Курс физики - Грабовский Р.И.

Author: Грабовский Р.И.

Tags: физика

Year: 1974

Similar

Теоретический минимум. Всё, что нужно знать о современной физике

Теоретический минимум. Всё, что нужно знать о современной физике.

Курс физики

Text

Р. И. ГРАБОВСКИЙ
КУРС ФИЗИКИ
Четвертое издание
(переработанное)
Допущено Министерством высшего и сред-
среднего специального образования СССР в
качестве учебного пособия для студентов
сельскохозяйственных высших учебных за-
заведений
Москва «Высшая школа» 1974

530
Г75
УДК 53@75)
Рецензент: кафедра физики Волгоградского сельскохозяйственного
института
Грабовский Р.И.
Г75 Курс физики. Учеб. пособие для с/х ин-тов. Изд. 4-е,
перераб. и доп. Мм «Высш. школа», 1974.
552 с. с ил.
Учебник составлен в соответствии с программой по физике для сельскохозяй-
сельскохозяйственных институтов. В нем приводится достаточное количество примеров, связан-
связанных с агробиологическими науками и сельскохозяйственным производством.
Настоящее издание C-е вышло в 1970 г.) отличается от предыдущих некоторыми
(небольшими по объему) дополнениями и изменениями, способствующими улучше-
улучшению содержания.
Предназначается для студентов неинженерных факультетов сельскохозяйствен-
сельскохозяйственных вузов. Многие разделы учебника могут быть использованы и студентами инже-
инженерных факультетов.
20401—141
Г 001@1)—74 63~74 53°
Издательство «Высшая школа», 1974 г.

Предисловие
В данном учебном пособии, предназначенном для студентов аг-
агрономических, лесотехнических, зоотехнических, ветеринарных и
экономических факультетов сельскохозяйственных институтов, изло-
женытеоретические основы общей физики, предусмотренные програм-
программой. Оно может быть использовано также студентами других инсти-
институтов, где физика изучается по сокращенной программе в сравнении
с программой втузов.
На упомянутых факультетах курс физики проходят за короткий
срок (один учебный год) при небольшом количестве учебных часов
(около 80 лекционных и 80 лабораторно-практических часов). Мате-
Математическая подготовка студентов определяется очень кратким кур-
курсом высшей математики, заканчивающимся в первом семестре.
В связи с этим предлагаемый «Курс физики» написан в небольшом
объеме'(однотомник) при минимальном использовании аппарата выс-
высшей математики, не выходящего за пределы табличных формул про-
простейших производных и интегралов. Выводы многих физических за-
закономерностей даются в упрощенном виде; в ряде случаев эти выводы
носят характер качественно-теоретических обоснований.
Кроме того, пришлось в основном отказаться от исторических
обзоров, описания физической аппаратуры и методов измерения, а
также от систематического изложения материала, входящего в курс
физики средней школы. Повторение отдельных вопросов школьного
курса имеет место лишь в той мере, в какой это необходимо для связ-
связности изложения.
Чтобы облегчить чтение книги студентам-заочникам, во «Введении»
(см. § 3) даются необходимые сведения о некоторых математических
понятиях и символах, применяемых в пособии, но не встречавшихся
в школьных курсах математики и физики. С этой же целью книга снаб-
снабжена значительным количеством рисунков и подробным предметным
указателем.
Многие примеры, приводимые для иллюстрации рассматриваемых
физических процессов и явлений, взяты из областей, связанных с
агробиологическими науками и сельскохозяйственным производством.
3

Это относится и к примерам решения задач, которые введены в оконча-
окончания завершенных разделов книги.
В книге применяется только одна система единиц измерения
физических величин — Международная система единиц (СИ) — с ее
кратными и дольными единицами; наряду с ними используется лишь
небольшое количество наиболее употребительных внесистемных еди-
единиц (минута, час, литр, градус Цельсия, электронвольт.) Система
СГС исключена из основного текста и представлена только в прило-
приложениях I и И. Все формулы части III («Электричество и магнетизм»)
даны в рационализованном виде; нерационализованный вид этих фор-
формул представлен только в приложении III.
Материал книги согласован с действующей программой по фи-
физике для сельскохозяйственных вузов; избыточный (сверхпрограммный)
материал выделен петитом. Настоящее издание пособия отличается
от третьего его издания сравнительно небольшими по объему допол-
дополнениями и уточнениями.
Р. Гравоаский

Введение
§ 1. Предмет физики. Связь физики с другими науками
и производством
Мир, окружающий нас, материален: он состоит из вечно суще-
существующей и непрерывно движущейся материи. Материей в широком
смысле слова называется все, что реально существует в природе (Все-
(Вселенной) и может быть обнаружено человеком посредством органов
чувств или с помошью специальных приборов. «Материя есть фило-
философская категория для обозначения объективной реальности, кото-
которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фотографи-
фотографируется, отображается нашими ощущениями, существуя независимо
от них»*. Конкретные виды материи многообразны. К ним относятся
элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и др.), совокуп-
совокупности небольшого числа этих частиц (атомы, молекулы, ионы), физичес-
физические тела (совокупности множества элементарных частиц) и физичес-
физические поля (гравитационные, электромагнитные и др.), посредством ко-
которых взаимодействуют различные материальные частицы.
Неотъемлемым свойством материи является движение, под кото-
которым следует понимать все изменения и превращения материи, все
процессы, протекающие в природе. «Движение, рассматриваемое в
самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи,
как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собою все про-
происходящие во Вселенной изменения и процессы, начиная от простого
перемещения и кончая мышлением»**.
Разнообразные формы движения материи исследуются различными
науками, в том числе и физикой***. Физика изучает наиболее простую
и вместе с тем наиболее общую форму движения материи: механи-
механические, атомно-молекулярные, гравитационные, электромагнитные,
внутриатомные и внутриядерные процессы. Эти разновидности фи-
* В. И. Л е н и н. Соч., 5-е изд., т. 18, стр. 131.
** Ф. Энгельс. Диалектика природы, 1955, стр. 44.
*** Слово «физика» имеет греческое происхождение: ср^аю(физис) — природа.
Так было названо большое сочинение древнегреческого ученого Аристотеля,
написанное в III в до н. э. и содержащее все имевшиеся к тому времени сведе-
сведения о природе (сведения по геометрии, астрономии, земледелию, медицине, бо-
ботанике и т. д.). Таким образом, первоначально физика включала в себя все есте-
естественные науки. Со временем эти науки выделились из физики

зической формы движения являются наиболее общими потому, что
они содержатся во всех более сложных формах движения материи,
изучаемых другими науками. Например, процессы жизнедеятельно-
жизнедеятельности организмов, изучаемые биологией, всегда сопровождаются ме-
механическими, электрическими, внутриатомными и другими физически-
физическими процессами (но, конечно, не сводятся к этим процессам). Таким
образом, можно сказать, что предмет исследования физики состав-
составляют общие закономерности явлений природы.
Этим, однако, не исчерпывается связь физики с другими науками.
Физика позволяет создавать приборы и вырабатывать методы иссле-
исследования, необходимые для успешного развития всех естественных и
прикладных наук. Трудно переоценить значение, которое имели, на-
например, микроскоп в развитии биологии, телескоп — в астрономии,
спектральный анализ — в химии, рентгеновский анализ — в меди-
медицине и т. п. Все естественные и прикладные науки широко и плодо-
плодотворно применяют теперь метод меченых атомов, электронную аппа-
аппаратуру и другие физические приборы и методы исследования. Почти
все эти науки имеют сейчас специальные физические разделы: астро-
астрофизика — в астрономии, физическая химия — в химии, биофизика —
в биологии, агрофизика — в агрономии, электрофизика — в электро-
электротехнике; металлофизика — в металловедении и т. д. Можно поэтому
утверждать, что физика является фундаментом, на котором строятся
все естественные и прикладные науки.
Следует подчеркнуть, что связь физики с другими науками вза-
взаимна: развиваясь с помощью физики, эти науки обогащают физику
своими достижениями и ставят перед нею новые задачи, разрешая
которые физика развивается и совершенствуется сама.
По предмету и методу своих исследований физика тесно связана с
философией и способствует формированию материалистического миро-
мировоззрения; методом физических исследований является материалис-
материалистическая диалектика. Этот метод исходит из признания материи
единственной основой мира, рассматривая сознание как свойство
высокоорганизованной материи — человеческого мозга — отражать
объективный мир. Метод материалистической диалектики рассматрива-
рассматривает все явления окружающего нас мира (в том числе и физические
явления) в их взаимосвязи и взаимодействии, в их развитии и изме-
изменении путем перехода количества в качество, обусловленном борьбой
внутренних противоречий (противоположностей), заложенных в этих
явлениях.
Всякое физическое исследование начинается с наблюдения, т. е.
с изучения физических явлений в естественной, природной, об-
обстановке. Затем на основании размышлений и логических обобщений
высказывается рабочая гипотеза — научное предположение, объясня-
объясняющее эти явления. Гипотеза проверяется экспериментом, т. е. изуче-
изучением явлений путем их воспроизведения в искусственных, лаборатор-
лабораторных условиях. Гипотеза, подтвержденная экспериментом, становится
научной теорией, которая в дальнейшем подвергается неоднократной
проверке практикой, вносящей в теорию необходимые дополнения и
уточнения.
6

Сущность описанного метода исследований может быть выражена
кратко следующими словами В. И. Ленина: «От живого созерцания
к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалекти-
диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»*.
Физика оказывает весьма большое влияние на развитие производ-
производства как через соответствующие естественные науки, так и непосред-
непосредственно. Достаточно напомнить, что физика дала производству электро-
электроэнергию, все виды транспорта, радиосвязь, телевидение, ядерную
энергетику и т. д.
Учитывая назначение данного курса, уместно несколько подробнее
отметить роль физики в сельскохозяйственном производстве. Еще в
1788 г. один из основателей отечественной агрономии И. М. Комов
писал в книге «О земледелии»: «Земледелие же и с высокими науками
тесный союз имеет, каковы суть история естественная, наука лечебная,
химия, механика и почти вся физика и само оно не что есть иное, как
часть физики опытной, только всех полезнейшая»**. В течение мно-
многих лет большим энтузиастом в деле внедрения физики в сельское
хозяйство был один из крупнейших советских физиков — акад.
А. Ф. Иоффе.
Не останавливаясь на таких общеизвестных вопросах, как меха-
механизация и электрификация сельскохозяйственного производства и
внедрение во все его отрасли современной контрольно-измерительной
аппаратуры, укажем на некоторые специфические направления твор-
творческого содружества физики с сельским хозяйством.
Процессы жизнедеятельности сельскохозяйственных растений в
значительной мере определяются физическими условиями среды, в
которой развивается растение: световым, тепловым, водным и воз-
воздушным режимами. Задача физики состоит в изучении этих условий
и установлении наиболее благоприятных режимов для роста сельско-
сельскохозяйственных культур***. Не менее важным является решение ана-
аналогичной задачи применительно к сельскохозяйственным животным.
Для повышения урожайности сельскохозяйственных культур и
продуктивности животноводства большое значение имеет изучение
проблемы фотосинтеза и исследование методом меченых атомов про-
процессов питания растений и животных.
Для изменения наследственности сельскохозяйственных животных
и растений и стимулирования их роста весьма перспективными явля-
являются исследования по воздействию на живые организмы таких физи-
физических факторов, как ультразвуковые колебания, различного рода
радиоактивные излучения, электромагнитные волны и т. п.
Актуальной агрофизической проблемой является разработка фи-
физических приемов улучшения структуры почвы (закрепление песков
* В. И. Л е н и н. Соч., 5-е изд., т. 29, стр. 152—153.
** Курсив наш.
*** Отметим в этой связи, что на территории Главного ботанического сада
АН СССР создан первый советский фитотрон (станция искусственного клима-
климата), имеющий весьма большое значение для изучения устойчивости растений
к морозам, засухе, суховеям, засоленности почв и т .п. Теперь в нашей стране
функционирует уже большое количество фитотронов. Наиболее крупные из
них построены в Одессе и Новосибирске.

и т. п.) и прогрессивных методов обработки земли (скоростная вспаш-
вспашка, применение виброплугов и т. д.).
При изложении настоящего курса роль физики в сельскохозяйствен-
сельскохозяйственном производстве будет по мере возможности подчеркиваться. Однако
уже из приведенного, далеко не полного перечня агрофизических
проблем и задач очевидно, что современный агроном или зоотехник
должен хорошо знать основы физики и уметь творчески применять
физические закономерности в своей практической деятельности.
§ 2. О единицах измерения и размерности
физических величин
Большинство физических законов представляется в виде формул,
связывающих численные значения различных физических величин.
Для получения этих значений необходимо измерять физические ве-
величины. Измерение физической величины сводится к сравнению ее
с однородной физической величиной, принятой за единицу. Для каж-
каждой физической величины единицу измерения можно выбирать совер-
совершенно произвольно, независимо от других величин. Однако на прак-
практике в целях удобства поступают иначе. Произвольно выбирают
единицы измерения только для нескольких (семи) физических вели-
величин. Эти величины и их единицы измерения называют основными. Еди-
Единицы измерения всех остальных физических величин устанавливают
на основании законов (формул), связывающих эти величины с основ-
основными. Такие величины и их единицы измерения называют производ-
производными.
Совокупность всех основных и производных единиц измерения
физических величин называется системой единиц.
В СССР утверждена Международная система единиц — СИ (сис-
(система интернациональная). Основными физическими величинами СИ
является длина, масса, время, термодинамическая температура Кель-
Кельвина, сила электрического тока, сила света и количество вещества.
За основные единицы приняты соответственно следующие семь: метр
(м), килограмм (кг), секунда (с), кельвин (К), ампер (А), кандела (кд)
и моль (моль)*.
Производные единицы устанавливаются указанным ранее способом.
Например, на основании известной формулы равномерного прямо-
прямолинейного движения
-7-
где s — путь, t — время, единица скорости оказывается равной 1м/с.
Ранее наряду с СИ применялась физическая система (СГС), основ-
основными единицами которой являются сантиметр (см), грамм (г) и
секунда (с).
Более подробно единицы измерения будут рассматриваться на про-
протяжении всего курса при ознакомлении с соответствующими физи-
' * Отметим, что применявшаяся ранее система МКС (практическая) явля-
является частью СИ.
8

ческими величинами. Кроме того, в приложении II дана сводная табли-
таблица единиц измерения физических величин, приведены точные опреде-
определения основных единиц Международной системы и даны необходимые
к ним разъяснения.
Единицы измерения любой производной физической величины мож-
можно выразить через основные единицы (пользуясь формулами, связы-
связывающими производную величину с основными). Иначе говоря, любую
физическую величину можно выразить в основных единицах измерения.
Выражение физической величины в основных единицах измерения
называется размерностью физической величины*. Поясним это на при-
примере работы А.
Единицей измерения работы является джоуль. Для определения
размерности работы выразим работу через основные физические
величины — путь s, массу т и время /:
А = Fs = mas = m — s = т —,
/ t2
где F — сила, а — ускорение. Подставив теперь в правую часть полу-
полученного равенства вместо основных физических величин их единицы
измерения в СИ, получим размерность работы в этой системе: кг • м2/с2.
Результат определения размерности физической величины принято
записывать условным равенством, в котором эта величина заключа-
заключается в квадратные скобки. Применительно к нашему примеру это ра-
равенство записывается так:
[А] = кг • м2. с.
Размерности обеих частей физических равенств должны быть оди-
одинаковыми. Это положение позволяет проверять правильность любых
физических формул, в частности формул, получаемых при решении
задач. »Проверим, например, формулу пути s равномерно ускоренного
движения:
где v0 — начальная скорость, а — ускорение;
м [at2 1 м
_ ' = М.
С2
Кроме того, размерность помогает глубже уяснять физический
смысл формул. Рассмотрим в этом плане, например, закон Бойля—
Мариотта:
pV = const,
* Строго говоря, размерностью физической величины называются пока-
показатели степени в символическом уравнении, выражающем эту величину через
основные физические величины. Например, размерность работы
где М — символ массы, L — символ длины, Т — символ времени.
Однако теперь, в связи с переходом к единой (и единственной) системе еди-
единиц измерения физических величин СИ, вполне допустимо и в известной мере
даже целесообразно вместо символов основных физических «еличин пользоваться
обозначениями основных единиц измерения.
9

где р — давление, V — объем данной массы газа при постоянной тем-
температуре. Определим размерность левой части этого уравнения:
= IL . мз в н . м = Дж.
Это есть размерность энергии (или работы). Следовательно, более
глубокий физический смысл закона Бойля—Мариотта состоит в том,
что при изотермическом процессе энергия {внутренняя) газа остается
неизменной.
Таким образом, размерность играет немаловажную роль при ана-
анализе физических закономерностей*.
§ 3. О некоторых математических понятиях
и символах
С самого начала и на протяжении всего курса мы будем широко
пользоваться некоторыми математическими символами и понятиями,
не встречавшимися (или редко применявшимися) в школьном курсе
физики. Дадим необходимые в этой связи пояснения.
1.0 знаках малости, неравенства и при-
приближенного равенства
Для обозначения малых величин (или малых изменений вели-
величин) принято ставить перед этими величинами знак А (буква гречес-
греческого алфавита «дельта»)*. Например, Am — малая масса, Д^ —малый
промежуток времени и т. д.
Помимо общеизвестных знаков неравенства > и < употребля-
употребляются знаки Ф (не равно), > (гораздо больше) и < (гораздо меньше).
Для обозначения приближенного равенства применяется знак^.
Например, радиус Земли R « 6400 км.
2. О натуральных логарифмах
Наряду с десятичными логарифмами (log) применяются натураль-
натуральные логарифмы (In), основанием которых служит иррациональное чис-
число е ^^ 2,71828. Переход от десятичного логарифма к натуральному
совершается по формуле lruV « 2,31ogN.
3. Об абсолютном значении и порядке ве-
величины
Абсолютным значением величины называется ее значение, взятое
с положительным знаком; условно обозначается посредством заклю-
заключения величины в прямые скобки. Если, например, ускорение а =
= — 4 см/с2, то абсолютное значение ускорения \а\ = 4 см/с2.
Порядком величины называется ближайшее к ее значению число,
которое может быть выражено в виде Юп . Например, ускорение силы
тяжести g = 981 см/с2 имеет порядок 103 см/с2, длина световой вол-
волны X = 0,000045 см имеет порядок 10 см и т. п.
* Посредством размерностей можно даже выводить некоторые физические
формулы с точностью до безразмерного коэффициента (теория размерностей).

4. О кратных и дольных единицах измере-
измерения
Наряду с основными ( и производными) единицами измерения фи-
физических'величин применяются кратные и дольные единицы, образую-
образующиеся путем умножения первых на 10" . При этом к названиям исход-
исходных единиц добавляются следующие приставки:
Кратные единицы
наименование
приставки
Тера
Гига
Мега
Кило
Гекто
Дека
мно-
множитель
1012
109
10«
103
102
101
обозначение
Т
Г
м
к
г
да
Дольные единицы
наименование
приставки
Деци
Санти
Милли
Микро
Нано
Пико
мно-
множитель
ю-1
Ю-2
ю-3
ю-6
ю-9
ю-12
обозначение
Д
м
мк
н
п
Примеры образования кратных и дольных единиц: 1 миллиметр =
= 10~3 метра, 1 пикофарада = 10~12 фарады, 1 мегаом = 106 ом.
5. О символической записи суммы
Сумму большого числа однородных величин
принято записывать сокращенно с помощью знака 2 (буква гречес-
греческого алфавита «сигма») следующим образом:
или
i=\
Стоящие при знаке суммы числа 1 и п (пределы суммирования) пока-
показывают, что надо складывать все величины at подряд, начиная с аг
и кончая ап.
6. О способах усреднения величин
Существует ряд способов вычисления среднего значения величины
по нескольким (п) отдельным ее значениям хи х% х3, ..., хп. Мы будем
пользоваться следующими тремя из них:
а) средним арифметическим значением х величины называется
сумма отдельных значений величины, деленная на их число:
X =
— —— 2* хи
б) средним геометрическим значением х величины называется ко-
корень п-й степени из произведения п отдельных ее значений:
X ~—
... хп
11

в) средним квадратичным значением х* величины называется квад-
квадратный корень из суммы квадратов отдельных значений величины,
деленной на их число:
Результаты усреднения, полученные этими способами, обычно
мало отличаются друг от друга (но все же х*>х>х ).
7. Линейные операции над векторами
Все физические величины подразделяются на две группы:
на скалярные величины (скаляры) я векторные величины (век-
(векторы).
Скалярная величина полностью определяется численным
значением. Скалярами являются, например, время, площадь,
масса, работа. Действия над скалярами производятся по
правилам алгебры и дифференциального и интегрального
исчислений.
Векторная величина полностью определяется численным
Рис. 1 значением и направлением. Векторами являются, например,
скорость, ускорение, сила. В отличие от скаляров векторы
обозначаются полужирными буквами или буквами со стрел-
стрелкой сверху*. Например, v —вектор скорости, F — вектор силы и
т. п. Графически вектор изображают отрезком со стрелкой на кон-
конце. Длина отрезка соответствует (в произвольном масштабе) числен-
численному значению вектора; стрелка указывает направление вектора.
На рис. 1 изображен вектор силы тяжести Р, численное значение
которого равно 4 Н (ньютон).
Векторы, имеющие одинаковые численные значения и направле-
направления, равны между собой. Отсюда следует, что при параллельном пере-
переносе вектор не изменяется.
Два численно равных, но противоположно направленных вектора
А и В называются противоположными векторами. Для них имеет
место равенство
А = — В или В = — А.
Действия над векторами производятся по правилам векторного
исчисления. Познакомимся с некоторыми из них.
а) Сложение векторов. Сложение векторов производится по пра-
правилу параллелограмма. Чтобы сложить два вектора А и В (рис. 2, а),
необходимо путем параллельного переноса совместить их начала и
построить на векторах параллелограмм (рис. 2, б). Вектор С , явля-
являющийся диагональю параллелограмма, представляет собой искомую
сумму:
А + В - С.
* В тексте векторные величины будут обозначаться полужирными буква-
буквами, на рисунках — буквами со стрелкой сверху.
12

Из рис. 2, б следует, что данные векторы можно сложить и дру-
другим способом, совмещая начало второго вектора с концом первого.
Вектор С, соединяющий начало первого вектора с концом второго,
также представляет искомую сумму (рис. 2, в). Этот способ, называе-
Рис. 2
мый правилом треугольника, особенно удобен при сложении не-
нескольких векторов, например четырех: А, В, С и D (рис. 3, а). В этом
случае начало второго вектора совмещают с концом первого, начало
третьего — с концом второго и т. д. (рис. 3,6). Вектор Е, соединяю-
соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой
данных векторов:
A+B + C + D-E.
Рис. 3
Он не зависит от последовательности, в которой производилось сло-
сложение векторов, в чем легко убедиться путем соответствующих пост-
построений.
б) Вычитание векторов. Вычитание вектора В из вектора А можно
заменить сложением А с вектором (— В), противоположным В
(рис. 4, а):
А - В = А + (— В) = С.
Рис. 4

Тогда, применяя правило треугольника, получим вектор разности
С (рис. 4, б).
в) Умножение и деление вектора на скаляр. При умножении век-
вектора А на скаляр п получается вектор, совпадающий по направлению
с А и равный по величине пА. Скаляр п может иметь любые значения
(целые и дробные, положительные и отрицательные). Поэтому дан-
данное правило умножения является вместе с тем и правилом деления
вектора на скаляр. Примером умножения вектора на скаляр может
служить определение перемещения s по скорости v и времени t (при
равномерном прямолинейном движении):
v/ = s.
Примером деления вектора на скаляр является определение уско-
ускорения а по силе F, действующей на тело, и массе т тела:
F _
т
8. О градиенте физической величины
<fin<w<w0<<p<w Если некоторая физи-
г° г/ \* \5 у ческая величина имеет в
каждой точке пространст-
пространства определенное (иное, чем
ь . . *~Х в других точках) значе-
] г \ ' ние, то говорят, что эта
1 ' величина распределена в
пространстве. Пространст-
ис* венно распределенным яв-
является, например, атмо-
атмосферное давление: в различных точках атмосферы его значения раз-
различны.
Если пространственно распределенная физическая величина ф воз-
возрастает в некотором направлении ОХ, то «пространственную быстро-
быстроту» ее возрастания удобно характеризовать отношением изменения
величины Аф к расстоянию Ах, на котором это изменение происходит
(рис. 5). Ось ОХ располагают в направлении максимального возрас-
возрастания величины ф;. расстояние Ад; следует брать возможно меньшим.
Отношение
А* *2 — Xi
называется градиентом* физической величины ф и обозначается так:
grad ф = -^2-.
Таким образом, градиентом физической величины называется ее
изменение, приходящееся на единицу расстояния в направлении на-
наибольшего возрастания. Следовательно, градиент есть вектор, напра-
направленный в сторону наибольшего возрастания физической величины.
* От латинского слова gradiens — шагающий, ступающий.
14

Понятие градиента применимо к любой физической величине (ско-
(скорости, плотности, температуре, давлению и т. д.), если только она
имеет пространственное распределение. Размерность градиента рав-
равна размерности физической величины, деленной на размерность длины.
Например, размерность градиента скорости
[grad v] =
с • м
размерность градиента температуры
[gradT) = К-м-1.
Известно, что средний градиент температуры земной коры (геотер-
(геотермический градиент) направлен к центру Земли и составляет около
Рис. 6
0,03 К/м. Это означает, что температура земной коры возрастает
в среднем на 3° С на каждые 100 м глубины.
9. О кривизне и радиусе кривизны кривой
На различных участках кривой линии ее кривизна может быть
различной. Для оценки кривизны линий введены понятия кривизны
и радиуса кривизны.
Малые участки As4 и As2 кривой линии аЬ всегда можно совместить
с некоторой окружностью (рис. 6). Радиусы Rt и i?2 этих окружностей
называются радиусами кривизны кривой линии на данных участках.
Если вообще участок кривой бесконечно мал (As->0), то можно го-
говорить о радиусе кривизны R кривой в данной точке.
Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной
кривой линии:
Отметим, что у прямой линии R = <х>, а К = 0.

1. Физические основы механики
Глава I. Движение материальной точки
(основы кинематики)
§ 4. Общий случай криволинейного движения материальной
точки; основные характеристики движения
Простейшим видом движения материи является механическое дви-
движение, представляющее собой перемещение в пространстве тел или
их частей относительно друг друга.
Различают три вида механического движения тел — поступатель-
поступательное, вращательное и колебательное. При поступательном движении
твердого тела все его точки описывают совершенно одинаковые (при
наложении совпадающие) линии и имеют одинаковую скорость и
одинаковое ускорение (в данный момент времени). Определение вра-
вращательного движения тела дано в § 21, колебательного в § 27.
Если форма и размеры тела не оказывают существенного влияния
на характер его движения, то такое тело можно рассматривать как
материальную точку. Материальной точкой называется тело, фор-
формой и размерами которого можно пренебречь в данной задаче. Послед-
Последняя оговорка весьма существенна: при рассмотрении одного движения
тела можно считать его материальной точкой, тогда как при рассмо-
рассмотрении другого движения того же самого тела это может оказаться не-
недопустимым» Например, изучая движение Земли вокруг Солнца, мож-
можно и Землю и Солнце считать материальными точками. Изучая же
движение Земли вокруг своей оси, нельзя принимать Землю за ма-
материальную точку, так как на характер вращательного движения Зем-
Земли существенно влияют ее форма и размеры.
Перемещение тела можно рассматривать только относительно
какого-либо другого тела или группы тел. Поэтому при изучении
движения материальной точки необходимо прежде всего выбрать сис-
систему отсчета, т. е. систему координат, связанную с телом, относи-
относительно которого рассматривается движение материальной точки.
Такой системой отсчета может служить, например, прямоугольная сис-
система координат XYZ, связанная с какой-нибудь точкой О земной по-
поверхности (рис. 7). Тогда положение материальной точки А в любой
момент времени определится координатами хуг. К вопросу о системах
отсчета мы еще вернемся в § 14.
Линия, описываемая движущейся материальной точкой, называет-
называется траекторией. Отрезок траектории ВС, пройденный точкой за не-
некоторый промежуток времени, представляет путь, пройденный точкой
16

за этот промежуток времени (рис. 7). Движение называется прямо-
прямолинейным, если траектория — прямая линия, и криволинейным, если
траектория — кривая линия.
Пусть материальная точка, двигаясь по криволинейной траекто-
траектории, прошла за малый промежуток времени At малый путь As (рис. 8).
Проведем касательную АС ктра-
ектории в точке А и хорду А В.
Отношение пути, пройденного
материальной точкой, к проме-
промежутку времени, за который этот
путь пройден, называется сред-
средней скоростью движения vc?:
As
Рис. 7
В общем случае криволинейного
(и прямолинейного) движения
величина средней скорости мо-
может быть различной на разных
участках траектории и зависеть
от величины рассматриваемого
пути As, или, что то же, от ве-
величины промежутка времени
At. Будем бесконечно уменьшать
промежуток времени, т. е. по-
положим Д/->0. Тогда точка В бу-
будет стремиться к точке А, хорда
А В — к дуге As и обе они в пре-
пределе совпадут с касательной АС.
Таким образом, криволинейное
движение по малой дуге As пе-
перейдет в прямолинейное движе-
движение по бесконечно малому от-
отрезку касательной к траектории
вблизи точки А, а средняя скорость на малом пути As перейдет в
мгновенную, или истинную, скорость v в точке Л. Поэтому величина
мгновенной скорости
Рис. 8
V =
,. As
= lim —•
д*->о At
B)
Как видно из рис. 8, мгновенная скорость направлена по каса-
касательной к траектории.
Итак, мгновенная скорость движения в любой точке траектории
есть вектор, направленный по касательной к траектории, а по ве-
величине равный пределу средней скорости при стремлении промежутка
времени к нулю:
v = limvcp.
Д/-И)
17

Из формул A) и B) следует, что скорость измеряется в м/с. Дви-
Движение материальной точки называется равномерным, если его скорость
не изменяется с течением времени; в противном случае движение на-
называется неравномерным. Неравномерность движения характеризу-
характеризуется физической величиной, называемой ускорением.
Пусть материальная точка переместилась за малый промежуток
времени А/ из А, где она имела скорость vb в В, где она имеет ско-
скорость v2 (рис. 9). На рисунке видно, что изменение (приращение)
скорости точки есть вектор
_*. Av, равный разности ве-
Vt кторов конечной и началь-
8 ной скоростей:
Av = v2 — vr
Отношение изменения
скорости к промежутку
времени, за который это
изменение произошло, на-
называется средним ускоре-
ускорением аср:
C)
Av
я —
dcp
Из правила деления вектора на скаляр следует, что среднее ускоре-
ускорение направлено так же, как приращение скорости, т. е. под углом
к траектории в сторону ее вогнутости (см. рис. 9).
В общем случае величина среднего ускорения может быть раз-
различной на различных участках траектории и зависеть от величины
промежутка времени, по которому проводится усреднение. Будем
уменьшать промежуток времени. В пределе при At ->• 0 точка В
будет стремиться к точке А и среднее ускорение на пути А В пре-
превратится в мгновенное, или истинное, ускорение а в точке А. Поэтому
а = limar« = lim
ср
Av
А/
D)
Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории
есть вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее
вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при
стремлении промежутка времени к нулю.
Из формул C) и D) следует, что ускорение измеряется в м/с2.
Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие,
одна из которых направлена по касательной к траектории и назы-
называется касательным, или тангенциальным, ускорением ак, другая —
по нормали к траектории и называется нормальным, или центро-
центростремительным*, ускорением ац (рис. 10). Ускорение и его состав-
* Будучи перпендикулярным к касательной, вектор ац направлен по ради-
радиусу кривизны траектории к центру кривизны О (рис. 10); отсюда название «
центростремительное ускорение.
18

ляющие связаны между собой очевидными соотношениями:
а = ак
ац; а =
Касательное ускорение изменяет только величину скорости, а цен-
центростремительное ускорение — только ее направление. Очевидно,
что криволинейное движение происходит всегда с ускорением, так
как в этом случае скорость обязательно будет изменяться (по край-
крайней мере по направлению).
Пользуясь понятиями вы-
высшей математики, можно заме-
заменить пределы отношений, сто-
стоящих в • формулах B) и D),
производными и написать:
V — •
dt
dv
dt
где dst dv и dt означают coot- ^^
ветственно бесконечно малые
изменения (дифференциалы) Рис. 10
перемещения, скорости и вре-
времени. Следовательно, скорость
представляет собой производную перемещения по времени, а ускорение —
производную скорости по времени.
Мы ознакомились с общим случаем неравномерного движения ма-
материальной точки по криволинейной траектории произвольной фор-
формы. В последующих параграфах рассмотрим частные случаи: прямо-
прямолинейное движение и движение по окружности.
§ 5. Прямолинейное движение материальной точки
При прямолинейном движении центростремительная составляю-
составляющая ускорения отсутствует (ац = 0), поэтому полное ускорение сов-
совпадает со своей касательной составляющей (а = ак).
Движение, происходящее с постоянным ускорением (а = const),
называется разномерно переменным (равномерно ускоренным, если
а>0, и равномерно замедленным, если а<0). В этом случае мгновен-
мгновенное ускорение будет равно среднему ускорению за любой промежуток
времени. Тогда из формулы C) получим
а - аср =
Av
М
__ v-v0
откуда
v = v0 + at,
E)
где v0 — начальная скорость движения, v — скорость в момент вре-
времени /.
19

Средняя скорость на любом отрезке пути s в этом случае равна
v°^~v . Тогда, учитывая формулу A), можно написать, что
откуда
Подставляя выражение v из формулы E), получим
t> —— -———— f, г
2
ИЛИ
s = V + f-. F)
Решая совместно уравнения E) и F) и исключая из них время ty
получим
v2 — vl = 2as. G)
Формулы E), F) и G) справедливы для любого равнопеременного
прямолинейного движения, в том числе для свободного падения тела
и для движения тела, брошенного вертикально вверх. В этих случаях,
как известно, а = g = 9,81 м/с2 (ускорение силы тяжести).
Для равномерного прямолинейного движения v = v0 = const и
а = 0. В этом случае формула F) примет вид
s = itf. (8)
§ 6. Движение материальной точки по окружности
Рассмотрим движение материальной точки по окружности с
постоянной по величине скоростью. В этом случае, называемом равно-
равномерным движением по окружности, касательная составляющая уско-
ускорения отсутствует (ак = 0) и ускорение совпадает со своей центро-
центростремительной составляющей (а = ац). Определим величину центро-
центростремительного ускорения.
Пусть за малый промежуток времени Д/ точка прошла путь As,
переместившись из Л, где она имела скорость vj, в В, где она имеет
скорость v2, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на ма-
малый угол Аф (рис. 11). Построим вектор изменения скорости Ду =
= v2 — Vi и определим его величину Av\^AOB = ^l BCD как углы
с взаимно перпендикулярными сторонами: v\ = v2 = у, так как по
величине скорость постоянна. Следовательно, АЛОВ и ABCD подобны
как равнобедренные с одинаковыми углами при вершине, поэтому
= и Аи = — АВ.
v R R
20

Тогда, согласно формуле D),
или, учитывая, что v и R постоянны и а = ац, получим
= — hm
Я д^о А/
При А^ стремящемся к нулю, хорда АВ стремится к дуге As, поэтому
Hm — = lim — = w. A_ Jf
Следовательно,
IT
(9)
Рис. 11
Рис. 11 позволяет еще раз убедиться в том,
что полученное ускорение действительно явля-
является центростремительным. В самом деле, при
A t—>0 будет и А ср —>(). При этом векторы A v и
а, имеющие одинаковое направление (см. §4),
совпадут с радиусом окружности и будут на-
направлены к ее центру О.
Наряду со скоростью v равномерное движение материальной точ-
точки по окружности можно характеризовать так называемой угловой
скоростью а), понимая под нею отношение угла Дф поворота ра-
радиуса R (т. е. отношение углового пути) к промежутку времени Д/,
за который этот поворот произошел (см. рис. 11):
А? *
A0)
Единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду
(рад/с или с). Радиан в секунду—угловая скорость равномерно
вращающегося тела, при которой за время 1 с совершается поворот
тела относительно оси на угол 1 рад. В отличие от угловой скорости со
скорость v принято называть линейной.
Умножая обе части равенства A0) на R и учитывая, что R • Дф =
= As (так как Дф измеряется в радианах), получим соотношение, свя-
связывающее линейную скорость с угловой:
0 = шД. (И)
Введем еще две характеристики движения материальной точки
по окружности: период вращения Т (время одного оборота точки по
окружности) и число оборотов в единицу времени v (частота враще-
* Для неравномерного движения вводится понятие мгновенной угловой
А<р ih
скорости о = Hm = — •
д/-*о A/ dt
21

ния). Очевидно, что Т и v — величины взаимно обратные:
7 = -±-. A2)
V
Единицей измерения периода вращения является секунда (с);
единицей измерения частоты вращения—герц (Гц). Герц— часто-
частота, при которой за время 1 с происходит один цикл периодического
процесса.
Так как за период Т радиус окружности, связанный с матери-
материальной точкой, повернется на угол 2я, то, согласно формуле A0),
«=~. A3)
Из формул A1), A2) и A3) следует, что
v = *L fl = 2ttvjR. A4)
При неравномерном движении материальной точки по окружности
вместе с линейной скоростью изменяется и угловая. Поэтому можно
ввести понятие углового ускорения (по аналогии с линейным ускоре-
ускорением а).
Средним угловым ускорением рср называется отношение изменения
угловой скорости До) к промежутку времени А/, за который это изме-
изменение произошло:
Рср = —• A5)
Мгновенным угловым ускорением р называется предел среднего
углового ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:
P = lim 4f • A6)
При R = const изменение Да> обусловлено только изменением Av.
Поэтому, согласно формуле A1),
Av = R • До>,
откуда
До) = .
R
Подставляя последнее выражение в формулу A6), получим
В = lim = — hm — = —,
д/-м> Л-A/ R д/-о А* Я
откуда
а = р/?. A7)
Угловая скорость и угловое ускорение — величины векторные. Вектор угло-
угловой скорости to направлен из центра О окружности с радиусом R, по которой
22

движется материальная точка Л, перпендикулярно плоскости этой окружности
(рис. 12) в сторону поступательного движения буравчика, рукоятка которого
вращается в направлении линейной скорости v («правило буравчика»). Очевид-
Очевидно, что вектору — <о соответствует противоположное направление движения
(вращения) материальной точки. Что касается углового ускорения g, то его на-
направление совпадает с направлением вектора изменения угловой скорости А о>.
При равнопеременном движении ма-
материальной точки по окружности jj~
(ац = const, ак = const) линейная ско-
скорость и пройденный путь определяются
по формулам E) и F), в которых в ка-
качестве ускорения надо брать его каса-
касательную составляющую. Поделив обе
части каждой из этих формул на радиус
окружности и учитывая, что, согласно
формулам A1) и A7),
R
Рис. 12
получим соответствующие выражения для угловой скорости
угла ф поворота радиуса (углового пути):
A8)
где оH— начальная угловая скорость движения материальной точки.
Задача 1.* С крыши дома высотой Н = 16 м через равные промежутки
времени падают, капли воды, причем первая ударяется о землю в тот момент,
когда пятая отделяется от крыши. Найти расстояние четвертой капли от крыши
в момент удара первой капли о землю.
Решение. Падение капель является равноускоренным движением без
начальной скорости с ускорением g = 9,81 м/с2. Поэтому, согласно форму-
формуле F),
откуда время падения первой капли t± =
Так как капли отрываются от крыши через равные промежутки времени, то
время падения четвертой капли /4 = h/4, а ее растояние от крыши
/ =
2Я
s_ Я 16 м
"" 2 ' 16 ~~ 16 ~~ 16 ~
Я
16
16 м
* При решении всех примерных задач наряду с расчетом численного зна-
значения искомой физической величины мы будем рассчитывать и ее размерность.
Настоятельно рекомендуем делать это читателям и при самостоятельном реше-
решении задач. Если рассчитанная размерность окажется не соответствующей иско-
искомой физической величине, то это означает, что общая формула составлена не-
неверно и необходимо пересмотреть ее вывод (см. § 2).
23

Задача 2. Трамвай начал двигаться равноускоренно по закругленному
участку пути и, пройдя расстояние s = 250 м, развил скорость v = 36 км/ч.
Найти касательное, центростремительное и полное ускорения трамвая через
40 с после начала движения. Радиус закругления R = 200 м.
Решение. При равноускоренном движении без начальной скорости,
согласно формуле G),
v2 = 2aKs,
где ак — касательное ускорение (изменяющее величину скорости). Тогда
v2 100 м2/с2
а«=^ = ?7^ = °-2м/с3-
Скорость, которую приобретает трамвай по истечении времени t = 40 с, сог-
согласно формуле E), есть
Vl = aKt = 0,2 м/с2 . 40 с =» 8 м/с.
Тогда, по формуле (9), центростремительное ускорение
v2 64 м2/с2
а« = Т = ^Г = 0'32м/с
и полное ускорение
2к + а1 =/@,04 + 0,10) ма/с* = 0,37 м/с2.
Задача 3. Барабан молотилки вращается с постоянной скоростью, соот-
соответствующей частоте %>о = 180 об/мин. С момента сбрасывания приводного рем-
ремня барабан тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением
Р = 3 рад/с2. Через какое время t барабан остановится? Какое число N обо-
оборотов сделает он до остановки?
Решение. Согласно формуле A8), при равнозамедленном движении
угловая скорость барабана в конце торможения со = озо — fM, где со о — началь-
начальная угловая скорость барабана. Так как по условию задачи со = 0, то coo = P t.
Но, согласно формулам A2) и A3), соо = 2tcv0. Поэтому
2тту0 2 . 3,14 . 3 об/мин
= р ~~ 3 рад/с2 ~ '
(поскольку оборот и радиан безразмерны).
Угловой путь барабана от начала торможения до остановки, согласно фор-
формуле A8), равен
Подставляя в последнюю формулу выражение t и учитывая, что ср = 2nN', по-
получим
™-—-—•
откуда
™o 3,14-9 c~2
N = -r-= o _9 =9,4 (оборота).
24

Глава II. Основные законы динамики
§ 7. Законы Ньютона. Масса и сила
В предыдущей главе мы рассматривали движение тел (материаль-
(материальных точек) вне зависимости от причин, его вызывающих. Соответст-
Соответствующий раздел механики называется кинематикой. Теперь перейдем
к разделу, называемому динамикой, в котором движение тел изуча-
изучается в связи с вызывающими его физическими причинами — силами.
Основные законы динамики были сформулированы в 80-х годах
XVII столетия Ньютоном. Они представляют собой обобщение ре-
результатов многовекового человеческого опыта. Приведем современные
формулировки трех законов Ньютона.
Первый закон Ньютона (закон инерции):
всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямо-
прямолинейного движения, пока воздействие других тел не выведет его из
этого состояния.
Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного пря-
прямолинейного движения называется инерцией*. Опыт показывает, что
при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют
свою скорость. Иными словами, одинаковые воздействия вызывают у
различных тел различные ускорения. Следовательно, величина уско-
ускорения, приобретаемого телом, зависит не только от величины воз-
воздействия, но и от некоторого собственного свойства тела. Это свойство
тела характеризуют физической величиной, называемой массой.
В этом смысле можно сказать, что масса есть мера инерции тела.
Масса является одной из основных физических величин. Подчер-
Подчеркнем, что она характеризует не только инерцию тел, но и их грави-
гравитационные** свойства (тяготение, см. § 12). Кроме того, масса харак-
характеризует «энергосодержание» тела (см. § 20).
Масса тел определяется путем сравнения с массой некоторого
произвольно выбранного эталонного тела. По международному сог-
соглашению, таким эталоном является платино-иридиевый цилиндр,
хранящийся в Париже и называемый килограммом массы (кг); эта
масса принята за единицу массы — 1 кг. Тысячная доля килограм-
килограмма называется граммом массы (г). С высокой степенью точности масса
1 см3 дистиллированной воды при 4 °С равна 1 г.
Отмеченное в законе инерции «воздействие других тел» (как при-
причина, изменяющая состояние данного тела) получило общее название
силы, действующей на данное тело. Опыт показывает, что различные
силы сообщают одному и тому же телу различные ускорения. Кроме
того, оказывается, что сила есть вектор, направленный так же, как
вектор вызванного этой силой ускорения. Обобщение приведенных
опытных фактов составляет содержание второго закона
Ньютона:
* От латинского слова inertia —бездеятельность.
** От латинского слова gravitas—тяжесть.
25

ускорение а, приобретаемое телом под действием силы F, направ-
направлено так же, как сила, а по величине пропорционально силе и обратно
пропорционально массе т тела:
Из последнего соотношения следует, что F ~ та. Вводя коэффи-
коэффициент пропорциональности k, получим
F = kma. A)
Единицы измерения силы можно выбрать так, чтобы k = 1. Для
этого примем за единицу силы такую силу, которая единичной массе-
сообщает единичное ускорение. Тогда из соотношения A) получим
1 (силы) = k • 1 (массы) • 1 (ускорения), откуда следует, что k =
= 1. Вообще, в физической формуле коэффициент пропорциональности
можно принимать равным единице, если по этой формуле устанав-
устанавливается единица измерения одной из величин, входящих в формулу.
Этим приемом мы будем очень часто пользоваться в дальнейшем,
Если же все физические величины, входящие в формулу, имеют уже
единицы измерения (установленные по другим физическим соотноше-
соотношениям), то коэффициент пропорциональности нельзя выбирать произ-
произвольно. В этом случае численное значение коэффициента определяет-
определяется опытным путем.
Итак, полагая в формуле A) k = 1, получим
F = та. B)
В таком математическом виде принято выражать второй закон Ньюто-
Ньютона (основной закон динамики поступательного движения). Подчерк-
Подчеркнем, что под F подразумевается результирующая всех сил, действую-
действующих на тело.
Если одно тело действует на второе, то в свою очередь второе тело
действует на первое. Например, груз, давящий на опору, испытывает
давление со стороны этой опоры. Соотношение между силами, при-
приложенными к взаимодействующим телам, описывается третьим
законом Ньютона (закон действия и противодействия):
два взаимодействующих тела действуют друг на' друга с силами,
равными по величине и противоположными по направлению:
F12 = - F21, C)
где F12 — сила действия первого тела на второе, F2i — сила дейст-
действия второго тела на первое.
Из формулы C) следует, что только одно взаимодействие двух тел друг с
другом не может вызвать движения обоих тел в одном и том же направлении.
Для того чтобы два взаимодействующих тела пришли в движение в одном на-
направлении, должно иметь место взаимодействие их (или одного из них) с не-
некоторым третьим телом. Например, тепловоз тянет вагоны не за счет своего
взаимодействия с вагонами, а за счет своего взаимодействия с опорой (рельса-
(рельсами), обусловленного трением (см. § 11).
На основании законов Ньютона можно уточнить формулировку по-
понятия силы: сила — физическая величина, характеризующая взаимо-
взаимодействие тел, в результате которого они приобретают ускорение.
26

Следует, однако, подчеркнуть, что действие силы проявляется не
только в ускорении движения тел. Сила вызывает также деформацию
(изменение формы) тела (см. § 10). Например, груз, висящий на про-
проволоке, растягивает ее. По величине деформации можно определить
величину силы. На этом, как известно, основано измерение силы пру-
пружинным динамометром.
Установим теперь единицу измерения силы. В соответствии с фор-
формулой B) за единицу силы следует принять силу, которая телу мас-
массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы.
Эта единица называется ньютоном (Н):
Н- кг. м/с2.
§ 8. Закон изменения количества движения (импульса)
Пользуясь математическим выражением второго закона Ньютона
B), можно определять значения движущей силы, массы и ускорения
тела для данного момента времени. Однако зачастую бывает необхо-
необходимо определять эти характеристики для любого наперед заданного
момента времени (будущего или прошедшего). Для такого рода рас-
расчетов применяется закон изменения количества движения, являющий-
являющийся одним из выражений второго закона Ньютона.
Пусть в течение некоторого промежутка времени t на тело массой
т, двигавшееся ранее со скоростью v0, подействовала постоянная си-
сила F. Она будет сообщать телу постоянное ускорение а, в связи с чем
к концу промежутка времени тело приобретет скорость v. Тогда,
согласно второму закону Ньютона, можем написать
F = та - т ^=-^,
или
Ft = mv — mv0. D)
Если на тело действует не одна, а несколько сил, то под F следует по-
понимать их результирующую. Произведение массы тела на его скорость
называется количеством движения (или импульсом) тела; произведе-
произведение движущей силы на время ее действия называется импульсом си-
силы. Эти физические величины являются векторными. Формула D)
выражает (для постоянной силы) закон изменения количества движе-
движения:
импульс постоянной силы, действующей на тело, равен изменению
количества движения тела.
Так как сила, действующая в течение малого промежутка време-
времени At, практически является постоянной, то закону изменения ко-
количества движения можно дать еще такую формулировку:
импульс силы, действующей на тело в течение малого промежутка
времени, равен изменению количества движения тела за этот проме-
промежуток времени.
Этот закон позволяет определять конечную скорость движения
тела по его начальной скорости и импульсу движущей силы.
27

Чтобы применять закон изменения количества движения к случаям
действия переменной силы, надо обобщить понятие импульса силы на
любой промежуток времени. С этой целью разобьем промежуток вре-
времени t на п столь малых промежутков: Atv АЬ, Д/3, ..., Д/п, что силу,
действующую в течение каждого из них, можно будет считать постоян-
постоянной и соответственно равной Fb F2, F3, ..., Fn. Тогда, согласно фор-
формуле D), для каждого из этих промежутков времени напишем:
?г • А\ = mv1 — mv0,
F2 • At2 = mv2 — mvlt
F3 • Д/3 = mv3 — /nv2,
Fn ¦ Atn = mvn — mvn4,
поскольку скорость в начале каждого последующего промежутка вре-
времени равна скорости в конце предыдущего промежутка времени. Скла-
Складывая равенства, получим
2^-A^=mvn-mv0. E)
/=1
Сумма, стоящая в левой части равенства, называется полным импуль-
импульсом переменной силы. Следовательно,
полный импульс переменной силы, действующей на тело, равен
изменению количества движения тела.
§ 9. Закон сохранения количества движения
в изолированной системе
Изолированной системой называется группа тел, взаимодействую-
взаимодействующих друг с другом и не взаимодействующих ни с какими иными тела-
телами*. Понятие изолированной системы будет рассмотрено подробнее
в связи с термодинамическими процессами и энтропией (см. § 69 и 72).
Здесь мы только отметим, что абсолютно изолированных систем не
существует. Невозможно полностью изолировать систему от внешней
(окружающей) среды хотя бы потому, что нет абсолютных теплоизо-
ляторов и средств, экранирующих действие гравитационных полей.
Однако во многих случаях взаимодействие системы с внешней сре-
средой может оказаться несущественным для тех протекающих в систе-
системе процессов, которые рассматриваются в данной задаче. Поэтому
в целом ряде конкретных задач реальные системы можно считать изо-
изолированными. В конце этого параграфа мы рассмотрим в качестве
примеров несколько таких систем.
Представим себе механическую изолированную систему, состоя-
состоящую из п тел. Пусть для наглядности это будут упругие шары, бес-
беспорядочно движущиеся в некоторой части пространства (благодаря
взаимным столкновениям). Сталкиваясь друг с другом, тела изменяют
свое количество движения. Рассматривая взаимодействие тел в тече-
' * Если даже и имеет место действие внешних сил, то их результирующая дол-
должна быть равна нулю.
28

ние небольшого промежутка времени А* и применяя к каждому из
тел закон изменения количества движения D), напишем:
?г - At = тг\\ — m1vv
F2. Д^ = m2v2 — m2v2,
Fn . At = mnv'n — mnvn,
где F? — результирующая всех сил, действующих на 1-е тело, т{ —
масса t-ro тела, v^ и V/ — его скорости в начале и в конце промежутка
времени At. Складывая эти равенства почленно, получим
Левая часть равенства представляет собой произведение At на гео-
геометрическую сумму всех сил, действующих на тела изолированной сис-
системы. Силы эти —внутренние; внешние силы на изолированную сис-
систему не действуют. Так как, по третьему закону Ньютона, каждой
силе соответствует равная по величине противодействующая сила,
то при сложении все эти силы взаимно уничтожаются, и левая, а сле-
следовательно, и правая часть последнего равенства обратятся в нуль.
Тогда
Это означает, что сумма количества движения всех тел не изменяется
со временем:
miyi + m2v2 + тзуз + •" • + mnvn =* const. F)
Формула F) выражает закон сохранения количества движения:
в изолированной системе сумма количеств движения всех тел есть
величина постоянная.
Этот закон справедлив и для любого промежутка времени /, в чем
легко убедиться, применяя в данном выводе к каждому из тел обоб-
обобщенный закон изменения количества движения E). Закон сохранения
количества движения применим не только к механическим, но и ко
всяким изолированным системам. Он находит широкое отражение
в природе и технике.
Рассмотрим явление отдачи (откатка) орудия при выстреле. Опре-
Определяющую роль в этом явлении играет сила взаимодействия снаряда
и орудия. Она значительно превосходит силы трения (см. § 11) и тя-
тяготения (см. § 12), действующие на снаряд и орудие при выстреле.
Поэтому можно считать систему снаряд — орудие изолированной и
применить к ней закон сохранения количества движения:
т\ + MvQ = const, G)
29

где т и v — масса и скорость снаряда, М и v0 — масса и скорость
орудия. Так как в начале промежутка времени А/ (до выстрела) сис-
система покоилась (v = v0 = 0), то константа в формуле G) равна ну-
нулю. При выстреле система разделяется на две части (снаряд и орудие),
которые могут разлететься только вдоль общей прямой. Поэтому ра-
равенство G) справедливо как для векторов скоростей, так и для их
числовых значений. Тогда получим
mv + Mv0 — О,
откуда
Так как m<M, to vo<^v\ знак минус указывает на противополож-
противоположность направления скоростей орудия и снаряда. Оба эти следствия,
как известно, согласуются с опытом.
Особый интерес представляет приложение закона сохранения ко-
количества движения к явлению «непрерывной отдачи», происходящему
в реактивном двигателе (ракете). В этом случае изолированная систе-
система состоит из тела ракеты и вытекающего из его сопла газообразного
продукта сгорания. Приближенно ракету можно рассматривать как
орудие, непрерывно стреляющее струей газа и потому непрерывно
движущееся в сторону, противоположную направлению этой струи.
Однако пользоваться формулой (8) для расчета скорости ракеты уже
нельзя хотя бы потому, что (в отличие от массы орудия) масса ракеты
непрерывно изменяется — уменьшается по мере расхода горючего
материала.
Ракета — единственный аппарат, способный приходить в движе-
движение и изменять свое движение без опоры (без посредства внешней сре-
среды). Поэтому реактивный двигатель является единственно возможным
двигателем космических снарядов и кораблей.
Приоритет в области теории и практики реактивного движения
принадлежит нашей стране. Первый проект реактивного летательного
аппарата был составлен в 1881 г. студентом Института инженеров
путей сообщения, революционером Я. И. Кибальчичем (казненным
за участие в покушении на Александра II). К сожалению, этот проект
был обнаружен только после Великой Октябрьской революции.
В 1897 г. профессор Петербургского университета Я. В. Мещерский
вывел уравнение движения тела переменной массы. Исключительно
большую роль в развитии теории реактивного движения и космичес-
космических полетов сыграли работы К. Э. Циолковского, выполненные в на-
начале текущего столетия. Обширные исследования советских ученых
завершились в последнее время успешными запусками первых в мире
искусственных спутников Земли, искусственной планеты, межконти-
межконтинентальных баллистических снарядов и автоматической станции
«Венера-4», совершившей посадку на поверхность Венеры.
Триумфом советской науки и техники явились первый в мире
космический полет человека на корабле-спутнике «Восток», осущест-
осуществленный 12 апреля 1961 г. Ю. Л. Гагариным, и первый выход че-
человека в космическое пространство из корабля-спутника «Восход-2»,
30

выполненный 19 марта 1965 г. Л. Л. Леоновым. Эти события откры-
открыли новую эру в истории человечества — космическую эру,
В природе реактивное движение используется некоторыми живы-
живыми организмами. Например, кальмары, спруты, медузы и некоторые
двустворчатые моллюски передвигаются посредством отдачи воды^
выбрасываемой ими из особых полостей тела. При этом кальмары раз-
развивают весьма большую скорость движения, достигающую 70 км/ч.
Своеобразным реактивным снарядом является «бешеный огурец» —
растение южного Крыма. Внутри созревшего плода этого растения на-
находится жидкость под повышенным давлением. Будучи оторванным от
стебля, «бешеный огурец» вырывается из рук и отлетает в сторону за
счет отдачи струи жидкости, выбрасываемой из отверстия, образую-
образующегося в месте крепления к плодоножке.
Задача 4. Две гири весом Pi = 19,6Н и Р2 = 9,8 Н сое-
соединены нитью и перекинуты через невесомый блок (рис. 13). //////////z^zr
Найти ускорение а, с которым движутся гири, и натяжение
нити.
Решение. Ускоряющая сила F = Pi — Р2, или, по вто-
рому закону Ньютона, F
Pi P2
(т\-\- m2) а, где тх = — и т2 =
есть массы гирь,
получим
Тогда из равенства (mi + m2) a ¦¦
9,8Н
3 кг
= 3,27 м/с2.
Натяжение нити со стороны первой (падающей) гири
Т1 = Р1 — пг1а= 19,6 — 2. 3,27 = 13,1 (Н).
Натяжение нити со стороны второй (поднимающейся) гири
= 9,8+1 -3,27 = 13,1 (Н),
Рис. 13
Таким образом, 7\ = Т2, чего и следовало ожидать, учитывая невесомость
(безынерционность) блока. Общее доказательство этого нетрудно получить,
подставив выражение ускорения а в формулы для Т\ и Т2, что предоставляется
сделать читателям.
Задача 5. Граната, летящая со скоростью v = 10 м/с, при разрыве разлетелась
на два осколка. Большой осколок, масса mt которого составляла 60% массы швеей
гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью
vL = 25 м/с. Найти скорость v2 меньшего осколка.
Решение. Рассматривая гранату как изолированную систему, можем напи-
написать по закону сохранения количества движения F):
fflV = THiV\ -f~ 171$)%,
где m2 — масса меньшего осколка.
Очевидно, что % = 0,6 /п и m% = m — 0,6 m = 0,4 m. Поэтому mv =-
= 0,6 mvi + 0,4 mv2, откуда
v — 0,6 vx 10—15
у z=z =— -._ __- 12 5 (м/с)
Знак «минус» показывает, что меньший осколок летит в направлении, противопо-
противоположном первоначальному направлению движения гранаты.
§ 10. Силы упругости
До сих пор мы говорили о силе вообще, не интересуясь ее про-
происхождением. Теперь перейдем к рассмотрению некоторых конкрет-
31

ных разновидностей сил, широко представленных в природе и тех-
технике и играющих важную роль в механических процессах. К ним отно-
относятся силы упругости, трения, тяготения и некоторые другие. Начнем
с рассмотрения сил упругости.
Как уже отмечалось, сила может деформировать тело — смещать
составляющие его частицы относительно друг друга. При этом (в со-
соответствии с третьим законом Ньютона) внутри деформированного тела
возникает противодействующая сила, равная по величине деформи-
деформирующей силе и называемая силой упругости. Например, груз, растя-
растягивающий пружину, подвергается действию силы упругости пружи-
пружины. Силы упругости обусловлены взаимодействием между частицами
(молекулами и атомами) тела и имеют в конечном счете электричес-
электрическую природу (см. ч. II, § 35 и 51).
Существует несколько видов деформации тел: одностороннее рас-
растяжение или сжатие, всестороннее растяжение или сжатие, круче-
кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид деформации вызывает появление соот-
соответствующей силы упругости.
Опыт показывает, что
сила упругости F, возникающая при малых деформациях любого
вида, пропорциональна величине деформации (смещения) кх\
F = — k • Д*, (9)
где k — коэффициент пропорциональности. Это положение называет-
называется законом Гука. Знак минус указывает на противоположность на-
направлений силы упругости и смещения.
Деформация называется упругой, если после устра-
устранения деформирующей силы силы упругости полностью
восстанавливают первоначальные форму и размер тела.
При малых смещениях Ал: деформацию реальных тел
можно считать упругой. При больших смещ^^ях Ал:
возникает остаточная деформация — тело не восста-
восстанавливает полностью свои форму и размер (см. ч.П,
и. §52). При значительных деформациях может даже про-
лЧ t1 изойти разрушение тела (разрыв — при растяжении,
"J излом — при изгибе и т. п.).
Рассмотрим упругую деформацию одностороннего pa-
part стяжения стержня (рис. 14). Пусть к нижнему концу за-
закрепленного стержня длиной х и площадью поперечного
Рис. 14 сечения S приложена деформирующая сила F'. Стер-
Стержень удлинится на величину Ал; и в нем возникнет сила
упругости F= — F'. Опыт показывает, что удлинение-пропорциональ-
удлинение-пропорционально деформирующей силе и первоначальной длине стержня и обратно
пропорционально площади его поперечного сечения:
откуда
32

