/
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел механика
ISBN: 5-06-003587-5
Text
Г.А.Бугаенко В.В.Маланин
В.И.Яковлев
Основы
КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Рекомендовано
Министерством общего
и профессионального образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
Москва
«Высшая школа»
1999
УДК 531 (075.8)
ББК 22.21
Б 90
Рецензенты: — проф. Галиуллин А. С; кафедра теоретической
Пермского государственного технического университета (зав.
кафедрой проф. Нвпшн Ю. И.)
ISBN 5-06-003587-5 © Издательство «Высшая школа», 1999
Наука возводится при помощи фактов, как
дом при помощи кирпичей; однако набор
фактов является наукой в той же мере,
как груда кирпичей являет собой дом.
А. Пуанкаре
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее издание по замыслу авторов должно помочь студентам в
изучении курса классической механики. Действенным средством
интенсификации учебного процесса является систематизация подлежащего изучению
материала.
В пособии, в частности, приводится построение схем, отражающих
внутреннюю логику теории. В схемах раскрываются связи и аналогии между
основными уравнениями, теоремами, законами и принципами механики.
Слушая лекции или изучая курс по традиционно написанному учебнику,
студент получает возможность сравнить блоки внешне подобных
построений, относящихся, однако, к разным по содержанию вопросам. Таким
образом, заметно экономятся затрачиваемые на изучение предмета силы и время,
появляется возможность при просмотре схем быстро повторить изученный
ранее материал и восстановить его в памяти.
В тексте широко использованы термины, рекомендуемые комитетом
Института проблем механики РАН - выпуск 102 (1984 г.).
Авторы выражают благодарность профессорам А. С. Галиуллину и
Ю. И. Няшину за рецензирование рукописи, И. А. Галиуллину за
доброжелательные критические замечания, улучшившие ее содержание, Е. Н.
Остапенко, Е. В. Федоровой, Г. И. Кушниной и М. В. Колодкиной за подготовку
книги к изданию.
Авторы
Издание является значительно переработанным и расширенным вариантом
наглядно-дидактических материалов "Классическая механика" (Изд. ЛГУ, 1989).
ВВЕДЕНИЕ
В механике изучаются общие свойства механического движения тел под
действием сил. При построении теории реальные объекты заменяются
идеализированными образами — моделями. В моделях учитываются не все
свойства реальных объектов, а только существенные для рассматриваемого круга
вопросов. Оценить существенные свойства может только практика.
Простейшей моделью в механике является материальная точка,
заменяющая реальное тело. Такая замена допустима, если при заданной точности
вычислений размерами тела можно пренебречь — оно мало по сравнению с
некоторым расстоянием, рассматриваемым в поставленной задаче. Это
традиционное определение понятия материальной точки находит более глубокое
обоснование введения этого понятия в связи с возможностью отделения
вращательного движения тела вокруг центра масс от поступательного его
движения вместе с центром масс и возможностью независимого их изучения.
Система материальных точек (механическая система) моделирует
систему взаимодействующих тел. Отдельно взятое материальное тело
моделируется непрерывной совокупностью материальных точек, находящихся на
неизменном расстоянии друг от друга (твердое тело).
Пространство моделируется множеством геометрических точек:
непрерывным, однородным, изотропным, односвязным, трехмерным с геометрией
Евклида. Время в классической механике принимается непрерывным,
однородным, одномерным и однонаправленным, равномерно текущим вперед. Все
эти свойства — результат обобщения многовековой практической
деятельности людей. Только на рубеже двух последних столетий практика потребовала
внесения изменений в эти представления (специальная теория
относительности).
Математическое изучение движения требует введения системы отсчета.
С некоторым телом связывается неизменно система координат, и выбирается
соответствующий способ измерения длин и промежутков времени. В
результате пространство арифметизируется: каждой его точке ставится в
соответствие три вещественных числа, каждому моменту времени — одно число. При
этом все элементы системы отсчета идеализированы: тело отсчета и единич-
ВВЕДЕНИЕ 5
ный масштаб принимаются абсолютно твердыми, часы — идущими идеально
правильно, равномерно.
Подчеркнем, что однородность и изотропность пространства и времени
имеют место не во всех системах отсчета, а лишь в инерциальных системах.
Так называются системы отсчета, по отношению к которым механическое
движение описывается законами Ньютона. Первый из этих законов, закон
инерции, и утверждает существование инерциальных систем отсчета.
Используемым в механике моделям в природе соответствует
неограниченное множество конкретных прототипов. В частности, это касается и инер-
циальной системы отсчета. Дня любой задачи о механическом движении тел
всегда возможно подобрать конкретную систему отсчета, которая является
прототипом инерциальной. Отнесенное к такой системе отсчета движение
описывается с заранее заданной точностью на основе законов Ньютона.
В астрономии прототипом инерциальной системы является
гелиоцентрическая система; в космонавтике - обычно геоцентрическая система с
осями, направленными на звезды; в инженерной и лабораторной практике в
большинстве случаев это система отсчета, неизменно связанная с Землей; для
пассажира равномерно идущего поезда — система, неизменно связанная с
вагоном, и т.д. Соотношение между моделью и реальным объектом весьма
сложное. Законы механики, хотя и формулируются для моделей, выводятся
из экспериментов и наблюдений над реальными телами и процессами. На
вопрос о том, являются ли знания, приобретенные путем математического
анализа свойств моделей, действительно знаниями об оригиналах, может дать
ответ только практика. Она устанавливает меру соответствия полученных
наукой истин реальностям нашего мира. Односторонность моделей
устраняется в процессе поступательного развития науки. Конкретная модель играет
роль момента, звена в процессе познания, который реализуется через
относительные истины.
Глава 1
КИНЕМАТИКА
Кинематика — раздел механики, в котором изучаются геометрические
свойства движения. Движущиеся объекты рассматриваются как
геометрические точки или тела. Изучая геометрию движения, кинематика интересуется
возможными видами движения точек и тел, скоростями и ускорениями точек
тела, траекториями, перемещениями и пр. Массы тел и действующие на них
силы в кинематике не учитываются.
§1. Основные кинематические характеристики (меры движения)
1. Схема введения некоторых основных понятий. Определение таких
понятий кинематики как скорость и ускорение точки, угловая скорость и
угловое ускорение вращающегося тела дается по одной и той же логической
схеме. Проследим за логикой введения понятий на примере скорости.
Рассмотрим цепочку
AF
г it) =» AF =» — = v,. =» limv=v(t). (1.1)
v A/ A'-»0
В этой цепочке г (/) — радиус-вектор движущейся точки М, начало
которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой М (рис. 1.1); Аг —
перемещение точки за время от произвольного момента t до момента t + At;
Vc - средняя скорость точки Мв интервале {t, t + А/); \)(/) - скорость точки
М в данный момент t. Вводимая величина — здесь это скорость г)(/) —
определяется через предельный переход.
В цепочке (1.1) вводимые величины допускают, не только
математическое, но и механическое истолкование. Так, Аг — геометрическое приращение
§ 1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ)
радиус-вектора - может быть истолковано как перемещение воображаемой
точки, совершающей равномерное прямолинейное движение со скоростью
х>с по хорде от точки M(t) до точки M'{t + At).
В соответствии с определением, скорость ь = drfdt — это
кинематическая мера движения точки, равная производной по времени от радиус-
вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Скорость
характеризует быстроту движения точки, темп изменения радиус-вектора г.
Модуль и направление вектора х> совпадают с модулем и направлением
перемещения точки за единицу времени в равномерном движении по
касательной к траектории в предположении, что скорость точки начиная с данного
момента не изменяется. Скорость точки направлена всегда по касательной
к траектории.
По аналогичной схеме вводится понятие ускорения точки w(t): '
=» Дг> => -^ =
At
Вектор Av здесь можно
истолковать как приращение
скорости за время At в
воображаемом равноускоренном
движении с постоянным по величине
и направлению ускорением wc.
lim w, = w(t).
траектория
1ЧКИ
Mx,y,z)
(1.2)
Ускорение w = — - мера из-
dt
менения скорости точки, равная
производной по времени от
скорости этой точки в
рассматриваемой системе отсчета. По
модулю и направлению вектор w Рис. 1.1
совпадает с вектором скорости точки, описывающей годограф скорости (см.
рис. 1.1).
Аналогично вводится понятие угловой скорости 0)(?) вращения тела
вокруг неподвижной оси:
=> Дф =>—!- =
Y At
lim cor =
c
(1.3)
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
и понятие углового ускорения тела e(f):
A© => — = гс => Нтг,. = t(t) (1.4)
At л*»0
(предлагается читателю истолковать соответствующие элементы цепочек).
Движение тела можно изучать двумя методами: аналитическим и
геометрическим. Это касается всех видов движения: поступательного (когда
отсутствует вращение), вращательного (вокруг неподвижной оси),
плоскопараллельного, сферического (неподвижна одна точка тела) и свободного (их
определение см. § 3).
Переходя к рассмотрению более сложного вида движения, необходимо
на каждом новом этапе обобщать такие понятия, как угловая скорость и
угловое ускорение тел. В частности, в полных курсах необходимо приводить
доказательства того, что эти величины являются векторами, а не просто
величинами, которые условились изображать стрелками.
2. Основные методы задания движения точки.
Их три: геометрический, координатный и естественный. Геометричес-
+ кий метод: в рассматриваемой системе
отсчета движение точки определяется
заданием ее радиус-вектора как функции времени
r=r(t). Координатный метод: задаются
как функции времени какие-либо
координаты точки - декартовы, полярные,
цилиндрические, сферические, любые
криволинейные. Естественный метод: задается дуго-
Рис. 1.2 вая координата как функция времени.
Дуговая координата s отсчитывается по дуге
траектории от условно взятого на ней начала О с выбранным направлением
отсчета этой координаты. Дуговая координата s аналогична координате х на
оси Ох: отличие лишь в том, что s изменяется вдоль кривой, тогда как х - на
прямой (рис. 1.2).
3. Скорость и ускорение в полярных координатах. Удобно
воспользоваться следующим кратким способом вычисления проекций скорости и
ускорения в полярных координатах. Сначала по рисунку убеждаемся, что
проекция любого вектора а на ось х и проекции аг и дф на направления
полярных г-линии и ф-линии в данной точке связаны зависимостью (рис. 1.3).
ах =arcos(p — a 9sin(p. (1.5)
§ 1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ)
Дифференцируя равенство
= r(t)cosq>(t)
дважды по времени, находим
-гф5Шф, (1.6)
х = (г - гф
- (фг + 2r<$)sinф. (1.7)
Отождествляя эти равенства с (1.5),
получаем окончательно
Рис 1.3
Когда а и ось у параллельны (случай вырождения треугольников),
аналогично рассматриваются формулы для ау = arsirKp+a^cos(p и для
У, У> У-
4. Касательное и нормальное ускорения точки. Дифференцируя
естественное уравнение движения
s = s(t), (1.8)
находим так называемую алгебраическую скорость точки
V% dt
Обращаем внимание на смысл 1)т: это проекция вектора скорости v на
направление единичного вектора касательной X: l)t = v • X. При этом
единичный вектор X направлен по касательной к траектории в сторону
возрастания дуговой координаты s.
При любом направлении движения точки (и когда s возрастает, и когда
s убывает) выполняется равенство (рис. 1.4)
(1.9)
(1.10)
10
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
М
Дифференцируя это равенство по
времени, находим ускорение
dt
dt
—.
dt
Замена
dx _ dx ds _dx
dt ds dt ds T
и
ds
дает
Рис. 1.4
~И> (1Л1)
dt p
где Я - единичный вектор, направленный внутрь кривой по ее главной
нормали в данной точке; р - радиус кривизны кривой в данной точке (рис. 1.5).
Множители при ортах т и Я в формуле (1.11) — это проекции ускорения
w на направления Тип:
(1.12)
спрямляющая
плоскость
траектория
Рис 1.5
Эти составляющие ускорения называются касательным и нормальным
ускорениями. Первое из них (wt) характеризует быстроту изменения скорости по
§ 1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ)
И
величине, второе (wn) - по направлению. Ускорение точки w направлено
всегда по главной нормали в сторону вогнутости траектории.
Касательное и нормальное ускорения можно вычислить и в случае, когда
движение задано в координатной форме, например, в виде* = x(t), у = >>(*),
z = z{t). Производная от модуля скорости равна проекции вектора ускорения
на направление вектора скорости в данной точке:
Величина V2., входящая в wn, равна квадрату модуля скорости
x>2=\)2=x2+y2+z2.
Независимо от направления скорости, движение точки является
ускоренным или замедленным в зависимости от того, совпадают или отличаются
знаком \)х и wx. Если wx = 0 в некотором промежутке времени - движение
равномерное; wx может обращаться в нуль также в отдельные моменты;
когда скорость v(t) достигает максимума или минимума (например, в среднем
положении колеблющегося маятника); wn обращается в нуль, если р = °° —
точка движется по прямой или проходит точку перегиба; wn = 0 также при
движении точки по кривой в местах остановки, например, в крайних
положениях колеблющегося маятника.
5. Определение касательного и нормального ускорения. Рассмотрим
определение касательного и нормального ускорения
в случае плоской траектории, когда уравнение
движения задано в декартовых координатах: х = x(t),
У = y(t) (рис. 1.6).
Проекция ускорения на направление скорости
(касательное ускорение) равна
•У)
или
Рис. 1.6
+ УУ
1х2 + у2
(1.13)
12
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Нормальное ускорение (wn =wsindi) равно модулю векторного
произведения вектора w на единичный вектор —:
-
wx
или
(1,14)
6. Секторная скорость точки. Секторной скоростью точки М называют
вектор
(1.15)
Поскольку модуль вектора — г х v - это площадь dS, которую очерчивает
радиус-вектор точки при элементарном ее перемещении dr, то модуль
секторной скорости - это скорость изменения площади, ометаемой радиусом-
вектором точки (рис. 1.7).
Если точка движется в плоскости
Оху,тоа2 =-(хх>у-
а в полярных
Рис. 1.7
1 2-
координатах — г ф.
Примечание.
Напомним из геометрии: касательной к
кривой в точке М называется предельное
положение секущей ММ', когда точка М'
приближается по траектории к неподвижной точке М
(рис. 1.5); соприкасающейся плоскостью кривой в точке М называют предельное
положение плоскости, положение которой определяется касательной и точкой М' на кривой,
когда точка М' приближается к неподвижной точке М; главной нормалью кривой в
точке М называют прямую, которая пересекает касательную в точке М под прямым углом и
лежит в соприкасающейся плоскости; бинормалью называют прямую, перпендикулярную
к касательной и главной нормали в точке М кривой.
§ 2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
13
И еще: кривизна кривой на небольшом участке ММ' измеряется углом поворота
касательной (углом смежности Л8), отнесенным к единице длины дуги и ММ' — As;
отношение — называется средней кривизной кривой на участке MM': k — —; кривиз-
Ду As
на кривой в точке М- это предел средней кривизны, когда М' —> М: к = —; радиусом
ds
кривизны кривой в точке М называют величину, обратную к кривизне: р =—. Кривизна
к
окружности равна к = —, где R - радиус.
R
д*
§ 2. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
1. Скорость точки. Криволинейными координатами точки называется
система независимых параметров, которые однозначно определяют
положение этой точки. Примерами криволинейных координат являются полярные,
цилиндрические, сферические и др.
Радиус-вектор г является
функцией обобщенных (криволинейных)
координат qx,q2, <?3 (Рис- 2-1):
(2Л)
Если точка М движется, ее
координаты есть функции времени.
Дифференцируя (2.1) по времени,
находим скорость точки
+ +
l dq2
где qvq-i, q3 называются обобщенными скоростями.
Вектор -— направлен по касательной к координатной линии. Действи-
dq,
дг
тельно, в производной —— числитель дг — это приращение радиус-вектора
(2.3)
г, соответствующее приращению dqr Поэтому
^ "* / = 12 3
14
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
где е, - единичный вектор, касательный к координатной линии, проходящей
через данную точку пространства, направленный в сторону возрастания
координаты qt; множители Д > 0 называются коэффициентами Ляме.
Подставляя (2.3) в (2.2), находим скорость
у = Нхдхёх + Н2д2ё2 + Нъдъеъ.
(2.4)
Коэффициенты Ляме — функции обобщенных координат qx,q2,q3. В
простых случаях их удобно определять используя равенство, вытекающее из
(2.3),
Ъг
dq,
/ = 1,2,3,
(2.5)
т.е. как отношение элемента дуги ds = |Эг | координатной линии qt к
положительному приращению dqt координаты qf вдоль этой линии. В других
случаях Н{ можно вычислить, учитывая, что
откуда
(2.6)
Множители при ортах е, в формуле (2.4) - это проекции скорости х> на
направления ортов е;.:
Ц=Щ„ 1=1,2,3. (2.7)
Если система криволинейных координат ортогональна (орты ёх,е2,е3 в
каждой точке взаимно перпендикулярны), то из (2.4) следует, что
2. Ускорение точки. Проекции ускорения движущейся точки на
направления единичных векторов ех,ё2,е3, которые касаются в данной точке
координатных линий, направленных в сторону возрастания координат qvq2,q3y
§ 2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 15
вычисляются как скалярные произведения wt=w-e{; выражая е{ согласно
(2.3) и w через dbjdt, находим
dx> I dr
откуда
или
dt tydq,'
_dx> dr
'" dt d^'
d(^ dr} _ d(dr
= — D • —— - V ——
dt{ dqj dt{dq,
(2.9)
(использована формула дифференцирования произведения двух функций: Х>
и Эг/Э^ ).
При дальнейшем преобразовании (2.9) используются два
вспомогательных равенства:
(2.10)
dq, dq/ dt{dqt) Bq,
Первое из этих равенств очевидно: оно устанавливается
дифференцированием (2.2) по <?,.; второе найдем дифференцируя (2.2) по q, и сравнивая
результат с развернутой формой производной:
d dr
д2г .
dq, dqfa dqtdq2
Из (2.9) с учетом (2.10) следует
/ = 1,2,3. (2.11)
Из этой формулы и определяются проекции вектора ускорения точки в
произвольных криволинейных координатах.
16 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Пример. В полярных координатах г, ф
ds rcftp ds dr
ф fiftp fiftp ' dr dr '
Коэффициенты Ляме найдены здесь как отношение длины элементов координатных
линий к соответствующим приращениям координат. По формуле (2.7) составляющие
скорости в полярных координатах находим так:
vv = Н9ф = гф; vr = Нгг = г. (2.12)
Согласно (2.11)
dtdr{2) dr{2
ф г
Подставляя О)2 = М2 + О)2 = г2 + r2ip2, найдем проекции ускорения в полярных координатах:
w=r- гф2; w = фг + 2фг = (r2q>). (2.13)
г dt
Пример. Точка движется по циклоиде
jc = R((at — sin(Qt),
y = R(l-cos(ut).
Определить скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус
кривизны.
Решение. Проекции скорости и ускорения на декартовы оси
\)х = х = R(u(l - cosat)
•о =у =
wx = х = Rco2 sin(at
wv=y= Rco2 costat
(2.14)
Циклоиду описывает точка окружности, когда окружность катится без скольжения
по прямой (рис 2.2). Одна ветвь циклоиды образуется при одном полном обороте
окружности, 0 <, Ш <, 2%.
Из уравнений (2.14) видно, что модуль ускорения равен w = R(02; направление
вектора w определяется тангенсом угла
,х J = — = ctgax = Ц-| - ш 1
§ 2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 17
т.е. вектор w направлен к центру образующей окружности (рис. 2.2):
А
Модуль скорости равен
+ vl =
= 2Rcosm—.
2
Направление вектора скорости
( л Л vr sincttf cot
\ ) vv \-costa 2
п ох
Скорость точки М направлена к
верхней точке А окружности.
Касательное ускорение
cfo , (М ( Ш У
wT - — = Rio cos—, 0< — <п
т dt 2 12,
Г6
касательная
Рис. 2.2
Нормальное ускорение wn = у w2 — w\ = Rw2 sin—.
Радиус кривизны траектории (циклоиды)
\2Riosin—
ROi1 sin—
2
=-*— = 4Rsin— = 2 • МК.
Ш 2
Пример. Точка движется по закону
Определить траекторию, скорость и ускорение точки.
Решение. Исключая время /, находим уравнение траектории в полярных
координатах (рис 2.3)
— логарифмическая спираль.
Проекции скорости в полярных координатах
18
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
at
dm
v. =r—2- =
f dt
=kcor,
Абсолютная величина скорости
Направление вектора скорости
Рис. 2.3
Как оказалось, угол между направлением
касательной и координатной r-линией один и тот же
в любой точке спирали. Это замечательное
свойство логарифмической спирали находит применение
в различных технических механизмах (пример -
ножи сельскохозяйственных машин). Если лезвие
ножа представляет собой дугу логарифмической
спирали, давление в процессе резания будет постоянным, одинаково острым остается нож
по всей своей длине при работе.
Так как ф = (О, ф = 0, г = к(йг, г = к2(й2г,то ускорение в полярных координатах
wr=r-np2=a>2r(*2-l),
w =ipr + 2фг = 2к(й V.
Модуль ускорения w = Jw2 + w2 = (й2г(к2 +1).
Пример. Определить ускорение точки, движущейся по эллипсу с сохранением
секторной скорости относительно центра эллипса.
Решение. В декартовых координатах сохранение секторной скорости точки
(х,у) выражается равенством
= ху-ух = с, (2.15)
где с - постоянная площадей. Координаты движущейся по эллипсу точки удовлетворяют
уравнению
а
откуда, дифференцируя,
(2.16)
Из уравнений (2.15) и (2.16) находим
§ 2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 19
Из уравнений (2.
и дальше
15)
и (2.16)
находим
с . с
х~"ьтУ' у~'а2~
.. с . с2
Х ЪгУ a2b2 X
.. с . с2
У 2 х 1,гУ-
а а о
Умножая первое из этих равенств на орт /, а второе на орт j и складывая, находим
_ _ с2 , - -ч
w = xi+yj= ——[xi +yj),
и окончательно
W~ 2?''
Если точка движется по эллипсу с сохранением секторной скорости относительно
центра эллипса, то ее ускорение направлено к центру и по величине пропорционально
расстоянию до него.
Заметим, движение точки по эллипсу с сохранением секторной скорости
относительно центра можно рассматривать как движение по закону
x = acosi£t, y = bsin(£t.
При этом
х = —а(й sin (at, y = b(O cos (at,
x = -ad)2 cosoat, у = -b(o2 sm(ut.
Умножая на орты и складывая, получим
w = -ю2 (Га cos(Ot + jb sin(at) = -со2 (Где + ]у) = -ш2г.
При этом постоянная площадей равна
с = ху - ух = abtacos1 (at + abtasin1 car = ab(a.
_ 2% 2шгЬ , ,
Если учесть, что период обращения точки по эллипсу Т = —, то с = , {ши> —
со Т
площадь эллипса).
Пример. Определить ускорение спутника, движущегося по эллиптической
орбите, учитывая закон Кеплера: секторная скорость спутника относительно одного из
фокусов эллипса постоянна (закон площадей).
20 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Решение. Из уравнения эллипса г = — , е< 1,
l +
находим
р
— = 1 + ecosty, (р - параметр, е - эксцентриситет). Дифференцируем
откуда
г
р— =
i.e.
r = r ф—sirup.
Р
По закону площадей г2у — с, где с — постоянная площадей, равная удвоенной
площади, описываемой радиус-вектором спутника за единицу времени. Поэтому
._££ .
Р
.. ее
откуда г = —cosy • ф.
Р
Вычисляем ускорение в полярных координатах
-•_ •*_££ (£_Д1 .£_ £l-_£l J_
r p \r )е г2 г* Р г2'
I d / 2-\ \dc _
г dV" ' г dt
Следовательно, ускорение спутника обратно пропорционально квадрату расстояния до
фокуса (центра силового поля) и направлено к фокусу (знак минус).
Вычисление ускорения планеты, исходя из первых двух законов Кеплера, впервые
провел И. Ньютон. Это позволило ему найти силу, действующую на планету (по второму
закону F = mw). Обобщая результат, Ньютон пришел к закону всемирного тяготения.
§ 3. Классификация движений твердого тела
Существует пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2)
вращательное, 3) плоскопараллельное (плоское), 4) сферическое, 5)
свободное.
Приведем определения и примеры. Движение тела называется:
§4. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 21
1) поступательным, если прямая, соединяющая две любые точки тела,
перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Примеры: движение кузова вагона на прямом участке пути; движение кабин
колеса обозрений (в парках); при поступательном движении отсутствует вращение тела
относительно рассматриваемой системы отсчета;
2) вращательным, если все точки, лежащие на некоторой прямой,
неизменно связанной с телом, остаются неподвижными в рассматриваемой
системе отсчета. Эта прямая называется осью вращения.
Примеры: движение двери, когда ее открывают или закрывают; вращение
маховика, пропеллера, турбины и т.д. - относительно тела закрепления;
3) плоскопараллельным, если все точки тела движутся в плоскостях,
параллельных некоторой плоскости, неподвижной в рассматриваемой системе
отсчета.
Примеры: качение колеса на прямом участке пути, движение шатуна криво-
шипно-шатунного механизма;
4) сферическим, если одна из точек тела остается все время
неподвижной в рассматриваемой системе отсчета.
Примеры: движение гироскопа с тремя степенями свободы (в кардановом
подвесе), движение волчка;
5) свободным, если нет перечисленных выше четырех ограничений.
Пример: движение свободного произвольно брошенного над Землей тела.
Рассмотрим отдельные виды движения твердого тела.
§ 4. Поступательное движение твердого тела
Из равенства (рис. 4.1)
гв=гА+АВ (4.1)
следует: 1) траектории всех точек
тела одинаковы (т.к. точки А, В -
любые и АВ — const), 2)
скорости всех точек одинаковы
(дифферен-цирование (4.1) по
времени дает х>в — \>А), 3)
ускорения всех точек тела одинаковы
(схема 1, случай 1;
схема 2, случай 1).
Рис. 4.1
22
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Схема 1
№
Движение
тела или точки
Скорость
точки М
Примечание
Поступательное
С - полюс
Вращательное
со х г
2) О - точка на
оси вращения
со-МС
3
Плоскопараллельное
аМС
2) С - полюс
плоской фигуры
3) Относительно
CEjrfc плоская
фигура
вращается вокруг
"неподвижной" оси С,
§ 4. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
23
Схема 2
Движение тела или точки
Ускорение точки М
Поступательное
W-W.
Вращательное
со x(co"xr)+e"xT
1 ' V
т
[l)=e-A/C
Плоскопараллельное
Т
[2)1А'Л/С
- неподвижная
система
С- полюс плоской фигуры
24
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Следствие: поступательное движение тела описывается движением
одной (произвольно взятой) точки этого тела. Траектории точек при
поступательном движении тела могут быть любыми.
§ 5. Вращательное движение твердого тела
предел
т.е.
1. Скорость точки. Рассмотрим вращение
тела вокруг оси z. Уравнение движения тела
задается в виде
() (5.1)
где ф - угол поворота тела, отсчитываемый от
неподвижной плоскости xOz против часовой
стрелки (рис. 5.1). Пусть за время At (от произ-
У вольного момента t до t + Ы) приращение угла
л Аф
поворота равно Аф. Отношение —L = C0c
называется средней угловой скоростью вращения
тела за рассматриваемый промежуток времени.
Угловой скоростью тела в момент t называется
Аф_
Д/-Ю
Ш
(5.2)
Скорость изменения угловой скорости называется угловым ускорением
или
(5.3)
Правило знаков: если со и £ одного знака (оба положительные или оба
отрицательные), то вращение тела ускоренное (в положительном или
отрицательном направлении соответственно), если их знаки противоположные -
вращение замедленное.
§ 5. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
25
В теоретических выкладках удобнее пользоваться векторами угловой
скорости со и углового ускорения £, которые и введем.
Ф>0
ф<0
Рис. 5.2
Вектор со определяется в виде произведения (рис. 5.2):
где ф = со - ранее уже введенная скалярная угловая скорость, а к -
единичный вектор по оси z. После введения вектора со можно непосредственной
проверкой легко убедиться, что векторное произведение со х г и вектор
скорости х> одинаковы как по модулю, так и по направлению, а также и по
размерности; поэтому заключаем, что имеет место равенство
\) = со х г,
(5-4)
известное как формула Эйлера (схема 1, случай 2).
Формулу Эйлера можно вывести другим путем: дифференцируя радиус-
вектор г = xi +yj +zk и используя очевидные соотношения
£_
dt
= ц>] = ц>к хТ,
dt
определяющие скорости двух точек, которые являются концами ортов г, j .
26 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
2.Ускорение точки тела. Дифференцируя формулу Эйлера, найдем
ускорение точки М (рис.5.2):
_ dv - df dxb ..
w = — = сох — + — xr .
dt dt dt
„ d<h
По определению, это угловое ускорение вращающегося тела; его
dt
обозначают £. Производная — есть скорость точки А/, она определяется
dt
формулой Эйлера (5.4). Поэтому
(5) £Xr. (5.5)
Смысл двойного векторного произведения легко раскрывается через
простое векторное произведение со х v (рис. 5.2).Очевидно, этот вектор по
ТС 2
модулю равен со • V • sin— = со • <о • МС = со • МС, он направлен от точки М
по перпендикуляру к оси вращения, т.е. сох(б)хг) = со2 • МС. Второе
слагаемое ёхг - вектор, по модулю равный Ersinl e,r 1 = е-А/С, направлен
перпендикулярно к плоскости ё, г, т.е. по касательной к окружности,
которую описывает точка М.
Таким образом, ускорение произвольной точки тела, совершающей
вращательное движение, состоит геометрически из двух слагаемых: 1) осестре-
мительного ускорения со2 • МС, направленного к оси вращения, 2)
вращательного ускорения Е ■ МС, направленного по касательной к траектории
точки - к окружности (схема 2, случай 2).
§ 6. Плоскопараллельное движение тела
1. Скорости точек плоской фигуры. Этот вид движения можно изучать
как движение "плоской фигуры" в своей плоскости (т.е. как движение
сечения тела плоскостью, параллельной неподвижной).
Пусть фигура движется в плоскости Olxiyl (рис. 6.1); с произвольной
точкой фигуры О связываем подвижную систему отсчета Oxyz, оси
§ 6. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
27
которой параллельны осям
неподвижной системы Oyxxyxzx (точку О
называют полюсом). По отношению к
системе Oxyz плоская фигура совершает
вращательное движение, а по
отношению к О,*;,;^, - плоскопараллельное.
Из рисунка видно, что
R = Ro+r. (6.1)
Дифференцируем по времени:
Рис. 6.1
или, заменяя по формуле Эйлера (поскольку изменение вектора dr в обеих
системах Olxlylzl и Oxyz, оси которых остаются параллельными,
одинаково),
= Vo+(bxF,
(6.2)
dr
(т.к. это вращательная скорость точки М в системе Oxyz ).Таким обра-
dt
зом, скорость любой точки плоской фигуры равна
геометрической сумме скорости полюса и
вращательной скорости вокруг полюса сиг (схема 1,
случай 3).
Рассмотрим простые свойства
плоскопараллельного движения.
Точка плоской фигуры, скорость которой в
данный момент равна нулю, называется
мгновенным центром скоростей (МЦС).
Мгновенный центр скоростей лежит на
перпендикуляре к вектору скорости полюса гЗо и от-
Рис. 6.2 стоит от точки О на расстоянии ОС = —— (рис.
со
6.2). Отрезок ОС отклонен от вектора \>о на угол 90° в направлении
вращения фигуры. При этих условиях скорость полюса и вращательная скорость
вокруг полюса равны и противоположны, их сумма равна нулю, а значит
точка С является мгновенным центром скоростей.
28
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Пример. Мгновенный центр вращения
круглого диска, который катится без скольжения по
прямой, совпадает с точкой касания диска и прямой.
1) Скорости точек плоской фигуры в данный
момент такие, как будто фигура вращается вокруг
мгновенного центра С (рис. 6.3).
2) Если известна скорость одной точки фигуры и
направление скорости другой точки, то можно найти
скорость любой точки фигуры:
Рис. 6.3
г)
м
(йСМ=—*--СМ.
AC
3) Проекции скоростей двух произвольных точек А к В плоской фигуры на
направление отрезка АВ, который соединяет эти точки, равны (рис. 6.4). Действительно,
CD=AC- cosa = СВ • cos$.
Умножая на (О, получим
со ■ АС • cosa = (о ■ СВ • cos В
или
vA cosa = vB cos/3,
что и требовалось доказать (теорема Грасгофа).
4) На трех рисунках (рис. 6.5) показан способ
нахождения мгновенного центра скоростей в том случае, когда
скорости двух точек параллельны. В первом случае скорости всех
точек плоской фигуры (а значит и тела) одинаковы в данный
момент.
Рис. 6.4
§ 6. ПЛОСКОПАРАЛЛЕПЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
29
Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости
называется неподвижной центроидой, а на подвижной плоской фигуре - подвижной цен-
троидой. При качении диска по прямой, неподвижная центроида - прямая, а подвижная -
обод диска.
2. Ускорения точек плоской фигуры. Дифференцируя (6.2), найдем
ускорение точки плоской фигуры
откуда
_ dv i
w = — = -
dt
W- WO4
dt
-£>
d^ .
- +—(coxr
dr
r+cox —
.r+cox
где e =
df
. df _ _
- угловое ускорение фигуры; заменяя — = сохг, получим
dt dt
(схема 2, случай 3):
w = wo + exr + сох (сох г).
Третье слагаемое преобразуем по известной формуле "бац минус цаб"
векторной алгебры а х (S х с) = Ъ{а • с)- с(а -bj, а значит ю х((охг) =
= ю(со • г) — г (а2 = —со2г, т.к. coir . Окончательно
+£Хг.
(6.3)
Ускорение точки плоской фигуры
состоит геометрически из трех:1) ускорения
полюса О9 2) центростремительного
ускорения -со2г, по величине равного со2/* и
направленного от точки к полюсу, 3)
вращательного ехг, по величине равного ег и
направленного перпендикулярно к отрезку
МО (в сторону вращения, если оно
ускоренное и противоположно, если замедленное).
На рис. 6.6 показаны все три составляющие
ускорения.
Точка плоской фигуры, ускорение
которой в данный момент времени равно нулю, называется мгновенным
центром ускорений.
Рис. 6.6
30
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Пусть Q - мгновенный центр ускорений
(рис. 6.7). Т.к. геометрическая сумма трех
слагаемых ускорения в точке Q равна нулю, то
wo cos a = со2/*,
wosma = £r.
Отсюда
tga =
Рис. 6.7
со2
(6.4)
Чтобы найти мгновенный центр ускорений, нужно:
1) определить угол а по формуле (6.4);
2) от точки О (ускорение которой известно) отложить отрезок OQ = г
под углом а к вектору wo (отрезок OQ должен быть отклонен от вектора
wo в направлении углового ускорения е, т.е. в сторону вращения фигуры,
если это вращение ускоренное, и противоположно вращению, если оно
замедленное). Точка Q, являющаяся концом отложенного отрезка, и есть
мгновенный центр ускорений.
§ 7. Сферическое движение тела (вокруг неподвижной точки)
iLz, Пусть О — неподвижная точка тела;
Oxxyxzx - неподвижная система; Oxyz -
система, неизменно связанная с телом. Как и в
случае вращения тела вокруг неподвижной
оси, и теперь имеет место формула Эйлера
для скоростей точек тела Х> = СО X г. Чтобы
подтвердить это, сначала выведем
вспомогательные формулы Пуассона для
производных по времени от ортов.
1. Формулы Пуассона. Разложим век-
di
тор — на составляющие:
dt
Рис. 7.1
§ 7. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА (ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ)
31
Проекции вектора перепишем как скалярные произведения этого
вектора на единичные вектора:
Здесь первое слагаемое равно нулю, т.к. i -i =1, а значит 1 = 0.
dt
„ -t r f г -г т di r dk -
Произведем замены j =kxi, k=—jXi и еще к = 1
dt dt
(последнее — результат дифференцирования / • к = 0 ). Получим
'к \
Добавляя в правой части равный нулю вектор | — ■ к ■ / X i, найдем окон-
dt )
чательно
£4£4+f-rMf-7i"xr.
Введем обозначение
dt
rV (
к \i +\
{dt
di Лг
—-j \k
dt J)
(7.1)
и перепишем полученную формулу в виде
(7.2)
Это и есть формулы Пуассона (две последние формулы написаны по
аналогии). Вектор ю называется вектором мгновенной угловой скорости тела
(название оправдывается ниже).
32 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
2. Скорости точек тела. Дифференцируя радиус-вектор точки тела,
найдем ее скорость
_ df di eg dk
\) = = x + V—+ Z .
dt dt dt dt
Заменяя производные от ортов по формулам Пуассона, получим
v = х<о х Г + у® х J + zffl х к,
или
(7.3)
Как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, скорости точек
тела с неподвижной точкой определяются формулой Эйлера (схема 3, случай 4).
Убедимся, что в теле с неподвижной точкой существует мгновенная ось
вращения. Положим v = О:
/и = о5хг =0,
откуда
х _ у _ z
Это уравнение прямой, проходящей через неподвижную точку тела -
геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент, т.е.
мгновенная ось вращения.
Геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижном
пространстве (в системе Oxxyxzx) называется неподвижным аксоидом, а в теле (в
системе Oxyz неизменно связанный с телом) - подвижным аксоидом. Если
конус катится без скольжения по плоскости, то последняя - неподвижный
аксоид, а поверхность конуса - подвижный аксоид. Мгновенная ось
вращения конуса совпадает с его образующей, которая в данный момент касается
плоскости.
3. Ускорения точек тела. Дифференцируя скорость (7.3), найдем
_ d,., ^л _ df dib _
W = —(tOXr) = G)X + ХГ.
dtK } dt dt
§ 7. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА (ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ)
33
Схема 3
Движение
тела или точки
Скорость
точки М
Примечание
Сферическое
5.
со х г
I I
со-МС
2) 0-неподвиж-
ная точка
5^05-мгновен-
ная ось
вращения
Свободное/^
2) О-полюс
3) Относительно
О = и„ + со х г
V
тело
совершает сферическое
движение (точка
О "неподвижна")
Сложное
I
1
u=Gf+u
i
со-Л/С,
e
\) \<Ь х г| = со • МС
2) Cj-полюс
3)\Э -скорость
отн.'Охуг;
(относительная)
4)\5е -перенос-
ная скорость
5) U - скорость
отн. %п£|
(абсолютная)
2-262
34
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Схема
№
Движение тела или точки
Ускорение точки М
Сферическое
Ш х(ш хг
r
c
л/с
VT^c
fl)=E МС
Свободное
W = И'
О-ПОЛЮС
fl)= еМС
[2)1* л(ё.
Сложное
ЕХГ
= wr + wn +й х (ю х г)+ё х г
^г О л / ^г *r I*
2Й х i5
I
0=
основная
Jr система Л,
Oxyz - подвижная система
О - полюс
§ 7. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА (ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ)
35
Вектор — обозначают через £; это, по определению, вектор углового
dt
dr
ускорения тела. Заменяя — по формуле Эйлера (7.3), получаем
dt
(7.4)
Смысл двойного векторного произведения можно раскрыть по известной
формуле алгебры "бац минус цаб":
ю х (й х г) = с5(со • г) - г (со • ю) = со - со • ОС - со2г =
= со2 OC-G)2r = со2 -
мтоввнная ось
(см. схему 4, случай 4).
Таким образом, ускорение произвольной точки тела, совершающей
сферическое движение, состоит геометрически из двух слагаемых: 1) осестреми-
тельного ускорения со2 МС, направленного к мгновенной оси вращения, 2)
вращательного ускорения е х г , равного Е • МС (см. схему 4),
направленного перпендикулярно к плоскости, образованной векторами £ и г.
При сферическом движении тела только скорости его точек такие, как
при вращении вокруг мгновенной оси. Ускорения точек, лежащих на
мгновенной оси вращения, могут быть отличны от нуля.
Заметим, что векторы г и V — полярные; при
преобразовании декартовых координат по
формулам
х' = -х, У = -у, z' = -z
знаки проекций векторов г и Ъ на новые оси
изменяются на противоположные. Поэтому
проекции вектора ю в формуле i5 = c5xf остаются
без изменения. А это означает, что при замене
правой системы координат на левую вектор ш
меняет свое направление на прямо
противоположное, т.е. вектор ш аксиальный.
Однако конечные углы поворота подобным
свойством не обладают: изменение последова-
Рис. 7.2
36
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
тельности поворотов меняет результат. Поэтому надо писать d<p, а не
конечный угол поворота не обладает свойством вектора. Угловая скорость
d(p J(p
вращения тела - это вектор —-, а не —-.
dt dt
Перемещение тела, имеющего неподвижную точку, из данного
положения в какое-либо другое положение, бесконечно близкое к данному,
осуществляется поворотом вокруг мгновенной оси вращения.
§ 8. Скорости и ускорения точек свободного твердого тела
Во всех пяти основных видах движения тела - поступательном,
вращательном, плоскопараллельном, сферическом, свободном — скорость
произвольной точки тела вычисляется дифференцированием радиус-вектора точки
по времени, а ускорение - повторным дифференцированием. Например, для
свободного движения (это самый общий случай), как видно из рисунка (рис.
8.1), имеем
поэтому
- dR dRo df
dt dt dt
(8.1)
Смысл первого слагаемого
dt
очевиден — это скорость подвижного
начала. Смысл слагаемого — нужно
dt
установить. С этой целью радиус-
вектор г точки представляют
разложенным по осям системы Oxyz, неиз-
у, менно связанной с движущимся
телом,
F = xT + yj+zk, (8.2)
Рис. 8.1
где х, у, z - постоянные координаты
точки, а Г, /,к - изменяющиеся функции времени.
§ 8. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 37
Дифференцируя (8.2) и используя формулы Пуассона, получим
dr di dj dk
— = x—+v— + z— =
dt dt dt dt
= G>x(xi+yj+zk) = <bxr,
dr _ _
ur. (8.3)
dt
Подставляя это значение в (8.1), находим (схема 3, случай 5)
(8.4)
где ю - вектор (7.1). Этот вектор не зависит от выбора полюса в теле. В
самом деле, выбрав в качестве полюса другую точку О', напишем
x> = X)o.+G>'xr'. (8.5)
Приравняв правые части (8.5) и (8.4) и заменяя г' на г - ОСУ (рис.8.2), а в
соответствии с формулой (8.4) заменяя i3^ на х>о + ю х ОСУ , найдем
Ъо + ю х г = (уо + ю х ОО7) + ю' х (г - ОО7),
откуда
(ю - ю') х (f - ОО7) = 0. (8.6)
Так как выбор полюса ничем не ограничен, вектор ОО' произвольный;
поэтому из (8.6) следует, что ю' = о5. Это свойство позволяет говорить о
вращении тела по отношению к рассматриваемой системе координат
(независимо от выбора полюса).
Согласно (8.4) скорость любой точки тела складывается м
геометрически ш скорости полюса и скорости точки тела при т/\ -*.
его вращении с угловой скоростью СО вокруг оси, проходящей / V
через полюс (схема 3, случай 5). <^^*^****-^
Ускорение точки тела находим повторным дифференциро- °
ванием по времени скорости (8.4):
Рис. 8.2
dr dih _ ,пяч
— + — xr. (8.7)
dt dt
+ (OX +
dt dt dt dt
38 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Определяем для свободного движения тела угловое ускорение как
производную
^ (8.8)
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости те-
dr
ла. После замены — = со х г формула (8.7) приобретает вид
dt
(8.9)
Ускорение точки М произвольно движущегося тела состоит
геометрически из трех ускорений: 1) ускорения полюса w0; 2) осестремительного
ускорения © х(юх г), равного со2-А/С, здесь МС - вектор, соединяющий
точку М с основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую,
вдоль которой размещен вектор © (см. схему 4); 3) вращательного ускорения
£ X г , направленного перпендикулярно плоскости, образованной векторами
£ и г (начала этих векторов совпадают с полюсом); вращательное ускорение
по модулю равно произведению | £ | на расстояние от точки тела до точки
пересечения перпендикуляра с прямой, вдоль которой размещен вектор £
(схема 4, случай 5).
§ 9. Теорема о сложении скоростей
Рассматривается точка Af, движущаяся относительно системы отсчета
Oxyz, которая сама находится в движении относительно системы Olxlylzl.
Система, относительно которой определяется движение всех остальных,
называется основной системой отсчета. В нашем случае Olxlylzl - основная
система отсчета, a Oxyz - подвижная система отсчета. Вводим в
рассмотрение поступательно движущуюся систему отсчета Ох2у22г* оси которой
остаются параллельными осям основной системы (рис. 9.1).
Разлагая радиус-вектор точки M(xty,z) по ортам подвижной системы,
получим
R = Ro+r = Ro+xT + yj + zk, (9.1)
§ 9. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ
39
где Ro - радиус-вектор подвижного
начала координат. Дифференцируя по
времени R с учетом изменения как х,
у, z, так и /, ), к, определяем
скорость точки М в основной системе -
так называемую абсолютную
скорость:
- dR - di dj dk
ц, =— = u, +x—+y—+z—
" dt " dt У dl dl
dx- dy -r dz t ,n »4
+ —/ +—j + —k. (9.2)
dt dtJ dt
M(x,y,z)
Рис. 9.1
Последние три слагаемые правой части - это скорость точки в
подвижной системе; ее называют относительной скоростью и обозначают \3Г:
dx - dy -t dz r
=—/ +—j +—k.
d dJ d
/ +
dt dt
dt
(9.3)
Первые четыре слагаемые в правой части (9.2) определяют скорость
той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки, с
которой в данный момент совпадает точка М; это - переносная скорость
точки М (обозначение \>е). Ее можно рассматривать как скорость точки тела,
неизменно связанного с подвижной системой, и вычислить по формуле
(8.4)
Х> =<ио+юхг, (9.4)
где Ю определяется формулой (7.1).
В итоге получаем
(9-5)
Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме
относительной и переносной скорости (схема 3, случай 6).
40 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
§ 10. Теорема Кориолиса о сложении ускорений
Дифференцируя абсолютную скорость (9.2) по времени, найдем
абсолютное ускорение точки M{x,y,z):
d2R cfoo d2i d2j d2k
Jr dt dt1 dt1 dt1
k+ (10.1)
„. dxdi dydj dzdk
2| + —— +
dt dt dt dt dt dt
Первая строка определяет ускорение неизменно связанной с подвижной
системой точки, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М;
эти слагаемые - переносное ускорение ive. Его можно рассматривать как
ускорение точки тела, неизменно связанного с подвижной системой, и согласно
(8.9)
we =wo+(bx((bxr) + EXr. (10.2)
Первые три слагаемые второй строки определяют ускорение точки М
относительно подвижной системы отсчета wr. Три последние слагаемые
формулы (10.1) с множителем 2 определяют так называемое кориолисово
ускорение wc.
В итоге имеем
wa=wr+we + wc. (10.3)
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех
ускорений: относительного, переносного и кориолисова (схема 4, случай 6).
Выражение для ускорения Кориолиса (Coriolis) упрощается, если
воспользоваться формулами Пуассона:
Jdx.. -г dy - -t dz „ r\ «- (dx-f
w{. = 2 —ca x / + —ю x / + —ca xk = 2ca x —i
1 {dt dt J dt ) {dt dt
§11. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИЧИНА УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА 41
Окончательно имеем
(10.4)
Кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному
произведению угловой скорости переносного движения подвижной системы отсчета
на относительную скорость точки.
§11. Физическая причина ускорения Кориолиса
Из-за вращения подвижной системы отсчета с угловой скоростью Ю
вектор относительной скорости х>г движущейся точки М за время Af
получает приращение* G&t X Ьг. Соответствующий вклад в ускорение точки М
равен
1гт
Д/-Ю Д/
И еще, в относительном движении за время Д? точка М перемещается из
положения г в положение г + x>rAt, а значит, оказывается в области других
переносных скоростей. В точке г переносная скорость вращения равна
Ю х г , а в точке г + X)rAt она равна ю X (г + vrA/). Соответствующий
дополнительный вклад в ускорение точки Мбудет таким:
, ©x(r +vrAt)-(bxf _ _
lim — = ю х -о,.
Д/-»0 Д/
Суммируя оба вклада, находим
+с5х;бг =2(bxvr.
* Переносное вращение со сообщает любой точке А за время А/ перемещение, рав-
— ~* —' ~* ~*
ное (hAtxOA, точке В - (O&txOB. Вектор А В получает поэтому приращение
~*
В тексте роль АВ играет вектор \>г. Здесь имеются в виду линейные
части перемещений (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).
(hAtxOA, то
XI ОВ— О А I.
42 ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА
Следовательно, ускорение Кориолиса наполовину обусловлено
влиянием переносного вращения на относительную скорость и наполовину -
влиянием относительного движения точки на переносную вращательную
скорость.
Рассмотрим простейший пример: точка А/ движется с постоянной
скоростью V вдоль радиуса ОА диска, который вращается с постоянной угловой скоростью CD
вокруг центральной оси, перпендикулярной диску. Относительное ускорение точки равно
нулю. Переносное ускорение — центростремительное СО2г, где г - расстояние точки от
центра диска (рис. 11.1).
Половина ускорения Кориолиса обусловлена приращением переносной скорости из-
за увеличения расстояния точки от центра диска. За время dt расстояние от точки до
центра увеличивается на vdt, а переносная скорость - на co(r + \>dt) — cor = taodt.
Соответствующий вклад в ускорение равен COD.
Рис. 11.1
Вторая половина ускорения Кориолиса обусловлена приращением относительной
скорости X), вектор которой поворачивается на угол СО с//, так что геометрическое
приращение по модулю равно XXudt. Соответствующий вклад в ускорение равен 1) со.
Суммируя оба вклада, получаем ускорение Кориолиса 2dJU, направленное
перпендикулярно радиусу, по которому движется точка.
Глава 2
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Динамика — раздел механики, в котором изучаются движения
механических систем под действием сил. В основании динамики лежат законы
Ньютона.
Первый закон Ньютона -закон инерции: изолированная
материальная точка сохраняет состояние равномерного и прямолинейного
движения или находится в состоянии покоя.
Содержанием закона инерции является утверждение о существовании
инерциальных систем отсчета. Следует отличать инерциальную систему
отсчета как одну из наиболее важных моделей (научных идеализации) в
механике от конкретной формы ее реализации на практике. Для любой задачи (из
астрономии, космонавтики, обычной инженерной практики) всегда можно
указать такую систему отсчета, по отношению к которой движение тел будет
описываться законами Ньютона с заранее заданной точностью. Система,
которая движется равномерно и прямолинейно относительно однажды
найденной инерциальной системы, тоже инерциальная (с той же точностью) для
данной задачи. На практике мы всегда имеем дело, таким образом, с
прототипами инерциальной системы, хотя их и принято называть просто инерци-
.альными системами.
Второй закон Ньютона — основной закон динамики:
производная по времени от количества движения
материальной точки относительно инерциальной
системы отсчета равна геометрической сумме
приложенных к точке сил.
if
dt
(mx>- количество движения). Поскольку масса т г система отсчета
л (ИСО)
постоянная, то
44 ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
m-— = F,
dt
или
mw-F,
где w - ускорение точки, F - геометрическая сумма приложенных к точке
- du d2f d2r ~
сил. Учитывая, что w = — = —=-, можно написать т—=- = F.
dt dt1 dt2
Третий закон Ньютона - з а к о н взаимодействия тел:
действия тел друг на друга равны и направлены по одной прямой в
противоположные стороны.
Классическая механика имеет определенные границы применимости.
Она описывает движение макроскопических тел при скоростях, значительно
меньших скорости света в вакууме. Область приложения классической
механики весьма обширна: инженерная практика, космонавтика, астрономия и др.
Классическая механика - основа многих технических наук.
§ 12. Принцип относительности классической механики
В одинаковых условиях, осуществленных в различных инерциалъных
системах отсчета, механические явления одного и того же типа протекают
одинаково.
Этот принцип утверждает, таким образом, физическую равноценность
всех инерциальных систем отсчета. Инерциальные системы получаются
путем: 1) сдвига данной инерциальной системы на произвольный вектор в
пространстве (однородность пространства), 2) поворотом данной системы на
произвольный угол вокруг любой неподвижной оси (изотропность
пространства), 3) изменением начала отсчета времени (сдвиг во времени,
однородность времени), 4) переходом к системе, движущейся равномерно и
прямолинейно относительно данной (галилеевская симметрия).
Переход от данной инерциальной системы к другой в общем случае
задается десятипараметрическим преобразованием Галилея:
t' =
§ 12. ПРИНЦИП ОТООСИТЕЛЬНОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
45
го - положение подвижного начала подвиж-
ной, системы отсчета в момент t = 0 (3
координаты ^о, >>о, zo), й - скорость подвижной системы
(3 проекции vx,vy, 1)г); т - сдвиг во времени (1
параметр); ориентация подвижной системы
относительно основной определяется тремя углами (3 у
параметра). Всего 3+3+1+3=10 параметров (рис. р
12.1). *
Чаще рассматривают переход к системе,
движущейся со скоростью V в направлении оси
х, причем в момент t = 0 оси обеих систем совпадали. Соответствующее
преобразование тогда имеет вид (рис. 12.2)
Рис. 12.1
х' = х - vt;
= г;
(12.2)
Как десятипараметрические, так и однопараметрические преобразования
Галилея образует группу. Это означает следующее: 1) совокупность двух
последовательно выполненных преобразований Галилея можно заменить одним
преобразованием того же вида, 2) каждому преобразованию Галилея
соответствует обратное ему, возвращающее к исходной системе, 3) существует
преобразование, не изменяющее систему отсчета (тождественное
преобразование).
Принцип относительности налагает определенные ограничения на силы
взаимодействия замкнутой системы. В замкнутой системе силы могут
зависеть только от разностей координат (от расстояний между точками),
разностей скоростей точек, не могут зависеть явно от времени.
Действительно, если бы силы
зависели, например, от самих координат, то
яэ м I *• у; z\ при смещении системы отсчета на посто-
янный вектор изменились бы координаты
точек, значит, и силы, а с ними и
движение, что противоречит принципу
относительности.
Рассмотрим простой пример,
иллюстрирующий применение принципа отно-
Рис. 12.2 сительности.
46
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
т
Рис. 12.3
Пример. Камень без начальной скорости
падает с небольшой высоты h на землю под действием
постоянной силы тяжести mg. По закону сохранения
механической энергии в системе отсчета "Земляг (рис.
12.3) имеем /
= 0+^/т>2, (12.3)
где нуль слева - начальная кинетическая энергия, а
нуль справа— конечная потенциальная энергия камня у поверхности Земли.
Согласно тому же закону в системе "лифт", который движется вниз с постоянной
скоростью, равной 1) = <yJ2gh, имеем
mgh+—mv2 = mg-0+—m-02,
(12.4)
где слева — сумма потенциальной и кинетической энергии в начальном положении камня,
а в правой части — эта же сумма в конечном положении.
Равенство (12.4) абсурдно. В чем же ошибка? Она в том, что равенство (12.4) не
согласовано с принципом относительности. По принципу относительности все инерциаль-
ные системы равноправны. Однако при начертании (12.3) "нулевой" уровень для отсчета
потенциальной энергии был неподвижным — уровень поверхности Земли, тогда как при
начертании (12.4) в системе "лифт" этот уровень движется.
Чтобы согласовать уравнение энергии с принципом относительности, следует
связать нулевой уровень для отсчета потенциальной энергии с системой "лифт". Пусть в
начальный момент дно лифта находится на уровне поверхности Земли и лифт опускается со
скоростью V = -y]2gh в шахту. В системе "лифт" камень не падает вниз равноускоренно, а
поднимается вверх равнозамедленно на высоту, равную h, тогда как поверхность Земли
поднимается параллельно самой себе равномерно с постоянной скоростью V = iJ2gh и,
пройдя расстояние 2h, догоняет камень.
Закон сохранения энергии в системе отсчета "лифт" следует писать поэтому в виде
mgh+—mx>2 =mg-2h+—m-61,
(12.5)
где в системе "лифт" потенциальная энергия отсчитывается тоже от неподвижной в этой
системе точки — от дна лифта.
Равенство (12.5) уже согласовано с принципом относительности. Оно не
противоречит уравнению (12.3), совместимо с ним.
§ 14. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 47
Пример. В вагоне поезда, который движется равномерно по прямому пути, и
на Лерроне груз на нити колеблется одинаково. В первом случае — относительно движуще-
госяшространства вагона, во втором — относительно неподвижной Земли. Это касается и
других явлений.
§ 13. Принцип причинности классической механики
Разлагая г (t) и \){t) в ряд и ограничиваясь малыми первого порядка,
получим на основе второго закона Ньютона w(t) = — F(t) для радиус-
т
вектора и скорости точки выражения
x>(t + At) = Щ +—F(0) • At,
m
По этим формулам определяются положение точки и ее скорость в
момент t + At у если они известны в момент t. Так, шаг за шагом непрерывно и
однозначно развертывается механическое движение точки под действием
заданной силы F{f,x>,t). Форма, в которой в механике реализуется
причинность, получила название лаппасовского детерминизма
В статистической физике и в квантовой механике формы причинных
связей иные - вероятностные.
