Предисловие
В предлагаемом курсе математического анализа излагаются как традиционные классические методы, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, поскольку при других, так называемых «конструктивных», методах построения теории действительных чисел (когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби, или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования (непротиворечивости) множества действительных чисел, без которых проводимые построения не имеют логически завершенного характера. Поэтому проще всего сразу, исходя из аксиоматического задания действительных чисел, перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова.
В основном изложение материала в курсе ведется индуктивным методом: по возможности все вводимые понятия изучаются сначала в простейших ситуациях и лишь после обстоятельного их рассмотрения и накопления достаточного числа конкретных примеров производятся дальнейшие обобщения. Так, например, понятие предела сначала изучается для числовых последовательностей, затем для функций одного действительного переменного, далее вводится понятие предела отображения по множеству в евклидовом 3


пространстве, предела интегральных сумм и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия предела по фильтру в топологическом пространстве. Формула Тейлора рассматривается сначала для действительнозначной функции на отрезке, а в конце курса — для отображений линейных нормированных пространств: рассмотрение многочисленных критериев Коши существования тех или иных пределов завершается критерием Коши существования предела по фильтру отображения в полное метрическое пространство; изучение рядов Фурье начинается с рассмотрения классических тригонометрических рядов и заканчивается изучением рядов Фурье в гильбертовых пространствах по ортогональным системам; свойства непрерывных функций на отрезках обобщаются на отображения метрических компактов и континуумов и т. д.
Доказываемые теоремы не всегда формулируются с наибольшей общностью; иногда для лучшего выявления сущности изучаемого вопроса и идеи излагаемого доказательства рассмотрение проводится лишь для достаточно гладких функций. Такая точка зрения оправдана также тем, что, в силу плотности гладких функций в соответствующих функциональных пространствах, многие теоремы, доказанные для гладких функций, могут быть единым методом с помощью предельного перехода перенесены на более широкие классы функций. К сожалению, эту идею невозможно довести до конца без существенного увеличения объема книги. Поэтому вопрос о плотности «хороших» функций в различных функциональных пространствах рассмотрен в курсе лишь в простейших случаях.
Из существенных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при х х0 не требуется выполнения условия х х0, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, само определение предела делается короче (на одно условие меньше), а тем самым упрощаются и доказательства, в которых участвуют пределы функций; не нужно рассматривать отдельно от теории пределов функций 4


непрерывные функции; делается наглядным и убедительным утверждение, что в математике дискретность является частным случаем непрерывности; упрощаются формулировка и доказательство важной теоремы о пределе композиции функций и т. д.
Основная часть учебника посвящена главным понятиям математического анализа и их свойствам. Овладев этим материалом, можно без особого труда самостоятельно справиться с изучением специальных вопросов математики, которые потребуются в дальнейшем по роду профессиональной деятельности.
Большое внимание в учебнике уделяется решению задач методами, основанными на излагаемой теории; кроме того, для самостоятельной работы рекомендуются упражнения и задачи. Решение упражнений весьма полезно для активного усвоения математического анализа. Вместе с тем их набор по своей полноте ни в коей мере не заменяет задачника. Отдельные же из предлагаемых задач довольно трудны. Их решение не является необходимым для овладения материалом и может потребовать довольно длительного времени. Как правило, они связаны с интересными и достаточно глубокими математическими фактами, подробное изложение которых ограничено объемом книги. Упражнения нумеруются отдельно в каждом параграфе, нумерация задач и рисунков — сквозная.
Изложение математического анализа ведется на уровне, доступном широкому кругу студентов. Вопросы, выходящие за рамки программ по высшей математике для инженерных и экономических специальностей и посвященные более глубокому изучению разделов анализа, необходимых студентам физико-математических специальностей, отмечены звездочкой. В силу этого учебник можно использовать в высших учебных заведениях с разным уровнем математического образования. Значительная часть материала, вошедшего в книгу, в течение многих лет читается автором в Московском физико-техническом институте в лекционном курсе математического анализа.
5


Настоящий учебник представляет собой переработанный трехтомный учебник автора «Курс математического анализа», М.: Высшая школа, 1988—1989.
Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам по кафедре высшей математики С. М. Никольскому, В. С. Владимирову, О. В. Бесову, С. А. Теляковскому и Г. Н. Яковлеву, результаты многолетних обсуждений с которыми различных аспектов курса нашли свое непосредственное отражение в содержании книги.
Особенно автор признателен рецензентам книги — Н. В. Ефимову и В. А. Ильину, подробные и обстоятельные рецензии которых позволили во многом улучшить изложение материала.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность преподавателям кафедры высшей математики Московского физико-технического института К. А. Бежанову, И. А. Борачинскому, Ф. Г. Булаевской, А. Д. Кутасову, В. А. Ходакову, В. И. Чехлову, сделавшим много полезных замечаний, которые были учтены при окончательном редактировании текста.


Введение
Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой1.
Леонардо да Винчи
Математика2 является точной абстрактной наукой, изучающей специальные логические структуры, называемые математическими, у которых описаны определенные отношения между их элементами. Каждая математическая структура — аналитическая, алгебраическая, топологическая, вероятностная и другие имеют, конечно, специальные описания.
Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются не материальные объекты или отношения между ними, а логические понятия и отношения между ними. Однако важно подчеркнуть, что отношения и взаимодействия между материальными объектами можно изучить с помощью их математического моделирования. Возникающие таким образом математические модели нередко приводили в свою очередь к созданию новых математических структур. Существенно то, что одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. Абстрактность математики порождает определенную трудность ее применения к описанию и решению конкретных заЛеонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М., 1955.
2 цосОтщос (греч.) — познание, наука.
7


дач, в то же самое время абстрактность математики придает ей силу, универсализм и общность. Роль математики, конечно, не сводится только к описанию с помощью тех или иных моделей определенных сторон каких-то явлений. Она представляет интерес и имеет большую ценность прежде всего сама по себе как наука, как знание. Математика дает мощные методы для познания мира, для изучения его закономерностей.
Математические методы исследования всегда играли и продолжают играть огромную, все увеличивающуюся роль в естествознании. В качестве примера можно привести уже ставшие хрестоматийными такие теоретические открытия, как открытие планеты Нептун, открытие электромагнитных волн или открытие позитрона, сделанные сначала математически «на кончике пера» и лишь потом нашедшие свое экспериментальное подтверждение.
Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов. В силу этого область применения математики постоянно расширяется. В последнее время благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин в использовании математических методов произошел большой качественный скачок. Они стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Проникновение качественных и количественных математических методов в другие науки, использование в этих науках уже имеющегося математического аппарата, создание новых математических понятий и методов для описания и изучения рассматриваемых явлений, т. е. все то, что обыч8


но называется математизацией науки, является характерной чертой всего естествознания наших дней.
Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Этим, однако, не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений — это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. Для записи проводимых исследований и получающихся результатов используются язык цифр, разнообразные математические символы и словесные логические описания.
При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода — залог успеха и, более того, часто приводит к тому, что в результате получается больше полезной информации об изучаемом предмете, чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось.
9


Следует отметить, что в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной логики.
Конечно, и эксперименты и примеры также играют большую роль в математических исследованиях: они могут или дать иллюстрацию утверждения, или опровергнуть его, или натолкнуть на какую-либо (в том числе и новую) идею. За последние годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники особенно возросло значение математического эксперимента в прикладных исследованиях: здесь открылись качественно совершенно новые возможности и перспективы.
Безусловно, вся эта схема весьма идеализирована. Прежде всего использование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, логики, эксперимента происходит не последовательно по этапам — все это все время взаимодействует между собой в течение всего процесса. Далее, далеко не всегда удается довести проводимые исследования до желаемого конца, но было бы, например, большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теорий и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики или ее приложений.
Окончательные результаты, полученные в математике, описывая те или иные свойства логических абстрактных моделей, имеют в определенном смысле абсолютный и вечный характер и, следовательно, не меняются и не могут измениться в связи с развитием наших знаний. Так, например, за последние две тысячи лет наши представления об окружающем нас мире и об управляющих им закономерностях претерпели существенные изменения, а теорема Пифагора осталась и останется всегда такой же, какой она была в Древней Греции. Это, конечно, не исключает того, что в процессе своего исторического развития многие математические понятия и утверждения не сразу обретали и обретают свою окончательную логически законченную форму, не исключает и того, что в процессе развития одни и те же объекты изучения математи10


ки воспринимаются с разных точек зрения, что приводит к раскрытию их новых свойств, наполняет их новым содержанием, что, в свою очередь, нередко существенно меняет наше представление об их значимости и важности.
При использовании математики для описания каких-либо конкретных явлений нередко бывает достаточно лишь интуитивных представлений о соответствующих математических понятиях, однако тогда, когда математика используется в качестве метода исследования, как правило, для завершения проводимого исследования необходимо четкое представление об используемых при этом математических понятиях — только в этом случае может быть объективная уверенность в правильности сделанных выводов. Поэтому, для того чтобы применять математику как метод исследования, весьма важно осознать и хорошо освоить сущность и взаимосвязь ее основных идей и понятий, важно стремиться овладеть процессом творческого, а не формального мышления.
Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно получает твердые и точные знания математических фактов, будет уверенно двигаться дальше, и математика станет послушным инструментом в его руках.
Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко обусловлена тем, что эти методы не были своевременно достаточно хорошо разъяснены и поэтому остались непонятыми.
Четкое введение математического понятия по сравнению с введением на интуитивном уровне, как правило, оправдывает себя при его применении, позволяет правильно использовать и не нуждается в дополнительных пояснениях.
Лучший и кратчайший способ в процессе обучения математике разъяснить какое-либо понятие — это дать его точную формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения объяснить теорему, выяснить ее смысл, установить ее связь с ранее изученными фактами — это доказать теорему. Сделать это надо просто, естественно и доходчиво, что часто 11


совсем не легко. В умении осуществить это на достаточно высоком уровне и состоит прежде всего искусство преподавания математики. Однако было бы неправильно думать, что с овладением доказательством математической теоремы кончается процесс ее познания. До конца смысл и роль теорем раскрываются лишь при их применении к изучению других теоретических вопросов и решении тех или иных конкретных задач. Трудно переоценить огромную роль анализа отдельных примеров, иллюстрирующих теоретические утверждения, и решения с помощью последних соответствующих частных задач. Безусловно, при достаточно хорошей математической культуре вполне допустимо знакомство с рядом утверждений, ограничивающееся лишь их формулировкой без проведения доказательства. Однако на первом этапе обучения это явно нецелесообразно.
Косвенная польза от изучения математики состоит в том, что оно совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает у него точность и обстоятельность аргументации. Математика учит не загромождать исследование ненужными подробностями, не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение для существа изучаемого вопроса. Все это дает возможность эффективно исследовать и осмысливать новые задачи, возникающие в различных областях человеческой деятельности.
Умение логически мыслить, владение математическим аппаратом, правильное использование математики дают большую экономию мышления, вооружают человека мощным методом исследования.
Овладеть в достаточной мере математическим методом, математической культурой мышления, почувствовать силу и красоту математических методов — далеко не простая задача. Но для того, кто сумеет этого достичь, труд не пропадет зря. Для него откроются новые перспективы человеческой деятельности, заманчивые дороги в неизвестное, откроются качественно новые возможности творчества и познания мира. Причем важно отметить, что все это доступно каждому, кто хочет овладеть математикой, кто серьезно и последовательно займется ее изучением.
12


Глава
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§1-
Множества и функции. Логические символы
1.1. 	Множества. Операции над множествами
В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. Множества далее будем обозначать большими буквами латинского или какого-либо другого алфавита: А, В, ... , X, Y, ... , ®, ®, ... , а элементы множеств — малыми буквами: а, Ь, ... , х, у, ... , а, р, ... . Если а является элементом множества А, то пишут а € А (читается: «а принадлежит множеству А») или, что то же, Аэ а. Если же а не принадлежит множеству А, то пишут a £ А или А а.
Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Таким образом, равенство А = = В означает применительно к множествам, что одно и то же множество обозначено разными буквами А и В.
Запись А = {а, Ъ, с, ...} означает, что множество А состоит из элементов а, Ъ, с и, возможно, каких-то других, заданных тем или иным способом.
Если множество А состоит из элементов аа, где а пробегает некоторое множество индексов 21, то будем писать А = {аа} или, подробнее, А = {аа}, ос Е 21, или, если это не может привести к недоразумению, просто А = {а}. Если множество А состоит из всех элементов, обладающих определенным свойством, то будем писать А = {а: ...}, где в фигурных скобках после двоеточия записано указанное свойство элементов множества А. Например, если а и Ъ — два таких действи13


тельных числа, что а < Ь, и через [а, й] обозначено множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, то определение этого множества (отрезка) с помощью введенных символов можно записать следующим образом:
[а, й] = {х: а < х < Ъ}.
Для удобства вводится понятие множества, не содержащего никаких элементов. Оно называется пустым множеством и обозначается символом 0. По определению, оно не содержит элементов, но причисляется к множествам.
Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А есть часть множества В или что А является подмножеством множества В, и пишут А <= В (читается: «множество А содержится во множестве В») или, что то же, В А (читается: «множество В содержит множество А»).
УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что включения А <= В и В <= А выполняются одновременно тогда и только тогда, когда А = В.
Из определения подмножества следует, что А <= А, каково бы ни было множество А; принято также считать, по определению, что пустое множество является подмножеством каждого множества: 0 <= А. Если А — произвольное множество, то 0 и А называются его несобственными подмножествами; если же А с В и существует такой элемент х € В, что х £ А, то множество А называется собственным подмножеством множества В.
Если заданы два множества А и В (рис. 1, а), то через A U В обозначается множество, называемое их объединением или суммой и состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1, б). Таким образом, если некоторый элемент принадлежит множеству A U В, то он принадлежит либо только
а) б) в) г)
Рис. 1
14


множеству А, либо только множеству В, либо обоим этим множествам.
Для любого множества А (непустого или пустого) полагается A U 0 = А.
Через А А В обозначается множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 1, в). Множество А А В называется пересечением множеств А и В. Если А и В не имеют общих элементов (в частности, одно из них или оба пусты), то полагают А А В = 0. В этом случае множества А и В называются непересекающимися.
Отметим, что пустое множество совпадает само с собой: 0 = 0, но вместе с тем оно не пересекается само с собой: 0 А А 0 = 0.
Через А \ В обозначается множество, называемое разностью множеств А и В и состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В (рис. 1, г). Говорят также, что А \В получается из множества А вычитанием из него множества В.
Если В <= А, то разность А\ В называется дополнением множества В до множества А или дополнением В в А. По определению, полагается А\ А = 0.
УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что A U В = (А \ В) U (В \ A) U (А А В).
Если задана система множеств Аа (термины «множество», «система», «совокупность», «класс» будут употребляться как синонимы), где значения а образуют некоторую совокупность индексов 21, то объединением U Аа множеств осезд
Аа называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из заданных множеств Аа, т. е. условие х € U Аа равносильно следующему: существует такое
а е 21, что х е Аа.
Пересечением множеств Аа, а € 21, называется такое множество, обозначаемое через U Аа, что каждый его элемент
принадлежит всем множествам Аа, т. е. условие х Е U Аа означает: для всех ос Е 21 имеет место х е Аа.
15


Для любой системы множеств {Аа}, Аа <= X, а € 21, и любого множества X справедливы следующие соотношения:
Х\ U Аа= А (Х\Аа); (1.1)
(Ш1 (Ш1
Х\ А Аа= U (Х\Аа). (1.2)
(Ш1 (Ш1
Докажем, например, равенство (1.1). Если х € X \ U Аа, то, в силу определения разности множеств, х € X и х £ U Аа. В свою очередь, это, согласно определению объединения множеств, эквивалентно тому, что х € X и для всех а € Д имеет место соотношение х £ Аа. Это же, снова по определению разности множеств, равносильно утверждению, что для всех ос Е 21 имеем х Е X \ Аа. Наконец, последнее утверждение, по определению пересечения множеств, означает, что х Е А (X \ Аа). Итак, условия х Е X \ U Аа и х Е А (X \ осезд осезд осезд
\Аа) эквивалентны, поэтому выполняется равенство (1.1). Равенство (1.2) доказывается аналогично. Подобными же рассуждениями доказывается справедливость и следующих равенств для любых множеств А, В, С:
(A U В) А С = (А А С) U (В А С),
(А А В) U С = (A U С) А (В U С).
В пункте 1.2 рассмотрено понятие функции, а пункт 1.3 будет посвящен понятиям конечного множества и последовательности. Пункты и параграфы курса, отмеченные звездочкой, при первом чтении можно опустить и вернуться к ним лишь в случае внутренней потребности. В частности, для понимания дальнейшего материала достаточно имеющегося в курсе элементарной математики представления о функции как об определенном соответствии между элементами двух множеств. При этом понятие соответствия следует понимать как первичное.
1.2*. Функции
Будем говорить, что число элементов множества А равно единице, если в нем имеется элемент а Е А и нет других (ина16


че говоря, если из множества А вычесть множество, состоящее из элемента а, то получится пустое множество).
Множество А называется множеством из 2 (двух) элементов, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента а € А, т. е. множества, число элементов которого равно 1, останется множество, число элементов которого также равно единице. Нетрудно убедиться, что это определение не зависит от выбора указанного элемента а € А, т. к. если а € А и Ъ € А, причем А\{а} состоит из одного элемента Ь, то и множество А\{й} также состоит из одного элемента (а именно из элемента а).
Пусть теперь заданы множества X = {х} и У = {у}. Множество, состоящее из двух элементов х € X и у е Y, называется парой {х, у} элементов х, у.
Пара вида {х, {х, у}}, где х € X, у € Y, {х, у} — пара элементов х, у, называется упорядоченной парой элементов х и у. Элемент х называется первым элементом упорядоченной пары {х, {х, у}}, sl элемент у — вторым. Упорядоченная пара {х, {х, у}} обозначается через (х, у). В дальнейшем под парой обычно понимается упорядоченная пара.
Множество всех упорядоченных пар (х, у), х € X, у € Y, называется произведением множеств X и Y и обозначается через X X Y. При этом не предполагается, что обязательно множество X отлично от множества Y, т. е. возможен и случай, когда X = Y.
Определение 1. Всякое множество f= {(х, у)} упорядоченных пар (х, у), х е X, у е Y такое, что для любых пар (х, у') ef и (х", у") е f из условия у' у" следует, что х х”, называется функцией или, что то же, отображением.
Наряду с терминами «функция» и «отображение» в определенных ситуациях употребляются им равнозначные термины «преобразование», «морфизм», «соответствие». Функции будем обозначать различными буквами: f, g, ... , F, G, ... ... ,<p, v, ... .
Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х, у) некоторой функции f называют множеством задания или множеством (областью) определения этой функции и обозначают через Xj, а множество всех вторых элементов — множеством ее значений и обозначают через Yy.
17


Очевидно, что Xf X, Уу <= У. Само множество упорядоченных пар f= {(х, у)}, рассматриваемое как подмножество произведения X X У, называется графиком функции f.
Элемент х Е Ху называется аргументом функции f или независимой переменной, а элемент у Е У — зависимой переменной.
Если f = {(х, у)} есть функция (отображение), то пишут f : Ху —► У и говорят, что f отображает множество Ху в множество У. В случае X = Ху пишется просто f : X Y.
Если f : X —► У — функция, т. е. множество упорядоченных пар f = {(х, у)}, х Е X, у Е У, удовлетворяющих условиям определения 1, и (х, у) Е /, то пишут у = /(х) (иногда просто у = fx) или f : х у и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у (отображение f отображает элемент х в элемент у) или, что то же самое, элемент у соответствует элементу х.
Для пары (х, у), где у = /(х), говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.
Наряду с символом /(х0) для обозначения значения функции f в точке х0 употребляют также обозначение М\х = х0-
Иногда саму функцию f обозначают символом /(х). Обозначение функции f : X —► У и ее значения в точке х Е X одним и тем же символом /(х) не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае всегда ясно, о чем именно идет речь.
Обозначение /(х) обычно удобнее обозначения f: х у при вычислениях. Например, запись /(х) = xz значительно удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f : х х2.
При заданном у Е У совокупность всех таких элементов х Е X, что /(х) = у. называют прообразом элемента у и обозначают f \у). Таким образом, f \у) = {х : х Е X, /(х) = у}.
Очевидно, если у Е У\Уу, то f \у) = 0.
Пусть задано отображение f : X У, т. е. отображение множества X в множество У. Иначе говоря, каждому элементу х Е X поставлен в соответствие, и притом единствен18


ный, элемент у € Y и каждый элемент у € Yy <= Y поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х Е X.
Если Y = X, то говорят, что отображение f отображает множество X в себя.
Если Y = Yf, т. е. множество Y совпадает с множеством значений функции /, то говорят, что f отображает множество X на множество Y или что отображение f является сюръективным отображением, короче — сюръекцией. Таким образом, отображение f : X Y есть сюръекция, если для любого элемента у Е Y существует по крайней мере один такой элемент х Е X, что f(x) = у.
Очевидно, если f : X Y и Yy — множество значений функции /, то f : X Y? является сюръективным отображением.
Если при отображении f : X Y разным х Е X соответствуют разные у Е Y, т. е. при х х" имеет место /(х') /(х"),
то отображение / называется взаимно однозначным отображением (взаимно однозначным соответствием) X в Y, а также однолистным отображением или инъекцией. Таким образом, отображение f : X Y однолистно (инъективно) тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f : у Е Yy, состоит в точности из одного элемента.
Если отображение f : X Y является одновременно взаимно однозначным и на множество Y, т. е. является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно естественно называется взаимно однозначным отображением множества X на множество Y или, что то же, биективным отображением (биекцией) в Y.
Таким образом, отображение f : X Y является взаимно однозначным отображением множества X на множество Y тогда и только тогда, когда для любых х Е X и х” Е X, х х”, справедливо неравенство /(х') /(х"), и, каково бы ни было
у Е Y, существует такой элемент х Е X, что /(х) = у.
Взаимно однозначное отображение множества X на множество Y часто называют также взаимно однозначным соответствием элементов этих множеств.
Если fiX^YwA^X, то множество
S = {у : у е У, у = f(x), хе А},
19


т. е. множество всех тех у, в каждый из которых при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества X, называют образом подмножества А и пишут S = f(A). В частности, всегда имеем Y? = f(X).
Для образов множеств А с X и В с X справедливы следующие легко проверяемые соотношения:
f(A U В) = f(A) U /(В), ДАПВ)^/(А)П/(В), f(A)\f(B) с f(A\B),
sl если А <= В, то /(А) <= f(B).
Если fiX^YnB^Y, то множество
А = {х : х е X, f(x) е В}
называют прообразом множества В и пишут А = f Х(В). Таким образом, прообраз множества В состоит из всех тех элементов х € X, которые при отображении f отображаются в элементы из В или, что то же самое, он состоит из всех прообразов точек у € В:
Г\В)= и г1^).
У е в
Для прообразов множеств А с У и В с У справедливы следующие также легко доказываемые соотношения:
/-1(А и В) = f~\A) и г\в), f-\A п В) = f~\A) n f~\B),
Г\а\в) = г\а)\г\в),
а если А В, то f \А) <= f 1(В).
Если А <= X, то функция f : X Y естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу х Е А элемент /(х). Эту функцию называют сужением функции f на множество А и иногда обозначают через f\ А или просто через fA. Таким образом, fA отображает А в Y и для любого х € А имеет место fA : x^f(x). Если множество А не совпадает с множеством X, т. е. является собственным подмножеством множества X, то сужение fA функции f на множество А имеет другую область определения, чем функция /, и, следовательно, является другой, чем /, функцией. Нередко сужение функции f : X
20


Y на множество А <= X обозначают тем же символом f и называют «функцией f на множестве А».
Если две функции f и g рассматриваются на одном и том же множестве X, точнее, если рассматриваются сужения функций f и g на одно и то же множество X, то запись f = g на X означает, что f(x) = g(x) для каждого х € X. В этом случае говорят, что функция f тождественно равна функции g на множестве X.
Иногда знак « = » будет употребляться между символами, обозначающими один и тот же объект (обычно один из употребленных в этом случае символов содержит более подробное описание объекта, чем другой символ), например запись f(x) = /(хр ... , хп) означает, что х = (х1? ... , хп), и тем самым запись f(x) и f(x19 ... , хп) обозначает одну и ту же функцию.
Отметим, что функции, у которых всем элементам некоторого множества соответствует один и тот же элемент, т. е. функции, у которых при изменении значения аргумента значение функции не меняется, называются постоянными (на данном множестве) или константами.
Итак, если при изменении одной переменной (аргумента функции) другая переменная, являющаяся функцией первой, не меняется (т. е. «не зависит» от первой переменной), то это частный и в определенном смысле простейший случай функциональной зависимости.
Если f : X —► Y и каждый элемент у £Yf представляет собой множество каких-то элементов у = {г}, причем среди этих множеств {z} имеется по крайней мере одно непустое множество, состоящее не из одного элемента, то такая функция f называется многозначной функцией. При этом элементы z множества /(х) = {z} часто также называют значениями функции f в точке х.
Если каждое множество /(х) состоит только из одного элемента, то функцию f называют также однозначной функцией.
Если f:X^Yng:Y^Z, то функция F : X Z, определенная для каждого х € X равенством F(x) = g*(/(x)), называется ком позицией (иногда суперпозицией) функций f и g или сложной функцией и обозначается через g°f.
Таким образом, по определению для каждого х Е X
W)(x) = £(f(x)).
21


Пусть задана функция f : X Y и Yy — множество ее значений. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида {у. f \у))9 у Е Yy, образует функцию, которая называется обратной функцией для функции f и обозначается через f \ Обратная функция f 1 ставит в соответствие каждому элементу у € Yy его прообраз f \у), т. е. некоторое множество элементов. Тем самым обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. При этом для любой точки х Е X имеет место включение f Э х, а для любой точки У € Yf — равенство /(Г1 (у)) = у.
Отображения f и f 1 называются взаимно обратными.
Если отображение f : X Y однолистно (инъективно), то обратное отображение, определенное, как всегда на Yy, является однозначной функцией и отображает Yy на X, т. е. f 1 : Yy X. Действительно, в этом случае прообразы всех точек у £Yf состоят точно из одной точки х Е X.
Очевидно, что для инъективного отображения обратное отображение f 1 удовлетворяет следующим условиям: при любом х Е X имеет место равенство f ^/(х)) = х, а при любом у eYf — равенство f(f ^t/)) = у. При этом для заданного инъективного отображения f каждое из указанных двух условий однозначно определяет обратное отображение f \
1.3*. Конечные множества и натуральные числа. Последовательности
В определенном смысле простейшими множествами являются так называемые конечные множества. Определим это понятие.
В п. 1.2 были определены понятия множеств, состоящих из одного и двух элементов. Напомним эти определения, снабдив их некоторыми комментариями. Если множество X содержит некоторый элемент х и не содержит никакого другого, т. е. после вычитания из множества X множества, состоящего только из элемента х, получается пустое множество
Х\{х} = 0,
22


то множество X называется множеством, состоящим из одного элемента. Таким образом, понятие множества, состоящего из одного элемента, равносильно понятию элемента. Очевидно, что два множества, состоящие из одного элемента, можно отобразить друг на друга взаимно однозначно.
Говорят, что число элементов каждого множества, состоящего из одного элемента, равно единице, и слово «единица» обозначают символом 1.
Если множество X после вычитания из него множества, состоящего из одного какого-либо элемента х € X, превращается в множество, состоящее только из одного элемента у е X, т. е. Х\{х} = {у}, то множество X называется множеством, состоящим из двух элементов. Ясно, что любые два множества, состоящие из двух элементов, также можно отобразить друг на друга взаимно однозначно. Говорят, что число элементов каждого множества, состоящего из двух элементов, равно двум, и слово «два» обозначают символом 2.
Если множество X после вычитания из него множества, состоящего из одного элемента х € X, превращается в множество, состоящее из двух элементов, то множество X называют множеством, состоящим из трех элементов, или множеством, число элементов которого равно трем, и слово «три» обозначают символом 3.
Аналогично, последовательно определяются множества, состоящие из четырех, пяти, шести и т. д. элементов, или, что то же самое, множества, число элементов которых равно четырем, пяти, шести и т. д. Слова «четыре», «пять», «шесть» и т. д. обозначаются символами 4, 5, 6 и т. д.
Элементы множества
{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (1.3)
называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через N.
Обозначим через п произвольно фиксированное натуральное число: п € N. а натуральное число, непосредственно следующее за числом п в множестве (1.3), обозначим через п + 1. Число п будем называть предшествующим числу п + 1. Очевидно, что всякое натуральное число п. кроме 1, имеет предшествующее, которое будем обозначать п - 1. Таким образом, (п - 1) + 1 = п.
23


Согласно определению натуральных чисел, каждое натуральное число п представимо в виде
п = (...((1 + 1) + 1 ... + 1) + 1. (1.4)
(Рассматривая множества, состоящие из «одинаковых» элементов, можно сказать, что в формуле в правой части стоит множество из п единиц, соединенных последовательно знаком « + ».)
Согласно конструкции, определяющей натуральные числа, число п + 1 € N характеризуется тем свойством, что каждое множество, состоящее из п + 1 элемента, после удаления любого из них превращается в множество, которое состоит из п элементов.
Согласно той же конструкции, любые два множества, состоящие из п € N элементов, отображаются друг на друга взаимно однозначно.
Если из двух натуральных чисел тип число т встречается раньше, чем п в ряде натуральных чисел (1.3), т. е. число т стоит левее числа п, то число т называют меньшим числа п и пишут т < п или, что то же, число п называют большим числа т и пишут п> т.
Например, n-l<n<n+l,n^l. Для любых двух различных натуральных чисел тип имеет место точно одно из соотношений т < п или т > п. При этом если т < п и п < р, то т < р, т, п, р Е N.
Если число т € N меньше числа п € N, то в каждом множестве, состоящем из п элементов, имеются подмножества, состоящие из т элементов. Это следует из самой конструкции последовательного определения натуральных чисел.
Множество натуральных чисел N обладает следующим замечательным свойством.
Если множество М таково, что:
1) М N;
2) 1 Е М;
3) из п Е М следует, что п + 1 Е М, то
M = N. (1.5)
Действительно, согласно условию 2), имеем 1 Е М, поэтому, согласно свойству 3), и 2 Е М; тогда, согласно тому же свойству 3), получаем 3 Е М. Но любое натуральное число п Е N получается из 1 последовательным прибавлением к ней той 24


же 1, поэтому п Е М. т. е. N М. а так как по условию 1) выполняется включение М <= N. то М = N. Итак, равенство (1.5) доказано.
Из всего сказанного следует, что множество натуральных чисел N обладает следующими свойствами.
1°. Каждому элементу п € N поставлен в соответствие точно один элемент этого множества, обозначаемый через п + 1 и называемый элементом, следующим за элементом п.
2°. Каждый элемент из N может следовать только за одним элементом п Е N.
3°. Существует единственный элемент, обозначаемый символом 1, который не следует ни за каким элементом.
4°. Если множество М <= N таково, что 1 Е М. и из включения т Е М следует, что т + 1 Е М. то М = N.
Справедливо и обратное утверждение в том смысле, что -.0 лО всякое множество, удовлетворяющее условиям 1 —4 , может быть взаимно однозначно отображено на множество N с сохранением соотношения «больше — меньше».
Это обстоятельство позволяет получить аксиоматическое определение множества натуральных чисел: достаточно принять утверждения 1°—4° за аксиомы (они называются аксиомами Пеано1).
Таким образом, аксиоматическое определение множества натуральных чисел выглядит следующим образом.
Определение 2. Множество, удовлетворяющее условиям -.о ло
1 —4 , называется множеством натуральных чисел.
При таком определении свойство 4° называется аксиомой индукции.
Из доказанного равенства (1.5) следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.
Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его номер) п = = 1, 2, ... , и если доказано, что:
1) справедливо утверждение с номером 1;
1 Д. Пеано (1858—1932) — итальянский математик.
25


2) из справедливости утверждения с любым номером neN следует справедливость утверждения с номером п + 1, то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений, пг. е. справедливость утверждения с произвольным номером п е N.
Пример доказательства, проведенного методом математической индукции, см., например, в п. 1.4 теорему 1.
Про пустое множество говорят, что число его элементов равно нулю. Слово «нуль» обозначается символом 0. Множество натуральных чисел, к которому добавлен нуль, обозначается No:
No d=f N и {0}. (1.6)
Нуль считается меньшим любого натурального числа: 0 < п. п Е N.
Натуральные числа можно складывать между собой и с нулем: операция сложения в множестве N$ определяется с помощью операции объединения множеств. Суммой т + п чисел т Е N и п Е N называется число элементов объединения двух непересекающихся множеств, одно из которых содержит т, sl другое — п элементов.
Это определение не зависит от выбора указанных множеств. Легко видеть, что в случае п = 1 число /п + п = /п + 1в смысле операции сложения совпадает со следующим за т числом, обозначенным раньше тем же символом т + 1.
Также непосредственно из определения вытекают следующие свойства операции сложения в множестве N$.
1°. п + 0 = п. п € Nq.
2°. Закон коммутативности:
т + п = п + т, т. п Е NQ.
3°. Закон ассоциативности:
т + (п + р) = (пг + п) + р. т. п. р е NQ.
Операция вычитания в множестве N$ определяется с помощью операции вычитания множеств.
Если т < п1, т. п Е Nq, то разностью т - п называется число элементов множества, которое получается из множе1 Т. е. либо т = п, либо т < п.
26


ства, содержащего п элементов, с помощью вычитания из него множества, содержащего т элементов. Это определение не зависит от выбора рассматриваемых множеств, содержащих пит элементов.
Операция вычитания в множестве NQ является обратной для операции сложения: если
т + п = р, т, п е NQ, то
п= р - т.
Из определения натурального числа п следует, что множество {1, 2, ... , п} состоит из п элементов. Поэтому каждое множество, состоящее из п элементов, взаимно однозначно отображается на множество {1, 2, ... , п}.
Определение 3. Если для множества существует такое натуральное п, что число его элементов равно п, то такое множество называется конечным (состоящим из п элементов).
Всякое множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Примером бесконечного множества является множество N всех натуральных чисел.
Пустое множество, по определению, причисляется к конечным множествам.
УПРАЖНЕНИЕ 3. Доказать равенство
т 4- п = (...((т + 1) + 1)... + 1) + 1 . (1«7)
\' >
п раз
Выражение «п раз» означает здесь, что берется множество из п элементов, каждый из которых обозначен 1, и все эти единицы последовательно прибавляются к натуральному числу т.
Определение 4. Пусть X — какое-либо множество и N — множество натуральных чисел. Всякое отображение f: N
X (см. п. 1.2 ) называется последовательностью элементов множества X. Элемент f(n) обозначается через хп и называется п-м членом последовательности f : N X, а сама эта последовательность обозначается через {хп} или хп. п = = 1, 2, ... .
27


Каждый элемент хп последовательности {хп} представляет собой упорядоченную пару, состоящую из числа п € N и соответствующего ему при отображении f: N X элемента х множества X, т. е. хп = (п, х). Второй элемент этой пары называется значением элемента хп последовательности {хп}, а первый — его номером.
Множество элементов последовательности всегда бесконечно. Два различных элемента последовательности могут иметь одно и то же значение, но заведомо отличаются номерами, которых бесконечное множество.
Множество значений элементов последовательности (обычно говорят короче: множество значений последовательности) может быть конечным. Например, если всем п Е N поставлен в соответствие один и тот же элемент а Е X, т. е. при всех п Е N имеет место равенство f(n) = а, то множество значений последовательности хп = а, п = 1, 2, ... , состоит из одного элемента а Е X. Такие последовательности называются стационарными.
Если п1 < п2, п1 Е TV, n2 Е 7V, то член хп^ последовательности {хп} называется членом, предшествующим члену хп%, а член хп% — членом, следующим за членом хп. В этом смысле члены последовательности всегда упорядочены.
Иногда в качестве номеров бывает удобно употреблять не все натуральные числа, а лишь некоторые из них. Например, натуральные числа начиная с некоторого натурального числа n0: xn, п = n0, n0 + 1..., или одни четные числа: хп, п = 2, 4, .... Случается, что для нумерации употребляются не только натуральные, но и другие числа, например хп. п = 0, 1, 2, ... (здесь в качестве еще одного номера добавлен нуль). Во всех этих случаях можно перенумеровать заново хп, используя все натуральные числа т и только их. В первом примере следует положить т = п - nQ + 1, во втором — т = | , в третьем — т = п + 1. Поэтому в подобных случаях также говорят, что хп образуют последовательность, и, конечно, указывают, какие значения принимают номера п.
28


1.4. 	Группировки элементов конечного множества
Если задано какое-либо конечное множество, то бывает полезным составить из его элементов некоторые группы, удовлетворяющие тем или иным условиям, и изучить их свойства, например выяснить, сколько всего можно составить таких групп. Рассмотрим группы элементов, называемые размещениями, перестановками и сочетаниями.
Пусть задано множество, состоящее из п элементов, х1,х2,...,хп (1.8)
и фиксировано некоторое натуральное число k < п. В дальнейшем в настоящем пункте под элементами всегда будут пониматься элементы (1.8), если, конечно, не оговорено что-либо другое.
Определение 5. Группы элементов, состоящие из k элементов в каждой и отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком, называются размещениями из п элементов по k.
Например, группы {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2} образуют всевозможные размещения из трех натуральных чисел 1, 2, 3 по два из них.
Число всех размещений из п элементов по k элементов обозначается через Akn, п = 1, 2, ... , k = 1, 2, ... , п.
ЛЕММА. Если k < п, то
Akn+1 = Akn(n-k). (1.9)
Доказательство. Из каждого размещения по k элементов из п, т. е. из каждой упорядоченной группы k элементов {Хц , , ... , xik}^ добавлением одного из не входящих в не¬
го элемента х,- (таких элементов всего п - k) можно полу- чить п - k размещений по k + 1 элементов вида {х^ , xz , ... ..., xik, xik }, причем таким способом получаются все размещения по k + 1 элементов и точно по одному разу. Поэтому
Akn(n-k)= 4й+1).
29


ТЕОРЕМА 1.Имеет место формула
Акп = n(n - 1)... (n - k + 1), k = 1, 2, ... , n. (1.10)
Доказательство. Очевидно, что
4=n. (1.11)
Далее,
A2n (=9) a\+1 = 4(n-l) ^«(n-l), (1-12)
A*n = A2 + 1=A?(n-2) = n(n - l)(n - 2).
(1.9) (1.12)
Вообще, если
A(„&-1) = n(n-l)...(n-/? + 2), (1.13)
TO
Ak = A* ” 1 (n - (/? - 1)) = n(n-l) ...(n-fc+l), (1.9) (1.13)
т. e. имеет место формула (1.10). Теорема доказана. Очевидно, что, согласно методу математической индукции, достаточно было проверить справедливость равенства (1.11) и показать, что из формулы (1.13) вытекает формула (1.10).
Определение 6. Группы, состоящие из одного и того же числа элементов и отличающиеся друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Таким образом, перестановки — это размещения из п элементов по п элементов в каждом, п = 1, 2, ... .
Например, группы {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2} и {3, 2, 1} образуют всевозможные перестановки из первых трех натуральных чисел 1,2,3.
Число всех перестановок из п элементов обозначается Рп.
ТЕОР ЕМ А 2. Имеет место формула Рп = 1 • 2 ■ ... - п.
Это сразу следует из формулы (1.10) при k= п. Произведение 1 ■ 2 ■ ... ■ п обозначается п\ (читается: «эн факториал»). В принятых обозначениях
Рп = п\ (1.14)
Для удобства полагают Ро = 0! = 1.
30


Определение 7. Группы, состоящие из k элементов в каждой и отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, называются сочетаниями.
Например, группы {1, 2}, {1, 3} и {2, 3} образуют все сочетания из натуральных чисел 1, 2, 3 по два из них.
Число всех сочетаний из п элементов по k элементов в каждом обозначается Ckn.
ТЕОРЕМА 3.Имеет место формула
k
Ckn=/, (1.15)
k
m. e.
^jk _ П(П — 1) ... ( 71 — /?+!) (J. 16)
СЛЕДСТВИЕ. Справедлива формула
Ckn = ... n- .... (1.17)
n k\(n - k)\ v 7
Доказательство. Если в каждом сочетании из п элементов по k (их всего Ckn) сделать всевозможные перестановки его элементов (число таких перестановок равно Pk), то получатся размещения из п элементов по k, причем таким способом получаются все размещения из п элементов по k, и притом по одному разу. Поэтому
Р = Ak п Гk ’
откуда и следует формула (1.15). Формула (1.16) получается из формул (1.10), (1.14), (1.15).
Если умножить числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части формулы (1.16), на (п - k)\, то получится формула (1.17).
ТЕОРЕМА 4.Имеет место формула
Ckn = cnn~k, 7? = 0, 1, 2, ... ,п, (1.18)
~ ^0 def
где Сп = 1.
Доказательство. Формулу (1.18) легко получить непосредственно из определения сочетаний: если из п элементов выбрать какую-либо группу (сочетание), состоящую из k элементов, то останется группа (сочетание) из п - k элементов, при этом таким способом получаются все сочетания из п элементов по п - k элементов и по одному разу. Поэтому чис31


ло сочетаний из п элементов по k, т. е. Ckn , равно числу сочетаний из п элементов по п - k, т. е. k .
Формула (1.18) следует сразу и из равенства (1.17), в силу которого
_ п\ - k _ п\
~ k\{n - k)\ ’ “ (n - k)\k\ ’
т. e. числа Cn и Cn равны.
ТЕОРЕМА 5. Имеет место формула
Скп++\ =Ckn + Cn+1- (119)
Доказательство. Пусть дан n + 1 элемент, из которых составляются сочетания по k + 1 элементов. Зафиксируем один из этих элементов; тогда число сочетаний, в которые вошел этот элемент, равно Ckn (так как если его отбросить в каждом таком сочетании, то получатся всевозможные сочетания из п элементов по k элементов и по одному разу), а число сочетаний, в которые он не входит, равно Ckn + 1 (ибо они образуют всевозможные сочетания по k + 1 элементов из оставшихся п элементов). Это и доказывает формулу (1.19).
Замечание. Числа Ckn можно находить с помощью следующей треугольной таблицы, называемой треугольником Паскаля1, где первые и последние числа во всех строчках равны 1, и начиная с третьей строчки каждое число, отличное от первого и последнего, получается сложением двух ближайших к нему чисел предшествующей строчки:
1
1 1
12 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 Б. Паскаль (1623—1662) — французский математик.
32


Из равенств = 1 и формулы (1.19) следует, что в
n-й строчке этой таблицы стоят числа
1, 	с\,..., ckn,..., С”-1, 1.
1.5. 	Логические символы
В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдется» иногда пишут символ 3, т. е. перевернутую латинскую букву Е (от англ. Existence — существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» — символ V, т. е. перевернутое латинское А (от англ. Any — любой). Символ 3 называется символом существования, а символ V — символом всеобщности.
Примеры. 1. Определение объединения U Аа мно- аея
жеств Аа, ос Е 21, записывается с помощью логического символа существования следующим образом:
и Аа = {х : 3 а Е Д, х Е Аа},
а определение пересечения U Аа, записанное с помощью (ХЕЯ
символа всеобщности, имеет вид
и Аа = {х : V а Е 21, х Е Аа}.
(ХЕЯ
2. Пусть R — множество действительных чисел и пусть задана функция f : R R, т. е. функция, определенная на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Функция f называется четной функцией, если для любого х Е R выполняется равенство f(~x) = = f(x). Используя логическую символику, это условие можно записать короче:
V х Е R : f(-x) = f(x).
3. Функция f: R R называется периодической, если существует такое число Т > 0, что, каково бы ни было х Е R, спра33


ведливо равенство f(x + Т) = f{x). Употребляя логические символы, это определение можно записать следующим образом:
(3 Т > 0)(V х е R) : f(x + Т) = f(x).
Обычно для удобства чтения утверждений, записанных с помощью нескольких логических символов, все, что относится к каждому из них отдельно, заключается в круглые скобки, как это и сделано в последней формуле. Двоеточие в подобных формулах означает «имеет место». Часто подобные выражения записывают для краткости без скобок (мы будем поступать так же):
3 Т > О V х Е R : f(x + Т) = f(x).
4. Функция f : R R не является четной, если условие
f(~x) = f(x) не выполняется для всех х € R. Однако подобные отрицательные формулировки не очень удобны, когда приходится их использовать, так как трудно делать выводы из того, чего нет. Гораздо удобнее иметь дело с позитивными, как их называют, утверждениями, которые не содержат отрицаний. В данном случае утверждение, что равенство f(-x) = = f(x) не выполняется для всех х € R, равносильно утверждению, что существует такое х € R, что f(-x) /(х), или в сим¬
волической записи
3 х е R : f(-x) f{x).
5. Функция f: R R не является периодической, если любое число Т > 0 не является ее периодом, т. е. для любого Т > 0 равенство f(x + Т) = f(x) не должно выполняться для всех х € R, или в позитивной форме: для любого Т > 0 найдется х € R, для которого f{x + Т) f{x). С помощью логических символов это определение записывается следующим образом:
V Т > 0 3 х Ей : flx + Т) / /(х).
Сравнив запись с помощью логических символов утверждений в примерах 2 и 3 с их отрицанием в примерах 4 и 5, видим, что при построении отрицаний символы существования и всеобщности заменяют друг друга. Для того чтобы в некотором множестве не существовал элемент, обладающий каким-то свойством, надо, чтобы все элементы не обладали этим свойством, т. е. в этом случае при отрицании символ существования 3 переходит в символ всеобщности V. Если
34


же каким-то свойством обладают не все элементы рассматриваемого множества, то это означает, что в нем существует элемент, не обладающий данным свойством: символ всеобщности заменился символом существования.
Символ => означает «следует» (одно высказывание следует из другого), а символ означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны. Значок def означает, что сформулированное утверждение справедливо по определению (от англ, definition — определение). Например,
dpf г! pf
А^В (V хеА^ хе В), (gof)(x) = g(f(x)).
Определение часто используемого в математике символа Е (греческая заглавная буква «сигма») для обозначения суммы слагаемых можно записать следующим образом:
п def
= ^1 + + ••• + ап*
Как правило, изложение материала ведется в классическом стиле без использования логических символов. Они употребляются лишь параллельно с основным текстом. Это, с одной стороны, поможет читателю привыкнуть к их применению, что, например, полезно при конспектировании, а с другой — более кратко и, следовательно, иногда более выразительно разъяснить нужную мысль.
В дальнейшем конец проводимого доказательства сформулированного утверждения будет отмечаться символом □.
§2-
Действительные числа
2.1. 	Свойства действительных чисел
В элементарной математике изучаются действительные (вещественные) числа. Сначала в процессе счета возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ... , п, ... . В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными в множестве натуральных чисел. Чтобы все четы35


ре арифметические операции были возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на нуль, которой нельзя приписать смысла), приходится расширить класс рассматриваемых чисел. К необходимости такого расширения запаса чисел приводят также потребности измерения тех или иных геометрических и физических величин. Поэтому вводятся число нуль и целые отрицательные числа (вида -1, -2, ... , -п, ...), а затем и рациональные (вида p/q, где р, q — целые, q 0).
Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа. Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел.
Множество всех действительных чисел, как принято, будем обозначать через R (от лат. realus — действительный). Это множество образует совокупность, в которой определены взаимосвязные операции сложения, умножения и сравнения чисел по величине и которая обладает определенного рода непрерывностью. Напомним кратко свойства действительных чисел, известные из элементарной математики, и дополним их описанием некоторых свойств, обычно не рассматриваемых там достаточно полно.
I. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел а и Ъ определено, и притом единственным образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через а + Ь, так что при этом имеют место следующие свойства.
1Р Для любой пары чисел а и Ъ
а + Ъ = Ъ + а.
Это свойство называется переместительным или коммутативным законом сложения.
12. 	Для любых чисел а, Ъ и с
а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с.
Это свойство называется сочетательным или ассоциативным законом сложения.
36


13. Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа а
а + О = а.
14. Для любого числа а существует число, обозначаемое -а и называемое противоположным данному, такое, что
а + (-а) = О.
II. Операция умножения. Для любой упорядоченной пары чисел а и Ъ определено, и притом единственным образом, число, называемое их произведением и обозначаемое аЪ (или а ■ Ъ), так что при этом имеют место следующие свойства.
Для любой пары чисел а и Ъ
ab = Ьа.
Это свойство называется переместительным или коммутативным законом умножения.
П2. Для любых чисел а, Ъ, с
a(bc) = (аЪ)с.
Это свойство называется сочетательным или ассоциативным законом умножения.
П3. Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа а
а ■ 1 = а.
П4. Для любого числа а О существует число, обозначаемое 1/а или - и называемое обратным данному, такое, что
а - - = 1.
а
III. Связь операций сложения и умножения. Для любых чисел а, Ъ, с
{а + Ъ)с = ас + Ьс.
Это свойство называется распределительным или дистрибутивным законом умножения относительно сложения.
IV. Упорядоченность. Для каждого числа а определено одно из соотношений а> 0 (а больше нуля), а = О
37


А В
НН II НН 1 1111 1111 1111
а
Рис. 2
(а равно нулю) или а< 0 (а меньше нуля) так. что условие а> О равносильно условию -а < О.
При этом если а> О, Ъ> О, то имеют место неравенства:
INva + b> О.
IV2. ab > О.
Свойство IV дает возможность ввести понятие сравнения или, как иногда говорят, сравнения по величине для любых двух чисел.
Число Ъ называют числом, большим числа а. и пишут Ъ > а. или, что то же самое, число а называют меньшим числа Ъ и пишут а < Ъ, если Ъ - а > 0.
Наличие сравнения «больше» или «меньше» для любой пары действительных чисел называется свойством упорядоченности множества всех действительных чисел.
Действительные числа обладают еще так называемым свойством непрерывности.
V. 	Свойство непрерывности. Каковы бы ни были непустые множестваA^Ru у которых для лю¬
бых двух элементов а € А и Ъ € В выполняется неравенство а < Ъ, существует такое число а, что для всех а еА и b е В имеет место (рис. 2) соотношение
а < а < Ь.
Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике — с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью ее приближенные значения. Если в результате экспериментального измерения данной величины получается ряд чисел, дающих значение искомой величины с недостатком (они играют роль множества А в приведенной выше формулировке свойства непрерывности) и с избытком (множество В), то свойство непрерывности действительных чисел выражает объективную уверенность в том, что измеряемая величина имеет определенное значение, расположенное между ее приближенными значениями, вычисленными с недостатком и избытком.
Из свойств I—V действительных чисел вытекают другие многочисленные их свойства, поэтому можно сказать, что действительные числа представляют собой совокупность элементов, обладающую свойствами I—V.
38


Для вдумчивого читателя заметим, что а Ъ ссылка в начале параграфа на то, что дей- —q * ствительные числа и их свойства известны из курса элементарной математики, не яв- Рис. 3
ляется необходимой. Сформулированные выше свойства действительных чисел можно взять за исходное определение. Следует только исключить тривиальный случай: легко проверить, что для множества, состоящего только из одного нуля, выполняются все свойства I—V (в таком множестве 0 = 1). Множество, в котором имеется хоть один элемент, отличный от нуля, будем здесь для краткости называть нетривиальным.
Перефразируя сказанное, получим следующее определение.
Определение 1. Нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами I—V, называется множеством действительных чисел. Каждый элемент этого множества называется действительным числом.
Построение теории действительных чисел, основывающееся на таком их определении, называется аксиоматическим, а свойства I—V — аксиомами действительных чисел.
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой, а также числовой или действительной осью, а отдельные числа — ее точками (рис. 3).
При такой интерпретации действительных чисел иногда вместо а меньше Ъ (а больше Ь) говорят, что точка а лежит левее точки b (что а лежит правее Ь).
В п. 2.2 —2.6 будут более детально проанализированы свойства I—V действительных чисел и выведены некоторые их следствия. Как и все пункты, отмеченные звездочками, эти пункты при первом чтении можно без существенного ущерба для усвоения курса математического анализа опустить. Для понимания дальнейшего материала (в § 3 и следующих) вполне достаточно представления о действительных числах, которое дается в курсе элементарной математики.
2.2*. Свойства сложения и умножения
Рассмотрим некоторые свойства сложения и умножения, которые вытекают из свойств I, II и III. Прежде всего заметим, 39


что для операции сложения существует обратная операция — вычитание; определим ее.
Для любой упорядоченной пары чисел а € R и Ъ € R число а + (-6) называется разностью чисел а и Ъ и обозначается через а - Ъ. т. е.
def
а-Ъ = а + (-&). (2.1)
Если
а + Ъ = с, (2.2)
то, прибавляя к обеим частям этого равенства число -Ь. получаем (а + Ь) + (-6) = с + (-&). Отсюда, согласно ассоциативному закону 12 и определению разности, имеем
а + (Ь + (-&)) = с - й,
но Ъ + (-Ь) = 0; следовательно,
а = с-Ь. (2.3)
Таким образом, после прибавления к числу а числа b число а восстанавливается вычитанием из суммы а + Ъ числа Ь. поэтому операция вычитания и называется операцией, обратной операции сложения.
Перейдем теперь к свойствам сложения и умножения действительных чисел.
1°. Число, обладающее свойством нуля, единственно.
Действительно, допустим, что существуют два нуля 0 и 0z; тогда, в силу 13: О' + 0 = О', 0 + О' = 0. Согласно коммутативному закону 12, левые части этих равенств равны, следовательно, равны и правые, т. е. 0 = О'. □
2°. Число, противоположное данному, единственно.
Пусть числа Ъ и с противоположны некоторому числу а. т. е. а+^=0иа+с = 0. Тогда из первого равенства имеем (а + Ь) + с = 0 + с. т. е. (а + Ь) + с = с. откуда (а + с) + Ъ = с; но а + с = 0, следовательно, Ъ = с. □
3°. Для любого числа а справедливо равенство
-(-а) = а.
Из равенства а + (-а) = 0, определяющего противоположный элемент, в силу коммутативности сложения, получим (-а) + а = 0. Это и означает, что а = -(-а). □
4°. Для любого числа а справедливо равенство
а - а = 0.
В самом деле, а - а = а + (-а) = 0. □
40


5°. Для любых чисел а и Ъ имеем
-а - Ъ = -{а + Ъ).
пг. е. число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме противоположных им чисел.
Действительно, а + Ъ + {-а - Ь) = (а - а) + (Ь - Ь) = 0. □
6°. Уравнение а + х = Ъ имеет в R решение, и притом единственное: х = Ъ - а.
В самом деле, если решение существует, то, в силу формул (2.2)—(2.3), х = Ъ - а. Этим и доказана единственность решения уравнения а + х = Ъ. Для существования решения достаточно проверить, что число х = Ъ - а является решением. Это действительно так:
а + (Ъ — а) = а + [й + (—а)] = [а + (—а)] + Ъ = Ъ. □
Для операции умножения также существует обратная операция; она называется делением и определяется следующим образом.
Для любой упорядоченной пары чисел а и Ъ. Ъ 0, число а ■ | называется частным от деленияаъ&Ъя обозначается ъ
через |, или а/Ъ. или а : Ъ. т. е.
a def 1 , , ~
т = а - -г. b 0.
b ь
Запись частного от деления а на Ъ в виде | (или а/Ъ) называется дробью с числителем а и знаменателем Ъ.
Свойства, аналогичные свойствам 1°—6° для сложения, справедливы и для операции умножения:
7°. Число, обладающее свойствами единицы, единственно.
8°. Число, обратное данному числу, отличному от нуля. единственно.
9°. Для любого числа а 0 справедливо равенство
41


10°. Для любого числа а 0 справедливо равенство
- = 1.
а
11°. Для любых чисел а + 0 и Ъ + 0 имеем равенство
1 1 = 1 a b ab ’
т. е. число, обратное произведению чисел, отличных от нуля, равно произведению обратных им чисел.
12°. Уравнение ах = Ъ. а + 0, имеет в множестве дейст- вителъных чисел и притом единственное решение х = -.
Свойства 7°—12° доказываются аналогично свойствам 1°—6°.
13°. Равенство b 0, d 0, справедливо тогда и
только тогда, когда ad = be.
СЛЕДСТВИЕ (основное свойство дроби). Каковы бы ни были дробь а/Ъ, Ъ + 0, и число с + 0, имеет место равенство
а _ ас b ~ Ьс'
Действительно, умножая обе части равенства a/b = c/d на bd и используя определение деления, имеем следующую цепочку эквивалентных равенств:
? = § к bd = db а ■ bd = с\ db ad = cb. □ Ъ d Ъ d Ъ d
Все рассмотренные свойства 1°—13° касаются только операций сложения и умножения. Эти операции позволяют определить натуральные, целые и рациональные числа, операцию возведения в целую степень и операцию извлечения корня. Проделаем это.
Число 1 + 1 обозначается через 2, число 2 + 1 — через 3 и т. д. Числа 1, 2, 3, ... называются натуральными числами. Их обозначение и название совпадают с числами элементов в конечных множествах (см. п. 1.3 ). Это не случайно, поскольку, для того чтобы получить натуральное число п в новом смысле, надо взять конечное множество единиц, число элементов которого в п. 1.3 было обозначено тем же символом п, и сложить их (см. (1.4)). При этом отношение поряд42


ка, введенное в множестве натуральных чисел (см. п. 1.3 ), совпадает с порядком, имеющимся в этом множестве согласно упорядоченности множества всех действительных чисел (см. свойство IV в п. 2.1), причем натуральным числом, непосредственно следующим за п, является п + 1. Как уже отмечалось, множество натуральных чисел обозначается через N.
Заметим, что, хотя, как это было доказано выше, единица единственна, можно рассматривать несколько экземпляров единицы (как и вообще несколько экземпляров любого элемента некоторого множества) хотя бы для того, чтобы можно было написать выражение 1 + 1.
Числа 0, ±1, ±2, ... называются целыми числами. Множество целых чисел обычно обозначается через Z.
В дальнейшем будет показано (см. свойство 8° в п. 2.3 ), что из всех перечисленных в п. 2.1 свойств действительных чисел следует: 1 > 0.
Числа вида т/п. где тип — целые, а п + 0, называются рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается обычно через Q. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Их множество обозначается через I.
Отметим теперь несколько свойств, которые связывают операции сложения и умножения.
14°. Для любых чисел а, Ъ и с имеет место равенство а(Ъ - с) = аЪ - ас.
В самом деле,
а(Ъ ~ с) = а(Ъ - с) + ас - ас = а(Ь - с + с) - ас = аЪ - ас. □
15°. Для любого числа а выполняется равенство
«■0 = 0.
Действительно, возьмем какое-либо число &; тогда b - Ъ = = 0 (см. свойство 4°). Поэтому, согласно свойству 14°, имеем
а ■ 0 = а(Ъ - b) = ab - ab = 0. □
Из свойства 14°, между прочим, вытекает, что утверждение 1 + 0 при выполнении свойств I—III эквивалентно тому, что существует хотя бы одно число, отличное от нуля. Очевидно, достаточно показать, что если существует число а + 0, то 1 + 0. Докажем это: пусть существует а + 0; тогда из равен43


ства а ■ 1 = а следует, что 1^0, так как в противном случае, согласно свойству 15°, имело бы место равенство а = 0.
16°. Если аЪ = 0, то по крайней мере один из сомножителей а и Ъ равен нулю.
Пусть, например, а 0; тогда, умножив равенство аЪ = 0 на - , получим - (ab) = - ■ 0, откуда (-а Ъ = 0, следователь- d Cl Cl \а j
но, b = 0. □
17°. Для любых чисел а и b имеем
{-а)Ъ = -ab, (-a)(-b) = ab;
в частности. (-l)a = -a.
В самом деле,
{-а)Ъ = {-а)Ъ + ab - аЪ = {-а + а)Ъ - аЪ = -аЪ.
Отсюда, в силу коммутативности умножения (меняя а и b местами), имеем а(~Ъ) = - ab. Используя это равенство, получаем
(-«)(-&) = -a(-b) = (-1)[а(-6)] = (-l)(-afc) = -(-ab) = ab. □
Из свойств I, II, III действительных чисел и перечисленных выше их следствий можно получить правила арифметических действий с дробями, т. е. числами вида a/b. b 0, а € R. b € R.
18°. Сложение дробей производится по правилу
Ct I (1(1 Ьс 7 , л 7 , л
т + з = —гз— , Ь 0, d 0. Ъ d bd
Докажем справедливость этого равенства. Использовав определение деления, дистрибутивность сложения относительно умножения и основное свойство дроби, получим ad + be / 7 I 7 \ 1 7 1 I 7 1 ad t be a . e
—33— — (ad + be) -г—. — ad^—} + bc-r—. — т—, + гз — т + з • □ bd v 'bd bd bd bd bd b d
19°. Умножение дробей производится no правилу
l ■ 7i = ^i’b*0, d*0. b d bd
Использовав определение деления и свойство 11°, получим ас 1 11 ( 1W 1А а с
= ас = ac-r-j = \ а ■ г Сз = г з . bd bd (П) bd I b)\ d) bd
20°. Обратным элементом дроби , a 0, fe 0 являет-
—v b a b
ся дробь -. m. e. - ■ - = 1. r a ba
Это сразу следует из правила умножения дробей.
44


21°. Деление дробей производится по правилу
т = тг ,b^O,c^O,d^O. b d be
Использовав определение деления, предыдущее свойство и правило умножения дробей, будем иметь
be
а ' с _ а b : d ~ b
d с
1 _ а с & d
Пусть заданы действительное число а и натуральное число п. Число а, умноженное п раз на себя, называется п-й степенью числа а и обозначается через ап. Таким образом, п def а =
аа ...а.
п раз
По определению полагается a0 1 и для любого п Е N —п def 1 а = ~- а
Выведем теперь из полученных выше свойств сложения и умножения действительных чисел правила действий со степенями.
22°. Если тип — целые числа, причем в случае, когда т < 0 или п < 0, имеет место а^ 0, то
т п т + п z т\П тп а а = а , (а ) = а .
Если т = 0 или п = 0, то справедливость формул очевидна. В том случае, когда т и п — натуральные числа, согласно определению степени,
т п „ „ „ „ т + п
а а = а ... а а ... а = а т раз п раз
Если m < О, п> 0 и а 0, то, полагая k = -т и используя основное свойство дроби (возможность одновременного деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же не равное нулю число без нарушения равенства), при k < п будем иметь п раз
т п -k п и а а = а а = —
а
а ... а п - k т + п
= а =а
k раз
45


а при k> п
1
m n — а — _ Пп ~ k _ т + п
СЛ/ СЛ/ 1 1 СЛ/ СЛ/ •
k k - п а а
Если /п<0, п<Оиа^О, то, полагая, k = -т, 1 = -пи ис- 1 1 о
пользуя свойство 11 , получаем
т п -k -I 11 1 ~(k +1) т + п
а а = а а = —k— = = d —а
а а а
Аналогично проверяется и вторая формула свойства 22°. □
Легко показать, что свойства 1Р 12, Щ, П2 и III распространяются по индукции на любое конечное число членов. В качестве примера покажем, что для любых чисел а1, а2, ... , ап (п > 2) и Ъ
+ d2 + ... + a^b = dyb + d2b + ... + dnb. (2.4)
В самом деле, при п = 2 эта формула справедлива согласно свойству III.
Пусть теперь формула (2.4) справедлива при п = k, покажем, что она будет справедлива и при п= k+ 1. Применив свойство 12 для k + 1 слагаемых (считая, что оно уже доказано), затем свойство III и использовав предположение индукции, получим
(«1 + а2 + ... + ak + i)& = [(«i + ... + ak) + ak + l\b =
= (&J + ... + dk)b + dk + yb = dyb + ... + dkb + dk + ]b.
Из формулы (2.4) в случае dr = d2 = ... = dn = 1 следует, что nb = b + ... + b,
n раз
т. e. что умножение числа на натуральное число п сводится к сложению этого числа п раз.
Замечание. Отметим, что свойства!—III п. 2.1 не описывают полностью действительные числа в том смысле, что существуют и другие множества, отличные от совокупности действительных чисел, удовлетворяющие тем же свойствам I—III, если в них слово «число» всюду заменить словом «элемент» рассматриваемого множества. Именно в этом смысле всюду в дальнейшем понимается выражение «множество, удовлетворяющее каким-либо из свойств I—III».
46


Примером множеств, удовлетворяющих условиям I, II и III, являются одни только рациональные числа или известные из элементарной математики комплексные числа, а также совокупность рациональных функций, т. е. функций ви¬
да f(x) = , где Р(х) и Q(x) — многочлены.
Элементы всех перечисленных множеств можно складывать и умножать, причем эти операции будут подчиняться условиям I, II и III. Множества, удовлетворяющие этим требованиям и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются полями.
Таким образом, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа и рациональные функции образуют поля.
Проанализируем теперь свойства, выделяющие поле действительных чисел среди всех других полей. Одним из таких свойств является свойство упорядоченности его элементов.
2.3*. Свойства упорядоченности
Выведем некоторые следствия из свойств упорядоченности IV и свойств сложения и умножения I, II и III.
Прежде всего напомним понятие сравнения по величине для любых двух чисел при условии, что для любого числа а определено, меньше ли оно нуля, равно ли нулю или больше его, причем никакое число и противоположное ему не могут быть одновременно больше или, соответственно, меньше нуля (в этом состояло свойство IV): число b называется числом, большим числа а: Ъ > а, если Ъ - а > 0.
Соотношение а < Ъ или равносильное ему Ъ > а называются неравенствами (иногда строгими неравенствами).
Заметим, что соотношение а < Ъ в случае а = 0 или Ъ = 0 совпадает с исходным соотношением IV. Действительно, если, например, й=0иа<0в первоначальном смысле, то, согласно свойству IV, имеет место неравенство -а > 0. Но -а = 0 - а, поэтому 0 - а > 0 и, следовательно, а < 0 и в смысле последующего определения. Обратно: если а < 0 в смысле последующего определения, т. е. 0 - а > 0, следовательно, -а > 0, то, согласно свойству IV, это равносильно условию а < 0 в первоначальном смысле.
47


Рассмотрим теперь основные свойства сравнения чисел по величине.
1°. Если а> Ъ и Ъ > с. то а> с.
Это свойство называется транзитивностью упорядоченности (сравнения по величине) чисел.
Если а > Ъ и Ъ > с. то, согласно определению, это означает, что а-й>0ий-с>0. Складывая эти неравенства, согласно IVj получаем {а - Ь) + (Ь - с) > 0, т. е. а - с > 0. Это и означает, что а > с. □
2°. Если а>Ъ, то для любого числа с имеем а + с > Ъ + с.
В самом деле, неравенство а > Ъ означает, что а - Ъ > 0. Так как, согласно свойству 5° из п. 2.2 , а-Ъ = а + с- с- Ъ = = (а + с) - (Ь + с), то {а + с) - (Ь + с) > 0 и, следовательно, а + с > b + с. □
Соотношение а < Ъ читается: «а меньше Ъ». Соотношение а = Ъ читается: «а равно Ъ». Соотношение а > Ъ читается: «а больше Ъ».
Наличие транзитивного отношения порядка «больше», «меньше» между любыми двумя числами называется обычно свойством упорядоченности множества действительных чисел или отношением порядка.
Запись а < Ъ равнозначна записи Ъ > а и означает, что либо а = Ь, либо а < Ъ. Например, можно написать 2 < 2, 2 < 5. Конечно, можно написать более точно: 2 = 2, 2 < 5, однако неравенства 2 < 2 и 2 < 5 также верны, так как означают, что «два не больше двух», соответственно что «два не больше пяти».
3°. Для любых двух чисел а и Ъ имеется в точности одно из трех отношений порядка а> Ь, а = Ь или а <Ъ.
Действительно, пусть заданы два числа а и Ъ. Для их разности а - Ь, согласно свойству IV, имеет место точно одно из соотношений а - b > 0, а - b = 0 или 0 > а - Ъ.
Если а - Ъ > 0, то, по определению, а > Ъ. Если а - Ъ = 0, то, прибавив к обеим частям равенства число й, получим а = Ъ. Наконец, если 0 > а - Ь, то, прибавив последовательно к обеим частям неравенства 0 > а - Ъ числа -а и Ъ (см. предыдущее свойство), получим Ъ - а > 0. Это и означает, что Ъ > а, или, что то же, а < Ъ. □
48


4°. Если а < Ь, то -а > -Ъ.
Действительно, из а < Ъ в силу определения имеем Ъ - а > 0. Поэтому -а = -а + Ъ + (-&) = (Ъ - а) + (-&) > 0 + (-&) = -Ь. □
5°. Если а < Ъ и с < d, то а + с < Ъ + d, пг. е. можно производить почленное сложение неравенств одного знака.
В самом деле, если а < Ъ и с < с/, то, согласно свойству 2° этого пункта, a+c<b+ciic+b^d+b, поэтому, в силу транзитивности упорядоченности, имеем а + с <b + d. □
6°. Если а <Ъ и с > d, то а - с < b - d, т. е. неравенства противоположных знаков можно вычитать в указанном смысле.
Действительно, из с > d имеем, согласно свойству 4° этого пункта, -с < -d. Сложив неравенства а < Ъ и -с < -с/, получим а - с <Ъ - d. □
7°. Если а <Ъ и с < 0, то ас > Ьс.
В самом деле, согласно свойству 4° этого пункта, -с > 0, поэтому, в силу свойства IV2, имеем а(-с) < Ь(-с). Отсюда, согласно свойству 17° п. 2.2 , получим -ас < -Ьс и, следовательно (см. свойства 4° этого пункта), ас > Ьс. □
Из свойства 7° следует, что если Ъ > 0, d > 0, то условие равносильно условию ad < be. В самом деле, второе из неравенств получается из первого умножением обеих его частей на bd. а первое из второго — делением на bd.
Из свойства 7° (при а 0) и из свойства IV2 вытекает правило знаков при умножении действительных чисел: произведение двух сомножителей одного знака (либо одновременно положительных, либо одновременно отрицательных) положительно. а произведение двух сомножителей разных знаков (один из них положителен, другой — отрицателен) отрицательно.
8°. В упорядоченном поле всегда справедливо неравенство 1 > 0.
В самом деле, как уже было показано (см. замечание после свойства 14° в п. 2.2 ), из условия существования элемента а 0 (это условие входит в определение поля, см. конец п. 2.2 ) следует, что 1^0. Покажем, что неравенство 1 < 0 невозможно. Допустим противное, пусть 1 < 0. Возьмем ка49


кое-либо а > 0. Согласно определению единицы, имеем а ■ 1 = а. По правилу знаков произведение положительного числа а и отрицательного, по предположению 1, является отрицательным числом, т. е. а < 0, что противоречит условию. □
Действительные числа снова не являются единственным объектом, который удовлетворяет аксиомам I—IV. Множества, для которых справедливы эти аксиомы, называются упорядоченными полями. Примером упорядоченного поля, отличного от поля действительных чисел, является поле рациональных чисел. Однако уже ни поле комплексных чисел, ни поле рациональных функций не являются упорядоченным полем.
Во всяком упорядоченном поле можно ввести понятие абсолютной величины его элементов. При ее определении и изучении ее свойств для единообразия изложения будем все время говорить о числах, а не об элементах произвольного упорядоченного поля.
Для любого числа а число, обозначаемое |а| и определяемое по формуле
. . J а. если а > 0,
~ [~а, если а < 0, называется абсолютной величиной числа а, или, что то же, его модулем.
Отметим ряд свойств абсолютной величины.
1°. Для любого числа а выполняются соотношения
\а\ > 0, (2.5)
|а| = |- а|, (2.6)
а < |а|, -а < \а\. (2.7)
Докажем неравенство (2.5). Если а > 0, то |а| = а > 0; если же а < 0, то |а| = -а > 0.
Докажем равенство (2.6). Если а > 0, то |а| = а и -а < 0, поэтому, согласно определению абсолютной величины и свойству 3 из п. 2.2 , получим |-а\ = ~(~а) = а = |а|. Если же а < 0, то |а| = -а и -а > 0; это означает, что |-а\ = -а.
Докажем неравенство (2.7). Если а > 0, то а = |а| и -а <
< 0 < а = |а|, т. е. (2.7) выполняется. Если же а < 0, то а < 0 <
< -а = |а|, т. е. (2.7) также выполняется.
50


2°. Для любых чисел а и Ъ
\а + b\ < \а\ + \b\, (2.8)
\\а\ - \Ь\\ < \а - Ь\. (2.9)
Докажем эти неравенства. Согласно (2.7), имеем:
а < \а\, -а < \а\, b < \b\, -b < \b\.
Отсюда, в силу свойства 5° из п. 2.3 и свойства 5° из п. 2.2 , а + Ъ < \а\ + |fe|, -(а + b) < \а\ + \b\.
Одно из чисел а + Ъ или -(а + Ь) неотрицательно и, следовательно, совпадает с \а + Ь\. Неравенство (2.8) доказано.
Неравенство же (2.9) является следствием (2.8). В самом деле,
\а\ - \b\ = \(а - b) + b\ - \b\ < \а - b\ + \b\ - \b\ = \а - &|;
аналогично,
\b\ - \а\ < \b - а\ = \а - Ь\.
Согласно свойству 5° п. 2.2 \ \b\ - |а| = -(|а| - \b\). Одно из чисел |а| - \b\ и -(|а| - \b\) совпадает с ||а| - |&||. Неравенство (2.9) также доказано. □
3°. Для любых чисел а и Ъ выполняется равенство
\ab\ = |а||&|.
Это сразу следует из определения абсолютной величины, свойства 17° п. 2.2 и правила знаков при умножении.
Рассмотрим теперь свойство непрерывности, которое выделяет поле действительных чисел среди всех прочих упорядоченных полей.
2.4*. Свойство непрерывности действительных чисел
Упорядоченное поле, удовлетворяющее свойству V, называется непрерывным упорядоченным полем. Поле рациональных чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем имеются множества А и В, для любых элементов а € А и Ъ € В которых выполняется неравенство а < Ь, вместе с тем не существует такого рационального числа г, 51


чтобы для всех Ъ € В и а € А выполнялось соотношение а < < г < Ъ. Этим свойством обладают, например, множество В, которое состоит из всех положительных рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству г2 > 2, и множество А, в которое отнесены все остальные рациональные числа, так как не существует рационального числа, квадрат которого равнялся бы числу 2.
В терминах упорядоченных полей определение множества действительных чисел можно сформулировать следующим образом.
Определение 2. Множеством действительных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.
Поле рациональных чисел, как уже отмечалось выше, не обладает свойством непрерывности, а поле действительных чисел — обладает. Поэтому заведомо существуют действительные числа, не являющиеся рациональными, т. е. существуют иррациональные числа. Таким образом, множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел в том смысле, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел. При этом расширении сохраняются свойство упорядоченности и операции сложения и умножения. Оказывается, что действительные числа, в отличие от рациональных, уже нельзя расширить до большего множества так, чтобы сохранялись указанные свойства (упорядоченность и операции сложения и умножения). Это свойство называется свойством полноты действительных чисел относительно их упорядоченности, сложения и умножения. Его доказательство будет дано в п. 3.8 .
2.5*. Сечения в множестве действительных чисел
Свойство непрерывности действительных чисел можно формулировать в различных терминах. Рассмотрим формулировку этого свойства в терминах так называемых сечений действительных чисел. Прежде всего определим это понятие. Определение 3. Два множества А R и В <= R называются сечением множества действительных чисел R, если:
1°) объединение множеств А и В составляет все множество действительных чисел R, A U В = R;
52


2°) каждое из множеств А и В не пусто. А 0, В 0;
3°) каждое число множества А меньше любого числа множества В: если а е А. Ъ € В, то а <Ъ.
Свойство 1°) означает, что каждое действительное число принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В.
Из свойства 3°) очевидно следует, что множества А и В не пересекаются: А А В = 0. Действительно, если бы нашелся элемент х € А А В, т. е. х € А и х € В, то из свойства 3°) следовало бы, что х < х.
Сечение множества действительных чисел, образованное множествами А и В, обозначается через А|В. Множество А называется нижним, а множество В — верхним классом данного сечения.
Простые примеры сечений можно получить следующим образом. Зафиксируем какое-либо число а € R. Отнесем сначала к множеству А все числа х < а, а к множеству В — все числа у > а:
A =f {х : х < а}, В =f {у : у > а}. (2.10)
Так определенные множества А и В образуют сечение, что устанавливается непосредственной проверкой выполнения условий 1°), 2°) и 3°) определения 3.
Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа х < а, а к множеству В — все числа у > а:
A d=f {х : х < а}, В d=f {у : у > а}. (2.11)
Снова множества А и В образуют сечение. В обоих случаях (2.10) и (2.11) говорят, что сечение производится числом а, и пишут а = А|В.
Отметим два свойства сечений, производящихся некоторым числом.
1°. В случае (2.10) в классе А есть наибольшее число, им является число а. а в классе В нет наименьшего числа.
В случае (2.11) в классе А нет наибольшего, а в классе В есть наименьшее число, им является число а.
Рассмотрим, например, первый случай (2.10). То, что а является наибольшим числом в классе А, ясно из первой формулы (2.10), задающей множество А.
53


Покажем, что в множестве В нет наименьшего числа. Допустим противное: пусть в В есть наименьшее число. Обозначим его через р. Из условия Р € В. в силу второй формулы (2.10), справедливы неравенства а < р, следовательно, а + + а < а + Р, т. е. а < 2 г, откуда снова, в силу второй формулы (2.10), получаем, что а 2 € В. Аналогично из ос < Р
имеем а + Р < Р + р, т. е. а 2 < р, и так как Р — наименьшее
число в классе В, то а 2 € А. Полученное противоречие до¬
казывает утверждение. □
2°. Число, производящее сечение, единственно.
В самом деле, допустим, что существует сечение, которое определяется двумя разными числами: а = А\В и Р = А|В. Пусть, например, ос < р. Тогда, как было показано при доказательстве предыдущего свойства, справедливы неравенства
/ ОС + В / п тт / ос + В
а < —< р. Из неравенства а < —следует, что как в случае (2.10), так и в случае (2.11) имеет место условие а 2 € В.
Аналогично из неравенства а 2 < Р следует, что а 2 € А.
Это противоречит тому, что множества А и В не пересекаются. □
Свойство непрерывности действительных чисел состоит в том, что никаких других сечений действительных чисел, кроме тех, которые производятся некоторым числом, не существует. Иначе говоря, непрерывность действительных чисел может быть описана следующим образом.
VP Для каждого сечения А\В множества действительных чисел существует число а. производящее это сечение*.
и=А\В.
Это число, согласно доказанному выше, является либо наибольшим в нижнем классе, тогда в верхнем классе нет наименьшего числа, либо наименьшим в верхнем классе, тогда в нижнем нет наибольшего числа.
54


Таким образом, если А\В является сечени- А В ем множества действительных чисел, то, согласно свойству их непрерывности, сформу- б)
лированному в форме У\, не может случиться А В
так, что в классе А будет наибольшее число и ау
одновременно в классе В будет наименьшее число (рис. 4, а). Не может также быть и то- Рис- 4 го, чтобы в классе А не было наибольшего числа и одновременно в классе В не было наименьшего числа (рис. 4, б). Образно говоря, непрерывность действительных чисел означает, что в их множестве нет ни скачков, ни пробелов, короче, нет пустот.
Сечение А\В геометрически означает разбиение числовой прямой на два луча, имеющих общее начало и идущих в противоположных направлениях, причем один из них содержит их общее начало (замкнутый луч), а другой — нет (открытый луч).
Сформулированное свойство непрерывности действительных чисел V, так же как и эквивалентное ему свойство У\, называется принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду1.
В дальнейшем мы встретимся с другими подходами к понятию непрерывности множества действительных чисел (см. п. 3.7).
Покажем, что свойство Vx равносильно свойству V. Пусть сначала выполнено свойство V и задано какое-либо сечение А|В. В силу требования 3° в определении сечений для любых а Е А и Ъ Е В выполняется неравенство а < Ь, поэтому пара множеств АнВ удовлетворяет условию, сформулированному в свойстве V. Следовательно, согласно этому свойству, существует такое число а, что для всех а € А и Ъ € В выполняется соотношение а < а < Ъ. Число а, согласно первому свойству сечений, принадлежит одному из классов А или В. Если ос Е А, то для всех а Е А и Ъ Е В выполняется неравенство а < а < Ь, т. е. число а производит сечение А\В и является наибольшим в нижнем классе. Аналогично, если ос Е В, то число а также производит сечение А\В и является наименьшим в верхнем классе В.
1 Р. Дедекинд (1831 —1916) — немецкий математик.
55


Пусть теперь, наоборот, выполнено условие Vx и заданы два таких непустых множества А <= R и В <= R, что для любых а € А и Ъ <= R выполняется неравенство а < Ъ. Обозначим через В такое множество чисел, что, каково бы ни было Ъ € В , для любого а € А выполняется неравенство а < Ъ (число Ъ \ обладающее этим свойством, называется числом, ограничивающим сверху множество А). Очевидно,
В^В*. (2.12)
Через А обозначим все остальные действительные числа: А = R\B*.
Покажем, что множества А и В образуют сечение в множестве действительных чисел и что число а, производящее это сечение, удовлетворяет условию, указанному в формулировке свойства V, для заданных множеств А и В.
Прежде всего проверим, что множества А и В удовлетворяют всем условиям, которым должны удовлетворять множества, образующие сечение. Действительно, в множество А отнесены все числа, не попавшие в множество В , поэтому их объединение A U В является множеством всех действительных чисел R:
А и (2.13)
Множество В заведомо не пусто в силу включения (2.12), так как, по условию, множество В не пусто. Итак,
В^0. (2.14)
Докажем, что и множество А не пусто. По условию, множество А не пусто1. Это означает, что существует по крайней мере одно число а € А. Тогда число а - 1 заведомо не принадлежит множеству В . Действительно, а - 1 < а, а все числа Ъ из множества В удовлетворяют неравенству Ъ > а. По-
1 Заметим, что не обязательно А А . Более того, в случае, когда множество А состоит из одной точки а 6 В (это допустимо), множества А и А даже не пересекаются, так как в этом случае А = {а} <= В <= В .
56


этому а - 1 Е А , поскольку к мно- j х жеству А относятся все числа, не ос а0
вошедшие в множество В . Итак, Рис. 5
множество А также не пусто:
А**0. (2.15)
Докажем теперь, что каждое число а Е А меньше любого числа Ъ Е В :
а <b\ (2.16)
Допустим противное: пусть найдутся такие числа а Е А и Ъ € В , что а > Ъ . Тогда, в силу определения множества В , для любого а Е А выполняется неравенство а < Ъ \ а следовательно, и неравенство а < а . Это означает, что а Е В . Таким образом, число а одновременно принадлежит как множеству А , так и множеству В . Это невозможно, так как к множеству А были отнесены только те числа, которые не содержатся в множестве В . Полученное противоречие показывает, что неравенство а > Ъ при условии а еА,Ь Е В невозможно, а тем самым выполняется неравенство (2.16).
Выполнение условий (2.13)—(2.16) означает, что множества А и В действительно образуют сечение в множестве действительных чисел (см. определение 3).
Пусть а — число, производящее это сечение: а = А \В . Такое число а существует в силу предположения о выполнении свойства VP Покажем, что а Е В . Если бы это было не так, то нашлось бы такое число aQ Е А, что а0 > а. Выберем какое-либо число х так, чтобы а < х < aQ (рис. 5), а + а0 * *
например, —— • Из условий х>аиа = А[В вытекает, что х Е В , следовательно, для любого а Е А должно выполняться неравенство х > а, так как В состоит только из таких чисел. Однако это неравенство не выполняется при а = aQ. Полученное противоречие доказывает, что а Е В , и поэтому число а является наименьшим в верхнем классе В ; но В <= В , следо57


вательно, для любых Ъ € В выполняется неравенство а < Ъ. Наконец, в силу самого определения множества В , из включения а € В вытекает, что для любого числа а € А справедливо неравенство а < а.
Итак, для всех а € А, Ъ € В имеет место неравенство а < а < < Ъ. Это и означает, что наличие свойства V влечет за собой наличие свойства V. □
Аналогично определению 3 формулируется определение сечения в множестве рациональных чисел Q. Всякое действительное число производит такое сечение, и можно доказать, что всякое сечение в Q производится действительным числом.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть В = {х : х2 > 2, х > 0, х € Q} и А = Q\B. Доказать, что множества А и В образуют сечение в поле рациональных чисел Q и что это сечение не определяется никаким рациональным числом.
2.6*. Рациональные степени действительных чисел
Число b такое, что Ъп = а (если оно, конечно, существует), называется корнем п-й степени из числа а и обозначается пГ 1/п <пГ\п def
через "ца , или а , т. е. (^/а) = а.
Отметим, что в множестве действительных чисел для любого числа а > 0 и любого натурального числа п всегда существует число й > О, являющееся корнем п-й степени из а, т. е. существует nJa. Мы не будем пока останавливаться на доказательстве этого важного утверждения, хотя его можно было бы провести и здесь, например на основе понятия сечения, а докажем его позже (см. пример в п. 7.2). Конечно, в некоторых случаях корень может существовать и для а < 0. Например, существует V-8 = -2, но уже корень JA: не существует в том смысле, что не существует действительного числа Ъ = J^A , так как в противном случае было бы справедливо равенство Ъ2 = = -4, которое противоречит правилу знаков при умножении.
58


Если а > О, Ъ = nJa и Ъ > О, то число Ъ называется арифметическим значением корня n-й степени из числа а. В дальнейшем под корнем из неотрицательного действительного числа будем понимать арифметическое значение корня, если не оговорено что-либо другое.
Сформулируем свойства корня. Пусть пит — натуральные числа и а > О, Ъ > 0; тогда справедливы следующие формулы:
1°. = mnJa. 2°. nJa = mnJa™.
3°.nJab = n4a’l!b. 4°. nl^ = — , b 0.
Nb nfb’
5°. = nJ^.
Все эти формулы доказываются одинаковым приемом. Докажем, например, первую из них.
Пусть b = г\1тл/а . Согласно определению корня и свойству 22° из п. 2.2 , это означает, что Ъп = mJa и что Ьтп = а. Отсюда, в силу того же определения корня, следует, что Ъ = mnJa . Таким образом, имеем \1тл/а =Ъ = mnJa . □
Если а < 0 и все корни, входящие в формулу 1°, существуют, то она также справедлива и приведенное ее доказательство сохраняет силу. Вообще, если а < 0 и все корни, входящие в какую-либо из формул 1°—5°, существуют, то они справедливы при соответствующем выборе значений корней.
Имея понятие целочисленной степени и корня, определим понятие рациональной степени. Пусть а > 0 и г € Q, т. е. г = т/п, т Е Z, п Е Z, п 0.
Степень аг определяется равенством ar d=f nJa^ .
Отметим основные свойства рациональной степени.
Пусть а > 0, Ъ > 0, т\ Е Q, r2 Е Q; тогда:
г»0 -Г 1 „0 Г1 Г2 г1 + г2
ъ . а = —. 7 . а а = а
а
о0 / ri/2 rir2 n0 z г, г
8 . (а ) = а . 9 . (ab) = а b .
59


Докажем свойство 6°. Если г = , где шип — целые чис¬
ла, п 0, то
Из формул 7°, 8° и 9° докажем, например, формулу 7°
(остальные доказываются аналогично). Если г1 = , г2 = , q 0, п 0, р, q, т, п € Z, то, использовав определение рациональной степени, свойства корней 2°, 3° и свойство 22° из 2.2 , получим
р т
ri r2 q п а Г~Р п I т па I пР па I
а а = а а = У а У а = У а пУ а =
пр + mq р т
= п^апр + тд = а пд = ад + Ъ = а 1 + Г\ О
Из свойства 9° следует, что = —г. Действительно,
= (ab~1)r = ar(b~ly = агь~г = < □
ъ
Задача 1. Доказать с помощью сечений, что для любого числа а > О и любого натурального п существует корень Уа .
2.7. 	Формула бинома Ньютона
Многочлены, представляющие собой сумму двух слагаемых, называются двучленами или биномами. Выведем формулу для п-й степени бинома х + а, называемую формулой бинома Ньютона1:
(х + а)п = хп + С^х11 1а+С2пхп 2а2 + ... + Спп 1 хап 1 + ап.
(2.17)
С помощью символа Е формула (2.17) записывается в виде
(х + а)п = icknxn~kak. (2.18)
Приведем два доказательства этой формулы: первое — эвристическое, оно позволит одновременно установить вид
1 И. Ньютон (1643—1727) — английский физик, механик, математик и теолог.
60


формулы (2.18), второе, более короткое, будет состоять просто в проверке написанной формулы (2.18).
Первое доказательство. Вычислим произведение п биномов, вторые члены которых обозначены буквой а с различными индексами:
(х + а^х + а2) ... (х + ап). (2.19)
Очевидно, что в произведении получится многочлен степени п относительно х. Сосчитаем последовательно коэффициенты у различных степеней х, начиная с наибольшей.
В произведении (х + б^), (х + а2), ... , (х + ап) член с хп может получиться только в результате перемножения х-в, взятых из каждой скобки; поэтому коэффициент у хп равен 1:
(х + аг)(х + а2) ... (х + ап) = хп + ... .
Член с хп 1 при вычислении произведения (2.19) может получиться только в том случае, когда во всех скобках, кроме одной, выбран х, а из оставшейся — свободный член, которым может быть любое из а19 а2. ... , ап. Поэтому коэффициент в произведении (2.19) при хп 1 равен аг + а2 + ... ап: (х + бб-[)(х + бб2) ... (х + ап) = хп + хп !(б11 + а2 + ... + ап) + ... .
Член с хп 2 может получиться только если из всех сомножителей произведения (2.19), кроме двух, выбран член х, а в оставшихся двух — свободные члены; поэтому коэффициент при хп 2 в произведении (2.19) является суммой всевозможных произведений различных и , причем их всегда можно расположить в порядке возрастания индексов, т. е. так, что < i2, i19 i2 = 1, 2, ... , п:
(х + ах){х + а2) ... (х + ап) =
= хп + хп ~ 1 L at + хп ~ 2 Е ai ai + • • • • / = 1 1 й, i2 = l 4 г2
h <
Число слагаемых в сумме Е aL aL равно числу всевоз- i2=1 1 2
*1 < i2
можных выборов пар различных членов из а19 а2, ... , ап9 т. е. числу сочетаний С2 .
61


Вообще, член с хп k, k = 1, 2, ... , п - 1, может получиться только если из всех сомножителей произведения (2.19), кроме k, выбран член х, а в оставшихся k — свободные члены. Поэтому коэффициент при хп k в произведении (2.19) является суммой всевозможных произведений а^а^...а^ различных aj . Сомножители aj в этих произведениях всегда i j
можно расположить в порядке возрастания их индексов, т. е. считать, что ix<i2< ... < ik, ij € {1, 2, ... , n}, j = 1, 2, ... , k:
(x + a^x + a2) ... (x + an) = xn + xn~ 1 +
+ xn~2 E a7- a7- +... + xn~k E a7- a7- ...a, + ... .
jp j2=l 4 l2 Й, i2, ..., ik = l l2 lk
«1 < i2 h<l2< ■■■ < lk
Число слагаемых в сумме, являющейся коэффициентом П k «J т
при х , равно числу сочетании из п элементов по /?, т. е.
равно Сп.
Наконец, свободный член произведения (2.19) получится лишь в том случае, когда перемножаются свободные члены каждой из скобок, т. е. свободный член произведения (2.19) равен Итак,
(x + a1)(x + a2)... (х +ап) = хп + хп~1 Е ai + xn~2_ Е_ at at +
i = 1 «2 _ 1 42
*1 < *2
+ ... + xn~k Е а, а, ...а, + ... + а->а2...а„. (2.20)
ij, i2, .... t„ - 1 ll l2 lk L 2. n \
< i2< ... < ik
Число слагаемых в каждой из сумм, написанных со зна- ком Е, равно, соответственно, Сп , Сп , ... , Сп, ... Сп , а у первого и последнего слагаемого для записи коэффициента 1 можно использовать равенства = 1. Поэтому при
а1 = а2 = ••• = ап = а из формулы (2.20) получим
(х + а) = Спх + Спх а +
С2 п- 2 2 . . п-k k . . п
„х а +... + С„х а +... + С„а, [ъ lb [Ь
т. е. формулу (2.18).
Второе доказательство проведем методом математической индукции (для него надо заранее знать формулу (2.18), тогда как и при первом доказательстве мы ее нашли).
При п = 1 формула (2.18) очевидно верна, так как в этом случае она имеет вид х + а = х + а.
62


Пусть формула (2.18) верна при некотором п € N. Докажем, что тогда она верна и при п + 1:
(х + а)п + 1 = (х + а)п(х + а) = (хп + С1пхп~1а + С^хп~2а2 + ...
(2.17)
. п - k k . +1 n-k-lk+1. . 4
... + Cnx a + Cn x a + ... + a )(x + a) =
n + 1 . n . ^2 n - 1 2 . . Л + 1 n-k k+1 . . n .
= x +Cnxa + Cnx a + ... + Cn x a + ...+xa +
+ xna + C1nxn-1a2 + ... + Cknxn-k ak+1 + ... + an+1= = xn + 1 + (C1n + C°n )xna + (C2n + C1n)xn~1a2 + ...
. z + 1 . x n - k k + 1 . . П + 1
... + (Cn + Cn)x a + ... + «
Вспомнив, что Ckn + 1 + Ckn = Ckn + (cm. (1.19)), получим
(x + a) = x + Cn + 1x a +
• n + 1 2 i i +1 n — /? /? + 1 - . n + 1
+ Cn + 1x a +...+ Cn + 1x a +... + a , т. e. формулу (2.17), в которой n заменено на п + 1. □ Замечание. Отметим два интересных свойства биномиальных коэффициентов Ckn. k = 0, 1, ... , п: их сумма равна 2п, причем сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах. Действительно, подставив в формулу бинома Ньютона (2.18) х = а = 1, получим ^QCkn = 2п, а подставив х = 1, а = -1, имеем Е (-l)^C^ = 0.
УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что
§3.
Числовые множества
3.1. 	Расширенная числовая прямая
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел Я элементами, обозначаемыми через +°° и и назы63


ваемыми соответственно плюс и минус бесконечностями, считая при этом, что, по определению,
—оо < +оо?
(+оо) + (+оо) = +ОО, (—оо) + ( — оо) = — оо,
+ оо — (— оо) = -|-ОО, —ОО— (+ оо) = — оо,
( + оо)(+ оо) = (—ОО)( — оо) = +OO,
(+°°)(- оо) = (—оо)(+ оо) = —оо.
Но, например, операции (+°°) + (-°°) или -±-Ц уже не определены. Кроме того, для любого а Е R по определению полагается выполненным неравенство -°° < а < +°° и справедливость следующих операций:
а + (+оо) = +оо + а = +°°, -оо + а = а + (-оо) = -оо;
для а > О
a(+OO) = ( + ОО)а = +ОО, а(-ОО) = (-оо)а = -ОО;
для а < О
а(+оо) = (+оо)а = -оо, а(-оо) = (-оо)а = +оо.
Бесконечности +оо и -оо называют иногда «бесконечными числами» в отличие от действительных чисел а Е R, которые называются также конечными числами.
Множество действительных чисел R, дополненное элементами +°° и -°°, называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через R. Элементы +оо и -оо называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой в противопоставление точкам числовой прямой R, которые называются также и конечными точками.
В дальнейшем под числом всегда понимается конечное действительное число, если не оговорено что-либо другое.
3.2. 	Промежутки действительных чисел.
Окрестности
Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел, которые часто будут встречаться в дальнейшем. Если а < b, а Е R, b Е R, то множество {х : а < х < Ь} 64


называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через [а, 6], т. е.
[а, fe] d=f {х : а < х < b}, а е R, Ъ е R.
В случае а = Ъ отрезок [а, й] состоит из одной точки.
Если а < Ъ, то множество {х : а < х < Ь} называется интервалом и обозначается через (а, й), т. е.
(а, b) d=f {х : а < х < Ь}.
Интервал (а, Ь) называется внутренностью отрезка [а, 6].
Множества
[a, b) d=f {х : а < х < Ь} и (а, fe] d=f {х : а < х < Ь} называются полуинтервалами.
Отрезки [а, 6], интервалы (а, Ъ) и полуинтервалы [а, й), (а, й] называются промежутками, точки а и Ъ — их концами*. а — левым концом, ай — правым, а точки х такие, что а < х < Ъ, — их внутренними точками.
Если а и Ъ конечны, т. е. а € R и Ъ € R, то промежуток с концами а и Ъ называется также конечным промежутком, а число Ъ - а — его длиной.
Если хотя бы одно из а и Ъ является бесконечным, то промежуток с концами а и Ъ называется бесконечным.
Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством: если точ- ки а е R и Р е R, а < р, принадлежат некоторому промежутку с концами а е R и Ъ е R, то и весь отрезок [а, Р] принадлежит этому промежутку.
Для промежутка каждого типа это непосредственно следует из его определения.
Важным понятием для дальнейшего является понятие е-окрестности точки расширенной числовой прямой.
В случае а € R, т. е. когда а является действительным числом, г-окрестностъю U(a, е)1, е> 0, числа а называется интервал {а - е, а + е):
def
U(a, е) = {а - г, а + г).
1 Обозначение окрестности точки символом U происходит от слова Ungebung (нем.) — окрестность.
65


Если же а = +°°, то
Щ+оо, Е) =f +00I , а если а = -°°, то , „ /е J
7-т/ ч def Г 1
С7(-°°, с) = -оо, -- .
Таким образом, во всех случаях, т. е. когда а — действительное число или когда а — одна из бесконечностей +°о, -оо, при уменьшении числа £ соответствующие Е-окрестности С7(а, е) уменьшаются: если 0 < ех < s2, то Ща, <= С7(а, е2).
Иногда бывает удобно пополнить множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) °°. Ее £-окрестность С7(°°, е), е > 0, определяется равенством
[7(оо, £) d=if ; х е R, |х| > |} и {оо}.
Иначе говоря, £-окрестность С7(°°, £) состоит из двух бесконечных интервалов +°°^ и самого элемен¬
та . Этот элемент также называется иногда бесконечно удаленной точкой числовой прямой. В отличие от бесконечностей со знаком +оо и -оо бесконечность оо без знака не связана с действительными числами отношением порядка.
Всякая е-окрестность конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой называется ее окрестностью и часто обозначается просто через Ща). Иногда мы будем обозначать окрестности и другими буквами, например V, W,
Нередко бывает удобным называть окрестностью U(a) конечной точки а не только интервал, центром которого является точка а, а всякий ее содержащий интеграл. Ясно, что любая такая окрестность точки содержит ее е-окрестность при некотором е > 0.
Наряду с определенными выше окрестностями бесконечностей в пополнениях ими множества действительных чисел иногда рассматривают и окрестности бесконечностей оо, +оо и -оо в самом множестве действительных чисел: С7(°°) A R, -00) A R. Сами бесконечности, конечно, уже не попадают в эти окрестности. Мы будем придерживаться первоначально данных определений (отметим, впрочем, что доказываемая ниже лемма справедлива и в случае, когда в ней под окрестностями бесконечностей понимают их окрестности в множестве действительных чисел).
66


Сформулируем в виде леммы одно важное свойство окрестностей. Л Е М М А. У любых двух различных точек расширенной числовой прямой (расширенной с помощью двух бесконечностей со знаком или при помощи только одной бесконечности без знака) существуют непересекающиеся окрестности. Доказательство. Рассмотрим сначала случай расширенной числовой прямой Я, полученной добавлением к множеству действительных чисел R двух бесконечностей со знаком. Покажем, что для любых atRnbtR, а < b, существуют такие > 0 и е2 > О, что U(a, eJ A U(b, s2) = 0- В самом деле, если а и Ъ — действительные чис¬
ла, то можно взять = г2 = ~~2~ РИС 6
(рис. 6, а). Если а — действительное число, а Ъ = +°°, то в качестве указанных ех > 0 и s2 > О подходят, например, = 1 и
£2 = |д| + i (рис. 6, б). Если а = Ъ — действительное число, то можно взять = 1^ + д., £2 = 1 (рис. 6, в). Наконец, если а = = -°°, Ъ = +°°, то при произвольном £ > 0 окрестности {7(-°°, е) и С7(+°°, е) не пересекаются (рис. 6, г). Если же числовая прямая R дополнена лишь одной бесконечностью °°, то достаточно рассмотреть лишь случай а € R и Ъ = °° (так как случай а € R и Ъ € R рассмотрен выше), в котором можно снова (как и при a^R^b = +°°) взять = 1, а е2 = ру • 1=1
Замечание 2. В случае а < b, a е R, b е R и их непересекающихся окрестностей U(a, Е^ A U(b, s2) = 0 для любых х € U(a, s^) и у € U(b, s2), очевидно, справедливо неравенство х < у.
Его справедливость устанавливается непосредственной проверкой во всех возможных здесь случаях, т. е. при а Е R, b € R, при a£_R,b = +оо, при а = Ъ 6 R и при а = b = +°°.
67


Легко убедиться, что пересечение двух окрестностей точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки.
3.3. 	Ограниченные
и неограниченные множества
Введем ряд нужных для дальнейшего понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.
Определение 1. Если для подмножества X действительных чисел существует такое число Ь. что оно не меньше каждого числа х € X. т. е. для любого х € X выполняется неравенство х < й, то множество X называется ограниченным сверху, а число Ъ — числом, ограничивающим сверху множество X.
С помощью логических символов определение ограниченного сверху множества записывается в виде:
X ограничено сверху 3 Ъ £ R\t х £ X •. х Ъ'. отсюда
X не ограничено сверху btR3xtX:x>b,
т. е. множество X не ограничено сверху, если, каково бы ни было число Ъ € R. найдется такое число х € X. что х > Ъ.
Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.
Заметим, что если число Ъ ограничивает сверху множество X. т. е. для всех х Е X выполняется неравенство х < Ъ и Ъ < Ъ'. то для всех х Е X. очевидно, имеет место и неравенство х < Ь'. следовательно, число Ъ' также ограничивает сверху множество X.
Если в множестве X имеется число Ъ. которое не меньше всех других чисел из X. т. е. b Е X. и для всех х Е X выполняется неравенство х < Ъ. то число Ъ называется наибольшим или максимальным числом множества X: b = max X.
Очевидно, что если в множестве X имеется наибольшее число, то оно единственно, а само множество X в этом случае ограничено сверху этим числом.
Отметим еще, что если множество X не ограничено сверху, то, согласно определению, это означает, что для любого числа Ъ Е R существует по крайней мере один такой элемент х Е X. что х > Ъ. Обратим внимание на то, что на самом деле таких элементов бесконечно много. Действительно, до68


пустим, что их оказалось лишь конечное число: х19 ... , хп, п € N. Иначе говоря, для всех х Е X и х xk, k = 1, 2, ... , n, справедливо неравенство х < Ъ. Тогда ясно, что для й0 = = шах {&, х19 ... , хп} и всех х € X будет выполняться неравенство х < й0, т. е. вопреки предположению множество X оказалось ограниченным.
Аналогично множеству, ограниченному сверху, определяется множество, ограниченное снизу.
Определение 2. Если для подмножества X действительных чисел существует такое число а, что оно не больше каждого числа х € X, т. е. для любого х € X выполняется неравенство а < х, то множество X называется ограниченным снизу, а число а — числом, ограничивающим снизу это множество.
Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.
С помощью логических символов определение ограниченного снизу множества записывается в виде: X ограничено снизу ^BaeRVxeX: х > а; отсюда X не ограничено снизу а Е R3 х t X: х < а,т. е. множество X не ограничено снизу, если, каково бы ни было число а € R, найдется такой элемент х Е X, что х < а.
Очевидно, что если число а ограничивает снизу множество X, то и любое число а < а также ограничивает снизу это множество.
Если в множестве X имеется число а, которое не больше всех других чисел из X, т. е. а Е X, и для всех х Е X выполняется неравенство а < х, то число а называется наименьшим или минимальным числом множества X : а = min X.
Если в множестве X имеется наименьшее число, то оно единственно, а само множество X в этом случае ограничено снизу этим числом.
Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.
Другими словами, множество X <= R называется ограниченным, если существуют такие числа а и Ъ, что для любого х Е X выполняется неравенство а < х < Ъ.
Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Очевидно, что неограниченное множество 69


может быть неограниченным и сверху и снизу или только сверху или снизу.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что множество X <= R ограничено тогда и только тогда, когда существует такое число а 0, что для всех х 6 X выполняется неравенство |х| < а.
Примерами ограниченных множеств являются отрезок [К 2], интервал (0, 1), множество значений функции sin х. Бесконечный интервал (-5, +°°), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ... являются множествами, ограниченными снизу, но неограниченными сверху. Наконец, множество всех целых чисел, всех рациональных чисел суть множества, неограниченные как сверху, так и снизу.
Формальное обобщение понятий ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества на подмножества расширенного множества R действительных чисел R (см. п. 2.5) не приводит к содержательным понятиям, так как все подмножества расширенного множества действительных чисел ограничены сверху символом +оо и снизу символом -оо, а поэтому и просто ограничены в R. Однако понятие наибольшего (наименьшего) элемента множества является содержательным и в этом случае. Его определение формально совпадает с соответствующим определением для подмножеств не расширенного множества действительных чисел:
конечное или бесконечное число с С X - R называется наибольшим (наименьшим) в множестве X R, если для всех х е X выполняется неравенство х < с (соответственно х> с).
В дальнейшем мы воспользуемся этим понятием.
3.4. 	Верхняя и нижняя грани числовых множеств
Среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество, наименьшее (наибольшее) из них имеет специальное название.
Определение 4. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X <= R, называется его верхней гранью и обозначается1 sup X или sup {х}.
х е X
1 Лат. supremum — наибольший.
70


Определение 5. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X <= R, называется его нижней гранью и обозначается1 inf X или inf {х}.
х е X
Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют точной верхней {нижней) гранью этого множества.
Отметим, что в сделанных определениях не обсуждается вопрос о том, существует или нет наименьшее (наибольшее) число среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество, — это будет сделано позже. Здесь же лишь говорится, что если такое число существует, то оно называется верхней (нижней) гранью рассматриваемого множества. Из самого определения верхней (нижней) грани следует, что если у данного множества эта грань существует, то она единственна, так как во всяком множестве максимальное (минимальное) число может быть только одно.
Проанализируем определения 4 и 5. Пусть Р = sup X. Это означает, во-первых, что число Р ограничивает сверху множество X. т. е. для каждого х € X справедливо неравенство х < Р; во-вторых, что число Р является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X, т. е., каково бы ни было число Р' < Р, оно уже не ограничивает сверху множество X, а это означает, что в множестве X найдется такое число х, что х > Р'.
Таким образом, в «арифметической форме» определение 4 можно записать в следующем виде.
Определение 4'. Число Р называется верхней гранью множества X. если:
1°) V X в X : X < Р;
2°) V р' < р 3 х е X : х > Р'.
Условие 2°) можно переписать следующим образом:
2z)Ve>03xeX:x>p-e.
Для того чтобы убедиться в равносильности условий 2° и 2', достаточно взять Р' и р, связанные равенством Р' = Р - £, из которого следует, что условие е > 0 эквивалентно условию Р'<р.
1 Лат. infimum — наименьший.
71


Аналогичным образом, если а = inf X, то, согласно определению 5, во-первых, число а ограничивает снизу множество X, а во-вторых, любое число а' > а уже не ограничивает снизу это множество, ибо число а является наибольшим среди всех таких чисел. Это означает, что для любого а' > а найдется такой х € X, что х < а'. Следовательно, определение 5 можно перефразировать следующим образом.
Определение 5'. Число а называется нижней гранью множества X. если:
1°) V X е X : X > а;
2°) V а' > а 3 х е X : х < а'.
Условие 2°) эквивалентно условию
2') V £ > 03 х е X : х < а + е.
Для того чтобы убедиться в эквивалентности условий 2°) и 2'), достаточно взять ос' = ос + г.
Сделаем несколько очевидных замечаний. Если непустое множество X <= R имеет верхнюю грань Р € R (имеет нижнюю грань а € R), то оно ограничено сверху (снизу). Это следует из условия 1° определения 4' (определения 5').
Если Р = sup X (а = inf X) и число Ъ (число а) ограничивает сверху (снизу) множество X, то Р < Ъ (соответственно а < а). Это следует из того, что верхняя (нижняя) грань множества является наименьшим (наибольшим) числом среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество.
Если в множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно является верхней (нижней) гранью этого множества. В частности, такая ситуация имеет место для конечных множеств: любое конечное множество чисел имеет наибольшее и наименьшее числа, а потому нижнюю и верхнюю грани. В принципе их можно найти простым перебором всех чисел из данного множества, так как оно конечно. Однако, вообще говоря, только в принципе, а не на практике: если в данном конечном множестве, заданном какими-то свойствами его элементов, будет «достаточно много» элементов, то перебрать их все будет, возможно, не под силу даже сверхмощной современной вычислительной машине.
Приведем примеры, иллюстрирующие понятие верхней и нижней граней множества.
72


Множество всех положительных действительных чисел (обозначим его через R+) ограничено снизу числом нуль, ибо для любого х е R+ имеет место х > 0; более того, inf R+ = 0. Множество R+ не ограничено сверху, так как нет числа, которое бы ограничивало сверху все положительные числа.
Если X = [а, й] — отрезок, то inf X = а, sup X = Ъ. Если X = (а, Ъ) — интервал, то также inf X = a, sup X = Ъ. Если, наконец, множество X состоит из двух точек а и Ь, а < Ь, т. е. X = {a} U {&}, то снова inf X = a, sup X = Ъ. Эти примеры показывают, в частности, что верхняя (нижняя) грань множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему.
Если = А\В — сечение в области действительных чисел (см. п. 2.5 ), то
= sup А = inf В. (3.1)
Выясним теперь вопрос: всегда ли у числового множества существует его верхняя (нижняя) грань? Если множество не ограничено сверху (снизу), то не существует чисел, которые бы ограничивали его сверху (снизу). Следовательно, не существует среди них и наименьшего (наибольшего). Таким образом, если множество не ограничено сверху (снизу), то у него нет верхней (нижней) грани. В этом случае ответ на поставленный вопрос получился совсем просто. Если же множество ограничено сверху (снизу), то ответ дается следующей теоремой. ТЕОРЕМА 1.Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань. Доказательство. Пусть X— ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент у € Y ограничивает сверху множество X, т. е. для любого элемента х € X выполняется неравенство х < у. Элементы х и у являются произвольными элементами соответственно множеств X и У, поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел (см. свойство V в п. 2.1), существует такое число Р, что для любых х € X и у € Y имеет место неравенство
(3.2)
73


-X X Выполнение неравенства х < Р
для всех х Е X означает, что число Р ограничивает сверху множество X, Рис. 7 а выполнение неравенства Р < у для
всех у Е Y, т. е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число Р является наименьшим среди всех таких чисел, т. е. верхней гранью множества X:
Р = sup X. (3.3)
Итак, существование верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.
Если теперь Y — непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесем к множеству X все числа, ограничивающие снизу множество Y. Далее, рассуждая аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, существует такое число а, что для любых х Е X и у € Y выполняется неравенство
х < а < у. (3.4)
Это, очевидно, и означает, что а = inf Y. □
Впрочем, утверждение о существовании нижней грани у ограниченного снизу непустого множества можно получить и из уже доказанного утверждения о существовании верхней грани у непустого ограниченного сверху множества. Достаточно заметить, что если X — ограниченное снизу множество, то множество -X всех чисел -х, где х Е X, т. е. множество на числовой прямой, симметричное с множеством X относительно нуля, является уже ограниченным сверху множеством, и, наоборот, если X — ограниченное сверху множество, то множество -X ограничено снизу (рис. 7). Действительно, если число а ограничивает снизу множество X, то число -а ограничивает сверху множество -X, а если число b ограничивает сверху множество X, то число -Ь ограничивает снизу множество -X. Отсюда следует, что
sup(-X) = -inf X, inf(-X) = -sup X. (3.5)
Из существования верхней грани у ограниченного сверху непустого множества и каждого из равенств (3.5) следует существование нижней грани у ограниченного снизу непустого множества.
74


Теорема о существовании верхних и нижних граней принадлежит к так называемым чистым теоремам существования: в ней доказывается, что при определенных условиях у множества существует верхняя (нижняя) грань. Однако из рассуждений, проведенных при доказательстве этой теоремы, не следует способ нахождения этих граней в конкретном случае. Это ясно из того, что построение множества Y, с помощью которого проводилось доказательство теоремы и которое состояло из всех чисел, ограничивающих сверху рассматриваемое множество, равносильно отысканию верхней грани Р этого множества. В действительности задача нахождения верхней (нижней) грани множества, заданного какими-либо своими свойствами, может оказаться очень трудной задачей.
Если множество не ограничено сверху (снизу), то, как уже отмечалось, никакое число не может являться его верхней (нижней) гранью, так как вообще нет чисел, которые его ограничивают сверху (снизу). Для удобства вводится следующее определение.
Верхней гранью неограниченного сверху числового множества называется +°°, а нижней гранью неограниченного снизу числового множества называется-00.
Это определение естественно, так как при соглашениях, принятых относительно употребления символов +оо и -°° в п. 2.5, определенные таким образом бесконечные грани множеств также удовлетворяют условиям 1° и 2° определений 4' и 5'.
Удобство же этого определения состоит в том, что теперь каждое непустое числовое множество имеет верхнюю грань, принадлежащую расширенному множеству действительных чисел. При этом если заданное множество ограничено сверху, то его верхняя грань конечна, если же оно не ограничено сверху, тобесконечнаи равна +оо. Аналогичное утверждение справедливо и для нижней грани.
3.5*. Арифметические свойства верхних и нижних граней
Рассмотрим четыре свойства верхних и нижних граней множеств, связанные с арифметическими операциями над числовыми множествами.
75


Прежде всего определим такие операции.
Арифметической суммой + ... + Хп числовых множеств Х19 ... , Хп называется множество всех чисел х, представимых в виде х = х1 + ... + хп, х1 € Хр ... , хп€ Хп.
Арифметической разностью X - Y числовых множеств X и Y называется множество всех чисел 2, представимых в виде z = х - у. х е X, у е У.
Следует, конечно, отличать понятие арифметической суммы Хг + ... + Хп и разности X - Y от понятия теоретико-множественных суммы (объединения) Хг U ... U Хп и разности X\Y тех же множеств.
Произведением XX числа X на числовое множество X называется множество всех чисел вида Хх, х € X.
Произведением XY двух числовых множеств X и Y называется множество чисел 2, представимых в виде 2 = ху, х е еХ, у eY.
Первое свойство.
sup(X1 + ... + Хп) = sup Хг + ... + sup Хп, (3.6)
inf(X1 + ... + XJ = inf Xr + ... + inf Xn. (3.7)
Второе свойство.
sup(X - У) = sup X - inf У. (3.8)
Докажем первое свойство. Если х € Хг + ... + Хп, т. е. х = = хх + ... + хп, хх е Хр ... , хп е Хп, то xk < sup Xk, k = 1, 2, ... ..., n, следовательно,
x = хг + ... + xn < sup Xr + ... + sup Xn. (3.9)
Если
у < sup Xr + ... + sup Xn, (3.10)
то для любого k = 1, 2, ... , n найдется такое число yk, что
yk < SUP xk’ k = l,2, ... ,n, уг + ...+yn= у. (3.11)
В самом деле, если все верхние грани supXp ... , sup Хп конечны, то можно взять
yk = sup Xk - supX1+... + supXn-i/.
n
Тогда r/i + ... + yn = у. Если же среди верхних граней supXp ..., supXn имеется хотя бы одна равная +°°, 76


например Хп = +°°, то в качестве ... , уп _ i можно взять любые числа yt < sup Xi9 i = 1, 2, ... , п - 1, а за уп — число
Уп = у-(У1 + ••• + Уп-1)-
В этом случае уп < +°° = sup Хп и, очевидно, ух + ... + уп = у, т. е. снова выполняются условия (3.11).
Из неравенств (3.11) следует, что существуют такие xk Е е Xk, что
yk<xk< sup Xk, k = 1, 2, ... , n.
Полагая x = + ... + xn, получаем
xeXr + ... + X„, (3.12)
x = xr + ... + xn > yx + ... + yn > y.
Таким образом, выполняются оба условия определения верхней грани (см. формулы (3.9) и (3.12)), т. е. supXx + + ... + sup Хп действительно является верхней гранью множества Хг + ... + Хп. □
Аналогично доказывается формула (3.7).
Докажем второе свойство. Если z Е X - Y, т. е. z = х - у, xtX,y Е Y, то х < sup X, у > inf Y и, следовательно,
z = х - у < sup X - inf Y. (3.13)
Если
zz < sup X - inf Y, (3.14)
то найдутся такие числа
zr < sup X, z2 > inf Y, (3.15)
что zr - z2 > z. Такие zx и z2 существуют в силу неравенства (3.14) как в случае, когда грани supX, inf Y — конечные, так и в случае, когда одна из них или обе бесконечные.
Из неравенств (3.15) следует, что существуют такие чис- ла х Е X и у Е Y, что
zx < х < sup X, z2> у > inf Y. (3.16)
В результате х - у €Х -Y и
х - у > zx - z2 > z. (3.17)
Таким образом, снова выполняются оба условия определения верхней грани (см. (3.13) и (3.17)), т. е. supX - inf Y действительно является верхней гранью множества X - Y. □
Третье свойство. Если X > О, то
sup XX = X sup X, inf XX = X inf X, (3.18) 77


а если X < 0, то
sup XX = X inf X, inf X, X = X, sup X. (3.19)
Докажем первое из равенств (3.18). Пусть X > 0. Если у € XX. т. е. у € Хх. где х € X и, следовательно, х < sup X, то у = Хх < X sup X. Если у < X sup X, т. е. < sup X, то найдется
такое х € X, что х > и, следовательно, Хх > у, где Хх € XX.
Таким образом, X sup X является верхней гранью множества XX. т. е. первое из равенств (3.18) доказано. Аналогично доказывается и второе равенство (3.18).
Пусть теперь X < 0. Если у € XX. т. е. у = Хх. где х € X и, следовательно, х > inf X. то Хх < X inf X. Если у < X inf X. т. е. > inf X. то найдется такое х € X. что х < , поэтому Хх > у. где Хх е XX. Это означает, что X inf X является верхней гранью множества XX. Первое равенство (3.19) доказано. Аналогично доказывается и второе равенство (3.19). □
Четвертое свойство. Если все числа, входящие в множества X и Y. неотрицательны, то
sup XY = sup X sup Y. inf XY = inf X inf Y. (3.20)
Доказательство этого свойства проводится тем же методом, что и доказательство предыдущих трех свойств верхних и нижних граней множеств, и предоставляется читателю.
Покажем теперь, что из теоремы о существовании верхних и нижних граней вытекают два важных свойства действительных чисел, так называемые принцип Архимеда1 и принцип вложенных отрезков.
3.6. 	Принцип Архимеда
Принцип Архимеда действительных чисел состоит в следующем.
1 Архимед (287—212 до н. э.) — древнегреческий математик и механик.
78


ТЕОРЕМА 2. Каково бы ни было дей- ствителъное число а, существует о а Ъ
такое натуральное число п, что Рис-8
п > а. т. е.
V а е R3 п е N : п> а. (3.21)
Доказательство. Допустим, что принцип Архимеда не выполняется. Это означает, что существует такое число а, что для всех натуральных п выполняется неравенство п < а, т. е. 3atRVntN:n^ а. Это означает, что число а ограничивает сверху множество натуральных чисел. Поэтому множество натуральных чисел, как всякое непустое ограниченное сверху числовое множество, согласно теореме 1 п. 3.4 имеет конечную верхнюю грань. Обозначим ее через Р, Р = sup N.
Так как Р - 1 < р, то, согласно свойству 2° верхней грани в определении 4 п. 3.4, существует такое натуральное число п, что п > Р - 1. Но тогда п + 1 > р, причем, согласно определению натуральных чисел, п + 1 € N. Неравенство п + 1 > Р противоречит тому, что Р = sup А, так как верхняя грань множества ограничивает его сверху (см. свойство 1° верхней грани в определении 4' п. 3.4). Полученное противоречие показывает, что указанного числа а не существует, т. е. принцип Архимеда справедлив. □
СЛЕДСТВИЕ. Каковы бы ни были числа а и Ь, 0 < а < й, существует такое натуральное число п, что
па > Ъ. (3.22)
Действительно, согласно принципу Архимеда, для числа существует такое натуральное п, что п > Ъ/а. Это число искомое, так как, умножая неравенство п > Ъ/а на положительное число а, получаем па > Ъ.
Это утверждение имеет простой геометрический смысл: если взять два отрезка соответственно длины а и Ъ, 0 < а < Ъ, то, последовательно откладывая на большем отрезке от одного из его концов меньший отрезок, мы через конечное число шагов выйдем за пределы большего отрезка (рис. 8).
Пример. Пусть множество X состоит из чисел вида 1/п, п = 1, 2, ... . Найдем sup X и inf X.
79


<— > Множество X имеет наибольшее
;— число 1, поэтому оно и является его а.^аз'" а'Л bn"b3b2 верхней гранью: sup {1/п} = 1.
рис g Для отыскания нижней грани мно¬
жества X заметим, что для любого п = 1, 2, ... справедливо неравенство 1/п > 0, т. е. число нуль ограничивает снизу множество X. Покажем, что оно наибольшее среди всех таких чисел. Пусть £ > 0; тогда, согласно принципу Архимеда, существует такое натуральное п, что п > 1/е, или, что то же самое, 1/п < Е. Это неравенство показывает, что любое число £ > 0 уже не ограничивает снизу множество X, ибо 1/п € X при любом n = 1, 2, ... . Итак, нуль — наибольшее из всех чисел, ограничивающих снизу множество X, т. е. inf {1/п} = 0.
ПЕ N
3.7. 	Принцип вложенных отрезков
Прежде всего поясним, какая система отрезков называется вложенной.
Определение 6. Система числовых отрезков
[а1; [а2, Ь2], ... , [ап, Ьп],... ап е R, Ъп е R, п = 1, 2, ...,
называется системой вложенных отрезков, если
ах < а2 < ... < ап < ... < Ъп < ... < Ъ2 < Ьг, (3.23) т. е. если каждый следующий отрезок \ап+ р Ъп+ i] содержится в предыдущем \ап, Ъп] (рис. 9):
[«р &1] => [а2, Ь2] => ... => [ап, &„] => ... .
ТЕОРЕМА 3.Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам данной системы.
Это свойство действительных чисел называют также непрерывностью множества действительных чисел в смысле Кантора1.
Доказательство. Пусть задана система вложенных отрезков [ап, bn], п = 1, 2 .... Обозначим через А множество всех левых концов ап — отрезков этой системы, а через В —
1 Г. Кантор (1845—1918) — немецкий математик.
80


множество их правых концов Ъп. Для любых номеров т и п выполняется неравенство
ат < Ъп. (3.24)
В самом деле, если n > т, то из неравенств (3.23) следует, что ат < ап < bn, а если п < т, то ат < Ът < Ъп.
Поэтому из неравенств (3.24), в силу свойства непрерывности действительных чисел, следует, что существует такое число для которого при всех номерах т и п выполняется неравенство ат < < Ьп, в частности неравенство ап < < Ьп, п = 1, 2, ... . Это и означает, что число принадлежит всем отрезкам [ап, Ьп]. □
Приведем условие, при котором пересечение системы вложенных отрезков состоит только из одной точки.
Определение 7. Пусть задана система отрезков \ап, Ьп], апе R, bne R, п = 1, 2, ... . Будем говорить, что длина Ъп - ап отрезков этой системы стремится к нулю, если для каждого числа е > 0 существует такой номер п£, что для всех номеров п> п£ выполняется неравенство
Ъп-ап<г. (3.25)
В курсе элементарной математики вводится понятие предела последовательности. Сформулированное определение, если использовать термин предела, означает, что lim (Ъп - П оо
-ап) = 0. В данном курсе пределу последовательности будет посвящен следующий параграф.
Отметим, что термин «номер» является синонимом термина «натуральное число». Индекс £ у числа показывает, что это число зависит от задаваемого числа £ > 0.
ТЕОРЕМА А.Для всякой системы \ап, ЪД, п = 1, 2, ... , вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует единственная точка принадлежащая всем отрезкам данной системы (см. рис. 9), причем
= sup {an} = inf {bn}. (3.26)
п е N п е N
Доказательство. Если точки и Т| принадлежат всем отрезкам рассматриваемой системы, т. е.
£ е Ь„], п = 1,2,... ,
81


то для всех номеров п выполняются неравенства
In - £1 < bn - ап, следовательно, в силу условий (3.25), для любого £ > 0 справедливо неравенство
In - £1 < е. (3.27)
Так как £ — произвольное положительное число, то неравенство (3.27) может иметь место только тогда, когда £ = Т| (если бы £ Т|, то, например, при £ = |т| - неравенство (3.27) бы- ло бы противоречиво). Это означает, что существует единственное число принадлежащее всем отрезкам [ап, Ьп]:
ап<^Ьп, и = 1,2, .... (3.28)
Из этих неравенств видно, что число ограничивает сверху числа ап и снизу числа Ъп, поэтому, в силу определения верхней и нижней граней, справедливы неравенства
ап < sup {ап} < £ < inf {Ъп} < Ьп, п=1, 2, .... (3.29)
Если бы, например, оказалось, что sup {ап} < то любое число Т| такое, что sup {ап} < Т| < ^, в силу неравенства (3.29), для всех п = 1, 2, ... удовлетворяло бы условию ап < Т| < Ъп^ т. е. также бы принадлежало всем отрезкам [ап, Ьп], что невозможно, так как Т| Аналогично доказывается невозможность неравенства < inf {bn}. Итак, соотношение (3.26) доказано. □
Очень часто в различных доказательствах применяется следующая конструкция построения системы вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю. Берется отрезок Г7П а + b г а + Ъ~\
[а, р] и точкой —делится на два равных отрезка а; —%— и ; b] длины ~2~ • Далее выбирается один из этих отрезков (какой именно — это зависит от условий конкретной задачи), обозначается через [ах, и снова своей серединой делится на два равных отрезка, один из которых обозначается [а2, &2] и т. д. В результате получается система вложен¬
ных отрезков [ап, bn], п = 1, 2, ... , с длинами Ъп - ап = -
82


Покажем, что эти длины стремятся к нулю.
Действительно, для всякого е > 0, согласно принципу Архимеда, найдется такое натуральное пе, что п£ > , но
тогда и для всех п > пе будет выполняться неравенство п > > —— и, следовательно, неравенство —— < е. Замечая, что
2n = (1 + 1)" = 1 + n + w(w2~ 1} + ... > п, (3.30) получаем ~ < ~ Для п = 1, 2, ... . Поэтому для всех п > п£ b-a^b-a, справедливо неравенство —— < < е. Это и означает
стремление к нулю длин отрезков [an, йп] при возрастании п.
Заметим, что принцип вложенных отрезков является свойством, присущим именно множеству действительных чисел. Так, поле одних только рациональных чисел уже не обладает аналогичным свойством.
Например, если взять последовательности «рациональных отрезков» [1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1Д15]1 ... , т. е. последовательность множеств рациональных чисел, лежащих на отрезках, концы ап и Ъп, п= 1, 2, ... которых являются значениями , вычисленными соответственно с недостатком и с избытком с точностью 1/10п, п = 0, 1, 2, ...2, то, очевидно, не существует никакого рационального числа, принадлежащего всем этим отрезкам. В самом деле, таким числом могло быть только число (почему?), которое, однако, не является рациональным3.
Можно доказать и более точное утверждение. Назовем поле архимедовым, если для него выполняется принцип Архимеда, т. е. справедливо утверждение теоремы 2 из п. 3.6. Свойство упорядоченного поля (определение поля см. в замечании в конце п. 2.2 ), состоящее в том, что для его элемен1 В том случае, когда концы отрезка [а, Ь] записаны в виде десятичной дроби, запятая между а и Ъ заменяется точкой с запятой.
2 2 2 1
Это означает, что а„ < 2 < Ъ„ и Ъп - ап = , п = 0, 1, 2, ... .
’ П п п П
3 Доказательство иррациональности числа , обычно проводимое в элементарной математике, воспроизведено ниже в п. 6.3.
83


тов выполняется свойство V из п. 2.1, называется непрерывностью поля по Дедекинду (см. также п. 2.5 ), а свойство упорядоченного поля, выражающееся в том, что каждая система его вложенных отрезков имеет непустое пересечение, — непрерывностью поля по Кантору.
Для архимедовых упорядоченных полей можно показать, что их непрерывность по Дедекинду, непрерывность по Кантору и существование конечной верхней грани у каждого непустого ограниченного сверху множества эквивалентны между собой, т. е. из любого из этих свойств, принятого за аксиому, вытекают остальные два.
Было показано, что из непрерывности по Дедекинду следует существование конечной верхней грани у ограниченного сверху множества, откуда, в свою очередь, следует непрерывность по Кантору. Для того чтобы завершить доказательство указанной эквивалентности трех понятий непрерывности архимедовых полей, достаточно показать, что из непрерывности по Кантору следует непрерывность по Дедекинду. Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге: Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 1. М., 1973.
Отметим еще следующее: при доказательстве утверждения, что упорядоченное поле, непрерывное по Дедекинду, является непрерывным и по Кантору, требование архимедовости поля можно отбросить. Действительно, в п. 3.6 было доказано, что из непрерывности упорядоченного поля по Дедекинду, т. е. из наличия свойства V, сформулированного в п. 2.1, следует выполнение принципа Архимеда.
В дальнейшем упорядоченное по Дедекинду поле будем просто для краткости называть непрерывным.
В заключение обратим внимание на то, что утверждение, аналогичное теореме 3, оказывается уже неверным для числовых промежутков других типов, чем отрезки. Например, система вложенных интервалов (Ь, п = 1, 2, ... : каждый последующий интервал содержится в предыдущем, т. е.
(о, —[о, n = 1, 2, ... ,
V ’ n + 1, I п;
имеет пустое пересечение. Но, конечно, существуют и такие системы вложенных интервалов, которые имеют непустое пересечение.
84


3.8*. Единственность непрерывного упорядоченного поля
Множество действительных чисел является в некотором смысле единственным непрерывным упорядоченным полем, точнее единственным с точностью до изоморфизма. Разъясним, что это означает.
Два поля Р и Р называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение f поля Р на поле Р , что для любых двух элементов х Е Р и у е Р выполняются условия
/(х + у) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y).
Отображение f называется в этом случае изоморфизмом или изоморфным отображением.
Короче, два поля называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение одного из них на другое (биекция), сохраняющее сложение и умножение их элементов.
Если поля Р и Р упорядоченные и существует изоморфное отображение f поля Р на поле Р , сохраняющее отношение порядка, т. е. такое, что для любых х € Р и у € Р, для которых х < у, имеет место соотношение /(х) < то поля Р и Р называются изоморфными упорядоченными полями.
Докажем, что множество действительных чисел однозначно определяется системой аксиом I—V (см. п. 2.1) с точностью до природы элементов.
ТЕОРЕМА 5. Все непрерывные упорядоченные поля изоморфны между собой.
Доказательство. Пусть даны два непрерывных упорядоченных поля R и R . Будем последовательно устанавливать соответствие между их элементами х € R и х € R . Это соответствие обозначим через f. В каждом из полей R и R есть нуль и единица, соответственно 0 и 1 в R и 0 и 1 в R . Поставим в соответствие нулю 0 нуль 0 , а единице 1 — единицу 1 : def - def
/(0) = 0 , /(1) = 1 . (3.31)
85


Элементу п = 1 + 1 + ... + 1 поставим в соответствие элемент /(1) + + = 1А + 1А + ... + 1А , таким об-
п раз п раз
разом,
f(n) =f !•'+ 1" + ... + 1 , (3.32)
п раз
а элементу -п элемент -f(n)
= (3.33)
Установленное соответствие f является взаимно однозначным, при этом каждый целый элемент поля R , т. е. его нуль 0 , элемент вида п = 1 +1 + ... + 1 или -п , оказывается, в силу равенств (3.31)—(3.33), поставленным в соответствие какому-то целому элементу поля R. Таким образом, отображение f устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами Z и Z целых элементов полей R и R . Это соответствие сохраняет отношение порядка: если 0 < т < п, то
Дт) = 1 + 1 + ... + 1 < 1^+ Г + ... + 1А = Ди). (3.34) пг раз п раз
В силу соответствия (3.33), отношение порядка сохраняется и для всех целых элементов любого знака.
Сохраняются и операции сложения и умножения: для любых т € Z и п е Z имеют место следующие равенства:
Дт + п) = Дт) + Дп), (3.35)
f{mn) = (3.36)
Действительно, если т > 0 и п > 0, то
Дт + и) = 1 + ... + 1 j = 1А + ... + 1А + т + п раз т раз
+ Г + ... + Г = f(m) + f(n). (3.37)
п раз
Если же т < 0 и 0 < -т < п, то
f(m + п) = 1 + ... + 1 = — (1 + ... + 1 ) +
п + т = п - (~т) раз -т раз
+ (Г+ ... + Г) = + + (3.38)
' у ' (3.33)
86


Случай 0 < т < -п сводится к предыдущему: f(m + п) = -f(-m - п) = +
(3.33) (3.38)
+ /(-«)) = f(jn) + f(n).
(3.33)
Наконец, если т < 0, п < 0, то
f(m + п) = -f(~m - п) = = f(ni) + f(n).
(3.33) (3.37) (3.33)
Если т = 0 или п = 0, то соотношения (3.35) и (3.36) очевидны. Для доказательства соотношения (3.36) заметим, что в полях R и R , как и вообще во всех упорядоченных полях, имеется понятие абсолютной величины элементов и для их умножения справедливы соотношения:
если х > 0, у > 0 или х < 0, у < 0, то ху = \ху\9 (3.39)
если х > 0, у < 0 или х < 0, у > 0, то ху = -|ху|. (3.40)
Из равенств (3.32) и (3.33) следует, что для каждого п € Z имеет место равенство
Л|п|) = |/(п)|. (3.41)
Если для сомножителей т9 п € Z имеет место случай (3.39), то, в силу (3.33), такой же случай имеет место и для сомножителей /(ш), /(п), поэтому
f(mn) = /(|m||n|) = 1 + ••• + 1 =
(3.39) (3.32) ' '
\т\ |п| раз
= (Г + ... + Г) (Г+ ... + Г) =
' “7 ' ' “7 ' (3.32)
\пг\ раз |п| раз
= «(Н) = (3.42)
(3.41) (3.39)
Если же сомножители тип разного знака, то, в силу (3.32) и (3.33), f(m) и f(n) также имеют разные знаки; следовательно, f(mn) = /(-|m||n|) = - /(|m||n|) =
(3.40) (3.33) (3.42)
= - ЛЫ)/(|п|) =
(3.41) (3.40)
Итак, отображение f взаимно однозначно отображает множество Z на Z , сохраняет отношение порядка и операции сложения и умножения.
87


def f(m) f(n) ‘
(3.43)
Поставим далее каждому рациональному элементу поля R, т. е. элементу вида , где т € Z, п е Z, п 0, элемент
поля R , т. е. положим
с
Теперь (как это легко проверить) f отображает взаимно однозначно поле Q всех рациональных элементов поля R на поле Q всех рациональных элементов поля R . Это соответствие является изоморфизмом упорядоченных полей Q и Q . В самом деле, если
0< <^, т, п, р, q&Z, п>0, q>0, (3.44)
то mq < пр, а тогда, в силу (3.34), f(jnq) < f(np), откуда /(?n)/(g) < f(n)f(p) и, следовательно, , т. е., со-
гласно (3.43),
CWQ (3-45)
Для рациональных элементов с произвольными знаками сохранение отношения порядка при отображении f следует из (3.44)—(3.45) и того, что
= f(-m)
(3.43)
(3.46)
Далее, для любых £ Q и € Q имеем
| Р) _ + пр Л = f(mq + пр) = f(m)f(q) + f(n)f(p) _
[п q) '[ nq J (3.43) Ang) (з.35) ftn)ftg)
(3.36)
= = (3.47)
/(n) f(q) (3.43) '{ n) \qj
и, наконец,
f Лп pA = f(mp\ = f(mp) = /(nt)/(p) =
Цп q) \nq ) (3.43) f(nq) (3.36) f(n)f(q)
= = (3.48)
f(q) (3.43)
Иррациональные элементы, т. e. элементы, не являющиеся рациональными, определяются сечениями в областях рациональных элементов, причем, в силу изоморфизма меж-
88


ду множествами Q и Q рациональных элементов, между их сечениями также существует взаимно однозначное соответствие: если А\В — сечение в Q, то — сечение в Q и
мы положим
f(A\B) = f(A)\f(B). (3.49)
Теперь взаимно однозначное соответствие установлено между всеми элементами полей R и R . Покажем, что оно также сохраняет отношение порядка и операции сложения и умножения элементов, т. е. является изоморфизмом полей R и R . Для этого заметим, что (см. п. 3.4)
А\В = sup А = inf В, f(A)\f(B) = sup f(A) = inf f(B). (3.50)
Если для заданного множества X <= Q обозначить через А множество таких рациональных чисел г, что для каждого г е А существует х € X, для которого г < х, и положить В = Q\A, то множества А и В образуют сечение А\В в поле Q и
sup X = sup А = А\В.
В силу же изоморфизма полей Q и Q имеем
sup f(X) = sup f(A) = f(A)\f(B) = f(A\B) = /(sup X).
(3.49)
Подобным же образом доказывается аналогичное соотношение для нижних граней. Следовательно, имеют место равенства
sup f(X) = /(sup X), inf f(X) = /(inf X), X c= Q. (3.51)
Пусть теперь A\B и C\D — сечения в поле Q и
A\B<C\D, (3.52)
тогда А сСи, следовательно, /(А) <= /(С), откуда вытекает, что
f(A)\f(B) < f(C)\f(D). (3.53)
Далее, для любых сечений А|В и С|В поля Q имеем
f(A\B + C|D) = /(sup А + sup С) = /(sup (А + С)) =
(3.50) (3.6) (3.51)
= sup /(А + С) = sup (/(А) + /(C)) =
(3.51) (3.47) (3.6)
= sup/(А) + sup/(С) = /(А)|/(В) +/(С)|/(В).
(3.6) (3.50)
89


Аналогично для А\В > О, C\D > 0 имеем
f(A\B ■ C\D) = /(inf В ■ inf D) = /(inf BD) =
(3.50) (3.51)
= inf/(BD) = inf (f(B)f(D)) =
(3.51) (3.36)
= inf f(B) inf f(D) = f(A)\f(B) ■ /(C)|/(D). (3.54)
(3.50)
Соотношение
f(A\B ■ C\D) = f(A\B)f(C\D)
для произвольных сечений следует из формул (3.39), (3.40), (3.54) и равенства
/(-(А|В)) = /(-sup А) = /(inf(-A)) = inf/(-А) =
(3.50) (3.5) (3.51) (3.46)
= inf (-/(А)) = -sup/(А) = -(/(А)|/(В)).
(3.46) (3.5) (3.50)
Изоморфизм R и R доказан. □
В заключение докажем, что множество действительных чисел нельзя расширить до большего непрерывного упорядоченного поля с сохранением соотношения упорядоченности и операций сложения и умножения. Предварительно сформулируем одно определение.
Подмножество поля Р называется подполем поля Р, если это подмножество само является полем в силу операции сложения и умножения элементов поля Р. Подполе поля называется собственным, если оно не совпадает со всем полем.
Подполе упорядоченного поля с соотношением упорядоченности, порожденным соотношением упорядоченности поля, называется упорядоченным подполем.
Например, поле всех рациональных чисел является собственным упорядоченным подполем поля всех действительных чисел.
Заметим, что нуль и единица подполя некоторого поля являются нулем и единицей поля.
В самом деле, пусть Р — подполе поля Р , а 0 и 0 — соответственно нули под поля Р и поля Р . Обозначим через а элемент, противоположный элементу 0 в поле Р :
0 + а = 0*. (3.55)
90