где Е — коэффициент, характеризующий упругие свойства вещества
стержня, называемый модулем упругости, или модулем Юнга. Со-
Согласно формуле A0),
? = -^-. A2)
SAx У
Полагая Дл; —л; и S = 1, получим E = F', т.е. модуль упругости
численно равен силе, растягивающей вдвое стержень единичной пло-
площади поперечного сечения*. Модуль упругости измеряется в ньютонах
на квадратный метр (Н/м2).
Очевидно, что все изложенное ранее остается справедливым и для
деформации одностороннего сжатия,
если считать Дя не удлинением, а
укорочением стержня.
Не останавливаясь на других видах F1 Fl]
деформации, отметим только, что все они
в конечном счете могут быть сведены к
соответствующим комбинациям деформаций
одностороннего растяжения и сжатия. На-
Например, деформация изгиба стержня сво-
сводится к деформации одностороннего растя-
растяжения верхней части стержня при одно- Рис. 15
временной деформации одностороннего
сжатия нижней его части (рис. 15; F' и
F—деформирующие силы). Поэтому при изгибе верхняя часть стержня как
бы работает на растяжение, а нижняя — на сжатие. Очевидно, что средняя
часть стержня почти не оказывает сопротивления изгибу. Это обстоятельство
учитывается в технике и находит отражение в природе. Например, стержни,
работающие на изгиб, обычно делают полыми (трубчатыми), чем достигается
экономия материала и облегчение конструкций без ущерба для прочности. Сте-
Стебли злаковых растений и кости птиц имеют трубчатое строение, молодые нео-
неокрепшие листья бывают свернуты трубкой и т. п.
§ 11. Силы трения
Весьма распространенным взаимодействием тел является трение.
Сила, препятствующая скольжгнию соприкасающихся тел друг отно-
относительно друга, называется силой трения. Она направлена по каса-
касательной к поверхности соприкосновения тел противоположно ско-
скорости скольжения данного тела (трение скольжения). Трение сущест-
существует и в случае неподвижных относительно друг друга тел (трение
покоя). Максимальная сила трения покоя равна по величине той на-
наименьшей внешней силе, которая вызывает скольжение тел. С момен-
момента начала скольжения сила трения несколько уменьшается (сила
трения скольжения всегда меньше максимальной силы трения по-
покоя).
Благодаря трению равномерное прямолинейное движение тела
возможно только тогда, когда сила трения скольжения уравновешена
внешней (движущей) силой.
* Следует отметить, что практически измерять модуль упругости таким
методом нельзя, так как подавляющее большинство реальных тел разрушается
при растяжениях, значительно меньших двукратного.
2-31 33

Трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхно-
поверхностей — взаимным зацеплением выступов на них. При достаточно глад-
гладких поверхностях главной причиной трения становятся силы сцеп-
сцепления между молекулами трущихся поверхностей (см. § 36).
Опыт показывает, что сила трения Ртр приблизительно пропор-
пропорциональна силе Р, прижимающей соприкасающиеся тела друг к
другу (т. е. силе нормального давления*):
/Чр = kP. A3)
Множитель k называется коэффициентом трения. Он зависит от
рода вещества и качества обработки трущихся поверхностей. В неко-
некоторой мере он зависит также от относительной скорости скольжения и
от внешних условий (температуры, влажности и т. п.). Следует под-
подчеркнуть, что коэффициент трения является довольно грубой харак-
характеристикой сил трения. Определяется он экспериментально по фор-
формуле A3). В технических таблицах обычно даются средние значения
коэффициента трения. Например, для стали по стали ? = 0,17, для
стали по дереву k = 0,48.
Трение играет большую роль в природе и технике. Посредством
трения осуществляется необратимый переход всех видов энергии
в теплоту (см. ч. II, гл. XI). Благодаря трению приходит в движе-
движение и останавливается транспорт. Действие органов передвижения
и хватательных органов живых существ основано на трении скольже-
скольжения. Трение удерживает корни растений в почве, песок — в железно-
железнодорожной насыпи и т. п.
В сельскохозяйственной практике на различии значений коэффи-
коэффициента трения у семян разных зерновых культур основано разделение
смеси этих семян на составные части. Смесь зерен, например овса и
проса, медленно высыпается из бункера на движущуюся бесконеч-
бесконечную ленту, расположенную под углом к горизонту. Угол наклона
ленты подбирается так, чтобы зерна овса удерживались на ней си-
силой трения и увлекались вверх, а зерна проса, у которых коэффициент
трения с материалом ленты меньше, чем у зерен овса, скользили по
ленте вниз. В результате зерна овса и проса будут ссыпаться с раз-
разных сторон «ленточного сепаратора».
В тех случаях, когда трение играет вредную роль, его умень-
уменьшают, помещая между трущимися поверхностями вязкую жидкость
(смазку). Тем самым внешнее трение твердых тел заменяют значитель-
значительно меньшим внутренним трением жидкости, с которым мы ознакомим-
ознакомимся в § 58.
Другой способ уменьшения трения — замена скольжения каче-
качением: применение колес, катков, шариковых и роликовых подшипни-
подшипников. Коэффициент трения качения в десятки раз меньше коэффициен-
коэффициента трения скольжения. Существенно, что сила трения качения обрат-
обратно пропорциональна радиусу катящегося тела. В связи с этим у тран-
транспорта, предназначенного для движения по плохим дорогам (у телег,
* В случае скольжения тела по горизонтальной поверхности сила нормаль-
нормального давления равна весу тела.
34

например), колеса имеют большой радиус. Сила трения качения
выражается формулой
где Р—сила нормального давления, R — радиус катящегося тела,
тг] — коэффициент трения, зависящий от свойств материала соприка-
соприкасающихся поверхностей; как видно из формулы, ч\ имеет размерность
длины.
В природе трение качения встречается редко. Можно только ука-
указать на шарообразность семян некоторых растений (горох, каштан,
орех), способствующую откатыванию этих семян на более далекие
расстояния от материнского растения.
§ 12. Силы тяготения (гравитационные силы)
Изучая движение небесных тел и падение тел в земных условиях,
Ньютон установил закон всемирного тяготения, согласно которому
материальные точки притягиваются друг к другу с силой Fy про-
пропорциональной их массам тх и т2 и обратно пропорциональной квад*
рату расстояния г между ними:
A4)
Закон справедлив также для взаимодействия шаров и взаимодейст-
взаимодействия большого шара с малым телом. При этом под г следует понимать
расстояние между центрами шаров. Коэффициент «j =
= 6,67* 101 Н • м2/кг2 был определен экспериментально и назван гра-
гравитационной постоянной*. Согласно формуле A4) физический смысл
гравитационной постоянной заключается в том, что она равна вы-
выраженной в ньютонах силе тяготения между двумя точечными масса-
массами в 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга.
Из формулы A4) следует, что силы тяготения огромны для небесных тел и ни-
ничтожны для микрочастиц. Так, сила тяготения между Землей и Луной имеет
порядок 1020 Н, а между двумя почти соприкасающимися (г = 3 . 1СГ8 см)
молекулами кислорода — 10~32 Н.
Притяжение между телами осуществляется через пространство,
которое, казалось бы, не заполнено никакой материальной средой.
Однако такое представление привело бы к идеализму — к необходи-
необходимости приписать осуществление взаимодействия между телами не-
некоему духовному началу. Согласно материалистической философии
взаимодействие между материальными телами может осуществляться
только материальным посредником. В данном случае таким посред-
посредником является гравитационное поле (поле силы тяготения).
Гравитационное поле — это особый вид материи, посредством
которого осуществляется взаимное притяжение тел. Формально
гравитационное поле можно определить как пространство, в котором
* Впервые величина гравитационной постоянной измерена Кавендишем
в 1798 г. с помощью крутильных весов.
2*
35

действуют гравитационные силы. Однако при этом надо отчетливо
представлять, что поле материально.
Все сказанное полностью относится и к другому виду взаимодейст-
взаимодействия через пространство — к электромагнитному взаимодействию,
которое будет рассмотрено позднее (см. ч. III). Вообще современная
физика считает, что существует два вида материи: вещество и поле.
Свойства поля существенно отличаются от свойств вещества. Если ве-
вещество подвержено действию некоторого поля, то и само оно способно
создавать такое поле. Поэтому всякое взаимодействие тел через
пространство можно схематически представить следующим образом:
пер вое тело создает поле, которое действует на второе тело; в свою оче-
очередь второе тело действует своим полем на первое тело. Взаимоотно-
Взаимоотношения поля с веществом (частицами) исследованы еще далеко не дос-
достаточно. Изучение этих взаимоотношений составляет одну из важ-
важнейших проблем современной физики.
Возвращаясь к закону всемирного тяготения и применяя его к
случаю взаимодействия земного шара с телами, расположенными
вблизи земной поверхности, получим
Р __ Mm
где М — масса Земли, R — ее радиус, т — масса тела, h — его вы-
высота над земной поверхностью. Так как /?>А, то выражение силы тя-
тяготения тел к Земле можно представить в виде
f^T-^-. A5)
С другой стороны
F = mg, A6)
g — ускорение свободного падения тел вблизи земной поверх-
поверхти. Из формул A5) и A6) следует, что
A7)
где
ности фру () ()
м
так как j, Af и/?~ постоянные величины. Таким образом, из закона
всемирного тяготения следует, что вблизи Земли все тела падают
с одинаковым ускорением g « 9,81 м/с2.
Строго говоря, благодаря вращению Земли вокруг своей оси ве-
величина ускорения g не является постоянной, а несколыр изменяет-
изменяется в зависимости от широты и высоты места (приведенное значение
g соответствует широте 45° на уровне моря). В этой связи оказывается
переменной величиной и сила тяжести, как будет показано в § 15.
§ 13. Центростремительная сила
Равномерное движение тела по окружности характеризуется, как
мы видели, центростремительным ускорением (см. § 6). Сила любой
природы, вызывающая это ускорение, называется центростремитель-
36

ной силой. Она приложена к телу, направлена к центру окружности и,
согласно второму закону Ньютона, равна
Fn =
= т — =
A8)
где т — масса тела, ап — центростремительное ускорение, v и со —
линейная и угловая скорости, R — радиус окружности.
Центростремительная сила создается связью, удерживающей тело
на окружности; она обусловлена реакцией связи на стремление тела
удалиться от центра окружности. Рас-
Рассмотрим в качестве примера движение
шарика по окружности на резиновом
шнурке (рис. 16). Сообщим шарику А
скорость v перпендикулярно шнуру
(связи) ОА, закрепленному в точке О.
Шарик начнет двигаться по инерции
прямолинейно, удаляясь от точки О.
При этом шнур растягивается и во-
возникающая в нем упругая сила, препят-
препятствуя прямолинейному движению ша-
шарика, заставит шарик двигаться по рас-
раскручивающейся спирали. Когда возра-
возрастающая по мере растяжения шнура си-
сила упругости станет достаточной для того, чтобы воспрепятствовать
удалению шарика от точки О, он начнет двигаться по окружности
радиусом R. Очевидно, что при этом упругая сила связи будет равна
центростремительной силе:
Рис. 16
Таким образом, в рассматриваемом случае роль центростремительной
силы играет сила упругости шнура.
Если по какой-либо причине скорость шарика возрастет до зна-
значения v?>v, то он опять начнет удаляться от центра О по спирали
до тех пор, пока упругая сила дополнительно растянувшегося шнура
не заставит его двигаться по окружности радиусом /?4>/?. При этом
опять сила упругости связи станет равна центростремительной силе:
На этом принципе основано, например, действие центробежного ре-
регулятора (Уатта), в котором связью грузов с осью вращения служит
шарнирно-рычажная система.
При некоторой достаточно большой скорости вращения шнур не
выдержит растяжения и разорвется, а шарик полетит прямолинейно —
по касательной к окружности. Именно так летят раскаленные части-
частицы — искры, отрывающиеся от точильного круга.
37

О)
ф
Разрыв связи может произойти у махового колеса при слишком
большой скорости вращения. На разрыве связи основано действие
таких центробежных механизмов, как, например, сушильная машина,
медогонка, молочный сепаратор, центробежный насос (в частности,
воздушный насос веялки), зерноочистительная установка «Змейка».
В сушильной машине связью является сцепление воды с тканью, в ме-
медогонке — сцепление меда с сотами, в сепараторе — вязкость моло-
молока*, в центробежном насосе —тре-
—трение воды (или воздуха) о вращаю-
вращающиеся лопасти насоса, в «Змей-
«Змейке» — трение зерен о винтовые же-
N лоба.
\ч Примером природного центро-
\ бежного механизма может служить
/' мак-самосейка. Верхушка раска-
•' чиваемого ветром растения быстро
описывает круговые дуги. При
этом спелые семена, связанные с
коробочкой только трением, раз-
разбрасываются через верхние ее от-
Рис 17 верстия по касательным к этим
дугам.
Рассмотрим еще один пример — вращение эластичного резинового шара
с угловой скоростью о) вокруг оси, проходящей через его центр (рис. 17). Мыс-
Мысленно разобьем шар на маленькие частицы — шарики одинаковой массы и пред-
представим, что сцепление между ними обеспечивается резиновыми шнурами (свя-
(связями,, к которым шарики прикреплены. Так как массы и угловые скорости
у всех шариков одинаковы, то, согласно формуле A8), наибольшая центростре-
центростремительная сила будет действовать на шарики, наиболее удаленные от оси вра-
вращения. Таких шариков больше всего в «экваториальном» слое шара и меньше
всего в «приполярных» слоях. Поэтому связи сильнее растянутся в «экватори-
«экваториальном» слое. В результате шар примет форму эллипсоида вращения. Аналогич-
Аналогично деформируется земной шар: он растянут у экватора и приплюснут у полюсов
так, что экваториальный радиус на 1/300 больше полярного**.
В заключение отметим, что, согласно третьему закону Ньютона,
вместе с центростремительной силой, приложенной к телу, возникает
равная ей по величине, но противоположно направленная сила, при-
приложенная к связи: она называется центробежной силой.
* Отделение сливок в сепараторе обусловлено тем, что частицы жира и
обрата имеют различные массы и потому на эти частицы действуют различные
центростремительные силы [ см. формулу A8)]. Расслоение молока в сепараторе
под действием центростремительной силы подобно отстаиванию его в неподвиж-
неподвижном сосуде под действием силы тяжести. Только в сепараторе молоко «отстаи-
«отстаивается» вертикальными слоями и очень быстро (так как центростремительная
сила значительно превышает силу тяжести).
** В связи с неоднородностью состава Земли она имеет форму так называе-
называемого геоида, близкую к эллипсоиду вращения.
38

§ 14. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.
Силы инерции
Система отсчета, движущаяся (относительно звезд) равномерно и
прямолинейно (т. е. по инерции), называется инерциальной. Очевид-
Очевидно, что таких систем отсчета — неисчислимое множество, поскольку
любая система, движущаяся относительно некоторой инерциальной
системы отсчета равномерно и прямолинейно, тоже инерциальна,
Системы отсчета, движущиеся (относительно инерциальной системы)
с ускорением, называются неинерциальными.
Опыт показывает, что
во всех инерциальных системах отсчета все механические про-
цессы протекают совершенно одинаково (при одинаковых усло-
условиях).
Это положение, названное механическим принципом относитель-
относительности (или принципом относительности Галилея), было сформули-
сформулировано в 1636 г. Галилеем. Галилей пояснял его на примере механи-
механических процессов, совершающихся в каюте корабля, плывущего рав-
равномерно и прямолинейно по спокойному морю. Для наблюдателя, на-
находящегося в каюте> колебание маятника, падение тел и другие ме-
механические процессы протекают точно так же, как и на неподвижном
корабле. Поэтому, наблюдая эти процессы, невозможно установить
ни величину скорости, ни даже сам факт движения корабля. Чтобы
судить о движении корабля относительно какой-либо системы отсчета
(например, поверхности еоды), необходимо вести наблюдения и за
этой системой (видеть, как удаляются предметы, лежащие на воде,
и т. п.).
К началу XX в. выяснилось, что не только механические, но и
тепловые, электрические, оптические и все другие процессы и явления
природы протекают совершенно одинаково во всех инерциальных сис-
системах отсчета. На этом основании Эйнштейн в 1905 г. сформулировал
обобщенный принцип относительности, названный впоследствии прин-
принципом относительности Эйнштейна:
во всех инерциальных системах отсчета все физические процессы
протекают совершенно одинаково (при одинаковых условиях).
Этот принцип наряду с положением о независимости скорости рас-
распространения света в вакууме от движения источника света (см. § 20)
лег в основу специальной теории относительности, разработанной
Эйнштейном.
Законы Ньютона и другие рассмотренные нами законы динамики
. выполняются только в инерциальных системах отсчета. В неинерци-
альных системах отсчета эти законы, вообще говоря, уже несправед-
несправедливы. Рассмотрим простой пример, поясняющий последнее утверж-
утверждение.
На совершенно гладкой платформе, движущейся равномерно и пря-
прямолинейно, лежит шар массой га; на этой же платформе находится
наблюдатель. Другой наблюдатель стоит на Земле недалеко от места,
мимо которого вскоре должна пройти платформа. Очевидно, что оба
наблюдателя связаны с инерциальными системами отсчета.
39

Пусть теперь, в момент прохождения мимо наблюдателя, связанно-
связанного с Землей, платформа начнет двигаться с ускорением а, т. е. сдела-
сделается неинерциальной системой отсчета. При этом шар, ранее покоив-
покоившийся относительно платформы, придет (относительно нее же) в дви-
движение с ускорением а, противоположным по направлению и равным
по величине, ускорению, приобретенному платформой. Выясним,
как выглядит поведение шара с точек зрения каждого из наблюдате-
наблюдателей*.
Для наблюдателя, связанного с инерциальной системой отсчета —
Землей**, шар продолжает двигаться равномерно и прямолинейно
в полном соответствии с законом инерции (поскольку на него не дейст-
действуют никакие силы, кроме силы тяжести, уравновешиваемой реакцией
опоры).
Наблюдателю, связанному с неинерциальной системой отсчета —
платформой, представляется иная картина: шар приходит в движение
и приобретает ускорение — а без воздействия силы (поскольку наблю-
наблюдатель не обнаруживает воздействия на шар каких-либо других тел,
сообщающих шару ускорение). Это явно противоречит закону инер-
инерции. Не выполняется и второй закон Ньютона: применив его, наблю-
наблюдатель получил бы, что 0 (сила) = — та, а это невозможно, так как
ни т, ни а не равны нулю.
Можно, однако, сделать законы динамики применимыми и для опи-
описания движений в неинерциальных системах отсчета, если ввести в рас-
рассмотрение силы особого рода — силы инерции. Тогда в нашем примере
наблюдатель, связанный с платформой, может считать, что шар при-
пришел в движение под действием силы инерции
Введение силы инерции позволяет записывать второй закон Нью-
Ньютона (и его следствия) в обычной форме (см. § 7); только под действую-
действующей силой надо теперь понимать результирующую «обычных» сил (F)
и сил инерции (FH):
F+FH = ma, A9)
где т — масса тела, а — его ускорение.
Силы инерции мы назвали силами «особого рода», во-первых, по-
потому, что они действуют только в неинерциальных системах отсчета,
и, во-вторых, потому, что для них в отличие от «обычных» сил невоз-
невозможно указать, действием каких именно других тел (на рассматривае-
рассматриваемое тело) они обусловлены. Очевидно, по этой причине к силам инер-
инерции невозможно применить третий закон Ньютона (и его следствия);
это является третьей особенностью сил инерции.
* Наблюдатели введены только для большей наглядности объяснения.
Поведение шара можно было бы фиксировать и объективными средствами (ска-
(скажем, киноаппаратом и соответствующими измерительными приборами).
** Хотя Земля движется не прямолинейно и не равномерно, ее допустимо
считать инерциальной системой отсчета, поскольку ее ускорения весьма малы
(центростремительное ускорение суточного вращения экваториальных облас-
областей земной поверхности составляет около 0,03 м/с2, а центростремительное уско-
ускорение годового вращения Земли вокруг. Солнца не превышает 0,001 м/с2).
40

Невозможность указать отдельные тела, действием которых (на рассматри-
рассматриваемое тело) обусловлены силы инерции, не означает, конечно, что возникно-
возникновение этих сил вообще не связано с действием каких-либо материальных тел.
Имеются серьезные основания предполагать, что силы инерции обусловлены
действием всей совокупности тел Вселенной (массой Вселенной в целом).
Дело в том, что между силами инерции и силами тяготения существует
большое сходство: и те и другие пропорциональны массе тела, на которое они
действуют, и потому ускорение, сообщаемое телу каждой из этих сил, не за-
зависит от массы тела. При определенных условиях эти силы вообще невозможно
различить. Пусть, например, где-то в космическом пространстве движется с уско-
ускорением (обусловленным работой двигателей) космический корабль. Находя-
Находящийся в нем космонавт будет при этом испытывать силу, прижимающую его
к «полу» (задней по отношению к направлению движения стенке) корабля. Эта
сила создаст точно такой же эффект и вызовет у космонавта такие же ощущения,
какие вызвала бы соответствующая сила тяготения.
Если космонавт считает, что его корабль движется с ускорением а относи-
относительно Вселенной, то он назовет действующую на него силу силой инерции. Если
же космонавт будет считать свой корабль неподвижным, а Вселенную — не-
несущейся мимо корабля с таким же ускорением а, то он назовет эту силу силой
тяготения. И обе точки зрения будут совершенно равноправными. Никакой
эксперимент, выполненный внутри корабля, не сможет доказать правильность
одной и ошибочность другой точки зрения.
Из рассмотренного и других аналогичных примеров следует, что ускорен-
ускоренное движение системы отсчета эквивалентно (по своему действию на тела) воз-
возникновению соответствующих сил тяготения. Это положение получило название
принципа эквивалентности сил тяготения и инерции (принципа эквивалентности
Эйнштейна); данный принцип положен в основу обшей тгории относительности.
Силы инерции возникают не только в прямолинейно движущихся,
но и во вращающихся неинерциальных системах отсчета. Пусть, на-
например, на горизонтальной платформе,
могущей вращаться вокруг вертикаль-
вертикальной оси, лежит тело массой т, связан-
связанное с центром вращения О резиновым
шнуром (рис. 18). Если платформа начнет
вращаться с угловой скоростью со (и,
следовательно, превратится в неинерци-
альную систему), то благодаря трению
тело тоже будет вовлечено во вращение.
Вместе с тем оно будет перемещаться в
радиальном направлении от центра плат-
платформы до тех пор, пока возрастающая
сила упругости растягивающегося шнура
не остановит это перемещение. Тогда тело начнет вращаться на рас-
расстоянии г от центра О.
С точки зрения наблюдателя, связанного с платформой, перемеще-
перемещение шара относительно нее обусловлено некоторой силой F^w Это
есть сила инерции, поскольку она не вызвана действием на шар дру-
других определенных тел; ее называют центробежной силой инерции.
Очевидно, что центробежная сила инерции равна по величине и про-
противоположна по направлению силе упругости растянутого шнура,
играющей роль центростремительной силы, которая действует на те-
тело, вращающееся по отношению к инерциальной системе (см. § 13)
Поэтому
Fa.B = nw*r, B0)
Рис. 18
41

следовательно, центробежная сила инерции пропорциональна рас-
расстоянию тела от оси вращения.
Подчеркнем, что центробежную силу инерции не следует смешивать
с «обычной» центробежной силой, упомянутой в конце § 13. Это силы
различной природы, приложенные к разным объектам: центробеж-
центробежная сила инерции приложена к телу, а центробежная сила — к связи.
В заключение отметим, что с позиции принципа эквивалентности сил тяго-
тяготения и инерции простое объяснение получает действие всех центробежных ме-
механизмов: насосов, сепараторов и т. п. (см. § 13).
Любой центробежный механизм можно рассматривать как вращающуюся
неинерциальную систему, вызывающую появление поля тяготения радиальной
конфигурации, которое в ограниченной области значительно превосходит поле
земного тяготения. В этом поле более плотные частицы вращающейся среды
или частицы, слабо связанные с ней, отходят к ее периферии (как бы идут «ко
дну»).
§ 15. Вес тел. Ускорение силы тяжести. Невесомость
Введение сил инерции упрощает и делает более наглядным реше-
решение целого ряда вопросов и задач о движении тел в неинерциальных
системах. Получим сейчас уточненные выражения веса тела и уско-
ускорения силы тяжести (см. § 12).
Сила, с которой тело притягивается
к Земле, называется силой тяжести. Вес
тела равен силе, с которой неподвижное
относительно Земли и находящееся в
пустоте тело давит на горизонтальную
опору или растягивает пружину вслед-
вследствие притяжения к Земле.
Таким образом, вес тела равен силе
тяжести; поэтому мы зачастую будем
пользоваться этими терминами как рав-
равнозначными*.
Если бы Земля не имела суточного
вращения, то вес тела равнялся бы силе
тяготения тела к Земле, определяемой
по формуле A5). Благодаря суточному
вращению Земли (в котором участвуют
и все земные тела) на тело М, лежащее на земной поверхности, кроме
силы тяготения F, направленной по радиусу R к центру О Земли, дей-
действует центробежная сила инерции РПлЮ направленная по линии продол-
продолжения радиуса г от оси вращения Земли (рис. 19)**. Разложим F^^
на две составляющие: F'^,,— в направлении радиуса R и F"U#II— в на-
направлении, перпендикулярном /?. Составляющая F"U.H уравновеши-
уравновешивается силой трения тела о земную поверхность; составляющая F'UtH
Рис. 19
* Строго говорсЯ, сила тяжести и вес не тождественные понятия: сила тя-
тяжести приложена к телу, а вес — к опоре (подставке, подвесу и т п.). Поэтому
вес проявляется только при соприкосновении тела с опорой.
** В данном случае мы уже учитываем неинерциалъность Земли как системы
отсчета.
42

противодействует силе тяготения тела к Земле. Поэтому сила притя-
притяжения тела к Земле, т. е. вес Р тела, выразится разностью силы тя*
готения F и составляющей центробежной силы инерции F\ и:
P = F- FiH = F - Fn.n coscp,
где ф — географическая широта местонахождения тела. Учитывая
формулы A5) и B0), получим
где т — масса тела, М — масса Земли, со = 7,3 • 10~5 рад/с —угло*
вая скорость суточного вращения Земли. Но r = R coscp, поэтому
Р = т 2*1 _ m^R cos2 ср. B1)
Из формулы B1) следует, что вес тела зависит от широты места:
уменьшается от полюса к экватору благодаря увеличению в этом на-
направлении coscp и R (см. § 13). На полюсе
р = т , р
Р
Так как ускорение силы тяжести g = —, то
т
? = Т -^-оJ7?со82ср. B2)
Следовательно, ускорение силы тяжести также уменьшается от по-
полюса к экватору. Правда, это уменьшение столь мало (не превышает
0,5%), что во многих практических расчетах его не учитывают.
С помощью сил инерции можно просто объяснить так называемое
состояние невесомости. Тело, подверженное этому состоянию, не ока-
оказывает давления на опоры, даже находясь в соприкосновении с ними;
при этом тело не испытывает деформации.
Состояние невесомости наступает в случае, когда на тело дейст-
действует только сила тяготения, т. е. когда тело свободно движется в поле
тяготения*.
Это имеет место, например, в искусственном спутнике Земли, выведенном
на орбиту и свободно движущемся в поле земного тяготения, т. е. вращающемся
вокруг Земли (см. § 19).
При вращательном движении возникает, как мы уже знаем, центробежная
сила инерции. Так как центробежная сила инерции, действующая на каждую
частицу тела, находящегося в спутнике (и самого спутника), равна по вели-
величине и противоположна по направлению силе тяготения, действующей на соот-
соответствующую частицу, то эти силы взаимно уравновешиваются. В результате
тело не подвергается деформации и не оказывает давления на стенки спутника
(и другие возможные опоры), т. е. оно оказывается невесомым.
* Само собою разумеется, что тело невесомо и в случае, когда на него вообще
не действуют никакие внешние силы.
43

Невесомыми становятся и тела, находящиеся в космическом корабле, сво-
свободно (с выключенными двигателями) перемещающемся по любой траектории
в безвоздушном пространстве в поле тяготения*. Разумеется, что вместе со все-
всеми телами, находящимися в корабле, становится невесомым и космонавт.
Физиологическое ощущение невесомости у космонавта выражается в отсут-
отсутствии привычных напряжений и нагрузок, которые обусловлены силой тяжести.
Прекращается деформация внутренних органов, исчезает постоянное напряже-
напряжение ряда скелетных мышц, нарушается деятельность вестибулярного аппарата
(обеспечивающего чувство равновесия человека), пропадает чувство «верха»
и «низа», осложняется осуществление некоторых естественных функций орга-
организма. Столь привычные действия, как, например, выливание воды из сосуда,
тоже вызывают затруднения: воду теперь приходится буквально вытряхивать
из сосуда.
Для устранения перечисленных и других трудностей при длительном пре~
бывании человека в космосе на космической станции предполагается создавать
искусственную «весомость». С этой целью станцию
будут конструировать в виде большого вращаю-
вращающегося диска с рабочими помещениями, распо-
расположенными на его периферии. Возникающая при
этом центробежная сила инерции будет выпол-
выполнять роль недостававшей силы тяготения.
С вращением Земли вокруг своей оси связано
еще одно немаловажное явление: отклонение тел,
движущихся по земной поверхности, от перво-
первоначального направления. Пусть тело массой га,
двигаясь прямолинейно в северном полушарии,
например вдоль меридиана, переместилось с ши-
широты срх, которой соответствует линейная ско-
скорость вращения Vi, на широту ср2, которой со-
соответствует скорость v2 (рис. 20). Сохраняя по
инерции свою первоначальную скорость враще-
вращения vi, тело будет иметь на широте <р2 большую
скорость вращения, чем находящаяся под ним
земная поверхность. Иначе говоря, на широте
<р2 тело приобретает ускорение ак относительно
земной поверхности, направленное вправо перпендикулярно к перемещению
s тела. В результате тело отклонится вправо от первоначального (меридио-
(меридионального) направления движения и его траектория (относительно земной по-
поверхности) окажется криволинейной.
Наблюдатель, связанный с вращающейся Землей (и потому не замечающий
ее вращения), объяснит данное явление действием на тело некоторой силы
инерции, направленной вправо перпендикулярно к скорости перемещения тела
и равной по величине FK = так. Эта сила получила название кориолисовой силы,
или силы Кориолиса**.
Сила Кориолиса действует только на движущиеся (относительно Земли)
тела. Будучи перпендикулярной к скорости движения тела, она изменяет толь-
только направление, но не величину этой скорости; в северном полушарии кориоли-
сова сила направлена вправо, в южном полушарии — влево. Во избежание не-
недоразумений подчеркиваем, что сила Кориолиса возникает при любом (а не
только при меридиональном) направлении движения тел.
Величина силы Кориолиса пропорциональна скорости движения тела,
его массе и угловой скорости суточного вращения Земли. Поскольку угловая
скорость вращения Земли невелика, сила Кориолиса может принимать боль-
большие значения и вызывать существенные отклонения только у тел, движущихся
с большой скоростью (например, у находящихся в полете межконтинентальных
баллистических ракет).
* Вид траектории зависит от конфигурации поля тяготения и от величины
и направления скорости, заданной кораблю в момент выключения двигателей.
** Исследована впервые французским механиком Кориолисом.
44

Если движение тел на земной поверхности ограничено (в боковом направ-
направлении) какой-либо связью, то тело будет давить на эту связь с силой, равной
кориолисовой. При длительном воздействии сила Кориолиса, несмотря на ее
сравнительно малую величину, вызывает заметный эффект. Благодаря ей реки
северного полушария подмывают правые берега (закон Бера), а воздушные те-
течения приобретают правое вращение (по часовой стрелке). Действием силы Ко-
Кориолиса обусловлен и повышенный износ правого рельса железнодорожных пу-
путей в северном полушарии.
Задача 6. К сухожилию длиной / = 12 см и диаметром d = 1,6 мм под-
подвесили груз F = 68,6 Н. При этом оно удлинилось до h = 12,3 см. Определить
модуль упругости Е сухожилия.
Решение. Сухожилие подвергается деформации одностороннего рас-
растяжения, поэтому, согласно формуле A2),
? = •
FI
SM
где S — площадь поперечного сечения, А/ — величина удлинения сухожилия.
Tzd? 3,14 • 1,62 • 10-е м2
Так как 5 = = =»2.10-*ма,
то
А/ = 1Х — I = 0,123 м — 0,120 м = 0,003 м,
68,6Н • 0,12м
2 • 10-е М2 . з . Ю-3
= 1,4- 10» Па.
Задача 7. Найти силу тяги F, развива-
развиваемую мотором автомобиля, движущегося в
гору с ускорением а= 1м/с2 (рис. 21). Уклон
горы равен 1 м на каждые 25 м пути, масса
автомобиля т=1000 кг, коэффициент трения
/5 = 0,1 .
Решение. Выразим вес автомобиля:
Р = mg.
Разложим его на две составляющие (рис.
21): силу Fit скатывающую автомобиль с
горы (параллельно поверхности горы), и
силу F2, прижимающую его к поверх-
поверхности горы, т. е. силу нормального давления (перпендикулярна к поверхности
горы).
Мотор движущегося в гору автомобиля должен преодолевать скатывающую
силу Fi и силу трения FTp; кроме того, он должен обеспечить автомобилю уско-
ускорение а. Поэтому сила тяги
Рис. 21
Р = F1 +
уск»
где FycK
У
— сила, сообщающая автомобилю ускорение а.
гол а наклона горы равен углу между силами F2n P (как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами), а по условию задачи
sin a = — = 0,04.
По второму закону Ньютона,
= та ==:
Согласно формуле A3), FTp = kF2 = kP cos a.
45

Тогда
F = Р sin a -f kP С0з a
P — = P (sin a + fe cos a +
= 9,8. 103
н(о,
04 + 0,1 . У 1— 0,042-f-
1 м/с2
9,8 м/с2
т)
:2352H;
Задача 8. Определить линейную скорость v движения Земли вокруг
Солнца, принимая массу Солнца М = 2 • 1030 кг и расстояние от Земли до
Солнца R = 1,5 • 108 км. Орбиту Земли считать круговой.
Решение. На орбите Землю удерживает центростремительная сила
Fu, роль которой играет сила притяжения Солнца F. Поэтому Fu = F. Но, сог-
согласно формулам A5) и A8),
тМ тФ
==T~i2~и ц==~'
м2/кг2 — гравитационная постоян-
где
ная
m — масса
. Тогда
Земли,
Y =
6
,67 . 10-11
тФ
R ==Т
Н •
тМ
R2
откуда
Рис. 22
),67 . Щ-и Н • м2/кг2 . 2 . 10зи кг
1,5- 1011 м в
= 29,8- 103 м/с = 29,8 км/с.
Задача 9. Летчик массой т = 70 кг описывает в
самолете, летящем со скоростью v = 360 км/ч, верти-
вертикальную петлю Нестерова радиусом R = 400 м. Опре-
Определить силу, прижимающую летчика к сиденью в верх-
верхней и в нижней точках этой петли.
Решение. Воспользуемся представлением о
силах инерции (см. § 14). В неинерциальной системе
отсчета — самолете\ делающем вертикальную петлю
Нестерова, на летчика действуют две силы: е го вес Р и
центробежная сила инерции ?ц.и. Поэтому сила F, при-
прижимающая летчика к сиденью в любой точке петли,
равна геометрической сумме сил F4.H и Р.
Из рис. 22 следует, что в верхей точке петли эта
сила равна Fi — .Рц.и— Р, а в нижней точке F2 ===
==Рц.и+ Р, где Р = mg.
Так как центробежная сила инерции выражается
той же формулой A8), что и центростремительная
сила, то
тФ
R
тогда
тФ
70 кг • 104м2/с2
400 м
686Н=1064Н
тФ
—r-
Н
46

Глава III. Работа и энергия
§ 16. Работа и мощность
Пусть под действием постоянной силы F тело В совершило пере-
перемещение s. Очевидно, что перемещение тела обусловлено только ка-
касательной (к траектории) составляющей силы Fcosa, которую мы бу-
будем называть движущей силой\ нормальная составляющая силы не вы-
вызывает перемещения тела по пути s (рис. 23). Для характеристики пе-
перемещающего действия силы вводится понятие работы.
Работа равна произведению постоян-
постоянной движущей силы на величину переме-
перемещения:
Г slnoc
А = (F cos a) 5 == Fs • cos a.
A)
Fma
Рис. 23
При 0<а<90° работа положитель-
положительна — сила вызывает перемещение тела;
при 90°о<;1800 работа отрицательна —
сила препятствует движению тела; при а = 90° сила не совершает
работы по перемещению тела. Если направления силы и перемещения
совпадают (а = 0), то
А = Fs. B)
Если тело перемещается под действием нескольких сил, то совер-
совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил (т. е. равна ра-
работе результирующей этих сил). Отметим, что работа, определяемая
произведением векторов силы и перемещения на косинус угла между
ними, является скалярной величиной. Физический смысл работы
будет выяснен позже (см. § 17 и 18) в связи с понятием энергии.
Единицей измерения работы является джоуль (Дж). Джоуль —
это работа, совершаемая силой в 1 Н при перемещении тела на 1 м
в направлении действия силы:
Дж = Н . м.
В случае переменной силы и криволинейного пути надо разбить весь путь s
на столь малые (практически прямолинейные) отрезки Asi, A s2, A s3, ..., А$л,
чтобы силы, действующие на каждом из них, можно было считать постоянными
и соответственно равными Fi, F2, F3i ...,
Fn. Тогда полная работа на всем пути
А =
Если график переменной силы изо-
изображается кривой ВС, то работа на t-м
отрезке пути графически представляет-
представляется площадью узкого прямоугольника
abcdy а полная работа на всем пути «-•
площадью фигуры OBCD (рис. 24).
Если путь OD разбит на бесконечно
малые отрезки ds, то сумма, стоящая

в правой части последней формулы, переходит в интеграл и выражение работы
представляется в виде
0D
А = i F cos ads.
о
Для оценки эффективности механизма важно знать, как быстро
совершает он данную работу. С этой целью вводится понятие мощнос-
мощности.
Мощность N измеряется отношением работы ДЛ к промежутку
времени Д/, за который она совершена:
N-%. C)
В случае движения тела с постоянной скоростью v под действием
силы F (преодолевающей сопротивление движению) мощность может
быть выражена формулой
N = = = Fv.
М А/
Единицей измерения мощности в СИ служит ватт (Вт). Ватт —
это мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за время 1 с:
Вт = Дж/с.
В случае переменной мощности вводятся понятия средней мощности
WcP~ At
и мгновенной мощности
кг v АЛ dA
Д/ си
подробно тому, как вводились понятия средней и мгновенной скоростей (см. § 4).
§ 17. Энергия
Энергия является важнейшей физической величиной, характери-
характеризующей способность тела или системы тел совершать работу; она
измеряется величиной максимальной работы, которую при определен-
определенных (заданных) условиях может совершить эта система. Например,
катящийся шар, сталкиваясь с некоторым телом, перемещает его,
т. е. совершает работу. Следовательно, катящийся шар обладает энер-
энергией. Растянутая пружина, сокращаясь после устранения деформи-
деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (вит-
(витков) или какого-либо другого тела. Следовательно, растянутая пру-
пружина обладает энергией. Система, состоящая из земного шара и
расположенного на некоторой высоте над ним тела, обладает энергией,
так как при устранении связи, удерживающей тело на высоте, оно
начнет двигаться (падать) и может совершать работу. Подчеркнем,
48

что катящийся шар, деформированная пружина и поднятое над Зем-
Землей тело обладают энергией независимо от того, совершают они в дан-
данный момент работу или нет: энергия характеризует состояние системы,
способность (возможность) системы к совершению работы при перехо-
переходе из одного состояния в другое.
Обычно за другое (конечное) состояние системы принимают такое
ее состояние, называемое «нормальным», в котором она уже не может
совершать работу при данных условиях за счет энергии данного вида.
Так, например, для растянутой пружины нормальным состоянием
является такое, при котором полностью ликвидирована ее деформа-
деформация, для приподнятого над Землей тела—такое, при котором оно
пришло в соприкосновение с земной поверхностью, и т. п.
Из приведенных примеров видно, что энергия связана либо с дви-
движением системы или ее частей — в этом случае она называется кине-
кинетической*, либо с взаимным расположением взаимодействующих
частей системы — в этом случае она называется потенциальной**. По-
Потенциальная энергия тесно связана с существованием полей (грави-
(гравитационных, электрических, магнитных и т. д.).
Изменение энергии измеряется работой, которую может со-
совершить система, переходя из данного состояния в другое. Иными сло-
словами, работа А, совершаемая системой при переходе из одного сос-
состояния в другое, равна разности энергий, присущих системе в этих
состояниях:
A = W0-Wn, D)
где Wo и Wn — энергии системы в исходном и конечном состояниях.
В соответствии с этим определением получим конкретные выражения
энергии для некоторых простейших (механических) систем.
Кинетическая энергия тела. Пусть под действием
постоянной тормозящей силы F (например, силы трения) тело массой/л,
совершив перемещение s при прямолинейном движении, изменило
свою скорость от v0 до vn. Тогда работа, совершенная телом против
силы торможения,
А — Fs = mas. E)
Так как движение тела будет равнозамедленным, то
a-bzi и s = v^±^-t
t 2
где а — ускорение, t — время прохождения телом пути s (см. § 5).
Подставляя выражения а и s в формулу E), после простых преобра-
преобразований получим
mvi mv2n
А = —- -. F)
* От греческого слова xivYJTiX0CT (кинетикос) — относящийся к движению.
** От латинского слова potentia — возможность.
49

Из сопоставления формул D) и F) следует, что величина
WK=?f- Fa)
представляет собой кинетическую энергию тела. Таким образом, ра-
работа, совершаемая движущимся телом, равна изменению (убыли) его
кинетической энергии. Если в конце рассматриваемого перемещения
тело останавливается (vn = 0), то совершенная максимальная работа
-будет равна величине кинетической энергии тела вначале перемеще-
«ия.
Пользуясь уже применявшимся нами приемом разбивки трактории тела
на малые отрезки, было бы несложно доказать, что формула F) справедлива
и в общем случае криволинейного пути и переменной силы.
Потенциальная энергия упруго деформи-
деформированного тела. Определим, например, потенциальную энер-
энергию Wn упруго растянутого стержня. Она должна равняться макси-
максимальной работе А, совершаемой силами упругости, восстанавливаю-
восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня:
п
Упругая сила равна по величине:
ES . Дл
F =
где х и S — длина и площадь поперечного сечения недеформированно-
го стержня, Дх — его удлинение при деформации, Е — модуль упру-
упругости (см. § 10, рис. 14). При вычислении работы А надо иметь в ви-
виду, что сила упругости является переменной величиной: она линейно
зависит от удлинения Дя, изменяясь от нуля (при Д* = 0) до F. Поэ-
Поэтому можно считать, что при перемещении, равном Да:, действует сред-
средняя сила упругости
р Q+F 1 р
2 2
Тогда
2 2х
Следовательно,
G)
где величина k = сохраняет смысл и размерность коэффициента
пропорциональности в законе Гука (см. § 10). Итак, потенциальная
энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату его
удлинения. Отметим, что и при всех других видах деформации
50

(см. § 10) потенциальная энергия тоже будет пропорциональна квадрату
величины деформации (смещения).
Потенциальная энергия тела в гравитаци-
гравитационном поле. Определим потенциальную энергию тела массой т>
находящегося в гравитационном поле другого тела массой М на
расстоянии г0 от него (рис. 25). Для этого рассчитаем работу А пе-
перемещения первого тела на пути х, соответствующем максимальному
сближению тел.
Учитывая переменный характер силы тяготения, разобьем путь
на достаточно малые отрезки Дг, на каждом из которых можно считать
X
А Г3 АГ2 AQ
Рис. 25
силу тяготения постоянной. Величина силы тяготения на первом отрез-
отрезке Дг4 изменяется от ^Mm/rl до *[Мт/г\. Положим, что на отрезке
Дг4 действует постоянная сила Fi9 равная среднему геометрическому
(см. § 3) этих сил:
Mm
_ [
~ 1 / I
у
ro r\
Тогда для работы перемещения тела на отрезке Art = г0—г4 получим
выражение
АА1 = Ft • Д , =
(г0 ~
или
(-1 Ц
Путем аналогичных рассуждений найдем выражения работы на других:
отрезках Дг2, Дг3, ..., Дгп-1, Дгп:
ДЛ3 =
5 ~V
J Ц
Л-1 ГП-Ъ }
ra-\

Складывая эти равенства, получим после несложных преобразований
искомую работу А:
А Mm Mm /Qx
А = т 7 • (°)
гп го
Отметим, что формулу (8) было бы проще вывести посредством интегрирова-
интегрирования:
Гп сП & М™ Mm
Л = - Fdr^-imM — = т —— - т—.
«; «^ ' гл 'о
где у — переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак минус
перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся масс вели-
величина dr отрицательна, тогда как работа dA = Fdr должна быть положительной,
поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.
Из сопоставления формул D) и (8) следует, что величина
представляет собой потенциальную энергию тяготения. Знак минус
обусловлен тем, что по мере самопроизвольного сближения тяготею-
тяготеющих тел их потенциальная энергия должна уменьшаться, переходя
в кинетическую. В этой связи уместно отметить, что всякая предо-
предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние, соот-
соответствующее минимуму потенциальной энергии. Из формулы (9) сле-
следует, что максимальное значение потенциальной энергии (Wn = 0)
тяготеющие тела будут иметь в том случае, когда они бесконечно уда-
удалены (г = оо) друг от друга*.
Итак, формулы (8) и (9) показывают, что работа перемещения тела
между двумя точками гравитационного поля равна разности потен-
потенциальных энергий тела в этих точках:
A = (WnH-(Wa)n.
Работа по перемещению в гравитационном поле единицы массы
(т = 1) из рассматриваемой точки на бесконечность (гп = оо) назы-
называется потенциалом гравитационного поля (V) этой точки. Согласно
формуле (8)
и А М
V = — = —7 —»
m г0
или вообще,
где г — расстояние точки от массы М, создающей поле.
* Так как потенциальная энергия отрицательна, то Wn — 0 (при г = оо)
является ее максимальным значением.
52

Из формул (9) и A0) найдем связь между потенциальной энергией
тяготения тела массой т и потенциалом гравитационного поля:
ЮТ
V =
из которой следует, что гравитационный потенциал точки поля чис-
численно равен потенциальной энергии единичной массы, находящейся
в этой точке. Поэтому единицей измерения потенциала является
Дж/кг.
Сопоставляя формулы (8) и A0), получим
где Vo и Vn — гравитационные потенциалы двух точек поля. Таким
образом, работа по перемещению тела между двумя точками в грави-
гравитационном поле равна про-
произведению массы тела на
разность потенциалов этих
точек, взятому с обрат-
обратным знаком.
В гравитационном поле
неподвижной массы М пе-
переместим тело массой т.
Причем совершим это пе-
перемещение по нескольким
различным траекториям — 1, 2 и 3 (рис. 26). Согласно формуле (8)
работа, совершенная при каждом из этих перемещений, одинакова.
Следовательно, работа по перемещению тела в гравитационном поле
не зависит от формы пути, а зависит только от разности гравита-
гравитационных потенциалов начала и конца пути. Отметим, что силы, работа
которых (или против которых) не зависит от формы пути, называют-
называются потенциальными, а поле этих сил — потенциальным.
Определим теперь потенциальную энергию тела массой т, находя-
находящегося на небольшой высоте h над земной поверхностью. Заменяя в
формуле (9) г на R + h, где R — радиус Земли, получим
Рис. 26
Mm
R + h
— Т
ТМт
где М —масса Земли. Так как h<^R, то Л//?<^1; поэтому (пренеб-
(пренебрегая величиной Л2//?2 в сравнении с единицей) можно считать, что
1
14- —
R
1 —
1
h
' R
h* '
#2
^/ i
h
R
53

Тогда
Мт
• г» i r> I
#**.
но 7 — = g 1см. § 12, формула A7)]. Поэтому
A3)
где —
есть потенциальная энергия тела, находящегося на уров-
не земной поверхности.
В задачах на притяжение Землей тел, лежащих на земной поверх-
поверхности, их потенциальную энергию обычно принимают равной нулю.
Тогда из формулы A3) получим выражение
Wn = mgh,
известное из школьного курса физики.
A4)
§ 18. Закон сохранения и превращения энергии
Механическая энергия (см. § 17) является лишь одним из многих
видов энергии. В настоящее время кроме механической энергии
известны химическая, электрическая, электромагнитная (в частности,,
лучистая), ядерная и другие виды энергии, с которыми мы ознако-
ознакомимся в соответствующих разделах курса. В природе и технике по-
постоянно имеют место переходы (превращения) энергии из одних ви-
видов в другие. Приведем примеры процессов, сопровождающихся пре-
превращением энергии, объединив их для наглядности в таблицу. При
рассмотрении таблицы следует не забывать, что при любых превра-
превращениях энергии некоторая ее часть непременно превращается в теп-
теплоту (энергию беспорядочного движения молекул); это обстоятельст-
обстоятельство в таблице не отражено.
Процесс или прибор
Электромашинный генератор
(§ 106, 109)
Гальванический элемент
Электродвигатель (§100, 109)
Зарядка аккумулятора
Фитосинтез (§ 120)
Фотоэффект (§136)
Ядерный реактор (§ 143)
Превращение энергии
из вида
Механическая
Химическая
Электрическая
Электромагнитная
Ядерная
в вид
Электрическая
Механическая
Химическая
»
Электрическая
Механическая, электро-
электромагнитная и др.
64

Полная энергия системы W складывается из всех присущих сис-
системе видов энергии. Опыт показывает, что какие бы превращения
энергии ни происходили в изолированной системе,
величина полной энергии изолированной системы остается постоян-
постоянной:
W = const.
При этом,
будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превра-
превращаться из одних видов в другие.
Эти положения являются наиболее общей формулировкой закона
сохранения и превращения энергии: в ней отражены основные свойства
энергии — количественная неизменность и качественная изменчи-
изменчивость.
Применительно к неизолированным системам закон сохранения и
превращения энергии формулируется так:
изменение энергии t±W неизолированной системы равно работе Л,
совершаемой системой:
Если работа совершается внутренними силами самой системы, то
Л>0 и энергия системы убывает. Если же работа совершается внеш-
внешними силами над системой, то Л<0 и энергия системы возрастает.
К более углубленному рассмотрению закона сохранения и превра-
превращения энергии мы еще вернемся в связи с изучением термодинамичес-
термодинамических процессов (см. ч. II, гл. XI).
Следует подчеркнуть, что закон сохранения и превраще«ия энергии явля-
является результатом обобщения многовекового опыта и имеет большую историю.
Идея этого закона была выражена еще в 1748 г. М. В. Ломоносовым в его за-
законе сохранения материи и движения, изложенном им впервые в письме к Эйле-
Эйлеру: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько
чего у одного тела отнимается, столько присовокупится к другому. Так, ежели
где убудет несколько материи, то умножится в другом месте; сколько кто ча-
часов положит на бдение, столько же от сна отнимет. Сей всеобщий естественный
закон простирается и в самые правила движения, ибо тело, движущее своей
силой другое, столько же оную у себя теряет, сколько сообщает другому, ко-
которое у него движение получает».
Последующие работы по изучению взаимосвязи процессов: механических
и тепловых (Деви — 1800 г., Карно — 1824 г., Якоби — 1834 г.), химичес-
химических и электрических (Вольта — 1799 г.), механических и электрических (Фа-
радей — 1831 г., Ленц — 1833 г.), химических и тепловых (Гесс <— 1840 г.),
тепловых и электрических (Пельтье — 1834 г., Джоуль — 1841 г., Ленц.—
1842 г.) и обобщающие исследования Майера A842—1845 гг .) и Гельмгольца
¦A847 г.) — привели к установлению всеобщего закона сохранения и превра-
превращения энергии. Датой его окончательной формулировки можно считать I860 г.,
когда Кельвин ввел термин «энергия» вместо термина «сила природы».
Закон сохранения и превращения энергии является всеобщим за-
законом природы, не имеющим исключений; вновь открываемые процес-
процессы и явления лишь подтверждают его. Однако именно ввиду всеобщ-
всеобщности закона он не имеет общего теоретического доказательства и мо-
может быть теоретически выведен только для частных случаев (конкрег-
ных процессов).
55

Рассмотрим в качестве примера частного доказательства закона сохранения
и превращения энергии падение тела на Землю с высоты Я, на которой оно пер-
первоначально покоилось (рис. 27). В данной задаче систему тело — Земля можно
считать изолированной. Ее полная энергия W в любом состоянии равна сумме
потенциальной энергии тяготения Wn, кинетической энергии тела WK T и кине-
кинетической энергии Земли Wk3. Имеется в виду кинетическая энергия «падения»
Земли: Земля смещается навстречу телу, но это смещение столь мало, что в обыч-
обычных расчетах никогда не принимается во внимание.
т В начальном состоянии 1 Wn = mgH, a
.@ / Wk.t = Wk.3 = О, поэтому
i
j
ф 2
В процессе падения тела потенциальная
энергия системы, уменьшаясь, переходит в
кинетические энергии тела и Земли. Поэтому
для некоторого состояния 2 системы можно
У!// 1 2 написать:
V////////////////////////////////J __ ,
Wn = mg (n — /лп),
Рис. 27
тит т _
к>т ~~ 2 ~~ 2
Му| М
где А А — смещение Земли, а — ускорение на этом смещении, М —масса Зем-
Земли, vT и v3 — скорости движения (падения) тела и Земли*. Так как
am mg
— = — то а = •
g М ' М
Тогда
М mg
к.з 2 M
Поэтому
W2 = Wn 4- ^к.т + П^к.з = mg(h — Ah) + mg(H — А) + mg • Ah = mgH.
Следовательно, W\ = W2, т. е. полная энергия системы в состоянии /ив сос-
состоянии 2 одинакова. Поскольку состояние 2 выбрано совершенно произвольно,
можно утверждать, что вообще полная энергия этой системы остается постоян-
постоянной. А это утверждение соответствует закону сохранения и превращения энер-
энергии.
Закон сохранения и превращения энергии раскрывает физический
смысл понятий энергии и работы. Рассматривая движение материи
в широком смысле этого слова как всякий процесс, всякое изменение
материи (а не только ее механическое перемещение), можно сказать,
* Все отсчеты ведутся относительно первоначального положения / земной
поверхности.
56

что энергия есть количественная и качественная характеристика дви-
движения материи, а работа — количественная характеристика прев-
превращения одних форм движения материи в другие. Именно так опре-
определял понятие работы Ф. Энгельс: «Работа — это изменение формы
движения материи, рассматриваемое с его количественной стороны»*.
Таким образом, работа и энергия — различные физические величины,
хотя они и имеют одинаковые единицы измерения.
§ 19. О космических скоростях
Как известно, для запуска искусственных космических тел — спутников,
планет и звезд — им необходимо сообщать определенные (довольно большие)
начальные скорости, называемые космическими. Так, для запуска искусствен-
искусственного спутника Земли (вблизи Земли) ему должна
быть сообщена скорость в горизонтальном напра-
направлении не менее v\ = 8 км/с (круговая, или пер-
первая, космическая скорость). Для запуска искус-
искусственной планеты ей необходимо сообщить на-
начальную скорость удаления от Земли не менее
v2 = 11,2 км/с (параболическая, или вторая,
космическая скорость). Для запуска искусствен-
искусственной звезды в пределы Галактики она должна
получить начальную скорость удаления от Зем-
Земли не менее vs = 16,7 км/с (третья космическая
скорость), а для запуска искусственной звезды
за пределы Галактики — vu = 290 км/с (четвер-
(четвертая космическая скорость). Впервые в мире ко-
космические скорости (vi и v2) были достигнуты
в СССР при запуске искусственного спутника D
октября 1957 г.) и искусственной планеты B
января 1959 г.).
На основании рассмотренных ранее законов механики мы можем вычис-
вычислить указанные значения космических скоростей.
Первая космическая скорость. Для того чтобы тело дви-
двигалось вблизи Земли по круговой орбите / (рис. 28), т. е. стало искусственным
спутником, необходимо, чтобы действующая на него центростремительная сила
равнялась силе тяготения:
Рис. 28
~T
R2
где т — масса тела, Vi — касательная к орбите скорость его движения, R —
радиус орбиты, М — масса Земли, у — гравитационная постоянная (см. § 12
и 13). При небольших высотах тела над Землей (порядка нескольких сотен ки-
километров) можно считать R « Ro = 6400 км, где Ro — радиус Земли. Тогда
v\_ M
м
Но 7 ТЛ~:
[формула A7), § 12]. Поэтому
Vl = VlR^ = V 0,00981 • 6400 = 8 (км/с),
что соответствует первой космической скорости.
* Ф. Энгельс. Диалектика природы, 1955, стр. 70.
57

При скорости, большей v\, тело будет двигаться по эллиптической орбите
2, а при скорости, равной v2 (вторая космическая), начнет двигаться по парабо-
параболической орбите 3 и уйдет из сферы земного притяжения.
Вторая космическая скорость. Для того чтобы тело выш-
вышло из сферы земного притяжения и стало обращаться вокруг Солнца, т. е. прев-
превратилось в искусственную планету, необходимо сообщить ему такую кинети-
кинетическую энергию, которая равнялась бы работе перемещения тела с земной по-
поверхности на бесконечность (практически — за пределы заметного влияния
земного тяготения). Тогда, полагая в формуле (8) § 12 г о = Ro и г = оо и учи-
учитывая, что работа внешних сил отрицательна (см. § 18), получим
Л
тМ
солнце
Рис.29
I
I
где v2 — начальная скорость отлета тела с Земли. Та-
Таким образом, искомая кинетическая энергия равна по
величине потенциальной энергии тела, находящегося
на земной поверхности. Отметим, что направление ско-
рости i>2 может быть каким угодно: тело станет искус-
ственной планетой при любом направлении скорости v2.
Из формулы A5) найдем
06)
м
Умножая и делая правую часть на Ro и учитывая, что f —j- = g получим
v2
VT ^
(км/с),
что соответствует второй космической скорости.
Третья космическая скорость. Для того чтобы тело выш-
вышло из сферы притяжения Солнца и удалилось в Галактику, превратившись
в искусственную звезду, необходимо сообщить ему кинетическую энергию, рав-
равную работе перемещения тела с земной орбиты на бесконечность. Очевидно,
что эта работа равна потенциальной энергии тела, находящегося в поле солнеч-
солнечного тяготения на расстоянии радиуса земной орбиты от Солнца (рис. 29):
mv2
2
= 7
где Мс — масса Солнца, R — 1,5 • 108 км — радиус земной орбиты, v — ско-
скорость тела относительно Солнца. Тогда
мс
Умножая и деля подкоренное выражение на
в 332 400 раз больше массы Земли, получим
и учитывая, что масса Солнца
(«-/С
Скорость v можно сообщить телу в любом направлении. Очевидно, что выгод-
выгоднее всего сообщить ее в направлении касательной к земной орбите (см. рис. 29),
так как в этом направлении тело уже имеет относительно Солнца орбитальную
5В

