' ЛейбсонК. Л.
4 V \\-
•О	-л'' л 	,1
>• -.о	ху- лк.- А	, _.лл
*•’’.z'. <г ''	л"-
>• рх X «<\v'
Сборник
практических заданий
по математике


К. Л. Лейбсон
практических заданий
по математике
Часть 1
8 класс
Москва
Издательство МЦНМО
2010
УДК 51(075.3)
ББК В10я721-4
Л42
Лейбсон К. Л.
Л42 Сборник практических заданий по математике. Часть 1.
8 класс—М.: МЦНМО, 2010. — 182 с.
ISBN 978-5-94057-673-0
Сборник предназначен для использования в математических шко-
лач (классах) и включает в себя задания по алгебре и геометрии.
Книга содержит очерк об истории физико-математического лицея
К» 239 г. Санкт-Петербурга.
ББК В10я721-4
ISBN 978-5-94057-673-0
© Лейбсон К. Л., 2010.
© МЦНМО, 2010.
Оглавление
Краткая история Анненшуле-ФМЛ 239 ...................... 5
Предисловие...............................................17
Задания для повторения материала 7 класса................ 18
АЛГЕБРА
Глава 1. Числовые множества.............................23
§ 1.	Натуральные числа................................23
§ 2.	Целые числа......................................27
§3.	Рациональные числа ..............................31
§4.	Действительные числа.............................35
§ 5.	Модуль действительного числа.....................43
§ 6.	Множество R2.....................................55
Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1 . . . 66
Глава 2. Буквенные выражения............................73
§1.	Многочлены и рациональные выражения..............73
§ 2.	Квадратные корни.........,.......................84
§ 3.	Многочлены второй степени........................96
Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 2 . . .121
Образцы экзаменационных работ по алгебре за 8 класс....127
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 3. Многоугольники и их площади...................136
§ 1.	Треугольники....................................136
§2.	Многоугольники................................  139
§ 3.	Площадь многоугольника. Теорема Пифагора .......146
Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1 . . .153
Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии...156
§1.	Подобные треугольники...........................156
§ 2.	Основы тригонометрии............................161
§ 3.	Теоремы Чевы и Менелая..........................167
4
Оглавление
Глава 5. Векторы.........................................170
§1. Линейные операции над векторами....................170
Образцы вариантов контрольных работ по материалу глав 2 и 3 .175
Образцы экзаменационных работ по геометрии за 8 класс....178
Краткая история Анненшуле-ФМЛ 239
Вступление
В центре Санкт-Петербурга между двумя улицами — Фурштатской
и Кирочной, располагается физико-математический лицей №239. Он
является одним из выдающихся учебных заведений нашего города и
имеет богатую историю, как историю собственно 239-й школы г. Ленин-
града, так и историю того здания, в котором он размещается — одного
из знаменитейших не только в дореволюционном Санкт-Петербурге, но
и во всей России училища Святой Анны (Анненшуле).
Возраст лицея, а в прошлом школы №239, более 90 лет. Она бы-
ла организована в 1918 г. и первоначально располагалась в особняке
Лобановых-Ростовских, знаменитом «доме со львами»на углу Адми-
ралтейского проспекта и Исаакиевской площади.
Школа несколько раз меняла свой адрес и в 1975 г. вселилась в
здание по адресу Кирочная, 8 а, которое ранее было построено для
училища Св. Анны.
Исторический обзор училища Святой Анны
В Санкт-Петербурге с самого его основания было большое число
немецких жителей. Они селились в Немецкой слободе, размещавшейся
в районах, примыкающих к современному Литейному проспекту.
В 1720—1722 годах на окраине слободы была построена деревянная
лютеранская церковь, освященная 18 марта 1722 года. Ее первым на-
стоятелем стал Иоганн Леонард Шатнер. По своей инициативе Шатнер
стал обучать немецкой грамоте и Закону Божьему нескольких мальчи-
ков— детей прихожан. Вскоре популярность учителя возросла: многие
из прихожан захотели отдать учиться своих детей к пастору. Места
в церкви для занятий стало не хватать, поэтому Шатнер начал до-
биваться у общины согласия на постройку отдельного школьного зда-
ния. Помощь в этом деле ему оказал граф Яков Вилимович Брюс".
Это здание упомянуто в поэме А. С. Пушкина «Медный всадник»:
...Тогда, на площади Петровой,
Где дом в углу вознесся новый,
Где над возвышенным крыльцом
С подъятой лапой, как живые,
Стоят два льва сторожевые...
Я. В. Брюс (1670—1735) — генерал-фельдцейхмейстер, герой битвы при Лесной
и Полтавской битвы, сенатор, ученый, президент ряда коллегий, был одним из
образованнейших людей своего времени. Он занимался математикой, физикой, аст-
рономией, внес существенный вклад в развитие артиллерии.
Задания для повторения материала 7 класса
Найдите значения числовых выражений (1—7):
1.	а)13,75-14|:А+2±;	б) (з.б-Ц-З.б) : (1|-2^).
2.	а) (2,415:2,3-|.4§):(-1^)2;
б)4(24,5-^-1|:(2]^-2,1)).
3.	а) (2^-3^-11):(4,5-71-30,375);
б) (13-L - 43,452:3.б'): (3,15 -4^ .
1 \ 30	/ \ оО/
4.	a)(51-3,l-2i):(5g-3§)-0,25.11|;
6> (125 1355-13® 14^-2W)83'
5.	а) (з^ + 4^: (21 - 5^)) : (з,25: 5^ - 8^);
6) (7|-(8,5-lfll|-2j|j)) : (зЦ-бЦ).
в. а) (131,25 -85: (g)2),: (24 • g + 3|) -
б) (10,2-13,15): (5^7-^-11,6875-1^ :б4-
7.	a) jij - (з,7 -0,18 - 5| 0,18) : (1б|: ^) 100;
б> ((Д + Й -2й) ' (103'2 * 103?S)) : Н + 3-2:3’84)
Приведите одночлены к каноническому (стандартному) виду (8—10):
8.	а)	(2а2)3а5: (4а3)2;	б)	(За5Ь)2 : (2а3)Ь2.
9.	а)	(-а3Ь4)3(5а263): (-а2Ь3)5;	б)	(2а2Ь5)4: ((8а35)(|а52)
10.	а)	Г—1|а453с) :(ЗаЬ2)2(За35с)3;	б)	(-а362)5 : ((—0,5а2Ь)34а562).
Произведите действия над многочленами (11—15):
11.	(2а — Зге)(х2 — 1) + х(3з:2 - 2ах -I-1) — (а + 4i).
12.	(2а — х)2 — х(х — а) — 5а2.
13.	(х - 3)(2 — х) — (х + 2)2 - х2.
Задания для повторения материала 7 класса
19
14.	(х-а-Ь)(а- 6) -х(а -х) - (Ь — х).
15.	(а + х)(а - 1) - 2а(х - а) + х(1 - а)2 + а(1 - ах).
	Разложите многочлены	на множители (16—25):
16.	а) хв — 9;	б) 2х6 - 54.
17.	а) х3 + а6;	б) х4 - а2 — 1+ 2а.
18.	а) 4х6 — 64;	б) а4-62 + 46 —4.
19.	а) 2х5 - 16.x2;	б) х3 - х - ах2 + а.
20.	а) 2а4 - а3 — 2Ь2 + аЬ;	б) 8х5 - 8х3 + 2х.
21.	а) 2х4а — 16ах + 2х4 - 16х;	б) х15 — 16ха8.
22.	а) 4а2 — 2аЬ3 + ЗЬ4 - 9Ь2;	б) а2 - х4 + 4ах + 4х2
23.	а) а3х2 + х2 — а5х — а2х;	б) а3 + 6а2Ь2 + 9аЬ4.
24.	а) х4 + х2 — 2;	б) Зх2 + ах - 4а2.
25.	а) х10 — 8х;	б) х2 — 4а2х + 3а4.
Сократите дроби (26—30):
26.		а3 — 4а	б)	24(х3)2а2
	а)	6 — За ’		18х5а2
27.	а)	х3 + 8		4а3 — ab2
		2х2- 8’	б)	8а3 + 53
28.		ха2 — а3	б)	а4 — 2а2 х + х2
	а)	а2 — х2 ’		2ах — 2а3
29.	а)	Ь2 — х4	б)	16 - 2х3
		х3 — Ь2 + х2Ь — Ьх ’		х2 — 4х + 4 ’
30.		х2 — 2х — 3	б)	8х2 - 2а2
	а)	27 —х3 ’		а2 — ах — 2х2 ‘
Упростите выражения (31—42):
...	/	3 —х3\	1+х2
dl. (Х + 1+a.2jx2+6a. + 9-
„„	5а - 6	а а	10 — За
а + 2	а	+ 2 : а2 - 4 +	а + 2 ’
чч	f д + 4	_	1 А £±1	। 2
'*•	кЗх + З	х + 1Л 3	х2-Г
34.	( 2		
	ка-2	а2-4 ‘ а + 2Г“	
	2т	2	/ т + 1	1
оЭ.	т2 — 4	т2 —4 ‘ \2т — 2	т — 1) '
20
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Задания для повторения материала 7 класса
/	2 а X 4 4- а2 2
\(а-2)2 “ 4 —а2/ : 4 - а2 + а-2’
/ 20х	5 — хХ 5 4-х _ 5
\ 25 — х2 5 + xJ' 5	5 — х'
8 — п3 . (п, п2 X _ п2 4 — п2
24-п ’ \	2 + nJ п — 2 п2 + 2п‘
1	х 4-1/ 2	1 X
х — 2 х 4- 2 \ х2 — 1	1 — х /
( а2 — ах а2х — ах2 — а3 х2 — а2
\ х2 — 2ах + а2 х3 + а3 )	2
(4х — З)2 4- 24х	4 - 4х2 4х2 - 4х
8х2 4- 6х	2х 4- 2	3
/ 2x4-3	. 4х2 — 9	1 X .
\х2-6x4-9 ‘ 9-х2 Г 2x-3j [	>'
Путь от А до В пешеход проходит за 2 ч. Если он увеличит ско-
рость на 2 км/ч, то уже за 1,8 ч он пройдет расстояние на 3 км
больше, чем расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В.
Поезд за 6 ч 20 мин проходит расстояние на 121,5 км меньше, чем
он прошел бы за 7 ч 45 мин при увеличении скорости на 8 км/ч.
Найдите первоначальную скорость поезда.
Имеются два сплава золота с серебром, в одном количество этих
металлов находится в отношении 2:3, в другом — в отношении 3:7.
Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового
сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
Двое рабочих различной квалификации получили за работу 4360 р.
Первый работал 30 дней, второй — 28 дней. Сколько рублей задень
причитается первому рабочему, если он за 8 дней получил на 220 р.
больше, чем второй рабочий за 6 дней?
В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше
жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем
во втором. Сколько жителей во втором поселке?
Масса состава пассажирского поезда, состоящего из локомотива
и 15 одинаковых вагонов, равна 370,5 т. Найдите массу вагона,
если масса локомотива меньше массы четырех вагонов на 13,3 т.
Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Еже-
дневно перевыполняя норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы
не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх
плана. Сколько деталей изготовила бригада?
В одном сплаве массы золота и серебра относятся как 1:2, а в дру-
гом как 2:3. Какова должна быть масса каждого сплава, чтобы
Задания для повторения материала 7 класса
21
после совместной переплавки получить 95 г нового сплава, содер-
жащего 7 частей золота и 12 частей серебра?
51.	За 3 м ткани одного вида и 3 м ткани другого вида заплатили
300 р. Сколько стоит 1 м ткани каждого вида, если 9 лс ткани
первого вида стоят столько же, сколько 6 м ткани второго вида?
52.	Скорость течения реки составляет 5% от собственной скорости
моторной лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 ч проходит
на 40 тем меньше, чем за 3 ч 40 мин движения по течению. Найдите
скорость движения лодки против течения.
53.	За 3 тетради и 5 карандашей было уплачено 13 р., а за 5 таких
же тетрадей и 8 карандашей уплатили 21 р. 60 к. Сколько процен-
тов составляет стоимость одного карандаша от стоимости одной
тетради?
54.	По течению реки катер прошел за 7 ч столько же километров,
сколько он проходит за 8 ч против течения. Собственная скорость
катера 30 км/ч. Найдите скорость течения реки.
55.	Сумма двух чисел равна 400. Если первое число уменьшить на 20%,
а второе — на 15%, то сумма уменьшится на 68. Найдите значения
этих чисел после их уменьшения.
56.	Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3,
а другая — в отношении 3:7. По сколько ведер нужно взять из
каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой массы
спирта и воды были бы в отношении 3:5.
57.	а) Длина отрезка CD равна 3 дм 5 см. Точка К этого отрезка
выбрана так, что |KZ>|: |КС| = 2:3. Найдите |С’7<|.
б)	Та же задача, но с условием, что точка К выбрана на пря-
мой CD.
58.	Периметр треугольника АВС равен 2 дм 2 см. Известно, что |ЛВ|
на 2 см больше |ВС| и на 3 см меньше |ЛС|. Найдите |ВС|: |ЛС|.
59.	Периметр равнобедренного треугольника равен 4 дм 5 см и одна
из его сторон на 1 дм 5 см меньше другой. Найдите длины сторон
данного треугольника.
60.	В треугольнике АВС |АВ{ = 7 и |ЛС| = 4. Какие натуральные
значения может принимать длина ВС?
61.	Периметр треугольника АВС равен 25. Известно, что |ВС\: | АВ| =
= 1:2 и |ДС| на 1 больше |ВС|. Найдите длины сторон данного
треугольника.
62.	Периметр равнобедренного треугольника равен 26 и одна из сторон
на 5 больше другой. Найдите длины сторон данного треугольника.
22
Задания для повторения материала 7 класса
63.	Меры смежных углов относятся как 2:3. Найдите разность между
большей и меньшей из указанных мер.
64.	Расстояние между прямыми р и а равно 5; расстояние между пря-
мыми р и b равно 3. Найдите расстояние между прямыми а и Ь.
65.	Найдите расстояние между окружностями с центрами в точках 01
и О2 и радиусами 2 и 3 соответственно, если |О]О2| — 11.
66.	Дана окружность с центром О и радиусом 3 и дана такая точка
М, что |ОЛ/| = 7. Найдите множество возможных значений для
|АЛ/|, где Леи.
АЛГЕБРА
Глава 1
Числовые множества
§ 1.	Натуральные числа
Докажите следующие равенства при любом натуральном п методом
математической индукции (1—5):
1.	2 + 5 + 8 + ... + (Зп —1) = 1,5п2 + 0,5п.
2.	1 + 5 + 9 + ... + (4n +1) = 2п2 + 3n+ 1.
3	X + J_+	+_А_____
1 • 2 + 2 • 3 +	+ n(n + 1) — n + 1 ‘
4.	2 + 2  3 + 2 • 32+... + 2 • 3n = 3n+1 -1.
5-	Е (3fc+ 1) = 1,5п2 + 2,5п.
к=1
6.	Докажите, что при любом п € No выполняется равенство
п
_________1________п +1
2- (7fc + 5)(7А: + 12) “ 5(7п+12)‘
7.	Докажите, что при любом натуральном 2 выполняется равен-
ство
\	4 / \	9/	\ п2 J 2п
8.	Найдите канонические представления следующих чисел и укажите
число натуральных делителей: а) 2244; б) 4095; в) 1288; г) 30723.
9.	Среди чисел 749, 971, 1037, 1357 определите простые и составные.
10.	Найдите все натуральные числа п. удовлетворяющие условиям:
(п < 50) A (d(n) = 6).
Н. Найдите все натуральные числа п, удовлетворяющие условиям
(п е [120; 150)) A (d(n) = 12).
12-	Найдите все нечетные натуральные числа п вида 1 * *, для которых
d(n) =4. В ответе запишите эти числа в порядке возрастания.
24
Глава 1. Числовые множества
	Решите в натуральных числах уравнения (13—24):
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.	а) (х + у)(2х-у) = 20;	б)	5я:4-7у = 41. а) ху 4- 2х + Зу = 84;	б)	у2 - 2у = х~ 4- б.т 4- 32. а) ху + 3х + 5у = 65;	б)	х2 = у2 + 2у +13. а) х2 4- 2ху + Зя; 4-бу = 12;	б)	2ху — х4-3у = 21. а.) ху = 4 + х+2у;	б)	7x4- Пу = 43. а) Зху 4- 5т = Зу 4- 29;	б)	б.ту 4- 4х = 29 4- 5у. а) 2ху 4- 2у 4- х = 9;	б)	у2 4- у = 24 4- х2 4- х. а) Зя2 + ху4-у = 21;	б)	х2 — 9у2 4-2т-бу = 48. а) а;2 4- 2ху = Зу2 4- 33;	б)	14а: 4- 21у = 205. а) 4а:2 4- Зху - у2 = 21;	б)	х 4- ху2 4- 2у = 59. а) х2у 4- ху 4- 2х = 70;	б) 7а: 4- Зу = 77. а) За: 4- 5у 4- 7г = 44;	б) 22а: 4- ЗЗу 4- 2z = 99. Решите в натуральных числах системы уравнений (25—27):
25.	(х3 4- 2ху 4- у2 = 29,	.. (2zy + у2 4-х = 9, а) <	б) < [а;у4-5х4-2у = 22;	^z 4-ту 4-2а: = 5.
26.	Гт2 4- xz 4- у = 5,	Г7т 4-14у 4-3z = 56, |Зт 4-5у 4-z=15;	|т2-y24-4z = 25.
27.	, Гх2 4- Зт = 30 4- 4у2 4- бу,	(ху 4- yz 4- z2 = 34, [т2 4-у24-т = 31;	j^TZ 4- z2 = 5 4- ту 4- zy.
28.	Куплено несколько тетрадей по 1 р. 10 к. и несколько тетрадей по 2 р. 40 к. Всего было уплачено 22 р. 50 к. Сколько тетрадей было куплено?
29.	Найдите количество членов туристической группы, если общая масса груза, которую они несли, составляет 309 кг, причем жен- щины и дети несли по 17 кг, а мужчины — по 32 кг.
30.	В классе 30 человек. Несколько человек из них, зайдя в канце- лярский магазин, купили по 8 тетрадей, несколько купили по 12 тетрадей, а остальные купили по 15 тетрадей. Всего было куплено 318 тетрадей. Сколько человек купили по 8 тетрадей, если извест- но, что их было меньше половины класса?
Найдите натуральные числа, удовлетворяющие таким условиям
(31—42):
31.	a>b; ab= 192; D(a,b) = 4.
§ 1. Натуральные числа
25
32.	а = 2 * *; £>(24, а) = 6; £>(27, а) = 9.
33.	£>(а, 6)=6; аб 4-6 = 390; £>(5а, 6) = 30.
34.	D(a, b, с) —18; ab + ас + Ьс = 23976; ab+ 18а 4-366 = 11016.
35.	D(a, b, с) = 4; abc = 49280; ab 4- 12а 4- 46 = 336.
36.	а6 = 375; К'(а, 6) = 75; а 4-26 = 65.
37.	АГ(а, 6, с) = 180; 6 4-с = За; £>(6, с) = 6; £>(а, 6) = 2.
38.	А’(а, 6, с) = 60; К {а, 6) = 12; £>(6, с) = 4; а 4-6 4-с =38.
39.	/<(а, 6, с) = 168; 7<(а, с) = 56; А'(а, 6) = 24; £>(6, с) = 2; За = 46.
40.	£>(а, с) = 4; £>(6, с) = 6; /<(а, 6) = 60; с 4-24 = За.
41.	D(a, 6, с) = 4; К {а, с) = 84; К (а, 6) = 48; </(с) = 6.
42.	/<(а, 6, с) = 120; £>(6, с) = 3; а6 = 3(с4-1); d(6)=4.
	Найдите (43—49):
43. а) £>(84, 616);	б) £>(945, 1638, 3969).
44. а) £>(1309, 4301);	б) £1(7920, 7128).
45. а) £>(191165, 561769);	б) £>(35711, 54203, 136479)
46. а) £>(11033, 37961);	б) £>(20387, 22591, 22059).
47. а) Я(27, 48, 84);	б) А"(24, 28, 99).
48. а) А7(6, 8, 28, 33);	б) А(22, 24, 81, 90).
49. а) /<(8, 12, 20, 25);	б) /<(12, 16, 40, 81).
Найдите количество общих натуральных делителей данных чисел
(50—52):
50.	а)	504, 756;	б)	924, 1782.
51.	а)	2484, 3996;	б)	2352, 6552.
52.	а)	10800, 11880, 567000;	б)	2379, 4173,	10647.
53.	Укажите все натуральные числа вида 7 * ♦, кратные	12 и 18.
54.	Укажите все натуральные числа вида 5 * *, кратные или 16, или 24.
55.	Укажите все натуральные числа, кратные 8 и 12 и при этом явля-
ющиеся делителями числа 264.
56.	Укажите все натуральные числа, кратные 18 и 24 и при этом
являющиеся делителями числа 11088.
57.	Найдите:
a) d(615 - 217);	б) d(6n • 87 • 145).
26
Глава 1. Числовые множества
58.	Найдите показатель а (а € N) в числовом выражении 6“ • 267, если
известно, что d(6“  267) = 2944.
59.	Докажите, что квадрат любого натурального числа при делении
на 7 не дает остаток, равный 5.
60.	Докажите, что для любого натурального п число п3 — п кратно 6.
61.	Докажите, что при делении n2 + n +1 (п 6 N) на 3 остаток не может
быть равен 2.
62.	Докажите, что произведение четырех последовательных нату-
ральных чисел делится без остатка на 24.
63.	Докажите, что сумма квадратов двух последовательных нату-
ральных чисел при делении на 4 дает в остатке 1.
64.	Докажите, что квадрат любого нечетного натурального числа при
делении на 8 дает остаток 1.
65.	Докажите, что при делении п2 — п + 1 (n € N) на 5 остаток не может
быть равен 4.
66.	Укажите все возможные остатки при делении чисел вида п2 + Зп,
где п € N, на 7.
67.	Найдите все простые числа р, для которых числа р +10 и р + 14
также простые.
68.	Докажите, что не существует простого числа р, для которого числа
р + 5 и р + 10 простые.
69.	Докажите, что для любого натурального п, где п > 3, хотя бы одно
из чисел п, п+ 2, п + 4 не будет простым.
70.	Найдите все простые числа р, для которых числа 2р2 + 3 и Зр2 + 8
также простые.
71.	Докажите, что при любом натуральном п хотя бы одно из чисел
2п + 3 и 5n2 + 1 — составное.
Запишите данные натуральные числа в системе с основанием р
(72—73):
72.	а) 255;р = 7;	б) 389; р = 5.
73.	а)517;р = 3;	б) 7019; р = 8.
74.	Запишите данные числа в десятичной системе:
a) 3051(ej;	б) 2304(7);	в) 5012(8).
Запишите данные числа в системе с основанием р (75—76):
75.	а) 2101(3); р = 5;	б) 432(5); р= 2.
§2. Целые числа
27
76.	а) 3810(h); р = 8;
у7. Найдите х из равенства:
а) 37(6) =3057(8);
б) 5121(15); р = 7.
б) Х(5) = 20112(з).
Найдите основание системы счисления, в которой выполняются
равенства (78—79):
78.	а) 35 • 21 = 1215;	б) 23  42 = 2121.
79.	а) 102-23 = 2350;	6) 324-23 = 11115.
80.	Найдите трехзначное число, если известно, что при делении числа,
записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на искомое
число в частном получится 3, а в остатке 21.
81.	В двузначном числе цифра единиц на два больше цифры десятков.
Сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но
в обратном порядке, равна 132. Найдите исходное число.
82.	В каком году родились люди, которым в 1969 году исполнилось
столько лет, какова сумма цифр их года рождения?
83.	Найдите натуральное число п, если п  5, d(n) = 10 и п = abc^.
84.	Найдите натуральные числа тип, если D(m, п) — 8; 2тп + п = 80
и тп + п в системе с основанием 4 является трехзначным числом.
§ 2. Целые числа
Определите частное и остаток от деления п на т (85—87):
85.	а) п = —673; тп = 14;	б)п	=	-2047; т = 1б.
86.	а) п = -20157; т = 23;	б) п = -83203; т = 15.
87.	а)п=—1387; тп=17;	б) п = -2153; т = 19.
88.	Пусть q и г — частное и остаток от деления —5017 на 21. Найдите
остаток от деления 13? — 5т на 23.
Найдите количество целых делителей числа п (89—91):
89.	а)	п = 1836;	б)п = -10527;	в)	п = 37-(-13)-59.
90.	а)	п = 27 — 2009;	б) п = (211 - 5 • 17) • 2457;	в)п = 53-173.
91.	а)	257488:209;	б) 240 - 8316:27;	в)	п = 31031(5).
Найдите количество общих целых делителей данных чисел (92—93):
92.	а)	1008; -1232; б) -612; -2601;	в)	168; -254; -744.
93.	а)	1240(5); 1015(8); б) 1311(4); 12222(3);	в)	540(9); 12830(9).
28
Глава 1. Числовые множества
Решите уравнения в целых числах (94—99):
94.	а) ху + 2х — Зу = 0;	б) 2ху — Зх+ 2г/ = 2.
95.	а) у2 + 4г/ = х2 — 2х + 2;	б) х2 + ху + у = Ют.
96.	а) х2 + Зху + 2у2 + х + 2у = 3;	б) х2 + ху — 2у2 + 2х + 4г/ = 2.
97.	а) 4т2 + 4х = 9у2 + 15;	б) 2г/2 -Зху + у = 9.
98.	а) Зху + 2х + 1 = 4г/;	б) х2 -Зт = г/2+ 12.
99.	а) х2 + 5х + 12 = г/2;	б) х2 + 4л; = 4г/2 + у +1.
	Решите системы уравнений в целых числах (100—101):	
100.	. xz + yz = 4, а)	\ xy + y + xz + z = 6, о)
	x + 2y + z = 9\	ху — 2х + zy -2z = 8.
	. f 2г2 + zy= 14,	(х2+х = у2 + 2,
101.	а) <	б) <
	xz - у = 1;	[2xz- у = 4.
Верно ли данное сравнение? (102—104)
102.	а) 231 = -17 (mod 17);	б)-539 s-42 (mod 7).
103.	а) 12307 = 7589(mod 13);	б) 2435 =-583(mod42).
104.	а) 213-5309 s-З7 (mod 11);
б)	8903:29 = 137 - (-2)7 (mod 13).
Найдите наименьшее трехзначное число х, удовлетворяющее
сравнению (105—106):
105.	a) i = 17(mod 31);	б) х = 31 (mod 17).
106.	а) я; = 23(mod 19);	б) х = 47(mod 52).
Найдите наибольшее трехзначное число х, удовлетворяющее
сравнению (107—108):
107.	а) я; = 19 (mod 42);	б) х = 42 (mod 19).
108.	а) х = -11 (mod 57);	б) х = 7100 (mod 11).
109.	Найдите наименьшее четырехзначное число, которое при делении
на 23 дает остаток 17.
110.	Найдите наибольшее четырехзначное число, которое при делении
на 37 дает остаток 15.
Найдите возможные остатки от деления целых чисел указанного вида
(n € Z) на число к (111—113):
111.	а)3п2 + п- 2; fc = 4;	б)п2-Зп-5; к = 5.
§ 2. Целые числа
29
ц2- а)2п2 + 5п —17; А: = 5;	б) 5п2 — п — 2; к = ‘3.
ЦЗ. а) п3 — 2п2-5; к = 7\	б) (n2 + 3n)(n2-n —1); fc = ll.
ц4. Найдите последнюю цифру числа:
а) 1310 + 2-1110; б) 179-23-27-315; в) 3-7н-13-29+8.
ц5. Найдите остаток от деления:
а) —23715 на 8;	б) 37115 - 2 • 3510 на 3.
цб. Какими двумя цифрами оканчивается десятичная запись числа
2713й —3087?
117.	Какими двумя цифрами оканчивается десятичная запись числа
(13093 • 4 + 86)20?
118.	Найдите остаток от деления на 7 числа
п = ю10 + ю102 + ю103 +... + io10° + ю101°.
119.	Найдите остаток от деления:
а) 78'5 на 11;	б) З11"' на 7;	в) 217” на 5.
120.	Найдите остаток от деления:
а) 810‘117 на 17;	б) Э10”*2 - 591и“ на 13.
Решите сравнения (121—123):
121.	а)	За:+ 7 = 0 (mod 11);	б) 4х - 3 = 2 - х (mod 13).
122.	а)	7т + 5 = 0(mod 12);	б) 5х- 1 = х-4 (mod 18).
123.	а)	6.т — 15 = 0 (mod 21);	б) 15т — 3 = 3(1 — х) (mod 24).
124.	Найдите наименьшее трехзначное число х, которое удовлетворяет
сравнению За: + 1 = 0 (mod 14).
125.	Найдите наибольшее трехзначное число х, которое удовлетворяет
сравнению 5х = 7 (mod 13).
126.	Найдите наибольшее целое отрицательное число х, которое удо-
влетворяет сравнению Пт = 2 (mod 15).
127.	Найдите все целые числа х, которые заключены между —300
и —100 и удовлетворяют сравнению 17а; = —4 (mod 77).
Решите системы сравнений (128—130):
128.
129.
{х = 5 (mod 8),
х = 3(mod 7)
(Зх + 5 = 0 (mod 28),
[4а: = 14 (mod 6)
(2х = 1 (mod 5),
За: = 2 (mod 11).
б)
6a: = 3(mod 15),
20а: + 15 = 0 (mod 35).
30
Глава 1. Числовые множества
9х+15 = 0 (mod 21),
8х= 6 (mod 14)
{25ts —5 (mod 55),
7x = 3 (mod 33).
131.	Найдите все трехзначные числа, удовлетворяющие системе срав-
нений:
4тsi (mod 9); 2® = 3 (mod 5); 5a: = l(mod7).
132.	Найдите наименьшее трехзначное число, которое при делении на
4 дает остаток 3, а при делении на 11 — остаток 9.
133.	Найдите наименьшее четырехзначное число, которое при делении
на 17 дает остаток 2, а при делении на 5 дает остаток 3.
134.	Найдите наибольшее трехзначное число, которое при делении на
13 дает остаток 7 и делится на 11 без остатка.
135.	Найдите наименьшее четырехзначное число, которое делится на
13 без остатка, а при делении на 9 остаток равен 7.
136.	Найдите наибольшее трехзначное число, которое при делении на
12 и 18 дает соответственно остатки 5 и 11.
137.	Найдите четырехзначное число, которое при делении на 131 даеа
остаток 112, а при делении на 132 — остаток 98.
138.	Натуральное число п при делении на 1981 дало в остатке 35 и при
делении на 1982 оно также дало остаток 35. Каков остаток от
деления п на 14?
139.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на
3 дает остаток 2, при делении на 5 — остаток 1, при делении на
7 — остаток 5.
140.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении не
3 дает остаток 1, при делении на 4 — остаток 2, при делении на
5 — остаток 3, при делении на 6 — остаток 4.
141.	Найдите наибольшее целое отрицательное число, которое при де-
лении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 — остаток 1, при
делении на 5 — остаток 3.
142.	Найдите наименьшее число, принадлежащее множеству
{5fc - 11 к е Z} П {7к + 3 | к € Z} Г) {к | (к G Z) Л (к > -100)}.
143.	Найдите наибольшее число, принадлежащее множеству
{8к + 31 к € Z} Л {6к + 5 | к G Z} Л {к | (fc 6 Z) Л (к $ -150)}.
144.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству
{6k + 51 к G Z} П {9к - 11 к € Z} Л {к | (Л € Z) Л (-35 < к 80)}.
§3. Рациональные числа
31
Найдите (145—146):
145.	a) {5n + 2|nGZ}n{lln + 3|nGZ};
б)	{5п + 3 | п G Z}П {7п + 5 | nGZ}.
146.	a) {4rt + 11 п 6 Z} Г) {6п - 1| п G Z};
б)	{8п — 3 | п G Z) Г) {Збп — 71 п G Z}.
147.	Найдите такую цифру х, чтобы число 573x2 было кратно 6.
148.	Найдите такую цифру х, чтобы число 890x52 было кратно 72.
149.	Найдите такую цифру х, чтобы число 367x5 было кратно 75.
150.	Найдите такие цифры х и у, чтобы число 2х35у было кратно 88.
151.	Найдите такие цифры х и у, чтобы число 5хЗу было кратно 45.
152.	Найдите такие цифры х и у, чтобы число 7х37у при делении на 4
давало остаток 3, а при делении на 11 — остаток 7.
153.	Найдите такие цифры х и у, чтобы число —Зх01у при делении на
45 давало остаток 37.
154.	Найдите такие цифры х и у, чтобы число —15х37р при делении
на 11 давало остаток 6, а при делении на 8 — остаток 4.
155.	Докажите, что если п — нечетное натуральное число, то 46п +
+ 296 • 13п делится на 1947.
156.	Докажите, что число 271958 — 108878 + 10152s кратно 26460.
157.	Найдите: а) D(21986 — 1; 21983 — 1); б) £)(3115 - 1; З113 + 6).
158.	Докажите, что квадрат любого простого числа р, где р> 3, при
делении на 12 дает в остатке 1.
159.	Для каких простых чисел р число р3 +р2 4- Пр+ 2 является про-
стым?
160.	Для каких простых чисел р число р4 — 5р2 + 9 является простым?
161.	Найдите натуральное число п, удовлетворяющее следующим усло-
виям: а) в системе с основанием 5 число п является пятизначным;
б) п — простое число; в) 11п = 5 (mod 17); г) Зп= 14(mod 23).
§ 3. Рациональные числа
Найдите значения числовых выражений (162—164):
1б2 (13|-2£-Ю|)-230^ + 4б|
(1| + 3|): (121-142)
32
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
Глава 1. Числовые множества
4,5: (47,375 - (261 - 18  0,7б)  2,4 :0,88)
17,81:1,37-23|:1|
'	о о
- (2^~ 1) : t	(0,3-а) з|:0,05:12|
(1,9-0,21: (4,2-3|)): (1,3:3^) + (1Ц+2,12) (0,1 + ^) ’
тт и	0,5362 — 0,4642
Найдите число, если 40% его равны
0,0 — 7,z  z,4 + z/V
Что меньше: А или В и во сколько раз, если
А = (0,8 • 7 + 0,82) (1,25 • 7 - | • 1,2б) + 31,64;
_	(11,81+8,19)-0,02
В~ 9:11,25
Что больше: А или В и во сколько раз, если
Л = (9 • 0,08 + 0,7 • 0,08) (э • 12,5 - 0,7  12 j) + 9,49;
В = ((1,09 — 0,29) -1|) : ((18,9 - 1б||) |)?
Расположите данные числа в порядке возрастания:
9	1Q	9
а)	-34; -3,15;	-2,99; -3^;
'11	о	У
1 ггс.	9 .	5	п	7.	123.	9
б)	1,75,	13,	7,	0,7,	1зд,	и.
Расположите данные числа в порядке убывания:
,	, „	10	.5	.5	22
а)	1,6,	7,	1п,	114,	15,
б)	-|; -0,35; 0,15; -^; |.
Расположите данные числа в порядке убывания их модулей:
а)-2,45; 2^;	2,8; -2^;
10.	rl И 7	„11	. ,	„2
б) 3,	56, 412; 3)8,	4,5,	3?.
Расположите значения данных выражений в порядке возрастали!
их модулей:
« = 4-6»	е = 3,5:21-з|.
Запишите в виде десятичных дробей:
,_7_. _„J_. 39	3 _3_
°1Г 216; 110’ Х7; 40’
Запишите данные числа с помощью правильных несократимых
рациональных дробей:
-2,(51); 0,73(5); 1,2(3); -0,01(72).
Расположите в порядке возрастания числа:
у|; 2,15; 2,1(53); 2,2(3); 2^.
§3. Рациональные числа
33
176.
расположите в порядке убывания числа:
14	7
-1,(27); -1,2(7);	-1^; -1,2(765).
Сколько процентов составляет число а = 2,7(6) — хтх от числа
о	Z1U
6=1у-5,(3)?
Найдите значения числовых выражений (177—179):
177. а) +0,(12)) : 0,1(3);	б) 0,(27): (2,3(8) - 1|).
а)0,4(3) + 0,в(2).21-1^:§;
б) 2| - 3,4(12) - 1,(3) + | (3,7: ?| + 0,5 - з|).
0,8(5)+0,17(1)	0,8(3)+ 0,1(6)
1791 0,8(5) - 0,17(1) + 0,8(3) - 0,1(6) ’
180.	Найдите цифры а и b в десятичной дроби вида 0,а(5), если извест-
2к
но, что она равна несократимой дроби вида - р где к € N.
181.	Найдите цифры а, Ь, с в десятичной дроби вида 0,(а6с), если из-
вестно, что она равна несократимой дроби вида Д-, где к G N,
и а + Ь + с= 11.
182.	Найдите число вида 0,(аЬ), если оно равно несократимой дроби
2k	м
вида 5fc_2, где к € N.
183.	Найдите число вида 0,а5(с), если оно равно несократимой дроби
вида \, где к € N, и а + Ь + с = 13.
11ЛС + о
184.	Найдите рациональную дробь вида (т G Z; п G N), если
т + п = -20 и при вычитании из числителя и знаменателя числа
5 получится дробь, равная —1,6.
185.	Найдите рациональную положительную дробь вида если она
равна 2,4(6) и при добавлении к числителю и знаменателю числа
7 получится дробь, равная 2,(189).
186.	Найдите рациональную положительную дробь вида если
/<(т;п) = 196 и при добавлении к числителю и знаменателю
единицы получится дробь, равная 0,58.
187.	При каких натуральных п дробь является сократимой?
3W 397
34
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
Глава 1. Числовые множества
Найдите наибольшее трехзначное число п, для которого дроб]
11п + 2 с
-=——5- будет сократимой.
Докажите, что рациональная дробь при любом натураль-
ном п является несократимой.
Найдите наименьшее четырехзначное число п, для которого ра-
8п — 1
циональная дробь 7п + 9 является сократимой.
р.	— Зп 4- 2	—
При каких натуральных п дробь + п + ; является сократимой?
Найдите наибольшее трехзначное число п, для которого рацио-
_ 7п - 2
нальная дробь 2д2 _|_ п + 3 является сократимой.
Найдите наименьшее пятизначное число п, для которого рацио-
с п2 - п +1
нальная дробь + 2n +1 является сократимой.
Имеется два сплава меди с оловом. В одном из них массы указан-
ных элементов относятся как 3 : 7, в другом — как 3 :2. Сколько
граммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 60 г нового
сплава, в котором массы меди и олова равны?
Имеется сплав меди с оловом, в котором массы этих элементов
относятся как 2:3. Если к этому сплаву добавить 10 г меди, то
в новом сплаве отношение масс указанных элементов будет равно
8:7. Найдите первоначальную массу сплава.
Сплавив два одинаковых по весу куска чугуна с разным содер-
жанием хрома, получили сплав, в котором содержалось 12 кг
хрома. Если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в сплаве
содержалось бы 16 кг хрома. Известно, что содержание хрома
в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Найдите процентное
содержание хрома в каждом куске чугуна.
Имеется сплав меди с оловом. После добавления к нему 8 г меди их
массы относятся как 5:4, а после добавления 8 г олова — как 1:2.
Найдите первоначальную массу сплава и отношение масс меди
и олова.
Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание
золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем во втором. Если
сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором бу-
дет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее
второго, если известно, что при сплавке равных по весу частей
первого и второго слитков получается слиток, в котором содер-
жится 35% золота.
§4. Действительные числа
35
^дЭ. 40 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде
чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом. Если во
второй сосуд добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет
в два раза больше, чем в первом сосуде. Найдите вес раствора,
находящегося в первом сосуде.
200.	Имеется три слитка. Первый слиток весит 5 кг, второй — 3 кг
и каждый из этих слитков содержит 30% меди. Если первый
слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий
56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится
слиток, содержащий 60% меди. Найдите вес третьего слитка и
процентное содержание меди в нем.
201.	Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кисло-
ты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится
раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные веса
этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?
202.	Из колбы в пробирку отлили | раствора соли. Раствор в пробирке
выпаривали, пока процентное содержание соли в нем не увеличи-
лось в два раза. Получившийся раствор снова перелили в кол-
бу, что увеличило процентное содержание соли в находившемся
в колбе растворе на 2%. Какое процентное содержание соли было
в растворе первоначально?
§ 4. Действительные числа
203.	Расположите в порядке возрастания следующие числа:
а) 3,(3); Зд; 3,36; 3,351...; 3,(36); Зу;
б)-1,257...; -1|; -1,2(5); -1,(25); -1,261...; -1,(5).
204.	Расположите в порядке убывания следующие числа:
а) 2,17; 2|; 2,203...; 2,(16); 2,184...; 2^;
б)-2,03; 0,95; -1,(7); -2,027...; -2,1(8); -1,73.
205.	Расположите в порядке возрастания модулей следующие числа:
а)-5,741...; 2у; -2,41...; -2,(3); 3,82...; 2,(45);
6)1^-; -1,(4); -1,428...; -2,93; з|; -1,(43).
206.	Даны множества: Л = [—5; 2,5]; В = (—оо; 1). Найдите: А Г1 В;
ЛиВ; Л\В; В\Л.
36	Глава 1. Числовые множества
207.	Даны множества: А= (-2^; 1,(7)); В = (0: 5). Найдите: A U В
AON;AnB;B\A.	7
208.	Даны множества: А = (-3; 4); В = (-1: +оо). Найдите: А П В
AUB; AQBCiN; А\В; В\А; АПВС\1.
209.	Найдите значение числового выражения:
а) (2,5)-1 - 3,1(6): 1,58(3); б) (З"1 - (1.5)-1)"1  0,(6).
210.	Упростите следующие выражения:
а) (я-1 - у-1): (ху'1 - ух-1); б) х2у + ((ад/)2-4): (2х-1-у).
Решите уравнения (211—213):
211.	а)	х4 —4х2;	б) х — 1 = 2.т2 — 2х.
212.	а)	За: — х2 „ х2—9 -U’	X2- 1 б)3 + Зх-°-
213.	а)	х2 + Зх + 2 _ х2 — 1	~U’	х3 -4х	- °’ х2 + 3х—10 —и’
Решите уравнения с параметром (214—215):
214.	а) а(х — 2) = 2х — 1;	б) а(ах+ 1) = .т+ 1.
215.	а) ах + 2 = а(1 — х);	б) а2х + 1 = х + а.
216.	Докажите, что при aGR выполняется неравенство:
\	1	1	Л	л-\	1	3	Л
а) т—о-----г > 0;	б) Z-----«—К- < о.
' а — 2 а — 1	' 1 — а 3 — 2а
217.	Докажите, что при а Е R выполняется неравенство:
а) 1 + (За+4)2 > (3+2а)(5+4а);	б) а(3—а) ^4-а.
218.	Докажите, что при aGR+, bGR_ выполняется неравенство:
) 5-аЬ <0,	°) ~Ъ^а >0'
219.	Докажите, что при «gR_, b G R_ выполняется неравенство:
a)abj 2<0	б) (i+fcWa+y) >2.
' a + b	' \а J\	bJ
Докажите, что для любых действительных чисел а и b выполняется
неравенство (220—222):
220.	a) 2ab — 1 < Ь(2а + Ь);	б) a(a -4b) > b(2a-9b).
L а)1>Ь2+1,	б) l+a2 + (l+„2)(l+d2) <L
222.	а) 16a2(b-a2)O(9b-8a2);	б)1 + а^>^у.
223.	Докажите, что при aGR_, b€R+ выполняется неравенство:
«>2Й5<3-
§4. Действительные числа
37
Докажите, что (224—226):
224.	а) Если (х — З)2 <х(х- 5), то х>7;
б)	если а 4- 4Ь > За 4- 25, то а < Ь.