В подполе Т имеет место равенство 0 + 0 = 0. Прибавим к обеим его частям элемент а : 0 + (0 + а) = 0 + а, отсюда, в силу (3.55), получаем 0 + 0 = 0 . Но левая часть этого равенства, согласно определению нуля 0 поля Р , равна нулю; следовательно, 0 = 0.
Аналогично, если 1 и 1 — соответственно единицы подполя Т и поля Т , то из равенства 1 ■ 1 = 1, умножая его на элемент 1 \ обратный в поле Т элементу 1: 1 ■ 1 1 = 1 , получаем 1- 1 = 1 , но 1 ■ 1 =1, следовательно, 1 = 1. ТЕОРЕМА 6. Не существует непрерывного упорядоченного поля, содержащего в себе поле действительных чисел в качестве собственного упорядоченного подполя.
СЛЕДСТВИЕ. Множество действительных чисел не изоморфно никакой своей собственной части.
Доказательство. Пусть R — непрерывное упорядоченное поле, содержащее в себе поле действительных чисел R как упорядоченное подполе. Покажем, что из этого следует, что R = R.
При доказательстве теоремы 5 было показано, что между двумя любыми упорядоченными полями, а следовательно, в частности, между полями R и R , можно установить изоморфизм /, продолжив соответствующим образом отображение
f(0) = 0*, Д1) = Г (3.56)
на все элементы поля R, где 0 и 1 — нуль и единица поля R, а 0 и 1 — нуль и единица поля R .
Согласно сказанному выше, из того, что поле R является подполем R , вытекает, что 0 = 0 и 1 = 1 , и, следовательно, равенства (3.56) превращаются в равенства
/(0) = 0,/(1) = 1. (3.57)
Покажем, что из этих соотношений вытекает, что и для любого элемента х € R имеет место равенство
f(x) = x. (3.58)
В самом деле, если п — натуральное число, то из формул (3.32) и (3.57) следует, что
f(n) = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = п. (3.59) 91


Если п — целое число, то из формул (3.33) и (3.59) имеем также
f(n) = п. (3.60)
Далее, если х = — рациональное число, то
лт\ _ _ т
) (ЗЛЗ) п ’
Все рациональные числа при отображении f остаются на месте, поэтому для любого сечения А\В в области рациональных чисел имеем
f(A)=A, f(B) = B (3.61)
и, следовательно,
f(A\B) = f(A)\f(B) = А\В. (3.62)
(3.49) (3.61)
Каждое действительное число определяет два сечения в области рациональных чисел. Для данного числа х € R обозначим через А\В одно из таких сечений: х = А|В. Тогда будем иметь
f(x) = f(A\B) = А\В = х.
(3.62)
Итак, равенство (3.58) доказано для всех действительных чисел х.
Отображение /, будучи изоморфизмом полей R и R , является отображением поля R на все поле R , поэтому соотношение (3.58) означает, что f является тождественным отображением поля R на поле R , т. е. R = R. □
§4-
Предел числовой последовательности
4.1. 	Определение предела числовой последовательности
Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие предела. Мы начнем его изучение с предела последовательности действительных чисел (определение последовательности см. в п. 1.3 ). Под бесконечно удаленной 92


точкой числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей +оо, —оо или °о (см. п. 3.1).
Определение 1. Точка а {конечная или бесконечно удаленная) числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если, какова бы ни была окрестность точки а. она содержит все члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторого номера.
Этот номер зависит, вообще говоря, от выбора окрестности точки а.
Сформулированное условие равносильно тому, что вне любой окрестности точки а находится лишь конечное множество членов рассматриваемой последовательности, в частности ни одного (т. е. пустое множество, которое причисляется к конечным множествам).
Вспомнив, что окрестности конечных и бесконечно удаленных точек числовой прямой определяются заданием некоторого числа е > 0 (см. п. 3.2), определение предела последовательности действительных чисел можно перефразировать следующим образом.
Точка а {конечная или бесконечно удаленная) числовой прямой называется пределом последовательности {хп} действительных чисел, если для любого е > 0 существует такой номер щ. что для всех номеров п> пг члены хп содержатся в окрестности U{a; е):
хп е U{a; е).
Если выполняется это условие, то пишут lim хп = а или П оо
хп а при п °° и говорят, что члены последовательности {хп} стремятся к а.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела записывается следующим образом:
def
а = lim хп <^> 3ne V п > пг: хп € U{a*. е) п оо
(здесь и в дальнейшем буквой п. быть может с тем или иным индексом, всегда будем обозначать натуральное число, если специально не оговорено что-либо другое).
93


Индекс £ у номера пе подчеркивает, что этот номер зависит, вообще говоря, от выбранного £ > 0. Эта зависимость отражена, конечно, уже в самой формулировке определения предела, поэтому ее можно и не отражать в записи (что было сделано лишь для большей наглядности). Действительно, часто вместо пишут, например, n0 Е N или N е N.
Если предел последовательности действительных чисел является конечной точкой числовой прямой, т. е. числом, то говорят, что последовательность имеет конечный предел.
Определение 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.
Если использовать логические символы, то это определение можно записать следующим образом:
3 а е 7? V £ > 03 neE N V п> пг: {хп - а\ < г.
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Для случая конечного предела определение 1 предела можно перефразировать следующим образом.
Число а является пределом последовательности {хп} действительных чисел, если для любого е > 0 существует такой номер п£, что для всех номеров п> п£ выполняется неравенство
\хп-а\<г. (4.1)
С помощью логических символов это определение записывается следующим образом:
а = lim хп V £ > 0 3 п£ V п > п£ : \хп - а\ < £.
Очевидно, что неравенство (4.1) равносильно неравенству а-г<хп<а + г.
Если lim хп = аихп<а (соответственно хп > а) для всех п оо
п = 1, 2, ... , то говорят, что последовательность {хп} сходится к числу а слева (соответственно справа), и иногда вместо lim хп = а в этом случае пишут lim хп = а - 0 (соответ- П —> оо Я —> оо
ственно lim хп = а + 0).
п оо
В том случае, когда а = 0, вместо 0 + 0 и 0 - 0 пишут соответственно просто +0 и -0.
94


Сформулируем на языке Е определение предела числовой последовательности в том случае, когда этот предел является той или иной бесконечно удаленной точкой (или, как говорят, равен бесконечности).
Например, °° является пределом последовательности {хп}, если для любого Е > 0 существует такой номер пе, что для всех номеров п> пг выполняется включение хп € е),
или, что то же самое, неравенство |хп| > |. С помощью логических символов это утверждение записывается следующим образом:
1 • def у, ~ —1\/ ill
hm хп = оо V е> 03 n£ V п> п£: \хп\ > - .
Аналогично определение предела последовательности перефразируется для случая, когда этот предел равен бесконечности с определенным знаком. Для краткости ограничимся записью этих определений только с помощью логических символов:
lim = +оо V £ > 0 3 V п > пР : х„ > - ;
1Т с с /4 е 7
п оо е
1- def w _ -| w 1
hm x„ = V г > 0 3 nP V n > nP : < -- .
Tl с с a c
П 00
Очевидно, что если lim xn = +°° или lim xn = -°°, то и n —> oo П —> oo
lim xn = °°.
Определение 3. Последовательность, пределом которой является бесконечность, называется бесконечно большой.
Понятие конечного предела последовательности связано в определенном смысле с встречающейся на практике задачей получения значения некоторой интересующей нас величины с наперед заданной фиксированной точностью £ > 0. Последовательные приближенные значения хп рассматриваемой величины могут получаться в результате проведения каких-либо экспериментов или вычисления по каким-нибудь рекуррентным формулам или каким-то другим путем. Эта задача будет, очевидно, решена, если найдется номер пе, начиная с которого все значения хп будут отклоняться от точного значения рассматриваемой величины в пределах заданной точности. Конечно, если указанное существует 95


лишь для одного данного £ > О, это еще не означает, что последовательность {хп} сходится: в определении предела последовательности требуется, чтобы соответствующий номер пг можно было подобрать для любого Е > 0.
В дальнейшем всегда под пределом последовательности будем понимать конечный предел, т. е. число, если, конечно, не оговорено противное.
Примеры. 1. Последовательность {^| сходится и имеет своим пределом нуль. В самом деле, каково бы ни было Е > 0, согласно принципу Архимеда (см. п. 3.6) действительных 1 чисел, существует такое натуральное число пе, что пе > -.
Поэтому для всех п > выполняется неравенство 0 < <
< — < Е, а это и означает, что lim - = 0. Последователь- пг п^оо п
м
ность сходится к нулю справа.
2. Последовательность {sin является расходящейся. В самом деле, каково бы ни было число а, вне его Е-окрест- ности, например при 0 < Е < 1, заведомо лежит бесконечное число членов данной последовательности, и, значит, оно не является ее пределом.
3. Последовательность {^ sin сходится и
lim - sin £ п = 0.
п оо
Это следует (почему?) из того, что
11 . л I . 1 г 1 п
- sm - п < - и lim - = 0.
\п 2 I п п^оо п
Сходящаяся последовательность {^ sin не является последовательностью, сходящейся к своему пределу слева или справа.
4. Последовательность {п} расходится. Действительно, каково бы ни было число а, для любого е > 0, в частности для Е = 1, найдется, согласно принципу Архимеда, такое натуральное п0, что nQ > а + 1. Следовательно, и для всех нату96


ральных п> имеем п > а + 1. Поэтому никакое число а не может являться пределом последовательности {п}.
В примерах 2 и 4 при доказательстве расходимости последовательностей было использовано позитивное определение того обстоятельства, что некоторое число а не являлось пределом данной последовательности.
Определение 4. Конечная или бесконечно удаленная точка а числовой прямой R не является1 пределом последовательности xn£R, п= 1,2, ... , если существует такое е > 0, что для всякого натурального п существует такое натуральное т> п, что хт t U(a; е).
С помощью логических символов это определение записывается следующим образом:
lim хп^а^Зг>0У ntN3m> п: хт£ U(a; е). п оо
Напомним, что при формулировании отрицания какого-либо утверждения логические символы существования 3 и всеобщности V меняются местами. Именно так и произошло в данном случае, в чем легко убедиться, сравнив запись определений 1 и 4, записанную с помощью логических символов.
Заметим, что определение 4 не является самостоятельным определением — оно является логическим следствием определения 1.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать позитивное определение понятия расходящейся последовательности.
УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что если lim хп = а, то lim lx J = |а|.
Задача 2. Доказать, что последовательность {хп} расходится тогда и только тогда, когда существует такое число £ > 0, что, каково бы ни было действительное число а и каков бы ни был номер п, найдется такой номер т > п, для которого выполняется неравенство \хт - а\ > £. УПРАЖНЕНИЕ 3. Записать позитивное определение расходящейся последовательности и условие задачи 2 в логических символах и сравнить их.
В рассмотренных выше примерах существование или отсутствие пределов у данных последовательностей было до1 Здесь частица «не» входит не в определение, а в определяемое понятие, что «не является пределом». Само определение начинается со слова «если».
97


статочно очевидным, а доказательства сводились к элементарной проверке определения предела последовательности.
В качестве более сложного примера отыскания предела последовательности рассмотрим предел средних арифметических членов заданной сходящейся последовательности.
Пример 5. Если последовательность {хп} сходится, то последовательность средних арифметических ее членов
ХЛ + х9 + ... + х„ 1 Z П -1 г>
уп= , П=1,2, ...,
также сходится и притом к тому же пределу, что и сама последовательность {хп}.
Пусть lim хп = а. Прежде всего заметим, что для любых натуральных чисел п0 и п > п0 имеет место равенство
х1 + ... + хп у- а= - а =
п
хЛ + ... + х„ - паа (х„ - а) 4- ... + (х„ - а)
1"о и | "о + 1 2
п п
(4.2)
Если теперь задано е > 0, то, согласно определению предела, существует такой номер п0, что для всех п > nQ выполняется неравенство
|х„ - а| < |. (4.3)
Число хг + ... + хп - nQa фиксировано, a lim - = 0, по- 0 и оо Ч
этому
' ~ П0а
П0 U _ Q п
Следовательно, существует такой п > Шц выполняется неравенство - п^а
lim
номер т0. что для всех
(4.4)
1
п
£
2 •
Пусть = max {n0, т0}. Тогда для всех номеров п > пг в силу формул (4.2)—(4.4) получим
£ п п0£ £ £
2 + п 2 < 2 + 2
Это и означает, что lim уп = а.и
98


УПРАЖНЕНИЕ 4. Доказать: 1) что отбрасывание или замена конечного числа элементов последовательности не влияет на ее сходимость, причем в случае сходящейся последовательности не влияет и на величину предела;
[ xk при п = 2k - 1,
2) если lim х„ = a, lim = а и zn = -s k=\, 2, ... ,
п^оо п ’ п^ооУп п I ук при п = 2k,
то и lim гп = а.
П -> оо
Наряду с числовыми последовательностями в данном курсе будут встречаться последовательности точек расширенной числовой прямой, т. е. занумерованные натуральными числами совокупности {хп} элементов расширенного множества действительных чисел R (см. п. 3.1). Таким образом, элементами этих последовательностей наряду с действительными числами могут быть бесконечно удаленные точки +оо и -оо. Для таких последовательностей также можно ввести понятие предела, аналогичное пределу числовых последовательностей и содержащее его в себе как частный случай.
Определение 5. Точка а расширенной числовой прямой R называется пределом последовательности точек этой прямой. если, какова бы ни была окрестность точки а. она содержит все члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторого номера.
Отличие от рассмотренного выше случая состоит в том, что здесь членами последовательности могут быть не только действительные числа, но и бесконечности с определенным знаком.
Конечно, понятие предела можно обобщить и на случай последовательности точек прямой, расширенной с помощью только одной бесконечно удаленной точки — бесконечности без знака.
Замечание. Для любой окрестности U(a. е), е > 0, где а — либо число: а € R. либо одна из бесконечностей -оо, +оо или оо, существует такое натуральное п. что выполняется включение U^a. U(a. е). Чтобы в этом убедиться, доста-
точно взять такое п Е N, что - < £.
п
99


Поэтому, если последовательность хп£ R такова, что для любого п = 1, 2, ... выполняется включение € u(a, п \ п) (здесь а — либо действительное число, либо одна из бесконечностей °о, +°° или -°°), то lim хп = а. В самом деле, для п оо
любой окрестности U(a) существует такое натуральное п0, что U(а, — <= С7(а); тогда для всех номеров п > nQ будем ' по у
иметь х„ е и(а, - u(a, U(a). Это и означает, что
П \ П у \ nQ J ' '
lim хп = а.
В дальнейшем под последовательностью всегда понимается числовая последовательность, т. е. последовательность, элементами которой являются действительные числа, если, конечно, специально не оговорено что-либо другое.
УПРАЖНЕНИЯ. 5. Привести пример неограниченной последовательности, не являющейся бесконечно большой.
6. Доказать, что если ап < \bn\, п = 1, 2, ... , и lim ап = +°о, то lim bn = °о.
/г —> оо /г —> оо
7. Доказать, что почленное произведение бесконечно большой последовательности на последовательность, абсолютная величина всех членов которой ограничена снизу положительной постоянной, является бесконечно большой последовательностью.
4.2. 	Единственность предела числовой последовательности
Докажем прежде всего корректность определения предела в том смысле, что если он существует, то он единствен.
ТЕОРЕМА 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.
СЛЕДСТВИЕ. Числовая последовательность может иметь только один предел, конечный или определенного знака бесконечный.
Доказательство теоремы. Допустим, что утверждение теоремы несправедливо. Это означает, что существует последовательность хп Е R, п = 1, 2, ... , у которой имеется 100


по крайней мере два различных предела: а Е R и Ъ Е R. Выберем > 0 и е2 > 0 так, чтобы ^-окрестность точки а не пересекалась с Е2-окрестностью точки Ь. Это всегда можно сделать согласно лемме п. 3.2 (см. рис. 6, а, б, в, г). В силу определения предела, из условия lim хп = а следует, что п оо
существует такой номер п1 Е ЛГ, что для всех номеров п> п19 п € 7V, имеет место включение хп Е С7(а, Е^, а из условия lim хп = Ъ следует, что существует такое п2 £ N. что для п оо
всех п > n2, п Е N, справедливо включение хп Е U(b. е2). Следовательно, если обозначить через п0 наибольший из def f .
номеров пх и n2; n0 = max {п19 п2}, то для любого п > nQ одновременно будем иметь хп Е U(a, Е^ и хп Е С7(&, е2), т. е. хп Е J7(a, Ej) А С7(&, е2). Это противоречит условию
С7(а, Е^ A ЩЪ, е2) = 0. □
Следствие является частным случаем утверждения теоремы.
Для единственности бесконечного предела последовательности элементов из R существенным является рассмотрение лишь бесконечностей определенного знака, так как если последовательность имеет своим пределом бесконечность с определенным знаком, то одновременно ее пределом является и бесконечность без знака. Например, если lim хп = +°°, то, конечно, и lim хп = °°.
П —> оо ft _> ОО
Докажем теперь некоторые простые свойства конечных и бесконечных пределов.
4.3. 	Переход к пределу в неравенствах
Сформулируем и докажем три часто используемых свойства пределов последовательностей точек расширенной числовой прямой, связанные с равенствами и неравенствами для членов последовательностей.
I. Если для всех п= 1, 2, ... имеет место равенство хп = а Е R (т. е. последовательность {хп} стационарна), то lim хп = а.
101


U(a) Коротко говоря, предел посто-
_"<_ч 1 1 1 янной равен самой этой постоян-
УП а гп ной>
Рис-10 Доказательство. Действи¬
тельно, в этом случае для любой окрестности Ща) точки а в качестве номера п0, указанного в определении 5, можно взять, например, n0 = 1, так как для всех номеров п = 1, 2, ... имеет место включение
хп = а е Ща). □
II. Если
xn&R, yn^R, zneR, xn<yn<zn, n = l,2, ... , (4.5) и
lim xn = lim zn = at R, (4.6)
n °° n —> 00
mo
lim = a. (4.7)
П 00
Доказательство. Зафиксируем произвольно окрестность Ща) точки а. В силу условий (4.6), существуют такой номер Пр что для всех номеров п > п1 выполняется включение
хп е Ща), (4.8)
и такой номер п2, что для всех номеров п> п2 — включение
zn € Ща). (4.9)
Возьмем в качестве номера п0 наибольший из номеров и п2: nQ= шах {пр п2}. Тогда для номеров п > nQ одновременно выполняются включения (4.8) и (4.9); тогда (рис. 10), в силу условия (4.5), для всех п > п0 выполняется включение уп € С7(а), а это и означает справедливость утверждения (4.7). □
СЛЕДСТВИЕ. Если хп < уп, хп € R,yn € R, п = 1, 2, ... , и
lim хп = +оо, (4.10)
п оо
то
lim уп = +°о, (4.11)
п оо
а если lim у„ = -оо то lim = -оо. а П 7 П
102


Доказательство. Пусть ща^
выполнено условие (4.10). Рас- 1— 1
смотрим вспомогательную по- а хп Ъ уп
следовательность zn = +°°, п = Рис п
= 1, 2, ... , тогда, очевидно, для последовательностей {xn}, {г/п}, {зп} выполняются условия (4.5) и (4.6) при а = +°°, а поэтому, в силу утверждения (4.7), имеет место и равенство (4.11).
Аналогично рассматривается и случай lim уп = -оо, □
III. Если х„ е R, у„ е R, п = 1, 2, ... , и п 7 Т1 7 7 7 7
lim хп = a, lim уп = Ь, (4.12)
П —> оо П —> оо
причем
a <b, а е R, b е R, (4.13)
то существует такой номер п^ что для всех номеров п> nQ выполняется неравенство
хп<уп- (4.14)
Доказательство. Пусть U = U{a) и V = V{b) — какие-либо непересекающиеся окрестности точек а и Ь, тогда из условия а < Ъ следует, что для любых х € U и у € V выполняется неравенство (рис. 11)
х<у. (4.15)
В силу условия (4.12), существует такой номер п0, что для всех номеров п > п0 выполняются включения
xneU,yneV, (4.16)
а поэтому, согласно неравенству (4.15), имеют место неравенства (4.14). □
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть а. Ь9 хп принадлежат R, п = 1, 2, ... . Если lim хп = а и а < Ъ {соответственно а > й), то су- ществует такой номер nQ, что для всех номеров п > nQ выполняется неравенство
хп<Ъ (4.17)
(соответственно неравенство хп > Ъ).
103


Доказательство. Пусть а < Ь. Рассмотрим вспомогательную последовательность уп = b, п = 1, 2, тогда для последовательностей {хп} и {уп} выполняются условия (4.12) и (4.13), следовательно, и условие (4.14), которое в данном случае превращается в неравенство (4.17).
Аналогично рассматривается случай а > Ъ. □
СЛЕДСТВИЕ 2. Если lim хп = a, lim уп = Ъ, хп£ R, уп£ R, п 00 П —> оо
п = 1, 2, ... , а е R, Ъ € R и для всех п = 1, 2, ... выполняется неравенство
хп<Уп, (4.18)
то
а^Ь. (4.19)
Доказательство. Пусть выполнено условие (4.18). Если бы оказалось, что а > Ь, то, согласно свойству III пределов, нашелся бы такой номер и0, что для всех номеров п > и0 выполнялось бы неравенство хп > уп, что противоречит условию (4.18). Следовательно, выполняется неравенство (4.19). □
Из следствия 2 вытекает, в частности, что если хп < Ь, п = 1, 2, ... , и lim хп = а, то имеет место неравенство а < Ъ. п оо
В самом деле, если взять вспомогательную стационарную последовательность уп = b, п = 1, 2, ... , то для последовательностей {хп} и {г/п} будут выполняться условия следствия 2, т. е. lim хп = а, хп € R, п = 1, 2, ... , а € R, и п оо
для всех п= 1, 2, ... справедливы неравенства хп < уп = Ь. Поэтому, согласно следствию 2, имеет место и неравенство а < Ъ. □
Следствие 2 означает, что если последовательности {хп} и {уп} имеют пределы lim хп = a, lim уп = Ь, а € R, Ъ € В, то Я —> оо Я —> оо
в неравенствах хп < уп и хп < уп можно переходить к пределу, причем даже в первом случае в результате получается, вообще говоря, нестрогое неравенство
а = lim < lim un = Ъ. п п
104


Отметим, что нас в основном интересуют числовые последовательности. Последовательности же точек расширенной числовой прямой введены прежде всего для большей компактности изложения: они позволяют не рассматривать отдельно случаи конечных и определенного знака бесконечных пределов последовательностей. В дальнейшем определения и утверждения будут в основном формулироваться для числовых последовательностей, хотя многие из них без всякого труда обобщаются на случай последовательностей точек расширенной числовой прямой.
Замечание 1. Для того чтобы числовая последовательность {хп} имела своим пределом число а, необходимо, чтобы для любых двух чисел £ > 0 и с > 0 существовал такой номер п0, что для всех номеров п > п0 выполняется неравенство \хп - а\< се и достаточно, чтобы нашлось такое число с > 0, что для любого Е > 0 существовал такой номер п0, что для всех номеров п > п0 выполнялось то же неравенство \хп -а\< СЕ.
Оба этих утверждения следуют из того, что при фиксированном с > 0 при произвольном £ > 0 число с£ также является произвольным положительным числом.
Например, если lim хп = а. то для всякого £ > 0 сущест- П оо
вует такой номер п0, что для всех номеров п > п0 выполняется неравенство \хп - а\ < е/2.
Иногда бывает полезно рассмотреть последовательность, получающуюся из данной последовательности перенумерацией всех ее членов или некоторого бесконечного подмножества. В дальнейшем для таких последовательностей будет неоднократно использоваться следующая лемма.
ЛЕММА. Если последовательность хпе R, п = 1, 2, ... , имеет конечный или бесконечный предел и {nk} — такая последовательность натуральных чисел, что
lim nk = +°°, (4.20)
k оо
то последовательность {хП}} имеет тот же предел, что и последовательность {хп}.
105


В обозначении хп^ члена последовательности {хП}} номер nk является номером этого члена в последовательности {хп}, а номер k — его номером в последовательности }.
Доказательство. Пусть lim хп = а. Это означает, что п оо
для любой окрестности U(a) точки а существует такой номер п0, что для всех номеров п > п0 выполняется включение хп е € U(a). В силу выполнения условия (4.20), для номера п0 существует такой номер й0, что для всех номеров k > kQ справедливы неравенства nk > nQ и, следовательно, имеет место включение х„ € U(a). Это и означает, что lim х„ = а. □
nk
Замечание 2. Если lim хп = °° и lim nk = +°°, то п оо k оо
иногда о пределе последовательности {ХП}} можно сказать больше, чем только то, что lim х„ = может оказаться, nk
что lim = +°° или lim = -°°. Например,
^^оо nk nk
lim (-n)n = °°, a lim (-2k)2k = +°°, n -> оо /? -> OO
lim [-(2k - 1)]2/г-1 = -oo.
k OO
Определение 6. Последовательность {x„ }, которая состав- /г
лена из членов последовательности {хп} и в которой порядок следования ее элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности {хп}, называется подпоследовательностью этой последовательности.
Таким образом, последовательность } является под- /г последовательностью последовательности {хп}, если условие k < k' равносильно условию nk < nk', k, k' = 1, 2, ... .
Так, последовательность 1, 3, 5, ... , 2n + 1, ... является, а последовательность 2, 1, 3, 4, ... , п, ... не является подпоследовательностью натурального ряда чисел 1, 2, ... , п, ... . В обоих случаях элементы последовательностей образуют подмножество1 множества натуральных чисел, но в первом
Запомним (см. п. 1.1), что само множество также считается своим подмножеством.
106


случае члены последовательности расположены в том же порядке, что и в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок нарушен.
Если {ХП}} — подпоследовательность последовательности {хп}, то, очевидно, nk > k, k = 1, 2, ... , и, следовательно, lim nk = +°°. Отсюда следует, в силу леммы, что если по- k оо следовательность имеет конечный или бесконечный предел, то и любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.
УПРАЖНЕНИЕ 8. Пусть из членов последовательности натуральных чисел {п} образована новая последовательность nk так, что разные члены последовательности {п} переходят в разные члены новой и каждый член последовательности {п} переходит в некоторый член новой. Это равносильно тому, что задана биекция nk множества натуральных чисел N на себя. Доказать, что в этом случае lim nk = °о.
4.4. 	Ограниченность сходящихся последовательностей
Следует различать последовательность {хп}, т. е. множество элементов хп и множество значений ее элементов. Первое множество всегда бесконечно, так как состоит из совокупности элементов, отличающихся по крайней мере номерами п = 1, 2, ... . Второе множество состоит из всех чисел, являющихся значениями элементов данной последовательности, оно может быть и конечным. Например, стационарная последовательность xn= 1, n= 1, 2, ... , как и всякая последовательность, состоит из бесконечного числа элементов, а множество значений ее элементов состоит из одного числа 1.
Определение 7. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу).
В терминах элементов последовательности это определение может быть перефразировано следующим образом.
Определение 7'. Последовательность {хп} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число Ъ, 107


что для всех номеров п = 1, 2, ... выполняется неравенство хп^Ъ {соответственно неравенство хп > Ь).
Определение 8. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.
Очевидно, что последовательность {хп} ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число Ъ, что для всех номеров п = 1, 2, ... выполняется неравенство |хп| < Ъ.
Определение 9. Последовательность, не являющаяся ограниченной {сверху, снизу), называется неограниченной {сверху, снизу).
Например, последовательности |^}и |sin ограничены. Последовательность {п} не ограничена, точнее, она ограничена снизу, но не ограничена сверху, а последовательность sin п | является неограниченной как сверху, так и снизу.
ТЕОРЕМА 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство. Пусть дана сходящаяся последовательность {хп} и пусть lim хп = а. Возьмем, например, £ = 1.
П —> оо
Согласно определению предела последовательности, существует такое п1, что для всех п > п1 выполняется неравенство \хп- а\ < 1. Пусть d — наибольшее из чисел 1, |хх - а\, ... ... , \хп^ - а\. Тогда для всех п = 1, 2, ... справедливо неравенство \хп - а\ < d, т. е. для всех п
а - d < хп< а + d.
Это и означает ограниченность заданной последовательности. □
4.5. 	Монотонные последовательности
Определение 10. Верхняя {нижняя) грань множества значений элементов последовательности {хп} называется верхней {нижней) гранью данной последовательности и 108


обозначается sup {хп} или sup xn (соответственно n = 1, 2, ...
inf {xn} или inf xn).
n = l,2,...
Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом.
Определение 11. Число а является верхней (нижней) гранью последовательности хп. п = 1, 2, ... , если:
1) для всех п = 1, 2, ... выполняется неравенство хп^ а (неравенство хп > а);
2) для любого е > 0 существует такой номер пе, что хп > а - г (соответственно хп < а + е).
Аналогично можно сформулировать определение верхней (нижней) грани последовательности в том случае, когда указанная грань бесконечна. (Сделайте это.)
В качестве примеров отметим, что sup {1/п} = 1, inf {1/п} = = 0, sup {п} = +°°, inf {п} = 1. Здесь везде п = 1, 2, ... .
Определение 12. Последовательность {хп} называется возрастающей (убывающей) последовательностью, если для каждого п= 1, 2, ... выполняется неравенство хп < хп + х (соответственно неравенство хп> хп + 1)1  2.
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
тт f1 1
Например, последовательность убывает, последовательность {п} возрастает, а последовательность {sin п} не является монотонной.
ТЕОРЕМА 3 (теорема Вейерштрасса ). Всякая возрастающая числовая последовательность {хп} имеет предел, конечный. если она ограничена сверху, и бесконечный, равный +°°, если она не ограничена сверху, причем
lim хп = sup {хп}. (4.21)
п оо
1 Возрастающие (убывающие) последовательности называются также неубывающими (невозрастающими).
2 К. Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик.
109


L7(P) Аналогично, всякая убывающая чис-  1 + ► ловая последовательность {х„} име- р' хп р ~ 1 ni
0 ет предел, конечный, если эта после-
Рис. 12 довательность ограничена снизу, и
бесконечный, равный если она
не ограничена снизу, причем
lim хп = inf {хп}. (4.22)
п оо
Доказательство. Пусть последовательность {хп} возрастает. Докажем равенство (4.21). Остальные утверждения теоремы для возрастающих последовательностей следуют из него очевидным образом.
Пусть Р = sup {хп} (значение Р может быть как конечным, так и бесконечным, равным +оо). Возьмем произвольную окрестность С7(Р) точки Р и обозначим через Р' ее левый конец (рис. 12). Очевидно, Р' < р.
Согласно определению верхней грани:
1) для любого номера п € N имеет место неравенство
Хп < Р; (4.23)
2) существует такой номер п0, что
х„о > Р'. (4.24)
В силу возрастания последовательности {хп}, из (4.23) и (4.24) следует, что для всех номеров п > nQ выполняется неравенство
(4.25)
р < хп хп < р,
(4.24) 0 п (4.23)
поэтому при п > nQ имеет место включение
и№}’
sl это и означает, что Р является пределом последовательности {хп}.
Аналогично рассматривается случай убывающей последовательности. □
Замечание 1. Таким образом, всякая монотонная последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена, и бесконечный, если она не ограничена. Этот предел равен +°о, если монотонная последовательность не ограничена сверху, и равен -оо, если она не ограничена снизу.
ПО


Всякая подпоследовательность монотонной последовательности также монотонна, поэтому она, в свою очередь, всегда имеет конечный или бесконечный предел, который, очевидно, совпадает с пределом всей последовательности (см. лемму в п. 4.3).
Было показано, что если последовательность сходится, то она ограничена (теорема 2), отсюда, в частности, следует, что если возрастающая последовательность сходится, то она ограничена сверху; с другой стороны, если возрастающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (теорема 3). Таким образом, справедливо следующее утверждение.
СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы возрастающая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей последовательности.
Замечание 2. Если {[ап, Ьп]} — система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, а — точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы, то
= lim ап = lim bn. (4.26)
п оо Ъ оо
В самом деле, в п. 3.7 было показано, что = sup {ап} = = inf {bn}. С другой стороны, последовательность {ап}, соответственно {Ьп} возрастает (убывает), откуда в силу равенств (4.21) и (4.22) и следует (4.26).
Пример. Число е.
Пусть хп = ^1 + , п = 1, 2, ... .
Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя формулу бинома Ньютона, получаем
v = (Л + 1Y = 1 + и • 1 + . £
Лп [ п) Lrn 1-2 п2 123 п3
п(п - 1) ... (п - k + 1) . 1 п{п - 1) ... 1 1 _
••• + 1 • 2 ... /? ’ + "■ + 1 • 2 ... п * ~
+ ±f 1 -l'f!_2'... f! _LlI' + ... + 2/1 _ 1 ■... (1 _ ^2'. n Д n, \ n , n\\ n, \ n ,
(4.27)
111


При переходе от п к п + 1 в сумме, стоящей в правой части равенства (4.27), число слагаемых, которые все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое начиная с третьего увеличивается, так как
1 - - <1 ^7, s = 1, 2, ... , п — 1, п = 2, 3, ... ,
п п + 1
поэтому
+ п = 1, 2, ... .
Далее, замечая, что в (4.27) каждая из скобок вида (1 - меньше единицы и что
2га-1= 1 • 2 • 2 • ... • 2 < 1 • 2 • 3 • ... • п = п\, к )
п сомножителей
следовательно, t, для всех п = 1, 2, 3, ... , имеем
хп < 2 + + ... + ± <2 + |+ |+ ... + . (4.28)
Сумма + ... + —fкоторую легко подсчитать по 2 2 2 [
известной из элементарной математики формуле для суммы 1 А членов геометрической прогрессии: она равна 1 - ——г при 2п у
любом п = 1, 2, ... меньше единицы, поэтому окончательно получим
2<хп<хп + 1<3. (4.29)
Итак, последовательность {х„} возрастает и ограничена сверху, а поэтому, согласно теореме 3, имеет предел. Этот предел и обозначается буквой е.
Переходя к пределу в (4.29), получим 2 < е < 3. Более точными оценками можно получить, что справедливо приближенное равенство
е~ 2,718281828459045.
Доказывается также, что число е иррационально (см. п. 34.14 ) и, более того, трансцендентно, т. е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми ко112


эффициентами. Число е в математическом анализе играет особую роль. Оно, в частности, является основанием натуральных логарифмов.
4.6. 	Теорема Больцано—Вейерштрасса
В п. 4.4 было доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение, конечно, неверно. Например, последовательность хп = (-l)n, п = 1, 2, ..., ограничена и расходится. Однако оказывается, что всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Это утверждение называется теоремой Больцано—Вейерштрасса1 или свойством компактности ограниченной последовательности.
ТЕОРЕМА 4. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной последовательности — бесконечно большую подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность определенного знака.
Доказательство. Пусть последовательность {хп} ограничена, т. е. существует такой отрезок [а. 6], что а < хп < Ъ для всех п = 1, 2, ... . Разделим отрезок [а, й] на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Обозначим его через [a15 & Пусть хп — какой-либо из членов данной последовательности, лежащий на отрезке [a15 &
Разделим отрезок [a15 на два равных отрезка; снова хотя бы один из получившихся отрезков содержит бесконечно много членов исходной последовательности; обозначим его через [а2, Ъ2]- В силу того что на отрезке [а2, &2] бесконечно много членов последовательности {хп}, найдется такой ее член хп%, что [а2, ^2] и п2 > п1- Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков [ak. bk]. в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и последовательность таких элементов х„ данной после1 Б. Больцано (1781—1848) — чешский математик.
113


довательности, что хп^ Е [ak, bk], k = 1, 2, ... , и nk" > nk' при k" > k'. Последовательность {xn } является, в силу построе-
/г
ния, подпоследовательностью последовательности {хп}. Покажем, что эта подпоследовательность сходящаяся.
Последовательность отрезков [ak, bk], k = 1, 2, ... , является последовательностью вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, так как bk- ak= 0 при k °°. Со-
2
гласно принципу вложенных отрезков (см. п. 3.7), существует единственная точка принадлежащая всем этим отрезкам. Как было показано (см. формулу (4.26)) в замечании 2 к теореме 3, lim ak = lim bk = но ak < xn < bk.
k °° /? —> oo k
k = 1, 2, ... , поэтому, согласно свойству II (см. п. 4.3 сходящихся последовательностей), последовательность {х„ } так- же сходится и lim х„ =
nk
Пусть теперь последовательность {хп} не ограничена. Тогда она либо не ограничена сверху, либо не ограничена снизу, либо имеет место и то и другое. Пусть для определенности последовательность {хп} не ограничена сверху. Тогда существует такой номер п1 е N, что хп > 1.
Очевидно, последовательность хп, п = п1 + 1, п1 + 2, ... , также не ограничена сверху, так как получается из данной неограниченной сверху последовательности хп, п = 1, 2, ... , отбрасыванием конечного числа ее членов. Поэтому существует такое п2 > Пр п2 Е 7V, что хп% > 2.
Продолжая этот процесс, получаем последовательность таких номеров nk, что п1 < п2 < ... < nk < ... и хп > 1, хп% > > 2, ... > k ... . Отсюда следует, что {хп } — подпоследо-
k nk
вательность последовательности {хп} и, согласно следствию свойства II п. 4.3, что lim = +°°. □
nk
Замечание. Второе утверждение теоремы 4 можно уточнить. В доказательстве теоремы 4 было показано, что если последовательность не ограничена сверху, то у нее су114


ществует подпоследовательность, стремящаяся к +оо. Аналогично, если последовательность не ограничена снизу, то у нее существует подпоследовательность, стремящаяся к Определение 13. Предел, конечный или определенного знака бесконечный, подпоследовательности данной последовательности называется ее частичным пределом.
Теорема Больцано—Вейерштрасса (первая часть теоремы 4) и ее аналог для неограниченных последовательностей (вторая часть теоремы 4) показывают, что
всякая последовательность имеет хотя бы один частичный конечный или бесконечный предел, причем заведомо конечный, если данная последовательность ограничена.
Таким образом, каждая числовая последовательность {xn}, хп е R. имеет хотя бы один частичный предел в расширенном множестве действительных чисел, т. е. множество частичных пределов в R для любой последовательности всегда не пусто.
УПРАЖНЕНИЯ. 9. Доказать, что, для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и имела единственный частичный предел.
10. Доказать, что элемент а (число или одна из бесконечностей со знаком: +оо или -оо) является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой его окрестности содержится бесконечно много членов данной последовательности.
4.7. 	Критерий Коши сходимости последовательности
До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная последовательность. Само определение сходящейся последовательности для этого неудобно, так как в него входит значение предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно иметь такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательностей, который основывался бы только на свойствах элементов данной последовательности. Следующая ниже теорема 5 и дает как раз подобный критерий.
115


Определение 14. Будем говорить, что последовательность {хп} удовлетворяет условию Коши1, если для любого £> О существует такой номер п£, что для всех номеров пит, удовлетворяющих условию п> п£, т> п£, справедливо неравенство
\хп - хт\ < е- (4.30)
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются также фундаментальными последовательностями.
С помощью логических символов условие Коши записывается следующим образом:
V£>O3nee7VVne7VVme7V, n>ne, m>ne:|xn- х J < с.
Условие (4.30) можно сформулировать и так:
для любого £ > 0 существует такой номер щ, что для всех номеров п> п£ и всех целых неотрицательных р
\хп+р-хп\<^ (4.31)
Для того чтобы убедиться в равносильности условий (4.30) и (4.31), достаточно положитьр = п - т, если п > т, и р = т - п, если т > п.
ТЕОРЕМА 5 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Доказательство необходимости. Пусть последовательность {хп} сходится и lim хп = а. Зададим £ > 0; тог- п оо
да, согласно определению предела последовательности, существует такое пе, что для всех номеров п > щ выполняется неравенство \хп - а\ < |.
Пусть теперь п > щ и т > щ; тогда
|х - хт\ = |(х„ - а) + {а - хт)| < \хп - а| + \хт - а| < | + | = е, т. е. выполняется условие Коши.
Доказательство достаточности. Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши, т. е. для всякого £ > 0 существует такое пе, что если п > п£ и т > п£, то 1 О. Коши (1798—1857) — французский математик.
116


\хп - хт\< £. Возьмем, например, е= 1; тогда существует такое Пр что при п>п1ит>п1 выполняется неравенство \хп ~ хт\ < 1* В частности, если п > п1 и т = п1 + 1, то \ХП1~ хп + 11 < !> т- е- ХП1+ 1 - 1 < хп < ХП1+ 1 + 1 при и > «1- Это значит, что последовательность хп, п = п1 + 1, п1 + 2, ... , ограничена. Поэтому, в силу теоремы 4, существует ее сходящаяся подпоследовательность{хп }.
/г
Пусть lim х„ = а. Покажем, что вся данная последова- k ОО k
тельность {хп} также сходится и имеет пределом число а. Зададим некоторое Е > 0. Тогда, во-первых, по определению предела последовательности, существует такое йе, что для всех номеров k > k£ или, что то же самое, согласно определению подпоследовательности, для всех nk > nk выполняется неравенство \ хп^ - а\ < |.
Во-вторых, так как последовательность {хп} удовлетворяет условию Коши, то существует такое ие, что для всех п > ие и всех т > ие выполняются неравенства \хп - хт\ < |.
Положим N£ = max {ne, nk } и зафиксируем некоторое > N£. Тогда для всех п > N£ получим
|xn - а\ = |(хп - хп J + (хП)г - а)| <
\хп ~ xnh I + — < 2 2 —
а это и доказывает, что lim хп = а. □ п оо
УПРАЖНЕНИЯ. 11. Сформулировать позитивные необходимые и достаточные условия, являющиеся отрицанием критерия Коши, для того чтобы последовательность не имела предела.
12. Доказать, что, для того чтобы последовательность {хп} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого £ > 0 существовало такое пг € АГ, что для всех п > пг выполнялось неравенство \хп - хп | < £.
117


Задача 3. Выяснить, вытекает или нет сходимость последовательности {хп} из условия, что для любого натурального р существует предел lim (хп+ -хп) =0.
П оо
4.8. 	Бесконечно малые последовательности
Над последовательностями можно производить арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Определим их.
Определение 15. Пустъ заданы числовые последовательности {хп} и {уп}: суммой, разностью и произведением этих последовательностей называются соответственно после- дователъности {хп + уп}, {хп - уп} и {х„уп}. Если уп* 0, п = = 1, 2, ... , то частным от деления последовательности {хп} на последовательность {у^ называется последовательность {хп/уп}. Наконец, произведением последовательности {хп} на число с называется последовательность {схп}.
Если последовательность {уп} такова, что в ней имеется лишь конечное число элементов, равных нулю, т. е. существует такое nQ € N. что при п > nQ. п € N. выполняется неравенство уп 0, то можно рассматривать последовательность {хп/Уп}’ понимая под ней последовательность с номерами п > п$.
Определение 16. Последовательность {ап} называется бесконечно малой последовательностью, если lim ап = 0.
п оо
В п. 3.1 уже были рассмотрены бесконечно малые после- 1 1 . л о
довательности = -, ап = - sin ?п. п = 1. 2. ... .
Отметим несколько свойств бесконечно малых числовых последовательностей.
I. Любая конечная линейная комбинация бесконечно малых является бесконечно малой.
Доказательство. Пусть числовые последовательности {ап} и {Рп} — бесконечно малые, т. е.
lim ап = lim Рп = 0, (4.32)
п оо р оо 118


a Z и ц — какие-либо действительные числа. Покажем, что последовательность {Хап + цРп} также бесконечно малая. Зададим произвольно с > 0 и возьмем какое-либо число с такое, что
С > W + |ц|. (4.33)
Тогда, согласно определению предела, из (4.32) следует, что существует такой номер п0, что для всех номеров п > nQ выполняются неравенства
W<~> 1Р„1 < -с, (4.34)
следовательно,и неравенство
+ НР„1 < WKI + INIPJ < < е.
(4.33)
(4.34)
Это и означает, что
lim (Хап + цр„) = О,
п оо
т. е. что последовательность {Хап + цРп} — бесконечно малая.
Соответствующее утверждение для любой конечной линейной комбинации бесконечно малых следует из доказанного методом математической индукции. □
Задача 4. Определив сумму бесконечного числа занумерованных слагаемых (обобщающую понятие суммы конечного числа слагаемых), а затем сумму бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, сумма которых не является бесконечно малой последовательностью.
II. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Пусть {ап} — бесконечно малая последовательность, а {хп} — ограниченная последовательность, т. е. существует такое число Ъ > 0, что для всех номеров п = 1, 2, ... выполняется неравенство |xj < Ъ.
Зададим £ > 0; в силу определения бесконечно малой последовательности, существует такой номер пе, что для всех 119


п> пг выполняется неравенство |aj < |. Поэтому для всех п > пг имеем
|ос„хп\ = |ос„||хп\ <| • Ъ = е,
I /4 /41 I /411 /41 А 7
что и означает, что последовательность {оспхп} бесконечно малая. □
С ЛЕ ДСТ В И Е. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Это сразу следует по индукции из свойства II, если заметить, что бесконечно малая последовательность, как и всякая последовательность, имеющая предел, ограничена (см. теорему 2 п. 4.4).
Задача 5. Определив произведение бесконечного числа занумерованных сомножителей (обобщающее понятие произведения конечного числа сомножителей), а затем произведение бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, произведение которых не является бесконечно малой последовательностью.
УПРАЖНЕНИЕ 13. Доказать, что, для того чтобы последовательность хп 0, п = 1, 2, ... , была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность — , п = 1, 2, ... , была бесконечно большой.
Хп
4.9. 	Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
ЛЕММА. Для того чтобы число а являлось пределом числовой последовательности {хп}. необходимо и достаточно, чтобы ее члены хп имели вид хп = а + ап. п = 1, 2, ... , где {ап} — бесконечно малая последовательность.
В самом деле, пусть заданы какая-либо последователь- ( ) def m
ность {хп} и число а; положим ап = хп- а. 1огда условие lim хп = а, согласно определению предела последователь- п оо
пости, равносильно следующему: для любого е > 0 существует такое п0 € N. что для всех п > nQ. п € N. выполняется нера120


венство \хп - а\ < Е, т. е. неравенство |aj < £, а это и равносильно тому, что lim ап = 0. □
п оо
Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении понятия предела, так как общее понятие предела последовательности с помощью этой леммы сводится к понятию нулевого предела. Это обстоятельство далее широко используется при изучении ряда свойств сходящихся последовательностей.
Докажем свойства пределов последовательностей, связанные с некоторыми операциями над членами числовых последовательностей.
1°. Если последовательность {хп} сходится, то сходится и последовательность {|хп|}, причем если lim хп = а. то
Ит |х„| = |а|.
п оо
Доказательство. Если lim хп = а. то для каждого е > 0 п оо
существует такой номер пе, что для всех номеров п > пг выполняется неравенство \хп- а\< Е, но ||xj - |а|| < \хп- а\. Следовательно, для всех номеров п > щ имеет место неравенство ||xj - |а|| < Е, а это и означает, что lim IxJ = |а|. □ п оо
2°. Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. и ее предел равен такой же линейной комбинации пределов данных последовательностей.
Доказательство. Пусть
lim хп = а Е R. lim уп = b е R. (4.35)
П —> оо П —> оо
Тогда, в силу необходимости условий леммы для существования конечного предела, члены последовательностей {хп} и {у^ можно представить в виде
хп = а + ап, уп = Ь + pn, п = 1, 2, ... , (4.36)
где {а„} и {Рп} — бесконечно малые:
lim an = lim Р;! = 0. (4.37)
п оо П —> оо
121


Пусть теперь X и ц — какие-либо числа. Тогда члены последовательности {kxn + руп} представимы в виде
^ХП + Мп (4=б) (^а + + + Ц₽п)’ Я = 1> 2, ... , (4.38)
где последовательность {Хап + цРп}, в силу бесконечной малости последовательностей {ап} и {Рп}, также бесконечно малая (см. свойство 1° бесконечно малых последовательностей в п. 4.8):
lim (Хап + цР„) = 0. (4.39)
(4.37)
Поэтому, в силу достаточности условий леммы для существования конечного предела, из равенств (4.38) следует, что последовательность {кхп + руп} имеет предел, равный ка + цй:
lim (кхп + = ка + цй,
п оо
т. е. (см. (4.35))
lim (\хп + = X lim хп + ц lim уп .
п оо п п —>00
Соответствующее утверждение для любой конечной линейной комбинации сходящихся последовательностей следует из доказанного, если воспользоваться методом математической индукции.□
3°. Если последовательности {хп} и {уп} сходятся, то их произведение {хпу^ также сходится и
lim = lim х„ lim , Tl^ Tl Tl Tl 7
n —> 00 n —> 00 n —> 00
m. e. предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению пределов данных последовательностей.
Д о к о з о т е л ь с т в о. Пусть lim хп = a. lim уп = Ь; тогда
П —> оо П —> оо
= а + = Ъ + В„, п = 1, 2, ... ,
Tl 1Т7 Tl i 1Т7 77 7
где lim ап = lim Рп = 0; поэтому п оо П —> оо
хпУп = (« + а„)(Ь + Р„) = аЬ + (апЬ + р„а + а„р„).
122


В силу свойств I и II бесконечно малых последовательностей (см. п. 4.8), lim (anb + $па + осп|Зп) = 0; поэтому п оо
lim х„у„ = ab = lim х„ lim у„ . □ Tl^ Tl IT Tl
n —> 00 n —> 00 n —> 00
СЛЕДСТВИЕ 1. Если последовательность {xn} сходится, то для любого числа с последовательность {сх^ также сходится и
lim схп = с lim хп , П —> оо П —> оо
тп. е. постоянную можно выносить за знак предела.
Это утверждение сразу вытекает из свойства 3°, когда последовательность {уп} стационарная: уп = с,п = 1, 2, ... (а также и из свойства 2°, когда уп = 0, п = 1, 2, ...).
СЛЕДСТВИЕ 2. Если {хп} — сходящаяся последовательность и k — натуральное число, то lim (xn)k = ( lim xn)k .
n —> 00 n —> 00
Это утверждение следует по индукции из свойства 3°.
4°. Если последовательности {хп} и {уп} сходятся, уп 0,
[ Хп\ п= 1, 2, ... , и lim уп 0, то последовательность
п оо
сходится и
lim хп
П —> оо
lim уп ’ П оо
т. е. при сделанных предположениях предел частного сходящихся последовательностей существует и равен частному от пределов данных последовательностей.
Доказательство. Пусть lim хп = a, lim уп = Ъ 0 и П —> оо П —> оо
для определенности Ъ > 0. Тогда
х„ = а + а„, у„ = Ъ + В„, п = 1, 2, ... ,
где lim ап = lim = 0, а согласно следствию 1 из свойст- п оо П —> оо
ва III пределов последовательностей в п. 4.3, существует та- х lim — =
П оо У п
123


кои номер п0, что для всех номеров п > п0 выполняется неравенство уп > | >0 (действительно, | < Ь, здесь используется
L х АХ 1/2
предположение, что b > 0); поэтому при п > п0 имеем — < -
У п 0
(Уп* 0, поэтому на него можно делить).
Далее
Здесь 0 <
а _ а + а
■ Ъ ~ FTp; Ъ
1 _ 1 b(b + ₽„) Ьуп
&(& + рд) - М- (4-4°)
2
~2 , т. е. последовательность
^F|p-j,n = n0+l,n0 + 2,...
, ограничена (отсюда, конечно,
следует, что эта последовательность ограничена и при всех п= 1, 2, ...).
Согласно свойствам бесконечно малых последовательностей, последовательность {апЬ - $па} является бесконечно ма¬
лой, поэтому и последовательность {&(& + ₽„/а,г&
бес¬
конечно малая. В силу этого, из равенства (4.40) следует, что
а
Ъ
lim
п оо
Уп
lim хп
п —> ОО
lim уп •
/г —> оо
Аналогично рассматривается случай, когда Ъ < 0. □
Замечание 1. В случае последовательностей, имеющих бесконечные пределы, утверждения, аналогичные свойствам 2°—4°, вообще говоря, не имеют места. Например, пусть хп = п + 1, уп = n, п = 1, 2, ...; тогда
lim хп = lim уп =+°о и lim (хп~уп) = 1. п п п —>00
Если х„ = 2n, у„ = n, п = 1, 2, ... , то
П 7 П 7 77 7
lim хп = lim уп =+°° и lim (хп - уп) = +°о.
П —> оо п —> оо п —> оо
Если же хп = п + sin -у, уп = n, п = 1, 2, ... , то lim = lim у„ = +°°, П п ’
П оо П —> оо
124


. n/t -I o
а последовательность xn- yn = sin -g-,n=l,2, ... ,не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.
Эти примеры показывают, что при одинаковых предположениях о последовательностях {хп} и {уп}9 имеющих бесконечные пределы, для последовательностей {хп - уп} могут встретиться самые разнообразные случаи. Вместе с тем отдельные обобщения свойств 2°—4° на случай последовательностей с бесконечными пределами все-таки имеют место. Например, если lim хп = +°° и lim уп = +°° (или lim уп конечен), п оо п п —> 00
то lim (хп + уп) = +°°, или если а > 0 и lim хп = +оо, то П —> оо П —> оо
lim ахп = a lim хп = +°° (рекомендуется доказать само- П —> оо П —> оо
стоятельно), что оправдывает операции, введенные для бесконечностей + ОО и -ОО в п. 3.1.
Замечание 2. Если разность {хп - уп} последовательностей {хп} и {г/п} является бесконечно малой, то они одновременно имеют или не имеют конечные пределы, причем если эти пределы существуют, то они равны.
В самом деле, пусть хп - уп = ап, п = 1, 2, ..., где lim ап = 0. Если существует конечный предел lim хп = а, п оо п —> ОО
то существует и конечный предел
lim у п = lim (хп - ап) = lim хп - lim ап = а. п п п п —>00
Последовательности {хп} и {у^ равноправны, поэтому утверждение доказано.
УПРАЖНЕНИЯ. 14. Доказать, что если разность {хп - уп} последовательностей {хп} и {уп} является бесконечно малой, то они одновременно имеют или не имеют бесконечные пределы, причем если эти пределы существуют, то они равны.
15. Доказать, что если lim хп = +°о, а последовательность {уп} ограни- /г —> оо
чена, то
Ит (хп + уп) = +оо.
п -» оо
125


Пример 1. Пусть а > 0, х0
> О и
def 1 < . а \ / л л^\
хп = 2 + —-J, п = 1, 2, ... . (4.41)
Докажем, что lim хп = Ja. По индукции сразу ясно, П -> оо
что хп > 0 для всех п = 0, 1, 2, ... . Более того, покажем, что
хп > л/а, п = 1, 2, ... . (4.42)
Для этого предварительно заметим, что из очевидного нера- 2 1
венства (t - 1) > 0 в случае t > 0 следует неравенство t + - >2.
Хп
Используя это неравенство при t = -= , в силу (4.41) получаем
%п + 1
n = 0, 1, 2, ... .
Покажем теперь, что последовательность хп9 п = 1, 2, ... , убывает. Применяя неравенство (4.42), получаем
%п + 1
71=1,2,
(4.43)
Итак, Ja < ... < хп + х < хп < ... < х19 где бы ни было расположено «нулевое приближение» х0 > 0, т. е. последовательность {хп} ограничена снизу и монотонно убывает, поэтому, согласно теореме 3, она имеет предел.
Пусть lim хп = х. Переходя к пределу в равенстве (4.41)
при п °°, получаем равенство х = 2 откуда х = а,
и так как хп > 0, то и х > 0, поэтому х = Ja .
Формула (4.41) может служить для приближенного вычисления значений квадратного корня из числа а. Ее действительно применяют с этой целью на практике.
126


Нетрудно подсчитать и точность, с которой n-е приближение, т. е. член хп, дает значение корня Ja .
Из рекуррентной формулы (4.41) имеем
= —(х2 - 2x„Ja + а) = —(х„ - Ja)2, п = 0, 1, 2, ... .
2хпv п п v 7 2хпv п v 7
Применяя неравенство (4.42), отсюда находим
Полученная оценка не совсем удобна на практике, поскольку мы не знаем значения корня Ja — мы его ищем. Однако всегда можно найти приближенно такое с, что 0 < с < Ja, причем можно выбрать и х0 > с, тогда из полученной оценки будем иметь
0 < ХП+ 1 - Ja < ^(хп~ ^)2’ п = о,1, 2, ...,
ИЛИ
^(х„ + 1- 7а)< Та)] , п = 0, 1, 2, ... .
Отсюда по индукции находим
j-c(xn - ^)]2
< [Й^-2-^))2]2 <••• < [i(x0-7-«)f • (4.44)
Если выбрать нулевое приближение х0 так, чтобы
<1 = |х0- 7а| < 1,
то из (4.44) получится, что
Г 2п
О < < 2cq , п = 1, 2, ... ,
т. е. последовательность (4.41) сходится к значению корня гораздо быстрее геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q < 1.
127


Для иллюстрации приближенного вычисления корня по формуле (4.41) приведем результаты вычисления на ЭВМ в случае, когда в качестве нулевого приближения х0 выбрано х0 = 1:
хг = 1,5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
х2 = 1,416666666666666666666666666666666666666666666666666666666666,
х3 = 1,41421568627450980392156862745098039215686274509803921568627, х4= 1,41421356237468991062629557889013491011655962211574404458490, х5 = 1,41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828, х6 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537723400156101, х7 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667.
Здесь полужирным шрифтом выделены числа, являющиеся правильным приближением с точностью до числа значащих цифр, входящих в выделенное число (эти цифры стабилизируются в процессе вычисления). Число правильных в этом смысле цифр удваивается (как это видно из таблицы) при переходе к следующему приближению: в хг имеется одна правильная цифра, в х2 — уже 3, в х3 — 6, в х4 — 12, в х5 — 24, в х6 — 48, а х7 дает уже правильное приближение с 60 значащими цифрами, т. е. со всеми использованными разрядами.
Заметим, что если число а > 0 таково, что корень из него вычисляется в конечном виде в том смысле, что существует такая конечная десятичная дробь х, что х2 = а, то эта дробь может быть найдена (во всяком случае, принципиально) с помощью классического метода извлечения корня «столбиком». В случае же извлечения корня из этого числа с помощью формулы (4.41), если х0 выбрано отличным от точного значения корня: х0 Ja, то указанное точное значение корня не получится ни на каком шаге. Это следует из того, что в случае х0 Ja последовательность (4.41) строго убывает: хп + 1< хп, п = 1, 2, ... .
Прежде чем рассматривать дальнейшие примеры, докажем следующее полезное неравенство.
128


ЛЕММА (неравенство Бернулли1)- Пусть а > О, тогда для любого натурального п справедливо неравенство
(1 + а)" > 1 + па. (4.45)
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
- хп 1 | | п(п — 1) 2 . . п
(1 + а) = 1 + па + —- а + ... + а .
Все слагаемые в правой части равенства положительны: отбросим все из них, кроме первого и второго, в результате правая часть может только уменьшиться и мы получим исходное неравенство (4.45). □
Вернемся к рассмотрению примеров.
Пример 2. Еслир > 1, то lim рп = +°°, а если 0 <р < 1,
П —> оо
то lim рп = 0.
П —> оо
Пусть сначалар > 1; тогдар = 1 + а, где а > 0, и, согласно неравенству Бернулли (см. (4.19)),
рп = (1 + а)п > 1 + па > па.
Так как lim ап = а lim п = +°о, а > 0, то и lim рп = +°о. Ес- П —> ОО п —> оо п —> оо
ли теперь 0<р<1,тод = ^ > 1 и
lim рп = lim — = —-— = 0, г п п 7
п -> °о п —>°°q lim q п —» оо
ибо, по доказанному, lim qn = +°°.
П —> оо
Пример 3. Для любого а > 0
limn1/ra = l, (4.46)
П —> ОО
lim а1/п= 1. (4.47)
П —> ОО
1 Я. Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик.
129


def /—
Пусть сначала а > 1, тогда b = nJa > 1. В самом деле, согласно определению корня, Ьп = а. Если b < 1, то, перемножив это неравенство п раз, мы получим, что а = bn < 1, но это противоречит условию а > 1. Положим
хп = пл/а - 1. (4.48)
Согласно сказанному, хп > 0. Из (4.48) следует, что а = = (1 + хп)п. Применив неравенство Бернулли, получим
а = (1 + хп)п > 1 + пхп > пхп.
Следовательно, 0 < хп < - , поэтому lim хп = 0; откуда, со- П П оо
гласно (4.48),
lim пл/а = 1.
п оо
Если теперь 0 < а < 1, то Ъ > 1, и так как, в силу доказанного, lim nJb = 1, то п оо
lim nJa = lim nil = lim — = —-— = 1.
nоо lim nJb
n °°
Если a = 1, to nJa = 1, n = 1, 2, ... , и, следовательно, также lim nJa = 1.
n oo
Таким образом, (4.46) доказано при любом а > 0. Отсюда сразу следует (4.47):
lim а
П^оо
-\!п
lim =
1 оои
-—= 1. □ lim а1"1
Пример 4.
lim = 0, а , ч п\
0.
Действительно,
пусть nQ € N таково,
а что — п0
I 1
(4.49)
1 гл
£. Тогда
при всех п > Пц справедливо неравенство - < , поэтому
П /1 \П — Пп
а _ а а а а а Aly 0
п\ п0!п0 + 1^о + 2 *** п no’ )
130


a fl\n~n° 2 а (Т\п Заметив, что lim —, I = ——— lim I = 0, получим
n —> oo П0‘ ' П0‘ n —> oo v '
Равенство (4.49) можно доказать и иначе. Рассмотрим п а а
последовательность хп = •; тогда хп+ х= хпп + ± и ПРИ
п + 1 > а выполняется неравенство хп + 1< хп. т. е. начиная с некоторого номера последовательность {хп} убывает. Кроме того, при всех п е N имеет место неравенство хп > 0, поэтому эта последовательность ограничена снизу и, следовательно, имеет конечный предел. Пусть х = lim хп. Переходя к пре-
п оо
а
делу при п °° в равенстве хп + 1 = хпп + ± , получим
х = lim хп + х= lim хп lim 1 = х • 0 = 0, п^ооП±Х-
т. е. снова имеем (4.49).
Пример 5. lim nJn\ = +°°. (4.50)
п оо
При любом а > 0 имеет место равенство (4.49), поэтому для любого а > 0 существует такое па € 7V, что для всех п > па выполняется неравенство
т. е. при п > па имеет место nJn\ > а, и так как а > 0 произвольно, то это и означает справедливость равенства (4.50).
Пример 6. lim fl + + ... + ^ = е. (4.51)
п —> ' П''
Напомним (см. п. 4.5), что число е является пределом последовательности
x„=[1 + ip« = 1,2,
т. е.
lim хп = е. (4.52)
п оо 131


причем в силу строгого возрастания последовательности {хп} имеет место неравенство
хп<е. (4.53)
Положим
- 1 1 1 1  *
Sn ~ 1 + 1! + 2! + •" + п\ •
Было показано (см. (4.28)), что
xn<sn, п = 1, 2, ... . (4.54)
С другой стороны, зафиксировав в формуле (4.27) произвольное > 1 и выбрав п > k, отбросим в правой части равенства (4.27) все слагаемые начиная с (k + 2)-го. В результате получим неравенство
Перейдя в этом неравенстве к пределу при п °° и фиксированном k и заметив, что правая часть имеет своим пределом sk, получим, в силу (4.52), неравенство
e>sk, /?=1,2, .... (4.55)
Объединив (4.54) и (4.55), получим
хп < sn е’ п = 1, 2, ... .
Отсюда, согласно (4.52), непосредственно следует, что lim sn = е, т. е. равенство (4.51).
п оо
Замечание. Для приближенного вычисления числа е формула е ~ 11 + - I не очень удобна, так как при переходе от п к п + 1 приходится все вычисления производить заново. Приближенная формула е ~ sn более удобна для числовых расчетов, ибо при переходе от п к п + 1 надо к уже найденно-
1
му значению sn прибавить число -——тр- :
\П т 1).
1
sn + l Sn + („ + 1)1 ’
132


т. е. проделанные при нахож- , >
дении значения sn вычисления , , ,
не пропадают зря. Кроме то- ао а а0 +1
го, в этом случае легко уста- 13
повить и оценку погрешности при замене числа е на значе¬
ние суммы sn. (Это будет сделано в п. 34.14 , пример 4.)
УПРАЖНЕНИЕ 16. Положим а0 > О, Ь{) > 0, ап= Jan _ 1bfl_ г , bn = = П ~ 1 2—9 п= 1’ ’ Доказать’ что последовательности {ап} и {Ьп}
п / 1^0 -«о|
стремятся к одному и тому же пределу а и что 0 ч а - ап ч 11, 2п
о < - а < .
2п
4.10. 	Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями
Пусть задано какое-либо число а, для определенности а > 0. Согласно принципу Архимеда, существует целое число nQ > а. Среди чисел п = 1, 2, ... , п0 возьмем наименьшее, обладающее свойством п > а, и обозначим его осо + 1, тогда осо < а < <а0 + 1.
Разобьем отрезок /0 = [а0; а0 + 1] на десять равных отрезков, т. е. рассмотрим отрезки [а0, 04; а0, ах + , где
а0, о^ — десятичная дробь, причем о^ обозначает порядковый номер отрезка, содержащего число а и получившегося при разбиении отрезка /0 на десять равных отрезков при последовательной их нумерации слева направо числами 0, 1, 2, ... ..., 9. В качестве разделительного знака между концами отрезков будем употрелять здесь не запятую, как обычно, а точку с запятой, чтобы отличать этот знак от запятой в десятичной дроби.
Возможны два случая: либо точка а не совпадает ни с одной точкой деления (рис. 13), либо точка а совпадает с одной
133


осо = а осо + 1 осо а осо + 1
Рис. 14 Рис. 15
из точек деления (рис. 14, 15). В первом случае точка а принадлежит только одному из этих отрезков. Обозначим его /1, т. е. 1Х = [а0, (Хр а0, о^ + . Во втором случае точка а мо¬
жет принадлежать двум соседним отрезкам (рис. 15). Тогда через = ^а0, otp а0, о^ + обозначим тот из них, для которого точка а является левым концом. В обоих случаях а € 1г. Разобьем отрезок /р в свою очередь, на десять равных отрезков и через 12 = [а0, ос1а2> ^0, ^1^2 + ^2] обозначим тот из получившихся отрезков, который содержит а и для которого точка а не является правым концом. Продолжив этот процесс, получим систему вложенных отрезков
1п = anY п = °, 1, 2> ••• > где
—п ^0’ ^1^2*** ’ «0^ ^1^2' • ’
а ап — одна из цифр 0,1,2,...,9. Каждый из отрезков 1п содержит а, причем а не является его правым концом,
a£ln, ап, п = 0, 1, 2, ...;
длина отрезка 1п равна 10 п и, следовательно, стремится к нулю при п 00.
Конечные десятичные дроби ап и ап называются десятичными дробями, приближающими число а. Более точно, число ап называется нижним десятичным приближением порядка п. а число ап — верхним десятичным приближением того же порядка числа а. Они обладают следующими свойствами, непосредственно вытекающими из их определения:
ап < а < ап. (4.56)
+ + (4-57)
a„-an = 10~n. (4.58)
134


В том случае, если а < 0, полагая b = -а, определяем
«П = -Ьп, ап = -Ъп,
при этом свойства (4.56)—(4.58), очевидно, сохраняются, лишь в неравенстве (4.56) знаки < и < поменяются местами.
Свойство (4.57) означает, что отрезки [ап, ап] образуют вложенную систему отрезков. Из свойства (4.58) следует, что длины отрезков [ап, ап] стремятся к нулю. Наконец, (4.56) означает, что точка а принадлежит всем этим отрезкам, поэтому, согласно замечанию 2 п. 4.5, она является пределом их концов ап и ап.
Итак, в частности, доказана следующая лемма.
ЛЕММА Л. Каково бы ни было число а, последовательность {ап} возрастает, последовательность {ап} убывает и
lim ап = lim ап = а. п оо П —> оо
СЛЕДСТВИЕ. Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.
Следствие леммы вытекает из того, что ап и ап суть рациональные числа.
Пусть теперь снова а > 0 и ап = осо, а1а2---°сп- Поставим в соответствие числу а бесконечную десятичную дробь а0, а1а2...ап... . Подчеркнем, что здесь а0 является неотрицательным целым числом, а ап, п= 1, 2, ... , — одной из цифр 0, 1, 2, ..., 9. Число а является единственным числом, принадлежащим всем отрезкам In, п = 1, 2, ... , поэтому при указанном соответствии разным числам соответствуют разные десятичные дроби, т. е. отличающиеся хотя бы одним ak (k = 0, 1, 2, ...).
Заметим далее, что при таком построении не может получиться дробь с периодом, состоящим из одной цифры 9. Действительно, пусть числу а соответствует следующая дробь: а0, аР..аПо 9...9... , где в случае п0 0 выполняется неравенство 9. Тогда, согласно построению,
а е [а0, ах... a„Q9... 9; а0, ах... anJ
135


для всех п > Пц, где п — число десятичных знаков после запятой в дроби а0, ар ... 9 ... 9. Отсюда следует, что а яв¬
ляется правым концом всех отрезков In, п > nQ9 что противоречит выбору этих отрезков.
Таким образом, в силу установленного соответствия каждому действительному числу а > О соответствует некоторая бесконечная десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одной цифры 9. Такие десятичные дроби называются допустимыми.
Наконец, каждая бесконечная допустимая десятичная дробь осо, ар ос2 ... осп ... в результате описанного соответствия оказывается поставленной в соответствие некоторому числу а, а именно тому единственному числу, которое принадлежит всем отрезкам:
[а0, ах...ап; а0, ах... ап + , п=1,2, ....
Это соответствие можно распространить и на отрицательные числа: если числу а > 0 соответствует дробь осо, ... ап ... , то числу -а поставим в соответствие дробь -осо, ... ап ... , которую также будем называть допустимой.
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 6. Между множеством всех действительных чисел и множеством допустимых десятичных дробей существует взаимно однозначное соответствие; причем если при этом соответствии числу а соответствует дробь ±а0, «^2 ... осп ... , то
lim ±ос0, «^2 ••• ап = а-
Бесконечная десятичная дробь ±осо, о^с^.-.о^... , соответствующая числу а, называется его десятичной записью и используется для его обозначения; поэтому пишут
а = ±а0, аха2 ... ... .
Если бесконечная десятичная дробь имеет период, состоящий только из нулей: осо, ... оспО 0 ... О ... , причем ап 0, то говорят, что эта дробь имеет п значащих цифр после запятой; при этом обычно нуль в периоде не пишется, 136


т. е. указанное число записывается конечной десятичной дробью а0, а1а2---°сп (именно такая запись и употреблялась выше).
Замечание 1. Любой бесконечной десятичной дроби а0, «^2 ••• ап ••• (не обязательно допустимой) можно также естественным образом поставить в соответствие единственное действительное число, принадлежащее всем отрезкам:
[а0, ар ... , а„; а0, а15..., а„ + ^] .
Однако получившееся при этом соответствие уже не является взаимно однозначным: имеются разные бесконечные десятичные дроби, которым соответствует одно и то же действительное число. Именно дробям вида
а0, a^... ап 99...9... и а0, аха2... (ап + 1) 0 0...0... (ап 9) соответствует одно и то же число. В описанной выше конструкции соответствия действительных чисел и бесконечных десятичных дробей мы получили бы не только допустимые десятичные дроби, если бы отказались от условия каждый раз выбирать такой отрезок 1п, что число а не является его правым концом.
Используя запись действительных чисел, с помощью бесконечных десятичных дробей можно получить правило для их сравнения по величине и правила арифметических действий над ними. И то и другое сводится к аналогичным операциям над соответствующими их десятичными приближениями и, быть может, предельному переходу. Сформулируем эти результаты в виде лемм.
ЛЕ М М А 2. Пусть а иЪ — действительные числа. Тогда а < Ъ в том и только в том случае, когда существует такое натуральное nQ, что для всех п > п0 имеет место неравенство
ап < Ъп.
Доказательство. Пусть а < Ь. Из lim ап = a, lim bn = Ь, п оо П —> оо
согласно свойству III пределов последовательностей (см. п. 4.3), сразу следует существование требуемого номера п0, 137


т. е. такого, что для всех номеров п > п0 выполняется неравенство ап < Ьп.
Обратно: если указанный номер п0 существует, то случай а > Ъ невозможен в силу только что доказанного. Невозможен и случай а = Ь, так как тогда бы, в силу однозначности записи чисел с помощью допустимых десятичных дробей, для всех п = 1, 2, ... имело бы место равенство ап = Ъп. Следовательно, а < Ъ. □
ЛЕММА 3.Пусть а и Ъ — два действительных числа, тогда
lim (ап + йп) = а + Ъ, lim (ап - Ьп) = а - Ь, п оо п —> ОО
1 lim апЪп= аЪ,
а при Ъ О
Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из леммы 1 и свойств пределов, связанных с арифметическими действиями над последовательностями (см. п. 4.9).
Замечание 2. Из леммы 3 следует, что, для того чтобы произвести с заданной степенью точности какое-либо арифметическое действие над числами, записанными в виде допустимых десятичных дробей, надо взять с достаточной точностью конечные десятичные приближения и выполнить соответствующие действия. При этом при сложении, вычитании и умножении в результате получается снова конечная десятичная дробь. В случае же деления частное двух конечных десятичных дробей будет, вообще говоря, бесконечной десятичной дробью, причем, как это известно из элементарной математики, периодической. Однако и в этом случае можно с любой степенью точности получить результат, выраженный конечной десятичной дробью. Например, если является нижним десятичным приближением по- zU Л
рядка п для частного | , то
\ -п , lim | ^ ] = £ (4.59)
71 —> °о & 1 Ъ 138


и, следовательно, частное а/й, Ъ 0, можно с любой степенью точности выразить с помощью конечных десятичных /д \
дробей вида ^ ] •
\ -п ft
Для доказательства равенства (4.59) положим
а = L« -1.
п ьп ъ>
в силу леммы 3, имеем (см. лемму в п. 4.9) lim ап = 0. Те- п оо
перь, используя (4.56) и (4.58), получаем
И, поскольку lim Г— + = 0, равенство (4.59) доказано. □
Замечание 3. В результате указанных выше вычислений с нижними десятичными приближениями порядка п в случае сложения ап + Ьп, вычитания ап - Ьп и деления (ап/&п) мы снова получим конечные десятичные дроби с не более чем п значащими цифрами после запятой. При умножении же апЬп получается, вообще говоря, десятичная дробь с 2п значащими цифрами после запятой. Если яв-
ляется нижним десятичным приближением произведения то аналогично (4.59) доказывается, что
lim = ab.
П ОО п
Таким образом, при приближенных вычислениях сумм а + й, разностей а - й, произведений ab и частных а/b, й 0, соответственно по формулам
«П + Ьп, ап - Ъп, (апЬп)п и (ап/Ьп)„, в результате указанных действий над конечными десятичными дробями ап и Ьп, имеющими не более чем п значащих цифр после запятой, получаются снова десятичные дроби с не более чем п значащими цифрами после запятой, при этом результат может быть получен с любой заданной степенью 139


точности. Именно таким образом и выполняют обычно действия с числами на практике.
Замечание 4. Отметим, что при построении способа записи действительных чисел последовательностями цифр за основу было взято число 10 (отрезки последовательно делились на десять равных частей). Вместо числа 10 можно взять любое натуральное число п. При использовании быстродействующих вычислительных машин часто употребляется так называемая двоичная система записи чисел, соответствующая случаю п = 2. При записи числа в двоичной системе участвуют только две цифры: 0 и 1. Например, число 14,625 в двоичной системе имеет вид 1110,101. Действительно, заметив, что 14 = 23 + 22, 0,5 = 2 \ 0,125 = 2 3, получим
14,625 = 1 • 23 + 1 • 22 + 1 • 21 + 0 • 2° + 1 • 2-1 + 0 • 2-2 + 1 • 2“3, а цифры в двоичной системе записи числа являются соответствующими коэффициентами его разложения по степеням числа 2.
Аналогично теореме 6 доказывается, что между всеми действительными числами и всеми бесконечными двоичными дробями, не имеющими периода, состоящего только из одних единиц, существует взаимно однозначное соответствие.
Чтобы это доказать, надо последовательно делить отрезки [n, п + 1], п = 0, ±1, ±2, ... , не на десять частей, как это мы делали при доказательстве теоремы 6, а на два равных отрезка.
Замечание 5. При изложении теории действительных чисел можно рассуждать и в обратном порядке: определить действительные числа как бесконечные допустимые десятичные дроби и, используя эту запись, ввести в них соответствующим образом соотношение порядка и арифметические действия.
Существуют и другие способы построения действительных чисел, которые исходят из других конкретных объектов, однако все они приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих свойствам I—V п. 2.1. Напомним (см. п. 3.8 ), что свойства I—V однозначно определяют совокупность элементов, обладающих этими свойствами. Однозначно в том смысле, что любые две совокупности, для элементов которых выполнены условия I—V, изоморфны относительно операций сложения, умножения и свойства упорядоченности. Здесь мы 140


встречаемся с характерной чертой математических методов исследования, для которых совершенно безразлична природа элементов, а важны лишь «количественные связи» между ними, которые в данном случае выражаются свойствами I—V.
4.11*. Счетные и несчетные множества
Возникает естественный вопрос: все ли бесконечные множества содержат одинаковое число элементов или бесконечности бывают разными? Прежде всего оказывается непонятным, что вообще означает термин «одинаковое число элементов» для бесконечных множеств. Сравнение бесконечных множеств по количеству содержащихся в них элементов, или, как принято говорить, по их мощности, удобно выполнять с помощью понятия взаимно однозначного соответствия между элементами множеств (см. п. 1.2 ).
Определение 17. Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
С этой точки зрения натуральные числа 1, 2, ... , п, ... образуют множество, равномощное множеству четных чисел 2, 4, ... , 2п, ... , хотя на первый взгляд последних кажется в два раза меньше. Требуемое взаимно однозначное соответствие получается, если натуральному числу п поставить в соответствие число 2п, п = 1, 2, ... .
Четные числа составляют часть множества натуральных чисел, однако эти множества равномощны, следовательно, в случае бесконечных множеств часть может быть равна в нашем смысле целому!
Определение 18. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным.
Таким образом, если X счетно, то между множеством X и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы множества X, понимая под номером каждого элемента х € X соответствующее ему при указанном соответствии натуральное число.
Счетные множества являются в определенном смысле простейшими бесконечными множествами. Именно, справедлива следующая лемма.
141


ЛЕММА 1. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Доказательство. Действительно, пусть X— бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим его Хр В силу того, что X — бесконечное множество, в нем заведомо имеется хотя бы один элемент, отличный от элемента хР Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим его х2.
Пусть в множестве X уже выбраны элементы х19 ... , хп. Так как X — бесконечное множество, то в нем заведомо есть еще и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через хп+ ± и т. д. В результате мы получили элементы хп € X, п = 1, 2, ... , которые образуют счетное подмножество множества X.
ЛЕММА 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Доказательство. Пусть X — счетное множество, его элементы могут быть перенумерованы: Х= {ар а2, ... , ап, ...}. Пусть Y — бесконечное подмножество множества X. Обозначим через Ьг первый встретившийся в ряде ар а2, ... , ап, ... элемент множества У, т. е. тот из элементов ап € X, который принадлежит множеству Y и имеет наименьший номер п0: &1 = ап^. Через Ь2 обозначим тот из элементов ап, который принадлежит множеству Y и имеет наименьший номер среди номеров п > nQ и т. д. Каждый элемент множества Y имеется в ряде ар а2, ... , ап, ... , поэтому через какое-то конечное число шагов он будет обозначен через и так как множество Y бесконечно, то индекс т примет любое значение 1, 2, 3, ... . Таким образом, все элементы множества Y окажутся занумерованными натуральными числами т = 1, 2, ... . Это и означает, что множество Y является счетным множеством. □
Следующая теорема дает интересный пример счетного множества.
ТЕОРЕМА 7. Множество всех рациональных чисел счетно. Доказательство. Расположим рациональные числа в таблицу следующим способом. В первую строчку поместим все целые числа в порядке возрастания их абсолютной величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное:
О, 1, -1, 2, ... , п, -п, ... , п е N.
142


Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной величине, причем снова за каждым положительным числом поставим ему противоположное:
1 	1 3 3 5 5
2’ 2’ 2’ 2’ 2’ 2 *
Вообще, в n-ю строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем п, упорядоченные по их абсолютной величине, и так, что за каждым положительным числом следует ему противоположное. В результате получим таблицу с бесконечным числом строк и столбцов:
0-112 -2...
1 _1 3 3 5
2 2 2 2 2”’
1 _1 2 _2 4
3 3 3 3 З’”
1 _1
п п
Очевидно, что каждое рациональное число попадает на какое-то место в этой таблице.
Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов, стрелки указывают направление ну¬
мерации):
В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т. е. множество Q рациональных чисел счетно. □
Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконечные множества, не являющиеся счетными? Оказывается, что да, существуют, и они называются, естественно, не143


счетными множествами. Важный пример несчетных множеств устанавливается следующей ниже теоремой.
ТЕОРЕМА 8 (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел несчетно.
Доказательство. Допустим противное: пусть удалось занумеровать все действительные числа: х19 х2, ... , хп. ...; запишем их с помощью допустимых десятичных дробей:
(1) (i) (i) (i)
(2) (2) (2) (2)
x2 = d^ . dx d2 ... d^
(4.60)
(п) (п) (п) (п)
xn = d^\ оС/оС/ ... dj
Здесь n = 1, 2, ... , m = 1, 2, ... , обозначает одну из цифр 0, 1, 2, ... , 9, a oc(q\ п = 1, 2, ... , — целое число с тем или иным знаком. Выберем цифру ocn, п = 1, 2, ... , так, чтобы
(Х^ и ап 9. Тогда дробь 0, ага2 ... ап ... является допустимой, но числа а = 0, а^2 ... ап ... заведомо нет среди чисел хп. п = 1, ... , 2, ... , так как десятичная дробь 0, а15 осп ...
хотя бы одним десятичным знаком отличается от каждой из десятичных дробей (4.60). Полученное противоречие и доказывает теорему. □
СЛЕДСТВИЕ 1. Множество действительных чисел, образующих любой интервал, несчетно.
Доказательство. Покажем, что, более того, множество действительных чисел любого интервала равномощно множеству всех действительных чисел.
В самом деле, прежде всего любой интервал равномощен интервалу (-1, +1). Взаимно однозначное соответствие между интервалом (а. Ь) и интервалом (-1, +1) можно установить, например, с помощью линейного отображения х = = аа Ь• Если а < t < Ъ. то -1 < х < +1. Интервал (-1, +1) взаимно однозначно с помощью отображения
^Х)=1ЯМ’
отображается на всю действительную ось (проверьте это). Таким образом оказывается, что интервал (а. Ь) равномощен
144


Рис. 16
ш *-
Рис. 17
всей действительной оси и, следовательно, является несчетным множеством. □
Взаимно однозначное соответствие между интервалом и всей прямой можно наглядно осуществить геометрическим методом: сначала спроецируем открытую полуокружность, т. е. полуокружность без концевых точек, с помощью параллельной проекции на интервал (рис. 16) и тем самым установим между их точками взаимно однозначное соответствие. Затем с помощью центральной проекции из центра полуокружности спроецируем ее на прямую (рис. 17). Эта проекция также устанавливает взаимно однозначное соответствие, но на этот раз между полуокружностью и всей прямой.
СЛЕДСТВИЕ 2. На любом интервале имеются иррациональные числа.
Доказательство. Действительно, если бы на некотором интервале не оказалось иррационального числа, то это означало бы, что все точки этого интервала являются рациональными числами, т. е. подмножеством счетного множества рациональных чисел, и, значит, образуют конечное, или счетное, множество (см. лемму 2), что противоречит следствию 1. □
Замечание. В п. 4.10 доказано, что действительное число есть предел последовательности рациональных чисел (например, своих верхних десятичных приближений). Отсюда сразу следует, что всякий интервал содержит бесконечно много рациональных чисел. В самом деле, пусть задан интервал (а, Ъ). Выберем какое-либо число € (а, 5), например = а • Пусть для определенности > 0. Тогда если
п = 1, 2, ... , — верхние десятичные приближения для то из определения верхних десятичных приближений (см. п. 4.10) следует, что среди чисел имеется бесконечно много раз-
745


личных между собой и что lim Интервал (а, Ь) явля-
п оо
ется окрестностью выбранной точки поэтому, согласно определению предела последовательности, почти все рациональные числа п содержатся в этом интервале. Иначе говоря, найдется такой номер п0, что для всех номеров п > nQ будет выполняться неравенство а < п < Ь, т. е. п, п = n0 + 1, п0 + 2, ... , — искомые рациональные числа.
Таким образом, на любом интервале числовой оси содержатся как рациональные, так и иррациональные числа. Это свойство кратко выражают, говоря, что «рациональные и иррациональные числа образуют всюду плотные подмножества множества действительных чисел».
УПРАЖНЕНИЕ 17. Доказать, что множества точек интервала, отрезка и полуинтервала равномощны.
Метод, которым была доказана счетность рациональных чисел, позволяет доказать следующее предложение.
ТЕОРЕМА 9. Сумма конечного или счетного множества непустых конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.
Доказательство. Обозначим через Nn множество номеров рациональных чисел, попавших в n-ю строку при нумерации рациональных чисел, изображенной на схеме на
с. 143. Тогда N = U N„ является представлением множе- п = 1
ства натуральных чисел в виде объединения счетного множества попарно не пересекающихся счетных множеств.
Если Хп, п = 1, 2, ... , — конечные или счетные множества, то множества
п - 1
Ух = X., y2 = x2\xlf..., у„ = хп\ и xk,...
k = 1
попарно не пересекаются и
dpf 00 00
X = и V = и Y„. п = 1 п п=1 п
Каждое из множеств Хп конечно или счетно, следовательно, и каждое множество Yn конечно или счетно. Поэтому для каждого п = 1, 2, ... существует взаимно однозначное 146


соответствие между элементами множества Yn и некоторым подмножеством Ап <= Nn. В силу же того, что множества Yn попарно не пересекаются, это соответствие порождает взаимно однозначное соответствие между множествами
оо оо
Х= и Y„ и и A„^N. п=1 п п=1 п
Согласно лемме 2, множество U А„ конечно или счет- п = 1 но, как подмножество счетного множества. Следовательно, конечно или счетно множество X. □
Из этой теоремы вытекает следующее утверждение. ТЕОРЕМА 10. Множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно.
С ЛЕ ДСТ В И Е. Множество всевозможных конечных размещений из элементов счетного множества является счетным.
Доказательство. Пусть X — счетное множество и х19 х2, ... , хп9 ... — все его элементы. Очевидно, что множество всех его подмножеств, состоящих из одного элемента: {xj, {х2}, ... , {хп}, ... , является счетным множеством. Пусть уже доказано, что множество всех подмножеств множества X, состоящее из т элементов, m > 1, счетно. Обозначим эти подмножества Х^ , п = 1, 2, ... . Если для каждого п = 1, 2, ... к множеству Х^ поочередно добавлять по одному не принадлежащему ему элементу множества X, то получится счетное множество множеств, которые будем обозначать через X^k, k = 1, 2, ... . Совокупность всех множеств X^k, n = 1, 2, ... , й = 1, 2, ... , составляет совокупность всех подмножеств множествах, состоящих из т + 1 элементов. Этих множеств при фиксированном п = 1, 2, ... счетное множество (индекс k принимает значения 1, 2, ...), следовательно, всего счетное множество счетных множеств, объединение которых, согласно теореме 9, также является счетным множеством.
Итак, для любого т= 1, 2, ... множество всех подмножеств множества X, состоящих из т элементов, счетно, а 147


тогда, согласно той же теореме 9, счетно и множество всех конечных подмножеств множества X. □
Докажем следствие. Чтобы получить всевозможные конечные размещения из элементов данного множества, надо во всех его конечных подмножествах сделать всевозможные перестановки элементов, которых для каждого такого подмножества конечное множество. Если исходное множество X было счетным, то, согласно теореме 10, множество всех его конечных подмножеств счетно, а поэтому множество всех конечных размещений из элементов множества X является счетной суммой конечных множеств и, следовательно, будет счетным. □
С помощью теоремы 10 легко устанавливается счетность множества всех алгебраических чисел, т. е. действительных чисел, являющихся корнями многочленов с целыми коэффициентами.
ТЕОРЕМА 11 (теорема Кантора). Множество всех алгебраических чисел счетно.
Доказательство. Каждый многочлен с целыми коэффициентами задается набором своих коэффициентов, т. е. в данном случае конечным множеством натуральных чисел, взятых в определенном порядке, т. е. некоторым конечным размещением натуральных чисел. Согласно следствию из теоремы 10, таких многочленов всего лишь счетное множество. Но каждый многочлен имеет лишь конечное множество действительных корней: их число не превышает степени многочлена. Следовательно, множество всех таких корней не более чем счетно (множества корней различных многочленов могут иметь непустое пересечение, поэтому нельзя еще утверждать счетность всего рассматриваемого множества корней). Однако каждое натуральное число является алгебраическим — оно является корнем уравнения х - п = 0. Поэтому алгебраические числа действительно составляют счетное множество. □
В теореме 10 не случайно рассматривались не все, а только конечные подмножества счетного множества. Для всех подмножеств справедливо другое утверждение.
ТЕОРЕМА 12. Множество всех подмножеств счетного множества несчетно.
148


Доказательство. Пусть X = {хр х2, ... , хп, ...} — счетное множество. Поставим в соответствие каждому его подмножеству Е функцию %£, определенную на множестве натуральных чисел и задаваемую следующим образом:
[ 1, если х„ е Е,
XE(n) = [ 0, если хп i Е (4,61)
(функция называется характеристической функцией множества Е). Это соответствие является взаимно однозначным между множеством всех подмножеств множества X и множеством всех функций, определенных на множестве натуральных чисел N и принимающих только значения 0 и
1. 	Каждой функции (4.61) поставим в соответствие действительное число, двоичная запись которого имеет вид
О, ЕрЕ2, ... ,гп, ... , (4.62)
где гп = 1, если %E(n) = 1, и гп = 0, если %Е(п) = 0. Это соответствие является взаимно однозначным соответствием между множеством всех функций (4.61) и множеством бесконечных двоичных дробей вида (4.62). Последнее множество содержит подмножество всевозможных дробей вида (4.62), не имеющих в периоде 1. Это подмножество находится во взаимно однозначном соответствии с несчетным множеством всех действительных чисел полуинтервала [0, 1). Поэтому множество двоичных дробей (4.62), как всякое множество, содержащее несчетное подмножество, также является несчетным. Следовательно, несчетным является и множество всех подмножеств счетного множества. □
Задача 6. Доказать, что для любого множества не существует взаимно однозначного соответствия между всеми его элементами и всеми его подмножествами.
4.12*. Верхний и нижний пределы последовательности
В п. 4.6 было показано, что любая числовая последовательность всегда имеет по крайней мере один частичный предел, конечный или бесконечный. Наибольший и наименьший из них (ниже будет показано, что они всегда существуют) игра149


ют особую роль в теории последовательностей. Здесь понятия «наибольший» и «наименьший» понимаются в смысле расширенного множества действительных чисел R (см. п. 3.1), т. е., в частности, наибольшим (наименьшим) элементом множества X <= R может оказаться +°° (соответственно -оо). Это имеет место тогда, когда +°° € X (-оо е X). В данном случае это будет означать, что бесконечность соответствующего знака является частичным пределом рассматриваемой последовательности.
Не всякое множество на расширенной числовой прямой имеет наибольший (наименьший) элемент. Однако если это множество является множеством частичных пределов некоторой последовательности, то, как это будет показано ниже, в нем всегда существуют наибольший и наименьший элементы.
Определение 19. Наибольший частичный предел последовательности {хп} называется ее верхним пределом и обозначается limxn, а наименьший частичный предел — ниж- П оо
ним пределом и обозначается lim
/2 —> °о
ТЕОРЕМА 13. У любой последовательности {хп} существует как наибольший, так и наименьший частичный предел.
Доказательство. Докажем существование наибольшего частичного предела. Для заданной последовательности {хп} возможны два случая: либо она ограничена сверху, либо нет. Если она не ограничена сверху, то положительная бесконечность +оо является ее частичным пределом и, очевидно, наибольшим, т. е. lim хп = +оо.
/2 —> оо
Если же последовательность {хп} ограничена сверху, то снова возможны два случая: либо множество ее конечных пределов, которое мы обозначим через А, не пусто, либо оно пусто. Рассмотрим сначала первый случай. Из ограниченности сверху данной последовательности {хп} следует и ограниченность сверху непустого множества А ее конечных частичных пределов. В силу этого, множество А имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что b = sup А является частичным пределом, т. е. что Ъ € А. Действительно, если 150


бы Ъ £ А, то существовало бы такое £ > О, что в интервале {Ъ - £, Ъ + £) содержалось бы лишь конечное число членов последовательности {хп} (в частности, ни одного) и поэтому (почему?) в этом интервале не было бы ни одного элемента А, что противоречит условию b = sup А.
Таким образом, Ъ € А и, следовательно, является наибольшим элементом множества А, поэтому Ъ = lim хп.
П^> оо
В оставшемся случае, т. е. когда последовательность {хп} ограничена сверху и множество ее конечных частичных пределов А пусто, то lim хп = (докажите это), т. е. в этом
П оо
случае множество ее частичных пределов состоит из одного элемента -°°, который тем самым является и наибольшим в этом множестве, т. е. здесь lim хп = lim х =
п 00 П -А оо п
Аналогично для любой последовательности доказывается и существование наименьшего (конечного или бесконечного) частичного предела. □
УПРАЖНЕНИЕ 18. Пусть х„ = — + 1 +L~1)" , п = 1, 2, .... Найти J п, п 2 ’ ’ ’
lim х . lim х . inf {х„}, sup {х„}.
П п —> оо п
ТЕОРЕМА 14.Для того чтобы число а было верхним пределом последовательности {хп}, необходимо и достаточно выполнение для любого числа £ > 0 совокупности следующих двух условий.
1. Существует номер п£ такой, что для всех номеров п> п£ справедливо неравенство хп < а + £.
2. Для любого номера п0 существует номер п {зависящий от £ и от nQ) такой, что п > п^и хп > а - £.
Условие 1 означает, что при любом фиксированном £ > О в последовательности {хп} существует лишь конечное число членов хп таких, что хп > а + £ (их номера не больше пД.
Условие же 2 означает, что при любом фиксированном £ > 0 в последовательности {хп} существует бесконечно много членов хп таких, что хп > а - £.
151


Доказательство необходимости. Пусть а = limхп и £ > О фиксировано. Если бы на полуинтервале [а + £, +оо) оказалось бесконечно много членов последовательности {хп}, то нашлась бы подпоследовательность {хп}, элементы которой принадлежат этому полуинтервалу и которая имеет конечный или бесконечный предел. Обозначим его через Ъ. Очевидно, Ъ > а + £ > а, что противоречит тому, что а — наибольший частичный предел последовательности. Условие 1 доказано.
Далее, верхний предел является и частичным пределом, следовательно, существует подпоследовательность {xnk} такая, что lim = а. Почти все члены последовательности П^оо Пк
{х„ } больше а - £ и, следовательно, существует бесконечно /г
много членов данной последовательности {хп}, больших, чем а - £. Условие 2 также доказано.
Доказательство достаточности. Пусть число а удовлетворяет условиям 1 и 2. Покажем, что тогда а является частичным пределом. Возьмем £= 1/й, k = 1, 2, ... . Для каждого натурального k существует номер nk такой, что хп^ > a - 1/k (согласно условию 2) и хп^ < а + 1/k (согласно условию 1). Так как для любого k множество элементов хп данной последовательности, для которых выполняются неравенства а - 1/k < хп < а + 1/k бесконечно, то номера nk можно последовательно (k = 1, 2, ...) выбрать так, чтобы nk < nk при k1 < k2. В результате мы получим подпоследовательность {xnk} данной последовательности {хп}. Из неравенства \а - хп | < I следует, что lim хп = а, k К 72 оо k
т. е. что а является частичным пределом последовательное- ти {хп}.
Покажем теперь, что число а является наибольшим частичным пределом. Действительно, если бы нашелся частичный предел b последовательности {хп} такой, что Ъ > а, то, 152


выбрав £ > О так, что а + £ < Ь, получим, что на промежутке (а + Е, +оо) будет находиться бесконечно много членов последовательности {хп} (а именно почти все члены подпоследовательности, сходящейся к Ь). Это противоречит условию 1. □
УПРАЖНЕНИЯ. 19. Доказать, что, для того чтобы последовательность имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов +ОО или -оо), необходимо и достаточно, чтобы lim х = lim хп .
п оо п а
п п —> ОО
20. Доказать, что
iiS (хп + уп) < iim + Ит уп .
п 00 /г—>°° п оо
21. Доказать, что
lim х = inf { sup хт} = lim { sup xm},
7 —> OO \ oo \
L n m > n n m > n
lim xn = sup{ inf xm} = lim { inf xm}. n oo n m > n n 00 m > n
§5-
Предел и непрерывность функций
5.1. 	Действительные функции
При изучении процессов реального мира (физических, химических, биологических, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с характеризующими их величинами, меняющимися в течение рассматриваемых процессов. При этом часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и изменение другой или даже, более того, изменение одной величины является причиной изменения другой. Взаимосвязные изменения числовых характеристик рассматриваемых величин приводят к их функциональной зависимости в соответствующих математических моделях. Поэтому понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и ее приложениях.
В данном курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного дейст153


вительного аргумента, т. е. функции f: X R, где X <= R и X 0. Независимые и зависимые переменные называются в этом случае действительными (вещественными) переменными. Затем появятся функции многих переменных, т. е. функции, определенные на некотором множестве элементов, каждый из которых представляет собой упорядоченную совокупность чисел. Будут также изучаться функции, принимающие комплексные значения, функции, аргументами которых являются комплексные числа, и другие функции более общей природы.
Отметим, что функции, принимающие числовые значения (действительные или комплексные) называются числовыми или скалярными.
Над функциями, принимающими числовые значения, можно производить различные арифметические операции. Если даны две числовые функции f и g, определенные на одном и том же множестве X, а с — некоторое число (или, как часто говорят, постоянное), то функция с/ определяется как функция, принимающая в каждой точке х € X значение cf(x); функция f + g — как функция, принимающая в каждой точке х € X значение f(x) + g(x); fg — как функция, в каждой точке принимающая значение f(x)g(x); наконец, f/g — как функция, в каждой точке х € X равная f(x)/g(x) (что, конечно, имеет смысл лишь при g(x) 0).
Числовая функция /, определенная на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция f ограничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М, что для каждого х Е X выполняется неравенство f(x) < М (соответственно f(x) > М).
Функция /, ограниченная на множестве X как сверху, так и снизу, называется просто ограниченной на этом множестве. Очевидно, что функция f ограничена на множестве X в том и только том случае, если существует такое число М > 0, что для каждого х € X выполняется неравенство |/(х)| < М.
Верхняя (нижняя) грань множества значений Уу числовой функции у = f(x), определенной на множестве X, называется верхней (нижней) гранью функции f и обозначается sup /, sup /, sup f(x) (inf /, inf /, inf f(x)).
X хе X X хе X
154


Более подробно это означает, что, например, X = sup /, если, во-первых, для каждого х Е X выполняется неравенство /(х) < X, и, во-вторых, для любого X < X существует такое Е X, что /(х^) > X. Индекс X у элемента множества X показывает, что он зависит от выбора числа X.
В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции может быть как конечной, так и бесконечной.
Согласно результатам п. 3.4, функция f ограничена сверху (снизу) на множестве X тогда и только тогда, когда она имеет на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.
УПРАЖНЕНИЯ. 1. Доказать, что если функция f не ограничена сверху (снизу) на отрезке [а, Ъ\, то существует такая последовательность точек хп Е Е [а, Ъ\, п = 1, 2, ... , что lim f(xn) = +°о (соответственно lim f(xn) = -оо).
/г —> оо /г —> оо
2. Доказать, что если функция не ограничена на отрезке, то существует точка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция не ограничена. Справедливо ли это утверждение для интервала?
3. Построить пример функции, определенной на отрезке и неограниченной на нем.
Будем говорить, что числовая функция /, определенная на множестве X, принимает в точке х0 Е X наибольшее значение (наименьшее), если f(x) < f(xQ) (соответственно f(x) > > f(xo)) для каждой точки х Е X. В этом случае будем писать /(х0) = max f или /(хо) = тах f (соответственно /(х0) = min f х х
или f(x0) = min f).
Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также ее максимальным (минимальным) значением. Максимальные и минимальные значения называются экстремальными.
Очевидно, что если функция f принимает в точке х0 наибольшее (наименьшее) значение, то /(х0) = sup f (соответственно /(х0) = inf f).
Отметим еще, что если заданы множества X, У и соответствие /, ставящее в соответствие каждому элементу множества X единственный элемент множества У, то этим функция /, определенная на множестве X и с множеством значений, содержащимся в множестве У, полностью определена. В частности, безразлично, какой буквой обозначить аргумент и 155


какой — значение функции. Так, при заданном указанном соответствии f записи у = Дх), х£Х, у tY и v = f(u), utX, v Е У, обозначают одно и то же. Например, у = loga х, х > О, и х = loga у, у > 0 обозначают одну и ту же функцию.
Сделаем в заключение еще одно замечание. В случае окрестности точки наряду с выражением «функция определена на окрестности» используется термин «функция определена в окрестности». В подобных выражениях предлоги «в» и «на» имеют одинаковый смысл.
5.2. 	Способы задания функций
В этой главе изучаются только действительные функции одной действительной переменной, т. е. такие функции /, что f: X Я, X Д, X 0. Поэтому остановимся здесь только на способах задания таких функций.
Прежде всего функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный пе-
2 I 2
реход. Например, у = ах + Ь, у = ах , у = sin х, у = 71 - х , у = 1 + 71g cos 2лх .
При этом всегда под функцией, заданной некоторой формулой, понимается функция, определенная на множестве всех тех действительных чисел, для которых, во-первых, указанная формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только действительные числа, причем окончательный результат вычислений для данного числа х из области определения рассматриваемой функции является ее значением в точке х. Так, областью существования функции Дх) = х. +
71 - х2 является интервал (-1, 1), хотя эта функция принимает действительные значения и на полупрямой х < -1 (при всех х < О она равна нулю, но при х < -1 значение корня J1 - х2 является существенно комплексным числом).
Отметим, что при таком определении действительные функции Дх) = х и Дх) = (л/х)2 имеют разные области определения: первая определена на множестве всех действитель- 156


пых чисел, а вторая — только на множестве всех неотрицательных.
Иногда функция задается с помощью нескольких формул, например
[ 2х для х > О, f(x) = л 0 для х = 0, (5.1)
[ х - 1 для х < 0.
Функция может быть задана также просто с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу х > 0 число 1, числу 0 — число 0, а каждому х < 0 — число -1. В результате получим функцию, определенную на всей числовой оси и принимающую три значения: 1, 0 и -1. Эта функция имеет специальное обозначение1 sign х и может быть записана с помощью нескольких формул:
f 1 для х > 0,
singx = <0 для х = 0, (5.2)
[ -1 для х < 0.
Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число нуль. Полученная функция называется функцией Дирихле2.
Отметим, что всякая формула является символической записью некоторого описанного ранее соответствия, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью формулы или с помощью описания соответствия; это различие чисто внешнее.
Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная функция, если для нее ввести специальное обозначение, может служить для определения других функций с помощью формул, включающих этот новый символ.
Если речь идет о действительных функциях одного действительного аргумента, то для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строятся графики функций на координатной плоскости (координатной называется плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат).
1 Signum (лат.) означает «знак».
2
Л. Дирихле (1805—1859) — немецкий математик.
157


Рис. 18 Рис. 19
Из общего определения графика функции (см. п. 1.2 ) следует, что график функции у = f(x) (х и у — числа, х € X) представляет собой множество точек (х, /(х)), х € X, на координатной плоскости переменных х и у.
Так, график функции (5.1) имеет вид, изображенный на рисунке 18, график функции sign х (см. формулы (5.2)) — на рисунке 19, а график функции у = 1 + 71g cos 2лх состоит из отдельных точек, соответствующих целым значениям аргумента х = 0, ± 1, ±2, ... , так как при остальных значениях аргумента выражение под знаком радикала принимает отрицательные значения (рис. 20).
Множество точек {(х, у): х € X, у > /(х)} называется надграфиком данной функции /, а множество {(х, у)', х € X, У f(x)} — ее подграфиком.
Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости. Правда, это задание будет приближенно, потому что измерение отрезков практически можно производить лишь с определенной степенью точности. Примерами графического задания функций, встречающимися на практике, могут служить, например, показания осциллографа.
Функцию можно задать еще с помощью таблиц, т. е. для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчетов. Примерами такого задания функций являются логарифмические таблицы тригонометрических функций. Само собой разумеется, 158


что функция, заданная с помощью таблицы, определена на конечном множестве точек.
Наконец, при проведении числовых расчетов на компьютерах функции задаются с помощью программ для их вычисления при нужных значениях аргумента или требуемые значения функции в готовом виде закладываются тем или иным способом в память компьютера.
Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.
Неявные функции. Пусть дано уравнение вида
F(x, у) = 0, (5.3)
т. е. задана функция F(x, у) двух действительных переменных х и у. и рассматриваются только такие пары х, у (если они существуют), для которых выполняется условие (5.3).
Пусть существует такое множество X, что для каждого х0 € X существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравнению F(xq, у) = 0. Обозначим одно из таких чисел через у$ и поставим его в соответствие числу х0 € X. В результате получим функцию /, определенную на множестве X и такую, что F(xQ, /(х0)) = 0 для всех х0 € X. В этом случае говорят, что функция f задается неявно уравнением (5.3). Одно и то же уравнение (5.3) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций.
Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (5.3), называются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых формулой, разрешенной относительно переменной у. т. е. формулой вида у = /(х).
Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции /\(х) = J1 - х2 и f2(x) = -J1 - х2 могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения х2 + у2 - 1 = 0 в том смысле, что они входят в совокупность функций, задаваемых этим уравнением.
Сложные функции. Напомним, что если заданы функции у = /(х) и z = F(y), причем область задания функции F содержит область значений функции /, то каждому х из области определения функции f естественным образом со159


ответствует z такое, что z = F(y). где у = f(x). Эта функция, определяемая соответствием z = ^[/(х)], называется, как известно, сложной функцией или композицией {суперпозицией) функции f и F и обозначается через т. е.
dpf
(F°/)(x) = F(f(x)).
Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания: может случиться, что одна и та же функция может быть задана как с помощью композиций каких-либо функций, так и без их помощи. Например, сложная функция z = 2У. у = log2 (1 + sin2 х), заданная с помощью суперпозиций показательной и логарифмической функций, может быть задана и без этой компо- -11-2 зиции: z = 1 + sin х.
Подобным образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся композицией более чем двух функций, например функцию w = sin lg fl + 4=1 можно рассматривать как композицию следующих функций:
1 -I. 1 Г
w = sm v. v = lg и, и = 1 + 2, z = - , у = aJx .
5.3. 	Элементарные функции и их классификация
Функции: постоянная у = с. с — константа, степенная у = ха, показательная у = ах (а > 0), логарифмическая у = loga х {а > 0, а 1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = = tg х, у = ctg х и обратные тригонометрические у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х — называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.
Под областью существования элементарной функции в соответствии с общим соглашением о функциях, заданных формулами (см. п. 5.2), обычно понимают множество всех действительных чисел х, для которых, во-первых, формула, 160


задающая рассматриваемую элементарную функцию, имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только действительные числа.
Выше рассмотренные функции, задаваемые формулами у = ах + Ь, у = ах2, у = J1 - х2, у = 1 + 71g cos 2лх, у = = sin In fl + у = Xt + Iх' (заметим, что |x| = Jx2 —
v 7i - x2
элементарная функция), являются элементарными функциями.
Элементарные функции обычно делят на следующие классы.
1. Многочлены (полином ы). К многочленам относятся функции, которые могут быть заданы формулами вида
у = Рп(х) = а0 + агх + ... + апхп = Е akxk.
/? = о
Числа а0, ... , ап называются коэффициентами много¬
члена
Если ап 0, то число п называется степенью данного многочлена. Многочлены первой степени называются также линейными функциями. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым многочленом.
Степень многочленов обладает тем свойством, что при перемножении ненулевых многочленов степень произведения равна сумме степеней сомножителей. Чтобы это свойство сохранялось и при умножении на нулевой многочлен, степень нулевого многочлена принимают равной минус бесконечности -оо и для любого действительного числа х по определению считают (см. п. 3.1), что его сумма с равна +
+ х = -о°, и что (-о°) + (_о°) = -°°. В результате этих соглашений степень произведения многочленов, из которых по крайней мере один нулевой, оказывается равной т. е. сумме степеней сомножителей.
2. Рациональные функции (рациональные д р о б и). К этому классу относятся функции, которые могут быть заданы в виде
Р(х) 161


где Р(х) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) ненулевой многочлен.
Заметим, что класс многочленов содержится в классе рациональных функций.
3. Иррациональные функции. Иррациональ¬
ной называется функция, не являющаяся рациональной, которая может быть задана с помощью композиций конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий. Например, функция у = - 1)/(х1  2 + л/х) является
иррациональной функцией.
4. Трансцендентные функции. Элементарные функции, не являющиеся ни рациональными, ни иррациональными, называются трансцендентными элементарными функциями. Можно показать, что все прямые и обратные тригонометрические функции и показательная и логарифмическая функции являются трансцендентными функциями.
В данном курсе анализа изучаются в основном действительные функции от одного или нескольких действительных аргументов, поэтому вместо «действительная функция» будем говорить и писать просто «функция». В тех случаях, когда будут рассматриваться функции другой природы, это будет специально оговариваться или ясно из контекста.
5.4. 	Первое определение предела функции
Перейдем теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа — понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удаленные, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей оо, +оо или -оо. Дадим сначала определение предела функции f :Х R, X R в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне1.
Определенней. Точка а называется пределом функции f : X R в точке х0 (или, что то же, при х xQ), если
1 Г. Гейне (1821—1881) — немецкий математик.
2 Запись «при х Хц» читается: «при х, стремящемся к х0».
162


для любой последовательности хп € X, п = 1, 2, ... , имеющей своим пределом точку х0, тп. е. такой, что
lim хп = х0, (5.4)
п оо
последовательность {f(xn)} имеет своим пределом точку а, т. е.
lim f(xn) = а. (5.5)
п оо
В том случае, когда а является пределом функции f в точке х0, пишут
lim /(х) = а или f(x) а при х х0,
а если х0 — число: х0 € R, то иногда пишут также lim /(х) = а.
х - Хц О
В символической форме определение предела функции записывается следующим образом:
Т \ def
hm f(x) = а
X Xq
def
<^> {V х„ е X, п = 1, 2, ... , lim х„ = хп => lim Дх„) = а}. а X оо и и п оо "
Подчеркнем, что в определении 1 х0 и а могут быть как действительными числами, так и бесконечностями: оо, +оо и -оо. Если Jnn /(х) = а и а — действительное число, то говорят, что в точке х0 функция f имеет конечный предел (равный а).
Определение предела при заданной функции f : X R содержательно, конечно, только тогда, когда для точки х0 действительно существуют последовательности точек хп € X, п = 1, 2, ... , имеющие своим пределом (конечным или бесконечным) точку х0: ^lin^x^ = х0.
Определение 2. Пусть X <= R. Точка х0, для которой существует последовательность хп € X. п = 1, 2, ... , имеющая своим пределом точку х0,
lim х„ = Хп (5.6)
называется точкой прикосновения множества X.
163


Если точка прикосновения х0 множества X является одной из бесконечностей оо, +оо или то она называется также и бесконечно удаленной точкой прикосновения. Очевидно, что если Xq = о° — бесконечно удаленная точка прикосновения множества X, то оно не ограничено, если х0 = +°° (х0 = -оо) является бесконечно удаленной точкой прикосновения множества X, то оно не ограничено сверху (снизу).
Очевидно, что любая точка х0, принадлежащая самому множеству X, является его точкой прикосновения, так как стационарная последовательность хп = xQ € X, п= 1, 2, ... , удовлетворяет условиям определения 2: lim хп = х0 и хп€ X, п = 1, 2, ... . Но, безусловно, у множеств могут существовать и конечные точки прикосновения, не принадлежащие этим множествам. Так, например, точки х = а и х = Ъ являются точками прикосновения интервала (а, Ь) и не содержатся в нем.
УПРАЖНЕНИЕ 4. Доказать, что если точка х0 является точкой прикосновения множества X и X Y R, то точка х0 является и точкой прикосновения множества Y.
Замечание 1. Нетрудно убедиться, что некоторая точка является точкой прикосновения данного множества тогда и только тогда, когда любая ее окрестность пересекается с этим множеством.
Действительно, если х0 — точка прикосновения множества X, то существует такая последовательность хп € X, п = = 1, 2, ... , что lim хп = Xq и, следовательно, в любую ок- п оо
рестность точки х0 попадут все члены этой последовательности начиная с некоторого номера (а они являются точками множества X).
Наоборот, если в любой окрестности точки х0 имеются точки множествах, то, выбрав для каждого натурального п какую-либо точку в непустом по условию пересечения X A U^Xq, “ и обозначив ее через хп, т. е.
хп е X A J7pr0, п = 1, 2, ... ,
164


получим такую последовательность {хп}, что хп х0 (см. замечание 1 в п. 4.2) и хп € X, п = 1, 2, ... . Это и означает, что х0 является точкой прикосновения множества X. □
Для любого непустого множества X <= R его верхняя грань Р = sup X и нижняя грань а = inf X являются его точками прикосновения (они могут быть конечными или бесконечными). Это сразу следует, в силу леммы 1, из определения 4' верхней грани и определения 5' нижней грани множества, так как в этих определениях требуется, чтобы в любой окрестности соответствующей грани множества находилась его точка (и даже с одной стороны от рассматриваемой грани).
Из определения 1 предела функции непосредственно следует, что в точке прикосновения своего множества определения функция не может иметь двух различных пределов, т. е. указанное определение однозначно.
Далее из определения предела функции следует, что значения, которые принимает функция в точках, лежащих вне любой фиксированной окрестности точки х0, не влияют ни на существование, ни на значение предела функции в точке х0. Образно говоря, существует или нет предел функции в данной точке х0, а если существует, то каково его значение, полностью определяется значениями функции на пересечении U(Xq) А X любой окрестности С7(х0) точки х0 (являющейся точкой прикосновения множества X) с самим этим множеством.
Действительно, какова бы ни была окрестность С7(х0) и какова бы ни была последовательность хп € X, п = 1, 2, ... , lim хп = х0, найдется такой номер п0, что при п > nQ, п € N.
будет иметь место включение хп е U(x0) А X, а конечное число членов /(х^, f(x2), ... , f(xn0) последовательности {f(xn)} не влияет ни на существование ее предела, ни на его значение, если он существует.
Свойства функции, которые зависят лишь от значений функции в любых окрестностях рассматриваемой точки, точнее говоря, которые не меняются при переходе к сужению функции на пересечение ее множества определения с любой окрестностью точки, называются локальными свой-
165


ствами функции в данной точке. Из сказанного следует, что как существование предела в точке, так и его значение, если он существует, являются локальными свойствами функции в этой точке.
Примеры. 1. Пусть
/(х) =
О 2 I 1
2х + х - 1
X - 1
(5.7)
Множество X, на котором определена функция (5.7), получается из множества всех действительных чисел R удалением из него единицы: X = В\{1}. Выясним, существует или нет предел функции f (5.7) в точке х0 = 0.
Возьмем какую-либо последовательность хп € X, п =
= 1, 2, ... , такую, что lim хп орем п. 4.9 получаем
О 2 I 1
2х„ + хп - 1
lim /(х„) = lim z
А2 —> °о r
= 0. Тогда на основании те-
2(lim х )2 + Иш хп - 1
П —> п—J
lim xn - 1 n —> oo
Таким образом, существует lim /(xn) = 1, а так как n oo
он не зависит от выбора последовательности хп 0, хп е X, п = 1, 2, ... , то существует и предел lim /(х) = 1.
п оо
2. Рассмотрим (рис. 21) функцию
f(x) = sin . (5.8)
Она определена на множестве X = В\{0}. Снова выясним, существует или нет у функции f предел в точке х0 = 0. Возьмем две последовательности
1'1 1 о
х = — и х = /о , о—, п = 1, 2, ... .
п Tin п л/2 + 2лп’
Очевидно, что lim хп = lim х'п = 0, хп^ 0, х'п 0 (усло¬
вие х 0 в данном случае означает, что х € X), f(xn) =
= sin Tin = 0, f( х'п ) = sin = 1, п = 1, 2, ... . Поэтому 166


lim f^xn) = 0 и lim f(x'n) = 1, а это означает, что предела
П —> оо n —> оо
функции (5.8) при х 0 не существует.
3. Пусть
Найдем предел этой функции при х °°. Ее областью определения является множество X = R\{a/2 , - }. Взяв какую-
либо последовательность хп Е X, п = 1, 2, ... , lim хп = °°, П оо
будем иметь
lim /(xn) = lim 2
n^-oo ft оо х - 2
п
= lim
п оо
1 + lim
ft—>°°
1
— + lim
Хп п^оо
х 2
Отсюда следует, что lim
п оо
1 - 21im
ft—>°°
УПРАЖНЕНИЕ 5. Доказать, что предел lim -== не существует, а п °° 7*2 +1 пределы lim х и lim х существуют, и найти их.
п +°° 7*2 +1 п -о° 7*2 +1
При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций: получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всем множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нем. Определение 3. Пусть Предел в точке х0 суже¬
ния f F \ Е ' R, Е функции f на множество Е называется пределом функции f по множеству Е в этой точке и обозначается через lim /(х) .
Таким образом, х е Е def lim /(х) = lim fE(x) , (5.9) х е Е
167


т. е. предел функции по множеству Е <= X не является новым понятием по сравнению с пределом функции — это просто предел в смысле определения 1 функции, являющейся сужением данной на некоторое множество Е.
Иногда при обозначении предела по множеству Е вместо указания, что х € Е, употребляются для краткости другие обозначения, смысл которых бывает ясен из контекста. Например, при Е = X \{х0} пишут lim /(х).
Понятие предела функции по множеству в точке х0 содержательно только для такого множества Е, для которого точка х0 является его точкой прикосновения (в этом случае она является, очевидно, и точкой прикосновения множествах).
Употребляя терминологию определения 3, можно сказать, что предел функции в смысле определения 1 является ее пределом в точке х0 по всему множеству определения X функции /:
lim /(х) = lim /(х) .
X —> XQ X —> XQ
X G X
В том случае, если функция f задана некоторой формулой, под lim /(х) понимается предел этой функции в точке
х0 по всему множеству значений X, для которых указанная формула имеет смысл и для которых в процессе проведения всех вычислений по этой формуле получаются только действительные числа (см. п. 5.2).
Пример 4. Пусть f— функция Дирихле (см. п. 5.2), т. е. функция, равная 1 на множестве Q всех рациональных чисел и нулю на множестве I всех иррациональных чисел. Тогда в точке х0 = 0 ее предел по множеству рациональных чисел равен 1:
lim /(х) = 1,
х О
X G Q
а по множеству иррациональных чисел — нулю:
lim f(x) = 0.
х 0
X G I
168


По всему же множеству действитель- у к
пых чисел (т. е. по множеству определения функции Дирихле) предел ее в точке xQ = 0 не существует, так как уже существование или нет предела последовательности {f(xn)} при п оо зависит в о►
Ох данном случае от выбора последовательности {хп}, стремящейся к нулю. р
Отметим следующее простое утверждение.
ЛЕММА 1. Если f : X R, Е <= X, xQ — точка прикосновения множества Е и существует предел lim /(х) функции X Xq
f в точке х0 (т. е. предел по множеству X), то в этой, точке существует и предел функции f по множеству Е и значения обоих пределов равны:
lim f(x) = lim f(x). (5.10)
x e E
Доказательство. Если для любой последовательности хп € X. п = 1, 2, ..., lim хп = х0 все последовательности п оо
{/(хп)} имеют один и тот же предел а, то это заведомо верно и для любой последовательности хп Е Е, п= 1, 2, ... , lim хп = х0, так как Е <= X. □
Отметим один часто встречающийся случай предела функции в точке, когда предел берется по проколотой окрестности (она определена ниже) этой точки или по пересечению проколотой окрестности с множеством определения рассматриваемой функции.
Определение 4. Проколотой окрестностью точки х0 называется множество, получающееся удалением точки х0 из ее окрестности.
Проколотая окрестность точки х0 обозначается через С7(х0):
° dpf
<7(x0) = 1/(хо)\{хо}. (5.11)
В частности, проколотая е-окрестность точки х0 обозначает С/(ХО, Е).
169


Пример 5. Рассмотрим функцию f(x) = |sign х| (определение функции sign х см в п. 5.2). Ее график изображен на рисунке 22. Какова бы ни была окрестность нуля £7(0), у этой функции в точке х0 = 0, очевидно, существует предел по проколотой окрестности £7(0):
lim |signx| = 1.
х -» О хе £7(0)
Вместе с тем предел lim |signx| по всей окрестности х 0
х & U(0) £7(0) в точке х0 = 0 у функции |sing х| не существует, так как, например, для последовательности
[1 и
-, если п = 2k, 7 о
хп = k = 1, 2, ... ,
[О, если п = 2k - 1,
имеем lim хп = 0 (и, следовательно, все ее члены начиная с п оо
некоторого будут лежать в заданной окрестности £7(0)), а последовательность |sign xj не имеет предела (на четных местах у нее стоят единицы, а на нечетных — нули).
Рассмотренные примеры 4 и 5 показывают, в частности, что одна и та же функция может по одному множеству иметь предел в некоторой точке, а по другому не иметь предела в той же точке или иметь, но другой.
Замечание 2. Если функции f и g определены в некоторой окрестности J7(x0) точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и при каждом х, принадлежащем проколотой окрестности С7(х0): х € J7(x0), они принимают равные значения /(х) = g(x), то тогда их пределы по проколотой окрестности С7(х0) одновременно существуют или нет, а если существуют, то равны между собой:
lim /(х) = lim g(x),
X Xq X Xq
х е U(xQ) х е U(xQ)
ибо в их определении участвуют только значения функций в точках проколотой окрестности J7(x0).
170


(2х2 + х - 1)х 2 X - X
аналогичные тем, с помощью кото-
(5.12)
На этом простом замечании основано правило раскры- л - л 0 я
тия неопределенностей вида q с помощью сокращения дробей. Поясним его на примере.
Пример 6. Найдем
lim х —> О
Повторяя рассуждения,
рых был вычислен предел в примере 1, приходим к выраже- 0
нию q , т. е. к неопределенности, и тем самым не получаем ответа ни на вопрос о существовании предела (5.12), ни на вопрос о его значении, если он существует. Поэтому рассмотрим функцию
/.z х 2xz + х - 1 = х-1 ’
получающуюся из функции
z ч (2х2 + х - 1)х g(x) = i 2 ’
X - X
стоящей под знаком предела в выражении (5.12), сокращением правой части равенства на х. Функции f ng совпадают в проколотой окрестности £7(0, 1) = (—1,1)\{0} точки хо = Ои поэтому, согласно сделанному выше замечанию, одновременно имеют или нет пределы в этой точке по указанной проколотой окрестности, причем в случае существования этих пределов они равны. В примере же 1 было показано, что lim f(x) = 1 по х 0
всей области определения функции /, следовательно, и по ее подмножеству £7(0, 1). Таким образом,
lim g’(x) = lim g(x) = lim f(x) = lim f(x) = 1
x 0 x —> x0 x Xq x —> 0
xe (7(0,1) xe (7(0,1)
(первое равенство справедливо в силу того, что предел является локальным свойством функции). Эти рассуждения являются обоснованием вычислений, которые в обычно употребляемой записи имеют следующий вид:
(2х2 + х - 1)х _ Цт 2х2 + х - 1 _ J
х 0 х2-1 х 0 х~1
171


Замечание 3. Частным случаем предела функции (конечного или бесконечного) является предел последовательности (конечный или бесконечный). Действительно, последовательность хп € R, п = 1, 2, ... , является функцией, определенной на множестве натуральных чисел: f: N R, причем f(n) = хп, п = 1, 2, ... . Данное раньше определение предела последовательности lim хп (см. определение 1 в п оо
п. 4.1) и определение ее предела как частного случая определения предела функции lim /(п) (см. определение 1 этого п оо
пункта) равносильны в силу того, что если последовательность {хп} имеет предел (конечный или бесконечный) в смысле определения 1 п. 4.1, то при любом выборе последовательности натуральных чисел {nk} такой, что lim nk = +оо, п оо
последовательность } имеет тот же предел, что и после- nk
довательность {хп} (см. лемму в п. 4.3), как это и требуется в определении 1.
5.5. 	Непрерывные функции
При рассмотрении предела функции f : X R при х х0 может оказаться, что х0 € X (тогда х0 является числом: х0 € R) или, наоборот, что х0 £ X. Случай х0 € X представляет особый интерес, так как приводит к важному понятию непрерывной функции. Его изучение начнем с доказательства следующей леммы.
ЛЕММА 2. Пусть f \ X ' R uxQEX. Тогда, для того чтобы функция f имела предел в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы
lim f(x) = /(х0). (5.13)
Доказательство. Достаточность условия (5.13) для существования предела функции f в точке х0 очевидна: это условие даже сильнее, так как оно утверждает не только существование предела, но и определяет его значение, равное /(х0).
172


Докажем необходимость условия (5.13) для существования предела функции f в точке х0. Пусть у функции f в точке х0 существует предел, равный а:
lim f(x) = а. (5.14)
X —> XQ
Согласно определению предела, это означает, что для любой последовательности хп € X, п = 1, 2, ... , lim хп = х0, спра-
П —> оо
ведливо равенство
lim /(хп) = а. (5.15)
п оо
В частности, поскольку х0 € X, это равенство справедливо и для стационарной последовательности, составленной из одной точки х0, т. е. для последовательности хп = х0, п = 1, 2, ... . В этом случае (5.15) имеет вид
lim f(x0) = а. (5.16)
п оо
С другой стороны, так как предел постоянной равен самой этой постоянной, то
lim ftx0) = /(х0). (5.17)
п оо
Сравнив (5.16) и (5.17), получим /(х0) = а. □
Определим теперь понятие функции, непрерывной в данной точке.
Определение 5. Функция f : X R называется непрерывной в точке х0 е X, если
lim f(x) = /(х0). (5.18)
X —> XQ
Условие (5.18) означает, что в случае непрерывности функции в точке х0 предел f в этой точке находится по очень простому правилу: следует вычислить значение самой функции f в точке xQ.
Согласно лемме 2, условие (5.18) равносильно тому, что функция f : X R имеет предел в точке х0 и что х0 € X. Само собой разумеется, что в том случае, когда для функции f : X R предел lim f(x) равен одной из бесконечностей
оо, +оо или -оо, заведомо х0 X. В противном случае для 173


стационарной последовательности хп = х0, п = 1, 2, ... , имело бы место lim /(xn) = lim /(х0) = /(х0), и так как, по условию, функция f принимает только числовые значения, то вопреки предположению предел lim /(х) был бы конечным. Из сказанного следует, в частности, что если у функции в некоторой точке существует бесконечный предел, то в ней функция заведомо не является непрерывной.
Отметим еще, что в определении 5 точка х0, в которой определяется понятие непрерывности функции, принадлежит числовой прямой R, т. е. не является бесконечно удаленной точкой.
Для проведения анализа понятия непрерывности функции в точке дадим определения изолированных и предельных точек множеств.
Определение 6. Точка х0 е X называется изолированной точкой множества X <= R, если существует окрестность U(xq) этой точки, пересечение С7(х0) А X которой с множеством X состоит только из одной точки х0:
Z7(x0) П X = {х0}. (5.19)
Все точки множества натуральных чисел N изолированы, а множество Q всех рациональных чисел вовсе не имеет изолированных точек.
Определение 7. Точка х0 С R называется предельной точкой множества X <= R, если в любой ее окрестности существует отличная от нее точка, принадлежащая множеству X.
Иначе говоря, точка х0 называется предельной точкой множества X, если всякая ее проколотая окрестность имеет с этим множеством непустое пересечение: для любой проколотой окрестности С7(х0) выполняется условие d(x0) п х * о.
Предельная точка множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать. Например, каждая точка отрезка [а, й] является предельной точкой интервала (а, Ъ). При этом точки а и Ъ не принадлежат указанному интервалу, а все остальные содержатся в нем.
174


Если точка принадлежит множеству, то, в силу определений 6 и 7, она является его изолированной точкой тогда и только тогда, когда не является его предельной точкой.
Всякая точка прикосновения х0 множества является либо изолированной точкой этого множества, либо его предельной точкой, так как либо в любой окрестности содержится точка множества, отличная от х0 (тогда х0 — предельная), либо у х0 существует окрестность, не содержащая не совпадающих с Xq точек множества, и тогда, в результате того что в этой окрестности все-таки существует точка множества (поскольку точка х0 по условию является его точкой прикосновения), этой точкой оказывается х0; следовательно, во- первых, Xq принадлежит рассматриваемому множеству, а во-вторых, является его изолированной точкой.
Справедливо следующее предложение.
ЛЕММА 3. Всякая функция непрерывна в каждой изолированной точке множества своего определения.
Доказательство. Пусть х0 — изолированная точка множества определения X функции f. Тогда, согласно определению 6, существует окрестность U(Xq) точки х0, пересечение которой с множеством X состоит из единственной точки х0, т. е. U(Xq) А X = {х0}. Какова бы ни была последовательность хп Е X, п = 1, 2, ... , lim хп = Xq, для указанной п оо окрестности, в силу определения предела последовательности, существует такой номер п0, что для всех номеров п > nQ выполняется включение хп е U(x0) и, следовательно, включение хп Е U(Xq) А X. Но U(Xq) А X = {х0}, поэтому для всех п > п0 имеем хп = х0. Это означает, что начиная с номера п0 + 1 последовательность {f(xn)} становится стационарной: f(xn) = f(xo) при п > п0. Поэтому существует предел lim /(хп) = /(х0), что, в силу произвольного выбора последо- П оо
вательности хп Е X, п = 1, 2, ... , lim хп = х0, означает вы- п оо
полнение условия (5.18), т. е. непрерывность функции f в точке Xq. □
Непрерывность функции в изолированной точке означает, что в математике дискретное является частным случа175


ем непрерывного. Например, функция, определенная лишь на одной точке, или на двух точках, или, более общо, на любом конечном множестве точек, является непрерывной. Непрерывной является и элементарная функция f(x) = 1 + + 71g cos 2лх (см. п. 5.2), определенная только для целочисленных значений аргумента х, т. е. для х = 0, ±1, ±2, ... , в которых она равна 1 (в остальных точках выражение под знаком корня отрицательно и поэтому функция не определена). График этой функции состоит из отдельных изолированных точек (0, 1), (1, 1), (-1, 1), (2, 1), (-2, 1)... (см. рис. 20).
Из леммы 3 следует, что вопрос о пределе функции в изолированной точке множества ее определения решается совсем просто: он всегда существует и равен /(х0). Поэтому понятие предела функции (в частности, ее непрерывность) содержательны лишь для предельных точек множества определения функции.
УПРАЖНЕНИЕ 6. Доказать, что функция f: X R непрерывна в предельной точке Xq 6 X множества X тогда и только тогда, когда
lim f(x) = f(x0). х^х0
x e ХГ\ U(xq)
Подобно тому, как рассматривался предел функции по какому-либо множеству, принадлежащему ее области определения, можно, в частности, рассмотреть и непрерывность функции по соответствующему множеству.
Определение 8. Пусть f :Х > R и х{]сЕ (Х. Функция f называется непрерывной в точке х0 по множеству Е, если
lim f(x) = f(x0).
X Xq ХЕ Е
Иначе говоря, функция f называется непрерывной в точке х0 е Е по множеству Е, если в этой точке непрерывно сужение fE этой функции на множестве Е:
lim fE(x) = fE(x0).
X Xq
176


Например, функция Дирихле f (см. пример 4 в п. 5.4) непрерывна в точке xQ = 0 по множеству Q всех рациональных чисел, так как
lim f(x) = 1 = /(0),
х —> 0 х е Q
и не является в ней непрерывной по множеству всех действительных чисел, так как предел в точке х0 = 0 по множеству всех действительных чисел у функции Дирихле просто не существует. Очевидно, что функция Дирихле не является непрерывной ни в какой точке числовой оси.
Про функцию f : X R, непрерывную в точке х0 € X в смысле определения 5, можно сказать, что она непрерывна в этой точке по множеству X.
5.6. 	Условие существования предела функции
Согласно определению предела, функция f : X R имеет предел в точке х0, если, какова бы ни была последовательность хп х0, хп € X, п = 1, 2, ... , последовательность соответствующих значений функции {/(хп)} имеет предел (конечный или бесконечный), и эти пределы не зависят от выбора указанных последовательностей {хп}, т. е. все последовательности {/(хп)} имеют, и при том один и тот же, предел а: lim /(хп) = а. Это значение а и является пределом функции п оо f в точке х0.
Покажем, что если предположить несколько меньше, а именно только существование конечного или определенного знака бесконечного предела у каждой рассматриваемой последовательности {/(хп)}, то уже из одного этого следует, что все эти пределы совпадают и тем самым функция f в этом случае имеет предел в точке х0.
ЛЕММА Д.Для того чтобы функция f : X R имела конечный или определенного знака бесконечный предел в точке х0, являющейся точкой прикосновения множества X, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности хп х0, хп € X, п = 1, 2, ... , последовательность соот177


ветствующих значений функции {f(xn)} имела конечный или определенного знака бесконечный предел,
СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы функция f',X R имела конечный предел в точке х0, являющейся точкой прикосновения множества X. необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности хп х0, хп € X. п = 1, 2, ... , последовательность соответствующих значений функции {/(хп)} была сходящейся.
Доказательство леммы. Необходимость сформулированного в условиях леммы условия для существования предела функции f при х Xq содержится в самом определении этого понятия (см. определение 1 в п. 5.4), в котором утверждается существование предела lim f(xn) для всех рас- п оо
сматриваемых последовательностей {хп}.
Докажем достаточность указанного в лемме условия для существования предела функции. Пусть f : X R и для любой последовательности хп х0, хп € X. п= 1, 2, ... , последовательность {f(xn}} имеет предел (конечный или определенного знака бесконечный).
Рассмотрим какие-либо две последовательности х'п х0 и х'п х0’ хп е х'п е Х.п = 1, 2, ... . Тогда последовательность
х', если т = 2п - 1,
n = 1, 2, хп. если т = 2п,
также имеет своим пределом (конечным или бесконечным) точку х0 и хт € X, т= 1, 2, .... Поэтому, согласно сделанному предположению, существуют пределы lim f(x'n), п оо
lim f(x" ) и lim /(xw), причем последовательности {/( х'п)} и п —> оо т оо
{/(х")} являются подпоследовательностями последовательности {/(xw)}, ибо последовательности {хп} и {х'п} являются подпоследовательностями последовательности {xw}.
Вспомним теперь, что если у некоторой последовательности имеется предел (конечный или бесконечный), то лю178


бая ее подпоследовательность имеет тот же предел (см. п. 4.3). Поэтому
limftx') = lim f(xm), lim f(x") = lim f(xm), n 00 m —> 00 n —>00 m —> 00
откуда
lim/(*')= lim f(x").
n 00 A2 —> 00
Таким образом, пределы последовательностей {/(хп)}, где хп х0’ хп е п = 1’ 2, ... , не зависят от выбора последовательностей {хп}. Обозначая общее значение пределов последовательностей {/(хп)} через а будем иметь, согласно определению 1 п. 5.4, что lim /(х) = а.
X Xq
Утверждение следствия непосредственно следует из леммы 4 (напомним, что термин «сходящаяся последовательность» употребляется только для последовательностей, имеющих конечный предел). □
5.7. 	Второе определение предела функции
Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши. Это определение равносильно определению 1 в п. 5.4.
Определение 9. Точка а называется пределом функции f: X R при х х0 (или, что то же, в точке х0), если для любой окрестности U(a) точки а существует такая окрестность U(xq) точки х^, что
f(X П С7(х0)) с= U(a). (5.20)
Предел функции по Коши также будем обозначать через lim f(x). Это естественно, так как понятие предела функции по Коши, как это было отмечено выше и будет вскоре доказано, эквивалентно ранее данному в п. 5.4 определению предела функции.
179


Рисунок 23 иллюстрирует определение 9 в случае, когда х0 и а — действительные числа, а множество X является проколотой окрестностью ТОЧКИ Xq.
Используя логические символы, определение 9 можно записать в следующем виде:
Рис- 23 lim f(x) = a
X Xq def
V Ща) 3 J7(x0): f(X A tZ(x0)) c= Ща).
Расшифровывая подробнее включение (5.20), определение 9 можно сформулировать следующим образом.
Точка а называется пределом функции f \ X R при х х0, если для любой окрестности Ща) точки а существует такая окрестность Щх0) точки х0, что для любой точки
хеХПЩХ()) (5.21)
выполняется включение
f(x) е Ща). (5.22)
Используя логические символы, это определение можно записать следующим образом:
1- \ def
hm f(x) = а
def 0
V Ща) 3 U(xQ) V х е X А С7(х0): f(x) е Ща). (5.23)
Вспоминая определения окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек, определение 9 можно в каждом конкретном случае перефразировать в терминах неравенств. Сформулируем сначала в таком виде определение конечного предела в конечной точке.
Число а называется пределом функции f в точке xoeR, если для любого е> 0 существует такое 8> О1, что для всех х. удовлетворяющих условиям |х - х0| < 8, хе X, выполняется неравенство |/(х) - а\ < е.
1 Иногда пишут 8 = 8(e) > 0, чтобы подчеркнуть, что выбор 8 зависит от 8.
180


В логических символах это определение выглядит следующим образом:
lim /(х) = а е R
JC q
V е > О Я 5 > О V X е X, |х - х0| < 8: \f(x) - а\ < £.
В частности, если функция f непрерывна в точке х0 € X <= R и а = f(xQ) (в этом случае х0 и а являются числами), то определение непрерывности в символической записи имеет вид
lim Дх) = Дх0) «
V Е > 0 а 8 > О V X е X, |х - х0| < 8: |/(х) - Дх0)| < г.
Приведем пример определения бесконечных пределов в терминах неравенств. Например, запись lim /(х) = для х + ОО
функции f \Х R означает, что для любого £ > 0 существует такое 8 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х > 8, х € X, выполняется неравенство /(х) < -е.
С помощью логических символов это определение записывается следующим образом:
dpf
lim /(х) = - оо Ve>038>0VxeX, х>8: /(х) < -£.
Из сказанного следует, что могут встречаться различные сочетания перехода к предельным значениям (как конечным, так и бесконечным) зависимых и независимых переменных. Формулировка определения предела функции для каждого отдельного случая в терминах неравенств, или, как еще иногда говорят, на «языке £ и 8», хотя часто и удобнее в конкретных ситуациях, хуже приспособлена к решению общих вопросов, чем определение предела функции в терминах окрестностей, так как требует проведения специальных доказательств отдельно для каждого случая в соответствии с данной формулировкой определения. Поэтому удобнее использовать определение 9, охватывающее все конкретные случаи.
Перейдем теперь к сравнению определений предела функции по Гейне (определение 1) и по Коши (определение 9). ТЕОРЕМА Л. Определения 1 и 9 предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.
181


