/
Text
ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РАДИОПРИЕМА
ПРИ ФА УКТУА Ц И О Н Н Ы X ПОМЕХАХ
сЛ. С.Гуткин
ТЕОРИЯ
ОПТИМАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
РАДИОПРИЕМА
ПРИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ
ПОМЕХАХ
Л. С. ГУТКИН
ТЕОРИЯ
ОПТИМАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
РАДИОПРИЕМА
ПРИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ
ПОМЕХАХ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1961 ЛЕНИНГРАД
ЭС-5-4
Рассматривается теория оптимальных методов
приема сигналов на фоне флуктуационных помех (шу¬
ма). Здесь под оптимальными понимаются такие ме¬
тоды, которые обеспечивают наилучший в том или ином
смысле прием сигналов на фоне помех.
Анализ ведется в основном применительно к радио¬
сигналам, но большинство рассматриваемых методов и
полученных результатов применимы и к сигналам дру¬
гих видов (проводной связи, акустическим и др.)*
Рассматриваемая теория является по своему харак¬
теру статистической, и для ее понимания требуется
знание основ теории вероятностей.
Книга рассчитана на широкий круг специалистов по
радиотехнике и смежным отраслям техники ц на сту¬
дентов старших курсов вузов.
6Ф2 Гуткин Лев Соломонович
Г 97 Теория оптимальных методов радиоприема при
флуктуационных помехах
М.—JL, Госэйергоиздат 1961 г.
ООО с., с илл. 6Ф2
Редактор К. Я. Трофимов Техн. редактор /С. /7. Воронин
Сдано в набор 24/VII 1961 г. Подписано к печати 6/Х 1961 г.
Т-11352 Бумага 84x108*;## 25 печ. л. yq.-изд. л. 25
Цена в переплете № 5 — 1 р. 35 к., в переплете № 7 — 1 р. 40 к.
Тираж 10 000 экз. Заказ 432
Типография Госэнергоиздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге рассматривается теория оптимальных мето¬
дов приема сигналов на фоне флуктуационных «помех
(шума).
Здесь 'под оптимальными понимаются такие методы
приема, которые удовлетворяют заранее «сформулиро¬
ванному математически критерию оптимальности, на¬
пример обеспечивают минимальную среднеквадратич¬
ную ошибку воспроизведения сигнала или несо»мого им
сообщения.
Основы рассматриваемой теории были заложены
в фундаментальной работе акад. В. А. Котельникова
«Теория (потенциальной 'помехоустойчивости приема 'при
флуктуацио'нных помехах», опубликованной /в 1946 г.
С тех >пор теория оптимальных методов 'приема сигналов
находится в стадии непрерывного быстрого развития.
Поэтому автор «не имел возможность дать полного и
законченного изложения этой теории, а стремился лишь
ознакомить читателя с основными решаемыми задача¬
ми, методами их решения и некоторыми .полученными
результатами.
При этом с целью облегчения 'понимания материала
и приближения к реальным историческим этапам в раз¬
витии .рассматриваемой теории изложение ведется
в следующем (порядке.
В I части даются 'некоторые предварительные сведе¬
ния, необходимые для понимания всего последующего
материала.
Часть II посвящена краткому изложению теории по¬
тенциальной помехоустойчивости В. А. Котельникова и
анализу некоторых положений этой теории с точки зре¬
ния современного состояния вопроса. Котельников пола¬
гал, что в месте приема все параметры сигнала известны
3
точно (за исключением сообщения, подлежащего 'вос¬
произведению). Поэтому II часть посвящена, тю суще¬
ству, оптимальному приему сигналов, известных точно
В III части рассматривается оптимальный прием сиг¬
налов, содержащих, кроме 'полезного сообщения, ряд
неизвестных (случайных) параметров. Применяемый
при этом метод анализа является, в сущности, непосред¬
ственным развитием метода Котельникова.
IV часть посвящена анализу оптимальных 'приемни¬
ков и их свойств современными математическими мето¬
дами статистики. Следовательно, если III часть отли¬
чается от II части в основном типом рассматриваемых
сигналов, то IV часть отличается от предыдущих ча¬
стей главным образом 'методами анализа. Излагаемые
в IV части методы являются более общим-и и, кроме
того, 'позволяют применить для отыскания оптимальных
приемников и анализа их свойств обширные результаты,
•полученные в математической статистике.
Около 25% изложенного в книге материала основы¬
вается на работах автора (гл. 18, § 7-2, 7-3, 11-3, 11-4
и др.). Остальная часть книги является результатом
обработки и обобщения материалов, опубликованных
в обширной литературе. При етом автор стремился по
возможности упростить изложение и сделать его доступ¬
ным для широкого круга радиоапециаишстов и студен¬
тов высших учебных заведений.
В заключение автор выражает глубокую благодар¬
ность доктору техн. наук А. Е. Башаринову за ряд цен¬
ных советов, учтенных в данной работе, а также
Е. М. Гуткиной за большую помощь при подготовке ру¬
кописи к 'печати.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Часть I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава первая. Введение 9
1-1. Постановка задачи. Краткий исторический очерк .... 9
1-2. Общая характеристика сообщений, сигналов и помех . . 18
1-3. Разложение функций времени в ряды по ортогональным
функциям 25
Глава вторая. Оптимальные линейные фильтры . . . 34
2-1. Вводные замечания 34
2-2. Линейные фильтры, обеспечивающие получение минимума
среднеквадратичной ошибки 35
2-3. Линейные фильтры, обеспечивающие максимальное отно¬
шение сигнала к шуму 41
2-4. Квазиоптимальные линейные фильтры 55
2-5. Замечания о связи и различиях между оптимальными
фильтрами и оптимальными приемниками 59
Глава третья. Метод приведения „небелого*4 шума
к „белому" 61
3-1. Общие соотношения 61
3-2. Применение к отысканию оптимального линейного
фильтра 65
3-3. Выводы 68
Часть II
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ, ИЗВЕСТНЫХ ТОЧНО
(теория потенциальной помехоустойчивости
Котельникова)
Глава четвертая. Общие соотношения 70
4-1. Постановка задачи 70
4-2. Вычисление обратных вероятностей сообщений 73
4*3. Структура оптимального приемника 76
Глава пятая. Прием дискретных сообщений 79
5-1. Общий случай 79
5-2. Бинарное обнаружение 83
5-3. Распознавание двух ненулевых сигналов 90
5-4. Распознавание /я-ортогональных равновероятных сигна¬
лов, имеющих одинаковую энергию 93
5*5. Случай /я-канального приемного устройства 98
Глава шестая. Прием отдельных значений непрерыв¬
ных сообщений 101
6-1. Общие соотношения 101
6-2. Сравнение различных видов модуляции и способов
приема 107
6-3. Геометрическое толкование результатов 113
Глава седьмая. Прием колебаний • 121
7-1. Основные соотношения 121
7-2. Влияние отношения сигнал/шум 128
7-3. Влияние формы частотных характеристик приемника . . 131
Часть III
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
(анализ методом обратных вероятностей)
Глава восьмая. Общие соотношения 153
8-1. Постановка задачи 153
8-2. Методика вычисления обратных вероятностей 156
Глава девятая. Бинарное обнаружение 159
9-1. Вычисление обратной вероятности сигнала со случайной
фазой 159
9-2. Бинарное обнаружение сигнала со случайной начальной
фазой 165
9-3. Бинарное обнаружение флуктуирующего сигнала .... 175
9-4. Бинарное фазовое обнаружение 185
Глава десятая. Сложное бинарное обнаружение. . . 191
10-1. Общие соотношения . 191
10-2. Обнаружение сигналов, известных точно 194
10-3: Обнаружение сигналов со случайными фазами 195
10-4. Обнаружение флуктуирующих сигналов 197
10-5. Обнаружение т ортогональных сигналов 198
Глава одиннадцатая. Обнаружение и распознавание
сигналов со многими возможными значениями . . . 202
11-1. Структура оптимального приемника 202
11-2. Вероятности ошибок обнаружения и распознавания . . . 208
11-3. Случай малых вероятностей ошибок 218
11-4. Сравнение обнаружения и распознавания сигналов со
сложным бинарным обнаружением 226
Глава двенадцатая. Особенности обнаружения и
распознавания импульсных последовательностей
(»пачек«) 230
12-1. Общая характеристика импульсных последовательностей. 230
12-2. Обнаружение и распознавание пачек, известных точно. 231
12-3. Обратная вероятность пачки со случайными амплитуда¬
ми и фазами 233
12-4. Обнаружение и распознавание когерентных пачек со
случайными начальными фазами 237
12-5. Обнаружение и распознавание когерентных флуктуирую¬
щих пачек 238
12-6. Обнаружение и распознавание некогерентных пачек с
известными амплитудами и независимыми случайными
фазами 239
12-7. Обнаружение и распознавание некогерентных пачек с
дружно флуктуирующими амплитудами импульсов . . . 256
12-8. Обнаружение и распознавание некогерентных пачек с
независимо флуктуирующими амплитудами импульсов . 265
12-9. Пример применения к импульсному радиолокатору кру¬
гового обзора 275
12-10. Особенности обнаружения и распознавания сигналов при
небелом шуме 280
Глава тринадцатая. Измерение непрерывных пара¬
метров сигнала 286
13-1. Измерение амплитуды сигнала со случайной начальной
фазой 286
13-2. Измерение момента т прихода импульсного сигнала со
случайной фазой 291
13-3. Измерение частоты сигнала со случайной фазой .... 306
13-4. Одновременное обнаружение сигнала и измерение его
параметров 311
13-5. Воспроизведение сообщений (параметров), являющихся
функциями времени, при наличии у сигнала случайной
начальной фазы 319
Часть IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ СТАТИСТИКИ
Глава четырнадцатая. Анализ обнаружения и рас¬
познавания сигналов методами проверки статисти¬
ческих гипотез 322
14-1. Общие замечания 322
14-2. Обнаружение и распознавание сигналов как проверка
статистических гипотез 326
14-3. Бинарное обнаружение . . . 327
14-4. Характеристики обнаружения. Пороговый сигнал .... 340
14-5. Сравнение метода проверки статистических гипотез с ме¬
тодом обратной вероятности 342
14-6. Вычисление коэффициента правдоподобия для сигнала
со случайными параметрами 344
Глава пятнадцатая. Последовательное обнаружение 348
15-1. Общие замечания 348
15-2. Принцип действия последовательного обнаружителя . .. 3^£9
15-3. Основные соотношения при оптимальном последователь¬
ном обнаружении 356
15-4. Последовательное обнаружение флуктуирующего им¬
пульсного сигнала 363
15-5. Сравнение последовательного обнаружения с классиче¬
ским 370
15-6. Последовательный анализ квантованных выборок . . . 374
Глава шестнадцатая. Анализ приема непрерывных
сообщений методами оценки параметров распреде¬
лений „ 378
16-1. Постановка задачи в классической теории статистиче¬
ских оценок 378
16-2. Основные соотношения при точечной оценке 383
16-3. Метод максимального правдоподобия , . . 389
16-4. Применение метода максимального правдоподобия к
приему непрерывных сообщений на фоне шума .... 392
16-5. Одновременная оценка частоты и запаздывания сигнала. 399
16-6. Влияние формы сигнала при одновременном измерении
частоты и запаздывания 405
Глава семнадцатая. Обобщенные критерии опти¬
мальности (применение теории статистических ре¬
шений) 414
17-1. Постановка задачи 414
17-2. Основные соотношения при критерии минимального
среднего риска 422
17-3. Минимаксный критерий оптимальности 428
17-4. Некоторые общие результаты применения теории стати¬
стических решений к приему непрерывных сообщений 433
Глава восемнадцатая. Влияние критериев опти¬
мальности и априорных распределений сообщений
на структуру и свойства оптимальных приемников 436
18-1. Общие замечания 436
18-2. Некоторые свойства распределения Ру(х) при приеме
отдельных значений непрерывных сообщений 440
18-3. Влияние априорных распределений сообщений и крите¬
риев оптимальности при приеме отдельных значений не¬
прерывных сообщений 450
18-4. Влияние априорных распределений сообщений и крите¬
риев оптимальности при приеме дискретных сообщений. 459
18-5. Влияние априорных распределений сообщений и крите¬
риев оптимальности при приеме колебаний [х = х (/)] 471
18-6. Заключение 474
Глава девятнадцатая. Основные направления раз¬
вития теории оптимальных методов приема 475
Приложение. Таблица распределения (а) 478
Литература . • 479
Алфавитный указатель 485
ЧАСТЬ I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава первая
ВВЕДЕН ИЕ
1-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Основной и наиболее сложной «проблемой радио¬
приема является 'проблема помехоустойчивости, т. е.
задача отыскания наилучших способов приема радио¬
сигналов при наличии помех. Это объясняется тем, что
одновременно с совершенствованием приемников увели¬
чивается количество помех и повышаются требования
к качеству воспроизведения сигналов.
Оптимальными методами приема называются такие
методы, которые обеспечивают наилучший в том или
ином смысле прием «сигналов или несомых ими сообще¬
ний при наличии помех. То, что вкладывается в понятие
«наилучший», называется .критерием оптимальности.
Такими критериями могут быть, например, минимум
среднеквадратичной ошибки при воспроизведении сигна¬
ла, минимум полной вероятности ошибки и т. п.
Во многих случаях назначение приемника состоит
в воспроизведении не всего сигнала, а лишь сообщения,
которым модулирован этот сигнал. Так как немодулиро-
ванные сигналы могут рассматриваться как частные
случаи модулированных сигналов, теория строится, там,
где это специально не оговаривается, для модулирован¬
ных сигналов. При этом основные положения и резуль¬
таты теории оптимальных методов приема сигналов
оказываются справедливыми для самых разнообразных
видов сигналов — модулированных и немодулированных,
радиотехнических, акустических, сигналов проводной
связи и т. п.
Поэтому «в дальнейшем для общности применяются
термины прием и приемник, а не радиоприем и радио¬
приемник. Однако основные .примеры берутся из области
радиоприема, та<к как в этом «случае сигналы и помехи
имеют обычно наиболее сложный характер, а защита от
помех является наиболее актуальной.
С м,атематической точки зрения задача отыскания
оптимального приемника сводится в общих чертах к сле¬
дующему.
На вход приемника (рис. 1-1) 'поступают смесь y(t)
сигнала и помехи:
0(О=/К(<), »ш(0]. С1*1)
где их (t) — сигнал» несущий полезное сообщение х\
иш (t) — помеха („шум").
В случае немодулированного сигнала ux(t) = const -х (t).
В простейшем случае смесь сигнала и помехи является
npocfo их суммой, т. е.
НМО. nw(t)]^ux(t) + ujt). (1-2)
В этом случае помеха называется аддитивной.
Однако в общем случае помехи (до поступления их
в (приемник) могут искажать сигнал и 'более сложным
образом, например модулировать
один или -несколько параметров
сигнала (амплитуду, частоту, фа¬
зу и г. п.). Поэтому в общем
случае выражение (1-1) означа¬
ет лишь то, что колебание y(t)9
поступающее на вход .приемника, является какой-то
функцией колебаний сигнала и помехи. Колебание -на
выходе приемного устройства обозначим через y{t).
Требуется найти такую структуру приемника, т. е.
такой закон преобразования y(t) в y{t), при котором
y(t) будет наилучшим (в том или ином смысле) образом
воспроизводить сообщение x(t). Для решения этдй_за-
дач-и критерий оптимальности должен быть сформулиро¬
ван математически и должны быть заданы какие-то
характеристики смеси y(t) сигнала и помехи, например
статистические характеристики этой смеси.
В теории оптимальных методов приема решаются
следующие основные задачи.
10
y(t)
Приемник
1. Выбор и обоснование соответствующих критериев
оптимальности приемников.
2. Разработка теоретических методов отыскания
структуры оптимальных 'приемников, т. е. приемников,
удовлетворяющих выбранным критериям оптималь¬
ности.
3. Исследование свойств оптимальных приемников и
в первую очередь оценка их -помехоустойчивости, т. е,
Рис. 1-2.
определение минимального сигнала, необходимого для
обеспечения заданного качества воспроизведения сигна¬
ла или сообщения.
4. Сравнение найденных оптимальных приемников
с реальными (т. е. уже применяемыми :на практике)
приемниками -с целью выяснения возможности и целесо¬
образности повышения помехоустойчивости реальных
приемников.
5. Сравнение помехоустойчивости оптимальных
приемников дри различных известных видах сигналов,
в частности при различных известных способах модуля¬
ции этих сигналов, с целью выбора наиболее помехо¬
устойчивых 'видов сигналов и способов модуляции.
6. Отыскание новых, оптимальных видов сигналов
(способов модуляции), обеспечивающих наибольшую
помехоустойчивюсть при приеме этих сигналов оптималь¬
ными приемниками.
Вопросы отыскания и исследования наиболее помехо¬
устойчивых систем рассматриваются не только *в теории
оптимальных методов приема, но и в общей теории свя¬
зи. (Выясним связь между этими теориями:
В общей теории связи рассматривается не изолиро¬
ванный приемник, а система связи (рис. il-2).
Первичное (полезное) сообщение x(t) кодируется во
вторичное сообщение x'(t)> модулирующее передатчик.
11
Модулированные сигналы поступают через линию связи
(линию радиосвязи, проводной связи и т. п.) в приемник.
При отсутствии помех и других искажений сигнала
колебание на входе приемника имело бы вид:
где х' (t) — неискаженное закодированное сообщение x(t).
При идеальной работе приемника в нем после демоду¬
ляции и декодирования выделялось бы колебание у (О»
равное или пропорциональное первичному сообщению1:
Однако во всем тракте системы связи могут действо¬
вать помехи (рис. 1-2). Они могут вызывать искажение
вторичного (закодированного) сообщения x'(t) и приво¬
дить, кроме того, к тому, что колебание y(t) на входе
приемника будет равно не их, (t), а сложной функции
от их, (t) и помех иш (t).
Поэтому колебание \(t) на выходе приемника отли¬
чается от (1-4), т. е. приемник воспроизводит сообще¬
ние x(it) с искажениями.
В общей теории связи задача ставится следующим
образом: отыскать такие .принципы построения блоков
системы связи (кодера, передатчика, линии связи и
приемника), которые при наличии помех обеспечивают
наилучшую (в том или ином смысле) передачу сообще¬
ний от источника сообщений к получателю.
Следовательно, в общей теории связи оптимум ищет¬
ся по всем возможным видам сигналов, включая все
возможные способы модуляции и кодирования, и по
всем возможным способам приема.
В теории оптимальных методов приема оптимум
ищется в первую очередь по в се мг в озможны м способам
приема для заданных (или выбранных) видов сигналов,
в том числе и для заданных видов модуляции и кодиро¬
вания. Получив соответствующие результаты для вы¬
бранных видов сигналов, можно далее искать оптимум
по всем возможным видам модуляции этих сигналов,
y(t) = ux, (t),
(1-3)
Y (0 = const л: (t).
(1-4)
1 Здесь полагается, для краткости, что задачей приемника яв¬
ляется ттростое воспроизведение сообщения.
12
полагая при этом способ кодирования неизменным или
вообще принимая, что кодирование отсутствует.
Эта задача ставилась и успешно решалась в ряде
работ, посвященных теории оптимальных методов
приема и в первую очередь в работах В. А. Котельнико¬
ва [Л. 1], Вудворда [Л. '2], Зиберта [Л. 58] и С. Е. Фаль-
ковича [Л. 5].
Можно, в .принципе, пользуясь методами теории
оптимальных методов приема, сделать и последний шаг:
получив оптимальные результаты для заданных (или
выбранных) систем кодирования, искать оптимум тдкже
по всем возможным способам кодирования. П'ри этом
задачи, решаемые теорией оптимальных методов приема,
сливаются, по существу, с задачами общей теории связи
и обычно значительно проще решать их, 'пользуясь аппа¬
ратом, разработанным в общей теории связи (теории
информации).
Поэтому мы будем далее полагать, как это принято
и на практике, что первой и основной задачей теории
оптимальных методов приема является отыскание опти¬
мальных способов .приема для заданных (или выбран¬
ных) видов сигналов. Второй задачей является отыска¬
ние, там, где это не слишком сложно, оптимальных
видов сигналов, при -неизменном способе кодирования
сообщений или при отсутствии такого кодирования. За¬
дачу же отыскания оптимальных способов кодирования
сообщений сбудем считать относящейся к общей теории
связи. Следовательно, основным отличием теории опти¬
мальных методов приема от общей теории связи являет¬
ся то, что в ней не ищутся оптимальные способы коди¬
рования сообщений.
В связи с этим ограничением теория оптимальных
методов приема не дает наиболее общего решения в тех
случаях, когда возможно оптимальное кодирование.
Однако во многих случаях оптимальное кодирование
сообщений принципиально невозможно, а в других оно,
хотя в принципе и возможно, но практически нецелесо¬
образно. В этих случаях теория оптимальных методов
приема дает наиболее общее и полное решение задачи
помехоустойчивости. К ним относится, в частности,
большинство задач, решаемых в радиолокации, радио¬
астрономии и радиоизмерениях, и многие задачи радио¬
телеметрии.
13
Действительно, в радиолокации обычно требуется
установить параметры объекта (его 'координаты, ско¬
рость и т. п.) .путем облучения этого объекта и приема
отраженной от него энергии. В этом случае полезными
первичными сообщениями являются параметры объекта
(например, самолета) —его координаты, скорость и т. п.
Эти сообщения модулируют сигнал вполне определен¬
ным образом, и мы не можем произвольно ни ко¬
дировать эти сообщения, ни модулировать ими сигнал К
В радиоастрономии полезным сигналом является
излудение небесных тел. В этом случае характеристики
сигнала заданы самой природой и вообще не могут
нами изменяться.
При радиоизмерениях задача та<кже сводится обыч¬
но к измерению характеристик каких-то вполне опреде¬
ленных сигналов при наличии помех, и оптимум может
искаться только по спо£обам приема.
В радиотелеметрии оптимальное кодирование в ряде
случаев нецелесообразно, хотя, в принципе, и «возможно.
Действительно, оптимальное кодирование требует обыч¬
но значительного запаздывания в передаче информации
и усложнения передающей части системы связи. В ра-
диотелеметрической системе эта передающая часть
устанавливается часто на малогабаритных объектах,
иногда к тому же одноразового действия, и оптимальное
кодирование может оказаться нецелесообразным.
Из оказанного следует, что теория оптимальных ме¬
тодов приема в очень многих важных случаях дает наи¬
более общее решение проблемы помехоустойчивости,
а в остальных случаях даваемые ею результаты, хотя
и не являются наиболее общими, также весьма ценны.
Поэтому разработке этой теории посвящены уже сотни
опубликованных работ, хотя она находится, по суще¬
ству, еще в начальной стадии своего развития.
Исторически теории оптимальных методов приема
предшествовало создание теории оптимальных линейных
фильтров. В этой теории на приемную систему (фильтр),
выделяющую сигнал из помех, накладывается условие
линейности.
1 В радиолокации -применяется иногда кодирование зондирую¬
щего сигнала, но зондирующий «сигнал 'не содержит полезного сооб¬
щения; .поэтому такое .кодирование не является кодированием сооб¬
щения.
14
Основы теории оптимальных линейных фильтров
были заложены в фундаментальных работах акад.
A. Н. Колмогорова [JI. 34] и Н. Винера {Л. 28] еще
в 1941—1942 гг.
Винер определил требования, 'предъявляемые к опти¬
мальной передаточной функции линейного фильтра,
исходя из условия получения на выходе этого фильтра
минимальной среднеквадратичной ошибки. При этом
•предполагалось, что на входе фильтра действует сумма
случайных стационарных сигнала и шума, а время на¬
блюдения Т бесконечно ©елико. В дальнейшем Заде
и Рагаззини обобщили эти результаты на случай конеч¬
ного времени Т и на сигнал, содержащий, кроме случай¬
ной, также регулярную составляющую. В 1952—1957 гг.
теория линейных фильтров, дающих минимальную
среднеквадратичную ошибку, была распространена на
случаи нестационарных случайных процессов и фильтры
с меняющимися во времени параметрами.
С 1943 г. для синтеза оптимальных линейных филь¬
тров начал применяться также другой критерий, а имен¬
но критерий максимального отношения пикового значе¬
ния напряжения сигнала к среднеквадратичному
значению напряжения шума. Начало здесь было поло¬
жено работой Норса [Л. 113], решившего задачу для
белого шума. В дальнейшем результаты Норса были
обобщены Дво,рком [Л. 114] и другими на случай шума
с неравномерным спектром. Большой вклад в теорию
оптимальных линейных фильтров сделан 'В. С. Пугаче¬
вым [Л. 11].
Так как реализация оптимальных линейных филь¬
тров в ряде случаев оказывается затруднительной,
B. И. Сифо,ровым [Л. 35], А. П. Белоусовым [JI. 36] и др.
были рассмотрены случаи, когда форма частотной ха¬
рактеристики фильтра считается заданной и максималь¬
ное отношение сигнала к шуму на выходе фильтра
обеспечивается оптимальным 'подбором лишь полосы
пропускания этого фильтра. Как показал анализ, такие
простейшие фильтры в ряде случаев близки по полу¬
чаемым при их применении .результатам к оптималь¬
ным; поэтому они называются часто квазиоптималь-
ными.
Все перечисленные выше работы, несмотря на их
большую ценность, касались оптимального синтеза не
15
приемника в целом, а лишь одного из его узлов — ли¬
нейного фильтра.
Первой работой, посвященной .проблеме отыскания
оптимального приемника и исследованию его
свойств, явилась работа В. А. Котельникова «Теория
потенциальной 'помехоустойчивости», опубликованная
в 1946 г. в виде докторской диссертации. В 1956 г. эта
работа без существенных изменений была опубликована
в виде монографии {Л. II].
В работе Котельникова были впервые поставлены и
в той или иной степени решены почти все основные
проблемы, характерные для современной теории опти¬
мальных методов приема. Эта работа ценна не только
тем, что она является 'первой работой по теории опти¬
мальных методов 'приема, но и тем, что до настоящего
времени она остается наиболее фундаментальной рабо¬
той в этой области.
Котельников решал задачу для аддитивной помехи
в виде стационарного гауссова шума (стационарного
флуктуационного колебания с нормальным законом рас¬
пределения) и для простейших критериев оптимальности
^критериев минимальной среднеквадратичной ошибки и
максимальной апостериорной вероятности воспроизво¬
димого сообщения). Кроме того, 'при анализе им был
сделан ряд дополнительных ограничений и допущений.
'В ряде последующих работ часть ограничений и до¬
пущений, принятых В. А. Котельниковым, удалось
снять.
Были рассмотрены случаи более сложных помех и,
в частности, неаддитивных помех, приводящих к появле¬
нию у принимаемого колебания паразитных случайных
параметров. Здесь в первую очередь следует отметить
работы Вудворда [JT. 2 и 18], Мидлтона [JI. 16 и 118]
и др. Д. Мидлтоном и др. был проведен анализ для
обобщенных статистических критериев оптимальности
приемника.
С 1950 г. для отыскания оптимальных приемников и
оценки их свойств начал широко применяться аппарат
математических методов статистики — методов проверки
статистических гипотез и получения статистических
оценок.
Основы современной теории статистических оценок,
т. е. оценок параметров распределения случайных ве-
16
личин и случайных функций, были заложены еще
в 1920—1930 гг. Р. Фишером, а затем развиты в рабо¬
тах Неймана, Пирсона и других математиков. Нейману
и Пирсону принадлежит также создание в 1930—'1940 гг.
теории проверки статистических гипотез. В годы второй
мировой войны эти методы 'получили существенное раз¬
витие в работах А. Вальда [Л. 29 и 30], создавшего ме¬
тод последовательного анализа и развившего теорию
статистических решений и теорию игр.
Д. Мидлтон и ряд других авторов в своих работах,
опубликованных после 1950 .г., убедительно показали,
что ©се эти методы с большим успехом могут приме¬
няться к решению задачи об оптимальньих способах
приема сигналов при наличии помех.
■В соответствий с указанной выше последователь¬
ностью развития теории оптимальных методов приема,
а также для облегчения понимания материала, его
изложение в данной книге ведется следующим образом.
В I части приводятся основные предварительные све¬
дения, необходимые для построения теории оптималь¬
ных методов .приема сигналов (общая характеристика
сообщений, сигналов и помех, свойства оптимальных
линейных фильтров и др.).
Во II части дается краткое изложение теории потен¬
циальной помехоустойчивости Котельникова.
Котельников рассматривал только сигналы, известные
точно, т. е. такие сигналы, единственным неизвестным
параметром которых является искомое полезное сообще¬
ние. Поэтому во II части книги изложение ограничи¬
вается случаем сигналов, известных точно.
В III части теория распространяется на 'более общий
случай сигналов, имеющих паразитные неизвест¬
ные параметры, т. е. такие неизвестные в месте приема
параметры, которые не содержат никакой информации
о принимаемом полезном сообщении. При ©том как во II,
так и в III части теория строится лишь для простейших
критериев оптимальности приемника—критериев макси¬
мальной обратной вероятности и минимальной средне¬
квадратичной ошибки.
В IV части рассматривается отыскание оптимальных
приемников с помощью современных математических ме¬
тодов статистики. Эти методы позволяют решать задачу
для широких классов критериев оптимальности приемни-
2 Л с. Гуткин 17
ка. С 'помощью этих методов удается также доказать, что
при анализе оптимальных приемников, предназначенных
для воспроизведения сообщений с высокой степенью на¬
дежности и точности, результаты получаются практиче¬
ски одинаковыми для широкого класса критериев опти¬
мальности, включающего простейшие критерии, приня¬
тые Котельниковым.
Поэтому, несмотря на то, что теория, излагаемая во
II и III частях книги, базируется на простейших крите¬
риях, ее результаты оказываются справедливыми для
широкого класса критериев оптимальности, если требо¬
вания к точности и (или) надежности приема сообще¬
ний достаточно высоки.
1-2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СООБЩЕНИИ, СИГНАЛОВ
И ПОМЕХ
Полезный сигнал ux(t) является в общем случае
функцией времени, модулированной сообщением х.
В зависимости от вида сообщений х возможны три ха¬
рактерных случая.
1. Прием дискретных сообщений.
2. Прием отдельных значений непрерывных сооб¬
щений.
3. Прием колебаний.
Первый случай имеет место, если сообщение может
принимать лишь дискретные значения Xi, х2,...,хт. При
этом множество возможных сообщений должно быть
полным, т. е. включать все возможные значения сообще¬
ния. Если по условиям задачи возможны паузы, т. е.
случаи отсутствия сообщений, то они должны рассмат¬
риваться как случаи передачи нулевого сообщения х<>.
Все эти сообщения рассматриваются как неизвестные
в месте приема величины, так как если полагать, что
некоторые сообщения в месте приема заранее известны,
то, во-первых, они не могут рассматриваться как
сообщения, потому что они не несут никакой информа-.
ции, а, во-вторых, прием таких «сообщений» является
принципиально ненужным.
В большинстве случаев эти неизвестные величины
могут рассматриваться при приеме как случайные вели¬
чины, описываемые некоторыми законами распределе¬
ния вероятности.
18
В 'простейшем случае приема сообщений, когда каж¬
дому значению хк сообщения .соответствует свой сигнал
Uhi}t), а при воспроизведении сообщения Xk в приемнике
результаты приема предыдущих сообщений не учиты¬
ваются, множество случайных сообщений (х0 , хи
х2,...,хт) полностью характеризуется набором одномер¬
ных вероятностей этих сообщений ^(яо), Р(хt) Р(хт).
В более сложных случаях приема может требоваться
Рис. 1-3.
учет также совместных вероятностей Р(хо, *i), Р(хь х2)
и т. п. Все эти .раопределения вероятности сообщений на¬
зываются априорными, так как они известны (или пола¬
гаются известными) еще до опыта, т. е. до исследования
смеси y(\t) сигнала и помех, поступающей на вход
приемника.
В - дальнейшем весь набор априорных вероятностей
множества (яо, Xi,...,xm) сообщений обозначается сокра¬
щенно Р(х).
На ,рис. 1-3 изображено распределение Р(х) для слу¬
чая, когда учитываются лишь одномерные вероятно¬
сти P(xh).
Так как множество сообщений является всегда пол¬
ным, то
(1-5)
Второй случай (прием отдельных значений непрерыв¬
ных сообщений) имеет место, когда принимаемое со¬
общение является непрерывной величиной, имеющей
в течение каждого опыта, т. е. в течение каждого интер¬
вала (Т) наблюдения, неизменное значение х.
Реальные сообщения являются обычно непрерывны¬
ми функциями времени x(t). Однако, если за время
наблюдения (Г) функция x(t) изменяется незна-
2* 19
чительно (рис. 1-4), то можно считать, что имеет место
прием отдельных значений непрерывных сообщений.
При этом сообщение х может рассматриваться при
приеме как неизвестная величина, которая может при¬
нимать любое значение в
некоторых известных преде¬
лах— ОТ -^мин ДО Аймаке* В
большинстве случаев эта не¬
известная величина может
считаться .при приеме слу¬
чайной величиной, имеющей
некоторое априорное рас¬
пределение. Для .получения
ряда универсальных соотношений, справедливых .при лю¬
бых видах сообщений х, -мы будем обозначать это рас¬
пределение .по-прежнему Р (х), помня, однако, что
в случае непрерывных сообще¬
ний Р(х) есть плотность веро¬
ятности, а не вероятность К
В общем случае приема это
распределение должно вклю¬
чать не только одномерные, но
и многомерные плотности ве¬
роятности. В простейших слу¬
чаях, когда при воспроизведе¬
нии сообщения х учитываются результаты лишь одного
опыта (одного интервала наблюдения Г), достаточ¬
но ?нать лишь одномерное распределение Р(х), .подоб¬
ное показанному на рис. 1-5.
В этом случае
(i-6)
Третий случай (прием колебаний) имеет место, если
сообщение x(t) меняется во времени настолько бы¬
1 Возможность получения ряда универсальных выражений для
сообщений, являющихся дискретными -случайными величинами, не¬
прерывными случайными величинами и непрерывными случайными
функциями времени, обусловлена тем, что -некоторые важные соот¬
ношения, справедливые (для вероятностей (-например, закон -умноже¬
ния вероятностей!), остаются 'справедливыми и для плотностей -веро¬
ятностей (одномерных и многомерных).
20
Рис. 1-5.
Рис. 1-4.
стро, что должно рассматриваться как функция време¬
ни даже в пределах одного интервала наблюде¬
ния (Т). В этом случае воспроизводимое сообще¬
ние x(\t) должно рассматриваться при приеме как
неизвестная функция времени. В большинстве случаев
эта .неизвестная функция может .рассматриваться как
случайная функция, имеющая некоторое априорное рас¬
пределение, которую мы опять будем обозначать Р(х).
Но теперь Р(х) является обязательно многомерной
плотностью вероятности, характеризующей вероятность
тех или иных реализаций функции x(i)*.
Итак, во всех случаях искомое сообщение х в месте
приема является неизвестной величиной или неизвестной
функцией времени. В большинстве случаев эту неизвест¬
ную величину (неизвестную функцию) можно рассмат¬
ривать как случайную величину (случайную функцию
времени), характеризуемую некоторым априорным рас¬
пределением Р(х).
Если сообщение х является дискретной случайной
величиной, то Р(х) есть совокупность вероятностей.
Если сообщение х является непрерывной случайной
величиной, то Р(х) есть плотность вероятности.
При приеме колебаний распределение Р(х) всегда
является многомерным (строго говоря, бесконечномер¬
ным).
При приеме отдельных значений непрерывных сооб¬
щений распределение Р(х) в простейшем случае приема
может быть одномерным.
Перейдем теперь к характеристике сигналов, несу¬
щих сообщения х.
Эти сигналы можно подразделить на сигналы, изве¬
стные точно, и сигналы с неизвестными параметрами.
Сигнал называется известным точно, если един¬
ственным неизвестным параметром в колебании ux(t)
является сообщение х, т. е. при известном х колеба¬
ние ux(t) известно точно.
Если кроме искомого сообщения х, сигнал содержит
еще какие-то неизвестные параметры си, ач и т. д., не
содержащие никакой информации об х, то он называет-
* Т. е. в данном случае P(x)dx является сокращенной записью
следующего выражения:
Р(хь *2 xn)dxidx2 . . . dxn.
21
ся сигналом с неизвестными лараметр&ми и обозначат¬
ся соответственно их,аиа3^) или и(х> ai» a2> 0е
Пусть например, сообщение х передается с помощью
амплитудной модуляции, т. е.
йл(0 = «о(1 + *)cos(«>/-|-9). (1-7)
Такой сигнал, кроме .сообщения х, определяется еще тре¬
мя параметрами: «о, (о и ф. Поэтому сигнал (il -7) счи¬
тается известным точно, если 'в месте приема заранее
[т. е. до приема омеси t?(t)] известны щ, со и ф-
Если в месте приема неизвестна, например, кро¬
ме х, также фаза ф, то вместо (1-7) следует записать:
«*.,(*) = «• (1+**) «* И+ ¥)• (1-8)
Параметры х, <*i, <хг и т. д. сигнала могут быть в те¬
чение интервала наблюдения (Г) как постоянными
величинами, так и функциями времени. Во многих слу¬
чаях неизвестные паразитные параметры си, аг и т. д.
могут считаться (или действительно являются) случай¬
ными величинами или случайными функциями времени.
В этих случаях сигнал и(х, ai, аг,..., am; t) называется
сигналом со случайными параметрами.
Помехи, искажающие сигнал, подразделяются на
аддитивные и неаддитивные (модулирующие).
Аддитивными, как указывалось выше, называются
такие помехи um{t), которые входят в смесь y(\t) в ка¬
честве слагаемого:
y{t) = »x(t) + ua(t).
Все остальные помехи называются неаддитивными.
Типичной и наиболее важной из аддитивных помех
является .внутренний шум приемника.
К неаддитивным относятся, например, помехи, воз¬
никающие в процессе распространения и отражения ра¬
диоволн и вызывающие паразитную модуляцию сигнала
по амплитуде и но фазе. Неаддитивные помехи воздей¬
ствуют на один или несколько параметров сигнала, т. е.
вызывают паразитную модуляцию сигнала; поэтому они
могут называться также модулирующими помехами.
Так как неаддитивные помехи проявляются в измене¬
22
нии тех или иных из параметров ai, аг, ...,am, сигнал,
искаженный такими помехами, может рассматриваться
как сигнал со .случайными .параметрами ai, аг, ...,am.
Поэтому -смесь y\(t) сигнала и 'помея может быть запи¬
сана в виде:
y(t) = u (х, а„ а3,..., am; t) + иш (t), (1-9)
как при отсутствии неаддитивных помех, так и при их
•наличии.
При отсутствии «еаддитивных помех .параметры ai,
02,ат могут быть 'просто неизвестными, не обязатель¬
но случайными величинами. При наличии же таких
помех один или несколько из этих параметров являются
обычно случайными величинами или даже случайными
функциями времени.
Аддитивные помехи иш(0 являются, как правило,
случайными функциями времени. Следовательно,
смесь y(t) сигнала и помех также должна рассматри¬
ваться как случайная функция времени.
Случайные функции времени f(t), «ак известно, ха¬
рактеризуются многомерными распределениями вида
P(f 1, /2» ••*, fkt •••> fn), где fu fb-Jh fn—значения функ¬
ции f (t) в отдельные моменты времени (tu t2,...,tu,
интервала наблюдения (Т), а величина п должна быть,
строго говоря, бесконечно велика (об этом см. также
ниже).
Бели распределения Р(/ь /2, —,fn) не изменяются при
изменении начала отсчета времени (.при любых значе¬
ниях я), то случайный процесс называется стационар¬
ным (в узком смысле этого слова). В противном случае
процесс нестационарен.
Аддитивные помехи во многих случаях могут счи¬
таться стационарным случайным процессом. В частно¬
сти, стационарным может обычно считаться важнейший
вид такой помехи — внутренний шум приемника. Боль¬
шинство реальных стационарных процессов обладает
свойством эргодичности, т. е. усреднение процесса f(t)
по времени дает те же .результаты, что и статистическое
усреднение для данного момента времени по всем воз¬
можным реализациям процесса.
В связи с тем, что в дальнейшем изложении часто
придется применять различные виды усреднений, усло¬
23
вимся обозначать эти усреднения следующими симво¬
лами:
а) усреднение то времени за бесконечно большое
время — жирной чертой «ад усредняемой величиной
т
= (1-10 а)
—т
б) усреднение по времени за конечное время Т — за’
ключением усредняемой величины в косые скобки
т
<f(t)> = jjf(t)dt; (1-106)
о
в) статистическое усреднение (нахождение математиче¬
ского ожидания) — тонкой чертой над усредняемой величи¬
ной или знаком М (математическое ожидание) перед этой
величиной
Если / — непрерывная случайная величина, то
~f = Mf=\lfP(f)df, (1-10 в)
At
где Af — область всех возможных значений величины /.
Для эргодических процессов
f(t)==f. (1-Юг)
В последующем изложении для наименования неко¬
торых важнейших видов флуктуационных помех приме¬
няются такие термины как «белый шум», «небелый
шум» и «гауссов шум».
Здесь под белым шумом понимается стационарное
флуктуационное колебание, имеющее равномерный ча¬
стотный спектр во всем диапазоне частот (от 0 до <»).
Если спектр шума равномерен в ограниченной поло¬
се частот « равен нулю за пределами этой полосы, то
такое флуктуационное колебание называется белым
шумом с ограниченным спектром.
24
Небелым называется шум, имеющий неравномерный
спектр.
Так как функция корреляции белого шума имеет
вид 6-функции, такой шум называют некоррелирован¬
ным. В отличие от этого небелый шум является коррели¬
рованным шумом.
Гауссовым (или нормальным) называют шум, имею¬
щий гауссов (нормальный) закон распределения (при
этом апектр шума может быть любым).
В соответствии с этой терминологией нормальным
белым шумом называется стационарный случайный про¬
цесс, имеющий нормальный закон распределения и рав¬
номерный частотный спектр.
1-3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ
В РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ
При математическом описании сигналов и помех
в теории оптимальных методов приема широко приме¬
няется разложение исследуемых функций времени
в ряды по некоторым известным («стандартным») орто¬
гональным функциям времени. Применение таких раз¬
ложений позволяет во многих случаях значительно .упро¬
стить анализ и сделать его более наглядным, особенно
если приходится иметь дело со случайными функциями
времени.
Наиболее распространенным является разложение
Котельникова [Л. 33], полученное им для функции вре¬
мени f(t), имеющей спектр, ограниченный частотами от
О до /в. Это разложение имеет вид:
00
/«)= 2 шо.
k =—00
где |А:| = 0, 1, 2. 3,...
fk = f(kAty, Ы =
. „ч_ sin2nfB(t-kAt)
* *' ' 2nfB (t — k At)
(1-11 a)
(1-116)
Функций (t) обладают свойством ортогональности, т.е.
00 f 0 при 1фк.\
5 *,(<)♦,(<)<«= 1 ,=4. d-и.)
—о» \fIB
Кроме того, из (1-11 а) и (1-11 в) следует, что
Рис. 1-6.
Коэффициенты fh ряда (1-11а) являются значениями
функции f(t), взятыми че^ез дискретные интервалы вре¬
мени At (рис. 1-6).
Если функция f(t) с ограниченным спектром рас¬
сматривается только в течение конечного интерва¬
ла времени Т (,рис. 1-6), точное разложение (1-11) за¬
меняется следующим приближенным разложением;
(1 -12 а)
(1-126)
26
(1-12 в)
Сравнение формул (1-11) и (1-12) 'показывает, что
приближенные соотношения (1-1'2) получаются из точ¬
ных простым усечением 'бесконечных .сумм, т. е. ограни-
• чением их теми значениями fk
функции f(t), которые оказы¬
ваются в 'пределах интервала Т
(ри.с. 1-6). Как будет показано
ниже, погрешность разложения
(1-12) невелика, если n> 1.
Если функция f(t) имеет
относительно узкополосный
спектр E(f), ограниченный ча¬
стотами f 1 и U (рис. 1-7), то ее часто удобно представ¬
лять в виде колебания, модулированного по амплитуде
и то фазе:
f (*) = r (f) cos [2«f0f +6(f)], (1-13)
где = —средняя частота спектра, а /■(() и 6(t)—
соответственно амплитуда (огибающая) и начальная фаза
колебания f(t).
При этом наряду с приближенным разложением (1-12)
можно пользоваться также следующим приближенным раз¬
ложением для интервала времени (Г) [Л. 17, стр. 214]:
Так как 1|э*'(/) являются подобно стандартны¬
ми ортогональными функциями, то-функция f(t) пол-
27
Рис. 1-7.
ностью определяется значениями ги и 0* ее амплитуды
1
и фазы, взятыми через интервалы времени Дг= -щ.
Общее количество этих значений составляет 2/ii=2A/T
(«1 значений амплитуды и щ значений фазы), т. е.
столько же, как и в случае разложения (1-12), исполь¬
зующего мгновенные значения функции f(t).
В основе всех 'приведенных выше разложений лежит
допущение, что спектр разлагаемой функции ограничен
полосой Af, т. е. не имеет составляющих вне этой поло¬
сы: Это допущение является, конечно, идеализацией, так
как спектр колебаний на выходе реальных физических
систем всегда имеет за пределами любой конечной поло¬
сы не полную отсечку, а некоторые, .пусть весьма малые,
«хвосты». Как показал Н. А. Железное (Л. 52 и 74], до¬
пущение о конечности ширины спектра особенно нежела¬
тельно с принципиальной точки зрения при аппроксима¬
ции случайных функций времени, так как, строго говоря,
любая случайная функция должна иметь бесконеч¬
но широкий спектр. Поэтому Железное предложил для
образования разложений случайной функции времени
f(t) выбирать ширину At интервала между соседними
значениями f(kAt) этой функции, исходя не из ширины
спектра функции f(t), которую следует полагать беско¬
нечно большой, а из ее интервала корреляции То, т. е.
полагать:
At = %0. (1-15)
При этом разложение в ряд будет справедливо лишь
в том случае, если этот интервал много меньше времени
наблюдения Т, т. е. лишь при
т-=тт;> 1. (Ы6)
Иначе говоря, при разложении случайных функций
времени более естественным было бы исходить не из
допущения о конечности ширины их спектра, а из допу¬
щения о 'неравенстве нулю их интервала корреляции to.
Однако метод разложения, предложенный Железно-
вым, находится лишь в начальной стадии своего разви¬
тия и (Не получил еще широкого применения- С дру-
28
гой стороны, методы разложения, основанные на допу¬
щении об ограниченности спектра, получили очень
широкое применение как для регулярных, так и для слу¬
чайных функций времени и позволили получить большое
количество результатов, важных для практики и прове¬
ренных практически. Поэтому в дальнейшем изложении
материала используются именно эти разложения.
Рассмотрим подробнее простейшие из них, а «мерно
разложения Котельникова (l-1'l) и (1-12).
Как уже отмечалось, разложение (il-ll) является
точным, если функция f(t) имеет спектр, ограниченный
полосой fB. Для реальных функций, имеющих неограни¬
ченную полосу, формула (1-11) дает относительную по¬
грешность, средний квадрат которой имеет величину по-
Д Р
рядка {Л. 65]. Здесь Е — полная энергия спектра
(неограниченного по ширине), а АЕ — энергия «хвоста»
спектра, т. е. той его части, которая расположена за
пределами полосы fB. Следовательно, погрешность раз¬
ложения (l-1'l) пренебрежимо мала, если за пределами
полосы /в сосредоточена лишь относительно малая доля
энергии спектра исследуемой функции.
В теории оптимальных методов приема разложение
применяется в основном лишь для колебания y(t), по¬
ступающего на вход приемника. При этом ширину fB
спектра функции y(t) можно обычно считать сколь
угодно большой, и формула (1-11) при этом может счи¬
таться очень точной. Кроме того, в большинстве случаев
применение разложений (il-ll) и (1-12) носит характер
лишь промежуточного математического приема — в про¬
цессе последующих за разложением выкладок произво¬
дится обратный переход от рядов (сумм) к свернутым
выражениям (интегралам), в которые ширина спектра
не входит и может поэтому полагаться сколь угодно
большой.
Таким образом, в большинстве случаев пользование
разложением (1-11) не вносит не только существенных,
но и вообще каких-ли'бо погрешностей, несмотря на то,
что реальные функции имеют теоретически неограничен¬
ный спектр.
Разложение (1-12) в отличие от (1-11) является при¬
ближенным даже если функция f (t) имеет ограниченный
спектр.
29
Действительно, формула (1-12) получена из точной
(при ограниченной полосе) формулы (1-11) простым
усечением, т. е. отбрасыванием тех частей функции f(t),
которые .расположены вне интервала (Г) (рис. 1-6).
Поэтому разложение (1-12) не будет давать погрешно¬
сти по сравнению с (1-11) лишь в тех случаях, когда вся
функция f(t) действительно сосредоточена в интерва¬
ле (Т). Но функция, сосредоточенная в конечном ин¬
тервале временя, в принципе не Может иметь ограни¬
ченный спектр. Следовательно, выражение (il -12) прин¬
ципиально не может быть точным, если одновременно
полагаются конечными и ширина спектра fB и длитель¬
ность времени наблюдения Г, т. е. если конечно чис¬
ло 2fBT дискретных значений этой функции.
Для того, чтобы погрешность формулы '(МЗ) была
мала, должно выполняться условие
n = 2fB7>l. (1-17)
Это неравенство практически может выполняться за
счет увеличения как Т, так и fB-
При Т ->-оо (и конечной /в) формула (1-12) совпа¬
дает с (1-П), и остаются лишь упомянутые выше недо¬
статки, связанные с допущением конечности ширины
спектра.
Если /в то, как нетрудно доказать, разложение
(il-12) становится точным даже при конечном Т. Дей¬
ствительно, из выражений (1 -12а) и (1-126) следует, что
в дискретные моменты kAt равенство
/<о=2 шо
k=i
выполняется точно, так как
Sin 2nfB (t — k At) (l при t — k At
ЩьЦ — ЬЫ) |o при t — lAt, {1фк).
Следовательно, неточность ряда (1-12а) может про¬
являться лишь внутри каждого интеграла At, а не
на его концах. Но при /в -> оо каждый интервал At стре¬
мится к нулю (рис. 1-6), края этого интервала сли¬
ваются и, следовательно, ряд (1 - 12а) становится точным
не только для дискретных, а для всех моментов времени
в рассматриваемых пределах от 0 до Г.
30
Таким образом' 'при оо разложение (1-12) де¬
лается точным даже при конечном интервале наблюде¬
ния Т.
Как уже отмечалось выше, в теории оптимальных
методов приема разложение- функции f(rf) в ряд (1-12)
является обычно лишь такой промежуточной математи¬
ческой операцией, что в конечные формулы ширина
спектра fB не входит и может поэтому считаться сколь
угодно большой. При этом использование разложения
(1-12) не дает никаких ошибок. Применение этого раз¬
ложения удобно тем, что функция f(t) полностью опре¬
деляется конечным числом п своих дискретных значе¬
ний fu, называемых обычно выборочными значениями.
Эти значения fh могут рассматриваться так же, как
координаты функции f(t) в n-мерном пространстве (см.
ниже).
Применение разложения (1-12) особенно полезно,
если f(t) является случайной функцией времени.
Действительно, согласно этому разложению функция
/ (t) полностью определяется своими п ординатами /„ /„...,
fn, взятыми в дискретные моменты времени с некоторым
интервалом At = Jr (рис. 1-8). Поэтому вероятность dP
Чъ
того, что реализация ft(t) случайной функции времени
f(t) будет заключена в пределах бесконечно-тонкого слоя,
ограниченного на рис. 1-8 пунктирной и сплошной лини¬
ями, равна совместной вероятности того, что ординаты
/i> f 2. • • •» fn будут находиться соответственно в пределах
+ • • • > fn~*~ fn~\~dfn,
31
Рис. 1-8.
т. е.
dP = P(h, f fn)dfidf>...dfn% (1-18)
где P (flt ft,..., fn) — я-мерная плотность вероятности.
Следовательно, случайная функция времени пол¬
ностью характеризуется п-мерной плотностью вероятно¬
сти P(fi, заданной для всей области возмож¬
ных значений ординат fu h, •••» fn-
Найдем в качестве примера л-мерное распределение
для нормального белого шума, т. е., для стационарной
случайной функции времени, um(t), имеющей нормаль¬
ное распределедие и равномерный частотный спектр.
Для того, чтобы разложение (1 -li2) было применимо,
следует полагать, что" спектр этого шума ограничен по¬
лосой (0 н-/в).
Для такого шума справедливы следующие соотно¬
шения:
5(0 = <=tf;
(f)=No=T при f=o-*-/e;
I в
gm(f) = 0 вне этих пределов;
е
. — UUlk
Здесь (/)— энергетический спектр шума;
N — средний квадрат напряжения шума, равный
его дисперсии (так как ищ = 0). Параметр
N может рассматриваться так же, как
удельная мощность шума, т. е. мощность,
развиваемая напряжением um(t) на актив¬
ном сопротивлении 1 ом;
N0 — удельная мощность шума, приходящаяся на
единицу полосы;
{umk)— одномерный закон распределения шума.
32
(1-19а)
(1-196)
(1-19в)
(1-19 г)
Найдем нормированную функцию корреляции р (т) шума,
где
(1-20)
Функция р(т) связана с энергетическим спектром gm (/)
следующим известным соотношением [Л. 20]:
Учитывая соотношение (1-19 в), получаем:
(1-21)
(1-22)
По этой формуле на рис. 1-9 построена кривая, из ко¬
торой видно, что значения напряжения um(t), разделен¬
ные интервалом 72/в, неко,рре-
лированы между собой. Отсю¬
да следует, что три представ¬
лении напряжения шума в ви¬
де ряда (1-12), ординаты /ь\..,
/п, входящие в этот ряд, сле¬
дует считать некоррелирован¬
ными. Кроме того, -как следует
из (1-19г), эти ординаты под¬
чиняются нормальному закону
распределения. Но из теории
вероятностей известно, что при
нормальном законе распределения отсутствие корреля¬
ции означает также отсутствие статистической связи,
т. е. статистическую независимость [Л. 20].
Поэтому в случае нормального белого шума с огра¬
ниченной полосой значения /1, /2, ординат являются
статистически независимыми величинами, и п-мерная
плотность вероятности P(\fu равна произведению
одномерных плотностей вероятности:
P(h, /„•••, fn)=P(h)P(L)-..P(fn)- (1-23)
3 Л. С. Гуткин 33
Рис. 1-9.
Учитывая (1-12 г), выражение (1-24) можно представить
также в следующей виде:
1 т
-F„ | uw(t)dt
WM=wk?e ' ■ <Ь25)
Из выражений (1-24) или (1-25) следует, между про¬
чим, что наибольшая плотность вероятности соответствует
нулевой реализации напряжения шума um(t), т. е. такой
реализации, которая равна нулю во всем интервале наблю¬
дения Т.
Глава вторая
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Z-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Вопрос об оптимальных линейных фильтрах -подроб¬
но освещен в ряде отечественных и переводных книг
[JI. 3, 8 и.Ю—12]. Поэтому из всех вариантов постановки
задачи об оптимальных линейных фильтрах, упомянутых
в § 1-1, мы остановимся кратко лишь «а двух наиболее
характерных вариантах — фильтре, создающем на
своем выходе максимальное отношение сигнал/шум, и
фильтре, обеспечивающем минимальную среднеквадра¬
тичную ошибку в воспроизведении сигнала.
Как будет показано ниже, основной областью приме¬
нения фильтров первого вида (т. е. создающих макси-
31
Поэтому в соответствии с. (1-19г) и (1-23) можно за¬
писать:
мальное отношение сигнал/шум) является фильтрация
модулированных сигналов, т. е. фильтрация,
предшествующая • детектированию (демодуля¬
ции) сигнала. При этом задачей оптимального фильтра
является наилучшее выделение на фоне помех не всего
модулированного сигнала ux(t), а лишь несомого им по¬
лезного сообщения х, являющегося параметром этого
сигнала.
Ниже будет доказано, что оптимальный фильтр пер¬
вого вида во многих случаях является составной частью
оптимального приемника.
Фильтры второго вида, как показано ниже, целесо¬
образно применять в тех случаях, когда полезным
сообщением, подлежащим выделению из шумов, являет¬
ся весь сигнал uc(t), а не только один (или несколько)
из его параметров. Поэтому такие фильтры могут при¬
меняться, например, в каскадах .приемника, включенных
после детектора (демодулятора), и в различных устрой¬
ствах автоматики и телемеханики.
Так как с точки зрения теории оптимальных методов
радиоприема фильтры первого вида представляют боль¬
ший интерес, они будут рассмотрены нами более
подробно.
2-2. ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ПОЛУЧЕНИЕ МИНИМУМА
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ
Классическая постановка этой задачи, сформулиро¬
ванная Н. Винером еще в 1942 г. [Л. 28], заключается
в следующем (рис. 2-1).
На вход линейной системы е—
(фильтра) поступают сумма сиг-
нала и помехи
0(9=«с(О+вш(9- (2-1)
Как помеха, так и сигнал считаются стационарными
случайными функциями времени, корреляционные
функции которых известны. Если колебания uc(t) и
«ш(0 взаимно коррелированы, то функция их взаимной
корреляции также полагается известной и не зависящей
от начала отсчета времени.
3* 35
Так как фильтр является по условию линейной си¬
стемой, то он полностью определяется своей 'передаточ¬
ной функцией /С(/со) или импульсной переходной функ¬
цией г] (0- Как известно, /С(/со) и т](:/) связаны взаимно
преобразованием Фурье:-
Для физически реализуемого фильтра должно выпол¬
няться условие1
Задачей линейного фильтра, наряду с очищением
сигнала от помех, может быть также -какое-либо его ли¬
нейное преобразование, например усиление, дифферен¬
цирование, интегрирование и т. п. Поэтому в общем
случае на выходе фильтра при отсутствии помех тре¬
буется получить некоторую функцию времени h (t), свя¬
занную с сигналом заданным линейным преобразова¬
нием. Например:
duc (t)
h(t)=• , если требуется дифференцирование;
*h(t)z=uc(t — At), если требуется сдвиг во времени на At\
h(t) — auc(t)f если требуется усиление в а раз;
h(t) — uc(t), если требуется простое воспроизведение сиг-
1 Кроме того, функция т) (/) должна (с соответствующей скоро¬
стью) стремиться к нулю при t оо; но в большинстве случаев лими¬
тирующим является условие (2-4),
00
(2-2)
—00
00
(2-3)
•00
— 0 при *<0,
и соотношение (2-3) принимает вид:
(2-4)
00
(2-За)
о
нала.
(2-5)
36
Колебание у (0 на выходе линейной системы связано
с колебанием y(t) на ее входе известным соотношением
Г (О— J #(* —x)*|(x)dx. (2-6)
—00
В случае физически реализуемого фильтра это соот¬
ношение в соответствии с (2-4) принимает вид:
Т (0 = ( У V — **) И (х)dx- (2'6а)
о
Поэтому при наличии на входе как сигнала, так и по¬
мехи, на выходе получается:
Y (t) = J [»с (/ — х) + иш (t — х)] *| (х) dx. (2-7)
О
Требуемое же колебание на выходе фильтра есть h (t).
Поэтому ошибка e(f), получающаяся на выходе фильтра,
равна:
•W = T (*)-*(<)• (2‘8)
Средний квадрат этой ошибки равен:
г
[у(2-9)
—г
где у (0 определяется формулой (2-7).
Оптимальным считается такой фильтр, у которого
величина е2 .получается минимальной. Следовательно,
математически задача сводится к отысканию такого
вида импульсной переходной характеристики л (0. ВХ0‘
дящей в формулу (2-7), при котором интеграл (2-9)
минимален. Эта задача была решена Винером методами
вариационного исчисления и было найдено, что иско¬
мая характеристика r](rf) оптимального линейного
фильтра должна являться решением следующего
интегрального уравнения (см., например, [JI. 12]):
(2'10)
о
при х > О
зт
е2 .
где
RA*)=y(t)y(t+*)
(2-11)
являются корреляционными функциями, которые полагаются
известными.
Если сигнал и помеха статистически независимы, то
*,AW = *c(9*(f + x);
= (х) + /?ш(х>
где Rc (х) = гЩ«1ГН
:)
(2-12)
Лш(‘*)=«ш^) «„,(# + ■*)
являются корреляционными функциями сигнала и помехи.
Если, кроме того, требуется лишь усиление сигнала,
Т. 6.
h (i -|- х)=аис (i -(-х),
то
*,*(*)=«W (2-13)
Решение уравнения (2-10) приводит к следующему вы¬
ражению для передаточной функции К (/«>) оптимального
линейного фильтра [J1, 12]:
*</•>= ВД5)! f Ifm <2-14>
О —00
где
К (/«Л* = «„(»)• (2-15)
Здесь guh{w) и (ш) — энергетические спектры, соот¬
ветствующие функциям корреляции Ryh (х) и Ry (х), т. е.
Так как функции корреляции Ryh (т) и Ry (х) при'реше¬
нии задачи полагаются известными, то известны и энерге¬
тические спектры gyh (<о) и gy (ш). Поэтому для вычислений
по формуле (2-14) требуется лишь определить комплексную
величину ф (/ш), модуль 14» (/«>) | которой предварительно
определен из соотношения (2-15).
Между функциями ф (/<в) и | <J> (/ш) | существует такая
же связь, как между передаточной функцией К (/to) линей¬
ной системы и ее модулем | К (/«>) |. Поэтому для вычисле¬
ния 4» (/<■>) по найденной величине |ф(/о>)| можно применить
такую же методику [JI. 12].
Передаточной функции, определяемой соотношением
(2-14), соответствует минимальная среднеквадратичная
ошибка, определяемая формулой
е2
МИН
где
00
= i j* I*» ~~ 1 * (/•) I28g (ш)1*». (2-17)
—00
«*(“)= ] Rh(')e~iand*
есть энергетический спектр функции h{t).
Практические вычисления по формуле (2-14) оказы¬
ваются довольно громоздкими, а сама эта формула
малонаглядной. Значительное упрощение получается,
если не накладывать на фильтр требования физической
осуществимости (2-4), т. е. полагать нижний предел
в формуле (2-За) и вытекающих из нее выражениях
равным не нулю, а —оо.
При этом, как было показано впервые Бодэ и Шэнно¬
ном, передаточная функция КЦа>) оптимального
фильтра определяется следующим простым соотноше¬
нием [Л. 12]:
*(W=W' (2-18>
В случае, когда сигнал и помеха статистически незави¬
симы и h(t) = uc(t) (простое воспроизведение), эта формула
принимает вид:
(2-19)
39
где gc(u>) и gm(ш) — энергетические спектры сигнала uc(t)
и помехи чш (t) соответственно.
При этом среднеквадратичная ошибка равна:
"ни 2я J £с («) + £ш Н ’ "
—00
Здесь • (/) = у (0 — яс(0 — абсолютная ошибка.
Относительная ошибка, отнесенная к среднеквадратич¬
ному значению напряжения сигнала, характеризуется отно¬
шением
г §с (и) ёш И
—2 J 8С (“) + &ш (“)
="—5—£г . (2-20а)
«с р
j gc (<о) da
—00
Хотя соотношения (2-19) и (2-20) соответствуют фи¬
зически нереализуемому оптимальному фильтру, они
весьма полезны, так как любой физически реализуемый
фильтр не может дать меньшей среднеквадратичной
ошибки, чем (2-20).
Действительно, наложение на фильтр условия физи¬
ческой осуществимости сужает возможности подбора
оптимальной характеристики фильтра и вследствие это¬
го может лишь ухудшить, а не улучшить конечный ре¬
зультат.
Из формулы (2-19) вытекает тот очевидный резуль¬
тат, что при отсутствии помех (gm((o)=0) оптимальной
является передаточная функция вида:
*(/«)=!;
при этом
В другом крайнем случае, когда интенсивность помех
значительно превышает интенсивность сигнала, формула
(2-19) дает:
*<»«£&• <2-2|>
40
т. е. в этом случае форма оптимальной частотной характе¬
ристики существенно зависит от вида энергетического
спектра помех. При этом из (2-20) и (2-20а) получаются
следующие результаты:
Из формулы (2-20) следует, что при наличии помех
среднеквадратичная ошибка воспроизведения сигнала
в оптимальной линейной системе может быть равна
нулю лишь в том случае, когда спектры сигнала и помех
не перекрываются.
2-3. ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ МАКСИМАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ
СИГНАЛА К ШУМУ
Пусть на входе линейного фильтра (рис. 2-1) дей¬
ствует сумма сигнала и шума:
y(t) = uc(t)+ujt), (2-22)
где иш (t) — белый шум, описываемый соотношениями
(1-19 а, б, в, г), a uc(t) — сигнал с известным амплитудным
спектром 5(/ш), так что
00
“с (0 = L j 5 Va) (2-23)
—00
Так как фильтр является линейной системой, колебание
Y (t) на выходе фильтра равно:
It (О(2-24)
где составляющие ис.ВЬ1Х(0 и иш.вых(0 обусловлены дей¬
ствием сигнала uc(t) и шума иш(t) соответственно.
Если К (/<о) — передаточная функция фильтра, то
00
«С.ВЫХ (О = L J К (/®) s (Н (2-25)
—00
41
Пусть t0 есть некоторый фиксированный момент времени,
в который напряжение ис вых (t) достигает значения
«с вых(^о)- Тогда в соответствии с (2-25)
00
«свых(*о) = 55 J K(h)S(j<o)eiwt°d*. (2-27)
Обозначим:
г=ас.мх(М. (2.28)
Очевидно, г есть отношение значения выходного на¬
пряжения сигнала (в момент to) к среднеквадратичному
значению выходного напряжения шума, или, короче го¬
воря, отношение сигнала (в момент to) 'К шуму на выхо¬
де фильтра.
Оптимальным считается такой фильтр, у которого
это отношение оказывается наибольшим.
поэтому математически задача сводится к отысканию
такого вида передаточной функции /С (/<о) фильтра, при
котором выражение (2-29) достигает наибольшего зна¬
чения. Эта задача была решена Норсом в 1943 г. мето¬
дом вариационного исчисления [JI. 113]. В 1946 г.
Ван-Влек и Д. Мидлтон независимо решили ту же зада¬
чу методом неравенства Бунягсовского — Шварца (изло¬
жение этого метода см., например, в [J1. 8]).
Из (2-25) — (2-28) следует, что
00
(2-29)
42
В результате решения облучается, что r=rwmc, если
K(j<*) = aS*(jm) e~j0>l\ (2-30)
где а — произвольный постоянный коэффициент, а
S*(/®) = S(—У») (2-31)
есть величина, комплексно-сопряженная спектру S (/'«>) си¬
гнала, или, короче говоря, комплексно-сопряженный спектр
сигнала.
При этом
00
J IS(/*)!■ Л. (2-32)
—-00
Но
00 00
i J I 5 (/<0)1* dm = f и\ (t) dt = Q, (2-33)
—'00 —00
где Q — энергия сигнала на входе фильтра.
Поэтому (2-32) можно записать также в следующем
виде:
TW4 (2.34)
L JM3KC г
Из этого выражения следует, что величина гмакс, рав-
Г“с. вых (<„)]
ная отношению —у , не зависит от f0, если пере-
L ш Jmekc
даточная функция K(jw) фильтра выбирается для каждого
нового значения /„ в соответствии с формулой (2-30).
Иначе говоря, мы можем обеопечить получение
максимального значения отношения сигнал/шум, опре¬
деляемого формулой (2-34), в любой наперед заданный
момент времени *о- Для этого нужно лишь, чтобы пере¬
даточная функция К(/<о) фильтра была выбрана по
формуле (2-30), в которую входит в виде множи¬
теля е~'ы°» осуществляющего сдвиг выходного напря¬
жения во времени на величину to. Такой результат впол¬
не понятен, так как в силу стационарности шума сдвиг
во времени напряжения шума не меняет его среднего
43
г
макс
квадрата, И2Ш, а сдвиг >во времени напряжения сигнала
перемещает без искажений выходное напряжение сигна¬
ла во времени на любую требуемую величину.
Отсюда следует также, что в момент to напряжение
«с.выx(t) достигает своего максимального (тшкового)
значения, так «ак в противном случае при 'Некотором
дополнительном сдвиге во времени можно было бы по¬
лучить большее значение отношения сигнал/шум, чем
это следует из (2-34), что невозможно.
Таким образом, оптимальный фильтр дает макси¬
мальное значение отношения пикового значения
напряжения сигнала к среднеквадратичному значению
напряжения шума.
Из (12-30) следует, что
\K(jm)\ = a\S(M\, (2-35)
т. е. частотная характеристика оптимального фильтра
совпадает (с точностью до (постоянного множителя)
с амплитудным спектром сигнала. Поэтому такой опти¬
мальный фильтр часто называют согласованным (с сиг¬
налом) фильтром.
Для решения вопроса о возможности физической
реализации передаточной функции фильтра вида (2-30),
найдем соответствующую ей импульсную переходную
характеристику г)(/).
Подставляя (2-30) и (2-31) в (i2-2), получим:
“4(0 = 25 J 5(—/<о) е'ш({~и)йч> =
— 00
00
==£ J S(/®)e/*Md(0. (2-36)
—00
С другой стороны, из (2-23) следует, что
00
«с(*о—0=й; J S(/»)e/e(,^W
—оо
Сопоставляя это выражение с (2-36), получаем следую¬
щее выражение для импульсной переходной характеристики
оптимального фильтра
44
, (*) = а«с (*,-*)• (2-37)
Так как условие физической осуществимости имеет
вид:
•)}(*) = 0 при /<0,
то для выполнения этого условия необходимо, чтобы
иЛ*й — 0 = 0 при <<0,
т. е.
ис (0 = 0 при />/„. (2-38)
Следовательно, оптимальный фильтр физически осу¬
ществим лишь при выполнении условия (2-38). Это
Рис. 2-2.
условие означает, что напряжение сигнала uc(t) на вхо¬
де фильтра должно исчезать до того момента to, при
котором напряжение сигнала на выходе фильтра дости¬
гает максимума.
Выполнение этого условия возможно для многих, но
не для всех видов сигнала u.c(t).
Действительно, пусть, .например, сигнал на входе
фильтра затухает по экспоненте Е0е~ы. Такой сигнал
исчезает лишь при /-»■ оо; поэтому для реализации усло¬
вия (2-38) необходимо, чтобы напряжение на выходе
фильтра достигало своего максимума .позднее, чем
в бесконечности, что, очевидно, невозможно. Следова¬
тельно, для сигнала, изображенного на рис. 2-2,а, опти¬
мальный фильтр физически неосуществим.
Однако во многих .реальных случаях сигнал на входе
фильтра затухает достаточно быстро, и- оптимальный
фильтр осуществить удается. Действительно, пусть сиг¬
нал на входе фильтра исчезает в некоторый момент ti
45
(■рис. 2-2,6). Тогда фильтр будет физически осуществим,
если выбрать
(2-39)
Следовательно, при определении коэффициента пере¬
дачи /С(/со) оптимального фильтра по формуле (2-30)
можно выбирать величину to,
вообще говоря, любой, при усло¬
вии, что она будет удовлетво¬
рять соотношению (2-39).
Обычно выбирают
t, = tt (2-40)
6)
т
с == Ш)
по следующей причине. Напря¬
жение Ыс.вых (0, создаваемое сиг¬
налом на выходе фильтра, дости¬
гает своего максимального (пи¬
кового) значения ымакс в момент
to (рис. 2-3,6). Обычно желатель¬
но, чтобы это максимальное зна¬
чение достигалось возможно
раньше, т. е. без дополнительных
задержек во времени. Для этого
величину to следует выбирать
возможно меньшей, т. е. равной
моменту t\ окончания сигнала на
входе фильтра.
В тех редких случаях, когда
почему-либо желательно полу¬
чать максимальное значение сигнала на выходе не
в момент t\, а с задержкой «а некоторое время At, вели¬
чина t0 должна выбираться из условия
— h ~f" М-
в)
Рис. 2-3.
(2-41)
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 [Л. 8]. Сигнал имеет вид, изображенный на рис. 2-3,а,
а именно:
t-t о
«до=
1 *с > ,
е при
RC
О
при />/,.
46
Такой сигнал имеет комплексный частотный спектр
S(M = j _j(aCR e~Jatt-
Подстановка этого значения в (2-30) приводит (при а •= 1 и /0
= /,) к следующему выражению для передаточной функции оптималь¬
ного фильтра:
К (/ь>)= 1 + jvCR'
Следовательно, в данном случае оптимальный фильтр состоит из
ячейки RC, изображенной на рис. 2-3,в. Напряжение нс вьи (/) на вы¬
ходе этого фильтра имеет вид, лзображенный на рис. 2-3,6, и, описы¬
вается уравнениями:
г
2CR е при t <
2 CR
uc(t>
C* *
e при t > t%
Рис. 2-4.
Пример 2. Сигнал состоит из одиночного прямоугольного им¬
пульса длительностью т0, исчезающего в момент /j = т0 (рис. 2-4).
Этому сигналу соответствует комплексный спектр
S(/<o) = ~ (1_е-/^о) (2-42)
и в соответствии с (2-30) и (2-31) оптимальный фчльтр должен иметь
передаточную функцию:
= (2-43)
В соответствии с (2-40) возьмем /ф = /, = т0; тогда (2-43) прини¬
мает вид:
/С(/®) = Д (1(2-44)
Такая передаточная функция реализуется в системе, изображен¬
ной на рис. 2-5. Интегрирующая ячейка ИЯ, имеющая коэффициент
а
передачи j-, образует первый множитель в формуле (2-44). Линия
задержки JI3> создающая задержку на время т0, в комбинации с раз¬
ностным каскадом P/С имеет коэффициент передачи (1 — е~^вТо),
соответствующий второму множителю выражения (2-44).
Импульсная переходная характеристика **] (0 оптимального фильтра
определяется формулой (2-37) и для рассматриваемого сигнала
(рис. 2-4) имеет вид, изображенный на рис. 2-6,а.
47
При практическом нахождении вида функции (t) вместо выраже¬
ния (2-37) часто удобнее пользоваться следующим вытекающим из
него соотношением:
(2-45)
т. е. импульсная переходная характеристика т) (/) является (с точ¬
ностью до постоянного множителя а) зеркальным отображением функ¬
ции ис (t) относительно точки у.
Рис. 2-6.
В рассматриваемом конкретном слу¬
чае (рис. 2-4), когда t0 = т0 и функция
uc(t) симметрична относительно точки
у, зеркальное отображение совпадает
с оригиналом, и функция (t) имеет (с
точностью до постоянного множителя)
тот же вид, что и напряжение сигнала
ис (t) (рис. 2-6,а).
Напряжение исвых (0 на выходе
фильтра равно:
Учитывая, что функции uc(t) и rj(t) имеют вид, изображенный
на рис. 2-4 и 2-6,а соответственно; из (2-46) находим, что
с (о
имеет вид, показанный на рис. 2-6,6, т. е. оптимальный фильтр превра¬
щает прямоугольный импульс сигнала в треугольный импульс удвоен¬
ной длительности.
Пример 3. Сигнал представляет собой радиоимпульс с прямо¬
угольной огибающей (рис. 2-7). Импульс 'имеет длительность То’и
частоту /о 'высокочастотного заполнения. Эту задачу -можно решать
как точные способом, основаиньим -на и еп о следствен,ном вычислении
функции /С(/со) по формуле (2-30), так и приближенно с помощью
метода медленно меняющихся амплитуд.
С помощью метода медленно меняющихся амплитуд мож«но до¬
казать [JI. 71], что *если К (/со) есть оптимальная передаточная функ¬
48
ция для видеоимпульса, то Щ]((о—о)о] будет оптимальной переда¬
точной функцией для радиоимпульса с той же огибающей. При
этом огибающая напряжения »на выходе фильтра, оптимального для
радиоимпульса, совпадает с напряжением «на выходе фильтра,» опти¬
мального для видеоимпульса.
Получающаяся при использовании этого метода погрешность
хо
тем меньше, чем больше отношение , т. е. чем больше высокоча*
1 о
стотных периодов То содержит радиоимпульс. Указанные положе¬
ния -справедливы для радиоимпульса с про¬
извольной огибающей. Требуется лишь, что¬
бы эта огибающая существовала, т. е. что¬
бы амплитуда синусоидального колебания
изменялась от одного высокочастотного пе¬
риода Го к другому /достаточно мед¬
ленно.
Применим метод медленно меняющихся
амплитуд к случаю импульса, изображенно¬
го на рис. 2-7.
В соответствии со сказанным опти¬
мальная передаточная функция для такого
радиоимпульса может быть получена из выражения (2-44) для
прямоугольного видеоимпульса заменой со ,на (со—(Do):
*«“> = ”1-
С-*"- |2-47>
Положим для простоты, что радиоимпульс содержит целое число
*0
периодов, т. е. пг = т, где т — целое число.
1 о
Тогда (2-47) принимает вид:
*«»>=jidbjoI2-*7»
Передаточную функцию, близкую к у,— , можно получить,
используя высокоизбирательный резонансный контур, а член е~1<йТ° —
с помощью линии задержки с временем задержки, равным *0.
Однако, как будет показано ниже, для одиночного радиоимпуль¬
са в построении такого оптимального фильтра нет необходимости,
так как очень близкие результаты дает значительно более простой,
квазиоптимальный фильтр.
В соответствии «со сказанным выше, огибающая на выходе фильт¬
ра, оптимального для радиоимпульса, совладает с напряжением на
4 Л С Гуткин 49
Рис. 2-7.
выходе фильтра, оптимального для видеоимпульса, если <на входе
радиоимпульс имеет такую же огибающую, как видеоимпульс. По¬
этому -в случае радиоимпульса, изображенного на рис. (2-71), оги¬
бающая импульса на выходе
фильтра имеет такой же вид,
как на рис. 2-6Д а сам импульс
имеет В1ид, показанный на
рис. 2-8.
Следов ателньо, оптималь¬
ный фильтр иревращает радио¬
импульс с -прямоугольной оги¬
бающей в радиоимпульс с тре¬
угольной огибающей, и удвоен¬
ной длительностью.
Пример 4. Сигнал состоит
из последовательности п коге¬
рентных радиоимпульсов с периодам повторения Тп (рис. 2-9). Им-
пульсы имеют прямоугольную огибающую и длительность т0.
Полагаем, что
£=*; £ = /,
о Т0
где Т0 — период высокочастотного заполнения;
тп и / — целые числа.
Рис. 2-8.
Рис. 2-9.
В результате вычислений получается следующее выражение для
комплексного коэффициента передачи оптимального фильтра:
К (/о) = Ki (/<*>) К2 (/*>). (2-48)
где /С, (/со) — определяемый формулой (2-47а) комплексный коэффици
ент передачи фильтра, оптимального для одиночного
радиоимпульса;
К2(/со) = 1 + e~imTn + e~''w2Tn + ...+еЧа(П~')Та . (2-49)
При выводе формул (2-48) и (2-49) полагалось, как обычно, что
Из рис. (2-9) следует, что в рассматриваемом случае
t0 — t1=(n— 1)ТП + ъ9.
50
Формулам (i2-48) и (2-49) соответствует блок-схема оптималь¬
ного фильтра, .приведенная на рис. 2-10 и состоящая из фильтра
Д!(/col), оптимального для одиночного радиоимпульса (ом. примерЗ).
и набора линий задержек.
Очевидно, что такой набор линий задержек может быть заменен
одной линией задержки с п— 1 отводами и разделительными каска¬
дами РК (рис. 2-11).
При большом количестве импульсов п требуется слишком много
линий или отводов. Однако при п > 1 выражение (2-49) может быть
упрощено следующим образом:
Обозначим
Тогда /f2 (/<°) = 1 -|- q -(- cj2 -f- . » . -f* (f1
При /i —*oo получается:
4*
(2 50)
51
Рис. 2-10.
Рис. 2-11.
Такой коэффициент передачи может быть получен в схеме, изо¬
браженной на рис. 2-12 и состоящей из широкополосного усили¬
теля с усилением /С0, охваченного отрицательной обратной связью че¬
рез линию задержки.
Коэффициент передачи такой схемы равен:
при
(2-51)
Напряжение ис вых (t)
вид, изображенный на рис.
(2-52)
коэффициент передачи Кр (/<*>) сов¬
падает с требуемой функцией /С2(Л*>)
[с точностью до постоянного множителя
К0, не играющего принципиальной роли,
если только выполняется условие (2-52)].
на выходе оптимального фильтра имеет
2-13 (где для простоты принято п = 3).
Рис. 2-13.
Из (2-34) следует, что отношение сигнала к шуму акс
ходе фильтра пропорционально энергии Q сигнала:
г*
макс •
на вы-
(2-53)
Для сигнала, изображенного на рис. 2-9,
Q=nQ1,
где Q, — энергия одного импульса, a Q — энергия всего сигнала („па¬
кета" импульсов), состоящего из п периодических импульсов.
Следовательно,
rl акс = »1^- (2-54)
Выясним теперь, какую частотную характеристику имеют опти¬
мальный фильтр, изображенный «а ipuc. 2-10, и его звенья /Ci (/со) и
/С2(усо).
52
Рис. 2-12.
Из (2-35) следует, что частотная характеристика (/С(/со) | опти¬
мального фильтра совпадает по форме с частотным спектром
|S (/со) | сигнала. Поэтому для одиночного радиоимпульса с прямо¬
угольной огибающей частотная характеристика |/(к(/со)| «имеет вид,
изображенный на рис. 2-14,а, а для бесконечной периодической по-
п~ 1
Рис. 2-14.
следовательности таких импульсов — -на рис. 2-14Д При этом оги¬
бающая характеристики на рис. 2-14,6 (пунктирная кривая!) совла¬
дает с характеристикой одиночного импульса.
Из (2-48) следует, что
I К (/о>) \ = \ Кг (h)'\ • | Kt (/«) |. (2-55)
Здесь |/Ci (/со) |—частотная характеристика оптимального фильтра
при /2=1, т. е. характеристика, изображенная «а рис, 2-14,а.
Из формулы (2-55) и рис. 2-14,а и 2-14,6 следует, что частотная
характеристика |/Сг(/со) | ери #-*оо должна иметь вид, изображенный
на рис. 2-14,в. Действительно, -если перемножить ординаты кривых,
изображенных 'на рис. 2-14,а и 2-14,в, то получится характеристика
|/С(/со|) |, изображенная «а рис. 2-14Д Следовательно, частотная ха¬
рактеристика блока /(г (/со) оптимального фильтра (рис. 2-10)) имеет
при п ->оо вид гребенки с бесконечно узкими зубцами. К этому же
выводу -можно прийти путем непосредственного анализа выраже¬
ния (2-49).
Если количество импульсов п пакета велико, но конечно, то
частотный спектр 5 (/со) -сигнала перестает быть линейчатым, и ча¬
стотная характеристика |/С2(/со)| состоит уже не из бесконечно уз¬
ких зубцов (рис. 2-14,в), а из зубцов конечной ширины (рис. 2-15,6).
Чем меньше количество импульсов /г, тем больше ширина зубцов
53
гребенки, и при п= 1 характеристика |/С2(/col) I «превращается в гори¬
зонтальную .прямую (рис. 2-15,а).
Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы
о структуре фильтра, оптимального для «шкета» (.последователь¬
ности) из п периодических импульсов (рис. 2-9).
1. Фильтр состоит из двух блоков — К\ (/со) и /С2(/С0|).
2. Блок Ki(/со) представляет .собой фильтр, оптимальный для
одиночного импульса. Поэтому частотная характеристика |/Ci(/co|)J
этого блока имеет вид сплошной
кривой (рис. 2-14,а) и не зависит
от числа импульсов п.
3. Структура и частотная харак¬
теристика блока Kzdсо) существенно
зависят от числа импульсов п. При
/г > 1 этот блок имеет гребенчатую
частотную характеристику с узкими
зубцами (рис. 2-15,6) и называется
поэтому гребенчатым фильтром.
Чем больше /г, тем уже зубцы
гребенки.
4. Гребенчатый фильтр может
быть реализован различными спосо¬
бами (рис. 2-10—2-12).
В случае использования схемы
с обратной связью (рис. 2-12) вели¬
чина обратной связи р/Со должна
выбираться из следующих соотноше¬
ний:
а) при п—оо должно быть
р/С0= 1 [см. формулу (2-51)]. Однако
такой случай нереален, так как не
может быть п—оо и при p/Co—1 'не¬
возможно получить стабильную ра¬
боту схемы, изображенной на
рис. 2-12;
б) при 1 должно быть р/Со=0 [так как при этом должно
быть /Сг(/со) =il];
в) чем больше пу тем уже должны быть зубцы кривой |/Сг(/со) |
и соответственно тем ближе к единице величина р/Со-
Однако следует «иметь в виду, что «при я ^-оо фильтр с обратной
связью, .изображенный .на рис. 2-1(2, те .полностью соответствует оп¬
тимальному гребенчатому фильтру [так как выражение (2-50) точно
совпадает-с (2-49) лишь при п -> оо].
Пример 5. Сигнал «состоит из последовательности прямоуголь¬
ных видеоимпульсов с периодом повторения Тп (рис. 2-il6).
В этом случае как путем непосредственного расчета по форму¬
ле (2-30), так и методом медленно меняющихся амплитуд нетрудно
получить следующие результаты.
Оптимальный фильтр, как «и в предыдущем примере, состоит из
двух блоков /Ci (/со) и /Сг(/со|) (рис. 2-10), где /Cil(/co) — фильтр, опти¬
мальный для одиночного видеоимпульса [см. формулу (2-44) и
рис. 2-5], а /С2 (/со)—гребенчатый фильтр, описываемый формулой
(2-49).
54
Рис. 2-15.'
Следовательно, блок /Сг(/со) имеет такую же структуру, как я
для рассмотренной выше последовательности радиоимпульсов, и
может быть реализован, в принципе, теми же способами (рис. 2-10—
2-12). Однако практическая реализация гребенчатого фильтра
в случае радиоимпульсов значительно сложнее, чем в случае видео¬
импульсов, так как в первом случае к точности осуществления -и
стабильности времен задержки Тп предъявляются гораздо более вы¬
сокие требования.
Если через АГП обозначить допустимую нестабильность (или
неточность осуществления!) времени задержки, то © случае радио¬
импульсов требуется, чтобы выполнялось условие
тогда как в случае видео¬
импульсов достаточно, что¬
бы выполнялось условие
ДТ’п < v
Действительно, из фор¬
мулы (2-49) следует, что
блок оптимального фильтра
должен производить сумми¬
рование поступающих на его вход импульсов с задержками Гп,
27п, . . . у(п—1)ГП. Для того, чтобы при суммировании пиковое на¬
пряжение сигнала получилось наибольшим, в случае радиоимпуль¬
сов нужно, чтобы погрешность во времени задержки была мала по
сравнению с периодом То высокочастотного заполнения импульсов.
В случае же видеоимпульсов эта погрешность может быть значи¬
тельно большей.
Из формулы (2-49) следует также, что основной операцией при
оптимальной фильтрации периодической последовательности импуль¬
сов является, по существу, накопление импульсов. Такое накопле¬
ние -может быть осуществлено не только посредством линий (или
линии) задержки, но и другими известными способами, например
с помощью потенциалоскопов.
2-4. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Как указывалось в гл. 1, квазиоптимальными назы- •
ваются такие линейные фильтры, форма частотной ха¬
рактеристики которых заранее задана и максимум отно¬
шения сигнал/шум обеспечивается лишь соответствую¬
щим подбором полосы 'пропускания этой частотной
характеристики. Иначе говоря, «вазиоптимальным счи¬
тается такой фильтр, у которого оптимальной является
не форма частотной характеристики, а лишь полоса про¬
пускания.
Впервые задача была решена в такой постановке
В. И. Сифоровым (Л. 36]. Сифоров рассматривал сигнал
55
Рис. 2-16.
в виде одиночного радиоимпульса с прямоугольной оги¬
бающей Орис. 2-7) и полагал, что частотная характери¬
стика \K(ju>) | имеет прямоугольную форму с полосой
пропускания Aa) = 2ji/7 (рис. 2-17). Он доказал, что ма¬
ксимум отношения г сигнала к шуму на выходе такого
фильтра [формула (2-28)] получается
при значении полосы пропускания филь¬
тра
При этом
Рис. 2-17.
(2-57)
Из сравнения соотношений (2-34) и (2-57) следует,
что в случае квазиоптимального фильтра для получения
такого же значения гмакс требуется энергия Q сигнала,
большая в 1,22 раза. Следовательно, квазиоптимальный
фильтр дает в этом случае сравни¬
тельно небольшой проигрыш в требуе¬
мой энергии сигнала — меньше 1 дб.-
Существенным является также, что
значение ‘полосы пропускания Я филь¬
тра оказывается сравнительно мало
критичным — при отклонении полосы
П от ее оптимального значения Яопт
не более чем в 1,5 раза (в сторону
увеличения или уменьшения), величи¬
на г2 уменьшается, не более, чем
в 1,25 раза, т. е. проигрыш в требуемой энергии сигнала
не превышает 1 дб.
У реальных фильтров частотная характеристика
имеет не прямоугольный, а плавный характер (рис. 2-18)
и часто приближается к гауссовой кривой вида:
(2-58)
При этом квазиоптимальный фильтр дает для радио¬
импульса с прямоугольной огибающей еще лучшие ре¬
зультаты, чем в случае прямоугольной частотной харак¬
теристики.
Действительно, в случае радиоимпульса с прямо-
56
Рис. 2-18.
угольной огибающей оптимальная форма частотной ха¬
рактеристики имеет вид, изображенный на ,рис. 2-14,а.
Из «сравнения рис. 2-14,а, 2-17 и 12-118 видно, что реальная
частотная характеристика ino своей форме ближе к опти¬
мальной, чем прямоугольная частотная характеристика.
Радиоимпульс в реальных слу¬
чаях имеет не строго .прямоуголь¬
ную, а более плавную огибающую
и в -ряде случаев эта огибающая
близка по форме к гауссовой кри¬
вой вида (рис. 2-19):
Um(t) = Ae~ai\ (2-59)
Рис. 2-19.
Это обстоятельство еще более
приближает 'квазиоптимальный
фильтр к оптимальному.
Действительно, импульс с огибающей вида (2-59) имеет
частотный спектр
(<0—в>о)2 0 а
|S(/«o)| = fle 4а . ^ *
Поэтому частотная характеристика (2-58) является для
такого фильтра оптимальной (при соответствующем под¬
боре коэффициента а, т. е. ширины гауссовой кривой).
Следовательно, если форма частотной характеристики
квазиоптимального филь'тра «приближается к гауссовой
кривой, а огибающая радиоимпульса также прибли¬
жается к гауссовой кривой, то квазиоптимальный
фильт.р (практически совладает с оптимальным.
Отсюда следует, что в случае реальных радиоимпуль¬
сов и реальных частотных характеристик квазиоптималь¬
ный фильтр дает проигрыш, по сравнению с оптималь¬
ным еще меньший, чем в рассмотренном выше случае
радиоимпульса с прямоугольной огибающей и прямо¬
угольной частотной характеристикой, т. е. проигрыш
в требуемой энергии сигнала .получается 'значительно
меньше одного децибела. Кроме того, в случае реальных
импульсов и частотных характеристик отклонение поло¬
сы, П от ее оптимального значения оказывается значи¬
тельно меньше, чем в рассмотренном выше случае.
Таким образом, в случае одиночного радиоимпульса
квазиоптимальный фильтр дает обычно результаты поч-
57
ти такие же, как оптимальный фильтр и в построении
строго оптимальных фильтров нет необходимости. При
этом выбор полосы - пропускания квазиоптимального
фильтра не очень критичен. Очевидно, эти вьгводы спра¬
ведливы также и для одиночного 'видеоимпульса.
В случае периодической последовательности радио¬
импульсов (или видеоимпульсов) проигрыш, возникаю-
щий при применении квазиоптимального фильтра вместо
оптимального, получается большим, и величина этого
проигрыша .растет с увеличением числа п импульсов
последовательности.
При п оо величина проигрыша также стремится
к 'бесконечности.
Действительно, при п -*■ оо оптимальная частотная
характеристика состоит из дискретных 'бесконечно
тонких линий (рис. 2-14,6), тогда как частотная ха¬
рактеристика квазиоптимального фильтра (.рис. 2-18)
является сплошной. Поэтому эффективная площадь
квадрата |Л'(/<*>)|2 частотной характеристики, определяю¬
щая мощность шума на выходе, у частотной характери¬
стики квазиоптимального фильтра в бесконечное число
раз больше, чем у частотной характеристики оптималь¬
ного фильтра.
Чем меньше число п импульсов последовательности,
тем больше площадь зубцов оптимальной частотной ха¬
рактеристики (рис. 2-15), и, следовательно, тем меньше
различие между оптимальной и квазиоптимальной ча¬
стотными характеристиками.
В случае периодической последовательности импуль¬
сов оптимальный фильтр состоит, по существу, из двух
блоков — фильтра TCi (/<»), оптимального для одиночного
импульса, и'гребенчатого фильтра /Са(/(о) (рис. 2-10).
Из сказанного следует, что замена блока квази-
оптимальным фильтром в большинстве реальных слу¬
чаев допустима, так как не вызывает существенного
проигрыша в отношении сигнал/шум.
Замена .гребенчатого фильтра Ki(ja>) квазиоптималь-
ным фильтром '(со оплошной частотной характеристи¬
кой) приводит к значительному проигрышу, резко возра¬
стающему с увеличением числа импульсов последова¬
тельности п.
58
2-5. ЗАМЕЧАНИЯ О СВЯЗИ И РАЗЛИЧИЯХ
МЕЖДУ ОПТИМАЛЬНЫМИ ФИЛЬТРАМИ
И ОПТИМАЛЬНЫМИ ПРИЕМНИКАМИ
В заключение необходимо сделать -замечания о связи
и о .различиях в 'постановке зада-чи об оптимальном ли¬
нейном фильтре и об оптимальном прием-нике.
В случае оптимального яриемника ставится за¬
дача о наилучшем воспроизведении сообщения х.
При прохождении модулированного сигнала через
приемник колеба-ние ux(t) должно даже в идеальном
случае и ори отсутствии -помех превращаться в сообще¬
ние х, т. е. существенно менять свою форму. Следова¬
тельно, б случае приемника даже очень сильное измене¬
ние («искажение») формы сигнала и* (if) еще не свиде¬
тельствует об искажениях несомого им сообщения х.
Так, например, если сигнал состоит из 'последователь¬
ности радиоимпульсов малой длительности, модулиро¬
ванных по амплитуде низкочастотным сообщением x(t),
то такой сигнал имеет весьма широкий спектр и Ъри
прохождении через сравнительно узкополосный резо¬
нансный усилитель 'высокой •час'тоты форма сигнала
ux(t) очень сильно исказится. Однако закон модуляции
амплитуды импульсов при этом останется практически
неизменным, и после детектирования можно воспроизве¬
сти сообщение x(t) почти -без искажений. Отсюда сле¬
дует, что в случае модулированных сигналов (т. е.
в случае, .когда требуется возможно лучше воспроизве¬
сти ,не весь сигнал, а лишь один или несколько из его
параметров) оптимальные линейные фильтры, рассмот¬
ренные ъ § 2-2 данной главы, могут решать задачу не
наилучшим, а иногда даже совершенно неприемлемым
образом.
Сра-вним для иллюстрации следующие два случая.
1. Требуется воспроизвести с минимальной средне¬
квадратичной ошибкой сигнал ux(t).
2. Требуется воспроизвести с минимальной средне¬
квадратичной ошибкой сообщение x(i/), несомое сигна¬
лом ux(t).
Пусть в обоих случаях сигнал состоит из последова¬
тельности амплитудно-модулированных радиоимпульсов
малой длительности, а помехой является аддитивный
нормальный белый шум.
59
Предположим, что интенсивность помехи мала по
-сравнению с интенсивностью «сигнала. Тогда в первом
случае, когда любое -изменение формы сигнала ux{t)
является искажением, целесообразно применить фильтр
с весьма широкой полосой 'пропускания.
Во втором случае4, как будет показано ниже, опти¬
мальный приемник часто сводится к линейному фильтру
и последующему детектору. При этом оптимальным
является такой линейный фильтр, который обеспечивает
на входе детектора максимальное отношение сиг¬
нал/шум, т. е. фильтр вида, рассмотренного в § 2-3.