225.	а) Если 2х 4- 3 > 5х - 6, то х < 3,2;
б)	если (х - 2)(х2 + 2х 4- 4) < а;3 + 2х, то х > —4.
226.	а) Если (х — З)2 (4 + х)(х — 4),то х > 4;
б)	если (х 4- 1)(х2 - х + 1) > х(х2 +1), то х < 1,5.
Докажите равносильность следующих неравенств (227—229):
227.	а) а — 25 > За 4-25 и а 4-25 < 0; б) | + | < у - | и х > 3.
228.	а) (х + 2)(х - 3) (х 4- 3)(х - 2) и х 0;
б)	а — 25 5а 4- 45 и 2а 4- 35 > 0.
229.	а) а5-1 4-5а-1 ^2 и а5>0; б) х < 0 и-х - 4 > 4х-1.
230.	Докажите, что если а > 5 и аЬ > 0, то а~1 < Ь~1.
231.	Докажите, что если ab > 0 и < 1, то > 1.
232.	Докажите, что если а, 5, с — положительные числа и а > 5, то
а + с а
Ь + с < 5’
233.	Докажите: ((а > 2) Л (5 > 5)) => (ab — 1 > 8).
234.	Докажите: ((а < 2) Л (5 > 3)) => (5 - 3 > а — 2).
235.	Докажите: ((х — у < —3) Л (х > 4)) => (у > 7).
236.	Докажите, что если а е (0; 1), то а2 < а.
9
237. Докажите, что если а > 0, то а 4- - > 6.
3	1
238. Докажите, что если х > —3 и у > 1, то ух + ^у —1.
239. Докажите, что если х > 1 и у —2, то 2у — Зх < —7.
240. Докажите, что если а Е (—оо; —1], то а4 * а2.
Решите неравенства (241—256):
\ х — 1 ^4х — 3	Зх 4-1 х 5х — 2 Зх
241. а)—>-^-;	б)	< — + у-
242. а)х + 2>2(|-2х); б) 3(2х -1) 4-3(х - 1) > 5(х +2) + 2(2х - 3).
243. а) 5(х-|-2)-2х>3(х-1);	б) - уу >2,(3) -
244. а)	0;	б) . 2 -- > 0.
' Зх —0,5	' 0,(3) — 2х
38
Глава 1. Числовые множества
245.	а) (Зх - 1)(х + 2) С б) (х - 2)(1 - 2х) 2	i (3 — х)(5 — Зх); :4х- (2х — 3)(1 +х).
246.	а) 2х + 7^0;	б) 3-2х^0'
247.	а) х2 — Зх>0;	б) х3 + 2х2 0.
248.	-г2 а)	< 0; ' Зх 4- 5	б> Xi*0'
249.	. 2х — х2 _ а) х+2 >°;	т2 б) у < Зх.
250.	а) (2х - I)-1 1;	б) х>4х-1.
251.	а) 2(2х + 3)-1 <3(3х— I)"1;	б) (х-2)"1 >2(х + 3)“	
252.	а) (х-1)(2х+1)-1	>х(2х-3)	б) х(х+2) 1 > (4—х2)“
253.	а) х3 - 16х < 0;	б) (х-4)(х2 - 16) >0.
254.	а) 9 > х2;	б)А^к
255.	а) Зх х2;	б) —Ц-^х-1. X — 1
256.	а) х2 < 2х;	- 9	\ °> 4 <х2’
Решите системы неравенств (257—258):
257.
258.
259.
260.
	' 1 — Зх 5х — 1 7х	х2 — Зх 0,
а) j	12	3	4 1	б)	2	1
	2х - 1 < (2х - 1)х;	.х < х — 2‘
	Гх2 <9.	Г 1	< 5
а)	w । н 1 ( /Л 	Zs		х2 — Зх "" 3 — х х2 — 1>аг+ 1.
Найдите все значения х, для каждого из которых выполняется
ровно одно из данных неравенств:
а)х2^2х; х~г(х — I)2 < 0;
б) Зх 1 1; х > 4х \
Решите совокупности неравенств:
а)
' 2а: - 1 т 1
2	3<Х+6’
. х2 + 5т < 0;
б)
х3 + х^2х2,
х3 > 2х2.
Решите неравенства с параметром (261—262):
261.	а) ах С х;	б) ах 2 - х.
262.	а) а.(х —I)-1 >0;	б) ха2 + х + а.
263.	При каких значениях т неравенство (т + 2)х > т + 5 не имеет
решений?
264-
265.
266-
267.
268.
269.
270.
271,
272.
273.
274.
275.
§4. Действительные числа	39
При каких значениях а решением неравенства а2х 4ах + 1 — а
является множество К?
При каких значениях а. неравенство а(5 + х) > а2х 4- 2 не имеет
решений?
Найдите все значения параметра 6, для каждого из которых числа
х и у, удовлетворяющие системе уравнений
(2х + у = Ь + 2,	„	_	„
<	удовлетворяют также неравенству Зх + 2у < 0.
[х- у = Ь,
Найдите все значения параметра с, для каждого из которых числа
хну, удовлетворяющие системе уравнений
\х + 7у = с,
<	удовлетворяют также неравенству х > у — 2.
I 2х-у = 5,
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых числа
х и у, удовлетворяющие системе уравнений
{х — 2у = 2а,
удовлетворяют также неравенству х + у > 0.
Зх + 5у = 4,
При каких значениях параметра т уравнение т(х - 1) = 2х + 1
имеет единственный корень, принадлежащий лучу [2; +оо)?
При каких значениях параметра т множество решений уравне-
ния т2х — т(2 - х) + 2 содержится в множестве A U В, где А =
= (-оо; -2); В = [-5; 1]?
При каких значениях параметра а уравнение ах = 1 — х имеет
единственный корень, удовлетворяющий неравенству ах 2?
При каких значениях параметра а решение уравнения а — 2х =
= -у + — 3 принадлежит отрезку [—2; 3]?
При каких значениях параметра а множество решений уравнения
(а2 - 1)х = а — 1 содержится в множестве решений неравенства
ах^х7
Бригада рабочих за 5 дней изготовила меньше 300 деталей, а за
10 дней — больше 500 деталей. Сколько деталей в день изготовил
каждый рабочий, если в бригаде 8 человек и производительность
труда рабочих одинакова?
За 8 рейсов автобус перевез больше 185 пассажиров, а за 15 рей-
сов — меньше 370 пассажиров. Сколько мест в автобусе, если
за каждый рейс автобус перевозил ровно столько пассажиров,
сколько мест в автобусе?
40
Глава 1. Числовые множества
276.	Найдите нечетное число, если известно, что сумма этого числа
и удвоенного последующего нечетного числа меньше 151, а сум-
ма искомого числа с утроенным предыдущим нечетным числом
больше 174.
277.	Одна сторона прямоугольника на 1,(3) см больше другой. Како!
может быть длина большей стороны, если периметр прямоуголь-
ника больше 11 см, но меньше 13 см, и утроенная длина каждой
стороны является натуральным числом?
278.	Найдите наибольшее натуральное число вида 4к — 1, где к € N,
сумма которого с последующим числом этого же вида меньше 77
279.	Скорость автомобиля равна V км/ч, где V — нечетное натураль-
ное число. Известно, что за 4,5 часа он успевает проехать 230 км
ио за 5,5 часа не успевает проехать 300 км. Найдите V.
280.	Элементы множества {ЗА: — 2 | к G N} расположены в порядке воз-
растания. Найдите наибольший элемент этого множества, сумма
которого с удвоенным предыдущим элементом будет меньше 100
281.	Если к удвоенному натуральному числу прибавить его половину,
то получится число, меньшее 92, а если из удвоенного этого же
числа вычесть его половину, то получится число, большее 53.
Найдите это натуральное число.
282.	Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но
один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз пере-
ложили в вагоны вместимостью по 60 тонн, однако понадобилось
на 8 вагонов больше и при этом все равно один вагон остался
не полностью загруженным. Наконец груз переложили в вагоны
вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось еще на 5 вагонов
больше, при этом все 50-тонные вагоны были загружены полно-
стью. Сколько тонн груза было?
283.	Жидкость налита в бутыли вместимостью по 40 литров, при этом
одна из бутылей оказалась не совсем полной. Если эту же жид-
кость перелить в бутыли вместимостью по 50 литров, то такие
бутыли будут заполнены полностью, но при этом понадобится на
5 бутылей меньше. Если эту же жидкость разлить по бутылям
вместимостью по 70 литров, то понадобится еще на 4 бутыли
меньше, но опять одна бутыль будет не совсем полной. Сколько
литров жидкости было?
284.	В первой коробке находилось некоторое количество красных ша-
ров, а во второй — синих, причем число красных шаров составляло
15	TZ	с	3
тх от числа синих шаров. Когда из корооок удалили = красных
1У	7
§ 4. Действительные числа
41
шаров и - синих, то в первой коробке осталось менее 1000 шаров,
а во второй — более 1000 шаров. Сколько шаров было первона-
чально в каждой коробке?
285.	Производительность первого автомобильного завода не превыша-
ет 950 машин в сутки. Производительность второго автомобильно-
го завода первоначально составляла 95% от производительности
первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод
увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин,
выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать бо-
лее 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал
каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается,
что каждый завод в сутки выпускает целое количество машин.
286.	В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Пиело
деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в 3 ра-
за превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число
деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во
втором ящике, но менее чем па 60. Сколько деталей находится в
каждом ящике?
287.	В двух бригадах вместе более 27 человек. Число членов первой
бригады более чем в 2 раза превышает число членов второй бри-
гады, уменьшенное на 12. Число членов второй бригады более чем
в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на
10. Сколько человек в каждой бригаде?
288.	В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого
класса, повысивших во втором полугодии успеваемость, находится
в пределах от 2,9% до 3,1%. Определите возможное минимальное
число учеников в таком классе.
289.	При подведении итогов соревнования установлено, что процент
числа членов бригады, перевыполнивших план, находится в преде-
лах от 92,5% до 93,5%. Определите возможное минимальное число
членов такой бригады.
290.	В сообщении о лыжном кроссе сказано, что процент числа членов
группы, принявших участие в кроссе, находится в пределах от
96,8% до 97,2%. Определите возможное минимальное число чле-
нов такой группы.
2®1. Найдите а + /3, если:
а) а = 3,075...; 0 = 2,864...; б) а = 2,(35); 0 = 1,6725...
2®2. Найдите 2ог — 0, если:
а) а = 0,8742...; /3 = 2,158...; б) а =-2,537...; /3 = 3^.
О
42
Глава 1. Числовые множества
293.	Найдите За + (3, если:
а) а = 1,05394...; /3 = -1,8743...; б) а = -2,3705..£=1^-.
294.	Найдите а/3, если:
а) а = 2,3075...; /3 = 0,8752...; б) а = 0,238...; £=-|.
295.	Найдите а(3, если:
а)	а =-1,5042...; /3 =-2,0871...;
б)	а = 3,5108...; £ = -0,085...
296.	Найдите возможные значения выражения ab, если а = 2 ± 0,1; Ь-
= -3±0,15.
297.	Найдите возможные значения выражения р если а = — 2 ± 0,2
5 = 4 + 0,5.
298.	Найдите’^ [а] и {а}, где:
а) а = 31,2 + 28у;	б) а = -3,7084...; a G Q'.
299.	Найдите [2а —/3], где:
а) а = 13,75...; £ = 31|;	б)а=-5^-; £ = -2,583... |
300.	Найдите {а}, где:
а) а = 2,3 - 11:0,2(7);	б) а = (з| - 5,2) : 0,3(6).
301.	Найдите {а}, где:
а) а = (2,(36) - 3^) • б|;	б) а = 3,45: (-0,2(3)) + б|.
302.	Найдите {а4-/3}, где:
а) а = -2,307...; £=-1,658...; б) а = 3,216...; £=-0,788.
Решите уравнения (303—310):
303.	а)	За:+ 2[.г] = 11;	б)	[За;-1]-6а: = 5.
304.	а)	у-1,5[а:]+1,2 = 0;	б)	2а: + [2,5-я) = 1.
305.	а)	5ж + [| - 1,б] =	6;	б)	2а:-[3 — 2®] + 5 = 0.
306.	а)	2{а:}-[х]=3;	б)	3{х} + а;-2[а:] = 4,(3).
307.	а) 5{а:} — а: + 2[т] = —4,4;	б) {а? + 0,2} -2а: = 4,4.
308.	а) [х—0,5]—2[я+0,5]+х = —1,3;	б) 2[х-0,8]-{а:+0,2} = -4.
309.	а) 2{х —0,5} — 3[я] = 6,6;	б) 3{2х +0,3} - [х] = 0,7.
310.	а) [х - 0,3] - 2{х + 0,4} = 0,8;	б) 2 {За: + 0,5} - [2т] = 2,2.
* Q' — множество иррациональных чисел.
§ 5. Модуль действительного числа
43
311.	Сколько существует натуральных чисел, меньших 240 и крат-
ных 7?
312.	Сколько существует натуральных чисел, принадлежащих проме-
жутку [49; 735] и кратных 8?
313.	Сколько существует натуральных нечетных чисел, не превосходя-
щих 5000 и кратных 7?
314.	Сколько существует целых чисел с модулем меньше 200 и крат-
ных 6?
315.	Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 700,
кратных 5 и не делящихся на 3?
316.	Сколько существует натуральных трехзначных чисел, кратных 3
и 7?
317.	Сколько существует целых чисел, модуль которых не больше 750,
кратных 7 и не кратных при этом 5?
318.	Сколько существует натуральных четырехзначных чисел, крат-
ных 2 и 3, но не делящихся при этом на 7?
319.	Сколько целых чисел отрезка [—100; 250] кратны 5 или 7?
320.	Сколько целых чисел отрезка [—162; 372] кратны ровно одному из
чисел 12 и 20?
321.	Сколько целых чисел отрезка [-300; 200] кратны 11 и при делении
на 7 дают остаток, равный 5?
322.	Сколько целых чисел отрезка [—517; -253] при делении на 3 дают
остаток 2 или кратны 7?
323.	Сколько целых чисел отрезка [-351; 478] при делении на 5 дают
остаток 3 и при делении на 7 дают остаток 2?
§ 5.	Модуль действительного числа
Решите уравнения (324—334):
324.	a) |7х + 3| = 8;
325.	а)|Зх-11| = 7;
326.	а) |ге2 + Згг| =0;
327.	а) |х2 — Зх| = —2;
328.	а) |4х+1| = |2,(3)х — 5|;
329.	а) |4х-7| = |2х + 3|;
б) |3,2х - 1| =4.
б) |о,(35)-2|х|=8.
б) |2х2 - 5х| = 0.
б) |х2 — 3| = 6.
б) |3х — 5| = |3х 4-1|.
б) |х2 + 5х| = |х2 — Зх|.
44
Глава 1. Числовые множества
330.	а)	|х2 4-Зх 4-2| 4-|х2 — 1| = 0;	б)	|х2 - 9| 4- |х2 - х - 21|	= 0.
331.	а)	|х2 4-3x4-2| 4-|х2 - 4| =0;	б)	|х2 - х - 6| + |х2 - 9| = 0.
332.	а) |гг2 + 2х| 4- |х2 4- 5х 4- 6| + |2х2 — х — 10| = 0;
б)	|гг2 - Зх| 4- |х2 - 4х 4- 3| + |х2 4- гг| = 0.
333.	а)	|1|-||+х = 2;	б)	|3х	+ 2|4-Зх4-2 = 0.
334.	а)	|Зх4-5|-2х=1;	б)	||	- 0,б| 4-0,5= |.
Упростите следующие выражения, раскрывая модули по определенш
(335—337):
335.	б) НЩц+*•
336.	а) |х—1| — |х4-1| — х;	б) х|2х4-1|-2(х4- 1)|х|.
337.	а) |х — 2|(|х| 4-2) — х2;	6)k^ll_1+ 1 .
Решите системы уравнений (338—344):
338.	а) <	Зх — у=1, |х-2у|=2;	б)	2и 4- v = 7, |и — и| = 2.
339.	а) <	/	ч “ы е е 4- 1 е е II II	б) <	х 4- 2у = 2, |2х-Зг/| = 1.
340.	а) «	|х4-г/| = |2х — у|, Зх — у = 5;	б) <	Зтп4-п = 5, |2тп - n| = |т4- 2тг|.
341.	а) ’	|3x4-J/| = 2, |х-2у| = |х4-у|;	б) -	|3т - 2п| = 1, |2т4-п| = |т-3п|.
342.	а) '	2х 4- Зу= 1, |2х4-1|4-у4-х = 6;	б) <	х-2|у|=1, 2x4-?/= 5.
343.	а) '	|х - 2у| 4-х = 4, Зх 4- 4у = 8; к	б) -	2х —5у = 6, |х 4- 2| — з/ = 3,5.
344.	а) <	|х-2у| = 5, |2х — 1| 4- у = 4;	б) <	|х4-у|4-х = 4, |2х4-3?/| =0.
§5. Модуль действительного числа
45
Дри каких значениях параметра а уравнение имеет единственный
корень? (345—347)
345.	а) |^-а| = |2х + а-1|;
346.	а) |ах-1| = |2х-3|;
347.	а) | — 3 — ах| = |(а4-1)х — 5|;
б) |2а - Зх —1| = |а 4-х4-2|.
б) |ах + 2| = |х + 2|.
б) |x + 2| = |-l-f|.
При каких значениях параметра а уравнение имеет непустое
множество решений? (348—351)
348.	а) |2х + а - 5| + |3 - а - х| = 0; б) |х2 — 4| 4- |х2 4- Зх 4- а| = 0.
349.	а) |^-§| + |2х-а|=0; б) |х2 - а| + |2х-3| + |2х2 - х - 3| = 0.
350.	а) |х2 4-ах| 4-|3х 4-а —5| = 0;
б)	12.x3 + Зх2 — 11 + |х3 + а| + |х2 — 11 = 0.
351.	а) |х2 — ах — 2| 4- |а — х — 2| = 0;
б)	|х2 + а2х - 6| 4- |х2 - 2х| 4- |х2 4- а2 4- а - 6| = 0.
Решите уравнение с параметром (352—353):
352.	а) а 4- |х-2| = 3;	б) 2x4-|х4-а| =4.
353.	а) 2а—|а — х| = 5;	б) х — |х — а - 1| =2.
354.	Даны множества: А = [—3; 4-оо); В = {х| |х| ^2}; С = {х| |х| <4}.
Найдите ЛиВиС; АПВПС; Ди(ВПС); (Л\В)иС.
355.	Даны множества: А = (—2; 7,3); В = {х | |х| 5}; С = {х | |х| > 3}.
Найдите ЛП В ПС; Ли В; А \ В\ В\С', A U (С \ В).
356.	Даны множества: А = {х | |х| < 5}; В = {х | |х| > 2}; С = [—3; оо).
Найдите AUB; ДПС; ЛП(С\В); Л\(ВПС); ВП(ДиС).
Решите системы неравенств (357—361):
357.	а) <	ь-~ io V Л\ Н Н V	 	J	б)«	Г И <3,5,	н н /Л V СО
358.	а) <	|х| ^6, |х| < 3,5;	б) -	ы>5-	В)1 |х>4,2;	|х| > 0, |х|<2^.
359.	a) <	Н Н Н V Л /Л ьо сл сг	б) <	'И<0, |х| >1,2;	в) < х> —3;	'Ы >3,(2), х < —1, |х| < 5.
46
Глава 1. Числовые множества
360. а)
2х .
х + 2 ''
и-з
б)
4х + 49т-1 <£28.
\	2
361. а) |а:| + 1
б)
Решите совокупности неравенств (362—363):
362. а)
363. а)
5х
_х + 2
б)
б)
.2
2-3|х|<-4,
. 1	4
3 — х ’
Найдите все значения х, для которых выполняется ровно одно
из данных неравенств (364—365):
365.	а) |х| < 4; х2-4х^0;	б) W—-^0; х2<3х.
|т| + 3
366.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству Л' Г) Y, г.
367.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству XUY, гд<
368.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству X \ Y, гд<
369.	Найдите все целые числа п, сравнимые с числом —3 по модул
11 и принадлежащие объединению множеств X = (—58; 19) и Y
370.	Найдите все целые числа п, сравнимые с числом —5 по моду
лю 7 и принадлежащие пересечению множеств X — {х | |х| > 2
и Г=[-5;30].
371.	Найдите все целые числа п, принадлежащие объединению мне
жеств X = {а: | |х| 2,5} и Y = (—5; 1) и такие, что (2п) € Z.
372.	Найдите все числа п, принадлежащие пересечению множеств X -
= [—8; 2) и Y = {х | |х| > 3,5} и такие, что (2n) е Z.
373.	Найдите точки числовой прямой, удаленные от точки Л/(—5) н
расстояние 3.
§ 5. Модуль действительного числа	47
374.	Точка А(2) удалена от точки В ( ур- ) на расстояние 5. Найдите х.
375.	Известно, что расстояние между точками А (ъх— и В	— 1)
равно 3. Найдите х.
376.	Найдите координаты различных точек	и в(2~ - х^,
если точка Л/(—2) является серединой отрезка АВ.
является
377.	При каких значениях х п у точка М(—2) является серединой
отрезка АВ, где Л(—4),	а точка В является серединой
отрезка MN, где - |)?
378.	Найдите значения х и у, при которых точка
серединой отрезков АВ и CD, где А^'
C(y+l + 45),D(3j/-2x).
2х + | + 2,5
Решите неравенства (379—383):
379.	a)|z + 2|s$3;
380.	а) |х + 4| >5,(6);
381.	а) |1 — яг| <3,5;
382.	а) |3,5 — х| > 2у
383.	а) |2,(3) — х| <4,5;
б) |х- 3| < -1,5.
б) \х-2\^-2.
б) |2-i|>4.
б) |-5-х|>2.
б) | —2 —х|<3,2.
Решите системы неравенств (384—390):
384.	а) 	|х| 5$ 5, |ж+1| > 2;	б) -	|.т| > 2,5, |х — 1| <4.
385.	а) <	Г-Н сч V V/ СО н 1 1 Н СЧ ч	 	у ч.	б).	00 V/ Л 7Т Н + 1 Н оо ч	 	/ ч.
386.	а) <	|3 — >2,	б) -	1* + 2,5|<Ц, |>-1|>2,(6).
387.	а) '<	М	Ю	л Л\	-7	V ю	V/	й? г-7 н 1	1	। н	оо_	н	б) -		ч /	 	Ч 7Г	7Д	। +	'	Н ьэ	Н	। /Л	V /Л СП
388.	а) -	|3-х|>1, | - 1,5 - ж| > 2;	б) <	|-х-2|>3, Ji-3|>1.
48
Глава 1. Числовые множества
389. а)
390. а)
'|х + 0,5|^3,
Ж
Гх2 < 9,
|2(Зя-1)-1О;
б)
|х-1|>2,
1	3
х х + 6’
Г(х2-3х) *^5(3 —х) *— 1,
[х2 -1 х+1.
Найдите целые значения п, удовлетворяющие системе неравенств
(391—392):
	п-3,7	sJ8,3,		п + З?	<7,5,
391. а) |	„5		б) {	О	
	п + 2-	>3,(4);		п — 2| $	;5.
392. а) |	п + 2,3	<3,7,	б) /	-2-7	
	п + 2| J	s4;	[|3,5-п		>2,5.
Решите совокупности неравенств (393—395):
393.	а)	|х-2|<	1,	б)	’|-х-3|>5,
		|х + 1| $	2;		|2-х|С1.
		|2,5 —х|	>4,		’ |х + 3| е$4,
394.	а)			б)	
		|х — 3,5|	<3;		|-0,5-х|>1.
			0,		|х + 2| > 3,
395.	а)	V/ 1 1 н. н 	1	1;	б)	2|х-1Г1^1.
396.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству X П Y, где
а) X = {.г | |х + 2| 5}; Y = {х | |х — 1| 2};
б)	X — {х 1|3 — х| > 1,5}; Y = {а 11 — 1 — а| 6}.
397.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству X \ Y, где
а) Х = {а||а+1,5|^7,2}; Y = {х 112 - х| 7,5};
б)	X = {а 11 — а — 3,2| 4,2}; У={п| |г|-п|>з|}.
398.	Найдите все целые числа, принадлежащие множеству X U У, где
а)Х={п||5-п|^2}; У = {у | |у + 1| <4};
б)	X = {х | |х + 2|| < 3,5}; У = {а||2|-а|с1,(3)}.
399.	Найдите все целые числа, принадлежащие пересечению множест:
X — {х | |х — 2| < 40} и У = {а 11 — а —1| 7} и сравнимые с число»
—2 по модулю 7.
400.	Найдите все целые числа, принадлежащие объединению множест:
X = {а 113 — а| < 20} и У = {m | |тп + 7| < 30} и сравнимые с число»
142 по модулю 17.
§ 5. Модуль действительного числа
49
Даны множества: А —	2^; 5р В = {х | |х — 1|	4} и С =
=	| |а + 1|| < 1}. Найдите: А А В; A U С; А \ (В А С);
BU(A\C).
402-	Даны множества: А = {х 11 — х — 5,(3)| > 2,5}; В = {а | |а + 0,8(3)| <
< 7}; С= оо; 6g). Найдите: ААВ; В\С', Ви(С\А); А\(ВАС).
403-	Даны множества: А = {а | |а — 1,5| ^4}; В = (4,5; +оо) и С =
= {g | (3q) G Z}. Найдите: А А В; А А В АС; А А (В \ С); А \ (В АС).
404,	Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству
А А В, где А = {х | |х - 2,5| 3}; В = {х 12х — 1 ^8}.
405.	Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству
AUB, где А'={х|| + ^|-В;В = {х||х-5,2|^1}.
406.	На отрезке МN, где М(-4), N(5), найдите такую точку А, чтобы
|АЛГ|: |АМ| = 1:2.
407.	Точка М(1,5) делит отрезок АВ, где А(-2), В(х), в отношении
3:2, считая от точки А. Найдите х.
408.	Найдите значение х, при котором отрезок АВ, где А(х), В(2х + 1),
делится точкой 7V(1,2) в отношении 3:1, считая от точки А.
Решите уравнения (409—410):
409.	а) |2х + 1| =2|х —3|;	б) 3|1-х| =2|х + 2|.
410.	а)^^ = ^А	б) 2|| + з|-3|2-х|=0.
л	о	I
411.	На координатной прямой найдите точки, расстояния от которых
до точки А(—3) в три раза больше расстояния до точки В(5).
412.	На координатной прямой даны точки А(—8), В(12). Найдите точ-
ку М, удовлетворяющую равенству |AM|: |Л/В| = 2:3.
413.	На координатной прямой даны точки А(х), В(3), М(5), причем
|АМ|: |Л/В| = 3,5. Найдите координату точки JV, принадлежа-
щей отрезку АВ и удовлетворяющей такому же равенству, т. е.
|АЛГ|: |NB| = 3,5.
414.	На координатной прямой даны различные точки А(х — 2), В(х)
и Л/(1,5), причем |АМ|: |Л/В| = 1:2. Найдите возможные значе-
ния х.
(Зг 1 \
2 + 3), С(—1)
координатной прямой удовлетворяют равенству |АС\: |СВ| = 2:3?
50
Глава 1. Числовые множества
416.	При каких х различные точки А(х + 2), В(-2), С(3х - 4) коорди!
натной прямой удовлетворяют равенству |АС|: |СВ| = 2?
417.	При каких значениях параметра а уравнение |3х — а| = 3|2х + Я
имеет единственный корень?
418.	При каких значениях параметра т уравнение б||х — 1| = 2|х + nl
имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий неравенству Зх -I
- m 1?
419.	При каких значениях параметра а все корни уравнения 3| - а -1
— 1,5х| — 2|—3 + а-х|=0 удовлетворяют неравенству |х + а| < 5я
420.	При каких значениях параметрар все корни уравнения 2I ^х + pl -I
- 3|х — 2 - р| = 0 не удовлетворяют неравенству |х| > 3?
421.	При каких значениях параметра к система
f |х + 2fc| =3|х4-2 - Л|,
<	, имеет единственное решение?
[2|х - к\ = 3|2 - х|
422.	При каких значениях параметра к система
2|1,5х — fc| = |х + 3 + fcl,
<	, имеет хотя бы одно решение?
5|2-fc-x| = 3|2x+l|
Решите уравнения (423—431):
423.	а) |х-2| - |х+ 1| = -1;	б) |2х + 5| + |2х-1| = 6.
424.	а) |2х + 3| + |х-2| =6х;	б) |х + 3| + |х-1| = 4.
425.	а) |х— 1| + |х| + |х + 2|=4;	б) ||х —1| —2| = 5.
426.	a) ||x+2|-|x-3|j[=5;	б) |Зх-2|-|х+1|-|5-х| = -Я
427.	а) |3-|2-х|| = 6;	б) ||х-3|-|х + 1|| = 2х.
428.	а) ||Зх-1|-4|+х = 3;	6) |2-||-1|| + 2 = 2х.
4И-	6>jFTFT=°.5-	I
«»• «)|тгг|=»А	б)ЖТ=2'	I
431.	а) х2 — 4= |3х —1|(х + 2);	б) Зх2 - 3 = |х+ 1|(2х - 3).
432.	При каких значениях параметра а уравнение |5х - 2а\ + х = За - 4
не имеет решений?
433.	При каких значениях параметра а уравнение |2х - а| + х = 3 имеет!
единственный корень?
§5. Модуль действительного числа	51
434.	При каких значениях параметра р уравнение |3х + 2р| = 2.т -г 5 не
имеет решений?
435.	При каких значениях параметра b уравнение |3.г + + 2х = 7 име-
ет единственный корень?
436.	При каких значениях параметра а уравнение \2х — а — 1| + х = 3
имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий неравенству
|.т + а + 2| 3?
437.	а) При каких значениях параметра а одним из корней уравнения
|гг — 2«| — |х - 1| = 5 является -1?
б)	Решите это уравнение при найденных значениях а.
438.	а) При каких значениях параметра п уравнение | |2х +11 - |х — п| | =
= 3 имеет одним из корней число —2?
б)	Решите данное уравнение при найденных значениях п.
439.	а) При каких значениях параметра а уравнение 12х — 3| + — а| = 6
имеет одним из корней число —1?
б) Решите данное уравнение при каждом из таких значений а.
Решите неравенства (440—454):
440.	а) |2х + 5| <2;	ю г—< Л\ С-1 |со 1 Н|<м
441.	a) |l,(6)-3z|O;	б) |2 - 0,(3)х| > 1.
442.	а) 2|3 - < 1,5;	6)3|| + Ц>2,5.
443. 444.	а) |3х - 2| + х 4;	6) |2-ттт|>1- б) |2х + 7| + х 1.
445.	а) |у + 1| <2 + х;	б) у-0,51 — 2х> 1.
446.	а) |2х + 1| + ^>3;	б) |3-2х| —?^1. О
447.	а) || + з|-|2х-3|<4;	б) |1 -х| + х^ |2х4- 1|
448.	а) |3х - 5| 4- |х +1| > 5;	б) |х + 3| + |х-1|^4.
449.	а) ||-2'|-|я + 1| + 3>0;	б) |2i-l|<|| + 2|.
450.	а) |х + 2| |2х- 1|;	б) || + 2|с|Зх-2|.
451. 452.	1 2 1 &) |jc| — 1 < х + 2’ а) 1 2 1 > 1 	i« ” 10 1 / |сч V/ I’— сс см 4- 1 н G4 S
	|я + з| " |др— 1| ’	|ж —3| — 1 " х-4’
52
Глава 1. Числовые множества
б) 2 —1® + 1|	|2.т-3|-ж’
454. а) (1 -x2)|x — 2| > За: — 6;
б) (а: + 2)|х- 1| >3х + 6.
			Решите системы неравенств (455—467):				
455.	а) ’	1	|-1 >2,25, 2®+1<1,(3)®-2;	б) 		2 - 7х| 5, f + 0,(6)| $	
456.	а) <	Г 2х — 1 —у— —0,25 > 1,5х —5, |Зх-1,5|^ 0,(45);		б) -		у + 1|>3, Зя:-7|^2.	
457.	а) '	2|ж| > 3, 1 — 2|3ж +1,5| > —5;		б) -	'5 — 3|2а: — 1 2.5 + Ц + 1		W Л 1 и-
458.	а) -		3|2а;+ 5|-1,5^1, + 0,5 >1,(4),	б) <		3—|х —1|	1 |х —1| |2х2	1	3"	6 2^-1 >1,5,	
			2х + 1| >3;		1 —|5 —2i|>0.		
б)
459.	а) <	V/ о со" Л\ 1 о»!-" R 1 + £1 н! н
460.	а) -	'|^ + 1|<3, у 1 > 2(х — 1) J;
		1 +11>1
461.	а)	i-2 + 1K2’ t 3i-l|Cl;
462.	а)	4- |х- 1| >2, |ат + 2| + 2а;>5;
463.	а) ’	|х-3|-|х + 2|>2, |2а:-1| + х<3;
464.	а) J	||3х—1|—а:| >4, |а:|+|х+1|-|2ж-3|>4;
465.	а) <	'|2х-3-|а:-1||^6, |а:+2| <2а:+3, J3a:-l|+|x+2|>5;
|3 —2®|>1,
X2 - г,
(| - 2 - Зх| > 7,
(2(а: +1)-1 (а: —2)-1.
б)
2+2^1 <1Д
5 + 2|>3.
I |2а: — 1| + а: > 2,
(|z-2| + |2x + l|C4.
Г |2а: + 5| + |а; - 3| < 10,
11,5х - 3 < |х + 1|.
б) /	I®—2|| < 5,
1 |х+2|-|2а:-1|>2.
|2х|-|х+1|-|х-3| >2,
б) < |3х — 5 — |х|| 3,
Ja:+2| + 2>x.
§ 5. Модуль действительного числа
53
466.
< х+ 1х’
J3x— 1| + х 3;
467.
|2х—5| + |z+11 ^х+2,
 3 ^-2-
|х—3|+я	1—1
Решите совокупности неравенств (468—469):
468.
Г2Х-1 т _
3	< 6 U,&’
J2® —1| > 3;
469.
Найдите все значения х, для которых выполняется ровно одно
из данных неравенств (470—471):
470.	х + 2^~—; г-ТТГС,-------““тгг-
2 — х |®4-1|	| —х + 2|
471.	|3x-l|^|x + 2|;
472.	При каких значениях параметра а неравенство |х + | < 2а — 1 не
имеет решений?
473.	При каких значениях параметра b решение неравенства |2гг —1|
^5+1 содержит отрезок [—1; 3]?
474.	При каких значениях параметра Ъ решение неравенства 5 +1 >
26—1
> —5— содержит К+?
О
475.	При каких значениях параметра т решение неравенства )3.т + 2| <
< 2m — 1 содержится в промежутке [—2; 5]?
476.	При каких значениях параметра т решение неравенства |2 — Зх|
у +1 содержит интервал (—3; 1)?
При каких значениях параметра р решение неравенства |3 — 1,5х| >
р
> 2 — g содержит луч (—оо; 5)?
4^8. При каких значениях параметра а решение уравнения Зх — а =
= 2а + 0,5 — £ удовлетворяет неравенству |2т — 1| 3?
54
479.
480.
481.
482.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
490.
491.
492.
493.
494.
Глава 1. Числовые множества
тт	2п — х 1
При каких значениях параметра п решение уравнения —х— =f
л X — Ti	|х|
= 34---g— удовлетворяет неравенству ^4-1^3?
При каких значениях параметра а решение неравенства |3.т 4- а| =d
2а 4- 5 содержит отрезок [—3; 1]?
При каких значениях параметра а решение неравенства |2.т — а 4-1
4- 3| < а — 2 содержится в интервале (-2; 5)?
При каких значениях параметра т решение неравенства 12т — 3 4-1
4- т| 2т — 1 содержит Ж_?
При каких значениях параметра т решение неравенства |3х 4- т -I
— 1| > 2m 4-1 содержит луч [—3; 4-оо)?
При каких значениях параметра р решение неравенства 2р — <з
< Зр4-1 содержит отрезок [-2; 5]?	I
При каких значениях параметра р множества решений неравенстм
|^— р— 11 < 2р4- 3 и 12(8 —х)-1 > 1 совпадают?
При каких значениях параметра р множество решений неравен!
ства |2х 4- р — 2| р 4- 2 содержит множество решений неравенства
3(х4-3)"Ч~1?
При каких значениях параметра р неравенство \рх 4- 3| р 4- 2 не]
имеет решений?
При каких значениях параметра а неравенство |ах 4- 2| а 4- 3 не|
имеет решений?
При каких значениях параметра р неравенство |р.т — р 11 <р4- 2;
выполняется при х £ К?
При каких значениях параметра т неравенство |(т 4-1)т 4- т — 2| Я
2т 4- 4 не имеет решений?
При каких значениях параметра а неравенство |(а - 1)х — 2| > <и
выполняется при х £ К?
При каких значениях параметра а неравенство |2.т 4- а| 4- 2а х на
имеет решений?
При каких значениях параметра р неравенство |2.т - р 4-1| > х 4- р
выполняется при х £ R?
При каких значениях параметра р решение системы
12х — у = р+1,	.	,
<	удовлетворяет неравенству |х 4- 2 г/1 < у 4- р?
I х 4- Зу = 2р — 1
495.	При каких значениях параметра а решение системы
§ 6. Множество R2	55
<	' удовлетворяет неравенству |х — а| < у + 2а?
1 Зх —4у = 4а-7
496.	При каких значениях параметра п множество решений неравен-
ства |3 — п — х| х + '2п содержится в множестве решений нера-
венства 11 — 11 + х < 3 — |х +11?
497.	Сколько существует целых чисел п, удовлетворяющих условиям:
|3п + 250| 738, остаток от деления п на 7 равен 3?
498.	Сколько существует целых чисел п, удовлетворяющих условиям:
|5п — 3711 1024, остаток от деления п на 6 равен 1?
499.	Сколько существует целых чисел п, удовлетворяющих условиям:
|2п+ 1| + |3п - 1| 100, остаток от деления п на 8 равен 5?
500.	Сколько существует целых чисел п, удовлетворяющих неравен-
ству |7п - 513| 837 и дающих при делении на 4 и на 6 остатки
соответственно 3 и 1?
Решите уравнения (501—502):
501.	а) |[х]-1,5| + {х}=2;	б) |{х}-0,7|+ 2х +1,1 = 0.
502.	а) |х+1| — [х] + {х} =3;	б) |х - 2| + 2{х} = [х] —1,1.
§ 6. Множество R2
Найдите расстояния между точками А и В (503—504):
503.	а)А(-1;1); В(2; 5);	б) Д(7;-2); В(1;-2);
в) Л(8; -2); В(2; 6).
504.	а) А(3; -2); В(7; 2);	б) Л(-3: 0); В(-7; 8);
в) Л(3; 0,5); В(3; -1,5).
505.	а) Докажите, что треугольник АВС, где Л(1; 1), В(4; 2), С(2; 8),
является прямоугольным.
б)	Найдите площадь данного треугольника.
^06. Определите абсциссу точки, если ее ордината равна 8 и расстояние
до точки Л(-3; -1) равно 15.
507.	На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек Л(—1; 5)
и В(3; 1).
508.	На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек Л(—3; -1)
и В(5; 7).
®09. Найдите значения х, для которых |ЛВ| = 2, где Л (1; 2), В(х; 0).
56
Глава 1. Числовые множества
510.	Найдите значения х, для которых |ЛВ| = 2\/5, где А(2; х),
В(2х; 1).
511.	На координатной плоскости даны точки: Л(х; —1), В(—2; —5),
С(1; — х). Найдите |ВС|, если |ЛС| = \/2.
512.	На координатной плоскости даны точки: Л(2; —3), В(—1; 1),
С(2х — 1; х). Найдите значения х, для которых точка С равно-
удалена от точек А и В.
513.	Найдите значения х и у, для которых точки А(х + у; 1), В(2; —х),
С(у\ 3) удовлетворяют двум условиям: |АВ| = У17, |>1С7[ = 2>/2.
514.	Найдите результаты операций:
а)	2(—1; 3,2) — 3(—2,5; 2,7);
б)	1,5((2,5; -1) - (3,5; -2)) - (2,5; -3).
515.	Найдите действительные числа а и Ь из равенств:
а)	(а — 2Ь; а-b) — 2(а + |Ь|; 3 - а) = (7а; а — 55);
б)	2(а + 5; —а) + (|а| — 5; b + 2) = (а + 5; —За).
516.	Найдите значения параметра а, для которых точка М принадле-
жит фигуре F, определяемой уравнением:
а)	М(а+2; 3-а); 2х - Зу + 5 = 0;
б)	Л/(—а; а + 1); х2 + 2у — 2 = 0.
517.	Найдите точки М(а — 1; 2а + 1), принадлежащие фигуре F, опре-
деляемой уравнением:
а) 2х2 + у2 + 2х — у = 6;	б) 2х2 — ху - Зу = 9.
518.	Найдите точки Л/(а; 2 — а), принадлежащие фигуре F, определя-
емой уравнением:
а) \2х + у\=х-у;	б) |х| + |у| = 4.
Изобразите на координатной плоскости фигуры, определяемые
следующими условиями (519—531):
519.	а) у = 2;	б) у >2;	в) ху = 2х.
520.	а) у = 2х;	б)у<2х;	в)	ху<2х2.
521.	а) (х 1) Л (у	0);	б)	(х 1) V (у	0);	в)	(|х| = 1) Л (у > 0).
522.	а) (у > х) Л (х < 1);	б)	(у х) V (х	1);	в)	(|у| = 2) V (у > х).
523.	а)х2 + у2>1;	б)	х2 + у2 = 4х;	в)х2 + у2<4х.
524.	а) (у х) Л (х2 + у2 4);	б) (у х) V (х2 + у2 С 4);
в)	(|х|^2)Л(х2 + у2<4).
525.	а) 2х — Зу + 6 = 0;	б) 2х — Зу + 6 0;
в) (2х — Зу + 6 0) Л (у х).
§ 6. Множество R2	57
526.	а) у-2 = |у4-2х|; б)|2х-у|<х; в) (|2х- у| <х)Л(х4-у<4).
527.	а) |х + 2у| = у;	б) у2 -2|х|у = 0; в) у2 < 2|х|у.
528.	а) |2х - у| С 1;	б) |х — у| > у,	в) (|х - у| > у) V (|.х - у| > х).
529.	а) х24-у2 = 2х-4у4-4;	б) х2 4- у2 2у - 2х - 1;
в) (х24-у2<2у-2х- 1)Л(у^х4-2).
530.	а) х2 4- у2 = 4|х| 4- 5;	б) х2 4- у2 = |2х 4- 4у| 4- 4;
в) (х2 4- у1 4|х| 4- 5) Л (у 1).
531.	а) х2-ху-х|х-у| = 0;	б) у2 - 2ху 4-у|у — 2х| = 0;
в) х3 4- ху2 4х2.
532.	а) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки Л(4: 3)
и В(—2; —6).
б)	Найдите площадь треугольника, отсекаемого прямой АВ от
осей координат.
533.	а) Составьте уравнение прямой р, проходящей через точки
А(-3; -2) и В(6; -8).
б)	Найдите площадь треугольника, ограниченного прямой р и
прямыми х = — 3 и у - 4.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М
и параллельной данной прямой (534—535):
534.	а) М(2; —1); Зх4-4у4-5 = 0;	б) М(-3; 0,5); 2х-Зу-7 = 0.
535.	а) ЛГ(—1; 1,5); | + | = 1;	б) М(2,5;-3,5); ^-| = 1.
до	од
536.	При каких значениях параметра а точки А(2а — 1; 3); В(1; а);
С(5; а — 3) коллинеарны?
537.	При каких значениях параметра а точки Л(2; —1), В(а; —3),
С(2|а| 4- 3; 1) коллинеарны?