Доказательство. Докажем сначала, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле определения 1, то она имеет тот же самый предел в этой точке и в смысле определения 9. Пусть f : X R, х0 — точка прикосновения множества X и lim /(х) = а в смысле определения 1. Пока- X Xq
жем, что тогда выполняется и условие в правой части формулы (5.23).
Допустим, что это не так, т. е. что
3 U(a) V С7(х0) 3 х е X П tZ(x0): f(x) £ U(a), (5.24)
или, иначе говоря, найдется такая окрестность U(a) точки а, что в любой окрестности U(xQ) точки х0 существует точка х € X, значение функции f(x) в которой не принадлежит к окрестности U(a). В частности, указанные точки х найдутся в каждой окрестности 17 (х0, . Обозначим их через хп, т. е.
хпеХПи(х0,^, (5.25)
f(xn) i U(a), n= 1, 2, ... . (5.26)
Из условия (5.25) следует, что
lim хп = х0 (5.27)
п оо
(см. замечание 1 в п. 4.2). Поскольку lim /(х) = а в смысле X Xq
определения 1, то для любой последовательности хп х0, п = 1, 2, ... , имеет место равенство lim /(хп) = а. Согласно п оо
определению предела последовательности, это означает, что для любой окрестности {7(a), в частности и для выбранной выше, существует такой номер п0, что для всех номеров п > nQ имеет место
f(xn) е Ща). (5.28)
Это противоречит условию (5.26). Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □
Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле определения 9, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле определения 1. Пусть 182


lim /(x) = а в смысле определения 9 предела функции, f : X R, Xq — точка прикосновения множества X, и пусть
xn х0, хп Е X, п = 1, 2, ... . (5.29)
Покажем, что тогда
lim f(xn) = а, (5.30)
п оо
т. е. точка а является и пределом функции f в смысле определения 1.
Зададим произвольную окрестность U(a) точки а и выберем для нее окрестность 17(х0) точки х0, удовлетворяющую условиям (5.21)—(5.22). Для этой окрестности С7(х0), в силу условия (5.29), найдется такой номер п0, что для всех номеров п > Пц будет выполняться включение хп Е X А С7(х0). Но тогда, в силу (5.22), имеем f(xn) Е 17(a). Это и означает выполнение условия (5.30). □
Предел функции, как это было отмечено в п. 5.4, является локальным свойством функции в том смысле, что его существование для функции в данной точке (а если он существует, то и его значение) не зависит от сужения функции на пересечение любой окрестности точки х0 с множеством определения заданной функции. Это хорошо также видно и из определения 9: если задать произвольную окрестность С70(х0) точки xQ и добавить в определение 9 дополнительное условие, состоящее в том, что все окрестности С7(х0), существование которых там утверждается, должны кроме всего прочего содержаться в окрестности С70(х0):
U(x0) с J70(x0),
то получится определение, равносильное исходному. Действительно, если условие (5.23) выполняется для некоторой окрестности С7(х0) точки х0, то оно выполняется и для любой содержащейся в ней окрестности этой точки.
В заключение отметим, что под пределом функции в данной точке обычно понимается конечный предел, если не оговорено что-либо другое, а через lim /(х), когда ничего не сказано о множестве, по которому берется предел, обозначала


ется конечный или бесконечный предел в точке х0 по всему множеству определения функции f.
УПРАЖНЕНИЕ 7. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени п > 1, то lim Р(х) = оо, lim Р(х) = оо.
х—х +°°
Определение предела функции в точке без труда можно обобщить и на функции, у которых как множества их значений, так и множества их определений принадлежат расширенному множеству действительных чисел R = R U {+°°} U {-оо}, т. е. на функции вида f : X R, X <= R. Читатель в случае необходимости самостоятельно сформулирует соответствующие определения.
5.8. 	Предел функции по объединению множеств
Докажем еще одно простое, но полезное для дальнейшего свойство пределов функций по множествам.
Л Е М М А 5. Пусть f : X R, Хг^ X, Х2 <= X, Хг* 0, Х2А 0, и точка х0 является точкой прикосновения множеств Хх и Х2.
Тогда если в точке х0 функция f имеет равные пределы (конечные или бесконечные) по множествам Хг и Х2, то она имеет в этой точке тот же предел и по их объединению.
Доказательство. Если
lim f(x) = lim f(x) = a, (5.31)
X G X G
то для любой окрестности U(a) точки а существует такая окрестность U(Xq) точки х0, что образы ее пересечений Хх А A U(xQ) и Х2 A U(xq) с множествами Хг и Х2 содержатся в окрестности U(a), а тогда и образ их объединения U Х2) А A U(Xq) также содержится в окрестности U(a). Это и означает, что
lim f(x) = а. □
X G X|U X2
Пример. Если {хп} — такая последовательность, что lim x2k = lim x2k _ x = а и a — либо действительное чис- k oo k oo 184


ло, либо одна из бесконечностей оо, +оо или -оо, то и lim хп = а. Это сразу следует из леммы 5, если рассмотреть п оо
функцию f(ri) = хп, п е N, и положить Хг = {2k}, Х2 = {2k - 1}, k = 1, 2, ... .
5.9. 	Односторонние пределы и односторонняя непрерывность
При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, соответствующих частному случаю, когда эти множества являются частями множеств определения данных функций, лежащими по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами. Это понятие содержательно лишь тогда, когда действительно существуют указанные множества, как с одной, так и с другой стороны от точки х0, в которой рассматривается предел. В том случае, если точка х0 является одной из бесконечностей оо, +оо или —оо, это заведомо невозможно. Поэтому в настоящем пункте в дальнейшем будем всегда предполагать, что xQ — действительное число: х0 € R. Введем для упрощения записи некоторые обозначения.
Для всякого множества X <= R и для точки х0 € R положим
ХДх0) {х : х е X, х < х0}, ХДх0) =f {х : х ЕХ, х > х0}.
Иначе говоря, множество ХДх0), соответственно Х<(х0), является пересечением множества X с замкнутым лучом числовой оси, вершиной которого является точка х0 и который направлен в (отрицательном) положительном направлении.
Определение 10. Пусть f :Х R и х0Е R. Точка а называется пределом функции f слева, соответственно справа, при х х0, если она является пределом при х х0 функции f по множеству Х<(х0), т. е.
lim /(х) = а,
X G Х^(хо)
185


соответственно по множеству ХДх0), т. е.
lim Дх) = а.
X Xq
X G X^(Xq)
Для пределов слева и справа функции f по множеству
Х\{х0} имеются специальные обозначения: предел слева обо-
значается /(х0 - 0) или lim
X Xq - 1
/(x), а предел справа — э
Дх0 + 0)
или lim f(x). Таким образом,
X Xq + 0
Я pf
f(x0 - 0) = lim Дх) = lim Дх),
(5.32)
X Xq - 0
f(x0 + 0) = lim Дх)
хе (х0)\{х0}
= lim Дх).
(5.33)
X Xq + 0
х e X > (х0)\{х0}
Если Xq = 0, то вместо 0 + 0 (вместо 0 - 0) в случае пределов функций, как и в случае пределов последовательностей (см. п. 4.1), пишут просто +0 (соответственно -0).
Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Если же точка х0 является верхней гранью для множества Х<(х0)\{х0} и нижней гранью для Х>(х0)\{х0} (X — множество определения функции /):
х0 = sup (XJXolXtxo}) = inf (Х^ХоЛкоВ,
то обычный предел функции f при х х0 называется также и ее двусторонним пределом.
При определении односторонних пределов удобно использовать понятие «односторонних окрестностей» точки: пересечения U(Xq) А {х : х > 0} и С7(х0) А {х : х < 0}, где С7(х0) — некоторая окрестность точки х0, называются ее односторонними окрестностями (соответственно правосторонней и левосторонней). Ясно, что определение одностороннего предела функции получится из определения предела функции, если в нем окрестность точки х0 заменить на ее соответствующую одностороннюю окрестность. Отметим, что пересечения U(Xq) А {х : х > х0} и U(Xq) А {х0 : х < х0}, где С7(х0) — некоторая проколотая окрестность точки х0, называются ее 186


проколотыми односторонними окрестностями (соответственно правосторонней и левосторонней).
В качестве примера односторонних пределов рассмотрим функцию у = sign х (см. пример в п. 5.2 и рис. 19). Пусть хп > 0, хп < 0, п = 1, 2, ... , и lim хп = lim хп = 0. Тогда П оо ft —> оо
lim sign хп = lim 1 = 1,
П —> оо П —> оо
lim sign xn = lim (-1) = -1.
П —> oo ft —> oo
Это означает, что lim sign x = 1 и lim signx = -l. x —> + 0 x—>-0
Понятие предела слева (справа) при х х0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка Xq является точкой прикосновения множества, по которому берется предел, в данном случае множества Х^(х0) (множества ХДхо)). Каждое из этих множеств лежит по одну сторону от точки х0, поэтому она является их точкой прикосновения тогда и только тогда, когда х0 = sup Х^(х0) и, соответственно, Xq = inf (х0).
ТЕОРЕМА 2. Функция f : X R имеет предел в точке х0 = = sup X^Xq) = inf Х^(х0), Х^(х0) 0, Х^(х0) 0, в том и
только том случае, когда в этой точке у функции f существуют пределы как слева, так и справа и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке х0.
СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы у функции f\X^R существовал в точке xQ двусторонний предел по множеству Х\{х0}, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между собой односторонние пределы f(xQ - 0) и f(x0 + 0).
Доказательство теоремы. В самом деле, пусть f : X R. Xq = sup Х^ (х0) = inf Х^ (х0) и lim f{x) = а. т. е.
у функции f существует предел (по множеству X) в точке х0. Но тогда в этой точке тот же предел существует и у ее суже-
187


3
2
1 -
н I I
1 2 3 4 х
ния по любому множеству (см. лемму 1 в п. 5.4), в частности и по множествам Х^ (х0) и (х0), т. е. существуют оба односторонних предела при х xQ и они равны а:
Рис. 24
lim f(x) =
X —Xq
x e X<(x0)
lim f(x) = a. (5.34)
X —Xq x e X^(Xq)
Пусть, наоборот, в точке х0 = sup Х^(х0) = inf ХДх0) выполняется условие (5.34). Тогда так как X = Хс(х0) U Х^(х0), то согласно лемме 5, существует предел lim f(x) = а.
X Xq хеХ
Для того чтобы убедиться в справедливости следствия, достаточно применить теорему 2 к сужению функции f : X R на множество Х\{х0}. □
Если один из односторонних пределов функции в некоторой точке совпадает со значением функции в этой точке, то такая функция называется односторонне непрерывной в рассматриваемой точке. Сформулируем это определение более подробно.
Определение 11. Функция f : X R называется непрерывной слева. соответственно справа, в точке х0 € X. если
lim f(x) = f(xQ). соответственно если lim f(x) = f(xQ).
X Xq X Xq
x e X<(x0) X e X^(xQ)
Пример. Рассмотрим функцию, определенную на всей числовой оси и равную для каждого действительного числа х наибольшему целому числу, меньшему или равному х. Эта функция имеет специальное обозначение у = [х], читается: «у является целой частью числа х» или «у равно entier х»1.
Таким образом,
[х] = п € Z. п < х, а п + 1 > х.
График функции [х] изображен на рисунке 24. Функция [х] в целочисленных точках х = п. п = 0, ±1, ±2, ... , числовой прямой непрерывна справа и разрывна слева. Во всех же других точках она непрерывна как справа, так и слева. Таким образом, в частности, функция [х] непрерывна справа во всех точках числовой оси.
1 entier (франц.) — целый.
188


Замечание. Если для функции f : X R существует конечный предел lim f(x) = а, причем для всех х € X вы- полняется неравенство f(x) < а (неравенство f(x) > а), то пишут lim f(x) = а - 0 (соответственно lim f(x) = а + 0). При
X —> х0 X —> х0
этом если а = 0, то также вместо 0 + 0 и 0 - 0 пишут просто +0 и -0.
5.10. 	Свойства пределов функций
Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на некотором множестве X <= R, и все их пределы берутся по множеству X в некоторой точке х0, которая является точкой прикосновения (конечной или бесконечно удаленной) множества X. Напомним, что если х0 — действительное число: xQ € R, то xQ — обычная точка прикосновения множества X. Если Xq = °°, то множество X не ограничено, а если х0 = +оо, или xQ = -°°, то множество X не ограничено сверху, соответственно снизу.
1°. Если функция f : X R имеет в точке х0 конечный предел, то существует такая окрестность U(xQ) точки х0, что функция f ограничена на пересечении С7(х0) А X этой окрестности с множеством определения X функции f.
СЛЕДСТВИЕ. Функция f \Х ' R, непрерывная в точке xQ е X, ограничена на пересечении некоторой окрестности этой точки с множеством X.
Доказательство. Пусть lim f(x) = а — конечный пре- дел, тогда, согласно определению 9 из п. 5.7, для любого е > 0, в частности для е= 1, существует такая окрестность U(xQ) точки х0, что f{X А С7(х0)) <= U(a, 1), т. е. для всех х Е X А С7(х0) выполняется включение /(х) Е U(a, 1). Иначе говоря, для всех х € X А С7(х0) справедливо неравенство а - 1 < f(x) < а + 1, 189


а это означает ограниченность функции f на пересечении X А С7(х0). □
Следствие непосредственно вытекает из доказанного утверждения, так как непрерывность функции в точке является частным случаем существования у нее в точке конечного предела.
2°. Если функция f \Х^ R имеет в точке xQ не равный нулю конечный предел lim f(x) = а 0, то для любого числа с. О < с < |а|, существует такая окрестность С7(х0) точки х0, что для всех точек х из области определения X функции f, принадлежащих окрестности С7(х0), т. е. для всех х Е J7(x0) А X, выполняются неравенства f(x) > с, если а> 0 и f(x) < -с9 если а <0. (5.36)
СЛЕДСТВИЕ (лемма о сохранении знака). Если функция f : X R непрерывна в точке xQ е X и f(xQ) > 0 (соответственно f(xQ) < 0), то существует такая окрестность U(xq) точки х0, что для всех точек х € X А С7(х0) выполняется неравенство f(x) > 0 (соответственно f(x) < 0).
Доказательство свойство 2°. Пусть сначала а > 0 и 0 < с < а. Выберем £ > 0 так, чтобы с < а - Е, тогда с £ U(a; е) = (а - е, а + г). Для окрестности U(a9 е) существует такая окрестность С7(х0) точки х0, что для любой точки х Е U(Xq) А X имеет место включение f(x) 6 (а - Е, а + е) и, следовательно, f(x) > а - Е > с.
Аналогично, если а<0и0<с< -а, т. е. а < -с, то выберем £ > 0 так, чтобы а + £ < -с, тогда с £ U(a; s) = (а - s, а + е). Для окрестности U(a; е) существует такая окрестность U(xQ) точки х0, что для любой точки х Е U(Xq) А X имеет место включение f(x) Е (а - Е, а + s), поэтому и неравенство f(x) < < а + Е < -с.
Следствие непосредственно вытекает из неравенств (5.36). □
Замечание. Если в точке х0 у функции f : X R существует бесконечный предел, равный оо, +оо или -оо, то для любого с > 0 имеет место утверждение, аналогичное 190


свойству 2°. Это непосредственно следует из определения бесконечного предела функции, сформулированного в терминах неравенств. А именно: lim f(x) = °° (соответственно X Xq
+00 или -оо) означает, что для любого с > 0 существует такая окрестность С7(х0) точки х0, что для всех х € X А С7(х0) выполняется неравенство |/(х)| > с (соответственно неравенство f(x) > с или f(x) < - с).
3°. Если f(x) = с — постоянная, х е X, то lim f(x) = с.
4°. Если f(x) > а, х ЕХ. и существует конечный или определенного знака бесконечный предел lim /(х), то
X —Xq
lim f(x)>a. (5.37)
X —Xq
5°. Если ф(х) < f(x) < ф(х), х е X, и существуют конечные или определенного знака бесконечные пределы lim ф(х) = lim ф(х) = а, то
X Xq X Xq
lim f(x) = a. (5.38)
6°. Если существуют конечные пределы lim f(x) и
lim g(x), то существуют и конечные пределы lim [f(x) +
X Xq X Xq
+ ё(х)], lim f(x)g(x), а если lim g(x) 0, то и предел X Xq X Xq
lim , причем у- К V
♦Аг 7 «Аг Q
lim [/(х) + g(x)] =
X Xq
lim f(x) +
X Xq
lim g(x),
X Xq
(5.39)
lim f(x)g(x) =
lim f(x) lim g(x),
(5.40)
X Xq х
lim
„ S(x)
♦Аг 7 Лг Q
• —Xq X —:
lim f(x)
X Xq
lim g(x) '
x —> x0
>x0
(5.41)
191


следствие 1. Если существует конечный предел lim f(x), х XQ
то для любого числа х € R существует и предел lim cf(x),
X Xq
причем
lim cf(x) = с lim f(x). (5.42)
X Xq X Xq
В случае с О равенство (5.42) справедливо и для бесконечных пределов определенного знака.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если функции fug непрерывны в точке xQ е X, то функции cf (с — постоянная), f + g, fg, а если, f
кроме того, g(x$) О, то и функция также непрерывна в точке х0.
Заметим, что при предположениях, в которых сформули- рованы утверждение о и следствие 2 из него, частное j , конечно, может быть не определено на всем исходном множестве X, так как на нем могут существовать точки х, в которых g(x) = 0. Однако, согласно свойству 2°, из условия lim g(x) 0 следует, что существует такая окрестность х —> х0
U(Xq) точки Xq, на пересечении которой с множеством X выполняется неравенство g(x) 0 и, следовательно, на этом пе- f(x)
ресечении уже определено частное . В формуле (5.41) под пределом подразумевается предел сужения функции /(х)
j на множество U(xQ) А X. В силу того что предел функции в точке является локальным свойством (см. п. 5.4 и п. 5.7), этот предел не зависит от выбора указанной окрестности U(Xq).
Свойства 3°—6° могут быть доказаны одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей (см. п. 4.9).
Докажем, например, формулу (5.40). Пусть а = lim f(x),
X —Xq
b = lim g(x). Тогда, согласно определению 1 предела функ192


ции (см. п. 5.4), для любой последовательности хп € X, п = = 1, 2, ... , lim хп = х0, справедливы равенства
П —> оо
а = lim f(xn), b = lim g(xn).
n —> °° ft —> oo
Поэтому, вспомнив, что предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению их пределов (см. п. 4.9), получим, что существует предел
lim f(xn)g(xn) = ab. (5.43)
П —> оо
Этот предел не зависит от выбора указанной последовательности {хп}: он всегда равен ab, поэтому, согласно тому же определению 1, доказанное равенство (5.43) и означает, что
lim f(x)g(x) = ab = lim f(x) lim g(x). □
X Xq X Xq X Xq
Следствие 1 (в силу свойства 3°) представляет собой частный случай формулы (5.40). Следствие 2 непосредственно вытекает из свойства 6°, поскольку непрерывность функции в точке означает существование у нее в этой точке конечного предела, равного значению функции в этой точке. Например,
lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x) = ftx0)£(x0), (5.44)
X Xq X Xq X Xq
так как пределы lim f{x) и lim g*(x), в силу непрерывностей Xq X Xq
ти функций f и g в точке x0, равны соответственно /(x0) и £(х0). Выполнение равенства (5.44) и означает непрерывность произведения fg в точке х0. □
Отметим, что приведенное доказательство следствия 2 можно было бы и не проводить, так как непрерывность функции в точке означает (см. п. 5.5), что эта точка принадлежит множеству задания функции и что у функции в этой точке существует предел по указанному множеству. Поскольку функции f и g заданы в точке х0, очевидно, и функ- f(x)
ции /(х) + g*(x), /(x)g*(x), а при g*(x0) 0 и функция зада-
ны в этой точке. В силу свойства 6° у перечисленных функ193


ции существуют пределы в точке х0, принадлежащей в данном случае их множеству задания, что и означает их непрерывность в этой точке. Иначе говоря, утверждение следствия 2 утверждения 6° является просто частным случаем этого утверждения, когда точка, в которой рассматривается предел, принадлежит области задания функций.
5.11. 	Бесконечно малые
и бесконечно большие функции
Все рассматриваемые в этом пункте функции будем предполагать определенными на множестве X <= R и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удаленной точке х0. Определение 12. Функция а: X > R называется бесконечно малой при х х0, если
lim а(х) = 0. (5.45)
X —> х0
Бесконечно малые функции играют особую роль среди всех функций, имеющих предел, связанную, в частности, с тем, что общее понятие конечного предела может быть сведено к понятию бесконечно малой. Сформулируем это утверждение в виде леммы.
ЛЕММА 6. Конечный предел lim f(x) существует и равен X Xq
а тогда и только тогда, когда f(x) = а + а(х), х е X, где а = а(х) — бесконечно малая при х х0.
Доказательство. Если lim /(х) = а, то, положив а(х) =
X —Xq
= f(x) - а. х € X, получим, что
lim а(х) = lim /(х) -а = а~а = О.
X Xq X Xq
Наоборот, если f(x) = а + а(х), х € X и lim а(х) = 0, то
lim f(x) = а + lim а(х) = а. □
X Xq X Xq
ТЕОРЕМА 3. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при х х0, а также и произведение бесконеч-
194


но малой при х х0 на ограниченную на X функцию являются бесконечно малыми при х х0.
Доказательство. То, что сумма и произведение конечного числа бесконечно малых являются бесконечно малыми, непосредственно следует из свойства суммы и произведения пределов функций (см. свойство 6 в п. 5.10) в том частном случае, когда эти пределы равны нулю.
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть lim а(х) = 0 и f(x) — ограниченная функция, т. е. сущест- X —> х0
вует такая постоянная Ъ > 0, что для всех х € X выполняется неравенство |/(х)| < Ь. Если хп € X, п = 1, 2, ... , — такая последовательность, что lim хп = х0, то, согласно определе-
П —> оо
нию 1 предела функции (см. п. 5.4), имеем lim ос(хп) = 0.
П —> оо
Для всех п = 1, 2, ... выполняется неравенство |/(хп)| < й, т. е. последовательность {/(хп)} ограничена. Но произведение бесконечно малой последовательности, в данном случае последовательности {а(хп)}, на ограниченную последовательность, в данном случае на {/(хп)}, является бесконечно малой последовательностью (см. свойство 2° в п. 4.8), поэтому lim /(хп) а(хп) = 0. Так как это верно для любой указанной
П —> оо
последовательности {хп}, то согласно тому же определению предела функции получим lim f(x) ос(х) = 0, а это и озна-
x^xQ
чает, что функция f(x) ос(х) является бесконечно малой ПРИ X Xq. □
Наряду с бесконечно малыми в анализе часто встречаются бесконечно большие функции. Определим их.
Определение 13. Функция f : X R называется бесконечно большой при х х0, если
lim Дх) = оо. (5.46)
Между бесконечно большими и бесконечно малыми существует тесная связь. Именно величина, обратная беско195


нечно большой, является бесконечно малой, и наоборот. Более точно, справедливо, например, следующее утверждение. ЛЕММА 7. Если функция f: X R бесконечно большая при х х0, то функция у является бесконечно малой при х х0.
Доказательство. Пусть произвольно фиксировано £ > 0. Тогда, согласно условию lim /(х) = °°, существует такая
окрестность С7(х0) точки х0, что для всех точек х € С7(х0) А X выполняется неравенство |/(х)| > |, следовательно, и неравенство I 1 I < Е. А это и означает, что lim тД- = 0, т. е. что
\f(x)\ x^xof^
функция является бесконечно малой. □
Замечание 1. Как всегда, когда речь идет о частном функций со знаменателем, предел которого отличен от ну-
1 г
ля, здесь под понимается, вообще говоря, частное от деления 1 на сужение функции f на пересечение С7(х0) А X такой окрестности С7(х0) точки х0 с множеством определения X функции /, что для всех точек х е U(x0) А X функция f не равна нулю. Существование указанной окрестности С7(х0) следует из свойства 2° пределов функций (см. п. 5.10). Впрочем, оно еще раз для случая бесконечно большой функции было получено в процессе доказательства леммы 7: очевидно, что из условия |/(х)| > |, £ > 0, следует, что /(х) 0.
Замечание 2. Если, наоборот, а(х) — бесконечно малая при х —► х0 функция, то может случиться, что обратная
1 г величина не будет определена на множестве, для кото¬
рого точка х0 является точкой прикосновения (например, это заведомо имеет место при ос(х) = 0 на X), и поэтому понятие предела lim j при х € X будет бессодержательно. Однако если Хо — такое подмножество множества X, на котором а(х) 0: Хо = {х: хЕ X, а(х) 0}, и если х0 является точ196


кой прикосновения множества Хо, то функция
1 ос(х)
определена на Хо и на этом множестве lim —— = оо. Имен- X Xq ВД х е Хо
но в этом смысле говорят, что функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.
То обстоятельство, что функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот, делает естественными следующие символические обозначения, часто употребляющиеся для сокращения записи: для любого числа а > 0 пишут:
(5.47)
Замечание 3. На бесконечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над пределами (см. свойство 6° в п. 5.10), непосредственно не переносятся. Однако некоторые аналогии имеют место.
Например, если lim f(x) = +°°, lim g(x) = +°°, то и X Xq X Xq
lim [/(х) + g*(x)] = +°°. Однако о существовании какого-либо X Xq
предела lim [/(х) - g’(x)] здесь, вообще говоря, уже ничего X Xq
утверждать нельзя. Можно показать, что «позитивные» утверждения о бесконечных пределах имеют место в случаях, для которых формулами (5.47) и в п. 3.1 были определены некоторые «арифметические операции» с бесконечностями.
5.12. 	Различные формы записи непрерывности функции в точке
Условие непрерывности в точке х0 (см. (5.18))
lim f(x) = f(x0)
X —Xq
функции /, заданной на множестве X, можно понимать как в смысле определения предела функции по Гейне (см. опре-
197


деление 1 в п. 5.4), так и в смысле определения по Коши (см. определение 9 в п. 5.7). В первом случае это означает, что для любой последовательности
хп € X, п = 1, 2, ... ,
lim хп = х0, (5.48)
П —> оо
выполняется условие
lim f(xn) = f(x0). (5.49)
П —> оо
Во втором случае это означает, что для любого £ > 0 существует такое 3 > 0, что для всех точек х, удовлетворяющих условию
|х - х0| < 3, х € X,
(5.50)
выполняется (рис. 25) неравенство
|/(х) - Дх0)| < е. (5.51)
Понятие непрерывности функции, сформулированное в терминах последовательностей (определение (5.48)—(5.49)), отражает собой ситуацию, часто встречающуюся на практике при косвенном вычислении какой-либо величины у, т. е. вычислении ее с помощью измерения некоторого параметра х, от которого эта величина непрерывно зависит, у = f(x). Именно знание непрерывности функции у = /(х) в точке х0 дает объективную уверенность в том, что чем точнее будут последовательно получаться (в результате экспериментов, измерений или расчетов) значения xn, п = 1, 2, ... , приближающие значение х0, тем точнее будут и соответствующие приближенные значения уп = f(xn) величины г/0 = /(х0).
Определение (5.50)—(5.51) непрерывности функции f в точке х0 можно еще перефразировать так: функция f непрерывна в точке х0, если, какова бы ни была заданная степень точности £ > 0 для значений функции /, существует такая степень точности 3 = 8(e) > 0 для аргумента, что коль скоро мы выберем значение аргумента х, равное х0 с точностью до 8, т. е. удовлетворяющее условию (5.50), и возьмем значение функции /(х), то получим значение /(х0) с заданной сте198


пенью точности, т. е. будет выполнено неравенство (5.51). Это высказывание является, конечно, перефразировкой определения (5.50)—(5.51), разъясняющей интуитивное представление о непрерывной функции.
Так как непрерывность функции в точке является частным случаем существования предела функции, то определение непрерывности функции в точке можно дать в терминах окрестностей, надо лишь к условию (5.20) добавить требование х0 € X. Таким образом, функция /, определенная на множестве X, непрерывна в точке х0, если для любой окрестности Щуо) точки z/0 = /(х0) существует такая окрестность С7(х0) точки х0, что выполняется включение
/(Щх0) n X) CZ [7(у0), х0 е X. (5.52)
Наконец, перенося постоянную /(х0) в равенстве (5.18) в левую часть, внося ее под знак предела и замечая, что обозначение х Xq при пределе функции равносильно обозначению х - Xq 0 (см. п. 5.4), получим
lim [f(x) - /(х0)] = 0. (5.53)
х - х0 —> 0
Разность х - Xq называется приращением аргумента и обозначается через Дх, а разность /(х) - /(х0) — приращением функции у = /(х), соответствующим данному приращению аргумента Дх, и обозначается через Дг/. Таким образом,
Дх = х - х0, Дг/ = /(х0 + Дх) - /(х0), Xq € X, х € X. (5.54)
В этих обозначениях равенство (5.53) принимает вид
lim \y = G, (5.55)
Дх 0
т. е. непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Иногда бывает полезным условие непрерывности функции в точке, основанное на рассмотрении предела функции по проколотой окрестности.
199


ЛЕММА 3. Если существует предел
lim f(x) = а (5.56)
X G U(Xq) П X
и функция f определена в точке х0, то f непрерывна в точке Xq тогда и только тогда, когда /(х0) = а.
Доказательство. Если функция f непрерывна в точке Xq. т. е. выполняется условие (5.13), то в силу очевидного
включения U(Xq) А X <= X и того, что из существования предела по множеству следует существование предела и по любому подмножеству, имеем
lim f(x) = f(xo). (5.57)
х е U(x0) n X
Из (5.56) и (5.57) следует, что /(х0) = а.
Пусть теперь, наоборот, выполняется условие /(х0) = а и, следовательно,
lim /(х) = /(х0).
X Xq (5.56)
X G U(x0) n X
Отсюда имеем, что для любой окрестности С7(/(х0)) точки /(х0) существует такая окрестность U(Xq) точки х0, что
/(d(x0)AX)^?7(/(x0)). (5.58)
Но, очевидно, /(х0) € С7(/(х0)), поэтому в левой части включения (5.58) можно проколотую окрестность U(Xq) заменить обычной окрестностью С7(х0):
/(CZ(x0)AX)^CZ(/(x0)).
Это и означает, что функция f непрерывна в точке х0. □ Приме р ы. 1. Функция f(x) = с. где с — постоянная, непрерывна на всей числовой прямой.
В самом деле, для любого х0 € R имеет место равенство lim f(x) = lim с = с = f(xQ). □
X Xq X Xq
2. Функция /(х) = - непрерывна в каждой точке х0 0.
В самом деле, 1 1
\у = /(х0 + Дх) - /(х0) = - - = -(Хо + №о ,
200


откуда при х0 0 имеем
Дх
при х О, при х = О,
lim Дх
1 • a I . лх Дх -> о О хх
hm Ау = - hm -———-— = --р—-—, . ч— = --Z = О.
Дх^О дх^О(хо + Д*)*о Д1™О(Х° + Дх)х° х*
Это, согласно (5.52), и означает непрерывность функции Дх) = | в точке Xq 0. □
3. Функция f(x) = |sign х| (см. рис. 22) не является непрерывной в точке Xq = 0, так как предел этой функции (по всей числовой оси) в точке х0 = 0 не существует (см. пример 5 в п. 5.4).
УПРАЖНЕНИЯ. 8. Выяснить, с какой степенью точности достаточно задать значения аргумента функции х3 в данной точке х0, чтобы получить значение функции с заданной степенью точности £ > 0.
9. Выяснить, является ли функция
I X cos
Лх) = У
[0 непрерывной в точке х = 0.
До сих пор в качестве примеров функций, определенных на отрезках и имеющих разрывы, мы рассматривали функции, у которых имелось либо конечное множество точек разрыва (например, функция у = sign х имеет на отрезке [-1, 1] одну точку разрыва х = 0), либо множество точек разрыва совпадало со всем отрезком (функция Дирихле). Приведем теперь пример функции, имеющей бесконечное множество точек разрыва, не совпадающее со всем отрезком, на котором задана функция.
Пример 4. Пусть функция f равна , п е N, в каждой не равной нулю рациональной точке г = (т 0) отрезка [0,1], где — — несократимая рациональная дробь, и равна нулю во всех остальных точках отрезка, т. е. в нуле и в иррациональных точках. Эта функция называется функцией Римана1. Функция f разрывна в каждой рациональной точке г 0, так как для любой такой точки существует последовательность иррациональных чисел п = 1, 2, ... , стремящихся к г, для которых, согласно определению функции
1 Б. Риман (1826—1866) — немецкий математик.
201


Римана, = 0 и, следовательно, lim = 0 /(г),
П оо
lim = г, т. е. функция Римана разрывна во всех раци- П —> оо
опальных точках г 0.
Покажем, что в каждой иррациональной точке и в нуле функция Римана непрерывна. Пусть число либо нуль, либо иррационально. Зададим произвольно е > 0 и выберем натуральное п так, чтобы “ < Обозначим через 3 расстояние от
точки с до ближайшего из чисел —, —, ... , , 1 (т =
° т т т х
= 1, 2, ... , п). Очевидно, 3 > 0, так как не равно ни одному из указанных чисел и их конечное множество. Пусть |х - < < 8 и х — рациональное число, т. е. выражается несократимой
р q
рациональной дробью х =
тогда, согласно выбору 8, имеет
место неравенство q> п, поэтому \f(x) - f(t)\ = - < - < е, ибо /(^) = 0. Если же |х - < 8 их — иррациональное число, то
/(х) = 0 и |/(х) - f(t)\ = 0 < е. Это и означает непрерывность функции Римана в точке □
5.13. 	Классификация точек разрыва функции
Определение 14. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой этой точки.
Точка х0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке х0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
УПРАЖНЕНИЕ 10. Сформулировать в «позитивном» смысле определение точки разрыва функции.
Образно говоря, точка х0 является точкой разрыва функции, если х0 является значением аргумента, при котором происходит «разрыв графика функции».
Определение 15. Если х0 — точка разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы1 /(х0 - 0) =
1 Напомним, что односторонние пределы /(х0 - 0) и /(х0 + 0) берутся по множеству, не содержащему саму точку х0.
202


= lim f(x) и f(xQ + 0) = lim /(x), то точка x0 назы- X Xq - 0 X—>X0 + 0
вается точкой разрыва первого рода.
Величина /(х0 + 0) - /(х0 - 0) называется скачком функции f в точке х0. Если скачок функции f в точке разрыва х0 равен нулю, т. е. /(х0 + 0) = /(х0 - 0), то х0 называется точкой устранимого разрыва.
Последний термин оправдан тем, что если в этом случае переопределить или доопределить (если функция f была не определена в точке х0) функцию /, положив
ftx0) = Дх0 - 0) = Дх0 + 0), (5.59)
то получим непрерывную в точке х0 функцию.
Действительно, покажем, что если для функции f : X R выполнено условие (5.59), то она непрерывна в точке х0. Положим = Х\{х0} и Х2 = {х0}. В силу теоремы 2 п. 5.9, из равенства f(xQ + 0) = f(xQ - 0) следует, что в точке х0 существует предел функции f по множеству причем, согласно условию (5.59), он равен /(х0):
lim /(х) = /(х0).
X —> х0
х е Хг
С другой стороны, предел функции f при х х0 по одноточечному множеству Х2 = {х0}, очевидно, равен /(х0) (предел постоянной равен самой этой постоянной):
lim f(x) = f(x0).
X —Xq хеХ2
Поэтому, в силу леммы 5 п. 5.8, при х х0 у функции f существует и предел, равный /(х0), по множеству X = Хг U Х2:
lim f(x) = f(x0).
X Xq
Это и означает непрерывность функции f в точке х0. □
203


Рис. 26
Точка разрыва функции, не являющейся ее точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов lim f(x) или lim f(x) х^х0- 0 x x0 + О
не существует. Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный предел.
УПРАЖНЕНИЕ 11. Сформулировать в «позитивном» смысле определение точки разрыва второго рода.
Функции sign х (см. рис. 19) и |sign х| (см. рис. 22) имеют в точке xQ = 0 разрыв первого рода, причем у |sign х| это устранимый разрыв, а функции (рис. 26) и sin ( см. рис. 21) в точке х0 = 0 имеют разрыв второго рода.
5.14. 	Пределы монотонных функций
Определение 16. Функция f : X > R, X с R, называется возрастающей (убывающей) на множестве X. если для любых таких точек хг € X u х2 е X, что хг < х2, выполняется неравенство f(xx) < /(х2) (соответственно неравенство ft*i) > Дх2)).
Возрастающие (убывающие) функции называются иногда неубывающими (невозрастающими).
Если функция является возрастающей (убывающей) на множестве X, то говорят также, что она возрастает (убывает) на этом множестве.
Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то функция получающаяся из f изменением знака у всех ее def
значений, т. е. (~f)(x) = ~f(x), х € X, является убывающей (возрастающей) на X функцией.
Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.
204


ТЕОРЕМА 4. Пусть функция f : X —>■ R возрастает на множестве X, а = inf X, р = sup X, причем а <$. X, р £ X; тогда у функции f в точке а существует предел справа и lim f(x) = inf f(X), а в точке P — предел слева и ха хе X
lim f(x) = sup f(X).
x —> p x e X
Таким образом, если в условиях теоремы функция f ограничена сверху, то в точке Р у нее существует конечный предел слева, а если f не ограничена сверху, то lim f(x) = +°°.
X —> р
Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке а у нее существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то lim f(x) =
X —> ос
Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции -f.
СЛЕДСТВИЕ. Если функция f монотонна на множестве X, х0 Е й, множества Х< (х0) d=f {х : х е X, х < х0} и Х>(х0) d=f d=f {х : х € X, х > х0} не пусты, а х0 является точкой прикосновения каждого из них, то в точке х0 существуют конечные односторонние пределы
f(xQ - 0) = sup f(x) и f(xQ + 0) = inf f(x), (5.60)
X<(XO) X>(x0)
причем в случае возрастающей функции
f(xQ - 0) < f(xQ + 0), (5.61)
а в случае убывающей функции
- 0) > ftx0 + 0). (5.62)
Доказательство теоремы. Пусть Ъ = sup /(х) < и х
Р = sup X, Р £ X. Зададим произвольно окрестность U(b) точки Ь, и пусть Т| — ее левый конец. Очевидно, Т| < Ъ и поэтому, в силу определения верхней грани функции, существует такая точка € X, что
ГЮ > п, (5.63)
причем, в силу условий € X, Р = sup X и Р X, имеем < р.
205


растания функции /, и
Обозначим через С7(Р) окрестность точки р, для которой является левым концом (т. е. если Р — действительное число, то левым концом интервала С7(Р, е) = (Р - е, р + е), е = = р - а если Р = +оо, то левым концом бесконечного полуинтервала (£, +°°]). Тогда для любой точки
хеХП?7(Р) (5.64)
имеет место (рис. 27) неравенство < х, а следовательно, в силу воз- неравенство < Дх). Поэтому для
всех х, удовлетворяющих условию (5.64), имеем
Т| < Дх) < sup Дх) = Ь. (5.65)
(5.63) X
Вспоминая, что точка Т| является левым концом окрестности U(b) точки Ь, из (5.65) получим включение Дх) Е U(b). Таким образом, для любой окрестности U(b) точки b существует такая окрестность С7(Р) точки р, что как только х Е X А А С7(Р), то выполняется включение Дх) Е U(b). Это и означает, что lim Дх) = b = sup Дх).
X
Аналогично доказывается, что lim Дх) = inf Дх). □
п —> ос X
Доказательство следствия. Пусть для определенности функция возрастает на множестве X и х0 является точкой прикосновения непустых множеств X < (х0) и X > (х0). Тогда каковы бы ни были точки х Е X < (х0) и х” Е X > (х0), справедливо неравенство Дх') < Дх"). Поэтому функция f ограничена сверху на множестве X < (х0) числом Дх") и ограничена снизу на множестве X > (х0) числом f(x'). Следовательно,
sup Дх) < Дх"), inf Дх) > Дх'). (5.66)
Х<(х0) Х>(х0)
В частности, указанные верхние и нижние грани конечны, причем первое из неравенств (5.66) справедливо для любой точки х" Е X > (х0), поэтому, перейдя в его правой части к нижней грани значений функции на множестве X > (х0), получим
sup Дх) < inf Дх).
Х<(х0)
(5.67)
206


Этим завершается доказательство следствия, так как, согласно теореме 4, пределы слева /(х0 - 0) и справа /(х0 + 0) существуют, причем
/(х0 - 0) = sup /(х), /(х0 + 0) = inf /(х), Х<(х0) Х>(х0)
поэтому неравенства (5.61) совпадают с неравенством (5.67). □ Замечание 1. В теореме 4 для возрастающей функции f: X R рассмотрены случаи, когда inf X = а £ X и sup X = Р £ X. Если же, например, а € X, то, как и для произвольной (немонотонной) функции, здесь возможны два случая: предел lim /(х) существует, тогда функция f явля- X —> ос хеХ
ется непрерывной в точке а (рис. 28) или не существует (рис. 29). Аналогичная ситуация имеет место и для точки р.
Замечание 2. Из элементарной математики известно, что функция
/(г) = а\ а > 0, (5.68)
где г — рациональное число, г Е Q, монотонна на множестве всех рациональных чисел Q (см. также п. 2.6 ). Для каждого действительного числа х множества рациональных чисел г < х, г > х не пусты и х является их точкой прикосновения. Поэтому, согласно следствию теоремы 4, для любого действительного числа х существуют пределы lim а и lim аг, г —> х - 0 г —> х + 0
r^Q (по множеству рациональных чисел Q, так как пока у нас показательная функция определена только для рациональных показателей).
В частности, указанные пределы существуют для х = 0. Согласно определению предела, их значения равны соответственно значениям пределов последовательностей аГп при 207


любых последовательностях аргумента гп < 0 и гп > 0, стремящихся к нулю, rn € Q, п = 1, 2, ... . В частности, можно взять гп = - - и гп = - , для которых эти пределы были уже вычислены (см. пример 3 в п. 4.9). Тогда получим lim аг = г —> -О
1 1
= lim а п = 1, lim а = lim ап = 1, т. е. односторонние пре- П —> ОО Г —>+0 П —> ОО
делы в точке г = 0 функции а, г € Q, равны, и, следовательно, согласно следствию из теоремы 2 п. 5.9, существует двусторонний предел lim ar = 1. Он совпадает со зна- г —> 0, г О
О А*
чением а = 1 функции а при г = 0, а поэтому (см. лемму 3 в п. 5.12) она непрерывна в нуле
limar = a°=l, г е Q, а е R, а > 0. (5.69)
г —> 0
Это равенство будет существенно использовано в п. 7.2 при определении показательной функции ах для любого действительного числа х, а > 0.
Данный пример показывает, что понятие предела по множествам встречается уже в самых простейших ситуациях.
Замечание 3. Из теоремы 4 следует, что всякая монотонная на конечном (бесконечном) интервале функция может иметь только точки разрыва первого рода, причем их множество не более чем счетно (т. е. конечно или счетно).
В самом деле, пусть для определенности функция f : (a, b) R возрастает на интервале (а, й), < а < Ъ < +°°.
Прежде всего, согласно следствию из теоремы 4, функция f в каждой точке х0 € (а, Ь) имеет конечные пределы слева /(х0 - 0) и справа /(х0 + 0), а следовательно, может иметь только разрывы первого рода (определение точки разрыва первого рода см. в п. 5.13), при этом у нее не может быть точек устранимого разрыва. Действительно, если х0 € (а, й), то для всех х € (а, х0) и х” € (х0, й), в силу возрастания функции /, справедливо неравенство
Дх') < /(х0) < откуда
sup /(х) < /(х0) < inf /(х).
(а, х0) (а, х0)
208


Здесь (а, х0) = {х € (а, Ь): х < х0}, а (х0, Ь) = {х € (а, Ь): х > х0}, поэтому, согласно (5.60), полученное неравенство можно записать в виде
f(xQ - 0) < f(xQ) < f(xQ + 0). (5.70)
Если xQ — точка устранимого разрыва, т. е. имеет место неравенство f(xQ - 0) = f(xQ + 0), то, в силу (5.70), выполняется условие f(xQ - 0) = /(х0) = /(х0 + 0), что означает (см. п. 5.9) непрерывность функции f в точке х0. Итак, если х0 — точка разрыва функции /, то /(х0 - 0) < /(х0 + 0).
Сопоставим каждой точке разрыва х0 функции f интервал (/(х0 - 0), f(xQ + 0)) и покажем, что эти интервалы не пересекаются. В самом деле, если хг и х2 — две точки разрыва функции f и, например, хг < х2, то f(xr + 0) < f(x2 ~ 0). Докажем это. В силу возрастания функции /, для любых точек х' и х" таких, что хг < х < х" < х2, справедливо неравенство f(x') < Дх"). Перейдя в этом неравенстве к пределу при х'
хг + 0, получим f(xr + 0) < f(x"). Устремляя здесь х" к х2 слева: х" х2 - 0, будем иметь f(xr + 0) < f(x2 - 0), т. е. правый конец интервала (/(хг - 0), f(xr + 0)) не больше левого конца интервала (f(x2 - 0), f(x2 + 0)). Отсюда, очевидно, и следует, что указанные интервалы не пересекаются.
Итак, точкам разрыва монотонной функции f : (a, b) R можно поставить во взаимно однозначное соответствие некоторую систему попарно не пересекающихся интервалов. В каждом таком интервале выберем по одному рациональному числу (такие числа всегда существуют, поскольку множество рациональных чисел всюду плотно на числовой оси (см. замечание в п. 4.11 )). В результате получим взаимно однозначное соответствие между интервалами указанной системы и множеством выбранных рациональных чисел, а следовательно, и между точками разрыва функции и некоторым подмножеством множества рациональных чисел. Но всякое подмножество счетного множества (каким является множество рациональных чисел (см. п. 4.11)) либо конечно, либо счетно, следовательно, конечно либо счетно множество точек разрыва монотонной функции. □
209


5.15. 	Критерий Коши существования предела функции
В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке х0, причем это условие будет сформулировано только в терминах значений самой функции, следовательно, значение указанного предела в этом условии не участвует.
Как и раньше, под точкой х0 понимается либо действительное число, либо одна из бесконечностей оо, +оо или -оо, a xQ является точкой прикосновения множества определения рассматриваемой функции.
ТЕОРЕМА 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция f : X R имела в точке х0 конечный предел, необходимо и достаточно. чтобы для любого е > 0 существовала такая окрестность С7(х0) точки х0, что для любых х € С7(х0) А X и х” е J7(x0) АX выполнялось бы неравенство
|/(х") - f(x')\ < Е.
Доказательство необходимости. Пусть f : X —>■ R и lim f(x) = а € R. Это означает, что для любого е > 0 сущест-
X —Xq
вует такая окрестность U(xQ) точки х0, что для каждого х € U(Xq) А X справедливо неравенство
|/(х)-а|<|. (5.71)
Пусть х' Е U(Xq) П X и х Е U(Xq) А X; тогда, в силу (5.71), будем иметь
|/(х") - f(x')\ = \[f(x") - а] + [а - ftx')]| <
< \f(x") - а\ + \а - f(x')\ < | + | = е. □
Доказательство достаточности. Пусть функция f : X R такова, что для любого е > 0 существует такая окрестность U(Xq) точки Xq. что для всех
х' е U(xq) а X. х е ?7(x0) А X. (5.72) 210


выполняется неравенство
\f(x") - f(x')\ < Е. (5.73)
Покажем, что отсюда следует существование у функции f конечного предела в точке х0. Возьмем какую-либо последовательность хп € X, п = 1, 2, ... ,
lim хп = х0 (5.74)
П —> оо
и произвольно зададим г > 0. Для этого г, согласно сделанному предположению, существует окрестность С7(х0) точки х0, удовлетворяющая условиям (5.72)—(5.73). В силу же условия (5.74), для этой окрестности U(Xq) существует такое nQ € 7V, что при всех п > nQ, п € 7V, имеет место хп € С7(х0), а так как хп € X, то хп € С7(х0) П X, п = nQ + 1, п0 + 2, ... . Отсюда, принимая во внимание (5.72)—(5.73), получаем, что для всех п > tIq и всех т > п0 выполняется неравенство
|/(х„) - f(xm)\ < Е,
т. е. числовая последовательность {f(xn)} удовлетворяет условиям критерия Коши для числовых последовательностей (см. п. 4.7) и, следовательно, сходится.
Таким образом, для каждой последовательности хп € X, п = 1, 2, ... , lim хп = х0, последовательность {f(xn}} сходит- П —> оо
ся. Отсюда, как известно (см. лемму 4 в п. 5.6), следует существование конечного предела lim /(х). □
X Xq
В том случае, когда х0 является числом, условие Коши можно сформулировать следующим образом:
для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для любых х' € X и х" € X, удовлетворяющих условиям |х' - х0| < 3, |х" - х0| < 8, выполняется неравенство
|/(х") - /(х')| < Е.
При Xq = °° условию Коши можно придать следующий вид: для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для любых х' е X и х" € X, удовлетворяющих условиям |х'| > 8, |х"| > 8, выполняется неравенство |/(х") - /(х')| < е.
211


Для случая односторонних пределов условие Коши можно перефразировать без термина «окрестность» следующим образом:
для любого е > 0 существует такое Т| (т| < х0, когда рассматривается предел слева. и Т| > х0, когда предел справа), что для любых х'еХ и х"с X, удовлетворяющих условию Т| < х < х0, Т| < х" < х0 или соответственно х0 < х < т|, х0 < х” < т|, выполняется неравенство |/(х") - Дх')| <
Отметим, что все эти критерии существования предела функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии (понятию окрестности) получили единое доказательство.
5.16. 	Предел и непрерывность композиции функций
Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиций функций, каждая из которых имеет соответствующий предел.
Если f \ X ' R. g \Y R и выполнено условие f{X) <= Y. то на множестве X определена композиция g°f функций f и g или, как говорят, сложная функция £[f(x)]. Рассматриваемые ниже пределы lim /(х) и lim g(y) могут быть конеч-
у ^Уо
ными или бесконечными, а х0 и yQ — конечными или бесконечно удаленными точками прикосновения (см. п. 5.4) соответственно множеств X и f(X).
ТЕОРЕМА 6. Пусть f : X R. g : Y R. f{X) и существуют конечные или бесконечные пределы
lim f(x) = y0, (5.75)
lim g(y); (5.76)
У^Уо
тогда при х х0 существует и предел (конечный или бесконечный) сложной функции g[/(x)], причем
lim £|/(х)] = lim g(y).
X -> XO у -> у0
СЛЕДСТВИЕ. Если f : X R, g : УR, f(X) <= У и функция f непрерывна в точке хоеХ, а функция g непрерывна в точке Уо = Л^о)’ то сложная функция непрерывна в точке х0.
212


Короче (но менее точно), непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.
Доказательство теоремы 6. Обозначим значение предела (5.76) через 20: lim g(y) = (з0 — число
У^Уо
либо одна из бесконечностей) — и зафиксируем произвольным образом окрестность U = точки 20. Тогда, согласно определению предела, существует такая окрестность У = У(г/0) точки у, что если
г/еУПУ(Уо), то
g(y) € U(zQ).
(5.77)
(5.78)
Далее, для полученной окрестности V{y^Y в силу существования предела (5.75), найдется такая окрестность W = = VK(x0), что если
хеХПТУ(х0), (5.79)
то
Дх) е V(yQ),
sl так как Дх) € Y, то
Дх)еУПУ(^0). (5.80)
Из выполнения условий (5.79)—(5.80), в силу (5.77)—(5.78), при у= Дх) имеем: если выполнено включение (5.79), то (рис. 30)
£[Дх)]е СДг0).
Так как окрестность С7(г0) точки 20 была произвольна, то это означает, что при х х0 у функции ё*[Дх)] существует предел, равный 20:
lim g [/(*)] = z0 = lim g(y). □
X XO у -> y0
Утверждение следствия является частным случаем теоремы, когда yQ = lim Дх) = Дх0) и lim g(y) = g(yQ) (при этих х х0 у -> у о
предположениях точки х0 и yQ принадлежат соответственно 213


множествам X и Y, поэтому являются их точками прикосновения):
lim £[/(*)]= lim g(y) = g(y0) = g[f(x0)].
x^Xq У ^Уо
Замечание 1. Если f : X R, g : X R, существует предел (5.75) и множество Y содержит некоторую окрестность У(уц) точки z/0:
YQ/o) У, (5.81)
то, в силу существования предела (5.75), найдется такая окрестность W = W{xq) точки х0, что f(X A W) <== V(yQ), и, следовательно, для сужения /0 функции f на множестве X A W выполнено включение
fQ(XnW)^ У. (5.82)
Таким образом, если перейти к сужению /0 функции /, то при указанном дополнительном предположении (5.81) в условиях теоремы 6 можно не требовать существования композиции функций g и /0, т. е. выполнения условия f(X) Y — в указанном выше смысле оно выполняется автоматически, а именно имеет место включение (5.82) и поэтому существует КОМПОЗИЦИЯ g°f().
Замечание 2. Утверждение следствия теоремы 7 можно записать в виде формулы
lim £[/(*)] = £[ lim Дх)], (5.83)
X х0 х х0
из которой видно, что, образно говоря, операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.
В самом деле, левая часть равенства (5.83), в силу непрерывности функции g [Дх)] в точке х0 (см. следствие теоремы 6), равна g [(Дх0)]. Этому же значению g [Дх0)] равна и правая часть равенства, но уже в силу непрерывности функции f в той же точке х0.
Замечание 3. Доказанную в теореме 6 формулу
lim £[Дх)] = lim g(y), (5.84)
X Xq У ^Уо
214


где yQ = lim f(x), можно рассматривать как правило X Xq
замены переменного для вычисления пределов сложных функций.
Употребляя обозначение композиции функций £*% равенство (5.84) можно записать в виде
lim (£°/)(х) = lim g(y).
x^Xq У^Уо
Замечание 4. Пусть f : X R, g : Y R, f(X) <= Y и lim f(x) = yQ. В этом случае, согласно теореме 6, из сущест- X Xq
вования предела (конечного или бесконечного) в правой части равенства (5.84) следует существование соответствующего предела в левой части и равенство этих пределов. Если, кроме того, отображение f: X Y является взаимно однозначным отображением множества Хна множествоУ (т. е. на Y существует однозначная обратная функция f 1) и если lim f 1(у) = х0, то и наоборот, из существования ко- У^Уо
печного или бесконечного предела в левой части равенства (5.84) следует существование соответствующего предела в правой части этого равенства.
Таким образом, при сделанных предложениях предел (конечный или бесконечный) lim ^[/(х)] существует тог- X —Xq
да и только тогда, когда существует (конечный или бесконечный) предел lim g(y). причем в случае их существо- У^Уо
вания они равны.
Это утверждение следует из теоремы 6, если ее применить к композиции (g°f)°f 1 функций f 1 и g°f. Согласно теореме 6, из существования пределов lim f \у) = х0 и У^Уъ
lim (g°f)(x) следует, что существует предел
X —Xq
lim ((£о/)о/-1)(г/) = lim (g°f)(x),
У -^Уо х-?х()
но (g°f)°f 1 = g°(f°f Ь = g- Тем самым существует предел lim g(y). причем lim g(y) = lim (g°f)(x).
У У о У^Уо X Xq
215


§6.
Свойства непрерывных функций на промежутках
6.1. 	Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений
В настоящем параграфе будет изучен ряд важных, находящих многочисленные применения свойств непрерывных функций.
Определение 1. Функция f \ X R, X R, называется непрерывной на множестве X. если она непрерывна по множеству X в каждой его точке (см. определения 5 и 8 в п. 5.5).
Важным классом непрерывных функций является класс функций, непрерывных на промежутках числовой оси. Начнем его изучение с функций, непрерывных на отрезках. Если функция f непрерывна на отрезке [а, 6], то ее непрерывность в точке х = а означает непрерывность справа, а ее непрерывность в точке х = Ъ — непрерывность слева в этих точках.
Наибольшим max f {наименьшим min f) значением функ- х х
ции f : X R называется наибольшее (наименьшее) значение множества всех ее значений (см. п. 3.3). Очевидно, что если у функции f существует наибольшее (наименьшее) значение, то оно является ее верхней (нижней) гранью (см. п. 5.1) sup /(соответственно inf /).
х х
ТЕОРЕМА 1 (теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает на нем наибольшее и наименьшее значение.
Доказательство. Пусть функция / непрерывна на отрезке [а, й] и пусть М = sup /(х); как и всякая верхняя а С х С Ъ
грань непустого множества чисел, М может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +°°. Покажем, что М < и что существует такая точка х0 € [а, 6], что /(х0) = М.
216


Выберем какую-либо последовательность таких чисел ап, п = 1, 2, ... , что
lim ап = М, ап < М. п = 1, 2, ... . (6.1)
П —> оо
Согласно определению верхней грани функции, для каждого ап. п = 1, 2, ... , существует такая точка хп € [а, 6], что
f{xn)>an. и =1,2, .... (6.2)
С другой стороны, поскольку М — верхняя грань функции /, для всех точек х € [а, й] справедливо неравенство
Дх) < М. (6.3)
Последовательность {хп} ограничена: а < хп < й, п = = 1, 2, ... , поэтому по теореме Больцано—Вейерштрасса (см. п. 4.6) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х„ }
lim х = х0. (6.4)
k^oo k
Так как а < хп^ < fe, k = 1, 2, ... , то (почему?) и а < х0 < й, т. е. х0 — точка отрезка [а, 6].
Из неравенств (6.2) и (6.3) следует, что для всех k = = 1,2,... справедливы неравенства
ank<f(xnk)<M. (6.5)
Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности; поэтому из (6.1) имеем lim ап = /? -> ОО k = М. Переходя в (6.5) к пределу при k °°, получаем
limftx ) = М. (6.6)
/? -> ОО k
С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке [а, й] она непрерывна в точке х0 этого отрезка и, следовательно, из (6.4)следует, что
lim f(xn ) = f(x0). (6.7)
fe —> оо h
Из формул (6.6) и (6.7) имеем М = /(х0).
217


Таким образом, доказано, что верхняя грань М функции f совпадает со значением функции в точке х0 и, следовательно, конечна. Тем самым функция f ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке х0 € [а, 6].
Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани. □
Теорема, аналогичная теореме 1, несправедлива для промежутков, не являющихся отрезками; в этом легко убедиться, построив соответствующие примеры. Например, функция у = 1/х непрерывна в каждой точке интервала (0, 1) и вместе с тем не ограничена на нем; функция у = х непрерывна на всей числовой оси и не ограничена на ней.
Отметим еще, что если функция f непрерывна не на отрезке, а на промежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена на нем, она, вообще говоря, не имеет наибольшего и наименьшего значения. Например, функция у = х на интервале (0, 1) и у = arctg х на всей числовой прямой, хотя они непрерывны (непрерывность функции у = arctg х будет доказана в п. 7.3) и ограничены на указанных промежутках, не достигают своих верхних и нижних граней.
УПРАЖНЕНИЯ. 1. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и f(x) > 0 для всех х € [а, д]. Тогда существует такое с > 0, что f(x) > с для всех х € [а, &].
2. Доказать, что функция f, непрерывная на конечном или бесконечном полуинтервале [а, Ъ), а < Ъ < +°о, и имеющая конечный предел
lim fix), ограничена на [а, Ъ). х^Ь - О
6.2. 	Промежуточные значения непрерывных функций
ТЕОРЕМА 2 (теорема Больцано—Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [а, й] и f(a) = A, f(b) = В, то для любого С, заключенного между А и В, существует такая точка, е [а, &], что /(^) = С.
Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.
218


Доказательство. Пусть для on- f(x)
ределенности f(a) = А < В = f(b) и А < ,
< С < В. Разделим отрезок [а, й] точкой а / \ь х0 на два равных по длине отрезка; тог- “; у да либо /(х0) = С и, значит, искомая точка £ = х0 найдена, либо /(х0) С и Рис. 31
тогда на концах одного из полученных отрезков функция / принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С, точнее — на левом конце значение, меньшее С, на правом — большее.
Обозначим этот отрезок [ар и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке в которой /(^) = С, либо получим последовательность вложенных отрезков [ап. Ьп]. по длине стремящихся к нулю и таких, что
f(an) < С < f(bn). (6.8)
Пусть — общая точка всех отрезков [ап. Ьп]. п = 1, 2, ... (см. п. 3.7). Как известно (см. (4.26)), = lim ап = lim Ъп.
П оо ДХ —> оо
Поэтому, в силу непрерывности функции /,
= lim f(an) = lim f(bn). (6.9)
ДХ —> оо дх —> оо
Из (6.8) же получим (см. п. 3.3)
lim f(an) < С < lim f(bn). (6.10)
Из (6.9) и (6.10) следует, что = С. □
СЛЕДСТВИЕ 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Это следствие — частный случай теоремы (рис. 31).
СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а. Ь] и М = sup f.m = inf /. Тогда функция f принимает все значения из отрезка [т. М] и только эти значения.
Для доказательства следствия заметим, что если М = sup f. [a, b] т = inf f. то т < f(x) < М и, согласно теореме 1, существуем, Ь]
219


ют такие точки а € [а, й] и Р € [а, 6], что /(а) = m, /(Р) = М. Теперь рассматриваемое следствие непосредственно вытекает из теоремы 2, примененной к отрезку [а, Р], если ос < р, или соответственно к отрезку [Р, а], если Р < ос.
Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.
Отметим, что свойство непрерывных функций принимать все промежуточные значения справедливо для любого промежутка (конечного или бесконечного). Именно: если непрерывная на некотором промежутке функция принимает в двух его точках а и Ъ, причем а < Ъ, два каких-то значения, то она принимает и любое промежуточное. В самом деле, согласно теореме 2, рассматриваемая функция заведомо принимает указанное значение в некоторой точке отрезка [а, 6], который является частью исходного промежутка.
Замечание. Как в теореме 1, так и в теореме 2 было доказано существование точки на данном отрезке, в которой значение рассматриваемой непрерывной функции обладает определенным свойством (в первой теореме в этой точке достигается экстремальное значение, во второй — принимается заданное промежуточное значение). Однако между методами, примененными для доказательства этих утверждений, имеется принципиальное различие. Метод доказательства теоремы 2 дает возможность не только доказать в общем случае существование указанной точки, но и фактически найти ее с любой заданной степенью точности для каждой конкретной функции: нужно разделить отрезок, на котором ищется точка, достаточное число раз пополам, выбирая каждый раз половину согласно правилу, указанному при доказательстве; концы получившегося отрезка и будут приближенными значениями указанной точки.
Метод же доказательства теоремы 1 не позволяет указать способ, с помощью которого для каждой непрерывной на отрезке функции можно было бы найти точки, в которых она принимает экстремальные значения. Это обусловлено тем, что доказательство этой теоремы основано на теореме Больцано—Вейерштрасса, утверждающей лишь 220


возможность выделения из каждой ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности. Конкретного метода, или, как это принято говорить, алгоритма, для выделения из любой ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности, не существует.
Заметим еще, что при использовании какого-либо алгоритма на практике важно, как быстро он приводит к цели. С этой точки зрения при приближенном решении уравнения /(х) = 0 обычно применяется не метод последовательного деления отрезка пополам, а другие алгоритмы, быстрее приводящие к цели (см. § 62 во втором томе).
Задача 7. Доказать, что периодическая непрерывная на всей числовой оси функция, отличная от постоянной, имеет наименьший период. Привести пример периодической функции, определенной на всей числовой оси и отличной от постоянной, которая не имеет наименьшего периода.
6.3. 	Обратные функции
Определение 2. Функция f, определенная на числовом множестве X, называется строго возрастающей {строго убывающей), если для любых двух чисел хгеХ и х2еХ таких, что хг < х2, выполняется неравенство f{xx) < f{x2) {соответственно f{xx) > f{x2)).
Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной
Если функция является строго возрастающей (строго убывающей) на множестве X, то будем также говорить, что она строго возрастает (строго убывает) на этом множестве.
Очевидно, что строго монотонная (возрастающая, убывающая) функция является и просто монотонной (соответственно возрастающей, убывающей) функцией в смысле определения 16 из п. 5.14.
ЛЕММА Л. Пусть функция f строго возрастает {убывает) на некотором множестве R и пусть Y — множество ее значений. Тогда обратная функция f1 (см. п. 1.2 ) является однозначной строго возрастающей {строго убывающей) функцией на множестве Y.
221


Доказательство. Пусть для определенности функция f строго возрастает на множестве X. Докажем, что обратная функция однозначна.
Допустим противное. Пусть существует такая точка у € Y, что множество f 1(у) содержит по крайней мере две различных точки и х2:
е f~\y) И х2 е f~\y), хг * х2,
и, следовательно,
f(x1) = f(x2). (6.11)
Для двух чисел хг и х2, хг х2 справедливо одно из двух неравенств: хг < х2 или хг > х2; в первом случае, в силу строгого возрастания функции /, имеем /(хг) < f(x2), а во втором f(xi) > f(x2)> т- е- в обоих случаях равенство (6.11) не выполняется. Таким образом, для каждого у EY множество f \у) состоит в точности из одной точки, т. е. функция f 1 однозначна.
Докажем теперь, что функция f 1 строго возрастает на множестве Y. Пусть
У1<У2’ yieY> У2еУ (6.12)
и пусть х1 = f 1(i/i), х2 = f \у?)* Следовательно, ух = /(л^), у2 = /(х2). Для любых двух чисел хг и х2 справедливо одно из трех соотношений: либо хт > х2, либо хт = х2, либо хт < х2. Если х1 > х2 или х1 = х2, то соответственно было бы уг > у2 (в силу строгого возрастания функции f) или уг = у2 (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству (6.12). Таким образом, из неравенства (6.12) следует, что хг < х2, а это и означает строгое возрастание функции / на множестве У.
В случае строго убывающей на множестве функции f доказательство можно либо провести аналогичным образом, либо свести к уже рассмотренному случаю рассмотрением функции ибо когда функция f строго убывает на множестве X, функция -f строго возрастает на этом множестве. □
222


Рис. 32
ТЕОР Е М А 3. Пусть функция f определена, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке [а, &]; тогда обратная функция f 1 определена, однозначна, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках f(a) и f(b) (рис. 32).
Доказательство. Проведем доказательство теоремы для строго возрастающих функций. Пусть с = f(a). d = f(b).
Покажем, что областью определения обратной функции f 1 является сегмент [с, d\. или, что то же, [с, d\ — множество значений функции f. В самом деле, из возрастания функции f следует, что f(a) < f(x) < f(b). т. е. что f(x) € [с, d\ для любого х € [а, 6]. С другой стороны, каково бы ни было у € [с, d\. т. е. f(a) < у < f(b). согласно теореме 2, существует такая точка х € [а, 6], что f(x) = у. Таким образом, все значения заданной функции f лежат на отрезке [с, d], и каждая точка этого отрезка является значением функции f в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [с, d\ является множеством значений функции f. Отметим, что это утверждение следует также и из следствия 2 теоремы 2, если заметить, что в данном случае
с = min f(x). d = max f(x).
[a, ft] [a, ft]
В силу леммы, функция f 1 однозначная и строго возрастает на отрезке [с, d].
Покажем, наконец, что функция f 1 непрерывна на [с, d]. Пусть у0 е [с, d] и Xq = /-1Q/o)- Пусть с < yQ < d. т. е. z/0 — внутренняя точка отрезка [с, d], тогда, в силу строгого возрастания функции /-1, и а < х0 < Ъ. Зафиксируем некото-
223


(6.13)
рое Е > 0. Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно считать (почему?), что Е таково, что
а < Xq - Е < Xq <
< Xq + е < b.
Пусть уг = f(x0 - е), у2 = f(x0 + + е). Тогда из условия (6.13), в силу строгого возрастания /, следует, что с < ух < yQ < у2 d-
Возьмем 3 > 0 так, чтобы уг < z/0 “ $ < Уо + 8 < */2 (Рис- 33). Если теперь выбрать у таким, что yQ - 8 < у < yQ + 8, то, тем более, г/i < у < у2, и, следовательно, в силу строгого возрастали л-1
ния функции f , справедливо неравенство
x0-e = f 1(y1)<f \y)<f 1(у2) = х0 + е.
Таким образом, для Е > 0 указано такое 8 > 0, что для всех у € (г/0 - 3, г/0 + 8) выполняется неравенство
\f 1(Уо)\<£,
т. е. функция f 1 непрерывна в точке z/0. Если теперь yQ= с или z/0 = с/, то аналогичными рассуждениями доказывается, что функция / непрерывна справа в точке с и непрерывна слева в точке d. Теорема для строго возрастающих функций доказана.
Напомним, что функция f строго убывает тогда и только тогда, когда функция -f строго возрастает, поэтому справедливость теоремы для строго убывающих функций следует из рассмотренного случая. □
Рассмотрим теперь функции, определенные на интервале.
ТЕОР Е М А 4. Пусть функция f определена, строго возрастает {строго убывает) и непрерывна на интервале {а. Ъ) {конечном или бесконечном) и пусть
с = lim f{x). d = lim f{x).
x —> a + 0 x—>6-0
224


Тогда обратная функция f 1 определена, однозначна, строго возрастает {строго убывает) и непрерывна на интервале {конечном или бесконечном) с концами cud.
При этом в случае а = под пределом lim f{x) по- Х - оо + О
нимается предел lim f{x). а в случае b = +°° под пределом X _> - оо
lim f{x) — предел lim f{x).
X —> + — О X —> + оо
Доказательство. Пусть для определенности функция f строго возрастает на интервале {а. Ь). Покажем, что в этом случае множеством ее значений является интервал {с. d). Действительно, согласно теореме о пределах монотонных функций (см. п. 5.14), имеем с = inf f.d= sup f и, следо- (а, Ъ) (а, Ъ)
вательно, для любого х Е {а. Ъ) справедливо неравенство с < f{x) < d. Более того, для всех х Е {а. Ъ) выполняются еще неравенства f{x) с. f{x) d. В самом деле, если бы, например, существовало такое х0, что а < х0 < Ъ и /(х0) = с (это, очевидно, возможно только тогда, когда нижняя грань с конечна), то при а < х < xQ выполнялось бы неравенство f{x) < < f(xo) = с9 что противоречило бы тому, что с = inf f. Итак, (а, Ь)
для всех х Е {а. Ь) выполняются неравенства с < f{x) < d.
С другой стороны, с = inf f.d = sup/, поэтому для любого (а, Ь) (а, Ь)
у. с < у < d. существуют такие хг Е {а. Ь) и х2 Е {а. Ь). что уг = = f{xr) и t/2 = f(x2) удовлетворяют неравенствам
С < У1 < У < У2 < d.
Отсюда следует, что хг < х2г. и поскольку f{xr) = и f{x2) = = у2. то, в силу теоремы Больцано—Коши о промежуточных значениях непрерывных функций, существует такая точка х Е [хр х2]. что f{x) = у. Таким образом, для любой точки у Е {с. d) существует такая точка х Е {а. Ь). что f{x) = у.
1 Случай х1 > х2 невозможен, так как тогда бы в силу возрастания функции f выполнялось неравенство уг > у2.
225


Рис. 34
Тем самым доказано, что действительно множеством значений функции /, или, что то же, множеством определения обратной функции f \ является интервал (с, d). То, что функция f 1 однозначна и строго возрастает в интервале (с, с/), следует из леммы. Ее непрерывность в точке х, х1 < х < х2, следует из того, что она в силу теоремы 3 непрерывна на отрезке [хр х2] <= (а, Ь).
Как и выше, теорема для строго убывающей функции следует из уже доказанной теоремы о строго возрастающей функции с помощью рассмотрения функции -f. □
Замечание. Аналогично доказывается, что если функция строго возрастает и непрерывна на полуинтервале [а, й), -оо < а < Ъ < +°°, или на (а, 6], < а < Ъ < +°°, то об¬
ратная функция определена, строго возрастает и непрерывна на полуинтервале [с, с/), где с = f(a), d = lim /(х), соот- х Ъ - О ветственно на (с, d], где с = lim /(х), d = f(b) (рис. 34).
х —> а + О
Случай строго убывающей на полуинтервале функции Дх) можно свести к случаю строго возрастающей функции, рассмотрев функцию -Дх).
Пример. При любом целом положительном п степенная функция у = хп строго возрастает и непрерывна на положительной полуоси х >0.
Действительно, если 0 < хт < х2, то, перемножая п раз эти неравенства, получим х^ < х2 , т. е. что функция у = хп,
226


п = 1, 2, ... , строго монотонно возрастает. Для доказательства непрерывности функции у = хп заметим, что функция у = = f(x) = х непрерывна в любой точке х0 € R. Действительно, в этом случае yQ = f(xQ) = х0, поэтому Дг/ = у - г/0 = х - х0 = Дх. Следовательно, если задано е > 0, то, взяв 8 = е, получим, что из условия |Дх| < 8 следует |Дг/| = |Дх| < 8 = е. Это и означает непрерывность функции у = х в точке х = х0. Функция же у = хп является произведением п одинаковых функций /(х) = х и потому (см. п. 5.10) также непрерывна во всех точках х € R.
Из того, что lim х = +°°, очевидно, следует, что X —> + оо
lim хп = +°°, п = 1, 2, ... . Кроме того, в нуле функция X —> + оо
у = хп обращается в нуль. Поэтому, согласно замечанию к теореме 4, множеством значений степенной функции у = хп при х > 0 является неотрицательная полуось у > 0.
Обратной функцией для функции уп = х является корень n-й степени nJy, п = 1, 2, ... . Согласно теореме 4 и доказанным свойствам степенной функции у = хп, корень n-й степени nJy , п = 1, 2, ... , определен для любого неотрицательного числа у.
Таким образом, из доказанных теорем следует, в частности, существование и единственность положительного корня п-й степени из любого положительного числа.
Замечание. Из рассмотренного примера еще раз следует, что любой промежуток содержит иррациональные числа (см. следствие 2 из теоремы 8 в п. 4.11). Покажем сначала, что число J2 (существование которого вытекает из рассмотренного выше примера) является иррациональным.
Допустим противное: пусть существует иррациональное число, равное квадратному корню из двух. Запишем это число в виде несократимой дроби p/q (р и q — взаимно простые натуральные числа): л/2 =p/q. Тогда= 2q и, следовательно, число р делится на 2. Действительно, если бы р было нечетным, т.е. р = 2Н 1, ft Е то число = {2k + I)2 = 227


= 4й2 + 2k + 1 также было бы нечетным и равенство р2 = 2k2 не имело бы места. Итак, р = 2k, но тогда 4k2 = 2q2, или q2 = 2k2. Отсюда, как и выше, следует, что q — четное число. Четность чисел р и q противоречит предположению о несократимости дроби p/q.
Из доказанного, очевидно, следует, что всякое число вида (т и п — натуральные) также иррационально. В самом деле, если бы оно было рациональным = ^ , то и J2 оказалось бы рациональным числом: J2 = . Отсюда, в
свою очередь, следует, что всякий интервал содержит иррациональное число (сравните с п. 4.11 ), и притом вида , тип — целые.
Действительно, пусть 0 < а < Ъ. Выберем натуральное п так, чтобы < Ъ - а, а затем натуральное т так, чтобы
(т - 1)72 < mj2
п п
Тогда а < < Ъ. Если же а < Ъ < 0, то, в силу доказанного,
существуют такие целые тип, что
О < —Ъ < < -а;
п
1 поэтому а < < Ь.
В случае а < 0 < Ъ, согласно доказанному, существуют та- кие целые тип, что а < 0 < —— < Ъ. □
6.4. 	Равномерная непрерывность.
Модуль непрерывности
Если функция f непрерывна на отрезке, то это означает, что для любой точки х этого отрезка и для любого числа е > О найдется такое число 8 > 0 (зависящее от точки х и числа е), что для всех точек х отрезка, для которых
\х -х\ <8, (6.13) 228


выполняется неравенство
\f(x') - f(x)\ < £. (6.14)
Если число 3 можно выбрать не зависящим от точки х, так, чтобы при выполнении условия (6.13) выполнялось условие (6.14), то функция f называется равномерно непрерывной. Сформулируем определение этого важного понятия более подробно.
Определение 3. Функция /, заданная на отрезке [а, 6], называется равномерно непрерывной на нем, если для любого е > 0 существует такое 3 > 0, что для любых двух точек х е [а, й] и х е [а, й] таких, что |х' - х| < 8, выполняется неравенство |/(х') - f(x)\ < е.
В символической записи определение непрерывности функции на отрезке выглядит следующим образом:
V х V е > 0 3 8 > О V х', |х' - х\ < 8: |/(х) - f(x)\ < е, а определение равномерной непрерывности так:
V е > 0 3 8 > О V х, х , |х' - х\ < 8: |/(х ) - Дх)| < е. (6.15)
Здесь точки х и х принадлежат отрезку, на котором рассматривается функция /.
Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нем: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку х, то получится определение непрерывности в этой точке.
Приме р ы. 1. Функция /(х) = х равномерно непрерывна на всей числовой оси, так как, если задано е > 0, достаточно взять 8 = е; тогда если |х - х'| < 8, то, в силу равенств /(х) = х, /(х') = х , получим |/(х) - /(х')| <
2. Функция /(х) = sin , х 0, будучи непрерывной на своей области определения, т. е. на числовой оси, из которой удалена точка х = 0, не будет на ней равномерно непрерывна.
В самом деле, если взять, например, е = 1, то при любом сколь угодно малом 8 > 0 найдутся точки х и х , например
1 / 1 / точки вида х = /о , п— и х = ~—/о , п— \п — достаточно
" л/2 + 2лп Зл/2 + 2лп v "
большое натуральное число) такие, что |х - х'| < 8, а вместе с тем |/(х) - f(x')\ > 1.
229


3. Функция f(x) = х2 не равномерно непрерывна на всей числовой оси R. Это следует из того, что для любого фиксированного h 0 имеет место равенство
lim [f(x + h) - Дх)] = lim [(х + h)2 - х2] =
X оо X —> оо
= lim (2xh + h2) = °°.
X —> оо
Поэтому если задано е > О, то, каково бы ни было 3 > 0, зафиксировав h 0, \h\ < 3, можно так выбрать х, что будет выполняться неравенство |Дх + h) - Дх)| > е.
ТЕОРЕМА 5 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Докажем теорему от противного. Допустим, что на некотором отрезке [а, й] существует непрерывная, однако не равномерно непрерывная на нем функция f. Это означает (см. (6.15)), что существует такое е0 > 0, что для любого 3 > 0 найдутся такие точки х € [а. й] и х € [а. 6], что |х' - х| < 8, но |Дх') - Дх) > е0. В частности, для 8 = 1/п найдутся такие точки, обозначим их хп и х', что
\х'п-Хп\<\, (6.16)
но
|/(x;)-/(x„)|>e0- (6.17)
Из последовательности точек {хп} в силу свойства компактности (см. теорему 4 в п. 4.6) можно выделить сходящуюся подпоследовательность {хП}}- Обозначим ее предел х0:
lim хп = xQ. (6.18)
/? -> ОО k
Поскольку а < хп^ < Ъ. k = 1, 2, ... , то а < х0 < Ъ (см. п. 4.3). Функция f непрерывна в точке х0, поэтому
lim f(x ) = ftx0). (6.19)
(6.18)
Подпоследовательность {х'п>} последовательности {х'} также сходится к точке х0, ибо при k °°.
\х'п - х0| < |х' - х„ I + \х„ -х0| < — +|х„ -х0| 0.
1 nk и1 1 nk nk' 1 nk Ul (6.16) nk 1 nk Ul (6 18)
230


Поэтому
lim f(x' ) = /(x0). (6.20)
/г->°о h
Из (6.19) и (6.20) следует, что
lim [f(x'n ) - f(x )] = f(x0) - f(x0) = 0,
/? —> oo n n
а это противоречит условию, что при всех k = 1, 2, ... выполняется неравенство
\f(x')-f(xn )| > Ео > 0.
k k (6.17)
Полученное противоречие доказывает теорему. □
Условие равномерной непрерывности можно сформулировать в терминах так называемых колебаний функции на отрезках.
Определение 4. Пусть функция f задана на отрезке [а, 6]. Тогда величина
[а, &]) = sup \f(x') - f(x)\ (6.21)
х, х' е [а, Ь] называется колебанием функции f на отрезке [а, 6].
Из двух значений f(x') - f(x) и f(x) - f(x') одно заведомо неотрицательно и, следовательно, не меньше второго, поэтому величина верхней грани в правой части равенства (6.21) не изменится, если вместо абсолютной величины |f(x') - f(x)\ разности f(x') - f(x) поставить саму эту разность:
со(/; [а, &]) = sup [f(x') ~ Лх)].
х, х' е [а, Ь]
Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы функция f была равномерно непрерывна на отрезке [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы для любого с > 0 существовало такое 3 > 0, что каков бы ни был отрезок [х, х] <= [а, й] длины меньшей 3: 0 < х - х < 3, выполнялось неравенство
со(/;[х, Х])<£. (6.22)
Действительно, поскольку х, х е [х, х'], из неравенства (6.22) следует, что |/(х') - /(х)| < £, поэтому выполняется утверждение (6.15).
Обратно, если справедливо утверждение (6.15), то для любого е > 0 найдется такое 3 > 0, что для любых двух точек х и х отрезка [а, 6], удовлетворяющих условию |х' - х| < 3, имеет место неравенство |/(х') - /(х)| < е/2.
231


Пусть для определенности х < х. Для любых двух точек и Т| отрезка [х, х'], очевидно, выполняется неравенство О < |т| - < х - х < 3, следовательно, и неравенство |Дт|) -
- Д£)| < е/2. Поэтому для любого отрезка [х, х'] такого, что О < х - х < 3, имеем
<0(Л [X, х']) = sup |/(Т|) - Л^)| <!<£.□ Г| е [х, х']
Часто оказывается удобным еще один подход к понятию равномерной непрерывности, а именно подход, связанный с понятием модуля непрерывности функции.
Определение 5.Модулем непрерывности со(3; /) функции f, определенной на отрезке [а, 6], называется функция
со(3; /) = sup |Дх") - Дх')|, х. х" е [а, &]. (6.23)
|х" - х'| < 8
Иногда для краткости вместо со(3; f) будем писать просто со(3). Как и в случае определения колебания функции (6.21), под знаком верхней грани в правой части равенства (6.23) можно не писать знак абсолютной величины разности |Дх") - Дх')|, а брать саму разность — значение верхней грани при этом не изменится:
со(3; f) = sup [f(x") - Дх')], х', х" e [a, &].
| x" - x'\ < 8
Очевидно, что со(3) > 0. Далее, если 0 < 3j < 32, то
{у : У = Кх"} - f(x'), \х" - х'| < 5J <= с {у : У = f(x") - f(x'), \х" - х'| < 62}> откуда
sup [Дх") - Дх')] < sup [Дх") - Дх")], х', х" € [а, 6], | х" - х'\ < 8Х | х" - х'\ < 82
т. е. со^) < со(32). Это означает, что модуль непрерывности является возрастающей функцией.
Примеры. 1. Найдем со(3) для функции у= х2, -оо < < X < +оо.
Для любого 3 > 0 и произвольного фиксированного х0 имеем 2 „2 ,2
со(8; х ) = sup (х" - х ) >
\х" - х'\ < 8
> Хо - (х0 - 5)2 = 2х06 - 52. (6.24)
232


Это неравенство верно для всех х0, и так как при любом фиксированном 8 имеем lim (2х08 - 82) = +°°, то из *0 + °°
(6.24) получаем
со(8; х2) = +°о, -оо < х < +оо.
Найдем теперь модуль непрерыв- , 2
пости функции у = х на отрезке [О, 1]. Интуитивно ясно, что так как модуль непрерывности со(8) описывает, согласно определению, наибольший рост функции на отрезке длины 8, то, чтобы получить модуль непрерывности функции, в данном случае следует взять отрезок [1 - 8, 1], на котором функция /(х) = х2, 0 < х < 1, растет наиболее быстро: модуль непрерывности совпадает (рис. 35) с приращением функции на этом отрезке со(8) = /(1) — /(1 — 8)=1 — (1 — - 8)2 = 25 - 82.
Аналитически это проверяется следующим образом. Пусть 0 < х" - 8 < х < х" < 1 и, следовательно, 0 < х" - х < 8, тогда, в силу неравенства
х"2 - х2 < х"2 - (х" - 8)2 = 2х"8 - 82 < 28 - 82, получим
со(5;х2) = sup (х"2 -х'2)<28 - 82, (6.25)
| х" - х'| < 5
но если взять х = 1 - 8, х” = 1, то
со(8;х2) = sup (х"2 - х,2)>1-(1-8)2 = 25-82. (6.26) | х" - х'| < 5
Из оценок (6.25) и (6.26) следует, что на отрезке [0, 1] имеем со(8; х2) = 28 - 82.
2. Рассмотрим функцию у = sin - , х 0. С одной стороны, соГЗ; sin -1 = sup I sin Л - sin JJ <
1 x) x x'l
< sup | sin Д-J + I sin I—I ] < sup 2 = 2.
Ix - x'|< 5 I x\ I \xV |x"-x'|<5
233


С другой стороны, выбрав х" = 1/^ + х'п = 1/^|л + + 2лп^ и зафиксировав п так, что |х'| < , |х"| < |, и поэтому \хп - хп\ \хп\ + \хп\ 5> будем иметь
(<> . 1 Л . 1 . 1 О
со о; sin - > sin - sin — = 1 + 1 = 2.
I X J Xn Xn
Из полученных оценок следует, что со^З; sin = 2.
3. Рассмотрим функцию у = на интервале (0, 1).
При любом фиксированном 3, 0 < 3 < 1, имеем
(018;^= SUP Ц_Д.'= SUP
\ X) |х X , х' < х" < х' + glx х ,
> V ~ 1Г+8 = х (Х6 + 8) +°° при Х° " +0-
Таким образом, со^З; “Q = +°°.
В терминах модуля непрерывности функции ее равномерная непрерывность может быть описана следующим образом.
ТЕОРЕМА 6. Для того чтобы определенная на отрезке функция была равномерно непрерывна на нем. необходимо и достаточно, чтобы
lim со(3;/) = 0. (6.27)
6 >о
Доказательство. Пусть функция f равномерно непрерывна на отрезке [а, 6], т. е. выполняется условие (6.15), тогда для любого е > 0 существует такое Зе > 0, что если х е [а, &], х" е [а, &], \х" - х \ < Зе, то |/(х") - f(x')| < |. Отсюда следует, что для любого 3, 0 < 3 < Зе, выполняется неравенство
со(8; /) = sup |/(х") - f(x')\ < | < е, х, х" е [а. &],
| х" - х'| < 5
т. е. если 0 < 3 < Зе, то со(3; /) < е. Это и означает, что lim со(3; /) = 0. Необходимость условия (6.27) доказана. 5^0
Докажем его достаточность для равномерной непрерывности. Выполнение условия (6.27) означает, что для любого е > 0 существует такое Зе > 0, что если 0 < 3 < Зе, то 234


co(8; f) < £. Выберем какое-либо из указанных 8. Тогда при \х" - х'\ < 8, х € [а9 6], х” € [а9 й] имеем (см. (6.23)):
Iftx") - f(x')\ < со(8; /) < е,
т. е. функция f равномерно непрерывна на отрезке [а, 6]. □
УПРАЖНЕНИЕ. Непрерывная на отрезке [а, Ь] функция f(x) называется кусочно-линейной, если существует такое разбиение отрезка [а, Ь] на конечное число отрезков [xz _ xz],
а = х0 < < ... < xt < ... < хп _ ! < хп = Ъ,
что функция f(x) линейна на каждом отрезке [xz _ xz], / = 1,2, ... , п.
Доказать, что всякая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция F(x) может быть с любой степенью точности аппроксимирована кусочно-линейной функцией, т. е. для любого £ > 0 существует такая кусочно-линейная функция f(x), что для всех х € [а, Ь] выполняется неравенство \F(X) - f(x)\ < £.
§7.
Непрерывность элементарных функций
7.1. 	Многочлены и рациональные функции
ТЕОРЕМА Л. Любой многочлен непрерывен в каждой точке числовой оси.
В самом деле, функция у = с9 где с — постоянная, непрерывна на всей числовой оси R. Это показано в примере 1 п. 5.12.
Функция вида у = хп также непрерывна при каждом фиксированном п € N в любой точке х € R. Это показано в п. 6.3 (см. приведенный там пример).
Всякий же многочлен получается из функций вида у = с иу = хп с помощью их сложения и умножения, а поэтому является непрерывной функцией в каждой точке числовой оси R (см. п. 5.10). □
ТЕОРЕМА 2. Всякая рациональная функция (Р(х) и Q(x) — многочлены) непрерывна во всех точках числовой 235


оси R, в которых ее знаменатель Q(x) не обращается в нуль.
Это непосредственно следует из того, что многочлены Р(х) и Q(x) непрерывны в каждой точке х € R и частное непрерывных функций также непрерывно во всех точках числовой оси, в которых делитель не обращается в нуль (см. п. 5.10).
Эту теорему удобно использовать при нахождении пределов рациональных функций. Пусть требуется найти lim . Для этого нужно сначала, если, конечно, это воз- х ->х0 можно, сократить дробь на множитель (х - х0)п с наибольшим возможным показателем n > 1. Если получив-
Р^х) шуюся рациональную дробь обозначить , то (см. п. 5.4)
Р(х) W
lim = lim „ . . . r QW Qj(x)
♦Az z *AzQ *Az z *AzQ J’
Если Qj(x0) 0, то, в силу теоремы 2, этот предел равен Рх(х0)
, если же Qi(x0) = 0 (и, значит, Р^х0) 0, ибо в против-
ном случае дробь
можно было бы сократить на х - х0),
то этот предел равен оо
_ Л 1. xZ - Зх + 2 х-2
Примеры. 1. lim 5 = lim ——г
х->1 х2-1 х-»1х+1
1
2 *
о х2 - Зх + 2
2. lim
х —> 1 (х - 1)
,. х-2
11Ш 7 = ОО.
х^\х~Х
7.2. 	Показательная, логарифмическая и степенная функции
Выясним теперь, что понимается под степенью ах, когда а и х — действительные числа, а > 0. Например, что означает
V2 о
выражение л ?
Прежде всего напомним свойства степени аг, где а > 0, г — рациональное число: г = p/q, р и q — целые, q 0 (см. п. 2.6 ).
236


О Г1 Г2
1 . Пусть r\ < r2. Если a> 1, mo a < a , а если a < 1,
rl r2
mo a > a .
Здесь везде г, r\ и г2 — рациональные числа. Вспомним, что а = 1. Из свойства 2 следует, что а а =а = 1, откуда
а' = ~,- (7.1)
а
Далее, из свойства 1° и из (7.1) вытекает, что
а >0 (7.2)
для любого рационального г. Действительно, если г > 0 и а > 1, то, в силу 1°, аг > а0 = 1 > 0. Отсюда, согласно (7.1), имеем
а~г=—г>0. (7.3)
а
Аналогично доказывается неравенство аг > 0 при а < 1. Отметим еще, что для любых а > 0, b > 0 и г е Q имеет место равенство
(ab)r = abr. (7.4)
Определим теперь степень ах для любого действительного х и а > 0.
Определение 1. Пусть а> 0, х — произвольное действительное число. Q — множество всех рациональных чисел. Положим
ах = lim аг. (7.5)
г х0, г е Q
Это определение имеет смысл, так как каждая точка числовой оси является точкой прикосновения множества всех рациональных чисел (см. следствие из леммы 1 в п. 4.10). Оно корректно в том смысле, что указанный предел существует, как это доказано ниже, для любого действительного числа х € R. При доказательстве будем использовать определение предела функции по Гейне (см. определение 1 в п. 5.4).
237


Пусть а > 0, х е R, rn е Q, п = 1, 2, ... , и lim гп = х. Пока- П оо , ГПХ
жем, что последовательность {а } удовлетворяет условиям критерия Коши (см. п. 4.7) и, значит, является сходящейся. Для этого необходимо оценить разность
\а п - а т | = а т\а п - 1|, n е TV, m е 7V. (7.6)
Последовательность {гп} сходится и, следовательно, ограничена (см. п. 3.4), поэтому существует такое число А, которое без ограничения общности можно считать рациональным (почему?), что -А < гп<А. Отсюда в случае а > 1 имеем а А < / гп А л -А гп А
ч а < а , а в случае а < 1 — соответственно а > а > а , п = 1, 2, ... , поэтому при любом а > 0 существует такое число В, что
ап п = 1, 2, ... (7.7)
(В = аА при а > 1 и В = а А при а < 1), т. е. последовательность {а п} ограничена сверху числом В.
Далее, согласно замечанию 2 п. 5.14 (см. формулу (5.69)) lim = 1. Поэтому для любого фиксированного е > 0 сущест- г —> О п € О вует такое 3 = 3(e) > 0, что для всех рациональных г, удовлетворяющих условию \г\ < 8, выполнено неравенство
|аг-1|<|. (7.8)
Из сходимости же последовательности {гп}9 в силу критерия Коши (см. п. 3.7), следует, что для найденного 8 > 0 существует такой номер п§, что для всех п > и т > выполняется неравенство \rn - rw| < 8 и, значит, в силу (7.8), неравенство
|аГп“Г/п-1|<|. (7.9)
Из (7.6), (7.7) и (7.9) вытекает, что для всех п > и т > справедливо неравенство \а п - а т\ < е, откуда, в силу критерия Коши, следует, что последовательность {а п} сходится.
238


Итак, для любой последовательности рациональных чисел rn, п = 1, 2, ... , lim гп = х. последовательность а п схо- П оо
дится. Отсюда, согласно лемме 4 из п. 5.6, непосредственно следует существование предела (7.5) функции а. г € Q, в точке х € R. Корректность определения ах доказана.
Определение 1 естественно в том смысле, что в том случае, когда х является рациональным числом г, степень ах совпадает со значением а в ранее известном смысле. В самом деле, если х = г — рациональное число, то в качестве последовательности рациональных чисел rn, п = 1, 2, ... , сходящейся к числу х = г, можно взять гп = г, п = 1, 2, ... . Тогда, согласно определению 1,
ах = lim а п = lim а = а. (7.10)
П —> оо ft _> оо
Определение 2. Пустъ задано некоторое число а> 0. Функция ах, определенная для всех х е R. называется показательной функцией с основанием а.
В случае а = е функция ех обозначается также ехр х и называется экспонентой.
Согласно определению 1, Iх = 1 для всех действительных х. Поэтому случай а = 1 не представляет интереса и в дальнейшем мы не будем его рассматривать.
ТЕОРЕМА 3. Показательная функция ах {а > 0) обладает следующими свойствами.
1°. При а > 1 она строго возрастает, а при а < 1 — строго убывает на всей числовой оси.
Для любых действительных х и у справедливы следующие равенства:
2°. ахау = ах + у.
3°. (ах)у = аху.
4°. Функция ах непрерывна на всей числовой оси.
5°. Множеством значений функции ах, а> 0, а 1, является множество всех положительных чисел.
239


Доказательство свойства 1°. Пусть для определенности а > 1 и х < у. Существуют (почему?) такие рациональные числа г' и г", что х < г' < г" < у. Выберем какие-либо последовательности рациональных чисел {г'п} и { г"} так, чтобы lim г'п = х, lim г" = г/ и чтобы г'п < г' < г" < г" для всех п =
П оо П —> оо
= 1, 2, ... . Тогда
Гп г' г" Гп (П Л Л\
а < а < а < а ; (7.11)
перейдя к пределу при п оо, получим
X г' . г" ц а < а < а < ст.
Таким образом, если х < у, то ах < ау, что и означает строгое возрастание функции ах при а > 1.
Случай а < 1 рассматривается аналогичным образом. □ Доказательство свойства 2°. Пусть {г'п} и {г"} — такие последовательности рациональных чисел, что lim г'п =
П оо
= х, г" = у и, значит, lim (г'п + г") = х + у ( см. п. 3.9). Тог- П оо
да, в силу определения показательной функции,
г' + г" г' г"
X + I] -1. П п -1. П п
а = lim а = lim а а =
П оо ft _> ОО
= lim а п lim а п = ахау. □ П —> ОО ft _> оо
Прежде чем переходить к доказательству следующих свойств, заметим, что из свойства 2° следует, что для любого действительного х справедливо равенство а а = а = 1, по- этому а~х = Х/ах.
Доказательство свойства 4°. (Свойство 3° будет доказано после доказательства свойства 4°.) Прежде всего отметим, что
limax=l. (7.12)
х —> О х е R
240


Действительно, в силу доказанной монотонности фукнции ах, а > 0 (свойство 1°), существуют односторонние пределы lim ах и lim ах. Рассуждая аналогично доказательству х —> -О х —> +0
формулы (5.69) (только не предполагая, что х — рациональное число, а рассматривая любые действительные числа), получаем
lim ах = Ит ar = 1 = Ит ar = lim ах, х^-0 гч-0, reQ r^+0, reQ х +0
отсюда и следует равенство (7.12).
Пусть теперь х € R, х фиксировано, у = ах и
Л х + Дх х х Дх х Xz Дх ч
Ay = а - а = а а - а = а (а -1).
Тогда, в силу (7.12), lim aSx = 1 и поэтому
Дх —> 0
lim Az/ = ах lim (аЛх - 1) = 0, Дх —> 0 Дх —> 0
а это и означает непрерывность функции ах в точке х. □ Доказательство свойства 3°. Пусть сначала у = р — целое положительное число; тогда применив р раз Оо
свойство 2 , получим
р раз
Z Х\Р X X X Х + х+...+Х хр (Г1 1 О\
(а ) = fl • а ... а , = а = а . (7.13)
р раз
Пусть, далее, у = 1/q, где q — целое положительное число. Покажем, что (ax)^q = ax^q, т. е. что ax^q является корнем (?-й степени из числа ах. Для этого, согласно определению корня, надо доказать, что (axl(i)q = ах; это следует из равенства (7.13).
Пусть теперь у = p/q, р и q — натуральные, тогда, согласно уже доказанному,
(ax)p/q = [(aV]1/<? = (axp)1/q = axp/q.
Если же у = -p/q, то
241


Наконец, очевидно, что (ах)° = 1 = а0. Таким образом доказано, что для любого действительного х и любого рационального г
(а)г = ахг. (7.14)
Пусть теперь задано еще одно действительное число у. Рассмотрим произвольную последовательность {гп} рациональных чисел, сходящуюся к у. Тогда, в силу (7.14), для всех п = 1, 2, ... будем иметь
v гп %
(а) = а . (7.15)
Поскольку lim хгп = ху, то, согласно доказанной выше 71 —> оо
непрерывности функции ах, имеем
lim а п = аху. (7.16)
71 —> оо
С другой стороны, в силу определения показательной функции, lim (ах{п = (ах)у. (7.17)
71 —> оо
Переходя к пределу в равенстве (7.15) при п °°, из (7.16) и (7.17) получим рассматриваемое свойство для любых х, у € R. □
Заметим, что из свойств 2° и 3° следует, что
/1 1
= -, а>0,хЕЙ.
Действительно,
Доказательство свойства 5°. Пусть снова для определенности а > 1. Для того чтобы доказать, что множеством значений функции ах является множество всех положительных чисел, т. е. бесконечный интервал (0, +°°), в силу ее непрерывности и строгого возрастания на всей числовой оси, согласно теореме 4 п. 6.3, достаточно показать, что
lim ах = +оо, Нт ах = 0. (7.18)
х —> + ОО X —> - ОО
242


В силу монотонности функции ах, пределы (конечные или бесконечные) lim ах и lim ах существуют, следователе + ОО X - оо
льно, достаточно доказать, что
lim а п = +°°, lim а п = О П —> оо ft _> ОО
для каких-либо произвольных фиксированных последовательностей хп +°° и х'п = -°°, например для последовательностей хп = п, х"п = -п, п = 1, 2, ... .
По предположению, а > 1, т. е. а = 1 + а, где а > 0. Поэтому, согласно неравенству Бернулли (см. лемму в п. 4.9), ап = (1+ а)п > па, и так как lim па = +оо, то и
П —> оо
lim ап = +°°. Отсюда
П —> оо
lim а~п = - = 0.
п оо lim а
П —> ОО
Тем самым равенство (7.18) при а > 1 доказано.
Если теперь 0 < а < 1, то b = 1/а > 1 и
lim ах = lim = —-—- = 0,
х + ОО X + ooV° J lim l)X
X +оо
lim ах = —-— = +оо. □
х - оо lim Ъх
X -оо
Замечание 1. Множество всех значений функции ах, а> 0, а 0, составляет множество всех положительных действительных чисел, поэтому, в частности, при любом х Е R имеет место неравенство ах > 0.
Замечание 2. Если а > 0, Ъ > 0, то для любого х € R справедливо равенство
Z 7\Х ХтХ
(ab) = а Ъ .
Действительно, если rn х, rn£ Q, п = 1, 2, ... , то
(ab)x = lim (ab) п = lim a nb п = П оо ft оо
= lim а п lim b п = ахЬх. □ П —> ОО ft _> оо
243


УПРАЖНЕНИЕ. Пусть а > О, Ъ > 0. Доказать, что для любого х € R име¬
ла ет место равенство к
а
Тх'
Замечание 3. Если г — рациональное число и г > О, то 0г = 0, и, следовательно, для любого действительного числа х > 0 существует предел lim 0г = 0. Поэтому при х > 0
Г —X, Г G Ц/
определение (7.5) можно распространить и на случай а = 0, причем будет иметь место равенство 0х = 0, х > 0.
Отметим, что в области действительных чисел возведению нуля в неположительную степень: 0х, х < 0 — нельзя приписать смысла.
Пусть а — положительное число, не равное единице. Из элементарной математики известно, что операция, обратная возведению в степень и ставящая в соответствие данному числу х > 0 такое число г/, что ау = х (если, конечно, указанное у существует), называется логарифмированием по основанию а. Число у называется логарифмом числа х по основанию а и обозначается через loga х. Таким образом, по определению,
logn X
а = х (а > 0, а 1). (7.19)
Определение 3. Функция, ставящая в соответствие каждому числу х его логарифм loga х по основанию а {а> 0, а 1), если этот логарифм существует, называется логарифмической функцией у = loga х.
Логарифмическая функция по основанию 10 обозначается символом 1g, а по основанию е — символом In; 1п х называется натуральным логарифмом числа х.
ТЕОРЕМА 4. Функция у = loga х. а> 0, а 1, определена на множестве всех х > 0 и является на этом множестве строго монотонной {возрастающей при а> 1 и убывающей при а < 1) непрерывной функцией. Она имеет следующие свойства'.
1°. loga х^х2 = loga хг + loga х2, хг > 0, х2 > 0.
2°. loga ха = a loga х, х > 0, а е R.
244


Доказательство. Множеством значений функции а > 0, а 1, является множество всех положительных чисел (О, +°°), поэтому это же множество является и множеством определения обратной функции, которой в данном случае является функция loga х (см. (7.19)). Этим, в частности, доказано существование логарифма любого положительного числа. Остальные утверждения теоремы 4 непосредственно следуют из теоремы 4 п. 6.3 и теоремы 3 настоящего параграфа.
Например, покажем, как свойство 1° вытекает из свойств показательной функции, указанных в теореме 3. Положим = loga х19 у2 = 1°£а х2- Согласно определению логарифма, это означает, что х1 = а1, х2 = (i2 • Отсюда (см. свойство 2° показательной функции в теореме 3) имеем
У1 У2 У1 + У2 хгх2 = а а = а ,
и, следовательно, снова, согласно определению логарифма, loga xrx2 = yr + y2 = loga хг + loga х2. □
Определение 4. Пусть задано действительно число а. Функция ха, определенная для всех х > 0, называется степенной функцией с показателем а.
ТЕОРЕМА 5. Степенная функция ха, х > 0, непрерывна, строго возрастает при а>Ои строго убывает при а < 0.
Действительно, из определения логарифма имеем х = = е1пх, а поэтому ха = еа1пх, т. е. ха есть композиция показательной функции еи и логарифмической функции, умноженной на постоянную: и = а 1п х. Показательная и логарифмическая функции непрерывны (см. теоремы 3 и 4), поэтому, в силу теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций (см. п. 5.2), функция ха также непрерывна.
Функция 1п х строго возрастает, поэтому функция х = е строго возрастает при а > 0 и строго убывает при а < 0. □
245


При рассмотрении функции ха предполагалось, что х > > 0. В точке х = 0 функция ха определена не для всех значений показателя а. Если а > 0, то существует предел lim ха = lim еа 1п х = 0, так как lim In х = -°°. По оп- х —> + 0 х —> + 0 х —> + 0
ределению полагают (см. замечание 3) 0а = 0, ос > 0. При этом определении (7.20) функция ха оказывается непрерывной справа в точке х = 0 при любом а > 0:
lim ха = 0 = 0а. (7.20)
х —> + 0
Функция ха может оказаться определенной при некото- у гл ГЛ +п ±1/(2п-1) ,г
рых а 0 и для х < 0, например, х , х ,n^N.
Степенная функция ха непрерывна во всех точках, в которых она определена. Это следует из того, что если она определена при х < 0, то является четной или нечетной функцией. Если же четная или нечетная функция непрерывна при х > 0, то она непрерывна и при х < 0 (почему?). Если же в точке х = 0 четная или нечетная функция непрерывна справа и равна нулю, то она просто непрерывна в этой точке (почему?). Этот случай имеет место при а > 0 (см. (7.20)).
7.3. 	Тригонометрические
и обратные тригонометрические функции
Перейдем к вопросу о непрерывности тригонометрических функций. При этом не будем приводить строгих аналитических определений этих функций (как это было сделано выше в случае показательной функции), а используем их геометрическое определение, известное из элементарной математики. Всюду в дальнейшем х — действительное число, а под sin х, cos х, tg х, ctg х будем подразумевать значение соответствующей тригонометрической функции угла, радианная мера которого равна х.
ЛЕММА. При любом действительном х справедливо неравенство
|sin х| < |х|.
246


Доказательство. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в точке О. Пусть радиус ОВ образует угол х, О < х < |, с радиусом ОА, а радиус ОВ} симметричен радиусу ОВ относительно ОА (рис. 36).
Опустим из точки В перпендикуляр ВС на радиус ОА. Тогда ВС = = R sin х и, так как ВС = СВ19 имеем
Рис. 36
ВВ1 = 2R sin х. Как известно, длина дуги ВАВ1 равна 2Rx.
Длина отрезка, соединяющего две точки, не превышает длины дуги окружности, соединяющей те же точки, значит, 2R sin х < 2Rx, т. е. sin х < х.
Если теперь < х < 0, то 0 < -х < , и поэтому, в силу доказанного, sin (-х) < -х, но в данном случае sin (-х) = = |sin х| и -х = |х|, следовательно, |sin х| < |х|. Таким образом, если |х| < |, то |sin х| < |х|. Если же |х| > ^ , то
|sin х| < 1 < < |х|. □
ТЕОРЕМА 6. Функции у = sin х, у = cos х непрерывны на всей числовой оси.
СЛЕДСТВИЕ. Фгщтсции у = tg х и у = ctg х непрерывны при всех х, при которых cos х {соответственно sin х) не обращаются в нуль.
Доказательство. Так как |sin ос| < 1, |cos ос| < 1 при любом а и, в силу леммы, |sin | < |Дх|, то
Л Л
|sin (х + Дх) - sin х| < 2 |sin | |cos (х + Л| < |Дх|,
|cos (х + Дх) - cos х| < 2 |sin -у 11sin (х + < |Дх|.
Отсюда следует, что при Дх —► 0 левые части неравенства также стремятся к нулю. Это и означает непрерывность функций sin х и cos х.
тт . sin х . cos х
Непрерывность tg х = и ctg х = -— в точках, в ко-
° cos X ° sin X
торых знаменатели не обращаются в нуль, следует из непре247


рывности sin х и cos х и теоремы о частном непрерывных функций (см. п. 5.10). □
ТЕОРЕМА 7. Каждая из обратных тригонометрических функций arcsin х, arccos х, arctg х и arcctg х непрерывна в области своего определения.
Это сразу следует из теорем Зи4в§6ииз непрерывности и строгой монотонности функций sin х на отрезке [-л/2, л/2], cos х на отрезке [0, тс], tg х на интервале (-л/2, тс/2) и ctg х на интервале (0, л).
7.4. 	Непрерывность элементарных функций
Непрерывность основных элементарных функций, доказанная в этом параграфе, позволяет доказать теорему и о непрерывности произвольных элементарных функций.
ТЕОРЕМА 8.Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своего множества определения.
Доказательство. Согласно определению, всякая элементарная функция получается из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций (см. п. 5.3), поэтому ее непрерывность на множестве определения сразу следует из непрерывности основных элементарных функций на множествах их определения (теоремы 1—7), из свойств пределов функций, связанных с арифметическими действиями над функциями (см. п. 5.10), и непрерывности композиции непрерывных функций (см. п. 5.16). □
§8.
Сравнение функций. Вычисление пределов
8.1. 	Некоторые замечательные пределы
В этом пункте вычисляются пределы, которые неоднократно будут встречаться в дальнейшем.
ЛЕММА 1.
lim = 1. (8.1)
х —> 0 х
248


Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть радиус ОВ образует угол х, 0 < х < < л/2, с радиусом ОА. Соединим точки А и В отрезком и восставим из точки А перпендикуляр к радиусу ОА до пересечения в точке С с продолжением радиуса ОВ (рис. 37). Тогда площадь треугольника АОВ равна | R2 sin х, площадь сектора АОВ равна Т?2х, а Л
Рис. 37
1 2
площадь треугольника АОС равна %R tg х. Треугольник АОВ является частью сектора АОВ, который, в свою очередь, является частью треугольника АОС; поэтому
1 п2 . / 1 r>2 / 1 п2 1
2R sin х < %R х < %R tgx,
откуда sin x < x < tg x, следовательно, 1 < x < 1
sin x cos x
или, заменяя величины им обратными,
Sin X /о
cos х < < 1. (8.2)
Заметим, что в силу четности функций cos х и неравенство (8.2) справедливо и при -л/2 < х < 0.
Так как функция cos х непрерывна и cos 0 = 1, то из (8.2) при х —► 0 следует (см. п. 5.10) равенство (8.1). □
СЛЕДСТВИЕ 1.
lim = 1.
(8.3)
В самом деле, lim
tg х =
,. sin x ,. 1 1
hm hm = 1.
л X л COS X
СЛЕДСТВИЕ 2.
,. arcsin х
hm =1.
(8.4)
Функция у = sin х строго монотонна и непрерывна на отрезке [—тг/2, л/2], поэтому обратная функция х = arcsin у также строго монотонна и непрерывна на отрезке [-1; 1]. Так как sin 0 = 0, то
hm у = hm sin x = 0 и
x —> 0 x —> 0
lim x = hm arcsin x = 0 у —> 0 x —> 0
249


Чтобы вычислить предел (8.4), применим правило замены переменного для пределов непрерывных функций (см. теорему 6 в п. 5.16). Положив х = sin у, имеем
lim arcs*n х — Цт arcsiR (siR У) — У — j z/To z/To^ ”
СЛЕДСТВИЕ 3.
lim = ъ (8,5)
х —> О х
Это равенство получается аналогично предыдущему из (8.3).
Л Е М М А 2. j
lim (1 + х)х = е. (8.6)
х —> О
Ранее (см. п. 4.5) было доказано, что
lim (1 + -Т = е, (8.7)
где п = 1, 2, ... . Отсюда, в силу леммы п. 4.3, следует, что для любой последовательности {nk} натуральных чисел такой, что
lim nk = +оо, (8.8)
/? —> ОО
имеем п
lim fl + — 'l " = е. (8.9)
/? —> оо '
Пусть теперь последовательность {xk} такая, что lim xk = k оо
= + 0, т. е.
lim xk = 0 и xk > 0. (8.10)
k оо
1/х^
Покажем, что lim (1 + xk) = е. При этом без ограни- /? —> ОО
чения общности можно считать, что xk < 1, k = 1, 2, ... (почему?). Для всякого xk найдется такое натуральное nk, что nk + 1 > — > nk и, следовательно, ——у < xk < — , причем в xk nk+ 1 nk
силу (8.10), lim nk = +°°. Поэтому имеем k оо
/ 1 \nk 1/Хк / 1 \nk + 1
+ <(1 + xk) <(1 + ^) • (8-n)
250


Замечая, что, согласно (8.9),
и
и переходя к пределу в (8.11) при k °°, получим
1/Хк lim(l + x^) = е. (8.12)
k —> оо
Так как {xk} — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям (8.10), то тем самым доказано, что
lim (1 + х)1/х = е. (8.13)
х —> 0
Пусть теперь последовательность {xk} такая, что lim xk = -0, т. е.
lim xk = 0, xk < 0. (8.14)
k оо
Положим yk = -xk, тогда yk > 0 и lim yk = 0, причем без ог- /? —> ОО
раничения общности можно считать, что yk < 1, k = 1, 2, ... . Тогда
1/Хк - l/yk / 1
lim (1 + Xfc) = lim (1 - yk) = lim C =
V1 y><J
i Vh \1/Ук 1/zh+1
= lim 1 + 14V = lim<1 +
где zk = 1 > 0 и lim zk = 0,
k l-yk
и, в силу уже доказанного равенства (8.13), 1/Хк 1/2к
lim (1 + xk) = lim (1 + zk) lim (1 + zk) = e.
k OO h OO k OO
251


Но {х^} — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям (8.14), поэтому
Ит 0(1 + х)1/х = е. (8.15)
Таким образом, функция (1 + х)1^, х 0, имеет в точке О пределы слева и справа, равные одному и тому же числу е. Поэтому существует и ее двусторонний предел при х О, также равный е (см. п. 5.9).
СЛЕДСТВИЕ 1.
logJl + X) 1
lim = 1— , а > 0, а 1, (8.16)
х _> о х Ina
и, в частности, при а = е
lim !Л(1+£) =1>
х —> О х
В самом деле, приняв во внимание непрерывность логарифмической функции (см. теорему 4 из § 7), теорему о пределе композиции функций (см. п. 5.16) и равенство (8.6), получим
log" ( 1 + X) 1 /г
lim = lim log„ (1 + х)1^ =
= loga Ито(1 + х)1/х = loga е = .
СЛЕДСТВИЕ 2.
lim = Ina. (8.17)
х^О х
В частности, при а = е имеет место равенство
lim —— = 1. (8.18)
х —> О х
Функция у = ах - 1 строго монотонна и непрерывна на
« - , ln( 1 + у)
всей числовой оси, поэтому обратная функция х = —
также строго монотонна и непрерывна при у > -1. При х = О имеем также и у = 0, поэтому обозначения х 0 и у 0 эквивалентны (см. замечание 4 в п. 5.16). Воспользуемся для вычисления предела (8.17) правилом замены переменного, т-г 1п(1 + у)
Положив X = , получим
ах - 1 ,. у\па т 1 т
hm = hm , ? = In а , ? = In а.
х —> О х y^0ln(1+2/) lim W + У)
</^0 у
252


8.2. 	Сравнение функций
Как мы уже знаем, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются также бесконечно малыми функциями; этого нельзя, вообще говоря, сказать об их частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к разнообразным случаям, как это показывают приведенные ниже примеры бесконечно малых при х 0 функций а(х) и Р(х).
Пусть, например, а(х) = х и Р(х) = х2; тогда
lim
Если же а(х) =
lim х = 0, lim = lim - = оо.
Р(х) = 2х, то lim = 2, а если а(х) = х ОВД
г Р(х)
lim не существует.
х, 1
-, то предел
= х, Р(х) = х sin
Все рассматриваемые в этом параграфе функции предполагаются определенными на некотором множестве X <= R, под х0 понимается либо число х0 6 й, либо одна из бесконечностей оо, +оо или -оо. в том случае, когда х0 — число, х0 является точкой прикосновения множества X, причем содержательным является лишь тот случай, когда х0 — предельная точка множества X. При этом возможно, что х0 € X и что х0 £ X.
Последнее заведомо имеет место, если рассматриваемая функция имеет в точке х0 какой-либо бесконечный предел. Если же точка х0 является одной из бесконечностей оо, +°°, то множество X предполагается неограниченным, соответственно неограниченным сверху или снизу.
Рассмотрим вопрос сравнения функций в окрестности точки, в частности сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций; эти случаи являются основными.
Определенней. Если для функций f:X^Ru g:X R существует такая постоянная с > 0, что в некоторой окрестности точки х0 для всех точек х € X выполняется неравенство
|/(х)| < с|^(х)|, (8.19)
то функцию f называют ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки х0 и в этом случае пишут
/(х) = О(£(х)), х х0
(«/(х) есть О большое от g*(x), при х, стремящемся к х0»).
253


Подчеркнем, что запись х х0 имеет здесь другой, чем обычно, смысл: она только указывает на то, что рассматриваемое свойство имеет место лишь в некоторой окрестности точки х0; ни о каком пределе здесь речи нет.
Л Е М М А 3. Если f(x) = ф(х)^(х), х Е X, и существует конечный предел
lim ф(х) = k,
X Xq
то
f(x) = O(g(x)), X Xq.
Доказательство. Из существования конечного предела lim ф(х) = k (см. свойство 1° пределов функций в п. 5.10) X Xq
следует существование такой окрестности С7(х0) точки х0, что функция ф ограничена на X А С7(х0), т. е. имеется такая постоянная с > 0, что для всех х Е X A С7(х0) выполняется неравенство |ф(х)| < с, следовательно, и неравенство |/(х)| = = |ф(х)||ё‘(х)| < c|g*(x)|. Это, согласно определению 1, и означает, что f(x) = O(g(x)), X Xq. □
П Л 1 1 > Л |1| 1
Примеры. 1. - =0 -5 при х л 0, поскольку - < -о
X ? |Х| х
при |х| < 1.
2. = О^ при х оо, так как |^| пРи И 1-
Запись
f(x) = 0(1), X Xq,
означает, что функция f ограничена в некоторой окрестности точки Xq, например = 0(1) при х 0, ибо lim tg 2х = 2 и, значит, функция tg Zx ограничена в окрест-
х^О х х
пости точки х = 0.
Определение 2. Если функции f(x) и g(x) такие, что f = O(g) и g = O(f) при х Xq, то они называются функциями одного порядка при х х0; это записывается в виде f(x) х g(x), ОС > ОС q •
254


Это понятие наиболее содержательно в том случае, когда функции f и g являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при х х0. Например, функции а = х и Р = х^2 + sin являются при х 0 бесконечно малыми одного порядка, поскольку
Ipl 12 + sin “| 2 - |sin
<1,|е|.|2 + 81п1|<2 + |в1„1| <з.
ЛЕММА 4. Если существует конечный предел lim =  к g\X) X —z Xq
= k 0, то f(x) х g(x), х Xq.
Доказательство. При х х0 определен предел дроби , поэтому существует такая окрестность С7(х0) точки х0, что для всех точек х Е X А С7(х0) выполняется неравенство g*(x) 0. Для этих х положим ф(х) = . Тогда /(х) =
= ф(х)^*(х) и lim ф(х) = k. Следовательно, по лемме 3, f{x) = X Xq = O(g(x)), X Xq.
Из условия lim # 0 следует, что существует и такая X Xq окрестность С7(х0) точки х0, что для всех х Е X А С7(х0) выполняется неравенство 0 (см. свойство 2° пределов функций в п. 5.10), а следовательно, и неравенство f(x) 0. Для х Е X A U(Xq) положим ф(х) = ; тогда g(x) = ф(х)/(х)
и lim ф(х) = |. Поэтому снова, согласно лемме 3, g(x) =
X Xq &
= O(f(x)), X Xq. □
В качестве примера возьмем функции f(x) = Зх2 и g(x) = = sinx2. Имеем lim = ^lim sin9x = (cm. (8.1)), поэто- x —> 0 /(X) о
му, согласно лемме 4, функции Зх2 и sin х2 одного порядка при х 0.
Замечание. Отметим, что условие (8.19) равносильно следующему: существует такая ограниченная функция ф: X R, что в некоторой окрестности точки х0 для всех х Е X выполняется равенство /(х) = ф(х)£*(х).
255


Действительно, при выполнении этого условия из ограниченности функции ф непосредственно следует неравенство
(8.19) . Наоборот, если в некоторой окрестности точки х0 выполнено условие (8.19), то, полагая
[ если g(x) О, ф(х) = < g(X>
[ 0, если g(x) = О, получаем, что f(x) = ф(х)^(х) и функция ф, очевидно, ограничена (для точек х € X рассматриваемой окрестности точки х0).
Определение 3. Функции f:X^Ru g:X^ R называются эквивалентными при х х0, если существует такая функция ф : X R, что в некоторой окрестности точки Xq для всех точек х е X выполняется равенство
f = q(x)g(x) (8.20)
и
lim ф(х) = 1. (8.21)
X —Xq
Сразу заметим, что существование предела у функции в данной точке является локальным свойством функции, поэтому значения функции ф вне указанной в определении окрестности не играют роли.
Если выполнено свойство (8.21), то найдется такая окрестность U = U(Xq) точки х0, что при х € X A U выполняется неравенство ф(х) 0 (см. свойство 2° пределов функций в п. 5.10). Полагая ф(х) = j, х € X A U, видим, что условия
(8.20) и (8.21) равносильны условиям
g(x) = ф(х)/(х), х е X A U, (8.20')
lim ф(х) = 1. (8.21')
X —Xq
Таким образом, если функции fug эквивалентны при х Xq, то и функции g и f также эквивалентны при х х0, т. е., как говорят, эквивалентность двух функций обладает свойством симметричности.
Отметим, что свойство функций быть функциями одного порядка также является симметричным свойством, а свой256


ство одной функции быть «О большим» относительно другой уже не симметрично.
Функции f(x) и g(x), эквивалентные при х х0, называются также асимптотически равными при х х0. Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом
/(х) ~ g(x) при х х0. (8.22)
Из сказанного выше следует, что если f ~ g при х х0, то И g ~ f ПРИ X Xq.
Отметим, что если в условиях определения 3 функции f и g, а следовательно, и функция ф, определены в точке х0, т. е. Xq Е X, то предел (8.21) берется при х х0 по множеству, содержащему точку х0, поэтому функция ф непрерывна в точке х0; тогда из условия (8.21) следует, что
(р(х0) = 1.
х'^ 2
Примеры. 1. ~ х ПРИ х —► 0. Действительно, по-
1 + X / ч 1
лагая ф(х) = , получаем
1 + х
2 1
——= ф(х)х2 и lim ф(х) = lim = 1.
14-х х—>0 х —> 0 1 4- х
Х^ 2 Х^
2. т ~ х при х оо. в самом деле, если ф(х) = т , то
1 + X 1 + X
6 9 4
——= ф(х)х2 и lim ф(х) = lim ——= 1. 14-Х X оо х—>оо14-Х
Пусть существует такая проколотая окрестность U = U (х0) точки Xq, что для всех х Е X A U выполняются неравенства /(х) 0 и g(x) 0 и Xq Е X. Тогда условия (8.20) и (8.21) рав-
1- Дх) -I носильны соотношению lim —— = 1 и, следовательно, со-
х —> х0 хе ХЛН
отношению lim = 1.
X -> хо /(х) хе XKU
257


Действительно, ясно, что эти соотношения при сделанных предположениях о необращении в нуль функций f и g на множестве X A U и х0 £ X сразу вытекают из условий
(8.20) 	и (8.21). Наоборот, если они выполнены, то достаточ- X} °
но положить ф(х) = , х € X A U(xQ) и ф(х0) = 1, тогда, оче-
8\Х)
видно, для функции ф выполняются условия (8.20) и (8.21).
Если
f - g и g ~ h при х х0, (8.23)
то
f ~ h при х х0. (8.24)
В самом деле, из условий (8.23) следует, что существуют такие окрестность U = С7(х0) точки х0 и функции ф: X A U
Я и у: X A Я, что для всех х € X A U имеют место равенства
Дх) = ф(х)£(х), g(x) = \|/(х)Л(х) и
lim ф(х) = lim ф(х) = 1,
X х0 х х0
поэтому
f(x) = ф(х)у(х)Л(х),
где lim ф(х)ф(х) = 1, т. е. выполняется асимптотическое ра- х —> х0
венство (8.24).
Из результатов п. 8.1 следует, что при х 0 справедлива следующая эквивалентность бесконечно малых:
х ~ sin х ~ tg х ~ arcsin х ~ arctg х ~ In (1 + х) ~ ех - 1.
Из этой эквивалентности следуют и более общие соотношения, которые сформулируем в виде отдельной леммы. ЛЕММА 5. Если функция и(х) такова, что
lim u(x) = 0, (8.25)
х —> х0
то при х х0
и(х) ~ sin и(х) ~ tg и(х) ~ arcsin и(х) ~
~ arctg u(x) ~ In [1 + u(x)] ~ - 1. (8.26)
Доказательство. Покажем, например, что
sin и(х) ~ и(х) при ЭС q (8.27)
258


где и: X R и lim и(х) = 0. Определим для всех х Е X X —Xq
функцию ф: X R следующим образом:
J sin м(х) ди ц(х) # о ф(х) = < и(х) (8.28)
[ 1, если и(х) = 0,
и покажем, что
lim ф(х) = 1. (8.29)
X Xq
Для этого разобьем множество X на два подмножества:
Хг = {х е X : и(х) 0} и Х2 = {х Е X : и(х) = 0}. (8.30)
Пусть сначала множества Х1 и Х2 не пусты, а х0 является конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения sin и(х)
каждого из них. Функция определена на множестве
Х-± и по теореме о пределе сложной функции (см. теорему 6 в п. 5.16) имеем
lim ф(х) =
X —Xq
lim
X —Xq
sin и(х) и(х)
т sin и
lim = 1
, к л и
хеХ1
х е
Здесь было использовано еще одно свойство пределов
, » , < sin и\
функции: если функция I в данном случае —— I имеет пре¬
дел при и uQ по некоторому множеству, то она, согласно лемме 1 п. 5.4, имеет тот же предел при и и0 по любому подмножеству этого множества (в рассматриваемом случае по подмножеству числовой оси, состоящему из множества значений функции и(х), отличных от нуля).
На множестве же Х2 функция ф тождественно равна 1, поэтому
lim ф(х) = lim 1 = 1.
X Xq X Xq
хеХ2 хеХ2
Таким образом, на каждом из множеств Хг и Х2 функция ф при х xQ имеет один и тот же предел, равный 1, а так как X = Xr U Х2, то тот же предел при х х0 она имеет и по всему множеству (см. лемму 5 в п. 5.8), т. е. в рассмотренном случае равенство (8.29) доказано.
259


Если же одно из множеств Хг или Х2 окажется пустым или точка Xq не является точкой прикосновения (конечной или бесконечно удаленной) одного из них, то равенство (8.29) также будет иметь место, так как в этих случаях предел функции ф при х х0 по множеству X сведется к пределу по одному из множеств Хг или Х2, для которых, как уже установлено, рассматриваемый предел равен единице.
Итак, равенство (8.29) доказано, а так как из (8.28) следует, что для всех х € X A U(xQ) имеет место соотношение sin и(х) = ф (х)и(х), то доказана и справедливость асимптотического равенства (8.27).
Аналогично доказываются и остальные асимптотические формулы (8.26). □
Определение 4. Функция а: X R называется бесконечно малой при х Xq по сравнению с функцией f: X R, если существует такая функция е: X R, что в некоторой окрестности точки х0 для всех х € X выполняется равенство
а(х) = е(х)/(х) (8.31)
и
lim е(х) = 0. (8.32)
X —> х0
Как и для эквивалентных функций, в силу локальности свойства существования предела функции в точке, значения функции £(х) вне указанной в определении окрестности несущественны и в случае необходимости могут быть выбраны произвольно.
Если функция а является бесконечно малой при х xQ по сравнению с функцией /, то пишут
а(х) = о(/(х)), х х0
(читается: «а(х) есть о малое от f(x) при х х0»).
В силу этого определения, например, запись «а(х) = о(1), х Xq» означает просто, что функция а является бесконечно малой при х Xq.
Отметим, что если в условии определения 4 бесконечно малой функции по сравнению с другой функции а и /, а сле260


довательно, и функция е(х) определены в точке х0, т. е. х0 € е X, то предел (8.32) берется при х х0 по множеству, содержащему точку х0. Поэтому в этом случае функция е(х) является непрерывной в точке х0 и, следовательно, согласно (8.33), имеет место равенство е(х0) = 0. Этот факт мы неоднократно будем использовать в дальнейшем.
Если существует такая проколотая окрестность U = U(xq) точки х0, что для всех точек х Е X A U выполняется неравенство f(x) 0, а в случае х0 € X, кроме того, а(х0) = 0, то условия (8.31)—(8.32) равносильны условию
lim yg = 0. (8.33)
X Xq
х е XC\U
В самом деле, при сделанном предположении о неравенстве нулю функции f условие (8.33) сразу следует из (8.31)— (8.32). Наоборот, если выполнено (8.33), то достаточно положить
е(х) = , х е X п и,
v 7 f(x)
sl если Xq е X, то еще е(х0) = 0, чтобы были выполнены условия (8.31)—(8.32).
В том случае, когда /(х) сама является бесконечно малой при х х0, говорят, что функция а = о(/) при х х0 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем f. При этом если а Х(/(-*0)П), х х0, то бесконечно малая а называется бесконечно малой порядка п относительно бесконечно малой /, п = 1, 2, ... .
Например, х6 = o(sin х) при х 0, так как
3 2
lim х 2 = lim х lim х 2 = 0 • 1 = 0.
х -> 0 sin х х —> 0 sin х
Бесконечно малая ос(х) = х3 является бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая /(х) = 2 п
= sin х , х 0.
Бесконечно малая ос(х) = 1/х4 является бесконечно малой четвертого порядка относительно бесконечно малой /(х) = 1/х при х оо.
261


Конечно, символ «о малое» можно применять не только к бесконечно малым: например, х = о(х ) при х °°.
Отметим, что если f = o(g*) при х х0, то и подавно f = = O(g) при х Xq. В самом деле, пусть f = zg, где lim £ = 0.
X —Xq
Тогда функция Е = е(х) ограничена на пересечении множества X с некоторой окрестностью С7(х0) точки х0 (см. п. 5.10): |е(х)| < с и, следовательно, |/(х)| < с|^(х)| для всех х € X А С7(х0). А это и означает, что f = O(g), х х0.
Соберем вместе введенные в этом пункте основные понятия. Пусть заданы функции f: X R и g: X R и существует такая функция ф: X R, что для всех точек множества X, лежащих в некоторой окрестности U = U(xQ) точки х0, выполняется равенство f(x) = ф(х)^(х), тогда:
если функция ф(х) ограничена на С7, то f(x) = O(g(x)), ОС > ОС q }
если lim ф(х) = 1, то f(x) ~ g{x). х х0;
X —Xq
если lim <р(х) = 0, то f(x) = o(g(x)), х х0.
X —Xq
УПРАЖНЕНИЕ. Пусть р = О(ос2) при х х0, lim а = 0. Доказать, что х —> х0
в этом случае р = о(ос) при х х0.
Отметим, что в частном случае множество X может быть множеством натуральных чисел N, и тогда при х0 = +°° мы получим понятия последовательности {хп}, ограниченной по сравнению с последовательностью {уп}:
хп = °(Уп^ п °°> последовательности {хп} одного порядка с последовательностью {у Л
хп ХУп’ °°’
последовательности {хп}, асимптотически равной (эквивалентной) последовательности {t/n},
Хп~Уп,
и последовательности {хп}, бесконечно малой по сравнению с последовательностью {уп},
хп = °(Уп^ я^°°-
262


При использовании равенств с символами Ойо следует иметь в виду, что они не являются равенствами в обычном смысле этого слова. Так, если о^ = о(Р) при х х0, а2 = °(Р) при х х0, то было бы ошибкой сделать отсюда заключение, что а1 = как это было бы в случае обычных равенств. Например, х3 = о(х) и х2 = о(х) при х 0, но х2 х3.
Аналогично, если f + O(f) = g + О(/) при х х0, то было бы ошибкой сделать заключение, что f = g.
Дело в том, что один и тот же символ O(f) или o(f) может обозначать разные конкретные функции. Это обстоятельство связано с тем, что при определении символов O(f) и o(f) мы по существу ввели целые классы функций, обладающих определенными свойствами (класс функций, ограниченных в некоторой окрестности точки х0 по сравнению с функцией /, и класс функций, бесконечно малых по сравнению с Дх) при х х0), и было бы правильнее писать не а = O(f) и а = о(/), a соответственно а € O(f) и ос Е о(/). Однако это привело бы к существенному усложнению вычислений по формулам, в которых встречаются символы Ойо. Поэтому мы сохраним прежнюю запись а = О(/) и а = о(/), но будем всегда читать эти равенства, в соответствии с приведенными выше определениями, только в одну сторону: слева направо (если, конечно, не оговорено что-либо другое). Например, запись:
а = o(f), х Xq, означает, что функция а является бесконечно малой по сравнению с функцией f при х —► х0, но отнюдь не то, что всякая бесконечно малая по сравнению с f функция равна а.
В качестве примера использования этих символов докажем равенство
O(cf) = o(f), (8.34)
где с — постоянная.
Согласно сказанному, надо показать, что если g = o(cf), то g= o(f). Действительно, если g= o(cf), то g= zcf, где lim e(x) = 0. Положим ex = се; тогда g = s-rf, где, очевидно, X Xq
lim еДх) = 0 и, значит, g = o(f). □
X Xq
В заключение отметим, что сказанное об использовании символов о и О не исключает, конечно, того, что отдельные 263


формулы с этими символами могут оказаться справедливыми не только при чтении слева направо, но и справа налево; так, формула (8.34) при с 0 верна и при чтении справа налево.
8.3. 	Эквивалентные функции
Если функция f(x) заменяется функцией g(x), то разность /(х) _ называется абсолютной погрешностью, а отноше¬
Лх) - g(x) ftx)
ние
— относительной погрешностью сделанной
замены. Если изучается поведение функции f(x) при х х0, то часто целесообразно заменить ее функцией g(x) такой, что: 1) функция g(x) в определенном смысле более простая, чем функция /(х); 2) абсолютная погрешность стремится к нулю при х х0:
lim [f(x) - £(х)] = 0.
X —Xq
В этом случае говорят, что g(x) приближает или аппроксимирует функцию f(x) вблизи точки Xq. Таким свойством обладают, например, все бесконечно малые при х х0 функции f и g.
Ниже будет показано, что среди них лишь те, которые эквивалентны между собой: g(x) ~ /(х), х х0, обладают тем свойством, что не только абсолютная погрешность /(х) - g*(x),
Дх) - g(x)
но и относительная f стремится к нулю при х х0:
lim А*) ~ •4х0 Лх)
= 0.
В этом смысле функции, эквивалентные заданной, приближают ее лучше, чем другие функции.
Например, функции х, | х, 2х, 10х являются бесконечно малыми при х —► 0, так же как и sin х, а поэтому абсолютные погрешности при замене sin х каждой из них стремятся к нулю при х 0:
lim (sin х - х) = lim (sin х - х) =
х —> 0 х —> 0
= lim (sin х - 2х) = lim (sin х - 10х) = 0.
х —> 0 х —> 0
Но лишь одна из всех перечисленных функций, а именно g*(x) = х, обладает тем свойством, что относительная погреш264


ность при замене sin х этой функцией будет стремиться к нулю при х 0:
lim sln * ~ х = lim fl - -Л— = 0.
х _> 0 sin х х -> 0 к sin х ,
Стремление относительной погрешности к ну¬
лю при х Xq можно записать, используя символ «о малое»: Дх) - g(x) = о(Дх)), X Xq.
Сформулируем высказанное характеристическое свойство эквивалентных функций в виде теоремы.
ТЕОРЕМА Л. Для того чтобы функции f\ X R и g\ X R были эквивалентны при х х0, необходимо и достаточно, чтобы при х Xq выполнялось условие
Дх) = g(x) = o(g(x)), х Xq. (8.35)
Доказательство. Формула (8.35) является просто другой записью определения 3. Действительно, условие (8.21): lim ф(х) = 1 равносильно условию ф(х) = 1 + е(х), где Imi е(х) = 0. Поэтому условие
Дх) = ф(х)^(х), ф(^) = 1»
равносильно условию
fix) = (1 + E(x))g(x) = g(x) + E(x)g(x), х^0Е(х) = 0, т. е. условию fix) = gix) + o(g(x)), х х0. □
Пример 1. ctg х = + о (Т), х 0.
Действительно, в силу теоремы 1, достаточно показать, что ctg х ~ i, х —>■ 0. Это же сразу следует из равенства (8.3):
lim х = lim = 1.
х^О1^ x^0tgX
В том случае, когда существует такая проколотая окрестность U(Xq) точки Xq, что функции f: X R, g: X R не обращаются в нуль на пересечении X A U(Xq) и Xq £ X, теорема 1, очевидно, равносильна утверждению, что функции fug эквивалентны при х х0 тогда и только тогда, ког- 265


f(x} — £(x) i да относительная погрешность £ или, в силу сим-
Т\Х) \
метричности понятия эквивалентности функций, отноше-
f(x} — g(x}
ние g(X) стремится к нулю при х х0.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть lim уу|у = с 0. Тогда g ~ cf и g(x) =
= cf(x) + о(/(х)) при X Xq.
Дока зательство. Если lim = с # 0, то lim = г . r f(x) cf(x)
JC 7 X Q X 7 «Аг 0
= 1, и поэтому g ~ cf при х Xq. Отсюда по теореме 1 имеем g(x) = cf(x) + o(cf(x)), откуда (см. конец п. 8.2) g(x) = cf(x) + + о(/(х)), X Xq. □
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f, f19 g, gx заданы на множестве X и f(x) ~ /i(x), g(x) ~ gx(x) при х Xq. Тогда если су¬
ществует
hm —— , т ^1(Х) X —z Xq -1
т f(x)
то существует и lim j, причем X —Xq
lim ш = Ит
. . r g(x) g.(x)
' 7 Хл X 7 Лл х
(8.36)
(8.37)
Доказательство. Условия f ~ fr и g ~ g^ х х0, х € X, означают, что существуют такая окрестность U = U(Xq) точки Xq и такие функции (р и \|/, определенные на пересечении X A J7, что
/(х) = ф(х)/1(х), g’(x) = V(x)^i(x), лг А? А {/,
lim ф(х) = lim ф(х)=1.
о
Поэтому
lim
X Xq
f(x) g(x)
lim
X —> Xq
9(x)f1(x)
V(x)g1(x)
lim (p(x) , ( x ( x
X Xq fj(x) f l(x)
-n — hm —— = lim —— ,
Д“7(Х) X Xq £1^ X Xq 266