скорость Земли и — 29,8 км/с. Поэтому относительно Земли достаточно сооб-
сообщить телу скорость
v* = v — и = 42,2 — 29,8 =12,4 (км/с).
Следует, однако, учесть, что скорость v* тело должно иметь после выхода
из поля тяготения Земли. Поэтому начальная скорость отлета тела с земной по-
поверхности v3 должна быть несколько больше v*. Для определения v3 будем
исходить из следующих соображений. Чтобы отлетающее с Земли тело могло
уйти из сферы земного тяготения, сохранив после этого скорость с*, его кине-
кинетическая энергия в момент отлета должна равняться сумме потенциальной энер-
энергии тела на земной поверхности и кинетической энергии тела, движущегося со
скоростью v*:
mv3 Mm mv**
откуда
Ко
или, согласно формуле A6),
v3 = |/ v\ + v™ = V И,22-И2,42 =, 16,7 (км/с),
что соответствует третьей космической скорости.
Четвертая космическая скорость. При этой скорости
земное тело смогло бы преодолеть тяготение Галактики и уйти во Вселенную.
Расчет четвертой космической скорости довольно сложен, поэтому мы огранич-
чимся приближенной оценкой ее значения исходя из следующих соображений.
Астрофизические наблюдения показывают, что среди звезд, движущихся
вокруг центра Галактики на том же расстоянии, что и Солнце, не существует
ни одной звезды, скорость которой превышала бы 285 км/с*. Это обусловлено,
вероятно, тем, что 285 км/с есть та наибольшая скорость, при которой звезды
{находящиеся в указанной области Галактики); еще могут оставаться в пределах
Галактики; при большей скорости они уже не удерживаются нашей звездной
системой. Следовательно, четвертая космическая скорость должна быть не-
несколько больше 285 км/с, т. е. v± « 290 км/с.
§ 20. Границы применимости классической механики
Рассмотренные нами законы механики получены на основе наблю-
наблюдений над макроскопическими** телами (т. е. телами, состоящими из
огромного числа атомов), движущимися с небольшими скоростями
(по сравнению со скоростью света). Механика макроскопических, не
быстро движущихся тел получила название классической механики;
ее законы вполне точны для таких тел. Однако в текущем столетии
обнаружился целый ряд явлений, не согласующихся с законами и
представлениями классической механики.
Было, например, открыто явление дифракции электронов, совер-
совершенно не присущее «классическим частицам» (телам). Здесь электрон
проявляет свойства, присущие волне (см. § 126). Таким образом, элек-
электрон не является частицей в обычном (классическом) смысле слова.
* Само Солнце имеет скорость 220 км/с.
** От греческого слова рлхрос (макрос) — большой, крупный.
59

Поэтому применение законов классической механики к электрону
(и вообще ко всем микрочастицам) оказывается не всегда возмож-
возможным*.
В классической механике для движущегося тела всегда можно одно-
одновременно и точно (т. е. с точностью, допускаемой измерительными
приборами) определить его координату х и скорость v (или импульс mv)
и, следовательно, найти его траекторию. Между тем оказалось,
что для микрочастиц это можно сделать лишь приближенно. Причем
произведение неточностей («неопределенностей») Ах и Аи в одновремен-
одновременном определении координаты и скорости не может быть меньше ве-
величины hl2ntn\
1 A7)
где т — масса частицы, h = 6,625 • 10~34 Дж • с — величина, на-
называемая постоянной Планка (см. § 131). Это положение известно
как соотношение неопределенностей, или принцип Гейзенберга**.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем больше точ-
точность определения координаты частицы, тем меньше точность одновре-
одновременного определения ее скорости, и наоборот.
Существенно, что невозможность одновременного точного опреде-
определения координаты и скорости частицы не есть следствие несовершен-
несовершенства измерительных приборов и методов измерения (не есть обычная
погрешность измерения). Это принципиальная невозможность, отра-
отражающая объективные свойства микрочастиц, их двойственную кор-
пускулярно-волновую природу (см. § 126, 137).
Так как постоянная Планка h весьма мала, то для тел большой
массы величина ^0; поэтому Ах и Av могут быть одновременно
2-кт
ничтожно малыми. А это значит, что одновременное измерение коор-
координаты и скорости макроскопического тела производится практически
точно, как и полагает классическая механика.
Соотношение неопределенностей проявляется только для микро-
микрочастиц, поскольку ввиду малости их массы величина сущест-
2пт
венно отличается от нуля и потому Ах и Аи не могут одновременно
иметь малые значения.
Вообще говоря, соотношение неопределенностей и для микрочас-
микрочастиц проявляется не во всех случаях их движения.
Рассчитаем, например, неопределенность Ал: в координате элек-
электрона, движущегося в «луче» электронного осциллографа (см. § 102)
со скоростью порядка Ю7 м/с. Пусть скорость электрона определена
с достаточно большой точностью — 0,01%, т.е. неопределенность в
скорости Av = Ю7 • 10~4 = 103 (м/с). Тогда, учитывая, что масса
* Микрочастицами, т. е. частицами малой массы, являются элементарные
частицы (электроны, протоны, нейтроны, мезоны и др.) и совокупности неболь-
небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов).
** Сформулирован в 1927 г. немецким физиком-теоретиком Гейзенбергом*
60

электрона т = 9,1 • 10~31 кг, получим из соотношения A7) для не-
неопределенности в координате электрона тоже малую величину:
д* =_*_=* 6,625-Ю^ « 10- (м) = 0,1 мкм.
2№ 2*.9,1 • КГ31 • 103
Следовательно, в данном случае координата и скорость электрона
определяются практически точно и его движение можно еще описы-
описывать законами классической механики.
Если же рассматривать движение электрона внутри атома, то
принцип Гейзенберга даст большую неопределенность в координате
или в скорости (см. § 133). Это означает, что электрон в атоме уже
нельзя считать обычной «классической частицей».
В начале XX в. было установлено (на опытах с электронами), что
вопреки представлениям классической механики масса тела не явля-
является постоянной величиной, а зависит от скорости его движения —
возрастает с увеличением скорости по закону
т =
V2
A8)
где т0— масса тела, покоящегося относительно наблюдателя (масса
покоя), т — масса этого же тела, движущегося со скоростью v отно-
относительно наблюдателя, с = 299 793 км/с — скорость распростране-
распространения света в вакууме.
Из таблицы, составленной на основании
формулы A8), видно, что при не очень боль-
больших скоростях движения (до 3 000 км/с) мас-
масса тела почти не изменяется и практически
равна массе покоя. При больших же скоро-
скоростях она заметно возрастает и, например, при
скорости v = 270 000 км/с уже более чем
вдвое превышает массу покоя.
Из формулы A8) следует, что тело с мас-
массой покоя, отличной от нуля, не может дви-
двигаться со скоростью света: при v-^c будет
т-^оо, следовательно, для сообщения телу скорости, равной скорости
света, необходимо совершение бесконечно большой работы, что невоз-
невозможно.
При v<^c будет (v/cJ<^l; тогда с помощью бинома Ньютона фор-
формулу A8) можно представить в виде
V (КМ/С)
0
1500
3 0С0
30 000
150 000
270 000
298 300
299 640
т/т0
1
1,00001
1,00005
1,00504
1,1547
2,2941
10,0125
31,6268
т = т
или, пренебрегая членами выше второго порядка малости,
61

откуда
№к ^с2(т- т0) = Дтс2, A9)
где Дй?к — изменение кинетической энергии, Дт — изменение массы
тела при изменении скорости его движения от 0 до v.
Соотношение A9) оказывается универсальным: оно точно выпол-
выполняется в любых системах и процессах, для любых видов энергии и лю-
любых значений скорости. Поэтому вообще можно написать
Ш = Дтс2, B0)
или
W - Uo = тс2 - тос\ B0а)
откуда
W = тс2 B06)
и
Uo = т0с2. B0в)
Величина Uo — внутренняя энергия, присущая телу или системе
(«энергия покоя»); это может быть, например, ядерная энергия, «скры-
«скрытая» в плоящемся атоме (см. § 142). Величина W — полная энер-
энергия системы.
Каждое из соотношений B0)—B0в) выражает универсальный за-
закон взаимосвязи массы и энергии (открытый теоретически Эйнштейном
в 1905 г.), согласно которому
изменение массы тела (или системы) сопровождается пропорцио-
пропорциональным изменением его энергии.
В свете закона взаимосвязи (пропорциональности) массы и энер-
энергии обнаруживается, что масса, которая в классической механике
характеризует инертные (см. § 7) и гравитационные (см. § 12) свой-
свойства тел, является еще и характеристикой энергосодержания тела.
Поскольку вместе с тем масса есть мера количества материи, а энер-
энергия — мера движения материи, то закон пропорциональности массы
и энергии служит ярким подтверждением фундаментального поло-
положения диалектического материализма о неразрывности материи и дви-
движения.
Огромное численное значение коэффициента с2 в выражении B0)
закона взаимосвязи массы и энергии ведет к тому, что даже очень
большие, технически достижимые изменения энергии тела сопрово-
сопровождаются ничтожно малым, практически не обнаружимым изменением
-его массы: Дт == . Например, у космической ракеты массой по-
покоя т0 = 1 500 кг, посланной в сторону Луны со второй космичес-
космической скоростью 02 = 11,2 км/с, энергия возрастает на
1500-^1200^ 94
«2

а масса — всего лишь на
дт = 9'4>101° » 10~в (кг) = 1 мг(!).
C • ю8J
Таким образом, относительное изменение массы ракеты
Am 10-e
т0 1500
<10-9=
что, конечно, не может быть обнаружено экспериментальным путем.
Поэтому экспериментальная проверка закона взаимосвязи массы:
и энергии возможна только на явлениях микромира (ядерных процес-
процессах или процессах превращения элементарных частиц), сопровож-
сопровождающихся большими изменениями энергии, сравнимыми по порядку
величины с произведением /п0с2*. В области микромира взаимосвязь
массы и энергии проявляется весьма ощутимо. На законе взаимосвя-
взаимосвязи массы и энергии основаны ядерная физика и атомная энергетика
(см. гл. XX).
В связи с тем что законы классической механики оказались при-
применимыми лишь в области, охватывающей не очень быстро движущие-
движущиеся макроскопические тела, возникли (в начале текущего столетия) два
новых раздела физики: квантовая механика и релятивистская меха-
механика (теория относительности). Квантовая механика изучает дви-
движение в взаимодействие микрочастиц. Теория относительности изу-
изучает движения тел, происходящие со скоростями, сравнимыми со
скоростью света.
Законы квантовой и релятивистской механики более универсаль-
универсальны, чем законы классической механики: они применимы к любым те-
телам и любым скоростям движения. Надо, однако, подчеркнуть ва
избежание недоразумений, что ограниченность области применения
классической механики не означает, что основные ее законы не точны
по существу и что, например, закон сохранения и превращения энер-
энергии теряет силу в областях микромира и больших скоростей. Закон
сохранения и превращения энергии справедлив для всех без исклю-
исключения систем и процессов. Неточными являются лишь выражения (фор-
(формулы) физических величин, даваемые классической механикой; при*
чем эти неточности сказываются только в областях микромира и*
больших скоростей движения. Например, если тело движется со ско-
скоростью Vi относительно системы отсчета Ои которая сама движется
относительно другой системы отсчета О2 со скоростью иг, совпадаю-
совпадающей по направлению с vu то скорость v тела относительно системы
0% определится, согласно классической механике, по формуле
v = v1 + v2> B1)
* Так как, согласно формуле B0), относительное изменение массы

а согласно теории относительности — по формуле
^1 ~Г ^2 /ОО\
V = ТГТГ у \11)
где с — скорость света в вакууме.
Формула B1) является приближенной и представляет собой част-
частный случай формулы B2) при небольших значениях скоростей vi
и v2 (в сравнении с с). Релятивистская же формула B2) верна для лю-
любых значений скоростей. В частности, при сложении двух скоростей,
каждая из которых сколь угодно близка к скорости света, релятивист-
релятивистская формула даст результирующую скорость v = с, а не 2с, как это
получается по классической механике.
Таким образом, формула B2) согласуется с основным положением
специальной теории относительности в том, что скорость света в ва-
вакууме — максимальная из возможных в природе скоростей и движе-
движение источника света не изменяет ее. Действительно, если источник све-
света движется со скоростью vn по направлению или противоположно
направлению посылаемого им света, то, полагая в формуле B2) Vi =
Итак, теория относительности и квантовая механика не отвергают,
а уточняют представления и законы классической механики и устана-
устанавливают границы ее применимости,
В последующих разделах книги мы еще встретимся с применением
некоторых положений релятивистской и квантовой механики.
Задача 10. Животноводческая ферма, имеющая п\ = 200 голов крупного
и /г2 = 1000 голов мелкого скота, снабжается водой из водонапорной башни вы-
высотой Н = 15 м. Какую работу совершает в сутки насос, подающий воду в баш-
башню, если, суточный расход воды составляет Vi = 60 л на голову крупного ско-
скота и У2 = 10 л на голову мелкого? Коэффициент полезного действия двигателя
насоса •*)= 80%.
Решение. Суточный расход воды V = Vitii + V2n2- Работа, необхо-
необходимая для подъема этого количества воды (полезная работа), АП = РН =
= mgH = VpgH, гДе р = 103 кг/м3 — плотность воды, т — масса воды, Р —
ее вес.
Тогда работа, совершаемая насосом,
л3 = — =
3
7] TTj
F0.200+ 10 • 1000)-lQ-з м»-10» кг/м3-9,8 м/сМ5 м
^ 0,8 ^
= 4,04 • 10е Дж = 4,04 МДж.
Задача 11. Трактор за время / = 8ч вспахивает поле площадью S = 2 га
при захвате лемехов / = 1,2 м и сопротивлении почвы FTp = 17 640 Н. Опре-
Определить мощность N мотора трактора, если его коэффициент полезного действия
к; =
64

Решение. Работа, совершаемая трактором против силы сопротивле-
сопротивления почвы (с учетом коэффициента полезного действия),
где S/1—путь, пройденный трактором. Тогда мощность мотора трактора
t Щ 8 . 3600с • 1,2 м ¦ 0,8
Задача 12. Баба копра массой т\ — 500 кг падает на сваю массой т2 =
= 100 кг со скоростью vi = 4 м/с. Определить: а) кинетическую энергию Wx
копра в момент удара; б) энергию W2, затрачиваемую на углубление сваи в
грунт; в) энергию W3, затрачиваемую на деформацию сваи; г) коэффициент
полезного действия удара копра о сваю.
Решение, а) Согласно формуле Fа),
б) Энергия,, затрачиваемая на углубление сваи в грунт, должна быть равна
кинетической энергии, которой обладает система баба копра — свая в момент
удара. Поэтому
___ (тх + 4) и2
W*~ 2
где и — скорость системы в момент удара. Эту скорость найдем по закону сох-
сохранения количества движения:
mxvx + m2v2 = (mx + т2) и,
где v2 = 0 — скорость сваи перед ударом. Тогда
т2 m\v\ m\ v\ mx
= W1 _^_ = 4000Дж. ^ = 3333 Дж.
тх + ш2 600 кг
в) Кинетическая энергия бабы копра W\ расходуется на углубление сваи
в грунт и на деформацию сваи. Поэтому Wi — W2+ W3, откуда W3 = W\ —
_№2 = 4000 Дж — 3333 Дж = 667 Дж.
г) Так как копер предназначен для забивания (углубления в грунт) свай, то
кг
3—Э!

Глава IV. Вращательное движение твердого тела
§ 21. Основной закон динамики вращения
В этой главе твердое тело рассматривается как совокупность ма-
материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Такое
не поддающееся деформации тело называется абсолютно твердым.
Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием
силы F* вокруг неподвижной оси 00' (рис. 30). Тогда все его точки
описывают окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все
точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое
ускорение (в данный момент времени).
Разложим действующую силу F* на
три взаимно перпендикулярные составля-
составляющие: F' (параллельную оси), F" (пер-
(перпендикулярную оси и лежащую на линии,
проходящей через ось) и F (перпендикуляр-
(перпендикулярную F' и /"'). Очевидно, что вращение те-
тела вызывает только составляющая F, яв-
являющаяся касательной к окружности, опи-
описываемой точкой приложения силы. Соста-
Составляющие F' и F" вращения не вызывают.
Назовем F вращающей силой. Как извест-
известно из школьного курса физики, действие
силы F зависит не только от ее величины,
но и от расстояния точки ее приложения
А до оси вращения, т. е. зависит от мо-
момента силы. Моментом М вращающей силы (вращающим моментом)
называется произведение вращающей силы F на радиус окружности г,
описываемой точкой приложения силы:
М = Fr. A)
Мысленно разобьем все тело на очень малые частицы — элемен-
элементарные массы. Хотя сила F приложена к одной точке А тела, ее вра-
вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной
массе Am, будет приложена элементарная вращающая сила Д/7, (см.
рис. 30). Согласно второму закону Ньютона,
Рис. 30
где а% — линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умно-
Умножая обе части этого равенства на радиус rt окружности, описываемой
элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение
р (см. § 7), получим
Учитывая, что AFiri=^AMl — вращающий момент, приложенный
к элементарной массе, и обозначая
= A^i, B)
66

получим
где A/j — момент инерции элементарной массы (материальной точ-
точки). Следовательно, моментом инерции материальной точки относи-
относительно некоторой оси вращения называется произведение массы мате-
материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.
Суммируя вращающие моменты ДМ?, приложенные ко всем эле-
ментаоным массам, составляющим тело, получим
2ДМ* - pZAJf, C)
где 2АМг = М — вращающий момент, приложенный к телу, т. е.
момент вращающей силы F, ?Д/^ = J — момент инерции тела. Сле-
Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов
инерции всех материальных точек, составляющих тело.
Теперь можно переписать формулу C) в виде
М = J$. D)
Формула D) выражает основной закон динамики вращения (вто-
(второй закон Ньютона для вращательного движения):
момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведе-
произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Из формулы D) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу
вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше
момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, мо-
момент инерции характеризует инерционные свойства тела при враща-
вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерцион-
инерционные свойства тела при поступательном движении, Однако в отличие
от массы момент инерции данного тела может иметь множество зна-
значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. По-
Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать,
относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно при-
приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симмет-
симметрии тела.
Из формулы B) следует, что единицей измерения момента инер-
инерции является килограмм-квадратный метр (кг • м2).
Если вращающий момент М = const и момент инерции тела J =
= const, то формулу D) можно представить в виде
или
Ш = J% — /<*>, E)
где t — промежуток времени, в течение которого угловая скорооть
вращения тела изменяется от <о0 до <о. Произведение Ш (аналогич-
(аналогичное импульсу силы Ft) называется импульсом момента силы, произ-
произведение Joy (аналогичное количеству движения mv) называется мо*
ментом количества движения (моментом импульса).
3* 67

Формула E) выражает закон изменения момента количества дви-
движения (аналогичный закону изменения количества движения):
изменение момента количества движение тела за некоторый про-
промежуток времени равно импульсу момента силы за тот же промежу-
промежуток времени.
Подчеркнем, что закон изменения момента количества движения
остается справедливым и в общем случае переменного вращающего
момента М Ф const. Обобщение этого закона проводится посредст-
посредством рассуждений, аналогичных тем, к которым мы уже обращались
при выводе закона изменения количества движения (см. § 8).
Вращающий момент, импульс момента и момент количества движения явля-
являются векторными величинами; они направлены по оси вращения в соответствии
с правилом буравчика, т. е так же, как вектор угловой скорости (см. § 6).
§ 22. Моменты инерции некоторых тел
Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инер-
инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометриче-
геометрически правильной формы — посредством интегрирования. Правда, для
тонкого стержня момент инерции
о' можно рассчитать и элементарным
^ путем.
Пусть тонкий однородный стер-
_ И ч жень массой т, длиной /, площа-
ш* о дью поперечного сечения S и плот-
гИ ДГ * ностью р может вращаться отно-
; сительно перпендикулярной оси
01 00'у проходящей через его конец
(рис. 31). Разобьем стержень на
ис* большое число п малых элементов
длиной Аг и массой Am = pS • Ал
Момент инерции каждого такого элемента, согласи о формуле B),равен
AJ = Am • г2 = р5 • Дг (г^х гг),
где г = V г^хгг — среднее геометрическое (см.§ 3) расстояние элемен-
элемента от оси вращения, гм и г% — соответственно расстояния от на-
начала и от конца элемента до этой оси. Но г^х = (/— 1) • Дг, а
г% == ( • Дг, поэтому
AJ = PS- Ar3(/ — l)i.
Умножая и деля правую часть последнего равенства на л3 и учиты-
учитывая, что п • Дг = /, a pS/ = m, получим
Будем теперь бесконечно увеличивать число п элементов, делая
тем самым длину Дг каждого из них бесконечно малой. Тогда, согласно
68

определению, момент инерции J всего стержня будет равен пределу
(при /г->¦ оо) суммы моментов инерции всех элементов:
n*oo П
Легко убедиться в том, что
2 + 2-3+ ••• +(л— 1)/? =
В самом деле, как показывают непосредственные вычисления, послед-
последнее равенство верно для п = 1, 2, 3,..., следовательно, оно верно и
для п = k. Покажем, что оно остается справедливым и для п ~
= k + 1:
Таким образом, рассматриваемое равенство оказывается спра-
справедливым для любого целого значения /г, в том числе и для п = оо .
Тогда
Аналогично выводится формула и для момента инерции тон-
тонкого стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей
через его середину. Этот расчет читатели могут сделать самосто-
самостоятельно.
Выведенное выражение момента инерции тонкого стержня проще всего по-
получить посредством интегрирования. Для этого стержень, который мы разби-
разбивали раньше на п элементов длиной Л г и массой А т (см. рис. 31), разобьем
теперь на бесконечно большое число бесконечно малых элементов длиной dv
и массой dm. Обозначив расстояние от оси ОО' до одного из таких элементов че-
через г, напишем, что момент инерции элемента стержня
dJ = гЧт
Тогда момент инерции всего стержня
J = f dJ = р5 f i*dr = —
f dJ = р5 f i*
09

Но масса стержня т = pS/, поэтому
Приведем (без вывода) формулы для расчета момента инерции некоторых
однородных тел геометрически правильной формы массой т относительно оси
симметрии 00'.
1. Момент инерции тонкого стержня длиной / (рис. 32, а)
J — — ml2. F)
12 v '
2. Момент инерции бруска длиной а и шириной Ь (рис. 32, б)
G)
3. Момент инерции кольца, внешний радиус которого R, а внутренний —
г (рис. 32, в),
J*= — m («¦ + /«). (8)
4. Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиусом ~R (рис. 32, г)
A0)
(И)
Формулу (9) легко получить, полагая в формуле (8) г = R = ~R.
5. Момент инерции диска (цилиндра) радиусом R (рис. 32, д)
У = — mR\
Формулу A0) легко получить, полагая в формуле (8) г = 0.
6. Момент инерции шара радиусом R (рис. 32, е)
J RK
Если ось вращения тела параллельна оси симметрии ОО\ но смещена от
нее на расстояние d, то момент инерции J' относительно параллельно смещенной
оси выражается соотношением, называемым теоремой Штейнера:
У'^У + md2, A2)
Где J — момет инерции тела относительно оси симметрии. Например, момент
инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно
к стержню через его конец, равен
что совпадает с результатом расчетов, проведенных в начале данного параграфа.
70

§ 23. Закон сохранения момента количества движения.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Сравним попарно между собой следующие законы (формулы)
механики поступательного движения и механики вращательного дви-
движения: второй закон Ньютона [формула B), § 7] —с основным за-
законом динамики вращения D), закон изменения количества движения
[формула D), § 8] — с законом изменения момента количества движе-
движения E), выражение линейной скорости [формула A), § 4 ] — с выраже-
выражением угловой скорости [формула A0), § 6]. Бросается в глаза большое
сходство в формулировках сравниваемых законов и в структуре срав-
сравниваемых формул. Каждой физической величине, характеризующей
поступательное движение, соответствует определенная физическая
величина, характеризующая вращательное движение. Например,
линейной скорости аналогична угловая скорость, силе — момент силы,
массе — момент инерции и т. п. Эти аналогичные физические величи-
величины выписаны для наглядности в таблицу.
Поступательное движение
Вращательное движение
Время t
Линейный путь s
Линейная скорость v
Линейное ускорение а
Сила F
Масса т
Импульс силы Ft
Количество движения то
Время с .... t
Угловой путь <р
Угловая скорость о>
Угловое ускорение Р
Момент силы • • М
Момент инерции • J
Импульс момента силы ...... Mt
Момент количества движения . • . Уо>
Обнаруженное сходство с законами поступательного движения
имеет место вообще для всех законов вращательного движения. Поль-
Пользуясь этим, напишем по аналогии (с помощью таблицы) закон вра-
вращательного движения, аналогичный закону сохранения количества
движения [формула F), § 9]:
! +
+
*# • + ^пшп = const,
A3)
где i| и ш, - моменты инерции и угловые скорости тел, составля-
составляющих изолированную систему.
Формула A3) выражает закон сохранения момента количества
движения:
В изолированной системе сумма моментов количества движения
всех тел — величина постоянная.
Этот закон, как и закон сохранения количества движения, обна-
обнаруживается во многих явлениях природы и техники.
Для изолированной системы, состоящей из одного тела, закон
сохранения A3) запишется в виде
const.
A4)
71

Из формулы A4) следует, что изменение момента инерции тела должно
сопровождаться изменением угловой скорости вращения тела: уве-
увеличение (уменьшение) J вызывает соответствующее уменьшение (уве-
(увеличение) о). Это следствие рассматриваемого закона обычно демон-
демонстрируют с помощью вращающейся скамьи («скамья Жуковского»).
Человек с расставленными в стороны руками вращается, стоя на скамье
Жуковского (рис. 33). Затем он быстро опускает руки. При этом его
момент инерции уменьшается, а угловая скорость вращения увеличи-
увеличивается. На законе сохранения момента коли-
количества движения основаны известный акро-
акробатический прием «сальто-мортале», балетный
прием «пируэт» и т. п. Все свободные гиро-
гироскопы действуют на основе этого закона: вра-
вращающаяся с большой скоростью масса сохра-
сохраняет вектор момета количества движения,
т. е. сохраняет неизменной ось своего враще-
вращения. Этим объясняется устойчивость положе-
положения земной оси, продольной оси летящего
артиллерийского снаряда, ружейной пули,
вертикальная устойчивость движущегося вело-
велосипеда и т. п.
Пользуясь ранее приведенной таблицей,
напишем выражение кинетической энергии
вращающегося тела (WKtBp) по аналогии с вы-
выражением кинетической энергии поступатель-
поступательно движущегося тела (см. § 17):
Рис. 33
"IT
A5)
где J — момент инерции, о> — угловая скорость вращения тела.
Для того чтобы еще раз убедиться в правомерности применения
«метода аналогий» к законам вращательного движения, получим фор-
формулу A5) путем вывода. Кинетическая энергия одной частицы враща-
вращающегося тела (рис. 30) массой Дт?, движущаяся со скоростью v% по
окружности радиусом гь равна
где ДУ| — момент инерции частицы, ш — угловая скорость вращения
тела. Тогда, суммируя энергии \Wt всех частиц, составляющих тело»
получим выражение кинетической энергии вращающегося тела:
За счет кинетической энергии вращения тело может совершать
работу. Очевидно, что эта работа должна равняться изменению
72

(убыли) кинетической энергии вращения:
где (о0 и (о —начальная и конечная угловые скорости вращения.
В технике для обеспечения равномерного хода машин (тракторов,
кораблей, прокатных станов и т. п.) широко используется кинетичес-
кинетическая энергия махового колеса: при внезапном увеличении нагрузки
машина не останавливается, а совершает работу за счет запаса кине-
кинетической энергии вращения маховика.
Если тело одновременно участвует в поступательном и вращатель-
вращательном движениях, то его кинетическая энергия равна сумме кинети-
кинетических энергий поступательного движения, и вращения:
*2 + М
Это положение надо учитывать при решении многих практических
задач.
Определим, например, кинетическую энергию обруча радиусом R и массой т.
катящегося со скоростью v.
Кинетическая энергия поступательного движения обруча
v =—•
к. пост
Для определения №к.вр. найдем угловую скорость вращения обруча и его
момент инерции:
со=— , J = mR2.
R
Тогда
к.вр 2R* 2
и
w к — w к. пост * w к. вр — ти ¦
Таким образом, для катящегося обруча WKt пост и WKt вр оказываются одина-
одинаковыми. Для тел другой формы соотношение этих энергий будет иным.
Задача 13. Колесо, вращаясь при торможении равнозамедленно, умень-
уменьшило в течение времени t = 1 мин частоту своего вращения с vo = 300 об/мин
до v = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг • м2. Определить: а) угло-
угловое ускорение колеса Р; б) тормозящий момент М; в) работу торможения А.
Решение, а) Угловое ускорение колеса определим как отношение
изменения его угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это
изменение произошло:
СО0-СР 271 (Ур — V) 2ТГE-3) Об/С
Р = ~— = 02
где «о и ш — угловые скорости вращения колеса в начале и в конце промежутка
времени t (напомним, что наименования «оборот» и «радиан» безразмерны)
73

в)
ся на
A6),
б) По основному закону динамики вращения D), тормозящий момент силы
М = У? = 2 кг • м2 • 0,21 рад/с2 = 0,42 Дж.
При торможении колеса кинетическая энергия его вращения расходует-
расходуетсовершение работы против тормозящих сил. Поэтому, согласно формуле
— 4ti2
—v) =2 кг. м2.2тс. 16 (об/с2) = 640 Дж.
Задача 14. На сплошной цилиндрический вал радиусом
R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз мас-
массой т = 10 кг (рис. 34). Найти момент инерции J вала и его мас-
массу mi, если груз, разматывая шнур, опускается с ускорением а =
= 2,04 м/с2.
Решение. Согласно основному закону динамики вращения
<4),
где М —вращающий момент силы Т натяжения нити, р = — —
R
угловое ускорение вала.
Рис. 34 По определению момента силы,
Так как натяжение нити и ускорение груза обусловлены его весом Р =
mg = 10 кг • 9,8 м/с2 = 98 Н, то Р = Т + та, откуда
Тогда М = (Р — та) R и
f (Р — та) R2 (98 Н — 10 кг . 2,04 м/с2) . 0,25 ма
j
2,04 м/с2
_ 95 кг . М2,
Момент инерции сплошного цилиндрического вала, согласно формуле A0),
равен
откуда
2J 2-9,5 кг-м2
"ЯГ- 0,25 м2

Глава V. Движение жидкости
§ 24. Основные определения. Уравнение неразрывности
В отличие от твердого тела в жидкости возможны значительные
смещения составляющих ее частиц относительно друг друга. Поэтому
движущаяся жидкость может изменять свою форму в соответствии
с формой русла.
Реальная жидкость сжимаема: ее объем уменьшается, а плотность
увеличивается с повышением давления. Однако сжимаемость жидкости
мала. Например, при повышении
давления от 105 до 107 Па плот-
плотность воды увеличивается всего
лишь на 0,5%. В движущейся
жидкости обычно не бывает столь
больших перепадов давления.
Поэтому сжимаемостью движу-
движущейся жидкости можно прене-
пренебречь.
Реальная жидкость вязка: в
движущейся жидкости всегда
возникают силы внутреннего
трения (см. § 58). Если усло-
условия движения жидкости таковы,
что силы внутреннего трения
малы по сравнению с другими
действующими в ней силами
(давления, тяжести и т. п.), то
жидкость можно считать практи-
практически невязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая
вязкостью, называется идеальной*.
Рассмотрим некоторый объем внутри движущейся идеальной не-
несжимаемой жидкости. Мысленно отметим в нем ряд точек и изобра-
изобразим векторами скорость движения частиц жидкости, находящихся в
данный момент времени в этих точках (рис. 35, а). Проведем линии,
в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости
движения частиц жидкости. Такие линии называются линиями тока.
Движение жидкости называется установившимся (стационарным),
если скорость жидкости в каждой точке рассматриваемого объема не
изменяется с течением времени. В этом случае линии тока также
остаются неизменными и частица жидкости, находящаяся в данный
момент на некоторой линии тока, будет все время оставаться на этой
линии. Иными словами, при установившемся движении траектории
частиц жидкости совпадают с линиями тока. Установившееся дви-
движение жидкости имеет место в случаях, когда силы, вызывающие
движение, не изменяются со временем.
* При температуре выше 0° С многие реальные жидкости (эфир, ацетон,
спирт, вода, ртуть) обладают малой вязкостью и потому их можно рассматри-
рассматривать как идеальные жидкости.
Рис. 35
75

В этой главе рассматривается только установившееся движение
идеальной несжимаемой жидкости.
Прежде всего покажем (прибегая к доказательству «от противного»),
что линии тока не пересекаются между собой. Предположим, что
две линии тока пересеклись. Тогда частица жидкости, находящаяся
в точке пересечения, должна двигаться одновременно по двум траекто-
траекториям, что невозможно. Следовательно, линии тока не пересека-
пересекаются.
Выделим теперь в движущейся жидкости объем, ограниченный ли-
линиями тока (рис. 36, б). Из положения о непересекаемости линий то-
тока следует, что жидкость не может проходить через боковую поверх-
поверхность этого объема (ни внутрь объема, ни из него). Таким образом, рас-
рассматриваемый объем подобен трубке с непроницаемыми для жидкости
стенками. Поэтому объем жидкости, ограниченный линиями тока,
называется трубкой тока.
Выберем в трубке тока два поперечных сечения: Si (где скорость те-
течения жидкости равна vt) hS2 (где скорость течения жидкости равна
v2). Так как жидкость не сжимается, не разрывается и не переходит
через боковую поверхность трубки, то за время Д/ через эти сечения
пройдут одинаковые объемы, а следовательно, и одинаковые массы
Am жидкости. Объем жидкости, протекающий через широкое сечение,
имеет форму цилиндра с основанием 5i и высотой Vi • At\ он равен
5^1 • At. Точно так же объем жидкости, протекающий через узкое
сечение, равен S2v2 • Д^. Тогда
Так как сечения были выбраны произвольно, то
Sv = const, A)
т. е.
для данной трубки тока произведение площади поперечного сечения
трубки на скорость течения жидкости есть величина постоянная.
Соотношение A) называется уравнением
неразрывности струи. Оно справедливо
не только для трубки тока, но и для всякой
реальной трубы, для русла реки и т. п. В
р 36 соответствии с уравнением неразрывности
скорость течения на узких участках реч-
речного русла больше, чем на широких и
глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта,
больше, чем в шланге, и т. п.
На рис. 36 изображено с помощью линий тока движение жидкости
в трубе переменного сечения. В узкой части трубы, где скорость те-
течения наибольшая, линии тока оказываются сгущенными. Таким
образом, картина линий тока дает представление не только о направ-
направлении, но и о величине скорости течения жидкости.
76

§ 25. Уравнение Бернулли
Пусть по наклонной трубке тока (или реальной трубе) переменного
сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мыс-
Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями Si и S2,
в которых скорости течения равны соответственно Vi и V2 (рис. 37).
Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области
за малый промежуток времени АЛ За это время масса жидкос-
жидкости, заключенная между сечениями S[ и Sb втекает в рассматрива-
рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями S2 и S2, выге
кает из нее. Иных изменений в
рассматриваемой области не про-
происходит. Поэтому величина из-
изменения полной энергии AW
равна разности полных энергий
вытекающей и втекающей масс.
Учитывая, что полная энергия
идеальной несжимаемой жидко-
жидкости слагается из ее кинетической
WK и потенциальной Wn энер-
энергий, получим
AW = (WK + WnJ - (WK+ Wn\ Рис. 37
B),
где индексы 1 и 2 относятся соответственно к сечениям St и S2.
Как мы уже видели (см. § 24), вытекающая и втекающая массы
оказываются одинаковыми (Дт). Вводя в формулу B) выражения ки-
кинетической и потенциальной энергий, напишем
+ Amgh2 —
Amy?
где g — ускорение силы тяжести.
В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина
изменения энергии должна равняться работе ДЛ внешних сил (дав-
(давления) по перемещению массы Дт:
ДЦ7 = ДЛ.
D)
Определим эту работу. Внешняя сила давления Fx совершает работу
ДЛ4 по перемещению втекающей массы на пути vi • А/; в то же время
вытекающая масса совершает работу ДЛ2 против внешней силы дав-
давления F2 на пути v2 • At. Поэтому
ААХ = F1vl • ДЛ
а искомая работа
ДЛ = ААг + ДЛ2 =
Учитывая, что
Fx = pLSt и F2 = p2S2,
ДЛ2 = — F2v2 • At,
At — F2v2 • At.
77

где рг и ра—давления на сечениях Sx и S2, получим
АА = р^а, • At — P2S2v2 • Д/.
Но
гдеДУ — объем каждой из рассматриваемых масс (см. § 24). Поэтому
АА = рх - ДУ - р2 • ДУ. E)
Объединяя формулы C), D) и E), получим после перегруппировки
слагаемых
о? Amy?
• + Amgh2 + р2 • ДК = h AmgAt + рх • Д^.
Поделив обе части последнего равенства на Д1/ и учитывая, что
Am/AV = р — плотность жидкости, получим
Р^ Р^
+ p2
Поскольку сечения Si и S2 выбраны произвольно, можно окончательно
написать
-Y" + pgh + P = const. F)
Это соотношение, выведенное в 1738 г. Д. Бернулли, называется урав-
уравнением Бернулли. Первое слагаемое левой части этого уравнения пред-
представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости; второе —
удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести;
третье — удельную энергию жидкости, обусловленную силами дав-
давления (удельная энергия — энергия, приходящаяся на единицу объе-
объема жидкости).
Единицей измерения давления является паскаль (Па). Паскаль —
давление, вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной на
поверхности площадью 1 м2;
Па = Н/м2 - Н . м/м3 = Дж/м3.
Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения
энергии (удельной) и может быть сформулировано так:
при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости
сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной
удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении
потока.
Из приведенного преобразования единиц измерения давления
в единицы измерения удельной энергии следует, что все члены
левой части уравнения F) можно еще рассматривать как величины
давления. Величину р называют статическим давлением, величину
pv2/2 — динамическим давлением, величину pgh — гидравлическим дав-
лением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать еще такую
формулировку:
78

в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости пол-
полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и стати*
ческого давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.
Для горизонтальной трубки тока (или реальной трубы) уравнение
Бернулли принимает вид
Л- -j- p = const
G)
(так как pgh = const).
Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах
сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а
давление понижается.
В заключение остановимся на следующем важном положении.
Уравнения A) и F) применимы не только к жидкостям, но и к газам в
случаях, когда сжимаемостью и вязкостью газа можно пренебрегать.
Оказывается, что это можно делать при небольших скоростях движе-
движения газа, когда в газовом потоке обычно не возникает больших градиен-
градиентов скорости, а следовательно, и больших сил вязкости (см. § 50).
Что касается сжимаемости газа, то, как показывают теория и опыт,
ею можно пренебречь при скоростях движения газа, меньших скоро-
скорости распространения звука в нем. Скорость звука в воздухе составляет
около 340 м/с = 1224 км/ч. Поэтому воздух, движущийся со скоростью,
не превышающей 150—200 м/с, допустимо считать идеальной несжи-
несжимаемой жидкостью и применять к нему уравнение неразрывности и
уравнение Бернулли.
§ 26. О некоторых приложениях уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли является одним из основных законов меха-
механики движения жидкостей и газов (гидро- и аэродинамики), имеющим
большое прикладное значение. Приведем несколько примеров.
1. Гидротурбина. Вода, находящаяся под большим давле-
давлением, но имеющая малую скорость, поступает по суживающемуся тру-
трубопроводу А через сопло В на лопатки С рабочего колеса D (рис. 38).
Согласно уравнению Бернулли, потенциальная энергия давления воды
переходит в узком трубопроводе и сопле в кинетическую энергию, за
счет которой рабочее колесо приводится во вращение.
Рис. 38
Рис. 39

Вода
Вцздух
Аналогичным образом поток газа приводит в действие газотурбину.
2. Гидротаран. Вода движется от плотины по наклейному
трубопроводу А (рис. 39). В конце трубопровода имеется подвижная
заслонка В, которая может периодически быстро перекрывать трубо-
трубопровод. При каждом перекрытии потока динамическое давление в нем
внезапно падает до нуля, а статическое давление резко возрастает,
перегоняя часть воды по вертикальной трубе С в водонапорный бак.
Простота устройства и эксплуатации гидротарана позволяет при-
применять его везде, где есть хотя бы небольшая речка. Вода из водонапор-
водонапорного бака может быть использована для оро-
орошения земель, водоснабжения животноводчес-
животноводческих ферм и т. д.
3. Водоструйный насос. Вода
течет по трубе, имеющей в узкой части не-
неплотное сочленение (рис. 40). На выходе из
трубы давление в струе воды равно атмосфер-
атмосферному. Тогда, согласно уравнению Бернулли,
давление в суженной части трубы ниже
атмосферного. Поэтому воздух из резервуара
Л, окружающего сужение, засасывается в
трубу через сочленение и выходит из нее вме-
вместе с водой. Трубка В присоединяется к сосу-
сосуду, из которого надо откачать воздух (или
какой-нибудь другой газ).
Будучи крайне простым по устройству и
эксплуатации, водоструйный насос межет соз-
создавать разрежения до 90 Па. Водоструйные насосы широко исполь-
используются в лабораториях, в конденсаторных установках паровых тур-
турбин и т. п.
Аналогично водоструйному насосу действует пароструйный насос
(инжектор), служащий для питания водой паровых котлов.
4. Подъемная сила крыла самолета. На рис. 41
представлена форма поперечного сечения крыла самолета («профиль
Жуковского»), разработанная в 1904 г. основателем аэродинамики
Н. Е. Жуковским. Благодаря этой форме вокруг движущегося крыла
возникает циркуляция (круговое течение) воздуха, направленная по
Рис. 40
Рис. 42

часовой стрелке. Над крылом скорости циркуляции vc и встречного
воздушного потока v складываются, под крылом — вычитаются. По-
Поэтому относительная скорость движения воздуха над крылом (р% =
= v + vc) превышает относительную скорость под крылом (vt =
= v — vc), т. е. Vi < V2, что отражено на рис. 42 густотой линий
тока. Тогда, согласно уравнению Бернулли, давление под крылом
pi будет больше, чем над крылом рг (р2 < pi)- За счет разности дав-
давлений pi — р2 возникает подъемная сила F крыла самолета. Отметим,
что отчасти подъемная сила обусловлена еще и небольшим наклоном
плоскости крыла к направлению движения самолета (угол атаки).
-Ветер
Рис. 43
5. Аэрация почвы. Представим себе участок неровной
земной поверхности, например вспаханное поле, где валы чередуются
с бороздами (рис. 43). Пусть ветер дует перпендикулярно к направле-
направлению борозд. Очевидно, что наличие этих неровностей скажется на ха-
характере воздушного потока: вблизи земли линии тока будут искривлены
и выровняются лишь на некоторой высоте над землей. Поэтому при-
приземный слой воздуха является своеобразной трубкой тока (точнее
говоря, «слоем тока») переменного сечения, ограниченной снизу по-
поверхностью земли, а сверху — ближайшей горизонтальной поверх-
поверхностью, образованной невозмущенными линиями тока. Сечение труб-
трубки будет наибольшим над бороздами и наименьшим над валами.
Тогда в соответствии с уравнением неразрывности и уравнением Бер-
Бернулли давление воздуха над бороздами р4 будет больше, чем над ва-
валами р2 (Vi < u2; pi > р2). Благодаря этому в поверхностном слое
почвы возникает движение почвенного воздуха, направленное от осно-
оснований борозд к вершинам валов (см. рис 43), обеспечивающее газо-
газообмен между почвой и атмосферой. Это явление называется аэраци-
аэрацией почвы. Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а при-
приземный воздух — углекислотой, создавая тем самым благоприятные
условия для развития растений.
При достаточно большой скорости ветра движение воздуха в почве
может стать столь интенсивным, что вызовет разрушение (размель-
(размельчение) почвенных частиц. Таким образом, ветровая аэрация способ-
способствует созданию мелкокомковатой структуры почвы.
81

В заключение отметим, что на основе уравнения Бернулли дей-
действует карбюратор двигателя внутреннего сгорания, пульверизатор,
опрыскиватель сельскохозяйственных растений, ингалятор и другие
распылители жидкости.
Задача 15. Из опрыскивателя плодовых деревьев выбрасывается струя
жидкости со скоростью v2 = 25 м/с; плотность жидкости р = 1 г/см8. Какое
давление pi создает компрессор в баке опрыскивателя?
Решение. Исходя из уравнения Бернулли G), напишем
v]
p
где t^i, pi — скорость и давление жидкости в баке опрыскивателя, рг — дав-
давление в струе жидкости на выходе из опрыскивателя. Но Vi — 0, так
как скорость жидкости в баке (и шланге) ничтожно мала по сравнению с v2.
Кроме того, р2 = 0, поскольку в уравнении Бернулли р представляет собой
давление избыточное над атмосферным. Поэтому
?4 Ю3 кг/м3 • 625 м2/с2
Pl = — = '— — = 3,12 • 10* Па.
Задача 16. На какую высоту h поднимается вода в вертикальной трубке,
впаянной в узкую часть горизонтальной трубы (рис. 44) диаметром d = 2 см,
если в широкой части трубы диаметром D === 6 см скорость воды vi = 30 см/с
при давлении рг = 105 Па?
Решение. По уравнению неразрывности,
-ty —^?-^— — -^ Sxvi = S2y2 или —— Vi = — t>2,
'" где Si и S2— площади поперечных сечений трубы
=====-==-z=-^=!&===-- =. в широкой и в узкой ее частях, v2 — скорость
zz"_zz~-rr~^z~^j"^i2p-":-" воды в узкой части трубы. Тогда
D2 0 Об2 м2
Рис. 44 ». = -^Г = 5^"? • °>3 м/с = 2'7 м'с-
По уравнению Бернулли G),
2 1- Pi 2 "Г f/i,
где р2 — давление в узкой части трубы (и в вертикальной трубке), р =
= 103 кг/м3 — плотность воды. Следовательно, давление в вертикальной труб-
трубке ниже атмосферного на величину
Этот недостаток давления уравновешивается столбиком воды в вертикаль-
вертикальной трубке. Но вес такого столбика равен p/tSg, где S — площадь поперечного
сечения вертикальной трубки, g — ускорение свободного падения. Тогда
откуда
Pl-p2 3,6.103Н/м2
h = ^= як 0,37 м.
pg 103 кг/м3 • 9,8 м/с2

Глава VI. Колебания и волны
§ 27. Гармоническое колебание и его характеристики
Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при
котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равно-
равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если этот возврат со-
совершается через равные промежутки времени, то колебание называ-
называется периодическим. Наглядным примером колебания может служить
движение часового маятника.
Колебательные движения исключительно широко распространены
в природе и технике. Вибрация натянутой струны, движение поршня
дизеля и ножей косилки, суточные и годичные
изменения температуры воздуха, морские
приливы и отливы, волнение водной поверх-
поверхности, биение сердца, дыхание, тепловое дви-
движение ионов кристаллической решетки твер-
твердого тела, переменный ток и его электромаг-
электромагнитное поле, движение электронов в атоме
и т. д. — все это в конечном счете коле-
колебательные процессы. В последующих разде-
разделах курса мы будем неоднократно встречать-
встречаться с различным родом колебаний.
Несмотря на большое разнообразие коле-
колебательных процессов как по физической при-
природе, так и по степени сложности, все они со-
совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть све-
сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называе-
называемых гармоническими*. В этой главе рассматриваются именно гармо-
гармонические колебания.
С основными закономерностями и характеристиками гармоническо-
гармонического колебания проще всего познакомиться на примере равномерного
движения материальной точки по окружности. Пусть материальная
точка М движется против часовой стрелки по окружности радиусом
А с постоянной угловой скоростью со (рис. 45). Тогда ее проекция N
на вертикальный диаметр будет совершать периодические колебания
около положения равновесия О, а величина смещения этой проекции
(х = ON) изменяться в пределах от +А до —А, также совершая
периодические колебания. Величина смещения в любой момент вре-
времени / определяется очевидным соотношением
х = A sin ср. A)
Так как период вращения материальной точки 7\ число ее оборотов
в секунду v, угловая скорость <о и угол поворота радиуса <р связаны
между собой соотношениями (см. § 6):
п
(р = (о/ = / =
Рис. 45
* От греческого слова apfxovixoa (гармоникос) — стройный.
83

то формулу A) можно написать еще так:
х = A sin Ы, B)
x = Asln%-tf Ba)
х = A sin 2Ы. B6)
Соотношения A) — B6) являются разновидностями уравнения гармо-
гармонических колебаний. Следовательно, гармоническим называется ко-
колебание, при котором изменение колеблющейся величины со временем
происходит по закону синуса (или косинуса, если точка М проециру-
проецируется на горизонтальной диаметр). Смещение х положительно, когда на-
направлено вверх от положения равновесия, и отрицательно, когда на-
направлено вниз. Абсолютное значение максимального смещения А на-
называется амплитудой колебания.
При описании колебательных процессов физические величины
Г, v, со и ср принято называть иначе, чем мы называли их ранее (см.
§ 6): Т называется периодом колебания, v —частотой колебания,
а)—круговой, или циклической, частотой и ср—фазой колебания.
Единицы измерения этих величин остаются, конечно, прежними.
Фазой колебания ср = ш/ называется аргумент тригонометрической
функции в уравнении гармонического колебания. Физический смысл
фазы состоит в том, что она определяет смещение в любой момент вре-
времени, т. е. определяет состояние колебательной системы. Действитель-
Действительно, например, при ср =я/6 смещение х = А/2, при 9 =я х = О, при
ср = Yn х== —^ и т> п- Из уравнения A) следует, что фазам, разли-
различающимся между собой на величину, кратную 2п, соответствуют оди-
одинаковые смещения. Изменение фазы на 2ярад соответствует проме-
промежутку времени в один период Т.
Уравнения A) — B6) написаны в предположении, что в начальный момент
времени (/ = 0) фаза колебания была равна нулю (т. е. секундомер пущен в мо-
момент прохождения точки N через положение равновесия в положительном на-
направлении). Если же в начальный момент фаза уже имела некоторое значение
<ро (т. е. в момент пуска секундомера точка N уже была отклонена от положения
равновесия), то упомянутые уравнения следует писать в виде
х = A sin (9 -f ф0) = A sin (o>tf + ср0),
где ср о называется начальной фазой. Поскольку выбор начального момента отсчета
времени произволен, будем (при рассмотрении одного единственного колебания),
как правило, полагать ср о = 0.
Скорость v колебания точки N определим как производную сме-
смещения B) по времени:
v = — = со Л cos tot,
dt
или, учитывая правило приведения тригонометрических функций,
v = toA sin I arf + — 1. C)
84

Из уравнения C), видно, что скорость колебания изменяется со вре-
временем. Следовательно, колебательное движение совершается с уско-
ускорением а, которое можно определить, продифференцировав выражение
скорости C) по времени:
а = — = (о2 A cos(o>f + — \ = о)М sin (Ы + тс). D)
Учитывая формулу B), можно выразить ускорение через смещение:
а = оJЛ sin (u>t -f- tz) = — (о2 A sin со/ = —
E)
Рис. 46
Сравнение формул B) — D) приводит к следующим выводам.
1. Как и смещение х9 скорость v и ускорение а точки N совершают
гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой ш и пе-
периодом Т = ¦— .
О)
2. Амплитуды этих колебаний различны: А —у смещения, <«А —
у скорости и о)М — у ускорения.
3. Фазы колебаний также различны: колебание скорости опере-
опережает колебание смещения по фазе на я/2 (по времени на Г/4), колеба-
колебание ускорения опережает колебание смещения по фазе на я (по времени
на Г/2).
Для наглядности, изменения х9 о а со временем (при гармони-
гармоническом колебании), рассчитанные по уравнениям Bа), C) и D), приве-
приведены в таблице и представлены на рис. 46.
Как видно на этом рисунке, в момент про-
прохождения колеблющейся точкой положения
равновесия (х = 0) ее скорость максимальна
( ± о>Л), а ускорение равно нулю. Когда же
точка максимально отклонится от положения
равновесия (х = + А или х = — Л), ее ско-
скорость равна нулю, а ускорение становится
максимальным (—соМ или +со2А). Знак
ускорения всегда противоположен знаку сме-
смещения. Следовательно, ускорение всегда на-
направлено к положению равновесия О колеб-
колеблющейся точки.
t
0
Г/4
Т/2
3774
Т
X
0
А
0
—А
0
V
0
—шЛ
0
(аА
а
0
—«М
0
0J/1
0
8Г.

§ 28. Сложение гармонических колебаний
Независимые гармонические колебания могут складываться друг с
другом. Например, в точке разветвления проводов трехфазной сети
переменного тока (соединенных «звездой») складываются различные
синусоидальные переменные токи (см. § 109). В результате воз-
возникает более сложное колебание, характер которого зависит от со-
соотношения фаз, частот, амплитуд и направлений слагаемых колеба-
колебаний. Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гар-
мон ических колебан ий.
Сложение двух колебаний одного направ-
направления
1. Круговые частоты и фазы колебаний одинаковы, амплитуды
различны:
хх = Ах sin a>t; х2 = А2 sin Ы.
Тогда
х = хг + х2 = (А± + А2) sin со/ = A sin со/,
т. е. возникает гармоническое колебание такой же частоты с ампли-
амплитудой, равной сумме амплитуд слагаемых колебаний.
2. Круговые частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны*
хг = A sin arf; х2 = A sin (Ы + в),
где в — разность фаз. Тогда, применяя формулу сложения синусов,
получим
х= хг + *2 — 2Л cos — sin 1ы Н ) = В sin (со/ -) ). F)
Возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающее-
отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих
колебаний. Амплитуда В = 2А cos —, вообще говоря, меньше
суммы амплитуд первичных колебаний. Только при разности фаз,
кратной 2я, В = 2Л. При разности фаз, равной Bп +1) я (где п =
= 0, 1, 2, 3, ...), В = 0 и слагаемые колебания взаимно «гасятся».
3. Амплитуды одинаковы, круговые частоты мало отличаются
друг от друга:
хх = A sin (ох/; х2 == A sin o>2/.
Тогда
# = Xj + л;2 = 2Л cos <°1'~~0>2 / sin ^ 2 /. G)
Результирующее колебание оказывается не гармоническим, так как
она не соответствует уравнению B). Однако учитывая, что (согласно
86

——~ < аI""*~0>2, можно считать результирующее колеба-
колебание почти гармоническим, имеющим круговую частоту
условию)
период
и амплитуду
которая очень медленно периодически изменяется со временем (кру-
(круговая частота колебаний амплитуды а/ = —
•• слишком мала, по-
этому период колебаний амплитуды V = —^ =
@
будет боль-
@ (Oj 2
шим). Такого рода колебания называются биениями. График би-
биений, построенный по уравнению G), представлен на рис. 47.
Рис. 47
Процесс возникновения и характер биений нетрудно представить
себе, даже не прибегая к расчетам и рисунку. В самом деле, вначале
фазы слагаемых колебаний совпадают, поэтому амплитуда резуль-
результирующего колебания максимальна. Затем первое колебание посте-
постепенно отстает по фазе от второго и амплитуда результирующего коле-
колебания делается меньше суммы амплитуд исходных колебаний. По мере
нарастания разности фаз результирующая амплитуда уменьшается.
Когда разность фаз составит те, исходные колебания взаимно «пога-
сятся» и результирующая амплитуда станет равной нулю. При даль-
дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда начнет возрастать. Когда
разность фаз составит 2тс, амплитуда достигнет максимума, затем опять
уменьшится до нуля и т. д.
Перейдем теперь к случаям, когда частица (или тело) совершает
одновременные колебания в двух взаимно перпендикулярных направле-
направлениях.
87

Сложение двух взаимно перпендикуляр-
1. Круговые частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:
х = Ах sin о»/; у = А2 sin со/,
где х и у — смещения тела, вызванные первым и вторым колебаниями.
Тогда
Это уравнение прямой. Следователь-
Следовательно, результирующее колебание со-
совершается вдоль прямой, проходящей
через положение равновесия под уг-
углом а к направлению первого коле-
колебания (рис. 48):
_ ^2
Рис. 48
Величина
щения
результирующего сме-
_
= V Ai
А2 sin о)/ = A sin
где А = V А\ + А$ — амплитуда результирующего колебания.
2. Круговые частоты одинаковы, фазы различаются на я /2, ампли-
амплитуды различны:
х == i41sino)^;
(8)
у
¦А
= А2 sin Ш -] = ;42cosotf.
Тогда
л
А\
А\
- 1
+4;
это уравнение эллипса. Следо-
Следовательно, результирующее
движение тела совершается по
эллипсу, полуоси которого
равны амплитудам слагаемых
колебаний (рис.49). Сопостав-
Сопоставляя уравнения (8) и рис. 49,
нетрудно установить, что тело
при движении будет описы-
описывать эллипс по часовой стрелке*. Очевидно, что при разности фаз,
равной ? тс/2, тело описывает такой же эллипс против часовой стрелки.
* Как видно из уравнений (8), в начальный момент х = 0, а у = Л2, т. е.
тело находится в вершине эллипса. С течением времени х возрастает, а у умень-
уменьшается, что, согласно рис. 49, соответствует движению тела по эллипсу в на-
направлении часовой стрелки.
Рис. 49
88

Если Ai = Л2 = Л, то уравнение эллипса переходит в уравнение
окружности (х2 + у2 = Л2) и тело будет описывать окружность.
Не останавливаясь на анализе более сложных случаев сложения колебаний
отметим только, что форма и расположение эллипса зависят от величины раз-
разности фаз 6. По мере изменения разности фаз эллипс б>д?т поворачиваться в
плоскости слагаемых колебаний вокруг положения равновесия О. Кроме того,
он будет деформироваться, оставаясь при этом вписанным в прямоугольник со
сторонами, равными удвоенным амплитудам слагаемых колебаний (прямоуголь-
(прямоугольник изображен на рис. 49 пунктиром). При 0 = 0 и 0 = я эллипс вырождает-
вырождается в прямую линию. На рис. 50 представлены траектории колеблющегося тела
при некоторых значениях разности фаз. Стрелками указаны направления дви-
движения тела по траектории.
Рис. 50
Если слагаемые колебания имеют различную частоту, то траектории ре-
результирующего движения тела будут весьма сложными и разнообразными по
форме (фигуры Лиссажу).
Описанные формы траекторий можно непосредственно наблюдать
на экране электронного осциллографа (см. § 102), если сообщить
электронному лучу одновременные колебания в двух взаимно перпен-
перпендикулярных направлениях,
§ 29. Динамика колебательного движения. Маятник
В § 27 мы выяснили, что при колебательном движении ускорение
переменно. Следовательно, это движение обусловлено действием пе-
переменной силы. Пусть под действием переменной силы F материаль-
материальная точка массой т совершает гармоническое колебание с ускорением
а. Тогда, учитывая формулу E), можно написать
F = та = —
— kx>
где
k = тоJ.
(9)
A0)
Таким образом, сила, вызывающая гармоническое колебание,
пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с
этим можно дать следующее опредэление гармонического колебания
(кроме данного в § 27): гармоническим называется колебание, вызыва-
89

емое силой, пропорциональной смещению и направленной против сме-
смещения. Эта сила стремится возвратить точку в положение равнове-
равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой
может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорцио-
пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку (см. § 10). Возвра-
Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих слу-
случаях они называются квазиупругими силами*.
Если известны масса материальной точки и коэффициент kt то из
формулы A0) можно определить круговую частоту и период колеба-
колебания:
Т (И)
A2)
Рассмотрим теперь механическую колебательную систему, назы-
называемую физическим маятником; это твердое тело, совершающее ко-
колебания под действием силы тяжести от-
относительно горизонтальной оси. Обычно
физический маятник представляет собой
стержень с утяжеленным концом; другой
его конец подвижно связан с горизонталь-
горизонтальной осью В, перпендикулярной к стержню
(рис. 51). Отклоненный от положения
равновесия ОВ на угол а, маятник под дей-
действием силы тяжести Р возвращается к
этому положению, переходит его по инер-
инерции, отклоняется в противоположную сто*
рону, затем опять переходит положение
равновесия и т. д. Если трение в подвесе
мало, то маятник будет колебаться очень
долго. Центр тяжести маятника С будет
описывать дугу окружности COD. Условим-
Условимся считать угол а положительным при откло-
отклонении маятника вправо от положения рав-
равновесия и отрицательным — при отклоне-
отклонении влево.
Возвращающая сила
F = — Р sin а = — mg sin а,
где т — масса маятника. Знак минус обусловлен тем, что направления
силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых откло-
отклонениях (а < 0,14 рад = 8°) sin a ^ а. Тогда
A3)
Рис. 51
* Т. е. «как бы упругими силами» (от латинского слова quasi *~ как бы„
якобы).
90

где х = ОС — дуговое смещение центра тяжести маятника от поло-
положения равновесия, / = ВС — длина маятника (расстояние от точки
подвеса до центра тяжести). Таким образом, возвращающая сила ока-
оказывается пропорциональной смещению и противоположной ему по
знаку (т. е. является квазиупругой силой). Следовательно, колебания
маятника гармонические.
В соответствии с основным законом динамики вращения (см. § 21)
момент М возвращающей силы F выразится соотношением:
At = F/ = JP,
где / — момент инерции маятника относительно оси подвеса, р — уг-
угловое ускорение. Тогда
Так как р = а/1 (см. § 6), то, учитывая формулу E), можем написать
где со — круговая частота колебаний маятника. Сопоставляя форму-
формулы A3) и A4), получим
mql = Jm2,
откуда найдем выражения круговой частоты и периода колебаний физи-
физического маятника:
rjn ?T*
mgl
На практике часто оказывается возможным рас-
рассматривать физический маятник как математичес-
кий. Математическим маятником называется мате-
риальная точка, колеблющаяся на невесомой и неде-
формируемой нити (рис. 52). Согласно определению момента инерции
материальной точки ^м. § 21), момент инерции математического ма-
маятника
J = ml\
где т — масса материальной точки, / — длина нити. Подставляя
это значение J в формулу A6), получим окончательное выражение пе-
периода колебаний математического маятника:
A7)
Из формулы A7) следует, что
91

