	(3.61), (3.62)

1=рЬ+Р?и,-	(3.63)
Сопоставление значения rst, найденное в результате ре-
шения этой системы, с эмпирически наблюдаемым коэффи-
циентом г31 позволит принять или отвергнуть модель и тем
самым явится еще одним аргументом «за» или «против» ис-
ходной гипотезы о структуре причинных отношений пере-
менных.

Проверкой правильности системы гипотез и корректно-
сти модели должно служить также ее испытание на «конт-
рольной статистике», т. е на другом массиве эмпирических
данных. Здесь мы сталкиваемся уже с новой проблемой —
сравнимостью причинных мо-

делей, построенных на данных
выборок из различных совокуп-
ностей^. Прежде всего следует
ответить на вопрос о крите-
риях сходства двух или более
моделей. Ответ на этот вопрос
позволит нам перейти к обсуж-

-И

Рис. 3.21

дению возможных процедур
сравнения и поиска причин
различий между моделями. По нашему мнению, первым,
наиболее важным критерием сходства является условие
изоморфности графов моделей (точнее, графов числовых
структур) после проведения расчетов коэффициентов урав-
нений, исключения несущественных на Заданном уровне
значимости коэффициентов и соответствующих им дуг гра-
фа. Этот критерий — условие подобия логического карка-
са базисной причинной структуры. Знаки и абсолютные ве-
личины значений коэффициентов, изоморфных одним и тем
же дугам в графих сопоставляемых числовых структур, не
учитываются и, вообще говоря, могут быть различны —
нам важны лишь статистически достоверные факты наличия
дуги — символа непосредственного влияния одной пере-
менной на другую, существующего в данных различных вы-
борок при заданной системе гипотез. Вторым критерием
является отсутствие различий знаков у одних и тех же коэф-
фициентов. Третьим — отсутствие статистически сущест-
венных отличий между показателями интенсивности при-
чинных влияний в сопоставляемых моделях—числовых

1Укажем. что эта проблема нова и мало изучена,! хотя и пред-
ставляет значительный теоретический и практический интерес в
связи с активно развивающимися сравнительными исследованиями
(см. [721, [731).
структурах при изоморфности их графов. Второй критерии
есть условие подобия направленности изменений перемен-
ных в каузальных структурах, третий — условие подобия
относительной интенсивности влияний в изоморфных при-
чинных цепях.

Если требование тождества знаков тривиально и не
нуждается в дополнительных комментариях, то условие
сходства интенсивностей влияний требует уточнения в за-
висимости от вида представления исходных данных. Дело
в том, что коэффициенты структурных уравнений, опреде-
ленные для исходных данных в нестандартизованной форме,
обладают свойствами, отличными от коэффициентов, рас-
считанных по стандартизованным данным. Напомним, что
первые — это обычные регрессионные коэффициенты, а
вторые — показатели прямого влияния (путевые коэффи-
циенты) или стандартизованные частные коэффициенты рег-
рессии (р — коэффициенты).

Интерпретация значений обычных регрессионных коэф-
фициентов структурных переменных при сравнениях моде-
лей, рассчитанных по разным выборкам, требует учета еди-
ниц измерения у одних и тех же переменных, которые, вооб-
ще говоря, могут быть различными. Эти различия могут
привести к различиям в абсолютной величине коэффициен-
тов, не отражающим их действительного сшггношения. Ра-
зумеется, что должны быть соблюдены условия надежности
измерения соответствующих переменных в различных вы-
борках, учтены случайные составляющие ошибок измерения
и т. д. Одиако, даже если все эти условия соблюдены, в
случае нендентичности единиц измерения различия между
абсолютными величинами коэффициентов могут быть отне-
сены на счет различий в единицах измерения, и тем самым
сходство или отличие каузальных структур одних и тех же
моделей для различных выборок не будет выявлено полно-
стью. Для разрешения проблемы различий в единицах из-
мерения в межвыборочных сравнениях при использовании
регрессионных коэффициентов необходимо сопоставить от-
носительные (а не абсолютные) показатели интенсивности
влияния в причинных цепях.

Р. О’Брайен предлагает применять для этой цели отно-
шение показателя косвенного влияния xs на Xi к показате-
лю прямого влияния X/ на Xj [501. Поясним сказанное на
условном примере. Для модели, граф котсрой изображен на
рис. 3.25, по выборкам А и В были рассчитаны коэффици-
енты, показанные в табл. 3.8.
Косвенное влияние xt на х4 через ха будет определяться
соотношением Тогда отношение влияний для выбор-
ки А будет равно: °’6^^273 = 0,289, для выборки В соот-
0 392 2 553

ветственно: ‘	— = 0,289. Видим, что, несмотря

на равличия в значениях коэффициентов bjf* и мы
получим сходные значения отношений, что свидетельствует

Таблица 3.8

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ МОДЕЛИ <РИС 3.25)		
	Выборка	
ьи		в
bsi	0,688	0,392
6<s	0,273	2,553
	0.650	3,467
	1,320	0,121
^42	0.373	0,513

Рис. 3.25



о том, что и причинные отношения между анализируемыми
переменными xt и xt являются сходными, не зависящими от
выборочной совокупности. Таким образом, данная частная
гипотеза выдержала проверку на контрольной статистике.
Следует проявлять осмотрительность при интерпретации
сопоставляемых отношений влияния , рассчитанных
для разных совокупностей, когда размеры выборок малы.
Во-первых, это связано, с тем, что каждый коэффициент яв-
ляется выборочной оценкой и обладает своей выборочной
ошибкой; соответственно имеется ошибка и у отношения
влияния, основанного на трех или более коэффициентах
bij. Во-вторых, в случае мультиколлинеарности переменных
малые различия внутри выборок могут привести к большим
различиям среди частных коэффициентов регрессии. Эти
различия будут действовать на результат параллельно с
ошибками выборки. В-третьих, оценки надежности коэффи-
циентов, применяемые для их корректировки, также зави-
сят от ошибок выборки. В случае больших выборок степень

5 Зак. 10IQ

123
воздействия всех трех названных факторов может быть зна-
чительно снижена.

Рассмотренный выше прием может быть с успехом при-
менен и при сравнении моделей, в уравнениях которых ис-
пользованы коэффициенты влияния (стандартизованные
регрессионные коэффициенты)1 рц. При использовании в
межвыборочных модельных сравнениях этих коэффициен-
тов также не следует забывать об их зависимости от единиц
измерения. Напомним, что в данном случае все перемен-
ные имеют нулевое среднее и единичную дисперсию. Стан-
дартизация переменных позволяет, сопоставляя коэффици-
енты Pij внутри одной числовой структуры, сравнивать
влияния на t-ю зависимую переменную различных j-x неза-
висимых переменных. При этом все переменные в исходных
«сырых» данных могут быть измерены на совершенно отлич-
ных шкалах. Например, мы можем сравнивать влияния на
достигнутый социальный статус таких различных незави-
симых переменных как образование, измеренное в числе
полных лет обучения, и доход, измеренный в количестве
денежных единиц, приходящихся на одного члена семьи.
Возможность осуществления подобных сравнений перемен-
ных между собой в рамках одной модели-структуры явля-
ется важным интерпретационным преимуществом стандар-
тизованных регрессионных коэффициентов рц по сравнению
с Ьц, лишенными этого свойства.

Однако, когда сопоставляются модели, рассчитанные по
данным различных выборок, сравнение интенсивностей
влияний различных переменных между моделями с помощью
коэффициентов влияния несколько осложняется. Эго каса-
ется, прежде всего, интерпретации рц (подобно обычному
коэффициенту регрессии) как показателя величины изме-
нения зависимой переменной на единицу изменения неза-
висимой переменной, разумеется, с учетом его знака, опре-
деляющего направление соответствующих изменений (при-
рост Xj — увеличение или уменьшение х,). Поскольку эти
коэффициенты вычисляются при условии стандартизации
шкал измерения переменных внутри каждой выборочной
совокупности по отдельности, а величина единицы измере-
ния переменной в одной совокупности в общем случае мо-
жет быть не равна величине ее единицы измерения в другой

'Это легко показать, используя функциональную взаимосвязь
коэффициентов регрессии в натуральном масштабе Ьц и стандарти-
зованных регрессионных коэффициентов pjj.
совокупности, то в межвыборочных сравнениях коэффици-
ентов влияния различных независимых переменных на од-
ну и ту же зависимую переменную нельзя использовать их
интерпретацию как показателей влияния изменения одной
переменной на единицу изменения другой1.

Вновь обратимся к нашему примеру — модели меж по-
коленной динамики социального положения, отдельные
элементы построения которой были рассмотрены в преды-
дущих параграфах (см. систему уравнений (3.42) и граф на
рис. 3.8). В табл. 3.9 показаны матрицы корреляций пере-
менных, рассчитанные по выборочным данным различных
стран, а в табл. 3.10—результаты расчетов коэффициен-
тов влияния ptj [361. Соответствующие итоговые графы
изображены на рис. 3.26: а) модель для ЧССР; б) модель
для США; в) модель для Австралии.

С формальной точки зрения процессы социальных пере-
мещений, т. е. переходов индивида из одной социальной
группы в другую, могут быть описаны сходным образом как
для капиталистических, так и для социалистических стран.
Однако характер и структура взаимодействий в системе со-
циальных переменных, описывающих этот процесс, в этих
странах различны и данное обстоятельство должно отра-
зиться в значениях соответствующих параметров моделей.
Системность структурного моделирования позволяет це-
лостно описать процесс и выделить его характерные осо-
бенности. Обратившись к рассмотрению взаимосвязи со-
циального положения респондента и социального положе-
ния его отца в рамках структурной модели процесс!, а не

’Даже для одних и тех же по наименованию независимых пе-
ременных из разных выборок, вообще говоря, может отсутствовать
единая (общая) единица измерения, по отношению к которой осу-
ществлена их стандартизация. Л. Хотчкисс в качестве возможного
выхода из сложившейся ситуации предлагает использовать, изобре-

тенные нм, так называемые стандартизовапные путевые регресси-
онные коэффициенты, которые должны сочетать свойства обычных
стандартизованных коэффициентов влияния и регрессионных ко-
эффициентов [551- Метод Хотчкисса основан на приведении сопоста-
вляемых переменных к единой базе стандартизации с использова-
нием сведений о средних, дисперсиях, обычных коэффициентах
регрессии и стандартизованных коэффициентах регрессии Приме-
нение этого приема в сравнениях предполагает известность всех наз-
ванных выше характеристик модели и данных, либо дополнительно-
го вычисления стандартизованных путевых регрессионных коэф-
фициентов по методу Хотчкисса в каждой из сопоставляемых струк-
тур.
матрицы корреляции модели межпоколенной Динамики $ СОЦИАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ 160]. 167]								
Переменная		в которой проведено ис- следование	А	«	х.	х.	х.	
X, Образование отца (к началу трудовой дея- тельности респонден- та)		ЧССР США Австралия	1,00  1,00  1,00	0,32 0,52 0,29	0,50 0,45  0,47	0,32  0,33  0,24	0,34 0,32 0,23	
„ *s  Социальное положе- ние отца (к началу трудовой деятельно- сти респондента)		ЧССР США Австралия		1,00  1,00  1,00	0,18  0,44  0,18	0,22 0,42 0,19	0,18 0,40 0,29	
*3 Образование респон- дента (к началу его трудовой деятельно-		ЧССР США Австралия			1,00  1,00  1,00	0,58  0,54  0,43	0,65 0,60 0,43	
*4  Социальное положе- ние респондента вна- чале его трудовой деятельности		ЧССР  США Австралия				1,00  1,00  1,00	ООО  fescsc	
X»  Социальное положе- ние респондента в момент опроса  КОЭФФИЦИЕНТЫ В  МЕЖПОКОЛЕННОЙ ДИ		ЧССР I  США  Австралия I  лияния ри для ст  МАМИКИ СОЦИАЛЫ'		РУКТУ  ОГО П	Таблиц  НЫХ МОДЕЛГ СЛОЖЕНИЯ 16		1,00  1,00  1,00  3.10 и  0L 167]	
	Страна, в которой			Влияющая переменная				
переменная	проведено исследо- вание		1	х.	.. 1	1		
	ЧССР США Австралия		0,49 0,31 0,45	0,03 0,28 0,05			0,87 0,86 0,88	
xt	ЧССР США Австралия			0,12  0,22  0,12	0,56  0,44  0,41		0,81 0,82 0,90	
132	ЧССР США Австралия			0,03 0,12 0,19	0,5!  0,39 0,29	0,24 0.28 0,24	0,73 0,75 0,85	
изолированно от других связей и факторов, мы обнаружь
ваем разительные отлячня между двумя социальными сис-
темами: прямое влияние социального положения отца на
социальное положение сына на момент опроса, оцениваемое
коэффициентом рг2, равно 0,03 для ЧССР, тогда как для
США — 0,12, Австралии—0,19. Таким образом, можно
сказать, что в ЧССР социальное положение отца в системе
остальных причин-переменных прямого влияния на соци-

Рис. 3.26

альное будущее детей не оказывает, детерминируя его лишь
косвенным образом, тогда как в капиталистических стра-
нах оно играет важную роль. Читатель может самостоятель-
но произвести расчеты поданным табл. 3.10 н по описанной
выше методике О’Брайена.

Следует вновь указать, что при любом сравнении интер-
претация результатов в значительной степени зависит от
теоретической позиции исследователей. Как отмечал
В. И. Ленин: «Схемы сами по себе ничего доказывать не мо-
гут; они могут только иллюстрировать процесс, если его
отдельные элементы выяснены теоретически»1.

1Лении В. И. Поли. собр. соч., т. 4, с. 52.
3.5.	ПРИМЕР АНАЛИЗА ПРИЧИННОЙ СТРУКТУРЫ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СО МНОГИМИ
ОБЪЯСНЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Методику анализа причинной структуры модели
со сложной сетью взаимоотношений переменных рассмотрим
на конкретном примере модели формирования себестоимо-
сти молока в совхозном произаодстве. Исходными данными
цля этой модели послужили сведения, приведенные в 137]1.
На рис. 3.27 показан орграф влияний переменных, постро-
енный нами по схеме связей, предложенной в [37I2. В модель
включены 12 переменных, 11 из которых рассматриваются
в качестве взаимосвязанных причин, определяющих значе-
ние «следствия» — уровня себестоимости молока [перемен-
ная х12)3:

*1 — уровень концентрации производства (количество
крупного рогатого скота, приходящегося на 1 ферму);

х2 — удельный вес концентрированных, сочных и гру-
бых кормов в рационе [структура рациона коров молочно-
го стада);

х3 — степень технической оснащенности ферм (сумма
амортизационных отчисленийв рублях в расчете на 1 фураж-
ную корову);

хв — уровень белковой обеспеченности коров (количе-
ство переваримого протеина в расчете на одну кормовую
единицу);

xs — уровень механизации доения (удельный вес коров,
переведенных на механическое доение, в общем поголовье
скота на конец года);

хй — уровень кормления коров (затраты кормов в цент-
нерах кормовых единиц на 1 корову в год);

х7 — уровень производительности труда (затраты чело-
веко-дней на 1 ц молока);

ХВ [37] автор с исчерпывающей полнотой приводит данные из-
мерений 12 показателей в 22 совхозах молочно-овощного направле-
ния, находившихся примерно в одинаковых природно-экономиче-
ских условиях.

аВ схеме, предложенной в [37], содержатся зависимости, про-
тиворечащие логике причинно-следственных отношений между пе-
ременными изучаемой системы. Так, например, допускается влия-
ние продуктивности коров на уровень кормления (т. е. меняются
местами причина и следствие) и т. д. Такне зависимости исключены
нами из рассмотрения и не показаны на графе (см. рис. 3.27).