§ 14. Две основные задачи динамики точки
В соответствии с основным уравнением динамики точки
т-р-Р- 04..)
рассматривают две задачи. По заданному уравнению движения определяют
48 ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
действующую на точку силу (обратная задача) и по заданной силе находят
уравнение движения (прямая задача).
Решение обратной задачи требует выполнение дифференцирования,
тогда как решение прямой — интегрирования. Теория дифференциальных
уравнений гарантирует лишь существование и единственность (при
заданных начальных условиях) решений при весьма широких предположениях
об аналитических свойствах правых частей дифференциальных уравнений,
т.е. о свойствах силы как функции своих параметров. Нахождение общего
решения системы дифференциальных уравнений в замкнутой форме с
использованием введенных в обиход в математике функций не всегда
возможно. Причина: класс функций, определенных дифференциальными
уравнениями, шире, чем класс конечных комбинаций используемых £
математике функций.
В связи с математическими трудностями интегрирования уравнений
движения особое значение приобретает нахождение первых интегралов
упомянутых уравнений. Первые интегралы содержат ту или иную определенную
информацию о движении.
Первым интегралом дифференциальных уравнений движения
называется равенство
f(x, у, z, х, у, z, t) = с, (14.2)
где с— произвольная постоянная, связывающая функционально координаты
движущейся точки, их производные по времени (проекции скорости) и,
возможно, время. Например, уравнению колебаний груза на пружине
тх + кх — 0 соответствует первый интеграл в виде тх2 + кх2 = с.
Шесть независимых первых интегралов движения дают полную
информацию о движении точки в пространстве. Действительно, решая шесть
уравнений
f(x, у, z, х, у, z,t) = cit i = 1,2,3,..., 6, (14.3)
получим шесть функций х,у, z, x,y,z, зависящих от времени и шести
постоянных интегрирования с},с2,с3>сА,с5,с6. Тем самым полностью
определяются кинематические уравнения движения точки и проекции ее скорости.
Постоянные находятся по заданным начальным условиям движения.
Вторым интегралом движения называется равенство
с. (14.4)
§ 15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
49
Достаточно знать три вторых интеграла, чтобы иметь полную информацию о
движении точки. Ее координаты х, у, z определяются как функции времени и
шести постоянных интегрирования, которые могут быть найдены, как
обычно, щ начальным условиям движения.
[асть первых и вторых интегралов уравнения движения обязана своим
существованием свойствам пространства и времени. Они имеют место для
любой Замкнутой системы материальных точек (замкнутой механической си-
стемы),\и в этом смысле являются универсальными. В отличие от задачи
интегрирования уравнений движения, определение универсальных интегралов
движения особых трудностей не составляет, так как эти интегралы имеют
простой физический смысл законов сохранения энергии, количества
движения, момента количества движения, скорости центра масс. Получение
информации о движении механических систем значительно облегчается, если
начинать исследование именно с нахождения первых и вторых интегралов
движения.
§ 15. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Уравнение движения материальной точки массы т относительно инер-
циальной системы отсчета по второму закону Ньютона имеет вид
mw — F,
или
или
d» -
m— = F,
dt
(15.1)
где F - геометрическая сумма действующих на точку сил.
Если сила F задана, интегрирование этих дифференциальных
уравнений позволяет определить уравнение (закон) движения точки. Само
интегрирование бывает удобнее проводить в определенных координатах:
декартовых, полярных, цилиндрических, в натуральной форме и других. Чтобы
перейти от векторной формы уравнений (15.1) к координатной, необходимо
спроектировать (15.1) на координатные оси. Рассмотрим частные случаи.
1) Уравнения движения точки в декартовых координатах. Проектируя
(15.1) на декартовы оси, получим
50
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
d2x
ИЛИ
т-
dt
= F
т
d2y
——
dt1
F
у'
т-
у _
dt
г?
т-
dv.
m—- = F
dt z
/15.3)
Если движение плоское (точка движется в плоскости Оху\
используются только первые два уравнения; если точка движется по прямой (ос^ Ох) -
только одно уравнение тп-jy ~ ^х • fто
уравdt7
/
нение бывает удобно представил/ иначе:
dv ;
т
dt
— = /^.,или mvx
—- = F (поскольку
dx
Рис 15.1
dt dx dt * dx
2) В полярных координатах (рис. 15.1).
Проектируем (15.1) на направления
полярных осей в точке М (МА — направление полярной r-линии, MB -
направление ф-линии).
\mwr = Fr
mw =
(15.4)
(15.5)
(значения wr и и>ф известны из кинематики - формулы (1.7); точками над
буквами обозначаются производные по
времени). В цилиндрических координатах - такие
же два уравнения (15.4) и (15.5) и еще третье
т —г- — F..
dt2
3) В натуральной форме (рис. 15.2).
Проектируем (15.1) на направления ортов %,п,Ъ
естественного трехгранника (на касательную,
главную нормаль и бинормаль)
Рис. 15.2
§ 15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 51
mw = F
x = Fx
mwn = Fn
mwb = Fb =>
л)2
(формулы касательного wx и нормального wn ускорения - из кинематики;
полное ускорение w и сила F — mw лежат в соприкасающейся плоскости
(г. Я)).
Аналогично поступаем и при использовании других координат.
Глава 3
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебания тел (физических систем) широко распространены в природе и
технике, бывают разных видов и совершаются под влиянием различных
причин. Виды колебаний: вынужденные - вызванные вынуждающей силой
(переменной во времени, не зависящей от колеблющейся системы) или путем
кинематического возбуждения (заданным движением какой-либо точки
системы); свободные - обусловленные начальным запасом энергии,
происходящие без воздействия вынуждающей силы; параметрические, которые
поддерживаются изменением параметров системы (массы, момента инерции,
коэффициента упругости и др.); автоколебания — асимптотически устойчивое
периодическое движение, возбуждаемое энергией, идущей от внешнего
источника, поступление которой регулируется движением самой колеблющейся
системы и др.
Различают колебания линейные и нелинейные - в зависимости от типа
дифференциальных уравнений этих колебаний.
Изучим простейшие колебания: свободные (незатухающие и
затухающие) и вынужденные гармонические.
§ 16. Свободные гармонические колебания осциллятора
На рис. 16.1 в центре слева показана модель осциллятора, а вокруг нее -
некоторые примеры систем, движение которых аналогично движению
модели. При параллельном соединении пружин коэффициенты упругости
складываются, при последовательном - складываются обратные значения
коэффициентов. Это легко установить при рассмотрении действующих сил и
соответствующих им удлинений пружин.
§ 16. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
53
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
НЕЗАТУХАЮЩИЕ ЗАТУХАЮЩИЕ
IV/SSSASSA
m
h
К lf| K2
I
Физический маятник
'////////л
Упругость
КОНСОЛИ
Лгп
Математический
маятник
Е-модупь
упругости
инерции
m
демпфер
1ГСОТ (Ф-магнитный
S N J поток между
полюсами)
^цад овной
стороны пластины)
%-dS
Рис. 16.1
54
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим на модели колебание тела массы т, подвешенного на
пружине с коэффициентом упругости к. Сопротивление движению отсутствует,
массой пружины пренебрегаем (рис. 16.2).
ф в) В положении равновесия (рис. 16.2, б)
сила тяжести уравновешена силой упругости
„fc ^ к от статической деформации пружины 5С ■
ст:
mg-kb
cm'
(16.1)
Равновесие
Если ось х направить вниз, а начало
координат поместить на уровне положения рав-
' х новесия тела, то сумма проекций на ось х сил,
действующих на колеблющееся тело, равна
mg — k(x + bcm\3 и согласно (16.1) составит
— кх. Уравнение движения тела будет
Рис. 16.2
= -кх,
или
х + щх = О,
(16.2)
Частными решениями этого уравнения являются функции sin(Qot и cos &ot;
общее решение - сумма частных, домноженных на постоянные:
х = A cos (O0t + В sin (aot.
Сумму двух гармоник можно заменить одной:
(16.3)
х = Сsin((aot + a),
где
А.
В
(16.4)
(16.5)
Таким образом, под действием восстанавливающей силы — кх,
направленной к положению равновесия, тело совершает гармоническое колебание
согласно (16.4). Аргумент под знаком синуса G)of+ ос называют фазой коле-
§ 16. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
55
баний; а - начальная фаза; Юо - циклическая или круговая частота (число
колебаний в течение секунд). Период колебаний (время одного периода -
одного полного колебания):
К
ео0 \к
Постоянные интегрирования С и а определяются по начальным условиям
движения.
Период колебаний, а значит и частота, определяется параметрами
системы (величиной к и т); он не зависит от начальных условий движения
(начального положения тела х(0) = х0 и его начальной скорости х(0) = \)0).
Заметим, уравнение гармонического колебания (16.4) можно
представить и через косинус, изменив начальную фазу:
х = С sin((o0t + а) = С cos
V
a—I.
На рис. 16.3 показана развертка гармонических колебаний (зависимость
х от t согласно (16.4)). Параллельно справа (рис. 16.4) размещен так
называемый фазовый портрет: траектория, которую описывает изображающая точка
на плоскости "координата - импульс", т.е. на плоскости (jc, /?), где р = тх.
п
i
Cslna.%
fl- T » >
ТА!-
LJ
Рис. 16.3
Рис. 16.4
Найдем уравнение фазовой траектории. По закону сохранения энергии:
—х2+-х2=Е
2 2
56 ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ИЛИ
откуда
Следовательно, фазовая траектория гармонических колебаний - эллипс с
полуосями
§ 17. Свободные затухающие колебания при сопротивлении,
пропорциональном скорости
На рис. 16.1 в центре справа показана модель для изучения движения
при наличии сопротивления, пропорциональном скорости. Вокруг нее -
некоторые примеры других систем, движение которых аналогичное.
Рассмотрим по модели движение тела под действием
восстанавливающей силы — кх при сопротивлении — сх. Дифференциальное уравнение
движения:
тх = — кх — сх
или
х + 2$(О0х + (О20х = 0, (17.1)
где

°ё (172)
Величину 0)0р = — называют коэффициентом сопротивления;
2т
безразмерный коэффициент сопротивления. Ищем решение (17.1) в виде
х = Сеы. Подстановка в (17.1) дает
(п2 +2Р(й0п + (о20)Се"' =0,
§ 17. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 57
откуда
2P O)J=0. (17.3)
Это характеристическое уравнение имеет корни:
) (17.4)
Общее решение уравнения (17.1) имеет вид:
х = С1еп*+С2е**. (17.5)
Решение (17.5) зависит от значений п, и и2, а значит от безразмерного
сопротивления р. Исследуем возможные случаи.
1) 0 < р < 1. Корни комплексные сопряженные
Решение
х = е~^{С,еш + С2е-Ш)у (17.6)
где
ю = сооЛ/1-Р2. . (17.7)
Учитывая, что е±пр =cosq>±isinty (формулы Эйлера), перепишем (17.6)
окончательно в виде
х = Ае'^01 sin (<at + a), (17.8)
где А и а - новые постоянные интегрирования (вместо прежних Сх и С2).
Движение тела согласно (17.8) носит колебательный характер за счет
синуса, но оно затухает за счет е"рШо< (дс—>0 при t—»«>). В итоге имеем
экспоненциально-гармоническое затухание.
„ „, 2л 2я
Период синуса Т = — = -. ■ называют периодом затухающих
о сооЛ/1-р2
колебаний. Наличие сопротивления увеличивает период.
58
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рис. 17.1
На рис. 17.1 показаны максимальные отклонения тела от положения
равновесия в положительном направлении оси х. Отношение последующего
отклонения к предыдущему (через период 7) является величиной постоянной:
е~Ршо(/+7')
Поэтому последовательность максимальных отклонений составляет
геометрическую прогрессию со знаменателем д. Величина д называется
декрементом затуханий. Модуль натурального логарифма этой величины
(17.9)
называется логарифмическим декрементом затуханий; подчеркнем, Л
зависит только от безразмерного коэффициента сопротивления (3; в этом
удобство введения последнего.
1
Из (17.8) следует: за время X = -— амплитуда колебаний уменьшается
в е « 2,7 раз, т.к.
. = *■*"*= е"1.
§ 17. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
59
Время х называется временем релаксации. За время релаксации совершается
N колебаний:
~Г~соорг~Л'
Следовательно, величина, обратная логарифмическому декременту
затуханий, определяет число колебаний за время релаксации.
2) Р = 1. Корни характеристического уравнения отрицательные и
кратные: пх = «j = -соо. Общее решение уравнения (17.1) имеет вид
х = е
'(C,+C2f).
Движение тела - апериодическое затухание. При этом, когда t —> «», х —> О
или без изменения знака, или меняя его только один раз. Действительно,
уравнение х = О, т.е. С, + C2t = 0 или не имеет положительного корня (когда
С, и С2 одного знака), или имеет только один корень. Таким образом, при
Р = 1 тело асимптотически приближается к положению равновесия либо не
проходя его, либо проходя только один раз. Все зависит от начальных
условий движения (рис. 17.2,17.3).
п Т" п
J
ни
U
U
Рве. 17.2
Рис 17.3
3) р > 1. Корни я, и п2 действительные, различные, оба отрицательные.
Решение
jc =
Снова апериодическое затухание: jc —> 0 при t —> °°. Как и в
предыдущем случае, х —> 0 без изменения знака или меняя его только один раз; и
здесь уравнение х - 0, т.е.
60
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
~ — е
либо не имеет решений, либо имеет только одно
решение.
В заключение отметим, что (3 = 0 означает
отсутствие сопротивления, и что условие Р<0
(отрицательное сопротивление) вполне реализуемо на
практике. Классическим примером случая Р < 0
является маятник Фроуда (рис. 17.4). Физический маятник
насажен на вращающийся вал. Постоянная угловая
скорость вала Q должна быть все время больше угловой скорости маятника ф.
На маятник действует момент сил трения неизменного направления:
тормозящий в том полупериоде, в котором маятник и вал вращаются в разные
стороны, и ускоряющий в полупериоде, когда они вращаются в одном
направлении.
Уравнение движения маятника Фроуда имеет вид:
Рис. 17.4
+ Сф + mglsin ф = F(Q - ф),
(17.10)
где левая часть такая же, как и для обычного маятника, а в правой части -
момент силы трения (функция от разности угловых скоростей вала и
маятника).
Состояние равновесия маятника определяется из уравнения (ф = 0,
= 0)
mglsinq>0 =
Это уравнение имеет два решения ф0 и тс - ф0.
Рассмотрим малые колебания вокруг нижнего положения ф0, когда
где \|А - малая величина (как и \j/ = ф).
Линеаризуем уравнение (17.10): разложим ««ф и ^(П-
степеням \|/ и \j/ и ограничимся линейными членами
в ряды по
§ 17. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
61
ГРАФИКИ КОЛЕБАНИЙ И ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ
ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СКОРОСТИ
РАЗВЕРТКА ДВИЖЕНИЙ
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ
КОЛЕБАНИЙ ДВИЖЕНИЙ)
центр
Г\ J 0<В</
х
фокус
X
7
уэвл
Рис 17.5
62 ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
sin(<p0 + \|/) = sin ф0 cos \|/ + cos ф0 sw \|/ * sin cp0 + Y cos ф0.
После замен в уравнении (17.10), получим:
y + (С + F'(Q))\\f + mglcosy0 • \\f = 0
- уравнение малых колебаний маятника Фроуда. Случай р < 0 реализуется,
когда С + F'(Q) < 0, т.е. F'(u) < -С.
Учет более высоких степеней при разложении в ряд приводит к
нелинейному уравнению колебаний; тогда оказывается, что при очень малых ф
амплитуда колебаний маятника нарастает, а для достаточно больших ф она
убывает. В результате оказывается возможным установление стационарной
амплитуды, которая не зависит от начальных условий.
Маятник Фроуда - пример автоколебательной системы. Такие системы
состоят из трех элементов: колебательного, внешнего источника энергии
(здесь - вращающийся вал) и нелинейного элемента, который регулирует
поступление энергии в систему.
В заключение приведем полный набор графиков движений и фазовых
траекторий для различных р.
На рис. 17.5 показаны временные развертки движений при
сопротивлениях, пропорциональных скорости. Справа - фазовые траектории этих
движений при различных возможных значениях
§ 18. Осциллятор с сухим кулоновским трением
(гармонические полупериодные колебания с убывающей амплитудой)
1. Уравнения движения. На рис. 18.1 показан брусок, зажатый между
двумя пружинами, который колеблется, двигаясь по сухой поверхности.
На тело действует постоянная сила трения Fo,
когда оно движется влево, х < О, и сила - Fo, ког-
х да оно движется вправо. Уравнение движения
/п
(начало О - в положении равновесия):
Рис. 18.1
§ 18. ОСЦИЛЛЯТОР С СУХИМ КУЛОНОВСКИМ ТРЕНИЕМ 63
mx + kx = F0, если jc<О,
(18.1)
mx + kx = -F0, если х>0.
Обозначим
т к т(й0
и перепишем уравнения (18.1) в виде
Зс + офс = <
-Hal,
когда
когда
jc<0,
jc>0.
(18.3)
(18.4)
Величина Н для модели на рис. 18.1 - это сумма деформаций пружин под
действием силы трения Fo.
Частным решением неоднородных уравнений является jc, = ±H, а
частными решениями однородного уравнения - cos(£>ot и sin(aot. Поэтому
движение тела влево (jc < 0) и вправо (jc > 0) описывается формулами:
x = H+Acos<n0t + Bsinai0t, когда jc<0, (18.5)
х = -Н+ Ах coscoor + Вxsin(£>Qt, когда jc>0. (18.6)
Пусть движение начинается в момент t = 0 из крайнего правого
положения тела, где jc = jc0, jc = 0. Из этих начальных условий легко находим
А = хо — Н, В = 0. Согласно (18.5) первое перемещение тела влево
происходит по закону:
jc = Н+ (jc0 - H)cos(u0t (18.7)
со скоростью
(). . (18.8)
Двигаясь влево, тело остановится первый раз, когда синус в (18.8) обратится
в нуль, а косинус равен минус единице. Координата точки остановки:
jco. (18.9)
64
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Затем тело будет двигаться вправо по закону (18.6) при новых
начальных условиях jc = JCj, х = 0. Из этих условий находим Bt= О,
Ах = —{Н + хх), так что координата и скорость будут:
х = -Н- (H+xx)cos coof,
х-{Н+хх )ю0 s/
(18.10)
(18.11)
Двигаясь вправо, тело остановится в момент, когда в (18.11) синус
обратится в нуль, а в (18.10) косинус равен плюс единице. Координата в этой
точке:
х2=-Н-(Н + х1) = -2Н-х1=-2Н-(2Н-хо) = хо-4Н. (18.12)
Этим закончился первый цикл движения. За ним следует второй цикл
(движение снова влево и затем вправо). Так продолжается до тех пор, пока
сила упругости превосходит силу трения Fo. Но как только окажется kx<FQt
тело останавливается.
x<0,
, (на АВ)
х>0, (K<xodt<2iz), (на ВС)
АВ-косинусоида относительно средней линииф-ф
ВС-косинусоида относительно средней линии®-®
Рис. 18.2
Таким образом, движение тела состоит из двух последовательных
гармонических полуколебаний. От крайнего правого положения тело движется
по гармоническому закону к крайнему левому положению относительно
средней точки х = +Н; затем оно движется гармонически в обратном на-
§ 18. СХЩИЛЛЯТОР С СУХИМ КУЛОНОВСКИМ ТРЕНИЕМ
65
правлении от крайнего левого положения к новому крайнему правому, но уже
относительно новой средней точки х = —Н. Дальше все повторяется. Каждое
"полуколебание" представляет собой во временной развертке косинусоиду.
Если в одном из крайних положений, когда х = О, окажется, что упругая сила
меньше или равна силе трения скольжения Fo, тело остановится и будет
пребывать в покое.
Как видно из (18.12), спустя один цикл координата х2 второго крайнего
положения меньше начальной х0 на АН Это относится и ко всем
последующим циклам. Максимальные отклонения тела в одну сторону составляют
поэтому арифметическую прогрессию с разностью АН (рис. 18.2).
Отметим интересное свойство: в отличие от вязкого сопротивления,
сухое трение не влияет на период колебаний (влияет на амплитуду; период
Т = такой же, как и в отсутствие трения).
2. Движение на фазовой плоскости.
АВ-папуокружностъ с центром (+Н)
ВС-полуокружность с центром f-H)
CD-полуокружность с центром (-нЧ)
Рис 18.3
Найдем уравнение траекторий на "фазовой" плоскости (х, р), где
(£>llvx = . . Уравнения движения (18.3) и (18.4) в новых перемен-
fk/m
ных:
3-262
66 ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
— {р<0),
(18.13)
ф = ( )* ()
Р
Интегрируем:
р2+{Н-х)2=с
В нижней полуплоскости, р <0, фазовая траектория - полуокружность
с центром в точке (//, 0); в верхней полуплоскости, р > 0, - полуокружность
с центром в точке (- Н, 0). Отрезок (— Н, Н) на оси абсцисс фазовой
плоскости - геометрическое место состояний покоя тела (рис. 18.3).
Фазовая траектория - набор полуокружностей, идущих одна вслед за
другой со все уменьшающимися радиусами. Движение тела "вперед - назад"
(фазовой точки - по полуокружностям) продолжается до тех пор, пока
восстанавливающаяся сила - кх превосходит силу трения Fo. Как только
окажется kx<F0, фазовая точка попадает на отрезок (- Н,Н) и тело
останавливается.
§ 19. Вынужденные гармонические колебания
при наличии вязкого сопротивления
На рис. 19.1 в центре слева показана основная модель вынужденных
колебаний. Такие колебания возбуждаются и поддерживаются силами
внешнего (по отношению к колеблющейся системе) происхождения. Эти силы
являются заданными функциями времени, независящими от движения системы,
и называются вынуждающими силами. На том же рисунке вокруг основной
модели приведены примеры возможных других аналогичных систем.
Вынужденные колебания могут возникать и поддерживаться также и
иным путем - кинематическим. На рис. 19.1 в центре справа показана простая
школьная модель кинематического возбуждения вынужденных колебаний -
за счет заданного движения в верхней точке подвеса пружины при вращении
рукоятки. Вокруг этой основной модели приведены различные возможные
реализации кинематического возбуждения на практике.
§ 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 67
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
КИНЕМАТИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
маятник \\е
с подвижной ■
подвесной
колебания консоли
с мотором
u flu
колебание фундамента
п
Вибратор для записи
горизонтальных колебаний
П
Рнс. 19.1
68
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение колебания тела (вообще - системы с одной степенью
свободы) под действием вынуждающей гармонической силы, при наличии вязкого
сопротивления и восстанавливающей силы - противоположной отклонению
от положения равновесия - имеет вид:
тх = Fo cos(pt + Ь)-сх-кх,
(19.1)
где Fo cos{jpt + 8) — гармоническая (по предположению) вынуждающая сила,
сх - сила сопротивления, кх - упругая сила; или
= Hcos(pt + 8),
где
#= —
т
Ищем частное решение уравнения (19.2) в виде:
х = Acos(pt + 6) + Bsin(pt + 8)
jc = -Ар2 cos(pt + 8) - Вр2 sin(pt + 8)
со
(19.2)
(19.3)
(19.4)
Подстановка (19.4) в (19.2) приводит к тождеству (умножаем, как показано, и
складываем, отождествляя с правой частью (19.2))
(19.5)
o A)cos(pt + 8)+
0рА + (Q20B)sin(pt + 8) = Hcos(pt + 8).
Ар2
- Вр2 -
Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, получаем:
- 2$(й0рА + (о>о - р2 )В = 0.
§ 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 69
Решаем эту простую алгебраическую систему (как отношение
детерминантов)
{<*1-р2)Н _ 2pcoOjptf
А =
(a>l-p2) +(2pcoOjP)
2 '
в=
, (19.6)
Частное решение (19.4), найденное в виде суммы двух гармоник, где А,
В имеют значения (19.6), представим в более удобном для анализа виде, как
одну гармонику (известное простое преобразование суммы A cos a + В sin a
к виду Ccos(a - ф))
Я
;cos(pt + 8 - ф),
(19.7)
где
В
В (19.7) вынесем СОд из-под радикала, и введем безразмерную частоту
R = *у . Окончательно:
где
(19.8)
>2 '
(19.9)
Найденное частное решение (19.8) описывает вынужденные колебания.
Оно устанавливается спустя некоторое время после начала движения: после
того, как практически затухнет та составная часть колебаний, которая
описывается однородным уравнением, рассмотренным в предыдущем параграфе.
Таким образом, при наличии вязкого сопротивления, под действием
вынуждающей гармонической силы устанавливаются вынужденные также
гармонические колебания.
70
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Структура формулы (19.8), определяющей вынужденные колебания,
следующая: множитель —— - статическая деформация пружины под действи-
к
ем амплитудного значения вынуждающей силы Fo;
множитель
Х=
(19.10)
называют коэффициентом динамичности-, он показывает во сколько раз
амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше статической
деформации. Последний множитель в (19.8) - косинус, фаза которого отстает
от фазы вынуждающей силы на ср; естественно, что фаза следствия
(колебаний) отстает от фазы причины (силы).
Развертка колебаний
во времени
Рнс. 19.2
Подчеркнем: при данном безразмерном сопротивлении р коэффициент
динамичности является функцией только безразмерной частоты R
вынуждающей силы. По рис. 19.2 читается взаимная связь между пространственно-
временной разверткой колебаний (x,t), амплитудно-частотной (Д^,/?] и
фазово-частотной (ф, R) характеристиками.
§ 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 71
Исследуем амплитудно-частотную характеристику Атр ——-\{R) при
/С
некотором р на экстремум. Приравниваем нулю производную от функции
y = (l-R2f+4$2R2
dR
Имеем:
откуда
Rt=0,
Корень Rj отбрасываем, т.к. частота не может быть отрицательной.
Исследуем вторую производную для корня Rl=0:
dR2
= 12R2-Ml-
= 4(2j32-l)
>0, если 0>-j=
V2
<0, если
minj',
=> maxy.
F 1
Т.к. амплитуда связана с функцией >> зависимостью А = — • —s=, то в точке
к 4 У
R = 0 при сопротивлениях Р > —j= все амплитудные кривые имеют макси-
V2
мум, а при р < -j= - минимум (см. рис. 19.2).
V2
Исследуем вторую производную в точке /^ = -у/1 -
dR
= 12Д2-4(1-2р2)|Л2=8(1-2р2)>0, если Р<-^
тт.
Следовательно, при достаточно малых сопротивлениях, когда Р<-=г =
V2
« 0,7, амплитудные кривые имеют максимум в точках R = <sJ\ — 2p2 . Отме-
72
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
тим, что при Р>-т= первая производная — = 4R(-1 + R2 + 2р2)>0, a
V2 dR v '
значит экстремума нет (все амплитудные кривые монотонно убывают) (рис.
19.3).
Рис 19.3
При максимальном динамическом влиянии амплитуда равна
F F
max _ ■* 0 т, _ л О #
1
-Sl
1
(эта формула относится только к случаям Р < 1, т.к. при Р > 1 амплитудные
кривые максимума не имеют). По мере уменьшения сопротивления Р, точки
максимума амплитуды приближаются к точке R = 1.
1
Амплитудная кривая, которая соответствует сопротивлению р =
V2'
разделяет все семейство амплитудных кривых на два класса. Для кривых с
сопротивлением Р < -т= » 0,7 существуют точки максимума, тогда как при
л/2
а 1
р > -т= их нет.
Резонанс. Когда р = соо - частота вынуждающей силы равна частоте
собственных колебаний - наступает явление, которое называют резонансом.
При резонансе относительная частота R = 1, т.к. р = С00.
§ 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 73
Отметим свойства резонанса:
1) При наступлении резонанса амплитуда вынужденных колебаний резко
возрастает, - тем резче, чем меньше сопротивление. Резонансная амплитуда
равна:
о
-г*- тогдакак
Как и Атах , амплитуда Арсз —> «»t когда Р —> 0.
2) При резонансе фаза колебаний отстает от фазы вынуждающей силы на
ф = —, а фазы силы и скорости совпадают.
3) Мощность (и работа) вынуждающей силы положительная на
протяжении всего периода колебаний (а значит и всего времени вообще):
N = F0cos(pt + 8)-х = F0cos(pt + 8)
4) Обычно подчеркивается, что вынужденные колебания наступают,
когда собственные колебания практически исчезают. Однако это вовсе не
означает, что исчезнувшие собственные колебания (решение однородного
уравнения, когда в (19.2) отброшена правая часть - вынуждающая сила) не
оставляют своего следа, не влияют на устанавливающиеся вынужденные
колебания. Формирование вынужденных колебаний - их амплитуды -
определяется под влиянием, в частности, и величины сопротивления. Последнее
играет двоякую роль: оно является причиной затухания одной части колебаний,
собственных, но влияет на формирование амплитуды устанавливающейся
другой части колебаний - вынужденных.
5) В случае вынужденных резонансных колебаний [р = ©0; R = 1) сила
сопротивления - кх и вынуждающая сила Fo cos{pt + 8) взаимно
компенсируются: в каждый момент их сумма равна нулю.
6) Влияние сопротивления на резонансную амплитуду позволяет ввести
важную характеристику резонансных свойств колеблющейся системы
(осциллятора) - её добротность Q. Добротность показывает во сколько раз
резонансная амплитуда больше статической, которая, как известно,
определяется смещением под действием постоянной силы Fo.
п'Ъ гда A'"-TW *--■£•
74
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Следовательно, добротность £? = —, где Р - безразмерное сопротивление.
2р
Учитывая, что коэффициент затухания сооР (формула (17.8)), а
логарифмический декремент затухания А = сооРГ (формула (17.9)), находим:
со
-1 = 5Л
2р 2«
2пф-$2
2%
Поскольку период затухающих колебаний Т = —, а со = соо^/1 - Р , то
При небольшом трении, Р «1, получим
^ А
Чем медленнее затухание, тем интенсивнее осциллятор раскачивается в
резонансе.
7) Под действием гармонической вынуждающей силы установившиеся
вынужденные колебания при наличии сопротивления являются также
гармоническими. Их энергия неизменна. Однако система непрерывно поглощает
энергию, т.к. вынуждающая сила производит работу. Поглощаемая системой
энергия диссипируется из-за сопротивления. Количество энергии,
поглощаемой в среднем в единицу времени, пропорционально квадрату амплитуды
(работа силы трения за время dt равна Fmp -dx = Fmp • xdt ~ —cx2dt; за счет
jc2 появляется множителем квадрат амплитуды А* = I —-Х\ ; вычисление
Ук )
среднего значения - интегрирование - не меняет
заключения).
8) Другой важной характеристикой резонансных
свойств осциллятора является острота пика
резонансной кривой (рис. 19.4). Она определяется полу-
шириной пика: расстоянием (в частотах Ар) от
резонансной частоты со = соо до той, для которой квадрат
амплитуды уменьшается вдвое.
Рис 19.4
§ 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 75
Вычислим полуширину пика сначала как AR, где R = ——
безразмерная частота. Квадрат амплитуды
5l\2
2+4$2r2'
J (\-r)2(i+r)2+4$2r
Вблизи точки резонанса R = l следует заменить 1 — R = AR, 1 + /? = 2 и
4Р2Д2=4Р2. Получим
тр \к) 2
1 , 2
Согласно определению полуширины пика —л = А или
2
2\к)\2ф) Кк) 4ДД2+4Р^
откуда легко находим А/? = Р; переходя к размерной частоте, получим
А— = Р, или Др = сооР - полуширина равна коэффициенту сопротивления.
ш0
При уменьшении коэффициента сопротивления резонансная кривая (и её
квадрат) становится уже и выше, пик кривой поднимается (площадь под
кривой сохраняется неизменной).
Иначе, при заданном сопротивлении Р, частотам, которые отличаются
от резонансной меньше, чем на Ар = <00Р, соответствуют квадраты
амплитуд, величины которых не меньше, чем половина квадрата резонансной
амплитуды. Соответствующее заключение относится и к энергии.
76 ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 20. Электродинамические аналогии.
Вынужденные колебания в контуре
Сила тока в контуре с последовательно включенными сопротивлением
R, индуктивностью L и емкостью С по закону Ома равна
dJ 1
—--q
UL—k_) (20.1)
R
где Eo cos(pt + 8) - внешняя ЕДС,
rdJ
— L индуктивное напряжение,
dt
1
q - напряжение на конденсаторе.
Сопоставим уравнение вынужденных механических колебаний с
уравнением электрических колебаний (20.1):
т—*■ + сх> Т + кх = Fn cosipt + 8), (20.2)
dt
L— + RJ + —q = E0 cos(pt + 8). (20.3)
dt С
Эти уравнения математически не отличаются.
Вот почему существует полная аналогия между механическими и
электрическими колебаниями. Формулы для механических колебаний
были получены в предыдущих параграфах. Для электрических колебаний
формулы такие же, но с аналогичными величинами. Аналогичными
являются все соответствующие величины в уравнениях (20.2) и (20.3): масса т
и индуктивность L, механическое сопротивление с и электрическое
сопротивление R, коэффициент упругости к и обратная емкость, Fo и Бо, \>х
и J, х и q.
§ 20. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ
77
АНАЛОГИЯ
Механические колебания Электрические колебания
Уравнения колебаний
Л
vx + oojjt = Hcos(pt + 8)
о
2-Jhn'
/и
— + 2рш0 J +
f
= Hcos(pt + б)
1
rr_.
Относительная частота
Закон колебаний
-R2j+(2pR)2
гХ
xco^pt + 5-ф)
1-Я2
Коэффициент динамического влияния
78 ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 21. Начальное представление о связях
Различают материальные точки свободные и несвободные (со связями).
Запущенный в космос спутник - свободное тело; математический маятник
(подвешенный на невесомой нити шарик, колеблющийся в вертикальной
плоскости) - несвободное тело; здесь нить - связь.
Связи - это заранее заданные (не вытекающие из динамических
уравнений движения), ограничения, налагаемые на положения, скорости и
ускорения точки.
Связь можно выразить уравнением. Например, в случае математического
маятника
х2+у2-12=0,
У
{mtxy\ где х, у - координаты колеблющегося грузика.
Связи реализуются материально при помощи нитей,
стержней, тросов, канатов, подшипников, наклонных плос-
х
костей, трубок и т.д.
Динамика несвободной материальной точки сводится к
динамике свободной точки на основе аксиомы о связях: не изменяя движения
материальной точки (тела), связь можно отбросить, заменив ее действие
соответствующей силой - реакцией связи; после замены тело (материальная
точка) рассматривается уже как свободное, на которое действует и реакция
связи. Реакции связей называются пассивными силами, прочие (заданные) —
активными.
При решении задач необходимо пользоваться приведенной аксиомой. С
целью дать возможность на практических занятиях раньше решать задачи с
несвободными телами и приведены эти начальные сведения уже здесь.
§ 22. Интегрирование уравнений прямолинейного движения точки
Если тело (рис. 22.1) совершает прямолинейное движение по оси х (все
точки тела движутся параллельно этой оси), то проекцию ускорения можно
представить в двух формах:
W =^L
Х dt
§23. СИЛОВЫЕ ПОЛЯ
79
dx
dvx , dx.
или w = Х)х —- (учтено, что Х)х = —).
х dx at
Уравнение движения имеет вид
т-
dt
или
= F
• = F
Рис 22.1
где Fx - сумма проекций активных и пассивных сил на ось х.
На схеме 5 слева по вертикали представлены эти два уравнения
движения (индекс х опущен). На этой схеме в любой строке исходное уравнение
движения сначала представлено в разделенных переменных, а затем
проинтегрировано. Сила принимается здесь зависящей от тех переменных, через
которые в левой части выражено ускорение. Если сила зависит только от одной
переменной - от скорости, времени или координаты, то задача о
прямолинейном движении тела сводится к квадратурам вида 1,2,3 или 4.
Так, если материальная точка погружается в жидкость, двигаясь вниз и
испытывая сопротивление ки (ось Ох направлена вверх), то F — —mg + fa) и
можно применять формулы (1) и (3). Если тело падает на Землю с большой
высоты, то, пренебрегая сопротивлением воздуха, получим F
=4!)
(ось Ох- от центра Земли вверх); следует применить формулу (4). Если заряд
q массой т движется по прямой в однородном электрическом поле
E = Eosin(ut (ось Ох параллельна силовым линиям поля), то можно
воспользоваться формулой (2) и т.д.
§ 23. Силовые поля
Вообще сила может зависеть от координат движущейся материальной
точки, ее скорости и времени: F = F{x, у, z, x, у, z, t), или короче
F = F{f, v, t)t где f[x, у, z) - радиус-вектор точки, х>(х, у, z) - ее скорость,
t — время. В природе распространены случаи, когда сила не зависит от
скорости, и тогда с какой бы скоростью не проходила материальная точка данную
точку пространства, действующая на материальную точку сила одна и та же.
80
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
«л
at
О
I
i
&
|i
5
ев
О.
I
I
(U
s
(U
I
3
a.
б
t
5
±
со
■§
0 О
ц
0
k,
~—«51
II
II
0
1
0
/—"\
.Oj
k.
11
0
X
«—• ?
II
0) e
0
5
1
II
-§
s
t
■§1*
§ 23. СИЛОВЫЕ ПОЛЯ 81
Область пространства, в которой на помещенную туда материальную
точку действует сила, зависящая от координат этой точки в рассматриваемой
системе отсчета и, может быть, времени, называется силовым полем.
Силовое поле называется потенциальным, если существует однозначная
фунющя U, зависящая от координат х, у, z и, может быть, времени t - такая,
что ее частные производные по координатам определяют силу в каждой
точке пространства:
L FJJL fJJL
дх * ду dz
(эти три равенства равнозначны одному векторному F — gradU, что услов-
но записывают также в виде F = ).
дг
Бели функция U, называемая силовой функцией, явно от t не зависит,
силовое поле называется стационарным.
В потенциальном стационарном силовом поле работа силы F(x, у, z) на
элементарном перемещении df представляется полным дифференциалом
силовой функции. Действительно,
d + d + d
dx + dy + dz,
дх dy oz
или
Fdr=dU(x,y,z). (23.2)
Это означает, что в потенциальном стационарном силовом поле работа
силы не зависит от пути (от вида траектории, по которой переместилась
точка между двумя фиксированными положениями; в этом убеждаемся
интегрированием (23.2)).
Равенство (23.2) может служить для определения силовой функции -
путем интегрирования.
Наряду с силовой функцией, потенциальное стационарное силовое поле
характеризуется потенциальной энергией точки.
Потенциальная энергия точки - это величина, равная работе, которую
произведет сила, действующая на материальную точку, находящуюся в
потенциальном стационарном силовом поле, при перемещении этой точки из
82 ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
данного положения в положение, для которого значение потенциальной
энергии условно считается равным нулю.
В соответствии с этим определением, потенциальная энергия в точке М
пространства вычисляется по формуле
П(М)= JFdr = jdU = U(M0)-U(M).
(м) (м)
Условно считается значение потенциальной энергии равным нулю в
некоторой фиксированной в рассматриваемой системе отсчета точке Мо.
Потенциальная энергия отличается от силовой функции только знаком (с
точностью до аддитивной постоянной).
Вычислим силовые функции и, соответственно, потенциальные энергии
в случае простых полей:
1) Однородное поле тяжести nig (рис 23.1).
Согласно (23.2)
dU = F - dr = mg • dr,
dU = mgxdx + mgydy + mgzdz.
Если ось z направить вертикально вверх, плоскость Оху - горизонтальна, то
gx =0, gy- 0, gz = -mg, и тогда
dU = -mgdz.
Интегрируем:
U = -mgz + C.
Условимся считать потенциальную энергию точки т равной нулю при z = 0,
тогда
n(x,y,z) = mgz. (1)
2) Центральное гравитационное поле.
Примером может служить гравитационное поле вокруг Солнца. Масса
Солнца М (его центр - начало О), масса планеты т. Сила, действующая на
планету (рис 23.2),
§ 23. СИЛОВЫЕ ПОЛЯ
83
г
Согласно (23.2)
= -G
тМ r-dr
2 »
г г
или, поскольку, f-dr = —d(r) — —dr2 = rdr,
2* A*
,тМ
dr.
Интегрируем:
(2)
Рве. 23.2
Условимся считать потенциальную энергию тела m равной нулю, когда
'у тогда
(3)
Заметим, значение П при г — «> (равное нулю) - максимальное. Поэтому
потенциальная энергия, например спутника, всегда отрицательная.
3) Кулоновское электростатическое поле.
Как и в предыдущем случае
= 1 я-д*(Л
4яе0 г2 W
и аналогичные вычисления дают
(4)
где q0 - заряд в начале координат, q - в произвольной точке (при г = «>,
Я = 0). Здесь учтены знаки зарядов.
84
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пример. Найти потенциальную энергию растянутой пружины. Если левый
конец пружины закреплен в точке х = 0, а координата правого конца растянутой пружин* х,
то сила упругости в точке х (проекции силы на ось Ох) равна Fx = —k(x—l), где к ■+
коэффициент упругости пружины, /— натуральная длина недеформированной пружшаа.
Потенциальная энергия пружины измеряется работой растягивающей внешней силы, равной
Fx и направленной противоположно (рис. 22.1):
(5)
Потенциальная энергия сжатой пружины такая же (рис 23.3).
Пример. Вычислим потенциальную энергию заряда q в
однородном электрическом поле напряженности Е. По формуле (23.2)
в точке М(г) потенциальная энергия будет равна
(«)_ («) . „(«)
П(г)= JFdr= jqEdr=qEJdr.
(М)
(М)
(М)
(о)
Поскольку fdF = —r,имеем
[М)
Рис 23.3
(6)
где г — радиус-вектор точки М (точка О—начало координат).
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Сила называется центральной, если линия ее действия постоянно
проходит через неподвижную ( в инерциальной системе отсчета) точку - центр.
Центральная сила может быть как силой притяжения, так и силой
отталкивания от центра.
Приведем несколько примеров. Планеты движутся вокруг Солнца в его
гравитационном поле; сила притяжения направлена к центру Солнца, она
обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра планеты до центра
Солнца. В качестве инерциальной системы отсчета здесь выступает
гелиоцентрическая система (начало в центре Солнца, декартовы оси неподвижны
относительно звезд).
Аналогично и для спутников Земли (или любой планеты). Центром
силового поля является центр планеты, а роль инерциальной системы отсчета
играет геоцентрическая система — начало в центре планеты, оси неподвижны
относительно звезд.
Следующий пример: движение а-частицы в электрическом поле
неподвижного ядра атома в исторических опытах Резерфорда. На а-частицу
действует кулоновская сила отталкивания; роль инерциальной системы отсчета
играет система, неизменно связанная с лабораторией, ее начало в центре
ядра. И эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния (между ос-
частицей и ядром).
Еще пример. На идеально гладком горизонтальном столе находится
шайба, к которой привязана нить, протянутая через отверстие в середине
стола. Шайбе сообщают начальную скорость, а за другой конец нити тянут
под столом. Шайба движется по горизонтальной плоскости стола по спирали
под действием центральной силы натяжения нити; сила направлена к
отверстию стола, а ее величина зависит от способа втягивания нити.
86
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Исследуем движение тела (материальной точки) массы т под действием
центральной силы F, вначале не конкретизируя ее характер.
§ 24. Формула Бинэ
Рассмотрим движение материальной точки массы т под действием
центральной силы F. Центр силы — точка О — покоится в инерциальной системе
отсчета.
Очевидно, траектория точки будет плоской, и положение этой плоскости
в пространстве определяется центром О и той прямой, вдоль которой
направлена начальная скорость точки (нет сил, которые увели бы точку от этой
плоскости). Пусть Оху - плоскость, в которой движется точка, и ось Ох
выбрана в качестве полярной оси (для полярных координат г, ф). Уравнение
движения точки
F (24.1)
в проекциях на полярные оси
mwr=Fr,
(24.2)
где 7*;= 0 (рис. 24.1).
Как известно из кинематики, радиальное и трансверсальное ускорения
равны
wr=r — r(p2, >уф=фг + 2гф.
Подставляя значения в (24.2), получим
т{г - гф2 ) = Fr; т(фг + 2гф) = 0. (24.3)
Второе уравнение легко интегрируется, так как
«. • 1 d ( 2 • \
2гф = [г ф), а значит
г dtK '
Рис. 24.1
= С.
(24.4)
§ 24. ФОРМУЛА БИНЭ 87
Постоянную с называют постоянной площадей; cdt = г - rdtp г, -
удвоенная площадь ds - см. рис. 24.1; интегрируем: s = ct, т.е. площадь,
описываемая радиус-вектором, пропорциональна времени - второй закон Кеплеру. Он
же — закон сохранения момента количества движения относительно осеЮг:
=Q+mr<jr=пг2ф=тс
(понятие момента вектора приведено в приложении).
Подставляя значение ф из (24.4) в первое уравнение (24.3), получаем
(24.5)
С целью подготовить уравнение (24.5) для определения траектории в
полярных координатах, г = г(ф), перейдем кодифференцированию по углу
ф:
. dr.. с dr d (Vi
= —ф = —-— = -с— - ,
й?ф г dq> d<p\r)
dr_ ^
dt
Подставляем г в (24.5), находим
= rTr2. (24.6)
тс
Это - формула (уравнение) Бинэ. Формула Бинэ позволяет определить
центральную силу, если известно уравнение траектории г = г(ф). Случай
Fr > 0 соответствует силе отталкивания, Fr < 0 - силе притяжения. Наша
задача обратная: по заданной силе Fr определить траекторию. И эта задача
решается на основе формулы Бинэ, которая в этом случае выступает как
дифференциальное уравнение движения.
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
§ 25. Запуск тела в космос
1. В качестве примера рассмотрим определение
траектории движения тела, запущенного в космос на
высоте Н над Землей. Начальная скорость г>0 пусть
направлена горизонтально (рис. 25.1).
По закону Ньютона всемирного тяготения на тело
массы т действует сила притяжения
Рис. 25.1
Fr=-G
(25Л)
_, 1 t л_о Н' M , . __
где G = —10 5 постоянная гравитации, М- масса Земли. Под-
кг
ставляя значение Fr в (24.6) и учитывая, что
получим
где
А —
г
GM
(25.2)
(25.3)
Это - дифференциальное уравнение движения запущенного тела
относительно геоцентрической системы отсчета с началом в центре Земли и осями,.
неподвижными относительно звезд.
Интегрируем уравнение (25.2):
— = В соу(ф — Р) + А. (25.4)
г
Постоянные интегрирования В и $ определим по начальным условиям
движения: 1) г\ _0 = R + Н, 2) г\ _^ = 0. Угол ф отсчитывается от полярной
оси, проведенной от центра Земли через начальное положение.
Чтобы воспользоваться вторым начальным условием, вычислим сначала
производную от (25.4):
§ 25. ЗАПУСК ТЕЛА В КОСМОС
89
(25.5)
При ф = О равенства (25.4) и (25.5) будут
R + H
Отсюда находим
р=о, в=
1
R + H
' """ л± •
Подставляя р = 0 в (25.4), получим
- = Bcos(p + A,
г
откуда
или
г-
1
Bcosip
Р
(25.6)
где параметр и эксцентриситет равны
= 1= с2
Р A GM'
В
е — — =
A GM(R + H)
-1.
(25.7)
Мы нашли уравнение траектории
запущенного в космос тела (25.6). Из аналитичес- гиперболы,
кой геометрии известно, что уравнение (25.6)
определяет конические сечения. Конкретный vo
вид траектории зависит от величины
эксцентриситета е: е<\ - эллипсы, е = 1 - парабола,
е > 1 - гиперболы, е — 0 - окружность (рис.
25.2).
Эти условия можно переписать для
начальной скорости, учитывая, что
Рис. 25.2
90
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
GM
R+H
- эллипс
- парабола
- гипербола
■i
GM
R + H
- окружность
Можно переписать и для полной механической энергии запущенного тела,
Е = —-- G : Е < 0 -эллипс, Е = 0 - парабола, Е > 0 -гипербола.
2 R + И
2. Запуск тела вблизи поверхности Земли. Если H«Rt то
» J2 . Учитывая еще, что вблизи планеты G '-1—- = mg0 (g0-
V R+H V R R
это основное значение g без учета центробежной составляющей; см. понятие
силы тяжести), получим
- эллипс
J2g0R - парабола
- гипербола
" окружность.
Окружную скорость у поверхности Земли называют первой космической,
I—— _ л км
\)j — -y]g0R e 7,9—; параболическая скорость — вторая космическая
я)я = -yJ2g0R « 11,2— (очевидно D^ = V2i)/). Третьей космической назы-
с
вают параболическую скорость, которую необходимо сообщить телу,
удаленному от Солнца на расстояние радиуса земной орбиты,
<Ж
км
42—
(Rop = 160 • 106 км - радиус земной орбиты; Мс = 2 • 1030 кг - масса
Солнца). При запуске с Земли можно использовать ее скорость по орбите
вокруг Солнца («32 км/с), однако нужно преодолевать и притяжение к
самой Земле.
§26. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА 91
§ 26. Законы Кеплера
В начале XVII века, еще до создания Ньютоном динамики, Кеплер
установил эмпирически, по наблюдениям астронома Тихо Браге за движением
Марса, три закона:
1. планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых
находится Солнце;
2. площадь, описываемая за единицу времени радиус-вектором планеты
относительно Солнца, постоянна;
3. отношение квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца к
кубам больших полуосей их орбит постоянно и для всех планет одинаково.
Первый закон Кеплера подтверждается уравнением (25.6) при условии
е<\ (полная энергия планет Е<0). Второй закон выражается равенством
(24.4); его можно истолковать и как закон сохранения момента количества
движения относительно оси, проходящей через центр Солнца
перпендикулярно к плоскости орбиты планеты*.
Остается доказать справедливость третьего
закона (рис. 26.1). Вычислим постоянную площадей
vr* двумя способами: геометрически (как удвоенную
площадь за период)
Рис 26.1
/Я /ТТЛП /ТТЛ "\/ I — Р
(26.1)
(использовано: площадь эллипса равна nab; Ь — as\ — e2- соотношение
между полуосями эллипса; е - эксцентриситет), а другой раз по вычислению
параметра (формула (25.7))
1 с2
р- — = , откуда с2 = GM-p. (26.2)
A GM
Приравнивая с2 согласно (26.1) и (26.2) с учетом, что р = а( 1 - е2 J, получим
* Второй закон (закон площадей r2ty = c) выполняется для любой центральной силы,
независимо от ее физической природы.
92 ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
4п2
(26.3)
a3 GM
что и подтверждает третий закон Кеплера.
Заметим, равенство (26.3) получено в предположении, что Солнце
неподвижно (в центральном поле вокруг Солнца начало координат ИСО
находится в центре Солнца, а оси направлены на звезды). Если считать, что Солнце и
планета образуют изолированную систему и совершают взаимное движение
вокруг общего центра масс (в этом случае начало инерциальной системы
находится в центре масс солнечной системы, оси направлены на звезды), то в
(26.3) вместо Мнужно поставить сумму массы Солнца и планеты М + гп (см.
Г2
§ 29). Поэтому —у несколько отличаются для разных планет. Самая большая
планета Юпитер (ее масса в 314 раз больше массы Земли) имеет массу
примерно в 1060 раз меньше массы Солнца, так что и для нее поправка небольшая.
Отметим, что большая полуось эллипсов (траекторий планет) не зависит
от момента количества движения К (от постоянной площадей с), а
определяется только значением полной энергии Е. Малая полуось зависит как от
момента, так и от энергии. В этом убеждаемся вычислениями а = ——j и
1-е
Р GM' 6 GM(R+H)
Подстановка значений р, е дает
2|£|- да
Период обращения планеты по эллипсу, как следует из третьего закона
Кеплера и (26.4), зависит только от полной энергии (или большой полуоси), но не
зависит от момента (или малой полуоси).
Пример. (Геостационарная орбита спутника). На какой
высоте Н должен обращаться спутник вокруг Земли, чтобы его период
обращения был равен земному периоду (суткам).
По третьему закону Кеплера
Тг = 4яг
a3 GM'
Рис 26.2 Заменяя a — R + H, получим
§ 27. УРАВНЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ И ЗАВИСИМОСТЬ РАССТОЯНИЯ ОТ ВРЕМЕНИ 93
1 М'М2
Подставляя G = —10"9 —, М = 5,97 -10мкг (или, поскольку GM=g0R2,
15 кг
где g0 = 9,83^-, R = 6,37- 106л<)и Г = 8,64- 10*с, находим#=35600км.
с
Если спутник запущен на экваторе в направлении на Восток, он будет "висеть" над
одной и той же точкой земной поверхности на этой высоте. При запуске на широтах центр
Земли лежит в плоскости орбиты, так что "висеть над головой" спутник не может.
§ 27. Уравнение траектории и зависимость расстояния от времени
в центральном поле произвольного вида
При движении материальной точки в центральном поле выполняются
два общих закона сохранения: энергии и момента количества движения4'
-(г2+г2ф2 ) + #(/•) = Я, г2ф = с. (27.1)
Исключая ф в первом равенстве с помощью второго, найдем
* dt Л т r2'
откуда
'-J-
Л
Ые-п{г))
т
* Третий закон сохранения (интеграл Лапласа) не является независимым от интеграла
момента импульса и интеграла энергии. Все три связаны двумя соотношениями, так что
независимых пять (в скалярной форме). См., например, В.В. Петкевич. Теоретическая
механика. Наука, 1981. С. 137.
94
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Из второго равенства (27.1) dq> — — dt, поэтому
dr
т
(27.3)
Формулы (27.2) и (27.3) позволяют найти в принципе для любого
центрального поля с потенциальной энергией П{г):
1) связь между фиг (уравнение траектории),
2) связь между /иг, т.е. в неявном виде зависимость расстояния движущейся
точки от времени.
§ 28. Задача двух тел
Рис. 28.1
Рассмотрим замкнутую систему двух
материальных точек с массами щ и щ,
которые взаимодействуют только между собой
по третьему закону Ньютона. Сила
взаимодействия - некоторая функция расстояния г
между точками. На точку т1 действует сила
притяжения
— , на точку пц - си-
ла ir('*)- — ■ Здесь F{r) - численное
значение силы. Система отсчета /- инерциальная (рис. 28.1).
1. Центр масс. По определению, центром масс называется точка
(геометрическая), для которой сумма произведений масс на радиус-векторы
точек, проведенные из центра, равна нулю:
т/01 + /п/02 = 0, где г01 - г02 = г.
(28.1)
Из этих двух уравнений находим
_ TTU _
Г01 , г'
пц+тщ
щ_г
(28.2)
§28. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 95
Следовательно, центр масс двух точек делит отрезок между ними на
части, обратно пропорциональные массам.
Заменяя в первом уравнении (28.1) ^и =^ ->с и rG2=r2-rCt найдем
радиус-вектор центра масс в системе /:
(28.3)
а дифференцируя по времени, выразим его скорость через скорости тел
(2g4)
2. Уравнения движения. В инерциальной системе / движение точек
описывается уравнениями
(28.5)
Сложив эти уравнения, получим m1/\+m2A^=0; интегрируем:
mlx>l +т{Ъ2 = const у или согласно (28.4) {гп1+т2У^с-constt откуда
тЗс = const, в частности vc = 0.
Центр масс изолированной системы движется равномерно
прямолинейно или покоится относительно инерциальной системы отсчета /. Поэтому
система отсчета //, начало которой совпадает с центром масс, а оси остаются
параллельными самим себе, является также инерциальной. Эту систему
называют ц-системой (см. рис. 28.1).
3. Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Уравнения
движения тел т1 и щ в ц-системе имеют вид
(28.6)
96
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Заменяя в этих уравнениях г01 и г02 согласно (28.2), получим в обоих случаях
одно и тоже уравнение
Г — — г [Г)—. (2о. /)
Таким образом, задача о движении в ц-системе // двух тел щпп^
сведена к интегрированию одного уравнения (28.7) - к определению r(t) и
последующему использованию формул (28.2). Это задача о движении одного
(воображаемого) тела с массой
\1 = , (28.8)
на которое действует центральная сила, равная той,
которая приложена к точке щ. Массу ]1 называют
приведенной массой. Точка [L играет чисто
вспомогательную роль, ее радиус-вектор равен г (т.е.
она движется, оставаясь на конце вектора г).
Согласно (28.2), траектории точек ml и щ подобны
траектории точки \1, так как г01 и г02 отличаются
от г на постоянные множители (рис. 28.2;
формулы (28.2)).