т. е. имеет место равенство (8.37). К этому можно лишь доба¬
вить, что из существования предела lim \|/(х) = 1 следует,
X —Xq
что окрестность U = U(xQ) можно выбрать таким образом,
что для всех точек х € X A U будет выполняться неравенство \|/(jc) 0, а из существования по множеству X предела
lim следует, что окрестность U может быть выбрана
X —Xq
еще и так, что для всех х € X A U будет выполняться неравен-
ство g(x) 0, так как частное ——- должно быть определе- о\Х)
но на пересечении X A U множества X с некоторой окрестностью U точки х0. Поэтому все написанные выше выражения имеют смысл. □
Обе части равенства (8.37) равноправны, поэтому из доказанной теоремы следует, что предел, стоящий в левой части, существует тогда и только тогда, когда существует предел в правой части, причем в случае их существования они совпадают. Это делает очень удобным применение теоремы 2 на практике: ее можно использовать для вычисления пределов, не зная заранее, существует или нет рассматриваемый предел.
8.4. 	Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов
Пусть заданы функции а: X R и Р: X R. Если функция Р для всех х € X представима в виде
Р(х) = а(х) + о(а(х)), х х0,
то функция а называется главной частью функции Р при ОС > ОС q •
Примеры. 1. Главная часть функции sin х при х л О равна х, ибо sin х = х + о(х) при х 0.
2. Если Рп(х) = апхп + ... + агх + а0, ап 0, то функция апхп является главной частью многочлена Рп(х) при х °°, так как Р„(х) = апхп + о(хп) при х °°.
267


Если задана функция Р: X R, то ее главная часть при х х0 не определяется однозначно: согласно теореме 1, любая функция а, эквивалентная Р при х х0, является ее главной частью при х х0.
Например, пусть Р = х + х2 + х3. Так как, с одной стороны, х2 + х3 = о(х) при х 0, то Р = х + о(х) при х 0, а с другой стороны, х3 = о(х + х2) при х 0, поэтому
Р = X + х2 + о(х + х2) при X 0.
В первом случае главной частью можно считать ос = х, во втором а = х + х2. Однако если задаваться определенным видом главной части, то при его разумном выборе можно добиться того, что главная часть указанного вида будет определена однозначно.
В частности, справедлива следующая лемма.
ЛЕММА 5. Пусть X <= R, х0 е R и х0 — предельная точка множества X. Если функция Р : X R обладает при х
Xq главной частью вида А(х - х0)\ А 0, где Auk — постоянные, то среди всех главных частей такого вида она определяется единственным образом.
Действительно, пусть при х —► х0
Р(х) = А(х - xQ)k + о((х - х0)^), А 0, и
Р(х) = Аг(х - х0)ky + о((х - х0)kl), Аг 0.
Тогда Р(х) ~ А(х - Xo)k и Р(х) ~ Аг(х - x0)kl при х х0, х е X. Поэтому А(х - xQ)k ~ Аг(х - х0)% х х0, х е X, т. е.
X /л) А ь — ь
1 = lim = -т- lim (х - х0) ,
X^XqA^X - Xq) 1 1 Х^Х0
что справедливо лишь в случае А = Аг и k = k±. □
Понятие главной части функции полезно при изучении бесконечно малых и бесконечно больших и с успехом используется при решении разнообразных задач математического анализа. Довольно часто удается бесконечно малую 268


сложного аналитического вида заменить в окрестности данной точки с точностью до бесконечно малых более высокого порядка более простой (в каком-то смысле) функцией. Например, если Р(х) удается представить в виде Р(х) = = А(х - xQ)k + о((х - х0)^), то это означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем (х - х0)^ при х х0, бесконечно малая Р(х) ведет себя в окрестности точки х как степенная функция А(х - х0)\
Покажем на примерах, как метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов функций. При этом будем широко использовать полученные соотношения эквивалентности (8.26).
Пусть требуется найти предел (а значит, и доказать, что он существует)
2 3
Цт ln( 1 + х + х ) + arcsin Зх - 5х
х -> О sin 2х + tg2х + (ех - 1)
Используя доказанную выше (см. соотношения (8.26)) эквивалентность In (1 + и) ~ и при и 0, имеем In (1 + х + х2) ~ ~ х + х2 при х 0, поэтому (см. теорему 1) In (1 + х + х2) = = х + х2 + о(х + х2). Однако о(х + х2) = о(х) (почему?) и х2 = = о(х) при х 0, следовательно,
1п (1 + X + х2) = х + о(х) при X 0.
Далее, arcsin Зх ~ Зх, поэтому
arcsin Зх = Зх + о(3х) = Зх + о(х).
Очевидно также, что 5х = о(х). Из асимптотического равенства sin 2х ~ 2х получаем
sin 2х = 2х + о(2х) = 2х + о(х),
2 2
из tg х ~ х будем иметь
tg2 х = х2 + о(х2) = о(х),
а из (ех - I)5 ~ х5, аналогично,
(ех - I)5 = х5 + о(х5) = о(х).
269


Все эти соотношения выполняются при х 0. Теперь имеем
In (1 + х + х2) + arcsin Зх - 5х3 = = х + о(х) + Зх + о(х) - о(х) = 4х + о(х),
sin 2х + tg2 х + (ех - I)5 = 2х + о(х) + о(х) = 2х + о(х), поэтому
2 3
ц 1п(1 + х + х ) + arcsin Зх - 5х _ ц 4х + о(х) v о , х 2 , , х 5 v п2х + о(х)'
х^О sin 2х + tg х + (е - 1) х —> 0
Но 4х + о(х) ~ 4х, а 2х + о(х) ~ 2х при х 0 и, значит, по теореме 2,
4x4- о(х) 4х о
lim о ' = lim = 2. х^02х + о(х) х^02х
Таким образом, искомый предел существует и равен 2.
При вычислении пределов функций с помощью метода выделения главной части следует иметь в виду, что в случаях, не рассмотренных в п. 8.3, вообще говоря, нельзя бесконечно малые заменять им эквивалентными. Так, например, т sin х - х - -
при отыскании предела выражения lim — было бы
х —> 0 х ошибкой заменить функцию sin х эквивалентной ей при х —► 0 функцией х. Естественный метод решения подобных задач будет дан в п. 13.4.
Для отыскания пределов выражений вида u(x)vM целесообразно находить предел их логарифмов. Рассмотрим по- 1/х2
добный пример. Найдем предел lim cos 2х. Из равен- х —> 0
ства
.. 2 . 1/х2
cos1/x 2х = elncos 2х (8.38)
видно, что достаточно вычислить предел
2 2
, 1/х о ,. Ineos 2х 1 v ln(l - sin 2х)
lim In cos 2х = hm ~ lim — ~2 •
х —> 0 х^О х Zx^0 х
А так как
In (1 - sin2 2х) ~ -sin2 2х ~ -(2х)2 = -4х2, 270


то отсюда, согласно теореме 2 этого параграфа, имеем
1 ln(l - sin2 2х) 1 4xZ о
5 hm — g = lim = -2;
z х^О х z х —> О х
таким образом,
1/ Г2
lim In cos 2х = -2.
х —> О
В силу непрерывности показательной функции, из (8.38)
имеем
1/А
.. . cos 2х
2 lim In
i • 1 / х л х —> о / 2
lim cos 2x = e = \ e .
x —> 0
Способ
вычисления пределов с помощью выделения
главной части функции является очень удобным, простым и вместе с тем весьма общим методом. Некоторое затруднение в его применении связано пока с тем, что еще нет достаточно общего способа выделения главной части функции. Это затруднение будет устранено в дальнейшем (см. § 13).
§9.
Производная и дифференциал
9.1. 	Определение производной
Определение 1. Пустъ функция у= f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 € R и пусть х — произволъ- f(x) - ная точка этой окрестности. Если отношение —х _ х— имеет предел при х х0, то этот предел называется производной функции f в точке х0 или. что то же. при х = х0, и обозначается Г(хо):
f(x) - f(x())
Г(х0) = lim х х ° . (9.1)
х —> х0 х х0
Если ввести обозначение х - х0 = Дх, то определение (9.1) запишется в виде
/’(хп + Дх) - /’(хп)
Л(х0) = Ит — ~ •
0 Дх^О А*
271


Полагая /(х0 + Дх) - /(х0) = Аг/, опуская обозначения аргумента и обозначая производную просто через у'9 получаем еще одну запись определения производной:
Если для некоторого значения х0 существуют пределы lim = оо, или lim = +оо или lim = -оо то го-
Дх^0Лх Дх^0Лх Дх^0Лх
ворят, что при х = х0 существует бесконечная производная или соответственно бесконечная производная определенного знака, равная +°° или -оо.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать всегда наличие конечной производной, если не оговорено противное.
Введем для удобства следующее определение. Пересечение окрестности точки х0 € R с лучом х > х0 (х < х0) назовем правосторонней (левосторонней) окрестностью точки х0.
Определение 2. Если функция f определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки х0 и существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел
f(x0 + Дх) - f(x0) / /(х0 + Дх) - /(х0)л
lim lim ,
Дх^ + 0 Лх Дх^-0 Дх >
то он называется соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции f в точке х0 и обозначается /+(х0) (или /1(х0)).
Правая и левая производные называются также правосторонней, соответственно левосторонней, а и та и другая — односторонними производными.
Из теоремы об односторонних пределах (см. п. 5.9) следует, что функция /(х), определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f\xQ) тогда и только тогда, когда /1(х0) и /Дх0) существуют и /1(х0) = /Дх0). В этом случае
Л (х0) = f'-(x0) = f+(x0).
Если функция f(x) определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует производная (причем под 272


производной в конце этого промежутка, который принадлежит промежутку, естественно, понимается соответствующая односторонняя производная), то она, очевидно, также является функцией, определенной на данном промежутке; ее обозначают через f'(x). Если у = /(х), то вместо f'(xQ) пишут также у'\х = х^.
Вычисление производной от функции называется дифференцированием.
Примеры. Л.у = с (с — постоянная).
Так как Дг/ = с - с = 0, то lim = 0 и, таким образом, Ах 0 Лх
с =Ь.
2. у = sin х. Имеем
Аг/ = sin (х + Дх) - sin х = 2 cos поэтому
Az/ . Ах Л sin (Ах/2)
hm = lim cos х + -z- lim z. ' = cos x.
Дх^0Дх Дх^О 2^Дх^0 <Дх/2)
Таким образом, (sin х)' = cos х.
3. у = cos х. Так как
Дг/ = cos (х + Дх) - cos (х) = -2 sin ^х + sin , то будем иметь
т Az/ / - АхЛ sin (Ах/2)
hm = - lim sin х + -z- lim ZA ' = -sin x.
Дх^0Лх Дх^О V 2Лх^0 (Дх/2>
Таким образом, (cos х)' = -sin х.
4х -гт л х + Ах х X/ Ах 1 ч
. у = а . Имеем Дг/ = а - а = а (а - 1), поэтому
Az/ = gxa ~ 1
Ах Ах ’
откуда, в силу формулы (8.17), получаем
А ЛХ 1
lim = ах lim —-— = ах In а.
Дх—>0Лх Дх —> О Дх
273


Таким образом,
(ах)' = ах 1п а,
в частности,
(exY = ех.
Последнее равенство показывает, что число е обладает замечательным свойством: показательная функция с основанием е имеет производную, совпадающую с самой функцией. Этим и объясняется то обстоятельство, что в математическом анализе в качестве основания степени и основания логарифмов используется преимущественно число е. Это очень удобно, так как упрощает вычисления.
5. у = хп. п — натуральное число. Используя правило возведения бинома в степень, находим
А у = (х + Ах)п - хп = пх11 ~ 1 Ах + хп ~ 2 Ах2 + ... + Ах\
откуда при Ах 0 имеем
Az/ п - 1 . п(п - 1) п - 1 л . . д п - 1
= пх + —- х Ах + ... + Ах
Дх 2
Так как при Ах 0 все слагаемые правой части, содержащие множитель Ах в степени с натуральным показателем, стремятся к нулю, то = пх11 \ таким образом,
Z п - 1
(X ) = ПХ
В дальнейшем будет показано, что эта формула справедлива и тогда, когда п — произвольное действительное число.
9.2. 	Дифференциал функции
Определение 3. Функция у = /(х), определенная в некоторой окрестности С7(х0) точки х0 € R. называется дифференцируемой при х = х0, если ее приращение в этой точке, т. е.
Ау = /(х0 + Ах) - /(х0), х0 + Ах € С7(х0), представимо в виде
Аг/= А Ах + о(Ах), Ах 0, (9.2)
где А — постоянная1.
1 При фиксированной точке х0 постоянная А есть некоторое число, не зависящее от Дх; конечно, при изменении точки х0 число А, вообще говоря, меняется.
274


Линейная функция А Дх (от переменной Дх) называется дифференциалом функции f в точке х0 и обозначается с//(х0) или, короче, dy.
Таким образом,
dy = А Дх и
Ду = dy + о(Дх), Дх 0.
Функция Дх определена для всех значений Дх, в частности и для Дх = 0, а функция о(Дх) = Ду - А Дх определе- (9.2)
на в некоторой окрестности точки Дх = 0, в том числе и в самой этой точке, где она равна нулю:
о(0)
(9.2)
<Ду-А Ах)|Дх = о = О.
Поэтому, согласно определению символа «о малое», существует такая функция е(Дх), также определенная на всей указанной окрестности точки Дх = 0 (а следовательно, в самой этой точке), что для всех Дх = 0 из этой окрестности выполняется равенство
о(Дх) = е(Дх)Дх (9-3)
и
lim е(Дх) = 0. (9.4)
Дх 0
Предел берется по всей окрестности, поэтому отсюда следует, что
е(0) = 0 (9.5)
(если точка, в которой берется предел функции, принадлежит множеству, по которому берется предел и этот предел существует, то функция непрерывна в этой точке, см. п. 5.5).
Заметим, что дифференциал dy = А Дх, как и всякая линейная функция, определен для любого значения Дх: —схз < Дх < +оо, в то время как приращение Ду = /(х0 + Дх) - - /(х0), естественно, можно рассматривать только для таких Дх, для которых х0 + Дх принадлежит области определения функции /.
275


Если А 0, т. е. если dy 0, то дифференцируемость функции в точке х0 означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Дх, приращение функции Ау является линейной функцией от Дх. Используя терминологию п. 8.4, можно сказать, что главная часть приращения функции Ау в точке х0 является линейной функцией относительно Дх; при этом приращение Ау и дифференциал dy — эквивалентные бесконечно малые при Дх 0 (см. п. 8.3).
Если же А = 0, т. е. dy = 0, то Ау = о(Дх) при Дх 0. Таким образом, при А = 0 приращение Ау является бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх, когда Дх —► 0.
Для большей симметрии записи дифференциала приращение Дх обозначают dx и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде dy = Adx.
з Пример. Найдем дифференциал функции у = х .
В этом случае
Ау = (х + Дх)3 — х3 = Зх2 Дх + Зх(Дх)2 + (Дх)3.
При Дх —► 0 главная линейная часть выражения, стоящего справа, равна Зх2Дх; поэтому dy = 3x2dx.
Пусть /(х0) = уц. Подставив в (9.2) значения Ay = f(x) - yQ, Ах = х - х0, dy = А(х - х0), получим
Дх) = Уо+ А(х - х0) + о(х - х0), х х0.
Итак, если функция Дх) дифференцируема в точке х0, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем х - х0, вблизи х0 она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция f в окрестности точки х0 ведет себя «почти как линейная функция» yQ + А(х - х0), причем погрешность при замене функции f этой линейной функцией тем меньше, чем меньше разность х - х0, и, более того, отношение этой погрешности к разности х - х0, т. е. относительная погрешность, стремится к нулю при х —► х0.
276


Если функция f дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных — точки х и переменной dx:
dy = A(x)dx.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке. ТЕОРЕМА 1.Для того чтобы функция f была дифференцируемой в некоторой точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную-, при этом dy = f(x$)dx.
Доказательство необходимости. Пусть функция f дифференцируема в точке х0, т. е. Ау = А Ах + о(Дх), Ах
0. Тогда
lim
Дх 0
Ду
Дх
= А + Ит = А.
Дх —» 0 Дх
Поэтому производная f'(xQ) существует и равна А. Отсюда dy = f'(xQ)dx.
Доказательство достаточности. Пусть существует производная Г(хо)’ т- е- существует предел lim
Тогда
= Л(*о) + е(Дх), Дх 0,
где lim е(Дх) = 0 и, следовательно, для Ах 0 справедливо
Дх о
Дх * 0
равенство
Ay = f'(xo) Ах + е(Дх) Ах.
Полагая здесь е(0) = 0, получаем, что в некоторой окрестности точки Xq имеет место равенство
Ay = f'(xQ) Ах + о(Дх), Ах 0,
т. е. равенство (9.2) при А = /'(Xq). Таким образом, функция f дифференцируема в точке х0. □
Подчеркнем, что в теореме 1 речь идет о конечной производной.
277


Таким образом, дифференцируемость функции f(x) в точке х0 равносильна существованию в этой точке конечной производной f'(xQ).
Из доказанного следует, что коэффициент А в определении дифференциала (см. (9.2)) определен однозначно, а именно А = f'(Xo); тем самым и дифференциал функции в данной точке определен однозначно. Это, впрочем, вытекает также из леммы п. 8.4 о единственности главной части вида А(х - xQ)k бесконечно малой функции при х х0.
В силу теоремы 1, у' = Правая часть представляет собой дробь, числитель которой — дифференциал функции, а знаменатель — дифференциал аргумента.
Формулу (9.2) для приращения функции, согласно теореме 1 и формуле (9.3), можно записать в виде
Ay = f'(xQ) Ах + е(Дх) Дх, (9.6)
где выполняется условие (9.4), следовательно, и условие (9.5):
lim е(Дх) = О, е(0) = 0, (9.7)
Дх О
т. е. е(Дх) — непрерывная в нуле функция.
Формула dy = f\xQ)dx позволяет находить дифференциалы функций, если известны их производные. Так, например, используя производные, найденные в п. 9.1, получаем:
de = 0 (с — постоянная), d cos х = -sin х с/х, d sin х = cos х с/х, dax =aha dx.
в частности dex = ex dx.
dxn = nxn 1 dx (n — натуральное число).
В заключение выясним связь между дифференцируемостью и непрерывностью в данной точке.
ТЕОРЕМА 2. Если функция f дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке,
СЛЕДСТВИЕ. Если функция в некоторой точке имеет производную. то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть функция f дифференцируема в точке х0, т. е. в этой точке Ау = А Ах + о(Дх) при Дх —► 0.
278


Тогда
lim Ау=А lim Дх + lim о(Дх) = О, Дх О Дх —> О Дх —> О
что и означает непрерывность функции f при х = х0. □
Следствие непосредственно вытекает из теорем 1 и 2. Обратим внимание на то, что если функция имеет в точке бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Построить пример функции, имеющей в некоторой точке бесконечную производную и разрывную в этой точке.
Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т. е. из непрерывности функции f в данной точке не следует ее дифференцируемость или, что равносильно (см. теорему 1), существование производной в этой точке.
Приведем примеры, подтверждающие это.
Примеры. 1. Функция f(x) = |х|, очевидно, непрерывна в точке х = 0 (как и во всех других), но не имеет в этой точке производной.
В самом деле, при х > О имеем у = |х| = х, поэтому для точки х0 = 0 получим Д г/ = Дх. Следовательно,
/ДО) = lim = 1.
+ Дх^0Дх
Аналогично, при х < 0 имеем у = |х| = -х, поэтому для точки х0 = 0 в этом случае получим Д г/ = -Дх. Следовательно,
Л(0)= lim =-1.
Дх -> О
Тем самым доказано, что функция /(х) = |х| не имеет при х = 0 производной, однако в этой точке существуют как левая, так и правая производные.
Отметим еще, что при х > 0 имеет место равенство (|х|)' = = х' = 1, а при х < 0 соответственно (|х|)' = (-х') = -1, поэтому для любого х 0 справедлива формула
|х|' = sign х.
Следующий пример показывает, что у функции в точке непрерывности может не быть никакой односторонней производной.
279


2. Пусть (рис. 38)
п • 1
так как функция sin -
• 1 л
х sin - при х О,
О при х = О.
Тогда в точке х = 0 имеем Аг/ = = Дх sin , откуда |Аг/| < |Дх|, и поэтому lim Аг/ = 0, т. е. рассмат- Дх —> О
риваемая функция непрерывна при х = 0. Вместе с тем = sin -Д-, и Дх Дх
не имеет в точке х = 0 предела ни слева, ни справа (см. пример 2 в п. 5.4), то у функции f{x) не существует односторонних производных при х = 0.
УПРАЖНЕНИЯ. 2. Ввести понятие дифференцируемости функции справа (слева) в данной точке и доказать, что дифференцируемость справа (слева) в данной точке эквивалентна существованию в этой точке конечной производной справа (слева).
3. Доказать, что если функция имеет в некоторой точке левостороннюю (правостороннюю) производную, то в этой точке функция непрерывна слева (справа).
Если функция f имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то говорят, что функция f имеет производную или что она дифференцируема на указанном промежутке.
9.3. 	Геометрический смысл производной и дифференциала
Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всего касательную.
Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а, Ь) и непрерывна в точке х0 € (а, Ь). Пусть у0 = f(xQ), Мо = (х0, r/0), х0 + Дх e (а, fe), Дг/ = /(x0 + Дх) - /(x0),
м = (x0 + Дх, y0 + Ду).
280


Проведем секущую MQM (рис. 39). Она имеет уравнение у = /г(Дх)(х - х0) + у0, (9.8)
где
/?(Дх) = g. (9.9)
Покажем, что при Дх —► 0 расстояние |М0М| от точки Мо до точки М стремится к нулю (в этом случае говорят, что точка М стремится к точке Мо, и пишут М Мо). Действительно, в силу непрерывности функции /, при х = х0 имеем lim Аг/ = 0. Следовательно, при Дх 0
Дх 0
|М0М| = 7ах2 + Ду2 — 0.
Определение 4. Если существует конечный предел lim й(Дх) = й0, то прямая, уравнение которой
Дх -> о
у = /?0(х - х0) + Уо (9.10)
получается из уравнения у = й(Дх)(х - х0) + г/0 при Дх 0 (рис. 39), называется {наклонной) касательной к графику функции f в точке (х0, г/0).
Если lim й(Дх) = °°, то прямая (рис. 40), уравнение Дх —> о
которой
х = х0 (9.11)
получается при Ах > 0 из уравнения секущей, записанного в виде у . = х - хп + у , , называется {вертикальной) касательной к графику функции f в точке (х0, г/0).
281


Прямые (9.10) в случае конечного предела lim й(Дх) и Дх о
(9.И) в случае, когда этот предел бесконечен, называются предельными положениями прямой (9.8). В силу этого, данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следующим образом.
Предельное положение секущей MqM при Ах 0, или. что то же. при М Mq. называется касательной к графику функции f в точке MQ.
Заметим теперь, что, в силу равенства (9.9), существование конечного предела lim k(Ax) = lim означает су- ществование конечной производной /'(хо) = Следовательно, если у функции f в точке х0 существует конечная производная, то уравнение касательной к графику функции в точке (х0, /(х0)) имеет вид
У = f'(xQ)(x - Xq) + yQ. (9.12)
где yQ = /(х0). Если же lim = оо, т. е. /'(хо) = °°’ то’ в си- Дх -> 0 Лх
лу (9.9), lim k(Ax) = °° и, следовательно (см. (9.11)), урав- Дх —> о
пение касательной имеет вид х = х0.
Как известно из аналитической геометрии, коэффициент f\xo) в уравнении (9.12) равен тангенсу угла (см. рис. 39), который рассматриваемая прямая образует с положительным направлением оси Ox: /'(Xq) = tg а, т. е. производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.
Первое слагаемое в правой части уравнения (9.12), т. е. выражение f'(xQ)(x - xQ) = f'(xQ) Ах. Ах = х - xQ. является дифференциалом dy функции f в точке х0. Следовательно, в силу равенства (9.12),
У - Уо = dy, где у — текущая ордината касательной. Таким образом, дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.
282


Рис. 41 Рис. 42
Рис. 43 Рис. 44
Замечание. Если в точке х0 существует бесконечный предел lim ^ = °°, то может оказаться, что он будет рав- Дх 0 Ах
ным +оо или -оо. В этом случае при х = xQ существует бесконечная производная у' = +°° или у' = -оо и график функции У = в окрестности точки х0 имеет вид, схематически изображенный на рисунках 41 и 42.
Возможен также и случай, когда предел lim = оо Не Дх —> 0
является бесконечностью определенного знака и, следовательно, в этой точке не существует ни конечной, ни бесконечной определенного знака производной, а лишь /'(х^) = °°. Это может, например, случиться, если в точке х0 существуют односторонние бесконечные производные разного знака. Тогда в окрестности точки х0 график функции имеет вид, схематически показанный на рисунках 43 и 44.
Пример. Найдем касательную к параболе у = х2 в точке с координатами (1, 1).
Согласно п. 9.1 (см. пример 5), у' = 2х, поэтому у'\х= i = 2. В силу формулы (9.12), искомая касательная имеет уравнение у = 2(х - 1) + 1, т. е. у = 2х - 1.
Если функция f дифференцируема в точке х0, то, подставляя в формулу (9.5) А = /'(хо) (см- теорему 1 настоящего параграфа), имеем
f(x) = z/0 + Г(-Го)(х “ хо) + °(х “ хо)’ х хо
и, значит, согласно (9.12) Q/Kac = f'(xQ)(x - х0) + г/0), получим f(x) - Укас = °(х ~ хо)> х х0-
283


Таким образом, наклонная касательная к графику функции обладает тем свойством, что разность ординат графика и этой касательной есть величина бесконечно малая более высокого порядка при х х0 по сравнению с приращением аргумента.
Обратно: если существует невертикальная прямая
Упр = А(х - хо) + Уо> (9.13)
проходящая через точку (х0, г/0) и такая, что
f(x) - Упр = °(х - хо)’ х *0’ (9.14)
то эта прямая является касательной к графику функции в точке (х0, г/0). Действительно, в этом случае
Кх) - [А(х - Xq) + у0] = о(х - Xq), т. е.
Аг/ = f(x) ~ Уо= А(х - Xq) + о(х - х0), х х0; следовательно, функция f дифференцируема в точке х0 (см. (9.2)) и А = f'(xQ) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с касательной (9.12).
Таким образом, условие (9.14) необходимо и достаточно для того, чтобы прямая (9.13) являлась наклонной касательной к графику функции f(x) в точке (х0, г/0). Отсюда, в частности, следует, что она единственна (последнее вытекает, например, из того, что дифференциал функции единствен, или из того, что касательная к графику функции в данной точке единственна).
9.4. 	Физический смысл производной и дифференциала
Пусть функция Дх) определена в некоторой окрестности точки Xq. Воспользуемся, как и выше, обозначениями Дх = = х - х0, Ау = Дх0 + Дх0) - Дх0). Пусть для определенности
Дх > 0. Отношение , равное изменению переменной у на отрезке [х0, х0 + Дх], отнесенному к единице измерения переменной х, естественно назвать значением средней скорости изменения у на отрезке [х0, х0 + Дх] относительно х. При стремлении Дх к нулю, т. е. при стягивании отрезка 284


[x0, х0 + Дх] к точке х0, отношение определяет значение средней скорости изменения переменной у относительно переменной х во все меньшем и меньшем отрезке, содержащем точку х0. Все сказанное, конечно, справедливо и при Дх < 0 для отрезка [х0 + Дх, х0].
Предел lim , если он существует, т. е. производную Дх 0 Ах
f'(xo), естественно поэтому назвать скоростью изменения переменной у относительно переменной х в точке х0.
Заметим, что если в точке х0 существует производная то’ рассматривая предел средних скоростей изменения у относительно х на отрезках [х0 - Дх, х0 + Дх] (Дх > 0), содержащих точку х0 внутри себя в качестве центра, при стягивании их к точке х0 (при Дх —► 0) мы получим в пределе то же значение скорости изменения у относительно х в точке х0, и т. е. /'(хо)- Действительно, значение средней скорости изменения переменной у относительно х на отрезке /•(х0 + Дх) - /-(х0 - Дх)
[х0 - Дх, Xq + Дх] равно 2^ (частному от де¬
ления изменения функции на длину отрезка, на котором произошло это изменение); отсюда
lim
Дх —> 0
/■’(х0 + Дх) - /’(х0 - Дх)
2Дх
1Г Лх0 + Дх) - Лх0)
= о 11т Л
2Дх^0 Дх
lim
Дх —> 0
f(x0 - Дх) - f(x0)
- Дх
= Г(х0).
Интересно заметить, что разностное отношение f(x + Дх) - f(x - Дх)  в известном смысле лучше приближает значение производной f в точке х, чем + (см. п. 62.6).
На интерпретации производной как скорости изменения одной величины относительной другой и основано применение производной к изучению физических явлений.
Применение же дифференциала основано на том, что замена приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить любую дифференцируемую в точке х0 функцию линейной функцией в достаточно малой окрестности точки х0, т. е. считать, что процесс изменения зависимости пере-
285


As меннои «в малом» происходит ли-
^7 нейно относительно аргумента. Ина- че говоря, можно считать, что изме- М ds
нение функции прямо пропорционально изменению аргумента или, м как говорят, упомянутый процесс «в
/ 0 малом» происходит равномерно. По-
рис лучающаяся при такой замене по¬
грешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента.
Примеры. 1. Пусть s = s(t) — закон движения материальной точки1  2 (рис. 45); s — длина пути, отсчитываемая вдоль траектории от некоторой начальной точки Мо; t — время. Пусть М — положение точки в момент времени t, а М' — в момент t + Af и As — длина пути от М до М'9 т. е. As = s(t + + АО — s(0«
Отношение называется в механике числовым значе- нием средней скорости движения на участке от М до М'9 a lim = v — числовым значением скорости в точке М или числовым значением мгновенной скорости в момент времени t; таким образом, v = .
По определению дифференциала, ds = vdt; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента t до t + А£, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости (в смысле ее числового значения) точки в момент t. Величина же As действительного перемещения точки равна As = ds + о(А£).
Мы видим таким образом, что с точки зрения механики замена As на ds означает, что мы считаем движение на рассматриваемом участке равномерным (в смысле числового 2Ч значения скорости ).
1 Не следует путать закон движения точки с уравнением ее траектории, которое имеет вид г = r(t), где г — радиус-вектор движущейся точки.
2 Следует иметь в виду, что скорость — вектор и поэтому характеризуется не только значением, но и направлением.
286


2. Пусть q = q(t) — количество
электричества, протекающее через j j
поперечное сечение проводника; t — 3 х x + \xl х
время; Д£ — некоторый промежуток рис
времени; Aq = q(t + ДО - q(t) — количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Д£. Тогда
называется средней силой тока за промежуток времени
Д£ и обозначается JCD, а предел lim I = lim — силой тока в данный момент времени t или мгновенной силой тока и обозначается I. Таким образом, I = . Дифференциал
dq = IAt равен количеству электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за промежуток времени Д£, если сила тока была бы постоянной и равной силе тока в момент t. Как всегда, Дд - dq = o(At), At 0.
3. Пусть дан неоднородный стержень1 длины I и пусть
т = т(х) — масса стержня длины х, 0 < х < Z, отмеряемой от одного фиксированного конца (рис. 46). Тогда Ат = = т(х + Дх) - т(х) — масса части стержня, ограниченной точками, расположенными соответственно на расстоянии х и х + Дх от указанного конца. Величина называется средней линейной плотностью стержня на указанном участке и обозначается рРП. Предел lim ppn = lim называет- ся линейной плотностью стержня в данной точке и обозначается р. Таким образом, р = .
Если плотность р постоянна, то стержень является однородным.
Для произвольного, вообще говоря, неоднородного стержня дифференциал dm = р Дх равен массе однородного стержня длины Дх с постоянной плотностью р, равной плотности рассматриваемого стержня в данной точке.
1 Стержень называется однородным, если два любых его участка одинаковой длины имеют одинаковую массу, и неоднородным — в противном случае.
287


Как показывает этот пример, интерпретируя производную как скорость, мы должны понимать это в широком смысле слова. Например, плотность стержня тоже «скорость», а именно скорость изменения массы с изменением длины.
9.5. 	Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Получим теперь формулы для производных суммы, произведения и частного функций.
ТЕОРЕМА 3.Пусть функция уг = и у2 = f2(x) определены в окрестности точки xqeR и имеют в самой точке х0 производные, тогда и их сумма fr(x) + f2(x), произведение ^(х)
/1(х)/2(^)5 а если f2(x) 0, то и частное -гт~\ имеют в точ-
ке х0 производные, причем
(У1+У2)'=У1 + #2’
(.У1У2)'~ У1У2 + У1У2’
/£1 = У1 У2 ~ У1У2
[у 2 ~ 2
У2
(9.15)
(9.16)
(9-17)
(в формулах (9.15), (9.16) и (9.17) х = х0).
следствие 1. Если функция у = f(x) имеет производную в точке Xq и с е R, то функция cf(x) также имеет в этой точке производную, причем
(су)'= су' (x = Xq). (9.18)
СЛЕДСТВИЕ 2. Если функции yk = fk(x), k = 1, 2, ... , п, имеют в точке Xq производные, то всякая их линейная комбинация также имеет в этой точке производную, причем
(с1у1 + ... + спуп)' = с^ + ... + спу'п, ckeR,k = l, 2, ... , п.
Доказательство теоремы. Пусть функции yr = f^x) м. у2 = f2(x) определены в окрестности U(Xq) точки х0, х0+ Дх е U(Xq) и Дг/!= /1(х0+ Дх) - /Дхо), ку2= /2(х0 + + Дх) - T2(Xq). Для простоты записи будем иногда опускать обозначение аргумента, рассматривая при этом приращения функций только в точке х0.
288


Если у = уг + у2, то
Ау = (У i + Az/i + у2 + Ау2) - (у1 + у2) = Az/i + ку2, откуда при Дх 0 получим
Ду _ &У1 ! ДУ2
Дх Дх Дх
Переходя здесь к пределу при Дх —► 0 и замечая, что в силу существования производных функций уг и у2 в точке х0 предел правой части этого равенства существует и равен у^ + у'2, получим, что существует и предел его левой части, т. е. существует производная у', причем у' = у{ + у2, т. е. формула (9.15) доказана.
Если у = у^у2, то аналогичным образом будем последовательно иметь
Ау = (У1 + ЛУ1)(У2 + Лу2) - У1У2 =
= Az/i • у2 + У1 • Ду2 + Ayi • Ду2,
Ду Ду2 дУ1
л = У2 + ^У2-
\х Кх v Дх Дх
Из существования производной /2(х0) следует непрерывность функции f2 в точке х0: lim Дг/2 = 0; кроме того, Дх —> 0
Д^1 , АУ2 , „
lim —— = у, lim —— = у2. Поэтому, перейдя к пределу дх -> 0 Лх дх -> 0 Лх
при Дх —► 0, из полученного равенства имеем
У' = У'1У2 + У1У2> т. е. формула (9.16) доказана.
У1
Наконец, если у = — и /2(х0) 0, то
У 2
^У1 ^2
У1 + ДУ1 _ У1 = &У1 У2~У1- &У2 Дг/ = Дх у2 ~ у1 Дх
У2 + ДУ2 У 2 (У2 + ЬУ2>У2 ’ Дх <У2 +ЬУ2>У2
Отсюда при Дх —>• 0, вспомнив снова, что из существования производной следует непрерывность функции, и, следова-
289


тельно, lim Дг/2 = 0’ получим у' = % , т. е. форму-
кх 0 у 2
ла (9.17) также доказана.
Следствие 1 сразу вытекает из (9.16), если вспомнить, что с = 0 (см. пример 1 в п. 9.1), а следствие 2 сразу получается из формул (9.15) и (9.18) методом математической индукции. □
Замечание. Используя свойства бесконечных пределов, относящиеся к арифметическим действиям над функциями (см. п. 5.10), можно установить и соответствующие свойства бесконечных производных. Например, если существует конечная производная y{(xQ) и бесконечная (определенного знака) производная г/2(х0), то У Функции
def
у(х) = yi(x) + у2(х) в точке х0 существует бесконечная производная того же знака. Например, если = +°°,
то y'(xQ) = +°°. Действительно, Дг/ = Л.у1 + Дг/2. Поэтому, т Ау2 lim = к л Ах кух если существует конечный предел lim —— , а А к П &Х
Ит iim Г^ + ^ = lim lim
&У2 кх
т. е. у'(х0) = +°°.
Примеры. 1. Пусть у = ех sin х - 2хл cos х; в силу формул (9.15), (9.16) и (9.18), имеем
у' = (ех sin х)' - 2(х2 cos х)' =
= ех sin х + ех cos х - 2(2х cos х - х2 sin х).
2. 	Пусть у = tg х; так как tg х = *, то по формуле
(9.17) получаем
/ _ Asin xY _ cos х cos x - sin x ( - sin x) _ 1
У \ COS X / 2 2
V J COS X COS X
Таким образом,
(tg x) = 2- .
COS X
290


3. 	Аналогично, для у = ctg х
/ <cos xY ( - sin x)sin x - cos x cos x 1
У = 1 5 = 5“ ,
\ sin X . z . z
' sin X sin X
t. e.
(ctg x)' Y •
sin x
Свойства (9.15)—(9.18) переносятся и на дифференциалы функций. При тех же предположениях относительно диффе¬
ренцируемости в точке Xq имеем:
<Щ/1 + У2) = dyi + dy2; diy^z) = y2dyi + yidy2;
,, \ Л У2аУ1~У1аУ2
d{cy) = cdy, d — = 2 •
у2
Вычислим, например, дифференциал произведения у = у^у2.
dy = y'dx = {yxy2Ydx = y[y2dx + yxy'2dx = y2dyx + yrdy2,
так как y{dx = dy19 y2dx = dy2.
Аналогично доказываются и остальные формулы.
9.6. 	Производная обратной функции
ТЕОРЕМА 4. Пусть функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и пусть df(xQ)
при х = Xq существует производная 0; тогда обрат¬
ная функция х = f Ху) имеет производную в точке у0 = /(х0), причем
dx
т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Доказательство. Зафиксируем какую-то окрестность точки Xq. на которой функция f определена, непрерывна и строго монотонна, и будем рассматривать / только в этой окрестности. Тогда, как доказано ранее (см. п. 6.3), обратная функция определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем
291


точку yQ и являющемся образом указанной выше окрестности точки х0. Поэтому если Дх = х - х0, Аг/ = У - Уо> У = f(x)’ то Дх — О рав- носильно Аг/ —► 0 в том смысле, что lim Аг/ = 0 (для функции f) и Дх О
lim Дх = 0 (для функции f 5- Az/ —> О
Для любых Дх 0, Аг/ 0 име¬
ем — = • При Дх —► 0 (или, что то же, в силу сказанно¬
го выше, при Аг/ —► 0) предел правой части существует, зна¬
чит, существует и предел левой части, причем
,. Ах ,. Ах 1
hm —- = hm —- = —
Д^о^ дх^о^ Пт
Дх 0
„ Дх df \у0) df \у0)
Но пт —- = , поэтому
dy dy
1
б//(Х0) * dx
df(x0) * П dx
Этой теореме можно дать наглядную геометрическую ин- dftx0) терпретацию (рис. 47). Как известно, —= tg а, где а — значение угла, образуемого касательной графика функции f
в точке (х0, г/0) с положительным направлением оси Ох, а
, о о ,
—— = tg р, где р — значение угла, образованного той же
касательной с осью Оу.
Очевидно, Р = л/2 - а, поэтому
R = 1 = 1 = 1 = 1 dy g Р ctg 3 /л л tg а d/(x0)' ctg 5 - а —;—
) dx
УПРАЖНЕНИЯ. 4. Доказать, что если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и если в этой точке
б//(х0)
существует производная и —— = 0, то обратная функция f (у) имеет в точке z/0 = Дх0) бесконечную производную; следовательно, если считать условно, что = оо, то формула (9.20) справедлива и в этом случае. 292


5. Сформулируйте и докажите аналог теоремы 3 для односторонних производных (конечных и бесконечных).
Примеры. 1. у = arcsin х, х = sin у, , -1 <
Л л
< х < 1. Применяя формулу (9.20), получаем
= (arcsin х)' = .
ах v 'ах. cos у
dy
Так как < у < , то cos у > 0, поэтому cos у = Jl - sin2г/ =
= J1 - х2 . Таким образом, (arcsin xY = . 1 .
7ГТ2
2. у = arccos х, х = cos у. 0 у л, -1 < х < 1. Аналогично предыдущему примеру имеем:
dy , 1 1 1 1
= (arccos х) = -j- = — = - . = = - , ,
dx v ' dx sin у Г 2Г Г 2
~г л/1 - cos у dl - х
dy *
, v 1
т. е. (arccos х) = . .
л/1 “ X
3. у = arctg х, х = tg у, < у < |, -оо < х < +оо. Имеем:
= (arctg х)' = = cos2 у = Ц- = ;
dx 2У 1 + tg у 1 + X
dx
итак, (arctg х) = 5.
1 + х
4. у = arctg х, х = ctg у, 0 < у < л, < х < °°. В этом случае
= (arcctg х)' = = -sin2 у = --—Ц- = ~-^—2 ,
ах — 1 + ctg у 1 + X
dy
т. е. (arcctg х) ~.
1 + х
5. Если у = loga х, х = ау. а > 0, а 1, х > 0, -оо < у < +оо, то
— = (log xY = — = —-— = —-— dx ' ' dx ау\па xlna ’
dz/
т. e. n v 1
(log. x) = —;— ; \ / xlna
в частности, при a = e имеем (In x)z = |.
293


9.7. 	Производная и дифференциал сложной функции
ТЕОРЕМА 5. Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке х0, а функция z = F(y) имеет производную в точке у0 = /(х0). Тогда сложная функция Ф(х) = Е[/(х)] также имеет производную при х = х0, причем
Ф'(х0) = F\yQ)f\xQ). (9.21)
Если сложную функцию Ф обозначить символом Ф = F°f (см. п. 5.2), то формулу (9.21) можно записать в виде
(Ео/)Хх0) = ЕХ/(х0))Г(х0).
Следует обратить внимание на то, что утверждение о существовании в точке х0 производной сложной функции ЛУ(х)] содержит предположение о том, что рассматриваемая сложная функция имеет смысл, т. е. определена в некоторой окрестности точки х0.
Опуская значение аргумента и используя запись производной с помощью дифференциалов, равенство (9.21) можно переписать в виде
dz _ dz dy dx dy dx *
Доказательство. Прежде всего, в силу самого определения производной, функция F определена в некоторой окрестности У(уо) точки г/0, а так как из существования производной f'(xQ) следует непрерывность функции /, то для указанной окрестности V(yQ) существует такая окрестность U(Xq) точки х0, что /(С7(х0)) <= У(уо), и, следовательно, для всех х € U(Xq) имеет смысл сложная функция F(f(x)).
Положим, как всегда, Дх = х - х0, Ау = у - yQ, Az = F(y) - - F(yo). Функция F имеет в точке yQ производную и поэтому дифференцируема в этой точке (см. п. 9.2). Это означает, что ее приращение Дг при всех Дг/, принадлежащих некоторой окрестности точки Дг/ = 0 (в том числе и при Дг/ = 0), представимо (см. формулы (9.6) и (9.7)) в виде
Дг = F'(yo) /\у + е(Дг/) Аг/, (9.22) 294


где Е(Лу) — непрерывная в нуле функция и
lim Е(Лу) = 0.
Разделив обе части равенства (9.22) на Дх # 0, получим
Тх =F'(y<^x + 0-23)
Функция у = f(x) имеет производную в точке х0, т. е. существует предел
lim Й = ^(хо)- (9.24)
Дх -> о ах
Из существования производной /'(хо) следует непрерывность функции у = f(x) в точке х0:
lim Az/ = 0.
Дх 0
При Дх = 0 имеем Аг/ = 0. Следовательно, приращение Аг/, рассматриваемое как функция Дх, непрерывно в точке Дх = 0. Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных соотношениях, содержащих непрерывные функции (см. п. 5.16),
lim е(Дг/) = О. (9.25)
Дх 0
Теперь из (9.23), переходя к пределу при Дх 0 в силу (9.24) и (9.25), получим формулу (9.21). □
Замечание 1. Формула (9.21) для производной сложной функции справедлива и в том случае, когда под производными понимаются соответствующие односторонние производные, если только предварительно потребовать, чтобы сложная функция, которая необходима для определения рассматриваемой односторонней (или двусторонней) производной, стоящей в левой части формулы (9.21), имела смысл.
СЛЕДСТВИЕ (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной):
dz = F\y$)dy = Ф'(х0)с/х. (9.26)
В этой формуле dy = f\x)dx является дифференциалом функции, a dx — дифференциалом независимой переменной.
295


Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» — независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной.
Докажем это. Согласно формуле (9.6), dz = Ф'(х0)с/х, отсюда, применив формулу (9.21) для производной сложной функции, получим dz = F'(yQ)f(xQ)dx,, но f'(x$)dx = dy, поэтому dz = F\yQ)dy. □
Формулу (9.26) можно интерпретировать и несколько иначе, если вспомнить, что дифференциалом функции в точке является функция, линейная относительно дифференциала независимой переменной. Согласно (9.21), дифференциал функции Ф(х) = F(f(x)) имеет вид с/Ф = F\y)f\x$)dx, т. е. является результатом подстановки линейной функции dy = f\xQ)dx, с помощью которой задан дифференциал df (где у = /(х)), в линейную функцию dz = F\y^dy, задающую дифференциал dF (где z = F(y)). Иначе говоря, дифференциал композиции Ф = F°f является композицией дифференциалов dF и df:
d(F°f) = dF°df.
Отметим, что теорема 5 по индукции распространяется на суперпозицию любого конечного числа функций. Например, для сложной функции вида z(y(x(y})) в случае дифференцируемости функций z(y), у(х) и x(t) в соответствующих точках имеет место формула
dz _ dz dy dx dt dy dx dt
Для обозначения производной z сложной функции z = = У = У(х) употребляют также нижний индекс х или у, указывающий, по какой из переменных берется производная, т. е. пишут zx или zy. Часто для простоты штрих опускают, т. е. вместо zx пишут просто zx. В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид zx = zyyx.
Примеры. 1. Пусть у= ха, х > 0, найдем Имеем
х = е , где и = а 1п х. Замечая, что = - , получаем dxa deu deu du uoc alnxoc oc-1
~r~ = = ~r~ = e ~ = e ~ = ax
dx dx du dx x x
296


Следовательно,
(хау = аха \
Например,
если у = х2, то у' = 2х;
1 -1 ' / -2 1
если у = - = х , то у = (-1)х = ~—2 ;
х X
Г 1/2 /1 -1/2 1
если у = aJx = х . то у = „х = —f •
Если функция у = ха определена при х < 0, то при этих значениях х она также имеет производную у' = аха \
2. Пусть у = 1п |х|, х 0; тогда при х > 0 имеем
У' = (1п х\ =
а при х < 0
/ = [1П (-*)]'= А. (-*)'=!.
Таким образом, для всех х 0 справедлива формула
(1п|<=1. (9.27)
Отсюда, по правилу дифференцирования сложной функции, для любой функции и(х) в точках х, в которых существует производная и'(х), а и(х) 0, имеет место соотношение
(ln|u(x)|)'=^g. (9.28)
Замечание 2. Формула (9.27) может быть получена и сразу для всех х 0 из формулы дифференцирования сложных функций, если вспомнить, что при х 0 справедливо равенство |х|' = sign х (см. пример 1 в конце п. 9.2). Действительно, положив и = |х|, для всех х 0 получим
dlnlxl dlnudu 1 . sign х 1
ax du ax и |x| x
3. Найдем производную функции
у = In Iх ~ а|, х а, х -а.
” 2а \х + а\
297


В силу формулы (9.28) имеем
z _ 1 х + а (х - аХ _ 1х + ах + а-(х~а) У 2ах-а[х + а) 2а х - а (х + а)2
1
х2 - а2 ’
4. 	Найдем производную функции у = In |х + Jx2 + А|. Аналогично предыдущему примеру получим
у' = \ (х + Jx2 +А У =
х + Jxz + А
= 1 fl + х ' = 1 .
х + Jx2 + A t Jx2 + А , ,Jx2 + А
2 1
5. 	Пусть у = In arcsin х> 1. Найдем производную и дифференциал этой функции:
/2 1 /
у' = (In arcsin 1/х) = 2 In arcsin - (In arcsin 1/x)' =
= 2 In arcsin ? 1 , (arcsin 1 /x)' =
x arcsin 1/x v ’
_ g In arcsin 1/x 1 Л1 Y _ _ 21narcsinl/x
arcsin 1/x Ji _ 11x2 Lx J |х|л/х2 - 1 arcsin 1/x
Отсюда дифференциал находится непосредственно по формуле dy = y'dx\ однако если бы мы еще не имели готового выражения для производной, то дифференциал можно было бы найти и непосредственно, используя его инвариантность относительно выбора переменных:
c/(ln2 arcsin 1/х) = 2 In arcsin l/xc/(ln arcsin 1/x) =
= 2 In arcsin ? 1 , d(arcsin 1 /x) =
x arcsin 1/x v ’
_ 21narcsinl/x 1 ~ 21narcsin 1/x
arcsin 1/x Ji _ i^x2 lx, |x|7x2 - 1 arcsin 1/x
6. 	Выведем с помощью теоремы 5 еще одну часто применяемую формулу. Пусть у = uv, где и = и(х) > 0, v = v(x). Пред- л- vlnu dy
ставим данную функцию в виде у = е и вычислим
dy deu[nu v In и d , л ч vfdv т . v duA = — = е (f In и) = и \ -г- In и + - -г- =
dx dx dxx \dx udx j
ydv -i v 1 du
= и -т-кш + vu -Г-. (9.29)
298


Таким образом, производная функция uv равна сумме двух слагаемых, из которых первое совпадает с производной uv в предположении, что и — постоянная, а второе — с производной uv в предположении, что v — постоянная.
С помощью правила дифференцирования сложной функции можно находить и производные функций, заданных неявно.
7. Пусть дифференцируемая функция у = у(х) задана неявно уравнением F(x, у) = 0 (см. п. 5.2). (Вопрос о том, как установить, что данное уравнение на самом деле определяет некоторую функцию, и является ли она дифференцируемой, будет рассмотрен в дальнейшем.) Дифференцируя тождество F(x, у(х)) 0 как сложную функцию, можно вычислить про-
du изводную .
В качестве примера вычислим производную неявной функции у(х). задаваемой уравнением х2 + у2 = а2. В данном конкретном случае существование такой функции не
Г.2 2
вызывает сомнения, например это у = ^а - х , а также у = = -Ja2 - х2 . Продифференцируем уравнение х2 + у2 = а2. считая у функцией от х. В результате получим 2х + 2уу' = 0; отсюда у' = .
С подобными задачами приходится сталкиваться в геометрии. Пусть, например, требуется найти касательную к окружности х2 + у2 = 25 в точке (3, 4). Угловой коэффициент k касательной равен производной; k = у', и, значит, в данном случае k = -- . Для рассматриваемой точки k = ;
поэтому уравнение искомой касательной можно записать в виде у - 4 = , т. е. Зх + 4у - 25 = 0.
Применим метод дифференцирования неявных функций к выводу формул, полученных ранее другим путем.
8. Рассмотрим снова функцию у = uv. Логарифмируя, получаем ее неявное задание In у = v In и. Дифференцируя обе части этого уравнения, имеем = v' In и + ^и (выражение 299


(In уУ = называется логарифмической производной функции у(х)) или у' = y(v' In и + и'У подставляя у = и\ приходим снова к формуле (9.29).
Рассмотрим еще функцию у = arcsin х. Она неявно задается уравнением х = sin у. Дифференцируя обе части по х, получаем 1 = у' cos у. откуда
, 111
У = — = I = I ,
COS у Г . 2 Л2 л/1 - Sin у а/1 - X
т. е. то же, что и в п. 9.6.
9. 	В случае, когда функция задана не одной формулой, а несколькими, производную приходится иногда вычислять непосредственно, исходя из определения производной. Найдем, например, производную функции
12 1
х sin - при х О,
X
О при х = 0.
При х 0 производная существует и вычисляется по формулам дифференцирования: f'(x) = 2х sin - cos . В точке же х = 0 производная находится непосредственно, исходя из определения:
Л(0) = lim f(x} ~ Л0) = lim х sin - = 0. х^О х х^О х
Таким образом, функция Дх) дифференцируема на всей числовой оси.
Замечание. Используя теорему 5, можно все полученные формулы для производных основных элементарных функций записать в более общем виде: если и = и(х) — дифференцируемая функция, то:
(sin и)' = и cos и;
(cos иУ = -и sin и;
(tg и)' =
и .
COS2U ’
(ctg иУ = -
и sin2u
{и^У = аиа 1и/ (и > 0);
(аиу = аии In а;
(е“) = еии\
{^иУ=^ (и > 0);
(arcsin и)' = , и ;
71 - и2
(arccos и)' = - . и ;
71 - и2
(arctg ;
(arcctg и)' = -^^2 ■
300


Из приведенных формул видно (при и = х), что производные основных элементарных функций являются элементарными функциями.
Полученные же в совокупности формулы дают возможность вычислить производную и дифференциал любой элементарной функции в случае, если эта производная существует.
Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функция имеет производные во всех точках своей области определения. Примером элементарной, дифференцируемой не во всех точках функции является функция |х| = л/х^, она, как мы знаем, не имеет производной в точке х = О (см. п. 9.2).
dz dz dy УПРАЖНЕНИЯ. 6. Можно ли доказать формулу 3“ = 3“ 3“ ПРИ dy #
СХ Л' СХ СХ Л'
dz
0, просто умножив и разделив на dyl Можно или нет доказать фор-
dx 1
МУЛУ ~dy = ~dy ПРИ Разделив числитель и знаменатель дроби
dx dx 1 о 3— на dx: dy 7. Выяснить, является ли функция
[ х sin - при х О, f(x) = / х
[О при х = О
непрерывной в точке у = 0. Имеет ли она производную в этой точке? Будет ли она иметь в ней односторонние производные?
9.8. 	Гиперболические функции и их производные
Определение 5. Функции е — и -—— называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом и обозначаются ch х и sh х:
X . - X X - X
е + е т е - е п
2 = ch х, = sh х-
Справедлива формула
ch2 х - sh2 х = 1. (9.29)
301


Действительно,
= ±(е2х + 2 + е~2х - е2х + 2 - е’2х) = 1.
Справедлива также формула
sh2x = 2 sh х ch х;
в самом деле,
х , -хх - х 2х - 2х
2 sh х ch х = 2-—7^— -—— = = sh 2х.
Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как их иногда называют, круговыми) синусом и косинусом. Для sh х и ch х имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам для sin х и cos х. Этим и объясняется название функций sh х и ch х. Слово же «гиперболический» связано с тем обстоятельством, что формулы
х = a ch t. у = a sht (9.30)
параметрически задают ветвь гиперболы, подобно тому как формулы
х = a cos t, у = a sin t (9.31)
параметрически задают окружность. В самом деле, если возвести в квадрат равенства (9.30), вычесть одно из другого и воспользоваться формулой (9.29), то получим х2 - у2 = а2, т. е. уравнение равнобочной гиперболы.
Аналогично, из соотношений (9.31) вытекает, что х и у
2.2 2
удовлетворяют уравнению х + у = а , т. е. уравнению окружности.
Найдем производные гиперболических синуса и косинуса. Замечая, что (~е х)' = -е х, имеем
( х . - х V х - х
z \е + е е - е п
(ch X) = = 2 = sh Х’
( х - х у х х ~ х
/1 \е - е е + е т
(sh X) = 2 = 2 = ch
Таким образом,
(ch х)' = sh х, (sh хУ = ch х.
302


sh x ch x
Частные -j— и , по аналогии с обычными синусами и ch x sh x J
косинусами, называют соответственно гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом и обозначают
sh х .! ch х . т -7— = th х, -— = cth x ch x sin x
Функции, обратные гиперболическому синусу sh х и гиперболическому косинусу ch х, обозначаются соответственно Areash х, Areach х (читается: «ареасинус, ареакосинус»; area (лат.) — площадь, мера). Появление здесь площади связано с тем, что обратные гиперболические функции связаны с выражением для площадей секторов гиперболы (см. п. 32.1).
Обратные гиперболические функции Areash х и Areach х выражаются через логарифмы иррациональных функций. Покажем это.
Для нахождения функции, обратной sh х, перепишем ра-
X . - X
г + с венство у = z в виде
Л
е2х - 2уех -1 = 0
и решим получившееся квадратное относительно ех уравнение. Отбросив отрицательный корень (ех не бывает отрицательным), получим
ех = у + ^у2 + 1.
Отсюда
х = Areash у = 1п (у + Jy2 + 1).
Функция Areash у однозначно определена на всей числовой оси.
Аналогично для у = ch х получается квадратное относительно ех уравнение
е2х - 2уех +1 = 0,
откуда
ех = у ± jy2 - 1
и, следовательно,
х = Areach у = 1п {у ± Jy2 - 1).
Функция Areach у определена для всех 1/ > 1 и двухзначна (кроме значения у = 1).
303


УПРАЖНЕНИЕ 8. Вычислить производные функций th х и cth х. Построить графики функций у = ch х, у = sh х, у = th х, у = cth х. Найти производные их обратных функций.
§10.
Производные и дифференциалы высших порядков
10.1. 	Производные высших порядков
Определение 1. Пусть функция /(х), определенная на интервале (а, Ъ), имеет в каждой точке х е (а, Ъ) производную f'{x) и пусть х0 € (а, Ь). Если при х = х0 у производной f'{x) функции f{x) существует производная, то она называется второй производной {или производной второго порядка) функции f и обозначается f"{x0) или f^2\x0).
Таким образом, //z(xo) = [/ (х) ] L = х0 ИЛИ, если опустить обозначение аргумента, у" = {уУ. Аналогично определяется производная у^ любого порядка п = 1, 2, ...: если существует производная у^п порядка п - 1 {при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция у^ = у, а под производной первого порядка — у'), то, по определению, у^ = [у^п 1)]/.
Вспоминая определение производной (см. п. 9.1), определение п-й производной в точке х0 можно записать в виде предела:
Any . г Г’1;(х0 + Дх)-Г’1;(х0)
Г \х0) = hm — , п = 1, 2, ...
А V К Л
Отметим, что из предположения, что функция f имеет в точке х0 производную порядка п, следует, в силу определения последней, что в некоторой окрестности точки х0 у функции f существует производная порядка п- 1, а следовательно, при п > 1 и все производные более низкого порядка k < п - 1, в частности сама функция определена в некоторой окрестности точки х0. При этом все производные, порядок которых меньше п - 1, непрерывны в указанной окрестности, по304


скольку во всех ее точках они имеют производную (см. теоремы 1 и 2 в п. 9.2).
Все сказанное здесь естественным образом переносится и на так называемые односторонние производные высшего порядка, которые читатель без труда определит самостоятельно. Определение 2. Функция называется п раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка п включительно (п = 0, 1, 2, ...).
При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка в том случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под производными, как обычно, понимаются соответствующие односторонние производные.
Для того чтобы функция была п раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нем непрерывную производную порядка п. Действительно, согласно определению, существование производной порядка п на рассматриваемом промежутке предполагает существование на нем производной порядка п - 1 и, поскольку из существования производной какой-либо функции в некоторой точке следует, как это уже отмечалось выше, непрерывность функции в этой точке, производная порядка п - 1 непрерывна на данном промежутке. Аналогично, в случае п > 1 доказывается непрерывность на рассматриваемом промежутке производной порядка п - 2 и т. д.
Примеры. 1. у = х3, у' = Зх2, у" = 6х, z/3) = 6, у^ = у^ = = ... = 0.
2. у = ах. yf = ах 1п а, у" = ах In2 a, z/3) = ах 1п3 а. Вообще,
(п) X 1 п -г, по индукции легко установить, что у = а 1п а. В частное- ти, (ех)(п) = ех, п = 0, 1, ... .
3. у = sin х. Вычисляя последовательно производные, получим у' = cos х, у" = -sin х, у^ = -cos х, у^ = sin х, далее производные повторяются в том же порядке. Чтобы записать полученный результат в виде одной формулы, заметим, что cos а = sin (а + л/2), поэтому у' = cos х = sin (х + л/2),
„ < . 70 . ( - Ото
у = cos l^x + £ = sin (х + 2- и т. д.
305


По индукции (sin x/n) = sin (x + шг/2) для любого п = 1, 2, ... .
4. 	у = cos х. Замечая, что -sin а = cos (а + л/2), аналогично предыдущему примеру получим
(cos х)(п) = cos (х + , п = 1, 2, ... .
10.2. 	Производные высших порядков суммы и произведения функций
ТЕОР Е М А 1. Пусть функции уг = ^(х) и у 2 = f2(x) имеют производные п-го порядка в точке х0; тогда функции У1 + У2 = fi(x) + М-**) и У1У2 = /1(х)/2(х) также имеют производные п-го порядка в точке х0, причем
(У1 + У2)(Л) = У1П) + У(2} > (10.1)
/ \(п) (п) ^1 (п - 1) (1)
(У1У2) =У1 У2+ СпУ1 У 2 +
,п2 (п-2) (2) . . (п) v ^>г (п — k) (k) ,1П o, + СпУ1 У2 + — + У1У2 = ке0СпУ1 У2 > (10.2)
где. как обычно. Ckn — число сочетаний из п элементов по k(k = O. 1, 2, ... , п).
Формулу (10.2) обычно называют формулой Лейбница1, ее символически можно записать в следующем удобном для запоминания виде:
(У1У2)(П) = (У1 + У2)<П|-
Индекс {п} означает, что выражение (у1 + у2)^ записывается подобно биному Ньютона, т. е. в виде суммы с теми же коэффициентами, что и в биномиальной формуле, только степени функций уг и у2 заменяются их производными соответствующего порядка (см. (10.2)).
Формулы (10.1) и (10.2) доказываются по индукции. При п = 1, т. е. для производных первого порядка, они были доказаны в п. 9.5. Пусть теперь эти формулы верны для производных п-го порядка. Докажем их справедливость для производных порядка п + 1.
1 Г. Лейбниц (1664—1716) — немецкий философ и математик.
306


В случае суммы функций имеем
(«1 + «г)1” ' ' - 10/ + i/a)*"’]' -
- (у'"' +уЧ‘'У = + (y'f)' - t" + y'r1'-
Формула (10.2) доказана.
В случае произведения функций выкладки несколько сложнее:
(У1У2)(П + 1} = [(У1У2)(П)Т = ^У^Уг' =
— У Г (я + 1 - /г) (/?) (п - k) (/?+!)-._
“ k = oCn I- ^1 ^2 + У\ У2 1“
_ у (n + 1 - /г) (/?) | у Лг (п - k) (k + 1) _ (п + 1) (0)
_^оМ1 У2 'ь = о^пУ1 У2 ~ У1 У2 +
. v1 (м + 1 — /г) k . rtyl (п — k) (k + 1) . (0) (п + 1)
+ Ло СпУ1 У2 + Ло СпУ1 У2 + У1 У2
Здесь мы воспользовались тем, что = 1. Теперь
изменим индекс суммирования во второй сумме, положив k = р - 1; тогда новый индекс суммирования р будет меняться от 1 до п. После этого в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. Обозначая общий индекс суммирования через р, будем иметь
(у1у^1) = у'ГиАт +
+ гЁ(С' + С'-')//'" ‘ '--W + + ».
Отсюда, заметив, что Срп + Срп 1 = Срп + х и что + х + J = 1, получим
(У1У2)(П + 1) =
= 1/п + 1)zj(0) + Е Ср 1/п + 1 ~р)1/р) + ит1/п + 1} =
У1 У2 р = 1 ЬП + 1У1 У2 + У1 У2
-П^СР + □
“ р = оЬп + 1У1 У2 • Ы
СЛЕДСТВИЕ. Если с — постоянная, а у = f{x) — функция, имеющая производную п-го порядка в точке х0, то функция cf(x) также имеет производную порядка п при х = х0, причем
(су)м = су(п). (10.3)
307


Действительно, если в формуле (10.2) положить ух = с, у2 = у, то получится формула (10.3). Впрочем, она следует очевидным образом и из n-кратного применения формулы (9.18) к функции су.
з
Рассмотрим пример. Пусть у = х sin х. Найдем с помощью формулы Лейбница производную j/10\
(х3 sin х)(10) = х3 sin [х +10^+10 • Зх2 sin (х + 9^ +
+ 10 • 9 • Зх sin (х + 8^ + 10 • 9 • 8 sin (х + 7^ =
= -х3 sin х + 30 х2 cos х + 270 х sin х - 720 cos х.
10.3. 	Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически
Пусть функция у = у(х) имеет вторую производную в точке х0, a z = z(y) — вторую производную в точке yQ = г/(х0). Тогда сложная функция z[y(x)] имеет при х = х0 вторую производную, причем
2 7У -у ~I- 21. у у. у. • (10.4)
XX yy X у XX v '
Действительно, поскольку существуют производные г/"(х0) и 2"(г/0), существуют также у\х^} и z\y^. Следовательно, функции у(х) и z{y) непрерывны соответственно в точках х0 и г/0. Поэтому в некоторой окрестности точки х0 определена сложная функция z = z[y(x)]. Дифференцируя ее и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем z'x = = 2уу'х\ дифференцируя еще раз по х, получим
% хх ~ у ) х У х "I- % у У хх ~ 2 уу Ух + 2 у У хх'
Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих предположениях, и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции.
Пусть функция у = у(х) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 (см. п. 9.6) и пусть 308


при х = xQ существуют производные у' и у". причем у'(хо) 0; тогда и обратная функция х = х(у) имеет вторую производную в точке у0 = у(хо). причем она может быть выражена через значения производных у' и у" функции у(х) При X = Xq.
В самом деле, опуская, как и выше, обозначения аргумента, согласно теореме 4 § 9 (см. п. 9.6), имеем х' = 1/у'х. Вычисляя производную по у от обеих частей и применяя к правой части правило дифференцирования сложной функции, получаем
Аналогично при соответствующих предположениях вычисляют и производные высших порядков для обратной функции.
Подобным же образом можно поступать и в случае так называемого параметрического задания функции.
Определение 3. Пусть функции х = x(t) и у = y(t) определены в некоторой окрестности точки t0 и одна из них. например х = x(t). непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности-, тогда существует обратная x(t) функция t = t(x). и в некоторой окрестности точки х0 = x{tQ) имеет смысл композиция y(t(x)). Эта функция у от х и называется параметрически заданной формулами х = x(t). У = У(1) функцией.
Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.
Если функции x(t) и y(t) имеют в точке t0 производные и если x'(to) 0, то параметрически заданная функция y(t(x)) также имеет в точке х0 = х(£0) производную.
причем
Ух x't (t0) •
(10.5)
В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента)
у'х = y't t'x; (10-6)
309


ет и у"х (х0), причем
по правилу же дифференцирования обратной функции
(ю.т)
Из формул (10.6) и (10.7) и следует формула (10.5).
Если, кроме того, существу¬
ют x^t (tQ) и y'tt (tQ), то существу-
„ =( ' Y = t'
У XX УУ X ' X г' г' ^х
ytt xt - ytxtt
,3 xt
Аналогично вычисляются производные более высокого порядка параметрически заданных функций.
Рассмотрим в качестве примера параметрически заданную функцию
х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t), (а 0, -оо < t < +оо). (10.8) Ее график изображен на рисунке 48. Пусть для определенности а > 0; тогда функция x(t) = a(t - sin t) строго возрастает. Действительно, пусть Д£ > 0; тогда, замечая, что 0 < sin у < у, имеем
x(t + ДО - x(t) = a{At - [sin (t + ДО - sin 0} =
= - 2 cos [t + sin yj > a^At - 2 • 1 • = 0,
что и означает строго монотонное возрастание функции x(t). В силу этого, существует однозначная обратная функция t = = t(x). Далее, x't = а(1 - cos 0 = 2а sin Q, yft = a sin t и x't обращается в нуль только в точках вида t = 2kn, k = 0, ± 1, ±2, .... Поэтому если t 2kn, то, согласно правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, имеем
У'х =
X
sin t
Q ■ 2t 2sm 2
= Ctg |;
1
2
2 sin 2
2 t 2a sin 2
Л • 4*’
4a sin
310


10.4. 	Дифференциалы высших порядков
В настоящем пункте для удобства будем иногда вместо символа дифференцирования d писать букву 8, т. е. вместо dy, dx писать by, bx.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема на некотором интервале (а, Ь). Как известно, ее дифференциал
dy = f'(x)dx,
который называется также ее первым дифференциалом, зависит от двух переменных: х и dx. Пусть функция f{x), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х0 € {а, Ь). Тогда дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как функция только от х (т. е. при некотором фиксированном dx), если для его обозначения использовать символ 8, имеет вид
b(dy) = b[f'(x)dx]\x = х^ = \f(x)dx\'\x = х^ bx = f"(xQ)dxbx.
Определение 4. Значение дифференциала b(dy), тп. е. дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке х0 при dx = bx называется вторым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через d2y, т. е.
d2y = f"(x0)dx2. (10.9)
(Через dx2 и вообще через dx11, п е N, обозначается (dx}2, соответственно (dx)n, а не d(xn).)
Заметим, что, в силу этого определения, d2х = 0, так как при вычислении дифференциалов мы считаем приращением dx = Ах постоянным.
Подобным же образом в том случае, когда производная (и - 1)-го порядка у(п дифференцируема в точке х0 или, что эквивалентно, когда при х = xQ существует производная n-го порядка у(п\ определяется дифференциал п-го порядка dny функции у = f(x) в точке х0 как дифференциал b(dn гу) от дифференциала (и - 1)-го порядка dn Ху, в котором 8х = dx:
dnу = 8(dn “ Xi/)|5x = dx.
Покажем, что справедлива формула
dny = yndxn, п = 1, 2, ... . (10.10) 311


Ее доказательство проведем по индукции. Для п = 1 и п = 2 она доказана. Пусть эта формула верна для дифференциалов порядка п - 1:
d у = у dx
Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления дифференциала n-го порядка d^y необходимо вычислить сначала дифференциал (мы его обозначим символом 8) от dn 1у: 8(dn 1у) = Ь{у<п ^dx^n Х)) = (у(п ^dxn 1)'8х = yM8xdxn \ а затем положить 8х = dx:
dnу = 8(dn “ Xi/)|8x = dx = y(n)dxn. □
Из формулы (10.10) следует, что
y(n)=^. (10.11)
dx
Приведем некоторые свойства дифференциалов высших порядков:
1°. dn(y1 + у2) = dny1 + dny2.
2°. dn(cy) = cdny, с — постоянная.
3°. dn{yxy2) = £ Ckndy[ kdyk2, или, если использовать символическую запись,
dn(y1y2) = (dy, + dy2){n},
где выражение (dy1 + dy^^ записывается no аналогии с би- номиальной формулой Ньютона, т. е. является суммой вида
^.k 1п - k 7/г
Cnd У^ у2;
при этом для любой, функции и считается, что d°u = = u(0|dx° = и.
Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих формул для производных n-го порядка (см. формулы (10.1), (10.2), (10.3) и (10.10)).
Замечание. Формулы (10.10) и (10.11) справедливы, вообще говоря, при п > 1 (в отличие от случая п = 1) только тогда, когда х является независимым переменным. В случае дифференциалов высших порядков по зависимым переменным дело обстоит сложнее.
312


Пусть z = z(y), у = у(х), имеет смысл суперпозиция z[y(x)] и функции z(y) и у(х) дважды дифференцируемы. Тогда dz = z'y dy. Дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты к символу 3, т. е. считая запись d(dz) равносильной записи 3(с/2)|§х = dx (так всегда и поступают на практике), причем здесь под 3(с£г) понимается дифференциал по х от функции dz = z'y(y)dy = Zy [у(х)]ух (x)dx, получаем
d2z = d(dz) = d(2'ydy) = d(z'y )dy + z'yd(dy) =
= z''ydy2 + z'yd2y (10.12)
(мы написали dz'y = z'yydy на основании формулы (9.26), т. е. использовав инвариантность первого дифференциала).
Сравнивая формулы (10.9) и (10.12), видим, что они от- личаются вторым членом, и так как, вообще говоря, d у 0, то существенно различны. Разделив обе части равенства (10.12) на dx2, получим формулу второй производной для сложной функции
„ = „ ,2 , "
% хх 2 уу Ух “г Zyyxx,
которая была получена ранее (см. (10.4)) другим путем.
Подобным же образом могут быть вычислены дифференциалы и производные высших порядков сложной функции.
§11.
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
11.1. 	Теорема Ферма
В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Напомним, что если функция f определена на некотором множестве X, то говорят, что она принимает в точке х0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве X, если для всех точек х € X выполняется неравенство f(x) < /(х0) (неравенство f(x) > /(х0)).
Если для всех х € X и х х0 выполняется неравенство Дх) < Дх0) (неравенство f(x) > Дх0)), то говорят, что в точке х0 313


функция f принимает строго наибольшее (наименьшее) значение на множестве X.
Точки, в которых функция принимает значения (строгого) максимума или минимума, называются точками (строгого) экстремума.
ТЕОРЕМА 1 (Ферма1). Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее {наименьшее) значение и имеет в ней конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.
Доказательство. Пусть функция f определена в окрестности С7(х0) точки Xq и принимает для определенности при х = Xq наибольшее значение, т. е. для всех х € U{Xq) выполняется неравенство f{x) < /(х0). Тогда если х < х0,
а если х -
f(x) - f(xQ) _ 0 >0, (11.1)
ЭС 0
> Хп, ТО
f(X) - /(Xq) 0 <0. (11.2)
По условию теоремы существует конечный или определенного знака бесконечный предел
f(x) - fiXft) lim 0 = f'(x0),
х х0 х хо
поэтому в неравенствах (И.1) и (11.2) можно перейти к пределу при х х0 (см. свойство 4° пределов функций в п. 5.10). В результате получим соответственно f\xQ) > 0 и < 0- Следовательно, /'(Xq) = 0. □
Замечание 1. Формулировка теоремы Ферма с первого взгляда может показаться неестественной: в предположениях говорится о существовании бесконечных производных, а в утверждении — о равенстве нулю производной. Однако на самом деле формулировка теоремы вполне корректна: a priori предполагается, что в точке существует производная (конечная или определенного знака бесконечная) и доказывается, что при выполнении дополнительного условия о достижении в рассматриваемой точке наибольшего (наименьшего) значения указанная производная равна нулю. Иначе говоря, доказывается, что в точке, в которой
1 П. Ферма (1601—1665) — французский математик.
314


принимается наибольшее или наименьшее в некоторой ее окрестности значение функции, не может существовать ни конечная, ни равная нулю производная функции, ни определенного знака бесконечная производная. Поэтому в точке, в которой достигается наибольшее или наименьшее в ее окрестности значение функции, возможны следующие случаи: в этой точке существует конечная, равная нулю производная, существует знаконеопределенная бесконечная производная, не существует никакой производной ни конечной, ни бесконечной. Примером функции, для которой осуществляется при х = 0 первый случай, является функция = х2, второй случай: /2(х) = , третий: /3(х) = |х|. Все эти функ¬
ции принимают при х = 0 наименьшее значение, также равное нулю, производная первой из них равна нулю: /^(0) = 0, второй бесконечности неопределенного знака: /2(0) = °°, а У третьей производная в точке х = 0 не существует.
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при х = xQ дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение на некоторой окрестности точки х0, то касательная к графику функции в точке (х0, /(х0)) параллельна оси Ох (рис. 49).
Замечание 2. Если функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение при х = х0 по сравнению с ее значениями в точках, лежащих по одну сторону от точки х0, и имеет в х0 соответствующую одностороннюю производную, то эта производная может быть не равна нулю. Так, например, функция f(x) = х. рассматриваемая на отрезке [0, 1], принимает при х = 0 минимальное, а при х = 1 — максимальное значение, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице (рис. 50).
315


11.2. 	Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях
ТЕОРЕМА 2 (теорема Ролля1). Пусть функция f:
1) непрерывна на отрезке [а, 6];
2) имеет в каждой точке интервала (а, Ъ) конечную или определенного знака бесконечную производную-,
3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е. f(a) = f(b).
Тогда существует хотя бы одна такая точка a <^<Ь, что f'(Z) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется по крайней мере одна точка, в которой касательная горизонтальна (рис. 51).
Доказательство. Если для любой точки х интервала (а, Ь) выполняется равенство f(x) = f(a) = f(b), то функция f является постоянной на этом интервале и поэтому для любой точки € (а, Ь) выполняется условие = 0.
Пусть существует точка х0 € (а, Ь), для которой /(х0) f(a), например, /(х0) > f(a). Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений (см. теорему 1 в п. 6.1), существует такая точка € [а, 6], в которой функция f принимает наибольшее значение. Тогда
> f(x0) > f(a) = f(b).
Поэтому а и т. е. точка принадлежит интервалу (а, Ь) и функция f принимает в ней наибольшее значение.
Следовательно, согласно теореме Ферма (см. теорему 1 в п. 11.1) выполняется равенство = 0. □
Заметим, что все предпосылки теоремы Ролля существенны. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два из трех условий теоремы, третье же не выполнялось бы и у которых не существует точки
1 М. Ролль (1652—1719) — французский математик.
316


такой, что /'(^) = 0- (При этом, в силу условия 3, в котором говорится о значениях функции в концевых точках промежутка, следует рассматривать лишь функции, определенные на отрезках.)
Функция /(х), определенная на отрезке [0, 1] и равная х, если 0 < х < 1, и 0, если х = 1, удовлетворяет условиям 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1 (рис. 52).
Функция /(х) = |х|, х € [-1; 1] удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2 (рис. 53).
Наконец, функция /(х) = х, х € [0; 1] удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3 (см. рис. 50).
Для всех этих функций не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.
Обратим внимание на то, что по условиям теоремы Ролля отрезок [а, й] может содержать точки, в которых функция имеет определенного знака бесконечную производную, т. е.
в которых lim = +°° или lim = -оо. Это требование х Л 'V* Av* х
Дх 0 Ах Дх -> 0 Ах
нельзя ослабить, заменив его условием lim = оо. На- пример, для функции Дх) = 7|xf, -1 < х < 1, не существует точки £ е [-1, +1], в которой производная этой функции обращалась бы в нуль. Вместе с тем функция Дх) = л/|х| удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля на отрезке [-1, 1], за исключением того, что в точке х = 0 эта функция не имеет ни конечной, ни определенного знака бесконечной производной (рис. 54).
В самом деле, для этой точки lim = оо, причем этот Дх -> 0 Лх
предел не является бесконечностью определенного знака.
317


у А ч. Примером функции, удовлетво-
f \ ряющей теореме Ролля и имеющей -2V 1 в некоторой точке определенного
знака бесконечную производную, „ кк является функция
Рис. 55 1J
171 -(х- 1)2,0<х<2,
/(Х) = I / 2
1-71 - (х + 1) , -2 < х< 0.
Эта функция непрерывна на отрезке [-2, 2], дифференцируема во всех точках интервала (-2, 2), кроме точки х = 0, в которой = +°° и /(-2) = /(2) (рис. 55). В согласии с теоремой Ролля у нее имеется точка (даже две), в которой производная равна нулю (х = ± 1). Графиком этой функции являются две полуокружности, сопряженные в точке (0; 0).
Этот пример показывает целесообразность рассмотрения в данном случае не только функций, имеющих конечные производные, но и функций с определенного знака бесконечными производными.
Заметим, что построением соответствующих примеров (если, конечно, это удается сделать) и проверяют обычно в математике существенность тех или иных условий доказываемых теорем.
В дальнейшем мы не будем проверять необходимость условий теорем, предоставляя это делать читателю по мере внутренней потребности.
Из теоремы Ролля следует, что если функция непрерывна на некотором отрезке, обращается в нуль на его концах и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует его внутренняя точка, в которой производная обращается в нуль. Короче говоря, между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль ее производной. УПРАЖНЕНИЯ. 1. Доказать, что если функция f удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [а, Ь] и не является постоянной, то на этом отрезке существуют такие точки и что Л(£1) > 0 и < 0- 2. Привести пример функции, непрерывной на отрезке [а, Ь], имеющей производную в каждой точке интервала (а, Ь), но не имеющей производной (односторонней) в точке а.
ТЕОРЕМА 3 (теорема Лагранжа1). Если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь]и в каждой точке интервала (а, Ъ)
1 Ж.-Л. Лагранж (1736—1813) — французский математик и механик.
318


(И.4)
имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то в этом интервале существует по крайней мере одна такая точка что
f(b)-f(a) = f'(fy(b-a). (11.3)
Эта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролля.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f(x) - kx и определим число X так, чтобы F(a) = F(b). т. е. чтобы f(a) -
- ka = f(b) - kb. Это равносильно тому, что
/(^-/(а). (11.5)
Для функции F выполняются все условия теоремы Ролля. Действительно, функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], а функция kx, будучи линейной, непрерывна на всей числовой оси; поэтому и функция F(x) = f(x) - kx также непрерывна на отрезке [а, 6]. Функция f имеет в каждой точке интервала (а, Ь) конечную или определенного знака бесконечную производную, а функция kx — конечную производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность F(x) также имеет всюду в интервале (а, Ь) конечную или определенного знака бесконечную производную (см. замечание в п. 9.5). Наконец, на концах отрезка [а, 6], в силу выбора к (см. (11.5)), функция F принимает одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна такая точка (а < < Ь), что
F'(t) = 0. Из (11.4) получаем F'(x) = f\x) - к. поэтому /'(^) _
- к = 0. Подставив сюда к из (11.5), получим
№ = f(bl~fa(a)- а (И.6)
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть А = (a, f(a)), В = (b, f(b)) — концы графика функции /, АВ — хорда, соединяющая точки А и В (рис. 56). m f(b) - t\a) R
Тогда отношение а равно тангенсу угла р между хордой АВ и осью Ох, т. е.
b - а '
319


а производная как известно (см. п. 9.3), равна тангенсу угла а между касательной к графику функции f в точке (£, /(^)) и положительным направлением оси Ох, т. е. /'(£) = tg ос. Поэтому равенство (11.6) может быть переписано в виде tg ос = = tg р. Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале (а, Ь) должна найтись точка (может быть, и не одна: на рисунке 56 условию теоремы удовлетворяют точки и £"), в которой касательная к графику параллельна хорде АВ.
Теорема Лагранжа найдет ряд важных приложений в дальнейшем.
Приведем другие формы записи формулы (11.3). Пусть а < < Ъ и |—- = 0. Тогда
Ъ - а
£ = а + 0(& - а), 0 < 9 < 1. (11.7)
Наоборот, если выражается формулой (11.7), то, как легко видеть, а < < Ъ. Таким образом, в виде (11.7) могут быть представлены все точки интервала (а, Ъ) и только они. Поэтому формула (11.3) может быть записана в виде
f(b) - f(a) = f\a + 0(& - а))(Ъ -а), 0 < 0 < 1. (11.8)
Положим теперь а = х, Ъ - а = Дх и, значит, Ъ = х + Дх; тогда (11.8) можно переписать в виде
f(x + Дх) - Дх) = f'(x + 0 Дх) Дх, 0 < 0 < 1. (11.9)
Формулу (11.9), а также каждую из равнозначных ей формул (11.3) и (11.8) называют формулой конечных приращений Лагранжа или просто формулой конечных приращений в отличие от приближенного равенства
Дх + Дх) - Дх) ~ f\x) Дх, (11.10)
которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений. Она выражает тот факт, что левая и правая части приближенного равенства (11.10) равны между собой для дифференцируемой в точке х функции f «с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение Дх при Дх 0 ».
Замечание. Формула Лагранжа (11.3) может быть представлена в виде
f(a) - f(b) = f'^)(a - b),
320


где а < b. Отсюда следует, что формула (11.3) справедлива не только при а < Ь, но и для а > Ь, причем и в этом случае = = а + 0(й - а), 0 < 0 < 1 (здесь Ъ - а < 0, - а < 0).
Отметим три следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке {конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на промежутке с концами аий, - оо<а<й + °°, и дифференцируема в его внутренних точках. Выберем на этом промежутке произвольно точки x-t и х2 так, что х1 < х2; тогда, очевидно, функция f является непрерывной на отрезке [х15 х2] и дифференцируемой на интервале {хг. х2). Поэтому, по теореме Лагранжа,
Кх2) - f(xx) = f'(&(x2 - хг), х1<^< х2. (11.11)
По условию f'{x) = 0 на (х15 х2), в частности f'{Q) = 0, так как € (хр х2). Таким образом, из формулы (11.11) следует, что /(хг) = f(x2), sl поскольку хг и х2 — произвольные точки рассматриваемого промежутка, то это и означает, что функция f постоянна на этом промежутке. □
Следствие 1 имеет наглядную механическую интерпретацию: если функция у = f(x) является законом движения материальной точки по прямой, х — время, у — расстояние (со знаком) от начала отсчета на прямой, то условие f\x) = 0 для всех х е (а, Ь) означает, что скорость рассматриваемой точки в течение временного интервала (а, Ь) все время равна нулю, т. е. точка неподвижна, но тогда за это время положение точки, а потому и пройденный ею путь не изменятся. Это и означает, что функция f(x) постоянна на интервале {а. Ъ). СЛЕДСТВИЕ 2. Если функция fug непрерывны на некотором промежутке и во всех его внутренних точках имеют равные производные
f'(x) = g'(x), то эти функции отличаются на рассматриваемом промежутке лишь на постоянную'.
f{x) = g(x) + С, (11.12)
где С — константа.
321


Действительно, функция F = f - g удовлетворяет условиям следствия 1, т. е. F непрерывна на заданном промежутке и F' = 0 во всех внутренних его точках. Поэтому F = С, т. е. имеет место равенство (11.12). □
СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть функция ф(х):
1) непрерывна на полуинтервале [а, Ъ);
2) дифференцируема во всех точках интервала (а, й);
3) у производной <р'(х) существует конечный предел справа в точке х = а.
Тогда в этой точке у функции ф(х) существует правосторонняя производная Ф+(а) и
Ф+(а)= lim ф'(х).
х —> а + О
Пусть в точке х = а у производной <р'(х) существует конечный предел справа и lim ф'(х) = А. Применив к функ- х —> а + О
ции ф(х) теорему Лагранжа на отрезке [а, х], где а < х < Ъ, будем иметь
ф(х) - ф(а) = ф'С;)(х - а), а < < х, откуда
ф(х) - Ф(а) =
х - а
Точка является функцией точки х и притом, вообще говоря, многозначной: = ^(х). Выберем произвольно для каждого х € (а, Ъ) одно какое-либо значение тогда получим однозначную функцию ^(х) (как говорят, однозначную ветвь многозначной функции). Так как а < ^(х) < х, то
lim ^(х) = а.
х а + О
Применив правило замены переменного для пределов функций (см. п. 5.16), получим, что существует предел
lim ф'(^)=А,
х —> а + О
следовательно, существует и предел
lim ф(*) ~ Ф(Д) + О х~ а
= А.
Это и означает, что правосторонняя производная Ф+(а) существует и равна А. □
322


Утверждение, аналогичное следствию 4, имеет место и для левосторонних производных, откуда следует, что функция, являющаяся производной некоторой функции, не может иметь устранимых точек разрыва.
УПРАЖНЕНИЕ 3. Пусть функция f непрерывна на интервале (а, Ь) и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может, некоторой точки х0 6 (а, Ь). Пусть существуют lim f\x) и
х —> х0 - О
lim f'(x), причем они не равны между собой. Доказать, что при этих X Xq + О
предположениях производная f'(xQ) не существует.
В качестве непосредственного применения теоремы Лагранжа получим с ее помощью достаточное условие равномерной непрерывности дифференцируемых функций.
ЛЕММА 1. Если функция f(x) определена и имеет ограниченную производную на некотором интервале (а, й), то она равномерно непрерывна на этом интервале.
Действительно, если |Л(*)| < с (с — постоянная) на (а, й), то с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2) получим
- f(x)\ = \f'(Q(x' - х)| < с\х' - х|,
а < х < Ъ. а < х <Ъ. а <^<Ъ. (19.23)
Поэтому для е > 0 достаточно взять 8 = е/с; тогда если |х' - х| < 8, а < х < Ь, а < х' < й, то, в силу (19.23), справедливо неравенство |/(х') - f(x)\ < е, что и означает равномерную непрерывность функции f на (а, Ь). □
Аналогичный результат имеет место для любого промежутка, конечного или бесконечного.
В теоремах Ролля и Лагранжа (а также и в следующей ниже теореме Коши) речь идет о существовании некоторой точки а < < Ь; ее можно назвать «средней точкой», для которой выполняется то или иное равенство. Этим и объясняется название «теоремы о среднем» для этой группы теорем. Докажем последнее нужное нам утверждение этого типа.
ТЕОРЕМА 4 (теорема Коши). Пусть функции f и g:
1) непрерывны на отрезке [а, 6];
2) имеют производные в каждой точке интервала (а, й);
3) g' 0 во всех точках интервала (а, Ъ).
323


Тогда существует такая точка а < ^ < й, что
f(b) - f(a) = Л(^) g(b)-g(a) g'^Y
(11.13)
Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (11.13) имеет смысл, т. е. g(a) g(b). В самом деле, если g(a) = g(b), то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы такая точка что g'(t) = О, а < < Ь, что противоречило бы условию 3.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f(x) - Xg(x), (11.14)
где число X выберем таким образом, чтобы F(a) = F(b), т. е. чтобы f(a) - Xg(a) = f(b) - kg(b). Для этого нужно взять
X = f{b) ~ Ла) . (11.15)
g(b) - g(a)
Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка а < £ < Ъ, что
= 0- Но из (11.14) F'(x) = f\x) - kg'(x), поэтому
ЛЮ - te'C;) = О,
откуда следует, что
Л-Ой. (11.16)
Сравнив (11.15) и (11.16), получим формулу (11.13), обычно называемую формулой конечных приращений Коши. □
Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, в которой g(x) = х. Мы привели независимые доказательства этих формул, во-первых, из-за той важной роли, которую играет формула Лагранжа, а во-вторых, чтобы иметь возможность, используя одну и ту же идею (построения вспомогательной функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля), применить ее дважды в доказательствах, причем сначала, для большей наглядности, в более простом случае.
Формула Коши (11.13), так же как и формула Лагранжа (11.3), справедлива не только если а < Ь, но и если а > Ь.
Выше было показано (см. п. 6.2), что всякая непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное значение. Оказыва324


ется, что тем же свойством обладают производные функций, хотя они могут быть и разрывными функциями.
Функция, у которой производная разрывна, приведена в примере 9 п. 9.7:
Г 2 . 1 , п
„ ч х sin - при X О, f(x) = < *
[ 0 при х = 0.
Она имеет производную во всех точках числовой оси:
p/z ч I 2х sin - - cos - при х 0,
f (х) = < х х
[ 0 при х = 0,
разрывную в точке х = 0.
ТЕОРЕМА 5 (Дарбу1). Если функция дифференцируема в каждой точке отрезка, то производная этой функции, принимая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функция f имеет в каждой точке отрезка [а, й] производную, принимающую на концах отрезка значения разного знака. Здесь, как всегда, раз не оговорено что-либо другое, под производной понимается конечная производная, а на концах отрезка рассматриваются односторонние производные.
Пусть, например,
Г(а) > 0, f\b) < 0.
Из условия
л/z х v f(a + h) - f(a) . n f (a) = lim > 0
h^ + 0 n
следует, что существует такое 8 > 0, что для всех h. 0 < h < 8, f(a + h) - f(a) n . n
выполняется условие — — > 0, а так как n > 0, то
f(a) < f(a + h).
Аналогично из условия
/'(&) = lim f(b + h)-f(b) <0 h^-0 h
следует, что в некоторой окрестности точки х = Ъ выполнять + h) - f(b) ~ n
ется неравенство — — < 0, где п < 0, и, следователь¬
но, f(b) < f(b + Л).
1 Г. Дарбу (1842—1917) — французский математик.
325


Таким образом, функция f заведомо не принимает своего наибольшего значения в точках х = а и х = Ъ. Однако функция /, будучи дифференцируемой на отрезке [а, 6], является и непрерывной на нем, поэтому согласно теореме Вейершт- расса (см. теорему 1 в п. 6.1) принимает в некоторой точке € [а, й] свое наибольшее значение. Согласно доказанному а и^ ft, следовательно, € (а, Ь). Тогда, согласно теореме Ферма (см. теорему 1 в п. 11.1), имеем = 0.
Аналогично рассматривается случай, когда f'(a) < 0, m > о.
Если теперь функция f дифференцируема на отрезке [а, 6], f(a) < с < то функция F(x) = f(x) - сх также дифференцируема на этом отрезке, F'(x) = f(x) - с и, следовательно, F'(a) = f'(a) - с < 0, F'(b) = f'(b) - с > 0. Поэтому по доказанному выше существует такая точка € (а, й), что F'(Q) = 0, что равносильно тому, что /'(£) = с-
Аналогично рассматривается случай f'(a) > О f'(b). □
УПРАЖНЕНИЯ. 4. Пусть f(x) = х2 sin при х 0, /(0) = 0. Применим к этой функции на отрезке [0, х] формулу Лагранжа:
2 . 1
X sin - =
х
где 0 < £ < х. Сократим обе части равенства на х при х 0:
• 1 . 1 1
X Sin - = 2с Sin V - COS V .
Переходя к пределу при х 0 (при этом, очевидно, £ 0), получаем
lim cos |=0,
> о
так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю. Вместе с тем л 1 I
предел функции cos при стремлении аргумента к нулю не существует! Где ошибка?
5. Доказать, что если функция дифференцируема на интервале и ее производная принимает значения разных знаков, то существует точка, в которой производная обращается в нуль.
6. Доказать, что если функция дифференцируема на интервале и ее производная не обращается на нем в нуль, то функция строго монотонна.
Задача 8. Доказать, что многочлен
2^ sin | - cos х,
326


(называемый многочленом Лежандра1) имеет на интервале (-1, 1) п различных действительных корней.
Задача 9. Доказать, что многочлен
2
2 п - X
тт / \ /1 эс d
Нп(х) = (-1) е —
dx
(называемый многочленом Чебышева—Эрмита2) имеет п различных действительных корней, лежащих на интервале (- J2n + 1 , J2n + 1), п = 1, 2, ... .
§12.
Раскрытие неопределенностей по правилу Аопиталя
Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (числу или к одной из бесконечностей оо, +оо или -°°), выполняемое формальной подстановкой соответствующего значения вместо аргумента в формулу, задающую рассмат- 0 оо риваемую функцию, приводит к выражениям вида -,
0-оо, оо - оо, о0, оо° или 1°°. Они называются неопределенностями, так как по ним нельзя судить о том, существует или нет указанный предел, не говоря уже о нахождении его значения (если он существует). В этом случае вычисление предела называется также раскрытием неопределенности.
Наряду с основным приемом нахождения пределов функции — методом выделения главной части — существуют и другие способы отыскания пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя3, мы изложим в этом параграфе.
1 А. М. Лежандр (1752—1833) — французский математик.
2П. Л. Чебышев (1821—1894)— русский математик и механик;
Ш. Эрмит (1822—1894) — французский математик,
з
Г. Лопиталь (1661—1704) — французский математик.
327


12.1. 	Неопределенности вида J-*
ТЕОРЕМА 1. Пусть функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [а, &], таковы, что:
1) f(a) = g(a) = 0;
2) существуют производные (правосторонние) f'(a) и g'(a), причем g'(a) 0.
Тогда существует предел
lim to = Ш .
x^a + QgM g(a)
Доказательство. Применим метод выделения главной части. В силу условия 2, имеем (см. п. 9.2)
Дх) = f(a) + f'(a)(x - а) + о(х - а), g(x) = g(a) + g'(a)(x - а) + о(х - а).
Отсюда, согласно условию 1, получим, что
Дх) = f'(a)(x - а) + о(х - а), g’(x) = g'(a)(x - а) + о(х - а), поэтому
lim = lim —— = 4^4. □
+ г^п + о^'/ ..о(х-а) g(a)
x - a
В теореме 1 предполагалось существование производных в точке а. Докажем теперь теорему, близкую по содержанию к предыдущей, в которой, однако, не будет предполагаться существование производных f\a) и g'(a).
ТЕОРЕМА 2.Пусть функции Дх) и g(x):
1) дифференцируемы на интервале (а, й);
2) lim Дх) = lim g(x) = 0;
x —> а + 0 х —> а + 0
3) g'(x) 0 для всех х Е (а, Ъ);
4) существует конечный или бесконечный, равный +°° или
„TV
-оо, предел lim Ч7Ч.
х а + 08 (х'
Тогда существует предел lim = lim 4^4.
х^а + 08(х> х^а + 08[х’
Доказательство. В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке а: доопределим их, положив f(a) = = g(a) = 0. Теперь f и g непрерывны в точке а и удовлетворяйся


ют условиям теоремы Коши о среднем значении (см. п. 11.2) на любом отрезке [а, х], где а < х < Ъ. Поэтому для каждого х, а < х < Ь, существует такое = ^(х) € (а, х), что
f(x) = f(x) - f(a) = Л(^) g(x) g(x) - g(a) g'(E,)’
(12.1)
причем lim ^(х) = а.
х а + О
Поэтому, если существует lim 4^ = k, то из правила x^a + Og
замены переменного для пределов функций следует, что су-
ществует и lim = k. Теперь из (12.1) получаем x—>a + Og'^'
lim = lim = к. □
Теоремы 1 и 2 остаются верными с естественными видоизменениями как в случае левостороннего, так и двустороннего предела.
ТЕОРЕМА 3. Пусть функции fug'.
1) дифференцируемы при х > с;
2) lim Дх) = 0, lim g(x) = 0;
X —> + 00 X —> + оо
3) g'(x) 0 для всех х > с;
4) существует конечный или бесконечный, равный +°° или -оо, предел lim .
f'(x}
Тогда существует и предел lim L1—L = lim Чр-\.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что с > 0 (если с < 0, то в качестве нового значения с возьмем, например, с = 1).
Выполним замену переменного х= 1/t. Функции ф(0 = = f (1/0 и ф(0 = g (1/0 определены на интервале (0, 1/с); если х +°°, то t +0 и наоборот. На интервале (0, 1/с) существуют производные
Ф (0 = -f[-t /г и V (0 = -g (j J-2, где штрихом обозначены производные функций f и g по первоначальному аргументу.
329


Из сказанного и условий теоремы следует, что функции ф(0 и \|/(0 удовлетворяют на интервале (0, 1/с) условиям 1), 2) и 3) теоремы 2. Покажем еще, что из существования предела
lim , который обозначим через й, следует существова- х -> + ОО £ W
ние предела lim ^7777 и равенство его й, т. е. что ВЫПОЛНЯ¬
ЛА +0 V {t)
ется и условие 4) теоремы 2. Действительно, используя полученные выражения для производных ф'(0 и фХО, находим
lim t —> + о
ф'(О ф'(О
lim t —> + о
щ/t) g'(l/t)
lim = k.
Теперь из теоремы 2, примененной к функциям <р(#) и v|/(f), следует, что lim = k. Но
g(x) ’
<P(O = /(I/O = ftx)
V(t) g(l/t)
где x = 1/t, поэтому lim = lim ,
Эта теорема остается верной с соответствующим видоиз¬
менением и при х -оо.
Правилом Лопиталя называется нахождение предела от¬
ношений функций по формуле
lim ф! = Ит Их)
где а — конечная или бесконечно удаленная точка числовой оси, а функции fug заданы во всех точках некоторой ее дву- сторонней или односторонней окрестности, кроме самой этой точки.
В случае конечной точки а правилом Лопиталя называется также и нахождение предела отношений функций по формуле
lim ЛХ) = г±а) г S(x) g (а)
12.2. 	Неопределенности вида
ТЕОРЕМА 4.Пусть функции f(x) и g(x):
1) дифференцируемы на интервале (а, й);
2) lim f(x) = оо, Um g(x) = оо;
х—> а + 0 х —» а + 0
330


3) g'(x) 0 на (а, Ь);
4) существует конечный или бесконечный, равный +°° или -оо, предел lim .
Тогда существует и предел
Ит = Ит .
хДТ+o^U) х4“+о^(х)-
Доказательство. Пусть существует конечный или бесконечный предел
Ит ф2=/г.
(12.3)
Покажем, что при выполнении остальных условий теоремы имеет место равенство
Ит
(12.4)
(12.5)
х0.
Если а < х < х0 < b, то на отрезке [х, х0] функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши (см. теорему 4 в п. 11.2), поэтому существует такая точка = ^(х0, х), что f(x) - f(x0) _ g(x)-g(x0)
Далее, в силу (12.2), существует такая точка х1 = x^Xq), а < хг< х0, что при всех х € (а, хг) выполняются неравенства f(x) 0, g(x) 0, f(x) /(х0) (12.6)
и, следовательно, можно выполнять деление на Дх), g*(x) и f(Xg) g(XQ)
1 - (а также и на 1 - , поскольку, в силу условии
теоремы, g(x) ё*(х0), см. теорему 4 в п. 11.2). Для этих значений х из (12.5) вытекает равенство
откуда
Лх0)
f(x) 1 f(x) = f(^) g(x) g(x0) g'($) ’
1 g(x)
g(X0) f(.x) = 1 g(x)
g(x) g’(^) f(xoy
1 f(.x)
(12.7)
331


(12.8)
ТЭ - - Л(^)
В правой части равенства первый сомножитель стремится к k при х0 а + 0, так как а < < х0, а второй, в силу условия (12.2), стремится к 1 при х а + 0 и фиксированном х0:
§(Xq)
lim = 1-
х^а +0 1
ftx)
Непосредственно перейти к пределу в равенстве (12.7) нельзя, поскольку указанные выше предельные переходы в сомножителях в правой части равенства происходят при разных условиях: при х0 а + 0 и при фиксированном х0, но х а + 0. Однако если задать произвольно окрестность U(k) предела й, то, в силу условия (12.3), можно сначала зафиксировать точку Xq столь близко к точке а, что отношение
попадет в эту окрестность, ибо а < £ < х0. Согласно же условию (12.8), для всех точек х, достаточно близких к а, отношение (см. (12.7)) также будет принадлежать указанной окрестности U(k), а это означает справедливость утверждения (12.4). Собственно говоря, теорема доказана и можно поставить знак □.
Однако для полноты изложения сделаем некоторые дополнительные разъяснения, которые каждый, кто достаточно хорошо овладел предшествующим материалом, легко может провести самостоятельно.
Пусть сначала k — конечный предел. Зададим произвольно £ > 0 и так зафиксируем х0, чтобы кроме условий (12.6) для всех х, а < х < х0, выполнялось неравенство
(12-9)
Их) | 3
(Это возможно в силу условия (12.3).) Таким образом, если положить
«(*) =f - к, (12.10)
то при а < х < Xq выполняется неравенство
|а(х)| < |. (12.11)
332


Если
g(x0)
Р(х) =f - 1, (12.12)
1 f(x)
то, согласно (12.8),
lim Р(х) = О, (12.13)
х —> а + О
поэтому существует такое х1, а < х1 < х0, что для всех точек х € (а, Ху) имеют место неравенства
|Р(Х)| < 1, |Р(х)| < 3(1^)е. (12.14)
В силу формул (12.7), (12.10), (12.12) имеем
Ш = (k + а(^))(1 + р(х)),
S )
поэтому
- k = а(^) + /гр(х) + а(£)р(х), а < £, < х0,
где при а < х < хг имеем
|а© + *Р(х) + а(^)Р(х)| <
< |а(^)| + |/?||р(х)| + |а(^)||р(х)| | + 3(|^ 1} е + | < е,
(12.14)
а это и означает справедливость равенства (12.4).
Так раскрываются на «языке неравенств» сделанные выше высказывания о выборе достаточно близких значений х0 и х к точке а, обеспечивающих нужную близость отношения
к числу k.
g(x) J
Рассмотрим теперь случай бесконечного предела. Пусть lim 4^4 = +°°. Тогда в некоторой окрестности точка а х^а +0g {х)
имеем f(x) 0 (почему?) и, следовательно, lim 144 = 0.
Поэтому, согласно доказанному выше, lim = 0, от- х^а +0 Г{х)
куда следует, что
333


Но нужно доказать более сильное утверждение, а именно что этот предел равен +°°. Покажем это.
Зададим произвольно число с > 0. Из условия (12.3) при й = +°° следует, что существует такое х0 € (а, й), для которого при всех х € (а, х0), кроме условий (12.6), будет выполняться еще неравенство
Й§>2с. (12.15)
В силу же условия (12.8) или равносильного ему условия (12.13), существует такое х1, а< х1< х0, что для всех х, а < х < х1, выполняется неравенство
1 + р(х)>|. (12.16)
Теперь для всех х 6 (а, х^) имеем (вспомним, что а < < х0) g(x0)
= Н|1(1 + р(х)) > 2с-±=с.
g(x) (12.7) g(^) Л^р) (12.12) (12.15) 2
1 f(x) (12.16)
Это означает, что lim = +°°. Случай k = сводится х^а + 0^
к случаю k = +°° заменой функции f(x) на функцию -f(x).
Теорема 4 вместе с ее доказательством остается в силе с естественными видоизменениями и при х а - 0, х +°° и х -°°, а также в случае двусторонних пределов.
Можно показать, что при выполнении условий 1), 2) и 3), входящих в любую из теорем 2, 3 или 4, не может су-
1- Г(х) ществовать предел пт = °° без существования од-
х^а + 0g {х)
ного из двух «знакоопределенных» бесконечных пределов f' ( X ) f' ( X )
lim 4^4 = +°° или lim = -о° (см. далее упраж- х a +0g {х) х a + 0g {х)
пение 2 в п. 12.3). Таким образом, рассмотрены все случаи неопределенностей вида .
Примеры. 1. Найдем lim , а > 0. Замечая, что
X —> + оо X
(1п х)' = - , (ха)' = аха~ 1 и lim l^x_ t = lim = 0,
х х + о» ах х -> + о» х
334


получаем
Это означает, что при х +°° функция In х растет медленнее, чем любая положительная степень переменной х.
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз.
п
2. 	Найдем lim — , где п — натуральное число и а > 1.
х + оо а
Имеем п , п., п - 1
Т X т (х ) т ПХ
11Ш — = 11Ш = 11Ш — = ... =
х —> + оо а х + оо (а )' х —> + °о a Ina
= lim -Лг=0- (12.17)
х + оо a In а
Таким образом, при х +°° любая степень хп растет медленнее, чем показательная функция ах, а > 1.
3. 	Следует иметь в виду, что вычисления по правилу Лопиталя оправданы только в том случае, когда в результате получается конечный или бесконечный предел. Так, например, было бы ошибкой написать т х - sin х lim —•—:— = „ ч X + sin X X —> оо
так как предел
lim ~ siR
„ ч (х 4- sin х)' Т —оо v 7
lim
X —> оо
(х - sin х)' (х 4- sin х)'
= lim
X —> оо
1 - COS X
1 + COS X
не существует.
В самом деле, беря последовательности х'п = 2тт х„ = +°° при п °°, получаем
1 - cos х' 1 - cos х"„
lim т— — = 0, lim т— — = 1.
n^oo1+COSX« rt^Ml+COSXn
Вместе с тем заданная в этом случае неопределенность - может быть раскрыта элементарно:
,. X - sin X lim ; :
. к X + sin X
1 sin х
lim = 1.
. к ч sin X
335


УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть f(x) = х2 sin 1, g(x) = sin x. Найти lim и доказать, что в этом случае правило Лопиталя неприменимо.
4. 	Может случиться, что применение правила Лопиталя не упрощает задачу отыскания предела функции. Например, применив правило Лопиталя для вычисления предела lim , х , получим
*^+°°7ГТГ2
lim . х = lim . х , = lim ^1 + х , +°°71 + х2 ^^+оо(71Тх2) х
т. е. получился предел дроби, обратной данной, т. е. задача осталась той же. Вместе с тем заданный предел легко находится элементарно:
lim . х lim . 1 = 1.
X + °° 71 +х2 X +оо + 1/х2
5. 	Неопределенности 0 , °°и или 1°° можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующие функции. Например, чтобы найти lim Xх, следует найти предел:
х —> + О
lim х In х = lim =-lim-1^ =- lim x = 0.
Поэтому, в силу непрерывности показательной функции, lim Xх = lim exlnx=l.
х —> + 0 х —> + 0
Неопределенности вида 0 • °° и оо - оо следует привести 0 оо
к виду ф или - . При этом, как и всегда при применении правила Лопиталя, по ходу вычислений рекомендуется упрощать получающиеся выражения. Поясним это на примере.
z 1 х .222
. т. <1 . 2 А 1. sin х - х cos х
6. 	hm —2 - ctg х = hm %—% .
х —> 0 ' х 0 х sin х
Заметим, что
sin2x - x2cos2x _ sin х + xcos х . sin х - xcos х x2sin2x sin x x2sin x
Предел первого сомножителя правой части находится непо¬
средственно:
,. sin х + xcos х ,. .
hm = hm 1 +
X 0 sm х X 0 V
х sin х
cos х = 2,
336


а предел второго — с помощью правил Лопиталя:
lim х —> О
sin х - xcos х x2sin х
xsin х
lim 9
хч0 2х sin x + xzcos x
lim
0 2 + x cos
Л 1 2 A 22
Таким образом, lim - ctg x = 9 ) *
12.3. 	Обобщение правила Лопиталя
Усовершенствовав доказательство теоремы 4, можно показать справедливость правила Лопиталя при более слабых ограничениях. Рассмотрим для разнообразия случай, когда аргумент стремится к +°°. Приведенное ниже изложение доказательства теоремы 5 принадлежит В. А. Ходакову.
ТЕОРЕМА 5.Пусть функции f(x) и g(x):
1) 	дифференцируемы при х> а\
2)^(х) 0 при х > 4Z;
3) 	lim g(x) = оо;
X -> +оо
(12.18)
(12.19)
4) 	существует конечный или определенного знака беско- нечный предел lim -гг\ = k.
Г x^+oog(x)
Тогда
X
1- f(x) и lim = k.
—> + °° g(X)
(12.20)
Как и выше, можно показать, что из условий (12.18)— f'(x)
(12.20) следует, что если lim =00, то либо
х +ОО g (X)
Л(х) f'(x)
lim = +°°, либо lim = -°°. Поэтому случай x^+oog(x) x^+oog(x)
k = °° рассматривать не надо.
Доказательство. 1) Пусть сначала k ± °°. Зафиксируем произвольно £ > 0. Выберем такое х0 > а, чтобы для всех х > хп выполнялись неравенства g(x) 0 и и (12.19)
1Ш -k\
\g\x) |
t
2
(12.21)
337


Согласно теореме Коши, для каждого х > х0 существует такое = £(х, х0) > х0, что
f(x) = Я8 - + ^Хо)‘
Отсюда
МЦ _ = Мн - "*—ГД |V(xo) _ Мн £(хо)1 •
g(x) g (£) g(x) L и/ g (Л) v 07 J
Положив
ям =' та |Лх») - ■
будем иметь
|li ~‘|«|ЙМ+ам- <12-22)
В силу условия (12.21), отношение ограничено при
х > х0. Следовательно, lim а(х) = 0. Поэтому найдется Х^+оо (12.19)
такое > х0, что для всех х > хг будет выполняться неравенство
а(х)< | (12.23)
и, таким образом, при х > хг верно неравенство
|f(£)|-/?| < |Ш-/?|+а(х) < |+|=е,
1^(х)| || (12.22) |g'(^) I (12.21) z z
(12.23)
Т /(Х) 7
а это и означает, что lim -ММ = k.
x^ + cog(x)
2) Если, например,
lim ММ=+°°> (12.24)
x^+oog(x) V ’
то для любого с > 0 существует такое х0 > а, что для всех х > х0 выполняются неравенства g*(x) + 0 и
ЙМ>Зс. (12.25)
Согласно теореме Коши, при любом х > х0 имеет место равенство
f(x) = Л(^) г1 _
g(x) g'(b L g(x) J g(x) ’
338


где = ^(х0, х) > Xq. В силу условия (12.19), существует та¬
кое х1 > х0, что для всех х > х1 выполняются неравенства
£(*р) 2
g(x) 3 ’
f(x0) g(x)
с,
(12.26)
следовательно,и неравенство
/Ц) > ос . ? _с = с
(12.25) 3
(12.26)
Это и означает, что lim =+°о.
х^ + оо£(*)
Утверждение теоремы для k = следует из случая k = = +оо, надо лишь f(x) заменить на □
УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что если функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a, b), g'(x) 0 на (а, Ь), и lim = оо, то либо
X + ОО
lim
g'M
= +оо либо lim 4^ = -оо. x^ + oog(x)
Указание. Полезно воспользоваться упражнениями 5 и 6 в п. 11.2.
§13.
Формула Тейлора
13.1. 	Вывод формулы Тейлора
Если функция у = f(x) имеет в точке х0 производную, то приращение этой функции можно представить в виде
Ду = А Дх + о (Дх), Дх —>■ О,
где Дх = х - х0, Ay = ftx) - у0, у0 = /(х0) и А = Л(х0), т. е.
/(х) = у0 + А(х ~ хо) + °(х ~ хо)’ х хо-
Иначе говоря, существует линейная функция
Л(х) = Уо + А(х - хо) (13.1)
такая, что
f(x) = Р^х) + о{х - х0), х xQ,
339


причем
Л(*о) = У о = /Uo)> -Pi(^o) = А = f'(x0).
Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет п производных в точке х0. Требуется выяснить, существует ли многочлен Рп(х) степени не выше п такой, что
/(х) = Рп(х) + о((х - х0)п), х х0, (13.2)
и
f(x0) = Рп(х0), f\x0) = Р'п(х0), ... , f{nXx0) = Р(пп) (х0). (13.3)
Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (13.1), в виде
Рп(х)=А0+А1(х - х0) +А2(х - х0)2 + ... + Ап(х - х0)п.
Замечая, что Рп(х0) = Ао из первого условия (13.3), т. е. условия /(х0) = Pn(xQ), имеем Ао = /(х0). Далее,
Р'п(х) = Аг + 2А2(х - Xq) + ... + пАп(х - Хо)п~ \
отсюда P^(Xq)=A1, и так как Р'п (х0) (i= f\xQ), то А1 = f\xQ). Затем найдем вторую производную многочлена РДх):
Р" (х) = 2 • 1 • А2 + ... + п(п - 1)Ап(х - х0)п ” 2.
// //
Отсюда и из условия f (х0) = Р" (х0) получим А2 = —
(13.3)
и вообще
/(Й)(х0)
А= -^Л^ = 0, !’2’
В силу самого построения, для многочлена
РпМ = f(x0) + f'(x0)(x - х0) + ...
fW(x0)/ . f(n\x0)
••• + fe! (х-х0Г + ... + —— (x-x0)
выполнены все соотношения (13.3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (13.2).
Пусть
rn(x) =f f(x) - Рп(х).
340


Как уже отмечалось выше (см. п. 10.1), из существования у функции f производной порядка п в точке х0 следует, согласно определению этой производной, что у функции f в некоторой окрестности точки х0 существует производная порядка п - 1, следовательно, и все производные более низкого порядка. При этом, поскольку функция, имеющая в некоторой точке производную, непрерывна в этой точке, все производные функции f до порядка п - 1 включительно непрерывны в точке х0. Поэтому у функции гп(х) также в точке xQ существуют производные до порядка п, а в некоторой окрестности этой точки все производные до порядка п - 1 включительно и они непрерывны в точке х0.
Из условия (13.3) следует, что
г„(х0) = г'п(х0) = ... = r‘"’(x0) = 0. (13.4)
В силу свойств производных функции гп(х), для раскры- rnW
тия неопределенности при х xQ можно применить
(X-XqY1
правило Лопиталя, а именно, сначала п - 1 раз теорему 2 из § 12, а затем теорему 1 из того же параграфа. В результате получим
X —> Х0 (х - Xq) X Xq п(х - Xq)
_ r{nn\x0) _
х n'(x ~ *o> n' ’
т. e. действительно
rn(x) = o((x - x0)n), X x0.
Итак, доказана следующая очень важная теорема.
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция /(х), определенная на интервале (а, й), имеет в точке х0 € (а, Ъ) производные до порядка п включительно. Тогда при х х0
Л(хп)
f{x) = /(Хо) + —jy-(x - Xq) + ...
...+ L_^(x_xo)» + O((x_xo)"), (13.5)
или
//?), \
-Pi \ У1 ' z \k ! zz ч/k
ft*) = Ло kl ~ + °^х ~ х^
341


Эта теорема остается справедливой вместе с ее доказательством и для функции /, определенной на отрезке [а, й] при х0 € [а, 6], если для х0 = а и х0 = Ъ под производными понимать соответствующие односторонние производные.
Формула (13.5) называется формулой Тейлора1  2 п-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.
Многочлен
Л(х0) f(rl)(x)
рп(х) = f(x0) + - х0) + ... + —^р(х - х0) (13.6)
называется многочленом Тейлора степени п, а функция
rn(x) = f(x)-Pn(x) (13.7)
— остаточным членом п-го порядка формулы Тейлора. Как показано, остаточный член гп(х) является бесконечно малым при х х0 более высокого порядка, чем все члены многочлена Тейлора (13.6).
Приведем другой вид записи формулы (13.5). Положив
х - Xq = Дх, Аг/ = /(х0 + Дх) - /(х0), получим
Дх& + о(Дх), Дх^О. (13.5х)
Если в формуле (13.5) х0 = 0, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Мак- 2 лорена :
f(x) = Д xk + о(хп), х - 0. (13.8)
Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при этом остаточным членом.
1 Б. Тейлор (1685—1731) — английский математик.
2 К. Маклорен (1698—1746) — шотландский математик.
342


Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает общий метод выделения главной части функции в окрестности данной точки. На этом обстоятельстве и основаны многочисленные и разнообразные приложения формулы (13.5) в различных вопросах анализа.
Отметим полезное следствие из теоремы 1.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть функция f(x) определена на интервале (а, й), и пусть в точке х она имеет производные до порядка п + 1 включительно. Тогда
Я*) = fef° (* - хо)* + °(* - х0)п + 1,х^ х0. (13.9)
Действительно, в силу теоремы 1, при х х0
f(x) = "Е (X - x0)ft + о((х - х0)п + Ь (13.10) и, поскольку при X х0
7 (га + ^,о) (* - х0)п + 1 + о((х - х0)п + b = О((х - Хо)п + Ь, из формулы (13.10) непосредственно следует формула (13.9). □
УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что если функция f(x) в некоторой окрестности точки х0 имеет производную порядка п, то, каковы бы ни были точка х этой окрестности и функция у(£)> непрерывная на отрезке с концами в точках Xq и х, имеющая не равную нулю производную внутри этого отрезка, найдется такая точка лежащая между х0 и х, что для остаточного члена гп _ Дх) формулы Тейлора функции f(x) имеет место формула
г„_1(х) = v(x)-v(x0)/^) t « = 1, 2, ... .
n IV / V (ъ) (/2 — 1)’ v ’ ’ ’
Получить отсюда следующие виды записи остаточного члена:
_ Дх) = (х - х0/(х - ^)п р, р > 0 (форма Шлёмильха—Роша1);
_ Дх) = ? (х - х0)п (форма Лагранжа);
/п)[х0 + 0(х - х0)] п_. „
гп - 1(х) = _ 1); (1 _ 0) - х0) , 0 < е < 1 (форма Коши).
1 О. Шлёмильх (1823—1901) — немецкий математик; Э. Рош (1820— 1883) — французский астроном и математик.
343


Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
(р(0 = f(x) - (X - t)k
и применить к функциям ф и у теорему Коши о среднем значении. Для вывода остаточного члена в виде Шлёмильха—Роша положить \р(£) = = (х - г/.
13.2. 	Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
Заметим предварительно, что, очевидно, всякий многочлен
Рп{х)= lakxk (13.11)
может быть представлен для любого х0 в виде
Рп(х)= ЪАк(х-xQ)k. (13.12)
В самом деле, достаточно в (13.11) положить х = х0 + h и разложить правую часть по степеням Л; тогда Рп(х) = = Ао + Axh + ... + Anhn. где h= х - х0, т. е. получилась формула (13.12).
Докажем теперь единственность многочлена, обладающего свойством (13.2).
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция f дифференцируема до порядка п включительно в точке х0, и пусть
f(x) = Рп(х) + о((х - х0)п), х х0, (13.13)
где Рп(х) = £<ak(x - xQ)k — некоторый многочлен степени, меньшей или равной п. Тогда
Г(х0)
/г = 0’1’ •••’«’ (13.14)
т. е. Рп{х) является многочленом Тейлора.
Иначе говоря, никакой многочлен степени, меньшей или равной п. отличный от многочлена Тейлора порядка п. не может приближать данную функцию с точностью до о((х - х0)п) при х xQ (а поэтому и с более высокой точностью о((х - Хо)т)т > п, поскольку при т > п имеет место со344


отношение о((х - x0)w) = о((х - х^)п. х х0, — напомним, что подобные формулы читаются только слева направо). Таким образом, многочлен Тейлора является единственным многочленом, обладающим свойством (13.13), все остальные многочлены той же степени или меньшей «хуже приближают» функцию f при х Xq. Именно в этом смысле и говорят, что многочлен Тейлора является многочленом наилучшего приближения рассматриваемой функции в окрестности данной ТОЧКИ Xq при X Xq.
Доказательство. Из формул (13.5) и (13.13) следует, что
, А
ЛО—£Г~(Х ~ xo)k + °((х - хо)П) =
= - xo)k + °((х - *o)n)> х х0>
откуда, перейдя к пределу при х х0, получим а0 = /(х0). Отбрасывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся в обеих частях выражения на множитель х - х0 (х х0) и замечая, что
о((х - Xq)11) = е(х)(х - х0)\
где lim е(х) = 0, следовательно, при х х0 имеет место ра- X —Xq
венство
О((х-х0)“) i к
х_Хо = е(х)(х - х0) = о((х - х0) ), X Xq, П = 1, 2, ... , получим
Л (х - xq? - 1 + о((х - хо)п ~ Ь =
п k - 1 - 1
= IL^a^x - х0) + о((х - Xq)71 ), х х0.
Переходя снова к пределу при х х0, находим аг = /'(xq). Продолжая этот процесс, получаем
/(/г)(х0)
Единственность представления функции в виде (13.13) может быть иногда использована для ее разложения по формуле Тейлора. Именно: если удается каким-либо косвенным
345


путем получить представление (13.13), то, в силу теоремы 2, можно утверждать, что это и есть разложение по формуле Тейлора (13.5), т. е. что коэффициенты найденного многочлена выражаются по формулам (13.14).
Так, например, соотношение (13.12) представляет собой разложение многочлена (13.11) по формуле Тейлора, причем в этом случае гп(х) = 0, поэтому, в силу единственности многочлена, удовлетворяющего условию (13.13), коэффициенты многочлена (13.12) имеют вид
д
k\ •
Таким образом,
Рп{х) = ^о^^{х-х.)к. (13.15)
Отметим, что из того, что многочлен (13.12) совпадает со своим многочленом Тейлора (13.15), в силу единственности представления функции в виде (13.13), следует, что если два многочлена принимают одинаковые значения на каком-нибудь интервале числовой оси, то все их коэффициенты одинаковы.
Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию f(x) = в окрестности точки х0 = 0. Замечая, что
1 _ х есть не что иное, как сумма бесконечной геометрической прогрессии i = 1 + х + х2 + ... + хп + ... , |х| < 1, и
п + 1 z \ п + 1 | п + 2 . X i i -«
положив Гп(Х) = X + X + ... _ х , |х| < 1, получим
= 1 + х + ... + х" + гп(х),
где гп(х) = О(хп + Х) и, значит, гп(х) = о(хп) при х 0. Таким образом, представление
—= 1 + х+ ... + хп + о(хп) = £ xk + о(хп), X 0,
и есть разложение функции по формуле Тейлора в окрестности нуля.
346


13.3. 	Формулы Тейлора для основных элементарных функций
1. 	f(x) = sin х. Функция sin х обладает производными всех порядков. Найдем для нее формулу Тейлора при х0 = 0, т. е. формулу Маклорена (13.8). Было доказано (см. п. 10.1), что (sin x/w) = sin (х + \ поэтому
пш f 0 для т = 2k.
“{(-l)* ДЛЯ т = 2/! + 1,^0-1-2’-- <13-16» и, согласно формуле (13.5),
3 5 7 2п + 1
X . X X . I / X . z 2м + 2ч
smx = x- 37+57- 77 +... + (-1) (2^ТТ)!+о(х )’
при х 0, п = 0, 1, 2, ... , или, короче,
sin х = + 1)! + °^2П + ПРИ Х °-
Мы записали здесь остаточный член в виде о(х2п + 2), а не в виде о(х ), так как следующий за последним выписанным слагаемым член многочлена Тейлора, в силу (13.16), равен нулю.
2. f(x) = cos х. Как известно (см. п. 10.1),
fm\x) = cos (х + ,
поэтому
Лмг)тч Ш71 J0 ДЛЯ^ = 2Н1,
Г \0) = cos = ^(_1)fe для т = 2/г> /г = 0, 1, 2, ,
И
2 4 0 2п
х . х х . I / 1 х I / 2м + 1\ COSX=1- 27 + 47 - 6! +-+(-1) (2^)! +°(х )’
при х 0, или, короче,
п 2/?
cosx= Ео(-1)^ +o(x2n + 1)
при х —> 0, п = 0, 1, 2, ... .
3. /(х) = ех. Так как (ех/п^ = ех. то = 1, п = 0, 1, ... , следовательно,
ех = 1 + х + + ^у + ... + + о(хп), (13.17) 347


при х 0, п = О, 1, 2, ... , или, короче,
ех = + о(хп) при х 0.
Отсюда, заменив х через -х, получим
e-x=io(-l)k^ +о(хп) (13.18)
при х 0, п = 0, 1, 2, ... .
л л ел - е л , ех + е х п
4. sh х = и ch х = • Сложив и вычтя
(13.17) и (13.18), при х —► 0, п = 0, 1, 2, ... будем иметь
п 2k + 1 п 2k
sh х = L * + о(х2п + 2), ch х = L - + о(х2п + 1).
/? = о(2& + 1)! v 7’ k = o(2k)\ v 7
В силу единственности представления функции в указанном виде (см. п. 13.2), полученные соотношения являются формулами Тейлора для функций sh х и ch х.
5. Дх) = (1 + х)а, где а — некоторое фиксированное число, а х > -1. Так как
f(n\x) = а(а - 1)... (а - п + 1)(1 + х)а~ п,
ТО
/(га)(0) = а(а - 1)... (а - п + 1),
следовательно,
/1 I \0С 1 . . ос(ос - I) 2 .
(I + х) — I + (XX + 2 % +
а(а - 1)(а - 2) + +
а(а - 1)...(а - n + 1) п\
хп + о(хп)
при х 0, или, короче,
(1 + х)а = 1 + а(а 1)-fe(!a fe + 1) Xk + о(хп)
при х 0, п = 1, 2, ... .
(13.19)
Если а = п — неотрицательное целое (п = 0, 1, 2, ...), то функция Дх) = (1 + х)п является многочленом степени п, и имеет место тожество
f(x) = Qn(x) + о((х - х0)п), X х0,
348


где Qn(x) = (1 + х)п — многочлен степени п и о((х - х0)п) = 0. Поэтому, в силу теоремы 2, многочлен Qn(x) является многочленом Тейлора функции (1 + х)п и, согласно (13.19),
(1 + х)п = Е ^(п-1) (n-fe+l) xk = I ck
Тем самым еще раз доказана формула бинома Ньютона (см. п. 2.7).
6. 	/(х) = In (1 + х). Легко видеть, что
Г(х) = ттЬ: = (1 + хУ1, f"(x) = -(1 + х)~2
и, вообще, f(k\x)= (-1)& \k- 1)1(1+ x)k, k = 1, 2, ... . Поэтому f(k\0)= (-1/ \k - 1)!, k = 1, 2, ... , и, так как /(0) = 0, то
2 п
In (1 + х) = X - у + ... + (-1)П -1“" + о(хп)
при х 0, п = 1, 2, ... , или, короче,
In (1 + х) = ^Ej-l)^ + о(хп) при х 0, п = 1, 2, ... .
Замечание 1. В силу следствия теоремы 1, полученные формулы можно записать, используя символ О (О большое), следующим образом:
v / J? Х2/г + 1 I rw 2п + Зч
Sinx = *Е0(-1) +О(х ),
cos х = Ео(-1) + О(х ),
sh*=A(^+o(*2n+3)>
ch х = Е - + О(х2га + 2), п = 0, 1, 2, ... , fe = o(2&)! v 7 ’ ’ ’ ’
(1 + х)а = 1 + а(сс~ 1}- ^а~ + 1} хк + О(хп + Ь,
In (1 + х) = ,£/-1)*“ + О(хп + b, п = 1, 2, ... ,
при X х0.
349


Такая запись формул Тейлора в некоторых вопросах оказывается более удобной, чем их запись с символом о (о маленькое).
Замечание 2. Из полученных разложений элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности нуля можно с помощью линейной замены переменного получать и их разложения в окрестности любой точки, принадлежащей их области определения.
Например, разложим с помощью этого метода по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функцию f(x) = 5л/х в окрестности точки х0 = 1. Положив х = 1 + t и применив формулу (13.19), получим
V^ = (l + 01/5 = l + |^+ ++
+ ... + ^Ш-1^-2\.Л-п + 1У+ о(0 = п! 5 5 Д 5 > к 5 >
= 1 + |(х-1)-^-А(х-1)2+^(х-1)3 + ...
... + (-lYl-4-9;.(5n-6)(x _ 1)П + о((х _ 1)П) п\Ьп
при х 1 (или, что то же самое, при t 0). Это и есть искомое разложение.
Замечание 3. Комбинируя указанные выше разложения функций, можно выделять главную часть (см. п. 8.4) различных элементарных функций в окрестностях тех точек, при стремлении аргумента к которым функция стремится к нулю или к бесконечности, — эти случаи встречаются наиболее часто.
В качестве примера выделим главную часть функции ctg х при х 0 до порядка О(х3):
2 2 _ 1
= - Г1 - у + О(х4)1 Г1 - + О(Х4)1 =
X J |_ U J
2 2 2 7
- 1 t1 ~ Т + t1 + - °<*4) + °(Н + °<*4>) )] "
- !Г1 + Т - V + 0(х4)1 -1 - Ь + 0(х3), ■ о.
350


Здесь были использованы разложения по формуле Тейлора:
косинуса
2
COS X = 1 - у + O(x4), X 0,
синуса
sin x = x - у + O(x5), x 0,
бинома
(1 + u)a — 1 + сш + O(z/2)
2
при а = -1 и и = -у + О(х ), х 0.
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)
Формула Тейлора дает простое и весьма общее правило для выделения главной части функции. В результате этого метод вычисления пределов функций с помощью выделения главной части приобретает законченный алгоритмический характер.
Рассмотрим сначала случаи неопределенности вида .
Пусть требуется найти предел lim , где lim /(х) = X^Xq^^' X Xq
= lim g(x) = 0. В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функции f и g в окрестности точки х0 (если, конечно, это возможно), ограничившись в этом разложении лишь первыми не равными нулю членами, т. е. взять разложения в виде
/(х) = а(х - х0)п + о((х - х0)п), а 0,
g’(x) = b(x - xQ)m + о((х - x0)w), Ъ 0, тогда
f(x\ а(х - Хц)п + о((х - Хц)п)
lim —-- = lim =
x^x0SV7 x^x0^(x-x0) + o((x - x0) )
0, если n > m,
y, если n = m, b
°°, если n < m.
= fjim (x-x0)n-m =
351


Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций, полученный в п. 13.3. Для этого следует в случае х0 О предварительно выполнить замену переменного t = х - х0; тогда х х0 будет соответствовать t 0. Случай х °° заменой переменного х = 1/t сводится к случаю t 0.
Если имеется неопределенность вида , т. е. требуется найти lim , где lim /(х) = lim g’(x) = °°, то ее легко X Xq X Xq X Xq
о привести к рассмотренному случаю преобразованием f(x) = l/g(x) g(x) l/f(x) *
Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя, при применении метода выделения главной части к раскрытию неопределенностей вида 0 • °° и оо - оо их следу-
Г 0 тт
ет преобразовать к неопределенности вида . Наконец, для раскрытия неопределенностей вида 0 , °° и 1 указанным методом необходимо предварительно прологарифмировать рассматриваемые функции. Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора к вычислению пределов функций. Пусть требуется найти
lim
X Xq
X ~ X п е - е - 2х
х - sin х
Заметив, что (см. п. 13.3)
ех = 1 + х + х2/2 + х3/3 + о(х3), е~х = 1 - х + х2/2 - х3/3 + о(х3), sin х = х - х3/3! + о(х3),
получим
х3/3 + о(х3) х3/3 о
= hm -z z- = lim -z— = 2.
х^Ох /6 + о(х ) х—>0х /6
352


Рассмотрим неопределенность вида оо - оо:
lim ” ~~~2~ х 0 sin х
lim х —> О
. 2 2
sin X - X
2 . 2
X Sin X
г 3 /а , Зч,2 2 4 /о , 4Ч
= Ит [х-х /6 + о(х И -х = Ит -X /3 + о(х ) = х-> 0 х [х + о(х)] хчОх [х + о(х )]
4 4 4
= Ит ~^/3 + о(х ) = Um ^х_/3 1
х-> 0 х + о(х ) х^О х 6
В
качестве последнего примера вычислим предел
lim I
х —> 0
^sin xWX 1 ОО _
I , т. е. раскроем неопределенность вида 1 . Со-
гласно общему правилу, найдем предел логарифма выраже¬
ния, стоящего под знаком предела:
1п* + о(х )
1, sin х х
hm - In = hm =
х^0х х х^О х
= lim 1п(1+о(х)) = Ито(х)=0>
. /л X /л X
X U X —> U
Следовательно,
§14.
Исследование поведения функций
14.1. 	Признак монотонности функции
Опишем свойство монотонности функции с помощью ее производной.
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке. необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).
353


Если во всех внутренних точках промежутка производная функции положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом промежутке. Доказательство необходимости. Если функция f возрастает (убывает) на промежутке А (отрезке, интервале или полуинтервале) с концами в точках а и Ъ, если х0 Е А, Ах > 0, х0 + Ах € А, то /(х0 + Ах) > /(х0) (соответственно /(х0 + Ах) < /(х0)), поэтому Аг/ = /(х0 + Ах) - /(х0) > 0 (соответственно Аг/ < 0).
Следовательно, > 0 fсоответственно < 0 . Перейдя
/XX \ /XX )
к пределу при Ах —► 0, получим /'(хо) 0 (соответственно
f (х0) < 0).
Доказательство достаточности. Пусть хг < х2, хг Е А, х2 Е А, тогда по формуле Лагранжа (см. п. 11.2), f(x2) - f(xT) = f'(t>)(x2 - хх), где хг < х2. Так как х2 - хг > 0, то при f'(x) > 0 на (а, Ь) (откуда следует, что, в частности, f(Q) > 0) будем иметь /(х2) > f(xr), т. е. функция f возрастает. Аналогично, при f'(x) < 0 на (а, Ь) имеем f(g) < 0 и, следовательно, /(х2) < /(xj), т. е. функция / убывает.
Если f(x) > 0 на (а, Ъ), то f'(^) > 0 и поэтому f(x2) > > f(xx), т. е. функция / строго возрастает. Если же f(x) < 0 на (а, Ъ), то /'(^) < 0, следовательно, /(х2) < f(xx), т. е. функция f строго убывает. □
Отметим, что условия f'(x) > 0 и f'(x) < 0 не являются необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой на интервале функции, что показывают примеры функций /\(х) = х3 и f2(x) = -х3. Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но при х = 0 их производные обращаются в нуль.
Аналогичная теорема верна для непрерывных функций, не имеющих в конечном числе точек производной. Утверждение второй части теоремы остается в силе, если, кроме того, в конечном числе точек производная обращается в нуль. Например,
если функция непрерывна на некотором интервале и имеет всюду в нем положительную (отрицательную) про-
354


изводную, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых производная обращается в нуль или не существует, то функция строго возрастает (строго убывает) на рассматриваемом интервале.
Это непосредственно следует из теоремы 1: достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал указанным конечным множеством точек.
Пример. Исследуем функцию
Дх)
def
sin х
при 0 < X < 2 ,
1 при х = 0.
Функция f дифференцируема (следовательно, и непрерывна) на отрезке [0, л/2]. В специальной проверке нуждается лишь существование производной в точке х = 0. Применяя, например, дважды правило Лопиталя, получаем
lim /(Дх) - /(0)
Дх —»0 Дх
lim
Дх 0
sin Дх
Дх
Дх
= lim t^O
sin t - t
lim t^O
cos t - 1 2t
= lim sin t = 0.
Это и означает, что существует f'(0) = 0.
Для всех х 0 имеем
л,, ч Asin xv xcos х - sin x cos x z 4 ~
f (x) = —— = 2 = (X - tg X) < 0,
V x > X X
так как x< tg x, если 0< x< л/2 (см. доказательство леммы 1 в п. 8.1). Следовательно, функция / строго убывает на отрезке [0, л/2 ], поэтому /(0) > /(х) > /(1), т. е.
2 sin х Л о л
- < —— < I при 0 < X < 2- (14.1)
JI X
УПРАЖНЕНИЕ I. Доказать, что, для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция строго возрастала на нем, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках х 6 (а, Ь) выполнялось неравенство f'(x) > 0 и чтобы для любых точек х' 6 (а, Ь) и х" € (а, Ъ), х' < х", существовала бы точка £ 6 (х', х"), для которой /'(^) > 0.
355


14.2. 	Отыскание наибольших и наименьших значений функции
Определение 1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0. Тогда х0 называется точкой максимума {точкой минимума) функции f, если существует такое 8 > О, что для всех Дх, удовлетворяющих условию |Дх| < 3, выполняется неравенство /(х0 + Дх) < /(х0) {неравенство Дх0 + Дх) > /(х0)).
Если существует такое 8 > 0, что для всех Дх 0 таких, что |Дх| < 8, выполняется неравенство /(х0 + Дх) < /(х0) {неравенство /(х0 + Дх) > /(х0)), то х0 называется точкой строгого максимума {строгого минимума).
Точки максимума (строгого максимума) и минимума (строгого минимума) называются точками экстремума {строгого экстремума).
Для точек х0 строгого экстремума функции /, и только для них, приращение Д/ = /(х0 + Дх) - /(х0) не меняет знака при переходе аргумента через х0, т. е. при изменении знака Дх. Именно: Д/ < О для точек строгого максимума и Д/> 0 в случае строгого минимума независимо от знака достаточно малого Дх 0.
ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума). Пусть х0 является точкой экстремума функции f, определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо производная f{x) не существует, либо f'{xQ) = 0.
Доказательство. Действительно, если х0 является точкой экстремума для функции f, то найдется такая окрестность С7(х0, 8), что значение функции f в точке х0 будет наибольшим или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке х0 существует производная, то она, согласно теореме Ферма (см. п. 11.1), равна нулю. □
Отметим, что условие /'(хо) = 0 не является (для дифференцируемой при х = х0 функции) достаточным условием наличия экстремума, как это показывает пример функции f{x) = х3, которая при х = 0 имеет производную, равную нулю, но для которой х = 0 не является точкой экстремума.
356