Такой фильтр имеет '.полосу пропускания
т. е. значительно более узкую, чем в предыдущем слу¬
чае, и вызывает очень сильные искажения формы сигна¬
ла ux(t) (например, превращает радиоимпульсы с пря¬
моугольной огибающей >в радиоимпульсы с треугольной
огибающей, как было показано в § 2-3). Однако, несмот¬
ря на это, среднеквадратичная ошибка в воспроизведе¬
нии сообщения x(t) .может быть весьма мала.
Следовательно, в рассматриваемом случае фильтр,
который дает большую среднеквадратичную ошибку
в воспроизведении сигнала ux(t)y позволяет получить
меньшую среднеквадратичную ошибку в воспроизведе¬
нии сообщения, несомого этим сигналом. По этой -при¬
чине для теории оптимальных методов приема моду¬
лированных сигналов линейные фильтры, обеспечи¬
вающие на своем выходе максимальное отношение
сигнал/шум, имеют значительно большее значение, чем
линейные фильтры, создающие на своем выходе мини¬
мальную среднеквадратичную ошибку в воспроизведе¬
нии сигнала.
Линейные фильтры, обеспечивающие минимум
среднеквадратичной ошибки, полезны там, где требуется
наилучшее воспроизведение на фоце шума не одного или
нескольких параметров сигнала, а всего напряжения
сигнала uc(t). Поэтому в -радиоприемных устройствах
они могут применяться в основном в каскадах, включен¬
ных после демодулятора.
Следовательно, в радиоприемных устройствах филь¬
тры, дающие максимальное отношение сигнал/шум,
60
применяются в основном в усилителе высокой частоты
(т. е. до демодулятора), а фильтры, обеспечивающие
минимальную среднеквадратичную ошибку, — в усилите¬
ле низкой частоты i(t. е. после демодулятора). Целесо¬
образность включения таких фильтров в -состав опти¬
мального приемника обосновывается более подробно
в последующих главах.
Глава третья
МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ «НЕБЕЛОГО» ШУМА1
К «БЕЛОМУ»
3-1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
В теории оптимальных методов приема часто оказы¬
вается полезным метод, основанный на 'приведении «не¬
белого» шума, т. е. шума с -произвольным энергетиче¬
ским спектром ^ш(со), « «белому» шуму. Этот метод
заключается *в том, что смесь y(t) сигнала и шума
предварительно преобразуется таким образом, чтобы
входящий в ее состав небелый шум 'превратился в бе¬
лый. Целесообразность такого преобразования связана
с тем, что отыскание оптимальной 'системы для белого
шума является обычно значительно более простой зада¬
чей. Кроме того, для многих случаев ее решение (для
белого шума) уже известно, и .новая задача сводится,
таким образом, к уже решенной.
Метод приведения «небелого» шума к «белому»
вшер'вые был 'предложен и применен В. А. Котельнико¬
вым в 1946 г. для решения задачи об оптимальном
приемнике {JL 1]. В последующем он получил -примене¬
ние и в ряде других работ [Л. 5, 8 и др.]. Перейдем
к рассмотрению этого метода.
Пусть на вход приемника П (рис. 3-1,а) поступает
смесь сигнала ux(t) и шума um(t):
y{t) = ux{t) + u m{t), (3-1)
1 „Небелый" шум часто называют также коррелированным шу¬
мом,
61
где um(t) —небелый шум, имеющий известный энерге¬
тический спектр £пг(<д). Требуется построить прием¬
ник П таким образом, чтобы он наилучшим (в том или
ином смысле) способом выделял сигнал ux(\t) (или со¬
общение *).
Вместо прямого решения задачи можно применить
следующий искусственный прием. Предположим, что
Рис. 3-1.-
смесь y(t) пропускается через линейный четырехполюс¬
ник, имеющий коэффициент передачи Ki(ja>) (рис. 3-1,6)
и преобразующий смесь y(t) в y'(t) таким образом, что
небелый шум превращается в белый:
y’(t) = ux(t) + ujt), (3-2)
где ит (t) — белый шум, так что его энергетический спектр
имеет вид:
£» = const.
Для этого коэффициент передачи (/«>) должен удовле¬
творять условию
(3’3>
62
где b — произвольная константа. Таким образом, на вход
приемника П' поступает омесь y'{t) преобразованного
сигнала u'x(t) и белого шума. Приемник П' подбирается
оптимальным, т. е. таким, чтобы он выделял сиг¬
нал u'x{t) (или сообщение х) наилучшим образом в том
же смысле, что и приемник П в схеме рис. 3-1,а.
Докажем, что система', изображенная на рис. 3-1,6
и состоящая из линейного фильтра Ki (ja>) и оптимально¬
го приемника П', решает задачу выделения сигнала
Ux(t) (или сообщения л;) из смеси y(t) столь же опти¬
мальным образом, как и оптимальный приемник П
в схеме рис. 3-1,а.
Схема рис. 3-1,6 отличается от схемы рис. 3-1,а на¬
личием на входе линейного четырехполюсника с коэффи¬
циентом передачи /Ci(/(o). На первый взгляд кажется,
что включение такого четырехполюсника равносильно
накладыванию на отыскиваемую оптимальную систему
существенного ограничения и должно вследствие этого
привести к ухудщению результата. Однако в действи¬
тельности такого ограничения не получается, если пред¬
положить, что искомый оптимальный приемник П' мо¬
жет включать в себя блок, имеющий коэффициент пере-
дачидаг(рис- 3'1,в)-
Действительно, в этом случае на входе приемни¬
ка П" полностью восстанавливается исходное колеба¬
ние у($У, и приемник П" может дать столь же
оптимальные результаты, как и приемник П в исходной
схеме рис. 3-1,а.
Таким образом, мы доказали, что система, изобра¬
женная на рис. 3-1,6, в принципе может дать столь
же оптимальные'результаты, что и схема рис. 3-1,а.
Докажем теперь, что система рис. 34,б не только
в принципе может, но и действительно дает столь же
оптимальные результаты.
При отыскании структуры оптимального приемни¬
ка Я (рис..3-1,а) мы исходим из за.ранее сформулиро¬
ванного математически критерия оптимальности, напри¬
мер из критерия минимальной среднеквадратичной
ошибки:
= [Т (0 — х (/)]* = rain,
63
где x(t) —-истинное значение 'воспроизводимого сообще¬
ния, а у(t) — результат, получающийся на выходе
•приемника. При отыскании оптимального приемника П'
(рис. 3-1,6) мы исходим точно из того же критерия
оптимальности (очевидно, включение корректирующего
четырехполюсника с коэффициентом 'передачи /Ci (/co) не
влияет на вид этого критерия)*.
Предположим, что *в результате математического
анализа структура оптимального приемника П' .полу¬
чилась такой, что система рис. 3-1,6 дает худшие резуль¬
таты (в данном случае большую величину среднего
квадрата ошибки б2), чем система рис. 3-1,а. Это озна¬
чает, что приемник П' дает худшие результаты (боль¬
шую величину б2 на своем выходе), чем он в принципе
может дать (ибо выше было доказано, что в принципе
он может дать столь же хорошие результаты, как и
приемник Я). Но это противоречит данному выше опре¬
делению оптимальности .приемника П\ согласно которо¬
му его структура должна быть такой, чтобы из всех
допустимых для него структур она давала наилучший
возможный результат на 'выходе, т. е. минимум величи¬
ны б2.
Поэтому, если при.отыскании оптимальной структуры
приемника П' мы исходим из того же критерия опти¬
мальности, как в исходной системе (рис. 3-1,а), и не
накладываем на возможную структуру этого приемника
запрета содержать блок l//Ci(/co), то система, изобра¬
женная на рис. 3-1,6, не только может, но и должна да¬
вать столь же оптимальный результат, как исходная
система рис. 3-1,а.
Таким образом, доказано, что система, изображенная
на рис. 3-1,6, дает столь же оптимальный результат, что
и система рис. 3-1,а. Это означает, что система, опти¬
мальная для небелого шума со спектром £ш(со), состоит
из линейного четырехполюсника с коэффициентом пере¬
дачи К\ (/со), удовлетворяющим соотношению (3-3), и
приемника П\ оптимального для смеси у' (/), состоящей
из преобразованного сигнала ufx(i) и белого шума.
Поэтому, если методика нахождения приемника, опти¬
мального для смеси сигнала и белого шума, известна,
то схема рис. 3-1,6 позволяет найти приемник, опти¬
мальный для небелого шума.
64
Выделение из состава приемника Я «корректирую¬
щего» блока Kiija) (,рис. 3-1,а и б) является чисто ма¬
тематической промежуточной операцией, вводи¬
мой лишь для упрощения математического анализа. По¬
этому в физической осуществимости блока Ki(ja>) нет
необходимости, — достаточно, чтобы был физически осу¬
ществим (или близок к физически осуществимому) лишь
■приемник в целом.
Это означает, что если приемник П' (рис. 3-1,6) содер¬
жит в своей входной части линейную систему с коэффици¬
ентом передачи /С8(/®), то требуется физическая осущест¬
вимость лишь функции Кл (/го) К2 (/ш), а не каждого из ее
множителей КгЦ®) и К2(/«О*
3-2. ПРИМЕНЕНИЕ К ОТЫСКАНИЮ
ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА
Пусть смесь y(t) состоит из сигнала uc(t) с известным
комплексным спектром 5(/ш) и шума um(t) с энергети¬
ческим спектром gm(tо). Тогда блок (j<*>) (рис. 3-1,6)
имеет частотную характеристику, определяемую форму¬
лой (3-3), и смесь if (t) состоит из сигнала uc(t) и белого
шума um{t).
Комплексный спектр S'(Jw) сигнала ис (t) равен:
S' (/(в) = (/«в) S (/со), (3-4)
а белый шум um(t) имеет спектральную плотность N', где
Пусть требуется найти линейный фильтр, обеспечи¬
вающий получение максимального отношения гмаКс на¬
пряжения сигнала к среднеквадратичному напряжению
шума. Это означает, что приемник П' в схеме рис. 3-1,6
должен в данном случае являться линейным фильтром,
обеспечивающим максимальное отношение гмакс сиг¬
нал/шум для сигнала с частотным спектром S'(jсо) и бе¬
лого шума.
Решение этой задачи было приведено в § 2-3 и сво¬
дится к тому, что коэффициент передачи /Сг (/со) такого
5 Л. С. Гуткин 55
фильтра должен в соответствии с формулой (2-30)
удовлетворять условию
К2 (/со) = aS'* (/ш) ечы\ (3-5)
где 5'* (/us) — комплекс, сопряженный с 5'(/ш).
Из (3-4) следует, что
(з-б)
/с, (/со) — это коэффициент передачи блока ГГ в схеме
рис. 3-1,6. Поэтому коэффициент передачи К (/<*>) всей
оптимальной системы равен:
К (h)=КЛИКАМ- (3-7)
Из (3-5) — (3-7) следует, что
/С (/о))=а/С1 (До) /С* (/«») 5'* (/со) е~/0“Ч
Но
/с» (/со) *; (/со)=I /с, (/со) |2
следовательно,
(3-8)
где — некоторая произвольная константа.
Формула (i3-8) и определяет комплексный коэффи¬
циент передачи /С(/со) линейного фильтра, обеспечиваю¬
щего получение максимального отношения сигнал/шум
в случае небелого шума с энергетическим спектром
£ш(ю).
Из сравнения формул (2-30) и (3-8) следует, что
в отличие от формулы для белого шума в знаменатель
формулы для небелого шума входит энергетический
спектр шума £щ(со).
Из (3-8) следует, что частотная характеристика
оптимального фильтра определяется соотношением
I* (Ml = 0,-4^. (3-9)
т. е. частотная характеристика такого фильтра пропорцио¬
нальна отношению амплитудного спектра сигнала к энерге¬
тическому спектру помехи.
66
В качестве конкретного примера рассмотрим случай,
когда спектры сигнала и помехи имеют вид гауссовых
кривых:
(3-10)
Известно, что такие спектры, хотя физически и нереали¬
зуемы, но достаточно близки к физически реализуемым.
Из (3-9) и (3-10) следует, что частотная характеристика
оптимального фильтра имеет вид:
д»с
где т отношение ширины спектров сигнала и помехи.
Д(оп
Из этой формулы следует, что при
Д<*>. 1
^<7f (3-12)
частотная характеристика оптимального фильтра имеет вид
гауссовой кривой и, следовательно, близка к физически
реализуемой. Если же условие (3-12) не выполняется,
частотная характеристика |/С (/<*>) | весьма далека от физи¬
чески реализуемой.
Выясним теперь, какова в рассматриваемом случае энер¬
гия Q' преобразованного сигнала?
00
—00
Учитывая (3-3) и (3-4), имеем:
67
Из соотношений (3-10) и (3-13) получается:
b Sn Д«
Qf = 4=—£ /- (3-14)
V2 п go г '« V '
Д(д)
Прн :> 1 энергия Q' становится бесконечно большой
или мнимой, и найденное решение теряет смысл; поэтому
должно быть
Дсо
д^С1- (3-15)
Однако из сравнения соотношений (8-12) и (3-15)
следует, что условие (3-12) является более жестким, чем
(3-15). Это означает, что законность найденного реше¬
ния лимитируется не тем, что энергия Q' становится
бесконечно большой или мнимой, а тем, что найденное
решение делается весьма далеким от физически реали¬
зуемого.
Таким образом, в случае спектров вида (3-10) най¬
денное оптимальное решение '(3-11) имеет смысл лишь
при выполнении условия (3-12), т. е. если ширина энер¬
гетического опектра помехи превышает ширину ампли¬
тудного спектра сигнала.
Если помеха имеет узкий по сравнению с сигналом
спектр, найденное решение оказывается неприменимым.
Однако в этом случае оптимальное решение является
очевидным без всякого математического анализа—для
получения на выходе приемника максимального отно¬
шения сигнал/шум достаточно включить на входе прием¬
ника линейный режекторный фильтр с полосой режек-
ции, равной ширине спектра помехи (здесь под шириной
спектра помехи понимается область частот, за предела¬
ми которой энергия спектра помехи пренебрежимо ма¬
ла). Тогда на выходе фильтра напряжение помехи
будет практически отсутствовать, и отношение сигнала
к помехе будет весьма велико.
3-3. выводы
Задача об оптимальном приеме сигнала ux{t) (или
сообщения х, несомого этим сигналам) на фоне адди¬
тивного .небелого шума с энергетическим спектром
68
gm (со) сводится к отысканию приемника Я', оптималь¬
ного (в том же смысле) для преобразованного сигна¬
ла u'x(t) и белого шума.
Преобразованный сигнал 'получается из исходного
пропусканием через линейный фильтр с передаточной
функцией /Ci(/со), модуль которой определяется соотно¬
шением
1*.{МГ=«Й-
Искомый оптимальный приемник П для сигна¬
ла ux(t) состоит из 'приемника П' и предшествующего
ему линейного фильтра с передаточной функцией
Kdhо).
С 'помощью указанного метода результаты, получен¬
ные для белого шума, во многих случаях сравнительно
просто могут быть обобщены иа случай шума с практи¬
чески произвольным энергетическим спектром. Поэтому
дальнейшее изложение материала ведется в основном
применительно к белому шуму.
ЧАСТЬ II
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ,
ИЗВЕСТНЫХ ТОЧНО
(Теория потенциальной помехоустойчивости
К отельникова)
Глава четвертая
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
4-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть на вход приемника (|рис. 1-1) «поступают сум¬
ма сигнала и помехи
y(t)=ux(t)+ujt), (4-1)
где ux(t)—сигнал, известный точно, т. е. сигнал, един¬
ственным неизвестным параметром которого является
искомое сообщение х, a um(t) —помеха.
Сообщение х рассматривает¬
ся в месте приема как случай¬
ная величина или случайная
f функция времени с известным
*” априорным распределением Р(х).
Закон распределения lFm(wm)
помехи также полагается изве¬
стным. Приемник анализирует
колебание y(t) в течение зара¬
нее выбранного (конечного) интервала временй Т
(рис. 4-1) и должен на основании этого анализа вос¬
произвести сообщение х наилучшим образом (в указан¬
ном ниже смысле). Так как сигнал искажен случайной
помехой um(t), а 'время анализа Т .конечно, то ни один
приемник ,в принципе, не может воспроизводить сообще¬
ние х совершенно точно, с полной достоверностью —
всегда будет существовать какая-то вероятность ошибки.
Следовательно, самое большее, что можно потребо¬
вать в таких условиях от приемника, — это определить,
каковы вероятности того или иного значения (или той
или иной реализации) сообщения х, при данной реали-
70
Рис. 4-1.
зации суммарного колебания y(t), поступающего
на вход приемника.
Математически это означает, что на основе анализа
суммарного колебания y(t) идеальный приемник должен
вычислить распределение Ру(х) для всех возможных
значений (или реализаций) сообщения х, при данной
реализации y(t) (под данной реализацией y(<t) пони¬
мается всюду тот вид колебания y(t), который оно имеет
на данном интервале наблюдения Т).
Если сообщение х является дискретной случайной
величиной, то Ру(х) есть распределение вероятностей;
если же х—непрерывная случайная величина (или
функция времени), то Pv(x) есть плотность вероятности
(см., например, рис. 4-2).
В дальнейшем мы будем для краткости называть
Ру(х) во всех случаях распределением вероятностей,
помня, однако, что в тех случаях, когда х есть непре¬
рывная случайная величина (или функция времени),
Ру(х) является плотностью вероятности.
Распределение Ру('х) называется апостериорным
(послеопытным), так как оно может быть найдено лишь
в результате анализа реализации колебания y(t). Этим
распределение Ру(х) принципиально отличается от
априорного распределения Р(х), которое полагается
известным заранее, т. е. еще до анализа колебаний y(t).
Часто распределение Ру(х) называют также распре¬
делением обратных вероятностей, так как оно ука¬
зывает, каковы вероятности тех или иных значений
причины х, если известно 'вызванное этой причиной
следствие у.
В дальнейшем мы будем для краткости называть
Ру(х) распределением обратных вероятностей.
Итак, самое лучшее, что может в принципе дать
приемник на основе анализа реализации y(t), это вычис¬
лить распределение Ру(х) обратных ’вероятностей со¬
общений х для всех возможных значений этих сообще¬
ний (см., например, рис. 4-2).
На основе анализа вида этого распределения должно
быть затем принято решение о том, каково было значе¬
ние х переданного сообщения. Принятие этого- решения
может быть осуществлено оператором (наблюдающим,
например, на экране осциллографа распределение Ру(х),
изображенное на рис. 4J2) или возложено на сам прием-
71
•ник. В последнем случае в дриемник должно быть зало¬
жено правило, по которому он будет выдавать на основе
анализа распределения Ру(х) свое решение 1 -у. Одним из
таких правил может быть так называемый принцип
максимальной обратной вероятности.
В этом случае полагается
(4-2)
Рис. 4-2.
где хУн—наивероятнейшее значение сообщения, т. е. то
значение, при котором обратная вероятность Ру^х)
имеет наибольшее значе¬
ние (рис. 4-2). Для раз¬
личных реализаций y(t)
форма кривой Ру{х), а
следовательно, и наиве-
роятнейшее значение, мо¬
гут быть в общем случае
различными (рис. 4-2).
Это обстоятельство под¬
черкивается введением в обозначении хт индекса у.
Следовательно, в случае принципа максимальной
обратной вероятности приемник выдает на своем выходе
то значение у сообщения, которое при данной реализа¬
ции y(t) является наиболее вероятным.
Можно заложить в приемник и иное правило реше¬
ния. Можно, например, потребовать, чтобы приемник
вычислял абсциссу ха центра «тяжести» площади, обра¬
зуемой кривой Ру(х) (рис. 4-2) и выдавал
Т = *„. (4-3)
Котельников доказал, что .при известных условиях
такое правило обеспечивает минимальную среднеквадра¬
тичную ошибку воспроизведения сообщения.
Можно в общем случае предложить еще бесконечное
число целесообразных в том или ином отношении пра¬
вил, по которым приемник должен принимать решение.
Каждое такое правило можно рассматривать как соот¬
ветствующий критерий оптимальности .приемника.
Ниже будет доказано, что в ряде случаев различные
.правила приводят к одинаковым результатам. Так, на¬
1 Здесь и далее (например стр. 417—436) буквы у и 7 обозна¬
чают одну и ту же букву «гамма». Ред.
72
пример, при некоторых условиях принцип максимальной
обратной вероятности также обеспечивает получение ми¬
нимальной среднеквадратичной ошибки, т. е. правила
(4-2) и (4-3) могут давать одинаковые результаты.
Однако в общем случае различным критериям опти¬
мальности соответствуют различные структуры « свой¬
ства оптимального приемника.
Котельников считает оптимальным такой приемник,
который действует по принципу максимальной обратной
вероятности, т. е. в соответствии с правилом (4-2). Та¬
кой принцип является одним из наиболее простых и
естественных и во многих случаях оказывается наиболее
целесообразным (см. ниже).
4-2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СООБЩЕНИЙ
Обратная вероятность Ру(х) может быть найдена из
следующих общих соотношений теории вероятностей:
Р(х, У) = Р(Х)РХ(У) = Р(У)РУ(Х). (4-4)
Здесь Р(х, у)— совместная вероятность двух случайных
величин (или функций) х и у,
Рх(у) — условная вероятность у при данном х;
Р(у) — вероятность (безусловная) у.
Из (4-4) следует, что
<4-5>
Так как при вычислении функции Ру(х) нас интересует
зависимость этой функции от х при неизменном у, то мно¬
житель в выражении (4-5) может быть заменен неко¬
торой константой k:
Py(x)=kP(x)Px(y). (4-6)
Коэффициент k может быть также найден из условия
нормировки:
j Py(x)dx=l, (4-7)
Ах
где Ах — область всех возможных значений х<
73
Поэтому1
k = -f—— . (4-8)
f P(x)Px(y)dx v '
A*
Так как априорное распределение Р(х) известно, то
остается найти лишь распределение Рх(у).
Из формулы (4-6) следует, что для определения
функции Ру(х) необходимо знать зависимость Рх(у)'
от х при данном у. Распределение Рх(у), рассматривае¬
мое как функция х при данном у, называется функцией
правдоподобия.
Рх(у) есть вероятность (плотность вероятности) у
при данном х. Так как при данном х функция ux(t)
известна точно, то из (4-1) следует, что при данном х
вероятность реализации y(*t) совпадает с вероятностью
такой реализации ыш(0 помехи, которая равна разно¬
сти \y(i)—ыж(0]- Но вероятность (плотность вероятно¬
сти) реализации um(t) при данном х, в случае незави¬
симых х « ыш характеризуется плотностью вероятно¬
сти Wm(um) помехи.
Поэтому, если сообщение х и помеха um(t) статисти¬
чески независимы '(что обычно имеет место), то
РХ(У) = *Ш(У-*Х)- (4-9)
Котельников полагает, что помеха имеет вид нормаль¬
ного белого шума. Поэтому в дальнейшем в данной главе
всюду предполагается, если не делается оговорок, что шум
белый (с ограниченным спектром) и имеет нормальное рас¬
пределение .
Распределение такого шума имеет в соответствии
с (1-25) следующий вид:
«2 (t)dt
III
ш'“ ,= с °
-лИ“2
N0 J и
'(V2 izNf
1 Если х является случайной функцией времени, то выражения
J Р (х) dx и J Р (jc) Рх (у) dx представляют собой сокращенную за-
Vx 'Ах
пись интегралов J ... ^ Ру (xv. ., хп) dxv ... , dxn и j ... JP(xv...>
Ax Ax
... у xn) PXi xn{y) dxv ..., dxn соответственно.
74
Поэтому
г
1 _ л
PJy)= ,— ne 0 • (4-10)
*v (/2 nN)n
Подставляя это выражение в (4-6), получаем:
т
-4- С Iy(t)-ux(t)]*dt
ЛГ,
Py(x) = k1P(x)e и , (4-11)
где k\—постоянный коэффициент, который не зависит
от * и может быть найден из условия нормировки (4-7).
Приемник, оптимальный в том смысле, как это было
принято Котельниковым, вычисляет по формуле (4-11)
обратную вероятность Ру(х) для всех возможных зна¬
чений сообщения х и выдает в качестве решения у то
значение х, при котором функция Ру([х) имеет наиболь¬
шее значение. Для практической реализации такого вы¬
числительного устройства часто удобно представлять
выражение (4-11) в несколько ином виде. Для этого
произведем в формуле (4-11) возведение в квадрат.
Тогда получим:
г
P(x) = k1P(x)e 0 е N°e *, (4-12)
где т
Q=\tix{t)dt (4-13)
о
есть энергия сигнала, несущего сообщение х, которая
в общем случае может зависеть от х (например, при ампли¬
тудной модуляции); величина определяется из соотноше¬
ния
г
(4-14)
о
т
(t)dt
Множитель е 0 в выражении (4-12) при данном у
не зависит от х и может поэтому рассматриваться при
75
вычислении вероятности Ру (х) как величина постоянная.
Следовательно, выражение (4-12) можно записать в виде:
_Ох
Ру{х) = КР{х)е V*, (4-15)
где k2 — постоянный множитель, который можно вычислить
из условия нормировки (4-7).
Из выражения (4-15) следует, что основной опера¬
цией при определении обратной вероятности Ру (х)
является вычисление 1* по формуле (4-14), т. е. нахож¬
дение взаимной 'корреляции между принятым колеба¬
нием y(t) и ожидаемым сигналом ux(t).
4-3. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
Так 'как устройство, 'производящее вычислительную
операцию, подобную (4-14), называется коррелятором
(рис. 4-3), то основным элементом
оптимального приемника является
коррелятор.
y(t)
Существует много различные спо¬
собов практического осуществления
Рис. 4-3. таких корреляторов. В частности, если
сигнал «ж (0 длится в течение конеч¬
ного интервала времени (О, Т) (что обычно имеет ме¬
сто), то в качестве коррелятора может быть использо¬
ван оптимальный линейный фильтр (см. § 2-3).
Действительно, если на вход линейного фильтра по¬
ступает колебание y(t), то на его выходе в момент t
получается напряжение
Ивых(0= J y(z)i)(t—z)dz,
где tj (t) — импульсная переходная характеристика фильтра.
Если фильтр является оптимальным для сигнала ax(i)
(в . смысле отношения сигнал/шум), то его характеристика
удовлетворяет соотношению (2-37):
H(t) = aux{t' — t).
76
Так как по предложению сигнал ux(t) исчезает в мо¬
мент t—T, то можно положить t0 = T, т. е.
Поэтому колебание на выходе такого фильтра равно:
Так как по предположению сигнал отсутствует также и
при ^<0, то их(Т — ^ —|— г) = 0 при Т — ^-|-г<0, т. е.
при z<^t — Т; поэтому
Сравнение этого выражения с формулой (4-14) показы*
вает, что величина ^ с точностью до постоянного множи¬
теля совпадает с иаых{Т), где ивых(Т) есть значение коле¬
бания umx(t) на выходе оптимального линейного фильтра
в момент t—T, т. е. в момент окончания сигнала ux(t).
Следовательно, в качестве коррелятора может быть
применен лйнейный фильтр, оптимальный для сигна¬
ла ux('t) (при синтезе этого фильтра следует полагать
to~T). На вход этого фильтра подается колебание y(t)
и измеряется (фиксируется) величина колебания
«выx(t) на выходе фильтра, имеющая место в мо¬
мент t — T. Эта величина и представляет собой интеграл
J y(i)ux(t)dt, т. е. искомый коэффициент корреляции.
Таким образом, вычисление коэффициента корреля¬
ции для какого-то одного конкретного вида сигнала
77
ii(t)=aux(T—t).
В момент t = Т получается:
о
Ux(t), т. e. для одного значения сообщения х, не пред¬
ставляет значительных трудностей. Однако для нахож¬
дения распределения Ру(х) величина 1* должна быть
определена не для одного, а для всех возможных значе¬
ний (1или 'всех возможных реализаций) сообщения х, что
в общем случае представляет большие трудности. Эти
трудности существенно уменьшаются в случае дискрет¬
ных сообщений, когда х может иметь лишь конечное
число т. дискретных значений (см. ниже). Поэтому
в случае непрерывных сообщений для облегчения прак¬
тической реализации вычислительного устройства неред¬
ко .прибегают к дискретизации (квантованию) сообще¬
ний.
Для облегчения практической реализации и теорети¬
ческих вычислений часто целесообразно определять не
саму функцию Ру(х), а ее логарифм \пРу(х).
Из (4-15) следует, что
In Ру (*) = In к + In Р (X) - ^ + 6,. (4-16)
Так как при изменениях х наибольшие значения
lnPj^jc) и Ру(х) совпадают, оптимальный приемник, ра¬
ботающий по принципу максимальной обратной вероят¬
ности, должен отбирать то значение х, для которого
In Ру(ж) имеет наибольшее (в алгебраическом смысле)
значение.
Коэффициент k2 не влияет на форму кривых (4-15)
и (4-16) и может поэтому полагаться для простоты рав¬
ным единице.
Тогда вместо (4-16) получаем:
In Р, (*) = In Р(*)-(4-16 а)
Выражение (4-16а) значительно проще для вычисле¬
ний, чем (4-15).
Полученные соотношения справедливы как для дис¬
кретных сообщений, так и для отдельных значений не¬
прерывных сообщений и для колебаний x(t). Ниже
дается более подробное рассмотрение этих трех случаев
в том же порядке, «ак это было сделано В. А. Котель¬
никовым [JI. 1].
78
Глава пятая
ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
5-1. ОБЩИЙ СЛУЧАИ
Пусть сообщение х может иметь одно и только одно
из возможных значений:
•Xq, Xi, Х2, . . ., Xfc, •. хmf
где x0 — нулевое значение, соответствующее отсутствию
какого-либо сообщения (паузе).
Априорные вероятности наличия (посылки) этих сообще¬
ний равны соответственно:
Р(х0), Р{хг),..., Р(хк),..., Р(хя),
причем
m
YiP(xk) = l. (5-1)
k=0
Каждому значению xk сообщения соответствует свое
значение й (/) сигнала. Поэтому на входе приемника
в течение интервала (О, Т) обязательно присутствует один
и только один из следующих возможных сигналов:
ихс (0. ttXi (/) uXk (t),uXm (t). (5-2)
В дальнейшем для простоты величина х в индексах
опускается, т. е. вместо (5-2) записывается
(/), uk(t),..um(t). (5-2а)
Нулевое сообщение (*0=0) может передаваться
либо нулевым сигналом, (в этом случае ц0(*)з=О— пас¬
сивная пауза), либо каким-то заранее известным сигна¬
лом (тогда u0(t)s£0 — активная пауза), причем заранее
известно, какой из этих двух случаев должен иметь
место.
Сигналы Uh(t) полагаются известными точно, т. е.
форма всех сигналов вида (5-2а) известна точно — не¬
известно лишь и подлежит определению, какой именно
79
из этих сигналов имелся .на входе 'Приемника в течение
интервала (О, Т).
Следовательно, каждому сообщению хк соответ¬
ствует вполне определенный сигнал Uh(t), и, наоборот,
если известен сигнал m{t), то тем самым однозначно
определяется и соответствующее ему сообщение xh.
Поэтому априорные вероятности P(\uh) наличия сигна¬
лов uh(t) равны априорным
Р(Х,)
Р(Хг)
Р(х)
Р(Х0)
Р(хК)
р(хт)
*1 •‘■г %
(U,) Шг) (Uff)
Рис. 5-1.
вероятностям Р(хъ) соответ¬
ствующих сообщений:
P(uk) = P(xk). (5-3)
хк В этом случае априорное
(ик> (ит> распределение Р(х) имеет
вид, изображенный на рис.
5-1.
Приемник должен опре¬
делить на основании анализа реализации y(t), какое
именно из т+1 возможных значений имело сообще¬
ние х в рассматриваемый интервал (О, Т), т. е. какой
именно из m+' 1 возможны* сигналов .существовал в это
время на входе приемника.
Так как определение сигнала и& означает тем самым
определение и соответствующего ему сообщения xh, то
в дальнейшем для краткости будем говорить лишь о сиг¬
налах.
При этом общие соотношения (4-13)—(4-16а) можно
записать в виде:
_ Qk
Py{uk) = ktP(uk)e
При ka = 1
Т
Qk=\4it)df,
(5-4)
(5-4a)
(5-5)
I
». (о*
(5-6)
Так как приемник действует по принципу максимальной
обратной вероятности, то он воспроизводит каждый раз тот
80
сигнал uk, для которого обратная вероятность Рц (uk) ока¬
зывается наибольшей. При этом возможны ошибки различ¬
ного вида, и полная вероятность Рош ошибки равна:
Рош = Р («о) Р (Ф «о) + Р (*i) Р (фи !)+••• +
+Р (иk) Р (ф ик) +... + Р (и J Р (Ф ит). (5-7)
Здесь P(=£uk) — условная вероятность того, что при
наличии на входе сигнала uk приемник воспроизводит
какой-то другой (неважно какой именно) сигнал, т. е.
совершает ошибку.
Часто оказывается проще вычислять не полную вероят¬
ность Рош ошибки, а полную вероятность Яправ правиль¬
ного воспроизведения:
р.„.=р <“.) р«. (“.»+р («.) ■р., (».)+• • •+
+ РК)р, „(“,)■ (5-8)
где Ри (ик) — вероятность (условная) воспроизведения при-
k емником сигнала ик, когда на входе дейст¬
вительно имелся сигнал ик.
Очевидно, что
Р = 1 —Р (5-9)
прав ош* ' /
Нетрудно убедиться, что приемник, действующий по
принципу максимальной обратной вероятности, обеспе¬
чивает минимальное значение полной вероятности
ошибки.
Действительно, Ру(щ) есть вероятность того, что при
данном у имеет место сигнал м&.
Оптимальный приемник выдает на выходе каждый
раз тот сигнал Uk, вероятность которого при данном у
наибольшая. Следовательно, вероятность ошибки в вы¬
боре сигнала при данном у получается наименьшей. Это
имеет место для любой реализации y(t).
' Следовательно, для каждой реализации y(t)
приемник дает ответ с минимальной вероятностью
ошибки. Поэтому и полная вероятность ошибки, полу¬
чающаяся с учетом всех возможных реализаций колеба-
0 Л С. Гуткин 81
ния y(t) должна при этом получаться минимально воз¬
можной. Следовательно, с точки зрения получения ми¬
нимальной полной 'Вероятности ошибки принцип макси¬
мальной обратной вероятности дает наилучшие воз-
критерий минимальной
полной вероятности
ошибки является в слу¬
чае дискретных сооб¬
щений не единственно
возможным и целесо¬
образным.
Действительно, при
определении вероятно¬
сти Рош по формуле
(5-7) ошибки всех ви¬
дов считаются одина¬
ково опасными. На¬
пример, если на входе
имел место сигнал и2,
го воспроизведение
вместо него сигнала из
считается столь же нежелательным («опасным»), как и
воспроизведение сигнала и? или щ и т. п. Однако в не¬
которых случаях (например, в радиолокации) ошибки
различного рода имеют различную «опасность», и сле¬
дует обеспечивать минимум 'вероятности ошибок не
в соответствии с выражением (5-7), а в соответствии
с более сложным выражением, учитывающим «веса»
(«опасности») тех или иных ошибок. В этом случае
в принцип максимальной обратной вероятности должны
быть внесены соответствующие коррективы, которые
рассматриваются в IV части.
В данной главе рассматривается в соответствии с ра¬
ботами Котельникова лишь простейший случай, когда
приемник действует по принципу максимальной обрат¬
ной вероятности. В этом случае структура оптимального
■приемника должна иметь согласно формулам (5-4) —
(5-6) бид, изображенный на рис. 5-2.
Приемник содержит вычислители В0, 5i,...,5m, на
входы которых подаются колебание y(t) и ожидаемые
сигналы и0, и\,...,ит. В схеме сравнения СС сравнивают¬
ся вычисленные обратные вероятности Ру(и0),
Py(u\), ...,Ру(ит) и определяется, какая из тх имеет
82
можные результаты. Однако
Рис. 5-2.
наибольшее зйаченйе; соответствующий ей сигнал (или
сообщение) и выдается в качестве выходной величи¬
ны Ивых-
Так как обратные вероятности Py{uk) всегда поло¬
жительны, то ани могут быть отображены соответствую¬
щими значениями положительного постоянного напря¬
жения. Поатому схема СС может быть реализована,
например, с по,мощью электронно-лучевой трубки таким
образом, что каждому каналу (каждому вычислите-
Рис. 5-3.
лю Bk) будет соответствовать соответствующая площад¬
ка на экране трубки. При этом наибольшую яркость бу¬
дет иметь та площадка, которая соответствует каналу
с наибольшим значением Pv(uh). Тогда для выбора сиг¬
нала Uk достаточно выбрать площадку, имеющую наи¬
большую яркость.
Каждый вычислитель Bk может иметь структуру,
изображенную на рис. 5-3, т. е. состоять из коррелятора,
вычисляющего по формуле (5-6), суммирующего
каскада С/С и каскада ЭК с экспоненциальной характе¬
ристикой, превращающего In Py(uk) в Pv(uk); при этом
каскад ЭК в рассматриваемом простейшем случае, когда
требуется лишь определить, какая из 'величин Pv(Uk)
является наибольшей, не является принципиально небхо-
димым, так как решение этого вопроса может быть по¬
лучено сравнением не самих величин Ру(ик), а их лога¬
рифмов, lnPy(«fe).
Из рис. 5-3 видно, что величины Uk, зависящие от
априорных вероятностей P(Uk) и энергий Qk ожидаемых
сигналов, играют в схеме оптимального приемника роль
смещений.
5-2. БИНАРНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
Рассмотрим теперь более подробно простейший слу¬
чай, называемый бинарным обнаружением.
6* 83
В этом случаё сигнал Может иметь Только Два зна¬
чения, одно из которых тождественно равно нулю, т. е.
«0 (0 = 0; u1(t) = uc{t).
(5-10)
Задача сводится здесь, по существу, к обнаружению
сигнала, т. е. к выяснению, имеется на входе приемника
сигнал uc(t) (и шум) или сигнал отсутствует (т. е. су¬
ществует лишь шум).
Для решения вопроса о наличии или отсутствии сиг¬
нала приемник должен сравнивать обратные вероятно¬
сти Ру(ис) и Р^(0), где в соответствии с формулой
Здесь Р(ис) и Р(0) — априорные вероятности наличия и
отсутствия сигнала, a Q — энергия сигнала.
Приемник должен давать ответ „да“ (сигнал есть), если
In Ру (ис) > In Ру (0), и ответ „нет* (сигнала нет), если
Следовательно, приемник должен давать ответ „да*
когда выполняется неравенство
Если неравенство (5-12) ие выполняется, приемник
должен давать ответ «нет».
Из формул (5-12) и (5-13) следует, что структура
оптимального приемника при бинарном обнаружении
имеет вид, изображенный на рис. 5-4, т. е. состоит из
коррелятора, вычисляющего £ по формуле (6-14). Най-
84
(5-4а)
In Ру («с) = In Р (йе) — ^ + 5,
In Ру (0) = In Р (0).
(5-11)
1п/>,(«е)<1п/у0).
Ь>и0,
(5-12)
где
(5-13)
т
(5-14)
о
y(t)
Коррелятор
т
и8ых ~ & ~Uq
(t)
Рис. 5-4
Uo
денное значение | сравнивается ic порогом (постоянным
отрицательным смещением) U0.
Если 'получается l>U0i т. е. иВых>0, «приемник дает
ответ «да» (сигнал есть). В противном случае дается
ответ «*нет». При этом возможны два вида ошибок —
ложные тревоги» т. е. отве¬
ты «да», когда в действи¬
тельности сигнала нет, и
пропуски сигнала, т. е. отве¬
ты «нет», когда в действи¬
тельности сигнал имеется.
Обозначим вероятности
ложных тревог >и пропусков сигнала через Рл.т и Рир
соответственно. Тогда полная вероятность ошибки рав.на:
P„=P(0)P^ + P(*c)Pv. (5-15)
Так как априорные вероятности Р(0) и Р (ис) пола¬
гаются известными, то остается вычислить условные веро¬
ятности ошибок Р„, и Я .
л.т пр
Найдем сначала вероятность Рлт ложной тревоги.
Ложная тревога означает ответ „да* при отсутствии
сигнала. Поэтому вероятность ложной тревоги равна веро¬
ятности выполнения неравенства (5-12) при отсутствии сиг¬
нала, т. е. при
y(t) = ua(t). (5-16)
Из (5-14) следует, что при этом
т
'■^nm{t)uc{t)dtt (5-17)
и вероятность ложной тревоги есть вероятность того, что
случайная величина I, определяемая формулой (5-17), пре¬
взойдет порог U0.
Найдем закон распределения величины 6. На основании
формул (1-12) можно записать:
«ш (0 = £ишА(0:
k=\
ЦС (0 = £ ис Лк
k—\
(5-18)
85
Подставляя эти выражения в (5-17) и учитывая соотно¬
шения (1-12в), получаем:
Так как сигнал uc(t) известен точно, то значения ись
входящие в формулу (5-19), являются величинами не слу¬
чайными.
Ординаты иш k белого шума иш (t) являются статисти¬
чески независимыми случайными величинами с нормальным
законом распределения, нулевыми средними значениями
и дисперсиями, равными N (см. § 1-3).
(5-19), являются также независимыми случайными величи'
нами с нормальным законом распределения, нулевыми сред¬
ними значениями и дисперсиями, равными
Следовательно, величина ?, определяемая формулой
(5-19), также имеет нормальный закон распределения с ну¬
левым средним значением и с дисперсией з? , равной сумме
дисперсий всех п слагаемых, т. е.
где N = N0fB.
Поэтому слагаемые
входящие в сумму
Р®
У 2 ;ic£
е
(5-20)
где
П
Но из (1-12г) следует, что
П
Т
поэтому
2 2 Q
Вероятность того, что 6 превзойдет порог UQi равна:
1 00
Р. = -т=- Г е
л‘т /2^ ]
т. е.
где
и о
оо г2
Рл.,
«1
Р(0) | Q
(5-23)
N,
Найдем теперь вероятность Рпр пропуска сигнала.
Из рис. 5-4 следует, что пропуск сигнала получается
в тех случаях, когда при наличии на входе сигнала, т. е.
при
y(t) = ue(t) + um(t), (5-24)
оказывается
&<С/.. (5-25)
Поэтому вероятность пропуска есть вероятность выпол¬
нения неравенства (5-25), в котором 6 определяется форму¬
лами (5-14) и (5-24), а именно:
т
О
Раскрывая скобки, получаем:
т
(5'26)
о
Первое слагаемое, входящее в это выражение, было
уже исследовано выше [см. формулу (5-17)]; при этом
было найдено, что оно имеет нормальный закон распределе-
87
„ 2 Q
ния с нулевым средним значением и с дисперсиеи .
Поэтому величина S, определяемая соотношением (5-26),
имеет нормальный закон распределения со средним значе-
20 2Q
нием и с дисперсиеи, равной также рт, е, в данном
случае
(«-Я
2
P(6)=;i-« *”< , (5-27)
У 2
где <з£ определяется по-прежнему формулой (5-21).
Поэтому вероятность пропуска, т. е. вероятность того,
что £<£/„, равна:
-Чг1
. Р ' (е Н Л
пр J
—00
После соответствующей замены переменных получаем:
р’>=т]е~'т“г- (5-28)
«а
где
Р( 0)
No [ПР(ис)
а2 = г= .
1/*
Г Л^0
По формулам (5-15), (5-22), (5-23) и (5-28) можно вы¬
числить зависимость вероятностей ошибок Рош, Рлт и Рпр
Р(0)
от отношения р, { априорных вероятностей и отношения
И \llQ)
Q
сигнала к шуму.
Однако в тех случаях, когда допустимые вероятности
ошибок невелики (не превышают 0,1), требуемое отношение
— сигнала к шуму получается настолько большим, что
можно воспользоваться асимптотическим разложением ин¬
теграла вероятностей и существенно упростить формулы.
Можно доказать [Л. 106], что при этом получаются соотно¬
шения:
?=(У 1п?Ь-‘-4+/<5-29»
где
9 = #-- (5-30)
Л,р Р(0)
Рлт~Р(ис) ■
Из формул (5-15) и 5-31) следует, что при этом
(5-31)
РЛ.Т 2Р (0) ’ Рпр 2Р (ис) • (5-32)
Если заданы априорные вероятности Р(0) и Р(ис) й до¬
пустимая полная вероятность Рош ошибки, то по формулам
(5-32) можно вычислить допустимые вероятности Рлт и Рпр
и затем определить по формуле (5-29) требуемое отноше¬
ние q сигнала к шуму.
Часто по условиям задачи априорные вероятности Р(0
и Р(ис) неизвестны. При этом формула (5-15) полной ве¬
роятности Рош теряет смысл, и следует задаваться не до¬
пустимой величиной Рош, а допустимыми вероятностями
Рл т и Рпр ложных тревог и пропусков сигнала.
При выводе формулы (5-29) предполагалось, что поро¬
говое смещение £/„ на выходе оптимального приемника
определяется формулой (5-13), а именно:
и =ln-m+
0 Я (ис) ' ■
Поэтому, если априорные вероятности Р(0) и Р(ис) неиз¬
вестны и мы задаемся непосредственно условными вероят¬
ностями Рл т и Рпр, то в этой формуле в соответствии
89
с выражением (5-31) отношение
р
на т. е. полагать
^Л.Т
следует заменить
(5-33)
Если ^.^0,1 и Рпр< 0,1, то погрешность в определе¬
нии q по формуле (5-29) не превышает 0,5 дб. При
Рл т—* 0 и Рар—► 0 погрешность этой формулы также асимп¬
тотически стремится к нулю.
Из приведенных выше формул следует, что при бинар¬
ном обнаружении сигнала надежность обнаружения (вероят¬
ности ошибок) не зависит от формы сигнала ис (t), и зависит
лишь от его энергии Q.
5-3. РАСПОЗНАВАНИЕ ДВУХ НЕНУЛЕВЫХ СИГНАЛОВ
Выше был рассмотрен случай, когда один из двух воз¬
можных сигналов [й0(0 и их(/)] тождественно равен нулю.
Аналогичным способом можно рассмотреть и более общий
случай, когда оба возможных сигнала и, (t) и иа (/) явля¬
ются ненулевыми сигналами. В. А. Котельников получил
для этого случая следующие результат^ [Л. 1].
Полная вероятность Рош ошибки равна:
Рош= Р (и,) Р (и2 вм. их) -f Р (иа) Р {иг вм. иа), (5-34)
где Р(иг) и Р{и2) — априорные вероятности наличия сиг¬
налов иг и «2 соответственно, а Р (йа вм. иг) и Р (и1 вм. иа) —
условные вероятности принятия сигнала иа вместо иг и сиг¬
нала вместо иг соответственно. При этом
Р(ма вм. ut) = V (аа1),
(5-35)
где
оо г2
(5-36)
X
(5-37)
90
«*У [«X (0 — и. (01* (5-38)
о
Для нахождения вероятности Р (и1 вм. й2) достаточно
в формулах (5-35) — (5-38) поменять местами индексы 1 и 2.
Анализ этих соотношений показывает, что вероятности
ошибок Р(й2вм. И1), Р (и1 вм. иа) и Рош убывают с ростом
величины а.
Но из формулы (5-38) следует, что величина а макси¬
мальна, если
u2{t) = — Mi(/); (5-39)
поэтому соотношение (5-39) обеспечивает получение мини¬
мальных вероятностей ошибок. При этом сигналы ux(t)
и u2(t) имеют одинаковые энергии
Qi=Q2=Q.
I
где |
Г г } (5-40)
Q1=fe*(0<tt; Qs = f «2 (0dt
б 0
I
2Q_
'N0
(541)
Если сигналы ux{t) и u2(t) имеют одинаковые энергии
(Qg^QJ, но удовлетворяют не условию (5-39), а условию
ортогональности, т. е.
г
!«,(/) «.(*)* = 0, (5-42)
о
то из (5-38) получается:
«■ = £• (5-43)
Наконец, в рассмотренном выше случае бинарного обна¬
ружения, когда один из сигналов (например, и2) тождест¬
венно равен нулю (пассивная пауза), из (5-38) получается:
*•=4- (М4)
91
При телеграфной связи с фазовой манипуляцией
имеет место соотношение (5-39), а при частотной мани¬
пуляции с достаточным разносом частот f\ и /г — со¬
отношение (5-42); бинарное обнаружение соответствует
телеграфной передаче с 'пассивной паузой.
Для получения во всех этих случаях одинаковой
надежности воспроизведения сигналов (т. е. одинаковых
вероятностей ошибок) требуется обеспечить одинаковое
значение параметра а. Но из сравнения формул (5-41),
(5-43) и (6-44) следует, что для .получения одинакового
значения а при частотной манипуляции требуется вдвое
большая, а при пассивной паузе -вчетверо большая энер¬
гия Q сигнала, чем 'при фазовой манипуляции. Следова¬
тельно, частотная манипуляция дает проигрыш в тре¬
буемой энергии в 2 раза, а передача с пассивной пау¬
зой— в 4 раза по сравнению с фазовой манипуляцией.
Однако здесь необходимо сделать примечание, так
как в системах с активной паузой (например, при фазо¬
вой или частотной манипуляции) энергия Q тратится
при передаче любого -из сигналов (и\ или Иг), а в систе¬
ме с пассивной паузой энергия в паузах не расходуется.
Поэтому, если посылки и паузы имеют, например, одина¬
ковую длительность и априорные вероятности Р(и\) и
P(u2) соответственно, то средняя энергия, которая бу¬
дет затрачиваться при «большом числе опытов1, в случае
пассивной паузы равна:
^ср.п.п= Р ^п.п>
тогда как в системах с активной паузой она равна:
^ср а.п= .п*
поэтому
о „ „
-Р(и J
ФсрЛ.П г>, ч ФпЛ
«ср. А Л
$А.п
Отсюда следует, что при Р(иi) < 1; система с пассив¬
ной паузой выгоднее систем с активной паузой (в смыс¬
ле затрачиваемой средней энергии QCp), несмотря на то,
что Qnn в несколько раз больше, чем Ра.п.
1 Здесь каждый опыт состоит в определении того, какой из сиг¬
налов (иг или и2) был принят в течение интервала времени (О, Т),
причем в этом интервале может одновременно существовать лишь
один из этих сигналов.
92
Если P(i^i)=0,5, т. е. посылки и паузы равновероят¬
ны, то с точки зрения 'средней энергии QCp системы
с 'пассивной паузой и с частотной манипуляцией эквива¬
лентны, а система с фазовой манипуляцией дает по
сравнению с ними экономию энергии в 2 раза.
Очевидно также, что фазовая манипуляция лущие
частотной как в смысле энергии Q каждого 'сигнала, так
и в смысле средней энергии Qcp.
5-4. РАСПОЗНАВАНИЕ т ОРТОГОНАЛЬНЫХ
РАВНОВЕРОЯТНЫХ СИГНАЛОВ, ИМЕЮЩИХ
ОДИНАКОВУЮ ЭНЕРГИЮ
В общем случае сигналов (или сообщений) с многи¬
ми дискретными значениями расчет чувствительности
приемника получается весьма сложным. Поэтому
В. А. Котельниковым расчет проведен лишь для не¬
скольких частных случаев, из 'которых наиболее суще¬
ственным является случай распознавания т ортогональ¬
ных равновероятных сигналов, имеющих одинаковую
энергию.
При этом предполагается, что сигнал на входе прием¬
ника может иметь одно из т возможных.значений ux(f),
«2(*),.••, «„ДО-
Все возможные сигналы имеют одинаковую энергию
Qx=Qb== •. • = Qm= Q
и удовлетворяют условию ортогональности, т. е.
г
uk(t)u[(t)dt = 0 при 1фк (5-45)
о
Так как все сигналы имеют одинаковую энергию, то
вероятность Р(и0) нулевого сигнала равна нулю. Все нену¬
левые сигналы равновероятны, т. е. априорная вероятность
наличия каждого сигнала равна:
Р (и.) = Я («,) = ... = Р (ит) =-1-. (5-46)
Важнейшими частными случаями ортогональных сигналов
являются сигналы, которые не перекрываются во времени
93
(рис 5-5) или по частотным спектрам /хотя, вообще говоря,
ортогональными могут быть й такие сигналы, которые
перекрываются и по времени и по частотным спектрам,
. 2л 2п л
например sin у-г и cos-у-м.
Задачей приемника является распознавание сигналов,
т. е. определение того, какой именно из т возможных сиг¬
налов присутствовал на входе
приемника в течение интервала
наблюдения (О, Т). При этом ин¬
тервал Т выбирается таким обра¬
зом, чтобы он охватывал все воз¬
можные положения сигналов
И/ДО-
Так, например, если возмож¬
ные ортогональные сигналы имеют
вид, изображенный на рис. 5-5,
то должно быть
Т = тъ,
(5-47)
каждого
Рис. 5-5.
t где х — длительность
— сигнала.
В рассматриваемом случае
справедлива общая схема опти¬
мального приемника, изображен¬
ная на рис. 5-2, но нулевой канал В0 должен отсутство¬
вать.
В блоке СВ сравниваются обратные вероятности
Ру (Uj)... Ру (ит) всех т возможных сигналов и выбирается
тот сигнал ик9 обратная вероятность Py(uk) которого ока¬
зывается наибольшей.
Вероятность Ру(ик) в общем случае определяется фор¬
мулой (5-4). В данном случае P(uk) и Qk не зависят от k,
и формула (5-4) может быть записана в следующем виде:
где
(5-48)
94
Здесь Кг — постоянный множитель, не зависящий от но¬
мера k.
Найдем вероятность Рправ правильного распознавания
сигнала. Она определяется в общем случае формулой (5-8).
В рассматриваемом случае имеют место соотношения (5-46);
кроме того, в силу идентичности всех ненулевых каналов
должно выполняться условие
р., (*.)=■р„ <«.)=••■=■р,т («.)• <и9)
Поэтому формула (5-8) упрощается и принимает вид:
/>пра.= /,.*Ю
(5-50)
Здесь /*(«*) есть вероятность того, что при наличии
на входе сигнала и,к приемник воспроизведет именно этот
сигнал ик, т. е. что наибольшей окажется величина Py(uk).
Следовательно, для вычисления вероятности Р]]рав по
формуле (5-50) нужно предположить, что на входе имеется
сигнал uk(t), т. е.
Р(0 = **(0 + иш(0-
(5-51)
Подставляя (5-51) в (5-48) и учитывая условие ортого¬
нальности (5-45), получим:
(5-52)
95
т
Выше было найдено, что величина дг j* иш (0 uk (t) dt
о
имеет нормальное распределение с нулевым средним значе¬
нием и дисперсией — [см. формулы (5-17) и (5-21)].
No
Следовательно, в рассматриваемом случае, когда сигна¬
лы имеют одинаковую энергию Q, все величины ?i, ?»,••• »5т
(за исключением lk), определяемые формулами (5-52), имеют
одинаковый закон распределения с нулевым средним значе¬
нием и дисперсией
«?=£• (мз)
Величина lk также имеет нормальное распределение
« 2 2 Q
с дисперсиеи , но ее среднее значение равно др-, а не
нулю:
Г.=1г <М4>
Кроме того, можно доказать, что в силу ортогональ¬
ности сигналов m(t), ..., um(i), случайные величины |ь
S2,im 'статистически независимы.
Правильное воспроизведение будет иметь место, если
наибольшей окажется вероятность Pv(uk), т. е. если
из всех величин £i, |г,..., £т наибольшей окажется
Это значит, что если параметр окажется равным ка¬
кой-то величине z ('безразлично какой), то все осталь¬
ные (т—11) величин £i, i(кроме tk) должны
быть меньше г.
Следовательно, вероятность Рправ есть вероятность
того, что если ih=z (где z .может быть любым), то все
остальные (т—;1) величин £i, |г,..., (кроме |ь)
меньше z.
Так как величины ..., \т статистически независимы
и имеют одинаковый закон распределения, то вероят¬
ность того, что все (т—1) таких величин одновременно
окажутся меньшими1 z, равна:
[Р(5/<2)Г‘1, (5-55)
где l=fck.
96
Вероятность того, что величина \k находится в пределах
от 2 до z-\-dz, равна:
где Wк (?А)— закон распределения величины \k.
Величина независима по отношению ко всем осталь¬
ным величинам ^..., 1т (кроме 1к).
Поэтому вероятность того, что одновременно выпол¬
няются соотношения
Так как для правильного воспроизведения безразлично,
какое значение имеет г, то
Здесь WK (г) — плотность вероятности величины %k, а
P(lt< г) — вероятность того, что (где 1фк).
В рассматриваемом случае, учитывая приведенные выше
замечания о законах распределения величин ?2, . . . ,
• • • * 5ш> имеем:
Wk(z)dz,
(5-56)
< 2 (где I ф к)
и
равна:
^ = 2+ 2-J-dz
dP=[P(?z<2)f-Vft(2)d2.
ОО
^„рав = j 1Р 6 < г)Г(2)d2- (5-57)
—ОО
(5-58)
7 Л. С. Гуткин
97
Подставляя (5-58) в (5-57), получаем:
(5-59)
где
Вычисления по этой формуле возможны лишь путем
численного интегрирования. Однако, если вероятность Рощ
ошибки мала СРОШ<0,1), выражение (5-59) можно суще¬
ственно упростить, воспользовавшись асимптотическим раз¬
ложением интеграла вероятностей V (х). При этом выра¬
жение (5-59) сводится к приближенной формуле [Л. 106]:
Погрешность этой формулы не превышает 1 дб,
если Рош <0,1.
5-5. СЛУЧАИ m-КАНАЛЬНОГО ПРИЕМНОГО УСТРОЙСТВА
Интересно отметить, что соотношения, полученные
выше для приема одного из т ортогональных .равно¬
вероятных 'Сигналов с одинаковыми энергиями, справед¬
ливы также для m-канального приемного устройства,
блок-схема которого изображена «а рис. 5-6.
Это приемное устройство состоит из т идентичных
каналов, на входе которых действуют независимые ста¬
ционарные напряжения шума um\(t), «шг(0 umm(t)
(н.ан'ример, .внутренние шумы этих каналов) с нормаль¬
ными законами распределения, нулевыми средними_зна-
чениями и одинаковыми дисперсиями N (где N=u2mk).
Сигнал uc(t), форма которого известна точно, может
присутствовать на входе одного из этих каналов с рав¬
ной вероятностью) —^ Задачей приемного устройства
\ т У
является определение, на входе какого именно капала
98
0.~21пр! [-In (т— 1) — 2,8. (5-60)
0 * ОШ
присутствует сигнал в течение данного интервала на¬
блюдения (О, Т). Для решения этой задачи приемник
располагает реализациями yi(t), y2(t) ym(t) входных
Рис. 5-6.
-напряжений (рис. 5-7). Известно, что одна из этих ре-
ализаций содержит сумму шума ышь(!0 и сигнала uc(t),
а остальные {m—1) реализаций содержат только шумы.
Требуется определить, «акая 'именно
из этих реализаций содержит сигнал.
При этом предполагается, что сигнал
длится в течение воего времени
Т = х.
Так как шум стационарен, то мож¬
но расположить реализации у\(/),...,
Ут(t) не © пространстве, а во времени,
как показано на рис. 5-8. При этом за¬
дача сводится к тому, чтобы опреде¬
лить, на каком из т участков полной
реализации y(t) находится сигнал,
имеющий длительность т, или, что то
же самое, определить, какой из т не-
перекрывающихся во времени (ортого¬
нальных) сигналов при'оутстйует в этой
реализации.
7* 99
Рис. 5-7,
Рис. 5-8.
Эта задача была рассмотрена выше, причем было
найдено, что для ее решения должно быть произведено
сравнение обратных вероятностей Ру(ии) или, что то же
самое, сравнение величин и выбор наибольшей из них.
Поэтому в m-канальном приемнике (рис. 6-6) для
наилучшего решения задачи каждый канал также дол¬
жен состоять из вычислителя величины 1ь, т. е. из кор¬
релятора, определяющего по формуле
г
Ъ = Ж'\Уь«)*Л*)*, (5-61)
о
где i)h{t) —колебание на входе канала с номером k.
В блоке СВ 'производится сравнение величин £ь £2,..., 1 п
и выбор наибольшей из них. В результате выбора при¬
нимается решение, что сигнал присутствует на входе
того канала, в котором величина оказалась наи¬
большей.
, Так «ак сигнал может присутствовать лишь в одном
из каналов, например во втором канале, то лишь в этом
канале yu{t) будет состоять из суммы сигнала и шума:
0,(<) = «ша(О + Ис(*);
во всех же остальных каналах будет:
= (ПРИ кф2).
Нетрудно убедиться, что при этом величины £ь
|г,..., im имеют точно Такой же вид, как. и в случае m
ортогональных сигналов {см. выражения (5-52)]. Поэтсь
му остаются справедливыми и 'формулы (6-57), (5-59)
и (5-60), если в них под пг .понимать число каналов
приемника, а под вероятностью Рщтв — вероятность пра¬
вильного указания канала, в котором присутствует
сигнал.
100
Глава шестая
ПРИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
6-1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
При приеме отдельных значений непрерывных сооб¬
щений .полагается, что сообщение х Является непре¬
рывной случайной величиной, которая в течение интер¬
вала наблюдения (О, Т) постоянна, а от одного интерва¬
ла к другому меняется по случайным законам с априор¬
ным распределением вероятностей Р(х). Пределы
возможных изменений сообщения, дгмин и лгМакс, полагают¬
ся известными.
В. А. Котельников для удобства полагает, что
При этом в соответствии с условием нормировки должно
быть:
Приемник вычисляет распределение Ру(х) обратных ве¬
роятностей, определяемое формулой (4-11), и выдает на
выходе то значение хуа сообщения, при котором функция
Ру{х) максимальна.
В. А. Котельников предполагает для простоты, что все
значения сообщения равновероятны, т. е.
—1
Р (л) — const.
При этом выражение (4-11) принимает вид:
г
(6-2)
Pu(x) = kte 0
(6-3)
101
где константа ki находится из условия нормировки
Допущение о равновероятности всех значений сооб¬
щения существенно упрощает анализ и оправдано, кро¬
ме того, следующими соображениями:
1. В ряде случаев все значения сообщения действи¬
тельно равновероятны.
2. Часто о законе распределения Р{х) нет совершен¬
но никаких сведений. При этом допущение о равно¬
вероятности всех сообщений является обычно наиболее
естественным.
3. В ряде случаев равномерное распределение Р(х)
является наименее 'благоприятным, т. е. требует при
приеме наибольшей энергии сигнала (см. об этом по¬
дробно в гл. 17). 'Следовательно, полагая распределе¬
ние Р(х) равномерным, мы исследуем тем самым
наихудший случай.
4. Ниже будет доказано (гл. 18), что цри требовании
высокой точности воспроизведения сообщений, т. е. при
большом отношении сигнал/шум, структура оптималь¬
ного приемника и его чувствительность практически не
зависят от вида априорного распределения Р(х). Поэто¬
му при большом отношении сигнал/шум вполне допу¬
стимо для упрощения анализа полагать распределе¬
ние Р(х) равномерным, даже если известно, что это
распределение может быть существенно неравномерным.
Так как наиболее подробный анализ приема непре¬
рывных сообщений Котельникову удалось провести лишь
для больших значений отношения сигнал/шу.м, то сде¬
ланное им допущение (6-2) является особенно оправ¬
данным.
Из (6-3) следует, что наивероятнейшее значение хув
сообщения должно удовлетворять уравнению
(6-4)
(6-5)
где
г
о
102
В развернутом виде уравнение (6-5) имеет вид:
([»«)-“,„ (01 [^],„) = 0. (6-7)
Далее Котельников находит вид функции Ру(х) вблизи ее
максимума, т. е. вблизи наивероятнейшего значения х ,
При х, близком к хун, можно полагать:
(0=к, „(0+ (•*-*».) Г4г],„ „ <м)
Подставляя это выражение в формулу (6-3) и учитывая
соотношение (6-7), получаем:
Ру{х) = к,е~Нх~хун)\ (6-9)
где
a k, — константа, не зависящая от х и определяемая из
условия нормировки:
1. (6-П)
-I
Если интенсивность 'помехи No достаточно мала (или
если велико отношение сигнал/шум), то показатель сте¬
пени в выражениях (6-3) и (6-9) за пределами области,
в которой справедливо равенство (6-8), становится по
абсолютной величине настолько большим, что величиной
1\(х) за пределами этой области можно пренебречь.
При этом можно считать, что распределение (6-9) спра¬
ведливо в области всех возможных значений х (а не
только вблизи Хун), и в интеграле (6-11) можно заме¬
нить пределы на —оо и оо. Тогда из формулы (6-11)
получаем:
‘•=/тг-
103
Следовательно, при большом значении отношения
сигнал/шум распределение Ру (х) имеет вид гауссовой
кривой
Ру{х) = У^-е~Ь(х~Хук)\ (6-12)
где
. г /\дихУ) I2 \
°~Nt \L дх }XyJ-
Качество воспроизведения сообщения характеризуется
ошибкой
5 = у— ху —х. (6-13)
Так как под х здесь понимается сообщение, нормиро¬
ванное таким образом, что его максимальная величина
равна единице, то соответственно нормированной оказы¬
вается и ошибка 8.
Средний квадрат ошибки равен:
Г‘ = (хун-хГ = М(ХуН-ху. (6-14)
В это выражение входят две случайные величины —х
и хуи; при этом величина хун случайна потому, что она
зависит от вида реализации у (t) суммы сигнала и шума
(рис. 4-2).
Найдем сначала условный средний квадрат ошибки,
определяемый соотношением
?Jl=My (хун — хУ= — xfPy{x)dx. (6-15)
Из этого соотношения следует, что величина Ь2у нахо¬
дится для данной реализации у, т. е. что 8 2у является услов¬
ным математическим ожиданием Му квадрата ошибки.
Введение величины 8* удобно потому, что для ее опре¬
деления достаточно знать лишь условное распределение
Р (х), которое уже было определено выше.
Для вычисления безусловного среднего квадрата 8* ве¬
личина 8* должна быть в свою очередь усреднена с исполь-
104
зованием многомерного распределения Р (у) случайной
функции y(t). Это второе усреднение наталкивается в об¬
щем случае на большие трудности. Однако, как доказал
Котельников, при достаточно большом отношении сиг¬
нал/шум величина Ь2у оказывается практически не завися¬
щей от у и, следовательно, можно полагать:
Действительно, при малых помехах из (6-12) и (6-15)
получается:
где b определяется формулой (6-10) и оказывается вели
чиной, не зависящей от ху н, а следовательно, и от у
(см. ниже). Поэтому при малых помехах можно полагать:
Из формул (6-10) и (6-17) следует, что среднеквадра-
т. е. среднего (за время Т) квадрата частной производной
от сигнала ux(t) по сообщению х. Такой результат вполне
понятен, так как чем больше эта частная производная, тем
большее изменение формы колебаний их (t) вызывается не¬
большим изменением Дх сообщения х. Поэтому тем больше
должна быть величина помехи, чтобы приемник сделал
ошибку в обнаружении этого истинного изменения сообще¬
ния.
тем выше помехоустойчивость приемника.
Из соотношений (6-12) и (6-13) следует, что при малых
помехах
Так как при малых помехах величина b не зависит
от у, то для таких помех получается:
(6-16)
(6-17)
тичная ошибка убывает с ростом величины
Следовательно, чем больше величина
т. е. ошибка 8 имеет нормальный закон распределения
Р. (8) с дисперсией, равной S2.
Поэтому при малых помехах вероятность того, что
ошибка 8 превзойдет по абсолютному значению величину е,
равна:
где V (х) — интеграл вероятностей, определяемый форму-
Следующий важный вывод, который Котельников по¬
лучил для малых помех, состоит в том, что приемник-,
действующий по описанному выше .принципу максималь¬
ной обратной вероятности, дает минимально возможную
среднеквадратичную ошибку. Доказательство этого по¬
ложения мы здесь не приводим, так мак оно может быть
получено как частный случай более общих теорем,
сформулированных в гл. 18.
Итак, для малых помех, т. е. для большого отношения
сигнал/шум, Котельниковым получены следующие важ¬
ные результаты:
1. Приемник, действующий по принципу максималь¬
ной плотности обратной вероятности, обеспечивает мини¬
мально возможную среднеквадратичную ошибку. Эта
среднеквадратичная ошибка 6~2 определяется формула¬
ми (6-17) и (6-10).
2. Ошибка б подчиняется нормальному закону рас¬
пределения с нулевым средним значением и диспер¬
сией б-2 [формула (6-18)].
Для произвольного отношения сигнал/шум Котельни¬
кову удалось найти лишь нижнюю границу вероятности
ошибки, определяемую неравенством:
(6-19)
лой (5-36).
1—«
HI—)
где
г
о
u(x0^ze,t) — значения функции ux(t) при х = х0±е.
106
В ряде случаев a.t не зависит от х0. При этом фор¬
мула (6-20) упрощается и принимает вид:
P(|S|>e)>2(l-s)V(ai). • (6-20а)
На основании полученных общих соотношений Ко¬
тельников произвел сравнение различных видов модуля¬
ции и способов приема. Ниже приводятся основные ре¬
зультаты этого анализа.
6-2. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ МОДУЛЯЦИИ
И СПОСОБОВ ПРИЕМА
В случае амплитудной модуляции (AM)
ux(t) = (l + Mx)B(t) (6-21)
и
ди„ (/)
Поэтому формула (6-10) преобразуется к виду:
b = f-^B*{t)dt=^ , (6-22)
О
т
где Q0 = J В2 (t) dt есть энергия несущего колебания В (t),
а
т. е. энергия сигнала при отсутствии модуляции.
Подстановка соотношения (6-22) в формулу (6-17) дает:
*=як- <6-23>
В случае частотной модуляции (ЧМ)
их (0 = cos [К + Q*) * + ?.]• (6-24)
При малых помехах средний квадрат ошибки Ьа опреде¬
ляется формулами (6-12) и (6-17), т. е.
Г* _ (6-25а)
<Ш)'
2 Т
\ L j /
107
где
<[^о-+Т[^],а <б-25б)
11
При некоторых видах сигналов результат усреднения
по формуле (6-'25б) не зависит от момента ti, в который
начинается наблюдение сигнала, и величину t\ можно
выбирать любой, например считать, что ^i=0, как это
принималось выше, или полагать t\=—Т/2. Однако
в рассматриваемом случае частотной модуляции сигна¬
ла величина t\ существенно влияет на результат усред¬
нения (см. ниже).
Действительно, из соотношений (6-24), (6-25а) и (6-256)
получается (при юТ > 1):
5* = ^ 5—. (6-26а)
2Q22(r2 + Zt,T + 3/^)
Это выражение имеет максимум .при
ti= 2~"’
при этом получается:
т —
Когда t1 ]> —. ~2~, ошибка Ь2 с увеличением tl монотонно
уменьшается.
Следовательно, отодвигая момент tt начала наблюдения,
можно в принципе сделать ошибку воспроизведения ' сооб¬
щения сколь угодно малой.
Этот результат объясняется следующим образом.
Двум значениям xt и х2 сообщения х соответствуют
сигналы
uxi (0 = / 2 cos [(., + Ox:,) t + 90]
И
Ux2 W = U»V* C0S КШо + а*2) < + *.]•
Разность фаз этих сигналов равна:
Af = Q(xa — x1)t = AxCit, (6-26в)
где Ах=хг— хг.
108
Следовательно, сигналы ux\{i) и uX2(t) различаются
не только по частоте, но и по фазе высокочастотного за¬
полнения. При этом из выражения (б-2бв) видно, что
если начать наблюдать колебания uxi{t) и uX2(t) через
достаточно 'большое время t после того, как произошло
изменение частоты, то даже весьма небольшое измене¬
ние Ах сообщения будет вызывать весьма большое изме¬
нение фазы сигнала.
В связи с этим наряду с частотной модуляцией сиг¬
нала имеет место фазовая модуляция, и эта фазовая
модуляция позволяет хорошо обнаруживать даже весь¬
ма малые изменения сообщения х, 'если момент t нача¬
ла наблюдения выбирать достаточно поздним.
Однако практическая реализация весьма большой
помехоустойчивости, имеющей место при больших значе¬
ниях t\, затрудняется следующими обстоятельствами:
1. Поскольку повышенная помехоустойчивость дости¬
гается .за счет фазовой модуляции, начальная
фаза фо высокочастотного заполнения сигнала должна
быть в месте приема точно известна, что в большинстве
практических случаев не имеет места.
2. С увеличением t\ возрастает запаздывание в вос¬
произведении сообщения приемником.
3. Формула (6-26а) справедлива лишь при большом
отношении сигнал/шум и, как показал выполненный
Котельниковым анализ, чем больше tu тем больше
должно быть отношение оиг.нал/шум, чтобы выигрыш,
даваемый формулой (6-26а), действительно имел место.
Ниже доказывается (см. § 13-3), что в тех случаях,
когда фаза фо в месте приема неизвестна, ошибка &2
определяется формулой (6-266). Поэтому наибольшее
практическое значение имеет именно этот случай, и
в дальнейшем мы будем полагать, что при ЧМ сигнале
ошибка воспроизведения сообщения определяется фор¬
мулой (6-266).
Из сравнения формул (6-266) и (6-23) следует, что
ЧМ дает существенный выигрыш по сравнению с AM
лишь при
Q7> 1. (6-27)
Но при Qr > 1 полоса частот, занимаемая возмож¬
ными (ожидаемыми) сигналами, оказывается в слу¬
чае ЧМ значительно шире, чем в случае AM.
109
Действительно, пусть несущее колебание имеет вид
синусоиды частоты /с, длящейся в течение всего -интер¬
вала наблюдения (рис. 6-1,а). Спектр такого колебания
изображен на рис. 6-1,6.
Основная часть этого
спектра имеет ширину
Яс, где
Л
(6-28)
Если такой сигнал
модулирован сооб¬
щением х тю амплиту¬
де, то при всех значе¬
ниях х форма ‘спе-ктра
остается неизменной —
меняется лишь мас¬
штаб по оси’ординат
в-сей кривой E(f) [так
как ,в течение интерва¬
ла (О, Т) -сообщение х
постоянно и меняется
лишь от одного интер¬
вала наблюдения к
другому]. Поэтому по¬
лоса пропускания оп¬
тимального .приемника должна быть примерно равна Яс:
(6-29)
П
В случае ЧМ частота синусоиды меняется в пределах от
/;=/с_ “-до /с' = /с + !г- Поэтому при крайних зна¬
чениях сообщения (х — —1 и х=\) спектры ожидаемых
сигналов имеют вид, изображенный на рис. 6-1,8, и опти¬
мальный приемник должен иметь полосу
П'
■Й--
(6-30)
Из (6-29) и (6-30) следует, что
П' _ t , QT
П "Т” п ’
110
и при QT > 1 получается:
гг_ _ от
П п
> 1.
(6-31)
Таким образом, выигрыш, получаемый при ЧМ по
сравнению с AM. создается лишь за счет расширения по¬
лосы пропускания 'приемника. Но при расширении поло¬
сы пропускания возрастает интенсивность помехи, а для
больших помех формула 6-26,6) перестает быть справед¬
ливой. Приближенный анализ случая больших помех,
проведенный Котельниковым с помощью неравенства
(6-20а), показал, что при больших помехах выигрыш,
получаемый при ЧМ, по сравнению., с AM уменьшается,
причем это уменьшение оказывается тем значительнее,
чем больше £27\ Следовательно, преимущества ЧМ по
сравнению с AM в случае оптимальных приемников
имеют тот же характер, что и в случае известных реаль¬
ных приемников: применение ЧМ позволяет получить
существенный выигрыш в отношении действия помех
лишь за счет расширения полосы пропускания прием¬
ника, и этот выигрыш может быть реализов-ан лишь при
достаточно большом отношении сигнал/помеха, т. е.
лишь при высоких требованиях к качеству воспроизве¬
дения сообщения.
В случае время-импульсной модуляции
(ВИМ) огибающая высокочастотного импульса сме¬
щается во времени, не изменяя своей формы, в зависи¬
мости от передаваемого сообщения х, т. е.
Так как время наблюдения Т должно охватывать все
возможные положения импульса при изменениях х от — 1
до 1, то величина %0 должна удовлетворять условию (рис. 6-2):
и
X
(О = Um(t—%x) cosЫ + ?). (6-32)
**« + \ — т’
где ти — длительность импульса.
Если
(6-33)
Т
то
(6-33а)
ill
Из соотношений (6-10), (6-17), (6-32) и (6-33а) полу¬
чается следующая формула для определения среднеквад¬
ратичной ошибки при большом отношении сигнал/шум:
(6-34)
Рис. 6-2.
[При выводе этой формулы предполагалось, что огибающая
Um(t) является медленной функцией времени по сравнению
с cos(a>0/-f-cp)].
Если сигнал имеет прямоугольный частотный спектр
(рис. 6-3), то его огибающая выражается уравнением
ад=".т!г-
(6-35)
Подставляя это выражение в формулу (6-34) и полагая
получаем:
82
Q7> 1,
12jV«
(6-36)
(6-37)
Рис. 6-3.
Удельная энергия Q сигнала в дан¬
ном случае равна:
<6’38>
Поэтому формулу (6-37) можно записать в следующем
виде:
С учетом соотношений (6-33а) и (6-36) получаем:
(6-40)
Сравнение соотношений (6-266) и (6-40) показывает,
что при сделанных допущениях помехоустойчивость при
ВИМ и ЧМ получается одинаковой. При больших поме¬
хах свойства ВИМ и ЧМ также примерно совпадают:
выигрыш, создаваемый ВИМ, по сравнению с AM (или
амплитудно-импульсной модуляцией АИМ) уменьшает¬
ся и тем значительнее, чем больше Q7\
Сравнение помехоустойчивости оптимальных и реаль¬
ных приемников при болышом отношении сигнал/шум
приводит к следующим значениям:
1. При амплитудной модуляции приемник с обычным
амплитудным детектором и правильно выбранной поло¬
сой пропускания (/7^;-^-) обеспечивает помехоустойчи¬
вость, близкую к оптимальной.
2. При время-импульсной модуляции реальный
приемник также может обеспечить помехоустойчивость,
близкую к потенциальной, если в этом приемнике поло¬
са пропускания выбрана оптимальной и отсчет положе¬
ния во времени огибающей импульса производится
с учетом смещения как переднего, так и заднего фронта
этой огибающей [JI. >1].
6-3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Полученные результаты приобретают большую на¬
глядность при использовании геометрических образов
в /г-мерном пространстве. Впервые /г-мерная геометрия
была применена в теории приема сигналов В. А. Котель¬
никовым [Jl. 1], а затем и рядом других авторов, в том
числе А. А. Харкевичем [Л. 4].
Геометрическая интерпретация основана на исполь¬
зовании разложения (1-12), которое в данном случае
удобно привести к следующему виду:
П
(6-41а)
k=i
8 Л. С. Гут кин
113
где
J (t)dt=0 при 1фк\ I
(6-416)
г I ♦?(()<«= 1-
о
(6-41в)
n т
(6-4 lr)
Величины f'k и отличаются от fk и постоянными мно¬
жителями и оказываются более удобными потому, что сред¬
ний квадрат величины $'к равен единице, а сумма квадра¬
тов ординат fk равняется энергии Q колебания f(t).
Функции ф* (0 являются стандартными (известными)
единичными ортогональными функциями времени. Поэтому
из выражения (6-41а) следует, что любая функция времени
(с ограниченным спектром) полностью определяется п своими
значениями /[, /' ,..., f'n , которые могут рассматриваться
как координаты функции .f(t) в некотором воображаемом
n-мерном пространстве. При этом функции ^ (/) могут рас¬
сматриваться как единичные направляющие ортогональные
функции, т. е. орты.
Пространство, имеющее больше трех измерений, изобра¬
зить на чертеже невозможно, но качественно (условно) его
можно представить, как показано на рис. 6-4. На этом ри¬
сунке ^ » ••••К — единичные векторы соответствую¬
щих координатных осей (орты), f[ , f2, ..., f'n—координа¬
ты точки Л1( т. е. конца вектора rlt или составляющие
этого вектора вдоль осей координат.
Следовательно, точка Л, (вектор гх) соответствует не¬
которой функции времени fi(t). Другая функция времени,
имеет другую комбинацию координат f[ , /2,..., fn
и, следовательно, ей соответствует какая-то другая точка Аг
(вектор г2) в я-мерной системе координат.
114
Длина вектора г в ортогональной системе координат
равняется квадратному корню из суммы квадратов его со¬
ставляющих; следовательно,
r = V fl2 + f22 + --- + fn2=Vb> (642)
т. е. длина вектора г, соответствующего колебанию f(t),
равняется квадратному корню из энергии этого колебания.
Рассмотрим сначала прием дискретных сообщений.
В этом случае сигнал может иметь одно из т ненулевых
значений ut(t), u2(t),..um(t) с соответствующими энер¬
гиями Qlt Qi,.. Qm- В «-мерном пространстве этим воз¬
можным сигналам соответствуют некоторые точки и„
«г. • • •* и,п (Рис- б'5)- Пусть, например, в течение данного
интервала наблюдения (О, Т) на входе приемника присутст¬
вует сигнал иг (t). В связи с наличием шума суммарное ко¬
лебание у (() на входе приемника равно:
У(0 = и.(0 + »ш(0-
Так как колебание y(t) отличается от иг (t) на величину
напряжения шума иш (/), то соответствующая точка у в
«-мерном пространстве (рис. 6-5) отстоит от точки и2 на рас¬
стояние
&r = \fQ^, (6-43)
где Qm — энергия (удельная) шума, т. е.
Т п
сш=|«ш(ол= !£-]£«»*• <6-44)
О *=1
8* 115
Рис. 6-4.
Рис. 6-5.
Так как напряжение иш (t) является случайной функцией
времени, то величина и направление вектора Дг также слу¬
чайны.
Из (6-44) следует, что
Q ——_ V и2 =— пи2 = f Т
111 2/в Ш пк 2/в в 7—’
k=\ В
Для белого шума
“ N К1
Цшк f
/ В
Qm = NJBT. (6-45)
Следовательно, для белого шума
Д rck=VW= ущ = \/щ (6-46)
где A rCk — среднеквадратичное значение расстояния А г
между суммарным колебанием y(t) и истинным сигна¬
лом Uft(tf) {в данном случае u<i{t)].
Из формулы (1-25) следует, что для нормального
белого шума вероятность данной реализации um(t) моно¬
тонно возрастает при уменьшении энергии этой реа¬
лизации и имеет наибольшее значение при Qm=0.
Итак, в n-мерном пространстве колебание y(t) отли¬
чается от истинного сигнала Uk(t) на случайный век¬
тор А г. В случае нормального белого шума наивероят¬
нейшее значение расстояния А г равно нулю, а средне¬
квадратичное значение этого расстояния определяется
формулой <(6-46). Чем больше расстояние А г, тем меньше
его вероятность. Задачей приемника, располагающего
колебанием y{t), является установление того, какой
именно из m возможных сигналов присутствует на входе.
Приемник, действующий по принципу максимальной
обратной вероятности, выбирает каждый раз тот сигнал,
для которого обратная вероятность Ру(х) максимальна.
Если все сигналы равновероятны, то, как следует из
(4-11), величина Ру(х) максимальна, если минимально
выражение
4x)=\[y(t)-ux{t)Ydt- (6-47)
О
116
Следовательно, при равновероятных сигналах прием¬
ник должен каждый раз выбирать тот сигнал ux('t), для
которого величина %(х) минимальна. Но из (6-47) сле¬
дует, что £(*) есть энергия (удельная) разности колеба¬
ний y(t) и ux(t)\ энергиям же в n-мерном пространстве
соответствуют квадраты расстояний. Поэтому при рав¬
новероятных сигналах оптимальный приемник должен
выбирать каждый раз тот сигнал, который расположен
в n-мерном пространстве ближе всего к суммарному
колебанию y(t).
Такой результат вполне понятен. Действительно,
выше было показано, что чем меньше значение расстоя¬
ния А г от колебания y(i) до истинного сигнала ux(t),
тем оно более вероятно. Поэтому, если все ожидаемые
сигналы равновероятны, для получения минимальной
вероятности ошибки следует выбирать в качестве истин¬
ного тот сигнал, который отстоит от колебания y(t) на
наименьшее расстояние.
Рассмотрим теперь прием отдельных значений непре¬
рывных сообщений. В этом случае сообщение х может
иметь любое значение в пределах от —1 до 1; поэтому
совокупность ожидаемых сигналов представляется
в n-мерном пространстве не набором отдельных точек,
а непрерывной многомерной линией, называемой линией
сигналов (рис. 6-6).
Точка у, соответствующая суммарному колеба¬
нию y(t), отстоит от точки х, ^соответствующей сигна¬
лу, несущему истинное сообщение (х), на расстоянии,
равном
Если, как было принято Котельниковым, все значе¬
ния сообщения х равновероятны, то приемник выбирает
в качестве истинного то значение сообщения х, которому
соответствует минимум величины £(х) [формула (6-47)],
т. е. ту точку на линии сигналов, которая находится от
точки у на минимальном" расстоянии (точку хун на
рис. 6-6). При этом получается некоторая ошибка.
Из рис. 6‘6 очевидно, что при данной энергии шума
относительная ошибка будет тем меньше, чем больше
длина всей линии сигналов. Поэтому для повышения
117
x=+t
помехоустойчивости следует стремиться к увеличению
длины линии сигналов.
При амплитудной модуляции от величины х зависит
лишь энергия Q* колебания ux(t), а форма этого коле¬
бания остается неизменной.
Поэтому соответствующая ли¬
ния сигналов имеет вид «-мер¬
ной .прямой, как условно пока¬
зано на рис. 6-7. При глуби¬
не модуляции, равной 100%,
энергия сигнала меняется от
нуля до 4Q0, где Q0 —энергия
несущего колебания.
Увеличение длины линии
сигналов здесь возможно лишь
за счет увеличения энергии Qo
сигнала. Следовательно, в случае AM повышение поме¬
хоустойчивости (уменьшение среднеквадратичной ошиб¬
ки б2) возможно лишь за счет увеличения энергии Qo
(при данной интенсивности поме¬
хи), что полностью согласуется с
полученным выше соотношением
(6-23).
При частотной модуляции
энергия сигнала в процессе мо¬
дуляции не изменяется. Следова¬
тельно, все точки линии, сигналов
должны находиться от начала
координат_на одинаковом рас¬
стоянии YQ, т. е. линия сигналов
должна быть расположена
на поверхности гиперсферы
(в я-мерном пространстве гиперсфера является анало¬
гом сферы трехмерного пространства). Поэтому в слу¬
чае ЧМ линию сигналов можно изобразить условно, как
показано на рис. 6-8, т. е. в виде какой-то линии на по¬
верхности сферы с радиусом, равным у/Q, где Q —
энергия сигнала.
Из сравнения рис. 6-7 и 6-8 ясно, что в случае ЧМ
длина линии сигналов может быть гораздо больше, чем
при AM (при одинаковой энергии сигнала), и-благодаря
этому при малых помехах среднеквадратичная ошибка
118
Рис. 6-6.
Ретс. 6-7
будет значительно меньше. Однако яри больших поме¬
хах выигрыш будет исчезать из-за возникновения так
называемых аномальных ошибок.
Действительно, если энергия шума Qm настолько ве¬
лика, что точка у отбрасывается от точки х, соответ¬
ствующей истинному сигналу (а значит, и истинному
сообщению), на отрезок, превышающий половину рас¬
стояния между соседними витками спирали, то на
кратчайшем расстоянии от у бу¬
дет «е точка хи а точка х2,- рас¬
положенная на соседнем витке
спирали. В этом случае приемник
воспроизведет сообщение х% т. е.
сделает ошибку, соответствую¬
щую не небольшой части витка
спирали, а целому витку. Такая
ненормально 'большая ошибка
называется аномальной. Очевид¬
но, что имеет место ярко выра¬
женный порог возникновения та¬
кой ошибки — небольшое увели¬
чение отношения помехи к сиг¬
налу может .привести к .переходу от нормальной ошибки
к аномальной.
При частотной модуляции уменьшение ошибки мо¬
жет достигаться как за счет увеличения энергии сигна¬
ла Q, так и за счет увеличения числа измерений п. Дей¬
ствительно, с увеличением Q возрастает поверхность ги¬
персферы, а следовательно, и длина расположенной на
ней линии сигнала.
Для пояснения влияния числа измерений рассмотрим
простейшие, изображенные на рис. 6-9 случаи, когда п
рав'но единице, двум и трем. Из этого рисунка видно,-
что при неизменной энергии сигнала Q, т. е. при не¬
изменной величине ro= V Q, возможная длина линии
сигнала с ростом п также возрастает. Но n = 2fB7’; сле¬
довательно, в случае ЧМ ошибка должна уменьшаться
как с ростом энергии сигнала Q, так и с ростом числа
измерений, т. е. с ростом произведения полосы /в на
время наблюдения Т. Этот результат полностью согла¬
суется с приведенной выше формулой (6-26,6). С ростом
числа измерений QfvT одновременно возрастает и сред¬
няя энергия шума [см. формулу (6-45)]. Поэтому слиш-
119
Рис. 6-8.
ком большое увеличение произведения fBT будет приво¬
дить к возникновению аномальных ошибок и, следова¬
тельно, к исчезновению выигрыша, даваемого ЧМ по
сравнению с AM.
Таким образом, все выводы, полученные выше ана¬
литическим путем, получают наглядное геометрическое
подтверждение.
В случае ВИМ и других способов модуляции, при ко¬
торых энергия колебания в процессе модуляции остается
неизменной, картина, .изображенная на рис. 6-8, остает¬
ся качественно справедливой, и имеют место аналогич¬
ные результаты — при fBT^> '1 получается значительный
выигрыш по сравнению с AM, но при этом существует
пороговое значение отношений помехи к сигналу, при
превышении которого резко возрастает вероятность ано¬
мальных ошибок.
При рассмотренных выше видах модуляции для
уменьшения среднеквадратичной ошибки (б2) необходи¬
мо увеличивать энергию сигнала или число измерений
2fBT, т. е. полосу пропускания или время наблюдения.
Котельников поставил перед собой задачу выяснить
возможность уменьшения ошибки (б2) при неизменных
энергии сигнала и числе измерений.
Если энергия сигнала и число измерений остаются
неизменными, то гиперповерхность, на которой располо¬
жена линия сигналов, также остается неизменной.
Поэтому необходимое для уменьшения ошибки увеличе¬
ние длины линии сигналов может быть достигнуто лишь
за счет увеличения извилистости этой линии, т. е. за
счет, например, более плотного укладывания витков
120
Рис. 6-9.
опирали. Большей извилистости линии сигналов должен,
очевидно, соответствовать более сложный вид модуля¬
ции сигнала, например двойная модуляция. Поэтому при
неизменных Q и fBT уменьшение ошибки может быть
достигнуто лишь за счет применения более сложных ви¬
дов модуляции. Так как соседние витки спирали (линии
сигналов) оказываются при этом на меньшем расстоя¬
нии друг от друга, то аномальные ошибки будут возни¬
кать при меньшем отношении помехи к сигналу, чем
в случае простой модуляции.
Следовательно, при неизменных Q и fBT уменьшение
ошибки может быть реализовано лишь ори очень малом
отношении помехи к сигналу. Эти качественные резуль¬
таты, вытекающие из «представлений в n-мерном про¬
странстве, были полностью подтверждены Котельнико¬
вым также и количественно.
Так, например, им было доказано, что если приме¬
нить одновременно частотную модуляцию несущей и фа¬
зовую модуляцию огибающей по закону
их (t) = U0 [1 -f- cos (Ц/ H~ ax)\ •cos К + &*)
то увеличение .параметра а позволяет уменьшить ошиб¬
ку (б2) без изменения энергии сигнала и ширины его
спектра. Однако, чем больше а, тем при меньшем отно¬
шении помехи к сигналу возникают аномальные ошибки
и, следовательно, исчезает получаемый три такой слож¬
ной модуляции выигрыш.
Г лава седьмая
ПРИЕМ КОЛЕБАНИЙ
7-1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Под приемом колебаний понимается 'прием сообще¬
ний, меняющихся настолько быстро, что в течение интер¬
вала наблюдения (О, Т) они должны рассматриваться
как функция времени x(t). Котельников предполагает
для простоты, что функция x{t) ограничена предела¬
ми ±1.
Приемник вычисляет распределение Ру(х) обратных
вероятностей, определямое формулой (4-11), и выдает
121
на выходе ту реализацию xyB(t) сообщения, при которой
функция Ру(х) максимальна:
т(0=^н(0- (7-1)
Полагается, что все возможные реализации случайной
функции равновероятны, т. е.
Р (х) = const при |;с| < 1;
Р(х) = 0 при |л:| > 1.
При этом максимум плотности обратной вероятности
соответствует минимуму по х величины
?(л:) = | [у (t) — их (Z)]2 dt. (7-2)
о
Ошибка в воспроизведении сообщения равна:
8 (t)=Y (t)- х (t) = хдн (t) - х (t), (7-3)
T(0 = *(0 + 8(0. (7-4)
Здесь у (t) — колебание на выходе приемника.
Предполагается, что при отсутствии помех приемник не
дает искажений, т. е. получается
Г (t) = x(t);
следовательно, функцию 6(4) можно рассматривать так¬
же, как составляющую выходного колебания y(t), обу¬
словленную действием «томех, т. е. как колебание помехи
на выходе приемника. При этом необходимо лишь пом¬
нить, что поскольку функция x(t) принята нормирован¬
ной таким образом, что она безразмерна и заключена
в пределах ±1, то колебания у (4) и 6(t) также являют¬
ся соответственно нормированными.
Реальное (ненормированное) колебание на выходе
приемника может быть записано в виде:
(0 = «■(*)+ «„*(/). (7-5)
где uB(t) — полезное напряжение на выходе приемника, по¬
лучающееся при отсутствии шума, а ит 8 (t) — дополни-
122
тельная, флуктуационная составляющая, создаваемая дейст¬
вием шума.
Следовательно,
ua(t) = kx{t), (7-6)
где k — некоторый коэффициент пропорциональности.
Пусть £/мй есть максимальное значение выходного коле¬
бания ua(t), имеющие место при х (t) = JCMahC = 1; тогда
из (7-6) имеем:
* = */*• (7-7)
Подставляя (7-6) и (7-7) в (7-5), получаем:
«.ых(0 = «/ив^(0+‘^]- (7-8)
Из сопоставления' выражений (7-4) и (7-8) следует,
что
? <t\ “шй (0
(0 ~п—.
имЯ
т. е.
“™(0=W.»8W- Р-9)
Котельникову удалось довести математический ана¬
лиз до конца лишь при следующих основных допуще¬
ниях:
1. Отношение помехи к сигналу достаточно мало.
2. Сообщение x(t) не содержит частот выше неко¬
торой граничной частоты Fh, которая много меньше
несущей частоты fo сигнала.
3. Структура 'приемника такова, что при отсутствии
помех он воспроизводит сообщение совершенно точно,
а при наличии помех эта структура остается неизменной.
Смысл этих допущений будет рассмотрен ниже.
При указанных допущениях Котельников получил
следующие основные результаты [Л. 1]:
1. Функция 6(0 является стационарным флуктуа-
ционным колебанием, имеющим нормальный закон рас¬
пределения с нулевым средним значением. Поэтому слу-
123
чайная функция 6(/) полностью характеризуется своим
энергетическим спектром1 E2m(f) и
где FH — низшая частота, содержащаяся в сообщении х (t).
2. Приемник, действующий то описанному выше
принципу, т. е. принципу максимальной плотности обрат¬
ной вероятности, обеспечивает получение минимальной
среднеквадратичной ошибки и минимального отношения
шума к сигналу на выходе приемника.
3. Вид энергетического спектра Е2Ш([) зависит от
вида модуляции. Возможные виды модуляции разде¬
ляются на прямые и непрямые. Непрямыми называются
такие системы модуляции, при которых сигнал ux(\t) свя¬
зан с сообщением x(t) с помощью какого-либо операто¬
ра (например, интеграла или дифференциала). Если же
сообщение x(t) входит в сигнал ux(t) непосредственно,
а не под знаком оператора, то соответствующая система
модуляции называется прямой.
При амплитудной модуляции
Следовательно, амплитудная и фазовая модуляции
являются прямыми системами модуляции, а частотная
модуляция — непрямой системой.
Такие непрямые системы модуляций, в которых x(t)
входит под знаком интеграла, называются интегральны¬
ми. Следовательно, ЧМ является интегральной системой
модуляции.