538.	Составьте уравнение окружности, проходящей через точки (—2; 3)
и (-1;2ч^), если известно, что ее центр находится на оси абсцисс.
Определите расстояние от данной точки М до фигуры, определяемой
данным уравнением (539—542):
539.	а)М(7;-1); Зх-4у-5 = 0;	б) Af(—1; —3); 2х + у-5±=0.
540.	а) Л1(3; —4); х24-у2 = 1;	б) М(1; 1); х24-у2 = 18.
541.	а) Л/(-6; 5); х2 4-у2 = 4х — 2у 4-4;
б) М(10; — 5); х2 4-у2 = 8х 4-бу.
542.	а) М(2; 1); х2 = у2;	б) Л/(2;-1); х2 = ху.
58	Глава 1. Числовые множества
----------------------------------------------s------------------
543.	Определите взаимное расположение окружностей:
а)	х2 + у2 = 4; х2 + у2 = 10х — 16;
б)	х2 + у2 = 2у\ х2 + у2 + 2х 4- бу +1 = 0.
544.	Составьте уравнения прямых, параллельных прямой Зх + Ау + 11 =
= 0 и удаленных от нее на расстояние 2.
545.	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересече-
ния прямых 2х — Зу — 5 = 0 и Зх — у — 4 = 0 и параллельной прямой
4х + Зу - 5 = 0.
546.	Составьте каноническое уравнение окружности с центром >1(3; —1)
и касающейся прямой х + у + 8 = 0.
547.	На окружности х2 + у2 + 2х — 4у = 13 взяты точки /1(2; —1)
и В(-4; 5).
а)	Составьте уравнение прямой АВ.
б)	Составьте уравнение касательной данной окружности, прохо-
дящей через точку А.
в)	Найдите уравнение прямой, проходящей через центр данной
окружности и параллельной касательной, найденной в пункте б).
548.	Даны точки: Л(2; —1), £?(—1; 3), С(—3; —4).
а)	Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.
б)	Составьте каноническое уравнение окружности с центром С
и касающейся прямой АВ.
в)	Составьте уравнение касательной указанной окружности, па-
раллельной прямой АВ.
549.	Даны точки Д(-3; 5) и В(5; 1).
а)	На оси ординат найдите точку М, для которой сумма 1 +
+ \ВМ| принимает наименьшее значение.
б)	На оси абсцисс найдите точку N, для которой сумма | АЛ'| +1BN|
принимает наименьшее значение.
в)	Составьте уравнение прямой MN.
550.	На прямой 2х — у — 3 = 0 найдите точки, удаленные от точки
М(—2; 3) на расстояние 5.
551.	Прямая (2 — а)х + (2а - 1)у + (а - 2)(2а - 1) = 0 отсекает от осей
координат прямоугольный треугольник, сумма длин катетов ко-
торого равна 9. Найдите значения а.
552.	Вычислите:
a) det ((2; -1); (-3; -7));	б) det ((2,5; -3); (1,5; -4)).
553.	Решите уравнения:
a)	det((|x + 2|; 3); (1 — 2х; —1)) = х — 1;
б)	det ((х; 2 — |х|); (—1; 3)) =х + 5.
§6. Множество R2
59
554.	Решите неравенства:
a)	det ((2.x - 1; 4); (х + 2; -1)) < |х| + 5;
б)	det ((—1; |х + 2|); (2; -х)) |х| - 5.
С помощью теоремы Крамера решите следующие системы (555—558):
555.	а) <	Зх 4- 4у = 7, х + 2т/ = —5;	б) <	-х + 3у=13, 2х — 7у=7.
556.	а) <	2х — у = 1, 4х - 2у = — 3;	б) -	х —2у = 7, -2х + 4у=—14.
557.	а) <	12|х| — 5у = 20, 3|х| + 2у=11;	б) -	8х2 + 3^/х4-1/ = 8, 12х2 - 5у/х + у = —7.
558.	а) <	Зх + 5|j/| =4, 2х- |з/| = 7;	б) <	х2 — Зу2 — 1, 2х2 + 5у2 = 13.
559. Определите взаимное расположение прямых в зависимости от зна-
чений параметра а:
а) (а - 1)х + у - 5 = 0; ах + 2у- а - 8 = 0;
б) ах + 2у - 3 = 0; 2х + ау - а - 1 = 0.
560.
Решите следующие системы с параметром а:
х + ау = 2,
ах + у = а+ 1;
б)
(а—1)х + 2у = а + 3,
2х + (а — 1)у = 6.
561.
Найдите все значения параметра Ь, для каждого из которых систе-
ма
bx + 4у = ab,
х +by = а + Ь-2
имеет хотя бы одно решение при любом а.
562. При каких значениях параметра а хотя бы одно решение системы
[ (а + 1)х + 2у = а — 1,
<	.	удовлетворяет неравенству х + Зу > 1?
[-Х + (а - 2)у — а + 1
563. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются
следующие точки:
а) А(—2; —3); В(1; 5); С(4;-5); б) Л(2; —3); В(-3; 5); С(6; 1).
564. Даны точки: Л(—3; 3); В(2; 1); С(5; —2).
а)	Найдите площадь треугольника АВС.
б)	Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
в)	На прямой ВС найдите такие точки М, для которых площадь
треугольника АМС равна 3.
60
Глава 1. Числовые множества
565.	а) Постройте фигуру, определяемую уравнением |х — 2| = х + у.
б)	Найдите расстояние от точки Л/(—4; 1) до этой фигуры.
в)	Составьте уравнение прямой р, проходящей через точку М
и параллельной прямой Зу — 4х — 7 = 0.
г)	Найдите площадь треугольника, ограниченного данной фигу-
рой, прямой р и прямой q, определяемой уравнением у = .т + 4.
566.	а) Постройте график уравнения у = 2 — |х + у|.
б)	Найдите расстояние от точки М(1; —3) до этого графика.
в)	Составьте уравнение прямой р, проходящей через точку М и па-
раллельной прямой q, определяемой уравнением 2у - Зх + 10 = 0.
г) Найдите площадь треугольника, ограниченного графиком дан-
ного уравнения (см. а)) и прямой р.
д)	Найдите расстояние между прямыми р и q.
567.	а) Постройте график уравнения |х + у| + |гг — у| = 4.
б)	Найдите расстояние от точки М(3; 5) до этого графика.
в)	Составьте уравнение прямой р, проходящей через точку М
и параллельной прямой q, определяемой уравнением у = х.
г)	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком данного
уравнения (см. а)) и прямыми р и q.
д)	Найдите расстояние между прямыми р и q.
568.	При пересечении прямых, определяемых уравнениями 2х + Зу —
— 26 = 0, х - у + 2 = 0 и у — 6х — а = 0, образуется треугольник,
площадь которого равна 40. Найдите а.
569.	Дана функция /(х) = 2х — |ж — 2|.
а)	Найдите 2/(—1) —/(2,5).
б)	Постройте график функции /(х).
в)	Решите уравнение /(х) + х = /(—х~).
г)	Докажите*), что данная функция обратима на К, и найдиК
функцию /°^-1)(х).
570.	Дана функция /(х) =х + |2х — 1| 4- |х + 3|.
а)	Найдите /(2) - /(—1) - 2/(-3,5).
б)	Постройте график функции /(х).
в)	Укажите количество корней уравнения /(х) =а в зависимости
от а.
г)	Решите неравенство /(х) 4.
*) Здесь и далее использовало обозначение = f о... о f(x) (m 1); /°< 1^(х)
функция, обратная к /(х).	т Р“
II к>|Н
§ 6. Множество R2	61
571.	а) При каких значениях х точки графика функции /(х) = 2 —
лежат выше соответствующих точек графика функции <^(х)
= Зх+1?
б)	Постройте график функции ш(х) = |/(х)| — <^(х).
в)	Докажите, что функция 9?(х) обратима на R, и найдите функ-
цию <ро(-1)(х).
г)	Решите уравнение /(х) = ^°^-1\х).
572.	а) При каких значениях х точки графика функции /(х) = | - 2х
лежат ниже прямой у = 1?
б)	Постройте график функции </?(х) —х — 2|/(х)|.
в)	Решите уравнение /(х) = 9?(х).
г)	Решите уравнение /(/(х)) = х.
Постройте графики функций (573—579):
б) /(я) — |х- 1| -х.
б) /(х) = 2х + 1 - |х + 1|.
б) /(х) = |3 — х| + |х|.
б) /(х) —2х - |х - 1| - |х + 2|.
б) /(х) = |х-2|^±|.
гм к2"4!
б) /(®)=ггтп-*-
573.	а) /(х) =х+ |х+ 1|;
574.	а)/(х) = |2х +1| — х;
575.	а)/(х) = |х +2| — |х—1|;
576.	а) /(х) = х + |х +1| - |х - 2|;
577.	а)/(х) = |х|^;
__________________ А
578-	=
579.	а)/(1) = 2х-^^;
580.	Дана функция /(х) = |2х — 11 — х.
а)	Найдите/(-2)+ 2/Q).
б)	Постройте график уравнения |у| = /(х).
в)	Решите уравнение /(—х) = х + /(х).
г)	Найдите функцию 93о(-1'(х), обратную по отношению к функ-
ции
/(х) при X j,
-/(х)-1 прих>1.
у(а;)
д) Решите неравенство 1.
581. Дана функция /(х) =	~.
а) Найдите Z?(/o2(x)).
у>(х) = -
62
Глава 1. Числовые множества
б)	Найдите £(/(х + 2)).
в)	Постройте график функции w(x) = х — |х — 11/(х).
2
г)	Решите уравнение /(ш(х)) = 2-.
|х2 + 2х|
582. а) Постройте график функции /(х) =-----—
б)	Укажите количество корней уравнения /(х) = а + в завис
мости от а.
в)	Постройте график функции </?(х) = /(х) — |х|.
г)	При каких значениях параметра а уравнение <р(х) = х + а им®
единственный корень?
583. Дана функция /(х) = <
—х + 1 при х < 1,
2х — 2 при х 1.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Постройте график функции ^>(х) = х — /(х).
в)	Решите неравенство /(х)^<^(х).
г)	Запишите данную функцию
содержащего модуль.
с помощью одного выражен!
I х + 2
584. Дана функция /(х) = <
I —2х — 1
при х > — 1.
а)	Постройте график функции </?(х) = /(—х) — х.
б)	Решите уравнение /(х) = <р(х).
в)	Запишите функцию /(х) с помощью одного выражения, соде
жащего модуль.
г)	Постройте график функции ip(x) = /о2(х).
д)	Решите неравенство 0(х) 0.
х + 1 при х < 0,
2х при х > 0.
585.	Дана функция /(х) =
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Постройте график функции tp(x) = |/(х) | - х.
в)	Решите уравнение /(х) = |х| + 0,5.
г)	Решите уравнение у;(х) —
586.	Дана функция /(х) = х — |2х + 3|.
а)	Постройте график функции </?(х) =	— 1).
б)	Решите уравнение /(1 — х) + |х| = —4.
в)	Постройте график функции ^(х) = /о2(х).
г)	Решите неравенство /(-х) > /(х) + х.
§6. Множество R2
63
Используя преобразования графиков, постройте фигуры,
определяемые следующими условиями (587—591):
587.	а)у^|х|;	б)|х4-2|=у;	в) у < |х 4- 2|.
588.	а)у = 2 —|х—1|;	б)х^|у-1|;	в) |х| + |у - 1| > 2.
589.	а) ||х| - у| = 3;	б) |х - |у|| < 3;	в) ||х| - |у|| 3.
590.	а) 2/=||®-1|-1|;	б) (|у| =х) Л (х^ 1); в) (|у| ^х) V(xs% 1).
, ч 12х2 - 2 I .-xi,	к2_1|	, . ,. 9 „
591.	а) v=| |x-l| -g|; б) М= 3-1 ; в) х|у|>х24-2х.
592.
Дана функция /(х) = |3 — |х — 1||.
а)	Постройте график функции /(х) с помощью стандартных пре-
образований графиков.
б)	Укажите количество корней уравнения /(х) = 2 — а в зависимо-
сти от а.
в)	Решите неравенство /(— х) < 2.
г)	Решите уравнение /(х) = /(—х).
593.
Дана функция /(х) =
х 4- 1 при х< 1,
3 — х при х> 1.
а)	Постройте график функции <р(х) = /(|х|).
б)	Постройте график функции w(x) = |/(x4- 1)|.
в)	Решите уравнение <р(х) =ш(х).
г)	Укажите количество корней уравнения <^(х) =2 - |а|
в зависи-
594.
f(x+l)
мости от а.
д)	Найдите площадь треугольника, ограниченного графиком
функции /(х) и прямой 7у - х + 11 = 0.
Функция /(х) удовлетворяет следующему равенству:
—х при х^О,
2х — 1 при х > 0.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Постройте график функции у?(х) = —/(1 — х).
в)	Постройте график функции V’(x) = /(|х|).
г)	Укажите количество корней уравнения — 4 — 2а + |а| в
зависимости от а.
595.
596.
597.
Решите уравнения с параметром (595—597):
а)	2х — |х —11 = а;
б)	|х +1| - |2х -1| =а.
а) 2x4- |х4-а| = 3;
а)	|х-а|4-|х4-1| = 3;
б)	|2х - а| — х = 1.
б)	|х — а — 1| 4- 2х = 3 4- 2а.
64
Глава 1. Числовые множества
598.	При каких значениях параметра т неравенство |2я: — 1| > т + 2
выполняется при х € К?
599.	а) При каких значениях параметра т уравнение |х — т| 4- |х + 2| = 6
имеет бесконечно много решений?
б)	Решите это уравнение при найденных значениях т.
600.	При каких значениях параметра а уравнение |2х + а| + |х —1| = 5
не имеет решений?
601.	а) При каких значениях параметра р уравнение |rr — 3| + |х + р| = 4
имеет бесконечно много решений?
б)	Решите это уравнение при найденных значениях р.
602.	При каких значениях параметра а уравнение |2а; + 1| - |х — 2| = а
не имеет решений?
603.	При каких значениях параметра а уравнение |х + а| — |х + 2| = —1
имеет единственный корень?
604.	а) При каких значениях параметра т неравенство |х+1| +
+ |2х — т| > 3 выполняется при х € К_?
б)	При каких значениях параметра т решением неравенства яв-
ляется R_?
605.	При каких значениях параметра а множества решений неравенств
|.х + а + 1| а — х и |2х + 1| > 4х 4- а совпадают?
606.	При каких значениях параметра а неравенство | ^ - а| + |х — 2| < 5
не имеет решений?
607.	Дана функция /(х) = min(3 - х; 2|х|).
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Найдите площадь треугольника, ограниченного графиком
функции f(x) и осью абсцисс.
в)	Определите количество корней уравнения f(x) = 3 — 2а + |а|
в зависимости от а.
г)	При каких значениях параметра а уравнение /(х) = |х| + а
имеет бесконечно много решений?
608.	Дана функция /(х) = тах(2х — |х — 1|; |х — 3| — 8).
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Найдите площадь треугольника, ограниченного графиком
функции /(х) и осью абсцисс.
в)	Решите уравнение 2/(х) + х = 0.
г)	Определите количество корней уравнения 2/(х) + х = а в зави-
симости от а.	(,
_	I х + 2 +у = а + 3,
609.	Дана система уравнений <
I 2х+|у + 2| = -а.
610.
§ 6. Множество R2	65
а)	Решите данную систему при а = 1.
б)	При каких значениях параметра а существует хотя бы одно ре-
шение данной системы, принадлежащее графику функции f(x) =
=х?
в) Докажите, что при любом значении параметра а данная систе-
ма имеет единственное решение.
г) Пусть (.т(а), у(а)) — единственное решение данной системы
(см. в)). Постройте график функции у?(а) —х(а) — у(а).
Дана система уравнений
|у - а| 4- х + у = 5,
Згг — |х + а| 2у = 5.
а) Решите данную систему при а = 1.
б) Найдите все решения данной системы, принадлежащие графи-
ку функции f(x) = 2 — |.'е| хотя бы при одном значении парамет-
ра а.
в) При каких значениях параметра а данная система не имеет
решений?
г) Найдите все значения параметра а, при которых хотя бы
одно решение данной системы принадлежит графику уравнения
+ +	?/|=4. Укажите соответствующие решения системы.
3 Зак. 397
Образцы вариантов контрольных работ
по материалу главы 1
Контрольная работа № 1
Вариант I
1.	Найдите значение выражения
f27н — 20.07:0,9 - 11,25} : (17^ - 1,8 • э}.
\ 6	/ \ 6	’	/
2.	В двух сплавах медь и цинк относятся как 3:4 и 1:4. После сов-1
местной переплавки 35 кг первого сплава, 25 кг второго сплава!
и нескольких килограммов чистой меди получили сплав, в котором
медь и цинк относятся как 5: 8. Определите массу чистой меди,!
которую добавили.
3.	Найдите количество натуральных делителей числа п = 30132:279 -I
-31-207 + 6669.
4.	Докажите, что при любом натуральном п выполняется равенству
1-3 + 3-З2 + 5 • З3 +...+ (2п-1)3” = (п - 1)Зп+1 + 3.
5.	Решите уравнение в натуральных числах: Зху — 9.т — 2у = 58.
Вариант II
3,255:3,1-4^
1.	Найдите значение выражения -r-j-д——.
^“5 +130/“Тео
2.	Скорость течения реки равна 4 км/ч. Лодка, идя по течению, за 2,5 <
проходит расстояние в пять раз большее, чем за один час проти
течения. Какова собственная скорость лодки?
3.	Найдите количество натуральных делителей числа п = 230576 j
- 543 • 190 - 75870666:603.
4.	Докажите методом математической индукции следующее равенств?
2• 2 + 3• 5 + .. + (n+ l)(3n- 1) = П(2П ~^5п + 1) (neN).
5.	Решите уравнение в натуральных числах: .т2 + 4гг = т/2 + 17.
Контрольная работа № 2
Вариант I
1.	Найдите £>(4876; 13515; 11289).
Образцы вариантов контрольных работ
67
2.	Найдите натуральные числа а, Ъ, с, если К (а, Ь, с) = 360; Z>(a, b) =4;
К(Ь, с) = 72; а + 2Ь = 2с.
3.	Найдите возможные остатки от деления чисел вида п2 + 4п + 3, где
пбН, на 5.
4.	Докажите, что если D(a, Ь) — 1, то либо D(7a + 36, 13a + 66) = 1, либо
D(la + 36, 13a + 66) = 3 (причем оба варианта реализуемы).
5.	Разделив двузначное число на сумму его цифр, получили в частном
7 и в остатке 3; разделив это же число на число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, получили в частном 1, а в остатке
36. Найдите исходное число.
6.	Представьте число 645 в системе с основанием 7.
7.	Найдите натуральные числа тип, если К(т; п) = 120, т + 2п = 63
и в системе с основанием 5 число т является двузначным.
Вариант II
1.	Найдите количество общих натуральных делителей чисел 4368
и 2808.
2.	Найдите все натуральные числа п вида 3 * *, удовлетворяющие сле-
дующим условиям: Z)(n; 18) = 6; D(n; 16) = 8.
3.	Найдите натуральные числа а и 6, если К(а;Ъ) = 90, О(а; 6) = 3;
d(a) =4.
4.	Докажите, что остаток от деления чисел вида Зп2 — п — 5 (n € N,
п 2) на 7 отличен от 3.
5.	Разделив трехзначное число (в котором цифра единиц отлична от
нуля) на обращенное число, получили в частном 6, а в остатке 59.
Найдите исходное число, если сумма цифр его равна 8.
6.	Найдите основание системы счисления, в которой верно равенство
32-46 = 1734.
7.	Найдите наименьшее натуральное число, первая цифра которого
равна 4 и которое при ее зачеркивании уменьшается в 33 раза.
Контрольная работа 3
Вариант I
1-	Найдите остаток от деления числа —25036(7) на 17.
'• Найдите последнюю цифру в записи числа З15 ' + 4-713.
'* Решите в Z2 уравнение х2 — ху — 2у2 + 2х + 2у = 6.
68 Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1
4.	Найдите цифры а и Ъ, для которых число 65а62 кратно 264.
5.	Найдите наибольшее отрицательное число, удовлетворяющее сравЛ
нению 11х = 7 (mod 30).
6.	Вычислите: 2,(3) — 3,1(5): 23,(6) — 1,5.
7.	Найдите рациональную дробь вида ™ (т el, n € N), если
D(m, п) = 3, т + п = 9 и при добавлении к числителю и знаменателе
числа 6 получится дробь, равная —0,3.
Вариант II
1.	Пусть q — неполное частное от деления числа —30751(8) на 13. Най-
дите остаток от деления числа q на 17.
2.	Найдите остаток от деления числа 311 — 725 на 11.
3.	Найдите наименьшее четырехзначное число, которое при делении на
17 дает остаток 7, а при делении на 5 даст остаток 3.
4.	Найдите остаток от деления числа —Зх72у5 на 13, если известно, что
оно делится без остатка на 11, а при делении на 9 остаток равен 4.
5.	Найдите наименьшее трехзначное число, удовлетворяющее сравни
нию 13х = 15 (mod 56).
6.	Вычислите: (2,(126) — 3,(459))0,6 — 2,1(3).
7.	Найдите десятичную дробь вида 0,6(6с), если известно, что это числи
к
равно несократимой дроби вида (A: GN).
Контрольная работа № 4
Вариант I
1.	Докажите, что если х > — 2 и у < —3, то 0,(6)х — 0,25// —0,(6).
Г Зх — 2 _ 1-х > q /3\ 2х
2.	Решите систему неравенств <	12	6 '	3
[2х(х-1)-1^х.
_ „	ОХ — 1 л
3.	Решите уравнение с параметром а:	= 0.
4.	Решите уравнение [х — 0,5] = 2х — 4.
5.	Найдите {х}, если х= (13-цг —20тх) :40,1(6) — 0,75.
6.	Сколько существует трехзначных чисел, которые или кратны 5, иЛЯ
при делении на 7 дают остаток 2?
Образцы вариантов контрольных работ	69
7.	Бригада рабочих за 5 дней изготовила меньше 300 деталей, а за
10 дней — больше 500 деталей. Сколько деталей в день изготовил
каждый рабочий, если в бригаде 8 человек и производительность
труда рабочих одинакова? Предполагается, что искомое число явля-
ется натуральным.
Вариант II
1.	Найдите (AU В) И С, где А = (—3; 5], В — (—оо; 2), С = (0; +оо).
2.	Найдите все значения ж, для которых выполняется ровно одно из
неравенств:
ж + 4 9(2 — ж)-1; Зж(ж - 1) > ж1 2 — 1.
3.	Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
{2х + у = За,
удовлетворяет неравенству
Зж + 2у = 2а — 3
«5-(?+ю)>°'3-5-
4.	Решите уравнение [2ж + 1] — {ж + 0,5} = 0,1(6).
5.	Найдите*) 74, если 7 = 2а+ /3; а = -1,52084...; /3=^.
6.	Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 7 и не крат-
ных 5?
7.	В одной коробке находится тп шаров, в другой — п шаров. Когда из
первой коробки взяли у часть шаров и переложили во вторую ко-
робку, а после этого из второй коробки взяли | часть и переложили
в первую, то в первой стало столько шаров, сколько первоначально
было во второй. Найдите m и п, если m <80, п > 60.
Контрольная работа № 5
Вариант I
1- Найдите целые значения ж, удовлетворяющие совокупности нера-
венств
|ж| < 3,
|ж —1,2| < 1,8.
При каких значениях ж точка М(—3) является серединой отрезка
АВ, где а(Ц^, в(2-
\ О /	\ О/
1 Здесь 7П — рациональное приближение с недостатком числа yen знаками после
запятой, у'п — приближение с избытком.
70 Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1
о гт	I х + а 4-1 2а I
3.	При каких значениях параметра а уравнение -------—-------з”
+ |3т2 + ах| =0 имеет непустое множество решений?
4.	Решите уравнение |2х — 11 — |х 4- 3| = х — 4.
5.	Решите неравенство |	11 4- х > 4.
{И _2x1 — х > 3
|Зх + 5| + х^З.
7.	Решите неравенство с параметром а: |2х — 3| 4- х а.
Вариант II
1.	Найдите целые значения х, удовлетворяющие системе неравенств
|х-3| 4,5,
' |х-2|	5,5.
5. Решите систему уравнений
2.	На координатной прямой найдите точки М, для которых выполня-
ется равенство |АЛ/|: \МВ\ = 3:2, где Д(—5), В(10).
3.	Найдите множество всех значений параметра а, для каждого из
которых уравнение |2ах — 3| = |х — 1| имеет единственный корень.
4.	Решите уравнение ||а: +1| — 6| 4- 2х = 3.
|2x4-j/| — х = 7,
2у — х— |1 — х| =3.
6. Решите совокупность неравенств
%х л
х —3	’
. |2х — 3| < |х 4- 2|.
7. Решите уравнение с параметром |2х — а| 4- 2 — х.
Контрольная работа № 6
1.
2.
3.
Вариант I
Даны точки: А(х; 2), В(—1;х4-2), С(2х— 1;х). Найдите |ДС|, если
|ЛВ| = 5.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, определяемую не-
равенством х2 4- 2.тг/ > 0.
Рассмотрим прямую р, проходящую через точку А(—3; —2) и парал-
лельную прямой KL, где /<(—5; 1) и L(4; 3).

Образцы вариантов контрольных работ
71
а)	Найдите площадь треугольника, отсекаемого прямой р от осей
координат.
б)	Найдите расстояние от точки К до прямой р.
в)	Определите взаимное расположение прямой р и окружности ш,
определяемой уравнением х2 + у2 = 4х — бу 4-12.
4.	Решите неравенство det ( ( * + Д ~2^: (1;	> 3.
[ (2а — 1)х+(а+1)у = 3а — 2,
5.	Решите систему с параметром <
1ах + (я. + 1)у = 1.
Вариант II
1.	На прямой Зх — 2у + 6 — 0 найдите точки, расстояние от которых до
точки (2; —3) равно 2х/10.
2.	Постройте на координатной плоскости фигуру, определяемую урав-
нением ху — у2 — у\у — ге| = 0.
3.	Пусть р — прямая, проходящая через точки Л(2; а) и £?(-3; а + 1);
q прямая, параллельная прямой р и проходящая через точку
А-(-3; -1).
а)	Найдите значение параметра а, если прямая р проходит через
точку С(а — 19; 5).
б)	Составьте уравнение прямой q.
в)	Найдите расстояние между прямой q и окружностью ш, опреде-
ляемой уравнением х2 + у2 = 10у — 2х — 22.
4.
5.
Решите уравнение det((2|x| — 1; —х); (х; — 3)) =х2 — Зх — 15.
Решите систему уравнений <
2х2 — Зух — у = —4,
Зх2 + 5^/х — у = 13.
Контрольная работа № 7
Вариант I
1.	Дана функция /(х) = 2х — |х + 2|.
а)	Найдите /(2,5) — 3/(—2,5).
б)	Постройте график функции ш(х)=/(—х) + х.
в)	Решите уравнение w(x) = /(1 — х) — х.
г)	Докажите, что существует функция /°<-1)(х), и найдите ее.
2-	а) Постройте фигуру, определяемую системой неравенств
( У < 4 — |х|,
х 2у.
72
Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1
б) Найдите площадь этой фигуры.
3.	При каких значениях параметра а неравенство |2т + а - 3| + х
выполняется на множестве R_?
Вариант II
{2.т - 1 при х < 1,
—х 4- 2 при х^ 1.
а)	Найдите 2/(—3,5) - /(2,5).
б)	Постройте график функции <^(х) = |/(.т)|.
в)	Решите уравнение /(f + 1) = 1Ж1-
г)	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции /(
и прямой у — х + 6 = 0.
2. Постройте фигуры, определяемые следующим образом:
а) х2 = 2|у|т;	б) х2 С 2|y|x.
3. Решите уравнение с параметром а: |2т — а| + а — 2 = х.
Глава 2
Буквенные выражения
§ 1.	Многочлены и рациональные выражения
611.	Дан многочлен Р(х) = -2х3 4- х2 — Зх + 5. Найдите:
а) Р(—1)Р(2);	б) Р(|)-Р(~|); в) Р(1 + Р(1,5)).
612.	Даны многочлены Р(х) = х3 4- 2х2 - х — 3 и Q(x) = — 2х2 4- х — 3.
Найдите:
a) P(2)Q(2);	б) Р(8+С?(-1)); в) Q(l,5+2P(-0,5)).
613.	Дан многочлен Р(х) = Зх2 4- ах + 2а — 1. Найдите а, если Р(—2) 4-
4-Р(3) = 1-а.
614.	Дан многочлен Р(х) = (2а — 1)х2 — ах + 3. Найдите а, если |Р( 1)| —
-Р(-1) = 8.
615.	Дан многочлен Р(х) = (а4 2Ь)х2 + (За — Ь)х — 1. Найдите а и Ъ,
если Р(—2) = —27 и 2Р(1) 4-Р(-1) = 5.
616.	Дан многочлен F(x) — 2х3 — (а — ЗЬ)х2 4- (2а — Ь)х 4- 4. Найдите
Р(3), если Р(1) = 5, Р(—2) = —4.
617.	Найдите многочлен Р(х) = ах2 + Ьх +с, если pfl)= — х, F( 1) = 4,
/MW
k 2J 2’
Приведите следующие выражения к каноническому виду (618—626):
618.	а) (2х2 - х 4- 4)(3 — х - х2) — (2х 4- 1)(х2 - 1);
б)	(2 — х)(х3 4- х 4- 3) — (х2 — х 4- 2)(х2 - х — 5).
619.	а) (х2 - 1)2(1 - 2х) - 2(х2 - х - 2)2;
б)	(2х2 - 2х - I)2 — (Зх - 1)(х2 4- х 4-1).
620.	а) (2х2 4- х — 2)2(1 — х) 4- (2х3 — 1)(х 4- 2)(2х — 3);
б)	(x3-x-l)2-(2z-l)2-(z2 + 2)3•
621.	а) (х2 - 2)3 - (2х - 1)4(х + 2);
б)	(2х 4-1)5 - (2 - х)3(2х2 - х - I)2.
622.	а) (х24-х—I)3;	б) (х2—2х-1)3 —(х34-2х—I)2.
623.	Р(2х — Q(x)), где Р(х) =х2 — х —3, <Э(х) =х4- 2.
4 Зак 397
74	Глава 2. Буквенные выражения
624.	P(2Q(x) - х) — Q(x), где Р(х) — Зх2 + х — 2, Q(x) = x2 + 1.
625.	Q(P(x)) — P(Q(x)), где Р(х) = 2х - 1, Q(x) = х2 — х — 3.
626.	P(Q(x)) -Q(P(x)), где Р(х)=х3 + х —2, Q(x) = 2x- 1.
627.	Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождественному
венству (2х — 1)Р(х) 4- х3 — х2 — 3 = 2х4 — Зх2 — 5х.
628.	Представьте многочлен 2х4 — х3 - 5х2 + х + 2 в виде произведешь
многочленов второй степени с целыми коэффициентами.
629.	Представьте многочлен 2х3 — х2 — 1х — 3 в виде произведения дау*
многочленов с целыми коэффициентами так, чтобы при х = 2 одни
из множителей был равен 1.
630.	Представьте многочлен Зх4 - 2х3 — 6х2 — Зх — 2 в виде произведи
ния многочленов второй степени с целыми коэффициентами так,
чтобы при х = 1 один из множителей был равен —2.
631.	Найдите канонический вид выражения Р(х) = (а — х—х2)(2х+ 1)-
—х(х2 + 3х —I)2, если Р(—1) = 3.
632.	Найдите канонический вид выражения Р(х) = (2х3-ах2—х + 3)2-
— (х2 —х + 2)(&х —1), если коэффициенты при х3 и х2 равны соот-
ветственно 12 и —2.
633.	Найдите многочлен Р(х), если Р2(х) = х4 + 4х3 — 8х + 4 и Р(1) =
= -1.
634.	Найдите многочлен Р(х), если (2х — 1)Р2(х) + хР(х) = 2х5 - 5х4 +
+ 13х3 - 14х2 + 14х - 4 и Р(2) = 4.
635.	Найдите коэффициент при х3 в канонической записи многочлен»
(х + 2)4 — 2х(3х —I)3.
636.	Найдите коэффициент при х4 в канонической записи многочлена
(2х2 — I)5 — (х2 — Зх — 2)(х+ 2)4.
637.	Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству Р3(х)-^
+ хР(х) = 8х3 — 10х2 + 5х — 1.
638.	Найдите канонический вид выражения Р(х) = (а—2х)3 —(х+1)1
- (х - Ь)5, если коэффициенты при х3, х2 и х равны соответствен!
-22, 20 и -63.
639.	Найдите многочлен Р(х), если Р(х + 1)4- Р(х — 1) = 2х2 — 2х — 4J
640. Найдите многочлен <2(х), если Q(P(x))=4х2 — 6х и Р(2х) = 4х — 3
641. Решите уравнение P(Q(x)) — 2Q(P(x)) = 0, если Р(х) = х2; Q(x) *
= 2х + 1.
§ 1. Многочлены и рациональные выражения
75
Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий данному тождеству
(642—645):
642-	а)	= 9х ~ 4;	б) р(р(а:)) =х*~ 2x3 ~ 2х2 4- Зх 4-1.
643.	а) Р(-Х’) + Р(2х) = 9х3 - 10х2 - 2; б) Р(х) 4- Р(х + 1) = 4х2 4- 2х - 3.
644.	а) Р(®) + ^(2Р(х)) = х + 6;
б)	Р(Р(х)) = 8х4 - 8х3 - 24х2 + 13х 4- 18.
645.	а) Р3(х) + Р(х — 1) = -8х3 + 12х2 - 8х 4- 4;
б)	Р(Р2(х)) = 8х2 - 24х 4-15.
64б.	Решите неравенство |Р(х)| < 3, где Р(х) — многочлен, удовле-
творяющий следующему тождественному равенству: Р(2х4-1)4-
4-Р(х-1) = 12т —2.
647.	Решите уравнение Р(х) = Р(х 4- 1), если Р(х) = ах2 — Зх — т>, где
а — остаток от деления 588 на 7.
648.	Найдите Р(2) + <?(—2), если многочлены Р(х) и Q(x) удовлетво-
ряют тождествам: Р(х) 4- 2Q(x) = х2 — 2х 4- 1; Р(х) — 4Q(x) =
= х2 — 5х — 5.
649.	Найдите многочлены Р(х) и Q(x), если Р((?(х)) = х4 — 5х2 4-7;
<2(х — 1) = х2 — 2х — 1.
650.	Найдите многочлен Р(Р(х)), если Р(х) 4- Р(х 4-1) = х2 4- 5х — 3,5.
651.	Решите неравенство |Р(х)| > <2(х), где Р(х) и Q(x) — много-
члены, удовлетворяющие следующим тождественным равенствам:
P(2Q(x)) = Зх - 4; Q(4x - 1) = р(^у^) - 0,5.
652.	Решите уравнение |Р(х)| 4- |Q(x)| = 4, где Р(х) и Q(x) — много-
члены. удовлетворяющие следующим тождественным равенствам:
Р(х) + 2Q(x - 1) = 4х 4-1; Р(Р(х)) = 4х - 3; Q(P(x)) + P(Q(x)) =
= 4х 4- 4.
653.	Решите уравнение |Р(х)| = |Q(x)|, если многочлены Р(х) и <?(х)
удовлетворяют следующим тождественным равенствам: 2Р(х) —
- Q(x) = х2 4- х — 6; Р(х) 4- 2Q(x) = Зх2 — 7х 4- 2.
654.	Решите уравнение |Р(х)| = х — 2, если Р(х4-1) = х2 4-х — 2.
655.	Решите уравнение |Р(х)| =2, если Р(х) — многочлен второй сте-
пени, коэффициент при х2 которого равен последней цифре в
десятичной записи числа 723 и Р(2х 4-1) = 12х2 4- 10х.
656.	Найдите сумму коэффициентов в канонической записи многочле-
нов:
а) (2х2 4- х - 4)5(х2 -х - 2)4; б) (х2 4-Зх- 2)3 - (х3 - 2х - I)4.
76
Глава 2. Буквенные выражения
657.	Найдите сумму коэффициентов в канонической записи многочле-
нов при степенях с четными показателями:
а) (2х3 — х - I)4 — {2х — 1)(х2 4- х - I)3;
б)	(х3 4- 2х2 - х - З)3 + (х2 + 2х)(х3 - I)4.
658.	Найдите сумму коэффициентов в канонической записи многочле-
нов при степенях с нечетными показателями:
а)	(х2 — х — 2)5 — 2х2(2х — I)4 — 3(3х2 — х — З)4;
б)	3(х 4- 1)6(2х — I)3 - (х2 - х — I)5 + (х3 + 2х - I)3.
Разделите с остатком (659—662):
659.	а) Зх4 - х2 — 2х + 1 на х + 2;
б)	х3 + 2х2 — 5 на х2 — х — 1;
в)	— |х4 4- 2х3 — х — 4 на х2 4- х — 3.
660.	а) 2х3 + х —3 на х —1;
б)	х4 4- 4х3 — х2 + 1 на х2 4- х 4- 2;
в)	—Зх4 - х3 4- х 4- 2 на I + 2.
661.	а) Зх5 — х3 — 1 нах2 + 2х—1;
б)	х4 + х3 — Зх2 — х + 2 на 2х2 — 1;
в)	2х5 — х3 4- Зх2 + х - 1 на 2х2 — х + 1.
662.	а) 2х3 + Зх2 —11 на 2х — 1;
б)	Зх3 — 2х — 7 на 2x4-1;
в)	—х4 4- Зх2 4- х 4-1 на Зх — 2.
663.	Известно, что многочлен Q(x) = 4х4 — 4х3 4- ах2 4- 6х 4- 9 является!
квадратом многочлена Р(х). Найдите остаток от деления Q(x) на
х4-2.
664.	Остаток от деления Р(х) = |х2 - Зх 4- с на х - 2 равен —3. Найдитё
остаток от деления Р(х) на х 4- 2.
665.	Остаток от деления многочлена Р(х) на х 4- 1 равен 5, а при
делении на х — 3 остаток равен —1. Найдите остаток от деления
Р(х) на (х 4- 1)(х - 3).
666.	Многочлен Р(х) делится на х — 1 без остатка, а при делении Р(х)
на х 4-1 остаток равен 4. Найдите остаток от деления Р(х) на
х2 — 1.
667.	Многочлен Р(х) = 2х3 4- ах2 4- Ьх — 3 при делении на х — 2 дает
остаток 27, а при делении на х 4- 3 остаток равен —3. Найдите
остаток от деления Р(х) на х 4- 2.
§ 1. Многочлены и рациональные выражения
77
668.	Остаток от деления многочлена Р(х) на х + 2 равен —6; известно,
что Р(х + 1) = а:3 4- З.т2 4- а. Найдите остаток от деления Р(х) на
х — 2.
669.	Найдите многочлен Р(х) третьей степени, если известно, что Р(х)
делится без остатка на х - 1 и Р(х 4- 1) - Р(х) = 6х2 4- 6х 4-1.
670.	Найдите многочлен Р(х) третьей степени, если известно что Р(х)
делится без остатка на х + 2 и Р(х - 1) + Р(х) — 2Р(х + 1) =
= —8х2 — 2т + 3.
671.	Многочлен Р{х) при делении на х + 2 дает остаток —1, а при
делении на х — 3 остаток равен 2. Найдите остаток от деления
Р(х) на х2 — х — 6.
672.	Найдите остаток от деления многочлена Р(х) = (х2 — 2х — 2)4 +
+ а(х3 — х — I)3 на х + 1, если остаток от деления Р(х) на х — 2
равен —109.
673.	Остаток от деления многочлена Р(х)=а(2х2-х-1)3+Ь(х3—х-1)3
на х2 — 1 равен —129т — 114. Найдите остаток от деления Р(х) на
х + 2.
674.	Многочлен Р(х) при делегат нах2—х — 6их24-х — 6 дает остат-
ки 2х 4- 5 и —х 4- 1 соответственно. Найдите остаток от деления
Р(х) на х2 — 4.
675.	Является ли число 577 корнем многочлена Р(х) = х5 — 576х4 —
- 578х3 + 576х2 + 578х - 577?
676.	Является ли число —13 корнем многочлена Р(х) — 2х6 + 25а:5 +
+ 170х3 4- 12х2 4-11x4- 299?
677.	Найдите остаток от деления многочлена Р(х) = ах5 — З.т3 +
4- (2а — Ь)х2 — 4х + За — 7Ъ на х — 1, если известно, что Р(х)
делится без остатка на х2 — 4.
		Сократите следующие дроби (678—683):				
678.	я!	х34-8 .	б)	х6 - 1.	в)	х3-1
		х4 -16 ’		х4 —1’		2х24-3х —5'
679.		27х3 - 8	б)	16х4 - 1		х2 — х — 6
	а)	32 - 243х5’		32х5 -1 ’	В)	х4 — 16 ’
680.	а)	1-х8.	б)	а9 — Ь3		а4—4
		X6 — X ’		Ь4 —а12’	в;	6 4- а2 — а6 ’
681.	а)	х7+128а7	б)	х6 - 8у 3		Ь4—9
		64а6 — х® ’		32j/5 - х10 ’	В)	2Ь4 4-Ь2-15
682.	а)	Ь2—х2		б)	4х6 —	1
		х2 + 2bx — ЗЬ2 ’			14- Зх3 4- х	6 - 2х9 ’
78	Глава 2. Буквенные выражения
	,	а,-3 — аж2 — 2а2х В х3 4- 2х2а — Зха2 — 10а3 ‘
683.	,	4-х6 .	х8 + х4 - 6	. 4х2 + а4 — 4ха2 ' хй-х^-2'	°'	9-х8	’	DJ 4х3 — ха4 * 1 Укажите какое-либо разложение данного многочлена на два множителя ненулевой степени (684—688):
684.	а) хб 4- х2 - 2;	б) х5 + х3 4- 40;	в) х4 4- х3 - 2.
685.	а) х7 + х3 4- 2;	б) х4 + х3 - 24;	в) х5 + х3 + х + 3.
686.	а)2х3 —х —1;	б)Зх4-х-2;	в) 2х6 — х-1.
687.	а) х6 + х4 + 4;	б) х12 4- х4 + 2;	в) х6 + х2 + 2.
688.	а) а10 — Ь5;	б) х15 + у9;	в) 8а9 + х6. Укажите какое-либо разложение данного многочлена на три множителя ненулевой степени (689—692):
689.	а) х6+х3 — 4х — 64; б) х12 + х4 - 68;	в) 2х6 — х2 — 1.
690.	а) а6 4-а8— а2х2— х4; б) За4 — 2а2Ь2 — 64; в) а4 - За2х2 4-2х4.
691.	а) х4 + х3 - 4х2 - х 4- 3;	6) х4 - х3 - 2х - 4; в) х4 — 2х3 + х2 — 4х + 4.
692.	а) х4 + х3 — 6х2 — 14х —12;	б) х12 + х9 — х6 — 4х3 — 3; в) х9 + х3 — 2.
693.	Докажите, что при нечетном натуральном п число 43п 4- 1 крат но 11.
694.	Докажите, что при любом натуральном п число 53п — 7П крат но 59.
695.	Докажите, что при любом натуральном п число 72n + 92n+1 4 4-17 • 16п — 23п кратно 13.
696.	Докажите, что при любом натуральном п число 182п-1 4-32п-1 4 4- 26п 4- 20 кратно 21.
697.	Докажите, что при любом натуральном п число 352п — 16п крат но 403.
698.	Докажите, что при нечетном натуральном п сумма 13п 4- 21п крат на 34 и не кратна 68.
699.	Докажите, что при любом натуральном п число 294п — 1 крат но 560.
Докажите, что при любом натуральном п данное число является
составным (700—702):
700. а) п3 4- п2 + Зп + 3;	б) п3 + 2п + 3.