при малых отклонениях а период колебания математического ма-
маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, об-
обратно пропорционален квадратному корню из ускорения силы тя-
тяжести и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.
При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное
превращение кинетической энергии колеблющегося тела WK и потенци-
потенциальной энергии Wn, обусловленной действием квазиупругой силы. Из
этих энергий слагается полная энергия колебательной системы W:
W= WK+Wn. A8)
Учитывая формулу C), напишем
WK = — = -2. шМ2 sin2 Lt + —) = -*- шМ2 cos2 orf, A9)
\ 2/2
K
2 2
где v — скорость движения тела, т — его масса.
Потенциальная энергия, обусловленная квазиупругой силой, вы-
выражается так же, как потенциальная энергия упруго деформированного
тела [см. § 17, формула G)], т. е. должна быть пропорциональна квад-
квадрату смещения. Тогда, учитывая формулу B), находим
Ho k = mjJ, поэтому
Wn = — <oMa sin2 шЛ B0)
2
Сопоставляя формулы A8) — B0), получим
B1)
Таким образом, полная энергия гармонического колебания постоянна
и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой часто-
частоты колебания.
§ 30. О затухающих и вынужденных колебаниях
Колебательное движение реальной механической системы всегда
сопровождается трением, на преодоление которого расходуется часть
энергии колебательной системы. Поэтому энергия колебания в процес-
процессе колебания уменьшается, переходя в теплоту. Так как энергия коле-
колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то постепенно уменьша-
уменьшается и амплитуда колебаний (рис. 53; х — смещение, t — время).
Когда вся энергия колебания перейдет в теплоту, колебание прекра-
прекратится (затухнет). Такого рода колебания называются затухающими.
92

Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необ-
необходимо восполнять извне потери энергии колебания на трение. Для
этого надо воздействовать на систему периодически изменяющейся си-
силой
/ = /о sin <овЛ
где/0 — амплитудное (максимальное) значение силы, сов — круговая
частота колебаний силы, t — время. Внешняя сила, обеспечивающая
незатухающие колебания си-
системы, называется вынуждаю-
щей силой, а колебания си- [
стемы—вынужденными. Оче-
Очевидно, что вынужденные
колебания происходят с ча-
частотой, равной частоте выну-
вынуждающей силы. Определим
амплитуду вынужденных ко-
колебаний. Для упрощения рас-
расчета пренебрежем силой тре-
трения, полагая, что на колеб-
колеблющееся тело действуют толь-
только две силы: вынуждающая /
и возвращающая F. Тогда, ис'
согласно второму закону
Ньютона,
где т и а — масса и ускорение колеблющегося тела. Но, как было по-
показано в § 27, а = —<х>1х. Тогда
F + / = -/na>B*,
где х — смещение колеблющегося тела. Согласно формуле (9),
F = — тсс2*,
где и) — круговая частота собственных колебаний тела (т. е. колеба-
колебаний, обусловленных только действием возвращающей силы). Поэтому
откуда
,sin<
/о
х = ^ sin швЛ B2)
mivfi — cofi)
Из уравнения B2) следует, что амплитуда вынужденного колебания
л_ /о
т (оJ — оJ)
зависит от соотношения круговых частот вынужденного и собственно-
собственного колебаний: при и>в-мо будет (о>2 — со!) ->- 0 и А ->оо. В действи-
действительности благодаря трению амплитуда вынужденных колебаний ос-
93

тается конечной. Она достигает максимального значения в том случае,
когда частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных
колебаний системы. Явление резкого возрастания амплитуды вынуж-
вынужденных колебаний при о>в « со называется резонансом*.
Используя резонанс, можно посредством небольшой вынуждаю-
вынуждающей силы вызвать колебание с большой амплитудой. Подвесим, напри-
например, карманные или ручные часы на нити такой длины, чтобы частота
собственных колебаний полученного физического маятника (рис. 54)
совпала с частотой колебаний балансира
часового механизма. В результате часы сами
начнут колебаться, отклоняясь от положения
\ равновесия на угол а ж 30°.
^ Явление резонанса имеет место при коле-
\ баниях любой природы (механических, зву-
V ковых, электрических и др.). Оно широко
\ используется в акустике — для усиления
звука, в радиотехнике— для усиления элек-
^ трических колебаний и т. п.
~~-"" В некоторых случаях резонанс играет вред-
w ную роль. Он может вызвать сильную вибра-
Рис. 54 цию конструкций (зданий, опор, мостов и
т. п.) при работе установленных на этих кон-
конструкциях механизмов (станков, моторов и т. п.). Поэтому при расчете
сооружений необходимо обеспечивать значительное различие между
частотами колебаний механизмов и собственных колебаний конструк-
конструкций.
В технике распространен еще один вид незатухающих колебаний — так
называемые автоколебания, отличающиеся от вынужденных тем, что у них по-
потери энергии колебания восполняются за счет постоянного источника энергии,
вводимого в действие на очень короткие промежутки времени (в сравнении с пе-
периодом колебаний). Причем этот источник «включается» в нужные моменты вре-
времени** автоматически самой колебательной системой. Примером автоколебатель-
автоколебательной системы может служить часовой маятник. Здесь потенциальная энергия
приподнятого груза (или деформированной пружины) вводится в действие по-
посредством анкерного механизма. Другим примером может служить замкнутый
колебательный контур с электронной лампой; с действием этой автоколеба-
автоколебательной системы мы познакомимся позже (см. § 112).
§ 31. Волновой процесс
Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник ко-
колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебатель-
колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости;
соседним частицам среды и т. д. Через некоторое время колебание ох-
охватит всю среду. Однако оно будет совершаться с различными фазами:
чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позд-
позднее начнет она колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее ко-
колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым, про-
процессом, или волной. Примером волнового процесса могут служить вол-
* От латинского слова resonans — дающий отзвук.
** Обычно в начале каждого периода колебаний.
94

ШШШ
ны на поверхности воды, расходящиеся от места падения камня.
Направление распространения волны (колебания) называется лучом.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются пер-
перпендикулярно к лучу. Если же они колеблются вдоль луча, то вохна
называется продольной.
В свободно подвешенной длинной пру-
пружине возникает поперечная волна, если по
нижнему концу пружины нанесен удар в
горизонтальном направлении (рис. 55, а). В
этой же пружине возникает продольная
волна, если удар нанесен в вертикальном
направлении (рис. 55, б). Подчеркнем, что
частицы среды не перемещаются вместе с
волной, а колеблются около своих положе-
положений равновесия; перемещается только ко-
колебательный процесс, точнее говоря, фаза
колебаний (гребни и впадины пружины — в
случае поперечной волны или сгущения и
разрежения витков пружины — в случае
продольной волны).
Продольные волны могут возникать в
среде, обладающей упругостью объема,
т. е. в твердых, жидких и газообразных
телах. Поперечные волны возникают толь-
только в среде, обладающей упругостью формы
(деформацией сдвига), т. е. только в твер-
твердых телах*.
Чтобы получить наглядное представле-
представление о волновом процессе, рассмотрим
схемы распространения поперечной и про-
продольной волн.
В покоящейся среде, обладающей упругостью формы, отметим и
пронумеруем ряд частиц, расположенных вдоль горизонтальной ли-
линии (рис. 56). Пусть в начальный момент (/ = 0) частица 1 приходит
в гармоническое колебание с
периодом Т под действием ; г з ? 5 6 ? е 9 ю // п /J /».
толчка, направленного верти-
вертикально вверх. С некоторым
запаздыванием придут в коле-
колебание и соседние частицы.
Через четверть периода ча-
частица 1 максимально сместит-
сместится вверх, частицы 2 и 3 также
получат некоторое смещение,
а до частицы 4 колебание еще
Направление
удара
Рис. 55
Рис. 56
* Исключение составляют волны на поверхности воды (и вообще на поверх-
поверхности раздела жидких или газообразных сред, имеющих различную плотность),
где упругость формы обеспечивается силами тяжести и поверхностного натя-
натяжения.
95

только дойдет. Через половину периода частица максимально сместит-
сместится вверх, частицы 5 и 6 также получат некоторое смещение, а до
частицы 7 колебание еще только дойдет. В это время частицы 3 и 2
будут уже смещаться вниз, а частица / придет в положение равнове-
равновесия. Очевидно, что к концу периода колебание дойдет до частицы 13
и начнет распространяться далее. Так образуется поперечная волна.
Подобные волны возникают, например, в металлическом стержне (или
натянутой струне) при ударе, нанесенном перпендикулярно к его
длине.
Предположим теперь, что в начальный момент (t = 0) частица /
пришла в гармоническое колебание вдоль линии расположения час-
частиц (рис. 57). С некоторым
/23456 7 »g 9 10 it I?, 13 щ запаздыванием придут в та-
• • ' *4 ¦ • • • с '0 " ' ,} %i'-° кое колебание и остальные
"/' 7 '*/#'*/} %i''T^ частицы среды. Рассуждения,
•—•—'4 * ' * * 7' ' ]у ' ' ;j *t=T^ аналогичные предыдущим, по-
•—•—•—•—•—•— —•—*t=3T/if кажут, что в этом случае
м ш i .—.—I—.—. Ч т .!i .f-.j образуется продольная волна
уплотнений и разрежений
Рис. 57 среды. Такие волны возника-
возникают, например, в металличе-
металлическом стержне при ударе, нанесенном перпендикулярно к его торцу.
Между прочим, очень наглядную модель продольной волны можно по-
получить с помощью двух не совсем одинаковых гребенок, наложенных
одна на другую (гребенки должны немного различаться частотой зуб-
зубцов). Глядя на свет через зубцы этих гребенок и передвигая одну
гребенку вдоль другой, увидим бегущую продольную волну сгущений
и разрежений зубцов.
Скорость распространения упругих колебаний, т. е. скорость волны vt
зависит от упругих свойств и плотности р среды:
где 1 — коэффициент, характеризующий упругие свойства среды. В частно-
частности, для продольных волн в твердом теле х === ?*> Для поперечных волн i =
« 0,4?(? — модуль упругости)
Подчеркнем, что основные закономерности волнового процесса
справедливы не только для механических волн упругой среды (волн
давления, звуковых и т. п.), но и для волн любой природы, в частнос-
частности для волн электромагнитного поля (электромагнитных волн).
§ 32. Уравнение волны. Интенсивность волны
Установим зависимость между смещением х частиц среды, участву-
участвующих в волновом процессе, и расстоянием у этих частиц от источника
колебаний О для любого момента времени t. Для большей наглядности
рассмотрим поперечную волну, хотя все последующие рассуждения
96

будут верны и для продольной волны. Пусть колебания источника яв*
ляются гармоническими (см. § 27):
х = A sin Ы,
где А — амплитуда, со —круговая частота колебаний. Тогда все час-
частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с такой же часто-
частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникает сину-
синусоидальная волна, изображенная на рис. 58.
График волны (рис. 58) внешне похож на график гармонического колеба-
колебания (рис. 46), но по существу они различны. График колебания представляет
зависимость смещения данной ча-
частицы от времени. График волны
представляет зависимость смеще-
смещения всех частиц среды от рассто-
расстояния до источника колебаний в
данный момент времени. Он явля-
является как бы моментальной фото-
фотографией волны.
Рис. 58
Рассмотрим некоторую ча- l#l f *
стицу С, находящуюся на
расстоянии у от источника
колебаний (частицы О). Оче-
Очевидно, что если частица О
колеблется уже t с, то частица
С колеблется еще только (t—
—т) с, где t — время распро-
распространения колебаний от 0 до С, т. е. время, за которое волна про-
прошла путь у. Тогда уравнение колебания частицы С следует написать
так:
х = A sin a) (t —- т).
Но т = y/v, где v — скорость распространения волны. Тогда
х = A sin о) It -V B3)
\ v }
Соотношение B3), позволяющее определить смещение любой точки
волны в любой момент времени, называется уравнением волны. Вводя
в рассмотрение длину волны X как расстояние между двумя ближай-
ближайшими точками волны, находящимися в одинаковой фазе*, например
между двумя соседними гребнями волны, можно придать уравнению
волны другой вид. Очевидно, что длина волны равна расстоянию, на
которое распространяется колебание за период Т со скоростью v:
m v
V
B4)
* Следует помнить, что одинаковыми являются все фазы, различающиеся
между собой на 2тт:п, где п — любое целое число.
4—31
97,

где v — частота волны. Тогда, подставляя в уравнение B3) v = \/T
и учитывая, что ш = 2п/Т = 2nv, получим другие формы уравне-
уравнения волны:
v/ - -М-\ =
= A sin Ш — 2тс -^-). B5)
" у Так как прохождение волны
j tj%3 сопровождается колебанием ча-
>^?i?iii^ 2 * ^ стиц среды, то вместе с волной
*- ^ н 'ш перемещается в пространстве и
энергия колебаний. Энергия, пе-
Рис. 59 реносимая волной за единицу
времени через единицу площади,
перпендикулярной к лучу, называется интенсивностью волны (или
плотностью потока энергии). Получим выражение для интенсивности
волны /.
Пусть в 1 см8 среды содержится п0 частиц массой т. Тогда, в соот-
соответствии с формулой B1), энергия колебания среды в единице объема
будет равна
где р = тп0 — плотность среды. Очевидно, что за 1 с через площад-
площадку в 1 см2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямо-
прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см2 и высотой, равной v
(рис. 59); следовательно,
/ = Qv = -j рушМ2. B6)
Таким образом,
интенсивность волны пропорциональна плотности среды искорости,
квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.
§ 33. Интерференция волн. Стоячие волны
Если в среде несколько источников колебаний, то исходящие от
них волны распространяются независимо друг от друга и после вза-
взаимного пересечения расходятся, не имея никаких следов происшед-
происшедшей встречи*. Это положение называется принципом суперпозиции**.
Его иллюстрацией может служить распространение водяных волн,
вызванных двумя брошенными на поверхность воды камнями (рис. 60).
В местах встречи волн колебания среды, вызванные каждой из
* Отметим, что это положение хорошо выполняется только при небольших
амплитудах волн.
** От латинского слова superposo — кладу наверх.

волн, складываются друг с другом (можно сказать: волны складыва-
складываются) по правилам, рассмотренным в § 28. Результат сложения (ре-
(результирующая волна) зависит от соотношения фаз, периодов и ампли-
амплитуд встречающихся волн. Большой практический интерес представля-
представляет случай сложения двух (или нескольких) волн, имеющих постоянную
разность фаз*. Такие волны и создающие их источники колебаний на-
называются когерентными**. Сложение когерентных волн называется
интерференцией ***.
Рассмотрим интерференцию двух волн одинаковой амплитуды, ис-
исходящих из когерентных источников S' и S" и встречающихся в точке
Рис. 60
Рис. 61
Р (рис. 61). Согласно уравнению волны B5), смещения, вызванные в
точке Р первой и второй волнами, равны соответственно:
л:, = A sin Uf — 2тс -&Л и х2 = A sin (W — 2к -^
Тогда результат сложения определится разностью фаз
Если
~ 2ш,
B7)
то в точке Р будет максимум: колебания максимально усилят друг
друга и результирующая амплитуда будет равна 2Л. Если же
B8)
где п = 0, 1, 2, 3, ..., то в точке Р будет минимум: колебания взаимно
погасятся и результирующая амплитуда будет равна нулю (см. § 28).
Условия максимума B7) и минимума B8) можно еще записать со-
соответственно так:
B9)
* Подразумевается, что направление колебаний у всех волн одинаково.
** От латинского слова cohaerens —связанный.
*** От латинских слов inter — взаимно и ferio — ударяю.

(/l_j/2 = Bn+l)i-. C0)
Разность j/i — y2 называется разностью хода волн, или разностью хода
лучей.
Следовательно, в точке Р будет максимум, если разность хода волн
составляет четное число полуволн (целое число волн); если разность
хода составляет нечетное число полуволн, то в точке Р будет минимум.
Так как волны распространяются от источников S' nS" no всем нап-
направлениям, то в пространстве окажется множество точек, удовлетворя-
удовлетворяющих как условию B9), так и условию C0), т. е. окажется множество
точек, соответствующих максимуму и минимуму колебаний. Поэто-
Поэтому интерференционная картина представит собой чередование об-
областей усиления колебаний (максимумов) и областей, где колебания
отсутствуют (минимумов). Более подробно эта интерференционная
картина будет рассмотрена для случая электромагнитных волн
(см. § 121).
Другим важным случаем интерференции волн является сложение
двух когерентных волн, движущихся навстречу друг другу вдоль од-
одной прямой. Если уравнение первой волны записать в обычном виде
B5):
хг = A sin Ut — 2тс -1Л,
то уравнение второй волны будет иметь вид
х2 = A sin Ш + 2ъ —)
(знак плюс указывает на движение этой волны в отрицательном нап-
направлении оси OY). Тогда уравнение результирующей волны предста-
представится, согласно формуле F), следующим выражением:
х = хЛ + х2 = 2А cos 2% -У- sin at. C1)
Уравнение C1) показывает, что в точках среды совершаются колеба-
колебания с частотой о и амплитудой 2А cos 2тс — , зависящей от ко-
А
ординаты у этих точек. Причем во всех точках, для которых у удов-
удовлетворяет условию
или, что то же,
cos 2тс -?- = 0,
2* JL = Bл + 1) JL , C2)
А 2.
амплитуда колебаний равна нулю. Из формулы C2) следует, что
100

т. е. в точках с координатой у = Х/4, ЗХ/4, 5Х/4, ... колебания всег-
всегда отсутствуют. Эти точки называют узлами волны. Точки, располо-
расположенные в середине между узлами, колеблются с наибольшей ампли-
амплитудой, равной 2А. Эти точки называются пучностями волны. Резуль-
Результат наложения двух встречных волн с одикаковыми амплитудами
(периодом) называется стоячей волной* (узлы, а следовательно, и
пучности все время находятся на одном месте).
На рис. 62, где изображе-
изображена часть стоячей волны в мо-
менты времени t = О, Г/8,
Т/4, 37/8, 772, 5Г/8, ЗГ/4,
отчетливо видно, что точки
среды, находящиеся в узлах,
колебаний не совершают. Точ-
Точки, расположенные справа и
слева от каждого узла, коле-
колеблются в противоположных
фазах. Расстояние между со-
соседними узлами или пучно-
пучностями равно половине длины
бегущих волн, образующих
стоячую волну.
Будучи неподвижной, сто-
стоячая вода не переносит энер-
энергии (происходит как бы ком-
компенсация переносов энергии
двух бегущих в противополо-
противоположных направлениях волн).
Стоячие волны обычно возникают в ограниченной среде при интер-
интерференции бегущей волны и ее отражения от границы среды. Тако-
Таковы, например, волны натянутой струны, воздушного столба в трубе
ограниченной длины, водяные волны вблизи вертикальных преград
(плотин) и т. п.
§ 34. Фронт волны. Принцип Гюйгенса—Френеля
До сих пор мы рассматривали движение волн, происходящее толь-
только в некотором определенном направлении (вдоль одной линии). Это
имеет место, например, в стержнях, воздушных столбах, волноводах
и т. п. Вообще же от источника колебаний, находящегося в сплошной
среде, волны распространяются во всех направлениях. Поверхность,
до которой одновременно доходят волны от данного источника коле-
колебаний, называется фронтом волны. Форма волнового фронта зависит
от формы источника колебаний и свойств среды. При точечном источни-
источнике колебаний S волновой фронт в однородной среде имеет форму сферы;
лучи, являющиеся радиусами R этой сферы, перпендикулярны к вол-
Рис. 62
* Строго говоря, «стоячая волна» не есть волна» так как неотъемлемым
свойством всякой волны является ее перемещение в пространстве.
101

новому фронту (рис. 63, а). Очевидно, что
где v — скорость волны, t — время ее распространения. Волны,
образующие сферический фронт, называются сферическими. Сфери-
Сферический волновой фронт является (в изотропной среде) вместе с тем
фазовой, или волновой поверхностью, т. е. поверхностью, все точки
которой колеблются в одинаковой фазе.
Если фронт волны представляет собой плоскость, то волна назы-
называется плоской. В этом случае лучи параллельны между собой (рис.
63, б). Небольшой участок
Я 0 сферического волнового
фронта, находящегося на
достаточном удалении от
источника колебаний, мож-
можно практически считать
плоским (пренебрегая кри-
кривизной фронта).
В неоднородной среде,
где скорость волны неоди-
неодинакова в различных напра-
направлениях, волновой фронт
может иметь весьма слож-
сложную форму.
Если не учитывать затухания, то интенсивность плоской волны не будет
изменяться по мере удаления волнового фронта от источника колебаний, так
как площадь фронта остается в этом случае постоянной.
Иначе обстоит дело с интенсивностью сферической волны. Энергия колеба-
колебания W, переносимая в единицу времени через всю площадь S волнового фрон-
фронта, остается, согласно закону сохранения энергии, постоянной. Но 5 возрастает
по мере удаления фронта от источника колебаний пропорционально квадрату
расстояния у, так как S = 4тс*/2. Поэтому
Рис. 63
W
S
W
1
т. е. интенсивность сферической волны изменяется обратно пропорционально
квадрату расстояния фронта от источника колебаний. Так как, согласно фор-
формуле B6), интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды (/ ~
— Л2), то А~-\/у, т. е. амплитуда сферической волны обратно пропорциональна
расстоянию волнового фронта от источника колебаний. Тогда, заменяя в фор-
формуле B5) А на А/у, получим следующее уравнение сферической волны:
А
у
При решении задач о распространении волн зачастую бывает не-
необходимо построить волновой фронт для некоторого момента времени
по волновому фронту, заданному для начального момента времени.
Это можно сделать с помощью метода, называемого принципом
Гюйгенса*, сущность которого состоит в следующем.
* Метод предложен в 1690 г. голландским ученым Гюйгенсом.
102

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, за-
занимает в данный момент времени положение Л изображенное на рис. 64.
Требуется найти его положение через А/ с. Согласно принципу Гюй-
Гюйгенса, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится
источником вторичных волн. Это значит, что от нее, как из центра, на-
начинает распространяться новая сферическая волна. Чтобы постро-
построить вторичные волны, вокруг каждой точки
исходного фронта опишем сферы радиусом
&у = v • At,
где v — скорость волны. Вторичные волны
взаимно гасятся во всех направлениях, кроме
направлений исходного фронта (указанных на
рис. 64 стрелками). Иными словами, колеба-
колебания сохраняются только на внешней огибаю-
огибающей вторичных волн. Построив эту огибаю-
огибающую, получим искомое положение 2 волно-
волнового фронта.
Принцип Гюйгенса применим и к неодно,
родной среде. В этом случае значения с\а сле-
следовательно, и Д// неодинаковы в различных
направлениях.
Рассмотрим в качестве примера примене-
применения принципа Гюйгенса случай падения пло-
плоской волны на преграду с отверстием, раз-
размеры которого больше длины волны (рис. 65).
Когда волновой фронт дойдет до преграды
аа, каждая точка .отверстия станет источни-
источником вторичных волн. Построив эти волны* и
проведя их огибающую, получим фронт вол-
ны, прошедший через отверстие. Он будет
плоским только в своей средней части; у гра-
границ отверстия происходит загибание волно-
волнового фронта (а следовательно, и лучей) за преграду
называется дифракцией волн**.
Рис. 64
Это явление
111111111
г \
У
V V
Рис. 65
* Достаточно построить полусферы в направлении движения фронта.
** От латинского слова difractus — разломанный
103

Однако объяснение дифракции волн, даваемое принципом Гюйгенса,
является неполным, так как он ничего не говорит об амплитудах волн,
распространяющихся в различных направлениях, и, следовательно
оставляет открытым вопрос о распределении интенсивности вдоль
волнового фронта. Отмеченный недостаток принципа Гюйгенса устра-
устранил в 1815 г. французский физик Френель, дополнив этот принцип
положением об интерференции вторичных волн.
Согласно Френелю, волну, приходящую в любую точку Р от первич-
первичного источника S, можно рассматривать как результат интерферен-
интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от множества эле-
элементарных вторичных источни-
источников ASt некоторого волнового
фронта F (рис. 66). Тогда интен-
интенсивность волны в точке Р опре-
определится путем суммирования
всех вторичных волн (с учетом
размера ASt вторичных источни-
источников, их расстояния гх до Р и
угла at между направлениями
rt и нормали п к ASt).
Принцип Гюйгенса с допол-
дополнением Френеля получил назва-
Рис. 66 пне принципа Гюйгенса—Френе-
Гюйгенса—Френеля* и оказался весьма плодо-
плодотворным для решения многих вопросов о распространении волн. С кон-
конкретными применениями принципа Гюйгенса — Френеля к электро-
электромагнитным (световым) волнам мы встретимся в последней части курса
(см. гл. XVII и XVIII).
Задача 17. Уравнение колебания материальной точки массой т = 0,016 кг
имеет вид х = 0,1 sin (— t+ —]м. Найти: а) максимальные значения скорос-
\ 8 А I
ти vm и ускорения ат движения точки; б) значение максимальной силы Fm,
действующей на точку; в) полную энергию W колеблющейся точки.
Решение. Сравнивая уравнение колебаний данной точки с уравнением
гармонического колебания Bа), видим, что амплитуда колебания точки А =
= 0,1 м, начальная фаза <ро = «/4 и круговая частота о> = 2п/Т = те/8 рад/с,
где Т = 16 с — период колебания точки.
а) Из формул C) и D) следует, что скорость и ускорение гармонического
колебания точки имеют максимальные значения соответственно при
sin
Ш + ~-) =1 и sin (со* + я) = 1.
Поэтому
Vm = (a A
3,14
ОД м/с ж 0,04 м/с
* Принцип Гюйгенса — Френеля получен на основании опытных данных
и лишь во второй половине XIX в. был доказан теоретически немецким физи-
физиком Кирхгофом.
104

3,142
0,1 м/с2 ^ 0,0154 м/с2.
64
б) Очевидно, что при максимальном значении ускорения будет иметь мес-
место и максимальное значение силы, действующей на точку. Поэтому, согласно
второму закону Ньютона,
Fm = mam = 0,016 кг. 0,0154 м/с2 = 2,46 . 10Н.
в) Полную энергию колеблющейся точки найдем по формуле B1I
„, тоJ ло 0,016 кг • 3,142-0,01 м2
ув_Д,в ___ -1,23. 10- Дж.
Задача 18. Найти амплитуду Б и начальную фазу сро гармонического ко-
колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, за-
заданных уравнениями:
хх == 2 sin I 5тс/ + — 1 м и *а = 2 sin 15я/ -f- — ] м.
Решение. Амплитуды и начальные фазы слагаемых колебаний соответ-
соответственно равны: Аг = А2 === А = 2 м, <р01 = л/2 и <р02 = тс/4,
Условия задачи соответствуют случаю сложения колебаний одного направ-
направления, имеющих одинаковые круговые частоты и амплитуды, но различные
фазы (см. § 28). Поэтому начальная фаза результирующего колебания должна
отличаться от начальных фаз слагаемых колебаний на половину разности пос-
последних, т. е.
, У 01 — <Ро2 * гс/2— те/4 Зге п,
?о = ?02 + 2 в Т" 2 = Т Ра
Тогда амплитуда результирующего колебания
Задача 19. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями
х =з 2 sin со* и i/ => 4 cos сол,
Определить траекторию движения точки.
Решение. Уравнение второго колебания перепишем в виде
у яя 4 sin I cotf + — I • Тогда станет очевидным, что условия задачи соответству-
соответствуют случаю сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих
одинаковые круговые частоты, различные амплитуды (i4i = 2миЛ2 = 4м)и
различающиеся на п/2 начальные фазы (см. § 28). Поэтому в соответствии с фор-
формулами (8) точка движется по эллипсу, определяемому уравнением
А2 + л2 ет1
(см. также рис. 49). Полуоси эллипса равны амплитудам слагаемых колебаний,
т. е. 2 и 4 м.
Задача 20. Вдоль упругого шнура распространяется поперечная волна
со скоростью v = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Г= 1,2 G, ампли-
амплитуда колебаний А =» 0,02 м. Определить: а) длину волны \ и б) фазу <р и сме-
105

щение х точки, отстоящей на расстоянии у = 45 м от источника волн в момент
времени / = 4 с.
Решение, а) По формуле B4) находим длину волны:
Х = с;Г« 15 м/с . 1,2 с =18 м.
б) Фазу и смещение заданной точки определим из уравнения волны B5);
х = A sin 2тс (— — —
\Т Л.
Так как фаза определяется выражением, находящимся под знаком синуса в ура-
уравнении волны, то
Тогда
х = A sin ср =» 0,02 sin 1,67я: = 0,02 sin 301° = — 0,02 sin 59° =
« — 0,017 (м) = —1,7 см.
Знак минус показывает, что в заданный момент времени точка шнура отклоня-
отклонялась книзу от положения равновесия (см. рис. 58).

2. Молекулярная физика
и термодинамика
Глава VII. Общие сведения о строении вещества
§ 35. Основные положения молекулярно-кинетической теории
Представление о том, что все тела построены из мельчайших час-
частиц — атомов, возникло еще в глубокой древности и было достаточно
отчетливо высказано греческим философом Демокритом (V в. до н. э.).
Однако в дальнейшем эти атомистические воззрения были забыты и
возрождены лишь во второй половине XVII в. Бойлем, а затем в
XVIII — XIX вв. разработаны Ломоносовым, Дальтоном, Кренигом,
Больцманом, Максвеллом и другими в качестве научной теории, по-
получившей название классической молекулярно-кинетической теории.
Эта теория основана на следующих положениях.
1. Все вещества состоят из очень маленьких отдельных частиц —
молекул. Молекулы, образующие данное вещество, совершенно одина-
одинаковы; различные же вещества состоят их различных молекул. В соот-
соответствии с чрезвычайным многообразием встречающихся в природе
веществ существует и чрезвычайно большое количество различных ви-
видов молекул.
Молекулы в свою очередь состоят из еще более мелких частиц —
атомов. Число различных атомов сравнительно невелико и равно чис-
числу химических элементов и их изотопов*. Различные комбинации из
этих немногочисленных атомов и создают все множество видов мо-
молекул.
Атомы также не являются пределом делимости вещества, а пред-
представляют собой весьма сложные образования, состоящие из электри-
электрически положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно
заряженной электронной оболочкой. Однако классическая молеку-
лярно-кинетическая теория не касается вопроса о строении атомов,
рассматривая их упрощенно как твердые частички сферической формы.
Размеры (диаметры) атомов и молекул имеют в среднем порядок
10~8— 10~7 см. Это означает, что десять миллионов молекул, уложен-
уложенные, вплотную друг к другу вдоль прямой линии, составят молеку-
молекулярную цепочку длиной всего лишь в 1—10 мм. Очевидно, что при
столь малом размере атомов и молекул число их в физическом теле
должно быть колоссальным. Действительно, например, в одной капле
* В настоящее время насчитывается 105 элементов и около 1500 изотопов
107

воды содержится около 3 • 1021 молекул. Молекулярная цепочка, сос-
составленная из такого количества молекул, имела бы длину в 300 млн. км,
что в 800 раз превышает расстояние между Землей и Луной.
2. Между молекулами тела одновременно действуют силы взаимного
притяжения (сцепления) и силы взаимного отталкивания. При этом
силы отталкивания должны убы-
убывать с увеличением расстояния
быстрее, чем силы сцепления.
Только при этом условии моле-
молекулы могут находиться в устой-
устойчивом равновесии на некотором
определенном расстоянии друг от
друга (на котором силы сцепле-
сцепления равны силам отталкивания).
Действительно, если под влия-
влиянием каких-либо причин молеку-
молекулы сблизятся на расстояние,
меньшее равновесного (т. е. соот-
соответствующего устойчивому рав-
равновесию), то силы отталкивания
начнут преобладать над силами
притяжения и восстановят рав-
равновесное расстояние между мо-
молекулами. Наоборот, если под
влиянием каких-либо причин
молекулы разойдутся на расстоя-
расстояние, большее равновесного, то
начнут преобладать силы сцепле-
сцепления и сблизят молекулы на рас-
расстояние, соответствующее рав-
равновесному.
Согласно экспериментальным
и теоретическим исследованиям,
межмолекулярные силы взаимо-
взаимодействия / обратно пропорцио-
пропорциональны п-й степени расстояния
г между молекулами:
Рис. 67 ,
где для сил притяжения п = 7, а для сил отталкивания п принимает
значения от 9 до 15. Таким образом, действительно, эти силы очень
быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами, причем
особенно быстро убывают силы отталкивания.
На рис. 67, а представлен примерный характер взаимодействия мо-
молекул в зависимости от расстояния между ними. По оси абсцисс от-
отложены расстояния г, по оси ординат — величины сил отталкивания
/0 и сил притяжения /п между молекулами, а также результирующей
F этих сил. Причем силы отталкивания приняты положительными, а
108

силы притяжения — отрицательными. Таким образом, для каждого
расстояния г результирующая F = /0 — /п и положительные ее зна-
значения соответствуют отталкиванию, а отрицательные — притяже-
притяжению между молекулами.
Очевидно, что равновесное расстояние г0 между молекулами сос-
составляет около 3 • 10~8 см, так как на этом расстоянии F = 0. При
г < 3 * 10~"8см преобладают силы отталкивания (F > 0), а при
г > 3 » 10~8 см преобладают силы притяжения (F <С 0). На рассто-
расстоянии г «1,5 • 10~7 см межмолекулярные силы практически перес-
перестают действовать (F-+0). Таким образом, силы межмолекулярного взаи-
взаимодействия проявляются на расстояниях такого же порядка, как раз-
размер самих молекул.
Установим теперь примерный характер зависимости потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействия молекул Wn от расстояния между ними.
Потенциальную энергию тяготеющих тел, находящихся на бесконеч
ном расстоянии друг от друга, мы условились считать равной нулю
(см. § 17). Поэтому при г = оо будет Wn = 0. Если молекулы ока-
окажутся на расстоянии г «1,5 • 10~7 см друг от друга, то они начнут
сближаться за счет работы силы притяжения, а потенциальная энер-
энергия молекул будет при этом уменьшаться и достигнет минимального
значения (й^п)мин ПРИ г — го (ПРИ ^ — 0). Дальнейшее сближение
молекул возможно только за счет работы, совершаемой против сил Ът-
талкивания. При этом потенциальная энергия молекул начнет резко-
возрастать. В результате кривая потенциальной энергии взаимодейст-
взаимодействия молекул (рис. 67, б) будет иметь минимум при г = г0. Следова-
Следовательно, положение устойчивого равновесия молекул соответствует ми-
минимуму их потенциальной энергии.
График зависимости потенциальной энергии взаимодействия мо-
молекул от расстояния между ними называют потенциальной кривой,
участок ABC этой кривой принято называть потенциальной ямой, точ-
точку В — дном потенциальной ямы, а ординату DB — глубиной по-
тенциальной ямы.
Силы межмолекулярного взаимодействия имеют электрическую природу,
обусловленную тем, что молекулы состоят из электрически заряженных частиц
(положительных — атомных ядер и отрицательных — электронов), которым,
как известно, свойственно взаимодействие (притяжение — для разноименно за-
заряженных и отталкивание — для одноименно заряженных частиц).
Правда, в целом молекула электрически нейтральна. Однако заряды в мо-
молекуле расположены (или располагаются в процессе ее сближения с другой мо-
молекулой) не вполне симметрично. Благодаря этому молекулы оказываются по-
полярными, подобными электрическим диполям (см. § 76); между их разноименно
заряженными «полюсами» возникают силы притяжения, преобладающие над
силами отталкивания одноименно заряженных «полюсов». Если же молекулы
очень близко подойдут друг к другу, то решающую роль в их взаимодействии
начинают уже играть силы отталкивания между сблизившимися электронными
оболочками атомов, составляющих эти молекулы.
3. Молекулы, образующие тело, находятся в состоянии непрерывно-
непрерывного беспорядочного движения. При этом они сталкиваются друг с другом
и изменяют свою скорость как по направлению, так и по величине. Прав-
Правда, столкновения в обычном смысле эюто слова не происходит, так
109

как соприкосновению молекул препятствуют резко возрастающие при
их сближении силы отталкивания. Однако действие этих сил приводит
к тому же результату, что и при обычном столкновении, т. е. к от-
отскакиванию сблизившихся молекул друг от друга.
Скорость движения молекул в теле связана с его температурой: чем
больше эта скорость, тем выше температура тела. Таким образом, ско-
скорость движения молекул определяет тепловое состояние тела — вели-
величину его внутренней энергии; поэтому хаотическое движение молекул
также называют тепловым движением. Под внутренней энергией тела
подразумевают совокупность кинетической энергии молекул и атомов,
образующих это тело, и потенциальной энергии их взаимодействия*.
По мере увеличения интенсивности теплового движения среднее
расстояние между молекулами возрастает, а сглы сцепления умень-
уменьшаются. Этому процессу соответствует переход тела из твердого сос-
состояния ь жидкое, При достаточно интенсивном тепловом движении
среднее расстояние между молекулами может стать настолько большим
(> </> • Ю~7 см), что силы сцепления между ними практически пе-
перестанут действовать. При этом тело перейдет в газоофазное состоя-
состояние. Таким образом, от интенсивности теплового движения молекул и
от внешних условий зависит, в каком из трех возможных агрегатных
состояний находится вещество: твердом, жидком или газообразном.
Изложенные ранее основные положения молекулярно-кинетичес-
кой теории подтверждаются многочисленными опытными фактами и
физическими явлениями; некоторые из них будут рассмотрены в сле-
следующем параграфе.
§ 36. О некоторых явлениях, подтверждающих основные
положения молекулярно-кинетической теории
Под электронным микроскопом можно рассмотреть и сфотографиро-
сфотографировать отдельные крупные молекулы, например молекулы белка, име-
имеющие диаметр около 4 * 10~7 см. С помощью созданных в последнее
время сверхмикроскопов (электронных проекторов) оказалось воз-
возможным видеть уже и менее крупные молекулы и даже отдельные ато-
атомы. Возможность прямого наблюдения индивидуальных молекул и
атомов является исключительно наглядным и совершенно неоспори-
неоспоримым доказательством реальног© существования этих частиц.
Вполне убедительным косвенным подтверждением того, что все
физические тела построены из молекул, отделенных друг от, друга про-
промежутками, служит изменяемость объема газа, например его сжимае-
сжимаемость. Очевидно, что уменьшение объема возможно только благо-
благодаря взаимному сближению составляющих газ молекул за счет сок-
сокращения промежутков между ними.
Наличие сил притяжения и отталкивания между молекулами от-
отчетливо обнаруживается в свойстве твердых тел сохранять свою фор-
* Вообще говоря, во внутреннюю энергию тела входит еще и энергия час-
частиц, составляющих атомы (электронов и ядер). Однако в молекулярной физике
эта часть внутренней энергии не учитывается.
110

му. Даже для небольшой деформации твердого тела необходимо прило-
приложить значительное усилие. Понятно, что растяжению тела препятству-
препятствуют силы притяжения, а сжатию — силы отталкивания между молеку-
молекулами.
Еще большее усилие потребуется для того, чтобы разрушить тело,
например разломать его на части. Очевидно, что это усилие необходи-
необходимо для преодоления сил сцепления между молекулами, для удаления
молекул друг от друга на расстояние, при котором силы сцепления ста-
становятся исчезающе малыми.
Невозможность восстановить
разломанное тело путем прос-
простого составления его частей
по соответствующим поверх-
поверхностям излома указывает на
то, что силы сцепления дейст-
действуют на очень малых расстоя-
расстояниях. Дело в том, что по-
поверхности излома всегда ока-
оказываются более или менее
шероховатыми, причем разме-
размеры шероховатостей значи-
значительно превосходят размер
молекул (рис. 68,а; молекулы
изображены точками). Поэто-
Поэтому у соединяемых частей те-
тела A и 2) лишь немногие мо-
молекулы сближаются на рас-
расстояние, достаточное для дей-
действия сил сцепления.
Подавляющее же большин-
большинство молекул находится слиш-
слишком далеко друг от друга, так что силы сцепления между ними не
действуют. Если поверхности излома очень гладкие, то при их сое-
соединении уже большинство молекул сблизится на расстояние дейст-
действия сил сцепления (рис. 68, б), что обеспечит довольно прочное
«слипание» частей тела. Опыт показывает, что, например, две тщатель-
тщательно отполированные стеклянные пластинки, приложенные одна к дру-
другой, слипаются настолько прочно, что для их разъединения требуется
усилие около 6 • 10б Па.
Очевидно, что сварка, спайка и склейка твердых тел также основаны
на действии сил сцепления. Жидкий металл (или клей) заполняет все
пространство между соединяемыми поверхностями. Поэтому после
затвердевания металла (клея) все молекулы в зоне соединения оказы-
оказываются сближенными между собой на расстояние, достаточное для
действия сил сцепления.
Непрерывное хаотическое движение молекул наиболее нагляднэ
обнаруживается в явлениях диффузии и броуновского движения.
Если поместить капельку брома на дно высокого стеклянного со-
сосуда, то в результате ее испарения через несколько минут около дна со-
111

суда образуется слой пара брома, имеющий темно-бурый цвет. Этот
пар довольно быстро распространяется кверху, перемешиваясь с воз-
воздухом, так что через час бурый столбик смеси газов в сосуде достигнет
30см. Очевидно, что перемешивание воздуха с паром брома произошло
не под влиянием силы тяжести, а наоборот, вопреки действию силы тя-
тяжести, так как первоначально бром располагался ниже воздуха, а
плотность пара брома приблизительно в 4 раза больше, чем воздуха.
В данном случае перемешивание могло быть вызвано только хаотиче-
хаотическим движением молекул, в процессе которого молекулы брома рас-
распространялись между молекулами воздуха, а молекулы воздуха —
между молекулами пара брома. Рассмот-
Рассмотренное явление называется диффузией*.
В 1827 г. английский ботаник Бро-
ун, исследуя под микроскопом жидкие
препараты, случайно обнаружил следую-
следующее интересное явление. Взвешенные в
жидкости мельчайшие твердые частич-
частички** совершали быстрые беспорядочные
движения, как бы перескакивая с мес-
места на место. В результате таких скачков
ис* частички описывали зигзагообразные
траектории самой причудливой формы.
В дальнейшем это явление неоднократно наблюдалось как самим Бро-
уном, так и другими исследователями в различных жидкостях и с
различными твердыми частичками. Чем меньше был размер частичек,
тем интенсивнее они двигались. Описанное явление получило назва-
название броуновского движения.
Броуновское движение можно наблюдать, например, в капле воды,
слегка подчерненной тушью или подбеленной молоком, пользуясь
микроскопом с пятисот кратным увеличением. Диаметр броуновской
частицы составляет в среднем 0,0001 мм, наибольший же допустимый
ее диаметр — 0,005 мм.
На рис. 69 представлена зарисовка траектории одной из броунов-
броуновских частиц. Местоположение этой частицы отмечалось через каждые
30 с черными точками.
Причина броуновского движения кроется в хаотическом движении
молекул. Ввиду трго, что броуновская частица имеет малый размер
(примерно лишь в сотни раз больший диаметра молекулы), она может
заметно перемещаться под действием одновременных одинаково на-
направленных ударов нескольких молекул. В силу хаотичности движения
молекул их удары о броуновскую частичку оказываются обычно неском-
пенсированными: с разных сторон в частичку ударяет различное ко-
количество молекул, причем сила удара отдельных молекул также не
вполне одинакова. Поэтому частичка получает преимущественный тол-
толчок то с одной, то с другой стороны и буквально мечется в разные сто-
стороны в поле зрения микроскопа. Таким образом, броуновские частички
* От латинского слова dilfusio — распространение.
** Цветочная пыльца, взвешенная в воде.
112

воспроизводят хаотическое движение самих молекул, только движут-
движутся они значительно медленнее молекул благодаря своей сравнительно
большой массе.
Броуновское движение является как бы увеличенным по масштабу,
но замедленным по темпу воспроизведением теплового движения мо-
молекул.
Броуновское движение можно наблюдать и в газе, если в нем взве-
взвешены достаточно мелкие твердые или жидкие частички, как это имеет
место, например, в задымленном или запыленном воздухе, освещенном
солнечными лучами.
Один из методов определения постоянной Авогадро N А, примененный
Перреном, был основан на наблюдении броуновского движения. Зна-
Значение NA оказалось равным 6-Ю23 молекул на моль. Более точные из-
измерения, выполненные впоследствии другим методом, дали для постоян-
постоянной Авогадро общепринятое сейчас значениеNA =6,02252 «1023 моль.
Напомним, что под молем (моль) понимается количество вещества,
масса которого в граммах равна его относительной молекулярной
массе*. Точное определение моля дано в приложении II. Количество
вещества в 1000 раз большее моля называется киломолем (кмоль).
На основе молекул яр но-кинетической теории оказалось возможным
объяснить многие свойства тел и понять физическую сущность ряда
происходящих в них явлений (теплопроводность, внутреннее трение,
диффузию, изменение агрегатного состояния и т. п.). Наиболее плодо-
плодотворно применяется молекулярно-кинетическая теория к газам. Од-
Однако и в области жидкости и твердых тел эта теория позволила устано-
установить целый ряд важных закономерностей. Все эти вопросы достаточно
подробно рассмотрены в последующих главах второй части курса.
§ 37. О теплоте и температуре
Как уже отмечалось (см. § 35), тепловое состояние тела (вещества)
определяется интенсивностью хаотического (теплового) движения
его молекул. При изменении интенсивности этого движения изменяют-
изменяются внутренняя энергия тела и его тепловое состояние. Еще около 200
лет тому назад М. В. Ломоносов в «Размышлениях о причине тепла и
холода» писал, что теплота состоит во внутреннем движении мате-
материи, которое есть перемена места нечувствительных частиц материи
(т. е. по современной терминологии, молекул).
Возьмем два тела с различным тепловым состоянием. Пусть в пер-
первом теле интенсивность хаотического движения молекул больше, чем
во втором. Приведем эти тела в соприкосновении друг с другом — в
тепловой контакт. Тогда молекулы первого тела, сталкиваясь на гра-
границе соприкосновения тел с молекулами второго тела, повышают ин-
интенсивность теплового движения последних. В результате тепловое
состояние тел изменится: внутренняя энергия первого тела уменьшит-
* Относительной молекулярной массой называется отношение массы дан-
данной молекулы в 1/12 массы изотопа атома углерода С12. Очевидно, что относитель-
относительная молекулярная масса является безразмерной величиной.
113

ся, а второго — возрастет. Количество внутренней энергии, передан-
переданное {при тепловом контакте) первым телом второму телу, назовем ко-
количеством переданной теплоты*.
В качестве характеристики теплового состояния тела введем поня-
понятие температуры как физической величины, количественно описываю-
описывающей интенсивность хаотического движения его молекул. Чем интен-
интенсивнее тепловое движение молекул в теле, тем выше его температура.
В нашем примере температура первого тела была выше, чем второго.
Если при тепловом контакте тепловые состояния тел не изменяются,
то их температура одинакова — тела находятся в тепловом равновесии.
При изменении теплового состояния тела кроме температуры изме-
изменяются и другие его физические характеристики (например, объем).
По количественному изменению этих характеристик (например, объе-
объема) можно судить об изменении температуры тела и установить едини-
единицы измерения температуры и температурную шкалу. Тело (прибор),
по изменению какой-либо физической характеристики которого можно
определять его температуру, называется термометром.
Для измерения температуры тела его надо привести в тепловой
контакт с термометром и дождаться установления теплового равнове-
равновесия. Температура тела будет равна температуре термометра, находя-
находящегося в тепловом равновесии с этим телом.
Простейшим и наиболее распространенным термометром является
жидкостный (ртутный или спиртовой), температура которого опреде-
определяется по высоте столбика жидкости, находящейся в капиллярной
стеклянной трубке с расширением на нижнем конце; с изменением тем-
температуры термометра изменяется объем, а следовательно, и высота
столбика жидкости. Наиболее распространенной температурной шка-
шкалой является шкала Цельсия, за основные точки которой приняты по-
положения верхних уровней столбика жидкости, когда термометр на-
находится в тепловом контакте: 1) с тающим льдом; 2) с паром кипящей
воды (при нормальном атмосферном давлении). Расстояние между
этими уровнями разделено на 100 равных частей; 0,01 этого расстоя-
расстояния принята за 1 градус температурной шкалы Цельсия A°С), что со-
соответствует одному кельвину A К). Точное определение кельвина да-
дано в Приложении II.
В технике и лабораторных исследованиях для измерения темпера-
температуры широко применяются электротермометры (термометры сопротив-
сопротивления и термопары). Точное измерение температуры и градуировка
термометрических шкал производится посредством газового термо-
термометра (нормальная шкала температур), основанного на законе Гей-
Люссака (см. § 39).
Немного раньше мы назвали количеством переданной телу теплоты
величину изменения внутренней энергии тела в результате теплового
контакта. Поэтому количество теплоты измеряют в единицах энергии
(работы), т. е. в джоулях.
* Теплота может передаваться не только при тепловом контакте (т. е. пос-
посредством молекулярной теплопроводности), но и путем конвекции (в жидкой
и газообразной средах) и лучеиспускания (в прозрачных средах и в пустоте).
114

Опыт показывает, что количество теплоты Q, необходимое для
нагревания массы т вещества от температуры 7\ до Т2 Кельвинов,
пропорционально массе вещества и изменению температуры:
где с — коэффициент пропорциональности, называемый удельной теп-
теплоемкостью вещества. Из последней формулы следует
c=z_Q_
т (Т2—7\)
Отсюда видно, что удельной теплоемкостью вещества называется коли-
количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества
на один кельвин. Единицей измерения удельной теплоемкости являет*
ся Дж/(кг • К).
Более подробно вопросы о теплоемкости и температуре будут рас-
рассмотрены в последующих главах (см. §§ 39, 42, 43, 44 и 54).
§ 38. О предмете и методах молекулярной физики
Прежде чем перейти к непосредственному изложению основ моле-
молекулярной физики, определим предмет и охарактеризуем (в самых об-
общих чертах) основные методы ее исследований.
Молекулярная физика изучает физические свойства макроскопичес-
макроскопических тел (газообразных, жидких и твердых), а также совершающиеся
в них физические процессы, обусловленные тепловым движением и вза^
имодействием микрочастиц (атомов, молекул, ионов), составляющих
эти тела.
Так как свойства макроскопических тел (систем) обусловлены про-
протекающими в них микроскопическими процессами беспорядочного
движения микрочастиц, то объяснить и количественно охарактеризо-
охарактеризовать свойства макросистем можно на основе рассмотрения этих микро-
микропроцессов.
Например, важная макроскопическая характеристика состояния
тела — температура — обусловлена, как уже отмечалось, интенсив-
интенсивностью беспорядочного движения молекул этого тела и поэтому может
быть количественно выражена через их скорости движения. Но при
этом надо иметь в виду, что у молекул, образующих тело, нет единой
скорости движения: в любой момент времени каждая молекула имеет
свою индивидуальную (случайную) скорость (в этом и заключается
беспорядочность теплового движения). Поэтому температуру тела мож-
можно выразить только через некоторое среднее значение скорости движе-
движения его многочисленных молекул.
Метод описания свойств макроскопических систем на основе ус-
усредненных значений характеристик движения микрочастиц, составля-
составляющих эти системы, называется молекулярно-кинетическим (статисти-
(статистическим) методом.
Можно, однако, изучать свойства макросистемы (тела), не касаясь
ее микроструктуры и совершающихся в ней микропроцессов. Дело в
115

том, что многие свойства системы связаны еще и с происходящими в
ней процессами превращения энергии из одних видов в другие. Основ-
Основные законы самих энергетических превращений, называемые началами
термодинамики (см. § 69 и 71), были установлены на материале ог-
огромного количества наблюдений и являются вполне достоверными.
Следовательно, с помощью этих законов тоже можно изучать многие
свойства макроскопических систем.
Метод описания свойств макроскопических систем на основе зако-
законов превращения энергии, совершающегося в этих системах, называ-
называется термодинамическим.
Как статистический, так и термодинамический методы широко ис-
используются в исследованиях по молекулярной физике, зачастую до-
дополняя друг друга. Примером такого дополнения может служить рас-
рассмотрение вопроса об энтропии в § 72 (термодинамическим методом)
и в § 73 (статистическим методом).