1 Предполагается, что спектр Е*т (f) не содержит отрицательных
частот.
(7-10)
+ Л** (*)] cos (»,* + *.). (7-11)
При фазовой модуляции
их (*)= Uocos К* + тфх (01- (7-12)
При частотной модуляции
ux(t) = Ua cos К* + О J jc (0 dt]. (7-13)
124
Для прямых систем модуляции получается
wry
а для интегральных систем
где <{^ =£*(*)<#.
/1дих 401 *\ ’
\[ »* J /
(7-15)
Для импульсных систем модуляции соответствующие
формулы имеют несколько более сложный вид [Л. >1].
Из формул (7-14) и (7-15) следует, что энергетиче¬
ский спектр помехи на выходе приемника в случае пря¬
мых систем модуляции получается равномерным, а при
интегральной модуляции —параболическим.
Подстановка выражений (7-11) — (7-13) в формулы
(7-14) и (7-15) дает следующие результаты:
при амплитудной модуляции”
при фазовой модуляции
при частотной модуляции
^(ir")2 • (7-18)
Обозначим
= (7*19)
Очевидно, С/ш8 — среднеквадратичное значение колебания
помехи на выходе приемника.
Из формул (7-9), (7-10) и (7-19) следует, что
"me
где у отношение среднеквадратичного значения коле-
ииО
бания помехи к максимальному значению колебания сигнала.
Подставляя выражения (7-16), (7-17) и (7-18) в формулу
(7-20) и полагая для простоты ^н = 0, получаем:
при амплитудной модуляции
МЙ
при фазовой модуляции
£«■—У**.*. .
UM ’ (7‘21)
Ums и»тф
при частотной модуляции
Urn*. 1/2]V7T 2 nFt
В
(7-22)
(7-23)
иы& и* ‘/за’
при синусоидальной ЧМ
Q = 2nA/m (7-24)
ишя _У™*РВ 1_
^мй V 3 т3
(7-25)
где
тэ =-]Г- (7-26)
есть индекс модуляции, а Дfm — девиация частоты.
Формулы (7-21) и (7-26) совпадают с соответствующими
формулами для реальных приемников AM, ФМ и ЧМ сиг¬
налов соответственно.
Примечание. 1. Под реальными приемниками ЧМ (ФМ)
сигналов здесь и далее понимаются приемники, состоящие из уси¬
лителя высокой частоты, ограничителя амплитуды, частотного (фа¬
зового) детектора и усилителя низкой частоты. Под реальным
приемником AM сигналов понимается приемник, состоящий из уси¬
лителя высокой частоты, амплитудного (несинхронного) детектора
и усилителя низкой частоты. В реальном приемнике AM сигналов
с синхронным детектРрРМ формула (7-21) справедлива не только
126
при малом, но и практически при любам отношении помехи к сиг¬
налу.
Примечание 2. Строго говоря, для реальных приемников
соотношения (7-21) —(7-25) имеют место, лишь если при вычисле¬
нии напряжения UmQ шума сигнал полагается немодулированным.
Поэтому они точны лишь при малой глубине модуляции сигнала,
т. е. при малых М, Шф и тэ. Однако приближенно их можно счи¬
тать справедливыми и при больших значениях М, m«j> и тэ.
Следовательно, при малом отношении помехи к сиг¬
налу помехоустойчивость реальных приемников AM, ФМ
и ЧМ сигналов совпадает с потенциальной помехоустой¬
чивостью. Отсюда следует также, что преимущества фа¬
зовой и частотной модуляции по сравнению с амплитуд¬
ной в случае оптимальных приемников получаются та¬
кими же, как в случае реальных приемников, — примене¬
ние фазовой или частотной модуляции обеспечивает при
малых помехах выигрыш, тем 'больший, чем больше m$
и тэ соответственно. Однако чем больше Шф и тэ, тем
при меньших помехах возникают аномальные ошибки,
уменьшающие этот выигрыш.
При время-импульсной модуляции по закону, приве¬
денному в § 6-2, получается
где /^ — частота повторения импульсов, а эффективная
амплитуда сигнала, характеризующая его среднюю мощ¬
ность, равна:
Если частота-повторения выбрана минимально допусти¬
мой, а- именно
Учитывая формулу (7-20) и полагая /^ = 0, имеем:
(7-27)
(7-27а)
и* ~ и9 ■ я
(7-28)
127
Сравнивая формулы (7-23) и (7-28) и учитывая, что
при ЧМ
нетрудно убедиться, что при одинаковых F и Q и равных
эффективных амплитудах £/э, а следовательно, равных сред¬
них мощностях сигнала, в случае ВИМ отношение ууш°-
и мй
получается примерно в 2 раза больше, чем при ЧМ. Сле¬
довательно, при ВИМ потенциальная помехоустойчивость
несколько хуже, чем при ЧМ;
7-2. ВЛИЯНИЕ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ
Все приведенные в предыдущем параграфе формулы были
получены Котельниковым в предположении, что отношение
шума к сигналу достаточно мало. При этом оказалось, что
для рассмотренных видов модуляции помехоустойчивость
реальных приемников равна потенциальной помехоустойчи¬
вости или близка к ней (при наличии хороших ограничите¬
лей и правильном выборе полос пропускания до и после
демодулятора). Поэтому можно в первом приближении по¬
лагать, что если оптимальный приемник должен работать
всегда в режиме малого отношения шума к сигналу, то его
структура может быть такой же, как у реальных приемни¬
ков, и состоять из усилителя высокой частоты, демодуля¬
тора и усилителя низкой частоты1.
Пусть отношение эффективных напряжений шума и сиг-
Um т
нала на входе демодулятора равно -р—. Тогда для того,
ис
чтобы приведенные выше формулы были справедливы, тре¬
буется, чтобы выполнялось условие
%Г< 1, (7-29)
С
1 Здесь и далее под усилителем высокой частоты понимаются
все линейны-е каскады, предшествующие демодулятору (в том числе
и преобразователь частоты в случае супергетеродинного приемника),
а (Под усилителем мизкой ■частоты — все линейные каскады, включен¬
ные после детектора. Ограничитель амплитуды (при ЧМ и ФМ) и
ограничитель по минимуму (при импульсной модуляции) полага¬
ются входящими в состав демодулятора.
128
т. е. отношение шума к сигналу должно быть мало уже на
входе демодулятора, а не Только на его выходе1.
При проектировании приемника, задается допустимое от-
и и
ношение шума к сигналу .,шй или ,,ша на выходе
°мй ^эф»
приемника, так как именно оно определяет качество вос¬
произведения сообщения. Чем выше требуемое качество
воспроизведения, тем меньше должно быть отношение
Уш- . Однако при наличии возможности оптимального под-
^м8
бора параметров сигнала оказывается, что эти параметры
должны быть при большинстве видов Модуляции подобраны
таким образом, чтобы на входе демодулятора условие (7-29)
-
не выполнялось, даже если требуемое отношение -г.— на
имЯ
выходе весьма мало.
Рассмотрим, например, случай ЧМ сигнала.
Если условие (7-29) выполняется, то справедлива фор¬
мула (7-23), лз которой следует, что для улучшения помехо-
2
устойчивости следует всемерно увеличивать девиацию -g—
частоты сигнала. Но при этом должна соответственно уве¬
личиваться и ширина полосы П усилителя высокой частоты
^при тэ > 1 получается П ж , вследствие чего
возрастает напряжение шума Um. До тех пор, пока усло¬
вие (7-29) выполняется, формула (7-23) справедлива и, сле¬
довательно, выгодно продолжать увеличение девиации ча¬
стоты сигнала. Таким образом, дальнейшее увеличение па¬
раметра Q может оказаться нецелесообразным лишь при
том его значении, при котором условие (7-29) уже настоль¬
ко существенно не выполняется, что формула (7-23) пере¬
стает быть справедливой, и дальнейшее увеличение Q на¬
чинает приводить в действительности не к уменьшению
^шй
отношения -ут—, а к его увеличению.
смй
Отсюда следует, что оптимальным будет такое значение
2
девиации частоты сигнала, при котором условие (7-29)
1 В случае приемника AM сигналов с синхронным детектором,
как уже отмечалось выше, выполнения условия (7-29|) не требуется.
9 Л. С. Гуткии 129
заведомо не выполняется и формула (7-23) заведомо не¬
точна, даже если требуемое отношение шума к сигналу на
выходе должно быть мало. Так, например, при синусоидаль¬
ной ЧМ, как показывает анализ, при оптимальном подборе
индекса модуляции тэ, обеспечивающем минимум отноше-
и„
ния -..шй ■, это отношение определяется уже не формулой
^ мО
УМЙ
(7-23), а следующей приближенной формулой:
,_L, (7-30)
иыя V» тэ ’
т. е. формула (7-23) дает уже погрешность почти в 2 раза.
Следовательно, при ЧМ для того, чтобы формула (7-23)
была справедлива, требуется не только, чтобы было
— <и
имЯ
но, кроме того, чтобы индекс модуляции тэ сигнала был
значительно меньше того значения тЭОПТ, которое является
оптимальным для данного отношения UJU,.0 (чем меньше
Л- тем больше шалт).
Путем совершенно аналогичных рассуждений можно до¬
казать, что при фазовой модуляции существует некоторое
оптимальное значение тф опт коэффициента фазовой моду¬
ляции, а при время-импульсной модуляции — оптимальное
22
значение 2°пт- ширины спектра сигнала. Если эти пара¬
метры выбраны оптимальными, то условие (7-29) не выпол¬
няется и приведенные выше формулы для малого отноше¬
ния шума к сигналу неточны даже при весьма малых отно-
иша
шениях -у.— .
мв
При амплитудной модуляции отношение UmJUMS зависит
только от таких параметров сигнала (U0 и М), которые не
влияют на ширину его спектра. Поэтому здесь оптималь¬
ный подбор параметров сигнала не вызывает нарушения
условия (7-29).
Из приведенного анализа вытекают следующие заклю¬
чения:
130
1. Приведенные выше формулы Котельникова доста¬
точно точны лишь при выполнении условия (7-29), т. е.
при малом отношении шума к сигналу на входе демоду¬
лятора1.
2. Для всех рассмотренных выше видов модуляции,
кроме AM, при оптимальных параметрах сигнала условие
(7-29) не выполняется даже при весьма малом отношении
UmJUuSt, и формулы Котельникова могут давать сущест¬
венную погрешность. Поэтому в этом случае указанными
формулами можно пользоваться лишь в грубом приближе¬
нии.
3. Из предыдущего пункта следует, что для большин¬
ства видов модуляции (ФМ, ЧМ, ВИМ и др.) приведенные
выше формулы Котельникова могут быть точны лишь при
значениях соответствующих параметров сигнала, меньших
оптимальных, т. е. при выполнении соответственно следую¬
щих условий:
а) при ЧМ
тэ<тэ.от'
б) при ФМ I
тф<тфоп^
в) при ВИМ.
^ опт
7-3. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИЕМНИКА
а) Общие замечания
Рассмотрим смысл допущения 3 (стр. 123), сделанно¬
го Котельниковым в отношении структуры оптимал'ьного
приемника.
В соответствии с этим_ допущением структура прием¬
ника при малых помехах должна быть такой, чтобы
в отсутствие помех он не давал никаких искажений со¬
общения x(t), а при появлении помех эта структура
остается неизменной.
В общем случае при наличии помех результирующую
1 См. примечание к условию (7-29) на стр. 128.
9*
131
ошибку бр (t) в воспроизведении сообщения можно счи¬
тать состоящей из двух компонент:
8Р (0 = 8(9 + *дЮ. (7-32)
где бд(/) —динамическая ошибка, т. е. ошибка, которая
имела бы место 'при отсутствии помех, a 6(tf) —дополни¬
тельная составляющая ошибки, вызванная действием
помехи и называемая в дальнейшем флуктуационной
ошибкой.
Ошибка бд(/) называется динамической потому, что
она вызывается главным образом неравномерностью
частотных характеристик приемника (до демодулятора
или после него), т. е. его инерционностью, и возрастает
с ростом скорости изменения сообщения x(t), т. е. его
«динамичности».
В соответствии с допущением Котельникова структу¬
ра оптимального приемника при малых помехах должна
быть такой, чтобы динамическая ошибка 6Д(£) тожде¬
ственно равнялась нулю. Однако такое допущение не
всегда является оправданным.
Если бы интенсивность 'помехи была бесконечно
мала, то применять такую структуру приемника, при ко¬
торой динамическая ошибка не равна тождественно
нулю, действительно не имело бы смысла, так как при
этом средний -квадрат результирующей «ошибки б2р был
бы заведомо больше, чем при такой структуре приемни¬
ка, которая обеспечивает бд(0 =0. Но при бесконеч¬
но малой интенсивности помехи задача обеспечения
помехоустойчивости вообще теряет смысл. Если же
интенсивность помехи хотя и весьма мала, но конечна,
то Может оказаться целесообразным сузить полосы про¬
пускания (до демодулятора и после него), даже если
при этом возникнут некоторые динамические ошибки.
Действительно, сужение полосы приемника, вызывая
рост динамической ошибки, дает одновременно уменьше¬
ние флуктуационной ошибки; поэтому величина резуль¬
тирующей ошибки может при этом уменьшиться. Следо¬
вательно, даже при весьма малых помехах нужно
в общем случае стремиться выбирать частотные харак¬
теристики приемника по высокой и по низкой частотам
(т. е. до демодулятора и после него) таким образом, что¬
бы обеспечить минимум результирующей ошибки бр.
132
Будем для простоты оценивать ошибки их средними
квадратами. Тогда оптимальным будет приемник, который
обеспечивает минимум среднего квадрата 8^ результирую¬
щей ошибки.
Следовательно, нужно выбирать формы частотных ха¬
рактеристик. приемника по высокой и по низкой частотам
из условия минимума среднего квадрата результирующей
ошибки 8р воспроизведения сообщения x(t).
б) Включение оптимальных линейных фильтров
Рассмотрим сначала методику нахождения опти¬
мальной формы частотной характеристики приемника по
низкой частоте (т. е. после демодулятора),.
При этом будем для простоты полагать 'полосу про¬
пускания по высокой частоте настолько широкой, что
Рис, 7-1.
в каскадах высокой частоты существенных динамичен
ских оши-бок не возникает (справедливость такого допу¬
щения обсуждается ниже).
Будем также полагать, что условие (7-29) выпол¬
няется. Тогда единственным о'тличием рассматриваемо-
хо нами оптимального приемника от оптимального
приемника Котельникова является допущение возмож¬
ности динамических ошибок в каскадах иизкой частоты.
Поэтому такой обобщенный оптимальный приемник
должен состоять из 'приемника Як, оптимального в смыс¬
ле Котельникова, и включенного на его выходе опти¬
мального линейного фильтра (ОЛФ) (рис. 7-1).
ОЛФ должен обеспечивать получение минимальной сред¬
неквадратичной ошибки в воспроизведении поступающего на
его вход полезного колебания uQ(t), искаженного аддитив¬
ным шумом «шй(0- Такой фильтр рассматривался в § 2-2
для случая, когда uQ(t) является стационарным случайным
процессом. Для простоты не будем накладывать на этот
133
фильтр условия физической реализуемости. Кроме того, бу¬
дем полагать, что полезное сообщение ив (t) и флуктуацион-
ная составляющая ошибки итЯ (t) статистически независимы
[очевидно, справедливость такого допущения тем больше,
чем меньше глубина модуляции сигнала сообщением •*(*)]•
Тогда частотная характеристика фильтра должна удовле¬
творять условию (2-19), которое можно записать в следую¬
щем виде:
Здесь E2x(f) и Е2Ш ([) — соответственно энергетические
спектры колебаний x(t) и 8(/) на выходе приемника Ко¬
тельникова. При этом предполагается, что сообщение x (t)
можно считать стационарным случайным процессом.
Так как
то энергетические спектры колебаний «я(t) и umS{t) равны
UlsE2x (f) и и2мЕ2ш (/) соответственно. Поэтому формула
(2-20) для среднеквадратичной ошибки на выходе фильтра
может быть записана в следующем виде:
1+ £щ (ft '
EUf)
(7-33)
«Я(/)=£/ывЛ(0
и
",„»«)=У, ,*(0.
где
(7-34)
• (9 = *«х(0-«в (*) = <*(*) (7-35)
[В формуле (7-34) в отличие от (2-20) принято, что спектры
Е\ (f) и Е2ш(1) не содержат отрицательных частот].
Из формул (7-33) — (7-35) следует, что
(7-36)
}34
где
(7-37)
Формула (7-36) определяет относительную средне¬
квадратичную ошибку на выходе обобщенного опти¬
мального приемника.
Из сравнения формулы (7-36) с соответствующей
формулой (7-20), полученной для оптимального прием¬
ника Котельникова, можно сделать следующие выводы:
1. В обобщенном оптимальном приемнике в отличие
от оптимального приемника Котельникова не требуется
знание высшей и низшей частот спектра сообще¬
ния x(t). Это является более удобным, так как во мно¬
гих реальных случаях спектр E2x(f) сообщения не имеет
резко выраженных срезов в области 'низших и высших
частот и неясно, что следует понимать под FH и FB
в формуле (7-20).
2. Даже если частоты FB и FB известны точно, полу¬
чается:
т. е. включение оптимального линейного фильтра на вы¬
ходе приемника может дать уменьшение относительной
ошибки в воспроизведении сообщения. Это уменьшение
тем более существенно, чем больше отношение шума
к сигналу и чем длиннее «хвосты» кривой E2x(f) в обла¬
сти высших и низших частот.
Для иллюстрации этих положений рассмотрим сле¬
дующий пример.
Сообщение передается с помощью амплитудной мо¬
дуляции, и отношение сигнала к шуму достаточно вели¬
ко, т. е. выполняется условие (7-29). При этом спра¬
ведлива формула (7-16) и
&т(П=в,
(7-39)
где
(7-40)
(здесь принято <М=1).
135
Пусть сообщение x(t) имеет энергетический спектр
E2x(f) = Ae~af. (7-41)
По определению
00
J El(ftdf = x*=±, (7-42)
О
где
v = jW=_> (7-43)
/ х2 / х2
равняется отношению пикового значения сообщения x(t) к
его среднеквадратичному значению и называется пикфакто-
ром сообщения. В большинстве случаев
v«l,5-*-4. (7-44)
В рассматриваемом случае из (7-41) и (7-42) следует, что
v*=JL. (7-45)
Учитывая соотношение (7-39), удобно представить фор¬
мулу (7-36) в виде:
?* = В&ГЭ, (7-46)
где
Р = (747)
им2
есть относительная среднеквадратичная ошибка на выходе
оптимального фильтра, а
д^ = |*оп,(М- (7-48)
о
В рассматриваемом случае из формул (7-33), (7-39) и
(7-41) получается:
*„„,(/>= г-г. Р-49)
1 +-Т*а{
поэтому
AF
' “’"х-
136
00
_ 1 f *х
а ] в В
о 1 + Л е
В результате интегрирования имеем:
4п=х1п(1+4)- <7'50>
Подставляя соотношения (7-50) и (7-45) в формулу (7-46),
получаем:
Как будет выяснено ниже, отношение -j- имеет тот же
и2
порядок величины, что и —^. Поэтому для того, чтобы
условие (7-29) выполнялось (а в этом параграфе как раз и
рассматривается такой случай), должно быть:
(7-52)
При этом из (7-49) следует, что
ЛГопЛ0)»1- (7-53)
Отсюда в свою очередь вытекает, что величина AF3 ,
определяемая соотношением (7-48), может рассматриваться
как эквивалентная полоса пропускания оптимального фильтра
(см. рис. 7-2).
Отношение шума к сигналу на выходе высокоча¬
стотной части приемника может быть представлено в виде:
Рис. 7-2.
есть эквивалентная шумовая полоса усилителя высокой
частоты, определяемая следующим известным соотношением1:
00
(7-56)
здесь y(A/) — нормированная частотная характеристика уси¬
лителя высокой частоты (7(0)=1), а А/ =/ — /0, где /0 —
центральная частота полосы пропускания.
Из формул (7-40), (7-46) и (7-54) следует, что
Известно, что в приемнике AM сигналов при выполне¬
нии условия (7-29) средний квадрат напряжения шума на
выходе приемника и\ , вых определяется результирующей
шумовой полосой:
есть произведение нормированных'частотных характери¬
стик у и Yh каскадов высокой и низкой частот соответ¬
ственно.
Динамические ошибки (т. е. частотные и фазовые
'искажения) полезного сообщения также определяются
результирующей частотной характеристикой Yp (f).
Следовательно, отри выполнении условия (7-29) как
флуктуационная, так и динамическая составляющие
1 При этом «предполагается, что частотная характеристика
?(Д/) симметрична относительно расстройки А/ и несущая частота
с сигнала совпадает с центральной частотой /о полосы пропускания
усилителя .высокой частоты. В «противном случае частотные харак¬
теристики по высокой .и по низкой частотам (Нельзя считать эквива¬
лентными по действию на результирующую ошибку.
00
где
я«.=21 (/><*/.
тр(/)=г(Лт.Ш
(7-58)
(7-59)
138
ошибки на выходе приемника определяются его резуль¬
тирующей частотной характеристикой yv(f). Поэтому
для получения минимальной результирующей ошибки
воспроизведения сообщения нужно обеспечить оптималь¬
ную форму результирующей частотной характеристи¬
ки Yp (f)- При этом, как следует из (7-59), частотные
характеристики \p(Af) и yH(f) играют совершенно оди¬
наковую роль [при выполнении условия (7-29)]. Поэтому
в рассматриваемом случае не обязательно считать, как
это делалось выше, что оптимальная частотная характе¬
ристика Kom(f) обеспечивается исключительно за счет
включения фильтра на выходе приемника (т. е. после
детектора), при весьма широкой полосе пропускания до
детектора. Результаты не изменятся, если считать, что
на выходе приемника фильтра нет и полоса пропускания
весьма широка, но зато до детектора включен оптималь¬
ный фильтр с частотной характеристикой:
*0„W>=. в ... ■ <7-б0>
А
где А/ = /— /о. а /0 — центральная частота полосы пропу¬
скания.
Можно также включить фильтры как до детектора,
так и после него, если при этом обеспечивается такая же
результирующая частотная характеристика. Следова¬
тельно, с точки зрения минимизации результирующей
ошибки в рассматриваемом примере безразлично, где
включать оптимальные фильтры (до или после детекто¬
ра или сразу в обоих местах), если во всех этих случаях
условие (7-29) выполняется. Однако очевидно, что чем
шире полоса пропускания до детектора, тем труднее вы¬
полнить условие (7-29). Поэтому, если это' допустимо
с конструктивной точки зрения, целесообразно включать
оптимальный фильтр до детектора или во всяком случае
не делать полосу пропускания до детектора много боль¬
шей полосы каскадов низкой частоты.
При этом из сравнения формул (7-48) и (7-53) с фор¬
мулой (7-58) можно убедиться, что имеет место соотно¬
шение
(7-61)
139
т. е. полосы ДF9 и /7э, хотя и могут в некоторых случаях
отличаться друг от друга в несколько раз, являются вели¬
чинами одного порядка.
Отсюда в свою очередь следует [см. формулу (7-57)], что
U2
u.2-v,—55-.
и1
Учитывая, наконец, что при выполнении условия (7-29)
формула (7-51) принимает вид:
С
8 ^ 1
Таким образом, мы доказали, что принятое вначале без
В . 1
доказательства допущение о том, что -д 1, является оп¬
равданным, если выполняется условие (7-29). Отсюда сле¬
дует, что при выполнении условия (7-29) все формулы,
приведенные выше, справедливы.
Рассмотрим несколько численных примеров. При этом
удобно воспользоваться построенной по формуле (7-51)
кривой, приведенной на рис. 7-3.
1
Пример 1. v2 — 10; ц* = 10-2; а = 1 ;
Nq = 10 “2 (мкв)2!кгц.
Из формулы (7-45) имеем:
а
v2 кгц
По кривой рис. 7-3 находим:
В
А = ~7л~ = 0,1
л- = 2,8.10-2.
140
Следовательно,
В = 0,28 • 10 ~2
кгц
При этом из формулы (7-40) получается следующее значение тре¬
буемой амплитуды сигнала U0 на входе приемника:
£/о=/!Х=2’7
мкв.
Частотная характеристика
оптимального фильтра определя¬
ется в соответствии с форму¬
лой (7-49) выражением
1
Копт Ш = ! о,028йа/ ’
по которому построена соот-
ветствующая кривая на рис. 7-4.
Эквивалентная полоса про¬
пускания AF9 этой характеристики, как следует из (7-50), равна:
=4-2'3|s(‘+4)
= 3,6 кгц.
Пример 2. Все данные такие же, как в предыдущем примере,
но [ju2 = 10 *4. В этом случае путем аналогичных расчетов получается.
-д = 10-4; в=10-5 Чкгц-, = мкв; ДРэ = 9,2 кгц.
Соответствующая частотная характери¬
стика оптимального фильтра приведена на
рис. 7-4. Для сравнения на рис. 7-5 приве¬
ден нормированный частотный спектр сооб¬
щения, для которого были вычислены опти¬
мальные частотные характеристики, изобра¬
женные на рис. 7-4.
Так как в рассмотренных примерах
требовалось обеспечить довольно малую
ошибку в воспроизведении сообщения
(ц=0,1 и jx=0,01 соответственно), то
естественно, что эквивалентные полосы
пропускания фильтра a&F3 получились
относительно широкими.
в) Включение квазиоптимальных фильтров
Выясним, насколько ухудшатся результаты, если
вместо оптимального «применить квазиоптимальный
фильтр, т е. фильтр, форма частотной характеристики
141
РиС. 7-4.
Рис. 7-5.
которого заранее выбрана и минимум среднеквадратич¬
ной ошибки обеспечивается подбором лишь полосы про¬
пускания.
Для простоты ограничимся рассмотрением фильтра
с прямоугольной характеристикой К if), изображенной
на рис. 7-6.
На входе этого фильтра дейст¬
вует колебание
йвх (0 = Ив(0 + Ишв(0.
где слагаемые ue(t) и ишВ (t) имеют
энергетические спектры U2mSE2x (f) и
U2usE2m (f) соответственно.
На выходе фильтра получается колебание'
«вых (0 = «в (0 + «д (0 + С (0. ’ (7-63)
где колебания [иа (t) -|- ид (/)] и u”s (t) вызваны составляю¬
щими ий (t) и «шй (/) соответственно. Следовательно, коле¬
бания мд (t) и u”a (t) являются динамической и флуктуаци¬
онной ошибками соответственно.
Результирующая ошибка на выходе фильтра
ер (0=«вых (0 - (0=«д (0 + <в (*)• (7-64)
Будем, как и ранее, полагать полезное сообщение ua(t) и
флуктуационное колебание иш0 (t) статистически независи¬
мыми1. Тогда
Очевидно,
<=«д + («ша)а- (7-65).
F,
(Oa=^L J £2ш (/)<*/; (7-66)
поэтому остается вычислить лишь среднии квадрат ид дина¬
мической ошибки на выходе квазиоптимального фильтра с
частотной характеристикой, изображенной на рис. 7-6.
1 Как отмечалось выше, справедливость этого допущения тем
больше, чем меньше глубина модуляции сигнала сообщением x(t).
142
Рис. 7-6.
Колебание us(t) можно представить следующим образом :
Ид (<) = «1 (<) + «,(*)+ «,(<). (7-67)
где слагаемые u^t), ^(t) и и3(t) имеют энергетические
спектры, соответствующие частям I, II и III спектра
u2MSE2x(f) суммарного колебания ua(t) (рис. 7-7).
На выход квазиоптимального фильтра (рис. 7-6) состав¬
ляющая и2 (t) проходит без искажений, а составляющие и1 (t)
и uz(t) не проходят. Поэтому
динамическая ошибка равна:
ид (<) = «! (О — яи(0 =
=—[й1 (О ut (01
и
и\ = и\ +и| -(- 2щцл.
Так как колебания их (t) и м2(/) имеют неперекрываю-
щиеся спектры (рис. 7-7), то
и,«3 = 0
и
4=^+^=| u&imdf. (7.68)
0 К
Подставляя соотношения (7-66) и (7-68) в (7-65), полу¬
чаем окончательно:
а
Отношение VT/». представляет собой относитель¬
ную. среднеквадратичную ошибку на выходе фильтра. По¬
этому в квазиоптимальном фильтре частбты среза Ft и F,
должны быть выбраны такими, чтобы выражение (7-69) было
минимальным.
Рассмотрим в качестве иллюстрации тот же пример, что
и в пункте „б*. Тогда выражение (7-69) принимает вид:
~2~ Fi 00
Ae~afdf+ f Ae-afdf + B(Ft-Ft),
143
Рис. 7-7.
т. е.
и2
Это выражение имеет минимум, если
Л = 0; fa = 4-ln4; (7'7°)
при этом
имй
v-4(‘+ta4)
или с учетом соотношения (7-45)
tv
t/2„ v2 ' А
мй
(1 + 1п4). (7-71)
Из (7-70) следует, что полоса пропускания ДF квазиоп-
тимального фильтра в данном случае равна:
<7'72)
Из сравнения формул (7-71) и (7-72) для квазиопти-
мального фильтра с соответствующими формулами (7-51)
и (7-50), полученными выше для оптимального фильтра,
можно сделать заключение о том, что чем меньше отноше-
ние -д или допустимая относительная ошибка \i (или ^х),.
тем меньше отличие квазиоптимального фильтра от опти¬
мального.
Этот результат вполне понятен, так как чем меньше
-j-, тем ближе форма частотной характеристики оптималь¬
ного фильтра к прямоугольной (рис. 7-4).
Например, при -^- = 2,8-10“2 получается:
^v=o,i;
^ v2 = 0,13; AF = ^-.
144
При этом превышает у всего на 6°/0.
По мере уменьшения ц отношение ~ асимптотически
стремится к единице. Следовательно, в рассмотренных при¬
мерах замена оптимального фильтра квазиоптимальным не
вызывает больших потерь в требуемой энергии сигнала.
г) Эффективность квазиоптимальной фильтрации
в идеализированном случае, когда сообщение
не содержит частот, превышающих FB
Выясним, насколько эффективна квазиоптимальная филь¬
трация в тех случаях, когда спектр сообщения имеет
идеальный срез на верхней частоте FB, как это принималось
Котельниковым.
Для простоты ограничимся примером, когда сообщение
x(t) имеет спектр вида:
а спектр помехи на выходе приемника — равномерный, т. е.
Если не применять квазиоптимальной фильтрации, т. е.
ограничиться включением на выходе приемника фильтра
нижних частот, срезающего частоты, большие, чем FB, то
справедлива формула (7-20) Котельникова, согласно кото¬
рой средний квадрат относительной ошибки равен:
Включим теперь на выход приемника квазиоптимальный
фильтр, у которого Fj = 0, а частота среза Fa выбирается
оптимальной, т. е. обеспечивающей минимум выражения
(7-69). В рассматриваемом случае это выражение имеет вид:
E2x(f) = Ae~af при f<FB, "j
E\{f) = b при f>FB, j
(7-73)
К (!) = *•
(7-74)
(7-75)
e'» + J*-aF3), (7-76)
где F2 < FB.
10 Л С. Гуткин
145
Минимум величины ^ имеет место при
Л=4-in 4; (7-7?)
а
при этом
<7’8)
Так как всегда должно быть Fa < FB, то формулы (7-77)
и (7-78) справедливы лишь при
In < aFB. (7-79)
Если условие (7-79) не выполняется, то это означает
что следует выбирать
F* = F*>
т. е. ограничиться включением фильтра, срезающего ча¬
стоты, превышающие FB. При этом очевидно:
(7-80)
Следовательно, уменьшение ^ по сравнению с ^ воз¬
можно лишь при выполнении условия (7-79), т. е. при не
слишком малом отношении шума к сигналу ^ не слишком
В \ 2
малом -д-\ и при наличии у спектра Ех (/) достаточно
длинного .хвоста* (т. е. при достаточно большой величине
произведения aFB).
Из формул (7-75) и (7-78) имеем:
2
2 А а (7-81)
1*0 а^'
* 1 -f- 111 ~рГ
В В
е
Отношение ^ показывает, во сколько раз умень¬
шается средний квадрат относительной ошибки при включе¬
нии квазиоптимального фильтра по сравнению с случаем
включения фильтра нижних частот со срезом на частоте
146
F (т. e. по сравнению со случаем, рассмотренным Котель¬
никовым).
Формула (7-81) справедлива при выполнении условия
(7-79). В случае невыполнения этого условия, как уже от¬
мечалось выше, следует полагать:
4=i. (?-82)
Пусть, например, -^- = 2,8-10'2, тогда формула (7-81)
справедлива при
aFB> In-J-= 3,6.
Если
aF = 5, то 4= 1,14;
»*?
при
(Ап
aF„=10 получается —~- = 2,15.
i*i
Так как средний квадрат относительной ошибки
обратно пропорционален энергии сигнала, то при aFa=
= 10 включение квазиопти-
мального фильтра уменьшает
энергию сигнала, необходимую
для обеспечения той же вели¬
чины ошибки воспроизведе¬
ния сообщения, в 2,15 раза.
Спектры сообщения x(t)
при а/гв = 5 и aFB= 10 приве¬
дены на рис. 7-8,а и б соот¬
ветственно. Эти рисунки на¬
глядно подтверждают, что вы¬
игрыш, получаемый при вклю¬
чении квазиоптимального
фильтра, может быть суще¬
ственным ' лишь в тех слу¬
чаях, когда спектр Ex2(f) со¬
общения имеет длинный
«хвост», т. е. когда большой
процент его высокочастотных
Ю» 147
б)
Рис. 7-8.
составляющих имеет относительно малую интенсив¬
ность.
Близкие к указанным результаты получаются и
в случае применения вместо квазиаптимального фильтра
рассмотренного выше оптимального линейного фильтра.
в) Влияние места включения линейного фильтра
В приведенном в данном параграфе анализе в общем
случае полагалось, что оптимальный (или квазиопти-
мальный) фильтр включается только после демодулято¬
ра, а полоса пропускания до демодулятора настолько
широка, что сколько-нибудь существенных искажений
сообщения в усилителе высокой частоты не происходит.
Однако в ряде случаев полученные результаты сохра¬
няют силу, если предполагать, что оптимальный фильтр
включается до демодулятора, или если фильтрация,
вызывающая искажения сообщения; осуществляется как
после демодулятора, так и до него. Так, например, выше
было доказано, что сюда относится случай амплитудной
модуляции, если выполняется условие (7-29), так как
при этом и динамическая и флуктуационная составляю¬
щие ошибки зависят от результирующей частотной ха¬
рактеристики Yp (/). являющейся произведением харак¬
теристик \(А/) и Yh (/) -
Нетрудно доказать, что при частотной или фазовой
модуляции с малым индексом модуляции (тэ < 1 или
Щф<^. 1) и при выполнении условия (7-29) имеет место
аналогичное соотношение, т. е. результирующая ошиб¬
ка ер(t) определяется результирующей частотной харак¬
теристикой yjj(f), где
Тр(/) = ТШТ„(/)- (7-83)
Поэтому при ЧМ или ФМ с малым индексом модуля¬
ции и выполнении условия (7-29) частотные характери¬
стики по высокой и по низкой частотам, так же как и
при AM, равноправны, и приведенные в данном парагра¬
фе формулы остаются справедливыми для любого со¬
отношения между характеристиками y(Af) и yH(f), если
понимать под частотной характеристикой'оптимального
(или квазиоптимального) фильтра результирующую ха¬
рактеристику yp(/) *•
* См. примечание на стр. 138.
148
Если индекс модуляции тэ (или Шф) настолько ве¬
лик, что условия (7-31) не выполняются, то, как было
доказано выше, не может выполняться и условие (7-29).
Поэтому при столь большом индексе модуляции оказьг
ваются неточными даже формулы Котельникова, выве¬
денные в предположении отсутствия оптимальной или
квазиоптимальной фильтрации.
Если индекс модуляции имеет промежуточное значе¬
ние, т. е. удовлетворяет условию (7-31), но все же
сравним с единицей или больше единицы, то частотные
характеристики y(Af) и yn(f) неравноправны в смысле
их влияния на результирующую ошибку; однако при
этом приведенные выше формулы остаются справедли¬
выми, если оптимальный (или квазиоптимальный)
фильтр включен после демодулятора, а полоса до демо¬
дулятора настолько широка, что динамические ошибки,
возникающие в каскадах высокой частоты, пренебрежи¬
мо малы.
В случае импульсной модуляции передача сообщений
с неограниченным в области высоких частот спектром
неизбежно сопровождается искажениями даже при
отсутствии помех.
В этом случае для упрощения анализа можно пред¬
положить, что перед модуляцией первичное сообще¬
ние x(t) с неограниченным спектром пропускается через
идеальный фильтр с верхней частотой среза F2.
Наличие среза на частоте F2 вызывает динамическую
ошибку, средний квадрат которой определяется соотно¬
шением (7-68) (если в нем положить ^^О). Дальней¬
шая передача сообщения при отсутствии помех может
быть произведена без дополнительных искажений, если
частота повторения Fn импульса выбрана из известного
условия [Л. 1]:
Fa>2Ft = 2Ft. (7-84)
На выходе приемника включается фильтр с частот¬
ной характеристикой, изображенной на рис. 7-6, т. е.
дающей срез в общем случае как на верхней частоте,
равной F2, так и на некоторой нижней частоте F\.
При этом динамическая ошибка, вызванная ограни¬
чениями опектра сообщения x(t) в передатчике и прием¬
нике, определяется соотношением (7-68), а результирую¬
щая ошибка — формулой (7-69).
149
Частоты среза F\ и F2 следует выбирать такими, что¬
бы результирующая относительной ошибки, определяе¬
мая формулой (7-69), была минимальной. Следователь¬
но, методика анализа и результаты получаются такими
же, как при непрерывной (т. е. не импульсной) модуля¬
ции. При этом предполагается, что в каскадах высокой
частоты полоса пропускания настолько широка, что воз¬
никающие в этих каскадах дополнительные динамиче¬
ские ошибки пренебрежимо малы.
Как отмечалось в гл. 2, при прохождении сигнала и
шума через усилитель высокой частоты (фильтр) макси¬
мальное отношение сигнала к шуму на выходе усилите¬
ля (фильтра) получается при выполнении условия
Л'чД, (7-85)
И
где П — полоса пропускания усилителя, а ти — длитель¬
ность импульса сигнала.
Учитывая динамические ошибки, брать полосу П
меньшей, чем 1/ти также нецелесообразно, так как при
этом будут возрастать и динамическая и флуктуацион-
ная составляющие ошибки. Следовательно, для обеспе¬
чения минимальной результирующей ошибки во всяком
случае должно выполняться условие —
Л- 7-. (7-86)
WH
Если, кроме того, имеет место неравенство
(7-87)
'И
то получается
F2 < П, (7-88)
т. е. высшая частота спектра сообщения x(t) много
меньше полосы пропускания по высокой частоте. При
этом динамические ошибки воспроизведения сообщения,
возникающие в каскадах высокой частоты, пренебрежи¬
мо малы, т. е. сделанное выше допущение вполне оправ¬
дано. Таким образом, если длительность импульсов ти
настолько мала, что удовлетворяет неравенству (7-87),
и отношение шума к сигналу удовлетворяет условию
15Q
(7-29), то для импульсной модуляции также справедли¬
вы приведенные в данной главе формулы Котельникова
и дополнительные соотношения, относящиеся к случаю
включения квазиоптимального фильтра. При этом на
выходе приемника включается фильтр, имеющий срезы
на частотах F\ и F2 (или только на F2), а в передатчике
(в каскадах, предшествующих модулятору) производит¬
ся срез на частоте F2.
Если условие (7-87) не выполняется, то в УВЧ могут
возникать существенные динамические ошибки, и фор¬
мулы, приведенные в данной главе, становятся менее
точными. Однако в большинстве реальных случаев это
условие выполняется достаточно хорошо.
Действительно, исходя из соотношения (7-84) и де¬
лая небольшой запас, обычно выбирают:
т. е.
где Та — период повторения импульсов. Кроме того, в
большинстве случаев выбирают:
при этом получается
Г >2т,
П И’
что примерно соответствует условию (7-87).
В заключение следует отметить, что параметры ча¬
стотной характеристики оптимального (или квазиопти¬
мального) фильтра, включаемого в состав приемника,
оказываются!зависящими от допустимой относительной
ошибки ц и соответствующего ей отношения сигнала
к шуму: чем меньше ц (чем больше отношение сиг¬
нал/шум), тем шире должна быть полоса 'пропускания
фильтра. Поэтому для получения при каждой конкрет¬
ной величине амплитуды сигнала минимально возмож¬
ной ошибки ц следует при изменениях Uq производить
автоматическую перестройку фильтра. Однако для упро¬
щения конструкции приемника во многих случаях доста¬
151
точно выбирать характеристику K{f) фильтра оптималь¬
ной лишь для максимально допустимого значения цДоп
ошибки и соответственно минимально допустимой
амплитуды С/о мин сигнала. При этом даже при сохране¬
нии параметров фильтра неизменными, рост амшлиту-
ды Uо сверх t/0 мин будет приводить к уменьшению ошиб¬
ки по сравнению с цДОп-
ЧАСТЬ III
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
(анализ методом обратных вероятностей)
Глава восьмая
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
8-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В теории Котельникова, изложенной во II части кни¬
ги, полагается, что сигнал ux(t) известен точно, а наи¬
лучшим считается «приемник, который выбирает в каче¬
стве истинного такое значение сообщения х, обратная
вероятность которого Ру(х) максимальна. Поэтому ме¬
тод Котельникова может быть назван методом макси¬
мальной обратной вероятности, примененным к сигна¬
лам, известным точно.
После опубликования в 1946 г. указанной работы
Котельникова дальнейшее развитие теории оптимальных
методов приема заключалось, во-первых, в рассмотрении
сигналов со случайными 'параметрами и, во-вторых,
в обобщении критерия оптимальности приемника.
Первые важные результаты в этом направлении
были получены в работах Вудворда и Дэвиса [Л. 2,
18 и др.].
Как указывалось в § 5-1, при данной реализации-*/(/)
смеси сигнала и шума, максимальная достижимая
в месте «приема полезная информация о сообщении х
заключается в распределении Ру(х) обратных вероятно¬
стей. Поэтому задачей оптимального приемника являет¬
ся вычисление распределения Ру(х). На основе анализа
вида этого распределения должно быть принято реше¬
ние о том, каково было при этом сообщении х.
Принятие решения в простейшем случае может про¬
изводиться по принципу максимальной обратной
вероятности, -принятому Котельниковым. Однако в неко¬
торых случаях, как это было указано еще Котельнико¬
153
вым, принцип максимальной обратной вероятности не
является наилучшим. Поэтому в общем случае можно
утверждать лишь, что оптимальный приемник должен
принимать решение (тем или иным конкретным- спосо¬
бом) на основе анализа распределения Ру(х) обратных
вероятностей. Этот общий принцип нахождения опти¬
мального решения будем называть методом обратной
вероятности. Тогда критерий максимальной обратной
вероятности можно считать одним из конкретных ва¬
риантов этого общего метода.
В последующих главах приводятся примеры приме¬
нения метода обратной вероятности к решению различ¬
ных задач приема сигналов' при наличии аддитивной
флуктуационной помехи um(i). Основной анализ прово¬
дится в предположении, что эта помеха имеет вид нор¬
мального белого шума. Затем (в гл. 12) полученные ре¬
зультаты обобщаются на случай флуктуационной поме¬
хи с неравномерным энергетическим спектром.
Как и во II части, анализ проводится сначала для
дискретных сообщений, а затем рассматриваются прием
отдельных значений непрерывных сообщений и прием
колебаний. При этом значительно большее внимание
уделяется различным случаям обнаружения сигнала,
т. е. установлению самого факта наличия или отсут¬
ствия сигнала на входе приемника. Это объясняется тем,
что в последние годы теория оптимальных методов
приема начала широко применяться не только в радио¬
связи, но и в радиолокации, радиоуправлении и радио¬
астрономии, т. е. в областях, где надежное обнаружение
сигналов является столь же важной проблемой, как и
точное воспроизведение сообщений, несомых сигналами.
Вначале рассматривается простое бинарное обнару¬
жение, т. е. обнаружение единственно возможного
сигнала. Затем рассматривается сложное бинарное
обнаружение, т. е. обнаружение одного из многих воз¬
можных сигналов (при этом не требуется определять,
какой именно из т возможных сигналов присутствует —
достаточно лишь установить сам факт наличия какого-то
из возможных сигналов).
В радиолокации простое бинарное обнаружение со¬
ответствует обнаружению объекта (самолета) в одной
заранее выбранной элементарной ячейке пространства.
Если же требуется установить, имеется ли объект в ка-
154
кой-либо из т элементарных ячеек (не уточняя, в какой
именно из этих ячеек), то эта задача эквивалентна
сложному бинарному обнаружению (в дальнейшем
в термине «простое бинарное обнаружение» слово «про¬
стое» для краткости часто опускается, если же речь идет
о сложном бинарном обнаружении, то слово «сложное»
всегда сохраняется).
В гл. 11 и 12 рассматривается одновременное обна¬
ружение и распознавание (различение) т возможных
сигналов.
В гл. 13 рассматривается прием непрерывных со¬
общений. Однако при этом применяется терминология,
несколько отличная от терминологии Котельникова, при¬
менявшейся во II части книги.
Котельников записывал параметр г) сигнала, несущий
■полезное сообщение х, в виде:
"Ч — ЧоО ~Ь tnx), (8-1)
где х — нормированное сообщение, т. е. безразмерная вели¬
чина, находящаяся в пределах ±:1. Например, в случае
амплитудной модуляции
а—а0( 1 -f-тх),
где а — амплитуда сигнала, а т. — коэффициент модуляции.
Запись вида (8-1) очень удобна и естественна в слу¬
чае радиосвязи, когда сообщение х передается путем
соответствующей модуляции параметра сигнала. В слу¬
чае же радиолокации, радиоастрономии, радиоизмерений
и в некоторых других случаях модуляция сигнала сооб¬
щением находится вне нашей власти, и при приеме обыч¬
но требуется просто измерить величину того или иного
параметра сигнала, содержащего полезное сообщение.
Так, например, требуется измерить амплитуду сигна¬
ла а или момент прихода т сигнала (отсчитываемый от
некоторого задаиного момента времени) или его ча¬
стоту /. В этих случаях можно считать полезным сооб¬
щением измеряемый параметр т), а не один из его эле¬
ментов х, входящий в выражение (8-1).
Если параметры rjo и т модуляции известны 1 (или
, ^макс “Ь ^мин ^макс ^мин-
1 Из (8-1) следует, что т), = g и т= ^ ’
поэтому, если известны (и конечны) пределы i|MBH и ',)мзкс изменения
Параметра т), то известны и величины и т.
155
могут считаться известными), то измерение парамет¬
ра ц полностью эквивалентно измерению нормированно¬
го сообщения х. При этом переход от измерения пара¬
метра г\ к измерению нормированного сообщения х и
обратно легко производится на основе соотноше¬
ния (8-1).
Так, например, из этого соотношения следует, что если
Ру (x) = fi (х) и Ру (щ) = /2 (y|) — плотности обратных вероят¬
ностей величин х и yj, то
(8-2)
По этим формулам, зная распределение Ру(х), легко
определить распределение Ру{rj), и наоборот.
Дальнейшее изложение ведется в основном примени¬
тельно к ненормированному сообщению rj; однако
в гл. 17 и 18 оказывается удобным вернуться к нормиро¬
ванному сообщение х.
В некоторых- случаях может требоваться одновремен¬
ное измерение нескольких параметров сигнала. Напри¬
мер, если требуется измерять не только расстояние до
летящего самолета, но и радиальную скорость этого
самолета, то эта задача сводится к одновременному
измерению времени прихода отраженного от самолета
сигнал^ и частоты сигнала. Аналогичная задача возни¬
кает и в случае многоканальной связи, т. е. при одно¬
временной передаче нескольких различных сообщений.
В III части для простоты рассматривается измерение
лишь одного параметра. Особенности же одновременно¬
го измерения двух и более параметров обсуждаются
в IV части книги (гл. 16),
8-2. МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В предыдущей части было рассмотрено нахождение
распределения Ру(х) для сигналов, известных точно.
Выясним, какие особенности в вычислении Ру(}х) по¬
являются при наличии у сигнала паразитных случайных
параметров* а19 а2,..., ал.
156
Рассмотрим сначала для простоты случай наличия только
одного паразитного случайного параметра а.
При этом в соответствии с (1-9)
*(*) = «,..( t) + um{t), (8-3)
где иш(0 — аддитивный шум с известным априорным рас¬
пределением Wm (иш).
По аналогии с соотношением (4-6) в данном случае
можно записать:
ру (х, *) = kP (х, а) Рх а (у), (8-4)
так как теперь сигнал имеет два случайных параметра
(х и а), а не один. В этом выражении k является постоян¬
ным коэффициентом (не зависит от х и а), который может
быть определен из условия нормировки
I S РАХ’ *)dxda=l. (8-5)
Ах Аа
Здесь Ах и Аа — области всех возможных значений пара¬
метров х и а соответственно;
Ру (х> а) — вероятность (плотность вероятности) того,
что при данной реализации y(t) случай¬
ные параметры сигнала равны х и а
-соответственно.
Нас же интересует вероятность Ру(х), т. е. вероятность
того, что при данной реализации y(t) сообщение равно х\
при этом значение паразитного параметра а может быть
любым. Поэтому для определения Ру(х) следует проинте¬
грировать функцию Ру (х, а) по всем возможным значениям
параметра а:
РЛХ)= \ Ру(Х’ a)da' (8‘6)
■^а
Из формул (8-4) и (8-6) следует, что для определения
интересующего нас распределения Ру (л;) нужно знать
функции Я (*, а) и Рх а (у).
Р(х, а) есть априорное совместное распределение х и
а. В общем случае
Р(х, а) = Р(х) Рх (а);
(8-7)
157
если же л и « статистически независимы, что обычно имеет
место, то
Р(х,а) = Р(х)Р(а). (8-8)
Здесь Р(х) и Р (а) — априорные распределения сообще¬
ния х и паразитного параметра а соответственно, которые
полагаются известными или которыми приходится зада¬
ваться, исходя из тех или иных соображений (см. об этом
ниже в гл. 18). Следовательно, остается определить рас¬
пределение Рх а(у).
Если аддитивная помеха иш (t) не имеет статистической
связи с параметрами х и а (что обычно имеет место), то
из (8-3) следует, что вероятность Рх а (у) того, что суммар¬
ное колебание равно у при данных х и а, определяется
следующим соотношением:
Рх,М=УшЫ*)-их,Ж> (8'9)
т. е. распределение Рх а(у) получается из распределения
WJuJ помехи заменой аргумента иш на разность {у —
— их ). Так, например, для нормального белого шума в
соответствии с формулами (1-25) и (8-9) получается
т
Р*..<й={ряг« ’• • <8-10>
Таким образом, в случае сигналов со случайными пара¬
метрами математические операции, необходимые для
вычисления распределения Ру(х), сводятся к следую¬
щему:
1. По известному распределению 1^ш(ыш) аддитив¬
ной помехи вычисляется распределение Рха(у) по фор¬
муле (8-9).
2. Вычисляется распределение Ру(х, а) по формулам
(8-4) и (8-7) [или (8-8)].
3. По формуле (8-6) определяется искомое распре¬
деление Ру(х).
После того как распределение Ру(х) найдено, даль¬
нейший математический анализ не отличается от анали¬
за, осуществляемого применительно к сигналу, известно¬
му точно.
158
Например, если оптимальный приемник действует по
принципу максимальной обратной вероятности, то коле;
бание у (t) на выходе приемника определяется соотноше¬
нием (4-2).
Если сигнал имеет не один, а п паразитных парамет¬
ров- aj, аг,..., ап, то по аналогии с приведенными выше
соотношениями получается
Ру (*)= I • 1 11 Ру(х> а 1» • • • а«) dai • • • dan, (8Л О
А«Ч А* п
где
Ру (•%, ах,. .., = kP (х, <..., <хп) X
ХРп. .,(!/); (8-12)
рк. « 01- (8-13)
При независимых х, а,,..., ап
Р(х, а,,..., ап) = Р(х)Р(<х1)...Р(ап). (8-14)
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
БИНАРНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
9-1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ СИГНАЛА
СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ
Пусть
0(*) = «а,,(*) + «ш(О. (9-1)
где
*«.,(*) = ««*(“*+?)• (9-2)
Вычисим распределение Ру{а) плотностей обратных ве¬
роятностей амплитуды сигнала, полагая частоту ш извест¬
ной, а фазу 9 случайной и равновероятной, т. е.
^ (?) = . при <р = 0 -г— 2те;
2 к
Я(<р)==0 вне этих пределов.
(9-3)
159
Амплитуда а имеет известное априорное распределе¬
ние Р(а). Амплитуда а и фаза <р полагаются непрерыв¬
ными случайными величинами, т. е. в течение интервала
наблюдения (О, Т) они постоянны, а от одного интерва¬
ла к другому изменяются в соответствии с указанными
плотностями вероятностей Р(а) и Р (ф). Вычисляемое
в данном параграфе распределение Ру{а) будет в даль¬
нейшем использовано как при решении задачи бинарно¬
го обнаружения, так и при измерении амплитуды сиг¬
нала.
При вычислении распределения Ру(а) амшитуда а
играет роль искомого полезного сообщения х, а фаза <р
является паразитным случайным параметром. Поэтому
общие формулы (8-6) — (8-10) в данном случае имеют
вид:
(а и <р полагаются статистически независимыми величи¬
нами).
Раскрывая в выражении (9-6) скобки под интегралом и
учитывая соотношение (9-2), получаем:
(9-4)
о
где
Ру(а> ?) = кР(а, ?) Ра>ч(у);
(9-5)
т
Ра,Ау) (у 2nN f 6
Р(а, у) = Р(а)Р (<f).
(9-6)
(9-7)
т
Р (/Л — р
a.yW) (yT2nN f
е
е
(9-8)
где
т
4 = w; j У (0 Cos И + ?)dt- (9*9)
Из соотношений (9-3) — (9-5), (9-7) и (9-8) получаем
Ру (а) = к? {а) е J еч {а'т) d?, (9-10)
где ky — константа, включающая все множители, не за¬
висящие от переменной а.
Из (9-9) следует, что
4(«,?) = ^-(^cos?-^sin?). (9-П)
где
т т
X — ^ у cos <ot dt\ Y= J y(/)sin mtdt. (9-12)
о 0
Для облегчения интегрирования выражения (9-10) введем
новые переменные М и 9 таким образом, что
Х — М cos0; y = vWsin0; ^ ^
т. е. М = УГХ; + У2.
Тогда выражение (9-11) принимает вид:
ri(a, (p)=J^Mcos(0-|-9), (9-14)
и интеграл, входящий в формулу (9-10), легко берется:
а*Т 2ic 2аМ
Ру (а)=кгР (а) е 2W°j е "• c°s <в+?) X
0
аЧ
Xdf=k,P(cг)е "• I „(^), (9-15)
где 1о(2) —модифицированная функция Бесселя.
Так как важно знать лишь форму кривой Ру{а), <а ее
масштаб не иг.рает принципиальной роли, то можно
в (9-15). (полагать k2—\. Кроме того, часто удобнее при
практической реализации вычислительного устройства
11 Л. С. Гуткин 161
вычислять не Pv{a), a In Ру(а). Поэтому вместо (9-15)
можно также записать:
In Ру (а) = In Р (а) - + In I0 (Mj . (9-15а)
Из выражения (9-15) следует, что для определения
искомого распределения Ру(а) необходимо предвари¬
тельно вычислить параметр М. В общем случае этот
Рис. 9-1.
параметр может быть вычислен по формулам (0-12) и
(9-13).
Функциональная схема соответствующего вычисли¬
тельного устройства представлена на .рис. 9-1. Она со¬
стоит из генераторов Гг и Г2, вырабатывающих сину¬
соидальные напряжения частоты сигнала to и некоторой
произвольной вспомогательной частоты Q, коррелято¬
ров КОР\ и КОР2, балансных модуляторов БМ\ и БМ2,
совершающих операции умножения, и линейного ампли¬
тудного детектора Д, выделающего огибающую сум¬
марного колебания X cos Q/+ У sin Ш. Эта огибающая и
равна искомому параметру М (на рис. 9-1 все постоян¬
ные множители приняты для простоты равными еди¬
нице) .
Вычислительное устройство, соответствующее схеме
рис. 9-1, является сравнительно сложным. Однако при
некоторых допущениях, обычно имеющих место, оно мо¬
жет быть заменено оптимальным линейным фильтром,
дающим максимальное отношение сигнал/шу.м и описан¬
ным в § 2-3.
162
Действительно, из формул (9-9) и (9-14) следует,
что М является огибающей колебания - — ri (а, <р), рас-
20
смат.риваемого как функция <р, т. е. огибающей функции
г
Р (?) = J У (О cos И + <Р)dt- (9-16)
О
Но в § 4-3 было доказано, что если сигнал ас (t) длится
только в течение интервала (О, Г), то напряжение на вы¬
ходе оптимального линейного фильтра в момент Т равно:
т
u^{T) = cons\\y{t)ac{t)dt. (9-17)
О
Здесь под оптимальным понимается фильтр, согласован¬
ный с сигналом uc(t), т. е. имеющий импульсную переход¬
ную характеристику, равную
•f\(t) = const ис (t0 — t)9
где t0 = T.
Сопоставляя выражения (9-16) и (9-17), нетрудно
убедиться, что функция р(ф) совпадает (с точностью до
постоянного множителя) с величиной напряжения (в мо¬
мент Т на выходе оптимального линейного фильтра,
согласованного с сигналом й
Это напряжение в соответствии с выражением (0-16)
является функцией фазы ф высокочастотного заполне¬
ния. Но интересующая нас величина М является оги¬
бающей функции Р(ф), поэтому она пропорциональна
значению огибающей (в момент Т) напряжения на вы¬
ходе оптимального линейного фильтра.
Очевидно это утверждение является достаточно точ- .
ным, если на* выходе фильтра огибающая существует,
т. е. если <о7’>1, и за время наблюдения Т укладывает-
* Мы считали, что фильтр должен быть согласован с сигналом
вида const • cos (со/+ у). Фаза у этого сигнала случайна и, следова¬
тельно, неизвестна. Но так как нам требуется воспроизводить лишь
огибающую напряжения на выходе этого фильтра, то при по¬
строении фильтра фаза ? может быть выбрана любой, например ^ = 0.
И* 163-
ся по меньшей мере несколько периодов высокочастот¬
ного заполнения. Обычно это условие выполняется.
Следовательно, при практической реализации опти¬
мального приемника величина М, входящая в выраже¬
ние (9-15), может обычно получаться пропусканием
колебания y(t) через согласованный оптимальный ли¬
нейный фильтр ОФ и выделе¬
нием огибающей колебания на
выходе фильтра (в момент Т)
с помощью амплитудного де-
Рис. 9-2. тектора Д (рис. 9-2).
Реализация остальных опе¬
раций, необходимых для вы¬
числения функций In Ру(а) в соответствии с выраже¬
нием (i9-15a), не представляет принципиальных затруд¬
нений. В частности, наиболее сложная из этих операций,
состоящая в вычислении функции вида lnlo(z), может
быть осуществлена с помощью детектора на обычном
вакуумном диоде. Действительно, в [Л- 112] доказано, что
обычный диодный детектор (на вакуумном диоде) при
больших сопротивлениях нагрузки (R > Юн-50 ком)
имеет детекторную характеристику вида:
Д£/==4-Ь1. (bUm), (9-18)
где Um — амплитуда синусоидального колебания на входе
детектора;
Ш_ — прирост постоянной составляющей напряжения
на выходе детектора, вызванный появлением ко¬
лебания с амплитудой U \
*- * - 10 1 ‘
kTK в
е — заряд электрона;
k — постоянная Больцмана;
Тк — абсолютная температура катода.
Чем больше сопротивление R нагрузки детектора,
тем с большей точностью его детекторная характеристи¬
ка определяется выражением (9-118). Таким образом,
реализация оптимального приемника, вычисляющего
обратную вероятность Ру(а) или ее логарифм, не встре¬
чает принципиальных затрудненйй.
164
9-2. БИНАРНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Пусть сигнал на входе приемника либо отсутствует,
либо имеет вид:
ис (t) = а0 cos (wt -f- <р), (9-19)
где амплитуда ао и частота со известны точно, а фаза ф
случайна и равновероятна, т. е. распределена по закону
(9-3). Очевидно, задача обнаружения такого сигнала
эквивалентна решению вопроса о том, какое из двух
возможных значений амплитуды а имеет место в тече¬
ние данного интервала наблюдения: а = ао или а=0.
В соответствии с методом обратной вероятности для
решения этого вопроса следует сравнить между собой
обратные вероятности Ру(а0) и Ру(0) соответствующих
значений амплитуды.
Из общего выражения (9-15) следует, что
Ру (й0) — КР (#0) е 0(^);
Р у{®) — КР (0).
(9-20)
Если применять принцип максимальной обратной вероят¬
ности, то следует принимать то решение, обратная вероят¬
ность которого наибольшая. В данном случае это означает,
что должно приниматься решение о наличии сигнала
(а = а0), если оказывается
Ру{аа)>Ру( 0), (9-21)
и решение об отсутствии сигнала (а = 0) в противном слу¬
чае, т. е. при
РуМ<Ру(0). (9-22)
Из (9-20) и (9-21) следует, что решение „да* («сигнал
есть*, т. е. а = а0) должно приниматься при выполнении
неравенства
1пЧ^г)>^ (9-23)
Следовательно, оптимальный приемник должен вычис¬
лять величину In I0 и сравнивать ее с некоторым
порогом U0. При превышении порога должен даваться от¬
вет „да“ (сигнал есть), а в противном случае — ответ
„нет“ (сигнала нет, есть только шум).
При этом определение входящего в выражение (9-23)
параметра М может производиться как указывалось в пре¬
дыдущем параграфе, т. е. с помощью вычислительного
устройства, изображенного на рис. 9-1, или путем приме¬
нения оптимального линейного фильтра (рис. 9-2). В по¬
следнем случае схема оптимального обнаружителя имеет
вид, приведенный на рис. 9-3.
Если к моменту t — T на выходе
детектора Д получается t/x> U0 (ивых>-
>0), дается ответ »да“, а в против¬
ном случае — ответ „нет”1.
Вместо детектора с характеристикой
вида In I0 (z) в схеме рис. 9-3 может
быть применен детектор с любой дру¬
гой монотонной детекторной характе¬
ристикой, если при этом скорректиро¬
вать соответственно величину порога U0.
Действительно, если подвергнуть напряжения t/, и U0
одинаковому монотонному нелинейному преобразованию по
закону U' = f(U) (рис. 9-4), то при любом (но монотонном)
виде этого преобразования неравенства и U1<C.U0
будут переходить в неравенства С/{ > С/^ и U\ < U0 соот¬
ветственно. Поэтому при наличии такого преобразования
ответ о наличии или отсутствии сигнала будет всегда по¬
лучаться таким же, как и при отсутствии преобразования.
1 На рис. 9-3 и далее устройство, обеспечивающее в момент t =
= Г фиксацию выходного напряжения детектора, полагается входя¬
щим в состав блока Д.
166
Рис. 9-3.
Рис. 9-4.
Следовательно, при изменении формы детекторной харак¬
теристики, сопровождаемом соответствующим изменением
порога U0, вероятности ошибок обнаружения сигнала будут
оставаться неизменными.
При бинарном обнаружении, как указывалось в § 5-2,
имеют место ошибки двух видов — ложные тревоги с ве¬
роятностью Рлт и пропуски сигнала с вероятностью Рпр.
Полная вероятность ошибки при этом равна:
Р„ = РтР,., + Р(“.)Р„- (9-25)
Методика вычисления вероятностей ошибок Рл.т и
РПр аналогична приведенной выше в § 5-2.
Рассмотрим, например, вычисление вероятности Рл.т-
Из соотношения (9-23) следует, что вероятность лож¬
ной тревоги равна вероятности выполнения неравенства
(9-23) при отсутствии сигнала, т. е. при наличии только
шума.
Неравенство (9-123) можно записать в виде:
(9-26)
где г определяется соотношением
lnI0(z) = £/0. (9-27)
Из (9-13) и (9-26) следует, что ложная тревога будет
иметь место при выполнении следующего неравенства:
т?>г\ (9-28)
где
„■=(£ (9-29)
Из (9-12) следует, что при отсутствии сигнала, т. е.
при у (t) = иш (t) имеют место соотношения:
т
^ Х= щ- j ыш (0 а» cos <*t dt;
О
т
2^Y = ^-^uJt)a0smmtdt.
о
(9-30)
В § 5-2 было доказано, что случайная величина
7^7 ^ иш (0 «с (0 dt имеет нормальный закон распределения
о
167
с нулевым средним значением и дисперсией ~, где Q=
т
О
Поэтому случайные величины j-'JT и ^7, определяе-.
мые выражениями (9-30), также имеют нормальные законы
распределения с нулевыми средними значениями и одинако¬
выми дисперсиями, равными
= (9-31)
где
Q„ = ^r- (9-32)
Кроме того, учитывая ортогональность функций cos Ы
и since/, входящих в выражение (9-30), нетрудно убедиться,
что величины и являются статистически не-
М» N.
зависимыми. Следовательно, величина if является суммой
квадратов двух нормально распределенных независимых
случайных величин, имеющих нулевые средние значения и
одинаковые дисперсии о2. Такая случайная величина под¬
чиняется, как известно, распределению хи — квадрат
с двумя степенями свободы, т. е.
г2
/>(У> гг) = е 2°\ (9-33)
Но из (9-28) следует, что P{rf^>z2) есть не что иное,
как вероятность ложной тревоги, поэтому
£
_ 2а*
Р =е
л.т
или с учетом (9-31)
г2
Р,.,= е № , (9-34)
где в соответствии с формулами (9-24), (9-27), (9-32) и
(9-34) величина г определяется соотношением
1-Т /,Ч_ГГ _<Э. .1- Я(0) /посч
Из формул (9-34) и (9-35) следует, что для вычисления
вероятности ложной тревоги достаточно знать отношение
Оа р (0)
сигнала к шуму и отношение от-А априорных вероят-
yv0 г (а0)
ностей отсутствия и наличия сигнала (или порог {/„). Для
вероятности пропуска Рпр получается выражение
Qo 00 _^о_ X*
рпр = 1~Ще \хе I0(x)dx. (9-36)
г
Эга формула может быть получена различными мето¬
дами. Мы рассмотрим сейчас один из этих методов. Вто¬
рой метод приводится в IV части (§ 14-6).
Предварительно произведем в формулах (9-33) и (9-36)
замену г на а, где
z=Yita> <9-37)
тогда получим:
а»
рл.т=е 2> (9-38)
Pnp=l-e~^j уе~\ (у/ Щ йу. (9-39)
а
Для вывода формулы (9-39) используем отмеченное
выше положение, заключающееся в том, что вероятности
ошибок Рлл и Рпр не изменятся, если в схеме рис. 9-3
изменить форму детекторной характеристики с 1п10 0^—j
на любую другую монотонную функцию М и одновременно
скорректировать величину порога от U0 до некоторой дру¬
гой величины if. Поэтому вместо рис. 9-3 можно рас¬
сматривать схему, изображенную на рис. 9-5. В этой схе¬
ме Д — линейный амплитудный детектор с единичным
коэффициентом передачи, фиксирующий в момент Т значе.
ние огибающей U (t) напряжения на выходе оптимального
фильтра ОФ, т. е.
v\=Um{T). (9-40)
169
Если получается C/j С/0, дается ответ „да" (сигнал
есть), а в противном случае — ответ ,нета (сигнала ,нета).
Следовательно, вероятность Рл1 ложной тревоги есть
вероятность того, что в момент Т огибающая шума
Umm (Т) на выходе линейного фильтра превысит по-
рог и'0 .
Так как шум на входе фильтра имеет нормальное рас-
пределение, то ввиду линейности фильтра шум сохраняет
Рис. 9-5.
нормальное распределение и на выходе фильтра, и огибаю¬
щая этого' шума Umm (t) подчиняется закону Релея. По¬
этому
u0f*
2 U2
Рл, = Р\Утш(Т)>и'й] = е ш, (9-41)
где lfm — средний квадрат напряжения шума иш (t) на вы¬
ходе фильтра.
Вероятность пропуска равна:
рпр=1—рп0’ 0-42)
где Рпо — вероятность правильного обнаружения сигнала
при условии, что сигнал имеется. Следовательно, Рпо есть
вероятность того, что огибающая смеси сигнала и шума
в момент Т превзойдет порог и0:
<яз)
где Umcm —значение огибающей (в момент Т) колебания,
являющегося суммой синусоидального напря¬
жения сигнала и напряжения нормального
шума.
170
Известно [JI. 21], что плотность вероятности огибаю¬
щей такого колебания определяется выражением:
2 2
Uтсш + & тс
U 2 и2ш /и U
и теш ш т ( то. теш
Р(П )— . I . ЛЕ-А
' теш /— т т2 В \ [ П2
\ ш
где U — значение амплитуды сигнала.
Поэтому
00 Uw
J = jif-X
и'о и'о
2 2
Umc + Umcui
2£/ш ,№Uy
X* 10( —-2—)dUn
Обозначая = у, получаем:
^ f IT
Ш
,2
И»с
X" оо _£1
г “Т. / С/,
/-' = £
по
J|K Ч (9-44)
итс
Здесь — есть отношение амплитуды сигнала к сред-
иш
неквадратичному значению напряжения шума на выходе
оптимального фильтра в момент Т, т. е. в тот момент,
когда напряжение сигнала максимально.
В § 2-3 было доказано, что это отношение равно
j/~[см. формулу (2-34)], т. е. в данном случае
Umc _|/?Qo
vm У N„
(9-45)
171
Поэтому формула (9-44) может быть записана в виде:
Qo оо
рпо=е "° j Уе 2 lo(\/jfry)dy. (9-46)
Учитывая (9-42), имеем:
1-е j уе 2 I» (УщУ)йУ' (947)
"т
Из сопоставления выражений (9-38) и (9-41) следует,
что
ио
6^=0; (9-48)
III
поэтому выражение (9-47) совпадает с формулой (9-39),
что и требовалось доказать.
Таким образом, доказано, что при обнаружении синусо¬
идального сигнала со случайной равновероятной фазой (на
фоне нормального белого шума) вероятности ложной тревоги
и пропуска определяются формулами (9-38) и (9-39). По этим
формулам могут быть вычислены характеристики, дающие
связь между вероятностями ошибок Рлт и Рпр при различных
Qo
значениях отношения — сигнала к шуму.
Эти характеристики были впервые вычислены в работе
Питерсона и др. [Л. 17] и приведены на рис. 9-6.
При малых вероятностях ошибок пользоваться кривыми
нет необходимости, так как при этом могут быть полу¬
чены простые аналитические выражения.
В работе [JI. 106] доказано, что при Рл т < 0,1 и
Рпр<0,1 из формул (9-38) и (9-39) с погрешностью менее
0,5 дб получается:
(949)
172
ЯПР =
При Рпр—*® и погрешность этой формулы
асимптотически стремится к нулю.
Из сравнения формулы (9-49) с соответствующей фор¬
мулой (5-29), полученной в гл. 5 для сигнала, известного
точно, следует, что при Рлт<0,01 и Рпр < 0,1 они прак¬
тически совпадают.
Следовательно, при Рлт
жения сигнала со случайной фазой требуется примерно
0,01 и Рпр<0,1 Для обнару-
такая же энергия сигнала, как и в случае сигнала, извест¬
ного точцо.
При ббльших вероятностях ошибки этот вывод уже не
справедлив. Так, например, на рис. 9-7 приведены зависи¬
мости от Рпо, при Рлт = 0,1, для сигнала со случайной
фазой (сплошная кривая) и сигнала, известного точно (пунк¬
тирная кривая). Из этих кривых видно, что при Рл.т = 0,1
и Рпр — 0,5 энергия, требуемая для обнаружения сигнала
со случайной фазой, получается почти в 2,5 раза больше,
чем при сигнале, известном точно, а при дальнейшем умень¬
шении величины Рпо это различие становится еще более
существенным.
Приведенный выше анализ был сделан для сигнала,
изменяющегося по закону (9-2), т. е. для немодулирован-
173
Рис. 9-6.
Рис. 9-7.
ного синусоидального сигнала. Если сигнал имеет более
общий вид, а именно модулирован по амплитуде и по фазе
(или частоте), т. е.
где a (t) и ф (t) — точно известные функции времени, то
можно доказать [Л. 17], что все приведенные выше резуль¬
таты остаются справедливыми со следующими примеча¬
ниями:
а) энергию сигнала Q0 следует заменить на Q, где
б) обратная вероятность наличия сигнала равна не Ру (а0)
[формула 9-20)], а Ру(С), где
здесь Р(С) — априорная вероятность наличия сигнала.
Из этих соотношений следует, что параметр М\, как
и введенный выше параметр М, может быть вычислен
с помощью оптимального фильтра и амплитудного де¬
тектора или вычислительного устройства, изображенного
на рис. 9-1. В этом последнем случае всюду cos соt
и sin cof следует заменить на a(f)cos[(o^+ii|)(tf)] и
a(t) sin[cof+г|) (^)] соответственно.
Структура оптимального фильтра также соответ¬
ственно усложняется.
ис(0 = л(0Со8И + Ф(0 + <Р]> (9‘50)
т
О
т
(9-51)
Хг=^у (t) а (t) cos [Ы -f- Ф (01 dt\
о
т
174
9-3. БИНАРНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ФЛУКТУИРУЮЩЕГО
СИГНАЛА
Пусть сигнал имеет вид:
% (t) = a cos (Ы -f- ср), (9-52)
где частота со известна точно, а амплитуда а и началь¬
ная фаза ф в течение интервала наблюдения Т неизмен¬
ны, но от одного опыта (интервала наблюдения) к дру¬
гому флуктуируют, т. е. меняются как непрерывные слу¬
чайные величины с некоторыми распределениями W(a)
и Р(ф) соответственно. Такой сигнал для краткости на¬
зывается флуктуирующим.
Будем полагать распределение Р(ф) равномерным,
т. е. описываемым соотношениями (9-3).
Пусть априорные вероятности наличия и отсутствия
такого сигнала равны Р(С) и Р(0) соответственно. Если
сигнал на входе имеется, то его амплитуда имеет ка¬
кое-то ненулевое значение а. Если же сигнал на входе
отсутствует, то это означает, что амплитуда сигнала
тождественно равна нулю (а=0). Поэтому задача обна¬
ружения сигнала эквивалентна решению вопроса о том,
имеет ли амплитуда а какое-то ненулевое значение (не¬
важно, какое именно) или эта амплитуда тождественно
равна нулю.
Для ответа на этот вопрос в соответствии с методом
обратной вероятности необх'одимо сравнить между со¬
бой обратные вероятности РУ(С) и Ру(0). Здесь РУ('С)—
обратная вероятность того, что амплитуда а имеет ка¬
кое-то нулевое значение ((неважно, какое именно),
а Ру(®) —обратная вероятность того, что амплитуда а
тождественно равна нулю.
Из формулы (9-15) следует, что для сигнала со слу¬
чайной равновероятной фазой плотность Ру(а) обратной
вероятности амплитуды а равна:
а2Т
Ру{а) = КР{а)е 2ЛЧ(^). (9-15)
В соответствии со сказанным выше Ру(С) есть обратная
вероятность того, что амплитуда а имеет любое ненулевое
значение. Поэтому
Py(C)=]py(a)da, (9-53)
О
175
т. е.
аЧ
Ру (С) =k21 Р (а) е 2N° I. da. (9-54)
Здесь Р(а)— априорная плотность вероятности нену¬
левой амплитуды а. Поэтому в данном случае
Р(а) — Р(С) W (а) (9-55)
00 _£!£
Py(C) = KP{C)\W(a)e 2N'la(^)da. (9-56)
Из (9-15) следует, что
Py(Q) — k»P (0). (9-57)
Входящий в формулы (9-56) и (9-57) коэффициент k2
определяется из условия нормировки, которое в рассматри¬
ваемом случае имеет вид:
^(С) + ЯЛ°)=1- (9‘58)
Будем в дальнейшем для-простоты исходить из критерия
максимальной обратной вероятности, т. е. полагать, что
сигнал имеется, если оказывается
Ру(С)>Ру( 0), (9-59)
и считать, что сигнал отсутствует, если
Ру(С)<Ру( 0). (9-60)
Кроме того, в дальнейшем для конкретности будем
полагать, что распределение W (а) амплитуды сигнала под¬
чиняется закону Релея, т. е.
а?
W(a) = JLe 2“* . (9-61)
«с
176
При этом выражение (9-56) принимает вид:
оо а2
Ру (C) = k2p (C)=Ljae~w I0 da, (9-62)
“с о
где
(9‘63)
QCD=4T (9-64)
есть средняя удельная энергия сигнала.
Интеграл, входящий в выражение (9-62), является таб¬
личным и имеет значение
00
1
2 Ь м
сег -г- М
Л. 2 ь т (2Ма\ 1 t Nq
ае l° {irz)da=be
о
Подставляя это значение в {9-62), имеем:
lj-ЛР
Py(C) = ktP(C)-LeN° . (9-65)
U
с
Из соотношений (9-57), (9-59) и (9-65) следует, что
ответ „даа (сигнал на входе имеется) должен даваться при
выполнении неравенства
М>и0ф, (9-66)
где
(М7)
При невыполнении неравенства (9-66) принимается
решение об отсутствии сигнала. Следовательно, задача
оптимального обнаружителя флуктуирующего сигнала
сводится к вычислению параметра М я сравнению его
с порогом Ыоф-
В предыдущем параграфе было доказано, что вели¬
чина М пропорциональна значению (в момент Т) оги-
12 л. С. Гуткин 177
бающей колебания на выходе оптимального линейного
фильтра. Поэтому блок-схема оптимального обнаружи¬
теля флуктуирующего сигнала имеет, как и в случае
сигнала с известной амплитудой, вид, изображенный на
рис. 9-5. Все параметры этой схемы также остаются
неизменными, за исключением величины порогового сме¬
щения,— в случае флуктуирующего сигнала этот порог
равен не U'0, а н0ф, где «оф определяется форму¬
лой (9-67),.
Такое совпадение (за исключением порогового сме¬
щения) оптимального приемника для случаев флуктуи¬
рующей и нефлуктуирующей амплитуд сигнала объяс¬
няется тем, что входящий в состав этого приемника
оптимальный фильтр ОФ является линейной системой,
параметры которой не зависят от амплитуды сигнала;
форма же детекторной характеристики детектора оги¬
бающей, как отмечалось выше, также не играет роли,
если при изменении этой формы соответственно коррек¬
тировать величину порога.
Отсюда следует, что переход от оптимального обна¬
ружения сигнала с точно известной амплитудой к опти¬
мальному обнаружению сигнала со случайной амплиту¬
дой, подчиненной любому закону распределения W(a),
' может быть осуществлен без какого-либо изменения па¬
раметров схемы обнаружителя (приемника), за исклю¬
чен,ием соответствующей корректировки порогового сме¬
щения U'о на выходе.
Найдем теперь вероятности ошибок обнаружения
флуктуирующего сигнала Рл.т, Рщ> и Р0ы-
Вероятность ложной тревоги равна вероятности вы¬
полнения неравенства (9-66) при отсутствии сигнала
(т. е. при наличии только шума).
В предыдущем параграфе для случая отсутствия сиг¬
нала было получено соотношение (9-33), которое можно
записать в виде:
P(il>z) = e< 2а\ (9-ЗЗа)
Здесь P(ij>2) есть вероятность того, что t) превышает г,
где к) определяется, как следует из (9-13) и (9-29), фор¬
мулой
4=-^- М. (9-68)
178
Величина а2 в соответствии с формулами (9-31) и (9-32)
равна:
<&г
г- (9-69>
Из соотношений (9-ЗЗа), (9-68) и (9-69) имеем:
г2ЛГ0
р(%7м>г)=‘
поэтому
Р(М>^-) = е 2^т
и, следовательно,
Р(М>и0ф) = е~7^и°Ф. (9-70)
Так как при отсутствии сигнала вероятность Р (Л1>и0ф)
есть не что иное, как вероятность ложной тревоги, то
имеем:
(9-70»
С учетом соотношений (9-63), (9-64) и (9-67) получаем:
Рл.т = (9-71)
где
Найдем теперь вероятность пропуска Рпр.
Из (9-42) следует, что
Л* = 1 — ^по»
где Рпо — вероятность правильного обнаружения сигнала
при условии, что сигнал на входе имеется.
12* 179
Формула, определяющая величину Рпо, может быть по¬
лучена различными методами. Перейдем к изложению одного
из этих методов (другой метод дается ниже, в § 14-6).
Рпо есть вероятность выполнения неравенства (9-66) при
условии, что сигнал на входе имеется, т. е. вероятность
того, что в момент Т огибающая Ump (t) суммы [ис вых (/)+
4~ мш.вых (01 сигнала и шума на выходе оптимального
фильтра превзойдет порог и0ф.
Здесь ишвых(0—шум, имеющий нормальный закон рас¬
пределения с нулевым средним значением и дисперсией
*4ышх> а «с вых (0 — флуктуирующий сигнал, начальная фаза
которого распределена равномерно, а амплитуда—по закону
Релея. Мгновенные значения такого сигнала имеют нормаль¬
ное распределение с нулевым средним значением и диспер¬
сией йс2вых . Следовательно, в момент Т суммарное колеба¬
ние [ис.вых(7’)-|-иш.вых(7’)] также имеет нормальный закон
распределения с нулевым средним значением и с дисперсией
<вых=йсвых + «ш«ых- (9-72)
Итак, при наличии флуктуирующего сигнала значения
напряжения на выходе оптимального фильтра имеют нор¬
мальный закон распределения с нулевым средним значением
и дисперсией Ир-вых, определяемой формулой (9-72).
При отсутствии сигнала, когда имеется только шум,
значения напряжения на выходе оптимального фильтра имеют
такой же закон распределения, за исключением того, что
дисперсия этих значений равна не и*вых, а игш вых. Следова¬
тельно, в схеме рис. 9-5 появление сигнала сказывается
лишь в том, что дисперсия распределения случайного на¬
пряжения увеличивается от и2ш вых до и* ВЬ1Х , т. е. в jj. раз,
где
~~2 ~~2
1ха = “р.вых_ = 1 _|_“с.вы^с _
и2 и^
“ш.вых **ш.вых
Выше было найдено, что вероятность превышения оги¬
бающей такого напряжения (в момент Т) порога и0ф при
180
отсутствий сигнала (т. е. вероятность ложной тревоги) равна
согласно (9-70а):
Рлт=Г^“°Ф. (9-70а)
Поэтому вероятность того, что огибающая суммарного
напряжения сигнала и шума (в момент Т), имеющего тот
же закон распределения, но в раз большую дисперсию,
превысит тот же порог иоф, равна, очевидно,
2 /“04Л1
Рпо = е (9-74)
Из сравнения выражений (9-74) и (9-70а) следует, что
величина Рпо отличается от вероятности Рл т лишь наличием
множителя 1/ц* в показателе степени экспоненты. Поэтому,
учитывая соотношение (9-71), имеем:
-11.
рио = в ^ • (9-75)
Величина у? определяется формулой (9-73); следовательно,
остается определить отношение ^-вых ■ средних квадратов
и2
ш.вых
напряжений сигнала и шума на выходе оптимального линей¬
ного фильтра (при этом напряжение сигнала рассматривается
всегда в момент t = T).
Как было показано в гл. 2,
к
,2
с.вых.макс
_2 Q
и2
“ш.вых
(9-76)
где Q — удельная энергия выходного сигнала, а ис вых макс —
максимальное значение напряжения сигнала на выходе
фильтра.
В рассматриваемом случае
Q=^; (9-77)
и —U
с.вых.макс m вых
181
где Uт вых — значение амплитуды сигнала на выходе фильтра
в момент Т.
Следовательно, вместо (9-76) в данном случае имеем:
U2
т.вых хт ш вых
•**0
Мгновенное значение напряжения сигнала на выходе
фильтра в момент Т имеет вид:
“сых^^выхС0^.
где ф — случайная равновероятная фаза; поэтому
Ис.вых== Mm.BHx‘C0S Ф*
Так как а и <|> являются независимыми случайными ве¬
личинами, то
а2 Т —« 2~Г л2 Т 2
Мс.вых N„ Иш.вых C0S ^ 2Nt иш.вых •
н°
агТ
2 ^ср»
где Q — средняя удельная энергия сигнала, поэтому
2 Фср 2
ц == ,—_f__ ц*
с.вых ш.вых
и в соответствии с~(9-73)
^ = 1+-^-. (9-78)
Подставляя это значение в (9-75), получаем оконча¬
тельно:
__
i+-^£L
'~РпР=Р«о=е • (9-79)
По формулам (9-71) и (9-79) нетрудно вычислить веро¬
ятности ошибок Рлт и Рпр для данных и рЩ’-
Полная вероятность ошибки определяется по формуле
Рош = Р(0)Ялт + Р(С)Рпр. (9-80)
182
Р (С)
Рассмотрим, например, случай, когда p^jy- = 1.
Так как в соответствии с условием нормировки должно
быть:
Р(0) + Р(С)=1,
то в рассматриваемом случае
Р(0) = Р(С) = 0,5.
(9-81)
При этом указанные выше формулы упрощаются и при¬
нимают вид:
1+^2-
^ N0
где
р 4- р
гл.т ~ *пр
р =-
ош
(9-82)
По этим формулам построена кривая, приведенная на
рис. 9-8.
Q
При —>10 из формул (9-82) получается следующее
приближенное соотношение, погрешность которого не пре¬
вышает 10° /0:
/ Qt*n \
Рис. 9-8.
Задаваясь допустимой величиной- полной вероятности
ошибки Рош, можно определить требуемое отношение
сигнала к шуму.
Однако во многих практических случаях априорные ве¬
роятности Р(0) и Р(С) отсутствия и наличия сигнала неиз¬
вестны. При этом полная вероятность ошибки Рош также не
может быть найдена, и необходимо задаваться не величиной
Рош. а условными вероятностями ошибок Рлт и Рпр. При
этом требуемое отношение сигнал/шум может быть легко
найдено из соотношений (9-71) и (9-79). Действительно, из
этих формул имеем:
In и In 1 -
Рд.Т ^ПО Qcp
Na
Поэтому
Q,
N.
1
In
CJ!_ _
• In-
1
— 1. (9-84)
Лю
Так как Pno = 1—Япр, то при Рпр < 0,1 можно по¬
лагать
ПО *
Поэтому при Япр <0Д можно с достаточной точностью
полагать
-|е-ж * ln-J 1« * inJ-. (9-85)
о пр *л.т пр * л.т
Сравним этот результат с соответствующей форму¬
лой (0-49), полученной в предыдущем параграфе для
сигнала, амплитуда которого известна точно. В случае
сигнала с известной амплитудой требуемая энергия Qo
зависит от вероятностей ошибок Рл.т и Рпр примерно
одинаковым образом (при Рл,т<0,1 и Рпр<0,1),
а именно логарифмически. При флуктуирующем сигнале
зависимость средней энергии сигнала QCp от вероятно¬
стей Рл.т и РПр получается существенно различной:
184
зависимость QCp от Рл.т оказывается также логарифми¬
ческой, а зависимость от Рпр — гиперболической, т. е.
значительно более резкой. Поэтому три флуктуирующем
сигнале рассмотренного типа (т. е. при флуктуациях
амплитуды по закону Релея) обеспечить малую вероят¬
ность пропуска значительно труднее, чем получить ма¬
лую вероятность ложной тревоги. Отсюда следует так¬
же, что при малой допустимой вероятности пропуска для
обнаружения флуктуирующего сигнала требуется значи¬
тельно большая энергия сигнала, чем для обнаружения
сигнала с известной амплитудой.
Так, например, при Рпр = Рлт=10~3 получается
а
ф- =^70000,
т. е. требуемая энергия возрастает в несколько тысяч раз.
Приведенный в предыдущих параграфах анализ
влияния неопределенности (флуктуаций) фазы высоко¬
частотного заполнения сигнала и его амплитуды пока¬
зывает, что при -малых допустимых вероятностях оши¬
бок обнаружения неопределенность фазы не играет
существенного значения, а неопределенность амплитуды
сигнала может потребовать весьма значительного уве¬
личения его средней энергии.
9-4. БИНАРНОЕ ФАЗОВОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
Приведенное выше рассмотрение бинарного обнару¬
жения (в гл. 5 и в предыдущих параграфах данной гла¬
вы) производилось в предположении, что обнаружитель
(приемник) оптимальным образом учитывает всю полез¬
ную информацию, содержащуюся в сумме y(t) сигнала
и шума.
При относительно узкополосных сигналах эту сумму
удобно представлять в виде единого колебания с неко¬
торой результирующей амплитудой Up(t) и результи¬
рующей начальной фазой 0 (tf):
У (0 = (0 cos [atf -f- 0 (*)].
(9-86)
185
В общем случае информация о полезном сигнале со¬
держится как в огибающей Up(t), так и в фазе 0 (t) ре¬
зультирующего колебания y(t). Однако в некоторых
случаях полезная информация может содержаться це¬
ликом (или почти целиком) только в огибающей Uv(t)
или толыко в фазе б {t). Так, например, в предыдущих
параграфах 'было показано, что 'при обнаружении на
фоне нормальною белого шума сигналов со случайной
начальной фазой, равновероятной в пределах от 0 до 2я,
оптимальный обнаружитель содержит ,в своем составе
безынерционный амплитудный детектор, реагирующий
только на огибающую Up(t) и, следовательно, не реаги¬
рующий на фазу 0 ('/). Это означает, что в указанных
случаях вся информация содержится только в огибаю¬
щей Up(t), и оптимальный обнаружитель является по
своему характеру чисто амплитудным.
Если сигнал известен точно (а следовательно, изве¬
стна и его начальная фаза), то амплитудный обнаружи¬
тель не является уже оптимальным.
Действительно, приведенное выше сравнение бинар¬
ного обнаружения сигналов, известных точно, и сигна¬
лов со случайной начальной фазой показало, что при
малом отношении сигнала к шуму неизвестность началь¬
ной фазы (или неучет этой фазы в обнаружителе) при¬
водит к большому проигрышу в требуемой энергии сиг¬
нала. Следовательно, если при сигнале, известном точно,
вместо оптимального обнаружителя (коррелятора) при¬
менить амплитудный обнаружитель, то при малом отно¬
шении сигнал/шум будет получаться большой проигрыш.
По мере увеличения отношения сигнал/шум этот
проигрыш монотонно уменьшается и при достаточно
сильных сигналах практически равен нулю.
Это означает, что в случае сигнала, известного точно,
полезная информация содержится как в огибающей
Uv(t), так и в фазе б (i) результирующего колебания.
Но при малом отношении сигнал/шум эта информация
сосредоточена в основном в фазе б (t) (так как в этом
случае неучет фазы 0 (i/), имеющий место в амплитуд¬
ном обнаружителе, приводит к резкому ухудшению
надежности обнаружения), а при большом отношении
сигнал/шум — в основном в огибающей Uv(t). Эти ре¬
зультаты наводят на мысль, что при малых отношениях
сигнал/шум фазовые обнаружители, т. е. устройства,
186
реагирующие только на фазу 0(tf) результирующего
колебания и не реагирующие на его амплитуду, могут
дать практически столь же хорошие результаты, как
и оптимальный обнаружитель, производящий анализ
всего колебания у (t). Поэтому наряду с рассмотренны¬
ми выше обнаружителями, основанными на анализе все¬
го колебания y(t) или его огибающей Up(t), представ¬
ляют большой интерес и фазовые обнаружители, осно¬
ванные на анализе только фазы 0('О-
Интерес к фазовым обнаружителям особенно возрос,
когда выявилась следующая трудность, возникающая
при практическом осуществлении обнаружителей, ана¬
лизирующих .мгновенные значения или амплитуду коле¬
бания y{t).
На выходе таких обнаружителей устанавливается
пороговое смещение U0. Если напряжение на выходе
обнаружителя превышает порог Uo, принимается реше¬
ние о наличии сигнала; в противном случае сигнал '
считается отсутствующим. Величина смещения Uo выби¬
рается, исходя из з-аданных вероятностей ложных тревог
и пропусков сигнала. При такой структуре обнаружите¬
ля даже небольшое изменение смещения U0 или усиле¬
ния приемного устройства может привести к недопусти¬
мому изменению вероятностей ошибок. Поэтому в вы¬
сококачественных обнаружителях требуется высокая
степень стабильности усиления и порогового смещения
и (или) автоматическая корректировка порога Uo при
изменениях усиления,
В фазовых обнаружителях эта трудность отсутствует,
так как фаза Q (/) результирующего колебания не за¬
висит от усиления приемника.
Сравнительный теоретический анализ указанных
трех типов обнаружителей дан в работах Мидлтона и'
Хаггинса [Л. 16] и Б. Р. Левина. При этом в статье
Б. Р. Левина [Л. 124] впервые дан анализ оптимального
фазового обнаружения, при котором информация, со¬
держащаяся в фазе 0 (0, попользуется наилучшим
образом. Ниже приводятся (в наших обозначениях)
основные результаты, полученные в этой статье.
Так как в данном случае предполагается, что анали¬
зу подвергается не смесь y(t) сигнала и шума, а лишь
фаза 0 ОО этой смеси, то обратные вероятности наличия
и отсутствия сигнала равны Ре (С) и Рв (0) соответ¬
187
ственно. Предположим, что сигнал uc(t) известен точно,
т. е.
ис (t)=a. (t) cos [ш^ -j- tp (^)], (9-87)
где параметры a(t), <f(t) и ш извести^ точно. Тогда
Р,(С)=6Р(С)/>с(9); I
Р,(0) = £Р(0)Р„(в), I ' '
где Р(С) и Р(0)—априорные вероятности наличия и
отсутствия сигнала, а Рс {Щ и Ро (б) — многомерные
распределения фазы б при наличии и при отсутствии
сигнала соответственно.
В оптимальном обнаружителе .принимается решение
«да» (сигнал есть), если
Рв(С)>,Р,( 0), (9-89)
и .решение «нет» (сигнала нет) в противном случае.
Здесь т] — весовой коэффициент, учитывающий относи¬
тельную опасность ложных тревог и пропусков сигнала.
Если ошибки обоих видов одинаково опасны (т. е. тре¬
буется обеспечить минимум полной вероятности ошибки
обнаружения, Рош)» ТО
т)=1. . (9-90)
Из (9-88) и (9-89) следует, что должно приниматься реше¬
ние „да", если
1п Я. (6) '>С' (9-91)
где
С =
и решение „нет“ в противном случае.
Как было показано в § 1-3, всякая функция време¬
ни f(t), имеющая относительно узкополосный спектр
шириной Af, полностью характеризуется п значениями
i'fi, •••,/«) этой функции или «1 значениями ее огибающей
и rii значениями фазы [см., например, (1-13) и ('1-14)],
где
л1==!=Д/.7\ (9-92)
Здесь Т — длительность интервала наблюдения.
188
В нашем случае роль f(t) играет сумма сигнала и
шума y(t), а роль фазы — начальная фаза 0 (t) втой
суммы. Следовательно, интересующая нас функция 0 (О
полностью характеризуется своими щ выборочными зна¬
чениями
(К % 0J,
где nt определяется по формуле (9-92).
Поэтому
рс® Рс(8. К) ,993,
Л>(в)~ Ро (6, еП1) • <у'у^
Далее для простоты полагается, что выборочные значения
(01, ••.,6Я) статистически независимы. Тогда из (9-91) и
(9-93) получается следующее правило решения „да“:
/7»с(в|)
ln-f! >С, (9-94)
Я ш0 (0г)
где шс(9.) и ш0(б() — одномерные плотности вероятности
начальной фазы 6 суммы сигнала и шума и одного только
шума соответственно, которые вычисляются сравнительно
просто [Л. 21]. Если подставить их выражения в (9-94), то
при нормальном белом шуме и малом отношении сигнала
к шуму ( < 1 ^ правило (9-94) принимает вид:
\ ш /
Г
' a (t) cos [0 (/) — <р (0] dt > В, (9-95)
где
$■
Здесь Q — энергия сигнала.