	§ 1. Многочлены и рациональные выражения	79
701- 702.	а) п4 + Зп3 + 6п2 + 5п + 3;	б) п3 + 2п2 + 4п + 3. а) п3 + 2п2 + 2п + 1;	б) п4 + 4п3 + 2п2 + п + 2.
При каких натуральных п данное число является составным?
	(703—705)
703. 704. 705.	а) п3 + п2-п + 2;	б) п4 + п3 + Зп2 - 2п +4. а) п4 + п3 + п - 3;	б) п3 - 2п2 + 3. а) п6 + п4-п2 + 2;	б)	п4-12п3+56п2-119п+98.
Выделите целую часть из данной неправильной дроби (706—707):
706.	ч х3+х2 — 4	,, Зх4 — х2 — х + 5 а) х2+х-2;	б>	х + 1
707.	ч 2х4 - х - 5	Xs + х2 - Зх - 1 а) 2х2 — 1 ;	б) X2 + X + 1	•
Сократите данную дробь и выделите целую часть из полученной
	дроби (708-709):
708.	Д3 - 1.	х5+х2-2 а) ,	б)	. , 1 X2 — 1	7	Хл — 1
709.	. 2х5 + х4 +1	Зх4 — х3 + х2 — х — 2 а) хЗ + 1 ;	б)	а2 + х-2	•
Разложите данные правильные дроби на простейшие (710—713):
710.	\ 2х 7	—ч	х	ч х 1 ' х2-Г	б^х2-х-2’	х2 + 3х‘
711.’	.	1	,ч 11—Зх	.21-6 х2—4’	х2 + 2х-3’	В) х2 —2х'
712.	ч 4х2 + 4х — 2	Зх2 - 2х + 2	. 4 - 2х2 3 х3 —х ’	' х3+х2—2х’	В' х3+2х2’
713.	ч д + 1	-х2 - 5х — 3	.	х — 8 а (х —I)2’	' х3 + 2х2+х’	В' х3 —Зх2 + 4"
Выделите целую часть из данной неправильной дроби и полученную
при этом правильную дробь представьте в виде суммы простейших
	(714—716):
714.	. х4+х3+ха-3.	х5 -Зх4 -х3 + 5х2 -Зх- 7 '	х2 + 2х ’	'	х2 — 2х — 3
715.	ч -х5 + х3 + х + 1.	х4 - X2 - 5х + 1 х2 — Зх ’	'	х3 + х2
716.	ч х4 + X3 - Зх2 - 1'	—2х6 - X4 +х2 - 3 х3 — 2х2 — х + 2 ’	' х3 + 4х2 + 4х
80
717.
718.
719.
720.
721.
722.
723.
724.
725.
726.
727.
728.
Глава 2. Буквенные выражения
Решите уравнения (717—719):
х3 + х2 — 2.г + 2 _ х3 4- За2 4- 2а: 4- 3 .
х — 1	— х 4- 1
х3 + 2а-2 — а: — 1 _ а:3 - 4х2 — а: 4- 6
х4-2	—	х-4
д3 + 10 _ а:3 — За-2 4- 6а: 4-1
х 4- 2	х — 1
2а:4 — х3 — 2х2 -х + 2 _ а:4 4- а:3 - а:2 — 2а: — 3
2.т — 1	~ х 4-1
б)
а:4 4- За:3 — 5 а:2 4- 2а: 4- 9 _ а?4 — а:3 — а:2 4- 4а: — 1
х2 4- За: — 4	а:2 — х
х3 - Зх2 4- 8 _ а:3 — 2а?2 4- 2а: 4- 8
х2 — 1	х2 4- х — 2
Решите неравенства (720—722):
а:3 4- а:2 - За: 4- 5	а:3 4-За:2 4-а: 4-1.
а?— 1	'	®4-1
х3 4- а?2 - За: 4- 3	а:3 - 2х2 4- 3
х 4- 2	х — 1
а:3 — За:2 4- 6 < х3 4- 2а:2 — 5а: — 5
х — 2	а; 4-3
а:4 4- 2а:3 4- а?2 — 3	а:4 — а:3 4- а:2 — За:
х4-2	х — 1
а:3 — а:2 4-8	а:3 — 4а:2 4- 7а- - 3
х2 — 4	> х2 — За: 4- 2	’
а-4 - За:3 - 5д2 4- 14а: 4-10 < а:4 - 2а:2 4-5а: 4-4
х2 — За: — 4	х2 — 1
Найдите следующие суммы (723—730):
1-3 + 3-5 + 5-7 + ”• + 23-25’
J_._L + J_+ + _1_
1 -3 2-4 3-5	23-25’
. J5. п2 4- п 4-1
а> п2 + п ’
fc5i k2 + 2k'
. Д2. Л:2 4- 4А: 4- 5
j£0 к2 4- 4к 4- 3 ’
25
а) Е
k=2
к2 4-1
fc2-l’
п+1 п
30	9
6) £ 2t’t;!V5
§ 1. Многочлены и рациональные выражения
81
729- 1.4 + 2-5 + 3-6 + ”'+18-21 + 19 + 2Г
1 । 1 i 1 1 24	4
73°- 22 + 23 + 24 + п2 —2п—3‘
П=4
Зх + 1
731.	Дана функция /(я) = д t . Постройте графики следующих функ-
ций: а) /(ж); б) f(i + l); в) /(|®|) г) |f(x)|; д) /о2(х); е) /(аг-1).
2х — 1
732.	Дана функция f(x) - у- у.
а)	Постройте график функции <р(х) = |/(х)|.
б)	Постройте график функции 0(х) = /(|а;|).
в)	Решите уравнение <р(х) = 2.
' П	I xU2*-1!
г)	Решите неравенство <р(т) > —-—.
2а — 3
733.	Дана функция/(ж) = у—у
а)	Постройте график функции </?(х) = |/(х)|.
б)	Постройте график функции = f (|х|).
в)	При каких значениях х верно равенство <р(х) = ip(x)2
г)	Постройте график функции w(z) =/(а-1).
д)	Решите неравенство w(x) > /(х).
735.
734.	Дана функция f(x) =
|д;|	2
а)	Постройте график функции <р(х) =	2 .
б)	Укажите множество Р(^).
в)	Решите уравнение |/°2 (ж) | — 1.
г)	Решите неравенство |/(ж)|(х - 2) > х2 + 2х.
Дан многочлен Р(х) = 2х4 + х2 + 5х - 11.
а) Найдите остаток от деления Р(т) на х + 2.
б) Найдите остаток от деления Р(-13) на 7.
в) Найдите последнюю цифру числа Р(63).
736. Дан многочлен Р(х) — 4х3 — х2 + 5х +1.
а)	Найдите остаток от деления Р(х) на 2х — 1.
б)	Найдите остаток от деления Р(—87) на 13.
в)	Найдите остаток от деления Р(23)Р(—23) на 17.
?37. Дан многочлен Р(х) = 45т3 + 83т2 — 17т — 9.
а)	Найдите остаток от деления многочлена Q(x) — хР2(х) на х + 2.
б)	Найдите остаток от деления 2Р(—17) — Q (17) на 13.
в)	Найдите две последние цифры числа Р(237).
738.	Дан многочлен Р(х) = (2х — З)3(т2 — Зх — 5)5.
а)	Найдите остаток от деления Р(х) на х — 4.
82
Глава 2. Буквенные выражения
б)	Найдите остаток от деления Р(х) на х2 - З.т — 4.
в)	Найдите остаток от деления Р(—17) на 4.
739.	Остаток от деления многочлена Р(х) = хл — Заз;2 4- 4ж — 17 на х 4-1
равен 2. Докажите, что число Р(292) кратно 5.
740.	Остаток от деления многочлена Р(х) = 17х3 — 4О.т2 4- ах + 8 на
х + 2 равен —200. Найдите остаток от деления Р(—200) на 7.
741.	Дан многочлен Р(х) = х3 + 2х2 — х + а, где а € Z. Остаток от
деления Р(17) на 11 равен 3. Найдите остаток от деления Р(—17)
на 11.
742.	Дан многочлен Р(х) = 2х4 4- ах3 — Зх2 — 5т — 20, где а е Z. Остаток
от деления Р(17) на 5 равен 3. Найдите остаток от деления Р(—6)
на 15.
743.	Дан многочлен Р(х) = (2х2 — х 4- а)(3х2 + 2х — 5)4, где а £ Z. Из-I
вестно, что остаток от деления Р(—30) на 7 равен 1. Найдите
остаток от деления Р(39) на 14.
744.	Дан многочлен Р(гг) = 2,т3 - 1х2 4- ах + 17, где а 6 Z. Найдите
остаток от деления числа Р(-13) — 2Р(13) на 4, если остаток от
деления Р(27) на 12 равен 5.
745.	Сколько существует примитивных многочленов вида Р(х) = ах2 4-
4- Зя — 6, где а — натуральное число вида 1 * **, обладающих сле-
дующим свойством: остаток от деления числа Р(137) 4- Р(—340)
на 7 равен 1?
746.	Сколько существует примитивных многочленов Р(х) = ах2 4- 5х 4-
4-10, где а — двузначное натуральное число, обладающих следую-
щим свойством: остаток от деления Р(-23) 4- Р(23) на 7 равен 1?
747.	Многочлен Р(х) имеет целые коэффициенты; Р(2) = 1. Докажите,
что Р(4) /1998.
748.	Многочлен Р(х) имеет целые коэффициенты: Р(17) = 13. Каково
значение Р(65), если оно заключено между 150 и 200?
749.	Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами, причем
Р(3) = 7. Укажите все возможные целые значения аргумента х,
для которых Р(х) = 4.
750.	Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами, для которого
Р(2) = 9 и Р(9) = 2. Найдите Р(4), если известно, что |Р(4)| ^5. I
751.	Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трех целых точках'
он принимает значение 2. Докажите, что ни в какой целой точке
он не принимает значение 3.
§ 1. Многочлены и рациональные выражения
83
752.	Дан многочлен с целыми коэффициентами. В пяти целых точках
он принимает значение 5. Докажите, что ни в какой целой точке
этот многочлен не принимает значение 3.
753.	Докажите, что не существует таких целых чисел a, b, с, d, при
которых выражение ах3 + bx2 +cx + d равно 1 при х = 19 и равно
2 при х = 62.
754.	Многочлен Р(х) с целыми коэффициентами при некоторых целых
х принимает значения 1, 2 и 3. Докажите, что существует не более
одного целого числа х, при котором значение этого многочлена
равно 5.
755.	Запишите следующие многочлены в лексикографическом порядке:
а) Зху3 — х2у — 2у2 + 5ху - 2х + 1у — 1;
6)	(2х2 — у - I)2 + х2(х — у)3\
в)	(2а;2 - Зху + х- 2)(ху — 2х— I)2.
756.	Дан многочлен Р(х; у) = 2х2у — За;2 + ху2 — ху — Зх + у.
а)	Найдите ЗР(—1; 2) +4Р(-|; — 1).
б)	Решите уравнение Р(х; —х) = — х3.
в)	Решите неравенство |Р(0; у)| |2т/ — 3|.
757.	Дан многочлен Р(х; у) = х2 — ху + х — 2у2 — у.
а)	Найдите 2Р(—2; —1) — Р(—1; —2).
б)	Решите уравнение Р(х; 1 — х) = 0.
в)	Решите неравенство Р(—1; у) 4у.
г)	На графике функции /(х) = |х| найдите точки, в которых
Р(х; у) = -2.
758.	Дан многочлен Р(х; у) = х2у2 + х2 — Зху + 2х + у2 — 1.
а)	Найдите значения у, для которых этот многочлен тождественно
равен 2х2 + 5х.
б)	Решите уравнение Р(х; 1) = |х|.
в)	Решите неравенство Р(0; у) 3.
. „	(Р(1;х) = 2,
г)	Решите систему уравнений <
I Р(х; 1) = 15.
759.	Выразите следующие симметрические многочлены через и = х 4- у
и v = ху:
а)	ух4 + у2х2 — 2х2 + у4х — 2у2\
б)	Зх5 — ух3 — ху3 + За/5;
в)	х6 - 2х4у - 2ху4 + у6.
760.	С помощью выражения данного симметрического многочлена че-
рез простейшие разложите следующий многочлен на множители:
84
Глава 2. Буквенные выражения
а)	х4 4- 2х3у — х2у2 4- 2ху3 4- у4;
б)	х4 4- 4х3у + 5х2у2 + 4ту3 4- у4.
761.	Решите системы уравнений:
Гх24-7/2 = 13,	Гх34-у3 = 1,	(х2-ху+у2 = 7,
а) \	о) \	в) \
|^+у = — 1;	(х4-у=1;	(i4-y = l.
762.	Известно, что для некоторых чисел хну выполняются равенства:
х 4- у = 3; х2 4- у2 = 7. Найдите:
-г2 и2
а)ху,	§)—+^-;	в)я:4 + у4.
у
763.	Известно, что для некоторых чисел х и у выполняются равенства:
х + у = 5; х3 + у3 = 80. Найдите:
_з ,.з
а)ху;	б)х2+у2;	в) -7 + ^.
у •ь
764.	Докажите, что если а2 + Ь2 = 8, то |а 4- 5| 4.
765.	Докажите, что если а 4- Ь 6, то а2 + Ь2 18.
766.	Найдите sin3 а 4-cos3 а, если sinacosa = 0,4 и аб(0°;90°).
767.	Найдите cosa — sina, если tg а 4- ctga = —2,5 и а € (0°; 180°).
768.	Найдите sin5 а + cos5 а, если sin а 4- cos а = -у=.
§ 2. Квадратные корни
Найдите целую часть данного числа (769—772):
769.	а) 7137;	б) 7301;	в) 71370;	г) 72357;	д) 756169.
770.	а) -х/271; б) ->/567;	в) -72809; г) -7731Т; д) -Т97347.
771.	а) 7-ч/31; б) </261-23; в) 77513- 73; г) 97-785033.
,15 4-773	43 - 75707	, 77-Т7033	, Т35177- 107
772.	а) ---2---; б) -----------; в) ----g----; г) ------'
Найдите дробную часть данного числа (773—774):
773.	а) 7174; б) -7237; в) 4-75; г) 5 - Т39.
, 434-7511	17-71015	, 7871-43	, -53 - 71371
774.	а) ---=---; б) -------.---; в) ----г) -------------х-----.
Найдите «1 для данного числа а (т. е. приближенное значение
с недостатком, указывая один верный знак после запятой) (775—776):
775. а) 7537;	б) 73954;	в) 729051;	г) 7113757.
776. а) 7299;	б) 7737;	в) 78042;	г) 7873308.
§ 2. Квадратные корни
85
777.
778.
779.
780.
781.
782.
783.
784.
785.
786.
787.
788.
789.
790.
791.
792.
793.
794.
Найдите а2 для данного числа а (777—778):
а) 713;	б) 728;	в) 7Ш;	г) Т79Д
а) 72513;	б) 719ДЗ;	в) 7+317;	г) 70,0571.
Упростите следующие числовые выражения (779—808):
а) 2^-725; б) |7(Щ;	в) 0,37^35.
а) 27144 - 37225; б) |7М4; в) 2,5 - 7^/4,(6) - 8,8(3): 2
а) ^/0^121-2^^49; б) ^76^5-1ТШ в) ~ х/3Т5~ 7
л	О	О V JLZ О
а) v/З + У(ч/3-2)2;	б) ^(75-2)2 - 75;
в) У(1-\/7)2-^(У7-2)2.
a) 727  12; б) ч/2 • 722 • 711; в) ^0,(3) • х/0^-у^2.
а) Т+П8; б) 78 • 13,5 • 75;
а) (у/й-Уб/б))2;
в) ^(2-ч/б)2+>/5-5/9 + 375.
а>^-10А
а) 2 720-2 745 + 1-/16;
в) (з7^8-775+|Т147)2.
а> (27Г8Т5+з71)зТ1
а) (4+7б)(372-573);
а) - 735;
’ 75 + 77
а) (75-З)3-16(720-0,(3));
а) (2-73)4 + (2+73)4;
а)	, г-1 г-.. - /3^5;
' (Тз-75)2
а) (3- Т2)5 + (3+ /2)5;
в) \/7б-72- т'Тб + 72.
б)	(Т1б-\^)2+475;
77?	. /4 „14
^/27’	в)\/59’1125’
б)	|Т30б-? 727 + 573;
(6745 - 3720 + 9780): (ЗТб).
б)	(7748 + 3727 - 2712): 73.
б)		7=^--277.
77-2 77 + 3
б)
б)	(711-2)4-711(744-120).
б)	125	54(72-1)
' (7б-1)3	27з-7б ’
б)	(-^ + (Т7-1)2):64.
\4—у7	/
86
Глава 2. Буквенные выражения
795.	а) (2ч/5-3)4 -232(5-3Л); б)	„ +0,(3).
(v3 - 2)д -ь 11
796.	a) 3600^+(^= + ^)';	I
б)	1/7 + 75-1 + 77- т/5+1 +	I
797.	а) ((У5-2)4-10(16-7х/5))(2ч/5+1);
б)	7((3 - У2)5 - 840 + 590 Л): (3 - л/2)(11 - бУ2).
798.	a) \/7-3n/5 : У2 + УЦ25;	б) . 1	-
\/14 — 5>/3	22
799.	а) (зУз + У37- 20Уз)(5 - ч/З); б) (У7 + 1)У8-2У7.
800.	а) (—Л—- 4- — 5  — Уб) : У2; б) - 	1 -+	* _
'КУ5-УЗ УЗ + 2У2	)	’ У5-2У6 + 2У2 УЗ-У2
801.	а) У2-У11-4У7(У7 + 1); б)	- 3^+2Л) yj
9	./7
802- а)л77ул-УУ+6ЛВЗ;
б> Тб + ХзУз-4^-2-^-	I
803 а) _____1
У5^-УТ^-1	Зх/2-2%/3 - 3>/б-б’
бч 1___________Уб_________5__
J УТЛ-У2^-1 2У6-ЗУ2 Зх/З + 3
19	9	:__ 22	,
804. а) £ —=Л--7=7-У21; б) V >_______1 ,______
(y/k + 2 + Vk)	^^УьГз+УГ+г
20	1	24 л	!
805‘ а) £ з(угн+уь+5); б) £ уга+уь+т ~ 6ч/Ч
806. a) g (У* + 1 + УА + З)-1 + |(У2- У15);
k=o	2
б) Е 3(У£+УГ+з)-1-(Уз+У2)2-У2(УпЗ-1) +Уз.
к=1
807. а) {5,5 — УЗ} + {—3,5 + УЗ}; б) 2{3,1 — УЗО}-Ь{2У30—17,5}
808. а) УУ28-4+УУ7-УЗ-УУ7+УЗ;
б) (УУП-У7-УУ1Т+У7) У4+У44.
§2. Квадратные корни
87
Какие из данных чисел являются рациональными? (809—813)
809.	а)	х/74529;	б)	^/237584;	в)	/17424.
810.	а)	//138384-9;	б)	/272 - /20449;	в)	/ЗЗ - /21.
811.	a) |j-/741321; б) 2-0,24/5380136; в) /17-2/42+ /17 + 2/42.
812.	а)	~^= - -Д=;	б)	-Л= + -Д=;	в)	2
/576	/5184	/1089	/1125	/7- 1	/7+1
,	/3 .	/13	.4-/5	4 + /5
/3-1	/3 + 1	2/13-5 2/13 + 5	/5-2 /5 + 2
814. Докажите, что данные числа являются иррациональными:
а)2/б-/3;	б)/2-/5;	в)
/3 + /2
815. Найдите [х + 0,5] и {х + 0,5}, где:
Найдите значения данных выражений /(ж) при указанных
значениях х (816—821):
816.	/(х) = х3 — Зх2 - х - 1;		а)	х = 1 + /5;	(СО 1 (CN II Н o'
817.	/(х) =	х2 — х — 1	а)	х= —/2;	о\ н II оо) 1
		х2 +1 ’			
818.	/(х) =	(х2 — х —5)4;	а)	х = —/5;	б) х = 1 + /5.
819.	/(х) =	40	64		х = 2 + 4/5;	б)х = - 2 + 4/5.
		(х — 2)2 (х + 2)2’	aJ		
820.	/(х) =	х3 — х2 — х + 2 х2 — 1	а)	х= /3;	б) х = 1 + /3.
821.	/(х) =	2х2 + х + 1 _ 2х2 — 5х + 2 х + 1	х — 1	’	а)	х = 1 + /2;	б) х=/7-1.
822. Найдите Р(—/2) + Р(/2), где Р(х) = 2х3 + х2 - Зх - 1.
823.	Найдите Р(-/3) - Р(/3), где Р(х) = х4 -х3 -х2 + 3.
824.	Найдите Р(3 — \/2), где Р(х) — многочлен, удовлетворяющий тож-
деству Р(х + 2) = -х2 - 2х +1.
825.	Найдите Р(2 — /5), где Р(х) — многочлен, удовлетворяющий тож-
деству Р(2х) + Р(х) = 9х3 - Зх - 6.
Найдите область определения выражений (826—830):
826-	а) /2х— |х + 1|;	б) /|2х + 1| — Зх---. 2
ух + 2

88
Глава 2. Буквенные выражения
827.
828.
829.
830.
831.
832.
833.
834.
835.
836.
837.
838.
839.
840.
841.
842.
843.
х
v/|3 — х| — 1 — 1 ’
У|2х + 3| + х
а)
y/t+7-З1
У4х-2-|Зх+1|
у/6— |х| — 1
б)-=
б) у5-|*+1|--тН
б)
б)
725 - х2 - 5
У ГГ У х2-2х
а) Дх) =  т	• --= — х;
74 —4x4-х2
а) Дх)=х2 — 4;
Дана функция /(х) = <
Постройте графики функций (831—837):
,_________________ л,2 _ о
а)	Дх) = 3 - х - ч/4-4х + х2;	б) Дх) = ^===.
а) У(х) — \/9 - 6х 4- х2 - у/х2 + 2х + 1; б) /(х) = 2х-. х + 2т
у/х2 + 4х + 4
б) /(х) —у/х2 — 4х + 4 — 2у/х24- х.
б)	Дх) = -|х2-1|.
б)	/(х) = |х/х-2|.
б)	/(х) = у/2 — х — 1.
б)	/(ж) = v'4 ~ |х|.
—I2 при х 0,
2х при х>0.
а) Постройте график функции /(х).
б) Докажите, что данная функция является обратимой, и построй-
те график функции f°(~}\x).
в)	Решите неравенство /(х) /°^_1\х).
При каких значениях х верно равенство? (839—847)
а) \/х2 — 9 = у/х — 3 • \/х4~ 3; •
а) у/х2 + 2х =
б) у'х2 - 9 = Т'З - х  у/-х - 3.1

х4-3 ^/7+3’
/х-2.
у х4-3’
4х — х2 у/
х2 — 4х + 4	2 — х
k'i /2ж~3 _	— 2х
у х4-2	7—х — 2
/х24-6x4-9______х4-3
Ь> \ х2-16 ~ J4^-y/~-
§ 2. Квадратные корни
89
844	. а) (х — 2)	*~2 = ^х2 — 2х',	6) х/т3 + Зх2 = —Хх/я + 3.
_ ч /х2 — 2т +1	1—х	-ч /х2 — 2х + 1__1 — х
8	' а' V т2 + 4х ~ у/х2 + 4х ’	° V т2 + 4х ~ у/т  у/хТТ
846.	а) х/х3 - 2х2 + х = (1 - х)у/х;	б) ^ = -	•
847.	а) (1 -x)J= Vx2 — Зх + 2;	б) (x-2)J-—| = x/x2-3x + 2.
848.	Известно, что \/а + 23 — х/а + 8 = 3. Найдите \/а + 23 + \/а + 8 и
укажите соответствующее значение а.
849.	Известно, что \/а — 12 + у/а+ 12 = 12. Найдите \/а — 12 — \/а +12
и укажите соответствующее значение а.
850.	Известно, что 2\/а + 14 + х/4а + 5 = 17. Найдите 2х/а + 14 —
— \/4а + 5 и укажите соответствующее значение а.
851.	Известно, что Зх/а + 43 — \/9а + 64 = 17. Найдите 3\/а 4- 43+
+х/9а + 64 и укажите соответствующее значение а.
852.	Найдите натуральное число п, если [х/п + 17 ] =20, остаток при
делении п на 17 равен 5 и п : 3.
853.	Найдите натуральное число п, если [х/2п —11] =45, остаток при
делении п на 11 равен 3 и остаток при делении п на 13 равен 10.
854.	Сколько существует натуральных чисел п, удовлетворяющих ус-
ловиям: п  7 и [\/п] =43?
855.	Сколько точных квадратов среди всех четырехзначных чисел?
856.	Сколько существует натуральных чисел п, удовлетворяющих ус-
ловиям: [х/Зп - 2 ] = 77; п = 5 (mod 7) и п = 1 (mod 3)?
857.	Найдите точный квадрат вида 8**1, если известно, что он кра-
тен 7.
858.	Найдите точный квадрат вида 2 * *2*, если известно, что он кратен
3 и не кратен 11.
859.	Найдите натуральное число п, если [\/п + 21] =23; n = 5(mod 7)
и в системе с основанием 2 число п записывается в виде девяти-
значного числа.
860.	Найдите натуральное число п, если [х/п + 2 ] = 15; п • 11 и в си-
стеме с основанием 3 число п записывается в виде шестизначного
числа.
861.	а и (3 — иррациональные числа. Могут ли числа 2а - 0 и быть
одновременно рациональными? Приведите пример таких чисел.
90	Глава 2. Буквенные выражения
862.	Существуют ли действительные числа а, для которых числа а 4- 4- 715 и - — \/15 одновременно являются целыми? Укажите все такие числа а.
863.	Известно, что числа а, Ь и п= -——-= являются целыми. Найди- 64-275 те п.
864.	Сколько существует упорядоченных пар (а; 6) целых чисел, для а>/7 — 2	„ которых число	-= является рациональным' Ь 4- 2v 7
865.	Определите данное число, если известно, что оно рационально: 1 а) \/23 * *9;	б) 777 * 8 * 4. Упростите следующие выражения (866—876):
866.	. 74а2 — b	f-,	Ь — 4а а) Ь2-4а2’	’ V^ + 2ab
867.	а) -j-j4b3a — 2ajab\	б)	,
868.	, Гь /Ъ	Ь^ + 2^ а) а\ а3 V а'	б)	14-25
869.	. / 7“ + 1	^/а-1	-	1 \	х-у х7?~Т^ а) (у^-1	754-1 1	х/г)’ б)	Х~У
870.	\	( 7° 1_\ ( <L-Jo- _ д+х/а \ й (v/a4-l)3-ayza4-2’	\2	2v''a/\-v/a4-l	Ja-1)
871.	а)	б)(а-1»)^±-|-7а2-Я
872.	,	,	 /	, ,-—7	х/х4-2у/х—1 — 1 а)х/х4-14-ут + 5 47-Т4-1;	б) 		- — Jx - 2/х -1 4-1
873.	а) Jx - 1 - 2jx - 2 — Jx2 - 4x 4- 4; Jx+ 11 -6x/x4-24- \/x4-34-27x4-2 o)			 -  7^4-3 — 27^4-2
874.	a) f	- 780^ (37И 4- 75) - 9a; \7a —75	J 7+.+«^)(“г-1)+2°-	]
875.	a) 2°;^-^;	6)f,/^-lV27xy-2/):(y-4x)
§ 2. Квадратные корни
91
876. а)
б)
Решите уравнения (877—891):
877.	а)	^(х —1)(х4-2) + 2 = т;	б)	^/8 — |2 — х| = 2.
878.	a)	v/9-6z + rr2 + 2х = 12;	б)	у/х* 4- 2х2 - 3 4- х2 = 1.
879.	а)	у/4х2 — 12х + 9 4- v/ir2 = 6;	б)	У4 4- х — х2 4- х = 2.
880.	a)	|7J-7| + |3-v^|=4;	б)	УЗх+7 4- х + 1 = 0.
881.	а)	|^-2Н2^=13;	б)	v/TZ^24-2 = x2.
882.	а) (а;2 - За;) ^2- |х| = 0;	б) (9-х2)У-х-2 = 0.
883.	а) 3:2-4 -=о;	б) х2 + 2х _=q
х/З^х- 1	' УГ+4-2
884.	а) —=== = —т===;	б) |х|/=2^ = 4У=2^.
у/Х — 1	у/х — 1
885.	а) (Зх - 4)у/2х^\ = |®| х/2^1;	б)	-£= = ~^=.
vl— X	у/1—Х
886.	а)	^/5 — |х — 1| = У4Г+2;	б)	У1^2^ =
887.	а)	у/Зх — |х| — 1 = у/х 4-1;	б)	у/2х2 — 5х — 2 — у/х	— 2 = 0.
888.	а)	\/3—Ух = \/|Ух—1|4-2;	б)	Ух2—х—24-УЗх24-а;—2 = 0.
889.	а) 2Ух2^1-(х-1)^^| = 6;
б)	(х 4-1) У-jj-qTY 4- у/х2 - 2а; - 3 4- 2х 4- 4 = 0.
890.	а) у/х + 7-4у/х + 3+у/х+3 = 2-,
б)	\/х4-10 - 6у/х 4-14- \Лс4- 2 — 2у/х + 1 = 4.
8э1.	а) у/х + 4- 4у/х 4- Зу/х = 4; б) >/х4-1 - 2у/х + у/х+16-8у/х = 3.
892.	При каких значениях а уравнение \/2а: — а = У|х - 1| 4- а имеет
хотя бы один корень?
893.	При каких значениях а уравнение Ух 4-1 - а = ^/2|х| 4- За не имеет
корней?
894.	При каких значениях а уравнение у/х + а = У2|х- 1| - За имеет
два корня?
тая
92
Глава 2. Буквенные выражения
895.	При каких значениях а уравнение у/2-а-х = у/|2х- 1| -2 имеет'
хотя бы один корень?
896.	При каких значениях параметра а уравнение \/а 4- |3х — 4| - 2х =d
= у/3 — х имеет два корня?
897.	При каких значениях параметра а уравнение у/х2 + 2х — а 4- а = х
имеет один корень?
898.	При каких значениях параметра а уравнение у/х2—|Зх|4-а=х4-2
не имеет корней?
899.	При каких значениях параметра а уравнение у/х2 - 4х + а — |х| - 2
имеет непустое множество решений и каждый корень этого урав-’
нения удовлетворяет неравенству х2 + ах О?
Решите уравнения с параметром а (900—903):
900.	а) у/2х + а= у/|х| - 1;		б) у/х2 — За — х = у/х2 + 2х.	
901.	а) х = у/х2 4-а 4-2;		б) х 4- у/х2 - х 4- а = 4.	
902. 903.	а)( а)	х-а)у/х2 — 2х = 0; А2 -4_0 х + а Решите системы		х-а	_
			°)	5 с? 1 м [й I”,
			О? уравнений	Л2-1 (904—912):
904.	а) •	у/х2 — 2ху 4- у2 4-х = 1, 2у — х = 4;	б)	\ /		' N3 ю| I II II
905.	а) •	у/х + у + х = 4, х+|х-?/|=8;	б)	у/2у - х 4- х — 2, Ух24-у = 2.
906.	а) <	у/4х2 + 4ху+у2 —х = 5, y/у—4х = 3; 2х _ у	б) <	к|ч/х4-у = уч/х4-у, Зх—у = 8.
907.	а) 	Vх - У у/х-у' X2 4- у - 0;	б)'	y/Qy - 39 — 2х2 4- х = 3, у/у + х = 4.
908.	а) <	у/х 4- у = у/2х - 2,	б) <	у/2х — у = 2,
		|у4-2|-2х = 3;		у/х-у= у/5- |у|.
909.	а) <	у/х 4- у 4- 1 = у/2х — 3, |х4-у| = 5х + у;	6) <	у/3х-у= у/х4-|у|, 2x4- |у- 1| =3.
§ 2. Квадратные корни
93
910.	а) -	у/х2 - 2ху + у2 = 2х, у/2х — у = у/х;	6)1	см Н , + 7 ы >
911-	а) •	у/х + у-2у/ху = 3, 2у/х+ у/у=12;	б) -	у/9 — 6у/х + х + у = 1, у/2х - |у| = у/х + 4.
912.	а) <	у = у/х+ 2, х2 + у2 = 6х + 4у + 4;	б) <	[х=ч/у-1, х2 + у2 = 10у — 6х - 9.
		Сравните следующие	числа	(913—917):
913.	а) 2 -Ь и х/З 4- х/10;		б) ч/б - ч/П и у/7-ч/13.	
914.	а) х/б+ч/10 и 3+ у/7		б) ч/3-\/7 и ч/П-ч/15.	
915.	а) 2ч/3 - ч/б и 3>/2 — \/1Т;		б) 2ч/б —Зч/З и Зу/2-2ч/б.	
916.	а) у/13 + ч/З — ч/б и \/10;		б) у/7-у/3-\/5 и 2 — ч/10.	
917.	а) ч/1б - 2 - v/15 и 1 - уТЗ;		б)2ч/3-ч/17 и 2 — 2ч/б 4-ч/б.	
		Решите неравенства (918		—928):
918.	а) х/3 — 2х 5; л		б) -	—i— <2. /х — 2
919.	а) -	7==>з; /3 — х	б) у/Зх- |х+ 1|	1.	
920.	а) 4/6 - |х - 1| > 2;		б) у2х+ |х + 3| < ч/б.	
921.	а) у/Зх — 1 < у/2 — |х(;		б) ч/б — |ж —1| у/х.	
922.	а) у/4х - 4у/х +1 3;		б) у	'х* -6х2 + 9> 2.
923.	а) y/З-у/х < у/\у/х-1\ + у/х;		б) ч/2х-|х-1| > ч/2-х.	
924.	а) \	~	/ 2х 4~ 3	- /т+1<2’ б> у *-i		
925.	\	/^^3;	б) V	/^7 >2-
926.	а) (!	3 -х2)у/6 — х^ 0;	б)\	/—^2 я2 — 4
927.	а) у/х2 — 9^х + 5;		б) X	<ч/х2-16 + 2.
928.		'х2 + 2х < х + 3;	б) х у/х2 — 2х - 3.	
94
Глава 2. Буквенные выражения
Решите системы неравенств (929—930):
929.
930.
931.
Г- > 3
а) < ® Дж-Г ___
I у/2х + 7 \/х + 4;
Ух2 — За:
х + 2
а--+-2
j (х2 — 1)у/2 — х ^0,
[ х + х-1 2.
Г|у/Г=3|<4,
б)
V 5 — х
Найдите множество всех значений х, для каждого из
932.
верно ровно одно из следующих неравенств:
7^3 ^Х' |х-2| + 1 >3’’ х/5“ v^<2-	J
При каких значениях а неравенство у/2х — а V3 — х имеет непу-
стое множество решений?
933. При каких значениях а множество решений неравенствг
у/4х + а + 1 5 содержится в промежутке [—1; 6]?
При каких значениях а неравенство у/2х — |х + а| < 3 имеет мно-
жество решений, содержащее промежуток [2; 5]?
При каких значениях а неравенство \/2а + 2 + а; у/2 — Зх имее1
непустое множество решений?
При каких значениях а множество решений неравенства >/Зх —|а|<
<3 содержит множество решений неравенства \/4х + 1 ^Vx + 3?
х + 2у = 4а- 1,
934.
935.
936.
937. При каких значениях а решение системы <
влетворяет неравенству у/х - |у| >1?
УД<
2х — у = За + 1
938.	При каких значениях а неравенство у/х — |2х — а| > 2 имеет непу-
стое множество решений, не содержащееся в луче [10; +оо]?
939.	При каких значениях а множество решений неравенства yja-x
у/х+ 2 не содержится в множестве решений неравенств!
|а — 2х| ^х+1?
Докажите следующие неравенства (940—947):
940.	а) 4*<	6)2^7?.	I
941.	а)	|«||*|;
б)	у/х2-2х + 1 + у/х2 —4х + 4>2-у/|х2 — Зх +2|.
942.	а) (а + Ь + с)2<3(а2 + 62 + с2);	б) a2+ b2 + с2 ^ab +ас+Ьс. |
943.	а) а4 + Ь4 + с4 ^abc(a + Ь + с);	б) у^а2 + 1 • у/Ь2 +1 > аЬ+1. 4
§2. Квадратные корни
95
Докажите, что при а € R+ и Ь g R+ выполняются неравенства
(944—945):
Докажите, что для любых неотрицательных чисел выполняется
неравенство (946—947):
946.	a) a + b+c^ y/ab+y/ac+ у/be-,	б) ay^+bd^> y/aby/ab.
947.	a) ab + ac+bc^ /abc(/a + \Д+ \/с); б) (а + Ь)(а + c)(b + c) 8abc.
948.	Дана функция /(х) =2х— у/а-х + 3.
а)	Пусть а = 3. Найдите 2/(-1) + /(2х/З - 1).
б)	При каком значении параметра а одним из корней уравнения
/(х) =0 будет число -1?
в)	При найденном в пункте б) значении параметра решите нера-
венство /(х) 0.
г)	При каком значении параметра а наибольшее значение данной
функции равно 7?
949.	Дана функция /(х) =	.
а)	Найдите 4/(2 \/3 + 1) - /(1 - у/З).
б)	Найдите £?(\//(х)).
в)	Решите неравенство >//(х) 3.
г)	При каких значениях параметра а уравнение /(х) = имеет
более одного корня?
950.	Дана функция /(х) = х2 — Зх - 1.
а)	Найдите ^/у/(\/5 — 2) + 2.
б)	Решите уравнение у//(|х|) = х + 2.
в)	При каких значениях параметра а уравнение /(х + а) —/(х)
имеет одним из корней число —2?
г)	Решите неравенство f(y/x) > — 1.
951.	Дана функция /(х) = а — у/х.
а)	Пусть а = 7. Найдите ^2/(16 —6\/7) — \/7.
б)	При каких значениях параметра а решением неравенства /(х) >
0 будет отрезок?
в)	Пусть а = 7. Решите неравенство /(х2) < 3.
96
Глава 2. Буквенные выражения
г)	При каких значениях параметра а решение неравенства /(х2) <
< 3 содержит луч [5; +оо)?
§ 3. Многочлены второй степени
952.	Дана функция f (х) = —х2 + 6х — 5.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Решите неравенство /(х) 0.
в)	Постройте график фунции <р(х) = Д|х|).
г)	Укажите количество корней уравнения Дх) = а в зависимости
от а.
953.	Дана функция Дх) = х2 — 2|х| - 3.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Постройте график функций i/?(x) = |/(х)|.
в)	Решите неравенство /(2х) > 0.
г)	Укажите все значения параметра а, при которых уравнение
Дх) — а имеет наибольшее количество корней.
954.	Дана функция /(х) = 2х2 - Зх - 5.
а)	Найдите у 2/(2 — х/3) + 22.
б)	Решите уравнение /(х) = 3 — 5\/3.
в)	Решите неравенство /(х) 3 — 5х/3.
г)	Найдите множество значений функции /(х) на отрезке [—1; 1].
955.	Дана функция /(х) = —2х2 - 4х + 25.
а)	Найдите уД\/7 —2).
б)	Решите уравнение /(х) — 11 + 4\/7.
в)	Решите неравенство Дх) 11 + 4\/7.
г)	Найдите множество значений функции /(х) на отрезке [—3; 0].
956.	Дана функция /(х) = х\/х2 + 4х + 4.
а)	Постройте график функции Дх).
б)	Решите неравенство Дх) 0.
в)	Укажите количество корней уравнения Дх) = 2 — |а| в зависи-
мости от а.
г)	Постройте график функции Дх) = Д—|х|).
„„„ гт г	<•/ ч х3 + х2 — 2х
957.	Дана функция Дх) =	4.43.4.
а)	Постройте график функции Дх).
б)	Укажите количество корней уравнения Дх) = а в зависимости
от а.
§3. Многочлены второй степени
97
958.	Дана функция /(х) = (х — 2)\/х2.
а)	Постройте график функции f(x).
б)	Укажите количество корней уравнения /(х) = а2 + 2а в зависи-
мости от а.
959.	Дана функция /(.г) = |х2 — 11 — 2х.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Решите неравенство /(х) ^2.
960.	Дана функция /(х) = у/х4 - 2х2 + 1 - 4х.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Укажите количество корней уравнения /(х)=2х + а в зависи-
мости от а.
т3 — т2 — т 4- 1
961.	Дана функция /(x)= '-z^,' —
vx2 — 2х 4-1
а)	Постройте график функции /(х).
б)	При каких значениях параметра а уравнение /(х) = 9 — а2 имеет
три корня?
962.	Дана функция Дх) = |х2 - 2х| — 4|х|.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Укажите количество корней уравнения /(х) =а в зависимости
от а.
в)	Найдите £(/(1 — х2)).
963.	Дана функция /(х) =а — |х2 — 4х + 3|.
а)	При каких значениях параметра а график этой функции про-
ходит через точку Л/(2 + \/3; 1)?
б)	Постройте график функции /(х) при найденном в пункте а)
значении параметра.
в)	При каких значениях параметра а неравенство f(y/x+ 1) > 0 не
имеет решений? /
пр. п л.	,, .	14 —х2 при х^О,
9о4.	Дана функция Дх) = <
I х + а при х>0.
а)	При каких значениях параметра а данная функция имеет своим
множеством значений R?
б)	При каких значениях параметра а данная функция обратима
на R и имеет своим множеством значений R?
в)	При а = 5 решите неравенство /(х) > 2х + 4.
Постройте фигуры, определяемые следующими условиями (965—978):
®65. а)х + у2 = 0;
966. а) |у| = 4 — х2;
967. а) |з/ — 2| = х2 — 4х;
б) х + у2 > 0.
б) |у| = |4 — х2|.
б) |у 4-4х| =х2 —4.
98
Глава 2. Буквенные выражения
968.	а) х = у2 + 2у;
969.	а)х=|у2 —4|;
970.	а) |у - х2| = 2х;
971.	а) |х + 1| = у- - 4у - 1;
972.	а) х = >/у 4- 1;
б) |х| = У2 + 2у.
-у-
974. а) х = — у/2—"[у|;
976. а) (х = у2 - 4|у|) Л (х 5);
4|у|) Л (х 5).
Найдите множество значений функции /(х) (979—988):
б) /(х) = —Зх2 + 5х + 3.
б) /(х) = Зх2 — 4|х| - 5.
б) f (х) = —х4 — Зх2 4- 7.
б) /(х) = 2х — 4^/х - 1.
б) /(х) = у/2х + 1 — х.
б) /(х) = —2(х2 4- 4х 4- 7)-1.
, Зх2 —6х + 10
б> = х2-2х + 4 •
. х2 4-2x4-6
б> ^ = х2+2х~4-~3-
б) /(х) = (Зх2 - 10 — 2х4)-1.
979.	а)/(х) =2х2 + 5х — 1;	i
980.	а)	/(х) = Зх2 4- 4|х| - 5;	<
981.	а)	/(х) — х4 — 6х2 — 1;	I
982.	а)/(х) =х + Зч/х+1;	I
983.	a)	f (х) =х — \/х + 2;	i
984.	а)/(х) = (х2 — 2х + 5)-1;	i
985.	а)/(х) = ^±^;	I
986‘ =	'
987.	а)/(х) = (4х2 — 8 —х4)-1;	I
988.	а) /(х) = (х2 — 2х)2 — 4(х2 — 2х) - 1;
б) /(х) = 2(х2 4-х)2 — 3(х2 4-х) + 4.
989.	Известно, что сумма чисел хну равна 8. Найдите такие числа, дл:
которых выражение х2 4- 2у2 принимает наименьшее возможно<
значение.	L
990.	Известно, что сумма чисел х и у равна 10. Найдите такие числа,
для которых выражение х(у + 6) принимает наибольшее возмо>
ное значение.