Интересно отметить, что сумма всех динамических характеристик двух
точек - энергий, количеств движения и моментов количеств движения -
равны таковым для точки Ц. Действительно, количество движения просто равно
нулю. Сумма энергии двух точек:
\1Х)
Рис 28.2
Сумма моментов количеств движения системы двух точек:
— — —
xv0l +m2ro2x\)o2 =
(r01 x i)01 ~r02 xvo2) =
т.к. дифференцируя (28.2), находим
§ 29. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
97
щ т.
U01 , U» "02
/И, + 7^
(28.9)
где Я) — скорость точки ц.
§ 29. Относительное движение тела
Два тела /и, и тщ взаимодействуют по
закону всемирного тяготения (рис 29.1). Найдем
движение тела /и-, относительно mlt т.е. по
отношению к системе отсчета //, начало которой
совпадает с телом шх, а оси параллельны осям
некоторой неподвижной инерциальной
системы/.
Система двух тел изолирована, ее центр
масс С пусть неподвижен в системе /. Точка С
делит отрезок ml-m2 на части, обратно
пропорциональные массам, а значит
г.
ИСО
Рис 29.1
Система /// центра масс (начало С неподвижно, оси параллельны осям
ИСО I) инерциальная. Уравнение движения тела т2 в системе ///
ИЛИ
/И, +ГП2
или
4-262
т2г =
щ
F[r)
(29Л)
(29.2)
(29.3)
98 ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- уравнение движения тела щ относительно системы //. Подставляя
значение F(r) в (29.3), найдем
F
/ (ntj-нп^ У Как видно из этого уравнения, тело щ движется
Рис 29 2 относительно тела т, как относительно
неподвижного центра, масса которого равна щ +Щ, а не щ. При
этом сила притяжения тг к центру определяется массами пь, и ml+m2
(рис. 29.2).
Возможна и другая интерпретация. Согласно уравнения (29.2)
Рис. 29.3
Тело т2 движется относительно тела щ как тело
массы \l- относительно неподвижного центра системы, где сосредоточена
масса,равная щ+щ (рис.29.3).
Масса \х = —— это приведенная масса. Массы [i и гпу+щ взаим-
TWj +7722
но притягиваются с такой же силой, как тхкт2.
Примечание. В соответствии с приведенными интерпретациями, уточненный третий
закон Кеплера имеет вид
Т2 = 4тс2
a3 G(m,+m2)'
где в знаменателе представлена фиктивная масса неподвижного центра поля, равная
В относительном движении выполняются все три закона Кеплера.
&30. УПРУГОЕ СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ 99
§ 30. Упругое столкновение частиц
Основой экспериментальных методов современной ядерной физики
является изучение столкновений и рассеяния частиц. Две частицы, двигаясь
издалека (теоретически - из бесконечности), сближаются, взаимодействуют и
снова расходятся, не меняя внутреннего состояния. Это и есть упругое
столкновение частиц. Оно изучается на основе законов сохранения энергии и
количества движения.
В поступательно движущейся системе центра масс (ц-системе)
столкновение двух частиц выглядит проще всего, так как количество движения
изолированной системы равно нулю, а значит количества движения этих частиц
остаются равными по величине и противоположными по направлению, хотя
и изменяются в процессе движения.
Величины в ц-системе будем обозначать индексом 0; в лабораторной
системе (л-системе) - без индекса. По закону сохранения энергии в ц-системе
2 2 /2 /2
Аи . -Рог _ Аи . Рог (30 11
2щ 2Щ 2тх 2Щ'
где в левой части р01, /?02 - начальные импульсы до столкновения, а в
правой части p'ov р'О2 — конечные импульсы после столкновения. Поскольку
начальные импульсы частиц одинаковы по величине (р02 = An) и конечные
тоже одинаковы {p'Q2 = p'0l), то из закона сохранения энергии (30.1) следует,
что импульсы до и после столкновения одинаковы: р01 = р02 = р'о1 = р'о2, т.е.
moi/v)oi=/"o2/uo2=='"oi/l)oi=mo2/l)o2- Отсюда следует: г>01 = г>о, и г)о2=г)о2.
Таким образом, при упругом столкновении двух частиц их скорости (в ц-
системе) только изменяют направления; конечные значения скоростей по
величине такие же, как и начальные (по отдельности для частиц).
Выше были определены скорости частиц в ц-системе до столкновения
(формулы (28.9))
Щ Щ 0. (30-2)
%i Ч>. 02
тх+т2 т
где г)0 = г)01 - г)02 (также яЗо = яЗж — я32, где x>vx>2 - скорости в лабораторной
системе).
100 ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Если Я - единичный вектор в направлении скорости первой частицы
после столкновения, то, согласно изложенному выше, яЗ^, = г)01 • Я,
гЗо2 = -1)02 -Я,т.е. согласно (30.2)
г)0Я, v'm = ^— 1)0Я. (30.3)
01 0 m
Направление Я зависит от характера взаимодействия частиц. Этим
исчерпывается анализ столкновения двух частиц в ц-системе на основе законов
сохранения.
Перейдем в л-систему. К последним формулам добавим скорость центра
m,v, + /ил52 „
масс 1)с = —i-i ^—*-. Получим
(30.4)
/и.
S
Умножая на т, и щ соответственно, перепишем формулы (30.4) для
импульсов
где р, = ——^ приведенная масса.
(30.5)
1 + Д).
Результат удобно представить графически на импульсной диаграмме.
Строим окружность радиуса рл)0 и откладываем векторы
Ад=-^-(а+р2), ов=
+m2
§ 31. ДВИЖЕНИЕ а-ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ЯДРА
101
Если вектор ОС = МЯ)0# определяет
направление движения частицы щ после столкновения
(в ц-системе), то векторы АС и СВ определяют
импульсы р[ и р2 частиц в л-системе после
столкновения. Заданным значениям Д и рг
соответствуют фиксированные положения точек А
и В и некоторое значение радиуса. Положение
точки С может быть любым на окружности - в
зависимости от характера взаимодействия точек
(рис. 30.1).
Рис. 30.1
§ 31. Движение ос-частицы в кулоновском поле ядра.
Формула Резерфорда для рассеяния пучка частиц
1. В 1911 г. английский физик Резерфорд установил ядерную модель
строения атома. Производилось "зондирование" строения атома потоком а-
частиц большой скорости. Выявлено искривление траектории а-частиц, их
рассеивание. Исследование характера рассеивания подтвердило
существование в центре атома "точечного" положительно заряженного ядра.
Рассмотрим сначала задачу об определении траектории одной а-
частицы, а затем установим закон рассеивания пучка частиц (формулу
Резерфорда).
Массу а-частицы обозначим т, ее заряд равен 2е > О (е - абсолютная
величина элементарного заряда, равного заряду электрона); заряд ядра Ze,
где Z - порядковый атомный номер элемента. Сила отталкивания а-частицы
от неподвижного ядра
_f 2Ze2
tr—k 2 ,
Кл
Подставляем Fr в формулу Бинэ (24.6); получим
тс
(31.1)
интегрируем:
102
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
1 л л
- = -А + л, cosy + А2 sinф,
г
(31.2)
A 2ke2Z
где А = —
тс
Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям: сс-
частица на бесконечности имеет скорость v и ее прицельное расстояние
равно / (рис. 31.1), т.е. 1) при ф = п, г = оо; 2) при ф = п, = -. По пер-
r sin ф /
вому условию 0 = —А - Ах, откуда Ах — -А; поэтому формулу (31.2)
переписываем в виде
1 Л + cos® . ф
= -А + А2 = -Actg— + Аг.
г sin ф sinty 2
По второму условию 1// = А2.
Окончательно
(31.3)
Это уравнение траектории сс-
частицы определяет гиперболу (легко
Р
приводится к виду г —
-).Для
-1 + е cos ф
дальнейшего анализа важным является
определение угла рассеивания 9 - угла
между асимптотами (см. рис. 31.1). Полагая в (31.3) ф = 9 и г = °°, находим
откуда
или
, 9 1
ctg— = —
5 2 Al
9_ тс2
Ctg2~2herZl
§ 31. ДВИЖННИЕ СС-ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛБ ЯДРА
103
Постоянная площадей равна величине момента начальной скорости а-
частицы относительно точки О, в которой находится ядро: с = Х>1.
Окончательно
6 "*';. (3.-4)
Угол рассеивания 6 зависит от массы и скорости частицы, ее заряда,
прицельного расстояния и заряда ядра.
2. Поскольку проследить за движением одной микрочастицы
практически невозможно, найденное соотношение непосредственно не используется.
На практике доступно изучению рассеивание пучков частиц, одного на
другом, когда они достаточно разрежены и однородны по сечению (хотя в
опытах Резерфорда поток а-частиц направлялся на металлическую пленку).
Рис. 31.2
Характеристикой рассеивания, доступной измерению, является
эффективное дифференциальное сечение рассеивания:
_dN
п
где dN- число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в
интервале между 0 и 0 + dQ, n - число частиц, проходящих в единицу
времени через единицу площади поперечного сечения пучка (пучок
предполагается однородным по сечению).
104 ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
Вычислим do. Так как частицы распределены равномерно по сечению,
то dN пропорционально площади кольца с радиусами р и p + dp:
dN — 2%pdp, а поэтому
do = 2гсрф
или
ф
dc =
dQ
^<о,
(обычно — <0, поэтому берется модуль). Экспериментально рассеивание
dQ
наблюдается относительно телесного угла dQ., а не плоского угла dQ.
Телесный угол измеряется площадью полоски на сфере единичного радиуса,
dQ = 2jc -1 - sin QdQ. Поэтому
_р(е)
sinQ
Ф
dQ
(31.5)
Прицельное расстояние р определяется формулой (31.4), где оно
представлено буквой /:
_ 2ke2Z 9 ф_ 2ke2Z 1
Р= Ctg; =-
Подстановка этих значений в (31.5) дает
VzY dn
do = \ г к- (31.6)
mv
. 4е-
sin —
2
Это и есть формула Резерфорда, определяющая эффективное сечение
рассеивания.
Формула Резерфорда сыграла выдающуюся роль в науке. На ее
основании впервые установлена планетарная модель атома, наличие в атомах ядер,
она позволяет измерить и заряд любого ядра атома, если известен заряд хотя
бы одного ядра, т.к. —у = -~-. Эффективное сечение одинаково как для ку-
лоновской силы отталкивания, так и притяжения.
§32. МЕТОД КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 105
§ 32. Метод качественного исследования движения
в центральном поле
Качественную картину движения точки в центральном поле с
потенциальной энергией 17 = , а также и в других случаях, когда 77{r) = ow"
(такие случаи действительно встречаются в физике; например, по формуле
Ленарда-Джонса: 17 = —т + —гт определяется взаимодействие молекул),
г г
можно установить на основании законов сохранения, исследуя радиальное
движение тела.
Рассмотрим этот метод сначала в случае ньютоновского поля 17 = ,
г
а затем и других полей.
Законы сохранения полной механической энергии и момента количества
движения имеют вид
-(г2+г2ф2)-- = Е (a = GmM), (32.1)
~i> = k. (32.2)
Заменяя ф в первом равенстве, получим
т .2 к а
—г + =- = Е. (32.3)
2mr r
Это уравнение можно истолковать как уравнение одномерного
радиального движения с эффективной потенциальной энергией
(32.4)
Второму слагаемому соответствует ньютоновская сила —=- (ее проек-
ция на координатную r-линию), а первому - центробежная сила
106
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
_ _ д( к2 }_к2 _, _ .2
_ —-I -—- — г — тф г,
дг\2rnr ) т
На рисунке 32.1 по оси абсцис откладывается расстояние материальной
точки до центра силового поля, например расстояние спутника до
неподвижного центрального притягивающего тела, а по оси ординат — эффективная
потенциальная энергия.
ft1
Рнс.32.1
Рассмотрим качественно возможное движение тела с некоторой
заданной энергией Е (на графике - линия, параллельная оси абсцисс). Из равенства
(32.1) следует, что кинетическая энергия тела представляется расстоянием
между линиями Е и Пэф, а из равенства —г2 + 77^ = Е - что кинетическая
энергия одномерного движения —г2 изображается расстоянием между ли-
ниями Е и Пэф (см. рис. 32.1). Для движущегося тела всегда Пэф < Е, т.к. в
Е входит еще неотрицательная кинетическая часть энергии —г2. Движению
тела соответствует только нижняя часть графика 77 , - ниже линии Е.
§32. МЕТОД КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 107
Под графиком Пэф расположим фазовую плоскость; то есть плоскость
на осях которой будем откладывать координату и скорость (г, г) (в других
случаях - координату и импульс).
Рис. 32.2
На рис. 32.2 показаны случаи движения с различными полными энергиями
Ео, Ех, Е2, Е3, В случае Ех <0 движение тела возможно лишь тогда,
когда г изменяется в определенных пределах, а значит в натуре тело
движется между двумя окружностями, т.е. в кольце. При произвольных П(г)
траектории в кольце вообще не замыкаются, а "наматываются до бесконечности",
заполняя кольцо. Существуют лишь два типа центральных полей, когда все
траектории ограниченных движений замкнуты. Это случаи, когда
потенциальная энергия пропорциональна — и г2 (пространственный осциллятор).
г
На фазовой плоскости (г, г) показаны фазовые кривые, уравнения
которых
г = ±Л(Е-Пэф).
(32.5)
Когда тело движется с энергией Е, значения Пэф меняются как
ординаты графика Пэф, а г - согласно (32.5).
108
ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОЛЯ П = kr"
Полная энергия — {г1 +г2ф2) + Аг" = Е
Момент импульса тг2ц> = К0
{2тг
к<0; -2<п<0
П.
эф'
п^-2;
к<0
^-—
-Е
г
г
'эфА v п=-2; к>0
г,
Рис 32.3
§32. МЕТОД КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 109
На рис. 32.3 показаны случаи потенциальной энергии П = ост",
соответствующие им графики эффективной потенциальной энергии и фазовые
траектории. По ним можно судить качественно, являются ли реальные орбиты
ограниченными или неограниченными (инфинитными), в частности -
круговыми; также можно судить о том, как изменяется скорость гиф (по
сохранению момента (32.2)).
Глава 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 33. Меры движения в простейшем случае
прямолинейного движения тела
В течение почти всей первой половины XVIII века между учеными
велась полемика о правильной мере движения. Картезианцы (последователи
Декарта) считали, что мера движения пропорциональна скорости;
сторонники Лейбница считали, что она пропорциональна квадрату скорости.
Даламбер пришел к выводу, что полемика между картезианцами и
сторонниками Лейбница - это спор о словах (1743). Проиллюстрируем
заключение Даламбера - рассмотрим прямолинейное движение тела под действием
постоянной силы. На схеме 6 представлен именно этот случай.
В левой части схемы 6 представлено уравнение прямолинейного
равноускоренного движения тела массой т под действием постоянной силы F;
x>-v0
ускорение представлено в виде -.
Прослеживая за движением тела во времени, умножаем уравнение
движения на время L Получаем соотношение (2) на схеме 6. Прослеживая
движение тела на перемещении s в пространстве, умножаем уравнение
движения скалярно на перемещение и приходим к соотношению (3) на схеме 6.
При вычислении (3) перемещение s заменено произведением средней
скорости на время.
Анализируя равенства (2) и (3) схемы 6, заключаем:
1) если в качестве физической величины, измеряющей действие силы во
времени, принять произведение силы на время ее действия, Ft. то эффектом
§ 33. МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ 111
О
I
2
о
ё
S
!
ее
112
ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
ев
X
s
X
о
I
о
К
Ю
О
II
£
с
X
en
О
О
S
нет
s
пени
г
ю
c
II
ГЧ
о
ё
Si
s
о
о g
s a
3J
и
S
■r
О
f
3
5
о
II
к
X
Iv.
1 ^J
IP
II
H
X
_; oi
x
en
§34. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 113
этого действия будет изменение величины /иг) - изменение произведения
массы тела на его скорость;
2) если в качестве физической величины, измеряющей действие силы на
перемещении тела в пространстве, принять скалярное произведение силы на
перемещение, Fs, то результатом действия будет изменение половины
1 2
произведения массы тела на квадрат его скорости, т.е. изменение — тм .
Таким образом, mv и — тх>2 - это две основные меры движения, кото-
рые связаны с двумя мерами действия сил Ft и F • s.
1 2
Меры движения т\) и — mv получили название количества движения-
(импульса) и кинетической энергии тела. Меры действия силы Ft и F -s
называются соответственно импульсом силы за время ее действия и работой
силы на перемещение тела в пространстве. Согласно равенству (2) схемы 6
изменение количества движения равно импульсу силы во времени; изменение
кинетической энергии тела равно работе силы.
Обе меры движения, по поводу которых велась полемика, оказались
необходимыми. В последующем вопрос о мерах движения был развит в
аналитической механике и физике, а глубже - в специальной теории
относительности. В релятивистской механике в качестве меры движения выступает
четырехмерный вектор и четырехмерный тензор энергий-импульсов*.
§ 34. Общие теоремы динамики точки
На схеме 7 представлен вывод трех следствий из второго закона
Ньютона: дается зависимость изменения механических мер движения материальной
точки от трех мер действия силы.
Слева на схеме 7 записано равенство (1), выражающее второй закон
Ньютона. Дальше по вертикали выписаны три множителя: dt,dr и г х..., на
которые умножается (1). В итоге получаем равенства (2), (3) и (4).
* Глубокий анализ мер движения проведен В. С. Сорокиным в период его работы в
Пермском университете и опубликован в журнале "Успехи физических наук", т. LIX, вып.
2,1956.
См. также Савельев И. В. Основы теоретической физики. Т. 1. § 40. - М.: Наука, 1975.
114 ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ ,
j
При выводе равенства (2) учтено, что множитель dt в его левой части
сокращается. При выводе равенства (3) в левой части равенства производится
очевидная замена dr = \>dt:
d - j_ d - - . »/ -\ - 1 ,/ - -\ , wit)
—/иг) • dr = —m\) • vdt = dirnX))- v = — dimv ■ v) = d .
dt dt v } 2 v ' 2
I
Наконец, левая часть (4) преобразована к виду производной от произведения
_ d - dr - _ d - J,_ -ч
г х—тг> = — xm\) + r x—/wi) = —(r xwi)
dr dt dt dtK }
dr _
- добавлено слагаемое —xmi), которое равно нулю, так как это векторное
dt
произведение коллинеарных векторов.
Равенства (2) и (3) получены в результате прослеживания за движением
точки во времени (операция умножения на dt) и за перемещением в
пространстве (скалярное умножение на перемещение dr). Преобразования здесь
аналогичны тем, которые были при простейшем равноускоренном
прямолинейном движении (см. схему 6).
Представленные на схеме все три теоремы имеют простую структуру:
изменение
мер движения
меры
действия силы
(34.1)
Если в правой части равенства представлена причина, то в левой - след-.
ствие. Меры действия сил здесь таковы: элементарный импульс силы Fdt,
элементарная работа F-drt момент силы г х F относительно неподвижного
центра (обычно начала координат). Они равны изменению трех мер движе-
1 2
ния: количества движения mi), кинетической энергии —/иг) , момента
количества движения г х /иг) относительно того же центра.
Сформулируем три общие теоремы. При движении материальной точки
относительно инерциальной системы отсчета одновременно выполняются
три равенства:
I - Теорема об изменении количества движения.
Дифференциал количества движения материальной точки равен
элементарному импульсу действующей на точку силы.
§35. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА РАВЕНСТВ, ВЫРАЖАЮЩИХ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 115
I - Теорема об изменении кинетической энергии.
Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен
элементарной работе приложенной к точке силы.
Ц - Теорема об изменении момента количества движения.
1изводная по времени от момента количества движения
материальной тдчки, взятого относительно неподвижного центра, - начала
координат, -равна моменту действующей силы относительно того же центра.
Схеме 7 можно придать другой вид делением на dt множителей dtn dr ,
в этом случае следует умножать исходное уравнение (1) уже не на dt, dr и
гх..., а на 1, Я) и гх.... В результате получим унифицированные равенства,
в левой части которых - производные по времени (схема 8). В правой части
второго равенства вместо меры действия силы в виде работы F • dr теперь
имеем F • Х> — так называемую мощность силы (работу, рассчитанную на
единицу времени).
§ 35. Интегральная форма равенств, выражающих
общие теоремы динамики точки
Эта форма - результат интегрирования трех основных
дифференциальных равенств (схема 9).
Третье равенство в интегральной форме, как правило, не используют.
Равенство (2) схемы 9 получаем путем интегрирования
дифференциального соотношения dmv — Fdt по времени от момента tQ до некоторого
момента t. В результате приходим к теореме:
приращение количества движения точки за некоторый промежуток
времени равно импульсу равнодействующей приложенных к точке сил за
этот же промежуток времени.
К равенству (3) схемы 9 приходим, интегрируя соотношение
d—mi)2 = F-dr по траектории движения от некоторой ее точки MQ до дру-
гой точки М:
приращение кинетической энергии точки на некотором отрезке дуги ее
траектории равно работе, произведенной равнодействующей сил,
приложенных к точке, на этом же отрезке дуги траектории.
116
ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
ее
Ж
а>
О
о;
s
о
*
к
а
С!»
ВО
У
S
S
X
о
О
S
Ю
О
s
О,
ев
д
1!
S
с
кине
s
менени
Г)
■ и
S3 О
II
гч
fN
^^
о
2
= Ш
зменен
s
ю
о
х |i
II
S
X
Tfc«»
§35. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА РАВЕНСТВ, ВЫРАЖАЮЩИХ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
117
еч
X
К
U
К
X
X
изм
ю
о
ей
&
О
S
g
CU
СП
о
о
У
3"
S
н
X
S
и
*
£-1
1!
«ч о
S
О
Е
I
«I*.
II
ж
S
X
5j
Си
С
.1
II
'■ё
.-si
118 ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 36. Три общих закона сохранения динамики
точки
Из трех общих теорем вытекают соответствующие законы сохранения.
В отличие от теорем, которые выполняются во всех случаях, законы
сохранения имеют место не всегда, а лишь когда силы удовлетворяют некоторым
условиям.
Законы сохранения представляют собой первые интегралы
дифференциальных уравнений движения материальной точки. Это вообще только часть
из набора первых интегралов.
Идея получения законов сохранения из теорем об изменении мер
движения простая. Путем подбора сил правые части равенств, выражающих
теоремы, обращаем либо в нуль, либо в полный дифференциал. Тогда
равенства, выражающие теоремы, интегрируются и приводят к законам
сохранения.
Условия, налагаемые на силы, указаны на схеме 10 в предпоследней
колонке по вертикали. Так, при условии (5) из (2) следует (10): если нулю равна
равнодействующая приложенных к материальной точке сил, то количество
движения точки сохраняется по величине и по направлению (то же, что и
закон инерции).
При условии (6) из равенства (2) следует (11): если есть неподвижная в
используемой инерциалъной системе отсчета ось х такая, что проекция
равнодействующей приложенных к материальной точке сил на эту ось
равна нулю, Fx—0, то составляющая скорости в направлении этой оси
постоянна: х = const.
Формально аналогично из равенства (4) при условии (8) следует (13), а
при условии (9) получаем (14). Сформулируем результат.
Если на точку действует сила, момент которой относительно
неподвижного центра равен нулю, то момент количества движения точки
относительно того же центра постоянен.
Если на точку действуют силы, сумма моментов которых
относительно неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения точки
относительно той же оси постоянен.
Из равенства (3) и условия (7) следует (12):
Если действующая на материальную точку сила потенциальная
стационарная, то полная механическая энергия точки сохраняется.
§ 36. ТРИ ОБЩИХ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
119
X
II
to
X
1ц.
II
О
X
120 ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Заметим: в случае, когда сила потенциальная, стационарная существует
зависящая от координат точки силовая функция U{x, у, z) и обратная ей по
знаку потенциальная энергия П{х, у, z). Элементарная работа такой силы
представляется полным дифференциалом, а значит, не зависит от пути
интегрирования (зависит только от координат начального и конечного положения
материальной точки).
Дополнительно обращаем внимание на то, что в случае несвободной
точки закон сохранения механической энергии имеет место, если кроме
потенциальных стационарных сил действуют еще и такие, работа которых
равна нулю. Обычно это реакции связей, если только их работа равна нулю;
могут быть и активные силы (например, сила Лоренца).
Рассмотрим иллюстрации.
1. К равенству (11). Электрический заряд q движется в однородном
магнитном поле индукции В. На заряд действует сила Лоренца F = qX>xB. Эта
сила перпендикулярна вектору В, а значит, проекция силы на направление
поля равна нулю: FB = 0. Условие (6) выполнено. Следовательно, согласно
(11) заряд движется в плоскости, перпендикулярной силовым линиям поля, и
в то же время плоскость смещается параллельно самой себе с постоянной
скоростью.
2. К равенству (12). Вокруг Солнца движется планета массой т. Так как
действующая на планету сила потенциальная стационарная, условие (7)
выполнено. Имеет место закон сохранения механической энергии (12):
_
где М- масса Солнца, г - расстояние планеты от Солнца, V - скорость в
гелиоцентрической системе отсчета.
Второй пример. По наклонной плоскости скатывается без скольжения
шарик. Активная сила тяжести mg потенциальная стационарная. Пассивная
реакция наклонной плоскости N работы не выполняет (реакция N
приложена к шарику в точке касания с плоскостью, и скорость этой точки шарика
равна нулю; нулю равна и мощность М), так как V = 0, поэтому и работа
реакции равна нулю). Поскольку действует кроме потенциальной
стационарной силы только сила, работа которой равна нулю, закон сохранения
механической энергии имеет место:
§ 36. ТРИ ОБЩИХ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
121
—
+ mgz = const,
где V - скорость шарика, z - высота, на которой находится шарик над
уровнем, на котором потенциальная энергия условно считается равной нулю.
3. К равенству (13). Условие (8), т.е. условие г X F = 0, выполняется в
двух случаях: а) когда F = 0, т.е. сила отсутствует - движение точки
равномерное прямолинейное (по инерции), б) когда сила F коллинеарна радиус-
вектору г, т.е. сила центральная. Примером центральной силы может быть
сила, действующая на планету. Другой пример: шарик массой т,
прикрепленный к нерастяжимой нити, скользит по горизонтальной плоскости,
свободный конец нити втягивают в отверстие, сделанное на плоскости. Если
трение отсутствует, равнодействующая приложенных к шарику сил - это
центральная сила натяжения нити. В обоих случаях имеет место (8), а значит,
и (13).
4. К равенству (14). Сферический
маятник (рис. 36.1). Шарик массой т
подвешен на нити к неподвижной точке О и
движется (не в вертикальной плоскости) по
поверхности сферы радиуса От. На шарик
действуют две силы: сила тяжести mg и
сила натяжения нити N. Первая сила
параллельна оси z, линия действия второй силы
пересекает ось z. Моменты таких сил
относительно оси z равны нулю (вспомним
ситуацию: если z - ось вращения двери, то с
помощью силы, параллельной оси или лежащей в плоскости двери, дверь не
откроешь). Условие (9) имеет место. Следовательно, согласно (14)
Рис. 36.1
ИЛИ
dy dx^
— -у—
dt dt.
=с.
(36.1)
Но xdy — ydx = 2dS, где dS - элемент площади, ометаемой отрезком
ОА. Следовательно, — = сх, откуда S = cxt + So: проекция нити маятника на
dt
122 ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
горизонтальную плоскость Оху описывает площадь, величина которой прямо
пропорциональна времени. В полярных координатах dS = — p2cftp, поэтому и
вместо (36.1) получим
р2-^ = const. (36.2)
dt
В заключение обратим внимание на способы вывода основных теорем и
законов сохранения динамики точки.
В учебной литературе приводится три различных пути рассмотрения
основных теорем. Первый путь: в качестве исходных принимаются
исторически установленные, подтвержденные практикой меры действия силы. Меры
движения выступают тогда как следствия - как эффекты действия силы.
Второй путь: в качестве исходных принимаются три установленные в ходе
исторического развития науки меры движения, которые принято вводить по
определению; вычисляется быстрота изменения этих мер движения во времени
(производные по времени) на основе законов Ньютона. Третий путь: меры
движения выводятся математически из принципа относительности и закона
сохранения движения. Из-за громоздкости этот третий путь используется
крайне редко (см. книгу Айзермана М. А. Классическая механика. М: Наука,
1974).
§ 37. Динамика относительного движения
Если в кинематике термин "абсолютное движение" может относиться к
1 любой системе отсчета, условно принимаемой за основную, неподвижную, то
в динамике - это всегда движение относительно инерциальной системы
отсчета (ИСО). Термины основная, неподвижная система отсчета используются
и в динамике, но только если система инерциальная. Указанные эпитеты
применяются и к различным характеристикам движения (траектории,
скорости, ускорению и т.д.). Движение подвижной системы относительно
основной (как в кинематике, так и в динамике) называется переносным движением.
1. Уравнение относительного движения точки. Выведем
дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки, т.е.
движения относительно подвижной (неинерциальной) системы отсчета. Исходим
из известного уравнения абсолютного движения точки (относительно ИСО)
(37.1)
§ 37. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
123
где F - активная сила, N - пассивная сила (реакция связи).
Из кинематики известно, что абсолютное ускорение точки равно
геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного
(кориолисового)
wa=wr + we+wc. (37.2)
Подставляя wa в (37.1), получим
где
Фе = -mwe = -m{w0 + со х (со х г) + г х г),
Фс = -mwc = -2/исо х х>г.
(37.3)
(37.4)
(37.5)
Уравнение (37.3) — это основное уравнение относительного движения.
Оно отличается от уравнения абсолютного движения наличием в правой
части векторов Фс и Фс, которые называются силами инерции - переносной Фе
и кориолисовой Фс.
Каждая из сил инерции -
переносная и кориолисова — по модулю равна
произведению массы на модуль
соответствующего ускорения, а по направлению
противоположна своему ускорению.
Сила Кориолиса по модулю равна
фс-.
мгновенная
ось вращения
направлена перпендикулярно к
плоскости векторов со, Х)г по правилу
векторного произведения.
Напомним, переносное ускорение
само является геометрической суммой
трех ускорений: 1) ускорения
подвижного начала - точки О, 2) осестремительного ускорения (О1 • МС (это вектор
сох (сох г)), направлена к мгновенной оси вращения подвижной системы
отсчета и 3) вращательного ускорения ехг, которое по величине равно
основная система отсчета
Рис. 37.1
124
ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
£ • МС и имеет направление перпендикуляра к плоскости, образованной
векторами е иг (по правилу правого винта для векторного произведения) (см.
рис. 37.1).
2. Условие относительного покоя точки. Если точка пребывает в
относительном покое, \)г =0, то сила Кориолиса равна нулю и из уравнения
(37.3) следует
(37.6)
В относительном покое уравновешены три силы: активная, пассивная и
переносная силы инерции.
3. Сила тяжести тела. Пусть тело массы т (материальная точка)
находится в покое относительно Земли. Земля вращается равномерно
относительно звезд (суточное вращение) с угловой скоростью со =
24-3600
ч-5 -
7,3 • 10 с вокруг своей оси север-юг, которую будем считать неподвижной
относительно звезд (в течение малого промежутка времени движение центра
О Земли можно считать равномерным прямолинейным, что динамически
эквивалентно покою). Пребывая в относительном покое, тело т за сутки
описывает окружность радиуса h = Rcosty. По условию относительного покоя
или
llinun
Рис. 37.2
R
(37.7)
где пх и Я2 - единичные векторы (см. рис.
37.2); R и М- радиус и масса Земли.
Вводим определение: силой тяжести
тела (ее обозначают mg) называется
геометрическая сумма ньютоновской силы
притяжения тела Землей и центробежной силы
инерции Фе = m(d2h ■ п2. Первая из этих сил
направлена по перпендикуляру от земной
оси. Имеем:
§ 37. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 125
«2=mg, (37.8)
откуда
g = G—щ + co2A • n2. (37.9)
Этот вектор g называют ускорением свободного падения тел на Землю.
Истинный динамический смысл этого вектора будет рассмотрен ниже.
Условие равновесия (37.6) представится теперь в виде
O-mg+N. (37.10)
Сила тяжести mg приложена к телу т, она направлена под углом 8 к
плоскости экватора; угол 8 называется географической широтой (см. рис. 37.2).
Направление нити соответствует направлению отвеса; оно образует угол
6 с плоскостью земного экватора (8 - географическая широта).
Вычислим величину вектора g. Квадрат вектора
GAT2
Пренебрегая последним слагаемым из-за малости О)4 и учитывая, что
Щ'^2~~ cos Ф»получим
2 (GM\ -GM 2
8 {) 2©2
откуда
g
((GM\2
= —7- ~
R2 ) R7
Разлагаем в ряд по биному Ньютона и сохраняем два члена
= GM
окончательно
126 ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
—0—co2Rcos2(p. (37.11)
R2
[
Здесь первое слагаемое —y — 9,83 м/с2 , тогда как СО2/? = 0,03 м/с2 .
R
Даже максимальное значение вычитаемого меньше уменьшаемого в 300 раз.
Величина g зависит от широты места на Земле. Для средних широт
g « 9,81 м/с2.
Полезные ископаемые нарушают однородность Земли, как шара. В
местах их залегания значение g отличается от теоретического, что используется
в геологических разведках.
Подтвердим правомерность объединения силы притяжения тела Землей
и центробежной силы инерции в одну силу тяжести nig. Основанием для
такого объединения является физический принцип эквивалентности.
4. Принцип эквивалентности. Пусть
в ИСО существует однородное гравитаци-
онное поле напряженности а (на единич-
/ исо / нвинерциапьнвя ную массу действует сила 1 • а Я). Пусть
другая, неинерциальная система движется
Рис. 37.3 с ускорением (—5), приближаясь к ИСО
(рис. 37.3).
Принцип эквивалентности утверждает: все физические явления
протекают одинаково по отношению к обеим системам отсчета (при одинаковых
начальных условиях относительно каждой из систем). Следовательно,
ускоренное движение системы отсчета эквивалентно некоторому
гравитационному полю. Подбирая ускоренное движение системы отсчета, можно создавать
или ликвидировать локальные гравитационные поля. Именно поэтому в
свободно падающем в гравитационном поле космическом аппарате наблюдается
невесомость.
Вернемся к вопросу о силе тяжести mg. Небольшая область
пространства вокруг тела т движется с центростремительным ускорением (О2г. Это
эквивалентно тому, что эта небольшая окрестность тела т неподвижна, но в
ней существует гравитационное поле интенсивности G)V, направленное от
земной оси. Вот почему объединение ньютоновской силы с центробежной
силой инерции по сути означает суперпозицию двух гравитационных полей,
что законно.
§37. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 127
Одно из этих гравитационных полей центральное, оно соответствует
неподвижной Земле, как однородному шару; другое поле цилиндрическое, с
осевой симметрией, оно соответствует равномерному суточному вращению
Земли, является его гравитационным эквивалентом. Подчеркнем, введением
понятия силы тяжести nig мы учитываем лишь одну силу инерции —
центробежную. Неучтенной остается еще сила инерции Кориолиса. Заметим, если
бы Земля вращалась неравномерно, то неучтенной оказалась бы и
вращательная часть переносной силы инерции — те. х г (а также сила инерции — mw0
годичного движения вокруг Солнца). Ускорение центра Земли #0 в
движении по круговой орбите вокруг Солнца равно (0*горб. Подставляя
(О ^7,310
~5
0 365 365
найдем
Этой величиной можно пренебречь, она в пять раз меньше, чем для вращения
Земли вокруг оси, что составляет 0,03 м/с2 .
5. Уравнение движения свободной точки относительно Земли.
Уравнение относительного движения mwr - F + Фс' + Фс с учетом равенства
F + Ф" =mg дает
(37.12)
откуда, поскольку Фс = —2/ий х vr,
r. (37.13)
Это и есть уравнение движения свободной точки относительно вращающейся
Земли.
Учитывая, что угловая скорость Земли мала, СО = 7,3 • 10~5 с"1, приходим
к выводу, что при не слишком больших относительных скоростях Х)г силой
Кориолиса можно пренебрегать. В этом случае из (37.13) находим
wr=g (37.14)
128
ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- уравнение движения свободной точки без учета силы Кориолиса. Именно
это уравнение и используется обычно, например в задаче о полете снаряда на
небольшое расстояние и в других случаях.
Методическое замечание. Из проведенного анализа следует, что для обнаружения
более тонких эффектов при движении тел относительно Земли необходимо, кроме силы
тяжести mg, учитывать и кориолисову силу. Именно тогда обнаруживается, например,
отклонение к востоку тел, падающих из состояния покоя, вращение плоскости колебаний
маятника большой длины (маятник Фуко), действие текущей в речках воды - подмыв
правых берегов в северном полушарии (закон Бэра), отклонение реактивного снаряда при
полете на большое (тысячи километров) расстояние и др.
Величину g называют "ускорением свободного падения тел на Землю". В
действительности же таковым является wr — g—2(5 X \>r; оно меньше g (геометрически меньше)
на ускорение Кориолиса. Но при этом действующая на свободное тело сила больше
(геометрически) вектора nig на силу Кориолиса: mwr =mg—2m<uxx>r. (Нужно учесть,
что знаки ускорения и силы Кориолиса противоположны!).
6. Вес тела. Если сила тяжести mg не зависит от того, находится ли тело
в относительном покое или движется, то вес тела зависит. Дело в том, что
////////// понятие веса обычно связывают с
пребыванием тела в покое.
Случай 1. Тело на Земле подвешено на
нити или покоится на подставке. В этом
'/////////////////у//, случае весом тела называют силу, с
которой тело растягивает нить или давит на
подставку (см. рис. 37.4). По величине и
направлению вес Р и сила тяжести равны,
но приложены к разным телам.
Случай 2. Тело в лифте подвешено на
нити или лежит на его дне; лифт
поднимается вверх (опускается вниз) с ускорением
а. Как и в первом случае, вес - это сила, с
которой тело растягивает нить или давит на
дно лифта. Однако теперь Рфт£. Роль
ИСО играет здесь Земля, а с лифтом
связывается неинерциальная система. Условие относительного покоя (роль
активной силы F играет здесь mg)
Рис. 37.4
§ 37. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 129
Но так как вектор Р = -N, то из двух последних уравнений находим
Р = m(g ± а). При этом сила nig и N действуют на тело, а Р - на нить или
на дно лифта.
Пример. По земному экватору движется поезд массы т со скоростью 1).
Найти силу нормального давления поезда на рельсы, считая поезд материальной точкой.
В системе отсчета "Земля"
Ньютоновская сила F = G—— вместе с центробежной силой инерции Фе образует силу
R
тяжести nig.
Поэтому
В проекции на радиус
R
откуда
N = тg - '•^:—+2 won).
R
Сила давления на рельсы равна по величине N, но направлена противоположно — к центру
Земли.
Проще задача решается в системе "звезды". Так как эта система инерциальная, то
учету подлежат только активная и пассивная силы:
R
или
1Я1)2
R
откуда (поскольку F—т(й2 R - mg)
гт>2
N = mg +2/mxD,
R
как и раньше.
5-262
Глава б
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 38. Связи
Механическая система - совокупность материальных точек, в которой
движение и положение каждой точки зависит от движений и положений
остальных точек, входящих в состав системы.
Различают системы свободные (без связей) и несвободные (со связями).
Пример свободной системы: солнечная система, рассматриваемая как десять
материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения.
Пример несвободной системы: цилиндр, скатывающийся без скольжения по
наклонной плоскости вниз.
Связи — это заранее заданные, не вытекающие из динамических
уравнений движения ограничения, налагаемые на положения, скорости и ускорения
точек механической системы. Связи реализуются материально посредством
нитей, стержней, подшипников, подпятников, стволов, пазов, муфт,
поверхностей тел и т.п. Аналитически связи выражаются уравнениями,
связывающими координаты материальных точек, их скорости и время. Тела,
осуществляющие связи, действуют на точки системы с определенными силами,
которые называются реакциями связей или пассивными силами.
Различают связи геометрические и дифференциальные. Уравнения
первых содержат только координаты механической системы и, может быть,
время. Уравнения дифференциальных связей содержат первые производные от
координат по времени.
Геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых
могут быть проинтегрированы, называются голономными связями. Их
уравнения допускают представление в виде
§ 39. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВОЗМОЖНЫЕ (ВИРТУАЛЬНЫЕ) ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 131
O, (38.1)
где xx,yvzx,...,xN,yN,zN — координаты точек системы, t- время.
Бели в уравнение связи время / входит явно, ее называют
нестационарной', если время не входит явно - стационарной. Связи, заданные
равенствами, называют удерживающими, а заданные неравенствами - неудерживаю-
щимги
Связи называют неголономными, если их уравнения нельзя
проинтегрировать и свести к виду, содержащему только координаты точек и время
(отсутствует интегрирующий множитель). Механическая система, на
которую наложены только голономные связи, называется голономной системой.
Система называется неголономной, если на нее наложена хотя бы одна него-
лономная связь. В учебной литературе обычно рассматриваются только
линейные относительно скоростей неголономные связи.
§ 39. Действительные и возможные (виртуальные) перемещения,
число степеней свободы, идеальные связи
Действительным перемещением системы называется бесконечно малое
ее перемещение, совершающееся в процессе движения под действием как
заданных сил, так и реакций связей. Оно происходит за время dt в соответствии
с динамическими уравнениями движения и уравнениями связей и
характеризуется изменением координат dfx, dr2,..., drN, где df) {dxt ,dyvdz?).
Вариацией или возможным (виртуальным) перемещением точки в случае
голономных связей называется любое допускаемое наложенными связями
элементарное перемещение материальной точки из положения, занимаемого
ею в данный фиксированный момент времени, в бесконечно близкое
положение, которое она может занимать в тот же момент времени.
Возможные (виртуальные) перемещения точек системы выражаются
малыми изменениями радиус-векторов ее точек, которые будем обозначать
через bf\,br2,...,brN, где 6^(8х|,8у|.,о>2/). Векторы 8/; и их проекции
&с;,бу,,§2;. называются простыми или изохронными вариациями радиус-
векторов и координат.
132 ГЛАВА б. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКв^ СИСТЕМЫ
Вариации координат можно задать аналитически, например так. Пусть
координата х, изменяется со временем по некоторому закону хД?). Изменим
вид самой функции, положив
где е; - произвольный достаточно малый по модулю параметр (число), а
Л ДО - произвольная дифференцируемая функция, ограниченная во времени
для всех г. Величины Е/пДО называются изохронными вариациями
функций x{(t) и обозначаются через 5х^ Следовательно, по определению
Дальше, введем понятие изохронной вариации функции, зависящей от
координат, которые сами могут являться функциями времени, т.е. для
функции f(x,y,z,t).
Главная линейная часть приращения функции при фиксированном t
называется изохронной вариацией функции и обозначается 6/ -
л.ч. (f(x + bx,y+by,z + bz,t)-f(x,y,z,t)).
Пусть, например, на точку наложена нестационарная голономная связь
,f(x,y,z,t) = 0. (39.1)
В фиксированный момент t сообщаем точке виртуальное перемещение
6г(8х,8у,6г). В новом положении f(x + bx,y + by,z + bz,t) = O.
Приращение функции равно нулю; её изохронная вариация:
^5х+^6>+^8г = 0 (39.2)
ах ay oz
(t фиксировано, bt = 0).
Наложенная связь ограничивает вариации координат bx,by,8z этим
соотношением в каждый момент времени.
Бели связь неголономная вида
, (39.3)
§ 39. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВОЗМОЖНЫЕ (ВИРТУАЛЬНЫЕ) ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 133
где х, у, z - координаты точки; х, у, z - их производные по времени; А, В,
С, D - функции дг, у, z и t, то проекции возможного перемещения точки на
координатные оси, т.е. вариации &t, by, Ъг координат точки, должны
удовлетворять равенствам
АЬх + ВЬу + СЪг = О (39.4)
(последнее слагаемое DSt отбрасывается, так как момент t фиксируется,
bt = 0).
Возможное перемещение системы — это любая совокупность возможных
перемещений точек заданной механической системы, допускаемая всеми
наложенными на нее связями.
При удерживающих связях для любого возможного перемещения точки
механической системы противоположное ему перемещение также является
возможным; тогда как при неудерживающих связях имеются возможные
перемещения, противоположные которым не являются возможными.
Число независимых возможных перемещений механической системы
называется числом ее степеней свободы. Число степеней свободы системы
совпадает с числом независимых вариаций координат.
Бели система голономная (связи голономны), ее число степеней свободы
совпадает с числом независимых координат, однозначно определяющих
положение системы, или с числом свойственных системе независимых
перемещений (см. также § 59).
Важным является понятие идеальных связей - связей, для которых сумма
работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении
механической системы (при удерживающих связях). При неудерживающих связях
идеальные связи - такие связи, сумма работ реакций которых равна нулю на всех
тех возможных перемещениях, противоположные которым тоже являются
возможными.
Пример. Массивное колечко перемещается по стержню, который равномерно
вращается в горизонтальной плоскости. Виртуальное перемещение колечка в момент t -
это бесконечно малое его перемещение Ьг по остановлен- / .
/ j*- yt+at
ному в данный момент стержню. Действительным пере- / £ZL^
/ s\ .^-** *
мещением колечка является перемещение dr, которое / le2^jof
совершается на самом деле на вращающемся стержне и *-
обусловлено действующими силами (рис. 39.1). Рис. 39.1
134
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рис 39 2
Пример. Массивное кольцо скользит вниз по неподвижной
натянутой проволоке (рис. 39.2). Связь реализована проволокой.
Координаты кольцах, у связаны уравнением
(39.5)
-+^=1
a b '
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Одна степень
свободы. Если трение между кольцом и проволокой отсутствует, то связь
идеальная.
Пример. При тех же условиях проволока натянута на кли-
не, который может перемещаться по горизонтальной плоскости (рис. 39.3).
Координаты кольца xl,yl и координаты точки клина хг, уг связаны уравнениями
а
(39.6)
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Две степени свободы (четыре
вариации координат &с,,6у,,&с2,Ъу2) связаны двумя зависимостями, которые легко найти
варьированием уравнения (39.6). Бели отсутствует трение между кольцом и проволокой и
также между клином и горизонтальной плоскостью, то эти связи идеальные.
Рис. 39.3
Рис. 39.4
Пример. При тех же условиях, что и в предыдущем примере, движение клина
задано заранее: клин перемещают равномерно в направлении оси х со скоростью 1).
Координаты кольца связаны уравнением (рис. 39.4)
(39.7)
Связь голономная, нестационарная, удерживающая. Одна степень свободы. Фиксируя t и
варьируя (39.7), находим
§ 39. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВОЗМОЖНЫЕ (ВИРТУАЛЬНЫЕ) ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 135
a b
т.е. две вариации связаны одним уравнением. Если трения между кольцом и проволокой
нет, эта связь идеальная.
Пример. Колесико планиметра (прибора для измерения
площадей по картам и планам) катится без скольжения по
горизонтальной плоскости карты. Положение колесика определяется
координатами хс, ус его центра С (zc = R— радиус колесика), углом 0 q
между плоскостью колесика и осью X и углом поворота <р колесика
вокруг своей оси (рис. 39.S). Так как скольжение колесика исключено,
то \>с = R<p. Острый обод колесика исключает перемещение в на- р ,« .
правлении, перпендикулярном его плоскости. Следовательно, вектор
vc лежит в плоскости колесика, и поэтому
или
хс = RtpcosQ, yc
dxc - RdycosQ = О, dyc - RdysinQ = 0.
(39.8)
Оба эти выражения не могут быть проинтегрированы, так как не являются полными
дифференциалами. По своему содержанию связи (39.8) ограничивают бесконечно малые
изменения координат, не ограничивая их самих.
Связь неголономная, стационарная, удерживающая. Число степеней свободы равно
двум: четыре вариации координат &сс,8ус, 6ф, 5в связаны двумя зависимостями,
которые находим из (39.8):
Динамика несвободных систем сводится к динамике свободных систем
на основе аксиомы о связях: не изменяя движение системы, связь можно
отбросить, заменив ее действие соответствующей силой - реакцией связи;
после замены система рассматривается уже как свободная.
Силы, действующие на материальные точки системы, разделяют на
внутренние — силы взаимодействия между точками самой системы — и внешние,
обусловленные действием тел (и полей), не принадлежащих системе.
Пусть система состоит из ТУ материальных точек с массами т,, щ, ...,mN.
На точку mk, k — \,2,...,N, действуют все прочие точки данной системы;
136 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
равнодействующую всех внутренних сил, приложенных к точке тк,
обозначают Fk, а равнодействующую всех внешних сил - через Fk *.
Сила, приложенная к точке тк, равна геометрической сумме
Fk=F'k+Fke. (39.9)
Внутренние силы любой механической системы обладают важными
свойствами:
1) геометрическая их сумма равна нулю:
£'=2/2=0; (39.10)
к=\
2) геометрическая сумма моментов внутренних сил относительно любой
точки пространства равна нулю:
Оба эти свойства - следствие того, что внутренние силы равны и
направлены противоположно друг другу по одной прямой, на которой лежат
точки (третий закон Ньютона).
§ 40. Общие теоремы динамики системы
Число общих теорем в случае системы равно четырем, тогда как в случае
точки их три. Четвертая теорема - о движении центра масс - только по форме
отличается от теоремы об изменении количества движения. Две другие
теоремы те же, что и в случае точки: об изменении кинетической энергии и об
изменении момента количества движения.
Пусть несвободная (со связями) механическая система состоит из N
материальных точек, массы которых ml,m2,...,mN . Пользуясь аксиомой о
связях, освободим систему от наложенных связей и приложим к ее точкам силы,
равные реакциям связей. После этой операции разделим все силы, действу-
* Верхние индексы от французских слов interiew (внутренний) и exterieur (внешний).
§40. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 137
ющие на точки системы, на два класса: внешние и внутренние. Последние,
как и силы взаимодействия между точками системы, должны удовлетворять
принципу "действия и противодействия" согласно третьему закону Ньютона.
Дифференциальные уравнения движения материальных точек системы
теперь такие:
at
где Fk — главный вектор (геометрическая сумма) всех внешних сил,
действующих на точку тк; Fk - главный вектор всех внутренних сил,
действующих на ту же точку тк.
Ввиду того, что вывод общих теорем динамики системы аналогичен
выводу таких же теорем в динамике точки, рассмотрим схему 11. На схеме 11
слева представлено уравнение движения точек тк системы согласно второму
закону Ньютона. Система, хотя и состоит из отдельных точек, представляет
собой единое целое. Поэтому нас должен интересовать эффект суммарного
действия на систему в целом всех приложенных к ней сил. Вот почему сейчас
необходимо не только повторить преобразования для одной точки (см. схемы
7, 8), но и просуммировать их по всем точкам системы. В результате
приходим к трем теоремам (2), (3) и (4), представленным на схеме 11. На этой
схеме введены следующие динамические меры механического движения и
обозначения:
Q— ^jnk\ik— количество движения системы - геометрическая сумма
количеств движения всех материальных точек системы;
1 N
Т = — Х/И*г)*~ кинетическая энергия системы - сумма кинетических
2*=i
энергий всех точек системы;
Ко — ^,(гкхтк\)к) — кинетический момент системы относительно
центра О.
По второй вертикали в правых частях равенств представлены:
N _
Fe = X ^* ~~ так называемый главный вектор внешних сил системы
(геометрическая сумма всех внешних сил системы);
138
ГЛАВА 6 ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
я
fc
II
to»
fir
w
II
ft.
о
и
11
II
w
II
'X
§40. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 139
N
q = Xi'a x Fk ) ~ главный момент внешних сил системы относи-
тельно центра О (геометрическая сумма моментов всех внешних сил
системы относительно центра - начала координат О);
-
d'Ae — ^Fk- drk — элементарная работа внешних сил системы на пе-
ремещениисистемы {drl,dr2,...,drN);
N _
d'A* = £ Fk* • drk - элементарная работа внутренних сил системы.
к=\
Проследим по схеме 11 за выводом первой теоремы - об изменении
количества движения системы. Уравнение движения точки тк умножается на
1, и результат суммируется по к от 1 до Af по всем точкам:
Учитывая, что согласно (39.10) X^t =0> и пользуясь обозначениями
^к~0 и X Fk — F* •> приходим к равенству — = Р", которое и пред-
dt
ставлено на схеме. Аналогично выводятся и два других равенства; при этом
нужно только учесть преобразования в левой части равенств, которые уже
встречались для одной материальной точки (см. схему 7).
Сформулируем общие теоремы динамики системы, представленные на
схеме 11.
В движении механической системы относительно инерциальной
системы отсчета имеют место следующие равенства:
I - Теорема об изменении количества движения механической системы.
Производная по времени от количества движения системы равна
главному вектору (геометрической сумме) всех действующих на систему
внешних сил.
II - Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Дифференциал кинетической энергии механической системы равен
элементарной работе внешних и внутренних сил, приложенных ко всем точкам
системы.
III - Теорема об изменении кинетического момента системы.
140 ГЛАВА. 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Производная по времени от кинетического момента системы, взятого
относительно неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил
системы относительно того же центра.
Обращаем внимание на следующее. Количество движения точки mkx>k -
связанный вектор, он приложен к материальной точке тк, тогда как
количество движения системы Q - вектор свободный; обычно на рисунках Q
прикладывают к началу координат. Главный вектор внешних сил Fe — это
свободный вектор. Кинетический момент системы Ко по своему определению
связан с центром О, относительно которого берутся моменты; то же
характерно и для главного момента внешних сил Мо.
Главный вектор внешних сил системы Fe, поскольку это свободный
вектор, можно найти так. От какой-нибудь точки пространства, например, от
начала координат, откладываем векторы, равные внешним силам системы
Fk . Затем геометрически складываем их по правилу параллелограмма или,
лучше, по правилу многоугольника *. Вектор Ме получим, если в центре (т.е.
в точке О, относительно которой берутся моменты) сложим геометрически
моменты всех внешних сил по правилу многоугольника.
§ 41. Теорема о движении центра масс механической
системы
Рассмотрим четвертую теорему динамики системы.
Вводим определение: центром масс механической системы называется
геометрическая точка, для которой сумма
произведений масс всех материальных точек, образующих
механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные
из этой точки, равна нулю (рис. 41.1):
у
* N
1тл' = 0. (41.1)
Рис. 41.1 *-*
К концу первого вектора F' прикладываем своим началом второй вектор, начало
третьего - к концу второго и т.д.; F" представляется вектором, замыкающим
многоугольник.
§ 41. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 141
Заменив гк = гк - гс, найдем
N
откуда
N
Из этой формулы, определяющей радиус-вектор центра масс, находим
N ( N
и после дифференцирования по времени получаем
, (41.3)
т.е. количество движения любой механической системы равно массе
системы, умноженной на скорость центра масс.
Дифференцируя (41.3) по времени и заменяя -=• по теореме об измене-
dt
нии количества движения на F", находим
F" = Mwc. (41.4)
Это равенство одинаковой структуры с равенством, выражающим
второй закон Ньютона. Поэтому имеет место теорема:
центр масс механической системы движется как материальная точка
с массой, равной массе всей системы, на которую действует сила, равная
главному вектору внешних сил системы.
Пример. Центр масс прыгуна в воду с трамплина движется по параболе, если
пренебречь сопротивлением воздуха.
142 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 42. Интегральная форма общих теорем
Если проинтегрировать равенства, выражающие общие теоремы,
получим конечную их форму:
dT — dfAe+dA' => Г— 7^, = Ae +A'. (42.2)
Эти теоремы читаются так:
I - теорема об изменении количества движения:
изменение количества движения системы материальных точек за
некоторый промежуток времени равно полному импульсу главного вектора
внешних сил, приложенных к точкам системы, за тот же промежуток
времени;
II - теорема об изменении кинетической энергии:
приращение кинетической энергии системы на некотором ее
перемещении равно сумме работ всех сил, как внешних, так и внутренних, на
рассматриваемом перемещении.
§ 43. Законы сохранения
динамики системы
При некоторых ограничениях, налагаемых на силы, из общих теорем
динамики системы приходят к законам сохранения. Ограничения зги
аналогичны тем, что и для точки. Соответствующая схема 12 аналогична схеме 10.
Из (2) и условия (5) следует (10) (сокращенно (2)+(5)=(10)). Аналогично
(2)+(6)=(11); (3)+(7)=(12); (4)+(8Н13); (4)+(9)=(14).
Условия (5), (6) и (8), (9) подобраны так, чтобы обращалась в нуль
правая часть формул (2) и (4) в векторном виде или в проекциях на неподвижные
оси xuz. При таких условиях равенства (2), (4) интегрируются - приходим к
(10), (И), (13), (14).
§ 43. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
143
с*
Л
2
а
X
О
II
2
о»
ZJ
л
ее
S
I
ю
о
&
to
II
tO)
S
о
II
»—«
r—I
II
cS
S
О
II
&
К
1
о
2
i
144 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Прокомментируем условие (7). Предполагается, что внутренние силы
центральные. Напомним, это означает, что они зависят от расстояния между
материальными точками системы и удовлетворяют третьему закону Ньютона.