8Номера переменных в вашей модели не соответствуют номерам,
использованным в 137]. Предопределенными перененными являются
xi и *2 (входы); эндогенными ха — х12.
х8 — продуктивность скота (удой молока в центнерах
на 1 фуражную корову);

х8 — уровень оплаты труда производственных рабочих
(средняя оплата человеко-дней в руб.);

х10 — стоимость кормов (средняя стоимость 1 ц кормо-
вых единиц);

хп — яловость коров (выход телят на 100 коров и нете-
лей основного стада).

Несомненно, что число переменных-факторов, опреде-
ляющих на практике уровень себестоимости молока, зна-

Рис. 3.27

чительно больше одиннадцати вышеприведенных. Данное
обстоятельство следует учесть при оценке качества модели.

Графу, показанному на рис. 3.27, можно поставить в со-
ответствие следующую систему структурных уравнений1:

Х1 ~ PlUUl’
xz = рги и*
Х3~ Рз1Х1 4~ Рзв^з»
*4 = Ря2Х3 + JW'O
xs = РцХя -р Рьии5'
ха = Рых* 4" Рвии«’
xi ~ Рпх1 4~ Pnxi 4" Рюхз 4" Рихл 4" Рпхъ 4" Pitxt 4"
+ Р^в 4~ РтаХи 4- P-faUi't

хл = Рв1хг 4- PezX2 + раха + Рм*4 4- РеЛ + р^е 4*
4" Рв11л-и4_ Рвииз>

* В записи коэффициентов pjU. индекс i у и условие опущен.
*	в — PelXl 4" РбЗХ3 + P»ixs 4~ Pt?X7 4" РмХ8 4" P»4XU 4“
+ p BDMe;

*	io = Р102Л2 4- Piou^ioi

*	11 ~ Pllx2 + P1I4*4 4" P118*e 4- PhuU11>

-*12 ~ Р121-Ч 4" P123x2 4* Pi23*a 4" P12**< 4'P12fr*5 4~ Р12в*в4"
4- ^127*7 + P128*e 4- P12»*» 4- Pl 210*10 4* P1211*ll 4-

4“ P12uU12-

Система структурных уравнений причинной модели фор-
мирования себестоимости молока, изоморфная графу, яв-
ляется рекурсивной. Поэтому, как указывалось ранее, не-
известные параметры уравнений (3.64) могут быть опреде-
лены путем последовательного применения обычного мето-
да наименьших квадратов к каждому отдельно взятому
уравнению. Нас интересуют при этом лишь стандартизо-
ванные коэффициенты регрессии (путевые коэффициенты
или коэффициенты влияния).

Коэффициенты влияния для модели (3.64) могут быть
найдены и из соотношений, связывающих коэффициенты
корреляции и влияния, о которых мы говорили ранее в
§ 3.3. Система оценочных уравнений в нашем случае состо-
ит из 66 уравнений при 40 неизвестных коэффициентах влия-
ния. Таким образом, эта система является переопределен-
ной, поскольку включает 26 уравнений, описывающих не-
причинные, в том числе и ложные корреляции. Результаты
решения этой системы идентичны (с разумной точностью)
коэффициентам влияния, найденным прямым способом. Мы
не приводим в тексте систему оценочных уравнений ввиду
ее громоздкости. Читатель может проделать операцию запи-
си уравнений и расчета коэффициентов влияния самостоя-
тельно (вручную или с помощью микрокалькулятора), осно-
вываясь на исходном графе модели (см. рис. 3.27) и матрице
корреляций (табл. 3.11).

Следует указать, что подобные расчеты относятся к об-
ласти так называемого вторичного анализа, поскольку в них
используется не первичная информация — результаты из-
мерений переменных на различных объектах, а информация
о взаимосвязях переменных, полученная из публикации.
В таких случаях корректность вторичного анализа и по-
строенной модели в значительной степени определяется на-
дежностью и точностью использованной в расчетах инфор-
мации. Когда эта информация неточна, бывает чрезвычайно
трудно установить истинную причину несоответствия модели
и реальности. Так, когда мы проделали расчеты коэффи-
136
Таблица З.П  МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИЧИННОЙ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ СЕБЕСТОИМОСТИ МОЛОКА												
	«1			Х<	*»	х«	х>	х,	X.	Х|1	At	х„
*1	1,0000	-0,2369	-0,0964	0,1673	-0,1338	0,0919	0,1313	-0,0315	-0,2255	-0,4956	0,1749	—0,3593
		1,0000	-0,4263	0,2549	0,0008	0,0016	-0,3177	0,1292	-0,0581	—0,1744	0,4601	-0,3301
*3			1,0000	-0,0012	0,4324	0,2229	-0,2832	0,2184	0,4580	0,2978	-0,3271	0,2512
Х<				1,0000	-0,2283	0,1006	-0,1780	0,0892	0,0523	-0,3228	0,1593	-0,4155
«в					1,0000	0,4180	0,4855	0,4934	0.6516	0,1062	0,0497	0,0001
						1,0000	-0,7834	0,8508	0,5556	-0,5448	0,0730	-0,3751
X?							1,0000	-0,7986	-0,5023	0,4665	-0,1506	0,5556
*s								1,0000	0,5873	-0,3336	0,2988	-0,4723
X,									1,0000	0,0516	-0,0384	0,0309
Хц,										1,0000	-0,3537	0,8065
«11											1,0000	-0,5597
												1,0000
Циёнтов влияния методом Райта, основываясь на мйтрицё
ксрреляций из [371, то обнаружили резкие расхождения
некоторых из полученных параметров с результатами, по-
казанными в табл. 3.12. Причиной этого являлись неточные
значения коэффициентов корреляции в матрице из [37].
Проведя соответствующие расчеты по исходным данным на-
блюдений, мы обнаружили, что, например, подлинное зна-
чение коэффициента корреляции между яловостью коров
и уровнем технической оснащенности ферм равно — 0,3274,
а не -1-0,072, между уровнем технической оснащенности и

Рис. 3.28

уровнем кормления 4-0,2229, а не —0,021 и т. д. К сожа-
лению, обычно в публикациях причинных моделей крайне
редко приводятся первичные измерения (в социологических
исследованиях, где число объектов измеряется сотнями,
а порой и тысячами единиц, это просто невозможно) и поэ-
тому задача установления адекватности одной из сравни-
ваемых моделей действительному положению вещей может
быть правильно решена только в случае безусловной точ-
ности и надежности данных, использованных во вторичном
анализе.

Результаты расчетов коэффициентов влияния и коэффи-
циентов множественной корреляции показаны в табл. 3.12.
На рис. 3.28 изображен граф модели после исключения дуг.
Т а б л ииа 3 12

МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ ПРИЧИННОЙ МОДЕЛИ
ФОРМИРОВАНИЯ СЕБЕСТОИМОСТИ МОЛОКА

	*1	*1	х,			*•		х.	х»	Х|»	х«	Х|1	PiU	Я | Я*
*1														1
*2														1
*s	—0,096												0,995	0,096 |о,009
		0,255											0,967	0,25510,065
xt			0,432										0,902	0,432 [о, 187
Хв				0,101									0,948	0,101 |о, 101
Xi	0,031	-0,400	-0,233	—0,034	-0,052	—0,458		-0,302			0,083		0,430	0,903 Jo,8I5
X»	-0,136	—0,007	0,077	0,014	0,105	0,780					0,287		0,42]	0,90710,822
*»	-0,117		0,155		0,450		-0,217	0,617			-0,012		0,351	0,936 |о, 876
Хю		—0,174											0,985	0,174 |0,030
*11		0,450		0,038		0,068							0,884	О,467|о,218
*12	-0,007	0,108	0,048	—0,139	-0,088	1,154	0,322	—0,895	0,075|0,950		0,004		0,170	0,985 |о, 971
соответствующих коэффициентам влияния, меньшим 0,1 по
I абсолютной величине, а на рис. 3.29 — граф модели после
исключения дуг с | ptj | < 0,3. Сопоставляя исходный граф
(см. рис. 3.27) и графы модели после исключения дуг, ин-
| тенсивностъ причинного влияния по которым сравнительно
невелика, легко убедиться, какие из первоначальных гипо-
тез о взаимовлияниях переменных подтвердились, а какие

дели — взаимосвязей, определяющих сущность моделиру-
емого процесса. Рис. 3.28 и 3.29 показывают, в частности,
что хв и хи на уровне |	1> 0,1 являются фактически эк-

зогенными переменными, имеющими с выходной перемен-
ной х18 общие причины (ложно-корреляционная снязь) и не
более. Весьма отдаленными причинами для хМ2 являются
Х1, хэ, х2 и х4.

Сравнив коэффициенты прямого влияния рц с корреля-
ционными коэффициентами — измерителями полной свя-
зи, можно по данным табл. 3.11 и 3.12 оценить искажающее
влияние других переменных, специфицированных в моде-
ли, на характер взаимосвязей каждой пары переменных.
Например, прямое влияние продуктивности скота (хв) на
уровень оплаты труда (хв) и на уровень себестоимости мо-
лока (х12) аналогично по знаку и больше по абсолютной ве-
личине, чем соответствующие коэффициенты корреляции»
не очищенные от влияния других переменных, действующих
в противоположном направлении: рв в - 0,617 > га 8 =
= 0,587 и | р12.8 = -0,895 | > [ г1В.„ -= -0,472 |.

Знаки коэффициентов влияния и корреляции в ряде слу-
чаев отличны друг от друга. Коэффициент прямого влияния
х2 на х12 оказался положительным (Pi2.a=0,108) в то вре-
мя как отрицательный коэффициент корреляции этих пере-
менных указывает на обратную зависимость (гцЛ =
= —0,3301), т. е. в данном случае истинная картина при-
чинно-следственной детерминации не могла быть установ-
лена из простого рассмотрения показателя корреляцион-
ной зависимости, искажающего действительное положение
вещей. Детальную картину причинных отношений можно
получить, если воспользоваться описанным выше приемом
разложения коэффициента корреляций на компоненты сово-
купного влияния (сумму прямого и косвенного) и непри-
чинные компоненты (ложная корреляция и эффект корре-
ляции входов и т. д.), рассчитать величину оценок каждой
из компонент, потоков по каждой причинной цепи и т. д.
Безусловно, что такой формальный анализ должен прово-
диться в неразрывной связи с содержательной интерпрета-
цией полученных результатов1.

Обратим’внимание на то, что рил = 1,154. Мы отмеча-
ли ранее, что значения коэффициентов влияния, большие
единицы по абсолютной величине, свидетельствуют, ско-
рее всего, о неудачно специфицированной модели. Каним-
либо иным образом (если исключить предположение об оши-
бочности исходных данных) интерпретировать такое экс-
тремальное значение показателя детерминации переменной-
следствия переменной-причиной едва ли возможно. Учтем
также, что значение показателя полной связи гюл =
= —0,3751 существенно меньше по абсолютной величине
и противоположно по знаку. Объясняется это тем, что по-
скольку уровень кормления оказывает на себестоимость
молока не только прямое, но и косвенное влияние — через
уровень удоев, а уровень удоев связан с себестоимостью
обратной зависимостью, то чем выше уровень кормления,
тем выше удон и ниже себестоимость, следовательно, в неочи-
щенном виде связь хы и хе обратная. Однако когда мы ис-
ключаем влияние удоев и других коррелирующих с уровнем

1Читатель может самостоятельно осуществить этот анализ по
данным табл. 3.11 и 3.12.
кормления переменных, то картина качественно меняется —
вскрывается прямая детерминация следствия (х12) причи-
ной^): но мере увеличения затрат кормов на корову увели-
чивается и себестоимость молока.

Приведенное нами объяснение, удовлетворительное для
понимания причин различия в знаках р12.в и г12-в, не дает
тем не менее ответа на вопрос: почему коэффициент влияния
больше единицы? По нашему мнению, это свидетельство
того, что либо в модели не учтены существенные перемен-
ные, стоящие в причинной цепи между х„ и х12, либо х12 и
хв имеют еще одну причину — экзогенную или эндогенную
переменную, не включенную в модель. В последнем случае
для расчетов уточненной модели можно применить приемы,
изложенные в § 3.3. И наконец, такое высокое значение
Р12.е может быть обусловлено нелинейной зависимостью х12
от хв, а также коллинеарностью — очень тесной связью
хе с хв и хе с х7.

В заключение краткого рассмотрения нашего примера
остановимся на оценке качества разработанной модели. По
Г. Тейлу критерием качества эконометрической модели
может служить ее способность давать хорошие прогнозы
[74]. Одной из оценок качества в данном случае является
среднеквадратнческая ошибка уравнения множественной
регрессии, равная корню квадратному из разности суммы
квадратов отклонений фактических значений изучаемой
переменной от вычисленных по уравнению, деленной на раз-
ность количества единиц наблюдения и числа переменных-
аргументов. В нашем примере среднеквадратическая ошиб-
ка уравнения — прогноза х12 составляет 0,5075.

Для оценки качества причинной структуры можно вос-
пользоваться оценками параметров piB|, показывающих
степень влияния на эндогенные переменные всех не учтен-
ных в модели обстоятельств. Как мы уже отмечали, квадрат
этого коэффициента (р®и) измеряет долю дисперсии объяс-
няемой <-й переменной (о®), детерминированную не вклю-
ченными в соответствующее уравнение и модель перемен-
ными, а (1 — р?и) — Д®, где Да — квадрат коэффициента
множественной корреляции, — долю объясненной диспер-
сии. Знание piu в каждом конкретном случае дает возмож-
ность судить о сравнительной интенсивности влияний вклю-
ченных и не включенных в модель факторов, а знание —
оценить качество объяснения вариации следствия предло-
женным набором причин. В нашем примере построенная
модель удовлетворительно описывает как процесс форми-
рования себестоимости молока (T?i2.i...u =0,971), так и
уровня оплаты труда (jRg ,3573 = 0,877), продуктивности
скота 123456 = 0,822), производительности труда
(-R?.! 24568 = 0,815).

Если же исключить из соответствующих уравнений мо-
дели переменные, коэффициенты влияния которых сравни-
тельно невелики или близки к нулю (орграфы таких моде-
лей изображены на рис. 3.28 и 3.29), а затем вновь оценить
параметры piu. и R2, то, сопоставляя первоначальное (до
исключения) Л<с) и вновь найденные величины R, оценок
объясняющей способности уточненной модели (7?®о) — Rt).
можно сделать определенные заключения об устойчивости
выявленной причинной структуры явления и тем самым о ка-
честве причинной модели х. Устойчивость R* (в заданных
пределах) в описанном выше смысле и должна служить, по
нашему мнению, одним из критериев качества построенной
причинной модели.

з.<$. о возможных ПУТЯХ ПОСТРОЕНИЯ
ПРИЧИННЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

С ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫМ ПОВЕДЕНИЕМ
НА ОСНОВЕ НЕЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ

В процессе характерной для последнего времени
разработки вопросов прогнозирования развития сложных
социально-экономических объектов и управления такими
системами возникают новые проблемы, представляющие
значительный интерес как в теоретическом, так и в практи-
ческом отношении. Специфика соотношения прошлого, на-
стоящего и будущего в функционировании систем с целе-
направленным поведением, взаимосвязь целей и действий
людей, влияние предиидения на ход событий, способы моде-
лирования и своеобразная природа истинности прогнозов —
вот лишь некоторые из сложных и интересных методологи-
ческих вопросов, имеющих непосредственное отношение к
данной теме.