Рис. 57
УПРАЖНЕНИЕ 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция f определена на интервале (а, Ь) и непрерывна в точке х0 6 (а, Ь). Доказать, если f (строго) возрастает на интервале (а, х0) и (строго) убывает на (х0, Ь), то х0 является точкой (строгого) максимума; если же функция f (строго) убывает на (а, х0) и (строго) возрастает на (х0, Ь), то х0 является точкой (строгого) минимума.
ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0 е {а. Ъ). в которой она является, однако, непрерывной. Если производная f'(x) меняет знак при переходе через х0 {это означает. что существует такое число 8 > О, что значения производной имеют один и тот же знак всюду в (х0 - 3, х0) и противоположный знак для всех х с (х0, х0 + 8)), то х0 является точкой строгого экстремума.
При этом если при х0 - 8 < х < х0 выполняется неравенство f'(x) > 0, а при х0 < х < xQ + 8 — неравенство f{x) < О, то Xq является точкой строгого максимума, а если при х0 - 8 < х < х0 выполняется неравенство f'(x) < 0, а при Xq < х < Xq + 8 — неравенство f'(x) > 0, то xQ является точкой строгого минимума (рис. 57).
Доказательство. Рассмотрим случай f{x) > 0 для х < х0 и f{x) < 0 для х > Xq. где х принадлежит окрестности точки Xq. указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа (см. п. 11.2),
А/ = f(x) - f(x0) = f'(t,)(X - Xq),
где £ лежит на интервале с концами х0 и х.
357


Если х < х0, то х - х0< 0 и /'(^) > 0, так как х < ^ < х0. Если х > х0, то х - х0 > 0 и /'(^) < 0, так как в этом случае х0 < < х. Таким образом, всегда А/ < 0, т. е. точка х0 является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай. □
Из п. 14.1 следует, что если функция имеет всюду в некоторой проколотой окрестности данной точки х0 производную одного и того же знака, а в самой точке х0 производная либо равна нулю, либо не существует, однако сама функция непрерывна, т. е. если производная непрерывной функции «не меняет знака» при переходе через точку х0, то эта точка заведомо не является точкой экстремума рассматриваемой функции (более того, функция в указанной окрестности строго возрастает или строго убывает в зависимости от того, положительна или отрицательна производная в точках х х0).
Объединяя это утверждение с доказанной выше теоремой 3, получим следующий результат.
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Xq, непрерывна при х = х0, имеет всюду в рассматриваемой окрестности, кроме, может быть, точки х0, производную и эта производная с каждой стороны от х0 сохраняет постоянный знак (следовательно, можно говорить о сохранении или перемене знака у производной при переходе через х0), то, для того чтобы при х = xQ функция достигла экстремума, необходимо и достаточно, чтобы производная меняла знак при переходе через точку х0.
Следует, однако, обратить внимание на то, что рассмотренный здесь случай, т. е. случай, когда можно в указанном смысле говорить о перемене знака производной при переходе через точку х0, не исчерпывает возможные ситуации (даже для всюду дифференцируемых функций): может случиться, что в сколь угодно малых односторонних окрестностях точки Xq производная функции меняет знак. В этом случае приходится применять другие методы для исследования функции на экстремум при х = х0.
Таким образом, в более широком классе функций, дифференцируемых в окрестности рассматриваемой точки, кроме, быть может, самой этой точки, условие изменения знака
358


Рис. 58
производной в точке является лишь достаточным условием экстремума.
Задача 10. Построить пример функции, которая дифференцируема на интервале, достигает в некоторой его точке х0 строгого экстремума, а ее производная в любой окрестности точки (как слева, так и справа от нее) принимает и положительные, и отрицательные значения (таким образом, показать, что условие изменения знака производной в данной точке, являясь достаточным для наличия строгого экстремума, не является вместе с тем необходимым).
Введем еще одно понятие, которым будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0. Будем называть х0 точкой возрастания (убывания) функции /, если существует такое 8 > 0, что при х0 - 3 < х < xQ выполняется неравенство f(x) < f(xQ) (неравенство f(x) > /(х0)), а при х0 < х < х0 + 8 — неравенство f(x) > f(xQ) (неравенство f(x) < /(х0)).
Таким образом, точки возрастания и убывания функции f характеризуются тем, что при переходе через них прира¬
щение функции меняет знак с «-» на «+» в точке возрастания и с «+» на «-» в точке убывания (рис. 58).
Не следует думать, что если функция определена на ин¬
тервале, то всякая точка этого интервала является либо точ¬
кой экстремума функции, либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут существовать точки, не принадле¬
жащие ни к одному из указанных типов. Например, точка х = 0 для функции У =
2.1 , п
х sin - при X 0,
0 при х = 0
(14.2)
не является ни точкой экстремума, ни точкой возрастания, ни точкой убывания.
359


Производная функции (14.2) равна (см. пример 8 в п. 9.7)
2х sin - - cos - при х О, n х п (14.3)
О при х = 0.
Таким образом, функция (14.2) дифференцируема на всей числовой оси. При х = 0 ее производная имеет разрыв
второго рода, поскольку
Рис. 59 ..
lim 2х sin - = 0, (14.4)
х 0 х
а второе слагаемое в выражении (14.3) для производной у' при х 0, т. е. -cos - не имеет предела при х 0. Кроме того, это слагаемое, изменяясь в любой односторонней окрестности точки х = 0 от -1 до +1, бесконечно много раз меняет в ней знак. Отсюда, в силу формул (14.3) и (14.4), следует, что и производная функции (14.2) в любой сколько угодно малой односторонней окрестности нуля также меняет знак. Общий характер поведения функции (14.2) изображен на рисунке 59.
Сформулируем теперь основанные на использовании производных высших порядков достаточные условия наличия строгого экстремума, а также точек возрастания и убывания. ТЕОР Е М А 4. Пусть в точке х0 у функции f существуют производные до порядка п > 1 включительно, причем
f^l\x$) = 0 для i = 1, 2, ... , п - 1, /(п)(х0) 0. (14.5) Тогда если п = 2k, k = 1, 2, ... , т. е. п — четное число, то функция f имеет в точке х0 строгий экстремум, а именно максимум при f^2k\xQ) <0 и минимум при f^2k\xQ) > 0. Если же п = 2k + 1, k = 0, 1, ... , т. е. п — нечетное число, то функция f не имеет в точке х0 экстремума-, в этом случае х0 является точкой возрастания при f^2k + Х)(х0) > 0 и убывания при f(2k + 1)(х0) < 0.
Предпошлем доказательству теоремы одно простое замечание: если в некоторой окрестности точки х0 имеет место соотношение Р(х) = о (а(х)), х х0, то существует такое 3 > 0, что при |х - х0| < 3 справедливо неравенство
Ip(x)| < | |а(х)|.
360


В самом деле,
Р(х) = е(х)а(х),
где lim е(х) = 0, поэтому существует такое 8 > 0, что при X Xq
|х - х0| < 8 выполняется неравенство |е(х)| < 5 . Отсюда и еле- дует указанное выше неравенство.
Доказательство. Прежде всего заметим, что функция / имеет в точке х0 производную порядка n > 1, поэтому (согласно определению производной) производная порядка п - 1 рассматриваемой функции определена в некоторой окрестности точки х0. Следовательно, и сама функция f также определена, во всяком случае в той же окрестности точки х0.
Запишем формулу Тейлора n-го порядка для функции f в окрестности точки х0. В силу формулы (13.5) и условий (14.5), имеем
W0) п
Af = f(xQ + Дх) - /(х0) = —^у-^-Дх + а(х), (14.6)
где а(х) = с^Дх7*)1, Дх 0, откуда, в силу условия (х0) О, вытекает (см. п. 8.2), что
|W0) а(х) = о —— Дх , Дх 0.
Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое 8 > 0, что при |Дх| < 8
|а(х)| < | f( )(Хо)Ахп . z п\
Из этого неравенства следует, что при |Дх| < 8, Дх 0, знак правой части равенства (14.6), следовательно, и знак Д/ совпадают со знаком первого слагаемого правой части.
Если п = 2k, k = 1, 2, ... , то в (14.6) приращение аргумента Дх возводится в четную степень, поэтому знак приращения функции Д/ не зависит от знака Дх 0 и, значит, х0 является точкой строгого экстремума, причем точкой строгого макси-
1 Здесь Дхп = (Ах)п (а не Д(хЛ)).
361


f"(x0) > о
minimum maximum
Рис. 60
мума при f^2k\xQ) < 0 (в этом случае А/ < 0) и строгого минимума при f(2k\xo) > 0 (в этом случае А/ > 0).
Если же п = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ... , то Ах возводится в нечетную степень, поэтому знак А/ меняется вместе с изменением знака Ах и, значит, х0 не является точкой экстремума. Если Ах меняет знак с «-» на «+», то при f^2k + ^(х0) > 0 приращение А/ также меняет знак с «-» на «+» и, значит, х0 является точкой возрастания функции /, а при f^2k + Х)(х0) < 0 приращение А/ меняет знак с «+» на «-» и, значит, х0 является точкой убывания функции f. □
Из доказанной теоремы вытекают, в частности, при п = 1 и п = 2 два следствия.
1. Если /'(xq) > 0, то х0 является точкой возрастания функции; если /'(Хц) < 0, то х0 — точка убывания функции.
2. Если f '(^о) = 0, а / "(хо) 0» то при f "(х^) > 0 х0 является точкой строгого минимума, а при f "(х^) <0 — точкой строгого максимума функции f (рис. 60).
Следствие 1 остается в силе и для бесконечных производных со знаком: если /'(хо) = +°° (соответственно /'(хо) = -о°), то х0 является точкой возрастания (убывания) функции. В самом деле, если, например, f '(хо) = +°°» то Для любого £ > 0 и, в частности, для £ = 1 существует такое 8 > 0, что при всех Ах, удовлетворяющих условию |Ах| < 8, имеет место неравенство
> 1. Поэтому при 0 < Ах < 8 имеем Аг/ > Ах > 0, а при -8 < Ах < 0 аналогично имеем Аг/ < Ах < 0, т. е. х0 — точка возрастания. Аналогично рассматривается случай, когда Г(х0)= -оо.
362


Заметим, что из первого следствия еще раз вытекает теорема Ферма (см. теорему 1 п. 11.1). Действительно, если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке экстремум, то производная в х0 не может быть ни положительной, ни отрицательной, так как в противном случае функция либо возрастала, либо убывала бы в этой точке. Следовательно, производная в х0 или не существует, или, если существует, необходимо равна нулю.
Отметим еще, что из теоремы 4 непосредственно вытекает следующий критерий наличия точек экстремума.
Пусть у функции f в точке х0 существуют производные до порядка п > 1 включительно, причем
f(k\x0) = 0, k = 1, 2, ... , п - 1, f(n\xQ) * 0.
Тогда, для того чтобы при х = х0 функция достигала экстремума, необходимо и достаточно, чтобы п было четным числом.
Все полученные правила справедливы лишь в том случае, когда функция f определена в некоторой окрестности точки х0. Однако об экстремуме функции можно говорить не только в этом случае: пусть функция f определена на некотором числовом множестве X; будем называть х0 е X точкой максимума (минимума)1, если существует такое 3 > 0, что если хе X и |х - х0| < 3, то f(x) < /(х0) (соответственно f(x) > /(х0)). Подобным же образом определяются в этом случае и понятия строгого максимума и строгого минимума, следует лишь при х xQ знаки нестрогих неравенств заменить знаками строгих неравенств.
Например, если функция f определена на полуинтервале [а, Ь), то точка а в указанном смысле может являться экстремальной. Заметим, однако, что производная (правосторонняя) в этой точке, вообще говоря, не обязана обращаться в нуль (см. п. 11.1). Так, функция у = х на отрезке [0, 1] имеет строгий минимум при х = 0 и строгий максимум при х = 1, однако в этих точках, как и всюду на отрезке [0, 1], у' = 1.
1 Правильнее было бы добавить — локального, но не будем усложнять терминологию.
363


Выяснение обстоятельства, имеет или нет функция экстремум на концах промежутка, принадлежащего ее области определения (такой экстремум будем называть концевым), требует специального исследования.
УПРАЖНЕНИЕ 3. Пусть функция f определена на отрезке [а, Ь] и имеет производные при х = а и х = Ь. Доказать, что если f'+ (а) > 0 (соответственно < 0), то точка х = а (соответственно х = Ь) является точкой строгого минимума, а если (а) < 0 (соответственно > 0), то х = а
(соответственно х = Ь) является точкой строгого максимума.
Установленные теоремы лежат в основе метода, позволяющего единообразно решать многочисленные математические, физические, экономические и технические задачи, в которых изучаются экстремальные значения какой-либо величины.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f на отрезке [а, 6]. Может случиться, что это возможно сделать достаточно просто каким-либо способом исходя из конкретного вида функции. Если же не ясно, как это сделать, то следует найти все ее критические точки, лежащие на [а, й] (точка, в которой функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, обычно называется критической точкой этой функции). Затем из этих значений х необходимо исходя из сказанного отобрать те, в которых возможен максимум (можно заведомо отбросить точки, удовлетворяющие достаточным условиям наличия минимума). После этого достаточно сравнить между собой по величине значения функции в полученных точках и числа f(a) и /(&); наибольшее из этих чисел и является наибольшим значением функции на отрезке [а, 6]. Эта задача принципиально заведомо может быть решена, если множество критических точек конечно.
Если функция определена на полуинтервале (конечном или бесконечном), например на полуинтервале вида [а, й), задача об определении ее наибольшего значения на этом полуинтервале требует дополнительных исследований; найдя множество указанных выше точек, надо изучить еще поведе364


ние функции при х Ъ - 0. Аналогично решаются и задачи на определение наименьших значений функций.
Не следует, однако, думать, что изложенный метод позволяет находить точки экстремума данной функции с любой нужной степенью точности. Это не так, поскольку если его использовать, надо прежде всего уметь решать уравнение f'(x) = 0 с заданной степенью точности, что является другой математической задачей. Как она решается с помощью дифференциального исчисления в тех случаях, когда точное решение уравнения не записывается в явном виде, будет показано в дальнейшем (см. § 62).
Пример. Две точки движутся с постоянными скоростями и 1?2 по двум прямым, образующим прямой угол, в направлении вершины этого угла, от которой в начале движения первая точка находилась на расстоянии а, а вторая — на расстоянии Ъ. Через какое время после начала движения расстояние между точками будет наименьшим?
Пусть р = р(0 — расстояние между точками через время t после начала движения, которое будем считать начавшимся при t = 0. Тогда
Р2(О = (а - у^)2 + (b - v2t)2.
Функция р(£), очевидно, достигает минимума при том же значении t, при котором достигает минимума функция у = р2(0-
Из физических соображений ясно, что расстояние р(£) должно достигать минимума (тела начинают сближаться), а максимума заведомо нет, ибо р(£) —► +°° при t +°°. В силу необходимого условия экстремума, это может быть только в точке, в которой у' = 0, и так как у' = -2vr(a - vxt) - 2v2(b - v2t), то из условия уг = 0 получаем единственное значение tQ = avx + bv2
= —g 2~, которое и дает ответ на поставленный вопрос.
+ v2
14.3. 	Выпуклость и точки перегиба
Пусть функция f определена на интервале (а, Ь) и пусть а < хг < х2 < Ъ. Проведем прямую через точки А = (хр /(л^))
365


—i—i i ►
X JCg x
Выпуклость вверх
* ►
X2 *^1 X2 x
Выпуклость вниз
Рис. 61
и В = {х2, f(x2))’ лежащие на графике функции f. Ее уравнением является
f(x2)(x - х1) + f(x1)(x2 - х)
У = Z •
х2 Х1
Обозначим правую часть этого уравнения через 1{х); тогда оно кратко запишется в виде
У = 1{х).
Очевидно, 1{хг) = f{x1), 1{х2) = f{x2).
Определение 3. Функция f называется выпуклой вверх {выпуклой вниз) на интервале (а, й), если, каковы бы ни были точки хг и х2, а < хг< х2<Ъ, для любой точки х0 интервала (хр х2) выполняется неравенство
Z(x0)</(x0) (14.7)
{соответственно неравенство
Z(x0) > f(x0)). (14.8)
Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т. е. отрезка прямой у = 1{х) с концами в точках Аи В) лежит не выше (не ниже) точки графика функции /, соответствующей тому же значению аргумента (рис. 61).
Определение 4. Если вместо (14.7) и (14.8) выполняются строгие неравенства l{xQ) < f{xQ) и соответственно l{xQ) > > f{xQ) при любых х0, хг и х2 таких, что а < хг< х0 < х2<Ъ, то функция f называется строго выпуклой вверх {строго выпуклой вниз) на интервале {а, Ь).
В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.
366


Определение 5. Всякий интервал, на котором функция {строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом {строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции.
ТЕОРЕМА 5 (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале {а, Ь). Тогда, если f"<0na {а, Ъ), то функция f строго выпукла вверх, а если /">0на {а, Ь), то функция f строго выпукла вниз на этом интервале.
Доказательство. Пусть а < хг < х2 < Ъ. Тогда
f(x9)(x - хЛ) + f(xA )(х? - х) (х - X,) + (х9 - х)
1(х) - f(x) = хх f(x> =
х 2 х 1 х 2 х j
_ lf(x2) - - Xj) - [ftx) - f(x1)](x2 - X)
х2 - х^
Применяя теорему Лагранжа (см. п. 11.2), получаем
Hi])(x2 - х)(х - xj - - xjfx., - х) _
ЦХ) — /\Х) — _
х 2 х j
_ [Л(Т|) “ Л(^)](^2 - Х^Х ~ х1)
х2 - х^
где хг < £ < х < Т| < х2.
Воспользуемся снова теоремой Лагранжа:
/"(0(^9 - х)(х - ХтХТ! - L) ~
1(х) - f(x) = 2 х_х 1Л1 Л < £ < П.
Отсюда видно, что если f” < 0 на {а, Ъ), следовательно, в частности, /"(О < О, то Кх) < f{x)> т. е- функция f строго выпукла вверх; если же f” > 0 на {а, Ъ), то 1{х) > f{x), т. е. функция f строго выпукла вниз. □
Замечание 1. Из доказательства теоремы 5 видно, что если условие положительности второй производной на интервале заменить условием ее неотрицательности, то функция будет выпукла вниз (вообще говоря, нестрого) на этом интервале. Соответственно, если вторая производная неположительна на интервале, то функция выпукла вверх на этом интервале.
Условие знакопостоянства второй производной, являясь достаточным для строгой выпуклости (вверх или вниз), не
367


является вместе с тем необходимым. Так, функция у = х4 строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная у" = 12х2 обращается в нуль при х = 0.
Отметим, что если функция f (строго) выпукла вверх на интервале (а, й), то функция -f (строго) выпукла вниз
на этом интервале и обратно, а поскольку Г-/(х)1 = -d , dx^ dx^
например, приводимое в теореме 5 достаточное условие строгой выпуклости вверх следует из содержащегося в этой же теореме достаточного условия строгой выпуклости функции вниз. УПРАЖНЕНИЯ. 4. Доказать, что для функции
ftx) =
х sin - при х 0,
0 при х = 0
точка х = 0 не принадлежит никаким интервалам выпуклости вверх или вниз и не является концом какого-либо из этих интервалов.
5. Доказать, что функция у = х4 строго выпукла вниз на всей числовой прямой.
Таким образом, выпуклость вверх или вниз функции f зависит от знака ее второй производной. Оказывается, что расположение графика дважды дифференцируемой функции относительно касательной также в определенном смысле связано со знаком второй производной.
ТЕОР Е М А 6. Пусть функция f имеет на всем интервале (а, Ъ) положительную {отрицательную) вторую производную: f"{x) > 0 {соответственно f"{x) < 0), х е (а, Ь)1. Тогда, какова бы ни была точка xQ е (а, й), все точки (х, /(х)), х е (а, й), графика функции f лежат выше {ниже) касательной, проведенной к нему в точке (х0, /(х0)), кроме, конечно, самой этой точки, которая лежит на указанной касательной (рис. 62).
1 Отсюда следует, что функция f строго выпукла вниз (вверх) на {а, Ъ).
2
Если функция f, кроме того, определена и имеет одностороннюю производную в конце а или Ъ интервала {а, Ъ), то указанное свойство, как это видно из приводимого ниже доказательства, выполняется и для касательной в точке {a, f{a)), соответственно в точке {b, f{b).
368


Действительно, уравнением касательной к графику функции в точке (х0, /(х0)) является
У = f\XQ){X - Xq) + Дх0).
Обозначим правую часть этого уравнения через L(x). Тогда, применив теорему Лагранжа к разности f(x) - /(х0), получим
f(x) - Цх) = [Дх) - Дх0)] - f'(x0)(x - Xq) =
= f'(^)(x - Xq) - Г(х0)(х - xo) = [/'(£) - Г(х0)](х - Xq),
где a < Xq < b, a < x < b, а точка лежит между x и x0.
Применив еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению производной, получим
f(x) - L(x) = - х0)(х - х0),
где точка Т| лежит между и х0.
При х х0 имеем (£ - х0)(х - х0) > 0, поскольку, как это было отмечено выше, точка всегда лежит между х и х0 и, следовательно, всегда по ту же сторону от точки х0, что и точка х. Таким образом, знак разности f{x) - L(x) совпадает, при х х0, со знаком /"(Л)- Поэтому, если на интервале (а, Ь) вторая производная положительна (следовательно, она положительна и в точке Т|), то для всех х е (а, й), кроме точки х = х0, выполняется неравенство f(x) - L(x) > 0; если же на интервале (а, Ь) вторая производная отрицательна, то для указанных точек справедливо неравенство f(x) - L(x) < 0. □
Поясним эту теорему исходя из несколько иных соображений. Если функция f имеет всюду на некотором интервале вторую производную, то в окрестности любой ТОЧКИ Xq этого интервала можно выделить главную часть функции f в виде многочлена Тейлора второго порядка
Г'(^л) 9 9
Дх) = Дх0) + Д(х0)(х - Xq) + (х - Xq) + о((х - Xq) ),
ОС > ОС q }
и, следовательно, график функции f «ведет себя в окрестности точки Xq почти как парабола»
f"(Xq) 2
У = f(xo) + Д(х0)(х - х0) + —2— (х - х0) ,
369


, , 2 f"(x0>
которая, когда ее коэффициент при х , т. е. —, положителен, выпукла вниз и лежит выше любой своей касательной, в частности и выше касательной в точке (х0, /(х0)) (эта касательная к параболе является и касательной к графику функции /), а когда указанный коэффициент отрицателен, выпукла вверх и лежит ниже любой своей касательной.
Мы снова видим, как целесообразно при изучении функции в окрестности данной точки выделить с помощью формулы Тейлора главную часть функции в этой точке. В дальнейшем при решении разнообразных задач анализа мы еще неоднократно будем иметь возможность убедиться в больших возможностях и плодотворности метода выделения главной части.
Определение 6. Пусть функция f дифференцируема при х = х0 и пусть у = L(x) — уравнение касательной к графику функции f в точке (х0, /(х0)). Если разность f(x) - L(x) меняет знак при переходе через точку х0, то х0 называется точкой перегиба функции f.
Более подробно и точно это означает, что существует такая 3-окрестность С7(х0, 3) точки х0, что на каждом из интервалов (х0 - 8, х0) и (х0, xQ + 8) разность f(x) - L(x) сохраняет постоянный знак, противоположный ее знаку на другом интервале.
Геометрический смысл точки перегиба х0 состоит в том, что график функции f переходит в точке (х0, /(х0)) с одной стороны наклонной касательной в этой точке на другую (рис. 63).
Если Xq — точка перегиба функции, то точка (х0, /(х0)) называется точкой перегиба графика функции f.
Примеры. 1. f(x) = х3, f"(x) = 6х. Очевидно, что в этом случае f"(x) < 0 для х < 0 и f”(x) > 0 для х > 0. Поэтому на 370


бесконечном интервале 0) функция f(x) = х3 строго выпукла вверх, на интервале (0, +оо) она строго выпукла вниз, а точка х = 0 является одновременно концом интервалов выпуклости вверх и вниз. Она является и точкой перегиба, поскольку уравнением касательной в ней является у = 0, и при х < 0 имеет место неравенство f(x) < 0, а при х > 0 — неравенство f(x) > 0.
2. f{x) = sJx^ график этой функции (рис. 64) называется
2 полукубической параболой. Здесь f"(x) = ■= , поэтому для
937х4
всех х 0 справедливо неравенство f"(x) < 0. Следовательно, интервалы (-°°, 0) и (0, +°°) являются промежутками строгой выпуклости вверх. Вместе с тем при любом х 0 имеем
/(х)>0 = /(0) и f(x) = f(-x).
Это означает, что точка (0, 0) графика функции f лежит под любой его хордой с концами в точках (-х, /(-х)) и (х, /(х)). Поэтому точка х = 0 не принадлежит никакому интервалу выпуклости вверх (интервалов выпуклости вниз у этой функции нет).
о I 2
График функции /(х) = *Jx в точке (0, 0) имеет вертикальную касательную, и его ветви, для которых х > 0 и х < 0, лежат по разные стороны от нее. Однако х = 0 не является точкой перегиба, поскольку, в силу вертикальности касательной в этой точке, функция f не дифференцируема в ней, следовательно, х = 0 не удовлетворяет условиям определения 6.
Образно говоря, график полукубической параболы «не перегибается» при переходе через касательную в точке (0, 0), а «возвращается назад»; поэтому точки такого типа называются точками возврата.
ТЕОРЕМА 7 (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.
Доказательство. Действительно, пусть функция f имеет в точке х0 вторую производную и, как и выше, у = = L(x) — уравнение касательной к графику функции f в точке (х0, /(х0)), т. е.
L(x) = f(x0) + f'(x0)(x - х0).
371


Тогда, в силу формулы Тейлора,
/"(х0) 2 2
f "(х) - L(x) = —2— (х ~ хо) + °((х ~ хо) )> х хо-
Если Г(х0) 0, то знак разности f(x) - L(x) в некоторой
окрестности точки х0 совпадает со знаком числа Л'(хо)- В этом случае разность /(х) - L(x) не меняет знака в точке х0 и, следовательно, эта точка не является точкой перегиба. Итак, если х0 — точка перегиба функции /, то /"(хо) = 0. □
Замечание 2. Подобно тому, как все точки экстремума функции принадлежат множеству точек, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функции (дважды дифференцируемой для всех значений аргумента, кроме, быть может, конечного числа его значений) входят во множество точек, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.
ТЕОРЕМА 8 (первое достаточное условие для точки перегиба).
Если функция /, дифференцируемая в точке х0, дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x, 3) этой точки и вторая производная f” функции f меняет знак при переходе аргумента через значение х0 (тп. е. Либо f"(x) < 0 При Xq~ 3 < X < XqU f"(x) > 0 При Xq < X < Xq + 8, либо f"(x) > 0 при Xq - 8 < х < XqU f"{x) < 0 при Xq< х < Xq + 8), mo Xq является точкой перегиба функции f.
В самом деле, запишем, как и выше, уравнение касательной у = f'(xo)(x - Xq) + /(х0) в виде у = L(x). При доказательстве теоремы 6 было показано, что
f(x) - L(x) = Г(т|)(£ - х0)(х - х0),
где точки х и лежат по одну сторону от точки х0, поэтому при х Xq имеем (£ - х0)(х - х0) > 0 и, следовательно,
sign [f(x) - L(x)] = sign /"(т|).
Точка Т| лежит между и х0, т. е. по ту же сторону от х0, что и точка х. Отсюда имеем, что если f” меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то разность f(x) - L(x) меняет знак и, следовательно, х0 является точкой перегиба. □
372


ТЕОРЕМА 9 (второе достаточное условие для точки перегиба). Пусть f"(xQ) = 0, a 0; тогда
точка xQ является точкой перегиба функции f.
Доказательство. По формуле Тейлора, в силу условия /"(хо) = 0, имеем
f ( X Л ) Q О
f(x) = f(x0) + /'(х0)(х - х0) + 3, (х - х0) + о((х - х0) ),
X Xq, и, ПОСКОЛЬКУ L(x) = /(Хо) + f\XQ)(X - х0), то
/' (х о) з 3
f(x) - L(x) = 3! (х - Xq) + о((х - Xq) ), X Xq.
Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед доказательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности /(х) - L(x) меняется при изменении знака х - х0. Это и означает, что х0 является точкой перегиба. □
-X2
Пример 3. Рассмотрим функцию f(x) = е и найдем ее точки перегиба. Имеем
f'(x) = -2хе
f"(x) = -2ex + 4х2е х =4^х2-^ех =
Отсюда видно, что вторая производная функции f обращается в нуль в точках х = +1/V2 и при переходе через них меняет знак. Следовательно, согласно теореме 8, эти точки являются точками перегиба функции /(рис. 65).
Задача 11. Доказать, что если функция f непрерывна на интервале (а, Ь) и если для любых точек хг и х2, а < хг < х2 < Ь, выполняется неравенство
Яхр + f(x2) f(Xi+
то (а, Ь) является интервалом выпуклости вверх для функции f.
373


Задача 12. Доказать следующие ниже утверждения. Для того чтобы дифференцируемая функция была выпуклой вверх (вниз) на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная убывала (возрастала) на нем. Для того чтобы дифференцируемая функция была строго выпуклой вверх (вниз) на некотором интервале, достаточно, чтобы ее производная строго убывала (строго возрастала) на нем.
14.4. 	Асимптоты
Определение 7. Пусть функция f(x) определена для всех х> а (соответственно для всех х < а). Если существуют такие числа kul, что lim (f(x) - (kx + Z)] = О (при х -°°), то х +ОО
прямая
у = kx + I (14.9)
называется асимптотой графика функции f(x) при х +°° (при х -°°).
Иногда вместо «асимптота графика функции» говорят короче: «асимптота функции».
Существование асимптоты графика функции означает, что при х +°° (или х —оо) функция ведет себя «почти как линейная функция», т. е. отличается от линейной функции на бесконечно малую.
Найдем, например, асимптоту графика функции у = xz - Зх - 2
= —х _|_ |—• Разделив числитель на знаменатель по правилу де-
2 2
ления многочленов, получим у = х - 4 + . Так как 1 =
х + 1 ЭС I 1
= 0(1) при х ±оо, то прямая у = х - 4 является асимптотой графика данной функции как при х +°°, так и при х °°.
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = = (х, f(x)) — точка графика функции /, Мо — проекция этой точки на ось Ох, АВ — асимптота (14.9), 0 — угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, 0 л/2,
МР — перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q — точка пересечения прямой MMQ с асимптотой АВ (рис. 66). Тогда ММ0 = f(x), QM0 = kx + I, MQ = MM0 - QM0 = 374


= f(x) - {kx + Z), MP = MQ cos 0. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos 0, поэтому условия MQ 0 и МР 0 при х +°° (соответственно при х -°°) эквивалентны, т. е. если lim MQ = 0, то и lim МР =
х +ОО х +оо
= 0, и наоборот. Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, т. е. отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (х, f{x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х +оо или, соответственно, при х -°°).
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты
(14.9) , т. е. способ определения коэффициентов k и I в уравнении (14.9). Будем рассматривать для определенности лишь случай х +°° (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту
(14.9) при х +°°. Тогда, по определению,
f{x) = kx + I + о(1). (14.10)
Разделим обе части равенства (14.10) на х и перейдем к пределу при х +°°. Тогда
(14.11)
х —> +ОО %
Используя найденное значение k, получим из (14.10) для определения I формулу
1= lim (/(х) - kx). (14.12)
х +ОО
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и Z, что выполняется условие (14.12), то прямая у = kx + I является асимптотой графика функции /(х). В самом деле, из (14.12) имеем
lim [/(х) - {kx + Z)] = 0,
х + ОО
т. е. прямая у = kx + I действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие (14.10).
Таким образом, формулы (14.11) и (14.12) сводят задачу отыскания асимптот (14.9) к вычислению пределов определенного вида. Более того, мы показали, что если существует представление функции f в виде (14.10), то k и I выражаются по формулам (14.11) и (14.12). Следовательно, если существует представление (14.10), то оно единственно.
375


Найдем по этому правилу асимптоту 9 х _ зх _ 2
графика функции f(x) = —х + 1— , найденную выше другим способом:
9
j v f(x) v х - Зх - 2 1
k = hm = hm —-—--г— = 1
х > оо эс х > °° Х( X i 1)
7 ,. <х - Зх - 2 Л ,. -4х - 2 л
I = lim —; - х = hm —j— = -4,
Х^оо\ X+1 ) x^oo X+1
т. e. мы, как и следовало ожидать, получили то же уравнение асимптоты у = х - 4, как при х +°°, так и при х
В виде (14.9) может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Оу. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Оу. Определение 8. Пустъ функция f определена в некоторой окрестности или проколотой окрестности точки х0 {быть может, односторонней) и пусть выполнено хотя бы одно из условий
lim f(x) = оо, или lim /(х) = оо. (14.13)
X Xq - О X Xq + О
Тогда прямая х = х0 (рис. 67) называется вертикальной асимптотой графика функции f {в отличие от асимптоты вида
(14.9), которая называется также наклонной асимптотой).
В случае вертикальной асимптоты, как и в случае наклонной, расстояние МР = х - х0 между точкой М и прямой х = xQ стремится к нулю, если точка М(х, f(x)) стремится вдоль графика в бесконечность, т. е. когда х х0 - 0 или х х0 + 0.
Чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции /, надо найти такие значения х0, для которых выполняется одно или оба условия (14.13). Например, функция у = х* — Зх — 2
= —х _|_ |— имеет вертикальную асимптоту х = -1. Вообще если f(x) = P(x)/Q(x) — рациональная функция ((Р(х) и Q(x) — многочлены), Q(x0) = 0, Р(х0) 0, то прямая х = х0 является
асимптотой графика функции f(x).
376


14.5. 	Построение графиков функций
Изучение заданной функции и построение ее графика с помощью развитого нами аналитического аппарата целесообразно проводить в следующем порядке.
1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.
2. Найти асимптоты.
3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.
4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную (без производных более высокого порядка часто удается обойтись).
5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю.
6. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных. Определить промежутки возрастания, убывания, выпуклости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том числе концевые) и точки перегиба.
7. Окончательно вычертить график.
При этом чем большую точность графика мы хотим достигнуть, тем больше, вообще говоря, необходимо найти точек, лежащих на нем. Обычно целесообразно найти (быть может, с определенной точностью) точки пересечения графика с осями координат и точки, соответствующие экстремумам функции; другие точки находятся по мере потребности.
В случае очень громоздких выражений для второй производной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств графика, которые можно изучать лишь с помощью первой производной.
Пример 1. Построим график функции f(x) = х х 3*—?.
Эта функция определена и непрерывна для всех х -1. Она, как известно (см. п. 14.4), имеет асимптоты у = х - 4 и х = -1, причем lim f(x) = -°°, lim f(x) = +°°. Было от- х -> -1 - о х -> -1 + о
2 мечено, что f(x) = х - 4 + + , поэтому f(x) > х - 4 при х > -1 (график функции находится выше асимптоты) и f(x) < х - 4 при х < -1 (график лежит ниже асимптоты).
377


Рис. 68
График функции f(x) пересекает ось Ох в точках, в которых х - Зх - - 2 = 0, т. е. при х2 = (3 ± 717 )/2 или приблизительно в точках х± ~ ~ 3,5, х2 ~ -0,5. Ось Оу график пересекает в точке у = -2. Это позволяет нарисовать график функции f(x) в виде, указанном на рисунке 68.
Дальнейшее исследование имеет своей целью нахождение экстремумов точек перегиба и интервалов, выпуклости вверх или вниз графика функции. Для этого найдем производные у' и у":
х2 + 2х - 1 „ _ 4
(х + I)2 (х + I)3
Отсюда видно, что у' = 0 при х = -1 - 72 ~ -2,4 и х = -1 + 72 ~ ~ 0,4. В точке х = -1 производные у' и у" не существуют (даже функция f в этой точке не определена).
Составим таблицу изменения знака первой и второй производных в зависимости от изменения аргумента, включив в нее критические точки:
X
-1 -72
-1
-1 + 72
у'
+
0
-
Не существует
-
0
+
у"
-
-
-
Не существует
+
+
+
Из этой таблицы видно, что функция f(x) имеет в точке х = -1 + строгий минимум, а в точке х = -1 - — стро¬
гий максимум; при х < -1 функция строго выпукла вверх, а при х > -1 — строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как при х = -1 функция разрывна.
В дальнейшем для краткости подобные таблицы будем называть таблицами поведения функций и иногда сразу
378


отмечать в них точки экстремума, ук
точки перегиба и интервалы выпук- 1 У
лости. .s
Мы нашли общий характер пове- дения функции. Чтобы построить гра- z 1 0 Iх
фик более точно, надо найти ряд точек графика, как это отмечалось выше. -1
Пример 2. Построим график , Рис. 69
функции
f(x) = (X + I)3 37? .
Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, причем она непрерывна в каждой точке и поэтому не имеет вертикальных асимптот. Из того, что
lim = оо,
X —> ±оо Х
следует, что нет и наклонных асимптот.
Для построения графика вчерне заметим, что:
1) f(x) обращается в нуль в точках х = -1 и х = 0;
2) f > 0 при х > -1, х 0;
3) f < 0 при х < -1;
4) lim /(х) = +оо и lim f(x) = — оо,
х + ОО х -оо
Приблизительный вид графика функции, который можно нарисовать на основании этих замечаний, изображен на рисунке 69.
Проведем теперь более подробное исследование функции с помощью производных. Найдем уг и у":
, _ (х + 1 )2( 11 х + 2)
У ~ з3^
у" _ %(х + 1)(44х2 + 16х - 1) 9x3Jx
Отсюда видно, что у' = 0 при х = -1 и х = -2/11; у" = 0 при х = -1, а также когда 44х2 + 16х - 1 = 0, т. е. приблизительно при хг ~ -9/22 и х2 ~ 1/22. При х = 0 производные у' и у" не существуют.
379


Составляем таблицу поведения функции:
X
у'
У"
Интервалы монотонности и точки экстремума
Интервалы выпуклости и точки перегиба
(-00,-1)
+
-
Возрастание
Выпуклость вверх
-1
0
0
Точка перегиба
(-1, Л?1)
+
+
Выпуклость вниз
+
0
Точка перегиба
К-п,
+
-
Выпуклость вверх
_2^
11
0
-
Максимум
-
-
Убывание
0
Не существует
Не существует
Минимум
(0, х2)
+
-
Возрастание
х2
+
0
Точка перегиба
(Х2, +ОО)
+
+
Выпуклость вниз
Теперь график функции у = (х + I)3Jx можно нарисовать более точно. Его вид изображен на рисунке 70. Как видно, исследование с помощью производных позволило существенно уточнить вид графика (ср. рис. 69 и 70).
Развитый аппарат позволяет строить и графики функций, локально заданных параметрически: х = x(t), у = y(t). Здесь не предполагается, что пара функций х = x(t), у = y(t) определяет однозначно одну функцию вида у = у(х) или х = = x(t). Под графиком параметрически заданной функции подразумевается объединение графиков всех функций вида У = f(x) и х = g(x), задаваемых формулами х = x(t), у = y(t).
Сделаем несколько предварительных замечаний. Для нахождения асимптот, параллельных оси Оу, необходимо найти такие значения для которых существует конечный
1 Здесь и далее — число или одна из бесконечностей +оо, -оо.
380


предел lim x(t) = а или lim x(t) = a, t^tQ-0
8l lim y(t), соответственно lim y(t),
равен +oo или -oo. Если такие значения tQ существуют, то
х = а (14.14)
является уравнением искомой асимптоты.
Аналогично, нахождение асимптот, параллельных оси Ох, сводится к
значений tQ, для которых существует конечный предел lim y(t) = b или £ —> + о
определению таких
lim y(t) = b, a lim x(t), соответ-
- 0 + 0
равен +оо или -оо. Если окажется, что
(14.15)
ственно lim x(t),
t0 - о
такие значения существуют, то
У = Ъ
является уравнением искомой асимптоты.
Наконец, для нахождения асимптот, не параллельных ни оси Ох, ни оси Оу, надо найти такие значения tQ, для которых пределы lim ^x(t) и lim ^г/(^)(или lim ^x(t) равны +оо или -оо и существует конечный
и o(i/(O)
= k - 0 (соответственно
Ит y^i=k\
предел lim
t0 + о
Если для этого значения tQ, кроме того, существует конечный предел lim [у(0 - kx(t)] = I (соответственно £ —> + о
lim [y(t) - kx(t)] = Z), то прямая t - о
y = kx + l (14.16)
является асимптотой графика рассматриваемой функции.
УПРАЖНЕНИЕ 6. Вывести уравнение асимптот (14.14), (14.15) и (14.16), исходя из того, что асимптотой называется прямая, расстояние до которой от точки (х(0, y(t)) графика функции, заданной параметриче-
381


ски: х = x(t), у = y(t), стремится к нулю, когда точка стремится, остава- / 2 2
ясь на графике функции, в бесконечность, т. е. когда *Jx (t) + у (О оо при t t{) + 0 или t t{) - 0.
При предварительном построении графика функции, заданной параметрически, часто бывает полезно построить сначала отдельно графики функций х = x(t) иу = y(t).
Для определения промежутков возрастания и убывания функции, заданной параметрически, нахождения ее экстремумов, точек перегиба, а также интервалов выпуклости вверх и вниз надо использовать выражения для производных ух и ухх через производные x't, y't, y't't и x't't. При этом следует иметь в виду, что уравнения х = x(t), у = y(t), вообще говоря, не определяют однозначно функцию вида у = у(х), так что при исследовании графика функции надо все время внимательно следить за тем, какая «ветвь» графика рассматривается. Иногда, наоборот, полезнее рассматривать х как функцию от у.
Пример 3. Построим график функции
2
х=^ТуУ=ГГг <14-17>
Параметрическое представление имеет смысл для всех t, кроме t = ±1. Асимптоты, параллельные оси Ох, получаются при t = 1 и t = ±°°; их уравнения соответственно у = 1/2 и у = 1. Асимптота, параллельная оси Ог/, получается при t = = -1; ее уравнение х = 1/4. Наклонных асимптот в данном случае нет.
Для построения графика вчерне полезно составить таблицу изменения знаков переменных х и у в зависимости от изменения t; в нее могут быть включены и некоторые характерные значения х и у. Так, в данном случае полезна следующая таблица:
t
-оо
-1
0
1
+ оо
X
-|-оо
+
1/4
+
1/4
+
оо
-
-оо
У
1
+
ОО
-
0
+
1/2
+
1
382


Теперь строим график (рис. 71). Для наглядности на графике указано, как ветви графика соответствуют изменению параметра.
Далее имеем
х;
поэтому
l+2t-t2 , = 1
4(1-О3 ’ У* (1+t)2’
2 2
, (1 + 0(1+ 2*-Г)
Х = 5
(14.18)
4(1-Г)
В данном случае лучше рассматривать х как функцию от г/, а не наоборот, так как из построенного графика видно, что естественно ожидать, что х определяется однозначно как функция у, г/^1/2иг/^1. Это легко установить и аналити- t
чески, если заметить, что уравнение у = однозначно разрешимо относительно параметра t.
Из (14.18) видно, что х' = 0 при t = -1 и когда 1 + 2t - t2 = = 0, т. е. при t = 1 + а/2 и t = 1 - а/2 . Значению t = -1 не соответствует никакая точка графика, а при t = 1+ */2 и £ = 1 - имеем соответственно
1+72 = 72
2 + 72 2
1- 72 = _Т2
2- 72 2
и
383


Составим теперь таблицу изменения знака производной х'у; эта таблица позволяет найти и точки экстремума:
t
—оо
-1
1-72
1
1 + 72
+ оо
У
1
оо
_л/2
2
1
2
л/2
2
1
х'
У
-
0
-
0
+
+
0
-
Экстремумы
Минимум
Максимум
Из таблицы видно, что в точке у = J2 /2 функция х = х(у) имеет максимум, в точке у = - 72 /2 — минимум и строго монотонна на следующих интервалах: (-°°, -J2 /2), (-J2 /2, 1/2), (1/2, 72 /2), (72 /2, 1), (1, +оо).
Необходимо обратить внимание на то, что, взяв у за независимую переменную, х — за зависимую, т. е. взяв ось Оу за первую координатную ось, а Ох — за вторую, мы получим систему координат, ориентированную противоположно рассматриваемой все время системе координат, у которой первой осью является Ох, а второй — Оу. Читателю полезно убедиться, что доказанные выше критерии, например, для наличия экстремумов и точек перегиба геометрически не связаны с той или иной ориентацией осей координат.
Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х(у) найдем х"у:
„ + ' (1 + г)3(3 + зг - Зг2 + г3)
ХУУ = (ху\*у =
2(1-О3
Производная х" равна нулю при t = -1 и для тех t, для которых P(t) = 3 + 3t - 3t2 + = 0.
В силу того, что P'(t) = 3(t - 1/ > 0, причем Р' = 0 только в одной точке t = 1, функция P(t) строго монотонно возрастает на всей вещественной оси (почему?). Следовательно, существует единственное lQ такое, что Р(£о) = 0- При этом Р(0) = 3 > 0, г0
а Р(-1) = -4 < 0, откуда -1 < < 0. Если yQ = , то, оче-
1 + г0
видно, -оо < yQ < 0 (можно, конечно, получить и более точную оценку для yQ, выбирая более близкие tx и t2 такие, что Р(^) < 0,
384


P(t2) > 0). Составим теперь таблицу изменения второй производной х'уу и определим с ее помощью интервалы выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба (см. табл, на с. 384).
График функции (14.17) исследован. Он изображен на рисунке 71.
Пример 4. Построим график функции t t*
Асимптот, параллельных осям координат, в данном случае нет; так как х °° и у оо при t -1, то, возможно, существует наклонная асимптота. Для ее нахождения вычислим соответствующие пределы:
lim, - = lim, t = -1, т. е. k = -1, ^-1 х t^-1
lim (у - kx) = lim ( * 2 + f J) = lim —-—- = .
Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и 1 что ее уравнением является у = -х - .
Построим приблизительно графики функций x(t) и y(t)\ для этого предварительно найдем производные:
, _ 1 - 2£3 , _ t(2 - t3) л ОЛЧ
Xt (1 + z3)3’ yt (1 + i3)2’ (14.20)
Производная x't обращается в нуль при t = 1/а/2, при этом знак производной изменяется с «+» на «-», поэтому это точка максимума; производная y't обращается в нуль при t = 0, меняя знак с «-» на « + » (значит, это точка минимума), и при t = 1/V2, меняя знак с « + » на «-» (следовательно, это также точка максимума). Из этих замечаний следует, что графики функций x(t) и y(t) имеют вид, изображенный на рисунке 72.
385


t
У
Интервалы выпуклости
Точки перегиба и точки разрыва
—сю
1
Точка разрыва
-1)
(1, +°°)
+
Выпуклость вниз
-1
оо
(-1, to)
(-°°, Уо)
-
Выпуклость вверх
to
Уо
0
Точка перегиба
(to,1)
+
Выпуклость вниз
1
1
2
Не существует
Точка разрыва
(1, +°°)
-
Выпуклость вверх
+ оо
1
Точка разрыва
По этим графикам, зная уравнение асимптоты, можно найти приблизительно график искомой функции (14.19). Он имеет вид, изображенный на рисунке 73.
Исследование производной ух позволит уточнить размеры «петли», образуемой графиком. Из (14.20) имеем
, t(2-t3) „
Ух = з • Отсюда следует:
1 21
1) ух = 0 при t = 0 и t = ?/2, т. е. касательная к графику параллельна оси Ох в точках (0, 0) и (?/2 /3, V4 /3);
2) ух = о° при t = 1/5/2 и f = °о, т. е. касательная параллельна оси Оу в точках (^4 /3, ?/2 /3) и (0, 0). Таким образом, точке (0, 0) (являющейся, как говорят, точкой самопересечения графика) соответствуют два значения параметра
386


t = 0 и t = 00, если только доопределить функции (14.19), положив х(°°) = О, у(°°) = 0. В этой точке две части графика имеют соответственно своими касательными координатные оси.
График функции (14.19) называется декартовым1 листом. Из формул (14.19) нетрудно получить его неявное з | з п
задание: х + у - ху = 0.
§15.
Векторная функция
15.1. 	Понятие предела
и непрерывности для векторной функции
В этом параграфе рассматриваются функции, значениями которых являются векторы, а аргументами — числа. Такие функции называются векторными функциями (числового аргумента). Они обозначаются в тексте полужирным шрифтом: г(£), t е X, где X — некоторое числовое множество.
В этом определении в зависимости от рассматриваемых задач под значениями г векторных функций могут пониматься как свободные векторы, так и векторы с закрепленными началами. Если начала всех векторов закреплены в одной и той же точке, то такие векторы называются радиусами-векторами.
Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка действительных чисел — его координат и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор, для которого числа, входящие в эту тройку, являются его координатами. Поэтому задание векторной функции эквивалентно заданию трех скалярных (числовых) функций х(£), y(t\ z(t), являющихся его координатами: r(t) = (х(0, y(t), t е X.
1 Р. Декарт (1596—1650)— французский философ, математик, физик, физиолог.
387


Если при всех t е X имеем z(t) = 0, то векторная функция задается двумя координатами x(t) и y(t); в этом случае пи- шут г(0 = (х(0,
Длина всякого вектора р обозначается через |р|. Будем предполагать известными основные алгебраические свойства векторов, понятие скалярного и векторного произведений, а также свойства этих произведений. Скалярное произведение векторов а и Ъ обозначается через аЬ или (а, Ь), а векторное — через а X Ъ или [а, Ь].
Введем понятие предела, непрерывности, производной и дифференциала для векторных функций.
Определенней. Вектор а называется пределом векторной функции r(t), t е X. при t (или в точке t = £0), если
lim \r(t) - а| = 0. (15.1)
В этом случае пишут
lim r(t) = а. (15.2)
В этом определении \r(t) - а| — числовая функция. Таким образом, понятие предела векторной функции сводится к понятию предела скалярной функции (15.1). Вспомнив определение этого понятия, получим, что (15.2) означает, что для любого е > 0 существует такое 3 > 0, что для всех
te X П U(tQ;8) (15.3)
выполняется неравенство
|г(0-«| <е. (15.4)
Как и в случае скалярных функций, будем предполагать, что — точка прикосновения (конечная или бесконечно удаленная) множества X. Если tQ — конечная точка, то условие (15.3) можно записать в виде
\t - £0| < 3, t е. X, а если — одна из бесконечно удаленных точек оо, +°° или -оо, то соответственно в одном из следующих трех видов:
I ,l i _ 1 , 1
№> t > § или t <-g,
где всюду t е X.
388


Если начало всех векторов r(t) поместить в одну точку (например, начало координат), то условие (15.4) будет означать, что концы всех векторов r(t) при t е X A £7(£0; 8) (см. 15.3)) лежат в шаре радиуса е с центром в конце вектора а (рис. 74).
Если r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и a = = (a1; a2, a3), to
Рис. 74
|r(0 - a| = J[x(t) - a,]2 + [y(o - a2]2 + - a3]2 (15.5)
и, следовательно,
|х(0 - a-il < |r(0 - а\, \y(t) - a2| <
< |r(f) - а\, \z(t) - a3| < |r(f) - a|. (15.6)
Поэтому
limr(0 = a (15.7)
в том и только том случае, когда
lim x(t) = а19 lim y(t) = а2, lim z(t) = а3. (15.8)
ts 0 ts t Q ts ts 0
Действительно, в силу соотношений (15.5) и (15.6), для того чтобы выполнялось условие (15.1), необходимо и достаточно, чтобы
lim \x(t) - = 0, lim \y(t) - a2\ = 0, lim \z(t) - a3\ = 0.
t t t
Определение 2. Если t0 — конечная точка (m. e. число) и для функции r(t)9 te X, имеет место равенство
lim r(t) = r(tQ)9 (15.9)
то эта функция называется непрерывной в точке t0.
Как и в случае скалярных функций, условие (15.9) выполняется тогда и только тогда, когда существует предел lim r(t) и точка tQ принадлежит множеству X. Из эквива-
лентности условий (15.7) и (15.8) следует, что векторная функция непрерывна в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все ее координатные функции.
389


Отметим некоторые свойства пределов векторных функций.
1°. Если lim r(t) = а, то lim \r(t)\ = |а|.
Это непосредственно следует из неравенства ||г| - |а|| < \г - а\.
Геометрический смысл этого неравенства состоит в том, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины его третьей стороны.
2°. lim + г2(0] = Hm r^t) + lim r2(t).
t t t
3°. lim f(t) r(t) = lim f(t) lim r(t) (f(t) — скалярная t У t t
функция).
4°. lim r^t) r2(t) = lim r^t) lim r2(t).
t t Q ts Z 0 ts ts 0
5°. lim r^t) X r2(t) = lim r^t) x lim r2(t).
t t t
В свойствах 1°—5° все рассматриваемые функции определены на некотором множестве X <= R. В свойствах 2°—5° предполагается, что все пределы, входящие в правые части равенств, существуют и утверждается, что существуют пределы, стоящие в левых частях равенств, причем имеют место написанные формулы.
Все эти свойства доказываются аналогично тому, как были доказаны подобные утверждения, встречавшиеся раньше (см. п. 4.9, 5.10). Докажем, например, свойство 5°. Предварительно заметим, что для любых векторов р и q
\р х q\ = \р\ \ч\ sin pq < |р| |q|. (15.10)
Поэтому если p = p(t), q = q(t), причем lim \p(t)\ = 0, a \q(t)\ — t
ограниченная функция, то из (15.10) имеем (см. п. 5.11)
lim \р X q\ = 0. (15.11)
Пусть теперь lim r^t) = a, lim r2(t) = b. Положим a(t) = t tQ t ty
= r^t) - a, P(0 = r2(t) - b; тогда, согласно (15.1),
lim |a(f)| = lim |P(f)| = 0 (15.12)
1 r0 1 r0
и
П(0 x r2(t) = [a + a(i)] x [Ы- 0(0] =
= a x b + a x 0(0 + a(0 X b + a(t) x 0(0, 390


где, в силу (15.11),
lim |а X P(£)l = lim |а(0 х b\ = lim |а(£) X Р(£)| = О,
t t t
а так как
\а X р(О + а(О X Ъ + а(О X р(£)| <
< |а х р(£)| + |а(О х Ь\ + |а(О х 0(£)|,
то и lim |а X Р(£) + a(t) X Ъ + а(£) X Р(£)| = 0. Поэтому
to
lim |rj(i) X r2(t) - a X b\ = 0,
to
sl это означает (см. определение 1), что
lim rr(t) X r2(t) = aXb, t
c0 i-,
т. e. свойство 5 доказано. □
Отметим, что свойства 1°—5° пределов векторных функций можно, конечно, получить с помощью формул (15.5) из соответствующих свойств скалярных функций, если перейти к координатной записи векторов и их скалярных и векторных произведений.
Из свойств пределов векторных функций следует, что сумма, скалярное и векторное произведения векторных функций, а также произведение скалярных функций на векторные являются непрерывными в некоторой точке, если в этой точке непрерывны все слагаемые, соответственно сомножители.
15.2. 	Производная и дифференциал векторной функции
Всюду в дальнейшем в настоящем параграфе будет предполагаться, что tQ — число, т. е. что tQ не является бесконечно удаленной точкой прямой.
Пусть векторная функция r(t) определена в некоторой r(t) - r(t0) окрестности точки тогда отношение — определено
г г0
в соответствующей проколотой окрестности этой точки.
r(t) - r(tQ) Определение 3. Предел lim ——— (если он, конечно, су- t^tQ 1
ществует) называется производной данной векторной функции в точке tQ и обозначается r'(tQ) или r(tQ),
391


Таким образом, производная векторной функции в точке есть вектор.
Если положить \t = t - \r = r(tQ + ДО - r(£0), TO
r(t0)= lim (15.13)
Для того чтобы функция r(t) = (х(0, y{t)^ 2(0), определенная в некоторой окрестности точки имела производную в необходимо и достаточно, чтобы функции x(t), y(t) и z(t) имели производные при t = tQ, причем в этом случае
г(^о) = y'(tQ),z'(tQ)),
H*o)l = J(xV(t0) + y'2(t0) + z'2(t0).
Это непосредственно следует из эквивалентности двух подходов (15.7) и (15.8) к определению предела для векторной функции:
r(tQ - ДО - r(t0) ( x(tQ + до - x(tQ)
lim — = lim —
о м о м
+ ДО - y(t0) z(t0 + ДО - z(t0) >
nm — , lim — .
о м дг -> о м >
Производную r'(t) векторной функции r(t) называют также скоростью изменения вектора r(t) относительно параметра t. В том случае, когда длины векторов r(t) не меняются, производная r'(t) называется также и скоростью вращения вектора r(t), а ее абсолютная величина — числовым значением скорости его вращения.
По аналогии со случаем скалярных функций, векторную функцию а(0, t е X, называют бесконечно малой относительно скалярной функции Р(0, t е X, при t 0, и пишут а(0 = о(Р(0), t 0, если существует такая векторная функция е(0, определенная на том же множестве X, что и функции а(0, Р(0, Для которых в векторной окрестности точки t = t0
имеет место равенство а(0 = е(0 Р(0, t е X, и
lim е(0 = 0.
Д£ —> v 7
Как и для скалярных функций, если tQ е X, то функция е(0 непрерывна в точке и поэтому е(£0) = 0.
Векторная функция аргумента t называется линейной, если она имеет вид at + Ь, где а и Ъ — какие-либо два фиксированных вектора.
392


После вводных замечаний можно определить понятие дифференцируемости и дифференциала векторной функции.
Определение 4. Векторная функция r(t), определенная в некоторой окрестности точки t0, называется дифференцируемой при t = t0, если ее приращение
= r(t0 + ДО - r(t0)
в точке tQ представимо в виде
Ar = aAt + o(At), At^O. (15.14)
При этом линейная векторная функция aAt приращения аргумента At называется дифференциалом векторной функции r(t) в точке и обозначается через dr, т. е. dr = aAt.
Таким образом,
Ar = dr + o(At), Al > 0. (15.15)
Здесь функция o(At) определена при At = 0; она также равна нулю:
= о (15=14) (Af - «А0|д< = 0 = 0-
Следовательно, если представить эту функцию o(At) в виде o(At) = s(At)At,
то функция &(At) будет также определена при At = 0, поэтому здесь предел
lim е(ДО = О (15.16)
м -^о рассматривается не по проколотой, а по целой окрестности точки At = 0; как было отмечено выше, в этом случае е(0) = 0.
Из (15.14) очевидным образом следует, что если векторная функция r(t) дифференцируема в точке tQ, то она и непрерывна в этой точке.
Далее, из (15.14) имеем lim
At ^0
Ar
At
lim Га + —> 0 L
o(AQ-|
At J
a,
т. e. если векторная функция r(t) дифференцируема в точке t$, то она имеет в этой точке производную и
г(^о) = а-
393


/ Ат*
Наоборот, если существует производная г (£0) = lim — и, At О следовательно,
Af*
Г = Ai + £<Л^’ М # °’
где
lim e(Af) = 0, (15.17)
At О At А О
ТО
Лг = r'(tQ)kt + 8(Д0Д^. (15.18)
Если положить £(0) = 0, то, в силу выполнения условия (15.17), равенство (15.18) равносильно равенству (15.14) при а = Таким образом, функция r(t) дифференцируема в точке и dr(to) = r'(tQ)kt.
Полагая по определению и в этом случае dt = kt, имеем (опуская для простоты обозначение аргумента) dr = / 7, > dr
= г dt или г = — .
dt
Пусть теперь t = £(т) — дифференцируемая в точке т = т0 функция, t$ = £(т0) и Ат = т - т0. Из соотношения (15.18) следует, что
Ar ,At , ZAfXAt
=Г^ +£<Л^М’ (15Л9>
где r't = r'(t0).
Функция t = £(т) дифференцируема в точке т0, следовательно, она непрерывна в ней, т. е. имеет место равенство lim kt = 0. Поэтому из (15.16) получаем, что lim z(kt) = 0. Ат 0 Ат 0
Кроме того, в точке т0 существует конечная производная f (т0) = • В силу всего этого, в точке т0 существует
производная векторной функции г(£(т)):
г' - s пП», а‘™„ ('■А +е<4!А) - или, в другой записи,
dr _ dr dt
dx dt dx *
Из этой формулы, аналогично случаю скалярных функций, вытекает инвариантность записи дифференциала векторной функции: как для зависимой переменной t, так и для 394


независимой т имеем dr = r't dt, dr = r'x dx\ чтобы из второй формулы получить первую, надо подставить во вторую формулу r[ = r'tt'x и заметить, что t'x dx = dt.
Приведем формулы дифференцирования векторной функции (аргумент для простоты обозначений опущен):
1- (п + г2У = + г2.
2. (fr)' = f 'г + fг'.
3. (Г1Г2)' = rlr2 + rlr2-
4. (rj х r2y = r{ x Г2 + x r2.
Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой окрестности точки tQ и предполагается, что все производные в правой части каждого равенства существуют при t = тогда в точке существуют и производные, стоящие в левой части равенства, причем справедливы написанные формулы.
Все эти формулы доказываются аналогично случаю дифференцирования скалярных функций (см. п. 9.5). Докажем, например, формулу 4.
Использовав свойства 2° и 5° пределов векторных функций, получим
, (+\^ г г1(^о + Af)xr2(f0 + АО - г1(^0)хг2(^0)
(ri(Oxr2(f))z = z = hm - =
т г0 Д/ -> 0
rrih0 + _ rih0) , * 4
= hm Г — X r2(t0 + Ai) +
дм 0 L
г o(^o + AO — r o(^n)-|
+ ^l(«o) X Xt ] = X ^2(^0) + rl(h)) X r2(h))-
Производные высших порядков для векторной функции определяются по индукции: если у векторной функции r(t) в некоторой окрестности точки задана производная r^n\t) порядка п, п = 0, 1, 2, ... (по определению полагается, что (/°))(£) то производная порядка п + 1 в этой точке
(если эта производная, конечно, существует) определяется по формуле
r(n + 1)(i0)=
395


Если векторная функция r(t) = (x(t), y(t), z(t)) определена в некоторой окрестности точки tQ и имеет п производных в этой точке, то для нее справедлива формула Тейлора
Дг = г(£0 + ДО - r(t0) = d^o) Д? + o{\tn).
Она непосредственно следует из разложения по формуле Тейлора координатных функций x(t), y(t) и z(t).
Мы видим, что многие факты, установленные в теории скалярных функций, дословно переносятся на векторные функции. Однако было бы ошибкой думать, что это всегда так: например, в определенном смысле аналог формулы конечных приращений не имеет места для векторных функций.
Действительно, рассмотрим векторную функцию r(t) = = (cos t, sin 0, 0 < £ < 2л. Так как r'(t) = (-sin t, cos t), то \r'(t)\ = = Jsin2t + cos2^ = 1 при любом t e [0, 2л]. Следовательно, в этом случае не существует такой точки е [0, 2л], для которой было бы справедливо равенство, аналогичное формуле конечных приращений Лагранжа для скалярных функций, г(2л) - г(0) = 2лг'(£),
так как в левой части равенства стоит нулевой вектор (поскольку г(2л) = г(0)), а справа — ненулевой: |г'(£)| = 1.
Некоторой заменой формулы конечных приращений для векторных функций является следующее утверждение. ТЕОРЕМА Л. Пусть векторная функция r(t) непрерывна на отрезке [а, й] и дифференцируема внутри него. Тогда существует такая точка е (а, й), что
|г(&) - г(а)| < (Ъ - а) |г'(^)|. (15.20)
Доказательство. Если r(a) = г(Ь), то неравенство (15.20) справедливо при любом выборе точки е(а, й), так как его левая часть обращается в нуль.
Пусть r(a) г(Ь). Оценим длину \г(Ь) - г(а)\ вектора г(Ь) -
- г(а) 0. Если задан какой-либо вектор х, то, обозначая через е единичный вектор в направлении вектора х, получим |х| = (х, е), ибо, согласно определению скалярного произведения,
(х, е) = |х| |е| cos хе,
где |е| = 1, хе = 0, и, следовательно, cos хе = 1. Поэтому, если е — единичный вектор в направлении вектора г(Ъ) -
- г(а) 0, то
|г(&) - г(а)\ = (г(6) - г(а), е) = (г(&), е) - (г(а), е), 396


т. е. получилась разность значений числовой функции
f(t) = е)
(15.21)
на концах отрезка [а, 6]:
|г(&) - г(а)| = /(&)-Да). (15.22)
Из (15.21) следует, что функция f(t) непрерывна на отрезке [а, й] и дифференцируема во всех его внутренних точках, так как, согласно условиям теоремы, этими свойствами обладает функция r(t). Поэтому, в силу формулы конечных приращений Лагранжа, существует такая точка е (а, й), что
f(b)-f(a) = f'^)(b-a).
Но, согласно правилу дифференцирования скалярного произведения, имеем
f'(t) = е),
f(b) - f(a) = (r'(^), e)(b -a),a<^<b. (15.23)
Для любых двух векторов х и у из определения скалярного произведения следует неравенство
откуда
(х, у) < |(х, у)\ = |х| |у| |cos ху\ < |х| |у|;
в частности,
«), е) < |г'(^)| |е| = |г'(^)|.
Следовательно, из (15.23) получаем
f(b) - f(a) < |г'(^)| |(Ь - а), a<^<b.
Из этого неравенства и формулы (15.22) сразу следует неравенство (15.20). □
§16.
Длина кривой
16.1. 	Понятие пути
Рассмотрим отображения отрезков в трехмерное пространство В3. Пусть [а, й] — некоторый отрезок, a r(t) — его отображение в Я3, т. е. отображение, ставящее в соответствие каждой точке t е [а, й] точку r(t) пространства В3, короче — г: [a, ft] — R3.
397


Будем считать, что в пространстве R фиксирована система координат. В этом случае задание точки пространства равносильно заданию трех ее координат. Обозначим координаты точки r(t) через x(t), y(t), z(t):
r(t) = y(t), (16.1)
Тогда задание отображения r(t) оказывается равносильным заданию трех числовых функций y(t), z(t), называемых координатными функциями отображения r(t).
Понятие предела отображения r(t) определим с помощью его координатных функций. Будем говорить, что отображение r(t) имеет предел в точке £0, если в этой точке имеют предел все координатные функции, причем
lim r(t) d=^ ( lim x(t), lim y(t), lim z(t)). (16.2)
t t t t
Отображение r(t) называется непрерывным на отрезке [а, 6], если на этом отрезке непрерывны все его координатные функции. В этом случае
lim r(0 = ( limx(f), limz/(f), limz(f)) =
*->*0 ( } t^tQ
= (x(£0), y(tQ), 2(^0)) = r(tQ). (16.3)
Для отображения r(t) будем обозначать полужирным шрифтом r(t) векторную функцию, у которой координаты вектора r(t) совпадают с координатами точки r(t), т. е. r(t) = = (х(0, у(1), 2(0), и будем называть отображение r(t) и векторную функцию r(t) соответствующими друг другу.
Очевидно, что отображение r(t), а < t < Ъ, непрерывно на отрезке [а, й] тогда и только тогда, когда на этом отрезке непрерывна соответствующая ему векторная функция г(£)- Действительно, векторная функция непрерывна на отрезке в том и только том случае, когда на нем непрерывны все ее координаты (см. п. 15.1), что, по определению, является условием непрерывности отображения r(t) на отрезке.
Определение 1. Непрерывное отображение отрезка в пространство называется путем, а образ отрезка при рассматриваемом отображении — носителем этого пути.
Одно и то же множество пространства может быть непрерывным образом отрезков при различных отображениях, т. е. оно может быть носителем разных путей.
398


Рассматриваемые непрерывные отображения отрезков в пространство не предполагаются взаимно однозначными, поэтому для данного пути
r(f)e Я3, t < Ъ, (16.4)
в одну и ту же точку пространства может отобразиться несколько точек отрезка [а, 6]. Точки носителя пути (16.4), в которые отображается более одной точки отрезка [а, 6], называются кратными точками этого пути или точками его самопересечения.
Для пути (16.4) переменная t называется его параметром.
Если точка М носителя пути (16.4) является его кратной точкой, то существует по крайней мере два таких разных значения параметра tx и t2, а < b, а < t2 < Ь, что г(^) = = r(t2) = М.
Точкой пути (16.4) называется всякая пара (t, a пространственная точка r(t) ей3 — носителем этой точки пути. Очевидно, что точка пути (16.4) однозначно определяется значением параметра t.
Точки (а, г(а)) и (й, г(й)) называются концами пути. Точка (t, для которой значение параметра t лежит в интервале (а, й), называется внутренней точкой пути (16.4).
Если г(а) = г(й), то путь называется замкнутым, а его носитель — замкнутым контуром. Носитель замкнутого пути, не имеющего точек самопересечения, кроме носителей начала и конца пути, называется простым замкнутым контуром.
Носитель пути, заданного взаимно однозначным непрерывным отображением отрезка в пространство, называется простой дугой.
Будем говорить, что последовательность (tn, r(tn)) точек пути (16.4) стремится по этому пути к его точке (£0, г(£0)), если
= *о> *oG G &]> n = 1, 2,... .
В этом случае
lim r(tn) = r(t0).
п оо (10.3)
Как уже отмечалось, отображение (16.4), т. е. путь, можно задавать в координатном виде, иначе говоря, задать координаты точки r(t) как функции параметра t:
r(t) = y(t), a t b.
399


В этом случае тройка функций x(t), y(t), z(t), а < t < b, называется координатным представлением пути.
Отображение (16.4) можно задать и соответствующей ему векторной функцией
r(t), a<t<b, (16.5)
где, как обычно, вектор r(t) имеет те же координаты, что и точка r(t). Если не оговорено что-либо другое, то всегда предполагается, что r(t) является радиусом-вектором с началом в начале координат. В этом случае носитель пути (16.4) называется годографом векторной функции r(t), а сама векторная функция r(t) — векторным представлением пути (16.4).
Если путь лежит в некоторой плоскости, то он называется плоским. Если эта плоскость является координатной плоскостью, например плоскостью переменных х и у, то координатное представление пути (16.4) имеет вид
х = x(t), у = y(t), z = 0, а < t < b,
причем уравнение z = 0, если это не может привести к недоразумению, обычно не пишут.
Всякая непрерывная на некотором отрезке [а, Ь] функция у = f(x) является плоским путем, а ее график — носителем этого пути. Рассмотрим конкретные примеры.
Примером замкнутого контура является окружность. Возьмем для определенности окружность радиуса R с центром в начале координат. Ее можно, например, представить как непрерывный образ отрезка [0, 2л] с помощью координатных функций
х = R cos t, у = R sin t, 0 < t < 2л. (16.6).
Очевидно, окружность является простым замкнутым контуром. Пример незамкнутого пути можно получить, взяв сужение отображения (16.6) на отрезке [0, а], где О < а < 2л.
Отметим, что носитель пути
х = R cos t, у = R sin t, 0 < t < 4л, (16.7)
совпадает с носителем пути (16.6): и в том и другом случае им является окружность х + у = R на плоскости пере400


менных х и у. Однако получена она как результат разных отображений: при отображении (16.6), т. е. при изменении параметра t от 0 до 2л, эта окружность проходится один раз, а при отображении (16.7), т. е. при изменении параметра t от О до 4л, она проходится дважды — отображения (16.6) и
(16.7) 	представляют собой разные пути.
Наряду с общим понятием пути нам понадобятся в дальнейшем специальные виды путей: (непрерывно) дифференцируемые, дважды (непрерывно) дифференцируемые и т. п. Определим понятие п раз (непрерывно) дифференцируемого пути. Путь
r(0 = (х(0, y{t), z(t)) е Я3, а < t < й,
называется п раз {непрерывно) дифференцируемым путем, если все его координатные функции x{t), y(t), z{t) п раз непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6].
16.2. 	Понятие кривой
При определении понятия кривой будем исходить из физического представления о траектории пути движущейся в пространстве материальной точки. На такой траектории можно выбирать различные параметры, точно описывающие положение на ней движущейся точки, например время движения t, длину пройденного пути s или что-либо другое. Различным параметрам соответствуют разные отображения отрезков на траекторию, каждое из которых дает ее полное описание.
С геометрической точки зрения иногда два разных пути, например, х = cos t, у = -sin £, -л<£<0иг/ = J1 - х2, -1 < < х < 1, или естественно было бы считать представлением одной и той же «кривой», в данном случае полуокружности х + у = 1, у > 0.
В силу всех этих соображений, естественно определить кривую как класс в каком-то смысле равноправных непрерывных отображений отрезков в пространство, т. е. как соответствующий класс путей.
401


/ Определение 2. Путь
r(t)i а < t < b, (16.8) а(^/ф(т)\р(т) называется эквивалентным пути
I 1 р(т), а < т < р, (16.9)
a t Ъ а т В
если существует такая непрерывная Рис. 75 строго монотонная функция ф {возрас¬
тающая или убывающая), отображающая отрезок [а, Р] на отрезок [а, &], что для каждого т е [а, Р] справедливо равенство (рис. 75)
фр(т)) = р(т). (16.10)
Функция ф называется в этом случае допустимым преобразованием параметра т в параметр t или отображением, осуществляющим эквивалентность пути (16.8) с путем (16.9). Если путь (16.8) эквивалентен пути (16.9), то пишут г(0 ~ р(т).
Легко убедиться, что каждый путь эквивалентен самому себе: r{t) ~ r{t) (здесь допустимым преобразованием параметра является тождественное отображение £ = т, а = ос<т< < Р = Ъ). Это свойство эквивалентности называется ее рефлексивностью. Можно проверить также, что если путь
(16.8) 	эквивалентен пути (16.9): r{t) ~ р(£), то и путь р(£) эквивалентен пути r(t): р(£) ~ r(t) (в самом деле, если ф — допустимое преобразование параметра т в t, то обратная функция ф 1 также непрерывна и строго монотонна, следовательно, является допустимым преобразованием параметра, на этот раз t в т). Это свойство эквивалентности называется ее симметричностью.
Наконец, если для трех путей r\{t), г2(^) и гз(^з) имеем Г1(*1) ~ Г2(*2> и Г2(^2) ~ Г3<*3)’ ТО Г1(*1) ~ Гз(*з)- ЭтО СВОЙСТВО ЭК- вивалентности называется ее транзитивностью (оно сразу вытекает из того, что композиция непрерывных строго монотонных отображений отрезков также непрерывна и строго монотонна, т. е. композиция допустимых преобразований параметров является допустимым преобразованием).
Если в некотором множестве элементов введено соотношение эквивалентности, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то такое множество распадается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов (см. далее § 63). В данном случае получаются непересекающиеся классы эквивалентных между собой путей.
402


Отметим еще, что если два пути (16.8) и (16.9) эквивалентны, то их носители совпадают. Это сразу следует из условия (16.10).
Перейдем теперь к определению кривой.
Определение 3. Всякий класс Г эквивалентных путей называется кривой или, более подробно, непрерывной параметрически заданной кривой.
Каждый путь из этого класса, т. е. отображение вида (16.4), называется представлением кривой Г, тройка соответствующих координатных функций (16.1)— ее координатным представлением, а соответствующая векторная функция — ее векторным представлением.
Очевидно, что параметрически заданная кривая однозначно определяется каждым из своих представлений, так как если имеется один путь, то все эквивалентные ему пути получаются с помощью всевозможных допустимых преобразований параметров. Таким образом, для того чтобы задать кривую, надо задать некоторое ее представление.
Кривая Г, заданная каким-либо своим представлением вида (16.4), (16.1) или (16.5), обозначается соответственно следующим образом:
Г = {г(0; а <
Г = {х(0, y{t), z(t); a^t^b}, (16.11)
Г = а < t < b}.
Примеры. 1. В силу определения эквивалентных путей, два пути, рассмотренные выше, х = R cos t,y = R sin t, 0 < t < 2л, и x = R cos t, у = R sin t, 0 < t < 4л, не являются эквивалентными (докажите это), но носители их совпадают: они представляют собой одну и ту же окружность х2 + у2 = R2.
Два пути х = cos t, у = sin t, -л/2 < t < л/2, и х = = 7^(2 - т), у = т - 1, 0 < т < 2, эквивалентны между собой и поэтому задают одну и ту же кривую. Действительно, функция т = 1 + sin t непрерывна, строго возрастает на отрезке [-л/2, л/2] и переводит одно представление в другое. Носителями этих путей является полуокружность х2 + у2 = 1, х > 0.
403


2. В качестве второго примера рассмотрим кривую, являющуюся траекторией точки окружности, катящейся без скольжения по прямой. Эта кривая называется циклоидой.
Пусть окружность радиуса г катится без скольжения по оси абсцисс в положительном направлении. Пусть в начальный момент времени центр окружности находится в точке (0; г) оси ординат (рис. 76). Напишем уравнение траектории точки М = (х; у) окружности, находящейся в начале качения в начале координат.
В качестве параметра на циклоиде возьмем угол t, на который поворачивается при качении окружность. Пусть, когда окружность повернется на угол t, ее центр окажется в точке Р и она будет касаться оси абсцисс в точке А (рис. 77). Тогда t = Z_ MPA. В силу качения без скольжения длина tr дуги МА равна длине отрезка ОА. Поэтому х = tr - г sin t. Очевидно, у = г - г cos t.
Таким образом, уравнение одной арки циклоиды (т. е. ее части от одного касания окружности с осью абсцисс в фиксированной точке окружности до ближайшего следующего) имеет вид
х = г (t - sin t), у = г (1 - cos t), 0 < t < 2л.
Мы уже встречались с этими уравнениями, когда рассматривали дифференцируемость функций, заданных параметрически (см. п. 10.3).
Как уже отмечалось выше, два эквивалентных пути имеют один и тот же носитель, поэтому носители всех путей, составляющих кривую, т. е. всех путей, эквивалентных между собой, совпадают.
Определение 4. Общий носитель всех представлений данной кривой называется носителем этой кривой.
404


В случае, когда все пути, составляющие кривую, являются взаимно однозначными отображениями соответствующих отрезков в пространство (для этого достаточно, чтобы этим свойством обладал хотя бы один путь, т. е. хотя бы одно представление кривой) и, следовательно, их носители являются простыми дугами (см. п. 15.1), то и сама кривая называется простой дугой.
Определим теперь, что называется точкой параметрически заданной кривой, т. е. кривой, определенной как класс эквивалентных путей.
Определение 5. Пусть (16.8) и (16.9) — два представления кривой Г, а ф — отображение, осуществляющее их эквивалентность (см. определение 2): t = ф(т), а < т < р, a^t^b.
Точки (t, r(t)) и (т2, р(т)) соответственно путей (16.8) и
(16.9) 	называются эквивалентными, если
£ = ф(т). (16.12)
Очевидно, что две эквивалентные между собой точки эквивалентных путей имеют один и тот же носитель — это сразу следует из выполнения условий (16.10) и (16.12).
Эквивалентность точек путей будем снова обозначать символом ~:
(t, r(t)) ~ (Т, ф(т)) « t = ф(т).
Легко проверить, что это соотношение эквивалентности также обладает свойством рефлексивности: (t, r(t)) ~ (t, симметричности: если (t, r(t) ~ (т, р(т)), то и (т, р(т)) ~ (t, транзитивности: если (^, г^^)) ~ (£2, ^2(^2)) и (^2> г2(^)) ~ ~ (£3, г3(£3)), то (£р г^^)) ~ (£3, г3(£3)). Поэтому множество всех точек путей, составляющих заданную кривую, распадается на непересекающиеся классы эквивалентных между собой точек этих путей.
Определение 6. Каждый класс {(t, r(I))} эквивалентных между собой точек путей, составляющих некоторую кривую, называется точкой этой кривой, а их общий носитель — носителем этой точки кривой.
Точка кривой {(£, называется ее конечной или внутренней точкой, если эта точка кривой содержит соответственно конечную или внутреннюю точку некоторого (сле405


довательно, и любого) пути, являющегося представлением данной кривой.
Будем говорить, что последовательность точек {(£, г(£))}п, п = 1, 2, ... , кривой Г стремится по ней к ее точке {(t, при п оо, если при некотором (а следовательно, и при любом) представлении rQ(t)9 а < t < Ъ кривой Г существуют та- кие tn е [а, Ь], что (t„, r0(tn)) g {(t, r(t))}n, n = 1, 2, ,
Go, r0(t0)) e {(f, r(0)}0 и lim tn = t0.
Каждая точка {(t, r(t)} кривой Г однозначно определяется каждой отдельной входящей в нее точкой (t, т. е. соответствующей точкой пути, являющегося одним из представлений кривой Г, а каждая точка (t, r(t)) пути (16.8) однозначно определяется значением параметра t. Таким образом, каждая точка кривой Г при выборе какого-либо ее представления г(0, а < t < b, однозначно определяется значением параметра t. Поэтому точка кривой Г вместо {(£, обычно просто обозначается через r(t). В силу сказанного, это обозначение имеет однозначный смысл.
Точка носителя кривой называется кратной или точкой самопересечения кривой, если она кратная для некоторого, следовательно, и для всякого ее представления.
Очевидно, что совокупность всех носителей точек кривой составляет ее носитель (см. определение 4).
Если кривая является простой дугой, то, так как кратные точки отсутствуют, каждая точка носителя простой дуги однозначно определяет точку кривой, носителем которой она является, и поэтому в данном случае понятие носителя кривой в указанном смысле равносильно понятию кривой.
Как уже было показано на примерах в п. 16.1 (см. (16.6) и (16.7)), неэквивалентные пути могут иметь один и тот же носитель, следовательно, разные кривые также могут иметь один и тот же носитель. Заметим еще, что если г(а) = г(Ь) при одном представлении кривой, то это условие выполняется и при любом другом ее представлении, т. е. если носитель одного представления кривой является замкнутым контуром, то и носитель всякого другого ее представления также является замкнутым контуром. В этом случае носитель соответствующей кривой также называется замкнутым контуром.
Аналогично, только одновременно все носители представлений кривой могут оказаться простыми замкнутыми 406


контурами, и в этом случае носитель этой кривой также называется простым замкнутым контуром.
Перейдем теперь к определению кривых других классов: понятие эквивалентности можно вводить в более узких классах путей и более сильным способом. Это дает возможность определить специальные классы параметрически заданных кривых: п раз дифференцируемых и п раз непрерывно дифференцируемых кривых, п = 1, 2, ... .
Определим для этого сначала соответствующее отношение эквивалентности путей.
Определение 7. Два п раз {непрерывно) дифференцируемых пути (см. п. 15.1) называются п раз {непрерывно) дифференцируемо эквивалентными, если существует функция ф, осуществляющая их эквивалентность в смысле определения 2, которая как сама, так и ей обратная п раз {непрерывно) дифференцируемы.
Это отношение эквивалентности также обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Определение 8. Всякое множество п раз {непрерывно) дифференцируемых и п раз {непрерывно) дифференцируемо эквивалентных между собой путей называется п раз {непрерывно) дифференцируемой параметрически заданной кривой.
Каждый из путей, входящих в данную кривую, называется ее представлением и полностью определяет кривую, т. е. множество всех эквивалентных ему путей в указанном смысле. Функция, осуществляющая п раз (непрерывно) дифференцируемую эквивалентность двух представлений одной и той же п раз (непрерывно) дифференцируемой кривой, называется допустимым преобразованием параметра.
Каждая п раз (непрерывно) дифференцируемая кривая содержится как множество путей в некоторой непрерывной кривой, а именно в совокупности всех путей, эквивалентных в смысле определения 2 (тем самым без предположения соответствующей дифференцируемости допустимых преобразований параметров) произвольно выбранному представлению данной кривой. Носитель этой непрерывной кривой называется и носителем исходной п раз (непрерывно) дифференцируемой кривой.
407


Очевидно, что для п раз (непрерывно) дифференцируемых кривых, как и для непрерывных кривых, их обозначение любым из способов (16.11) имеет однозначный смысл.
16.3. 	Ориентация кривой. Дуга кривой.
Сумма кривых. Неявное задание кривых
Порядок чисел (по величине) на отрезке [а, й] с помощью данного фиксированного представления r(t) кривой Г{г(£); а < < t < b}, естественно, порождает соответствующий порядок точек на кривой. Точка r(f) е Г считается предшествующей точке r(t") е Г, или, что то же, точка r(t") считается следующей за точкой r(f), если а < t' < t'' < Ъ. Точка r(a) называется в этом случае началом пути, а точка г(Ь) — его концом. Если указанный порядок точек желательно сохранить и при других представлениях кривой, то необходимо сузить класс допустимых преобразований параметра, а именно, допускать лишь строго возрастающие преобразования параметра.
Два пути (16.8) и (16.9) называются одинаково ориентированными, если один из них получается из другого строго возрастающим преобразованием параметра, и противоположно ориентированными, если — строго убывающим преобразованием параметра.
Если дан путь
r(t), a<t<b, (16.13)
то путь, задаваемый представлением
р(0 = r(a + b - t), а < t < Ъ. (16.14)
является путем, ориентированным противоположно данному.
Все пути, составляющие некоторую кривую, распадаются на два класса таких, что пути каждого из них ориентированы одинаково, а разных — противоположно.
Определение 9. Для данной кривой каждый из указанных классов называется ориентированной кривой. Каждый из этих классов называется кривой, ориентированной противоположно кривой, определяемой другим классом.
408


Если Г — кривая, то полученные из нее ориентированные кривые обозначаются Г+ и Г . Таким образом, если, например, r{t) е Г+, то
r{a + Ь - t)e. Г ,a<t^b. (16.15)
Вместо выражения «задана ориентированная кривая» говорят иногда, что «на кривой задана ориентация» (или порядок точек).
Если кривая имеет концы А и В, то ориентированная кривая, при которой точка А является началом составляющих ее путей, обозначается АВ, а при которой В — начало путей, обозначается ВА.
Понятие ориентированной кривой имеет смысл, в частности, и для п раз (непрерывно) дифференцируемых кривых.
Если путь г = r(t), а < t < Ъ, является представлением ориентированной кривой Г, а функция ф(т), ос < т < р, непрерывна, строго убывает и ф(ос) = Ъ, ф(Р) = а, то путь г(ф(т)), ос < т < р, является представлением кривой Г , т. е. противоположно ориентированной кривой.
Если т0 е [а, Р] и = ф(т0), то точки г(£0) и г(ф(т0)) соответственно кривой Г и противоположно ориентированной кривой Г называются соответствующими друг другу. Одна точка кривой Г предшествует другой точке этой кривой тогда и только тогда, когда точка кривой Г , соответствующая первой точке, следует за точкой, соответствующей второй точке. Этим оправдывается термин «противоположно ориентированная кривая».
В заключение сформулируем еще несколько полезных для дальнейшего определений.
Пусть задана кривая Г = {г{1); а < t < b}.
Определение 10. Если \а, &'] <= [а, &], то кривая Г' = {г(0; а < t < b'} называется частью кривой Г {или ее дугой) и пишется Г' <= Г.
Если кривая Г ориентирована, то ее ориентация порождает ориентацию и на всякой ее части Г': одна точка кривой Г' считается следующей за другой ее точкой, если то же самое имеет место для этих точек и на кривой Г.
Определение 11. Если t0 е {а, Ь), Г\ = {r(t); а < t < tQ}, Г2 = {r(t);
< t < Ъ}, то кривую Г = {г{1); а < t < b} называют суммой кривых T\uV2u пишут Г = Гх U Г2.
Аналогично определяется сумма конечного числа кривых.
409


Определение 12. Сумма конечного числа непрерывно дифференцируемых кривых называется кусочно-непрерывно дифференцируемой кривой.
Ясно, что кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая может просто оказаться непрерывно дифференцируемой кривой.
Определение 13. Пусть Г = {г(0; а < — плоская кри¬
вая, расположенная на плоскости х, у. Если существует такая функция f(x, у), что координаты х, у точек r(t) кривой Г удовлетворяют условию
f(x9y) = 09 (16.16)
то говорят, что уравнение (16.16) является неявным представлением кривой Г.
Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, множество всех точек, удовлетворяющих уравнению вида (16.16), не является кривой в определенном выше смысле даже для достаточно «хороших» функций /(х, у). Например, множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (х2 + у2)(х2 + у2 - 1) = 0, представляет собой окружность 2 2
х + у = 1 и точку (0, 0). Можно показать, что это множество не является непрерывным образом отрезка.
Можно и в пространственном случае задавать кривые неявным образом, но уже с помощью системы двух уравнений: fl(x, у, 2) = 0, f2(x, у, 2) = 0.
Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в п. 41.3.
Наконец, отметим, что кривая всегда ограничена, т. е. лежит в некотором шаре; это следует из того, что функции координатного представления кривой, согласно теореме Больцано—Вейерштрасса, ограничены в силу своей непрерывности. Вместе с тем уже в элементарной математике встречаются неограниченные кривые: прямая, парабола, гипербола, синусоида, график tg х и т. п. Чтобы охватить и такие «кривые», можно определить класс так называемых открытых кривых по схеме, подобной приведенной выше, в которой за основу взято непрерывное отображение интервала, а не отрезка, как это было сделано выше. Открытые кривые, в частности, могут
410


быть и неограниченными. Подробно и точно сформулировать все эти понятия представляем читателю по мере потребности.
Иногда кривыми называют и объединение конечного множества кривых в указанном выше смысле. Так, говорят, что гипербола, заданная, напри- мер, уравнением х - у = 1, является кривой, хотя она состоит из двух непе- ресекающихся «ветвей», каждая из которых собой открытую кривую.
представляет
16.4. 	Касательная к кривой. Геометрический смысл производной векторной функции
Пусть задана кривая Г = а < t < &}, векторная функция r(t) дифференцируема в точке е [а, й] и г'(£0) 0. В силу определения дифференцируемости,
Дг = r(tQ + ДО - r(tQ) = r'(to)At + о(Д0, At 0, поэтому из условия r'(to) 0 для всех достаточно малых Д£ 0 имеет место неравенство
r(t0 + Af) * r(t0).
Действительно, при сделанных предположениях r'(to)At 0, поэтому для всех достаточно малых Д£ 0 имеем и
г'(1о)А1 + о(Д0 0.
Прямая, проведенная через точки r(tQ) и r(tQ + ДО, называется секущей для кривой Г. Обозначим ее через (рис. 78). Для всех достаточно малых \t 0, в силу условия г(£0) г(£0 + + ДО, секущая 1М определена однозначно. Вектор Дг = r(t$ +Д0 _
- г(£0) параллелен этой секущей, поэтому вектор , Д£ 0, от- личающиися от вектора Дг лишь скалярным множителем — , также ей параллелен.
По условию, в точке tQ существует производная, т. е. предел
lim = г'(*о). (16.17)
411


Так как все секущие проходят через одну и ту же точку г(£0), то геометрически формула (16.17) означает, что секущие 1М при Д£ —► 0 стремятся к некоторому предельному положению, т. е. к прямой, проходящей через ту же точку r(tQ) в направлении вектора Эта прямая, в силу условия r\to) 0, определена однозначно. Она и называется касательной к кривой Г в точке г(£0).
Таким образом, в силу самого определения касательной к кривой Г в точке г(£0), производная г'(^о) векторной функции r(t) в том случае, если r\tQ) 0, является вектором, параллельным касательной в точке Если начало вектора r'(tQ) поместить в эту точку, как это обычно и делается, то он будет направлен по касательной.
В рассматриваемом случае дифференциал dr(tQ) = r\tQ) dt также направлен по касательной к кривой, так как он отличается от производной лишь скалярным множителем dt. Вектор t = Дт, г' 0, является единичным вектором, направленным по касательной. Вектор Дг при Д£ > 0 направлен от точки кривой с меньшим значением параметра к точке с большим значением параметра, поэтому можно сказать, что вектор Дг при Д£ > 0 показывает направление, в котором параметр на кривой возрастает, т. е., как говорят, положитель¬
ное направление на кривой. Вектор при Д£ > 0 имеет то же
направление, что и вектор Дг. Поскольку lim ес-
о
тественно говорить, что вектор следовательно, и вектор t, который отличается, быть может, от вектора r'(t) положительным числовым множителем
1
, также направлены в
сторону возрастания параметра и что их ориентация (направление) соответствует ориентации кривой. Направление вектора t (или, что то же, вектора г) называется положительным направлением касательной, задаваемым данным ее представлением r(t), а < t < Ъ.
Уравнение касательной к кривой Г в точке для которой r\t) 0, в векторной записи имеет вид
Г = r(to) + r'(toYC, < Т < + °°, 412


где г — текущий радиус-вектор касательной. В координатной записи уравнение касательной в этом случае имеет вид
х = x(f0) + х'(*о)т» У = y(t0) + y'(toK 2 = z(t0) + z'(£0)t,
—oo < x < +ooe
Исключив переменную т, получим
X- Хо = у-Ур = 2- Zq x'^q) y'(t0) z'(tQ) *
При определении касательной в данной точке дифференцируемой кривой было бы правильнее говорить о касательной данного представления (пути) кривой. Однако если r(t), а < t < Ъ является представлением кривой, то всякое другое ее представление имеет вид г(£(т)), а < т < Р, где t = t(y) — допустимое преобразование параметра, и, следовательно, как сама функция £(т), так и ей обратная, являются строго монотонными дифференцируемыми функциями. Поэтому, в силу теоремы 3 п. 9.6 о производной обратной функции, имеем
= 1, а поэтому для всех т е [а, Р] выполняется неравенство f(x) 0.
Из равенства г' = r'xt'x и условия t'x 0 следует, что если один из векторов r't и г'х не равен нулю, то не равен нулю и другой и они коллинеарны. Это означает, что вектор, касательный при одном представлении кривой, будет касательным и при другом ее представлении, а поэтому его естественно называть, как это и было сделано, касательным к кривой.
Отметим еще, что если рассматривается ориентированная кривая, то так как в этом случае допустимые преобразования параметра £(т), а < т < Р, строго возрастают, то tr(т) > 0 во всех точках отрезка [а, Р]. Поэтому из формулы г' = явствует, что положительное направление касательной одинаково для всех представлений ориентированной кривой, т. е. положительное направление касательной является свойством ориентированной кривой в целом, а не только ее отдельных представлений.
413


При преобразовании параметра, меняющего ориентацию кривой, касательный вектор меняет направление на противоположное, так как в этом случае t'x < 0.
Пример. Найдем касательные к циклоиде (см. пример 2 в п. 16.2)
х = r(t - sin t), у = r(l - cos t), 0 < t < 2л.
Вычислим производные: xr = r(l - cos t), y' = rsin t. Обозначив через ос, < ос < , угол, образованный касательной в точке М циклоиды с осью абсцисс, получим tg а =
sin£ . t .
=ctg2 =tg
и, следовательно, a = л/2 - t/2. Отсюда следует простой способ построения касательных к циклоиде.
Обозначим через В верхнюю точку катящейся окружности, повернувшейся на угол t (рис. 79), тогда Z MBA = = | МА = . Поэтому, если С — точка пересечения прямой ВМ с осью абсцисс, то Z АСВ = л/2 - t/2 = а. Это означает, что прямая СВ является касательной к циклоиде.
Итак, касательной к циклоиде в точке М является прямая, соединяющая точку М с верхней точкой В катящейся окружности.
Определение 14. Пусть Г— дифференцируемая кривая и r(t), а < t < Ъ — ее векторное представление. Точка r(t) кривой Г, в которой r'(t) 0, называется неособой, а точка, в которой r'(t) = 0, — особой.
Выше было показано, что в данной точке кривой при всех представлениях r(t) этой кривой либо одновременно г' 0, либо г' = 0, поэтому неособая точка при одном представлении дифференцируемой кривой будет неособой и при другом ее представлении. Таким образом, понятие неособой и особой точки не зависит от выбора представления кривой.
Если r(x(t), y(t), з(0), то из равенства \r'\ = Jx'2 + у'2 + Z2 (см. п. 15.2) имеем: точка (х(0, y(t), z(t)) кривой Г неособая
414


2 /2 /2
тогда и только тогда, когда в ней х + у + z > 0, m. е. хотя бы одна из производных х', у' и z' не обращается в нуль.
Согласно доказанному выше, во всякой неособой точке кривой Г существует касательная.
Определение 15. Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой.
Кривая, представимая как сумма конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.
Отметим, что если плоская кривая имеет явное представление у = у(х) или х = x(t), то для нее вектор r'(t) = (x'(t), y'(t)) всегда не нулевой: в первом случае это (1, у'), а во втором — (х', 1).
Аналогично определяется касательная как предельное положение секущей и кривой Г = {r(t); а < t < b} в точке r(tQ), е [а, 6], и в случае, когда г'(^о) = О» но существует некоторое натуральное п > 1, для которого /п)(£0) 0.
Если все r^k\tQ) = 0, k = 1, 2, ... , п - 1, а /п)(£0) 0, то,
раскладывая Дг по формуле Тейлора, получаем
Дг = r(tQ + ДО - r(£0) = r(nXt0)Atn + о(Д^), At 0.
Вектор направлен параллельно секущей проходя- ДГ
щей через точки г(£0) и r(tQ + At). Из написанного равенства следует, очевидно, что существует предел
lim — = Д r^n\to) 0.
Поэтому в этом случае предельное положение секущей lAt, т. е. касательная в точке г(£0), является прямой, проходящей через точку г(£0) параллельно вектору /п^0), и, следовательно, уравнение касательной имеет вид
г = r(n\tQ)T + r(£0), —оо < г < +°°.
16.5. 	Длина кривой
Прежде чем определить понятие длины кривой, введем понятие разбиения отрезка, которое будет неоднократно встречаться в дальнейшем.
415


Рис. 80
Определение 16. Для отрезка [а, й] всякую систему его точек ti9 i = 0, 1, ... , таких, что а = = tQ<t1< ... <ti_1<ti< ••• < =
= b, будем называть его разби- t = Ч ением и обозначать т = {tt} = 0.
Пусть задана кривая Г = а < t < b} и пусть т =
i = iT
= {ti}i = о — некоторое разбиение отрезка [а, 6]. Положим
=f 1)1-
Очевидно (рис. 80), <jt — длина ломаной с вершинами r(a), rfa), ... , rfy х), r(fe), т. е., как обычно говорят, ломаной, вписанной в кривую Г.
Всякую ломаную, в частности и вписанную в кривую Г = = {r(0; а < t < &}, можно рассматривать как кривую в смысле данного выше определения, если только задать ее представление. Пусть Л — ломаная, т. е. множество, состоящее из конечного числа отрезков с вершинами в точках Мо, М19 ... ... , Мп (эти отрезки называются звеньями ломаной). Возьмем некоторый отрезок [а, й] и какое-либо его разбиение на п отрезков: т = {£/}• = о . Будем для простоты всегда считать, что представлением ломаной является непрерывное отображение р(£), линейно отображающее каждый отрезок [^ _ р на отрезок _ rMi9 i = 1, 2, ... , п; таким образом, если обозначить через pz радиус-вектор точки Mi9 i = 0, 1, ... , п, то векторное представление ломаной имеет вид
Р(0= Р/.+
г < £ < £z, f = 1, 2, ... , п.
Если Mt _ х Mt при i = 1, 2, ... , п, то ломаная называется невырожденной.
Определение 17. Для заданной кривой Г = а < t < b} величина Sr = sup где верхняя грань взята по всевозмож416


ным разбиениям т отрезка [а, 6], называется длиной кривой Г.
Если Sr < +°°, то кривая Г называется спрямляемой.
В силу этого определения, спрямляемость кривой и ее длина не зависят от выбора представления кривой и всегда
О С Sp С +°°.
УПРАЖНЕНИЕ /.Доказать, что кривая, являющаяся частью спрямляемой кривой, также спрямляема.
ЛЕММА 1. Пусть Г = Га U Г&, тогда
SV=SV + Sr . (16.18)
1 а о
Доказательство. Пусть а<с<ЬиГ = а < t < &}, га = {r(0; а < t < с}, г& = {r(0; с < t < ь}.
Пусть т — разбиение отрезка [а, 6], а т — разбиение этого же отрезка, совпадающее с т, если точка с входит в разбиение т, и получающееся из т добавлением к нему точки с, если эта точка не входит в разбиение т. Разбиение т является объединением двух разбиений отрезков [а, с] и [с, 6], которые мы обозначим соответственно та и ть, т. е. т = та U ть. Очевидно, для длин ломаных, соответствующих разбиениям т , та и ть, справедливо равенство <зТ.: = + <jt . Но SUP <jt =
= Sra, sup <j = Srb, следовательно, <JT* < Sr + Sr .
T 1 a 1 b
При переходе от разбиения т к разбиению т*, быть может, лишь одно звено r(tt _ заменяется двумя:
г (ti _ i)r (с) и г (c)r (tt), а так как |r (tz _ x)r (Q| С |г(^ _ х)г (с)| + + |r(c)r(£z)|, то следовательно, <зт С >Sr + Sr^.
Но Sr = sup <jt, поэтому Sr < Sr + Sr^.
Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных разбиений та и ть соответственно отрезков [а, с] и [с, й] и разбиения т = ха U отрезка [а, й] имеем <jt + = <jt < Sr.
Отсюда <jt < Sr - <jt^; фиксируя разбиение тъ и переходя к верхней грани при всевозможных та, получаем неравенство Sr^ < Sr - и, следовательно, неравенство
< Sr.
1 а 1
417


Беря верхнюю грань множества чисел <зт , которое получается ь
при всевозможных разбиениях хь, имеем Sr + Sr^ < Sr. □
Отметим, что в лемме 1 не предполагается, что рассматриваемые кривые спрямляемы.
Задача 13. Построить пример неспрямляемой кривой.
Докажем одно достаточное условие спрямляемости кривой и получим оценку ее длины.
ТЕОРЕМА 1. Если кривая Г = а < t < b} непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина Sr удовлетворяет неравенствам
\r(b) - r(a)\ < Sr < M(b - а), (16.19)
где
М= max \r'(t)\. (16.20)
[a,b]
Отметим, что, в силу непрерывности производной ее абсолютная величина |г'(0| также непрерывна и поэтому достигает на отрезке [а, й] своего наибольшего значения М. Доказательство. Возьмем какое-либо разбиение
/ = 1Т
отрезка [а, 6]. Тогда, применив неравенство (15.20), получим
|r(&) - r(a)| = J/rCO-rGi-i)) s
где ti), i = 1, 2, ... , iT.
Так как
1)1 <
1), (16.21)
- r(ti-1)| = от
— длина вписанной в кривую Г ломаной, соответствующей разбиению т, и для всех £=1,2, ... , £т, в силу (16.20), имеет место неравенство |r'(£/)l < М, то из неравенства (16.21) для любого разбиения т имеем
\г(Ь) - г(а)\ < -1) = М^Ъ ~ (16.22)
418


Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим утверждение теоремы. □
ТЕОРЕМА 2. Пусть кривая Г = {r(t) = (x(t), y(t), z(t)); a < t b} непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги з, отсчитываемая от начала г(а) кривой Г {от ее конца г(Ь)), является возрастающей (убывающей), непрерывно дифференцируемой функцией параметра t; при этом
g-7x-2 + !/-2 + 2'!-|g| (16.23)
соответственно
7Г, --^’•‘ + уЛ + 2Л - -|g| \ (16.24)
Доказательство. Пусть s = s(t) — длина дуги кривой Г от точки г(а) до точки r(t). Пусть t0 е [а, 6], + Д£ е [а, й] и
As = s(tQ + ДО - s(t). Очевидно, что функция s = s(t) возрастает на отрезке [а, 6], т. е. если Д£ > 0, то Д s > 0; если же Д£ < 0, то Д s < 0. Поэтому всегда > 0.
Применив неравенство (16.19) к части кривой Г, соответствующей отрезку [£0, t0 + ДО при Д£ > 0 или отрезку [£0 + ДО £0] при Д£ < 0, получим
|г(£0 + ДО - r(t0)\ < |As| < м|дг|,
откуда
r(t0 +
< £ < м, kt
(16.25)
где М — наибольшее значение \r'(t)| на отрезке |70, tQ + ДО при Д£ > 0 или на отрезке [£0 + ДО £0] при Д£ < 0.
В силу непрерывности производной r'(t), ее абсолютная величина |г'(0| также непрерывна. Поэтому существует наибольшее значение |г'(0| и оно достигается в некоторой точке £ = £0 + 0ДО 0 < 0 < 1, указанного отрезка. Поэтому неравенство (16.25) можно переписать в виде
r(tQ + до - r(tQ)
kt
< <|r'(*o + M, о<е<1.
Перейдя здесь к пределу при Д£ 0, в левой части неравенства в силу определения производной, а в правой в силу непрерывности производной r'(t) в точке t = t0, получим |г'(^о)1-
419


Следовательно, предел lim существу- Г X\As А/ О
r(s) / As хк ет и также равен |r'Go)|, т- е- существует / производная s'(tQ) и имеет место равенст-
/^UaS) \ ВО s'(t0) = |r'G0)l-
Если r(t) = (х(£), y(t). z(0), то r'(t) = = (x'(t)9 y\t)9 и поэтому
рис. 81 s,(t) = |г,(0| = 7[^(О]2 + [y'(0]2 + [ЛО]2.
Если теперь о = <j(t) — переменная длина дуги, отсчитываемая от конца г(Ь) кривой Г, то, очевидно, о = Sr - s, откуда, дифференцируя это равенство по t9 имеем do _ _ds _ _ dr dt dt dt
СЛЕДСТВИЕ 1. Если параметром непрерывно дифференцируемой кривой является переменная длина дуги s9 то
|й| - 1- <16-26>
Это сразу следует из формулы |^| = при t = s.
Замечание 1. Формула (16.26) имеет простой геометрический смысл. Поясним его. Пусть параметром непрерывно дифференцируемой кривой Г является переменная длина дуги s: Г = {r(s); 0< s < Sr}. Величина |Дг| = |r(s + As) - r(s)| равна длине отрезка, соединяющего точки r(s) и r(s + As). Этот отрезок называется обычно хордой, стягивающей дугу кривой Г с началом в точке r(s) и концом в точке r(s + As). Длина указанной дуги, очевидно, равна |As| (рис. 81). Так как = lim — , IcZsl As 0 |As| то из равенства (16.26) следует
lim = 1.
As 0 I As|
Это означает, что предел отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице, когда дуга стягивается в точку. В этом и состоит геометрический смысл формулы (16.26).
СЛЕДСТВИЕ 2. Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой Г без особых точек, пг. е. для всякой гладкой кривой, существует ее представление г = r(s), в котором за параметр s взята переменная длина дуги кривой Г.
420


Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируемая кривая Г = а < t < b} не имеет особых точек, т. е. r\t) 0 для всех t е [а, 6]. В этом случае переменная длина дуги s = s(t) является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией, так как = \г'\ > 0 во всех точках [а, 6]. Поэтому существует обратная функция t = t(s), О < 8 < Sr, которая также строго возрастает и имеет непрерывную, не обращающуюся в нуль производную на отрезке [О, Sr], т. е. функция t = t(s) является допустимым преобразованием параметра для непрерывно дифференцируемых кривых без особых точек и представление г = r(t(s)) является искомым представлением, в котором роль параметра играет переменная длина дуги. □
Выясним теперь геометрический смысл координат вектору г
ра . Обозначим через а, Р и у углы, образованные вектором или, что то же, касательной к кривой Г = {r(s); 0 < 8 < Sr} соответственно с осями Ох, Оу и Oz. Тогда из равенства |^| = dr
= 1, очевидно, следует, что проекции вектора на оси координат равны соответственно направляющим косинусам б/Г п
вектора : cos a, cos р и cos у, т. е.
= (cos а, cos р, cos у). (16.27)
Наряду с этим, для векторной функции r(s) = (x(s), y(s), z(s)), как для всякой векторной функции (см. п. 15.2), имеем
dr _ (dx dy dz\ оо\
ds [ds’ ds’ ds Г (16.28)
Сравнивая (16.27) и (16.28), получаем
-у- = cos а, = cos р, -т- = cos у. (16.29) ds ’ds ds ‘ v 7
В качестве примера рассмотрим кривую, называемую
винтовой линией. Эта кривая задается представлением
х = a cos t, у = a sin t, z = bt, а2 + b2 0, 0 < t < Т.
Очевидно, что винтовая линия является бесконечно дифференцируемой кривой, и так как
х + у + z = a sin t + a cos t + Ъ = a + b 0,
421


Рис. 82
то она не имеет особых точек (рис. 82). Следовательно, переменную длину ее дуги можно принять за параметр.
Найдем соответствующее представление. Согласно формуле (16.23), имеем
d s I ,2 ! Х7 <2 / 2 , , 2
— л/х + у +2 — da + и .
Отсюда , 1 , и так как £(0) = 0, то
dS /2,2 da + b
t = 6 . Поэтому искомое представление
da2 + b2
имеет вид
x(s) = a cos
y(s) = a sin
z(y)=—f= 0<s<Tja2 + b2.
da + b
УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что для спрямляемой кривой без точек самопересечения переменная длина дуги является непрерывной строго монотонной функцией параметра.
Замечание 2. Если кривая Г гладкая и в качестве параметра на ней выбрана переменная длина дуги з, 0 < s < S, dr
то единичный касательный вектор т = является непрерывной функцией переменной s. Если какая-то функция является непрерывной функцией параметра кривой, то будем говорить, что она непрерывна вдоль кривой. Теперь можно сказать, что на ориентированной гладкой кривой имеется непрерывный вдоль нее единичный касательный вектор. При изменении ориентации кривой, т. е. при переходе к параметру s = S - s, касательный вектор меняет свое направление (см. п. 16.4). Действительно, напомним, что так как ds .. * dr dr ds dr
= -1> TO T = = ~T~ =
ds" ds" ds ds" ds
Таким образом, ориентации гладкой кривой однозначным образом соответствует выбор единичного непрерывного касательного вектора т или т вдоль кривой.
Пусть Г — плоская кривая и на плоскости фиксирован базис i, /. В этом случае каждому касательному вектору т и 422


т соответствует единственный перпендикулярный к нему единичный вектор v, соответственно v (нормаль к кривой) такой, что пары векторов т, v и т , v ориентированы так же как пара i, j векторов базиса (т. е. так, что определители матриц перехода от векторов т, v, соответственно векторов т , v , к базису положительны). Очевидно, что v = -v, и нормали v и v также являются непрерывными функциями вдоль кривой Г. Из сказанного ясно, что ориентация плоской кривой может быть задана не только непрерывным на ней единичным касательным вектором, но и непрерывной вдоль этой кривой единичной нормалью.
16.6. 	Плоские кривые
Пусть Г = а < t < Ъ} — непрерывно дифференцируемая плоская кривая, лежащая в плоскости хОу.
r(t) = (x(t), y(t)),
и пусть s = s(t) — переменная длина дуги кривой Г; для ее производной из формул (16.23) и (16.24) получаем
здесь знак плюс берется, если длина дуги s(t) отсчитывается от начальной точки г(а) кривой, и знак минус, если от конечной точки г(й). Из формулы (16.30) для дифференциала дуги получаем выражение
ds2 = dx2 + dy2. (16.31)
Пусть точка (x(f0), у(£0)) — неособая, т. е. х/2(£0) + у'2(10) > 0, например х'(£о) 0. Пусть для определенности х'(£о) > 0;
тогда в некоторой окрестности точки tQ также x'(t) > 0 и, значит, функция x(t) строго монотонно возрастает в этой окрестности; поэтому существует обратная непрерывно дифференцируемая функция t = t(x). Подставляя ее в представление кривой Г, находим
У = у№)) = f(x),
т. е. в некоторой окрестности неособой точки непрерывно дифференцируемая кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функции /; точнее, существуют окрест-
423


ность точки и непрерывно дифференцируемая функция /, определенная на некотором интервале, содержащем точку х0 = x(to), такие, что часть кривой, соответствующая значениям параметра, принадлежащим указанной окрестности точки /0, является графиком функции f.
В том случае, если кривая Г является графиком непрерывно дифференцируемой функции у = /(х), а < х < й, т. е. параметром кривой является переменная х, то х' = 1 и поэтому
ds /1 I
-j- = л/1 + У , dx
следовательно,
ds = J1 + у'2 dx.
Рассмотрим геометрический смысл формулы (16.31) в том случае, когда Г является графиком непрерывно дифференцируемой функции у = f(x), а < х < й, и длина дуги кривой отсчитывается от начальной точки кривой (рис. 83). Пусть
х0 G [а, &], Xq + dx е [а, &], г/0 = f(x0), Мо = (х0, у0),
Уо + \у = f(x0 + dx), М = (х0 + dx, у0 + \у),
MqN — касательная в точке Мо; РМ = Ау — приращение функции в точке х0 + с/х; PN = dy — приращение ординаты касательной в точке х0 + с/х. Треугольник MQNP прямоугольный; так как MqP = dx, PN = dy, то
MqN2 = MqP2 + PN2 = dx2 + dy2 = ds2, 424


т. е. длина отрезка касательной M0N равна ds. Иначе говоря, приращение длины касательной, т. е. Jdx2 + dy2 , равно главной части ds приращения длины дуги As.
Если теперь на кривой Г в качестве параметра взять переменную длину дуги s: Г = {r(s); 0 < s < Sr}, то, согласно (16.29),
= cosa, = cos Р = sina, а + Р = 5 , (16.32)
ds ds r r 2 v 7
где (рис. 84) а — угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ох, а Р — с положительным направлением оси Оу. Отметим, что эти формулы можно получить применяя к «криволинейному треугольнику» М^МР (см. рис. 83) формулы, выражающие синус и косинус углов обычного прямоугольного треугольника через его катеты и гипотенузу, считая стороны указанного «треугольника» MqMP равными соответственно dx, dy, ds. Подобное обстоятельство имеет место и для формулы (16.29), т. е. для случая пространства. Такой метод получения формул (16.29) и (16.32) является, конечно, необоснованным — он не имеет доказательной силы, однако облегчает запоминание этих формул.
16.7. 	Физический смысл
производной векторной функции
Пусть теперь годограф Г непрерывно дифференцируемой векторной функции r(t) есть траектория движущейся материальной точки, а параметр t — время движения. Обозначим переменную длину дуги, отсчитываемую от некоторой начальной точки г(£0), через s = s(t). Пусть t > t0; положив As = s(t + АО - s(t), согласно (16.23), получим
dr\ = ds = и As dt\ dt AZ ’
„Г
т. e. длина вектора совпадает с числовым значением скорости в рассматриваемой точке (см. п. 9.4); сам же вектор как известно (см. п. 16.2), направлен по касательной.
425


Вектор -j~t называется в этом случае скоростью движения в « dr
данной точке и обозначается v: v = .
§17.
Кривизна и кручение кривой
17.1. 	Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости
Докажем две полезные для дальнейшего леммы о производных векторных функций.
ЛЕММА 1. Пусть векторная функция r(t) имеет производную в точке t0. Если длина вектора r(t) в некоторой окрестности точки t0 постоянна, то вектор г'(^о) ортогонален вектору г(1о), пг. е.
г'(Ш*о) = О. (17.1)
Доказательство. По условию, существует окрестность точки в которой длина вектора r(t) постоянна: \r(t)\ = с, где с — константа. Поэтому для всех точек указанной окрестности имеем |г(0|2 = о2 r2(t) = с2. Продифференцировав обе его части в точке £0, получим (см. п. 15.2) 2г(£о)г'(^о) = О» откуда и следует (17.1) □.
Утверждение леммы содержательно лишь в случае, когда г\tQ) 0 (если r\tQ) = 0, то условие (17.1) выполняется, очевидно, и без условия постоянства длины вектора В этом случае физический смысл этой леммы состоит в том, что у материальной точки, движущейся так, что она все время остается на поверхности сферы, ее скорость v = г' 0 направлена по касательной к этой сфере и, следовательно, перпендикулярна радиусу-вектору.
Пусть функция r(t) определена в некоторой окрестности U(tQ) точки tQ и пусть в этой окрестности r(t) 0 (если векторная функция r(t) непрерывна в точке £0, то неравенства нулю радиусов-векторов r(t) в достаточно малой
426


окрестности точки tQ всегда можно добиться переносом начала координат). Пусть t = + Д£ е £7(£0) и пусть ф = ф(£) —
угол (выраженный в радианах) между векторами г(£0) и r(t), |ф| < л, причем будем считать, что ф(£) > 0 для Д£ > 0 и ф < 0 для At < 0; поэтому всегда > 0.
4ф(г0)
Определение 1. Производная dt называется угловой скоростью вращения векторной функции r(t) в точке tQ и обозначается со = со(£о; г(0):
со =
4ф dt
(17.2)
Заметим, что если выбрать противоположный отсчет углов, т. е. определить угол между векторами г(£0) и r(t) как угол ф = - ф, то очевидно,
<П ТЛ ГйС/ . - _dV -
di 0 и ю(*о> П - Ji ~ di ~
ct\\f
~dt
Таким образом, как при одном, так и при другом отсчете угла ф между векторами г(£0) и r(t) всегда
г) = |^|.
ЛЕММА 2. Пусть векторная функция r(t) определена в некоторой окрестности точки t0 и r(tQ) 0. Тогда, если в точке t0 существует производная г'(^о)’ то в эт°й точке существует и угловая скорость вращения со = со(£о; r{t)), причем
(0= ^-|r(f0)Xr'(^0)|. (17.3)
г (*о)
СЛЕДСТВИЕ. Если в дополнение к условиям леммы длина г вектора r(t) постоянна'. \r(t)\ = г — константа, то
(0=1^1. (17.4)
Доказательство. В силу существования производной гХ^о)’ Функция r(t) непрерывна в точке tQ. Отсюда и из ус427


ловия r(to) 0 следует, что для всех достаточно малых Д£ выполняется неравенство r(tQ + ДО 0 и, следовательно, определен угол Дф между векторами r(tQ) и r(tQ + ДО- Из непрерывности векторной функции r(t) в точке следует также1 и непрерывность в точке функции ф(0, т. е. lim Дф = А/ ^0
= 0 (как всегда, Д£ = t - tQ, Дф = ф(0 - ф(£0) = ф(0, так как (р(г0) = 0).
Для вычисления производной (17.2) заменим бесконечно малую Дф эквивалентной ей при Д£ —► 0 бесконечно малой sin Дф (см. лемму в п. 8.2), которую можно найти из формулы
|r(£0) X r(t0 + Ai)| = |r(J0)| |r(i0 + At| |sin Дф|.
В силу теоремы 2 п. 8.3 о замене бесконечно малых им эквивалентными при вычислении пределов, имеем
со=^ =
dt
lim ^7 = lim =
-> 0 ДГ -> 0 | M |
IsinAcpI = lim W X r»o + Af)l =
|“дг| д^ок(М1г(*о + д*)И
lim
r(£0) X r(£0 + A£)
lim 1 mi 1
0 M
1 r2U0) Д*
(17.5)
Здесь снова была использована непрерывность векторной функции r(t) в точке tQ: lim r(tQ + ДО = r(£0).
А/ ^0
Далее, поскольку функция r(t) дифференцируема в точке r(tQ + ДО = r(tQ) + г+ е(ДОДО
где lim е(ДО = 0. Подставив это выражение для r(tQ + ДО в
Д£ —> 0
(17.5) и заметив, что |г(£0) х г(^о)1 = 0, lim |r(£0) X е(ДО| = 0,
А/ 0
получим
б/ф _ 1- Аф _ |r(^o) Х г М
Tt - А? 7^
1 Это вытекает, например, из равенства cos ф =
г(^)г(О
|r(t0)r(t)| ’
428


Доказательство следствия. Если \r(t)\ = г — постоянная, то, в силу леммы 1, г(£0) г'(^о) = О, т. е. |r(^0)| lr ^o)l cos rr = О- Так как по условию леммы |г(£0)| О, то либо |r'Go)l = 0’ либо угол гг' между векторами r(tQ) и г'(^о) Равен ±л/2 и, следовательно, |sin rr'\ = 1. В обоих случаях
|r(£0) X r'(*o)l = 1Г(М1 lr'(*o)l lsin = r|r'(Ml-
Подставляя это выражение в формулу (17.3), получим формулу (17.4). □
Леммы 1 и 2 остаются справедливыми и в том случае, если под окрестностями понимать односторонние окрестности.
Для выяснения физического смысла формул (17.3) и (17.4) будем снова интерпретировать кривую, описываемую концом радиуса-вектора r(t), как траекторию движения материальной точки, а параметр t — как время. Пусть длина вектора r(t) остается постоянной: \r(t)\ = г, т. е. точка движется по сфере радиуса г. Рассмотрим движение точки в каждый момент времени как вращение около так называемой мгновенной оси вращения, т. е. оси, проходящей через начало координат, перпендикулярно плоскости движения (так называется плоскость, проходящая через радиус-вектор z ч dr(t)\ т г х г'
r(t) параллельно скорости v = J. Тогда вектор со = — физически означает вектор угловой скорости, а формулы (17.3) и (17.4) выражают связь между угловой скоростью со и линейной скоростью v. В частности, формула (17.4) в этих обозначениях принимает вид
I I г
Замечание. Используя лемму 1, можно легко получить полезное разложение производной векторной функции на две ортогональные составляющие: в направлении вектора r(t) (радиальная составляющая) и в перпендикулярном направлении (трансверсальная составляющая).
429


Пусть векторная функция r(t) определена в некоторой окрестности точки r(to) 0, и существует производная
Положим г0(£) = [7(7)[ ’ очевиДно’ lro(Ol = 1. В точке существует производная
d\r\ d Г~2 rr , 4t=dtyr =M=r°r’
. dro
следовательно, в точке существует и производная , которая, согласно лемме 1, ортогональна вектору г0(£0), а поэтому и вектору r(tQ).
Дифференцируя равенство r(t) = \r(t)|r0(^) в точке полу¬
чим
dr d\r\ . I |^ro z ч _l I l^r° dt = dFro + HdT =(ror)ro + |r|^.
Это и есть искомое разложение.
В том случае, если годограф векторной функции r(t) является траекторией движущейся материальной точки, полученная формула дает разложение ее скорости на составляющую поступательного движения (радиальная составляющая) и составляющую вращательного движения (трансверсальная составляющая).
17.2. 	Определение кривизны кривой и ее вычисление
Рассмотрим дважды дифференцируемую кривую Г без особых точек. Такая кривая спрямляема и у нее существует дважды дифференцируемое представление г = r(s), в котором за параметр принята переменная длина дуги s. Пусть О < s0 < S, As = s - s0, а а = oc(s) — угол между касательными к кривой Г в точках r(s0) и r(s0 + As), причем будем считать, что oc(s) > 0 для As > 0, oc(s) < 0 для As < 0 и |а| < л/2. Очевидно, Аа = a(s) - a(s0) = a(s), так как a(s0) = 0.
Пусть теперь t(s) = • Как было показано, t(s) является
единичным вектором (см. (16.26)), параллельным касательной к кривой в соответствующей точке (см. п. 16.4), поэтому угол Аа является и углом между векторами t(s0) и t(s0 + As).
430


Определение 2. Угловая скорость вращения касательного единичного вектора t = в данной точке кривой называется кривизной k(sQ) кривой в этой точке
/?(s0) = co(so; 0=^.
Опуская для краткости значение аргумента, получаем
7 def da k = ~r-
ds
(17.6)
Кривая Г дважды дифференцируема, поэтому существует dt d2r ,
производная и так как вектор t единичный, то, в силу следствия леммы 2 из п. 17.1, отсюда имеем
da
ds
,2 d г
~~2
ds
ибо t =
ds
(17.7)
Определение 3. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны в данной точке и обозначается R, т. е. R=l/k.
этому
Пусть Г — окружность радиуса R. В этом случае угол Да между касательными равен углу, образованному радиусами, проведенными в точки касания (рис. 85), а для длины дуги As между этими точками имеет место формула As = 7?Аа. По- Да As
1 тт
ъ. По определению же кривизны для окруж-
ности имеем
k = lim 1^1 = 4 •
As 0 | As | к
Таким образом, в случае окружности ее кривизна k постоянна (не зависит от точки) и равна обратной величине радиуса; радиус же кривизны окружности равен ее радиусу. Отсюда и произошел термин «радиус кривизны».
Обозначим через п единичный вектор в направлении вектора . Из формулы (17.7) следует, что вектор п однозначно 431


определен лишь для тех точек, в которых кривизна k не равна нулю, и что в этих точках
Т.=кп- (17.8)
Вектор t — единичный, поэтому его производная, а следовательно, и вектор п перпендикулярны ему (см. лемму 1 в п. 17.1): п ± t.
Определение 4. Вектор п называется вектором главной нормали {короче, главной нормалью) кривой Г в данной ее точке.
Достаточные условия существования кривизны в данной точке и метод ее вычисления дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Пусть Г = {r{t); а < t < b} — дважды дифференцируемая кривая без особых точек. Тогда в каждой ее точке существует кривизна k и она следующим образом выражается через производную по переменной длине дуги:
k =
d2r
ds2
и через производные по произвольному параметру:
(17.9)
(17.10)
Штрих здесь и в дальнейшем обозначает производные по произвольному параметру t. Производные по длине дуги s будем обозначать символом .
Доказательство. При предположениях теоремы переменная длина дуги s = s{t), а < t < b, 0 < s < S, кривой Г может быть принята на этой кривой за параметр (см. следствие 2 из теоремы 2 в п. 16.5). При этом единичный касатель-
d г
ный вектор t = -j- является дифференцируемой векторной
с/ d2r функцией, поэтому у него существует производная ,
следовательно, и кривизна k = \^1\
|ds|
Формула (17.9) доказана.
d2r
ds2
(см. (17.7)).
Для того чтобы доказать формулу (17.10), рассмотрим длину векторного произведения векторов
d2r dt . dr , —5 = 3- — и 3- = t.
ds2 ds (17.8) ds
432


Заметив, что й > О, что вектор t перпендикулярен вектору п, а длины их равны единице, получим
х g| =k\nxt\ = k. (17.11)
-г, d г dr ,
Выразив производные —и через производные по t:
dr ,dt г'
ds ds s
d2r _ d (r'\ _ s'r" - s"r'dt _ s'r" - s"r' ^2~Ts\y) ^2 di p
(17.12)
будем иметь
(17.13)
|r I
поскольку r' X r' = О и |s'| (1-13) |r'|.
В равенствах (17.11) и (17.13) равны левые части, поэтому равны правые части, а это означает справедливость формулы (17.10). □
От формулы (17.10) легко перейти к выражению для кривизны в координатной записи. В самом деле, замечая, что г' = (х', у\ 2'), г" = (х", у". z") И ЧТО
i j k х' у' z' х" у" z"
(где i, j, k — единичные векторы соответственно в направлении осей Ох, Оу. Oz). получаем
\г' х Г"\ =
I / 7 // 2 7 7 2 7 7 2
= л/(г/ z -у г) + (г х - z х ) + (ху - х у ) , (17.14) с другой стороны,
|r'| = Jx'2 + у'2 + г'2 . (17.15)
Подставив (17.14) и (17.15) в (17.10), мы и найдем искомое выражение.
433


17.3. 	Главная нормаль.
Соприкасающаяся плоскость
Рассмотрим некоторые свойства вектора главной нормали п.
а г 1а г
Вектор —?, поэтому и вектор п = ? не зависят от вы-
ds kds
бора ориентации кривой. Действительно, если о — переменная длина дуги кривой, отсчитываемая в противоположном направлении, и, следовательно, если о = S - s, то, заметив, do ..
что = -1, получим
d2r _ d^rfdo^? _ d2r
,2 „7 2I ds J j 2*
ds do do
Определение 5. Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Нормаль к кривой, параллельная вектору п, называется главной нормалью.
Вектор главной нормали п при As —> 0 с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем As2, указывает направление, в котором кривая в окрестности данной точки отклоняется от своей касательной (рис. 86). Действительно, выбрав на кривой в качестве параметра переменную длину дуги s, согласно формуле Тейлора для векторной функции (см. п. 15.2), будем иметь
Дг = r(s0 + Де) - г(з0) =
dr(s0) id2r(s0) о о
= Дз + dg2° Дз2 + о(Дз2), Дз 0, (17.16)
или, заметив, что (см. 17.8))
dr , d2r dt 7 z-. г, -1
= t, = = (17.17)
ds ds2 ds v 7
получим
Ar - Ast = I Z?As2n + o(As2), As 0;
поскольку | Z?As2 > 0, эта формула и доказывает справедливость нашего утверждения.
434


Определение 6. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью.
В силу этого определения, соприкасающаяся плоскость определена для точек, в которых k 0.
Эта плоскость обладает тем свойством, что дважды непрерывно дифференцируемая кривая в окрестности каждой своей точки, в которой кривизна не равна нулю, лежит «почти» в соприкасающейся плоскости. Это означает, что конец радиуса-вектора r(s0 + As) отстоит от конца радиуса-вектора r(s0) + + Ast + | Z?As2n, лежащего, очевидно, на соприкасающейся плоскости, на величину бесконечно малую по сравнению с As2. Это сразу следует из равенства (17.16):
r(s0 + As) - ^r(s0) + Ast + | /?As2n? = o(As2).
Найдем уравнение соприкасающейся плоскости для кривой, заданной представлением г = r(t) с произвольным параметром t. Как и выше, производные по переменному t будем обозначать штрихом, а производные по длине дуги s — символом . Дифференцируя г = r(t) как сложную функцию г = r(s), s = s(t), получим (см. (17.17))
г dr r г.
Г = ~Г S = st, ds
r" = s'2^ + s"t = s'2kn + s"t. (17.18)
435


Эти формулы, очевидно, являются обраще- п /Т нием формул (17.12).
У / \ Отсюда следует, что векторы г' и г" также
/ / ' параллельны соприкасающейся плоскости;
/ I в силу же условия k 0 выполняется нерале / венство г' хг" ^0 (см. (17.10)) и, следова-
р\ / тельно, г' и г" не коллинеарны. Обозначим
0 теперь через г0, и Гд векторы г, г' и г" в
Рис. 88 некоторой фиксированной точке данной кривой Г, а через г — текущий вектор соприкасающейся плоскости; тогда смешанное произведение векторов г - Tq и Гд должно быть равно нулю, так как все они параллельны соприкасающейся плоскости (рис. 87):
(г - r0, г'о, Г„) = 0.
Это и есть уравнение указанной плоскости в векторном виде. В координатном виде оно запишется следующим образом:
* - *0 у ~ Уо 2 ~ 2о у'о z'o хо Уо 2о
= 0,
где г = (х, у, г), г0 = (х0, у0, г0), Го = (*о> Уо> ?о), rfi = = (х%, уь, го)-
17.4. 	Центр кривизны и эволюта кривой
Определение 7. Точка пространства, лежащая на главной нормали, проведенной в данной точке кривой, и находящаяся от этой точки кривой на расстоянии, равном радиусу кривизны R, в направлении вектора главной нормали п, называется центром кривизны кривой в указанной ее точке (рис. 88).
Таким образом, если р — радиус-вектор центра кривизны, а г, как обычно, радиус-вектор данной точки кривой, то
р = г + Rn,
г, 1 lidti ld2r
или, так как R = т , а п — rh- = то k’ (17.8) k\ds\ kds2
p-r+^2. (17.19)
436


Найдем выражение для р через производные векторной функции по произвольному параметру t. Для этого подставим в получившуюся формулу выражение для второй производ- ной —5 через производные по t (см. (17.12)), в результате по- ds* лучим
р = (17.20)
где (считая для простоты, что при возрастании параметра t длина дуги s(t) также возрастает) s' = \r'\ = Jx'2 + у'2 + Z2, откуда
„ _ х'у" + у'х" + z'z"
S / ,2 ,2 ,2
dx + у + z
Формулу (17.19) можно рассматривать как представления некоторой кривой, точками носителя которой являются центры кривизны в точках данной кривой. Эта кривая называется эволютой данной кривой.
17.5. 	Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой
Все сказанное в предыдущем пункте, в частности, справедливо и для плоских кривых. Заметим лишь, что если кривая Г = {г(0} лежит в некоторой плоскости, то все производные векторной функции r(t), если их начало поместить на эту плоскость, будут также лежать в ней. В самом деле, в ней лежит приращение векторной функции Дг = r(t + ДО -
- г(0, поэтому и отношение . Отсюда легко следует, что и
« , ,. Дг
предел этих отношении г = пт — лежит в указанной о
плоскости. Применяя то же рассуждение к г', мы докажем, что и г" находится в той же плоскости, и т. д.
Из сказанного следует, что если кривая лежит в некоторой плоскости, то касательный вектор t'9 а если ее кривизна k 0, то и вектор главной нормали п лежат в той же плоскости. Поэтому эта плоскость является соприкасающейся плоскостью для рассматриваемой кривой.
437


Отметим также, что если в случае кривой Г = {r(s); 0 < s < S}, лежащей в плоскости хОу, в отличие от п. 17.2 через a(s) обозначить угол, образованный касательной в точке r(s) с осью Ох (рис. 89), то Да = a(s0 + As) - a(s0) является углом между касательными в точках г (s0) и г (s0 + As), однако его знак может оказаться другим, чем в п. 17.2.
Если угол а возрастает вместе с s, т. е. если > 0 при As > 0, то 7 ,. Да da
k = hm — = 3-;
д8^0Д8 ds
если же а убывает с возрастанием s, то
7 т Да da k = - lim —- = -3- As^oAs ds
Запишем некоторые из формул, полученных в предыдущем пункте, считая, что кривая Г = а < t < b} лежит в плоскости хОу. r(t) = (х(£), y(t))- Из формул (17.10), (17.14) и (17.15) имеем
k = - = Iх ~ х у\ (1 7 91 А
п R ( /2 ,2.3/2*
(х + у )
Обозначая через (£, Т|) центр кривизны кривой Г, из формулы (17.19) получим формулы, выражающие координаты и Т| через производные по s:
72 72
g = х + R —т\ = у + R ds ds
а из формулы (17.20) следуют формулы, выражающие координаты центра кривизны через производные по произвольному параметру t:
X-JX'2 + _ х'х'х" + У У" . ,2 ,2.3 Х dX +У Х / 2 ,2
е = , (X + г/ ) л/Х + у =
‘э Х "Г . , „ „ ,.2 2 2 3/2
(X у - X у) (Х' + у' )
,2 ,2
= х-у’ х „ у„ (17.22)
X у - X у '
438


аналогично,
т| = г/ + х' х „ у„ (17.23)
1 ху-ху v 7
УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть Г — дважды дифференцируемая плоская кривая без особых точек, пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох и пусть k' = (следовательно, \k*\ = k) и R = Показать, что £ =
= х - 7? sin а, т| = у 4- R cos а, а также что £> = х - , т| = z/ 4- •
В том случае, когда кривая является графиком функции У = /(х), формулы (17.21), (17.22) и (17.23) принимают вид
(17-24)
2 2
^ = х_1±#_ у',п = г/+1±#_. (17.25)
Примеры. 1. Найдем кривизну и эволюту параболы 2 л
у = ах , а > 0.
Замечая, что у' = 2ах, у" = 2а, по формуле (17.24) имеем й = ^2 2 з/2 • Чтобы найти уравнение эволюты, восполь-
(1 + 4а х )
зуемся формулами (17.25):
ч , 2 2 и 1 + 4а х о л 2 3
с = х z 2ах = -4а х ,
2а ’
« 1 I л 2 2 а 2 2 I 1
2 . 1 4- 4а х 6а х + 1
Т| = ах + .
1 2а 2а
Получено параметрическое представление эволюты параболы с параметром х. Можно получить и ее явное представление, исключив этот параметр х. Для этого из первого равен- ~ 3 £ 2 2ат| - 1 -г,
ства найдем х = а из второго х = —-$—• Возводя 4а 6а
первое из равенств в квадрат, а второе — в куб и приравнивая правые части, имеем
/ \2 /2ат| - 1 чз
L 2 = а 2 ,
\4а J V 6а J
439


откуда
Эта кривая, изображенная на рисунке 90, является, как известно (см. пример 2 в п. 14.3), полукубической параболой.
2. Найдем радиус кривизны и эволюту эллипса х = a cos t, у = fesin t, а > Ъ > 0.
Заметив, что xr = -a sin t, у' = Ъ cos t, х" = -a cos t, у" = = -b sin t, по формуле (17.21) получим
. z 2 . 2Х , 72 2 3/2 z 2 . 2 72 2хЧ3/2
_ 1 _ (a sin t + b cos t) _ (a sin t + b cos t)
k absin2t + abcos2t
Поэтому из формул (17.22) и (17.23) следует, что
9 9 2 2 2 2
& , a sin t + b cos t a - b 3 ,
a = acos t - fecos t г = cos t,
° ab a
2 2 2 2 2 2
, . , . , a sin t + b cos t b - a . 3 ,
n = osin t - asm t г = —г— sin t
1 ab b
— параметрическое представление искомой эволюты; параметр t можно исключить, возводя получившиеся равенства
в степень 2/3 и складывая их:
(сф2/3 + (&Т|)2/3 = (а2 - &2)2/3-
Эта кривая называется астроидой (рис. 91).
440


3. Найдем радиус кривизны и эволюту циклоиды (см. примеры в п. 16.2 и 16.4):
х = г (t - sin t), у = г (1 - cos t). О < £ < 2л.
Если s = s(t) — переменная длина дуги циклоиды, то
s' = Jx'2 + у'2 = rj(l - cost)2 + sin2t = 2r sin |, (17.26)
а так как для угла а, образованного касательной к циклоиде с осью абсцисс, имеет место формула а = л/2 - t/2 (см. п. 16.4), то а' = -1/2, поэтому для радиуса кривизны циклоиды имеем
R=~k =|a'l = 4rsinl-
(17.27)
Если соединить точку циклоиды М с нижней точкой А катящейся окружности и обозначить через В верхнюю точку этой окружности (рис. 92), то угол АМВ, как опирающийся на диаметр окружности, будет прямым. Поскольку прямая МВ является касательной (см. п. 6.4), МА представляет собой нормаль к циклоиде. При этом \МА\ = 2r sin |, так как AM АВ = а = л/2 - t/2. Следовательно, R = 2|МА|.
Отсюда следует простой способ нахождения центра кривизны циклоиды. Для этого надо соединить точку М циклоиды
441


с нижней точкой А катящейся окружности и на получившейся прямой отложить от точки М в сторону точки А отрезок в два раза большей длины, чем длина отрезка МА. Конец отложенного отрезка и будет центром кривизны циклоиды.
Найдем его координаты Т| по
формулам (17.22) и (17.23). Имеем:
х'у" - х"у' = r2((l - cos 0COS t - sin2 t) =
2/ , o 2 . 2 t
= r (cos t - 1) = -2r sin 2 •
Поэтому
£ — x + 2yr = x + 2rsin t = r(t + sin t),
417.22) * v 7
(17.26)
n — у - 2x' = -r(l - cos t).
1 (17.23) * v 7
(17.26)
Введем новый параметр и по формуле t = и + л. Тогда получим
= r(u - sin и) + лг, Т| = r(l - cos и) - 2г, -л < и < л.
Таким образом, эволютой циклоиды является та же самая циклоида, только параллельно перенесенная (см. рис. 92).
Иногда для изображения кривой бывает удобно использовать так называемые полярные координаты (р, ф), р > О, -л < ф < л, где р — длина радиуса-вектора данной точки М, а ф — угол, образованный радиусом-вектором с осью Ох, -л < ф < л. Таким образом, каждой точке плоскости, кроме начала координат, взаимно однозначно соответствует указанная упорядоченная пара (р, ф), р > 0; для начала же координат имеем р = 0, а угол ф не определен (рис. 93).
Если М = (х, у), где, как обычно, х и у — декартовы координаты точки М, то
х = р cos ф, у = р sin ф. (17.28)
Обратная связь выражается формулами
1~2 ’ 2 . у - 7
р = л/х + у , ф = arctg + ял, 442