Такие силы потенциальные стационарные. Их элементарная работа
представляется полным дифференциалом, d'A' = -dJJ1, где W ~Ul(xx,yx,zv...,
xN,yN,zN)- потенциальная энергия взаимодействия точек системы.
Например, потенциальная энергия системы точек, взаимодействующих
по закону всемирного тяготения, равна
| |
rN-l,N
где у - постоянная тяготения, a.rik- расстояние между точками т, и тк.
Внешние силы по условию (7) тоже потенциальные стационарные. Их
элементарная работа представляется полным дифференциалом d'Ae = —dllet
где Пе ~ne{xvyx,zv...,xN,yN,zN) - потенциальная энергия системы во
внешнем силовом поле.
При подстановке (7) в (3) получаем dT — -dlJe - dJJ' и после
интегрирования приходим к закону сохранения механической энергии (12).
Сформулируем выводы (10) - (14) схемы 12.
Закон сохранения количества движения (10):
если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество
движения этой системы сохраняется.
Закон сохранения проекции количества движения на неподвижную ось -
равенство (11) схемы 12:
если имеется неподвижная в используемой инерциальной системе
отсчета ось х такая, что проекция главного вектора внешних сил на эту ось
равна нулю, F° ~ 0, то проекция количе-
+- ства движения механической системы на
*".*. упомянутую ось постоянна
^_ Пример. Два электрических заряда вза-
^ имодействуют и движутся в однородном
электрическом поле (рис. 43.1). Пусть ось z параллельна
Рис 43.1 силовым линиям поля, а Ох и Оу перпендикуляр-
§43. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 145
ны. Тогда F' =0 и Ff = 0, так как внешние силы поля направлены параллельно оси Oz.
Согласно(11) Qx=c и Qy=cx,т.е.
m, jc, +т2х2=с и /«,>>, + т2у2 = с,.
Здесь xl,yl,zl - координаты заряда массы /и,, а х2, у2, г2 - координаты заряда массы щ.
Так как внешние силы параллельны оси г, их моменты относительно этой оси равны
нулю, Мег = 0, и поэтому согласно (14) Кг = const:
(г, х mlvl) + (г2 х т2х>2) = cows/,
или
Закон сохранения механической энергии - равенство (12) схемы 12:
если внутренние силы центральные, а внешние потенциальные
стационарные, то полная механическая энергия системы сохраняется
относительно инерциальной системы отсчета.
Для несвободных систем закон сохранения механической энергии имеет
место и тогда, когда кроме потенциальных стационарных сил действуют еще
силы, работа которых равна нулю. Действительно, поскольку dT = d'A, где
d'A - работа всех без исключения сил, то наличие сил, работа которых равна
нулю, не вносит никаких изменений в правую часть равенства.
Иногда удобно пользоваться следующим правилом: при наличии связей
закон сохранения энергии имеет место, если силовая функция внешних сил
явно от времени не зависит, диссипативные силы (внешние и внутренние)
отсутствуют, а идеальные голономные связи стационарные.
Законы сохранения количества движения и момента количества
движения, а также их проекций имеют место и при наличии связей. При этом
налагаемые на силы ограничения относятся ко всем внешним силам, включая и
внешние реакции связей.
Пример. По поверхности клина массой щ под углом а скользит брусок
массой т2. Клин может двигаться вдоль гладкой горизонтальной поверхности. Трение между
бруском и клином отсутствует (рис. 43.2).
146 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
' У У^ л Уравнение связи имеет вид (39.6)
(голономная, стационарная, идеальная). Дисси-
пативные силы отсутствуют. Вывод:
механическая энергия сохраняется, Т+ П = Е, т.е.
\'»t(*2i+ti)+l»h(*l+yl)+'»2gy2=E, (43.1)
где *, =х, ух =0, х2 =x + scosa, y2 -h-ssinOL.
Дифференцируя последние равенства и подставляя их в (43.1), получим
—Щук* +— т2{хг + s2 + 2xscosaj-m2gssina = const.
Jbr Jbr
Так как внешние активные силы - силы тяжести клина и бруска - вертикальны и
внешняя реакция плоскости на клин вертикальная, проекции всех их на горизонтальную
ось х равны нулю. Поэтому сохраняется горизонтальная составляющая количества
движения:
Qx = w,i, + m2x2 = const,
или
x + m2(x+scosa) = const. (43.2)
Обращаем внимание на следующее. Если предположить, что между бруском и
клином есть трение, то закон сохранения механической энергии теряется - эта энергия
превращается частично во внутреннюю энергию. Однако (43.2) будет по-прежнему
выполняться, хотя функции x{t) и s(t) теперь уже не будут такими, как в отсутствие трения.
Примечание к методике решения задач. Если F/ = 0, то говорят, что система
изолирована в направлении оси jc. В таком случае можно сразу писать равенство Qx = const.
§ 44. Случай замкнутой механической системы
Механическая система называется замкнутой, или изолированной, если
на нее не действуют внешние силы. В отсутствие внутренних диссипативных
сил движение системы материальных точек происходит под действием одних
§44. СЛУЧАЙ ЗАМКНУТОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 147
только внутренних центральных сил, удовлетворяющих третьему закону
Ньютона и зависящих только от расстояния между телами (точками)
системы. Такие силы потенциальные стационарные; для них существует
потенциальная энергия П' - энергия взаимодействия точек системы.
Имеют место все три закона сохранения (схема 13):
б = с, Т+П'=Е, Ко=с0. (44.1)
В развернутом виде эти равенства имеют вид
В проекции на декартовы оси получаем семь первых интегралов: три
интеграла количества движения, один интеграл энергии и три интеграла
кинетического момента.
Кинетическая энергия Г, количество движения Q и кинетический
момент Ко аддитивны: любая из этих величин для системы равна сумме
значений для каждой из материальных точек. В классической механике это верно и
при наличии взаимодействия между точками.
Кроме семи первых интегралов движения для замкнутой системы
существуют еще три вторых интеграла. Это интегралы движения центра масс:
если Fc=0, то из (41.4) после интегрирования следует vc=at откуда
rc=at + b - центр масс замкнутой механической системы движется
равномерно и прямолинейно.
Наличие внутренних диссипативных сил в замкнутой системе не
является помехой для выполнения законов сохранения количества движения и
кинетического момента. Не выполняется при этом только закон сохранения
механической энергии, которая частично превращается во внутреннюю
энергию.
148
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Я
« Я
S у
я *
я «
&2
со
&! о
S О
рэ н
о >»
ч я
л» «
со
II
о
II
i
1
II
J
V
s
о
II
♦О)
43
+
4S
II
Е^
43
II
•«l-s
со.
•~ b
to*
(N
to"
§ 45. ФОРМУЛЫ КЕНИГА ДЛЯ МЕР ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
149
§ 45. Формулы Кенига для мер
движения системы
Найдем закон преобразования мер движения
Q, Т и Ко при переходе от одной системы
отсчета к другой. Пусть Oxyz - основная инерци-
альная система отсчета, Cx'y'z' - подвижная
система отсчета, начало которой совпадает с центром
масс механической системы, а оси параллельны
осям основной системы. Система Cx'y'z* движет- xjf
ся поступательно и в общем случае ускоренно Рис 45.1
(она может и не быть инерциальной); её называют
поступательно движущейся системой центра масс, или системой осей
Кенига. Из рис. 45.1 видно, что радиус-векторы точек mk связаны
соотношением
(45.1)
где гс - радиус-вектор центра масс. Дифференцируя (45.1) по времени,
найдем для скоростей
(45.2)
Составим еще два выражения, которые используются ниже:
(45.3)
=fc
+rc
Умножим х>к, — х)2к и гк XX) к на массу тк и просуммируем по индексу к от 1
до N. Получим меры движения
150 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
-М\)1 + ЪсЪткх>'к+-
Ko=rcx M3C +rc
В правой части во всех трех формулах вторые слагаемые равны нулю:
2*^* =—^imk^k~ 0 в соответствии с определением центра масс систе-
dt
мы (^Щ^к=0). Третье слагаемое формулы для Kq тоже равно нулю.
Окончательно получаем
б б О, (45.4)
Т = - Мм2с + Г, (45.5)
ко=гсх№с+к'о, (45.6)
где V и. К'о - кинетическая энергия и кинетический момент системы
относительно поступательно движущейся системы центра масс.
Как видно из этих формул, значение любой из трех мер движения Q,
Т и К'о относительно основной системы отсчета равно значению
соответствующей меры движения центра масс плюс значение рассматриваемой
меры движения механической системы в ее движении относительно
поступательно движущейся системы центра масс. Нужно только помнить, что
всегда Q' = 0.
Заметим, что при выводе формул здесь не учитывалась инерциальность
основной системы отсчета: основная система не обязательно должна быть
инерциальной.
Равенство Q = Xw*^* = 0 означает: по отношению к поступательно
движущейся системе центра масс количество движения любой
механической системы равно нулю. Можно считать, что по отношению к
поступательно движущейся системе центра масс механическая система, как целое,
покоится.
§45. ФОРМУЛЫ КЕНИГА ДЛЯ МЕР ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
151
Пример. Вычислим кинетическую энергию тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 45.2).
Если тело мысленно разбить на частицы массы
Wj, ТПг,..., ТП^, ТО
Заменяя Ьк = copt, где со- угловая скорость тела, ар, -
расстояние частицы тк до оси вращения z, получим
(45.7)
Ряс. 45.2
Формула кинетической энергии вращающегося тела аналогична формуле —тх>2
кинетической энергии поступательно движущегося тела. Величина Jz — момент инерции
тела относительно оси вращения. Это сумма произведений масс частиц тела на квадраты
их расстояния до оси.
Пример. Найдем момент количества движения тела относительно оси
вращения. Кинетический момент частицы тк относительно оси вращения тела равен ткх>крк,
где pt — расстояние частицы до оси вращения. Для всего тела
Замена \>к = со грк приводит к формуле
(45.8)
где Jt — момент инерции тела относительно оси вращения z
(Уг>0;сох>или<0).
Пример. Однородный цилиндр падает вертикально вниз,
разматывая намотанную на него невесомую нить (рис. 45.3).
Согласно (45.4) - (45.6)
(45.9)
Рис. 45.3
152 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
T = -Mv2c+-J<a2, (45.I0)
Ко = гс х Мх>(. + К'.. (45.11)
В первой формуле vc - скорость центра масс, во второй формуле Т — — Уса2, где
J — — MR2 — момент инерции цилиндра относительно его оси (R — радиус цилиндра):
СО = угловая скорость вращения цилиндра. В итоге получаем
R
Ш2Щ; = ~
2 2 R2 4
Т = -Мо2с.
4
Третью формулу (45.11) перепишем в виде
Проецируя на ось Oz, перпендикулярную чертежу, получаем момент количества
движения цилиндра относительно оси z:
или
где Jci = — MR2, со = "V)r//?j и окончательно имеем
(45.12)
§46. МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА 153
§ 46. Меры движения в простейшем случае вращения тела
вокруг неподвижной оси
Уравнение движения тела получим применяя теорему об изменении
момента количества движения
^=м; (46.1)
или заменяя Kz — Jzo и предполагая, что Jz постоянно,
где Mez - сумма моментов внешних сил относительно оси вращения.
Уравнение (46.2) аналогично уравнению та = F второго закона Ньютона.
Рассмотрим простейший случай, когда Mz постоянно: вращение тела
равноускоренное. В этом случае уравнение (46.2) можно представить в виде
0)-0)0
так как угловое ускорение равно £ = .
Теперь построим схему 14, аналогичную схеме 6.
Сравнивая схемы 14 и 6, приходим к выводу: подобно тому, как тъ
измеряет "запас" поступательного движения тела, Jo измеряет "запас"
вращательного движения. Величина Jo равна сумме моментов количеств
движения частиц тела относительно оси вращения.
Аналогично тому, как — тх>2 измеряет кинетическую энергию поступа-
1
тельного движения тела, — Jzo является кинетической энергией вращатель-
ного движения тела. Так же прослеживается аналогия между величинами Ft
и Mezt,F-S и М>.
154
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
X
и
3
м
о
8
о
S
§ 46. МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА
155
Пример. Груз массой т, прикреплен к нити, перекинутой через неподвижный
блок. Второй конец нити связан с осью цилиндра, который катится без скольжения по
наклонной плоскости. Массы блока и цилиндра т, их радиусы г. Найти угловое ускорение
цилиндра (рис. 46.1).
,т
Рис. 46.1
Пусть Oz—ось, совпадающая с осью блока. Тогда
Кг = ./со + щ ххг + {тхгг + Усо), J = — тгг,
где в правой части — моменты количества движения: Jto - блока, щххг — груза,
тх2г + J(O - цилиндра (по формуле Кенига).
Заменяя jc, = tor, jc2 = jc, = tor, J = —тгг, получим
Кг =(2т+т1)г2а.
Далее вычисляем моменты сил:
l =rmgsina- mxgr = {msina - щ )gr.
_ dK
По теореме моментов = Мг, откуда
at
msina —т. 1 ,„ .. ч
е = g !.._, (х =х2= ег).
2m+ml r v '
156 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Обращаем внимание: в подобных задачах удобно искать суммарное значение
величин Кг, М* для всей системы и связывать их по теореме моментов.
Пример. Фигуристка вращается на коньке вокруг вертикальной оси z. На нее
действует сила тяжести и реакция опоры - поверхности льда. Сила тяжести параллельна
оси z, реакция опоры пересекает эту ось. В подобных случаях - когда силы параллельны
оси или пересекают ось — говорят, что система изолирована вокруг оси. При этом сумма
моментов сил относительно оси равна нулю, а момент количества движения вокруг оси
постоянен Кг = const:
JZ(H = const.
Если фигуристка увеличит Jz, разводя руки от оси вращения, то угловая скорость
уменьшится. При сведении рук к груди (к оси вращения) угловая скорость увеличится.
Решение многих задач удобно начинать с выяснения именно того факта,
не является ли система изолированной в направлении оси или же вокруг оси.
Если она изолирована, то можно сразу писать в первом случае равенство
Qx = const, а во втором — Кх— const. Напоминаем, система изолирована в
направлении оси обычно тогда, когда все внешние силы перпендикулярны
оси; она изолирована вокруг оси обычно тогда, когда внешние силы либо
параллельны оси, либо таковы, что их линии действия сил пересекают ось.
§ 47. Общие теоремы динамики относительно поступательно
движущейся системы центра масс (системы осей Кенига)
При движении тела одновременно в нескольких системах отсчета,
система, относительно которой определяется движение всех остальных систем,
называется основной системой отсчета. Система отсчета, движущаяся
относительно основной системы отсчета, называется подвижной. В ньютоновской
динамике в качестве основной системы отсчета принята инерциальная
система; ее нередко называют неподвижной системой. Кинематические
характеристики движения называются абсолютными или относительными в
зависимости от того, к какой системе отсчета они отнесены - к основной инерци-
альной или к подвижной. Движение подвижной системы отсчета
относительно основной называется переносным.
§47. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ОТНОСИТЕЛЬНО СИСТЕМЫ ОСЕЙ КЕНИГА 157
Пусть Oxyz - основная (инерциальная)
система отсчета, a Cx'y'z? - поступательно
движущаяся система центра масс механической
системы. Связь абсолютных и относительных радиус-
векторов, скоростей и ускорений выразится так
(рис. 47.1):
(47.1)
z'L
Рис. 47.1
У
(в третьей формуле кориолисово ускорение отсутствует, так как движение
системы Cx'y'z' поступательное).
Уравнение абсолютного движения точки тк имеет вид
= 1.2, ...,#,
(47.2)
откуда, так как wk - wc + щ
(47.3)
Мы получили уравнения движения точки тк относительно
поступательно движущейся системы центра масс. Вектор {-mkwc) называется силой
инерции переносного движения.
На схеме 15 слева представлено уравнение относительного движения (1).
Затем даны обычные его преобразования — умножение и суммирование по
точкам; но здесь df' иг'— относительные векторы, а не абсолютные, как на
других схемах. С учетом преобразований, аналогичных встречавшимся ранее,
приходим к трем теоремам. Однако первая из этих теорем - об изменении
количества движения - вырождается в тривиальное утверждение: количество
движения любой механической системы по отношению к поступательно
движущейся системе центра масс равно нулю. Математически это связано с
двумя обстоятельствами: 1) при суммировании уравнения (1) по индексу к в
правой части получаем нуль, так как £Fte = Mwc; 2) по определению центра
масс Xтъ?к ~ 0»откуда после дифференцирования находим ^,ткъ'к = 0.
В равенствах (3) и (4) силы инерции отсутствуют. Действительно,
158
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
к
3S K
SB m
S Ю
3
р.
I
C3
О
3
§
3
3
CN
»
О
t
*
о
S
Е
о
I
к
II
ff
i
(О я t\=4
M'W-
x
II
4
x
to*
II
II
*
*
§ 48. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 159
*F*') = О,
так как по определению центра масс Х772***' = 0.
Аналогично имеем
х wc = 0.
Равенства (3) и (4) аналогичны соответствующим равенствам схемы 11.
Для любой механической системы относительно поступательно
движущейся системы центра масс выполняются теоремы:
I - количество движения механической системы равно нулю;
II - дифференциал кинетической энергии равен сумме работ на
относительных элементарных перемещениях всех внешних и всех внутренних сил
системы',
III - производная по времени от кинетического момента системы равна
сумме моментов всех внешних сил относительно центра масс.
Две последние теоремы формулируются аналогично тому, как они
сформулированы для абсолютного движения.
§ 48. Связь законов сохранения замкнутой механической системы
со свойствами пространства и времени
Законы сохранения для замкнутой механической системы получены
выше из уравнений движения точек системы на основе третьего закона
Ньютона. Здесь эти законы выводятся иначе: с использованием основных свойств
пространства и времени. В отличие от третьего закона, свойства
пространства и времени универсальны. Поэтому приводимое здесь новое обоснование
законов сохранения имеет принципиальное значение: обнаруживается
глубокий смысл законов сохранения, их универсальность, независимость от
строения системы.
На точку тк замкнутой системы действует сила, проекции которой
имеют вид
160 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
дхк дук dzk
(диссипативные силы по предположению отсутствуют), где П' —
потенциальная энергия. На схеме 16 эта сила представлена как вектор-градиент в ус-
-\гт/ /
ловной записи — оп А- .
/дгк
Левая половина схемы 16 обычная, ранее уже встречавшаяся (см. схему
12). Отличие только в том, что теперь в правых частях (1) - (4) внутренняя
сила Fk записана через потенциальную энергию как - А-* ■
В средней части схемы отражены свойства пространства и времени.
Приведем ход рассуждений. Поскольку пространство однородно, смещение
механической системы как целого на один и тот же вектор Ъг не влияет на
характер движения этой системы. Поэтому такое смещение не должно
приводить к изменению потенциальной энергии (через нее выражаются силы).
Значит, Q = dII'. Представив в развернутом виде dlT, обнаруживаем, что
правая часть равенства (2) схемы 16 равна нулю и что это равенство
интегрируется. Так приходим к закону сохранения количества движения Q = с.
При выводе закона сохранения кинетического момента используется
изотропия пространства: поворот системы как целого (подобно повороту
твердого тела) вокруг произвольно ориентированной оси / на некоторый угол
5ф с одновременным таким же поворотом векторов скоростей всех точек си-
Э/7'
стемы не влияет на движения этой системы. Поэтому 0 = <Ш' = Х~^—$** •
Здесь oTjt - приращение радиус-вектора fk при указанном повороте; его легко
вычислить исходя из кинематической формулы Эйлера Ъ = б) х г .
Достаточно умножить обе части этой формулы на элемент времени 67 и выполнить
замену vbt = 8г и <hdt = 5ф, получим (см. рис. 41.1)
г. (48.2)
На схеме в третьей горизонтали использована эта формула и учтено
перестановочное свойство скалярно-векторного произведения вида
§ 48. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 161
(i) Ьд
г UQ
|
~ P
X
Й|^
fo
Й
6-262
162
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(I)
N't
JkP_
,W~=
~ p
•
X
§ 49. СИММЕТРИЯ ВНЕШНЕГО СИЛОВОГО ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 163
При выводе закона сохранения механической энергии использована
однородность времени. Функция П' не может зависеть явно от времени, так
как согласно принципу относительности движение всегда происходит точно
дП'
так же, как оно происходило и раньше (во времени). Значит, —- = 0, и по-
Э/
этому
ЭЯ'
Уравнение (3) схемы 16 сводится кс!Т = —dIV, оно интегрируется.
§ 49. Симметрия внешнего силового поля и законы сохранения
отдельных компонентов количества движения
и кинетического момента
В предыдущем параграфе рассматривалась замкнутая система. Пусть
теперь она находится во внешнем силовом поле. Отдельные компоненты
количества движения и кинетического момента могут сохраняться и при наличии
внешнего поля, если оно обладает определенной симметрией, например, если
оно однородное или осесимметричное.
На схеме 17 в левой ее половине представлен уже многократно
встречавшийся на предыдущих схемах вывод основных теорем, относящихся к
изменению Q и Ко. В правых частях равенств силы выражены через
потенциальные энергии П' и Пе. При суммировании внутренние силы
исключаются, так как соответствующие суммы равны нулю.
В правой половине схемы 17 дан вывод двух теорем.
Теорема I. Если при параллельном переносе механической системы как
целого в направлении некоторой оси х потенциальная энергия этой системы
164 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
не изменяется, то сохраняется Qx — проекция количества движения
системы на направление х.
Действительно, поскольку Пе не изменяется, то нулю равен ее
дифференциал:
Положив Ъгк = / 6х, где i — единичный вектор в направлении оси х, получим
О = £— / 6х. А так как 6х Ф О, то нулю равна сумма в скобках. Поэто-
l drk J
му, если домножить (2) схемы 17 на / скалярно, то окажется, что правая
dQ - л
часть уравнения обращается в нуль, а значит, —=■•/ =0; отсюда
dt
—f g • / J = 0 и окончательно получаем Qx=c.
Теорема II. Если при повороте механической системы как целого вокруг
некоторой оси х потенциальная энергия этой системы не изменяется, то
сохраняется Кх —момент количества движения относительно осих.
Доказательство аналогично - с использованием формулы приращения
при повороте: 6^ = i 6ф х fk.
Пример. Электрон движется в поле заряженной "бесконечной" нити. На
электрон действует сила, направленная перпендикулярно нити. Если сместить электрон
параллельно нити или вокруг нее, оставляя его на постоянном расстоянии от нити, то сила
работы не произведет, а значит, потенциальная энергия электрона не изменится.
Следовательно, имеют место два закона сохранения:
Если х, у, z — координаты электрона (ось д: — по нити), то эти равенства означают
х = с, yz-=y = cr (49.1)
Электрон движется в плоскости, перпендикулярной нити, по закону площадей, тогда как
сама эта плоскость смещается равномерно в направлении нити.
§ 50. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
165
§ 50. Общие теоремы динамики относительного движения
Рассмотрим движение механической
системы относительно произвольно
движущейся системы отсчета Ox'y'z'.
Основная система Oxyz инерциальная (рис. 50.1).
На схеме 18 слева представлено
уравнение относительного движения точки тк.
Оно выводится, как известно, из уравнения О)
абсолютного движения точки >х
mw = Fe + F" путем замены
'У'
подвижная
1 (неинерциальная)
= wr+we+ w
Kop и введения сил инерции
исо
("неподвижная")
Рис. 50.1
По структуре схема 18 аналогична схеме 11, только теперь производная
по времени обозначена это быстрота изменения относительно подвиж-
dt
ной системы отсчета. В первой строке схемы 18 сумма сил инерции сведена к
сумме инерции центра масс - к Ф"ер и Ф™р. В самом деле,
*=1
Заменяя здесь гк = гс' + Стк (Стк — вектор, соединяющий центр масс с точ-
N
кой тк) и учитывая, что по определению центра масс £т* • Стк = 0, полу-
чим
N
I
к=\
*# + й х (й х гг') + ю х гс') = -Mw™p = Фпсер,
N
где, как всегда, М =
И еще
N
*=1
166
ГЛАВА. 6 ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
оо
«■и
ее
2
ш
X
и i
к
ко
о
I
[асе
2
се
ГУ
S
S
+ 1
to"s
ll
к
1
X
«
О
и
X
S
зменении
к
ко
п
1
to
to
+
-
•>»
-
II
/■
г.
X
2
s
и
О
S
и
о.
I &
° §
S и
§
ского
1)
g
|кине
1
об измене
•
to"
X
1 *^^
to
X
X
Г 1^
II
tQ
s"
X
я
о.
о
I
I
к
s
cs
CO
*§
■
(I)
to
■
X
t»<*
**- и- '- э- '~р
§ 51. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 167
Проведя здесь замену —гк = —г/ Н 'Стк или \>'к = г)^ Н Стк и учи-
Л dt dt dt
тывая, что — mt Cmh = 0, получим
dt
X ФК°Р = -2М5 х г)'с = Ф*ор,
к=\ ' '
что и требовалось.
Сформулируем результат. При движении механической системы
относительно произвольной неинерциальной системы отсчета одновременно
выполняются три равенства, представленные на схеме 18.
I - Производная по времени от относительного количества движения
системы равна геометрической сумме главного вектора внешних сил,
приложенных к системе, и сил инерции ее центра масс - переносной и кориоли-
совой.
II - Производная по времени от кинетической энергии системы в ее
относительном движении равна мощности внешних и внутренних сил, а также
мощности переносных сил инерции всех точек системы.
III — Производная по времени от относительного кинетического мо%
мента системы равна главному моменту внешних сил и сил инерции -
переносных и кориолисовых, приложенных ко всем точкам системы.
Моменты берутся относительно подвижного начала координат.
§ 51. Теорема об изменении кинетического момента
Теорема об изменении кинетического момента
верна не только относительно неподвижного в инер-
циальной системе отсчета центра, но также и
относительно подвижной точки, скорость которой постоянно
параллельна скорости центра масс системы. В самом
деле, если А. - какая-либо движущаяся точка, то
rk=rA+rk' (рис. 51.1) и по теореме моментов
Рис 51.1 at (*) (*)
168 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
или, поскольку Xm*4t = Q> Q~ т^с ~ количество движения системы, то
(к)
Первое слагаемое левой части после дифференцирования дает
- dQ A dQ „ йв ,
\) л х тъс + гА х ——. А так как —— ~2^гк (по теореме о количестве движе-
dt dt (к)
- dQ
ния), то слагаемое гА х —— уничтожается вместе с первым слагаемым правой
dt
части. Равенство принимает вид
x>Axmvc+—Trk'xmkx>k =
dt(k)
Если потребовать, чтобы скорость точки А была параллельна скорости
центра масс системы, г^Ц \>с, то первое слагаемое левой части полученного
равенства обратится в нуль и в этом случае
11х^Л (51.1)
(k) (к)
что и требовалось доказать. Подчеркнем особо: в левой части равенства
(51.1) относительно подвижной точки (скорость которой параллельна
скорости центра масс) берутся моменты абсолютных количеств движения, т.е. Х)к
- скорости относительно инерциальной системы.
Применение теоремы показано ниже на примере.
Пример. По наклонной плоскости, образующей угол Ос с горизонтом,
скатывается однородный цилиндр массой М и радиусом R. Собака, перебирая ногами, остается
постоянно в верхней точке, как это бывает в цирковых номерах. Определим ускорение
цилиндра, если масса собаки т.
Принимая собаку за материальную точку, применим теорему моментов относительно
мгновенной оси вращения А (рис. 51.2). Кинетический момент системы относительно
подвижной оси А находим по формуле
КА = JA(H + mX)(R+Rcosa),
§ 52. ТЕЛО (ТОЧКА) ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
169
у////////////////777////////
Рис. 51.2
где первое слагаемое — момент цилиндра, а второе — момент собаки. Очевидно, скорость
собаки равна скорости центра цилиндра, а значит, V = caR, и поэтому
Кл = J i-+mR(l + cosa) j.
Производная от Кл равна моменту внешних сил относительно подвижной точки А
(ее скорость перемещения параллельна скорости центра масс системы цилиндр — собака,
т.е. условие применения теоремы выполнено):
dK
-=Ме.
^-+mR(\+cosa) j = (M+m)gRsina. (51.2)
Здесь Jл = Jc + MR2 (теорема Штейнера о моментах инерции); Jc= —
§ 52. Тело (точка) переменной массы
1. Выведем уравнение движения тела, от которого непрерывно
отделяется часть его массы (ракета, реактивный снаряд, космический корабль,
воздушно-реактивный самолет и т. д.) или к которому присоединяется новая
масса (падающая непрерывно конденсирующаяся дождевая капля; обледеня-
ющийся самолет; аэростат, поднимающийся канат на старте и др.). Движение
точки рассматриваем относительно неподвижной (инерциальной) системы
отсчета, например, относительно Земли.
На рис. представлены оба случая
170
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ" СИСТЕМЫ
Масса непрерывно
присоединяется
момент t
\ т /
момент t+dt
Масса непрерывно
отделяется
момент t
\ т /
момент t+dt
/ ~v+dtT
^m-dm/
cfrnJS. /
Количество движения
mv + udm
mv
(m-dm)(x)+dx>)-\
+ udm
Приращение количества движения за время dt:
dm)(x> + ей) - (mi) + udm) =
= rndv — dm{u — v)
= mdv + dm(u -
(малые второго порядка сразу отброшены, т.к. при переходе к пределу они
исчезнут).
По теореме об изменении количества движения — = F, где F - геоме-
dt
трическая сумма сил, приложенных к телу (точке):
При выводе этих уравнений было принято в обоих случаях dm>0.
Однако уравнение (52.2) удобно формально привести к виду (52.1), если
условиться считать отделяющуюся массу тоже как "присоединяющуюся", но от-
§ 52. ТЕЛО (ТОЧКА) ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 171
рицательную по величине. Окончательно, уравнение движения тела
переменной ^ассы в обоих случаях имеет вид
mf='+<=-6)?- (523)
где в случае присоединения массы dm > О, а в случае отделения dm < О.
Вектор й — \> — с - это относительная скорость "присоединяющейся"
массы (относительно основного тела - масса которого конечна). Вектор
Ф = с — называется реактивной силой.
Уравнение движения тела переменной массы (52.3) было выведено И. В.
Мещерским в 1894г.
2. Заметим, что уравнение (52.3) нельзя представить в виде "уравнения
ньютоновского типа" с переменной массой
~(mv) = F. (52.4)
dt
К этому виду уравнение (52.3) приводится только в частном случае, когда
м = 0, т. е. когда абсолютная скорость "присоединяющейся" массы (либо
присоединяющейся, когда dm>0, либо отделяющейся, если dm<0) равна
нулю. В другом частном случае, когда абсолютные скорости равны, и = Х>, а
значит относительная скорость "присоединяющейся" массы равна нулю,
уравнение (52.3) принимает вид
^ = F (52.5)
- уравнение движения тела переменной массы в отсутствии реактивной силы.
3. Приведем уравнение Мещерского общего вида, когда присоединение
и отделение массы происходит одновременно. Величины, относящиеся к
присоединяющейся массе, отметим индексом 1, а к отделяющейся -
индексом 2. Уравнение имеет вид
т— = F + (щ - \>)-± + (щ~ х>)-2-, (52.6)
где dmx > 0; dm2 < 0; все скорости абсолютные (м,-г) и щ-Х) -
относительные).
172 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
_ „ dm. dm, I
Для воздушно-реактивных двигателей —- = (масса основного
dt dt i
тела неизменна) и уравнение (52.6) приобретает вид
(52.7)
где /и0 - масса самолета.
В частности, если абсолютная скорость присоединяющейся массы равна
нулю, w, = О (полет воздушно-реактивного самолета в неподвижной
атмосфере), то уравнение движения будет
- движение постоянной массы при наличии реактивной силы. Чтобы
действие реактивной силы было ускоряющим, скорость отбрасывания массы
должна быть противоположна скорости х> (относительная скорость
отбрасывания п2 — V по модулю больше модуля относительной скорости
присоединения, которая равна 0 - х> = -V ).
4. В заключение выведем три общие теоремы динамики точки
переменной массы для уравнения Мещерского типа (52.3).
а) Теорема об изменении количества движения. Из (52.3) находим
mdx> + vdm = Fdt + udm
или
Дифференциал количества движения тела (точки) переменной массы
равно импульсу внешних сил плюс количество движения "привнесенное
извне" (в случае отделяющейся массы слова в кавычках означают: отнятое от
основного тела).
б) Теорема об изменении кинетической энергии. Умножаем уравнение
(52.3) на элементарное перемещение основного тела df = vdt:
или
§ 52. ТЕЛО (ТОЧКА) ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 173
(52.9)
Сумма приращения кинетической энергии основного тела и энергии
"приращения" массы равна сумме работы действующей силы и работы,
связанной с изменением массы.
в) Теорема об изменении кинетического момента. Умножаем радиус-
вектор точки переменной массы г векторно слева на обе части уравнения
(52.3)
cR3 _ - _ _dm _ ~
г хт—-г xF + r хи г хм
d d
г xF + r хиг хм
dt dt dt
или
dx> _ dm\ _ - _ ^
+ v\ xF + rXu
Г X
или
[dx> _ dm\
dt dt)
_ ^/-\ .* л - ~
r x—[mv) = r xF+r xu
dt
[mv) r xF+r xu.
dt dt
df
Если к левой части равенства добавить равное нулю слагаемое — х mv,
dt
то получим производную от произведения двух функций. Окончательно:
—(rxmv) = rxF + r хп—. (52.10)
dt dt
Производная по времени от момента количества движения тела (точки)
переменной массы равна моменту внешней силы плюс момент силы \ш
((I = секундное "приращение" массы).
dt
5. Как видим, меры движения точки переменной массы такие же, как и
точки постоянной массы. То же и для системы.
Рассмотренные общие теоремы представлены в схемах для точки и
системы.
На схемах 19 и 20 приведены основные теоремы динамики точки и
динамики системы точек переменной массы. Ввиду того, что структуры этих
схем аналогичны ранее изученным (см. схемы 7, 11), ограничимся краткими
замечаниями.
174
ГЛЛВЛ6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
т
ш
1
и
?
Ф
шр
SB
чё
§ Si
ь 1
11 У
5;
Э
и
s
О
rvl
+
о
2*
v
l
i-tp''
3
КИН
ХИЭ
н я
li
II
Sss
эле
зав
мае
s-l g
2 g-s
^l_f -
ta
X
+
X
II
X
^3
i
^3
i
X
7
7
I
5 з
IS
2
cx
ВТ*
и
s
w
о
и
О,
С
52. ТЕЛО (ТОЧКА) ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
175
ее
S
ш
О
3
1
1
в
I
S
1
2
S
I
I
ю
О
♦а"
II
El
SB
t
о
i
II
-I
t
U SB
я *
11
1
x
II
MS
ii
t
■
•
X
ttf
чшр •*- £ чшр — чс$>
ta'tj?
176
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Меры движения при переменной массе такие же, как и при постоянной
массе. В случае присоединения частиц количество движения системы
возрастает не только за счет импульса главного вектора внешних сил, но
и за
счет
I
етич
привносимого извне количества движения
Приращение кинетической энергии системы вместе с кинетической
энергией приращенной массы равно работе всех активных и пассивных сил,
сложенной с элементарной работой реактивных сил 2u w* " г)*£"и*
Приращение момента количества движения системы равно главному
моменту внешних сил, сложенному с главным моментом реактивных сил
я dmk
U
dt
т
§ 53. Пример из теории удара
Задача (баллистический маятник).
Снаряд попадает в цилиндрический
ящик с песком (маятник); маятник
поворачивается вокруг горизонтальной оси О на
угол а. Определить скорость снаряда \),
если М- масса маятника; h - расстояние
центра массы С до оси О; р — плечо инерции
маятника относительно оси О\т - масса
снаряда; а - расстояние от оси О до центра
снаряда, который застрял в песке в точке D на
продолжении ОС. Найти также условие
того, что удар не будет передан на ось О.
Решение. Напомним: в теории
удара пренебрегают обычными силами (здесь: сила тяжести маятника;
обычная реакция оси О, сила трения, сила сопротивления и пр.). Учитывают
только силы, возникающие при ударе: ударные силы взаимодействия между
снарядом и маятником, а также ударную силу со стороны крепления - оси О.
Положение тел при ударе принято считать неизменным, скорости
изменяются на конечную величину.
1. Все три силы, возникающие при ударе, неизвестны. Этим
обстоятельством определяется выбор как механической системы, подлежащей анализу,
так и выбор используемой теоремы динамики.
Рис. 53.1
§53. ПРИМЕР ИЗ ТЕОРИИ УДАРА 177
В качестве механической системы берем совокупность двух тел - снаряд
маятник (при этом ударные силы взаимодействия окажутся
внутренними, ^ значит не войдут в теорему моментов). Третья неизвестная ударная сила
(на оёи О) не войдет в рассмотрение, если теорему моментов применим
относительно самой оси О (плечо неизвестной силы равно нулю):
\
тхза - Мр2со+та2со, (53.1)
где Мр2 = Jo - момент инерции маятника (согласно определению радиуса р
инерции); снаряд принят за материальную точку. Из (53.1)
Лф2 + та2
к = —г. о). (53.2)
та
Связь между угловой скоростью со системы после удара и углом а
отклонения маятника находим по закону сохранения энергии при отклонении
маятника на угол а:
Мр2С02 т(й2а2 .... ч/1 Ч
—- + = (Mgh + mga)(l - cosa),
откуда
_ . а \g(Mh + та)
(О = 2sin—J^-= г- (533)
2^Мр2+2
Подставляя со в (53.2), найдем скорость снаряда до удара:
а) = —sin—'Jg(Mh + ma)(Mp2 +таг\ (53.4)
171(3 Zt
2. Выясним теперь условие, при котором удар не передается на ось О.
Пусть f(t) - горизонтально действующая ударная сила со стороны снаряда
на маятник (когда снаряд продвигается в песке), а /, (t) - ударная реакция
оси маятника (очевидно, тоже горизонтальная, т.к. центр масс системы после
удара получает горизонтально направленную скорость). По теореме об
изменении количества движения при ударе
178 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(ф.5)
где \)с - приобретенная при ударе скорость центра масс, Q = J f(t)dt,
Q\ ~ \f\(f№ ~ импульсы действующих сил (удар длился от момента t = О
о
до момента t = т). /
По теореме об изменении кинетического момента относительно оси
маятника
d
j(M) = </(/),
откуда, интегрируя,
т. е.
aQ, (53.6)
где со = ю(х); ю(0) = 0.
Из (53.5) и (53.6) находим
Qx
или, после замены J = Мр2,
[ (53.7)
Из (53.7) следует:
1) если а > —, то Q. > 0 - ударная реакция со стороны оси действует в
h
направлении скорости снаряда (ударная сила на связь направлена
противоположно);
2
2) при а < — будет ft < 0 - УД&Р на ось (на связь) направлен в сторону
h
скорости снаряда;
2
3) удар не передается на ось, если OD = а = —. Точка D называется цен-
h
тром удара.
Глава 7
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО
1ИЖЕНИЯ ТЕЛА
§ 54. Моменты инерции тела относительно оси
Бели массу тела можно рассматривать как меру его
инертности при поступательном движении, то момент
инерции тела относительно оси J = Xm*r/ ~ сумма про-
(*)
изведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до
оси - это мера инертности тела при его вращении вокруг
оси (рис. 54.1). Это видно из уравнения вращательного Рис 54.1
движения тела вокруг оси Je = М. Чем больше J, тем, при заданном
вращающем моменте М, меньше угловое ускорение в. Меры вращательного
движения - кинетическая энергия Т = — J(02 и момент количества движения
относительно оси Кг = J2(u также представляются через момент инерции.
1. Важным является рассмотрение моментов инерции произвольного
тела относительно пучка прямых, проведенных через начало координат (рис.
54.2). По определению, момент инерции тела относительно оси / равен:
zi /-i-ru# r -.s?~.u* (54.1)
Рис 54.2
где m - масса макроскопически малой частицы
тела, h - ее расстояние до оси / (если масса тела
распределена по объему V с плотностью
p(x,y,z), то Jf =jh2pdV; интеграл берется по
v
всему объему тела).
180 ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Вычислим квадрат расстояния от частицы т (текущей точки тела/ до
фиксированной оси /:
h2=r2-OA2=r2-(fJ0f =
= (х2 +у2
Здесь / ° - единичный вектор вдоль оси /; а, Р, у - направляющие
косинусы оси /: a = соя I ,х\, Р = соя I ,у\, у = соя I ,z\. Поскольку
(/°/°) = 1,тоа2+р2+у2=1,азначит1-а2=р2+у2, 1-|32 = а2+у2,
1 - у2 = а2 + р2. Поэтому
h2 = (р2 +Y2)*2 +(а2 +у2)у2 +(а2 +Р2)г2 -2a$xy-2ayxz-2$yyz.
Перегруппируем слагаемые:
h2=a2(y2 +z2) + P2(jc2 +z2) +у2(*2 +y2)-2a$xy-2ayxz-2$yyz.
Найденное значение h2 подставим в (54.1):
Т.к. у2 + z2 - это квадрат расстояния частицы т до оси х (аналогично
х2 +z2 - до оси>>, х2 +у2 - до оси 2г), то ^т(у2 +z2 j = Jx - момент
инерции тела относительно оси х, ^т(х2 +z2j=J - момент инерции тела
относительно оси у, Х^Ч*2 +У) = Л ~ момент инерции тела относительно
оси z. Введем обозначения: ^mxy=Jxy, ^mxz = JX2,
Эти величины называются центробежными моментами инерции.
Окончательно основная формула приобретает вид:
J, = аЧ + pV, + y2Jz - 2ССЩ, - 2а*7я - 2ft/,.. (54.2)
§ 54. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
181
Если известны три момента инерции относительно осей декартовой
системы и еще три центробежных момента инерции, то по найденной формуле
определяется момент инерции тела относительно любой оси /, проходящей
через начало координат; ось задается ее направляющими косинусами
ос, Р, У-
2. Эллипсоид инерции. Вдоль произвольной оси /(а, р, у) отложим
отрезок ОМ = -т=. Координаты точки Мравны (рис. 54.3):
а
._ р
откуда <x = XtJJi, Р = >р-/^, y = z-y[jl. Подстановка этих значений в
(54.2) после сокращения на J, приводит к уравнению
zlJ2 -
'„-TxzJ.-lyzJ,,.
(54.3)
Мы получили уравнение геометрического места точек М (т.к. параметры
а, Р, у, определяющие конкретную
ориентацию оси /, исключены). Это поверхность
второго порядка, не имеющая бесконечно
удаленных точек (т.к. ОМ = —т==, где •/, > О
для любого не вырожденного в отрезок тела),
т. е. это эллипсоид.
Откладывая от любой точки О тела во
всех направлениях /(а, |3, у) отрезки,
обратно пропорциональные корню квадратному из
моментов инерции, мы всегда получим
эллипсоид. Он полностью характеризует инертные свойства тела относительно
пучка осей, проходящих через точку О, т.к. для любой оси:
J
Рис 54.3
где ОМ- отрезок от точки О до точки пересечения оси с поверхностью
эллипсоида.
3. Главные оси инерции тела. Главные моменты инерции. Главные
оси эллипсоида инерции называют главными осями инерции тела. В каждой
точке тела, где эллипсоид инерции трехосный, существуют три главные оси
182 ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
/
инерции тела. Моменты инерции относительно трех главных осей
эллипсоида называются главными моментами инерции тела для данной его точки.
Уравнение трехосного эллипсоида, отнесенное к его главным осям,
имеет вид (каноническая форма):
I2 л2 С2
?+f+H- (544)
Представим себе, что осуществляется поворот осей Oxyz до совмещения
их с осями О^Т|£. При этом в уравнении (54.2) все шесть моментов инерции
Jx, Jy, Jz, J^y, Jxz, J^ непрерывно изменяются, и в конечном счете,
когда оси совпадут, в уравнении (54.2) буквы х, у, z следует заменить на
£, Ц, С,. Сравнивая теперь уравнение (54.2) (в буквах £, Т|, £) с
каноническим уравнением (54.4), приходим к выводу, что
у«*7' J*~¥' ■/c=7' Jt*~J«~J*~°- (545>
Следовательно, главные моменты инерции тела обратны квадратам
главных полуосей эллипсоида инерции. По виду эллипсоида легко поэтому
судить об инерционных свойствах тела. Главные центробежные моменты
инерции всегда равны нулю. Главные моменты инерции обозначают буквами
J^ = A, J^ = В, J^ = С.
В частности, для центра масс тела главные моменты инерции
называются главными центральными моментами инерции, а главные оси инерции -
главными центральными осями инерции.
В случае, когда эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения
(а = Ъ Ф с), не только ось 0£ - главная ось инерции, но и все оси, лежащие в
плоскости О^Т| и проходящие через точку О, тоже главные. Если а = Ь = с,
то эллипсоид вырождается в сферу, и любая ось, проходящая через центр
сферы, является главной осью инерции для точки О.
Отметим без доказательств свойства главных осей:
1) Если ось х является главной для некоторой точки О на этой оси, то
центробежные моменты инерции, содержащие координату х, равны нулю:
xy = Irnxy = О, JXZ
Jxy = Irnxy = О, JXZ = £/nxz = 0. (54.6)
Справедливо и обратное утверждение: из двух равенств (54.6) следует,
что ось х - главная ось инерции.
§ 54. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
183
2) Ось симметрии однородного абсолютно твердого тела является
главной осью инерции для всех точек данной оси.
3) Для всех точек, принадлежащих плоскости симметрии абсолютно
твердого однородного тела, одна из главных осей инерции перпендикулярна
к упомянутой плоскости.
4) Для точек, лежащих на главных центральных осях инерции тела,
главные оси инерции параллельны главным центральным осям инерции.
5) Если однородное тело имеет две взаимно перпендикулярные
плоскости симметрии, то линия их пересечения является одной из главных
центральных осей инерции.
В заключение напомним теорему Штейнера:
момент инерции тела относительно оси /
Jj = JC +md2,
т.е. он равен моменту инерции тела относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс этого
тела, плюс произведение массы тела на квадрат
расстояния между осями (рис. 54.4).
Пример. Рассмотрим однородное тело вращения вокруг оси £ (рис. S4.S).
Эллипсоид инерции для любой точки О на оси С, является эллипсоидом вращения, и поэтому
J^ = Jn. Ось £ — главная центральная ось инерции. Все центробежные моменты инерции
равны нулю: J^ = J« = J^ = 0 (т.к. все три оси — главные оси инерции).
Пусть оси системы Oxyz повернуты на угол 6 вокруг оси
О\\. По основной формуле (54.2) находим
Jx = Ji cos1 в + Jc sin1 6,
Jt = Jk sin1 6 + Jc cos1 9.
(для первой формулы ее = cos0, j3 = 0,y = — sinO,
для второй а = sinQ, (3 = 0, у = cosQ).
Т.к. ось у - главная ось инерции, то моменты инерции,
содержащие эту координату, равны нулю: Jxy=JK:=0. Вычислим г
еще Jn = jxzdm. По формулам поворота осей
Рис 54.4
и, следовательно,
Рис 54.5
184 ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Последний интеграл равен нулю ( J^ = 0 ), а первый преобразуем
Окончательно
§ 55. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
Уравнения для реакций подшипников
1. Твердое тело закреплено в двух точках А и В (подшипники) и
вращается вокруг неподвижной оси АВ (ось Az) под действием приложенных
активных сил Fj, F2, ..., Fn (рис. 55.1, в). Уравнения для определения
проекций реакций опор А(ХА,YA,ZA) и В(ХВ, YB,ZB) проще в системе
координат Axyz, неизменно связанной с телом, а значит вращающейся вместе с ним;
в такой системе тело покоится, нулю равна геометрическая сумма всех
активных сил, реакций опор и переносных сил инерции всех частиц тела (силы
Кориолиса в относительном покое отсутствуют)
O. (55.1)
Также и сумма моментов этих сил относительно начала координат (точки А)
равна нулю:
X momoF + тотоА + тотоВ - £ momomwe = 0. (55.2)
Здесь we - переносное ускорение частицы тела массы т. Для проектирования
этих уравнений на оси подготовим проекции сил инерции и их моменты.
На рис, 55.1, а показаны х- и ^-составляющие центробежной
(переносной) силы инерции; отдельно на рис. 55.1, б - такие же
составляющие вращательной силы инерции £г. Суммируя на двух рисунках
компоненты, находим, что переносная сила инерции равна
-mwe =Т((й2хт + £ут) + ]((й2ут-Ехгп}, (55.3)
где Т, J - орты на осях х, у; m - масса частицы тела; х, у, z - координаты
частицы т\ (О, £ - угловая скорость и угловое ускорение тела; we -
ускорение частицы тела. Суммируя (55.3) по всему телу и учитывая, что
§ 55. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
18S
6)
Рис. 55.1
= Мхс, ^ту = Мус, где М - масса тела, д:с, ус, zc - координаты
его центра масс, получим главный вектор переносных сил инерции
- X mwe = Г(со2М;с + zMyc) + j((H2Myc - eMcc). (55.3)
Проектируя (55.1) на оси и учитывая (55.3), получаем первые три уравнения
ХА + Хв = -
с>
(55.4)
186 ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Здесь £ X, £ Y, X Z ~ сумма проекции действующих на тело сил.
Дальше нужно спроектировать второе уравнение (55.2) на оси. С этой
целью сначала подготовим моменты сил. Из рис. 55.1, а видно, что момент
составляющей (й2ут относительно оси х равен — (й2ут -z (z - плечо силы;
другая составляющая (й2хт параллельна оси х и ее момент равен нулю); из
рис. 55.1, б заключаем, что момент составляющей £хт относительно той же
оси х равен exm-z. Суммируя по частицам тела, находим момент сил
инерции относительно оси х:
Л (55.5)
(учтено, что ^jnyz = J^, £mxz = J^). Аналогично по рисункам
определяем момент сил инерции относительно оси Y:
Ч. (55-6)
Моменты составляющих реакций подшипников, очевидно, равны
тотхВ = —YB • АВ, тотуВ = Хв • АВ,
тотхА = 0, тотуА = 0.
Проектируем (55.2) на оси, учитывая (55.5) и (55.6), а также моменты
реакций:
-YB-AB- (b2Jyz + 2JXZ = 0,
(55.7)
В последнем уравнении вычислен суммарный момент сил инерции
относительно оси z. По рис. 55.1,в момент центробежной составляющей равен
нулю (вектор пересекает ось z), а момент вращательной составляющей ггт
равен - ггт • г, что после суммирования дает - J2t. Это значение момента и
представлено в последнем уравнении (55.7).
Основные уравнения перепишем относительно искомых проекций
реакций подшипников
§ 55. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
187
ХА+Хв=-М((й2хс+€Ус)-1£Х,
(55.8)
Здесь через Mx, М , Mz обозначены для кратности суммы моментов
активных сил: Мх =
и Т.Д.
Проанализируем кратко полученную систему уравнений. Последнее
уравнение является уравнением вращения тела вокруг оси; оно определяет
закон вращения тела ф = ф(?) (после интегрирования при заданных началь-
d2a>
ных условиях; е = —j-). Первые пять уравнений системы (55.8) служат для
определения реакций опор ХА, YA, XB, YB n(ZA+ZB). Неопределенность
последней суммы может быть устранена выбором вида опор; например, если
в точке А подшипник с упором, а в В - простой, то ZB = 0.
Преимущество использованной системы координат, неизменно
связанной с вращающимся телом, в том, что в уравнениях (55.8) величины
хс, ус, Jxz, J^, J, являются постоянными.
2. Оставляя неизменными активные силы, приложим к телу
дополнительно пару сил, момент которой компенсирует действующий ранее момент
Mz. Плоскость дополнительной пары перпендикулярна к оси z. Теперь тело
может находиться в покое. Полагая (О = 0 и е = 0, находим из системы (55.8)
уравнения для определения "статических" реакций
уст
ЛА
Ч"-
\rcrn
уст
ЛВ
. уст ^> у
-г л. в — —2.^ ■**■ >
. уст V1 у
АВ=МХ,
• АВ = -Му.
(55.9)
188
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
При вращении тела, полные реакции, определяемые системой (55.8),
отличаются от статических, определяемых из (55.9). Добавки к статическим
реакциям называются динамическими реакциями:
у
лв —
ст , уд
уд
1В'
(55.10)
Уравнение для определения динамических реакций найдем, вычитая из
(55.8) соответствующие уравнения:
(55.11)
Выясним условия, когда динамические реакции равны нулю (вращение
тела не изменяет статических реакций). Правые части уравнений (55.11)
обратятся в нуль, если
хс=0,
JX2=0,
(55.12)
При этом условии решением системы уравнений (55.11) будет
=Y*=]tf = XdA= 0.
(55.13)
Следовательно, если неподвижная ось вращения тела является главной
центральной осью инерции, то динамические реакции не возникают. Легко
показать, что и наоборот, если динамические реакции отсутствуют, то
неподвижная ось вращения тела является главной центральной осью инерции (из
(55.13) следует (55.12)).
Пример 1 . Если космонавты в условиях невесомости приведут свободное
тело во вращение вокруг какой-либо из главных центральных осей инерции (оси z), то урав-
§56. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 189
нения (55.8) по виду окажутся какими же, как и для динамических реакций (в правых
частях всех уравнений - нули). При этом реакции равны нулю
Свободное тело будет продолжать вращаться вокруг главной центральной оси
инерции, которая не закреплена в подшипниках. Поэтому упомянутые оси называются
свободными осями вращения.
Пример 2 . Если в тех же условиях ось вращения - тела является главной
осью инерции для точки А, но центр масс не лежит на этой оси (У„ = УЮ =0, но
х* +у*.Ф0 ), то из двух уравнений (55.8) следует, что
Уя=0, Хв=0.
Следовательно, крепление в точке В не необходимо.
Если ось вращения (ротора турбины, винта геликоптера и т.п.) не является главной
центральной осью инерции, то при большой угловой скорости вращения появляются
огромные динамические давления на крепления (подшипники) и вектор силы давления
вращается вместе с телом; возникает "гул" вала, подшипники расшатываются.
Примечание. Уравнения для определения реакций опор без изменения вида
выполняются также относительно неподвижной системы отсчета. Однако, тогда хс, ус, Ja, J^
не будут постоянными, они изменяются при вращении тела. Действительно, согласно
принципу Даламбера относительно системы отсчета с неподвижными осями
уравновешенной является система сил активных, пассивных и сил инерции Даламбера — mw
частиц тела. Но т.к. силы инерции Даламбера здесь совпадают с переносными силами
инерции во вращающейся системе отсчета, то уравнения для определения реакций опор
оказываются по виду такими же, как (55.8).(О принципе Даламбера см. § 62.)
§ 56. Кинетический момент и кинетическая энергия
твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
1. Кинетический момент. Пусть тело движется
так, что одна его точка О остается неподвижной.
Система координат Oxyz неизменно связана с телом.
Кинетический момент тела в неподвижной
системе Oxxyxzx К = jr х vdm, где интеграл берется по
объему тела.
Проекция вектора на подвижную ось:
Kx=j(y»z-zvy)dm. (56.1)
Рис. 56.1
190
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
По формуле Эйлера из кинематики скорость частицы dm равна
\> = ш х г , где ш - мгновенная угловая скорость тела. Проекции скорости на
подвижные оси:
Х)х = (OyZ -
Х)у = (И2Х -
Х)2 =
- <йуХ.
Подставляя эти значения в (56.1), находим:
= J[сох[у2 +z2)- <ьуху - со,хztym =
= (йх \{уг + z2>jdm - (йу jxydrn - (H2
-«Ми-
Аналогично находим и две другие проекции.
Окончательно:
(56.2)
Если подвижные оси являются главными осями инерции тела для
неподвижной точки, то центробежные моменты инерции обращаются в нуль,
Jxy = JXz ~ Jyz ~ 0>и формулы оказываются простыми:
Кх = JXG>X,
*,=
или, в других обозначениях:
К2 =
Кх=Ар, Ky=Bq, Kz=Cr.
(56.3)
Таковы моменты количества движения относительно главных осей
инерции тела для неподвижной его точки; А, В, С - главные моменты
инерции тела для точки О; р, q, r- проекции мгновенной угловой скорости тела
на главные оси инерции для точки О.
§56. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 191
2. Кинетическая энергия тела с неподвижной точкой. Удвоенная
кинетическая энергия
2Т =
X) =
(ш х г ),
откуда
Подставляя значения (56.2), найдем:
^). (56.4)
Если в качестве подвижных осей взяты главные оси инерции тела для
неподвижной точки, то формула упрощается:
(56.5)
Заметим, кинетическую энергию тела с неподвижной точкой можно
представить еще и формулой:
где Ja - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, (0 -
мгновенная угловая скорость вращения тела.
3. Кинетическая энергия свободного тела. Кинетическая энергия
свободного тела равна
где М- масса тела, Я)с - скорость центра масс. Здесь А, В, С - главные
центральные моменты инерции тела.