Добавим, что в прикладных разработках, связанных с
решением задач прогноза и управления, исследователи час-

’Для нашей модели эти расчеты мы рекомендуем читателю про-
делать самостоятельно, основываясь на соотношении 2 p^ki —
.	(ft)

=7?8, где к пробегает по всем вершинам, из которых исходят дуги
в i-ю вершину.
то сталкиваются с необходимостью статистического анали-
за многомерных объектов, описываемых категоризованными
переменными или переменными смешанной природы, когда
среди множества возможных или даже наблюдаемых состоя-
ний переменкой некоторые из состояний могут быть выра-
жены числом, а некоторые описаны лишь качественно; за-
коны распределения подобных переменных обычно неизвест-
ны. Все эти вопросы, к сожалению, нельзя отнести к числу
хорошо изученных. Во всяком случае, в фундаментальных
руководствах по математической статистике читатель-прак-
тик не найдет ни общих постановок таких задач, ни тем бо-
лее изложения способов их решения. Современная практи-
ка социально-экономических исследований стремительно
расширяет круг традиционно сложившихся проблем ста-
тистической теории и методологии, включая в него вопросы,
граничащие с системным анализом, исследованием опера-
ций и т. д. Подробное рассмотрение проблем статистическо-
го анализа в решении задач управления и прогнозирования
в рамках нашей книги невозможно, поэтому ограничимся
лишь частным случаем, имеющим отношение к теме этой
главы.

Рассмотрим типичную ситуацию, с которой сталкива-
ются исследователи, изучающие телеономические системы.
То или иное заключение о возможных воздействиях на уп-
равляемую систему и последствиях таких воздействий ос-
новывается, как правило, во-первых, на оценке перспектив
поведения системы при условии отсутствия управляющего
воздействия и независимо от предсказывающего субъекта;
во-вторых, на некоторых представлениях о желаемых це-
лях (исходах); в-третьих, на оценках эффективности пред-
лагаемых управленческих воздействий, т. е. на прогнозах
возможных исходов развития настоящей ситуации с учетом
совокупного действия объективных и субъективных факто-
ров, детерминирующих будущее. Особую трудность для
статистического анализа представляет, как правило, нечис-
ловой характер имеющейся информации.

Понятие цель привлекается в данной форме научного
объяснения для обоснования той или иной траектории дви-
жения (развития) системы, выбора того или иного решения,
приводящего к переходу объекта управления из одного со-
стояния в другое. Чем неопределеннее представления о
цели, тем сложнее выбор. Поэтому необходимо иметь оцен-
ки неопределенности описания цепи и путей ее достижения.
Использование такой оценки в экспертных процедурах
позволит сопоставлять между собой различные мнения экс-
пертов о цели, зачастую разнящиеся между собой, и тем
самым создаст базу для определенных заключений о пред-
лагаемых ими действиях с учетом каалификации и опыта
экспертов.

Покажем один из возможных путей построения таких
оценок. В подобных ситуациях приходится учитывать,
во-первых, некоторое множество А возможных исходов уп-
равляющих воздействий, во-вторых, некоторое ограничен-
ное множество В желаемых (допустимых) состояний объекта
управления, и, в-третьих, ограниченное множество С состоя-
ний, рассматриваемых в процессе экспертизы и учитываемых
при принятии решений. Очевидно, что при наличии исчер-
пывающей информации о системе А = С. В противном слу-
чае, в принципе возможны состояния, принадлежащие А
и не принадлежащие С, и наоборот. Решение задачи в такой
постановке суть указание такого подмножества Е, которое
принадлежит А П В fl С, ив дальнейшем задание кри-
терия выбора, позволяющего найти наилучшие с точки зре-
ния этого критерия е g Е. Множества А, В, С в данном слу-
чае, естественно, рассматривать как размытые (в смысле
теории Заде [15]). Иными словами, эксперты должны ука-
зать для каждого рассматриваемого состояния х g X не-
которое число р„ (х) из интервала [0; 1], характеризующее
степень принадлежности х к данному множеству U1.

Для того чтобы оценить искомую априорную неопреде-
ленность постановки задачи, следует задать функцию при-
надлежности (Лапвпс (•*)• Для этого следует приписвть каж-
дому с, g А величину 0 р® (a) sgZ 1 по следующему пра-
вилу:

ре (с<) = min (рА (а.-), рв (а<). Рс (а.))-	(3-65)

Здесь, вообще говоря, мы сталкиваемся с ситуацией,
когда функция ре должна быть оценена на основе частич-
ной информации о ней, значений, принимаемых ею на ко-
нечном множестве состояний, учитываемых в экспертизе:
Oj, ...,Cjv, для которых можно указать рА(й<)> рв (с»)>

1 Разумеется, что списки состояний переменных, входящих в
А, В, С, должны быть заранее согласованы и идентичны у всех экс-
пертов. Каждое состояние zij оценивается отдельно по отношению
к А, к В и к С. Для общности все переменные будем рассматривать
как категоризованные, имеющие заранее заданное конечное число
градаций (интервалов группировки в случае количественных при-
знаков, классов или уровней качества в случае качественных поряд-
ковых или классификационных признаков).
pc (ai). Подмножество Ё определено, таким образом, не
полностью, как иногда говорят, с помощью поясняющего
примера. Задавая различные распределения (рЕ (а,)) и
используя условие порога рЕ (a,) рЕ (а,), каждый из экс-
пертов формирует свое подмножество Е, отличающееся от
других таких подмножеств мощностью и составом входя-
щих в него элементов о,- Используя функцию Шеннона
s (о) = —v In v — (1 — о) In (1 — v), в соответствии с 1641
функционал энтропии Н (рЕ ) размытого множества Е ==
= A f| В f| С можно записать следующим образом

2 «(НапипсЮ). (3.66)

Здесь k — некоторая постоянная положительная величи-
на, N — число рассматриваемых возможных исходов.

Величина (3.66) удоалетворяет следующим требованиям:

1)	Н (рЕ) — 0, если и только если рЕ (а,) принимает на
A f| В f| С значение О или 1, т. е. если одно из а, является
решением с р я» 1, а остальные с р. л? 0;

2)	Н (рв) достигает своего максимума, если и только
если для любой пары состояний р,- = р, = 1/2*.

Иначе говоря, если с 50% уверенностью каждое из рас-
сматриваемых состояний принадлежит Е и ни одному из
них нельзя отдать явно выраженного предпочтения.

Величина (3.66) является, таким образом, оценкой не-
четкости представлений о цели и путях ее достижения, дан-
ной конкретным Л-м экспертом.

Далее можно сравнить подмножества Е<*>, построенные
всеми экспертами по Н (ЕЛ**), а также по составу входящих
в них элементов at f А. Пересечение этих подмножеств
может, в частности, рассматриваться как искомое Е* =
— A f| В f| С; его энтропия будет меньше энтропии лю-
бого из подмножеств Е№>. Затем следует проанализировать
«I £ Е* с тем, чтобы на основе некоторого критерия вы-
делить одно наилучшее (или несколько альтернативных)

’В этом, а частности, заключается отличие рассмотрения настоя-
щей задачи в терминах размытых множеств — в классическом

случае максимум энтропии достигается при условии равновероят-
ности исходов Pi = р) — llN. Эксперту гораздо легче оценить
принадлежность одного отдельно взятого состояния величиной
из (О; 11, нежели сопоставлять и оценивать вероятности N событий

при условии 2 р, = ].

Об использовании теории размытых множеств в анализе проб-
лем принятия решений см. [4].
решение. Таким критерием может служить, например, ус-
ловие минимизации мгновенной энтропии

где

Н (ef) -> min,
{«<**)>

Н (е$ = k - s (р«

(3.67)

Поскольку выбор цели обусловливает выбор метода ее
достижения, то один из пунктов проверки правильности
метода заключается в установлении того, достигли мы це-
ли или нет. Здесь, однако, следует учитывать эффект Эди-
па, суть которого можно сформулировать следующим обра-
зом: прогнозы при известных условиях воздействуют на
предсказываемые события, способствуя или препятствуя
их осуществлению, так или иначе модифицируя их. Поэ-
тому следующим этапом процесса прогнозирования явля-
ется корректировка первого наброска облика будущего,
полученного на основе оценок нечеткости его описания, пу-
тем экстраполяции в будущее ныне действующих законов и
тенденций. Для этого вырабатывается модель, позволяющая
построить новый, уточненный прогноз, дающий отражение
предстоящего поведения системы в условиях управления и
самоуправления.

Изложенная выше схема представляет собой своего ро-
да элементарный цикл телеономического моделирования,
конечный этап которого может послужить начальной сту-
пенью нового цикла и т. д.

Рассмотрим теперь коротко принципиальную схему по-
строения причинной модели системы с целенаправленным
поведением — важнейшего элементе описанного выше цик-
ла. Будем считать, что цепь — финальное множество со-
стояний Е суть множество выходных переменных системы
и что набор переменных системы неизменен на всем протя-
жении данного цикла прогнозирования. При разработке
такой модели следует, во-первых, иметь модель функцио-
нирования системы, т. е. иметь гипотетический граф струк-
туры отношений переменных и оценки влияний по каждой
дуге графа. Такая модель, в принципе, еще ничем не отли-
чается от рассмотренных выше моделей и позволяет при за-
дании соответствующих значений входных переменных экст-
раполировать в будущее прошлые тенденции и закономер-
ности. Множество значений выходных переменных обозна-
чим через D. Во-первых, следует соотнести множества Du Е
с оценкой степени их совпадения (пересечения). В-третьих,
следует разделить все множества вие- и внутрисистемных
переменных модели на управляемые и неуправляемые, по-
сле чего в соответствии с рассогласованием множеств D и
Е ввести управление — изменить значения управляемых
переменных и вновь произвести расчет параметров модели.

В тех случаях, когда структурная модель системы имеет
явно выраженный динамический характер, т. е. включает
фактор времени как аргумент в явном виде, управление мо-
жет вводиться на различных тактах. Таким образом, цепь —
следстви s выступает здесь как причина при выборе управ-
ления — метода достижения цели. Полученные в резуль-
тате расчетов новые значения выходных переменных D,
равно и как все другие необходимые сведения, сообщаются
экспертам на следующем цикле прогнозирования поведения
гелеономической системы для корректировки их представ-
лений о цели и оценки эффективности путей ее достижения.

Чем неопределеннее представление о цели, тем большее
количество возможных траекторий развития ситуации сле-
дует рассматривать в анализе. Если представвть дви-
жение к цели как серию последовательных приближений
(реальных или в ходе мысленного эксперимента), то разум-
но осуществлять такое движение по траектории, обеспечива-
ющей на каждом шаге максимум величины Ц = ДН( =
= Ht — Ht + ь где I = 0, 1,Hf — априорная неопре-
деленность выбора управления в смысле выражения (3.66),
7тах = Но. Длительность перехода из состояния 4 в состоя-
ние t (число циклов моделирования) можно оценить по со-
отношению:

1 = -Т1п(1------(3.68)

где т — некоторая временная константа.

Если же экспертизы представлений о цели и путях ее
достижения пронаиодятся последовательно для реальной
системы, то соотношение (3.68) показывает, что для систем
с целенаправленным поведением существует нелинейная
связь между неопределенностью цели и временем достиже-
ния цели. Негэнтропийные процессы (например, такие, как
процессы развития, обучения, упорядочения, распада и
г. д.) имеют, таким образом, свою меру времени, определя-
емую изменением информационного содержания (или коли-
чества негэнтропии ДН). Собственное время таких процес-
сов может быть выражено и посредством отнесения коли-
чества событий (шагов развития процесса) к единице астро-
комического времени и наоборот (скорость производства со-
бытий в линейном негэнтропийном времени есть величина
переменная).

Особый интерес при разработке, анализе и сравнении
причинных прогнозных моделей с управлением представля-
ет выявление характера зависимости статистических ха-
рактеристик выходных переменных (по разнообразию или
неопределенности) от статистических характеристик вхо-
дов с учетом количественных оценок интенсивности и зна-
ков коэффициентов причинного влияния, а также искажаю-
щих действие механизма передачи причинной связи проме-
жуточных элементов цепей и неучтенных явно факторов.
Поэтому целесообразно сопоставление альтернативных мо-
делей, построенных на одних и тех же распределениях вход-
ных переменных, но имеющих различное разнообразие (не-
определенность) выходов. Если входные переменные не кор-
релированы между собой и в модели отсутствуют отрица-
тельные коэффициенты причинного влияния, то большая
неопределенность выходных переменных может означать
наличие в модели дополнительных каналов передачи и
«шумящих» промежуточных элементов. Уменьшение этой
неопределенности может быть достигнуто за счет усиления
управления или изменения структуры. При наличии поло--
жительной координации входных переменных и положитель-
ных коэффициентах влияния чем больше неопределенность
входов, тем более неопределенными будут выходные пере-
менные. Отрицательная корреляция входов в положитель-
ной сети влияний ведет к уменьшению возможного разнооб-
разия выходов. И наконец, наличие в модели отрицатель-
ных коэффициентов влияния может быть рассмотрено как
сигнал о существовании отрицательных операторов, кото-
рые в развернутом виде могут быть представлены в форме
петель обратной связи — дополнительного автоуправления,
существующего в системе и поддерживающего ее устойчи-
вость, но априори не предполагавшегося исследователями.
Разнообразие (неопределенность) выходов будет тем мень-
ше, чем сильнее отрицательные влияния по дугам причин-
ной сети между входом и выходом, т. е. чем сильнее допол-
нительное управление с целью минимизации отклонений.

Разумеется, что приведенные выше соображения лишь
эскиз одного из возможных путей построения причинных
моделей систем с целенаправленным поведением на основе
нечисловых данных. Будучи реализованной на практике,
эта схема, несомненно, обогатится новыми деталями.
Глава 4. МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ

4.1.	АНАЛИЗ СВЯЗЕЙ КАТЕГОРИЗОВАННЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ НА ОСНОВЕ ТЕСТА у?

В последние годы активно разрабатываются ме-
тоды анализа таблиц Сопряженности — многомерных дис-
кретных распределений. Это объясняется в первую очередь
наличием неколичественных (так называемых качественных)
переменных в описании социвльно-экономических объек-
тов, потребностями изучения связей между ними. Таблица
сопряженности является универсальной формой представ-
ления данных, не связанной с уровнем измерения призна-
ков. «Любую переменную можно представить как категори-
зованную.

Очень часто изучение взаимосвязей между такими пере-
менными сводится к анализу снязей двух переменных хи у,
принимающих ряд значений — xlt...,xm и у1г ...,ур.
Обозначим номер строки двумерной таблицы через i (i —
— 1, m), номер столбца — через / (/ = 1, р). Каждый
объект характеризуется значениями двух признаков х, и
уР В клетках таблицы записывается число объектов в вы-
борке, обладающих данным сочетанием значений признаков
(клеточная частота), — ntj.

Как правило, анализ двумерных таблиц сопряженности
ограничивается выводами о наличии связи и ее тесноте. Клас-
сическим тестом, используемым для установления факта
наличия связи, является тест %а. Величина у2 обычно опре-
деляется как сумма квадратов разностей между фактичес-
кими (пц) и теоретическими (п^) частотами двумерного рас-
пределения, деленных на теоретические частоты с целью
стандартизации:

*=2<2<—------------	(4.1)

<0 (/) Пц
Испытуемая гипотеза при этом является нулевой: №0; п,;

— fin = 0. Расчет ожидаемых частот двумерного рас-
пределения производится в предположении о статистичес-
кой независимости рассматриваемых переменных:

где nt. — сумма по г-й строке таблицы; л { — Улц —
(Л	W

сумма по /-му столбцу таблицы (так называемые маргиналь-
ные частоты). Выбирая уровень значимости а, определяют
соответствующее критическое значение теста x£>df при
числе степеней свободы dl = (т — 1) (р — 1). Если рас-
четная величина х2 превышает критическое значение х«,аг>
то на данном уровне значимости испытуемая гипотеза’//0
может быть отклонена В этом случае имеет смысл измере-
ние интенсивности связи признаков с помощью какого-либо
подходящего коэффициента. Меры связей категоризован-
ных переменных в данной работе специально не рассматри-
ваются (см. 13].