Глава VIIL Газы
§ 39. Экспериментальные газовые законы: Бойля—Мариотта,
Гей-Люссака, Дальтона, Авогадро. Абсолютная температура
Состояние данной массы газа принято характеризовать следующими
физическими величинами (параметрами состояния): давлением р, объе-
объемом V и температурой Т. Изменение состояния газа, сопровождаю-
сопровождающееся изменением всех или некоторых из этих величин, называется
газовым процессом. Процесс изменения давления газа в зависимости от
объема, протекающий при неизменной температуре, называется изо-
изотермическим. Процесс изменения объема газа в зависимости от темпе-
температуры, протекающий при неизменном давлении, называется изобари-
изобарическим. Процесс изменения давления газа в зависимости от температу-
температуры, протекающий при неизменном объеме, называется изохорическим*.
Прежде чем перейти к изучению свойств
газа на основе молекулярно-кинетической те-
теории строения вещества, следует кратко оста-
остановиться на газовых законах (Бойля—Мариот-
(Бойля—Мариотта, Гей-Люссака, Дальтона, Авогадро), кото-
которые были открыты опытным путем задолго до
появления молекулярно-кинетической теории.
Эти законы были установлены на опытах с
газами, находящимися в условиях, мало от-
отличающихся от нормальных атмосферных
условий, т. е. при небольших температурах
и невысоких давлениях. При низких темпера- ^ V
турах или при высоких давлениях эксперимен-
экспериментальные- газовые законы уже неточно отра- ис*
жают свойства газов.
Закон Бойля — Мариотта. Изучая изотермические га-
газовые процессы, английский ученый Бойль (в 1662 г.) и французский
ученый Мариотт (в 1667 г.) независимо друг от друга установили сле-
следующий закон, получивший название закона Бойля — Мариотта:
для данной массы газа при постоянной температуре (t = const)
давление газа изменяется обратно пропорционально объему:
рУ t= const, A)
где / — температура по шкале Цельсия.
В соответствии с формулой A) изотермический процесс представля-
представляется на графике равнобочной гиперболой — изот'ермой (рис. 70).
Законы Гей-Люссака. Изучая изобарические и изо-
хорические газовые процессы, французский физик Гей-Люссак в
1802 г. установил следующие два закона, названные его именем**.
* От греческих слов taoC (изос) — одинаковый, ftepjxY] (терме) — теплота,
(барос) — тяжесть, x®?a (хора) — пространство.
** Закон для изохорического процесса был несколько раньше высказан в
предположительной форме французским ученым и воздухоплавателем Шарлем
и потому иногда называется законом Шарля.
117

1. Для данной массы газа при постоянном давлении (р = const)
объем газа изменяется линейно с температурой:
V = V0(l+at), B)
где Vo — объем газа при 0° С, V — объем газа при температуре f С,
а — коэффициент объемного расширения газа.
2. Для данной массы газа при постоянном объеме (V = const) дав-
давление газа изменяется линейно с температурой:
р = роA + ^t), C)
где р0 — давление газа при 0 ° С, р — давление газа при температуре
/ °С, 7 — термический коэффициент давления газа.
Оказалось, что для всех
V газов
а = т = -
1
273,16
273
(К).
173*
Согласно формулам B) и
C), изобарический и изохори-
ческий процессы представля-
представляются на графиках прямыми
линиями (изобарами и изохо-
рами), проходящими наклон-
наклонно к оси температур и пере-
пересекающими ее в точке / =
= — 273,16 °С « — 273 °С
(рис. 71 и 72).
Точка / = —273 °С приня-
принята за начало отсчета (нуль)
новой шкалы температур, на-
называемой абсолютной (или:
шкалой К^елъвина, или тер^
модинамической шкалой). Тем-
Температура, отсчитываемая па
абсолютной шкале, называет-
называется абсолютной, или термодинамической температурой; нуль этой
шкалы называется абсолютным нулем. Если цену деления абсолютной
шкалы сохранить той же, что и на шкале Цельсия, то абсолютная тем-
температура Т будет связана с температурой /, измеряемой по шкале
Цельсия, формулой
Т = / + 273,16 °С, D)
при этом абсолютный нуль равен —273,16 °С.
Из формулы B) следует, что при температуре, равной абсолютному
нулю,
73
273 )
т. е., что при абсолютном нуле температуры
118

вещество исчезает. Этот явно неверный вывод подтверждает уже упоми-
упоминавшееся положение о том, что экспериментальные газовые законы не-
неприменимы в области низких температур. Действительно, при низких
температурах вещество не может существовать в газообразном состо-
состоянии: оно переходит в жидкое или даже в твердое состояние.
Таким образом, воспользовавшись для установления абсолютной
шкалы температуры и абсолютного нуля законами Гей-Люссака, мы
поступили сугубо формально. Однако Кельвин в 1852 г., исходя из иных
физических явлений, теоретически установил ту же самую абсолютную
шкалу температур с тем же значением абсолютного нуля, какие фор-
формально были получены ранее из законов Гей-Люссака. Поэтому абсо-
абсолютную температуру и абсолютный нуль не следует рассматривать как
формальные понятия, не имеющие физического смысла. Абсолютный
нуль — это, как показал Кельвин, самая низкая из возможных тем-
температур вещества. Как мы увидим дальше (см. § 42), при абсолютном
нуле полностью прекращается хаотическое движение молекул в ве-
веществе. Однако это не значит, что в нем прекращается всякое движение.
Сохраняется, например, движение электронов в атоме. В настоя-
настоящее время удается охлаждать малые объемы вещества до температуры,
близкой к абсолютному нулю, не достигая последнего лишь на несколь-
несколько тысячных долей Кельвина.
С помощью абсолютной температуры можно придать формуле B)
более простой вид:
где TQ = 273 К соответствует О °С по шкале Кельвина. Следователь-
Следовательно,
- = -, E)
V Т
т. е.
при постоянном давлении объем газа пропорционален абсолютной
температуре.
Преобразуя аналогичным путем формулу C), получим
т. е.
п
температуре.
при постоянном объеме давление газа пропорционально абсолютной
мпературе.
Формулы E) и F) е
законов Гей-Люссака.
ипературе.
Формулы E) и F) представляют собой математические выражения
гг\тзг\т> ITckX*- T\xr\nr*ava
На формуле F) основан упоминавшийся уже ранее метод измерения тем-
температуры с помощью газового (водородного) термометра, схематически изобра-
изображенного на рис. 73. Водородный термометр состоит из баллона А, наполнен-
наполненного водородом и сообщающегося с левым коленом ртутного манометра. Откры-
Открытое правое колено манометра соединено с левым коленом посредством гибкого
резинового шланга. Баллон приводится в тепловой контакт со средой, темпе-
температура которой подлежит изменению. Чтобы изменение температуры водорода
119

происходило изохорически, ртуть в левом колене манометра во время всего
измерения поддерживается на уровне метки а, для чего приходится поднимать
или опускать правое колено на блоке В рукояткой С. Тогда, применяя форму-
формулу F), получим
Т-^ГР. F')
Ро
Зная начальное (атмосферное) давление /?о и начальную температуру Го водо-
водорода и определив конечное давление р водорода по формуле
В
Р*= Po + h,
где h — разность уровней ртути в коле-
коленах манометра, определяют конечную
температуру водорода Т по формуле F').
Закон Дальтона. Пусть
в некотором объеме находится смесь
газов (например, воздух), имеющая
давление р. Удалим из объема все га-
газы, кроме одного (например, азота).
Тогда он займет весь объем (смеси) и
будет иметь давление рг называемое
парциальным давлением первого га-
газа*. Парциальным давлением газа,
входящего в газовую смесь, называется
давление, которое имел бы этот газ, ес-
если бы он один занимал весь объем, пре-
предоставленный смеси. Вновь заполнив
объем смесью газов, удалим затем из
объема все газы, кроме второго (напри-
(например, кислорода). Тогда второй газ, за-
заняв весь объем, приобретет давление
р2, являющееся его парциальным дав-
давлением. Проведя аналогичные опера-
операции со всеми остальными газами смеси, определим парциальные давле-
давления третьего газа р3, четвертого газа р4 и т. д.
В 1801 г. английский физик и химик Дальтон установил соотноше-
соотношение между давлением газовой смеси и парциальными давлениями вхо-
входящих в нее газов, получившее название закона Дальтона:
давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений входящих
в нее газов:
р = рх + р2 + р3 + р4 Л G)
Закон Авогадро . На основании опытов с различными
газами итальянский ученый Авогадро установил в 1811 г. следующий
закон, названный его именем:
при одинаковых температуре и давлении моли любых газов занимают
одинаковые объемы.
При нормальных условиях этот объем составляет 0,02241 м3/моль
B2,41 л/моль).
Рис. 73
* От латинского слова pars — часть.
120

§ 40. Уравнение Клапейрона — Менделеева.
Универсальная газовая постоянная
В предыдущем параграфе рассматривались газовые процессы, при
которых одна из характеристик состояния газа оставалась неизменной,
а две другие менялись. Рассмотрим самый общий случай газового про-
процесса, когда одновременно изменяются и объем, и давление, и темпе-
температура газа. Закон, описывающий такого рода процессы, был установ-
установлен в 1834 г. Клапейроном* путем объединения законов Бойля — Ма~
риотта и Гей-Люссака.
Пусть состояние некоторой массы т газа характеризуется пара-
параметрами Vi, pi и 7V Переведем ее в другое состояние, характеризующе-
характеризующееся параметрами У2, Рг и Т2. Этот процесс осуществим в два этапа:
1) изотермически G\ — const) изменим объем газа до значения V2> при
этом его давление станет равным р\\ 2) изохорически (У2 = const)
изменим температуру газа до такого значения Г2, при котором дав-
давление окажется равным р2.
Первый этап процесса описывается законом Бойля — Мариотта и
потому
откуда
Второй этап процесса описывается законом Гей-Люссака F) и, сле-
следовательно,
Подставляя в последнюю формулу выражение р/, получим
ViPi ^ 7^1
V2p2 Т2 '
откуда
Это значит, что
для данной массы газа величина pV/T остается неизменной:
&jr = В = const. (8)
Выражение C) называется уравнением (законом) Клапейрона.
* Французский физик; с 1830 г. работал в Петербургском институте путей
сообщения.
121

Некоторым недостатком уравнения Клапейрона является то об-
стоятельство, что постоянная величина В различна для различных
газов. Для устранения этого недостатка Менделеев в 1875 г. несколь-
несколько видоизменил закон Клапейрона, объединив его с законом Аво-
гадро.
Рассмотрим для этой цели моль газа, обозначив его объем через
VM, называемый молярным. В этом случае уравнение Клапейрона
примет вид
Согласно закону Авогадро, при одинаковых значениях р и Т моли всех
газов имеют одинаковое значение VM и, следовательно, постоянная В
будет одинаковой для всех газов. Обозначим это значение В через R,
тогда
^~* (9)
Постоянная R называется универсальной газовой постоянной. Из фор»
мулы (9) следует, что
pVM = RT. A0)
Это выражение называется уравнением (законом) Клапейрона—Менде-
Клапейрона—Менделеева для моля газа. Так как объем газа пропорционален его массе (при
одинаковых р и Г), то
vm _ М
V т
где М — молярная масса газа, а V — объем массы т этого газа.
Тогда
т
Подставляя это выражение Ум в формулу A0), получим
pV 4L в /?7\
т
ИЛИ
pV = -j-RT. A1)
м
Последнее выражение называется уравнением (законом) Клапейрона —
Менделеева для любой массы газа. Из формулы A1) можно выразить
плотность р газа;
но
m
122

тогда
откуда
Численное значение универсальной газовой постоянной определим
из формулы (9), полагая, что моль газа находится при нормальных
условиях (р = 1,013 • 105Па, Т = 273 К, VM= 0,02241 м3/моль):
R = 1,013. Ю- Па> 0,02241 мз/моль = g^ дж/(К.М0Ль).
273 К
Поскольку закон Клапейрона — Менделеева обобщает экспери-
экспериментальные газовые законы, то и сам он является экспериментальным
законом. Перейдем теперь к теоретическому изучению свойств газа
на основе молекулярно-кинетической теории.
§ 41. Основное уравнение кинетической теории идеального газа
С точки зрения молекулярно-кинетической теории находящийся
в сосуде газ представляет собой совокупность множества хаотически
движущихся молекул. В процессе этого движения молекулы газа уда-
ударяют о стенки сосуда. При каждом ударе молекула действует на стенку
с некоторой, сравнительно небольшой силой, нормальной (перпенди-
(перпендикулярной) к поверхности стенки. Ввиду крайней многочисленности
молекул стенки сосуда испытывают как бы непрерывное действие неко-
некоторой, уже сравнительно большой, нормально направленной силы.
Рассчитанная на единицу площади стенки, эта сила, очевидно,
представит гобой давление газа. Таким образом, давление газа обуслов-
обусловлено тепловым движением его молекул и проявляется благодаря уда-
ударам молекул о стенки сосуда.
Сила удара молекул зависит от скорости их движения, а следовате-
следовательно, и от кинетической энергии поступательного движения молекул.
Поэтому давление р газа должно являться функцией ср средней кинетиче-
кинетической энергии поступательного движения его молекул W:
Р = ? [Щ . A3)
Основное уравнение кинетической теории идеального газа как раз и
устанавливает зависимость между давлением газа и средней кинетичес-
кинетической энергией поступательного движения его молекул, т. е. устанавли-
устанавливает конкретный вид функции ср. Основное уравнение было выведено
(в современной форме) немецким физиком Клаузиусом в 50-х годах
XIX в.
Прежде чем приступить к выводу этого уравнения, сделаем несколь-
несколько упрощающих предположений относительно самого газа. Будем счи-
считать, что молекулы газа находятся в среднем настолько далеко друг
123

от друга, что их размерами можно пренебречь по сравнению с рассто-
расстоянием между ними, т. е. рассматривать молекулы как материальные
точки. В таком случае можно пренебречь также и силами взаимодейст-
взаимодействия (сцепления и отталкивания) между молекулами. Исключение сос-
составляют моменты сближения молекул, соответствующие столкнове-
столкновениям между ними. При этом будем считать, что молекулы сталкивают-
сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, в котором заключен газ, как
абсолютно упругие шарики, изменяя только направление, но не ве-
величину скорости. Наконец, ввиду большого среднего расстояния меж-
между молекулами можно пренебречь числом взаимостолкновений моле-
молекул по сравнению с числом их ударов о стенки сосуда. Таким образом,
наши упрощающие предположения о газе можно кратко сформулиро-
сформулировать следующим образом:
1. Молекулы — упругие шарики пренебрежи-
пренебрежимо малого размера (материальные точки).
2. Силы сцепления между молекулами пренебре-
пренебрежимо малы.
3. Силы отталкивания между молекулами про-
проявляются только в моменты взаимостолкновений
последних.
4. Число взаимостолкновений между молеку-
молекулами пренебрежимо мало по сравнению с числом
р 74 их ударов о стенки сосуда.
Газ, удовлетворяющий этим условиям, назы-
называется идеальным.
Таким образом, идеальным газом называется такой воображаемый
газ, молекулы которого представляют собой упругие материальные точ-
точки, не связанные друг с другом межмолекулярными силами сцепле-
сцепления.
Здесь уместно поставить вопрос: не увели ли нас эти упрощающие
предположения слишком далеко от действительности? Иными словами
не будет ли беспредметным изучение идеального газа? Оказывается, что
реальный газ в условиях, близких к нормальным, а также при низких
давлениях и при высоких температурах близок по своим свойствам к
идеальному газу. Таким образом, рассмотренные (см. §§39, ^экспери-
^экспериментальные газовые законы справедливы, по существу, для идеального
газа.
Выведем основное уравнение для случая, когда газ находится в со-
сосуде кубической формы. (Это делается только ради упрощения расче-
расчета. Вообще же основное уравнение можно вывести для газа, находя-
находящегося в сосуде любой формы и даже при отсутствии всякого
сосуда.)
Пусть в кубическом сосуде с ребром а находится идеальный газ,
состоящий из N молекул; масса каждой молекулы т. Ввиду полной
хаотичности движения молекул результат их действия на стенки со-
сосуда будет таким же, как в случае, если бы 1/3 всех молекул двигалась
прямолинейно между передней и задней стенками сосуда, 1/3 между
правой и левой и 1/3 между верхней и нижней (рис.74). Поэтому до-
допустим, что число молекул, движущихся в каждом из трех взаимно
124

перпендикулярных (и перпендикулярных к соответствующим стенкам)
направлений, равно N' = у N*.
Проследим мысленно за одной из молекул, летящей со скоростью v
в направлении правой стенки сосуда (см.рис. 74). Долетев до стенки, мо-
кула ударит в нее, отскочит назад, полетит к левой стенке, ударит в
нее и т. д. Обозначим силу удара молекулы о стенку через А/, а про-
продолжительность времени удара — через Д*. Тогда импульс силы, со-
сообщенный молекулой стенке при ударе, равен А/ • АЛ
Согласно закону изменения количества движения (см. § 8), импульс
силы равен изменению количества дижения:
А/ • А/ = то — (— то) = 2то.
Знак минус показывает, что скорость при ударе изменяет направле-
направление на противоположное.
Молекула действует на правую стенку с силой А/ кратковременно,
только в моменты ударов; остальную и притом ббльшую часть времени
между ударами она не действует на эту стенку. Поэтому средняя си-
сила А/ действия молекулы на правую стенку за одну секунду значитель-
значительно меньше фактической силы А/. Очевидно, что импульс средней силы
равен сумме импульсов всех сил А/, действующих на стенку в течение
одной секунды:
Д/ • 1 = Д/ • Д* • А,
где k — число ударов молекулы в правую стенку за одну секунду.
Число k равно перемещению молекулы за 1 с, деленному на перемеще-
перемещение 2а, совершаемое ею между двумя последовательными ударами в
правую стенку (см. рис. 74). Так как перемещение молекулы за одну
секунду численно равно скорости v, то k = v/2a. Тогда средняя сила
AfAfAt 2mo .
2а 2а а
Учитывая, что на правую стенку сосуда действуют и все другие (N')
молекулы газа, найдем полную силу /, с которой газ действует на пра-
правую стенку:
iV' Л" „„2 N'
где vt = Vt> v2, u3,...., vN> — скорости молекул.
Разделим и умножим правую часть равенства на N'i
mN
* Допустимость такой замены полностью беспорядочного движения час-
частично упорядоченным подтверждается строгим расчетом, который здесь не рас-
рассмотрен.
125

Нетрудно установить, что выражение — V v* представляет собой
квадрат средней квадратичной скорости молекул (см. § 3), которую
мы обозначим через и. Тогда
Разделим обе части последнего равенства на а2 и заменим N' на 1/3М:
Ho a2 = S — площадь правой стенки сосуда, а a3 = V — объем
сосуда. Тогда
Очевидно, что //S = р — давление газа на правую стенку, а N/V =
= п0 — число молекул в единице объема газа. Поэтому
р= — тпои*. A4)
о
Разделив и умножив правую часть этого равенства на 2, получим
где mu2/2 == W — средняя кинетическая энергия поступательного
движения одной молекулы. Следовательно,
Р=^по?. A5)
Очевидно, что совершенно такие же выражения A4) и A5) получа-
получаются и для давления газа на каждую из остальных стенок сосуда. Сле-
Следовательно, формулы A4) и A5) дают искомое [формула A3)] выражение
давления газа. Они представляют собой разновидности основного урав-
уравнения кинетической теории идеального газа (уравнения Клаузиуса). Ос-
Основное уравнение показывает, что
давление газа прямо пропорционально средней кинетической энергии
поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема
газа.
Подчеркнем, что вывод этого уравнения выполнен посредством ста-
статистического метода (см. § 38): рассматривая макроскопическую сис-
систему (газ) как совокупность огромного числа беспорядочно движу-
движущихся молекул, мы выразили макроскопическую характеристику сис-
системы — давление газа — через усредненное значение характеристики
микропроцесса — среднюю квадратичную скорость или среднюю кине-
кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.
126

Основное уравнение получено нами теоретическим путем. Но правильность
теоретических выводов всегда следует проверять на опыте. Проведем практи-
практическую проверку основного уравнения следующим образом. Если основное урав-
уравнение правильно отражает действительность, то из него должны вытекать
в качестве следствий экспериментальные газовые законы (см. § 39). Поэтому
попробуем вывести из основного уравнения кинетической теории идеального
газа, например, закон Бойля — Мариотта.
Подставляя в основное уравнение значение «о = NJV, получим
откуда
pV = — nW. A6)
Для данной массы газ N = const; при постоянной температуре скорости моле-
молекул газа также остаются постоянными (интенсивность теплового движения мо-
молекул не изменяется), поэтому W = const. Тогда правая, а следовательно, и ле-
левая части формулы A6) должны быть постоянны, т. е.
pV ваш COnst.
Итак, для данной массы газа при постоянной температуре давление газа обратно
пропорционально объему. Следовательно, мы вывели закон Бойля — Мариотта,
подтвердив тем самым справедливость основного уравнения кинетической те-
теории идеального газа.
Задача 21. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при
температуре h = 7 °С равно pi = 108 Па. При нагревании бутылки пробка
вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутыль, если пробка выдерживает
давление до р2 = 1,3 • 10б Па?
Решение. Поскольку нагревание воздуха в бутыли есть изохорический
процесс, применим к нему закон Гей-Люссака FJ
где Ti и Т2 — начальная и конечная абсолютные температуры воздуха в буты-
бутыли. Тогда
7\ = ^ ^
рх 105Па
280 К = 264 К;
Задача 22. Кислород массой m == 10 г находится при температуре h =
= 10 вС и давлении р = 3,04 • 108 Па. После расширения вследствие нагре-
нагревания при постоянном давлении кислород занял объем У2 = 10 л. Определить:
а) объем Vi газа до расширения; б) температуру t2 газа после расширения;
в) плотности pi и р2 газа до и после расширения.
Решение, а) К исходному состоянию кислорода применим уравнение
Клапейрона — Менделеева A1)х
где 7i = 283 К — абсолютная температура кислорода до нагревания; М =
= 0,032 кг/моль — молярная масса кислорода, R = 8,32 Дж/(К • моль) —уни-
—универсальная газовая постоянная. Тогда
mRTl 0,01 кг ¦ 8,32 ¦ Дж/(К ¦ моль) ' 283 К
1 Мр 0,032 кг/моль- 3,04- 10» Па ' м=^,4л
127

б) Поскольку кислород нагревался изобарически, применим закон Гей-
Люссака E):
где Т2 — абсолютная температура кислорода после нагревания. Тогда
Т2 = -—- Тг = ^-? • 283К = 1180 К; t2 = 907 °С.
V i 2,4л
в) По вытекающей из уравнения Клапейрона — Менделеева формуле A2),
рМ
Поэтому
9 RT
3,04-10& Па-0,032 кг/моль
р1== 8,32Дж/(К-моль) • 283 к"'
3,04 • 105 Па • 0,032 кг/моль
= 0,99 кг/м3.
8,32Дж/(К- моль) . 1180К
Задача 23. Найти число по молекул бодорода в 1 см3, если давление р =
= 2,66 • 104 Па, а средняя квадратичная скорость молекул и = 2400 м/с.
Решение. Согласно основному уравнению кинетической теории A4),
Р=- — потФу
Где т — масса молекулы водорода, связанная с молярной массой водорода М =
= 0,002 кг/моль и постоянной Авогадро Wa = 6,023 • 1023 моль" очевидным
соотношением: т = M/N. Поэтому
3 • 2,66 • 10* Па . 6,023 . Ю23 1/моль
МФ 0,002 кг/моль • 24002 м2/с2
= 4,15- Ю18 м-3 = 4,15- Ю12 см.
§ 42. Средняя кинетически энергия поступательного движения
молекулы идеального газа
В предыдущем параграфе средняя кинетическая энергия поступа-
поступательного движения молекулы идеального газа была выражена через
массу молекулы и среднюю квадратичную скорость:
Поскольку скорость молекулы зависит от температуры газа, то и сред-
средняя энергия молекулы должна зависеть от температуры, Важно полу-
получить выражение энергии через температуру газа, так как измерение тем-
температуры газа выполняется весьма просто, чего никак нельзя сказать
128

о средней квадратичной скорости. С этой целью обе части основного
уравнения A5) умножим на молярный объем газа Vм:
Так как n0VM = А/д (где N& — постоянная Авогадро), то
PVa - Т NaW-
Но, согласно уравнению Клапейрона — Менделеева A0),
pVM = JRT.
Из двух последних формул следует, что
откуда
W = ¦
2 N
W = — — Т.
А
Обозначим /?/Л^А = &, тогда
W=±-kT. A7)
Очевидно, что k — постоянная величина. Она называется постоянной
Больцмана*. Из формулы A7) следует, что средняя кинетическая энер-
энергия поступательного движения молекулы идеального газа пропорциональ-
пропорциональна абсолютной температуре и зависит только от нее.
Численное значение постоянной Больцмана определим из формулы
R = 8,32 Дж/(К-моль)
^А 6,02 • 1023 1/моль
Подставим в формулу A5) вместо W ее выражение из формулы A7)
и получим зависимость давления газа от температуры:
Из этого выражения находим, что
«о=^г. A8)
Из формулы A8) видно, что при одинаковых температуре и давлении
все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число
молекул, содержащееся в 1м3 газа при нормальных условиях, назы-
называется числом Лошмидта.
* Введена немецким физиком Больцманом.
5-31 129

Определим это число по формуле A8):
„ ___ 1,013- 105 Па
= 2,69 • 1025 м~3.
0 1,38-10-23 Дж/К-273 К
Пользуясь формулой A7), подсчитаем среднюю кинетическую энер-
энергию поступательного движения молекулы газа при нормальных усло-
условиях:
W = — кТ = — • 1,38 . К)3 • 273 = 5,7 . 10~21 (Дж).
§ 43. О числе степеней свободы. Внутренняя энергия газа
Молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом и,
следовательно, не обладают потенциальной энергией. Поэтому вся
энергия молекул идеального газа состоит только из кинетической энер-
энергии поступательного и вращательного
движений. Среднюю кинетическую
энергию поступательного движения
молекулы мы определили в предыду-
предыдущем параграфе [формула A7I. Для
учета средней кинетической энергии
вращательного движения молекулы
необходимо ввести в рассмотрение
понятие числа степеней свободы тела.
Числом степеней свободы тела на-
называется число независимых коорди-
координату определяющих положение тела в
пространстве.
Поясним* данное определение. Если
тело перемещается в пространстве со-
совершенно произвольно, то это пере-
перемещение всегда можно составить из
шести одновременных независимых
движений: трех поступательных (вдоль трех осей прямоугольной систе-
системы координат) и трех вращательных (вокруг трех взаимно перпенди-
перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести тела) (рис. 75). Иными
словами, положение тела в пространстве определяется в этом случае
шестью независимыми координатами: тремя линейными(лг, у, г) и тре-
тремя угловыми (а, C, f)- Следовательно, согласно определению, число
степеней свободы произвольно движущегося в пространстве тела равно
шести (три поступательных и три вращательных степени свободы). Если
свобода движения тела ограничена, то его число степеней свободы
меньше шести. Например, тело движется только по плоскости, имея
при этом возможность произвольного вращения (катящийся мяч). Тогда
число его степеней свободы равно пяти (две поступательных и три
вращательных). Железнодорожный вагон имеет одну степень свобо-
свободы (поступательную), так как он движется только по линии. Колесо
вагона имеет две степени свободы: одну поступательную (вместе с
сагоном) и одну вращательную (вокруг горизонтальной оси).
Рис. 75
130

Вернемся теперь к вопросу о кинетической энергии молекулы газа.
Ввиду полной хаотичности движения молекул все виды их движений
(и поступательные, и вращательные) одинаково возможны (равнове-
роятны). Поэтому на каждую степень свободы молекулы приходится в
среднем одинаковое количество энергии (теорема Больцмана о равно-
равномерном распределении энергии по степеням свободы).
Поскольку молекулы движутся совершенно произвольно, они дол-
должны были бы иметь по шесть степеней свободы. Однако здесь надо
принять во внимание следующее обстоятельство.
Молекулу одноатомного газа (например, Не) можно представить
как материальную точку, вращение которой вокруг собственных осей
не изменяет ее положения в пространстве. Значит, для определения
положения одноатомной молекулы достаточно задать только ее линей-
линейные координаты. Поэтому одноатомной молекуле следует приписать
число степеней свободы, равное трем (поступательным). С физической
точки зрения это обстоятельство можно пояснить так. Кинетическая
энергия вращательного движения тела (см. § 23) равна
W —
к-вр~~
2
где о — угловая скорость вращения, /
Для материальной точки
/ == тг\
момент инерции тела.
где т — масса материальной точки, г — ее расстояние от оси вра-
вращения. Если материальная точка вращается вокруг своей оси, то г =0.
Но тогда и / = 0 и И^.вр =0.
Следовательно, у одноатомной
молекулы на вращательнсе
движение (на вращательные
степени свободы) приходится
бесконечно малая энергия,
которой можно пренебречь.
Строгое доказательство этого
J
J
I
„-
ис#
j
положения возможно только / I
на основе квантовой меха- i
ники. а
Молекулу двухатомного
газа (например, О2) можно
представить как совокупность
двух материальных точек — атомов, жестко связанных между со-
собой химическими связями (рис. 76, а). Вращение такой молекулы
вокруг оси, проходящей через оба атома, не меняет положения моле-
молекулы в пространстве. С физической же точки зрения энергия, прихо-
приходящаяся на вращение молекулы вокруг оси, проходящей через ато-
атомы, близка к нулю. Поэтому двухатомной молекуле следует припи-
приписать пять степеней свободы (три поступательных и две вращатель-
вращательных).
5*
131

Что касается трехатомной молекулы (рис. 76, б), то она, очевидно,
имеет все шесть степеней свободы (три поступательных и три враща-
вращательных). Столько же степеней свободы имеют и другие многоатомные
молекулы (четырехатомные, пятиатомные и т. д.).
Для подсчета средней кинетической энергии, приходящейся на
одну степень свободы молекулы, воспользуемся формулой A7):
W = — kT.
2
Так как эта энергия получена для одноатомной молекулы (как мате-
материальной точки), имеющей три степени свободы, то на одну степень
свободы молекулы приходится энергия
w0- з - 2 т.
Тогда, согласно упомянутой теореме Больцмана, молекула, имеющая
/ степеней свободы, будет обладать полной кинетической энергией
W = Woi,
ИЛИ
W = —kT. A9)
Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорци-
пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее.
Из формулы A9) вытекает физический смысл абсолютного нуля
температуры: при Т = О будет и W = 0, т. е. при абсолютном нуле
прекращается движение молекул газа.
Согласно формуле A9), одноатомная молекула (i = 3) имеет пол-
ную энергию
W, = ± kT,
двухатомная молекула (i = 5) имеет полную энергию
трехатомная и многоатомная молекулы (i = 6) имеют полную энер-
энергию
Тогда внутренняя энергия U некоторой массы газа равна произведе-
произведению числа N молекул, содержащихся в этой массе, на полную кинети-
кинетическую энергию одной молекулы:
U = NW - N — kT.
132

Так как для моля газа N = jVa, to для внутренней энергии моля по-
получим (учитывая, что k = R/N д)
т. е.
им ^ (
Из формулы A9Г) легко получить удобное для практических расче-
расчетов выражение внутренней энергии U любой массы т газа, учитывая,
что число молей этого газа равно т/М, где М — молярная масса, тогда
?/=— — RT. A9')
М 2
Следовательно, внутренняя энергия любой массы газа пропорциональ-
пропорциональна числу степеней свободы молекулы, абсолютной температуре и массе
газа.
Несмотря на то что здесь рассматривался идеальный газ, мы уже
отказались от одного упрощающего предположения, приписанного ему
Молекулы многоатомных газов обсуждались здесь не как материаль-
материальные точки, а как тела — системы материальных точек.Тем самым учи-
учитывалась индивидуальность газа, допускалось их некоторое разнооб-
разнообразие.
Подсчитаем в качестве примера внутреннюю энергию 1 кг кислорода при
температуре 27 °С.
Для кислорода (О2) i = 5, М = 0,032 кг/моль. Тогда, применяя формулу
A9"), получим
U = т—J-~ • 4" ' 8'32 Дж/(К • моль) . 300 К =195000 Дж.
0,032 кг/моль 2
Оказывается, что энергия теплового движения, заключенная в 1 кг газа, весь-
весьма значительна. Однако извлечь ее для практического использования невоз-
невозможно. Реализовать можно лишь ничтожно малую долю этой энергии (в про-
процессе теплообмена с холодильником, т. е. с телом большой массы, температура
которого ниже температуры данного газа).
§ 44. Теплоемкости газа. Физический смысл универсальной
газовой постоянной
Помимо удельной теплоемкости с вещества введем понятие молярной
теплоемкости См .Молярной теплоемкостью называется количество
теплоты, необходимое для нагревания моля вещества на 1 К. Из определе-
определения удельной теплоемкости (см. § 37) следует, что она связана с моляр-
молярной соотношением
См = М • с,
где М — молярная масса вещества. Единицей измерения См является
1Дж/(К • моль).
133

Величина теплоемкости газа существенно зависит от того, при ка-
каких условиях он нагревается: при постоянном объеме или при постоян-
постоянном давлении. В первом случае все сообщенное газу тепло идет только
на увеличение внутренней энергии газа (так как объем газа не изменя-
изменяется). Во втором случае требуется еще дополнительное количество теп-
тепла на совершение работы расширения газа (так как неизменность дав-
давления обеспечивается увеличением объема газа). Поэтому у газа раз-
различают две молярные (и удельные) теплоемкости: теплоемкость
при постоянном объеме Су и теплоемкость при постоянном давлении
Ср. Очевидно, что Ср > Су . Ознакомимся более по-
подробно с этими теплоемкостями.
1. Теплоемкость при постоянном
объеме. Молярной теплоемкостью при постоянном
объеме называется количество теплоты, необходимое
для нагревания моля газа на 1 К при постоянном объе-
объеме. Так как в данном случае все тепло идет на увеличе-
увеличение внутренней энергии газа, то молярную теплоем-
теплоемкость при постоянном объеме можно определить как
отношение приращения внутренней энергии моля
газа AUm к изменению температуры AT, вызвавшему
это приращение:
Рис. 77
Су -
А*/
м
B0)
Но согласно формуле A9'),
Поэтому
= — R • AT.
B0')
2. Теплоемкость при постоянном давлении.
Молярной теплоемкостью при постоянном давлении называется коли-
количество теплоты, необходимое для нагревания моля газа на 1 К при пос-
постоянном давлении. Как уже отмечалось, на нагревание моля газа рас-
расходуется дополнительное количество тепла, равное работе А по расши-
расшиП С С б А
у
рению газа. Поэтому Ср > Су
на величину работы А:
А.
B1)
Для подсчета этой работы заключим моль газа, имеющий темпера-
температуру Т> объем Vм и давление р, в цилиндр под поршень площадью S,
а затем нагреем его на 1 К при р = const (рис. 77). Расширяясь, газ
поднимет поршень на высоту Ah и займет объем VM, совершив при этом
работу
A = pS • Ah,
134

Формула B2) позволяет установить физический смысл молярной газовой
постоянной: универсальная газовая постоянная численно равна работе
по расширению моля идеального газа при нагревании его на 1К (при пос-
постоянном давлении).
Сопоставляя формулы B1) и B2), получим соотношение
называемое уравнением Майера*. Подставляя в это уравнение^ из
формулы B0'), найдем выражение С *
Очевидно, что т > 1 и зависит только от сорта газа (числа степеней
свободы). Наряду с теплоемкостями f является важной тепловой ха-
характеристикой газа.
Из формул B0') и B4) следует, что по значениям теплоемкостей все
газы можно разделить на три сорта: одноатомные, двухатомные и мно-
многоатомные газы. Поэтому нетрудно подсчитать все возможные значе-
значения молярных теплоемкостей и их отношения по формулам B0'), B4)
и B5). Результаты подсчетов представлены в таблице. Для универ-
универсальной газовой постоянной взято значение R = 8,32 Дж/(К • моль).
135

Опыты показали, что при не очень низких и не очень высоких тем-
температурах большинство газов имеет значения теплоемкостей, весьма
близкие к теоретически вычисленным; особенно хорошее совпадение
получено для одноатомных и двухатомных газов.
Из формул B0') и B4) следует, что молярные теплоемкости Су и Ср
постоянны и не зависят от температуры. Однако непосредственные из-
измерения показали, что это справедливо лишь для одноатомных газов.
Теплоемкости многоатомных газов остаются приблизительно постоян-
постоянными только при температурах, мало отличающихся от нормальной.
При высоких температурах теплоемкости оказываются большими,
а при низких — меньшими теоретически вычисленных значений.
Причем при низких температурах теплоемкости многоатомных газов
приближаются к таковым одноатомных газов [Су = 12,48 и Ср =
=20,8 Дж/(К- моль)]. Таким образом, при низких температурах проис-
происходит как бы «вымерзание» вращательных степеней свободы, а при вы-
высоких температурах, наоборот,—«возбуждение» каких-то новых сте-
степеней свободы.
Несоответствие теории опыту обусловлено тем, что, как уже отмечалось
(см. § 20), законы классической механики применимы к микрочастицам лишь
в определенных границах Области низких и высоких температур лежат вне
этих границ. Явления «вымерзания» и «возбуждения» степеней свободы моле-
молекул объясняются на основе законов квантовой механики. Здесь дано краткое
и притом только качественное объяснение этим явлениям.
В отличие от классической квантовая механика утверждает, что вращатель-
вращательная энергия молекул изменяется не непрерывно, а скачкообразно — определен-
определенными порциями {квантами). Обозначим A WBp квант энергии, который молекула
может воспринять на одну вращательную степень свободы. В § 43 было уста-
установлено, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень
свободы молекулы, равна
W \ kT
При температурах, близких к нормальным, квантA WBp мал по сравнению с Wo,
т. е. l/2kT^>A №вр. По мере понижения температуры величина Wo приближается
к A WBp и при достаточно низкой температуре окажется, что
Г0<ДП7вр.
Теперь молекула уже не сможет воспринять при столкновении столь малую
энергию Wo на свою вращательную степень свободы и не придет во вращатель-
вращательное движение. Поэтому при низких температурах многоатомные молекулы прак-
практически перестают вращаться и движутся только поступательно, как одно-
одноатомные молекулы. Таким образом, благодаря «вымерзанию» вращательных
степеней свободы у многоатомных молекул остаются только три (поступатель-
(поступательные) степени свободы и теплоемкости многоатомных газов становятся такими
же, как у одноатомных, т. е. Су = 12,48 и Ср = 20,8 Дж/(К • моль).
Многоатомные молекулы рассмотрены здесь как системы жестко связанных
атомов. В действительности жесткой связи, конечно, нет: атомы находятся на
некотором равновесном расстоянии друг от друга и могут колебаться относи-
относительно друг друга. Энергия колебания атомов в молекуле также изменяется
лишь квантами А №кол, а не непрерывно. При низких и близких к нормальной
температурах №о<А 1ГК0Л, поэтому при столкновении молекул их атомы не при-
приходят в колебательное движение, иначе говоря, колебательные степени свободы
не «возбуждаются». По мере повышения температуры Wo тоже возрастает и при
достаточно высокой температуре
136

Теперь при столкновениях молекул «возбудятся» колебательные степени сво-
свободы и атомы придут в колебательное движение. В связи с увеличением числа
степеней свободы молекул возрастут и теплоемкости газа.
Итак, квантовый характер поглощения энергии молекулами приводит
к «вымерзанию» вращательных степеней свободы (и уменьшению теплоемкостей
многоатомных газов) при низких температурах и к «возбуждению» колебатель
ных степеней свободы ( и увеличению теплоемкостей многоатомных газов) при
высоких температурах.
§ 45. Скорость поступательного движения молекул газа.
Распределение числа молекул по скоростям
Для нахождения средней квадратичной скорости поступательного
движения газовых молекул напишем полученные ранее (см § 42) вы-
выражения средней кинетической энергии поступательного движения мо-
молекул:
F и W k.
2 2
Приравняв правые части этих выражений, получим
= — kT
откуда
— /~ МТ _ f 3RT
U ~ у m у N А m
но NAtn = М (молярной массе газа), поэтому
B6)
V
т. е. для данного газа средняя квадратичная скорость молекул пропор-
пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры и зависи-
сит только от нее. Формула B6) выражает среднюю квадратичную
скорость молекул через легко измеряемую макроскопическую харак-
характеристику газа — температуру. Подсчитаем, например, среднюю
квадратичную скорость молекул кислорода при температуре О °С.
Так как Т = 273 К, а М = 0,032 кг/моль, то
/3.8,
32Дж/(К . моль) -273 К ,~п у
* 46° М/С'
0,032 кг/моль
Таким образом, при комнатной температуре молекулы газа движутся
со скоростями, близкими к скорости полета снаряда.
Средняя квадратичная скорость — лишь статистическая харак-
характеристика движения молекул, полученная путем усреднения различных
значений скорости множества молекул В действительности же моле-
молекулы движутся с различными скоростями v даже при некоторой задан-
заданной температуре Т. Разобьем весь диапазон этих скоростей на малые
интервалы, равные Да Тогда на каждый интервал скорости будет при-
приходиться некоторое число молекул ДЛЛ (имеющих скорость, заключен-
137

ную в этом интервале). Очевидно, что отношение AN/Аи показывает,
сколько молекул приходится на каждый единичный интервал скорости,
иными словами, каково распределение числа молекул по скоростям;
AN/Av зависит от скорости и называется функцией распределения числа
молекул по скоростям. Эту функцию распределения впервые опреде-
определил английский физик Максселл теоретическим путем — на основе
теории вероятностей. Максвелловская функция распределения выража-
выражается следующей формулой, называемой законом Максвелла:
ДА/ ^^(AYV^v, B7)
где N — общее число молекул газа, М — молярная масса газа,
R — универсальная газовая постоянная, е —- основание натуральных
логарифмов.
Из математического ана-
анализа закона Максвелла сле-
следует, что функция распреде-
распределения стремится к нулю при
и->0 и при и->оо, а при
v=Y'
2RT
м
щ $ и *&& *Ъ- имеет максимум. Обозначим
эту скорость буквой vB и на-
ис* зовем наиболее вероятной ско-
скоростью. Наиболее вероятной
называется скорость, вблизи которой на единичный интервал прихо-
приходится наибольшее число молекул; она рассчитывается по формуле
V-
Т- B8)
Из анализа закона Максвелла B7) следует, что графически он пред-
представляется кривой линией, исходящей из начала координат, достига-
достигающей максимума при v = vB и затем асимптотически приближающей-
приближающейся к оси абсцисс (рис. 78). График наглядно показывает, что молекул
с малыми и большими скоростями мало и что большинство молекул
имеет скорости, близкие к наиболее вероятной скорости.
Чтобы яснее представить смысл наиболее вероятной скорости и распреде-
распределения молекул по скоростям, рассмотрим конкретный пример. В некотором
объеме кислорода при температуре 0° С содержится N = 10е молекул, движу-
движущихся с различными скоростями v. Распределение числа молекул А N по скоро-
скоростям представлено в таблице, где весь диапазон скоростей разбит на интервалы
A v = 100 м/с (интервалы взяты немалыми во избежание перегрузки таблицы
большим количеством чисел).
Из таблицы видно, что подавляющее большинство молекул имеет скорость
в пределах от 200 до 600 м/с. Больше всего молекул приходится на интервал
скоростей от 300 до 400 м/с. В этом интервале и заключена наиболее вероятная
скорость, равная, согласно формуле B8),
/2» 8,
0,
,032
138
32-273«377(м/с).

Из закона Максвелла можно
получить выражение для ^средней
арифметической скорости v:
г./.
SRT
B9)
Формулы B6), B8) и B9) показы-
показывают, что скорости и> vB и v разли-
различаются между собой только числен-
численными коэффициентами и и > v >
> vB. Количественное соотноше-
соотношение между ними таково:
: 0,92u,
tf 0,82u.
C0)
До, м/с
0—100
100—200
200—300
300—400
400—500
500—600
600—700
700—800
800—900
900—1000
1000
Всего
14 000
81000
165 000
214000
206 000
151 000
92 000
48 000
20 000
6 000
3 000
10»
1,4
8,1
16,5
21,4
20,6
15,1
9,2
4,8
2,0
0,6
0,3
100
В нашем примере с кислородом при температуре 0 °С оказалось, что
и = 460 м/с. Тогда по формулам C0) получим ~v = 423 м/с и vB =
=377 м/с.
Отметив в соответствии с формулами C0) значения vB) о и и на рис. 78,
увидим, что средней арифметической скоростью обладает несколько меньшее
число молекул, чем наиболее вероятной скоростью, а средней квадратичной
скоростью обладает еще меньшее число молекул.
Отметим на оси абцисс (см. рис. 78) один интервал скоростей Av
и проведем ординаты его границ. Площадь очень узкого (заштрихован-
(заштрихованного) прямоугольника равна Av = ДМ, т. е. числу молекул, име-
имеющих скорость в интервале Av. Следовательно, площадь, заключен-
пая между всей кривой распределения и осью абцисс, равна общему числу
молекул газа N.
При изменении температуры газа изменяются скорости дви-
движения всех молекул, а следовательно, и наиболее вероятная
скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо
(при повышении температуры) или влево (при понижении температуры)
Однако площадь, ограничен-
ограниченная кривой, останется неиз-
неизменной, так как общее число
молекул газа не зависит от
температуры. В связи с этим
при повышении температуры
кривая распределения будет
растягиваться и понижаться,
а при понижении температу-
температуры, наоборот, — сужаться и
повышаться, как это показа-
показано на рис. 79. Рис. 79
А&

1
1
У"
"и*
i I i ' i
i i i i
a
Рис. 80
0)
Для экспериментальной проверки закона Максвелла немецкий фи-
физик Штерн в 1920 г. поставил специальный опыт. Прибор Штерна сос-
состоял из двух жестко скрепленных друг с другом цилиндрических со-
сосудов, вдоль общей оси которых была натянута платиновая посереб-
посеребренная проволочка (рис. 80). Основания обоих цилиндров были герме-
герметично закрыты и воздух из цилиндров откачан. В узком внутреннем
, цилиндре имелась очень узенькая вертикальная
щель. При нагревании проволочки током до темпе-
температуры порядка 1000 °С серебро начинало испа-
испаряться и внутренний цилиндр наполнялся атомами
серебра. Таким образом, Штерн экспериментировал
с одноатомным серебряным газом. Те атомы, которые
летели от проволочки по радиусу к щели, вылетали
во внешний цилиндр (радиусом г) и оседали на его
стенке, образуя узенькую серебряную полоску а —
проекцию щели (рис. 80 и 81).
Такая картина получилась бы при неподвижном
приборе. Но Штерн приводил прибор во вращение с
угловой скоростью со вокруг общей оси цилиндров
(см. рис. 81). Поэтому атомы серебра оседали не про-
против щели, а смещались на некоторое расстояние. В
итоге на поверхности внешнего цилиндра образовы-
образовывалась не узенькая серебряная полоска, а широкая
полоса аЬ не одинаковой толщины, показанная в раз-
разрезе на рис.81. Полоса получилась широкой потому,
что разные атомы имели различные скорости: более
быстрые оседали ближе к началу полосы а, более
медленные — ближе к его концу Ь. Неодинаковость
толщины полосы обусловлена тем, что на разные
скорости движения атомов приходится различное
число атомов: тем местам полосы, где она тоньше,
соответствуют, очевидно, скорости, которыми обла-
обладает меньшее число атомов.
Таким образом, каждое место (например, d)
на разрезе полосы соответствует определенной ско-
скорости и определенному числу осевших атомов, а вид поперечного раз-
разреза полосы (см. рис. 81) характеризует распределение числа атомов
по скоростям. В этой связи следует обратить внимание на большое
сходство видов максвелловского графика (см. рис. 78) и разреза се-
серебряной полосы (см. рис. 81), что уже является качественным под-
подтверждением правильности закона Максвелла.
Для того чтобы количественно оценить это распределение, надо
найти скорости v для ряда мест поперечного разреза полосы и число
атомов AN/Av, осевших на каждом из этих мест. Число атомов AN/Av
в любом месте d полосы Штерн определял по толщине полосы, а соот-
соответствующую скорость v — по расстоянию s от начала полосы а до
d*.
Рис. 81
* Толщина полосы определялась оптическим методом — по интенсивности
проходящего через нее света.
140

Формула для подсчета v выводится из следующих соображений.
За время t точки поверхности внешнего цилиндра пройдут путь s с ли-
линейной скоростью, равной cor, а атомы серебра пролетят путь г со ско-
скоростью v. Поэтому
t и r = vt.
Поделив второе равенство на первое, получим
Г V
»
S ЫГ
откуда
cor2
V = .
Значения со и г известны как характеристики прибора Штерна, значе-
значения s определяются непосредственными измерениями на серебряной
полосе.
Наиболее точные эксперименты, выполненные впоследствии с по-
помощью усовершенствованного прибора Штерна, показали, что распре-
распределение числа атомов по скоростям, даваемое опытом, находится в со-
соответствии с теоретическим законом Максвелла.
Задача 24. Чему равна энергия U теплового движения молекул, содер-
содержащихся в т = 20 г кислорода при температуре t = 10 °С? Какая часть этой
энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая
часть — на долю их вращательного движения?
Решение. Согласно формуле A9"),
т j_
где М — 0,032 кг/моль — молярная масса кислорода, i — 5 — число степеней
свободы его молекул. Поэтому
0,02 кг 5
U = ¦ • — -8,32 Дж/(К • моль) • 283 К = 3,68 . 103 Дж.
0,032 кг/моль 2
Так как у двухатомной молекулы на поступательное движение приходится
три степени свободы, а на вращательное две (см. § 43), то искомые части энер-
энергии U находятся в отношении 3 : 2. Следовательно, на долю поступательного
движения приходится энергия
(/пост«=-|- ?/ = 2,21 . 103 Дж,
о
а на долю вращательного движения приходится энергия
UB? = — ?/ = 1,47 . 108 Дж.
о
Задача 25. Для нагревания некоторого количества газа на А Т\ = 50 К
при постоянном давлении необходимо затратить A Qi = 160 Дж. Если это же
количество газа охладить наДТ^ = 100 К при постоянном объеме, то выделит-
выделится A Q2 = 240 Дж. Какое число i степеней свободы имеют молекулы этого газа?
Решение. Энергия, затрачиваемая на нагревание газа при постоянном
давлении,
пг
141

а энергия, выделяемая при охлаждении этого газа при постоянном объеме,
где т — масса газа, М — молярная масса газа, Ср и Су *— молярные теплоемко -
сти газа при постоянном давлении и постоянном объеме.
Поделив почленно первое равенство на второе, получим
или, учитывая формулы B0) и B0'),
_AQi_ ^ M-_2_ _Д7\_
Д<32 ~ i АГ2 '
160 1+2 50
Тогда lir==_-1^-, откуда / = 6.
Задача 26. В момент взрыва водородной бомбы развивается температура,
равная примерно Т = 7 • 10* К- Считая, что при такой температуре все мо-
молекулы полностью диссоциированы, а все атомы ионизованы, найти среднюю
квадратичную скорость и ионов водорода.
Решение. Согласно формуле B6),
Щ
М
где М = 0,001 кг/моль •* молярная масса водорода. Поэтому
-у —
32 Дж/(К • моль) • 7 • 107К
» 10е м/с.
0,001 кг/моль
§ 46. Средняя длина свободного пробега молекул
Ввиду хаотичности теплового движения траектория молекул пред-
представляет собой ломаную линию, похожую на траекторию броуновской
частицы. Изломы траектории соответствуют столкновениям молекул
А друг с другом. Изобразим
путь, пройденный некоторой
молекулой за одну секунду
(рис. 82). Назовем длиной
свободного пробега молекулы X
путь, проходимый ею между
двумя последовательными
столкновениями. Длина сво-
Рис. 82 бодного пробега все время
меняется. Поэтому следует го-
говорить о средней длине свободного пробега X как о среднем пути, прохо-
проходимом молекулой между двумя последовательными столкновениями.
Очевидно, что для определения X достаточно разделить весь путь,
пройденный молекулой за секунду и численно равный ее средней
142

скорости и, на среднее число столкновений z> испытываемых молекулой
за секунду:
^ = 4. CD
г
Для определения г учтем размер молекул, рассматривая их как ша-
шарики радиусом г (рис. 83). Возьмем мысленно под наблюдение одну
из молекул (крайнюю слева
на рисунке) и изобразим
путь, пройденный ею за
секунду. Остальные моле-
молекулы пока считаем непо-
неподвижными. Очевидно, что
движущаяся молекула Рис
столкнется только с теми
молекулами, центры кото-
которых лежат внутри ломаного цилиндра радиусом 2г (осью цилиндра
является траектория молекулы). Следовательно, среднее число стол-
столкновений z за секунду равно числу молекул /V в объеме V ломаного
цилиндра:
1 = Л/, или z = п0 V,
где п0 — число молекул в единице объема. Объем ломаного цилиндра
можно с пренебрежимо малой ошибкой приравнять к объему спрямлен-
спрямленного цилиндра высотой гГи площадью основания я BгK. Поэтому
J= 4;nr2n~v. C2)
В этом выводе мы полагали, что все молеку-
молекулы, кроме взятой под наблюдение, неподвижны.
В действительности они тоже движутся. Поэто-
Поэтому, как показывает более строгий расчет, число
столкновений оказывается в ]/2 раз больше
выведенного нами:
J = 4 ]/2 иг2 п0 v. C20 Рис. 84
При более строгом расчете числа столкновений надо исходить не из средней
абсолютной скорости о, а из средней относительной скорости vo движения мо-
молекул. Если две молекулы движутся со скоростями vi и v2, то относительная ско-
скорость v0 первой молекулы относительно второй равна векторной разности этих
скоростей (рис. 84):
V—- «г ___ ж*
О ~~~ X 2 •
Согласно теореме косинусов, напишем для величин этих скоростей следующее
соотношение:
с^ = v\ + i| — 2vxV2 cos a,
где а— угол между направлениями абсолютных скоростей. Очевидно, что такое
же соотношение имеет место и между средними значениями членов последней
143

формулы, так как среднее арифметическое суммы равно сумме средних арифме-
арифметических значений слагаемых. Поэтому
qg = ^ + eg_ 2v1v2cosat C3)
где D^ и 1| представляют собой квадраты средних квадратичных скоростей.
Так как средняя квадратичная скорость одна для всех молекул (v\ =1|) и обо-
обозначается буквой а, то
1?х + Ц = 2ы2. C4)
Ввиду хаотичности движения угол а с одинаковой вероятностью может иметь
все возможные значения от 0 до 360°, a cos а — все возможные значения от + 1
до — 1. Поэтому среднее значение из многих произведений, содержащих а,
близко к нулю. Тогда, полагая viv2 cosa «Ои принимая во внимание формулу
C4), получим из формулы C3)
откуда
]/"tg = и УТ. C5)
Поскольку средняя арифметическая скорость отличается от средней квадратич-
квадратичной только постоянным множителем [см. § 45, формула C0)], соотношение C5)
имеет место и для средних арифметических скоростей:
5, = ;/г.
Подставив в форму лу_ C2) вместо средней абсолютной скорости среднюю отно-
относительную скорость vq, получим уточненную формулу для г:
совпадающую с формулой C2').
Подставляя значение z в формулу C1), найдем выражение для сред-
средней длины свободного пробега молекул:
X = —-i . C6)
4 V2 izr2 n0
согласно которому X не зависит от температуры. Опыт же показывает,
что X несколько возрастает с повышением температуры. Это объясня-
объясняется тем, что с повышением температуры увеличивается скорость моле-
молекул, благодаря чему сталкивающиеся молекулы могут ближе подхо-
подходить друг к другу (преодолевая силы межмолекулярного отталкива-
отталкивания). Таким образом, с повышением температуры уменьшается радиус
шарообразной модели молекулы, а вместе с ним уменьшаются объем
ломаного цилиндра (рис. 83) и число столкновений г. При этом, сог-
согласно формуле C1), X возрастает.
Зависимость средней длины свободного пробега X от температуры
Т выражается формулой Сезерлэнда:
144

гдеЧ0 — значение средней длины свободного пробега, вычисленное
по формуле C6), С — постоянная величина, определяемая опытным
путел
Т^ как п0 пропорционально давлению газа р [см. § 42, формула
A8)], а\давление в свою очередь пропорционально плотности газа р
[см. § 4Q, формула A2)], то, согласно формуле C6), средняя длина сво-
свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа или его
плотности. Поэтому
~к2 noi Pi Pi
Подсчитаем значения ги 1 для газа, находящегося при нормаль-
нормальных условиях. Полагая
г = 0,2 . 10"9м, п0 = 2,7 . 1025м, U = 5 . 102м/с,
найдем по формуле C27)
7=4|/2"iu@,2 • Ю~9J - 2,7 • 1025 • 5 ЛО2
Тогда по формуле C1) получим
ю10
По мере понижения давления газа средняя длина свободного про-
пробега его молекул возрастает и при сильном разрежении, например при
р = 1,33 • 10~3Па, достигнет нескольких метров. В самом деле, при-
применяя формулу C7), получим
5.10-8 1,33. Ю-3
Т2 1,013- 105
откуда
Х2 = 3,8 м,
§ 47. Явления переноса в газах. Уравнение переноса
Хаотическое движение газовых молекул ведет к непрерывному пе-
перемешиванию газа. С этим связан ряд следующих важных явлений,
происходящих в газах.
Если в различных частях объема газа плотность была первоначаль-
первоначально не одинаковой, то с течением времени она выравняется. Точно так же
два различных газа находящихся в соприкосновении, равномерно
перемешиваются между собою. Это явление называется диффузией
(как уже отмечалось в § 36).
145

В объеме газа, части которого имели первоначально различную
температуру, происходит постепенное выравнивание температура за
счет переноса молекулами своей энергии (см. § 43)
W = -jkT'
Это явление называется теплопроводностью (молекулярной).
Пусть газ течет вдоль твердой горизонтальной поверхности А В
(рис.85). Если на достаточно большом расстоянии от поверхности его
скорость равна ш, то прилегающий к ней слой газа / будет двигаться
очень медленно благодаря трению о поверхность. Второй слой газа 2
будет двигаться уже быстрее, но все же не со скоростью до, так как он
О
t
5
3
2
I
—
m
m
X
/\ /
Рис. 85
Рис. 86
испытывает трение о первый слой. Третий слой 3, испытывая трение о
ьторой слой, будет двигаться еще быстрее, и т.д. На достаточно боль-
большом расстоянии от горизонтальной поверхности скорость течения газа
станет, наконец, равной w. Трение между слоями газа обусловлено
переносом молекулами из слоя в слой своего количества движения
К = mv (см. § 8). Это явление называется внутренним трением, или
вязкостью. Таким образом, благодаря внутреннему трению газ дви-
движется вблизи поверхности параллельными слоями, скорость которых
убывает в направлении ОХ, перпендикулярном поверхности. Такое
движение называется ламинарным*\
Все названные ранее явления обусловлены одной причиной — пере-
переносом молекулами газа (в процессе хаотического движения)своихфизи-
движения)своихфизических характеристик: массы (диффузия), или энергии (теплопровод-
(теплопроводность), или количества движения (внутреннеетрение). Поэтому меха-
механизм всех этих явлений одинаков и все они объединены общим
названием явлений переноса.
Исходя из представлений молекулярно-кинетической теории вы-
выведем общее для явлений переноса уравнение переноса. С этой целью
определим прежде всего количество молекул, переходящее за промежу-
промежуток времени At через некоторую воображаемую площадку Д5, поме-
помещенную в газе (рис. 86). Ориентируем ось ОХ перпендикулярно пло-
* От латинского слова lamina — пластинка.
146

щадке AS. Ввиду хаотичности движения молекул допустим (как это
уже4делалось в § 41 при выводе основного уравнения кинетической
теории газа), что вдоль этой оси движется 1/3 часть всех молекул: 1/6
часть — слева направо и 1/6 часть — справа налево. Тогда за
единицу времени через площадку AS перейдет слева направо 1/6 часть
всех молекул, находящихся в объеме прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда с основанием AS и высотой, равной средней скорости движения
молекул v, т. е. 1/6 щ ASv, где п0 — число молекул в единице объе-
объема газа (концентрация молекул). В таком случае число молекул N, пе-
переходящих через площадку AS за время At в одном направлении, выра-
выразится формулой
N r~-Lnov- AS- At.
6
Эти молекулы переносят через площадку AS и значения своих физи-
физических характеристик (массу, энергию, количество движения и т. п.).
Рассматривая общий механизм переноса, не будем пока конкретизи-
конкретизировать, какую именно физическую характеристику переносят моле-
молекулы, и обозначим ее буквойф. Тогда количество физической характе-
характеристики, перенесенное молекулами в одном направлении через площад-
площадку AS за время At,
Ny = -±r(no<?)V'AS-At. C8)
о
Очевидно, что такое же количество будет перенесено и в обратном нап-
направлении.
Предположим теперь, что рассматриваемый газ неоднороден по
своим свойствам, т. е. концентрация п0 его молекул различна в разных
местах объема газа и сами молекулы имеют неодинаковые значения
физической величины ф. Тогда количество физической величины nQ ф,
содержащееся в единице объема газа, также будет различным в
разных местах объема газа. Пусть количество п0 ф убывает в положи-
положительном направлении ОХ, будучи равным (по(рI слева от площадки AS
и (/г0фJ — справа от нее. В этом случае имеет место преимущественный
перенос физической величины Мр через площадку AS слева направо;
согласно формуле C8), он равен
А (Мр) = (Мр)! - (#фJ = -1- [(п0 ф)х - (п0 ФJ]IT- AS • At. C9)
Теперь остается выяснить, д$
исходя из физических сооб- J ^
ражений, на каком расстоя- Г i
нии от площадки AS следует q ' '
взять значения п0 ф. Обмен
значениями ф и изменение '
концентрации п0 происходят ^
только при взаимостолкнове-
взаимостолкновениях молекул, т. е. на рассто- рис#

янии X, равном средней длине свободного пробега молекул. Поэтому
можно положить, что значения величины поф сохраняются неизмен-
неизменными на расстоянии X влево и вправо от AS. На этих расстояниях и
будем брать значения /гоф (рис. 87). Умножив и разделив на 2 X пра-
правую часть формулы C9), получим
Д (Мер) = X v • AS •
3 2Т
D0)
Как видно на рис. 87, отношение
("о 9)i — (я0 9J
21
представляет собой
2к
градиент величины /гоф, который мы условились обозначать символом
^п°У (см. § 3). Тогда формула D0) примет вид
Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины проис-
происходит в направлении, противоположном градиенту (qrad ф направлен
справа налево, а перенос ф — слева направо).
Формула D1) называется уравнением переноса. На его основе рас-
рассмотрим теперь конкретные явления переноса: диффузию, теплопро-
теплопроводность и внутреннее трение.
§ 48. Диффузия
Пусть в некотором объеме газа имеет место неоднородность в отно-
отношении плотности: плотность р убывает в направлении ОХ (рис. 88).
Это может быть, например, в случае, когда в левой части объема на-
находится источник О газа (испаряющаяся жидкость).
AM
as
И V
9т
Рис. 88
Обозначим через рх и р2 значения плотности на расстояниях
X влево и вправо от AS. Тогда pt > р2. Так как
где т — масса молекулы, одинаковая для всех молекул газа, то пО1>
> /г02, т. е. концентрация молекул убывает в направлении ОХ вместе с
плотностью.
148

Применяя уравнение переноса D1), заметим, что в нашем случае
переносимой физической характеристикой является масса молекулы,
т# е. ф = т. Поэтому
Ф пт Р 1
где ДМ — масса газа, переносимая путем диффузии за время А* через
площадку AS, перпендикулярную направлению убывания плотности.
Подставляя выражения D2) в уравнение переноса D1), получим
Обозначив
напишем
-^?-. AS- At. D3)
— X v = D, D4)
3
= _?-??-• AS-Д/, D5)
Дл:
откуда следует, что
масса газа AM, переносимая благодаря диффузии через площадку
AS, перпендикулярную к направлению ОХ, в котором убывает плотность,
пропорциональна размеру этой площадки, промежутку времени At пе-
переноса и градиенту плотности Др/Ах.
Формула D5) называется уравнением диффузии, или законом Фика
(так как немецкий физик Фик получил такое же уравнение из опыта
с жидкостями).
Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом
диффузии. Полагая в формуле D5) AS = 1 м2, At = 1 с и
-^?- = — 1 кг/м4,
Да:
получим ДМ «= D, т. е коэффициент диффузии численно равный массе
газа, переносимой через площадку в 1 м2 за 1 с при градиенте плотности
в — 1 кг/м4. Из формул D4) и D5) следует, что коэффициент диффузии
измеряется в м2/с.
Поскольку, как было установлено ранее (см. §§ 45, 46),
1~—, а ат/Х
Р Ум
формула D4) показывает, что коэффициент диффузии зависит от сорта
газа (М) и его состояния (р и 7); он пропорционален квадратному кор-
корню из абсолютной температуры газа и обратно пропорционален дав-
давлению газа и квадратному корню из молярной массы. Чтобы получить
представление о порядке величины коэффициента диффузии подсчи-
подсчитаем его по формуле D4) для кислорода при нормальных условиях, при-
принимая Т = 5 « 10"8 м, U = 5 • 102 м/с.
149

Тогда
= — lv=— . 10*. 5- 102^8. 10~б(м2/с),
3 3 V h
что соответствует опытным данным по определению коэффициента диф-
диффузии.
Строго говоря, мы рассмотрели явление «самодиффузии» газа, т. е. распро-
распространение молекул газа между молекулами того же самого газа. В этом смысле
коэффициент D можно назвать «коэффициентом самодиффузии». Однако и в слу-
случае взаимодиффузии двух соприкасающихся газов уравнение диффузии D5)
остается справедливым, а коэффициент взаимодиффузии ?>в этих газов выражает-
выражается через их коэффициенты самодиффузии D\ и D2 следующим соотношением:
Л<>1 + «02
где noi и п02 — концентрации молекул первого и второго газов.
Диффузионные процессы играют весьма важную роль в природе.
Достаточно указать на то, что дыхание осуществляется путем диффу-
диффузии кислорода из внешней среды внутрь организма, сквозь его покров.
Из формулы D3) следует, что диффузионный приток кислорода в
организм тем интенсивнее, чем больше поверхность AS соприкосно-
соприкосновения организма с внешней средой (т. е. чем больше площадь покрова)
и чем меньше толщина Ах покрова. Поэтому мелкие организмы, имею-
имеющие большую площадь покрова на единицу объема тела, могут обхо-
обходиться без специальных органов дыхания, довольствуясь притоком
кислорода через покров. У более крупных организмов диффузия кисло-
кислорода через покров оказывается достаточной только в случае очень тон-
тонкого покрова, как это имеет место, например, у земноводных. Круп-
Крупные организмы с грубым кожным покровом нуждаются в специальных
дыхательных органах, имеющих большую площадь соприкосновения
с окружающей средой: легкие — у животных, листья — у растений
и т. п. Путем диффузионного обмена через листья осуществляется час-
частично и питание растений.
Отметим, наконец, что диффузия является основным механизмом,
обеспечивающим газообмен между почвенным и атмосферным воздухом,
т. е. вынос углекислого газа из почвы в атмосферу и перенос кис-
кислорода в обратном направлении.
§ 49. Теплопроводность
Пусть в некотором объеме газа температура Т убывает в направле-
направлении ОХ (рис. 89). Это может иметь место, например, в случае, когда
в левой части О объема находится нагреватель.
Обозначим через 7\ и Т2 значения температуры на расстояниях
Т от площадки AS. Тогда 7\ > Г2. Так как кинетическая энергия га-
газовой молекулы (см. § 43)
W = — кТ,
150

то Wi > W2, т. е. энергия молекул, находящихся слева от Д5, больше
энергии молекул, находящихся справа от AS. Поэтому в направлении
убывания температуры будет происходить преимущественный пере-
перенос энергии, а следовательно, и количества теплоты AQ, поскольку
внутренняя энергия газа слагается из кинетической энергии его моле-
молекул.
Применяя уравнение переноса D1), заметим, что в данном случае
переносимой физической характеристикой является энергия молеку-
молекулы, т. е. ф = W. Тогда, поскольку концентрацию молекул п0 можно
считать одинаковой во всем объеме газа,
гдеД<2 — количество теплоты (внутренней энергии), переносимое за
время А/через площадку AS, перпендикулярную направлению убыва-
убывания температуры*.
Подставляя выражения D6) и D7) в уравнение переноса D1), полу-
получим
Умножая и деля правую часть этого равенства на массу молекулы т
и учитывая, что k == R/NA, напишем
* Предполагается, что W и Q выражены в одинаковых единицах измерения.
151