Из правила (9-95) следует, что при малом отноше¬
нии оигнал/шум оптимальный фазовый обнаружитель
должен состоять из фазового детектора, выделяющего
cos [0(/)—ф(/)], коррелятора, вычисляющего взаимную
корреляцию выходного напряжения детектора и оги-
189
бающей сигнала a(t), а также порогового «смеще¬
ния» В на выходе.
Для синусоидального сигнала, т. е. при a(tf)=«o и
ф(0=|фо, выражение (9-95) упрощается и прини¬
мает вид:
г
J cos [0 (t) — <р0] dt > В', (9-96)
б
где
5'= — .
«о
При этом обнаружитель сводится к фазовому детек¬
тору -и интегратору, выход которого сравнивается с за¬
ранее установленным порогом В\
Для определения вероятностей ошибок следует вы¬
числить вероятность выполнения (или невыполнения)
неравенства (9-95) три наличии -и пр.и отсутствии сигна¬
ла соответственно. При п\ > 1 приближенные результа¬
ты этого вычисления таковы:
где
^лт= 1 — ф (-х); Л,Р=ф(г2)> (9-97)
ф(г,=Й: \е~Т“к
—г
Здесь иш = N0A/ — действующее значение напряжения
шума на входе.
Сравнение этих выражений с соответствующими фор¬
мулами для оптимального обнаружителя, основанного
на анализе всего суммарного колебания у(й), показы¬
вает, что они примерно совпадают. Это подтверждает
сделанное выше заключение, что в случае сигнала, изве¬
стного точно, фазовый обнаружитель не должен давать
190
существенного проигрыша, если отношение сигнал/шум
мало.
Для большого отношения сигнал/шум также получе¬
ны соответствующие формулы, которые показывают, как
и следовало ожидать, что в этом случае оптимальный
фазовый обнаружитель дает большой проигрыш по.
сравнению с оптимальным обнаружителем, основанным
на анализе всего колебания y(t).
Приведенные выше результаты относятся к сигналу,
известному точно.
Если сигнал флуктуирует по нормальному закону, то
по независимым выборкам (6t,... 0Я ) фазы 6(0 невоз¬
можно отличить сумму сигнала и шума от одного шума,
так как эти выборки в обоих случаях имеют одинаковое
(равномерное) распределение. Поэтому для осуще¬
ствления фазового метода обнаружения флуктуирующе¬
го сигнала необходимо иметь независимые выборки раз-
ности. фаз (Д01?..., Дб/в1), где Д0.= 0 (*,+ %) — 0 (L).
При этом для каждого элемента А в. выборки корреля¬
ция между величинами 0 (^+“t) 'и 0 (•/<) должна учиты¬
ваться.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
СЛОЖНОЕ БИНАРН01Е ОБНАРУЖЕНИЕ
10-1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть сигнал может иметь одно из т значений
их(f), u2(t),..., #m(0*
Требуется обнаружить, имеется ли на входе системы
такой сигнал или сигнала нет, а имеется лишь шум.
Решение этой задачи эквивалентно нахождению отве¬
та на вопрос о том, присутствует ли на входе системы
•какой-либо из т ненулевых сигналов и\, и2>...,ит (не¬
важно какой именно) или никакого сигнала нет,
а имеется только шум. Такая задача называется слож¬
ным бинарным обнаружением.
Обнаружение является бинарным потому, что воз¬
можны только два вида ответов — «да» (один -из т
191
ненулевых сигналов имеется) и «нет» (никакого сигна¬
ла нет, имеется только шум), как и при бинарном обна¬
ружении, рассмотренном в предыдущей главе.
Однако в данном случае обнаружение является бо¬
лее сложным, так как обнаруживаемый сигнал имеет
•не один, а т возможных видов.
Такое обнаружение представляет интерес, например,
в радиолокации, когда требуется определить, имеется
ли самолет в какой-то области пространства, состоящей
из т элементарных участков, не уточняя, в каком имен¬
но элементарном участке он находится (предполагается,
что во всей области может одновременно находиться
лишь один самолет). При этом отражение от самолета,
находящегося в элементарном участке с номером k,
можно рассматривать как возможный сигнал Uh(t) и
считать, что установление наличия одного из возможных
сигналов ui,...,um эквивалентно обнаружению наличия
самолета в рассматриваемой области.
'Пусть известны априорные вероятности 'Р(О),
Р(i«i),...,Р{ит) отсутствия сигнала и наличия сигна¬
лов «1, ы2 ит соответственно. Тогда можно вычис¬
лить соответствующие обратные вероятности 'Ру(0),
Ру(^ l) » •••> Р y(l4m)f
Из условия нормировки следует, что
Р(0) + £Р(йА) =
k—l
k—\
(10-1)
Так как появления сигналов иг (t),..., ит (f) являются
событиями несовместимыми, то обратная вероятность Ру(С)
появления какого-либо из т. возможных сигналов (неважно
какого) равна сумме обратных вероятностей появления
каждого из* этих сигналов, т. е.
(10-2)
£=1
192
Аналогично для априорной вероятности Р(С) этого со*
бытия имеем:
т
/>(С)=£/>(«,). (ю-з)
а—1
Для решения задачи обнаружения сигнала по мето¬
ду максимальной обратной вероятности следует вычис¬
лить и сравнить между собой обратные вероятности
РУ(С) и Р(0) искомых событий.
Если окажется
РУ(С)>Р„( 0), (Ю-4)
то должен быть дан ответ «да» (какой-то из т возмож¬
ных сигналов имеется). В противном случае дается
ответ «нет», («никакого сигнала нет, имеется только
шум»). Приемник, действующий по такому принципу,
как уже указывалось в гл. 4, обеспечивает минимум
•полной вероятности ошибочного решения. При этом не
учитывается различная значимость (опасность) ошибок
различных видов, т. е; ложных тревог и пропусков сиг¬
нала. Если ложным тревогам и пропускам должен быть
придан различный «вес», то это может быть учтено вве¬
дением в условие (10-4) соответственного весового
коэффициента т). Поэтому в более общем случае реше¬
ние «да» должно приниматься при выполнении условия
Ру(С)>чРу(°) (10-5)
и решение «нет* в противном случае.
С учетом (10-2) это условие принимает вид:
т
(ю-б)
*=1
где
U0 = riPy(0).
Следовательно, оптимальноеприемное устройство долж¬
но вычислять обратные вероятности Ру(щ),..., Ру(ит)
всех возможных сигналов, суммировать их и сравнивать
с некоторым порогом U0. Поэтому блок-схема такого
13 Л. С. Гуткин 193
приемного устройства в общем случае должна иметь
вид, изображенный на рис. 10-1. На этом рисунке П\,
#2, Пт обозначают приемники, вычисляющие обрат¬
ные вероятности Ру(щ), Py(u2),...,Py(um) соответствую¬
щих сигналов.
При простри бинарном обнаружении некоторого сиг¬
нала ыс, описанном в предыдущей главе, задача опти¬
мального приемника сводится к вычислению обратной
Рис. 10-1.
вероятности Ру(ис) этого сигнала и сравнению ее с не¬
которым порогом. Поэтому каждый приемник Пь в си¬
стеме, изображенной на ,рис. 10-1, выполняет те же
функции (за исключением сравнения с порогом), как и
в случае простого бинарного обнаружения соответствую¬
щего сигнала «ь, и имеет, следовательно, такую же
основную структуру.
Рассмотрим для иллюстрации несколько конкретных
случаев, полагая, как и ранее, что шум является адди¬
тивным и белым и имеет нормальное распределение.
10-2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ, ИЗВЕСТНЫХ ТОЧНО
Пусть все возможные сигналы u.\(t) um{t) извест¬
ны точно. В этом случае задача каждого приемника Пк
сводится к вычислению обратной вероятности Py{uk)
сигнала, известного точно.
В гл. 5 было найдено [см. формулу (6-4)], что
_Ок
Ру{ик) = КР{ик)е V*, (5-4)
где
т
E»=i;Ы<> «»(')<«.
о
194
Там же было доказано, что величина Pv(Uk) может*
вычисляться приемником, построенным по структурной
схеме, изображенной на рис. 5-3. Основным элементом
такого приемника является коррелятор КОР, который
при некоторых обычно имеющих место допущениях, ука¬
занных в гл. 4, может быть заменен также оптимальным
линейным фильтром.
Следовательно, в случае сигналов, известных точно,
каждый приемник Я* в схеме, изображенной на
рис. 10-1, может быть осуществлен по структурной схе¬
ме, приведенной на рис. 5-3.
10-3. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗАМИ
Пусть все сигналы ui(t),um(t) известны точно, за
исключением фазы высокочастотного заполнения, кото¬
рая является случайной и равновероятной. В этом слу¬
чае задача каждого приемника Пн сводится к вычисле¬
нию обратной вероятности Pv(Uk) сигнала со случайной
равновероятной фазой.
Соответствующее выражение для Pv(uk) было полу¬
чено в § 9-1 [см. формулу (9-15)] и может быть записано
в виде:
туду ak и длительность %k.
Величина Mk определяется в соответствии с формулами
(9-12) и (9-13) следующим образом:
M»=W,+n.
где
(10-8)
tk
{k + zk
13*
195
Здесь th и tk+Xk — соответственно моменты возникнове¬
ния и исчезновения сигнала Mft(rf), которые полагаются
в месте приема известными.
Формулы (10-7) >и (10-8) записаны применительно
к общему- случаю, когда сигналы ui(t), «2(0 um(t)
отличаются друг от друга по амплитуде ак, несущей ча¬
стоте о)*, длительности т* и моменту возникновения h.
Если часть этих параметров для всех сигналов одинако-
, ПЦ»
ZJ- офк —fa \рк
Рис. 10-2.
ва, то формулы и соответственно конструкция оптималь¬
ной системы упрощаются. В общем же случае структур¬
ная схема имеет вид, изображенный на рис. 10-1,
а каждый приемник Пн осуществляет операции, необхо¬
димые для вычисления обратной вероятности Pv(uk) по
формуле (|10-7).
Как указывалось в § 9-1, величина Мъ. может вы¬
числяться с помощью электронной схемы, изображенной
на -рис. 9-1 или, п{)и некоторых обычно выполняющих
ограничениях, с помощью оптимального линейного
фильтра. В этом последнем случае приемник Пн может
быть осуществлен по структурной схеме, изображенной
на рис. 10-2. На этой схеме ОФь — линейный оптималь¬
ный фильтр, согласованный с сигналом «&(*), а Д — де¬
тектор огибающей, выделяющий огибающую напряже¬
ния на выходе оптимального фильтра и фиксирующий
значение этой огибающей в момент окончания сигна¬
ла Uk(t), г. е. в момент fo+t*. При этом детекторная
характеристика должна быть не линейной, а вида
1п1о(д;). Как отмечалось выше (§ 9-1), такая характери¬
стика может быть получена от обычного детектора на
■ вакуумном диоде.
В разностном каскаде РК из напряжения, зафиксирован-
(2аьМЛ
—jj—), вычитается
Qk *
—In Р(а)- | ^ . Полученный результат равен In Py£uk) [так
196
как в формуле (10-7) коэффициент kz может быть без
ущерба для результатов принят равным единице]. Поэтому
после разностного каскада включен каскад ЭК. с экспонен¬
циальной характеристикой, превращающий In Ру (ик) в Ру (ик).
Так как напряжение, соответствующее Ру (иА), полу¬
чается в момент tk который для разных сигналов
uk(t) может быть различным, то суммирование напряжений
вида Uk = Py(uk), осуществляемое в каскаде 2 (рис. 10-1),
должно в общем случае включать в себя также соответ¬
ствующие предварительные задержки во времени отдель¬
ных слагаемых.
10-4. ОБНАРУЖЕНИЕ ФЛУКТУИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ
Пусть все сигналы (t),..., ит (t) являются флуктуи¬
рующими сигналами вида, рассмотренного в § 9-3.
В этом случае каждый приемник Пk должен вычислять
обратную вероятность Ру (ик), которая в соответствии с фор¬
мулами (9-63) и (9-65) может быть записана в виде:
Величина Мк определяется таким же образом, как и
в предыдущем случае. Коэффициент k2 при конструирова-
вании схемы может быть принят равным единице. Поэтому
структурная схема приемника Пk в рассматриваемом случае
может быть представлена, как показано на рис. 10-3. Опти¬
мальный линейный фильтр ОФк имеет такую же структуру,
как в предыдущем случае (т. е. на рис. 10-2); Д —ли¬
нейный детектор огибающей с коэффициентом передачи,
(10-9)
где
(10-10)
197
равным hk, фиксирующий в момент ik -|- хк напряжение,
равное hkMk.. Каскад с характеристикой вида ех* образует-
hlMl
величину е , которая после соответствующей нормировки
в каскаде НК дает искомую обратную вероятность Ру (ик).
y(t)
0Ф„
НК
Pu(Uj
Рис. 10-3.
10-5. ОБНАРУЖЕНИЕ от ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ
Пусть сигналы их(t), и2(t),... ,um(t) равновероятны
различаются друг от друга только расположением во времени
и притом не перекрываются по времени1.
В этом случае общая структурная схема оптималь¬
ной системы обнаружения (рис. 10-1) резко упрощается
в связи с тем, что вместо т приемников типа /7* оказы¬
вается достаточным иметь всего один такой приемник.
Действительно, из условия, что сигналы Uk(t) равно¬
вероятны и различаются только по возможному времени
прихода, следует, что обратная вероятность Ру(иъ) каж¬
дого сигнала может быть вычислена с помощью одних
и тех же элементов схемы и без какой-либо перестройки
их режима. Так как возможные значения сигнала
Ui(‘t), ...,um(t) не перекрываются во времени, а приемник
Пк должен включаться только на время действия %h
ожидаемого сигнала, то один и тог же приемник Пк
может быть использован последовательно (во времени)
для вычисления вероятностей Pv(ui) Ру(ит) всех
возможных значений сигнала. При этом схема рис. 10-1
принимает вид, изображенный на рис. 10-4.
Временная диаграмма, характеризующая действие
этой схемы, приведена на рис. 10-5.
Возможные сигналы m(t) u.m(i) имеют одинако¬
вую длительность т и могут возникать лишь в известные
в месте приема соответствующие моменты времени
1 Если сигналы и„..., ит имеют паразитные случайные параметры,
то предполагается, что априорные законы распределения этих парамет¬
ров для всех сигналов одинаковы.
198
(рис. 10-5). Одновременно может существовать
лишь один из этих сигналов или сигналы могут вообще
отсутствовать, т. е. смесь у (4) может содержать только
шум. Требуется определить, имеется ли на входе систе¬
мы один из таких сигналов или существует только шум.
Для решения этой задачи хронизатор (рис. 10-4) вклю¬
чает приемник Пн 'последовательно на интервалы дей¬
ствия ожидаемых сигналов (т. е. на интервалы, отме¬
ченные на рис. Ю-5 жирными линиями) и обеспечивает
к началу каждого следующего интервала исчезновение
переходных процессов, вызванных колебаниями, возник-
Рис. 10-5.
шими в приемнике в течение предыдущего интервала.
Тогда напряжение на выходе приемника П\ в мо¬
мент ti+x оказывается равным Ру\щ), в момент t2+т
оно равно Ру(иг) и т. п. Наконец, в момент tm+т это
напряжение оказывается равным Ру(ит).
Поэтому для образования суммы обратных вероятно¬
стей, входящей в неравенство (10-6), напряжения, со¬
ответствующие величинам Pv('«i) Ру(ит), яеред сум¬
мированием в каскаде СК пропускаются предварительно
через цепи задержки, создающие задержки на интерва¬
лы A^im, Дtim и т. п. соответственно.
Для вычисления вероятностей ошибок обнаруже¬
ния Рл.т и РПр необходимо вычислить вероятность выпол¬
199
Рис. 10-4.
нения неравенства (10-6) соответственно при отсутствии
и при наличии сигнала. Левая часть этого неравенства
имеет закон распределения, отличный от нормального, и
точное определение этого закона в общем случае пред¬
ставляет большие трудности. Поэтому до настоящего
времени эта задача решена лишь (приближенно и для
наиболее простых случаев.
В работе Питерсона и др. [J1. 17] рассмотрены сле¬
дующие случаи:
А. Сигналы U\(t), известны точно, равно¬
вероятны, ортогональны и имеют одинаковые энер¬
гии Q'.
В этом случае энергия Q', требуемая для обеспече¬
ния заданных вероятностей ошибок Ра.т и Рпр, опреде¬
ляется выражением
где Q — энергия сигнала, известного точно, требуемая при
простом бинарном обнаружении (т. е. при т— 1) для обес¬
печения тех же вероятностей ошибок РЛТ и Рпр.
Определение величины QjN0 было дано в § 6-2.
При Рпр <0,1 и РП Т < 0,1 в соответствии с формулами
(5-29) и (5-30) получается:
где огибающие ak (t) и частота ю известны точно, а фаза <р
случайна и равновероятна в пределах от 0 до 2и.
Сигналы uk (t) равновероятны и имеют одинаковые энер¬
гии Q’, а огибающие ak (t) ортогональны, т. е.
l -j- fneN° — l , (Ю-ll)
Б. Сигналы uk(t) имеют вид:
w*(0 = <M/)CosH + (P).
(Ю-13)
200
При этом требуемая величина энергии Q' определяется
из уравнения
(№14>
где Q0 — энергия сигнала, требуемая при простом бинарном
обнаружении (т. е. при т=1) и тех же вероятностях оши¬
бок Рлл и Япр.
Соотношения для определения энергии Q0 были даны
в § 9-2. При <РЛТ<0,1 и Япр < 0,1 величина опреде¬
ляется по формуле (9-49).
Соотношения (10-11) и (10-14), полученные в [J1. 17],
являются приближенными, так как при их выводе была
применена замена истинного закона распределения логарифма
левой части неравенства (10-6) нормальным законом, что
приближенно справедливо лишь при т > 1.
При малых вероятностях ошибок (Рл т<0,1 и Рпр <0,1)
формулы (10-11) и (10-14) могут быть значительно упро¬
щены.
Рассмотрим сначала формулу (10-11), т. е. случай сиг¬
нала, известного точно:
2Q
При т > 1 и Рлт< 0,1 и Рпр <0,1 получается meN»^> 1
и из (10-11) имеем:
2.«4-1пт+£. (10-15)
Учитывая соотношение (10-12), получаем окончательно:
£=(/1п_^~м+/1”_^~1'4У+о,5‘п'и' ■
(10-16)
Рассмотрим теперь формулу (10-14) для сигнала сослу-
айной фазой.
Когда Рл т<0,1 и Рпр <0,1, получается > 12; при
этом, как следует из (10-14), должно быть:
•+±Ч£)>«*
201
поэтому в формуле (10-14) с большой точностью можно
полагать:
-г-Ч*>'- ■.©>
Ч*)
1
2 Q'
N7
V
С учетом этих соотношений формула (10-14) приводится
к виду:
«L«%-+0f51n т. (Ю-17)
Так как величина QJN0 определяется формулой (9-49),
то можно записать:
<L
Ntt
^ 1п-^— —1,4^+0,5 In от. (10-18)
Как следует из вышеизложенного, формулы (10-15) и
(10-17) [или (10-16) и (10-18)] были получены в предполо¬
жении, что 1. Однако из выражений (10-15) и (10-17)
следует, что они дают правильный результат и при т = 1
(Q' = Q и Q' = Q0 соответственно).
Сравнение формул (10-16) и (10-18), справедливых соот¬
ветственно для сигналов, известных точно, и сигналов со
случайными фазами, показывает, что при Рлт<0,1 и
Рпр < 0,1 случайность фазы приводит лишь к незначитель¬
ному (менее 2 д б) увеличению требуемой энергии сигнала.
Чем меньше Рш „ и Р„„ и чем больше т, тем меньше ска-
л.т пр *
зывается случайность фазы сигналов.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ СИГНАЛОВ
СО МНОГИМИ ВОЗМОЖНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ
11-1. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
Выше был рассмотрен случай, когда требуется обна¬
ружить, имеется ли «а входе какой-либо из т возмож¬
ных ненулевых сигналов ui(ti),...,um(t), без уточнения
202
того, какой именно сигнал присутствует. В настоящей
главе рассматривается случай, когда требуется не толь¬
ко определить, имеется ли на входе какой-либо из т не¬
нулевых сигналов (т. е. решить задачу обнаружения),
но и указать, какой именно из возможных сигналов при¬
сутствует (т. е. решить задачу распознавания сигналов).
Поэтому такой случай может быть назван обнаруже¬
нием и1 распознаванием сигналов. Он имеет место, на¬
пример, при обнаружении самолета радиолокатором
с индикатором кругового обзора. Действительно, такой
радиолокатор должен определить, имеется ли самолет
(или какой-либо другой искомый объект) в пределах
исследуемой области пространства, состоящей из т эле¬
ментарных участков, и, если имеется, то в каком именно
из этих участков он находится (предполагается, что во
всей области может одновременно находиться лишь
один самолет). При этом отражение от самолета, нахо¬
дящегося в элементарном участке с номером k, можно
рассматривать как возможный сигнал Uh(t) и считать,
что задача радиолокатора эквивалентна сформулирован¬
ной выше задаче обнаружения и распознавания сигна¬
лов со многими значениями.
Как указывалось в гл. 5, для решения такой задачи
с минимальной полной вероятностью ошибки следует
сравнивать между собой обратные вероятности Ру(ио),
Pv(u\),...,Py(um) всех возможных сигналов и выбирать
тот сигнал, обратная вероятность которого оказывается
наибольшей.
Здесь случай отсутствия сигналов (т. е. наличия на
входе только шума) рассматривается как наличие нуле¬
вого сигнала ы0, тождественно .равного нулю, т. е.
И0 (0 = 0. (11-1)
При таком решении задачи все возможные ошибки счи¬
таются одинаково опасными. Если желательно придать
ошибкам разного вида различные веса, то нужно сравнивать
обратные вероятности, взятые с соответствующими весами
"По* ^1, • • • ,т|т, т. е. выбирать наибольшую из следующих
величин:
ЧоРу («о). -ПгРу («х). • • • . ЩтРу («J.
Однако в дальнейшем для простоты все веса пола¬
гаются одинаковыми. Тогда структурная схема опти¬
203
мального приемника Может быть ЦреДставЛена ё виде,
изображенном на рис. 11-1.
На этом рисунке обратные вероятности Pv(ui),...,
Py(Um) вычисляются приемниками 77, Пт, а обратная
вероятность Ру(и0) может рассматриваться как некото¬
рое постоянное смещение £/0. Схема выбора СВ выби¬
рает из напряжений Ui,..., Um, рав-ных обратным вероят-
Рис. 11-1.
ностям Py(ui),...,Py(um), наибольшее, которое обозна¬
чено и' вых- Далее это наибольшее напряжение
сравнивается с пороговым смещнием U0 и, если оказы¬
вается
«в'ых<{/о. т. е. ивых < 0, (11-2)
принимается решение об отсутствии сигналов
В противном случае дается ответ о том, что на входе
системы присутствует один из m ненулевых сигналов и
притом именно тот сигнал Uk, которому соответствует
наибольшее значение напряжения Uk-
Так как назначением приемников Я& является вы¬
числение обратных вероятностей Pv(uh), т. е. решение
той же задачи, что и в рассмотренной выше схеме обна¬
ружения (рис. ilO-l), то их структура и режим работы
могут быть выбраны такими же. Так, например, для сиг¬
нала со случайной фазой приемник Пк может быть осу¬
ществлен то схеме рис., 10-2, а для флуктуирующего
сигнала — по схеме рис.. 10-3. Однако в случае схемы
рис. 11-1 в приемниках Пк допустимы упрощения, так
как в этой схеме допустимо любое одновременное моно¬
тонное нелинейное преобразование напряжений U0,
i>\,..., Uk-
204
Действительно, в схеме рис. 11-1 то или иное решение
принимается на основании того, какая из величин Uo,
U\, —, Um оказывается наибольшей. Поэтому если
все эти величины подвергнуть одному и тому же
безынерционному нелинейному преобразованию вида:
где f(Uk)—любая монотонная функция, и сравнивать
между собой преобразованные величины U\, то наи¬
большая величина Uk превратит¬
ся в 'наибольшую же величи¬
ну и\, и, следовательно, резуль¬
тат сравнения ,не изменится. Так,
например, из рис. 11-2 видно, что
если наибольшей оказалась вели¬
чина U2, то напряжение U\ так¬
же будет наибольшим.
Следовательно, в системе оп¬
тимального обнаружения и рас¬
познавания (рис. 11-1) допустимо
применять любое одинаковое мо¬
нотонное преобразование всех выходных напря¬
жений Uи ..., Uk, если при этом такому же пре¬
образованию подвергнуть пороговое смещение Uo, т. е.
соответственно скорректировать величину этого смеще¬
ния. Такая инвариантность системы к произвольным
монотонным преобразованиям выходных напряжений
позволяет в ряде случаев существенно упростить выход¬
ные каскады приемников Пи-
Рассмотрим, например, случай флуктуирующих сиг¬
налов. При этом в соответствии (|10-9) имеем:
(10-9)
Предположим, что все сигналы равновероятны и имеют
одинаковые энергии Q. Тогда выражение (10-9) может быть
представлено в виде:
(П-3)
205
Рис. 11-2.
Где С — константа, не зависящая от номера k сигнала.
При этом схема приемника IJk имеет вид, изображенный
на рис. 10-3, но нормирующий каскад отсутствует. Сле¬
довательно, приемник Пи может состоять из оптималь¬
ного фильтра ОФи, линейного амплитудного детектора Д
и каскада с характеристикой вида £**•
В соответствии со сказан¬
ным выше к величинам
Ру(ик) можно применить лю¬
бое монотонное преобразо¬
вание (но одинаковое для
всех номеров k). В данном
случае для упрощения структуры приемника следует
применить преобразование вида:
U'k = V (11-4)
Это преобразование является монотонным по отношению
к U k и, следовательно, допустимым.
Из (11-3) и (11-4) получаем:
и;=*А (п-5>
Следовательно, вместо того, чтобы сравнивать между
собой и с порогом Uо выражения Uk вида (11-3), можно
сравнивать гораздо более простые выражения (11-5),
изменив при этом порог с U0 до U'0. Это означает, что
в схеме рис. 10-3 можно изъять каскад с характеристи¬
кой вида ех и она принимает вид, изображенный на
рис. 11-3. В этой схеме Д — линейный амплитудный де¬
тектор.
Рассмотрим теперь случай, когда сигналы uk{t) имеют
известные амплитуды и случайные равновероятные фазы.
При этом структура приемника Пk имеет вид, изображен¬
ный на рис. 10-2. Предположим опять, что все сигналы uk
равновероятны и имеют одинаковые энергии. Тогда в схеме
рис. 10-2 может быть изъят разностный каскад РК., и
приемник Пk будет состоять из оптимального фильтра ОФк
и детектора огибающей с детекторной характеристикой вида
(2akMk \
1° I—jj—). Так как эта характеристика монотонна по отно-
206
Рис. 11-3.
шению к изменениям величины акМк, то в силу указанной
выше инвариантности системы к монотонным преобразова¬
ниям можно вместо напряжений, пропорциональных
т /2акМЛ
1° ^—у—j , сравнивать напряжения, пропорциональные лкМк.
Эта означает, что в системе, приведенной на рис. 11-1,
приемник Пк может быть осуществлен по структурной
схеме, изображенной на рис. 11-4. В этой схеме Д— ли¬
нейный амплитудный детектор. При этом пороговое сме¬
щение в схеме рис. 11-1 должно быть соответственно
изменено (от U0 до t/J).
Сравнивая схемы рис. '11-3 и 11-4, полученные со¬
ответственно для флуктуирующего сигнала и сигнала
с известной амплитудой, не¬
трудно убедиться, что они
различаются лишь множите¬
лями hk и %. Если сигналы
Uk(t) имеют не только оди¬
наковые энергии (как это
было принято выше), но и одинаковые длительности, то
множители hk и ак не зависят от номера k и могут быть
поэтому опущены (при соответствующей корректировке
выходного порогового смещения Uо). При этом схемы
рис. '11-3 и 11-4 полностью совпадают. Это означает, что
при указанных допущениях приемники Ль в оптималь¬
ной системе обнаружения и распознавания (|рис. М-1)
оказываются для флуктуирующих сигналов такими же,
как для сигналов с известной амплитудой. Различными
должны быть лишь величины порогового смещения По¬
следовательно, в системе, изображенной на рис. 11-1,
переход от оптимального приема сигналов с известной
амплитудой к оптимальному приему флуктуирующих
сигналов может быть осуществлен без каких-либо изме¬
нений в схеме приемной системы, за исключением соот¬
ветствующей корректировки выходного смещения Uо-
Таким образом, при сделанных выше допущениях
система оптимального обнаружения и распознавания
сигналов обладает инвариантностью не только по отно¬
шению к монотонному преобразованию формы детектор¬
ной характеристики системы, но и к изменению закона
распределения амплитуды сигнала. Это свойство позво¬
207
Рис. 11-4.
ляет сделать систему более простой и более универсаль¬
ной, чем в рассмотренном выше случае оптимального
обнаружения без распознавания (рис. *10-1).
11-2. ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК ОБНАРУЖЕНИЯ
И РАСПОЗНАВАНИЯ
В системе 0'бна.ружения и распознавания сигналов
(рис. 11-1) возможны ошибки следующих видов:
1. Ложные тревоги, т. е. ответы о наличии ка¬
кого-либо сигнала, когда в действительности сигнал на
входе отсутствует. Вероятность этой ошибки обозначает¬
ся Р JI.T*
2. Искажения, т. е. неправильные ответы в слу¬
чаях, когда какой-либо сигнал >на входе имеется (т. е.
пропуски сигнала или неправильные указания номера k,
присутствующего сигнала Uk(t)). Вероятность такого
искажения обозначается Риск-
S. Из предыдущего пункта следует, что пропуск
сигнала (т. е. ответ об отсутствии сигнала на входе,
когда в .действительности какой-либо из т ненулевых
сигналов имеется) является частным случаем искаже¬
ния. Поэтому вероятность пропуска РПр всегда меньше
или равна вероятности искажений:
<»-6>
Полная вероятность ошибки Рош и соответствующая
ей полная вероятность правильного ответа Рправ могут
быть вычислены по приведенным выше формулам (6-7)
И (5-8). Помимо ПОЛНОЙ вероятности Рправ, часто удобно
вводить также условную вероятность правильного отве¬
та Рслрав, определяемую при условии, что какой-либо
из ненулевых сигналов на входе имеется.
Очевидно,
Р, (1W)
Вычисление вероятностей ошибок в общем случае
представляет существенные трудности. Поэтому мы
ограничимся рассмотрением лишь следующего сравни¬
тельно частного, но важного случая, отвечающего сле¬
дующим условиям;
208
а) помеха имеет вид аддитивного нормального бело¬
го шума;
•б) все ненулевые сигналы U\(t), ...,um(t) равно¬
вероятны, ортогональны и имеют одинаковые энергии1.
Этот случай рассматривался в § 5-4 применительно
к сигналам, известным точно, и в предположении, что
априорная вероятность нулевого сигнала равна нулю.
В данном параграфе рассмотрение ведется в более
общем виде, так как сигналы могут иметь случайные
Рис. 11-5.
параметры, а априорная вероятность нулевого сигнала
не равна нулю.
Как уже отмечалось в гл. 5, ортогональность сигна¬
лов приводит к тому, что искажения этих сигналов шу¬
мом оказываются статистически независимыми. Кроме
того, в той же главе было показано, что соотношения,
полученные для таких сигналов, оказываются справед¬
ливыми также для /n-канального приемного устройства,
структурная схема которого изображена на рис. 5-6.
В данном случае, учитывая, что сигнал может иметь
также нулевое значение, схема m-канального приемника
принимает вид, изображенный на рис. М-5.
Как и ранее, предполагается, что напряжения адди¬
тивных шумов ...,umm(t), действующих на входе
каналов, имеют нормальные законы распределения с ну¬
левыми средними_значениями и одинаковыми дисперсия¬
ми N (здесь N=u?mk).
Сигнал мс (0 (известный точно или имеющий пара¬
зитные случайные параметры) может присутствовать
1 Если сигналы U\(t), . . . ит(Щ имеют паразитные случайные
параметры, то законы распределения этих параметров для всех сиг-
налов 'Полагаются одинаковыми.
И Л. С. Гуткин
209
равновероятно на входе любого из т каналов или отсут¬
ствовать во всех каналах.
Задача приемного устройства в этом случае состоит
в определении, имеется ли на входе какого-либо из кана¬
лов сигнал uc(t), и если имеется, то на входе какого
именно канала.
Все обозначения на рис. 11-5 имеют тот же смысл,
что и на рис. 1*1-1.
Оптимальные приемники #ь ...,#& в схеме рис. 11-5
имеют такую же структуру, как и в случае системы,
Рис. 11-6.
изображенной на рис. 11-1, если эта последняя рассчита¬
на на прием сигналов, не перекрывающихся во времени,
т. е. если ортогональность сигналов достигается за счет
того, что они не перекрываются во времени.
В случае m-канальной системы вероятности Рл.т и
РПр имеют такой же смысл, как и в случае т возмож¬
ных сигналов.
Под -вероятностью искажения, РИСк, в т-канальной
системе понимается вероятность неправильного ответа
при наличии сигнала uc(t), т. е. пропуск сигнала или
неправильное указание номера канала, -в котором при¬
сутствует сигнал. При этом формулы для определения
вероятностей ошибок Рл.т, Рпр и Риск в обоих случаях
(т. е. в случае т ортогональных сигналов и в т-каналь¬
ной системе) получаются одинаковыми. Поэтому в даль¬
нейшем для определенности рассмотрение будет вестись
применительно к случаю т ортогональных сигналов-,
т. е. к системе, изображенной на рис. 11-1.
При этом оказывается удобным для анализа заме¬
нить оптимальную систему обнаружения и распознава¬
ния .(рис. 11-1) системой, изображенной на ipwc. М-6.
Эта система в дальнейшем называется квазиоптималь-
210
ной, так как вероятности Рл.т и Рпр в ней получаются
такими же, как в* оптимальной системе, а вероятность
искажений Риск — несколько большей.
Приемники Я Пт и пороговое смещение Uo
в квазиоптимальной системе такие же, как в оптималь¬
ной, но смещение U0 включается не на выходе системы,
а на выходе каждого приемника Я* этой системы.
В блоке JIC (рис. 11-6) суммируются превыше¬
ния пороговых смещений всех жаналов, т. е.
(11-8)
Очевидно, всегда ивых S3 0.
Если ыВых=0, то считается, что сигнал на входе си¬
стемы отсутствует; если ыВых>0, то принимается реше¬
ние, что сигнал на входе имеется и притом именно тот
сигнал Uk(t), для которого оказалось Uh>U0* (при этом
отклоняется стрелка соответствующего индикатора /ь).
Докажем, что при таком принципе действия квази¬
оптимальной системы вероятности возникающих в ней
ложных тревог, и пропусков будут такими же, как
в оптимальной системе, а вероятность искажений — не¬
сколько большей.
В оптимальной системе (рис. 11-1) ложная тревога про¬
исходит, если при отсутствии сигнала получается wBbIX>t/0,
и не происходит, если ивых<£/0, где и есть наибольшее
из напряжений Ult ..., Uт.
Но если наибольшее из напряжений пре¬
восходит U0, то ложная тревога будет иметь место и
в квазиоптимальной системе (рис. 11-6); если же наи¬
большее из напряжений U Um не превосходит U0, то
* Если при наличии сигнала получается превышение порога
Uo более чем в одном канале, то указание номера сигнала (т. е. рас¬
познавание) 'не производится и полагается, что имеет место иска¬
жение.
14* 211
Ложной тревоги не будет и в квазиоптимальной сйстеМё
(рис. 1'1-6).
Следовательно, случаи наличия и отсутствия ложных
тревог в сравниваемых системах (рис. 11-1 и 11-6)
всегда совпадают, а значит совпадают и вероятно¬
сти Рл.т ложных тревог.
Аналогичным образом доказывается, что вероятности
пропуска Рпр в обеих системах (рис. 11-1 и 11-6) так¬
же совпадают.
Сравним теперь вероятности искажений Риск-
Из ('11-7) следует, что вместо вероятности Риск иска¬
жений можно сравнивать между собой условные вероят¬
ности Рс.прав, т. е. вероятности «правильных ответов, при
условии, что какой-то из т сигналов на входе имеется.
В системе рис. 11-1 ,при наличии сигнала номера k
для правильного ответа необходимо, чтобы напряже¬
ние Uk на выходе соответствующего приемника Пк было
больше, чем на выходе остальных приемников и, кроме
того, превысило порог U0.
В квазиоптимальной системе (рис. 11-6) при наличии
сигнала номера k для правильного ответа необходимо не
только, чтобы напряжение Ilk на выходе «приемника Uk
было наибольшим и .превышало порог U0, но, кроме
тсго, напряжения на выходе всех остальных приемников
должны быть при этом меньшими, ,чем Uq.
Следовательно, условия получения правильного отве¬
та в квазиоптимальной системе более жесткие, чем
в оптимальной, и они будут выполняться в меньшем чис¬
ле случаев. Поэтому условная вероятность «правильного
ответа Рс.прав в квазиоптимальной системе меньше, чем
в оптимальной.
Таким образом, если в оптимальной системе вероят¬
ности ложных тревог, пропусков « искажений равны
Рл.т, Рпр и Риск, то в квазиоптимальной системе вероят¬
ности ложных тревог и пропуска будут такими же,
а вероятность искажений Р'иск будет большей, т. е.
^ск>Л,ск. (П-9)
Вычислим вероятности ошибок в квазиоптимальной
системе (рис. 11-6). Эта система содержит т каналов,
каждый из которых состоит из приемника Ilk, порогово¬
го смещения U0 и индикатора превышения этого смеще¬
ния h.
212
Введем вероятности Рл.т к и Рпрь дЛя каждого taKofo
канала, определив их следующим образом:
Рл.т k есть вероятность превышения смещения Uо
в канале номера k, когда на входе системы сигнал
с этим номером отсутствует;
Рпрь есть вероятность того, что смещение U0 в кана¬
ле номера k не будет -превышено, когда на входе систе¬
мы сигнал этого номера Uh{'t) присутствует.
Докажем сначала, что определенные таким образом
вероятности Рл.тн и Рпрь в рассматриваемом случае
ортогональных сигналов совпадают соответственно с ве¬
роятностями лажной тревоги и 'пропуска в каждом кана¬
ле при простом бинарном обнаружении.
Если канал номера k работает в -режиме простого
бинарного обнаружения, то вероятность ложной тревоги
в этом канале есть вероятность того, что на его выходе
будет превзойден порог Uо, когда на его входе имеется
только шум. Вероятность же Рл.т ь, как принято выше,
определяется при условии, что на входе канала номе¬
ра k отсутствует сигнал только данного номера uh(t).
Это означает, что при определении величины Рл.тк на
входе канала данного номера может присутствовать сиг¬
нал любого другого номера /, где 1фк (или сигнал мо¬
жет отсутствовать вовсе). Однако, так как все сигналы
ортогональны, например не перекрываются по времени
или по частотным спектрам, то через приемник Пк мо¬
жет проходить сигнал только данного номера k, а сигна¬
лы всех остальных номеров на выходное напряжение
этого приемника (а значит и на вероятность превышения
или непревышения порога U0) никакого влияния не ока¬
зывают. Так, например, если сигналы не перекрываются
во времени, то каждый приемник Я& открывается только
на интервал времени от \th до tk+Xh, в который может
действовать лишь ожидаемый сигнал Uk(t). Во время
действия любого из остальных ожидаемых сигналов
•приемник Пк будет заперт.
Если ортогональность сигналов достигается тем, что
они не перекрываются по частотным спектрам, то прием¬
ники Пи имеют неперекрывающиеся полосы пропуска¬
ния во входных цепях, и в полосу пропускания каждого
приемника Я& спектры всех ожидаемых сигналов, кроме
Uk(t)y не попадают.
Таким образом, на выходное напряжение приемни-
213
ка 77ft могут влиять только Шум и сигнал Uk(t), а сигна¬
лы ui(t) (где 1фк) никакого влияния не оказывают.
Отсюда следует, что введенная выше вероятность Рл.ть
равняется вероятности ложной тревоги в канале номе¬
ра k при .простом бинарном обнаружении сигнала Uk(t)-
Аналогично нетрудно убедиться, что вероятность Pnpk
равняется вероятности пропуска сигнала в канале номе¬
ра k при простом бинарном обнаружении сигнала Uh(t).
Нахождение вероятностей ложной тревоги и пропу¬
ска при простом бинарном обнаружении уже было
произведено в гл. 9, и для некоторых видов сигналов
были получены простые формулы. Так, например, при
простом бинарном обнаружении флуктуирующего сиг¬
нала справедлива формула (9-84), которая в данном
случае может быть записана в виде:
(11-10)
где Qcp — средняя энергия сигнала Uh{t) ('так как было
принято, что все возможные сигналы имеют одинаковые
энергии, то Qcp не зависит от номера k).
Следовательно, если известны допустимые вероятно¬
сти Рл.т h и Рпрь ошибок в каждом канале, то по соот¬
ветствующим формулам простого бинарного обнаруже¬
ния можно определить требуемую энергию сигнала.
Поэтому остается найти связь между вероятностями
ошибок в каждом канале и в системе в .целом, т. е. за¬
висимость вероятностей Рл.т, Рпр и РИСк от Рл.т к и Рпр ft.
Для этого обратимся снова к схеме рис. lil-б и учтем,
что в рассматриваемом случае, когда все сигналы при¬
няты равновероятными, имеющими одинаковые средние
энергии и одинаковые законы .распределения паразитных
случайных параметров, вероятности Рл.ть и Рпр ft во всех
каналах получаются одинаковыми, т. е. не зависят от
номера k (индекс k, несмотря на это, мы сохраним, что¬
бы подчеркнуть, что данные вероятности относятся
к одному каналу системы, а не к системе в целом).
Найдем сначала вероятность ложной тревоги Рл.т
или, что удобнее, вероятность (1— Рл.т) отсутствия
ложной тревоги в системе.
214
Для того чтобы в рассматриваемой системе ложная
тревога отсутствовала, необходимо, чтобы в отсутствие
сигнала порог не был превышен ни в одном из каналов,
т. е. чтобы ложных тревог не было ни в одном из ка¬
налов.
Но вероятность отсутствия ложной тревоги в данном
канале равна (il—Лл.т/t), а ошибки во всех каналах
в силу принятых выше допущений статистически не¬
зависимы; поэтому
(1г
Найдем теперь вероятность Рпр пропуска. Очевидно
р„„=■К («.) Л„„ + (“ J '>»+••• + '>, (“„> Р.,,-
(11-12)
Здесь Рс («JРс (ит) — априорные вероятности наличия
сигналов соответственно, при условии, что
какой-то из этих сигналов обязательно имеется, т. е.
^c(*x)+... + Pc(*J=1- (1МЗ)
Через Рьпр обозначена вероятность пропуска сигна¬
ла в системе при условии, что на ее входе имеется
сигнал Uk(t) (не следует путать условную вероятность
Pk пр, относящуюся к системе в целом, с вероятностью
Рпрь, относящейся к одному каналу этой системы).
В силу принятых выше допущений о характере сиг¬
налов получаем:
Р =Р = . . = Р
1пр 2пр т пр’
поэтому формула (11-12) дает:
Р„=л„р1 КЫ+---+РМ)-
Учитывая условие нормировки (11-13), получаем:
О1-14)
215
т. е. для рассматриваемых сигналов при вычислении
вероятности пропуска^ РПр в системе в делом можно по¬
лагать, что на входе системы имеется сигнал u\(t).
При наличии сигнала ui(tf) пропуск в системе
(рис. 11-6) имеет место, если порог Uo не превышен ни
в одном из т каналов системы. Но по определению ве¬
роятность того, что при наличии сигнала Ui(t) порог
не 'будет превзойден в первом канале, есть Рпр ь причем
Рnpi== Рпр k< Вероятность же того, что при наличии сигна¬
ла u\(t) порог не будет превышен в канале с номером к
(где кф\) есть Рл.ть- Поэтому в силу статистической
независимости ошибок отдельных каналов вероятность
того, что при наличии сигнала щ (t) порог не будет пре¬
вышен ни в одном из каналов, кроме первого, равна
(1—Рл.т ft)"*-1; вероятность же, что он, кроме того, не
будет превышен и в первом канале, равна:
РПрк('-РЛ,кГ~'-,
следовательно,
Ра9=Ра9А'-Рл,кТ~'- (п-15)
Найдем теперь вероятность Р'ЖК искажений.
В данном случае удобнее найти сначала вероятность от¬
сутствия искажений
pLm.^i-pL- о»-1б)
Здесь Р'с прав и Яи'ск — условные вероятности, определяемые
при условии, что .какой-то (неважно какой именно) из нену¬
левых сигналов на входе системы имеется.
Следовательно, Р^прав есть вероятность правильного от¬
вета при условии, что хотя бы один из ненулевых сигналов
на входе системы имеется.
Очевидно,
^с.прав = К (“») Лправ + Рс (Иг) Я2прав +
+ •••+/>«>„) Ятправ- (1Ы7)
Здесь Pk прав — вероятность правильного ответа при условии,
что на входе системы имеется сигнал uk,
216
В силу принятого выше допущения о характере сигна*
лов должно выполняться условие
Р =Р =. . = Р
1прав 2прав * т прав*
С учетом этого соотношения и условия нормировки (11-13)
получается:
оме)
т. е. вероятность правильного ответа Рсправ в данном слу¬
чае можно вычислять* при условии, что на входе системы
имеется сигнал их (t).
Для того чтобы при этом был дан правильный ответ,
необходимо, чтобы в первом канале системы (рис. 11-6)
порог U0 был превышен, а во всех остальных каналах пре¬
вышения порога не произошло.
Но при наличии сигнала {t) вероятность превышения
порога U„ в первом канале равна (1 — Рлр k), а вероятность
непревышения порога во всех остальных каналах равна
поэтому вероятность совпадения всех указанных событий
(с учетом их статической независимости) равна:
и с учетом (11-16) получаем окончательно:
С = 1 - (1 - Р„ ,) О - Р., ,Г (И-»)
Формулы (11-11), ('11-15) и (П-19) устанавливают
связь между вероятностями ошибок в системе в целом
(Рл.т, Рпр и Р'иск) и в каждом канале этой системы
(Рл.т ft и Рпр й). Поэтому на основании этих формул
можно по заданным (допустимым) вероятностям оши¬
бок в системе в целом определить допустимые вероятно¬
сти Рл.та и Рпр ft в каждом канале, т. е. вероятности
ложной тревоги и пропуска три простом бинарном обна¬
ружении. По найденным величинам Рл.тй и Рпрк, поль¬
зуясь формулами простого бинарного обнаружения
217
[например, формулой (5-29)], можно найти требуемую
энергию сигнала Q (в случае флуктуирующего сигна¬
ла— QСр). При такой энергии в квазиоптимальной си¬
стеме (рис. 11-6) будут иметь место вероятности оши¬
бок Рл.т> Рщ> И Р'аск-
В оптимальной системе (рис. 11-1 или 11-5) при
такой энергии сигнала, как указывалось выше, вероятно¬
сти ложной тревоги и пропуска будут точно такими же,
а вероятность искажений Риск будет удовлетворять не¬
равенству (11-9), т. е.
Следовательно, указанный выше порядок расчета
позволяет сравнительно просто определить вероятности
Рл.т и РПр, имеющие место в оптимальной системе, и
найти верхнюю границу для вероятности искаже¬
ний Риск.
Особенно простые и наглядные соотношения полу¬
чаются, если вероятности ошибок Рл.т, Рпр и Р'иск
(а следовательно, и Риск) достаточно малы.
Поэтому перейдем к рассмотрению этого случая.
11-3. СЛУЧАИ МАЛЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОШИБОК
'Предположим, что вероятность ложной тревоги до¬
статочно мала, а именно
при этом из (11-11) с погрешностью менее 5°/0 получается:
(11-21)
Л.Т k Jfl
(11-22)
Формула (11-15) может быть записана в виде:
Учитывая соотношения (11-21) и (11-22), можно с по¬
грешностью менее 10°/0 полагать:
Примерно с такой же точностью из (11-19) имеем:
С~лР+л,,(|-т)- о1-24)
При тп >10 можно полагать:
pL~'p.,+p,.r (1!-24а>
Из формул (11-24) и (11-24а) следует, что при заданных
вероятностях Рпр и Рл т допустимая вероятность р'кск уже
не может быть выбрана произвольно и должна определяться
по этим формулам.
Если принять, что Рл т <0,1 и Рпр <0,1, то при этом
всегда будет:
Л,ск<0,2. (11-25)
Для нахождения требуемой энергии сигнала следует,
как уже отмечалось вьгше, по заданным величинам РПр
и Рл.т определить допустимые вероятности Рпр и и Рл.т k
,в канале простого бинарного обнаружения, а затем под¬
ставить их б соответствующие формулы простого бинар¬
ного обнаружения.
В данном случае, как следует из (11-22) и (ill-23),
получается:
р =р . р (11-26)
пр k пр * л.т k m у
поэтому формула, определяющая энергию сигнала, тре¬
буемую при обнаружении и распознавании m возможных
сигналов, может быть получена из соответствующей фор¬
мулы для простого бинарного обнаружения, если в этой
Рдт
последней заменить Рл т на —
Для простого бинарного обнаружения выше были полу¬
чены следующие формулы:
а) для сигнала, известного точно,
^-=(l/ln к:~1,4 + /1п ^ ~1>4);
б) для сигнала со случайной фазой
§;={]/ 1птк,+\/
219
QcP _ i , l
' np ‘ Л.Т
в) для флуктуирующего сигнала
In
■^л.т
P
Заменяя в этих формулах Рлт на —получаем соот¬
ветствующие формулы для обнаружения и распознавания m
возможных сигналов:
а) для сигналов, известных точно,
lnm + lnK~r~ 1А + ]/1П “ 1,4 ) :
(11-27)
б) для сигналов со случайными (равновероятными) фа¬
зами
в) для флуктуирующих сигналов
Q
*ср
~ рпр
Ulnm + lnA-). (11-29)
пр 4 *Л.Т'
Эти формулы позволяют определить энергию Q
(или QCP) каждого сигнала uu(t), необходимую для
обнаружения и распознавания m возможных сигналов
с заданными вероятностями ошибок Рл.т и Рпр.
Так как значения Рл.т и Рпр в оптимальной и квази-
оптимальной системах одинаковы, то формулы (11-27) —
(ill-29) в равной мере справедливы для обеих систем.
Различие между оптимальной и квазиоптимальной
«системами, как было доказано выше, состоит лишь
в том, что при данных величинах Рл.т и Рпр в квазиопти¬
мальной системе вероятность искажений определяется
формулой (11-24), т. е.
Р' =Я 4-Р (\ (11-24)
иск пр Г1 Л.т1 ш) v '
а в оптимальной системе вероятность искажений Риск
удовлетворяет неравенствам (11-6) и (11-20), т. е. нахо¬
дится в пределах
Р <Р <Р -\-(\ —-Црлт. (11-30)
пр ИСК пр I V ftl J Л.Т V /
220
Из формул (11-24) и (11-30) имеем:
1 1 4- (l — —(11-31)
ИСК \ т /Рпо
Из этого соотношения следует, что различие между
вероятностями искажений в квазиоптимальной и оптималь¬
ной системах тем меньше, чем меньше отношение ,
^пр
р
и при -тг5- ^ 1 это различие делается пренебрежимо ма-
*пр
Р
лым. При -^-<0,1 с погрешностью менее Ю°/0 можно
полагать:
РИ СКУПОК- (Н-32)
Такой результат вполне понятен. Действительно, выше
было доказано, что Р'аск получается больше, чем Риск, лишь
вследствие того, что в квазиоптимальной системе для по¬
лучения правильного ответа при наличии сигнала ик (t)
требуется, кроме всего прочего, чтобы напряжения на вы¬
ходе всех приемников Пх,..., /7ОТ, кроме приемника Пk ,
не превышали порога U0 (рис. 11-6). В оптимальной же
системе (рис. 11-1) для получения правильного ответа
выполнения этого дополнительного условия не требуется.
Отсюда следует, что недостаток квазиоптимальной системы
по сравнению с оптимальной (т. е. превышение Риск над
Р«ск) Д°лжен быть тем большим, чем меньше порог {/„.
При £/0—юо указанный недостаток асимптотически исче¬
зает, а при и„ — 0 квазиоптимальная система становится
совершенно непригодной. Действительно, если выбрано
£/„ = 0, то в системе, изображенной на рис. 11-6, практи¬
чески всегда имеет место превышение порогов U0 во всех
кяняляу (т. е. отклонения всех индикаторов /т) и
вследствие этого почти всегда нельзя указать, какой
из возможных сигналов uk присутствует на входе.
Таким" образом, чем меньше U0, тем больше должно
р’
быть отношение Но чем меньше Ut, тем больше
^ИСК
221
отношение ~н~- Действительно, если £/„ = 0, то в системе
*пр
всегда имеют место ложные тревоги, а пропуски отсут-
Р т
ствуют, т. е. —► оо. Если же U0 оо, то в системе
^пр
всегда имеют место пропуски, а ложные тревоги отсутст-
Р
вуют, т. е. 0. Следовательно, при изменении сме-
пр р
щения U0 от бесконечности до нуля отношение р'т- воз-
пр
растает от нуля до бесконечности, и подбором смещения U0
р
можно получить любое значение отношения .
*пр
Таким образом, из чисто качественного рассмотрения
Р
следует, что с увеличением отношения , отношение
рп
р'
. и;к- также должно увеличиваться. Неравенство (11-31)
^иск
дает количественное подтверждение этого результата.
Приведенные в данном параграфе соотношения позво¬
ляют весьма просто определить требуемую энергию сигнала
как в квазиоптимальной, так и в оптимальной системах.
Действительно, зная число т возможных значений
сигнала и задавшись допустимыми значениями вероятностей
ошибок Рлт и Рпр, можно по формуле простого бинарного
обнаружения для соответствующего типа сигнала [напри¬
мер, по одной из формул (11-27) — (11-29)] определить
требуемую энергию сигнала Q (или Qcp). При такой энер¬
гии сигнала вероятность искажений определяется в квази¬
оптимальной системе формулой (11-24), а в оптимальной
системе — неравенством (11-30). Неравенство (11-30) не
позволяет в общем случае найти точное значение вероят¬
ности искажений в оптимальной системе, так как указы¬
вает лишь границы, в которых это значение заключено.
Однако во многих практических случаях знания этих гра¬
ниц оказывается вполне достаточно. Так, например, из фор¬
мулы (11-30) следует, что при Рл т ^0,1Рпр можно с по¬
грешностью менее 10°/0 полагать:
=Р’.а=P*,+(l-i) ■ <п-32а>.
222
В случае же некоторых видов сигналов- Точное знание
величины Риск вообще не требуется, и при определении
требуемой энергии сигнала допустим разброс в выборе
величины Риск в несколько раз и более. В частности,
такое положение имеет место в случае сигналов, извест¬
ных точно, и сигналов со случайной фазой. Действительно,
для этих типов сигналов справедливы формулы (11-27) и
(11-28), и можно полагать (при принятом выше допущении,
что Ялт<0,1 и Рпр<0,1) с небольшой погрешностью:
Положим:
(п-34)
*пр
где у — некоторое произвольное число. Тогда из (11-30)
следует, что
Рпр<Рк.<[|+т(1—01-35)
Пусть, используя неравенство (11-35) для определения
величины Янск , мы совершаем наибольшую возможную
ошибку, т. е. вместо того, чтобы полагать:
Р =Р , (11-36а)
иск пр ’ х '
полагаем:
Л» = [1+г(1-т!г)]Л,„- (П-366)
Выясним, как это отразится на требуемой энергии сиг¬
нала.
В первом случае из (11-33), (11-34) и (11-36а) получа¬
ется:
Во втором случае из формул (11-33), (11-34) и (11-366)
имеем:
Q
= {^1пт+1п^+1п[1+г(1-т)] +
Следовательно,
Qa
Qt
J y^l,m+l„^L--Mn[l+,(l-4-jj+
1 V 1""* + ,nY-?t+
+/"1лЬ+|||['+1,(1~^)1
, ,• (И-37)
+ У toK
ИСК
При выводе этой формулы предполагалось, что в соот¬
ветствии с (11-34)
yP — Р
» пр * л.т
Так как всегда Рл т < 1, то должно быть
Учитывая формулу (11-36а), имеем:
1
Р
^ИСК
(11-38)
Следовательно, формула (11-37) справедлива лишь при
тех значениях параметра у, которые удовлетворяют усло¬
вию (11-38).
Формула (11-37) показывает, во сколько раз изменяется
требуемая энергия сигнала, если при определении вероят¬
ности искажений была допущена максимально возможная
ошибка, т. е. в неравенстве (11-35) вместо нижнего пре¬
дела был взят верхний.
224
Из формулы (11-37) следует, что чем меньше допусти¬
мая вероятность искажений Янск , тем меньше различие
между Qt и Qlt т. е. тем меньше сказывается ошибка
в определении величины Риск .
По формуле (11-37) построены кривые на рис. 11-7.
Из этих кривых видно, что при Рвск=0,1 и т = 2
ошибка в определении требуемой энергии не превышает
1 дб < 1,26^, если y < 1,8. В более типичном для
радиолокации случае (tn= 104, Риск = 10'2) ошибка не
превышает 1 дб при у <6. Из этих примеров видно, что
при сигналах, известных точно, и сигналах со случайной
фазой можно пользоваться соотношением (11-32а), т. е.
полагать:
Р«„=Р„„ + Р„( 1--S-) (П-39)
Р Р
не только при < 1, но и при 1,8 или даже
*пр *Пр
при ^^-<6.
* Пр
Таким образом, во многих интересных для практики
случаях энергия, требуемая в квазиоптимальной систе¬
ме для обеспечения заданных
вероятностей ошибок, полу¬
чается примерно такой же,
как в оптимальной системе и,
следовательно, для обеих си¬
стем можно пользоваться оди¬
наковыми расчетными фо*рму:
лами.
Как уже отмечалось выше,
в случае оптимальной т-%а-
нальной системы (рис. 11-5)
вероятности ошибок получа¬
ются такими же, как в случае
оптимальной системы обнару¬
жения и распознавания m-ортогональных сигналов
(рис. 11-1). Поэтому приведенные выше расчетные фор¬
мулы, в частности формулы (11-27) — (11-32), справед¬
ливы также и для оптимальной m-канальной системы
(рис. 11-5).
15 л с. Гуткин 225
Рис/11-7.
В заключение следует подчеркнуть, что в данном
параграфе всюду полагалось, что в случае т возможных
сигналов «li(t) um(it) на входе системы (рис. 11-1)
в течение каждого опыта может присутствовать лишь
один из этих сигналов. В случае m-канальной системы
(рис. 11-5) это эквивалентно тому, что сигнал может
присутствовать лишь в одном из каналов.
В более сложном случае, когда сигналы могут при¬
сутствовать одновременно в нескольких каналах, ре¬
зультаты могут существенно измениться. Пусть, напри¬
мер, в m-канальной системе ((рис. 11-5) сигналы могут
независимо появляться в любом числе каналов этой
системы. Это означает, что если становится известным,
например, что сигнал имеется на входе k-ro канала, то
это никак не влияет на вероятность наличия или отсут¬
ствия сигналов в остальных каналах. Так как шумы
в различных каналах также .полагаются статистически
независимыми, то для решения вопроса о наличии или
отсутствии сигнала в данном канале информация о ха¬
рактере напряжений в остальных каналах не играет
никакой роли.
Следовательно, для оптимального решения задачи
в целом каждый канал должен-давать независимо опти¬
мальное решение задачи простого бинарного обнаруже¬
ния, т. е. работать в том же режиме, как это имеет
место в системе, изображенной на рис. 11-6. Это озна¬
чает, что при указанных условиях система, изображен¬
ная на ,р«с. 11-6, иэ квазиаптимальной превращается
в оптимальную (при этом полагается, 'что сигналы при¬
сутствуют в тех каналах, в которых порог Uo превы¬
шен, т. е. индикаторы /& отклонились, и отсутствуют
в остальных каналах). Система же, изображенная на
рис. 11-1, основана на отборе наибольшего из напря¬
жений 't/ь, и в указанных условиях оказывается непри¬
менимой.
11-4. СРАВНЕНИЕ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ
СИГНАЛОВ СО СЛОЖНЫМ БИНАРНЫМ ОБНАРУЖЕНИЕМ
Сравним энергию сигнала, требуемую при обнару¬
жении и .распознавании т возможных ненулевых сигна¬
лов, с энергией, требуемой при сложном бинарном обна¬
ружении таких сигналов.
226
Так как во втором случае требуется только обнару¬
жение сигнала, без указания, какой именно из сигналов
присутствует (если сигнал имеется), то воспроизведению
(приему) додлежит меньший объем информации, чем
в первом случае. Поэтому для решения такой задачи
требуется, при прочих равных условиях, меньшая энер¬
гия сигнала, чем при одновременном обнаружении и
распознавании сигналов. Выясним, какая экономия
в энергии сигнала может быть получена при переходе
от обнаружения и распознавания сигналов к обнаруже¬
нию без распознавания. При ©том будем полагать все
возможные сигналы взаимно ортогональными и допусти¬
мые вероятности ошибок не слишком большими,
а именно:
Тогда при сложном бинарном обнаружении справедливы
следующие формулы, приведенные в гл. 10:
а) для сигналов, известных точно:
При одновременном обнаружении и распознавании сиг¬
налов соответственно получается:
а) для сигналов, известных точно,
+0,5 In т\
б) для сигналов со случайными фазами
(10-16)
1,4 V—0,5 In т. (10-18)
_0
N. ~
15*
(|/ln«+ln?ii-+^/ln-l--1.4j. (11-29)
227
Для обоих видов сигналов
р^р^рп + (1~тг)р^- <11-30)
При сравнении обнаружения с одновременным обна¬
ружением и распознаванием будем полагать, что
в обоих случаях допустимы одинаковые вероятности
ошибок обнаружения Рл.т и Рпр. При этом вероятность
искажений распознавания сигналов Риск определяется
соотношением (11-30).
Тогда из формул ('10-16), (10-18), (11-28) и (111-29)
получим:
а) для сигналов, известных точно,
e )!+0’5|п”
(11-40)
б) для сигналов со случайными фазами
(11-41)
Отношение показывает, во сколько раз увеличива-
У
ется требуемая энергия сигнала при переходе от обнару¬
жения к одновременному обнаружению и распознаванию.
Для упрощения анализа примем сначала, что выполня¬
ются следующие соотношения (обычно имеющие место на
практике):
1п-р^—> 1,4 и ln-^—(- In т > In . (11-42)
л.т ' л.т “пр
228
Тогда соотношения (11-40) и (11-41) совпадают и при¬
нимают следующий вид:
■%■= 1 + Ц—. (П-43)
21п-р—
1 _г ±1.
1 + In т
1
In-
р
Следовательно, при любом отношении —1--~— получа¬
ется:
1<-§г< 2, (11-44)
т. е. отказ от распознавания дает экономию энергии сиг¬
нала менее чем на 3 дб.
Если вместо (11-42) положить:
1п-^- = 1п-^—>1,4, (11-45)
л т ■‘пр
то соотношения (11-40) и (11-41) принимают вид:
Q 4 + 2х + 4 Y \ х
W 8 + * *
где
In т
(11-46)
In 1
При этом получается
(11-47)
Наконец, если в дополнение к условию (11-42) [или
к (11-45)] положить:
1п -5-— > In ш, (11-48)
"л.Т
то из (11-43) [или из (11-46)], получим:
Q - ,
Таким образом, для сигналов известных точно и
сигналов со случайными фазами получаются следую¬
щие основные результаты:
1. В большинстве интересных для практики случаев
[т. е. при выполнении условия (11-42) или (11-45)] отказ
от распознавания сигналов дает экономию в требуемой
энергии сигнала менее, чем в 2—2,3 раза.
2. При достаточно малой вероятности лажной трево¬
ги [а именно, при выполнении условия (ill-48)] полу¬
чается Q«*Q', т. е. отказ от распознавания сигналов не
дает практически никакой экономии в требуемой энер¬
гии сигнала.
Второй из ©тих результатов, как показал JI. Р. Доб-
рушин [J1. 79], имеет место и для флуктуирующих сиг¬
налов, т. е. в случае флуктуирующих сигналов также
можно полагать Q^Q', если вероятность ложной трево¬
ги Рл.т достаточно мала.
Следовательно, в случае высоких требований к надеж¬
ности обнаружения (Рпр<0,1, Рлт < Рпр и ln-^—> lnmj
одновременное обнаружение и распознавание сигналов тре¬
бует лишь незначительно большой энергии сигнала, чем
обнаружение без распознавания. Такой результат вполне
понятен, так как при правильном построении приемной си¬
стемы энергия сигнала, требуемая для весьма надежного
обнаружения, оказывается достаточной и для надежного
распознавания сигналов.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ОСОБЕННОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ
И РАСПОЗНАВАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ («ПАЧЕК»)
12-1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИМПУЛЬСНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Пусть возможный сигнал uc(i) представляет собой
последовательность из п импульсов, как показано на
рис. 12-1. Обычно принято для краткости называть та¬
кой сигнал пачкой импульсов.
230
Каждый импульс «<(/) такой пачки полностью ха¬
рактеризуется амплитудой ai, частотой f„ моментом воз¬
никновения U, начальной фазой в момент возникнове¬
ния <рг- и длительностью т*. Если зависимости между
параметрами всех импульсов тачки в месте приема изве¬
стны точно, такие импульсы и такая пачка импульсов
Рис. 12-1.
называются когерентными1. В противном случае тачка
называется некогерентной. Из определения когерентной
пачки следует, что если в месте приема становятся изве¬
стными параметры хотя 'бы одного из имтульсов пачки,
например параметры а\, fi, t\, <pi и Х\ первого импульса,
то тем самым становится известной та вся тачка uc(t).
Следовательно, когерентная пачка импульсов имеет
такое же максимально возможное число неизвестных
параметров, как и сигнал, состоящий из одного импуль¬
са. Это обстоятельство позволяет в ряде случаев весьма
просто получать формулы для пачечного сигнала из
соответствующих формул для одноимпульсного сигнала.
В некогерентной пачке импульсов (вида, изображен¬
ного на рис. 12-1) максимально возможное число не¬
известных параметров значительно больше и равно 5л.
Ниже рассматриваются особенности, возникающие
при бинарном обнаружении (простом и сложном) и при
обнаружении и распознавании пачек различных видов.
12-2. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ ПАЧЕК,
ИЗВЕСТНЫХ ТОЧНО
Пачка называется известной точно, если вид пачеч¬
ного сигнала uc{t) известен точно. Неизвестным и ’подле¬
жащим определению в этом случае является лишь факт
1 От слова coherence — сцепление.
231
■наличия или отсутствия пачки. Очевидно, для того, что¬
бы пачка uc(t) была известна точно, она должна быть
не только когерентной, но и должны быть известны
точно все параметры одного из импульсов этой пачки,
например ai, fi, h, <pi, ti.
Пачка, известная точно, является частным случаем
сигнала, известного точно, и для нее справедливы все
формулы, приведенные выше для обнаружения (просто¬
го и сложного), распознавания и одновременного обна¬
ружения и распознавания сигналов, известных точно,
так как при их выводе сигнал uc(i) записывался
в общем виде, т. е. без конкретизации его формы.
Сюда относятся, в частности, все формулы гл. 5 и
формулы (10-12) и (11-27). Входящая в эти формулы
энергия Q сигнала «с('0 равна:
т
Q = § ul(t)dt\ (12-1)
о
поэтому, как следует из рис. 12-1,
П
Q = XQ„ (12-1а)
г=1
где Q. — энергия импульса номера t.
Следовательно, все приведенные выше формулы для
вероятностей ошибок остаются справедливыми для па¬
чек, известных точно, если в них под Q понимать энер¬
гию всей пачки импульсов, равную сумме энергий
всех п импульсов пачки [формула (12-1 а)]. Отсюда сле¬
дует, что при разбиении непрерывного сигнала, изве¬
стного точно, на ряд точно известных импульсов,
ошибки обнаружения и распознавания сигнала во всех
рассмотренных выше конкретных случаях не изменяют¬
ся, если при разбиении суммарная энергия сигнала
остается неизменной. Иначе говоря, при простом бинар¬
ном обнаружении, а в случае ортогональных сигналов
также при сложном бинарном обнаружении, распозна¬
вании (без обнаружения) и одновременном обнаруже,-
нии и распознавании суммарная требуемая энергия Q
каждого сигнала Uh(t) не изменяется при разбиении
непрерывного (одноимпульсного) сигнала на ряд точно
известных импульсов. Однако такое разбиение услож-
232
няет форму сигнала, вследствие чего структура опти¬
мального приемника (структура корреляторов или опти¬
мальных линейных фильтров) соответственно услож¬
няется. Поэтому, если конструктор системы имеет воз¬
можность выбора формы сигнала, то разбиение его
в указанных выше случаях на ряд импульсов должно
быть оправдано какими-либо другими существенными
преимуществами. В радиолокации, например, одним из
преимуществ разбиения одноимпульсвого синусоидаль¬
ного сигнала на ряд импульсов является повышение раз¬
решающей способности системы по дальности вслед¬
ствие сокращения длительности каждого элементарного
импульса. Кроме того, сделанный выше вывод о неиз¬
менности требуемой энергии сигнала относится к поме¬
хам в виде нормального белого шума и может быть не¬
справедлив для других видов помех.
12-3. ОБРАТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ПАЧКИ СО СЛУЧАЙНЫМИ
АМПЛИТУДАМИ И ФАЗАМИ
'Пусть пачка «с'(0 известна точно, за исключением
амплитуд й{ и фаз <рД Параметры щ и <pj в течение
каждого опыта [интервала наблюдения (О, Г)] считаются
неизменными, а от одного опыта к другому изменяются
как непрерывные случайные величины с п-мерными
априорными распределениями Р{щ, ...,ап) и P(cpi,..., ф«)
соответственно. Следовательно, в рассматриваемом слу¬
чае сигнал uc(t) имеет 2п случайных параметров, и его
обратная вероятность в соответствии с общими форму¬
лами (8-11)—.(8-14) может быть записана в виде:
Ру(а„..., а„; <р, ?„) =
= klP(al,.. •» an)P(<plt..., ?n)WJy(t)-uc(t) 1, (12-2)
* Если (моменты ti возникновения имшульсов из-вестны не точ¬
но, а с погрешностями A ti, малыми по сравнениям с длительностями
тг имлульсов, и если в каждом импульсе содержится большое чис¬
ло -периодов синусоиды мож-но полагать, что «моменты U
известны точ-но, и неизвестными и случайными являются лишь фа¬
зы фг*.
Иначе ‘говоря, в этом случае неопределенность моментов возник¬
новения импульсов достаточно -полно учитывается тем, что ‘неопре¬
деленными считаются начальные фазы <рг-.
233
где
Здесь принято, что между изменениями амплитуд и фаз
нет статистической зависимости.
Кроме того, примем, что пределы изменения всех фаз ср.
одинаковы и равны 0 -г- 2п.
Тогда на основании (8-11) можно записать:
Для помехи в виде нормального белого шума в соответ¬
ствии с (1-25) получается:
Раскрывая квадратные скобки под интегралом, получаем:
где Q определяется формулами (112-1) и (12-1 а), а —
нормировочный коэффициент.
Рассмотрим далее несколько более частных случаев.
1-й случай. Импульсы пачки когерентны между со¬
бой. Это значит, что между параметрами отдельных
импульсов имеется полная статистическая связь и
^-мерные плотности вероятностей в формуле (12-4) мо¬
гут быть заменены одномерными распределениями для
любого из импульсов пачки, например, для 1-го импуль-
234
2п 2к
Py(a1,...,an)=klP(al,.. .,ап) J... jPX
О О
X (?о ...,9a)Wm [у (t) - ис (0] d9l,d<pn. (12-3)
2* 2те
T
JLf u
N»j
X(?i <?n)e 0 d<flt..dfn.
Q 2ic 2ic
0 0
d9l,...,d9n, (12-4)
са. Кроме того, примем частоты fi всех импульсов оди¬
наковыми, а распределение фаз равномерным. Тогда
формула (12-4) может быть записана в виде:
Q 2тс
P^a^KPiaJe J (12-5)
О
где
п U + Х1
Ч («1. ?i) = -щ 2 Г У (0 (а, + Дя,) COS (®* + ?! + Д?г) d?1;
° «=1 tt
А а. = а, — а,; Д?(. =.
Так как пачка импульсов когерентна, то Ащ и Дф*
являются точно известными величинами.
2-й случай. Амплитуды импульсов пачки связаны
между собой зависимостью, известной точно, а фазы ф*
статистически независимы и распределены равномерно
(в пределах от 0 до 2я),
В этом случае ,в формуле (12-4) можно заменить
Py(ai ап) и Р'{а\,...,ап) на Ру{а{) и Р{ах) соответ¬
ственно, а также полагать:
Р (9i 9Я) = р (Т.) • • • Р (?я) =(-sr)"i
тогда формула (12-4) принимает вид
_Q 2* 2* >\y{i)ucv)dt
Ру (<Ъ) = Кр («») ^ ‘ J ^ 0 dfl' ‘'dfn’
О о
(12-6)
Но
Т п **-К*
fy(t)ue(f)dt = £ J у(t)a.cos(atf?г)Л;
о г=1
поэтому
Py(ai) = kiP{ai)e N° f| J e1'(“г’?i> d<ft, (12-7)
/=1 0
235
№
**■4-ч
2 а С
чЦ. Ъ)=-щ^ J 0 (0 <*»(«* 4-?j) (12-8)
и
Сопоставляя выражения (9-9) и (9-10) с (12-7) и (12-8),
нетрудно убедиться, что в данном случае
Очевидно, величина М{ играет такую же роль, как
параметр М в случае одноимпульсного сигнала, и мо¬
жет быть вычислена такими же способами, например,
с помощью оптимального фильтра. Так как при вычисле¬
нии М{ для различных номеров i меняются лишь преде¬
лы интегрирования, которые между собой не перекры¬
ваются, все величины М{ могут быть получены от 'опти¬
мального фильтра, согласованного лишь с первым
импульсом путем соответствующих сдвигов во
времени.
Следовательно, для вычисления обратной вероятно¬
сти по формуле (12-9) в рассматриваемом случае доста¬
точно иметь простой оптимальный фильтр, согласован¬
ный с одиночным импульсом U\{t), и соответствующие
цепи задержки.
Q п
(12-9)
/=I
Здесь
Q = 5jir V а‘ = а*+ Аа*
(Да. и х. — точно известные величины);
<i+TJ
(12-9а)
236
Обычно удобнее вычислять не Ру(а,), a In Py(aJ; при
этом вместо формулы (12-9) имеем (полагая &в=1):
П
In Ру (а,) = 1пР (а,) _ «-+2 in I. (^-) . (12-10)
0 г=1 0
3-й случай. Амплитуды и фазы отдельных импульсов
пачки статистически независимы; фазы распределены рав¬
номерно (в пределах от 0 до 2 it).
В этом случае в формуле (12-4) можно полагать:
Р == Р (®t) • • • Р Ю-
В остальном рассматриваемый случай не отличается от
предыдущего. Поэтому вместо (12-9) можно сразу напи¬
сать:
п а1х/
Ру («,, ..,an) = kf\p (а.) Г"5* 10 (^-), (12-11)
/=1
где Mi определяется теми же формулами, что и в пре¬
дыдущем случае.
12-4. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ КОГЕРЕНТНЫХ
ПАЧЕК СО СЛУЧАЙНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ
В этом случае анализ может быть проведен на осно¬
ве выражения ((12-5) для обратной вероятности. Однако
для сигнала рассматриваемого вида основные соотноше¬
ния уже были приведены в предыдущих главах.
Действительно, так iKaiK в'сё имчтульсы пачки коге¬
рентны между собой, возможный сигнал uk(t) [сиг¬
нал uc(t) на рис. 12-1)] принадлежит к классу, описы¬
ваемому формулой (9-50), в которой функции a(t) и
ф(|/) являются точно известными функциями, описываю¬
щими изменение амплитуды и начальной фазы импульса
пачки при изменении номера I этого импульса. Поэтому
для вероятностей ошибок справедливы все формулы,
приведенные в предыдущих параграфах для сигнала
с известной амплитудой и случайной равновероятной
фазой, если в этих формулах под энергией Q понимать
237
энергию пачки из п импульсов, определяемую формулой
(1.2-1). Так, например, при обнаружении и распознава¬
нии т равновероятных ортогональных пачечных сигна¬
лов с равными энергиями справедлива формула (11-33),
а именно
£~(/<п-33>
где Q = nQi — энергия пачки.
Структура оптимального приемника Пк, входящего
в состав системы обнаружения, определяется на основа¬
нии формулы (9-5). Вычисление входящего в эту фор¬
мулу параметра М\ может осуществляться, как указы¬
валось выше, с помощью оптимального фильтра и
амплитудного детектора или вычислительным устрой¬
ством, изображенным на рис. 9-'1. В’этом последнем слу¬
чае всюду cos u>t и sin соt следует заменить на
a(0cos[co*+i|)(0] и a(0sin{a>tf+a|)(0] соответственно.
12-5. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ КОГЕРЕНТНЫХ
ФЛУКТУИРУЮЩИХ ПАЧЕК
Когерентная пачка называется флуктуирующей, если
амплитуда а,\ и фаза <pi от одного опыта к другому ме¬
няются как непрерывные случайные величины с априор¬
ными распределениями UP(iai) и P(q>i) соответственно.
(Так как пачка когерентна, то флуктуации амплитуды
и фазы первого импульса полностью определяют флук¬
туации амплитуд и фаз всех последующих импульсов
пачки.)
При этом
Р(а1)=Р(С)Г(а1), (12-12)
где Р(С)—априорная вероятность наличия пачки.
В этом случае анализ также может быть проведен на
основе выражения (12-6).
Однако при некоторых допущениях результаты мо¬
гут быть получены непосредственно из формул, приве¬
денных в предыдущих главах. Так, предположим, что
все импульсы пачки имеют одинаковые амплитуды и
частоты (cii = a0, Д=/о) и амплитуда распределена по
закону Релея, а фаза — равновероятна [в пределах каж-
238
дого интервала наблюдения (О, Т) амплитуда и фаза
неизменны]. Тогда вероятности ошибок определяются по
формулам, приведенном в предыдущей главе для
флуктуирующего сигнала.- При этом под энергией QCp
следует понимать среднюю энергию всей тачки, т. е.
tl
«,, = <?«,,. (12-13)
г=1
где Qcp/ = —g энергия г-го импульса пачки.
Если все импульсы- пачки имеют одинаковую длитель¬
ность т, то
QcP=«<2cPl. (12-13а)
где Qcpi — средняя энергия одного импульса пачки. Так,
например, при обнаружении и распознавании флуктуи¬
рующих пачек справедлива формула '(11-29), если в ней
под Qcp понимать среднюю энергию пачки, определяе¬
мую формулой (li2-13).
12-6. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕКОГЕРЕНТНЫХ
ПАЧЕК С ИЗВЕСТНЫМИ АМПЛИТУДАМИ
И НЕЗАВИСИМЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗАМИ
Если амплитуды импульсов пачки связаны между со¬
бой зависимостью, известной точно, а фазы <pi статисти¬
чески независимы и .распределены равномерно (ib пре¬
делах от 0 до 2я), то имеет место рассмотренный выше
2-й случай, и анализ может быть произведен на основе
формулы (12-10) для обратной вероятности пачки.
Рассмотрим сначала простое бинарное обнаружение
такой пачки. При этом в формуле (ili2-il0) следует пола¬
гать, что амплитуда а\ либо равна точно известной ве¬
личине а01 (если пачка имеется), либо эта амплитуда
тождественно равна нулю (если пачка отсутствует).
Поэтому для .решения вопроса о наличии или отсутствии
пачки следует сравнивать между собой обратные ве¬
роятности (или их логарифмы) Ру{С) и РУ(Ь) наличия
239
и отсутствия пач'ки соответственно, где в соответствии
с формулой (12-10)
In Ру (С) = In Ру(ап) = In Р (С)-
п
In Ру (0) = In Р (0),
и Р(С) — Р (а01) есть априорная вероятность наличия пачки.
Из соотношений (10-5) и (12-14) следует, что должно
приниматься решение о наличии сигнала, если выполняется
условие
здесь т) — весовой коэффициент, учитывающий относи¬
тельную опасность ложных тревог и пропусков сигнала.
Если ошибки обоих видов одинаково опасны, т. е.
требуется обеспечить минимум полной вероятности
ошибки, то следует полагать.
Если условие ('12-15) не выполняется, то «принимает¬
ся решение об отсутствии пачки.
Параметр Mi, как отмечалось выше, может вычис¬
ляться (при некоторых обычно имеющих место ограни¬
чениях) оптимальным линейным фильтром, согласован¬
ным с импульсом Ui(t), и амплитудным детектором.
Так как импульсы m(i) в общем случае отличаются
не только по амплитуде и времени действия, но и по
несущей частоте fi, то для вычисления суммы, входящей
в неравенство (12-15), требуется п отдельных фильтров
или один фильтр, но с параметрами, меняющимися от
импульса к импульсу. В этом последнем случае струк-
240
П
(12-15)
где
(12-16)
турная схема оптимальной системы бинарного обнару¬
жения имеет вид, изображенный на рис. 12-2. Хрониза-
тор обеспечивает включение оптимального фильтра
только на интервалы времени, соответствующие времени
действия ожидаемых импульсов, а также обеспечивает
изменение усиления и частоты настройки фильтра от
импульса к импульсу в соответствии с изменениями
Рис. 12-2.
амплитуд щ и частот fi отдельных импульсов пачки.
Если ожидаемые импульсы имеют одинаковые амплиту¬
ды и частоты, необходимость в двух последних опера¬
циях отпадает.
За оптимальным фильтром включены амплитудный
детектор Д с детекторной характеристикой вида 1п1о(*),
цепи задержки ЦЗ, суммирующие устройство S и поро¬
говое смещение U0. При превышении порога Uo, т. е.
при ивых>0 дается ответ о наличии пачки. В противном
случае принимается решение об отсутствии пачки.
При . бинарном обнаружении о дм о им пу л ься о-
го сигнала (м=1) форма детекторной характеристики,
как отмечалось выше, может быть заменена на любую
монотонную кривую, при соответствующей корректиров¬
ке порогового смещения Uo. В данном случае (при пф 1)
©то положение, строго говоря, несправедливо, так как
перед сравнением с порогом производится операция
суммирования. Однако и в этом случае выбор формы
детекторной характеристики является не очень критич¬
ным, особенно если число импульсов в пачке невелико.
Для нахождения вероятностей ошибок следует вы¬
числить вероятности выполнения неравенства (12-15)
при наличии сигнала и при отсутствии сигнала. В общем
случае решение этой задачи .наталкивается на значи¬
тельные математические трудности. Поэтому приходит¬
ся делать ряд допущений.
Прежде всего положим, что ti > 1.
При этом закон распределения суммы, стоящей в ле-
16 Л. С. Гуткин 241
вой части неравенства (12-15), можно полагать нормаль¬
ным, так как слагаемые, входящие в эту сумму, стати¬
стически независимы.
Обозначим:
i=i 0 i=i
где
(12-18)
тогда в силу принятого допущения закон распределения
величины у можно полагать равным:
(у-1)2
P(y) = -7L=-e 2°« , (12-19)
/2яа2
где у и а2— среднее значение и дисперсия величины у.
Вычислим значения параметров у и о2у при отсутствии
и при наличии сигнала.
Из (12-17) следует, что
(12-20)
i= 1 i— 1
где и а2. — среднее значение и дисперсия слагае-
‘ мого zr
Таким образом, для нахождения распределения Р(у)
достаточно вычислить среднее значение и дисперсию слу¬
чайной величины г., определяемой формулой (12-18).
Обозначим:
^Т! (12-21)
тогда
г,. = 1п10(х,.). (12-22)
Предположим, что
jc^I; (12-22а)
242
тогда, учитывая свойства функции получим:
Но в § 9-2 было найдено, что при отсутствии сигнала
ными величинами с нулевыми средними значениями и с
Поэтому формула (12-24) в случае отсутствия сигнала
т. е. при наличии только шума) дает:
наличии сигнала, а также для определения величины zt
в случае наличия сигнала удобно воспользоваться сле¬
дующим методом.
Величина М., как было доказано выше, пропорцио¬
нальна огибающей Um(t) напряжения (в момент t = T)
на выходе оптимального линейного фильтра. Поэтому вы¬
ражение (12-23) можно записать в виде:
(12-23)
Следовательно,
С учетом (9-13) получается:
(12-24)
величины jr-X и ~Y являются независимыми случай-
дисперсиями, равными . Следовательно, в рассматри-
iVo
о
ваемом случае должно быть:
(12-25)
Для нахождения дисперсии а* при отсутствии и при
(12-26)
где А — некоторая константа.
16*
243
Это уравнение соответствует/ уравнению детекторной
характеристики квадратичного детектора. Поэтому г. мо¬
жет рассматриваться как напряжение на выходе квадра¬
тичного детектора.
В отсутствие сигнала на вход этого детектора посту¬
пает только шум с нормальным законом распределения.
При этом
г, = Ж^ = Л.2£/*, (12-27)
где и2ш — средний квадрат напряжения шума на входе де¬
тектора.
Дисперсия о2г_ в этом случае есть не что иное, как
средний квадрат напряжения шума на выходе квадратич¬
ного детектора, поэтому
<. = Л2<,. (12-28)
При наличии сигнала напряжение на входе детектора
является суммой нормального шума с действующим зна¬
чением Um и гармонического сигнала с амплитудой Um с.
При этом на выходе квадратичного детектора получается:
?i=*-2t£(1 + l|r-) t12'29»
И
< = M2t£),(l + -^)- (12-30)
Из сопоставления соотношений (12-25) и (12-27) сле¬
дует, что
A-wl=TT,- <12-31)
Входящее в формулы (12-29) и (12-30) отношение
—тт“~ есть отношение амплитуды сигнала (в момент t = Т)
иш
к среднеквадратичному напряжению шума на выходе оп¬
тимального линейного фильтра. Поэтому в соответствии
с формулой (2-34) имеем:
U2m, 2<э,
(12*32)
'ш ¥°
244
Подставляя выражения (12-31) и (12-32) в формулы
(12-27) — (12-30), получаем:
а) при отсутствии сигнала:
- 2 . п9 oov
Zi—N„ ’ V~ N2 ’ (12'33)
б) при наличии сигнала
г<=£(‘+£> <.~зг(' + £)- (12‘34)
Предположим далее для простоты, что все импульсы
пакета имеют одинаковые энергии, т. е.
q,=4* (12-35)
где Q—энергия всего пакета.
Тогда из формул (12-20), (12-33), (12-34) и (12-35) по¬
лучим:
а) при отсутствии сигнала
77 Q . 2 1 Q2 . /1 о ос\
y~Na’ У~ n'Ny (12-36)
б) при наличии сигнала
y-U' + жУ <Нг»(1 + #)- <12'37>
На основании полученных данных нетрудно вычислить
вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала.
Действительно, из соотношений (12-15) и (12-17) сле¬
дует, что вероятность ложной тревоги есть вероятность
выполнения неравенства
у>и0
при отсутствии сигнала, т. е.
(y-Jf
°2 , ^ 2»2
P,,= \P(y)dy=-7^r\e у dy, (12-38)
А V** i.
где у и определяются формулами (12-36).
245
Вероятность пропуска сигнала есть вероятность выпол¬
нения неравенства
У<и0
при наличии сигнала, т. е.
и0
и0 --
(У-У)2
2а2
= I РШу=уЬ’Iе dy' <12'39)
V У —оо
где у и а2 определяются для случая наличия сигнала,
т. е. по формулам (12-37).
Путем замены переменных и с учетом формул (12-16),
(12-36) и (12-37) выражения (12-38) и (12-39) легко при¬
водятся к следующему виду:
V2-.
00
L-f,
2« J
‘ 2
dz\
np
V 2
00 z2
1 Ce Tdz, (12-40)
A
a2
где
_ г p(0) i
^nlnpp-(CjJ
Q_
No
Г p(°) 1
П \NJ ln[V(C)J
N„V
irV
1+-^-
1+ nN*
(12-41)
Рассмотрим случай малых вероятностей ошибок Рл т
и рпп-
Пр
Из формул (12-40) следует, что вероятности Рл т и Рпр
могут быть малы, лишь если пределы at и а2 достаточно
велики; но при достаточно большом нижнем пределе
а можно воспользоваться асимптотическим разложением
интеграла вероятностей и полагать
поэтому вместо (12-40) можно принять:
^л-т ~ У 2т. а, 6
пр
V 2паг
(12-42)
отсюда получаем:
а^ = 21п-р? 1,85 — 2 In а,;
а2=21п р
Л.Т
1
■ 1,85 — 21а а2.
(12-43)
пр-
Так как в рассматриваемом случае а, и а2 достаточно
велики, то в (12-43) можно в первом приближении пре¬
небречь слагаемыми 2 In at и 2 In a2 по сравнению с a2t
и a2 соответственно; тогда получается:
■1,85;
a^21n-^-
* п.
■1,85.
пр
(12-44)
Однако, как показывает анализ, для получения луч¬
шего приближения целесообразно вместо (12-44) полагать:
aj«21n-^-
Л,
а2 ж 2 In
-2,8;
-2,8.
пр
(12-45)
С другой стороны, решая уравнения (12-41) относительно
Q
величины , получаем:
УГ= (/«?« + '4)+V (^ai« + «2)2-(ai-a2)"-
(12-46)
Формулы (12-45) и (12-46) позволяют достаточно просто
вычислить энергию Q пакета, необходимую для обеспечения
247
допустимых вероятностей ошибок Рлт и Рпр при данном
числе импульсов я*.
Как показывают расчеты, при Рл>т<0,1 и Рпр<0,1
погрешность формулы (12-46) по сравнению с более точными
интегральными соотношениями (12-40) не превышает 0,5 дб-
Однако следует помнить, что и формула (12-46) и соотно¬
шения (12-40) достаточно точны лишь при n^> 1.
Если п весьма велико, а именно
п > и
или
«>(«i + aa)a. (12-47)
где Gtj и аа, в свою очередь, величины, большие единицы,
то формула (12-46) принимает вид:
£»(«,+а,)/л (12-48)
Кроме того, при выводе формул (12-46) и (12-48) было
сделано допущение [см. (12-22а)], что х.<^ 1. Выясним смысл
этого допущения.
* Из соотношений (12-41), (12-45) и (12-46) следует, что при за-
Г РФ) I
данных вероятностях ошибок Рлт и Рпр величина In I т) не
может быть произвольной, а должна определяться из соотношения
1п Г
lnpP(C)J-«,^o„ .
Q
где определяется формулой (12-46).
При этом в соответствии с (12-16) получается вполне определен¬
ное значение порогового смещения, а именно
U* - N„ + “* N„n •
Отсюда следует также, что задание значений вероятностей Рл т и
Рпр эквивалентно заданию соответствующей величины ^ р (Q j» т- е
назначению вполне определенного отношения априорных вероятностей
или вполне определенного весового коэффициента т).
248
Из соотношений (12-23), (12-33) и (12-34) следует, что
в отсутствии сигнала
а при наличии сигнала
следовательно, вместо (12-22а) можно записать следующее
условие:
т. е. энергетическое отношение сигнал/шум для каждого
(отдельного) импульса пакета должно быть достаточно
мало. При этом оптимальная детекторная характеристи¬
ка квадратична [см. равенство (12-26)] и справедливы
сделанные выше выводы.
Если условие (12-49) не выполняется, т. е. отношение
сигнал/шум для каждого им.пульса пакета не слишком
мало, то формулы (12-46) и (1I2-48) останутся справед¬
ливыми, если по-прежнему полагать детекторную ха¬
рактеристику квадратичной. Однако в этом случае такая
характеристика уже не будет оптимальной, так как опти¬
мальная характеристика описывается уравнением
(12-22), и при достаточно больших стремится
к прямой
т. е. к характеристике линейного детектора.
Отсюда следует, что при невыполнении условия
(12-49), в оптимальном приемнике могут быть получены
несколько лучшие результаты (меньшее , чем это
получается из формулы (12-46).
При выводе формулы (12-46) мы полагали закон
распределения суммы (ill2-17) нормальным, что справед¬
ливо' лишь при весьма больших значениях п. Более
точные результаты были получены Капланом [J1. 16]*.
• Полезные соотношения для случая квадратичного детектирова¬
ния [по закону (12-51)] содержатся также в статье В. С. Сраговича
(12-50)
[Л. 123].
249
Он также полагал детекторную характеристику квадра¬
тичной, т. е. принимал в соответствии ,с (12-17) и
(12-23), что
При этом в отсутствии сигнала величина у имеет рас¬
пределение вида хи-квадрат с 2п степенями свободы.
Каплан аппроксимировал это распределение разло¬
жением в степенной ряд по нормально распределенной
величине, что, конечно, дает большую точность, чем при¬
нятая выше нормализация распределения Р(у).
Для случая совместного действия сигнала и шума
Каплан полагал распределение Р(у) нормальным, так
как в этом случае, с одной стороны, распределение Р(у)
ближе к нормальному (чем в отсутствии сигнала),
а, с другой стороны, получить более точную анпроксима-
цию здесь оказывается сложнее.
Формула, полученная Капланом, в наших обозначе¬
ниях может быть приведена к следующему виду:
где aj и а2 определяются формулами (12-45) (при Рл т< 0,1
При п > 1 формулы (12-52) и (12-46), как и следовало
ожидать, совпадают и сводятся к весьма простому выраже¬
нию (12-48). Однако если п не слишком велико, т. е. усло¬
вие (12-47) не выполняется, следует пользоваться более
точной формулой (12-52).
Однако и эта формула справедлива лишь при не слиш¬
ком малых я и ее погрешность возрастает при уменьшении п.
В худшем случае, когда п= 1, из (12-52) получается:
П
(12-51)
-fl/п ах + а2
(12-52)
2 , —
Щ ™ а2 "Ь ах ~Ь а2 у 1 “Ь 2«i + -3- «1 + а2 • (12-53)
250
тогда как в действительности при п = 1 справедлива фор¬
мула (9-49), которая с учетом (12-44) дает:
Q (ai 4" аг)г
N„ ~ 2
(12-54)
Из сравнения формул (12-53) и (12-54) следует, что при
выполнении условий
(т. е. при а2 > 1,65 и ах > а2), которые обычно имеют место,
погрешность формулы (12-53) по сравнению с формулой
(12-54) не превышает 2 дб. Отсюда следует, что формула
(12-52), точная при n > 1, дает и при любых меньших
значениях п сравнительно небольшую погрешность, не пре¬
вышающую 2 дб.
Эту погрешность можно еще уменьшить, если скоррек¬
тировать формулу (12-52) следующим образом.
Положим вместо (12-52), что
Это выражение отличается от (12-52) только допол¬
нительным слагаемым А, не зависящим от п; поэтому
при п-+оо формула (12-56) совпадает с (12-52), т. е.
дает по-прежнему правильный результат.
Подберем величину А таким образом, чтобы формула
(112-56) давала правильный результат и в другом край¬
нем случае, т. е. при п='1. Тогда, приравнивая при п— 1
правые части равенств (12-54) и (112-56), находим, что
пр
(12-55)
Г
П
^ (ai + аг)2
~('Т+в2+*1+аа j/"1-!-2®!-}- X®1“На2 У
251
Подставляя это выражение в (12-55), получаем формулу
(12-57)
которую будем называть скорректированной формулой Кап¬
лана.
Этой формулой можно пользоваться при любых зна¬
чениях я [если выполняются условия (12-55)].
При п— 1 и при п >1 формула (12-57) дает практи¬
чески точные результаты, а при промежуточных значе¬
ниях п ее погрешность заведомо менее 2 дб.
По формулам (12-57) и (il2-45) построено семейство
кривых на рис. 12-3 для двух значений вероятностей
ошибок. На рис. 12-4 для сравнения приведена зави-
<3*
сим ость
от п, где
Si—L !L
N~n * N0
(12-58)
Из рис. 12-3 и 12-4 видно, что с увеличением
числа импульсов п в пакете требуемая энергия Q» каж¬
дого импульса уменьшается, но энергия Q пакета в це-
252
Рис. 12-3.