где k = 0, если х > 0; k = 1, если х < О, у > О, nk = -1, если х < О, у < 0; при этом, как обычно, при х = 0, у 0 считается . Z7 Л .
arctg | = 2 sign у.
Иногда на угол ф не накладывают ограничения -л < ф < л, а обозначают через ф любой угол, для которого tg ф = .
В этом случае соответствие между упорядоченными парами (р, ф), р 0, и точками плоскости, отличными от начала координат, уже, очевидно, не является взаимно однозначным.
Если задана непрерывная функция
р = р(ф), а < ф < р, (17.29)
то, подставляя ее в (17.28), получаем
х = р(ф)соз ф, у = р(ф)зш ф, (17.30)
т. е. параметрическое представление некоторой кривой Г. В этом смысле можно говорить, что уравнение (17.29) задает в полярных координатах кривую Г. Для вычисления кривизны, радиуса кривизны и эволюты кривой Г, заданной уравнением (17.29), надо перейти к ее параметрическому представлению (17.30) и воспользоваться выведенными выше формулами.
УПРАЖНЕНИЯ. 2. Пусть в полярных координатах задана кривая р = р((р), пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох, а со — угол, образованный этой касательной с продолжением радиуса-вектора точки касания. Доказать, что oc = co + (pntgco = .
3. Найти эволюту кривой р = а(1 + cos ср), 0 < ср < 2л, называемой кардиоидой.
Указание. Воспользоваться результатами упражнений 1 и 2.
Задача 14. Пусть Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, Г = {r(t); а < £ < Ъ}, и пусть tQ е [а, Ъ\, tQ + Д^ g [а, Ъ\, tQ + At2 е е [а, &]. Проведем через точки r(£0), r(tQ + Д^) и r(tQ + Д£2) плоскость; доказать, что если в точке r(t0) кривизна k 0, то при Д^ 0 и At2 0 эта плоскость стремится (определите это понятие) к соприкасающейся плоскости в точке
Задача 15. В предположении предыдущей задачи проведем через те же три точки r(t0 + Д^) и г(£0 + Д£2) окружность. Доказать, что эта окружность при Д^ 0 и At2 0 стремится к окружности (опреде443


лите это понятие), лежащей в соприкасающейся плоскости с центром в центре кривизны кривой и радиусом, равным радиусу кривизны в точке r(t0).
Эта предельная окружность называется соприкасающейся окружностью в данной точке кривой.
17.6. 	Эвольвента
Как известно, = kn. Покажем, что для плоских кривых
7F=~kt. (17.31)
В самом деле, поскольку п — единичный вектор и, следо- dn вательно, имеет постоянную длину, его производная пер¬
пендикулярна ему. Касательный вектор t также перпендикулярен вектору п. На плоскости два вектора, перпендикулярные третьему, коллинеарны, поэтому
g-«t. (17.32)
Для того чтобы найти значение коэффициента а, продифференцируем по длине дуги тождество tn = 0. В результате получим
dt . .dn ~
~г п + t — = 0.
ds ds
Подставив сюда значения = kn, = oct и заметив, что Ct о Ct о
tt = пп = 1, получим а = -k. Отсюда, в силу равенства (17.32), и следует формула (17.31).
Формулы (17.9) и (17.31), т. е.
dt 7 dn .,
-г- = kn, -у- = ~kt, ds ds
называются формулами Френе1 для плоской кривой.
Определение 8. Если кривая Т\ является эволютой плоской кривой Г, то кривая Г называется эвольвентой кривой ГР
1 Ж. Ф. Френе (1816—1900) — французский математик.
444


При изучении взаимных свойств эволют и эвольвент ограничимся случаем, когда рассматриваемая плоская кривая Г трижды непрерывно дифференцируема, задана своим представлением г = r(s), 0 < s < S, где s — длина ее дуги, радиус кривизны 7? кривой Г не обращается ни в нуль, ни в бесконеч- „ dR , ~
ность и всюду на кривой выполняется неравенство О.
1°. Нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте.
Доказательство. Уравнение эволюты кривой имеет вид (см. п. 17.4)
р — г + R п. (17.33)
Из этой формулы следует, что если кривая Г является трижды непрерывно дифференцируемой кривой, то ее эволюта Г\ — непрерывно дифференцируемая кривая. Примем длину дуги s кривой Г за параметр на эволюте Г! и продифференцируем по нему уравнение эволюты (17.33):
¥ = Т- + Tn+RT- (17.34)
ds ds ds ds v 7
Заметив, что
= t, R^ = -Rkt = -t, ds ds (i7.3i)
(17.35)
так как Rk = 1; подставив выражения (17.35) для у- и R-z- в (I о (I &
равенство (17.34), получим
dp dR
= -т- п
ds ds
(17.36)
Таким образом, вектор касательный к эволюте Г\, коллинеарен с вектором п, нормальным к эвольвенте. Поэтому прямая, касательная к эволюте в центре кривизны некоторой точки эвольвенты, совпадает с нормальной прямой, проходящей через эту точку, так как обе эти прямые проходят через указанный центр кривизны (см. рис. 90, 91).
2°. Приращение длины дуги эволюты равно приращению радиуса кривизны эвольвенты.
445


Рис. 94
Доказательство. Из равенства (17.36) следует, что
(17.37)
Обозначим через о длину дуги эволюты Г\ кривой Г, отсчитываемой в направлении возрастания дуги s самой кривой Г. Тогда
Idpl = do |ds|17.23 ds'
(17.38)
Если для определенности положить, что на рассматриваемой части кривой Г ее радиус кривизны возрастает, то на
» dR ~
этой части будет выполняться неравенство О; тогда из
равенств (17.37) и (17.38) следует, что
do _ dR ds ds'
(17.39)
Из равенства производных двух функций вытекает, что эти функции отличаются на константу:
o(s) = R(s) + с, (17.40)
где с — некоторая постоянная. Приращение постоянной равно нулю, поэтому отсюда сразу имеем, что приращение длины дуги эволюты До = о(8 + As) - o(s) совпадает с соответствующим приращением радиуса кривизны АР = R(s + As) - P(s), т. е. Ao = АТ?. □
Свойства 1° и 2° эволюты и эвольвенты имеют изящную механическую интерпретацию. Представим себе, что на кривую Г\ от точки Ро до Р натянута гибкая нерастяжимая нить, закрепленная в точке Ро. Если, туго натягивая эту нить, сматывать ее с кривой Г\, то конец Р опишет кривую Г, являющуюся эвольвентой кривой Г\ (рис. 94), так как длина дуги PjP2 кривой Г\ равна приращению длины отрезка Р^Мг прямой, касательной к кривой Г\ в точке Рр
\рТр^ = р2м2-р1м1.
Таким образом, эвольвента кривой Г\ получается как бы развертыванием этой кривой, поэтому эвольвенту кривой называют также ее разверткой. Из сказанного также следу446


ет, что эвольвента кривой описывается точкой прямой, катящейся без скольжения по этой кривой.
Свойство 2° эволюты и эвольвенты дает возможность вычислять длину дуг эволюты, если известны радиусы кривизн эвольвенты. Найдем этим методом длину одной арки циклоиды (см. примеры в п. 16.2, 16.4 и 16.5).
В примере 3 п. 17.5 было показано, что для радиуса кривизны R циклоиды х = r(t - sin t), у = r(l - cos t), 0 < t < 2л, справедлива формула
R = R(t) = 4r sin 5
и что эволютой циклоиды является та же самая циклоида, но несколько сдвинутая. Поэтому длина половины арки циклоиды, соответствующей изменению параметра от 0 до л (на ней радиус кривизны возрастает), равен 7?(л) - 7?(0) = 4г. Следовательно, длина всей арки циклоиды равна 8г.
17.7. 	Кручение пространственной кривой
Плоские кривые полностью с точностью до положения в пространстве описываются своей кривизной. Именно в дифференциальной геометрии доказывается, что для всякой непрерывной неотрицательной функции й(з), 0 < s < S, можно построить единственную с точностью до ее положения в пространстве плоскую кривую, для которой заданная функция является кривизной (см.: Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956).
Пространственные же кривые полностью описываются с помощью кривизны и так называемого кручения. Для его определения введем понятие бинормали.
Рассмотрим пространственную кривую Г = {r(s); 0 < s < S}, где s — переменная длина дуги.
Определение 9. Векторное произведение единичного касательного вектора t и главной нормали п в данной точке кривой называется бинормалью кривой в этой точке. Бинормаль обозначается через Ь. Таким образом, def
Ъ = txn. (17.41)
Очевидно, что бинормаль определена в тех точках, в которых определена главная нормаль, т. е. в которых кривизна не равна нулю.
Тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов t, п и Ъ называется основным репером или, менее точно, основным трехгранником кривой в данной точке.
447


что кроме
(17.42) векторная
Из свойств векторного произведения следует, соотношения (17.41) имеют место соотношения t = n^b, п = Ь х t.
Пусть r(s) — трижды дифференцируемая функция. Продифференцировав равенство (17.41), получим
db dt dn г dn , dn
T=TXn + tX — fenXn + tX— =tx—.
ds ds ds (17.14) ds ds
Согласно определению векторного произведения, вектор t X перпендикулярен вектору t. Кроме того, вектор Ъ — единичный, поэтому, согласно лемме 1 п. 17.1, вектор ортогонален вектору Ь. Итак, ± t, ± Ь.
Вектор главной нормали п также ортогонален векторам , > db
tnb, следовательно, векторы и п коллинеарны, т. е. существует такое число эе, что
^=-эеп. (17.43)
Определение 10. Коэффициент эе в формуле (17.43) называется кручением кривой в данной точке.
В отличие от кривизны кручение кривой может быть как положительным, так и отрицательным (и, конечно, нулем).
Из формулы (17.43) следует, что абсолютная величина кручения эе является угловой скоростью вращения бинормали, или, что то же самое, угловой скоростью вращения соприкасающейся плоскости (так как она перпендикулярна бинормали).
17.8. 	Формулы Френе
Найдем производную главной нормали: dn _ db у у dt _ d^ (17?42) ds ds (17.43), (17.8)
(17.43M17.8) -^nXt + bXkn (17.41)=(17.42) -kt + эеЬ. (17.44)
Итак, для производных основного репера кривой имеют место формулы (см. (17.8), (17.43) и (17.44)) разложения их по векторам этого репера: dt . ~г = kn, ds dn г . . т db — = -kt + эеЬ, ~г = ~эеп. ds ds
(17.45)
448


Таким образом, матрица этих разложений кососимметрична и имеет вид
"о k o'
-k 0 эе •
О -эе О
Формулы (17.45) называются формулами Френе.
Как известно, плоскость, проходящая через точку кривой параллельно каса- Рис. 95
тельному вектору и вектору главной нормали, т. е. перпендику¬
лярно бинормали, называется соприкасающейся плоскостью.
Плоскость, проходящая через точку кривой параллельно главной нормали и бинормали, т. е. перпендикулярно каса¬
тельному вектору, называется нормальной плоскостью кривой в этой точке.
Плоскость, проходящая через точку кривой параллельно касательной и бинормали, т. е. перпендикулярно главной нормали, называется спрямляющей плоскостью кривой в этой точке (рис. 95).
Для дальнейшего анализа геометрического смысла кривизны и кручения пространственной кривой в данной точке кривой поместим начало координат в эту точку, а векторы t, п и Ъ примем за единичные векторы координатных осей х, у, z. Если рассматриваемой точке отвечает значение длины дуги s = s0, то разложим функцию r(s) по формуле Тейлора в окрестности этой точки:
dr(s0) 1 d2r(s0) о 1 d3r(s0) о о
г(з) = г(*о) + -dT As + 2 As + 6 As + °<As )’
где As = s - s0 —>■ 0. Применив формулы Френе, получим
Ar = r(s) - r(s0) = tAs + | ZenAs2 + | ^yAs2 + o(As3) =
= tAs + | ZenAs2 + | n - k2t + kaeb As3 + o(As3), As 0, или в координатной записи (учитывая сделанный выбор координатной системы)
х = As - |z?2As3 + o(As3), (17.46)
y = |z?As2+|^As3 + o(As3), (17.47)
z = | ZeaeAs3 + o(As3). (17.48)
449


Рассмотрим проекцию кривой на ее соприкасающуюся плоскость, т. е. кривую, задаваемую уравнениями (17.46)— (17.47). Из (17.46) имеем х ~ As, As 0, поэтому As = х + + o(As) = х + о(х), х 0. Подставив выражение для As в уравнение (17.47), получим
у = | k(x + о(х))1  2 + о(х2) = | kx2 + о(х2), х 0.
Таким образом, проекция кривой на соприкасающуюся плоскость является с точностью до бесконечно малых выс- 1 2
шего порядка параболой у = -zkx . Кривизна кривой поло- жительна, поэтому ветви этой параболы отходят от касательной в ту же сторону, в которую направлен вектор п (то, что вектор главной нормали указывает направление, в котором отклоняется кривая от своей касательной, было установлено и раньше, см. п. 17.3).
Рассмотрим теперь проекцию кривой на ее нормальную
1 з
плоскость. Из (17.48) следует, что z ~ feaeAs , As 0, откуда
А (6г W3 п А (6г А1/3 z 1/зч
As ~ I I , z 0, и, следовательно, As = I I + o(z ),
z 0. Подставив выражение для As в формулу (17.47), получим
1 _L_ ( 2/3^-l ( \ F 2/ч, , 2/3ч п
У = 2k J + 0(2 ) , + = \2эе2 J 2 + 0(2 2 °’
В этом случае проекция кривой с точностью до бесконечно малых высшего порядка является полукубической пара- z 9fe xi/з
болой (рис. 96) у = 2 22/3 и, следовательно, лежит по
у л эе )
одну сторону от бинормали.
Для получения проекции на спрямляющую плоскость снова заметим, что из (17.46) следует, что As = х + о(х),
450


х л 0. Подставив это выражение для As в равенство (17.48), имеем
z = | йэех3 + о(х3).
Таким образом, в этом случае проекция кривой с точностью до бесконечно малых более высокого порядка является кубической параболой
1 , з г = а кэех ,
6
поведение которой зависит от знака кручения (рис. 97). Если кручение эе > 0, то при возрастании параметра s кривая отходит от соприкасающейся плоскости в направлении бинормали Ь, а при эе < 0 — в противоположном направлении (именно для того, чтобы имел место этот факт, в формуле (17.43) был взят знак минус, а не плюс).
17.9. 	Формулы для вычисления кручения
Уже были получены (см. п. 17.2) формулы
dr , d2r 7 /1 г?
= t, —^=kn. (17.49)
ds 9 ds2 v
Продифференцировав вторую из них, получим
d3r dk , 7 dn dk 7 2, . j 7 z-. Г7
—5 = + — -j-n - k t + kzeb. (17.50)
d 3 ds ds (17.44) ds v 7
dr d r d r
Возьмем смешанное произведение векторов и —g ds ds
dr d r d r _
ds' ds2' ds*/ii-W y(l7.50)
, - k2t + йэеЬ^ = й2эе
ds }
так как n x n = t x t = 0 vl (t, n, b) = I.
Таким образом,
и поскольку k =
,2 d г
~~2
ds
,2 Л \ \dr dr d г
ds2 ds3) эе = ъ
k2
(17.51)
.X A \dr dr d r
ds2 ds3)
(17.52)
451


Для получения формул кручения при произвольном трижды дифференцируемом параметрическом задании r(t), и ~ аг а г а г
а t Ь, кривой выразим производные и —g через
ds ds
производные г', г" и г'" по параметру t:
dr ,dt d2r „(dt'? . ,d2t di=rTs, -2-r[Ts) +r—2, d3r dt^? . o „dtd2t . ,d3t ds3 dsdsZ ds3
Подставив полученные значения производных по s формулу
/1Г7 Ki \ (г', г", г'") (dt^
(17.51), имеем эе = , и так как ds
dr
—
dt
dt
то
(17.53)
Заметив, что из формулы (17.10) для кривизны кривой следует, что |г'|3 = 'г * г ' , получим из (17.53) еще одну формулу для кручения кривой:
Можно показать, что кривизна и кручение полностью определяют форму пространственной кривой в том смысле, что для любых двух непрерывных функций k(s) > 0 и эе(з), 0 < s < S, существует единственная кривая с точностью до ее положения в пространстве, для которой две данные функции являются соответственно кривизной и кручением как функциями длины дуги s кривой (см.: Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956).
УПРАЖНЕНИЯ. 4. Доказать, что если у кривой во всех точках ее кривизна равна нулю, то кривая является прямой.
5. Доказать, что если у кривой во всех точках ее кручение равно нулю, то кривая является плоской.
452


Глава
Интегральное исчисление функций одной переменной
§18.
Определения и свойства неопределенного интеграла
18.1. 	Первообразная и неопределенный интеграл
В этом параграфе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.
Пусть А — конечный или бесконечный промежуток числовой оси, т. е. интервал, полуинтервал или отрезок1, и на А определены функции f nF.
Определение 1. Функция F называется первообразной функцией {или, короче, первообразной) функции f на промежутке А, если F дифференцируема на \ и в каждой точке этого промежутка производная функции F равна значению функции f:
F'{x) = f(x), х е А. (18.1)
При этом если некоторый конец промежутка А принадлежит промежутку, то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную, непрерывна в этой точке (односторонне непрерывна, если речь идет об односторонней производной), поэтому первообразная F функции f непрерывна на промежутке А.
1 Если рассматриваемый промежуток является отрезком, то само собой разумеется, что он может быть только конечным.
453


Пример. Функция F(x) = является первообразной о
функции Дх) = х2 на всей числовой оси.
Иногда вместо «первообразная данной функции» говорят «первообразная для данной функции».
Первообразная любой функции, как это было отмечено, непрерывна. Функция же, у которой существует первообразная, не обязательно непрерывна, например, у разрывной функции
ч 2xsin - - cos - при х О, /(х) = < * *
О при х = О,
на всей числовой оси существует первообразная
Е(х) =
2.1 , Л
х sin - при X О,
X
О при х = 0.
(См. пример 9 в п. 9.7 и п. 14.2.)
ЛЕММА Л. Две дифференцируемые на промежутке \ функции F иФ являются первообразными одной и той же функции в том и только том случае, когда они отличаются на постоянную'.
Ф(х) = F(x) + С, х е А, С = const. (18.2) Доказательство. Если F— первообразная функция /, т. е. Fr = /, то и функция F + С является первообразной той же функции /, так как (F + С)' = F' = f.
Если F и Ф — первообразные для одной и той же функции /, т. е. Fr = Ф' = /, то (F - Ф)' = Fr - Ф' = 0 и, следовательно, согласно следствию 1 теоремы Лагранжа (см. теорему 3 п. 11.2), разность F - Ф = С — постоянная на промежутке А. □ Определение 2. Пустъ функция f определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределенным интегралом от функции f и обозначается
J f(x) dx. (18.3)
Символ J называется знаком интеграла, а Дх) — подынтегральной функцией.
454


Если F — какая-либо первообразная функции f на рассматриваемом промежутке, то пишут
J fix) dx = Fix) + С, (18.4)
хотя правильнее было бы писать
J f(x) dx = {F(x) + С}
(здесь и в дальнейшем С — произвольная постоянная).
Иногда под f f(x) dx понимается не совокупность всех первообразных функции /, а произвольный элемент этого множества, т. е. произвольная первообразная рассматриваемой функции.
Аналогичные ситуации уже встречались и раньше, например символом f(x) обозначается как сама функция, так и ее значение в точке х. Из контекста обычно всегда бывает ясно, в каком смысле в данном месте употреблено то или иное обозначение.
Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство между множествами.
Интеграл f Дх) dx есть совокупность первообразных функций /, поэтому, вместо того, чтобы сказать, что у функции f существует первообразная, говорят также, что существует интеграл f Дх) dx.
Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию /, а ее произведение на дифференциал dx. Это делается, например, для того чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная:
3 2 2
г 2 7 X Z - „ г 2 7 X Z . „
х z dx = + С, \ х z dz = —z— + С.
J о J г
Здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна х22, но ее неопределенные интервалы в первом и втором случаях различны, так как в первом случае она рассматривается как функция от переменной х, а во втором — как функция от z.
Другие (более важные) соображения, показывающие целесообразность использования записи J Дх) с/х, будут ука455


заны в дальнейшем (см. замену переменного в интеграле, п. 18.3).
Если F — какая-либо первообразная функции f на промежутке А, то, согласно формуле (18.4), под знаком интеграла стоит дифференциал функции F:
dF(x) = F\x) dx = f{x) dx.
По определению будем считать, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записывать в любом из указанных видов, т. е. согласно этому соглашению,
J fix) dx = J F\x) dx = J dF(x). (18.5)
18.2. 	Основные свойства интеграла
Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке А.
1°. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нем \dF = F(x) + С или, что то же самое, J F'(x) dx = F(x) + С.
Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.
2°. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке А, тогда для всех х е А имеет место равенство
d\ f(x) dx = f(x) dx. (18.6)
Отметим, что в этом равенстве под интегралом J f(x) dx понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому равенство (18.6) можно записать в виде
dF(x) = f(x) dx, справедливость последнего равенства следует из того, что F — первообразная f.
3°. Если функции и /2 имеют первообразные на промежутке А, то и функция + /2 имеет первообразную на этом промежутке, причем
J (Л(х) + /2(х)) dx = \ fi(x) dx + J /2(х) dx. (18.7)
456


Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций и означает, что сумма каких-либо первообразных для функций fx и /2 является первообразной для функции fx + + /2 и, наоборот, всякая первообразная для функции Д + /2 является суммой некоторых первообразных для функций fx и /2.
Свойство интеграла, выражаемое формулой (18.7), называется аддитивностью интеграла относительно функций. Доказательство. Пусть Fx и F2 — первообразные соответственно функций fx и /2, т. е. в каждой точке хе А выполняются равенства F{(x) = /^(х), F2(x) = f2(x). Положим F(x) = F^x) + F2(x); тогда функция F является первообразной для функции /1 + /2, так как
F '(х) = F\ (х) + F2(x) = ^(х) + /2(х), х е А.
Следовательно, интеграл J (/\(х) + /2(х)) состоит из функций F(x) + С = F^x) + F2(x) + С, а сумма интегралов J fi(x) dx + \ f2(x) dx = F^x) + Сг + F2(x) + C2. Поскольку С, С1 и С2 — произвольные постоянные, оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (18.7), совпадают. □
4°. Если функция f имеет первообразную на промежутке А и k — число, то функция kf также имеет на А первообразную, причем при k О справедливо равенство
J й/(х) dx = k\ f(x) dx. (18.8)
Это равенство, также как равенство (18.8), является равенством множеств.
Доказательство. Пусть F — первообразная функции /, т. е. F\x) = Дх), х е А. Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке А при любом k е R, так как (kF(x))' = kF'(x) = kf(x), х е А. Поэтому интеграл f kf (х) dx состоит из всевозможных функций вида kF + С, а интеграл k f Дх) dx — из всевозможных функций k(F + С) = kF + kC. В силу произвольности постоянной С, при условии k 0, обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (18.8). □
457


СЛЕДСТВИЕ (линейность интеграла). Если функции и /2 имеют первообразные на промежутке Л, ark1urk2 — числа, то функция + Х2/2 также имеет первообразную на А,
2 2
причем при 24 + Х2 > 0 выполняется равенство
J (Х^^х) + Х2/2(х)) dx = Xj /i(x) dx + X2J /2(х) dx.
Это непосредственно следует из свойств 3° и 4°.
Вопрос о существовании первообразной будет рассмотрен ниже (см. п. 25.2), теперь же изучим простейшие методы вычисления первообразных для элементарных функций.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что для функции f(x) = sign х не существует такой функции F, что для всех х g R выполняется равенство F'(x) = = sign х.
18.3. 	Табличные интегралы
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции ее производной (см. свойства 1° и 2° неопределенного интеграла в п. 18.2). Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида F\x) = f(x), может быть обращена (записана в виде интегральной формулы):
J /(х) dx = Е(х) + С.
Используя это соображение, запишем таблицу значений ряда неопределенных интегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таблицы производных элементарных функций (см. § 9).
ОС + 1
1. 	f ха dx = х . 1 + С, х > 0, а -1.
J а + 1
Если число а таково, что степень ха имеет смысл и для всех х < 0, то формула 1 справедлива на любом промежутке. Например, формула
г 2 X3
]х с/х = у + С
справедлива на всей числовой оси.
458


Однако для интеграла J уже нельзя написать подобие
ную единую формулу, справедливую для всей области определения подынтегральной функции, т. е. для всей числовой оси, из которой исключено число нуль. В этом случае имеем:
+ Сг для х > О,
+ С2 для х < 0.
2. ( — = In |х| + С
J X 11
на любом промежутке, на котором х 0.
3. \ах dx= + С, а> 0, 1.
J Ina
В частности, J ех dx = ех + С.
4. f sin х dx = -cos х + С.
5. J cos х dx = sin x + C.
6. J = tg x + C.
COS X
7. J = -etg x + C.
sin x
8. J sh x dx = ch x + C.
9. J ch x dx = sh x + C.
10. f = th x + C.
ch x
11. f = -cth x + C.
ch x
12. J dx 9 arctg - + C = -- arcctg - + C.
J 2 i 2 a 53 a a 53 a
14. f . = arcsin - + C = -arccos - + C, x < \a .
J C22 a a ’iiii
4 a - x
15. f . dx = In |x + Jx2 ± a21 + C,
J ПГ~2 1 1
л/x ± a 459


причем, когда под корнем стоит х2 - а2, предполагается, что \х\ > \а\.
Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в некоторой точке, то написанные формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращения в нуль указанного знаменателя (см. формулы 2, 6, 7, 11, 13, 15). Это замечание относится и к аналогичным ситуациям, которые встретятся нам в дальнейшем и не будут каждый раз специально оговариваться.
То, что производными функций, стоящих в правых частях этих формул, являются соответствующие подынтегральные выражения, проверяется непосредственным дифференцированием (см. примеры в § 9).
С помощью интегралов 1—15, называемых обычно табличными интегралами, и доказанных выше свойств неопределенного интеграла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных функций также через элементарные функции.
Например,
J (5cos х + 2 - Зх2 + - - dx =
Х X + 1'
= 5f cos х dx + 2f dx - 3f x2 dx + J — - 4f =
= 5 sin x + 2x - x3 + In |x| - 4 arctg x + C.
Отметим, что для всякого многочлена степени п существует первообразная и она является многочленом степени п + 1, точнее,
J(а0 + агх + а2х2 + ... + апхп) dx =
2 3 п + 1
аЛх а9х а„х
= aQx Ч— 1—з + п + 1—н с- (18.9)
Это следует из свойств 3° и 4° неопределенного интеграла (см. п. 18.2) и формулы 1 этого пункта.
460


Если первообразная некоторой функции f является элементарной функцией, то говорят, что интеграл f f(x) dx выражается через элементарные функции или что этот интеграл вычисляется,
18.4. 	Интегрирование подстановкой (замена переменной)
В этом и следующем пунктах будут рассмотрены два свойства неопределенного интеграла, часто оказывающиеся полезными при вычислении первообразных элементарных функций.
ТЕОРЕМА 1. Пусть функции f(x) и ф(£) определены соответственно на промежутках \х и причем ф(Д^) Дх. Если функция f имеет на кх первообразную F(x) и, следовательно,
$f(x)dx = F(x) + C, (18.10)
а функция (р дифференцируема на \t, то функция Лф(О)ф(О имеет на первообразную F($(t)) и
J /(ф(О)Ф'(О dt = J Лх) dx\x = ф(г). (18.11)
Доказательство. Функции f и F определены на промежутке Дх, и так как, по условию теоремы, справедливо включение ф(Д^) <= Дх, то имеют смысл сложные функции /(ф(0) и F(ty(t)). При этом так как
F\x) = /(х), х е Дх, (18.12)
то по правилу дифференцирования сложной функции получим
<г/(<Р(О) = - №p(<)W).
1х = (р(0
Это и означает, что функция /(ф(О)фХО имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F(q>(t)). Отсюда, согласно определению интеграла, следует, что
J Лф(О)ф'(О dt = Яф(0) + с. (18.13)
Подставив же в формулу (18.10) х = ф(£), получим
/Лх)^х|х = ф(0 = Лф(0) + С. (18.14)
461


В формулах (18.13) и (18.14) равны правые части, значит, равны и левые, т. е. имеет место равенство (18.11). □ Формула (18.11) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой ф(£) = х. Это название объясняется тем, что если формулу (18.11) записать в виде
J Лф(О) dq(t) = J f(x) dx\x = ф(0, (18.15)
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл J /(ф(О)фХО dt = J /(ф(0) ^ф(0» можно сделать подстановку х = ф(0, вычислить интеграл J /(х) dx и затем вернуться к переменной t, положив х = ф(0-
Примеры. 1. Для вычисления интеграла J cos ах dx естественно сделать подстановку и = ах. тогда
f cos ах dx = - f cos и du = - sin и + С = - sin ax + C, a 0.
J aJ a a
2. 	Для вычисления интеграла J xclx 2 удобно применить
x + a
3 . 2
подстановку и = x + a :
r xdx 1 r du I, ii./n li / 2.
I ^F^2 = 2 JV = 2 ln W + C = 2 ln + a ) + C*
3. 	При вычислении интегралов вида полезна подстановка и = ф(х):
J ф(х) ’ 7 ’
Например,
J tg х dx = -J dcosx = -In |cos x| + C.
COS X
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
dx
г dx _ г
J sinx J . Л
2 sin cos-
Z 2
1 dx г ^tg2 ! I х| tSj2~s22 tgj
Отметим, что формулу (18.11) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т. е. справа налево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла J f(x) dx с помощью 462


соответствующей замены переменного х = ф(£) свести к вычислению интеграла J /(ф(О)фХО dt (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
В случае, когда функция ф имеет обратную ф \ перейдя в обеих частях формулы (18.11) к переменной х с помощью подстановки t = ф Х(х) и поменяв местами стороны равенства, получим
J f(x) dx = J /(ф(О)ф'(О dt\t = ф _ 1(х).
Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.
Для того чтобы существовала функция ф \ обратная ф, в дополнение к условиям теоремы 1 достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция ф была строго монотонной. В этом случае, как известно (см. п. 6.3), существует однозначная обратная функция ф
Примеры. 4. Интегралы вида J , а 0, в
л]ах2 + Ъх + с
том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке1, легко сводятся с помощью замены переменного к табличным.
Действительно, замечая, что ах2 + Ъх + с = а^х + +
+ с - , сделаем замену переменной t = J\a\ и по-
l)2 dt
ложим d = с - . Тогда dx = -у= и, в силу формулы (18.11),
получим
г dx _ 1 г dt
Jax2 + &х + с *]±t2 + d
(перед t2 стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным (см. формулы 14 и 15 в п. 18.3). Найдя его по 1 В противном случае, т. е. когда подкоренное выражение отрицательно для всех х Е R, получится интеграл от комплекснозначной функции. Такие интегралы здесь не рассматриваются.
463


соответствующим формулам и вернувшись от переменной t к переменной х, получим искомый интеграл.
Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
г dx , ~
j —2 ’ а 0
ах + Ъх + с
(см. об этом в п. 20.1).
5. Интеграл f Ja2 - х2 dx можно вычислить с помощью подстановки х = asin t (см. также пример 2 в п. 18.5). Имеем dx = a cos t dt, поэтому
J Ja2 - x2 dx = a2\ cos2 t dt =
ч Л 2 2 2 2
2f 1 + cos2£ а г ,, , а г o, j, a t . a . o, .
= a z dt = -z- \dt + -7Г cos 2t dt = -z- + -r- sin 2t + C.
J 2 2 J 2 J 2 4
Подставляя это выражение t = arcsin и замечая, что
sin 2 arcsin - = 2 sin {arcsin -^Icos {arcsin - = a a) \ a)
nx L. x2 2 l~2 2
= 2- 1—7^—jX^a -x , а л * *
N a a
окончательно будем иметь
г Г~2 2 7 а 2 . X . X Г~2 2 .
л/а - х dx = arcsin - + ~ Va - х + С.
J 2 а 2
Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого интеграла.
Другие примеры на интегрирование с помощью замены переменного рассмотрены в § 21, 22.
18.5. 	Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл [vdu, то на нем существует и интеграл [udv, причем
J udv = uv - J vdu. (18.16) 464


Доказательство. Пусть функции и и v дифференцируемы на промежутке А; тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство
d(uv) = vdu + udv, поэтому
udv = d(uv) - vdu.
Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как, согласно свойству 1° п. 18.2,
J d(uv) = uv + С,
а интеграл f vdu существует по условию теоремы. Поэтому на основании свойства 3° п. 18.2 существует и интеграл f udv, причем
J udv = J d(uv) - J vdu. (18.17)
Подставляя в правую часть (18.17) uv + С вместо f d(uv) и относя произвольную постоянную С к интегралу J vdu, получим формулу (18.16). □
С помощью формулы (18.16) вычисляются многие интегралы. При ее практическом использовании задана левая часть (18.16), т. е. функция и и дифференциал dv, а поэтому v определяется неоднозначно. Обычно в качестве v выбирается функция, записываемая наиболее простой формулой.
Примеры. 1. Пусть требуется вычислить интеграл J хех dx. Полагая и = х, dv = ех dx, откуда du = dx, v = ех, имеем
J хех dx = J х dex = хех - \ех dx = хех - ех + С.
Заметим, что, взяв и = ех и dv = xdx, откуда du = exdxn v = х2/2, мы имели бы
г х 7 1 2 х 1 г 2 х у
хе dx = ~ х е - х е dx, J Z Z J
т. e. интегрирование по частям привело бы к интегралу, более сложному, чем исходный. Отсюда видно, что при вычислении интегралов с помощью формулы (18.14) не каждый 465


способ выбора функций и и v приводит к интегралу, более простому, чем первоначальный.
2. Вычислим интеграл I = f Ja2 - х2 dx посредством интегрирования по частям (ранее, см. п. 18.4, пример 5, он был вычислен с помощью замены переменного).
Полагая и = Ja2 - х2, dv = dx и, следовательно, du = = ~ / Х - dx, v = х, получим
4а - х
I = J Ja2 - x2dx = xja2 - х2 + J у== . (18.18)
4а - х
2
Добавим и вычтем а в числителе подынтегральной функции интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя деление на Ja2 - х2 , будем иметь
2 7 2,22.
г х ах _ г а - (а - х ) _
J Г2 2 J Г2 2
л/Л - X л/а - X
2 г dx f l~2 2 7 2 x T
= a . - л/а - x dx = a arcsin - - I.
J n _ r2 J a
CL ЭС
Подставив это выражение в (18.8), получим
I = xja2 - х2 + a2arcsin - I. (18.19)
Как уже отмечалось, всякое равенство такого вида представляет собой равенство между двумя множествами функций, элементы каждого из которых отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому общее выражение для элемента множества I, согласно (18.19), имеет вид
т х Г~2 2 , а 2 х ,
I = ~ л/а - х + arcsm —НС.
2 v 2 а
3. Иногда для вычисления интеграла правило интегрирования по частям приходится применять несколько раз, например,
г . 2 7 .2 ог . xdx
arcsm х dx = x arcsin x - 2 arcsin x . =
J J 7ГТ2
= xarcsin2 x + 2 J arcsin x djl - x2 =
= xarcsin2 x + 2arcsin xjl - x2 - 2x + C.
466


4. 	Если Рп(х) — многочлен степени п, то для вычисления интеграла f Рп(х)еах dx следует формулу интегрирования по частям применить п раз. Выполнив это, получим
г «г ат(Р„М Р'„(х)
JРп(х)еа dx = еах\ п— + ... + + С.
а а )
Другие примеры на применение интегрирования по частям будут рассмотрены в § 22.
18.6*. Обобщение понятия первообразной
Введенные выше понятия первообразной и интеграла могут быть обобщены в разных направлениях, причем таким образом, что будут сохраняться как свойства 1°—4° п. 18.2, так и теоремы 1 и 2. Ограничимся здесь лишь одним обобщением, которое нам понадобится в дальнейшем, например при интегрировании так называемых кусочно-непрерывных функций.
Пусть функции f nF определены на некотором конечном или бесконечном промежутке А.
Определение 3. Функция F называется обобщенной первообразной функции f на А, если'.
1) функция F непрерывна на промежутке А;
2) в любой точке промежутка А, кроме некоторого конечного множества Ef = А, функция F имеет производную, равную значению функции f в этой точке:
F\x) = Дх), х е \Ef. (18.20)
В точках множества Ej функция F, будучи согласно условию 1 обязательно непрерывной, может иметь или не иметь производной, причем, если производная существует, то F '(х) /(х).
В частности, множество Ef может быть пустым. В этом случае понятие обобщенной первообразной совпадает с понятием первообразной в смысле определения 1.
В этом пункте рассматривается только обобщенная первообразная в смысле определения 3, поэтому для краткости она будет, как правило, называться первообразной, т. е. каждый раз эпитет «обобщенная» не будет употребляться.
467


Пример. Для функции f(x) = sign х функция F(x) = |х|, -оо < х < +°°, является первообразной на всей числовой оси. Здесь множество Ef состоит из одной точки — нуля: Esignx = = {0}. Для любой же точки х 0 имеет место равенство |х|' = = sign х.
Отметим, что функция F(x) = |х|' является первообразной и для функции
1 при х > 0,
-1 при х < 0, отличающейся от функции Дх) = sign х значением в нуле.
На этом примере видно, что одна и та же функция F может быть первообразной для разных функций /, однако, в силу условия (18.20), эти функции f могут отличаться друг от друга только значениями на конечном множестве точек (зависящем от выбираемых функций /).
Очевидно, что если функция F является первообразной функции f на некотором промежутке А, т. е. функция F непрерывна на А и во всех его точках, кроме некоторого конечного множества, выполняется условие F\x) = f{x)^ то для любой постоянной С функция F(x) + С также непрерывна на промежутке А и во всех его точках, кроме указанного выше конечного их множества, выполняется условие
(F(x) + 4 С)' = F\x) + С' = f(x),
т. е. функция F(x) + С также является первообразной функции на промежутке А.
С другой стороны, если функции F и Ф являются первообразными для функции f на промежутке А, т. е. если F и Ф непрерывны на А и во всех его точках, кроме конечных множеств Ef, F и соответственно Ef, ф, выполняются условия
F'(x) = /(x) и Ф'(х) = Дх),
то для всех точек промежутка А, кроме множества Ef, F U Ef, ф, будет выполняться условие
F\x) = Дх) = Ф'(х),
причем множество Ef, F U Ef, ф, где это условие нарушается, конечное как объединение двух конечных множеств.
Отсюда, в силу следствия 1 теоремы 3 из п. 11.2, вытекает, что функции F и Ф отличаются на промежутке А лишь на некоторую постоянную С:
Ф(х) = F(x) + С, х е А. (18.21)
468


Таким образом, совокупность обобщенных первообразных одной и той же функции, как и совокупность обычных первообразных в смысле определения 1, состоит из функций, отличающихся друг от друга на постоянную.
По аналогии с определением 2 вводится в рассматриваемом случае и понятие интеграла.
Определение 4. Совокупность всех обобщенных первообразных функции /, заданной на некотором промежутке А, называется неопределенным интегралом от функции f на этом промежутке и обозначается тем же символом, что и раньше:
f f(x) dx.
Если F — первообразная функции f на промежутке А, то, согласно определению 4, в формуле (18.3) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F в точках х е А\Ед F:
J f(x) dx = JF\x) dx = \dF (х). (18.22)
Покажем, что для интеграла, состоящего из обобщенных первообразных, сохраняются свойства интеграла, доказанные в п. 18.2, 18.4 и 18.5.
1р Пусть функция F непрерывна на промежутке \ и дифференцируема во всех его точках, кроме некоторого конечного их множества Е <= А, тогда
J dF(x) = F(x) + С,
или, что то же самое (см. 18.20)),
J F'(x) dx = F(x) + С.
Справедливость этого равенства вытекает из определения неопределенного интеграла как совокупности всех функций, непрерывных на данном промежутке А, дифференциал которых во всех точках х е А, кроме конечного их множества (своего для каждой функции F) стоит под знаком интеграла (см. 18.20)), и из общего вида (18.21) всех первообразных данной функции.
2р Пусть функция f имеет первообразную на промежутке А. Тогда для любой точки хе A\Ef имеет место равенство
d\ f(x) dx = f(x) dx. (18.23)
469


Как и в п. 18.1, здесь под интегралом J f(x) dx понимается произвольная первообразная функции f. Справедливость формулы (18.23) очевидна в силу определения первообразной.
Зр Если функции и f2 имеют первообразные на некотором промежутке, то и функция + /2 также имеет первообразную на этом промежутке, причем
f (/1(^) + /2(х)) dx = \ fi(x) dx + J /2(х) dx. (18.24) Доказательство. Пусть функции и f2 имеют на некотором промежутке А первообразные Fx и F2, следовательно, J /i(x) dx = Fx(x) + Ср J f2{x) dx = F2(x) + C2. Функции F^vl F2 непрерывны на промежутке А, а в его точках х е А\Е^ и х е А\Е^ соответственно выполняются условия 2^(х) = = /j(x) и F2(x) = /2(х), где Е^ и Е^ — некоторые конечные множества.
Положим F = Fr + F2. Тогда функция F непрерывна на промежутке А как сумма непрерывных на этом промежутке функций Fx и F2 и для любой точки х £ A\(Eyi U Е^), х е А имеет место равенство
F(x) = [Л(*) + ^2(^)]' = Fi(*) + F2(x) = + fz(x)’
причем множество Е^ U Е^ , для точек которого это равенство нарушается, является конечным, как объединение двух конечных множеств Ef и Ef . Это означает, что F является Т1 '2
первообразной для функции + f2 на А, следовательно,
J (Л(х) + /2(х)) dx = F(x) + С = F^x) + F2(x) + С.
Таким образом, левая часть формулы (18.24) состоит из функций вида F^x) + F2(x) + С, правая — из функций вида F^x) + Сг + F2(x) + С2. Так как постоянные С, Сг и С2 произвольные, то эти совокупности совпадают. □
4р Если функция f имеет на некотором промежутке первообразную и k — число, то функция kf также имеет 470


на этом промежутке первообразную, причем при k О справедливо равенство
J kf(x) dx = kf f(x) dx. (18.25)
Доказательство. Пусть на некотором промежутке А имеем J f(x) dx = F(x) + С, т. е. функция F непрерывна на А и во всех точках х е А, кроме конечного множества Ef, выполняется условие
F'(x) = f(x).
Тогда функция kF также непрерывна на А и во всех точках х е А\Еу имеет место равенство
(kF(x))' = kF'(x) = kf(x).
Это означает, что функция kF является первообразной для kF, следовательно,
J kf(x) dx = kF(x) + СР
Таким образом, левая часть формулы (18.25) представляет собой совокупность функций вида kF(x) + Ср а правая состоит из функций вида k(F(x) + С) = kF(x) + kC. Постоянные С и Сг произвольны, поэтому при условии k 0 эти совокупности совпадают. □
ТЕОР Е М А 3. Пусть функции f(x) и ф(х) определены соответственно на промежутках кх и Ар ф(А^) <= Дх, функция f имеет на кх первообразную F(x) и, следовательно,
J/(х) dx = F(x) + С, (18.26)
Ef — такое конечное множество, что Ef <= Дх, и для всех х е &x\Ef выполняется равенство F(x) = f(x).
Если функция ф непрерывна на промежутке Ар дифференцируема во всех его точках, за исключением некоторого конечного множества, и полный прообраз ^Tx{Ef) множества Ef также является конечным множеством, то функция /(ф(О)фХО имеет на промежутке At первообразную ^(ф(0), и поэтому
J /(ф(О)ф'(О dt = Яф(О) + С(1 -6)J f(x) dx\x = ф(г). (18.27) 471


Доказательство. Функции f(x) и F(x) определены на промежутке Дх и по условию теоремы справедливо включение ф(Д^) <= Дх, поэтому имеют смысл сложные функции /(ф(Д) и Дф(£)). Согласно условиям теоремы, функция ф непрерывна на промежутке Д^ и существует такое конечное множество (обозначим его через Еф), что функция ф дифференцируема во всех точках t е ДД£ф. Следовательно, функция F(q(t)) непрерывна на Д^ как композиция непрерывных функций и, по правилу дифференцирования сложных функций, для всех то- чек t е U ф имеет место равенство
±FW» = 1^1\ fwnvm,
lx = <р(0
причем множество £ф U ф 1(Е^), где указанное равенство может не иметь места, является конечным множеством как сумма двух конечных множеств: Еф и ф 1(Ef). Это и означает, что функция /(ф(О)фХО имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F(q>(t)). Отсюда сразу и следует формула (18.27). □
ТЕОРЕМА 4. Если каждая из функций и(х) и v(x), заданных на данном промежутке, дифференцируема во всех его точках, кроме конечного их множества, и на этом промежутке существует интеграл f vdu, то на том же промежутке существует и интеграл f udv, причем
J udv = uv - J vdu. (18.28)
Доказательство. Пусть функции и(х) и v(x) заданы на промежутке Д, причем и(х) не дифференцируема только на конечном множестве Еи <= Д, a v(x) не дифференцируема на конечном множестве Ev <= Д и Е = Еи U Ev. Очевидно, что Е — также конечное множество и что для всех точек х е Д\Е, по правилу дифференцирования произведения, будем иметь
d(uv) = vdu + udv, поэтому
udv = d(uv) - vdu.
472


Интеграл от каждого слагаемого правой части этого ра- о венства существует, так как, согласно свойству Ip
J d (uv) = uv + С,
а интеграл J v du существует по условию теоремы. Поэтому на основании свойства 3^ существует и интеграл J udv, причем
f udv = f d (uv) - f vdu.
Подставляя в правую часть этого равенства uv + С вместо J d(uv) и относя произвольную постоянную С к интегралу J vdu, получим формулу (18.28). □
§19.
Некоторые сведения
о комплексных числах и многочленах
19.1. 	Комплексные числа
Как известно из алгебры, комплексными числами называются выражения вида
z = х + yi,
где i — некоторый элемент, называемый мнимой единицей, а х и у — любые действительные числа. Множество всех комплексных чисел обозначается через С. Число х называется действительной частью, у — мнимой частью комплексного числа z = х + yi. Это записывается следующим образом: х = Re z, у = Im 21.
Обозначение х + iy комплексных чисел называется их алгебраической формой записи.
Комплексное число z, не являющееся действительным, т. е. у которого Im z 0, будем называть существенно комплексным числом. Число Jx2 + у2 называется модулем комплексного числа z = х + iy и обозначается \z\, т. е. |г| = Jx2 + у2 .
1 От лат. realis — действительный и imaginarius — мнимый.
473


Каждому комплексному числу 2 = х + iy соответствует упорядоченная пара действительных чисел (х, у), и обратно; каждой упорядоченной паре действительных чисел (х, у) соответствует комплексное чис- ло 2 = х + yi. В силу этого взаимно однозначного соответствия (а также и в силу других обстоятельств, о которых
речь будет и идти ниже) комплексное число 2 = х + yi геометрически удобно интерпретировать либо как точку (х, у), либо как радиус-вектор на плоскости с координатами х и у (при некоторой фиксированной прямоугольной декартовой системе координат).
Координатная плоскость, точка (х, у) которой (при любых х, у е R) отождествлена с числом х + yi, называется комплексной плоскостью и обозначается, как и множество комплексных чисел, буквой С.
В плоскости С ось Ох называется действительной, а Оу — мнимой осью.
Угол ф, образованный радиусом-вектором 2, 2 0, с поло¬
жительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа 2 и обозначается Arg 2. Значения ф аргумента комплексного числа 2 такие, что -л < ф < л, обычно обозначают arg 2. Очевидно, что Arg 2 определяется комплексным числом 2 0 с точностью до целочисленного, крат¬
ного числу 2л, в то время как arg 2 определяется уже числом 2^0 однозначно. Очевидно также, что
arg 2 = arctg + kn,
где k = 0 для первой и четвертой координатных четвертей, k = 1 для второй четверти и k = -1 для третьей. Если х = 0, то при г/ О считается, что arg 2 = | sign у, а при х = у = 0 arg 2 не определен.
Пусть |г| = г, Arg 2 = ф; тогда (рис. 98) х = rcos ф, у = rsin ф, поэтому
2 = х + yi = r(cos ф + isin ф).
Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой комплексного числа 2 в отличие от записи его в виде 2 = х + yi, которая, как было отмечено, называется его алгебраической формой.
474


Мы будем употреблять тригонометрическую форму записи комплексных чисел и для числа z = 0: в этом случае г = 0, а ф может принимать любое значение — аргумент нуля не определен.
Комплексные числа х1 + y^i и х2 + y%i считаются равными тогда и только тогда, когда хг = х2 и ух = у2. По определению полагают также х + 0i = х, 0 + yi = yi, 0 + 0i = 0.
Сумма двух комплексных чисел zx = хг + yix и z2 = х2 + + yi2 определяется формулой
dpf
+ z2 = (xj + х2) + (z/i + y2)i- (19.1)
Иначе говоря, действительная и мнимая части суммы z1 + 22 Равны суммам соответственно действительных и мнимых частей z± и z2.
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению, т. е. разность z = z1- z2 является таким числом 2, что z2 + z = 2Р Следовательно, если z = х + yi, то х2 + х + (у2 + y)i = xr + r/ip Отсюда х = хг - х2, у = ух- у2, т. е. действительная и мнимая части разности z1 - z2 равны разностям соответственно действительных и мнимых частей чисел zx и z2.
Геометрически действительная и мнимая части комплексного числа при интерпретации его как вектора являются координатами этого вектора, а при сложении (вычитании) координат векторов сами векторы также складываются (вычитаются), поэтому формула (19.1) означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (рис. 99 и 100).
Модуль комплексного числа z = х + iy является, очевидно, длиной соответствующего ему вектора (х, у). Длина каждой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, а абсолютная величина разности длин двух сторон не превосходит длины третьей стороны, поэтому для любых двух комплексных чисел z1 и z2 имеют место неравенства (рис. 99 и 100)
1*1 + z2| < |zj + |z2|, II2J - |z2|| < \zx - z2\.
475


Второе из этих неравенств можно получить из первого тем же приемом, который был использован для получения аналогичного неравенства для действительных чисел в п. 2.3*.
Произведение двух комплексных чисел zx = хх + у1г и z2 = х2 + yi2 определяется по формуле
def
z1z2 = (x1 +yi1)(x2 +yi2) = (x1x2-y1y2) + (x1y2 + y1x2)i. (19.2)
Умножим, согласно этому правилу, число i = 0 + И само на себя. Получим и = -1. Произведение и естественно обозначить I2. Таким образом,
.2
i = -1.
Если иметь в виду это соотношение, то формула (19.2) означает не что иное, как обычное формальное почленное умножение.
Найдем формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Если
2i = ?T(cos срх + isin (pi), z2 = z2(cos ф2 + isin ф2), то
2122 = rlr2[(cos <P1COS Ф2 “ sin (plSin Ф2) +
+ i(cos ф1з!п ф2 + sin ф^оз ф2)] =
= ггг2[соз (epi + Ф2) + ism (<Pi + Ф2>]
и, таким образом,
ki22| = IzJ |z2|, Arg (zx z2) = Arg zr + Arg z2. (19.3)
Второе равенство, как и вообще все равенства, содержащие Arg, следует понимать как равенство соответствующих 476


множеств, причем каждый элемент множества, стоящего в правой части равенства, является суммой некоторых элементов соответственно из множеств Arg zx и Arg 22.
Методом математической индукции легко показать, что |Zi22...2j = |2i||22|...|2n|,
Arg (2^2.,.zn) = Arg z-L + Arg z2 + ... + Arg zn,
т. e. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Отсюда, полагая zx = z2 = ... = zn = z, для степени zn. п = = 1, 2, 3, ... , комплексного числа z имеем
\zn\ = \z\\ Arg zn = nArg z + 2йл, k = 0, ±1, ±2, ... .
Следует обратить внимание на то, что формула для аргумента степени комплексного числа представляет собой равенство множеств: если ф — какое-либо значение аргумента числа 2, то множество всех аргументов числа zn составляют числа вида пф + 2лт, т = 0, ±1, ±2, ... . Отсюда ясно, что если п > 2, то Arg zn nArg 2, так как здесь правая часть представляет собой совокупность всех чисел вида п(ф + 2лт) = = пф + 2лпт, т. е. к числу пф добавляются не всевозможные, кратные числу 2л, как в случае Arg 2П, а лишь кратные числу 2лп.
Отметим еще, что формула для аргумента степени комплексного числа равносильна следующему утверждению.
Если ф е Arg 2, то nq> е Arg zn.
Поэтому если z = r(cos ф + i sin ф), то zn = rn(cos пф + i sin пф).
Отсюда для комплексного числа, абсолютная величина которого равна 1 (г = 1) и, следовательно, имеющего вид 2 = cos ф + i sin ф, имеем
(cos ф + isin ф)п = cos пф + isin пф. (19.4)
Это соотношение называется формулой Муавра1.
^1
Деление — комплексного числа zx на комплексное число Z2
22 0 определяется как операция, обратная умножению,
1 А. Муавр (1667—1754) — французский математик.
477


21
т. е. число z = — называется частным от деления zr на г2, 22
если zx = z2z. Поэтому
|zj = |z2| |z| и Arg zx = Arg z2 + Arg z, откуда
ii i I11 21
Н=Г=Ы’ Ars z = Arg - = Arg zx - Arg z2, (19.5)
22 |2| 22
т. e. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
2i
Формулами (19.5) комплексное число z = — при задан- 22
пых zx и z2 0, очевидно, определено однозначно. Ряд других свойств комплексных чисел, как, например, коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения и другие свойства, непосредственно следуют из формул, с помощью которых определены эти операции для комплексных чисел, и из соответствующих свойств действительных чисел. Поэтому не будем на них подробно останавливаться.
Если п — натуральное число, то корнем п-й степени их комплексного числа w = nJz называется такое число tr, п-я степень которого равна подкоренному выражению: wn = z.
Например, i2 = -1, поэтому /7-1 = i. Однако этой формулой задаются не все значения корня 7-1, так как (~i)2 = -1 и, следовательно, -i также корень из 7-1, т. е. верно не только равенство 7-1 = но и равенство 7-1 = ~i-
Если
z = r(cos а + isin ф), a w = p(cos ф + isin ф) и wn = z, то
pn(cos n\\f + isin пф) = r(cos ф + isin ф);
отсюда
р = Пл/г.
Здесь корень понимается в арифметическом смысле — как неотрицательное действительное число, так как, по определению модуля комплексного числа, р > 0.
478


Далее,
n\\f = ф + 2kTt (k — целое), или ф =
По существу, различные значения аргумента получаются при значениях fe = O, 1, ... ,п-1: различные в том смысле, что если обозначить эти значения аргумента через \\fk и положить wk = p(cos \\fk + sin ф^), то при р 0 получаются различные комплексные числа. При всех остальных k значения ф будут отличаться от указанных чисел \\fk на кратное 2л, т. е. эти значения аргумента будут приводить к одному из комплексных чисел wk, k = О, 1, ... , п - 1. Таким образом, корень nJz имеет при z 0 точно п значений tr0, w19 ... , wn_1.
В комплексной плоскости числа wk, k = О, 1, ... , п - 1, располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса р с центром в начале координат. Это следует из того, что аргумент числа wk отличается от аргумента числа wk_ г при всех k = 1, 2, ... , п - 1, так же как и аргумент wn _ х от аргумента tr0, на одно и то же число 2л/п. На рисунке 101 изображен случай п = 5.
Каждому комплексному числу z = х + yi соответствует число х - yi, которое называется сопряженным с z и обозначается z, z = х - yi. Геометрически число z изображается вектором, симметричным с вектором z относительно оси Ох (рис. 102).
Свойства сопряженных комплексных чисел
1°. |з| = |z|, arg z = -arg z.
2°. zz = \z\2.
479


qO
О .2 = 2.
4°. zr + z2 = zr + z2.
c0
5 • Zr - z2 =z1-z2.
cO
6 . zrz2 = zrz2.
Свойство 1° очевидно (см. рис. 102). Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел,
22 = (х + yi)(x - yi) = х2 + у2 = |з|2. □
Свойство 3° также очевидно: если 2 = х + yi, то 2 = х - yi иг = х - yi = х + yi = 2. □
В справедливости свойства 4° можно убедиться геометрически, взяв параллелограмм, симметричный относительно оси Ох с параллелограммом, построенным на векторах 21 и 22 как на сторонах (рис. 103), т. е. параллелограмм, натянутый на векторы и г2. Диагонали этих параллелограммов будут также симметричными друг другу относительно оси Ох и, следовательно, будут соответственно равными 2-^ + 22 и
2Х + 22. С другой стороны, последняя диагональ, как сумма векторов 2Х и 22, равна также и 2Х + 22. □
Свойство 5° доказывается аналогично.
Свойства 6° и 7° следуют из того, что модули и аргументы выражений, стоящих в разных частях соответствующих равенств, совпадают. Действительно, используя свойство 1°, получим
1^1 = l^i^l = N |z2| = IzJ |z2| = |Zi з2|,
Arg zxz2 = - Arg 2122 = -(Arg z1 + Arg z2) =
= -Arg - Arg z2 = Arg zr + Arg z2 = Arg ггг2. □
Аналогично доказывается свойство 7°.
480


Используя сопряженные комплексные числа, можно получить формулу для частного комплексных чисел в алгебраической форме: умножив числитель и знаменатель дроби Xi + z/p
—-—• на число х2 ~ У21^ сопряженное знаменателю, получим Х 2 У 2
*1 + У\1 _ (*1 + Z/p)(^2 “ У2^ _ Х1Х2 ^1^2 + ^1Х2 “ Х1^2 .
х2 + У21 (Х2 + У21МХ2 ~ У2^ ^2 + У2 Х2 + У2
19.2*. Формальная теория комплексных чисел
Вдумчивый читатель обратил внимание на то, что приводимая в п. 19.1 формулировка «выражения вида z = х + iy называются комплексными числами» не является четким определением комплексных чисел.
Множество комплексных чисел С можно определить как множество упорядоченных пар (х, у) действительных чисел, х е R, у е. R, в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:
def
(х, у) + (х', у') = (х + х',у + у'),
def
(х, у)(х', у') = (хх' - уу', ху' + х'у),
(X, у) G С, (х', у') G С.
Нетрудно проверить, что в результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т. е. удовлетворяет условиям I, II, III п. 2.1. Полученное таким образом поле, а также каждое изоморфное ему, называется полем комплексных чисел.
Пары (х, 0) обозначаются просто через х (их совокупность изоморфна полю действительных чисел), а пара (0, 1) def обозначается через i : i = (0, 1).
Согласно определенной операции умножения,
i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1, т. е. i2 = -1.
Для любого комплексного числа (х, у) имеет место легко проверяемое тождество
(х, у) = х + yi.
481


Действительно,
(х, у) = (х, 0) + (0, у) =
= (х, 0) + (0, 1)(г/, 0) = х + yi,
и мы снова пришли к записи комплексных чисел, из которой исходили в п. 19.1.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что матрицы ви-
а Ъ А г
да с обычными матричными операция-
-Ъ а ,
ми образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел (а и b — действительные числа).
19.3. 	Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел
Понятия числовой последовательности и ее предела легко обобщаются и на случай комплексных чисел. Функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа, называется последовательностью комплексных чисел. Как и в случае действительных чисел, комплексное число 2, соответствующее натуральному числу п, снабжается индексом п: zn, п = 1, 2, ... .
Определение 1. Пусть задана последовательность комплексных чисел zn = хп + yni, п = 1, 2, ... . Число £ = + v\i называется ее пределом, если для любого действительного числа е > 0 существует такой номер пе, что при п > п£ выполняется неравенство \zn - £| < е.
В этом случае пишут lim zn = £ и говорят, что последова- П оо
тельность {2П} сходится к числу £ (рис. 104).
Таким образом, по форме это определение совершенно такое же, как для предела последовательности действительных чисел.
Определение 1 означает, что существование предела lim zn = £ последовательности {2П} комплексных чисел рав- п оо
482


носильно существованию предела lim \zn - = 0 последова- п оо
тельности действительных чисел.
Пусть £ = £ + тр, zn = хп + yni, п = 1, 2, ... . Поскольку, очевидно, справедливы неравенства
\хп - £1 < \2п - £1, \Уп - nl < \2п - £1
(геометрически: длины катетов не превышают длины гипотенузы) и
\2п - £1 < \хп - £1 + \уп - nl
(геометрически: длина стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон), последовательность {zn = хп + yni} имеет своим пределом число £ = + т\1 тогда и только тогда, когда последовательности ее действительных и мнимых частей {хп} и {уп} сходятся соответственно к числам и Т|. Иначе говоря, равенство lim zn = £ равносильно П оо
равенствам lim хп = lim уп = Т|.
П —> оо П —> оо
Последовательность комплексных чисел, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.
На последовательности комплексных чисел естественным образом переносится ряд теорем о пределах последовательностей действительных чисел, например теорема о единственности предела, об ограниченности последовательности, имеющей предел, критерий Коши и т. п.
В § 8 были введены обозначения о и О для сравнения функций. В дальнейшем понадобятся такие же обозначения и для последовательностей комплексных чисел.
Определение 2. Будем говоришь, что последовательность {zn} ограничена относительно последовательности и писать zn = O^Wfj)1, если существует постоянная с > 0 такая, что
\2п\ < п = 1, 2, ... .
1 Иногда к этому добавляют: при п оо.
483


Это определение в случае wn 0, п = 1, 2, ... , эквивалентно следующему: для двух данных последовательностей {гп} и {wn} существуют постоянная с' > 0 и номер п0 такие, что
п = п0, п0 + 1, ... .
Действительно, полагая в этом случае fi
W1
Z
с = шах
Z2 ^2
, с'
Wn0~l
получаем |zj < c|wj, п = 1, 2, ... , т. е. первоначальное определение.
Определение 3. Если zn = O(wn) и wn = O(zn)9 то будем говорить, что последовательности {zn} и одного порядка и писать zn X wn.
Определение 4. Будем говорить, что последовательность {zn} является бесконечно малой по сравнению с последовательностью и писать zn = o(wn)9 если существует бесконечная малая последовательность {ап} такая, что zn = = anwn, п = 1, 2, ... .
Определение 5. Последовательности {zn} и {wn} называются эквивалентными или асимптотически равными, если существует такая последовательность {еп}, что
lim — 1 и z= п = 1, 2, ... . Ik и Ik'
В этом случае пишут zn ~ wn, п = 1, 2, ... .
УПРАЖНЕНИЯ. 2. Докажите, что, для того чтобы zn ~ wn, необходимо и достаточно, чтобы zn = wn 4- o(wn), п = 1, 2, ... .
3. Докажите: если zn = cwn + o(trn), п = 1, 2, ... , то zn = O(trn).
Можно рассматривать и функции комплексного аргумента. Например, /(г) = |з|, /(г) = 22. Обе эти функции определены на множестве всех комплексных чисел, первая из них принимает только неотрицательные действительные значения, вторая же, наряду с действительными, и существенно комплексные.
Если функция w = f(z) задана на множестве Z с С, 2 е Z, w е С, то геометрически функция f задает отображение пло484


ского множества Z в плоскость комплексной переменной w. Например, функция w = |г| отображает плоскость на полупрямую, а функция w = z — всю плоскость на всю плоскость, как говорят, двукратным образом — в данном случае это означает, что при отображении w = z2 каждая точка образа кроме нуля имеет прообраз, состоящий из двух точек.
Для комплекснозначных функций можно ввести многие из понятий, введенных ранее для действительнозначных функций (предел, непрерывность, дифференцируемость, интеграл и др.). В ближайших параграфах придется встретиться лишь с понятием ограниченности и непрерывности комплекснозначных функций.
Комплекснозначная функция /(2), z е Z <= С называется ограниченной на множестве Z, если на этом множестве ограничена функция \f(z)\.
Таким образом, понятие ограниченности комплекснозначной функции f сводится к понятию ограниченности действительнозначной функции \ f\.
Определение 6. Пусть комплекснозначная функция f определена на множестве Z с- С и пусть zQ е С. Функция f называется непрерывной в точке 20, если для любого е > 0 существует 8 > О такое, что для всех точек z е Z, удовлетворяющих условию |г - 20| < 3, выполняется неравенство \f(z) - f(z0)\ < е.
Мы видим, что по форме это определение полностью совпадает с определением непрерывности для действительных функций (см. п. 5.5).
Комплекснозначная функция, непрерывная в каждой точке некоторого множества, называется непрерывной на этом множестве. Из определения непрерывности функции и неравенства \f(z)\ - |/(20)| < \f(z) - /(20)| следует, что если функция /(2), определенная на множестве Z <= С, непрерывна в какой-то точке 20 этого множества: 20 е Z, то и действительнозначная функция \f(z)\ непрерывна в этой точке.
На комплекснозначные функции переносится теорема о том, что если две функции fug, определенные на некотором множестве Z <= С, непрерывны в точке 20 е Z, то и функции f + g, fg, а если g(zQ) 0, то и f/g, непрерывны в этой точке.
485


Из этой теоремы следует, например, что любой многочлен Pn(z) = k^Qakzk с комплексными коэффициентами ak, k = = 0, 1, ... , п, непрерывен в любой точке 20 е С (ср. с п. 7.1).
19.4. 	Разложение многочленов на множители
Пусть
P„(z)=An2n+An_12n’1 + ...+A12+A0,zG С, (19.6) — многочлен с комплексными в общем случае коэффициентами Ар j = 0, 1, ... , п.
Как и в случае многочленов с действительными коэффициентами (см. п. 5.3) при Ап 0 число п называется степенью многочлена, а нулевому многочлену приписывается степень -оо.
Из алгебры известно, что если степень т многочлена Qm(z) не превышает степени п многочлена Pn(z), то существуют такие многочлен Sk(z) степени k и многочлен Rt(z) степени I или равный нулю, что п = т + k, 0 I < т, и многочлен Pn(z) представим в виде
Р„(2) = Sk(z)Qm(z) + P^z).
При этом такое представление единственно.
Операция нахождения многочленов Sk(z) и PL(z) по заданным многочленам Pn(z) и Qm(z) называется делением многочлена Pn(z) на Qm(z), многочлен Pm(z) — делимым, Qm(z) — делителем, Sk — частным, Rt(z) — остатком от деления Р„(г) на Qm(z).
Отметим, что из т = 1 следует, что I = 0, т. е. в этом случае остаток от деления является константой.
Комплексное число 20 такое, что Pn{zQ) = 0, называется корнем данного многочлена (19.6).
Если многочлен Pn(z) степени п > 1 разделить на z - £, где £ — какое-либо комплексное число, то получим
P„(2) = (2-0Q„_1(2) + r,
где Qn _ T(z) — многочлен степени п - 1, а остаток г — постоянная. Отсюда непосредственно следует, что число zQ является корнем многочлена Pn(z) тогда и только тогда, когда 486


многочлен Pn(z) делится без остатка на z - 20 (теорема Безу1).
Если многочлен Pn(z) делится на (z - z$)k (k — положительное целое) и не делится на (z - z$)k + \ то число k называется кратностью корня 20.
Однократный корень называется простым, а й-кратный при k > 1 — кратным корнем.
Таким образом, если комплексное число 20 является корнем кратности k многочлена Pn(z), то
Pn{z) = {z- z0)kQn _ k(z),
где Qn _ k(z) — такой многочлен степени п - k, что Qn _ k(zo) 0.
В курсе алгебры доказывается, что всякий многочлен Pn(z) степени п > 1 имеет по крайней мере один корень zx. Если его кратность равна й, то, как отмечалось, справедливо разложение.
Р„(2) = (2-21) (zj * 0,
где степень многочлена Qn _ (z) меньше п. Многочлен
(2), если его степень больше 1, также имеет хотя бы один корень z2. Если кратность этого корня равна то
k k
pn(z) = {z- Z-!) \z- z2) 2 Qn-kl-k2 (z),
Qn-k1- k2 (Zl) # Qn - kx - k2 (22) #
Продолжая этот процесс дальше, через конечное число т шагов получим многочлен нулевой степени Рп _ _ _ _ k (z) = Ап
и, следовательно, для многочлена Pn(z) справедливо следующее разложение на множители:
Pn(z)=An(z-z.) \z-z2} ...(z-zm) , (19.7)
где kx + k2 + ... + km = n, откуда следует, что каждый многочлен степени п > 1 имеет точно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
1 Э. Безу (1730—1783) — французский математик.
487


Для многочлена (19.6) обозначим через Pn(z) многочлен, коэффициенты которого являются комплексными числами, сопряженными коэффициентам многочлена Pn(z):
рп(2) = Ап2" + Ап - I2” 1 + ••• + А12 + А0-
Многочлен Pn(z) называется многочленом, сопряженным многочлену Pn(z).
В силу свойств сопряженных комплексных чисел, имеем
ЛДТ) = Р„(г).
Действительно,
Pn(z) = Anzn + Ап _ xzn “ 1 + ... + Anz + Ао =
= Anzn+An_lzni + ...+Alz+A0 = Pn(z).
Очевидно также, что pn(z) = P(z).
Покажем, что если число 20 является корнем многочлена Pn(z) кратности й, то сопряженное ему число zQ является корнем сопряженного многочлена Pn(z) и притом той же кратности.
В самом деле, переходя в формулах
Р= (2 “ 2o)kQn - Qn - 0,
к сопряженным выражениям, получим
Pn(z) = (z- z0)kQn - k(z), Qn _ k(z0) # 0.
Полагая для наглядности £ = z (г, как и z — произвольные комплексные числа), перепишем полученные формулы в виде
= (£ - z0)*Q„ _ Qn _ Дг0) * 0.
Это и означает, что число zQ является корнем кратности k для многочлена Pn(z).
Пусть теперь все коэффициенты многочлена Pn(z) суть действительные числа. В этом случае сопряженный многочлен Pn(z), очевидно, совпадает с самим многочленом Pn(z). Поэтому из доказанного следует, что если комплексное число zQ является корнем кратности k многочлена Pn(z) с действительными коэффициентами, то и сопряженное ему число Zq также является корнем кратности k этого многочлена.
488


Отметим далее, что произведение (2 - 20)(2 - 20) всегда является многочленом (относительно z) с действительными коэффициентами. Действительно, пусть zQ = а + bi, где а и Ъ действительны. Тогда 20 = а - Ы, поэтому
(2 - 20)(2 - 20) = (2 - а - bi)(z - а + Ы) = (z - а)2 + Ъ2 =
= z2 - 2az + а2 + b2 = z2 + pz + q, (19.8)
где положено р = -2а и q = а2 + Ъ2, очевидно, р и q действительны. Отметим, что р2/4 - q = -b2, поэтому при Ъ 0, т. е. тогда, когда корень 20 является существенно комплексным числом, выполняется неравенство
2
Pj~q<0. (19.9)
Обратим внимание и на справедливость обратного утверждения: если выполнено неравенство (19.9), то корни трехчлена z2 + pz + q (р и q действительны) — существенно комплексные числа.
Из сказанного следует, что для всякого многочлена степени п с действительными коэффициентами справедливо разложение на множители вида
Рп(х) = Ап(х - ctif1 ... (х - аг)Пг(х2 + ргх + Qi)131 ...
... (х2 + psx + qs)$s, (19.10)
где г S
S а;. + 2 £ р;. =п, -т -qj< 0, j = 1, 2, ... , s,
и все коэффициенты Ап, а1, ... , ar,p19 q1, ... ,ps,qs действительны. При этом а15 ... , ar — все действительные корни многочлена Рп(х), а каждому существенно комплексному корню 20 и ему сопряженному корню 20 соответствует множитель вида х2 + рх + q = (х - 20)(х - 20). Вместо буквы 2, употреблявшейся выше для обозначения аргумента рассматриваемого многочлена, здесь по традиции написана буква х, чтобы подчеркнуть, что все рассмотрения происходят в действительной области.
Формула (19.10) непосредственно следует из формул (19.7) и (19.8): нужно в разложении (19.7) сгруппировать попарно множители с сопряженными корнями и записать произведения вида (2 - 20)(2 - 20) в форме (19.8). Тогда, замечая, что 489


кратность сопряженных корней 20 и 20 одинакова, мы и получим формулу (19.10).
Разложение многочлена на множители вида (19.10) единственно, так как оно однозначно определяется корнями этого многочлена и их кратностями.
УПРАЖНЕНИЕ 4. Докажите, что если существует п + 1 разных чисел г2, ... , zn + р в которых многочлен P(z) степени, не превосходящей п, обращается в нуль, то все его коэффициенты равны нулю.
У казание. Воспользоваться тем, что определитель Вандермонда
1 1 ... 1
21 22 ••• 2п + 1
П -у П -у п
21 г2 ••• zn + 1
в данном случае не равен нулю.
19.5*. Наибольший общий делитель многочленов
Пусть дан многочлен Р(х). Всякий многочлен 7?(х), на который делится многочлен Р(х), т. е.
P(x) = R(x)r(x), (19.11)
где г(х) — также многочлен, называется делителем многочлена Р(х).
Было показано, что многочлен Р(х) можно записать в виде Р(х) = А(х - a 1)ctl ... (х - аг)аг (х2 + ргх + Qi)^1 ...
... (х2 +psx + qs)\ (19.12)
где а15 ... , аг— действительные корни многочлена, а мно- 2 I I
жители вида х + PjX + qy- соответствуют существенно комплексным корням этого многочлена,
2 Р-,
7 = 1, 2, ...,з;
коэффициенты A, Pj и qy- (j = 1, 2, ... , s) действительны. Отсюда следует, что всякий делитель R(x) многочлена Р(х) может быть записан в виде
A<i А. у
R(x) = B(x-ax) ...(x-ar) (х +p1x + q1)
...(х2+psx +q^, (19.13)
490


где
Xz<az, Z=l,2, ..., r, 7 = 1,2,...,$. (19.14)
Действительно, никаких других множителей вида
х-а и х2 + рх + q. (19.15)
где а, р и q действительны и р2/4 - q < 0 в разложении многочлена R(x) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлен 7?(х), как всякий многочлен, может быть разложен на множители вида (19.15), с другой стороны, из формулы (19.11) следует, что если в разложении R(x) на множители имеется множитель вида х - а, соответственно вида х + рх + + q, то х = а, соответственно корни трехчлена х2 + рх + q, являются и корнями многочлена Р(х); поэтому указанные множители входят в разложение (19.12). Неравенства (19.14) также очевидны: из той же формулы (19.11) следует, что кратность корня многочлена R(x) не может превышать кратности того же корня многочлена Р(х).
Пусть теперь даны два многочлена Р(х) и Q(x). Всякий многочлен, являющийся делителем как многочлена Р(х), так и многочлена Q(x), называется их общим делителем. Общий делитель двух многочленов, который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется их наибольшим общим делителем.
Если многочлены Р(х) и Q(x) записаны в виде (19.12):
Р(х) = А'(х - ... (х - ar) r(x2+ р{ + (х2 + Psx + ’
(19.16)
аТ ос> 9 в; 9 B'S,
Q(x)=A''(x-a'i) ,..(x-ar") (х + p^x + q'() ...(х + p''s„x + q"„) ,
(19.17) то всякий их общий делитель R(x) можно записать в виде (19.13), где множители
х - ak (k = 1, 2, ... , г),
х2 + ptx + qt (Z = 1, 2, ... , s) (19.18)
входят в разложение (19.16) и в разложение (19.17).
491


Пусть индексы у коэффициентов множителей (19.18) в разложениях (19.16) и (19.17) равны соответственно i'k, ц и
Л', тогда, в силу неравенств (19.14), имеем
\<a'ik,Xk <a%,k = 1,2,..., г, (19.19)
Р£, ( = 1, 2, ... , s.
Для того чтобы многочлен (19.13) был наибольшим общим делителем многочленов Р(х) и Q(x), необходимо и достаточно, чтобы показатели степени k = 1, 2, ... , г и pz, I = = 1, 2, ... , s были максимальными из возможных, т. е. чтобы
\k = min {oc'r, с/р}, k = 1, 2, ... , г, (19.20) Hz = min {Р'/;, Р).}, Z = 1, 2, ... , 8.
Действительно, при выполнении этих условий многочлен R(x) будет общим делителем многочленов Р(х) и Q(x), кроме того, он будет делиться на любой многочлен вида (19.13), для которого выполнены условия (19.19), т. е. Р(х) будет делиться на любой общий делитель многочленов Р(х) и Q(x). □
Из найденного вида общего делителя и, в частности, наибольшего общего делителя следует, во-первых, что наибольший делитель двух многочленов не единствен; однако два наибольших общих делителя двух данных многочленов могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем (постоянную В в формуле (19.13) можно брать произвольной, неравной нулю); во-вторых, что наибольший общий делитель двух многочленов имеет степень, большую, чем любой их общий делитель, не являющийся наибольшим общим делителем.
В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем наибольший общий делитель многочлена Р(х) и его производной Р'(х). Предварительно заметим, что если число а является действительным корнем кратности а многочлена Р(х), т. е.
Р(х) = (х- afp^x), Р^а) * 0, (19.21)
то а является корнем кратности а - 1 для многочлена Р\х).
Действительно, дифференцируя (19.21), имеем
Р\х) = а(х - а )а XPi(x) + (х - а)аР{(х) = (х - а)а ~ 1Р2(х), где Р2(х) = аР^х) + (х - а)Р^(х) и Р2(а) = аРДа) 0.
492


Подобным образом, если
Р(х) = (х2 + рх + ?)₽Р3(х), (19.22)
где р2/4 - q < 0, и, значит, корни и z2 (z2 = Zj) трехчлена х + рх + q существенно комплексны, и если
Р^) О, Р3(г2) 0, то Р'(х) = (х2 + рх + q/ ” 1Р4(х), где Р^г^ О, Р4(г2) 0, т. е. Р4(з) не делится на х2 + рх + q.
Действительно, дифференцируя (19.22), получаем
Р\х) = Р(х2 + рх + q)$ ~ *(2х + р)Р3(х) + (х2 + рх + #)^Р3 (х) = = (х2 + рх + q/ " гР4(х), где
Р4(х) = Р(2х + р)Р3(х) + (х2 + рх + дг)Р3(х),
откуда следует, что
^4(^1) = (W1 + Р)^з(^1) °> P4^2) = Р(2^2 + 0>
ибо zx ~р/2 и г2 -р/2, так как они существенно комплексны. □
Из доказанного следует, что если многочлен Р(х) записан в виде (19.12), то его производную Р'(х) можно представить в виде
ах - 1 аг - 1 2 ₽i _ 1
Р'(х) = С(х - а1) ...(х-аг) (х + p1x+q1)
2 — 1
... (х2 +psx + qs) р5(х), где многочлен Р5(х) не делится ни на х - az, i = 1, 2, ... , г, ни на х2 + PjX + (/у, j = 1, 2, ... , s, т. е. не имеет общих корней с многочленом Р(х).
Из формул (19.13) и (19.20) получаем, что наибольший общий делитель R(x) многочлена Р(х) и его производной Р'(х) имеет вид
ах - 1 аг - 1 2 ₽i _ 1
R(x) = (x-a1) ,..{x-ar) (х + prx + qr)
2 — 1
... (х2 + psx + qs) . (19.23)
493


Изложенный выше метод получения наибольшего общего делителя двух многочленов Р(х) и Q(x) принципиально полностью решает вопрос о существовании и виде наибольшего общего делителя. Практическое же его применение может, однако, быть достаточно трудным: для использования этого метода надо знать разложения на множители вида (19.16) и (19.17) данных многочленов Р(х) и Q(x), которые не всегда удается написать в явном виде.
Существует, однако, другой способ получения наибольшего общего делителя двух многочленов Р(х) и Q(x), называемый обычно алгоритмом Евклида1. Опишем его.
Пусть для определенности степень многочлена Р(х) больше или равна степени многочлена Q(x). Разделив Р(х) на Q(x), получим в качестве частного некоторый многочлен Q^x) и остаток R^x), который является либо нулем, либо его степень меньше степени многочлена Q(x) (в противном случае процесс деления на Q(x) можно было бы продолжить и дальше):
Р(х) = Q(x)Qi(x) + R^x).
Из этой формулы следует: 1) если многочлены Р(х) и Q(x) делятся на некоторый многочлен 7?(х), то многочлен R^x) делится на этот многочлен; 2) если многочлены Q(x) и R^x) делятся на какой-то многочлен 7?(х), то и многочлен Р(х) делится на этот многочлен R(x). Отсюда, в свою очередь, следует, что общие делители многочленов Р(х) и Q(x), в частности их наибольшие общие делители, совпадают с общими делителями, соответственно с наибольшими общими делителями, многочленов Q(x) и R^x).
Разделим далее многочлен Q(x) на многочлен R^x):
Q(x) = R1(x)Q2(x) + R2(x);
продолжая процесс далее, будем иметь
R^x) = R2(x)Qz(x) + 7?3(х),
Rk - 2(х) ~ ^k- i(x)Q/?(x)
Евклид (ок. 365 г. — ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик.
494


Степени многочленов R^x), i = 1, 2, ... , строго убывают, поэтому существует номер (обозначим его т + 1) такой, что Р/7г + i(x) = 0, следовательно, Rin _ ^х) = Rm(x)Qm + ^х).
Пары многочленов Р(х) и Q(x), Q(x) и Я^х), Rx(x) и Т?2(х), • •• , Rm - 1(х) и имеют одинаковые общие делители, а значит, и одинаковые наибольшие общие делители. Но Р/7г _ i(x) делится на Р/7г(х), поэтому Rm(x) является наибольшим общим делителем Rm _ ^х) и 7?w(x), следовательно, и наибольшим общим делителем многочленов Р(х) и Q(x).
19.6. 	Разложение правильных рациональных дробей на элементарные
Пусть Р(х) и Q(x) — многочлены, вообще говоря, с комплексными коэффициентами, причем Q(x) — ненулевой многочлен.
Р(х)
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q(x), и неправильной, если степень многочлена Р(х) не меньше степени многочлена Q(x).
Всякая рациональная дробь является либо правильной, либо неправильной.
Р(х)
Вели рациональная дробь j неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим равенство рм = Q(x) Qi(x) ’ (19.24)
где R(x), Px(x) и Qj(x) — некоторые многочлены, а Pj(x)
Qi(x)
правильная рациональная дробь.
Р( х}
ЛЕММА Л. Пусть — правильная рациональная дробь,
Р(х) и Q(x) — многочлены с действительными коэффициентами. Если число а является действительным корнем кратности а > 1 многочлена Q(x), т. е.
Q(x) = (х - a^Q^x) и Qi(a) О, 495


то существуют действительное число А и многочлен Р±(х) с действительными коэффициентами такие, что
Р{х) = А + р1(*)
7 (х - а) (х - a) Q1(x)
Р^х)
где дробь —-: также является правильной.
(х - a) Qi(x)
Доказательство. Каково бы ни было действительное число А, вычитая из дроби
Р(х) = Р1^Х)
®<х> (х - а)а~ 1Q1(X)
А г
выражение и затем прибавляя его, получим
(х - а)
Р(х) = А + Г А ' =
7 (х - а) Q^x) (х - а)
А Р(х) - AQAx)
= + • (19-25)
(х - а) (х - a) Q1(x)
По условию, степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q(x) = (х - a)aQi(x). Очевидно, что и степень многочлена Q^x) меньше степени многочлена Q(x) (так как а > 1), поэтому при любом выборе числа А рациональная
P(x)-AQ1(x) P(x)-AQ1(x)
дробь - = является правильной.
(x-afQ^x) Wx>
Выберем теперь число А таким образом, чтобы число а было корнем многочлена Р(х) - AQx(x) и, следовательно, чтобы этот многочлен делился на х - а. Иначе говоря, определим А из условия Р(а) - AQx(a) = 0; поскольку, по условию, Qj(a) 0, отсюда имеем А = q •
При таком и только таком выборе числа А дробь P(x)-AQ1(x)
сократится на х - а. В результате в этом и (х - a)otQ1(x) н н J
только в этом случае после сокращения указанной дроби
Р1(х) получится дробь вида ——: . Эта дробь получена со-
(x-af ^(х)
496


кращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на множитель х - а, где а действительно, поэтому и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.
В результате получается искомое разложение, в котором коэффициент А однозначно определен. □
Замечание 1. Если многочлены P(z) и Q(z) имеют комплексные коэффициенты и z = а — комплексный корень кратности ос > 1 многочлена Q(x), то разложение (19.25) также имеет место, но число А в этом случае является, вообще говоря, уже комплексным числом. Справедливость этого непосредственно следует из рассуждений, проведенных при доказательстве леммы 1.
Р ( X )
ЛЕММА 2. Пусть j — правильная рациональная дробь, Р(х) и Q(x) — многочлены с действительными коэффициентами, Если комплексное число zx = а + Ы (а иЪ действительные, b 0) является корнем кратности Р > 1 многочлена Q(x), тп. е.
Q(x) = (х2 + рх + q^Q^x), где 0, а х2 + рх + q = (х - z^x - z^, то существуют
действительные числа М, N и многочлен Р±(х) с действительными коэффициентами такие, что
Р(х) = Mx + N P1W
Q(x) ( 2 , , .Р , 2 , , - 1 ( . ’
(х + рх + q) (х + рх + q) Q^x)
Р^х)
где дробь — также является правильной.
(х + рх + q) Qj(x)
Доказательство. Для любых действительных М и Р(х) = piW = Q(*) (х2 + рх 4- q)Pq1(x)
_ Мх + N г Р(х) _ _J\Px^N__i
(х2 + рх 4- q)P L(x2 4- рх 4- q)PQ1(x) (х2 4- рх 4- q)PJ
= Мх4У + рМ ~ {Мх + AQQ^x)
(х2 + рх + q)P (х2 + рх + q)P _ 1Q1(x) ’ 497


причем второе слагаемое правой части равенства (19.26) является, как нетрудно видеть, правильной дробью.
Постараемся теперь подобрать М и N так, чтобы числитель этой дроби делился на х2 + рх + q = (х - 2г)(х - zT). Для этого необходимо и достаточно выбрать М и N так, чтобы z1 было корнем многочлена Р(х) - (Мх + NyQ^x). Действительно, тогда, согласно сказанному в п. 19.3, число z1, сопряженное с z1, также будет являться корнем указанного многочлена. Отсюда и следует, что этот многочлен в силу существования его разложения вида (19.10) делится на х2 + рх + q. Итак, пусть
P(2i) - (Mzr + Wi^i) = 0. (19.27)
Р^)
Если это имеет место, то Mz1 + N = ?, где, по условию,
QiC?i) 0.
Пусть zx = а + bi, = А + Bi; тогда Mzx + N =
= А + Bi, или
М(а + bi) + N = А + Bi.
Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, получим уравнения Ma + N = Аи Mb = Ви, следовательно, коэффициенты М и N однозначно определяются по формулам
М=| и W = A-^B. (19.28)
При этих значениях М и N многочлен Р(х) - (Мх + NyQ^x) делится на многочлен х2 + рх + q. Сокращая второе слагаемое правой части равенства (19.26) на х2 + рх + q, получим дробь вида
Р1(х)
2 Р - 1
(х + рх + q)
Эта дробь получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на многочлен с действительными коэффициентами, поэтому и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами. □
Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.
498


ТЕОРЕМА 1. Пусть P(x)/Q(x)— правильная рациональная дробь1, Р(х) и Q(x) — многочлены с действительными коэффициентами, Если
«1 осг 2 ₽1 2 Ps
Q(x) = (x-ах) ...(x-ar) (х + p1x + q1) ... (х +psx + qs) ,
(19.29) at — попарно различные действительные корни многочлена Q(x) кратности i = 1, 2, ... , г,
х2  * + PjX + qj = (х - Zj)(x - Zj), Zj и Zj
— попарно различные при разных j существенно комплексные корни многочлена Q(x) кратности |Зу, j = 1, 2, ... , s, то существуют действительные числа А-а), i = 1, 2, ... , г, а = 1, 2, ... , ар М*₽) и Np j = 1, 2, ... , s, р = 1, 2, ... , р? такие, что
т>< а А(1) А<2) А(011)
Q(x) (х-а/1 (х-а/1-1 ■" х’а1
41’ < M^x + N^
... + h -7 + ... + — h Цт- +
(х - аг) ’■ (х - ar) '' Х а'~ (х2 + Р1х + q^1
М^х + Mi₽1)x + N(f1}
+ + + — — +
-Г Р1 _ 1 -г ... -г 2
(х + рхх + qx) х + Р1х + б?1
M^x + N^ M^}x + N^} М^’х + ДГ*₽,)
•" ■* ~9 ₽, 9 ₽,-1 + ••• 4  * •
(х + psx + qs) (х + psx + qs) х + Psx +
(19.30)
1 Без ограничения общности можно считать, что коэффициент
старшего члена многочлена Q(x) равен единице, так как в случае,
когда он равен какому-то другому числу (отличному от нуля), можно
разделить числитель и знаменатель дроби на это число, после
чего у получившегося в знаменателе многочлена коэффициент стар¬
шего члена окажется равным единице.
499


Доказательство. Из разложения (19.29) имеем
OCi
Q(x) = (x- aj Qi(x).
Здесь
а2 аг 2 ₽1 2 Ps
Qi(x) = (х - а2) ...(x-ar) (х + p1x + q1) ... (х +psx + qs) и, следовательно, 0, поэтому, согласно лемме 1,
Р(х) = Р1М
Q(x) / ч“1 / л“1 " / л '
(х - а^) (х - at) Qjtx)
Применяя в случае > 1 подобным образом эту же лем- Р^х)
му к рациональной дроби — , получаем
(х - аг) 1 Q^x)
Dz х д/1) Д^ р (Х)
Р(х) _ 711 711
Q(x) ~~ ~ ~ «1 - 1 ~ \ *
(x-aj) (x-aj) (x-aj) Q2(x)
Продолжая этот процесс далее, пока показатель степени у сомножителя х - а1 в знаменателе последней дроби в правой части равенства не станет равным нулю, а затем, поступая аналогичным образом относительно множителей х - i = 2, ... , г, будем иметь
где
Р^(х)
л(1)
Р(Х) = А1 А1
О(х) °Ч «1-1
' (х - а1) (х - а)
(х - аг) {х - аг)
— снова правильная рациональная дробь, причем
Р*(х) и Q*(x) — многочлены с действительными коэффициентами и многочлен Q*(x) не имеет действительных корней.
Применяя последовательно лемму 2 к дроби
Р*(х)
<3*(х)
и к по¬
лучающимся при этом выражениям, в результате получим формулу (19.30). □
Рациональные дроби вида
А . А* 0, и Mx + N M2 + N2>0, , Лос ’ 2 Р
(х ~ а) (х + рх + q) 500


где а, р, q, А, М и N — действительные числа и р2/4 - q < О (корни трехчлена х2 + рх + q существенно комплексные), называются элементарными рациональными дробями.
Таким образом, доказанная теорема утверждает, что всякая ненулевая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму элементарных рациональных дробей.
При выполнении разложения вида (19.30) для конкретно заданной дроби обычно оказывается удобным метод неопределенных коэффициентов. Он состоит
(х)
в следующем. Для данной правильной дроби записыва-
ют разложение (19.30), в котором коэффициенты А-а), ,
считают неизвестными (i = 1, 2, ... , г, а = 1, 2, ... , az, j = 1, 2, ... , s, Р = 1, 2, ... , Ру). После этого обе части равенства приводят к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравнивают коэффициенты. При этом если степень многочлена Q(x) равна п, то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (19.30) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени п - 1, т. е. многочлен с п коэффициентами, число же неиз¬
вестных также равно п (см. (19.10)):
L а, + 2 t р,- = п.
i = 0 1 j = 0 г ]
Таким образом, получена система п уравнений с п неизвестными. Существование у нее решения вытекает из доказанной теоремы.
Отметим, что после приведения выражения (19.30) к общему знаменателю и его отбрасывания, в случае когда Q(x) имеет действительные корни, целесообразно подставить в обе части получившегося равенства последовательно эти корни; в результате получаются некоторые соотношения между искомыми коэффициентами, полезные для их окончательного определения.
— на элементар¬
ные дроби. Согласно (19.30), искомое разложение имеет вид х = А В С
(х2 - 1)(х - 2) Х-1 х + 1 х-2*
Примеры. 1. Разложим дробь
501


Приводя дроби к общему знаменателю и отбрасывая его, получим
х = А(х + 1)(х - 2) + В(х - 1)(х - 2) + С(х - 1)(х + 1). (19.31) Здесь имеет место случай, когда все корни знаменателя действительны. Полагая в равенстве (19.31), согласно сказанному выше, последовательно х = 1, х = -1 и х = 2, находим 1 = -2А, -1 = 6В, 2 = ЗС, откуда А = -1/2, В = -1/6, С = 2/3.
Таким образом, искомое разложение имеет вид
(х2- 1)(х-2) = ~2(х- 1) " 6(х+ 1) + 3(х - 2) • (19-32)
2. Найдем разложение на элементарные дроби для
—. Общий вид разложения в этом случае таков: x(xz + l)z
х2 - 1 _ А Вх + С Dx + Е
2 2 “ х + 2 2 + 2 , *
Х(Х +1) (х + 1) * + 1
Приводя дроби к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем
х2 - 1 = А(х2 + I)2 + (Вх + С)х + (Dx + Е)(х2 + 1)х.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: -1=А, 0 = С + Е, 1 = 2A + B + D, 0 = E,0=A + D,
отсюда находим: А = -1, В = 2, С = О, D = 1, Е = 0, поэтому искомое разложение имеет вид
Следует заметить, что в отдельных случаях разложение на элементарные дроби можно получить быстрее и проще, не прибегая к методу неопределенных коэффициентов, а каким-либо другим путем. Например, для разложения той же дроби
2 _ 1
2 на сумму элементарных дробей проще всего дважды Х2(1 + X2)
прибавить и вычесть в числителе х2 и произвести деление так, как это указано ниже:
х2 - 1 _ х2 - (х2 + 1) + х2 _ 2х 1 _
2 2 2 2 9 2 , 2 . .j ч
х(х +1) Х(Х + 1) (X + 1) х(х +1)
_ 2х(х2 + 1) - х2 _ 1 2х х
(X2 + I)2 х(х2 + 1) х (х2 + 1)2 Х2 + 1
502


Полученное в результате разложение и является разложением (19.33) данной дроби на сумму элементарных дробей.
УПРАЖНЕНИЕ 5. Докажите, что разложение вида (19.30) правильной рациональной дроби единственно.
Р(х)
Замечание 2. Если - — правильная рациональ- пая дробь с комплексными коэффициентами, то, в силу замечания 1, применяя к ней последовательно разложение (19.25), как это было сделано при доказательстве теоремы 1 (см. замечание 1), получим разложение заданной дроби толь- д
ко на дроби вида , где а и А, вообще говоря, комплекс-
(z-a)°
ные числа
= у у
Q(z) / = 1/ = 1 осг-/ + Г
(г - at)
Здесь а19 ... , ak— все различные корни многочлена Q(z), ocz — кратность корня i = 1, 2, ... , k, поэтому сумма о^ + + ос2 + ... (i/г равна степени многочлена Q(z).
§20.
Интегрирование рациональных дробей
20.1. 	Интегрирование элементарных рациональных дробей
В этом и следующем параграфах рассмотрены методы интегрирования некоторых классов элементарных функций. При этом каждый раз, не оговаривая специально, будем предполагать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором промежутке, во всех точках которого определена подынтегральная элементарная функция (иначе говоря, на котором формула, задающая подынтегральную функцию, имеет смысл (см. п. 5.3)).
В предыдущем параграфе показано, что всякая рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и эле503


ментарных рациональных дробей (см. (19.24) и (19.30)). Интеграл от многочлена вычисляется, и притом очень просто (см. п. 18.2). Рассмотрим вопрос об интегрировании элементарных рациональных дробей.
Сначала рассмотрим вычисление интегралов от дробей вида , п = 1, 2, ... .
(х - а)п
Если п = 1, то (см. формулу 2 в п. 18.2)
dx |х - а\ + С, (20.1)
а если п 1, то (см. формулу 1 в п. 18.2)
dx —г + С. (20.2)
(х - а) (п - 1)(х - а)
Рассмотрим теперь интегралы от дробей —Мх + N—- , где (х + рх 4- q)
2
- q < 0, п = 1, 2, ... . Снова начнем со случая п = 1. Заме¬
чая, что 9 2
2 I I ( . РГ I ( Р \
х + рх + q = I х + I + I ? “ 4 I,
2
. , Р 2 р n п
и полагая t = х + ^,а = q - > 0, имеем а > 0,
2^4
м(г N
f Мх + N , _ f I 2)
J 2 dx j 2 2 dt
х + рх + q t + а
= м\^-2 + (W- =
Z + <Z ' ' t + U
M, ,,2 . 24 . 2N-Mp , t , n
= y In (i + a ) + —arctg- + C =
= In (x2 +px + q)+ 2N2aMp arctg
(20.3)
2
. Р-
-г» 1 i Р 2 р
В случае п > 1, полагая, как и выше, t = x+ ^,a = q-
подобным же образом получим
2Mx + N dx = M\ tdt +g^^f dt (x2+px + q)n \t2 + a2)n 2 (t2 + a2)n
(20.4)
504


Рассмотрим отдельно каждый из получившихся интегралов в правой части этого равенства. Что касается первого из них, то он вычисляется сразу:
2 2
г tdt _ 1 cd(t + а ) _ _ 1 + С
J 9 9 П 2^2 9 п 9 9/Т-1
(Г + а) (Г + а) 2(п-1)(Г + а)
(20.5)
Второй же интеграл правой части равенства (20.4) вычисляется несколько сложнее. Пусть
/ = ( > п=1, 2, 3, ... .
AZ J о 2
(Г + а )
Проинтегрируем интеграл 1п по частям, положив и =
1 7 7 , 7 2ntdt
= dv = dt, и, следовательно, du = ,
(f2 + a2) (t2 + а2)
v = t, а затем, добавив и вычтя а2 в числителе получившейся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим
dt
2 2 П
{t + а )
п
t с t2
+2п\ — dt =
2 2 п '2. 2^+1
(Г + а ) {t + а )
2 2 2
+ 2nf(t +а }~“dt =
J 2 2^+1
(Г + а)
t
2 2 П
(t + а)
= * + 2n J—~ а2( г ,
(t2 + a2)n l-(t2 + a2)n (t2 + a2)n
т. е.
= h 2nl„ - 2па21п . 1,
П ъ П п П L7
(t + а )
откуда
1 t . 2 п 1 -г io
5 + 5" Av, П = 1, 2 г» 2 2 2 п ’
^па + а ) ^па
(20.6)
Интеграл легко вычисляется (см. в п. 18.3 формулу 12); формула (20.6) позволяет вычислить 12'9 зная же 12, по той же формуле можно найти значение /3, продолжая этот процесс дальше, можно найти выражение для любого интеграла 1п (п = 1,2,...).
505


20.2. 	Общий случай
Из результатов п. 19.6 и предыдущего п. 20.1 непосредственно вытекает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей, арктангенсов и натуральных логарифмов.
Теорема 1 есть прямое следствие формул (19.24), (19.30),
(18.7), (18.8), (18.9), (20.1)—(20.6). Эти формулы дают и конкретный способ вычисления интеграла от рациональной функции: сначала делением числителя на знаменатель выделяется «целая часть», т. е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (19.24). Если получившаяся правильная рациональная дробь оказывается ненулевой, то она раскладывается на сумму элементарных дробей (19.30), после чего, используя линейность интеграла (18.7) и (18.8), можно вычислить интегралы от каждого слагаемого отдельно, согласно формулам (18.9) и (20.1)—(20.6).
Примеры. 1. Вычислим J —?— . Уже известно
(х - 1)(х - 2)
(см. (19.32)), что
х 1 12
(х2 - 1)(х - 2) 2<х “ 6<х + D 3<х ~ 2) ’
поэтому
г xdx _ _1 г dx _ 1 г dx 2 г dx _ (х2 - 1)(х - 2) " 2J^ 3J^2“
= In |x - 1| - | In |x + 1| + | In |x - 2| + C.
x6 + 2x4 + 2x2 - 1
2. Вычислим J g dx. Согласно общему пра-
x(x2 + 1)
вилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; имеем
6 I О 4 I О 2 1 2 1
х + 2х + 2х - 1 . х - 1
= % -к
9 2 9 2 •
х(х + 1) х(х + 1)
506


Для получившейся правильной рациональной дроби уже найдено ее разложение на элементарные дроби (см. формулу (19.33)):
2 1 1 о
х - 1 _ 1 2х х
2 2 — X + 2 2 + 2 , 1 ’
х(х +1) (х + 1) * + 1
поэтому
6 4 2
гх + 2х + 2х - 1 , г , cdx . г 2xdx . г х J й 2 dX = JXdX - J V + J —2 2 + J dX =
x(x +1) (x+1) x+1
= V - In |x| h In (x2 + 1) + C.
z X + 1 z
Следует иметь в виду, что указанный метод вычисления неопределенного интеграла от рациональной дроби является общим: с помощью его можно вычислить неопределенный интеграл от любой рациональной дроби, если можно получить конкретное разложение знаменателя на множители вида (19.10). Однако естественно, что в отдельных частных случаях бывает целесообразнее для значительного сокращения вычислений действовать иными путями.
x2dx
Например, для вычисления интеграла I = J 3 про-
(1-Х2)
ще не раскладывать подынтегральную функцию на элементарные дроби, а применить правило интегрирования по частям. Положив и = х, dv = —xdx 3 и, следовательно, du = dx,
(1 - X2)
1
v = 3 , получим
4(1 - X2)
507


Прибавляя и вычитая в числителе получившейся подынтегральной функции х2, производя деление, получаем два интеграла, из которых первый табличный, а второй легко вычисляется интегрированием по частям:
х 1 т 11 + х . 1 г dx
= —3L-2-2 - i^ln |L±^| ^-2- + c.
4(1 -x) 16 |l-x| 8(1-x)
20.3*. Метод Остроградского
В п. 19.6 было показано, что всякая правильная ненулевая рациональная дробь может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. Но из п. 20.1 следует, что первообраз-
- « 1 Мх + N (рЛ
ные элементарных дробей х а и - q < 0 , явля¬
ются трансцендентными функциями вида A arctg (агх + а2) + + В In (Ъхх + Ъ?) + С (см. 20.1) и (20.3)); первообразная элементарной дроби —-—- , ос = 2, 3, ... , является рацио- (х - а)а
нальной дробью; первообразная же элементарной дроби —(Мх + R , Р = 2, 3, ... , в силу формул (20.4), (20.5), (20.6) (xz + рх + Q)p
и формулы 12 п. 18.3 может быть, вообще говоря, представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и трансцендентной функции вида Aarctg (а^х + а2) + С, являющейся первообразной от дроби вида + + ~ У Поэто¬
му всякая первообразная любой рациональной дроби представима, вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби (алгебраическая часть) и трансцендентной функции, являющейся первообразной от суммы дробей вида х а и Мх + N р2 ~
, ~л— q < 0.
xz + рх + q 4
508


Р( х}
Таким образом, если — правильная рациональная дробь и
а1 аг 2 01 2 0S
Q(x) = (x-al) ...(x-ar) (х +p1x+ql) ... (х + psx+qg)
— разложение ее знаменателя в виде (19.10), то существуют такие многочлены Рг(х), Q^x) и такие числа Ар i = 1, 2, ... , г, Mj, Nj, j = 1, 2, ... s, что имеет место равенство
/57^7 dx =
3 Q(x)
(20.7)
отсюда, произведя под знаком интеграла сложение дробей, имеем
Р(х) , _
Q(x)ax Q1(x)+Jq2(x)
(20.8)
где Q2(x) = (х - (Zj)... (х - аг)(х2 + ргх + qj ... (х2 + psx + qs). Из формул (20.2) и (20.6) следует, что многочлен Qj(x) имеет вид Qi(x) =
c^-l ar-1 2 Р1-1 2 0s-1
= (х-а1) ...(x-ar) (х +p1x + q1) ...(х +psx + qs) т. е. является наибольшим общим делителем многочлена Q(x) и его производной Q'(x) (см. (19.23)).
Формула (20.8) называется формулой Остроградского1.
Второе слагаемое правой части формулы (20.8) называется
~ fP(X) ,
трансцендентной частью интеграла J дх; это естественно, ибо из сказанного выше следует, что всякая первообразная дроби P2(x)/Q2(x) с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбинацию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций и, значит, как это можно показать, будет являться, вообще говоря, трансцендентной функцией. Первое же слагаемое, называемое алгебраической частью, может быть найдено чисто алгебраическим путем, если известны многочлены Р(х) и Q(x) (а значит, и Q'(x)), т. е. без интегрирования каких-либо функций. 1 М. В. Остроградский (1801 —1869) — русский математик.
509


В самом деле, многочлен Q^x), являясь наибольшим общим делителем многочленов Q(x) и Q'(x), всегда может быть найден с помощью алгоритма Евклида (см. п. 19.5 ), тем самым для отыскания многочлена Q^x) не требуется знания корней многочлена Q(x); однако, если корни многочлена Q(x) известны, а значит, известно и его разложение вида (19.17), то ясно, что многочлен Q^x) может быть сразу записан по формуле (19.23). Многочлен Q2(x) находится как частное от деления Q(x) на Qi(x).
Для отыскания же многочленов Р^х) и Р2(х) можно применить метод неопределенных коэффициентов. Поясним его. Обозначим степень многочлена Q^x) через п1 — степень многочлена Q2(x) — через п2; тогда из равенства
Q(x) = Q1(x)Q2(x) (20.9)
Р^х) Р2(х)
получим п =
П1 + п2. В силу того, что дроби Q1(X) и Q2(x) ,
являясь суммой правильных рациональных дробей, также
правильные,
степени многочленов РДх) и Р2(х) соответ-
ственно не выше, чем п1 - 1 и п2 ~ 1 и, значит, в этих много¬
членах число отличных от нуля коэффициентов соответственно не превышает п1 и п2; таким образом, число неизвестных коэффициентов равно п1 + п2 = п. Дифференцируя первообразные, входящие в обе части формулы (20.8), получим (опуская для краткости обозначение аргумента) соотно¬
шение
Дифференцируя дробь тт- , имеем
ЧГ 1
Заметим, что
р _ Р2
Q Qj
PiQj ~ РiQ\ = Р^2-РГР о2, Q1Q2
(20.10)
(20.11)
где R = ® — многочлен. Действительно, если z — корень
ЧГ 1
многочлена кратности X, то, как известно (см. п. 19.4), 510


г является корнем кратности X - 1 для производной и однократным корнем многочлена Q2, поэтому в этом случае z является и корнем кратности X для многочлена QXQ2 • Отсюда, согласно формуле (19.7), сразу следует, что многочлен QiQ2 нацело делится на многочлен Q1, т. е. что R также многочлен. Итак, из формул (20.9), (20.10) и (20.11) имеем
Р _ ^1^2 ~ PyR £2
Q Q1Q2 5
откуда
Р = P[Q2 - PrR + P2Q1. (20.12)
Многочлен Р имеет степень не выше чем п - 1 ^так как Р >
дробь — правильная . Приравняв коэффициенты при оди- паковых степенях k, k = 0, 1, ... , п - 1, переменного х в обеих частях равенства (20.12), получим п линейных уравнений относительно п неизвестных. Выше было доказано (см.
(20.8)), что многочлены Рх и Р2 всегда (в частности, при некотором фиксированном многочлене Q и при любом многочлене Р степени, не превышающей п - 1) существуют; поэтому полученная система линейных уравнений имеет решение при любой правой части1. Отсюда следует, что определитель этой системы не равен нулю, а значит, про рассматриваемую систему можно сказать, что она не только имеет решение, но и что оно единственно. Тем самым не только получен метод определения неизвестных коэффициентов в формуле (20.8), но и доказана единственность этого представления.
Формула (20.8) сводит, вообще говоря, задачу интегрирования любой правильной рациональной дроби к задаче интегрирования правильной рациональной дроби, у которой знаменатель имеет только простые корни. С помощью этой формулы при интегрировании правильной рациональной дроби можно найти указанным выше способом алгебраическую часть интеграла dx, а затем проинтегрировать бо- щх)
1 Как обычно, предполагается, что все члены уравнений, содержащие неизвестные, и только они перенесены в левую часть равенства.
511


л р2(х)
лее простую рациональную дробь , если, конечно, слу- чайно не окажется, что Р2(х) — тождественный нуль; в этом случае задача будет уже решена.
Описанный метод интегрирования рациональных дробей называется методом Остроградского. При использовании метода Остроградского для интегрирования рациональных дробей часто оказывается целесообразней записывать формулу Остроградского (20.8) в виде (20.7), так как в этом случае после нахождения неизвестных коэффициентов в подынтегральной функции ее сразу можно проинтегрировать.
Неизвестные коэффициенты в формуле (20.7) находят методом, который описан для формулы (20.8): следует продифференцировать обе части равенства (20.7), привести к общему знаменателю все рациональные дроби, получившиеся в обеих частях равенства, приравнять коэффициенты у одинаковых степеней переменной х в многочленах, стоящих в числителях, и решить получившуюся систему линейных уравнений.
Пример. Применим метод Остроградского для вычис- 4 , о 3 о 2 ,
гх + 2х - 2х + х 7 о ления интеграла J 2~ ах. Здесь
(1 - х)3(1 + X2)
Q(x) = (1 - х)3(1 + х2)2.
Общий наибольший делитель Q^x) многочлена Q(x) и его производной Q'(x), согласно формуле (19.23), имеет вид
Qi(x) = (1 _ х)2(1 + х2) = х4 - 2х3 + 2х2 - 2х + 1. Поэтому
Q2M = = (1 - х)(1 + х2)
(что, конечно, соответствует формуле для в равенстве
(20.8)). Нам еще понадобится
Qi(x) = -2(1 - х)(1 + х2) + 2(1 - х)2х = -2(1 - х)(2х2 - х + 1).
Многочлены Р^х) и Р2(х) запишем с неопределенными
Рг(х) Р2М коэффициентами так, чтобы дроби и были
правильными:
Р^х) = Кх3 + Lx2 + Мх + 7V, Р2(х) = kx2 + lx + т.
512


Согласно формуле (20.8), 4 | г» 3 о 2 гх + 2х - 2х + х  5- ах = J з 9 2
(1-х) (1 + X )
Кх3 + Lx2 + Мх + N . с kx2 + lx + тп , = 2 2 + J 2 dX’
(1 - х) (1 + X ) (1 - х)(1 + X )
поэтому
432 г 2 2 П' 2
х + 2х - 2х + х _ Кх + Lx + Мх + N kx + lx + m
(1 - х)3(1 + х2)2 . (1 —x)2(l + x2) _ (1 - x)(l + X2)
Произведя дифференцирование и используя полученную формулу для Q'(x), будем иметь х4 + 2х3 - 2х2 + х _ (1 - х)3(1 + х2)2
= (ЗДГх2 + 2Lx + М)(1 - х)2(1 + х2)
(1 - х)4(1 - х2)2
2(.gx3 + Lx2 + Мх + N)(l - х)(2х2 - х + 1) kx2 + lx + гп
(1 - х)4(1-х2)2 (1-х)(1+х2)’
Сократив первую дробь в правой части равенства на множитель 1 - х и приведя все дроби к общему знаменателю, приравняем числители левой и правой части равенства:
х4 + 2х3 — 2х2 + х = (ЗКх2 + 2Lx + M)(—xs + х2 — х + 1) +
+ 2(7Сх3 + Lx2 + Мх + N)(2x2 - х + 1) +
+ (kx2 + lx + m)(x4 - 2xs + 2x2 - 2x + 1).
Отметим, что это равенство следует и из формулы (20.12).
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в обеих частях равенства, получаем следующую систему уравнений:
М + 2N + m = 0,
2L - М + 2М - 2N - 2m + I = 1,
ЗК - 2L + М + 2L - 2М + 4N + k - 21 + 2т = -2,
- ЗК + 2L - М + 2К - 2L + 4М - 2k + 21 - 2т = 2,
ЗК - 2L - 2К + 4L + 2k - 21 + т = 1,
-ЗК + 4К - 2k + I = 0, k = 0,
513


или
М + 2N + т = О, 2L + M-2N + l-2m = 1,
ЗК - М + 4N + k - 21 + 2т = -2, -K + 3M-2k + 2l-2m = 2, К + 2L + 2k — 21 + т = 1, К-2k+ l = k = O.
Решая эту систему уравнений, находим: К = 1/2, L = -1/2, М = 3/2, N =-1, й = О, Z = -l/2, т = 1/2; поэтому
4 | г» 3 о 2
сх + 2х - 2х + х 7
ах =
J 3 2^
(1 - X) (X +1)
1 х3 - х2 + Зх - 2
2 2(1 - х)2(1 + х2)
х - х + Зх - 2 .1 . .
= ъ у + 5 arctg х + С.
2(1-х)(1+х) z
— Лг Т -L 7
х- ах =
(1 - х)(1 + X )
§21.
Интегрирование некоторых иррациональностей
21.1. 	Предварительные замечания
Функции вида
Р(иА, ... , и )
R(u1, ... , ип) = \ , (21.1)
v 1 п' Q(ur,... ,ип)’ ' '
где Р и Q— многочлены от переменных иг, ... , ип, т. е. функции вида
k, kn
„ + <t%’ •" ’ knU1 •" Un ’
ky + ... + kn < k 1 n
называются рациональными функциями от и15 ... , ип.
Если в формуле (21.1) переменные и15 ... , ип в свою очередь являются функциями переменной х: щ = <pz(x)’ = = 1,2,..., п, то функция ... , <рп(х)] называется раци¬
ональной функцией от функций (р^х), ... , фп(х).
514


х _|_ 3/лх2 _ 1)2 Например, функция f(x) = — . является раци-
Jx - Jx2 + 1
опальной функцией от х и радикалов Jx, sJx2 - 1, и
Jx2 + 1:
f(x) = R(x, Jx, 3Jx2 - 1, Jx2 + 1);
здесь , 2
+ u3
Rtu^ u2, u3, ,
u2 U4
ux = x, u2= Jx, u3 = sJx2 - 1, u4 = Jx2 + 1 .
Если в формуле (21.1) переменные и19 ... , ип являются элементарными тригонометрическими функциями, то получающаяся сложная функция называется рациональной относительно элементарных тригонометрических функций. Примером такой функции является следующая: . 2 2
SIR X ~ COS X ч
з = 7?(sm х, cos х). sin x + cosx
Перейдем теперь к интегралам от функций рассмотренных типов и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций.
21.2. 	Интегралы вида /йГх, dx условии, что постоянные r19 ... , rs рациональны, и
венно, так как если
= 0, то коэффициенты а, Ъ были бы
0
Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта, при а Ъ с d
(а, й, с, d — постоянные). Последнее предположение естест- а Ъ с d
пропорциональны коэффициентам с, d и поэтому отношение ах + Ъ
сх + d не зависело бы от х. Подынтегральная функция в этом случае была бы обыкновенной рациональной дробью от одного переменного, вопрос об интегрировании которой был рассмотрен выше.
515


Пусть nt — общий знаменатель чисел гр ... , rs:
ri = т' Pi — Челое> *=1,2,.
Положим
_ ах + b сх + d ’
откуда
а - ct
.. . s.
(21.2)
(21.3)
р(0 является рациональной функцией, поэтому рациональная функция; далее,
dx =р'(0 dt.
p'(i) также
(21.4)
(ах + ЬЛ1 mri Pi . io
тт =t =t .1=1.2...
\сх + d)
. . s.
(21.5)
Подставляя (21.3), (21.4) и (21.5) в подынтегральное выражение рассматриваемого интеграла, получим
( -,,т ,
dt - Ъ
,т
\а - ct
, tPs)p'(O dt = \R*(t) dt,
+ , Ddt-b Pl
где R (t) = R\ , t , ... , t p(0, очевидно, является
[a - ctm >
рациональной функцией переменного t. Таким образом, вычисление интеграла (21.6)
сводится к интегрированию рациональных дробей.
Конечно, для того чтобы найти выражение для исходного интеграла, надо после вычисления интеграла f R (t) dt.
r , (ах + b\1/m
сделав обратную замену переменного t = I + d I , вер¬
нуться к первоначальной переменной х. В дальнейшем в аналогичных ситуациях мы не будем каждый раз оговаривать необходимость обратного перехода к исходной переменной х.
516


Отметим, что к рассмотренному типу интегралов относятся интегралы вида
р?[х, (ах + Ъ) 1, ... , (ах + Ъ) s ] dx, а О, в частности
Г Г1 rs
\R(x, х , ... , х ) dx.
Пример. Вычислим интеграл J——— . Полагая, со-
Jx + %/х 6 5
гласно общему правилу, х = t , dx = 6t dt, получаем
— бГтг ~ + t — In \t + 1|"| + С =
о Z J
= 2л/х - 3\[х + GQa/x - 61n (QJx + 1) + С.
К интегралам вида (21.6) сводятся иногда с помощью элементарных преобразований и интегралы других типов, например, типа J 7(х _ а)(х - fe) dx.
Покажем метод вычисления подобных интегралов на примере интеграла
J7(х - 1)(х - 2) dx. (21.7)
Вынося в подынтегральной функции множитель (х - 1) за знак радикала, получаем интеграл вида (21.6): именно при х > 2
J7(х - 1)(х - 2) dx = f(x - 1) dx,
а при х < 1
f J(x - 1)(х - 2) dx = f(l - х)
При 1 < х < 2 подынтегральное выражение чисто мнимое. Рассмотрим, например, случай х > 2. Положим здесь
(см. (21.2)) t2 = , тогда
517


поэтому
J7(x - l)(x - 2) dx =
_ ff2 - t2 1 2t2dt _ of t2 dt J L 2 1 2 2 2 3
Ц-* Jd-Г) (1-Г)
— получился интеграл от рациональной дроби, который был вычислен раньше (см. п. 20.2).
21.3. Интегралы вида J#(x, Jax2 + Ъх + с) dx.
Подстановки Эйлера
Указанные интегралы могут быть сведены с помощью замены переменного к интегралам от рациональных функций. Рассмотрим три замены переменного, называющиеся подстановками Эйлера1. Итак, пусть дан интеграл
\R(x, л]ах + Ъх + с) dx, а^ 0. (21.8)
Первый случай: а> 0. Выполним замену х на t следующим образом:
отсюда
dax + Ъх + с = ±xja ± t (21.9)
(знаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части написанного равенства в квадрат:
__ ах2 + Ъх + с = ах2 ± txja + t2,
х = ——= R^t), b + 2tja 1
R^ft) — рациональная функция от t, значит, R^ft) также рациональная функция.
Далее, dx = R{(t) dt,
Jax2 + Ъх + с = +R1(t)Ja + t = R2(t), где, очевидно, R2(t) — рациональная функция. Окончательно, \R(x, dux + Ъх + с) dx =
= JLrcr^), dt = Jt? (t) dt,
где R (t) = R^R^t), R2(t)) R{(t) — рациональная дробь. □
1 Л. Эйлер (1707—1783) — швейцарский математик.
518


Второй случай: корни трехчлена ах2 + Ьх + с действительные. Пусть х1 и х2 действительные и являются корнями трехчлена ах2 + Ъх + с. Если хг = х2, то
Jax2 + Ьх + с = Ja(x - хг)2 = |х - xj Ja .
Отсюда следует, что в этом случае либо под корнем стоит отрицательная при всех значениях х х1 величина, т. е. корень принимает только чисто мнимые выражения, — этот случай имеет место при а < 0 и мы его не рассматриваем, либо при а > 0 после указанного элементарного преобразования получаем, что переменное х не входит под знак корня, т. е. под интегралом стоит просто рациональная функция от х, вообще говоря, разная для каждого из промежутков (-°°, хг) и (хр + °°).
Рассмотрим теперь случай, когда х1 х2. Замечая, что ах2 + Ьх + с = а(х - х^(х - х2), и, вынося х - хх из-под знака корня,получаем,что
-Цх, J01;;*2’], (21.10)
здесь 7?3(u, v) — рациональная функция переменных и и v.
Как известно (см. п. 21.1), интеграл от функции (21.10) мо-
2 а(х - х2) жет быть с помощью подстановки (см. 21.2) t = х _ х— сведен к интегралу от рациональной функции; в нашем случае
±(х - x1)t = ^а{х - XjXx - х2),
или, беря t > 0 при х > х1 и t < 0 при х < х19 имеем
(х - xx)t = Jax2 + Ьх + с . □
Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (21.7) является примером случая 2; этот интеграл был сведен выше к рациональной дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае.
Два изученных нами способа вычисления интеграла (21.8) позволяют всегда свести этот интеграл к интегралу от раци519


ональной дроби на любом промежутке, если только корень Jax2 + Ьх + с на этом промежутке не принимает чисто мнимые значения (естественно, изучая анализ в действительной области, исключить этот случай из рассмотрения). В самом деле, допустим, что ни первый, ни второй случай не имеют места, т. е. а < 0 и корни х1 и х2 трехчлена ах2 + Ъх + с существенно комплексны: xr = g + hi. х2 = g - hi. h 0. Тогда
Jax2 + bx + c = ja(x - xr)(x - x2) =
= ja(x - g - hi)(x - g + hi) = Ja[(x - g)2 + h2].
и так как a < 0, a h 0, то под корнем при любых х стоит отрицательное выражение. □
Третий случай: с > 0. В этом случае можно применить подстановку
Jax2 + bx + с = ± л/с ±xt
(комбинация знаков произвольна). Возводя в квадрат, получим равенство
2 - , I о Г х I 2,2 ах +Ъх = ±2 л]с xt + х t .
откуда
х = b 2t^c = R4(t), dx = R'4(t) dt, л/ах2 + bx + с = ± л/с ± R±(t)t = R$(t).
где R±(t). R^{t) и R$(t)— суть рациональные функции t. Поэтому
\R(x. Jax2 + bx + c) dx =
= \R(R4(t). Rx/t)) R± (t) dt = \R(t) dt.
где R(t) = R(R4(t). Rx/t)) R±(t)— рациональная дробь. □
Интегралы вида \R(x. л/ах + Ъ . Jex + d) dx сводятся подстановкой
t2 = ax + b (21.11)
к рассмотренным интегралам вида (21.8).
520


В самом деле, из (21.11) имеем
х=—dx=-tdt,Jcx + d = l-t2 -- + d = jAt2 + В, a a ya a
гдеА = |, В = + с/, поэтому
р?(х, Jax + b , Jex + d) dx = fl?6(B ^At2 + В) dt, где Rq(u9 v) — рациональная функция переменных и и v. В правой части последнего равенства стоит интеграл типа (21.8). □
Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям, поэтому их следует применять, вообще говоря, лишь тогда, когда рассматриваемый интеграл не удается вычислить другим, более коротким способом. Например, замечая, что ах + Ъх + с = = а[х+ + с - нетрудно убедиться, что интеграл (21.8) у a a j 4 а
в случае, когда подкоренное выражение положительно на некотором интервале, с помощью линейной подстановки может быть приведен (ср. с п. 18.4) к одному из трех интегралов:
л/1 - i2) dt, jB(f, Jt2 - 1) dt, \R(t, Jt2 + 1) dt.
Для вычисления полученных интегралов часто оказывается очень удобным использовать тригонометрические подстановки t = sin u, t = cos u, t = tg u, а также гиперболические подстановки
t = sh u, t = ch u, t = th u.
Пример. Вычислим интеграл + x2 dx с помощью замены переменного x = sh t, из которой следует (см. п. 9.8), что t = In (х + Jx2 + 1). Имеем
Jл/1 + х2 dx = jch2 t dt = J1 + %h2t dt =
~ 2 4 sh “I- C — 2 (t + sh t ch t) + C —
= 2 [In (x + J X2 + 1 ) + X л/1 + x2 ] + C.
521


21.4. 	Интегралы от дифференциальных биномов
Выражение хт(а + bxn>f dx(a^0,b^ 0) называется дифференциальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда п, тир — рациональные, а а и b — действительные числа.
Положим
х = t1/n, (21.12)
тогда dx = ^t1/n 1 dt и, следовательно,
т + 1 j.
\хт(а + Ъхп)р dx = f(a + Ы)р t п dt.
Таким образом, интеграл
\x”\a + bxnf dx (21.13)
сводится подстановкой (21.12) к интегралу типа
\(a + btftq dt, (21.14)
где р wq рациональны. В рассматриваемом случае
Первый случай: р — целое число. Пусть q = r/s, где г и s — целые числа. Согласно результатам п. 21.2, в этом случае подстановка z = t1^ сводит интеграл (21.14) к интегралу от рациональной дроби.
Второй случай: q — целое число. Пусть теперь р = r/s, г и s — целые числа. Согласно результатам п. 21.2, интеграл (21.14) приводится в этом случае подстановкой z = {а + bt)^s к интегралу от рациональной дроби.
Третий случай: р + q — целое. Пусть р = r/s, где s — целое. Запишем для наглядности интеграл (21.14) в виде
+ bt)ptq dt = JJtP + 4 dt-
Снова имеем интеграл типа, рассмотренного в том же п. 21.2. На этот раз к интегралу от рациональной дроби его (а + bt\vls приводит подстановка z = I—-— I
Итак, в трех случаях, когда одно из чисел р, q или р + q является целым, интеграл (21.14) при помощи указанных 522


выше подстановок приводится к интегралу от рациональной дроби.
Применительно к интегралу (21.13) этот результат вы- - т + 1
глядит следующим образом: когда одно из чисел р, —-— или 1 + р является целым, интеграл (21.13) может быть сведен к интегралу от рациональной дроби. При этом в том случае, когдар целое, это сведение осуществляет подстановка 2 = xn/s, где число s является знаменателем дроби 1, т. е. т + 1 г т + 1
—-— = - ; в том случае, когда —-— — целое, подстановка
z = (а + bxn)1/s,
где число s является знаменателем дроби р, т. е. р = , а в т + 1 .
том случае, когда — 1- р — целое, — подстановка
z = (ах~п + fe)1/s,
где число 8 также является знаменателем дроби р.
Этот факт был известен еще И. Ньютону. Л. Эйлер высказал предположение, что ни для каких других показателей т, п и р интеграл от дифференциального бинома нельзя свести к интегралу от рациональных функций. Для рациональных показателей т, п и р, не удовлетворяющих указанным выше условиям, это было доказано П. Л. Чебышё- вым, а для иррациональных — Д. Д. Мордухай-Болотов- ским1.
Пример. Рассмотрим интеграл
I = \Jx\ll - 1/7? dx = fx1/2 (1 - х-3/2 )1/4 dx.
Здесь т = 1/2, п = -3/2, р = 1/4 и (пг + 1)/п = -1; имеем второй случай.
Сделаем указанную выше подстановку:
z = (1 - х“3/2)1/4; (21.15)
1 Д. Д. Мордухай-Болотовский (1876—1952) — русский математик.
523


Z1 4.-2/3 , 8,.. 4ч-5/3 3 ,
отсюда х = (1 - 2 ) , ах = (1 - 2 ) г аг, поэтому
О
4 Z
(1 - Z )
dz = I \z d~^
2( 2 all-?
2z 1 |V 1 3(l-z4)
—dz =
1 + Z >
—- hn |L±^| - i arctg 2 + C, 3(1-z) b |l-z|
где 2 выражается через x по формуле (21.15).
21.5. 	Интегралы вида J п =
л]ах + Ьх + с
Рассмотрим интеграл
г Р„(*)
. п dx, а* О,
J / 2 i и
4ах + Ьх + с
где Рп(х)— многочлен степени n > 1. С принципиальной точки зрения этот интеграл всегда можно свести к интегралу от рациональной дроби с помощью одной из подстановок Эйлера (см. п. 21.3). Однако в данном конкретном случае значительно быстрее к цели приводит обычно другой прием.
Именно, покажем, что справедлива формула
Jax2 + Ьх + с
= Рп_ 1(x)Jax2 + Ьх + с + aj dx , (21.16)
*]ах + Ьх + с
где Рп _ j(x) — многочлен степени не выше, чем п - 1, а а — некоторое число.
Итак, пусть многочлен
Рп{х) = апхп + ап_ гхп ~ 1 + ... + aQ (21.17)
задан. Если существует многочлен
Рп _ i(x) = bn _ 1Хп -1 + Ьп _ 2хп - 2 + ... + &0, (21.18) 524


удовлетворяющий условию (21.16), то, дифференцируя это равенство, получим
РдМ =
Jax2 + Ьх + с
= Р'„ , (Х)7»Х2 + Ьх + С + + ,
п 1 / 2 / 2
2*Jax + Ьх + с ^ах + Ьх + с или
2Рп(х) = 2Р'п _ 1(х)(ах2 + Ьх + с) + Рп_ 1(х)(2ах + Ь) + 2а.
(21.19)
Здесь слева стоит многочлен степени п, а справа каждое слагаемое также является многочленом степени не больше п.
Замечая, что
Р'п-1М =
= (п- 1)Ьп_1хп~2 + ... + k Ькхк~г + ... + &15 (21.20) и подставляя (21.17), (21.18) и (21.20) в (21.19), имеем равенства
2(апхп + ап_ ххп ~ 1 + ... + ахх + а0) =
= 2(ах2 + Ьх + с)[(м — 1)Ьп _ ]ХП 2 + ... + kbkxk + ... + fe-J +
+ (2ах + Ь)(Ъп _ ^хп + ... + bkxk + ... + feg) + 2а.
Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х, получим следующую систему п + 1 линейных уравнений с п + 1 неизвестными й0, Ь1, ... , Ъп _ р а:
2а0 = 2сЪг + ЪЪц + 2а,
2аг = 2ЬЪг + 4сй2 + 2аЬ$ + ЬЬг.
2ak = 2(k - l)abk _ j + 2kbbk + 2(k + l)cbk + j + 2abk _ j + bbk,
2an_1 = 2(n - 2)abn _ 2 + 2(n - l)bbn _ j + 2abn _2 + bbn_19
2an = 2(n - l)abn _ j + 2abn _ P (21.21)
Из последнего уравнения сразу находим: bn _ i = ап/па. Подставляя это выражение в предпоследнее уравнение и замечая, что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ъп_ 2 равен 2а(п - 1) 0, найдем значение Ьп _ 2. Подставляя
далее значения bn _ j и Ьп _ 2 в предыдущее уравнение, найдем
525


значение Ъп _ 3, и т. д. Последовательно получим все значения неизвестных bk (k = 1, ... , п - 1). После этого из первого
уравнения сразу находится неизвестное а.
Таким образом, система (21.21) имеет решение при любых значениях а0, а19 ... , ап9 поэтому определитель этой системы не равен нулю и указанное решение единственно.
На практике многочлен Рп_1(х) в формуле (21.16) пишут с неопределенными коэффициентами, которые находят, решая систему (21.21). Затем вычисление данного интег- г dx
рала сводится к вычислению интеграла J , пото¬
ках2 + Ъх + с
рый в случае, когда подкоренное выражение положительно на некотором промежутке, легко сводится к табличному (см. п. 18.3).
тт f dx « . 1
Интегралы вида . . подстановкой t = г
(х - X) dax2 + Ъх + с х к
сводятся к интегралам рассмотренного типа (21.16).
§22.
Интегрирование некоторых трансцендентных функций
22.1. 	Интегралы вида Jfi(sin х, cos х) dx
Подстановка и = tg |, -л < х < л, сводит интегралы вида J/?(sin х, cos х) dx к интегралу от рациональной дроби. Действительно, имеем
sin х =
2 sin 5 cos
Z 2
2 X . 2 X cos g + sin g
COS X =
2 X . 2 X
cos g _ sin 2
2 X . 2 X cos 5 + sin ~ и
x = 2arctg u, dx = 2 »
поэтому u
Jflfsin x, cos x) dx - 2/Я 5^) rrh
Таким образом получен интеграл от рациональной функции.
526


Вычислим указанным методом интеграл J.. х— . Ис-
1 + sinx
пользуя формулы (22.1), получим
г dx р г dи 2 ■ А I
J 1 + sinx “ (1 + и)2 ~ 1 + U С “ 1 + tg|
Следует, однако, иметь в виду, что, хотя с принципиальной точки зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привести к интегралу от рациональной дроби указанным методом, при практическом его применении он часто приводит к громоздким вычислениям; вместе с тем другие методы, в частности подстановки вида
и = sin х, и = cos х, и = tg х, (22.2)
иногда значительно быстрее позволяют вычислить нужный интеграл.
Примеры. 1. Рассмотрим интеграл f dx . Представим cos4x г dx pl dx
его в виде —-г- = —5 5— . Сразу видно, что в этом слу-
C0S4X coszxcoszx
чае очень удобна подстановка и = tg х:
f dx = [(1 + tg2 х) dtg х = f(l + и2) du =
J C0S4X
. U6 . x I tg3X I
— u + -5- + C — tg x + —5— + C. о о
« т-г г dx г dx
2. Представляя интеграл — в виде — =
^sin^xcosx sin^xcosx
f sinxdx ~
= —-л , убеждаемся в целесообразности подстановки
J sin4xcosx
и = cos х. Действительно,
г dx _ г sinxdx _ _r dcosx _
Jsin3xcosx Jsin4xcosx Jsin4xcosx
_ _r du __If du2 _ _1 f dv 1 _ _1 r (1 - r) + v , _ J(l-U2)2u“ ^(1_ц2)2ц2- - 2J (l-y)2v av~
_ _1 I dv _lf _lr(l — + _ 1 1 _
2 J (1 - v)v 2 J (1 - y)2 “ 2 J (1 - v)v aV 2 “
1 Здесь сделана подстановка v = и2.
527


Конечно, интегралы, рассмотренные в примерах 1 и 2, могут быть вычислены и с помощью подстановки (22.1), например,
2 3
г dx _ 1 г(1 + и ) du .
J ~"з ~ 4 J 3Z1 2~ ’
sin xcosx и (1 - и )
однако при таком способе пришлось бы интегрировать более сложную рациональную дробь, чем в результате применения подстановки и = cos х.
3. Иногда при вычислении интегралов, подынтегральное выражение которых содержит sin х и cos х, бывает полезно прибегать и к другим искусственным приемам, используя известные тригонометрические формулы, как, например, формулу sin2 х + cos2 х = 1. Покажем на рассмотренном только что примере способ применения этой формулы:
2 2
г dx _ rsin х + cos х dy. _ f dx ccosxdx _
J . 3 J . 3 J Qin YPGQ 7* J . з
Sin XCOSX Sin XCOSX sin x
= Jdtgx +jdsinx = fdu +rdv =1п|ц|_ 1 +c =
J J sin3x J u Vs 1 1 2v2
= In |tg x| Ц h C.
2 sin x
Как и следовало ожидать, получился тот же результат, что и выше.
22.2. 	Интегралы вида Jsin™ х cos п dx
Пусть шип — рациональные числа. Интеграл Jsinw х cosn dx с помощью подстановок и = sin х или и = cos х сводится к интегралу от дифференциального бинома.
Действительно, полагая, например, и = sin х, получаем cos х = - sin2х = (1 - u2)1/2 , du = cos x dx.
i du z-. 2.-1/2 ,
dx = = (1 - и ) du.
cosx v
поэтому
Jsin x cos xdx = \u (1 - и ) du.
528


Таким образом, можно выразить или нет интеграл Jsinw х cosn х dx через элементарные функции, зависит от того, обладает этим свойством или нет получающийся интеграл от дифференциального бинома.
В том случае, когда тип — целые (не обязательно положительные) числа, интеграл Jsinw х cosn х dx относится к типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте, в частности, для их вычисления целесообразно применять подстановки (22.2).
Например, когда т = 2k + 1 (соответственно п = 2k + 1) — нечетное число, то можно сделать подстановку и = cos х (соответственно и = sin х):
fsin1  2^ + гх cosn х dx = -J(l - cos2 x)k cosn x dcos x =
= -f(l - u2)kun du.
Рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной дроби.
Аналогичный результат можно получить и для интегра- ла Jsm х cos х dx с помощью подстановки и = sin х.
Если т = 2k + 1, п = 21 + 1, то бывает полезной подстановка t = cos 2х:
Jsm x cos dx = Jsm x cos x sin x cos x dx =
1 f . 2k 21 Q 7
= H sin x cos x sin 2x dx =
1 f /1- cos2xV* <1 + cos2xV 7 o
“ ~l J ( 2 J ( 2 ) d C0S 2x -
- d - +'>'*■
т. e. снова получен интеграл от рациональной дроби; подчеркнем, что здесь k и I могут быть как положительными, так и отрицательными целыми числами.
Если оба показателя т и п положительны и четны (или один из них нуль), то целесообразно применять формулы .2 1 - cos2x 2 1 + cos2x
sm х = 5 , cos x = 5 ,
Л л
которые, очевидно, приводят рассматриваемый интеграл к интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными показателями. Например,
г 2 7 fl + cos2x 7 х . sin2x .
cos х dx = z dx = H + —-— + C.
J J 2 2 4
529


22.3. 	Интегралы вида Jsin ах cospx dx
Интегралы
Jsin ax cos Px dx, Jsin ax sin Px dx и jcos ax cos Px dx непосредственно вычисляются, если их подынтегральные функции преобразовать по формулам
sin ax cos Px = | [sin (a + P)x + sin (a - P)x],
sin ax sin Px = 5 [cos (a - P)x - cos (a + P)x], Za
cos ax cos Px = I [cos (a + P)x + cos (a - P)x].
Например,
Jsin 2x cos xdx = J(sin 3x + sin x) dx = = cos Зх - I cos x + C.
22.4. 	Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям
К таким интегралам относятся, например, интегралы jeaxcos Px dx, jeaxsin Px dx, jxncos ax dx, jx^sin ax dx, fxneax dx, jxnarcsin x dx, jx^arccos x dx, f x^arctg x dx, jx^arcctg x dx, jxnln x dx (n — целое неотрицательное).
Все эти интегралы вычисляются с помощью, вообще говоря, последовательного интегрирования по частям. Действительно, имеем
I = Jeaxcos Px dx = feax dsin^x =
= е—Jeaxsin px dx = е—$еах =
OCX . о OCX о 2
е sinpx . ае cospx ос г ах о 7
= р——I 5—к 5 е cospxdx =
Р р р
530


откуда
j = eax(PsinPx + occospx) + ^2 &
a2 + p2
Аналогично интегралу jeaxcos fix dx вычисляется интеграл
r ax . о 7 eax(asinpx + BcosBx) je sin fix dx = —1 — , a + p
а через эти два интеграла легко выражаются интегралы jsh ах cos fix dx, jsh a sin fix dx, jch ax cos fix dx, jch ax sin fix dx.
Впрочем, эти последние четыре интеграла можно вычислить и непосредственно с помощью интегрирования по частям подобно тому, как был вычислен рассмотренный выше интеграл (22.3).
В интегралах jxncos a dx, jx^sin ах dx, \хпеах dx, положив и = хп и соответственно dv = cos ах dx, dv = sin ax dx, dv = eax dx, после интегрирования по частям снова придем к интегралу одного из указанных видов, но уже с показателем степени у переменной х, меньшим на единицу. Применяя этот прием п раз, придем к интегралу рассматриваемого типа с п = 0, который, очевидно, сразу берется. Например, jx2sin х dx = fx2 d(-cos x) = -x2cos x + 2fx cos x dx = = -x2cos x + 2fx dsin x = -x2cos x + 2xsin x - 2jsin x dx = = -x2cos x + 2x sin x + 2cos x + C.
Используя интегралы, рассмотренные выше, можно вычислить и более сложные интегралы. Вычислим, например, интеграл jxneaxcos fix dx.
Интегрируя по частям и применяя (22.3), имеем
Jxneaxcos fix dx = \xnd
eax(psinpx + occospx) 2 , d2 a + p
n axPsinPx + acosPx np r n - 1 ax . Q > ’ e -— 5—— - 9 r 9 x e sin fix dx -
a + P a + p
7Ш г n - 1 ax r> 7
- ~2 2.И e COS px dx.
a + p
531