991.	Каковы должны быть длины двух сторон треугольника, соста
ляющих вместе 10 дм, чтобы сумма площадей квадратов, постр
енных на них, была наименьшей?

§3. Многочлены второй степени
99
992.	Найдите длины сторон прямоугольника наибольшей площади, пе-
риметр которого равен 2 дм.
993.	Разбейте число 11 на два положительных слагаемых так, чтобы
сумма одного из них и утроенного квадрата другого была наи-
меньшей.
994.	Найдите наименьшее возможное значение выражения 5х2 + 2у2,
если х и у — положительные числа, сумма которых равна 2.
995.	Периметр трапеции ABCD, в которой |Л5| = |ВС\ — |CD|, равен
1 дм. Найдите основания |ВС| и |ЛЛ| этой трапеции (|ВС| <
< |ЛО|), в которой сумма квадрата длины большего основания
и квадрата длины меньшего основания, увеличенного в 6 раз,
принимает наименьшее возможное значение.
996.	Дан прямоугольник ABCD, периметр которого равен 1 дм 2 см.
На луче AD выбрана точка К такая, что |Z?A'| = 2|AD\. Найдите
площадь того прямоугольника, в котором |С'К'| принимает наи-
меньшее возможное значение, и укажите это наименьшее значе-
ние.
997.	Найдите многочлен второй степени, график которого проходит
через точки А(—1; —7) и В(5; —7) и который имеет множеством
своих значений луч (—оо; 2].
998.	На графике функции /(х) = х2 - 4х + 5 найдите точку, сумма
расстояний от которой до осей координат наименьшая.
999.	На графике функции /(х) = 2х — 1 найдите точку, сумма квад-
ратов расстояний от которой до точек А(0; 1) и В(1; 0) является
наименьшей.
Решите уравнения (1000—1049):
1000.	а) х2 — 5х - 24 = 0;	б) 2х2 —х - 1 = 0.
1001.	а) Зх2 + 2х — 16 — 0;	б) х2 — 4х + 2 = 0.
1002.	а) 2х2 + 5х = 0;	б) 2х2 + Зх + 2 = 0.
1003.	а) 7)Х2 — Зх—1 = 0;	О II г—< 1 н 1 сч Н сч|со Ю
1004.	а) —х2 + 2х 4- 7 = 0;	б) —2х2 + 5х + 3 = 0.
1005.	а) — 2х2 + 5х — 3 = 0;	б) —Зх2 + х —2 = 0.
1006.	а) -|х2-х+|=0;	б) — |х2 + 2х — 1 = 0.
1007.	а) 4х - Зх2 = 0;	б) х(х - 3) = 1.
1008.	а) (2х- 1)(х + 1)=х2;	б) (х + 2)(х- 1) = 5.
100
1009.
1010.
1011.
1012.
1013.
1014.
1015.
1016.
1017.
1018.
1019.
1020.
1021.
1022.
1023.
1024.
1025.
1026.
1027.
1028.
1029.
1030.
1031.
1032.
1033.
1034.
1035.
Глава 2. Буквенные выражения
а) 9х2 — | = 0;
а) 2х(х4-2) = 8x4-3;
, х2 4- Зх х 4- 7
а) -
2	” 4 ’
а) 5х2 — 2х 4- 0,2 = 0;
. х2 - Зх 4- 2 п
а) х2 4-4х - 5 = °’
. 1	8 х — 5.
х 4-4 х2 — 16 х - 4 ’
_з_=4+_з_.
х4-2	х-1’
а) х4 4- х2 — 2 = 0;
а) |х4 - Зх2 4-1 = 0;
а) |х4-3х2 +4,5 = 0;
.4,6	1
а)
' х44-6х24-9 9—х4	х2—3’
а) х3 4- 4х2 — 6х = 0;
а) х3 — 5х2 — 4х 4- 20 = 0;
а) (х2 4- 2)2 - 5(х2 4- 2) 4- 6 = 0;
а) (х2 - х)2 4- 2(х2 - х) = 3;
а) х(х2 — 4) = 5х2;
а) |2х2 4-х-3| -х = 3;
а) |х —2| — х2 = 3х —1;
а) 2х2 — 5|х| 4-2 = 0;
. х2 4- 6 5х
а) х-2 “ х-2’
а) х2 — >/Зх — 1 = 0;
. х2 '/З
а) у = х + —;
а) 4х(х — ч/З) = 14- 2ч/3;
а) х2 - |х|х/5 = 1;
а)	(5х — х2 — 4) у/3 — |х| = 0;
а) (х3-х2-2х)У2-|х-2|=0;
б)	0,2х — х2 = 0.
б) Зх(х—2)—1=х—0,5(84-х2).
х2 — 2	1 — х х — 5
°) “6--------2~ = -б“’
2х2 — х - 10 п
б> х2—4	=0-
fi. 1.	10	_ х —3
' х 5х — х2 5 — х ’
1	,	24	_ х + 1
' х — 4 ~х2 — 16	х4-4'
б) 2х4-5х24-3 = 0.
б) хх4 4-4х2 4-1 = 0.
О
б) уХ4 = 6х2.
з , 2____________1
' х4 —2х24-1	1—х4 х24-1‘
б) 7х —2х2 —х3 = 0.
б) х3 4-6х2 — 9х — 54 = 0.
б) (х2 4- 2х)2 + 3(х2 + 2х) + 2 = 0.
б) (х2 - х)2 - 2(х2 - х) = 8.
б) 2х(х2 - 9) = х4-3.
б) |х2 — 4| 4-1 = 2х.
б) |2х —1| — х = х2 — 1.
б) Зх2 - 2|х| = 5.
б) (х 4- 1)(х2 - Зх) =х 4-1.
б) 2х2 4- 4\/5х 4-1=0.
х2 г-
б) 1-у = хч/2.
б) X2 4-23 4-4ч/5 = 8х/2х.
б) ч/2(х2 4-1) = 3|х|.
б) (2х 4- 3 - х2)т/|х| -2 = 0.
б) (9х—х3)\/|х4-1|— 3 = 0.
б) 3x = 4v/J 4-1.
§ 3. Многочлены второй степени
101
1036. 1037. 1038. 1039.	а) V5x4-2x2 —х = 2;	б)	у'2х + 1 + 2 = х. а) \/5 — х — х2 = 2;	б)	>/2х +1 = \/х2 — Зх — 3. а) \/2х4 — 5х2 4-2 4-2 = х2;	б)	\/2х2 + х —7 + х=1. а) х/х2 — 4х 4- 4 + VI	— х = 1;	б)	V9 — 6х 4- х2 4- х/х — 4 = 3.
1040.	а)У2-х+		=2;	б) -=2=	4-2Vx4-l=5. ' v	х/2^ + 3	' Vx+T+l v
1041.	а) х 4- ~	= 0;	б) 2х — \/х3 4- 2х2 — Зх = 0.
1042.	а) (х2 — 2x)V3 + 2х — х2 = (Зх — 4)V3 + 2х — х2; х2 — 2х	2х — 3 о) - 		=	—. х/х2 — Зх + 2 x/х2 — Зх + 2
1043. а) (х2 — х)х/х2 4- х — 6 = 6>/х2 4- х — 6; б) . - *'T- - ; 3—:.
ух +1 ух 4-1
1044.	a)xVx2 = 6 —5х;	б) x(Vx2 + 4x + 4 + 3) = 6.
1045.	, 2х -1	2х + 3	- а) _ =1;	о) г - L ух	' у/х —4
1046.	у 2 ,	10	14- 2VX	г-т=—-	_ а) ^ + х-2,/х- /5-2 5	б) УУ5 2 4-4-
1047.	а)	(х4-4)\/4 - 2х — х2 = х2 4-6x4-8; б)	(х2 — 6х — l)x/G — х = х3 — 6х2 — 7х.
1048.	а)	х2 4- х - 2 = (х 4- 2) । /—5 4- 6; у 37 ~г Z б)	2х24-5х-3 = (1-2х)^/^У-4-12.
1049.	a) min(3x-l; 3-х) = х2;	б) шах/^у-; 2—х\ =х2—Зх.
Найдите корни уравнения, удовлетворяющие данному неравенству
(1050—1052):
1050. а) 2т2 — х — 5 = 0, х<1,5; б) х2 4-4х — 1 = 0, х^ — уТ?.
1051. а) Зх24-—2, 8х + 7>0;
1052. а) х2 4-1 = 2\/2х, ЗуСг^2;
б) ^ = ^-1,(3), 4x+V2<5.
О о
б) 2х2 + 1 = 2\/Зх, 2у/х + 1 < 3.
Решите системы уравнений (1053—1059):
1053.
J2x-y = 8,
[х2 4-ij/4-у2 = 7;
2х 4- Зу = 1,
Зх2 — ху — у2 = 3.
к
102
Глава 2. Буквенные выражения
1054. а) <
1055. а)
1056. а)
1057. а)
1058. а) <
1059. а) -
(х-2)(у + 2) = 0, 2х2 4- 9х — у + 7 = 0;	б) 1	(2х-3)(у+3)=0, х2+ху+у2=1—3(х+у).
2а- + у - 1 __ X - 1 х2 — ху + у2 = 3;	б) <	16 о " II » «М СЧ 1 1 I а» » в> н 1 + + %.
|i + 2| + y = 3, х2 + у2 = 5;	б) -	|х — 3| — |2х + у|, х2 + у = 3.
2х2 — ху — у2 = 0, х2 + 2ху — Зх = 6;	б) <	Зу2 + ху = 2х2, у2 +х2 = 3х — у+ 16.
/х + у = \/2х — 2,	б) 	у/2х — у + х = 4,
х2 + ху = 12;		/у — х— 1 +х = 4.
/х + у - 2 = /2у + 7х, х2 + у = 5-,	б)	/2х-у-1 + у = 3, х + 2у2 — 5.
При каких значениях параметра а данное уравнение имеет одним
из корней данное число Ь (1060—1062)?
1060. а) х2 + а2х = а+ 1, 6=—2;
1061. а) ах2 — 3.т = 3« — 1, 6 = \/2;
б) 2х2 — ах = а2, Ь = — ^.
б) (а+ 1)х2 + х = 2а- 1, b= 1 — \/3.
б) 2х2+3ах = а2, Ь= —2-\/2.
1063.	На середине пути между станциями Л п В поезд был задержан
на 10 мин. Чтобы прибыть в В по расписанию, машинисту при-
шлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 .км/ч.
Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что
расстояние между станциями равно 120 км.
1064.	Расстояние в 400 км скорый поезд прошел на час быстрее товар-
ного. Какова скорость каждого поезда, если скорость движения
товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?
1065.	Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задед-
жан у семафора на 10 мин. Увеличив скорость после этого на
10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин:
Определите первоначальную скорость поезда.
1066.	Прогулочный теплоход отправился от пристани А к пристани
В вниз по течению реки. После получасовой стоянки теплоход
отправился обратно и через 8 ч после отплытия из А вернулся
§3. Многочлены второй степени
103
на эту же пристань. Какова скорость теплохода в стоячей воде,
если расстояние между пристанями А и В равно 36 км, а скорость
течения реки 2 км/ч?
1067.	Расстояние в 30 км один из двух лыжников прошел на 20 мин
быстрее другого. Скорость первого лыжника была на 3 км/ч
больше скорости второго. Какова скорость каждого лыжника?
1068.	Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстре-
чу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми
20 км, и встречаются через час после отправления. Затем они
продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 3 ч
45 мин раньше, чем пешеход в В. Найдите скорости пешехода и
велосипедиста.
1069.	Из города А в город В, расстояние между которыми 110 км,
на машине отправился курьер. Через 0,2 ч после этого вслед
за ним выехал мотоциклист, который, догнав курьера и передав
ему дополнительное поручение, немедленно с той же скоростью
двинулся обратно и возвратился в Л в тот момент, когда курьер
прибыл в В. Какова скорость курьера, если скорость мотоцикли-
ста равна 60 км/ч?
1070.	Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км
по течению, затратив на все путешествие столько же времени,
сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть в стоячей воде
30 км. Зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите
скорость байдарки в стоячей воде.
1071.	Катер прошел 8 км по течению реки и 16 км против течения,
л 1 ГУ
затратив на весь путь 1^ ч. Какова скорость катера по течению,
если собственная скорость катера равна 20 км/ч?
1072.	С двух аэродромов А и В, расстояние между которыми 500 км,
вылетают одновременно навстречу друг другу два учебных вер-
толета. Через 1 ч 20 мин после их встречи вертолет, поднявшийся
с аэродрома А, садится на аэродром В, а второй вертолет через
3 ч после встречи садится на аэродром А. Определите скорости
вертолетов.
Ю73. Из пункта А в пункт В выехал мотоцикл. Через 2 ч из А в В
выехал автомобиль, который прибыл в В одновременно с мото-
циклом. Если бы автомобиль и мотоцикл одновременно выехали
из А и В навстречу друг другу, то они встретились бы через 1 ч
20 мин после выезда. Сколько времени провел в пути из А в В
мотоцикл, если скорости автомобиля и мотоцикла постоянные?
104
Глава 2. Буквенные выражения
1074.	При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2 ч
55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос,
работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить
на 2 ч быстрее другого?
1075.	За четыре дня совместной работы двух тракторов различной
2
мощности было вспахано ~ поля. За сколько дней можно было
бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первым
трактором это можно сделать на 5 дней быстрее, чем вторым?
1076.	Первая машинистка напечатала 320 страниц, а вторая — 270
страниц. Первая машинистка печатала в день на 2 страницы!
меньше, чем вторая, и работала на 5 дней больше, чем вторая.
Сколько страниц в день печатала первая машинистка?
1077.	Груз массой 30 т предполагалось перевезти машиной за несколь-
ко рейсов. Однако для перевозки пришлось использовать маши-
ну, грузоподъемность которой на 2 т больше, чем предполага-
лось. Поэтому было сделано на 4 рейса меньше, чем намечалось.
За сколько рейсов был перевезен груз?
1078.	Завод по плану должен был изготовить 800 деталей к определен-
ному сроку. Перевыполняя дневную норму на 20 деталей, завод
выполнил задание на 2 дня раньше срока. За сколько дней завод
выполнил план?
1079.	Для штамповки одинаковых деталей было выделено два станкам
автомата. Первый автомат изготовил 160 деталей. Второй авто-
мат, изготовляя в час на 3 детали меньше первого и работая на
6 ч больше первого, сделал 130 деталей. Сколько деталей в час
изготавливал каждый станок?
1080.	Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за
6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это за-
дание на 5 ч быстрее, чем второй комбайн. За сколько времени
может выполнить задание первый комбайн, работая один?
1081.	Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновре-
менно, за два часа. За сколько часов может наполнить бассейн
первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 4
быстрее, чем вторая?
1082.	На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 №**
меньше, чем второй. Сколько деталей обрабатывает каждый р8'
бочий за 0,5 ч, если первый обрабатывает за это время на одН)'
деталь больше, чем второй?
§3. Многочлены второй степени
105
1083.	В бассейн для наполнения его водой проведены три трубы. Пер-
вая и вторая вместе наполняют его за 1,2 ч, вторая и третья —
за 2 ч, а первая и третья — за 1 ч 30 мин. За сколько времени
наполнится бассейн, если открыть все три трубы?
1084.	Стороны двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если
стороны каждого из квадратов уменьшить на 2 см, то разность
площадей полученных квадратов будет равна 28 ом2. Найдите
стороны данных квадратов.
1085.	Площадь прямоугольника равна 36 м2. Если его длину увеличить
на 6 м, а ширину уменьшить на 1 м, то получится прямоуголь-
ник, площадь которого равна 60 м2. Найдите длину полученного
прямоугольника.
1086.	Для приобретения спортивной формы двум командам было вы-
делено по 840 р. Одна команда купила на один комплект больше
другой, так как каждый комплект, купленный ею, стоил на 20 р.
дешевле. Сколько комплектов формы купила каждая команда?
1087.	После двух последовательных снижений цен на одно и то же
число процентов стоимость товара с 40 р. снизилась до 32 р. 40 к.
На сколько процентов снижалась стоимость товара каждый раз?
1088.	Имелось два сплава, содержащих медь. В первом сплаве меди
было 16 кг, а во втором 12 кг. Процентное содержание меди в
первом сплаве было на 40% меньше, чем во втором. После того
как их сплавили вместе, получился новый сплав, содержащий
12,(4)% меди. Найдите массу каждого сплава.
1089.	Сосуд емкостью 20 л наполнен обезвоженной кислотой. Часть
этой кислоты отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили
столько жидкости, сколько в первый раз кислоты, и сосуд опять
долили водой. После этого в полученном растворе оказалось кис-
лоты втрое меньше, чем воды. Сколько кислоты отлили из сосуда
в первый раз?
1090.	Смешивается некоторое количество 72-процентного раствора кис-
лоты и некоторое количество 58-процентного раствора кислоты
и в результате получается 62-процентный раствор. Если бы каж-
дого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25-
процентный раствор. Сколько литров каждого раствора было
взято первоначально для составления первой смеси?
1091.	Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй —
0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили
10 кг нового раствора серной кислоты. Найдите массу первого и
5 Зак. 397
106
Глава 2. Буквенные выражения
второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной
кислоты в первом растворе было на 10% больше.
1092.	Произведение цифр двузначного числа в два раза больше сум-
мы цифр этого числа. Если к искомому числу прибавить 27, то
получится число, записанное теми же цифрами, но взятыми в
обратном порядке. Найдите это число.
1093.	Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то
в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы
цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получит»
данное число. Найдите это число.
1094.	Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке. Скорость
каждого постоянна и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с
меньше другого. Если они начинают пробег с общего старта одно-
временно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с.
Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с
общей линии старта в противоположных направлениях?
1095.	Из бака, наполненного чистым спиртом, вылили часть спирта
и долили тем же количеством воды; потом из бака вылили столь-
ко же литров смеси; тогда в баке осталось 49 л чистого спирта.
Вместимость бака 64 л. Сколько спирта вылили в первый и сколь-
ко во второй раз?
1096.	Сосуд емкостью 20 л наполнен спиртом. Из него выливают некото-
рое количество спирта в другой, равный ему, и, дополнив осталь-
ную часть второго сосуда водой, дополняют этой смесью первый
2
сосуд. Затем из первого отливают 6^ л во второй, после чего в
обоих сосудах содержится одинаковое количество спирта. Сколь-
ко спирта первоначально отлито из первого сосуда во рторой?
1097.	На протяжении 18 м переднее колесо экипажа делает на 10 обо-
ротов больше заднего. Если окружность переднего колеса увели-
чить на 6 дм, то на том же протяжении переднее колесо сделает
на 4 оборота больше заднего. Найдите окружности обоих колес.
1098.	Имелось два разных сплава меди. Содержание меди в первом
сплаве было на 40% меньше, чем во втором сплаве. После того
как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди.
Определите процентное содержание меди в первом и во втором
сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6 кг, а во
втором 12 кг.
1099.	Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель-
Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 11
§ 3. Многочлены второй степени
107
вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится
Найдите данную дробь.
1100.	Трасса велогонок представляет собой контур прямоугольного тре-
угольника с разностью катетов в 2 км. При этом его гипотенуза
пролегает по проселочной дороге, а оба катета по шоссе. Один из
участников прошел отрезок по проселочной дороге со скоростью
30 км/ч, а оба отрезка по шоссе за то же время со скоростью
42 км/ч. Определите протяженность трассы.
1101.	Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянны-
ми скоростями. Если они движутся в разных направлениях, то
встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направле-
нии одна точка догоняет другую через каждые 60 с. Определите
скорости точек.
1102.	Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот
же порт. В начальный момент времени положение судов и порта
образует равносторонний треугольник. После того как второе
судно прошло 80 км, указанный треугольник становится пря-
моугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму
остается пройти 120 км. Найдите расстояние между судами в
начальный момент времени.
1103.	Из морского порта одновременно отходят два парохода по двум
взаимно перпендикулярным направлениям. Спустя 0,5 ч после
отплытия пароходов кратчайшее расстояние между ними было
15 км, а спустя еще 15 мин оказалось, что один из пароходов
был от пристани на 4,5 км дальше другого. Найдите скорость
каждого парохода.
1104.	Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в 2 мин.
Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта,
а пробежав от точки старта 5 км, он повернул обратно и встре-
тился с первым бегуном. Эта встреча произошла через 20 мин
после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна.
1105.	На поле площадью 25 га работали три сенокосилки. Первая из
них за один час скашивает 3 га, вторая на b га меньше первой,
а третья — на 2Ь га больше первой. Сначала работали одно-
временно первая и вторая сенокосилки и скосили 11 га, а за-
тем оставшуюся часть площади скосили, работая одновременно,
первая и третья сенокосилки. Определите значение Ъ (0 < b < 1),
при котором все поле скошено за 4 ч, если работа велась без
перерывов.
108
Глава 2. Буквенные выражения
1106.	В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждый содержит-
ся всего 30 л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и
полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго
сосуда отливают в первый 12 л новой смеси. Сколько спирта было
первоначально в каждом сосуде, если во втором сосуде оказалось!
на 2 л спирта меньше, чем в первом?
1107.	График функции f(x) = (а — 1)х2 - ах 4- 2 проходит через точку
М(-1; 5). Найдите точки пересечения этого графика с графиком
функции <р(х) = Зх 4- 8.
1108.	График функции f(x) = (а 4- 1)х2 4- (а 4- 5)х 4- а2 проходит через
точку Af(l; 6). Найдите корни этой функции.
1109.	Найдите функцию вида /(х) = 2х2 4- Ьс + с, если график этой
функции проходит через все точки, координаты которых удовле-
f х + у + Зху = 9.
творяют системе <
^2х + 2т/ + хт/ = 8.
1110.	Вершиной параболы у = (а 4- 6)х2 4- (2а — b)x 4- 1 является точка
>1(2; 5). Найдите точки пересечения этой параболы с осью абс-
цисс.
1111.	Найдите функцию /(х) = (а + Ь)х2 — (2а 4- b 4- 5)х — а, если из-
вестно, что ее графиком является парабола с вершиной в точке
А(2; —9). Решите уравнение |/(х)|=х.
Решите неравенства (1112—1144):
1112.	а) 2х2 - х- 1^0;
1113.	а) 12- х-х2>0;
1114.	а)х2-4х —1^0;
1115.	а) Зх2 4-2х 4-1 > 0;
1116.	а) (х-1)(х + 2)>х;
1117.	а) х2-9 s; 2x4-6;
1118.	а) |х2 — 3| 4-х^ 5;
1119.	а) х4 —5х24-1>0;
1120.	а) 4х2 — 2 — х4 0;
1121.	а) 6х2 — 9 — х4 0;
1122.	а) 5х 3 4- 2у/х;
1123.	а) х3 — 8>х24-Зх — 10;
б) ^х2 4- 2x4- 2 0.
б) 2х - 2 - х2 < 0.
б) х2 — 6х 4- 9 > 0.
б) 2х2 - х - 2 < 0.
б) (х-|- 1)(2х — 1) ^х.
б) х2 - 1 > Зх - 3.
б) |2 — х| — х^х2.
б) х4 4- 6 7х2.
б) 6х24- 1 <х4.
б) х4—Зх24-4^0.
б) 2х > 3 4- у/х-
б) х3 4-1 < х2 4- 4х 4- 3.
			§ 3. Многочлены второй степени			109
1124.	а) у/?х2 — Зх + у/2 > 0;			б)	г2 + 2>/5х - 4 <0.	
1125.	а) (2 — \/5)х2 2х;			б) 4v/3x -		х2 > 1.
1126.	а)	х > 2 х + 2 х		6)	х —: 3 + 2х-		< 1 - х2 х — 4 ’
1127.	а)	х + 3| _ х-11 <х'		б)	2х-1 х + 1	> X.
1128.	а) ^| + 2<		: \/х2 —1,5х —3;	б) у/х2 — ‘		у/х + 5.
1129.	а) |2х-1|$		2. х’	б)	х — 3| + |х2 - 1| + х< 14.	
ИЗО.	а)	*М>2- х + 2 |>2’		6)		
1131.	а) _EL> I ' .г + 6 х			б)	1 х + |х -	1^х.
1132.	а) >/3 —х^		1®+1|;	б) y/G — x		- у/х < у/х — 3.
1133.	а)	х — 2 г2 — Зх	х — 2 4 ’	б)	г2 + 2х х — 1	X + 1 ’
1134.	а) |2х2 - Зх		-1|>13;	б) |х2 + х		-5|<1.
1135.	а) I	х2 — Зх -	- 1| < |х2 + 2х|;	б) |2 - Зх|		< |х2 + х|.
1136.	а) I	х+1|>	Ак	б) |х2 - 4|		<|iE2 + 3x + 2|.
1137.	а) у/х4 +х2		- 6 > у/х2 - 3;	б)	/2х — у х + 3	yjx.
1138.	а)	2^/х /х + 1	у/х — 2;	б)'	Зу/х у/х — 2	у/х — 3'
1139.	а)	г3 - 8 . „ Е2 —4	’		б)'	г2 + х- X3 — 1	->1.
1140.	а) 8х2 > 2|х| 4-1;			б) х2 + 6<5|х|.		
1141.	а) I	х + 3| -	х —2’	б) |х - 2| -		-|»+21>Ы-
1142.	а)	———-— > 1- г2 + 4х + 3	’		611	X3 - 8х2 + 14х + 51 х2 — 4х — 5 К	
1143.	а) у/х2 - 2х		— 7<х+ 1;	б) X у/х‘		!-2х-7+1.
1144.	а) \/Зх2 + х		-2 + х<2;	б) х < у/х + 5 + 1.		
		Решите системы неравенств (1145—1148):				
1145.	а)	х2 — Зх	-4<0,	б)	'2х2-	Зх - 5 > 0,
		х2 + х-	-3^0;		3 — 2х — х2 0.	
по
Глава 2. Буквенные выражения
1146.	а) 3	'|х2 - Зх| 10, 1х х4-2’	б) <	г|х24-Зх — 7| >3, .х + 3^Х L
1147.	а) <	х2 4- 3|х4-1| — х 0, х(х —5) ^х —5;	б) -	х/х2 — Зх — 6 С 2, ,1 х + 3 >1 (У 2x4-5
1148.	а) <	./2д~ 1 < 1 У х2 — 1	’ . 1	б)	x/lx2 — х 4-1 < Ух4-5, х	1	2х
		х X		2х-1 х—2 5х—2х2—2’
Решите совокупности неравенств (1149—1150):
1149. а)	’2х2-х-1^0, х2 < Зх;	б)	г X . _1 2x-l^X ’ Ух4-6^х.
1150. а)	|х2 4-х - 1| |х2 4- 2х|,	б)	\/б — х — х2 < -У8 — х2
	х< Ух4-2;		х/х2-х— 1^x4-1.
Найдите область определения выражений (1151—1154):
1151. a) УЗ — х — х2 4- у/х-,
1152. а)
1153. а)
б) Уб — х — х2 — 2 х/1 — х.
с-\ /х2 4- 2х 4- 1	----J
б) V4s-3-x2+'/6-a:_®
б) УЗх4 4-х2 - 14--- 1	—д
У10 - Зх - х2
1154.	а) 3\/12-х— Ух-2\/Ух-1;
'х — 2.
Решите уравнения (1155—1161):
1155.	а) (х24-2х)Ух4 — х2 — 6 = ЗУх4 — х2 —6;
,, х3 - Зх2 4х
•Уб —х —х2	Уб — х — х2
1156.	а) х4 4-|2х2 — 1| = 7;
1157.	а) УЗх4 4-х2 — 14-2х2 = 5;
1158.	а) х2 — 4х 4- [х] = 0;
1159.	а) х2 — х - {х} 4-2x4-5 = 0
1160.	а)х2-2[х] = 4;
1161.	a) min(x2 — 2х - 1; х 4- 3) = х2 — 7х - 1;
б)	тах(2 — х; 4 - 2х — х2) = 2х2 — х 4- 2.
б) 12-Ух— 1| + |х — 3| =4.
б) \/Ух4-3 + 2-Ух = 3.
б) х2 — 2х — 7 = [х].
б) х2 4- 2{х} - [х] = 2.
б) х2 - 2х — [х] = 6.
§3. Многочлены второй степени
111
При каких значениях параметра а данное уравнение не имеет корней?
(1162—1164)
1162.	а) Зх2 + 2х — а = 2;	б)	х2 + 5х + а = 1.
1163.	а)ах2 —х + 2 = 0;	б)	ах2 — ах + 3 = 0.
1164.	а) (а + 1)х2 + ах + 1 = 0;	б)	ах2 — ах —2.
При каких значениях параметра а данное уравнение имеет два корня?
(1165—1168)
1165.	а) х2 + Зх + а = 0;	б) ^х2 = |(х +2а).
1166.	а) (а- 1)х2 — х+1 = 0;	б)х(ах + 4) = 1.
1167.	а)х + 2=^3«;	б)^ = 2х.
1168.	а) х2 — (2а — 1)х + 4 = 0;	б) ах2 + 2ах = 1.
б) Зх2 — х = а + 2.
б) (а + 1)х2 = 2х+1.
б) (ах)2 = 3х — 1.
а + 1 х
б) 7+2 = а'
б) ах(х+ 1) =х — 2.
При каких значениях параметра а данное уравнение имеет один
корень? (1169—1173)
1169.	а) х2 — 2ах + 4 = 0;
1170.	а) а(х + 2) = х2;
1171.	а) (а - 2)х2 = (а - 2)х - 3;
1172.	a)x-2 = ^£v;
1173.	а) (а - 1)х2 - 4х +1 = 0;
1174.	При каких значениях параметра а данное уравнение имеет хотя
бы один корень:
а) (а + 2)х2 - 2ах + а = 0;	б) (а - 1)х(х + 1) = а?
1175.	При каких значениях параметра а данное уравнение имеет не
более одного корня:
а) (2а - 1)х2 — ах +1 = 0;
б) ах2 4- (2а — 4)х + 1 = 0?
Найдите множество значений функции f(x) (1176—1177):
1176.	а)/(х) = ^;	б)/(х) = ^^.
1177.	а) /(х) = *2+у + 3;	б) /(х) = ^±3^~^ + 1.
1178.	При каких значениях параметра а решение системы
х + 2у = а-2а2,	7	„
<	„ удовлетворяет неравенству у + а + 22 х?
Зх + 5у = 4 + а2
112
Глава 2. Буквенные выражения
1179.	При каких значениях параметра а решение системы
2х + у = а2 — 1,
'	не удовлетворяет неравенству х + у < а?
Зх I 2у — 2а 4“ 1
При каких значениях параметра а данные неравенства выполняются
при всех действительных х? (1180—1183)
1180.	а)	(а + 1)х2 + (а — 1)х + 2^0;	б)	ах2 + (4 + а)х + а < 4.
1181.	а)	х2 - 4т + 7 ах2 + ат + 4	’	б)	ат2 — ах — 1	_ 2х2-Зх + 2
1182.	а)		——	>о- (а— 1)т2 — 2т + а ’	б)	(а + 2)х2 + 4ат + 1 7т —5 —Зт2 <0‘
1183.	а)	ат2 — (2 + а)т + 2а т2 + 1	б)	(а - 1).т2 + (а + 2)х — 1 2т —2 —т2
Решите уравнения с параметром а (1184—1185):
1184. а) 2х2 — ах + 2 = 0;
1185. а) ах2 4- (2а — 4)х + 1 — 0;
б) а(х2 +1) = 4х.
б) ах(х - 1) = х2 + 1.
1186. Решите систему уравнений с параметром а:
{алтЧ- 5т/ = а,
х+ (а — 4)у — а + 2;
I (2а-3)х+(а-1)у = а,
lai + (fl-l)i/= 1.
1187. При каких натуральных а уравнение имеет два рациональш
корня:
а) 2х2 4- ах + 8 = 0;	б) х2 + 2ах = 20; в) 9т2 - 24х = а2?
1188. При каких целых а данное уравнение имеет два рациональш
корня:
а) 2х2 -ах — 1 =0;	б) ах2 + (а - 1)х + 1 = 0;
в) (а + 1)х2 + 2ах +1 = 0?
Разложите (если это возможно) данные многочлены на неприводим!
множители (1189—1197):
1189.	а) Зх2 + 5х — 2;
1190.	а)3х2 —10х —8;
1191.	а) х2 + 4х — 1;
1192.	а)х2 —Зх —2;
1193.	а)2х2 —4х —1;
1194.	а) |х2 — |х-1;
б) -2х2 + 7х - 3;
б) —9х2 + 6х — 1;
б) Зх2 — 5х + 3;
б) 2х2 + х — 4;
б) |х2 - Зх — 8;
б) -2х2 + х+ |;
в) 2х2 + 5х + 4.
в) —2х2 — 7х — 9
в) —х2 + 5.
в) —х2 - 5х + 2.
в) -~х2 +4х + 9.
в) |х2 — Зх+ 11.
§ 3. Многочлены второй степени
113
1195.	а)	|х2 + 6х + 2;	б) — 2х2 4- 8х — 8:	в)	—х2 4- 8х — 20.
1196.	а)	х3-Зх24-х-Н;	б) 2х3 —5х2 + 4х—4;	в)	2х34-Зх2 — 5х —
1197.	а)	х4 — х2 — 6;	б) 2х4 - Зх2 - 2;	в)	2х4 — 5х2 4- 2.
Сократите следующие			дроби и укажите их области определения (1198—1203):		
1198.	о\	х + 3	х2 — 8х —9	д')	2х2 — Зх - 2
	а)	х2—6х —27’	' х2 4- 9х 4- 81	BJ	4х2 — 1
1199.	а)	36 + 5х - х2 х2 — х — 20 ’	х3 — Зх2 4- 2х 24-Зх —2х2 ’	в)	Зх3 — 5х2 4- 2х Их — 6 — Зх2
1200.	а)	а5-32	27 — ау/а	в)	а2 — 4а 4-3
		а4 4- 2а2 - 24 ’	а — 4у/а + 3'		g 4~ \/g — 2
1201.		1 —а3	а3 — а2 — 6а °) а4_а2_12>	в!	а— у/а — 6
	а)	3g — 4 \/ g 4* 1			а2-16 ‘
1202.	а)	а — 4у/а — 5	а4 + 6а2 — 16	в)	ау/а — 8
		а —25	’	24-10а2-а4’		cl 4~ 2-^/g — 8
1203.		а2 4- ab — 6Ь2	2а2 4- 5аЬ — ЗЬ2		ЗЬ2 - 2а2 - ЗаЬ
	а)	а2 — ab — 2Ь2 ’	Ь' 4a2 + 4ab-3b2’	В1	5аЬ—2а2 — 2Ь2'
Упростите выражения и укажите области их определения
(1204—1206):
1204. а)
х 4-12
х3 — 9т
х-3_______9 \
2х2 4- 5х — 3	9 — х2 ) ’
/ 1	5 2х \ х
к х 4- 2	6 + х — х2 х — 3/ 2х + 1 ’
. / 3	4	2х2 \ 2х2 + 1
1205. а) (	, - 2 ± „ 4-
' \х2-3 х4 — 5х24-6 х2 —2/	3
/	4	\/х +1 \ 15-у/х —12
\5х + у/х — 4 + 36 — 45у/х) у/х + 7
1206.
./2	3	х-2	\	6 х2 4- 5х 4- 4
а \х—1 + 1 — 2х + х2- 1,5x4-0,5/: 2х24-3х —2	2x4-2 ’
3	. / 5	2	53- 12ух \	1-2-Ух
> Зх-4х/х-20 Лх/х+1 + 10-Зх/х + Зх-7х/х-10/ + 2х4-3^/х-2
Разложите данные правильные дроби на простейшие (1207—1208):
1207. а)
5х 4-8
х2 + Зх + 2 ’
1208. а)
X - 6
2х3 4- х2 — Зх ’
д + 7
> 2х2 + Зх-2’
-2х24-х4-4 _
' х3 + Зх2 + 2х ’
11 —х
х2 4- Зх — 4
х2 - 7х - 12
2х3 — 4х2 — 6х ’
114
Глава 2. Буквенные выражения
1209.
1210.
1211.
1212.
1213.
1214.
Постройте графики следующих функций (1209—1213):
\ /* / \	2 ^Х “X 3	• / v х Зх — 4	о
а) f^=x —ЯЙГ;	б) /(Ж)=ПГЙ|—х~х •
а) /й =13:2; У21; б) f(x) ~ Ц~у61:
а) /(х) = | |Ж^!Д~41 - х21; б) /(х) = ^2^Т'~81 -т2.
Дана функция /(х) = х2 + х - 6.
а)	Решите неравенство /(х2) 0.
б)	При каких значениях параметра а уравнение f(x) = ах2 +
+ (а — 1)х имеет один корень?
в)	При каких значениях параметра а неравенство f(x) < ах2 +
4- (а — 1)х выполняется на R?
г)	Постройте график функции ip(x) = \f (х)| — х2.
д)	Укажите количество корней уравнения |</?(х)| =а в зависимо-
сти от а.
1215.	Дана функция/(х) =—х2 4-2x4-1.
а)	При каких значениях параметра а неравенство f(x) ах 4- 2
выполняется на R?
б)	Найдите множество значений функции <р(х) =	+ 
в)	При каких значениях параметра а уравнение /(х) =ах2 имеет
два корня?
г)	Решите уравнение /(х2 - 4х + 3) = /(х).
1216.	Дана функция /(х) = х2 - 6х + 8.
а)	Постройте график функции у?(х) — /(|х|).
б)	Укажите количество корней уравнения </?(х) = а в зависимости
от а.
в)	Решите уравнение /(х) = (2 4- х/5)2 — 6(2 4- >/5) 4- 8.
г)	Представьте дробь в виде суммы простейших дробей.
д)	При каких значениях параметра а неравенство /(—х2) > /(а)
выполняется при х 6 R?
1217.	Дана функция /(х) = -х2 4- 2х 4- 3.
а)	Решите неравенство У/(х) < у/х 4- 2.
§ 3. Многочлены второй степени
115
б)	Решите уравнение [f (г)] = х +1 + х/2.
в)	При каких значениях параметра а график данной функции
и прямая у = Зх + а имеют единственную общую точку?
г)	При каких значениях параметра а уравнение /(ах) = /(х +1)
имеет один корень?
д)	При каких значениях параметра а неравенство /(ах) < /(х) + 2
выполняется при х е R?
Не находя корней Xi и х2 данного квадратного уравнения, найдите
(1218—1219):
2	2
1218.	х2- Зх —1 = 0;	а)х24-Х2;	б)	в)—• + “•
'	1 z ' Хг Xi	' Х2 Х1
1219.	2х2 + х —5 = 0;	ajxj+xl;	6)xj+x2;	в) -7 + —.
Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого будут
данные числа Xi и х2 (1220—1221):
1220.	а) 11=3, х2 = —2;	б) xi = х/3, х2 = —2\/3;
в) Xi = 1+ л/5, х2 = 1 — у/З.
\	1 о	1 —\/3	1 + х/З
1221.	a)xi = 2> х2 = 2;	б) Xi = ——> х2 =—5—5
, х/2-Vb V2 + V5
в) Xj —	2 j Х'2	2
1222. Найдите примитивное квадратное уравнение с целыми коэффи-
циентами (т. е. коэффициенты взаимно простые в совокупности
и коэффициент при х2 является натуральным), одним из корней
которого является данное число:
1223.	Пусть Xi и х2 — корни уравнения 2х2 — 5х — 1 = 0. Составьте
примитивное квадратное уравнение с целыми коэффициентами,
корнями которого будут данные числа а и /3:
a)Q=77> =	6>Q=S’ /?=Г;	=	0 = xl
1224.	Пусть Xi и х2 — корни уравнения ^х2 + |х — 2 = 0. Составьте
примитивное квадратное уравнение с целыми коэффициентами,
корнями которого будут данные числа а и /3:
\	1	/3	1	Л xi +1 д х2 +1
а) а =----г, р =----г;	б) а =-----, р =-------
' Х1 — 1 Х2 — 1	Х2	Х1
•. Xi	Х2
116
Глава 2. Буквенные выражения
1225.	Пусть х\ и Х2 — корни данного уравнения. Составьте примитив-
ное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями
КОТОРОГО будут X2 и Х2-
а) 2х2 — х — 4 = 0; б) Зх24-2х —2 = 0; в) ^х24-х—=0.
Z	о
Решите системы уравнений (1226—1230):
1226.	а)		х + у=12, ху = 32;	б) 	х2 — ху 4- у2 = 19 х + у = — 1. к.
1227.	а)		х + у = 5, ху = 2;	б) <	х2 4- ху 4- у2 = 8, х4-у = 2.
1228.	а)		х 4- у = 4,5, х2 4- ху 4- у2 = 18,25;	б) -	х 4- у 4- 4x1/ = 19, х2 4-J/2 = 13.
1229.	а)		х4-у=1, х3 4- у3 = 7;	б) -	x4-i/ = 4, x44-i/4 = 82.
1230.	а)	<	Г1 + 1 = 1 х у 2’ х2у 4- ху2 = 2;	б) <	Z	1 \ «С + II Н|Ч, ъ и Н >Ь- «г У1
1231. При каких значениях параметра а уравнение 2х2 = ах + а имеет
два корня Xi и Х2, удовлетворяющих условию ^- + — = — 3,5? |
1232.	При каких значениях параметра а уравнение (а 4- 1)х2 = ах + а + 3
имеет два корня Xi и хг, удовлетворяющих условию — 4- — =
= ± + ± + _2§_?	. ”	1
Xi Х2 9X1X2
1233.	При каких значениях параметра а уравнение Зх2 4- 2ах 4- а = 0
имеет два корня Xi и хг, квадрат разности которых равен 8?
1234.	Среди всех значений а, для которых уравнение х2 4- (1 — а)х 4-
4-а2-а—1=0 имеет два действительных корня Xi и хг, укажите
то, при котором |xj — хг| принимает наибольшее значение.
1235.	Среди всех значений а, для которых уравнение х2 — ах 4- а. = 0
имеет два действительных корня Xi и х?, укажите то, при кото-’
ром выражение х2 4- х2 4- 8xiXq принимает наименьшее значение.
1236.	Среди всех значений а, для которых уравнение 2х2 4- 2(а - 1)х 4-
4-а = 0 имеет действительные корни Х] и хг (возможно xj =Хг)>
найдите то, для которого выражение х2 4- х2 принимает наимень-
шее значение.
§3. Многочлены второй степени
117
1237.	При каких значениях параметра а уравнение (а — 2)х2 — х—а+1=0
имеет: а) корни разных знаков; б) два положительных корня?
1238.	При каких значениях параметра а уравнение ах2 + 2(а — 2)х = 1
имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня?
1239.	При каких значениях параметра а уравнение (а + 1)аг2 — ах+ 2 = 0
имеет только отрицательные корни?
1240.	При каких значениях параметра а уравнение ах2 — (а + 1).т + 2 = 0
имеет только положительные корни?
1241.	При каких значениях параметра а уравнение х2 — (2а — 1)|а;| + а=
=0 имеет а) три корня; б) четыре корня?
1242.	При каких значениях параметра а данное уравнение имеет два
корня: а) ах2 + (а — 2)|гг| + 1 = 0; б) (а — 1)т2 — а|т| — а = 0.
1243.	При каких значениях параметра а уравнение ах2 + (2а + 6) |х| +
+ а + 1 = 0: а) не имеет корней; б) имеет один корень?
1244.	При каких значениях параметра а уравнение х4 — (2а — 3)т2 + а =
= 0 имеет: а) четыре корня, б) три корпя?
1245.	При каких значениях параметра а уравнение (а — 2)х4+
(3 — а)х2 — 1 = 0: а) не имеет корней; б) имеет два корня?
1246.	При каких значениях параметра а уравнение ах4 — (2а — 1)х2 =
= 3 — а имеет: а) два корня; б) три корня?
1247.	При каких значениях параметра а уравнение Зх — (а + 1) у/х + а =
= 0 имеет: а) два корня; б) один корень?