Анализ неколичественных переменных предполагает
использование многомерных методов, давно являющихся
обязательными при исследовании количественных данных.
Существующие взаимосвязи между переменными требуют
их совместного рассмотрения, перехода от парных связей
к анализу множественных и частных связей, от двумерных
таблиц сопряженности к сложным комбинационным таб-
лицам &га потребность хороши осознается исследователя-
ми, но тем не менее часто не реализуется.

Рассмотрим ряд методов анализа связей неколичествен-
кых переменных и выявления структуры исходных данных
в многомерных комбинационных таблицах. Прежде все-
го остановимся на простейшем приеме анализа, основанном
на разложении теста х*. Обычно и оценка существенности
связи, и измерение ее интенсивности производятся по таб-
лице в целом. При этом не выявляется весьма важная ин-
формация об изменении интенсивности связи переменных
с изменением их значений: при одних значениях связь при-
знаков может быть тесной, при других — слабой и даже
вообще ненаблюдаемой. Обобщая разную степень интен-
сивности связи в едиком показателе, мы можем прийти к
парадоксальным выводам, упустить практически значимые
случаи. Чтобы избежать этого, полезно анализировать от-
дельные фрагменты исходной таблицы. Переход от таблицы
в целом к отдельным ее частям целесообразен как в случае
многомерного анализа, так и при наличии большого числа
категорий двумерного распределения. На выделении ло-
кальных связей основан целый ряд статистических методой,
например дисперсионный анализ, логлинейный анализ, де-
терминационный анализ (об этом методе см [441).

Использование для этой цели разложения теста х2 пред-
полагает преобразование исходной таблицы сопряженности
во, множество таблиц размерностью 2	2, каждая из ко-

торых характеризует особый аспект изучаемой связи —
связь между определенными значениями переменных [171-
Число таких таблиц должно быть равно числу степеней сво-
боды для критерия х2 при его вычислении по исходной таб-
лице. Каждая из локальных связей в выделенном фрагменте
общей таблицы оценивается с помощью критерия х2, имею-
щего одну степень свободы. Связь общей величины теста х2
со значениями, найденными по выделенным частям табли-
цы, выражается равенством

Xs = 2 Хъ	(4.2)

ь= 1

где х’ — k-я компонента общей величины х2. найденная по
соответствующей компонентной таблице 2x2.

Равенство (4.2) справедливо при определении оценки
Xs методом максимального правдоподобия (х&д)» которая
имеет вид:

2 л1Я...1п(ло,.../л,л...)-	(4-3)

//*...

Обычно используемое выражение (4.1), полученное в Со-
ответствии с общим принципом наименьших квадратов, не
обладает свойством аддитивности: в этом случае сумма ком-
понентных х* не обязательно будет точно равна общему Xs
для всей таблицы. В [25, с. 621 показано соответствие оце-
нок %2 по (4.1) и (4.3). Заметим, что свойство аддитивности
Хмь используется в одном из современных методов мно-
гомерного анализа неколичественных переменных — лог-
линейном анвлизе, который рассматривается в § 4-4-

С целью выяснения особенностей методики изучения
взаимосвязей с помощью аддитивного разложения Ха1с
обратимся к конкретному примеру.

В результате двух проводившихся в разные годы опро-
сов учащихся восьмых классов общеобразовательных школ
города относительно их планов о дальнейшем обучении и
сравнения этих планов с фактическим распределением опро-
шенных после окончания восьмого класса получены следую-
щие данные (табл. 4.1).

Таблица 4.1

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Планы респонден-	Фактическое распределение						
	Первый опрос			Второй опрос			Всего
		ОПТУ	пихум	класс	СПТУ	якхуи	
9-й класс	107	5	3	101	5	8	229
СПТУ	7	60	6	2	59	3	137
Техникум	18	И	30	8	11	36	114
Итого	132	76	39	111	75	47	480

Итак, в анализе участвуют три переменные: год опроса,
планы респондентов, их реализация. Если принять ком-
бинацию признаков «год опроса» и «фактическое распре-
деление» за одну переменную, то табл. 4.1 может рассматри-
ваться как двумерная. Величина х^ь для таблицы в це-
лом составляет 464 , 601, что свидетельствует о существен-
ности связи рассматриваемых признаков: критическое зна-
чение х*аСл = 18,307 при уровне значимости <х = 0,05 и
числе степеней свободы df — 10.

Интересно оценить, насколько значима каждая из ори-
ентаций восьмиклассников для их последующего распреде-
ления, существенно ли меняются ориентации школьников.
Для этого перестроим исходную таблицу. Прежде всего
выделим данные разных лет. И в том и в другом году основ-
ная часть учащихся выразила стремление продолжать уче-
бу в школе, поступить в девятый класс. Следующий шаг
перестройки таблицы позволит понять, насколько значима
связь между ориентацией на школу и другие формы обуче-
ния и фактическим распределением школьников, есть ли
связь между ориентацией на обучение в СПТУ, дающих
среднее образование и профессиональную подготовку, и в
техникумах, дающих среднее специальное образование, и
фактическим распределением. С этой целью преобразуем
таблицы сопряженности для отдельных лет в серию таблиц
2 -. 2.
Чтобы обеспечить согласование общей величины х2 со зна-
чениями, вычисленными по формуле (4.2) для отдельных
частей таблицы (xl), необходимо выполнить определенные
условия перестройки первоначальной таблицы сопряжен-
ности [17]:

—	каждая из исходных клеточных частот должна встре-
чаться как клеточная частота только в одной из компонент-
ных таблиц;

—	исходные маргинальные частоты должны встречать-
ся только в одной из компонентных таблиц как частоты оп-
ределенного типа — либо как клеточные, либо как марги-
нвльные;

—каждая частота, которая содержится в одной из ком-
понентных таблиц, но которой нет в исходной таблице, долж-
на появиться в другой компонентной таблице как частота
другого типа — как клеточная, если была маргинальной,
или наоборот.

В итоге при перестройке таблицы не происходит потери
данных — все наблюдаемые частоты первоначальной таб-
лицы включаются в компонентные таблицы, а каждая скон-
струированная новая частота при суммировании компонент-
ных х! уничтожается. Последнее замечание становится
очевидным из выражения Xajl только через наблюдаемые
частоты. Так как теоретическая частота rtti = ni.n.jln, то
формула (4.3) может быть представлена в следующем виде:

Хмь =2 [2«{/ 1л(пм)--2««. 1п(Иг.)—2«-/1п(п./) +

+Л1П(П)].	(4.4)

Выражение (4.4) показывает, что расчет хля. можно про-
извести, не находя предварительно n,j. Однако, как прави-
ло, теоретические частоты представляют самостоятельный
интерес.

Преобразование данных для первого опроса представ-
лено в табл. 4.2 и включает четыре четырехклеточных табли-
цы; данные второго опроса твкже представлены четырьмя
габлицами 2/2 (табл. 4.3). В обоих случаях практичес-
ки всю информацию о согласованности планов и их реали-
зации дает преобразование данных под номером 1 в табл. 4.2
и в табл. 4.3. Вклад такого сжатого представления исход-
ных данных в общую оценку соответствия планов и факти-
ческого распределения опрошенных в том и другом году
составляет 72 —73%. Остальные подтаблицы, обозначенные
номерами 2,3 ,4, характеризуют частные моменты выявлен-
Планы рес- поядеятоа	распределение		
	8  i	й! 5s	а
9 й класс СПТУ+ техникум	107  25	8  107	115  132
Итого	132	115	247

X? =157.774

3

Планы рее. пондентов	р*с»ре“лХе		
	Й V	1  s	8
9-й класс СПТУ техникум	5  71	3  36	8  107
Итого	76	39	115

хТ=0

	Фактическое распределение		
			
Планы рес- поадеятов	1	+1 Bi	g
СПТУ  Техникум	7  18	66 4)	73  59
Итого	25	107	132

Плавы рес- пондентов	Фактическое распределение		
	Ё	I S	к
СПТУ Техникум	60  11	6  30	66  41
Итого	71	36	107

Х|=9,900	х’=47.600

ной в целом картины. Обращает на себя внимание согласо-
ванность ориентации па СПТУ или техникумы с фактичес-
ким выбором того или иного типа учебного заведения

Проанализируем, существенно ли изменились планы
восьмиклассников во втором опросе по сравнению с первым.
Для этого произведем еще одно преобразование исходных
данных (табл. 4 4), которое позволяет заключить, что
ориентация восьмиклассников как на продолжение обуче-
1										
Планы рес- пондентов	Фактическое распределение					Планы рес- пондентов	Фактическое распределение			
	8	5		Е			>  Е и			8
9 й класс СПТУ+ техникум	101  10	13  109		114  119		9-й класс СПТУ + текникум	5  70	8  39		13  109
И того	111	122		233		Итого	75	47		122
%|=175,456  2						X?=3,176				
Планы рсс- кондеитов	Фактическое распределение					Плены рес- пондентов	Фактическое распределение			
	8  i	й		8			5			8
СПТУ  Техникум	2  8	62  47		64  55		СПТУ  Техникум	59	3  36		62  47
Итого	10	109		119		Итого	то	39		109
XJ-4.181						Х* = 66,158				

ПРЕОБРАЗОВАННЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ОПРОСОВ

1	2										
	Планы рес-	Опрос				Планы рсс-	Опрос			
	пондентов	первые	vr J	всего		пондектов	перяы1	второй		
	9-й класс спту-т техникум	115  132	114  119	229  251		СПТУ  Техникум	73  59	64  55	137  114	
	И того	247	233	480		Итого	132	119	251	
X?		--0,294				xi	=0,062			

15э
йия 6 школе, так и на обучение в СПТУ и техникумах в изу*
чаемом периоде является стабильной.

Существенность тех или иных гипотез о взаимосвязях,
выдвигаемых на основе исходной таблицы, приобретает
особую наглядность при обобщении результатов всех част-
ных расчетов (табл. 4.5).

Таблица 45

РАЗЛОЖЕНИЕ ОБЩЕГО ХлЯ.

	Компо- ненты х*	|Ц	Существен- ность связи (Х|абл=3.84 1 при а=0,0Б, dt=l)
Первый опрос			
Связь между планами и их реализа-  — продолжить обучение в школе или уйти из нее для всех респон- дентов  — для респондентов, которые наме- ревались уйти из школы  — для респондентов, которые фак- тически ушли из школы  — поступить в СПТУ или техникум для респондентов, которые факти- чески ушли из школы	(157,774’ 9,900 0  47,600	1  1  1  1	да  Да нет  да
Второй опрос			
— продолжить обучение в школе или уйти из нее для всех респон- дентов  — для респондентов, которые наме- ревались уйти из школы  — для респондентов, которые фак- тически ушли из школы  — поступить в СПТУ или техникум для респондентов, которые факти- чески ушли из школы	175,456  4,181  3,176  66,158	1  1  1  	да  да нет  да

Влитие года проведения опроса

Связь между годом опроса и планами респондентов:  — продолжить обучение в школе или уйти из нее  — поступить в СПТУ или техникум	0,294 0,062	1	нет нет
Всего	464,601	10	да
Перестройка исходной таблицы в десять компонентных
габлиц 2 2 позволила выявить различную значимость
гех или иных ориентаций школьников для разных типов их
фактического поведения. Данные табл. 4.5 показывают,
что сравнительно немногие компонентные значения общей
величины Xajl могут свидетельствовать о существенности
связи (шесть из десяти). Если просуммировать только зна-
чимые величины х*» получим общую величину ="
— 461,069 с шестью степенями свободы. Следовательно, ис-
ходная таблица содержит ряд малоинформативных данных
и может анализироваться в сжатом виде, что не изменит со-
держательных выводов. Перестройка таблицы выявила не-
значимость ориентаций на определенный тип учебного за-
ведения— СПТУ или техникум — для всех опрошенных
и, напротив, показала существенность их для тех, кто фак-
тически поступил в учебные заведения, дающие специальное
образование или профессиональную подготовку. Доказана
устойчивость ориентаций школьников, их независимость
от года опроса.

Приведенный пример позволил проиллюстрировать целе-
сообразность преобразования исходной таблицы сопряжен-
ности для оценки существенности связей при разных зна-
чениях рассматриваемых переменных, возможность сопо-
ставления интенсивности связей на основе компонентных
величин %?.

4.2. КАНОНИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
В АНАЛИЗЕ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ

Одно из направлений анализа таблиц сопряжен-
ности связано с «оцифровкой» неколичественпых призна-
ков — с присвоением градациям неколичественных пере-
менных числовых меток (11, [231, 1171. Такой подход по-
зволяет распространить на неколичественные данные методы
многомерного статистического анализа, разработанные при-
менительно к количественным переменным.

Иногда необходимо построить систему меток, обеспе-
чивающую максимум коэффициента корреляции между
даумя переменными (оптимальные метки). Эта система меток
и соответствующая ей матрица корреляций используются
затем для факторного и регрессионного анализа. Нахожде-
ние оптимальных меток связано с преобразованием частот
таблицы в частоты двумерного нормального распределения,
так как корреляция преобразованного распределения не
158
может по абсолютной величине превзойти корреляцию дву-
мерного нормального распределения 1171. Преобразованные
таким образом переменные называют каноническими пере-
менными.

Рассмотрим использование оптимальных меток для ана-
лиза структуры данных — выделения в таблице сопряжен-
ности линейных и нелинейных эффектов. Обычно при изу-
чении таблицы сопряженности не делается никаких предпо-
ложений относительно характера связи переменных, тогда
как в конкретных исследованиях бывает важно понять, со-
ответствует ли фактическое распределение какой-либо вы-
двигаемой гипотезе — например, гипотезе о линейности
связи — или нет, является ли рассогласование фактичес-
ких и теоретических частот случайным или же действитель-
но связь переменных включает ряд сложных взаимосвязей.

Разобраться в этом вопросе позволяет выражение тес-
та у® через аддитивные компоненты, соответствующие линей-
ным и нелинейным эффектам в структуре связей между пе-
ременными. При этом линейные эффекты связываются с пер-
вым преобразованием переменных, нелинейные — со вто-
рым и т. д. преобразованиями. Аддитивность эффектов сле-
дует из ортогональности канонических переменных.

Покажем, что канонический анализ таблицы сопряжен-
ности соответствует разложению теста у2 на ряд слагаемых,
число которых зависит от размерности таблицы. Преоб-
разуем выражение следующим образом:

(О <<)	*-	''

«•-«(ззлЛ?-1)- <“>

' (<) (О '- I /

Последняя формула может быть представлена через сумму
диагональных элементов, т. е. след симметричной матрицы
С — NN', где N — матрица размерности (m X р) с эле-
ментами Пц! (гц.п .}У12 (т — число строк таблицы, р — число
столбцов):

X8 = nIir(C) —II.	(4.7)

Если число строк таблицы не равно числу столбцов, то, как
правило, матрицу С формируют так, чтобы ее размерность
была минимальной, ( min (т, р)). Так как след матрицы ра-
вен сумме ее собственных чисел, то выражение (4.7) прини-
мает следующий внд:

х’=" (24-1)’	(48)

где — k-e собственное число матрицы С.

Наконец, учитывая, что собственные числа являются
показателями корреляции (R2) между каждой парой кано-
нических переменных, выделенных из исходных наборов
данных, запишем равенство (4.8) в виде

I4-9)

Из т (или р) собственных чисел матрицы С максимальное
по величине всегда равно единице, ему соответствует вырож-
денный набор меток 1 = (1, .... 1). Поэтому выражение
(4.9) целесообразно переписать так:

-£= У «.	(4.10)

п А=2

Наибольшее из оставшихся (т — 1) или (р — 1) собст-
венных чисел соответствует гипотезе линейности связи
между категоризованными переменными; следующие но ве-
личине значения соответствуют гипотезам о более слож-
ном характере взаимодействия переменных. Такая интер-
претация компонент х2 представляется возможной ввиду того,
что каждая последующая пара канонических переменных
является функцией первой преобразованной пары, а все
разложение х2 представляет собой убывающую последова-
тельность.