В правой части равенства получились интегралы того же типа, что и исходный, только степень у х на единицу меньше. Применяя последовательно указанный прием, придем к интегралам вида jeaxsin fix dx и jeaxcos fix dx, которые рассмотрены выше.
Наконец, интегралы
jx^arcsin х dx, \хп arccos х dx, jx^arcctg х dx и jxnln х dx сводятся интегрированием по частям к интегралу от алгебраической функции, если в них положить dv = хп dx, а за функцию и взять оставшуюся трансцендентную функцию, т. е. одну из функций arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х, In х. Например,
г г х2
jxln х dx = jin х d-% =
_ х21пх _ 1 r , _ x2lnx _ X2 „
- 2 2 ax ~ 2 T +
22.5. Интегралы вида J#(shx, chx) dx
Подстановка и = th | сводит интеграл fl?(sh x, ch x) dx к интегралу от рациональной дроби.
Действительно, при указанной замене переменной имеем
т 2и т 1 + и* 7 2du
sh X = 2 ’ ch X = 2 ’ “Х = 2 ’
1 - и 1 - и 1 - и
поэтому
[7?(sh х, ch х) dx = 2 [r( 2u 9, 1 + du 9.
В конкретных примерах иногда оказывается значительно удобнее использовать подстановки вида и = sh х, и = = ch х или и = tg х, позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср. п. 22.1).
Интегралы вида jshwx chnx dx, где т и п — рациональные числа, с помощью подстановок v = sh х (и = ch х) приводятся к интегралу от дифференциального бинома (ср. п. 22.2).
22.6. Замечания об интегралах,
не выражающихся через элементарные функции
Мы рассмотрели различные классы элементарных функций и нашли их первообразные, которые также являются элементарными функциями. Однако не всякая элементарная 532


функция имеет в качестве своей первообразной элементарную же функцию. С подобным обстоятельством мы уже встретились при рассмотрении интеграла от дифференциального бинома: в этом случае подынтегральная функция — элементарная (иррациональная), а интеграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда.
Можно показать, что интегралы (— dx, dx
— натуральное число) также не выражаются через элементарные функции.
Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не выражающихся через элементарные функции и играющих большую роль как в самом математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях. К таким интегралам f -X2
относится, например, интеграл j е dx, а также так называемые эллиптические интегралы \R (х, JP(x)) dx, где Р(х) — многочлен третьей или четвертой степени. В общем случае эти интегралы не выражаются через элементарные функции. Особенно часто встречаются интегралы
г dx г x2dx m /
. И . , 0 < k < 1,
7(1 - х2)(1 - k2X2) 7(1 “ х2)(1 - k2X2)
которые подстановкой х = sin ф приводятся к линейным комбинациям интегралов
б/ф
” 7 2 . 2
1 - k Sin ф
они называются соответственно эллиптическими интегралами первого и второго рода в форме Лежандра.
§23.
Определенный интеграл
23.1. 	Определение интеграла Римана
Напомним (см. п. 16.5), что разбиением т отрезка [а, й] называется любая конечная система его точек xt, i = 0, 1, 2, ... , iT, такая, что
а = х0 < хг < ... < xt _ ! < х^=Ъ.
/71 “ Й2з1п2ф б/ф,
533


При этом пишут т = {xz}z = q . Каждый из отрезков [х1 _ р хД называется отрезком разбиения т, его длину обозначают через Axz, Axz = x/-xH1,i=l,2, ... , iT.
Число |т| = max Axz называется мелкостью разбие- Z = l,2,...,/T ния т.
Разбиение т' отрезка [а, й] называется следующим за разбиением т (или продолжающим разбиение т) того же отрезка, а также вписанным в разбиение т, если каждая точка разбиения т является и точкой разбиения т', иначе говоря, если каждый отрезок разбиения х' содержится в некотором отрезке разбиения т (говорят еще, что т' — измельчение разбиения т). В этом случае пишут т' > т или, что то же, т т'.
Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает следующими свойствами.
1°. Если Т! т2, а т2 т3, 1710 Т1 тз-
2®. Для любых Т! и т2 существует такое т, что т > и т > т2.
В самом деле, первое свойство следует просто из того, что, в силу условия т3 > т2, каждый отрезок разбиения т3 содержится в некотором отрезке разбиения т2, который, в свою очередь, согласно условию т2 > т15 содержится в каком-то отрезке разбиения тр таким образом, всякий отрезок разбиения т3 лежит на определенном отрезке разбиения тр а это и означает, что т3 > тР
Для доказательства свойства 2° разбиений заметим лишь, что если заданы два разбиения Т! и т2, то разбиение т, состоящее из всех точек, входящих как в разбиение тр так и в разбиение т2, очевидно, будет следовать за и за т2. □
Пусть теперь на отрезке [а, й] определена функция f и i = iT
пусть т = {xz}. = 0 — некоторое разбиение этого отрезка, Axz = xt - xt _ р i = 1, 2, ... , iT, а |т| — мелкость этого разбиения.
Зафиксируем произвольным образом точки е [xz _ р xz], i = 1, 2, ... , iT, и составим сумму:
ат(Л ... ,Q= Е/ОЧ-
534


Суммы вида <JT(/; ... , ) назы¬
ваются интегральными суммами Римана функции f. Иногда для краткости будем их обозначать через от(/), или даже просто через от. Геометрически в том случае, когда функция f неотрицательна (рис. 105), каждое слагаемое интегральной суммы Римана <5Т равно площади прямоугольника с ос¬
нованием длины Axz и с высотой /(^). Вся же сумма <5Т равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных прямоугольников.
Определенней. Функция f называется интегрируемой {по Риману) на отрезке [а, 6], если существует такое число А, что для любой последовательности разбиений отрезка [а, й]
4 = = П= 1, 2, ... ,
у которой lim |тп| = 0, и для любого выбора точек
^п) е [х-"?!, x-n)], t = 1, 2, ... , iTn, п = 1, 2, ... ,
существует предел последовательности интегральных сумм ^Xn{f; , ... , д- ) и он равен А:
lim ,Е= А, (23.1)
П -> °о 1 1
где Ах(^ = x-n) - i = 1, 2, ... , , п = 1, 2, ... .
При выполнении этих условий число А называется (ри- мановым) определенным интегралом функции f на отрезке ъ
[а, й] и обозначается J f(x) dx.
ь а
Выражение f f(x) dx читается: «интеграл от а до Ъ f(x) dx»; х называется переменной интегрирования, f — подынтегральной функцией, а — нижним, ай — верхним пределом интеграла, или, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования; отрезок [а. й] — промежутком интегрирования.
535


Подобно тому как
Таким образом,
f f(x) dx = ^n), ... , ^n)),
где последовательность тп такова, что lim |т„| = 0.
п оо
Для краткости будем в этом случае писать просто
J /(х) dx = lim <jt(/).
а |т| 0
определение предела функции можно сформулировать двумя эквивалентными способами с помощью пределов последовательностей и с помощью «(с—8)-
языка», так и определение интеграла можно сформулировать иначе.
Определение 2. Число А называется определенным интегралом функции f на отрезке [а, 6], если для любого е> 0 существует такое 8 > 0, что каково бы ни было разбиение т = {xz}/ = о (отРезка &]) мелкости, меньшей 8: |т| < 8, и каковы бы ни были точки £z е [xz_ р xz], выполняется неравенство
E/(^)(Axz)-A
<
где Axt = xt - xz _ р i = 1, 2, ... , iT.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что два данных выше определения определенного интеграла эквивалентны.
Из определения 1 следует, что для неотрицательных ь
функций определенный интеграл J Дх) dx является пределом при |т| —► 0 последовательности площадей соответствующих ступенчатых фигур; поэтому он, естественно, оказывается связанным с понятием площади, а именно равен площади фигуры1 (называемой «криволинейной трапецией»), границей которой является график функции /, отрезок [а, й] оси Ох и, быть может, отрезки прямых х = а и х = Ъ, 1 Привычный из элементарной геометрии термин «фигура» употребляется здесь всюду в смысле «плоское множество».
536


ординаты точек которых меняются соответственно от нуля до f(a) и до f(b) (рис. 106). Для того чтобы это доказать, надо прежде всего уточнить само понятие площади рассматриваемых фигур. Все это будет сделано ниже, в § 27.
Замечание. Интегральные суммы являются функциями, аргументами которых являются разбиения т и точки
i = 1, 2, ... , iT, лежащие на отрезках этих разбиений. Однако предел интегральных сумм — это не предел функции в ранее определенном смысле, а принципиально новое понятие. При переходе к пределу интегральных сумм их аргументы т и i = 1, 2, ... , iT, изменяются, но ни к чему не стремятся. Здесь нельзя, как в случае предела функции, рассмотренного ранее, указать «точку» (т, ••• > ), в которой
берется предел интегральных сумм. Следовательно, введенное здесь понятие предела интегральных сумм Римана является новым понятием, не укладывающимся ни в понятие предела последовательности, ни в понятие предела функции.
В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие предела не только для интегральных сумм Римана, но и для других объектов. Поэтому сформулируем общее определение предела этого вида.
Определение 3. Рассмотрим множество Г = {т} всех разбиений отрезка [а, 6]. Пусть на этом множестве определена числовая, вообще говоря, многозначная функция Ф(т), т е Г. Будем говорить, что функция Ф(т) при |т| 0 имеет предел,
равный А, и писать
lim Ф(т) = А, ItRo
если для любой последовательности разбиений тп е Г, п = = 1, 2, ..., такой, что lim |тп| = 0, при любом выборе значе- ний Ф(тп) числовая последовательность Ф(тп) сходится к числу А, т. е.
lim Ф(т„)=А.
п оо
Это понятие предела определено с помощью понятия предела последовательности, поэтому для него справедливы 537


многие свойства, аналогичные соответствующим свойствам предела последовательности.
Пусть, например, Ф^т) и Ф2(т) — однозначные функции разбиений т некоторого отрезка [а. й] и существуют пределы lim Ф^т) и lim Ф2(т). Тогда если для всех т выполняется |т| 0 |т| О
неравенство Ф1 (т) < Ф2(т), то и lim Ф^т) < lim Ф2(т). А ес- |т| о |tR О
ли ^(т) — такая функция, что для всех т имеют место неравенства
Фх(т) < Т(т) < Ф2(т)
И
lim Фт(т)= lim Ф2(т) = а,
ItRO |т|^0
то существует предел lim Ч'(т) и он также равен а. Мы бу- ItRo
дем использовать эти свойства в дальнейшем.
Как и в случае предела интегральных сумм Римана, понятие этого предела можно сформулировать на «е—3-языке», что предоставляется читателю.
Отметим в заключение, что многозначность функции Ф, о которой идет речь в определении 3, в случае интегральных сумм Римана связана с различным способом выбора точек ^6 xt],i = l, 2, ... , iT.
Нами было введено понятие определенного интеграла ь
J Дх) dx от функции f по отрезку [а, 6], а < Ъ.
Для любой функции f. определенной в точке а, положим. по определению.
\f(x)dx = O. (23.2)
а
а для функции f. интегрируемой на отрезке [а. 6],
J Дх) dx = -J f(x) dx. а <b. (23.3)
ь а
Эти определения в известной мере естественны. В первом случае, т. е. при а = Ъ. естественно, все промежутки разбиения отрезка [а. й] становятся точками, а их длины Axz
равны нулю. Поэтому все интегральные суммы T.J(t)i)\xi в 538


этом случае также равны нулю, а вместе с ними обращается в нуль и интеграл в левой части равенства (23.2).
Во втором случае следует считать отрезки [xz _ р xz] разбиения т = {xz}^ = QT отрезка [а, й] ориентированными в отрицательном направлении оси Ох (понятие ориентированного отрезка знакомо читателю из аналитической геометрии), поэтому их длины Axz — отрицательными. Отсюда следует, что все интегральные суммы, образуемые для интеграла J /(х) с/х, отличаются лишь знаком от соответствующих ин- ь
ь
тегральных сумм интеграла J /(х) с/х, что и делает естественной формулу (23.3).
Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать и строгую логическую форму, введя соответствующие определения, однако гораздо проще и короче ввести равенства (23.2) и (23.3) по определению.
23.2*. Критерий Коши существования интеграла
Аналогично критерию Коши существования предела функций формулируется и доказывается аналогичный критерий существования предела интегральных сумм.
ТЕОРЕМА Л. Для того чтобы функция f была интегрируема на отрезке [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое 8 > О, что, каковы бы ни
i = ] = ]х"
были разбиения xr = {Xj'}. = Q и т" = {x"}j = Q мелкостей меньше 8: |т'| < 8, |т"| < 8 и точки
% е [х;_х, x't], i = l,2, ... , ir,
t>'j e [x'/_ x, Xj], j = 1, 2, ... , выполняется неравенство
|<V(f; ... , (/; ,..., ф1 < e. (23.4)
Доказательство необходимости условия (23.4). Если функция f интегрируема, т. е. существует предел (23.1), то, согласно определению 2, для любого е > 0 существу-
539


ет такое 3 > 0, что для любого разбиения т = {xz}z = J мелкости меньше 3: |т| < 8 и при любом выборе точек е [xz _ р xz], i = 1, 2, ... , для интегральных сумм <5Т = , £z )
выполняется неравенство
|от-А|<|. (23.5)
Если теперь = ov(/; ... , и ...
,) — две такие интегральные суммы, что |т'| < 3 и |т"| < 3, то ■'т"
l<V - <vl = l(<V - А) + (А - 0Г)| <
< |ov -А| + |А- nJ < | + | = e.
Доказательство достаточности условия (23.4). Пусть для функции /, заданной на отрезке [а, 6], выполнено условие (23.4) ио = о (/; ... , п = 1, 2, ... , —
п
такая последовательность интегральных сумм функции /, что lim |тп| = 0. (23.6)
п оо
Если £ > 0 произвольно фиксировано, а 8 > 0 выбрано так, что выполняется условие (23.4), то, в силу условия (23.6), существует такой номер п0, что для всех п > nQ выполняется условие |tJ < 8. Поэтому для любых п > п0 и т > п0 выполняются неравенства |tJ < 8, |тш| < 8 и, следовательно, согласно условию (23.4), имеет место неравенство |(jT - <5Т I < £. Это означает, что числовая последователь-
ность {о } удовлетворяет критерию Коши сходимости по- следовательностей и поэтому существует конечный предел lim о .
п оо П
Последовательность {<5Т } являлась произвольной после- довательностью интегральных сумм, для которой выполни- лось условие (23.6), поэтому все такие последовательности 540


сходятся, причем к одному и тому же числу. В самом деле, пусть последовательности {<jt, } и {от-} таковы, что
lim \т'п\ = lim |т^| = 0 (23.7)
п 00 П —> оо
и, следовательно, существуют конечные пределы
lim = А, lim =А". (23.8)
П °о П п оо п
Составим новую последовательность интегральных сумм {<JTm}, у которой на нечетных местах стоят члены последовательности {о }, а на четных — {о -}:
f , где т = 2п - 1,
от п п = 1,2,....
т О--, где т = 2п,
Тогда, очевидно, I lim \хт = 0 и поэтому существует конечный
I т оо|
предел
lim <jt .
п оо т
Предел всякой подпоследовательности сходящейся последовательности равен пределу всей последовательности, следовательно,
А' = lim <jv = lim <jt = lim <5r = Ar. □
n oo n m 00 m n 00 n
23.3. 	Ограниченность интегрируемой функции
Установим прежде всего необходимое условие, которому удовлетворяют интегрируемые функции — их ограниченность.
ТЕОРЕМА 2. Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f не ограничена на отрезке [а, й] и пусть фиксировано некоторое разбиение т = {хД^ = о этого отрезка. В силу неограниченности функции f на всем отрезке [а, 6], она не ограничена по крайней мере на одном отрезке разбиения т. Пусть для определенности функция f не ограничена на отрезке [х0, хД. Тогда на этом 541


отрезке существует последовательность е [х0, xj, п = = 1, 2, ... , такая, что1
lim Л^)) = о°. (23.9)
п оо
Зафиксируем теперь каким-либо образом точки е [xz _ р xz],
i = 2, 3, ... , iT. Тогда сумма L f(^z)A xz будет иметь определенное значение. Поэтому, в силу (23.9),
lim от(/; , £2, ... ,^ ) = lim (^)А^
-1 X ПП U м X ПП 1
= оо
и, следовательно, каково бы ни было число М > 0, всегда можно подобрать такой номер п0, что если на первом отрезке
г л
[х0, xj взять точку gz , то
Ы’ ... Д/т)|>М.
Отсюда следует, что суммы <5Т не могут стремиться ни к какому конечному пределу при |т| —► 0.
Действительно, если бы существовал конечный предел lim <jt = А, то для любого £ > 0 нашлось бы такое 8Р > 0, что ItRo
для всех разбиений т = {xz}. = J отрезка [а, й] мелкости |т| < 8е при любом выборе точек £z е [xz _ р xz], i = 1, 2, ... , iT, выполнялось бы неравенство |от - А| < £ и, следовательно,
N = 1(<7Т - А) + А| < |от - А| + |А| < Е + ^|.
В данном случае, т. е. в случае неограниченности функции /, для любого разбиения т (в том числе и такого, что |т| < 8е, если существовало бы указанное 8е) при любом фиксированном £ > 0 можно так выбрать точки £z, что будет
Действительно, в силу неограниченности функции f на отрезке [х0, xj, например для любого натурального п = 1, 2, ... , существует такая точка е [х0, xj, что )| > п. Очевидно, что последовательность и удовлетворяет условию (23.9).
542


выполняться неравенство |<jt| > > |А| + е. Полученное противоречие доказывает теорему. □
Условие ограниченности функции Д будучи необходимым для ее интегрируемости, не является вместе с тем достаточным. Примером, доказывающим это утверж¬
дение, может служить функция Дирихле (см. п. 5.2):
f(x) = j
1,
О,
если х рациональное, если х иррациональное.
Рассмотрим эту функцию на отрезке [0, 1]. Она, очевидно, ограничена на нем. Покажем, что она не интегрируема.
i = iT
Зафиксируем произвольное разбиение т = {xt}i = Q отрезка [О, 1]. Если выбрать точки е [xz _ р xz], i = 1, 2, ... , Д, рациональными, то получим а если взять иррациональными, то
= 0.
Это верно для любого разбиения т, следовательно, интегральные суммы <5Т заведомо не стремятся ни к какому пределу при |т| 0.
23.4. 	Верхние и нижние суммы Дарбу.
Верхний и нижний интегралы Дарбу
Пусть рассматриваемая функция Дх) определена на отрезке [а, 6], т = {xz}^ “ — некоторое его разбиение и Axz = xt - xt _ р
i = 1, 2, ... ,Д. Положим (рис. 107)
Mj = sup Дх), nij = inf Дх), i = 1, 2, ... , L, f ' £ >v* <C л/* <Z л/» ' ' *z
Xi _ i < X < Xi Xi - i X Xi
= sx(/) = .rjtfjAXj, ST = sT(/) = (23.10)
543


Очевидно, sT < ST. Сумма ST называ- _I | i i ► ется верхней, — нижней суммой a « x Дарбу функции f.
h При заданной функции f(x) ее
Рис. 108 верхняя ST и нижняя sT суммы Дар¬
бу являются функциями разбиений отрезка [а, 6]. Поэтому для них имеет смысл понятие пределов и |limosT (см. определение 3 в п. 23.1).
Свойства сумм Дарбу
1°. Если функция f ограничена, то при любом разбиении суммы Sx и sT определены.
В самом деле, в этом случае Mt и i = 1, 2, ... , iT, конечны, поэтому выражения (23.10) имеют смысл.
2°. Если т' > т, то < ST и sT < .
Доказательство. Пусть т = {xz}*Zqt и т' = = q —
два разбиения отрезка [а, й] таких, что т т' и
mi = /(х), = 1, 2, ... , iT,
X- _ i < х < X-
m'j = , inf ,f(x), j= 1, 2, ... , h.
J Xj _ J < X < X- J
Если [ x'- _ x, X -] [xz l, xz], то, очевидно,
mL < m'j (23.11)
(нижняя грань при уменьшении множества может только увеличиться).
В силу условия т т', каждый отрезок [xz _ р xz] разбиения т является объединением каких-то отрезков разбиения т'; будем обозначать эти отрезки через [х'(/ _ , xj ]. Таким об¬
разом, если Axz = xz - xz _ х и Axj = xj - x'^ _ , то (рис. 108) Axz = E ^x'j . Используя эти обозначения и неравенство (23.11), получим
sT = Е тЛхг-= Е тг- Е Лх'- = Е Е тгЛх'- <
< E E m- Ax- = E m-Ax- = sT^.
i = 1 Л h Ji /• = 1 J J T
544


Мы доказали, что sT < s'. Аналогично доказывается, что ST > S'T при т т'. □
СЛЕДСТВИЕ. Для любых двух разбиений и т2 отрезка [а, й] выполняется неравенство
sT1<Sv (23.12)
т. е. любая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней.
Действительно, если даны два разбиения и т2 отрезка [а, 6], то существует разбиение т этого отрезка такое, что т > ит>т2 (см. п. 23.1). Применяя свойство 2°, получаем
STi < ST < ST < □
В силу неравенств mL < /(^) < Mif xt _ х < xi9 i = 1, 2, ..., ir, суммы Римана и Дарбу связаны неравенствами sT < <jt < ST.
Следующее свойство является уточнением этого утверждения.
3°. Если от = ... , Z)i ) — какая-либо интегральная
сумма Римана, соответствующая данному разбиению т, то
. in±\ Gt> St = . SUP. GT-
Доказательство. Пусть т = {хД\~1^ — разбиение отрезка [а, й] и е [xz _ р xz], i = 1, 2, ... , iT.
Если заданы какие-либо числовые множества Xi9 и постоянные at > 0, i = 1, 2, ... , i0, то для множества
X = (х : х = ^^aixi, х е Xi9 i = 1, 2, ... , iQ] справедливы равенства (см. п. 3.5*)
sup X = sup Xi9 inf X = L azinf Xt.
В силу этого имеем
= .£[ inf /(^)]Axz =
- 1
= г 1< I < г = < °т(Л ^1> - > ^)-
Х1 -1 < < Х1 xi -1 < < xi
i = l,2,...,iT i = 1,2, ... ,i^
545


Аналогично,
ST = = L [ sup f(^Xi =
sup = sup МЛ ••• Л )• °
i = 1,2, ... ,iT Z = l,2,...,iT
4°. ST - sT = где coz(/) — колебание функции f
на отрезке [xz_ n x,] (см. п. 6.4), i = 1, 2, ... , iT.
Доказательство. Отметим сначала, что если для двух данных числовых множеств X и Y положить
Z = {z-. z = x- y, хе X, у е Y},
то sup Z = sup X - inf Y (см. п. 3.5*)- Используя это, получим Мi - mt = sup f(x) - inf f(x) =
X; = J < X < Xt Xi=1<X<Xi
sup [f(x") - f(x')] = i = 1, 2, ... , iT,
X. . < x' < X; i - 1 , I
X. _ J < X X{
поэтому
ST - sT = - m^Xi = .£coz(/)Axz. □
Положим теперь 7* = sup sT, I = inf ST.
Число или отрицательная бесконечность I* называется нижним интегралом Дарбу функции f на отрезке [а, 6], а число или положительная бесконечность I — ее верхним интегралом.
Из свойств 1° и 2° сумм Дарбу следует, что если функция ограничена, то как ее нижний интеграл Дарбу, так и верхний конечны. В силу следствия из свойства 2° будем также иметь
Г. (23.13)
В самом деле, перейдя в левой части неравенства (23.12) к верхней грани по разбиениям т15 получим, что для любого разбиения т2 выполняется неравенство Перейдя в
этом неравенстве к нижней грани по разбиениям т2, будем иметь неравенство Л.С I .
546


23.5. 	Необходимые и достаточные условия интегрируемости
ТЕОРЕМА 3.Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируемой на нем, необходимо и достаточно, чтобы
lim (ST - sT) = 0. (23.14)
|tR0
Условие (23.14) означает (см. определение 3 в п. 23.1), что для всякого е > 0 существует такое 3 > 0, что для любого разбиения т мелкости |т| < 3 выполняется неравенство
|ST-sT| <е. (23.15)
Так как sT < ST, то (23.15) равносильно неравенству
ST - sT < е.
Доказательство необходимости. Пусть ограниченная на отрезке [а, й] функция f интегрируема на нем и ь
пусть I = f Дх) dx; тогда lim <jt = I. Поэтому для любого е > О а |т| О
существует такое 3 > 0, что если |т| < 8, то
|(JT - l\ < £ ИЛИ / -£<(JT</ + £.
Отсюда при |т| < 8, согласно свойству 3° сумм Дарбу (см. п. 23.4), получаем неравенство
I - г < sT < ST < I + г.
Таким образом, если |т| < 8, то 0 < ST - sT < 2г, а это и означает выполнение условия (23.14).
Доказательство достаточности. Пусть функция f ограничена и выполняется условие (23.14). Из определения нижнего и верхнего интегралов Дарбу и из неравенства (23.13) имеем
sT</*<r4sT, (23.16)
поэтому 0 < / - 1* < ST - sT, откуда, в силу (23.14), следует, что I - 1* = 0. Обозначая общее значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу через I, т. е. полагая / = /* = /, из (23.16) получаем sT < I < ST, поэтому
0 < I - sT < ST - sT, 0 < ST - I < ST - sT.
547


Отсюда, в силу (23.14), имеем
lim (I~sJ = lim (ST - I) = 0, |т| 0 |t| 0
следовательно,
lim s = lim S=I. (23.17)
|tR0 ItRO
Но, в силу свойства интегральных сумм Дарбу (см. п. 23.4),
sT<oT<ST. (23.18)
Из (23.17) и (23.18) следует (см. п. 23.1), что lim = 7, а
ItRo
это и означает интегрируемость функции f. □
СЛЕДСТВИЕ 1. Если функция f интегрируема, то не только ее интегральные суммы Римана, но и ее суммы Дарбу стремятся к ее интегралу при стремлении мелкости разбиения к нулю.
Действительно, если функция f интегрируема, то выполняется условие (23.14), а из него, как мы видели, и следует утверждение следствия, т. е. равенство (23.17). □
СЛЕДСТВИЕ 2. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция f была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы где coz(/) — колебание функции f на отрезке [х/19 хДразбиениях = {xz}* = qt отрезка [а, &].
Это следует непосредственно из теоремы 3 и свойства 4° сумм Дарбу (см. п. 23.4).
23.6. 	Интегрируемость непрерывных и монотонных функций
ТЕОРЕМА 4. Функция, определенная и непрерывная на некотором отрезке, интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, 6]; тогда, как известно, она ограничена (см. теорему 1 в п. 6.1) и равномерно непрерывна (см. теорему 5 в п. 6.4) на этом отрезке. Зафиксируем произвольно е > 0. 548


(23.19)
В силу равномерной непрерывности существует такое 3 > О, что для любых точек е [а, й] и Т| е [а, 6], удовлетворяющих условию |т| - < 3, выполняется неравенство
Возьмем какое-либо разбиение т = {xt}i = Q мелкости |т| < 3. Пусть, как всегда, Axz = xt - xt _ р mi = inf Дх),
_ pX.]
Mt = sup f(x), i = 1, 2, ... , iT. Непрерывная на отрезке _ pX.]
функция достигает своей нижней и верхней грани на этом отрезке, поэтому существуют такие точки е [xz _ х - xz] и T|ze [xz_p xz], что Ш = Ш = М,.
Точки и T|z принадлежат одному и тому же отрезку разбие-
ния т, следовательно,
hi - < Д*/ < kl < 5-
Отсюда, в силу (23.19), вытекает неравенство
ЛП/) - Ш = 1ЛП/) - ЛУ1 < , i = 1, 2, ... , ix.
Следовательно, для любого разбиения т мелкости |т| < 3 выполняется условие
О < ST - sT = ,S(MZ - mz)Axz =
= ,?,№) - < ьЬ J^i = e.
Это означает, что lim (ST - sT) = 0. Поэтому, согласно |т| ^0
теореме 3, функция f интегрируема на отрезке [а, 6]. □ ТЕОРЕМА 5. Функция, определенная и монотонная на отрезке [а, й], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция Дх) монотонна на отрезке [а, 6], например возрастает на нем. Тогда
f(a) < Дх) < Дй), а < х < Ъ.
Таким образом, функция f ограничена на отрезке [а, 6]. Далее, для любого разбиения т = {xz}^ = отрезка [а, 6], очевидно, имеем mL = f{xt_ Д, Mt = f{x^), i = 1, 2, ... , iT, поэтому
sx(/) - sT(f) = ii(Mi - - /(xz_ i)]Axz <
< M i?1[/(x/) - fix, _ J] = [f(b) - /(а)]|т|,
549


так как в сумме - f{xt _ х)] взаимно уничтожаются
все слагаемые, кроме f(b) и f(a). Из полученного неравенства следует, что
lim [ST(/)-sT(/)] = O.
|т| ^0
Поэтому (см. п. 23.5) функция f интегрируема на отрезке [а, Ь]. □
Монотонные функции могут иметь счетное множество точек разрыва и вместе с тем, согласно доказанной теореме, быть интегрируемыми.
Примером немонотонной функции, имеющей счетное множество точек разрыва и вместе с тем интегрируемой, является функция Римана, которая была определена в п. 5.12. Докажем это.
Напомним, что упомянутая функция f равна 1/п в каждой, не равной нулю, рациональной точке г = т/п (где т/п — несократимая рациональная дробь) отрезка [0, 1] и равна нулю во всех остальных точках этого отрезка. Покажем, что
J f(x) dx = 0. о
Зададим произвольно е > 0. Выберем натуральное число п так, чтобы
1<|, (23.20)
и число 3 > 0 так, чтобы
5 < . (23.21)
п
Для любого разбиения т = {х1}1 = J мелкости |т| < 3 его отрезок назовем отрезком первого рода, если он не содержит чисел вида
р т = 1, 2, ... п, (23.22)
и второго рода, если он содержит хотя бы одну из указанных точек. Ясно, что каждый отрезок разбиения т является либо отрезком первого рода, либо второго.
550


Всякую интегральную сумму <5Т функции f представим в виде суммы двух слагаемых следующим образом:
= S' (23.23)
где знак штрих у сигмы означает, что суммирование производится только по отрезкам первого рода, а два штриха у сигмы — что суммирование производится только по отрезкам второго рода. Оценим отдельно каждое слагаемое правой части равенства (23.23).
В точках отрезков первого рода, согласно заданию функции /, все ее значения меньше 1/п, следовательно,
|Г /(^)AxJ < Е' < J Е' Axz <
(23.24)
1 V л 1 £
< - Е Дх, = - < о .
п 1 ~ 1 п (23.20)
Для оценки второго слагаемого заметим, что для всех точек х отрезка [0, 1], согласно определению функции /, имеет место неравенство |/(х)| < 1 и что число отрезков второго рода не превышает п2, так как число всех точек (23.22), очевид-
1 i о i . П(п - 1) П
но, не превышает суммы 1 + 2 + ... + п = ——- С у , а каждая точка может принадлежать не более чем двум отрезкам разбиения т. Поэтому
|Е" /(^)А xt\< Ъ" |/(^)|А xt < Е" Ах, < п2|т| <
< < 1 < £
(23.21) П (23.20) 2 *
Из соотношений (23.23), (23.24) и (23.25) следует, что для любой интегральной суммы от, соответствующей разбиению т мелкости |т| < 8, выполняется неравенство |<jt| < £, что,
1
в силу произвольности £ > 0, и означает, что f /(х) dx = 0.
о
(23.25)
23.7*. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана
Покажем, что для ограниченных на отрезке функций нижний У* и верхний Г интегралы Дарбу (см. п. 23.4) являются 551


не только верхней и нижней гранями соответственно нижних и верхних сумм Дарбу, но и их пределами.
ТЕОРЕМА 6.Если функция f ограничена на отрезке, то
I* = lim sT , I = lim ST. (23.26)
М^о |т| —> о
Здесь, как обычно, sT и ST — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу функции /, соответствующие разбиению т отрезка [а, 6].
Доказательство. Докажем справедливость первой из формул (23.26) (вторая доказывается аналогично). В силу ограниченности функции f на отрезке [а, 6], существует такая постоянная с > 0, что
\f(x)\ < с, х е [а, &]. (23.27)
Зададим произвольно е > 0. Согласно определению нижнего интеграла (см. п. 23.4), т. е., согласно равенству т г г (0)/ = Z0
2* = sup sT, существует такое разбиение т0 = [xt ]z = 0 отрезка [а, 6], что
(23.28) Положим
» 7^' (23.29)
Пусть т = {xz}. = 0T — произвольное разбиение отрезка [а, й] мелкости, меньшей 8, т. е. |т| < 8. Рассмотрим разбиение т* = {xt}i = () , получающееся объединением разбиений т0 и т. Если sT = £ m^Xt и s* = £ т*Ах* — соответствующие разбиениям т и т* нижние суммы Дарбу, то, поскольку разбиение т* вписано в разбиение т0, выполняется (см. п. 23.4) неравенство < s* , поэтому (см. (23.28)) s* > I* - |, т. е.
I*~s* <|. (23.30)
Оценим разность - sT. Разбиение т* получается из разбиения т добавлением к нему точек разбиения т0. Поэтому тем отрезкам разбиения т, внутрь которых не попали точки разбиения т0, соответствуют одинаковые слагаемые в суммах sT 552


и s*. Если же внутрь отрезка [xt_19 xz] разбиения т попали одна или несколько точек разбиения т0, то такой отрезок является объединением отрезков [х* _ i, х-'] разбиения V:
Ji Ji
Дх,-= Е Дх*.
1 i = 1 h
Так как
|т,-| с, i = 1, 2, ... , L,
1 (23.27) т
\т*\ с, i= 1, 2, ... , L*, (23.31)
1 1 ’(23.27) т
ТО
Е т*Дх* - т,-Дх,- = л Л Л Li
= Е (т* - тДДх* 2с Е Дх* = 2сДх; < 2с8. (23.32)
Л V h h (23.31) л h 1 v 7
Число таких отрезков не превышает числа i0 точек разбиения т0. Поэтому
s*-sT<2c8z = 5. (23.33)
т т 10 (23.29) 2
Таким образом, если |т| < 8, то
О < Л - = (/* - О + « - 8Т) (23<30) | + | = г.
(23.33)
Это и означает, что lim sr = I*. □
|т| ^0
ТЕОРЕМА 7 (теоремаДарбу). Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы были равны ее верхний и нижний интегралы Дарбу.
Доказательство необходимости. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, 6]. Так как sT < Ц < Г < ST, то О < I - < ST - sT и так как для интегрируемой функции
(см. (23.14)) lim (ST - sT) = 0, то I* = Г.
|т| ^0
Доказательство достаточности. Если f — ограниченная на отрезке [а, й] функция и I* = Г\ то, в силу теоремы 6,
lim (ST - sT) = lim ST - lim sT = Г - I* = 0.
|tR0 ItRO |tR0
553


Отсюда, согласно теореме 3 (см. п. 23.5), функция / интегрируема на отрезке [а, 6]. □
ТЕОРЕМА 8 (критерий Римана). Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое разбиение т отрезка [а, 6], что
ST-sT<£. (23.34)
СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, й] функция f была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое разбиение т = {хД^ ” отрезка [а, 6], что
Здесь coz(/) — колебание функции / на отрезке [xz _ р xz], Axz = xz - xz _ p i = 1, 2, ... , iT.
Доказательство необходимости. Если функция f интегрируема на отрезке, то, согласно теоремам 6 и 7, lim sT = = Г = lim ST, откуда lim (ST - sT) = 0. Следова-
|т|^0 ItRO |т|^0
тельно, для любого е > 0 найдется такое разбиение т отрезка [а, &], что ST - sT < г.
Доказательство достаточности. Если выполняется условие (23.34), то, в силу неравенства sT < I* < Г < ST, при любом £ > 0 справедливо неравенство 0 < I" -I* < ST - sT < Е. Следовательно, I* = Г, откуда, согласно теореме 6, вытекает интегрируемость функции /. □
Следствие сразу следует из доказанной теоремы, так как (см. п. 23.4) .
ST-sT= .ЕсоДЯДх^
Теорема 7 называется критерием Дарбу, а теорема 8 — критерием Римана интегрируемости функции.
Замечание 1. Критерий Римана удобнее использовать для выяснения интегрируемости функции, чем теорему 3 (см. п. 23.5), так как здесь достаточно найти хотя бы одно разбиение т отрезка, удовлетворяющее условию (23.34), 554


тогда как и в первом случае надо проверять это условие для всех достаточно мелких разбиений.
С помощью критерия Римана легко, например, устанавливается, что если функция задана на отрезке [а, й] и интегрируема на отрезках [а, с] и [с, 6], а < с < й, то она интегрируема и на отрезке [а, 6].
В самом деле, прежде всего из интегрируемости функции f на отрезках [а, с] и [с, й] следует ее ограниченность на этих отрезках, а потому и ограниченность на всем отрезке [а, 6]. Далее, из интегрируемости функции f на отрезках [а, с] и [с, й] следует, в силу критерия Римана, что для любого е > О существуют такие разбиения Tj и т2 соответственно отрезков [а, с] и [с, 6], что соответствующие им верхние и нижние суммы Дарбу отличаются друг от друга меньше, чем на 8/2, но тогда верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие разбиению отрезка [а, 6], которые получаются объединением разбиений Tj и т2, отличаются меньше чем на е. Согласно критерию Римана, это означает, что рассматриваемая функция интегрируема на отрезке [а, 6].
Замечание 2. В качестве другого примера применения критерия интегрируемости Римана докажем, что функция /, ограниченная на некотором отрезке [а, й] и интегрируемая по Риману на любом отрезке [а, Т|], а < Т| < й, интегрируема по Риману и на всем отрезке [а, 6]. Действительно, если |/(х)| < М, х е [а, 6], и задано е > 0, то выберем
з, 0 < 3 < Ъ - а, так, чтобы 3 < . Тогда, в силу интегриру¬
емости функции f на отрезке [а, b - 8], существует такое его разбиение т, что если sT и ST — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для этого разбиения, то ST - sT < 8/2.
Обозначим через т разбиение отрезка [а, 6], получающееся из разбиения т0 отрезка [а, Ъ - 8] добавлением точки Ъ: т0 = т о {&}, и пусть т0 = inf f(x), Мо = [6S_U8P&] f(x). Если
и STo — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для разбиения т0, то
S=S+M08, sT = ST + m08.
Поэтому
STo - sTo = ST- sT + (Mo - m0)3 < | + М3 = | + | = e
и, следовательно, согласно теореме 8, функция f интегрируема по Риману на отрезке [а, 6].
555


23.8*. Колебания функций
По аналогии с определением колебания функции на отрезке (см. п. 6.4) определяется колебание функции на множестве. Пусть функция f определена на множестве X <= R. Ее колебание со(/; X) на множестве X определяется равенством
(0(Л X) = sup |ДХ') - Дх)|. (23.35)
х, х е X
Очевидно, что если Хг <= X, то
со(/; ХО < со(/; X) (23.36)
(при переходе от множества к его подмножеству верхняя грань не возрастает), и что для любых двух пересекающихся подмножеств X', X" множества X : X' X, X" <= X, Хг П X" 0 выполняется неравенство
СО(Л X' U X") < СО(Л X ) + СО(Л X"). (23.37)
В дальнейшем под окрестностью точки будем понимать любой интервал числовой оси, содержащей эту точку (см. п. 3.2).
Определение 4. Колебанием со(/; х0) функции f в точке х0 е е X называется нижняя грань колебаний функции на пересечениях всевозможных окрестностей С7(х0) этой точки с множеством X:
со(Л х0) =f inf со(Л Щх0) П X). (23.38)
CZ(x0)
Очевидно, что
О < со(/; х0) < +оо.
ЛЕММА 1. Если функция f ограничена на множестве X, пг. е. если \f(х)| < с, то для всех хе X выполняется неравенство
х) < 2с. (23.39)
Доказательство. В самом деле,
<0(Л х0) = inf (0(Л *7(х0) А X) =
(23.38) U(Xq)
= inf ,sup \f(x') - f(x)\ <
[/(Xq)*’ * £ С/(Х0)ПХ
< inf ,sup (|ftx')l + |/(X)| < 2c. □
C/(x0)*> x e U(x0)QX
556


Для дальнейшего полезно ввести множество
Хе =f {хе X: <0(Л х) > е}, (23.40)
где е > 0 произвольно.
Если Т| < £, то ясно, что из неравенства со(/; х) > £ следует неравенство со(/; х) > Т|, поэтому
(23.41)
ЛЕММА 2. Функция f непрерывна в точке х е X тогда и только тогда, когда
со(/; х) = 0. (23.42)
СЛЕДСТВИЕ. Если — множество точек разрыва функции /, то
оо
Х0=ди1Х1/„. (23.43)
Доказательство леммы. Если функция f непрерывна в точке х0 е X, то для любого Е > 0 существует так, что для всех точек х е J7e(x0) А X, выполняется неравенство |/(х) - - /(хо)1 < | • Поэтому для любых точек х, х' е J7e(x0) А X имеем \f(x') - f(x)\ <
< \f(x') - f(x0)\ + |/(x0) - f(x)\ < I + I = E (23.44)
и, следовательно,
co(/; x0) = inf co(/; J7(x0) AX) < co(/; AX) = C7(x0)
= sup If(x') - /(x)| < E.
[/g(x0)nX (23.44)
А так как г > 0 произвольно, то это означает, что со(/; х0) = 0.
Наоборот, если со(/; х0) = 0, то для любого Е > 0 существует такая окрестность С7(х0) точки х0, что со(/; С7(х0) А X) < е. Тогда для любого х е J7e(x0) А X будем иметь
\f(x) - f(xQ)\ < cotf; U(x0) А X) < е,
(23.35)
т. е. функция f непрерывна в точке х0. □
Докажем следствие. Если точка х0 е X является точкой разрыва функции /, то, в силу леммы 2, со(/; х0) > 0, а поэто557


му Xq е Хг при £ = со(/; х0). Отсюда следует, что множество Хо точек разрыва функции f представимо в виде
Хо= £UoXe. (23.45)
Ясно, что U^X1/n <= U 0^е, ибо каждое слагаемое левой части включения является и слагаемым правой. С другой стороны, если для данного £ > 0 выбрать так натуральное п, чтобы 1/п < £, то, в силу включения (23.41), будем
иметь Хг <= ^l/n и, следовательно, U ^Хе <= UX1/n. Таким
образом,
оо
и х1/п = и хе = х0.
П = 1 1/П £>0 £ (23. 45) 0
□
Определение 5. Множество, состоящее из всех точек прикосновения данного множества, называется его замыканием.
Для множества X его замыкание обозначается X.
Поскольку всякая точка множества X является его точкой прикосновения (любая окрестность точки содержит саму точку, т. е. в данном случае содержит точку множества X), тоХ<=Х?
Определение 6. Множество, совпадающее со своим замыканием, называется замкнутым.
Таким образом, если множество X замкнуто, то X = X.
ЛЕММА З.При любом £ > 0 все точки прикосновения множества Хе, содержащиеся в X, содержатся и в Хе, т. е. если х е АХ, то х е Хе.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если множество X, на котором задана функция /, замкнутое, то при любом £ > 0 множество Хе также замкнутое.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если функция f задана на отрезке X = = [а, 6], то при любом £ > 0 множество Х£ является ограниченным замкнутым множеством.
Доказательство леммы. Пусть £ > 0 и х0 е Хе А X. Зададим произвольно Т| > 0. В силу определения (23.38) коле553


бания функции в точке, существует такая окрестность С7(х0) точки Xq, что
со(/; U(xq) АХ) < со(/; х0) + т|. (23.46)
Точка Xq является точкой прикосновения множества Хе, поэтому существует такая последовательность хп е Хе, п = 1, 2, ,
что lim хп = х0, следовательно, найдется такой номер п0, п оо
что хп^ е U(Xq) А Хе. Согласно определению колебания функции в точке, отсюда вытекает, что
со(/;С7(хо)АХ)>со(Л хп^ (23.47)
(окрестность С7(х0) является и окрестностью точки хп ).
Таким образом,
СО(Л х0) > СО(Л U(xn ) А X) - Г| >
(23.46) 0 (23.47)
> СО(Л х )-т|>Е-т|, (23.48)
(23.47) 0
ибо хп^ е Хе, следовательно, со(/; хп^ > е.
Так как со(/; х0) > е - Т| при любом Т| > 0, то со(/; х0) > е,
(23.48)
т. е. Xq е Хе. Лемма доказана. □
Следствие 1 вытекает из того, что всякая точка прикосновения подмножества (в данном случае Хе) является и точкой прикосновения самого множества (в данном случае X), поэтому если х е Хе, то х е X. В случае замкнутого множества X имеем X = X, поэтому хе Хе А X, а тогда, согласно лемме 3, х е Хе, т. е. множество Хе содержит все свои точки прикосновения, что и означает его замкнутость.
Следствие 2 вытекает из того, что отрезок является ограниченным множеством и, следовательно, любое его подмножество также ограничено. □
Прежде чем изучать дальнейшие свойства колебаний функций, докажем одну геометрическую лемму. Предварительно введем понятие покрытия.
Система (конечная или бесконечная) интервалов такая, что каждая точка некоторого заданного множества принадлежит по крайней мере одному из интервалов системы, называется покрытием этого множества интервалами.
559


Таким образом, то, что система Q = {(аа, Ьа)} интервалов (аа, йа), а е 21, где 21 — некоторое множество индексов, является покрытием множествах, означает, что:
X ^(/)«
ос е О
ЛЕММА 4. Из всякого покрытия ограниченного замкнутого множества интервалами можно выделить его конечное покрытие.
Эта лемма обычно называется леммой Гейне—Бореля1. В дальнейшем в п. 35.3 будет дано ее обобщение на случай покрытий множеств существенно более общего вида.
Доказательство. Пусть Q— покрытие интервалами ограниченного замкнутого множества X. В силу ограниченности множества X существует отрезок [а, 6], в котором содержится это множество: X <= [а, 6]. Допустим, что из покрытия Q нельзя выделить конечного покрытия множества X. Разделим отрезок [а, й] точкой (а + Ь)/2 на два отрезка. Очевидно, покрытие Q является покрытием пересечения множества X как с одним, так и с другим отрезком. Причем из покрытия Q нельзя выделить конечного покрытия по крайней мере для одного из этих пересечений. Обозначим такой отрезок [а15 & Разделим его на два отрез- (аг + Ьг)
ка точкой . Продолжая этот процесс, получаем по-
Л
следовательность вложенных отрезков \ап, Ьп] длин Ъп - ап = = , стремящихся к нулю. Для каждого отрезка [ап. Ьп],
п = 1, 2, ... , система О является покрытием пересечения [ап, bn] А X интервалами, из которого нельзя выделить конечного покрытия этого пересечения.
Если точка является общей точкой, принадлежащей всем отрезкам [ап, bn], п = 1, 2, ... , то она принадлежит множеству X. Действительно, пересечение каждого отрезка [an, йп] с множеством X не пусто. Поэтому существуют точки
€ X, а„ < х„ < п = 1, 2, ... . Поскольку Ит а„ = Ит Ъ =
П П П П J П^оа П П^оа П
1 Э. Борель (1871—1956) — французский математик.
560


= g, то и lim хп = Таким образом, А2 ~> 00 о.
точка является точкой прикосно- а<х апо °по )а вения множества X, а так как X —
~ Рис. 109
замкнутое множество, то g € X. В силу этого точка принадлежит и некото¬
рому интервалу (аа, йа) покрытия Q: (аа, fea) е Q.
Для числа е = min - аа; Ьа - существует такой номер п0, что Ъп^ - ап^ < £. Для отрезка [ап , очевидно, имеют место включения (рис. 109) е [ап , Ьп°]ПХ <= (аа, йа), тем самым пересечение [ап , п % оказалось покрытым интервалом (аа, Ьа) из покрытия Q.
Иначе говоря, из покрытия Q пересечения отрезка tan0’ с множеством X можно выделить конечное покрытие (состоящее даже из одного интервала) этого пересечения. Но это противоречит выбору отрезков [ап, Ьп], п = 1, 2, ... . Полученное противоречие доказывает лемму. □
Установим теперь важное для дальнейшего свойство колебаний функций, заданных на отрезке.
ЛЕММА 5. Пусть функция f задана на отрезке [а, й] и существует такое s > 0, что для всех точек х отрезка [а, й] выполняется неравенство
со(/;х)<£, (23.49)
тогда существует такое разбиение т = {xz}^ = qt отрезка [а, 6], что для всех £ = 1,2, ... , £т имеет место неравенство
= ю(Л[х/_1,х/])<Е. (23.50)
СЛЕДСТВИЕ. В условиях леммы
< г(Ь - а). (23.51)
Доказательство. В силу выполнения условия (23.49), для любой точки е [а, й] существует такой интервал (£ - 8^, + 8^), что
со(/; (£. - 8^ + 8^) П [а, &]) < е. (23.52)
561


Система интервалов
^-|5^+|З^Де [а,&], (23.53)
образует покрытие отрезка [а, 6], и если
\ =f Р “ IМ + I %] П [«’ (23.54)
ТО
co(/;At) < со(Лй-3^ + 3.)П[а,6]) < е. (23.55)
S (23.36) S S (23.52)
Выделим, согласно лемме Гейне—Бореля, из покрытия (23.53) конечное покрытие
“ 2 8^i’ + 2 •" ’ “ 2 + 2 \ >
и обозначим концы промежутков
О’/ “ 2 \ + 2 \ ) П 1-а’
через (Ху и р«, у = 1, 2, , п.
Пусть т = {xz}. = q — разбиение отрезка [а, 6], состоящее из всех точек (Ху, Ру. Каждый отрезок [xz _ р xz] этого разбиения имеет один из следующих видов: [(Ху, Ру], [(Ху, ос^], [Ру, ос^], [Ру, Р/J, у, k = 1, 2, ... , п, и целиком содержится в одном из отрезков At , ... , At (см. (23.54)). Иначе говоря, для каждо- ^1 ^>п
го отрезка [xz _ 15 xz] существует такой отрезок А , 1 < yz < п, j t
ЧТО [xz _ Р Xj <= Ay , поэтому
wz(/) = co(/; [xz_1; xz]) < co(/; A ) < e.
(23.36) 1 (23.55)
Лемма доказана. Из нее сразу следует неравенство (23.51):
Е coz(/)Axz е Е Axz = е(й - а). □ г- 1 (23.50) г-1
Замечание. Если во всех точках отрезка [а, й] при некотором £ > 0 выполняется неравенство (23.49), то функция f ограничена на этом отрезке. В самом деле, если бы она была на нем не ограничена, то на отрезке нашлась бы такая точка х0, что в любой ее окрестности функция f была бы не ограничена, а тогда со(/; х0) = +°°.
562


23.9*. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона
Докажем теперь теорему, которая называется критерием интегрируемости Дюбуа-Реймона . Предварительно сделаем следующее замечание.
Если какое-либо множество числовой прямой нельзя покрыть конечной системой интервалов с суммой их длин меньше некоторого 3, то это множество нельзя покрыть и конечной системой отрезков с суммой их длин меньше 3 - Т|, где Т| > 0 — произвольное число.
В самом деле, если бы нашлась такая система, состоящая из п отрезков, покрывающих рассматриваемое множество, то, заменив каждый из них содержащим его несколько большим интервалом, а именно таким, чтобы его длина отличалась от длины отрезка не более чем на т|/тг, получим конечную систему интервалов, покрывающих данное множество с суммой длин меньше 3, что противоречит сделанному предположению.
ТЕОРЕМА 9(теорема Дюбуа-Реймона). Ограниченная на отрезке [а, й] функция f интегрируема на этом отрезке тогда и только тогда, когда для любого г> 0 и любого 8 > О множество всех точек х е [а, 6], в которых со(/; х) > е, можно покрыть конечной системой интервалов с суммой длин, меньшей 8.
Доказательство необходимости. Пусть функция f интегрируема на отрезке X = [а, й] и существуют такие е > О и 8 > 0, что, какую бы конечную систему интервалов, покрывающих множество Хе = [а, й]е (см. (23.40)), ни взять, сумма их длин всегда не меньше 8.
i = iT
Пусть т = {xt}i = Q — произвольное разбиение отрезка [а, 6]. Каждая точка х, в которой
со(/;х)>е, (23.56)
как и всякая точка отрезка [а, 6], принадлежит одному или двум отрезкам разбиения т. Если она принадлежит одному
1 П. Дюбуа-Реймон (1831—1889) — немецкий математик. 563


отрезку [xz l, xz] этого разбиения, то возможны следующие случаи. Точка х является внутренней точкой указанного отрезка, т. е. х е (xz _ р xz); тогда
4f = 4(f’ [Xj-V Xz]) >
> <;(хн1,Х()) > СО(Л х) > £. (23.57)
(23.36) (23.38)
Возможны еще два случая, когда точка х принадлежит одному отрезку разбиения т: либо х = а, либо х = Ъ. И в том и в другом случае аналогичным образом доказывается неравенство (23.57).
Если точка х принадлежит двум отрезкам разбиения т, то это возможно только тогда, когда она является их общим концом: х = xt е [xz _ 15 xz] A [xz, xt + J. В этом случае выполняется по крайней мере одно из неравенств, либо coz(/) > |, либо coz + > |, так как если бы coz(/) < | и coz + < |, то
co(/;xz) < < оХА [xz_ 1? xz]) + со(А [xz, xz +j]) =
(23.38) (23.36)
(23.37)
= 4(f) + (Oi + i(/) < | + | = £, что противоречит условию (23.56).
Итак, в любом случае для каждой точки х, удовлетворяющей условиям (23.56), существует такой отрезок [xz _ р xz] разбиения т, что хе [xz _ р xz] и
4(f) > | • (23.58)
Отберем все такие отрезки. Они покрывают множество Хе, поэтому, согласно предварительному замечанию (в котором надо положить Т| = 8/2), сумма их длин не меньше 8/2. Следовательно, обозначив звездочкой у знака сигмы сумму, распространяемую только на отобранные отрезки, будем иметь
Т? > |. (23.59)
Из неравенств (23.58) и (23.59) вытекает неравенство
i W,(/)AX. > Е'(О;(/)АХ; > | Е" АХ, > > 0.
' = 1 Л 7 1 Л" 1 (23.58) 2 1 (23.59) 4
564


Так как числа 8 и е фиксированы, ат — произвольное разбиение, то полученное неравенство противоречит, например, критерию интегрируемости (23.14) (см. п. 23.5), т. е. функция f не интегрируема на [а, 6].
Доказательство достаточности. Пусть для любых чисел £ > 0 и 8 > 0 множество Хе = [а, й]е можно покрыть конечной системой интервалов, сумма длин которых меньше 8. Функция f ограничена на отрезке [а, 6], поэтому существует такая постоянная с > 0, что
|/(х)|<с, хе [а, Ь]. (23.60)
Зададим произвольно Е >
0 и возьмем 8 = .
4с
. Существует
конечная система интервалов (az, Pz), i = 1, 2, ..
. , п, покры-
вающих множество X е
2(Ь - а)
£
, с суммой длин меньше :
X е
с U (а/; ₽z), i = 1
(23.61)
2(Ь - а)
-Щ)< г-
1' 4с
(23.62)
Объединение всех соответствующих отрезков [ocz, PJ, 1=1, 2, ... , п, можно представить в виде объединения конечного множества отрезков [Xz, pz], I = 1, 2, ... , т, с не пересекающимися попарно внутренностями и с концами Xz, pz, равными либо az, либо Pz, i = 1, 2, ... , п, либо а, либо Ъ. Тогда
Е (щ - Xz) = Е (р. - а.) < .
* = 1 (23.62) 4с
(23.63)
Так как
<0(Л [Х/; Ц,]) < < 2с,
(23.61))
(23.64)
ТО
т т „
;£<о(Ш,ЦгШ-А./) < 2cL(gz-Xi) < |.
1 - 1 (23.64) 1 “ 1 (23.63) Z
(23.65)
Удалим из отрезка [а, й] все точки, принадлежащие отрезкам [az, Pz]. Оставшееся множество представляет собой объединение конечного множества промежутков с концами и Т|у, < Т|у, j = 1, 2, ... , р, среди которых может быть не 565


более двух полуинтервалов с концами = а или ц- = Ъ, а все остальные являются интервалами. При этом, согласно включению (23.61), пересечение каждого из отрезков [^-, Т|у] с множеством X е пусто, следовательно, в любой точке х е [£•, Т|у], 2(& - а)
j = 1, 2, ... , р, выполняется неравенство со(/; х) < % ЬЕ_ . Ясно
также, что Ъ - а. Отсюда, в силу следствия
леммы 5, вытекает, что для каждого отрезка [£•, Т|у] существует такое его разбиение
\
что
Ч1(Ч - Ч-■ ’■= адгЧ,<1/-У- (23.66)
Пусть теперь т = {xv}^ = qt — разбиение всего отрезка [а, 6], состоящее из всех точек Xz, pz, I = 1, 2, ... , m, и точек , kj = 1, 2, ... , kx , j = 1, 2, ... , p. Тогда
Vt tn
vLicov (/)Axv = [Xz, Hz])(gz - Xz) + p \
+ у?и?«(Л[С -i;C])(C-C-!) <
7 y y y y (23.65)
(23.66)
< 2 + 2(b - a) - 2 + 2 = £‘
Согласно следствию из критерия интегрируемости Римана (см. теорему 8), отсюда вытекает, что функция f интегрируема на отрезке [а, 6]. □
23.10*. Критерий интегрируемости Лебега
Докажем еще критерий интегрируемости функций, принадлежащий Лебегу1. Он прост по форме и удобен для приложений. При его формулировке придется иметь дело с бесконечными суммами положительных слагаемых. Определим это понятие.
1 А. Лебег (1875—1941) — французский математик.
566


Если ап> 0, п = 1, 2, ... , то суммой п^Дп называется конечный или бесконечный предел lim (ах + ... + ап).
Этот предел, конечный или равный +°о, всегда существует, так как последовательность {ах + ... + ап}, в силу условия ап > 0, возрастает. Таким образом,
£ def v v
L а„ = hm L ak.
Суммы бесконечного числа слагаемых будут подробно рассмотрены в главе III.
Определение 5. Множество X, лежащее на числовой оси, называется множеством лебеговой меры нуль, если для любого £ > 0 существует покрытие этого множества конечной или счетной системой интервалов, сумма длин которых меньше £.
Пример. Всякое конечное или счетное множество является множеством лебеговой меры нуль.
Пусть X = {хп} — конечное или счетное множество (индекс п может быть либо любым натуральным числом, когда X — счетное множество, либо принимать только значения, не превосходящие некоторого фиксированного натурального числа, тогда множество X конечно). Зададим произвольно £ > 0. Система интервалов [хп - + 2 , хп + 2), п = 1, 2, ... ,
очевидно, покрывает множество X, а сумма их длин меньше £:
V £ _ £ 1 _ t
n = ian2n + l 41-1/2 2 е*
Например, множество всех рациональных чисел является множеством лебеговой меры нуль.
Задача 16. Построить пример несчетного множества лебеговой меры нуль.
ТЕОРЕМА 10 (теорема Лебега). Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва было множеством лебеговой меры нуль.
Доказательство необходимости. Пусть функция f интегрируема на отрезке X = [а, й] и Хо — множество ее точек разрыва. Зададим произвольно £ > 0. Согласно критерию интегрируемости Дюбуа-Реймона, для каждого п = 1, 2, ... 567


существует такая конечная система интервалов, покрывающая множество Хуп (см. (23.40)), сумма длин которых меньше е/2п. Объединение всех таких систем состоит из не более
чем счетного множества интервалов, покрывающих, в силу
формулы Хо =
1/п
(см. (23.43)), все множество Хо точек
U X п = 1
разрыва функции f. При этом сумма длин этих интервалов меньше, чем^Е^ = £, т. е. Хо действительно является множеством лебеговой меры нуль.
Доказательство достаточности. Пусть множество Хо точек разрыва функции f, ограниченной на отрезке X = [а, 6], является множеством лебеговой меры нуль. Зададим произвольно с > 0 и 8 > 0. Тогда существует не более чем счетная система интервалов, покрывающая множество Хо, с суммой длин интервалов меньшей 8. Выберем натуральное число п так, чтобы 1/тг < £. Указанная выше система интервалов, являясь покрытием множества Хо, покрывает, в силу
формулы Хо =
\/п
(см. (23.43)), множество Х1/п
а сле¬
U X п = 1
довательно, и множество Хе, ибо Хе <= Х1/п (см. (23.41)).
Множество Хе является ограниченным замкнутым множе¬
ством (см. следствие 2 леммы 3), поэтому из рассматриваемой системы интервалов, покрывающих его, можно выделить конечную систему интервалов, по-прежнему покрывающих множество Хе (см. лемму 4 в п. 23.8), причем сумма длин входящих в нее интервалов (она не превосходит суммы длин всех интервалов исходной системы, покрывающей множество Хо) меньше 8. В силу критерия интегрируемости Дюбуа-Реймона, отсюда следует интегрируемость функции /. □
Из критерия интегрируемости Лебега следует, например, что всякая ограниченная на отрезке функция, имеющая конечное или счетное множество точек разрыва, является интегрируемой. Множество всех рациональных чисел счетно и, следовательно, является множеством лебеговой меры нуль, поэтому из критерия интегрируемости Лебега сразу следует интегрируемость функции Римана, рассмотренной в п. 23.6.
568


В дальнейшем будем использовать интегрируемость так называемых кусочно-непрерывных функций. Определим эти функции.
Определение 6. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она задана и непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме, быть может, конечРис. 110
ного их множества, в точках которого имеет конечные односторонние пределы по проколотым окрестностям,
В частности, кусочно-непрерывная на отрезке функция может быть не определена на концах этого отрезка, но она в левом конце отрезка имеет в указанном смысле конечный предел справа, а в правом конце — конечный предел слева (рис. 110).
Это означает, что если функция f кусочно-непрерывная на отрезке [а, 6], то существует такое разбиение т = {xt } • = от этого отрезка, что функция f непрерывна на каждом интервале (xz _ р Xj) и существуют конечные пределы
/(xz _ j + 0) = lim /(х) х xi _ ! +0
И
f(Xi - 0) = lim f(x), i = 1, 2, ... , iT. x x- - 0
Такой функции f бывает удобно сопоставить набор непрерывных функций Д, заданных соответственно на отрезках [xz _ р xz] равенствами
Дх)
Цх) = lf(xl_1 + 0) при х = Xi _ !
при xt _ ! < X < xt
(23.67)
f{xt - 0) при X = xt.
Функция действительно непрерывна на отрезке [xz _ р xz], так как во всех внутренних точках этого отрезка она совпадает с непрерывной функцией /, а на его концах значения функции получены «непрерывным продолжением»: /z(xz _ j) = = /(xz _ ! + 0) и fiiXj) = f{xt - 0). Все функции fz, будучи непрерывными на соответствующих отрезках, ограничены и этих 569


функций конечное множество, поэтому ограничена и функция f (множество ее значений может отличаться от объединения множества значений функций Д, i = 1, 2, ... , iT, только лишь на конечное множество значений функций f и Д- в точках х0, х19 ... , х1т).
Итак, всякая кусочно-непрерывная на отрезке функция ограничена. Кроме того она, очевидно, интегрируема на этом отрезке, так как ограничена и имеет конечное множество точек разрыва, а всякое конечное множество является, как это отмечено выше, множеством лебеговой меры нуль.
§24.
Свойства интегрируемых функций
24.1. 	Свойства определенного интеграла
В дальнейшем обозначения и терминологию, введенные в предыдущем параграфе, будем использовать, не делая специальных ссылок.
Прежде всего заметим, что интеграл от функции является числом, сопоставляемым заданной функции согласно данному выше определению, поэтому это число не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрирования:
ь ь ь
= = (24.1)
а а а
Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного интеграла:
1°. J dx = Ъ - а. а
Действительно, здесь подынтегральная функция равна
i = iT единице, поэтому при любом разбиении т = {xz}. = 0 все ин¬
тегральные суммы Римана <5Т равны Ъ - а:
<j = Е Дх,- = Ъ - а. □ т i = 1 i
570


2°. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], то она интегрируема на любом отрезке [а , Ъ ], содержащемся в [а, 6].
Доказательство. Прежде всего, если функция f ограничена на отрезке [а, 6], то она, очевидно, ограничена и на [а , Ъ ]. Далее, каково бы ни было разбиение т = {x*}i = (f отрезка [а , Ъ ] мелкости 8^, его всегда можно продолжить в разбиение т = {хи = от отрезка [а, й] такой же мелкости |т| = |т |; для этого достаточно добавить к точкам х*, i = 1, 2, ... ... , I * конечное число соответствующим образом выбранных точек, принадлежащих отрезку [а, 6], но не принадлежащих отрезку [а , Ъ ].
Полагая
т* = inf Дх), М* = sup Дх),
Дх* = х* - х*_ х, i = 1, 2, ... , (24.2)
и, как обычно,
mt = inf Дх), Mt = sup Дх), X. _ 1 < х < x._1^x^xi
Дх1 = х1-х1_19 i = 1, 2, ... , iT, (24.3)
замечая, что каждое слагаемое суммы %(М* - т*)Дх* является и слагаемым суммы - mj) Дх1 и что все слагаемые обеих сумм неотрицательны, имеем
О < ST* - = ^(М* - т* )Дх* < ~ т№х1 = ST- sT.
(24.4)
Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], то (см. п. 23.5)
lim (S -sT) = 0. (24.5)
ItRo
Поскольку |т| = |т |, из (24.5) и из неравенства (24.4) имеем
! limo(ST,-sTJ = O, (24.6)
т. е. (см. п. 23.5) функция f интегрируема на отрезке [«,&].□
571


3° (аддитивность интеграла).
Пусть а < с <Ь. Если f интегрируема на отрезках [а, с] и [с, 6], то она интегрируема и на отрезке [а, 6], причем (рис. 111)
Ъ с Ъ
J f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx. a a c
(24.7)
Доказательство. Интегрируемость функции f на отрезке [а, й] при условии, что она интегрируема на отрезках [а, с] и [с, 6], доказана в п. 23.7* (см. замечание 1). Докажем формулу (24.7). Пусть ит2 — какие-либо разбиения соответственно отрезков [а, с] и [с, 6], а т — разбиение отрезка [а, 6], получающееся объединением разбиений и т2- Тогда, очевидно,
kil < М, |т2| < |т|. (24.8)
Если <jTi и <jT2 — какие-либо суммы Римана функции /, соответствующие разбиениям Tj и т2, то
= оТ1 + оТ2 (24.9)
является некоторой суммой Римана функции /, соответствующей разбиению т. В силу интегрируемости функции f на отрезках [а, 6], [а, с] и [с, й] существуют конечные пределы
b С ь
lim <jt = f f(x) dx, lim <jt = f f(x) dx, lim <jt = f f(x) dx.
ItRO T « l^po T1 a |T2p0 T2
Поэтому, перейдя к пределу при |т| 0 в равенстве (24.9),
получим, в силу (24.8), формулу (24.7). □
Замечание. Согласно определению интеграла f f(x) dx при Ъ < а (см. п. 23.1) формула (24.7) остается в силе и при с > Ъ, если только функция f интегрируема на отрезке [а, с].
В самом деле, если с > Ъ, то по доказанному (для простоты опускаем записи подынтегральных выражений):
Ь с с b с с с b
J + J = J и, следовательно, f = f - /=/+/•
a I) а а а I) а с
572


4°. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, 6], то их сумма f + g также интегрируема на нем, причем
f [Лл) + £(х)] dx = \ f(x) dx + f g(x) dx. (24.10) a a a
Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были разбиение т = отрезка [а, й] и точки е [xz _ р xz],
i = 1, 2, ... , iT, имеем
GT(/ + ^)= J1№) + ^)]A^ =
= E/(^)Axz + = ^(f) + aT(g). (24.11)
В силу интегрируемости функций fug, существуют пределы интегральных сумм от(/) и <JT(g) при |т| —► 0, поэтому из (24.11) следует, что существует и предел (почему?) интегральной суммы от(/ + g), причем
lim oT(/ + g) = lim <jt(/) + lim <jT(g), (24.12)
|tR0 67 |t|^0 tV7 |t|^0 Л 7 k 7
что и означает интегрируемость функции f + g на отрезке [а, 6].
Согласно же определению интеграла,
lim от(/ + g) = f [f(x) + g(x)] dx,
|т| 0 a
lim <jt(/) = J f(x) dx, lim <JT(g) = J g(x) dx.
|t| —> 0 a |t| -> 0 a
Подставляя эти выражения в формулу (24.12), получим (24.10). □
5°. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, й] и с — постоянная; тогда функция cf также интегрируема на этом отрезке и
f cf(x) dx = cf f(x) dx. (24.13)
a a
Доказательство. Каковы бы ни были разбиение т = = = о отРезка [а, Ь] и точки £z е [xz_ р xf\, i = 1, 2, ... , iT,
имеем
с?т(с/) = JiC/(^)Axz = c.L/C^JAXj = CGjf),
573


отсюда
f cf(x) dx = lim oT(c/) = lim coT(/) =
a |t| 0 |t| 0
= c lim <jt(/) = ef /(x) dx. □ |т| 0 a
Из последних двух свойств вытекает следствие: если каждая из функций fi9 i = 1, 2, ... , п, интегрируема на отрезке [а, 6], а \ — произвольные постоянные, то функция
Sинтегрируема на [а, 6], причем
b п п b
J Е №) dx = Е Xj А(х) dx. (24.14)
а 1 1 1 1 а
Это свойство определенного интеграла называется его линейностью.
6°. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Тогда и их произведение f(x)g(x) интегрируемо на нем. Доказательство. В силу интегрируемости функций f и g на отрезке [а, 6], они ограничены на этом отрезке, т. е. существуют постоянные А > 0 и В > 0 такие, что
|/(х)| < A, |g*(x)| < В (24.15)
для всех х е [а, 6]. Поэтому произведение f(x)g(x) также ограничено: для всех точек х е [а, й] выполняется неравенство
\f(x)g(x)\<AB. (24.16)
Пусть т = {xz}^ “ — какое-либо разбиение отрезка [а, 6].
Оценим выражение f(x")g(x") - f(x')g(x')9 х', х" е [а, 6]; для этого добавим и вычтем из него f(x')g(x”):
f(x")g(x") - f(x')g(x') =
= - f{x')]g(x") + [g(x") - g(x')]f(x'). (24.17)
Для точек x' e [xz _ p xz] и x" e [xz _ p xz] из (24.15) и (24.17) следует, что
\f(x")g(x") - f(x')g(x')\ < B^(f) + A^g), (24.18)
где и (f>i(g) — колебания функций f и g на отрезках K-i> */]> i = 1, 2, ... , ir
574


Из неравенства (24.18) для колебания coz(/g*) произведения fg на отрезке [xz _ р xz] вытекает оценка
coz(fe) < ВсоДЯ + Aojfte).
(24.19)
Отсюда
X^iifg^Xi < В ДсоДПАх, + А Д wz(g)Axz. (24.20)
В силу интегрируемости функций fug (см. следствие 2 из теоремы 3 в п. 23.5),
lim Ё coz(/)Axz = lim f <oz(£)Ах, = 0.
14 -+ о ‘ - 1 14 ->■ 0 ’ - 1
Поэтому из оценки (24.20) следует равенство
lim ,Ё ®z(/g)Axz = 0, 14->о--1
которое в силу того же следствия из теоремы 3 и влечет за собой интегрируемость произведения fg на отрезке [а, 6]. □
Методом математической индукции легко доказать, что если каждая из функций Д(х), £ = 1, 2, ... , п, интегрируема на отрезке [а, 6], то и их произведение интегрируемо на этом отрезке. В частности, вместе с функцией f(x) интегрируема и ее степень [/(х)]п при любом натуральном п.
7°. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, й] и нижняя грань функции |/(х)| на нем положительна, то и 1
интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Если inf |/(х)| = т > 0, то |/(х)| > т [а,&]
всюду на [а, 6], следовательно, |—^ ~ для всех х е [а, 6];
поэтому
2 т
1 1
Лх2) Л^1)
при любых ОС 12 е [а, 6]. Отсюда следует, что если т =
. = q — произвольное разбиение отрезка [а, 6], то
—2 »z(f), тп
575


следовательно,
0< lim Ё co-f^Ax, < -Д- lim £ <о,(/)Дх; = О,
h -£
поэтому | lim ,Licoz^Axz = 0. В силу следствия 2 теоремы 3 функция у интегрируема на отрезке [а, 6]. □
СЛЕДСТВИЕ. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, й] и нижняя грань функции |#| положительна, то и f частное интегрируемо на этом отрезке.
Утверждение вытекает, в силу свойств 6° и 7°, из того, что - = f • - . □ g ' g
8°. Если функция f неотрицательна и интегрируема на отрезке [а, 6], то
ь
jf(x)dx>0. (24.21)
а
Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были разбиение т = {xz}z = 0T отрезка [а, й] и точки £z е [xz _ р xz],
i = 1, 2, ... , iT, для функции / > 0 имеем
от(/)= Ддудхро. (24.22)
Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], то, переходя к пределу в (24.22) при |т| —► 0, получим неравенство (24.21). □
СЛЕДСТВИЕ. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, й] и для всех х е [а, й] выполняется неравенство
f{x)>g{x), (24.23)
то
J /(х) dx > Jg(x) dx. (24.24)
а а
Если интегрируемые функции f и g удовлетворяют неравенству (24.23), то
f(x) - g(x) > 0, г е [а, &];
576


,0 поэтому, замечая, что на основании следствия из свойств 4 и 5° функция f - g интегрируема, в силу неравенства (24.21) имеем
f [Л*) - £(*)] dx > 0. а
Но (см. указанное выше следствие)
b b ь
J [/(-*0 _ £(х)] dx = \ f(x)dx - J g(x) dx а а а
и, значит,
b ь
J f(x) dx - J g(x) dx > 0. □ a a
Доказанное утверждение означает, что обе части неравенства вида (24.23) можно интегрировать по одному и тому же промежутку. (В связи с этим заметим, что при дифференцировании обеих частей неравенства оно, вообще говоря, не сохраняется.)
9°. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, 6]. Если она неотрицательна на нем: f(x) > 0, х е [а, й] — и существует точка х0 е [а, 6], в которой функция f непрерывна и положительна: /(х0) > 0, то
ь
jf(x)dx>0. (24.25)
а
СЛЕДСТВИЕ. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, 6], для всех точек х е [а, й] выполняется неравенство
f(x) > g(x), существует такая точка х0 е [а, 6], что в ней обе функции /, g непрерывны, и имеет место неравенство
f(xo) > g(x0), то справедливо неравенство
b ь
J /(х) dx > Jg(x) dx. (24.26)
а а
Доказательство свойство 9°. Из очевидного нера- /(х0)
венства /(х0) > > 0 следует, что существует такое о > 0,
что для всех х е [а, й] А С7(х0, 3) выполняется неравенство
577


f(xQ) о
f(x) о (см. свойство 2 пределов функций в п. 5.10).
Пусть [а, Р] с= С7(х0, 3) А [а, 6], а < Р; тогда
6 Р /(Хп)
J ftx) dx > j ftx) dx > (Р - а) > 0. □ а ос
Отметим, что если отказаться от условия непрерывности функции / в точке х0, то может случиться, что для интегрируемой неотрицательной на отрезке функции, положительной в некоторой точке, интеграл по всему отрезку равен нулю. Так, например, функция
f(vX = I 0 при 0 < х < 1,
А ’ I 1 при х = 0
1 интегрируема и неотрицательна, /(0) > 0, но f f(x) dx = 0. Это равенство легко следует из определения интеграла.
Следствие свойства 9° доказывается аналогично следст- вию свойства 8 .
10°. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], то функция \f\ также интегрируема на нем и
J fix) dx < J |/(x)| dx, a<b. (24.27)
a a
Действительно, во-первых, из ограниченности функции /, очевидно, следует и ограниченность функции |/|, а во-вторых, для любых двух точек е [а, й] и Т| е [а, й] имеет место неравенство
откуда следует, что, каково бы ни было разбиение т = = {xz}- = q отрезка [а, 6], обозначая через coz(/) и coz(|/|) соответственно колебания функций f и \f\ на отрезке [xz _ р xz], получим
«/(И) = , SUP ||/(х')| -\f(x)\\ <
х,х е[х. _ ltx.]
< , SUP \f(x') - f(x)\ < coz(/),
x,x e[x. _ px.] поэтому
о < ,£<oz(H)Axz < .EcoXflAxz.
578


Отсюда следует, что если
li^o = °- то и iJi^o = 0.
Это означает (см. п. 23.5), что из интегрируемости функции f следует интегрируемость функции \f\.
Пусть теперь е [xz_ р xz], i = 1, 2, ... , iT, тогда
|ат(П|=
< ДШ|Ахг = от(И).
Переходя в этом неравенстве к пределу при |т| —► 0 и замечая, что
lim |от(/)| = | lim от(/)| = J f(x) dx ,
|т| -> 0 |т| 0 а
lim ат(|/|) = J |/(x)| dx,
|Т| —> О а
получим неравенство (24.27). □
Если отказаться от ограничения а < Ь, т. е. допускать случаи а = Ъ и а > Ь, то аналог неравенства (24.27) имеет вид
ь
J f(x) dx
а
(24.28)
< J |/(x)| dx а
В самом деле, пусть а < Ъ. Поскольку (см. свойство 8°)
f |/(х)| dx = J |/(х)| dx, а а
неравенство (24.28) совпадает в этом случае с неравенством (24.27). Если же а > Ь, то, используя свойство (23.3) и неравенство (24.27), получим
ь
J f(x) dx
а
j f{x) dx < b
J \f(x)\ dx = a
J |/(x)| dx b
J \f(x)\ dx a
Наконец, при a = b неравенство (24.28) очевидно.
Примеры. 1. Пусть функция f — четная на отрезке [-а, а\ и интегрируемая на отрезке [0, а]. Тогда она интегрируема и на отрезке [-а, а], причем
J /(х) dx = 2f f(x) dx. (24.29)
-a 0
Докажем, что функция f интегрируема на отрезке [-а, 0] и что
а
J f(x) dx, о
(24.30)
579


отсюда, в силу аддитивности интеграла (свойство 3°), и следует сразу формула (24.29), так как, опуская обозначение подынтегральной функции,
а 0 а а
L=L+l=2i
Равенство (24.30) следует из
того, что если f — четная функция, то преобразование симметрии числовой оси относительно нуля переводит ее интегральные суммы на отрезке [0, а] в равные интегральные суммы по отрезку [-а, 0] и наоборот. В самом деле, если т =
= \ = о — разбиение отрезка [-а, 0], то т = = 0 , где
х* = -xt _i9 i = 0, 1, 2, ... , является разбиением отрезка [0, а], причем мелкости обоих разбиений, очевидно, совпадают: |т| = |т*|. Если для каждой точки е [xt_ 19 xj положить = = _ i + j, i = 1, 2, ... , iT, то, в силу четности функции /, получим = - i + i ) (рис. 112) и, следовательно, всякой
интегральной сумме Римана <5Т = Lif(^z)Axz функции f на отрезке [-а, 0] будет соответствовать равная ей интегральная сумма <5т = .^/(^ )&х* = <5Т той же функции /, но на отрезке [0, а\ (здесь, как всегда, Axz = xt - xt _ р Дх* = х* - х*_х и легко видеть, что Axz = Дх*_ _ i + i, i = 1, 2, ... , iT). Поэтому lim <jt = lim <5ТЛ = f f(x) dx. |т|^о |t*i^o i
Таким образом, предел в левой части этого равенства существует, а это означает, что функция f интегрируема на отрезке [-а, 0]. Поскольку же указанный предел равен ин- 0
тегралу J Дх) с/х, равенство (24.30) доказано. □
Рассмотренный пример можно обобщить. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], 0 < а < й, и
dpf
f (х) = f{~x), —Ь < х < -а
580


(рис. 113), то функция f интегрируема на отрезке [-&, -а\ и
-Ъ л ь
\f\x)dx = \f(x)dx. (24.31)
-а а
Это утверждение доказывается аналогично рассмотренному выше случаю.
Рис. 113
УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что если нечетная функция f интегрируем
ема на отрезке [-а, а], то J f(x) dx = 0.
-а
2. Рассмотрим теперь периодические функции.
Функция /: X R, X cz R, называется периодической на множестве X с периодом Т > 0, если для любого х е X выполняется включение х ± Т е X и равенство f(x + Т) = f(x).
Например, для функции sin х периодом является любое число, целочисленно кратное 2л, т. е. число вида 2лп, п = = 0, ± 1, ±2, ... . Для постоянной функции периодом является любое положительное число.
УПРАЖНЕНИЯ. 2. Доказать, что у функции Дирихле (см. п. 5.2) любое положительное рациональное число является периодом, а любое положительное иррациональное число не является таковым.
3. Доказать, что функция sin х + tg х имеет наименьший период, и найти его.
4. Привести пример двух функций, имеющих наименьший период, сумма которых не имеет наименьшего периода.
5. Доказать, что всякая непрерывная периодическая на всей числовой оси R функция ограничена на R.
6. Доказать, что всякая непрерывная периодическая на всей числовой оси R функция равномерно непрерывна на R.
Если функция f имеет период Т > 0 и для некоторого числа а интегрируема на отрезке [а, а + Г], то, каково бы ни было число Ь, она интегрируема на отрезке [й, Ъ + Т] и имеет место равенство
b + Т а + Т
J f(x) dx = J /(х) dx, (24.32)
b a
т. e. интеграл от периодической функции по отрезку, равному по длине периоду, не зависит от положения этого отрезка на числовой прямой (рис. 114).
581


Ill Illi
a b-nT a+T a+nT b a+(n+l)T b+T
Рис. 114
Докажем это. Пусть для определенности Ъ > а, тогда существует такое неотрицательное целое п, что
а + пТ <Ъ < а + (п + 1)Т,
и, следовательно,
а < Ъ - пТ < а + Т, Ъ < а + (п+ 1)Т < Ъ + Т.
Заметим, что если функция f интегрируема на некотором отрезке [с, d], то для любого неотрицательного целого п функция f интегрируема на отрезке [с + пТ, d + пТ] и справедливо равенство
J f(x) dx = J Дх) dx. (24.33)
с с + пТ
Действительно, в силу периодичности функции /, при сдвиге отрезка [с, d] в отрезок [с + пТ, d + пТ], т. е. при преобразовании аргумента хг = х + пТ, в соответствующих друг другу точках этих отрезков функция f принимает одинаковые значения. В силу этого, можно тем же методом, который был применен в предыдущем примере, используя только вместо симметрии сдвиг, легко показать, что функция f интегрируема на отрезке [с + пТ, d + пТ] и что имеет место равенство (24.33).
Применив этот результат к отрезкам [а, b - пТ] и[Ь - пТ, а + Г], прибавив в первом случае к обоим концам отрезка число (п + 1)Т, а во втором — число пТ, получим, во-первых, что функция f интегрируема на отрезках [а + (п + 1)Т, Ъ + Т] и [й, а + (п + 1)Т], и, во-вторых, что
Ъ - пТ b + Т
J f(x) dx = J Дх) dx, а а + (п + 1)Т
а - Т а + (п + 1)Т
J f(x)dx = J f(x)dx. (24.34)
b - пТ b
Складывая эти равенства, в силу свойства аддитивности интеграла (см. свойство 3°), получим формулу (24.32). Аналогично рассматривается случай Ъ < а. □
Мы еще вернемся к формулам (24.31) и (24.32) в разделе о замене переменного в интеграле (см. п. 26.1).
582


24.2. 	Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла
ТЕОРЕМА 1. Пусты
1) функции fug: интегрируемы на отрезке [а, 6];
2) т < /(х) < М, х е [а, &];
3) функция g не меняет знака на отрезке [а, 6], т. е. либо неотрицательна, либо неположительна на нем. Тогда существует такое число ц, что
т<р<М (24.36)
и ь ь
J f{x)g{x) dx = |1Jg(x) dx. (24.37)
a a
СЛЕДСТВИЕ. При дополнительном предположении непрерывности функции f на отрезке [а, й] существует такая точка на интервале (а, Ъ), что
Jf(x)g(x) dx = f©/dx. (24.38)
а а
В частности, при g(x) = 1 на отрезке [а, й]
J/(x) dx = f(£)(b- а). (24.39)
а
Последняя формула в случае неотрицательной на отрезке [а, й] функции f имеет простой геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции /, равна площади прямоугольника с основанием длины Ъ - а и высотой длины /(^) (рис. 115).
Доказательство теоремы. Умножая неравенство т < < fix) М нзс g(x), при g(x) > 0 получаем
W(x) < f(x)g(x) 8L при g(x) < О
mg’(x) > f(x)g(x) > Mg(x).
Интегрируя эти неравенства на основании следствия из свойств 8° (п. 24.1), будем иметь
b ь
т\ g(x) dx < f /(x)g’(x) dx < a a
< M\ g(x) dx, (24.40)
Mg{x),
583


соответственно
b b b
m\ g(x) dx> \ f(x)g(x) dx > M\ g(x) dx. (24.41)
b a a a
Если J g*(x) dx = 0, то как в первом, так и во втором случаях а ь
J dx = 0.
а ь
Таким образом, если J g(x) dx = 0, то обе части равенства
(24.37) при любом ц обращаются в нуль, т. е. при выполне- ь
нии условия Jg(x) dx = 0 равенство (24.37) справедливо при любом выборе числа ц, в частности и при т < ц < М.
ь
Если же f g*(x) dx 0, то при g(x) > 0, х е [а, 6], имеем а
b b
f g(x) dx > 0, а при g(x) < 0, х е [а, 6], соответственно f g(x) dx <
< 0. Разделив неравенства (24.40) и (24.41) на интеграл ь
J g(x) dx, получим в обоих случаях одно и то же неравенство а
§f(x)g(x)dx
т < < М. (24.42)
fg(x)dx
Полагая
f(x)dx dpf J
ц |, (24.43)
fg(x)dx
видим, что при таком выборе ц выполняются как условие (24.36) (в силу (24.42)), так и (24.37) (в силу (24.43)).
Доказательство следствия. Если функция f непрерывна на отрезке [а, 6], то, согласно теореме Вейерштрасса (п. 6.1), она достигает своего наибольшего и наименьшего значения в некоторых точках ос и Р этого отрезка:
= <24-44)
Lи ’ о J
При
тп = /(а), М = /(Р), (24.45)
выполняется условие (24.35) теоремы и, следовательно, существует такое число ц,
(24.46) для которого выполняется равенство (24.37).
584


В силу условий (24.45) и (24.46), согласно теореме Больцано—Коши (см. п. 6.2) о промежуточных значениях непрерывной функции, на отрезке [а, Р] <= [а, й] существует точка для которой имеет место равенство /(^) = ц (рис. 116), поэтому и равенство (24.38). Покажем, что, более того, точку можно выбрать всегда так, что она будет лежать не только на от¬
резке [а, 6], но и являться его внутренней точкой.
ь
Если Jg(x) dx = 0, то из формулы (24.37) следует, что а
b
f f(x)g(x) dx = 0.
а
Поэтому равенство (24.38) выполняется при любом выборе точки е (а, Ь).
Пусть теперь ь
\g(x)dx^0 (24.47)
а
и для определенности g(x) > 0 во всех точках х отрезка [а, 6], следовательно,
Jg(x) dx > 0. (24.48)
а
(Случай g(x) < 0, а < х < fe, сводится к рассматриваемому заменой функции g(x) на функцию ~g(x): применив к неотрицательной функции ~g(x) формулу (24.38) и умножив обе части равенства на -1, получим и в этом случае формулу (24.38).)
Из выполнения условий (24.47) и (24.48) следует, что
ь
Jg(x) dx > 0. (24.49)
а
В силу неравенства (24.46) возможны три случая: т < < ц < М, ц = М и ц = т. Если т < ц < М, то в силу условий (24.45), согласно теореме Больцано—Коши о промежуточных значениях непрерывных функций между точками а и р, т. е. на интервале (а, й), существует такая точка что = Ц.
Если же ц = М (случай ц = т рассматривается аналогично), то равенство (24.38) принимает вид
b ь
J f(x)g(x) dx = М\ g(x) dx,
585


откуда
J[М - f(x)]g(x) dx = 0. (24.50)
a
Покажем, что существует такая точка е (а, й), что /(^) = М. Предварительно заметим, что
ь гс
[ g(x) dx = lim g(x)dx. (24.51)
a E + 0 J
a + f
В самом деле, функция g*(x) интегрируема на отрезке [а, 6], поэтому и ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная с > 0, что для всех точек х е [а, й] выполняется неравенство g(x) < с. Отсюда имеем (напомним, что g(x) > 0
b ь - г
J g(x) dx - f g(x) dx
a a + e
a + e b
f g(x) dx + J g(x) dx
a b — e
< f g(x) dx + \ g(x) dx c f dx + c f dx = 2сг, a b — e a b - e
0 < г < b - a.
Из этого неравенства сразу следует равенство (24.51).
В силу неравенства (24.49) и соотношения (24.51), су-
Ъ - Е0
ществует такое е0, 0 < е0 < Ъ - а, что J g(x) dx > 0.
а + е0
Если бы не существовало точки е (а, й), в которой /(^) = = М, то непрерывная функция М - f(x) была бы положительной на интервале (а, й), следовательно, и на отрезке [а + е0, Ъ - е0]. В частности, она была бы положительной в той точке х0, в которой она принимает свое наименьшее значение:
М - f(x) > min [М - f(x)] = М- f(x0) > 0,
[а + е0, Ъ - е0]
Хо е [a + SQ'b- е0].
Поэтому
J [М - f(x)]g(x) dx > а
b-E0 b-EQ
> f [М - f(x)]g(x) dx > [М - /(х0)] f g(x) dx> 0.
а + e„ a + e„
586


Последнее противоречит равенству (24.50). Таким образом, в рассматриваемом случае на интервале (а, Ь) существует такая точка что /(^) = М = ц. □
Следствие теоремы 1 обычно называется интегральной теоремой о среднем. Это название обычно объясняется тем, что в нем утверждается существование некоторой точки на отрезке — «средней точки», обладающей определенным свойством, связанным с интегралом от функции.
Формулы (24.37) и (24.38) остаются верными и при а > Ъ.
§25.
Определенный интеграл с переменными пределами интегрирования
25.1. 	Непрерывность интеграла по верхнему пределу интегрирования
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6]. Тогда она интегрируема и на любом отрезке [а, х], где а < х < й, т. е. для любого х е [а, 6], имеет смысл интеграл J f(t) dt. Рассмотрим функцию а
F(x) = $f(t)dt. (25.1)
а
Эта функция F определена на отрезке [а, й] и называется интегралом с переменным верхним пределом. Установим ее основные свойства.
ТЕОР Е М А 1. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], то функция (25.1) непрерывна на этом отрезке.
Доказательство. Пусть х е [а, &], х + Дх е [а, &]. Тогда из формулы (25.1) следует, что
F(x + Дх) = J f(t) dt = а
х х + Дх х + Дх
= j f(t) dt + J f(t) dt = F(x) + J f(t)dt, ax x
587


fix) ^F(xJ
поэтому (рис. 117)
х + Лх
&F = F(x + Дх) - F(x) = j f(t) dt.
(25.2)
a x x+Ax b
Рис. 117
Поскольку функция f интегрируема на отрезке [а, 6], она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такая постоянная М > 0, что |/(х)| < < М для всех х е [а, 6]. Применяя это неравенство для оценки выражения |Д^|, получим (см. п. 24.1):
х + Дх
х + Дх
х + Дх
|ДГ|= J f(t)dt< J |/(i) < J Mdt<M\\x\.
Отсюда следует, что lim \F = 0 для любого хе [а, &],
Дх О
а это означает непрерывность функции F в каждой точке х е [а, 6]. □
25.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования.
Существование первообразной у непрерывной функции
ТЕОРЕМА 2. Если функция f интегрируема на отрезке [а, й] и непрерывна в точке х0 е [а, 6], то функция
F(x) = \f(t) dt
(25.3)
дифференцируема в точке х0 и
П*о) = /(х0).
Доказательство. Покажем, что
(25.4)
где
AF = F(xq + Дх) - F(xq), х0 + Дх е [а, &].
М' „ ч г»
Для этого оценим модуль разности — - /(х0). Заметив, что
— I dt = 1 и, следовательно,
1 х0 + Дх
/W = J Я*о) dt’
х0
588


будем иметь
|ЛГ I i х0 + Дх 1 х0 + Дх
/(х0)Л
I I х0 х0
1 х0 + Дх 1 х0 + Дх
= Ь j lf(t)-f(xoy]dt J 1/(0 -f(x0)\dt. (25.5)
х0 I I х0
Пусть задано £ > 0. В силу непрерывности функции f в точке х0, существует такое 3 > 0, что если |х - х0| < 3 и х е [а, 6], то
|/(х) - /(х0)| < Е.
(25.6)
Выберем Дх так, что |Дх| < 3. Тогда для значений t на отрезке, по которому ведется интегрирование, будем иметь \t - х0| < |Дх| < 3 и, следовательно, из неравенств (25.5) и (25.6) получим
IS -М < й 7 "dt =е’
а это означает, что существует lim = /(х0), т. е. суще- Дх 0
ствует производная F'(Xq) = /(х0).
В том случае, когда точка х0 совпадает с одним из концов отрезка [а, 6], под F\xq) следует подразумевать соответствующую одностороннюю производную функции Е(х). □
Теперь можно решить вопрос о существовании первообразной для произвольной непрерывной функции.
ТЕОРЕМА 3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке у нее существует первообразная.
Доказательство. Если функция f непрерывна на отрезке [а, 6], то, по теореме 4 п. 23.6, она и интегрируема на нем. Поэтому, согласно формуле (25.4), справедливой при сделанных предположениях для всех точек х0 е [а, 6], функция F(x) = f f(t) dt является первообразной для функции /. □
Таким образом, операция интегрирования с переменным верхним пределом, примененная к непрерывной функции, приводит к первообразной функции, т. е. является операцией, обратной дифференцированию:
fjj(t)dt = f(x), a^x^b. (25.7)
589


Это утверждение, называемое формулой дифференцирования определенного интеграла по верхнему пределу, является основополагающим для дифференциального и интегрального исчисления. Из него следует, в частности, что любая первообразная функции /(х), непрерывной на отрезке [а, 6], имеет вид
J f(t) dt + С, а < х < Ъ. а
Действительно, согласно доказанному, функция F(x) = f f(t) dt является первообразной для функции Дх), а всякая другая ее первообразная может отличаться от F(x) лишь на постоянную (см. п. 18.1). Таким образом, установлена связь между неопределенным и определенным интегралами, которая имеет вид
f/(x) dx = f f(t) dt + С.
Доказанные теоремы показывают, что операция интегрирования с переменным верхним пределом приводит к «улучшению» или «сглаживанию» свойств функции: интегрируемая функция переходит в непрерывную, а непрерывная — в дифференцируемую.
Заметим, что операция дифференцирования в определенном смысле «ухудшает» свойства функции: например, производная непрерывной функции, если она существует, может быть уже разрывной функцией.
Из формулы дифференцирования по верхнему пределу интегрирования, т. е. из формулы (25.7), можно легко получить и формулу дифференцирования по нижнему пределу интегрирования.
Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, 6]. Тогда на этом отрезке определена и функция
ь
G(x) = J f(t) dt. а < х < b.
причем из тождества
Ь х b
J ДО dt = j ДО dt + J ДО dt а а х
имеем
ь
G(x) = J ДО dt - F(x). (25.8)
а
590


Если функция f непрерывна в точке хе [а, 6], то, как доказано выше, функция F дифференцируема в этой точке. Из формулы (25.8) следует, что в этом случае функция G(x) в точке х также дифференцируема и dG^ = • Таким образом,
j ь
dt = -f(t).
Замечание. Из формул дифференцирования интеграла от непрерывной функции по верхнему (нижнему) пределу интегрирования следует также, что всякая функция, непрерывная на некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет на нем первообразную. Действительно, пусть, например, функция f непрерывна на интервале (а, Ь). Выберем произвольную точку х0 е (а, Ь) и положим
F(x) = J/(0 dt.
х0
Тогда для всех х е (а, Ь) справедливо равенство F'(x) = f(x), т. е. F(x) является первообразной функции f(x) на интервале (а, Ь).
УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть функция f(x) непрерывна, а ф(х) и у(х) дифференцируемы всюду в R. Доказать следующие обобщения формулы (25.7):
(р(х)
£ J f(t) dt = Дф(х))ф'(х);
а
ф(х)
£ j f(t) dt = Дф(х))ф'(х) - ftyX’WCx).
V(x)
25.3. 	Формула Ньютона—Лейбница
ТЕОРЕМА 4. (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, 6]. Если функция Ф является произвольной ее первообразной на этом отрезке, то
J Дх) dx = Ф(&) - Ф(а). (25.9)
а
Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.
Доказательство. Положим F(x) = \f(t)dt. Согласно теореме 3 п. 25.2, функция F является первообразной для функции f на отрезке [а, 6]. Таким образом, F и Ф — две пер591


вообразные одной и той же функции f на отрезке [а, 6], поэтому
F(x) = Ф(х) + С, а < х < Ъ.
где С — некоторая постоянная, т. е.
J f(t) dt = Ф(х) + С, а < х < Ъ. а
При х = а отсюда следует, что С = -Ф(а), следовательно,
J f(t) dt = Ф(х) - Ф(а). а
Полагая здесь х = Ь, получим формулу (25.9). □
Для краткости записи часто употребляют обозначение
Ф(х)|" =f Ф(&) - Ф(а),
ИЛИ
def
[ф(х)]а = Ф(&) - Ф(а).
Заметим, что формула Ньютона—Лейбница (25.9) справедлива и для а > Ъ. Действительно, если в ней поменять местами а и Ь, то ее левая и правая части изменят знак.
г 2
Примеры. 1. Найдем] х dx. Известно, что о г 2 X3
J х ах = + С,
поэтому
Г1 2 г3 1 1
[ х dx = — = х О 3 о 3
я
2. Найдем J sin х dx. Имеем о
я Л
J sin х dx = -cos х = -cos л + cos 0 = 2.
о 2
25.4*. Существование обобщенной первообразной.
Формула Ньютона—Лейбница для обобщенной первообразной
Теорема 3 п. 25.2 и теорема 4 п. 25.3 обобщаются на случай, когда под первообразной понимается обобщенная первообразная (см. п. 18.6*).
592


ТЕОРЕМА 3*. Если функция, определенная на отрезке, ограничена на нем и имеет конечное множество точек разрыва, то она имеет на этом отрезке обобщенную первообразную.
Доказательство. Если функция f ограничена на отрезке [а, й] и имеет конечное множество точек разрыва, то она, согласно критерию интегрируемости Лебега (см. п. 23.10*), интегрируема на этом отрезке, следовательно, имеет смысл функция
F(x) = f f(x) dt, а
задаваемая этой формулой для всех х е [а, 6]. В силу теоремы 1 п. 25.1, функция F непрерывна на отрезке [а, 6], а в силу теоремы 2 п. 25.2, для всех точек х е [а, 6], в которых функция f непрерывна (т. е. во всех точках отрезка [а, 6], кроме конечного их множества), выполняется условие
F\x) = f(x).
Таким образом, функция F является обобщенной первообразной для функции /. □
ТЕОР Е М А 4*. Пусть функция f, определенная на отрезке, ограничена на нем и множество точек ее разрыва конечное. Если функция Ф является какой-либо обобщенной первообразной функции f на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона—Лейбница
J /(х) dx = Ф(й) - Ф(а). а
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 4, если только под первообразными понимать обобщенные первообразные.
Покажем теперь, что формула Ньютона—Лейбница имеет место и лишь при предположении существования обобщенной первообразной у интегрируемой функции /, т. е. при условии существования обобщенной первообразной для справедливости формулы Ньютона—Лейбница, не нужно требовать конечности множества точек разрыва функции f (напомним, однако, что конечность множества точек разрыва использовалась при доказательстве существования обобщенной первообразной, иначе говоря, конечность мно593


жества точек разрыва ограниченной функции является достаточным условием существования у нее обобщенной первообразной).
ТЕОР Е М А 5. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, b]uF — ее обобщенная первообразная на этом отрезке. Тогда справедлива формула Ньютона—Лейбница
\f(x)dx = F(b)-F(a). (25.10)
а
Доказательство. Согласно определению обобщенной первообразной, функция F непрерывна на отрезке [а, й] и существует такое конечное множество Ej <= [а, 6], что для всех точек х е [а, b}\Ef выполняется равенство Fr(x) = f(x). Обозначим через а2, ... , ат точки конечного множества Е?:
Ef={a1, а2, ... , ат}
и рассмотрим какое-либо разбиение т = {xz}. = 0T отрезка [а, 6], содержащее все точки а19 ... , ат. Тогда на каждом отрезке [xz _ р xz] функция F непрерывна, а внутри него она имеет производную F'(x) = f(x). Поэтому к функции F на указанном отрезке можно применить формулу конечных приращений (теорему Лагранжа о среднем значении):
F(Xi) - F(Xi _ 0 = F'(^Xi = f(^Xi, (25.11)
где Axz = xz - xz_ p (xz_p xz), i = 1, ... , iT.
Суммируя получившиеся равенства от 1 до и замечая, что xz = fe, х0 = а,
J/(xz) - F(xz _ 0 = F(xZx) - F(x0) = F(b) - F(a), получаем
F(b)-F(d) = Д/ОЧ. (25.12)
В правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана функции f.
Пусть т = тп, п = 1, 2, ... , — последовательность разбиений, содержащих точки ... , ат9 для которой |тп| 0 при п оо. Переходя к пределу при п °° в (25.12), где 594


т = тп, и замечая, что левая часть этого равенства постоянна и равна F(b) - F(d), а правая, в силу интегрируемости функ-
ь
ции /, стремится к интегралу J /(х) dx, получим формулу (25.10). □
Из формулы (25.10) следует, что если две интегрируемые функции f и имеют на отрезке [а, й] одну и ту же обобщенную первообразную F, то интегралы от них по этому отрезку равны, так как они равны числу F(b) - F(a). Это нетрудно доказать и непосредственно, так как в этом случае интегрируемые функции f и могут отличаться друг от друга только значениями в конечном числе точек.
Замечание. Формула Ньютона—Лейбница иногда записывается в виде
ь
J F\x) dx = F(b) - F(a). (25.13)
a
Здесь предполагается, что функция F непрерывна на отрезке [а, й] и во всех его точках, кроме некоторого конечного множества, имеет производную F'. Тем самым подынтегральная функция в формуле (25.13) может оказаться определенной не во всех точках отрезка [а, 6], и поэтому следует пояснить, что же понимается в этом случае под интегралом ь
f F'(x) dx. В формуле (25.13) дополнительно предполагается, что существует такая интегрируемая на отрезке [а, й] (и тем самым определенная уже в каждой его точке) функция /, для которой F является ее обобщенной первообразной, и, следовательно, существует такое конечное множество Ej, что для всех точек х е [a, b}\Ef имеет место равенство F\x) =
ь
= f(x). Интеграл же f F'(x) dx, по определению, принимается а b
равным интегралу f f(x) dx, т. е.
а
f F’(x) dx c=f f f(x) dx. (25.14)
a a
Определение корректно, так как не зависит от выбора указанной функции /: в любом случае она имеет обобщенную первообразную F и, следовательно, в силу теоремы 5, ь будет получаться одно и то же значение интеграла f /(х) dx, 595


равное F(b) - F(a). Все сказанное делает естественным следующее определение.
Определенней. Функция F, определенная на отрезке [а, &], называется функцией с интегрируемой на этом отрезке производной, если существуют конечное множество Е <= <= [а, й] и интегрируемая на [а, й] функция f такие, что для любой точки х е [а, &]\£ функция F имеет производную и F'(x) = f(x).
Иначе говоря, функция F называется функцией с интегрируемой производной на некотором отрезке, если на этом отрезке F является обобщенной первообразной интегрируемой функции. Теперь теорему 5 можно перефразировать следующим образом.
ТЕОРЕМА 5*. Если функция F непрерывна на отрезке [а, й] и имеет на нем интегрируемую производную, то
jF'(x) dx = F(b) - F(a). a
УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что если непрерывные на отрезке [а, Ь] функции FT и F2 имеют интегрируемые на этом отрезке производные, то и их произведение FrF2 также имеет интегрируемую на [а, Ь] производную.
§26.
Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям
26.1. 	Замена переменной
ТЕОРЕМА 1. Пусты
1) функция f(x) непрерывна на интервале (а, й);
2) функция ф(0 определена и непрерывна вместе со своей производной ф'(0 на интервале (а, Р), причем для всех t е (а, Р) выполняется неравенство а < ф(£) < Ъ.
Тогда если а0 е (а, Р), ро е (а, Р), а0 = ф(а0), й0 = ф(&0), то
^0 Ро
J fix) dx = J/[ф(О]ф'(О dx. (26.1)
20 0С0
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.
596


Доказательство. Прежде всего заметим, что, по условию, функция f заведомо определена на множестве значений функции ф (рис. 118), поэтому имеет смысл сложная функция /[ф(0]« В силу сделанных предположений, подынтегральные функции в обеих частях формулы (26.1) непрерывны, поэтому оба интеграла в этой формуле существуют.
Пусть Ф(х) — какая-либо первообразная функция f(x) на интервале (а, Ь). Тогда для точек t интервала (а, Р) имеет смысл сложная функция Ф[ф(О], которая является первообразной для функции /[ф(О]ф(О- По формуле Ньютона— Лейбница (см. п. 25.3),
J f(x) dx = Ф(60) - Ф(а0)>
₽о
f Лф(О]ф'(О dt = Ф[ф(Ро)] - Ф[ф(а0)] = Ф(&о) - ф(«о)- «о
Из этих равенств и следует формула (26.1). □
Как видно из доказательства, формула (26.1) справедлива как при а0 < ро, так и при а0 > ро.
Интересно отметить, что некоторые значения функции ф(0 могут и не принадлежать отрезку [а0, й0], по которому происходит интегрирование (см. рис. 118) в левой части равенства (26.1).
Если воспользоваться формулой для односторонних производных сложной функции (см. замечание 2 в п. 9.7), то формула (26.1) имеет место для случая, когда f задана на отрезке [а, 6], функция ф(£) — на отрезке [а, Р] и множество значений функции ф содержится в отрезке [а, 6], причем а = ф(а), b = ф(Р) (рис. 119). В этом случае формула замены переменной может быть применена ко всему отрезку [а, 6]: ъ Р
J f(x) dx= J /(ф(0] ф'(0 dt. (26.2)
а а
597


Употребляя символ определенного интеграла, мы всегда писали под знаком интеграла выражение f(x) dx, где х — независимая переменная. При этом, когда давалось определение определенного интеграла, не предполагалось, что f(x) dx означает дифференциалы какой-либо функции. Затем (см. п. 25.2) было показано, что по крайней мере для непрерывной функции выражение f(x) dx всегда является дифференциалом некоторой функции, а именно ее первообразной F(x): dF(x) = f(x) dx. Поэтому естественно считать, что в этом слу- b ь
чае записи f dF(x) и f f(x) dx равнозначны, т. е. а а
b b
J dF(x) = f f(x) dx. а а
Будем вообще допускать под знаком определенного интеграла любую запись дифференциала, т. е. положим, по определению, для дифференцируемой функции g(x) b ь
J f(x) dg (х) = J f(x)g'(x) dx а а
(если, конечно, интеграл в правой части равенства существует). Например, с помощью этого обозначения формулу (26.2) можно записать в виде
ь Р
J f(x) dx = J /[<p(Z)] dq(t). a oc
Таким образом, при замене переменного х = ф(£) (когда это ь
допустимо) в определенном интеграле f f(x) dx следует всюду а
формально заменить х на ф(£) и соответственно изменить пределы интегрирования.
Обратим внимание на то, что при применении формулы (26.1) (формулы (26.2)) ее, подобно случаю неопределенного интеграла, можно использовать как слева направо, так и справа налево. Однако в отличие от неопределенного интеграла, где в конце вычисления следует возвращаться к первоначальной переменной интегрирования, здесь этого делать не нужно, так как наша цель найти число, которое, в силу доказанных фор598


мул, равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.
2 2
Примеры. 1. Вычислим интеграл Je xdx. Применив о
формулу (26.1) справа налево (здесь роль переменной t играет х), получим
f ех х dx= 9 [ dx2 = х J еу dy= = —z— . о о о Io
'г2 Гх
2. Пусть требуется вычислить интеграл J ye - 1 dx. По- О
пытаемся упростить подынтегральное выражение, положив
Jex - 1 = t. Иначе говоря, сделаем замену переменного х = 2 2t dt
= In (1 + t ); тогда dx = 5, и так как при 0 < t < 1 имеем
1 + t
О < х < In 2, то, применив формулу (26.1) слева направо, получим
1п2 I 1
f Jex - 1 dx = 2 J =
о о 1 + t
1 1 1 л _
= 2 f | 1 5 | dt = 2 Ft - arctg tl = .
о < 1 +1 ) L Jo 2
УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] и для всех t е [О, Ъ - а] имеет место равенство f(a + t) = f(b - t), то
f л z x , a + b r
J xf(x) dx = —z— J f(x) dx.
Заметим, что в случае непрерывных функций формулы (24.31) для четных функций и (24.32) для периодических функций (см. примеры в п. 24.1) сразу следуют из теоремы 1 о замене переменного в интеграле.
В самом деле, если функция f непрерывна на отрезке [а, 6], О < а < fe, a f (х) = /(-х), —Ъ < х < -а, то равенство
f f (х) dx = J /(х) dx
-ь а
599


-а ч
сразу получится, если в интеграле f f (х) dx сделать замену -ь
переменного х = t - а - Ъ.
Если же функция f непрерывна на числовой оси и имеет период Т > 0, то для доказательства формулы ь + т ь + т
J f(x) dx= J /(х) с/х, а Ъ
имеющей место для любых чисел а и Ь, выберем, например, при Ъ > а такое неотрицательное целое п (см. пример 2 в п. 24.1), что а + пТ < Ъ < а + (п + 1)Т, и представим интеграл а + Т
J /(х) dx в виде суммы двух интегралов следующим образом: а
а + Т b + пТ а + Т
f f(x) dx= J f(x) dx+ f f(x) dx.
a a b - nT
Сделав в первом интеграле правой части равенства замену переменного х = t - (п + 1)Т, а во втором — х = t - пТ, получим а + Т b + Т а + (п + 1)Т b + Т
J f(x)dx= J f(t)dt+ J f(t)dt= J (/) dt. a a + (n+\)T b b
Формула замены переменных в определенном интеграле с помощью формулы Ньютона—Лейбница может быть обобщена и на случай, когда функция f интегрируема на отрезке и имеет на нем первообразную (см. теорему 5 ).
26.2. 	Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6], то ь b ъ
\udv = uv\ -\vdu. (26.3)
а Ш а
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Доказательство. Имеем
b b b ь
f (uv)' dx = f (uv' + u'v) dx = f и dv + J v du. (26.4)
a a a a
600


Все написанные интегралы существуют, ибо подынтегральные функции непрерывны. Согласно формуле Ньютона— Лейбница (25.11), имеем
\{uv)' dx = \uv\ . (26.5)
а ' Cl
Сравнив формулы (26.4) и (26.5), получим равенство b b
[и du + \v du = \uv\ , (26.6)
откуда и следует формула (26.3). □
Теорема 2 легко обобщается на случай кусочно-непрерывно дифференцируемых функций. Определим эти функции.
Пусть функция Дх) определена на отрезке [а, 6], сущест- i = iT
вует такое разбиение т = {xz}. = 0 отрезка [а, 6], что Дх) непрерывна на каждом интервале (xz _ р xz), и существуют конечные пределы /(xz _ j + 0), /(xz - 0), i = 1, 2, ... , iT. (Следовательно, функция f кусочно-непрерывна на отрезке [а, 6], см. определение 6 в п. 23.10 .)
[ Дх), если xz _ х < х < xz,
А(х) = 5 f{xt _ ! + 0), если х = xz _ р
I /(xz - 0), если х = xz.
Определение 1. Если каждая функция f^x), i = 1, 2, ... , k, {непрерывно) дифференцируема на отрезке [xz _ р xz], то функция f{x) называется кусочно {непрерывно) дифференцируемой на отрезке [а, 6].
ТЕОРЕМА 2*. Пусть функция и{х) и функция v{x) кусочно непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6]; тогда для них справедлива формула (26.3) интегрирования по частям.
Доказательство теоремы 2 остается в силе и в этом случае. Действительно, произведение функций и, v и его производная {uv)' = uv' + u'v кусочно-непрерывны. Поэтому, согласно теореме 4 п. 25.4 , к интегралу в левой части равенства (26.5) можно также применить формулу Ньютона— Лейбница. □
601


Примеры. 1. Найдем значение интеграла
Применим формулу интегрирования по частям:
2 Z 2
J In х dx = xln x -J dx = 2 In 2-1.
1 1 1
2. Покажем, что для любого п = 1, 2, ...
л/2 л/2
In = J sinn х dx = f cosn x dx = о 0
( (n - 1 )!!л
12 ПРИ П четном’
] (n - 1)!!
1при n нечетном.
2
f In x dx.
i
(26.7)
Под n!!, n g AT, a > 1, понимается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих п и обладающих той же четностью, что и число п, и по определению 0!! = 1.
Равенство интегралов, входящих в (26.7), легко установить с помощью замены переменного х = л/2 - t.
я/2
Положим Iq = J dx = л/2. Интегрируя по частям, имеем о
л/2 л/2
In = J sinn х dx = f sinn x d(-cos x) = о 0
-1 717 Z 71/2 -2 2
=-sin72 x cos x +(n-l)j sin22 x cos x dx =
0
tc/2
= (n - 1) J sin72 ” 2x(l - sin2 x) dx = (n- 1)1 n _2~ (n- 1)1 n, о
отсюда
T = n ~ 1 т
1 n n 1 n - 2* tc/2
Заметим, что 70 = л/2, = J sin x dx = 1. Поэтому при
о
п = 2k + 1, т. е. нечетном, будем иметь
т _ 2k т _ _ 2k(2k -2) ...2 т _ 2kV.
72/? + 1 2k + l12k~1 ••• (2k + 1)(2/? - 1) ... 1 71 (2/? + l)!!’
а при п = 2k, т. е. четном, —
т _ 2k - 1 т _ _ (2k - l)(2fe - 3) ... 1 т _(2/?-1)!!л
22k 2k 72^-2 ••• 2k(2k - 2) ...2 7° (2k)\\ 2’
k = 1, 2, ... . □
602


Из формулы (26.7) легко получается формула Валлиса1, которая понадобится в дальнейшем:
1 - lim ^Г-g^l2 . (26.8)
2 п^оо2п-\- l|_(2n - 1)!!J v 7
Докажем ее. Интегрируя неравенство . 2п + 1 . 2п . 2п-1 Л
Sin X < Sin X < Sin X, 0 < X < 2 ’
по отрезку [0, л/2], будем иметь
л/2 л/2 л/2
f . 2n + 1 7 г . 2п 1 г . 2п - 1 7
J sin х ах < J sin х ах < J sin х ах
О 0 0
(нетрудно показать, что в действительности, в силу свойства 9° определенных интегралов (см. п. 24.1), здесь имеют место
строгие неравенства). Согласно (26.7),
(2п)!! < (2п - 1)!!л < (2п - 2)!!
(2n + 1)!! (2п)!! 2 (2п - 1)!! ’
откуда
def 1 г (2и)!! п2 л 1г (2n)!! q2 def Хп~ 2п + 1|_(2п - l)!lj 2 2п[(2п - l)!lj - Уп' (26,9)
В силу этого неравенства, при п
_ _ 1 1 г 2п\\ “|2 < 1 K п
Уп Хп ~ 2п2п + l|_(2n - l)!lj ' 2/i 2 u’
поэтому lim (уп - хп) = 0, т. е. длины отрезков \хп, уп], со-
П оо
держащих , стремятся к нулю и, следовательно, lim хп = , lim уп = . Первое из этих равенств, согласно определению
хп (см. (26.9)), и означает справедливость формулы Валлиса.
26.3*. Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла
ЛЕ М М А 1. Пусть f— непрерывная, a g— возрастающая неотрицательная непрерывно дифференцируемая на от1 Дж. Валлис (1616—1703) — английский математик.
603


резке [а, й] функция. Тогда существует такая точка е е [а, &], что
b ь
J£(х)Дх) dx = £(&)/ Дх) dx. (26.10)
а
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(x) =f J f(t) dt, a<x<b. (26.11)
X
Функция F, являясь интегралом с переменным нижним пределом интегрирования от интегрируемой (даже непрерывной) функции /, непрерывна на отрезке [а, й] и поэтому достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Если
т = min F(x), М= max F(x), (26.12)
\a,b] \a,b]
то, очевидно,
m < F(x) <M,xe [a, b]. (26.13)
Заметив, что dF(x) = -f(x) dx и проинтегрировав по частям интеграл в левой части равенства (26.10), получим
J g(x)f(x) dx = -J g(x)dF(x) = -^(x)F(x)|a + J F(x)g\x) dx = a a a
= g(a)F(a) + / F(x)g'(x) dx, (26.14)
a
так как, в силу (26.11), F(b) = 0.
Функция g возрастающая, поэтому имеем g'(x) > 0 для всех х е [а, 6]. Применив это неравенство, неравенства (26.13) и заметив, что из неотрицательности g на [а, й] следует, в частности, что g(a) > 0, получим оценки
b ь
g(a)F(a) + f F(x)g'(x) dx < Mg(a) + M\ g'(x) dx =
= Mg(a) + M[g(b) - g(a)] = Mg(b), b
g(a)F(a) + J F(x)g’(x) dx > mg(a) + m[g(&) - g(a)] = mg(b). a
Таким образом (см. (26.14)), имеем
b
mg(b) < J g(x)f(x) dx < Mg(b). a
Если g(b) = 0, то из неотрицательности и возрастания функции g следует, что g(x) = 0 на [а, 6]. В этом случае формула (26.10) справедлива при любом выборе е [а, 6].
604


Если же g(b) > 0, то
1 ь
т gwlg(xW-x^dx М'
Непрерывная на отрезке [а, й] функция F принимает на этом отрезке любое значение, лежащее между ее минимальным значением т и максимальным М (см. (26.12)), поэтому существует такая точка е [а, 6], что
W = dx.
В силу определения (26.11), это и есть формула (26.10). □
ТЕОРЕМА 3 (теорема Бонне1). Пусть f — непрерывная, a g — монотонная непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, й] функция. Тогда существует такая точка е [а, 6], что ь ь
Jg(x)f(x) dx = g(a)\ f(x) dx + £(&)/ f(x) dx. (26.15) a a
Доказательство. Допустим сначала, что функция g воз- dcf
растает на отрезке [а, 6]; тогда функция h(x) = g(x) - g(a), а < х < Ъ, будет неотрицательной возрастающей непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, й] функцией. Поэтому, согласно лемме, существует такое е [а, 6], что
b ь
J Л(х)/(х) dx = h(b)\ f(x) dx. a t,
Подставив сюда выражение для h(x), имеем
b b
J [£(*) - g(a)]f(x) dx = [g(&) - g(a)]J f(x) dx, a
откуда &
J g(x)f(x) dx =
a
b b b
= f(x) dx - g(a)\ f(x) dx + £(&)/ f(x) dx = a
b
= f(x) dx + g(&)J f(x) dx, a
т. e. получилась формула (26.15).
Если функция g убывает на отрезке [а, 6], то для доказательства теоремы достаточно применить формулу (26.15) к функции -g, которая, очевидно, возрастающая. □
1О. Бонне (1819—1892) — французский математик.
605


Отметим, что теорема 2 справедлива и при более слабых ограничениях: от функции / достаточно потребовать лишь ее интегрируемости, а от g — ее монотонности.
26.4. 	Интегралы от векторных функций
Аналогично тому, как были определены интегралы от числовых функций, можно определить и интегралы от векторных функций, значения которых принадлежат п-мерному векторному пространству Rn (см. п. 14.4).
Пусть r(t) е Rn, а < t < й, — векторная функция, т = = {£f}j = o —Разбиение отрезка [а, 6], е [tt _ р ^], = tt -
- tt _ р i = 1, 2, ... , iT, |т| — мелкость разбиения т. Если при любом указанном выборе точек существует предел1 lim не зависящий от выбора последовательности
разбиений, то он называется интегралом от функции r(t) по отрезку [а, й] и обозначается f r(t) dx. При фиксированных а и Ъ он представляет собой фиксированный вектор в Rn.
Пусть r(t) = (x^t), ... , xn(t)). При сложении векторов складываются их координаты, при умножении векторов на число их координаты умножаются на то же число, а предел векторной функции равен вектору, координаты которого являются пределами ее соответствующих координат, поэтому
J r(t) dt= J xx(t) dt,
, J xn(t) dt
В силу этого равенства, многие свойства интегралов от числовых функций переносятся на интегралы от векторных функций. В частности, векторная функция F(t), определенная на некотором конечном или бесконечном промежутке А числовой прямой, называется первообразной для 1 Понятие предела в этом случае определяется либо с помощью предела векторной последовательности, либо эквивалентным образом на (е—8)-языке аналогично случаю скалярных функций, рассмотренному в п. 23.1.
606


данной функции r(t) е Rn, определенной на том же промежутке А, если во всех его точках t имеет место равенство ПО = r(t).
Для векторных функций справедливо предложение, аналогичное основной теореме интегрального исчисления (см. теорему 4 п. 25.3):
если векторная функция r(t) е Rn непрерывна на отрезке [а, &], то у нее существует на этом отрезке первообразная и для любой первообразной F(t) функции r(t) справедлива формула
J r(t) dt = F(b) - F(a),
a
называемая, как и в случае скалярных функций, формулой Ньютона—Лейбница,
Справедливость этого утверждения следует из справедливости формулы Ньютона—Лейбница для всех координат функции r(t).
Замечание. Вп. 15.2 была доказана следующая теорема: если векторная функция r(t) непрерывна на отрезке [а, й] и дифференцируема внутри него, то существует такая точка е (а, Ъ), что
|r(&) - r(a)| < |rU)|(& - а).
Приведенное в п. 15.2 доказательство этого утверждения имело искусственный характер — надо было догадаться воспользоваться некоторой вспомогательной функцией. С помощью понятия интеграла (предполагая непрерывность производной рассматриваемой векторной функции) доказательство можно провести более естественно.
Пусть векторная функция r(t) е Rn имеет непрерывную на отрезке [а, й] производную. Тогда, применяя формулу Ньютона—Лейбница, имеем
ь
|г(&) - r(a)| = J r'(t) dt < f |r'(Ol dt.
В правой части получился интеграл от непрерывной скалярной функции. Согласно интегральной теореме о среднем (см. следствие из теоремы 1 в п. 24.2), существует такая точ- ь
ка е (а, й), что f \r'(t)| dt = |г'(^)|(6 - а); следовательно, а
|г(&) - г(а)| < |г'(^)|(& - а), £ е (а, Ь). □
607


§27.
Мера плоских открытых множеств
27.1. 	Определение меры (площади) открытого множества
Для того чтобы выяснить геометрический смысл определенного интеграла, рассмотрим понятие площади множеств, лежащих на плоскости (их называют плоскими множествами). Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением одного класса множеств, состоящего из так называемых открытых множеств. Для более широкого класса множеств понятия площади и объема рассмотрены далее (см. п. 44.1).
Пусть задана плоскость R2. Нам удобно ввести понятие открытого круга U(PQ; £) с центром в точке Ро е R2 и радиуса £ > 0 как множества всех точек Р плоскости R2, отстоящих от точки Ро на расстоянии, меньшем £:
?7(P0; е) = {Р е R2 : |РР01 < d,
где |РР0| — длина отрезка с концами в точках Ро и Р.
Открытый круг U(PQ; £) называется также г-окрестно- стъю точки Ро.
Множество {Рей2: |РР0| < £}, в котором строгое неравенство |РР0| < £ заменено на нестрогое |РР0| < £, обычно называют замкнутым кругом.
Точка множества, лежащего на плоскости, называется его внутренней точкой, если у нее существует £-окрестность, содержащаяся в этом множестве.
Множество, все точки которого являются его внутренними точками, называется открытым множеством.
В символичной записи это определение выглядит следующим об- det разом: G — открытое множество def
VM е G 3 £ > 0: U(M; £) с= G (рис. 120).
z у
/
G у/
Рис. 120
608


Легко видеть, что множество внутренних точек любого множества, лежащего на плоскости, является открытым множеством на этой плоскости. Пустое множество по определению считается открытым.
Рассмотрим плоскость, на которой зафиксирована некоторая прямоугольная система координат. Обозначим через TQ разбиение этой плоскости на квадраты, получающиеся при проведении всевозможных прямых х = р, у = q, р = 0, ±1, ±2, ...,# = О, ±1, ±2, ... , т. е. квадраты вида {(х, у): р < х < р + 1, q < У < Ч + 1}-
Такое разбиение назовем квадрилъяжем плоскости ранга 0, а указанные квадраты — квадратами нулевого ранга. Разобьем каждый из квадратов нулевого ранга на 100 равных квадратов прямыми, параллельными осям координат (любые две соседние параллельные прямые отстоят друг от друга на расстояние 1/10). Совокупность получившихся квадратов обозначим Т\. Продолжая этот процесс дальше, получим квадрильяжи Тт, т = 1, 2, ... , плоскости, состоящие из квадратов, образовавшихся в результате проведения всевозможных прямых вида
х = р/10т, у = q/lQm, р = 0, ±1, ±2, ... , q = 0, ±1, ±2, ... , и, следовательно, со сторонами длины 10 т. Квадраты, принадлежащие квадрильяжу Тт, т. е. квадраты вида |(х, у):
< х < < У < L будем называть квадра-
10 10 10 10 J
теши ранга т, т = 0, 1, 2, ... .
Пусть G — плоское открытое множество. Обозначим через s0 = s0(G) совокупность точек всех квадратов нулевого ранга, лежащих во множестве G, а через = ^(G) — совокупность точек всех квадратов первого ранга, лежащих в G. Вообще через sin = sm(P) обозначим совокупность всех квадратов ранга т, лежащих в множестве G, т = 1, 2, ... . Очевидно (рис. 121), что
CZ ... ... ^G. (27.1)
609


Множества s0, ... , sm, ... представляют собой «много¬
угольники», составленные из конечного или бесконечного числа квадратов соответствующего ранга. В случае, если sm состоит из конечного числа квадратов, обозначим площадь многоугольника sm через пл. sm, если же sm состоит из бесконечного числа квадратов, положим пл. sm = +°°. Если какое-то s/n{) состоит из бесконечного числа квадратов, то и все следующие sm, т > т0, также состоят из бесконечного числа квадратов.
Из включений (27.1), в силу соглашения об использовании символа +°° (см. п. 3.1), следует, что всегда
пл. s0 < пл. < ... < пл. sm < ... . (27.2)
Возможны два случая.
1. Все пл. sm конечны; тогда (27.2) является монотонно возрастающей числовой последовательностью, и поэтому она имеет либо конечный предел, либо стремится к +°°. Этот предел в данном случае и называется площадью, или мерой, открытого множества G и обозначается mes G1.
2. Если же существует такой номер т0, что пл. sm.= +о°’ то пл. sm = +°° и для всех номеров т > т0. В этом случае положим mes G = +°°.
Согласно определению предела последовательности элементов расширенной числовой прямой R (см. п. 4.2), последовательность элементов ап, п = 1, 2, ... , принадлежащих расширенному множеству действительных чисел R таких, что начиная с некоторого номера они все равны +°°: lim ап =
= +°°. Используя это понятие, оба рассмотренных выше случая можно объединить. Сформулируем окончательное определение.
Определенней. Предел lim пл. sm(G) (конечный или беско- °°
нечный) называется площадью, или мерой, открытого множества G и обозначается mes G:
mes G = lim пл. sm(G). (27.3)
1 От франц, mesure — мера, размер.
610


Такое определение меры открытого множества естественно, так как последовательность множеств т = 1, 2, ... , исчерпывает открытое множество, т. е.
U sm = G, иначе говоря, для любой т = 1
точки Р е G существует такой много- угольник smQ, что Р е smQ.
Действительно, какова бы ни была
точка Р е G, в силу открытости множества G, существует
сферическая окрестность С7(Р; е) <= G, е > 0. Заметив теперь, что диаметр квадрата ранга т равен 10 т J2, выберем т0 так,
чтобы
1 10ш°
(27.4)
Для всякой точки плоскости существует по крайней мере один квадрат каждого ранга, содержащий эту точку. Пусть Qm^ — квадрат ранга т0, содержащий точку Р. В силу неравенства (27.4) Qm^ <= ЩР; е), значит, Qm^ сСи, следова¬
тельно, Qm sm , но Ре Qm , поэтому Ре sm (рис. 122). □ ''^0 v VJ_ z
Если открытое множество G ограничено, то всегда mes G < +оо. В самом деле, если G ограничено, то существует замкнутый квадрат Q, содержащий множество G (G <= Q) и являющийся объединением квадратов нулевого ранга; тогда sm(G) <= Q при любом т = 0, 1, ... , и значит, пл. sm(G) < < пл. Q.
Таким образом, последовательность (27.2) ограничена сверху и, значит, предел (27.3) конечен.
Задача 17. Доказать, что мера плоского открытого множества не зависит от выбора прямоугольной системы координат на плоскости, на которой оно расположено.
Пусть открытое плоское множество S является многоугольником, aS — многоугольник, получающийся из многоугольника S добавлением к нему всех точек ограничивающей его ломаной. Многоугольник S называется открытым, aS — замкнутым1. Из курса элементарной математики известно, 1 См. также п. 44.2 (квадрируемые множества).
611


что площади многоугольников S и S равны и совпадают с определенной нами мерой открытого множества S:
пл. S = пл. S = mes S.
Аналогичное утверждение имеет место и для «открытых и замкнутых круговых секторов».
27.2. 	Свойства меры открытых множеств
ТЕОРЕМА 1 (монотонность меры). Если G и Г — плоские открытые множества и
G<=T, (27.5)
то
mes G < mes Г. (27.6)
Доказательство. Обозначим, как и выше, через sm(G) и зш(Г) совокупности квадратов ранга т, лежащих соответственно в множествах СиГ, т = 1, 2, ... . Тогда из условия (27.5) следует, что
откуда
пл. sm(G) < пл. smr. (27.7)
В том случае, когда оба множества sm{G} и £/п(Г) состоят из конечного числа квадратов, это следует из того, что площадь объемлющего многоугольника не меньше площади объемле- мого, а в том случае, когда хоть одно из множеств sm(G) и 8Ш(Г) содержит бесконечно много квадратов, — из соглашения об употреблении символа +оо.
Переходя к пределу в неравенстве (27.7) при т °°, в силу (27.3), получим неравенство (27.6). □
ТЕОРЕМА 2. Пусть G и Gk, k = 1, 2, ... , — плоские откры¬
тые множества, Gr^ G2 ... Gk^ ... и G = 1 Gk, тогда
lim mes Gk = mes G. (27.8)
k oo
Заметим, что если при некотором й0 имеет место mes Gk = = +°°, то, согласно теореме!, и для всех k kQ также 612


mes Gk = +°°; в этом случае равенство (27.8) означает, что mes G = +оо.
Докажем предварительно лемму.
ЛЕММА. Если Gk, k = 1, 2, ... , — открытые плоские множества оо
G^G2^...^Gk^Gk + ^...,G= k2xGk, (27.9) s — множество, состоящее из конечного множества квадратов некоторого ранга т, и s <= G, то существует такой номер k, что
s^Gk.
Доказательство леммы. Пусть номера k, для которого выполняется утверждение леммы, не существует. Это означает, что для любого номера k = 1, 2, ... найдется такая точка Mk, что Mk е з, но Mk £ Gk.
По условию множество s состоит из конечного множества квадратов ранга т. Поэтому среди этих квадратов найдется по крайней мере один квадрат
Q = \(х; у): а < х < а + b < у < b + -^ I 10 10
содержащий бесконечно много точек Mk = (xk, yk), следова- тельно, и некоторую подпоследовательность последовательности {Mk}.
Абсциссы и ординаты точек этой подпоследовательности принадлежат соответственно отрезкам [а, а + l/10w] и [Ъ, Ъ + 1/10ш]. Применив теорему Больцано—Вейерштрасса (см. п. 4.6), сначала выделим из абсцисс точек рассматриваемой подпоследовательности сходящуюся подпоследовательность, а затем из подпоследовательности ординат с теми же номерами, что и у полученной сходящейся подпоследовательности абсцисс, выделим снова сходящуюся подпоследовательность.
В результате получим такую подпоследовательность = (xkn , Уь ) е Q, п = 1, 2, ... , что числовые подпоследовательности { ^kn } И {yk } сходятся.
Пусть
lim xk =^9 lim yk =Т|, (27.10)
П оо п п оо И
613


тогда
dpf 00
Мо = &ri)eQ^G = h2yGk, поэтому найдется такой номер й0, что Мо е Gk^ . Множество GkQ открытое. Следовательно, существует такое £ > 0, что Е-окрестность С7(М0; е) точки Мо содержится в Gk :
U(M0; е) с Gko . (27.11)
Для этого Е > 0 в силу условий (27.10) найдется такой номер п0, что
(27.12)
И
1*4 - ~П1< 7^
и, следовательно, для точки Мк = (хк , ук ) выполняет- ся неравенство
КА 1= l(xk -С\+(Уп. -П)2 <е, по /\| V по J о
поэтому
Мк е G(M0; Е) GZ Gk cz Gk . % (27.11) ^1 (27.9) %
(27.12)
Таким образом, Mk eQ^sh Mk е Gk , что противо- п0 п0 п0
речит выбору точек Мк, k = 1, 2, ... . □
Замечание. В дальнейшем (в п. 35.3) дано обобщение леммы Гейне—Бореля (см. лемму 4 в п. 23.8*) на плоские и пространственные множества. С помощью этого обобщения доказанная выше лемма может быть доказана значительно проще.
Доказательство теоремы 2. Предварительно заметим, что из условия Gj <= G2 ---Gk <= ... следует (см. теорему 1), что
mes Gx < mes G2 < ... < mes Gk. ... , (27.13)
поэтому последовательность Gk, k = 1, 2, ... , всегда имеет предел, конечный или равный +°о.
614


Рассмотрим два случая.
1. Пусть все множества sm(G), т = 0, 1, ... , состоят из конечного числа квадратов. В этом случае, по лемме 1, для всякого номера т существует такой номер km, что
sm(G)^Gkm, m=l,2, ... . (27.14)
При этом выберем kf7l так, что km' > km при т > т. Это всегда можно сделать, например, следующим образом. Если выбраны номера kx < k2 < ...< km_ i и для множества sm(G), согласно лемме 1, найдено множество Gn такое, что
sm(G)^Gn9 (27.15)
то обозначим через kf7l какое-либо натуральное число такое, что km > km _ i и km > п; тогда Gn <= Gkm и, значит, sm(G) <= Gkfn- Таким образом, построенная последовательность km. т = 1, 2, ... , является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
Обозначим теперь через sm(G) совокупность всех внутренних точек множества sm(G). Очевидно, sm(G) — открытое множество и sm{G) <= sm{G) <= , поэтому, в силу теоремы 1,
mes sm(G) < mes Gkm. (27.16)
Поскольку Gk <= G, k = 1, 2, ... , то в силу той же теоремы 1,
mes Gkjn < mes G. (27.17)
Объединяя неравенства (27.16) и (27.17), получаем
mes sm(G) = mes s m(G) < mes Gk^ < mes G.
Переходя в этом неравенстве к пределу при m ^ °°, имеем
lim mes Gk = mes G,
так как, согласно (27.3),
lim mes sm(G) = mes G.
Последовательность {mes G^}, как отмечалось выше, имеет конечный или бесконечный предел, поэтому он совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, следовательно, lim mes Gk = mes G, т. e. выполняется равенство (27.8).
615


2. Пусть существует множество sw(G), содержащее бесконечно много квадратов; тогда пл. sm(G) = +°°, поэтому и mes G = +°°. Покажем, что в этом случае и
lim mes Gk = +°о. (27.18)
k оо
Пусть задано Е > 0 и пусть sm(G) состоит из бесконечного множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга
т равна —5—. Зафиксируем натуральное число п так, 10 т
чтобы
(27.19) 10
и выберем из sm(G) п каких-либо квадратов. Обозначим множество их точек через s. Тогда
пл.з= (27.20)
10 т
В силу леммы 1, существует такой номер k, что
s^Gk. (27.21)
Обозначим через s множество внутренних точек многоугольника s. Согласно теореме 1 и формулам (27.19), (27.20), получим: mes Gk > пл. s = пл. s > е. В силу же (27.13), и для всех kr > k имеем mes Gk> > е. Это и означает, что ^lim^ mes Gk = +оо, т. е. выполнение условия (27.18). □
Примером неограниченной плоской области, имеющей бесконечную меру, является полоса G = {(х, у): 0 < у < 1}. Она содержит в себе бесконечное множество, например, квадратов первого ранга, поэтому mes G = +°°.
В качестве примера неограниченной области с конечной площадью рассмотрим фигуру, построенную Н. Оресмом1. Пусть Q — единичный квадрат:
Q = {(х, у): 0 < х < 1, 0 < у < 1}.
Положим
Gx = |(х, у): 0 < х < 1, 0 < у < П,
<?2 = Gi и г/): 1 < х < 2, 0 < г/ < |,
1Н. Оресм (ок. 1323—1382) — французский математик.
616


Рис. 123
вообще,
Gk + i = Gk и {(*> у): k < х < k + 1, 0 < у < k = 1> 2> ••• •
Каждое множество Gk открыто (почему?).
Наглядно образование множеств Gk можно представить следующим образом: Gj — половина квадрата Q; для получения G2 берется половина оставшейся половины квадрата Q и прикладывается соответствующим образом к G1? получается G2; далее, половина оставшейся части квадрата Q прикладывается уже к Q3 (рис. 123) и т. д. Очевидно, имеем цепочку включений Gj <= G2 <= ... <= Gk ... и
1 1
г _ 1 , 1 , , 1 _ 2 2*+1 _ 1 1
пл. Gk — g + -2 + ... + -k — l~~k.
и 1 —
2
Положим G = U1 Gk. Множество G открыто и не ограничено. Найдем, применив теорему 2, его площадь:
mes G = lim mes Gk = lim fl - = 1.
k oo k oo V J
Мера mes (объем) открытых множеств в пространстве определяется с помощью аналогичной конструкции, следует только исходить не из разбиений плоскости на квадраты (квадрилъяжеи), а из разбиений пространства на соответствующие кубы (кубилъяжи). На пространственный случай переносятся и теоремы, доказанные в этом параграфе. Мы еще вернемся к рассмотрению меры множеств в дальнейших главах (см. п. 44.1). Там будут изложены более полно свойства 617


меры (например, ее поведение при объединении множеств — аддитивность меры).
УПРАЖНЕНИЯ. /.Доказать, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
2. Пусть G — прямой круговой цилиндр, основанием которого является круг К, а высота имеет длину h. Доказать, что mes G = Times К, где mes G есть мера (объем) G в пространстве, a mes К мера (площадь) К на плоскости.
§28.
Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла
28.1. 	Вычисление площадей
В этом пункте будут выведены формулы для вычисления площадей некоторых плоских областей. При этом воспользуемся известными из элементарной математики свойствами площади простейших плоских фигур (многоугольников, секторов), например тем, что при объединении таких фигур, не имеющих общих внутренних точек, их площади складываются. Отметим, что это утверждение будет доказано в п. 44.1.
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция f определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, 6]. Тогда площадь S множества
G = {(х, у): а < х < Ъ, 0 < у < f(x)} выражается формулой
S = \f(x)dx. (28.1)
а
Множество G является открытым ограниченным множеством. Действительно, его ограниченность следует из того, что функция /, будучи непрерывной на отрезке [а, 6], ограничена на нем.
Покажем, что множество G открыто. Пусть (х0, z/0) е G; тогда a<xQ<bnO<yQ< f(xQ). Возьмем какое-либо число Т| > 0 такое, что 0 < г/0 — Т| < г/0 < г/0 + Т| < /(х0). В силу непре-
618