1248.	При каких значениях параметра а уравнение (а + 2)т + 2ау/х + 1 =
= 0: а) имеет один корень; б) не имеет корней?
1249.	Пусть Ji и 12 - действительные корни уравнения х2 +
+ х/а — а2 + 2 — 2а2 + За = 0. Найдите наименьшее и наибольшее
значения выражения х2 + х2.
1250.	Дана парабола у = х2 + 4.т — 1.
а)	Составьте уравнение касательной этой параболы, проходящей
через точку параболы с абсциссой —1.
б)	Составьте уравнение касательной этой параболы, параллель-
ной прямой у = 4х — 3.
в)	Составьте уравнение касательной этой параболы, перпендику-
лярной прямой у + х + 7 = 0.
г)	При каких значениях параметра а прямая ау + (2а - 1)а: + 4 = 0
имеет с данной параболой единственную общую точку?
1251.	Дана парабола у = 2х2 - 4х - 3.
118	Глава 2. Буквенные выражения
а)	Составьте уравнение касательной этой параболы, проходящей
через точку параболы с абсциссой 2.
б)	Составьте уравнение касательной данной параболы, перпенди-
кулярной прямой 4у — х + 5 — 0.
в)	Найдите площадь треугольника, образованного касательными,
найденными в пунктах а) и б), и прямой, проходящей через точки
касания параболы этих касательных.
г)	Составьте уравнение касательной данной параболы, проходя-
щей через точку (0; —3,5).
1252.	а) Составьте уравнения касательных параболы у = х2 — 4х — 3,
проходящих через точку (1; -10).
б)	Найдите площадь треугольника, ограниченного найденными
касательными и прямой, проходящей через точки касания.
1253.	При каких значениях параметра с график функции f(x) = х2 —
— 2х + с касается прямой 2у — Зх + 5 = 0?
1254.	При каких значениях параметра а график функции /(х) = — х2 +
+ ах + а касается прямой 2у + Зх + 5 = 0?
1255.	При каких значениях параметра а графики функций /(х) =
ах3 + (4 — За)х2 + (5 — 4а)х + 1	, .
=------------ТТЛ----------- и = 2х + а имеют единствен-
ную общую точку?
1256.	Дана функция /(х) = 2х2 + Зх - 1.
а)	Решите уравнение /(х2 - 1) = /(Зх). В ответе расположите
корни в порядке возрастания.
б)	Решите неравенство ^//(х) < \/х + а, где а — остаток от деле-
ния 754 на 11.
в)	При каких значениях параметра а неравенство /(х2) а2 —
— а — 7 выполняется при х € R?
г)	Составьте уравнение касательной графика /(х) в его точке
с абсциссой —1.
2
д)	Пусть Xi и Х2 — корни уравнения /(х) =0. Найдите =----1-
2.	«3X1 — Х2
3X2 — Х1 ’
1257.	Дана функция /(х) = х2 — 2х - 10.
а)	Решите неравенство /(1 — х) < /(х + 2).
б)	При каких значениях параметра а все корни уравнения л//(х) =
г-	х + а
= >Jx удовлетворяют неравенству ау_~д < 0-
в)	Пусть X] и Х2 — корни уравнения /(х) = 0. Составьте прими-
тивное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корня-
ми которого будут числа xj"1 Hij1.
§ 3. Многочлены второй степени
119
г)	Составьте уравнение касательной графика /(х), проходящей
через точку (2; —19).
д)	При каких значениях параметра а уравнение /(|х|) =а имеет
четыре корня?
1258.	Дана функция /(ж) = — х2 + 6т — 5.
а)	Постройте график функции </?(х) = |/(|х|)| — 5.
б)	Решите уравнение <^(х) = </?(2).
у f х)
в)	При каких значениях параметра а неравенство > а вы-
полняется при х G R? _________
г)	Решите неравенство 2 + y/f(x) > х.
д)	При каких значениях параметра а уравнение /(г) = ах2 + х — а
имеет единственный корень?
1259.	Дана функция /(х) = х	\
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Укажите количество корней уравнения 2/(х) + а = 3 в зависи-
мости от а.
в)	Решите уравнение /(х) = /(2).
г)	Решите уравнение /(х2 — 4х — 3) = /(2).
д)	Решите неравенство |/(х)| <3.
1260.	Дана функция /(х) = ах2 + 2(а + 1)х + За — 1.
/ (>/3— 1 \
а)	Пусть а = 2. Найдите у/ /(——).
б)	Пусть а = 2. Решите уравнение /(х) — 4 + 2\/3.
в)	При каких значениях параметра а прямая у = —2х + 3 имеет
единственную общую точку с графиком /(х)?
г)	При каких значениях параметра а уравнение /(х) = 0 имеет
два отрицательных корня?
д)	При каких значениях параметра а уравнение /(Ух) = 0 имеет
единственный корень?
1261.	Дана функция /(х) = | + х.
а)	Решите уравнение /(2х) = /(3).
б)	Найдите E(j).
в)	При каких значениях параметра а уравнение /(х) = ах — 1
имеет единственный корень?
г)	Решите неравенство \//(х) < >/2х — 4.
д)	Решите уравнение [/(х)] = 2х.
1262.	Дана функция /(х) = 2д_ '.
_____________Глава 2. Буквенные выражения
а)	Решите неравенство /(х) х.
б)	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3)
не имеющей с графиком f(x) других общих точек.
в)	Постройте график функции <р(х) = /(|х|).
г)	Укажите количество корней уравнения <р(х) = х2 + а в завис
мости от а.
д)	Решите уравнение f(x) = {т}.
Образцы вариантов контрольных работ
по материалу главы 2
Контрольная работа № 8
Вариант I
1.	Приведите выражение (2т2 - х + I)2 - (2х — 1)(т2 + 3) к канониче-
скому виду.
2.	Найдите какое-либо представление многочлена 2т4 — Зх3 — 11т2 —
— 7т — 5 в виде произведения двух многочленов второй степени с це-
лыми коэффициентами.
3.	Найдите коэффициент при х4 в канонической записи многочлена
(т2 + 2)6 — (2т—I)5.
4.	Найдите многочлен Р(т), если 2Р(т) + Р(2т) = ат2 + 4т — 3, где а —
остаток от деления числа —2916 на 7.
5.	Решите неравенство |Р(т)| > Q(.t), если Р(т) и (?(т) — много-
члены, удовлетворяющие следующим условиям: P(Q(t)) = 5 — т;
P(Q2(t)) = ^т2 - 6т 4-17.
6.	Разделите Р(т) = 2т5 - т4 + Зт2 + т - 5 на (?(т) = т2 + 2т - 3 с остат-
ком.
7.	Остаток от деления многочлена Р(т) на т + 1 равен 3, а остаток от
деления Р(т) на т — 1 равен —2. Найдите остаток от деления Р(т)
на т2 -1.
Вариант II
1.	Приведите выражение (2т - З)4 - (т2 - т - 1)(т - 2)2 к каноническо-
му виду.
2.	Найдите многочлен Р(т), если известно, что Р2(т) = т4 — 6т3 +
+ 17т2 - 24т + 16 и Р(-1) = -8.
3.	Найдите канонический вид выражения (Зт3 — т2 - 2т + 5)2 -
— (ат2—Ь)3, если а и b — целые числа и коэффициенты при т4
о
и г в каноническом виде этого выражения равны соответственно
-23 и -12.
4.	Решите уравнение |Р(т)| = 2Р(т + 1) - 3, если Р(т) — многочлен
и Р(тР(т)) = |т2 — т - 2.
122 Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 2
5. Решите систему неравенств
2P(x-l)+«W<0,	Р(1>
и Q(x) — многочлены, удовлетворяющие следующим условиям:
Р02(х) = 9х - 8, Р(1) = 1, Q(2x - Р(х)) = 11 - 5х.
6. Разделите Р(х) = х4 - Зх3 - х - 5 на Q(x) = ~х2 4- х - 1 с остатком.
7. Многочлен Р(х) = х5 — 2т4 4- ах3 4- Ьх2 4- 3 при делении на х — 2 дает
остаток 23, а при делении на х 4- 1 остаток равен —4. Найдите остаток
от деления Р(х) на х — 1.

Контрольная работа № 9
Вариант I
1. Разложите данную дробь на простейшие: -—2^-~17 ..
(х 4-	— 5)
о D	х4 + Зх3 + 2х2 - Зх - 1 . х4 - 4х2 - Зх + 9
2. Решите неравенство---------—:--------------------——.
•С “Г* 1	СЕ Л
18 1
3.	Найдите сум»,у £ (t + 1)(t + 2) 
4.	Дана функция /(х) =
а)	Постройте график функции уз(х) = |/(х)|.
б)	Решите уравнение /(—х)|х —1| = |2х 4-1|.
5.	Дан многочлен Р(х) = 2х3 + х2 + ах - 8, где а € Z. Остаток от деле-
ния Р(19) на 11 равен 4. Найдите остаток от деления Р(—19) на 11.
6.	Дан многочлен Р(х; у) = х5 — 2х2у - 2ху2 + Зх + у5 4- Зу - 5. Пред-
ставьте этот многочлен в виде многочлена от переменных и = х 4- у
и v = ху. Ответ запишите в лексикографическом порядке.
Вариант II
1. Выделите целую часть из данной неправильной дроби и полученную
правильную дробь разложите на простейшие:
2х3 — х2 — Зх 4- 4
х2 — 1
JO (fc4-l)2
2. Найдите сумму £ & + 2к'
3. Дана функция /(х) = 2х - 1 ’
а) Постройте график функции <^(х) = /(|х|).
б) Решите уравнение |/о2(х)| = 1,5.
Образцы вариантов контрольных работ	123
4.	Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами, причем
Р(—13) = 7. Каково значение Р(23), если оно находится в интервале
между 200 и 250?
5.	Дан многочлен Р(т; у) = 2х2у — Зху — Зу2 + 1. Решите уравнение
Р(у+1;у) = 0.
6.	Найдите х3 + у3, если известно, что числа а: и у удовлетворяют
Контрольная работа № 10
Вариант I
1.	Вычислите: -л,- 3 __+	+ х/1,25.
ч/б-ч/П ч/З + л/Й v
„ ,,	ч/х+1 —4ч/а: —3 + 2
2.	Упростите выражение — - —	--.
у/х + 1 + 4-/х —3 — 2
Q _
3.	Постройте график функции /(а:) =	.	+ х.
V4x2 — 12х + 9
4.	Решите уравнения:
а) \/25 + 8а: - а:2 + 5 = ®;	б) х	+ ч/а:2 + 4а: = 2т 4-10,(6).
5.	Решите неравенства:
а) Уа:-6ч/т + 9 >2;	б)	< 1.
6.	При каких значениях параметра а решение неравенства /2х —а
^/|а:| — 2 содержит отрезок [—4; —2]?
Вариант II
1.
2.
3.
Найдите область определения выражения
У|2а: + 5|-а;-2- . Зж =.
V '	ч/2а: - |а: + 2|
Вычислите: -^/\/11 -4у/7(у/7 +1)+11+ ч/343.
2)2 I ^2-
Постройте график функции /(а;) = 4 — х--	=.
х/х2 +4х + 4
4. Решите уравнение \/х+ 11 - 6\/а: + 2 + 2^т + 2 = 6.
2а:'у/^— y/ху = —6,
у/3у + ху=1.
5. Решите систему уравнений
124 Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 2
6. Решите неравенства:
а) \/а;4 — 8х2 4-16 3;	б) /5v^	^2.
у yjx — 2
7. При каких значениях параметра а уравнение ч/2х 4- 1 4- а =
= у^4|х| — За не имеет корней?
Контрольная работа № 11
Вариант I
д.3 _ За,2 _ Зд, J
1.	а) Постройте график функции /(х) = — ..	.
V х2 + 2х 4- 1
б)	Укажите количество корней уравнения /(х) + а = 1 в зависимости
от а.
2.	Решите уравнение |2х2 — х — 8| 4- 2 = х.
3.	Мотоциклист проехал 90 км от пункта А до пункта В с некоторой
скоростью. Возвращаясь в Л, он 40 мин ехал с той же скоростью,
а затем увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в Л, затратив на
обратный путь на 8 мин меньше, чем из Л в В. Сколько времени
затратил мотоциклист на обратный путь?
Г ч/х2 - х-3 < 3,
4.	Решите систему неравенств । । 2 ।	4| < |2 2 1|
5.	При каких значениях параметра а неравенство (а 4- 2)х2 4- (а 4- 3)х 4-
4- а 4- 5 0 выполняется при всех х?
6.	Найдите два положительных числа, чтобы их сумма была равна 7
и сумма удвоенного одного из этих чисел и квадрата другого была
наименьшей.
Вариант II
1.	а) Постройте график функции /(х) = (х 4- 2)у?х2 — 6х 4- 9.
б)	Укажите количество корней уравнения 2/(х) = —а в зависимости
от а.
2.	Решите уравнение 2х4 = 5х2 4- 3.
3.	Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за
12 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу
на 10 ч быстрее, чем вторая. Сколько часов потребовалось бы первой
бригаде для выполнения этой работы?
Образцы вариантов контрольных работ
125
4.	Решите совокупность неравенств
x>4(4-i) *.
5.	При каких значениях параметра а неравенство (а — 2).г 2 + (2а + 6)х
—2а выполняется при х € R?
6.	Найдите два таких положительных числа, чтобы их сумма была
равна 3 и произведение одного из них, увеличенного на единицу,
и другого было наибольшим.
Контрольная работа № 12
Вариант I
1.	Упростите выражение и укажите область его определения
/За2 —1	9а2	\ 15а6 -60а2
к а4-4 За4 + 5а2 —2/ 12а2+ 1 ’
х2 — х — 2
2.	Постройте график функции /(х) = 3а:----:---—.
|х — 2|
3.	Решите систему уравнений <
х2 + у2 °’
2х2 + 2у2 + ху = 2.
4.	Постройте на координатной плоскости фигуру, определяемую урав-
нением |х - у2| = 2у + 4.
5.	При каких значениях параметра а уравнение (а + l)i2 - (4а — 3)гг +
+ 4а = 8 имеет два действительных различных корня ац и х? таких,
что (ii — Х2)2 — 8,25?
6.	При каких значениях параметра а уравнение ах-2(а + 2')у/х + а = 1
имеет два корня?
7.	Составьте уравнение касательной параболы у = — х2 4- 4х + 7, пер-
пендикулярной прямой Зу + х = 6.
Вариант II
1. Упростите выражение и укажите область его определения
/	3_________4_____2у/х \	2^/х-Ц
\i/z — 3	х + 6 - 5 у/х у/х —2J ’	3
2. Постройте график функции f(x) = /1 —2х + х2 — : д 1
126 Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 2
3.	Решите систему уравнений <	’
I х — ху + у = 31.
4.	Постройте на координатной плоскости фигуру, определяемую усло-
вием (|х- 2/| = 4 - у2) Л (у |х|).
5.	При каких значениях параметра а уравнение 2х2 — 4х + а = 2 имеет
два различных корня Xj и Х2, для которых х^ +а?2 = 56?
6.	При каких значениях параметра т уравнение (пг — 1)х2 + 2тх +
+ т = 0 имеет два отрицательных корня?
7.	Составьте уравнение касательной параболы у = 2х2 + 6х — 1, парал-
лельной прямой 6х — Зу + 5 = 0.
Образцы экзаменационных работ по алгебре
за 8 класс
Вариант I
1.	Из городов А к В, расстояние между которыми 180 км, отправлены
в одно и то же время два поезда навстречу друг другу. После их
встречи поезд, вышедший из А, прибывает в В через 2 ч, а другой
прибывает в А через 4 ч 30 мин. Найдите скорость каждого поезда.
1 _	— х
2.	Построите график функции f(x) = --- -	--- и укажите число
V4a;2 — 4х + 1
корней уравнения /(т) = а в зависимости от а.
3.	Найдите {а}, где а= у/у/15-6у/в +4 + 3\/б.
„ r>	k + iK 1
4.	Решите неравенство —-— > х 16 
5.	Найдите остаток от деления многочлена Р(х) на х + 1, если известно,
что Р(Р(а;)) = 8а;4 — 24а;3 + 4а;2 + 21а; + 4.
Вариант II
1.	Рабочий А может закончить некоторую работу на 5 дней позже,
чем рабочий В, и на 9 дней позже, чем рабочий С. Рабочие А и В,
работая вместе, могут закончить эту работу за столько дней, за
сколько ее может закончить рабочий С. За сколько дней каждый
рабочий в отдельности может закончить эту работу?
2.	Постройте график функции f(x) = -у/х2 —4а;+ 4 + \/а;2 + 2а; + 1
и укажите множество значений этой функции.
2а + 36+
3.	Упростите выражение-------=------.
a+Vab-26
4	_ Г4а;2 + 4у2 + ху = 16,
‘1. Решите систему уравнений <
[ху + 2х + 2у = 2.
5- Решите уравнение х2 — 2х + [а:] = 4.
Вариант III
Р Найдите натуральное число п, если [\/п+ 15] = 16; n = l(modll)
и d(n) = 6.
128
Образцы экзаменационных работ по алгебреза 8 класс
2.	Постройте график функции /(х) = -|х2 + 2|х| - 1 и укажите число
корней уравнения /(х) — а в зависимости от а.
3.	Решите уравнение
х + 1 х _	1 Зт — 5
4х2 — 1	1 — х — 2х2 4х — 2	8х3 + 8х2 — 2х — 2 ’
4.	Решите неравенство J д. + < 1-
5.	Составьте примитивное квадратное уравнение с целыми коэффици-
ентами, корнями которого будут числа Д и где а и /3 — корни
уравнения 2т2 + З.т — 7 = 0.
Вариант IV
1.	Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км,
выехал поезд. Через 20 мин вслед за ним выехал автомобиль, кото-
рый догнал поезд и с той же скоростью вернулся в пункт А. Когда он
вернулся в А, поезду оставалось проехать 180 км.. Найдите скорости
поезда и автомобиля, если известно, что скорость поезда на 10 км/ч
меньше.
2.	Решите неравенство /(.г) > |2х — 3|, если графиком функции
/(х) = ах2 + Ьх + с является парабола, вершина которой находится
в точке Л(2; 7) и которая проходпт через точку В(—1; —11).
3.	Решите в Z уравнение 4х2 + 4ху — Зу2 + 4х — 2у = 7.
. п	„ Г Ух + 2у+|х-3| = 1,
4.	Решите систему уравнении < „
I х —у = 5.
5.	При каких значениях параметра т неравенство (4' — т2)х2 +
+ (т — 2)х + 1 > 0 выполняется при х G R?
Вариант V
1.	Две трубы, работающие одновременно в течение 1 ч, наполняют
бассейн водой на 3/4. Если сначала первая труба наполнит бассейн
на 1 /4, а затем вторая при выключенной первой доведет объем воды
до 3/4 бассейна, то на это понадобится 2,5 ч. Если первую трубу
включить на 1 ч, а вторую — на полчаса, то они наполнят бассейн
более чем наполовину. За какое время наполняет бассейн каждая
труба?
12х — 11
2.	Постройте график функции /(х) =	и укажите те значения
параметра а, при которых уравнение /(х) + а = 2 имеет два корня.
Образцы экзаменационных работ по алгебре
129
3.	Решите неравенство х/Зяг2 — 5х — 1 < \/х + а, где а — остаток от де-
ления З200 - 5100 на 13.
4.	Найдите корни многочлена Р(х) = 2х4 — х3 — 9х2 — х + 6, если из-
вестно, что этот многочлен может быть представлен в виде произ-
ведения двух квадратных трехчленов с целыми коэффициентами.
Го	Гх4 + ху + ул = 1,
5.	Решите систему уравнений < 9
I X" + у + ху = 1.
Вариант VI
1.	Найдите число вида 0,а(6с), если оно равно несократимой дроби вида
ЗА:+ 2
где fee N.
2.	Постройте график функции /(х) = —х2 + 4|х| — 3 и укажите число
корней уравнения Дх) — 4 - а2 в зависимости от а.'
3.	Решите уравнение Ух2 — Зх — 1 = У2х2 + х — 5.
4.	Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству 2Р(х) +
+ Р(х + 2) = 6х3 4- 12х2 4- 21х + 23.
5.	При каких значениях параметра а уравнение (а + 1)х4 — 2ах2 + а = 3
имеет два корня?
Вариант VII
1.	Два раствора, из которых первый содержал 700 г безводной серной
кислоты, а второй 800 г безводной серной кислоты, соединили вместе
и получили 24 кг нового раствора серной кислоты. Определите массу
первого и второго растворов, если известно, что в первом растворе
концентрация кислоты на 3% меньше, чем во втором.
2.	Упростите выражение
(х3 - 7х2 + Их 4- 19):	* 8 - (х+ I)5 + Зх3(х + 2,(6)).
3.	Решите неравенство Ух2 — Зх — 4 < Ух 4-8.
д.3_^,2 _ 2^.
4.	Постройте график функции /(х) = —---- и укажите число
ух4 4- 2х3 4- х2
корней уравнения /(х) = Зх 4- а в зависимости от а.
ц п	„ 1\2х-у\=х + у + а,
о. Решите систему уравнений <	где а — остаток
[4х2 -у = 2,
от деления многочлена 2х3 — |х2 4- 5 на х 4-1.
130
Образцы экзаменационных работ по алгебреза 8 класс
Вариант VIII
1.	Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько
дней 216 л«3 древесины. Первые три дня бригада ежедневно вы-
полняла установленную планом норму, а затем каждый день стала
заготовлять 8 л<3 древесины сверх плана, поэтому за день до срока
было заготовлено 232 л<3 древесины. Сколько кубических метров
древесины в день должна была заготовлять бригада по плану?
2.	Постройте график функции /(х) = х2 + 2х — |х2 — 4| и укажите зна-
чения а, при которых уравнение /(х) = имеет ровно два корня.
3.	Упростите выражение
,	!	3	\ >/4а2 + 17а ~21 + 20(а “
\ 75^1-2 + 2a 4-у/?77!-12)	а -17
( а — 1 + 2у/а— 1 \ -I
X (----Т—ё-----1 •
{х2 — Зху + у2 = 11,
х + у + ху + 3 = 0.
5. Решите неравенство У2х2 — Зх — а < Ух+ 4, где а — остаток от де-
ления З100 на 7.
Вариант IX
1.	Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, наг
ходящийся в 10 км от Л, затем возвращается в А. Если собственная
скорость лодки 3 км/ч, то путь из А в В занимает на 2 ч 30 мин
меньше, чем из В в Л. Какой должна быть собственная скорость
лодки, чтобы поездка из Л в В заняла 2 ч?
2.	Постройте график функции /(х) — х — у/х2 + 2х+ 1 + Ух2 — 4х + 4
и укажите число корней уравнения /(х) = 2(а — х) в зависимости
от а.
3.	Найдите все целые числа, сравнимые с —3 по модулю 7 и удовлетво-
(х-2^-^—,
ряющие системе неравенств < о — х
(|2х —1| ^х+ 13.
4. При каких значениях параметра а уравнение (а — 3)х4 5 — 2ах2 + 2а =
= 5 имеет четыре корня?
зо fc2 — 4А: +1
5. Найдите сумму £	+
Образцы экзаменационных работ по алгебре
131
Вариант X
1.	Сосуд емкостью 30 л наполнен спиртом. Из него выливают некоторое
количество спирта в другой, равный ему, и, дополнив остальную
часть второго сосуда водой, дополняют этой смесью первый сосуд.
Затем из первого отливают 12 у л во второй, после чего в обоих
сосудах стало одинаковое количество спирта. Сколько спирта перво-
начально отлито из первого сосуда во второй?
2.	Постройте график функции f(x) =	—у- и укажите множество
значений данной функции.
„ о	7194 - 120х/2
3.	Вычислите--------=---
3-72
4.	Решите уравнение у/\2х — Ц—х — х2 — х = 4.
5.	Остаток от деления многочлена Р(х) на х 4- 2 равен -3, а при деле-
нии Р(х — 1) на х — 4 остаток равен 4. Найдите остаток от деления
Р(х) на х2 — х — 6.
1
4
272-1	у/2 + 2
Вариант XI
1. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А, расположен-
ной на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке
вверх против течения до пристани В, затратив 18 ч на весь путь
от А до В. Затем катер возвращается обратно. Время обратного
движения от В до А по тому же пути равно 15 ч. Собственная
скорость катера равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч.
Каково расстояние от А до В и какова скорость течения притока?
2. Упростите: (^/а —
3. Решите совокупность неравенств
— |х2 — 4|х| + 3|. Укажите те
—9b~ia :
a — y/ab + b	a.y/a + b-\/b /
' < 7а:-11
х2 + х — 2 ’
_|4х2 - х - 7| < \2х2 - Эх + 9|.
4. Постройте график функции f(x) = 2
значения параметра а, для которых уравнение /(х) + а2 = 5 имеет
ровно 4 корня.
5. Решите систему с параметром а:
(а — 1)х+ (а + 2)у = а,
2х + ау = 1.
Вариант XII
\ 3 4 5	_ г. 2
1. Упростите выражение:
пуп + тпу/т
'тп + т
132
Образцы экзаменационных работ по алгебреза 8 класс
2. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу
друг другу из городов Л и В, расстояние между которыми 20 км,
и встречаются через 1 час после начала движения. Затем они
продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 3 ч
45 мин раньше, чем пешеход в В. Найдите скорости велосипедиста
и пешехода.
3. Постройте график функции /(х) = |х2 — 4|х| | - 2 и укажите число
корней уравнения /(х) = а в зависимости от а.
4.
Решите систему неравенств <
Зх3 - 20х2 + 31т - 14
I х2 — 6х + 9 I 1
I х-5 К
>0,
5. Многочлен Р(х) при делении на х + 3 дает остаток, равный 15,
а на х — 2 делится без остатка. Найдите остаток от деления Р(х)
на х2 + х — 6.
Вариант XIII
1.	Дана функция /(х) =
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Найдите E(f).
в)	Укажите количество корней уравнения f(x) = 1 4- ах в зависимо-
сти от а.
2.	Катер прошел 10 км по течению и 24 км против течения, затратив
на весь путь 2 ч. Какова скорость катера против течения, если
собственная скорость катера равна 18 км/ч?
3.	а) Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству Ро2(х) =
= —х4 — 8х3 — 2х2 + 56х — 40.
б)	Найдите все значения х, при которых
Р(х2) =	+ 718J5-
в)	Решите неравенство х + ^/Р(—х) 2.
г)	Найдите значение параметра а, при котором прямая 2у + х + а = 0
касается графика функции Р(х).
д)	При каких значениях параметра Ь уравнение Р(|х|) =Ь(|х| — 1) — 2
имеет четыре различных действительных корня?
Вариант XIV
1.	Дана функция /(х) = |х- 2| — |х + 1|.
а) Решите уравнение /(2х) = 4х.
Образцы экзаменационных работ по алгебре
133
6)	Решите неравенство /(х2)>1.
в)	Сколько решений имеет уравнение f(x) = а — х в зависимости
от а?
г)	Постройте график функции <р(х) =	.
2.	Дан многочлен Р(х) = ах2 - Зх — 8.
а)	При каком значении параметра а многочлен Р(х) является дели-
телем многочлена Q(x) = х3 - 4х2 — 28х — 32?
б)	При найденном в пункте а) значении параметра найдите
Ур(1-х/2)-8\/2 + 20,5.
в)	При найденном в пункте а) значении параметра решите неравен-
СТВОР^°-
г)	Найдите значения параметра а, при которых уравнение Р(х) = а
имеет два отрицательных корня.
3.	В бассейн для наполнения его водой проведены три трубы. Первая
и вторая трубы вместе наполняют его за 1 ч 30 мин; вторая и
третья — за два часа; первая и третья — за три часа. За какое время
наполнится бассейн, если треть бассейна наполнит первая труба,
а затем будут открыты все три трубы?
Вариант XV
1.	Дан многочлен Р(х; у) = 2х2 + ху -4х- бу2 + бу.
а)	Решите уравнение Р(х; у) = -1 в целых числах.
б)	Решите уравнение |Р(х; 2 - х)| = Р(х; х).
в)	Найдите остаток от деления числа Р(—271; 348) на 7.
г)	Найдите все значения у, при которых многочлен Р2(х; у) при
делении на х + 2 дает остаток 4.
2.	Из морского порта одновременно отходят два парохода по двум
взаимно перпендикулярным направлениям. Спустя полчаса после
их отплытия кратчайшее расстояние между ними составляло 25 км,
а спустя еще 12 мин оказалось, что один из пароходов был от ис-
ходного порта на 7 км дальше другого. Найдите скорость каждого
парохода.
о и ,	,, ч	(а + 1)х2 - 4ах + а- 2
3.	Дана функция f(x) =----2а;2 _ За. _ 5-•
а)	Постройте график функции ip(x) — 6/(|х|) при а= |.
б)	Пусть а — 1. Решите неравенство /(х) (х +1)-1.
в)	Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
/(х) = 0 имеет ровно один корень.
134 Образцы экзаменационных работ по алгебреза 8 класс
г)	Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
=0 имеет два различных корня.
Вариант XVI
((т+ 1)х + 2ту = - 2,
1.	Дана система уравнений <
I тх + у = 2т — 3.
а)	Пусть т= —2. Найдите решение системы.
б)	При каких значениях т данная система не имеет решений?
в)	Найдите значения тп, при которых единственное решение данной
системы удовлетворяет неравенству х + у + 3 С т.
2.	Даны многочлены Р(х) = ах2 + ах + а + 1 и Q(x) — х2 — (За + 7)х +
+ За +16.
а)	Пусть а = —4. Решите уравнение Q(P(x)) = 0.
б)	При каких значениях параметра а оба многочлена не имеют кор-
ней?
в)	При каких значениях параметра а уравнение Р(— х2) = Q(x2)
имеет ровно два корня?
3.	Дана функция /(х) = у/х^ — Зх + а.
а)	Пусть а = —10. Найдите D(f).
б)	При каких значениях параметра а уравнение а + /(х) = 2х имеет
ровно один корень?
4.	Имеется два разных сплава меди. Процент содержания меди в пер-
вом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как
их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 33,(3)% меди.
Определите процентное содержание меди в каждом сплаве, если
масса меди в первом сплаве равна 8 кг, во втором — 12 кг.
Вариант XVII
1.	Дана функция /(х) = Ьх2 — 4(6 + 1)х + 126 - 4.
а)	При 6 = 2 найдите /(1 + \/3).
б)	При каких значениях параметра 6 прямая у = 4х 4- 12 имеет един-
ственную общую точку с графиком /(х)?
в)	При 6 = 2 найдите абсциссы точек графика /(х), ординаты кото-
рых равны 16 — 8>/3.
г)	При каких значениях параметра 6 корни уравнения /(х) = 0 равны
по модулю и противоположны по знаку?
д)	При каких значениях параметра 6 уравнение f(y/x) =8 имеет
единственное решение?
Образцы экзаменационных работ по алгебре
135
2.	Дана функция /(х) = |3х - 1| — |3х +1|.
а)	Решите уравнение /(х) = -6х.
б)	Решите неравенство /(х) 6х.
в)	Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение /(х) =
= —Зх + а?
3.	Сосуд емкостью 8 л наполнен воздухом, содержащим 16% кисло-
рода. Из этого сосуда выпускают некоторое количество воздуха и
впускают такое же количество азота, а затем проделывают эту опе-
рацию еще раз (выпуская и добавляя такое же количество). В новой
смеси содержание кислорода оказалось равным 9%. Сколько литров
каждый раз выпускалось из сосуда?
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 3
Многоугольники и их площади
§1. Треугольники
1.	В равнобедренном треугольнике основание в три раза меньше бо-
ковой стороны, а периметр равен 4 дм 2 см. Найдите стороны
треугольника.
2.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена
медиана ВК. Найдите |В/<|, если Р(АВС) = 18 и Р(АВК) = 14.
3.	Периметр треугольника равен 2 дм 9 см и одна из его сторон имеет
длину 1 дм. Найдите длины двух других сторон, если их разность
равна 5 см.
4.	Докажите, что стороны АВ и ВС треугольника АВС равны тогда
и только тогда, когда:
а)	высота и медиана, проведенные из вершины В, совпадают;
б)	высота и биссектриса, проведенные из вершины В, совпадают;
в)	биссектриса и медиана, проведенные из вершины В, совпадают.
5.	Докажите, что в равных треугольниках:
а)	медианы, проведенные к равным сторонам, равны;
б)	биссектрисы, проведенные к равным сторонам, равны;
в)	высоты, проведенные к равным сторонам, равны.
6.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если:
а)	один из его углов равен 50°;
б)	угол при основании в два раза меньше угла, противолежащего
основанию;
в)	угол при основанш! на 20° меньше угла, противолежащего ос-
нованию;
г)	угол, противолежащий основанию, на 50° меньше угла, смежно-
го с углом при основании.
7. Найдите углы треугольника АВС, если А: В = 2 :3 н А —С = 30° •
§ 1. Треугольники
137
8.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведена
биссектриса АК. Найдите углы этого треугольника, если АКС =
= 60°.
9.	Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 100°.
Найдите углы этого треугольника.
10.	В треугольнике АВС точка О является точкой пересечения бис-
сектрис углов А и С. Найдите углы этого треугольника, если А на
40° больше В и АОС на 25° больше С.
11.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены
биссектриса АК и высота AL. Найдите KAL, если В — 100°.
12.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены
высоты АК и CL, которые пересекаются в точке Н. Найдите углы
этого треугольника, если АНС на 40° больше В.
13.	В равнобедренном треугольнике АВС В = 120° и |АС| = 8 см.
Найдите высоту СК этого треугольника.
14.	Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пе-
ресекает ВС в точке D.
а)	Найдите |2?С'|, если |АО| = 3 см, |В7?| =2 см.
б)	Докажите, что если |А£)| = |ВО|, то Л = 90°.
15.	Известно, что в треугольнике АВС В на 65° больше С и на 55°
больше А. Найдите KCL, где СК — высота данного треугольника,
CL — его биссектриса.
16.	В треугольнике АВС |ВС| = 2, |ЛВ| — 4, А = 30°. Из вершины С
проведена высота СК. Найдите |ЛК|.
17.	В треугольнике АВС А = 75°, С = 45°. Найдите KBL, где ВК —
высота данного треугольника, BL — его биссектриса.
18.	Даны окружность ш(О; 2) и прямая р. Известно, что р(О; р) = 5.
Пусть К — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на
прямую р. Точка А принадлежит р и КО А = 60°. Найдите:
а)р(<щр); б) р(А; ш).
19.	Окружность ш(О; 2) касается прямой а в точке М. На прямой а
взята точка N так, что ,0^1 =4. Найдите: a) MON; б) p(7V; w).
20.	В треугольнике АВС В = 30°, А = 120°. Из вершины В проведена
высота ВО, при этом |ОС| = 1 дм 2 см. Найдите:
а) р(Л; ВС); б) р(В; АС).
6 Зак. 397
138	Глава 3. Многоугольники и их площади
21.	В треугольнике АВС А = 90°, BL — биссектриса, О — середина
ВС, F — точка пересечения BL и АО, AFB на 70° больше АС В,
Найдите В.
22.	В треугольнике АВС С = 90° и В в три раза больше А. Найдите: 1
а) ТОМ, где О — точка пересечения биссектрисы ВТ и медиа-
ны СМ-,
б)	BQA, где Q — центр вписанной окружности;
в)	ВОаА, где Оа — центр вневписанной окружности.
23.	В треугольнике АВС С = 30°, |АВ| = 3 см, |ВС| = 6 см. Найдите: )
a) ARC, где R — точка пересечения медианы AM и биссектрисы
CL;
б)	АО В, где О — центр вписанной окружности;
в)	ВОаС, где Оа — центр вневписанной окружности.
24.	В треугольнике АВС серединный перпендикуляр стороны АС пе-
ресекает ВС в точке К и серединный перпендикуляр стороны ВС
пересекает АС в точке L. Известно, что периметр треугольни-
ка АВК на 8 меньше периметра треугольника АВС, периметр
треугольника ABL на 9 меньше периметра треугольника АВС и
Р(АВЮ): Р(ЛВ£) = 15:14. Найдите Р(ДВС).
25.	Докажите, что длина любой чевианы треугольника меньше его
полупериметра.
26.	Пусть а, Ь, с — длины сторон треугольника АВС. Докажите, что
существуют такие положительные числа х, у, z, что а = х + у,
b = x + z, c = y + z.
27.	В треугольнике АВС |АВ| = |ВС| = 4. Известно, что высота и
биссектриса, проведенные из вершины А, образуют угол, равный
22°30'. Найдите р(С; АВ).
28.	Дан прямоугольный треугольник, один из углов которого равен
30°. Из середины его гипотенузы восстановлен серединный перпен-
дикуляр к ней. Докажите, что длина отрезка этого перпендикуля-
ра, лежащего внутри треугольника, равна трети длины большего
катета.
29.	Найдите угол В треугольника АВС, если высота СН равна поло-
вине стороны АВ и А = 75°.
30.	В треугольнике АВС высота АА^ не меньше стороны ВС, а высота
ВВ\ не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС -т
равнобедренный и прямоугольный.
§2. Многоугольники
139
31.	Биссектриса одного из углов треугольника делит его на два рав-
нобедренных треугольника. Найдите углы треугольника.
32.	Докажите, что если стороны треугольника АВС связаны соотно-
шением а2 + i>2 = fcc2, то к >
33.	В треугольнике АВС угол между высотой и биссектрисой, про-
веденными из вершины А, равен 10°, а угол между высотой и
биссектрисой, проведенными из вершины В, равен 5°. Найдите
углы треугольника.
34.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными ка-
тетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и
медианой, проведенными из той же вершины, пополам.
35.	Докажите следующий признак прямоугольного треугольника: если
медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины,
делят соответствующий угол на три равные части, то треугольник
является прямоугольным.
36.	В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В проведена
высота BD. На гипотенузе АС взята точка Р так, что АВ = АР.
Докажите, что луч ВР является биссектрисой угла CBD.
37.	Пусть в треугольнике АВС |ЛД| < |ВС|. Пусть ВК, BL, ВМ —
соответственно высота, биссектриса и медиана этого треуголь-
ника. Докажите, что: а) точка L расположена между К и М;
б) KBL=±(A-C).
§2. Многоугольники
38.	Найдите число диагоналей выпуклого n-угольника, если:
а) п = 7; б) п = 12; в)п = 15.
39.	Каждый угол правильного n-угольника равен 135°. Сколько диа-
гоналей имеет этот п-угольник?
40.	Все стороны некоторого n-угольника равны и имеют длину 3 см.
Найдите его периметр, если этот n-угольник имеет 9 диагоналей.
41.	Найдите сумму мер внутренних углов выпуклого многоугольника,
имеющего 27 диагоналей.
42.	Сумма числа сторон и числа диагоналей выпуклого п-угольника
равна 45. Найдите сумму мер внутренних углов этого п-угольника.
43.	Разность между числом диагоналей и числом сторон выпуклого
n-угольника равна 18. Найдите сумму мер внутренних углов этого
п-угольника.
140
Глава 3. Многоугольники и их площади
44.	Сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник, если сумма мер
его внутренних углов равна 1620°?
45.	Найдите сумму мер внешних углов выпуклого п-угольника.
46.	Докажите, что в любом четырехугольнике ABCD выполняется не-
равенство IЛВ\ + |ВС| + |СГ>| > |AD|.
47.	Дан четырехугольник ABCD, в котором А в два раза больше В,
на 10° меньше Сив сумме с D составляет 150°. Найдите углы
этого четырехугольника.
48.	В выпуклом четырехугольнике ABCD В = /3, С = у. Биссектрисы
углов А и D пересекаются в точке О. Найдите AOD.
49.	Докажите, что длина каждой диагонали четырехугольника мень-
ше его полупериметра.
50.	Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого четырехуголь-
ника больше его полу периметра.
51.	Длины сторон некоторого четырехугольника относятся как 2:3:4:6.
Найдите периметр этого четырехугольника, если меньшая сторона
имеет длину 7 мм.
52.	Найдите меры углов четырехугольника, если они относятся как
1: 2:3 :3.
53.	а) Докажите, что количество острых углов выпуклого многоуголь-
ника не превосходит 3.
б)	Приведите примеры выпуклых четырехугольников, в которых
количество острых углов равно 0, 1, 2 или 3.
54.	В четырехугольнике ABCD А на 50° больше D, В на 10° больше
D и В в 8 раз меньше С. Найдите углы треугольника BCD, если
AB = AD.
55.	В четырехугольнике ABCD AD = CD, С = D, А в 7 раз меньше
В и на 20° больше С. Докажите, что точка В равноудалена от
прямых АС и AD.
56.	В четырехугольнике ABCD АВ = ВС, С — А = 10°, D — В = 30°, С
в 1,5 раза больше D. Найдите углы треугольника ACD.
57.	Периметр параллелограмма равен 1 дм 6 см. Найдите длину мень-
шей стороны, если известно, что она на 2 см меньше длины боль-
шей стороны.
58.	Периметр параллелограмма равен 2 дм, а отношение длин смеЖ'
ных сторон равно 2:3. Найдите длину меньшей стороны данного
параллелограмма.
§2. Многоугольники
141
59.	Периметр параллелограмма ABCD равен 2 дм 8 см. Биссектриса
угла А пересекает сторону ВС в точке К. Известно, что один из
отрезков В К и КС на 2 см больше другого. Найдите длины сторон
параллелограмма.
60.	В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и D пересекают
сторону ВС в точках М и N соответственно. При этом точка пе-
ресечения этих биссектрис расположена внутри параллелограмма.
Найдите периметр данного параллелограмма, если |5/V| = 2 см,
|ВМ| =6 см.
61.	В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и В пересека-
ют сторону CD в точках М и N соответственно. Известно, что
\СМ| = 3 и |= 1. Найдите периметр данного параллелограмма.
62.	Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. До-
кажите, что четырехугольник A\B\C\D\, вершинами которого яв-
ляются середины отрезков О А, ОВ, ОС, OD, является параллело-
граммом.
63.	Дан треугольник АВС и луч I с началом В и сонаправленный
с лучом АС. Докажите, что на луче I существует единственная
точка М такая, что периметры треугольников АВС и ВМС равны.
64.	Точка С — середина отрезка АВ. На произвольном луче, прове-
денном из точки С и не лежащем на прямой АВ, выбраны три
последовательные точки Р, М и Q такие, что PM = MQ. Докажи-
те, что |ЛР| + |BQ| > 2\СМ|.
65.	Периметр параллелограмма ABCD равен 3 дм, причем |АВ| <
< |5С|; АК и CL — биссектрисы углов А и С (точки К и L ле-
жат на сторонах параллелограмма). Периметр четырехугольника
AKCL на 2 дм 6 см меньше суммы периметров треугольников
АВК и CLD. Найдите |АВ| и |5С*|.
66.	Высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла,
образуют угол 30°. Найдите длины этих высот, если периметр па-
раллелограмма равен 4 дм 4 см и одна из сторон параллелограмма
на 6 см больше другой стороны.
67.	В параллелограмме ABCD | AD| = 8 см, расстояние между прямы-
ми АВ и CD равно 4 см. Найдите угол между высотами паралле-
лограмма, проведенными из вершины тупого угла В.
68.	Дан правильный треугольник KLM с длиной стороны а. На сто-
роне KL взята точка А так, что |Л/<|: |Л£| = 2, и через нее про-
ведены прямые р и q, параллельные прямым КМ и LM, которые
142	Глава 3. Многоугольники и их площади
пересекают стороны LM и КМ в точках соответственно В и С.
Найдите периметр четырехугольника АВМС.
69.	В треугольнике АВС через точку К — середину стороны АВ —
проведена прямая, параллельная АС и пересекающая ВС в точ-
ке L. Через точку М — середину отрезка ВК — проведена пря-
мая, параллельная ВС и пересекающая KL и АС в точках соот-
ветственно F и N. Известно, что P(KMF) = 5, P(AKFN) = 14,
P(MBLF) = 8,5. Найдите длины сторон данного треугольника.