Можно показать, что традиционные меры связей, осно-
ванные на тесте х2, смешивают разные по характеру связи
и получаемая мера является средней из различных связей,
интегрирующихся в одной таблице. Это следует из выраже-
ния (4.10), которое позволяет любой показатель тесноты
связи представить через канонические корреляции. Напри-
мер, коэффициент взаимной сопряженности Чупрова будет
выглядеть так:

2 nt

7" =.	(4.11)

(<™-1) (р-1))1'2

В случае таблицы 2x2 выделяются два собственных
числа матрицы С. Поскольку первое равно единице, то квад-
160
par канонической корреляции равен каадрату коэффициента
сопряженности Пирсона:

.„s _ Xs_______пг

V------------*<2-

(4-12)

Канонические переменные позволяют получить наилуч-
шее, в смысле некоторого критерия, приближение клеточ-
ных частот таблицы сопряженности- Как показали М. Кен-
далл и А. Стьюарт (171, каждая наблюдаемая клеточная
частота может быть разбита на теоретическую частоту, со-
ответствующую гипотезе о независимости переменных, и
аддитивный вклад, связанный с канонической корреляци-
ей:

rl + X Rh xtk yJh\	-(4-13)

l	*-2	/

где х/ь — каноническая метка для i-й строки и fe-ro собст-
венного числа, yth — каноническая метка для j-го столбца
и fe-ro собственного числа.

Соответственно имеется возможность представить ис-
ходную таблицу сопряженности в виде серии таблиц, каж-
дая из которых отвечает определенной гипотезе о характере
связи переменных (т. е. частоты таблицы вычислены при
том или ином собственном числе матрицы С).

Имеется рнд способов получения канонических меток.
Наиболее быстро приводит к цели следующий порядок дей-
ствий: сначала определяются xih делением каждой компо-
ненты соответствующего собственного вектора на корень
квадратный из маргинальной доли (511; затем определяют-
ся yJh путем усреднения меток строк для каждой j-й колон-
ки 1171:

Узь = „ „ V л и Хщ-	(4-14)

«л n.j

Набсры меток xik и у/к, взвешенные по соответствующим
маргинальным частотам, имеют нулевые средние и единич-
ные дисперсии.	*

Рассмотрим конкретный пример. По данным выборочно-
го обследования 1036 работающих мужчин, состоящих в
браке, проживающих в крупном городе, изучается связь
между образованием мужа и образованием жены (табл. 4.6).

6 Зам. 1010	161
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ, %

Таблица 4.6

Образование нужа	Образование жены				
	6 классов и ниже	7 — 9	10—11	спацналь-	
	1	2	3	•	5
t. 6 классов и ниже  2. 7-9  3 10-11  4.	Среднее специальное  5.	Высшее	52,1  17,6  1,8  2,6  0,5	36,1  46,1  20,6  14.1  1,8	5,7 22,0 45,0 22,9 14,0	5,1  13,2  26.1  51,0  38,6	1,0  6*4  9.4  44,7
Итого	15,1	28,4	23,6	24,5	8,4

Частости условных распределений свидетельствуют о
наличии связи между переменными, это же подтверждает и
значение %2 = 689,915, намного превосходящее соответст-
вующую табличную величину критерия х?авл = 26,296
при уровне значимости а, = 0,05 и числе степеней свободы
df — 16. Концентрация данных по диагонали указывает
на присутствие линейной тенденции, однако имеются от-
клонения от нее. &го может оказаться случайным явлением,
а может носить и неслучайвый характер. Полную картвну
структуры изучаемой таблицы позволит выявить анализ
соответствующих ортогональных систем.

Собственные числа матрицы С ' NN' равны: Xj = 1,
Х2 = 0,4366, Ха= 0,1610, Х4= 0,0452,	= 0,0232. Соглас-

но (4.8) Xs = Ю36 • (1,6660 — 1) » 689,915. Найденные
значения канонических меток приведены в табл. 4.7.

Таблица 4.7
КАНОНИЧЕСКИЕ МЕТКИ

х,=в	.4366	at=o,i6io		0,0452		А, = 0.	0232
*ia	"I»	*is		«И		*.-6	
—1,497	—1,516	1,353	* 1,357	0,680	0,669	1,012	1,023
—0,629	—0,734	—0,369	—0,315	—0,639	-0,663	—0,994	—1.206
0,442	0,280	—1,081	—1,089	-0,514	—0,588	1 ,457	1,269
0,810	0,850	—0,347	—0,173	1,824	1,458	-0,548	—0,446
1.809	1,907	1,921	2,201	— 1,043	1—1,561	1-0,180	-0.474
Среди всех Aft, отличных от единицы, выделяется зна-
ченне соответствующее первой паре преобразованных
(канонических) переменных. Это подтверждает преоблада-
ние линейной тенденции в исходных данных. Корреляция
первой пары канонических переменных составила R2 —
— 0,6607. Полученная на их основе аппроксимация ис-
ходных данных представлена в табл. 4.8.

Таблица 48

ПЕРВАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. %
(К, =0.6607, Xj=466,S7)

Образование мужа	Образование жены				
	6 классов	7—3	10-11	среднее  специаль	высшее
	1	2	3	4	Б
1	. 6 классов и ниже  2	. 7—9  3	10—11  4	Среднее специальное  5	Высшее	35,4  22,9  6,4  2,6  0,0	45,6  38,7  22,6  17,2  2,6	15,8  21,7  26,6  27,6  28,1	3,2 16,1 31,6 37,5 44,7	0,0 0,6 12,8 15,1 24,6

Сравнение данных табл. 4.6 и 4.8 показывает, что первое
преобразование объясняет большинство случаев расхожде-
ния фактических и теоретических частот — соответствую-
щее значение теста %2 составляет 66,1% общей величины х2-
Вместе с тем сопоставление исходного распределения с его
аппроксимацией, соответствующей линейной тенденции,
выявляет расхождение расчетных и фактических величин —
например, строка 1 графы 1, 2, 3; строка 2 графа 2; строка
3 графа 3; строка 4 графы 4, 5; строка 5 графы 3, 4, 5. Эти
расхождения отражают наличие различного рода нелиней-
ных эффектов в исходных данных. Вторая, третья и четвер-
тая пары канонических переменных приводят к преобразо-
ваниям частот, представленным в табл. 4.9, 4.10, 4.11. Со-
ответствующие канонические корреляции и значения х*
представляют последовательно убывающие величины.

Частости условных распределений найденных таблиц
становятся все более стабильными и приближаются к рас-
пределению, соответствующему гипотезе о независимости
переменных. Рассматривая преобразованные данные, видим,
что вторая пара канонических меток позволила получить
несколько лучшую аппроксимацию исходных частостей в
Таблица 4.9

ВТОРАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ, %
№, = 0.4012. х§=160.75)

Образование мужа	Образование жены				
	6 классов н ниже	7 — 9	10-11	спецналь-	высшее
	1	2	3	4	5
1. 6 классов и ниже	25.9	23,4	Ю.1	22,2	18,4
2 7—9	12,2	29,7	27 4	25,1	5,6
3. 10-11	6,4  12.0	32,1	34,9	26,1	0,5
4. Среднее специальное		29,7	27,1	25,5	5,7
5. Высшее	30.7	21.9	3.5	21,1	22,8
				Таблиц	а 4 10
ТРЕТЬЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ, %					
№•=0.	2125. Xt-	47,60)			
		Образование		жены	
Образование мужа	6 классов и ниже	7—9	10—1 [	Среднее специаль- ное	высшее
	I	2	3	4	5
1. 6 классов и ниже	16,5	26,0	21,5	29,7	6,3
2. 7—9	13,8	30.8	25,7	19,5	10,2
3. 10—11	13,8	30,3	25,2	20,6	Ю,1
4.	Среднее специальное  5.	Высшее	18,8  13,2	21.4  32,5	18,2  26,3	38,5  16,6	3,1  11.4
				Таблиц	4.11
ЧЕТВЕРТАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. %					
№.= о.	1522. xg=	25.53)			
		Образование		жены	
				среднее	
Образование мужа	и ниже	7—9	10 I!	спецналь-	
	I	2	3	4	5
1.	6 классов и ниже  2.	7—9 -	17,7  12.7	22,8  33,6	28,5  18,9	22,8  26,3	8,2  8,5
3. 10—11	18.3	21,2	30,3	22,0	8,2
4. Среднее специальное  Б Высшее	13.5  14,8	31,3  29,0	21,4  22,8	25,5  24,6	8,3  8 8
строке 1 графа 3, в строке 3 графа 3. в строке 4 графа 5;
третья пара улучшила аппроксимацию данных в строке 4
графа 4; четвертая пара — в строке 3 графа 2. Причем час-
тоты всех преобразованных распределений существенно
отличаются от теоретических.

В нашем примере значения достаточно велики и по-
тому декомпозиция данных проводилась с учетом всех X*.
Если значения kk включают величины, близкие к нулю, по-
видимому нет смысла определять соответствующие им кано-
нические метки и проводить полностью декомпозицию час-
тот исходного распределения. В твких случаях полезно при-
нять какое-либо минимальное значение ограничиваю-
щее разложение исходной таблицы, например (min) =
= 0,01, и рассматривать только те канонические перемен-
ные, квадрат корреляции которых не ниже принятого ми-
нимального уровня. Заметим, что отбрасывание более низ-
ких собственных значений матрицы трудно формализовать,
так как канонический анализ таблиц сопряженности пред-
ставляет собой просто алгебраическое преобразование дан-
ных, не включающее случайной компоненты.

Приведенный пример показывает, что аппарат канони-
ческого анализа таблицы сопряженности не труден в при-
ложении и позволяет получить много полезной информа-
ции. В обсуждаемом примере было выделено два различ-
ных вида канонических переменных — первый, соответст-
вующий главной линейной тенденции в данных, и второй,
объясняющий природу отклонений от этой тенденции.

Рассмотренная техника анализа может быть обобщена
ка случай трех и более категоризованных переменных. Так,
при анализе трехмерной таблицы сопряженности формула
теста х2 может быть представлена следующим образом:
Тогда точно так же, как для двумерного случая, находятся
канонические метки х£а(д), затем

Zkah---~------- У,П1к У&ь-

ll)

Отсюда частоты преобразованного распределения равны:

•	I- П. ,t f. X1 г	>

~ I 1 +	^-a%iaUfa Zka'

Результаты канонического анализа зависят от числа ка-
тегорий, выделенных для каждой переменной, и потому
эффект нелинейности может появиться вследствие соеди-
нения гетерогенных категорий и исчезнуть при их разделе-
нии. В этой связи оченидно определенное сходство методов
оцифровки неколичественных переменных (в частности, на-
хождения ОПТНМВЛЫ1ЫХ меток) с методами многомерного не-
метрического шкалирования.

4.3. МОДЕЛИ ЧАСТОТ ТАБЛИЦЫ
СОПРЯЖЕННОСТИ

Развитие методов анализа сложных структур
социально-экономических объектов включает разработку
методов многомерного статистического анализа неколичест-
вениых переменных. Многофакторный анализ на основе
таблиц сопряженности выдвигает особые проблемы, свя-
занные главным образом с ограниченностью объема данных,
появлением в комбинационной таблице клеток с малой чис-
ленностью или вообще пустых. В этих условиях бывает труд-
но установить, какая из учтенных си язей существенна. Про-
верить статистически гипотезы о системе парных и множест-
венных взаимосвязей в группе категоризованных признаков
ха, хр позволяют модели частот таблицы сопряжен-
ности. Остановимся на этом вопросе, тем более что в оте-
чественной статистической литературе он до свх пор не по-
лучил достаточного освещения.

Предполагается, что выборочные частоты анализируе-
мой таблицы сопряженности л„-к. . порождаются теорети-
ческими частотами характеризующими генеральную
совокупность. Теоретические частоты отвечают опреде-
ленным ги потезам о связях, формулируемым в виде тех или
иных моделей. Соответствие фактических и теоретических
частот оценивается показателем, распределенным асимпто-
тически Xs- Существует большой класс моделей, которые
дают удовлетворительное объяснение данных.

Имеются три источника различий между тинами моделей
связи категоризованных переменных: способы представле-
ния зависимой и независимой переменных, метод оценива-
ния параметров модели.

Представление зависимой переменной зависит от способа
преобразования частот таблицы сопряженности. Рассмотрим
в соответствии с [62 [ все возможные преобразования при-
менительно к простейшему случаю — двум дихотомическим
переменным х п у (таблица 2x2). Наиболее широко ис-
пользуются преобразования, основанные на логарифмирова-
нии исходных частот. Преобразованные таким образом час-
тоты такой таблицы можно представить по логарифмически
линейной модели

кв(»м)-М-#+лУ+>?.	(4-15)

где — представляет взаимодействие переменных х и у.
В этой модели величина будет равна нулю только тогда,
когда две переменные не связаны. Эго можно показать, пред-
ставив формулу для

= Vflcfi (n>ib-log («к)—log («21) + log (Ml-	<4-16)

4

Известно, что если х и у независимы, то

п. я .
пц— -----'

п
с учетом этого;

4- log ^"2 " 8 ) j =-£- {[log (nv)-f-log (n.i)— log (я)] —

— [log («!•)+ log (n.a) — log (n)] —

— [logfnaJ + logfn.!)—10g(n)]4-

+ [log (ла ) + 19g (« г)—log («)[} =0.

Параметры модели (4.15) выбираются так, что

2# = 0	(4.17)

или в случае дихотомических переменных /.* = •—к*.

Логарифмическое преобразование частот необходимо
для того, чтобы получить линейную модель. В общем случае
имеем мультипликативную модель вида:

Пц — &г,? Tjf т$,	(4.18)

при этом log (tf) = 1*. Для дихотомической переменной
т£ = 1/tJ. Логарифмически линейная модель формализу-
ет предположения о взаимосвязях.

Если в основе анализа лежит гипотеза причинности и
одна из переменных может рассматриваться как зависвмая,
а другая — как независимая, то часто преобразуют не час-
тоты, а их отношение и получают модель логарифмов от-
ношений = Ин'Пц (в предположении, что у—зависимая
переменная). Обозначим логарифм отношения

тогда модель логарифмов отношений имеет вид:

Ф|^а + Р’

(4-19)

Величина Pf будет равна нулю только тогда, когда х и у
независимы.

Вторым путем преобразования исходных частот являет-
ся вычисление безусловных частостей	, что
позволяет построить еще одну линейную модель вида

eK.S},

(4.20)

где ex.v. — характеристика взаимосвязи между учтенными в
таблице переменными, равная:

®w —у	— ^12 ,^1	’

(4-21)

причем ая.„.^0, когда взаимосвязь отсутствует. Эго
составляет основной недостаток модели данного преобра-
зования частот.

Третий путь модифакации частот состоит в вычислении
условных частостей pt}. Этот подход так же, как и модель
логотношений, требует разделения переменных на зависи-
мые и независимые. Тогда	• гдеиг-—число единиц

t-й категории независимой переменной х. Полагая у зави-
симой переменной, можно записать линейную модель услов-
ных частостей (вероятностей):

Ри=а + Ьх..	(4.22)

Здесь параметр Ьх. характеризует связь между х и у, ои ра-
вен нулю тогда, когда хну независимы В таблице 2x2
параметр Ъх. рваен:

(Рч— Р12) —----— (Pit Р12Р (4.23)

Так как при независимости х и у условные частости равны:
Ри ~ Ри — я1Уп» то в этом случае

bx	(fhln—n.rfn) = 0.