лом увеличивается. Это означает, что разбивка непре¬
рывного сигнала на последовательность некогерентных
импульсов в енергетичеоком отношении невыгодна.
Рис. 12-4.
Получающийся при этом проигрыш в требуемой
энергии характеризуется отношением
где Q' — энергия, требуемая при непрерывном (одно-
импульсном) сигнале, т. е. при п= 1.
Из (12-57) и (12-59) следует, что
Величина t]i называется проигрышем энергии за счет
некогерентности импульсов. Если импульсы когерентны
между собой, но суммирование импульсов производится
без учета фаз их высокочастотного заполнения, т. е. по
закону (12-17), то имеет место такой же проигрыш
в энергии, как если бы сами импульсы имели друг отно-
Q
(12-59)
253
сительно друга независимые равновероятные случайные
фазы. Поэтому коэффициент rji часто называют также
проигрышем энергии за счет некогерентности суммиро¬
вания импульсов пакета.
По формуле (il!2-60) построены сплошные кривые на
рис. 12-5.
Так как формула (12-60) получена из выражения
(12-57), то она, так же как и (12-57), точна лишь при
п= 1 и при п > 1. При промежуточных значениях п
формула (12-60) дает несколько преувеличенные значе¬
ния величины г]ь однако погрешность при этом заведомо
меньше 2 дб.
Для сравнения на рис. 12-5 нанесены пунктиром со¬
ответствующие кривые, полученные С. Е. Фальковичем
[Л. 5] несколько более точным путем. Как видно, рас¬
хождение между соответствующими кривыми здесь не
превышает 1,5 дб.
Из (12-60) следует, что при 1
Из формул (12-60) и (12-61) и кривых рис. 12-5 выте¬
кают следующие заключения:
254
Рис. 12-5.
2Уп
2 Уп
(12-61)
V
2 In р — 2,8 -{-
* л.т
л.т
2 In р— — 2,8
* пп
пр
(здесь Рл т< 0,1 и Рпр<0,1).
1. Проигрыш за счет некогерентности возрастает с ро¬
стом п и при болынйх п это возрастание пропорционально
У п.
2. При уменьшении допустимых вероятностей ошибок
Рят и Рпр проигрыш уменьшается.
3. При я <10 проигрыш сравнительно невелик и при
типичных значениях вероятностей ошибок не превышает
1_3 дб.
При ббльших значениях п, наоборот, проигрыш может
быть весьма существенным; поэтому если я > 1 и импуль¬
сы пачки когерентны между собой, то весьма существенно,
чтобы и их суммирование было когерентным.
Приведенный выше анализ относится к простому бинар¬
ному обнаружению. При анализе одновременного обнаруже¬
ния и распознавания m возможных пачек ukl(t), ..., ukm(t)
полностью применимы метод и основные результаты, изло¬
женные в предыдущей главе. В частности, в случае ш
ортогональных равновероятных пачек с одинаковыми энер¬
гиями и при малых вероятностях ошибок (Рл т <0,1 и
Рпр <0,1) требуемая энергия Q пачки определяется по фор¬
муле простого бинарного обнаружения, если в ней заменить
Р на .
л.т щ
Поэтому при обнаружении и распознавании m пачек
(или в m-канальной системе, изображенной на рис. 11-5)
справедливы, в частности, формулы (12-57), (12-60) и (12-61),
если в них <Xj определять не по формуле (12-45), а пола¬
гать:
а* = 2 In 2,8 = 2 In m + 2 In 2,8. (12-62)
Л.Т Л.Т
При этом, например, формула (12-61) принимает следую¬
щий вид:
Ъ = —7====^= , (12-63)
2 In p—— 2,8
'пр
при/г>1, Рл.т<0,1, Рпр<®Л-
Из ©той формулы видно, что при увеличении ш
проигрыш за счет некогерентности уменьшается.
255
12-7. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕКОГЕРЕНТНЫХ
ПАЧЕК С ДРУЖНО ФЛУКТУИРУЮЩИМИ АМПЛИТУДАМИ
ИМПУЛЬСОВ
Наиболее характерными являются следующие два
крайних вида флуктуаций амплитуды пачки:
а) дружные флуктуации;
б) независимые флуктуации.
При дружных флуктуациях амплитуда импульсов
внутри данной пачки неизменна или является известной
регулярной функцией времени, а от одной пачки к дру¬
гой (гг. е. от одного опыта к другому) изменяется как
непрерывная случайная величина с известным априор¬
ным распределением.
При независимых флуктуациях амплитуды различ¬
ных импульсов пачки являются независимыми случай¬
ными величинами.
В данном параграфе рассматривается случай друж¬
ных флуктуаций амплитуды. При этом имеет место
рассмотренный выше 2-й случай (§ 12-3), и обратная
вероятность наличия .пачки с амплитудам-и (а\,...,ап)
определяется выражением (12-9):
П о
-V TL
Zj 2N„
Ру(а» •••> an) = Py(a1) = ktP(al)e ‘~l X
xfll.(^), (12.9)
/=1
где
а.=^4-Да.;
Да; и х.— точно известные величины;
P(a1)=P(C)W(al); (12-64)
здесь Р(С) — априорная вероятность наличия пачки с про¬
извольным значением амплитуды аи a W {ах) — закон рас¬
пределения амплитуды аг импульса лачки, при условии,
что пачка имеется.
Выражение (12-9) удобно представить в виде
При простом бинарном обнаружении пачки происходит
сравнение обратных вероятностей Р у (С) и Ру( 0) наличия
и отсутствия пачки соответственно. Решение о наличии
пачки принимается при выполнении условия
Ру(С)>чРв( 0).
(12-66)
где т) —весовой коэффициент.
Если условие (12-66) не выполняется, принимается ре¬
шение об отсутствии пачки. Очевидно,
Py(C)=\Py(a1)dai;'
(12-67)
поэтому с учетом (12-64) й (12-66) имеем:
X
Ру (Q = ktP (С) J W (а^ exp X
■ы.№)
i и
2 N.
г=1
Если априорная вероятность отсутствия пачки равна
Р(0), то
Рц(0) = КР(0).
(12-69)
Следовательно, решение о наличии пачки должно прини¬
маться при выполнении условия
У U о’
где
ОО Г П п
/2 а,М,
Г V\aizi » т /2» \
y=)W (a,) exp — +1п ЧпуГ/
о L /=1 6
da.
(12-70)
(12-71)
(12-72)
Предположим далее для простоты, что амплитуды и
длительности всех импульсов пачки одинаковы, т. е.
— (1% • • • й') • • •
17 Л. С. Гуткин
257
тогда выражение (12-71) принимает вид:
y=\w{a)e 2N°et=l da. (12-73)
Рассмотрим два крайних случая:
Первый случай
£«■; (12-74)
Второй случай
| > '• (12-75)
В предыдущем параграфе было доказано, что в первом
случае можно полагать:
а во втором случае
/ 2аМ: \ 2аМ,
lnIoV-^vг)ч=_л^Г•
Поэтому в первом случае из (12-73) получается:
ОО аНп — 51
‘
1 = ^W(a)e 2N° e2N°i=l da, (12-76)
О
а во втором случае
2 а
00 _ а2 иг -тр- 2 Mi
y = jw(a)e 2N°e *i=1 da. (12-77)
о
Из (12-70) следует, что для обнаружения пачки прием¬
ник должен вычислять величину у и сравнивать ее с по¬
рогом С/0. Но из выражений (12-76) и (12-77) следует, что
258
вместо сравнения величины у с порогом U0 можно сравни¬
вать с некоторым другим порогом U'Q в первом случае
величину
i= 1
а во втором случае величину
п
i=1
Такая возможность обусловлена тем, что между у
и Ri (или у и R2) имеется, как следует из (12-76) и
(,12-77), регулярная монотонная зависимость. Поэтому
превышению (или непревышению) величиной у 'поро-.
га Uо всегда будет соответствовать превышение (или
непревышение) некоторого другого порога U'o величи¬
ной Ri (в первом случае) или R2 (во вторам случае).
Выражения (12-78) и (12-79) совпадают с соответ¬
ствующими выражениями, полученными в предыдущем
параграфе для пачек с известными амплитудами
импульсов. Следовательно, структура оптимального
приемника остается такой же (рис. 12-2), изменяется
лишь величина порогового смещения U0 на выходе
приемника. Отсюда следует также, что при изменении
закона распределения W(a) амплитуды импульсов,
структура и режим оптимального приемника не изме¬
няются, за исключением величины порогового смеще¬
ния Uo.
При малом энергетическом отношении ~ для каждого
импульса оптимальным является квадратичный детектор
[формула (12-78)], а при большом отношении %— линейный
NО
детектор [формула (12-79)].
Если число п импульсов пакета мало, то для обеспе¬
чения высокой надежности обнаружения (т. е. малых ве¬
роятностей ошибок Рл т и Рпр) требуется большое энерге-
Qi
тическое отношение если же число п весьма велико, то
17* 259
(12-78)
(12-79)
надежное обнаружение имеет место уже при < 1, так как
W о
Qi
энергетическое отношение п -гг- для пакета в целом оказы
N о
О
вается достаточно большим. Поэтому на практике первый
случай (12-74) имеет место при «>1, а второй случай
(12-75) — при небольших значениях п.
Для нахождения вероятностей ошибок Рл.т и Рпр сле¬
дует найти закон распределения сумм Pi и Рг, опреде¬
ляемых формулами (1*2-78) и (12-79).
Так как структура оптимального приемника в рас¬
сматриваемом случае такая же, как и при приеме пачек
с известной амплитудой, рассмотренном в предыдущем
параграфе, то в отсутствие сигнала закон распределения
величии Pi и Рг оказывается таким же а следовательно,
сохраняется неизменным и выражение для вероятности
•ложной тревоги Рл.т- Однако ори наличии сигнала закон
распределения сумм Pi и Рг получается иным, чем
в случае пачек с известной амплитудой, и зависит от
закона распределения W(a) амплитуды пачки.
Случай релеевского закона распределения W(а)
впервые был проанализирован Капланом [Л. 16]. Каплан
рассматривал лишь первый случай, когда
Полученные им результаты в наших обозначениях могут
быть приведены к следующему приближенному виду:
и я> 1.
Qcpl 1 ( а, ■ 2+ gi\ #
КГ Р \ 1/~Г “Г я„ I >
(12-80)
где
аг
В этих соотношениях Qcp =nQcpl — п — т является сред¬
ним статистическим значением энергии пачки.
260
Форм/лы (12-80) достаточно точны при следующих
допущениях:
^<1; п> 1; Рлт< 0,1; Рпр <0,1. (12-81)
По мере усиления неравенств (12-8) погрешность фор¬
мул (12-80) асимптотически стремится к нулю.
Из (12-80) следует, что при достаточно больших значе¬
ниях п можно полагать:
Q
ср
|/ 21npL
У *л.т
•2,8
]/я. (12-82)
N. РПр
По мере уменьшения числа импульсов п относительная
погрешность формул (12-80) возрастает и достигает наи¬
большей величины при п = 1. При этом из (12-80) полу-
чается:
„2\
(12-83)
г о ' пр
где
Qcp 1 ( _ | 2 + а\
N0 = Р
1=|/ 21п-р^— -2,8.
*Л.Т
В действительности же при п = 1 имеет место соотно¬
шение (9-85), т. е.
I9-85»
г пр 'л.Т
Из сравнения соотношений (12-83) и (9-85) следует, что
при п = 1 (и Ял т< 0,1) погрешность формулы (12-80) не
превышает 2 дб. Поэтому допустимо произвести коррекцию
формулы (12-80) таким образом, чтобы она давала доста¬
точно точный результат не только при ti > 1, но и при
п— 1.
Применяя тот же прием, что в предыдущем пара¬
графе, т. е. полагая вместо (12-80), что
где А — корректирующий член, не зависящий от и, и при¬
нимая
Эту формулу будем называть скорректированной форму¬
лой Каплана для дружно флуктуирующих пачек. Она дает
достаточно точный результат, если п— 1 и п > 1 (при
,Рпр<0,1 и Ялт<0,1). При промежуточных значениях п
формула (12-84) дает несколько преувеличенное значение
ность меньше 2 дб.
Введем, как и в предыдущем параграфе, понятие о проиг¬
рыше т)1 в требуемой энергии сигнала, обусловленном не-
когерентностью импульсов пачки (или некогерентностью
суммирования, если импульсы когерентны):
По формулам (12-84) и (12-86) построены <ривые на
рис. .12-6—12-8.
Из сравнения кривых, приведенных на рис. 12-5 и
12-8^ следует, что зависимость требуемой энергии сиг-
262
получим:
и
Фср
отношения -тт*-, однако получающаяся при этом погреш-
™ О
(12-85)
где Qcр — средняя энергия, требуемая при
(одноимпульсном) сигнале, т. е. при п — 1.
Тогда из (12-84) получим:
непрерывном
(12-86)
нала от числа импульсов п в пачке в случае дружно
флуктуирующих пачек получается примерно такой же,
как и в случае пачек с известной амплитудой. Соответ¬
ственно примерно одинаковым получается и проигрыш
за счет некогерентности импульсов пачки (или за счет
некогерентности суммирования импульсов, если импуль¬
сы когерентны).
Приведенные выше результаты относились к случаю
простого бинарного обнаружения сигнала. При одновре¬
менном обнаружении и распознавании т возможных
263
Рис. 12-6.
Рис. 12-7.
Пачек Uki{t),--,Uhm(t) 'полностью применимы метод и
основные результаты, изложенные в предыдущей главе.
В частности, в случае т ортогональных равновероятных
пачек с одинаковыми средними энергиями и малых
вероятностей ошибок (Рл.т<0,1 и Рпр <0,1) требуемая
средняя энергия Qcp пачки определяется по формуле
Рис. 12-8.
(или по кривым) простого бинарного обнаружения, если
в ней заменить Рл.т на^р-
При этом формулы (112-84) и (12-86) .принимают
(при тех же допущениях) следующий вид:
12-8. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕКОГЕРЕНТНЫХ
ПАЧЕК С НЕЗАВИСИМО ФЛУКТУИРУЮЩИМИ
АМПЛИТУДАМИ ИМПУЛЬСОВ
При независимых флуктуациях амплитуд импульсов
пачки имеет место рассмотренный в § 12-3 третий случай,
и обратная вероятность пачки с амплитудами (ах ап)
определяется формулой (12-11), а именно
Ру (Ог,a n) = kj\p (а,) е~ ^ 10 (^-).
1 = 1 °
Поэтому обратная вероятность Ру(С) наличия пачки
(с любыми амплитудами импульсов) равна:
00 00
Ру (£)==: k ^ • • • J Ру (^1» • • •» &п) do,x... dun =
о о
п оо a<f xi
= k П J Р {а) г ^ I. (^-) dar (12-89)
i=1 О
Но
Р (ai) — Р (Q W (а.), (12-90)
где Р(С) — априорна^ вероятность наличия пачки, и
а2т-
п 00 а1 *I
Py(C) = kP(C)Yl j w (а.) е~~i0 (12-91)
1=1 0 *
Будем далее полагать, что амплитуды а. флуктуируют
по закону Релея. Тогда, сравнивая (12-91) с (9-56) и (9-65),
получаем:
" Ь л2
Py(C) = kP(C)H=reN° \ (12-92)
«=1 “ci
где в соответствии с (9-63) и (9-64)
Из (12-92) следует, что обратная вероятность отсутствия
пачки (т. е. наличия пачки с нулевыми амплитудами им¬
пульсов) равна
Py(0) = kP(0y,
поэтому при простом бинарном обнаружении решение о на¬
личии сигнала (пачки) должно приниматься при выполнении
неравенства
Рв(С)>цР( 0). (12-94)
В дальнейшем примем для упрощения, что все импульсы
пачки имеют одинаковые средние энергии и длительности,
т. е.
Q = nQ •
^ср ^ср Р
тогда, учитывая соотношения (12-92) и (12-93), можно за¬
писать условие (12-94) йаличия сигнала в следующем виде:
y>Ua, (12-95)
где
У = £ AfJ; (12-96)
;=i
(12-97)
Здесь, как и ранее [см. (12-9а)],
M) = X\ + Y f;
поэтому
у = ^(Х2.^). (12-98)
i=l
Из (12-96) следует, что в рассматриваемом случае, т. е.
при независимых флуктуациях импульсов пачки, оптималь-
266
ной детекторной характеристикой является квадратичная ха-
рактеристика.
Для нахождения вероятностей ошибок обнаружения рас¬
смотрим сначала случай отсутствия сигнала.
Из (12-9а) следует, что в отсутствии сигнала
4 +т
X. = | иш (t) cos mt dt;
U
(12-99
Yt= f иш(t) sinmtdt.
*t
В § 5-2 было доказано, что случайная величина
т
-jj-^ um(t)uc(t)dt имеет нормальный закон распределения
о
20
с нулевым средним значением и с дисперсией , где Q =
•/Vo
=j а\ (t) dt',
о
отсюда следует, что величины Xt и Yt, определяемые
выражениями (12-99), имеют нормальное распределение
с нулевыми средними значениями и с дисперсиями в2., где
/2Q_\ /2-1«ч\
Т^Тг -9--г- —д- . (1^-1UU)
‘ (-LV (ЛУ
\N%) [nJ
Величины Xi и Y. взаимно статистически независимы
вследствие ортогональности функций cos Ы и sin ш^, входя¬
щих в выражения (12-99), и нормального закона распреде¬
ления шума.
Величины X. (и Y.) с различными номерами i также ста¬
тистически независимы, так как соответствующие им интер¬
валы интегрирования в выражениях (12-99) не перекрыва¬
ются. Таким образом, величина у, определяемая выраже¬
нием (12-98), является суммой квадратов 2п независимых
267
нормально распределенных случайных величин с нулевыми
средними значениями и одинаковыми дисперсиями а2.
Поэтому при а2 = 1 величина у имеет закон распреде¬
ления у2п („.км-квадрат, с 2п степенями свободы*).
Этот закон распределения табулирован (см., например,
приложение), причем в таблицах обычно приводится вели¬
чина х1п(а)> где Хг„(а) есть такая величина, вероятность
превышения которой суммарной величиной у (при <г ='1)
равна а, т. е. при а2 = 1
Р[У>х1п(«)} = *- (12-Ю1)
В нашем случае дисперсия а2 не равна единице и опре¬
деляется выражением (12-100). Поэтому вместо (12-101)
следует полагать:
Р \У >WL («)] = «• (12-Ю2)
Из (12-95) следует, что вероятность выполнения нера¬
венства (12-95) при отсутствии сигнала есть вероятность
ложной тревоги, т. е. при отсутствии сигнала
Р(У>и0) = Рл,т. (12-103)
Из сопоставления (12-102) и (12-103) следует, что
U* = °iTL (Р*,)> (12-Ю4)
или с учетом (12-100)
xL(p„>=2(i+^)[i„(,-£g-)+
+1п0+-^-)]- (|2-105>
По этой формуле для заданных величин т|
и п можно вычислить ^п(Рлт), а затем по таблицам рас¬
пределения /2п (а) найти соответствующее значение аргу¬
мента, т. е. вероятность Рлт ложной тревоги.
268
Рассмотрим теперь случай наличия сигнала.
При наличии сигнала вероятность выполнения неравен¬
ства (12-95) есть вероятность Рпо правильного обнаружения
сигнала, т. е.
где величина у, определяемая соотношением (12-96),
является теперь суммой шума и сигнала (пачки импуль¬
сов).
■Примем для конкретности, что амплитуда импульсов
сигнала распределена по закону Релея.
Фаза этих импульсов была принята выше случайной
и .равновероятной. Таким образом, рассматриваемый
сигнал имеет для каждого импульса случайную равно¬
вероятную фазу и случайную амплитуду, распределен¬
ную по закону Релея. При этом для различных импуль¬
сов пачки значения амплитуды и фазы статистически
независимы. Это означает, что мгновенные значения на¬
пряжения сигнала в моменты U+x имеют нормальный
•закон распределения, т. е. такой же закон распределе¬
ния, качк и шум. При ©том сумма сигнала и шума также
имеет нормальный закон распределения.
Поэтому при наличии сигнала закон распределения
слагаемых Х{ и У,-, входящих в выражение (12-98),
а следовательно, и закон распределения величины у
остается таким же, как и ири наличии одного только
шума. Однако дисперсия о2, определяется теперь не
выражением (12-100), а увеличивается за счет действия
сигнала в ц2 раз, где в соответствии с (0-78)
Поэтому при наличии сигнала вместо (12-100) имеет
место выражение
Так как при наличии сигнала величина у имеет такое
же распределение, как и при его отсутствии, то остается
справедливой формула (12-102)
P(lf>U^ = PM=l-P^
(12-106)
(12-107)
269
С другой стороны, как • отмечалось выше, при наличии
сигнала ■ /
Р(У>и,)^Рп.0-
Из сопоставления этого выражения с (12-102) имеем:
°xl(Pn,) = U»-
Учитывая (12-97) и (12-107), получаем окончательно:
{'+Ь)
+ (12-108)
П - ж Я(°> Qcp
По этой формуле для заданных if р—и п можно
.г (С.) Jyо
вычислить величину У%П(РП0) и затем по таблицам распре:
деления у‘!1п (а) найти соответствующее значение аргумента,
т. е. величину Рпо,
Если априорные вероятности Р(0) и Р (С) неизвестны,
то приходится задаваться величинами Рлт и Рпо. При этом,
как следует из (12-107) и (12-108), требуемая энергия сиг¬
нала определяется соотношением
Qcp
-1гг- = П
У-2п (^л.т) j
(12-109)
Цп(Ри.о)
Пользуясь таблицами распределения у^п{а), по формуле
(12-109) нетрудно определить отношение сигнала к шуму
-тр-, требуемое для обеспечения заданных вероятностей
Ря т и Яцр при данном числе импульсов п.
Распределение yj2n (а) даже в наиболее полных таблицах
дается лишь для п < 50. Однако для больших значений п
можно аппроксимировать распределение величины у [фор¬
мула (12-96)] нормальным распределением, подобно тому,
270
как это было сделано в*§ 12-6. Тогда вместо (12-109) по¬
лучается соотношение
Это выражение совпадает с соответствующим выраже¬
нием (12-48), полученным в § 12-6 для сигнала с извест¬
ной амплитудой, за исключением того, что вместо энергии
сигнала Q входит средней статистическое значение этой
энергии Qcp.
Величины ах и а2 по-прежнему определяются формула¬
ми (12-45).
Каплан получил для больших значений п несколько бо¬
лее точное выражение [Л. 16], аппроксимируя распределе-
ние у22п не нормальным распределением, а разложением
в степенной ряд по нормально распределенной величине. При
этом вместо (12-110) получается следующее более точное
выражение:
где ах и а2 имеют прежние значения.
При достаточно больших значениях п выражение (12-111)
совпадает, как и следовало ожидать, с (12-110).
Формула (12-111) достаточно точна уже при
По формулам (12-109) и (12-111) построены кривые
приведенные на рис. 12-9.
Найдем теперь проигрыш определяемый соотноше¬
нием (12-85), в котором Q' есть значение Qcp, имеющее
место при /1=1 и определяемое формулой (9-84).
Из формул (12-109) и (9-84) следует, что
ж (otj -[- а2) |/п, при п > 1. (12-110)
(12-111)
15 — 20.
Рис. 12-9.
При 15-4-20 в соответствии с формулами (9-84) и
(12-111) получается:
__ ал + 2а«
(®i + аг) V п Н з
In
In*
(12-113)
при Рлт<0,1 и />пр<0,1 можно в соответствии с (12-45)
полагать:
а^]/'
2 In -5- 2,8;
2 In ■
■2,8 .
пр
(12-45)
Наконец, если «>1, Ял.т^1 и /*^<1. из (12-113)
и (12-45) получается:
пр
(/21n^+/21n^
(12-114)
In ■
272
По формулам (12-109) — (12-114) или по кривым
рис. 12-9 можно построить кривые, изображенные на
рис. 12-10.
Из приведенных выше формул и кривых рис. 12-9
и 12-10 можно сделать следующие основные выводы:
1. В рассматриваемом случае независимо флуктуи¬
рующих импульсов зависимость требуемой энергии сиг¬
нала от числа имоульсов п имеет (при Рп.о^ 0,5) мини¬
мум ори некотором оптимальном числе импульсов «опт-
2. Величина п0Пт мало зависит от допустимой ве¬
роятности ложной тревоги Рл.т, но существенно зависит
от допустимой вероятности правильного обнаруже¬
ния Ра.о, увеличиваясь при возрастании вероятно¬
сти Рп.о. Так, например, при Рп.о=0,9 оолучается
«опт ^5; если же Рп.о = 0,99, то Попт^Ю.
. 3. Выигрыш, имеющий‘место при п=п0пт, по сравне¬
нию с п=< 1 возрастает при уменьшении вероятностей
ошибок Рпр и Рл.т и особенно резко зависит от вероят¬
ности Рпр. Так, например, если ори РПр=0,1 и Рл.т = 10-3
максимальный выигрыш равен 4,2 <36, то при Рпр=0,01
и Рл.т=Ю-6 он достигает уже 115 дб.
4. Из сравнения соотношений (12-48) и (12-110) сле¬
дует, что при п 1 средняя энергия, требуемая для
обнаружения пачки с независимо флуктуирующими
амплитудами, равняется энергии, требуемой для столь
же надежного обнаружения пачки с известными ампли¬
тудами.
18 л. с. Гуткин 273
Рис. 12-10.
Если же п='1, то в случае флуктуирующей амплиту¬
ды для надежного обнаружения (Рл.т< 0,1 и РПр < 0,1)
требуется значительно большая энергия сигнала, чем
в случае известной амплитуды.
Из предыдущих пунктов следует, что при высоких
требованиях к надежности обнаружения флуктуирую¬
щего сигнала (при малых Рпр и Рл.т) можно получить
существенный выигрыш в требуемой энергии сигнала,
если разбить непрерывный (одноимпульсный) сигнал
на п достаточно разнесенных по времени (или по часто¬
те заполнения) импульсов, так чтобы флуктуации сосед¬
них импульсов можно было считать статистически не¬
зависимыми. При этом желательно выбирать /г?»«Опт-
Возможность получения выигрыша в требуемой
энергии при этом обусловлена тем, что вероятность «за¬
мирания» (уменьшения амплитуды) одновременно
всех п импульсов рачки оказывается значительно мень-.
шей, чем вероятность столь же глубокого замирания
одноим'пульсного сигнала.
Приведенный выше анализ относился к случаю про¬
стого бинарного обнаружения. При одновременном
обнаружении и распознавании т возможных пачек (или
в случае m-канальной приемной системы) применимы
метод и основные результаты, изложенные в предыду¬
щей главе.
В частности, в случае т ортогональных равновероят¬
ных пачек с одинаковыми средними 'энергиями и при
малых вероятностях ошибок (Рл.т^0,1 и Рпр < 0,1),
требуемая средняя энергия QCp пачки определяется по
формулам (или по кривым) простого бинарного обна-
р
ружения, если заменить Рл.т на . -_•!
Так, например, формулы (12-109) и (<12-111) прини¬
мают вид:
m
(12-115)
При п~з* 15-5-20
(11-116)
274
где (при .Рл.т<0,1 и Япр<0,1)
at 2In--!—\-2lnm — 2,8 ;
* Тт ^
Л.т
“■=i/ 21п'^_2'8 •
12-9. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ К ИМПУЛЬСНОМУ
РАДИОЛОКАТОРУ КРУГОВОГО ОБЗОРА
Радиолокатор кругового обзора должен обнаружи¬
вать в окружающем пространстве цели (например, само¬
леты) и в случае обнаружения указывать координаты
этих целей — азимуты и дальности.
Эта задача решается путем вращения по азимуту
узкой диаграммы направленности антенной системыв и
периодического облучения цели короткими импульсами.
Момент прихода отраженного от цели импульса служит
мерой дальности до цели, а азимут оси диаграммы на¬
правленности в момент inp-ихода этого импульса прини¬
мается за азимут цели.
Разрешающая способность большинства современ¬
ных радиолокаторов кругового обзора такова, что они
позволяют одновременно и независимо различать при¬
мерно .104—106 целей. Действительно, разрешающая спо¬
собность по азимуту, определяемая шириной диаграммы
направленности (по азимуту), составляет обычно 1—3°.
Разрешающая способность по дальности определяется
длительностью импульса (при отсутствии модуляции
внутри импульса) и составляет обычно 100—300 м.
Поэтому число раздельно различаемых элементов про¬
странства по азимуту составляет примерно 100—300,
а по дальности (при дальности действия радиолокатора
100—300 км)—примерно 1000. При этом общее число
раздельно различаемых элементов пространства (ячеек)
равно:
Так как сигналы, соответствующие отдельным ячей¬
кам пространства, не перекрываются во времени, то они
являются ортогональными сигналами. Следовательно,
отдельным ячейкам пространства соответствуют взаимно
/71'^10М03 = 105.
18*
275
ортогональные сигналы и общее число m таких сигналов
равно:
т=т'^10*. (12-117)
Конечно, деление 'пространства на т отдельных ячеек
является приближенным, так как в действительности
обзор по азимуту и по дальности является не дискрет¬
ным, а непрерывным процессом. Однако из приведенных
выше формул [(12-87), (12-116) и др.] видно, что требуе¬
мая энергия сигнала сравнительно мало зависит от т,
так что изменение т от 105 до 104 или до 10б требует
изменения энергии сигнала менее, чем на 1 дб. Поэто¬
му некоторая неточность в определении т, возникающая
при дискретизации процесса обзора, является вполне
допустимой.
Таким образом, можно полагать, что задача радио-
лбкатора кругового обзора состоит в том, чтобы устано¬
вить, в каких из т ячеек пространства цели имеются
и в каких они отсутствуют.
Примем для простоты, что одновременно цель может
присутствовать лишь в одной из ячеек. Это означает, что
на входе радиолокатора может одновременно присут¬
ствовать лишь один из т возможных ортогональных
сигналов, и радиолокатор должен «решить», есть ©тот
сигнал на входе или нет и, если имеется, то какой имен¬
но. Таким образом, в рассматриваемом случае задача
сводится к обнаружению и распознаванию /л возмож¬
ных ортогональных сигналов.
Будем полагать, что .радиальные скорости возмож¬
ных целей равны нулю или достаточно малы, так что
частота сигнала, отраженного от цели, может пола¬
гаться известной точно. Амплитуды отраженных от цели
импульсов будем полагать распределенными по закону
Релея, а фазы высокочастотного заполнения — случай¬
ными и равновероятными.
Пусть обнаружение производится за один обзор (т. е.
за один проход антенны мимо цели), и отраженный от
цели сигнал состоит из п импульсов, с периодом повто¬
рения Ти, много'большим длительности импульса т.
Будем полагать, что внутри каждой пачки из гг
импульсов амплитуды импульсов одинаковы и изменяют¬
ся (по закону Релея) лишь при переходе от одной
пачки к другой, т. е. от одного обзора к другому. Это
276
означает, что сигнал МоЖет рассматриваться как ДруэК*
но флуктуирующий, и к нему применимы результаты,
приведенные в § '12*7.
Пусть Рл.т < 0,1 и Рпр< 0,1. Тогда можно восполь¬
зоваться формулами (12-87) и (12-88).
Формула (i^-W) определяет среднюю энергию сиг¬
нала, необходимую для обнаружения и распознавания
сигналов с вероятностями ложной тревоги и пропуска,
равными Рл.т и Рпр соответственно. При этом вероят¬
ность Риск искажения, т. е. неправильного указания но¬
мера ячейки, в которой находится цель (в случаях, когда
цель в какой-то из ячеек имеется), определяется соотно¬
шением (11-30), а именно:
р <р <р +(\—Цр .
пр J иск пр I I т J л.т
Так как в рассматриваемом случае т^> 1, можно полагать
Р <Р<Р +Р„Т. (12-118)
пр ИСК пр I Л.Т v '
Будем далее полагать, как это обычно имеет место, что
РЛ,<Рпр* Т0ГДа
Л,ск~Л,р- О2-1*9)
Определение по формуле (12-87) требуемой энергии сиг¬
нала для нескольких комбинаций величин Рлт, Рпр и п
дает следующие результаты:
1. т —108'; Рпр=0,1; Рлт=10-2; я= 16;
4^=330.
2. tn— 105; Р =0,1; Рлт=10-6; «=16;
1 пр 77 Л.Т 1 7
^=430.
3. т— 10е; Рпр = 0,1; Рлт=10-5; л = 16:
^ср
N,
4. т= 104; Рпр = 0,1; Рлт=10-5; «=16;
=470.
■^=400.
277
В рассмотренных случаях 'проигрыш г\\ за счет неко-
герентности .имшульсов, определенный -по формуле
(12-88), находится в пределах 2,7—3,2 дб, т. е. сравни¬
тельно невелик. В действительности он должен быть еще
меньше, так как формула (il2-88) при промежуточных
значениях п дает несколько завышенный результат.
Из приведенных выше четырех численных примеров
видно, что изменения величин Рл.т и гп даже в десятки
раз не вызывают существенного изменения в требуемо-й
энергии сигнала. Поэтому можно считать достаточно
типичным для радиолокатора кругового обзора следую¬
щее значение требуемой средней энергии сигнала ('При
Рпр=<0,1 и я^16):
%Г = ^=25-
Такие результаты соответствуют оптимальной
системе обнаружения и распознавания сигналов. Однако
в реальном радиолокаторе с электронно-лучевым инди¬
катором кругового обзора удается получить почти
столь же хорошие результаты. Это объясняется тем, что
структура и режим работы такого радиолокатора близ¬
ки к оптимальным.
Действительно, оптимальная система обнаружения
и распознавания в соответствии с рис. 11-1 должна со¬
стоять из т приемников Яь Я2,..., Пт, вычисляющих
обратные вероятности пачечных сигналов щ, u2l...iumt
схемы выбора СВ наибольшего из выходных напряже¬
ний этих приемников и шорогового смещения С/0.
Структура каждого из этих приемников Пи должна
иметь вид, изображенный на рис. 1'2-2 (за исключением
того, что на выходе каждого такого приемника смеще¬
ние Uo должно отсутствовать), т. е. содержать опти¬
мальный линейный фильтр, согласованный с одиночным
импульсом сигнала, детектор огибающей Д и систему
суммирования п импульсов лачки.
Детекторная характеристика детектора Д для малых
отношений сигнал/шум должна быть квадратичной,
а для больших отношений — линейной [(см. 12-78) и
(12-79)].
В рассматриваемом случае, когда все возможные
импульсы сигнала не перекрываются во времени и
имеют одинаковые частоты заполнения, в схеме рис. 11-1
278
вместо т приемников можно применить один приемник
аналогично тому, как это было сделано в схеме рис. 10-4.
При этом оптимальная система обнаружения и распоз¬
навания принимает вид, изображенный на рис. 12-11.
Оптимальный фильтр согласован с одиночным
импульсом сигнала. Детектор Д имеет характеристику,
квадратичную для малых отношений сигнал/шум и ли¬
нейную для больших отношений. В блоке суммирования
и задержки производятся суммирование п импульсов
каждой пачки и выдача суммарных напряжений
> Um каждой пачки (с соответствующими задержка¬
ми во времени). Хронизатор обеспечивает включение
оптимального фильтра на время действия ожидаемых
импульсов сигнала и получение соответствующих задер¬
жек во времени в блоке суммирования и задержки.
В реальном радиоприемном устройстве вместо опти¬
мального линейного фильтра применяется УВЧ, у кото¬
рого полоса пропускания согласована с длительностью т
импульса сигнала. Как было указано выше, такой квази¬
оптимальный фильтр весьма близок к оптимальному.
В качестве детектора Д применяется обычный диод¬
ный детектор, детекторная характеристика которого
также весьма близка к оптимальной.
Роль сумматора импульсов с соответствующими за¬
держками во времени выполняет электронно-лучевой
индикатор с большим временем послесвечения. Площадь
экрана индикатора обычно в 104—Ю5 раз превышает
площадь светового пятна и позволяет почти пол¬
ностью реализовать разрешающую способность радио¬
локатора и получить т разрешаемых элементов (ячеек),
где т^Ю5.
В рассматриваемом случае обнаружения и распозна¬
вания цели за один обзор оператор принимает решение
о наличии цели в том месте экрана, в котором наблю¬
дается наиболее яркая вспышка, и лишь в том случае,
если эта наиболее яркая вспышка имеет достаточно
большую яркость, т. ё. превышает некоторый порог
яркости, интуитивно установленный оператором на осно¬
вании своего опыта и априорных сведений. Если же
наиболее яркая вспышка имеет яркость, меньшую этого
порога, оператор принимает решение о том, что отметки
от цели ни в каком месте экрана нет. Такой способ дей¬
ствия эквивалентен выбору схемой СВ наибольшего
279
значения и сравнению его с порогом Uo в оптимальной
системе рис. 12-11. Следовательно, структура и режим
работы реального радиолокатора с индикатором круго-
Рис. 12-11.
вого обзора в рассматриваемом случае действительно
близки к оптимальным.
12-10. ОСОБЕННОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ
СИГНАЛОВ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
Весь приведенный выше анализ обнаружения и рас¬
познавания сигналов был выполнен для помехи в виде
нормального белого шума.
Соответствующие результаты для нормального небе¬
лого шума впервые были 'получены С. Е. Фальковичем
(Л. 5] методом приведения небелого шума к белому, из¬
ложенным в гл. 3.
Пусть 5(/ю) и Яш (со)—комплексный спектр сигна¬
ла uc(t) и энергетический спектр помехи um(t) (небело¬
го шума) соответственно. Тогда оптимальный приемник
состоит (рис. 3-1) из корректирующего линейного
четырехполюсника с коэффициентом передачи /Ci (/со) и
■приемника П', оптимального для белого шума со
спектральной плотностью N0 и преобразованного сигна¬
ла и'c('t) со спектром S'(ja).
Здесь
I*1 (/U))l2=I^r: j (12-120)
S’ (fa)=Kt (fa) S (fa), J
где b — произвольная константа.
Рассмотрим задачу обнаружения и распознавания т
равновероятных ортогональных сигналов ui(t),..., um(t)
с одинаковыми энергиями, равными Q. Тогда преобра-
280
зованные сигналы u'm(t) также будут иметь т
равновероятных значений с одинаковыми энергиями Q'.
Будем полагать спектры S{ja>) и £ш(«>) такими, что
•преобразованные сигналы u'i{t) u'm(t) сохраняют
свойство ортогональности (в большинстве реальных слу¬
чаев это допущение оправдывается). Тогда задача сво¬
дится к отысканию приемника П', оптимального для
обнаружения и распознавания т равновероятных орто¬
гональных сигналов с одинаковыми энергиями Q' на
фоне нормального белого шума со спектральной плот¬
ностью А^о-
Решение этой задачи дано в предыдущих главах и сво¬
дится (в новых обозначениях) к следующим основным по¬
ложениям:
1. Вероятности ошибок обнаружения (Яиск, Рл т и Рпр)
при данных значениях тип (п—число импульсов в па¬
кете) зависят исключительно от энергетического отноше-
Q' г>
ния сигнала к шуму, т. е. в данном случае от . В слу¬
чае флуктуирующих сигналов под энергией Q' следует
понимать среднее статистическое значение этой энергии,
т. е. заменять Q' на Q'p = Q\
2. Оптимальная система ГГ в общем случае состоит
из т оптимальных приемников П\ ,..., Пт (рис. 11-1),
каждый из которых на своем входе имеет оптимальный
линейный фильтр, согласованный с сигналом uk (t).
Будем обозначать коэффициент передачи такого фильтра-
3. Случай обнаружения и распознавания т ортогональ¬
ных сигналов эквивалентен случаю обнаружения и распо¬
знавания одного сигнала в /я-канальной системе с незави¬
симыми шумами (рис. 11-5). При этом оптимальная струк¬
тура каналов совпадает с оптимальной структурой прием¬
ников П\ ,..., П 'т в системе рис. 11-1.
Таким образом, применительно к рассматриваемому случаю
нам полностью известны структуры оптимального прием¬
ника /7' (рис. 3-1,6) и требуемое энергетическое отношение
QcP\
или ^ сигнала к шуму на входе этого приемника,
т. е. в точках cd.
281
Оптимальная система в целом Содержит, Кроме Прием¬
ника ГГ, корректирующий линейный четырехполюсник
с коэффициентом передачи Ki (/«>). Так как приемник ГГ
содержит на своем входе согласованные линейные фильтры
с коэффициентами передачи Кк (/<»), то действие корректи¬
рующего четырехполюсника можно учесть, если полагать,
что оптимальная система в целом содержит на входе ли¬
нейные фильтры с коэффициентами передачи
** (/'») = *! (/«)**(/«>). (12-121)
где К'к (/«>) — коэффициент передачи фильтра, оптималь¬
ного для преобразованного сигнала, при белом шуме.
Из (3-5) следует, что
К k (М = aS'k '(1т) еч*\ (12-122)
где S’k (/to) — спектр преобразованного сигнала и а — про¬
извольная константа.
Из (12-120)—(12-122) следует, что
к*(/св)=а' е~>Ы°' (12'123)
где Sk(ja>) — спектр исходного сигнала uk(t) и аг — про¬
извольная константа.
Из (12-123) следует, что
1Д’*(/М)| = а1^^- (12‘123а)
Формулы (12-122) и (12-123) совпадают с соответ¬
ствующими формулами (3-5) и (3-8), полученными
в гл. 3 для линейного фильтра, дающего на выходе
максимальное отношение сигнал/шум при небелом шуме.
Следовательно, оптимальная система обнаружения и
распознавания сигналов п.'ри небелом шуме отличается
от соответствующей системы при белом шуме лишь тем,
что стоящие на ее входе линейные фильтры должны да¬
вать максимальное отношение сигнал/шум при небе-
282
лом шуме, т. е. иметь коэффициенты передачи, опреде¬
ляемые формулой (12-123), а не (2-30).
Определим теперь отношение сигнал/шум, требуемое
для обнаружения и распознавания с заданными вероят¬
ностями ошибок.
Как указывалось выше, для обеспечения заданных ве¬
роятностей ошибок необходимо, чтобы в точках ей (рис. 3-1,6)
энергетическое отношение сигнала к шуму было равно
или -тр-), где j-.— требуемое отношение сигнал/шум при
^0 / N 0
белом шуме. .
Поэтому для решения задачи нужно найти связь
между энергетическими отношениями сигнала к шуму
яа входе и выходе корректирующего четырехполюсника
с коэффициентом передачи Ki(}<s>).
Пусть
»—cfer <12-124>
есть энергетическое отношение сигнала к шуму на- входе
системы.
Здесь величина
00
Q = i J|S(/«)I**> (12-125)
—00
есть энергия сигнала uk(t) на входе системы (так как
все сигналы полагаются имеющими одинаковую энер¬
гию, то индекс к в дальнейшем опускается), а £ш((оо) —
значение энергетического спектра помехи ёГш(со) при не¬
которой фиксированной частоте соо. Обычно удобно ,(iho
не обязательно) выбирать в качестве оо центральную
частоту спектра сигнала.
Для энергии Q' преобразованного сигнала в гл. 3
было получено выражение
” <3-13>
—00
Здесь спектр помехи (да) полагается простирающимся
по частоте от —оо до оо, т. е. содержащим как положи¬
тельные, так и отрицательные частоты.
Ш
Энергетический спектр помехи g^(rJ>) на выходе коррек¬
тирующего четырехполюсника (т. е. спектр белого шума)
равен:
Средний квадрат напряжения белого шума в пределах
полосы частот Д/ равен:
Здесь N0 — спектральная плотность белого шума, опре- .
деленная в предположении, что спектр шума не имеет
отрицательных частот.
Здесь множитель 4я получился вследствие того, что
в отличие от N0 плотность gm((Oo) определена для круго¬
вых частот и в предположении, что gm(—соо) =£ш(<до)-
Более удобное выражение получится, если спектр
помехи характеризовать не функцией £ш((д), а энергети¬
ческим опектром Gm(f), не содержащим отрицательных
частот.
Тогда вместо (12-1'28) получается:
ёшМ = 8ш(*)\Кги»)Г=Ь. (12-126)
и*шц = 2ЬЬ* = 4жЬЩ-,
поэтому
(12-127)
Из' (12-125)—(12-127) следует, что
ОО
(12-128)
_2_=u«L
Gm(h) >
(12-129)
284
где
\\S(j2nf)\>df
(Х =
(12-130)
Формула (12-129) дает связь между энергетическим
отношением г , требуемым в случае небелого шума
"Г о)
Q'
со спектром Gm (/), и соответствующим отношением jf-
О
для белого шума, которое было определено в предыдущих
главах (в случае флуктуирующих сигналов вместо Q и Q*
входят Qcp и Q'p).
Следовательно, множитель р показывает, во сколько
раз изменяется требуемое энергетическое отношение сигнала
к шуму на входе системы при замене белого шума не¬
белым.
Так, например, в случае небелого шума формула (12-87)
принимает следующий вид:
In
-j- In tti —|—
Qcp , l Г
+ (Vn— 1)1/2 ln^ )-21n/reJ, (12-131)
где ji. определяется по формуле (12-30).
В качестве иллюстрации рассмотрим тот же пример,
что и в гл. 3, а именно предположим, что спектры сиг¬
нала и помехи на входе системы имеют вид:
(f-hf \
2П2
|S(/2*/)|*=s;* с;
2/72
(f) = Gm(fo)e ш.
(12-132)
285
Подстановка этих соотношений в формулы (12-129)
и (12-130) дает:.
(12'133)
I я,„
В гл. 3 было выяснено, что для спектров сигнала и по¬
мехи вида (12-132) оптимальная система оказывается близ¬
кой к физически реализуемой лишь при выполнении усло¬
вия (3-12).
• Поэтому формула (12-133) имеет смысл также лишь
при выполнении условия
<12-134>
* ш
Из формулы (12-133) следует, что при ^->2-*-3 по-
Q Q'
лучается ж .
Gm (f о) N о
Это означает, что, если у помехи ширина энергети¬
ческого спектра хотя бы в 2—3 раза больше, чем у сиг¬
нала, то при обнаружении и распознавании ортогональ¬
ных сигналов такая помеха действует практически так
же, как белый шум.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ИЗМЕРЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
СИГНАЛА
13-1. ИЗМЕРЕНИЕ АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Пусть
у(9=«в*(0+“ш(0. (13-1)
где
“«.* (0 = 0 COS И+ 9)
-286
есть сигнал, амплитуду а которого требуется измерить.
При этом частота ш полагается известной,-а начальная
фаза f случайной и равновероятной, т. е.
при <р=о-^2я;
Р (<р) = 0 вне этих пределов.
(13-2)
Амплитуда а имеет известное априорное распределе¬
ние Р{<а).
Амплитуда а и фаза <р полагаются непрерывными
случайными величинами, т. е. в течение интервала на¬
блюдения (О, Т) они постоянны, а от одного интерва¬
ла к другому изменяются с указанными плотностями
вероятностей Р(а) и Р(<р) соответственно.
Задача измерения амплитуды состоит, очевидно,
в том, чтобы на основе анализа реализации y(t) решить,
какое значение имела амплитуда а в течение данного
интервала наблюдения (О, Т). Для этого в соответствии
с изложенным в гл. 8 методом обратной вероятности
требуется вычислить распределение Ру(а).
Для рассматриваемого случая распределение Ру(\а)
было вычислено в § 9-1 и определяется формулой (9-15).
В том же параграфе был рассмотрен вопрос о структуре
оптимального приемника, вычисляющего распределение
(9-15) или (9- 15а).
Особенно простые и наглядные результаты получают¬
ся, если предположить априорное распределение Р(а)
равномерным, а отношение сигнал/шум достаточно боль¬
шим. Поэтому рассмотрим этот случай 'более подробно.
При равномерном априорном распределении ампли¬
туд формула (9-15) принимает вид:
(13-3)
где k3 — постоянный нормировочный коэффициент.
Полагая
da
287
найдем наивероятнейшее значение ау н амплитуды а, соот¬
ветствующее максимуму кривой Ру(а)\
l4/VI)
Ш _
f ^ау \
Л лг, )
где 10 (г) и I, (г) — модифицированные функции Бесселя
(мнимого аргумента /г).
Уравнение (13-4) является трансцендентным j однако
при большом отношении сигнал/шум можно полагать, учи¬
тывая свойства бесселевых функций 10(г) и I(z), что
■.га
«,.=4"- <|3-5>
Кроме того, при большом отношении сигнал/шум можно
полагать
2аМ
N0
■е (13*6)
\N° I I/ „ 2аМ v ’
так как при
V
'•(г>=К5Г <13'7»
Учитывая соотношения (13-5) и (13-6) и условие нор¬
мировки
00
^Py(a)da = l,
о
можно привести выражение (13-3) к следующему виду,
«справедливому при большом отношении сигнал/шум:
п / _\ I/ Т - 2^" (а аУн)а /1 о й\
Ру(а) У 2nN9 ’ (13-8)
288
Если амплитуда а модулирована сообщением х по за¬
кону
а = ий(\ + Мх), (13-9)
где величина и0 известна точно, то, производя в (13-8)
замену переменного а на х, получим:
/Ь ^ (•* ^ и н)*
4-е ", (13-10)
где хун — наивероятнейшее значение сообщения х, и
6=^; Q0 = ^f. (13-11)
Сравнивая формулы (13-10) и (|13-М) с соответ¬
ствующими формулами (6-12) и (6-22), полученными во
II части книги для сигнала, известного точно, нетрудно
убедиться в их индентичности. Следовательно, при боль¬
шом отношении сигнал/шум распределение Ру(х) полу¬
чается для AM сигнала со случайной фазой таким же,
как для AM сигнала, известного точно.
Оптимальный приемник воспроизводит сообщение х
исключительно на основе анализа распределения Ру(х).
Поэтому помехоустойчивость при приеме AM сигнала со
случайной фазой получается такой же, как при приеме
сигнала, известного точно, если отношение сигнал/шум
велико. Ошибка в воспроизведешш сообщения х при
этом описывается теми же формулами (6-17) и (6-22).
Следовательно, при большом отношении сигнал/шум
случайность фазьи <р высокочастотного заполнения сигна¬
ла не приводит к ухудшению воспроизведения сообщения.
Если отношение сигнал/шум не велико, то анализ
получается значительно более громоздким. Он показы¬
вает, что чем меньше ©то отношение, тем к большему
ухудшению помехоустойчивости приводит случайность
фазы.
Из формулы (13-5) следует, что при большом отно¬
шении сигнал/шум напряжение y на выходе оптималь¬
ного приемника, действующего по принципу максималь¬
ной обратной вероятности, т. е. по принципу
19 Л С. Гуткин
Т=а,„*
289
определяется весьма простым соотношением
Y = const М,
(13-12)
где М — огибающая напряжения (в момент Т) на выхо¬
де оптимального линейного фильтра. Следовательно,
в рассматриваемом случае оптимальный приемник со¬
стоит из оптимального линейного фильтра и линейного
амплитудного детектора (рис. 9-2).'
iB § 2-4 было показано, что если й течение каждого
интервала наблюдения (О, Т) приходит лишь один
импульс сигнала, то оптимальный линейный фильтр
может быть заменен почти без потерь обычным полосо¬
вым усилителем (например, обычным усилителем проме¬
жуточной частоты) с оптимальной полосой пропускания.
В этом случае оптимальный приемник сводится к обыч¬
ному приемнику AM сигналов, содержащему полосовой
усилитель и линейный амплитудный детектор.
Как уже отмечалось выше, средний квадрат ошибки
в воспроизведении нормированного сообщения х при
большом отношении сигнал/шум определяется по-преж¬
нему формулами (6-17) и (6-22), из которых сле¬
дует, что
Найдем теперь средний квадрат ошибки измерения
амплитуды, т. е. величину (Да2), где
(здесь, как и ранее, предполагается, что оптимальный
приемник действует по принципу максимальной плотности
обратной вероятности).
290
(13-13)
где
есть удельная энергия сигнала при ;с = 0, а
(13-14)
Аа=ауи-а
(13-15)
Из соотношений (13-9), (13-14) и (13-15) следует, что
(Щг = и20МЧ* (13-16)
или с учетом формулы (13-13)
(13-16а)
т. е. средний квадрат ошибки измерения амплитуды зави¬
сит только от удельной энергии шума на единицу полосы,
N0, и времени наблюдения Т.
J3-2. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА т ПРИХОДА ИМПУЛЬСНОГО
СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ
Пусть
y(t)=a(t — т) cos (mt -|_«р)-|_ы (t),
(13-17)
где a (t — х) — огибающая импульсного сигнала, известная
точно, за исключением временнбго сдвига т, подлежащего
измерению.
Так как сигнал полагается импульсным (рис. 13-1), то
a(t — x)= 0, )
если или t^>%-f
(13-18)
где ти — известная длительность импульса сигнала.
Время наблюдения Т охватывает интервал всех воз¬
можных 'положений импульса сигнала, соответствующих
всем возможным зна¬
чениям измеряемого
сдвига х.
Частота со полагает¬
ся известной, а началь¬
ная фаза — паразит¬
ным случайным пара¬
метром, распределен¬
ным по закону (13-2).
Параметры х >и <р полагаются непрерывными незави¬
симыми случайными величинами, т. е. в течение
интервала наблюдения (О, Т) они постоянны.
19* 291
Рис. 13-1.
Измерение момента т должно ‘производиться «а осно¬
ве анализа распределения Ру(т).Йз (8-10) и (13-17) сле¬
дует, что
о
— a (t — х) cos (ш t -)- <p)]aeftj.
Учитывая (8-4), (8-6) и (8-8), имеем:
2гс 2 л
РгЛХ)=$‘Ру(* ’V d<? = IkP W Р (?) X
О о
2л:
X P^(y)df = klP (x)jx
О
т
— Iv7 '')cosJ (®<+T) dt
Хе 0 (13-19)
где Р(х)— априорное распределение параметра х,
г
т] О®. ?) = jV (t) a (t — х) cos (ю* + ср) Л, (13-20)
о
a kx — нормирующая константа.
Так как интервал (0, Т) включает все возможные по¬
ложения импульса сигнала, то
г
—*) аде* (■* + ?) <ff = Q, (13-21)
о
где Q не зависит от х.
Поэтому из (13-19) имеем:
Ру М = КР (*)[е**Чъ (3-22)
о
где — константа, определяемая из условия нормировки,
292
Из (13-18) и (13-20) следует, что
т+т„
т)(х> I* У (0 a, (t — х) cos (ю/ -(- <р) dt. (13-23)
Это выражение нетрудно привести к следующему виду;
?)=]Г М1 ^cos
(13-24)
где
Т + ТИ
X, = j y(i)a{t — х) cos u>t dt;
*
T + T„
Yx = ^ y(t)a(t — x)sin*tdt.
x
Подставляя (13-24) в (13-22), получаем':
(13-25)
(13-26)
где k3 — константа, определяемая из условия нормировки.
Из (13-23) и (13-24) следует, что М1 (т) есть огибаю-
N
щая по <р колебания -^-^(х, <р), т. е. колебания
т+т„
£(х» ?)= J y(t)tt(t — х) COS (<ot -\-<f)dt, (13-27)
X
рассматриваемого как функция фазы ф.
Докажем, что функция ? (х, <р) может быть получена
пропусканием колебания y(t) через оптимальный линейный
фильтр, согласованный с сигналом.
При подаче на вход линейной системы колебания y(t)
напряжение на ее выходе равно:
ОО
ивы* (*) = £< \y(z)l(t — z)dz,
293
где k4 — произвольная константа, a -q(t) — импульсная ха¬
рактеристика линейной системы.
В случае оптимального фильтра, согласованного с сиг¬
налом uc(t),
— О-
Так как в рассматриваемом случае сигнал исчезает при
t = х —f- хя, то выбираем:
1о = ■* + V
тогда
т](0.=«с(х + хи —О
И
t
UBUx(0 = ^J */(2)«с(х + Хн — t + z)dz.
—00
Так как сигнал отсутствует при t (рис. 13-1), то
uc(t) = 0 при t<х и ис(х-|-хи— t-\-z) = 0 при x-j-
-|-хн —г-<х, т. е. при 2<^ —хи; поэтому
t
“вьгх (0 = £« J у(2)ис (х + хи — * “Ь 2) ^2-
/—ти
В момент ^ = х-(-хи получается
х+хи
UBb,x(X + \)=A4 5 y(t)uc(t)dt =
ч
*+ти
= J y(t)a(t — х) cos К + ?) dt.
X
Это выражение ■совпадает (с точностью до постояи-
ного.'множителя) с (13-27). Следовательно, огибающая
{Лпвых(0 напряжения на выходе оптимального фильтра
в момент t=Т+Тц также совпадает (с точностью до по¬
стоянного множителя) с огибающей по ф функции £ (т, <р),
т. е. с величиной- Mi (-ь) (здесь и далее, полагается, что
огибающая напряжения на выходе фильтра существует,
294
т. е. импульс сигнала -содержит по 'меньшей мере не¬
сколько периодов высокочастотного заполнения). Слёд<?'
вательно, «оком а я величина М\ (т), входящая в выраже¬
ние (13-26), действительно пропорциональна значению
огибающей напряжения на выходе оптимального линей¬
ного фильтра в момент £=т+ти, т. е. в момент окончания
импульса сичпнала на входе фильтра (рис. 13-1).
Но 'в гл. 2 было доказано, что к моменту окончания
сигнала на входе оптимального фильтра напряжение на
его выходе достигает максимума. Следовательно, вели¬
чина Afi(t) пропорциональна пиковому значению им¬
пульса на выходе оптимального фильтра ОФ.
Таким образом, основная операция, необходимая для
определения распределения Ру(х) по формуле (13-26) и
состоящая в вычислении функции Afi(t), может быть вы¬
полнена с помощью линейного фильтра, согласованного
с сигналом, и линейного детектора, выделяющего оги¬
бающую выходного напряжения этого фильтра.
Тогда, если напряжение на выходе детектора равно
£/_(*), то
МЛ') = к>1(*-%„), (13-28)
где kt — константа, не зависящая от т.
Дальнейшие операции, необходимые для вычисления
Ру(т) по формуле (13-26), не представляют принципи¬
альных затруднений, так как величина N0 и функция
Р (т) полагаются известными.
Структура оптимального приемника особенно упро¬
щается, еоли полагать априорное распределение Р(т)
равномерным и применять метод максимальной
плотности обратной вероятности, т. е. считать истинным
то значение т, при котором величина Pv(т) максимальна.
В этом случае из (13-26) имеем:
= (13-29)
где ks — константа, определяемая из условия нормировки.
Так как 70(z) является монотонной функцией z, то
при изменениях т максимум плотности обратной вероят¬
ности Ру(т) совпадает с максимумом функции Afi(t).
Поэтому при использовании критерия максимальной
295
плотности обратной вероятности за истин,ное следует
принимать то значение %, параметра т, при котором
функция Mi (г) имеет максимум. При этом оптимальный
приемник сводится к оптимальному линейному фильт¬
ру ОФ, согласованному с сигналам и безынерционному
детектору огибающей Д (рис. 13-2). Так как в данном
случае требуется определять
лишь момент максимума
огибающей, то форма детёк-
Рис.13-2.
Рис. 13-3.
торной характеристики не играет роли —важно лишь,
чтобы эта характеристика была монотонной.
Действительно, пусть в 'некоторый момент /=4р на¬
пряжение U=(t) на выходе детектора имеет наибольшее
значение (рис. 13-3). В этот же момент 4р 'будет .макси¬
мальным и значение напряжения огибающей Umвых (О
на выходе оптимального фильтра. Так как
Ли*) = сошШивых(* + тн), (13-30)
то функция Mt(t) будет максимальна при t = ^кр — хи; сле¬
довательно, наивероятнейшее значение н искомого napai
метра определяется соотношением
* =t — (13-31)
у н кр И ' '
(Здесь, как и ранее, индекс у означает, что для различ¬
ных реализаций y(t) величина наивероятнейшего значе¬
ния параметра также будет различной).
Так как длительность импульса ти полагается изве¬
стной, то для определения величины Хув достаточно опре¬
делить момент /Кр, в который напряжение U=(t) на вы¬
ходе приемника достигает наибольшего значения
(рис. 13-3).
Таким образом, при принятых допущениях измерение
момента т прихода импульса «а ©ход приемника сво¬
дится к определению момента 4р, в 'который напряже-
296
ние U=(t) на выходе приемника достигает наибольшего
значения.
Как уже отмечалось выше, критерий 'максимальной
плотности обратной вероятности в общем случае не яв¬
ляется наилучшим, в частности, не обеспечивает наи¬
меньшей среднеквадратичной ошибки измерения. Однако
ниже будет доказано (см. гл. 18), что при большом отно¬
шении сигнал/шум, т. е. при требовании высокой точ¬
ности измерения, этот критерий является наилучшим.
Поэтому рассмотрим более подробно случай большого
отношения сигнала к шуму. 'При этом в соответствии
с соотношением (13-7) можно полагать:
Так как при большом отношении сигнал/шум показатель
степени экспоненциального множителя много больше еди¬
ницы, этот множитель при изменениях х меняется несрав¬
ненно быстрее, чем выражение, стоящее в знаменателе.
Поэтому можно полагать;
где постоянный множитель ■ kt может быть определен из
условия нормировки.
В соответствии с выражением (13-27), функция (т)
является огибающей по <р функции
где и <р0 — истинные значения параметров т и <р сигнала,
присутствующего на входе в течение данного интервала
наблюдения.
Будем полагать, что
2М, (X)
. N»
2М, (т)
Ру{*) = Ке
(13-32)
5(х, <р)= J у (t) a {t — х) cos (<at -J- <р) dt. (13-27)
Здесь
y(t)=a(t — х0) cos (ш t + Фо) + иш (t), (13-33)
(13-34)
297
т. е. что импульс сигнала содержит .по меньшей мере
несколько периодов высокочастотного заполнения. Тогда
при подстановке выражения (13-33) в (13-27) можно
без нарушения общности результата положить <ро=0.'
Кроме того, лри вычислении |(т, <р) по формулам
(13-27) и (13-33) при достаточно большом отношении
сигнал/шум можно в выражении (13-33) пренебречь вто¬
рым слагаемым. Тогда выражение (13-27) принимает
вид:
5 (t, <р) = | a (t — т0) a (t — т) cos Ы cos (<at -f- f) dt. (13-35)
X
Учитывая неравенство (13-34), нетрудно доказать, что
т-Ии
&(*» Ч>)=[4‘ J аУ — хь)а(* — ,*)<#jcOS<p
X
и, следовательно,.
т+ти
м,{%)=\ j a(t-xl>)a(t — x)dt. (13-36)
х
Так как при большом отношении сигнал/шум погреш¬
ность измерения величины * мала, кривая Ру (т) имеет
существенные значения лишь в той области, где х близко
к -е0, т. е. при малых значениях разности
Ах = х — v (13-37)
поэтому можно полагать:
a(t-x)=a(t-x0) + a'(t-x0)Ax + -L a" (t - т0) (A x)S
(13-38)
где
(13-39)
298
Подставляя эти выражения в (13-36), получаем:
'с+ти
Мг (х) = Q | a(t — *0)a'(t — *0)dt-{-
Ч-ТН
J -а (t — хо) a" (t — т0) dt.
Здесь
<3 = 4- j a'{t-%,)dt
есть энергия сигнала, не зависящая от т.
Но
•«-Ни т+ти
f a(t—T,)af(t—%,)dl = — j a(t — \)x
xti!Lp.Ut =
T+TH
a2 (t t0) ^
о
J a(t — — \)dt =
ч-ь
= j a(t— \)
dla(t — tt)
at*
dt;
производя интегрирование по частям, получаем:
Ч’-'и
T+TH
=0-j [a'(t-*0)Y
dt.
(13-40)
299
С учетом этих результатов выражение (13-40) прини¬
мает вид:
dt;
поэтому формула (13-32) мо?кет быть записана следующим
образом:
PlfCs) = V“B<W. (13-41)
где
х+ти
в=щ j <13-42>
Из условия нормировки следует, что
j ру (*)dx = 1,
0
т. е.
k7\e~B{x~^dz= 1. (13-43)
0
Учитывая, что при большом отношении сигнал/шум мно¬
житель В велик, можно в выражении (13-43) конечные
пределы заменить бесконечными, т. е. положить
k, je“B(T_T")2^=l;
—00
при этом получается
И
Py(') = V (13-44)
Из этой формулы следует, что распределение Ру (т)
является гауссовой кривой, имеющей максимум при т = т0,
300
т. е. при истинном значении измеряемого параметра. Однако
более правильно вместо (13-44) полагать:
где Тун — наивероятнейшее значение {т. е. значение, со¬
ответствующее максимуму кривой Р„(т)], которое близко
к То, но не обязательно точно совпадает с «им.
Действительно, выше указывалось, что оптимальный
приемник выдает на своем выходе напряжение, пропор¬
циональное Ру(т); поэтому в принципе возможно совер¬
шенно точно определить значение хун, соответствующее
максимуму кривой Ру(т). Если бы всегда хун совладало
с То, то это означало бы, что погрешность измерения
всегда равна нулю. Но это противоречит выражению
(13-44), так как из него видно, что распределение Ру (т)
отличается от б-функции и, следовательно, всегда
имеется конечная вероятность тех или иных значений
ошибки измерения.
Такой противоречивый результат получился потому,
что при вычислении М\(т) мы положили в выражении
(13-33) напряжение шума не только малым тю сравне¬
нию с сигналом, но тождественно равным нулю. Это и
привело к тому, что в выражение (13-44) вместо при¬
ближенного значения хт измеряемого параметра вошло
его истинное значение То.
Таким образом, если отношение сигнал/шум велико,
но не равно бесконечности, распределение Ру{т) опреде¬
ляется формулой (13-45), а не (13-44).
Сравним выражение (13-45), полученное для сигнала
со случайной начальной фазой, с соответствующим вы¬
ражением для сигнала, известного точно.
При большом отношении сигнал/шум и сигнале,
известном точно, справедливы соотношения (6-12), т. е.
(13-45)
где
т
(6-12)
О
301
Здесь х — нормированное значение измеряемого дараметра,
т. е.
<в==х0(1 +хт), (13-46)
где
— Кх<1.
Производя в (6-12) замену переменного х на % в соот¬
ветствии с соотношениями (8-1), (8-2) и (13-46), получим:
p,^=V^e~"'
где
&i =
_Lf[<4(0r
'No J
dt.
(13-47)
Рассмотрим сначала такой сигнал ux(t), у которого от т
зависит лишь огибающая, т. е.
u^(t)=a(t — т)cos(wt?), при
(t) = 0, вне этих пределов.
(13-48)
Подставляя (13-48) в (13-47) и полагая, что <оГ> 1,
получим:
Ь1 (т т//н)2
РЛ')=У^е-Ь'"-''
где
*i =
т+ти
2N. ) L * J dU
(13-49)
)
Сравнивая этот результат с соответствующими фор¬
мулами (13-42) и (13-45), полученными выше для та¬
кого же сигнала, но фаза <р которого случайна, убежда¬
емся в их полном' совпадении.
Следовательно, если измеряемый параметр т содер¬
жится только в огибающёй сигнала, и отношение сиг¬
нал/шум велико, точность измерения параметра не зави¬
сит от того, является ли начальная фаза ф сигнала изве-
302
стной точно или эта фаза случайна. Поэтому для среднего
квадрата ошибки 'измерения справедливы формулы
(6-16) и (6-17) и можно полагать:
S* (•* ху*У—26’
(13-50)
Из соотношения (13-46) и рис. 13-1 следует, что при
Т
хи < Т должно быть tmx ж -у; при этом
у2
(Дх)а m -j- 82. (13-50а)
Если огибающая a(t) описывается формулой (6-35), то
справедлива приведенная в гл. 6 формула (6-40), а именно
S2 ^Nt
2*742 ‘
Рассмотрим теперь сигнал вида:
(6-40)
ит (/) = a (t — х) cos [® (t — х) -f- ср] "j
при x</<x-f-xH; 1 (13-51)
ux(t) = 0 вне этих пределов. J
У такого сигнала измеряемой параметр х модулирует
не только амплитуду сигнала, но и его фазу.
Если начальная фаза f случайна и равновероятна в пре¬
делах 0н-2я, то вместо (13-51) можно записать:
ux(t)=a(t — х)cos(а>/-|-<р,) при х < f < хти> (13-52)
где величина <pi = coT+<p также случайна и равновероят¬
на в пределах 0-ь2я.
Следовательно, если фаза <р случайна и равноверо¬
ятна в пределах 0+2я, сигнал вида (13-51) ничем не
отличается от рассмотренного выше сигнала вида
(13-48). Поэтому остается (рассмотреть случай, когда
сигнал вида (13-51) известен точно (за исключением т).
303
При этом, подста»вляя (13-52) в (13-47) и полагая
со Г >1, получим
В соответствии с формулой (13-50) средний квадрат
ошибки равен:
Из формул (13-53) и (13-54) следует, что лутем уве¬
личения частоты со можно, вообще говоря, получить
сколько угодно малую ошибку измерения. Однако прак¬
тическая реализация такой высокой точности может ока¬
заться весьма затруднительной по следующим при¬
чинам:
1. Начальная фаза ф должна быть в месте лриема
известна точно, что .практически в большинстве случаев
не имеет места.
2. Получающееся при увеличении со увеличение точ¬
ности измерения достигается без изменения энергии сиг¬
нала или ширины его спектра. Но Котельниковым было
доказано (см. § 6-3), что в этом случае повышается ми¬
нимальное -отношение сигнал/шум, при котором получен¬
ные результаты еще остаются «справедливыми. Поэтому
практически уменьшение погрешности измерения за счет
повышения частоты со (т. е. за счет уменьшения периода
высокочастотного заполнения сигнала) может быть реа¬
лизовано лишь при весьма больших уровнях входного
•сигнала или при весьма малом уровне шума.
По этим причинам в большинстве 'практически инте¬
ресных случаев минимальная достигаемая погрешность
измерения т определяется формулами (13-49) и (13-50),
а именно:
где
(13-53)
(13-54)
(13-55)
304
Если огибающая импульса описывается формулой (6-35),
т. е. импульс имеет прямоугольный спектр, ограниченный
полосой w = ((o0 — Q) -г- (<а0 £}), то в соответствии
с (13-50а) и (6-40) получается:
W==^=2|fe-- (13-56)
При большом отношении сигнал/шум формулы (13-55)
и (13-56) в равной мере справедливы для сигналов, изве¬
стных точно, и сигналов со случайной начальной фазой.
Иногда формулу (13-55) удобнее записывать в следую¬
щем виде:
(Дхр == , (13-57)
2^Г j 1G2H (/<о)| 2 Ло
—00
где GH (/<о) — комплексный спектр (преобразование Фурье)
огибающей a(t).
Так как энергия сигнала равна
00 00
<2=4-jaa(^=i О3-58)
—00 —00
то формулу (13-57) можно записать также в следующем
виде:
= (13-59)
где
00
j ы*1 Ga (т) Is d<*
• (13-60)
J |0HC/«)|td»
—00
Для рассмотренного выше сигнала с прямоугольным
частотным спектром огибающей в пределах от —О до Q,
получается:
p*=-J-Q*, (13-61)
и формула (13-59) превращается в формулу (13-56).
20 Л. С. Гуткин 305
13-3. ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТОТЫ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ
ФАЗОЙ
Пусть в. интервале наблюдения (О, Т) сигнал имеет вид
ис (t) = a(t)cos(<at(13-62)
где a(t) — известная функция времени;
ш — измеряемый параметр с априорным распределе¬
нием Р(ю);
9 — паразитный случайный параметр с распределением
(13-2).
Производя выкладки, аналогичные приведенным в пре¬
дыдущем параграфе, получим вместо (13-25) — (13-27) сле¬
дующие соотношения:
Ру И=КР (-) 1о р^-]. (13-63)
где kx— нормировочная константа;
M^) = Y X\+Y г
Т
*а= J У (0 a (t) cos Ш t dt; ^ {^ ^
т
Ул — Jу (t) а (t) sin ш t dt,
о
или М2 (<о) есть огибающая по <р колебания
т
(«о, <f)— ^y(t)a (t) cos (u>t -|- <p) dt. (13-65)
о '
Из (13-65) следует, что величина iW2(to) для
каждого значения частоты о пропорциональна значению
огибающей (в момент t=T) колебания на выходе опти¬
мального линейного фильтра, согласованного с сигналом
ис (0=«(0 cos (ю*+ 9).
Отсутствие данных о фазе <р сигнала не является пре¬
пятствием при конструировании этого фильтра, так как
требуется, чтобы фильтр давал на выходе правильное
306
значение лишь огибающей высокочастотного коле¬
бания. Поэтому при конструировании фильтра фазу tp
можно полагать любой, например равной нулю.
Принципиальное затруднение состоит в том, что
функция Ру(а), а следовательно, и функция М2(<о) ‘
должна быть вычислена не для одного значения со, а для
бесконечного множества значений со в пределах от
2я/мин до 2я/Макс, где /мин и /макс 'пределы возможных
изменений частоты / ожидаемого сигнала = •
Так как структура оптимального фильтра существен¬
но зависит от несущей частоты / сигнала, то, строго го¬
воря, требуется набор 'бесконечного числа таких фильт¬
ров. (Если реализация y(i) может быть записана и со¬
хранена «а длительное время, то вместо набора фильтров
можно использовать один фильтр с перестраиваемой
средней частотой / полосы пропускания этого фильтра.)
При измерении амплитуды сигнала улн его запазды¬
вания т подобного принципиального затруднения не воз¬
никает, так как структура оптимального линейного
фильтра не зависит от амплитуды сигнала а и от вре¬
мени его прихода т. 'В случае же измерения частоты от¬
меченное выше затруднение имеет место, и для его
преодоления можно разбить диапазон /мин+/макс ожи¬
даемых частот сигнала на п участков конечной ширины
где А/—величина, меньшая ширины основной части
спектра ожидаемого сигнала. При этом вместо бесконеч¬
ного числа фильтров оказывается достаточным иметь ко¬
нечное число п таких фильтров, позволяющих вычислить
достаточное число точек Ру(ы{), Ру((й2), ..., РУ(®п) для
построения искомой кривой Ру(а>).
Рассмотрим теперь вопрос о предельной точности
измерения частоты при большом отношении сигнал/шум.
При этом, как и в предыдущих случаях, будем полагать
априорное распределение Я (со) измеряемого параметра
равномерным. Тогда по аналогии с :(13-32) получим
А/
f,
макс
f мин
П
2 AW
Ру(<o) = k2e *
(13-66)
20*
307
где k2 — нормировочная константа, а М2((о) является
огибающей по <р функции £i(co, <р), определяемой выра¬
жением (13-65).
При большом отношении сипнал/шум можно в выра¬
жении (13-65) в первом приближении полагать
y(t) = a(t) cos (®0/ + ср0),
где <в0 й ч>0 — истинные значения частоты и начальной фазы
сигнала, имеющие место в течение данного интервала
наблюдения (О, Т).
Тогда из (13-65) получим:
т
&iK ?)= j а а(0 cos(ш0*-^-<р#) cos (otf-f-<}>)<#.
о
Очевидно, без нарушения общности можно в этом
выражении положить <ро = 0; тогда
где
Обозначим:
и положим, что
?,(ю, <p) = Xcos<p — У sin?
MaH = K^+F2,
т
Х—[а2 (t)cos<оQt• cosЫdt
о
т
Y = f a2 (t)cos<o0t- sin utdt.
о
A(l) = (!) (!)n
и что
((О (О ) Т < 1.
' макс мин/ ^ *
а следовательно, и
AmT < 1,
<*>о Т > 1.
(13-67)
(13-68)
(13-69)
(13-70а)
(13-706)
Из (13-70а) следует, что в формулах (13-68) можно
полагать:
Учитывая соотношения (13-69), (13-706) и (13-71),
можно путем сравнительно громоздких, но несложных пре-'
образований привести формулы (13-67) и (13-68) к следую¬
щему виду:
Af,(®) = Q—(13-72)
где
о
есть удельная энергия сигнала, а
/
Q = -L^a4t)dt (13-73)
т
(13-74)
b,=-L^a°(t)t*dt-± ja'(t)tdt
о U
Подставляя выражение (13-72) в (13-66), получим:
—7Г
ру (®)=**е 0 . (13-75)
где k, — нормировочная константа.
По тем же причинам, которые привели к замене выра¬
жения (13-44) на (13-45), более правильно заменить в (13-75)
истинное значение а>0 частоты сигнала ее наивероятнейшим
значением <п , т. е. полагать
уа
Ру{») = Ке~^ип)\
Учитывая условие нормировки, т. е. полагая
«макс "jKh)* оо _Ь.
f N* А и С V j 1
I e d*xk3 e dm=l,
К
.мин
получим:
—00
Следовательно, при большом отношении сигнал/шум
распределение так же как и Ру(а) и Ру(х), описы¬
вается гауссовой кривой. Поэтому среднеквадратичная
ошибка измерения частоты равна:
(Д=?=-^-. (13-77)
где Ь3 определяется формулами (13-73) и (13-74).
В пл. 6 при рассмотрении вопроса об измерении ча¬
стоты сигнала, известного точно, отмечалось, что ошиб¬
ка измерения зависит от момента 4\, в который начи¬
нается интервал наблюдения. Поэтому для того, чтобы
выяснить, имеет ли место аналогичное явление в рас¬
сматриваемом случае сигнала со случайной фазой, сле¬
дует в выражениях (13-73) и (13-74) положить интервал
наблюдения равным не (О, Т) a ti + ti + T. Тогда по¬
лучим:
(,+т .л+г -.а
b2=i- J a‘(t)t*dt- ^ j a'(t)tdt , (13-78)
где
ti+T
Q=-L (j' a2(t) dt.
Пусть в интервале наблюдения амплитуда сигнала посто¬
янна, т. е. a(t) = a<), тогда из (13-77) и (13-78) получим:
(Д^=|£-=™§-. (13-79)
Если пользоваться, как это делалось в гл. 6, нормиро¬
ванным сообщением х, то вместо (13-79) получим:
(13-80)
Из формул (13-79) и (13-80) следует, что при нали¬
чии у сигнала случайной равновероятной (в пределах
0 -г- 2л) начальной фазы, ошибка измерения частоты не
зависит от момента ii, в который начинается наблюде¬
ние.
310
Сравнение формул (13-80) и (6-066) показывает, что
при измерении частоты сигнала со случайной фазой
ошибка .получается такой же, какой она 'получается
в худшем случае ^т. е. при t\— для сигнала, изве¬
стного точно.
Этот результат понятен, так как в гл. 6 указывалось,
что в случае сигнала, известного точно, уменьшение
ошибки измерения, получаемое при увеличении U, мо-
жеть быть реализовано, тишь если в месте приема точно
известна начальная фаза высокочастотного заполнения
сигнала.
13-4. ОДНОВРЕМЕННОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА
И ИЗМЕРЕНИЕ ЕГО ПАРАМЕТРОВ
В предыдущих параграфах этой главы предполага¬
лось, что реализация y(t), на основе анализа которой
должны 'быть воспроизведены параметры сигнала (его
амплитуда, частота и т. п.), обязательно содержит сиг¬
нал. Но в радиолокации й в некоторых других случаях
часто 'приходится на основе анализа одной и той же реа¬
лизации у (i) решать задачу как измерения параметров
сигнала, так и его обнаружения, ибо заранее неизвестно,
содержит ли данная реализация сумму сигнала и шума
или она содержит только шум.
Такая задача одновременного обнаружения сигнала
и измерения его непрерывных параметров в значитель¬
ной мере подобна рассмотренной в гл. 11 задаче одно¬
временного обнаружения и распознавания т равнове¬
роятных ортогональных сигналов.
Действительно, пусть, например, требуется одновре¬
менно, т. е. по одной и той же реализации y(t), устано¬
вить, содержит ли данная реализация импульс сигнала
и, если содержит, то каково запаздывание т (момент
прихода) этого сигнала. Априорное 'распределение изме¬
ряемого параметра 'равно Р(х) и известно, что т заклю¬
чено в пределах тМин-^тМакс. Длительность ожидаемого
сигнала равна ти.
Параметр т является .непрерывной величиной, но
в .первом приближении можно полагать, что т может
принимать лишь щискретные значения с интервалом
Дт=ти.
311
Число т таких дискретных значений равно:
/и = —, (13-81)
где Т — интервал наблюдения, который должен охватывать
все возможные положения импульса сигнала.
Поэтому
Т = (% — х ) —J— х
' макс мин' * и
И
tn=\-\- Тмакс . (13-82)
ти
Так как гари таком предположении возможные им-
пульсньне сигналы не «перекрываются во в-ремени, то они
являются ортогональными, и задача измерения пара¬
метра т сводится к распознаванию, какой из m возмож¬
ных ортогональных сигналов 'содержится в данной реа¬
лизации y(t). Следовательно, указанная дискретизация
параметра сводит задачу одновременного обнаружения
сигнала и измерения его параметра т к задаче одновре¬
менного обнаружения и распознавания m ортогональных
сигналов.
Параметр т в общем случае может иметь неравно¬
мерное априорное распределение Р(т). Но, как неодно¬
кратно отмечалось выше и будет доказано в гл. 18,
в большинстве реальных 'случаев и, в частности, при
высокой точности измерения параметра распределение
Р(т) можно полагать равномерным. При этом, очевидно,
можно соответственно полагать все m значений ортого¬
нальных сигналов равновероятными.
Таким образом, задача одновременного обнаружения
и измерения параметра сигнала сводится в первом при¬
ближении к задаче одновременного обнаружения и рас¬
познавания m равновероятных ортогональных сигналов*.
Эта задача была подробно рассмотрена в гл. 11 и 12,
причем были установлены следующие основные резуль¬
таты:
1. В общем случае оптимальное обнаружение сигна¬
ла без его распознавания требует «меньшей энергии сиг¬
нала и иной структуры оптимальной системы, чем опти¬
мальное одновременное обнаружение и распознавание
312
сигнала. 'Поэтому в общем случае, если на основе дан¬
ной реализации y(t) требуется получить наиболее на¬
дежные 'результаты как в отношении обнаружения, так
и в отношении распознавания, нужно иметь две прием¬
ные системы—систему оптимального обнаружения (без
распознавания) и систему оптимального распознавания
(без обнаружения). При этом результаты второй систе¬
мы учитываются лишь в тех случаях, когда первая систе¬
ма устанавливает с достаточной надежностью факт на¬
личия сигнала (часть элементов указанных двух систем
могут быть общими, но выходные элементы должны
быть различными).
Однако при высоких требованиях « надежности обна¬
ружения (а без высокой надежности обнаружения не мо¬
жет быть и высокой надежности распознавания) одно¬
временное обнаружение и 'распознавание требует лишь
незначительно большей энергии сигнала, чем обнаруже¬
ние без распознавания. Поэтому при высоких требова¬
ниях к надежности обнаружения и распознавания созда¬
вать отдельную систему для оптимального обнаружения
(без распознавания) нецелесообразно.
2. Изменение числа т ортогональных сигналов
в 10—100 раз почти не влияет на требуемую энерсию
сигнала, если допустимая вероятность ложной тревоги
достаточно мала (Рл. Т<Ю-3) «ли если т> 104 [см. фор¬
мулы (11-27)—'(11-29)].
3. Если Рлт<0,1 (что обычно имеет место), требуе¬
мая энергия для обнаружения и распознавания т рав¬
новероятных ортогональных сигналов может быть опре¬
делена по формулам простого бинарного обнаружения,
Р
если в них Рл.т заменить на-^.
4. Если Рл.т <0,1 и Рп.т < 0,1 Рщ, (что обычно имеет
место), то получается
Р
иск пр>
т. е. вероятность ошибки распознавания (при условии,
что какой-то сигнал имеется) равняется вероятности
пропуска.
Учитывая отмеченную выше аналогию между распо¬
знаванием ортогональных сигналов и измерением непре¬
рывного параметра т, можно сформулировать'следующие
положения, справедливые для одновременного обнару-
313
жения сигнала и измерения его непрерывного пара¬
метра т:
1'. В общем случае для оптимального решения задач
обнаружения сигнала и измерения его параметра по
данной реализации y(t) нужны две оптимальные си¬
стемы.
Первая система должна давать оптимальное решение
задачи обнаружения (без измерения параметра), а вто¬
рая—оптимальное измерение параметра (без обнару¬
жения). 'При этом данные второй системы учитываются
лишь в тех случаях, когда первая система с достаточной
надежностью устанавливает нашичие сигнала. (Часть
блоков обеих систем могут быть общими, но выходные
блоки должны быть раздельными).
Однако 'при высоких требованиях к надежности обна¬
ружения (а 'без высокой надежности обнаружения не
может быть и высокой надежности измерения парамет¬
ра) одновременное обнаружение и измерение параметра
требует для обеспечения той же надежности обнаруже¬
ния лишь незначительно большей энергии сигнала, чем
обнаружение без измерения параметра.
/Поэтому .при высоких требованиях к надежности
обнаружения и измерения параметра создавать отдель¬
ную систему для оптимального обнаружения (без изме¬
рения параметра) нецелесообразно.
2'. При высоких требованиях к точности измерения
параметра оптимальной является система, основанная
на принципе наибольшей плотности обратной вероят¬
ности Ру(т), т. е. система, выдающая на выходе то зна¬
чение параметра т=тун, для которого плотность Ру{т)
максимальна.
Как отмечалась раньше и доказывается ниже в гш. 18,
эта система оптимальна в том смысле, что дает минимум
среднеквадратичной ошибки измерения, и в смысле ши-‘
рокого класса других критериев оптимальности.
Из предыдущего .пункта 'Следует, что .при высоких
требованиях к надежности обнаружения и измерения
параметра создавать отдельную систему для оптималь¬
ного обнаружения (без измерения параметра) нецелесо¬
образно. Поэтому система оптимального одновременного
обнаружения и измерения параметра должна действо¬
вать следующим образом (подобным действию системы
оптимального обнаружения и распознавания т ортого-
314
нальных сигналов, изображенной на рис. 11-1). Она
должна определять наибольшее значение Ру(Хув) 'плот¬
ности обратной вероятности измеряемого параметра и
сравнивать его с некоторым порогом U0, выбираемым-
в соответствии с допустимой вероятностью ложной тре¬
воги Рл.т- Если оказывается
Ру ^^
то принимается решение об отсутствии сигнала; если же
то .принимается решение о том, что сигнал на входе
имеется и что хуи является искомым значением измеряе¬
мого параметра т. Так, например, система оптимального
измерения т, изображенная на рис. 13-12, будет давать
оптимальное обнаружение сигнала и намерение т, если
полагать сигнал присутствующим лишь в тех случаях,
когда максимальное значение U=Mакс напряжения на
выходе детектора (рис. 13-3) превышает некоторый за¬
ранее установленный порог t/o. Методика же измере¬
ния х остается прежней, т. е. принимается:
3'. Для определения энергии 'сигнала, требуемой для
надежного обнаружения сигнала в системе одновремен¬
ного обнаружения сигнала и измерения его параметра,
допустимо заменять реальный сигнал с непрерывным
параметром т системой из m равновероятных ортого¬
нальных сигналов. Величина m 'может быть определена
приближенно по формуле (13-82).
То обстоятельство, что величина m может быть опре¬
делена лишь приближенно (так как m ортогональных
сигналов лишь приближенно эквивалентны одному сиг¬
налу с непрерывным параметром т), не играет большой
роли, ибо, как отмечалось выше (п. 2), в большинстве
случаев допустима погрешность в определении m в 10
или даже в 100 раз.
4'. Если Рл.т< 0,1 (что обычно имеет место), то энер¬
гия, требуемая для обнаружения сигнала с заданными
вероятностями ошибок Рл.т и Рпр, можёт быть опреде¬
' 315
лена по формулам простого бинарного обнаружения,
если в них заменить Рл.т на Рял/т.
5'. Из предыдущих пунктов следует, что при одновре¬
менном обнаружении сигнала и измерении его парамет¬
ра энергия, требуемая для обеспечения заданных веро¬
ятностей ошибок обнаружения Рл.т и Рпр (при малых
значениях этих вероятностей), может быть вычислена
по формулам, приведенным в предыдущих главах для
случая одновременного обнаружения и распознавания т
равновероятных ортогональных сигналов.
Энергия, требуемая для обеспечения заданной сред¬
неквадратичной ошибки измерения параметра, опреде¬
ляется по формулам, приведенным в данной главе [на¬
пример, по формуле (6-40)].
■В одних случаях требуемая энергия определится
в конечном счете допустимыми значениями вероятностей
ошибок обнаружения (Рл.т и РПр), а в других — допу¬
стимой погрешностью измерения параметра.
Все приведенные выше рассуждения были для про¬
стоты проведены применительно к случаю измерения
запаздывания т. Но очевидно, что они могут быть при¬
менены и при измерении других параметров сигнала.
Например, если требуется .произвести одновременное
обнаружение сигнала и измерение его частоты, то отли¬
чие будет состоять лишь в том, что число т эквивалент¬
ных ортогональных сигналов должно определяться не по
формуле (13-82), а по формуле
m = l +ffMaKC~fMtlH, (13-83)
где Д/ — ширина основной части спектра сигнала (т. е. .
части спектра, в которой сосредоточена основная часть
энергии сигнала, например 70—'80% этой энергии),
а /мин « /макс — пределы возможного изменения измеряе¬
мой частоты /.
Практический пример применения дискретизации
возможных видов сигнала с целью определения энергии,
требуемой для надежного обнаружения, был, по суще¬
ству, уже рассмотрен в § 12-8, посвященном вопросам
обнаружения и распознавания целей радиолокатором
кругового обзора.
Действительно, при обнаружении и распознавании
радиолокатором целей, находящихся на различных а.зи-
316
мутах и дальностях, азимут 0 и запаздывание т (про¬
порциональное дальности г) каждой цели являются н е-
прерывными параметрами, которые (могут изме¬
няться в пределах ©мин©макс и Тмин^Тмакс* Однако
при определении энергии, требуемой для обнаружения
цели с заданными вероятностями ошибок Ял.т и Рир, мы
полагали, что сигнал, отраженный от каждой цели,
эквивалентен сигналу, 'который может иметь одно из т
равновероятных ортогональных значений, где
т = mjni,
_ е
т.х 1-f-
дв
,11 хмакс гмян
tn, 1Ч ,
(13-84)
Здесь Д@ — ширина диаграммы направленности по ази¬
муту, а ти — длительность имлульса сигнала.
Действительно, ,при каждом положении диаграммы
направленности импульсы сигнала, сдвинутые друг от¬
носительно друга на интервалы ти, 2ти и т. д., не пере¬
крываются ©о времени. Им,пульсы, соответствующие по¬
ложениям диаграммы направленности, сдвинутым друг
относительно друга на угол Д0, также не перекрыва¬
ются во времени, Поэтому все т возможных импульсов
сигнала, где т определяется по формуле (13-84), не пе¬
рекрываются во времени и, следовательно', являются
взаимно ортогональными.
Формула (13-84) относится к случаю, когда частота
отраженного сигнала известна точно, что обычно имеет
место лишь при неподвижной цели. Если цель движет¬
ся, и частота отраженного импульса вследствие эффекта
Доплера может находиться равновероятно в пределах
fмин /макс, то вместо (13-84) следует полагать:
m = mtmtmi, (13-85а)
где тх и т2 по-прежнему определяются формулами (13-84),
а
•м ■ 1 I ^макс fuH.i /ю осд
тг ~ 1 Н Щ (13-856)
где Д/ — ширина основной части спектра импульса.
317
Для импульса с синусоидальным высокочастотным за¬
полнением Д/ и г связаны следующим известным соотно¬
шением:
Д/ ^ . (13-85в)
Из формул (13-84). -и ^ 13-85) следует, что при
импульсах малой длительности получается m2 > 1,
а тз~ 1, т. е. неопределенность частоты сигнала не уве¬
личивает существенно величину т., а следовательно, и
не требует существенного увеличения энергии сигнала,
необходимой для надежного обнаружения. При импуль¬
сах большой длительности, наоборот, т3 >1 и неопреде¬
ленность частоты отраженного от цели сигнала сущест¬
венно увеличивает th.
Пусть, например, тМакс—тМИн=2 мсек, ти—2 мксек\
0макс— 0мин=36О°; Д 0 = 1°; /макс—/мин = 20 К2Ц\ Д/ =
='1 Мгц. Тогда в соответствии с формулами (13-84) и
(13-85) получим:
тх =г 360, та ~ 1 ООО, т3 = 1
и
1 ^3,6-10'.
Если амплитуду сигнала полагать известной, то энергия
сигнала, требуемая для обнаружения с вероятностями оши-
бок Рял и Рпр, Может быть определена по формуле (11-28),
т. е.
r=v|/ln7t+lnm+l/to^r-1’4)’ (|1'28!
Эта формула относится к случаю, когда отраженный
сигнал состоит из одного импульса или из п когерентных
импульсов.
Если сигнал имеет вид пакета из п некогерентных им¬
пульсов, то получающийся за счет этой некогерентности
проигрыш в требуемой энергии может быть определен по
формуле (12-60) или по кривым рис. 12-5.
Пусть Рл= Ю~s и Япр= 10“\ Тогда по формуле
(11-28) находим:
Выясним, как могла повлиять на величину отноше¬
ния неточность определения числа т эквивалентных
ортогональных сигналов. Предположим (с большим запа¬
сом), что могла быть допущена ошибка в 100 раз в ту
или другую сторону от истинного значения, т. е. в дейст¬
вительности т могло равняться 3,6-10’ или 3,6-107. Тогда
по формуле (11-28) получим соответственно
-§-=29, или -77-= 40,
Nt Nt
т. е. в рассматриваемом примере погрешность в определе¬
нии т в 100 раз в ту или другую сторону приводит к
Q
погрешности в определении порогового отношения мень-
™О
ше, чем на 0,7 дб.
В случае флуктуирующего сигнала вместо (11-28) сле¬
дует пользоваться формулой (11-29), т. е. полагать:
+ 1ПрЦ* (П‘29)
iV0 'пр у л.т ]
При Рпр = 0,1, Рлт=10“* и т. = 3,6• 105 получается:
^=240.
В этом случае изменение (уменьшение) т в 100 раз
также вызывает лишь сравнительно небольшое изменение
порогового отношения —менее, чем на 0,9 дб.
Погрешность измерения параметра ъ в предположении,
что амплитуда и частота сигнала известны точно, может
быть определена по формуле (13-56), если отношение —
™ О
достаточно велико.
13-5. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ СООБЩЕНИИ (ПАРАМЕТРОВ),
ЯВЛЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЯМИ ВРЕМЕНИ, ПРИ НАЛИЧИИ
У СИГНАЛА СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ
IB предыдущих параграфах данной главы предпола¬
галось, что измеряемый (параметр сигнала можно счи¬
тать неизменньгм в_течение всего времени наблюдения.
319
Однако во многих реальных случаях измеряемый пара¬
метр должен считаться функцией времени. Это имеет
место, например, при воспроизведении таких сообщений
как речь, музыка и телевизионные изображения или при
измерении координат быстродвижущейся цели.
Теория оптимального воспроизведения параметров,
являющихся функциями времени, в общем случае на¬
талкивается на серьезные математические трудности.
Поэтому приемлемые для практики результаты пока по¬
лучены только путем принятия ряда существенных огра¬
ничений и допущений.
Так, в гл. 7 изложены результаты, полученные Ко¬
тельниковым при следующих основных допущениях.
1. Сигнал известен точно (конечно, за исключением
подлежащего воспроизведению сообщения х).
2. Отношение сигнала к шуму (нормальному белому)
велико.
3. Нормированное сообщение x(t) является стацио¬
нарным случайным процессом о равномерным много¬
мерным распределением Р(х).
4. Сообщение x(t) имеет спектр, ограниченный не¬
которой высшей частотой FB, много меньшей несущей
частоты сигнала.
5. Приемник построен так, что при исчезновении шу¬
ма воспроизведение сообщения должно быть совершен¬
но точным, даже если структура приемника и режим его
работы сохраняются такими же, как при наличии шума.
6. Требуется простое воспроизведение сообщения
x(t), т. е. в идеальном случае колебание y(t) на выходе
приемника должно быть пропорционально x(t).
В гл. 7 было показано, что ограничения, связанные
с пп. 4 и 5, могут быть в значительной мере ослаблены,
если приемник, оптимальный в смысле Котельникова,
дополнить линейным фильтром, обеспечивающим мини¬
мум среднеквадратичной ' ошибки, или оптимальным
в каком-либо другом смысле.