70.	Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Най-
дите углы треугольника АОВ, если ADB на 30° меньше ВОС.
71.	В прямоугольнике ABCD биссектриса угла ACD пересекает BD
и AD в точках соответственно К и L. Известно, что АОВ на
20° больше LKD, где О — точка пересечения диагоналей данного
прямоугольника. Найдите ACL.
72.	В прямоугольнике ABCD биссектриса угла ВАС пересекает BD
и ВС соответственно в точках К и L. Известно, что AKD на 20°
больше АСВ. Найдите BLA.
73.	Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на четы-
ре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот
четырехугольник — ромб.
74.	В треугольнике АВС точки К и L — середины сторон соответствен-
но АВ и ВС. Периметр четырехугольника AKLC равен 12 см.
Найдите Р(АВС'), если |АС| = 3 см.
75.	В треугольнике KLM серединами сторон являются точки Р, Q,
R-, в треугольнике PQR серединами сторон являются точки А,
В, С. Периметр треугольника АВС на 12 см меньше периметра
треугольника KLM. Найдите Периметр треугольника PQR.
76.	Точка Л] является серединой стороны ВС треугольника АВС.
Через точку Ai проведены прямые, параллельные прямым АВ и
АС. Эти прямые пересекают соответствующие стороны в точках
Ci и В\. Известно, что периметр четырехугольника AC\A{Bi на
7 см меньше периметра треугольника АВС. Найдите |ВС|.
77.	Треугольник АВС достроен до параллелограммов: АВ Al С, АВСВ\,
СВСуА.
а)	Найдите сумму периметров этих трех параллелограммов, если
периметр данного треугольника равен 1 дм 2 см.
§ 2. Многоугольники
143
б)	Найдите периметр данного треугольника, если сумма перимет-
ров трех указанных параллелограммов на 1 дм 5 см больше пери-
метра треугольника А}В}С}.
78.	Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллель-
ные его сторонам. При их пересечении образовался треугольник,
периметр которого на 4 см больше периметра данного треугольни-
ка. Найдите периметр данного треугольника.
79.	В треугольнике АВС через точку Су, являющуюся серединой АВ,
проведены прямые р и q, параллельные АС и ВС соответственно.
Эти прямые пересекают ВС и АС в точках соответственно Ау
и В\. Известно, что периметр четырехугольника AC]A]Bi равен
3 дм 2 см, что составляет 80% от периметра данного треугольника.
Найдите |ВС|.
80.	В треугольнике АВС точки Bj и Су являются серединами сторон
соответственно АС и АВ. На лучах ВВ\ и ССу взяты точки К и
L такие, что By — середина ВК и Су — середина CL. Докажите,
что точки К, L и А коллинеарны.
81.	В треугольнике АВС А = 70°, В = 65°. Найдите АНС, где Н —
ортоцентр этого треугольника.
82.	В треугольнике АВС А = 25°, В = 40°. Найдите ВНС, где Н —
ортоцентр этого треугольника.
83.	В треугольнике АВС А на 20° больше С и на 10° меньше В.
Найдите АНС, где Н — ортоцентр данного треугольника.
84.	В остроугольном треугольнике АВС АК — высота, Н — ортоцентр,
ВНС на 40° больше А и АНС на 70° больше В. Докажите, что
ВК = КС.
85.	В остроугольном треугольнике АВС Н — ортоцентр, АН С = 140°,
А на 20° больше В. Найдите углы данного треугольника.
86.	В треугольнике АВС А = 80°, В = 30°, АК — высота, Н — орто-
центр. Найдите ВНК.
87.	В треугольнике АВС точка Н является ортоцентром. Найдите
углы этого треугольника, если АНС = 80° и АН В на 20° больше А.
88.	В выпуклом четырехугольнике ABCD В AD —BCD и DAC=DCA.
Длина одной из средних линий этого четырехугольника равна 3 см.
Найдите длину другой средней линии.
89.	В прямоугольнике ABCD биссектриса угла ACD перпендикулярна
прямой BD. Найдите периметр соответствующего параллелограм-
ма Вариньона, если | АВ| =2 см.
144	Глава 3. Многоугольники и их площади
90.	Средние линии выпуклого четырехугольника взаимно перпенди-
кулярны. Найдите длины диагоналей данного четырехугольника,
если их сумма равна 8 см.
91.	В четырехугольнике ABCD периметр соответствующего паралле-
лограмма Вариньона равен 2 дм 4 см и в три раза больше
|АС|. Найдите |jB.D|.
92.	В выпуклом четырехугольнике ABCD средние линии равны. Диа-
-------------------------------------------------------------
гонали АС и BD пересекаются в точке О. Известно, что ACD =
= ABD, ACD на 10° больше ADB и на 50° больше ВАС. Найдите^
|OD|, если |XD| =8.
93.	В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяю-
щего середины диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего
середины сторон AD и ВС. Найдите меру одного из углов, об-
разованных прямыми АВ и CD.
94.	В четырехугольнике ABCD точка К — середина АВ, L — середина
CD, Р середина AC, Q — середина BD\ P(KPLQ) =26 см,
|AZ>|:|BC|=3:2. Найдите |AD| и |ВС|.
95.	Средняя линия MN трапеции ABCD на 3 см меньше большего
основания AD. Средняя линия трапеции MBCN равна 5 см. Най-
дите длины оснований трапеции ABCD.
96.	В прямоугольной трапеции ABCD А = В = 90°, .0 = 60°; |ЛО| =
= 1 дм, |ВС| =4 cai. Найдите |СО|.
97.	В прямоугольной трапеции ABCD А = 45°, С = D = 90°; |ВС'| =
= 8 см, |СО| = 2 см. Найдите |ЛО|.
98.	В прямоугольной трапеции ABCD С = D = 90°, |АВ| = |£?С| =
= 4, |А£>| = 6. Найдите: a) ACD-, б) |QZ?| : |QA|, где Q — точка
пересечения прямых АВ и CD.
99.	В трапеции ABCD на стороне АВ взяты точки Е и F, делящие
эту сторону на три равные части, и через них проведены прямые,
параллельные основаниям. Длины отрезков этих прямых, заклю-
ченные внутри данной трапеции, равны 5 cai и 8 см. Найдите
длины оснований трапеции.
100.	В трапеции ABCD ВС = CD, D = 60°, длина средней линии равна
4 см. Расстояние от точки А до основания высоты, проведенной
из вершины В, равно 1 см. Найдите основания данной трапеции-
101.	В трапеции ABCD длина отрезка, соединяющего середины диаго-
налей, равна 3 см. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю
§ 2. Многоугольники
145
линию в отношении 3:5. Найдите длину большего основания этой
трапеции.
102.	В трапеции ABCD: |Д2?| = |BD\ = 6, CBD на 45° меньше А.
Найдите высоту трапеции.
103.	Три стороны трапеции равны между собой. Периметр трапеции
равен 3 дм 2 см. Разность между периметрами трапеций, на ко-
торые разбивает данную трапецию ее средняя линия, равна 4 см.
Найдите длину средней линии этой трапеции.
104.	Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, на
2 меньше длины меньшего основания трапеции. Длины основа-
ний трапеции относятся как 1:2. Найдите длину средней линии
трапеции.
105.	Три стороны трапеции равны между собой; одна из диагоналей
равна одному из оснований. Найдите углы трапеции.
106.	В трапеции ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикуляр-
ны; |AD|=8 см, |ВС| = 2 см. Найдите длину отрезка, соединяю-
щего середины оснований данной трапеции.
107.	В равнобедренной трапеции ABCD |ДВ| = 4, |23С| = 7, 4 = 60°.
Найдите длину средней линии трапеции.
108.	Периметр равнобедренной трапеции ABCD равен 4 дм, 4 = 60°,
ACD = 90°. Найдите длины сторон этой трапеции.
109.	Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Дока-
жите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции,
равен их полуразности.
ПО. В трапеции ABCD А — 20°, D = 70°, |ВС\ — 2 и длина средней ли-
нии равна 5. Найдите длину второй средней линии этой трапеции.
111.	Найдите острый угол равнобедренной трапеции, если диагональ
делит ее на два равнобедренных треугольника.
112.	В трапеции ABCD диагонали взаимно перпендикулярны и диа-
гональ АС равна средней линии. Найдите Л, если ABD на 50°
.---------------
больше ВАС.
113.	В трапеции ABCD стороны АВ, ВС и CD равны между собой;
диагонали пересекаются в точке О, при этом AOD в три раза
больше ВАС. Найдите А.
114.	Периметр трапеции ABCD равен 18 см. Биссектриса угла С делит
трапецию на ромб и треугольник, разность между периметрами
которых равна 6 см. Найдите длины сторон данной трапеции.
146	Глава 3. Многоугольники и их площади
115.	Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой А = 60°. Через
вершину В проведена прямая, параллельная CD, которая пересе-
кает AD в точке М.
а)	Докажите, что луч ВМ является биссектрисой угла В.
б)	Найдите стороны трапеции, если известно, что периметр четы-
рехугольника ВС DM составляет 80% от периметра всей трапеции
и на 4 см больше периметра треугольника АВМ.
116.	В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС на
2 еле меньше боковой стороны CD. Биссектриса угла С делит
большее основание AD на отрезки, отношение длин которых равно
1,5. Найдите длину средней линии этой трапеции, если ее пери-
метр равен 2 дм.
117.	Докажите следующее утверждение: трапеция является равнобед-
ренной тогда и только тогда, когда ее средние линии взаимно
перпендикулярны.
118.	Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаим-
но перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.
119.	Дана трапеция ABCD. Пусть Р — точка пересечения прямых АВ
и CD\ К и L — середины оснований трапеции. Докажите, что
точки Р, К и L коллинеарны.
120.	Докажите следующее утверждение: на большем основании AD
трапеции ABCD существует такая точка К, что периметры тре-
угольников АВК, ВКС и CKD равны тогда и только тогда, когда
|ЛО| = 2|ВС|.
§ 3.	Площадь многоугольника. Теорема Пифагора
121.	Стороны квадратов относятся как 2:3. Сумма их площадей равна
117 см2. Найдите длины сторон этих квадратов.
122.	Стороны прямоугольника равны 2\/2 и 3\/2. Площадь некоторого
квадрата на 4 больше площади данного прямоугольника. Найдите
длину стороны квадрата.
123.	Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон в три
раза больше другой и площадь прямоугольника равна 12 см2.
124.	Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон на
2 см больше другой и площадь прямоугольника равна 24 см2.
125.	Длина диагонали квадрата равна 4 см. Найдите периметр квад-
рата.
§3. Площадь многоугольника. Теорема Пифагора
147
126.	Катеты прямоугольного треугольника равны 2 мм и 8 л<.м. Пло-
щадь некоторого квадрата на 1 мм2 больше площади данного
треугольника. Найдите периметр квадрата.
127.	Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, если они
относятся как 3:4 и площадь треугольника равна 54 см2.
128.	Одна из диагоналей ромба в четыре раза больше другой диагона-
ли. Найдите длины этих диагоналей, если площадь ромба равна
72 см2.
129.	Один из катетов прямоугольного треугольника на 4 см меньше
другого. Найдите длины катетов, если площадь треугольника рав-
на 10,5 см2.
130.	Одна из диагоналей ромба на 6 мм меньше другой диагонали.
Найдите длины этих диагоналей, если площадь ромба равна
0,2 см2.
131.	В прямоугольном треугольнике острый угол имеет меру 45° и дли-
на гипотенузы равна 7 см. Найдите площадь этого треугольника.
132.	В параллелограмме ABCD: А = 150°, |АВ| — 4 см, |Л£)| = 6 см.
Найдите: a) S(ABCD)-, б) расстояние между прямыми АВ и CD.
133.	Большая сторона параллелограмма равна 8 см и одна из диагона-
лей равна одной из сторон; один из углов параллелограмма равен
45°. Найдите площадь параллелограмма.
134.	Периметр параллелограмма равен 2 дм 8 см\ высоты, проведен-
ные из одной вершины, равны 2 см и 5 см. Найдите площадь
параллелограмма.
135.	Острый угол параллелограмма равен 30°; периметр параллело-
грамма равен 4 дм\ отношение длин смежных сторон равно 2:3.
Найдите площадь параллелограмма.
136.	Площадь параллелограмма равна 32 сл*2, а расстояния от точки
пересечения диагоналей параллелограмма до его сторон равны
4 см и б| см. Найдите периметр параллелограмма.
137.	В треугольнике АВС |ДВ| = 4, |ВС\ = 6, р(С; (АВ)) = 5. Найдите
р(Л; (ВС)).
138.	Длины двух сторон треугольника равны 6 и 8,5. Разность длин
высот, проведенных к этим сторонам, равна 1,(6). Найдите пло-
щадь треугольника.
139.	Длины двух сторон треугольника равны 4,5 и 7,5. Сумма длин
высот, проведенных к этим сторонам, равна 8. Найдите площадь
треугольника.
148
Глава 3. Многоугольники и их площади
140.	В треугольнике АВС точка К — середина АВ, L — середина ВС,
S(AKLC) = 36 см2. Найдите S(ABC).
141.	В треугольнике АВС К G АВ, |ЛД| :	= 1:2; L € СК,
|KL|: |LC| = 3:5. Найдите S(ABC), если:
a) S(KBL) = 7 см2-, б) S(KBL) - S(ALC) = 1,5 см2.
142.	В треугольнике ABC М G АВ, \АМ| : |ЛВ| = 2:5; К G ВС,
|С7<|: |СВ| = 1:3. Найдите S(AMK): S(CMK).
143.	В треугольнике АВС К G АВ, |Л/<| : |/<В| = 1:2; L G ВС,
\BL\-. |ВС| = 3:4; М G АС, |АМ\: |МС| = 1:2. Найдите:
a) S(KML), если S(ABC) = 36 см2-,
б) S(ABC), если S(KML) = 12 см2-,
в) S(KML), если S(AKM) = 5,5 см2.
144.	В треугольнике АВС К G АВ, |ЛЛ'| : |/СВ| = 2:3; L G ВС,
|BL|: |ВС| = 1:3; М G АС, |СМ|: \МЛ| = 2:3. Найдите:
a) S(MCL), если S(KLM) = 66 см2-,
б) В(АВС), если S(AKLM) = 24 см2-,
в) S(ABC), если S(MKLC) - S(AKM) = 32 см2.
145.	В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пере-
секаются в точке О. При этом S(ABD) = 14, S(BOC) = 24, В(ЛОВ)
в три раза меньше S(OCD~). Найдите S(ABCD).
146.	В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пере-
секаются в точке О. При этом S(ACO) = 10 сл<2, S(ABD') = 12 см2,
S(BOC) = 12 см2. Найдите S(ABCD).
147.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты точки соот-
ветственно М и N. Отрезки BN и СМ пересекаются в ’точке О.
Известно, что В(ВОС) = 15 см2, S(MBO) = 5,4 см2, S(NOC) =
= 6,25 см2. Найдите S(ABC).
148.	В параллелограмме ABCD длины смежных сторон относятся как
3:4; диагонали пересекаются в точке О; S(AOD) = 13,5; А = 30°.
Найдите периметр этого параллелограмма.
149.	В параллелограмме ABCD А = 30°, |ЛВ| = | Л£)| = 2:3, биссектри-
са угла С пересекает сторону AD в точке М, S(MCD) = 9 см2.
Найдите периметр данного параллелограмма.
150.	Докажите следующее утверждение. Если в выпуклом четырех-
угольнике ABCD ни одна из диагоналей точкой их пересечения
не делится пополам, то не существует такой точки О, для которой
В(ЛОВ) = S(BOC) = S(COD) = В(ВОЛ).
151.	Площадь выпуклого четырехугольника равна S, его диагонали
пересекаются в точке М. Докажите, что если площади Si и $2
§ 3. Площадь многоугольника. Теорема Пифагора
149
треугольников МАВ и MCD удовлетворяют условию VS = \/57 +
+ >/82, то данный четырехугольник является или трапецией, или
параллелограммом.
152.	В равнобедренной трапеции ABCD-. А = 45°, |5С| = 4 см, |АС| =
= 1 дм. Найдите: а) площадь трапеции; б) периметр трапеции.
153.	Найдите площадь прямоугольной трапеции, в которой две мень-
шие стороны равны 4 см и острый угол равен 45°.
154.	Найдите площадь прямоугольной трапеции, в которой две боль-
шие стороны равны 8 см и 6 см и острый угол равен 45°.
155.	В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикуляр-
ны. Найдите ее площадь, если:
а)	длины оснований трапеции равны 6 см и 4 см:
б)	сумма длин оснований равна 8 елц
в)	высота трапеции равна 8 см.
156.	В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О.
Найдите площадь трапеции, если:
а) 5(50(7) = 3, 5(АОО) = 12;
б)	5(А05) = 8, 5(50(7) =2;
в)	5(АОО)= 25(000), 5(500) = 2;
г)	5(АОО) = 45(500), 5(А05) = 6;
д)	5(500) = 4; 5( ЛОО) = 8 + 5(АОВ).
157.	В равнобедренной трапеции ABCD |50| =4, | АО| = 12, А = 45°;
К — середина АВ, L — середина CD. Найдите:
а) 5(А5ОО); б) 5(A'5OL).
158.	В равнобедренной трапеции ABCD |50| =6, |АО| = 10, К — се-
редина АВ, L — середина CD. Найдите:
a)	S(AKLD): 5(/<5С5);
б)	5(А50О), если S(AKLD) - S(KBCL) = 5.
159.	Высота трапеции ABCD равна 6; длина большего основания AD
равна 10; отношение площади треугольника АВС к площади тра-
пеции равно 2:7. Найдите площадь трапеции.
160.	В трапеции ABCD диагонали АС и 50 пересекаются в точке О;
высота трапеции равна 6; площади треугольников AOD и COD
равны соответственно 27 и 9. Найдите длину средней линии этой
трапеции.
161.	Основания трапеции равны а и Ь. Отрезок с концами на боковых
сторонах трапеции, параллельный основаниям, делит ее на две
равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
150
Глава 3. Многоугольники и их площади
162.	В трапеции ABCD точка М является серединой CD. Докажите
что S(ABCD) = 2S(ABM).
163.	Найдите периметр ромба, если его площадь равна 24 см2 и одна
из диагоналей равна 8 см.
164.	Площадь равностороннего треугольника равна 12 ч/3| Найдите:
а) периметр треугольника;
б)	радиус окружности, описанной около данного треугольника.
165.	Катеты АВ и АС прямоугольного треугольника АВС равны 6 и
8. Найдите: а) длину высоты АК: 6) длину медианы AM.
166.	Длины смежных сторон прямоугольника относятся как 2:3, длина
диагонали равна 3\/13. Найдите:
а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.
167.	В треугольнике АВС: |ЛВ| = |ВС\ = 10,14(71 = 12. Найдите высоту
А К этого треугольника.
168.	Одна из сторон прямоугольника на 2 сл< меньше другой его сто-
роны. Диагональ равна 2\/13 см. Найдите:
а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.
169.	Найдите площадь параллелограмма, смежные стороны которого
равны 4 см и Зч/ТЗ см и острый угол которого равен 60°.
170.	В треугольнике АВС |4В| = 4, |ВС\ = 7, |АС\ = 6. Найдите длины
высот Иь и ha этого треугольника.
171.	В треугольнике АВС |В(7| = 18; основание высоты АК лежит на
стороне ВС, причем |(7/С| = |4В| и |4/f| = 6. Найдите:
а) 5(4В(7); б) |ДС|.
172.	В треугольнике АВС |4В| = 10, |В(7| =2ч/17; высота ВВ\ делит
сторону АС на отрезки, разность длин которых равна 4. Найдите:
а) |4(7|; б) S(ABC).
173.	Дана окружность w(O; 4); точка М принадлежит этой окружно-
сти; прямая р, проходящая через точку М, является касательной к
этой окружности. На прямой р взята точка N такая, что p(N\ ш) =
= 6. Найдите |M./V|.
174.	В равнобедренной трапеции ABCD |АВ| = 4, |ВС| = 6, 4 = 60°.
Найдите: а) Р(ДВСД); б) S(ABCD).
175.	В окружности радиуса 6 даны две параллельные хорды, длины«
которых равны 10 и 8. Найдите расстояние между этими хордами-
176.	В окружности радиуса 1 дм даны две параллельные хорды, рас-
стояние между которыми равно 2 см. Найдите длину одной из
этих хорд, если длина другой равна 16 см.
§3. Площадь многоугольника. Теорема Пифагора
151
177.	Периметр ромба равен 6 дм и одна из диагоналей на 6 см длиннее
другой. Найдите площадь ромба.
178.	В трапеции ABCD А = 60°, f> = 45°, |ЛВ| = 4у/3, |ЛО| = 10. Най-
дите: a) S(ABCD); б) F(ABCD).
179.	В трапеции ABCD А = 45°, 5 = 30°, |ВС| = 2|ЛВ|, |ЛО| - |ВС| =
= 2(s/3 + l). Найдите: a) S(ABCD\, б) P(ABCD).
180.	В треугольнике АВС |ЛС| = 6 см, А = 45°, С = 60°. Найдите:
а) |ЛВ|; б) |ВС|; в) 5(ЛВС).
181.	Найдите площадь треугольника АВС, в котором |ЛС| =4 см, Л =
= 30°, С =105°.
182.	Точка Л лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А
до сторон угла равны а и Ь. Найдите расстояние от точки Л до
вершины угла.
183.	Высоты треугольника АВС равны 3 см, 4 см, 6 см. Найдите:
а) З(ЛЯС'); б) Р(ЛВС).
184.	В прямоугольном треугольнике АВС С = 90°, CD — высота тре-
угольника АВС, СЕ — биссектриса треугольника ACD, CF — бис-
сектриса треугольника DCB. Докажите, что 5(ЛВС): S(CEF)
>>/2+1.
185.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 12, \АС\ = 9, |ВС| = 15. Найдите:
а) Л; б) 5(ЛВС); в) г(ЛВС).
186.	Найдите меньшую высоту треугольника, стороны которого равны
15 см, 17 см, 8 см.
187.	В четырехугольнике ABCD |ЛВ| = 4, \AD\ =4х/2, |ВС| = |С£>|,
С = 60°, |ВГ>| = 4ч/3. Найдите S(ABCD).
188.	В треугольнике АВС |ЛВ| =5, |ВС| = 7, |ЛС| =8. Найдите:
а) 5(ЛВС); б) Лс; в) т(ЛВС).
189.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 4>/2, |ВС| =3v/2, |ЛС| =5. Найдите:
a) S(ABC); б) hb; в) г(АВС).
190.	Длины сторон треугольника относятся как 5:6:9 и радиус впи-
санной окружности равен 4 см. Найдите:
а) площадь треугольника; б) меньшую из высот треугольника.
191.	Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, диагонали кото-
рого равны 2 и 4>/2.
192.	В треугольнике АВС |Л£?| =8, |ВС| =4, |ЛС| =6, ВК — высота.
Найдите: а) |В/С|; б) |Л7С|; в) площадь соответствующего сере-
динного треугольника.
152
Глава 3. Многоугольники и их площади
193.	Найдите площадь трапеции ABCD, в которой |АВ| =5, |ВС\ =8,
|C'Z?| = 7, |АР| = 14.
194.	В трапеции ABCD: |АС\ = 8 см, |ВЛ| = 9 см, |ВС\ = 4 см, |АЛ| =
= 11 см. Найдите: a) S(ABCD): б) высоту трапеции.
195.	В трапеции ABCD длина средней линии равна 7; | АС\ = 9, |ВЛ| =
= 11. Найдите: а) высоту данной трапеции; б) площадь парал-
лелограмма Вариньона, соответствующего данной трапеции.
196.	В треугольнике АВС |А£?| = |ВС'| = 10, [ACI = 12; ш — вписанная
окружность. Найдите: а) р(В; w); б) р(А; ш).
197.	Докажите, что в любом треугольнике справедливо неравенство
а4 + Ь4 + с4 > 16S2, где а, Ь, с — длины сторон треугольника, S —
его площадь. При этом равенство имеет место тогда и только
тогда, когда треугольник является равносторонним.
198.	В треугольнике АВС |АВ| = 13, |ВС| = 14, |АС| = 15. Внутри тре-
угольника взята точка М такая, что р(М; АВ) = 6 и р(М\ ВС) = 3.
Найдите р(М; АС).
Образцы вариантов контрольных работ
по материалу главы 1
Контрольная работа К» 1
Вариант I
1.	Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см и одна из его
сторон на 6 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника.
2.	В треугольнике KDE внешний угол при вершине К равен 40°. На
стороне DE взята точка М, в которой эту сторону пересекает се-
рединный перпендикуляр отрезка КЕ. Известно, что DKM —112°.
Найдите внешний угол при вершине D данного треугольника.
3.	В треугольнике АВС Л = 90°, |ЛВ| =2 см, |ВС| =4 см, О — точка,
равноудаленная от сторон, М — середина ВС. Найдите:
а) АО В; б) угол между прямыми AM и ВО.
4.	В треугольнике АВС известно, что А больше С на 10° и А меньше
В на 20°. Из вершины А проведены высота и биссектриса. Найдите
угол между ними.
Вариант II
1.	Одна из сторон равнобедренного треугольника на 1 дм 1 см меньше
2
другой и на 3 дм см меньше периметра треугольника. Найдите
стороны треугольника.
2.	В треугольнике КЕМ L = 56°, М = 28°. Серединный перпендикуляр
отрезка КМ пересекает сторону LM в точке А. При этом |АМ| = 5 см.
Найдите |KL|.
3.	Дана окружность w(O; 2) и точка К такая, что |О/С| =4. Пусть р —
прямая, которая проходит через точку К и касается w; М — наиболее
удаленная точка си от точки К. Найдите р(М; р).
4.	В треугольнике АВС В на 70° больше А. Известно, что АОС = 145°,
где О — точка, равноудаленная от сторон данного треугольника; Н —
ортоцентр данного треугольника. Найдите: а) ВОС\ б) АН В.
154 Образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1
Контрольная работа № 2
Вариант I
1.	Периметр ромба равен 2 дм. Найдите расстояние между противопо-
ложными сторонами ромба, если одна из его диагоналей составляет
со стороной угол 75°.
2.	В треугольнике АВС точка К — середина стороны АС. Через точку
К проведены прямые, параллельные сторонам АВ и ВС. Периметр
образовавшегося при этом параллелограмма равен 1 дм 2 см. Найди-
те |АС|, если периметр данного треугольника равен 1,5 дм.
3.	В прямоугольной трапеции ABCD А — В = 90°, CD А — 60°, ACD =
= 90°, |CZ>| = 3 см. Найдите длину средней линии трапеции.
4.	Расстояние между серединами диагоналей трапеции ABCD равно
1 см, А = 60°, |АВ| = |ВС|. Расстояние от точки D до основания
высоты, проведенной из вершины С, равно 5 мм. Найдите основания
ВС и AD данной трапеции.
5.	В четырехугольнике ABCD £? = 90°, Л = 140°, С = 50°, ВСЛ = 30°,
|АВ| =4 см. Точки К, L, М, N являются серединами соответственно
AD, АС, ВС и BD. Найдите периметр четырехугольника KLMN.
Вариант II
1.	Периметр параллелограмма ABCD равен 3 дм 8 см. Биссектрисы
углов А и D пересекают сторону ВС соответственно в точках Р и Q,
при этом |PQ| =5 см. Найдите |А£>|.
2.	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Бис-
сектриса угла ВАС пересекает BD и ВС соответственно в точках К
и L. Найдите LKD, если ВАК на 5° меньше COD.
3.	В равнобедренной трапеции ABCD-. А = 60°, |АВ| =8, |ВС| = 6. Най-
дите длину средней линии трапеции.
4.	В трапеции ABCD | AZ)| = 16, |ВС\ = 4. На стороне АВ взяты точки К
и L, делящие эту сторону на три равные части, и через них проведены
прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых,
заключенные внутри данной трапеции.
5.	Найдите длины диагоналей четырехугольника, если известно, что
одна из диагоналей на 3 см больше другой и периметр четырех-
угольника, вершинами которого являются середины сторон данного
четырехугольника, равен 11 см.
Образцы вариантов контрольных работ
155
Контрольная работа № 3
Вариант I
1.	В параллелограмме ABCD ADC = 15Q°, периметр равен 2 дм 2 см,
|AD\ на 5 см больше |CZ?|. Найдите S(ABCD).
2.	В треугольнике ABC К& АВ, |ЛК|: |ЛВ| = 2:3; L 6 ВС, |BL|: |LC| =
= 3:4; М G АС, |ЛМ|: |АС\ = 3:5. Найдите S(ABC), если S(KLM) =
= 2 см2.
3.	В трапеции ABCD отрезок, соединяющий середины диагоналей, ра-
вен 4 см; А = D = 45°, S(ABCD) = 40 см2. Найдите основания трапе-
ции.
4.	В выпуклом четырехугольнике ABCD |АВ| = х/13, |ВС| — 2\/5,
|ЛС'| = 7, |Л£>| = >/34. Найдите S(ABCD), если диагонали четырех-
угольника взаимно перпендикулярны.
5.	Найдите площадь треугольника, если длины его сторон относятся как
3:6:5 и радиус вписанной окружности равен 2\/2.
Вариант II
1.	В треугольнике АВС К & АВ, |ЛК|: |КВ| = 3:4; L G ВС, |BL\: |ВС| =
= 1:3; М — середина AC, S(ABC) =8. Найдите S(KLM~).
2.	В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О.
Известно, что S(ABCD') = 50 см2, S(AOB~) = 8 см2. Найдите S(AOD).
3.	Дан четырехугольник ABCD. Известно, что S(ABD) на 4 см2 больше
S{ABCD~) и на 10 см2 больше площади параллелограмма Вариньона,
соответствующего четырехугольнику ABCD. Найдите S(ABCD\
4.	В трапеции ABCD |Л2)| = 8,	|ВС|=3, |В£>| = 6. Найдите
S(ABCD).
5.	В окружности радиуса 4 проведена хорда KL, длина которой равна 2.
Пусть р — касательная данной окружности, параллельная указанной
хорде. Найдите р(р; KL).
Глава 4
Подобные треугольники. Основы тригонометрии
§ 1.	Подобные треугольники
199.	В треугольнике АВС |ВС| = 9 см, К G АВ, |А7<|: |7<В| = 2 : 3,
L<=BC, S(BKE)—0,2S(ABC). Найдите |LC|.
200.	В треугольнике АВС К G АВ, |А7<| : |А'В| = 3:2, М € АС,
|АМ|: |МС| = 4:3, S(KBCM) =46 см2. Найдите S(ABC).
201.	В треугольнике АВС АК — биссектриса, |ВД| = 6, (C'A'I =4; О —
центр вписанной окружности. Периметр данного треугольника
равен 30. Найдите: а) |АВ|; б) S(ABC)\ в) |АО|: |О/<|.
202.	В треугольнике АВС |АВ|=6, |ВС| = 10, |АС| = 9; АК и CL —
биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите:
a) S(BOK)-, б) S(KOL).
203.	В треугольнике АВС |АВ| = 10, |ВС| = 11, |АС| = 3\/5; BL —
биссектриса, АК — высота, М — точка пересечения АК и BL.
Найдите: а) |АА/|; б) |ВЛ/|.
204.	В треугольнике АВС АК — биссектриса, О — центр вписанной
окружности. Докажите, что |АО|: |(ЭК| = (Ь + с): а.
205.	В треугольнике АВС С = 90°, | АВ\ = 10, | ВС\ = 6; В К — медиана,
BL — биссектриса. Найдите: а) |ВД|; б) |BL|.
206.	Даны подобные треугольники АВС и KLM. Известно, что |АВ| =
= 4, |ВС| = 5, |АС| = 7, P(KLM) = 48. Найдите длины сторон
треугольника KLM.
207.	Даны подобные треугольники АВС и KLM. Известно, что |АВ| —
= 6, |ВС| = 7, |АС| = 5, S(KLM) = >/б. Найдите длины сторон
треугольника KLM.
208.	Даны подобные треугольники АВС и КLM. Известно, что |АВ| =
= 2, |АС| = \/3, |ВС| = 3; длина одной из сторон треугольника
KLM равна 6. Найдите возможные значения площади треуго;Ть-
ника KLM.
209.	Даны подобные треугольники АВС и KLM. Известно, что | АВ| =
= 4 см, |АС| = 9 см, |ВС| = 7 см, P(KLM) = 15 см. Найдите
S(KLM).
§ 1. Подобные треугольники
157
210.	Периметры подобных треугольников равны 20 см и 30 см. Пло-
щадь одного из них равна 15 cai2. Найдите площадь другого.
211.	В параллелограмме ABCD |АВ|=1 дм, |АВ| = 3\/2 см, А = 45°.
На стороне CD взята точка Е так, что |CB| : |ЯО| =2:3. Пусть
F — точка пересечения прямых АЕ и ВС. Найдите:
a) |BF|; б) S(ECF); в) Р(ЕС'Я).
212.	В параллелограмме ABCD |АВ| = 4, |АЯ| =8, Л = 60°. На стороне
AD взята точка А'; прямые В К и CD пересекаются в точке М, при
этом |СМ| = 16. Найдите: а) |АК|; б) S(KCM)-, в) р(В; СМ).
213.	В треугольнике АВС |АВ| = 7, |ВС| = 9, |ЛС*| = 12. На стороне
АВ взята точка М такая, что |AM|: \МВ| = 3:2. Через точку М
проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает ВС
в точке N. Найдите: a) P(MBN)-, б) S(MBN).
214.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 4, |ВС| = 5, |АС| =7. На стороне ВС
взята точка М и через нее проведены прямые, параллельные АВ
и АС, которые пересекают эти стороны соответственно в точках
К и L. Известно, что площадь четырехугольника AKML равна
Найдите |ВМ|: |МС|.
215.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 5, |АС|=8, |ВС| = 9. На луче АВ
взята точка К так. что АКСА = ААВС. Найдите:
a) |JVB|; б) |ЯС|; в) S(KBC).
216.	В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что
|АА|: |7<В| = 3 :4, и через нее проведена прямая, параллельная
АС и пересекающая ВС в точке L. Найдите S(ABC), если
S(AKLC) на 34 см2 больше S(KBL).
217.	В треугольнике АВС |АВ| = 11, |ВС| = 10, |ЛС| = 9; Н — орто-
центр, АК — высота. Найдите: а) |ЛЯ|; б) |ЯА|; в) р(7<; АС).
218.	В треугольнике АВС | ЛВ| = 3, |ВС\ = 7, |АС| = 6; Н — ортоцентр,
ВК и CL — высоты данного треугольника. Найдите:
а) \ВН\; б) |ЯЯ|; в) S(HKAL).
219.	В остроугольном треугольнике АВС |ЛС| = 8; АК и СМ — высо-
2	1
ты, пересекающиеся в точке Я; |СЯ| =2у, |ЛЛ/| = 5д. Найдите:
а) |ДЯ|; б) \НМ\; в) |ЛВ|.
220.	Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О.
Найдите:
а)	|ВС|, если |ВО| = 2 см, = 5 см, | = 2 дм.
б)	|ЛО|, если |ИС| = 8 см, |ВС| = 1 см, |АО| = 6 см.
158 Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии
в)	|АВ|, если |АО| = 6 см, |ОС| = 4 см, длина средней линии
трапеции равна 1 дм.
221.	В трапеции ABCD | АВ| = 4, |ВС| = 6, |СВ| = 5, |АД| = 9. Прямые
АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите:
а) |АМ|; б) |СЛГ|; в) З(ВМС).
222.	Дана трапеция ABCD с основаниями |А2?| = 10 см и |ВС| = 4 см.
Прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются
в точке М. Известно, что S{ABCD~) на 8,5 см2 больше S(BMC).
Найдите высоту данной трапеции.
223.	Диагональ АС трапеции ABCD делит ее на два подобных тре-
угольника. Докажите, что |АС|2 = |А£>| • |ВС|.
224.	В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О,
через которую проведена прямая, параллельная основаниям тра-
пеции. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри
трапеции, если длины оснований трапеции равны а и Ь.
225.	В треугольнике АВС на стороне АС взята точка L и на стороне
АВ взята точка К, через которую проведена прямая, параллель-
ная АС. Эта прямая пересекает чевиану BL в точке М и сторону
ВС в точке N. Докажите, что |КМ|: |Л£7У| = |AL|: |LC|.
226.	В треугольнике АВС, стороны которого АВ и АС неравны, через
середину М стороны ВС проведена прямая, параллельная бис-
сектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС в точках
соответственно D и Е. Докажите, что BD = СЕ.
227.	Дан угол, равный 60°, с вершиной в точке О. На одной стороне
этого угла от вершины отложены отрезки О А и ОК так, что
|ОА| = 2|ОД| = 8. На другой стороне угла взята точка L так, что
\OL| = 3. Пусть точка В принадлежит лучу OL и треугольники
О АВ и OKL подобны. Найдите |В£|.
228.	Дан параллелограмм ABCD, в котором К — середина АВ, L —
такая точка стороны AD, что | AL|: |LB| = 3, \АС\ = 1 дм. Найдите
отрезки, на которые отрезок KL делит диагональ АС.
229.	В треугольнике АВС медианы AAi и ВВ\ пересекаются в точке
Z. Найдите S(ABC'), если S(AZB) на 3 см2 больше S{B\ZC}.
230.	В треугольнике АВС медианы BL и СМ пересекаются в точке О.
Найдите S[ABC), если S(AMOL) = 11 см2.
231.	В треугольнике АВС |АВ| =7, |АС| =4, |ВС| =5; ВМ — медиа-
на, АК — биссектриса, L — точка пересечения ВМ и АК, Z —
центроид. Найдите: a) p(Z; АВ); б) p(L; АС); в) \LZ\: \ZB\.
§ 1. Подобные треугольники
159
232.	В треугольнике АВС В К — медиана, Е 6 ВК, | ВЕ\: |	= 3:2,
(АЕ) П (ВС) = L. Найдите S(KEL): S(ABC).
233.	В треугольнике АВС биссектриса одного из внешних углов при
вершине А пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что
|BZ>|:|CD| = |AB|:|AC|.
234.	В треугольнике АВС |АВ| = 5, |ВС| =8, |АС| = 6; АК — медиана,
BL — биссектриса, Т — середина АК. Через точку Т проведена
прямая, параллельная ВК.
а)	Докажите, что эта прямая пересекает АВ.
б)	Пусть М и N — точки пересечения этой прямой и сторон АВ
и АС соответственно. Найдите S(MBLN).
235.	Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С
взята точка О так, что S(AOB) — S(BOC) — S{COA). Докажите,
что |ОА|2 + |ОВ|2 = 5|ОС|2.
236.	Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны
2 см и 3 см. Найдите: а) периметр данного треугольника; б) пло-
щадь данного треугольника.
237.	( Высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вер-
шины прямого угла С, равна 4 см. Отрезки гипотенузы, на кото-
рые высота делит ее, относятся как 1:2. Найдите:
a) S(ABC); б) длину медианы AL.
238.	В треугольнике АВС А = 90°, | АВ| = 3, АК — высота, | В К | = 1,8,
Z — центроид. Найдите: a) S(ABC); б) p(Z; ВС).
239.	Высота КР прямоугольного треугольника КLM делит гипотену-
зу LM в отношении 4:3. Наименьшая сторона данного треуголь-
ника равна 5\/3 см. Найдите периметр данного треугольника.
240.	В треугольнике KLM К = 90°, |ДЛ/| = 5, КА — высота, |ВА| = 5х.
Найдите: а) |АД|; б) P(KLM).
241.	В треугольнике KLM К = 90°, КА — высота, |LA|: |АМ| =4:9,
\KL\ + |КМ| = 1 дм. Найдите: а) 5(Д£М); б) |ДА|.
242.	В треугольнике АВС А = 90°, АК — высота. Радиусы окруж-
ностей, вписанных в треугольники АВК и АСК, равны 3 и 4.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
243.	В трапеции ABCD А = В = 90°, |АВ| = 4, |AD| = 6; диагонали АС
и BD взаимно перпендикулярны. Найдите:
а) Р(АВСР); б) S(ABCD).
160
Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии
244.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 8, |ВС| = 7, |АС| = 6; AM — бис-
сектриса, F € AM, l-Ajf |: \FM| = 1:2, (CF) П (АВ) = К. Найдите:
a) p(F; АВ)-, б) S(AKF).
245.	На одной стороне угла с вершиной А отмечены (последовательно
от вершины) точки В, С, D и через них проведены попарно па-
раллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла в
точках К, L, М соответственно. Найдите:
а)	|Я£|, если |SC| = 4, |СТ>| = 6, |LM| = 9;
б)	\LM\, если |ВС| = 2, |СЛ| =6, |/<Л/| = 20;
в)	|KL\, если | АВ\ = 4, |ВС| = 8, |С£>| = 6, \КМ\ - |AL| = 1,5.
246.	В системе координат даны точки: А( — 3; —1); В(5; 0); <7(11; —9).
Найдите: а) длину медианы СМ треугольника АВС-, б) длину
биссектрисы АК-, в) уравнение прямой АК.
247.	В системе координат даны точки: А(—3; —6); В(-27; -24);
с(—8-|; 1). Найдите:
а)	координаты точки М отрезка АВ, чтобы |AM|: |АВ| =2:5;
б)	длину биссектрисы ВК треугольника АВС-,
в)	уравнение окружности, вписанной в этот треугольник.
248.	В треугольнике АВС |АВ| = 10, |ВС|=9, |АС| = 7; К G ВС, |В/<| =
= 5; LG АВ, |AL| = 5,5. Найдите: a) P(BKL); б) S(BKL).
249.	В треугольнике АВС = 4, |АС| = 12, С = 120°; К G АС,
|С/<| = 1. На стороне ВС взята точка L так, что треугольники
АВС и KLC подобны. Найдите: a) P(KLC); б) S(KLC).
250.	В треугольнике АВС |АВ| =7, |ВС| =6, |АС| =5; ВВ\ и СС\ —
высоты, пересекающиеся в точке Н. Найдите:
&)Р(АВ1С1)-, б) S(AB1C1); в) r(ABiCi).
251.	В треугольнике АВС |АВ| = 12, |АС| =8, |SC| = 10; О — центр
вписанной окружности; ВВ\ и СС\ — высоты. Найдите:
&) S(ABO)-, б) |BiCi|.
252.	В треугольнике АВС К — середина ВС, М — середина АВ. На
луче АК взята точка Р так, что |АР| = 3| AF|; на луче СМ взята
точка Q так, что |CQ| = 3|СЛ/|. Прямые АК и СМ пересекаются
в точке Z. Найдите S(AZC) -.S(ZPQ).
253.	В треугольнике АВС К € ВС, |ВА'| : |A'C'| =3:2; О G АК,
|АО|: |ОК| = 1:3; (ВО) П (АС) = L-, М & [АК), |ОЛ/| = 3|О/<|;
N G [BL), |ОЛГ| = 3|О£|. Найдите S(AOB): S(MON).
254.	В подобных треугольниках АВС и DEF: |АВ| =3, |ВС| =6, \АС\ =
= 8; |Z)E| =4, |Z>F| =8. Найдите: a) |EF|; б) S(DEF).
§ 2. Основы тригонометрии
161
255.	В подобных треугольниках АВС и DEF: |ЛВ| = 2, |ВС| = 3,
|ЛС| = 4,5; \DE\ =6, |DF|=9. Найдите: а) |FF|; б) S(DEF).
256.
257.
258.
259.
В треугольнике АВС |ЛВ| = 6, |ВС| = 15, |АС\ = 10; К € ВС;
| ВА'|: 17<С| = 1:2. Внутри треугольника взята такая точка М, что
|МА'| = 2, |ЛГВ| = з|; (ВМ) П (ЛС) = Т.
а)	Докажите, что треугольник ВТС равнобедренный.