где р — плотность газа, М — молярная масса, Су — молярная
теплоемкость при постоянном объеме, то последнее равенство примет
вид
Ho JL = су , где су — удельная теплоемкость газа при постоянном
М
объеме. Поэтому окончательно получим
AQ = L"Xflpc *ZL . AS • Д*. D8)
3 v Ajc
Обозначив
-i-X™pcv = 4, D9)
О
найдем
&Q == — х • AS • Д^. E0)
Ал:
Отсюда следует, что
количество теплоты AQ, переносимое через площадку AS, перпендику-
перпендикулярную направлению ОХ, в котором убывает температура, пропорци-
пропорционально размеру этой площадки, промежутку времени At переноса и
градиенту температуры ATI Ах.
Формула E0) называется уравнением теплопроводности, или зако-
законом Фурье (так как впервые такое уравнение вывел французский ма-
математик Фурье).
Коэффициент пропорциональности х называется коэффициентом
теплопроводности. Полагая в формуле E0) AS = 1м2, Д/ = 1с и
ATI Ах = — 1К/м, получим
т. е. коэффициент теплопроводности численно равен количеству теп-
теплоты, переносимому через площадку в 1 м2 за 1 с при градиенте темпера-
температуры в — 1 К/м. Из формул D9) и E0) следует, что коэффициент теп-
теплопроводности измеряется в Дж/(м • с • К).
Чтобы получить представление о порядке величины коэффициента
теплопроводности, подсчитаем его по формуле D9) для кислорода при
нормальных условиях, принимая
X = б • Ю"8 м, v = 5 • 102 м/с, р = 143 • Ю-2 кг/м3,
),032
Тогда
cv = ТП-К =» -^-^г ¦ 8,32 » 650 [Дж/(кг • К)].
х = — X о р cv = — • 5 • 10-8 • 5 • 102 • 143 • Ю-2 • 650 я*
3 v 3
я* 8 • 10-3 [Дж/(м . с • К)],
152

что соответствует опытным данным по определению коэффициента
теплопроводности.
Поскольку X ~ —, а р~р, то произведение Тр не зависит от
р
давления. Поэтому, согласно формуле D9), коэффициент теплопровод-
теплопроводности не зависит от давления. Опыт подтвердил этот кажущийся стран-
странным вывод.
Следует, однако, иметь в виду, что у сильно разреженных газов,
заключенных в сосуд, коэффициент теплопроводности может оказаться
зависящим от давления. Будем разрежать газ,
находящийся например, в кубическом сосуде с реб-
ребром а (ркс. 90). При этом X будет увеличивать-
увеличиваться, ар — уменьшаться. Поэтому произведение
Хр, а следовательно, и у. останутся постоянными.
Понизим давление до такой степени, что X станет рав-
равной а. Тогда при дальнейшем разрежении р будет
уменьшаться, а X уже не сможет увеличиваться —
не позволят стенки сосуда. Поэтому произведение
Хр, а следовательно, и х будут теперь уменьшаться
вместе с уменьшением давления. Следовательно,
коэффициент теплопроводности пропорционален давлению, если сред-
средняя длина свободного пробега молекул газа превышает размер сосуда.
Итак, приТ ^а хне зависит от р, при X > а х ~ р.
Очевидно, что степень разрежения, при которой * начинает зави-
зависеть от давления, определяется размером сосуда: чем больше размер
сосуда, тем меньше станет давление. Подсчитаем, например, величину
этого давления рх для кислорода, находящегося в сосуде кубической
формы с ребром а = 1 см. При давлении рх средняя длина свободного
пробега \х > 1 см; при нормальном давлении р0 средняя длина сво-
свободного пробега X = 5-Ю см (см. § 46). Так как
Рис. 90
Ро
ТО
X
Хд:
откуда, подставляя соответствующие значения, полу-
получим
рх< 1,013 ¦ Ю'5. 5 ' 10~6 = 0,507 (Па).
Следовательно, в сосуде с ребром а = 1 см х зависит
от давления при давлениях рх < 0,507 Па.
Зависимость коэффициента теплопроводности от
давления в разреженном газе используется в устрой-
устройстве термоса (сосуда Дьюара*). Термос представляет
* Изобретен в 1898 г. английским физиком Дьюаром.
Рис. 91
153

собой сосуд с двойными стенками (рис. 91), между которыми нахо-
находится сильно разреженный (X > а) газ, имеющий поэтому малый ко-
коэффициент теплопроводности х. Теплообмен между внутренним объе-
объемом термоса и внешней средой происходит практически только через
узкую горловину, закрытую пробкой. Поэтому налитая в термос жид-
жидкость долгое время сохраняет свою первоначальную температуру.
§ 50. Внутреннее трение (вязкость)
Пусть в ламинарном потоке газа скорость течения убывает в на-
направлении ОХ (рис. 92). Как мы уже видели (см. §47), это может иметь
место, например, когда газ течет вблизи твердой стенки.
Вообразим площадку До, по которой
соприкасаются два соседних слоя газа, и
обозначим через wi и w2 значения скоро-
скоростей течения на расстояниях л от этой пло-
площадки (t^i> до2). Очевидно, что на хао-
хаотическое движение молекул наложится
скорость потока w, ввиду чего молеку-
молекулы верхнего слоя будут обладать боль-
большим количеством движения, чем молеку-
молекулы нижнего слоя: mwt > mw2, где
т — масса молекулы В процессе хао-
хаотического движения молекулы верхнего
слоя будут переносить свое количество
движения в нижний слой, увеличивая
тем самым его скорость; в свою очередь
молекулы нижнего слоя будут переносить свое количество движения
в верхний слой, уменьшая тем самым его скорость. В результате меж-
между слоями возникает внутреннее трение, сила которого будет дей-
действовать вдоль площадки А5 параллельно скорости потока.
Применяя уравнение переноса D1), заметим, что в этом случае пе-
переносимой физической характеристикой является количество движе-
движения молекулы:
Ф = k = raw.
Тогда, поскольку концентрацию молекул nQ можно считать одинако-
одинаковой во всем объеме газа,
А (поф) = A (nQk) = A (nomw) = nom • Аш, E1)
где Аоу = Wi — w2. Кроме того, очевидно, что
A(Nq>) = A(Nk) = M<, E2)
где А/С — изменение количества движения одного слоя относитель-
относительно другого, происходящее за время At на пограничной площадкеДЗ.
Так как изменение количества движения равно импульсу действу-
действующей силы, то
&К = F • Д*,
Д54

где F — сила взаимодействия между слоями газа, действующая в
плоскости их соприкосновения, т. е. сила внутреннего трения. Поэто-
Поэтому формулу E2) можно представить в виде
= /y< = F \t. E3)
Подставляя выражения E1) и E3) в уравнение переноса D1), полу-
получим
F Д* = Li vлт • AS - М.
3 А*
Сокращая последнее равенство наД/ и учитывая, что пот = р, най-
найдем
F=-Tlv?—-AS. E4)
Обозначив
— X v p = 7j, E5)
о
напишем
F^-tj^L. as, E6)
откуда следует, что
сила внутреннего трения, возникающая в плоскости соприкосновения
двух скользящих относительно друг друга слоев газа, пропорциональна
площади их соприкосновения AS и градиенту скорости Дш/Дх.
Формула E6) называется уравнением внутреннего трения, или зако-
законом Ньютона (так как Ньютон получил такое же уравнение из опыта
с жидкостью).
Коэффициент пропорциональности т] называется коэффициентом
внутреннего трения (вязкости). Полагая в формуле E6)
*5L = _ 1 с-1,
AS1m и
получим
т. е. коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения,
действующей на 1 м2 площади соприкосновения параллельно движущихся
слоев газа при градиенте скорости в — 1 с. Из формул E5) и E6)
следует, что коэффициент внутреннего трения измеряется в кг/(м«с).
Из пропорциональности tj произведению Тр [формула E5)] сле-
следует, что, как и х, коэффициент внутреннего трения не зависит от дав-
давления, за исключением случаев сильного разрежения газа, когда сред-
средняя длина свободного пробега молекул становится больше размера
сосуда. Чтобы получить представление о порядке величины коэффициен-
коэффициента внутреннего трения, подсчитаем его для кислорода при нормаль-
155

ных условиях, принимая X = 5 • 10~8 м, v = 5 • 102 м/с и р =
= 143 • 10 кг/м3:
tj = J_I FP = — • 5 • Ю-8 • 5 • 102 • 143 • К) ж 1,2 • lO кг/(м • с),
о о
что соответствует опытным данным по определению коэффициента внут-
внутреннего трения.
В заключение отметим, что вытекающие из сопоставления формул
D4), D9) и E5) соотношения между коэффициентами переноса D, х и ч\
также находятся в соответствии с опытными данными; это является до-
дополнительным подтверждением правильности рассмотренной нами мо-
лекулярно-кинетической теории газа.
Задача 27. Найти коэффициент внутреннего трения у\ азота при нормаль-
нормальных условиях, если коэффициент диффузии для него при этих условиях D =
= 1,42 • 1(Г5 м2/с.
Решение. Согласно формулам E5) и D4),
A5
где X — средняя длина свободного пробега, "U — средняя скорость молекул
рМ
азота, р — плотность азота. Но, по формуле A2), р =——• » где р и Т — давле-
RT
ние и абсолютная температура газа, М = 0,028 кг/моль — молярная масса
азота. Подставляя это выражение р в выражение для у\ и учитывая, что при
нормальных условиях р = 105 Па и Т = 273 К, получим
^ рМ 1,42 . 10-5 M2/c . iO5 па . 0,028 кг/моль
1-DRT- 8,32 Дж/(К-моль)-273К L»
Задача 28. Найти количество азотаАМ, прошедшего вследствие диффузии
через площадку AS == 100 см2 за время А/ = 10 с, если градиент плотности
в направлении, перпендикулярном к площадке, равенДр/Д#= — 1,26 кг/м4.
Температура азота Т = 300 К; средняя длина свободного пробега молекул азо-
азота \ = 10~5 см.
Решение. Согласно формуле D3),
1 Ар
Ш = X v—- • AS • At,
3 Д*
где ~v — средняя скорость молекул. Так как, согласно формуле B9),
V
8RT
где М = 0,028 кг/моль — молярная масса азота, то
. 1J6кг/мМо-2м,1Ос
0,028 кг/моль
= 2. 10-е кг.
156

Задача 29. Какое количество теплоты A Q теряется ежечасно через двой-
двойную парниковую раму за счет теплопроводности воздуха, заключенного между
ее полиамидными пленками? Площадь каждой пленки AS = 4 ма, расстояние
между ними Ал; = 30 см. Температура в парнике h = 18° С, температура на-
наружного пространства t2 === — 20° С. Температуру / воздуха между пленками
считать равной среднему арифметическому температур в парнике и в окружаю-
окружающем пространстве. Радиус молекулы воздуха г = 1,5 • 1СГ8 см. Молярная мас-
масса воздуха М = 0,029 кг/моль.
Решение. Согласно уравнению теплопроводности газа D8),
где \ и v — средняя длина свободного пробега и средняя скорость молекул воз-
воздуха, р — плотность воздуха, cv — его удельная теплоемкость при постоянном
объеме, А 77Дя — градиент температуры.
В соответствии с формулами C6) и A8)

Глава IX. Жидкости и твердые тела
§ 51. Особенности строения жидкостей и твердых тел
Прежде всего следует еще раз подчеркнуть, что газ, жидкость и твер-
твердое тело представляют собой агрегатные состояния вещества и в этом
смысле между ними нет непреодолимого различия: всякое вещество в
зависимости от температуры и давления может находиться в любом из
агрегатных состояний. Вместе с тем между газообразным, жидким и
твердым телами имеются существенные различия. Поскольку у твер-
твердых и жидких тел есть много общих свойств, имеет смысл рассматри-
рассматривать в нашем курсе эти два агрегатных состояния совместно.
Существенное различие между газом с одной стороны и твердым
и жидким телами с другой стороны состоит в том, что газ занимает весь
предоставленный ему объем сосуда, тогда как жидкость или твердое
тело, помещенные в сосуд, занимают в нем лишь вполне определенный
объем. Это обусловлено различием в характере теплового движения
в газах и в твердых и жидких телах.
Молекулы газа практически не связаны между собой межмолекуляр-
межмолекулярными силами (см. § 35). Во всяком случае средняя кинетическая энергия
WK теплового движения молекул газа гораздо больше средней потенци-
потенциальной ^энергии Wni обусловленной силами сцепления между ними
(Ч^п ^х WK). Поэтому молекулы газа совершают сравнительно боль*
шие свободные пробеги, «разлетаясь» друг от друга так далеко, как
позволяет размер сосуда, и занимая весь его о&ьем. В соответствии с
этим диффузия в газах протекает достаточно быстро.
В твердых и жидких телах силы сцепления между молекулами
(атомами, ионами) играют уже существенную роль, удерживая их на оп-
определенных расстояниях друг от друга (см. § 35, рис. 67, а). В этих те-
телах средняя потенциальная энергия, обусловленная силами сцепления
между молекулами, больше средней кинетической энергии теплового
движения молекул.(Wn> WK). Иначе говоря, в среднем кинетичес-
кинетическая энергия молекул недостаточна для преодоления сил притяжения
между ними.
Благодаря плотной «упаковке» молекул в жидкости они уже не
совершают свободных пробегов, а как бы «толкутся» на месте (колеб-
(колеблются около некоторого положения равновесия). Лишь время от вре-
времени молекула вследствие благоприятной комбинации столкновений
может перейти на новое место на расстояние, сравнимое с размером
самой молекулы. Естественно, что диффузия в жидкостях протекает
значительно медленнее, чем в газах.
В твердом теле частицы (молекулы, атомы, ионы) расположены в
геометрически строго определенном порядке, образуя так называемую
кристаллическую решетку. Частицы совершают колебательные дви-
движения около своих положений равновесия. Переходы частиц с места
на место в твердом теле возможны, но весьма редки. Поэтому, хотя
диффузия существует и в твердых телах, она протекает здесь еще мед-
медленнее, чем в жидкостях.
158

в
Физическую сущность различия между твердым, жидким и газо-
газообразным состояниями вещества можно еще нагляднее объяснить с по-
помощью потенциальной кривой взаимодействия молекул, с которой мы
уже знакомились в § 35 (см. рис. 67, б). Воспроизведем эту кривую
с некоторыми дополнениями (рис. 93).
По оси ординат отложены значения потенциальной энергии взаи-
взаимодействия молекул, по оси абсцисс — расстояния г между молекула-
молекулами. Значения средней кинетической энергии ~WK теплового движения
молекул будем для удобства
сравнения откладывать от
уровня дна В потенциальной
ямы.
Если средняя кинетиче-
кинетическая энергия теплового дви-
движения молекул значительно
меньше глубины потенциаль-
потенциальной ямы (№к.т. С DB), то мо-
молекулы совершают небольшие
колебания, оставаясь в ни-
нижней части потенциальной Рис. 93
ямы (ниже уровня WKtT). Этот
случай соответствует твердому состоянию вещества.
Если средняя кинетическая энергия теплового движения молекул
немного меньше глубины потенциальной ямы (WK^<C DB)^ то молеку-
молекулы совершают значительные колебательные движения, но все же оста-
останутся в пределах потенциальной ямы. Этот случай соответствует
жидкому состоянию вещества.
Если же средняя кинетическая энергия теплового движения моле-
молекул значительно больше глубины потенциальной ямы (Й^к.г^ DB),
то молекулы вырвутся из нее и, утеряв взаимосвязь, будут двигаться
свободно (совершать свободные пробеги). Этот случай соответствует
газообразному состоянию вещества.
Таким образом, существенное различие между газом с одной сто-
стороны и твердым и жидким телами с другой стороны обусловлено тем,,
что у молекул газа значение средней кинетической энергии теплового
движения больше глубины потенциальной ямы, а у молекул твердого
и жидкого тел — меньше глубины потенциальной ямы.
Благодаря тому что молекулы твердого тела связаны между собой
прочнее, чем молекулы жидкости, для твердого тела в отличие от жид-
жидкости характерно постоянство не только объема, но и формы. Рассмот-
Рассмотрим несколько подробнее вопрос о кристаллическом строении твердого
тела.
Характерным внешним признаком кристалла является его геомет-
геометрически правильная форма (рис. 94). Так, например, кристалл пова-
поваренной соли имеет форму куба (а), кристалл льда — форму шести-
шестигранной призмы (б), кристалл алмаза — форму октаэдра (восьми-
(восьмигранника, в) и т. д. У каждого кристаллического вещества угол между
ограничивающими его поверхностями (гранями) имеет строго опреде-
159

ленное значение (у поваренной соли — 90°, у льда — 120° и т. п.).
Кристаллы легко раскалываются но определенным плоскостям, на-
называемым плоскостями спайности. При этом получаются кристалли-
кристаллики меньшего размера, но той же формы. Так, при дроблении кристалла
поваренной соли образуются мелкие кубики и прямоугольные парал-
параллелепипеды. Отмеченные факты навели в свое время на мысль о том,
f
Рис. 94
что кристаллическое тело построено из элементарных ячеек (кубиков,
или шестигранных призм, или октаэдров и т. п. ), плотно приложен-
приложенных друг к другу. А это означает, что в кристаллическом теле частицы
(молекулы или атомы, или ионы) расположены в строго симметричном
порядке относительно друг друга, образуя пространственную, или
кристаллическую у решетку, места расположения частиц называются
Рис. 95
узлами решетки. Эта гипотеза была высказана в 1848 г. французским
кристаллографом Браве.
Примером простейшей пространственной решетки может служить
кристаллическая решетка поваренной соли NaCl (рис. 95, а). Ее эле-
элементарная ячейка с ребром а (выделена на рисунке полужирными
линиями) образована положительными ионами натрия и отрицатель-
отрицательными ионами хлора, расположенными в вершинах куба.
Формы пространственных решеток могут быть разнообразными,
но не любыми: необходимо, чтобы элементарные ячейки, составляющие
решетку, вплотную, без зазоров прикладывались друг к другу, что соот-
соответствует минимуму потенциальной энергии решетки. Требуемым об-
образом можно, например, уложить кубические ячейки и ячейки в виде
шестигранных призм (рис. 95, б и в), но нельзя уложить ячейки в виде
пятигранных призм (рис. 95, г).
160

В 1890 г. Е. С. Федоров теоретически рассчитал все возможные фор-
формы кристаллических решеток, ячейки которых допускают плотную
упаковку, и установил, что в природе может существовать только 230
различных видов кристаллических решеток, образующих 32 класса
симметрии. Проведенные в текущем столетии исследования кристаллов
с помощью рентгеновских лучей (см. § 125) подтвердили, что кристаллы
состоят из симметрично расположенных частиц (атомов, или молекул,
или ионов), образующих кристаллическую решетку. Причем рентге-
ноструктурным анализом большого количества естественных и искус-
искусственных кристаллов было обнаружено только 230 различных видов
кристаллических решеток — полное соответст-
соответствие с теоретическими расчетами Е. С. Федорова.
Симметричность расположения частиц в кри-
кристаллической решетке обусловлена тем, что в
этом случае силы взаимодействия (притяжения и
отталкивания) между частицами уравновешивают-
уравновешиваются (см. § 35). При этом потенциальная энергия
частиц минимальна.
Расстояния между частицами в кристалле
малы — порядка размера самих частиц A0~8 см).
Такого же порядка и расстояние между молеку- Рис. 96
лами в жидкости, поскольку, как известно,
при плавлении кристалла не происходит существенного увеличения
его объема.
Замечательной особенностью кристалла является его анизотро-
анизотропия*; в различных направлениях кристалл обладает различными физи-
физическими свойствами. Так, например, всем без исключения кристаллам
присуща анизотропия прочности; подавляющее большинство кристаллов
анизотропно в отношении теплопроводности, электропроводности,
лучепреломления и т. п. Анизотропия кристаллов объясняется в ос-
основном тем, что в пространственной решетке оказывается различным
число частиц, приходящихся на одинаковые по длине, но различные по
направлению отрезки, как это показано на рис. 96 (на горизон-
горизонтальном отрезке решетки 8 частиц, на наклонном — 6 частиц, на дру-
другом наклонном — 3 частицы). Понятно, что различие в плотности
расположения частиц кристаллической решетки по различным направ-
направлениям должно приводить и к различию во многих других свойствах
по этим направлениям кристалла.
Кристаллическое состояние весьма распространено в природе: боль-
большинство твердых тел (минералы, металлы, растительные волокна, белко-
белковые вещества, сажа, резина и т. д.) являются кристаллами. Однако
не у всех этих тел одинаково отчетливо выражены рассмотрен-
рассмотренные ранее кристаллические свойства. В этом отношении тела подраз-
подразделяют на две группы: монокристаллы и поликристаллы. Монокрис-
Монокристалл — тело, все частицы которого укладываются в одну общую прос-
пространственную решетку. Монокристалл анизотропен. Монокристаллами
* От греческих слов: avtaoC (анизос) — неправильный, трогсо? (тропос) —
поворот (изменение).
6-31 161

является большинство минералов. Поликристалл — тело, состоящее
из множества мелких монокристалликов, беспорядочно расположенных
друг относительно друга. Поэтому поликристаллы изотропны, т. е.
обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлением.
Примером поликристаллов могут служить металлы. Однако металл
можно получить и в виде монокристалла, если обеспечить медленное
охлаждение расплава, предварительно введя в него один кристаллик
данного металла (так называемый зародыш). Вокруг этого зародыша
и будет расти металлический монокристалл.
В зависимости от того, из каких именно частиц образована кристал-
кристаллическая решетка, различают четыре основных группы решеток: ион-
ионную, атомную, молекулярную и металлическую.
Ионная решетка образована разноименно заряженными ионами,
удерживающимися в узлах решетки электрическими силами. Ионную
решетку имеет подавляющее большинство кристаллов.
Атомная решетка образована нейтральными атомами, удержива-
удерживающимися в узлах решетки химическими (валентными) связями: у со-
соседних атомов обобществлены внешние (валентные) электроны. Атомную
решетку имеет, например, графит.
Молекулярная решетка образована полярными (дипольными) мо-
молекулами (см. § 81), удерживающимися в узлах решетки также элект-
электрическими силами. Однако для полярных молекул действие этих сил
сказывается слабее, чем для ионов. Поэтому вещества с молекуляр-
молекулярной решеткой сравнительно легко деформируются. Молекулярную
кристаллическую решетку имеет большинство органических соеди-
соединений (целлюлоза, резина, парафин и т. п.).
Металлическая решетка образована положительными ионами ме-
металла, окруженными свободными электронами. Эти электроны и свя-
связывают между собой ионы металлической решетки. Такая решетка свой-
свойственна металлам.
Современная физика считает твердыми телами именно кристалли-
кристаллические тела. Жидкостям, как уже отмечалось, свойственно беспоря-
беспорядочное расположение частиц, поэтому жидкости изотропны. Некото-
Некоторые жидкости могут быть сильно переохлаждены, не переходя при этом
в твердое (кристаллическое) состояние. Однако вязкость таких жид-
жидкостей столь огромна, что они практически теряют текучесть, сохра-
сохраняя, как и твердые тела, свою форму. Подобные тела называются
аморфными*. Таким образом, современная физика считает аморфные
тела переохлажденными жидкостями, обладающими огромной вяз-
вязкостью. К аморфным телам относятся, например, вар, стекло, смола-
канифоль и т. п. Понятно, что аморфные тела изотропны. Следует, од-
однако, иметь в виду, что аморфные тела могут с течением времени (дли-
(длительного) переходить в кристаллическое состояние. В стекле, например,
с течением времени появляются кристаллики: оно начинает мут-
мутнеть, превращаться в поликристаллическое тело.
В последнее время в технике широксе распространение получили
органические аморфные вещества, отдельные молекулы которых бла-
* От греческого слова арюруоС (аморфос) — бесформенный.
162

го дар я химическим (валентным) связям соединяются друг с другом
(полимеризуются) в длинные цепочки, состоящие в некоторых случа-
случаях из многих тысяч отдельных молекул. Такие вещества называются
полимерами *. Типичным представителем полимера являются пласт-
пластмассы. Очень ценным свойством полимеров является их высокая элас-
эластичность и прочность. Некоторые полимеры, например, выдержива-
выдерживают упругое растяжение, в 2—5 раз превышающее их первоначальную
длину. Эти свойства полимера объясняются тем, что длинные молекуляр-
молекулярные цепочки могут при деформации сворачиваться в плотные клубки
или наоборот, вытягиваться в прямые линии. В настоящее время из
естественных и искусственных органических соединений создают по-
полимеры с самыми разнообразными наперед заданными свойствами.
§ 52. Деформация твердого тела
В 1-й части (см. § 10 и 17) мы касались вопроса о деформации твер-
твердого тела. Теперь на основе представлений о строении твердого тела
следует рассмотреть этот вопрос подробнее. Опишем процесс деформа-
деформации тела с помощью графика, основан-
основанного на опытных данных. Для опре- Р\ Ц
деленности рассмотрим, например, дефор -
мацию одностороннего растяжения. По
оси абсцисс графика будем откладывать
смещение (удлинение) Ах, по оси орди-
ординат — напряжение
т. е. деформирующую силу /\ приходя-
приходящуюся на единицу площади поперечного
сечения S деформируемого тела (рис. 97).
При небольших напряжениях удли- ис*
нение практически пропорционально
напряжению (закон Гука, см. § 10). Эта область деформаций на-
называется упругой деформацией. На графике ей соответствует почти
прямолинейный участок Оа. Напряжение ру, соответствующее гра-
границе участка а, называется пределом упругости.
При дальнейшем увеличении напряжения наступает пластическая
деформация (участок ab)\ небольшие увеличения напряжения вызы-
вызывают значительные удлинения, приводящие в конечном счете к разру-
разрушению (разрыву) тела (точка Ь). Разрыву обычно предшествует сос-
состояние, при котором сопротивляемость тела растяжению вновь нес-
несколько возрастает (участок cd). Напряжение рп, соответствующее раз-
разрушению тела, называется пределом прочности.
Если при деформации тела предел его упругости не был превзойден,
то после устранения деформирующей силы тело полностью вос-
восстанавливает первоначальную форму; на графике процесс восстанов-
* От греческого слова тсоАл>(д.?рсо? (полимерос) — многообразный.
6» 163

ления идет по линии аО. Если же деформирующее напряжение превы-
превысило предел упругости (что соответствует точке /С), то после его устране-
устранения тело не восстанавливает первоначальной формы, сохраняя навсегда
некоторую деформацию Дх0, называемую остаточной. Процесс час-
частичного восстановления формы тела представляется на графике ли-
линией КО'.
Отметим, что и в случае упругой деформации первоначальная
форма тела восстанавливается не мгновенно, а через некоторое вре-
время (измеряемое иногда часами и даже днями). Это являние называется
упругим последействием.
Интересное и практически важное явление имеет место при повторных плас-
пластических деформациях материала (т. е. при деформациях, сопровождающихся
переходами предела упругости). Оказывается, что при каждой такой деформации
предел упругости немного повышается, а в процессе многократной деформации
может быть повышен значительно. Это явление (и сам процесс) носит название
наклепа. Таким образом, наклеп, повышая предел упругости материала, ведет
к его упрочнению. В связи с этим наклеп широко используется в технологичес-
технологической практике для упрочнения металлов и сплавов.
Упрочнение материала при наклепе обусловлено тем, что вследствие не-
неоднородности деформации различных кристалликов в поликристалле возникают
структурные искажения, вызывающие дополнительные упругие напряжения.
Тела, обнаруживающие большие пластические деформации (т. е. тела, ко-
которым на графике деформации соответствуют большие участки ab), называются
пластическими. К ним относятся, например, свинец, цинк, железо. Тела, имею-
имеющие небольшую пластическую деформацию или совсем не обладающие ею (рп<
<Ру), называются хрупкими. К ним относятся, например, чугун, закаленная
сталь, фарфор. Следует, однако, подчеркнуть, что подразделение тел на пласти-
пластические и хрупкие имеет относительный характер; одно и то же тело при повышен-
повышенной температуре и медленно проводимой деформации оказывается пластичес-
пластическим, а при пониженной температуре и быстро проводимой деформации — хруп-
хрупким.
В свете представлений об атомно-молекулярном строении вещества
физическая сущность описанного процесса деформации твердого (крис-
(кристаллического) тела объясняется следующим образом.
При упругой деформации монокристалла, например при деформа-
деформации сдвига, происходит только небольшое искажение его пространст-
пространственной решетки (рис. 98, б). Сопутствующее этому искажению изме-
изменение межионных (межатомных, межмолекулярных) расстояний ведет
Рис. 98

к нарушению равновесия между силами взаимопритяжения и взаимо-
взаимоотталкивания ионов, в связи с чем в кристалле возникают упругие си-
силы, восстанавливающие первоначальную форму (рис. 98, а) кристал-
кристалла после устранения деформирующей силы. При упругой деформации
не нарушаются межионные связи: каждый ион остается в окружении
своих прежних соседей, как это видно на рис. 98, а и б (для четырех
пронумерованных ионов).
При пластической деформации монокристалла происходит значи-
значительное искажение его решетки благодаря скольжению одних ионных
плоскостей вдоль других. В результате
нарушаются прежние и устанавливаются
новые межионные связи: ионы меняют своих
соседей, как это видно на рис. 98, в (для
тех же четырех пронумерованных ионов).
При смещении двух соседних слоев друг от-
относительно друга на расстояние, равное
удвоенному размеру элементарной ячейки,
силы взаимопритяжения и взаимоотталки-
взаимоотталкивания ионов вновь оказываются уравнове-
уравновешенными (решетка вновь принимает соот-
соответствующую данному кристаллу форму, на
нашем рисунке — кубическую). В связи с
этим исчезают упругие силы, способные
сместить ионы в исходное положение (см.
рис. 98, а). В результате появляется оста-
остаточная деформация (см. рис. 98, в).
Пластическая деформация одностороннего растяжения также обус-
обусловлена скольжением ионных плоскостей друг относительно друга
На рис. 99 схематически изображена деформация монокристалли-
монокристаллического стержня, подвергнутого одностороннему растяжению. Сколь-
Скольжение слоев начинается в наиболее слабых местах стержня (где решетка
ослаблена трещинами и другими дефектами) и постепенно распростра-
распространяется на весь стержень. В результате в стержне образуются скошен-
скошенные слои, называемые пачками скольжения (рис. 99, б) Толщина па-
пачек скольжения разнообразна, но имеет порядок 10 см. Первона-
Первоначально гладкая поверхность стержня (рис. 99, а) становится в про-
процессе пластической деформации шероховатой (рис 99, б), что подтвер-
подтверждается опытными данными.
Одновременно с удлинением стержня происходит его утоньшение
При этом у стержня появляются местные сужения — шейки (рис. 99, в),
в которых и сосредоточивается дальнейшая деформация, приводя-
приводящая к разрыву стержня (рис. 99, г).
Такова же в общих чертах (но более сложная в деталях) картина
деформации поликристаллических тел. Кристаллические зерна распо-
расположены внутри поликристалла беспорядочно, в связи с чем беспоря-
беспорядочно расположены и плоскости наиболее легкого скольжения ионных
слоев. Благодаря этому пластическая деформация поликристалли-
поликристаллических тел требует большего напряжения, чем пластическая дефор-
деформация монокристаллов.
Рис.
165

§ 53. Тепловое расширение твердых и жидких тел
При повышении температуры твердого тела усиливается тепловое
движение его частиц и среднее расстояние между ними возрастает.
Поэтому при нагревании твердое тело расширяется. Опыт показыва-
показывает, что удлинение А/ тела (линейное расширение) пропорционально
изменению его температуры:
А/ = а/0 • Д*. A)
где /0 — длина тела при температуре t0, I = /0 + А/ — длина тела
при температуре ty Ы = t— tQ} a — коэффициент линейного рас-
расширения. Полагая /0 = О °С, из формулы A) получим
/ = Z0(l+orf) B)
а = iZllo C)
откуда следует, что коэффициент линейного расширения равен относи-
относительному удлинению тела при нагревании на 1К. Для твердых тел а
имеет порядок 10~5 —10"в К.
В результате линейного расширения увеличивается и объем тела.
Возьмем тело кубической формы с ребром /0 при температуре t0 = 0° С.
Его объем Vo = /о. После нагревания до температуры t ребро ста-
станет равным /0A + at), а объем
V = [10 A + а/)]3 = /о A + За/ + За2/2 + а»/»).
В связи с малостью а можно пренебречь членами, содержащими а2
и а3, написав
Обозначив
получим
у __ у /] _|_ р^ /^\
Величина р называется коэффициентом объемного расширения*.
Очевидно, что порядок величины у Р такой же, как и у а.
Поскольку плотность тела р = m/У, то, согласно формуле D),
получим
>=ttw E>
* Монокристаллические тела, будучи анизотропными, расширяются в раз-
различных направлениях неодинаково и потому при нагревании изменяют свою фор-
форму. В общем случае кристалл имеет три значения коэффициента линейного рас-
расширения: ai, a2 и аз- Приближенно р = ai + а2 + а3.
166

где р0 = m/V0 — плотность тела при температуре t = 0° С. Таким
образом, плотность тела уменьшается с повышением его температуры.
Формулы B), D) и E) остаются справедливыми и для жидких тел,
только коэффициент объемного расширения у жидкостей больше, чем
у твердых тел; он имеет порядок 10 — 10~4 К.
Благодаря уменьшению плотности с повышением температуры в
нагреваемом снизу объеме жидкости (и газа) возникает конвекция:
нижние слои жидкости (газа), как менее плотные, начинают поднимать-
подниматься вверх, а верхние слои опускаются вниз; этим значительно ускоря-
ускоряется нагревание объема. Конвекция играет важную роль в процессах
теплообмена в атмосфере и водных бассейнах.
§ 54. Теплоемкость твердых и жидких тел
Поскольку частица твердого тела колеблется около положения рав-
равновесия (узла пространственной решетки), ее энергия слагается из кине-
кинетической энергии WK теплового движения и потенциальной энергии Wn
смешения от положения равновесия. В среднем при достаточно высо-
высокой температуре эти энергии можно считать одинаковыми. Поэтому в
среднем полная энергия одной частицы
W = WK+Wn K
Поскольку WK = ikT/2 (см. § 43), получим
W = ikT,
где / — число степеней свободы частицы, k — постоянная Больцма-
на, Т — абсолютная температура. Так как частица может колебаться
в любом направлении, ее число степеней свободы будет равно трем;
тогда
W = 3kT.
В одном моле химически простого вещества содержится N& частиц
(атомов), где Na — постоянная Авогадро. Поэтому внутренняя энер-
энергия моля
{/м = WNA = 3kTNA = 3 /- NA T = 3#7\
А
а молярная теплоемкость С равна внутренней энергии моля, отнесен-
отнесенной к его температуре, т. е.
Полагая R = 8,32 Дж/(К • моль), получим
С = 25 Дж/(К • моль). F)
Следовательно,
атомная теплоемкость всех химически простых кристаллических
твердых тел при достаточно высокой температуре равна
25 Дж/(К- моль).
167

Этот вывод был впервые получен в 1819 г. Дюлонгом и Пти опыт-
опытным путем, в связи с чем он назван законом Дюлонга и Пти.
В случае твердых химических соединений число частиц в моле бу-
будет уже не Nx, a nNA , где п — число атомов в молекуле. Например,
в одном моле поваренной соли NaCl содержится 2N& атомов (ионов
Na+ и С1~). Поэтому молярная теплоемкость химического соединения
выразится формулой
С = 25лг Дж/(К • моль). G)
Следовательно,
молярная теплоемкость твердого химического соединения равна
сумме атомных теплоемкое/пей входящих в него элементов.
Этот вывод также был получен опытным путем (в 1864 г. Коппом
и затем Джоулем) и носит название закона Джоуля и Коппа.
Из формул F) и G) следует, например, что теплоемкость цинка рав-
равна 25 Дж/(К • моль), а теплоемкость хлористого кальция CaCla —
75 Дж/(К-моль).
В таблице приведены значения молярных теплоемкостей некото-
некоторых твердых тел, полученные опытным путем, а также вычисленные
по формулам F) и G). Для большинства веществ теоретические значе-
значения теплоемкостей оказываются близкими к опытным значениям.
Вещество
Алюминий Ai
Алмаз С .....
Железо Fe . . . .
Кадмий Cd . . . .
Медь Си
Окись меди СиО .
Поваренная соль
NaCl
Серебро Ag ...
Хлористый кальций
СаС12
С, Дж/(К-моль)
опыт
ное
25,54
5,86
26,80
25,54
24,70
47,31
50,66
25,54
76,20
теоретичес-
теоретическое
25
25
25
25
25
50
50
25
75
200 k00 600 800
Рис. 100
Следует учитывать, что вытекающая из формул F) и G) независи-
независимость теплоемкости от температуры имеет место только при достаточ-
достаточно высокой температуреt называемой дебаевской температурой*. При
низкой температуре теплоемкость зависит от температуры, убывая
с уменьшением температуры и приближаясь к нулю при абсолютной
температуре, стремящейся к нулю.
Характер зависимости теплоемкости от температуры представлен
графически на рис. 100. Что касается численного значения «достаточно
высокой температуры», то оно различно для различных веществ. Для
* По имени голландского физика Дебая, разработавшего квантовую теорию
теплоемкости твердых тел.
168

С, Дж/(К-моль)
Вещество
fil
8й
подавляющего большинства веществ комнатная температура уже яв-
является «достаточно высокой». Но некоторые вещества составляют ис-
исключение (см. табл. на стр. 168). Алмаз, например, имеет теплоем-
теплоемкость, близкую к 25 кал/(К- моль), только при температуре около
1800 К*. Зависимость теплоемкости твердых кристаллических тел от
температуры (при низких температурах) связана с «вымерзанием» коле-
колебательных степеней свободы частиц пространственной решетки и может
быть объяснена только на основе квантовой механики (см. § 44).
Как уже отмечалось (см. § 51),
тепловое движение твердых и жид-
жидких тел имеет общий характер —
колебание частиц около некоторо-
некоторого положения равновесия. Поэто-
Поэтому законы Дюлонга и Пти, Джоу-
Джоуля и Коппа применимы и для рас-
расчета молярной теплоемкости жид-
жидкостей. Например, молярная
теплоемкость воды Н2О, согласно
формуле G). равна 75 ДжДК -моль),
что соответствует опытным дан-
данным. В таблице приведены для
сравнения молярные теплоемкости
некоторых веществ в твердом и жидком состояниях (опытные данные).
В связи с тем что коэффициент объемного расширения твердых и
жидких тел очень мал, различие между теплоемкостями при постоян-
постоянных объеме и давлении оказывается пренебрежимо малым и не при-
принимается во внимание
Алюминий А1
Натрий Na . . . ,
Ртуть Hg . . . .
Соляная кислота
HCi
25,54
31,82
28,05
51,50
25,96
33,40
27,63
61,55
§ 55. Диффузия в жидких и твердых телах
Две соприкасающиеся жидкости диффундируют друг в друга до пол-
полного перемешивания**. Если, например, на дно сосуда с водой налить
при помощи воронки с длинной трубкой раствор медного купороса, то
первоначально резкая граница раздела между этими жидкостями нач-
начнет постепенно размываться. Полное перемешивание произойдет че-
через несколько месяцев.
Процесс диффузии жидкостей описывается законом Фика, который
был выведен нами ранее для газов [см. § 48, формула D5) ]:
AM = - D -2L • AS . At,
(8)
где AM — масса жидкости, переносимой путем диффузии з& время
fid через площадку AS, перпендикулярную направлению изменения
* Кроме алмаза такое исключение составляют еще три химических эле-
элемента: бериллий, бор и кремний.
** Исключение составляют случаи, когда жидкости плохо растворимы друг
в друге (например, вода и масло). Тогда диффузия охватывает лишь небольшой
пограничный слой между ними.
169

плотности, Др/Дл; — градиент плотности, D — коэффициент диффу-
диффузии жидкости.
Учтем, что
ДМ = т • AN и Др = т • Ап0>
где т — масса частицы жидкости (молекулы или атома), AN — число
продиффундировавших частиц, Ап0 — разность числа частиц в единице
объема первой и второй жидкостей (разность концентраций молекул),
Тогда, поделив обе частицы равенства (8) на т, получим выражение,
связывающее число продиффундировавших частиц с градиентом кон-
концентрации молекул:
^ S At. (9)
D
А*
Следует иметь в виду, что коэффициент диффузии жидкостей нель-
нельзя рассчитывать по формуле D4), выведенной для газов (см. § 48), так
как характер теплового движения в жидкости существенно отличен от
такового в газах: частицы жидкости не совершают свободных пробе-
пробегов. Поэтому коэффициент диффузии у жидкостей в сотни тысяч раз
меньше, чем у газов, т. е. имеет порядок 10~10 — 10~9 м2/с В соот-
соответствии с этим диффузия в жидкостях протекает гораздо медленнее,
чем в газах. Однако в случае больших градиентов концентрации,
которые часто имеют место в жидкостях, диффузия может проходить
довольно интенсивно и в жидкостях, несмотря на малое значение ко-
коэффициента диффузии [см. формулу (9) ].
Диффузия наблюдается и в твердых телах, при этом к ней также
применим закон Фика [см. (8) и (9) ]. Однако протекает она еще мед-
медленнее, чем в жидкостях; коэффициент диффузии твердых тел гораздо
меньше, чем жидкостей. Процесс диффузии в твердых телах можно зна-
значительно ускорить повышением температуры. Так, например, при тем-
температуре 220 °С между плотно приложенными пластинами меди и цинка
образуется через 12 ч пограничный слой толщиной 0,3 мм, состоящий
из частиц меди и цинка. Пластины прочно спаиваются между собой,
хотя температуры плавления меди и цинка значительно выше 220 °С
A083 °С — у меди и 419 °С — у цинка).
В твердом кристаллическом теле частицы расположены очень близ-
близко друг к другу и имеют возможность лишь колебаться около узлов
пространственной решетки (см. § 51). Поэтому для объяснения диффу-
диффузии в кристаллах приходится предположить, что в кристаллической
решетке существуют «дырки» — узлы, не занятые частицами. Тогда
колеблющаяся частица может перескочить в соседний «вакантный»
узел; на ее место может перескочить другая частица и т. д.
Явление диффузии играет важную роль в природе и технике. Бла-
Благодаря диффузии осуществляется, например, питание растений. На-
Находящаяся внутри корней растения почвенная вода содержит в себе
различные растворенные вещества. Вещества, являющиеся питатель-
питательными для растения, быстро усваиваются им. Поэтому концентрация
этих веществ оказывается внутри корней все время меньшей, чем вне
корней. Наличие градиента концентрации у поверхности корней под-
170

держивает в соответствии с формулой (9) непрерывный диффузионный
поток питательных веществ из окружающей почвенной воды в корне-
корневую систему. Вместе с тем растворенные вешества, не нужные растению
и, следовательно, не усваиваемые им, имеют одинаковую концентрацию
как внутри, так и вне корней. Отсутствие градиента концентрации при-
приостанавливает диффузионный поток не нужных растению растворен-
растворенных веществ в его корневую систему.
Аналогичную роль играет диффузия в питании животных и* чело-
человека. Через стенки желудка и кишечника организм «всасывает» толь-
только те растворенные в пище вещества, которые нужны для построения
его клеток. Поэтому у стенок пищеварительного тракта создаются гра-
градиенты концентрации питательных веществ, поддерживающие диффу-
диффузию этих веществ в организм.
В свеклосахарном производстве диффузию используют для извле-
извлечения сахара из свекольной массы.
Очень важную роль играет процесс диффузии в технологии метал-
металлов. На диффузии основана цементация железных и стальных изде-
изделий. При прокаливании железа с углем углерод, диффундируя в же-
железо, образует поверхностный слой карбида железа (цемент — Fe3C).
После закалки цементированное железное изделие (ось, приводной вал
и т. п.) обладает твердым наружным слоем при мягкой, вязкой сердце-
сердцевине. Аналогичным образом производится цементация железа други-
другими металлами, например хромом, вольфрамом и т. п.
Особый интерес представляет рассматриваемое далее явление диф-
диффузии растворителей через полупроницаемые перегородки, называе-
называемое осмосом.
§ 56. Осмос
При растворении в жидкости твердого вещества его молекулы рав-
равномерно распределяются во всем объеме жидкости, образуя среду, на-
называемую раствором; жидкость называется растворителем, твердое
вещество — растворенным веществом. Масса т растворенного ве-
вещества, приходящаяся на единицу объема V раствора,
называется концентрацией раствора *¦ С; следова-
следовательно,
(Ю)
•> III
Растворы малой концентрации называются слабыми,
или разбавленными.
Представим себе слабый раствор, налитый в сосуд
(рис. 101); молекулы растворенного вещества изобра-
изображены на рисунке точками. Размеры молекул раство-
растворенного вещества малы по сравнению с расстояниями
между ними, поэтому взаимодействия между этими мо-
Рис. 101
* Не следует смешивать между собой понятия «концентрация раствора»
С и «концентрация молекул растворенного вещества» л0.
171

лекулами практически не будет. Таким образом, в слабом растворе
растворенное вещество напоминает собой идеальный газ с той лишь
разницей, что в растворе свобода движения молекул растворенного ве-
вещества ограничена присутствием молекул растворителя. Тем не менее
отмеченная аналогия между идеальным газом и растворенным вещест-
веществом в слабом растворе наводит на мысль о еозможности применения
к растворенному веществу законов идеального газа. В частности,
можно предположить, что растворенное вещество обладает парциаль-
парциальным давлением р, которое по основному уравнению кинетической
теории газа (см. § 41) и по закону Клапейрона — Менделеева (см.
§ 40) выражается формулами
RT
м
A2)
где в данном случае п0 — концентрация молекул растворенного веще-
вещества (число молекул растворенного вещества в единице объема раство-
раствора), W — средняя кинетическая энергия молекулы растворенного ве-
вещества, га и М — масса растворенного вещества и его молярная мас-
масса, V иТ —объем и температура раствора, R — универсальная газо-
газовая постоянная.
Для того чтобы обнаружить это давление, необходимо отделить
раствор от чистого растворителя так называемой полупроницаемой
перегородкой, пропускающей молекулы растворителя, но не пропус-
пропускающей молекулы растворенного вещества. Для водного раствора са-
сахара такой полупроницаемой перегородкой являются, например,
бычий пузырь, кишечная ткань и некоторые искусственные пластмас-
пластмассовые пленки. Поры в этих перегородках столь малы, что через них
могут пройти молекулы воды, но не пройдут более крупные молекулы
сахара.
Проделаем теперь такой опыт. В воронку, раструб которой затя-
затянут бычьим пузырем, нальем слабый водный раствор сахара и устано-
установим ее в сосуд с чистой водой (рис. 102)
так, чтобы уровни жидкостей в воронке и в
сосуде совпали. Через некоторое время уро-
уровень раствора в воронке, как покажет на-
наблюдение, начнет медленно повышаться и,,
наконец, установится над уровнем воды в
сосуде на высоте А. Происходит это по сле-
следующей причине. Концентрация молекул
воды в сосуде больше концентрации моле-
молекул воды в воронке на величину концент-
концентрации молекул сахара. Поэтому через
полупроницаемую перегородку диффунди-
диффундирует больше молекул воды из сосуда в
воронку, чем в обратном направлении, что
Рис 102 вызывает подъем уровня жидкости в ворон*
Полипроница-
емвяперего-
ПООНп

ке. Молекулы же сахара не могут перейти через полупроницае-
полупроницаемую перегородку из воронки в сосуд. В результате концентрации мо-
молекул воды в воронке и в сосуде уравняются, а концентрации молекул
сахара останутся различными: п0 — в воронке и нуль — в сосуде.
Избыточная концентрация п0 молекул сахара создаст, согласно фор-
формуле A1), парциальное давление растворенного вещества, уравнове-
уравновешиваемое гидростатическим давлением столбика раствора высотой h.
Рассмотренное явление диффузии растворителя через полупроницаемую
перегородку, отделяющую раствор от чистого растворителя, называет-
называется осмосом, а возникающее при этом в растворе избыточное давление
(равное парциальному давлению р растворенного вещества) называет-
называется осмотическим давлением*.
Поскольку давление столбика h раствора равно pgh, то из рассмот-
рассмотренного опыта легко определить осмотическое давление по формуле
Р = ?gh,
где р — плотность раствора, g — ускорение силы тяжести. С другой
стороны, можно рассчитать осмотическое давление по формуле A1)
или A2). Оба расчета дают хорошо совпадающие значения осмотичес-
осмотического давления, что подтверждает допустимость аналогии, проведенной
между идеальным газом и растворенным веществом в слабом растворе.
Чтобы получить представление о величине осмотического давле-
давления, подсчитаем его по формуле A2) для водного раствора тростни-
тростникового сахара С^НггОц при температуре 27 °С, если концентрация
раствора соответствует 0,034 кг сахара на 1 л воды. Согласно хими-
химической формуле сахара, его молярная масса равна 0,342 кг/моль.
Тогда
р = JL J??L= 0,034.8,32.300
^5
М V 0,342 • Ю-3
Осмотическое давление наглядно обнаруживается в следующем
общеизвестном явлении. Если сушеную ягоду с неповрежденной обо-
оболочкой погрузить в воду, то вскоре ягода набухнет, приняв сферичес-
сферическую форму, что свидетельствует об избыточном давлении внутри яго-
ягоды. Это избыточное давление есть осмотическое давление. Оболочка
ягоды проницаема для молекул воды, но непроницаема для молекул
сахара, содержащегося внутри ягоды. Вода, диффундируя внутрь
ягоды, образует там сахарный раствор. В этом растворе, как и в опи-
описанном ранее опыте с сахарным раствором, создается осмотическое
давление, распирающее оболочку ягоды.
Пользуясь формулой A0), введем в формулу A2) концентрацию
раствора С. Тогда
'-
откуда следует, что
осмотическое давление пропорционально концентрации и темпе-
температуре раствора и обратно пропорционально молярной массе раство-
растворенного вещества.
* От греческого слова oxjjaoC (осмос) — толчок, давление.
178

Этот закон был установлен в 1887 г. голландским химиком Вант-
Гоффом, Следует подчеркнуть, что, согласно закону Вант-Гсффа>
осмотическое давление не зависит от свойств растворителя.
Закон Вант-Гоффа хорошо оправдывается только для таких слабых раство-
растворов, в которых не происходит диссоциации растворенного вещества. Для дис-
диссоциированных растворов (электролитов) осмотическое давление оказывается
значительно большим, чем следует по закону Вант-Гоффа. Это объясняется тем,
что при диссоциации увеличивается число частиц растворенного вещества (иа
одной молекулы могут образоваться два иона) и, следовательно, согласно фор-
формуле A1), увеличивается осмотическое давление.
Явление осмоса играет исключительно важную роль в жизни рас-
растительных и животных организмов. Оболочки живых клеток пред-
ставляют собой полупроницаемые перегородки; они проницаемы для
молекул воды и непроницаемы для молекул сложных органических
соедиьений, создающихся внутри клетки в процессе ее жизнедеятель-
жизнедеятельности. Благодаря этому Енутри клетки образуется раствор и возникает
осмотическое давление, делающее клетку упругой, как надутый рези-
резиновый мяч. Понятно, что построенные из таких клеток растительные
и животные ткани будут обладать большой упругостью и приобретут
способность сохранять свою форму. В биологии это обусловленное
ссмосом явление носит название тургора клеток.
Осмотическое давление в растительных клетках, окруженных во-
водой, может быть весьма значительным. Например, у моркови оно дос-
достигает нескольких атмосфер.
Если клетка организма граничит с концентрированным водным
раствором вещества, для которого оболочка клетки непроницаема»
то Еода переходит из клетки в этот раствор. Происходит так называ-
называемое осмотическое высасывание воды из клетки. Им, между прочим*
обусловлено чувство жажды, возникающее после приема сладкой пищи.
Посредством таких физиологических процессов, как питание, вы-
выделение, дыхание и т. п., поддерживается постоянное осмотическое
давление в клетках животных организмов (осморегулирование).
§ 57. Теплопроводность жидких и твердых тел
Процесс теплопроводности в твердых и жидких телах описывается
тем же законом Фурье, который был выведен нами для газов (см. § 49):
AQ=:_-X_AI_. Д5. At, A4)
где х — коэффициент теплопроводности, ДТУДх — градиент темпе-
температуры, AS — площадь, через которую переносится теплота, Д/ —
продолжительность времени переноса. Однако коэффициент теплопро-
теплопроводности у твердых и жидких тел значительно больше, чем у газов. Осо-
Особенно большими значениями х отличаются металлы. Коэффициент теп-
теплопроводности имеет порядок у газов — 10, у жидкостей и неметал-
неметаллических твердых тел — 10~\ у металлов— 101 Дж/(м- с • К).
Максимальное значение х = 423 Дж/(м • с • К) имеет серебро.
174

Процесс теплопроводности в твердых и жидких телах осуществ-
осуществляется путем взаимодействия колеблющихся частиц (молекул, ато-
атомов, ионов), составляющих тело. Наиболее интенсивное колебание
частиц, происходящее в области повышенной температуры, передает-
передается соседним частицам, постепенно распространяясь на все тело. В ме-
металлах, кроме того, теплопроводность значительно увеличивается
благодаря свободным электронам, которые могут перемещаться вну*
три металла, непосредственно перенося свою кинетическую энергию
из области повышенной температуры в область более низкой темпе-
температуры. Важная роль свободных электронов в процессе теплопровод-
теплопроводности подтверждается тем фактом, что коэффициент теплопроводно-
теплопроводности металлов приблизительно пропорционален их коэффициенту элек-
электропроводности. В жидкостях (как и в газах) процесс передачи теп-
теплоты может усиливаться конвекцией, если нагретые части жидкости
расположены ниже холодных.
Теплопроводность твердого тела в большой мере зависит от его
структуры: наименьшей теплопроводностью характеризуются порис-
пористые тела, так как газ, заполняющий поры, имеет сравнительно малый
коэффициент теплопроводности.
По мере распространения теплоты в теле его температура повышается —
тело, как говорят, прогревается. Через некоторое время после начала нагрева-
нагревания область повышенной температуры распространится от места нагрева на все
тело. Этот процесс (распространения температуры) называется температуро-
температуропроводностью. Скорость его зависит не только от коэффициента теплопровод-
теплопроводности х тела, но и от удельной теплоемкости с и плотности р тела. Как-показы-
Как-показывают опыт и теория, эта скорость пропорциональна отношению
/С=—. A5)
с?
Величина /С, характеризующая скорость прогревания (или остывания) тела,
называется коэффициентом температуропроводности. Из формулы A5) сле-
следует, что К измеряется в ма/с (как и коэффициент диффузии). Проиллюстрируем
явление температуропроводности следующим примером. Опыт показывает,
что свинец прогревается (и остывает) быстрее, чем железо, несмотря на то что
коэффициент теплопроводности железа [х = 67,2 Дж(м • с • К)] приблизи-
приблизительно вдвое больше, чем свинца [% = 35,3 Дж/(м • с • К)]. Дело, по-видимо-
по-видимому, в том, что свинец имеет больший коэффициент температуропроводности, чем
железо.
Проверим это, рассчитав К по формуле A5). Примем для железа с ==
« 499,8 Дж/(кг • К), р = 7,85 • 103 кг/м3, а для свинца с = 126 Дж/(кг . К),
f> ===== 11,3 • 103 км/м3. Тогда получим для железа Кж « 0,17 • 10~4 м2/с и для
свинца /Сев — 0>25 • 10~4 м2/с, т. е. действительно 1(СВ>КЖ,
Если поверхность тела подвержена попеременным нагреваниям и охлажде-
охлаждениям, т. е. испытывает колебания температуры, то эти колебания передаются
и в глубь тела. Глубина проникновения температурных колебаний зависит
от температуропроводности тела: чем больше коэффициент температуропровод-
температуропроводности, тем глубже проникают эти колебания. В этой связи температуропровод-
температуропроводность имеет существенное агрофизическое значение: от коэффициента темпера-
температуропроводности почвы зависит глубина, на которую проникают суточные и се-
сезонные (периодические) колебания температуры земной поверхности.
Коэффициент температуропроводности почвы имеет порядок 10" м2/с для
сухих почв и 10~6 м2/с для влажных
175

§ 58. Вязкость жидкости. Турбулентное движение жидкости
В первой части курса (см. гл. V) рассматривалось движение невяз-
невязкой (идеальной) жидкости. Реальная жидкость обладает вязкостью
(внутренним трением), обусловленной сцеплением между ее молекула-
молекулами. Благодаря вязкости движение жидкости, как и движение газа,
носит ламинарный характер. Сила внутреннего трения F выражается
законом Ньютона (см. § 50):
= — т) • AS, AЬ)
А*
где Awl Ах — градиент скорости течения жидкости, AS — площадь
соприкосновения слоев жидкости, т\ — коэффициент вязкости (внут-
(внутреннего трения) жидкости.
Р АХ »| Вязкость жидкости во много раз
у//////////////////////////////////щ превосходит вязкость газа. Значение
П » коэффициента вязкости жидкости нахо-
рп$г *~w iP2 дится в пределах 10~3—1 кг/(м -с).
!t I Вместе с тем вязкость жидкости сильно
V////////////////////////////////////A зависит от температуры — уменьшается
с повышением температуры*, так как
ис* при этом увеличивается среднее рассто-
расстояние между молекулами и, следователь-
следовательно, уменьшается сцепление между ними. У воды, например, ^ =
= 1,8 « 10 кг/(м • с) при 0 °С и у] = 3,2 . 10~4 кг/(м • с) при 90 °С
Вязкость затрудняет течение жидкости по трубе (или иному рус-
руслу), уменьшая его скорость.
Французский физик и физиолог Пуазейль в 1841 г. установил, что
средняя скорость w ламинарного течения жидкости по трубе
пропорциональна градиенту давления Ар/Ах жидкости, квадрату ра-
радиуса г трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости
Y] жидкости (рис. 103; ламинарное течение вязкой жидкости в трубе
при постоянной разности давлений р4—р2 = Ар на ее концах):
Формула A7) называется законом Пуазейля. Знак минус показывает*
что скорость течения направлена противоположно градиенту дав-
давления. Так как объем жидкости АV, протекающей за время At череа
трубу, выражается формулой
AV = Sw • At =» nr2w • At, A8)
где5=яг2 — площадь поперечного сечения трубы, то, подставив
* Исключение составляет жидкий гелий, который, как обнаружил в 1938 г.
П. Л. Капица, совершенно теряет вязкость (tq = 0) при температуре около абсо-
абсолютного нуля (Т<2,17 К). «Сверхтекучесть» гелия может быть объяснена
только на основе квантовой теории.
176

выражение скорости из формулы A7) в формулу A8), получим
А*
A9)
т. е. объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален чет-
четвертой степени радиуса трубы, времени и градиенту давления жид-
жидкости и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.
По формуле A9) можно опытным путем определить коэффициент вяз-
вязкости жидкости, что и было сделано Пуазейлем.
Благодаря вязкости тело, движущееся в жидкости, увлекает при-
прилегающие к нему слои жидкости и потому испытывает сопротивление
(трение) со стороны жидкости. Сила сопротивления зависит от ско-
скорости движения тела, его размеров и формы. Как уста-
установил английский физик и математик Стоке,
для тел шарообразной формы, движущихся с неболь-
небольшой скоростью, сила сопротивления жидкости F про-
пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости г\, ра-
радиусу шара г и скорости движения w:
F = Ьщт». B0)
Формула B0), называемая законом Стокса, применима
также к движению шарообразных тел в газе, например
к случаю падения дождевых капель в атмосфере. Рис. 104
На шар массой т и радиусом г, падающий со скоро-
скоростью w в жидкости с вязкостью т], действуют три силы: сила тяжести
Fu выталкивающая сила жидкости F2 и сила сопротивления жидкости
F (рис. 104). Так как силы Fi и F\ постоянны, а сила F возрастает
с увеличением скорости движения шара, то с некоторого момента вре-
времени эти силы уравновесят друг друга:
Тогда шар будет двигаться равномерно. Учитывая, что, по закону
Ньютона,
а по закону Архимеда,
где рх — плотность шара, р2 — плотность жидкости и g — ускорение
силы тяжести, напишем
4
«3
откуда после соответствующих преобразований получим выражение
4
177