Котельниковым было показано, что при большом от¬
ношении сигнал/шум реальные приемники, содержащие
детекторы (демодуляторы), не реагирующие на началь¬
ную фазу фо высокочастотного заполнения сигнала,
во всех рассмотренных им случаях обеспечивают поме¬
хоустойчивость, весьма близкую к потенциальной. К та¬
ким случаям относятся, в частности, амплитудная, ча-
320
стотная, фазовая и время-импульсная модуляции -сиг¬
нала.
Следовательно, при всех рассмотренных видах моду¬
ляции точность оптимального воспроизведения сообще¬
ния x(t) не зависит от того, является ли начальная фа¬
за фо 'сигнала известной точно или она при приеме неиз¬
вестна. Отсюда следует -в свою очередь, что все резуль¬
таты, -приведенные в гл. 7 для сигналов, известных точ¬
но, остаются примерно в тех же пределах справедливы¬
ми и для сигналов со случайными начальными фазами.
21 Л. С. Гуткин
ЧАСТЬ IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА
СИГНАЛОВ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
СТАТИСТИКИ
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
АНАЛИЗ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ
СИГНАЛОВ МЕТОДАМИ ПРОВЕРКИ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
14-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В предыдущих главах анализ оптимальных приемнич¬
ков проводился в основном методом максимальной
обратной вероятности. Однако в современной математи¬
ческой статистике разработан обширный а'ппарат, кото¬
рый -позволил значительно расширить и углубить тео¬
рию оптимальных методов приема и, в частности,
оценить пределы применимости метода максимальной
обратной вероятности. В настоящее время математи¬
ческая статистика является сидним из наиболее быстро
развивающихся разделов математики, и даваемые ею
результаты находят все большее применение в теории
оптимальных методов приема.
Основной задачей математической статистики являет¬
ся установление законов распределения случайных вели-*
чин (или случайных функций) на основе результатов
наблюдений над этими величинами.
Пусть в результате наблюдений над некоторой слу¬
чайной величиной (или случайной функцией) получена
совокупность (уи у2-> ..., уп) значений этой величины
(или функции).
Каждое наблюденное значение yi (рис. 14-1) назы¬
вается выборочным значением, а вся совокупность
(Уи Уп) — выборкой. Число п выборочных значений,
содержащихся в данной выборке, называется объемом
выборки.
322
На основании полученной выборки требуется уста¬
новить закон распределения наблюдаемой случайной
величины (или случайной функции). Очевидно, что за¬
дача может быть решена точно лишь при п *оо, и чем
меньше п, тем при прочих равных условиях меньше
точность воспроизведения искомого закона распреде¬
ления.
Во многих .случаях функциональная форма искомого
закона распределения известна (например, известно, что
этот закон нормальный) и неизвестны лишь один или
несколько параметров, опреде¬
ляющих это распределение ('на¬
пример, среднее значение и дис¬
персия). Тогда задача сводится
лишь к установлению этих пара¬
метров распределения.
Параметры распределения мо¬
гут быть дискретными или не¬
прерывными величинами. Если эти параметры яв¬
ляются дискретными величинами, т. е. могут прини¬
мать лишь дискретные значения а\ а2, ..., ат, то, учиты¬
вая, что при 'конечном объеме 'выборки «невозможно со¬
вершенно точно установить, какое из этих значений
действительно имеет место, можно лишь 'высказывать
гипотезы о том или ином значении параметра. 'При этом
каждой такой гипотезе, называемой статистической ги¬
потезой, соответствует та или иная вероятность ее спра¬
ведливости (правильности). Следовательно, для уста¬
новления искомого параметра необходимо решить
(«проверить»), какая из т возможных гипотез (а=а\,
а = а2, ..., или а=ат) является при данной выборке наибо¬
лее правдоподобной. Поэтому в случае дискретных пара¬
метров задача сводится к проверке статистических гипо¬
тез.
Если искомый параметр а является непрерывной ве¬
личиной, то задача состоит в том, чтобы на основании
полученной выборки (уи Уп) оценить каким-либо
образом значение этого параметра. Результат этой оцен¬
ки, обозначаемый обычно той же !буквой, но со звездоч¬
кой (‘в данном случае а*), вследствие конечности объема
выборки отличается от ‘истинного значения параметра,
т. е. существует ошибка измерения параметра:
Д а=а*—а.
21* 323
Гис. 14-1.
Таким образом, в зависимости от того, является лй_
искомый параметр дискретным или непрерывным, зада-*
ча сводится к проверке статистических гипотез или к оцен¬
ке параметра (или нескольких параметров) распреде¬
ления.
Нетрудно убедиться, что
эти задачи эквивалентны
задачам обнаружения и вос¬
произведения сигнала на
фоне шума. Действительно,
при обнаружении или вос¬
произведении сигналов на
фоне шума требуется на ос¬
нове 'полученной в результа¬
те наблюдения реализации y(t) суммы сигнала и шума
(или одного только шума) обнаружить, имеется ли сиг¬
нал, и (или) установить, какие значения имеют те или
иные параметры сигнала (его ам-плитуда, время задерж¬
ки и т. .п.).
В соответствии с теоремой разложения Котельникова
(см. § 1-3) реализация у (t) полностью характеризуется
своими п значениями (уг, ..., уп), взятыми с интервалами
М = (рис. 14-2). Следовательно, можно считать, что
I в
результатом наблюдения является выборка (у, ..., уп) объ¬
емом
“=В=2У- <и-*>
Закон распределения реализаций суммы «сигнала и
шума зависит от входящего в ее состав сигнала, и, сле¬
довательно, от параметров этого сигнала.
Поэтому, если параметры шума известны, то един¬
ственными неизвестными параметрами распределения
суммы y(t) являются параметры сигнала. При этом
отыскание (определение) параметров /распределения
полностью эквивалентно определению параметров сиг¬
нала, т. е. решению задачи обнаружения или воспро¬
изведения сигнала. Необходимо сделать лишь следую¬
щие примечания.
Если объем п выборки стремится 'к бесконечности за
счет того, что неограниченно возрастает время наблюде¬
ния Т [см. формулу (14-1)], то погрешность решения
324
Рис. 14-2.
задачи обнаружения или воспроизведения стремится
к нулю.
Если же в!еличина п стремится к бесконечности за
счет того, что At—^0 при /в = const и r=const, то по¬
грешность решения задачи не только не стремится
к нулю, но вообще почти не 'изменяется (если до увели¬
чения значение п было уже достаточно велико). Это
объясняется тем, что в соответствии с теоремой разло¬
жения Котельникова функция y(t) практически .пол¬
ностью характеризуется своими п дискретными зна¬
чениями, если п достаточно велико и энергия спектра зе
пределами частоты /в пренебрежимо мала. Это озна¬
чает, что уменьшение интеГрвала At между выборочными
значениями (рис. 14-2) от-щ- до нуля практически не
дает никакой новой информации о реализации y(t) и, сле¬
довательно, не может повысить точность решения постав¬
ленной задачи.
Если, наоборот, увеличивать интервал М по сравнению
с то, при Т = const, часть информации о функции
• в
У (0 будет теряться и точность решения задачи понижаться.
Выборка, у которой п-+ оо при Т = const ф оо (т. е.
Д/->0 при Т= const), называется непрерывной в отличие от
дискретной выборки, имеющей место при Д/=^=0.
Из сказанного (выше следует, что непрерывная вы¬
борка не может дать существенно большей точности
решения задачи, чем дискретная, если при дискретной
выборке
Ы ±. (14-3)
Поэтому при выполнении условия (14-3) принципи¬
ально безразлично, -какой выборкой пользоваться — ди¬
скретной или непрерывной. Выбор вида выборки при
этом производится лишь с точки зрения простоты мате¬
матического анализа или 'конструктивного осуществле¬
ния.
Очевидно также, что если для дискретной выборки
какая-либо формула получена в виде суммы, то соответ¬
325
ствующий результат для непрерывной выборки может
быть получен, если в этой формуле положить:
При этом сумма превращается в интеграл.
С учетом сделанных замечаний отыскание парамет¬
ров распределения по данной-выборке (уь ..., уп) экви¬
валентно обнаружению или воспроизведению сигнала
(или его параметров) -по данной реализации y{t) [нц
интервале (О, Т)].
В случае обнаружения и распознавания сигналов
требуется различить друг от друга дискретные виды сиг¬
нала. Поэтому эта задача эквивалентна проверке стати¬
стических гипотез. Измерение же непрерывных парамет¬
ров сигнала эквивалентно оценке параметров распреде¬
ления.
Применение метода проверки статистических гипотез
к задачам обнаружения и распознавания сигналов рас¬
сматривается в данной и следующей главах (гл. 14 и
15). Гл. 16 посвящена применению метода оценки пара¬
метров распределения к задачам воспроизведения не¬
прерывных параметров сигнала. Применение развитой
в последние годы теории статистических решений, позво¬
ляющей подходить к проверке статистических гипотез и
к оценке параметров распределения с единой и более
общей точки зрения, рассматривается в гл. 17.
14-2. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ СИГНАЛОВ
КАК ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
В § 8-1 отмечалось, что возможны различные виды
обнаружения.
Рассмотрим сначала простое бинарное обнаружение
сигнала, известного точно.
Пусть амплитуда этого сигнала равна Яо. Тогда за¬
дача обнаружения сводится к тому, чтобы на основена-
блюдения реализации y(t) [в течение интервала (О, Т)]
установить, содержит эта реализация сигнал или она
соответствует только шуму, или, что то же самое, уста¬
новить, какое из двух возможных значений амплитуды
сигнала имело место: а=0 или а = ао.
или
(14-4)
326
Это означает, что должна быть произведена проделка
гипотезы Н0 (сигнала нет, а = 0) относительно альтерна¬
тивной (взаимоисключающей) гипотезы Н\ (сигнал
есть, а = а0).
При сложном бинарном обнаружении сигнал имеет
не одно, а 'несколько 'возможных ненулевых значений
Ни U2, ит, и задача обнаружения сводится к проверке
гипотезы Н0 (никакого сигнала нет) относительно
альтернативной гипотезы Нх (имеется какой-то из т
возможных сигналов). При этом в отличие от простого
бинарного обнаружения гипотеза Нi называется слож¬
ной.
При обнаружении и распознавании т -ненулевых
сигналов ии и2, ..., ит проверке подлежат т+1 гипо¬
тез— Н0 («сигнала нет»), Н\ («имеется сигнал и\»), Н2
(«имеется сигнал и2»),..., Нт .(имеется сигнал ит»).
В этом случае нулевой гипотезе (Я0) противопостав¬
ляется т альтернативных ненулевых гипотез (Ни Нт).
Поэтому такой случай часто называется m-альтернатив¬
ным обнаружением.
iB III части книги было показано, что сложное бинар¬
ное обнаружение (т. е. обнаружение без распознавания)
представляет обычно значительно меньший интерес и
менее целесообразно, чем одновременное обнаружение
и распознавание сигналов. С другой стороны, было
доказано, что в большинстве практически интересных
случаев энергия, требуемая для одновременного обна¬
ружения и распознавания т возможных сигналов, мо¬
жет быть найдена по формулам простого бинарного
р
обнаружения, если в них заменить Рп„на Поэтому
л.т jfi j
-ниже рассматривается для краткости лишь простое би¬
нарное обнаружение.
14-3. БИНАРНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
Будем сначала полагать, что сигнал известен точно.
В этом случае колебание на входе приемника имеет вид:
y{t)=ux(t) + um(t). (14-5)
При отсутствии сигнала
«х(0 = «,.(0 = 0;
327
при наличии сигнала
их (t) = tixX (/) = u,z (/),
(14-5a)
т. e. с точки зрения воспроизведения сообщений в данном
случае сообщение х может иметь лишь два значения
х = хо = 0 и x — xlt
с априорными вероятностями
Р(х0)=Р(0) и Р (х1) = Р (С)
соответственно.
В результате наблюдения реализации y(t) [в интер¬
вале (0, 71)] должен быть дан один из двух взаимо¬
исключающих ответов: «да» (сиг¬
нал есть, х = х\) или «нет» (сигна¬
ла нет, х = Хо).
Каждая возможная реализация
tji (t) представляется в многомерном
пространстве одной точкой (см.
§ 6-3). Поэтому с гео-метрической
точки зрения для решения задачи
обнаружения многомерное про¬
странство должно быть разбито -на
две соприкасающиеся, но не пере¬
крывающиеся области А и В (рис.
14-3). Если «точка» yx{t) попадает в область Л,— при¬
нимается решение «да», а в противном случае — реше¬
ние «нет».
При решении задачи возможны ошибки двух видов—
ложные тревоги (с вероятностью Рл.т) и пропуски сиг¬
нала (с вероятностью Рпр).
Очевидно, ложные тревоги имеют место, если при
отсутствии сигнала реализация y(t) попадает в об¬
ласть А.
Поэтому1
1 Здесь и ниже Рх (у) — многомерные распределения, а н
А В
гомерные (n-мерные) интегралы; поэтому выражение, наприме
вида J Рх (у) dy является сокращенной записью интеграла
j... j Px{yv...9 yjdy^.. dyn.
A
328
Рис. 14-3.
P*, = $PJy)dy- (14-6)
A
Пропуски сигнала имеют место, если при наличии си¬
гнала реализация y(t) попадает в область В\ поэтому
р»»=\рхЛУ)*У- (14-7)
Если при наличии сигнала реализация y(t) попадает в
область Ау то имеет место правильное обнаружение. Сле¬
довательно,
РП0=1-РПР = $РХЛУ)*У- (14-8)
А
Из этих формул или непосредственно из рис. 14-3 сле¬
дует, что если выбрать область А равной нулю, то полу¬
чится:
р„ = 0. Л,, = ‘- (1-1-9)
Если же выбрать равной нулю область 5, то будет
^л,= 1. ^пр = 0. (14-10)
Следовательно, путем соответствующего выбора гра¬
ницы между областями А и В можно получить любое со¬
отношение между вероятностями ошибок Рдл и Рпр (любое
Рл
значение отношения от нуля до бесконечности).
пр
Оптимальный приемник должен обеспечивать такую
форму границы между областями Л и В, 'которая обес¬
печивает наилучшее в том или ином смысле соотношение
между вероятностями ошибок Рл.т и РПр.
Из 'соотношений (14-9) и (14-10) и рис. 14-3 следует,
что при изменении границы, обеспечивающем уменьше¬
ние вероятности Рл.т, происходит увеличение вероят¬
ности Рпр, и наоборот. Поэтому выбором границы между
областями невозможно обеспечить одновременный мини¬
мум как Рл.т, так и РПр, и оптимальный приемник может
обеспечить минимум лишь той или иной 'комбинации
329
вероятностей Рл.т и РПр. В -соответствии с этим наиболее
распространенными являются следующие критерии
оптимальности бинарного обнаружения:
1. Критерий минимальной полной 'вероятности ошиб¬
ки (критерий адеального наблюдателя):
Где а и b — весовые коэффициенты, выбираемые, исходя
из относительной опасности ложных тревог и пропусков
сигнала (чем более опасны ложные тревоги по сравнению
с пропусками, тем больше выбирается отношение а/Ь).
Величина R, определяемая соотношением (14-12), назы- .
вается средним риском.
3. Критерий минимальной взвешенной вероятности
ошибки:
где с и d — весовые коэффициенты, выбираемые, исходя
из относительной опасности ложных тревог и пропусков
сигнала (чем более опасны ложные тревоги по сравнению
где величина Рл.т выбирается достаточно малой.
Если априорные вероятности Р(х0) и Р{х\) наличия
и отсутствия сигнала известны, то лучше пользоваться
критериями 1 или 2, так как в критериях 3 и 4 эти ве¬
роятности не учитываются, т. е. не используется пол¬
ностью вся известная априорная информация о сигнале.
При этом в тех случаях, когда ложные тревоги и 'про¬
пуски одинаково опасны, можно применять критерий 1,
а в общем случае — критерий 2.
Ро.ш = р С*о) рл.г + Р М рп Р= ■min. (14-11)
2. Критерий минимального среднего риска:
R = аР (х9) Рл.т + ЬР (х J Рпр = min, (14-12)
z = сР „ т 4- d • P„n — min,
Л.Т I пр 7
(14-13)
с пропусками, тем больше выбирается отношение
4. Критерий Неймана—Пирсона:
при
(14-14)
330
Если априорные 'вероятности Р(хо) и Р(х\) неиз¬
вестны, что имеет место во многих случаях (например,
в радиолокации), .пользоваться критериями 1 и 2 невоз¬
можно и приходится применять критерий 3 или 4.
В случае применения критерия 3 приходится зада¬
ваться, исходя из физической постановки задачи, весо¬
выми коэффициентам'и end (при этом, как будет ясно
из дальнейшего, играет роль лишь их отношение c/d),
а при использовании критерия 4 — вероятностью лож¬
ной тревоги Рл.т. В большинстве практических случаев
проще обосновать соответствующий выбор величи¬
ны Рл.т, чем отношения c/d\ поэтому критерий Нейма¬
на— Пирсона применяется значительно чаще, чем
критерий минимальной взвешенной вероятности ошибки.
Из сравнения соотношений (14-11) — (14-13) следует,
что первые два критерия с математической точки зрения
могут рассматриваться как частные случаи критерия 3:
критерий 1 .получается из (14-13), если .положить:
c = P(xQ), d = P(xl)t (14-15)
а критерий 2, если положить:
c = aP(xQ), d = bP (лгж); (14-16)
поэтому рассмотрим подробнее критерий (14-13).
Минимум выражения (14-13) обеспечивается соот¬
ветствующим выбором областей Л и В, т. е. изменением
величин Рл.т и Рпр при постоянных .коэффициентах end.
Поэтому минимум величины z совпадает с минимумом
комбинации:
г' = Л,Р + ^,т. (14-17)
где
p = -i. (14-18)
Из (14-6), (14-8) и (14-17) имеем:
г' = 1 - J 00 - $Р*о (У)] *»■ (14-19)
А
Следовательно, оптимальный приемник должен обеспе¬
чивать минимум выражения (14-19), т. е. максимум вели¬
чины
z" = $[Pxi(y)-?P*o(y)}dy. (14-20)
А
331
Для одних значений реализации у (t) подынтеграль¬
ная функция положительна, а для других — отрицатель¬
на. Очевидно, что для получения наибольшего значения
интеграла z" область А должна быть выбрана таким
образом, чтобы она включала в себя все значения у, для
которых подынтегральная функция 'положительна и не
включала ни одного значения у, при котором подынте¬
гральная функция отрицательна. Это означает, что для
области А должно выполняться условие
т. е.
а области В соответствует неравенство
<14-22)
Но .попаданию в область А соответствует ответ «да»,
а попаданию в область В — ответ «нет». Следовательно,
в оптимальном приемнике при выполнении условия
(14-21) должно приниматься решение о наличии сиг¬
нала, а при 'невыполнении этого условия — решение об
отсутствии сигнала. Иначе говоря, оптимальный прием¬
ник должен вычислять величину:
<,4•2з,
и сравнивать ее с „порогом* fi (рис. 14-4); если при этом
оказывается
%)>Р. (14-24)
принимается решение о наличии сигнала, а в противном
случае сигнал полагается отсутствующим.
Величина 1(у), определяемая выражением (14-23),
называется коэффициентом .правдоподобия1, так как
1 Иногда она 'называется также отношением .правдоподобия
332
она равняется отношению функций правдоподобия
Pxi(y) и Рхо(у) и характеризует правдоподобность гипо¬
тезы о наличии сигнала: чем больше 1{у), тем эта гипо¬
теза правдоподобнее.
Из приведенного выше рассмотрения следует, что для
первых трех критериев оптимальности структура опти¬
мального приемника получается одинаковой и различ¬
ными оказываются лишь значения «.порога» р. В случае
критерия 3 (критерия мини-
. ивш
ности ошибки)
п с
вероят- y(t)
Вычислитель
ljy> ;
Ну)
d ’ Рис. 14-4.
в случае критерия минимальной полной вероятности ошибки,
как следует из (14-15),
(14-25)
^ Р(Хг) ’
а при применении критерия минимального среднего риска,
как следует из (14-16),
Р = 5?Ш- ('4-26)
Для нормального белого шума из формулы (4-10) имеем:
т
N~o
РхЛУ)~{у2Ш)п 6
т
1
Рх0^ (У2Ш)п
■дГ Jl* (О-»*» (01* л
О
Поэтому в соответствии с (14-23) и (14-5а) коэффици¬
ент правдоподобия равен:
где
-Из (14-24) и (14-27) следует, что оптимальный прием¬
ник должен принимать решение о наличии сигнала, если
выполняется условие
где
5>£/0, (14-28)
и.=1.+ьр.
(14-29)
Эти соотношения .полностью -совпадают с соответ¬
ствующими соотношениями (5-12) — (5-14), полученными
в гл..5 другим методом [в тл. 5 рассматривался критерий
минимальной полной вероятности ошибки, при кото¬
ром |3 определяется формулой (14-25)].
Описанный выше принцип действия оптимального
приемника называется принципом испытания коэффи¬
циента правдоподобия, так -как решение принимается
на основе результата сравнения коэффициента .правдо¬
подобия 1(у) с некоторым порогом р [условие (14-24)].
Выше было показано, что этот принцип дает опти¬
мальное решение задачи при любом из первых трех кри¬
териев оптимальности. Ниже будет показано, что при
надлежащем выборе .порога р тот же принцип дает
оптимальное решение и в .случае критерия Неймана —
Пирсона. Иначе говоря, для всех четырех сформулиро¬
ванных выше критериев оптимальности структура опти¬
мального приемника оказывается одинаковой и разли¬
чия имеют место лишь при выборе величины порога р.
Основными характеристиками оптимального прием¬
ника (обнаружителя) являются так называемые рабочие
характеристики, изображенные (качественно) на
рис. 14-5. Каждая рабочая характеристика дает зависи¬
мость вероятности правильного обнаружения Рп.о от ве¬
роятности ложной тревоги Рл.т при данном энергетиче-
334
ском отношении сигнала к шуму q (здесь и далее q=
= В том, что рабочие характеристики действитель¬
но должны иметь (качественно) такой вид, нетрудно
убедиться, учитывая следующее:
1. Из соотношений (14-9) и (14-10) следует, что
в любом обнаружителе
Л,о=° при рл.т=°;
Рп о = 1 при Рл.т=1.
Координаты точек О и D на /рис. 14-4 действительно
удовлетворяют этим соотношениям.
2. При данной вероятности Рл.т ложной тревоги, чем
больше отношение сигнала >к шуму q, тем больше долж¬
на быть вероятность .правиль¬
ного обнаружения. Следова¬
тельно чем больше параметр
q, тем выше должна быть рас¬
положена соответствующая ра¬
бочая характеристика.
3. Каждой точке М харак¬
теристики соответствует опре¬
деленное значение «порога» р.
Действительно, из соотно¬
шения (14-24) следует, что при
данном отношении сигнала
к шуму q и р—►оо дол жно быть
Рл.т=0 и Рп.о = 0 (так как ве¬
роятность превышения бесконечно большого порога рав¬
на нулю как при отсутствии сигнала, так и при наличии
сигнала). Следовательно, точке О соответствует р = оо.
Если р=0, то вероятность превышения такого поро¬
га равна единице как при отсутствии, так и при наличии
сигнала. Следовательно1, при р = 0 должно быть Рп.о=1
и Рл.т== 1 > т. е. точке D (рис. 14-5) соответствует р = 0.
Таким образом, при изменении «порога» р от беско¬
нечности до нуля точка М 'перемещается по рабочей
характеристике из начала координат в точку D\ каждо¬
му значению р соответствует одна вполне определенная
точка на рабочей характеристике и, наоборот, каждой
335
Рис. 14-5.
точке М на этой характеристике соответствует вполне
определенное значение «порога» |3.
4. Отмеченные !выше свойства рабочих характеристик
имеют место не только для оптимальных, но и для неоп-
тимальных,приемников.
Если же приемник является оптимальным (в смысле
любого из перечисленных -выше четырех критериев опти¬
мальности), то для него выполняется также соотношение
где ф — угол наклона касательной к рабочей характе¬
ристики в данной точке М этой характеристики
(рис. 14-5).
Так как в точке D получается р = 0, то в этой точке
\|э = 0, т. е. касательные к рабочим характеристикам
горизонтальны.
В точке О, где Р = °°, получается 'ф = -у-> т. е. каса¬
тельные -к рабочим характеристикам вертикальны. Отсю¬
да следует, что в оптимальных «прием-никах рабочие ха¬
рактеристики «а своем начальном участке (в точке 0)
имеют вертикальные касательные, а наконечном участке
(в точке D) — горизонтальные касательные.
Справедливость соотношения (14-30) доказывается
следующим образом.
Из рис. 14-5 следует, что
При данном значении отношения q сигнала к шуму ис¬
следуемая рабочая характеристика должна давать зависи¬
мость Рп о = f(Pji>7) Для оптимального приемника. При этом
каждой точке этой характеристики соответствует свое зна¬
чение р, например, в точке М
Для того, чтобы найти чему равен tg<|>, нужно, сохраняя
приемник оптимальным, дать бесконечно малое приращение
336
(14-30)
при
(14-31)
Р = Ро-
сф порогу p. Из рис. 14-5 следует, что изменение порога {5
вызывает изменение вероятностей Рпо и Рлт, т. е.
Pn.o = hm и РЛ.Т = МР), (14-32)
поэтому
и в точке М (р0)
fgfiW 1
L * -L
=rAi'm7~j‘ ■ <>«3)
С другой стороны, из (14-6), (14-8) и (14-20) следует,
что оптимальный приемник обеспечивает максимум вели¬
чины
г" = Р —ВР ;
П.О г* л т*
поэтому в точке М, где р = р0, обеспечивается максимум
величины
Z" = ^n.o-|W О4'34)
Из (14-32) и (13-34) следует, что при изменении р
функция
*"Ф) = Ш-ШР) (14-35)
должна иметь в точке j3 = p0 максимум; следовательно,
должно выполняться условие
dz"m
т. е.
$Q\dhm
J[3=Po L ^ J?=?o
Учитывая это соотношение, получаем из (14-33):
= По¬
следовательно, для приемника, оптимального в смыс¬
ле любого из первых трех критериев [т. е. обеспечиваю-
22 Л. С. Гуткин 337
щего минимум выражения (14-17) или максимум .выра¬
жения (М-34)], рабочие характеристики действительно
удовлетворяют соотношению (14-30).
Докажем теперь, что приемник, оптимальный в смыс¬
ле любого из первых трех критериев, оказывается, при
надлежащем выборе порога р,
оптимальным и в смысле -кри¬
терия Неймана — Пирсона.
Для этого нужно доказать,
что (при заданной (малой) ве¬
личине Рл.т приемник, обеспе¬
чивающий максимум величины
z" [формула (14-34)], обеспечи¬
вает при должном выборе Ро
также максимум вероятно¬
сти Р п.о*
На рис. 14-6 приведена ра¬
бочая характеристика при¬
емника (оптимального в смысле первых трех критериев)
для некоторого отношения сигнала к шуму q\. Пусть
задана вероятность ложной тревоги
Р =Р
Л.Т Л.т1*
Из рис. 14-6 следует, что данным q\ и Рл.ti соответ¬
ствуют вполне определенная точка М на рабочей харак¬
теристике, а следовательно, и вполне определенные зна¬
чения «порога» р и вероятности правильного обнару¬
жения:
р=р.;
р = р
п.о n.ol*
(14-36)
Докажем, что при данных значениях q — qi и Рл.т =
== Рл.т1 выбор прием'Ника, 'имеющего такую рабочую ха¬
рактеристику и такой .порог Р = Ро) обеспечивает получе¬
ние максимума вероятности Рп.о, т. е. удовлетворяет
критерию Неймана — Пирсона.
Каждому типу приемника и каждому значению вы¬
ходного порога (для приемника данного типа) соответ¬
ствует своя форма области А (т. е. области, при попа¬
дании в которую принимается решение о наличии сиг¬
нала). Выбор же области А в свою очередь определяет
величины вероятностей Рп.о и Рл.т (при данном q).
338
Рис. 14-6.
Следовательно,
Л,о = Л,.оИ(Р)| }
И } (14-37)
j
где запори Рд.0 И(Р)1 и Рл.т И(Р)] обозначают, чтоРп.0
и Рл.т зависят от области А, которая в свою очередь
зависит от порога р.
Пусть оптимальному лриемнику и порогу р0 соответ¬
ствует область Л,(р0), а приемнику, действующему по
другому .принципу (или имеющему другое значение «по¬
рога» Р), — область А (р).
Так как во всех случаях должна быть обеспечена
заданная вероятность Рл.т1 ложной тревога, то
Р,.,И,(М=Р„, I
и [ - (14-38)
Р„И(Р)] = Р„,. |
Следовательно, остается доказать, что при |3 = {30 и обла¬
сти А вида вероятность Рпо будет больше, чем при
любом другом виде области Л, т. е. что
Л,оИ1(Р„)]>Рп.0Иф)]. (14-39)
Из (14-34) следует, что область Л^Ро) соответствует
приемнику, обеспечивающему максимум величины
т. е.
Рп о [Аг (Р.)] - РоРл.т [А (Р.)] > РЛА (Р)1 -
-Р.^л.тИ(Р)]- (14'4°)
Но из (14-38) следует, что
рлт[А(Р.)]=ял.тИ(Р)];
поэтому (14-40) совпадает с (14-39), что и требовалось
доказать.
Следовательно, приемник, оптимальный в смысле
первых трех критериев, является оптимальным ив-смыс-
22* 339
ле критерия Неймана — Пирсона, если порог |3 выби¬
рается -по заданным Рл.т и q\, как показано на рис. 14-6.
Таким образом, при любом из указанных выше кри¬
териев оптимальности приемник имеет одинаковую
структуру, обеспечивающую вычисление коэффициента
правдоподобия 1(у) и сравнение его с порогом |3
(рис. 14-4). От принятого критерия оптимальности за¬
висит лишь величина порога |3.
При критериях 1, 2 и 3 порог |3 определяется по фор¬
мулам (14-25), (14-26) и (14-18) соответственно и не
зависит от отношения сигнал/шум. В случае критерия
Неймана — Пирсона |3 определяется <по рабочим харак¬
теристикам (рис. 14-5) для заданных значений Рлт и q
и, следовательно, зависит от отношения сишал/шум.
14-4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ. ПОРОГОВЫЙ
СИГНАЛ
Характеристики обнаружения дают зависимость ве¬
роятности ошибочного (или правильного) обнаружения
от отношения сигнал/шум и позволяют определить поро¬
говый сигнал (пороговое значение отношения -сиг¬
нал/шум), т. е. минимальный сигнал, обеспечивающий
заданное качество обнаружения. Характеристики обна¬
ружений могут быть .построены по рабочим характери¬
стикам и их вид зависит от выбранного критерия опти¬
мальности.
В случае критерия минимальной полной вероятности
ошибки (критерия идеального 'наблюдателя) качество
обнаружения характеризуется полной вероятностью
ошибки Рош, определяемой выражением (14-11). Поэто¬
му характеристикой обнаружения называется зависи¬
мость
Pom = h {Я)-
Она может быть 'построена по рабочим характер истокам
(рис. 14-5) следующим образом:
1. Определяем порог р ,по формуле (14-25).
2. На рабочих характеристиках (14-5) графическим
путем находим точки (по одной на каждой характери¬
стике), в которых тангенс угла наклона касательной
равен Р; т. е. для которых
340
*g + = P-
3. Определяем для каждой найденной точки, т. е.
для -каждого значения q, величины Рл.т 'И Рп.р и вычи¬
сляем по формуле (14-11) соответствующие значения
полной вероятности Рош.
4. По найденным значениям спроим зависимость Р0ш
от q.
Так, например, при р=1 характеристика обнаруже¬
ния флуктуирующего сигнала имеет вид, изображенный
на рис. 9-8.
В случае критериев 2 и 3 ха¬
рактеристиками обнаружения со¬
ответственно называются зависи¬
мости
Я = Ы<7) и z=f3(q).
Методика их построения ана¬
логична описанной выше, за ис¬
ключением того, что порог р оп¬
ределяется соответственно по
формуле (14-26) или (14-18), а
величины R и z вычисляются по формулам (14-12) и
(14-13).
В случае критерия Неймана — Пирсона характери¬
стикой обнаружения называется зависимость
Рпо = М<7) при Рл т = const.
Она строится -по рабочим характеристикам ('рис. 14-5)
следующим образом:
1. Через точку (Рл.т, 0), где Рл.т — заданная вероят¬
ность ложной тревоги, проводится вертикаль и нахо¬
дятся точки ее пересечения с рабочими характеристи¬
ками.
Для каждой из этих точек, а значит для каждого зна¬
чения q находится величина Рп.о-
2. По найденным значениям строится зависимость
Рц.о=f 4 (q) •
На рис. 14-7 приведена такая характеристика, вычис¬
ленная по кривым рис. 9-6 для Рд.т = 0,2,
По найденной характеристике обнаружения опреде¬
ляется пороговое отношение сигнала к шуму qMин, обес¬
печивающее да,нную вероятность правильного обнару¬
жения.
341
Рис. 14-7.
Найденному значению qMин и заданной вероятности '
Рл.т соответствует вполне определенная точка М на се¬
мействе рабочих характеристик (рис. 14-5). Танген-с угла
наклона касательной к рабочей характеристике в этой
точке определяет необходимую величину порога р:
14-5. СРАВНЕНИЕ МЕТОДА ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ С МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Согласно изложенному в II и Щ частях методу
обратной вероятности решение о наличии или отсутствии
сигнала производится на основании сравнения обратных
вероятностей Ру(хi) и Ру(х0) наличия и отсутствия сиг¬
нала соответственно. Если используется критерий м а-
ксимальной обратной вероятности, то 'принимается
решение о -наличии сигнала, если
и решение об отсутствии -сигнала—в противном случае.
При этом обеспечивается минимум полной вероятности
ошибки Рош-
Там же указывалось, что в тех случаях, когда опас¬
ность ложных тревог и пропусков с-игнала неодинакова,
решение о наличии сигнала должно приниматься лри
выполнении условия
где т] — некоторый весовой коэффициент, выбираемый
тем большим, чем более опасны ложные тревоги по
сравнению с пропускам-и сигнала.
Нетрудно убедиться, что эти критерии полностью
совпадают с изложенными в данной главе критериями
минимальной полной вероятности ошибки и минималь¬
ного среднего риска соответственно.
Действительно, учитывая, что
p=tgf
Р„(Хг)>Ру(Х0),
(14-41)
Ру(Хг)>У1Ри(х9),
(14-42)
и
Ру(х1) = кР{х1)РхХ{у)
Py(x0) = kP (х0) Рх0 (у),
(14-43)
342
условие (14-42) можно записать в виде:
' /ДО>Р,
где
(14-44)
Эти соотношения полностью совпадают с выражениями
(14-23), (14-24) и (14-26), если полагать
Следовательно, критерий (14-42), который можно назвать
критерием взвешенной максимальной обратной вероятности,
полностью совпадает с критерием минимального среднего
риска, т. е. обеспечивает минимум среднего риска.
Если положить
то условие (14-42) соответствует критерию максимальной
обратной вероятности, а в формулах (14-44) следует пола¬
гать
Эти результаты полностью совпадают с выражения¬
ми, полученными, исходя из критерия минимальной пол¬
ной вероятности ошибки (критерия идеального наблюда¬
теля). Следовательно, критерий максимальной обратной
вероятности совпадает с критерием минимальной полной
вероятности ошибки (критерием идеального наблюда¬
теля).
Статистические критерии 3 и 4 применяются, как
указывалось выше, в тех случаях, когда априорные ве¬
роятности Р(хо) и Р(хi) неизвестны, а следовательно,
неизвестны и обратные вероятности Ру(хi) и Ру(х0) [см.
формулы (14-43)]. Поэтому критерии 3 и 4 нельзя сопо¬
ставлять с. критериями, основанными на сравнении
обратных вероятностей. Однако, -как было доказано
выше, структура -оптимального приемника получается
для критериев 3 и 4 такой же, как в случае применения
критерия 1 или 2, — иной получается лишь величина по-
а
(14-45)
(14-46)
о)
Р(х о*
343
рога р Поэтому при конструировании оптимального
обнаружителя и исследовании его -свойств .сравнительно
безразлично, каким из указанных критериев пользо¬
ваться.
Наиболее распространенными вследствие своей про¬
стоты и наглядности являются следующие два критерия:
1. Критерий минимальной полной вероятности ошиб¬
ки (критерий идеального наблюдателя, критерий макси¬
мальной обратной вероятности).
2. Критерий Неймана — Пирсона.
Первый критерий чаще применяется в системах свя¬
зи, а второй — в радиолокации (так -как в системах свя¬
зи априорные вероятности Р{х\) и Р(х0) <во многих
случаях известны, а в радиолокации они, как правило,
неизвестны).
14-6. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРАВДОПОДОБИЯ
ДЛЯ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В § 14-3 было доказано, что в случае сигнала, изве¬
стного точно, олтимальный приемник (обнаружитель)
должен вычислять коэффициент правдоподобия 1(у) и
сравнивать его с порогом р. Ори этом коэффициент
правдоподобия определяется выражением (14-23). Выяс¬
ним теперь, какие особенности возникают, если сигнал
имеет паразитные случайные параметры, т. е.
У (0 = Их («1. • • • , <у. t) + Ujt).
При этом в соответствии с (8-9) — (8-11) имеем (пола¬
гая, что сообщение х не имеет статистической связи с па¬
разитными параметрами):
Py(Xi)== k ^ . J Р (Хх) Р. . . , ап) X
X^„ai (у) da,. . . da-
Ру{х9) = кР(х9)Рхй{у).
(14-47)
Поэтому условие (14-41), соответствующее критерию
минимальной полной вероятности ошибки (или критерию
максимальной обратной вероятности), может быть записано
в следующем виде:
/(г/)>р, (14-48)
344
где
j... j'p
(*/) rfa, . . . dan
l(y) =
px0 iy)
ft P (*o)
?~P(X i)*
(14-49)
(14-50)
Сравнивая выражения (14-48) — (14-50) с соответствую¬
щими выражениями для сигнала, известного точно, т. е.
с формулами (14-23) —(14-25), нетрудно убедиться, что
они совпадают, за исключением того, что при вычислении
коэффициента правдоподобия I {у) в числитель ставится
значение функции правдоподобия Р^ ^ ..,„ ({/)» усреднен¬
ной с учетом априорного распределения Р(а1? . . . , ап) всех
паразитных параметров сигнала.
Выражение (14-49) можно записать также в виде:
если коэффициент .правдоподобия, вычисленный в пред¬
положении, что все паразитные параметры он, ..., ап сиг¬
нала известны, т. е. 'что сигнал известен точно.
Из соотношений (14-51) и (14-52) следует, что коэф¬
фициент правдоподобия 1(у), соответствующий сигналу
с паразитными параметрами, может быть получен путем
статистического усреднения коэффициента правдоподо¬
бия /а^ (у) (найденного в предположении, что сигнал
известен точно) по всем паразитным параметра си, ..., ъп.
Вывод формул (14-48) — (14-52) был сделан выше
применительно к критерию минимальной полной вероят¬
ности ошибки. Для остальных критериев, как и в слу¬
чае сигнала, известного точно, все эти формулы остаются
справедливыми, за исключением того, что порог р дол¬
жен определяться не по формуле (14-50), а то форму¬
l(y)= j ... J P{a1,...,an)laJy)da1...dan, (14-51)
где
345
лам, соответствующим этим критериям [формулы (14-18),
(14-26) и т. п.].
На основании соотношений (14-18) — (14-50) может
быть найдена структура оптимального обнаружителя и
вычислены вероятности ошибок Рп.т, РПр и Р0ш для раз¬
личных видов сигналов.
Однако, как было доказано выше, метод, основанный
на вычислении коэффициента правдоподобия 1(у) и
сравнении его с порогом р, полностью эквивалентен ме¬
тоду, основанному на вычислении и сравнении обратных
вероятностей Ру{х\) и Ру{х0), изложенному в III части
книги. Поэтому анализ методом коэффициента правдо¬
подобия конкретных случаев, уже рассмотренных
в III части (обнаружение сигнала со случайной фазой
флуктуирующего 'и т. п.) дал бы только повторение всех
результатов и не имеет смысла.
Следует лишь отметить, что может быть получено не¬
которое упрощение математических выкладок (по
сравнению с приведенными в III части книги), если ис¬
пользовать свойство рабочих характеристик оптимально¬
го обнаружителя, характеризуемого соотношением
(14-30).
Из соотношений (14-30) и (14-31) следует, что для
оптимального обнаружителя
^по(р)
аРл.т (?)
(14-53)
где обозначения Рп о (р) и Рл Т(,В) указывают, что вероят¬
ность правильного обнаружения Рп 0 и вероятность ложной
тревоги Рл т рассматриваются здесь как функции порога р
(рис. 14-5).
Из формулы (14-53) и рис. 14-5 следует, что
p..°<P>=fp[5!Tr4‘'fi- (I4'S4)
00
[В рассматриваемом случае интегрирование происходит
по кривой ОМ (рис. 14-5), и переменная р изменяется
от бесконечности (в точке 0) до значения р, соответ¬
ствующего точке М, в которой определяется величина
Р П.о(Р)].
346
Формула (14-54) позволяет существенно упростить
вычисление вероятности правильного обнаружения Рп.0,
так как входящая в эту формулу вероятность ложной
тревоги Рд.т определяется при действии одного только
шума (без сигнала), а для определения величины Рп.о
без использбван'ия выражения (14-54) пришлось бы рас¬
сматривать случай совместного действия шума и сиг¬
нала.
Для иллюстрации этих положений рассмотрим обна¬
ружение сигнала со случайной фазой.
Для этого -случая <в гл. 9 были получены следующие
результаты:
= е 4<?0 , (9-34)
где
In (?) = + In pj^y (9-35)
здесь Р(0) и Р(а0) — априорные вероятности отсутствия и
наличия сигнала, т. е.
Р(0) = Р(хо) и Р(а0) = Р(х1).
Так как формула (9-35) была получена, исходя из кри¬
терия максимальной обратной вероятности (или, что то же
самое, критерия минимальной полной вероятности ошибки),
то справедливо соотношение (14-25), т. е.
Р(0) _/>(*,)«
Р(а„) />(*,)
Поэтому формулу (9-35) можно записать в следующем
виде:
Оо_ .
1о(2) = /°Р,
или I (14-55)
-9я. !
Р = е "•!. (г). J
Из этих соотношений следует, что между г и р суще¬
ствует взаимнооднозначная связь; поэтому формула (9-34)
347
выражает, в сущности, интересующую нас зависимость
Р (р) и выражение (14-54) можно записать в следующем
виде:
z Qo
(14-56)
ОО
Но из (9-34) следует, что
_N± ,
^Рлл JV0 4Q0
—; =— T^rze *
dz 2Q0
поэтому из (14-55) имеем:
Ъ ОО х2
= "°\хе iQ° 10(x).dx. (14-57)
2
Это выражение полностью совпадает с формулой (9-36),
полученной в гл. 9 иным, более громоздким путем.
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
15-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изложенная выше теория оптимальных методов
приема основана на том, что обнаружение или воспро¬
изведение сигнала (или сообщения) должно быть про¬
изведено в течение заранее фиксированного времени на¬
блюдения Т. Однако во многих случаях можно получить
лучшие результаты, если заранее (т. е. до начала на¬
блюдения) не фиксировать длительность наблюдения, и
решать вопрос о том, когда следует закончить наблюде¬
ние, в процессе самого наблюдения, в зависимости от
получаемых результатов.
Действительно, 'в некоторых опытах реализации ко¬
лебания помехи могут оказаться настолько благоприят¬
ными, что надежное обнаружение сигнала или воспро¬
изведение его параметров можно произвести значитель¬
но быстрее, чем в других опытах, когда реализации по¬
мехи оказываются менее благоприятными. Поэтому, если
348
заранее не фиксировать длительность Т наблюдения,
можно .получить в среднем (для многих опытов) значи¬
тельную экономию во времени наблюдения.
Такое наблюдение, при котором длительность наблю¬
дения Т заранее не фиксируется, а определяется самим
ходом эксперимента, называется последовательным на¬
блюдением (последовательным анализом). <В отличиеог
этого наблюдение с заранее фиксированной длитель¬
ностью называется простым или классическим.
Из сказанного выше следует, 'что при последователь¬
ном наблюдении длительность Т времени наблюдения
является величиной случайной, меняющейся от одного
о.пыта к другому.
В тех опытах, три которых реализации помехи ока¬
зываются благоприятными, время наблюдения полу¬
чается меньше своего среднего значения Т.
При неблагоприятных реализациях помехи, наоборот,
время Т может оказаться значительно больше, чем 7\
Основным преимуществом последовательного наблю¬
дения по сравнению с простым (классическим) является
уменьшение среднего значения Т времени наблюдения
(при простом наблюдении, очевидно, Т = Т). Его основ¬
ным недостатком является случайность времени наблю¬
дения и связанная с этим возможность таких ситуаций,
в которых окажется Т > Т.
Математическое исследование процесса, последова¬
тельного наблюдения (последовательного анализа) было
впервые произведено Вальдом и опубликовано в 1947 г.
[JI. 29]. В последующие годы Мидлтон, Бусганг, Блас-
балг, Башаринов, Флейшман и др. J7I. 16, 78, 85, 86 и
.121] с успехом применили разработанный Вальдом ап¬
парат для решения задачи об оптимальном последова¬
тельном обнаружении сигнала на фоне шума. Ниже
дается краткое изложение основных результатов, полу¬
ченных в этих работах. ••
15-2. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
ОБНАРУЖИТЕЛЯ
Рассмотрим последовательное бинарное обнаружение
сигнала. В результате наблюдения Должно быть выне¬
сено решение «да» (сигнал есть) или «нет» (сигнала нет,
имеется только шум).
349
Процесс наблюдения разбивается на ряд последова¬
тельных интервалов (ступеней) достаточно малой дли¬
тельности At (рис. 15-1). На первой ступени наблюдения,
в распоряжении «наблюдателя» (приемника) имеется
реализация yo\(t) смеси сигнала и шума (рис. 15-2,а).
На основе ©той реализации по
формуле (14-23) вычисляется ко¬
эффициент правдоподобия
Если бы к концу интервала At требовалось вынести
решение «да» или «нет», то коэффициент правдоподобия
следовало бы сравнить с некоторым порогом р (как это
имеет место при простом анализе) и *в случае превыше¬
ния этого порога дать ответ «да», а в противном слу¬
чае — ответ «нет». Однако при последовательном
обнаружении время окончания эксперимента (т. е. мо¬
мент вынесения решения) заранее не фиксируется; -по¬
этому к концу интервала At теперь возможны не два,
а три различных ответа:
1. «Да» (сигнал есть).
2. «Нет» (сигнала нет).
3. Решение («да» или «нет») вынести с достаточной
уверенностью еще невозможно и, следовательно, необхо¬
димо продолжить наблюдение, т. е. перейти к следую¬
щей ступени наблюдения.
Поэтому при последовательном обнаружении уста¬
навливаются не один, а два порога, pi и (?2(Рг>Pi)
Если оказывается
350
^ Рг»
(15-2а)
Рис. 15 1.
Рис. 15-2.
выносится решение „да“ (сигнал имеется) и, следовательно,
наблюдение заканчивается; если
МУо.ХРк (15-26)
то принимается решение «нет» (сигнала нет) и, следова¬
тельно, наблюдение также заканчивается.
Наконец, если оказывается
pi < tool) < pa. (15-2 в)
то решение не выносится, и наблюдение продолжается,
т. е. происходит переход ко второй ступени.
На второй ступени в распоряжении «наблюдателя»
(приемника) имеется уже реализация 1/012 (0, соответст¬
вующая интервалу 2Аt (рис. 15-2,6), и для нее вычис¬
ляется коэффициент .правдоподобия:
1ЛУог*) = р2(Ум) • (15'3а)
Величина 1г(у,,ц) снова сравнивается с порогами рх и
(32 и выносится решение „да*, если
^2 {У01г) ^> Ра>
или решение янет“, если
^2 (УOlt) Pi*
Если же оказывается, что
Pi</2to*i.)<P.. (15-36)
то решение не принимается и производится переход
к следующей, третьей, ступени наблюдения.
Далее процесс продолжается аналогичным образом
до тех пор, пока на-«акой-то ступени п коэффициент
правдоподобия 1п (у01...п) не окажется, наконец, боль¬
ше, чем Рг или меньше, чем Рь и, следователыно, бу¬
дет принято соответствующее решение («да» или «нет»).
На первый взгляд может показаться, что в некоторых
ситуациях последовательное наблюдение может длиться
бесконечно долго. Однако, как показал Вальд, для очень
широкого класса распределений реализаций г/i вероят-
351
ность того, что испытание закончится ('В течение конеч¬
ного времени), равна единице.
Ступень /г, на -которой заканчивается наблюдение
(анализ), называется конечной. Очевидно, п есть величи¬
на случайная, меняющаяся от одного опыта (закончен¬
ного наблюдения) к другому. Соответственно случайным
является и полное время наблюдения
Т = пМ.
(15-4)
Из изложенного выше следует, что при последова¬
тельном наблюдении пространство всех возможных реа¬
лизаций y(t) разбивается на три соприкасающиеся, но
не перекрывающиеся области А,
В и С (рис. 15-3). Если на дан¬
ной ступени номера i реализация
#01—»(0 попадает в область А
или В, то* принимается соответ¬
ственно решение «да» или «нет»
и, следовательно, наблюдение за¬
канчивается. Если же реализа¬
ция yo\...i{t) соответствует проме¬
жуточной области С, то решение
не принимается и наблюдение
продолжается.
Как и при простом наблю¬
дении, здесь возможны оши¬
бочные решения двух видов — ложные тревоги (решения
«да», 'когда сигнала нет) и пропуски сигнала (решения
«нет», когда сигнал имеется), с вероятностями Рл.т и
РПр соответственно. В оптимальном приемнике разбивка
на области Л, В и С должна производиться таким об¬
разом, чтобы обеспечить наилучшее в том или ином
смысле решение задачи обнаружения.
Качество последовательного обнаружения можно ха¬
рактеризовать линейной комбинацией вероятностей оши¬
бок обнаружения и среднего времени наблюдения, имею¬
щей вид:
Рис. 15-3.
где
352
(15-5)
Здесь, как й ранее!
Р(0) и Р (С) — априорные вероятности отсутствия й йаЛй*
чия сигнала соответственно;
Т — среднее (безусловное) значение времени на¬
блюдения;
Т (0) —среднее время наблюдения при условии,
что сигнала нет (т. е. средняя длитель¬
ность тех опытов, в которых сигнал отсут¬
ствовал);
Т (at) — среднее время наблюдения при условии,
что имеется сигнал с амплитудой аг (т. е.
средняя длительность тех опытов, в кото¬
рых присутствовал сигнал с амплитудой а^}\
с,, са и с, — некоторые весовые коэффициенты, учиты¬
вающие относительную опасность ложных
тревог, пропусков сигнала и большой сред¬
ней длительности наблюдения.
Очевидно, чем меньше величина R, тем лучше при¬
емник.
Критерий вида (15-5) отличается от соответствующих
критериев оптимальности 'простого (не последователь¬
ного) обнаружения [см., например, (14-12)] лишь тем,
что здесь качество приемника, помимо вероятностей оши¬
бок, характеризуется также средней длительностью
наблюдения т.
Вальд и Вольфович показали, что каковы бы ни бы¬
ли заданные вероятности ошибок Рл.т и Рпр, веса с\, с2
и с3 и априорные вероятности Р(0) и Р(С), никакой
способ наблюдения не дает меньших значений средних
длительностей наблюдения Т(0) и Т(а{), чем наблюде¬
ние, основанное на описанном выше последовательном
вычислении коэффициентов правдоподобия 1\{уо\),
h(yo\2) и т. п. и сравнении их с порогами Pi и Рг.
При этом пороги Pi и р2 должны определяться по
формулам:
(эти формулы верны при Pnp(ai) <0,5 и Рлт<0,5, что
обычно имеет место.)
23 л. С. Гуткин ~ 353
Последовательное обнаружение, определенное таким
образом, называется оптимальным последовательным
обнаружением.
Из сказанного следует, что такое обнаружение обес-
печивает .получение минимума 'средних длительностей
^(О) и T(ai), а следовательно, и минимума среднего
времени наблюдения Т при любых заданных вероятно¬
стях ошибок Рл.т и РПр, любых значениях априорных
вероятностей Р(0) и Р(С) и любых весовых коэффи¬
циентах Cl, С2 и с3.
Следует отметить, что формулы (15-6) были получе¬
ны Вальдом при упрощающем допущении, заключаю¬
щемся в там, что в конце испытания коэффициент прав¬
доподобия 1п{уо1...п) оказывается точно равным порогу
р2 или рь т. е. что не имеет места так называемого «пе¬
рехода за границы».
Если At -»-0, то это допущение полностью оправды¬
вается.
Действительно, если испытание закончилось на я-ой
ступени, то это означает, что на (п—1)-й ступени оио
еще не закончилось и, следовательно на (п—1)-й сту¬
пени величина tn-i (У01...П-1) еще не выходила за грани¬
цы, определяемые порогами Pi и р2.
С другой стороны, на п-й ступени испытание закон¬
чилось и, следовательно, на этой ступени величина
1п(уо\—п) должна была выйти за одну из границ, опреде¬
ляемых порогами pi и р2.
Но при At -*■ 0 коэффициент правдоподобия на п-ой
ступени получается таким же, как на (п—1)-й ступени.
Поэтому, если он не выходил за границы на (п—1)-й
ступени, то он не может выйти ни за едну из границ
и на п-ой ступени — на этой последней ступени он лишь
совпадает с одной из этих границ.
Если интервал At конечен, то на п-й ступени может
оказаться /п>Рг или /п<Рь т. е. может иметь место
переход за границы. Однако, как показано в ряде работ,
при п >1 (что обычно имеет место) формулы (16-6) и
полученные Вальдом на их основе приближенные соот¬
ношения практически достаточно точны.
Длительность At ступени наблюдения выбирается,
исходя из следующих соображений.
'Пусть Atk есть тот минимальный интервал между со¬
седними выборочными значениями реализации y(t), ори
354
котором эти значения можно считать статистически незави¬
симыми. Тогда, если выбирать At>\Ath, то лри увеличе¬
нии интервалу At будет увеличиваться и среднее время
наблюдения Т. Действительно, в этом случае увеличение
интервала At существенно увеличивает информацию
о наблюдаемом процессе у it), а в ряде случаев доста¬
точно надежное решение может 'быть получено и при
меньшем количестве информации, т. е. еще до окончания
данного интервала At. По¬
этому уменьшение интерва¬
ла At позволит в ряде слу¬
чаев ускорить лривятие ре¬
шения и, следовательно,
должно привести к умень¬
шению средней длительно¬
сти Т наблюдения. Следова¬
тельно, выбирать интервал
At 'большим, чем А4, невы¬
годно.
Если наоборот, выбирать
At ^ Atk, то дальнейшее
уменьшение интервала At не дает существенного умень¬
шения средней длительности наблюдения. Действитель¬
но, в- этом случае все выборочные значения процесса y{t)
внутри интервала At имеют между собой столь сильную
статистическую связь, что каждая ордината у (<*), взятая
внутри этого интервала, -практически полностью характе¬
ризует ©сю реализацию y(t) «а этом интервале. Поэтому
дальнейшее дробление такого интервала At на ряд бо¬
лее мелких интервалов не может дать сколько-нибудь
существенного улучшения качества обнаружения и
(в случае дискретной выборки) приведет лишь к излиш¬
нему усложнению системы (из-за увеличения числа сту¬
пеней наблюдения).
С учетом -приведенных выше соображений обычно вы¬
бирают:
A txAtk. (15-7)
При этом в целях упрощения расчета и конструкции
системы обычно ограничиваются учетом внутри каждого
интервала At лишь одной ординаты уи т. е. заменяют не¬
прерывную выборку (рис. 15-1) дискретной (рис. 15-4).
Если при этом интервал At выбирается в соответст-
23* 355
Рис. 15-4.
вии с соотношением (15-7), то такая замена непрерывной
выборки дискретной, с одной стороны, не дает сущест¬
венного ухудшения качества обнаружения, а, с другой
стороны, позволяет считать все выборочные значения у\,
У2,---,Уп статистически независимыми, что приводит
к весьма существенному упрощению анализа.
15-3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ ОБНАРУЖЕНИИ
С точки зрения математической статистики излагае¬
мые ниже соотношения соответствуют следующей по¬
становке задачи.
Последовательно наблюдаются случайные выбороч¬
ные значения у\, г/г, • • Уь Многомерный закон распре¬
деления этих значений известен полностью (для любого
числа i этих значений) за исключением единственного
неизвестного параметра 0 и обозначается:
Рв (У) = W (г/j, г/а,..., у? 6). (15-8)
На основании наблюдения должна быть проверена
гипотеза о том, что 0<0of относительно альтернатив¬
ной (взаимоисключающей) гипотезы Hi о том, что
05? 0! (где вж > в0).
Для того чтобы такая постановка задачи соответство¬
вала задаче обнаружения сигнала, необходимо, очевид¬
но, выполнение следующих условий:
1. Многомерный закон распределения наблюдаемой
смеси г/(if) сигнала и шума должен иметь только один
неизвестный параметр 0..
2. Параметр 0 должен быть таким, чтобы случай
0<0О однозначно соответствовал отсутствию сигнала,
а условию 0>0! также однозначно должно соответст¬
вовать наличие сигнала.
Нетрудно убедиться, что второе условие будет выпол¬
нено, если в качестве 0 выбрать «интенсивность» сигна¬
ла (амплитуду, среднее статистическое значение амплиту¬
ды, энергию, среднее значение энергии, энергетическое
отношение сигнала к шуму и т. п.), определенную таким
образом, что в отсутствие сигнала она .равна нулю
(0 = 0О = 0), а при наличии сигнала—«е меньше некото¬
рой заранее фиксированной величины (0>0,).
Рассмотрим в качестве иллюстрации несколько при¬
меров.
356
1. Сигнал a cos(orf+<p) известен точно, за исключе¬
нием амплитуды а, которая может иметь только два зна¬
чения: а=0 (когда сигнала нет) или а=а\ (когда сигнал
имеется).
В этом Случае смесь
y(t) = uc(t) + ujt)
имеет только один неизвестный параметр—амплитуду сиг¬
нала1, и если выбрать
6 = а\ bt=alf (15-9)
то будет выполнено также и второе условие.
2. Сигнал a cos(<otf+<p) известен, за исключением ам¬
плитуды а и фазы ф, причем фаза q> случайна и равно¬
вероятна в -пределах от 0 до 2л:.
В этом случае -можно применять последовательный
анализ к -колебанию не на входе -приемника, а на выходе
амплитудного детектора, включенного после оптималь¬
ного линейного 'фильтра. При этом в качестве выбороч¬
ных значений у\, у2 у% используются значения на¬
пряжения на выходе детектора, и единственным неиз¬
вестным параметром распределения этих значений яв¬
ляется амплитуда а.
Если сигнал, когда, он присутствует, имеет единствен¬
но возможное известное значение амплитуды а\, то мож¬
но полагать
0=а; 0!=^. (15-10)
3. Если в предыдущих двух примерах неизвестно, ка¬
кую амплитуду а будет иметь приходящий сигнал, то
перед проведением наблюдения задаются некоторым
значением ах этой амплитуды, для которой должна быть
обеспечена заданная вероятность пропуска Pnp(ai),
и полагают:
Ь — а\ 01 = а1. (15-11)
Построенное, исходя из этого допущения, последова¬
тельное обнаружение будет оптимальным, т. е. обеапечит
1 Здесь и далее всюду полагаетея, что закон распределения шу¬
ма известен полностью.
357
минимум средних длительностей наблюдения Т (0) и Т(а),
если, сигнал, приходящий на входе приемника, будет
действительно иметь амплитуду, равную выбранной ве¬
личине а\. Если же амплитуда а окажется не равной at,
действие приемника уже не .будет оптимальным. 'Поэто¬
му в качестве а\ .выбирают обычно минимальное
значение амплитуды сигнала, при котором требуется
обеспечить заданное качество обнаружения. Тем самым
гарантируется, что для минимального (надежно обнару-
жимого) сигнала действие приемника будет опти¬
мальным.
При увеличении амплитуды сигнала сверх значения
а\ действие приемника уже не 'будет оптимальным, но
это не так опасно, так как увеличение интенсивности
сигнала приводит к уменьшению вероятности пропуока
сигнала, даже несмотря на некоторую неоптимальность
действия приемника.
4. Если сигнал, когда он имеется, имеет шумоподоб¬
ный характер с полностью известным законом распре¬
деления, то единственным неизвестным параметром рас¬
пределения выборочных значений (у\ у*) является
действующее значение £/Эф напряжения сигнала и можно
полагать:
Если величина £/Эф заранее неизвестна, то, исходя из тех
же соображений, как в предыдущем примере, выбирают
в качестве £ЛЭф то минимальное действующее зна-'
чение напряжения сигнала, при котором требуется
обеспечить заданные вероятности ошибок Рщ, и Рл.т.
- Из приведенных примеров ясно, что при последова¬
тельном обнаружении 0 есть параметр, характеризую¬
щий интенсивность сигнала. При этом 0 = 0 соответст¬
вует отсутствию сигнала, а в = 0^ — наличию сигнала
ожидаемой интенсивности.
В общем случае интенсивность 0 реально приходя¬
щего" сигнала неизвестна; поэтому 0j называется ожи¬
даемым, значением интенсивности, т. е. тем значением,
в (расчете на которое строится оптимальное обнаруже-
358
(15-12)
где
ййе. В отличие от §тйго б обозначаёт тб значёние интен¬
сивности сигнала, которое действительно имеет место
в течение данного опыта обнаружения и может быть рав¬
ным либо нулю, либо бц либо (в общем случае) любому
другому значению. ■
Перед началом последовательного наблюдения за¬
данными являются вероятности ошибок обнаружения
Рлл* и Рпр(б,). Здесь символ Рщ, (6J обозначает, что
заданная вероятность пропуска должна быть обеспечена
для тех случаев, когда интенсивность сигнала равна
ожидаемой величине, т. е.
Исходя из заданных величин Рл.т и Рпр (б^ выби¬
раются пороги Pi и Рг, определяемые в соответствии
с формулами (15-6), а именно:
Основными характеристиками обнаружителя (приемника),
определяющими качество его работы и подлежащими рас¬
чету, являются следующие:
1. Зависимость
где Г (б) и я (0) — средние (статистические) значения вре¬
мени наблюдения Т и объема выборки я, определенные
при условии, что интенсивность сигнала на входе равна б.
Так как в соответствии с (15-14) между Т(б) и я (б)
существует взаимооднозначная и притом весьма простая
связь, в дальнейшем для краткости будем рассматривать
лишь средний объем выборки я (б).
Частными, но важными значениями функции я (б) являются
я(0) и я(б}), т. е. средние значения выборки соответст¬
венно при отсутствии сигнала и при наличии сигнала ожи¬
даемой интенсивности 6t.
Типичная характеристика я(б) приведена на рис. 15-5.
Она имеет максимум при некотором .критическом значении
бкр интенсивности сигнала, причем
Здесь Рлт<0,5 и Рпр (б^ <0,5.
7’(в)=А/- я (в),
(15-14)
0<®кр<вх-
359
Рис. 15-5.
Наличие этого максимума объясняется следующим
образом. При достаточно большой интенсивности сигнала
(0 9i) испытание заканчивается в среднем сравнитель¬
но 'быстро, так как при этом велика вероятность 'превы¬
шения суммарным выходным эффектом верхнего
порога р2.
При отсутствии сигнала (0 = 0) испытание также за¬
канчивается в среднем сравнительно быстро, так как при
этом сравнительно велика ве¬
роятность того, что эффект
одного шума будет меньше
нижнего порога pi.
Если же сигнал имеется
(0=7^0), но интенсивность
его сравнительно невелика
(®<C®i)> то колебание на вы¬
ходе приемника [вычислителя
1(у)] находится большую часть
времени между порогами Pi и
Рг и проходит сравнительно большое время, пака это
колебание окажется ниже порога Pi или выше порога Рг-
2. Зависимость L (0), называемая оперативной
характеристической функцией.
Здесь L (0) есть вероятность принятия после оконча¬
ния испытания гипотезы Н0 об отсутствии сигнала при
условии, что интенсивность сигнала .на входе равна 0.
Так как после окончания испытания обязательно при¬
нимается гипотеза #оилиЯ1,то1—L (0) есть вероятность
принятия (после окончания испытания) гипотезы Нх
о. наличии сигнала, определенная также при условии,
что интенсивность сигнала равна 0.
Из этих определений следует, что
1 L (0) = Рал,) (1515)
Типичная характеристика L(6) изображена на рис. 15-6.
Так как при 0=^0 величина L(b) есть не что иное,- как
вероятность пропуска сигнала, имеющего интенсивность
Ь, то естественно, что L(d) монотонно убывает при возрас¬
тании 6.
Из сказанного выше (стр. 353) следует, что обнаружи¬
тель дает оптимальные результаты лишь при 0 = 0 и 0=О1
[обеспечивает минимум величин п (0) и п (0t) при заданных
360
Рлт и /)пр(01)]. Однако из кривых рис. 15-5 и 15-6 видно
что при 9 > 0Х качество обнаружения с ростом 0 монотонно
улучшается (среднее время наблюдения и вероятность про¬
пуска сигнала уменьшаются). Поэтому, если, как указыва¬
лось выше, 0t соответствует минимальному значению
интенсивности сигнала, отступление режима обнаружения
от оптимального, имеющее место
при 0>0Х, не является опасным.
Так как объем выборки п(0)
является величиной случайной,
меняющейся от одного опыта к
другому, важно знать не только
среднее значение п (0) объема
выборки, но и закон распределе¬
ния величины п (0). К сожалению,
до настоящего времени не уда¬
лось получить достаточно об¬
щих соотношений для вычисления этого закона распреде¬
ления, и большей частью, да и то не всегда, удается вы¬
числять лишь дисперсии а2п (0) и ъ2п (в ) величин п (0) и п (6J.
Ниже дается краткое изложение методики вычисления
характеристик п (0), L (0) и дисперсий а2п (0) и ап (0i) для слу¬
чая, когда выборочные значения yt, уй, ..., у{ статистиче¬
ски независимы.
Функция jL(0) определяется по формуле
<15-16>
где h — вспомогательный параметр, определяемый из
функционального уравнения
I ргет?’Г(М,ф‘=1- <15'17)
—ОО
Здесь W(yi, 0) — одномерная плотность вероятности вы¬
борочного значения г/i при условии, что интенсивность
сигнала равна 0. Поэтому W(yuO) и W(yt, 0,) —одно¬
мерные распределения выборочных значений г/i соответ¬
ственно при отсутствии сигнала (0 = 0) и три наличии
сигнала с интенсивностью 0,.
361
Рис. 15-6.
Средний объем выборки п(Ь) определяется по формуле
г L (8) In р, + [1-&(е)]1пЬ
где
2(0)
9.)
П (6):
Z^i) = ln W (yt, 0) ’
z(y.)W(y.,b)dy.,
(15-18)
(15-19)
(15-20a)
т. e.
*(«) =
(15-206>
Из соотношений (15-15) и (15-18) следует, что
0— ^л.тНп Р. + ^лт И*
«(0)
«(6Х)=
2(0)
Л,Р(в.)1пр. + [>-Л,р(е,)]1пр!!
F(oy
(15-21)
(15-22)
Из (15-13), (15-21) и (15-22) следует, что при Рлт<
;0,1 и Рпр (6X)<0,1 можно полагать:
1
п (0)
«(6i)
In
/-«W
^пр(6.)
-2(0)
1
In
\ ж —
р
1 л.т
z(6,)
(15-23)
Для дисперсий о2п{0) и о*(в ) величин я(0) и п(0,) при
малых Рл т и Рпр (бх) справедливы следующие приближен¬
ные формулы [Л. 16 и 85]:
п (0)
°|(0)1ПР.
(15-24)
362
_2 _ г (в,) шРг
п(в*>~ [Щ)]* ’
°г (в.)1п
(15-25)
где
**<«) = ИОД*-[* (в)]*;
(15-26)
00
[г(в)]«= J 2'(y.)W(yi,b)dy-
(15-27)
—00
°*(0) и °!(в,) — значения дисперсии <£(#) при 6 = 0 и 0=01
соответственно.
По формулам (15-16) — (15-26) можно рассчитать основ¬
ные характеристики оптимального последовательного обна¬
ружителя.
Из формулы-(15-16) следует, что при h — 0 величина
L (0) становится неопределенной. Соответственно оказы¬
вается неопределенной и величина «(0), определяемая по
формуле (15-18). После раскрытия этих неопределенностей
получаются следующие соотношения:
где 0' есть значение 0, при котором h = 0.
В следующем параграфе приводится пример, иллю¬
стрирующий применение приведенных выше формул и
дающий представление о качестве последовательного
обнаружителя.
15-4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал состоит из периодической последова¬
тельности (пачки) независимо флуктуирующих импуль¬
сов и проходит (вместе с шумом) через оптимальный ли-
363
1(0')
(15-28)
и
(15-29)
нейный фильтр, согласованный с сигналом, т. е. имею¬
щий полосу пропускания
(15-30)
И
где ти — длительность каждого импульса.
На выходе фильтра включен линейный безынерци¬
онный детектор, выделяющий огибающую суммы сигна¬
ла и шума (или одного только шума). Распределение
импульсов ожидаемого сигнала во времени в месте прие¬
ма известно, и требуется определить, имеется такой сиг¬
нал на входе приемника или нет.
Для решения этой задачи применяется последова¬
тельный анализ напряжения y{t) на выходе детектора.
Выборки у\, г/г, • • г/г этого напряжения берутся в мо¬
менты t\, t2, . . ., U, соответствующие моментам оконча¬
ния на входе приемника импульсов ожидаемого сигнала
(так как при появлении на входе оптимального линей¬
ного фильтра импульса сигнала, амплитуда сигнала на
выходе этого фильтра достигает максимума в момент,
соответствующий окончанию входного импульса).
Следовательно, интервал At выборки равен
где Тп — период повторения импульсов сигнала.
Так как Тп>ти, а полоса Я фильтра удовлетворяет
соотношению (15-30), можно считать, что при таком вы¬
боре интервала At выборочные значения г/* взаимно ста¬
тистически независимы как для одного шума (при отсут¬
ствии сигнала), так и при наличии сигнала.
При отсутствии сигнала, когда на входе детектора
действует только нормальный шум, распределение зна¬
чений Ух напряжения на выходе линейного детектора под¬
чиняется закону Релея:
-4- 1
и. 2t/m I
У(Ур°)=ТТГ* приг/.>0, } (15-31)
|
W(y., 0) = 0 при г/(.<0, j
364
где Um — действующее значение напряжения шума на
входе детектора (т. е. на выходе оптимального
фильтра).
При наличии описанного выше сигнала распределение
принимает вид [см. (9-73)]:
у, 2£/щ|л’
W (уг ца) = ~2 ~е при у.> 0;
иш1х
w (уГ V-2) = 0 при г/;<0,
где в соответствии с (9-73) и (9-78)
^ ш
-See — энергия одного импульса пакета;
п
Qcp — энергия всего пакета (из п импульсов).
Обозначим:
6 = _5нр ;
N,n
(15-32)
(15-33)
(15-34)
тогда при отсутствии сигнала
6 = 0,
а при наличии сигнала с ожидаемой средней энергией Qcp]
‘ N„n •
(15-35)
Поэтому распределение (15-32) можно записать в следую¬
щем виде:
2
w(yi, в) =
У1
иц(1 +0)
2С/П, (1+0)
е при у. > 0,
W (у., 6) = 0 при у. < 0.
(15-36)
365
Подставляя выражения (15-31) и (15-36) в формулу (15-19),
имеем:
г(уЛ = 1п . ? й Н —о-» (15-37)
1 +0, 1 (1 +е,)2^ v ’
Из (15-20а) и (15-37) следует, что
—7JTT 1 1 I
2О- d-t-wui’
где
2
У1
о
поэтому
^“‘"плг+гтв;!^®)- <1М8>
Далее из {15-27), (15-36) и (15-37) находим, что
Й№=(‘» н^у+2{1пн^),-г^< ?+
+[o+^]V ■ (15-39)
где
y\J]У* W (у,, b)dy. = 2(1 + 0)2 iUl. (15-40)
о
Подставляя (15-38) и (15-40) в (15-39), получаем:
[г (в)]’ = (in +2 (in првг)6;,"/,’) +
+2[ттт-]2' (15'41)
Из (15-38) и (15-41) находим:
<15-42>
2
°г(в) =
366
Отсюда следует, что
А f у 1 г тт №
г(0) ^1 -)- е,)J и z (во ~ 1
(15-43)
Из (15-21), (15-22) и (15-38) имеем:
п( 0) = -
'пп^+и1+0>)
П{Ь1) =
Рпр(0.)1пр, + [1
■Л,Р(в«ЯМ»
01— In (1 + 0,)
(15-44)
По формулам (15-24) и (15-25) находим [с учетом соот¬
ношений (15-38) и (15-43)], что
V „
1 + ej Inf,
п (О)'
[ттт,- 1п(!+е>)]
в? In
(15-45)
“«(в,)— [0, — in(1 + в,)]2 •
По формулам (15-44), (15-45) и (15-13) нетрудно рас¬
считать средние объемы выборок л (0) и п (62) и их диспер¬
сии а2п{0) и <з2п (в) для заданных значений 6а, Рпр (0,) и Рл т .
Пусть, например, 0, = 1; Р[ф (0,) = 0,1 и Рлт = 10-*.
Тогда из указанных формул получим:
ЛЩ= 11,5; ^(0Г) = 2О. 1
_ о с. _ ip | (15-46)
°л (0) °> 5> °п (в,) 16- J
При этом
= 0,74 и ^?4 = 0,8.
«(0) п (0,)
Значительно труднее рассчитать характеристики 1(6) и
п(6) для произвольных значений интенсивности сиг¬
нал? 6 (а не только для 6 = 0 и 0 = 0j).
367
Для этого необходимо в первую очередь найти вспомо¬
гательный параметр h — h(0) из функционального уравне¬
ния (15-17).
В рассматриваемом случае, когда распределение W (у., 0)
описывается выражением (15-38), уравнение (15-17) прини¬
мает вид:
в,у?
' /\
ГГ 1 . yj_
J L1 + 0» J и\Л 1
tc(l+6)
-у?
(1+в) 2£/2
Хй шс1у.= 1.
Решение этого уравнения [Л. 85] имеет следующий
вид:
(1 + 0/ - Л0Х (1 + 0/-' (1 + 0) = 1. (15-47)
Это уравнение является трансцендентным относительно
h. Поэтому приходится находить зависимость Л от 0 путем
решения уравнения (15-47) не относительно h, а относи¬
тельно 0:
>= С +«■)-(;+ »■ ,,548)
1По этой формуле для заданного 0j нетрудно по¬
строить зависимость 0 от h. Для 0t=l эта зависимость
изображена на рис. 15-7. При этом значению h=О соот¬
ветствует
0 = 0'= 0,4. (15-49)
На основании кривой рис. 15-7 можно вычислить за¬
висимость L(b), определяемую формулой (15-16). При
этом в точке неопределенности (0 = 0', h=0) вместо
формулы (15->16) для расчета следует применить фор¬
мулу (15-28).
Таким способом вычислена характеристика L (0),
изображенная на рис. 15-8 и соответствующая Pnp(®i) =
= 0,1,Рл.т=10-3и в1 = 1,
358
В точках 6 = 0 и 0=0,=1 эта характеристика, как и
следовало ожидать, дает исходные величины:
1(0)=1-Рлт = 0,999,
Ц9г) = Ра р(8х) = 0,1.
Зависимость п (6) вычисляется по формуле (15-18). При
этом значения L (0) берутся из графика, приведенного на
рис. 15-8, а величина 2(0) вы¬
числяется по формуле (15-38).
1.0
0JS
ом
0.2
О
-<кг
-ОА
\цв)
Рис. 15-7.
Рис. 15-8.
В точке неопределенности (0 = 0', h — 0) величину
я(0') следует вычислять по формуле (15-29).
В рассматриваемом случае из (15-38) имеем:
Г^ЖЛ 9,
I. db J9=e, —1+0/
Из (15-48) находим:
поэтому
24 л. с. Гутквч
(d^\ _ (1+е,)[1п(1 +8,)Р
\dlt )h=0
(~) =
\ , 8=9'
20,
20,
(1+0,) [In (1 + 0,)^ •
(15-50)
(15-51)
369
Построенная таким образом характеристика «(0) приве¬
дена на рис. 15-9. При 0 = 0 и 0 = 04 она имеет уже най¬
денные выше значения п (0)= 11,5 и /г (04) = 20.
15-5. СРАВНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
С КЛАССИЧЕСКИМ
Сравним теперь результаты, получаемые при после¬
довательном обнаружении, с соответствующими результа¬
тами классического бинарного обнаружения.
Выигрыш, получаемый при последовательном обнару¬
жении, можно характеризовать отношениями:
Здесь п — объем выборки при классическом бинарном
обнаружении с теми же значениями интенсивности сигнала
0Х и вероятностей ошибок Рл т и Рпр.
В рассматриваемом случае обнаружения последователь¬
ности независимо флуктуирующих импульсов сигнала, при
классическом бинарном обнаружении справедливы кривые,
приведенные на рис. 12-9.
На этом рисунке по оси ординат отложено отношение
где
(15-53)
где Qcp — суммарная энергия п импульсов. Поэтому
О
370
Рис. 15-9.
в соответствии с (15-34) имёёМ:
Qcp л
Na ~п®’
а для ожидаемой интенсивности сигнала 0,
Qcp
-nbv (15-54)
Произведем сравнение при следующих значениях вели-
чин 0Х, Рлт и Япр (0J:
»ж=1; рл.т=I0's; япр(01)=о,1,
Яп.о=1—/>„p(ei) = 0»9-
При этом формула (15-54) дает:
3*L = n,
N.
и из кривой рис. 12-9, соответствующей Рлт = Ю-3 и
Рп о = 0,9, находим, что
л = 35. (15-55)
Для последовательного анализа при тех же значениях
Рл.т и РПр (<>х) выше были получены соотношения (15-46).
Поэтому из (15-46), (15-53) и (15-55) имеем:
= = 3,05; -=^=-=1,75;
п (0)' ^1(0»)
п 35 1,75
п ~ 11,5/>(0) + 20[1 — Р(0)]~ 1—0,42/>(0) ‘
Из последнего соотношения следует, что выигрыш
-=- в среднем (безусловном) объеме выборки зависит от
П
априорной вероятности отсутствия сигнала Р(0) и возра¬
стает с ростом этой вероятности. При вероятности Р(0),
равной 0; 0,5 и 1, получается соответственно
-4 = 1,75; -4=2,2 и ^- = 3,05.
п п п
24* 371
Из этих данных следует, 4to в рассмотренном случае
выигрыш в среднем объеме выборки (т. е. в средней дли¬
тельности Т наблюдения) составляет [в зависимости от
априорной вероятности Я(0)] 1,75 3,05. При этом наи¬
большая величина выигрыша (3,05) соответствует значению
Р(0)=1 или [при Р (0) =тМ] случаям отсутствия сигнала.
Как показывают расчеты [Л. 85], при уменьшении до¬
пустимой вероятности ложной тревоги и прочих равных
условиях выигрыш ” монотонно увеличивается и может
значительно превышать единицу. Например, при 0Х=1,
^np(0i) = o>9 и ^л.т = 10"в получается:
Рассмотренные выше примеры соответствовали соотно¬
шению Рл т < Рпр (0t). Если же по условиям задачи
то, как показывают расчеты различных авторов, выполнен¬
ные для нескольких типов сигналов, получается:
п _ _п 2
п (0) п (0,)
Так как при этом получается
/г (0) /г (Qi),
то из (15-53) получаем:
п == пЩ [Р(0)-f- Р(С)] = /г(б)
и, следовательно,
4-» 2.
п
Из этих данных следует, что при Рл.т~РПр(01) по¬
следовательный анализ дает выигрыш в средней дли¬
тельности наблюдения примерно в 2 раза. Если же
Рл.т <РПР(01), то выигрыш может быть значительно
большим, особенно если вероятность отсутствия сигна-
372
ла Р(0) достаточно велика или если выигрыш оцени¬
вается лишь отношением п/п(0), т. е. только для случаев
отсутствия сигнала. Поэтому последовательный ана¬
лиз наиболее целесообразно применять в тех слу¬
чаях, когда по условиям задачи должно быть Рал ^
Лц> (вi) я когда априорная вероятность отсутствия
сигнала значительно 'больше априорной вероятности на¬
личия сигнала, т. е. Р(0) > Р(С). Такая ситуация не¬
редко имеет место в задачах, решаемых радиолокацией.
Однако наряду с указанным преимуществом после¬
довательный анализ обладает по сравнению с класси¬
ческим весьма существенными недостатками.
Первым недостатком является случайность объема
выборки п, т. е. длительности наблюдения Т.
IB рассмотренном выше примере [см. соотношения
(15-46)] стандартное отклонение ап объема выборки от
его среднего значения составляет 74—80%. Расчеты,
проведенные различными авторами для нескольких ти¬
пов сигналов, показывают, что и в других типичных слу¬
чаях стандартное отклонение ап составляет 50—80% от
среднего объема выборки. Это означает, что в довольно
значительном проценте опытов время наблюдения мо¬
жет .превосходить его среднее значение в несколько раз.
Для ослабления этого недостатка применяется так
называемый усеченный последовательный анализ.
При этом заранее устанавливается, что максимальное
значение Гмакс времени наблюдения, по истечении кото¬
рого анализ должен обязательно закончиться (если он
не закончился раньше).
Пока длительность наблюдения не превышает Гмакс,
т. е. число ступеней t не превышает величины
Т
1 макс
макс Дt 9
последовательное наблюдение проводятся по ступеням
обычным образом, т. е. с двумя порогами Pi и рг. На
ступени «макс вместо двух порогов Pi и Р2 устанавли¬
вается всего один noffor Рз (как при классическом бинар¬
ном обнаружении). Поэтому, если до перехода к этой сту¬
пени наблюдение еще не закончилось, то на этой сту¬
пени оно закончится обязательно принятием решения
«нет» (если окажется ^макс< Рз) или решения «да»
(если I >р3).
»*МЯ VI* 1 '
373
Проведение такого успения наблюдения ria ctytieM
«макс исключает возможность весьма больших длитель¬
ностей наблюдения Т, значительно превышающих Т.
Однако, чем меньше выбранное Гмакс, т. е. чем более
существенным сделано усечение, тем меньше будет
выигрыш — в среднем времени наблюдения, получае¬
мый при последовательном анализе. Это объясняется
т
тем, что при уменьшении отношения ■ ^ последова¬
тельный анализ приближается по своему характеру
к классическому.
Вторым недостатком последовательного анализа по
сравнению с классическим является его большая слож¬
ность.
Существенное упрощение -последовательного анализа
достигается предварительным преобразованием непре¬
рывных выборочных значений t/i в квантованные двоич¬
ные величины — единицы и нули.
Такой упрощенный метод рассматривается в следую¬
щем параграфе.
15-6. последовательный анализ квантованных
ВЫБОРОК
При рассматриваемом методе последовательного
анализа выборочные значения уи у2, ..., yi предваритель¬
но преобразовываются в еди¬
ницы и нули при некотором
пороге уо квантования (рис.
15-10): если уг>уо, то на
выходе квантующего устрой¬
ства выдается единица,
а в противном случае (при
yi<yo) — нуль.
Таким образом, на выхо¬
де квантующего устройства
образуются единицы и ну¬
ли, которые и подвергаются
последовательному анализу.
Интервал At выбирается
так, чтобы все результаты
наблюдения (т. е. все едини-
374
Рис. 15-10.
цы и нули) были между собой статистически незави¬
симыми.
В целях дальнейшего упрощения полагают обычно,
что полезная информация (т. е. информация о наличии
или отсутствии сигнала) содержится исключительно в
количестве единиц (или нулей) на данном интервале
наблюдения (t At), т. е. пренебрегают влиянием р а с по¬
ложения единиц во ©ремени внутри этого интервала.
Вероятность того, что на интервале i At окажется ki
единиц и, следовательно, (г—ki) нулей, определяется
известным биноминальным распределением:
есть вероятность того, что у. превзойдет у0, т. е. вероят¬
ность появления единицы на выходе квантующего устрой¬
ства.
Индекс 0 у величин Wb(kt, уа) и Я„ подчеркивает то
обстоятельство, что эти величины зависят от интенсивности
сигнала 0. Поэтому вместо (15-56) можно записать:
Здесь Рь и Р0 — вероятности появления единицы при на¬
личии сигнала ожидаемой интенсивности 0Х и при отсутст¬
вии сигнала (0 = 0) соответственно, a Wbi{kv у0) и
Wt(ki, у0) — биноминальные распределения при наличии
сигнала интенсивности 0Х и при отсутствии сигнала (0 = 0)
соответственно.
Из (15-57) следует, что логарифм коэффициента правдо¬
подобия в рассматриваемом случае равен [см. также (15-19)]:
Здесь
W№r *•>= W-W P*i{l~PJ kl (15‘56)
(k{ — 0, 1, 2,.. .,t).
Pt = Pt(yi> Уо)
Ptl-V-Pj 4 . (15-57a)
Po(l-Po)1 (15-576)
375
или
z
В соответствии с правилами последовательного анализа
на каждой ступени i анализа величина z(i, у0) должна
сравниваться с порогами (5Х и ра, определяемыми формулами
(15-13):
если z(i, y0)<C$t, то принимается гипотеза '
Я0 (сигнала нет);
если z(i, t/0) то принимается гипотеза
Нг (имеется сигнал с интенсивностью 6^;
наконец, если оказывается
Pi <2 (г, у0)<р1,
(15-59)
(15-60)
то испытание продолжается, т. е. происходит переход к
следующей ступени наблюдения.
На основании соотношений (15-58) — (15-60) легко
получаются следующие области решений:
если к. < , то принимается гипотеза Я0;
с +
если kt >• , то принимается гипотеза Ях;
. л -j- i
с+ 1
дение) продолжается.
Здесь
а =
, то испытание (наблю-
lgP>
(15-61)
1r P.
,p•«
(15-62)
, l-p*
lg 1 — P,
e.
. l~p°
lgT^rp-
376
На основании рассмотрения соотношений (1'5-61) и
(15-62) можно сделать следующие заключения:
1. Последовательный обнаружитель полностью опре¬
деляется тремя параметрами а, b и с, являющимися функ¬
циями четырех параметров, р2, Л> и Р9
2. Параметры а, Ъ и с зависят, помимо прочего, от
порога квантования уо (так как от этого порога зависят»
вероятности Рвг и Ро) ■ Поэтому для обеспечения наи¬
лучшей работе последовательного обнаружителя необхо¬
димо подобрать надлежащий (оптимальный) порог кван¬
тования.
3. Так как в процессе последовательного анализа,
параметры а, b и с остаются неизменными, то этот ана¬
лиз сводится к счету числа единиц на выходе кван¬
тующего устройства и сравнению этого числа с порогами
в соответствии ic весьма .простыми соотношениями
(15-61).
Из сказанного следует, что рассматриваемый после¬
довательный обнаружитель сравнительно прост по кон¬
струкции и его основными элементами является кван¬
тующее устройство, превращающее наблюдаемую смесь
у (t) сигнала и шума в последовательность единиц и ну¬
лей, и двоичный счетчик.
Введение квантования приводит к некоторой потере
полезной информации (см. рис. 15-10). Поэтому после¬
довательный анализ квантованных выборок в .принципе
должен давать худшие результаты, чем описанный в пре¬
дыдущих параграфах оптимальный последовательный
анализ неквантованных выборочных значений. Однако,
как показали теоретический и экспериментальный ана¬
лизы, выполненные рядом авторов (J1. 16, 85 и 121], по¬
лучающийся при этом проигрыш в типичных случаях
сравнительно невелик. Так, например, при обнаружении
синусоидальной несущей (и оптимальном выборе порога
квантования у0) введение квантования приводит к уве¬
личению среднего времени наблюдения примерно в 1,5
раза {Л. 16].
Поэтому в ряде случаев существенное упрощение кон¬
струкции обнаружителя, имеющее место при введении
квантования, может вполне окупить получающееся при
этом некоторое ухудшение качества обнаружения.
377
глава шестнадцатая
АНАЛИЗ ПРИЕМА НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ
МЕТОДАМИ ОЦЕН1КИ ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
16-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
Рассмотрим сначала основные положения так назы¬
ваемой классической теории статистических оценок, т. е.
теории, сформировавшейся уже несколько десятков лет
назад, а затем выясним, в какой мере эта теория при¬
менима к решению задач приема непрерывных сообщений
на фоне шума. Применение новейшей теории стати¬
стических оценок, начало которой было положено рабо¬
тами А. Вальда [Л. 30], рассматривается в следующей
главе.
В классической теории оценок задача ставится сле¬
дующим образом:
Имеется выборка из п случайных величин уи
г/2, ..., уп (не обязательно статистически независимых),
имеющих закон распределения, известный точно, за
исключением нескольких параметров «и, «г, ..., ат. Для
простоты будем вести кзложение сначала применительно
к случаю, когда неизвестным является лишь один из
параметров распределения а. Это означает, что придан¬
ном а известна я-мерная плотность вероятности
рл{у)=1(у»---> у* *)• (16-J)
Требуется .на основании данной выборки (уи ..., уп)
установить величину параметра а.
Предполагается, что в процессе данной выборки
параметр а остается неизменным. При переходе же от
одного опыта к другому (т. е. от одной выборки к дру¬
гой) искомый параметр а может изменяться как слу¬
чайная величина или оставаться неизменным.
Так как выборочные значения уи ..., уп являются слу¬
чайными величинами, а объем выборки п конечен, тона
основании анализа выборки установить величину пара¬
метра а совершенно точно невозможно, — можно сде¬
лать лишь приближенное заключение о его величине или,
как говорят, произвести его оценку. При этом возможны
378
следующие принципиально различные методы оценки
искомого параметра:
1. Точечная оценка.
2. Оценка интервала.
■При точечной оценке в результате анализа выборки
выдается некоторая величина «*, являющаяся функцией
выборочных значений (t/i, ..., уп) и принимаемая за
•истинное значение параметра. Эта величина а* назы¬
вается оценкой параметра а.
Вид функции.
** = 1(Уг,---,Уа) (16-2)
подбирается таким образом, чтобы оценка а* была возможно
ближе (в каком-либо заранее сформулированном смысле) к
истинному значению а, т. е. чтобы ошибка
8 = а* — а, (16-3)
возникающая при оценке, была возможно меньшей.
Вследствие случайности величин а* и а ошибка 8 также
является случайной величиной, меняющейся от одного опыта
к другому. Поэтому качество оценки характеризуется пол¬
ным совместным законом распределения величин а* и а
Р(а* а) = Р (а) Ра (а*). (16-4)
Однако во многих случаях априорное распределение
Р(а) искомого параметра а неизвестно, а в некоторых
случаях параметр а вообще не являемся по своей физи¬
ческой природе случайным. 'В этих случаях вместо без¬
условного распределения Р(а*, а) приходится доволь¬
ствоваться условным распределением Ри («*), харак¬
теризующим закон распределения оценки а* при данном
значении параметра а (этот закон должен быть найден
для всех возможных значений а). Но в ряде случаев
найти закон распределения Ра (а*) весьма трудно или
даже практически невозможно.
Следовательно, в таких случаях качество (достовер¬
ность) найденной оценки а* оказывается полностью или
частично неизвестным. Это обстоятельство является
основным недостатком, присущим точечной оценке.
Однако, как будет пояснено ниже, лри достаточно хоро-
379
шем способе оценки (т. е. при достаточно удачно вы¬
бранном виде функции (16-2)] и большом объеме выбор¬
ки (п >1) закон распределения Р9 (а*) оказывается
нормальным или близким к нормальному и, следова¬
тельно, ошибка б достаточно полно характеризуется
своим средним значением •
\ = Ма(а* — а) = Маа* — а (16-5)
и средним квадратом
?=М>*-а)а. (16-6)
Здесь индекс а означает, что усреднение является
условным, т. е. производимым при условии, что величина а
неизменна.
Величина 8а называется также смещением оценки. Оче¬
видно, чем меньше смещение 8а и средний квадрат 8^ , тем
выше качество оценки.
Вычислить параметры 8а и 8^ во многих случаях оказы¬
вается значительно проще, чем найти полный закон распре¬
деления Ра (а*). Поэтому при больших выборках (/г>1)
и хорошем способе оценки отмеченный выше недостаток*
точечной оценки проявляется значительно меньше.
Но при правильном способе оценки увеличение объ¬
ема п выборки дз^т повышение точности оценки. Поэто¬
му можно также утверждать, что чем точнее по усло¬
виям задачи должна быть оценка, тем с большим осно¬
ванием можно применять тачечную оценку.
Если же по условиям задачи, наоборот, объем выбор¬
ки мал, и оценка не может быть достаточно точной,
применение точечной оценки оказывается обычно неце¬
лесообразным, так как при этом в силу отмеченного выше
недостатка не удается пвлучить достаточно достоверные
данные о качестве найденной оценки а*. В таких слу¬
чаях (при малых выборках) в математической стати¬
стике применяется обычно 'метод оценки интервала, осно¬
ванный на введении так называемых доверительных
интервалов.
При этом методе в результате анализа выборки
380
(уи •••» Уп) указывается не конкретная величина а* иско¬
мого параметра (как это имеет место при точечной оцен¬
ке), а лишь интервал ai^a2, который содержит искомую
величину а с вероятностью, равной некоторой заранее
выбранной -величине (1—е), называемой доверительной
вероятностью. Для получения достаточно большой до¬
стоверности оценки доверительная вероятность выби¬
рается близкой к единице (например, 0,99) т. е. е <1.
Интервал а\ + а2 называется доверительным интерва¬
лом, 'соответствующим данной доверительной вероят¬
ности.
Указанная оценка математически сводится к сле¬
дующему.
Выбираются две функции а\(уи Уп) и а2(Уи •••> Уп)
выборочных значений такие, что нри любом значении a
выполняется соотношение
•••.«/„)< •••.«/„)]= 1—е- (16-7^
Здесь, как обычно, Р[ ] обозначает вероятность вы¬
полнения неравенств, заключенных в квадратные
скобки.
Так как выборочные значения у и ..., уп являются слу¬
чайными величинами, то границы сп и а2 доверительного
интервала также являются случайными величинами, ме¬
няющимися от одного опыта (одной выборки) к другому.
Искомый параметр а по своей природе не обязатель¬
но является случайным, и в соотношении (16-7) пара¬
метр а считается просто некоторой фиксированной вели¬
чиной, безотносительно к тому, является она случайной
или нет. Поэтому левую часть 'соотношения (16-7) сле¬
дует трактовать не как «вероятность того, что а нахо¬
дится в пределах интервала си^аг», а как «вероятность
того, что интервал а\-т-а2 включает в себя искомую ве¬
личину а».
Вид функций а\{уи Уп) и а2(уи ..., уп) выбирается
таким образом, чтобы при данной доверительной вероят¬
ности (1—е) интервал . (ct2-^ai) получался возможно
меньшим. Этот интервал является случайной величиной,
меняющейся от выборки к выборке. Поэтому мы не мо¬
жем быть уверенными на 100%, что во всех опытах этот
интервал будет малым. Но недостаток такого рода при¬
сущ и точечной оценке, так как погрешность 6 точечной
381
оценки также в отдельных опытах может быть не малой.
Преимущество метода оценки интервала заключается
в том, что в результате оценки, т. е. после нахождения
интервала сн-^аг мы получаем не только саму оценку
(т. е. указание, что искомый параметр а находится
в найденных пределах си-г-аг), но и знаем заранее каче¬
ство найденной оценки, — мы знаем, что вероятность
охвата найденным интервалом с^-наг искомой величи¬
ны! а равна заранее установленной (и, следовательно,
приемлемой) величине (1—е). Поэтому метод довери¬
тельных интервалов применим и при малых выборках.
Из приведенных выше свойств точечной оценки и
оценки интервала следует, что при больших^ выборках
(л>1), допускающих малую погрешность б2 точечной
оценки, более удобна точечная оценка. При малых вы¬
борках, наоборот, обычно более удобной оказывается
оценка интервала.