192
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
§ 57. Динамические уравнения Эйлера
Выведем дифференциальные уравнения движения тела, имеющего одну
неподвижную точку О - динамические уравнения Эйлера. Система Oxxyxzv -
неподвижная, Oxyz - неизменно связана с телом.
По теореме об изменении момента
количества движения тела относительно неподвижной
системы Oxxyxzx:
dK
dt
о _
(5?Л)
Рис. 57.1
Левую часть можно рассматривать как
абсолютную скорость (относительно Охху{гг) точки -
конца вектора Ко. Эта скорость равна
геометрической сумме относительной скорости той же
точки (ее координаты Кх, К , К2,а поэтому проекции скорости на подвижные
оси
dKx
dt dt dt
ной системе Oxyz равна
-) и переносной скорости (йхКо, которая в подвиж-
(ЬхКо =
г -г
J
\AJ'
Кх Ку Кг
](а>2Кх - <охКг)+k((0xKy - (ОуКх).
Перепишем теперь уравнение (57.1) в проекциях на оси подвижной системы
Oxyz:
dt
dKy
dt
dKz
dt
(57.2)
§ 58. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
193
Здесь (йх, (О , сог — проекции на подвижные оси вектора мгновенной
угловой скорости, Мех, My, Mez - сумма моментов внешних сил относительно
подвижных осей, Кх, Ку, К2 - проекции на подвижные оси момента
количества движения Ко тела.
Если в качестве подвижных осей взяты главные оси инерции тела для
неподвижной точки, то, используя формулы (56.3), получим уравнения
движения тела (57.2) в виде:
(57.3)
Эти уравнения движения тела с неподвижной точкой называют
динамическими уравнениями Эйлера. Эйлер предложил проектировать уравнение
моментов на связанные с телом главные оси инерции для неподвижной его
точки (1765 г.), чем значительно упростил и сами уравнения движения тела, и
постановку проблемы.
§ 58. Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой
Рассмотрим движение твердого тела с неподвижной точкой О. Система
координат OEflt, неподвижная (инерциальная);
Oxyz - система неизменно связана с телом. Точка
С{хс, ус, zc)- центр масс тела. Неподвижная ось С,
направлена вертикально вверх и £° ее орт.
Проекции единичного вектора £° на подвижные оси обо- __
значим через YpY2,Y3: £°(YpY2,Y3)- На тсло Дей" \У]
ствует сила тяжести mg, приложенная в центре масс **
*с{хс>Ус>2с)> направленная вертикально вниз, и
еще реакция опоры О. ис*
7-262
194
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Чтобы написать динамические уравнения Эйлера, подготовим моменты
силы тяжести относительно подвижных осей
- ~* г
/ j к
Mo=rcx mg = -mg(rc х £0) = ~mg xc ус zc
Yi Уг 7з
Мо = -mg(T(ycy3 -zcy2)+j{zcyl -
(58.1)
Учитывая, что Мо =ТМХ +jMy +kMz, легко указать значения моментов
относительно осей: Мх, Му, М2.
Динамические уравнения Эйлера для движения тяжелого твердого тела
около неподвижной точки имеют вид
A dt'
Bdq__
C*H
dt
hqr(C-B) = mg(y2
\-rp(A-C) = mg(y3
\-pq(B-A) = mg(y]
2с-УзУс)>
ft-TA)
(58.2)
В эти уравнения входят шесть неизвестных функций времени р, q, r,
у,, У2, У3: величины Л В, С, хс, ус, zc, mg - постоянные. Недостающие
еще три уравнения получим, если спроектируем на подвижные оси уравнение
= 0, которое выражает неизменность единичного вектора ц относи-
dt
тельно системы
а%
Производную —— можно рассматривать как абсолютную скорость точ-
dt
ки — конца вектора £°. Абсолютная скорость равна сумме относительной и
переносной. Поскольку относительные координаты вектора ^° равны
у,,у2,у3, то их производные по времени - проекции относительной
скорости. Переносная скорость равна б>х£°, где Q>(p,q,r) - мгновенная угловая
§ 58. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ 195
скорость вращения тела; ее проекции находим как множители при ортах
детерминанта
Г 7 *
р q r =T(y3q-y2r) + j{ylr-y3p) + i
Ух Уг Уз
Таким образом, уравнение —2- = 0 в проекциях на подвижные оси при-
dt
нимает вид:
dt T
гг УзЯ>
(58.3)
Динамические уравнения Эйлера вместе с дополнительными
уравнениями (58.3) образуют систему шести уравнений с шестью неизвестными
функциями р, q, r, YPY2,Y3-
2. Интегралы движения. Систему уравнений (58.2) и (58.3) представим
в виде
где
Р Q R
Гг Гъ
Р = - [mg(y2zc - узУс ) - (С - B)qr\ Г, =y2r-y3q,
Q = -[mg(y3xc-ylzc)-(A-C)rp\ Г2=уър-ухг,
_ у2хс)-(В- A)pq],
= уд -у2р.
R = -
Важно, что функции Р, Q, R, Fv Г2, Г3 не зависят явно от времени t.
Это позволяет время исключить и интегрировать систему первых пяти
уравнений. После этого время находится простой квадратурой.
196 ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Применение теоремы о последнем множителе Якоби (см. курсы
дифференциальных уравнений) позволяет свести проблему к нахождению четырех
независимых интегралов системы (*). Но, как оказывается, три первых
интеграла определяются непосредственно.
В итоге задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки
сводится к нахождению недостающего только одного интеграла "четвертого
первого интеграла системы (•)". Этот "четвертый" интеграл для
произвольных начальных условий был найден только в трех случаях (случай Эйлера-
Пуансо, Лагранжа-Пуассона и С.Ковалевской). Прежде» чем приводить
краткое описание этих последних трех случаев, рассмотрим сначала те первые
интегралы системы (*), которые определяются непосредственно.
1) Поскольку £0 • £0 = 1, то
7?+72+Уз=1- О)
Это первый из трех интегралов.
dKr
2) По теореме об изменении момента количества движения —- = М^, и
т.к. М^ = 0, то К^ — const.
Имеем:
К<.=Ко-1°= const
и второй интеграл имеет вид:
\Apjy + Вду2 + Сгу3 = const. (2)
3) Полная механическая энергия тела сохраняется:
Т+П = const
или
-(Ар2 + Bq2 + О2) + mgC,c = const,
где
С = fc • С = Wi +УсУг
Окончательно третий интеграл:
(3)
-(Ар2 +Bq2 +Cr2) + mg(xcyl +ycy2+zcy3) = const.
§ 58. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ 197
Рис 58.2
Все эти три интеграла выполняются при
произвольных начальных условиях движения тела.
Приведем теперь те три случая, когда удалось
найти последний недостающий интеграл при
произвольных начальных условиях движения.
1) Случай Эйлера—Пуансо (рис. 58.2). Центр
тяжести тела произвольной формы совпадает с
неподвижной его точкой. Тело уравновешено: реакция
опоры компенсирует силу тяжести. Движение тела
происходит по инерции.
2) Случай Лагранжа—Пуассона (рис. 58.3).
Эллипсоид инерции для неподвижной точки является
эллипсоидом вращения, А — ВФ С, а центр тяжести
лежит на оси динамической симметрии (на оси вращения
эллипсоида инерции). Это симметричный гироскоп.
3) Случай С. В. Ковалевской (1888 г.) (рис. 58.4).
Эллипсоид инерции для неподвижной точки О есть
вытянутый эллипсоид вращения. Главные моменты
инерции связаны соотношением: А = В = 2С, а центр
тяжести тела лежит в экваториальной плоскости
эллипсоида инерции.
Многими авторами найдены различные частные
случаи движения тела, однако не при любых, а только
при определенных начальных условиях.
Конкретное представление о характере движения
тела можно получить, если ввести достаточно простые
параметры, определяющие положение подвижной
системы Oxyz относительно неподвижной 0£п£. Такими
параметрами могут служить углы Эйлера.
3. Кинематические уравнения Эйлера.
Трехгранник Oxyz можно перевести из положения, которое
определяется тремя углами Эйлера ф, \|/, 0, в произвольное близкое
положение ф + f/ф, у + dy, 0 + dQ при помощи трех поворотов: вокруг оси 0£ на
угол dy, затем вокруг оси Oz на угол */ф и еще вокруг линии узлов ON на
угол dQ (рис. 58.5).
Рис 58.3
////////////////7///////////////*
Рис 58.4
198
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Рис. 58.5
ляющие
Предел отношения приращений
, (Ар, dQ к dt определяет угловую
скорость вращения вокруг
соответствующей оси. Сумма трех векторов
угловых скоростей определяет вектор
мгновенной угловой скорости:
Г°, (58.4)
где z°,
п°
, п° - единичные векторы по
осям Oz, ОС,, ON.
Разложим вектор \j/£° на
составгде OB = ycosQ, ОС = ysi
Проектируя ю на подвижные оси, получим:
(58.5)
Это и есть кинематические уравнения Эйлера.
Пример. Вращение вокруг неподвижной точки уравновешенного
симметрического тела.
Если центр тяжести тела совпадает с неподвижной точкой, а эллипсоид инерции есть
эллипсоид вращения, (А = ВфС), то уравнения Эйлера интегрируются в элементарных
функциях. Это частный случай первого из трех, отмеченных выше.
Так как вектор К постоянен, по нему направим ось 0£; тогда Kz = KcosQ. А т.к.
Кг — Сг, то cosQ — —. Но из третьего динамического уравнения Эйлера
jK.
при В- А и Мг -0 следует, что r = r0-const. Поэтому угол G сохраняется
постоянным.
§ 58. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ 199
Из закона сохранения энергии
Ap2+Bg2+Cr2=2h
при условии В = Анг = г0 следует, что
p2+q2 = const. (58.6)
Подставляя в это уравнение значения р и q из кинематических уравнений Эйлера, находим
(е=е0, ё=о)
\jf2 sin160 = const.
Отсюда следует, что \jr тоже постоянно
Дальше, из третьего кинематического уравнения Эйлера следует (при постоянных
г, 6, \jr), что и ф = const = т. Интегрируя, находим
е=е„.
о-
Таким образом, ось уравновешенного симметрического тела (ось вращения
эллипсоида инерции), равномерно вращаясь, описывает конус вокруг неизменного направления
вектора К момента количества движения, с углом раствора 26. При этом тело вращается
равномерно еще и вокруг своей оси динамической симметрии. Такое сочетание вращений
тела называется регулярной прецессией.
Регулярная прецессия гироскопа.
Гироскопом называют тело, эллипсоид инерции которого для
неподвижной точки есть эллипсоид вращения А = В&С и центр масс тела лежит
на оси вращения эллипсоида.
Определим главный момент (относительно неподвижной точки)
приложенных к гироскопу сил, обеспечивающих его регулярную прецессию
(рис. 58.6). В случае регулярной прецессии гироскоп вращается равномерно
вокруг своей оси симметрии Oz (оси вращения эллипсоида инерции) с посто-
200
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
\z янной угловой скоростью со, а эта ось в свою
очередь вращается равномерно вокруг неподвижной в
пространстве оси прецессии ОР с угловой скоростью
Юр Угол G между осью Oz собственного вращения и
осью ОР прецессии постоянный. Мгновенная
угловая скорость вращения тела
Рис. 58.6
^со + со,.
Плоскость прецессии Рог вращается вместе с осью тела Oz вокруг
неподвижной оси ОР. Ось Ох лежит в плоскости прецессии, ось Оу (на рис. не
показана) перпендикулярна к плоскости прецессии xOz. Все три оси Ох, Оу,
Oz являются главными осями инерции тела для точки О. Из рисунка
заключаем, что
q = 0, r = (O
Проекции вектора К момента количества движения относительно
неподвижной точки О равны
Кх = Ap^
Ку=0,
Кг=Сг =
(58.7)
со).
Вектор К и вектор О. мгновенной угловой скорости лежат в плоскости
прецессии.
Регулярную прецессию гироскопа обеспечивают приложенные к
гироскопу силы, главный момент которых относительно неподвижной точки О
равен
dK
dt
dK
Производную — будем рассматривать как абсолютную скорость точки
dt
- конца вектора К; она равна &1хК. Следовательно, Мо =(Ь1хК, или в
проекциях
§ 58. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ 201
Мх=0,
или согласно (58.7)
Mr=0
Мх = О, Му = -[Сю + (С - Л)©! cos G]co, sin G, Мг = 0. (58.8)
Найденный главный момент М\МХ, Му, МЛ внешних сил,
обеспечивающих регулярную прецессию гироскопа, направлен перпендикулярно к
плоскости прецессии. Поэтому формулу можно переписать в векторном виде
(58.9)
В случае, когда со »сор
М = С®! х со.
(58.10)
л
Последняя формула относится также к случаям, когда G = — или С — А
(эллипсоид инерции - сфера).
Формула (58.9) определяет главный момент сил, действующих на гиро-
скоп. Момент М действует на гироскоп обычно со стороны связей.
Противодействием является действие на связь самого гироскопа. Его называют ги-
роскопическим моментом и обозначают Мг——М.
Гироскопический момент равен:
(58.11)
С + (С A)®1 cosQ
со
■(сох©!).
Гироскопический момент Мг отличается от М только перестановкой
множителей в векторном произведении.
Пример. Турбина корабля вращается с большой угловой скоростью Й вокруг
своей горизонтальной оси АВ. Подходя к пристани, корабль поворачивается с угловой
скоростью ш,. Найти давление на подшипники. Момент инерции турбины относительно
оси вращения АВ равен J.
202
ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
- %
По формуле для Мг находим (G = —)
Мг = Сюю,
или
F АВ = Сюю,,
откуда
где C = J.
Эти давления на подшипники FA=FB—F обус-
58.7 ловлены вращением турбины.
Если учесть ее массу т, найдем полные давления
Сюю,
FA=mg+
FB=mg—
Если FB < 0, то сила FB будет направлена вниз.
Примечание. Подробную математическую теорию частных случаев движения тела,
имеющего одну неподвижную точку, можно найти в литературе (см. напр. Бухгольц Н.Н.
Основной курс теоретической механики, ч. П).
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 59. Примеры несвободных систем
Вопрос о связях рассматривался в § 38. Здесь приводится расшифровка
общих определений на примерах.
Пример 1 . Математический маятник -
это материальная точка массы т, колеблющаяся по
дуге окружности в однородном поле тяжести в
вертикальной плоскости (рис. 59.1). Реализуется маятник в
виде груза, подвешенного на капроновой нити.
Положение маятника можно задавать декартовыми
координатами х, у груза. Эти координаты связаны
соотношением
img
х2+у2-12=0,
(59.1)
Рис. 59.1
где / - длина маятника.
При заданной длине / в качестве координаты, определяющей положение маятника,
проще пользоваться углом ф отклонения нити от вертикали, отсчитывая этот угол против
часовой стрелки. Преимущества использования угла ф: 1) число координат меньше (одна
вместо двух); 2) ф - независимая координата, тогда как х, у связаны уравнением (59.1).
Уравнение (59.1) представляет собой ограничение, заданное заранее, независимое от
динамических уравнений движения. Подобные ограничения называются связями. Связь
(59.1) голономная, стационарная, удерживающая. Голономная связь содержит только
координаты1"; стационарная связь не содержит явно времени /; удерживающая связь
представлена уравнением, а не неравенством.
* В общем случае уравнение голономной связи может содержать явно и время /.
204 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Кроме силы тяжести на груз действует "сила упругости нити - реакция связи. Сила
тяжести задана заранее, она является активной. Реакция связи (пассивная сила) заранее не
задана, она подлежит определению из уравнений механики; ее значение зависит от
величины активной силы.
Рассмотрим виртуальное (возможное) перемещение маятника. Пусть в
фиксированный момент времени t координаты груза равны х, у. Разности координат (х + &с)-х и
{у + §у) — у в тот же момент t двух бесконечно близких положений, совместимых со
связями, определяют виртуальное, или возможное, перемещение маятника. Поскольку оба
положения х, у и x + Sx, у + Ьу согласуются со связями, то наряду с (59.1) имеет место
еще и равенство
(х + &с)2 + {у + б»2 - /2 = 0. (59.2)
Вычитая из (59.2) равенство (59.1), получим
2х &с + 2уЬу+(6У + &>2) = 0. (59.3)
Виртуальное перемещение определяется вариациями координат &с и 8у, которые
должны быть согласованы с уравнениями связей по определению с точностью до главной
линейной части приращения включительно. Это означает, что мы получим уравнение для
вариаций координат, если сохраним в (59.3) только линейные члены. Следовательно, для
любого фиксированного момента / вариации координат удовлетворяют равенству
0. (59.4)
Связь (59.1) является идеальной. Это означает: работа реакции N нити на любом
виртуальном перемещении равна нулю. Действительно,
NSr=-N--8f = -—
. Равенство нулю работы можно заключить также из того,
что вектор реакции N перпендикулярен 5г(8х, by).
Пример 2 . Математический маятник
подвешен к бруску, который может скользить без трения по
горизонтальной плоскости (рис. 59.2). Система состоит из
двух материальных точек массой т^х^у^ и щ{х2,у2).
Четыре координаты этих точек удовлетворяют двум
уравнениям связей:
Рис. 59.2 ^,=0, (59.5)
§59. ПРИМЕРЫ НЕСВОБОДНЫХ СИСТЕМ 205
-l2=0. (59.6)
Варьируя эти уравнения, находим ограничения на вариации координат
6>,=0,
(х2 -дг,
(59.7)
Здесь две независимые вариации координат: 4 — 2 = 2. Из трех вариаций
fix,, Ъх2, Ъу2 две можно выбрать произвольно; тогда две другие определятся из
уравнений (59.7). В итоге можно получить бесчисленное множество виртуальных перемещений
системы.
Связи голономные, стационарные, удерживающие. Чтобы убедиться, что связи
идеальные, покажем, что работа их реакций на произвольном виртуальном перемещении
равна нулю (рис. 59.2). Эта работа определяется выражением
ЪА = Nl -6r, + N2 -67- +NSr2.
Однако первое слагаемое здесь равно нулю:
ЪА ,= Nt • Щ = ЛГи&с, + Nlybyt = 0,
так как Nlx=0 и Sy,=O. Так как N2=—N, два других слагаемых дают
N-(8r2 — 5r,)= JV-8(/^ — г,)= N-8F. Вектор N коллинеарен вектору f = r2—rl, и по-
та
этому Л^ = — N—. Следовательно,
&4 = #.6г =-#— = --■—-6r2=--—8/2=0
12 1 2 /
(длина / постоянна, и ее вариация равна нулю).
Пример 3 . Спортсмен на лыжах скользит по трамплину, отрывается от него
и летит в воздухе, а затем снова приземляется. Трамплин — связь: голономная,
стационарная, неудерживающая. Условием отрыва от связи является обращение в нуль реакции
связи.
Пример 4 . Математический маятник находится на платформе, которая
движется с заданной постоянной скоростью V (см. рис. 59.2). *
В отличие от маятника в примере 2, рассматриваемый здесь маятник имеет не две, а
одну степень свободы. Уравнения связей имеют вид
206 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Варьируя эти уравнения, т.е. дифференцируя при фиксированном t, находим
Из уравнения 6х, = 0 следует, что виртуальное перемещение осуществляется при
неподвижном бруске. Связи голономные, нестационарные, удерживающие.
Пример 5 . Редуктор (узел счетно-
- I q решающего устройства) состоит из двух валов, связан-
%£ ( j /W" ных между собой передаточным колесиком (рис. S9.3).
Вал I вращается с угловой скоростью ф,(*). Колесико
своим острым краем зацепляет диск П и вращает его с
угловой скоростью фг(0- Вращаясь, вал I перемещается
вдоль подшипников поступательно так, что расстояние
точки контакта колесика от оси вала П изменяется по
Рис. 59.3 закону р = р(/).
В точке касания линейные скорости точек колесика
и диска равны: гф, = р(/)ф2 • Связь неголономная*, удерживающая, нестационарная.
В заключение остановимся на некоторых общих положениях.
1. Действительные перемещения точек системы происходят во времени
под действием заданных сил при наложенных связях; эти перемещения
согласуются как с действующими силами, так и со связями. Возможные
перемещения согласуются только с "замороженными"* связями, силы
игнорируются.
В случае стационарных связей действительное бесконечно малое
перемещение системы геометрически совпадает с одним из возможных
перемещений.
Возможное перемещение определяется разностями радиус-векторов (или
координат) точек системы в положении для момента t и бесконечно близкого
положения, которое согласуется со связями в момент t. Эти разности радиус-
Условие интегрируемости выражения Р{х, y)dx + Q(x, y)dy известно из математи-
ки. —
ау дх
§ 59. ПРИМЕРЫ НЕСВОБОДНЫХ СИСТЕМ 207
векторов обозначаются о7\, Ьг2,..., SrN, а их проекции на декартовы оси -
8хр бур 5zp..., 8хд/, буд/, Sz^. Такие величины называются изохронными
вариациями радиус-векторов, или координат.
Найдем в общем виде уравнения, связывающие вариации координат.
Для краткости условимся функцию /(*,,yvzlt...,xN,yN,zN,t) записывать
в виде f(x, у, z, t); здесь под х, у, z понимаются координаты всех точек
системы в момент t. Пусть они удовлетворяют уравнениям голономных связей и
число связей равно /:
fa(x,y,z,t) = 0, (а = 1,2,,...,/).
Рассмотрим бесконечно близкое положение системы, согласованное со
связями в момент f, и пусть х + Ьх, у + Ьу, z + bz - соответствующие
координаты точек. Так как эти координаты удовлетворяют уравнениям связей в
тот же момент f, то
Вычитая из последнего уравнения предыдущие и сохраняя, как того
требует определение понятия виртуальных перемещений, главную линейную
часть разности, получим
= 0 (а = 1,2,...,/).
* )
7W df t№
Здесь множители ■—-, -^SL, ~- - некоторые постоянные, так как
дхк аук ozk
уравнения относятся к определенному моменту t и соответствующему
положению системы. Система / однородных линейных уравнений представляет
собой систему ограничений на изохронные вариации координат.
2. Рассмотрим схему 21, уравнения связей показаны в первой строке под
номером 1, а полученные из них ограничения на вариации координат - под
номером 5. Ограничения 3 на дифференциалы координат находятся
дифференцированием уравнений связей. Все сказанное можно отнести к случаю го-
лономных связей.
Неголономными называются связи, уравнения которых не сводятся к
уравнениям, содержащим только координаты и время. В учебных курсах
рассматриваются линейные относительно скоростей связи вида
208 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
где коэффициенты А, В, С, D могут зависеть от координат точек и времени.
Связь стационарная, если Dp = 0, а А^, В^к, С^к не зависят явно от t.
Уравнения линейных неголономных связей и их ограничения
представлены на схеме 21 во второй строке. Переход 2 -> 4 осуществляется
умножением на dp, по определению, переход 4 —> 6 для неголономных связей
заключается в отбрасывании последнего слагаемого, содержащего dt, и замене
d на 5. Таким образом, если связи неголономные, изохронные вариации
координат удовлетворяют уравнениям (6) схемы 21.
Если неголономных связей нет, то 3N вариаций координат
5х,, &>>,, bzv..., bxN, byN, bzN связаны / уравнениями. Из общего числа
3N вариаций / вариаций можно найти из уравнений," если только как-либо
выбрать остальные 3N — I вариаций (произвольно, но в допустимых
пределах). Считается поэтому, что среди 3N вариаций координат имеется 3N — I
независимых и / зависимых.
Числом степеней свободы системы называется число независимых
возможных перемещений механической системы, или число независимых
вариаций координат.
Число степеней свободы голономной системы совпадает с числом
независимых координат, определяющих положение системы в пространстве:
n = 3N-l.
Если кроме голономных есть и неголономные связи, последние
дополнительно ограничивают вариации координат, и тогда число степеней
свободы меньше числа независимых координат, определяющих положение
системы, на число неголономных связей.
3. Характерная особенность удерживающих связей в том, что для
любого возможного перемещения точки механической системы существует
противоположное ему перемещение, которое также является возможным. Неудер-
живающими называются связи, при которых точки механической системы
имеют возможные перемещения, противоположные которым не являются
возможными. Аналитически неудерживающие связи выражаются
неравенствами f(x, у, z, i) > 0.
Пример: шарик, скатывающийся по поверхности сферы, — неудерживающая
связь (набрав достаточно большую скорость, шарик оторвется от сферы и будет двигаться
как свободное тело - по параболе).
4. Скольжение бруска по наклонной плоскости, когда поверхности
идеально гладкие, - связь идеальная.
§ 59. ПРИМЕРЫ НЕСВОБОДНЫХ СИСТЕМ
209
Схема 21
Действительные и возможные (виртуальные) перемещения
ТочкаМ движется вдоль стержня, вращающегося в
плоскости П
№
1
2
Перемещения
ММ' -действительные
MN - возможные (виртуальные)
Перемещения согласуются
с действующими силами и наложенными
связями
со связями, "замороженными" в момент /
Связи:1)гопономные fa(xt,y{,z^...,xN,yNyzN,t) = O (а = 1,2,...,/) (1)
2)неголономные ^(л^ + Вцук +Сэг, )+£>„= О (/3= 1,2 s) (2)
где А^,B^tCafi,Dp - заданные функции координат и времени.
Система
Ограничения на дифференциалы
Ограничения на изохронные.
вариации
голоном-
ная (связи
типа(1))
неголо-
номная
(связи типа
(2))
(3)
= 0
(5)
N
к=\
*
N
*=1
= 0
(6)
Число степеней свободы системы равно числу независимых возможных перемещений
(независимых вариаций координат)
Число степеней свободы
система
голономная
неголономная
координат
3N
3N
связей
/
независ-ых координат
3N-1
3N-1
независ-ых вар.коорд.
3N-1
3N-(l+s)
210 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Качение без проскальзывания тел с шероховатыми поверхностями -
связь идеальная (в случае как голономной, так и неголономной системы).
Абсолютно твердое тело можно рассматривать как множество частиц,
подчиненных условию нахождения на неизменных расстояниях, т.е. как
систему с идеальными голономными удерживающими связями.
Работа реакций идеальных связей на действительном перемещении
равна нулю, если связи стационарные, и вообще отлична от нуля, если связи
нестационарные.
§ 60. Принцип виртуальных перемещений
Принцип виртуальных перемещений — это принцип статики. Статика —
раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механической
системы под действием сил. В статике абсолютно твердого тела
рассматривают также операции преобразования систем сил в эквивалентные системы сил.
Эквивалентные системы сил имеют одинаковый главный вектор и
одинаковый главный момент относительно одного и того же центра (любого). Под
равновесием механической системы понимают такое состояние этой
системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в
покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система
координат инерциальная, равновесие называется абсолютным, если система
движется по отношению к инерциальной системе с ускорением - равновесие
называется относительным.
Существует несколько способов построения статики - графический,
геометрический (на основе независимой системы аксиом), аналитический - на
основе принципа возможных перемещений. Рассмотрим аналитический
способ.
Статический принцип сформирован в результате обобщения теории
простых машин. Объединив с принципом Даламбера, его перенесем и на
динамику (см. § 63).
Принцип виртуальных перемещений имел фундаментальное значение
для последующего развития механики. Лагранж установил общий принцип,
позволяющий легко находить условия равновесия каких угодно
механических систем.
Необходимым и достаточным условием равновесия механической
системы с идеальными стационарными удерживающими связями является
равенство нулю работы всех активных сил на любом возможном перемещении
§ 60. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 211
системы (и равенство нулю скоростей всех точек в начальный момент
времени).
Необходимость. Из уравнения движения ткщ = Fk+Nk
следует, что в случае равновесия, поскольку ускорения всех точек равны
нулю, выполняется равенство
0 = Fk+Nk, (k = \,2,..,l).
Геометрическая сумма сил, приложенных к каждой точке, равна нулю.
Сообщим теперь системе виртуальное перемещение. Умножим равенство на
6^ и просуммируем по точкам. Получим
k=l *=1
Поскольку связи идеальные, второе слагаемое правой части уравнения
обращается в нуль, и окончательно получаем
i=o (бол)
— условие необходимости.
Достаточность. Исходим из предположения, что сумма работ
всех активных сил системы на любом ее виртуальном перемещении равна
нулю, и система в момент t0 покоится:
Связи системы стационарные, удерживающие.
Покажем, что система будет пребывать в состоянии покоя во все
последующее время, t > t0. Метод доказательства - от противного.
Предположим, что система сама придет в движение. По теореме об
изменении кинетической энергии элементарное приращение кинетической
энергии равно сумме элементарных работ всех активных сил системы и
реакций связей. Эта сумма положительна, так как в состоянии покоя в момент tQ
кинетическая энергия равна нулю, а спустя время dt - положительна:
= ±Fkdrk+±Nk.drk>0.
к-\ к=\
212 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Так как связи стационарные, действительное перемещение системы drk
(k = l,2,...,N) совпадает с одним из виртуальных 67^ {к = 1,2,.... N), и
неравенство приобретает вид
Учитывая еще, что связи идеальные, перепишем неравенство
окончательно в виде
2Л Ъгк>0.
к=\
Однако это неравенство противоречит исходному равенству
^Fk -8rk = О, выполняющемуся при t > t0. Следовательно, предположение,
что система сама придет в движение, неверно.
Исходя из принципа виртуальных перемещений, Лагранж построил всю
статику и дал новый метод решения задач.
Равновесие систем с нестационарными связями возможно лишь в
отдельных случаях, которые здесь не рассматриваются.
§ 61. Применение принципа возможных (виртуальных)
перемещений
Выведем сначала вспомогательную формулу для работы сил,
приложенных к абсолютно твердому телу, перемещающемуся в пространстве. Твердое
тело представляем себе как совокупность малых частиц (материальных
точек), и пусть к частице Атк приложена сила Fk = Fke + Fk' - геометрическая
сумма внешних и внутренних сил. Элементарная работа сил на произвольном
бесконечно малом перемещении тела
*=1 *=1
Л'
*=1
§ 6Г. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 213
(Fk -(йхгк = (о-(гк хFk) -из векторной алгебры).
Здесь х>о - скорость полюса - точки О тела, выбор которой произволен;
(5 -угловая скорость вращения тела.
По свойству внутренних сил ^Fk = ®> Xfo х ^* ) = 0» так что
окончательно имеем
d'A = (Ре • х>о + 6 • Meo)dt, (61.1)
где г - главный вектор внешних сил, Мо - их главный момент
относительно полюса О.
Воспользуемся формулой (61.1) для вывода условия равновесия
абсолютно твердого тела. Согласно принципу возможных перемещений,
условием равновесия является выполнение равенства ЪА = 0:
) = 0. (61.2)
Рассмотрим частные случаи.
а) тело свободное; йоиш можно взять произвольно, и
поэтому
Fe=0, Meo = 0. (61.3)
Необходимое и достаточное условие равновесия свободного твердого
тела состоит в равенстве нулю главного вектора и главного момента
приложенных к телу сил (момент относительно любой неподвижной точки)*;
б)точка О тела закреплена: \)0 = 0. Формула (61.2)
приобретает вид ЬА = Meo-(udt, и, так как с5 - произвольный вектор,
Мео=0.
Дня равновесия твердого тела с одной закрепленной точкой необходимо
и достаточно, чтобы главный момент приложенных активных сил
относительно закрепленной точки тела равнялся нулю и чтобы тело находилось в
покое в начальный (после приложения сил) момент;
cj т е л о имеет две закрепленные точки и
может вращаться вокруг неподвижной оси.
*Для свободного твердого тела внутренние силы выступают одновременно как
пассивные, связывающие частицы в единое твердое тела, а внешние - как активные.
214 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Равенство (61.2) имеет вид ЪА = Мео • (5<# = О, или Ма Щ & = 0. Поскольку
можно взять любым, находим Мю = 0.
Для равновесия тела с двумя закрепленными точками необходимо и
достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов приложенных к телу
активных сил относительно неподвижной оси равнялась нулю и чтобы тело
было в состоянии покоя в начальный (после приложения сил) момент
времени.
Принцип виртуальных перемещений применяется и в случае
неидеальных связей. Если, например, есть сила трения, то ее следует отнести к
активным силам.
При помощи этого принципа можно определять и реакции идеальных
связей. Связь мысленно отбрасывают и заменяют ее реакцией, которую
рассматривают затем как активную силу.
Принцип применим как к голономным, так и к неголономным системам.
§ 62. Принцип Даламбера
В задачах на несвободное движение тела неизвестными могут быть
ускорения тел, натяжения нитей, реакции осей блоков, подшипников и т.п.
(например, в задачах о двух грузах, соединенных нитью, перекинутой через
блок). Комбинируя приемы и используя различные теоремы и законы
динамики, можно определить вообще все неизвестные величины. Однако это
более сложный путь. Даламбер указал более эффективный метод, применимый
для решения всех задач на несвободное движение. Зная движение системы,
по принципу Даламбера легко определить реакции внешних связей (при этом
неизвестные внутренние силы исключаются); можно находить также и
реакции внутренних связей, если выделять и рассматривать отдельные части
системы; можно составлять дифференциальные уравнения движения (например
в гидродинамике) и т.д.
1. Принцип Даламбера. Уравнение движения точки тк относительно
инерциальной системы отсчета представим в виде
Fk +Nk -mkwk = 0,
§62. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА 215
где Fk - активная сила, приложенная к точке тк; Nk - пассивная сила.
Вектор — mkwk называется силой инерции Даламбера частицы тк. Подчеркнем,
что по отношению к инерциальной системе отсчета изменение скорости
точки тк происходит только под влиянием активных сил Fk и связей
(пассивных сил Nk), но не "сил инерции Даламбера". В этом смысле "силы
инерции Даламбера" фиктивные, а само понятие условное. Равенство (62.1)
выражает так называемый принцип Даламбера: в каждый момент времени
для любой точки механической системы нулю равна геометрическая сумма
активной силы, реакции связи и силы инерции Даламбера.
Если в любой момент систему и связи остановить и ко всем точкам тк
приложить активные силы Fk, реакции связей Nk и силы инерции
Фк =—mkwk, то система будет пребывать в покое. Говорят поэтому, что
упомянутые силы уравновешены.
Следствием применения принципа является утверждение: в каждый
момент движения нулю равна геометрическая сумма (главный вектор) активных
сил, реакций связей и сил инерции системы, а также сумма моментов
(главный момент) этих сил:
(62.2)
Эти уравнения можно отнести к мысленно остановленной системе, поэтому в
качестве центра О, относительно которого берутся моменты сил, можно
взять произвольную неподвижную точку. Нулю равна и сумма моментов этих
сил относительно произвольной неподвижной оси (до "остановки" системы
точка и ось могли перемещаться).
Применим уравнение (62.2) к случаю, когда твердое тело совершает пло-
скопараллельное движение.
Уравнения движения центра масс тела и уравнения вращения тела
вокруг оси Cz, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости
движения, имеют вид
(62.3)
216 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
(напомним, уравнение вращения тела относительно поступательно
движущейся системы центра масс записывается так же, как уравнение
относительно инерциальной системы).
С другой стороны, для остановленного тела справедливы равенства
(62.2)
Х3+Х#*+Х**=о.
(62.4)
где сумма моментов взята относительно оси Cz, проходящей через центр
масс перпендикулярно плоскости движения (нулю равняется сумма моментов
сил относительно оси Cz).
Сравнивая уравнения (62.4) и (62.3), получаем
= -JCzE. (62.5)
Таким образом, 1) главный вектор даламберовых сил инерции тела равен
силе инерции его центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена
масса всего тела, 2) при плоскопараллельном движении тела сумма
моментов даламберовых сил инерции относительно центральной оси,
перпендикулярной плоскости движения, равна — /Сг£, т.е. равна произведению момента
инерции тела относительной центральной оси Cz на угловое ускорение тела
со знаком минус. Первое следствие справедливо для любого движения*.
Если, как это нередко бывает, тело имеет плоскость материальной
симметрии Сху, перпендикулярную оси Cz, то как следствие при
плоскопараллельном движении (параллельно плоскости Сху; С - центр масс) к
уравнениям (62.5) добавляются два очевидных уравнения:
Задача. Однородный цилиндр массой М и радиусом R катится по
горизонтальной плоскости. Найти главный момент сил инерции частиц цилиндра относительно
оси Ас, касания его с плоскостью.
Сначала рассмотрим сумму моментов (главный момент) сил инерции частиц тела
относительно точки В пересечения перпендикуляра СВ, опущенного из центра масс С на
горизонтальную плоскость, — вектор Мв = Xv* x ^*) (Рис- 62.1). Имеем
* Общий случай см. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической
механики. М., 1985. Т.П. С.334.
§ 62. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
217
В правой части первое слагаемое равно
— ВС X Mwc, а второе равно Мс,
Мв = -~ВСх Mwc + Мс.
Проектируя это равенство на ось At,, получаем
Мд = -RMzR + MCl = -{MR1 + Ja)z.
Ho MR2 +JCl=1 JAt> (формула Штейнера).
Окончательно получаем
Рис. 62.1
Формула эта используется при решении многих задач.
В заключение подчеркнем, что силы инерции Даламбера Фк = —mkwk вводятся при
рассмотрении движения относительно инерциапъной системы отсчета. Добавление к
действующим силам сил инерции Даламбера следует рассматривать как методический прием,
который сводит изучение движения к рассмотрению равновесия (в любой момент движения).
Пример. Перекинутый через блок груз т соединен с колесом невесомой
нитью, намотанной на барабан. Колесо катится без
скольжения. Найти ускорение груза (рис. 62.2).
Применим принцип Даламбера. Приложим к
колесу силу тяжести Mg, силу Т натяжения нити, реакцию
N плоскости и ко всем частицам колеса тпк силы
инерции —mkwk. По принципу Даламбера
совокупность сил инерции, активных сил Mg, T и реакции
связи N образует в каждый момент уравновешенную
систему. Сумма моментов всех этих сил относительно оси, проходящей через точку А и
направленной перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю: —JAZ+ Г(/?+г) = 0; Т
определяется по уравнению движения груза: mg—T = mx. Замена Г его значением дает
— JA£ + m(jg—х)(/?+г) = 0, где х = ф(/?+г) — ускорение груза, ф = е — угловое
ускорение колеса (положительным считаем вращение по часовой стрелке). Отсюда
m{R+rf
8
/777////////////////
А
Рис. 62.2
Здесь использована формула Штейнера: JA=JC + MR2 = M\p2 + /?2), где р — радиус
инерции колеса вместе с насаженным барабаном относительно центральной оси. По
определению р =. I——, и поэтому Jc = Мр2; Jc — момент инерции тела относительно оси,
V М
М— масса тела.
218 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 63. Принцип Даламбера — Лагранжа. Общее уравнение межаники
Рассматривая принцип Даламбера, мы ввели понятие силы инерции для
всех материальных точек системы. Эти силы определяются как произведение
масс точек и их ускорения, взятого с обратным знаком. После добавления сил
инерции к активным и пассивным силам получаем равновесие сил в
движущейся системе. Равновесие сил означает выполнение условия принципа
виртуальных перемещений. Поэтому открывается возможность распространить
принцип виртуальных перемещений, относящийся к статике, и на динамику.
Пусть, как обычно, система представлена материальными точками с
массами mv щ,..., mN и координаты этих точек удовлетворяют / заранее
заданным уравнениям, которые выражают голономные, удерживающие,
идеальные связи. Равнодействующую активных сил, приложенных к точке тк,
обозначим Fk, а равнодействующая пассивных сил - Nk. По второму закону
Ньютона
или
Fk -mkwk + Nk=0, (k = \,2,...,N) (63.1)
- активные силы, пассивные силы и силы инерции Даламбера
"уравновешены".
Зафиксируем теперь момент t и сообщим системе виртуальное
перемещение Ьгх, Ьг2, ..., brN. Умножим скалярно каждое уравнение (63.1) на
соответствующее 8>гк и суммируем все уравнения:
По определению идеальных связей последняя сумма равна нулю,
поэтому
Найденное уравнение (63.2) называется общим уравнением динамики.
Оно выражает принцип Даламбера—Лагранжа'.
в каждый момент движения механической системы с идеальными
удерживающими связями сумма работ активных сил и сил инерции Даламбера на
любом виртуальном перемещении равна нулю.
§ 63. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА — ЛАГРАНЖА 219
В развернутом виде общее уравнение динамики выглядит так:
-Wtxt)&t + (Fky -ткук)дук +(Ffa -mkzk)&k)= 0, (63.3)
где Ffr, Fty, Fk - проекции активной силы Fk; xk, ук, zk - координаты
точки тк.
Не следует думать, что (63.2) - это единственное уравнение (или что их
бесчисленное множество, поскольку уравнения можно написать для любого
виртуального перемещения). Из равенства (63.2) можно получить вообще
конечное число независимых уравнений, что определяется числом независимых
возможных перемещений системы (числом степеней свободы). Это
замечание в равной степени относится и к статическому уравнению (60.1).
Принцип Даламбера — Лагранжа является одним из наиболее общих в
механике. Он охватывает всю механику систем с идеальными связями (любыми
голономными и линейными неголономными; стационарными и
нестационарными). Силы могут быть как потенциальными, так и не потенциальными.
Если связи не являются идеальными, необходимо учесть, кроме
математических уравнений этих связей, еще и добавочные физические условия для
реакций. Например, если движение тел происходит с трением, необходимо
учесть физические законы трения (сухого, вязкого). Силы трения фактически
включаются в число активных сил, а нормальные составляющие реакции
связей по-прежнему удовлетворяют условию идеальности (]£,iVA -^ = 0).
Таким образом, и неидеальные связи фактически включаются в общую схему.
Принцип Даламбера — Лагранжа положен в основу определения
движения системы: в действительном движении ускорения точек таковы, что сумма
работ (63.2) на виртуальных перемещениях обращается в нуль.
Математически принцип Даламбера — Лагранжа представляется вариационным
соотношением (63.2).
Пример. Вал массой М и радиусом R может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси. На вал намотана нить, к
свободному концу которой привязан груз массой т,
опускающийся вниз. Определить ускорение груза. Связи идеальные, трение
отсутствует, невесомая нить нерастяжнмая, гибкая (не работает на
изгиб).
Применим принцип Даламбера — Лагранжа (рис. 63.1).
Активные силы системы: mg и Mg. Сила инерции груза —та;
сила инерции какой-либо частицы вала равна произведению
220 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
массы Am частицы на ускорение. Последнее состоит из центростремительного Ct)V и
вращательного £г ускорений. По определению, сила инерции направлена
противоположно ускорению, а значит, состоит из двух противоположно направленных составляющих:
нормальной <02r- Am и касательной егАт. Согласно (63.2) нулю равна сумма работ
активных сил и всех сил инерции системы на виртуальном ее перемещении, например, при
смещении груза вниз на &с и соответствующем повороте вала на угол 5ф. Сила тяжести
Mg работы не производит, как и центробежные силы инерции (последние
перпендикулярны направлению смещения их точек приложения).
Приравняем нулю сумму работ:
mgbx - таЪх - £ Am • ег • г5<р = 0.
Здесь J = J) Am • г2 — момент инерции вала относительно его оси; 5ф =—. Имеем
R
mgax — таох — Je— = 0.
R
а Т MRX
Отсюда, учитывая, что £ = — и J = , находим
R 2
1
а=е г— или
1+
mR2
§ 64. Общие теоремы динамики системы, выводимые
из уравнения Даламбера — Лагранжа
Общие теоремы динамики, рассмотренные ранее (схема ИХ были
выведены из законов Ньютона, а значит, были учтены все действующие внешние
и все внутренние силы (как активные, так и пассивные). Эти теоремы
применимы к системам с любыми связями и позволяют не только изучать
движения системы, но и определять реакции связей.
Однако в ряде случаев предметом изучения является движение системы,
реакции же связей не представляют интереса. В таких случаях удобно
воспользоваться иной формой общих теорем, которая выводится с учетом
принципа Даламбера — Лагранжа. В этих новых теоремах представлены только
активные силы, силы пассивные исключены. Компенсацией того, что часть
сил (пассивные силы) из рассмотрения исключена, будет введение некоторых
ограничений на связи.
§ 64. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ 221
На схеме 22 представлены три основные теоремы динамики, выведенные
из общего уравнения динамики.
Теорема 1. Если идеальные стационарные связи допускают в любой
момент поступательное перемещение системы параллельно некоторой
неподвижной оси х, то производная по времени от проекции количества
движения системы на ось х равна сумме проекций на ту же ось всех действующих
на систему внешних активных сил.
Доказательство. По условию в любой момент все точки
системы допускают смещение на Ъх параллельно неподвижной оси х. Заменяя в
общем уравнении динамики Ъгк на /5х, получаем
или
или
at
окончательно находим
N
^ 1К- (64.2)
at k=\
В уравнении (64.1) в сумму активных сил X^t включены внешние
активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма
внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю,
поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние активные
силы.
Теорема II. Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными
стационарными связями равен сумме элементарных работ на
действительных перемещениях действующих внешних и внутренних активных сил.
Доказательство. Заменяя 5^ на bkdt, получим
или
222
ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
ев
§ 64. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ • 223
Поскольку ах)к • Х)к — а —-, находим окончательно
dT = d'Aae+d'Aai. (64.3)
Теорема III. Если идеальные стационарные связи допускают в каждый
момент времени поворот системы как целого вокруг некоторой
неподвижной оси, то производная по времени от кинетического момента системы
относительно оси равна сумме моментов относительно той же оси
действующих на систему внешних активных сил *.
Доказательство. Поворот системы вокруг оси х придает
радиус-вектору fk приращение Ъгк = 16ф X гк. Эта замена в (63.2) дает
Циклическая перестановка множителей не меняет скалярно-векторного
произведения:
ИЛИ
^ d
1 dt^vk
или
^ <&о -
или
окончательно получаем
(64.4)
* «■
'Кинетический момент" — момент количества движения.
Глава 9
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 65. Обобщенные координаты, обобщенные скорости
и обобщенные силы
Использование декартовых координат в случае изучения несвободных
механических систем затруднено, так как декартовы координаты из-за
наличия связей не являются независимыми.
В то же время изучение движения упрощается, если положение системы
определять какими-либо независимыми между собой параметрами. Такая
возможность, как оказывается, всегда существует.
Общее уравнение динамики, представленное в независимых
координатах, расчленяется тогда на отдельные уравнения. В результате получаем
систему дифференциальных уравнений движения механической системы -
уравнения Лагранжа. В настоящем параграфе формулируются сначала
вспомогательные понятия, необходимые для последующего вывода уравнений
Лагранжа.
1. Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Рассмотрим
систему N материальных точек т1, щ,..., mN, подчиненную голономным
связям
'zn» О = о (a = 1,2,...,/). (65.1)
Так как 3N декартовых координат связаны / соотношениями (65.1), число
независимых координат равно п = 3N — /; число зависимых координат равно /.
Последние можно найти из уравнений (65.1), если выбрать значения
независимых координат (в пределах допустимого). Как указывалось, исследования
движения систем удобнее вести не в декартовых координатах, которые
связаны соотношениями (65.1), а в надлежащим образом подобранных
независимых параметрах qx, q2,..., qn.
§ 65. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИ 225
Независимые друг от друга параметры, однозначно определяющие
положение механической системы, называются обобщенными координатами.
Выбор обобщенных координат ограничен двумя условиями:
1) радиус-векторы rk всех точек системы должны выражаться
однозначными, непрерывными, дифференцируемыми функциями обобщенных
координат
rk=rk(qvq2 qn,t), (k = 1,2,..., N). (65.2)
2) обобщенные координаты должны быть согласованы с уравнениями
связей. Математически это означает, что функции (65.2) должны обращать
в тождества уравнения связей (65.1). Действительно, уравнения (65.2)
можно рассматривать как параметрические уравнения голономных связей, так
как после исключения параметров qv q2,...,qn получим 3N-n = 3N-
-(3N — /) = / уравнений, связывающих декартовы координаты и время, т.е.
обычное представление уравнений геометрических связей. Естественно,
изменение формы уравнений не должно влиять на их содержание, и функции
(65.2) должны поэтому обращать в тождества уравнения (65.1).
В случае стационарных связей время t не входит в (65.1); координаты
Q\, Q2'-"> Qn в этом случае можно всегда выбрать так, что время t не войдет
в уравнения (65.2). Именно такой выбор обобщенных координат и будет
всегда предполагаться.
Поскольку обобщенные координаты независимы, их вариации
bqv..., bqn для голономной системы так же независимы, а следовательно,
являются произвольными, бесконечно малыми величинами. В неголономной
системе вариации обобщенных координат связаны линейными уравнениями,
и
которые в обобщенных координатах имеют вид Xai>^y = 0> {i = l,2,...,s)
(сами уравнения линейных неголономных связей выглядят так:
j + atdt = 0). Число степеней свободы неголономной системы меньше
7=1
числа обобщенных координат на число неголономных уравнений (напомним,
что для голономной системы эти числа равны).
Дифференцируя (65.2) по времени, найдем
|Н1^ ( = 1,2, ...,*> (65.3)
y=i dq t
8-262
226 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Производные по времени от обобщенных координат, т.е. величины qJt
называются обобщенными скоростями. Скорости точек системы \>к,
к = 1,2,.... N, являются линейными функциями обобщенных скоростей
4v Ч2>-> Я„ (см.(65.3)).
Из формулы (65.3) вытекают два следствия, которые найдем,
дифференцируя (65.3) по обобщенной скорости и обобщенной координате.
Дифференцируя (65.3) по обобщенной скорости qit получим первое следствие
^ |^ = U п) (65.4)
(запомним, что производная от "скорости по обобщенной скорости" равна
производной от "координаты по обобщенной координате").
Дифференцируя (65.3) по qft найдем второе следствие
J
|
dq, j^idq^q, J dtdq,
d drk
Правая часть, как легко проверить, равна :
dt dq,
dt
(655)
(запомним: при дифференцировании радиус-вектора гк операции — и
dt
можно менять местами, хотя q, и зависит от t).
2. Обобщенные силы. Построение аналитической механики
начинается преобразованием общего уравнения механики (63.2) к обобщенным
координатам. Преобразуем первое слагаемое общего уравнения - работу
активных сил системы:
8A = ^Fk8rk. (65.6)
Заменяя 8^ = ^-г1^,., найдем
§ 65. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИ 227
или
± где а=1^~ (i = 1.2f.... л). (65.7)
*=i oq
Величина ЪА называется возможной, или виртуальной, работой и
выражается в виде
8А = QiSql + Q28q2+...+Qn8qn. (65.8)
Виртуальная работа является линейной формой от вариаций координат.
Величина Qt называется обобщенной силой, соответствующей обобщенной
координате qt. Обобщенная сила равна коэффициенту при вариации данной
обобщенной координаты в выражении виртуальной работы активных сил.
Величины Qi входят в (65.8) так же, как проекции силы входят в выражение
виртуальной работы в декартовых координатах F-br = Fx$x + Fyby + F2bz.
Каждой координате qx соответствует своя обобщенная сила Q,, i = 1,2,..., п,
которая равна
Х^ Р ( 2) (65.9)
k=\
Однако формула (65.9) используется редко. Проще, воспользовавшись
независимостью обобщенных координат, вычислить Qt, изменив лишь одну
координату qt на bqt при фиксированных прочих координатах. Для голо-
номной системы это всегда возможно, так как 6^,,..., bqn не зависят друг от
Друга.
Работа активных сил бД при изменении q, на bqt находится по
формуле 54 = (2&1, откуда
ЪА
(i = \2n) (65.10)
Размерность работы совпадает с размерностью энергии; поэтому размерность
произведения обобщенных сил на вариацию обобщенной координаты всегда
совпадает с размерностью энергии.
228 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
В механике роль обобщенных координат обычно играют линейные и
угловые координаты. В первом случае обобщенными силами являются
обычные силы, во втором — моменты обычных сил.
3. Рассмотрим случай, когда активные силы обладают силовой функцией
U(xx, ух, zx,..., хы, yN, zN, t), так что
гкх -\ ' гку -у. ' кг -\
дхк ' дук ■ dzk
Подставляя полученные выражения в (65.9), получим (расписываем
скалярное произведение)
b.+*L.b)m*L. (65.„)
d d d J d
=\дхк dq, дук dq, dzk dq, J dq,
Здесь функция U(xl(qv...,qfl,t),...,zN(ql,...,qn,t),t) выражена в
обобщенных координатах*.
Таким образом, если существует силовая функция активных сил U в
декартовых координатах, то обобщенная сила Q представляется частной
производной этой функции по обобщенной координате:
Виртуальная работа активных сил в случае, когда существует силовая
функция, равна
т.е. виртуальная работа равна изохронной (время t фиксируется!) вариации
силовой функции.
* Если U в декартовых координатах не зависит от времени, U = U(xl,yl,zl,...,
xN,yN,zN)ii0B обобщенных координатах она все же может зависеть (при
нестационарных связях).
§ 65. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИ 229
П р и м е р 1 . Вал кабестана - механизма для
передвижения грузов - радиусом R приводится в
движение постоянным вращающим моментом твр,
приложенным к рукоятке АВ. Масса груза М,
коэффициент трения груза о плоскость ц. Определить обоб- - J........1
"'""Т""""
щенную силу (рис. 65.1). '
Активные силы: 1) вращающий момент тар; рис (
2) сила тяжести груза Mg; 3) сила трения
Fmp = \lMg. Виртуальное перемещение системы: поворот вала на угол 5ф и
соответствующее перемещение груза на &с = /?8ф. Работа активных сил на виртуальном
перемещении:
:ю.„-5ф» 2)А(Щ) = 0, 3) A(Fa,p) = -\iMgbx.
Сумма работ ЪА = тв/,5ф — \iMgbx = —^-—\lMg юх.
Обобщенная сила, соответствующая координате*,
П р и м е р 2 . Найти обобщенную силу для математического маятника (точечная
масса т на невесомой нерастяжимой нити длиной / в однородном поле тяжести; см. рис.
59.1).
Активная сила nig. Виртуальное перемещение 5ф; работа
bA = mg-8r= mgxbx + mgyby, где g, = g, gy = 0.
Координаты груза х = Icostp, y = lsirup.
Если обобщенная координата - угол ф, то
ЪА = mgxbx = mgb(lcos(p) = -mg/
Обобщенная сила
ЪА
Qv=j- = -mglsin<p. (65.12)
Оф
Обобщенная сила здесь равна моменту силы тяжести относительно оси вращения Oz
(mg- сила, I sirup - плечо; знак минус корректирует знак момента).
230 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Более простой путь: потенциальная энергия П = —mglcostp, обобщенная сила
= —-— = -mglsmtp.
оф
§ 66. Применение принципа виртуальных перемещений
к определению положений равновесия голономной системы
По принципу виртуальных перемещений некоторое положение системы
является положением равновесия тогда и только тогда, когда
Отсюда, поскольку все 6^р ..., 8ди совершенно произвольные (система го-
лономная), находим
0=0, / = 1,2,...,«. (66.1)
Некоторое положение голономной системы является положением
равновесия тогда и только тогда, когда в этом положении все обобщенные
силы равны нулю.
Рассмотрим важный частный случай, когда существует потенциальная
энергия системы II(ql,...,qll). Поскольку Q = --—, условие равновесия
dq
выразится так:
|^ = 0, z = l, 2,..., и. (66.2)
В положении равновесия потенциальная энергия системы принимает
стационарное значение.
В заключение приведем одно замечание. В основе ньютоновской меха-
d - в
ники лежит уравнение —wi) = F\ которое описывает перенос движения на
dt
точку с помощью силы F. Именно произведение Fdt силы на время
характеризует перенесенный импульс.
§67. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В НЕЗАВИСИМЫХ КООРДИНАТАХ 231
В общем уравнении механики (63.2) перенос движения на систему опи-
N
сывается слагаемым ]£ Fk • 8гк - работой активных сил, действующих на си-
стему. Работа - мера изменения энергии. В обобщенных координатах работа
активных сил представляется суммой произведений некоторых множителей -
обобщенных сил - и вариаций обобщенных координат. Каждое слагаемое
Qjbqt характеризует энергию, которая может быть перенесена на систему
при изменении именно этой одной обобщенной координаты qi.
Переход в основном уравнении динамики к независимым обобщенным
координатам позволит вывести уравнения движения системы (уравнения Ла-
гранжа).
Пример. Положение равновесия математического маятника согласно (65.12) и
(66.1) следует искать, решая уравнение
Q^ = -mgl яиф = 0.
Имеем два решения: 1) ф = 0 (груз маятника занимает нижнее положение); 2) ф = тс
(груз в верхней точке - на жестком стержне). Этим способом находятся все, без
исключения, положения равновесия - устойчивые ( ф = 0 ), неустойчивые (ф = п ).
§ 67. Уравнения Лагранжа в независимых координатах
Механическая система может состоять из произвольно большого числа
частиц или тел и вместе с тем обладать небольшим числом степеней свободы.
Например, кривошипно-шатунный механизм (кривошип - шатун - шток -
поршень в цилиндре) обладает лишь одной степенью свободы', уравнение
движения механизма можно определить законом вращения одного только
кривошипа: ф = ф(?); угол поворота кривошипа ф - обобщенная
координата.