по которому можно определить опытным путем коэффициент вязко-
вязкости жидкости. Из последней формулы можно выразить скорость па-
падения шара:
9ti
По этой формуле определяется, например, скорость падения дождевых
капель в воздухе.
Ламинарный характер течения жидкости (или газа) имеет место
только при небольших скоростях. При больших^ скоростях в потоке
появляются вихри, перемешивающие между собой все слои жидкости;
такое движение называется турбулентным*. В этом случае скорость
течения становится почти одинаковой
по всему сечению трубы (или иного
русла) и лишь вблизи ее стенок воз-
возникают очень большие градиенты
скорости (рис. 105; w — скорость по-
потока, а — вихрь в потоке).
Сила трения, действующая на те-
Рис. 105 ло, находящееся в турбулентном по-
потоке, резко возрастает, становясь про-
пропорциональной уже не первой степени, а квадрату и даже кубу ско-
скорости.
Турбулентное движение можно, например, наблюдать в водном
потоке на узких и мелких участках русла реки; здесь появляются
характерные водяные вихри — водовороты. В воздушном потоке это
движение наблюдается, например, вблизи строений; возникающие
здесь при сильном ветре воздушные вихри поднимают с земли и «кру-
«крутят» пыль, обрывки бумаги и другие легкие предметы.
Задача 30. При температуре to = 0 &С цинковый стержень имеет длину
/01 = 200 мм, а медный 102 = 201 мм. При какой температуре* стержни будут
иметь одинаковую длину? Коэффициенты линейного расширения цинкового и
медного стержней соответственно равны:
ах = 2,9 • 10 град*1 и а2 = 1,7 • 10~5 град.
Решение. Исходя из формулы B) можем написать, что при температуре /
Тогда
__ /02 — /pi _ B01 — 200) - 10~3 м-105град = ^0 оС
t== 4ki - «2*02 ~~ B,9.200-1,7.201) . КГ» м =
Задача 31. В объеме V = 0,5 л воды растворено т = 2 г поваренной
соли. Найти осмотическое давление р для этого раствора при температуре t =
= 17 °С, если степень диссоциации молекул соли 75%.
Решение. Согласно закону Вант-Гоффа A3), для недисооциированного
раствора
CRT
* От латинского слова turbulentus — вихревой, беспорядочный.
178

где С = m/V — концентрация раствора, Т — его абсолютная температура,
М — молярная масса растворенного вещества (для NaCl M = 0,023 кг/моль +
+ 0,035 кг/моль = 0,058 кг/моль), R — универсальная газовая постоянная.
Диссоциация молекул ведет к увеличению числа частиц в растворе и, сле-
следовательно, к пропорциональному росту осмотического давления (см. § 56).
Поэтому, с учетом диссоциации,
_ mRT _ 0,002 кг • 8,32 Дж/(К • моль) • 290 К - 1,75 _
Р~~ VM ' ~ 5- 10~4 м3-0,058 кг/моль ~~
= 2,9 • 106 Паж 3. 105 па.
Задача 32. Определить скорость v движения жировых шариков в молоке:
а) при естественном отстаивании сливок; б) при отделении сливок посредством
молочного сепаратора, где молоко вращается на расстоянии R = 5 см от оси
сепаратора с частотой v = 6000 об/мин. Радиус жировых шариков считать рав-
равным г = 1 мкм, плотность жирар1 == 0,9 г/см3, плотность обрата р2 = 1 г/см3,
коэффициент внутреннего трения обрата у\ = 0,0011 г/(см • с).
Решение, а) На жировой шарик, всплывающий в молоке при естест-
естественном отстаивании сливок, действуют три силы: направленная вверх архиме-
архимедова сила F2 и направленные вниз сила тяжести Fi и сила внутреннего трения F.
Шарик будет двигаться равномерно при условии F + Fi = F2 или
Тогда, учитывая закон Стокса B0), второй закон Ньютона и архимедову
силу, можно написать (см. § 58)
4
6и7]™ = — тсг3(р2 — н)8-
Поэтому
2Г2 (р2 — Pl) g 2 . IP2 м2 . 9,8 м/с2 A — 0,9) - 103 кг/м3 ^
V~~ 9т) ~ 9 • 0,0011 кг/(м • с) ^
^2 . Ю м/с.
б) При отделении сливок посредством сепаратора роль силы тяжести
играет центробежная сила инерции F^.n (см. § 14) и жировые шарики будут те-
теперь всплывать в горизонтальном направлении к оси сепаратора (а более плот*
ные частицы обрата пойдут к периферии сепаратора). Поэтому условие равно-
равновесия сил, действующих на жировые шарики, запишется так:
Тогда
6т!7|Л? = — иг3 (ра
о
где 4tc2v2/? — центробежное ускорение.
Из последнего равенства получим
8-3,И2- 10~12m2 A—0,9) • Ю3 кг/м'МО4 1/с2-0,05м
g"!— 'В ' ' ' — " mtl '" ¦¦¦¦¦—¦¦ !¦¦»¦ Illl I I———¦¦—¦ ¦ I I-N ¦¦¦<¦ I ¦¦—¦¦ | —HP— 1 I -¦ >¦! .Mill— !¦¦¦—, ¦¦ S-**S 4 • 1 0"* M / С
9 -0,0011 кг/(м-с)
Таким образом, скорость движения жировых шариков в молоке при его
Сепарировании приблизительно в 2000 раз больше, чем при естественном отста-
отстаивании сливок. Понятно, что время сепарирования во столько же раз меньше
времени отстаивания.
179

§ 59. Внутреннее давление в жидкости. Поверхностное
натяжение и свободная энергия поверхности жидкости
На каждую молекулу жидкости действуют силы притяжения со
стороны окружающих молекул, удаленных от нее на расстояние, не
превышающее 1,5 • 10~7 см (см. § 35, рис. 67), т. е. находящихся
(центрами) внутри сферы радиусом R = 1,5 • 10~7 см (см. рис. 106).
Эта сфера называется сферой молекулярного
действия. Поскольку радиус г самих молекул
составляет приблизительно 5 • 10~8 см, то R ж
«Зг, т. е. радиус сферы молекулярного
действия приблизительно равен полутора
диаметрам молекулы. Следовательно, каждая
молекула жидкости взаимодействует только
с непосредственно прилегающими к ней со-
соседними молекулами.
Рассмотрим молекулу, расположенную
внутри жидкости (а и б), налитой в сосуд
(рис. 107). Со всех сторон ее окружает в
среднем одинаковое число молекул, поэтому результирующая сил при-
притяжения, действующих на молекулу, в среднем равна нулю. Иначе об-
обстоит дело с молекулой, лежащей на поверхности жидкости (в и г). Так
как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала
Рис. 106
Рис. 107
ло сравнению с концентрацией молекул в жидкости, то результирую-
результирующая сил, действующих на молекулу, оказывается не равной нулю и
направленной внутрь жидкости перпендикулярно ее поверхности. В
таком же положении будут находиться все молекулы, лежащие в по-
поверхностном слое жидкости толщиной, приблизительно равной радиусу
сферы молекулярного действия. Таким образом, поверхностный моно-
молекулярный слой жидкости толщиной 1,5 • 10~7 см оказывает на
всю жидкость давление, равное сумме результирующих сил, действу-
действующих на все молекулы, лежащие в одном квадратном метре этого слоя.
Это давление называется внутренним, или молекулярным.
180

Благодаря тому что молекулы жидкости находятся близко друг
от друга, жидкость оказывается трудносжимаемой: вступающие в дей-
действие на очень малых расстояниях силы отталкивания между моле-
молекулами препятствуют сжатию жидкости.
Так как внутреннее давление направлено перпендикулярно по-
поверхности жидкости, то масса жидкости, не подверженная действию
внешних сил (рис. 108, а) должна принять форму шара (рис. 108, б),
ибо только в этом случае силы внутреннего давления взаимно уравно-
уравновесятся. Такое явление можно наблюдать на маленьких массах жид-
жидкости, для которых действие силы тяжести пренебрежимо мало по
сравнению с действием сил внутреннего давления. Сферическую
форму принимают, например,
мелкие дождевые капли, масло,
налитое в смесь воды со спир-
спиртом, имеющую плотность, рав-
равную плотности масла (опыт Пла-
Плато). В этом случае сила тяже-
тяжести, действующая на масло,
компенсируется, по закону Ар- а
химеда, выталкивающей силой ри
воды, делая масло как бы неве- ис*
сомым.
Форме шара соответствует, как известно, наименьшая поверхность
при данном объеме. Следовательно, под влиянием молекулярных сил
поверхность жидкости сокращается до минимально возможных раз-
размеров. Это означает, что поверхностный слой жидкости подобен эла-
эластичной растянутой пленке, например оболочке резинового мяча*.
Напряженное состояние поверхностного слоя жидкости называет-
называется поверхностным натяжением, оно вызвано силами сцепления между
молекулами этого слоя. Выделим мысленно в поверхностном слое
жидкости круговой контур длиной / (рис. 109). Молекулы жидкости,
составляющие контур, притягиваются молекулами, расположенными
внутри контура; силы притяжения карательны к поверхности жид-
жидкости и перпендикулярны контуру. Сумма сил притяжения, дей-
действующих на контур, ограничивающий поверхность жидкости, назы-
называется силой поверхностного натяжения F. Эта сила пропорциональна
числу молекул, прилегающих к контуру, которое в свою очередь про-
пропорционально длине контура; следовательно,
F = a/, B1)
где a — коэффициент пропорциональности, называемый коэффици-
коэффициентом поверхностного натяжения.
* Следует, однако, иметь в виду, что аналогия между резиновой пленкой
и поверхностной пленкой жидкости неполная. При растяжении резиновой плен-
пленки число молекул на ее поверхности остается неизменным, а расстояние между
ними увеличивается. При растяжении поверхностной пленки жидкости на ее
поверхность выходят из глубины новые молекулы и расстояние между ними на
поверхности жидкости не изменяется. Поэтому сила, растягивающая пленку
жидкости, остается достоянной и закон Гука к этой пленке неприменим.
181

Очевидно, что с такой же силой поверхностного натяжения дей-
действуют на контур и молекулы, расположенные вне его. Поэтому контур
находится в равновесии. Для того чтобы обнаружить действие силы
поверхностного натяжения, надо устранить ограниченную им внутрен-
внутреннюю или внешнюю часть поверхности жидкости. Это можно сделать,
например, следующим образом. «Натянув» на проволочную раму
пленку мыльной воды, надо положить на нее петлю (контур) из тонкой
нитки (рис. 110, а) и затем проткнуть пленку внутри петли (рис. 110,6).
Под действием силы поверхностного натяжения со стороны сохранив-
сохранившейся (внешней) части пленки контур немедленно растянется, приняв
форму окружности.
Рис. 109
Рис. 110
Из формулы B1) следует, что
а = ¦
B2)
т. е. коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен си-
силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины конту-
контура, ограничивающего поверхность жидкости. Измеряется а в
Н/м. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости имеет поря-
порядок 10~2 — Ю^Н/м; для воды, например, он равен 0,073 Н/м, для
ртути — 0,54 Н/м. С повышением температуры коэффициент поверх-
поверхностного натяжения уменьшается в связи с увеличением среднего рас-
расстояния между молекулами жидкости.
Для растяжения (увеличения) поверхности жидкости необходимо
совершить работу против молекулярных сил. Действительно, рас-
растяжение поверхностного слоя сопровождается извлечением из глу-
глубинных слоев на поверхность новых молекул жидкости, чему препят-
препятствуют направленные внутрь жидкости результирующие сил притя-
притяжения «глубинных» молекул. Наоборот, при сокращении поверхности
молекулярные силы сами совершают работу по затягиванию «лишних»
молекул с поверхности в глубь жидкости. Таким образом, при рас-
растяжении поверхности жидкости ее потенциальная энергия увеличива-
увеличивается, при сокращении — уменьшается.
Определим работу, совершаемую при сокращении поверхности
жидкости. С этой целью «натянем» жидкую пленку на проволочную
рамку, правая сторона которой, имеющая длину /, может свободно
182

перемещаться влево от положения, зафиксированного на рис. 111.
Тогда под действием постоянной силы поверхностного натяжения
эта сторона будет перемещаться влево, а поверхность пленки — со-
сокращаться. Работа АЛ, совершенная при сокращении пленки в связи с
перемещением стороны рамки на расстояние Ах, выразится формулой
АЛ = F • Да: = 2а/ . Ах = а .
B3)
АХ
Рис. ш
где AS = 21 'Ах — изменение площади поверхности пленки. Мно-
Множитель 2 обусловлен тем, что пленка имеет две поверхности*.
Работа ДЛ совершается за счет умень-
уменьшения потенциальной энергии поверхно-
поверхности пленки. Следует подчеркнуть, что
при растяжении пленки потенциальная
энергия молекул, извлекаемых на по-
поверхность, увеличивается, а их кине-
кинетическая энергия (теплового движения)
соответственно уменьшается. В резуль-
результате при растяжении пленка несколько
охлаждается. Очевидно, что при сокра-
сокращении пленка будет нагреваться. Изме-
Изменение температуры пленки вызовет изменение коэффициента по-
поверхностного натяжения. Чтобы обеспечить неизменность а, необхо-
необходимо вести процесс растяжения или сокращения пленки изо-
изотермически. Для этого надо растягивать или сокращать пленку мед-
медленно, так чтобы изменение ее температуры успевало компенсиро-
компенсироваться путем теплообмена с окружающей средой.
Та часть потенциальной энергии поверхности жидкости, которая мо-
может перейти в работу по изотермическому сокращению поверхности
жидкости, называется свободной энергией поверхности жидкости
AW. Из формулы B3) следует, что
AW = ДЛ = а . AS.
Очевидно, что свободная энергия всей поверхности жидкости равна
произведению коэффициента поверхностного натяжения на площадь
этой поверхности:
W = aS. B4)
Из формулы B4) следует другое определение а:
w
S '
а =
B5)
т. е. коэффициент поверхностного матяжения равен свободной энергии
единицы поверхности жидкости. Поэтому а можно еще измерять и в
Дж/м2.
Существование поверхностной пленки можно легко обнаружить, ес-
если, например, аккуратно положить на воду лезвие безопасной бритвы:
слегка прогнув поверхностную пленку, лезвие останется лежать на
* В данном опыте удобно брать мыльную воду, так как, обладая значитель-
значительной вязкостью, она не стекает с ограничивающих ее жидких поверхностей.
183

ней. В водоемах по поверхностной пленке воды свободно бегают и пры-
прыгают насекомые «водомерки». Улитка «прудовик», имеющая массу до
50 г, ползает по нижней стороне поверхностной пленки воды, как муха
по потолку. Наличием поверхностной пленки обусловлено образование
пены на воде, представляющей собой скопление множества мелких
пузырьков воздуха, под этой пленкой: пузырьки приподнимают
пленку, не прорывая ее. Слипание мокрых волос, мокрых песчинок
и т. п. также связано с жидкими пленками, с их стремлением приобре-
приобрести минимальную поверхность. При соприкосновении друг с другом
нескольких мокрых песчинок окружающие их тонкие водяные обо-
оболочки сливаются в одну, поверхность которой (рис. 112, б) будет мень-
меньше суммы поверхностей оболочек на отдельных песчинках (рис. 112, а).
В результате этого комплекс песчинок
оказывается прочно стянутым поверхно-
поверхностной пленкой воды.
На поверхностное натяжение жидко-
жидкости большое влияние оказывают нахо-
^) дящиеся в ней примеси. Например, мы-
а б ло, растворенное в воде, уменьшает ее
коэффициент поверхностного натяжения
Рис' 112 с 0,075 до 0,045 Н/м. Вещество, осла-
ослабляющее поверхностное натяжение жид-
жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде
поверхностно-активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многие
другие жидкие и твердые вещества.
С точки зрения молекулярной теории, влияние поверхностно-актив-
поверхностно-активных веществ объясняется следующим образом. Силы притяжения меж-
между молекулами самой жидкости больше сил притяжения между моле-
молекулами жидкости и поверхностно-активной примеси. Поэтому рас-
расположенные в поверхностном слое молекулы жидкости притягиваются
внутрь жидкости сильнее, чем молекулы примеси. В результате мо-
молекулы уходят из поверхностного слоя внутрь жидкости, а молекулы
поверхностно-активного вещества вытесняются на поверхность.
Некоторые вещества увеличивают поверхностное натяжение жид-
жидкости в связи с тем, что их молекулы взаимодействуют с молекулами
жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Очевидно,
что молекулы таких примесей будут втянуты внутрь жидкости и в
поверхностном слое останутся преимущественно молекулы жидкости.
По отношению к воде примером такого рода примесей могут служить
сахар и соль.
Таким образом, поверхность мыльной воды будет состоять пре-
преимущественно из молекул мыла, поверхность водного раствора спирта
из молекул спирта, а поверхность водного раствора сахара будет со-
состоять преимущественно из молекул воды.
Между прочим, на действии поверхностно-активных вещетсв осно-
основан общеизвестный способ борьбы с малярийными комарами, состоящий
в поливе зараженных водоемов нефтью. Личинка комара живет в во-
воде, но дышит воздухом из атмосферы. Поэтому она подвешивается к по-
поверхностной пленке воды, выставляя наружу свой дыхательный орган.
184

Добавленная в небольшом количестве к воде нефть, будучи поверх-
поверхностно-активным веществом, значительно ослабляет поверхностную
пленку воды*. Пленка уже не выдерживает тяжести личинки. Личинка
погружается на глубину и, лишенная воздуха, погибает.
Возвращаясь теперь к формуле B4), можно сказать, что умень-
уменьшение свободной энергии поверхности жидкости может осуществлять-
осуществляться двумя путями: во-первых, сокращением поверхности жидкости и,
во-вторых, ослаблением поверхностного натяжения с помощью по-
поверхностно-активных веществ.
§ 60. Дополнительное давление под искривленной поверхностью
жидкости. Формула Лапласа
Под искривленной поверхностью жидкости помимо внутреннего
давления создается еще дополнительное давление, обусловленное
кривизной поверхности. Представим себе жидкость в трех сосудах,
в одном из которых ее поверхность имеет выпуклую форму, в другом —
4p
p
p
P
б
Рис. 113
плоскую и в третьем — вогнутую**. Поскольку поверхностный слой
жидкости подобен напряженной пленке, выпуклая поверхность,
стремясь сократиться и принять плоскую форму, будет, очевидно,
оказывать на жидкость дополнительное давление Д/?, направленное
так же, как внутреннее давление р (рис. 113, а). По той же причине
под вогнутой поверхностью возникает дополнительное давление, на-
направленное противоположно внутреннему давлению (рис. 113, в).
Под плоской поверхностью дополнительного давления не будет
(рис. 113, б)
Естественно предположить, что величина дополнительного давле-
давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения
жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря,
от коэффициента поверхностного натяжения а и радиуса кривизны
поверхности R. Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное
давление должно быть пропорционально коэффициенту поверхностно-
* У нефти а = 0,026 Н/м.
** Условия, при которых возникают такие формы поверхности, рассмотрены
в следующем параграфе.
185.

го натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверх-
поверхности жидкости:
Ар~т-
Точное выражение для дополнительного давления под жидкой
искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г.
французский математик и физик Лаплас:
B6)
Это выражение называется формулой Лапласа.
Знак плюс соответствует выпуклой поверх-
поверхности, знак минус — вогнутой поверхности;
Ri и R2 — радиусы кривизны двух нормаль-
нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверх-
поверхности, изображенных на рис. 114. Если искри-
искривленную поверхность пересечь двумя плоско-
плоскостями (^iOiiBi и А2О2В2) так, чтобы они были
взаимно перпендикулярны и содержали в
себе нормаль п к поверхности в точке М, то
на поверхности получатся две дуги A^Bi и
ЛаВ2 радиусами Ri и R2; это и есть радиусы
кривизны нормальных взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных сечений. Полусумма — ( 1 ) на-
зывается средней кривизной поверхности в точ-
точке М. Для всех форм поверхности, которые могут образоваться у
жидкости, средняя кривизна остается постоянной для любой пары нор-
нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности в дан-
данной точке.
В случае сферической поверхности Rt = R2 = R, поэтому, со-
согласно формуле Лапласа, дополнительное давление будет
Др=±—. B7)
В случае цилиндрической поверхности
следует взять одно сечение поперек цилиндра,
другое — вдоль его образующей. Тогда, оче-
очевидно, Ri = R и R2 = оо (рис. 115). Поэ-
Поэтому дополнительное давление будет
Рис. 114
Рис. 115
B8)
Наконец, в случае плоской поверхности
=#г=оо и Др=
186

При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например,
у очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть
довольно значительным. Подсчитаем А/? для капельки воды радиусом
0,001 мм:
И R 10-е м
Отметим, что из капелек данного размера образуются туманы и дымки.
Дополнительное давление играет большую роль в так называемых
капиллярных явлениях.
§ 61. Капиллярные явления; формула Жюрена
Рассмотрим некоторые молекулярные явления, обнаруживающиеся
на границе соприкосновения жидкости с твердым телом. Если силы сцеп-
сцепления между молекулами жидкости больше, чем между молекулами
жидкости и твердого тела, то жидкость стремится уменьшить границу
(площадь) своего соприкосновения с твердым телом, по возможности от-
отступая от него. Капля такой жидкости на горизонтальной поверхности
твердого тела примет форму сплюснутого шара (рис. 116, а)*. В этом
Рис. 116
случае жидкость называется несмачивающей твердое тело. Угол О, обра-
образованный поверхностью твердого тела и касательной к поверхности жид-
жидкости, называется краевым. Для несмачивающей жидкости в>90°. Слу-
Случай, когда в = 180°, называется полным несмачиванием. Если силы
сцепления между молекулами жидкости меньше, чем между молеку-
молекулами жидкости и твердого тела, то жидкость стремится увеличить гра-
границу соприкосновения с твердым телом. Капля такой жидкости при-
примет форму, изображенную на рис. 116, б. В этом случае жидкость на-
называется смачивающей твердое тело; краевой угол в < 90°. При
6= 0 наблюдается полное смачивание: жидкость растекается по всей
поверхности твердого тела.
Очевидно, что смачиваемость и несмачиваемость — понятия от-
относительные: жидкость, смачивающая одно твердое тело, может не
смачивать другое тело. Например, вода смачивает стекло, но не сма-
смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает медь.
На смачивании и несмачивании основан широко распространенный
в технике метод флотационного** обогащения руды, т е. отделения
* Сплющивание обусловлено действием силы тяжести.
** От английского слова flotation — всплывание.
187

руды от пустой породы. Естественную смесь руды с породой измель-
измельчают в порошок и взбалтывают в такой жидкости, которая не смачи-
смачивает руду, но смачивает пустую породу. Одновременно через жид-
жидкость продувают воздух. Затем жидкости дают отстояться. При этом
смоченные жидкостью частицы породы опускаются на дно. Иначе об-
обстоит дело с частицами руды: жидкость, сокращая границу соприкос-
соприкосновения с поверхностью несмачиваемой частицы руды, «прижимает» к
этой частице пузырьки воздуха. В результате частицы руды, «облеплен-
«облепленные» пузырьками воздуха, всплывают, как на поплавках, на поверх-
поверхность жидкости.
Отметим также, что листья и стебли растений не смачиваются во*-
дой благодаря покрывающему их тонкому воскообразному налету —
кутикуле. Именно поэтому не размокают под дождем листья деревьев,
стога сена, скирды соломы и т. п.
Смачиванием объясняются так называемые сорбционные явления: поглоще-
поглощение молекул жидкости или газа поверхностью (адсорбция) или всем объемом
(абсорбция) твердого или жидкого тела*. Заметная абсорбция обычно имеет мес-
место лишь при высоких температуре и давлении, тогда как интенсивная адсорбция
происходит и при нормальных атмосферных условиях. Как уже отмечалось, сма-
смачивающая жидкость растекается тонким, практически мономолекулярным слоем
по поверхности твердого тела. Подобным же образом, адсорбируя окружающий
газ, твердое тело покрывается мономолекулярной пленкой газа; второй слой
газовых молекул уже не удерживается на этой пленке ввиду малости сил сцеп-
сцепления между молекулами гааа.
Адсорбирующая способность тела возрастает с увеличением его поверхно-
поверхности. Поэтому особенно хорошо адсорбируют пористые тела, например приме-
применяющийся в противогазах активированный уголь (уголь, очищенный путем про-
прокаливания от смолистых веществ и измельченный в порошок).
Благодаря адсорбции почва удерживает образующиеся в ней нужные для
растений газы — аммиак, сероводород и др. Уничтожение запаха навоза на
скотных дворах путем засыпки сухого торфяного порошка также основано на
адсорбции.
Небезынтересно отметить, что в условиях невесомости эффект смачиваемос-
смачиваемости приводит к тому, что вода в закрытом стеклянном сосуде распределяется по
всем его стенкам, а воздух сосредоточивается в средней части сосуда. Описан-
Описанный факт был впервые экспериментально установлен в августе 1962 г. при груп-
групповом полете А. Г. Николаева и П. Р. Поповича на космических кораблях
«Вссток-3» и «Восток-4».
Согласно изложенному в начале параграфа, поверхность жидко-
жидкости, налитой в сосуд, должна искривиться вблизи его стенок: при-
приподняться— в случае смачивающей жидкости (рис. 117, а) и опу-
опуститься— в случае несмачивающей (рис. 117, б). В узком сосуде
краевые искривления охватывают всю поверхность жидкости, делая
ее целиком изогнутой: вогнутой — для смачивающей жидкости
(рис. 118, а), выпуклой—для несмачивающей (рис. 118, б). Такая
изогнутая поверхность называется мениском**. Узкие сосуды—трубки,
щели и т. п. —называются капиллярами***.
Благодаря большой кривизне мениска под ним создается значи-
значительное избыточное давление, что ведет к поднятию (в случае смачи-
* От латинского слова sorbere — поглощение.
** От греческого слова prvicxoC (менискос)—полумесяц.
*** От латинского слова capillaris — волосной.
188

вания) или опусканию (в случае несмачивания) жидкости в капилляре.
В самом деле, пусть конец цилиндрического капилляра радиусом г
погружен в смачивающую жидкость (рис. 119). Поверхность жид-
жидкости в капилляре примет вогнутую сферическую форму. Внутреннее
давление р жидкости в капилляре будет меньше, чем вне капилляра,
на величину избыточного давления под сферической поверхностью:
а 2а
t
1
1
?R
I
fl
Т/7 ~"
У ~
Рис. 117
Рис. 118
Рис. 119
где R — радиус кривизны мениска, а — коэффициент поверхностного
натяжения жидкости. Поэтому жидкость в капилляре поднимается на
такую высоту Л, при которой оказываемое ею давление станет равным
избыточному:
2а
откуда
Л =
2а
где р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести. Так как
угол между радиусами г и R (см. рис. 119) и краевой угол в равны
между собой (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), то
cos О
Подставляя это значение в формулу высоты, получим
, 2а cos в
п = .
B9)
Таким образом, высота поднятия смачивающей жидкости в капилляре
обратно пропорциональна его радиусу. Очевидно, что формула B9)
применима и к случаю опускания несмачивающей жидкости в капил-
капилляре.
189

Соотношение B9) называется формулой Борелли — Жюрена (оно
было получено в 1670 г. итальянским ученым Борелли и незави-
независимо от него английским ученым Жюреном в 1718 г.). Величина
2a/pg\ входящая в правую часть формулы Жюрена, называется ка-
капиллярной постоянной; она является важной физико-химической
характеристикой жидкости.
В очень тонких капиллярах подъем жидкости может достигать
большой высоты. Например, в капилляре диаметром 1 мкм вода (р =
= 103 кг/м3, а = 0,073 Н/м) при условии полного смачивания (в=0)
поднимется на высоту
ha 2acose д 2.0,073.1 gO (м).
pgr 103 • 9,8 • 5- 10~7
Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике.
Если, как мы видели ранее, поступление питательных веществ в кор-
корневую систему растения регулируется процессом диффузии, то подъ-
подъем питательного раствора по стеблю или стволу растения в значитель-
значительной мере обусловлен явлением капиллярности: раствор поднимается
по тонким капиллярным трубкам, образованным стенками раститель-
растительных клеток. По капиллярам почвы поднимается вода из глубинных
в поверхностные слои почвы. Уменьшая диаметр почвенных капилля-
капилляров путем уплотнения почвы, можно усилить приток воды к поверхно-
поверхности почвы, т. е. к зоне испарения, и этим ускорить высушивание почвы.
Наоборот, разрыхляя поверхность почвы и создавая тем самым пре-
прерывистость в системе почвенных капилляров, можно задержать приток
воды к зоне испарения и замедлить высушивание почвы. Именно на
этом основаны известные агротехнические приемы регулирования вод-
водного режима почвы — прикатка и боронование*. По капиллярам
кладки зданий происходит подъем грунтовой воды (в отсутствие гидро-
гидроизоляции); по капиллярам фитиля поднимаются горючие и смазочные
вещества (фитильная смазка); на капиллярности основано использо-
использование промокательной бумаги и т. п.
Отметим, наконец, что пчелы извлекают нектар из глубин цветка
посредством очень тонкой капиллярной трубки, находящейся внутри
пчелиного хоботка.
Задача 33. Определить вес Р насекомого «водомерки*, бегающего по по-
поверхности водоема, если известно, что под каждой из шести ножек насекомого
образуется полусферическое углубление радиусом R — 0,1 мм.
Решение. Поверхностная пленка воды прогибается под ножками во-
водомерки до тех пор, пока сумма силы дополнительного давления искривленной
поверхности шести полусферических углублений и выталкивающей силы, рав-
равной весу воды в объеме этих углублений, не станет равна весу водомерки. По-
Поэтому, учитывая формулу Лапласа B7) и закон Архимеда, можем написать
Р = 6S • Ар + 6Vpg = 6*tf2 "тг + 6 -4- «Д3Р*.
Н о
* Необходимо, однако, подчеркнуть, что рыхление задерживает, а уплотне-
уплотнение ускоряет высушивание только в почвах с высоким влагосоде ржанием. При ма-
малой влажности высыхание почвы происходит путем испарения воды во всем объе-
объеме почвенного слоя и диффузии водяного пара через почвенные поры. В этом слу-
случае для предотвращения высыхания почвы надо уменьшить ее пористость (общий
объем пор), что достигается путем уплотнения почвы.
190

где Ар—дополнительное давление, обусловленное полусферическим углубле-
углублением, S — площадь диаметрального сечения углубления, V — объем углубле-
углубления^ — плотность воды, g — ускорение свободного падения, а = 0,073 Н/м —•
коэффициент поверхностного натяжения воды. Тогда
Р = 4nR (За + R*?g) = 4 • 3,14 • Ш м C • 0,073Н/м +
+ 10-е м2 . 103 кг/м3 . 9,8 м/с2) «2,75 • Ю~4 Н.
Задача 34. В почвенном монолите за счет его пористости (капиллярности)
вода поднялась на высоту h = 40 см. Считая, что поры имеют цилиндрическую
форму, а вода полностью смачивает почву, определить диаметр d почвенных ка-
капилляров (пор).
Решение. Из формулы Борелли — Жюрена B9) следует, что
4а« cos в
d 2
где г — радиус почвенного капилляра, а — коэффициент поверхностного на-
натяжения воды, р — плотность воды, 0 = 0 — краевой угол. Тогда
= 7,4- Ю- м = 74мкм.
0,4м

Глава X. Изменение агрегатного состояния
вещества (фазовые превращения)
§ 62. Понятие о фазовых превращениях и диаграмме
состояний вещества
Как уже отмечалось ранее (см. § 35), всякое вещество может на-
находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообраз-
газообразном. Эти состояния называются также фазами вещества*. От соотно-
соотношения между средней кинетической и средней потенциальной энерги-
энергиями частиц вещества (молекул, атомов, ионов) зависит, в какой именно
фазе оно будет находиться (см. § 51), а это соотношение в свою очередь
зависит от внешних условий: от температуры и давления. При высоких
температурах и низких давлениях вещество находится в газообразной
фазе, при низких температурах и высоких давлениях — в твердой
фазе, промежуточные значения температуры и давления соответствуют
жидкой фазе вещества. Таким образом, в конечном счете фазовые пре-
превращения вещества обусловлены изменениями температуры и давле-
давления.
Вместо того чтобы описывать условия (температуру и давление)
существования фаз данного вещества посредством числовой таблицы,
общепринято пользоваться графиком с координатными осями Г (темпе-
(температура) и р (давление). Такой график называется диаграммой со-
состояний или диаграммой равновесия фаз.
На рис. 120 изображена примерная диаграмма состояний неко-
некоторого вещества. Линиями ADy BD и CD поле диаграммы разделяется
на три области, соответствую-
соответствующие условиям существования
твердой I, жидкой II и газообра-
газообразной III фаз. Линии диаграммы
называются кривыми фазового
равновесия. Они соответствуют
условиям сколь угодно долгого
сосуществован ия (р авновесия)
двух смежных фаз: кривая AD—
сосуществованию твердого тела
и жидкости, кривая CD — жид-
жидкости и газа, кривая BD —твер-
—твердого тела и газа. Точка D на-
называется тройнощ она соответ-
Рис. 120
* Точнее говоря, понятие «фаза» шире, чем понятие «агрегатное состояние».
В пределах одного агрегатного состояния вещество может находиться в несколь-
нескольких фазах (разновидностях), существенно отличающихся друг от друга по своим
свойствам, составу и строению. Например, твердое вещество — лед — встре-
встречается в пяти различных кристаллических видах (фазах). Газ может находиться
в атомно-молекулярном и в ионизованном (плазменном) видах. Причем плазма
в свою очередь имеет несколько разновидностей (газоразрядная, изотермическая
и высокотемпературная плазма).
В разделе молекулярной физики мы будем употреблять слово «фаза» в смыс-
смысле агрегатного состояния.
192

ствует условиям сосуществования всех трех фаз вещества. Напри-
Например, тройная точка воды соответствует одновременному существова-
существованию льда, воды и водяного пара, соприкасающихся между собой. Трой-
Тройная точка воды характеризуется температурой Г = 273,16 К и
давлением р = 610,514 Па.
Диаграмма равновесия фаз удобна для выяснения вопроса о том,
в каком состоянии находится данное вещество при заданных условиях
(р и Т). Ответ получается сразу же после построения на диаграмме
точки по заданным координатам (/?, Г). Например, при условиях, со-
соответствующих точке /, вещество находится в газообразном состоянии,
при условиях, соответствующих точке 2, — в твердом состоянии, а
при условиях, соответствующих точке <?,— одновременно в твердом
и жидком состояниях (равновесие фаз).
На диаграмме удобно изображать также процессы изменения со-
состояния вещества. Например, изобарическое (р =const) нагревание
вещества, находящегося в твердом состоянии (точка 4)у изображается
прерывистой прямой, параллельной оси абсцисс. Эта прямая пока-
показывает, что при температуре, соответствующей точке 5, тело начина-
начинает плавиться, при более высокой температуре превращается в жид-
жидкость, при температуре, соответствующей точке 6, начинает превра-
превращаться в газ и при дальнейшем повышении температуры целиком пе-
переходит в газообразное состояние.
Фазовые превращения вещества служат ярким примером проявления обще-
общего закона диалектического материализма — закона перехода количественных
изменений в качественные. Например, постепенное повышение температуры твер-
твердого тела ведет к накапливанию в нем количества — к увеличению кинетичес-
кинетической энергии молекул тела — с сохранением качества: тело продолжает оста-
оставаться в твердом состоянии. На определенной стадии нагревания совершается
скачкообразный переход количества в качество: при определенной температуре
тело плавится, переходя в качественно новое (жидкое) состояние.
В последующих параграфах мы познакомимся с фазовыми превра-
превращениями вещества более подробно.
§ 63. Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Уравнение Клапейрона — Менделеева (см. § 40) описывает по-
поведение идеального газа, молекулы которого можно рассматривать как
материальные точки, не взаимодействующие друг с другом (см. § 41).
Молекулы реального газа имеют, как мы знаем, некоторый, хотя и
очень малый, размер и связаны между собой силами сцепления, правда,
тоже малыми. Однако при низких температурах или при высоких
давлениях, когда молекулы газа находятся близко друг от друга, прене-
пренебрегать их размерами и силами сцепления уже недопустимо. В этих слу-
случаях уравнение Клапейрона — Менделеева, т. е. уравнение состояния
идеального газа, оказывается уже весьма неточным. Чтобы получить
уравнение состояния реального газа, голландский физик Ван-дер-
Ваальс в 1873г . ввел в уравнение Клапейрона — Менделеева поправки
на размер молекул и на действие сил сцепления между ними. Это было
7~31 193

сделано следующим образом. В уравнении Клапейрона — Менделеева
для моля газа
A)
где ум _ объем газа, или, что то же, объем сосуда, предоставленный
для движения молекул. У реального газа часть Ь этого объема зани-
занимают сами молекулы. Поэтому фактический свободный объем, в котором
могут двигаться молекулы реального газа, будет меньше Vm и равен
ум — Ь. Подставляя это значение вместо Vm в формулу A), получим
Объем &, занимаемый самими молекулами, больше суммы собствен-
собственных объемов этих молекул, так как даже при самой плотной упаковке
между молекулами остались бы «бесполезные» за-
зазоры, недоступные для движения молекул (рис.
121). В действительности же эти зазоры будут еще
большими, так как силы отталкивания не допустят
такой плотной упаковки молекул. Расчеты пока-
показывают, что объем, занимаемый самими молекулами
моля газа, приблизительно равен учетверенному
собственному объему этих молекул:
Рис' 121 и л К1
Ь&4*( NA,
где 7 — собственный объем молекулы, NA — постоянная Авогадро.
Давление р в формуле A), производимое на идеальный газ стенками
сосуда, является внешним. Действие сил притяжения между молеку-
молекулами реального газа вызывает добавочное сжатие газа, создавая тем
самым добавочное внутреннее давление //, аналогичное внутреннему
давлению жидкости (см. § 59). Поэтому фактическое давление реаль-
реального газа будет больше р и равно р + р'. Подставляя это значение
вместо р в формулу B), получим
(p + p')(VM-b)=RT. C)
Нетрудно установить, что внутреннее давление // должно быть при-
приблизительно пропорционально квадрату плотности газа. Действитель-
Действительно, разделим газ воображаемой плоскостью на две части (рис. 122)
и рассмотрим слои газа, прилежащие к этой плоскости.
Очевидно, что сила взаимного притяжения этих слоев про-
пропорциональна числам молекул в каждом их них, т. е. про-
пропорциональна квадрату числа молекул газа. Но число
молекул пропорционально плотности газа р. Поэтому си-
сила притяжения слоев, а следовательно, и внутреннее
давление/?' пропорциональны квадрату плотности: pf ~ р2.
Так как плотность обратно пропорциональна объему, то
внутреннее давление обратно пропорционально квадрату
объема:
Рис. 122
194
Р = у2

где а — коэффициент пропорциональности. Подставляя выражение
р' в формулу C), получим
D)
Это и есть уравнение состояния реального газа или уравнение Ван-
дер-Ваальса для моля газа. Преобразуя это уравнение так, как это
было сделано с уравнением Клапейрона — Менделеева (см. § 40),
получим уравнение Ван-дер-Ваальса для любой массы газа т:
E)
где V — объем массы газа, М — молярная масса газа.
При малых давлениях и высоких температурах объем Ум стано-
вится большим; поэтому Ъ <С Vm и
—j-
т. е. поправки
в уравнении Ван-дер-Ваальса становятся пренебрежимо малыми
и оно превращается в уравнение Клапейрона — Менделеева.
Величины а и Ъ являются почти постоянными для каждого газа. Например,
для азота а= 1,35 • 10" Н • м4/моль2, Ь = 3,85 • 10~6 м8/моль. Определяют-
Определяются они экспериментально; надо написать уравнение Ван-дер-Ваальса для двух
известных из опыта состояний газа (ри Vlt T\ и р2, У2» ^г) и решить систему двух
уравнений относительно неизвестных а и Ь.
Проведем некоторый анализ А
уравнения Ван-дер-Ваальса. С этой ,
целью прежде всего составим та- j
блицы зависимости давления от
объема газа при постоянной тем-
температуре для нескольких значений
температуры (Tt > Т2 > Тк >
>7\j > Т4). Результаты таких ра- ь*
счетов представлены графически
на рис. 123. Полученные кривые—
изотермы Ван-дер-Ваальса — ока- А
зываются довольно своеобразными:
при низких температурах они име-
имеют волнообразные участки (макси-
(максимумы и минимумы), при некоторой
температуре Гкна изотерме имеется
только точка перегиба /С, при вы-
высоких температурах изотермы Ван-дер-Ваальса похожи на изотермы
идеального газа (Бойля—Мариотта или Клапейрона—Менделеева).
С математической точки зрения такой характер изотерм объясняется
очень просто. Если привести уравнение Ван-дер-Ваальса к нормаль-
нормальному виду, то оно окажется кубическим уравнением относительно объ-
объема VM:
Рис. 123
195

К>бическое уравнение может иметь либо три вещественных корня,
либо один вещественный корень и два мнимых. Очевидно, что перво-
первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах (три
значения объема газа W, VM" и VM'" отвечают одному значению дав-
ления pi), а второму случаю — изотермы при высоких температурах
(одно значение объема VM* отвечает одному значению давления р *).
§ 64. Опыт Эндрюса. Критическая температура
Для практической проверки уравнения состояния реального га-
газа и выяснения физического смысла своеобразного характера изо-
изотерм Ван-дер-Ваальса удобно воспользоваться результатами опыта,
поставленного в 1869 г. незадолго до теоретических * исследований
Ван-дер-Ваальса английским химиком Эндрюсом.
г-
Е
п
7
Термостат
nf
м
ю
Рис. 124
^/ Vjj 0,02 0,03
Рис. 125
Эндрюс экспериментировал с углекислым газом (СОг). Схема
опыта изображена на рис, 124. Под поршнем цилиндра помещался
моль углекислого газа. Давление и объем газа при любом положении
поршня определялись по манометру М и шкале объемов N. Через
герметически застекленное окошко О можно было видеть простран-
пространство, занятое газом. Весь цилиндр помещался в термостат, позволяв-
позволявший устанавливать и поддерживать необходимую температуру га-
газа. С помощью этой установки Эндрюс провел с углекислым газом
ряд изотермических процессов при различных температурах. Полу-
Полученные им результаты представлены на рис. 125.
В опыте Эндрюса надо отметить следующее весьма важное об-
обстоятельство. До тех пор пока газ сжимался при высоких температурах
(> 304 К), в пространстве под поршнем не происходило никаких ви-
видимых процессов, когда же сжатие производилось при низких темпе-
* Точнее говоря уравнение Ван-дер-Ваальса получено путем качественно-
теоретического обоснования.
196

ратурах « 304 К), Эндрюс увидел, что на некоторой стадии сжатия
под поршнем появлялись капельки жидкости (туман), оседающие на
стенки и стекающие на дно цилиндра. В конце концов весь цилиндр
заполнился жидкой углекислотой. Давление на всей этой стадии,
которой соответствуют горизонтальные участки изотерм, оставалось
неизменным.
Таким образом, горизонтальные участки {«плато») эксперимен-
экспериментальных изотерм соответствуют стадии сжижения газа, совершаю-
совершающегося при постоянном давлении. Иначе говоря, плато соответству-
соответствует сосуществованию жидкой и газообразной фаз.
Давление, при котором начинается сжижение газа, зависит от
температуры: уменьшается с уменьшением температуры. Это давление
называется упругостью насыщенного пара*. Сжижение газа начина-
начинается при объеме VM, соответствующем началу плато. По мере сокра-
сокращения объема от Vm до Vm все большее и большее количество газа
(точнее, насыщенного пара) переходит в жидкость. При объеме, рав-
равном и меньшем VM вся углекислота находится в жидком состоянии.
Жидкость, как мы уже знаем, трудно сжимаема. Поэтому левая ветвь
изотермы, соответствующая жидкой фазе, круто поднимается вверх.
Из сравнения экспериментальных (рис. 125) и теоретических
(рис. 123) изотерм следует, что они имеют одинаковый вид с той лишь
разницей, что превращению газа в жидкость соответствуют: на изо-
изотермах Эндрюса — участки плато, а на изотермах Ван-дер-Ваальса —
волнообразные участки.
Это в общем несущественное различие объясняется следующим образом.
Гребень волны (аЪс) на изотерме Ван-дер-Ваальса соответствует пересыщенному
пару, упругость которого больше упругости насыщенного пара при данной тем-
температуре (рис. 126). Впадина волны (cdf) соответствует так называемой растя-
растянутой жидкости, давление над которой меньше упругости насыщенного пара при
данной температуре. Оба эти состояния неустойчивы. Однако при тщательном
проведении опыта (газ очищен от посторонних частиц — пылинок, установка не
подвергается сотрясениям и колебаниям температуры, жидкость свободна от
пузырьков газа и т. д.) удалось получить участки аЬ пересыщенного пара и fd
растянутой жидкости. При несоблюдении упомянутых предосторожностей пе-
пересыщенный пар и растянутая жидкость переходят в насыщенный пар и нор-
нормальную жидкость, а волна изотермы превращается в плато.
Участки be и cd соответствуют столь
неустойчивому состоянию вещества, что их Р\
не удается получить на опыте.
Таким образом, опыт Эндрюса по-
показывает, что уравнение Ван-дер-
Ваальса хорошо отражает действи-
действительность и что его можно рассма-
рассматривать как уравнение состояния ре-
реального газа, описывающее также со-
стояние жидкости и процесс перехода
газа в жидкость.
Вместе с тем необходимо под- vff
черкнуть, что уравнение Ван-дер- РИС. 126
* Несколько позже мы уточним смысл понятий «пар», «насыщенный пар».
197

Ваальса, будучи одним из лучших приближений к уравнению состоя-
состояния, является все же приближенным.
Из опыта Эндрюса и аналогичных опытов с другими газами вы-
выяснилось, что газ может быть переведен в жидкое состояние только
при температурах, меньших некоторой определенной для данного
газа температуры Тк\ при температурах, больших Тк, газ нельзя
перевести в жидкое состояние никаким давлением. Температура Тк на-
называется критической. Для углекислого газа Тк = 304 К (см. рис. 125).
Итак, критической называется такая температура, выше которой
газ нельзя превратить в жидкость никаким давлением, а ниже кото-,
рой газ можно превратить в жидкость при некотором давлении, тем
меньшем, чем ниже температура.
Следовательно, газ, находящийся
при температуре, большей критиче-
критической, отличается от газа, находяще-
находящегося при температуре, меньшей кри-
критической. В этой связи газ, находя-
находящийся при температуре, меньшей кри-
критической, называется паром.
Изучая поверхностное натяжение
на границе жидкости и ее пара
Д. И. Менделеев в 1860 г., т. е. еще
до исследований Эндрюса и Ван- дер-
Ваальса, пришел к выводу о суще-
существовании критической температуры
(названной им температурой абсо-
абсолютного кипения), при которой раз-
различие в свойствах между жидкостью и
газом исчезает и коэффициент поверх-
поверхностного натяжения обращается в нуль.
Изотерма реального газа, соответствующая критической темпера-
температуре, точка перегиба К и соответствующее ей состояние вещества,
объем и давление, соответствующие критическому состоянию (коорди-
(координаты точки К), называются критическими (см. рис. 123).
Исследуя в конце прошлого века критическое состояние вещества,
М. Я. Авенариус, А. Я. Надеждин и другие определили критические
температуры и давления многих
газов и газовых смесей.
Из таблицы, где приведены кри-
критические температура и давление
некоторых веществ, видно, что, на-
например, вода и углекислый газ в
нормальных атмосферных условиях
находятся при температуре, мень*
шей критической, и потому могут
существовать как в жидком, так и
в газообразном (парообразном)
состояниях. Воздух и водород в
Ул,
Рис. 127
Вещество
Вода
Аммиак . . . .
Углекислота . •
Кислород . . .
Воздух (без СО2)
Азот
Водород . . . .
Гелий
647
405
304
154
132
126
33
5
105Па
218
112,3
72,7
49,7
38,5
33,4
13,2
2,3
198

нормальных атмосферных условиях могут существовать только в
газообразном состоянии.
На графике изотерм реального газа выделены области, соответ-
соответствующие газообразной (Г), парообразной (Я) и жидкой (Ж) фазам,
и область (ПЖ) сосуществования жидкости и насыщенного пара
(рис. 127).
§ 65. Сжижение газов. Эффект Джоуля—Томсона
Понятие критической температуры сыграло большую роль в физи-
физике низких температур и технике сжижения газов. Благодаря ему
стало очевидным, что любой газ можно превратить в жидкость путем
сжатия с предварительным охлаждением до температуры, меньшей
критической.
Сжижать газы качали задолго до исследований Д. И. Менделеева, Эндрю-
са и Ван-дер-Ваальса. Однако далеко не все газы (азот, кислород, водород, гелий
и многие другие) удавалось тогда превращать в жидкость. В связи с этим в се-
середине XIX в. возникло представление, что существует два сорта газов: сжи-
сжижаемые и несжижаемые («постоянные») газы. Это представление не находило
никакого физического объяснения и противоречило общему закону диалекти-
диалектического материализма о переходе количества в качество. С введением понятия
критической температуры стали очевидными ошибочность представления о «пос-
«постоянных газах» и причина неудач с их переводом в жидкое состояние: попытки
перевода в жидкое состояние предпринимались при температуре, большей кри-
критической, и потому были обречены на неудачу.
Но уже в конце прошлого века швейцарский физик Пикте получил жидкие
кислород и азот путем их сжатия, предварительно охладив газы до температуры,
меньшей критической, посредством жидкой углекислоты, испаряющейся под
пониженным давлением (и потому интенсивно охлаждающейся). В 1884 г. поль-
польские физики Вроблевский и Ольшевский получили жидкий водород, используя
в качестве предварительного охладителя кипящий жидкий кислород. Наконец,
в 1908 г. голландским физиком Кямерлинг-Оннесом был получен жидкий гелий.
В настоящее время все известные газы удалось перевести не только в жид-
жидкое, но и в твердое состояние (твердый гелий был получен в 1926 г.).
В технике для сжижения газов широко применяется машина
Линде* у основанная на так называемом положительном эффекте
Джоуля — Томсона. Английские физики Джоуль и Томсон экспери-
экспериментально обнаружили, что при расширении реального газа в пустоту
(т. е. без совершения внешней работы) его температура изменяется
(эффект Джоуля — Томсона). При этом может быть два случая:
1) при низкой начальной температуре все газы, расширяясь^ охлаж-
охлаждаются {положительный эффект Джоуля — Томсона);
2) при высокой начальной температуре все газы, расширяясь, нагре-
нагреваются (отрицательный эффект Джоуля — Томсона).
Не приводя строгого теоретического доказательства эффекта Джоуля—
Томсона, ограничимся некоторым качественным его обоснованием, исходя из ха-
характера зависимости результирующей силы взаимодействия молекул от рас-
расстояния между ними (см. рис. 67, § 35). Внутренняя энергия U реального газа
слагается из кинетической Wк и потенциальной Wn энергий его молекул. Если
газ расширяется без совершения внешней работы и без теплообмена с окружаю-
окружающей средой, то его внутренняя энергия, согласно закону сохранения энергии,
остается неизменной:
F)
Изобретена в 1895 г. немецким инженером-физиком Линде.
199

1. При низкой начальной температуре среднее расстояние г между молеку-
молекулами газа значительно меньше расстояния гт, соответствующего максимуму силы
притяжения между ними. Поэтому расширение газа, т. е. увеличение расстоя-
расстояния г между его молекулами, сопровождается увеличением силы притяжения
между ними и, следовательно, увеличением потенциальной энергии Wn (по абсо-
абсолютной величине). Тогда, согласно формуле F), кинетическая энергия WK дол-
должна уменьшаться. Но кинетичесая энергия пропорциональна абсолютной тем-
температуре Т. Следовательно, уменьшение WK будет сопровождаться уменьшением
Т. Итак, расширение газа сопровождается его охлаждением.
2. При высокой начальной температуре г^>гт. Поэтому расширение газа
сопровождаешься уменьшением силы притяжения между его молекулами и, сле-
следовательно, уменьшением потенциальной энергии (по абсолютной величине).
При этом, согласно формуле F), возрастает кинетическая энергия, а следова-
следовательно, и температура газа. В этом случае расширение газа сопровождается его
нагреванием.
Совершенно очевидно, что для ка-
каждого газа должно существовать такое
промежуточное значение температуры,
при котором газ, расширяясь, не будет
ни охлаждаться, ни нагреваться. Эта
температура называется температурой
инверсии Т*.Для подавляющего большин-
большинства газов температура инверсии выше
нормальной температуры. Поэтому ра-
расширяясь при нормальной температуре,
газы охлаждаются. Исключение состав-
составляют водород (Тг< 193 К) и гелий
(Tt < 15 К), которые нагреваются, рас-
расширяясь при нормальной температуре.
Схема машины Линде представлена
на рис. 128. Газ, например воздух, сжи-
сжимается в компрессоре К до давления
порядка 2 • 107 Па и охлаждается в хо-
холодильнике X проточной водой (это не-
необходимо в связи с тем, что благодаря
положительному эффекту Джоуля —
Томсона при сжатии газ нагревается). Затем сжатый воздух проходит
по внутренней трубке / змеевика 3 и расширяется на ее конце В в
конденсаторе С до давления в 105 Па. При этом он охлаждается
примерно на 20 К. Расширившийся воздух вновь засасывается в
компрессор по внешней трубке 2 змеевика, охлаждая вторую порцию
сжатого воздуха, текущего по трубке /. Таким образом, вторая порция
газа предварительно охлаждается уже в змеевике на 20 К и затем при
расширении в конденсаторе еще на 20 К.
Описанный процесс повторяется многократно. Каждая последую-
последующая порция расширяющегося воздуха будет, очевидно, охлаждаться
сильнее предыдущей на 20 К. В результате воздух охладится до тем-
температуры, меньшей критической.
Рис. 128
* От латинского слова inversio — переворачивание. Здесь — в смысле
перехода от положительного к отрицательному эффекту Джоуля—Томсона.
200

При дальнейшей работе машины часть расширяющегося воздуха бу-
будет переводиться в жидкость и стекать на дно конденсатора. Через
кран а жидкий воздух сливается в дьюаровские сосуды для хранения.
Машиной Линде можно переводить в жидкость все газы, у которых
температура инверсии выше нормальной (точнее, комнатной). Водород
и гелий следует предварительно охлаждать до температуры Т < Tt:
первый — жидким кислородом, второй — жидким водородом.
Более эффективными установками для сжижения газа являются
детандеры * — поршневые машины, в которых газ охлаждается не
только за счет расширения, но и за счет совершения внешней работы
по передвижению поршня. На этом же принцине работает сконстру-
сконструированный /7. Л. Копицей турбодетандер, в котором газ, сжатый
всего лишь до 5 • 105 — 6 • 105 Па, охлаждается, совершая работу
по вращению турбины.
Жидкий воздух имеет широкое практическое применение. В техни-
технике из него получают чистый кислород. Дело в том, что азот, имеющий
более низкую критическую температуру, чем кислород (см. таблицу
в § 64), улетучивается из жидкого воздуха раньше кислорода. Поэтому
через несколько дней в дьюаровском сосуде с жидким воздухом оста-
остается один кислород. Путем фракционного испарения жидкого воздуха
получают также инертные газы, входящие в его состав: гелий, неон
аргон, криптон, ксенон и радон.
Занимая сравнительно малый объем**, жидкий воздух удобен для
зарядки дыхательной аппаратуры, используемой при высотных и
космических полетах; кроме того, жидкий воздух применяется в ре-
реактивных двигателях в качестве компонента топливной смеси.
Как источник низкой температуры жидкий воздух используется при
производстве вакуумной аппаратуры и при изучении свойств тел при
низких температурах.
В смеси с органическим горючим материалом (нефтью, керосином,
толченым углем и т. д.) жидкий воздух образует взрывчатое вещество —
так называемый оксиликвит, по силе взрыва не уступающий динами-
динамиту и применяемый при подрывных работах (в горном деле, в дорожном
строительстве и т. п.).
Интересно отметить, что простейшие организмы, замороженные
жидким воздухом, не утрачивают своей жизнеспособности.
§ 66. Испарение и конденсация. Кипение
Средняя кинетическая энергия молекул жидкости зависит от тем-
температуры — возрастает с ее повышением. Однако в связи с хаотич-
хаотичностью теплового движения даже при невысокой температуре всегда
имеются отдельные молекулы с повышенной скоростью, а следователь-
следовательно, и с повышенной кинетической энергией. Они могут преодолеть силы
* От французского слова defendre — уменьшить давление. Первый де-
детандер был создан в 1902 г. французским физико-химиком Клодом,
** При нормальном давлении жидкий воздух занимает примерно в 1000 раз
меньший объем, чем такая же масса газообразного воздуха при нормальных
условиях.
201

притяжения со стороны других молекул и, «прорвав» поверхностную
пленку жидкости, вылететь наружу — перейти в пар. Этот процесс
называется испарением. Потеря молекул, обладающих большой кине-
кинетической энергией, ведет к уменьшению внутренней энергии жидкости.
Поэтому испарение сопровождается охлаждением жидкости. Чтобы
испарение происходило при постоянной температуре, необходимо под-
подводить к жидкости теплоту извне. Количество теплоты, необходимое
для превращения единицы массы жидкости в пар при данной темпе-
температуре, называется удельной теплотой испарения X при этой темпера-
температуре. Например, для воды при О °С Х=2,5 • 10е Дж/кг =2,5 МДж/кг.
Испарение жидкости происходит при любой температуре. Оче-
Очевидно, однако, что с повышением температуры интенсивность испаре-
испарения должна возрастать, так как при этом повышается кинетическая
энергия молекул, что облегчает им «прорыв» поверхностной пленки
жидкости.
По этой же причине удельная теплота испарения должна умень-
уменьшаться с повышением температуры. Действительно, для воды при
100 °С X = 2,26 • 10е Дж/кг = 2,26 МДж/кг.
Хаотически движущиеся молекулы пара, подлетая к поверхности
жидкости, могут попасть в сферу действия сил притяжения ее моле-
молекул и перейти в жидкость (как бы утонуть в ней). Этот процесс назы-
называется конденсацией. При конденсации жидкость нагревается, так как
влетающие в нее молекулы пара возвращают ей повышенную кинети-
кинетическую энергию, унесенную при испарении. Удельная теплота кон-
конденсации равна удельной теплоте испарения.
Процессы испарения и конденсации идут одновременно. Если пре-
преобладает первый из них, то количество жидкости уменьшается, а ко-
количество пара над ней увеличивается. Если же преобладает второй
процесс, то имеет место обратная картина. Если число молекул, по-
покидающих жидкость за одну секунду, равно числу молекул, возвра-
возвращающихся в нее за то же время из пара, то наступает динамическое
равновесие: количество жидкости и пара остается неизменным. Пар,
находящийся в равновесии с жидкостью, называется насыщенным.
На диаграмме состояний (см. рис. 120) этому состоянию соответствует
кривая CD. Давление (упругость) насыщенного пара возрастает с
повышением температуры, так как при этом возрастают число выле-
вылетающих молекул (т. е. плотность пара) и их кинетическая энергия.
Это также отражено на упомянутой диаграмме состояний (на-
(наклоном кривой CD).
Если упругость насыщенного пара станет равной внешнему (атмо-
(атмосферному) давлению, то характер испарения существенно изменится:
испарение будет происходить не только с поверхности жидкости, но
и во всем ее объеме. Внутри жидкости начинают возникать пузырьки
пара, всплывающие на поверхность и разрывающиеся над ней. Этот
очень интенсивный процесс испарения называется кипением. Соот-
Соответствующая ему температура называется температурой кипения.
Таким образом, температура кипения жидкости зависит от внешне-
внешнего давления: возрастает с повышением давления. Эго свойство широко
используется в технике для повышения температуры кипения жид-
202