Таким образом, параметр взаимосвязи переменных в ли-
нейной модели условных частостей будет равен нулю в слу-
чае отсутствия связи, так же как и соответствующие пара-
метры логл инейной модели (4.15) и модели логотношений
(4.19). Можно показать эквивалентность всех трех моделей
для случая двух дихотомических переменных. В других
случаях ситуация становится более сложной. Эквивалент-
ными оквзываются логлинейная модель и модель логотно-
шений, их соотношения не зависят от размеров таблицы.
тогда как модель условных частостей дает другие резуль-
таты.

Остановимся на сравнении модели логотношений с ли-
нейной моделью условных частостей. Рассмотрим случай
трех переменных х, у, г, каждая из которых принимает два
значения (таблица сопряженности 2x2x2), причем пе-
ременную у будем интерпретировать как зависимую, а х и
z — как независимые. Если объединить категории неза-
внсвмых переменных х и z и вычислить отношение частот по
строкам, то эти отношения можно выразить как через без-
условные, так и через условные частости:

йу =nnilnI]z=dljildlj2~pijilPu2< (4.24

где diik = Pijk/pu-

Анализируя таблицу 2x2, испытаем гипотезу о нали-
чии эффекта взаимодействия х и z при влиянии их на у. Эта
гипотеза в модели отношений частот имеет выражение:

(Рщ/Рш) (Рш/Р1в) _ ]	(4 25)

(Р111/р2и) (Р131/₽5и)

или, переходя к логарифмам отношений:

1<W—1 -losf—) +	)-<>. (4.26)

\ Рш 1 \Pvai \ Paa /	\ Pin /

Таким образом, для логлимейной модели испытание ги-
потезы о взаимодействии основано ка суммах и разностях
логарифмов отношений. Для линейной модели условных
частостей проверка гипотезы о взаимосвязи происходит на
основе вычисления разности

(Рт — Р121) — (Ран — Pzzi) — Pm — Р121 — Ptu 4" Ргы =
= 0.

Можно записать общее условие для проверки гипотезы о
взаимодействии переменных, если обозначить через f функ-
цию частостей, используемую либо в линейной, либо в лог-
линейной моделях:

W.2-0	(4.27)

В многофакторных таблицах сопряженности (например,
2x2x2) линейная и логлинейная модели не дают оди-
наковых результатов в отношении взаимосвязи переменных.
Различия между моделями увеличиваются и в случае, если
мы имеем не дихотомические переменные (например, таб-
лица не 2 X 2, а 2 х г). Тогда для линейной модели мы
должны выбрать некоторую функцию условных частостей
fi=f(pn.Pi2..................Pir) .	(4.28)

Для модели логотношений мы должны выбрать некоторый
набор отношений

lh = Pillf(Pn.Pa..PiA.	(4-29)

где f (рц, Pii, .... Pir) — некоторая функция категорий
зависимой переменной.

Основное различие между условными частостями и ло-
гарифмами их отношений состоит в том, что модели, исполь-
зующие условные частости, предполагают, что теорети-
ческое расстояние между частостями, например, 0,5 и 0,6
равно расстоянию между частостями 0,8 и 0,9. Модели, ис-
пользующие логарифмы отношений, растягивают это рас-
стояние. Так, расстояние между 0,8 и 0,9 в этом случае бу-
дет примерно в два раза больше, чем расстояние между 0,5
и 0,6.

Из-за различий в метрике результаты, полученные в раз-
ных моделях, могут быть различны. Например, показатели
взаимодействия, которые могут присутствовать в одной мо-
дели, могут отсутствовать в другой. Какой набор расстоя-
ний между категориями лучше — это зависит от особенно-
стей конкретного анализа.

Помимо теории изучаемого вопроса на выбор модели ока-
зывают влияние два момента, связанные с особенностями
той или иной статистической техники. Часто отмечается,
что использование линейной модели условных частостей
может привести к предсказуемым частостям, значения
которых выходят за естественные пределы 0 и 1 (59), [74J.
Однако ка практике это свойство модели условных частостей
может не проявиться. Обычно проблема возможного полу-
чения оценок частостей, выходящих за интервал (0; 1) во-
зникает только тогда, когда наблюдаемые частости очень
близки к нулю или к единице и основаны на малом объеме
данных [621.

Второе соображение, связанное с выбором между двумя
рассматриваемыми моделями, касается интерпретации оце-
нок параметров, полученных на основе той или иной модели.
Параметры модели логарифмов отношений представляют
собой изменение логарифма отношений функций зависимой
переменной при движении по независимой переменной от
одной категории к другой. Если функция зависимой пере-
мениой принимает форму условных частостей, то параметр
модели представляет собой изменение в самих частостях
и оценки параметра прямо связаны с изменениями в часто-
стях при движении от категории к категории независимой
переменной. Такие модели могут иметь более четкий интуи-
тивный смысл, чем модели логарифмов отношений, особенно
если частости даны в процентном выражении.

В отношении независимых переменных вид модели за-
висит от отношений между ними. Чаще всего имеют дело с
гремя типами модели: ненерархическими, иерархическими
и условными. Эти модели включают влияние каждой неза-
висимой переменной и многочисленные эффекты их взаи-
модействия. В иерархических моделях сначала включаются
все основные эффекты независимых переменных, прежде
чем будут включены в модель эффекты от их взаимодейст-
вия; в неиерархических моделях взаимодействие может быть
включено, даже если один или более главных эффектов опу-
щены.

В условных моделях воплощен специфический подход
к трансформации взаимодействий переменных в произведе-
ние главных эффектов. При этом подходе выявляются ос-
новные эффекты одной независимой переменной, которые
обнаруживаются при закреплении уровня другой незави-
симой переменной. Основной проблемой использования
условных моделей является то, что необходима строгая ие-
рархия независимых переменных — выделение среди них
«превосходящей» переменной, которая влияет на то, как
другие независимые переменные связаны с зависимой пере-
менной, последние же не влияют на взаимоотношения пре-
восходящей и зависимой переменных [77]. Эго положение
приблизительно эквивалентно положению однонаправлен-
ной причинности, которое вводится в рекурсивном путевом
анализе.

Параметры модели частот таблицы сопряженности мо-
гут быть найдены любым подходящим методом, среди кото-
рых основными являются метод максимума правдоподобия
и метод взвешенных наименьших квадратов. Различия в
эффективности названных методов определяются главным
образом объемом данных Чаще всего предпочтение отда-
ется максимально правдоподобным оценкам, так как для
их расчетов используются только маргинальные частоты.

Ввиду того, что наибольшее распространение получила
логлинейная модель, следующий параграф специально по-
священ методическим вопросам логлинейного анализа.
4.4. ПОСТРОЕНИЕ И СРАВНЕНИЕ
ЛОГ.ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

Метод логлинейного анализа таблиц сопряжен-
ности был создан для изучения систем из нескольких нали-
чествующих одновременно асимметричных влияний, пар-
ных и множественных взаимосвязей категоризованных пе-
ременных. Методологические и методические аспекты лог-
линенного анализа рассмотрим на условном примере срав-
нительного изучения установок работающих женщин,
имеющих детей-подростков, на профессиональную работу
женщины или семью, и установок по этому вопросу их му-
жей. Предположим, что женщина может выбрать один из
трех вариантов ответов на вопрос А: «Если бы Вашему му-
жу увеличили заработную плату на сумму Вашего заработ-
ка при условии Вашего увольнения с работы, то что бы Вы
предпочли? — «Уйти с работы» (I = 1), «Остаться рабо-
тать» (i = 2), «Затрудняюсь ответить» (/ = 3). Таким об-
разом, переменная А — индикатор ориентации ка профес-
свональную деятельность или семью имеет три категории.
В каждом конкретном случае выбор женщиной той или
иной альтеркатнвы при ответе на вопрос А определяется ин-
дивидуальным сочетанием значений различных факторов.
Потому для установления характера статистических зако-
номерностей распределения ответов, свойственных различ-
ным категориям женщин, рассмотрим условные группы,
отличающиеся друг от друга по размеру денежного дохо-
да на одного члена семьи и по уровню образования. Пусть
переменная В — доход имеет пять категорий (/ — 1 — око-
ло 50 руб./чел., / = 2 — 51—75 руб./чел., / = 3 — 76—
100 руб./чел., j = 4 — 101—125 руб./чел., j = 5 — свыше
125 руб./чел.), а переменная С — образование работающей
женщины — шесть категорий (k =- 1 — начальное, k —
2 — неполное среднее, k = 3 — общее среднее, k -= 4 —
среднее специальное, k = 5 — незаконченное высшее,
k = 6 — высшее). Предположим теперь, что каждый из
мужей отвечавших женщин также может выбрать один
из трех вариантов ответа на вопрос А': «Если бы Вам
увеличили заработную плату на сумму заработка Вашей
жены, при условии ее увольнения с работы, то что бы Вы
предпочли? — «Жена должна уйти с работы» (t = 1),
«Она должна остаться работать» (/ — 2), «Затрудняюсь отве-
тить» (/ = 3). Таким образом, измерение переменной А' —
установки на профессиональную деятельность замужней
женщины или на ее деятельность только в семье у мужчин
осуществляется таким же способом, как и у женщин. Как
и в предыдущем случае, в анализ следует включит^» постро-
енные идентичным образом переменные В' — доход и С' —
образование мужчины. Фактор В — доход, который, кста-
ти, по условию задачи не изменится в случае ухода жены с
работы, введен в анализ, чтобы не только в чистом виде выя-
вить характер влияния образования на установку мужчи-
ны, но и учесть возможные изменения этого влияния в за-
висимости от различных сочетаний уровней душевого дохо-
да и уровней образования (взаимодействие образования и
дохода). Условные исходные данные представлены в
табл, 4.12 и 4.13.

Таким образом, мы формально изучаем одну и ту же сис-
тему из трех переменных, измеренную на различных объек-
тах (женщины — АВС, мужчины А'В’С), хотя , по суще-
ству, имеем дело с двумя различными явлениями А и А’.

Логлииейная модель системы из трех переменных за-
пишется в виде

1п Гць = е + + Xf + Х^ + х£в + х£с+хДс + х^с. (4.30)
где Ftjh — ожидаемая частота ячейки (i, /, А) трехмерной
таблицы сопряженности, вычисленная при условии неза-
висимости переменных А, В, С“, параметры X определяют
вклад в логарифм ожидвемой частоты переменных как по
отдельности, так и вследствие их взаимодействия1.

Параметры X логлинейной модели (4.30) удовлетворяют
условиям:

5X^ = 0,...; 2xi}fl=2jXj}e=0,...;

<»)	<0	(г)

(4-3!)

V 1 ABC VI 1 ДВС V11 ABC f.

ZjNfk -.ZjA-ijk =	= V.

<0	(7)	(*)

’Кроме самостоятельного интереса, который представляет ана-
лиз влияния одной (независимой) переменной на другую (зависи-
мую), исследователей часто интересует, будет ли это влияние оди-
наковым для всех уровней (категорий) еще одной (второй) незави-
симой переменной. Если оно неодинаково, то говорят, что сущест-
вует взаимодействие между двумя независимыми переменными В
нашем условном примере исследователей интересует, имеет ли мес-
то взаимодействие между образованием (С) и доходом (В), отражаю-
щееся на влиянии образования на установку по поводу профессио-
нальной деятельности женщин.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

С	в	А		
			(=2	/—з
	!	(уЯтк)	(остаться)	(затр- отв.)
I. Начальное	1 Около 50	3	2	5
	2. 51—75	2		4
	3 76—100	1	2 •	3
	4 101—125	0	0	0
	5. Св. 125	0	0	0
2 Неполное	1 Около 50	1	9	3
среднее	2. 51—75	3	3	4
	3. 76—100	2	4	0
	4. 101—125	0	0	0
	5 Св. 125	0	0	0
3. Общее сред-	1. Около 50	12	25	17
нее	2. 51—75	8	17	11
	3 76—100  4. 101—125	5  1	7	3  1
	5. Св. 125	0	0	0
4. Среднее спе-	1. Около 50	6	12	2
циальнсе	2. 51—75	5	22	Б
	3. 76-100	2	6	6
	4. 101—125	0	4	1
	5. Св. 125	0	0	0
5 Незакончен-	1 Около 50	4	13	8
ное высшее	2 51—75	5	36	7
	3 76-100	5	18	7
	4 101—125	3	8	2
	5. Св 125	0	3	0
6. Высшее	1 Около 50	0	1	0
	2. 51—75  3. 76—100	0	0	1 0
	4 101—125  5 Св 125	0	2  1	1 0
Общее число ответов	359			
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
(модель устаиован мужчин)

С	в	А		
ь	t	(уйти)	1=2  (остаться)	1=3
1 Начальное	1 Около 50  2.	51—75  3.	76-100  4.	101—125  5.	Св 125	2 3  2  0	4  3 0  0	4  6  2 0  0
2. Неполное среднее	1 Около 50  2.	51—75  3.	76-100  4.	101-125  5.	Св. 125	18  14  5  2  0	16  9  9  0  0	9  10  4  2 0
3. Общее сред-	1.	Около 50  2.	51—75  3 76—100  4 101—125  5. Св. 125	6  7  4  0	9 6  2  0	3 9  2 0  0
4 Среднее спе- циальное	1 Около 50  2. 51—75  3 76-100  4. 101—125  5 Св. 125	9  3 0	9 6  1 0	2 2  2 0  0
5 Незакончен- ное высшее	1.	Около 50  2.	51—75  3.	76—100  4.	101—125  5	Св. 125	0  0  0 0	2 0  0  0 0	0  0  0 0
6. Высшее	1.	Около 50  2.	51—75  3 76-100  4 101—125 '  5	Св 125	2  5  9  5  2	13  19  13	2  7  7  2
Всего ответов	323			
Оценки параметров вычисляются но формулам, подоб-
ным формулам оценок параметров для моделей дисперсион-
ного анализа:

V,=ni_.—п ;

Х?в=Ли.—(4.32)

. 4-n.j. -f-л..-k—nfj. ——П-jit—n. -

Здесь точка в подстрочном индексе обозначает среднее
значение по опущенному индексу, так

й... = 4- 2 пиь,	(4.33)

# u.i.k)

где niJh — наблюдаемая частота ячейки (/, /, ky, N — чис-
ло ячеек таблицы сопряженности.

В табл. 4.14 показаны оценки логлинейпых параметров
модели (4.30), рассчитанных по данным для мужчин. Ана-
логичную таблицу для модели установки женщин мы не
приводим в тексте из соображений экономии места.

Оценка дисперсии параметра 1 для насыщенной модели

, ,ал .zh .zc,,
.л-.)-!,,

4 '  ’ \ик]

(4.34)
где б«^ — 1, если А принадлежит группе переменных Z и
i — i’, в противном случае би4 = 0 Подобным же спосо-
бом вычисляются б™, б**-.

Оценки логлинейных параметрон, деленные ка их стан-
дартные ошибки (X/Sj.), для модели установки мужчин по-

казаны в табл. 4.15 (аналогичную таблицу для модели ус-
тановки женщин мы не приводим).

Математическая сторона алгоритмов оценки параметров
подробно описана в работах [58], (59]. Если разделить по-
лученную в результате расчетов оценку X ка оценку его
среднеквадратичного отклонения S^, то получим стандар-
тизованное значение оценки параметра. Это значение мо-
жет быть использовано для сравнения относительного вкла-
да каждого параметра в и тем самым для выявления
сравнительного значения алияний отдельных переменных,
каждой парной и множественной взаимосвязи.