Выведем дифференциальные уравнения движения механической
системы в независимых координатах.
1. Голономная система. Вывод уравнений движения голономной
механической системы в независимых координатах - уравнений Лагранжа
второго рода — приведен на схеме 23. Он состоит в преобразовании общего
уравнения динамики, выражающего принцип Даламбера - Лагранжа к
независимым координатам. Разбиваем исходное уравнение на два слагаемых. Первое
232
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Схема 23
Вывод уравнений Лагранжа в независимых координатах
Zf,-»«><*-о
—*•
(*) *
(0 (0
»_*. ^-i dvk „^ л
Щ -/^mk '°Гк = "
Уравнения Лагранжа
d_8T_
dt dq:
8T
§ 67. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В НЕЗАВИСИМЫХ КООРДИНАТАХ 233
слагаемое - работа активных сил на виртуальном перемещении - заменяет-
и
ся суммой XQ^7i согласно (65.7). Второе слагаемое преобразуется с уче-
том зависимостей rk = rk(ql,...,qll,t)i которые можно рассматривать как
уравнения связей в параметрической форме, поскольку qv q2,—, qn
независимы. Дифференцируя уравнения связей по времени, получаем следствие
(65.3), из которого следуют две вспомогательные формулы (65.4) и (65.5);
еще одна вспомогательная формула для 5^ находится варьированием
радиус-вектора гк.
Ход преобразований общего уравнения механики представлен на схеме.
В результате преобразования приходим к уравнению, которое распадается на
систему и отдельных уравнений, поскольку bqv bq2, ..., ^„произвольны.
Подведем итог. Если Т = T(qx, q2,..., qn, qv q2,..., qn, t) -
кинетическая энергия системы, а ЪА = Qxbqx + Q2bq2+...+Qnhqn - работа приложенных
к системе активных сил на произвольном виртуальном перемещении 5^,,
8^2' ••■> 8#и> где Т, Qv..., Qn - известные функции от qv q2,..., qn,
Q.\> Чг>~> Qn>* (в СИЛУ тог0^ что система задана), то уравнения движения
системы имеют вид
^I^ = 1.2 я). (67.1)
at
Интегрированием уравнений Лагранжа определяем функции
/ = 1, 2,..., w; это позволяет найти радиус-векторы точек системы rk = rk(t)
по формулам rk =rk(ql,...,qll,t)i а затем и Ък=гк, wk=rk(t) и
Fk = Fk (fk, х>к, t), к = 1,2,..., N. После этого можно определить и реакции
связей по формулам
Nk=mkwk-Fk, k = \,2,...,N. (67.2)
В заключение отметим, что для уравнений Лагранжа характерна
ковариантность: их вид не меняется при переходе от независимых координат
qv...,qn к каким-либо другим независимым координатам £,, £2, ...,£„ по
формулам £, = £,j(qv ••-, qn, t) (время t не преобразуется). Это свойство
проявляется при самом выводе уравнений Лагранжа, что может быть проверено
также непосредственно.
234 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 68. Уравнения Лагранжа при различных силах
1. Активные силы обладают силовой функцией. Как было показано
(см. § 65), силовая функция U(xv...,zN,i) после преобразования к
обобщенным координатам переходит в силовую функцию в обобщенных
координатах. Другими словами, обобщенные силы представляются как
производные:
Уравнения Лагранжа будут иметь вид
d дТ дТ dU dd(T+U) d(T + U) А
— или х ' n О
dt dq, dq, dq, ' dt dq, dq,
так как U от q, не зависит, а значит, = 0. Окончательно уравнения дви-
жения системы в независимых координатах приобретают вид
d dL dL
dt dq, dq,
= 0 (L = T+U\ (68.1)
Функция L, равная сумме кинетической энергии и силовой функции,
называется функцией Лагранжа, а уравнения (68.1) —уравнениями Лагранжа.
В частном случае, когда активные силы потенциальные стационарные и
связи стационарные, существует потенциальная энергия Il{ql,...,qll) =
= -£/(<7р..., qn), тогда функция Лагранжа равна разности кинетической и
потенциальной энергий системы, выраженной через обобщенные координаты
и обобщенные скорости:
L = T{qv...,qn,qx,...,qn)-n(qx,...,qn).
Пример. На вал массой М, радиусом R с горизонтальной осью вращения
намотана нить, к свободному концу которой привязан груз массой пг, опускающийся вниз.
Определить ускорение груза.
§ 68. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СИЛАХ 235
Функция Лагранжа имеет вид (см. рис. 63.1)
где ф — угол поворота вала, х — координата груза (ось х направлена вниз), х = Щ; J
момент инерции вала относительно его оси. Представим L в виде
1 .2 1 ,*
-тх +-J—
2 2 R2
1 .2 1 ,•*
Уравнение движения будет таким:
1
d
dt
T '
mR2
dL
дх
или
dL
дх
x =
= 0,
5
1 i
1 n
ИЛИ
1
M'
2m
откуда Jc = g —, или х = g —, так как J— — MR2.
Л 2
2. Активные силы обладают обобщенной силовой функцией. Силы
могут зависеть не только от координат и времени, но и от скоростей.
Обобщенной силовой функцией называется функция U(qv...,qn,ql,...,qn,t),
если обобщенные силы системы представляются через эту функцию
формулами
(682)
t dt dq,
Уравнения Лагранжа в этом случае имеют вид
d дТ дТ _dU d dU
dt d<7, dqf dqt dt
или
где
dt dqi
236
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
= T(q,q,t)+U{q,q,t).
(68.4)
Как видим, и в этом, более общем случае, вид уравнений Лагранжа и
структура функции Лагранжа те же. Обобщенная силовая функция U(q, q, i)
может зависеть от обобщенных скоростей только линейно. U = U0 + Ul(Ul-
форма 1-й степени относительно скоростей, Uo не зависит от скоростей). В
самом деле, если предположить, что в U войдет, например qft то окажется,
что в Q появится ——— = —(2^) = 2qlt т.е. обобщенная сила будет зави-
dt dqt dt
сеть от ускорений. Однако классическая механика ограничивается
рассмотрением случаев, когда силы зависят от координат, скоростей и времени, но не
от ускорений.
Примером может служить сила Лоренца, действующая со стороны
электромагнитного поля на точечный электрический заряд, F =
_ du ddu гл
Легко проверить, что F = —- (аналогично для F, F2)t где
Эх dt dx
U = —q(p + q(xAx + уАу + zA\. Здесь <p(jc, у, z, t) - скалярный потенциал
поля, а А{х,у, z, t) - векторный потенциал. Они связаны с напряженностью Ё
и индукцией В зависимостями
I = Э(Р дА*
'* dx dt
= _Эф_
у Ъу dt
К = Эф ЪА*
dz dt
= rot2\
ду dz
у dz dx
z dx dy
§ 68. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СИЛАХ 237
Следует отметить, что уравнения Лагранжа без изменения формы могут быть
использованы для изучения относительного движения. При этом не
требуется дополнительно учитывать силы инерции - переносную и Кориолиса.
Достаточно при построении функции Лагранжа вычислять абсолютную
кинетическую энергию через относительные координаты и писать обычные
уравнения Лагранжа.
3. Силы диссипативные. Силы сопротивления, зависящие от скоростей
точек механической системы и вызывающие убывание её полной
механической энергии, называются диссипативными силами. Бели эти силы зависят
линейно от скоростей точек, то Fkd = -акх>к, ак > 0. В таком случае
обобщенной координате qt соответствует обобщенная диссипативная сила
Of = IA р- = -1«Л
к=\ oqi k=\
(произведена замена —- = —- согласно (65.4)). Имеем
dqt dq
*=1 dq, 2 dq, *=i 2
Окончательно получаем
, где i? = iiaAi)J. (68.5)
oqt 2 jt=i
Функция R называется диссипативной функцией. Это функция
обобщенных координат и обобщенных скоростей механической системы, частные
производные которой по обобщенным скоростям, взятые с обратным знаком,
равны соответствующим обобщенным силам.
При наличии обобщенно-потенциальных сил и сил, обладающих
диссипативной функцией R, уравнения Лагранжа имеют вид
d dL 6L dR f , ,_4
тт:—Z~ = ~^> 0 = 1-2,..., п), (68.6)
dtdq, dq, 6qt
где L = TU T
238 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Для выяснения физического смысла диссипативной функции вычислим
мощность диссипативных сил (их работу в единицу времени):
1% Л =-Х«А А =-Х«У* =-2Л (68.7)
*=i *=i *=i
Если на систему действуют внешние потенциальные силы с
потенциальной энергией П и диссипативные силы, то по теореме об изменении
кинетической энергии найдем
f drk,
откуда, учитывая (68.7),
(Т + П* +ne) = -2R. (68.8)
—(
Скорость убывания полной механической энергии системы равна
удвоенной диссипативной функции (механическая энергия превращается в
энергию теплового движения молекул). Этим утверждением раскрывается
физический смысл диссипативной функции.
Другими примерами диссипативных сил являются:
а) сила сопротивления, пропорциональная, например, квадрату скорости
тела относительно среды, F = —кто2 (реализуется при достаточно больших
скоростях);
б) постоянная сила трения скольжения тела по поверхности другого те-
—*
- Т)
ла, F = —Ш ■ — (N- величина нормальной реакции твердого тела на движу-
v
щееся тело; v/v — единичный вектор в направлении скорости тела).
4. Гироскопические силы. Гироскопическими называются силы,
линейно зависящие от скоростей
О^ХУй**. (/ = 1,2,.., л), (68.9)
где Yik=— yki, i = \,2,...,n - функции координат и времени (всегда
уй =0). Отличительным признаком этих сил является равенство нулю их
мощности:
§ 69. СТРУКТУРА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 239
Пример. Сила Лоренца F = q\>xB — действие магнитного поля на точечный
электрический заряд. Мощность этой силы
так как скалярно-векторное произведение с двумя одинаковыми множителями равно нулю.
§ 69. Структура кинетической энергии и функции Лагранжа
в обобщенных координатах
1. Структура Т. Вид уравнений Лагранжа, вопрос о детерминизме
механического движения, законы сохранения аналитической механики и др.
требуют выяснения общего вида функций Т и L в зависимости от
обобщенных координат qt, скоростей qt и времени t. Определив функции Т и гк
(65.3), имеем
v * л J *"* ' (69.1)
где коэффициенты Д-,., Ах, Д, - некоторые функции от qv ...,qn и ^, а
именно:
|^ ( 0 U = 12,...,и), (69.3)
*^^ 0 = 1,2,..., и), (69.4)
A=i dg от
240
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
1£ (дгЛ2
(69.5)
Согласно (69.2), кинетическая энергия механической системы является
полиномом второй степени относительно обобщенных скоростей:
(69.6)
где индексы указывают на степень функций относительно q:
1 "
1
*0 ~
(69.7)
В раскрытом виде кинетическая энергия (69.2) в обобщенных
координатах представляется формулой
= ±(Auq2+A22q22+...+Amq2n +
2Al2qlq2+2A13qlq3+...+2Alnqlqn
(69.8)
где все коэффициенты А - некоторые функции обобщенных координат и
времени.
Рассмотрим случай стационарных связей. В этом случае гк зависят толь-
ко от q% (от t явно не зависят), и поэтому -г^- = 0. Следовательно,
ot
Aq=0, Al = 0,i = 1,2, ...,/7, а значит, '
§69. СТРУКТУРА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 241
(69.9)
Если связи системы стационарны, ее кинетическая энергия
представляется в виде однородной функции второй степени (в виде квадратичной
формы) от обобщенных скоростей; при этом коэффициенты Д. формы явно от t
не зависят.
2. Структура уравнений Лагранжа и детерминизм движения в
механике. В классической механике причинность выражается в форме
механистического детерминизма: если заданы начальные данные (все координаты и
все скорости), то движение системы существует и оно единственно.
С механическим детерминизмом согласуется существование и
единственность решения системы дифференциальных уравнений движения при
заданных начальных данных. Существование решения и его единственность в
теории дифференциальных уравнений установлены для случая, когда система
дифференциальных уравнений разрешима относительно старших
производных, а правые части уравнений удовлетворяют условиям, которые в механике
обычно выполняются. Уравнения движения Ньютона
™А = *ъ. <П = Ffy, mkzk = Fh, * = 1,2,.... tf (69.10)
имеют требуемую форму, разрешенную относительно старших производных
(напомним: правые части этих уравнений не зависят от старших вторых
производных). Следовательно, уже сама форма уравнений Ньютона (69.10)
обеспечивает единственность движения при заданных начальных условиях.
Разрешимы ли уравнения Лагранжа относительно старших производных
и, следовательно, возможно ли по этим уравнениям определить детерминизм
движения? Чтобы получить положительный ответ, исследуем форму
уравнений Лагранжа. Подставим в уравнения (68.3) значения Т=Т2 + ТХ+ТО. Легко
видеть, что старшие (вторые) производные q^ появляются в уравнениях Лаг-
ранжа только при введении члена и имеют вид 2, АЛ, ■ Поэтому
dt dq
уравнения (68.3) в развернутом виде таковы:
где Ф не зависит от q (пишем сокращенно одну букву q вместо множества
242
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Вопрос о детерминизме движения сводится поэтому к вопросу о том,
всегда ли разрешима система уравнений (69.11) относительно старших
производных cjj. Чтобы она была разрешима, нужно, чтобы определитель
неоднородной системы (69.11) был отличен от нуля при любых q и t, т.е. чтобы
Для доказательства того, что определитель отличен от нуля,
И Л12
-"21 ""22
А\ Л»2
(69.12)
Представим слагаемые формулы (69.8) для кинетической энергии
Т=Т2-ьТу + Т0ъ развернутом виде
=4i(4i4i + А2Я2+ -
(69.13)
*о ~
Рассмотрим сначала случай, когда связи системы стационарны. Из фор-
мул (69.1) - (69.6), поскольку —- = 0, имеем
at
Го=0, Тх= О, Т=Т2>0.
Используя метод доказательства "от противного", предположим, что
определитель равен нулю в какой-либо момент для движущейся системы. Тогда
однородная линейная относительно обобщенных скоростей система
уравнений
§ 69. СТРУКТУРА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 243
A22q2+...+A2nqn=0,
(69.14)
будет иметь нетривиальные (ненулевые) решения - в наборе qx,...,qn не все
q равны нулю. Из структуры Т2 видно, что при этом полная механическая
энергия системы, которая при стационарных связях и равна Т2, будет равна
нулю, что невозможно, так как система движется (не все q равны нулю).
Вывод: det \а1 = 0.
Рассмотрим дальше общий случай (-— Ф О, например при
нестационарен
ных связях). В этом случае
Т = 7; + То > 0.
Здесь 7] - линейная функция обобщенных скоростей q, а То не зависит от
них.
Из алгебры известно, что нетривиальное решение однородной системы
(69.14) содержит по меньшей мере одну q произвольной. Если ее подобрать
так, чтобы было 7] + То < 0, то окажется, что при не всех q равных нулю
кинетическая энергия системы отрицательна, что невозможно. Полученное
противоречие доказывает, что предположение, касающееся определителя,
неверно: он всегда отличен от нуля (о системах однородных уравнений см., напр.,
Г. Корн и Т. Корн. Справочник по математике. М., 1968. С. 51).
Примечание. Для вывода выражения для Т воспользуемся теоремой Эйлера об
однородных функциях: если f(xl, х2,...,хп) — однородная функция степени m от п
переменных, т.е. если она удовлетворяет условию
с„х2 х„), (69.15)
то
(69.16)
(доказательство: дифференцируем (69.15) по А. и затем полагаем А, = 1).
244 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Пример. Поскольку Т — Тг + Тх+Т0 — сумма трех однородных функций, то
X—q., =2Г2 +1-7; +0.Г.=2Г1 + 7'1.- (69.17)
' oq,
В случае стационарных связей Т=Т2, 7[ = 7^ = 0, и тогда
2:17-4=27-. (69.18)
,=i dqi
§ 70. Теорема об изменении обобщенных мер движения
1. В аналитической механике Лагранжа, как и в механике ньютоновской,
из основных уравнений движения следуют теоремы об изменении мер
движения. Из них при некоторых ограничениях следуют законы сохранения.
Математически законы сохранения представляют собой первые интегралы
уравнений Лагранжа.
Рассмотрим схему 24. Структура этой схемы аналогична структуре
схемы ньютоновской динамики. В то же время схема 24 является обобщением
схемы 11.
Слева на схеме 24 представлены уравнения Лагранжа голономной
системы с потенциальными (или обобщенно потенциальными) силами. Эти
уравнения подвергаются преобразованиям двух видов: 1) умножаем
уравнения Лагранжа на 1 (оставляем их без изменения), 2) умножаем уравнения
Лагранжа на обобщенную скорость qt и суммируем по степеням свободы
i = 1,2,...,п. Дальнейшее преобразование заключается в замене по формуле
_ , м d(dL\ dfdL Л
дифференцирования произведения двух функции — -— \Я( -— -—qt \ —
dt{dqj dtydq
31 ..
qt и еще одной замене, которая обусловлена выражением полной про-
изводной функции Лагранжа
dL dL
dL
если слагаемое — перенести в левую часть.
§ 70. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ МЕР ДВИЖЕНИЯ
245
се
ё
246
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
г*
§70. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ МЕР ДВИЖЕНИЯ 247
В результате получаем две основные теоремы аналитической механики
Лагранжа: об изменении обобщенного импульса и обобщенной энергии. По
определению, обобщенным импульсом называется величина pt — , а
Щ
п 32,
обобщенной энергией - величина Е^ = }Г ——qt - L.
,=i dqi
Сравним схему .24 со схемой 11 ньютоновской механики. В
ньютоновской динамике имеем три теоремы (и три меры движения), тогда как в
механике Лагранжа их две. Однако легко обнаруживается на простых примерах,
что одна теорема об изменении обобщенного импульса включает как частные
случаи две теоремы ньютоновской динамики - об изменении количества
движения и об изменении кинетического момента. В то же время она и
обобщает их.
2. Учет диссипативных сил. При наличии диссипативных сил РЦ в
правой части уравнений Лагранжа появляются обобщенные диссипативные
силы
1F? / = 12,..„и, (70.1)
и поэтому уравнения Лагранжа будут иметь вид
iirir-ti- (70-2)
dt dqt dqt
Эти уравнения представлены на схеме 25 слева. Там же показаны
преобразования (см. такие же преобразования в схеме 24).
Э1
Как видно из схемы 25, на изменение обобщенного импульса pi — ——
влияет только одна диссипативная сила Qf, номер которой совпадает с
номером импульса /'. В то же время на изменение обобщенной энергии влияют
все без исключения диссипативные силы.
Из теоремы об изменении обобщенной энергии следует: если функция L
явно от времени t не зависит, а значит, — = 0 и Qf — 0, i = 1,2,..., и, то
at
сохраняется обобщенная энергия:
248 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
если ^ = 0, то У|^Ч-1 = С. (70.3)
dt i= d
Форма записи этого закона сохранения упрощается, если функция Лагранжа
представляется полиномом второй степени относительно обобщенных
скоростей
jL = Z2 + Z,+I0. (70.4)
Для таких* систем по теореме об однородных функциях будем иметь
dqt
и поэтому окончательная форма закона сохранения такова:
(70.5)
где L2 - слагаемые в функции Лагранжа второй степени относительно
обобщенных скоростей, LQ - слагаемые, не содержащие обобщенных скоростей.
§ 71. Законы сохранения обобщенного импульса
и обобщенной энергии
Эти законы представлены на схемах 26 и 27. На схеме 26 они выведены
для случая, когда все силы потенциальные (или обобщенно-потенциальные).
На схеме 27 - для случая, когда действуют также и диссипативные силы.
1 случай: силы потенциальные (или обобщенно-потенциальные) -
схема 26. Идея вывода законов сохранения та же, что и в ньютоновской
механике: вводятся такие ограничения, при которых правые части равенств,
выражающих теоремы, обращаются в нуль. В результате равенства
интегрируются.
Системы, для которых L представляется в виде (70.4), называются натуральными.
§71. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО ИМПУЛЬСА
249
40
г*
ев
£
X
250
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§71. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО ИМПУЛЬСА 251
Из условия, что qa - циклическая координата (не входит в L, и поэтому
= 0), следует сохранение циклического импульса:
если — = 0, то — = С. (71.1)
II случай. Пусть кроме потенциальных сил действуют еще и дис-
сипативные силы - схема 27. К условиям, которые были в первом случае,
теперь нужно добавить еще условия, касающиеся диссипативных сил. Чтобы
обобщенный импульс сохранялся, нужно, чтобы координата q была
циклической и, кроме того, чтобы обобщенная диссипативная сила, которая
соответствует циклической координате, равнялась нулю: (£ = 0.
Обобщенная энергия сохраняется, если функция Лагранжа явно от
времени не зависит и все диссипативные обобщенные силы отсутствуют.
Наличие гироскопических сил не является помехой для закона сохранения
энергии, т.к. они не выполняют работы.
Закон сохранения обобщенной энергии вообще не совпадает с законом
сохранения полной механической энергии (см. примеры 3 и 5).
Закон сохранения обобщенного импульса включает как частные случаи
законы сохранения: 1) ньютоновского количества движения (и его проекций);
2) ньютоновского момента количества движения (и проекций).
Математически оба закона сохранения обобщенных мер движения -
обобщенного импульса и обобщенной энергии - представляют собой первые
интегралы уравнений движения Лагранжа, т.е. некоторые функции
обобщенных координат и скоростей, сохраняющие постоянные значения при
движении системы (в силу уравнений Лагранжа).
Сформулируем законы сохранения обобщенного импульса и
обобщенной энергии, вывод которых представлен на схеме 27 и легко читается по
самой схеме:
1) если обобщенная координата qa циклическая (не входит в функцию
Лагранжа, = 0) и диссипативная сила, соответствующая именно этой
252 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
координате, отсутствует (Q£ =0), то обобщенный импульс ра = со-
dL
храняется постоянным в процессе движения системы: = const \
2) если функция Лагранжа не зависит явно от времени (— = 0) и все
at
диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют (Cf = 0,
i = 1,2,..., и), то сохраняется обобщенная энергия системы в виде
3) если при выполнении предыдущих условий (— = 0, Qf = 0,
at
i = 1,2,..., п) функция Лагранжа представляется в виде L — L2 + Lx + Lo и
связи системы возможно нестационарные, то закон сохранения обобщенной
энергии (*) приводится к виду
(или что то же, Т2 — То + П = Е);
4) если , как и раньше, L не зависит явно от времени и все диссипатив-
ные силы отсутствуют (— = 0, Qf =0, i = 1,2,..., и), существует потен-
ш
циальная энергия /7(д,,..., qn), а связи стационарные, то закон сохранения
обобщенной энергии вырождается в закон сохранения полной механической
энергии
Т+Л = Е.
Действительно, в этом случае Т—Т2, П = П(с[х,...,qn), 7] = 0, а
значит
§ 72. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 253
§ 72. Примеры законов сохранения в аналитической механике
П р и м е р 1 . Написать законы сохранения и уравнения
движения для спутника (рис. 72.1).
В полярных координатах г, ф функция Лагранжа имеет
вид
2 Г Рис. 72.1
Анализируем структуру функции L в соответствии со схемой 26. Дисси-
пативных сил нет, — = 0 (ф - циклическая координата). Сохраняется
Эф
обобщенный импульс р = —:
Эф
— = тг 2ф = const. (72.1)
И еще — = 0 (так как L не зависит явно от /), а значит, имеет место
at
обобщенный интеграл энергии
™(^y)G^ = C. (72.2)
Равенство (72.1) выражает закон сохранения момента количества
движения спутника, равенство (72.2) - закон сохранения его полной механической
энергии.
Уравнения движения спутника имеют вид
d dL dL _ .. . 2 г-, тМ
= 0, или mr-тгф +G—^- = 0,
dtdr dr Y г2
d dL dL d / 2 • \ n _^ 2,x n
= 0, или —\mr ф) = 0 => г ф = С.
Эф dtK '
У
h
В
q
Ятттттттт
254 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
П р и м е р 2 . Брусок массой т2
положен на поверхность клина массой щ,
находящегося на гладкой горизонтальной
поверхности. В начальный момент система в покое. Уста-
новить законы сохранения и написать
уравнения движения (рис. 72.2).
Рис 72 2
В качестве обобщенных координат
возьмем q и s и определим их связь с декартовыми координатами:
x2=q + scosa, Уг=Ь- ssina,
x2=q + scos(X, y2 = —s sin a.
Так как кинетическая энергия в декартовых координатах определяется
выражением
то функция Лагранжа L — T-П в обобщенных координатах будет иметь
вид
= ^-q2 +^-(q2 + s2 +2qscosa)+m2gssma. (72.3)
Анализируем структуру L по схеме 27. Так как —- = 0и£^=£^=0, имеет
at
место закон сохранения обобщенной энергии 1^— L0 = C:
q2 +s2 + 2qs cos a) - m2gs sin a = E, (72.4)
который в данном случае является законом сохранения полной механической
энергии Т+П = Е,- следствие того, что связи стационарные и существует
потенциальная энергия П = n^gQi — ssina).
§ 72. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 255
Поскольку L не содержит координату q, — = 0, а также Q% = О (трение
dq
между клином и горизонтальной поверхностью отсутствует), то сохраняется
и обобщенный импульс
Рд =(ml+m2)q + щй cos ее = С. (72.5)
Это равенство выражает закон сохранения горизонтальной проекции
количества движения системы.
Отметим: если между бруском и клином появится трение, то нарушится
закон сохранения механической энергии (72.4), тогда как величина р будет
по-прежнему сохраняться.
Наконец, уравнения движения системы имеют вид
ddL dL n
——— — = 0, или
at oq oq
(72.6)
ddL dL n .... .«
— ^- = 0 или s + qcosoi — gsinOL = 0.
dt ds ds
Из этих уравнений определяются ускорения тел:
s = gsina:\\ —cos a \, q = -g— 5—•
^ ти, + щ J щ+щ sin a
П р и м е р 3 . При сохранении условий предыдущей задачи клин
находится на платформе, которую перемещают равномерно со скоростью 1) в
горизонтальном направлении оси х.
Подставляя в формулу (72.3) q = г), находим функцию Лагранжа в
новых условиях задачи:
L = —(s2 +2vscosa\+m2gssina + C.
Анализируем структуру функции L. Так как — = 0, то 1^ - Lo = С, со-
храняется обобщенная энергия:
256 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
^s2-m2gssina = С. (72.7)
Это равенство в основной системе отсчета выступает как обобщенный
закон сохранения энергии. Что касается суммы кинетической и
потенциальной энергии Т+ П, то она не сохраняется. Обусловлено это тем, что реакция
нестационарной связи (равномерно движущегося клина) производит работу, а
значит, изменяет энергию бруска. Однако в системе
отсчета, связанной с платформой, равенство (72.7) выражает
закон сохранения энергии Т+П = Е, так как в этой
движущейся системе отсчета связь стационарна и ее реакция
работы не производит.
П р и м е р 4 . Шарик массой m движется внутри
гладкой невесомой трубки радиусом R, которая может
вращаться вокруг вертикальной оси без трения (рис.72.3).
Обобщенные координаты: 8 - угол поворота трубки
вокруг вертикальной оси, ф - угол отклонения от вертикали того радиуса,
который соединяет центр трубки и шарик. Функция Лагранжа такова:
Ь = Т-П-— (Я2ф2 + Q2R2 sin2 ф) + mgR cos ф. (72.8)
Анализируем:
1) — = 0, C2f = 0, откуда следует, что —г- = С, т.е.
ЭВ Э6
(72.9)
- закон сохранения момента количества движения шарика относительно
вертикальной оси вращения;
0 Q
2) — = 0, Qq = 0, £% = 0, откуда следует, что 1^ - LQ = С, т.е.
at
-(R\2 + tfR2 sin2 y)-mgRcosy = С (72.10)
- закон сохранения механической энергии.
П р и м е р 5 . При сохранении условий предыдущей задачи трубку
вращают с постоянной угловой скоростью 9 = 0).
§ 72. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 257
Подставляя в (72.8) в = со, получаем функцию Лагранжа для задачи с
измененными условиями:
L = — (Я2ф2 + (i)2R2 sin2 ф) + mgRcosip.
Анализируем:
1) —— Ф О, поэтому обобщенный импульс р = — не сохраняется;
Эф Эф
^ = 0, 0=О,азначит, L, - Z,o = С, т.е.
of
- обобщенный закон сохранения энергии (он не сводится к обычному закону
сохранения энергии, так как связь нестационарная: 6 = Ш).
Примерб. Та же система, что в примере 2, трения между бруском
и клином (коэффициент трения к).
Закон сохранения механической энергии отсутствует, так как по
условию диссипативная сила Q? Ф 0. Однако проекция количества движения pq
сохраняется, так как — = 0, Q* = 0 (см. схему 27).
dq ^
Уравнения движения имеют вид (72.6), только в правых частях этих
уравнений нужно вместо нулей написать обобщенные силы Qq и Qs,
соответствующие координатам q и s.
Эти силы можно вычислить как отношения Qs —~~ и Q =—-, где
os oq
bAs - работа сил трения на виртуальном перемещении системы при условии
bq = 0, а ЪАд - работа сил трения при условии bs - 0. Что касается активной
силы тяжести rr^g, то она учтена в L, так что при вычислении Qs и Qq ее
работу учитывать не следует.
Вычислим ЪАЯ при условиях: клин неподвижен {bq = 0), а брусок
смещается на bs (пусть вниз) по клину. Работа равна bAs = 8As5p + ЬА*Я, где
ЪА^Р - работа силы трения, действующей на брусок; 8А*Я - работа силы
трения, действующей на клин. Эта последняя работа равна нулю, так как
9-262
258 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
клин неподвижен. Таким образом, bAs = 6Д°Р = —kNbs, откуда
ЬА
Qs = -~ = —Ш. Остается найти N- силу нормального взаимодействия кли-
на и бруска. С этой целью запишем уравнения движения бруска:
F^. (72.11)
Чтобы исключить силу трения, спроектируем это уравнение на направление
N нормали к наклонной плоскости клина. Учитывая, что
г2 = О А + АВ + ВМ, найдем г2 = О А (АВ = const, ВЫ перпендикулярно
направлению нормали), а значит, fe) —q. Имеем n^qsinCL^
— ~nhS cos GL + N, откуда N' = ^{q sina + g cos a). Подставляя N в
формулу Qs = ~ fcN, находим обобщенную силу
^ sin a + gcosa).
Уравнения движения
dtdq dqUq И dtds
приобретают следующий вид:
(w, + m^q + m^scosa^ 0,
m2(s + q cos ofy-rr^g sin a = —кщ (q sin CL + g cos a).
Легко усмотреть, что первое из этих уравнений - следствие сохранения
jc-проекции количества движения системы в горизонтальном направлении. Из
последних двух уравнений находим
пи (sin а-к cos a) cos a
Щ + т2 (5/и OL — k cos a) sin a
- постоянное ускорение клина.
§ 73. НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 259
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если связи -
идеальные удерживающие, то уравнений Лагранжа бывает достаточно для
определения закона движения системы. Если же связи не идеальные (в частности,
при наличии трения) или неудерживающие, уравнений Лагранжа может
оказаться недостаточно. В приведенном выше примере при наличии трения
оказалось необходимым использовать еще и уравнения движения (72.11).
§ 73. Неоднозначность функции Лагранжа
Теорема: функция L определена с точностью до полной
производной по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени.
Доказательство. Двум функциям L = L(q,q,t) и V —
= L{q,q,t)A—/(<7>0 соответствует одно и то же уравнение Лагранжа
dt
(f(q, t) - произвольная функция). Это следует из соотношения
d BL' BU d BL BL
dt Bq Bq dt Bq Bq
(73.1)
Добавочный член, входящий в V, при составлении выражения, стоящего в
левой части (73.1), обращается в нуль. В этом легко убедиться прямым
вычислением.
Поэтому всегда можно отбросить или же прибавить к функции Лагранжа
члены, которые приводятся к полной производной по времени от какой-либо
функции координат и времени. Это действие называют калибровочным
преобразованием функции Лагранжа.
Пример. Муфта массой т надета на
горизонтальный стержень и совершает на нем колебание на
пружине. Стержень укреплен на платформе, которая движется с
ускорением а в направлении стержня. Длина недеформиро-
ванной пружины /0 (рис. 73.1). Установить наличие законов
сохранения, пренебрегая трением.
Пусть \ — обобщенная координата. Положение муфты / Рис. 73.1
в момент t будет определяться выражением
260
ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Функция Лагранжа
64
(73.1)
Здесь —maV =—I —waV и mat£, = ma—(*£)-#иа£. Отбрасывая полные производ-
2 dt\6 ) dt
ные по времени, получим
(732)
В форме (73.1) L зависит от t явно, и кажется, что закон сохранения обобщенной
энергии не выполняется. Однако после упрощения в форме (73.2) L явно от t уже не
зависит. Следовательно, закон сохранения обобщенной энергии имеет место:
Ьг — L0=C, или
(73.3)
да
Если а не постоянно, — Ф 0, то L, согласно (73.2), явно зависит от времени и интег-
ot
рал обобщенной энергии отсутствует.
§ 74. Вывод уравнений Лагранжа по вариационному принципу
Гамильтона — Остроградского
После Ньютона было найдено много других способов построения
динамики как науки. В основе одного из них лежит вариационный принцип
Гамильтона — Остроградского. Рассмотрим этот принцип для случая голоном-
ной механической системы с идеальными удерживающими связями, когда
активные силы потенциальные стационарные.
Сначала изложим содержание принципа, а затем покажем, что уравнения
Лагранжа построены по этому принципу.
§74. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ПО ВАРИАЦИОННОМУ ПРИНЦИПУ 261
В качестве простой иллюстрации рассмотрим движение
материальной точки по заданной поверхности в отсутствие
трения (рис. 74.1). Пусть АВ - траектория действительного
движения, в котором обобщенные координаты - некоторые
функции времени q(t) (пишем одну координату для
краткости; подразумеваем все их) и обобщенные скорости q(t). Это
Рис. 74.1
движение совершается между положениями А и В за время от
момента ?, до момента t2.
Мысленно можно представить еще и другие движения точки между теми
же положениями А и В за то же время от момента tx до момента t2; однако
эти движения природой не реализуются. Эти окольные движения, как и
действительное движение, согласованы со связями (в примере все они
совершаются по поверхности) и являются бесконечно близкими к действительному.
Поэтому в любой момент движения t, tx<t <t2, координаты и скорости
окольных движений отличаются от координат и скоростей действительного
движения бесконечно мало:
jbq. (74.1)
at
Здесь Sq - приращение координаты q при фиксированном t, a
q -q = Sq - приращение скорости q тоже при фиксированном L При этом
непрерывные функции 6^ можно выбирать совершенно произвольно, так
как обобщенные координаты qt независимы.
Рассмотрим далее интеграл от функции Лагранжа при действительном
движении
S = 'JL(q{t),q(t),t)dt, (74.2)
'1
который называется действием по Гамильтону. Для окольного движения
действие
S = ] L(q + bq, q + bq, t)dt. (74.3)
Для любой голономной системы с идеальными удерживающими связями и
потенциальными активными силами принцип Гамильтона —Остроградского
262 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
утверждает: значение действия для действительного движения меньше, чем
его значение для любого окольного движения:
S<S. (74.4)
Иначе: значение действия в действительном движении минимально*.
Необходимым условием минимума, как обычно, является равенство ну-
лю главной линейной части разности, в данном случае - разности S — S.
Главная линейная часть этой разности называется первой вариацией действия
и обозначается bS:
Итак, для действительного движения действие минимально и его первая
вариация обращается в нуль:
О = л.ч. (S-S) =л.ч. UL(q + bq, q + bq, t)dt-\ L(q, q, t)dt V
или
О =л.ч. \{L{q + bq,q + bq, t)- L{q, q, t)}dt.
Разлагая в ряд и ограничиваясь линейной частью, получаем
(74.5)
Так как операция варьирования 8 и операция дифференцирования по
d
времени — независимы друг от друга, то последовательность их выполнения
dt
изменим:
d c
од = — bq (74.6)
dt
(это равенство вытекает также из второго равенства (74.1)).
♦Минимум реализуется, если промежуток времени t2 —tx не превышает некоторого
значения, которое зависит от рода задачи.
§ 74. ВЬЮОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ПО ВАРИАЦИОННОМУ ПРИНЦИПУ 263
Поэтому второй интеграл в (74.5) можно вычислить по частям:
э?
bqdt = J ——bqdt = J ~dbq.
{ э? j э? л J
Полагая — = и и d8# = A), найдем по формуле \udx> = wo — f i)df«:
dtdq
Проинтегрированная часть выпадает, так как по условию варьирования
f = 0, 5^|} = 0: в момент tx и t2 положение системы в любом окольном
движении совпадает с положениями АиВв действительном движении.
Подставляя (74.7) и (74.5), получим
Поскольку множитель 6^ - произвольная функция, то из (74.8) следует*
at oq oq
Мы убедились, что уравнения Лагранжа действительно построены по
вариационному принципу Гамильтона — Остроградского. Доказательство не
отличается от приведенного здесь и в том случае, когда рассматривается
система с произвольным числом независимых обобщенных координат
* Строго математическое доказательство приводится в курсах вариационного
исчисления.
264 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 75. Игнорирование циклических координат. Функции Рауса
1. Координата, которая не входит в функцию Лагранжа, а представлена в
ней только своей производной по времени, называется циклической.
С целью упростить вычисления, рассмотрим систему только с двумя
степенями свободы. Пусть первая из обобщенных координат qx есть
циклическая. Функция Лагранжа будет L(g2,qltq2, t). Уравнение движения
системы
d ЭХ ЭХ _ ЭХ ft
——- — = 0, где — = 0, (75.1)
dt Э?, dqx 6qx
£|£_|^ = 0. (75.2)
dt dq2 dq2
Первое из этих уравнений соответствует циклической координате; оно
интегрируется
= А. С75-3)
где рх - константа интегрирования. Равенство (75.3) в развернутом виде
означает некоторую функциональную связь вида f{q2>4v4i>t) — Р\\ эт0 Ра"
венство выражает закон сохранения обобщенного импульса. В общем случае,
когда число циклических координат равно /и, таких законов сохранения тоже
т.
Из равенства (75.3) можно найти циклическую скорость qu как
функцию остальных нециклических параметров q2, q2, pv ty и подставить ее
значение в X. Казалось бы, после этого можно уже написать уравнение движения
для нециклической координаты q2 в виде (75.2). Но это не так. Дело в том,
ЭХ
что по правилам вычисления частной производной, при нахождении
только одно q2 должно рассматриваться как переменное, тогда как все
остальные параметры фиксируются. Аналогично, вычисляя , переменным
следует считать только q2. Но эти условия фиксирования не могут быть
выполнены по той простой причине, что циклическая скорость qx, которую
§ 75 . ИГНОРИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТ. ФУНКЦИИ РАУСА 265
нужно фиксировать, исключена из L, выражена через другие параметры. Раус
указал новую функцию, которая после исключения циклической скорости
играет роль функции Лагранжа для нециклической координаты. Функция
Рауса имеет вид:
<1\> (75-4)
при этом предполагается, что в правой части циклическая скорость
исключена. Ее следует заменить, определив из закона сохранения циклического
импульса (75.3) в виде функции нециклических параметров q2, q2, px, t.
Если система имеет п степеней свободы и среди независимых
обобщенных координат ЯХ'Я2'---'Яп первые m координат циклические, то функция
Рауса имеет вид:
1> • ■ >Яг,; Р\ >■- •' Рт>' 0 =
При этом циклические скорости qx,...,qm в правой части равенства должны
быть заменены согласно законам сохранения циклических импульсов.
Чтобы убедиться, что функция R, независящая от циклических
параметров, действительно играет роль функции Лагранжа для нециклической
координаты, проварьируем равенство (75.4) слева и справа:
dR~ +_ЭЛо. dR
dq2 2 dq2
dL
4^2 +T^^i +Т7
dq2 dqt dq
(варьирование - это дифференцирование при постоянном t). В правой части
равенства второй и последний члены взаимно уничтожаются. Приравнивая
множители при одинаковых вариациях и учитывая, что 6 =5pi> нахо-
ДИМ
dL dR dL dR . dR
dq2 dq2 dq2 dq2 dpl
9*-262
266 ГЛАВА 9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Подставляя значения (75.5) в (75.2), получим уравнение движения для
нециклической координаты
0. (75.6)
at dq2 dq2
Как видим, роль функции Лагранжа для нециклической координаты
действительно играет функция Рауса.
Что касается циклической координаты, то она находится из третьего
уравнения (75.5)
(после интегрирования (75.6) подинтегральная функция становится
известной функцией времени).
Поскольку функция Рауса играет роль функции Лагранжа для
нециклических координат, то на первую переносятся известные свойства второй:
1) Если R явно от t не зависит и все диссипативные обобщенные силы
отсутствуют, то обобщенный интеграл имеет вид (пишем в общем случае,
когда qx, #2»■ • •»9m ~циклические)
т
R~^~qt= const. (75.7)
,=i dq,
2) Бели система динамическая, т.е. R = R2+Rl+R0 - функция второй
степени от нециклических скоростей, то (75.7) превращается в равенство
-&, = const.
В заключение отметим, что, как это следует из уравнений
ЭД . ЭД п
др1 dql
функция Рауса по отношению к каноническим переменным д,ир, играет
роль функции Гамильтона //(определение функции //дано в следующем
параграфе).
Глава 10
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
§ 76. Канонические уравнения движения (уравнения Гамильтона)
Новый важный этап в развитии теоретической механики после Лагранжа
связан с открытием Гамильтоном в 1834 г. канонических уравнений
динамики. Если по методу Лагранжа движение системы описывается в обобщенных
координатах qx,...,qn и обобщенных скоростях qx,-,qn, то по методу
Гамильтона оно описывается в обобщенных координатах и обобщенных
импульсах qx,---,qn, P\y->pn- Обобщенные импульсы являются линейными
функциями обобщенных скоростей. Вычисляются они согласно определению
путем дифференцирования функции Лагранжа по обобщенным скоростям:
dL
—
dqi
р, =
(см. формулу (69.8) для Тс учетом, что L = T- /7(^,,...,qn)).
В развернутом виде обобщенные импульсы связаны с обобщенными
скоростями зависимостями
А = Аийх + АпЯг+-+А\£г, + Av
Рг = АхЧх + Аг2Чг+-+ЛгАг, + А'
(76.1)
п = АпА\ + Аг,г4г+-+Аг,г,9„ + А-
Совокупность величин qx,---,qn,qx,---,qn,t называется лагранжевыми
переменными, a qx,..., qn, px,..., рп, t гамилыпоновыми или каноническими
268 ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
переменными. Переход от лагранжевых переменных к каноническим всегда
выполним, так как уравнения (76.1), определяющие pt, всегда разрешимы
In
АиJ^O *.
Из уравнений (76.1) всегда можно найти обобщенные скорости как
линейные функции обобщенных импульсов: qt =^lBijpJ +Cit где Btj и С, -
некоторые функции qv...,qn,t.
Если в обобщенной энергии Еоб выразим все qt через pi по формулам
(76.1), то получим некоторую функцию, зависящую от канонических
переменных; она обозначается через H[q, p, t) и называется функцией
Гамильтона:
f -L (76.2)
(снова подчеркиваем: предполагается, что qf заменены на ХДуР/ +*-v со~
гласно (76.1)).
В учебных пособиях канонические уравнения выводятся по-разному,
например, путем анализа приращения функции Гамильтона dH в
действительном движении системы; путем анализа приращения ЪН на виртуальном ее
перемещении, также путем известного в теории дифференциальных уравнений
преобразования Лежандра. Можно применить вариационный принцип с
независимым варьированием координат и импульсов qv...,qn, /?,,..., /?„ и т.д.
Рассмотрим кратко некоторые способы вывода канонических уравнений.
1. Приращение функции H[q, p, t) за время dt (пишем буквы q и р для
краткости вместо qx,..., qn, plt...,pn) в действительном движении равно
fr*+zfr
aq ар
Но из определения Н согласно (76.2) следует:
^ ^dq]-^dt. (76.4)
* Речь идет о "натуральных" системах, для которых L = L2 + £,, + Lo в более общих
Id2L
§76. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 269
Второе и четвертое слагаемые уничтожаются, так как р =—, по опре-
dq
делению импульсов. Отождествляя оба выражения для dH и приравнивая
множители при одинаковых дифференциалах (с учетом равенства р —
которое следует из уравнений Лагранжа и определения импульсов), получаем
канонические уравнения
оН . аН . t _
#=-—, i = 12,..., п (76.5)
dq
и дополнительное соотношение —~ = , показывающее, чтафункции Ни
ot at
L одновременно либо зависят, либо не зависят явно от L
2. Приращение функции H(q, p, i) на виртуальном перемещении
, 6>
dp
но из определения следует, что
q - £ \—oq +—6^ . (76.7)
Обратим внимание, что в выражении виртуального приращения ЬН
множители при вариациях относятся к действительному движению. Поэтому и
оказывается возможным найти уравнения, описывающие действительное
движение, рассматривая виртуальное приращение ЬН.
Как и в первом случае, второе и четвертое слагаемые в (76.7) взаимно
уничтожаются. Приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях Ьд и
6/7 в (76.6) и (76.7), снова получаем канонические уравнения.
3. Симметрия канонических преобразований обнаруживается, если
рассматривать их как преобразования Лежандра из теории дифференциальных
уравнений. Сравним два текста.
270
ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
Преобразования Лежандра
в математике
Если в функции
!,...,«л) перейти от старых
переменных к новым 1),,...,!)„
по формулам
ди,
=Т~' * = 1,2,...,н (1)
и ввести новую функцию
vl,...,vn) = ^viui-F, (2)
рассматривая ее как зависящую от
новых переменных, то окажется,
что
«,.=——, / = 1,2,...,п. (3)
Таким образом, это
преобразование обладает симметрией: новые
переменные X)t равны частным
производным от старой функции
по старым переменным, а старые
переменные щ равны частным
производным от новой функции
по новым переменным.
Доказательство. Вычислим
вариацию новой функции G двумя
способами: 1) рассматривая ее как
Преобразования Лежандра
для функции Лагранжа
в механике
Если в функции L перейти от
старых переменных qt к новым
переменным pt по формулам
* = 1,2,...,и (Г)
и ввести новую функцию
a-L> (2')
рассматривая ее как зависящую от
новых (и пассивных qt и t, не
участвующих в преобразованиях)
переменных qlt.... д„, plt...,pn, t,
то окажется, что
Уравнения (Г) и (3')
эквивалентны: первые выражают
обобщенные импульсы pt через
обобщенные скорости qt, а вторые,
наоборот, - скорости через
импульсы.
В результате преобразований
Лежандра уравнения Лагранжа
§ 76. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
271
функцию новых переменных
Dp...,!),,, 2)учитывая
определение
По первому способу
По второму способу
8G =
- bF =
Здесь множители при Ьц равны
нулю согласно (1). Отождествляя
оба выражения для 5G, приходим
к(3).
dt dq, dq,
переходят в уравнения вида4
dq,
(4')
которые вместе с (3') образуют
систему канонических уравнений
динамики.
В отсутствие диссипативных
сил каноническая система
уравнений выглядит совершенно
симметрично:
Pi=-
dq,'
(5')
i? = 1,2,..., п.
Канонические уравнения обладают не только симметрией, они простые,
разрешены относительно первых производных по времени от обобщенных
координат и импульсов, а их правые части - известные функции этих
переменных (поскольку известна структура механической системы), получаемые
дифференцированием одной единственной функции Н. В этой простоте и
симметрии неоценимое теоретическое значение канонических уравнений.
* Равенство = —-— следует из (2').
dq, dq,
272 ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
§ 77. Канонические уравнения как следствие принципа
Гамильтона — Остроградского при расширенном
способе варьирования
Вариационный принцип в § 74
8JL(q,q,t)dt = 0 (77.1)
после введения понятия обобщенных импульсов (76.1) и функции
Гамильтона (76.2) можно представить в виде
1p& -H{qv...,qn,Pl,...,pn,t))lt. (77.2)
Подинтегральная функция здесь внешне изменена, но характер
варьирования пока прежний, т.е. р/ рассматриваются как некоторые заданные
функции qt и qt в соответствии с (76.1).
Изменяя координаты на bqt (и соответственно этому варьируя скорости
bq, ——&7Д мы из уравнения (77.1) раньше выводили уравнения Лагранжа.
dt
Однако, как оказывается, из вариационного равенства (77.2) можно
вывести и канонические уравнения. Это возможно, если рассматривать
координаты и импульсы q и р как независимо варьируемые величины*.
Действительно, если вариации координат и импульсов в окольном движении равны
&7,- и Ърг, то согласно уравнению (77.2) получим
(77.3)
* Поэтому в окольном движении зависимости р. = нужно теперь снять.
дд,.
§ 77. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРИНЦИПА 273
Поскольку варьирование изохронное и функция bqt непрерывна и
дифференцируема, то bqt = —bqr Интегрируя по частям, найдем
dt
)ptbqtdt = )рЛЬд<А = PAJJ -)bqtPtdt. (77.4)
Проинтегрированная часть обращается в нуль, поскольку на границах
интегрирования принимается 5^i = 0.
Подставляя (77.4) в (77.3), получим
(77.5)
Если теперь bpt и 8q, считать совершенно произвольными и
независимыми, то из последнего уравнения следует, что множители при всех
вариациях обращаются в нуль, а значит,
В заключение несколько общих замечаний. Первая группа уравнений
— - это просто разрешенные относительно скоростей уравнения
Эр,
Pi = , определяющие импульсы; они не выражают какого-либо физичес-
dq,
дН
кого закона. Вторая группа уравнений р( = следствие уравнений Ла-
гранжа, и она заключает в себе физический закон. Движение описывается
полной системой 2п уравнений (77.6), эквивалентной уравнениям Лагранжа.
Сравнивая уравнения Лагранжа (74.9) со второй группой канонических
уравнений (77.6), заключаем, что = . Отсюда следует, что если не-
d dq,
которая координата qa является циклической в отношении L (т.е. qa не
входит в L\ то она циклическая и в отношении Н, и наоборот. И, как уже упо-
274 ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
Ы дН _ __
миналось, из дополнительного равенства —- = —— следует, что L и Н од-
at at
новременно зависят или одновременно не зависят от t
Поскольку канонические уравнения выводятся из расширенного
вариационного принципа, причем вариации импульсов Ърг считаются
произвольными, независимыми от 6^, то импульсы р, можно считать такими же
независимыми, как и координаты qt. В результате имеем 2л независимых
равноправных параметров qv.... qn, /?,,..., рп, которые, однако, в действительном
движении связаны каноническими уравнениями.
Независимость 2и параметров qnp позволяет ввести в рассмотрение
геометрическое 2«-мерное фазовое пространство.
§ 78. Фазовое пространство
Абстрактное геометрическое 2/7-мерное пространство, координаты точек
которого суть qx,..., qn, pl,..., рн, называется фазовым пространством
(частный случай - фазовая плоскость). Когда система движется в реальном
трехмерном пространстве, изображающая ее точка движется в фазовом
пространстве. Частному решению канонических уравнений (при определенных
начальных условиях) соответствует в фазовом пространстве одна
движущаяся изображающая точка. Общему решению канонических уравнений
соответствует множество точек (при различных начальных координатах и
импульсах), движущихся в фазовом пространстве.
Преимущество2и-мерного фазового пространства(qv...,qn,pv..., рп)
перед п-мерным пространством (qx,---,qn\ которое называется
конфигурационным пространством, в следующем.
В конфигурационном пространстве движение может начинаться из
любой точки в любом направлении.
В фазовом пространстве движение может начинаться тоже из любой
точки. Однако задание единственной точки уже однозначно определяет и
фазовую траекторию. Фазовые траектории не могут пересекаться, так как это
означало бы нарушение единственности механического движения. Поэтому
фазовые траектории размещаются упорядоченно, напоминая линии тока
жидкости при ламинарном движении. Аналогия эта глубокая: изменению
механической энергии при определенных начальных условиях соответствует
движение изображающей фазовой точки по линии тока. Движению копий
§ 78. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО 275
ной системы при всевозможных начальных условиях соответствует движение
множества фазовых точек. Если это множество непрерывное и занимает
определенный объем, то, как оказывается, в процессе движения изменяется
только форма объема, а его величина сохраняется (теорема Лиувилля). В ряде
случаев информацию о движении можно получить, изучая не частное
решение уравнений движения, а общее решение, т.е. поведение некоторых
объемов фазового пространства. Использование фазового пространства как
метода исследования, широко применяется в статистической физике. В механике
получило широкое распространение изучение с помощью фазовых
плоскостей колебательных и иных процессов.
В заключение приведем одно замечание.
Можно показать, что равенство qt = —— следует непосредственно из
Щ
определения Н. А значит, выражение в скобках, содержащее множитель bpt
под знаком интеграла (77.5), равно нулю и в случае, когда pt не независимы,
а являются некоторыми функциями qt и qr В оставшейся под интегралом
части множители bqt произвольны (так как это изменение независимых
координат), а поэтому и выражение во вторых скобках тоже равно нулю. В
итоге мы приходим к каноническим уравнениям и тогда, когда учитывается
дЬ
связь #= —.
dq,
И все же более плодотворной для использования является расширенная
формулировка первоначального вариационного принципа, когда импульсы
pt рассматриваются как вторая система независимых позиционных (наряду с
координатами qt) переменных. Поэтому вариационный принцип для
канонических уравнений означает экстремальность (обычно минимум)
функционала:
5 = |[ХрА-% ?И,А А,0)* С78.1)
при произвольных вариациях qt и рг Канонические уравнения Гамильтона
следуют из равенства нулю вариации SS = O при условиях
когда qt{t) и Ptif) варьируются независимо.
276 ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
§ 79. Канонические уравнения как уравнения Эйлера — Лагранжа
расширенного вариационного принципа
Из вариационного принципа
{q,t)dt = O (79.1)
i
следуют уравнения экстремалей
£" = 0. (7,2)
at
которые в курсах вариационного исчисления известны под названием
уравнений Эйлера. В механике роль функции F играет функция L Лагранжа, а
уравнения (79.2) являются уравнениями Лагранжа.
Расширенному вариационному принципу, изложенному выше,
соответствует функция Лагранжа
%> (79-3)
1=1
где pt и qt рассматриваются как независимые позиционные координаты,
определяющие положение изображающей точки в фазовом пространстве.
Уравнения движения системы - уравнения Лагранжа - имеют вид
=0
dt dq, dq, ' dt dpt dpt
Подставляя значение L', получим
3 = 0,
dt dqt ' dt
- снова канонические уравнения.
§79. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КАК УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА 277
Пример. Осциллятор. В качестве модели осциллятора можно
взять ^руз, колеблющийся на пружине (рис. 79.1). Закон сохранения энергии
записывается
-тх2+-кх2=Е,
2 2
или
S/SSSJS/SJSA/S
Рис. 79.1
откуда
2т 2
Х +—^-г = 1
\-sj2mE)
(79.4)
— уравнение фазовой траектории. Следовательно, когда груз колеблется по оси х,
изображающая точка на фазовой плоскости {х, р) движется по эллипсу (рис. 79.2).
В заключение напишем канонические уравнения для
осциллятора. Имеем переменные Лагранжа х, х; канонические
переменные х,р, где р = тх. Так как связи отсутствуют, функцию
Гамильтона можно найти как полную энергию
Рис. 79.2
Уравнения Гамильтона здесь имеют вид
JC =
dp'
окончательно получаем
т
Эх'
р = -кх.
278 ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
§ 80. Теоремы об изменении обобщенных мер движения
и законы сохранения обобщенного импульса
и обобщенной энергии в механике Гамильтона
1. Из канонических уравнений движения выводятся теоремы об
изменении обобщенных мер движения. Преобразования в этом случае такие же, как
и в случае уравнений Лагранжа. Они представлены на схемах 28 и 29.
2. При некоторых ограничениях на функцию Гамильтона и на диссипа-
тивные силы правые части равенств, выражающих теоремы, обращаются в
нуль, и тогда эти равенства интегрируются. Так приходим к законам
сохранения обобщенного импульса ра = С и обобщенной энергии Н=С
(схема 29).
Заметим, что в случае нестационарных связей функцию Н Гамильтона
следует вычислять как обобщенную энергию исходя из формулы
представляя ее в канонических переменных.
В случае стационарных связей проще вычислить Я непосредственно как
полную механическую энергию:
Н=Т+П,
(80.1)
(Т=Т2, Г1 = Г0=0, П = П{д1г...,д„)).