б)	Найдите S(BMK).
Докажите, что если в треугольниках AiB^Ci и А2В2С2 Аг = Л2,
|Л1С]| : |Л2С2| = (|Л]В\| + |В}С\|) : (|A2B2I + IB2C2I), то данные
треугольники подобны.
Докажите, что если в треугольниках AjByCi и А2В0С2 Л] =Лг,
Л1А1, А2К2 — биссектрисы и ,, = .,.	,, то данные тре-
угольники подобны.	1	11	1
Докажите, что если в треугольниках А\В\С\ и Лг-ВгСЧ гт" ь'! =
HxCil |Д1АА|	И2В21
= |Д2С'2| = |Л2 Vz| ’ ГДС Л1Л*1 11 ^2^2 _ медианы, то данные тре-
угольники подобны.
260.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 8, |ВС| = 6 и чевиана BE такова, что
треугольники АВЕ и ВСЕ подобны между собой. Найдите |BF|.
261.	Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, в котором К и L —
середины сторон соответственно ВС и CD. Известно, что отрезки
ЛА' и AL делят BD на три равные части. Докажите, что ABCD —
параллелограмм.
262.	В треугольнике АВС ВАС = 60°, К — точка пересечения медианы
AN и высоты ВМ; |ЛА"|=4 см, |A7V| = 6 см.. Найдите:
а) АВС; б) АСВ.
263.	В треугольнике АВС ВАС = 60°, К — точка пересечения медианы
СМ и высоты BN; |С7<| = 6 см, |АГМ| = 1 см. Найдите:
а) АВС; б) АСВ.
264.	На стороне ВС треугольника АВС выбрали точки В] и Cj. При
этом |ВВ)| = |CCi| и ВАВ\ =САС\. Докажите, что треугольник
АВС равнобедренный.
§ 2. Основы тригонометрии
265.	В треугольнике АВС Л = 90°. Найдите:
a)	sin В, если |ЛВ| = 6, |ВС\ = 10;
162
Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии
б)	tgC, если |А(7| = 2, |ВС| = 8;
в)	cos В, если |АВ| = 2х/2, |>1С'| = 2\/7;
г)	ctg С, если |АВ| = \/б, |ВС| = 3.
266.	В треугольнике АВС В = 90°, А = а, | АС| = Ь. Найдите:
а) Р(АВС); б) S(ABC).
267.	В треугольнике АВС С = 90°, В = (3, |ВС\ — а. Найдите:
а) \AB\-, б) т(АВС).
268.	В треугольнике АВС АВ = ВС, А = а, | А(7| = Ь. Найдите:
а) |АВ|; б) S(ABC).
269.	В треугольнике АВС АВ — ВС, | АВ| = с, В = /3. Найдите:
а) |АС|; б) р(А; (ВС)).
270.	В равнобедренной трапеции ABCD |АВ| = а, 15(71=6, А = а.
Найдите: а) |АР|; б) S(ABCD).
271.	В остроугольном треугольнике АВС А = а, С = -у, |АВ| = с. Най-
дите: а) |ВС|; б) S(ABC).
272.	В трапеции ABCD острые углы А и D имеют меры соответственно
а и /3; |АВ\ = а, |АР| = Ь. Найдите: а) |ВС|; б) S(ABCD).
273.	В остроугольном треугольнике АВС: А = 60°, |ВС| = 4; BBi и
CCi — высоты. Найдите |Bi<7i |.
274.	В треугольнике АВС |АС| = 4 см, А = 45°, С = 75°. Найдите:
а) |В(7|; б) S(ABC).
275.	В трапеции ABCD А = 60°, -0 = 45°, |В(7| =4, |А£>|=6. Найдите:
a) P(ABCD); б) S(ABCD).
3
276.	Найдите sin а и ctg а, если cos а = -г-
О
277.	Найдите cos а и tga, если sin а = и а — мера тупого угла.
278.	Найдите sin а и cos а, если tg а = 3.
279.	Найдите tga и ctgа, если cosa = —0,8.
280.	Найдите sin а и cos а, если ctga = —2.
281.	Найдите значения следующих числовых выражений:
а)	2 sin 60° — ctg 135° • tg 120°;
б)	(cos45° + sin 135°) :tg30°;
в)	cos 120° • tg45° — sin 30°;
r)	(sin 15° -I- cos 15°) tg 60° — cos 135°.
282.	В треугольнике ABC | AB| = 7, |BC| = 9, |AC| = 12. Найдите:
a) cos В; б) длину медианы АК.
§ 2. Основы тригонометрии
163
283.	В параллелограмме ABCD |ЛВ| =4, |ЛР| = 6, |В£>| = 2|ЛС|. Най-
дите: a) cos Л; б) расстояние между центроидами треугольников
ABD и BCD.
284.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 6, |ВС\ =2\/2, В = 135°. Найдите:
а) |ЛС|; б) Л.
285.	В треугольнике АВС | ЛВ| = 6, |ЛС| =8, В = 60°. Найдите:
а) |ВС|; б) S(ABC).
286.	В треугольнике АВС |АВ\ = 4, | ЛС| = 8, Л = arccos j. Найдите:
а) |ВС|; б) длину медианы ЛМ.
287.	В треугольнике АВС |ЛВ| =3, |ВС| =5, |ЛС| =6. Найдите: а) В;
б) |ZM|, где Z — центроид данного треугольника; М € АС,
\АМ\ = 2.
288.	В треугольнике АВС |ЛВ| =8, |ВС| =6, В = arccos^-|). Найди-
те: а) |ЛС|; б) \ZM|, где Z — центроид данного треугольника;
Me АВ, |ЛМ| = 2.
289.	В параллелограмме ABCD |ЛС| =2у/17, |ВВ| = 2>/33, |ЛВ| на 2
больше |СВ|. Найдите: a) P(ABCD)-, б) А.
290.	В параллелограмме ABCD |ЛВ|: |ЛВ| = 3:2, |ВВ| = \/23, | Л С| = 9.
Найдите: а) Л; б) длину биссектрисы СК треугольника ACD.
291.	В треугольнике АВС |ЛВ| =4ч/2, |ЛС| = 6, М — середина ВС,
| ЛАГ | = Найдите: а) |ВС|; б) С.
292.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 3, |АС\ = 4, |ВС| = У13; ЛЛ1 и BBi —
высоты. Найдите: а) |Л1В]|; б) S(CBMi).
293.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 7, Л] — середина ВС, В{ — се-
редина АС, |ЛЛ1| = ^^, |ВВ]| = \/33, Найдите: а) Р(АВС)-,
б) s^A^cy
294.	В системе координат даны точки: Л(2; 4); В(-1; -3); С(—5; 1).
Найдите:
а) ЛВС; б) длину медианы AM треугольника АВС-, в) АМС.
295.	В системе координат даны точки: Л(—1; 5); В(-6; -2); С(4; -6).
Пусть Z — центроид треугольника ЛВС. Найдите:
а) |Л7|; б) AZC; в) p(Z; ВС).
296.	В треугольнике АВС |ЛС| = 6, |ВС| = 4\/2, С = 135°, Z — центро-
ид. Найдите: а) 5(ЛВС); б) В; в) \BZ\-, г) p(Z; АС).
164 Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии
297.	На сторонах АВ и АС треугольника АВС вне его построены квад-
раты ABFD и ACGE. Докажите, что |ВВ|2 + |ВС|2 = 2|ЛВ|2 +
+ 2|ЛС|2.
298.	Докажите, что медиана треугольника, проведенная из вершины
тупого угла, меньше половины большей стороны этого треуголь-
ника.
299.	Пусть та, тъ, тс — длины медиан треугольника АВС и т'а, т'ь,
т'с — длины медиан треугольника А\В\С\. Докажите, что если
та гпъ тс	с-
то данные треугольники подобны.
300.	Пусть Z — центроид треугольника АВС. Докажите, что если
| Л7|2 + |BZ|2 = 5|CZ|2, то С = 90°.
301.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 7, |ВС| = 2х/б, | ЛС| = 6. На стороне
АС взята точка М такая, что |ЛЛД: |МС| — 2:3. Найдите:
a) S(ABM)', б) \ВМ\.
302.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 5, |ЛС| = 10, В =arccos ( — 35 ) > АК ~
биссектриса. Найдите: а) |ВАГ|; б) |Л/<|.
303.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 7, |ВС| = 5, | ЛС| = 10; AL — медиана,
К G АС, | АК\: |ХС| = 3:2, AL П ВК = 0. Найдите:
а) |ВО|; б) |ЛО|: |Л£|.
304.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 8, |ЛС| = 6, |ВС| = 12; D G АС,
|ЛВ| =2. На стороне АВ взята такая точка F, что треугольники
ADF и АВС подобны. Найдите: a) |ВВ|; б) |СВ|.
305.	В треугольнике АВС |ВС| = 4\/3, А = 60°, |ЛС| = 2|ВС|, М —
середина ВС. Найдите: а) |ЛЛ/|; б) S(ABC).
306.	В треугольнике АВС | ЛС| = 4>/3, |ВС\ — 2\/19, А = 150°. Найдите:
а) |ЛВ|; б) S(ABC).
307.	В треугольнике ЛВС Л = 45°, С = 15°, |ВС|=4\/б. Найдите:
а) |ЛС|; б) S(ABC).
308.	В треугольнике АВС В = 120°, |ВС| = 4 см, S(ABC) = 6 см2.
Найдите: а) Р(АВС)', б) р(Л; ВС\
309.	В треугольнике ЛВС |ЛС| = 3, В = arccos тт, С = arccos ( — ут ) •
Найдите: а) В(ЛВС); б) r(ABC').	г
310.	В параллелограмме длины диагоналей равны 2v/5 см и 2\/21 СМ',
острый угол между диагоналями равен arccos \J~^- Найдите:
а) площадь данного параллелограмма; б) острый угол данного
параллелограмма.
§ 2. Основы тригонометрии
165
311.	В трапеции ABCD (AC'I = 7. |BD| =9, |ВС| =2; О — точка пе-
ресечения диагоналей АС и BD-, AOD = arccos^— Найдите:
a) S(ABCD')-, б) высоту данной трапеции.
312.	В трапеции ABCD |АС| = 6, |ВС\ = 2, |А£>| = 10, CAD = 60°.
Найдите: a) S(ABCD)-, б) |ВГ>|.
313.	В треугольнике АВС |АВ| =6, |ВС\ =9, |АС| = 5. Найдите: а) от-
резки, на которые высота АК делит сторону ВС, б) длину бис-
сектрисы AL; в) расстояние от ортоцентра данного треугольника
до прямой АС.
314.	В треугольнике АВС |АВ| =4, В = 45°, С = 60°. Найдите:
а) |АС|; б) S(ABC); в) радиус R описанной окружности.
315.	В треугольнике АВС |АВ| = 5, |ВС| = 7, В = arccos |. Найдите:
а) расстояние от центра вписанной окружности до вершины А;
б) АН В, где Н — ортоцентр данного треугольника;
в) расстояние от центроида данного треугольника до стороны АС.
316.	Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен
2. Известно, что А = 75°, В = 60°. Найдите: а) |АС|; б) S(ABC);
в) расстояние от ортоцентра данного треугольника до вершины В.
317.	В треугольнике АВС | АВ| = 8, |ВС\ = 9, | АС| = 7, К — точка каса-
ния вписанной окружности стороны АС. Найдите: а) расстояние
от центра описанной окружности до стороны АВ- б) расстояние
от ортоцентра до вершины С; в) |В7<|.
318.	В треугольнике АВС | АВ\ — |ВС\ = 10, | АС\ = 12. Найдите: а) рас-
стояние от вершины А до вписанной окружности; б) |ВО|, где О —
центр вписанной окружности; в) радиус R окружности, описан-
ной около данного треугольника; г) расстояние между центрами
указанных окружностей.
319.	В треугольнике АВС | АВ\ = |= 8, |АС\ = 6. Найдите: а) длину
медианы АМ-, б) длину биссектрисы А7<; в) расстояние между
центрами вписанной и описанной окружностей.
320.	Прямая р проходит через точку (2; —1) и образует угол а с осью
абсцисс. Составьте уравнение прямой р, если:
а) а=135°; 6)a = arccos|.
О
321.	В системе координат даны точки: А(—3; 5); В(1; —3); С(4; 8).
а)	Составьте уравнение прямой, содержащей высоту АК данного
треугольника.
б)	Найдите координаты ортоцентра данного треугольника.
166
Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии
в)	Найдите площадь данного треугольника.
322.	В системе координат даны точки: А(4; —2); В(—1; 5); С(—5; —3).
а) Составьте уравнение серединного перпендикуляра отрезка ВС.
б) Найдите координаты центра описанной окружности треуголь-
ника АВС.
в) Составьте уравнение касательной, проходящей через точку А,
описанной окружности.
323.	В системе координат даны вершины треугольника: 4(—3; —1);
В(1; 5); С(4; -2).
а)	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А и пер-
пендикулярной прямой ВС.
б)	Найдите координаты центра описанной окружности.
в)	Найдите расстояние между ортоцентром и вершиной А.
324.	В системе координат даны вершины треугольника: Л(—3; —1);
23(5; 1); С(2; 4).
а)	Составьте уравнение прямой, содержащей медиану СК.
б)	Найдите длину медианы СК.
в)	Найдите уравнение прямой, проходящей через точку В и пер-
пендикулярной прямой АС.
г)	Докажите, что треугольник АВС является прямоугольным.
325.	В системе координат даны вершины треугольника: Л(2; -2);
В(-3; 5); <7(7; 3).
а)	Найдите длину медианы AM.
б)	Найдите расстояние от центроида треугольника АВС до пря-
мой ВС.
в)	Найдите проекцию вершины А на прямую ВС.
326.	В системе координат дана окружность х2 + у2 = 6х — 2у + 6 и
точка Л/(-5; 0).
а)	Найдите расстояние от центра окружности до точки М.
б)	Составьте уравнения касательных данной окружности, прохо-
дящих через точку М.
в)	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М и пер-
пендикулярной прямой ОМ, где О — центр данной окружности.
327.	В системе координат дана окружность х2 + у2 = 4х — бу + 12 и
точка М(—7; 2).
а)	Составьте уравнения касательных данной окружности, прохо-
дящих через точку М.	*
б)	Найдите площадь четырехугольника О AM В, где О — центр
данной окружности, А и В — точки касания данной окружности
теми прямыми, уравнения которых найдены в пункте а).
§3. Теоремы Чевы и Менелая
167
в)	Найдите косинус угла между касательными, найденными в
пункте а).
§ 3. Теоремы Чевы и Менелая
328.	В треугольнике АВС В— 90°, |АВ| = 6, |ВС'| = 8, М G АС. АВМ =
= arccos . Найдите: a) S(ABM); б) |АЛ7|.
329.	В треугольнике АВС М € АС, АВМ = 30°, МВС = 45°, |АВ\ = 6,
|ВС| =8у/2. Найдите: а) |АМ|: |АС|; б) S(BMC).
330.	В треугольнике АВС |АВ| = 4, |ВС\ = 5, АВС = 60°.
а)	Докажите, что АСВ >45°.
б)	Пусть L — такая точка луча АС, что ABL = 105°. Найдите |AL|.
331.	В треугольнике АВС чевианы АК и AL делят угол А на три
п	|ВК|.|ВЬ| MSI2
равные части. Докажите, что 
332.	В треугольнике АВС К — середина ВС, L € АВ, |AL|: \LB| = 3:4,
AKDCL = O, (ВО)Г\(АС) = М. Найдите:
а) \АМ|: |МС|; б) S(AOM): S(ABC).
333.	В треугольнике АВС |АВ| =5, |АС| =6, A = arccos|, К € ВС,
\ВК|: |КС\ =2:1; ВМ - медиана, ВМ П АК = О, (СО) П (АВ) =
= АГ. Найдите: a) |CW|; б) S(MNK); в) |<7О|: |CW|.
334.	В треугольнике АВС К € АВ, |А7С|: |.ЛГВ| =4; О — середина СК,
(ВО) П (АС) = L, (АО) П (ВС) = М. Найдите:
a) |AL|: |£С|; б) |СМ|: |МВ|; в) |АО|: |(Ж|.
335.	В равнобедренной трапеции ABCD |АВ| = 10, |ВС| = 4, CAD =
= 30°. На стороне ВС взята точка К так, что |.Z3.Z<| = 1; М —
середина AD, ВМ ПАК = О, (СО) Г\ (АВ) = N. Найдите: a) |y4JV|;
б) S(BCN).
2
336.	В параллелограмме ABCD |АВ| =3, |AZ>| = 7, A = arccoSg, К 6
&BD, |BKM3|KD|, (СК) П (AD) = L, BLQAC — M, (DM) О
. Г) (АВ) = ДГ. Найдите: a) |ВАГ|; б) S(BCKN).
337.	В треугольнике АВС К € (АВ), АК : КВ = —3 : 4; L € ВС,
\BL\: |ВС| = 3:4, (AL) П (СК) = О, (ВО) П (АС) = М. Найдите: а)
AM: М&, б) S(CLOM): S(BKL).
338.	В треугольнике АВС |АВ| = \/15, |SC*| = \/23, |АС| = \/42; К 6
е(АС), АК-.КС =-2,3-, L&(AB), AL:LB = -4:3; BKCCL = O,
АО П ВС = Т. Найдите: a) S(BLT)-, б) АО : ОТ.
168 Глава 4. Подобные треугольники. Основы тригонометрии
339.	В треугольнике АВС М — середина АС, К € АВ, L € ВС,
|А/<|: |АВ| = |CL|: \СВ|, AL Г) СК = О. Докажите, что точки В,
О и М коллинеарны.
340.	Пусть ABCD — трапеция, диагонали АС и BD которой пере-
секаются в точке О. Прямые АВ и CD пересекаются в точке
М. Докажите, что середины сторон AD и ВС и точки О и М
коллинеарны.
341.	В треугольнике АВС К € АВ, |А7<| : |АВ| =3:5, L € ВС,
|BL\: |ВС| = 5:7, (KL) П (АС) = М. Найдите:
а) : СМ-, б) S(CLM): S(ABC).
342.	В треугольнике ABC Ке(АВ), АВ:ВК=А, Le(AC), A&:CL=5,
(KL) А (ВС) = M. Найдите: а) СМ: МВ-, б) S(AML): S(BKC).
343.	В треугольнике АВС |АВ|=4, |АС| =8\/3, А=150°; К — середина
АВ, LeBC, |В£|:|£С| = 1:3, (7<L) А(АС)=Л/, (С7<) А(ВМ)=Т.
Найдите: а) |СЛ/|; б) \BT\-, в) S(AMT).
344.	В треугольнике АВС | АВ| = 8, |АС| = 7, |ВС| = 5; на луче АВ взя-
та точка К так. что | АК\ —12; L g ВС, |BL| = 2; (KL) А (АС) = М.
Найдите: а) |АМ\: |МС|; б) В(ВМС); в) \LM\.
345.	В треугольнике АВС |АВ|=5, |ВС| = 6, A = arccos||; К 6 АВ,
|А/<| = 3; L 6 ВС, |CL| = 2; (7<L) А (АС) = М, (AL)П(ВМ) = Т.
Найдите: а) |АС|: |СМ|; б)£А:АТ; в) S(KBTL).
346.	В параллелограмме ABCD |АВ| =3, | АВ| = 5, |ВВ| =6; К & ВС,
|ВА'|: |Z<C| = 1: 3; L € BD, |BL|: \LD\ = 3:2; (KL) A (CD) = M.
Найдите: a) |ALM|; 6) S(KCDL).
347.	В равнобедренной трапеции ABCD |A£>| = 12, |ВС| = 4, А =
= arccos-—; М € [BA), \DM\ = 16; jV € [BA), \BN\ = 2,5\/13;
(MN) A (CD) = Е. Найдите: a) S(ABCD)-, б) СЕ-.ED; в) \МЕ\.
348.	В треугольнике АВС |АВ| = 6, |ВС| = 9, |АС| = 7. Пусть Р и
Q — точки касания окружности, вписанной в данный треуголь-
ник, сторон соответственно АВ и АС. Пусть ВМ — биссектриса
данного треугольника; R и S — середины сторон соответственно
ВС и АС; Т = (PQ) А (ВМ). а) Найдите ВМ: МТ. б) Докажите,
что (RS) А (ВМ) = Т.
349.	Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон АВ
и АС в точках Р и Q соответственно; RS — средняя линия, парал-
лельная АВ; Т — точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите,
что точка Т лежит на биссектрисе угла В данного треугольника.
§3. Теоремы Чевы и Менелая
169
350.	В системе координат даны точки: А(—7; —3); В(5; 0); С(1; 3). На
отрезке АВ взята точка М так. что |.4Л/|: |МВ\ = 1:2; на отрезке
АС взята точка N так, что |АЛГ| : ^С| =2:3; СМ П BN = О;
(АО) П (ВС) = L. Найдите: а) координаты точки £; б) длину
биссектрисы CF треугольника АВС', в) площадь треугольника
BLF.
351.	В системе координат даны точки: А(—5; 1); В(7; —2); С(4;4).
На отрезке АВ взята точка М так, что |АЛ/| : |АВ| =2:3,
на отрезке ВС взята точка N так, что |CW| : |7V23| = 1:3;
AN Г) CM = О', (ВО) П (АС) = L. Найдите: а) координаты
точки £; б) ALB; в) уравнение прямой, проходящей через
точку А и перпендикулярной прямой СМ.
1 Зак. 397
Глава 5
Векторы
§ 1. Линейные операции над векторами
352.	В треугольнике АВС |АС| = 4\/2, |2?С'| = 6. С = 45°; К € ВС,
|С/<| = 2. Найдите: а) |ВЯ|; б) |ДМ|, где точка М определя-
ется равенством ВМ = АС; в) |CyV|, где точка N определяется
равенством BN = АК.
353.	В треугольнике ABC |АВ| = 10, |ВС| = 11, |АС|=9, Z — цен-
-  "V	--->
троид, В К — высота. Найдите: a) |KZ|; б) |A/V|, где точка
N определяется равенством CN = BZ; в) |ВЛ/|. где точка М
• У	>
определяется равенством СМ — ВК.
354.	В параллелограмме ABCD |АВ\ — 6, \AD| = 5, А = 60°, О — точка
пересечения диагоналей АС и BD. Найдите: а) |АС|; б) |AV|,
---------------------------------------------> --->   >
где точка /V определяется равенством CN = ВО; в) |ОМ|, где
	>	1У
точка М определяется равенством ОМ = АВ.
2
355.	В параллелограмме ABCD |-4Z?| = 6, |/1£>| = 9, А = arccos луч
АК является биссектрисой угла А, где К е ВС. Найдите: а) |-DA'|;
б) | AL|, где точка L определяется равенством DL — АК; в) \СМ|1
• У ’1
где точка М определяется равенством МК = DB.
356.	В равнобедренной трапеции ABCD |ВС|=4, |А£)| = 6, >1 = 60°,.,
О точка пересечения диагоналей АС и BD. Найдите: a) |ВО|;
б) |АА'|, где точка А’ определяется равенством СК = DB: в)
|ВЛ/|, где точка М определяется равенством MD = OC.
357.	В треугольнике АВС |АВ| = IBCI =8, |АС| = 6, Z — центроид.
Найдите: а) |АВ+ 4^|; 6)|BZ + CB|; b)|AZ + BZ|.
358.	В треугольнике АВС |.4В| =4\/3, |ЛС| = 6, А = 30°, М — середина
АС.Найдите: а)|ВС + М^|; б)|АВ-ГМ|; в) | АВ + N1A- В^|.
359.	В прямоугольнике ABCD |АВ| = 3, |AD| = 4, О = АС П BD-
Найдите: a) |AC? + AD|; б)|Л^-5В1; в) \вб + AD - CDI.
§ 1. Линейные операции над векторами
171
360.	В параллелограмме ABCD |ЛВ| = 8, |AD\ = 3, 4 = 60°, О =
= АС П BD. Найдите:
а) |ЛО + CD\; б) |АС? - OD|; в) \АВ + СВ - ёб|.
361.	В трапеции ABCD |АВ| = |С£>| = 4, |ВС| = 2, |AD| =8, АС Г)
ftBD — O, (АВ) Г) (CD) —М. Найдите:
а)|ЛО + ВС|; б) |ДМ-CD|; в) |ЛО + DO + Л7О|.
362.	В треугольнике АВС | АВ| = 7, \ВС\ - 9, |АС| = 6. Найдите:
а)|лВ+|лс|; 6)|±АВ+|СВ|; в) 11 АС + BN|, где точка
-------------------------------->	9-->
N определяется равенством AN = ^СВ.
363.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 8. |ВС| - 6. В = arccos^; М € АВ,
|ЛЛ/|=6. Найдите:
a)	6)|2лЗ + СЛ/|; в) ЦвС-2МС|.
364.	В параллелограмме ABCD |ЛВ| = 5, |AD|=6, A = arccdsj. К -
середина CD. Найдите:
a) ||ЛС + Р#|; б) 11AD - 2ВА'|; в) |АА' + вЪ + ВА|.
365.	В трапеции ABCD |ЛВ| =4, |ВС| = 6, А = 60°. 5 = 90°. Найдите:
а) |2АВ + В^|; б) ||ЛО - 5в|; в) ||С4 + вА - 5в|.
366.	В треугольнике АВС взяты точки К и L так, что BL: LA = -5:2,
АК: КС = 2:3; (В К) П (CL) = Е.
а)	Выразите KL через В А и ВС.
б)	Найдите LC: СЕ.
в)	Выразите BE через АВ и АС.
367.	В треугольнике АВС: К Е АС, |АК\ : |АГС| =2:3; L € ВС,
|BL\: |ВС\ = 3:4; (AL) Л (ВК) = О.
а)	Выразите АВ через AL и ВК.
б)	Найдите AL: Z7).
в)	Выразите СО через AL и ВК.
368.	В треугольнике АВС |Л5| = 7, |ВС\ = 11, |АС\ = 8. Точка А' опре-
деляется равенством АК = 1,5АС, точка L определяется равен-
ством BL— ^ВК, прямые AL и ВС пересекаются в точке М.
а) Выразите KL через АВ и АС.
б)	Найдите AM : МL.
в)	Найдите |AL| — |CAf|.
172
Глава 5. Векторы
369.
370.
371.
372.
373.
374.
В параллелограмме ABCD К € ВС, |В/<|: |/СС| = 1:3; L eCD,
|СТ,|: \LD\ = 3:2; ALnDK = M.
а)	Выразите AC через Kt и KD.
б)	Найдите AL: ML.
>	. > о
в)	Выразите СМ через АК и ML.
В параллелограмме ABCD |ЛВ| = 6, |Л£>|=4. А = arccos f
Me АВ, \AM\:\MB\ = 3:2; ACDBD = O.
а)	Выразите CM через AD и ОМ.
б)	Выразите BD через СМ и О А.
в)	Найдите |СО — /Ю|.
В треугольнике АВС |ЛВ| = 8, |ЛС| = 5, А = arccos |. Точка М
 У	>
определяется равенством ЗАМ = ВМ; точка К определяется ра-
венством АК = — 4Л’(3; (М К) Г) (ВС) = L.
——> -------'•  >
а)	Выразите AL через СМ и АВ.
б)	Выразите В К через AL и СМ.
в)	Найдите |аХ + СЛГ|.
В параллелограмме ABCD |АВ| =6, ^ВС\ =9, А = arccos 3. Точка
К определяется равенством СК: CD = 3:5, точка М определяет-
ся равенством AM: AD = 1:3, МК П BD = Е, (МК) П (АВ) = L.
а) Выразите СМ через АК и ВК.
б) Найдите AL: LK.
в) Найдите JBC — К(5 — Е/<|.
В трапеции ABCD |ЛВ| = |С*£)| = 6, |ВС| = 5, |Л£)| = 15; АС П
OBD = O, (AB)O(CD) = M.
а)	Выразите М(5 через АВ и DO.
б)	Выразите DO через АВ и MD.
в)	Найдите |АС + ВМ|.
В трапеции ABCD А = 90°, D = 60°, |ВС| = 3, |Д£>| = 8; М —
середина CD, (AM) П (ВС) = L.	*
а)	Выразите AM через ВС и BD.
б)	Выразите DL через АВ и СМ.
в)	Найдите |аС + 2ВС-
375.	Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник; точки К, L, М, N —
середины сторон соответственно АВ, ВС, CD, DA.
§ 1. Линейные операции над векторами
173
а)	Докажите, что КМ = ^(ВС + AD).
б)	Докажите, что если сумма + |7L7V| равна полупериметру
данного четырехугольника, то он является параллелограммом.
в)	Докажите, что для любой точки О плоскости выполняется
равенство ОК + ОМ = OL + ON.
376.	Пусть AAi, BBi, CCj — медианы треугольника АВС. Докажите,
что для любой точки О плоскости выполняется равенство О А +
+ ОВ + ОС = OAi + OBi + OCi.
377.	Дан треугольник АВС, в котором AL является биссектрисой.
ч п	-» АВ , АС
а)	Докажите, что вектор а = ।	сонаправлен с векто-
ром а2.
б)	Найдите AL : ~а, считая известными длины сторон данного
треугольника.
378.	В системе координат даны точки: А(—3; 5); В(1; —3); С(5; 1); Z —
центроид треугольника АВС. Найдите: а) координаты точки D,
для которой четырехугольник ABCD будет параллелограммом;
б) |5Z|; в)|2-АС~вЗ|.
379.	Известны вершины треугольника: А( —3; —1); В(1; 3); С(7; —3);
Z — центроид этого треугольника, ВК — биссектриса. Найдите:
а) координаты точки К\ б) |2 • ZA - ВЛ'|; в) расстояние от точки
L, определяемой равенством AL: LB = —1,5, до прямой АС.
380.
381.
382.
383.
Известны вершины треугольника: А(-3; —1); В(2; 8); С(5; 1); К е
е AC, IАК\: |КС| = 1:3. Найдите: а) В- б) |ВК|; в) |2АК - ЗВ^|.
В системе координат даны точки: А(—5; -7); В(-2; 6); С(3; -1).
На отрезке АВ взята точка К с абсциссой -3; на отрезке ВС взята
точка L с ординатой 3. Пусть ALQCK = Р и (ВР
Найдите: а) координаты точки М; б) р(М; (ВС)); в)
П (АС) = М.
|аВ-2В^|.
В системе координат даны точки: А(1; 2); В(—4; 4); С(4; —2).
а)	На отрезке АВ найдите такую точку М, чтобы sin BCM =
= 2 sin ACM.
б)	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А и пер-
пендикулярной прямой ВС.
в)	Найдите |5М(3 - АВ + 2АС|.
В системе координат даны точки: А(—2; —4); В(6; 2); С(1; 5).
а)	Найдите длину медианы СК треугольника АВС.
174
Глава 5. Векторы
б)	На прямой АС найдите точку N, для которой |AZV|: |CW| = 1:2.
в) На прямой АВ найдите точку М, для которой |2AM — ВС\ =
= 3\/10.
384. В системе координат даны точки: /1(3; —1); В(—1; 2): С(7; —4);
ВК — биссектриса треугольника АВС. Найдите: а) координаты
точки Л'; б) |2Д7< — ЛС|: в) координаты точек М, для которых
|ЛМ|:|МВ|=2:3.
Образцы вариантов контрольных работ
по материалу глав 2 и 3
Контрольная работа № 4
Вариант I
1.	В треугольнике KLM |7<В| = 8, \LM\ =4, |КМ|=9; LA — биссек-
триса, КВ — медиана, ALC\KB = 0. Найдите S(LOB).
2.	В прямоугольном треугольнике АВС из вершины В прямого уг-
ла проведена высота ВМ. Найдите S(ABC), если |АВ| = 4 см,
|АА7| = 3 см.
3.	В параллелограмме ABCD точка М лежит на стороне ВС, при-
чем lAJ’C'l: |ВС| = 2:3; прямые DM и АВ пересекаются в точке О.
Найдите S(MBO), если S(ABCD) = S.
4.	В трапеции ABCD |ВС| = 2 ом, |АО| = 8 см, АС Л BD = О,
S(BOC) на 6 см2 меньше S(ABO). Найдите высоту данной тра-
пеции.
5.	На продолжениях медиан АК, BL и СМ треугольника АВС взя-
ты точки Р, Q и R так, что |КР| = ||АК|, |LQ| = ||LB|, |A77?| =
= ^|СМ|. Найдите площадь треугольника PQR, если площадь
треугольника АВС равна 1.
Вариант II
1.	В треугольнике АВС |АВ| =6, |ВС| =20, |АС| = 18; биссектрисы
АК и CL пересекаются в точке О. Найдите S(AOC).
2.	В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого
угла проведена высота АК. Найдите S(ABC), если |АК| = 4,
|АВ\: |АС| = 3:5.
3.	В параллелограмме ABCD К G AD, |АК]: |АВ| = 1:3, L — сере-
дина CD, (KL) Cl (ВС) = М, (KL) П (АВ) = N. Найдите S(MBN),
если S(ABCD) = S.
4.	В трапеции ABCD даны длины оснований: |АВ| = 12, |ВС| =
= 8. На продолжении стороны ВС выбрана такая точка М, что
|СА7| = 2,4. В каком отношении прямая AM делит площадь тра-
пеции ABCD1
5.	В треугольнике АВС |АВ| = 6, |ВС| = 7, |АС| = 9; АК и BL —
высоты. Найдите |KL\.
176 Образцы вариантов контрольных работ по материалу глав 2 и 3
Контрольная работа № 5
Вариант I
1.	В треугольнике АВС |АВ| = 8, |АС| = 6\/2, А = 45°. Найдите:
a) S(ABC); б) В; в) длину медианы АК; г) расстояние от ор-
тоцентра до прямой ВС.
2.	В параллелограмме ABCD |АВ\: |ВС\ =2:3, |АС| = 2\/7, |BD| =
= 2 >/19. Найдите: a) P(ABCD)-, б) S(ABCD).
3.	В системе координат даны точки: А(—3; 2); В(1; —2); С(4; 4). Най-
дите уравнение прямой, проходящей через точку В и перпендику-
лярной прямой АС.
Вариант II
1.	В треугольнике АВС |АВ| = 5, |ВС| = 9, А = arccos^—|
центр вписанной окружности; Н — ортоцентр. Найдите:
а) |АС|; б) длину медианы ВМ\ в) |ВО|; г) р(Я; (АС)).
2.	В параллелограмме ABCD |АВ| = >/21, |AD| = 4, |АС| + |BD\ —
= 12, А <90°. Найдите: а) А; б) S(ABCD).
3.	В системе координат даны точки: А(4; 2); В(1; —3); С(—5; 1). Най-
дите проекцию точки А на прямую ВС.
Контрольная работа 6
Вариант I
1.	В трапеции ABCD А = 90°, D — arccos |, |АВ| = |ВС|, |CD| = 6.
Найдите |СА + DB\.	*
2.	В параллелограмме ABCD ACC\BD = O, MzAD, |AM|:|MD| =
= 3:4, N&CD, jC7V|:|KD|=2:l.
а)	Выразите ON через AC и BM.
б)	Найдите DA: AF, где F =(ON) П (AD).
3.	В системе координат даны точки: А(2; —3); В(—3; 8); С(—7; —5);
Z — центроид треугольника АВС.
а)	Найдите |2 • AZ — 3 • ВС\.
б)	На прямой АВ найдите точки К, для которых |АК|: |АВ| = 4.
Вариант II
1.	В трапеции ABCD |АВ| = |ВС| = |CD| = 4, А = 30°. Найдите
|вЯ-а5|.
Образцы вариантов контрольных работ	177
2.	В треугольнике АВС |А2?| = 7, |ВС| =9, |АС| =8. Точки К и L
 > > > —' >
определяются равенствами: АК = — 1,5ВА; KL = 3CL. Пусть
(BL) П (АС) = М.
а)	Выразите МК через АВ и АС.
б)	Найдите |Л/К|.
3.	Известны вершины треугольника: А(—5; 1); В(3; 7); С(6; 3); ВК —
биссектриса, О - центроид этого треугольника.
а)	Найдите |2АЛ' - СО|.
б)	На луче ВК найдите такую точку F, что треугольники АВС
и АВF будут равновеликими.
шан
Образцы экзаменационных работ по геометрии
за 8 класс
Вариант I
1.	В трапеции ABCD |ВС| = 3 см, |АО| =9 см, ACCBD = O', К —
середина AC, L — середина BD, S(KOL) — 6 см2. Найдите
S(ABCD).
~	2
2.	В параллелограмме ABCD |.4jB| = 7, |AD| = 6, A = arcc0S;j, M —
середина ВС, К ё BD, |Ш<|: |Л\О| = 1:4, О = (АС) П (BD).
а)	Выразите КМ через 0.4 и ОВ.
б)	Найдите S(KMO).
3.	В треугольнике АВС |АВ| = 11, |АС\ = 4, |ВС| = 9: АК — биссек-
триса, AL — высота. Найдите: а) |ЛЪ|; б) расстояние от вершины
В до окружности, вписанной в данный треугольник.
Вариант II
1.	В прямоугольнике ABCD одна из сторон больше другой на 1,5 см\
S(ABCD) = 52 слг, К ё ВС, |ВК\ : |АС| = 1:3, АС П BD = О.
Найдите |07Г|.
2.	В треугольнике АВС |АВ| = 6, |ВС| = 7, |АС| = 9; К € АВ,
|АК\: |А'В| = 2 :1, L ё ВС, |5L| : |LC| = 3:1, (KL) П (AC) = М.
Найдите: а) |А7Л/|; б) S(ALM).
3.	В равнобедренной трапеции ABCD |АВ| =4 см, |ВС| = 8л/3 см,
А = 30°. Найдите: а) отношение площадей (меньшей к большей)
тех трапеций, на которые данную трапецию делит прямая, па-
раллельная основаниям и проходящая через точку пересечения
ее диагоналей; б) площадь треугольника APD, где Р — точка
пересечения прямых АВ и CD.
Вариант III
1.	В трапеции ABCD | АС\ = 8, |ВD| = 7; длина средней линии равна
5,5. Найдите площадь трапеции.
__ з
2.	В параллелограмме ABCD |АС| = V137, |АО| = 8, A=arccosg.
Найдите: a) S(ABCD)-, б) |В£>|.
3.	В треугольнике АВС А =90°, |AZ?| =6 см, |ВС| на 2 см больше
|АС|. Найдите: а) расстояние от вершины В до точки О, равно-
удаленной от сторон треугольника; б) |зв3 —АС|.
Образцы экзаменационных работ
179
Вариант IV
1.	В ромбе ABCD |АС| на 2 см больше |ВО|, S(ABCD) =40 см2 3.
а) Найдите периметр ромба.
б)	Выразите вектор DK, где К £ ВС, |ВЛ'| : |А'С| = 1:2, через
векторы DO и CD, где О = ACr\BD.
2.	В треугольнике АВС |ЛВ| =9, |ВС| =6, |ДС| =5; ВК — биссек-
триса, ВН — высота. Найдите: а) |ВА'|; б) расстояние от точки
Н до прямой АВ.
3.	В системе координат даны точки: Д(—3; 3); В(1; 5); С(6: —4). Най-
дите такие точки М на прямой АС, чтобы S(ABM) = 6,9.
Вариант V
1.	В прямоугольной трапеции ABCD Л = 60°, С = 90°, |ДВ| = 8,
|ВС| = 2. Точка М определяется условием СМ = —2MB; (DM) П
Г) (АВ) — К. Найдите: a) S(BCDK); б) расстояние от точки С до
центроида треугольника AKD.
2.	В параллелограмме ABCD |ДС| = 2>/13, |ДВ| в три раза меньше
|ВС\, S(ABC) = З/З. Найдите: а) Р(ABCD)- б) |В£>|.
3.	В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сто-
рону AD в точке К. Известно, что Р(АВК) на 2 см меньше
P(BCDK) и S(ABK): S(BCDK) = 2:3. Найдите P(ABCD).
Вариант VI
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пе-
ресекаются в точке О. Известно, что S(COD) в два раза больше
S(BOC) и на 2 см2 больше S(AOD). Найдите S(ABCD), если
S(ABC)=7 см2.
2. В треугольнике АВС А = 120°, |ДВ| = 8, |ЛС| = 6; К G ВС.
|ВЛ'|: |КС\ = 1:3, L е AC, \AL|: |ЛС| = 1:3. Найдите: a) |Л'А|; б)
радиус окружности, описанной около данного треугольника.
3. В системе координат даны точки: Д(5; 3); В(1; -1); С(—2; 6);
0(2; 14).
а) Найдите р(С; (АВ)).
б) Рассмотрим окружность с центром Л, проходящую через точку
В. Составьте уравнения касательных этой окружности, проходя-
щих через точку D.
180
Образцы экзаменационных работ по геометрииза 8 класс
Вариант VII
1.	В треугольнике АВС К € AC, |AKJ : |А’С'| =2:3; Е € ВК,
|ВЕ\: |А7<| = 3:2; (АЕ) О {ВС) = L. Найдите S{KEL): S{ABC).
2.	Средние линии выпуклого четырехугольника ABCD пересекают-
ся в точке О. Известно, что S{KOL) = 3 cjw2, где К и L — середины
соответственно АВ и ВС\ S{ABC) на 6 сл<2 меньше S{ACD) и на
1,(6) см2 меньше S{ABD). Найдите: a) S{KCD)-, б) S{ABF), где
F=ACC\BD.
3.	В параллелограмме ABCD |АС\ = У10 см, |ЛВ| : |ВС| = \/2 : 3,
.4 = 135°. Найдите: а) площадь параллелограмма; б) расстояние
между центроидами треугольников АВС и ACD.
Вариант VIII
1.	В треугольнике АВС |АС| = 10, В = arccos^ —, А = arccos
Найдите: a) S{ABC)-, б) расстояние между центром описанной ок-
ружности и серединой стороны ВС.
2.	В трапеции ABCD |АР| = 6 слц |ВС| = 4 см, ACCiBD = O,
S{COD) = 12 слг; К € АВ, L е CD, прямые KL if AD парал-
лельны, S{KOL) = 8,1 см2. Найдите: а) высоту данной трапеции;
б) |A7i| при условии, что это число является рациональным.
3.	В системе координат даны точки: А{—2; —3); В(3; 2); <7(9; —4).
Найдите расстояние от вершины А до биссекторной прямой ВК.
Вариант IX
1.	В параллелограмме ABCD |АВ| = 6, |Л£>| = 4, А = arccos^—
точка К определяется равенством СК: D(3 = —2:3, АК О BD — L.
а) Выразите АС через АК и ВК.
б)	Найдите S{BCKL).
2.	В трапеции ABCD |АВ| = 4, |ВС\ = 2, |С7>| = 5, | AD| = 7. Найдите:
a) S{ABCD)\ б) длину биссектрисы АК треугольника ABD.
3.	В треугольнике АВС |ДВ| = 7, |АС'|=8, |ЛЛ] | = где А] —
середина ВС. На луче АВ взята точка А' так, что [AA'I = 10;
на луче АС взята точка L так, что |AL| = 10; BL О СК = М,
{AM)D{BC) = N. Найдите |АЛГ|.
Вариант X
1.	В системе координат даны точки: Л(— 5; 1); В(4; 7); С(6; —1).
Образцы экзаменационных работ
181
а)	Найдите проекцию точки А на прямую ВС.
б)	На прямой ВС найдите точки Л/, для которых S(ABM) = 63.
2.	В равнобедренной трапеции ABCD |ВС| = 3,	= 12, А =
= arcsin-^, (АВ) П (CD) = М. Найдите: a) S(ABCD)-. б) радиус
окружности, описанной около треугольника AMD.
3.	Дан треугольник АВС, в котором А = 90°, отношение отрезков,
на которые высота АК делит гипотенузу ВС, равно 9:4; радиус
вписанной окружности равен (5 — У13) см. Найдите длину бис-
сектрисы AL данного треугольника.