При решении задач приема сигналов на фоне помех
также применяют оба метода оценок, однако точечная
оценка применяется значительно чаще, чем оценка
интервала. Это объясняется, во-первых, тем, что при
приеме сигналов (сообщений) требуется обычно весьма
высокая точность воспроизведения сообщений, и объем
выборки п получается настолько большим, что отмечен¬
ный выше основной недостаток точечной оценки прояв¬
ляется сравнительно слабо. Во-вторых, при воспроизве¬
дении сигналов (или сообщений) результат оценки дол¬
жен обычно выдаваться на выходе приемника автомати¬
чески и непрерывно. При этом, конечно, формировать
в .приемнике две функции а\(у\ уп) и a2(t/i уп) и
получать интервал сц-е-аг менее удобно (а иногда и про¬
сто неприемлемо), чем формировать и выдавать на вы¬
ходе величину а* (у\, уп) ■ Поэтому в дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением лишь точечной оценки. При
этом мы будем для простоты большей частью опускать
термин «точечная», а также применять, как это принято
в отечественной литературе, единый термин «оценка»
для следующих понятий: «процесс оценки», способ оцен¬
ки» [вид функции а* (г/х, ..., уп)] и «результат оценки».
Например, если говорится, что а* есть эффективная
оценка, то это означает, что эффективным является
процесс оценки, способ оценки [вид функции
а* (г/ь ..., уп)\ и результат оценки.
382
16-2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ fit>H ТОЧЕЧНОЙ ОЦЕНКЕ
Если выполняются некоторые достаточно общие условия
дифференцируемости [Л. 23], то оценка называется регу¬
лярной, и средний квадрат 8^ ошибки, возникающей при
оценке, удовлетворяет неравенству
где L — функция, определяемая соотношением (16-1) и •
называемая функцией правдоподобия.
Если оценка а* такова, что в соотношении (16-8)
имеет место знак равенства, то такая оценка называется
эффективной.
Следовательно^ при эффективной оценке средний
квадрат ошибки 8^ имеет минимально возможное зна¬
чение и это значение определяется травой частью нера¬
венства (16-8). Однако эффективная оценка существует
тогда и только тогда, когда выполняются одновременно
следующие два условия:
А. Функция правдоподобия Ь{у\, ..., уп\ а) может
быть представлена в виде произведения
где fx (ylt...,уп) — произвольная функция от (t/„..., уп),
не зависящая от а, а Р(а*/а) — распределение оценок а*
при данном значении а.
Б. Выполняется равенство
где k не зависит от а* (но может зависеть от а).
Если оценка а* удовлетворяет только условию А (т. е.
условие Б не выполняется), то она называется достаточ¬
ной оценкой.
Из самого характера условий А и Б следует, что эф¬
фективные и даже достаточные оценки могут существовать
(16-8)
^(«/1. •••»«/„; a) = /i(yi ...,уп)Р(а*/а), (16-9)
д In Р (а*/а)
(h.
= k-(a* — а),
(16-10)
383
далеко не во всех интересных для практики случаях.
Поэтому в общем случае неравенство (16-8) позволяет
определить лишь нижнюю границу среднего квадрата
ошибки.
Помимо среднего квадрата ошибки 8^, важной харак¬
теристикой качества оценки а* является также величина
смещения 8в [см. (16-5)].
Оценка а*, обладающая нулевым смещением, называется
несмещенной. Следовательно, для несмещенной оценки
справедливы соотношения:
Из соотношений (16-8) и (16-11) следует, что для не¬
смещенных оценок неравенство (16-8) упрощается и при¬
нимает вид:
При увеличении объема выборки п качество оценки
улучшается; поэтому при п —♦ оооценка а* может в ряде
случаев приобрести такие ценные свойства [эффектив¬
ность и (или) .несмещенность], которых она не имеет при
малом п.
Оценка, которая при п—►«> становится несмещенной,
называется состоятельной, а оценка, становящаяся
при п—►«> эффективной, называется асимптоти-
ческии эффективной.
Наконец, во многих случаях закон распределения
оценки а* при п—„оо становится нормальным. Такие
оценки а* называются асимптотически нор¬
мальными.
Данные выше определения можно сформулировать
также следующим образом:
Оценка а* является состоятельной, если при п >.оо
выполняется равенство (16-11).
Оценка а* является асимптотически эффективной,
если при tг—„оо средний квадрат ошибки достигает
минимального возможного значения, определяемого’пра¬
вой частью неравенства (16-8).
384
8^ = 0, т. е. М л* = а.
а 7 ос
(16-11)
(16-12)
Если выборочные значения Уи ..., уп статистически
независимы, то
где f (у:, л) — одномерная плотность вероятности величины
у( при данном а.
При этом неравенство (16-8) принимает вид:
Все приведенные выше соотношения относились к слу¬
чаю, когда распределение образцов (у1г..., уп) содержит
лишь один неизвестный параметр а.
Рассмотрим теперь случай, когда это распределение
имеет два неизвестных параметра а1 и а2. В этом случае
функция правдоподобия имеет вид:
Предположим, что оценке подлежат оба неизвестных
Оценки а* и а* являются функциями выборочных зна¬
чений, т. е.
= и а2=а2 (Уи--■ >Уп)- (16-17)
L(yi>--->yn’ a)=/('/i»«)/(«/2;®>-• •/(«/„;«)> (16-13)
(16-14)
можно представить также
—00
(16-15)
р*и*г{у)=11у» • • •>Уп> *1» «*)• (16-16)
параметра, и обозначим результаты оценки через а* и а* .
25 Л. С. Гуткин
385
Для упрощения записей ограничимся случаем несмещен¬
ных оценок. При этом
мв«; = «х; (16-18)
Ма/2 = а2 (16-19)
и, следовательно,
8а, = К К “ “Л' = К К - = £
(16-20)
т. е. в случае несмещенных оценок средние квадраты
ошибок 8», и 8* совпадают с дисперсиями и а2 этих
ошибок (при этом как средние квадраты, так и дисперсии
являются условными, т. е. найденными путем усреднения
для данных значений а, и а2).
При оценке двух параметров а, и а2, кроме дисперсий
ошибок а2 и о2а, часто важно знать также коэффициент
взаимной корреляции этих ошибок ра а, который для не¬
смещенных оценок по определению равен:
М„ „ (а? — а,) (а« — а2 )
р = *-а‘1 1 iili — . (16-21)
а1* аа в v '
®i аа
На основании параметров aej, и pej ^ может быть
построен эллипс рассеяния, определяемый в случае
несмещенных оценок (в координатах х, у) уравнением
(* - «J о, - «,) +
°а, “* *» аа2
= 4(1-0 (16'22)
Если оценки а* и а* некоррелированы (ptti =0), то
уравнение (16-22) принимает вид:
(■* ~~ai)2 _j_ (у — **)2—1 П6-22аЪ
(2^)2 + (2Ч)2 ” { ]
т. е. полуоси эллипса равны 2sai и 2аа.
386
Эллипс рассеяния характеризует рассеяние оценок
а* и а* относительно истинных значений параметров ах
и а2.
Если эллипс рассеяния, соответствующий данному спо¬
собу оценки параметров ах и а2, расположен целиком внутри
эллипса рассеяния, соответствующего некоторому другому
способу оценки тех же параметров, то говорят, что данному
способу оценки соответствует меньшее рассеяние или что
распределение найденных этим способом оценок а* и а*
имеет меньшее рассеяние.
Если совместное распределение оценок а* и а* имеет
меньшее рассеяние, чем распределение любой другой пары
оценок тех же параметров (ах и а2), то оценки а* и а* на¬
зываются совместно эффективными.
Следовательно, тот опособ оценки параметров ai и с*2,
который обеспечивает получение совместно эффектив¬
ных оценок, обеспечивает тем самым получение мини¬
мально возможного рассеяния.
При независимых выборочных значениях уь уп
для совместно эффективных оценок справедливы сле¬
дующие соотношения:
м (д ln f dlnf\
M*v «2 ^ да., * д*2 )
Palt a2
/К (^ЛК^Л
2 1
3a' /t 2 \ /ilnf\*’
(16-23)
“j /. 2ч „ /а infy
( Pa„ e,) rtiMaa ^a2 J
Здесь f = f(y.; <zt, a2) — одномерное распределение вы¬
борочных значений у{ при данных л1 и аа.
Аналогичные соотношения могут быть получены и для
случая, "когда между выборочными значениями имеется ста¬
тистическая связь [Л. 23, стр. 539 — 540].
25*
387
Из формул (16-23) следует, что при рв =0, т. е. при
и при наличии совместно эффективных оценок качество
оценки каждого из параметров, например alf получается
при одновременной оценке двух параметров таким же, как
если бы -второй параметр аа был при этом известным и,
следовательно, не подлежал оценке.
Иначе говоря, при выполнении указанных условий на
оценке данного параметра а1 не сказывается, является ли
при этом второй параметр аа известным, или он неизвестен
и подвергается оценке одновременно с параметром ах.
Однако для существования совместно эффективных
оценок должны выполняться два условия, аналогичных (но
более сложных) рассмотренным выше условиям А и Б
существования эффективных оценок [Л. 23]. Поэтому полу¬
чение совместно эффективных оценок в ряде интересных
для практики случаев может оказаться принципиально не¬
возможным. Кроме того, даже при существовании таких
оценок может не выполняться условие (16-24), а при этом,
как следует из формул (16-23), дисперсия а2 (или <з2а) в слу¬
чае одновременной оценки параметров ах и а2 получается
большей, чем в случае, когда параметр а1 является един¬
ственно неизвестным параметром.
Во многих случаях при наличии у распределения
£(*/i> • • •. Уп' ai> аг) Двух неизвестных параметров требуется
оценить величину лишь одного из этих параметров, напри¬
мер alt а параметр а2 не несет никакой полезной информа¬
ции, т. е. является паразитным.
Поэтому весьма существенно ответить на следующий
вопрос: нельзя ли, при неизвестных параметрах aj и аа, по¬
лучить меньшую дисперсию а* оценки параметра ах, если
при этом не требовать оценки также и параметра а2, т. е.
если допустить, что дисперсия о2 может быть при этом
сколь угодно большой?
В общем случае такой выигрыш за счет отказа от
оценки второго параметра получить можно. Однако
можно доказать [Л. 23], что в том случае, когда (при
388
(16-24)
одновременной оценке двух параметров) оценки (cti*,
02*) получаются совместно эффективными, отказ от оцен-
2
ки .параметра а2 не позволяет уменьшить дисперсию <*в1
оценки па.рамет.ра ai*.
Это означает, грубо говоря, что если при одновре¬
менной оценке параметров «1 и а2 качество оценки полу¬
чается наилучшим из возможных, то наилучшее качество
оценки параметра ai уже нельзя повысить отказам от
оценки параметра а2.
Аналогично случаю оценки одного параметра при
оценке двух параметров существуют понятия асимптоти¬
ческой (при п-*~ оо) эффективности и асимптотически
эффективной оценки. Кроме того, полученные выше ре¬
зультаты остаются (качественно) верными и в тех слу¬
чаях, когда между выборочными значениями (yi,...,yn)
имеется статистическая связь.
Наконец, рассмотрение, сделанное выше для двух не¬
известных параметров, можно обобщить на случай про¬
извольного (конечного) числа неизвестных параметров
(СИ, °2> •••> От)*
16-3. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Изложенный выше материал касается условий суще¬
ствования эффективных оценок и позволяет вычислить
величину дисперсии эффективной оценки. Однако он не
отвечает на вопрос о том, каки'м образом можно
найти эффективные или во всяком случае достаточно
хорошие оценки, т. е. как следует выбирать вид функции
а*(Уи .... Уп).
Для нахождения оценок в математической статисти¬
ке существует ряд методов. Наиболее распространен¬
ным, особенно в приложении к задачам приема сигналов
на. фоне помех, является так называемый метод ма¬
ксимального правдоподобия. Этот метод наи¬
более распространен потому, что другие методы либо
дают в общем случае менее эффективные оценки (на¬
пример, метод моментов), либо более сложны для
практической реализации [например, метод, основанный
на определении абсциссы «центра тяжести» распределе¬
ния Pj,(a)].
* См. сноску на стр. 396.
389
Метод максимального правдоподобия для 'слу.чая
одного неизвестного параметра а заключается в сле¬
дующем.
В качестве оценки а* берется то значение (парамет¬
ра а, при котором функция правдоподобия L(yu...yyn;
а) имеет максимум; следовательно, искомая оценка а*
является решением уравнения
aLУ"'“Lq, (16-25)
называемого уравнением правдоподобия. Это уравнение
в общем случае может иметь несколько корней, в том
числе корни, не зависящие от (уи ..., уп). Очевидно, кор¬
ни, не зависящие от (уи ..., уп), должны быть заведомо
отброшены, так как искомая оценка а* обязательно
должна быть функцией выборочных значений.
Оценка, найденная путем решения уравнения (16-25),
называется максимально правдоподобной и обозначает¬
ся ам*.
В общем случае оценка ам* не является наилучшей
из возможных и, следовательно, может иметь некоторое
смещение и не минимальную дисперсию. Несмотря на
это, метод 'максимального правдоподобия обладает ря¬
дом весьма ценных свойств. Особенно ценными эти свой¬
ства оказываются в тех случаях, когда выборочные зна¬
чения у\, ..., уп статистически независимы. При этом
справедливы следующие доказанные в математической
статистике .положения {Л. 23]:
1. Если для .параметра а существует эффективная
оценка а*, то уравнение максимального правдоподобия
(16-25) имеет единственное решение а*. Иначе говоря,
в этом случае уравнение (16-25) имеет всего один ко¬
рень и этот корень представляет собой эффективную
оценку параметра.
2. Если для параметра а существует достаточная
оценка а*, то каждый корень уравнения правдоподобия
является функцией от а*.
3. При некоторых достаточно общих условиях [Л. 23,
стр. 544, условия 1, 2 и 3] оценка ам* является состо-
ятельной, асимптотически эффективной и асимптотически
нормальной.
390
Это последнее свойство является особенно ценным,
так как оно имеет место -при значительно более общих
условиях, чем свойства 1 и 2. Из него следует, что при
независимых выборках и л > 1 максимально .правдопо¬
добная оценка является весьма хорошей, — она имеет
практически нулевое смещение и минимальную диспер¬
сию. Кроме того, так как при этом закон распределения
оценки весьма близок к нормальному, то величина ди¬
сперсии полностью характеризует этот закон. Это дает
гарантию того, что найденная оценка является весьма
хорошей не только в смысле величины среднего квадра¬
та ошибки, но и в любом другом смысле.
Наконец, весьма полезная особенность метода макси¬
мального правдоподобия состоит в том, что в этом слу¬
чае для нахождения оценки а* требуется определять
лишь положение максимума по а функции L (yit..., уп; а);
поэтому любые преобразования вида функции
L(yi, Уп', а), которые не вызывают смещения (по'
оси а) ее максимума, не влияют на величину оценки
ам*, а следовательно, и на ее качество. Это обстоя¬
тельство существенно "упрощает практическую реализа¬
цию устройства, производящего автоматическую оценку
параметра.
Приведенные выше результаты легко распростра¬
няются на случай нескольких неизвестных параметров
«1, •••>
При этом оценки а*м,..., amv этих параметров являются
решениями т уравнений правдоподобия вида:
dL(yl,...,yn-ta1 вм) _п
да, ~и’
dL(yt
да„
: 0.
(16-26)
Найденные таким способом оценки при независи¬
мых выборочных значениях yi,..., уп обладают теми
же полезными свойствами; например, они являются со¬
стоятельными, асимптотически нормальными и асимпто¬
тически совместно эффективными.
391
16-4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ К ПРИЕМУ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ
НА ФОНЕ ШУМА
Пусть колебание y(t) на входе приемника имеет вид:
y(t)==u(a1,. 0 + иш(0- (16-27)
Здесь иш (() — флуктуадионная помеха, являющаяся в общем
случае нестационарным процессом, а о,,..., ат — неизвест¬
ные параметры сигнала, которые в общем случае могут
являться функциями времени.
Будем сначала 'полагать для простоты, что все эти
параметры являются полезными и подлежат оценке.
Из предыдущего пара¬
графа следует, что для полу¬
чения методом максималь¬
ного правдоподобия доста¬
точно хороших оценок па¬
раметров необходимо (как
правило) располагать до¬
статочно большим числом п
независимых выборочных
значений (уи ..., уп) наблю¬
даемой величины у. Однако
в рассматриваемом случае
мы имем дело с наблюде¬
нием не случайной величины,
а случайного процесса, мо¬
гущего к тому же 'быть не¬
стационарным. Поэтому в об¬
щем случае необходимо рас¬
полагать не п независимыми
значениями у\, ..., уп, а п
реализациями yT(i), yn{t), ..., yn{t) процесса y{t),
полученными в п независимых опытах, проведенных
в одинаковых условиях (рис. 16-1).
При этом в каждый момент t=U (рис. 16-1) мы бу¬
дем располагать функцией правдоподобия
L (ylt.. *1 уд’> *1) • • •»®m; t),
называемой одновременной функцией правдоподобия, так
как все входящие в нее выборочные значения ylt >>.,уп
392
Рис. 16-1.
взяты из п реализаций для одного и того же мо¬
мента времени (рис. 16-1).
Решая т уравнений правдоподобия вида
dL(yt,. ..,уя;а„•••.»„,; 0_Q j
da,
> (16-28)
dL(«i V,“ °W)__n |
<*“m ’ J
мы получим максимально правдоподобные оценки ,...,
а*т для данного момента времени:
«Г=®Т w al=alw-
Для следующего момента времени мы получим новое
значение одновременной функции правдоподобия, новый
набор уравнений правдоподобия и новый набор оценок
*!»•••» ат •
В общем случае, когда искомые параметры аи...,ап
являются функциями времени, а помеха нестационарна,
полученные оценки а* ,..., ат также являются функциями
временя и, кроме того, зависит от времени и закон распре¬
деления этих оценок.
Как показал Гренандер [Л. 115], оценки а*,..., а*т< по¬
лученные решением уравнений правдоподобия (16-28), обла¬
дают [при независимых реализациях г/j (t),..., уп (f)]
описанными выше полезными асимптотическими (при п—»оо)
свойствами, т. е. являются состоятельными, асимптотически
нормальными и асимптотически совместно* эффективными.
Однако в практических задачах приема сигналов на
фоне помех наблюдатель (приемник) располагает в ме¬
сте приема обычно не п независимыми реализациями
случайного процесса y(t), а всего одной реализацией
этого процесса. Поэтому в первую очередь представля¬
ют интерес те случаи, в которых хорошие оценки па¬
раметров могут быть получены на основании анализа
всего одной реализации y(t) в течение некоторого конеч¬
ного времени Т,
393
Гренандер [JI. 115] показал, что максимально правдо¬
подобные оценки, полученные на основании анализа все¬
го одной реализации в интервале (О, Г), имеют те же
-самые полезные асимптотические свойства (состоятель¬
ность, эффективность и нор¬
мальный закон распределен
ния) при Т—^оо, если про¬
цесс y(t) эр.годичен и обла¬
дает некоторыми общими
марковскими 'свойствами1.
Как показал Слепян
[Л. 119], к таким процессам
сводится, в частности, слу¬
чай, когда помехи um(t) яв¬
ляются эргодическим про¬
цессом, а неизвестные параметры сигнала он, . . . , ат
в течение времени наблюдения постоянны.
Так как этот случай представляет большой .практи¬
ческий интерес, рассмотрим его несколько подробнее.
При этом ограничимся для простоты случаем одного
неизвестного параметра, т. е. примем
где иш (0 — помеха, являющаяся эргодическим [процессом,
a u(a\t) — сигнал, известный точно, за исключением пара¬
метра а, подлежащего оценке и остающегося в течение
всего времени наблюдения (О, Т) неизменным.
В течение интервала наблюдения имеется п выборочных
значений (у1?..., у.,..., уп) суммарного колебания у (t)
(рис. 16-2).
Обозначим:
1 Случайный процесс обладает -марковскими свойствами, если
последующее протекатаие этого 'процесса лишь в ограниченной
мере завиоит от его предшествующего течения. Это ограничение,
накладываемое >на характер процесса, формулируется соответствую¬
щим образом (математически [Л. 11, (115 и др.]. Считается, что про*
цесс обладает тем более общим-и марковскими -свойствами, чем ме¬
нее жестким является ограничение в отношении -степени влияния
«истории» процесса на его последующее развитие.
(16-29)
и. = и (а; t.)\
иш i ~ «ш
У,=»(*,)•
(16-30)
394
Рис. 16-2.
Тогда из (16-29) имеем:
У(= ui “Ь йш(» (16-31)
i — l,2,...,n.
При этом n-мерный закон распределения шума
№ш(иш1 ишп) полагается полностью известным.
Тогда в соответствии с (16-31) закон распределения
выборочных значений (у1г..., уп) при данном а равен
L (у г, • . •, а) = №ш (yt — и.,...,уп — ип),
т. е.
L [уг, • • •, «) = wm [у, — и (а; *,),
У 2 — и («; tt),у п —и (а, ^)]. (16-32)
Так как «(а; /*)—известные функции от а, то npaj-
вая часть равенства (16-32) является точно известной
функцией 'выборочных значений (уи • • •, Уп) и параме¬
тра а; следовательно, нам известно распределение
L(yu • ■ •, Уп, а) и требуется найти параметр а этого
распределения.
Эта задача .полностью совпадает с рассмотренной
в предыдущих параграфах классической задачей, ре¬
шаемой в теории статистических оценок и, следовательно,
для нее полностью применимы все .приведенные в пре¬
дыдущих параграфах выводы.
Так, например, приГ-^-оо из реализации y(t) можно
получить бесконечное число статистически независимых
выборочных значений уи • •., Уп и, следовательно, при
Т-+ оо оценки, полученные методом максимального прав¬
доподобия, должны быть состоятельными, асимптотиче¬
ски эффективными и асимптотически нормальными.
Очевидно, все рассуждения и результаты, приведен¬
ные выше применительно к случаю одного неизвестного
параметра, справедливы и для любого (конечного) чис¬
ла неизвестных параметров ai,..., ат. Следовательно,
при эргодической помехе и постоянстве [в течение ин¬
тервала (О, Т)] неизвестных параметров ai,..., am сиг¬
нала, к оценке этих параметров полностью применимы
все приведенные в предыдущих параграфах рассужде¬
ния и выводы.
395
Так, напрймёр, если существует совместно-эффек-ййвнай
комбинация (а^,..., ат) оценок параметров (аи ..ат),
то дисперсия <Л опенки любого из этих параметров аг не
может быть уменьшена за счет отказа от оценки всех или
некоторых из остальных неизвестных параметров1.
Этот вывод весьма важен для практики, так как
во 'многих случаях воспроизведение различных параме¬
тров сигнала имеет различную ценность, а некоторые
из 'параметров вообще не несут никакой полезной ин¬
формации, т. е. являются паразитными. Так, например,
в радиолокации весьма важно знать, можно ли повы¬
сить точность измерения дальности до цели (т. е. запаз¬
дывания т сигнала), если отказаться от одновременно¬
го измерения радиальной скорости цели (т. е. частоты/
сигнала), и наоборот.
Приведенная выше теория позволяет в ряде случаев
сразу ответить на этот вопрос.
Пусть, например, оценка дальности и скорости произ¬
водится методом максимального правдоподобия, и время
наблюдения Т настолько велико, что позволяет получить
весьма большое число независимых выборочных значений
{Уи • • •» Уп)• При этом, как следует из вышеизложенного,
полученные оценки т* и /* можно с достаточной точностью
(возрастающей с увеличением Т) считать совместно-эффек¬
тивными. Следовательно, при таких условиях отказ от из¬
мерения частоты не может повысить точность измерения
дальности, и наоборот. Иначе говоря, с точки зрения точ¬
ности измерения дальности при этом безразлично, является
ли частота f паразитным неизвестным параметром или она
является неизвестным параметром, подлежащим измерению.
Если при двух неизвестных параметрах сц и а2 не
только существует совместно эффективная комбинация
оценок (а*, а*), но и выполняется условие (16-24), т. е.
ра а =0, то формула для дисперсии а2 ошибки измерения
параметра clx получается при одновременном измерении
параметров <xt и а2 точно такой же, как в случае, когда
1 Этот .и следующие .из 'него выводы относятся к случаю, когда
характеристики сигнала заданы, т. е. не могут быть изменены при
отказе от оценки.
396
параметр л2 избестен точно. СлёдоЁательно, при ьыполнении
указанных условий сам по себе факт неизвестности пара¬
метра а2 или необходимости его измерения еще не
влияет на точность измерения параметра а, (и наоборот)1.
Приведенные примеры показывают, что применение ре¬
зультатов, полученных в математической статистике, к за¬
дачам приема сигналов позволяет в ряде случаев довольно
просто получить ответы на весьма важные для практики
вопросы.
Выясним теперь связь между методом максимального
правдоподобия и изложенным в предыдущих частях методом
максимальной плотности обратной вероятности.
В случае метода максимального правдоподобия в каче¬
стве оценки а* выбирается значение параметра а, соответ¬
ствующее максимуму функции правдоподобия L(yl,...,
уп',а) или, что то же самое, условной плотности вероят¬
ности Ра(у), рассматриваемой как функция от а [см. ра¬
венство (16-1)].
Если же применяется метод максимальной плотности
обратной вероятности, то в качестве оценки а* выбирается
то значение а, которое соответствует максимуму плотности
обратной вероятности Ру (а).
Но
Py(*) = kP(a)Pa(y), (16-33)
где k — нормировочная константа.
Если априорное распределение Р(а) искомого параметра
а равномерное, то
Ру(*)=кгРа(У)> (16‘34)
где к' — некоторое новое значение нормировочной кон¬
станты, не зависящей от а.
Из (16-34) следует, что максимумы по а функций
Ру(а) и Ра (у) совпадают. Поэтому при равномерном
априорном распределении параметра а методы макси¬
мальной плотности обратной вероятности и максималь¬
ного правдоподобия полностью совпадают.
Если распределение Р(а) неравномерное, то макси¬
мумы по а функций Ру(а) и Р«(у) не совпадают и,
следовательно, оценки, найденные методом максималь¬
1 См. сноску на стр. 396.
397
ной плотности обратной вероятности и максимального
правдоподобия, оказываются различными. Если априор¬
ное распределение Р(а) известно, то оценка, найденная
методом максимальной плотности обратной вероятно^-
сти ‘, оказывается более эффективной, так как при этой
оценке учитывается дополнительная априорная инфор¬
мация о сигнале — амприорное распределение Р(а) его
параметра.
Однако, как отмечалось во II и III частях книги и
как будет доказано ниже (в гл. 1в), при помехе^в’ виде
нормального белого шума (и не только при такой поме¬
хе) и достаточно большом отношении сигнал/шум вид
априорного распределения Р(а) практически не влияет
на результаты оценки параметра. Поэтому в таких ус¬
ловиях методы максимальной плотности обратной веро¬
ятности и максимального правдоподобия также практи¬
чески совпадают.
Если априорное распределение Р(а) неизвестно,
то его в большинстве случаев полагают равномерным и
максимумы по а функции Ру(а) и Рл (у) также совпа¬
дают.
Наконец, если известно, что параметр а по своей
природе является не случайным, то априорное распре¬
деление Р(а) с физической точки зрения теряет смысл
и сохраняет смысл лишь функция правдоподобия Ра (у).
Однако поскольку при P(a)=eonst максимумы оо a
функций Ру(а) и Ра (у) совпадают, с математической
точки зрения (можно и при неслучайном параметре a
пользоваться методом максимальной плотности обрат¬
ной вероятности, если при этом 'полагать Р (a) = const.
Из сказанного следует, что в большинстве интерес¬
ных случаев методы максимальной плотности обратной
вероятности и максимального правдоподобия практиче¬
ски совпадают.
Очевидно, все сказанное выше относится не только
к случаю оценки одного параметра, но и к случаям
оценки нескольких неизвестных параметров.
Примеры применения метода максимальной плотно-
1 Иногда метод максимальной плотности обратной вероятности
называют методом безусловного максимального правдоподо¬
бия, так как по сравнению с ним обычный метод максимального
правдоподобия, не учитывающий априорного распределения Р(а),
является условным.
398
сти обратной вероятности (а следовательно, и метода
максимального правдоподобия) для оценки одного па¬
раметра были подробно рассмотрены во II и III ча¬
стях книги (гл. 4, 6, 7 и 13).
(Применение метода максимального правдоподобия
к одновременной оценке двух параметров сигнала бы¬
ло впервые подробно исследовано С. Е. Фальковичем
[JI. 5]. Некоторые конкретные результаты этого иссле¬
дования приводятся для иллюстрации в следующем
параграфе.
16-5. ОДНОВРЕМЕННАЯ ОЦЕНКА ЧАСТОТЫ
И ЗАПАЗДЫВАНИЯ СИГНАЛА
Пусть на входе приемника имеется колебание
y(t) = uc(t)~\-ишЦ),
где иш (t) — нормальный белый шум со спектральной плот¬
ностью N0\
ис (t) — сигнал, который имеет вид:
«с (0=a(t — x) cos [2* (/о — F)t-\-4 (t) + <р0]; (16-35)
здесь фо — случайная начальная фаза, имеющая рав¬
номерное распределение в пределах от 0 до 2я,а;
запаздывание х и частотный сдвиг F— неизвестные
параметры, подлежащие оценке. Частота /о и функции
<р(0 и a(t—т) известны точно (последняя — за исклю¬
чением т). Предполагается, что в течение времени на¬
блюдения (О, Т) параметры фо, /о, т и F остаются не¬
изменными.
Колебание (16-35) удобно записать в следующем
виде:
ис (t) = ReU(t, z, F)ei<M-w > (16.36)
где
U (t, %,F)—a(t — z) el {t)] (16-37)
есть комплексная огибающая сигнала.
В частном случае, когда F = 0 и ?(/) = 0, огибающая
U (t, t, F) является действительной функцией.
399
Как будет ясно из дальнейшего, точность оценки пара¬
метров х и F определяется видом функции
оо
¥ К, Fu *„ Рг)=щ | J U (t, FJ и* (t, х„ Ft) dt
(16-38)
где U* обозначает комплекс, сопряженный с U, а верти¬
кальные черточки обозначают, что берется модуль от соот¬
ветствующей комплексной величины; Q — энергия сигнала,
т. е.
ОО
Q=±-^a3(t)dt. (16-39)
—ОО
Функция Ч*’ достигает наибольшего значения (еди¬
ницы) при T2=Ti, F2—Fi и уменьшается (не обязатель¬
но монотонно) по мере увеличения отклонения пара¬
метров %2 и F2 от ti и Fi соответственно.
Следовательно, характеризует связь между ком¬
плексными огибающими, соответствующими двум раз¬
личным комбинациям неизвестных параметров; (ti, F1)
и (тг, F2). Поэтому функцию Ч*1 называют иногда кор¬
реляционной функцией сигнала. Однако во избежание
путаницы с функцией корреляции, .применяемой в тео¬
рии случайных процессов, мы будем называть сиг¬
нальной функцией или функцией «корреляции».
Для большинства реально применяемых сигналов
функция 4я зависит «е от самых значений ti, F\ и t2, F2,
а только от разностей
х' = т2 —т, и F = Ft — Ft. (16-39а)
При этом соотношение (16-38) принимает следующий
упрощенный вид:
00
^U(t,*,F)U*(t, 0,0 )'dt
. (16-40)
Полагая, что сигнальная функция W имеет именно
такой упрощенный вид, а отношение сигнал/шум доста¬
точно велико, С. Е. Фалькович получил методом макси-
400
мального правдоподобия следующие выражения для оши¬
бок оценки параметров ха F [Л.5]:
Здесь средние квадраты ошибок 8* и S!f и коэффици¬
ент корреляции pz P имеют точно такой же смысл, как
в предыдущих параграфах1.
В рассматриваемом случае оценки т* и F* параметров
х и F получаются (асимптотически) несмещенными, сов¬
местно эффективными и имеют нормальный закон распре¬
деления.
Так как оценки х* и F* являются совместно эффек¬
тивными, отказ от оценки частоты F не может повысить
точности измерения параметра т, и наоборот3. Кроме того,
при совместно эффективных оценках должны быть спра¬
ведливы соотношения (16-23).
Если при оценке параметра х частотный сдвиг F
1 Выражения (16-41) и (16-42) справедливы для сигналов с извест¬
ной амплитудой. Когда амплитуда сигнала случайна, то эти выраже¬
ния останутся справедливыми, если под 8^ и Ь2р понимать не безус¬
ловные, а условные средние квадраты, определенные для данного
значения амплитуды (данного отношения сигнала к шуму, q).
2 См. сноску на стр. 396,
26 Л. С. Гуткин 401
(16-41)
где
(16-42)
р2 _ d*V(x',F)
Р T.F— d-z'dF' т,=0
известен точно или, наоборот, при оценке частотного сдвига
F известно запаздывание х, то в формулах (16-41) и
(16-42) следует полагать' р* р = 0.
При этом получается:
82 =
2<72Р? ’
1
[-t,F
2
= 0.
(16-43)
Из сравнения выражений (16-41) и (16-43) следует, что
при pif = 0 (или [^_ f = 0) средние квадраты ошибок 8^ и
8^. при одновременном измерении двух параметров опреде¬
ляются такими же формулами, как и в случаях, когда
один из этих параметров известен точно.
Рассмотрим в качестве примера сигнал, имеющий вид
импульса с колоколообразной огибающей
a(t—х)=а0ё
(16-44)
и частотой заполнения, равной /0 + /\ т. е. <р(/) = 0.
При этом из (16-37) получаем:
и(^х,Р) = а0е~с('_т)2 ei2zFt,
и сигнальная функция VP* (х', F') в соответствии с (16-40)
имеет вид:
2 Q
ОО
in
где
После несложных преобразований получается
Лл (*')*
^К^)=2Ге 1*|,
ОО _2 c(t-p\2
г= ]е [ 2 > e42'F’‘dt.
(16-45)
(16-46)
402
Выражение (16-46) можно рассматривать как преобра¬
зование Фурье от подынтегральной функции
f(t) = e 1 >
и найти его с помощью обычных методов операционного
исчисления или по таблицам. Тогда получим:
е е
и в соответствии с (16-45)
y(<F)=£e>
Но из (16-39) и (16-43) следует, что
00 /72 г
1 f 2 —2с/2 п
Q — j aQe dt 2 \ 2 o’
(16-47)
fl 6-48)
(16-49)
Подставляя это выражение в (16-47), имеем:
rp(x\F')=e 2 e
Как и следовало ожидать, получается
ЧЧ0,0)=1,
а с увеличением т' и F' величина Ф уменьшается.
С учетом (16-49) формулы (16-42) дают:
&=С, Й, = °-
Подставляя эти результаты в формулы (16-41), имеем:
82 =
2q2c *
ТГ с .
F 2q2n* ’
Px.f=°- ;
(16-50)
26*
403
Так как ё даййом случае Получилось ^ = 0, то сред¬
ние квадраты ошибок 8^ и 8^. определяются точно такими
же формулами, как в случае оценки одного из этих пара¬
метров при точно известном втором параметре1.
Из формул (16-50) следует, что в рассматриваемом
случае средние квадраты ошибок 8^ и 8^ зависят
только от энергетического отношения сигнала к шуму
q и от параметра с, характеризующего длительность
импульса [см. выражение (16-44)], а следовательно, и
ширину его спектра: чем больше с, тем меньше дли¬
тельность импульса и тем шире его апектр. Поэтому
вполне понятно, что с увеличением с средний квадрат
ошибки измерения запаздывания т уменьшается,
а средний квадрат ошибки измерения частотного .сдви¬
га F увеличивается.
.Принципы построения оптимального приемника при
одновременном измерении двух параметров, а также
ряд дополнительных вопросов, связанных «с оптималь¬
ной оценкой параметров сигнала, читатель может най¬
ти в книге С. Е. Фальковича [JI. 5]. Мы остановимся
ниже кратко лишь на одном из важнейших вопросов —
влиянии формы сигнала при одновременном измерении
двух параметров. При этом для конкретности будем ве¬
сти рассмотрение применительно к радиолокации, т. е.
1 Однако отсюда еще не следует, что при F = 0 необходимость
одновременного измерения параметра F вообще никак не может вли¬
ять на достижимую точность измерения параметра т: (и наоборот).
Действительно, из формулы (16-50) следует, что при данном от¬
ношении сигнала к шуму q для уменьшения ошибки 8^. необходи¬
мо уменьшать величину коэффициента с (т. е. увеличивать
длительность импульса). Но при этом будет возрастать величина
ошибки j/* b\. Поэтому, если предел увеличению коэффициента с при
практическом осуществлении системы ставится именно возрастанием
ошибки $2 сверх допустимого значения (а не какими-либо дру¬
гими, например конструктивными соображениями), то необходимость
достаточно точного измерения параметра F может привести к увели¬
чению ошибки измерения параметра ъ (и наоборот).
Следовательно, при р ^ = 0 такое косвенное влияние необходи¬
мости измерения параметра F на точность измерения параметра t (и
наоборот) может иметь место.
404
пблйгать, Что запаздывание t яЬляется мерой дальйОстИ
до объекта • (самолета я т. п.), а частотный сдвиг F —
мерой радиальной скорости этого объекта.
Этот вопрос рассмотрен в работах Вудварда (Л. 2],
Зиберта [JI. 103] и наиболее подробно в упомянутой
книге С. Е. Фальковича {Л. б]. Некоторые основные ре¬
зультаты этого рассмотрения приводятся в следующем
параграфе.
16-6. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ СИГНАЛА ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ
ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТОТЫ И ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Как следует из формул (16-41) и (16-42), точность
измерения параметров т и F зависит яри данном энер¬
гетическом отношении сигнала к шуму q лишь от вида
сигнальной функции Ч* (t/, F'). Поэтому одним из ос¬
новных (если не основным) критериев оптимальности
формы сигнала uc(t) является надлежащий вид сиг¬
нальной функции Ч^т7, F').
В системе координат (0, ¥, F’) эта функция обра¬
зует поверхность, вершина которой расположена в начале
координат и равна единице, так как всегда
По мере увеличения х' и F’ функция ЧГ(т', F') умень¬
шается монотонно или не монотонно, в зависимости от вида
сигнала uc(t). В последнем случае поверхность W(x’,F')
имеет, кроме центральной вершины, еще дополнительные
вершины меньшей величины. Однако при любом виде сиг¬
нала полный объем, образуемый поверхностью Ч*1 (%', F')
с плоскостью (0, х', F'), оказывается одинаковым и равным
единице, т. е. всегда
Это соотношение называется в радиолокации прин¬
ципом неопределенности. [Справедливость соотношения
(16-52) доказывается в общем виде путем подстановки
в формулу (16-52) выражения (16-40) и выполнения со¬
ответствующих математических преобразований.] Для
удобства геометрической интерпретации поверхности
\Г(0,0)=1.
(16-51)
ОО 00
(16-52)
405
Ч^т', F') и образуемого ею объема пользуются тем же
приемом, который применяется для изображения на
карте горных вершин, — применяют сечения поверхности
Т(т', F') горизонтальными плоскостями, проводимыми
на различных уровнях («высотах»), и отмечают на пло¬
скости (0, х', F') участки, соответствующие различным
уровням, например применением различ¬
ной густоты штриховки: чем выше уро¬
вень, тем гуще штриховка.
Для приближенной характеристики ви?
да поверхности Ч^т', F') обычно ограни¬
чиваются тремя градациями величины W,
а именно: сплошь залитые участки пло¬
скости (0, х', F') соответствуют областям
высокой «корреляции», т. е. 4х (т' Р) ~ 1;
штриховка соответствует малой «корре¬
ляции», т. е. областям, где СКЧ^т'.-Р) <4
I; наконец, светлые участки плоскости
(О, х', F') относятся к «некоррелированной» области,
где ^(т', IF') =0.
Для сигнала, имеющего вид синусоидального импуль¬
са с колоколообразной огибающей, сигнальная функция
выражается формулой (16-49), и сечение поверхности
Чг(т/, F') горизонтальной плоскостью
имеет вид эллипса с отношением полу¬
осей
[—1
а п усек2 J
(16-53)
Поэтому для такого сигнала вид функ¬
ции ^(т7 F') характеризуется рис. 16-3.
Синусоидальному импульсу <с пря¬
моугольной огибающей длительностью
ти соответствует рис. 16-4.
Периодической последовательности,
состоящей из четырех таких коге¬
рентных импульсов (рис. 16-5,а),
рис. 16-5,6. Очевидно, рис. 16-3
поверхность Ч^т7, F'), имеющая одну
Рис. 16-4.
соответствует
соответствует
вершину и не
имеющая области нулевой «корреляции» [так как в этом
случае W (т7, F') равна нулю только при х' °о или
F-*■ оо]. Рис. 16-4 соответствует поверхность с одной
вершиной, имеющая области как с большой и малой,
406
Рис. 16-3.
так и с нулевой «корреляцией» (последняя имеет место
при |т'|>ти).
Наконец, рис. 16-5 соответствует поверхность с боль¬
шим числом вершин и с областями, обладающими боль¬
шой, малой и нулевой «корреляциями». Соответствующие
Рис. 16-5.
рисунки могут быть построены и для других видов сиг¬
налов.
При решении вопроса о том, какой вид функции
Ч^т', F') [а следовательно, и сигвала ыс(0] является
наилучшим, приходится учитывать целый ряд обстоя¬
тельств, из которых важнейшими обычно являются сле¬
дующие:
1. Требование высокой точности измерения парамет¬
ров х и F и отсутствия неоднозначности измерений.
2. Требование высокой разрешающей способности.
3. Желательность возможного упрощения измери¬
тельной системы (радиолокатора).
Нетрудно убедиться, что для (повышения точности
измерения параметров х и F и устранения неоднознач¬
ности функция Ч' (т, F') должна удовлетворять следую¬
щим условиям:
а) Внутри заданного диапазона возможных значений
измеряемых величин (т и F) должна существовать толь-
407
ко одна (центральная) область высокой «корреляций».
б) Эта область должна быть возможно меньшей.
Первое из этих условий необходимо для устранения
неоднозначности измерений, а второе —для повышения
точности измерений. Справедливость этих положений
подтверждается следующими рассуждениями.
Для обеспечения высокой точности измерения пара¬
метров х и F в условиях шума необходимо, чтобы даже
весьма малые изменения этих параметров вызывали
существенные изменения формы сигнала uc(t, х, F), так
как в противном случае весьма велика вероятность того,
что изменения параметров не будут обнаружены из-за
мешающего действия шума. Но из соотношений (16-39а)
и (16-40) видно, что при полном отсутствии изменений
параметров (при t2=ti и F2=F\, т. е. при т'=0 и F'=0)
получается:
!■ (т',- F)=l.
Следовательно, значениям 4я, равным единице или бес¬
конечно близким к единице, соответствуют нулевые или
бесконечно малые изменения параметров, которые прин¬
ципиально нельзя обнаружить даже три сколь угодно
малых помехах. Поэтому область значений функции
Ч^т', F ), в пределах которой Чг(т/, т. е. область
высокой «корреляции», называют областью неопреде¬
ленности.
Изменения х' и F' параметров х и F, соответствующие
этой области, нельзя надежно обнаружить даже гари
весьма малых помехах. Поэтому понятно, что чем мень¬
ше оказывается область неопределенности, т. е. область
высокой «корреляции», тем выше точность измерения
параметров ти F.
Отсюда следует также, что если в пределах возмож¬
ных значений измеряемых параметров оказывается не
одна, а несколько областей высокой «корреляции», т. е.
областей неопределенности, то возникает неоднознач-
дость в определении величин х и F. Так, например,
в случае периодической последовательности импульсов
(рис. 16-5) возникает неоднозначность измерения, если х'
или F' могут выходить за пределы ~(ТП — тп) и —
— 2^-j соответственно,
40§
(Выясним теперь, как вид функции ^(т', Р') {т. е.
вид сигнала ыс(0] влияет на разрешающую способность
системы измерения (радиолокатора).
Рассмотрим сначала простейший случай, когда в про¬
странстве имеются всего два объекта (самолета) —дан¬
ный объект с параметрами (ti, Fi) и 'мешающий объект
с параметрами (х2, F2)- Будем полагать, что сигналы
uc(t, хи Fi) и uc(t, х2, Fz), отраженные от обоих объек¬
тов, различаются только значениями .параметров т и F.
Тогда для этих сигналов опять можно образовать функ¬
цию «'корреляции» вида (16-40), и оказываются справед¬
ливыми построенные на ее основе рисунки, например
рис. 16-3, 16-4 и 16-5.
Если оба объекта имеют одинаковые значения пара¬
метров х и F (т. е. т'=0 и F'=0), то они принципиально
неразличимы. При этом, как следует из (16-40), полу¬
чается:
ЧГ(г', .По¬
следовательно, если функция Т(т/, F') равна единице
или бесконечно близка к ней, то два объекта неразли¬
чимы друг от друга даже три сколь угодно малых по¬
мехах.
Отсюда следует, что области высокой «корреляции»
[где W (г', F') 1] являются областями неопределенности
не только с точки зрения невозможности точного изме¬
рения параметров одиночного объекта, но и с точки
зрения невозможности (в этой области параметров) отли¬
чить один объект от другого, т. е. с точки зрения разре¬
шающей способности системы. Поэтому с точки зрения
разрешающей способности также желательно, чтобы об¬
ласть высокой «корреляции» была возможно более узкой.
Чем меньше значение функции 4f('t/, F') для сигна¬
лов от двух объектов, тем легче отличить их друг от
друга при наличии .помех и, следовательно, тем выше'
разрешающая способность системы.
Как указывалось выше, для ортогональных сигналов
получается Y (%', F') =0. Поэтому для таких сигналов
разрешение оказывается полным — при 'приеме сигнала
uc(t, ti, Fi) можно полностью избавиться от мешающего
действия сигнала uc(t, х2, F2) (если ортогональность до¬
стигается за счет того, что сигналы не перекрываются
по времени или 'по частотным спектрам, то такое полное
409
разделение достигается соответственно путем временной
или частотной селекции).
При наличии не одного, а нескольких мешающих сиг¬
налов вопрос о влиянии формы 'Сигнала [или вида
функции Ч^т', .F)] на 'разрешающую способность систе¬
мы сильно усложняется, в частности приобретает боль¬
шое значение вид функции
^(т', F') в областях малой
«корреляции» (в заштрихо¬
ванных областях на рис.
16-3—16-5). Однако и в этом
случае идеальным был бы
такой сигнал (рис. 16-6),
при котором область высо¬
кой «корреляции» была бы
возможно меньше, а об¬
ласть малой «корреляции»
отсутствовала (на рис. 16-6
ти обозначает длитель¬
ность сигнала, а Яс — ширину его спектра; Псти>1)-
Очевидно, такой сигнал является идеальным и с точки
зрения получения наибольшей точности измерения и
отсутствия неоднозначности. Однако получение идеаль¬
ного сигнала наталкивается на серьезные принципиаль¬
ные и практические трудности.
Принципиальная трудность связана с приведенным
выше соотношением (16-52), т. е. «принципом неопреде¬
ленности», из которого следует, что полный объем под
поверхностью W(t', F') всегда равен единице.
Действительно, для получения идеального сигнала
(рис. 16-6) нужно сделать возможно меньшей часть
объема иод поверхностью F'), расположенную
вблизи начала координат. Но так как полный объем под
поверхностью F') должен оставаться неизменным
(равным единице), то при этом неизбежно увеличение
части объема, расположенной вне центральной области
высокой «корреляции». Это означает, что при уменьше¬
нии центральной области высокой «корреляции» должен
повыситься уровень «корреляции» вне этой области, и
могут даже появиться дополнительные области высокой
«корреляции». Это может привести к ухудшению разре¬
шающей способности или' появлению неоднозначности
(если дополнительные области высокой «корреляции»
410
Рис. 16-6.
окажутся в пределах возможных значений измеряемых
параметров). Практические трудности 'получения сигна¬
ла, близкого к идеальному, связаны с тем, что при этом
обычно имеет место усложнение аппаратуры.
В [Л. 103] указывается, что к сигналам, имеющим
функцию 4я (т', F'), близкую к идеальной, относятся
шумоподобные сигналы или сигналы в виде кодирован¬
ной последовательности импульсов. /При этом кодиро¬
ванный сигнал лолучается, например, из 'исходного
импульса длительностью ти с синусоидальным заполне¬
нием, который делится на /7сти интервалов, каждый дли¬
тельностью -4- (здесь ти — длительность всего сигнала,
С
а #с — ширина его спектра). Затем высокочастотные
колебания при переходе от каждого данного интервала
к следующему сохраняются неизменными или повора¬
чиваются по фазе на 180°, — в соответствии с тем, равен
нулю или единице соответствующий кодовый знак в дво¬
ичном коде, состоящем из Псти кодовых знаков. Вид
кода подбирается таким, три 'котором обеспечивается
минимум функции «корреляции» 4я (т', F') для всех зна¬
чений %' и F', отличных от нуля.
Такие кодированные или шумоподо>бные сигналы по¬
зволяют почти полностью реализовать потенциальные
возможности радиолокатора с точки зрения точности
и неоднозначности измерений. Однако они могут ока¬
заться далекими от оптимальных с точки зрения разре¬
шающей способности (благодаря возрастанию уров,ня
функции «корреляции» в области малой «корреля¬
ции»), или требовать существенного усложнения аппа¬
ратуры.
В заключение необходимо подчеркнуть следующее
весьма важное обстоятельство, на которое, к -сожалению,
обращается недостаточное внимание в опубликованной
литературе. Оно состоит в том, что все приведенные вы¬
ше выводы о влиянии вида сигнальной функции 4я (т', F')
(а следовательно, и вида сигнала) на точность измере¬
ния параметров г и F полностью справедливы лишь при
достаточно большом отношении сигнала к шуму q.
Это следует, во-первых, из того, что только в этом
случае «справедливы исходные формулы (16-41) и
(16-42). Поэтому только в случае большого отношения
сигнал/шум можно утверждать, что при данном энерге¬
411
тическом отношении сигнал/шум точность измерения
параметров т и F полностью определяется видом сиг¬
нальной функции 4я (т', F').
Во-вторых, в том, что приведенные выше заключения
могут быть совершенно неверны при небольшом отно¬
шении оигнал/шум, можно убедиться, 'например, путем
следующих рассуждений.
Выше отмечалось, что в случае шумоподобных и ко¬
дированных сигналов можно с точки зрения точности и
неоднозначности измерений приблизиться к идеальному
случаю, изображенному на рис. 16-6. Но из этого рисун¬
ка следует, чтоприЯсти—область высокой «корреля¬
ции» стремится к нулю. Это означает, что путем неогра¬
ниченного увеличения числа степеней .свободы сигнала
ЯсТи можно сделать ошибки измерения параметров т
и F сколько угодно малыми даже при сохранении энер¬
гетического отношения сигнала к шуму q неизменным
и конечным. Поэтому, если предположить, что этот ре¬
зультат справедлив при любой величине q, то это будет
означать, что путем неограниченного увеличения Псти
можно свести ошибки измерений к нулю даже при весь¬
ма малом (но конечном) отношении сигнал/шум.
Но этот результат противоречит истине, так как при
малом отношении сигнала к шуму q невозможно н и
при какой форме сигнала uc(t) достаточно на¬
дежно решить даже вопрос о наличии или отсутствии
сигнала на входе приемника, а следовательно, нельзя
даже гарантировать, что результаты измерений г и F
относятся к полезному сигналу, а не к шуму, т. е.
вообще являются хотя бьи в какой-то степени полез¬
ными.
Действительно, решение'задачи о наличии или отсут¬
ствии сигнала на входе есть не что иное, как бинарное
обнаружение сигнала. В гл. 5 и 9 было показано, что
при простом бинарном обнаружении сигнала вероят¬
ности ошибок обнаружения зависят исключительно от
энергетического отношения сигнала к шуму [см., напри¬
мер, формулы (5-29, (9-49) и (9-85)], и при малом зна¬
чении этого отношения надежное обнаружение невоз¬
можно ни при какой форме сигнала. В рассматриваемом
случае измерения параметров т и F мы имеем дело не
с простым, а со сложным бинарным обнаружением [так
412
как при обнаружении сигнала параметры т и (или) F
неизвестны]. Но очевидно, что если данное энергетиче¬
ское отношение сигнала к шуму недостаточно для на¬
дежного простого обнаружения, то оно тем более недоста¬
точно для столь же надежного сложного обнаружения.
Поэтому очевидно, что при малом q достижение высокой
надежности обнаружения и( или) высокой точности изме¬
рения параметров т и F принципиально невозможно ни
при какой форме сигнала.
Из сказанного следует, что усложнение формы сиг¬
нала (увеличение его числа степеней свободы #ctH)
с целью уменьшения области высокой «корреляции»
(рис. 16-6) и повышения точности измерений может дей¬
ствительно дать повышение точности лишь при доста¬
точно большом отношении сигнала к шуму q. При этом,
чем больше число степеней свободы Ясти, тем больше
должна быть величина q, чтобы полученные результаты
были справедливыми.
Здесь мы имеем аналогию с более простым случаем—
измерением одного параметра (х), рассмотренным
в гл. 6. В ней на основании аналитических результатов,
полученных IB. А. Котельниковым, и путем геометриче¬
ской интерпретации было показано, что при увеличении
числа степеней свободы сигнала точность измерения не¬
ограниченно повышается, но одновременно возрастает и
отношение сигнала к шуму q, необходимое для реализа¬
ции этой точности — в противном -случае неизбежно воз¬
никают аномальные ошибки [перескакивание с одного
витка многомерной спирали (рис. 6-8) на другой] и, сле¬
довательно, точность резко понижается.
Таким образом, 'применение шумоподобных, кодиро¬
ванных и других сложных сигналов с -большим числом
степеней -свободы может действительно привести к зна¬
чительному повышению точности измерений лишь в си¬
стемах, работающих при достаточно 'большом энергети¬
ческом отношении сигнала к шуму q, т. е. в тех случаях,
когда к точности и надежности измерений предъявляют¬
ся особенно высокие требования, а уровень внешних
помех (в том числе помех от соседних отражающих объ¬
ектов) сравнительно невелик.
К сожалению, из-за математических трудностей воп¬
рос о том, каково должно быть минимальное значение
величины q для того, чтобы тд или иное усложнение
413
формы сигнала действительно давало существенное по¬
вышение точности измерений, пока решен только для
некоторых частных видов сигналов, да и то большей
частью лишь экспериментальным путем.
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
ОБОБЩЕННЫЕ КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
(ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ
РЕШЕНИИ)
17-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В предыдущих главах рассмотрение велось примени¬
тельно к наиболее распространенным, но частным кри¬
териям оптимальности приемника —'-критериям «мини¬
мальной полной вероятности ошибки, минимальной
среднеквадратичной ошибки и др. Однако в ряде слу¬
чаев выбор конкретного вида критерия оптимальности
оказывается затруднительным. Поэтому весьма суще¬
ственно знать, как влияет вид выбранного критерий
оптимальности на структуру ;и свойства оптимального
приемника. Для этого нужно ввести обобщенные крите¬
рии оптимальности, которые охватывали бы целые клас¬
сы возможных частных критериев/ Такой подход ока¬
зывается возможным при применении теории -статисти¬
ческих решений.
Теория статистических решений, основы которой
были заложены Вальдом [JI. 30, 16 и 118], является раз¬
витием и обобщением методов проверки статистических
гипотез и методов оценки параметров распределений и
в значительной мере использует результаты, полученные
в теории -игр. Поэтому в теории статистических решений
применяются, в частности, такие характерные для тео¬
рии игр термины как «решение», «потеря» (или «убы¬
ток»), «риск» и т. п.
В течение последних лет теория статистических ре¬
шений была -с успехом применена Д. Мидлтоном и дру¬
гими авторами к решению задач оптимального обнару¬
жения и воспроизведения сигналов на фоне помех.
•В соответствии с этой теорией задача оптимального
приема сигналов на фоне помех формулируется следую¬
щим образом.
414
На вход приемника (рис. 17-1) поступает смесь (не обя¬
зательно аддитивная) y{t) сигнала uc(t) и шума иш (t),т. е.
y(t) = ue(t)®um(t).
Здесь знак ® обозначает „ смесьа.
В частном случае, при аддитивных сигнале и шуме,
та смесь является суммой, т. е.
y(t) = uc (О + 0Ш (*)•
Статистические характеристики шума полагаются полно-
тью известными, т. е. известен я-мерный закон распределе¬
ния шума Wm{umV ..ишп). Сигнал может быть представлен
в следующем виде:
(^) = UQ (t\ х\ ах,... , <хт), (17-1)
где х; alt..., ат — неизвестные в месте приема параметры
сигнала. Эти параметры в течение времени наблюдения
(О, Т) могут быть постоянными величинами или неизвест¬
ными функциями времени x(t)\ 0Lx(t),..., cnm(t).
Здесь х является 'полезным сообщением, -подлежащим
воспроизведению, а си, ..., ат — паразитными параметра¬
ми, т. е. параметрами, не со¬
держащими никакой инфор¬
мации о воспроизводимом со¬
общении.
Неизвестные величины (или
функции времени) хх\ си. ...,
ат рассматриваются в месте
приема как -случайные величины (или случайные функ¬
ции времени), имеющие -известные априорные распре¬
деления Р(х) и Р(а\,..., ат).
Так как паразитные параметры си, ..., ат не -содержат
никакой информации о сообщении х, то статистическая
-связь между этими параметрами -и сообщением х отсут¬
ствует. Предполагается, что зависимость сигнала uc{f)
от времени t и параметров (х; си, ат) в месте приема
точно известна; -следовательно, при известных парамет¬
рах (я; си,..., ат) сигнал uc(t) известен полностью. Та¬
кой сигнал называется сигналом с неизвестными или
415
Рис. 17-1.
случайными параметрами. Приводимая Ниже тео¬
рия справедлива и для «полностью случайных сигналов
(априорные /г-мерные распределения которых в месте
приема известны) [JT. 120]. Однако поскольку в радио¬
технике наиболее типичными являются сигналы <с не¬
известными параметрами, дальнейшее изложение ведется
применительно к сигналу вида (17-1).
Так как статистические характеристики сигнала и
шума полагаются полностью известными, то известно
или может быть точно вычислено и совместное распре¬
деление
Р(х, y) = P(x)Pxiy). (17-2)
Наиболее просто это распределение находится при
аддитивном сигнале и шуме. 'В этом случае
y(t) = uc{t;x\a1,.. .,ат) + иш(*); (17-3)
поэтому
Рх, aJy) = WJy-uc) (17-4)
и
Рх (у)= J •. • J Рх<а Лт {у) р (<*„ • • *J da,... dam.
А» A*m
(17-5)
Следовательно,
рх(у)=\ ••• { WJy — ис)Р(a,,.. .^Jda,.. .dam,
Aati Дат
(17-6)
где
«с == (t, х, <xt,..., ®m).
Так как распределения 1^ш(Ыш) и Р(аи ..., ат) пола¬
гаются известными, то формула (17-6) позволяет опре¬
делить распределение Рх(у). После этого по формуле
(17-3) может быть найдено совместное распределение
р(х, У).
Итак, на вход .приемника (рис. 17-1) поступает смесь
y(t) сигнала и шума, статистические характеристики ко¬
торой известны полностью. Приемное устройство анали¬
зирует колебание y(t) в течение времени наблюдения
416
(О, Т) и на основании этого анализа на выходе прием¬
ника выдается решение у.
Операции, которые производятся в приемнике над
колебанием y(t) для образования решения у, называются
правилом решения и обозначаются А '(у/у).
Вид решения у зависит от назначения приемника.
Если задача состоит лишь в бинарном обнаружении
сигнала, то у имеет всего два дискретных значения уо
(сигнала нет») и у\ («сигнал имеется»).
'При простом воспроизведении дискретных сообщений
х\, ..., хш решение у имеет соответствующие дискретные
значения уи Yт-
При простом воспроизведении непрерывного сообще¬
ния х или x(t) решение у является соответственно не¬
прерывной величиной у или функцией времени у (t).
При этом в случае точного воспроизведения
у = лг, или 4(t) = x(t).
В некоторых случаях требуется не простое воспроиз¬
ведение -сообщения, а воспроизведение с осуществлением
некоторых дополнительных операций, например усиле¬
ния, дифференцирования, интегрирования, предсказания
будущего закона изменения сообщения и т. п. Так, на¬
пример, в радиолокации часто требуется на основании
наблюдения в течение данного интервала времени (О, Т)
траектории цели предсказать вид траектории за пре¬
делами этого интервала (для надлежащего направления
зенитного снаряда).
IB этих случаях при отсутствии помех должно выпол¬
няться условие
Y (t) = Dx(t),
где D — некоторый оператор, соответствующий требуе¬
мому преобразованию (дифференцированию,
предсказанию и т. п.).
Правило решения А(у/у) может быть регуляр¬
ным (нерандомизированным) или .стати¬
стическим (рандомизированным).
Регулярным называется такое правило, при котором
каждой реализации y(t) смеси сигнала и шума соответ¬
ствует вполне определенное (т. е. с вероятностью, рав¬
ной единице) решение у [или у(01-
27 Л. С. Гуткин 417
Статистическим (нерегулярным) называется такое
правило, при котором решение у связано с у не регуляр¬
ной, а 'статистической зависимостью, т. е. три данном у
известно не решение у, которое примет, приемник, а лишь
вероятность этого решения.
Все современные приемные устройства действуют
в соответствии с регулярным правилом (отклонения от
регулярности вызываются лишь нестабильностями и не¬
исправностями аппаратуры). Однако если специально
заложить в .приемник набор статистических механизмов,
можно заставить его действовать по статистическому
правилу.
Всем живым организмам, в том числе и человеку,
присущи именно статистические правила решения. Реак¬
ция данного человека на данное конкретное воздействие
внешней среды не может быть предсказана с полной
достоверностью, — могут быть заранее известными лишь
вероятности тех или иных реакций на данное воздей¬
ствие. Наличие такой нерегулярности в поведении живых
организмов оказывается для этих организмов в одних
случаях вредным, а в других случаях — полезным фа¬
ктором. Оно является полезным, в частности, тем, что
затрудняет борьбу с этим организмом его противни¬
ков.
Соответственно и в машинах, в частности в приемных
устройствах, наличие нерегулярности в их действии во
многих случаях 'будет ухудшать результаты, но в неко¬
торых сложных условиях может оказаться полезным.
Так, например, наличие нерегулярности в действии при¬
емников, предназначенных для радиолокации самолетов
противника, может затруднить противнику создание
эффективных организованных радиопомех.
Таким образом, в большинстве случаев целесообраз¬
но конструировать приемники с регулярными правилами
решения, но в некоторых специальных случаях может
оказаться более полезным иметь приемники со стати¬
стическими правилами решения.
Если правило решения является статистическим, то
A(Y/у) обозначает вероятность принятия приемником
решения у при наличии на его входе реализации у.
Если у является непрерывной величиной, то А (у/у)
является не вероятностью, а плотностью вероятности
решения у.
418
Если у является функцией времени, то А (у/у) —мно¬
гомерная (n-мерная) плотность вероятности.
При регулярном правиле решения между реализа¬
цией y(t) и решением у имеется регулярная завивимость:
т=т(0); (17-7)
поэтому регулярное правило решения выражается соотно¬
шением (17-7).
Если и в случае регулярного правила решения под
Д (у/у) понимать в целях универсальности плотность веро¬
ятности решения у при данном у, то следует полагать
МТ/У) = 8[Т-Ш]. (17-8)
где 8 (г) является 8—функцией от г.
Таким образом, для любых правил решения (регу¬
лярных и нерегулярных) можно понимать под правилом
решения А (у/у) вероятность (или плотность вероятности)
принятия решения у при данном у. При ЭТОМ А (у/у)
является в случае регулярных правил решения 6-функ¬
цией вида (17-8).
Итак, приемник на основании анализа реализации
y(t) в соответствии с правилом А (у/у) вырабатывает
решение у.
Очевидно оптимальным является такое правило ре¬
шения А (у/у) (т. е. такая структура приемника), при
котором решение у оказывается наилучши'м в том или
ином смысле. Поэтому для нахождения оптимального
правила решения следует вьгбрать количественную ха¬
рактеристику качества решения у.
Такой характеристикой является функция потерь
(«убытков») 1(х, у), назначающая потери («убытки»),
соответствующие каждой комбинации сообщения х и
принятого решения у.
При простом воспроизведении наиболее распростра¬
ненной является квадратичная функция потерь вида
1(х, Y) = (Y-*)a. (17-9)
В общем случае функция 1(х, у) может иметь самый
различный вид в зависимости от назначения приемника
(обнаружение, простое 'воспроизведение, предсказание
и т. п.) и предъявляемых к нему требований. Однако во
27* 419
всех случаях она должна характеризовать потери,
связанные с данной комбинацией сообщения х и реше¬
ния у, т. е. чем менее! благоприятна (с точки зрения на¬
значения приемника) данная комбинация (х, у), тем
больше должна быть соответствующая ей величина
Их, у).
В случае простого воспроизведения увеличение мо¬
дуля ошибки воспроизведения, |у— х\, указывает на
ухудшение качества решения. Поэтому при простом вос¬
произведении квадратичная функция вида (17-9) яв¬
ляется одной из наиболее подходящих.
В некоторых случаях функция потерь может зави¬
сеть не только от текущих значений х и у, но и от всех
значений х и у в некоторой области изменения их аргу¬
ментов. В этом случае функция потерь превращается
в функционал.
Наконец, при некоторых видах функции потерь
1(х, у) эта функция оказывается зависящей также от
правила решения Д(у/у).
Пусть, например, в качестве функции потерь выбра¬
на следующая функция:
1 (х, Т) =— log Р (*/Y) = log, (17-10)
где Р(х/у)—вероятность (или плотность вероятности) х
при данном у. Чем меньше вероятность Р(х/у), тем
больше неопределенность х при данном у. 'Поэтому вы¬
ражение (17-10) называется в теории информации не¬
определенностью х три данном у. Очевидно, чем больше
эта неопределенность, тем хуже; поэтому функция ви¬
да (17-10) в принципе пригодна для оценки качества
приемника и может 'быть выбрана в качестве функции
потерь. Так как вероятность х при данном у зависит от
структуры приемника, т. е. от правила решения А (у/у),
то функция потерь вида (17-10) также зависит от прави¬
ла решения А (у/у). В противоположность этому функция
вида (17-9) является примером функции поте'рь, не за¬
висящей от правила решения А (у /у).
Итак, для оценки качества приемника выбирается
подходящая для условий работы данного приемника
функция потерь 1(х, у).
Так как х и у являются случайными величинами (или
случайными функциями времени), то и потеря /(х, у)
420
является величиной случайной. Поэтому для оценки ка¬
чества решения в теории статистических решений при¬
нимается не сама величина потери 1\(х, у), а ее матема¬
тическое ожидание:
где черточка сверху означает статистическое усреднение,
т. е.
где Ах и Лт — области всех возможных значений а; и у.
Величина R, называемая средней потерей (сред¬
ним убытком), и является мерой качества решения (ка-,
чества приемника) — чем меньше эта величина, тем луч¬
ше решение.
Поэтому наилучшим (оптимальным) называется та¬
кое правило решения А(у/у), которое обеспечивает ми¬
нимум величины R. Правила решения А*(у/у), дающие
минимум величины R, называются байесовскими
правилами решения.
Если функция потерь 1(х, у) такова, что она не за¬
висит от правила решения А (у/у), то величина I (х, у)
называется /риском, а Я — средним риском.
Если функция потерь 1(х, у) зависит от 'правила ре¬
шения А (у/у), то нахождение минимума R, т. е. отыска¬
ние оптимального правила решения, сильно затруд¬
няется. Поэтому в 'большинстве случаев выбирают
функцию потерь таким образом, чтобы она не зависела
от правила решения. В дальнейшем мы ограничимся для
простоты именно такими случаями и соответственно
будем называть величину R средним риском. При этом
оптимальным является такое правило решения А (у/у),
которое дает минимум среднего риска, т. е. обращает
в минимум выражение (17-12). Из сказанного выше сле¬
дует, что такое правило решения принадлежит к классу
байесовских правил решения. Отыскав это правило, мы
находим тем самым математическое описание структуры
оптимального приемника.
Характеристика качества воспроизведения сообщения
одним числом — средним риском R —1 не является,
конечно, универсальной или оптимальной во всех отно¬
R = I(x, т)
(17-11)
(17-12)
421
шениях, и воо'бще невозможно создать критерий, уни¬
версальный и оптимальный во всех отношениях.
Однако критерий минимального среднего риска яв¬
ляется значительно более общим, чем критерии, изло¬
женные в предыдущих главах, и они могут быть получе¬
ны из него как частные случаи.
17-2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ КРИТЕРИИ
МИНИМАЛЬНОГО СРЕДНЕГО РИСКА
Выражение (17-12) для среднего риска -справедливо
для различных видов сообщений х и решений у со сле¬
дующими примечаниями:
1. 'В случае дискретных х и у в этом выражении
интегралы должны быть заменены суммами, а под
Р(х, у) следует понимать совместную вероятность
величин х и у.
2. В случае непрерывных х и у распределение Р(х,у)
является плотностью совместной вероятности х и у.
Если х и y являются случайными функциями време¬
ни, то распределение Р(х, у) является я-мерным.
Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров.
.Пусть, например, сообщение имеет два возможных
значения х=х0 и х = х\ (бинарная передача) -и возмож¬
ны лишь два решения у = уо (на входе имеется сообще¬
ние х0) и y=Yi (на входе имеется сообщение Х\).
В случае телеграфной радиосвязи под Хо и Х\ следует
понимать паузу и посылку, а под решениями у0 и yi —
выдачу на выходе паузы и посылки соответственно.
В случае обнаружения наличия или отсутствия сиг¬
нала значения х0 и Х\ соответствуют отсутствию и нали¬
чию сигнала, а у0 и yi — решениям «нет» (сигнала на
входе нет) и «да» (сигнал на входе имеется).
Выражение (17-12) в этом случае ^принимает вид
•суммы:
В рассматриваемом случае возможны следующие ком¬
бинации сообщения х и решения у:
(17-13)
(-«о» То)» (*о.Тх). (*х.То) и С*1.Гх). (17-14)
422
Очевидно, первая и четвертая комбинации соответст¬
вуют правильным решениям, а вторая и третья — непра¬
вильным.
Назначим потери, соответствующие этим комбинациям:
I ("^0 > То) ^1 ’ ^(-Ko-Yl) I ("^И То) =: С it I (Хц Tl) ^ 4'
(17-15)
Тогда в соответствии с (17-13) имеем:
R=c1P(х0, Yo)Н- с2Р (х0, Yj) -(- с3Р (xlt Y0) -j- с^Р(л\, fi)-
(17-16)
Обычно приписывают правильным решениям нулевые
потери, т. е. полагают:
с1 = 0; = 0; (17-17)
тогда
/? = ctA>(jc0,Yi) + c,/>(jf1>T«). (17-18)
Это выражение можно записать также в следующем
виде:
R= с2Р(х0) PJyO + ^W^/To)- (17-19)
Пусть, например, рассматривается случай бинарного
обнаружения сигнала. Тогда, очевидно,
'>,.(т.)= р,„ и Р„ (т.) (17-20)
где Рлт и Япр — вероятности ложной тревоги и пропуска
сигнала.
При этом средний риск R равен:
R = с2Р (х0) Рлт + с3Р (хг) Рпр. (17-21)
Это выражение полностью совпадает с выражением
(14-12), приведенным в гл. 14, так как с2 и е3 играют
роль весовых коэффициентов а и Ь.
Если положить
с, = с*=1, (17-22)
423
то получается
+ , (17-23)
т. е. при потерях сь Сг, с3 и с4, выбранных в соответствии
с соотношениями (17-17) и (17-22), средний риск R
совпадает с полной вероятностью ошибки Р0ш и, следо¬
вательно, критерий минимально среднего риска совпа¬
дает с критерием минимальной полной вероятности
ошибки.
Следовательно, критерии, рассмотренные в гл. 14,
действительно являются частными случаями критерия
минимального среднего риска.
Рассмотрим теперь пример простого воспроизведения
непрерывного сообщения. При этом, как указыва¬
лась выше, одним из наиболее распространенных видов
функции потерь I(xi, у) является квадратичная функция
вида (17-9).
При этом из (17-9) и (17-12) имеем:
R=^ dx j (у — х)!Р(х,у)с1х — (( — x)a, (17-24)
A x Ay
т. e. при квадратичной функции потерь средний риск R
совпадает со средним квадратом (у—х)2 ошибки вос¬
произведения сообщения и, следовательно, критерий
минимального среднего риска совпадает с критерием ми¬
нимальной среднеквадратичной ошибки.
Как будет доказано «ниже, во многих практически
интересных случаях критерий минимального среднего
риска совпадает также с критерием максимальной обрат¬
ной вероятности (или максимальной плотности обратной
вероятности).
Следовательно, выби-рая тот или иной вид функции
потерь /(*, у), мы -можем получить из (17-12) различ¬
ные критерии оптимальности, в том числе и все рас¬
смотренные в предыдущих главах более простые кри¬
терии.
Для практического применения выражение (17-12)
следует преобразовать таким образом, чтобы заданные
априорные распределения Р(х) и Рх(у) <и правило ре¬
шения A (y/у) входили в него в явном виде. ‘Проведем
это преобразование, полагая при этом, что правило
424
решения является регулярным, т. е. описывается регу¬
лярной зависимостью (17-7).
Учитывая, что
Р(х,1) = Р(х)Рх{ у),
из (17-12) получаем:
/?= J dxP(x)$ I (х, у)Рх(y)cfr- (17-25)
Ах А1
Обозначив
Rx=\Hx,l)Px(4)db (17-26)
Ai
имеем:
R = \p{x)Rxdx. (17-27)
л*
Из выражений (17-26) и (17-27) следует, что Rx явля¬
ется условным риском, определяемым для данного значе¬
ния сообщения х, а средний риск может быть получен
усреднением этого условного риска по всем возможным
значениям сообщения х.
Выражение (17-12) может быть преобразовано также
следующим образом.
Так как между у и у существует регулярная зависи¬
мость
Т = ТЫ.
то
Р (л;, у) dxd^ — P (jc, у) dx dy,
и из (17-12) имеем:
R=j \р (х,'у) I [х, у {у)] dx dy. (17-28)
Ay Ах
[Так как пределы интегрирования по у не зависят от
х, и наоборот, то порядок интегрирования по х и у в вы¬
ражении (17-28) может быть любым.]
Выражение (17-28) удобно тем, что в него заданное
априорное распределение Р(х,у) и правило решения y (у)
входят в явном виде.
425
Оптимальным является такое правило решения у (*/).
при котором выражение (17-28) минимально, т. е. при
котором
R = J j Р (х,у) I [я, у («/)] dx dy — min. (17-29)
Ay Ax
Так как
P(x,y) = P(y)Py(x),
то выражение (17-28) можно представить также в следую¬
щем виде:
R= J P{y)Rydy, (17-30)
АУ
где
*у=\Ру(х)Пх,чт*х. (17-31)
Из -соотношений (17-30) и (17-31) следует, что .Ry
является условным риском, соответствующим данной
реализации у, и средний риск R может быть найден
усреднением этого условного риска по всем возможным
реализациям у.
Так как Р(у) и Ry являются неотрицательными
функциями, то из (17-30) следует, что для получения
минимального среднего риска R условный риск Ry дол¬
жен быть минимальным для всех возможных реализа¬
ций у.
Следовательно, оптимальным является такое прави¬
ло решения Ykp(*/)> которое при любом у минимизирует
величину условного риска Ry, т. е. обеспечивает выпол¬
нение условия:
Ry=^ Ру(л)/[Ху y(y)]dx — min при любом у* (17-32)
Соответственно оптимальным является такое приемное
устройство, которое для каждой данной реализации y(t)
вырабатывает выходное „решение" по правилу
Y = YKP (У), (17-33)
где Ykp (у) — правило решения у (у), соответствующее,
минимуму (при любом у) условного риска Ry.
426
Сравним это правило решения с более простым пра¬
вилом максимальной плотности обратной вероятности
Ру(х), рассмотренным в предыдущих главах. При этом
будем для краткости называть правило, основанное на
максимизации плотности обратной вероятности Ру(х)
простым, а правило, минимизирующее услов-ный риск/?у
для всех у, а следовательно, и средний риск /?,— обоб¬
щенным правилом.
При применении простого правила в качестве реше¬
ния у выбирается то значение сообщения хш, которое
при любом у обращает в максимум плотность Ру(х)
обратной вероятности, т. е. простое правило имеет вид:
Т = *,.. (17-34)
где х — значение сообщения л;, при котором выполняется
условие
Ру(х) = шах при любом у. (17-35)
Обобщенное правило имеет вид (17-33) и обращает
в минимум (при любом у) условный риск iRy, т. е. нахо¬
дится из условия (17-32).
Из -сравнения выражений (17-32) и (17-35) следует,
что обобщенное правило решения в общем случае
является более сложным для вычислений и для практи¬
ческой реализации, так как в выражение (17-32), по¬
мимо плотности обратной вероятности Ру(х), входит
также функция потерь /![лг, у (у)]. Однако введение
функции потерь позволяет учитывать при выработке ре¬
шений у относительную опасность различных ошибок и,
следовательно, (получать более оптимальные решения.
Так, например, при простом воспроизведении и функ¬
ции потерь вида*
Т) = (Т — -к)2,
выражение (17-32) принимает вид:
Ry — J Ру (х) [х — 'i{y)fdx — tnin при любом у. (17-36)
Ах
При этом, чем больше модуль ошибки |* —у|» те,м боль¬
ший вес он имеет в выражении (17-36). Поэтому обоб¬
щенное правило решения укр(*/)> найденное из условия
427
(17-36), .учитывает, что большие ошибки являются более
опасными, тогда как при простом правиле решения это
обстоятельство совершенно не учитывается. Следова¬
тельно, в ряде случаев простое правило решения может
дать результаты, -весьма далекие от оптимальных.
Однако, 'как будет показано ниже, во многих весьма
важных для практики случаях результаты, получаемые
при простом и обобщенном правилах решения, практи¬
чески совпадают, и, следовательно, вполне допустимо
применять вместо обобщенного правила (17-33) простое
правило (17-34).
17-3. МИНИМАКСНЫЙ КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Критерий минимального среднего риска основан на
использовании полной информации о законах распре¬
деления сигнала и шума.
С одной стороны, это является достоинством крите¬
рия, так как позволяет использовать при воспроизведе¬
нии сообщения максимально возможную информацию
о сигнале и шуме. Однако эта же особенность критерия
вызывает затруднения в тех случаях, когда по условиям
задачи распределения сигнала и шума известны -непол¬
ностью. Особенно часто оказывается неизвестным апри¬
орное распределение сообщений Р(х). В некоторых слу¬
чаях может быть неизвестно даже, какой величиной
(какой функцией времени) является искомое сообще¬
ние — случайной или регулярной.
Для преодоления этой так называемой «априорной
трудности» не существует универсальных или однознач¬
ных путей. Наиболее распространенными здесь являются
следующие методы:
1. Метод условного риска Rx.
Из выражений (17-26) и (17-27) следует, что при не¬
известном распределении Р(х) нельзя определить сред¬
ний риск /?, но можно найти условный риск Rx, опреде¬
ляемый для данного значения сообщения х. (Поэтому
можно подобрать правило решения у (у) таким образом,
чтобы оно давало наилучшие результаты (т. е. наимень¬
шие значения риска Rx) для нескольких выбранных из
каких-либо соображений значений сообщения х.
2. Метод равно мерно го распределе¬
ния Р(х).
428
Если распределение Р(х) совершенно неизвестно или
неизвестно даже, является ли сообщение * случай¬
ным, то наиболее естественно полагать в этом случае
распределение Р(х) равномерным, т. е. считать:
Р{х) = кч (17-37)”
где k — некоторая константа.
Исходя из выбранного таким образом распределения
Р(х), можно далее определять средний риск R обычным
образом, например по формуле (17-25). Так как для
отыскания оптимального правила -решения нужно найти
лишь минимум риска i?, величина константы k не
играет при этом роли и может быть выбрана произ¬
вольной.
Недостаток этого метода состоит в том, что если
в действительности распределение Р(х) окажется суще¬
ственно неравномерным, найденное 'правило решения
\(у) может оказаться далеким от оптимального.
3. Метод минимаксного критерия опти-
мал ьн ост и. *
Этот критерий сводит к минимуму не средний
риск R, а максимально возможное значение условного
риска Rx*.
Математически 'минимаксный критерий формулирует-
ся следующим образом:
шахR (Дм) <шах/? (Д) при всех Д. (17-38)
(по х) (по X) v
Здесь А = у (у) —произвольное правило решения, а Дм =
=Ум (у)—правило решения, обеспечивающее миними¬
зацию максимального значения условного риска Rx и
называемое поэтому минимаксным правилом
решения.
Символ Rx (Д) подчеркивает, что условный риск Rx
зависит от правила решения Д.
Из определения минимаксного критерия следует, что
он обеспечивает наилучшее правило решения (т. е. наи¬
лучший принцип действия приемного устройства) для
наихудшего случая. В этом заключается его преимуще¬
ство, но с этим связан и его недостаток: так как в дей-
* Отсюда и термин „минимакс“ — „МИНИмизация МАКСимума“.
420
ствительности наихудший случай может вообще не иметь
места или быть маловероятным, то минимаксное прави¬
ло решения может оказаться (во всех случаях или
в большинстве случаев) далеким от оптимального.
Поскольку минимаксный метод менее тривиален, чем
предыдущие два метода [метод условного риска Rx и
метод равномерного распределения Р(х)], он рассмат¬
ривается в теории статистических решений (и в теории
игр) более подробно.
В частности, Вальдом, исходя из некоторых достаточ¬
но общих предпосылок, были получены для минимакс¬
ного критерия следующие важные результаты [Л. 30,
16 и 118]:
1. Минимаксное правило решения существует.
2. Любое минимаксное правило решения Дм есть
байесовское правило решения, определенное для неко¬
торого априорного распределения Рм(*), называемого
наименее благоприятным априорным распределением.
3. Наименее благоприятное априорное распределение
существует.
4. Байесовское правило решения АКр{т. е. укр(*/)]>при
котором условный риск Rx не зависит от х, является
минимаксным правилом (Ам).
5. Минимаксному правилу решения соответствует
минимальное (>по всем правилам А) значение макси¬
мального [по всем видам распределения Р(х)] среднего
риска.
Напомним, что под байесовским понимается такое
правило решения, которое минимизирует среднюю поте¬
рю, в частности, средний риск R.
Из приведенных выше результатов следует, во-пер¬
вых, что для существования минимаксного 'правила ре¬
шения достаточно выполнения сравнительно общих
условий, обычно имеющих место на практике.
'Во-вторых, минимаксное правило Ам можно рассма¬
тривать как байесовское правило решения, обеспечи¬
вающее получение минимального среднего риска при
некотором наименее благоприятном априорном распре¬
делении сообщений Рм (х).
Короче говоря, минимаксный критерий обеспечивает
получение минимального среднего риска для наименее
благоприятного априорного распределения сообщений.
Поэтому, если оказывается возможным вычислить наи-
430
менее благоприятное априорное распределение* РмМ,
то оптимальное правило решения находится далее обыч¬
ным способом, рассмотренным в предыдущем параграфе.
В общем случае вычисление распределения Рм(х)
представляет большие трудности. Однако в ряде «случаев
оно находится сравнительно просто путем 'использова¬
ния сформулированного выше результата 4, заключаю¬
щегося в том, что 'байесовское правило решения yKV>(у),
при котором условный риск Rx не зависит от х, является
минимаксным правилом ум(у)-
Методика нахождения распределения Рм(х) при
этом состоит в следующем:
1. Записываем выражение для среднего риска /?, на¬
пример, в виде (17-25):
dxP(x) £ I (х, к) Рх (y) dy. (17-25)
Ах
2. Находим байесовское правило решения укр (у), т. е.
правило решения, при котором риск R минимален. Из (17-25)
следует, что это правило решения зависит от выбранного
при его вычислении вида априорного распределения Р(х),
т. е.
Ткр(0) = ТКр[0. р (■*)]• (17-39)
[При вычислении выражения (17-25) распределение Р(х) за¬
писывается в общем виде, так как оно нам пока не из¬
вестно.]
3. Подставляем найденное правило решения укр (у) в вы¬
ражение для условного риска Rx, например, в выраже¬
ние (17-26), т. е. полагаем:
Rx=l! (х> Т) Рх (Y) dY>
где
(17-40)
Y = YKP (У) = YKp \У,Р(х) Ь
При этом условный риск Rx оказывается зависящим
от априорного распределения Р(х).
4. Пытаемся подобрать вид распределения Р(х) та¬
ким образом, чтобы условный риск Rx, определяемый
431
выражением (17-40), оказался не зависящим от х. Если
это удается сделать, то, как следует из изложенного
выше, найденное таким образом априорное распределе¬
ние и является искомым распределением Рм(х).
б. Подставив найденное распределение Рм(х) в вы¬
ражение (17-39), находим минимаксное правило ре¬
шения:
Т„(У) = Ткр[У. ^ (•*)]• (17-41)
Таким образом, в тех случаях, когда удается подо¬
брать распределение Р(х) так, чтобы условный риск Rx,
определяемый выражением (17-40), не зависел от я,тем
самым находится и наименее благоприятное априорное
распределение Рм(х) и минимаксное 'правило реше¬
ния ум (у).
Если оказывается, что ни при каком виде распреде¬
ления Р(х) условный риск Rx, определяемый выраже¬
нием (17-40), не становится не зависящим от х, то это
еще не означает, что наименее благоприятного распре¬
деления Рм(х) не существует, — это означает лишь, что
данным методом распределение Рм(х) в рассматри¬
ваемом случае найти нельзя и его следует искать дру¬
гими методами.
Пользуясь изложенной выше методикой, Мидлтон
доказал, в частности, что при независимых аддитивных
сигнале и шуме .и простом воспроизведении формы сиг¬
нала 1 с квадратичной функцией потерь [вида (17-9)]
наименее благоприятное распределение Рм(х) является
равномерным распределением [JI. 118].
Следовательно, в этом важном для практики случае
наименее благоприятным является равномерное априор¬
ное распределение
Р (лс) = const,
и минимаксное правило решения Ym(«/) совпадает с байе¬
совским правилом-решения у«р(у), найденным для рав¬
номерного априорного распределения сообщений.
1 То есть при х — х (t) — ис (t) [см. также следующий параграф].
432
17-4. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ К ПРИЕМУ
НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
При воспроизведении непрерывных сообщений разли¬
чают следующие характерные случаи:
1. Сообщение х является параметром сигнала, при¬
чем этот параметр в течение интервала наблюдения
можно считать постоянным.
2. Сообщение х является параметром сигнала, при¬
чем этот параметр в течение интервала наблюдения
(О, Т) является функцией времени (случайной или про¬
сто неизвестной).
3. Сообщением х, подлежащим воспроизведению, яв¬
ляется сам сигнал, т. е.
ис (t) = const х (t).
В дальнейшем будем называть, для краткости, первый
случай приемом отдельных значений непрерывных со¬
общений, второй случай — приемом колебаний, а тре¬
тий — воспроизведением формы сигнала.
Во втором и третьем случаях различают в свою оче¬
редь следующие виды воспроизведения сообщения x(t):
а) простое воспроизведение;
б) интерполяцию (сглаживание);
в) экстраполяцию (предсказание).
При простом воспроизведении решение у(^) долж¬
но быть найдено для того же интервала (О, Г), на ко¬
тором производится наблюдение смеси y(t) сигнала и
шума.
При экстраполяции на основании наблюдения смеси
у(t) -в течение интервала (О, Т) должно быть найдено
решение y(t) для моментов времени, выходящих за пре¬
делы интервала (О, Т) [например, на основании наблю¬
дения за траекторией полета самолета на интервале
(О, Т) должна быть предсказана его траектория на сле¬
дующем участке траектории].
Интерполяция может требоваться лишь при дискрет¬
ной выборке, когда решение y(t) должно быть опреде¬
лено для моментов времени расположенных между
моментами fo, в которые, берутся выборочные значения
(У 1» • • •, Ун, • • • > Уп). Если при дискретной выборке тре¬
буется простое воспроизведение, то При экс¬
траполяции же, как и при интерполяции,
28 Л. С. Гуткин
433
Наиболее важным для радиотехники является вто¬
рой случай (прием колебаний), так как в большинстве
реальных сигналов полезное сообщение (сообщения),
во-первых, содержится в качестве параметра (параме¬
тров) и, во-вторых, оно должно рассматриваться обыч¬
но как функция времени. Однако, к сожалению, этот
случай является наиболее сложным для математическо¬
го анализа. (Большая простота первого случая >по срав¬
нению со «вторым очевидна. Третий же случай проще
второго потому, что при этом 'полезный сигнал пропор¬
ционален (или равен) искомому сообщению x(t), тогда
как при приеме колебаний сообщение x(t) входит в со¬
став сигнала uc(t) значительно более сложным обра¬
зом *.] Поэтому основная часть полезных для практики
результатов, полученных с помощью теории статисти¬
ческих решений, относится пока лишь к первому и
третьему случаям.
Некоторые наиболее общие из этих результатов, по¬
лученные Д. Мидлтоном, В. С. Пугачевым и другими
авторами, сводятся к следующему.
1. Если функция потерь I (х, у) квадратична [фор¬
мула (17-9)], то в первом случае (прием отдельных зна¬
чений непрерывных сообщений), а также во втором и
третьем случаях при простом воспроизведении (простое
воспроизведение колебаний или формы сигнала) спра¬
ведливо следующее положение:
Оптимальное правило решения yKV>(у), обеспечиваю¬
щее -минимум среднего риска, определяется по фор¬
муле
Ткр (y)=\xPy(x)dx=* (17-42а)
л*
J xP(x)Px(y)dx
. (17-426)
P(x)Px(y)dx
1 Например, при приеме ЧМ колебаний
ис (t) = a cos [о0г + & J х (t) dt + у],
тогда как при воспроизведении формы сигнала
ис (0 = const* х (t).
434
S
Из выражения (17-42а) следует, что в данном случае
оптимальное решение укр (у) равняется условному (т. е.
при данном у) математическому ожиданию сообще¬
ния х.
В случае приема отдельных значений непрерывных
сообщений ([первый случай) Ру(х) является одномерной
плотностью вероятности, и формула (17-42а) имеет'про¬
стую геометрическую интерпретацию: Ykp(*/) равняется
абсциссе «центра тяжести» площади, расположенной под
кривой Ру(х).
Следовательно, в этом случае оптимальный приемник
должен при приеме данной реализации y(t) выбирать
в качестве решения y абсциссу «центра тяжести» площа¬
ди, расположенной под кривой Ру{х). При этом он будет
обеспечивать минимальный средний 'риск, т. е. в данном
случае (при квадратичной функции потерь) минималь¬
ную среднеквадратичную ошибку.
2. Если функция потерь /(х, у)* зависит только от мо¬
дуля ошибки |y—х\ и является неубывающей функцией
этого модуля, а распределение Ру(х) имеет единствен¬
ный максимум и симметрично относительного этого ма¬
ксимума (т. е. относительно наивероятнейшего значения,
х^) при любых у, то критерий максимальной плотности
обратной вероятности совпадает с критерием минималь¬
ного среднего риска для всех конкретных видов функции
потерь, удовлетворяющих сформулированным выше ус¬
ловиям.
Это важное (положение рассматривается более под¬
робно в следующем параграфе.
3. В случае простого «оопроизведания формы сигна¬
ла при аддитивных и независимых сигнале и шуме спра¬
ведливы следующие дополнительные положения:
а) Если функция потерь 1(х, у) зависит только от те¬
кущего значения ошибки (у—х), а шум и сигнал имеют
нормальные законы распределения, то оптимальной си¬
стемой (дающей минимальный оредний риск) является
линейная система, а структура этой сиетемы получается
такой же, как при квадратичной функции потерь. От кон-
* В случаях интерполяции и экстраполяции функция потерь должна
быть заменена с I (х, y) на I (х, хх, f)> где х соответствует момен¬
там времени tk, в которые берутся выборки от смеси у (t), а соот¬
ветствует моментам времени
28*
435
кретного вида функции гТотерь в этом случае зависит
лишь систематическое смещение (математическое ожи¬
дание) ошибки; если же функция /(*, у) является не¬
убывающей функцией модуля ошибки \у—х) |, то и систе¬
матическое смещение не зависит о^ конкретного вида
функции потерь.
б) Если априорное распределение Р(х) сигнала рав¬
номерно, то байесовское правило решения укр(у) обла¬
дает так называемым свойством трансляции, т. е.
YKp 0/+ *) = ТКр (</) + *- (17-43)
пде X — произвольная фиксированная величина (или
функция времени).
Это означает, например, что если на вход оптималь¬
ного приемника подается фиксированный сигнал и этот
сигнал изменяется на величину К, то колебание на выхо¬
де приемника изменяется на такую же величину.
в) Наименее благоприятным априорным распределе¬
нием Рм(х) является равномерное распределение (эта
особенность уже отмечалась -в -предыдущем параграфе).
Более подробные сведения по вопросу применения
теории статистических решений к задачам оптимального
приема сообщения читатель может найти, например,
в [Л. 31] или [Л. 118].
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ВЛИЯНИЕ КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
И АПРИОРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СООБЩЕНИИ
НА СТРУКТУРУ И СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ
ПРИЕМНИКОВ
18-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В соответствии с изложенной выше теорией для оты¬
скания структуры оптимального приемника и определе¬
ния его помехоустойчивости требуется полностью знать
априорные распределения 1 сигнала и помехи и выбрать
1 Априорные данные могут требоваться такще для выбора ожи¬
даемой интенсивности сигнала и других характерных параметров
задачи.
436
соответствующий критерий .оптимальности, т. е. ©ид функ¬
ции потерь /(х9 у). Однако рри этом возникают -сущест¬
венные трудности, так как априорные распределения
обычно известны неполностью, а однозначный вьгбор кон¬
кретного вида функции потерь не всегда возможен.
Рассмотрим сначала ©трос об априорном распреде¬
лении сигнала и помехи.
Для основного вида .помехи —внутреннего шума при¬
емника — априорное распределение известно июлноютью.
Для большинства других (помех естественного происхож¬
дения (атмосферных помех, отражений от фана и т. п.)
априорное распределение также обычно является извест¬
ным или может быть .приближенно определено на осно¬
вании предварительных (многолетних исследований. Для
организованных помех, наоборот, априорное распределе¬
ние оказывается, как правило, в значительной степени
или .полностью неизвестным.
Априорное распределение сигнала определяется рас¬
пределением Р(х) полезных сообщений и распределе¬
нием Р(аи..., am) паразитных параметров. (Обычно
можно полагать сообщение х и паразитные параметры
взаимно статистически независимыми.)
Распределение P(ai,..., ат) 'В большинстве случаев
известно, по крайней мере приближенно. Например,
известно, что .при приеме сигнала, отраженного от само¬
лета, начальная фаза имеет равномерное распределение,
а амплитуду можно в первом приближении полагать рас¬
пределенной по закону Релея. При этом по мере накоп¬
ления экспериментальных данных закон распределения
амплитуды становится известным со все большей точ¬
ностью.
Априорное распределение сообщений Р(х) в некото¬
рых технических задачах известно или может быть опре¬
делено с достаточной точностью на основании экспери¬
ментального материала, который уже имеется или может
быть накоплен в ближайшем будущем. Это имеет место,
например, при гражданской радиосвязи и при радиове¬
щании и телевизионных передачах. Однако во многих
случаях априорное распределение сообщений неизвестно
и в принципе не может быть найдено из-за отсутствия
предварительных сходных ситуаций, опытом которых
можно было бы воспользоваться. Это имеет место, на¬
пример, в военной радиолокации и при измерениях, овя-
29 Л. С. Гуткин 437
занньих с исследованием новых физических явлений.
Таким образом, в большинстве случаев априорные
распределения сигналов и помех известны неполностью,
причем в первую .очередь ©то относится ik .аириорньвм рас¬
пределениям сообщений. К счастью, оказывается, что
во' многих важных случаях .структура и свойства опти¬
мального приемника практически не зависят от априор¬
ных распределений сообщений и некоторых паразитных
параметров сигнала. Так, наггример, выше уже неодно¬
кратно отмечалось, чгго при помехе в виде аддитивного
нормального белого шума и большом отношении сиг¬
нал/шум структура оптимального приемника и его
помехоустойчивость оказываются при сигнале с равно¬
вероятной случайной начальной фазой такими же, как
при сигнале, известном точно. Это означает, что в ука¬
занных условиях закон распределения начальной фазы
Ф сигнала не влияет на структуру и свойства оптималь¬
ного приемника.