§ 80. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ МЕР ДВИЖЕНИЯ
279
00
с*
1 —
\2
кинэжияЬ1 ncfow
280
ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
с*
Глава 11
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 81. Вывод формулы полной вариации функционала
Структурные аналогии ряда тем аналитической механики выступают
ярче, если в основу выводов положить формулу первой вариации
функционала. На этом пути структурно объединяются такие, казалось бы, разные
вопросы, как вариационный принцип Гамильтона—Остроградского,
принцип Эйлера—Лагранжа, законы сохранения мер движения в ньютоновской
механике - сохранение количества движения, механической энергии и
момента количества движения, закон сохранения обобщенного импульса и
обобщенный закон сохранения энергии в аналитической механике,
интегральные инварианты динамики, уравнения Гамильтона — Якоби и др.
Кроме того, унифицируется рассмотрение соответствующих вопросов
для обоих видов материи - вещества и поля и притом на различных уровнях:
классическом, релятивистском, квантовом.
Каждый раз меняется только вид исходного функционала и
соответствующая ему формула первой вариации, тогда как их структура и метод
рассмотрения остаются теми же. В итоге такой способ изложения значительно
экономит силы и время, особенно при полном изучении курса теоретической
механики и физики.
Учитывая все это, сначала выводим формулу полной вариации
функционала. Ниже при рассмотрении различных вопросов будем исходить каждый
раз из этой формулы. В итоге и будет обнаружено единство структур многих
тем аналитической механики.
1. Формула полной вариации функционала. Рассмотрим функционал
(81.1)
282
ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
где tx, t2 - фиксированные моменты времени. Интеграл (81.1) каждой ф)
ции q(t) (каждой кривой у на плоскости (t, q) - рис. 81.1) ставит в сое
ствие некоторое число «/[у]. Перейдем от "старых" координат q и времени t
к "новым" q* и t* по формулам
f81.2)
где ДГ = Е^Г, q,q), bq = ET| (r,fe, ^).
Здесь ^, TJ - некоторые произвольно
выбранные непрерывные функции, Е -
малый параметр. I
Величины At и Aq называется
вариациями соответствующих
переменных. Формулы (81.2) устанавливают
соответствие между близкими точками
M{t,q) и M*{t*,q*\ на плоскости
(t, q). Когда время меняется от tx до t2,
точка M(t, q) перемещается по кривой
у, а точка M*\t*,q*\ - по близкой
кривой у*. Главная часть приращения •ЛУ*]~Л1у]> линеиная относительно
параметра Е, называется первой вариацией функционала (81.1) и
обозначается Л/. Наша задача - вычислить Л/:
(81.3)
т.е.
(81.4)
где
q\ q) =
Aq, q + Aq).
Разлагая в ряд и ограничиваясь малыми первого порядка, находим
§ 81. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА 283
и\юдставляя затем в (81.4), получаем
ZF ?F Л
(81.5)
dt dt dq dq )
При Подстановке учтено, что dt* - 1 + — At Idt, а пределы интеграла со
' V. dt J
звездочками t\, t\ заменены на tv t2 (это допустимо, так как такая замена
влияет лишь на слагаемые второго порядка малости).
Введем в рассмотрение разность ординат кривых у* и у при одном и
том же значении t, а также разность угловых коэффициентов (тангенсов угла
наклона) этих кривых; обозначим их через 5# и 5^:
= q\t)- q(t), Ц = q\t) - q(t). (81.6)
Величины bq и 6<j называются изохронными вариациями функций q и q.
Очевидно, для изохронной вариации время At = 0 (время не варьируется). Из
(81.6) непосредственно следует, что
Ц=—Ц- (81.7)
dt
Связь между неизохронной вариацией Aq и изохронной вариацией bq
устанавливается прямым вычислением:
(отброшены малые второго порядка). Окончательно получаем
Aq = bq + q(t)At. (81.8)
Применяя эту формулу к q, напишем
() (81.9)
284 ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Используя формулы (81.8) и (81.9), продолжаем вычисление AJ:
,d . 3F А. . dF/e. . ...ч 3F
Л dt dqx х А ' dq
или
л г гГг-^л (3F 9F. 3F..V dF~. dF-.Y
!Х dt {dt dq4 dq4) dq dq 4J
Выражение под интегралом в круглых скобках равно —; в последнем
dt
члене заменим &7 согласно (81.7). Получим
Л г '}( ^d A dF A aF2 dF d
Л/= J F—At + — Al + —-bq+-
\\ dt dt dq dqdt
Первые два слагаемые под знаком интеграла образуют полную произ-
водную —{FAt); последнее слагаемое по формуле дифференцирования про-
dt
изведения двух функций равно разности
dt\dq ) dtydq
В итоге
ddF
Интегрируя ту часть, которая представлена производной, находим
Это и есть искомая формула первой вариации функционала. Замена
Aq- qAt приводит к другому виду этой формулы:
§ 81. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА 285
(ша
2. Изложенный вывод формулы для А/ не меняется, если F(t, q, q)
зависит не от одной, а от нескольких переменных, F = F(t,qx(t), ...,qn{t),
qx(t),...,qn(t)), и когда преобразование содержит несколько параметров
Е,,Е2,...,ЕГ: t* =t + At
); (81.13)
=?, (О+ А#»> гДе
г1г\\1)+г2г\\1)+.. .+ervf;r\ / = 1,2,...,и, (81.14)
а £,,..., ег - независимые друг от друга малые параметры (все они первого
порядка малости) £ ,...,£^ и т)\х),...,т(;г) - произвольные непрерывные
функции от t, qx,..., qn, qv ..., qn.
Формула для первой вариации в этом, более общем, случае имеет
аналогичный вид:
<81Л5)
или, если произвести замену 6#,- = Aq, — qtlSt,
\'2
.(81.16)
Время и усилия, затраченные здесь на вывод формулы первой
вариации, с избытком компенсируются при рассмотрении отдельных вопросов
механики. Анализ многих из них оказывается тогда простым и предельно
кратким.
286 ГЛАВАМ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 82. Интегральные вариационные принципы
Идея вариационного описания движения такова: устанавливается
критерий отличия действительного движения системы, совершающегося между
двумя фиксированными ее положениями, от множества окольных движений,
удовлетворяющих надлежаще подобранным ограничениям.
1. Принцип Гамильтона — Остроградского.
Пусть связи системы голономные, идеальные, а активные силы обладают
силовой функцией U(qx,...,qn, f)-Поскольку связи не обязательно
стационарные, закон сохранения механической энергии может не выполняться.
Функционал
S = ]L(t,qx,...,qn,qv ...,qn)dt, (82.1)
'i
где L — функция Лагранжа, называется действием по Гамильтону.
Рассмотрим множество окольных движений, бесконечно близких к
действительному, согласованных со связями. С этой целью выберем
произвольно непрерывные функции Г|,(/),...,Г]п(/) и малый параметр £, и пусть в
окольных движениях время не варьируется, а координаты равны Я* у*), где
= £TV (82.2)
Меняя Т),(0' * = 1>2,...,я, получаем множество каждый раз новых
окольных движений. Дополнительно потребуем, чтобы все окольные
движения совершались за то же время и между теми же крайними положениями,
как и действительное движение. Учитывая еще, что варьирование
изохронное, получаем
= 6я,1 =0; Дл| =Ъа,\, =0-
Найдем теперь выражение первой вариации действия по Гамильтону,
используя формулу (81.15):
§ 82. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 287
Докажем, что при наложении условий первая вариация AS равна нулю.
В самом деле, интеграл в правой части равен нулю, так как подынтегральная
функция для действительного движения системы равна нулю. Второе
слагаемое также равно нулю, так как А/ = 0 (варьирование изохронное), а
&7,|, = 0, bqf\t = 0. Следовательно,
8S = 0, А = Ь, (82.4)
что и требовалось доказать (см. схему 30).
'2
Интеграл \2Tdt называется действием по Лагранжу. Его значение всё-
'I
гда положительное и ограничено снизу.
Таким образом, действительное движение голономной системы
отличается от близких к нему окольных движений, совершающихся за то же
самое время между теми же крайними положениями, тем, что для него
первая вариация действия по Гамильтону, вычисленная за любой
фиксированный промежуток времени, равна нулю:
b\L{t, qv..., qn, qv ...,qn)dt = 0. (82.5)
'i
Примечания:
1. Равенство dS — O - необходимое условие минимума исходного функционала
(82.1).
2. Принцип Гамильтона — Остроградского может быть обобщен также на случай
непотенциальных сил и неголономных связей.
3. Бели сравнить значение действий по Гамильтону в двух окольных движениях, то
окажется, что Ф 0 и тогда Д/ отлично от нуля. Только когда действие по
dL d Ъ1
окольному пути сравнивается с действием в истинном движении, имеем = О
dq, dt dq,
и тогда Д/ = 0.
2. Принцип Эйлера — Лаграюка. В отличие от предыдущего, этот
принцип применим только к консервативным системам, т.е. системам, полная
механическая энергия которых сохраняется. В таком случае идеальные голо-
номные связи являются стационарными, а действующие силы потенциальные
стационарные.
288
ГЛАВАМ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
О)
И1ГИЭ
ИСК8Э
стчэхэиэ
иэиПянЛф
иоаоииэ xoretfBirgo
эинёвноиПвхэхвЕ
-кдоэн !эинч1гвэЬ'и
кшшоношы
со
II
О
II
О
II
to
Н CN
II
I
CS
е
СО
О
«5ч
<
И1ГИЭ
иЕкаэ
В1ЧЭХЭИЭ
ЭГШ8Ш£8С1ЭЭНОИ
эинс1внои11вхэ
QKHqireat/H
KBHWoHoiroa
9
со
0)
g
ro
+
ч
О
V
О
||
11
ГО
о
j
к
1
е
о
II
1
го
§ 82. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЬШ ПРИНЦИПЫ 289
Из равенств Т—П = Ь и Т+П = Е, которые по предположению
выполняются как для действительного, так и для окольных движений, следует,
что 2Т= L + Е. Подставим вместо F функцию 2Г в левую часть и L + Е - в
правую часть формулы (81.16). Получим
(82.6)
И снова подберем значения для класса окольных движений так, чтобы
правая часть равенства обратилась в нуль. Интеграл в правой части (82.6)
равен нулю в силу уравнений Лагранжа. Выражение в круглых скобках во
втором слагаемом в правой части (82.6) также равно нулю. Действительно, так
как
Э1 ^д(Т~П) дТ ОТ
(Яне зависит от qv ...,qn; П - II(qv ...,qn)\ то
Остается обратить в нуль первое слагаемое в фигурных скобках
формулы (82.6). Достаточно потребовать, чтобы
A<7,.|;i=0, Ы,=0, ' = 1.2,..., и, (82.7)
т.е. чтобы все окольные движения происходили между теми же "начальным"
и "конечным" положениями, между которыми происходит действительное
движение. Все слагаемые правой части (82.6) теперь равны нулю, а
следовательно, AJ2Tdt = 0 (см. схему 30).
«I
Таким образом, действительное движение голономной консервативной
системы отличается от близких к нему кинематических возможных
движений, совершающихся с тем же значением полной механической энергии и
между теми же двумя фиксированными положениями системы, тем, что
для него первая вариация действия по Лагранжу равна нулю:
290 ГЛАВА И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
ql9...,qniqit...9qn)dt=(i
Этот принцип приведен на схеме 30.
Якоби преобразовал принцип Эйлера — Лагранжа, заменив по равенству
Т+П = Е (рассматриваем случай одной материальной точки:
имеем
A | 2Tdt = AU2(E - П{х, у, z))dS = 0.
h h
В итоге интегрирование ведется по дуге траектории точки.
Принцип Якоби аналогичен принципу Ферма в оптике A\ndS = 0,
согласно которому время движения света по лучу в неоднородной прозрачной
среде с показателем преломления n(x,y,z) = — г- от одной точки 1 к
другой 2 минимально (время dt=—dS). Поэтому существует оптико-
С*
механическая аналогия, касающаяся формы лучей света и траекторий точек.
В среде с показателем л(х, у, z) = с^Е—П(х, у, z) лучи света такие, как
траектории точек в поле с потенциальной энергией П(х, у, z). Более глубокая
аналогия с волновой теорией света привела к созданию сначала волновой, а
позже и квантовой механики.
В заключение обращаем внимание на отличие способов варьирования:
если в принципе Гамильтона оно изохронное, то в принципе Эйлера -
неизохронное. Действительно, условия Т+П = Е и Т* +П* =Е означают, что
кинетическая энергия зависит от вида траектории. Поэтому выбор окольной
траектории влияет на время движения системы из "начального" положения в
"конечное" - время варьируется. По принципу Гамильтона все движения -
все окольные и истинное - начинаются из некоторого положения А в один и
тот же момент времени tx и заканчиваются также в один и тот же момент
времени t2 в некотором другом положении В. В принципе Эйлера иначе:
если даже все движения начались в один и тот же момент tx, то заканчиваются
§83. ТЕОРЕМА НЕТЕР 291
они в разное время: истинное движение - в момент t2, окольное - в момент
э1с
/2 = /2 +^2' где ^2 определяется выбором окольного движения.
§ 83. Теорема Нетер
Поистине глубокие внутренние причины существования законов
сохранения и их структура вскрываются при исследовании инвариантности
действия относительно различных преобразований координат и времени - на
основе теоремы Нетер с учетом принципа относительности.
В основу рассмотрения положим, как и раньше, формулу первой
вариации (81.16) для//:
y=^,+u-y^*
(83.1)
Если в интегральных вариационных принципах правую часть (83.1)
обращают в нуль путем подбора вида окольных движений и таким путем
приходят к выводу о стационарности действия, представленного в левой части,
то теперь будем действовать в обратном направлении.
Левая часть (83Л) - это главная линейная часть разности
)L{t\q\q)dt*-]L{t,q,q)dt, (83.2)
Г
и если мы потребуем, чтобы эти интегралы были равны, то вариации
действия в левой части (83.1) обратятся в нуль. Тогда говорят, что действие по
Гамильтону инвариантно относительно преобразования (81.13), (81.14). Итак, в
случае инвариантности действия разность (83.2) просто равна нулю, а потому
и линейная часть этой разности, т.е. вариация действия (83.1) равна нулю.
Но поскольку первое слагаемое правой части (83.1) равно нулю в силу
уравнений Лагранжа, то равенство (83.1) приводится к виду
292 ГЛАВА II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Учитывая, что tx и t2 произвольные, заключаем, что выражение в
фигурных скобках от времени не зависит, сохраняется:
= const. (83.3)
Мы пришли к теореме Нетер. В простейшем случае ее можно
сформулировать так: каждой однопараметрической группе преобразований, которая не
изменяет функционала J Ldt, соответствует свой интеграл движения. В
нашем случае интеграл движения имеет вид (83.3).
§ 84. Законы сохранения для замкнутой механической системы
как следствия теоремы Нетер
Принцип относительности Галилея дает нам группу преобразований,
которая не изменяет характер движения, а значит, не меняет и функцию Лаг-
ранжа и интеграл от этой функции, т.е. не меняет действие по Гамильтону.
Эти преобразования координат и времени включают: 1) сдвиг системы
отсчета в пространстве; 2) изменение начала отсчета времени; 3) поворот системы
координат в пространстве; 4) равномерное прямолинейное движение системы
отсчета. По теореме Нетер каждое из этих преобразований приводит к
определенному закону сохранения.
1. Закон сохранения количества движения замкнутой механической
системы. Под обобщенными координатами будем понимать декартовы
координаты точек системы. Рассмотрим сдвиг системы отсчета в направлении оси
х:
Дх, =е, Av,=O, Д*,=0, Д/ = 0.
Подставляя эти значения в (83.3) и учитывая, что
§ 84. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 293
получим
N
^ЩЪ = const.
1=1
Аналогично из преобразований сдвига вдоль осей у и z получаем
Х'И/.У/ = сг> Х^Л = сз- В векторном представлении
£/и,й = с. (84.1)
Следовательно, из инвариантности действия по Гамильтону
относительно преобразования сдвига координат следует закон сохранения количества
движения замкнутой системы.
2. Закон сохранения момента количества движения замкнутой
системы следует из инвариантности действия относительно преобразования
поворота системы координат. При повороте на угол 5ф вокруг оси z
координаты получают приращение
Ах,- = -^,5ф, Ау, = х,бф, Az, = 0, At = 0 (84.2)
(эти формулы - результат проектирования Дг = ЬЧр х г на оси декартовой
системы).-
Если под обобщенными координатами понимать декартовы, то
и из (83.3) находим
N
Два других равенства получим, осуществляя повороты вокруг осей>> и х.
В итоге получаем
N
^с. (84.3)
3. Закон сохранения механической энергии замкнутой системы
следует из инвариантности действия относительно сдвига во времени:
294
ГЛАВА П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Схема 31
Из инвариантаости действия
относительно преобразований
интеграл движения
ЙЭД.
По принципу
относительности:
для замкнутой системы
действие инвариантно
относительно
z-поворота
,■ vajc,. ay,.
" • ~— • . • I л j.
-xi+—-yt+--rziЛЫ = с
Т+П=Е
Т-П-2Т =
§ 85. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 295
Ах,. = Ayt = Az, = О, А/ = £.
Подстановка в (83.3) дает
I* ~ Xkr- xi + ЧТУ, + тгЪ = const. (84.4)
A& 6 d )
dL dL dL
Поскольку — = /wIi/, — = miyi, — = mizi, то сумма в (84.4) равна
Эл:,. Эу, dzi
2Г.Витоге L-2T = C,T.e. Т-П-2Т = С,
T + n = const. (84.5)
Все три закона сохранения замкнутой механической системы представлены
на схеме 31.
§ 85. Обобщенные законы сохранения в аналитической механике
Сохранение обобщенных мер движения - обобщенного импульса и
обобщенной энергии - это также частные случаи интеграла движения (83.3).
Оба эти закона сохранения являются следствием инвариантности действия.
1. Пусть функция Лагранжа не зависит явно от времени t: L = L(q, q).
Это возможно как при стационарных, так и нестационарных связях, как для
замкнутых, так и незамкнутых систем, находящихся в стационарном
внешнем силовом поле. Рассмотрим преобразование координат типа "/-сдвиг":
/ = l,2,...f п. (85.1)
Подставив At = £, Aqt =0, / = 1,2,...,ив (83.3), получаем
^ const (85.2)
LYt^q
- закон сохранения обобщенной энергии.
296
ГЛАВА П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Схема 32
%^(dL d
Из инвариантности действия
относительно преобразований
q* Vj= Яц (t)+ Ад/; t * = t + At
следует
интеграл движения
L не зависит от qn: или
действие инвариантно
относительно
qa - сдвига
в пространстве
Z, не зависит от t:
действие инвариантно
относительно
t- сдвига
§ 86. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ 297
2. Пусть функция Лагранжа не зависит от некоторой координаты qa, это
возможно как для замкнутой, так и для незамкнутой системы. Рассмотрим
преобразование "qa-сдвиг": ft*(f") = ft(f)» если **<*; <7о('*) = <7а(0 + Е'
если i = а, t* =t.
Подставляя в (83.3) At = 0; Д#, =0 {гФ a), Aqa = £, получаем
= const (85.3)
- закон сохранения обобщенного импульса.
Оба случая представлены на схеме 32.
§ 86. Вывод уравнения Гамильтона — Якоби на основе
формулы полной вариации действия
Решение основной задачи динамики можно свести к нахождению
полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных
производных.
В w-мерном конфигурационном пространстве qv...,qn рассмотрим
пучок близких траекторий, соответствующих действительным движениям
системы. Пусть все траектории выходят из одной и той же точки q^,..., ql и ей
соответствует "начальный" момент движения tQ. Конечные точки пучка
различны, но им соответствует один и тот же момент t. Соответствие точек на
различных действительных траекториях устанавливается в одинаковые
моменты времени, т.е. варьирование изохронное (А? = 0, А = 6).
По формуле первой вариации (81.15), когда в качестве F
рассматривается функция Лагранжа L, находим
= a) Ldt = {t^
AS = a) Ldt = {t^6<J , (86.1)
[ J
(так как А/ = 0 и выполняются уравнения Лагранжа).
298 ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
По условию варьирования bqf\t = 0, выражая —— через рп получим
oq
(86-2)
Отсюда следует, что pt = , где S и pt следует рассматривать как
dq,
функции "начальных" и "конечных" положений, т.е. функции (to,qo, t,q)\
Pi (tQ, qQl t, q) = zr-S(t0, q0; t, q). (86.3)
dq,
t
Что касается функции S = J L{t, q, q)dt, то она может быть определена
'о
из некоторого дифференциального уравнения в частных производных.
Действительно, вычислим производную
dt
С другой стороны,
- dS
отождествляя оба выражения —, получим
dt
Если учесть, что второе и третье слагаемые образуют здесь функцию Н
Гамильтона, в которой импульсы pt заменены на , то окончательно нахо-
q
ДИМ
dS dS
,..., =0 (86.4)
x 6qn
§ 87. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ПУАНКАРЕ — КАРТАНА 299
-уравнение Гамильтона—Якоби. Оно содержит только первые производные
от S, но в квадратах, а значит, является уравнением первого порядка, но
второй степени.
Общее решение канонических уравнений, т.е. определение значений pf
и д( осуществляется по формулам (теорема Гамильтона — Якоби)
/>,=——, Pi=4—' i = l,2,...,n, (86.5)
aq, da,
где S = f(t,ql,...,qn,al,...,afl)+a - полный интеграл уравнения (86.4),
содержащий столько независимых постоянных, сколько независимых
переменных, т.е. f7 +1; Pj, , Рл — новые произвольные постоянные.
§ 87. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана
Рассматривается еще один возможный способ построения механики.
Сопоставим движение системы с движением изображающей точки в
расширенном фазовом пространстве q, p, t (буква q заменяет qltq2>'-->qn
аналогично и р).
В (2л + 1)-мерном пространстве q, p, t рассмотрим произвольный
замкнутый контур Со такой, что любая из траекторий, соответствующих
движению системы, не пересекает контур более чем в одной точке. Через каждую
точку контура Со проходит одна траектория, и эти
траектории не пересекаются. Они образуют некото- А .
рую трубку в расширенном фазовом пространстве.
Пусть Q - другой контур, расположенный на
трубке и охватывающий ее, и точно так же каждая
траектория на трубке проходит только через одну
точку контура Cj (рис. 87.1).
Точке контура Со соответствует ансамбль тожде- Рис# 87д
ственных механических систем с различными
значениями начальных координат, импульсов и времени, которые представим как
функции некоторого параметра а: <70((х), ро{и)> *о(а)- Пусть при
изменении а от нуля до значения а0 изображающая точка пробегает в фазовом
300 ГЛАВА И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
пространстве непрерывно весь контур Со и возвращается в исходное
положение. Каждая образующая трубки (траектория движения системы)
пересекает контуры Со и С,, эти точки пересечения будем считать
соответствующими друг другу. Контур С| можно задать с помощью некоторых функций
<7j(a), Pi(oc)t ^(«) с тем же изменением а от нуля до а0.
Отметим на контуре Со множество точек Ах, A2,...,AN, где AN = Al9
которым соответствует значение параметра qlx,cl2,...,cln, причем
ак — аА_! = Аа - малая величина, одна и та же для всех к = 1,2,..., N.
Точкам Av A2,...,AN, лежащим на контуре Со, соответствуют точки
Blt...,BN {Вы = Вх)шСх.
Близкие траектории Ак_хВк_х и АкВк соответствуют действительным
движениям системы; эти траектории будем рассматривать как траектории
сравнения. Приращение действия по Гамильтону при переходе от какой-либо
траектории к соседней равно У[>4А5А]- •/[Дц-Ва-*] и оно определяется все
той же формулой первой вариации.
Учитывая, что для действительного движения выполняются уравнения
Лагранжа, найдем по формуле (81.16)
Ы
oL rT r aL .
где р. = __, Я = L
Просуммировав равенства (87.1) по А: от 1 до N, в левой части получим
нуль, так как каждое слагаемое войдет в выражение два раза с
противоположными знаками. В правой части уменьшаемое относится к контуру Ср а
вычитаемое - к контуру Со. Поэтому
(87.2)
(значения pjt H берутся в вьщеленных на контурах точках; A#,. и At - это
приращения координат и времени при переходах от точки к точке вдоль
контура).
§ 87. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ПУАНКАРЕ — КАРТАНА 301
Равенство (87.2) означает, что сумма по точкам замкнутого контура,
охватывающего фазовую трубку
не зависит от выбора контура С.
Если вместо суммирования по точкам контура произвести
интегрирование по параметру ос от нуля до а0, то аналогично приходим к выводу, что
величина интеграла
i\i\ (87.3)
не зависит от выбора контура С, охватывающего данную трубку фазовых
действительных траекторий в (2л +1 )-мерном пространстве (д, р, t).
При этом активные силы голономной системы должны быть
потенциальными (или обобщенно-потенциальными), а связи голономными,
идеальными.
Интеграл (87.3) называется интегральным инвариантом Пуанкаре—
Картона, или основным интегральным инвариантом механики.
Примечательно, что интегральный инвариант Пуанкаре — Картана
может быть положен в основу механики - это еще один способ построения
механики как науки: из инвариантности (87.3) следуют канонические
уравнения.
В частном случае, когда все точки контура С относятся к одному и тому
же моменту времени, А/ = 0, инвариант приобретает вид
(87.4)
с. /=1
- это интеграл Пуанкаре.
Геометрическую интерпретацию удобнее теперь давать в фазовом
пространстве (q,p). Для механической системы с потенциальными (также
обобщенно-потенциальными) силами и голономными идеальными связями
величина интеграла Пуанкаре, взятая по произвольному замкнутому контуру в 2п-
мерном пространстве (q,p), сохраняется во времени. Сам контур при этом
движется и деформируется.
302 ГЛАВА И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 88. Одномерное движение системы и его качественное
исследование по графикам потенциальной и полной энергии
Одномерное движение — это движение системы с одной степенью
свободы.
В этом параграфе приводятся результаты качественного исследования
одномерного движения системы, когда кинетическая энергия равна
T=—A(q)q2t а потенциальная П = П{с[). Здесь q - координата, определя-
ющая положение системы, A(q) - некоторая функция от q. По
предположению, полная механическая энергия системы сохраняется:
Aq (q) (88.1)
Числовое значение константы Е зависит от начальной координаты q0 и
начальной скорости: Е = — A(qo)ql + n(q0). Из (88.1) скорость*
Меняющиеся со временем координату q и скорость q системы
представим геометрически на вспомогательной плоскости, координаты точек
которой q и q. Эта плоскость называется фазовой плоскостью, а ее точки -
фазовыми точками. Когда система совершает движение в реальном пространстве
во времени, изображающая ее (геометрическая) точка с координатами q, q
(или точка q, р, где/? - импульс системы) движется на фазовой плоскости по
некоторой кривой - фазовой кривой.
На схеме 33 дан пример построения фазовых траекторий. По заданной
функции П[с[) построен сначала график функции q2, а ниже приводятся
фазовые траектории системы, то есть кривые q = f{q), для различных
значений полной энергии Е = Ех, Е2,....
* В этом параграфе под 77 следует понимать эффективную потенциальную энергию.
§ 88. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ И ЕГО КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 303
Схема 33
Качественное исследование движения и равновесия системы.
Устойчивое и неустойчивое равновесие. Типы особых точек.
Закоф сохранения энергии
А-седло
В-иентр
С-точка возврата
Согласно (3)
сепаратриса
Консервативная система с одной степенью свободы.
Закон сохранения энергии
—q2 + П(д)= Е (случай m-const) (3)
1)Фазовые траектории пересекают ось q под
прямым углом (кроме, быть может, особых точек,
соответствующих экстремумам П(ф).
2)Касательные к фазовым траекториям параллельны
оси q на прямых, параллельных q, проходящих через
особые точки (А,В,С) (кроме, может быть, самих
особых точек).
304 ГЛАВА П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Фазовые траектории, соответствующие всевозможным начальным
условиям, образуют фазовый портрет системы. Фазовый портрет исчерпывающе
описывает динамику системы. Иногда удается установить фазовый/-портрет
без интегрирования уравнений движения - в этом ценность метода.
Совокупность интегральных кривых фазовой плоскости позволяет
охватить одним взором всю картину возможных движений системы. Множеству
движений тождественных систем при всевозможных начальных условиях
(при различных значениях Ек) соответствует на фазовой плоскости
движение множества изображающих точек. На схеме стрелками показано
направление движения изображающих точек по фазовым траекториям: в верхней
полуплоскости - только вправо (в верхней полуплоскости q > 0 и q
увеличивает со временем), в нижней полуплоскости - только влево (q < 0 и q
уменьшается со временем).
На фазовой плоскости интегральные кривые (фазовые траектории)
пересекают ось q под прямым углом, так как в этих точках q = 0, а значит, dq = 0
при dt^O; это правило может нарушаться лишь в точках, которые
соответствуют экстремуму функции I7(q); такие точки называются особыми.
На схеме 33 имеются три особые точки: под точкой максимума
потенциальной энергии ll(q) - так называемое седло, под точкой минимума П(у) -
центр, под точкой перегиба П(д) — точка возврата. Если А = const,
геометрическое место точек, где касательные к фазовым траекториям параллельны
оси q, - это прямые, параллельные оси q, проведенные через особые точки
(исключением могут быть сами особые точки). Действительно, из (88.1) еле-
дует, что Aqdq = -II'{q)dq, а значит, при q^O — обращается в нуль в
dq
точках экстремума П (
Через особую точку типа седла проходят фазовые кривые с
самопересечением; их называют сепаратрисами. Сепаратрисы подходят к точке
возврата. Все особые точки фазовой плоскости находятся на оси q и им
соответствуют состояния равновесия, так как потенциальная энергия в них
экстремальна, W = 0 *.
Особой точке типа "центр" всегда соответствует устойчивое состояние
равновесия, тогда как особой точке типа "седло" и типа "точка возврата" -
неустойчивые.
* Особые точки не всегда дискретные. Для систем с сухим трением они могут
-занимать определенные отрезки.
§ 88. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ И ЕГО КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 305
Напомним: положение равновесия называется устойчивым, если при
достаточно малых начальных отклонениях и достаточно малых начальных
скоростях система во все дальнейшее время движения не выходит из пределов
сколь угодно малой заранее заданной окрестности положения равновесия,
имея при этом сколь угодно малые скорости. Если это условие не
выполняется, положение равновесия называется неустойчивым.
Внутри любой сколь угодно малой (заранее заданной!) окрестности
центра существуют замкнутые интегральные кривые, окружающие центр.
Поэтому центру соответствует устойчивое равновесие.
Особая точка типа седла соответствует неустойчивому состоянию
равновесия: по прошествии достаточно большого промежутка времени
изображающая точка, находящаяся в начальный момент вблизи (сколь угодно
близко!) особой точки, непременно выйдет за пределы заданной малой
окрестности этой точки. То же произойдет и в точке возврата. Все это можно легко
установить по виду интегральных кривых на фазовой плоскости. Если
представить себе шарик, который может кататься в шаблоне, вырезанном в форме
графика потенциальной энергии, то по поведению шарика можно судить об
устойчивости его движения.
Установим аналитически критерий принадлежности особой точки к тому
или иному типу. С этой целью разложим функцию П(д) в ряд в окрестности
особой точки #,:
П(д) = П(Чх) + ~ П{%} ){q - qx)" + £. (88.3)
n!
Разложение начинается с членов не ниже второго порядка (и>2), так как в
особой точке П'{с[х) = 0. Константа разложения равна полной энергии
/7(д,)= Е (см. (88.1) с учетом, что в особой точке q = 0). Буквой £
обозначена малая величина более высокого порядка, чем (q —<?,)". Фазовая скорость
Рассмотрим возможные случаи, четное или нечетное и, положительное
или отрицательное 77^'(д,):
10-262
306 ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
1) случай п = 2к; n{n)(qx) > 0 (А:- целое),
Под радикалом величина отрицательная; q не имеет действительных
значений: интегральная кривая не проходит через особую точку qx. Точка qx
- изолированная особая точка типа центра. Следовательно, если первая,
отличная от нуля производная потенциальной энергии, вычисленная в особой
точке, четного порядка и притом положительная (минимум потенциальной
энергии), то особая точка - центр. В простейшем случае, когда и = 2 и
A(q) = т - постоянная, как видно из (88.5), центр окружают эллипсы; если
п = 4, 6,..., то его окружают овалы;
2) случай п = 2к, n{n)(qx) < 0,
(886)
Под радикалом величина положительная. Существуют две
действительные ветви интегральной кривой, проходящие через особую точку qx. Особая
точка - седло.
Если первая, отличная от нуля производная потенциальной энергии,
вычисленная в особой точке, четного порядка и отрицательная (максимум
потенциальной энергии), то особая точка - седло. В простейшем случае, когда
п = 2 и A(q) = т\ сепаратрисы - прямые; если п — 4, 6,..., параболы
различного порядка;
3) случай п - 2к +1 (л > 3),
4т
A(q)
Под радикалом величина положительная, если выполнены условия:
a) n{2k+l)(qx) > 0 и q <qx или
§ 88. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ И ЕГО КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 307
Экстремум потенциальной энергии соответствует точке перегиба. Для
сепаратрисы особая точка является точкой возврата (см. схему 33).
Можно доказать, что в особой точке типа седла сепаратриса может
пересекать ось q под различными углами, тогда как в точке возврата она касается
оси q.
В заключение отметим, что изображающая точка на фазовой плоскости
не может достигнуть особой точки за конечное время. Действительно, из
(76.4) находим
или
t-10«const]-. Д ^ . dq . (88.8)
Интеграл этот при п > 2 расходится. Следовательно, соответствующее
время движения равно t = «>.
Поскольку для достижения особой точки по фазовой кривой (по
сепаратрисе) требуется бесконечное время, "пересекающиеся" в особой точке типа
седла сепаратрисы следует рассматривать как состоящие в действительности
из пяти элементов - четырех лучей и одной изолированной точки. При этом
каждый элемент представляет собой как бы отдельную фазовую траекторию.
Аналогично и в точке возврата фазовая траектория состоит из трех
отдельных элементов.
Глава 12
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 89. Малые движения консервативной механической системы
Рассмотрим механическую систему с п степенями свободы, которая
подчинена голономным стационарным связям. Число независимых обобщенных
координат такой системы равно числу степеней свободы. Пусть на систему
действуют потенциальные активные силы, которые определяются силовой
функцией U{ql, q2,..., qN) (потенциальная энергия системы равна П = —U),
и также силы сопротивления среды, линейные относительно скоростей точек.
Как показано в § 68, обобщенные диссипативные силы определяются
формулами (68.5):
где * =
oqr
Функция R называется диссипативной функцией или функцией
рассеяния (функцией Релея). В обобщенных координатах структура функции Релея
следующая
Л = ;1Ш5 (89-0
■<£ r,.v=l
(это следует из (68.5) после замены \)к согласно (65.3) с учетом, что —- = 0).
По функции R вычисляются обобщенные диссипативные силы согласно
(68.5):
ZU. г = 1->и. (89.2)
dqr v=i
§ 89. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 309
Предположим, что существует положение равновесия системы точек,
определяемое координатами q = q+, в котором U(q+) = 0. Выбор координат
qr достаточно произволен, поэтому из всех возможных возьмем такие, отсчет
которых начинается от положения равновесия системы точек q+ = 0.
Вспомним, что для голономных склерономных* связей кинетическая энергия
является квадратичной формой скоростей
Т = \1а»ЧгЯя. (89-3)
где arx = arx{cix, q2>..., qN). При сделанных предположениях уравнения Лаг-
ранжа II рода для данной системы точек примут вид
d дТ дТ dU dR , лл
— — =^ Т~' r = \->N. (89.4)
dtdqr dqr dqr 6qr
Уравнение (89.4) полностью описывает поведение системы точек.
Рассмотрим движение системы точек только в малой окрестности ее положения
равновесия qr = 0 в предположении малости скоростей qr. Величины qr и
qr будем считать малыми настолько, что в разложениях в ряд Тейлора
функций Т, U и R можно пренебречь членами третьего и выше порядка
малости, т. е.
qrq, (89-5)
где в разложении ars(q) = а„(0) + Х —-^- L+... взято только первое слага-
V Э9 )
емое (иначе в Т появятся слагаемые третьего и более высоких порядков
малости). Сделанные предположения позволяют значительно упростить
уравнения (89.4) и в первом приближении описать поведение системы точек.
Вблизи положения равновесия кинетическая энергия согласно (89.6) пред-
* Склерономные = стационарные
310 ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ставляется квадратичной формой обобщенных скоростей с постоянными
коэффициентами.
Из уравнения (89.4) следует, что если сама система точек покоится, т.е.
все точки неподвижны, qr = 0 и Т = R = 0, то всегда, в том числе и в
начальном положении:
г = 1 -> N (89.7)
(все обобщенные силы в положении равновесия равны нулю; это - система
уравнений для определения всех положений равновесия системы).
Система уравнений (89.7) определяет положения равновесия как
устойчивые, так и неустойчивые.
Устойчивым равновесием называется равновесие механической
системы, при котором в случае любого достаточно малого изменения ее
положения и сообщения ей любых достаточно малых скоростей, система во все
последующее время будет занимать положения, сколь угодно близкие к
рассматриваемому положению равновесия.
Уравнения (89.7) - это уравнения равновесия системы точек в
обобщенных координатах. С учетом этого, в выражении (89.5) второе слагаемое
равно нулю. Первое слагаемое в (89.5) обращается в нуль по ранее
сделанному предположению U(0) = 0. В таком случае силовая функция (89.5)
является квадратичной формой обобщенных координат с постоянными
коэффициентами
где сп = - . Подставляя формулы (89.1), (89.6) и (89.8) в уравнения
(89.4), получаем систему линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами
N
I (M, + КЧХ + cnqs) = 0, r = 1 -> TV, (89.9)
i
описывающую малые движения системы точек около ее положения
равновесия. Вводя матрицы y4 = |aw| 5 = |few|, С = ||сго| и вектор-столбец ^" = ||^Л.|,
систему (89.9) можно переписать в матричной форме:
§89. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 311
Aq+Bq+Cq=0. , (89.10)
Полученное матрично-векторное уравнение по форме аналогично скалярному
уравнению свободных колебаний точки, поэтому его решение и анализ
проводится по той же схеме, а малые движения системы точек называют малыми
колебаниями системы точек.
Используя матрицы А, В, С, квадратичные формы (89.1), (89.2) и (89.8)
представим в виде
\(\ \ ±). (89.11)
Физические свойства кинетической энергии (Г>0) таковы, что первая из
квадратичных форм будет определенно-положительной. Из линейной
алгебры и общей теории квадратичных форм известно, что две квадратичные
формы (Aq-q) и (Cq-q) или {Aqq) и (Bg-q), одна из которых
положительно-определенная (в противном случае это {Aqq)), одним неособенным
преобразованием координат
q=DQ, detD±0 (89.12)
могут быть одновременно приведены к каноническому виду
{Aq-q)=±Q2r> ± ±
Из (89.12) очевидно, что обобщенные скорости преобразуются аналогично
обобщенным координатам, то есть
Таким образом, одним преобразованием координат и скоростей
квадратичные формы (89.11) могут быть приведены в новых переменных б к
каноническому виду
(89.13)
312 ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Обобщенные координаты 6Г называются главными или нормальными.
Подставляя выражения (89.13) в уравнения Лагранжа II рода (89.4) в
нормальных координатах, получим систему N независимых уравнений
ёг+\1гёг+Хгег = 0, г = 1->и, (89.14)
общее решение которых известно. В общем случае, в зависимости от
соотношения между коэффициентами flr и Хг , координаты 6Г будут совершать
либо затухающие колебания, либо апериодические движения. В отсутствии
сил сопротивления среды (R = 0) каждая из координат будет совершать
гармонические колебания
Qr=crsin(tjk~r+ar) (89.15)
с периодом т = 2nj ^j\. и константами сг и ctr, определяемыми начальными
условиями. Линейный характер зависимости (89.12) между нормальными и
прежними обобщенными координатами позволяет заключить, что
обобщенные координаты qr будут изменяться аналогичным образом. Таков
качественный анализ малых движений системы точек.
Более подробно остановимся на решении уравнения (89.10) в случае
отсутствия диссипативных сил (5 = 0), когда оно запишется в виде
0. (89.16)
Если г-Pi столбец матрицы преобразования координат D в (89.12) обозначить
п
dr, то равенство (89.12) примет вид g =£6//,., позволяющий записать с
1
учетом (89.15), общее решение матричного уравнения (89.16)
(89.17)
где qk = ckdk sin (t-^k^ + (Xk) называется £-м главным или нормальным
колебанием, а вектор dk - амплитудным вектором k-ro главного колебания. В
&-м главном колебании все обобщенные координаты совершают
гармонические колебания с одной и той же частотой (йк =
§ 90. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МАЛЫХ (ЛИНЕЙНЫХ) КОЛЕБАНИЙ 313
Для нахождения векторов dr и частот ^Хг в выражении (89.17) будем
искать решение уравнения (89.16) в виде q = d sin \t-JX + ом. Подставляя
это решение в (89.16) и сокращая на sin (t~fk + cn, получим равенство для
определения амплитудного вектора d
(C-lA)d=0. (89.18)
Это уравнение имеет нетривиальное решение ш Ф 01 относительно
компонент амплитудного вектора d только в том случае, когда
det(C-XA) = 0. (89.19)
Решая уравнение (89.19), называемое уравнением частот или
характеристическим уравнением, то есть систему N линейных алгебраических
уравнений относительно N неизвестных Хг,найдем его корни Хг. Каждому корню
Хг уравнения частот будет соответствовать некоторый вектор dr из
равенства (89.18), определяемый с точностью до произвольного постоянного
множителя уг, величина которого находится из начальных условий после
подстановки полученных Хг и dr в выражение (89.17).
Примечание. Малые колебания система совершает около устойчивых положений
равновесия. Достаточный признак устойчивости определяется теоремой Лагранжа-
Дирихле: положение qt = 0, к = 1,2,...,п, будет устойчивым, если в этом положении
потенциальная энергия имеет изолированный минимум.
§ 90. Примеры анализа малых (линейных) колебаний
На примере двух задач приведем нестандартный способ анализа малых
колебаний, основанный на свойствах нормальных координат и
соответствующих им главных колебаний.
3 а д а ч а 1 . (Все частоты различны).
Два шара массой т — 1, прикрепленные к
пружинам заданной жесткости (рис. 90.1),
совершают колебания по прямой.
Исследовать движения. Рис. 90.1
314
ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Кинетическая и потенциальная энергия выражены так:
(90.1)
(90.2)
Смещение шаров от их положения равновесия обозначены qx и q2.
Уравнения движения Лагранжа имеют вид
,)?,-*№= 0,
Нормальные координаты ^ связаны с q линейно:
Я2 -
По общей теории нормальные координаты - простые гармоники:
Уравнение для частот (д,. = Де' , / = 1,2 )
Л: + Л:, - Q)2 - кх
= 0,
или
отсюда
со, =
со2 =
(90.3)
(90.4)
(90.5)
(90.6)
(90.7)
Первое главное колебание (нормальное колебание
§90. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МАЛЫХ (ЛИНЕЙНЫХ) КОЛЕБАНИЙ 315
Ч\ =
Из (90.3) и (90.7) следует
т.е.
или
Схема первого главного колебания
I *• »
Ч\ =
Из (90.3) и (90.7) находим
- kfa = 0,J
т.е.
или
Схема второго главного колебания
I *
Связь (90.4) примет вид
(90.8)
(90.9)
Второе главное колебание (нормальное колебание £,2 ~ ^'Ш2'» ^i = 0)
(90.10)
(90.11)
(90.12)
316 ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Для нормировки \ и контроля вычисляем Т и П:
т=|{(4, + щ2)г + (4, - 4f)
т.е.
Потенциальная энергия определяется как
ИЛИ
* 2 + /[+2^
2Sl 2 S2
как и должно быть: (Я = -(а>2£2 + с
Окончательно связь q с ^ имеет вид
Чтобы получить схемы 21 и 22, следует взять (см. (90.12))
(90ЛЗ)
?1~ л/2 ' ^ л/2 '
Найдем координаты g как функции времени в зависимости от начальных
условий. Вычисления проще вести, пользуясь комплексным представлением
для ^. Пусть, например, при t = 0
() () 0- (9015>
Подставляя эти значения в формулы
§90. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МАЛЫХ (ЛИНЕЙНЫХ) КОЛЕБАНИЙ 317
(90.16)
находим на основании (90.14)
С,+Д+С2+Д =0,
С+Д-С-Д =ал/2,
(90.17)
! Д + Q)2C2 - Ю2 Д = 0,
со,С, - со, Д - со2С2 + со2 Д = 0,
т.е.
C+A с^0
(90.18)
А=--Тг. С2-Д=0,
отсюда
с, = 4=
Следовательно, из (90.16) получаем
i = -j=cos(uxt, \г - —j=cos<d2t
и согласно (90.14)
а ( л v со2+со, . со,-со.
#j = — (со* со^ - cos (u2t) = a sin —A 1 ■ sin — L t,
a t ч со, + со. со, - со,
q7 =—\cos(uA + cos(uJ) = acos— -t-cos— Lt.
2V ; 2 2
Если кх«к, то а>! = 4k, co2 =4к+—?= т.е. частоты ©р со2 близки.
VA:
В этом случае массы испытывают биение: когда амплитуда одной массы
достигает максимума, у другой она минимальна. Вся энергия периодически с
малой частотой (со2 - со,) переходит от одной массы к другой.
318
ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Задача 2 . (Случай, когда некоторые
частоты равны друг другу.) Ограничимся
рассмотрением только принципиальной схемы модели.
Пусть в круглой горизонтальной трубке
расположены три одинаковых шарика массой т кг,
которые соединены одинаковыми по длине
пружинами жесткости с — .
Рис. 90.2
В ненапряженном состоянии система
занимает всю трубку. Дополнительно все три шарика
- каждый отдельно - соединены пружинами жесткости с,, концы которых
закреплены на трубке в равноотстоящих точках Ох, О2, О3. Исследовать
малые колебания системы (рис. 90.2) в отсутствии трения.
Если qv q2, q3- смещения шариков из положения равновесия, то
+q$
^c[(q, -q3f+(q2 -qtf
q2f]
Подберем массы шариков и жесткости пружин так: /и = 1 кГ,
1 Я 2 Н „,
с = , с,=а —.Тогда
2 м м
(90.20)
JL
Уравнения движения Лагранжа запишутся в виде
= ft
(90.22)
§90. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МАЛЫХ (ЛИНЕЙНЫХ) КОЛЕБАНИЙ
319
Нормальные координаты Ь, связаны с q линейными зависимостями
Я\ —
(90.23)
Уравнение для частот находим по общей теории:
или
1 + <Х2-(О2
1
2
1
2
_1
2
i.2 2
1 + а - со
_!
2
1
2
1
— —
2
1 + а2-а>2
= 0,
(90.24)
или
Корни его равны
а2-(о2=«{
2
2J
т.е.
а2, g>2=g>2=±
(90.25)
Первое главное колебание (нормальное колебание £, ~ е'Ш|() выразится
так:
320
ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Я\ = Ai
Яг =
Из (90.22) и (90.26) получаем
а
Яг~
(90.27)
Яз
= 0,
т.е.
или
(90.28)
В первом главном колебании все шарики колеблются синхронно с
одинаковой амплитудой и частотой со, = а.
Второе и третье главные колебания (со2 = ю3) представим в виде
Я\ =
Яг =
\г~*
Яг =
Из этих соотношений и (90.22) находим
_0
~е|(Оз/. (90.29)
(90.30)
§90. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МАЛЫХ (ЛИНЕЙНЫХ) КОЛЕБАНИЙ 321
или
^,2+^2+^32=0,
(90.31)
Никаких других условий больше нет. Из общей теории следует, что второе
главное колебание можно взять каким угодно (лишь бы выполнялось
соотношение (90.31), т.е. Ап + А22 + А^2 =0). Тогда третье главное колебание
определится само собой.
Возьмем, например, для второго колебания
Ях=~Яг> Яз=°. (90-32)
т.е.
Ап = -^ = -В, ^зз = °- (90-33)
Тогда связь между £ и q согласно (90.23) будет
(90.34)
Дня определения постоянных подставляем эти q в выражения для
кинетической энергии (90.20), которое должно теперь превратиться в
2|V ъ Ъ2 1зъзу \ ы
+ (4i - [Аз + А23%)2) = -{ЗЛЧ? + 252^2 + (90.35)
if3+2i4-
т.е.
322
ГЛАВА 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
23=1, ЗА2=1, 2В2
Для контроля вычислим потенциальную энергию
(90/36)
2
+9г
1+а3
+е+еь-
СС
т.е. все верно (см. (6)).
Связь £ и q (90.34) окончательно такая:
(90.38)
Схемы всех трех главных колебаний
Глава 13
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Специальная теория относительности (СТО) давно стала наукой
прикладной, широко используемой в современной инженерной практике.
Достаточно указать на расчеты при проектировании ускорителей элементарных
частиц, атомных реакторов, на вычисление энергетических выходов
различных ядерных реакций и многое другое.
Возникла СТО после триумфального, более чем двухсотлетнего развития
классической физики, когда в конце XIX века неожиданно обнаружилось
несовершенство физической теории как в теоретическом, так и в прикладном
аспектах. В теоретическом - противоречие между структурами электродинамики
Максвелла и механики Ньютона (отсутствие основополагающего принципа
относительности в электродинамике при наличии его в механике). В
прикладном - невозможность объяснить ряд новооткрытых фактов (опыт Май-
кельсона, опыт Физо, аберрация света, действие униполярных машин,
непрерывное излучение энергии радиоактивными элементами без заметного их
изменения, позже - распад мезонов при больших скоростях и многое другое).
СТО строится для инерциалъных систем отсчета (ИСО) - систем, по
отношению к которым выполняется закон инерции. ИСО относится к числу
научных абстракций, идеальных моделей. Как известно, вся физика вообще
строится на научных абстракциях, моделях (простейшие из них:
материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальный газ, идеальная жидкость,
точечный заряд, упругое тело и т.д.). Метод идеализации (моделей) открывает
широкие возможности для использования математического анализа и в то же
время не ставит преград для приложения теории к реальным объектам и
явлениям, поскольку модели постоянно совершенствуются.
Реально существуют лишь прототипы инерциальных систем отсчета,
связанные с конкретными телами (с Землей, с Солнцем, с космическим
кораблем, с поездом, с лабораторией исследователя и т.п.). Если движение
исследуемого объекта относительно некоторой конкретной системы отсчета
324 ГЛАВА 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
описывается ньютоновской механикой с достаточной для практики степенью
точности, то такую систему отсчета обычно и считают инерциальной. Важно,
что закон инерции (первый закон Ньютона) гарантирует существование
инерциальной системы отсчета в указанном смысле для любой предложенной
задачи механики.
Нередко система отсчета, связанная с каким-либо конкретным телом,
проявляет себя как инерциальная для одной задачи, и в то же время
оказывается неинерциальной для другой.
Пример: плоскость колебаний математического маятника малой длины
практически неподвижна относительно Земли; колебание такого маятника с достаточной
точностью теоретически описывается законами Ньютона (уравнением mw = mg+N); но
плоскость колебаний такого же маятника большой длины (маятник Фуко) заметно
поворачивается относительно Земли, так что его колебания не описываются законами Ньютона.
В этом последнем случае одна и та же система отсчета "Земля" оказывается уже
неинерциальной; поэтому нужно дополнительно учитывать силу инерции Кориолиса (уравнение
движения mw = nig + N + (— 2пт X тЗ); центробежная сила инерции учтена, т.к. она
геометрически суммируясь с силой гравитационного притяжения к центру Земли, образует
силу тяжести nig; вращательная сила инерции из-за равномерного вращения Земли
отсутствует).
Инерциальной системой отсчета для маятника Фуко оказывается система, начало
которой в точке на Земле, а оси направлены на неподвижные звезды.
В классической механике пространство и время абсолютны - одинаковы
во всех системах отсчета вообще.
В специальной теории относительности предполагается, что в одной
отдельно взятой ИСО метрические свойства пространства и времени такие же,
как в классической механике. Именно, пространство отдельно взятой ИСО
евклидово (теорема Пифагора), трехмерное, однородное, изотропное,
непрерывное, односвязное. Время одномерное, однородное, непрерывное,
однонаправленное. Все эти качества являются следствием многовековой
человеческой практики.
§ 91. Постулаты Эйнштейна
В основу специальной теории относительности А. Эйнштейн положил
два принципа, смысл которых можно передать словами:
§ 92. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ РАЗНОМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ 325
Принцип 1. При одинаковых условиях, реализованных по отдельности
относительно двух систем отсчета - некоторой инерциальной системы I и
системы II, движущейся равномерно прямолинейно относительно системы I -
физические процессы в этих системах отсчета протекают одинаково.
Принцип 2. В природе существует предельная (максимальная) скорость
распространения физических сигналов (взаимодействий), одна и та же во
всех инерциальных системах отсчета. Эта максимальная скорость совпадает
со скоростью света в вакууме, она не зависит от движения источника и равна
с«3.108л*/с.
Из первого принципа следует: если для данной задачи (некоторого
класса задач) найдена инерциальная система отсчета I, то для этой задачи
существует и бесчисленное множество инерциальных систем типа II, движущихся
равномерно прямолинейно относительно I. Скорости всех систем II меньше
с. Системы отсчета необходимо связывать с телами, а скорости тел не могут
равняться или превосходить максимальную скорость света в вакууме, равную
с. Скорости тел строго меньше максимальной.
Развитие науки показало, что оба принципа Эйнштейна подтверждаются
всей совокупностью экспериментальных и теоретических знаний
современной физики.
§ 92. Относительность одновременности разноместных событий
Из принципов Эйнштейна следует:
одновременность разноместных событий не является абсолютной,
независимой от систем отсчета.
Действительно, пусть от лампы LL, находящейся * L
на середине платформы, движущейся со скоростью V,
начал распространяться свет. Для наблюдателя, нахо- Рис. 92.1
дящегося на платформе, свет дойдет до ее концов
одновременно, тогда как для наблюдателя на перроне он дойдет до левого
конца раньше, а до правого позже, т.к. левый конец приближается к фронту
световой волны, а правый отдаляется (оба наблюдателя исходят из принципов
Эйнштейна; скорость света в обоих направлениях для каждого из
наблюдателей равна максимальной скорости с и не зависит от того движется или
покоится источник света).
'.Ill
«III
II.'
326 ГЛАВА 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
§ 93. Арифметизация пространства и времени
Математическое описание физических явлений требует использования
системы отсчета, а значит установления взаимно однозначного соответствия
между моментами времени и числами, а также между точками пространства и
тройками чисел (координатами точек). Координаты точек пространства в
выбранной системе отсчета в принципе можно установить "перекладыванием"
единичного масштаба (практическая сторона процедуры нас здесь не
интересует). В качестве единицы длины можно взять, например, определенное
число длин волн излучения атомов некоторого элемента в состоянии покоя в
рассматриваемой системе отчета. Эталоном времени может быть некоторое
число периодов излучения тех же неподвижных атомов. Что касается ариф-
метизации времени, то ее можно осуществить в принципе следующим
мысленным экспериментом. Пусть мы располагаем неограниченным количеством
идеально правильно равномерно идущих часов. Пусть в инерциальной
системе отсчета I по часам, находящимся в начале координат О (эти часы
называются базовыми), в момент f, послан световой сигнал. Согласно второго
принципа Эйнштейна, свет придет в некоторую точку М системы I в момент
tx+~, где / = ОМ. Если для любого /, часы в точке М в момент прихода
с
сигнала показывают именно такое время tM=tx-\—, то это означает, что те-
с
чение времени в точке М согласовано (синхронизовано) с временем базовых
часов. Синхронизованные часы, находящиеся в точке М, идут правильно, и
тем самым нами введено "местное время" для этой точки. Теперь будем
считать, что во всех точках системы I "расставлены" неподвижно (в этой
системе) правильно идущие часы. Тем самым время введено для всей
инерциальной системы I. В итоге и пространство, и время системы I арифметизирова-
ны.
П Дальше рассмотрим две ИСО - I и II (рис. 93.1). По-
м
гично арифметизируется пространство и время также и си-
Л
XX*
—— стемы II. При этом, с каждой точкой системы II связыва-
/z /t ются неподвижно часы, принадлежащие именно этой
системе II; все эти часы идут одинаково с базовыми часами
Рис. 93.1 своего начала О' системы П.
§94. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 327
В итоге, с каждой из систем I и II связаны неподвижные в этих системах
часы. Часы системы II движутся относительно часов системы I со скоростью
V. Здесь и всегда дальше предполагается, что система II движется со
скоростью V относительно системы I в направлении оси абсцисс X. Остается
только согласовать выбор начал отсчета времени в системах I и II между собой.
Принимается условие: когда декартовы оси обеих систем I и II совмещались,
базовые часы начал координат в обеих системах должны были показывать
одинаковое время: / = 0 (в системе I) и также t' — О (в системе II).
Посредством указанных мысленных операций арифметизация
пространства и времени проведена, таким образом, в обеих системах отсчета I и II на
основании принципов Эйнштейна. Теперь физические события и процессы
доступны для изучения с использованием либо системы I, либо системы П.