В литературе отмечается, что, исключая из насыщенной
л		Осталась	Затр. отв.
	0,085	0,080	—0,166

2

°	Около 50	51—75	76 — 100	101-125	Свыше 125
	0,421	0,851	0,392	—0,489	—1,176

3

с	Начальное	Неполное среднее	Общее	Среднее спецкаль-	Неполное высшее	Высшее
	-0,222	0,524	0,066	—0,032	-1,233	0,896

в	А		
	Ушла	Осталась |	Затр. отв.
Около 50	—0,061	0,086	—0,024
51—7Б	—0,012	—0,093	0,105
76-100	—0,073	0,163	—0,090
101—125	0,275	0,163	-0,113
Свыше 125	—0,129	0,007	0,122

		А	
		Осталась	Затр. отв.
Начальное Неполное среднее Общее среднее Среднее специальное Неполное высшее Высшее	—0,098 0,101 0,076  0,317  -0.119  —0,276	-0,077  —0,214  0,011  0,006  —0,012  0,287	0,175  0,114  —0,087  —0,323  0,132  —0,011
6

С	в				
	Около	51-75	76—100	101 —  125	Свыше
Начальное	0.315	0,120	0,065	—0.410	0,090
Неполное среднее	0,911	0,257	о,нс	—0,449	- 0.837
Общее среднее	0,511	0,336	—0,13£	—0,331	—0,378
Среднее специальное	—0,241	0,194	0,271	0.049	0,280
Неполное высшее	—0,13£	—0,372	—0,645	0,235	0,921
Высшее	-1,365	—0,536	0,331	0,906	0,664

С	в	А			
		Ушла	1 Осталась		Чятр	отя
Начальное	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	—0,318  —0.266  —0.027  0,470  0,142	0,107  0,051  0,059  —0,207  —0,010	—1  —с	,211 ,214 ,031 ,263  ,131
Неполное среднее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	0,136  0,075  —0,229  0,075  —0,057	0.194  0,053  0,403  —0.776  0.127	—0,330  —0,127  —0,174  0,701  —0,070	
Общее сред- нее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	—0,020  —0,180  0,303  —0,070  —0,032	0,282 —0,172 —0,450  0,438 —0,098	—0,262 0,353 0,147  —0.367 0,131	
Среднее специальное	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	0,221  0,055  —0,256 0,254  —0,273	—0.709 0,451 0,192 0,160  —0.094	0,488  —0.506  0.065  —0,413  0,367	
Неполное высшее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	—0,441  0,412  0.107  —0,241 0,163	0,919  —0,707  —0,231  0,095  —0,075	—0,478 0,295 0,124 0,147  —0,088	
Высшее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	0,423  —0,096 0,103  —0,487 0,057	—0,794 0,324 0,028 0,291 0,151	0,371 —0,228 —0,131  0,196 —0,208	
	Ушла	Осталась	Затр. отв.
	0,644	0,688	-1,188

2

В	Около 50	51-75.	76 —100	ci —iso	Свыше [26
	2,637	6,035	2,373	-2,26)	-4,549

3

с	Начальное	Неполное среднее	Общее среднее	Среднее Специаль-	Неполное высшее	Вщее
	-1,005	2,679	0,318	—0,153	-4,215	6,360

в	А		
	Ушла	Осталась	Затр. отв.
Около 50	-0,270	0,397	—0,105
51—75	—0,064	-0,444	0,533
76—100	-0,315	0,705	—0,377
101—125	0.984	—0.522	—0,349
Свыше 125	—0,355	0.020	0,332

		А	
	Ушла	Осталась	Затр отв-
Начальное  Неполное среднее  Общее среднее Среднее специальное Неполное высшее  Высшее	-0,325 0,378  0.270  1,140  —0,289 —1,392	-0.245  —0,732  0,037  0,022  -0,030  1,462	0,550  0,419  —0,281  —1.021  0,317  —0,052
МОДЕЛИ УСТАНОВКИ МУЖЧИН (4 301

6

С	в				
	Около 5о| 51-75		76—100	Ifil —125|свыше125	
Начальное  Неполное среднее Общее среднее Среднее специальное Неполное высшее Высшее	0,985  3,620  1,773  —0,703  —0,254  —4,290	0,405  1,042  1,264  0,681  —0,752  —2,401	0,192  0,393  —0,426  0,895  —1,061  1,470	-0,757  —1,005  -0,693  0,106  0,377  3,322	—0,148 — 1.390 —0.624 —0,462  1,439 1.910

с	в	А		
		Ушла		Затр отв
Начальное	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	—0.686  —0,633  -0.057  0.702 0,165	0,242  0,119  0.124  —0256  —0.012	0.468 0,519  —0,064  —0,324  —0,152
Неполное среднее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	0,389  0,225  —0.585  0,135  -0.067	0.535  0,143  1,016  —1,042  0,148	—0,905  —0,372  —0,430  1.209  -0,082 |
Общее среднее	Около 50 51—75 76-100 101—125  Свыше 125	—0.051  —0.494  0.696  —0,115  —0,038	0,734 —0.452 —0.970  0,695  —0,115	—0,597 0,921  0,305  —0,476  0.151 .
Среднее специальное	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	0,497  0,148  —0,610  0,457  —0,321	—1,392  1,159  0,459  0,258  —0,110	0,984  —1,132  0,136  —0,541  0,424
Неполное высшее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	—0,540 0,632 0,124 0276 0,180	1,375  —0,906  —0,289  0,107  —0,063	—0,584 0,450 0.144 0,165  - 0.097
Высшее	Около 50 51—75 76—100 101—125  Свыше 125	0,964  —0,301  0,322  —1,294  0,115	—1,690  1.002 0,092 0,765  0.322	0,841 —0,707 —0.395  0.489  0.414
модели стандартизованные параметры X/S?., равные нулю,
можно перейти к модели, более адекватной исходным дан-
ным кли априорным предположениям об отношениях между
переменными 158]. Этот прием может служить изаестной
альтернативой (или дополнением) к изложенному далее
способу определения порядка и состава «наилучшей» лог-
линейной модели

Модель (4.30) является иерархической по построению,
поскольку в ней учтено множественное взаимодействие А,
В, С, а это означает допущение существования связей в лю-
бой подгруппе из составляющих «старшую» взаимосвязь
(АВС) переменных, и поэтому в модель включены твкие па-
раметры, как ХЛЙ, Хес, Хлс, Хл, Xs, Xе. Когда предпо-
лагается, что между переменными нет взаимосвязи, в мо-
дель не включается соответствующий Х-параметр. Поря-
док логлинейной модели равен наибольшему числу пере-
менных, соответствующих старшему параметру, входящему
в модель.

Модель (4.30) включает все возможные взаимосвязи пе-
ременных, т. е. является насыщенной (полной). Эта модель,
исходная для поиска модели, наиболее адекватной анали-
зируемой таблице сопряженности, в состав которой долж-
ны быть включены только параметры, соответствующие су-
щественно взаимосвязанным переменным. Поиск такой мо-
дели состоит из следующих основных этапов: 1) определе-
ние порядка логлинейной модели; 2) отбор параметров за-
данного порядка для включения в итоговую модель.

Напомним, что логлинейная модель считается имеющей
порядок k, если любые k -р 1 и более переменных одновре-
менно независимы. Поэтому для определения порядка мо-
дели проверяются гипотезы о независимости любых k 4- 1
и более переменных с помощью критериев у,2 и Хаю (мак-
симального правдоподобия). Число степеней свободы для
обеих статистик df = п — р, где п — число всех ячеек та-
блицы, а р — число оцениваемых ожидаемых частот при
условии независимости переменных. Для информационной
статистики Хлю справедливо равенство (свойство аддитив-
ности критерия хЛь Для вложенных моделей)1:

Al (ЛЦ = ЙЫЛУМ,) Ч- zbi (*,)	(4 -35)

Аналогичное равенство справедливо и для степеней свобо-
ды соответствующих критериев максимального прав-

1Модсль Др называется вложенной в модель Л1в, если все на
раметры Л41 входят в
доподобия. Определение порядка модели этим способом
в нашем случае показано в табл. 4.16.

Таблица 4.16

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА МОДЕЛИ
(ТЕСТЫ НЕЗАВИСИМОСТИ *+1 ПЕРЕМЕННЫХ)

Порядок модели ft	степеней свободы dl	XML		X*	В (X •- Хтабл!

О
I

2

О
1

2

89

78

40

89

78

40

Модель установки женщин

I 515,15 I	0,0	I 741,6 1 0,0

91,04	0,1484	97,17	0,07

| 22.81 |	0,9868	| 22,43 |	0,9888

Модель установки мужчин

I 359,45 I	0,0	I 414.73 I 0,0

115.71	0,0038	115,21	0,0041

| 18,85 |	0,9982	| 18,44 |	0,9966

Кроме того, для параметров каждого k-ro порядка про-
веряется гипотеза об одновременной независимости соот-
ветствующих им переменных при помощи тех же критери-
ев. Так, для параметров третьего порядка (в нашем случае

и C ) проверяется гипотеза об отсутствии
тройного взаимодействия (АВС) и (Л'В'С'). В табл. 4.17
показана проверка этой гипотезы для нашего случая. Сов-
местная проверка двух изложенных выше гипотез позво-
ляет определить порядок модели, наилучшим образом от-
ражающей структуру взаимосвязей переменных. В нашем
примере k = 2 в моделях установки и мужчин, и женщин.

Следующим этаном является отбор параметров модели,
т. е. включение в модель только тех параметров, которые
отражают лишь существенные влияния и взаимодействия
переменных. Для решения этого вопроса (проверки соответ-
ствующей гипотезы) используется информационный крите-
рий Xml- Сначала вычисляется‘разность значений критери-
ев Хлл. рассчитанных соответственно для насыщенной мо-
дели fc-ro поридка и модели, отличающейся от насыщенной
отсутствием проверяемого на существенность параметра.
Критерий, построенный таким образом, называется крите-
рием частной связи переменных. Критерий Хл«- для мар-
гинальной связи строится подобным же образом с той лишь
разницей, что его значения вычисляются по таблице, полу-
ченной суммированием частот исходной многомерной таб-
лицы сопряженности по категориям переменных, не вхо-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА МОДЕЛИ
(ГЕСТЫ НЕЗАВИСИМОСТИk ПЕРЕМЕННЫХ)

Порядок подели k	степеней свободы df	ХАИ.	Р (XML'- Хтабл 1	X*	₽(х*«;х?абл)
1	И	Модель  404,11	установки женщин  0,0	1 614,43		0,0
2	38	68,23	0,0019	74,74	0,004
з	40	22,81	0,9868	22,43	0,9888
1	11	Модель  243,74	установки мужчин  0,0	I 299,62		0,0
2	38	96,86	0,0001	96,77	0,0001
3	40	18,85	0,9982	18,44	0,9986

дящих в исследуемый на существенность параметр. Число
степеней свободы для критериев частной и маргинальной
связи для группы переменных Z вычисляется по формуле

df = (/— !)'“ (7—1)»™ (Д'— 1 )»zc...,	(4.36)

где I, J, К — число категорий признаков А, В, С соответ-
ственно, bZA — 1, если А входит в Z, и f>ZA = 0 в против-
ном случае и т. д.

Критерии частной и маргинальной связи эквивалентны
для X—параметров, представляющих влияние отдельно взя-
тых переменных. Отбор параметров производится по сле-
дующему правилу: а) если оба критерия (частной и мар-
гинальной связи) показывают существенность параметра,
го он не исключается из исходной полной модели; б) если
оба критерия указывают на его несущественность, то пара-
метр исключается из модели; в) если же по одному из кри-
териев параметр существен, а по другому нет, то необхо-
димо специальное исследование его смысла и значения.

Результаты расчетов критериев частвой и маргинальной
связей для нашего примера сведены в табл. 4.18.

Рассмотренная нами выше последовательность действий
исследователя — движение от насыщенной модели к моде-
ли, в статнствческом смысле адекватной эмпирическим
длнны.м, — представляет собой одну из двух возможных
тактик поиска модели, объясняющей результаты наблюде-
ний. Логика действий в этом случае во многом напоминает
подробно разобранную выше логику факторного анализа
с минимальными априорными гипотезами о существе ис-
184
ОТБОР ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ПО ТЕСТАМ ЧАСТНОЙ
И МАРГИНАЛЬНОЙ СВЯЗЕН

Проверяе- мы*	|cS&CHed j "астн ।  [свободы dfj	I	| f СХ*^Хтабл11 XML марг |	

Модель установки женщин

А	2	66,35	0,0000		
В	4	188,90	0,0000		
С	5	168.86	0.0000		
АВ	8	1,69	0,9891	2,57	0,9582
АС	10	20.49	0.0249	21,38	0,0186
ВС	20	44,28	0.0014	45,16	0,0011
АВС	40	22,81	0,9868		
		Модель установки мужчин			
А-	2	11,19	0,0037		
В'		108.15	0,0000		
С9	5	124,40	0,0000		
А’В'	8	2.72	0.9509	3,71	0,8826
А’С	10	13,47	0.1987	14,46	0,1531
Б'С	20	78,69	0,0000	79,68	0,0000
А'В'С’	40	18.85	0,9982		

следуемого явления — исследователь указывает лишь круг
переменных описания без выдвижения каких-либо содер-
жательных предположений об отношениях между перемен-
ными, без разделения их на объясняющие и объясняемые,
ка независимые и зависимые. Иначе говоря, задается мно-
гомерная таблица сопряженности и при этом не делается ка-
ких-либо априорных предположений о механизме ее фор-
мирования. Такая тактика, появление которой во многом
обусловлено возможностями перебора различных вариан-
тов модели, предоставляемыми современными быстродейст-
вующими ЭВМ, удобна и целесообразна лишь на начальных,
разведывательных стадиях социально-экономических ис-
следований. Она особенно эффективна в тех случаях, когда
имеется возможность диалогового режима работы на ЭВМ
с помощью видеотерминала. Однако, как и в случае фак-
торного анализа, сугубо статистический, формально-ло-
гический подход к построению логлинейной модели, адек-
ватной данным наблюдения, должен быть дополнен пред-
метно-содержательным анализом исследуемого явления.

Вторая тактика построения логлинейной модели, наи
лучшим образом отражающей структуру взаимосвязей
переменных, — это движение от содержательных гипотез
об отношениях между переменными к модели с последующей
проверкой ее на статистическую адекватность и оценкой
параметров.

По обоим критериям существенны взаимосвязи А и С,
А' и С, В и С, В' и С и несущественны — А и В, А' и В'.
Следовательно, анализируемым таблицам сопряженности
адекватны модели

1° jh—6 +	+ Xf + X? Ч-ХДС + Хр.	(4.37)

и

InFm-S' + lf +Х,®+й’+й'с' + ^'с'. (4.38)

Иначе говоря, для адекватного объяснения трехмерных
исходных данных в нашем условном примере достаточно
двух двумерных таблиц (АС) и (ВС) в модели установки жен-
щин и аналогичных таблиц (А'С') и (В'С") в модели установ-
ки мужчин и не требуется дополнительная информация, ко-
торая может быть получена из таблицы (АВ) или (А" В') и
таблицы (АВС) или (А'В'С'). Мы доказали также отсутствие
взаимодействия второго порядка ЛВС (или Л'В'С") и от-
сутствие взаимодействия АВ. Статистическая интерпрета-
ция этих результатов следующая:

а)	связь между установкой (А) и образованием (С) одна
и та же на различных уровнях В, т. е. при различных разме-
рах душеного дохода;

б)	связь между доходом (В) и образованием (С) одна и тв
же при наличии или отсутствии А;

в)	связь между установкой (А) и доходом (В) одна и
та же при различных уровнях образования, и она не сущест-
венна.

Обратим внимание, что модель установки по своей струк-
туре одинакова и у мужчин, и у женщин. Оценки же пара-
метров X в моделях АВС и А'В'С различны.