Рис. 124
рывности функции f в точке х0 существует такое 3 > 0, что и для всех х е (х0 - 8, х0 + 8) выполняется неравенство z/0 _ Л < < f(x) < У о + Л- Поэтому, если е = min {8; Т|}, то е — окрестность С7((х0, г/0); е) точки (х0, z/0) содержится в множестве G, т. е. (х0, уо) — его внутренняя точка. Это и означает, что G — открытое множество.
Множество G обычно называют криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f (см. рис. 106).
Множество G d=f {(х, у): а < х < Ъ, 0 < у < /(х)} называется замкнутой криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции G называется и площадью замкнутой криволинейной трапеции G (естественность этого определения показана в п. 44.1).
Доказательство. Пусть т = {хД^ = ^ — некоторое разбиение отрезка [а, 6]. Обозначим через GT и gx замкнутые многоугольники, составленные из всех прямоугольников вида
GT, i = {(*> У} : xt - i < х < 0 < у < MJ,
§Т, I = {(*> у) : Х1 - 1 х xi’ 0 < у < mJ,
где mi = inf fix), Mt = sup f(x), i = 1, 2, ... , iT. x•_ x С x C x x-_ x С x C x•
Таким образом (рис. 124),
Gt = ^=1Gt,^ (28.2)
Если обозначить через GT и gT множество внутренних точек многоугольников GT и gx, то
<= G <= бт. (28.3)
619


Если ST и sT — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу функции f на отрезке [а, 6], соответствующие его разбиению т, то очевидно, что пл. gT = sT, пл. Gx = ST. Поэтому из (28.3), в силу монотонности меры, следует, что
Так как
sT < mes G < ST.
(28.4)
lim s = lim S= f Дх) dx, (28.5) |t| -> 0 |t| 0 a
то отсюда в силу неравенства (28.4) следует, что
ь
mes G = f f(x) dx. □ а
Как известно (см. п. 23.5),
ь
lim <5Т = lim sT = lim ST = f f(x) dx,
|t| |t|^o ItRo a
поэтому, в силу формулы (28.1),
lim <5Т = lim sr = lim ST = mes G.
IxRO T |?R0 T M-> 0 t
Таким образом, геометрически интегральные суммы Римана и суммы Дарбу равны приближенному значению площади рассматриваемой криволинейной трапеции, причем любая точность достигается выбором достаточной мелкости разбиения т, а предел интегральных сумм равен истинному значению указанной площади.
Пусть теперь функция f непрерывна и неположительна на отрезке [а, 6]. Положим в этом случае
G = {(х, у) : а < х < b, f(x) < у < 0}.
Пусть G — множество, симметричное множеству G относительно оси Ох^рис. 125); тогда
mes G = mes G. (28.6)
В рассматриваемом случае функция -f неотрицательна на отрезке [а, 6], поэтому
mes G = J [-Дх)] dx = -J Дх) dx. (28.7)
1 Это означает, что G = {(х, у) : (х, -у) е G}.
620


Сравнив (28.6) и (28.7), получим
ь mes G = -f f{x) dx, а b
т. е. здесь интеграл f f(x) dx равен, с точностью до знака, значению площади криволинейной трапеции.
Если же функция f меняет знак на отрезке [а, й] в конеч- ь
ном числе точек, то интеграл f /(х) dx равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции /, отрезками оси Ох и, быть может, отрезками, параллельными оси Оу (рис. 126).
Как видно, одной из задач, естественным образом приводящих к понятию определенного интеграла, является задача вычисления площадей. Развитый аппарат интегрального исчисления дает общий и единый метод вычисления площадей разнообразных плоских фигур.
Примеры. 1. Найдем площадь S, ограниченную отрезком оси Ох и одной аркой синусоиды (рис. 127):
S = J sin х dx = -cos х|0 = 2.
Здесь, как и всегда в дальнейшем, говоря о множестве, ограниченном некоторой кривой, являющейся простым замкнутым контуром (см. п. 16.1), называемым границей этого множества, всегда будем иметь в виду ограниченное множество. Всякое неограниченное множество, границей которого служит подобный контур, будем называть внешним (для данного контура). В рассматриваемом случае внешним множеством является «внешность» множества, заштрихованного на рисунке 127, т. е. совокупность точек плоскости, не принадлежащих заштрихованному множеству. Внешнее множество
621


Рис. 128
всегда имеет бесконечную площадь. Действительно, всякая кривая ограничена (см. п. 16.3), поэтому во внешнем множестве любого простого контура содержится, например, квадрат со сколь угодно большой стороной. Отсюда сразу и следует бесконечность площади внешнего множества.
2. Найдем площадь S множества, ограниченного гиперболой у = отрезком оси Ох, отрезком прямой х = 1 и отрезком прямой, проходящей через точку оси Ох с абсциссой, равной х и параллельной оси ординат (рис. 128):
S = f Т =1п11 =1пх-
3. Рассмотрим на правой ветви гиперболы х2 - у2 = 1 (рис. 129) точки М = (х, у) и М' = (х, - у) (х > 0) и выясним, как зависит площадь 8 сектора ОММ' этой гиперболы от абсциссы х точек М и М'. Прежде всего заметим, что функция s = 8(х), принимая значения, равные площадям некоторых фигур, неотрицательна: 8(х) > 0 при х > 0.
Пусть ВМ = у. Имеем (см. рис. 129)
s = 8(х) = пл. ОММ' = 2пл. ОМА = 2(пл. А ОМ В - пл. AM В) = = 2 Q ОВ • MB- \Jt2 -Idt'j = х Jx2 - 1 - 2 pi2 -Idt.
Для вычисления получившегося интеграла сделаем замену переменного t = ch и:
х I—— Areachx Areachx
- 1 dt = 2 J sh2 и du = J (ch 2u - 1) du =
0 0 0
= sh 2Areach x - Areach x =
= sh Areach x • ch Areach x - Areach x = x^Jx2 - 1 - Areach x.
622


В.
Рис. 130
4>
Рис. 131
Поэтому
s = 8(х) = Areach х, откуда х = ch 8. Таким образом, площадь сектора гиперболы равна функции, обратной гиперболическому косинусу ch 8 при 8 > 0.
В силу этого, при параметрическом представлении х = = ch 8, у = sh 8 гиперболы х2 - у2 = 1 параметр 8 = Areach х = = Areach у совпадает со значением площади соответствующего сектора гиперболы, взятой с надлежащим знаком (площадям секторов левой ветви гиперболы х2 - у2 = 1 приписывается знак минус).
2 2
4. 	Вычислим площадь, ограниченную эллипсом = 1. а Ъ
Так как лежащий выше оси абсцисс полуэллипс описывается Ъ Г~2 2
уравнением у = - а - х , то для четверти искомой площади
S имеем (см. пример 5 в п. 18.4 или пример 1 в п. 18.5)
1 е Ъ ? / 2 2
7 S = - Ыа - х
4
7 Ъ (а . х , х /22 dx= - Hr arcsm —I- 7 *ja - х а I 2 а 2 v
а
0
аЬл
откуда S = Ttab.
Формула для площади в полярных координатах. Найдем теперь формулу для площади сектора кривой, заданной уравнением, связывающим ее полярные координаты: р = р(ср), где р = р(ф) — неотрицательная, непрерывная на отрезке [а, Р] функция, 0 < ос < Р < 2л. Пусть G — открытое множество,
ограниченное кривой АВ, описываемой в полярных координатах уравнением р = р(ф) и, быть может, отрезками ОА и ОВ лучей ф = ос и ф = Р (рис. 130), G = {(р, ф):ос<ф<р, 0<р< р(ф)}.
623


Пусть т = {ф/} - = о — некоторое разбиение отрезка [а, Р]. Положим
Дф/ = Ф;-ф/-1> rnt= inf р(ф), Mt= sup р(ф), Ф, _ ! < ф < Ф; Ф; _ j < ф < Ф;
St, т = {(Р, ф): Ф/ - 1 < Ф < Ф;> 0 < р < mJ,
Gi, г = {(Р, Ф): Фг -1 < Ф < Ф/, 0 < р < MJ.
Впишем во множество G и опишем вокруг него ступенчатые фигуры gT и GT, составленные из круговых секторов gt т и Gt т, i = l,2, ... ,k:
k k
= 1 = ^1,V = 1Gj,T.
Обозначим через gT и GT совокупности всех внутренних точек множеств g*T и GT. Очевидно, g*T и GT — открытые множества и g*T <= G <= GT, поэтому, согласно свойству монотонности площади,
пл. gT < mes G < пл. GT.
Но пл. gx = пл. g*T, пл. GT = пл. GT, следовательно,
пл. g*T < mes G < пл. GT. (28.8)
Площади круговых секторов gLд и Gz т равны соответ- 12 12
ственно g Дф,- и Mt Дф,- (рис. 131). Из элементарной математики известно, что при объединении плоских фигур их площади складываются (см. об этом также в п. 44.1), поэтому
ПЛ. = | Д т,2Дф/, пл. GT= ±
Из этих равенств видно, что пл. gT и пл. GT являются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции 1 2
5 р (ф) на отрезке [а, Р]: sT = пл. g*T, ST = пл. GT, следовательно, Л
1 ? 2
< 9 I Р (<Р) d<P ОС
Вычитая это неравенство из неравенства (28.8), переписанного в виде ST > mes G > sT, получаем
1 ? 2
sT - ST < mes G - J р (ф) с/ф < Sx - sT.
624


Отсюда, перейдя к пределу при |т| —>■ О, имеем
1 ? 2
mes G = ? f р (ф) йф. □ (28.9)
5. 	Найдем площадь S фигуры, ограниченной кардиоидой р = а(1 + cos ф) (см. п. 17.5), которая изображена на рисунке 132. По формуле (28.9) получим
2 2л
S = у J (1 + COS ф)2 с/ф =
а22/1. . 2? , . а2 2? 1 + cos2<p , 3 2
= -5- I с/ф + a I cos ф с/ф + -5- I 5—* с/ф = 5 на .
о о о
28.2*. Интегральные неравенства
Гёльдера и Минковского
Установим теперь справедливость двух интегральных неравенств, нередко применяющихся в математическом анализе. Предварительно докажем следующие три леммы.
ЛЕММА 1. Если функция f ограничена на отрезке [а, 6]:
|/(х)|<с, (28.10)
число р> 1, а €0(1/1) и со(|/|р) являются колебаниями на отрезке [а, й] соответственно функций \f\ и \f\p, то имеет место неравенство
w(MP)<pcp’Mf|). (28.11)
Доказательство. Пусть а > 0, р > 0, у = max {а; р}, р > 1. Покажем, что имеет место числовое неравенство
|рр-ар| <рур-1|р-а|. (28.12)
Рассмотрим функцию ф(£) = tp. В силу примененной к ней на отрезке с концами в точках ос и Р формулы конечных приращений Лагранжа, имеем
|рр - ар| = |ф(Р) - ф(а)| =
= |фШ IP - а| = ’ ЧР - а|. (28.13) 625


где точка лежит между точками ос и р, поэтому
О < < шах {а; р} = у. (28.14)
Из формул (28.13) и (28.14) сразу следует неравенство (28.12).
Если f — функция, определенная на отрезке [а, 6], х е е [а, 6], х' е [а, 6], то, положив в неравенстве (28.12) а = |/(х)|, Р = |/(х')| и заметив, что шах {|/(х)|, |/(х')}| с, получим
(28.10)
||Л*')Г - |/(х)|Р| < рср “ 1||/г(яг')1 - 1/(х)||.
Откуда
Ю(|^) = sup ||f(x')\P - |ДХ)|Р| <
х,х е[а,Ь]
<рср-1 sup ||/(х')| - |/(х)|| =рср-1<о(И).
х,х е[а,&]
Неравенство (28.11) доказано. □
ЛЕММА 2. Если функция f интегрируема на некотором отрезке и число р > 1, то функция \ f\p также интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, 6], тогда она ограничена (теорема 2 в п. 23.3):
с= sup |/(х)|<+оо.
х£[а,Ъ]
Если т = {xz}^ “ qt — какое-либо разбиение отрезка [а, 6], то на любом отрезке [xz l, xz] колебания coz(|/|) и coz(|/|p) соответственно функций \f\ и \f\p в силу неравенства (28.11) удовлетворяет неравенству
со/(ИР)<рср-1(о;(1Г|).
Поэтому
0< Li(ai(\f\p)Axi<Pcp-1 (28.15)
Axz = xt - xt _ р i = 1, 2, ... , iT.
Из интегрируемости функции /, согласно свойству 10° интеграла (см. п. 24.1), следует, что ее абсолютная величина также интегрируема, следовательно, из критерия интегрируемости функции, сформулированного в следствии 2 теоремы 3 в п. 23.5, явствует, что
= °‘
626


Поэтому в силу неравенства (28.15) имеем
lim L со-(| f\p)\xt = 0.
|tR 0 z = 1
А это, согласно тому же критерию интегрируемости функции, означает, что функция \f\p интегрируема на отрезке [а, Ь]. □ Установим теперь, используя геометрический смысл ин¬
теграла (см. п. 28.1), одно необходимое для дальнейшего числовое неравенство.
ЛЕММА 3. Пусть р и q — такие действительные числа, что
1 + 1=1, р>1, (28.16)
тогда для произвольных а> 0 и Ъ> 0 имеет место неравенство
Р T.Q
, а . b
аЪ < — + —
р q
(28.17)
Доказательство. Рассмотрим кривую у = хр 1 или, что q - 1
то же самое, кривую х = у , так как
(р - l)(g- 1) = 1.
Выберем произвольно а>0ий>0и подсчитаем площади Sj и S2 (рис. 133):
а _ 1 Р b .q
S1 = \xp-1dx=^-, S2 = \yq-1 dy=b-. (28.18) о p о Ч
Поскольку прямоугольник со сторонами а и Ъ содержится в объединении рассматриваемых замкнутых криволинейных трапеций (см. п. 28.1), площади которых равны Sj и S2, площадь этого прямоугольника не превышает суммы + S2, т. е. ab < Sj + S2. Подставив в это неравенство выражения (28.18) для Sj и S2, получим неравенство (28.17). При этом ясно, что ab = Sx + S2 в том и только том случае, когда Ъ = ар \ □
Перейдем к доказательству интегральных неравенств, указанных в заглавии. Пусть функции f и g определены и интегрируемы на отрезке [а, 6], 1 < р < +°°, а число q определяется равенством
1 = 1 (28.19)
627


(см. (28.16)). Тогда имеем
J|f(x)g(x)| dx < Г/\f(x)\p dx\P Г/|^(х)|q dx\P (28.20) a La J La
{неравенство Гёлъдера1).
lii
f \f(x) + £(х)|рГ < 17\f(x)\p dx\P + |7 tof dx\P (28.21)
_a J La J La
{неравенство Минковского2  *). Докажем эти неравенства. Введем для краткости обозначения
1 1
ll/llp =f 17\f(*f dx\P > klb =f dx\9 • (28.22)
La J La
В неравенстве(28.17)
ap bq ab < — + —, a > 0, b > 0,
P Q положим
|ftx)| L |g(x)| Г M
“X’ ' ж?xe [o’ 1
Тогда для любого x g [a, ft]
|/(x)||g(x)| < 1|Лх)Г + l|g(x)|g ll/llp fell, " P q k||« •
Проинтегрировав это неравенство по отрезку [a, й] и использовав формулы (28.19) и (28.22), найдем
|f(x)£(x)| dx < -1-J \f(x)\p dx + -±- J |^(х)|<7 dx =
|1Лр11?нда р1И1£я
= 1 + 1 = 1.
Поэтому ь Р q
J |ftx)£(x)| dx < 11/11 И , а
т. е. неравенство (28.20) доказано.
Докажем неравенство (28.21). Легко убедиться в справедливости неравенства
J \f(x) + g(x)\p dx = J \f(x) + g(x)| |/(x) + g(x)^ " 1 dx <
a a
< J l/(x)| |/(x) + ^(x)!7’-1 dx + J |£(x)| |/(x) + g(x)\p “ 1 dx.
a a
1O. Л. Гёльдер (1859—1937) — немецкий математик.
2 Г. Минковский (1864—1906)— математик, родился в России,
работал в Швейцарии и Германии.
628


Применив к каждому из полученных интегралов неравенство Гёльдера и заметив, что q{p - 1) = р (см. 28.19), получим:
ь
b
J \f(x) + g'(x)|p dx < J |ftx)|p dx
-I А/ 4
J \f(x) + g(x)\q(p ~ 1} dx
b
+ J|g(x)|p dx
J \f{x) + g{x)\q(p dx
J |/(x)^ dx
+ J|g(x)|p dx
ь
J \f(x) + g(x)|p dx
(28.23)
Если левая часть этого неравенства равна нулю, то неравенство (28.21), очевидно, справедливо, если же она не равна нулю, то, сократив обе части неравенства (28.23) на множи-
b 1/Q
тель f \f(x) + ^(х)^ dx\ , в силу соотношения (28.19) полу- а J
чим неравенство Минковского. □
Отметим важный частный случай неравенства Гёльдера. При р = q = 2 имеем
\ъ 1Ь
J |/(х)^(х)| dx < f\f(x)\2dx f\g(x)\2dx (28.24) v а V а
{неравенство Коши—Буняковского1).
Замечание. Отметим, что при доказательстве неравенства Минковского (28.21) была использована интегрируемость функции |/(х) + ^(х)^ \ р > 1. Здесь может оказаться, что 0</)-1<1и поэтому этот факт требует доказательства. Интегрируемость функции |/(х) + ^(х)^, р > О, следует, например, из критерия интегрируемости Лебега (см. п. 23.10*), так как множества точек разрыва у функций |/(х) + £(х)| и |/(х) + ^(х)^ совпадают при любом р > 0.
Можно идти и другим путем, показав для колебаний функций справедливость неравенства
GXl/f’; [а, Ь]) < сор(|/|; [а, Ь]), 0 < р < 1.
1В. Я. Буняковский (1804—1899) — русский математик.
629


Рис. 134
Однако доказать с помощью этого неравенства выполнение условия
lim Е coz(|/|p)Axz = О
|tR О z = 1
(см. следствие 2 теоремы 3 в п. 23.5) затруднительно по причине недостаточности имеющихся пока знаний: здесь целесообразно использовать неравенство Минковского для сумм, которое будет доказано в дальнейшем (в п. 30.8*).
28.3. 	Объем тела вращения
В конце п. 27.2 отмечалось, что понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади на плоскости. Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, 6], a Q — тело, полученное вращением криволинейной трапеции G, порожденной графиком функции f вокруг оси Ох. Тогда для его объема mes Q справедлива формула ь
mes Q = тс/ f2(x) dx. (28.25)
a
Доказательство. Обозначим через qT и QT тела, образованные вращением вокруг оси Ох ступенчатых фигур g*T и GT (см. доказательство теоремы 1). Из включения (28.3) следует, что qT <= Q <= QT, поэтому, если = mes qT, Vx = mes QT, то
vT < mes Q < VT. (28.26)
Объемы vT и VT множеств qT и QT равны суммам объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольников z и GT> z (рис. 134): . .
vT = mes qT= Ё лт-Ах;, К. = mes QT = Е лМ2Дх.-.
Из этих равенств видно, что vx и VT являются нижними и верхними суммами Дарбу функции Ttf2(x), а так как функ- л2
ция / непрерывна и, следовательно, интегрируема, то
vT < 7t| f\x) dx < VT (28.27)
630


Рис. 136
и
lim [К - vA = 0. (28.28)
|т| ^0
Из неравенств (28.26) и (28.27) следует, что г 2
t>T - VT < TtJ f (x) dx - mes Q < VT - t>T, откуда, в силу (28.28), и вытекает формула (28.25). □
Примеры. 1. Найдем объем V шара радиуса г. Рассматривая этот шар как тело, образованное вращением полуокружности у = Jr2 - х2 , -г < х < г вокруг оси Ох, по формуле (28.25) получим
V = Ttf (г2 - x2)dx = лг2х
о з 2 з 4 з = 2ЛГ - X ЛГ = ~ 71Г .
о о
3 71Х “з“
2. 	Найдем объем V прямого кругового конуса с высотой, равной Л, и радиусом основания г. Рассматривая указанный конус как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках (0, 0), (Л, 0) и (Л, г) вокруг оси Ох (рис. 135), т. е. вращением «криволинейной трапеции», порожденной графиком функции у = ^х, 0 < х < Л, получим, согласно формуле (28.25),
V= ^fx2 dx=^* h2 г ы*
h 27
Ttr h
3“ • о
3. Найдем объем V тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = ach - , -Ъ < х < Ь, называемым цепной линией (рис. 136). По формуле (28.25) имеем
V = Tta2 Г ch2 - dx =
-ь а
~ -b v " 7
Ь Q
2, , ла6 т 2Ь = тш Ъ + sh — .
2 а
-ь
631


Из рассмотренных в этом параграфе примеров уже отчетливо видны сила и общность методов интегрального исчисления: единым методом быстро и просто получаются формулы для площадей и объемов, как известные ранее из курса элементарной математики, так и совершенно новые. В ближайших пунктах мы рассмотрим еще ряд задач, также легко решаемых методами интегрального исчисления.
28.4. 	Вычисление длины кривой
Мы рассмотрели ряд задач, приводящих к понятию определенного интеграла. Все они имеют то общее, что в них нахождение значения какой-то величины приводилось к определению предела некоторой интегральной суммы при стремлении мелкости разбиения к нулю, т. е. к определенному интегралу.
Существует, однако, и другой круг задач, приводящих к понятию определенного интеграла. В них известна скорость изменения одной величины относительно другой и требуется найти первую величину или, говоря точнее, дана производная функции, а требуется найти саму функцию, т. е. по заданной функции найти одну из ее первообразных. Эта задача также решается с помощью определенного интеграла, так как такой первообразной является, например, определенный интеграл с переменным верхним пределом. В качестве примера подобной задачи рассмотрим вычисление длины дуги кривой.
Пусть кривая Г задана параметрическим векторным представлением
г = r(t), а < t < й, где функция r(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 6]. Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная длина дуги s(t), отсчитываемая от начальной точки (ее радиусом-вектором служит г(а)) кривой Г является также непрерывно дифференцируемой функцией параметра t на ds \dr\
отрезке [а, 6], причем (см. п. 16.5) = Ш • Поэтому, в силу
формулы Ньютона—Лейбница, замечая, что s(a) = 0, для длины S = s(b) кривой Г получаем
г ds
S = s(b) - s(a) = J g dt,
откуда S = f |ЁГ| dt.
a \dt\
632


Если r(t) = y(t), z(t))9 to
S = J Jx'2(t) + y'2(t) + z'2(t) dt. (28.29) a
В том случае, когда кривая Г является графиком непрерывно дифференцируемой функции у = Дх), а < х < Ъ, формула (28.29) принимает вид
S = J 71 + Л2(х) dx. (28.30)
а
Примеры. 1. Найдем длину S дуги параболы у = ах2, 0 < х < й. Замечая, что у' = 2ах, согласно формуле (28.30), имеем
S = J 71 + 4а2*2 dx. (28.31)
о
Неопределенный интеграл I = J71 + 4а2х2 dx вычислим следующим образом: проинтегрируем его сначала по частям; затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла, прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем (с помощью подстановки у = 2ах) получившуюся дробь:
I = J71 + 4а2х2 dx = х71 + 4а2х2 - J х = dx =
71 + 4а2х2
= х71 + 4а2х2 - Г71 + 4а2х2 dx + Г . dx _ =
J J / 22
л/1 + 4а х
= х71 + 4<z2x2 - Z + -^ In |2ах + 71 + 4а2х21.
Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно интеграла I, дает возможность найти его значение:
I = | х71 + 4а2х2 + In |2ах + 71 + 4а2х21 + С.
Теперь легко найти величину интеграла (28.31):
S = 5&71 + 4<z2fe2 + 7~ In |2<zfe + 71 + 4а2&21.
2 4а 1 1
633


2. Найдем длину астроиды х = a cos3 t, у = a sin3 t (см. рис. 91). Астроида симметрична относительно координатных осей. Ее части, лежащей в первой четверти, соответствует изменение параметра t от 0 до л/2. Вычислим длину S этой части (равной, очевидно, 1/4 длины всей астроиды). Заметив, что xr = -3acos2 t sin t, у' = 3asin2 t cos t, по формуле (28.29) (в которой следует положить zr = 0) получим
Y2 I 2 4 2 2 4 2~
S = J л/9а cos ^sin t + 9а sin ^cos t dt = 0
= — sin 2t dt = .
2 J 2
Таким образом, длина всей астроиды равна 6а.
3. Рассмотрим задачу о нахождении длины S дуги эллипса х = a sin t,y = b cos t, 0 < t < 2л, 0 < Ъ < а, от верхнего конца малой полуоси до его точки, соответствующей значению параметра t е [0, 2л]. Положим е = ^а2 - Ь2 /а (е — эксцентриситет эллипса); тогда
л/х'2 + у2 = Ja2cos2t + b2sin2t = a J1 - г2 sin21,
поэтому t
S = aj71-E2sin2£ dt, 0<e<1. (28.32)
0
Получился эллиптический интеграл второго рода, который, как известно (см. п. 22.6), не выражается через элементарные функции, т. е. формула (28.32) в данном случае является окончательным ответом. Приближенные значения длин дуг эллипса можно получить либо непосредственно, вычислив приближенно интеграл (28.32), либо воспользовавшись имеющимися таблицами значений эллиптических интегралов.
УПРАЖНЕНИЯ. 1. Доказать, что если плоская кривая задана в полярных координатах непрерывно дифференцируемым представлением г = г(ф), а < ср < р, то для ее длины 8 справедлива формула
8 = J *]г2 + г'2с/ф. (28.33)
ос
2. Найти длину дуги логарифмической спирали г = аеЬ(? от точки (ф0, г0) до ТОЧКИ (ф, г).
634


Интегральная формула для длины кривой позволяет выразить ее длину не только как верхнюю грань длин всевозможных вписанных в нее ломаных, но и как их предел длин вписанных в нее ломаных при условии, что мелкости соответствующих разбиений стремятся к нулю. Чтобы это доказать, потребуется следующая лемма.
ЛЕММА. Пусть Г = {г = r(s); 0 < s < S} — непрерывно дифференцируемая кривая в R3, s — ее переменная длина дуги и Аг = = r(s + As) - r(s). Тогда отношение стремится к единице при As 0 равномерно на отрезке [0, 8]. Это означает, что для любого е > 0 существует такое 8 > О, что для любой точки s е [О, S] и для любого приращения As (s + As е [О, S]), удовлетворяющего условию |As| < 3, выполняется неравенство
Доказательство. Предварительно заметим, что для любого числа а > 0 справедливо неравенство \а - 1| < \а2 - 1|, так как в силу очевидного неравенства а + 1 > 1 имеем
2 _ 1
атт ^2-И-
Пусть r(s) = (x(s), y(s), 2(s)). В силу непрерывной дифференцируемости кривой производные x'(s), y'(s), z'(s) ограничены и равномерно непрерывны на отрезке [О, S]. Поэтому, во- первых, существует такое число с > 0, что для всех s е [О, S] выполняются неравенства
а, во-вторых, для любого £ > 0 существует такое 3 > 0, что для всех точек s е [О, S] и всех приращений As, для которых |As| < 8 и s + As е [О, S], выполняются неравенства:
|dx(s + As) _ dx(s)| Idy(s + As) _ di/(s)|
| ds ds | | ds ds |
\dz(s + As) _ dz(s)\
| ds dz |
Пусть £ > О задано и для него выбрано указанное 8 > О, пусть s е [О, S], s + As е [О, S] и |As| < 8. Заметив, что
(dx{s)^ . (dy{s)^ . (dz{s)^ \dr\2 1
(—) +( jfJ +(—) -|я| -1
в35


и, применив формулу конечных приращений Лагранжа к функциям x(s), y(s), z(s), получим:
x(s + As) - x(s)A2 <z/(s + As) - z/(s)
As J + As
_ /dx(s + e^sk2 _ (dx(s) \2
~ d s J d s J ”*~
s)\2 /dz(s + 03As)\2 (dz(sy?
ds
pz(s + As) - z(s)A2 Н I As )
dy(s + 02As)\2 z( . Ts J " Г
dx(s + 0-^As) <ix(s)| (
dx(s + 0TAs)
ds
ds |
ds
dy(s + 02As) ds
dy(s)| / ds| I
dy(s + 02As) ds
И)
И)
dz(s + 03As)
dz(s)| <
dz(s + 03As)
ds
_ ~ds~\ I
ds
|Ё£(£)Р< бее.
| ds |>
где 0 < 0P 02, 03 < 1. Лемма доказана. □
ТЕОРЕМА 3. Пусть Г = {г = r(s); 0 < s < S} — непрерывно дифференцируемая кривая в R3, s — ее переменная длина дуги, т = {sz}^ “ — разбиение отрезка [О, S], |r(sz) -
- r(Sj _ Ji; тогда S = lim Хт.
ItRo
Здесь Хт является, очевидно, длиной вписанной в кривую Г ломаной с вершинами в точках r(sz), i = 0, 1, 2, ... , iT. Доказательство. Положим Asz = st - st _ р Arz = r(sz) - -r(sz _ x), i = 1, 2, ... , iT. Заметив, что S = ^Asz и = = ,EjArz|, получим
|S-XT|= EjArJ
Ar;
El-—2 Asz. =1 Asz 1
Согласно лемме, для любого е > 0 существует такое 6 > О, что как только |Да;| < 5, то имеет место неравенство
^2 д8;
Е
S'
636


Поэтому для всякого разбиения т мелкости |т| < 8 выполняется неравенство
Это и означает, что lim = S. □ |т|^0
28.5. 	Площадь поверхности вращения
Понятие поверхности и ее площади будет специально изучаться в § 50. Здесь же мы ограничимся специальным случаем поверхностей, образованных вращением кривых вокруг некоторых осей. Как всегда, будем предполагать, что в про- странстве К фиксирована прямоугольная декартова система координат. Множество, получающееся в результате вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, лежащей в плоскости кривой, называется поверхностью вращения.
Пусть Г = {г = r(t), а < t < b} — кривая, лежащая в полуплоскости у > 0 плоскости переменных х, у, т = —
разбиение отрезка [а, 6]. Впишем в кривую Г ломаную с вершинами в точках г(^) = (xz, yj, i = 0, 1, 2, ... , (рис. 137). При вращении звена Arz = r(^) - r(tt _ этой ломаной вокруг оси Ох получится поверхность усеченного конуса (в частности, быть может, цилиндра) с площадью
li = п(У1 - 1 +
а при вращении всей ломаной — поверхность с площадью
L- = i + *л)М-
Определенней. Если существует предел lim LT, то он на- |т| ^0
зывается площадью L поверхности, образованной вращением кривой Г вокруг оси Ох.
Таким образом,
Я pf
L = lim LT. (28.34)
|т| —> 0
ТЕОРЕМА 4. Пусть Г = {г = r(t); а < t < Ъ} — непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек, лежащая в 637


полуплоскости у > 0 плоскости переменных х, у. Тогда для площади L поверхности, полученной вращением кривой Г вокруг оси Ох, справедлива формула
r I 72 2 г
L = 2л/y^xt' + yt' dt = 27iJy(s) ds, (28.35) a 0
где s — переменная длина дуги кривой Г, 0 < s < S.
Доказательство. Как известно, при сделанных в этой теореме предположениях (см. п. 16.5) функция s = s(t)9 а < t < < Ъ, является допустимым преобразованием параметра, и, следовательно, длина дуги s может быть принята за параметр:
r = {r = r(s) = (x(s),i/(s));O<s<S}.
Пусть т = {3/}^ = от —разбиение отрезка [О, S],
Дг; = r(s;) - r(s; _ 1), \si = si-si_1, i = 1, 2, ... , iT.
Сравним сумму
LT = Л _ x + d^f y(Si), i = 0, 1, ... , iT, (28.36)
с интегральной суммой (функции 2ity(s))
(28.37)
Для этого заметим, что функция y(s), будучи непрерывной на отрезке [0, S], ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М > 0, что для всех s е [0, S] выполняется неравенство |j/(s)| < М. Обозначая через со(8; у) модуль непрерывности функции y(s), а через — длину ломаной с вершинами в точках r(Sj) и заметив, что |ArJ < Asz, i = 1, 2, ... , iT, получим
la? - L?l = (?171 ^2уА81 - n.tjZyi + (У1-1~ УМ M
< 27t.£|i/J(As; - |Ar;|) + л.Е^ - yt_ J |Ar;| <
Ё AS;
i = 1 1
< 2лМ
.SjArJ + л<о(|т|; y).£ + | Ar J =
= 2tiM(S - Xt) + я co(|t|; y) XT.
Здесь lim^ (S - XT) = 0 (см. теорему 3), lim^codrl, y) = 0 (cm. теорему 5 в п. 19.7) и0< \ < S. Поэтому lim (<jt - LT) = 0, |t| 0
638


s s
а так как lim <jt = 2kJ y(s) ds, то и lim LT = 2kJ y(s) ds. Сде- |т| О о |т| 0 0
лав в последнем интеграле замену переменного s = s(t) и вспоминая, что ds = Jx'2 + у'2 dt, получим
г / 2 2
L = 2Tt]ydx +у dt.U а
Если кривая Г задана явным уравнением у = f(x), а < х^Ь, то формула для площади поверхности, образованной вращением графика функции f вокруг оси Ох, имеет вид
L = 2л/ z/71 + у'2 dx. (28.38)
а
Предложенный вывод формулы (28.35) имеет тот недостаток, что в нем уже использовалось понятие площади поверхности и ее аддитивность, правда, лишь в простейшем случае — для поверхностей усеченного конуса и их объединений. Можно ввести общее понятие площади поверхности, не используя понятие площади поверхности для каких-либо элементарных поверхностей, и получить ее необходимые свойства. Эти вопросы будут рассмотрены в п. 50.9.
Примеры. 1. Найдем площадь S сферы радиуса г. Указанная сфера может быть получена вращением полуокружности у = Jr2 - х2 , -г < х < г, вокруг оси Ох. Однако это явное представление полуокружности не является непрерывно дифференцируемым: производная у' = - . х = обращается л/Г “ X
в бесконечность при х = ±г. Гораздо удобнее взять параметрическое представление полуокружности х = rcos t, у = rsin t, 0 < t < 7t. Тогда х' = -rsin t, у' = rcos t; поэтому площадь S поверхности сферы радиуса г легко вычисляется по формуле (28.35):
S = J yjx'2 + у'2 dt = 2nr2 J sin t dt = 4лг2. о о
2. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги цепной линии (см. рис. 136)
639


Рис. 138
у = a ch , -b < х < b (эта поверхность называется катеноидом).
По формуле (28.38) имеем
S = 2тш f ch - 71 + sh2^ dx = а N а
= 2ка fch2-dx = ita f fl + ch— dx =
-ь a -U a'
= na(2b + ash .
28.6. 	Работа силы
Пусть материальная точка М движется по непрерывно дифференцируемой кривой Г — {г — r(s)}, где s — переменная длина дуги, 0 < s < S. Пусть на рассматриваемую материальную точку, находящуюся в положении r(s), действует сила F(s), направленная по касательной к траектории в направлении движения (точнее, F(s) — численная величина этой силы).
Возьмем какое-либо разбиение т = {sz } - 2 q отрезка [О, S]. Ему соответствует разбиение траектории Г на части
rz = {r(s), f = l, ...,fT.
Выберем произвольно по точке р sz] (рис. 138). Величи¬
на F(^)Asz, Asz = st - st _ p i = 1, 2, ... , iT, называется элементарной работой силы F на участке Fz и принимается за приближенное значение работы, которую производит силаЕ, воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит
кривую Сумма всех элементарных работ EiF(^z)Asz является интегральной суммой Римана функции F(s).
Определение 2. Предел, к которому стремится сумма i'LiF(t)i)Asi всех элементарных работ, когда мелкость |т| разбиения т стремится к нулю, называется работой силы F вдоль кривой Г.
640


Таким образом, если обозначить эту работу буквой W, то, в силу данного определения,
W= lim Е ЖЖ,
|т|^0/ = 1 следовательно, S
W = \F(s)ds. (28.39)
О
Если положение точки на траектории ее движения описывается с помощью какого-либо другого параметра t (например, времени) и если величина пройденного пути s = s(t), а < t < b является непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы (28.39) получим
ь
W = J F[s(t)]s'(t) dt. а
28.7. 	Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой
Пусть М — материальная точка массы т с координатами х и у. Произведения ту и тх называются ее статическими моментами соответственно относительно осей Ох и Оу.
Пусть Г = {r(s), 0 < s < S} — спрямляемая кривая, лежащая в полуплоскости у > 0, s — переменная длина дуги, кривая Г имеет массу и масса ее дуги прямо пропорциональна длине дуги; если Ат — масса дуги длиной As, то Am = pAs, где р — некоторая постоянная, называемая линейной плотностью кривой Г. Такие кривые в механике называются однородными. По- Дт
скольку р = —, плотность равна массе длины дуги кривой, приходящейся на единицу длины дуги. Будем считать для простоты, что р = 1, т. е. что масса части кривой длины As также равна As, в частности, что масса всей кривой численно равна S.
Пусть теперь т = { sf — какое-либо разбиение отрезка [О, S], Asz = sz - sz_ р i = 1, 2, ... , iT. Разбиению т соответствует разбиение кривой Г на части Fz = {r(s), sz _ х < s < sj. Выберем по какой-либо точке е [sz _ р sz] и положим xt = x(£z), Fi = = 1, 2, ... , iT.
Величины y^Sj^ при любом выборе указанных точек называются элементарными статическими моментами час641


ти rz кривой Г относительно оси Ох. Очевидно, элементарный статический момент Г, численно равен статическому моменту материальной точки массы с ординатой yi9 т. е. мы как бы заменили данную непрерывную кривую Г отдельными материальными точками.
Определение 3. Предел, к которому стремится сумма
(28.40)
всех элементарных статических моментов, когда мелкость разбиения т стремится к нулю, называется статическим моментом Мх кривой Г относительно оси Ох.
Этот предел всегда существует, так как, по определению кривой, функция г = r(s), а значит, и координатные функции х = x(s), у = y(s) непрерывны на отрезке [0, S]; сумма же (28.39) является интегральной суммой Римана функции y(s) и поэто- S
му при |т| —► 0 стремится к интегралу f y(s) ds. Таким образом, о
Mx = $yds. (28.41)
о
Аналогично определяется и вычисляется статический момент Му кривой Г относительно оси Ох:
М =\xds. (28.42)
о
Определение 4. Точка плоскости Р = (х0, г/0), обладающая тем свойством, что если в нее поместить материальную точку массы, равной массе кривой {в рассматриваемом случае массы S), то эта точка относительно координатных осей имеет статические моменты, численно равные статическим моментам кривой относительно тех же осей, называется центром тяжести данной кривой.
Таким образом, Sx0 = Му, SyQ = Мх, откуда, в силу формул (28.41) и (28.42), для координат центра тяжести получаем формулы
1 S -£ -S
x0=-^xds, y0=^\yds. (28.43)
О о о 0
Сравнивая формулы для ординаты центра тяжести кривой S
yQS = J у ds и для площади L поверхности, полученной от вра- 0
642


щения этой кривой вокруг оси Ox: L = 2л/ у ds, получим инте- 0
ресное соотношение L = 27tyQS (здесь под кривой понимается непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек, лежащая в полуплоскости у > 0), которое составляет содержание так называемой первой теоремы Гул ь дина1.
ТЕОРЕМА 5 (первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой.
В том случае, когда известно положение центра тяжести кривой, теорема Гульдина позволяет просто находить площадь соответствующей поверхности вращения. Например, площадь поверхности, полученной от вращения окружности (х - а)2 + у2 = г2, 0 < г < а, вокруг оси Оу (такая поверхность называется тором), легко вычисляется указанным способом: L = 2ла • 2лг = 4л12аг, так как центр тяжести окружности совпадает с ее центром.
В качестве примера вычисления центра тяжести кривой по формуле (28.43) найдем центр тяжести цепной линии у = = ach , —Ъ < х < Ъ. В силу симметрии цепной линии относительно оси Оу, имеем Му = 0. Действительно, выбирая за начало отсчета дуг точку цепной линии, лежащую на оси Оу, и обозначив длину всей цепной линии через 2S, получим
S
Му = J x(s) ds = 0, -S
так как x(s) — нечетная функция. Из равенства Му = 0, в силу формулы (28.43), следует, что х0 = 0.
В силу теоремы Гульдина, Lx = 27tyQ • 2S, где 2S — длина кривой, в данном случае рассматриваемой цепной линии, а Lx — площадь поверхности вращения, образованной вращением этой линии вокруг оси Ох. Площадь Lx была вычислена в п. 28.5:
Т (or. I и
Ly = ла \2Ь + a sh — ,
х а /
ТП. Гульдин (1577—1643) — швейцарский математик.
643


а длина 2S цепной линии легко вы- \ числяется по формуле (28.30):
а \ ' т) X * ь I g ь I ZT
2S = Jl + z/' dx= f /1 + sh - dx = Рис. 139 -ь У -Л а
= f ch - dx = ash -I = 2ash -;
-ь a «L a
в силу формулы (28.43), получим
П1 1 26
26 + ash— а Уь= ъ 4sh- а
УПРАЖНЕНИЕ 3. Доказать единственность центра тяжести непрерывно дифференцируемой кривой, иначе говоря, что точка плоскости, определяемая формулами (28.43), не зависит от выбора декартовых координат на плоскости.
§29.
Несобственные интегралы
29.1. 	Определение несобственных интегралов
Функция, не ограниченная на отрезке, не интегрируема на нем по Риману (теорема 1 п. 23.3). Если функция определена на бесконечном промежутке, то нельзя говорить об ее интегрируемости по Риману просто потому, что определение интеграла относится только к функциям, заданным на отрезке. В настоящем параграфе понятие интеграла обобщается как на случай функций, определенных на неограниченных промежутках, так и на случай функций, определенных на ограниченных промежутках, но не ограниченных на них. Это делается с помощью предельного перехода, дополнительного к пределу, с помощью которого вводится интеграл Римана.
Пусть функция f определена на конечном или бесконечном промежутке [а, 6), < а < Ъ < +°о, и для любого
числа Т| е [а, 6) она интегрируема на отрезке [а, Т|] (рис. 139).
644


Определение 1. Функция Е(т|) = J f(x) dx верхнего предела интегрирования, а < Т| < Ъ, называется несобственным ин- ъ тегралом и обозначается f f(x) dx. а П
Если существует конечный предел lim f f(x) dx, то несоб- Г| Ьа b
ственный интеграл f /(х) dx называется сходящимся, а если этот предел не существует, то — расходящимся.
В случае, когда несобственный интеграл сходится, говорят также, что он существует, а если расходится, то — не существует. ъ п
Если интеграл f f(x) dx сходится, то предел lim f f(x) dx а Г| Ь а
обозначают тем же символом, что и сам интеграл1  2, т. е.
ь п
Г f(x) dx = lim f f(x) dx (29.1)
a T| ba
и для краткости обычно также называют несобственным интегралом (или, подробнее, значением несобственного интеграла).
В отличие от несобственного интеграла обычный интеграл Римана называют иногда собственным интегралом.
ь
Существование несобственного интеграла J f(x) dx экви- fl b валентно существованию несобственного интеграла f f(x) dx
при любом с е (а, Ь). В самом деле, интеграл f f(x) dx отлича- а
П
ется от интеграла f f(x) dx (при с < Т| < Ь) на конечную, не зависящую от Т| величину J f(x) dx: а
П с П
dx = f fix) dx + а а
1 С подобной ситуацией мы встречались и раньше, например обо-
2
значая одним и тем же символом функцию х и значение этой функции при значении аргумента, равном х.
J f(x) dx.
645


n n
Поэтому при T| —► Ъ оба интеграла J и J одновременно имеют или не имеют предел, причем в случае его существования
Ь с b
J f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx. (29.2)
с a c
Из определения (29.1) несобственного интеграла и из ь
(29.2) следует, что если интеграл f f(x) dx сходится, то
limf/(х) с/х = 0. (29.3)
с be
Отметим, что выполнение этого условия нельзя принять в ь
качестве определения сходящегося интеграла J Дх) с/х, так а b
как интеграл f Дх) dx также является несобственным и говорить о его стремлении к нулю при с Ъ можно лишь уже имея определение сходящегося несобственного интеграла.
Подчеркнем, что определение (29.1) несобственного инте- ь
грала f Дх) dx в случае конечного промежутка [а, Ь) содержательно лишь когда функция f не ограничена в любой окрестности точки х = Ь, т. е. на любом интервале (Ь - е, Ь) (О < с < Ъ - а). Это связано с тем, что (см. замечание 2 в п. 23.7*) всякая функция, интегрируемая по Риману на любом отрезке [а, Т|], а < Т| < Ъ < +°°, и ограниченная на полуинтервале [а, й), является интегрируемой по Риману и на отрезке [а, й] при любом ее доопределении в точке х = Ъ. При этом интеграл Римана от таким образом доопределенной функции равен пределу (29.1) и тем самым не зависит от выбора дополнительного значения функции при х = Ъ. В этом смысле интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла и можно говорить об интеграле Римана по конечному полуинтервалу [а, Ь) от функции, заданной на этом промежутке (а в дальнейшем и об интеграле Римана по конечному интервалу).
В силу сказанного, теория несобственных интегралов содержательна, т. е. приводит к принципиально новым результатам лишь когда функция определена на бесконечном промежутке или конечном, причем в последнем случае она не ограничена
646


(рис. 140). Содержательность здесь понимается в том смысле, что для ограниченных подынтегральных функций, определенных на ограниченных промежутках, доказываемые ниже теоремы по существу доказаны раньше.
Если функция f неотрицательна и непрерывна на проме- ь
жутке [а, й), то несобственный интеграл f f(x) dx, когда он существует, равен площади открытого множества
G = {(х, у) : а < х < Ь; 0 < у < /(х)}, т. е.
J Дх) dx = mes G. (29.4)
а
Если b = +°° или если b < -°°, но функция f не интегрируема по Риману на конечном полуинтервале [а, Ъ), то множество G неограниченно (на рис. 141 изображен случай конечного Ь). Для доказательства равенства (29.4) выберем какую-либо последовательность е [а, Ъ), k = 1, 2, ... , так, чтобы lim = Ъ, и положим k оо
Gk = {(*> У) • а < х < Пй- 0 < У < Кх)}-
Тогда, согласно теореме 1 из п. 28.1,
ъ
mes Gk = J Дх) dx. (29.5)
а
Поскольку Gk — открытые множества, k = 1, 2, ... , и
Gi <= G2 <= ... <= Gk ... и U Gk = G, k = 1
в силу теоремы 2 п. 27.2,
lim mes Gk = mes G.
647


Согласно же определению несобственного интеграла, ъ ь
lim J f(x) dx = J f(x) dx.
/g _> oo ct a
Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (29.5) при k °°, получим (39.4).
УПРАЖНЕНИЕ 1. Если функция f неотрицательна при х > а, и интеграл J f(x) dx сходится, то: а
а) обязательно ли функция f ограничена;
б) обязательно ли функция f стремится к нулю при х +°о;
в) каков будет ответ на эти вопросы, если дополнительно потребовать, что функция f была непрерывна при х > а? что она положительна?
Если функция f определена на полуинтервале вида (а, 6], -оо < а < Ъ < +°°, и интегрируема по Риману на всех отрез- ь
ках [^, 6], а < £ < й, то несобственный интеграл f f(x) dx, его сходимость и расходимость определяются аналогично случаю полуинтервала [а, й), а значение — по формуле
J f(x) dx d=f limf f(x) dx. (29.6)
a
Если же функция f определена на интервале (a, fe), < < а < Ъ < +оо, и при некотором выборе точки с е (а, Ъ) существуют несобственные интегралы J /(х) dx (в смысле а b
(29.6) ) и f f(x) dx (в смысле (29.1)), то, по определению, полагается
Г Hpf г г
\f(x)dx=if(x)dx + \f(x)dx. (29.7)
а ас
b
При этом существование и значение интеграла J f(x) dx не зависит от выбора точки с е (а, Ь). В самом деле, в рассматриваемом случае функция /, очевидно, интегрируема по Риману на любом отрезке [^, т|], а < £ < Т| < Ъ, и определение
(29.7) , в силу определений (29.1) и (29.6), равносильно следующему:
J f(x) dx = lim / f(x) dx, a < £ < r| < b.
648


Здесь правая часть является пределом функции двух переменных и Т|. Образно говоря, переменные и Т| стремятся соответственно к а и Ъ независимо друг от друга.
с b
Если хотя бы один из интегралов J f(x) dx или J f(x) dx а с
b
расходится, то говорят, что и интеграл f f(x) dx также расходится.
Определим теперь общее понятие несобственного интеграла от функции f по промежутку с концами а и й,
-оо < а <Ъ < +оо.
Всякое множество точек X = {х0, х19 ... , xk} такое, что:
1) а = х0 < хг < ... < xk = Ь;
2) функция f интегрируема по Риману на любом отрезке, лежащем в рассматриваемом промежутке и не содержащем точек множества X, называется правильным разбиением этого промежутка относительно функции f (интервалы (х0, хг) и (xk _ р xk) могут оказаться неограниченными).
На каждом из интервалов (xt _ р xz), i = 1, 2, ... , k, имеет смысл рассматривать несобственный интеграл.
Если все интегралы J /(х) dx, i = 1, 2, ... , k, существуют, xi -1
то будем говорить, что существует (или, что то же самое, ь
сходится) интеграл f f(x) dx и его значение определяется равенством
Ь 1 _Р Х1
J f(x) dx = ,Ё J f(x) dx. (29.8)
a 1 “ 1 x, _ ,
Xl
Если хотя бы один из интегралов J f(x) dx расходится, то xi -1 ь
говорят, что «интеграл f f{x) dx расходится».
Из определений (29.7) и (29.8) следует, что несобственный интеграл в общем случае сводится к интегралам вида (29.1) и (29.6). Поэтому в дальнейшем ограничимся лишь изучением несобственных интегралов двух указанных видов.
УПРАЖНЕНИЯ. 2. Доказать, что существование и значение несобственно- ь
го интеграла J f(x) dx в определении (29.8) не зависит от выбора точек xi9 а
i = 0, 1, 2,... , k, удовлетворяющих сформулированным выше условиям.
649


3. Доказать, что если интеграл j f(x) dx сходится и существует а
lim f(x), то этот предел равен нулю: lim f(x) = 0.
х +ОО х + °о
Примеры. 1. Покажем, что несобственный интеграл от функции f(x) = 1/х по полуинтервалу (0, 1] расходится. Действительно,
1
= - lim In £ = +°°.
г dx т г dx т -I
— = lim — = lim In X
О х 5^+0^ х 5^+0
Обычно проведенные вычисления записываются короче:
J — = In х| = +°°.
о х 1о
2. 	Выясним, при каких ос 1 сходится, а при каких — расходится интеграл от функции f(x) = 1/ха по промежутку (0, 1]. Имеем
f dx = х1~а 1 = J " при а < 1, о ха 1 _ а о I +°° при а > 1.
Отметим, что при ос < 0 рассматриваемый интеграл является собственным. Объединив результаты, полученные в примерах 1 и 2, получим
г dx г сходится при а < 1, о ха | расходится при ос > 1.
(29.9)
3. 	Рассмотрим теперь функцию f(x) = 1/ха на бесконечном промежутке [1, +°°). Если ос = 1, то
+ °° , + ОО
J = In X = +°°.
Если же ос 1, то
Т dx = х1"01 +С° = J при а > 1,
1 ха 1 — °с i [ +ОО при а < 1.
Таким образом,
сходится при а > 1,
расходится при ос > 1.
(29.10)
ь
4. 	Если интеграл f f(x) dx сходится, 0 < а < Ъ < +°°, и а
& def
f (х) = -b < х < -а,
650


то интеграл f f (х) dx также сходится и -ь -а b
J f (х) dx = f /(х) dx. -ь а
Действительно, пусть, например, функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Т|], а < Т| < Ь, и, следовательно, ь п
J Дх) dx = limf Дх) dx а Г| Ьа
(общий случай несобственного интеграла, в силу определения (29.8), сводится к подобным интегралам, точнее к интегралам вида (29.1) и (29.6)). В силу формулы (24.31) (см. п. 24.1), имеет место равенство п "П *
J Дх) dx = f f (х) dx.
Поэтому "П Л П ъ
lim J / (х) dx = lim J Дх) dx = J Дх) dx, —T] —> -b~a T| b a a
но предел левой части равенства и является несобственным интегралом f f (х) с/х; таким образом, -ь
J f (х) dx = J Дх) dx. -ь а
В частности, если функция / четная на отрезке [-а, а\ и интеграл f Дх) dx сходится, то сходится и интеграл J Дх) с/х, О -а
причем О а
J Дх) dx = J Дх) с/х -а О
и, следовательно,
f /(х) dx = 2j f(x) dx. -a 0
5. 	Пусть функция f имеет период Т > 0 и для некоторого а + Т
числа а интеграл J Дх) с/х сходится; тогда для любого а b + Т
числа b > а интеграл J Дх) с/х также сходится и ь b + Т а + Т
J Дх) dx = J Дх) с/х. Ь а
651


Для доказательства достаточно заметить, что формулы (24.34) (см. п. 24.1) справедливы и в том случае, когда входящие в них интегралы несобственные. Это доказывается предельным переходом из равенства соответствующих собственных интегралов (их равенство следует из формулы (24.33)), пределом которых являются рассматриваемые несобственные интегралы.
Мы ввели новое понятие — понятие несобственного интеграла. Прежде всего естественно выяснить, какими свойствами обладает этот интеграл. Сохраняются ли для него свойства обычного интеграла? Возникают ли для несобственного интеграла (а если да, то какие) новые задачи и вопросы, специфические именно для него? Ответы на эти вопросы будут даны в дальнейших пунктах этого параграфа.
29.2. 	Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
В силу свойств предела и определения значения несобственного интеграла как предела обычного интеграла Римана, на несобственные интегралы переносятся многие свойства определенного интеграла. Рассмотрим некоторые из них.
В этом и в дальнейших пунктах при рассмотрении свойств несобственных интегралов будем останавливаться более подробно лишь на интегралах от функций, определенных на конечных или бесконечных промежутках вида [а, Ь) и интегрируемых по Риману на всех отрезках [а, Т|], а < Т| < Ъ < +°°. Любые другие предположения будут специально оговариваться.
1° (формула Ньютона—Лейбница). Если F — какая-либо первообразная функции f на полуинтервале [а, й), то
J f(x) dx = F(b) - F(d) = а
_ J F(b - 0) - F{d)^ если b конечно,
= [ F(+°o) - F(a), если b = +oo. (^9.11)
Здесь, как всегда, F(b - 0) = lim F(x) в случае, когда b ко- x Ъ - 0
нечно, и F(+oo) = Um F(x), а под первообразной F функ- X + ОО
ции f на промежутке [а, Ъ) понимается, вообще говоря, обобщенная первообразная (см. п. 25.4 ).
652


Равенство (29.11) понимается в том смысле, что либо обе его части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не существуют.
Согласно формуле Ньютона—Лейбница для функций, интегрируемых по Риману (см. теорему 5 п. 25.4*), для любого Т| е [а, Ь) имеем
J f(x) dx = F(T|) - F(a). a
Перейдя в этом равенстве к пределу при Т| й, а < Т| < й, получим формулу (29.11).
Подчеркнем, что эта формула доказана в предположении, что функция f интегрируема в обычном смысле на каждом отрезке вида [а, Т|), а < Т| < Ъ. Для интегралов вида (29.8) в том случае, когда в правой части равенства более чем одно слагаемое, аналогичная формула верна не всегда. Образно говоря, если в некоторой внутренней точке данного промежутка функция обращается в бесконечность, то на всем этом промежутке нельзя, вообще говоря, применять, когда это возможно, формулу Ньютона—Лейбница. Например, если к г dx
интегралу J формально применить формулу Ньютона— -1 х
Лейбница, то он будет равен числу -i| = -2. Однако, как
xl-i
мы уже знаем, рассматриваемый интеграл не существует. Таким образом, в этом примере применение формулы Ньютона—Лейбница сразу на всем промежутке интегрирования невозможно по существу.
Формула, аналогичная (29.11), справедлива, конечно, для несобственных интегралов вида (29.6). Если же несобственный интеграл определяется равенством (29.8), то формулу Ньютона—Лейбница следует применять, когда это возможно, отдельно к каждому слагаемому правой части.
2° (линейность несобственного интеграла). Если несоб- b ь
ственные интегралы f f(x) dx, f g(x) dx сходятся, то для любых чисел X, ц сходится и несобственный интеграл ь
J [Х/(х) + jig’(x)] dx, причем а b b b
/ [Х/(х) + pg(x)] dx = Xf f(x) dx + pj g(x) dx. a a a
653


В самом деле,
ь п
J [Х/(х) + pg’(x)] dx = lim J [Х/(х) + pg’(x)] dx = a T| —> & a
П П
= lim [X f f(x) dx + pf g(x) dx} =
T| b a a
П П
= X limf f(x) dx + p lim f g(x) dx =
b b
= Xf /(x) dx + pf g(x) dx, а^т\<Ъ. a a
Аналогично доказываются и следующие ниже свойства несобственных интегралов, аналогичные соответствующим свойствам интеграла Римана.
Доказательства их предоставляются читателю.
О г
3 (интегрирование неравенств). Если интегралы j f(x) dx, а
b
f g(x) dx сходятся и для всех х е [а, Ь) выполняется неравенство f(x) < g(x), то
b ь
f f(x) dx < f g(x) dx.
a a
4° (правило интегрирования по частям). Если функции и = и(х) и v = v(x) кусочно непрерывно дифференцируемы на каждом отрезке [а, т|], а < Т| < Ъ, то
ь
[и dv = uv
а
b
- f v du, а
(29.12)
ъ .ь ъ
причем если любые два из выражений J и dv, uv\ и \ v du а L
имеют смысл (т. е. соответствующие пределы существу¬
ют и конечны), то имеет смысл и третье.
5° (замена переменного в несобственном интеграле). Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [а, Ъ), функция ф(0 непрерывно дифференцируема на полуинтервале [a, Р), -оо < а < р < +оо, причем а = ф(а) < ф(0 < b = lim ф(0 при
а < t < Р; тогда
b ь
J f{x) dx = J /[ф(О]ф(О dx. (29.13)
а а
При этом интегралы в обеих частях этой формулы одновременно сходятся или нет.
654


Может случиться, что с помощью замены переменного несобственный интеграл превратится в обычный. Например, - с dx
выполняя в несобственном интеграле J -== замену пере-
О aJ 1 х
менной х = sin t, 0 < t < Tt/2, получаем собственный интеграл
г dx
1 /1 _ у2
и а^ _L
л/2
ь
Отметим, что всякий несобственный интеграл J f(x) dx по а
конечному промежутку [а, Ь) может быть заменой переменной сведен к несобственному интегралу по неограниченному промежутку. Действительно, сделав, например, замену переменной
bt + а 7 Ъ - a 7jt
х = , , , , dx = 5 dt,
t + 1 (t + 1)
получим
По аналогии с интегралом Римана для сходящегося не- ь
собственного интеграла f f(x) dx, а < Ъ, по определению полагают
J /(х) dx = -J /(х) dx.
ь а
Следует обратить внимание на то, что не все свойства определенного интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Так, например, произведение двух функций, интегрируемых по Риману на некотором отрезке, является функцией, также интегрируемой по Риману на нем. Аналог этого утверждения для несобственных интегралов несправедлив. Существуют функции fug, интегралы от которых на некотором промежутке сходятся, а интеграл от их произведения на том же промежутке расходится. В самом деле, пусть, например, Дх) = g(x) = 1/ Jx . Как известно (см.
г dx
п. 29.1), интеграл —= сходится, а интеграл
О dx
J f(x) £(х) dx = f — расходится.
о о
655


Сделанное замечание еще раз напоминает о том, что, используя при обращении с несобственным интегралом аналогии свойств интеграла Римана, следует всегда не забывать о необходимости проверки справедливости для несобственного интеграла всякого утверждения, аналогичного соответствующему утверждению для собственного интеграла.
Примеры. Вычислим следующие несобственные интегралы, используя сформулированные выше свойства:
л г Cl X 1
1. 	J — . С помощью замены переменной x = - получим
1 xjx2- 1 t
f1 dt
о 71 - t2
= arcsin 11
Io
2. 	In = J (In x) dx, n = 0, 1, 2, ... . Интегрируя по час- 0
тям (при n > 0), имеем
i1 1 -1
In = x(ln x)n\ - n] (In x)n dx = ~nln _ p
Io 0
так как lim x(ln x)n = 0. Это равенство легко получить, ес-
X -> +оо ли применить п раз правило Лопиталя:
lim x(ln х)п = lim = -п lim ^1пХ/ = ... =
= (-1)п + 1п\ lim х = 0.
х —> 0
Заметив, что /0 = J dx = 1, получим In = (-l)71^!1.
о
л/2
3. 	J = f In sin х dx (интеграл Эйлера), о
Сделав замену переменного х = 2t, имеем
J = 2 J In sin 2t dt = 2 J ln(2sin t cos t) dt =
о 0
tc/4 tc/4
= | In 2 + 2 f In sin t dt + 2 f In cos t dt.
0 0
1 Напомним, что, по определению, 0! = 1.
656


Произведя в последнем интеграле замену переменного t = = 71/2-у, получим
= In 2 + 2 f In sin t dt, £ A
t. e. J = | In 2 + 2J, откуда J = In 2.
4. 	Jn = J xne x dx, n = 0, 1, 2, ... . Снова проинтегрировав о
по частям заданный интеграл при п > 0, получим
I + 00 +ОО
и так как
1о О
Jo = f е х dx = -е
= 1,
то Jп = nl.
5. 	Остаются справедливыми для несобственных интегралов неравенства Минковского и Гёльдера (см. п. 28.2*):
1 <р < +оо, - + - = 1.
Р Q
Для доказательства достаточно написать соответствующие неравенства для интегралов на отрезке [а, Т|] и перейти к пределу при Т| Ь.
В следующем пункте будет рассмотрена специфическая задача теории несобственных интегралов, а именно: приведен ряд условий, при выполнении которых несобственные интегралы заведомо сходятся (расходятся).
29.3. 	Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Изучение признаков сходимости несобственных интегралов начнем со случая, когда подынтегральная функция неотрицательна. При этом будем придерживаться соглашения, сформулированного в начале предыдущего пункта.
657


ЛЕММА. Если функция f неотрицательна на полуинтервале [а, й), то для сходимости несобственного интеграла ь
J f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы все интег- а
П
ралы f f(x) dx, а<т\<Ъ, были ограниченными в совокупности, т. е. чтобы существовала такая постоянная М > О, что для всех Т| е [а, Ь) выполняется неравенство
]f(x)dx<M. (29.14)
При выполнении этого условия ь п
\f(x)dx = sup \f(x)dx. (29.15)
а г| <Ъ а
Доказательство. Рассмотрим функцию ф(т|) = J /(х) dx, a^v\<b. (29.16)
а
В силу того что / > О, функция ф возрастает: действительно, если а < Т| < т|' < Ъ, то (см. свойство 8° интеграла в п. 24.1)
п'
J /(х) dx > О, поэтому л
п' п п' п
ф(т|') = f /(х) dx = J /(х) dx + J /(х) dx > J Дх) dx = ф(т|). а а г| а
b
Теперь заметим, что несобственный интеграл f Дх) dx сходится тогда и только тогда, когда существует конечный пре- п
дел lim f Дх) dx = lim ф(т|), а последний существует в том и Г| Ъа Г| -> &
только том случае (см. теорему 5 в п. 5.14), когда функция ф ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие (29.14). При этом ь п
J Дх) dx = lim ф(т|) = sup ф(т|) = sup J Дх) dx. □
а Г|->&
Из доказанной леммы следует, что, для того чтобы несоб- ь
ственный интеграл J Дх) dx от неотрицательной функции расходился, необходимо и достаточно, чтобы функция ф(т|) (см. (29.16)) была неограниченной сверху; но тогда, в силу ее возрастания,
п
lim f Дх) dx = lim ф(т|) = +°°.
Г| Ъа Г| Ъ
658


Поэтому если несобственный интеграл f Дх) dx от неотрица- а b
тельной функции расходится, то пишут J Дх) dx = +°°. При таком соглашении остается справедливым равенство (29.15).
ТЕОРЕМА 1 (признак сравнения). П устъ функции fug неотрицательны на полуинтервале [а, Ь) и f(x) = O(g(x)) при х b1.
(29.17)
Тогда:
ь
1) если интеграл \ g(x) dx сходится, то сходится и ин-
а
b
теграл J f(x) dx;
а
b
2) если интеграл f Дх) dx расходится, то расходится и
а
b
интеграл J g(x) dx.
а
СЛЕДСТВИЕ. Пусть функции f, g неотрицательны на полуинтервале [a, fe), g’(x) 0, х е [а, Ъ) и существует
lim = k, а < х < Ь. (29.18)
Тогда:
ь
1) если интеграл f g(x) dx сходится и 0 k < +°°, то ин¬
ее
ь
теграл f Дх) dx также сходится;
а
b
2) если интеграл Jg(x) dx расходится и 0 < k < +°°, то
а
b
интеграл J f(x) dx также расходится.
а
В частности, если fug — эквивалентные при х Ъ
ь
функции: f ~ g, х Ъ (см. п. 8.2), то интегралы f Дх) dx и а
b
f g(x) dx сходятся или расходятся одновременно.
а
b
Доказательство теоремы. Пусть интеграл f g(x) dx схо-
а
дится. Из условия (29.17) следует существование такого т|о, 1 В частности, f(x) < g(x), х е [а, Ь).
659


а < T|o < й, и такого с > 0, что для всех х е [т|0, Ь) выполняется неравенство
f(x) < cg(x) (29.19)
b
(см. п. 8.2). Из сходимости интеграла f g(x) dx следует и схо- а
П
димость интеграла f g(x) dx. В силу же необходимости усло- По
вий леммы для сходимости интеграла, существует такое число М > 0, что для любого Т| е [т|0, Ь) справедливо неравенство п
Jg(x)dx < М. Отсюда и из неравенства (29.19) имеем По
П П
f f(x) dx < с J g(x) dx < cM. По По
Из этого неравенства, в силу достаточности условий леммы для сходимости интеграла от неотрицательной функции, по- ь
лучаем, что интеграл f f(x) dx, следовательно, и интеграл По
b
J f(x) dx сходятся.
Первое утверждение теоремы доказано. Второе — логи-
ь
чески равносильно первому: если интеграл f f(x) dx расхо- а
b
дится, то f g(x) dx не может сходиться, так как если бы он был сходящимся, то, в силу уже доказанного первого ут-
ь
верждения теоремы, сходился бы и интеграл f f(x) dx. Таким а
b
образом, интеграл f g(x) dx расходится. □ а
Доказательство следствия. Из выполнения условия (29.18) для k, удовлетворяющего условию 0 < k < +оо, следует, что существует такое т| е [а, Ь), что если т| < х < Ъ, то
< k + 1, т. е. f(x) < (k + 1)£(х),
& \ х J
sl это означает, что
f(x) = O(g(x)), х b.
Поэтому утверждение 1) следствия непосредственно вытекает из утверждения 1) теоремы 1.
660


Пусть теперь условие (29.18) выполнено при некотором й, удовлетворяющем условию 0 < k < +°°. Тогда для любого kr е (0, k) существует такое Т| е [а, Ь), что если Т| < х < Ь, то
> k', или g(x) < f(x).
g(x) ’ v 7 k v 7
Это и означает, что g(x) = O(f(x)), х b. Поэтому утверждение 2) следствия непосредственно вытекает из утверждения 2) теоремы 1. □
Функция g(x) в утверждении 1) теоремы 1 и в ее следствии, с помощью которой устанавливается сходимость интеграла f f(x) dx, называется функцией сравнения. Если, в частности, f(x) < g(x) для всех х е [а, й), то говорят также, что f(x) мажорируется функцией g(x) или что g(x) служит мажорантой для f(x).
Эффективность использования критерия сравнения для решения вопроса о сходимости интеграла зависит, конечно, от запаса функций сравнения, о которых известно, сходится или расходится несобственный интеграл от них, взятый по рассматриваемому промежутку, и которые, тем самым, можно пытаться использовать для исследования сходимости данного интеграла. Заметим, что утверждение, аналогичное теореме 1, справедливо, конечно, и для несобственных интегралов типа (29.6).
В качестве функций сравнения g(x) часто достаточно брать степенные функции. Именно, в случае конечных промежутков [а, Ъ) и (а, й] берутся, соответственно, функ- 1 / ч 1
= и g(x) = - , интегралы от которых
(Ъ - х) (х - а)
г dx л
а сходятся при а < 1 и расходятся при ос 1 а (х - а)
(в этом легко убедиться, сведя указанные интегралы линей- г dx
ной заменой переменной к интегралам I — , рассмотренным о X
в п. 29.1). В случае же бесконечных промежутков [а, +°°) и (-оо, й] за функции сравнения берутся, соответственно, z ч 1 z ч 1 +r°dx
g(x) = ~а и g(x) = —-а, интегралы от которых —- и
х |х| 1 ха
сходятся при а > 1 и расходятся при ос < 1 (см. примеры в п. 29.1).
ции g(x)
г dx
-1 dx
661


Отметим еще, что все сформулированные признаки сходимости и расходимости интегралов остаются в силе (с очевидными изменениями), если в них условие неотрицательности функции f заменить условием ее неположительности ь
(это следует из того, что интеграл f (-/(х)) dx сходится тогда а
b
и только тогда, когда сходится интеграл f f(x) dx).
Примеры. 1. Интеграл
2
= dx
2
(29.20)
сходится. В самом деле, обозначая через f подынтегральную 2 X функцию: f(x) = . и
з/, 2
используя функцию сравнения
1 1
, а = - , имеем о
£(Х) = „ . -
?/1 - X
lim
х 10
2
2
1 . л 1
= = 11Ш = —,
2 х 1 - 0 3/! + х
lim V1 _ х х 1 - 0
поэтому, согласно следствию из теоремы 1, интеграл (29.20) сходится.
1 1
2. Интеграл J % dx расходится. Чтобы убедиться в
о 1 - X
этом, достаточно взять в качестве функции сравнения g(x) =
= —, а = 1.
1-х
В рассмотренных примерах показатель а у функции сравнения можно было выбрать сразу, исходя из конкретного вида заданной подынтегральной функции. Иногда, когда такой выбор сразу не ясен, приходится предварительно про¬
делывать некоторые дополнительные исследования, например, попытаться выделить ее главную часть, прибегнув к формуле Тейлора. Рассмотрим подобные примеры.
3. Интеграл
Jlnxdx (29.21)
0
сходится. Действительно, по правилу Лопиталя при любом а > 0, в частности при 0 < а < 1, имеем
1пх hm —а =
X ->+01/х
= lim 1 =-1 lim ха = 0,
х +0 ах а х +0
662


поэтому, согласно следствию из теоремы 1 (точнее, его аналогу для неположительных функций), интеграл (29.21) сходится.
Это было установлено и ранее непосредственным вычислением данного интеграла (см. пример 2 в п. 29.2).
Геометрически сходимость и расходимость интегралов (29.9), (29.10) и (29.21) означает конечность или бесконечность площадей соответствующих «бесконечных криволинейных трапеций», сравнительное расположение которых изображено на рисунке 142.
4. 	Для выяснения вопроса о сходимости интеграла
i £ <29-22>
заметим, что In х = In [1 + (х - 1)] ~ х - 1 при х 1, и возьмем за функцию сравнения g(x) = j- , т. е. выберем а = 1. Тогда lim —- = 1 и, следовательно, интеграл (29.22) расходится. X 1 1ПХ
5. Интеграл
Т ,lnx dx (29.23)
сходится. Действительно, возьмем а = 3/2 - е, е > 0. Тогда, применив снова правило Лопиталя, получим
,. х3/2-е1пх х3/2 v Inx v 1 л
lim —= lim lim —- = lim —- = 0.
х^+°° Jx3+1 X—>4"°° Jx3 + 1 *^+°° X X—>+°°£х
Выберем £ > 0 так, чтобы 3/2 - £ > 1; в этом случае интеграл + ОО 7 г ах
J — сходится, а поэтому, в силу следствия из теоремы 1, 1 2 е
X
сходится и интеграл (29.23).
6. Исследуем сходимость интеграла
. 1
In cos-
X 7 —— dx (29.24)
663


Здесь подынтегральная функция всюду отрицательна. Очевидно, интеграл (29.24) сходится или расходится одновременно с интегралом
1 1\
Ineos- )
X
dx,
(29.25)
у которого подынтегральная функция всюду положительна.
Разложив функцию In cos - по формуле Тейлора, получим
Таким образом, - lncos 1_ ПрИ х +оо и, следо-
лг 2 х
вательно, интеграл (29.24) сходится при 2 + р > 1, т. е. при р > -1, и расходится при р < -1.
В примерах 2 и 3 сходимость рассмотренных там интегралов можно было бы установить, вычислив их по формуле Ньютона—Лейбница. Однако выяснение сходимости интегралов с помощью признака сравнения обычно требует меньше вычислений, чем при их предварительном нахождении по формуле Ньютона—Лейбница. Важно отметить, что, используя признак сравнения, можно выяснить сходимость интегралов, конечно, и в случае, когда первообразная подынтегральной функции не является элементарной, и, следовательно, обычным приемом (с помощью формулы Ньютона—Лейбница) интеграл заведомо не вычисляется, как это и было в примерах 4 и 5.
УПРАЖНЕНИЯ.
Исследовать на сходимость следующие интегралы.
+Г x2dx г dx
■ Ь4 + «г + 1'
-“J1 + х4 о X + Jx
664


8. J x3e Xdx. 0
r Inx ,
10. — dx.
о Ух
12. T—•
1 xln2x
14. J xdx, -oo < a 0
T ex
9'! ^dx-
Mt-
] xlnx
3. T^.
2 Х1П2Х
f cXD<n<+CXDe
11+ (Inx)T’
? In sin x
16. dx
о 4X
Подчеркнем еще раз, что признак сравнения для выяснения вопроса о сходимости несобственного интеграла можно применять только для функций, не меняющих знака. Возникает вопрос: как выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл в случае, когда подынтегральная функция меняет знак? В следующих пунктах этот вопрос и будет изучен.
29.4. 	Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
В этом пункте мы уже не будем предполагать, что значения рассматриваемых функций сохраняют один и тот же знак на полуинтервале [а, й), — они могут принимать значения любого знака, но по-прежнему будем предполагать, что все рассматриваемые функции при любом выборе числа Т| е [а, Ъ) интегрируемы по Риману на отрезке [а, Т|].
ь
ТЕОРЕМА 2. Для сходимости интеграла J f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое число т|, а < Т| < Ъ, что если т| < Т|' < 6, Т| < т|" < Ъ, то
f f(x) dx
n"
<е.
(29.26)
Доказательство. Положим
п
ф(т|) = J f(x) dx, а < Т| < Ъ < +оо. а
665


Тогда сходимость интеграла ь
J f(x) dx, т. е. существование конечного предела (29.1), означает существование конечного предела lim ср(т|). В силу же критерия Ко- г| b
ши для наличия конечного предела функции ср(т|) при Т| Ъ необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовала
такая левосторонняя проколотая окрестность
U(b) = {х : Т| < х < Ь} точки Ь, т. е. существовало такое число Т|, а < Т| < Ь, что для всех Т|' е U(b) и r|" е U(b) (что равносильно условию Т| < rf < Ъ, Т| < т|" < Ъ) выполнялось бы неравенство
|ф(П") - Ф(П')| < е. (29.27)
Так как п' п" п"
ср(т|") - ср(т|Э = J /(х) dx - \ f(x) dx = J f(x) dx, a a rf
то неравенство (29.27) равносильно условию (29.26) (рис. 143). □ Теорема 2 называется критерием Коши сходимости интеграла.
29.5. 	Абсолютно сходящиеся интегралы
Важным понятием для несобственных интегралов от функций, меняющих знак, является понятие абсолютно сходящегося интеграла.
Определение 2. Несобственный интеграл J f(x) dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ь
J |/(х)| dx. а
b
Функции, для которых интеграл f f(x) dx абсолютно сходится, называются абсолютно интегрируемыми (в несобственном смысле) на промежутке с концами а и Ь. В случае, 666


когда а и b конечны, говорят также, что функция f абсолютно интегрируема на отрезке [а, 6].
Из теоремы 2 непосредственно следует критерий абсолютной сходимости интеграла.
ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы интеграл J f(x) dx абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого £ > 0 существовало такое Т| = Т|(е), что если Т| < r|' < Ъ и Т| < т|" < Ъ, то
n"
J \f(x) dx
n'
Е.
Эта теорема называется критерием Коши абсолютной сходимости интеграла.
Напомним, что, как всегда, здесь предполагается, что функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Т|], где а < Т| < Ъ, -оо < а < Ъ < +оо.
Признак сходимости интегралов от неотрицательных функций, очевидно, применим также и для выяснения абсолютной сходимости интегралов. Пусть, например, требуется выяснить: сходится абсолютно или нет интеграл
COSX 7  “Х
(29.28)
Из неравенства
COSX 2~ X
. 1 +f°dx
ч — и сходимости интеграла J , со-
X 1 X
гласно признаку сравнения, следует и сходимость интеграла
COSX
2
dx. Это означает, что интеграл (29.28) абсолютно сходится.
Важную связь между сходимостью и абсолютной сходимостью интегралов устанавливает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4. Если интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Доказательство. Пусть задано Е > 0. Если интеграл ь
f /(х) dx абсолютно сходится, то, в силу критерия Коши абсолютной сходимости интеграла (см. теорему 3), для любого Е > 0 существует такое Т|, а < Т| < Ъ, что если Т| < rf < Ь, Т| < т|" < Ь, то
J |/(х)| dx л'
(29.29)
667


Так как
п"
J f(x) dx < n'
J |/(x)| dx n'
, то, в силу неравенства (29.29),
для любых указанных т|' и т|" имеем
п"
J f(x) dx
n'
< е, поэтому, в
силу критерия Коши сходимости интегралов (см. теорему 2),
ь
интеграл f f(x) dx сходится. □ а
УПРАЖНЕНИЕ 17. Если несобственный интеграл от функции, определенной на отрезке, абсолютно сходится, то он и просто сходится. Интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. Следовательно, если существует интеграл Римана от абсолютной величины функции, то существует и интеграл Римана от самой функции. Это неверно (привести соответствующий пример!). Где ошибка в проведенном рассуждении?
Существенно отметить, что интеграл может сходиться, но не сходиться абсолютно (в этом случае его иногда называют условно сходящимся интегралом).
В качестве примера рассмотрим интеграл
Тdx. (29.30)
о х
Прежде всего заметим, что lim = 1, поэтому подынте- х
гральная функция, доопределенная единицей при х = 0, непрерывна на полупрямой х > 0 и, значит, интегрируема по Риману на любом отрезке [0, Т|], в частности на отрезке [0, 1]. Поэтому вопрос о сходимости (абсолютной сходимости) интеграла (29.30) эквивалентен вопросу о сходимости (абсолютной сходимости) интеграла
Jsi^x dx^ (29.31)
Для исследования его сходимости выполним интегрирование по частям:
COSX 7 —х- dx.
+ оо • +оо 1
J dx = - | - d(cos х) =
+ ОО
= COSX
^11
В правой части равенства получен интеграл (29.28), который, как известно, абсолютно, а значит, и просто сходится.
668


Таким образом, оба выражения в правой части равенства имеют смысл и, следовательно, конечны. Поэтому, во-первых, проделанное интегрирование по частям законно, а во- вторых, левая часть равенства также конечна, т. е. интеграл
(29.31) 	сходится.
Заметим, что в результате интегрирования по частям мы заменили интеграл (29.31) суммой некоторого конечного выражения и другого несобственного интеграла, у которого в знаменателе подынтегральной функции стоит более высокая степень переменной интегрирования, чем в интеграле (29.31), а в числителе — ограниченная, как и в (29.31), функция. В получившемся интеграле подынтегральная функция быст- 1 рее стремится к нулю, чем в исходном, в том смысле, что =
= ПРИ х 00 • Поэтому его сходимость оказалось легче непосредственно исследовать, чем сходимость исходного интеграла: он оказался даже не просто сходящимся, а абсолютно сходящимся.
Метод, позволяющий свести исследование сходимости данного интеграла к исследованию сходимости другого интеграла, который в каком-то смысле «лучше сходится», чем данный, называется методом улучшения сходимости.
Покажем теперь, что интеграл (29.31) не сходится абсолютно, т. е. что интеграл
+J°^1 dx (29.32)
расходится. Действительно, из неравенства
I . I . 2 1 - cos2x
|sin Х| > Sin X = 2
при любом Т| > 1 имеем
J dx > dx. (29.33)
1 ОС 1 ОС 1 ОС
+г°° dx
Интеграл J — расходится и равен +°°. Интеграл же 1 х
+ °О 0Qg
J dx сходится. Чтобы в этом убедиться, проинтегриру-
1 х ем его по частям:
-|-ОО -g +оо
f со^х dx = 1 J ld(sin 2х) = j Лг j Л-
669


-Г» *-* j +f°cos2x ,
В силу этой формулы, сходимость интеграла J ах
1 х
непосредственно следует из абсолютной сходимости интегра-
+r°sin2x 7
ла J —<^х, которая, в свою очередь, вытекает из очевид-
1 х
ного
неравенства
sin2x
2~
. Перейдя теперь к пределу при
Т| +оо в неравенстве (29.33), получаем, что правая, а следовательно, и левая части этого неравенства стремятся к +°° и поэтому интеграл (29.32) расходится.
Таким образом, интеграл (29.31), значит, и интеграл (29.30) не сходятся абсолютно.
Докажем еще одно полезное для дальнейшего вспомогательное утверждение.
ЛЕММА 2. Если функция f абсолютно интегрируема, а функция g интегрируема по Риману на отрезке [а, й], то их произведение gf также абсолютно интегрируемо на [а, 6].
Доказательство. Как было оговорено выше, рассматриваются только такие функции /, которые при любом Т| е [а, Ъ) интегрируемы по Риману на отрезке [а, Т|]. По условию, функция g интегрируема по Риману на отрезке [а, 6], следовательно, она интегрируема по Риману и на всяком отрезке [а, Т|], Т| е [а, Ъ) (см. свойство 2° в п. 24.1). Поэтому произведение gf также интегрируемо по Риману на любом указанном отрезке [а, Т|] (см. свойство 6° в п. 24.1). Это означает, что имеет смысл ь
рассмотрение несобственного интеграла f g{x)f{x) dx. а
В силу интегрируемости по Риману функции g на отрезке [а, 6], она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М > 0, что для всех х е [а, й] выполняется неравенство |g(x)| < М. Следовательно, для всех х е [а, Ь) справедливо и неравенство |g*(x)/(x)| < М|/(х)|. Заметив, что, в силу абсолютной интегрируемости функции f на отрезке [а, 6], интег- b ь
рал \M\f(x)\dx = M\\f(x)\dx сходится, получим, согласно а а
b
признаку сравнения, что сходится и интеграл J |^(х)/(х)| с/х, а 670


т. е. что произведение gf абсолютно интегрируемо на отрезке [а, Ь]. □
Все сказанное в этом пункте естественным образом переносится и на несобственные интегралы других видов, рассмотренных в п. 29.1, т. е. на интегралы вида (29.6), а также на интегралы общего типа (29.8).
29.6. 	Исследование сходимости интегралов
Докажем один достаточный признак сходимости интегралов, называемый обычно признаком Дирихле.
ТЕОРЕМА 5 (признакДирихле).Пусты
1) функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F при х > а;
2) функция g непрерывно дифференцируема и убывает при х > а;
3) lim g(x) = 0.
X -> + ОО
Тогда сходится интеграл
J Кх)ё{х) dx. (29.34)
а
Доказательство. Прежде всего заметим, что, в силу сделанных предположений, функция fg непрерывна, а значит, и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, 6], а < Ъ < +°°, и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (29.34).
Проинтегрировав по частям произведение f(x)g(x) на отрезке [а, 6], получим
J /(х)ё’(х) dx = \ g(x) dF(x) = g(x) F(x) - J F(x)g'(x) dx. a a a
(29.35) Исследуем поведение обоих слагаемых правой части при Ъ +оо. в силу ограниченности функции F (см. условие 1 теоремы),
М = sup \F(x)\ < +оо.
Из условий 2 и 3 теоремы следует, что функция g не отрицательна для всех х > а, в частности g(b) > 0; поэтому
|g(&)F(&)l < Mg(b).
671


Кроме того, в силу условия 3,
lim g(b)F(b) = O, Ь + ОО
и, следовательно, ь
lim g(x)F(x) = -g(a)F(a).
Ь + OO
a
Далее, из убывания функции g следует, что g'(x) < 0 при х > а, поэтому
J |F(x)g'(*)l dx < М\ |^'(х)| dx = а а
= -Mfg'(x) dx = M[g(a) - £(&)] < Mg(a),
так как g(b) > 0.“
b
Таким образом, интегралы J |F(x)g*'(x)| dx ограничены в a
совокупности при всех Ъ > а, поэтому интеграл f F(x)g'(x) dx абсолютно, а значит, и просто сходится, т. е. существует ко- ь
нечный предел lim f F(x)g'(x) dx.
Ь —> + оо a
Мы доказали, что в правой части равенства (29.35) оба слагаемых при b +°° имеют конечный предел, следовательно, предел левой части при Ъ °° также конечен. Это и означает сходимость интеграла (29.34). □
Замечание 1. Получение нужных оценок в приведенном доказательстве напоминает рассуждения при доказательстве второй интегральной теоремы о среднем (см. п. 26.3*). Это не случайно: если воспользоваться указанной ь
теоремой для оценки интеграла f /(x)g*(x) с/х, то признак Дирихле можно доказать короче. Мы не стали этого делать, чтобы еще раз показать, как с помощью интегрирования по частям можно улучшить сходимость интеграла.
ТЕОРЕМА 6 (признак Абеля1). Если на полуоси х > а:
1) функция f непрерывна и сходится интеграл
f Дх) dx-, (29.36)
2) функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна, то интеграл f /(x)g’(x) dx сходится.
а
1 Н. Абель (1802—1829) — норвежский математик.
672


Доказательство. Покажем, что эта теорема вытекает из предыдущей. Прежде всего отметим, что интегралы
J /(x)g’(x) dxn \ f(x)[-g(x)] dx а а
сходятся или расходятся одновременно и что, в силу монотонности функции g, одна из функций g или -g убывает.
Пусть, для определенности, убывает функция g. В силу ее ограниченности и монотонности, существует конечный предел lim g(x) = с, а так как функция g убывает, то при X + ОО
х +оо, убывая, стремится к нулю и разность g(x) - с.
Представим произведение f(x)g(x) в виде
f(x)g(x) = f(x)[g(x) - с] + cf(x). J29.37) В силу сходимости интеграла (29.36), интеграл f cf(t) dx
также сходится. Из этого же условия следует, что интегралы F(x) = J f(t) dt. х> а, ограничены. В самом деле, из существования конечного предела
lim F(x) = J f(x) dx
X +°o a
следует ограниченность функции F в некоторой окрестности J7(+°°) = (х : х > Ь} бесконечно удаленной точки +оо (см. свойство 1° в п. 5.10). На отрезке же [а. й] функция F ограничена, ибо она непрерывна. В результате функция F ограничена на всей полупрямой х > а. Функция F является первообразной функции /; тем самым функция f имеет ограниченную первообразную при х> а.
Таким образом, для интеграла f f(x)[g(x) - с] dx выполнены все условия признака Дирихле, поэтому этот интеграл сходится. В силу доказанного, из равенства (29.37) следует сходимость интеграла f f{x)g{x) dx.
Замечание 2. Усовершенствовав доказательства теорем 5 и 6, можно показать, что признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов остаются справедливыми, если у функции f условие ее непрерывности заменить условием ее интегрируемости на любом конечном отрезке [а, 6], а у функции g отбросить требование ее непрерывной дифференцируемости, оставив все остальные.
673


Примеры. 1. Применим признак Дирихле к исследованию сходимости интеграла
Тdx' а > °- (29.38)
а X
Функция f(x) = sin х имеет ограниченную первообразную F(x) = -cos х, а непрерывно дифференцируемая функция g(x) = 1/ха при а > 0 монотонно убывает и стремится к нулю при х +°°. Все условия теоремы 5 выполнены, поэтому интеграл (29.38) сходится.
2. 	Следует, однако, иметь в виду, что признак Дирихле дает только достаточные, а не необходимые условия сходимости интеграла, поэтому не всегда с его помощью можно решить вопрос о сходимости интеграла. Например, исследуем сходимость интеграла
+f s™xdx , а > о. (29.39)
1 х - sinx
Попытаемся применить признак Дирихле, положив f(x) = = sin х и g(x) = а 1 . Очевидно, что g(x) 0 при х °°.
х - sinx
Найдем производную: а _ х
,z ч OCX - cosx g(x) = — 2-
(х - sinx)
Отсюда видно, что при а < 1 эта производная при х +°° бесконечно много раз меняет знак и, следовательно, сама функция g(x) не является монотонно убывающей.
Таким образом, при а < 1 признак Дирихле неприменим указанным способом к выяснению вопроса о сходимости интеграла (29.39). В этом случае естественно попробовать прибегнуть снова к методу выделения главной части.
Применяя разложение функции (1 - t) \ -1 < t < 1, по формуле Тейлора (см. п. 13.3), при х °° получим
sinx sinx 1
674


Интегралы
Vsinx 7cos2x /ОГк л ч
J — dX И J ~2^ dX (29.4!)
IX IX
сходятся по признаку Дирихле при всех а > 0. Интеграл же
+ °о г 1 Z 1 Х-]
I Л; + о "У dx (29.42)
i L2x «
сходится при 2а > 1, т. е. при а > 1/2, и расходится при а < 1/2. Действительно, из формулы (29.40) вытекает, что функция в указанной формуле непрерывна по х при х > 1, а > 0, и, следовательно, имеет смысл говорить об интеграле (29.42). Функции -4- и -4- + неотрицательны
ОС ОС \^0С/
X X \Х '
в некоторой окрестности +оо и эквивалентны при х —► +оо, поэтому интеграл (29.42) сходится и расходится при тех же +г°° dx ,
значениях параметра а, что и интеграл J (см. следствие 1 х
из теоремы 1 в п. 29.3).
Таким образом, при а > 1/2 все интегралы (29.41) и
(29.42) 	сходятся, значит, в силу (29.40), сходится и интеграл (29.39). При 0 < а < 1/2 интегралы (29.41) сходятся, а интеграл (29.42) расходится, следовательно, расходится и интеграл (29.39).
Заметим, что при а < 0 интеграл (29.39) расходится. Действительно, в этом случае знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль бесконечно много раз; причем если Xq - sin Xq = 0, то функция ха - sin х в окрестности точки х0, согласно формуле Тейлора, имеет (почему?) вид ха - sin х = (х - х0)\р(х), где k — некоторое натуральное число, а <р(х0) 0. По условию, sin х0 = Xq 0, поэтому в каж¬
дой такой точке х0 функция asinx— имеет неинтегрируе- х - sinx
мую особенность.
Следует обратить внимание на то, что для каждого фиксированного а > 0 функции asinx— и эквивалентны х - sinx х при х +°°, т. е.
sinx z ч sinx
—ЕГ = е(х)~ :—>
ха ха - sinx
675


где е(х) = 1 - 1 при х +°°, однако если 0 < а < , то
интеграл (29.39) от первой из них расходится, а интеграл (29.38) от второй сходится.
Таким образом, замена подынтегральной функции на эквивалентную может изменить сходимость интеграла (если, конечно, интеграл не сходится абсолютно).
3. 	Исследуем на сходимость и абсолютную сходимость интеграл
(29.43) m . AsinxA
Так как tg
V х 7
расходится (см.
~ при х +°° и интеграл J dx
(29.32)), то расходится и интеграл
Т 1 (sinxA !tg (—)
dx, т. е. интеграл (29.43) не сходится абсолютно.
Легко проверить, что при у О
tg У = У + О(У3), (29.44)
причем в качестве окрестности в определении символа О (см. определение 1 в п. 8.2), здесь можно взять интервал (-1, 1): существует такая постоянная с > 0, что |О(г/3)| < с|г/3|, \у\ < 1.
Далее, в силу формулы (29.44) при у = , интеграл
(29.43) 	можно представить в виде
(29.45)
Интеграл J dx сходится (например, по признаку Ди-
1 х
+°° ( 1 А
рихле), а интеграл J dx абсолютно сходится, поэтому
интеграл (29.43) — сходящийся.
4. 	Интеграл J sinxa^ct^x а > 0, в силу признака Абеля, сходится.
В самом деле, как мы уже знаем (см. пример 1), интеграл
J ^7^ dx сходится, а функция g(x) = arctg х ограничена и мо- 0 х нотонна.
676


УПРАЖНЕНИЕ 18. Исследовать на сходимость в абсолютную сходимость Т sinxdx
интеграл J - , -оо < а < +оо.
о (х 4- cosx)
29.7. 	Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования
Часто при решении задач оказывается необходимым не только установить сходимость или расходимость рассматриваемого интеграла, но и уметь оценить в определенном смысле порядок «скорости» его сходимости или характер расходимости. Мы не будем здесь доказывать общих теорем, относящихся к этому вопросу (о некоторых общих методах изучения асимптотического поведения функций см. п. 33.10 ), а лишь проиллюстрируем его на отдельных примерах отыскания порядка интегралов с переменным верхним пределом, когда они либо стремятся к нулю, либо к бесконечности. Именно, если, например, интеграл f f(x) dt сходится, то будет иссле- а
доваться порядок стремления к нулю при х +°° интеграла J f(x) dt. т. е. отыскиваться явно заданная функция, эквивалентная при х +°° этому интегралу. Эта функция и называется скоростью сходимости сходящегося несобственного интеграла f f(x) dt. Если же интеграл f f(t) dt рас- fl а
ходится и равен +оо или -оо, то будет изучаться порядок X
стремления к бесконечности при х +°° интеграла J f(t) dt, а
т. е. отыскиваться явно заданная функция, эквивалентная при х +°° теперь уже интегралу f f(t) at. Эта функция называется скоростью расходимости расходящегося несобственного интеграла.
Примеры. 1. Исследуем интеграл
+ °О
f <29-46)
2 I In t
при различных действительных значениях параметров а и р. Рассмотрим сначала случай а > 0 и любого Р е R. При
677


таких значениях параметров интеграл (29.46) сходится, что легко устанавливается по признаку сравнения, если в качестве функции сравнения взять, например, функцию g(t) = х-ос/2 - 1 „ +г° dt
= t , интеграл от которой ^/9 . 1 сходится.
j .\Х / La “г 1
2 t
В силу сходимости интеграла (29.46), при указанных значениях параметров аир второе слагаемое правой части +г°° dt с dt ! +f°° dt п
равенства j р = J р + j р стремится к О 2 t In 1 2 t In 1 х t In 1
при х °°. Изучим порядок его убывания, а именно пока¬
жем справедливость асимптотического равенства
T dt ~ 1
J oc + 1, p ~ a. p ’ X x t In t ax In x
Для доказательства положим
(29.47)
ч def +r° dt г, ч def 1
w = f ,a+l, р, ’ ф(*) = •
х I In t ах In х
В силу сходимости интеграла (29.46), при ос > О, Р е R имеем
lim F(x) = 0. Очевидно, и lim Ф(х) = 0. Так как
F (х) ос + 1 р ’ Ф (х) ос + 1. р ос + 1^ р + 1 ’ х In х х In х ах In х
то, применив правило Лопиталя, получим
lim = lim =
Д+оо*Хх) х_;+ооЛх) х
т. е. соотношение (29.47) доказано.
В случае ос = 0, Р > 1 непосредственным интегрированием получим даже явное выражение интересующего нас интеграла
= i, oclnx j
+ ОО
= Ц-г • (29.48)
(P-I)lnp t
0 и любого Р е R интеграл
Г dt — Г1
i tln₽t i 11Л (1 - P)ln₽” 't
Покажем теперь, что для a <
(29.46) расходится. Чтобы убедиться в этом, достаточно снова в
- 1
качестве функции сравнения взять функцию g(t) = t 2 , где
в данном случае, т. е. при a < 0, интеграл f g(x) dt расходится.
2
678


Докажем, что при а < 0 и любом Р е R имеет место асимптотическое равенство
Положим
f dt 1
J ос + 1 т Р, а, р
2 t 1пкг ах 1гг х
X +оо.
ад=-^т-
тогда lim F(x) = lim Ф(х) = +oo. Найдем производные X—>+°O X —> + 00
функции F(x) и Ф(х):
ад = aJ. Р ’ Ф'(*) = aJ. Р + а+1, р + 1 •
х In х х In х ах In х
Применив правило Лопиталя, получим
lim = lim = lim (1 + = 1,
т. е. равенство (29.49) доказано.
Для оставшихся значений параметров ос и Р интеграл
/тгт (29.50)
2 t In X
вычисляется в элементарных функциях. Если ос = ОиР<1,то
г dt _ г dln£ _ 1 х _ In1 $х - In1 $2
2tlnPt 2 ln^ (1 - Р) ln^ _ ^t 2
а если ос = О, P = 1, то
f dt c dint ! ! x
-j—; = tt = In In f
J2 tint J2 ln£
! 1ПХ
= 1П 7—^ m2
2
В обоих случаях
lim J = +00, x +OO 2 HnPX
поэтому интеграл (29.46) при a = 0 и Р < 1 расходится.
Итак, интеграл (29.46) сходится при a > 0 и любом Р е R, sl также при ос = 0 и Р > 1; при этом установлены асимптотическое, и соответственно точное равенства (29.47) и (29.48)
г at для интеграла I г .
При остальных значениях пара¬
метров а и Р интеграл (29.46) расходится и получена асимптотическая или точная характеристика интеграла (29.50).
679


2. Рассмотрим интеграл
+f dt, (29.51)
т f
где при t> Т функция f непрерывна, неотрицательна
(29.52)
и для любого t>T выполняется равенство
+ = (29.53)
Будем функцию f в этом случае для краткости называть также периодической с перидом Т (ср. с определением периодической функции в п. 24.1, пример 2). Пусть еще интеграл от функции f по периоду положителен
]Tf(t)dt>0. (29.54)
Покажем, что интеграл (29.51) расходится и что
J dt X In х, х - +оо, (29.55)
т *
т. е. что функция в левой части этой формулы при х +°° имеет порядок 1п х (см. п. 8.2).
Функция f непрерывна, поэтому она ограничена на отрезке [£, 2Т] и, следовательно, в силу периодичности, ограничена при t > Т, т. е. существует такое число М > 0, что и для всех t> Т выполняется неравенство
/(0<М. (29.56)
В силу этого, имеем
\f-^dt M\ = In x - In T = O(ln x), x>T. (29.57)
rp t (29.56)
T
Обозначим теперь через J интеграл от функции f по периоду, т. е.
2Т
J = J f(t) dt. т
Произведя в записанных ниже интегралах замену переменного t = и + (k - 1)Т на отрезках [kT, (k + 1)Т], k = 2, 3, ... , получим
(29.58)
пт /.z х П - 1 (/?+'_
f dt = Е J JT * к = ' hT
У f(u + (fe- 1)T)
fc-iJ, u+(k-l)T
^{hTf^dt =
du —
(29.53)
п - 1 2Т /fuS
Е г Ш du
k = 1 J и
т ^, + k-1
1
т
1 п~
- Е
Т ь = 1 2 + k - 1
2Т
J f(u) du
т
1
> йп? <29-59)
(29.58) 1 1 « 1
680


Заметим, что для чисел х, лежащих на отрезке [k + 1, k + 2], 1 . 1
выполняется неравенство - С + , интегрированием которого получается неравенство
кdx 1
<29-6°)
Поэтому
"у1 1 > "у1 ft+r2 dx = п:1 dx =
k = 1 k+ 1 (29ЛЗО) k = 1 Jl X 2 X
= In (n + 1) - In 2 > In (n + 1).
Подставив эту оценку в неравенство (29.59), получим
f dt > In (и + 1). (29.61)
Заметим, что
г 1п(п + 1) г 1 1
hm т——, , хгг = hm т—=— = 1,
oolnn + l)T 1пТ
поэтому существует такое натуральное п0, что при п > nQ выполняется неравенство
Далее, для каждого числа х существует такое целое п, что
пТ^х<(п+ 1)Т. (29.63)
Теперь для любого х, для которого в неравенстве (29.63) имеет место неравенство п > Пц, получаем
f f(t) . sin2£ , J1 z
Рт2 Л > —— dt > 7=ln(n + l) >
о 1 (29.63) о 1 (29.61) 1 (29.62)
> ^1п(п + 1)Т > ^1пх. (29.64)
(29.62) (29.63)
Неравенства (29.57) и (29.64) и доказывают справедливость формулы (29.55).
В формуле (29.55) в качестве функции f можно взять любую конкретную функцию, удовлетворяющую перечисленным выше условиям, при этом, в силу доказанного, соответ681


ствующие интегралы всегда будут иметь порядок 1п х. Например,
с In (cos £ + 2)
—-— dt X In х, х +°°,
1 г
х . 2
[ dt X In х, х +°°. о 1
Однако иногда удается получить более точную оценку. Так, для второго из интегралов имеем
2 12
г sin t г sin t u . fl- cos2£ \—-dt = \—-dt + \ —— dt = 0 t 0 t i
г sin21 ... 1 f dt 1 r cos2£ .,
1 2
1 i if sin t ., 1 г cos 21 ., z пл \
= ~ In x + J —— dt - ~ J —-— dt. (29.65)
Z о f Z 1 f
2 2
m т sin t Л i sin t
Так как hm —— = 0, то функция —— , доопределенная
* *
нулем при t = 0, будет непрерывна и, следовательно, интегри-
1 sin2J
руема на отрезке [0, 1], т.е. J —— dt конечен. Интеграл о 1
+f°cos2£ .+ z
—-— dt сходится (это, например, сразу следует из признака 1 f
Дирихле, см. п. 29.6). Из сказанного вытекает, что функция
ч def г sin2£ ., If cos2£ ., zor.
F(x) = —г~ dt - ~ —— dt. (29.66)
о 1 2 1 *
будучи непрерывной для всех х > 0 и имея конечный предел lim F(x) = f^ dt,
x + OO 0 f Z 1 f
ограничена на неотрицательной полуоси. Поэтому из равенства
f dt = ± In х + F(x) q t (29.65) 2
(29.66) явствует, что
г sin2£ 7jl I, . _
—— dt ~ о In x, x +oo,
0 2
т. e. в этом случае удается определить не только порядок интеграла с переменным пределом интегрирования х, но и его 682


асимптотическое поведение при х +°о; интеграл эквива- 1.
лентен In х.
В рассмотренных примерах асимптотическое поведение интегралов установлено с помощью более или менее специальных методов, оказавшихся удобными в рассмотренных конкретных случаях. Более общим методом, часто дающим возможность находить асимптотическое поведение интегралов, является обычное интегрирование по частям.
3. Рассмотрим в качестве примера интегралы Френеля1
J cos 02 с/0, J sin 02 с/0,
о о
скорость сходимости которых определяется порядком убывания интегралов
+9° 9 9
J cos 02 с/0, J sin с/0, х > 0. (29.67)
Изучение асимптотического поведения интегралов (29.67) при х +°° проводится одинаковым методом. Поэтому рассмотрим только один из них, например первый. Сделав в нем замену переменной 02 = /, сразу убеждаемся по признаку Дирихле, что он сходится. Затем, дважды проинтегрировав по частям получившийся интеграл, будем иметь
1-00 ~ -« +ОО .
Г л2 If C0S^
COS 0 с/0 = о —F" dt =
X 2 Jt
1 sini
2JT
2
dt = _™^ + dt =
4 b tjt 2x 4 J2 t/t
2 sinx
2x
2 o +oo , COSX _3 r cost J
(согласно прежней терминологии (см. п. 29.5), мы с помощью интегрирования по частям улучшили сходимость интеграла).
(29.68)
2 т-r COSX
Поскольку z-
4x
X °°, и
r cos г ,
J -2-7 dt
X2 t Jt
T dt 2 i t2/t 3?75
2
Зх3 ’
1 А. Френель (1788—1827) — французский физик.
683


будем иметь
г cos£ Jjt
\ — dt =
X2 t
х
Следовательно, T 2
J cos 0 a0 = -
2 sinx
2x
х
Таким образом, нам удалось с точностью х
найти простое выражение для интеграла f cos 02 с/0, дающее, в частности, представление о характере его убывания при х
+°°. Если произвести дальнейшее интегрирование по частям интеграла в правой части формулы (29.68), то можно получить +г° 2
асимптотические формулы для интеграла J cos 0 с/0 с точно- стью доОГ^-f
Аналогично рассматривается случай интеграла
+°°, при любом натуральном п.
J sin 02 с/0.


Предметно-именной указатель
Абель Н. 672
Абсолютная величина 50, 51
— погрешность 264
Абсолютно интегрируемая функция 666
— сходящийся несобственный ин¬
теграл 666
Аксиома индукции 25
Аксиомы действительных чисел
36—38
— Пеано 25
Алгебраическая форма комплексного числа 473
Алгебраическое число 148
Алгоритм 221
— Евклида 494
Аналитический способ задания функции 156
Аргумент 18
— комплексного числа 474
Арифметическая разность числовых множеств 76
— сумма числовых множеств 76
Арифметическое значение корня
59
Архимед 78
Архимедово поле 83
Асимптота 374
Асимптотически равные последовательности 262,484
функции 257
Ассоциативность 26, 36, 37
Астроида 440
Везу Э. 487
Бернулли Я. 129
Бесконечная производная 272
Бесконечно большая последовательность 95
функция 195
— малая последовательность 118,
483
по сравнению с другой последовательностью 262,484
Функция 194
по сравнению с другой
функцией 260, 392
— удаленная точка 64  прикосновения 164 Бесконечное множество 27
— «число» 64
Бесконечность 64, 66
Бесконечный предел 95, 162—163
— промежуток 65
Биективное отображение (Биекция) 19
Бинормаль 447
Больцано Б. 113
Бонне О. 605
Борель Э. 560
Буняковский В. Я. 629
Валлис Дж. 603
Вейерштрасс К. 109
Вектор главной нормали 432
Векторная функция 387
Векторное представление кривой 403
пути 400
Вертикальная асимптота 376
— касательная 281
Верхнее десятичное приближение 134
Верхний интеграл Дарбу 546
— класс сечения 53
— предел интегрирования 535
последовательности 150
Верхняя грань множества 70, 75
последовательности 108
функции 154
— сумма Дарбу 544
Вещественная переменная 154
Взаимно обратные отображения 22
— однозначное отображение 21  соответствие 21
Винтовая линия 421
Внутренность отрезка 65
Внутренняя точка множества 608
Внутренняя точка кривой 405  промежутка 65  пути 399
Возрастающая последовательность 109
— функция 204, 353
685


Вторая производная 304
Второй дифференциал 311 Выпуклая вверх функция 366
— вниз функция 366
Вычитание множеств 15
— чисел 26,475
Тейне Г. 162
Гёлъдер О. Л. 628
Гиперболические подстановки 521, 532
Гиперболический косинус 301
— котангенс 303
— синус 301
— тангенс 303
Главная нормаль 432, 434
— часть функции 267
Гладкая кривая 415
График функции 18, 157
Графический способ задания функции 158
Гулъдин П. 643
Дарбу Г. 325
Двусторонний предел 186
Дедекинд Р. 55
Действительная ось 39, 474
— переменная 154
— часть комплексного числа 473
Действительные числа 36—39
Декарт Р. 387
Декартов лист 387
Деление многочленов 486
— чисел 41,478
Делитель многочлена 490
Десятичная запись числа 136
Дирихле Л. 157
Дистрибутивность 37 Дифференциал 275
— векторной функции 393
— высшего порядка 311
—, геометрический смысл 280
— независимой переменной 276
— сложной функции 295
—, физический смысл 284
Дифференциальный бином 522
Дифференцирование 273 Дифференцируемость векторной функции 393
— функции 274
— интеграла по пределу интегри¬
рования 558
Длина кривой 417, 632
— промежутка 65
Допустимая десятичная дробь 136
Допустимое преобразование параметра 402
Дуга кривой 409
Дюбуа-Реймон П. 563
Твклид 494
Единица 37
£-окрестность бесконечно удаленной точки 66
— точки 65, 608
Зависимая переменная 18
Замена переменных 215, 461, 596, 654
Замечательные пределы 248
Замкнутое множество 558
Замкнутый круг 608
Замкнутый контур 399, 406
— путь 399
Замыкание множества 558
Значение функции 17
Изолированная точка множества 174
Изоморфизм 85
Изоморфные поля 85
— упорядоченные поля 85
Инвариантность формы дифференциала 295
Интеграл от векторной функции 606
— с переменным верхним преде¬
лом 587
— Эйлера 656
Интеграл неопределенный 454, 469
— несобственный 645
— определенный 535
— собственный 645
Интегральная сумма Римана 535
Интегралы Френеля 683
Интегрирование 458
— некоторых иррациональностей
514
686


трансцендентных функций 526
— по частям 464, 530, 600, 654
— подстановкой 461, 654
— рациональных дробей 503 Интегрируемая в несобственном
смысле функция 649
— по Риману функция 535 Интервал 65
— выпуклости вверх функции 366  вниз функции 366
— строгой выпуклости вверх функ¬
ции 366
вниз функции 366
Инъективное отображение (инъекция) 19
Иррациональная функция 162 Иррациональные числа 36, 43
Кантор Г. 80
Кардиоида 443, 625
Касательная 281, 412
Катеноид 640
Квадрат нулевого ранга 609
— ранга т 609
Квадрильяж 609
Колебание функции в точке 556  на множестве 231, 556 Коммутативность 26, 36, 37 Комплексная плоскость 474 Комплекснозначная функция 485 Комплексные числа 36, 473 Композиция функций 21, 160 Конец кривой 409
— промежутка 65
— пути 408
Конечная производная 272, 278
— точка 64
Конечное множество 27
— число 64
Конечный предел 94, 163, 180
— промежуток 65
Константа 21
Координатное представление кривой 403
пути 400
Координатные функции отображения 398
Корень из числа 58, 227, 478
— многочлена 486
Коши О. 116
Кратная точка 64, 399, 406
Кратность корня 487
Кратный корень 487
Кривая 403
Кривизна 431
Критерий Дарбу 553
— Дюбуа-Реймона 563
— Коши абсолютной сходимости
несобственного интеграла 667  существования предела интегральных сумм 539
функции 210
сходимости несобственного интеграла 665
последовательности 116
— Лебега 567
— Римана 554
Криволинейная трапеция 619
Критическая точка 364
Кручение 448
Кубильяж 617
Кусочно-гладкая кривая 415
Кусочно-непрерывная функция 569
Кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая 410
функция 601
Лагранж Ж.-Л. 318
Лебег А. 566
Лебегова мера нуль 567
Левая производная 272
Левосторонняя окрестность 272
Лежандр А. М. 327
Лейбниц Г. 306
Лемма Гейне—Бореля 560
— о сохранении знака 190
Линейная плотность 287
— функция 161, 392
Линейность интеграла 458, 653
Логарифм 244
Логарифмическая производная 300
— спираль 634
— функция 244
Логические символы 33
Локальное свойство функции в точке 165
Ломаная, вписанная в кривую 416 Лопиталъ Г. 327
687


Мажоранта 661
Маклорен К. 342
Максимальное значение функции
155
Мгновенная скорость 286
Мгновенная сила тока 287
Мелкость разбиения 534
Мера открытого множества 610
Метод выделения главной части
267,351
— математической индукции 25
— неопределенных коэффициен¬
тов 501
— Остроградского 508, 512
— улучшения сходимости интег¬
рала 669
Минимальное значение функции
155
Минковский Г. 628
Мнимая единица 473
— ось 474
— часть комплексного числа 473
Многозначная функция 21
Многочлен 161
— Лежандра 327
— Тейлора 342
— Чебышева—Эрмита 327
Множество действительных чисел
39, 52
— задания функции 17
— значений функции 17
— иррациональных чисел 43
— комплексных чисел 47, 473
— лебеговой меры нуль 567
— натуральных чисел 25
— определения функции 17
— рациональных чисел 43
— целых чисел 43
Модуль 50
— комплексного числа 473
— непрерывности 232
Монотонная последовательность 109
— функция 204, 353
Монотонность меры 612
Мордухай-Болотовский Д. Д. 523
Муавр А. 477
Надграфик 158
Наибольшее значение функции
155,216
Наибольший общий делитель многочленов 491
Наименьшее значение функции 155,216
Наклонная асимптота 376
— касательная 281
Натуральный ряд 35
Натуральные числа 23, 35, 42 Натуральный логарифм 244 Начало кривой 409
— пути 408
Невозрастающая последовательность 109
— функция 204
Независимая переменная 18 Неограниченная последовательность 108
— сверху последовательность 108
— снизу последовательность 108 Неограниченное множество 69
— сверху множество 68
— снизу множество 69 Неопределенности 327 Неопределенный интеграл 454, 459  , свойства 456—458 Неособая точка 414
Непересекающиеся множества 15 Неправильная рациональная дробь 495
Непрерывная функция 173, 181, 197,485
Непрерывно дифференцируемая кривая 407
функция 305
— дифференцируемо эквивалент¬
ные пути 407
— дифференцируемый путь 401 Непрерывное упорядоченное поле
51, 84
Непрерывность векторной функции 389
— действительных чисел 38
по Дедекинду 55
— интеграла по пределу интегри¬
рования 587
Кантору 80
— отображения 398
— функции в точке 173
по множеству 176  слева 188
688


справа 188
на множестве 216
— элементарных функций 248
Неравенство 47
— Бернулли 129
— Гёльдера 628, 657
— Коши—Буняковского 629
— Минковского 628, 657
Несобственное подмножество 14
Несобственный интеграл 645
Несчетное множество 143
Неубывающая последовательность
109
— функция 204
Неявная функция 159
Неявное представление кривой 410
Нижнее десятичное приближение
134
Нижний интеграл Дарбу 546
— класс сечения 53
— предел интегрирования 535
последовательности 150
Нижняя грань множества 71, 75
последовательности 108
функции 154
— сумма Дарбу 544
Нормаль 434
Носитель кривой 404
— пути 398
— точки кривой 405
Нулевой многочлен 161
Нуль 37
Ньютон И. 60
Область определения функции 17
Обобщенная первообразная 467, 593
Образ подмножества 20
— элемента 18
Обратная функция 22
Обратное число 37
Обратные гиперболические функции 303
— тригонометрические функции
248
Общий делитель многочленов 491
Объединение множеств 14, 15
Объем тела вращения 630
Ограниченная последовательность
108
по сравнению с другой 262,
483
— сверху последовательность 107
функция 154
— снизу последовательность 107
функция 154
— функция 154, 485
по сравнению с другой 253
Ограниченное множество 69
— сверху множество 68
— снизу множество 69
Однозначная функция 21
Однолистное отображение 19
Односторонний предел 186
Односторонняя непрерывность 188
— производная 272
Окрестность точки 65—66
Определенный интеграл 535
— геометрические приложения
618—641
, свойства 570—579
, физические приложения
641—644
Оресм Н. 616
Ориентированная кривая 408
Основное свойство дроби 42
Основные элементарные функции
160
Особая точка 414
Остаток от деления многочленов
486
Остаточный член формулы Тейлора 342
форме Коши 343
Лагранжа 343
Пеано 342
Шлёмильха—Роша
343
Остроградский М. В. 509
Открытая кривая 410
Открытое множество 608
Относительная погрешность 264
Отношение порядка 48
Отображение 17
— «в» 19
— «на» 19
Отрезок 65
— разбиения 534
Отрицательные числа 36, 43
689


Паскаль Б. 32
Параметр 399
Параметрическое задание функции 309
Пеано Д. 25
Первообразная 453, 589, 606
Переменная интегрирования 535
Пересечение множеств 15
Перестановки 30
Период 581
Периодическая функция 33, 581
Площадь криволинейной трапеции 618
— открытого множества 610
— поверхности вращения 637
— сектора кривой, заданной поляр¬
ными координатами 625
Под график 158
Подмножество 14
Подполе 90
Подпоследовательность 106
Подстановки Эйлера 518
Подынтегральная функция 454, 535
Показательная функция 239
Покрытие множества интервалами 559
Поле 47
— комплексных чисел 47, 481
Полином 161
Полнота действительных чисел 52
Положительное направление касательной 412
Полуинтервал 65
Полукубическая парабола 371, 440
Полярные координаты 442, 623
Порядок бесконечно малой по отношению к другой 261
Последовательности одного порядка 262
Последовательность 27
— комплексных чисел 482
— неограниченная 108
— ограниченная 108
сверху 107
снизу 107
— элементов множества 27
Последовательности одного порядка 262,484
Постоянная 21
Построение графиков 377
Правая производная 272
Правило замены переменной 215
— Лопиталя 327—334
Правильная рациональная дробь 495
Правильное разбиение 649
Правосторонняя окрестность 272
Предел векторной функции 388
— интегральных сумм 535
— отображения 398
— последовательности комплекс¬
ных чисел 482
— сумм Дарбу 547, 552
— функции в точке 162, 179
по Гейне 162
Коши 179
множеству 167
слева 185
справа 185
— числовой последовательности 93 Предельная точка множества 174 Предельное положение секущей
282
Представление кривой 403
Признак Абеля 672
— Дирихле 671
— сравнения для несобственных
интегралов 659
Принцип Архимеда 78
— вложенных отрезков 80
Приращение аргумента 199
— функции 199
Произведение
— множеств 17
— последовательностей 118
— последовательности на число 118
— функций 154
— чисел 37, 476
— числа на числовое множество 76
— числовых множеств 76
Производная 271
— векторной функции 391
— высшего порядка 304
—, геометрический смысл 280
—, дифференцирование основных элементарных функций 273— 275, 290—291, 293, 296— 297,300
— обратной функции 291, 309
690


—, основные правила вычисления 288
— сложной функции 294, 308
—, физический смысл 284
— функции, заданной параметри¬
чески 309
неявно 299
Проколотая £-окрестность 169
— окрестность 169
Промежуток 65
— интегрирования 535
Прообраз множества 20
— элемента 18
Простая дуга 399, 405
Простой замкнутый контур 399, 407
— корень 487
Противоположно ориентированная кривая 408
Противоположное число 37
Противоположно ориентированный путь 408
Пустое множество 14
Путь 398
Работа силы 640
Равномерно непрерывная функция 229
Равномощные множества 141
Радиальная составляющая 429
Радиус-вектор 387
Радиус кривизны 431
Разбиение отрезка 416, 533
Разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами 489  комплексными коэффициентами 487
элементарные дроби правильной рациональной дроби 499
— по формуле Тейлора основных
элементарных функций 347— 349
Разность множеств 15
— последовательностей 118
— функций 154
— чисел 40
Размещения 29
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 327—334
Расходящаяся последовательность 94
Расходящийся несобственный интеграл 645,649
Расширенное множество действительных чисел 64
Рациональная дробь 161, 495
— функция 47, 161, 514
Рациональные числа 36, 43
Риман Б. 201
Ролль М. 316
Рош Э. 343
Секущая 411
Сечение множества действительных чисел 52
Символ всеобщности 33
— существования 33
Система вложенных отрезков 80
Скачок функции 203
Скорость вращения вектора 392
Скорость изменения переменной 285
— сходимости интеграла 677
— расходимости расходящегося
интеграла 667
Сложение чисел 26, 36
— последовательностей 118
— функций 154
Сложная функция 21, 159
Собственное подмножество 14
— подполе 91
Собственный интеграл 645
Соприкасающаяся окружность 444
— плоскость 435
Сопряженное комплексное число 479
Сопряженный многочлен 488
Сочетания 31
Спрямляемая кривая 417
Спрямляющая плоскость 449
Сравнение функций 253—262
— чисел 38
Средняя линейная плотность 287
— сила тока 287
— скорость 284
Статический момент 641
Стационарная последовательность 28
Степенная функция 226, 245
691


Степень многочлена 161, 486
— с действительным показателем
239
натуральным показателем 45
рациональным показателем 59, 207,236
Строго возрастающая функция 221, 355
— выпуклая вверх функция 366
вниз функция 366
— монотонная функция 221
— убывающая функция 221, 355
Сужение функции 20
Сумма кривых 409
— множеств 14
— последовательностей 118
— функций 154
— чисел 26,475
Суперпозиция функций 21, 160
Существенно комплексное число 473
Сходящаяся последовательность 94
Сходящийся несобственный интеграл 645,649
Счетное множество 141
Сюръективное отображение (Сюръекция) 19
Таблица поведения функции 158 Табличные интегралы 458—459 Табличный способ задания функции 158
Тейлор Б. 342
Теорема Безу 487
— Больцано—Вейерштрасса 113
— Больцано—Коши 218
— Бонне 605
— Вейерштрасса о достижимости
верхней и нижней граней функции 216
о существовании предела монотонной последовательности 109
— Дарбу о промежуточном значе¬
нии производной 325
— Дюбуа-Реймона 563
— Гульдина первая 643
— Кантора о несчетности множест¬
ва действительных чисел 144
— равномерной непрерывности 230
счетности множества алгебраических чисел 148
Коши 323
Лагранжа 318
Лебега 567
о возрастании и убывании функции на промежутке 353
— единственности многочлена Тейлора 344
предела числовой последовательности 100
— кривизне кривой 432
— площади криволинейной трапеции 618
поверхности вращения 637
— пределе сложной функции 212
— производной длины дуги кривой 419
обратной функции 291, 308
сложной функции 294, 308
— производных суммы, произведения и частного 288
— разложения правильной рациональной дроби на элементарные дроби 499
— спрямляемости кривой 418
— среднем значении для определенного интеграла вторая 605
первая 583
— существовании верхнего и нижнего пределов последовательности 151
верхней и нижней граней множества 73
односторонних пределов монотонной функции 205
— счетности множества рациональных чисел 142
об инвариантности формы дифференциала 295
— интегрировании по частям 464, 472
подстановкой 461, 471
рациональной дроби 506
об интегрируемости функции 547
монотонной функции 549
непрерывной функции 548
692


объеме тела вращения 630
ограниченности интегрируемой функции 541
сходящейся последовательности 108
эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне 181
— основная интегрального исчис¬
ления 591
— Римана об интегрируемости
функции 554
— Ролля 316
— Ферма 314
Теоремы о выпуклости вверх, вниз и точках перегиба 366—373
— дифференцируемых функциях
288—290, 291, 294—295, 313— 326
мере открытых множеств 612—614
непрерывности элементарных функций 235—248
несобственных интегралах 652—654
пределах последовательностей 101—104, 120—124
функций 189—194
раскрытии неопределенностей 328
— об интегрируемых функциях
539—543, 547—550, 551— 555, 563—568
обратной функции 223, 224
определенном интеграле с переменным верхним пределом 587—589
эквивалентных функциях 265—266
экстремумах 356—365
Тор 643
Точка возврата 371
— возрастания функции 359
— кривой 405
— максимума 356
— минимума 356
— перегиба графика функции 370
функции 370
— прикосновения множества 163
— пути 399
— разрыва 202
второго рода 204
первого рода 202
— самопересечения 399
— строгого максимума 356
минимума 356
экстремума 356
— убывания функции 359
— устранимого разрыва 203
— числовой прямой 39
— экстремума 356
Точная верхняя грань множества 70
— нижняя грань множества 70
Транзитивность 48
Трансверсальная составляющая 429
Трансцендентная функция 162
— число 112
Треугольник Паскаля 32
Тригонометрическая форма комплексного числа 474
Тригонометрические подстановки
— функции 246
Убывающая последовательность 109
— функция 204, 353
Угловая скорость вращения векторной функции 427
Умножение чисел 37
Упорядоченная пара 17
Упорядоченное подполе 90
— поле 50
Упорядоченность множества действительных чисел 37,46
Условие Коши 116
Условно сходящийся несобственный интеграл 668
Ферма П. 314
Формула бесконечно малых приращений 320
— бинома Ньютона 60
— Валлиса 603
— дифференцирования определен¬
ного интеграла по верхнему пределу
693


— интегрирования заменой пере¬
менной 461,471,596,654
по частям 464, 472, 654
подстановкой 461, 471, 596,
654
— конечных приращений Коши
324
Лагранжа 320
— Лейбница 306
— Маклорена 342
— Муавра 477
— Ньютона—Лейбница 591, 593,
594
— Остроградского 509, 607, 652
— Тейлора 342
Формулы Френе 444, 449
Френе Ж. Ф. 444
Френель А. 683
Фундаментальная последовательность 116
Функции одного порядка 254
Функция 17
— Дирихле 157, 168
— заданная параметрически 309
— Римана 201, 550
— с интегрируемой производной
596
— сравнения 661
— sign х 157
— [х] 188
Характеристическая функция множества 149
Целые числа 43
Центр кривизны 436
— тяжести кривой 642
Цепная линия 631, 639
Циклоида 403,414, 441
Частичный предел последовательности 115
Частное от деления многочленов 486
— последовательностей 118
— функций 154
— чисел 41, 478
Часть кривой 109
Чебышёв П. Л. 327
Четная функция 33
Число е 111
— i 473
Числовая ось 39
— прямая 39
— функция 154
Числовое значение скорости вращения вектора 392
Член последовательности 27
МХлёмилъх О. 343
Эвольвента 444
Эволюта 437
Эйлер Л. 518
Эквивалентные последовательности 262,484
— пути 401, 407
— точки путей 405
— функции 256, 264
Экстремальное значение функции 155
Элементарная работа силы 640
— функция 160
Элементарные рациональные дроби 501
Элементарный статический момент
641
Эллиптические интегралы 533
Эрмит Ш. 327
694


Указатель основных обозначений
Эх — существует такое х
Ух — для любого х
В — из высказывания А следует высказывание В А^ В — высказывание А равносильно высказыванию В def
— утверждение справедливо по определению
k^iak — сумма п слагаемых а19 ... , ап
□ — знак окончания доказательства
а е. А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А
a £ А, А ф а — элемент а не принадлежит множеству А
А = {а, й, с, ...} — множество А состоит из элементов а, Ь, с...
А = {а: ...} — множество А состоит из элементов, обладающих определенными свойствами (указанными после двоеточия) 0 — пустое множество
А <= В, В А — множество А содержится в множестве В АиВ — объединение множеств А и В
АП В — пересечение множеств АиВ
А\В — разность множеств АиВ
N — множество натуральных чисел
Z — множество целых чисел
Q — множество рациональных чисел
I — множество иррациональных чисел
R — множество действительных чисел, числовая прямая
R — расширенное множество действительных чисел, расширенная числовая прямая
С — множество комплексных чисел
i — мнимая единица
Re z — действительная часть комплексного числа z
Im z — мнимая часть комплексного числа z
|г| — модуль комплексного числа z
Arg z — аргумент комплексного числа z
arg z — значение аргумента ф комплексного числа 2, удовлетворяющее неравенству -л < ф < л
z — число, сопряженное комплексному числу z
[а, й] — отрезок
(а, Ь) — интервал
[а, й), (а, й] — полуинтервалы
Akn — размещения из п элементов по k элементов
Рп — перестановки из п элементов
Ckn — сочетания из п элементов по k элементов
695


A/В — сечение множества действительных или рациональных чисел, образованное множествами А и В
sup X, sup {х} — верхняя грань множества X X € X
inf X, inf {х} — нижняя грань множества X  х е X
X — замыкание множества X
{xn}; хп. п = 1, 2, ... , — последовательность элементов хп \\т°хп = а — число а есть предел последовательности {хп} lim х„ — верхний предел последовательности {хп} lim хп — нижний предел последовательности {хп}
п^~оо
f : X Y — отображение множества X в множество Y У = f(x) — переменная у является функцией переменной х /(х0), Дх)|х = Х() — значение функции f(x) в точке х0 /L’ /а — сужение функции f на множество А gof — композиция (суперпозиция) функций f и g
f 1 — обратная функция для функции f е — основание натуральных логарифмов In х — натуральный логарифм числа х sh х — гиперболический синус ch х — гиперболический косинус th х — гиперболический тангенс cth х — гиперболический котангенс Arsh х — ареасинус Arch х — ареакосинус sign х — функция «знак х»
[х] — функция «целая часть числа х»
sup Д sup Д sup f(x) — верхняя грань функции f на множе- х х е х
стве X
inf Д inf Д inf f(x) — нижняя грань функции f на множе- х х € х
стве X
max Дшах/ — наибольшее значение функции f на множествеX х
min Дт1п/ — наименьшее значение функции f на множестве X х
lim f(x) = a. f(x) а при х х0 — число а есть предел функции /(х) в точке х0
lim Дх) = а — число а есть предел функции Дх) по множе-
х € Е
ству Е в точке х0
696


lim/(x0 - 0), lim f(x) — предел слева функции f{x) в точ- X X q и
ке х0, х х0
lim/(x0 + 0), lim f{x) — предел справа функции f(x) в X ~> Xq + 0
точке Xq, X Xq
U(xq, е) —е-окрестность точки х0
(7(х0, е) — проколотая е-окрестность точки х0
(хо) — пересечение множества X с лучом х < х0
(*о) — пересечение множества X с лучом х > х0
f{x) = O(g(x)) при х х0 — функция f ограничена по сравнению с функцией g при х х0
f(x) X g(x) при х Xq — функция f имеет тот же порядок, что и функция g, при X Xq
f(x) ~ g(x) при х Xq — функции f и g эквивалентны (асимптотически раВНЫ) ПРИ X Xq
ос(х) = о(/(х)) при х Xq — функция а есть бесконечно малая по сравнению с функцией f при х х0
Дх — приращение аргумента функции у = Дх)
Дг/ — приращение функции функции у = Дх) f(x), у’, у'х,^ — производная функции у = f(x) f'+(x) — правая производная функции Дх) в точке х fL (х) — левая производная функции Дх) в точке х dy, df(x) — дифференциал функции у = Дх) f"(x), f^2\x), у" — вторая производная функции у = Дх) /п)(х), у{п} — производная п-го порядка функции у = Дх) dny — дифференциал п-го порядка функции у = Дх) r(t) — векторная функция
аЬ, (а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь а ХЬ, [а, Ь] — векторное произведение векторов а и Ъ
аЪ — угол между векторами а и Ъ
J Дх) dx — неопределенный интеграл от функции Дх) а
J Дх) dx — определенный интеграл от функции Дх) на отрез- ь
ке [а, 6]; несобственный интеграл по промежутку с концами аиЪ, < а < Ъ < +°°
\Ь Ъ
Ф(х) , [Ф(х)]д — разность Ф(й) - Ф(а)
mes G — мера (площадь, объем) открытого множества
697


Оглавление
Предисловие 3
Введение 7
Глава 1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Множества и функции. Логические символы 13
1.1. Множества. Операции над множествами 13
1.2*. Функции 16
1.3*. Конечные множества и натуральные числа.
Последовательности 22
1.4. Группировки элементов конечного множества 29
1.5. Логические символы 33
§ 2. Действительные числа 35
2.1. Свойства действительных чисел 35
2.2*. Свойства сложения и умножения 39
2.3*. Свойства упорядоченности 47
2.4*. Свойство непрерывности действительных чисел 51
2.5*. Сечения в множестве действительных чисел 52
2.6*. Рациональные степени действительных чисел 58
2.7. 	Формула бинома Ньютона 60
§ 3. Числовые множества 63
3.1. Расширенная числовая прямая 63
3.2. Промежутки действительных чисел. Окрестности 64
3.3. Ограниченные и неограниченные множества 68
3.4. Верхняя и нижняя грани числовых множеств 70
3.5*. Арифметические свойства верхних и нижних граней ... 75
3.6. Принцип Архимеда 78
3.7. Принцип вложенных отрезков 80
3.8*. Единственность непрерывного упорядоченного поля .... 85
§ 4. Предел числовой последовательности 92
4.1. Определение предела числовой последовательности 92
4.2. Единственность предела числовой последовательности . . . 100
4.3. Переход к пределу в неравенствах 101
4.4. Ограниченность сходящихся последовательностей 107
4.5. Монотонные последовательности 108
4.6. Теорема Больцано—Вейерштрасса 113
4.7. Критерий Коши сходимости последовательности 115
4.8. Бесконечно малые последовательности 118
698


4.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими
операциями над последовательностями 120
4.10. Изображение действительных чисел
бесконечными десятичными дробями 133
4.11*. Счетные и несчетные множества 141
4.12*. Верхний и нижний пределы последовательности 149
§ 5. Предел и непрерывность функций 153
5.1. Действительные функции 153
5.2. Способы задания функций 156
5.3. Элементарные функции и их классификация 160
5.4. Первое определение предела функции 162
5.5. Непрерывные функции 172
5.6. Условие существования предела функции 177
5.7. Второе определение предела функции 179
5.8. Предел функции по объединению множеств 184
5.9. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность... 185
5.10. Свойства пределов функций 189
5.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 194
5.12. Различные формы записи непрерывности
функции в точке 197
5.13. Классификация точек разрыва функции 202
5.14. Пределы монотонных функций 204
5.15. Критерий Коши существования предела функции 210
5.16. Предел и непрерывность композиции функций 212
§ 6. Свойства непрерывных функций на промежутках 216
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость
экстремальных значений 216
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций 218
6.3. Обратные функции 221
6.4. Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности .... 228
§ 7. Непрерывность элементарных функций 235
7.1. Многочлены и рациональные функции 235
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции . . 236
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции 246
7.4. Непрерывность элементарных функций 248
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 248
8.1. Некоторые замечательные пределы 248
8.2. Сравнение функций 253
8.3. Эквивалентные функции 264
8.4. Метод выделения главной части функции и его
применение к вычислению пределов 267
§ 9. Производная и дифференциал 271
9.1. Определение производной 271
9.2. Дифференциал функции 274
699


9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала . . . 280
9.4. Физический смысл производной и дифференциала 284
9.5. Правила вычисления производных, связанные
с арифметическими действиями над функциями 288
9.6. Производная обратной функции 291
9.7. Производная и дифференциал сложной функции 294
9.8. Гиперболические функции и их производные 301
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков 304
10.1. Производные высших порядков 304
10.2. Производные высших порядков суммы и произведения
функций 306
10.3. Производные высших порядков от сложных функций,
от обратных функций и от функций, заданных параметрически 308
10.4. Дифференциалы высших порядков 311
§11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 313
11.1. Теорема Ферма 313
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях . . 316
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 327
12.1. Неопределенности вида 328
оо
12.2. Неопределенности вида — 330
12.3. Обобщение правила Лопиталя 337
§ 13. Формула Тейлора 339
13.1. Вывод формулы Тейлора 339
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего
приближения функции в окрестности данной точки .... 344
13.3. Формулы Тейлора для основных элементарных
функций 347
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
(метод выделения главной части) 351
§ 14. Исследование поведения функций 353
14.1. Признак монотонности функции 353
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений
функции 356
14.3. Выпуклость и точки перегиба 365
14.4. Асимптоты 374
14.5. Построение графиков функций 377
§ 15. Векторная функция 387
15.1. Понятие предела и непрерывности для векторной
функции 387
15.2. Производная и дифференциал векторной функции 391
700


§ 16. Длина кривой 397
16.1. Понятие пути 397
16.2. Понятие кривой 401
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых.
Неявное задание кривых 408
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл
производной векторной функции 411
16.5. Длина кривой 415
16.6. Плоские кривые 423
16.7. Физический смысл производной векторной функции . . . 425
§17. Кривизна и кручение кривой 426
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная
составляющие скорости 426
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 430
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 434
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 436
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой .... 437
17.6. Эвольвента 444
17.7. Кручение пространственной кривой 447
17.8. Формулы Френе 448
17.9. Формулы для вычисления кручения 451
Глава 2 Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 18. Определения и свойства неопределенного интеграла 453
18.1. Первообразная и неопределенный интеграл 453
18.2. Основные свойства интеграла 456
18.3. Табличные интегралы 458
18.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) .... 461
18.5. Интегрирование по частям 464
18.6*. Обобщение понятия первообразной 467
§19. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах . . 473
19.1. Комплексные числа 473
19.2*. Формальная теория комплексных чисел 481
19.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных
чисел 482
19.4. Разложение многочленов на множители 486
19.5*. Наибольший общий делитель многочленов 490
19.6. Разложение правильных рациональных дробей
на элементарные 495
§ 20. Интегрирование рациональных дробей 503
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей. . . 503
20.2. Общий случай 506
20.3*. Метод Остроградского 508
701


§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей 514
21.1. Предварительные замечания 514
Лч Л тт г__г fax + Ь\Г1 {ах + Ь\Гч1 . „к
21.2. Интегралы вида J7? х, I сх + I > ••• » I сх + I \ах.... 515
21.3. Интегралы вида J/?(x, Jax2 + bx + с) dx.
Подстановки Эйлера 518
21.4. Интегралы от дифференциальных биномов 522
г Pn(x)dx
21.5. Интегралы вида J . = 524
>Jax + bx + с
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций .... 526
22.1. Интегралы виды J.R(sin х, cos х) dx 526
22.2. Интегралы вида Jsin/?7 х cosn х dx 528
22.3. Интегралы вида Jsin ах cos рх dx 530
22.4. Интегралы от трансцендентных функций,
вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям. . 530
22.5. Интегралы вида J/?(sh х, ch х) dx 532
22.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через
элементарные функции 532
§ 23. Определенный интеграл 533
23.1. Определение интеграла Римана 533
23.2*. Критерий Коши существования интеграла 539
23.3. Ограниченность интегрируемой функции 541
23.4. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний
интегралы Дарбу 543
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости . . 547
23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций . 548
23.7*. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана 551
23.8*. Колебания функций 556
23.9*. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона 563
23.10*. Критерий интегрируемости Лебега 566
§ 24. Свойства интегрируемых функций 570
24.1. Свойства определенного интеграла 570
24.2. Первая теорема о среднем значении для определенного
интеграла 583
§25. Определенный интеграл с переменными пределами интегрирования 587
25.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу
интегрирования 587
25.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования. Существование первообразной
у непрерывной функции 588
702


25.3. Формула Ньютона—Лейбница 591
25.4*. Существование обобщенной первообразной. Формула
Ньютона—Лейбница для обобщенной первообразной . . 592
§ 26. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям 596
26.1. Замена переменной 596
26.2. Интегрирование по частям 600
26.3*. Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла 603
26.4. Интегралы от векторных функций 606
§ 27. Мера плоских открытых множеств 608
27.1. Определение меры (площади) открытого множества .... 608
27.2. Свойства меры открытых множеств 612
§ 28. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 618
28.1. Вычисление площадей 618
28.2*. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского . . . 625
28.3. Объем тела вращения 630
28.4. Вычисление длины кривой 632
28.5. Площадь поверхности вращения 637
28.6. Работа силы 640
28.7. Вычисление статических моментов и координат центра
тяжести кривой 641
§ 29. Несобственные интегралы 644
29.1. Определение несобственных интегралов 644
29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных
интегралов 652
29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 657
29.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов . 665
29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы 666
29.6. Исследование сходимости интегралов 671
29.7. Асимптотическое поведение интегралов с переменными
пределами интегрирования 677
Предметно-именной указатель 685
Указатель основных обозначений 695
703