Ниже будет доказано, что в этих условиях (при по¬
мехе в виде аддитивного нормального белого шума и
большом отношении сигнал/шум) вид априорного рас¬
пределения сообщений Р(х) также практически не влияет
на структуру и . 'свойства оптимального приемника.
Рассмотрим теперь допрос о выборе конкретного ви¬
да функции потерь / (х, у) •
Из .материала предыдущей главы следует, что при
приеме дискретных аообщений выбор функции потерь
сводится к выбору весов ошибок различных видов (на¬
пример, весов ложных тревог и пропусков сигнала).
В некоторых случаях выбор этих весов не представляет
трудностей. Так, например, при передаче алфавита с рав¬
новероятными буквами, не имеющими между собой ста¬
тистической связи, обычно можно полагать .веса всех
ошибок одинаковыми, т. е. считать, что одинаково опас¬
но принять вместо данной буквы А любую другую букву
алфавита. Однако ,во многих случаях физическая сущ¬
ность то условиям физичеакой задачи не позволяет вы¬
брать веса ошибок таким образом, чтобы была- уверен¬
ность в том, что этот выбор весов является налучшим
или единственно возможным.
В случае простого воспроизведения непрерывных со¬
общений в качестве функции потерь выбирается обычно,
438
как уже отмечалось выше, квадратичная функция потерь
вида
Цх, y) = (y — X)2.
'Однако во многих задачах далеко 1не очевидно, что
такая функция потерь является наилучшей . или един¬
ственно 'правильной. Например, мюгут быть неясны «пре¬
имущества -или недостатки этой функции потерь по срав¬
нению с функцией вида I(x, y)=Iy—х\ и т* п-
Таким образом, при /конструировании оптимального
приемника и оценке его качества в большинстве слу¬
чаев имеет (место значительная неопределенность в выбо¬
ре вида априорных распределений и функции потерь.
Очевидно также, что выбор тало или иного |ви|да функ¬
ции потерь в свою очередь основывается на тех или иных
априорных данных. Так, например, если априорно изве¬
стно, что сообщением является алфавит, то это дает ос¬
нование выбирать веса различных ошибок одинаковыми.
Если же известно, что сообщением является музыка или
речь, то целесообразной является .квадратичная функция
потерь. Однако априорные данные николда не могут быть
исчерпывающими и даже в лучших ,случаях *в выборе ви¬
да функции потерь остается значительная степень неоп¬
ределенности (произвола). Поэтому весьма важно выяс¬
нить, в какой мере эта неопределенность может сказы¬
ваться на -структуре и свойствах оптимального приемни¬
ка. Исследование этого ©опроса является одной из основ¬
ных задач современной 'теории оптимальных методов
приема.
Ниже доказывается, что при помехе в виде аддитив¬
ного нормального белого шума (и не только такой) и
высоких требованиях к точности (достоверности) воспро¬
изведения сообщений структура оптимального приемника
и его свойства практически не зависят от вида априор¬
ного распределения сообщений и от выбранного крите¬
рия оптимальности для широкого класса этих распреде¬
лений и критериев. Поэтому при отыскании оптимального
приемника и исследовании его свойств во многих слу¬
чаях допустимо исходить из простейшего (равномерного)
закона распределения сообщений и одного из простей¬
ших критериев оптимальности.
29* 439
18-2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ру(х)
ПРИ ПРИЕМЕ ОТДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ
СООБЩЕНИЙ
Оптимальный приемник должен на основе анализа
реализации y(t) смеси сигнала и шума воспроизвести
наилучшим образом сообщение х. При данном y(t) вся
полезная информация о -со¬
общении л; содержится
в распределении Ру(х)\ по¬
этому структура и свойства
оптимального приемника
при любом критерии опти¬
мальности определяются в
первую очередь видом рас¬
пределения Ру(х).
Так, например, в случае
критерия максимальной об¬
ратной вероятности [усло¬
вие (17-35)], задачей опти¬
мального приемника являет¬
ся просто нахождение ма¬
ксимума (по х) распределе-
ления Ру{х)у а при примене¬
нии обобщенного критерия
минимального среднего ри¬
ска [условие (17-32)] струк¬
тура и свойства приемника
также определяются в пер¬
вую очередь видом распре¬
деления Ру (х).
Поэтому для анализа
влияния априорного распре¬
деления Р(х) и вида функции потерь 1(х, у) необходи¬
мо в первую очередь выяснить основные свойства рас¬
пределения Ру( х).
Рассмотрим эти свойства применительно к случаю
простого воспроизведения отдельных значений непре¬
рывных сообщений, когда -распределение Ру(х) является
одномерной плотностью вероятности и поэтому легко
может быть изображено графически (рис. 18-1). При
этом будем полагать, как это было принято в I и II ча-
440
Рис. 18-1.
стях книги, что сообщение нормировано таким обра¬
зом, что
Такая нормировка не нарушает общности анализа, ибо
при любых (конечных) пределах *макс изменения
реального сообщения % можно, положив
получить пределы изменения нормированного сообщения х,
равные ztl. При этом z0 и являются известными вели¬
чинами, и преобразование (18-2) означает лишь смещение
начала координат и введение определенного масштаба по оси
абсцисс.
Вид кривой Ру(х) при различных реализациях y(t) (на¬
пример, у —и у —у2 на рис. 18-1) в общем случае
может быть различным, а площадь определяется условием
нормировки
т. е. всегда равна единице.
Будем полагать, что при отсутствии помех сообще¬
ние х воспроизводится точно, т. е. ошибки воспроизведе¬
ния сообщения вызваны исключительно действием по¬
мех. Это означает, в частности, что если сигнал имеет
паразитные случайные параметры (аь ..., ат), то при¬
рода этих параметров такова, что не препятствует,
в принципе, точному измерению сообщения в отсутствии
помех. Такие паразитные параметры в дальнейшем для
краткости называются благоприятными паразитными
параметрами.
Пусть, например,
где <р — равновероятная начальная фаза; а а0 и о — пара¬
метры, известные точно.
— 1<*<1.
(18-1)
*5 = “«о + Х1Х
где
(18-2)
’макс
4- т
~ мин .
2
J Py{x)dx= 1,
(18-3)
-1
ис (t) — а0 (1 -|- х) cos (u>t ?)> (18-4)
441
Очевидно, в этом случае паразитный (параметр ср
является благоприятным, так как при отсутствии помехи
можно путем амплитудного детектирования выделить
огибающую ао(1+*) и, следовательно, ,в принципе точно
измерить сообщение х.
Так как при отсутствии помех сообщение воспроиз¬
водится точно, распределение Ру(х) имеет при этом вид
6-функции б(я—хи), где хя — истинное значение собб-
щения (рис. 18-1,6).
Так как ошибка воспроизведения в рассматриваемом
случае равна нулю, будем называть его случаем нуле¬
вой ошибки и обозначать1
8* = 0. (18-5)
Следовательно, в случае нулевой ошибки распреде¬
ление Ру(х) имеет вид 6-функции.
В реальном случае, т. е. при наличии флуктуацион-
ных помех, ошибка не равна нулю. Однако при изве¬
стных условиях она достаточно мала, т. е.
82<1. (18-6)
Из сказанного выше следует, что при б2-** 0 распре-
деление Ру(х) стремится *к б-функции. 'Поэтому при ко¬
нечной, но достаточно -малой ошибке это распределение
должно иметь вид, -близкий к б-функции (рис. 18-1,в),
т. е. кривая Ру{х) имеет в этом случае существенные
значения лишь в -пределах весьма узкого интервала Аху
около наивероятнейшего значения хуя. Здесь индекс у
отмечает то обстоятельство, что величины Аху и хУц
в о'бщем случае зависят от вида реализации у (t). Одна¬
ко по мере уменьшения ошибки величина Аху асимпто¬
тически стремится к нулю для подавляющего числа воз¬
можных реализаций y (t), т. е. практически для всех воз¬
можных реализаций (так ка*к в противном случае ошиб¬
ка б2 не стремилась бы к нулю).
Так как при неограниченном возрастании энергети¬
ческого отношения q сигнала к шуму ошибка б2 асимпто¬
тически стремится к нулю, можно вместо (18-6) и (18-6)
■полагать соответственно
q со (18-7)
1 В выражении (18-5) 6 обозначает «не 6-фу*нкцию, а ошибку.
442
и
q> l.
(18-8)
В первом случае (при q-*-оо) распределение Ру(х)
превращается в б-функцию, а во втором (<7> 1) оно
имеет существенные значения лишь в пределах весьма
малого интервала Аху.
Для иллюстрации этих общих положений о виде
функции Ру(х) можно воспользоваться результатами,
приведенными во II и III частях для помехи в виде адди¬
тивного нормального белого шума, справедливыми при
большом отношении сигнала к шуму (<7> 1).
Для сигнала, известного точно, распределение Ру(х)
описывается формулой (6-'12):
p,w=V:lгe~Hx~x'",’■ <6-,2>
а средний квадрат ошибки равен:
_1_
2 Ь
Здесь
, Т /\дих(t)f \
No\[ дх К„/
В случае амплитудной модуляции
s’=i- (б-l?)
(6-22)
При частотной или время-импульсной модуляции, как
следует из (6-17), (6-266) и (6-40), получается:
ь = (18_9)
Из этих соотношений следует, что при б2 -»■ 0 «ли
q-+oo распределение Ру'(х) действ!Ительно стремится
к б-функции. Кроме того, в рассматриваемых случаях
распределение Ру(х) имеет еще некоторые дополнитель¬
ные особенности, которые оказываются важными для
дальнейшего анализа:
443
а) распределение Ру(х) является одногорбой кривой,
симметричной относительно наивероятнейшего значе¬
ния хуя (рис. 18-2,а);
б) для различных реализаций y(t) вид кривой Ру{х)
остается неизменным — с изменением у происходит лишь
перемещение вдоль оси аб¬
сцисс положения максимума
кривой, вызываемое зависи¬
мостью от у наивероятней¬
шего значения хуя {в рас¬
сматриваемых случаях, оче¬
видно, хуя~хи> а истинное
значение хи может -быть лю¬
бым в 'пределах от —1 до 1].
Положения а) и б) спра¬
ведливы для всех реализа¬
ций у, за исключением тех,
которым 'соответствуют зна¬
чения хун, весьма близкие
к ± 1.
Если хт близко к ± 1
(рис. 18-2,6), распределение
Ру(х) становится несимме¬
тричным и зависит от у.
Такое искажение распре¬
деления Ру(х) вызывается тем обстоятельством, что
вероятность значений сообщения х, выходящих за пре¬
делы ±1, должна _быть равна нулю. Однако, если
q > 1 (или ошибка б2 весьма мала), то кривая Ру{х)
имеет весьма узкий пик и ее существенное иска¬
жение может наступить лишь при значениях хуя, весьма
близких к краям. Вероятность таких значений весьма
мала. Действительно, в рассматриваемом случае весьма
малых ошибок для подавляющего большинства реали¬
зации y(t) наивероятнейшее значение сообщения хуа
должно быть весьма близко к его истинному значе¬
нию хи. Поэтому, если априорное распределение Р(х) не
имеет острых пиков около краевых значений (х«±1),
то вероятность появления значения сообщения хи, весьма
близкого к одному из краевых значений, весьма мала.
Следовательно, должна быть весьма мала и вероятность
того, что близким к одному из краев окажется наиве¬
роятнейшее значение сообщения хун.
444
Рис. 18-2.
Таким образам, за исключением особых -случаев
[в которых априорное распределение Р(х) имеет острые
максимумы около краевых значений (я=±1)], можно
полагать, что свойства а) и б) имеют место, т. е. рас¬
пределение Ру{х) является одногорбой кривой, симмет¬
ричной относительно наивероятнейшего значения хук и
при изменениях у 'происходит лишь смещение этой кри¬
вой (без искажений) вдоль оси абсцисс (рис. 18-2,а).
Формулы (6-12) и (6-17) и сделанные на -их основе
выводы были получены В. А. Котельниковым для сигна¬
лов, известных точно. Однако в III части было показано,
что при большом отношении сигнал/шум они остаются
справедливыми и для сигналов со случайной начальной
фазой.
Итак, при аддитивной помехе в виде нормального
белого шума и (большом отношении сигнал/шум (q > 1)
распределение Ру{х) является симметрич-ной одногорбой
кривой практически 'при всех у.
На первый -взгляд может показаться, что поскольку
при q-+ оо 'распределение Ру(х) стремится к 6-функции,
оно должно с увеличением q стремиться к одногор-бой
симметричной кривой 'при любых флуктуационных по¬
мехах, а не только в случае нормального белого шума.
Однако в действительности при некоторые видах флук¬
туационных помех распределение Ру(х) может оставать¬
ся несимметричным или неодногорбым при сколь угодно
большом (но конечном) отношении сигнал/шум.
Докажем это положение на примере одномерных сигнала
и шума, т. е. положим, что
у = а0{\+Мх) + иш, (18-10)
где сигнал а0 (1 -)- Мх) и шум иш в течение интервала на¬
блюдения (0, Г) не изменяются во времени.
При этом шум полностью характеризуется одномерным
распределением Wui (иш).
Параметры а0 и М сигнала полагаются точно известными,
а сообщение х имеет равномерное априорное распределение
P(A:) = const. (18-11)
При этом в соответствии с формулами (4-6) и (4-9)
имеем:
Ру W - klyWm [у - а0 (1 + Мх)}, (18-12)
445
где kly — константа, определяемая из условия нормировки
1
$Py{x)dx = l. (18-15)
Так как нас интересует сейчас лишь случай большого
отношения сигнал/шум, при котором распределение Ру(х)
близко к 8-функции, упомянутым выше краевым эффектом
можно пренебрегать и полагать вместо (18-13)
Г Py(x)dx=U (18-14)
—ОО
при этом из (18-12) и (18-14) получается:
*,» = -= 1 ■ (18-15)
J ^ш[у-а9(\+Мх)\йх
—СО
Исследуем связь между формой кривых Р (х) и №ш(иш),
вытекающую из соотношения (18-12).
Так как распределение Ру(х) определяется при фикси¬
рованном у, величины kiy и у, входящие в выражение (18-12),.
являются константами и
dPuW и /1Q
КаЛ —jz . (18-16)
dx ~ n'iy'*o‘,±
где
иш=у-а0{\-\-Мх). (18-17)
Из этих соотношений следует, что если кривая W[]i (иш)
имеет максимум при некотором значении нш = мш кр, то
распределение Ру(х) имеет соответствующий максимум при
некотором значении х = хкр, связанном с ишкр равенством
(18-17), т. е.
«ш,Р = */-М1 + М*кр). (18-18)
Это справедливо для любого из 'максимумов функций
WJuJ и Ру (х) (рис. 18-3). Однако в дальнейшем мы будем
полагать для конкретности, что равенство (18-18) относится
к главным (т. е. наибольшим) максимумам распределений
Wm(uJ и Ру{х), как показано на рис. 18-3.
446
Введем нормированные функции:
и
(18-19)
где Wmm и Рут—наибольшие значения функций №ш(иш) и
Р (х) соответственно (рис. 18-3), а
Из соотношений (18-19) и (18-20) следует, что функция
/ш(иш) отличается от распределения Wm (иш) лишь масшта¬
бом по оси ординат, а функция fy(xf) отличается от иско¬
мого распределения Ру (х) лишь масштабами по обеим осям
координат. При этом преобразование масштабов в обоих
случаях является линейным; поэтому кривые /ш (мш) и f (х')
полностью подобны распределениям Wus (иш) и Ру(х) соот¬
ветственно.
Из формул (18-12), (18-19) и (18-20) нетрудно получить
следующее соотношение между функциями /ш (аш) и fy (xf):
х, = а0Мх.
(18-20)
Рис. 18-3.
ftW = Ll(y-a о)~П (18-21)
447
Следовательно,
fy (* + *.р) = /ш {(У - а°) - (*’+<>)]• (18‘22)
Но из (18-18) и (18-20) следует, что (у— а0) — х^р~
= «ш кр; поэтому выражение (18-22) можно записать в сле¬
дующем окончательном виде:
(|8-23>
где
< = -[«ш.кР-(У-во)1- (1.8-24)
Из этих выражений следует, что функция fу (х') может
быть получена простым переносом (без изменения масштабов)
функции /ш(иш) вдоль оси абсцисс на величину
(Хкр - мш.кр) = - [2иш.кр - (У - ао)] (18'25)
и поворотом на 180° относительно ординаты, проходя¬
щей через главный максимум (рис. 18-4).
Иначе говоря, функ¬
ция fy(x') является зер¬
кальным изображением
(относительно оси орди¬
нат)' функции fm(tlm) С
точностью до постоянно¬
го сдвига вдоль оси аб¬
сцисс. Но выше 'было до¬
казано, что функции
?щ(Иш) и fy(x') 'ПОЛНОСТЬЮ
подобны распределениям
и Ру{х) соответ-
ветственно. Следователь¬
но, с точностью до мас¬
штабов (линейных) по
осям координат и начала
отсчета по оси абсцисс
искомое распределение Ру(х) является зеркальном изо¬
бражением (относительно оси ориднат) распределения
помехи Wm(u
ш) •
448
Рис. 18-4.
Эти результаты 'справедливы при сколь угодно боль-,
шом, но конечном отношении сигнал/шум.
При <7->оо приведенные выше рассуждения теряют
силу, так как получить <7->оо можно лишь при исчезно¬
вении шума [а следовательно, и распределения Wm(um)]
или путем бесконечного увеличения интенсивности сиг¬
нала а0М, при «котором теряет смысл пе-реход от х
к х' = а0Мх.
На основании полученных результатов можно сде¬
лать следующие важные заключения, справедливые (для
рассматриваемых одномерных сигнала и помехи) при
сколь угодно (большом (но конечном) отношении сиг¬
нал/шум:
1. Если распределение помехи Wm(um) несимметрич¬
но относительно своего главного (или единственного)
максимума, то и распределение Ру{х) оказывается не¬
симметричным относительно своего главного (или един¬
ственного) максимума.
2. Если распределение Wm(um) является неодногор¬
бым, то неодногорбое и распределение Ру(х).
3. Если распределение Wm(um) является одногорбой
кривой, симметричной относительно наивероятнейшего
значения, то распределение Ру(х) практически при
всех у (если q > 1) также имеет вид одногорбой кри¬
вой, симметричной относительно наивероятнейшего зна¬
чения хуя.
Таким образом, на примере одномерных сигнала и
шума доказано, что распределение Ру(х) в некоторых
случаях может оставаться существенно несимметричным
и неодногорбым при сколь угодно большом, но «конечном
отношении -сигнал/шум.
С другой стороны, на этом же примере доказано, что
при большом отношении сигнал/шум распределение Ру(х)
может быть (практически при всех у) одногорбой кри¬
вой, симметричной относительно наивероятнейшего зна¬
чения не только при помехе в виде нормального белого
шума, но и в случае некоторых других видов помех.
Как будет показано в следующем параграфе, эти
выводы имеют существенное значение при анализе влия¬
ния критериев оптимальности.
449
18-3. ВЛИЯНИЕ АПРИОРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СООБЩЕНИЙ
И КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИ ПРИЕМЕ
ОТДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ
1. Влияние априорного распределения сообщений Р(х)
В общем случае распределение Ру (х) зависит от априор¬
ного распределения сообщений Р(х), так как
Py(x) = kyP(x)Px(y), (18-26)
где k { —коэффициент, определяемый из условия норми¬
ровки
Пусть отношение сигнал/шум настолько велико, что
распределение Ру(х) имеет существенные значения лишь
в пределах весьма узкой
области шириной Аху
(рис. 18-1,в). Выясним,
каким условиям должно
удовлетворять распреде¬
ление Р (я), чтобы вид
Рис. 18-5.
тически не влиял на фор¬
му кривой Ру(х).
В этом случае функ¬
ция праводоподобия
Рх(у) в соответствии с
формулой (18-26) должна иметь с точностью до неко¬
торого постоянного множителя такую же форму,
как Ру(х). Поэтому функции Ру{х), приведенной на
рис. 18-1,в, в рассматриваемом случае ' будет соответ¬
ствовать подобная по форме функция правдоподобия
Рх(у), изображенная на рис. 18-5. На этом же рисун¬
ке пунктиром изображено априорное распределение
Р(х).
Из сравнения рис. 18-1,в и 18-5 и с учетом соотно¬
шения (18-26) нетрудно убедиться, что форма кри¬
вой Ру(х) не зависит от вида распределения Р(х), если
450
функция Р(х) является достаточно гладкой в том смыс¬
ле, что для любой из функций Р (х) выполняется условие
\Р(х+Ьху)-РЩ , .
J i5i\ L<e для всех х в пределах от—1 до. 1,
г [X)
(18-28)
где е — положительная величина, значительно меньшая еди¬
ницы, например в = 0,1.
Иначе говоря, любое из возможных априорных рас¬
пределений должно быть настолько гладким, чтобы на
весьма малом интервале Аху функция Р(х) изменялась
незначительно, например не более, чем на ±10%.
При возрастании отношения сигнал/шум величи¬
на Аху, входящая в условие (18-28), асимптотически
стремится к нулю. Поэтому, чем больше отношение сиг-
нал/шум, тем шире класс априорных распределений
Р(х), для которых это условие выполняется. Следова¬
тельно, при достаточно большом отношении сигнал/шум
функция Ру (х), а значит и структура и свойства опти¬
мального приемника, не зависят от вида априорного рас¬
пределения Р(х) для очень широкого класса этих рас¬
пределений.
Но минимальное значение отношения сигнал/шум тем
больше, чем выше требования к точности воспроизведе¬
ния сообщения. Поэтому сделанное выше заключение
можно сформулировать также следующим образом:
При достаточно высоких требованиях к точности вос¬
произведения сообщения (малых б2) структура опти¬
мального приемника и его свойства не зависят от вида
априорного распределения сообщений для очень широ¬
кого класса этих распределений. Отсюда следует также,
что в указанных условиях можно при конструировании
оптимального приемника и анализе его свойств исходить
из 'простейшего вида априорного распределения сообще¬
ний, т. е. полагать
Р (х) = const.
2. Влияние критерия оптимальности
Докажем, что при требовании высокой точности вос¬
произведения сообщений (при большом отношении сиг¬
нал/шум) существует широкий класс критериев опти-
451
мальности, приводящих к одинаковым структуре и свой¬
ствам оптимального приемника.
Для доказательства будем исходить из изложенного
в предыдущей главе обобщенного статистического кри¬
терия — критерия минимального среднего риска R.
Средний риск R определяется формулами (17-30) и
(17-31), а именно:
/? = J P(y)Rydy, (17-30)
АУ
где
Ку = \Ру(х)1\хЛ{У)]<1х- О7'31)
Нахождение структуры оптимального приемника, как
указывалось выше, сводится с математической точки
зрения к нахождению такого вида оператора у (у), при
котором величина R получается минимальной.
Различным видам функции потерь I (х, y) соответ¬
ствуют при этом различные критерии оптимальности.
Начнем с анализа выражения (17-31). Будем пола¬
гать, что при любом у функция Ру(х) является одногор¬
бой кривой, симметричной относительно наивероятней¬
шего значения.
Как было доказано выше, такое допущение справед¬
ливо при большом отношении сигнал/шум для нормаль¬
ного 'белого шума и некоторых других видов помех.
С другой стороны, выше было доказано, что при неко¬
торых ©идах помех кривая Ру(х) остается существенно
несимметричной или неодногорбой даже при сколь угод¬
но большом (но конечном) отношении сигнал/шум. Та¬
ким образом, сделанное нами допущение о том, что рас¬
пределение Ру(х) является для всех у одногорбой кри¬
вой, симметричной _ относительно хт, справедливо (при
большом отношений сигнал/шум) не всегда, но во вся¬
ком случае справедливо для нормального белого шума
и не только для такого шума.
Будем в дальнейшем считать это допущение спра¬
ведливым.
.Пусть приемник построен по критерию максималь¬
ной плотности обратной вероятности, т. е. всегда выдает
на выходе то значение х, которое при данном у является
452
наивероятнейшим. Это означает, что в таком приемнике
всегда
Y (У) = хвя.
Условный риск Ry у такого приемника равен
*,= J Рв(х)1(х, xun)dx.
Лх
Выясним, при каких видах функции потерь I (х, у) такой
принцип действия приемника является оптимальным, т. е.
обеспечивает при любом у минимухм величины Ry,
Вид функции I (х, у) зависит от выбранного критерия]
оптимальности. Однако обычно при разумно выбранных кри¬
териях эта функция обладает* следующими общими свой¬
ствами:
1. 1{х, у)^0. (18-29>
Это означает, что любая ошибка приемника рассматри¬
вается как потеря (убыток).
2. /(*,*) = 0, (18-30>
т. е. потеря, соответствующая точному решению {у=*х),
равна нулю.
3. Функция I(x, y) монотонно возрастает по обе сто¬
роны от точки х = у (т. е. от точки / — 0).
4. В рассматриваемых нами систе-мах высокой точ¬
ности, когда возможные ошибки (у—х) должны быть,
очень малыми, наиболее -естественно считать веса поло¬
жительных и отрицательных ошибок одинаковыми. По¬
этому в таких системах функция потерь выбирается1
обычно симметричной и неубывающей. Кроме того, боль¬
шей частью полагается, что потеря является функцией
только ошибки (у—х), т. е.
1{х, Y) = / (л: — Т) = / (т — •*)> (18*31)
где / (Y — *) — неубывающая функция ошибки (у — •*)•
Примерами функций потерь, удовлетворяющих усло¬
виям (18-29) — (18-31), являются функции вида (у—х)2
и |y—х\, соответствующие хорошо известным критериям
453;
минимальной среднеквадратичной ошибки и минималь¬
ного модуля ошибки.
Докажем теперь, что при симметричном одногорбом
распределении Ру(х) критерий максимальной плотности
обратной вероятности является оптимальным для всех
видов функции потерь
Пх> Y), удовлетворяющих
условиям (18-29) —
(18-31).
На рис. 18-6,а изобра¬
жены симметричное одно¬
горбое распределение
Ру(х) и два положения
функции потерь /(х, y)
вида (18-31). Сплошной
линией изображено поло¬
жение функции I(x, y)
в приемнике, действую¬
щем по принципу макси¬
мальной обратной веро¬
ятности. В этом случае
У^Хун. Пунктиром изо¬
бражено положение функ¬
ции I(x, y) в приемнике,
действующем по какому-
то другому принципу.
В этом случае Y—%н+
Рис. 18-6.
+ т(у), где величина т(у) характеризует отклонение
от принципа у=Хув-
На рис. 18-6,6 изображены значения произведения
функций Ру(х) и I(x, y). Площади, образуемые кривы¬
ми 1 и 2, равны значениям условного риска Ry для
функций /(х, хт) и 1(х, Хув+т) соответственно [см.
формулу (17-31)].
Докажем, что кривой 2 соответствует большая пло¬
щадь, чем кривой 1. Для доказательства будем сравни¬
вать площади отдельно для следующих трех участков:
1. Площади, расположенные при х<х
2. Площади, расположенные при х = хун-г~Х’
3. Площади, расположенные при х^у.
На первом участке площадь, соответствующая кри¬
вой 2, всегда больше на некоторую положительную ве-
454
чичину AQi, так как на этом участке кривая 2
(рис. 18-6,а) расположена выше кривой 1.
На .третьем участке площадь, соответствующая кри¬
вой 2, всегда меньше на некоторую положительную ве¬
личину AQ3, так как здесь кривая 2 (рис. 18-6,а) всюду
ниже кривой 1. Но всегда AQi>AQ3. Действительно, из
рис. 18-6,а и 18-6,в видно, что на первом и третьем уча¬
стках зависимость от х разности ординат А/ кривых 1 и2
симметрична относительно значения х=ха- Поэтому две
разности А1\ и А/г, взятые на равных расстояниях Ьх от
границ первого .и третьего участков (рис. 18-6,а и 18-6,в),
равны между собой, но функция Ру(х) в точке, соответ¬
ствующей Л/1, больше, чем в точке, где разность орди¬
нат равна А/г (рис. 18-6,а). Это имеет место при любом
значении 6я в пределах первого и третьего участков.
Поэтому очевидно, что изменение площади, образован¬
ной кривой Ру(х)1(х, у), вызванное 'переходом от
функции 1(х, хуи) к функции 1(х, хт+т), будет на 'пер¬
вом участке в'сегда больше (по абсолютной величине),
чем на третьем участке, т. е. действительно AQi>AQ3-
На втором участке (х=хув+у) площадь, образуе¬
мая кривой 2, больше на положительную величину
AQ2 площади, образуемой кривой 1. Действительно, на
этом участке кривые 1 и 2 (рис. 18-6,а) расположены
симметрично относительно средней абсцисеы ха, но
у кривой 2 большие значения ординат соответствуют
большим значениям ординат функции Р^{х). Поэтому
оосле перемножения соответствующих ординат пло¬
щадь, образуемая кривой Ру(х)1(х, у), в случае кри¬
вой 2 получается больше. Таким образом, общее при¬
ращение .площади равно:
AQ1 + AQa-AQ3>0,
и величина Ry при.переходе от т = О к тфО возрастает.
Следовательно, условный риск Ry минимален при
т=О, т. е. когда решение у выбирается каждый раз рав¬
ным наивероятнейшему значению хун.
Таким образом, доказано, что, при сделанных выше
допущениях о виде функций Ру(х) и /(х, у) приемник,
действующий по принципу максимальной плотности об¬
ратной вероятности (у=хун) обеспечивает минимум
условного риска Ry при любом у, а следовательно, и ми¬
нимум среднего риска R [см. формулу (17-30)].
455
Отсюда следует, что в тех случаях, когда распреде¬
ление Ру(х) может считаться для всех у одногорбой
кривой, симметричной относительно наизероятнейшего
значения, приемник, действующий по принципу макси¬
мальной плотности обратной вероятности, является оп¬
тимальным (т. е. обеспечиваю¬
щим получение минимального
среднего риска) для всех функ¬
ций потерь, удовлетворяющих
условиям (18-29) — (18-31). В ча¬
стности, это имеет место при
большом отношении сигнал/шум
для нормального белого шума и
не только для такого шума.
Докажем теперь, что если
распределение Ру(х) или функ¬
ция потерь 1(х, у) не обладает
симметрией, то приемник, дейст¬
вующий по принципу максималь¬
ной плотности обратной вероят¬
ности, не является оптимальным,
т. е. не обеспечивает получение
минимального среднего риска,
я структура оптимального приемника зависит от кон¬
кретного вида функции потерь.
Рассмотрим сначала случай, когда распределение
Ру(х) несимметрично, а функция 1(х, у) симметрична.
Наглядный пример такого случая изображен на
рис. 18-7.
В этом случае
интервале (18-32)
* = Ху„ + Хун + ЬХ
и р (л:) = 0 вне этого интервала;
/(jc,y) = (Y-*)2- ’ (18'33)
Подставляя (18-32) и (18-33) в (17-30) и (17-31), получаем:
л=/г = ар (г - xj--^ (т--*„>■+A-W'■
(18-34)
Рис 18-7
456
Так как в данном случае функция потерь I (х, у) квад¬
ратична, то средний риск R есть не что иное, как средне¬
квадратичная ошибка.
Из (18-34) следует, что средний риск минимален при
uA Y
Y = (18-35)
при этом
Я=«...=Т- <18-36>
Если приемник построить не по оптимальному принципу
(18-35), а по принципу максимальной плотности обратной
вероятности, т. е. выбирать
Y = хУц> (18-37)
то из (18-34) получается:
D—D Л (Аху
К — — 12 •
Следовательно, в данном случае критерий макси¬
мальной плотности обратной вероятности не является
наилучшим и дает средний риск (средний квадрат бшиб-
ки), втрое больший, чем оптимальный критерий. Тем са¬
мым доказано, что при несимметричном распределении
Ру(х) критерий максимальной плотности обратной ве¬
роятности теряет свою оптимальность.
Аналогичным способом нетрудно доказать, что при
другом конкретном виде симметричной функции потерь,
например, при /(х, y) —Iv—*1 условие минимума средне¬
го риска будет отличаться от (18-35). Следовательно,
при несимметричном распределении Ру{х) структура оп¬
тимального приемника зависит от конкретного вида
функции потерь даже в пределах класса симметричных
функций потерь вида (18-31).
Рассмотрим теперь случай, когда распределение
Ру(х) симметрично, а функция потерь 1{х, у) несиммет¬
рична. Наглядный пример такого случая приведен на
рис. 18-8. В этом примере функция потерь имеет вид:
1{х, i) = h{x — у) при х — у 3* 0; \ (18-38)
/(л:, y)=v (Y — х) ПРИ х — Y^O- /
30 л. С. Гуткин 457
На основании формул (17-30) и (17-31) нетрудно дока¬
зать, что при v</i средний риск минимален, если
т=Ч- (1 — }/1 (18'39)
Например, при v = 0,2/г получается
Г = *,„ +0.42Д*.
Следовательно, в данном случае критерий максимальной
плотности обратной вероятности также не обеспечивает
наименьшего среднего риска, если
На основании приведенного выше анализа можно
сформулировать следующие заключения, справедливые
для сигналов, известных точ¬
но или имеющих благоприят¬
ные случайные параметры:
1. При высокой точности
воспроизведения сообщений
структура и свойства опти¬
мального приемника практи¬
чески не зависят от вида ап¬
риорного распределения Р(х).
Поэтому три отыскании опти¬
мального приемника и оцен¬
ке его свойств можно в ука¬
занных условиях полагать рас¬
пределение Р(х) (простейшим,
т. е. равномерным.
2. Если распределение Ру(л;)
может считаться для всех у
одногорбой кривой, симметричной относительно наи¬
вероятнейшего значения хуи (что имеет место, в ча¬
стности, для нормального белого шума и некоторых
других помех, при большом отношении сигнал/шум), то
структура оптимального приемника не зависит от .при¬
нятого при его отыскании критерия оптимальности для
широкого класса этих критериев. К этому классу при¬
надлежат все критерии, основанные на минимизации
среднего риска, для которых функция потерь удовлетво¬
ряет условиям (18-29) — (18-31).
Эти условия являются достаточно общими, и соот¬
ветствующий класс критериев оптимальности достаточ-
458
Рис. 18-8.
но широк — к нему принадлежат, в частности, критерии
максимальной плотности обратной вероятности, макси¬
мального .правдоподобия, минимального среднего значе¬
ния любой четной степени ошибки, минимального сред¬
него значения любой нечетной степени модуля ошибки
(минимума (у—х)2к и \у—x\2h~l соответственно) и др.
3. Из предыдущего пункта следует, что при отыска¬
нии структуры оптимального приемника можно в ука¬
занных условиях исходить из любого простейшего кри¬
терия, принадлежащего к упомянутому выше классу, на¬
пример из критерия максимальной' плотности обратной
вероятности или критерия минимальной среднеквадра¬
тичной ошибки.
4. Из предыдущих пунктов следует, что все результа¬
ты анализа .приемка отдельных значений непрерывных со¬
общений, приведенные во II и III частях книги для нор¬
мального белого шума, исходя из равномерного априор¬
ного 'распределения Р(х) и критерия максимальной
плотности обратной вероятности, остаются справедливы¬
ми для широкого класса априорных распределений Р(х)
и критериев оптимальности, если выполняются следую¬
щие условия:
а) сигнал известен точно или имеет благоприятные
случайные параметры;
б) отношение сигнал/шум достаточно велико (точ¬
ность воспроизведения сообщения достаточно велика).
18-4. ВЛИЯНИЕ АПРИОРНЫХ. РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
СООБЩЕНИЙ И КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ПРИ ПРИЕМЕ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
Пусть сообщение х может иметь т+1 возможных
значений х0, а:ь..., хт, где х0 — 'нулевое сообщение, со¬
ответствующее отсутствию сигнала.
Очевидно, чем больше т, тем ближе дискретное со¬
общение .по характеру к непрерывному сообщению, уже
рассмотренному в предыдущем параграфе. Поэтому мы
ограничимся здесь рассмотрением другого крайнего
случая, соответствующего m= 1, т. е. бинарному обнару¬
жению.
В гл. 14 было показано, что при различных крите¬
риях оптимальности (Неймана-Пирсона, минимальной
полной вероятности ошибки и др.) структура оптималь-
30* 459
ного приемника остается неизменной — изменяется лишь
пороговое смещение на выходе приемника. Величина
•этого смещения при некоторых критериях оптимальности
Р(*о>
зависит также от отношения ~р^х^ априорных вероятно¬
стей отсутствия и наличия сигнала.
Следовательно, для широкого класса рассмотренных
выше критериев оптимальности структура оптимального
приемника, за исключением порога на выходе, не зави¬
сит от выбранного критерия оптимальности и априорно¬
го распределения сообщений. Поэтому остается выяс¬
нить, насколько существенным является то обстоятель¬
ство, что порог на выходе приемника зависит в общем
случае от выбранного критерия оптимальности и от
априорного распределения сообщений.
При анализе будем исходить из обобщенного крите¬
рия оптимальности — критерия минимального среднего
риска
Средний риск определяется формулой (17-21), т. е.
Я=ctP (х0) Р„+ сгР (*,) Рпр, (17-21)
где Р(л:0) и Р(хг)— априорные вероятности отсутствия
и наличия сигнала соответственно, а сг и с, — весовые
коэффициенты, зависящие от конкретного вида выбранного
критерия оптимальности. Так, например, критерию мини¬
мальной полной вероятности ошибки соответствует
с 2 = ci = 1. (17-22)
Из формул (14-12), (14-26) и (17-21) следует, что поро¬
говый коэффициент р, определяющий смещение на выходе
приемника, равен:
й_ сгР(лг0)
с3Р (лг,)
(18-40)
Из выражений (17-21) и (18-40) видно, что весовые
коэффициенты с2 и с, влияют на средний риск R и на
структуру приемника (т. е. на смещение на выходе) точно
таким же образом, как априорные вероятности Р(х0) и
Р (^i).
Поэтому в дальнейшем достаточно рассмотреть влияние
Р(лг)
отношения pjp) априорных вероятностей сообщений. Это
460
означает, что без ущерба для общности можно в дальней¬
шем полагать:
с 2 = сг = 1
R = P (х0) Ял,+ Р (.х,) Рпр= Рош, (18-41)
т. е. исходить из критерия минимальной полной вероятно¬
сти ошибки.
Рассмотрим сначала случай сигнала, известного точно,
и помеху в виде нормального белого шума.
При этом справедливы формулы (5-22), (5-23) и (5-28),
а именно
00 £1
'е~Тйг\ (5-22)
> =Д=(\
л-т V2nJ
где
*1
,5-28)
<1М2»
1=Ш- (18-43)
Учитывая, кроме того, что
Р (х0) + Р (-*i) = 1.
можно записать вместо (18-41)
р ^"пр-Ь г1рл.т
ОШ 1 + Т)
(18-44)
Выясним, насколько существенно выбирать выходной
порог в соответствии с априорными вероятностями сообще¬
ний Р(х0) и Р (.*,). Для этого предположим сначала, что
при выборе выходного порога априорное распределение
сообщений полагается равномерным, т. е. в формулах (18-42)
принимается
ij=l (18-45)
461
независимо от того, каково при этом действительное апри¬
орное распределение Р(х), т. е. каково истинное значение
параметра ц.
При этом формулы (5-22), (5-28) и (18-42) принимают
вид:
В формуле (18-44) при этом мы не полагаем г| = 1,
так как полная вероятность ошибки Р0ш зависит не от
того, каким полагалось априорное распределение
Р(х) (т. е. величина т]) 'при конструировании приемника
и выборе его режима, а от того, каким это распределе¬
ние является в действительности.
Однако в рассматриваемом случае, когда в соответ¬
ствии с формулой (18-46) получается
т. е. 'полная вероятность ошибки не зависит от истинного
соотношения г) между априорными вероятностями. Это
означает, что если приемник сконструирован в предпо¬
ложении, что 11 = 1, то он будет давать полную вероят¬
ность ошибки, определяемую формулой (18-47) и не за¬
висящую от истинного значения параметра т].
Если при конструировании приемника порог на выхо¬
де выбран оптимальным, т. е. соответствующим истинно¬
му значению отношения г| априорных вероятностей, то
полная вероятность ошибки определяется формулами
(5-22), (5-28), (18-42) и (18-44), из которых имеем:
а
(18-46)
где
формула (18-44) принимает вид:
VI
V2 q ' УЩ
Если в действительности ц Ф1, то формула (18-48)
должна давать меньшую вероятность ошибки, чем форму¬
ла (18-47) (при одинаковом q), т. е. должно быть
Р <Р
ОШ ^ о
так как 'вероятность Р0ш соответствует приемнику с опти¬
мальным выходным порогом, а вероятность Р0ш—при¬
емнику С,порогом, выбран¬
ным, исходя из неверного
представления об априор¬
ном распределении сооб¬
щений.
По формулам (18-47)
и (18-48) построены кри¬
вые, приведенные на рис.
18-9*.
Из этих кривых видно,
что с увеличением отно¬
шения сигнала к шуму q
кривые асимптотически
сливаются, т. е. влияние
априорного распределения
сообщений (ti) на каче¬
ство приемника делается
пренебрежимо малым.
Рассмотрим более подробно случай больших отноше¬
ний сигнал/шум, т. е. малых вероятностей ошибки.
Введем следующие допущения:
<7^10;
| In т) | < 0,1 <7-
При этом получается
aj > 2; аа > 2,
(18-49)
(18-50)
* Такие кривые (в других обозначениях) впервые были построе¬
ны В. А. Котельниковым [JI. 1].
463
Рис. 18-9.
и интегралы вероятностей, входящие в формулу. (18-48),
можно заменить их асимптотическими выражениями, т. е.
полагать:
«2
2
2
1
-+V
(18-51)
ош (1+п)/2п
Это выражение нетрудно привести к следующему виду:
Х + ‘"^=>"^+‘"Тя + 1пГ*Г- <'8-52>
_ ^ + 1пт) . _ д — Inn)
где
V2 q
V2q
Если выполняются условия (18-49) и (18-50), то в выра¬
жении (18-52) можно (с погрешностью в определении вели¬
чины q не более 1 дб) полагать:
■
In -pj— > In ^L- -f- In
■/2S 1 "Ч+Ч'
При этом из (18-52) получается:
<7 = 4 ln-тт^— ,
(18-53)
т. е. требуемое отношение сигнал/шум не зависит от апри¬
орного распределения сообщений (от величины •»]).
С учетом формулы (18-53) можно записать условия
(18-49) и (18-50) в следующем виде:
|lgi)|<0,4 lg-
где
= 0,1.
(18-54)
Таким образом, если отношение т] априорных вероят¬
ностей удовлетворяет неравенству (18-54), то можно по-
464
лагать (с погрешностью в определении q не более 1 дб),
что чувствительность приемника не зависит от величи¬
ны TJ.
Пусть, например, Р0ш=Ю 5; тогда из (18-54) имеем:
*|<Ю2, Л
или } (18-55)
Ч>ЮЛ J
т. е, в рассматриваемом случае (Яош = 10“5) изменение
» Р (хо) ( \
отношения априорных вероятностей (или весов с2 и с3)
не более чем в 100 раз ^по сравнению с = 1^ вызы¬
вает изменение требуемого энергетического отношения сиг¬
нала к шуму q не более, чем на 1 дб.
Если Рош = 3*10”8, то допустимым (с такой же сте¬
пенью точности) является изменение л в 1 ООО раз.
В этих результатах можно убедиться и путем непосред¬
ственного анализа кривых, изображенных на рис. 18-9.
Из формулы (18-54) наглядно видно, что с уменьше¬
нием заданной полной вероятности ошибки Р0ш преде¬
лы, в которых может изменяться априорное распределе¬
ние (или веса ошибок), асимптотически возрастают до
бесконечности.
Таким образом, в случа.е нормального белого шума и
сигнала, известного точно, при приеме дискретньих со¬
общений имеет место такая же закономерность, какая
была отмечена выше для непрерывных сообщений — по
мере повышения надежности воспроизведения сообщений
(уменьшения среднего риска R) влияние априорных рас¬
пределений сообщений и критериев оптимальности (весов
ошибок) на структуру и свойства оптимального прием¬
ника монотонно уменьшается, стремясь асимптотически
к нулю.
Приведенный выше анализ относится к сигналу, из¬
вестному точно. Однако в гл. 9 было доказано, что при
малых вероятностях ошибки начальная фаза сигнала
практически не влияет на результаты его обнаружения.
Поэтому при малых вероятностях ошибки все результа¬
ты, приведенные выше для сигнала, известного точно,
остаются справедливыми и для сигнала со случайной
465
начальной фазой. В частности, остается справедливым
(с примерно той же точностью) условие (18-54) отсут¬
ствия влияния априорного распределения.
Рассмотрим теперь случай флуктуирующего сигнала,
фаза которого распределена равномерно, а амплитуда —
по закону Релея.
Бинарное обнаружение такого сигнала на фоне нор¬
мального белого шума было рассмотрено в гл. 9.
В соответствии с формулами (9-71) и (9-79)
где
= e~iK Р =\—е
т к ' 'пр 1 е
q — ?£Р •
i +ч
— ^1-| —^ [1п(1 —1— ^) —f— In тг)];
V
/>(*„)
(18-56)
Полная вероятность ошибки по-прежнему определяется
по формуле (18-44).
Формулы (18-56) нетрудно привести к следующему
виду:
Л1Р=1-
(18-57)
Если порог на выходе приемника выбран, исходя из
равномерного априорного распределения, то в формулах
(18-57) следует полагать т) = 1; при этом получается
— + »
Пр
1
(18-58)
и формула (18-44) принимает вид:
Если порог на выходе выбран оптимальным, то спра¬
ведливы формулы (18-44) и (18-57), из которых получаем:
1
1+V
1
+
+ 1
)
(18-60)
j_ j_ _
(1 +q)4^ J [(1+9)’)]’
По формулам (18-59) и (18-60) построены сплошные
кривые, изображенные на рис. 18-10.
Рассмотрим более подробно случай больших значе¬
ний <7, т. е. малых вероятностей ошибок Рош и Рош.
Рис. 18-10.
Нетрудно убедиться, что при q > 1 можно полагать:
1
1
2_ _i_
V + q)q-nq .
_i_
Vi
—+ 1
(18-61)
■>) (1 + я)
При этом формулы (18-59) и (18-60) принимают вид:
7 + 1тН
9(1 +4)
о' Р — lng + lnti+ 1 /18 621
^ош~ 9(1+1))’ ^ош~ ?(1+т]) ’
467
откуда
lng + т)
^ош In 9 + In I + 1
Из этой формулы следует, что при q -> оо (или Р{
получается
(18-63)
0)
при любом конечном значении т).
Это означает, что при достаточно высоких требова¬
ниях к надежности обнаружения сигнала (достаточно
малых Р0ш) выбор порога ка выходе оптимального при¬
емника можно производить, исходя из предположения
о равномерном распределе¬
нии сообщений (т| = 1), неза¬
висимо от того, каким это
распределение будет в дей¬
ствительности. Однако это
утверждение справедливо
лишь качественно, так как
в каждом конкретном случае
необходимо уточнять, что
следует понимать под «до¬
статочной малой» вероятно¬
стью Рош.
Из формулы (18-63) вид¬
но, что увеличение ц в неко¬
торое число раз (по сравнению с единицей) опаснее, чем
уменьшение г\ в такое же число раз. Поэтому для иллю¬
страции количественных результатов ограничимся рас¬
смотрением случая, когда rjS^l.
При г] = 10 справедливы кривые, приведенные на
рис. 18-10. На основании этих кривых вычислена зави¬
ла
симость отношения — от Р0ш, изображенная на
рис. 18-11. Здесь q — энергетическое отношение сиг¬
нал/шум, требуемое для .получения заданной вероятно¬
сти ошибки Рош при г| = 10 и оптимальном выборе .поро¬
га на выходе, a q' — энергетическое отношение сиг¬
нал/шум, требуемое для получения такой же вероятности
ошибки (йри 11 = 10), но при выборе порога, соответ¬
ствующего г| = 1 (а не ii = 10).
468
Рис. 18-11.
Следовательно, кривая, приведенная на рис. 18-11,
доказывает, каким окажется проигрыш в требуемой
энергии сигнала, если при rj = 10 порог на выходе вы¬
бран в предположении, что т) = 1. Из этой кривой сле¬
дует, что .при Ю~3 и 10 проигрыш (в требуемой
энергии сигнала) за счет неоптимальности порога не
превышает 2 дб. Если же Р0ш < Ю-7, то этот проигрыш
не превышает 1 дб.
Этот пример показывает, что три малых, но реаль¬
ных значениях допустимой вероятности ошибки Р0ш
проигрыш за счет неоптимальности порога действитель¬
но может быть сравнительно невелик, если т] отличает¬
ся от единицы не более чем в 10 раз. Если же может
отличаться от единицы значительно больше, например
в 100 раз, то проигрыш в требуемой энергии может быть
недопустимо велик. Например, при r]=il00 и Р0ш=Ю-7
проигрыш все еще может достигать 6,5 дб (см. соответ¬
ствующую кривую на рис. 18-11). В этом отношении
флуктуирующий сигнал является значительно менее
благоприятным, чем рассмотренный выше сигнал с по¬
стоянной амплитудой, для которого изменения г|
в 100 раз допустимы уже при Р0ш ®С10-5 (рис. 18-10).
Выясним теперь, как влияет априорное распределение
сообщений (и веса ошибок) на полную вероятность ошиб-
КИ Рош в тех случаях, когда порог на выходе выбирает¬
ся для каждого априорного распределения оптималь¬
ным.
Для сигнала, известного точно или имеющего слу¬
чайную фазу (но известную амплитуду), этот вопрос
уже был, по существу, рассмотрен, так как для такого
сигнала при выборе порога на выходе, исходя из г| = 1,
полная вероятность ошибки не зависит от величины г|.
Поэтому для такого сигнала кривые рис. 18-9 и форму¬
ла (18-54) сразу дают ответ на поставленный вопрос.
Если условие (18-54) выполняется, то величина г| прак¬
тически не влияет на энергию сигнала, требуемую для
получения заданной полной вероятности ошибки.
При флуктуирующем сигнале полная вероятность
ошибки, вычисленная для случая, когда порог на выходе
выбирается, исходя из rj = l {формулы (18-59) и (18-61)],
оказывается зависящей от реального значения парамет¬
ра т|. Поэтому, если мы хотим выяснить влияние л при
выборе для каждого значения г| оптимального Порога,
469
то должны сравнивать между собой не величины Р0ш и
Рот', а величины Р0ш и Рот", где Рош" — значение пол¬
ной вер^тности ошибки Р0ш при г|=1.
Полагая в формулах (18-60) и (18-62), что tj = 1, полу¬
чаем соответственно:
а) при произвольном отношении сигнал/шум
б) при q > 1
1 -
1
1
(!+</)’
In 9+ 1
—+1
(1+9)1'
2 Я
(18-64)
(18-65)
По формуле (18-64) построена кривая, изображенная
на рис. 18-10 пунктиром.
Из сравнения кривых, соответствующих 14 = 1 (кривая
Рот) и Л= Ю (кривая Рош), видно, что изменение ве¬
личины г| (при оптимальном пороге на выходе) в 10 раз
существенно изменяет вероятность ошибки (при q =
= const) или требуемую энергию сигнала (при Р0ш=
= const), причем это изменение с ростом q не умень¬
шается, а даже несколько возрастает. Это означает, что
для правильного определения полной вероятности ошиб¬
ки (среднего риска) или требуемой энергии сигнала зна¬
ние априорного распределения является весьма суще¬
ственным даже при сколь угодно большом отношении
сигнал/шум.
Иначе говоря, при флуктуирующем сигнале и q—> g
априорное распределение сообщений (или веса ошибок)
перестает влиять на структуру оптимального приемника
(на величину вьиходного порога), но продолжает суще¬
ственно сказываться на величине его фактической чув¬
ствительности.
Подводя итоги приведенному в данном параграфе
анализу, можно сделать следующие основные заключе¬
ния:
1. При приеме дискретных сообщений, так же как и
в случае непрерывных сообщений, влияние априорных
распределений сообщений и критериев оптимальности
(весов ошибок) на структуру и свойства оптимального
приемлика монотонно уменьшается с увеличением отно¬
шения сигнал/шум, стрем,ясь асимптотически к нулю.
470
2. Приведенное в п. 1 положение справедливо по
меньшей мере для помехи в виде аддитивного нормаль¬
ного белого шума, и сигнала, известного точно.
3. Если сигнал имеет паразитные случайнее .пара¬
метры, то в зависимости от характера этих параметров
возможны различные случаи.
При некоторых видах паразитных случайных пара¬
метров положение, сформулированное в п. 1, остается
справедливым полностью. Такие случайные параметры
по аналогии со случаем непрерывных сообщений можно
называть благоприятными. К ним относится, в частно¬
сти, случайная начальная фаза высокочастотного за¬
полнения1 сигнала.
При других видах паразитных случайных параметров
положение, сформулированное в п. 1, может выполнять¬
ся, но не в полной мере. Такие параметры можно назьи-
вать не вполне благоприятными. К ним относится, в ча¬
стности, амплитуда флуктуирующего сигнала, распреде¬
ленная по закону Релея.
4. Веса ошибок влияют точно так же, как априорные
вероятности сообщений. Поэтому, в частности, при би¬
нарном обнаружении и неодинаковых весах с% и Сз все
приведенные выше формулы и кривые остаются справед¬
ливыми, если заменить т) на р, где в соответствии
с (18-40) и (18-43):
р с2 . Р(*.) сг
Р— с, Р(х.) с,Ч
18-5. ВЛИЯНИЕ АПРИОРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
СООБЩЕНИИ И КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ПРИ ПРИЕМЕ КОЛЕБАНИИ [x=x(^]
Прием колебаний x(t) отличается от приема отдельных
значений непрерывных сообщений в первую очередь тем,
что распределения Р(х) и Ру (х) являются не одномер¬
ными, а многомерными, т. е.
Р(х) = Р(х1,-<., хп)
И
Ру {х) = Ру (-^1> • • •> •£„)>
где
л = 2/в7> 1.
471
Предположим, что характер сигнала и помех и струк¬
тура оптимального приемника таковы, что при q ->оо со¬
общения яЬспроизводятся с полной достоверностью.
Очевидно, такое допущение вполне оправдано, если сиг¬
нал известен точно или имеет только благоприятные па¬
разитные случайные параметры 1.
Тогда прй q -*оо распределение Ру(х) стремится
к многомерной б-функции, а при конечном, но весьма
большом q, имеет существенные значения лишь в преде¬
лах весьма узкой области Аху реализаций x(t), примы¬
кающих к истинному виду хи(t) воспроизводимого сооб¬
щения. Поэтому, учитывая, что
Pu{x) = kuP{x)Px{y),
и проводя рассуждения, аналогичные приведенным
в § 18-3, нетрудно убедиться, что при возрастании отно¬
шения сигнал/шум влияние вида распределения Р(х) на
распределение Ру(х) асимптотически стремится к нулю.
Отсюда следует, что стремится к нулю и влияние рас¬
пределения Р(х) на структуру и свойства оптимального
приемника.
Поэтому при большом отношении сигнал/шум апри¬
орное распределение Р(х) практически не влияет на
структуру и свойства оптимального приемника, если это
распределение является настолько гладким, что в пре¬
делах узкой многомерной области Аху функция Р(х) из¬
меняется незначительно.
При возрастании отношения сигнал/шум область
Аху асимптотически стремится к нулю. Поэтому, чем
больше отношение сигнала к шуму q, тем менее гладким
может быть распределение Р(х). Отсюда следует, что
при конструировании оптимального приемника и анали¬
зе его свойств допустимо исходить из простейшего апри¬
орного распределения, т. е. полагать
Р(х)=const,
если отношение сигнал/шум велико, а возможные апри¬
орные распределения Р(х) являются достаточно
1 Здесь под благоприятными понимаются такие случайные па¬
раметры «сигнала, которые в отсутствии помех не -препятствуют,
в принципе, совершенно достоверному воспроизведению сообщения
х(й).
472
гладкими. К сожалению, дать количественное определе¬
ние условия достаточной гладкости в общем случае весь¬
ма затруднительно, особенно учитывая, что многомерное
распределение Р(х) является функцией весьма большо¬
го числа переменных. Однако в случае стационарных
процессов, близких к нормальным, часто достаточно пол¬
ной априорной характеристикой процесса x(t) является
его энергетический опектр E2x(f).
В § 7-3 доказано, что чем больше отношение сигнал/
шум, тем меньше влияние формы спектра E2x(f) на
ошибку воспроизведения сообщения; там же рассмотре¬
ны некоторые количественные примеры, показывающие,
каким именно должно быть отношение сигнал/шум, что¬
бы можно было пренебречь тем или иным отклонением
спектра E2x(f) от равномерного. Следовательно, резуль¬
таты, изложенные в § 7-3, также подтверждают, что
с увеличением отношения -сигнал/шум влияние априорной
информации о сообщении x(t) на структуру и свойства
оптимального приемника уменьшается.
Путем рассуждений, подобных приведенным в § 18-3,
можно показать, что аналогия между приемом колеба¬
ний и отдельных значений непрерывных сообщений
имеет место и в отношении влияния критериев опти¬
мальности, а именно: если распределение Ру(х) может
считаться для всех у одногорбым и симметричным
(в многомерном пространстве) относительно наивероят¬
нейшего значения, то приемник, действующий по принци¬
пу максимальной плотности обратной вероятности,
является оптимальным (т. е. обеспечивающим получе¬
ние минимального среднего риска) для всех функций
потерь, являющихся неубывающими функциями модуля
ошибки |у—х\ *. В частности, это имеет место при боль¬
шом отношении сигнал/шум для помехи в виде нормаль¬
ного белого шума.
Для нормального белого шума это положение впер¬
вые было доказано Котельниковым [JI. 1] применитель¬
но к случаю сигнала, известного точно, квадратичной
функции потерь и равномерному априорному распределе¬
нию сообщений. Но выше было доказано, что при боль¬
шом отношении сигиал/шум вид априорного распределе¬
ния сообщений мало влияет на структуру и свойства
* Имеется «в виду .простое воспроизведение сообщений.
31 Л. С. Гуткин 473
оптимального приемника. 'Поэтому результаты, получен¬
ные Котельниковым, остаются справедливыми (при до¬
статочно большом отношении сигнал/шум) и для нерав¬
номерного априорного распределения Р(х).
Затем Котельниковым было доказано, что при приеме
колебаний случайная начальная фаза фо сигнала («по¬
стоянная в течение времени наблюдения) не влияет на
точность воспроизведения сообщений, если отношение
сигнал/шум достаточно велико. Поэтому полученные им
результаты распространяются и на сигналы со случай¬
ной начальной фазой.
18-6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенный в этой главе анализ позволяет сделать
следующие общие заключения, справедливые для приема
дискретных сообщений, отдельных значений непрерыв¬
ных сообщений и колебаний:
1. При увеличении отношения сигнал/шум (повыше¬
нии точности или надежности приема сообщений) влия¬
ние вида априорного распределения Р(х) сообщений на
структуру и свойства оптимального приемника асимпто¬
тически стремится к нулю, если сигнал известен точно
или имеет благоприятные случайные параметры.
2. К благоприятным случайным параметрам отно¬
сится, в частности, начальная фаза ф0 высокочастотного
заполнения (постоянная в течение времени наблюде¬
ния Т).
3. Из in. 1 следует, что при конструировании опти¬
мального приемника и анализе его свойств можно при
большом отношении сигнал/шум исходить в первом при¬
ближении из равномерного априорного распределения
Р(х), если сигнал известен точно или имеет благоприят¬
ные случайные параметры (в частности, случайную на¬
чальную фазу).
4. При большом отношении сигнал/шум и помехе
в виде нормального белого шума (и не только при такой
помехе) приемник, действующий по принципу макси¬
мальной обратной вероятности Ру(х) (в случае непре¬
рывных сообщений — максимальной плотности обратной
вероятности), оказывается оптимальным для широкого
класса критериев оптимальности, если сигнал известен*
точно или имеет благоприятные случайные параметры.
474
В случае непрерывных сообщений к это-му классу
принадлежат все критерии, основанные на минимизации
среднего риска и функции потерь /(*, у), являющейся
неубывающей функцией модуля ошибки \у—х\. В част¬
ности, к этому классу относится критерий минимальной
среднеквадратичной ошибки.
5. Из п. 4 следует, что при конструировании опти¬
мального приемника и анализе его свойств можно при
большом отношении сигнал/шум исходить в первом при¬
ближении из любого простейшего критерия оптимально¬
сти, принадлежащего к указанному классу, если помеха
имеет вид нормального белого шума, а сигнал известен
точно или имеет благоприятные случайные параметры.
В частности, можно исходить из критерия максимальной
плотности обратной вероятности Ру(х) или из критерия
минимальной среднеквадратичной ошибки.
6. Сформулированные выше положения тем точнее,
чем больше отношение сигнал/шум (чем выше требова¬
ния к точности или надежности приема сообщений).
Для определения величины погрешности приведенных
выше общих положений при данном конкретном отноше¬
нии сигнал/шум (данной конкретной надежности приема
сообщений) необходим более детальный анализ каждо¬
го конкретного случая.
Некоторые примеры такого анализа были даны выше
(для приема колебаний — в § 7-3, а для приема дискрет¬
ных сообщений — в § 18-4).
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ПРИЕМА
Как уже отмечалось в предисловии, в настоящей
книге не могло быть дано полное и законченное изложе¬
ние теории оптимальных методов приема, во-первых, по¬
тому, что эта теория находится еще в стадии бурного
развития и, во-вторьих, вследствие того, что уже накоп¬
ленный материал настолько обширен, что требует для
достаточно полного охвата по меньшей мере несколь¬
ких больших монографий.
Для того, чтобы читатель мог хотя бы в минималь-
31* 475
ной степени представить, насколько широк круг вопро¬
сов и проблем, которые являются предметом анализа
в современной теории оптимальных методов приема, ни¬
же приводится перечень некоторых из таких вопросов и
проблем (см. также [Л. 31]):
1. Анализ влияния априорных распределений помех,
полезных сообщений и паразитных параметров сигнала
на структуру и свойства оптимальных приемников.
2. Анализ влияния критериев оптимальности на
структуру и свойства оптимальных приемников.
3. Отыскание новых критериев оптимальности, кото¬
рые, с одной стороны, достаточно хорошо соответствова¬
ли бы физическим условиям задачи, а с другой стороны,
упрощали структуру оптимального приемника и анализ
его свойств.
4. Анализ влияния формы сигнала и отыскание опти¬
мальной формы.
5. Распространение теории на случай кодированных
сообщений.
6. Разработка математического аппарата, позволяю¬
щего получать приемлемые для практики результаты
в случае помех с ненормальным законом распределения
и нестационарных.
7. Применение теории к системам с обратной связью
и, в частности, к самонастраивающимся системам, пара¬
метры которых не постоянны, а корректируются в про¬
цессе работы приемника.
8. Анализ случаев, когда полезное сообщение, .подле¬
жащее воспроизведению, содержится не в одном сигна¬
ле, а в совокупности сигналов (например, случай одно¬
временного приема одного и того же сигнала на не¬
сколько разнесенных антенн).
9. Применение к многоканальной связи, когда один
и тот же сигнал содержит не одно, а значительное коли¬
чество независимых сообщений, подлежащих раздельно¬
му воспроизведению.
10. Анализ сложных случаев одновременного воздей¬
ствия аддитивных и неаддитивных (модулирующих)
помех.
И. Анализ приема колебаний при произвольном
отношении сигнал/шум и различных видах воспроизве¬
дения сообщения (простое воспроизведение, интерполя¬
ция, экстраполяция, воспроизведение с дифференциро-
476
ванием, интегрированием и другими видами линейных и
нелинейных преобразований сообщения).
12. Развитие теории последовательного наблюдения
(анализа), а именно:
а) развитие теории последовательного обнаружения
(простого и сложного, бинарного и многоальтернативно¬
го) в той постановке задачи, какая была изложена
в гл. 15, и в иных 'целесообразных постановкам;
б) разработка теории последовательного воспроизве¬
дения сообщений в случае непрерывных сообщений.
13. Отыскание оптимальных систем при ограничен¬
ных априорных данных, например, в случаях, когда
n-мерное распределение помехи (где /г > 1) неизвестно,
а известно лишь ее одномерное и двумерное распре¬
деление.
14. Анализ степени критичности найденных опти¬
мальных систем при изменениях их параметров или
исходных данных с целью выявления допусков на ве¬
личины этих параметров.
15. Синтез оптимальных систем, т. е. отыскание фи¬
зически и .практически реализуемых блоков аппаратуры,
достаточно точно выполняющих найденное математиче¬
ским путем оптимальное правило решения.
16. Анализ оптимальных систем при статистических
(рандомизированных) правилах решения.
17. Отыскание квазиоптимальных систем и сравне¬
ние их с оптимальными.
18. Сравнение оптимальных систем с реальными.
19. Уточнение или упрощение уже известных формул
и методов расчета.
Многие из этих проблем были в той или иной мере
освещены в данной книге. Почти все перечисленные вы¬
ше проблемы рассмотрены в той или в иной степени
в указанной в конце книги литературе. Однако ни одна
из этих проблем не нашла пока достаточно полного ре¬
шения. Поэтому ©та книга, как и все другие, ныне суще¬
ствующие монографии, является по существу лишь вве¬
дением в теорию оптимальных методов приема и имеет
целью облегчить ознакомление с данной весьма важной
отраслью науки и использование ее результатов в прак¬
тической деятельности.
ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Jt**»
ПРИЛОЖЕНИЕ
1
0,001
1 13,8
18,5
22,5
1 26,1
29,6
32,9
36,1
39,2
42,3
45.3
48.3
51,2
54,1
56,9
1 59,7
0,002
12,4
16,9
20,7
24,3
27,7
31
34
37
40
43
46
48,5
51,5
54,5
1 57,5 |
0,005
11,6
14,9
18,6
21,9
25,2
28,3
31
34
37
40
42,5
45,5
48
51
54 1
0,01
9,21
13,28
16,81
20,1
23,2
26,2
29,1
32,0
34,8
37,6
40,3
43,0
45,6
48,3
50,9 1
0,02
7,82
11,67
15,03
18,17
21,2
24,1
26,9
29,6
32,3
35,0
37,7
40,3
42,9
45,4
1 48,0 |
0,05
5,99
9,49
12,59
15,51
18,31
21,0
23,7
26,3
j 28,9
31,4
33,9
36,4
38,9
41,3
1 43,8 |
0,10
4,60
7,78
10,64
13,36
15,99
18,55
21,1
23,5
26,0
28,4
30,8
33,2
35,6
37,9
1 40,3 |
0,20
3,22
5,99
8,56
11,03
13,44
15,81
18,15
20,5
22,8
25,0
27,3
29,6
31,8
34,0
36,2
0,30
2,41
4,88
7,23
9,52
11,78
14,01
16,22
18,42
20,6
22,8
24,9
27,1
29,2
31,4
33,5
0,50
1,386
3,36
5,35
7,34
9,34
11,34
13,34
15,34
17,34
19,34
21,3
23,3
25,3
27,3
1 29,3 !
0,70
0,713
2,20
3,83
5,53
7,27
9,03
10,82
12,62
14,44
16,27
18, Ю
19,94
21,8
23,6
1 25,5 |
0 80
0,446
1,649
3,07
4,59
6,18
7,81
9,47
11,15
12,86
14,58
16,31
18,06
19,82
21,6
23,4
0 90
0,211
1,064
2,20
3,49
4,86
6,30
7,79
9,31
10,86
12,44
14,04
15,66
17,29
18,94
1 20,6 j
0,95
0,103
0,711
1,635
2,73
3,94
5,23
6,57
7,96
9,39
10,85
12,34
13,85
15,38
16,93
18,49 j
0,98
0,040
0,429
1,134
2,03
3,06
4,18
5,37
6,61
7,91
9,24
10,60
11,99
13,41
14,85
16,31 |
0,99
0,020
0,297
0,872
1,646
2,56
3,57
4,66
5,81
7,02
8,26
9,54
10,86
12,20
13,56
14,95 |
\ а
2 п
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
478
ЛИТЕРАТУРА
1. Котельников В. А., Теория потенциальной помехоустой¬
чивости, Госэнергоиздат, 1956.
2. Вудворд Ф. М., Теория вероятностей и теория информа¬
ции с применениями в радиолокации, Перевод с английского, Изд.
«Советское радио», 1955.
3. Вайнштейн Л. А. и Зубков В. Д., Выделение сигна¬
лов на фоне случайных помех, Изд. «Советское радио», 1960.
4. X а р к е в и ч А. А., Очерки общей теории связи, Гостехиздат,
1955.
5. Ф а л ь к о в и ч С. Е., Прием радиолокационных сигналов на
фоне флуктуационных помех, Изд. «Советское радио», 1961.
6. Долуханов М. П., Введение в теорию передачи инфор¬
мации по электрическим каналам связи, Связьиздат, 1955.
7. С м и р н о в В. А., Основы радиосвязи на УКВ, Связьиздат,
1957-
8. Гольдман С., Теория информации, Перевод с английско¬
го, Изд. иностранной литературы, 1957.
9. Пороговые сигналы, Перевод с английского, Изд «Совет¬
ское радио», 1952.
10. Ц я н ь Сюэ-сэнь, Техническая кибернетика, Перевод
с английского, Изд. иностранной литературы, 1956.
11. Пугачев В. С., Теория случайных функций и ее приме¬
нение к задачам автоматического регулирования, ГТТИ, 1957.
12- Солодовников В. В., Введение в статистическую дина¬
мику систем авторегулирования, Гостехиздат, 1952.
13. Перо в В. П., Статистический синтез импульсных систем,
Изд. «Советское радио», 1959.
14. Блекуэлл Д. и Гиршик М. А., Теория игр и стати¬
стических решений, Перевод с английского, Изд. иностранной лите¬
ратуры, 1958.
15. Сборник трудов научно-технического об-ва радиотехники и
электросвязи им. А. С. Попова, под ред. В. И. Сифорова, вып. II,
Москва, 1958, вып. III, 1959, Госэнергоиздат. ** ,
16. Прием сигналов при наличии шума, Сборник переводов под
ред. Л. С. Гутки,на, Изд. иностранной литературы, I960.
17. Теория информации и ее приложения, Сборник переводов
под ред. А. А. Харкевича, Физматгиз, 1959.
18. Теория передачи электрических сигналов при наличии помех,
Сборник переводов под ред. Н. А. Железнова, Изд. иностранной
литературы, 1953.
479
19. Прием импульсных сигналов в присутствии шумов, Сборник
переводов под ред. А. Е. Башаринова и М. С. Александрова, Гос-
энергоиздат, 1960.
20. Б у н и м о в и ч В. И., Флуктуационные процессы в радио¬
приемных устройствах, Изд. «Советское радио», 1951.
21. Левин Б. Р., Теория случайных процессов и ее примене¬
ние в радиотехнике, Изд. «Советское радио», 1960.
22. Л е б е д е в В. JL, Случайные процессы в электрических и
механических системах, Физматгиз, 1958.
23. К р а м е р Г., Математические методы статистики, Перевод
с английского, Изд. иностранной литературы, 1948.
24. Смирнов Н. В. и Д у н и,н-Б а р к о в с к и й И. В., Крат¬
кий курс математической статистики для технических приложений,
Физматгиз, 1959.
25. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, ГТТИ, 1950.
26.*Вентцель Е. С., Теория вероятностей, Физматгиз, 1958.
27. Рыжик И. М. и Гр ад штейн И. О., Таблицы интегра¬
лов, сумм, рядов и произведений, ГТТИ, 1951.
28. W i е п е г N., Extrapolation, interpolation and smoothing of
stationary time series, John Wiley, New-York, 1949.
29. Wald A., Sequentional analysis, New-York, 1947.
30. Wald A., Decision functions, John Wiley, New-York, 1950.
31. M i d (d 1 e t о n D., An introduction to statistical communica¬
tion theory, McGraw-Hill Book Co., New-York, 1900.
32. D a w e n p о r t W. and Root L., An introduction to the
theory of random signals and noise, McGraw-Hill Book Co., New-
York, 1958.
33. Котельников В. А., О пропускной способности «эфи¬
ра» и проволоки в электросвязи, Всесоюзн. энерг. ком., Материалы
к первому всесоюзному съезду по вопр. реконстр. дела связи, Изд.
Упр. связи РККА, 1933.
34. К о л м о г о р о в А. Н., Интерполирование и экстраполиро¬
вание стационарных случайных последовательностей, Изв. АН СССР,
сер. матем., т. 5, № 1, 1941.
35. Си фор о в В. И., О влиянии помех на прием импульсных
радиосигналов, «Радиотехника», 1946, № 1.
36. Б е л о у с о в А. П., О наивысшей реальной чувствитель¬
ности приемника, Радиотехника, 1946, № 5.
37. К о т е л ь н и к о в В. А., Проблемы помехоустойчивой ра¬
диосвязи, Радиотехнический сборник, Госэнергоиздат, 1947.
38. Ха р к е в и ч А. А., Обнаружение слабых сигналов, «Радио¬
техника», 1953, № 5.
39. К а р н о в с к и й М. И., О подавлении флуктуационных по¬
мех при корреляционном методе приема, «Радиотехника», 1954, № 3.
40. В о ю ц к и й В. С., Обнаружение слабых сигналов способом
асинхронного накопления «Радиотехника», 1954, № 6.
41. Филиппов Л. И., О помехоустойчивости импульсного ра¬
диоприема, «Радиотехника», 1954, № 6.
42- У р к о в и ц Г., Фильтры для обнаружения слабых радио¬
локационных сигналов на фоне мешающих отражений, «Вопросы
радиолокационной техники», 1954, № 2.
43. Ф и л и п п о в Л. И., Потенциальная помехоустойчивость
при приеме импульсных радиосигналов, «Радиотехника», 1955, № 10.
44. Ш а с т о в а Г. А., Исследование помехоустойчивости пере¬
480
дачи .команд телеуправления методами теории потенциальной поме¬
хоустойчивости. «Автоматика и телемеханика», 1955, № 4.
45. Ч а й к о в с к и й В. И., Прием .импульсных сигналов по ме¬
тоду взаимной корреляции, «Радиотехника», '1955, № 6.
46. Беннер А. и Д р е ih и к Р., Проблема оптимального обнару¬
жения импульсных сигналов в шуме, «Вопросы радиолокационной
техники», 1956, № 5.
47. Ч а й к о в с к.и й В. И., Помехоустойчивость фильтрового
автокорреляционного приемника импульсных сигналов, «Радиотехни¬
ка», 1956, № 4.
48. Б а ш а р |И'н о в А. Е., О -помехоустойчивости корреляционно¬
го метода приема, «Радиотехника», 1956, № 5.
49. Зюко А. Г., Помехоустойчивость и эффективность фото¬
телеграфной радиосвязи при флуктуационных помехах, «Радиотех¬
ника», 1956, № 8.
50. Зюко А. Г., Автореферат о расчете помехоустойчивости ра¬
диоприемника -при большом уровне флуктуационных помех, «Радио¬
техника», 1956, № 10.
51. X а р к е в и ч А. А., О вычислении опектров сдучайных про¬
цессов, «Радиотехника», 1957, № 5.
52. Ж е л е 3IH о в Н. А., О .принципиальных вопросах теории
сигналов и задачам ее дальнейшего развития -на основе 'новой сто¬
хастической модели, «Радиотехника», 1957, № ill.
53. К ар н овыск и й М. И. « Чайковский В. И., Метод
повышения помехоустойчивости автокорреляционного приема им¬
пульсных сигналов, «Радиотехника», 1957, № 2.
54. С в е р л и н г П., Максимальная точность определения коор¬
динат импульсной радиолокационной станции, «Вопросы радиолока¬
ционной техники», 1957, № 2.
65. Теплов Н. JL, К оценке помехоустойчивости методов ра¬
диоприема, основанных >на усреднении функций сигнала и помехи,
«Радиотехника», 1957, № 9.
56. Финкельштей'н М. И., Переходные процессы в гребенча¬
тых фильтрах, «Радиотехника», 1957, № 7.
57. Ф урду ев В. В., О некоторых понятиях теории сигналов,
«Радиотехника», 1957, № 4.
58. 3 и б е р т, Общие закономерности обнаружения целей при
помощи радиолокации, «Вопросы радиолокационной техники», 1957,
№ 5.
59. X а р к е в и ч А. А., Об одной схеме приема сигналов, «Элек¬
тросвязь», 1957, № 2.
60. X а р к е в и ч А. А., О теоретически оптимальной системе
связи, «Электросвязь», 1957, № 5.
61. X а р к е в и ч А. А., О возможностях сжатия спектра сигнала,
«Электросвязь», 1957, № 4.
62. Ф а л ь к о в и ч С. Е., О точности отсчета координаты даль¬
ности в радиолокационных системах при некогерентном накоплении,
«Радиотехника и электроника», 1957, № 5.
63. Ф л е й ш м а н Б. С., Об оптимальном детекторе с log 1о-ха-
рактеристикой для обнаружения слабого оилнала при наличии шума,
«Радиотехника и электроника», 1957, № 6.
64. Леонов Ю. П. и Телькснис JT. П., Оценка параметров
закона распределения случайной функции при ограниченных априор¬
ных данных, «Автоматика и телемеханика», 1957, № 11.
481
65. X a p iK е в .и ч А. А., О теореме Котельникова, «Радиотех¬
ника», 1958, № 8.
66. Т у'р б о в и ч И. Т., «К вопросу о -применении теоремы Котель¬
никова ik функциям -времени с ограниченным юпектром, «Радиотех¬
ника», 1958, № 8.
67. В о ю ц «(И й В. С., С л у ц к о в с к и й А. И, Схема для наме¬
рения слабых сигналов со сплошным спектром, «Радиотехника»,
1958, № 9.
68. М е ш к о в с км й К. А., Вопросы помехоустойчивости систем
связи, осуществляющих 'прием сигнала в «целом», «Радиотехника»,
1958, № 6.
69. Л о л я к Ю. iB. и Кельзо!Н В. С., К теории обнаружения
периодических импульсных сигналов в гауссовом шуме при некоге¬
рентном (накоплении, «Радиотехника и электроника», Л958, № 6.
70. Т а р а с ей к о Ф. 1П., Об информативности (параметров при¬
нимаемого сигнала, «Радиотехника и электроника», 1958, № 4.
71. Лези1Н Ю. С., О оинтезе фильтров, оптимальных импульсам
определенной формы, Научные доклады Высшей школы, Серия «Ра¬
диотехника и электроника», 1958, № 3.
72. Си фор о >в В. И., О 'пропускной способности каналов связи
с медленными случайными 'изменениями параметров, Научные докла¬
ды -Высшей школы, Серия «Радиотехника и электроника», 1958, № 3.
73. Филиппов JI. И., Идеальное радиоприемное устройство
выявления сигналов, Научные доклады Высшей школы, Серия «Ра¬
диотехника и электроника», 1958, № 2.
74. Желез нов Н. А., Принцип дискретизации стохастических
сигналов с неограниченным спектром, «Радиотехника и электроника»,
1958, № 1.
75. Зубков В. Д., Оптимальное обнаружение при коррелиро¬
ванных помехах, «Радиотехника и электроника», 1958у № 12.
76. Школьник, Обнаружение импульоных сигналов в шумах,
«Запросы радиолокационной техники», /1958, № 3.
77. Миллер, Бернштей-н, Теория когерентного интегриро¬
вания и ее .применение к обнаружению сигналов, «Вопросы радио¬
локационной техники», 1958, № 5.
78. Б л а с б а л ь г, Последовательное обнаружение в гауссовом
шуме, «Вопросы радиолокационной техники», 1958, № 4.
79. Добр у шин Р. Л., Одна статистическая задача теории
обнаружения сигнала на фоне шума в (многоканальной системе,
«Теория вероятности и ее -применения», 1958, № 2.
80. Харкевич А. А., Опознание образов, «Радиотехника»,
1959, N9 5.
81. Финкельштейн М. И., Оптимальные полосы пропуска¬
ния частот гребенчатых фильтров, «Радиотехника», 1959, № 1.
82. Ф а л ь к о в и ч С. Е., Некоторые результаты применения ме¬
тода апостериорной вероятности к задачам проектирования радиоло¬
кационных систем, «Радиотехника и электроника», 1959, № 4.
83. Зуба ков В. Д., Обнаружение сигналов на фоне нормаль¬
ных шумов и хаотических отражений, «Радиотехника и электроника»,
1959, № 1.
84. 3 у б а к о в В. Д., Обнаружение когерентных сигналов иа
фоне коррелированных «помех, «Радиотехника и электроника», 1959,
№ 4.
482
85. Башаринов А. Е. и Фл е й ш м а и Б. С., Применение ме¬
тода последовательного анализа в системах двухзначной передачи
при релеевских флуктуациях интенсивности сигналов, «Радиотехника
и электроника», 1959, № 2.
8G. С р а г о в и ч В. Г., Об оптимальном обнаружении сигнала «а
фоне коррелированной гауссовой помехи, «Радиотехника и электро¬
ника», 1959, № 5.
(87. Вайнштейн J1. А., Радиолокационное обнаружение «мер¬
цающего объекта» «на фоне коррелированных помех, «Радиотехника
и электроника», .1959, № б и № 7.
88. Б а ш а р и и о в А. Е., Флейшман Б. С , С а м о х и -
н а М. А., Бинарные накопительные системы с двухпоро.говыми ана¬
лизаторами, «Радиотехника и электроника», 1959, № 9.
89. Г у т к и н JL. С., О значении критериев оптимальности и
априорных распределений в теории приема сигналов, «Радиотехника
и электроника», 1959, № <10.
90. Финк J1. М., О потенциальной помехоустойчивости при за¬
мираниях сигнала, «Радиотехника», '1959, № 9.
91. Финк Л. М., О потенциальной помехоустойчивости при не¬
определенной фазе сигнала, «Радиотехника», 1959, № il.
92. Т a ip а с е н,к о Ф. П., Сравнение методов радиолокационного
приема с точки зрения теории информации, «Радиотехника», 1959,
№ 7.
93. В а р ш а в е р Б. А., К теории передачи сигналов со /многими
дискретны/ми значениями, «Радиотехника», 1959, № 1.
94. Кляч.кин Л. 3., Помехоустойчивость автокорреляционного
приемника AM сигналов, «Радиотехника»* 1959, № 2.
95. Т у р б о в .и ч И. Т., Аналитическое представление функций
времени с неограниченным спектром, «Радиотехника», 1959, № 3.
96. Хургин Я. И., Оценка пропускной способности некоторых
каналов связи со случайно изменяющимися .параметрами, «Радиотех¬
ника», 1959, № 12.
97. Ап тэк Ю. Э., Гребенчатый фильтр с электронным комму¬
татором, «Радиотехника и электроника», 1959, № И.
98. Д о б р у ш и н Р. Л., Оптимальная передача информации по
каналу с неизвестными параметрами, «Радиотехника и электроника»,
1959, № 12.
99. Ш и р м а н Я. Д., Теория обнаружения полезного сигнала на
фоне гауссовых шумов и произвольного числа мешающих сигналов
со случайными амплитудами и начальными фазами, «Радиотехника
и электроника», 1959, № 12.
100. Черняк Ю. Б., О некоторых способах обработки флук¬
туирующих сигналов в ддаухка.нальных системах, «Радиотехника и
электроника», 1959, № 12.
101. Д у б и н е к и й Б. А., К вопросу о точности измерения пара¬
метров колебания, искаженного гауссовой помехой малой интенсив¬
ности, «Радиотехника и электроника», 1959, № 12.
102. Уолтер, Количественный анализ автоматических схем
обнаружения и оценки положения мерцающих целей при наличии
шума, «Радиотехника и электроника за рубежом», 1959, № 1.
-103. Зиберт, Некоторые применения теории обнаружения к ра¬
диолокации, «Радиотехника и электроника за рубежом», 1959, № 1.
104. Каширин В. А., Ш а с т о в а Г, А., Возможности повыше¬
483
ния (помехоустойчивости на основе использования распределения 'ве¬
роятностей параметра, «Автоматика .и телемеханика», 1959, № 9.
105. Воюдкий В. С., О сравнительной помехоустойчивости
двухканального корреляционного приемника с квадратичным детек¬
тором, «Радиотехника», I960, № 1.
106. Г|ут кин J1. С., Некоторые соотношения ib оптимальных
системах обнаружения сигналов, «Радиотехника», 'I960, № 2 и № 4.
107. Черняк Ю. Б., Приближенный метод расчета характери¬
стик обнаружения многоканальных систем с коррелированными шу¬
мами при отборе амплитуд по наибольшему значению, «(Радиотехни¬
ка и электроника», I960, № 2.
108. Митяшев Б. Н., Об оптимальном способе определения
временного положения импульсов, «Радиотехника и электроника»,
1960, № 2.
109. Башаринов А. Е., Обнаружение импульсных пакетов
случайной .продолжительности устройствами с конечной емкостью
памяти, «Радиотехника .и электроника», 1960, № 3.
МО. Черняк Ю. Б., Обнаружение сигнала с неизвестной часто¬
той и произвольной начальной фазой на фоне шума, «Радиотехника
и электроника», 1960, № 3.
111. Мельников >В. С., Разнос сигналов частотного телеграфи¬
рования при замираниях и идеальном .приеме, «Электросвязь», 1960,
№ 3.
112. Г уткин JT. С., Зависимость параметров детектирования и
преобразования частоты от амплитуд сигнала и гетеродина, «Радио¬
техника», 1946, № 6.
113. North D. О., Analysis of factors which determine signal-
to-noise discrimitation in pulsed carrier systems, Rep. PTR-GC, RCA,
Princeton, 1943.
114. D work В. М., Proc. IRE, 1950, v. 38, p. 771.
115. G r e n a n d e r U., Stochastic processes an'd statistical
inherence, Ark. Math., Stockohlm, 1950, № 1 et № 3.
116. Z a den L., Ragazzini J., An extension of Wieners
theory of prediction, J. of Appl. Phys., 1950, v. 21, № 7.
117. Booton R., An optimization theory for time-varying linear
systems with non-stationary statistical inputs, Proc. IRE; 1952, № 8.
118. M i d d 1 e t о n D., van Meter D., Detection and extraction
of signals in noise from the point of view of statistical decision,
Journ. Soc. Industr. and Appl. Math., 1955, v. 3, № 4, 1956, June, v. 4,
No 2.
119. Slepian D., Estimation of signal parameters in the pre¬
sence of noise, Trans. LRE, PGIT, 1954, № 3.
120. Mid'dleton D., A note of the estimation of signal wave¬
form, Trans. IRE, JT, 1959, № 2.
121. В 1 a sb a 1 g H., Experimental results in sequential detection,
Trans. IRE, JT, 1959, № 2.
122. Shapiro I. I., The prediction of ballistic missile trajec¬
tories from radar observations, McGraw-Hill Book Co., New-York,
1957.
123. Срагович В. Г., О расчете характеристик обнаружения
при квадратичном суммировании сигналов, «Радиотехника и элек¬
троника», 1960, № 4.
124. Леви.н Б. Р., Оптимальные фазовые методы обнаружения
сигналов, «Радиотехника .и электроника», 'I960, № 4.
Аддитивные помехи 22
Альтернативная гипотеза 327
Амплитудная модуляция 22
Амплитудный обнаружитель 186
— спектр 41
Аномальные ошибки 119
Априорная вероятность сообще¬
ний 19
— трудность 428
Априорное распределение 21
Априорные данные 439
Байесовские правила 421
Белый шум 24
нормальный 25
Бинарное обнаружение 83, 154
фазовое 185
Биноминальное распределение 375
Благоприятные паразитные пара¬
метры 441
— случайные параметры 459
Вероятность 87
— искажения 208
— ложной тревоги 85
— пропуска 85
Веса ошибок 438
Весовой коэффициент 193
Время-импульсная модуляция 113
Выборка 322
Выборочное значение 31, 322
Гауссов шум 24
Гауссова кривая 56
Гиперсфера 118
Гребенчатый фильтр 54
Динамическая ошибка 132
Дискретная выборка 325
Доверительная вероятность 381
Доверительный .интервал 380
Достаточная оценка 383
Дружные флуктуации 256
Задача обнаружения 203
и распознавания 203
— распознавания сигналов 203
Закодированное сообщение 12
Закон распределения Х$л268
— Релея 176
Импульсная переходная функция
35
характеристика оптимально¬
го фильтра 44
Интегральная система модуляции
124
Интерполяция 433
Квадратичная функция потерь 419
Квазиоптимальная система 211
Квазиоптимальный линейный
фильтр 55
Квантующее устройство 374
Классическая теория статистиче¬
ских оценок 378
Классическое бинарное обнару¬
жение 370
Когерентная пачка импульсов 231
— флуктуирующая пачка 238
Кодированный сигнал 411
Коррелированный шум 25
Коррелятор 76
Корреляционная функция 38
сигнала 400
Котельников В. А., Теория потен¬
циальной помехоустойчивости
16
Коэффициент 'правдоподобия 332
Критерий идеального наблюдателя
330
— минимального среднего риска
330, 422
— минимальной взвешенной веро¬
ятности ошибки 330
— Неймана — Пирсона 330
— оптимальности 9
Линейные фильтры, обеспечиваю¬
щие максимальное отношение
сигнала к шуму 41
получение минимума
среднеквадратичной ошибки 135
Линия сигналов 1:1.7
Ложная тревога 85
Максимально правдоподобная
оценка 391
/n-альтернативное обнаружение
327
Марковское свойство 394
Математическое ожидание 24
Метод безусловного максимально¬
го правдоподобия 398
— максимального правдоподобия
389
— максимальной плотности обрат¬
ной вероятности 397
— медленно меняющихся ампли¬
туд 48
— моментов 389
— обратной вероятности 154
485
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод приведения «небелого» шу¬
ма к «белому» 61
— равномерного распределения
428
— условного риска 428
Минимаксное правило решения
429
Минимаксный критерий оптималь¬
ности 428
Многомерное распределение 23
Модулирующие помехи 22
Модуляция амплитудная 22
— в'ремя-импульсная 124
— фазовая 109
— частотная 107
Наивероятнейшее значение сооб¬
щения 72
Наименее благоприятное априор¬
ное распределение 430
Неаддитивные помехи 22
Небелый шум 24
Независимые флуктуации 256
Некогерентная пачка импульсов
23'1
Некоррелированная область 406
я-мерная геометрия ИЗ
/2-мерное пространство 113
Неоднозначность измерений 407
Неопределенность 420
Непрерывная выборка 325
Несмещенная оценка 384
Нестационарный процесс 23
Нормальный белый шум 25
Нормированная функция корреля¬
ции 33
Нормированное сообщение 115
Нулевое сообщение 18
Область высокой корреляции 406
— малой корреляции 410
— неопределенности 408
Обобщенные критерии оптималь¬
ности 414
Обобщенный оптимальный при¬
емник 133
Общая теория связи И, 12
Объем выборки 322
Одновременная функция правдо¬
подобия 392
Одноимпульсный сигнал 241
Одномерный закон распределения
шума 32
— сигнал 445
— шум 445
Ожидаемое значение интенсивно¬
сти 358
Оперативная характеристическая
функция 360
Оптимальная детекторная харак¬
теристика 249
— система обнаружения и распо¬
знавания 210
Оптимальное последовательное об¬
наружение 354
Оптимальный линейный фильтр 14
— метод приема 9
— обнаружитель 11
— приемник М
Ортогональная функция времени
25
Ортогональный сигнал 93
Отношение правдоподобия 332
Оценка 382
— асимптотически нормальная
384
—1 —■ эффективная 384
— достаточная 383
— интервала 379
— несмещенная 384
— параметра 379
распределения 324
— регулярная 383
— совместно эффективная 387
— состоятельная 384
— эффективная 383
Ошибка аномальная 119
— динамическая 132
— нормальная Ы9
Параметры распределения 323
Пассивная пауза 91
Пачка, известная точно 232
Передаточная фуцкция 36
Пе(реход за границы 354
Полная вероятность ошибки 81
правильного воспроизведе¬
ния 81
Помехи 2|2
Порог квантования 374
Пороговый сигнал 340
Последовательное бинарное обна¬
ружение 349
Последовательное наблюдение 349
Последовательный анализ 349
квантованных выборок 374
— обнаружитель 377
Потеря 414
Правило решения 72, 417
486
Правило /решения нерандомизиро¬
ванное 417
рандомизированное 417
Предсказание 417, 43>3
Прием 10
— дискретных сообщений <18
— оптимальный метод 9
— отдельных значений непрерыв¬
ных сообщений 18
Приемник 10
— оптимальный И
— реальный 11
Принцип максимальной обратной
вероятности 72
Проверка -статических гипотез 323
Проигрыш энергии за счет некоге¬
рентности импульсов i253
суммирования им¬
пульсов пакета 254
Пропуск сигнала 85
Простое бинарное обнаружение
154
— воспроизведение 419, 433
Процесс нестационарный 23
— оценки 882
— стационарный случайный 23
Прямая система модуляции 124
Прямоугольная частотная харак¬
теристика 57
Рабочие характеристики 334
Радиоприем 10
Радиоприемник 10
Разложение Котельникова 25
Разрешающая способность 407
Распределение апостериорное 71
— обратных вероятностей 71
Рассеяние оценок 387
Реализация 71
Реальные приемники И, 126
Регулярная оценка 383
Регулярные правила решения 418
Результат оценки 382
Решение 414
Риск 414, 421
Самонастраивающиеся системы
476
Свойство ортогональности 26
— трансляции 436
— эргодичности 23
Сглаживание 433
Сигналы, известные точно 17, 21
—> имеющие паразитные неизве¬
стные параметры 17
— ,с неизвестными параметрами 21
Сигнальная функция 400
Синтез оптимальных оисгем 477
Система модуляции интегральная
124
прямая 124
Скорректированная формула Кап¬
лана 252
Сложное бинарное обнаружение
154
Случайная функция времени 23
Смещение оценки 380
Согласованный фильтр 44
Сообщение нулевое 18
Способ оценки 382
Средний квадрат напряжения шу¬
ма 32
— риск 421
Средняя потеря «(средний убыток)
4(21
Статическая гипотеза 323
Статическое правило решения 418
— усреднение 24
Стационарный гауссов шум 16
— случайный процесс 23
Телеграфная связь с фазовой ма¬
нипуляцией 92
частотной манипуляцией
92
Теория игр 414
— Котельникова 16
— оптимальных методов приема
12
— статических решений 414
Точечная оценка 379
Убыток 414
Удельная мощность шума 32
Уравнение максимального прав¬
доподобия 390
— правдоподобия 390
Усеченный последовательный ана¬
лиз 373
Условия нормировки 73
Условная вероятность 73
Условный риск 427, 453
Усреднение по времени 24
Фазовая модуляция 109
Фазовый обнаружитель 186
Фильтр гребенчатый 54
— оптимальный линейный 14
— согласованный 44
— физичесюи реализуемый 36
Функция взаимной корреляции ко¬
лебаний 35
— времени ортогональная 25
487
Функция Бремени случайная 23
— импульсная переходная 35
— корреляции 400
нормированная 33
— корреляционная 38
— оперативная характеристиче¬
ская 360
— передаточная 36
— потерь квадратичная 419
(убытков) 419
— правдоподобия 74
Характеристика обнаружения 340
Частотная модуляция 107
— характеристика оптимального
фильтра 44
Шум 24, 25
Шу-моподобные сигналы 410, 411
Экстраполяция 433
Эллипс рассеяния 1386
Энергетический спектр 33
Энергетическое отношение сигна¬
ла к шуму q 335
Энергия сигнала 75
Эффективная оценка 383
ОПЕЧАТКИ
Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
24
ф-ла (1-Юг)
/(0=7
т=Т
106
8 и 12 снизу
д~г
114
ф-ла (6-416)
VWjhW-
VWjhM-
139
7 сверху
4p(bf)
ip(f)
171
3 сверху
fUmtPman \
•\ Г
Ч )’
359
11 сверху
ожидаемой величине,
т. е.
ожидаемой величине,
т. е. 0Г
384
ф-ла (16-11)
$1=0
о
II
|%в
399
15 снизу
ДО 2п, а;
до 2я, а
Л/ С. Г у т к и н—Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуа
ционных помехах