Связь между координатами и временем какого-либо события в системе I и
соответствующими параметрами в системе II определяется
преобразованиями Лоренца.
§ 94. Преобразования Лоренца
Физический процесс - это последовательность событий. Событие
определяется местом (координатами), где оно произошло, и моментом времени,
когда оно произошло.
Пусть координаты некоторого события в системе отсчета I равны х, у, z,
t, а в системе II они х', у', z\ t'. Установим связь между ними, исходя из
принципов Эйнштейна.
Искомая связь должна быть линейной, т.к. закон инерции
подтверждается при всех скоростях, вплоть до максимальной скорости с (движение по
прямой линии в системе I остается таковым и в системе II). Поэтому форма
связи должна быть следующей:
x' = a(x-Vi); x = a{x' + Vt'); y' = y; z' = z. (94.1)
Здесь учтено, что х' и [х — Vt) в одном случае обращаются в нуль вместе
(нулю равны координаты точки (У в системах II и I соответственно); то же
относится к х и {xr + Vtf) (точка О). Множитель а в обеих формулах один и
тот же, т.к. системы I и II совершенно равноправны. Координаты у и z не
меняются, т.к. в направлении осей .у и z движение систем отсутствует.
328
ГЛАВА 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Формулы (94.1) относятся к любым событиям, но множитель а можно
определить, разумеется, рассматривая какое-либо частное событие. Для
определения а, рассмотрим распространение света в направлении оси абсцисс
от начала координат - приход света в точку х1 в момент tx (в системе I), что
также означает приход его в точку х[ в момент t[ (в системе П).
В соответствии со вторым принципом Эйнштейна, путь света в системах
I и II равен
xx=ctx; x[ = ct[. (94.2)
Еще два равенства должны выполняться на основе общих связей (94.1)
(94.3)
Если последние два равенства перемножить и заменить ххх[ на
основании (94.2) через c2txt[, то, после сокращения на f,ff, получим
с2 = а2 (с2 - F2), откуда
1 (94.4)
Подставляя найденное значение а в формулы (94.1), получим
х =
х —
(94.5)
с2
Из второй формулы легко определить t' (после замены х' на основании
первой формулы) и тогда окончательно имеем
(94.6)
Такова связь между координатами (включая время) одного и того же
события в двух инерциальных системах отсчета I и II (штрихованная система II
§ 94. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 329
движется относительной нештрихованной I со скоростью V в направлении
оси х). Формулы (94.6) известны в науке как преобразования Лоренца.
Значение этих формул в физике эпохальное (также и в философии). Вся
физическая теория (механика, электродинамика и др.) подлежала после их открытия
перестройке - такой, чтобы связи (94.6) были учтены. Это было
осуществлено в специальной теории относительности (сначала в электродинамике
Эйнштейном; позже - в механике).
Из формул (94.6) в частности следует: разноместные одновременные
события в системе I не являются таковыми в системе II. Действительно, если
х2 Ф хх , то для одного и того же t имеем .
т.е. t'2*t[.
И еще, в момент совмещения осей систем I и II только базовые часы
имеют одинаковые показания, а именно t = tr = О; в любой другой точке,
отличной от начал координат, показания находящихся там часов не одинаковы.
Действительно, если t = 0, но х Ф 0, то
V
2Х
t'=
( в системе I t = 0, хФО,ав системе II f ., ..
Если разрешить равенства (94.6) относительно нештрихованных
координат (это означает переход II—»1), то получим
= z'. (94.7)
l\-V2/c2'
Эти формулы отличаются от (94.6) только тем, что штрихованные и нештри-
хованные координаты поменялись местами, а скорость (+F) заменена на
330 . ГЛАВА 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
(-V), что вполне понятно - системы I и II равноправны и I движется
относительно II со скоростью (— V).
Если V « с, то формулы (94.6) преобразований Лоренца вырождаются
и принимают вид
х' = х - Vt, t' = t, y' = y, z' = z. (94.8)
Это известные в ньютоновской механике преобразования Галилея. С ними
связано представление об абсолютном времени, одинаково текущем во всех
системах отсчета (одновременность событий абсолютна - относится ко всем
системам отсчета).
Преобразования Лоренца знаменуют в науке новый этап в познании
метрических свойств пространства и времени, более глубоких, чем те, которые
сложились постепенно в грубом человеческом опыте и отражены в
классической механике. Неудивительно поэтому, что из преобразований Лоренца
вытекают кинематические следствия, которые не согласуются со "здравым
смыслом". Рассмотрим два основных из них.
§ 95. Относительность длины
Рассмотрим линейку, неподвижную в I, размещенную параллельно оси
абсцисс. Длина линейки Ах = х2 — хх, где х2 и хх - координаты концов
линейки в этой системе I.
В системе П длина этой линейки Ах' — х'г-х[, где х'2 и х[ следует
брать в один и тот же момент tr. По преобразованию Лоренца
*2 ={*'г +Vt')/j\-V2/c2 ,
Вычитая, находим
Ах = п===. (95.1)
Длина предмета в системе отсчета, в которой он покоится, называется
собственной длиной (здесь - Ах). Она наибольшая. В системе, относительно
§96. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ 331
которой линейка движется, она короче Ах' < Ах, и тем короче, чем больше
ее скорость V. Следовательно, длина не является понятием абсолютным
(безотносительным к системам отсчета), как принимается в ньютоновской
механике.
Пример. Две совершенно одинаковые ракеты А -я В поднялись над Землей и
движутся навстречу равномерно, пролетая одна мимо другой. Произведя измерения,
команда ракеты А обнаружит, что ракета В короче. Но также и команда ракеты В
измерениями установит, что, наоборот, короче ракета А. Каждый раз короче чужая (движущаяся
относительно своей) ракета. Обе системы отсчета А к В равноправны, как того требуют
принципы Эйнштейна! В этом примере нас не должна волновать процедура измерений.
§ 96. Относительность промежутков времени
между событиями (длительности процессов)
Пусть в неподвижной точке х' системы II произошли два события:
первое - в момент t[, второе - в момент t2. Промежуток времени между этими
событиями А/' = t2 —1[. По формулам Лоренца
Вычитая, находим [t2 -tx= At, t'2—1[ - A/')
(AT здесь >ДО-
В системе отсчета, в которой часы покоятся, промежуток времени
наименьший. Его называют собственным временем. Иногда этот результат выражают
словами: в движущемся теле процессы замедляются.
Пример. Пусть вдоль перрона расставлены одинаковые маятники и такие же
маятники на открытых платформах поезда, движущегося со скоростью V.
Экспериментаторы, что на платформах, найдут измерениями, что период колебаний маятников,
находящихся на перроне, больше (и снова —нас не должна здесь интересовать процедура изме-
332
ГЛАВА 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
рений). Но также и физики, находящиеся на перроне, обнаружат что, наоборот, период
колебаний маятников на платформах больше. В обоих случаях медленнее колеблются
"чужие" маятники (те, что движутся относительно "своих"). Длительность процесса во
времени относительна. Обе системы отсчета I и II совершенно равноправны!
Другим примером может быть измерение полупериода распада
радиоактивного элемента, помещенного на носовых частях приближающихся реактивных кораблей (о
которых была речь в предыдущем примере).
§ 97. Сложение скоростей
Скорость точки в системе I имеет составляющие (проекции на декарто-
ч dx dy dz dx' dy' dz' _
вы оси) —, —, —, а в системе II они , -i—, —. Это трехмерные век-
dt dt dt dt' dt' dt'
торы. В соответствии с преобразованиями Лоренца (94.6) составляем
отношения:
dt'dtt c
и окончательно
(97.1)
§ 97. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
333
По этим формулам вычисляется скорость в системе II, если она известна
в системе I. Аналогично находим обратные зависимости
(97.2)
Пример 1 . Относительно системы П свет распространяется в направлении
оси х' со скоростью с{с, О,0). Подставляя значения Х)'х = с, i)'v=0, и,' = 0в формулы
(97.2), находим ьх = (с + V)l 1 + — = с, ьу = О, ьг = 0. Следовательно, скорость света
относительно системы I равна тому же с(с, О,0), что согласуется со вторым принципом
Эйнштейна.
Пример 2 . Идея опыта Физо состояла в измерении скорости
распространения света в движущейся воде путем анализа интерференционной картины при
распространении света по течению воды и против него.
По классической механике, искомая скорость равна — + V, где п —1,33 — показатель
п
преломления воды, V — ее скорость. Однако измерения дали другое значение
— ± (1—n~2)v. СТО объясняет этот результат простым сложением скоростей — и V:
п v ' п
(для случая распространения света по течению воды), что и соответствует измерениям.
Пример 3 . Два стержня собственной длины /„, параллельные оси абсцисс,
движутся в некоторой ИСОI с одинаковыми скоростями, равными Я), в противоположных
направлениях. Найти длину одного стержня в системе отсчета, связанной с другим
стержнем.
Решение. Скорость одного из стержней в ИСО другого равна
и = 2ь/\ 1+— La поэтому длина / = /0Jl- ~ = /0 1—г|/ 1 + ~ ■
334 ГЛАВА 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Пример 4 . Родившись на высоте /0 = 5 км, мезон движется к Земле со
скоростью V = 0,99 ■ с и распадается у поверхности Земли. Найти: 1) собственное время
жизни мезона, 2) путь мезона согласно классической механике.
Решение. 1) В системе отсчета "Земля" время движения мезона равно
/ 5000 i '
/ = —= -»1,7-10~5с. Собственное время жизни мезона % = tJl—X>2/c2 »
D Д99-3-10* "V /
2,4-10"* с.
2) Согласно классической механике, время жизни мезона в движении такое же как и
в покое (равно Т), и поэтому до распада его путь должен быть / = ит = 0,99с х
х 2,4 • 10"6 = 713 м, что не соответствует действительности. Значит, по классической
механике мезон не должен долететь до Земли, тогда как в действительности он долетает.
Пример 5 . Две частицы движутся в ИСОI навстречу друг другу параллельно
оси х (рис. 97.1). Найти: 1) скорость второй частицы относительно первой, 2) скорость
сближения частиц в системе 1,3) скорость сближения частиц в системе П.
,/// y'l
''V,
Решение. 1) С первой частицей свяжем
систему отсчета Ш, как на рисунке. Полагая в (97.1)
Ьх=— Ь2, У = Ьг, находим скорость второй частицы
относительно первой:
Рис. 97.1
1
Знак минус означает, что вторая частица в системе Ш движется влево; поскольку скорости
Я), и \)2 меньше с, то и |\)f \<с.
2) За время dt первая точка в системе I смещается вправо на Mxdt, а вторая влево на
b2dt. Расстояние между точками сокращается на ds = vtydt + b2dt. Скорость сближения в
ds
системе I равна — = г>, + г>2.
Такой же результат и по классической механике. Это и понятно: в одной отдельно
взятой ИСО свойства пространства в СТО такие же, как и в классической механике.
3) Чтобы найти скорость сближения частиц в системе П, нужно сначала определить
скорости частиц в этой системе П.
Полагая в (97.1) ьх = 1),, а затем ьх = -ьг, находим скорости первой и второй
частиц в системе П
§97. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ 335
с2 с2
Скорость сближения частиц в системе П равна сумме
"
Скорость сближения - понятие геометрическое; каждая из скоростей частиц меньше
с, а поэтому скорость сближения частиц < 2с. В частности, скорость сближения двух
световых фронтов = 2с.
Пример 6 . Два источника света движутся навстречу в ИСОI со скоростями
V, (г>,, 0,0) и т32 (- и2,0,0). Найти скорость приближения излучения второго источника к
первому источнику в системе I.
Решение. Искомая скорость — это геометрическая скорость сближения.
Поэтому она равна сумме скоростей с + Я),.
Заметим, в системе отсчета, связанной с первым источником, скорость излучения
второго источника равна с, что согласуется со вторым принципом Эйнштейна.
Примечание 1. В ньютоновской механике сложение скоростей в данной системе
отсчета производится по правилу параллелограмма. В СТО это правило также имеет место,
если пользоваться только одной отдельно взятой инерциалыюй системой, а не переходить
из одной ИСО в другую, движущуюся.
Примечание 2. При рассмотрении конкретных вопросов полезным бывает
следующее представление. В каждой точке пространства имеется двое часов: одни принадлежат
системе отсчета I (часы неизменно связаны с системой I), другие — системе П. Движущееся
по траектории тело (точка) непрерывно "проходит" по упомянутому множеству часов. Их
показания tut' (каждый раз в месте нахождения движущегося тела) и есть время,
входящее в функции координат x(t), y{t), z[t) и также x'{t'\ y'(t'), z'(t'). При этом,
разумеется, все часы системы I идут синхронно с базовыми часами в начале О этой системы
I, а часы системы П — синхронно с базовыми в начале (У системы П, движущейся
относительно I со скоростью V вместе со всеми своими часами.
Глава 14
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
§ 98. 3 - векторы классической механики
Релятивистская динамика строится на основе принципов Эйнштейна и
их следствий - преобразований Лоренца, которые математически
аккумулируют в себе метрические свойства пространства и времени. Представленный
ниже способ построения релятивистской динамики в известной мере
аналогичен построению ньютоновской динамики, он вполне доступен для
начинающих. Идея изложения заключается в построении цепочки структурно
связанных величин и установлению зависимости между ними. Классическая
динамика начинается с введения ряда взаимно связанных кинематических и
динамических мер движения, образующих логическую цепочку, в которой
каждое следующее звено определяется на основе предыдущих. При этом
изначальным элементом цепочки является элементарное перемещение точки,
определяемое тройкой величин {dx, dy, dz), геометрические свойства которой
обуславливают свойства многих последующих звеньев цепочки. Свойства
эти заключаются в том, что при повороте осей декартовой системы
координат, величины dx, dy, dz переходят в новую тройку dx', dy', dz' по правилу
преобразования координат точек пространства - как проекции направленного
отрезка. Если для удобства записи обозначить х,у, z через xv x2, хъ, то
правило преобразования координат при повороте осей дается таблицей
<
<
«11
сси
«з,
Х2
«.2
«22
«32
*3
«,з
«23
«зз
(98.1)
§ 98. 3 - ВЕКТОРЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 337
где штрихами обозначены новые (после поворота осей) координаты, аай-
косинусы углов между осями: м>й новой и к-ой старой (до поворота),
Пользуясь таблицей, легко выразить новые значения координат через
старые и наоборот:
х[ = апх, + апхг + а13х3, *, = апх[+a2lx'2 + а31*з>
4 = «21*1 + «22*2 + «23*3' Х2 = «12*1 + «22*2 + «32*3.
х'г = ОСзЛ + «32*2 + «33*3 > *3 = «13*1 + «23*2 + азЗХ3"
Сокращенно эти формулы записываются в виде
/ = 1,2,3) (* = 1,2,3)
или, наконец (по предложению Эйнштейна опускается знак
*/ - «****
** -«л*/»
(i = 1,2,3) (* = 1,2,3)
(98.2)
(принимается условие: по индексу, который повторяется, берется сумма).
Учитывая, что такой же закон преобразования (98.2) сохраняется и для
многих последующих звеньев логической цепочки (для перемещения,
скорости, ускорения, силы, количества движения и пр.), в физике вводят понятие
трехмерного вектора.
Всякая трехкомпонентная физическая величина (ei.a2,a3),
составляющие которой преобразуются при повороте декартовых осей так же, как
декартовы координаты точек, называется трехмерным вектором и
обозначается одной буквой со стрелкой над ней: a(alta2,a3) или просто а
(сокращенно: 3-вектор).
В соответствии с приведенным определением, компоненты 3-векторов
a(alta2,a3) классической механики преобразуются при повороте осей
декартовой системы координат по формулам
11-262
338 ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
tlkk, кл[
(98.3)
(/ = 1,2,3) (Аг = 1,2,3)
где ах,аг,аг- компоненты до поворота осей, а а[, а'г,а'г- после.
Рассмотрим подробнее ту логическую цепочку, на основе которой
строится классическая динамика. Эта цепочка состоит из трех частей. В самом
начале на основе изменения радиус-вектора точки г{х, у, z) вводится эле-
ментарное ее перемещение dr{dx, dy, dz); вслед за ним - скорость ь = —,
at
Jdx dy dz\
\~dt''dt*'dtr
Jd2x d2y d2z
т.е. вектор Щ —,-7-,—1*> затем ускорение м> =—, вектор
dt
w\
2 , , , , ,. Дальше, используя понятие массы т (постоянного во
dt dt dt
всех системах отсчета параметра тела, характеризующего его инертность),
mv>2
вводятся динамические меры движения: тм - количество движения,
кинетическая энергия, г X mv - момент количества движения. В
продолжение, на основе понятия силы F вводятся меры ее действия: Fdt - импульс
силы, F-dr - работа силы, F - х> - мощность силы, FxF- момент силы.
И в заключение, на основе второго закона Ньютона, связывающего силу
со скоростью изменения количества движения {F-—гпх>), устанавливают
dt
связи между мерами действия силы и динамическими мерами движения:
связь между работой и изменением кинетической энергии (F-dr —d ),
связь мощности силы со скоростью изменения кинетической энергии
. ^ - d ml)2 ч
(F- v = ), связь момента силы со скоростью изменения момента ко-
dt 2
личества движения (FxF = —rxmv). Таков начальный путь построения
dt
динамики точки в классической динамике.
Теперь нам предстоит пройти аналогичный путь, насколько это
возможно, на новой логической основе, опираясь на принципы Эйнштейна, а значит
на преобразования Лоренца. На этом пути по необходимости нужно будет
обобщать как сами физические величины, так и связи между ними, и все это с
учетом достигнутого уровня современной экспериментальной физики.
§99. ИНТЕРВАЛ МЕЖДУ ДВУМЯ СОБЫТИЯМИ . 339
Классическая механика (ньютоновская) строится на известных
представлениях о свойствах пространства и времени; важнейшее из них -
инвариантность расстояний между точками пространства при повороте осей
декартовой системы, ds2. = аУ2 (в развернутом виде это равенство
dx2 + dy2 + dz2 — dx'2+dy'2 + dz'2) и также инвариантность времени,
dt = dtf (выполняется во всех системах отсчета). В классической механике
эти инварианты свойственны также и переходу 1->П как при V = О, так и при
V±0.
В теории относительности оба эти инварианта также имеют место, но
лишь при параллельном сдвиге и повороте осей; они не выполняются при
переходе 1->П, когда система II движется относительно I. Однако, как
оказалось, из преобразований Лоренца следует инвариантность некоторой
комбинированной пространственно-временной физической величины при переходе
от инерциальной системы отсчета I к равномерно движущейся относительно
нее системе II. Упомянутая величина называется интервалом между двумя
событиями. Преобразования Лоренца и интервал играют определяющую роль
в отношении свойств пространства и времени в СТО.
§ 99. Интервал между двумя событиями
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета I произошли два
события А(х, у, z, t) и B(x+dx, y+dy, z+dzt t+dt). Интервалом между этими
событиями называется физическая величина, квадрат которой в системе I равен
ds2 = c2dt2 -dx2-dy2-dz2. (99.1)
В соответствии с этим определением, в системе отсчета II, которая движется
со скоростью Vb направлении оси абсцисс, квадрат интервала между теми же
событиями равен
ds'2 = c2dt'2 -dx'2 -dy'2 -dz'2.
Докажем, что ds'2 = ds2, т.е., что численное значение интервала между
двумя любыми событиями одно и то же (в системе П числено оно такое же, как в
системе I). Поскольку dy - dy' и dz = dz't то достаточно доказать усеченное
равенство
dx2-c2dt2=dx'2-c2dt'2.
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 340
Воспользуемся преобразованиями Лоренца для дифференциалов (они не
отличаются от преобразований для координат, поскольку эти последние
преобразования линейные)
Vl-K2/c2
и составим разность
= dx'2-c2dt'2.
Это равенство и доказывает инвариантность интервала.
Итак, в специальной теории относительности при повороте декартовых
осей (и параллельном их сдвиге) инвариантами являются квадрат расстояния
dx2 + dy2 +dz2 и время dt по отдельности. Но при переходе от системы I к
движущейся системе II инвариантом является квадрат интервала
ds2 = c2dt2 — dx1 — dy2 — dz2, тогда как значения расстояния и промежуток
времени по отдельности не сохраняются.
Из инвариантности интервала следует инвариантность еще одной
важной физической величины - собственного времени движущегося тела;
последнее открывает "зеленую улицу" для построения всей цепочки мер
движения в СТО, а значит и для построения всей теории вообще.
§ 100. Собственное время движущегося тела (частицы)
Собственным временем частицы называется время, которое измеряется
по часам, связанным с движущейся частицей. Для пояснения приведем
простой пример: время, измеренное по часам движущейся произвольно ракеты, -
это и есть собственное время ракеты (команды, находящейся в ракете).
§ 101. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ И 4-ВЕКТОРЫ СТО 341
Пусть мгновенная скорость частицы в некоторой ИСО I есть \>(t). В
этой инерциальной системе I приращения координат и времени для частицы
равны dx,dy,dzn dt, а в системе координат, в которой частица в данный
момент покоится, приращения координат и времени суть dx* = dyf = dz' = 0 и
dt' = dT.
Инвариантное значение квадрата интервала представляется в виде
ds2 = c2dt2 -dx2-dy2 -dz2=c2dx2-02-02-02, (100.1)
откуда
С
где dl - путь частицы в системе I, — = fb(tj^ - мгновенная скорость частицы.
Окончательно
z = dtJl--j, (100.2)
где х> — скорость частицы в ИСО I.
Время dx - это и есть собственное время движущейся частицы. Оно
измерено в системе отсчета, в которой частица неподвижна в данный момент
(эта система принимается инерциальной в течение элементарного
промежутка времени). Важным свойством собственного времени dx есть его
инвариантность при преобразованиях Лоренца, что видно из (100.1): dx2 = c~2ds2.
§ 101. Перемещение точки и 4 - векторы СТО
Приступаем к построению релятивистской динамики путем
последовательного введения, одной вслед за другой, физических величин, являющихся
звеньями цепочки, и к установлению взаимосвязей между ними.
Исходным базовым элементом цепочки является, как и в классической
механике, перемещение точки. В системе I полная информация о
перемещении точки дается набором dt, dx, dy, dz с указанием и времени, за которое
произошло изменение координат. Однако, удобнее пользоваться набором
вида (cdt, dx, dy, dz), в котором все четыре компонента имеют одинаковую раз-
342
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
мерность (метры). Именно такой набор величин для перемещения мы и
принимаем в качестве основного, базового. Ему соответствуют "координаты" в
наборе (ct, х,у, z).
Поскольку преобразования Лоренца для координат и времени в виде
(94.6) соответствуют неоднородному набору (t, х,у, z), то необходимо теперь
переписать преобразования Лоренца для однородного по размерности
базового набора (ct, х,у, z). С этой целью введем обозначения
и перепишем преобразования Лоренца (94.6) в этих общих обозначениях:
(101.1)
Если в этих формулах под а0, ava2,a2 понимать соответственно cdt, dx,
dy, dz (и также под а'й,а[,а'г,а'ъ понимать cdt', dx', dy', dz'), то формулы
дают зависимость между значениями четырех составляющих перемещения
точки в инерциальной системе I и в движущейся относительно нее со
скоростью V системе II (переход 1-»П).
Определение: всякую четырехкомпонентную физическую величину
(ao,alta2,a3), составляющие которой при переходе 1->И преобразуются по
формулам Лоренца вида (101.1), будем называть четырехмерным вектором
(сокращенно 4-вектором) и будем обозначать одной буквой со стрелкой
внизу а(а0, ava2,a3) или просто а.
Пока что мы располагаем только двумя 4-векторами: r(ct,x,y,z) и
dr(cdt,dx,dy,dz). Первые компоненты 4-векторов временные, остальные
три - пространственные.
При этом пространственные компоненты сами образуют, как выше было
указано, трехкомпонентные векторы г{х, у, z) и df{dx, dy, dz). Это
позволяет представить 4-векторы в компактном виде: r(ct, F) и dr{cdt, dr).
Удобство такой записи в том, что сразу видно трансформационные свойства
§ 102. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ СКОРОСТЬ ТОЧКИ (4-СКОРОСТЬ) 343
величин. Стрелка над буквой означает, что величина трехкомпонентная, и
при повороте осей декартовых координат эти компоненты преобразуются как
координаты х, у, z точки пространства (формулы (98.3)). Стрелка под буквой
показывает, что величина четырехкомпонентная, и при переходе 1-»П (от
инерциальной системы I к движущейся с постоянной скоростью V системе II)
все четыре компоненты преобразуются по формулам Лоренца (101.1).
Имея исходный элемент - четырехмерное перемещение dr, - продол-
-»
жим построение релятивистской динамики, конструируя и дальше звенья
логической цепочки величин в том же порядке, как и в классической механике.
§ 102. Четырехмерная скорость точки (4-скорость)
Займемся построением третьего элемента (звена) цепочки.
Рассмотрим движущуюся в пространстве точку. В системе I ее
перемещение dr(dx,dy,dz)t а скорость Ц—,—,— , или в векторной форме
\dt dt dt)
- dr
v — — .В системе П (как всегда, эта система движется в направлении осей
dt
абсцисс с постоянной скоростью V относительно инерциальной системы I)
значение компонент скорости равны —-, -~, —-; их можно было бы най-
dt dt dt
ти по формулам Эйнштейна сложения скоростей, т.е. по формулам (97.1) из
кинематики.
Однако существует универсальный способ нахождения компонент
любых векторов при переходе 1->И. Достаточно обобщить трехмерную
физическую величину так, чтобы она вошла в структуру четырехмерной величины,
т.е. в структуру 4-вектора, преобразование компонент которого нам известно:
оно совершается по формулам Лоренца (а значит с соблюдением двух
принципов Эйнштейна, как того и требует СТО!).
Как именно следует обобщить вектор скорости - почти очевидно.
Исходим из того, что сохранить трансформационные свойствд 4-вектора
перемещения Ф(сЛ, dr), как того требует СТО, можно только поделив (умножив) его
компоненты на инвариант (величину, численно сохраняющую свое значение
при переходе 1-»П). Единственным инвариантом, имеющим отношение ко
времени, является собственное время движущейся точки. Бели промежутку
344
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
времени dt соответствует собственное время движущейся точки dl
{dx = dtJl —г-), то 4-скорость следует определить, очевидно, в виде отно-
шения
i (dt &л
~, т.е. как х>\ с—, — , или подробнее
dl A di dx)
( dt dx dy dz\
-»V dx' dx' dx' dx)
и после перехода от собственного времени dl согласно связи (100.2) ко
времени dt системы отсчета
dt_&±a\
dx di di dx)
или, наконец, в компактной записи*
(102.1)
Этот четырехмерный вектор называется четырехмерной скоростью точки
(здесь он определен в системе I). Напомним, стрелки показывают характер
преобразований компонент 4-вектора х> при переходе 1->П и 3-вектора \> при
повороте осей. Обратим внимание, при переходе 1->И в формулах Лоренца
(101.1) под а0, ах, аг, а3 следует понимать соответствующие компоненты,
например
dx/
— — ^
ai =
ss=r и аналогично а2, а3.
(102.2)
* Здесь и ниже сохраняется стрелка над скоростью (пишем "U2, хотя "U2 = \)2), чтобы
четко отличить скорость частицы V от скорости ИСОII, которая обозначается через V.
§ 102. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ СКОРОСТЬ ТОЧКИ (4-СКОРОСТЬ)
345
И наконец, чтобы этим универсальным способом найти 3-скорость в системе
dx' dy' dz\
II (т.е. вычислить —-, —, —-), следует сначала применить формулы Ло-
dt dt dt
ренца (101.1) к компонентам 4-скорости (102.2) и уже затем из этих формул
определять искомые величины.
Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Поскольку
компонентам 4-перемещения dr(cdt,dx,dy,dz) соответствует инвариант в виде
квадрата интервала ds2 (сокращенно ds2 - c2dt2—dl2, где dl2 - квадрат
расстояния), а 4-скорость есть отношение dr к инварианту dl, то аналогичное
-»
выражение (сумма квадратов пространственных компонент скорости
вычитается из квадрата временной компоненты) должно быть также инвариантом
перехода 1-»П. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим структуру 4-скорости
\)
и составим разность квадратов ее временной и пространственных компонент
Л2 f
\2
сг-У2..,
(102.3)
Здесь правая часть константа. Значит левая часть равенства - инвариант
(сохраняется по величине при переходе I—»П). Если 4-скорость представить в
компонентах \)(\)0,1),, \)2, \)3), то результат можно записать в виде
(102.4)
346
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
§ 103. Четырехмерный импульс тела (частицы)
Выше начато построение логической цепочки в виде r(ct,x,y,z),
dr{cdt, dx, dy, dz), м =
. Следующим элементом
(звеном) будет импульс (количество движения). Вводим импульс по аналогии
с классической механикой - как произведение инвариантной массы (массы
покоя), одинаковой в системах I и II, на 4-скорость. Итак, четырехмерным
импульсом называется величина Р = ??гоь
-» -»
4-импульс:
Сокращенно пишем Р[Р0, Р), где
(103.1)
_ "Vй
(103.2)
Здесь Р - так называемый релятивистский 3-гшпульс.
Очевидно, 4-импульсу отвечает его инвариант
или
Р2~Р2-
Р2-Р2 - т2г2
г0 —г тс
(103.3)
Как видно из этого равенства, масса покоя щ - инвариант
преобразований Лоренца. При небольших скоростях, когда V « с, он переходит в
инвариант преобразований Галилея.
§ 104. ЧЕТЬ1РЕХМЕРНАЯ01ПА(4-СИЛАМИНКОВСЖОГО)
347
§ 104. Четырехмерная сила (4-сила Мянковского)
В классической механике 3-сила определяется как скорость изменения
во времени количества движения, переносимого на данное от окружающих
тел и полей (равенство F = —тх> Ньютона является одновременно и опре-
dt
делением силы, и законом движения). Аналогично поступим и в теории
относительности, не забывая в то же время, что делить (множить) следует только
на инварианты.
Определение: 4-сила Ф есть скорость изменения 4-импульса, оцененная
-»
в течение собственного времени движущегося тела (точки; частицы), т.е.
dP
Ф = ——. Подставляя значение Р, можно представить Ф в виде
или
dx' dx' dx' dx
\dx'di)'
Заменяя dl
подставляя значения Рои Р, находим
Ф
1 d тщс
1 d
T** £У' КУ*КУ
(104.1)
Так выглядит 4-сила в системе I (в которой время t, скорость *и). Ниже
структура Ф будет представлена в более компактном виде.
-»
Здесь возникает важный вопрос: если при скоростях значительно
меньших скорости с(\)«с), т.е. в ньютоновской механике сила определяется по
- d
второму закону Ньютона равенством FH =—щр (индекс *'н" указывает на
dt
ньютоновскую механику), то как следует обобщить понятие 3-силы на любые
скорости, вплоть до как угодно близких кс?
348
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
Ответ на подобные вопросы может давать только практика,
эксперименты, опыт. Вся современная экспериментальная физика подтверждает^ что под
релятивистской 3-силой следует понимать величину
d
с*
(104.2)
Это равенство обобщает ньютоновскую трактовку 3-силы. В то же
время оно представляет основной закон движения частицы (материальной
точки) в инерциальной системе отсчета при любых возможных скоростях
меньших с.
§ 105. Связь между массой и энергией
В ньютоновской механике работа силы равна приращению кинетической
энергии: FH-dr - d——. В СТО понятие силы обобщено, и работу реляти-
вистской силы нужно заново вычислить. Найдем работу релятивистской силы
F на элементарном перемещении dr = vdt частицы
—
dt
(использовано правило дифференцирования произведения функций; учтено
что d\)2 = d(x> v); х> • dx> = vdv). Объединяя оба слагаемые под одним
дифференциалом, окончательно получаем
(105.1)
§ 105. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕЙ
349
Найденное равенство показывает, что работа силы равна приращению
велите2
чины ,\ =г. Поэтому последнюю следует истолковать как энергию
гх>2/с2
тела (чг
(105.2)
Эта формула, установленная Эйнштейном в 1905 г., в начале нашего столетия
вызывала сомнение, а позже обеспечила полный триумф теории
относительности. Формула (105.2) устанавливает связь между массой (покоя) и энергией
тела при его скорости х>.
Из формулы Эйнштейна вытекает важное открытие века: любое тело в
состоянии покоя обладает колоссальной энергией, равной
(105.3)
(тело массой wo = l кг обладает энергией £"О = (3-1О8) = 9-Ю16 Дою).
1 кг вещества обладает энергией, которую, например, ДнепроГЭС
вырабатывает за 8 лет, давая в год 3 млрд. квт. ч. энергии.
Определение: кинетической энергией тела называется разность
Т=Е-Е0,
откуда Е = Ео + Т = ш0с2 + Г,или
Il-v2/c2
= moc2 + Т.
(105.4)
Следовательно, формула (105.4) для энергии определяет сумму двух
энергий: внутренней т0с2 и кинетической Т.
350
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
§ 106. Взаимосвязь между энергией и импульсом
Учитывая значения Ро (формула (103.2)) и Е (формула (1Q5.2)), 4-
импульс Р (формула (103.1)) можно представить в виде
(106.1)
Как видим, в 4-импульсе объединились энергия Е и релятивистский 3-
импулъс Р, что означает глубокую внутреннюю связь между релятивистской
энергией Е — —
тос
= и релятивистским импульсом Р
mov
При переходе 1->П значение каждой из четьфех компонент 4-импульса Р
-»
определяется по формулам Лоренца (101.1) через все четыре компоненты в
исходной системе I. Например, значение энергии в системе II определяется
не только через энергию в системе I, но и через все компоненты импульса Р.
Полезными являются также очевидные формулы для релятивистского
импульса Р и его модуля в виде:
Р =
(106.2)
§ 107. Инвариант 4-импульса и масса покоя
Как отмечалось, 4-импульсу Р\Р0, Р) соответствует инвариант
-Р2 =
%с2
с»
гп%с2. Подставляя значение Ро = —, получаем
с
(107.1)
§ 107. ИНВАРИАНТ 4-ИМПУЛЬСА И МАССА ПОКОЯ 351
Это соотношение между релятивистской энергией и релятивистским
импульсом выполняется как для частицы, так и для тела, и даже для сложной
системы (приего выводе нигде не использовалась неделимость объекта).
В оцщем случае в (107.1) под Е следует понимать полную энергию
системы, а п )д Р — геометрическую сумму импульсов всех частей системы.
Равенство (107.1) можно рассматривать так же как определение
инвариантной массы (массы покоя) любой физической системы
(107.2)
В частном случае системы отсчета, в которой импульс равен нулю
= 0), имеем
' ^ (107.3)
Следовательно, масса покоя тела определяет его энергию покоя (всех ее
видов). В релятивистской механике, в отличие от классической, энергия покоя
тела всегда положительна.
В другом частном случае, когда масса покоя равна нулю, т0 = 6,
соотношение (107.1) дает связь между релятивистскими импульсом и энергией
Р = —; для фотонов Р = —.
с с
Весьма необычное свойство инвариантной массы в СТО (массы покоя)
видно из следующих примеров.
Пример 1 . Система состоит из двух одинаковых фотонов, движущихся в
одном направлении. Согласно (107.2) масса покоя этой системы равна
1 |(Av+Av)2 (Ы hv\\2 _
с V с \с с)
(й — единичный вектор в направлении движения фотонов). Результат тривиальный: масса
каждого фотона равна нулю, и масса системы двух фотонов также равна нулю
(аддитивность массы покоя в этом частном случае соблюдается). Но вот пример 2.
Пример 2 . Система состоит из двух одинаковых фотонов, которые движутся
в противоположных направлениях. Имеем
1 l(ftv+ftv)2 (Av_ h», „Л2 2A
= v —1— — „+_(-„) =-_
с V с \c с ) с
352 ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
Результат не тривиальный. В более общей форме это означает, что электромагнитное
излучение общего вида (фотоны разлетаются в различных направлениях под различным
углами) обладает положительной массой покоя, хотя масса отдельных фотонов и равна
нулю. Отсюда также следует, что подобное электромагнитное излучение создает
гравитационное поле и, разумеется, само испытывает на себе воздействие со сторонц внешнего
гравитационного поля.
Следовательно, масса покоя вообще не аддитивна. В частности, масса совокупности
фотонов вообще не равна нулю, хотя масса каждого из них в отдельности и равна нулю.
Этот вывод противоречит "здравому смыслу", что свидетельствует об алогичности
последнего за пределами житейского опыта.
§ 108. Дефект массы и энергия связи ядра
Рассмотрим ядро атома устойчивого элемента. Его масса покоя пусть
равна Мо, энергия Ео = М0с2. Энергию покоя ядра можно представить в
виде
+C7' (108Л)
где /и№ - массы покоя нуклонов (нейтронов и протонов ядра), г), - их
скорости, U - энергия взаимодействия нуклонов (для устойчивого ядра U < 0).
Перепишем (108.1) с учетом (105.4) в виде
?; + U (108.2)
(0 (')
(на основании (108.1) и (108.2)), откуда
(,) С (|) С
Следовательно, масса ядра не равна сумме масс нуклонов (масса покоя не
аддитивна!). Кинетическая энергия нуклонов и энергия их взаимодействия
вносят свой вклад в массу ядра (в этом смысле масса покоя, инвариантная масса,
зависит от скорости; пример: при нагревании воды скорость молекул возрас-
§ 109. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
353
тает и Поэтому увеличивается масса воды; конечно, количественно эффект с
водой практически незаметен).
Разность
(Ю8.3)
называете^ дефектом массы, а
= АМ-с2
(108.4)
- энергией связи. Для устойчивых ядер £ Т{ «\U\, и поэтому кинетической
(0
энергией можно пренебречь; тогда
ДМ-с2.
(108.5)
Как видим, энергия связи ядра пропорциональна дефекту массы. В то же
время явное аналитическое выражение для энергии взаимодействия {/может
при этом оставаться неизвестным или даже невозможным. Тогда под U
понимаем работу, потребную для разделения системы на невзаимодействующие
части.
§ 109. Закон сохранения энергии-импульса
Вернемся к рассмотрению 4-импульса Р\ —, Р \- Он объединяет реля-
,2
тивистскую энергию Е =
с релятивистским импульсом
, а значит представляет собой некоторую новую (одну еди-
ную!) величину, которую можно определить термином "энергия-импульс". 4-
вектору энергия-импульс соответствует инвариант (35), играющий важную
роль в атомной физике,
354
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
(109.1)
у-квант
Е -2
В случае изолированной физической системы величина -у- - Р сохра-
с
няется не только при переходе от системы отсчета I к системе II, но также
сохраняется ее значение как до, так и после реакции, происходящей в
физической системе.
Приведем поучительный пример:
рождение электрона и позитрона при
исчезновении у-кванта (с участием ядра массы Мо).
Требуется определить пороговую
(наименьшую) энергию Еп у-кванта,
достаточную для протекания реакции (рис. 109.1).
Задачу можно решить, написав два
закона сохранения: закон сохранения энергии и
закон сохранения импульса (оба релятивистские) в системе I неподвижного ядра.
Эти уравнения следующие:
реакции
после реакции
Рис. 109.1
_(М0+2т0)с2 Е„ _(M0+2m0)vc
(109.2)
где Л)с - скорость системы трех тел (как целого) после реакции. Исключая vc (эта
скорость нас не интересует), можно найти пороговую энергию Еп.
Но проще воспользоваться инвариантом 4-импульса, приравняв его значение до
реакции в системе I значению после реакции в системе II. Здесь система I связана с центром
неподвижного ядра, а система II — с центром масс неподвижных в этой системе трех тел
ядро - электрон - позитрон. Поскольку ищем наименьшую энергию, считаем эти три тела
неподвижными в системе II (сама система II вместе с тремя телами движется относительно
системы I с некоторой постоянной скоростью, которая нас не интересует).
До реакции в системе I (напомним: Е - это полная сумма энергий, Р -
геометрическая сумма импульсов)
Л Г1
После реакции в системе II
§110. СТРУКТУРА 4-СИЛЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕЕ КОМПОНЕНТ
355
El
с2 +2moc2f
; U .
Приравниваем правые части этих выражений:
(Е. + Мос>)2 - El = (Мосг +
откуда искомая пороговая энергия у -кванта
Е„=2тосг 1 +
Мп
(109.3)
Заметим, что без пассивного участия ядра подобная реакция невозможна.
Действительно, если допустить прямое превращение у -кванта в пару электрон - позитрон, то
законы сохранения импульса и энергии
с
f~ /с2
противоречат один другому (значения энергии Е не совпадают).
§ 110. Структура 4-силы и преобразование ее компонент
Компоненты 4-силы представлены в (104.1). Учитывая (104.2) и (105.1),
представим 4-силу в окончательном виде
Ф
Fx>
(110.1)
Как видим, в структуру 4-силы Минковского Ф входит релятивистская
-»
ft, d тох> л -
3-сила F = . и ее мощность F • х>.
356
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
Рассмотрим дальше преобразование компонент 4-силы при переводе от
ИСО I к ИСОII, которая движется со скоростью V относительно системы I в
направлении оси х. При этом в системе I предполагается известным
Мгновенное значение скорости точки Щух, vy, i)z) и сила F(FX, Fy, Fz). П{
вание 4-силы позволит определить также и 3-силу FyFx, Fy, Ffj в системе
П. Как уже указывалось, преобразование компонент 3-векторов определяется
на основе сначала преобразования 4-векторов (при переходе 1-»П).
Итак, нужно подвергнуть компоненты 4-силы Ф(а0, al,a2,a2), т.е.
ап =
flt =
(110.2)
преобразованиям Лоренца (101.1) вида
=
а0
v_
с
а'2=а2,
=а3. (110.3)
Подставляя (110.2) в (110.3), получим в той же последовательности четыре
формулы
Fx>
V F.
1)
-V _cj\-x>2/c2
-X) /С
h
§ ПО. СТРУКТУРА 4-СИЛЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕЕ КОМПОНЕНТ
357
FX>
2)
к
rt/2
' 2
=»/•;=/'.-
I V
_.П- М-—
V
3)
... „У с2 .
и аналогично (по последней из формул (110.3))
ил __££___ __L£_
4) 1 ^,2 --f=z
1-
Я)
Чтобы избавиться от г)' в правой части этих четырех формул, применим
преобразования (110.3) к4-скорости х>(\)0,1),, Я)2, \)3) , где
1У1 7 Т ~г)
По первой из формул (110.3)
358
ГЛАВА 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
1-
1)
/2
1-
1-
■;(iio.4)
Произведя теперь замену согласно (110.4) в четырех полученных выше
формулах, находим окончательно
F'x>' =
Fv-VF
х
F
1
1-
-_Л
1 —
Следовательно, при переходе I—>П проекции 3-силы F(FX, Fy, Fzj
изменяются; они остаются неизменными в нерелятивистском случае, когда
V « с. Первая из полученных формул определяет мощность силы в системе
II, остальные три - проекции силы.
§ 111. Замечание о релятивистской массе
Выше, при построении релятивистской механики, было использовано
только одно понятие массы - масса покоя. Она инвариантна относительно
перехода I—>П (относительно преобразований Лоренца, которые при
нерелятивистских скоростях, V«с, переходят в преобразования Галилея
классической механики). Масса покоя - это количественно та же масса, которая
используется в ньютоновской механике. В СТО масса покоя пропорциональна
абсолютной величине 4-вектора энергии - импульса, и поэтому качественно
она отличается от используемой в ньютоновской механике характером
преобразования.
§ 111. ЗАМЕЧАНИЕ О РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАССЕ 359
В современной литературе наряду с инвариантной массой покоя, которая
действительно необходима для построения СТО, используется еще одна
масса - релятивистская (вариантная), равная по определению
где id - скорость частицы (тела). При переходе к другой движущейся ИСО
релятивистская масса изменяется, т.к. в новой системе скорость частицы
другая. Но для частицы это означает изменение без физических причин. Поэтому
утверждение, что релятивистская масса зависит от скорости, не выдерживает
критики. В действительности для системы от скорости зависит масса покоя -
от скорости тех частиц, из которых состоит рассматриваемая система,
покоящаяся как целое.
И все же, хотя релятивистская масса - понятие избыточное, не
необходимое для построения СТО, она формально удобная. Ряд соотношений СТО с
d - -
помощью релятивистской массы записывается проще: —тх> — F вместо
at
= F: Е = тс вместо Е = . и т.п. - при любых
2 JlV/2
возможных скоростях.
Заметим, релятивистская масса пропорциональна временному
компоненту 4-импульса, т.е. она пропорциональна релятивистской энергии
(т = —).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Момент вектора относительно точки и относительно оси
Моментом вектора АВ = а (обычно это
момент силы, количества движения и др.)
относительно точки О (начала координат) называется
векторное произведение гха, где г — О А.
Обозначение: Fxa = тотоа, или тоа. По величине
таа равен произведению модуля вектора а на
плечо:
Рис. 1
где h - длина перпендикуляра ON, проведенного из точки О на линию, вдоль
которой размещен вектор а (рис. 1). Приложен вектор тоа в точке О и
направлен по перпендикуляру к плоскости треугольника ОАВ в сторону, откуда
виден обход ОАВО против часовой стрелки. На рис. 1 вектор тоа показан
как вектор ОС. Геометрически модуль момента тоа равен также удвоенной
площади треугольника ОАВ.
На рис. 2 дана иллюстрация другого
понятия - момента вектора АВ = а
относительно произвольной оси /. Проведем
плоскость /7, перпендикулярную к оси /, и
пусть О - точка их пересечения.
Моментом вектора АВ
относительно оси / (обозначение: тотх АВ или
т,АВ) называется произведение длины
отрезка А'В' (это проекция отрезка АВ Рис. 2
ПРИЛОЖЕНИЕ
361
на плоскость 77) на плечо W = ON' - расстояние от точки О до прямой, на
которой расположена проекция А'В'. При этом момент т}а считается
положительным (отрицательным), если обход в направлении А'В' и дальше
вокруг оси / совершается против (по) часовой стрелке, когда смотрят на
плоскость 77 с положительного направления оси /:
m,a=±A'B'h'.
На рис. 2 момент т,а положительный. Он также равен удвоенной
площади треугольника ОА'В'. Очевидно, момент mta равен проекции
вектора тоа (вектора ОС) на направление оси /: тга = ОС■ cosa = OD (так
как угол а между нормалями ОС и OD к плоскостям ОАВ и 77 равен углу
между самими плоскостями и между площадями соотношение
п л. ОАВ cos а = пл. ОА'В').
При решении задач чаще пользуются приведенными здесь прямыми
определителями моментов. Можно использовать и аналитические связи в
декартовых координатах:
тоа =
I
X
J
к
у z
а., а.
уа2 -zay) + j(zax -xaz) + k(xay -yax),
где х, у, z - координаты радиус-вектора г (точки А — начала вектора а ).
Множители при ортах являются, как известно, проекциями
разложенного вектора тоа на соответствующие оси, а значит они являются
моментами вектора а относительно осей:
тха = уа2 - zay, туа = zax - хаг, тга = хау - уах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бухгольц КН. Основой курс теоретической механики. М: Наука, 1969,
ч.1,2.
Бугаенко Г.А., Маланин В.В., Яковлев В.И. Классическая механика.
Пермь: Изд. ПГУ, 1989, ч.1,2.
Бутенин Н.В., ЛунцЯМ., МеркинД.Р. Курс теоретической механики. М:
Наука, 1970, т. 1; 1971, т. 2.
Яковлев В.И. История классической механики. Пермь: Изд. ПГУ, 1990.
Яковлев В.И. Математические модели классической механики. Пермь:
Изд. ПГУ, 1995.
Яковлев В.И, Карпова В.И. Очерк истории классической механики.
Пермь: Изд. ПГУ, 1996.
Яковлев В.И, Маланин В.В., Гилев ИВ., Карпова В.И. Из истории
механики XVIII—XIX веков. Пермь: Изд. ПГУ, 1998.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1. КИНЕМАТИКА 6
§ 1. Основные кинематические характеристики (меры движения) ... 6
§ 2. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах .... 13
§ 3. Классификация движений твердого тела 20
§ 4. Поступательное движение твердого тела 21
§ 5. Вращательное движение твердого тела 24
§ 6. Плоскопараллельное движение тела 26
§ 7. Сферическое движение тела (вокруг неподвижной точки) 30
§ 8. Скорости и ускорения точек свободного твердого тела 36
§ 9. Теорема о сложении скоростей 38
§ 10. Теорема Кориолиса о сложении ускорений 40
§ 11. Физическая причина ускорения Кориолиса 41
Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 43
§ 12. Принцип относительности классической механики 44
§ 13. Принцип причинности классической механики 47
§ 14. Две основные задачи динамики точки 47
§ 15. Дифференциальные уравнения движения материальной точки . . 49
Глава 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 52
§ 16. Свободные гармонические колебания осциллятора 52
§ 17. Свободные затухающие колебания при сопротивлении,
пропорциональном скорости 56
§ 18. Осциллятор с сухим кулоновским трением (гармонические полу-
периодные колебания с убывающей амплитудой) 62
§ 19. Вынужденные гармонические колебания при наличии вязкого
сопротивления 66
§ 20. Электродинамические аналогии. Вынужденные колебания в контуре 76
§ 21. Начальное представление о связях 78
§ 22. Интегрирование уравнений прямолинейного движения точки . . 78
§ 23. Силовые поля 79
Глава 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ . . 85
§ 24. Формула Бинэ 86
§ 25. Запуск тела в космос 88
364 СОДЕРЖАНИЕ
§ 26. Законы Кеплера 91
§ 27. Уравнение траектории и зависимость расстояния от времени в
центральном поле произвольного вида 93
§ 28. Задача двух тел 94
§ 29. Относительное движение тела 97
§ 30. Упругое столкновение частиц 99
§ 31. Движение (а-частицы в кулоновском поле ядра. Формула Реэерфорда
для рассеяния пучка частиц 101
§ 32. Метод качественного исследования движения в центральном поле 105
Глава 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПО
ТОЧКИ
§ 33. Меры движения в простейшем случае прямолинейного движения
тела ПО
§ 34. Общие теоремы динамики точки 113
§ 3S. Интегральная форма равенств, выражающих общие теоремы
динамики точки 115
§ 36. Три общих закона сохранения динамики точки 118
§ 37. Динамика относительного движения 122
Глава б. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ .... 130
§38. Связи 130
§ 39. Действительные и возможные (виртуальные) перемещения, число
степеней свободы, идеальные связи 131
§ 40. Общие теоремы динамики системы 136
§ 41. Теорема о движении центра масс механической системы .... 140
§ 42. Интегральная форма общих теорем 142
§ 43. Законы сохранения динамики системы 142
§ 44. Случай замкнутой механической системы 146
§ 45. Формулы Кенига для мер движения системы 149
§ 46. Меры движения в простейшем случае вращения тела вокруг
неподвижной оси 153
§ 47. Общие теоремы динамики относительно поступательно
движущейся системы центра масс (системы осей Кенига) 156
§ 48. Связь законов сохранения замкнутой механической системы со
свойствами пространства и времени 159
§ 49. Симметрия внешнего силового поля и законы сохранения
отдельных компонентов количества движения и кинетического момента 163
§ 50. Общие теоремы динамики относительного движения 165
§ 51. Теорема об изменении кинетического момента 167
§ 52. Тело (точка) переменной массы 169
§ 53. Пример из теории удара 176
Глава 7. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 179
§ 54. Моменты инерции тела относительно оси 179
§ 55 Вращение тела вокруг неподвижной оси. Уравнения для реакций
подшипников 184
СОДЕРЖАНИЕ 365
§ 56. Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку 189
§ 57. Динамические уравнения Эйлера 192
§ 58. Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой 193
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ 203
§ 59. Примеры несвободных систем 203
§ 60. Принцип виртуальных перемещений 210
§ 61. Применение принципа возможных (виртуальных) перемещений . 212
§ 62. Принцип Даламбера 214
§ 63. Принцип Даламбера—Лагранжа. Общее уравнение механики ... 218
§ 64. Общие теоремы динамики системы, выводимые из уравнения
Даламбера—Лагранжа 220
Гпава9. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 224
§ 65. Обобщенные координаты, обобщенные скорости и обобщенные
силы 224
§ 66. Применение принципа виртуальных перемещений к определению
положений равновесия голономной системы 230
§ 67. Уравнения Лагранжа в независимых координатах 231
§ 68. Уравнения Лагранжа при различных силах 234
§ 69. Структура кинетической энергии и функции Лагранжа в обобщенных
координатах 239
§ 70. Теорема об изменении обобщенных мер движения 244
§ 71. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии 248
§ 72. Примеры законов сохранения в аналитической механике 253
§ 73. Неоднозначность функции Лагранжа 259
§ 74. Вывод уравнений Лагранжа по вариационному принципу
Гамильтона—Остроградского 260
§ 75. Игнорирование циклических координат. Функция Рауса 264
Глава 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА . 267
§ 76. Канонические уравнения движения (уравнения Гамильтона) . . . 267
§ 77. Канонические уравнения как следствие принципа Гамильтона—
Остроградского при расширенном способе варьирования .... 272
§ 78. Фазовое пространство 274
§ 79. Канонические уравнения как уравнения Эйлера—Лагранжа
расширенного вариационного принципа 276
§ 80. Теоремы об изменении обобщенных мер движения и законы
сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии в механике
Гамильтона 278
Глава П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ 281
§ 81. Вывод формулы полной вариации функционала 281
§ 82. Интегральные вариационные принципы 286
§ 83. Теорема Нетер 291
§ 84. Законы сохранения для замкнутой механической системы как
следствия теоремы Нетер 292
366 СОДЕРЖАНИЕ
§ 85. Обобщенные законы сохранения в аналитической механике . . . 295
§ 86. Вывод уравнения Гамильтона—Якоби на основе формулы полной
вариации действия 297
§ 87. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана г 299
§ 88. Одномерное движение системы и его качественное исследование 302
по графикам потенциальной и полной энергии
Глава 12. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 308
§ 89. Малые движения консервативной механической системы .... 308
§ 90. Примеры анализа малых (линейных) колебаний 313
Глава 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА 323
§ 91. Постулаты Эйнштейна 324
§ 92. Относительность одновременности разноместных событий .... 325
§ 93. Арифметизация пространства и времени 326
§ 94. Преобразования Лоренца 327
§ 95. Относительность длины 330
§ 96. Относительность промежутков времени между событиями
(длительности процессов) 331
§ 97. Сложение скоростей 332
Глава 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 336
§ 98.3-векторы классической механики 336
§ 99. Интервал между двумя событиями 339
§ 100. Собственное время движущегося тела (частицы) 340
§ 101. Перемещение точки и 4-векторы СТО 341
§ 102. Четырехмерная скорость точки (4-скорость) 343
§ 103. Четырехмерный импульс тела (частицы) 346
§ 104. Четырехмерная сила (4-сила Минковского) 347
§ 105. Связь между массой и энергией 348
§ 106. Взаимосвязь между энергией и импульсом 350
§ 107. Инвариант 4-ютульса и масса покоя 350
§ 108. Дефект массы и энергия связи ядра 352
§ 109. Закон сохранения энергии-импульса 353
§ 110. Структура 4-силы и преобразование ее компонент 355
§111. Замечание о релятивистской массе 358
ПРИЛОЖЕНИЕ. Момент вектора относительно точки и относительно оси 360
Список литературы 362
Учебное издание
Бугаенко Григорий Алексеевич,
Малашга Владимир Владимирович,
Яковлев Вадим Иванович
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Редактор В.А Козлов
Художественный редактор Ю.Э. Иванова
Технический редактор Л.А. Овчинникова
Корректоры В.А. Жилкина, Т.Н. Петрова
Компьютерная графика ЕЛ. Вишнякова
Компьютерная верстка ЕЛ. Левченко
ЛР № 010146 от 25.12.96: Изд. № ОТМ-14. Сдано в набор. 02.11.98. Подп. в
печать 10.12.98. Формат 60x88 Vi6- Бумага офс. №1. Гарнитура «Тайме». Печать
офсетная. Объем 22,54 усл. печ. л. 22,54. усл. кр.-отт. 21,15 уч.-изд. л.
Тираж 3000 экз. Заказ №262
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.. д. 29/14.
Набрано на персональных компьютерах издательства.
Отпечатано в ОАО «Оригинал», 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7
Бугаенко Г. А., Малянин В. В., Яковлев В. И.
90 Основы классической механики: Учеб. пособие для
вузов. — М.: Высш. шк., 1999. — 366 с: ил.
ISBN 5-06-003587-5
Учебное пособие охватывает не только весь традиционный курс
теоретической механики, но и смежные разделы теории относительности,
колебаний, устойчивости движения. Материал систематизирован на основе
университетской программы и наглядных схем, облегчающих понимание
и запоминание изучаемого курса.
Для преподавателей, студентов и аспирантов университетов, те
ких и педагогических вузов.