Равенство нулю Х-параметров множественной взаимо-
связи и некоторых из параметров парных взаимосвязей
может быть ассоциировано с отсутствием дуги на графе, вер-
шины которого обозначают переменные, а дуги — парные
связи [581. 11 наоборот, если начать разработку причинной
модели с построения гипотетического графа влиянии, от-
сутствие дуги означает, что в модели должен отсутствовать
соответствующий Х-параметр.

Для нашего примера граф изоморфный модели (4-33)—
(4.34), изображен на рис. 4.1. Как и в случае рекурсивных
причинных моделей, спецификация переменных на причины
и следствия проводится исследователем на основесодержа-
гельных соображений.
Разработка логлинейной модели, изо- pg
морфной гипотетическому графу отноше- X.
ний качественных переменных, — это и	х,

есть вторая тактика поиска модели, вдек-	г-^-т

ватной данным, о которой мы упоминали	'

выше. Последовательность действия иссле-
дователей в этом случае такова: поскольку
высказанная система гипотез накладывает I—'
на возможные связи переменных определен-
ные ограничения, то уравнение модели бу- Рис-
дет неполным, а всю необходимую (мини-
мально достаточную) информацию будут содержать марги-
нальные таблицы, соответствующие «старшим» связям, по-
стулированным в модели (в нашем примере — это {АС} и
{ВС)). Следовательно, достаточно рассчитать максимально
правдоподобные оценки частот этих таблиц на основе мо-
дели и полученные ожидаемые оценки (таблицы) сопоставить
с наблюдаемыми, оценив сходство таблиц по критерию уда.-

Возможности логлинейного анализа при построении при-
чинных моделей со многими переменными ограничены в силу
того, что это асимптотический метод, требующий для полу-
чения надежных оценок параметров большой наполненно-
сти ячеек таблицы, т. е. выборок большого объема. Обычно
в логлинейных моделях оперируют не более чем с 4—6 пере-
менными, имеющими до 3-5 градаций каждая, что пред-
полагает общий объем выборки от 500 до 5000 объектов.
Выявление структуры отношений многих качественных пе-
ременных (построение графа ио результатам модельных рас-
четов) с использованием логлинейного анализа возможно
путем последовательного построения моделей пересекаю-
щихся подгрупп признаков, каждая из которых состоит из
нескольких переменных. При этом следует учитывать и то,
что множественные взаимодействия высоких порядков на
практике встречаются крайне редко [241.

Логлинейные модели представляют исследователям воз-
можность анализировать взаимосвязи переменных как в
целом по структуре связей и их тесноте, так и детально,
изучая взаимоотношения конкретных значений переменных
в изучаемой структуре. Последнее обстоятельство открывает
дополнительные возможности и для разработки причинных
моделей не только для связей, рассмотренных в целом, но
и для локальных связей, ио отдельным сочетаниям различ-
ных градаций входящих в связь переменных.
Литература

I.	Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного ста-
тистического апализа. Ученые записки по статистике, т. 36. М..
Наука, 1980.

2.	Андреенков В. Г. Метод моделировавии и его Примене-
нение в социологических исследованиях. Автореф. иа соиск.
учен, степени канд. филее, паук. М , 1977.

3.	Аидрукович Г1 Ф Применение метода главных ком-
понент в практических исследованиях. Межфакультетская
лаборатория статистических методов. М., изд МГУ. 1973.
вып. 36.

4.	Б елл маи Р., Заде Л. Принятие решений в расплыв-
чатых условиях. — В ки.- Вопросы анализа и процедуры
принятии решений. Пер. с англ. М , Мир, 1976-

5.	Болч Б. .Хуань Ч. Многомерные статистические методы
для экономики. Пер с англ. М., Статистика, 1979.

6.	Б о р о д к и в Ф. М. Об одной схеме причинного анализа. —
В ки.: Математика и социология. Новосибирск, изд. ИЭиОПП
СО АН СССР, 1972.

с к и й А. Л Аппроксимационный подход к решению систем
структурных уравнений регрессии. — Автоматика и телеме-
ханика, 1978, № И.

8.	В о л ь д Г. Путевые модели с латентными переменными: под-
ход N1PALS. — В кн : Математика в социологии/Под ред. Аган-
бегяна А. Г. и др М , Мир, 1977.

9-	В о ш и и и н А. П. Регрессионные задачи с коррелированными
входами и метод главных компонент. — Вопросы кибернетики,
I97C, вып 27.

10.	Джонстон Дж. Эконометрические методы. Пер. с англ.
М_, Статистика, 1980.

11.	Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный ана-
лиз Пер. с англ. М , Статистика. 1973.

12.	Д у б р о в А. М Обработка статистических данных методом
главных комповепт. М., Статистика, 1978.

13.	Елисеева И. И , Рукавишников В. О. Группи-
ровка, корреляция, распознавание образов. М , Статистика,
1977.

И. Жуковская В. М , М у ч и и к И. Б. Факторный ана-
лиз в социально-экономических исследованиях. М., Статисти-
ка, 1976.

15.	3 а д е Л. А. Понятие лингвистической переменной и его при-
менение к принятию приближенных решении. Пер. с англ. М_,
Мнр, 1976.
16.	И б е р л а К. Факторный анализ. Пер. с англ. М., Статисти-
ка, 1980.

17.	Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и
связи. Пер. с англ. М.. Наука, 1973.

18.	Крамер Г. Математические методы статистики Пер. с англ.
М_, Мир. 1975.

19.	К У л ь б а к К- Теория информации и статистика. Пер. с
англ. М., Наука, 1967.

20.	Л о у л и Д., Максвелл А. Факторный анализ как ста-
тистический метод. Пер. с англ. М., Мир, 1967.

21.	М а л е и в о Э Статистические методы эконометрии. Пер. с
франц. М., Статистика, 1975—1976, выл. 1—2.

22.	Математика в социологии./Под ред. Аганбегяна А. Г. и др.
М., Мир, 1977

23.	М е ш а л к и и Л. Д. Приписывание числовых значений ка-
чественным признакам. — В кн.- Статистические проблемы
управления. Вильнюс, 1976, вып. 14.

24.	Мирзоев А. А Применение логлинсйного анализа в со-
циально-демографических исследованиях. Автореф. на соиск.
учен, степени канд экон. наук. М., 1980.

25.	М и р к и н Б. Г. Анализ качественных признаков и структур.
М., Статистика, 1980.

26.	Многомерный статистический анализ в социально-экономичес-
ких исследованиях. Ученые записки по статистике, т. 26. М.,
Наука, 1974.

27.	Налимов В В. Теория эксперимента. М., Наука, 1971.

28.	Налимов В. В. Вероятностная модель языка. М., Наука,
1979.

29.	Окунь Я- Факторный анализ. Пер. с англ. М., Статистика,
1974.

30.	П и р о г о в Г. Г., Федоровский Ю. П. Проблемы
структурного оценивания в эконометрии. М., Статистика, 1979.

31.	П л е с к у н и н В. И., ВоронинаЕ. Д. Теоретические
основы организации и анализа выборочных данных в зкспери
менте. Л., изд. ЛГУ, 1979-

32.	Раева А., Тийт Э Совместный факторный анализ в нес-
кольких совокупностях. — ТрудьГ ВЦ Тартусского Гос. уни-
верситета, 1978, вып. 42.

33.	Р а с с е л Б. Человеческое познание. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр, лит., 1957.

34.	Рукавишников В. О. Информационный подход к при-
чинному анализу. — В кн.- Модели социально-экономических
процессов и социальное планирование. М., Наука, 1979.

35.	Рукавишников В. О. Население города (социальный
состав, расселение, оценка городской среды). М.. Статистика,
1980.

36.	Рукавишников В. О. Применение статистических
структурных моделей, допускающих причинную интерпрета-
цию к исследованию межпоколенных социальных перемещений
в советском обшестае. — В кн. Проблемы исторической де-
мографии СССР. Таллин, изд. АН ЭССР, 1977.

37.	С а в и ц к а я Г. В. Анализ взаимосвязей в хозяйственной
деятельности предприятия. М.. Финансы, 1970.
38.	Сухотин А. К. О материалистическом понимании принци-
па экономии мышления и его объективном аналоге. — В кн.:
Логика и методология науки. М , Наука, 1967.

39.	Т е й л Г. Экономические прогнозы и принятие решений. Пер
с англ. М , Статистика, 1971.

40.	Трофимов В. А Модели качественного факторного анализа
матриц связи. — В кн.’ Проблемы анализа дискретной инфор-
мации Новосибирск, изд. ИЭ и ОПП АН СССР, 1976.

41.	Фишер Ф. Проблемы идентификации в эконометрии.
Пер. с англ. М , Статистика, 1978

42.	X а р м а н Г. Современный факторный анализ. Пер. с англ.
М., Статистика, 1972.

43.	X е й с Д. Причинный анализ в статистических исследованиях.
Пер. с англ М , Финансы и статистика, 1981.

44.	Чесноков С В Дстерминационный анализ социально-
экономических данных в режиме диалога. М , изд. ВНИИСИ,
1980.

45.	Четвериков Н С. С ложной корреляции. — В кн ;
Применение методов корреляции в экономических исследова-
ниях. Ученые записки по статистике, т. XVI. М , Наука, 1969.

46.	Я с т р с м с к и й Б. С. «Ложная» и «истинная» корреляция. —
В кн.: Избранные труды МСтатистика, 1964.

47.	Alwin D. F , Н a user R М The decomposition cl effects
in path analysis. —Amer. Soc. Rev., 1975, vol. 40 (Febr.).

48	Bo n don R A D’Analyse Mathematique des Faits Social
' Paris. Pion, 1967.

49.	В о у 1 e R. P. Path analysis and ordinal data. — Amer. J. of
Soc., 1970, vol. 75, № 4.

50.	O’B r i e n R- M. A solution of the problem of differences in units
of measures In cross population comparisons. — Soc. Meth, and
Res., 1977, vol. 5, № 4.

51.	Duncan-Jones P. Social mobility, canonical scoring and
occupational classification.—In: Hope K. (ed ) The Analysis
of Social Mobility, Oxford, 1972.

52.	F о n t e 1 a E_, J' i 1 I i M. Analysis of the causal structure
of economic models. — Proc. Int. Conf. Cybern and Soc., To-
kyo— Kyoto, 1978, b). Y., Sa, 516—519.

53.	Hauser R. M Goldberger A. S. The treatment of
nonobservables in path analysis. —Soc. Meth. — 1971 (ed. by
Costner H.). S.—Fr., Jossey-Bass. 1971.

54.	Heise D. R. Problems in path analysis and causal inference.
— In: Soc. Meth. — 1969 (ed. by Borgotta E.). S. — Fr. Jossey-
Bass, 1969.

55.	Hotchkiss L. A technigue for comparing path models bel-
ween subgroups. — Soc. Meth, and Res., 1976, vol. 5, № 4.

55.	J i 11 i M. Analysis of static and dynamic structures in economic
models, methodological and practical aspects.— Appl. Malh. Mo-
dell., 1981, vol. 5. №2.

57.	Goldberger A. S. On Bondon’s method ot Linear causa]
analysis. — Amer. Soc. Rev., 1970, № 1.

58.	Goodman L. A. Ageneral model for Ihe analysis ol surveys-
— Amer. J. ot Soc., 1972, vol. 77, № 6.

59.	Good m a n L. A. The relationship between the modified
and more usual regression approach to the analysis of dichotomous
variables. — In: Sac. Meth. — 1976 (ed. by Heise D. R.). S. —
Fr., 1976.

60.	Jones. F. L. Occupational mobility in USA and Australia.
Comparative path analysis. — Amer. J. ofSoc., 1971, vol. 77.

61.	Joreskog K. J. Simultaneous factor analysis in several
populations. — Psychometrica, 1971, vol. 36.

62.	К r i t z e г H. M. Approaches to the analysis of complex contin-
gency tables. — Soc. Metli. Res., 1979, vol. 7, № 3.

63.	Kruskal J. B., Sheppard R. N. A nonmetric variety
of linear factor analysis. — Psychometrika, 1974, 39, № 2.

64.	De Luca A., Termini S. A definition of a nonprobabi-
listic entropy in the setting of fuzzy sets theory.-— Inf. and Cont-
rol, 1972, vol. 20.

65.	Please N. W. Comparison of factor loadings in different po-
pulations. — British J. of Math. Stat. Psychol., 1973, vol. 26.

66.	R о s s J. Informational coverage and correlational analysis. —
Psychometrika, 1962, vol 27, № 3.

67.	Safar Z. Different approaches to the measurement of social
differentiation in the Czechoslovak Socialist Society. —Quality
and Quantity, 1971, vol. 5.

G8.	Simon H. A. Spurious correlation: a causal interpretation. —
J. of the Amer. Stat. Ass., 1954, vol. 49.

69.	Simon H., Rescher N. Cause and cauntertactual. —
Phyl. of Sci, 1966, vol. 33, № 4.

70.	Sm i th R. B. Continuties in ordinal path analysis. — Social
Forces, 1974, vol. 53, №2.

71.	Somers R. H. Analysis of partial rank correlation based on
the product-moment model: P. I. — Social Forces, 1974, vol. 53,
h& 2.

72.	Schoenberg R. Strategies for meaningful comparisons.—
Soc. Meth. — 1972 (ed. by Costner H.). S. — Fr., Jossey — Bass,
1972.

73.	S p e c h t D. A., Warren R. D. Comparing causal mo-
dels. — Soc. Meth. — 1976 (ed. by Heise D. R.). S. — Fr., Jos-
sey — Bass, 1976.

74.	T h e i 1 H. On estimation of relationships involving qualitative
variables. — Amer. J. of Soc., 1970, vol. 76, № 1.

75.	T ur пег M. E-. Monroe R. J., L u c a s H. S. Gene-
ralised assymptotic regression and nonmetric path-analysis. —
Biometrics, 1961, vol. 17, № 1-

76.	Werts Ch. E., Joreskog K. J., Linn R. S. Iden-
tification and estimation in path analysis with unmeasured variab-
les. — Amer. J. of Soc., 1973, vol. 78, № 6.

77.	W r i g h t G. C. Linear models for evaluting conditional re-
lationships. — Amer. J. of Pol. Sci., 1976, vol. 20.

78.	W r i g h t S. The method of path coefficients. — Annals
of Math. Statist.. 1934, vol. 5.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
Глава 1 .

1. I.

1. 2.

Глава 2.

3. 1.

3. 2.

3. 3.

3. 4.

3. 5.

3. 6.

Глава 4.

Литература

......................................... 3

Общие вопросы статистического анализа в
прикладных социально-экономических иссле-
дованиях ................................. 6

Статистический метод исследования * . . . 6
Особенности социально-экономических объек-
тов и задачи прикладного статистического
анализа...................................12

Описание объектов методами многомерного
статистического анализа ................. 21

Вводные замечания........................21

Регрессионный анализ (методологические
и прикладные аспекты построения и срав-
нения моделей)............................22

Факторный анализ и анализ главных компо-
нент .....................................35

Сравнения факторных решений ..............49

Регрессия на главных компонентах .... 66

Структурные и причинные модели ...........72

Принципы и правила построения структурных
моделей ..................................72

Ложная корреляция и причинная интерпре-
тация системы структурных уравнений ... 93
Статические и динамические причинные мо-
дели. Путевой анализ .....................100

Проблемы интерпретации коэффициентов,
сравнения и селекции причинных моделей . 120
Пример анализа причинной структуры эко-
номической модели со многими объясняю-
щими переменными ........................134

О возможных путях построения причинных
моделей систем с целенапрааленным пове-
дением на основе нечисловой информации . .143
Методы анализа таблиц сопряженности . . 150
Анализ связей категоризованных перемен-
ных на основе теста х2...................150

Каноническая корреляция в анализе таб-
лиц сопряженности .......................158

Модели частот таблицы сопряженности . . 166
Построение и сравнение логлинейных мо-
делей ...................................173

.........................................188