кости (паровые машины высокого давления, автоклавы и т. п.). С умень-
уменьшением внешнего давления температура кипения понижается.
Известно, например, что в высогорной местности вода закипает при
температуре, меньшей 100 °С (на высоте 5 км — при 82 °С).
Закипанию жидкости способствуют пузырьки воздуха, обычно находящиеся
в ней. Эти пузырьки выполняют роль свободного пространства внутри жидкости,
в котором происходит испарение. Пока упругость пара остается меньшей внеш-
внешнего давления, пузырьки воздуха находятся в сжатом состоянии. Когда же упру-
упругость насыщенного пара станет равной внешнему давлению, пузырьки начинают
быстро расширяться за счет суммарного давления пара и воздуха, устремляются
вверх и прорывают поверхность жидкости. Жидкость, не содержащая пузырьков
воздуха, закипает при некотором перегреве, причем кипение начинается у сте-
стенок сосуда, поскольку на них всегда имеется адсорбировзнный воздух.
Если нагревать жидкость в герметически закрытом сосуде, то по
мере повышения температуры плотность жидкости будет уменьшаться
(за счет расширения), а плотность пара — увеличиваться (за счет
повышения упругости насыщения). При этом коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения а и удельная теплота испарения X будут, как мы уже
знаем, уменьшаться (за счет уменьшения сил сцепления между моле-
молекулами). Наконец, при температуре, равной критической, плотность
жидкости сравняется с плотностью насыщенного пара, а а и X стану!1
равными нулю. Различие между жидкостью и паром исчезает; ве-
вещество превратится в газ в полном смысле этого слова (см. § 64),
До сих пор мы предполагали, что образующийся при испарении
насыщенный пар остается над жидкостью. Если же этот пар будет
уноситься в окружающее пространство (путем диффузии или благо-
благодаря воздушным потокам), то насыщения и динамического равновесия
не наступит: жидкость будет все время испаряться, причем тем ин-
интенсивнее, чем быстрее уносится прочь ее пар. Такое явление имеет
место, например, при испарении с открытых водных басейнов (рек,
озер и т. п.). Особенно интенсивно идет испарение в жаркое время при
сильном ветре.
Испарение и конденсация играют исключительно важную роль
в процессах влагооборота и теплообмена на земном шаре. Благодаря
испарению воды с поверхности водных басейнов и с поверхности
земли воздух всегда содержит некоторое (переменное) количество
водяного пара. Воздух, как говорят, всегда влажен.
Влажность воздуха описывается следующими основными характеристиками.
1. Абсолютная влажность а — количество водяного пара, содержащееся
в единице объема воздуха. Измеряется а обычно в г/м3.
2. Максимальная влажность Е — количество водяного пара в единице объе-
объема воздуха, которое соответствовало бы насыщению при данной температуре.
Максимальная влажность зависит только от температуры.
3. Относительная влажность f — выраженное в процентах отношение
абсолютной влажности к максимальной влажности:
4. Точка росы т — температура, при которой пар, находящийся в воздухе
становится насыщенным. Она соответствует началу конденсации водяного пара
203

При конденсации водяного пара в атмосфере образуются: на по-
поверхности Земли и наземных предметах — роса, в приземном слое
воздуха — туман, в свободной атмосфере — облака. Дождь, выпадаю-
выпадающий из облаков, вновь возвращает на Землю испарившуюся с нее
воду. Этот кругооборот воды сопровождается кругооборотом теплоты,
поскольку в районах, где происходит испарение воды, поглощается
огромное количество теплоты, а в районах, где происходит конденса-
конденсация пара, эта теплота выделяется. Испарением, например, объясня-
объясняется умеренность климата приморских районов.
Испарение и конденсация регулируют теплообмен и влагообмен
животных и растительных организмов. Человеческий организм, на-
например, испаряет за сутки от одного до двух килограммов воды. Из-
Излишний нагрев организма сопровождается, как известно, обильным
потовыделением. Испарение пота с поверхности кожи и сопутствующее
ему поглощение теплоты предотвращает перегрев организма. Растения
испаряют воду поверхностью листьев. В связи с этим растения засуш-
засушливых районов имеют обычно маленькие и немногочисленные листья
или даже совсем лишены их. Кроме того, листья этих растений за-
зачастую бывают покрыты тончайшими серебристыми волосками («пуш-
(«пушком»), которые затрудняют «проветривание» поверхности листа и,
следовательно, замедляют процесс испарения.
§ 67. Упругость насыщенного пара над искривленной
поверхностью жидкости и над раствором
Представим себе вогнутую (а), выпуклую (б) и плоскую (в) поверх-
поверхности жидкости, вблизи которых находится молекула пара (рис. 129).
Очевидно, что молекула, находящаяся над вогнутой поверхностью,
?
притягивается жидкостью сильнее, а молекула, находящаяся над вы-
выпуклой поверхностью,— слабее, чем молекула, находящаяся на том
же расстоянии над плоской поверхностью жидкости. Это обстоятель-
обстоятельство затрудняет испарение с вогнутой поверхности и облегчает испа-
испарение с выпуклой поверхности по сравнению с испарением с плоской
поверхности. Поэтому в случае (а) динамическое равновесие жид-
жидкости с паром должно наступить при меньшей упругости пара, чем в
(б). Следовательно, упругость насыщенного пара над вогнутой поверх-
ностью жидкости меньше, а над выпуклой*—больше, чем над плоской
поверхностью.
Величину изменения упругости насыщенного пара Др над сфери-
сферической поверхностью (по сравнению с плоской) можно определить
204

исходя из следующих соображений. Пусть в жидкость, налитую _ в
закрытый сосуд, погружен конец полностью смачиваемой капилляр-
капиллярной трубки радиусом г (рис. 130). Тогда в трубке на высоте h созда-
создается вогнутый мениск, радиус кривизны которого также равен г.
В сосуде находится насыщенный пар жидкости. Давление этого пара
на уровне плоской поверхности обозначим р, а на уровне Л, т. е. над
мениском,— через pt. В связи с тем что в поле силы тяжести давление
газа (и пара) уменьшается с высотой, рА меньше р на величину веса
столбика пара высотой h и площадью поперечного сечения 1 см2:
где рп — плотность пара.
Согласно формуле Борелли-
вслучае полного смачивания
2а
-Жюрена (см. § 61),
где р — плотность жидкости, а
поверхностного натяжения. Тогда
2а = 2а Рп
r?g г р
коэффициент з_~ zi — it
Рис. 130
-с:
Р
и iiiii
-
— —
Аналогичный расчет для несмачиваемого капилляра покажет,
что упругость насыщенного пара над выпуклой поверхностью на та-
такую же величину больше, чем над плоской поверхностью. Поэтому
(знак плюс соответствует случаю выпуклой поверхности, знак минус —
случаю вогнутой поверхности).
Зависимость упругости насыщенного пара от кривизны поверх-
поверхности жидкости обусловливает целый ряд важных метеорологических
явлений. Прежде всего следует подчеркнуть, что в свободной атмосфе-
атмосфере нет тех плоских поверхностей, на которых мог бы конденсировать-
конденсироваться водяной пар, насыщенный относительно плоской водной поверхности.
Конденсация же пара на отдельных молекулах газов, входящих в
состав воздуха, невозможна: крайне малому размеру (радиусу) этих мо-
молекул соответствует очень большая упругость насыщенного пара,
не встречающаяся в реальной атмосфере*. Между тем возникновение
облаков свидетельствует о том, что конденсация водяного пара в
атмосфере происходит. Дело в том, что пар конденсируется на так на-
* Рассматривая молекулу газа как сферическую частицу радиусом г =
= 10~9 м и полагая а = 73 • 10~3 Н/м, р = 108 кг/м3, рп= 0,8 кг/м3, получим
для дополнительной упругости насыщенного водяного пара над такой сферой
2а рп 2 . 73 • 0,8 . Ю-3
Д^77 = Й1^ ~1>2.10МПа).
Упругость же водяного пара в атмосфере не превышается 108 Па.
205

зываемых атмосферных ядрах конденсации: пылинках, частицах дыма,
кристалликах морской соли и других мелких «посторонних» частицах,
всегда взвешенных в воздухе в достаточном количестве. Адсорбируя
молекулы водяного пара, эти ядра покрываются мономолекулярной
пленкой воды, уподобляясь, таким образом, водяным капелькам дос-
достаточно крупного размера. Для дальнейшей конденсации пара на таких
капельках уже не требуется больших пересыщений (Ар). Особенно
активно действуют в этом отношении электрически заряженные ядра
конденсации (атмосферные ионы) и гигроскопические растворимые
в воде ядра.
Между прочим, сущность известного агротехнического приема
защиты растений от заморозков путем «задымления» полей, огородов
и садов состоит не только в том, что излучение теплоты с почвы задер-
задерживается пеленой самого дыма. Немаловажную роль здесь мо-
может играть конденсация пара на частицах дыма (как на активных
ядрах конденсации), приводящая к образованию плотного призем-
приземного тумана и сопровождающаяся выделением теплоты конденса-
конденсации.
Если в водяном паре находятся две капельки воды различного раз-
размера, причем пар является насыщенным относительно более крупной
капельки, то наблюдается следующее интересное явление. Относитель-
Относительно меньшей капельки пар, согласно формуле G), оказывается нена-
ненасыщенным и капелька начинает испаряться. Благодаря этому упру-
упругость пара увеличивается, он становится пересыщенным относительно
крупной капельки и конденсируется на ней. Таким образом, крупная
капелька растет за счет мелкой. Такая «перекачка» воды с мелких
капелек на более крупные происходит в облаках и является одним
из способов укрупнения облачных капелек до размера дождевых ка-
капель.
«Перекачку» влаги с мелких капель на крупные можно наблюдать
под микроскопом, если подышать на слегка охлажденное предметное
стекло, чтобы на нем образовались капли воды.
Дополнительная упругость насыщенного пара над искривленной
поверхностью жидкости обусловливает так называемую капилляр-
капиллярную конденсацию на почве. Почвенные капилляры, как правило, сма-
смачиваются водой, поэтому почвенная вода образует в них вогнутые
мениски. Пар, не насыщенный относительно плоской поверхности,
может оказаться пересыщенным относительно менисков воды в почвен-
почвенных капиллярах и начнет конденсироваться на них.
Если в жидкости растворено какое-нибудь нелетучее твердое ве-
вещество (например, сахар в воде), то упругость ее насыщенного пара
понижается. Это можно объяснить тем, что число молекул жидкости
на единице поверхности раствора меньше, чем на единице поверхности
чистой жидкости (часть поверхности занята молекулами растворенного
вещества). Поэтому уменьшается число испаряющихся молекул и,
следовательно, понижается упругость насыщенного пара.
В 1886 г. французский химик Рауль установил, что
понижение упругости насыщенного пара над раствором пропорци-
пропорционально числу молекул растворенного вещества в единице объема рас-
206

твора и не зависит от их химического состава:
чюацак
где р — упругость насыщенного пара над чистым растворителем,
п{ — число молей вещества, растворенного в п молях растворителя.
Это утверждение называется законом Рауля, который хорошо вы-
выполняется для слабых (идеальных) растворов.
Из закона Рауля следует, что температура кипения у раствора
выше, чем у чистого растворителя, так как раствор надо нагреть силь-
сильнее растворителя, чтобы упругость насыщенного пара над ним стала
равной внешнему давлению (см. § 66).
§ 68. Плавление и затвердевание (кристаллизация). Возгонка
Опыт показывает, что всякое кристаллическое твердое вещество пе-
переходит в жидкое состояние при вполне определенной температуре. Этот
процесс называется плавлением; соответствующая ему температура
называется температурой
плавления. Ход плавления
во времени / представлен
на рис. 131. По мере сооб-
сообщения теплоты кристаллу ^
его температура Т сначала
повышается, а затем, когда
он нагреется до темпера-
температуры плавления Тю начнет-
начнется его превращение в жид-
жидкость. При этом, несмотря
на продолжающееся на-
нагревание, температура ее- Рис. 131
щества остается постоян-
постоянной, равной Тп. Когда весь кристалл расплавится, температура
расплава (т. е. жидкости) опять начнет повышаться. При охлажде-
охлаждении жидкости имеет место обратная картина (нисходящая ветвь
кривой а). Сначала температура жидкости понижается; затем начи-
начинается кристаллизация, происходящая при неизменной температуре.
Когда вся жидкость полностью кристаллизуется, температура
кристалла опять начнет понижаться. Горизонтальные участки кри-
кривой а соответствуют сосуществованию жидкой и кристаллической фаз
вещества. Температура кристаллизации равна температуре плавле-
плавления.
Описанный характер процессов плавления и кристаллизации объ-
объясняется следующим образом, По мере нагревания вещества кинетичес-
кинетическая энергия его молекул возрастает, но остается недостаточной для
того, чтобы преодолеть прочные связи, упорядочивающие расположение
молекул, и разрушить кристаллическую решетку. Поэтому темпера-»
тура вещества повышается, но оно продолжает оставаться в кристал-
кристаллическом состоянии. Когда кристалл нагревается до температуры
207

плавления, кинетическая энергия его молекул станет достаточной для
разрушения кристаллической решетки. Начнется плавление. Вся
теплота, сообщаемая веществу, пойдет теперь на совершение работы
по разрушению решетки. Поэтому температура остается постоянной
до тех пор, пока не расплавится весь кристалл. После этого сообщаемое
тепло пойдет опять на увеличение кинетической энергии молекул ве-
вещества и его температура опять начнет повышаться. Если во время
плавления прекратить подачу теплоты извне, то процесс плавления
приостановится: наступит динамическое равновесие между кристал-
кристаллической и жидкой фазами.
Аналогично объясняется и характер процесса кристаллизации.
Совершая работу по застройке кристаллической решетки, молекуляр-
молекулярные силы возвращают в виде теплоты ту энергию, которая была за-
затрачена на разрушение решетки при плавлении. Поэтому, несмотря
на продолжающееся охлаждение кристаллизуемого вещества, его тем-
температура остается постоянной.
Количество теплоты, необходимое для расплавления единицы массы
кристаллического вещества при температуре плавления, называется
удельной теплотой плавления г. Для льда, например, г=3,35 • 105 Дж/кг.
Аморфные твердые тела не имеют определенной температуры плав-
плавления; они переходят в жидкое состояние постепенно при непрерывном
повышении температуры (кривая б на рис. 131). Это вполне согласует-
согласуется с представлением об аморфном теле как об очень вязкой (переохлаж-
(переохлажденной) жидкости (см. § 51). Между аморфным твердым телом и жид-
жидкостью нет качественного различия.
Для упорядоченного расположения молекул вещества (его кри-
кристаллизации) требуется некоторое время. Если жидкость охлажда-
охлаждается быстро, то возрастающая при этом вязкость может воспрепят-
воспрепятствовать размещению молекул в необходимом порядке и тогда вместо
кристалла образуется аморфное твердое тело. Наличие в жидкости го-
готовых кристалликов (ядер кристаллизации) облегчает и ускоряет про-
процесс кристаллизации жидкости (подобно тому, как наличие ядер кон-
конденсации облегчает и ускоряет конденсацию водяного пара в атмосфере).
Поэтому, например, в сахарном производстве в сироп засыпают са-
сахарную пудру.
Температура плавления зависит от внешнего давления: для большин-
большинства веществ она несколько увеличивается с повышением давления, как это
видно на диаграмме состояний вещества (см. рис. 120), где кривая
равновесия фаз AD имеет небольшой наклон вправо. Однако некото-
некоторые (немногие) вещества, в том числе лед, чугун, висмут, сурьма, со-
составляют исключение: у них температура плавления уменьшается
с повышением давления. Дело в том, что у этих веществ объем при плав-
плавлении уменьшается (а не увеличивается, как у всех остальных). По-
Повышение внешнего давления способствует уменьшению объема этих
веществ, помогает плавлению, в результате чего температура плав-
плавления уменьшается. У льда, например,это уменьшение равно прибли-
приблизительно 1 К на 13 МПа.
Почему же названные вещества сжимаются при плавлении и, сле-
следовательно, расширяются при кристаллизации? Причина лежит в
298

особенностях структуры этих веществ: их кристаллические решетки
имеют большие пустоты. Например, в кристаллической решетке льда
имеются широкие шестигранные каналы (рис. 132), которые при плав-
плавлении льда заполняются молекулами воды и объем вещества умень-
уменьшается. Поэтому вода плотнее льда. При О °С плотность льда 920 кг/м3,
а плотность воды 999,9 кг/м3; максимальную плотность, равную
1000 кг/м3, вода имеет при 4 °С.
Рассмотренное свойство воды играет чрезвычайно большую роль
в нашей жизни. Поверхностный слой воды, охлаждаясь ниже 4 °С,
становится менее плотным и остается на поверхности, благодаря чему
задерживается осеннее «выхолаживание» водоема. Наоборот, при ве-
весеннем нагреве воды верхние слои, как бо-
более плотные, опускаются на дно, ускоряя
прогревание водоема. Лед, плавая на воде,
предохраняет водоемы от промерзания их
до дна. Отметим также, что расширение
воды (льда) при замерзании в трещинах
горных пород ведет к их постепенному раз-
разрушению.
Испарение присходит не только с по-
поверхности жидкости, но и с поверхности
всех твердых тел. Этот процесс называ-
называется возгонкой, или сублимацией. Интенсив-
Интенсивно возгоняются такие «пахучие» вещества, как нафталин, камфара и
некоторые другие. Наглядным примером возгонки льда может слу-
служить высыхание мокрого белья на морозе.
Однако большинство твердых тел возгоняется крайне слабо, так
как прочные связи между упорядоченно расположенными частицами
кристалла делают отрыв частиц от его поверхности весьма затруд-
затруднительным. С увеличением температуры интенсивность возгонки
повышается, достигая максимума при температуре тройной точки D
(см. рис. 120). Но для большинства веществ нормальная температура
@ °С) значительно ниже их тройных точек.
При возгонке, как и при испарении, вещество охлаждается. Удель-
Удельная теплота возгонки S равна сумме удельных теп лот плавления г
и испарения X. Например, для воды при 0 °С
S = г + X = 3,35 . 105 + 25 . 105 = 28,35 ¦ 105 (Дж/кг).
Процессом, противоположным возгонке, является непосредствен-
нал (без перехода в жидкость) кристаллизация насыщенного пара.
Именно таким путем растут в атмосфере снежинки.
Задача 35. Какую температуру Т имеет масса кислорода m =* 3,5 г,
занимающего объем V = 90 смэ при давлении р = 2,84 МПа? Постоянные ве-
величины для кислорода имеют значения: а = 1,36 • 10 Н • м4/моль2, b »
= 3,16 • 10 мз/моль.
Решение. Газ, находящийся под высоким давлением, необходимо счи-
считать реальным (см. § 41 и 63) и применять в нему уравнение Ван-дер-Ваальса E):
209

где М — 0,032 кг/моль — молярная масса кислорода. Тогда
1 / т2 а \ I М Л 1
1,225 • 10~б кга • 1,36 ¦ Ю- Н • м*/моль2
1,024 • 10-3кг2/моль2-8,1 . 10~9 м«
х
Для сравнения определим теперь температуру азота по уравнению Клапей-
Клапейрона — Менделеева, рассматривая данный газ как идеальный. Тогда
ТЛ jgL 0>032 кг/моль • 2,84 ¦ 10» Па • 9 • 1Q-» м» _ =
Т== ^
/я /? 3,5 • Ю-3 кг • 8,32 Дж/(К • моль)
Следовательно, применение уравнения Клапейрона — Менделеева к реаль-
реальному газу ведет к значительной неточности в расчете параметров этого газа.
Задача 36. Автомобиль буксовал на заснеженной дороге в течение вре-
времени t = 4 мин, расходуя на буксование мощность N = 14,7 кВт. Какое ко-
количество снега, имевшего температуру 0° С, растаяло за это время? Удельная
теплота плавления снега г = 3,5 • 106 Дж/кг.
Решение. Энергия буксования автомобиля, равная Ntt перешла по-
посредством трения в теплоту, расплавившую снег при 0° С и равную гпг. Поэтому
Nt 14,7 . Юз Вт • 4 • 60 с
m = = = 10,53 кг.
г 3,35- Ю5 Дж/кг
Задача 37. Какое количество теплоты Q потребуется для сушки массы
m = 10 000 кг свежих фруктов, если масса готовой продукции составляет 20%
от массы свежих фруктов? Начальная температура фруктов h = 20° С, темпера-
температура в сушилке ^2 == 80° С. Удельная теплота испарения воды при 80° С X =
= 2,3 • 10е Дж/кг. Удельная теплоемкость воды с= 4,19 • 103 Дж/(кг . К)
Решение. Для высушивания фруктов необходимо, во-первых, нагреть
их от 20 до 80° С, затратив на это энергию Qi = cm(/2 — fr), и, во-вторых, испа-
испарить содержащуюся в них воду массой (т — 0,2т) = 0,8т, израсходовав энер-
энергию Q2 = 0,8 Хт. Поэтому
Q = Qi + Q2 = cm (t2 - h) + 0,8Xm = m[c (t2 - h) + 0,8X] =
==104кг[4,19 • 103 Дж/(кг • К) ¦ 60К + 0,8- 2,3 • 10е Дж/кг] =209-108 Дж.

Глава XL Основы термодинамики
§ 69. О некоторых общих понятиях термодинамики.
Первое начало термодинамики
Термодинамика изучает количественные закономерности превра-
превращения энергии в различных процесах (тепловых, механических^
электрических, магнитных и др.)> обусловленного тепловым (беспо-
(беспорядочным) движением молекул.
Уже в первой половине XIX в. перед теплотехникой со всей остро-
остротой встал вопрос об увеличении экономической эффективности тепло-
тепловых машин, решение которого требовало глубокого знания законов
энергетических превращений, в первую очередь превращения тепло-
теплоты в механическую работу. В связи с этим требованием теплотехники
возникла и начала быстро развиваться термодинамика.
С некоторыми вопросами термодинамики мы уже встречались в
предшествующих главах второй части курса. Теплота и температура
(см. § 37), газовые процессы (см. § 39, 40), теплоемкости веществ
(см. § 44 и 54), испарение и плавление (см. § 66 и 68) — все это во-
вопросы, относящиеся к области термодинамики. Следует подчеркнуть,
что современная термодинамика затрагивает широкий круг вопросов»
представляющих интерес для всех естественных наук и для филосо-
философии в целом. В этой главе рассмотрены только основные законы тер-
термодинамики и некоторые термодинамические процессы.
Термодинамика построена в основном на двух фундаментальных
законах, полученных из многовекового опыта человеческой деятель-
деятельности и называемых началами термодинамики. Первое начало описы-
описывает количественную и качественную стороны процессов превращения
энергии; второе начало позволяет судить о направлении этих процессов.
Прежде всего познакомимся с некоторыми из основных понятий
термодинамики.
Термодинамической системой называется макроскопическое тело
(или группа тел), которому свойственны процессы, сопровождающиеся
переходом теплоты в другие виды энергии и обратные процессы. При-
Примером термодинамической системы может служить газ, заключенный
в цилиндр под поршнем. В систему могут входить электрическое, маг-
магнитное и гравитационное поля. Отвлекаясь от этих полей, мы ограни-
ограничимся рассмотрением простейших однородных систем — газов, жид-
жидкостей и изотропных твердых тел.
Если внешние условия неизменны, то термодинамическая система,
оказавшаяся в этих условиях, приходит через некоторое время в со-
состояние, при котором в ней прекращаются всякие макроскопические
изменения. Такое состояние называется термодинамическим равно-
весием. При термодинамическом равновесии состояние системы в целом
может описываться следующими тремя параметрами: температурой
Т, давлением р и объемом V. Эти параметры связаны между собой
зависимостью, которую в общем виде можно выразить уравнением
211

называемым уравнением состояния системы. Для идеального газа
таковым является уравнение Клапейрона — Менделеева (см. § 40),
для реальных газов и жидкостей — уравнение Ван-дер-Ваальса
(см. § 63). Для твердых тел общего уравнения состояния пока не
установлено. Если известны любые два параметра состояния системы,
например р и V, то третий параметр Т можно вычислить по уравне-
уравнению состояния. Именно на этом основаны рассмотренные нами ранее
(см. § 37 и 39) способы определения температуры.
Переход системы из одного состояния (ри Vi> 7\) в другое (р2,
^2» Т? называется термодинамическим процессом. На диаграмме со-
состояний (с координатными осями,
например, р и V) состояние системы
изображается точкой ptVif а про-
процесс— кривой линией 12 (рис.133).
При этом подразумевается, что в
каждом данном состоянии систе-
системы—начальном /, промежуточных
i и конечном 2 — значения темпе-
температуры и давления должны быть
одинаковыми для всех точек (частей)
—-л системы. Иначе говоря, в каждом
из этих состояний система должна
находиться в термодинамическом
равновесии. Между тем, например,
во время быстрого сжатия газа давление в его части, прилегающей к
поршню, будет несколько больше, а во время быстрого расширения —
меньше, чем в остальных его частях. Во избежание этой неоднород-
неоднородности (неравномерности) системы термодинамические процессы должны
протекать медленно (в принципе — бесконечно медленно)*.
Процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 (см. рис. 133)
называется обратимым, если возможен процесс перехода системы из
2 в U при котором система, пройдя последовательно, но в обратном
порядке, через все состояние i первого процесса, вернется в
начальное состояние 1, после чего ни в системе, ни в окружающей
среде не останется никаких изменений; в противном случае процесс
называется необратимым. Иначе говоря, процесс перехода системы из
состояния 1 в 2 обратим, если возможен процесс перехода системы из
2 в 1, в результате которого полностью ликвидируются следы обоих
процессов как в окружающей среде, так и в самой системе.
Примером обратимого процесса могло бы служить колебание маят-
маятника, если бы оно происходило без трения: в течение одного периода
колебания маятник возвратился бы в начальное положение, причем ни
в окружающей среде, ни в системе (маятнике) не осталось бы следов
от происшедших за этот период изменений. Все чисто механические
процессы, происходящие без трения, были бы обратимыми. Однако
* Практически понятие «медленно» означает, что время совершения про-
процесса должно быть не меньше времени релаксации (так называется время, в те-
течение которого устанавливается термодинамическое равновесие системы; оно
пропорционально размерам системы).
212

трение неустранимо. Поэтому часть механической энергии системы
всегда переходит в теплоту и безвозвратно рассеивается в окружающей
среде. Следовательно, механические процессы необратимы.
Вообще в природе нет обратимых процессов. Наглядным примером
необратимости реальных процессов являются процессы теплообмена
и расширения газа в пустоту. Теплота самопроизвольно переходит
от горячего тела к холодному, но обратный самопроизвольный про-
процесс не имеет места. Газ самопроизвольно расширяется в пустоту, но
обратный процесс — самопроизвольное сжатие — не имеет места.
Здесь дело не в том, что эти процессы самопроизвольно необратимы.
Их нельзя обратить и посредством внешнего воздейст-
воздействия. Действительно, например, при расширении газа \"
в пустоту он не совершает внешней работы и, следова- |
тельно, его внутренняя энергия не изменяется. Сожмем
теперь газ до первоначального объема сами, совершая
внешнюю работу А против силы давления газа. При этом
внутренняя энергия газа возрастает на величину, равную
работе Л, и температура газа повысится. Через некото-
некоторое время газ отдаст избыток теплоты окружающей
среде и примет первоначальную температуру. В резуль-
результате, хотя газ и вернулся в первоначальное состояние,
но во внешней среде появилось и сохранилось измене-
изменение: часть ее механической энергии превратилась в Рис. 134
теплоту. Следовательно, процесс расширения газа в пу-
пустоту является необратимым.
Итак, обратимые процессы — понятие идеализированное. Однако
их изучение представляет значительный интерес, поскольку в целом
ряде конкретных задач реальные процессы с большой степенью точ-
точности можно рассматривать как обратимые. Обратимый процесс есть
идеализированная модель реальных процессов, необходимая для успеш-
успешного изучения последних.
Перейдем теперь к рассмотрению первого начала термодинамики.
Допустим, что некоторая система (например, газ, заключенный в ци-
цилиндр под поршнем), обладающая внутренней энергией ?/4, получила
количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризующее-
характеризующееся внутренней энергией ?/2, совершила внешнюю работу А (рис. 134).
Условимся в дальнейшем считать количество теплоты положительным,
тогда оно подводится к системе, а работу — положительнойf когда
система совершает ее против внешних сил. Опыт неоспоримо доказы-
доказывает, что при любом способе перехода системы из первого состояния
во второе изменение внутренней энергии системы U2 — Ut будет
одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полу-
полученным системой, и работой Л, совершенной системой:
или
213

Введем обозначение : U2 — ?Л = Д?Л Тогда последнее равенство
примет вид
Q = At/ + A A)
Эта формула и есть математическое выражение первого начала термо-
термодинамики*. Таким образом, первое начало утверждает, что
все количество теплоты, переданное системе, идет на изменение
внутренней энергии системы' и на совершаемую системой работу.
Учитывая, что Q и А эквивалентны энергии, можно сформулировать
первое начало так: будучи несозидаемой и неуничтожимой, энергия
может видоизменяться. В такой формулировке первое начало тер-
термодинамики представляет собой общее выражение закона сохранения
и превращения энергии (см. § 18).
Если система периодически возвращается в исходное состояние,
то изменение ее внутренней энергии hu = 0. Тогда, согласно первому
началу термодинамики A),
Это означает, что невозможно создать периодически действующий
механизм, который совершал бы работу, превышающую получаемую
им энергию. Воображаемый механизм, совершающий работу, большую
получаемой энергии, называется вечным двигателем первого рода.
Поэтому первому началу термодинамики можно еще дать и такую
формулировку: вечный двигатель первого рода невозможен. В этой
связи интересно отметить, что открытие первого начала термодинамики
положило конец многочисленным, но бесплодным попыткам построить
вечный двигатель.
Если система, получая бесконечно малое количество теплоты dQ,
претерпевает бесконечно малое изменение внутренней энергии dU,
то и совершаемая ею работа будет бесконечно малой — dA. В этом
случае выражение A) первого начала термодинамики запишется в
дифференциальном виде:
dQ = dU + dA. B)
§ 70. Работа, совершаемая при изменении объема газа.
Адиабатические процессы
Представим себе газ, расширяющийся в цилиндре под поршнем
от объема V± при давлении pi до объема V% при давлении р2-
На графике этот процесс изобразится кривой линией 1—2 (рис. 135).
Рассмотрим маленький интервал расширения А У, для которого давле-
давление можно считать приблизительно постоянным и равным р. Как было
показано в § 44 [см. рис. 77 и формулу BГ)], работа, совершаемая
газом при малом расширении, равна произведению р -Д1Л На гра-
графике видно, что эта работа численно равна площади узкой полоски
шириной Д V. Разбивая полное изменение объема от Vt до V2 на п ма-
малых интервалов: ДУЬ ДУ2, ДУ3,..., Д^п> получим, очевидно, что пол-
* Предполагается, что Q и Л измеряются в тех же единицах, что и At/.
214

ная работа Л, совершаемая при изменении объема газа, численно рав-
равна сумме площадей всех п полосок, т. е. равна площадих ограниченной
кривой 12у ординатами pi и р% и осью абсцисс:
Если теперь перейдем от конечных малых интервалов ДУ к бесконечно
малым интервалам dV, то работа на каждом из этих интервалов будет
бесконечно малой и равной
dA - р • dV.
C)
Интегрируя последнее равенство в
пределах от Vt до 1/2, получим вы-
выражение полной работы, совершаемой
при изменении объема газа:
D)
Пользуясь последним выражени-
выражением, рассчитаем работу, совершаемую
при изотермическим изменении объ-
объема одного моля идеального газа.
Согласно закону Клапейрона — Менделеева,
RT
Рис. 135
Подставляя это выражение р в формулу D) и учитывая, что при изо-
изотермическом процессе Т — const, получим
А =
dV - RT J-y-
или окончательно
А = RT In E^
Еще проще рассчитывается работа изобарического (р = const)
изменения объема газа:
-j1
I
Кроме уже знакомых нам изобарического и изотермического
процессов изменения объема газа существует так называемый адиа-
адиабатический процесс*. Адиабатическими называются процессы, про-
* От греческого слова aMaftaxos (адиабатос) — непереходимый.
215

исходящие при отсутствии теплообмена между системой и окружаю-
окружающей средой. В этом случае dQ = 0 и формула B) первого начала термо-
термодинамики принимает вид
dA = - dU. F)
Знак минус показывает, что при адиабатическом расширении внутрен-
внутренняя энергия системы уменьшается: система совершает работу за
счет своей внутренней энергии. В случае адиабатического сжатия
внутренняя энергия системы увеличивается за счет работы, соверша-
совершаемой внешними силами. Поэтому dU будет положительно, но зато
dA примет отрицательное значение (см. § 69) и равенство F) остается
справедливым.
Рассмотрим адиабатический процесс в системе, состоящей из одного
моля идеального газа, помещенного в цилиндр, стенки и поршень
которого абсолютно нетеплопрсводны. Как известно [см. § 44, формула
B0)], внутренняя энергия моля идеального газа равна
U^CVT, G)
где Су — молярная теплоемкость при постоянном объеме, Т — темпе-
температура. Так как Cv — постоянная величина, то, дифференцируя ра-
равенство G), получим
dU = Cv.dT. (8)
Подставляя в формулу F) выражения^ из формулы C) и dU из фор-
формулы (8), получим
Используя закон Клапейрона — Менделеева, заменим р на RT/V:
— .dV = -Cv-dT% или -c7 — " —•
Из последнего равенства следует, что адиабатическое изменение объема
газа сопровождается изменением его температуры. Интегрируя это
равенство в пределах от Vi до У2 и соответственно от 7\ до Т2, полу-
получим
¦[*'
откуда
D (In l^2 — In K,) = In Гг ~ In Га,
^v
или
216

Потенцируя последнее равенство и учитывая [см. § 44, формулы
B3) и B5)], что
Р Г Г
¦#- = ¦S^-t-L
получим
'" ч^1=^- (9)
TtVrl=T2Vr\ A0)
или окончательно
TV4~~l = const. A1)
Формула A1) выражает за/юя Пуассона, описывающий адиабатические
процессы в идеальном газе. Из закона Пуассона следует, что при
адиабатическом расширении газа его температура понижается, а
при сжатии — повышается.
Для осуществления адиабатических процессов необходима абсо-
абсолютная теплоизоляция системы от окружающей среды. Наоборот,
для осуществления изотермических процессов необходимо обеспечить
абсолютную теплопроводность * между системой и средой. Одна-
Однако в природе нет ни абсолютных теплоизоляторов, ни абсолютных
теплопроводников. Поэтому реальные процессы изменения объема
газа могут быть только близкими к адиабатическим (если тепло-
теплообмен между системой и средой незначителен) или к изотермическим
(если теплообмен между системой и средой хороший).
Для практического осуществления процессов, близких к адиаба-
адиабатическим, возможны два пути: 1) очень быстрое изменение объема
газа и 2) изменение объема очень большой массы газа. В обоих случаях
не успевает произойти значительного теплообмена между системой
(газом) и окружающей средой, что равносильно наличию хорошей
теплоизоляции между ними.
Примером адиабатического процесса, осуществляемого первым
путем, может служить быстрое накачивание велокамеры насосом.
Значительное количество теплоты, выделяющееся при многократном
частом сжатии воздуха, не успевает переходить в окружающую среду,
в результате чего насос, как известно, заметно нагревается.
Адиабатическими можно считать такие процессы, как расширение
и сжатие горючей смеси в цилиндрах двигателя внутреннего сгора-
сгорания. Особенно отчетливо выражен адиабатический характер процесса
сжатия в дизеле. Дизель не имеет зажигания: адиабатическое нагре-
нагревание смеси при сжатии приводит к ее самовоспламенению.
* Т е. полный теплообмен между системой и средой, совершающийся
мгновенно.
217

Что касается адиабатических процессов в больших массах газа,
то они весьма распространены в природе. Если, например, большой
участок вспаханного поля а граничит с водным бассейном b и лесным
массивом с, то в ясный летний день полевой участок нагреется солнцем
сильнее соседних участков (рис. 136). Расположенная над этим участ-
участком воздушная масса А также нагреется сильнее соседних масс В и С и,
сделавшись более легкой, начнет подниматься (конвекция). Так как
Рис. 136
давление в атмосфере убывает с высотой, то по мере подъема воздушная
масса будет расширяться и, следовательно, адиабатически охлаждать-
охлаждаться. Когда ее температура понизится до точки росы, водяной пар, на-
находящийся в воздушной массе, начнет конденсироваться на ядрах
конденсации. Образуются кучевые облака О, типичные для полуденного
времени жаркого дня и потому называемые также «облаками хорошей
погоды».
Возвратимся к закону Пуассона и придадим формуле A1) несколь-
несколько иной вид, выразив температуру через давление. Так как, согласно
уравнению Клапейрона — Менделеева,
Т^_ рУ
то, подставляя это выражение температуры в формулу A1), получим
JL- у?-1 = const или
рУт = const A2)
(поскольку R • const = const). Формула A2) представляет собой
218

закон Пуассона, связывающий изменения объема и давления газа при
адиабатическом процессе.
Пользуясь законами Пуассона A2) и Бойля — Мариотта (pV =
= const), представим на графике адиабатический и изотермический
процессы (рис. 137). Оказывается, что адиабата / идет круче изотермы 2.
Это объясняется тем, что при изотермическом расширении давление
газа уменьшается только за счет уве-
увеличения объема, тогда как при ади- 4
абатическом расширении оно умень»
шается и за счет увеличения объема,
и за счет понижения температуры.
В заключение выразим работу А
совершаемую газом при адиабатичес-
адиабатическом процессе, в результате которого
температура газа изменяется от Ti до
Т2. Объединяя формулы F) и (8), по-
получим для элементарной работы
dA
- Cv . dT.
Интегрируя последнее равенство, най-
найдем
Рис. 137
или окончательно
Следовательно, работа совершаемая газом при адиабатическом про-
процессе, пропорциональна изменению температуры газа.
Р\
§ 71. Цикл Карно. Второе начало термодинамики
Положение о необратимости процессов в природе (см. § 69), ука-
указывающее направление этих процессов, представляет собой одно из
общих выражений второго начала термодинамики. Более конкретную
формулировку и математическое выражение второго начала можно
получить из рассмотрения так называемого
цикла Карно, с которым мы познакомимся,
введя предварительно понятие о круговом
процессе.
Круговым процессом, или циклом, на-
называется процесс, в результате которого
система, пройдя через ряд состояний, во-
возвращается в исходное состояние. Очевидно,
что на графике круговой процесс изобра-
изобразится замкнутой кривой линией (рис. 138). ^ о V
Работа А, совершаемая при круговом про- Рис. 138
а
г
i
!

.
цессе, численно равна площади а1Ъ2у ограниченной этой замкнутой
линией. Поясним данное утверждение, полагая для определенности,
что системой является некоторая масса газа. Цикл состоит из
двух последовательных процессов: расширения (а-+ 1 ->&) и сжа-
сжатия (Ь-+2->-а) газа. В соответствии с графическим предста-
представлением работы, рассмотренным в § 70 (см. рис. 135), работа
Ль совершаемая газом при расширении, выразится площадью фигуры
dalbc; эта работа положительна (см. § 69). На тех же основаниях
работа Л 2, совершаемая при сжатии газа, выразится площадью фигуры
da2bc и будет отрицательной. Тогда работа, совершенная при круго-
круговом процессе,
рМЪ* А = Аг — А2.
и выразится разностью площадей фи-
фигур dalbc и da2bc9 т. е. площадью
фигуры, ограниченной замкнутой ли-
линией а1Ь2. Если круговой процесс
идет по часовой стрелке (а ->• / ->
-^ b ->¦ 2 -v а), то работа будет поло-
положительной (так как А{ — Л 2 > 0);
если же круговой процесс идет про-
против часовой стрелки (а -> 2 -+¦ Ъ ->
-> / ->¦ а),то отрицательной (так как
Л2-Л!<0).
Если в результате цикла совер-
совершается некоторая работа Л, то си-
система, периодически повторяющая
такой цикл, называется машиной.
В 1824 г. французский инженер Сади Карно теоретически рассмот-
рассмотрел работу идеальной тепловой машины, состоящей из одного моля
идеального газа (рабочее тело), заключенного в цилиндр под поршнем,
нагревателя и холодильника. Эта система периодически
совершает обратимые циклы, состоящие из двух изотермических
(/ -> 2 и 3 -> 4) и двух адиабатических B -> 3 и 4 ->- /) процессов
(рис. 139). Стенки цилиндра и поршень абсолютно нетеплопроводны,
а дно цилиндра абсолютно теплопроводно. Однако с помощью абсо-
абсолютно нетеплопроводной крышки /(, прикладываемой ко дну цилин-
цилиндра, можно было сделать весь цилиндр абсолютно нетеплопроводным.
Трение и тепловые потери в системе полностью отсутствуют.
Проследим за работой этой идеальной тепловой машины, полу-
получившей название цикла Карно. Изменения состояния системы будем
изображать на диаграмме, а положения поршня в цилиндре — на
схеме (см. рис. 139).
1. Газ находится в сжатом состоянии / (pi9 Vi3 7^), поршень —
в положении /. Чтобы обеспечить изотермическое расширение газа,
приведем дно цилиндра в тепловой контакт с нагревателем Я, нахо-
находящимся при температуре 7\.
2. Когда газ расширится до состояния 2 (р2, V2, 7\), уберем
нагреватель и, закрыв дно крышкой /С, предоставим газу возможность
/
н
TrCOUSt
2
Рг№
И
J
X
p*W
м
Рис. 139
220

закончить расширение адиабатически до состояния 3 (рв, V3, Т2).
Совершая работу по расширению, газ охладится; поэтому Г2 < 7V
3. Чтобы завершить цикл, т. е. вернуть газ в начальное состояние
1, а поршень — в исходное положение /, необходимо совершить внеш-
внешнюю работу сжатия газа. Будем сначала сжимать газ изотермически
до состояния 4 (р4, V4, T2), заменив крышку холодильника X
(при температуре Т2). Причем состояние 4 надо выбрать заранее, с
таким расчетом, чтобы из него по адиабате 4-^1 можно было пере-
перевести газ в начальное состояние 1*.
4. Завершим сжатие газа до начального состояния / (ри V{,
7\) адиабатически, заменив холодильник крышкой /С.
Цикл закончен и может быть затем многократно повторен. На
участке / -> 2 газ совершил работу Ad по изотермическому расширению,
получив от нагревателя количество теплоты QA = Л4. На участке
2 -> 3 газ совершил работу Аг по адиабатическому расширению за
счет своей внутренней энергии. На участке 3-^4 внешние силы со-
совершили работу Л 2 по изотермическому сжатию газа; при этом он отдал
холодильнику количество теплоты Q2 — А 2. Наконец, на участке 4 ->/
внешние силы совершили работу А" по адиабатическому сжатию газа,
повысив его внутреннюю энергию.
Так как газ вернулся в первоначальное состояние, то изменение
его внутренней энергии Д?/ = 0. Тогда, согласно первому началу
термодинамики [формула A)], полученное газом в результате всего
цикла количество теплоты Qt — Q2 должно равняться совершенной
им за время цикла работе:
Qt-Qt-At+A'-At-A". A4)
Нетрудно показать, что по абсолютной величине \А'\= \А"\. Дей-
Действительно, оба адиабатических процесса B -> 3 и 4 -> /) осуществля-
осуществлялись в одном и том же интервале температур (Т4 ->¦ Тг и Т-> 7\).
Тогда, согласно формуле A3), будут одинаковыми и совершаемые
при этих процессах работы. Поэтому формула A4) примет вид
Q1-Q2=^A1^A2 = A, A5)
где А—суммарная работа, совершаемая за весь цикл и численно
равная площади 1234, ограниченной графиком цикла. Так как цикл
проводился по часовой стрелке, то эта работа положительна. Итак,
в результате цикла газ, получив количество теплоты Q4 от нагре-
нагревателя и передав часть этого количества теплоты Q2 холодильнику,
совершил внешнюю работу, равную
A = Qt-Q2. A6)
Зададимся вопросом: может ли рассматриваемая тепловая машина
совершать работу только за счет получения количества теплоты Qt
от нагревателя, не отдавая части количества теплоты Q2 холодиль-
* Из графика видно, что на изотерме Т2 — const всегда найдется точка 4,
соединяемая с точкой / некоторой адиабатой.
221

нику? Иными словами, можно ли теплоту Qt целиком превращать в
работу? Очевидно, что при отсутствии холодильника процесс 1 -* 2-* 3
можно было бы замкнуть (т. е. получить цикл) только посредством
обратного процесса 3 -> 2 -> U Площадь такого цикла, а следователь-
следовательно, и совершаемая работа будут равны нулю. Таким образом, отдача
части теплоты Q2 холодильнику является необходимым, условием
совершения работы. Но тогда, согласно формуле A6),
A<QV
A7)
НагрвВатель
Г,
A-QrQt
Холодильник
Тг
т. е. рассматриваемая тепловая машина не может все полученное
количество теплоты целиком переводить в работу. Как показывают
опыт и выводы из всей термодинамики, это невоз-
невозможно не только для данной машины, но и во-
вообще.
Невозможен механизм, который все получае-
получаемое от нагревателя количество теплоты целиком
переводил бы в работу; часть этого количества
теплоты должна быть отдана холодильнику.
Это утверждение является одной из формули-
формулировок второго начала термодинамики, а формулы
A6) и A7) — его математическими выражениями.
Таким образом, тепловая машина должна работать
по схеме, представленной на рис. 140.
Воображаемый механизм, превращающий все количе-
количество теплоты в работу, называется вечным двигателем вто-
второго рода. Его осуществление дало бы человечеству неис-
неисчерпаемый источник энергии, поскольку запасы теплоты на Земле практически
неограниченны. За счет одного только количества теплоты, содержащегося в воде
морей и океанов можно было бы с помощью вечного двигателя второго рода при-
приводить в движение машины всех фабрик и заводов в течение многих тысячелетий.
Причем за первые 1700 лет такой «перекачки» теплоты температура воды в океа-
океане понизилась бы в среднем только на одну сотую долю кельвина.
Однако, как мы видели, вечный двигатель второго рода противоречит вто-
второму началу термодинамики. Поэтому второе начало можно еще сформулировать
так: вечный двигатель второго рода невозможен.
Рассчитаем теперь коэффициент полезного действия ч\ идеальной
тепловой машины. Он равен отношению полезной работы к совершен-
совершенной, т. е., с учетом формулы A5),
Рис. 140
AL At Qi
Принимая во внимание формулу E), можем написать
R7\ In
• ЯГ. In ¦
A8)
A9)
Но, согласно формуле (9),
= Л. и ( Vl У" = -г»_
тх \vj г, '
222

откуда следует, что
или
Ух
Поэтому все логарифмы в формуле A9) оказываются одинаковыми
и могут быть сокращены. Тогда формула A9) примет вид
Ч--1^-, B°)
или
B1)
откуда следует, что
т?<1, B2)
т. е. коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины
меньше единицы*. Для его повышения необходимо увеличивать раз-
разность температур нагревателя и холодильника.
Возьмем такие наиболее благоприятные реально
возможные условия: Тг = 500 К (паровой котел
высокого давления) и 712 = 250 К (воздушное охла-
охлаждение в зимнее время). В этом случае
500 — 250
500
= 0,5 = 50%.
Понятно, что реальные тепловые машины благодаря
трению и неизбежным тепловым потерям имеют
значительно меньший коэффициент полезного дей-
действия (поршневая паровая машина — до 20%, па-
паровая турбина— до 30% и двигатель внутреннего Рис.141
сгорания—до 45%).
Обратный цикл Кар но A-+4->3-*-2->1) можно использовать
в качестве идеальной холодильной машины, работающей по схеме,
представленной на рис. 141 G\ > Т2). За счет работы внешних сил А
газ (рабочее тело) отнимает от холодильника количество теплоты
Q2 и передает нагревателю количество теплоты Qim
§ 72. Энтропия
Из формул A8) и B0), выражающих значение коэффициента по-
полезного действия тепловой машины, следует, что
Qi
* Из формулы B1) видно, что коэффициент полезного действия мог бы рав-
равняться единице только в двух случаях: при Т\ = оо и при Т2 = 0. Однако соз-
создать нагреватель с бесконечно высокой температурой или холодильник с темпе-
температурой, равной абсолютному нулю, безусловно, невозможно.
22Э

или
откуда получаем
Учтем теперь, что Qz, как количество теплоты, отдаваемое рабочим
веществом холодильнику, является отрицательным (см, § 69). Тогда
левую часть последней формулы можно записать в виде алгебраической
суммы:
Q2
B3)
Отношение ( —(теплоты, переданной рабочему веществу (или ра-
рабочим веществом), к абсолютной темпе-
температуре, при которой происходила эта
передача, называется приведенной теп-
теплотой. Из формулы B3) следует, что
для цикла Кйрно алгебраическая сумма
приведенных теплот равна нулю.
Покажем, что это положение спра-
справедливо для любого обратимого кругового
процесса А-+а-+В-*Ъ-+А (рис. 142).
Разобьем этот процесс на большое чи-
число п очень узких (элементарных) ци-
циклов Кар но с помощью изотерм и адиа-
адиабат, как показано на рис. 142. При
осуществлении всех элементарных циклов части каждой из адиабат
(изображенные штрихами), проходимые дважды в противоположных
направлениях, выпадут. Поэтому замкнутая кривая линия АаВЬА,
изображающая процесс, приближенно может быть заменена замкнутой
ломаной линией АаВЬА, состоящей из малых отрезков изотерм и
адиабат. Для каждого из элементарных циклов Кар но справедлива
формула B3):
AQ
Рис. 142
~г
¦12 ' 22
224

гдеД(?и —теплота, полученная рабочим телом на t-м участке расши-
расширения при температуре Tlit а Д Q2j — теплота, отданная им на 1-й участ-
участке сжатия при температуре Ти. Суммируя все эти равенства, получим
= 0. B4)
ВЬА
Если перейдем теперь к бесконечно большому числу (/1->оо) бесконечно
узких циклов Карно, то ломаная линия превратится в кривую АаВЬА,
а суммы формулы B4) — в интегралы:
-f-О, или Г JS.-0. B5,
(АаВ) (ВЬА) (АаВЬА)
Из равенства нулю интеграла B5), взятого по замкнутому контуру
АаВЬА, следует, что подынтегральное выражение dQ/T представляет
собой полный дифференциал некоторой функции S, зависящей только
от состояния системы и не зависящей от пути> каким система пришла
в это состояние. Таким образом,
-f- = dS. B6)
Функция S была введена в рассмотрение в 1865 г. Клаузиусом и
названа им энтропией*. Наряду с энергией энтропия является важной
характеристикой состояния системы. Физический смысл энтропии
мы выясним несколько позже.
Если посредством обратимого процесса система переходит из со-
состояния А в состояние В, то происходящее при этом изменение энтро-
энтропии системы определяется путем интегрирования равенства B6):
в в
dS
B7)
где Sa — энтропия системы в начальном состоянии Л, SB — энтропия
системы в конечном состоянии В, AS = SB—Sa — изменение энтропии.
Определим, например, изменение энтропии 0,1 кг воды, охлажда-
охлаждаемой от 18 до 0° С. Вводя обозначения: m = 0,l кг, с ===
= 4,2 . 103 Дж/(кг . К), 7\ = 291 К и Г2 = 273 К, где с — удель-
удельная теплоемкость, получим, что
f^ f^ _ cm ln-b- = 4,2- 10». 0,1 In-273
291
Дж/К.
* От греческих слов ev (эн) — в, тротстц (тропе) — превращение. Смысловой
перевод слова энтропия — обращенная внутрь, недоступная для дальнейших
превращений.
8—31 225

Следовательно, в процессе охлаждения воды ее энтропия уменьшилась
на 21 Дж/К.
Клаузиусом были получены следующие важные положения, ко-
которые мы приведем без доказательств.
Энтропия системы, состоящей из нескольких тел, равна сумме энт-
энтропии этих тел.
Если в изолированной системе происходят обратимые процессы,
то ее энтропия остается неизменной. Если в изолированной системе про-
происходят необратимые процессы, то ее энтропия возрастает. Энтропия
изолированной системы не может уменьшаться ни при каких процессах.
Математически эти положения можно записать в виде неравенства
AS>0, B8)
называемого неравенством Клаузиуса.
Как мы уже знаем (см. § 69), все реальные процессы являются
необратимыми. Поэтому можно утверждать, что все процессы в конеч-
конечной изолированной системе ведут к увеличению ее энтропии. Это по-
положение называется принципом возрастания энтропии. Вместе с тем
оно представляет собой еще одну формулировку второго начала термо-
термодинамики, указывающую направление реальных процессов:
возможны лишь такие процессы, которые ведут к увеличению энтро-
энтропии изолированной системы.
В качестве примера принципа возрастания энтропии рассмотрим
такой важный процесс, как теплообмен, происходящий в изолирован-
изолированной системе между телом с температурой 7\ и телом с температурой
Т2 < Тх. Первое тело отдает количество теплоты—AQ, а второе —
получает количество теплоты +AQ. Изменение энтропии системы
равно алгебраической сумме энтропии обоих тел:
откуда
S2>SV
Таким образом, хотя в результате теплообмена энергия системы не
изменилась (в соответствии с первым началом термодинамики), ее
энтропия возросла (в соответствии со вторым началом термодинамики).
Рассмотрим еще один пример. Изолированная система представля-
представляет собой сосуд, в котором находится моль газа, и вращающееся по
инерции колесо массой т. Благодаря трению часть кинетической
энергии колеса перейдет в теплоту и температура системы повысится
от 7\ до Т2. Количество теплоты, которые получат газ и колесо, обо-
обозначим соответственно через dQ' и dQ". Тогда
dQ! = Cv-dT и dQ" = cm • dT,
где Су — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, с —
удельная теплоемкость материала колеса, dT— приращение темпе-
226

ратуры системы. Пользуясь формулой B7), определим изменения
энтропии газа S2' —S/ и колеса S2" —Si":
т т
S2-S]= ^ f'
так как Т2 > Г4. Следовательно, S2' > S4f и S2" > S1//, т. е. энтропия
обеих частей системы возросла.
Таким образом, мы видим, что и в этом случае энергия системы
осталась неизменной, а энтропия возросла. Обратим внимание на то
обстоятельство, что энергия, не изменяясь количественно, измени-
изменилась качественно: механическая энергия (упорядоченного движения
колеса) перешла в теплоту (хаотическое движение молекул). Про-
Произошло снижение качества энергии, «обесценивание энергии». Под
обесцениванием энергии подразумевается потеря ею способности
к дальнейшим самопроизвольным превращениям в другие виды энергии.
Действительно, все виды энергии (механическая, электрическая,
световая и т. д.) самопроизвольно и притом полностью переходят в
теплоту, тогда как для теплоты такие превращения в другие виды
энергии не имеют места.
Таким образом, возрастание энтропии изолированной системы
указывает на то, что в системе происходит обесценивание энергии.
В известном смысле энтропию можно считать мерой обесцененности
энергии.
Поскольку теплоте присущ наиболее беспорядочный характер
движения материи (хаотическое движение молекул), можно сказать,
что возрастание энтропии соответствует увеличению беспорядка в
состоянии системы. В этом смысле энтропию можно рассматривать
как меру беспорядка состояния системы.
§ 73. О статистическом смысле энтропии и второго начала
термодинамики
Из несколько формального математического определения, посредством ко-
которого Клаузиус ввел понятие энтропии (dS = dQ/T), трудно уяснить ее физи-
физический смысл. Физическая сущность энтропии была выяснена позднее благодаря
статистическим исследованиям Больцмана. Для ознакомления с результатами
этих исследований необходимо иметь представление о так называемой вероят-
вероятности состояния системы (W).
Рассмотрим сосуд, мысленно разделив его на две равные части (рис. 143, а).
Пусть в нем находится только одна молекула. Двигаясь хаотически, она может
оказаться как в левой, так и в правой части сосуда, причем оба случая одинаково
возможны, или, как говорят, равновероятны.
Вероятность события характеризуется отношением числа случаев осуще-
осуществляющих данное событие, к числу всех возможных случаев.
8» 227

Ряс. 143

Очевидно, что вероятности случая, когда правая часть сосуда оказывается
пустой, и случая, когда в ней находится молекула, одинаковы и равны 1/2.
Поместим теперь в сосуд две молекулы, предварительно пронумеровав их
(рис. 143, б). Тогда число возможных случаев размещения молекул по частям
сосуда станет равным 4 = 22, а вероятность случая 1/4 = 1/22.
Если в сосуде будут находиться три пронумерованных молекулы
(рис. 143, в), то число случаев размещения возрастет до 8 = 23, а вероятность
каждого случая уменьшится до 1/8 = 1/23.
При наличии в сосуде четырех молекул (рис. 143, г) число случаев окажет-
окажется равным 16 = 24, а вероятность каждого случая 1/16 =» 1/24.
Нетрудно сообразить, что при наличии в сосуде N молекул число случаев
размещения этих молекул станет равным 2^, а вероятность каждого случая 1/2^
Таким образом, по мере увеличения числа молекул вероятность каждого
случая индивидуального размещения молекул уменьшается.
Учтем теперь, что молекулы пронумерованы совершенно условно. В дейст-
действительности же невозможно отличить молекулы друг от друга: макроскопическое
состояние системы не изменится от того, что, например, молекула 2, находя-
находящаяся в левой части сосуда, поменяется местом с молекулой 4, находящейся
в правой его части. С этой точки зрения случаи VI — XI (см. рис. 143, г)
совершенно тождественны: все они соответствуют одному состоянию системы
(газа) — равномерному распределению молекул по объему сосуда. Вероятность
этого состояния W = 6/16, так как оно может осуществляться шестью способа-
способами. Точно так же случаи II—V являются тождественными и соответствуют дру-
другому состоянию системы, вероятность которого W = 4/16, так как оно может
осуществляться четырьмя способами. Тождественные случаи XII—XV соот-
соответствуют третьему состоянию системы, вероятность которого W =* 4/16. Чет-
Четвертое состояние (случай I) осуществляется только одним единственным спо-
способом; его вероятность W = 1/16. Такова же вероятность пятого состояния (слу-
(случай XVI).
Таким образом, система из четырех молекул может находиться в пяти раз-
различных состояниях, причем из всех этих состояний наиболее вероятным явля-
является равномерное распределение молекул по объему сосуда. Назовем такое состоя-
состояние равновесным.
С увеличением числа молекул вероятность равновесного состояния будет
все более и более возрастать по сравнению с вероятностью любого неравновес-
неравновесного состояния. Например, в двухмолекулярной системе (см. рис. 143, в)
вероятность равновесного состояния в два раза больше, а в четырехмолекуляр-
ной системе (см. рис. 143, г) — в шесть раз больше вероятности состояния, при
котором все молекулы собираются в левой части сосуда. Как показывают ста-
статистические расчеты, при очень большом числе молекул N вероятность равновес-
равновесного состояния W% приблизительно в 2NlYN раз больше вероятности состояния
Wit при котором все молекулы оказываются в левой части сосуда (рис. 144).
Подчеркнем, что равномерное распределение молекул по объему является
вместе с тем и наиболее беспорядочным их распределением. Поэтому наиболее
вероятное состояние системы является вместе с тем и на-
наиболее беспорядочным ее состоянием. В этом смысле можно
сказать, что вероятность состояния есть мера беспорядка
состояния системы.
Очевидно, что предоставленная самой себе изолиро-
изолированная система должна перейти в наиболее вероятное,
т. е. равновесное состояние. Всякое отклонение от равно-
равновесного состояния влечет за собой уменьшение вероятности
состояния; очень неравновесные состояния являются пра-
практически неосуществимыми, хотя в принципе они возмо-
возможны*. Рис. 144
ш
* Небольшие отклонения от равновесного состояния системы вполне воз-
возможны. Они называются флуктуациями (от латинского слова flucfuafia — ко-
колебание). Флуктуации проявляются в виде кратковременных, происходящих
в отдельных малых частях объема системы, отклонений значений параметров
(температуры, давления, плотности и т. п.) от их средних значений.
229

Вернемся теперь к необратимым процессам и рассмотрим их в связи с ве-
вероятностью состояния системы. Почему, например, необратим процесс расши-
расширения газа в пустоту? Потому что расширяющийся газ, занимая весь объем со-
сосуда, переходит в наиболее вероятное состояние равномерного распределения
молекул по объему. Самопроизвольное сжатие газа означало бы скопление всех
молекул в одной части сосуда, т. е. переход системы в наименее вероятное сос-
состояние (W = 1/2^), которое практически неосуществимо. Почему необратим
процесс теплообмена между двумя соприкасающимися телами различной тем-
температуры? Потому что переходу теплоты от горячего тела к холодному соответ-
соответствует наиболее беспорядочное (равномерное) распределение «быстрых» и «мед-
«медленных» молекул по всей системе (телам), т. е. наиболее вероятное состояние сис-
системы. Передача теплоты от холодного тела к горячему означала бы увеличение
порядка в распределении молекул (скопление «быстрых» молекул в одном теле,
а «медленных» — в другом), т. е. самопроизвольный переход системы в менее ве-
вероятное состояние.
Анализ любого необратимого процесса, происходящего в конечной изоли-
изолированной системе, привел бы к одному и тому же выводу: необратимые процессы
необратимы потому, что они сопровождаются возрастанием вероятности сос-
состояния системы.
Вспомним о том, что (как было показано в предыдущем параграфе) необра-
необратимые процессы сопровождаются возрастанием энтропии системы.
Таким образом оказывается, что существуют две физические величины —
энтропия S и вероятность состояния W, которые возрастают при необрати-
необратимых процессах в изолированной системе. Поэтому естественно предположить,
что между энтропией и вероятностью состояния должна существовать связь.
Согласно исследованиям Больцмана, эта связь выражается формулой:
S = k-\nW, B9)
где k — постоянная Больцмана (см. § 42).
Итак, энтропия пропорциональна натуральному логарифму вероятности
состояния. Следовательно, как и вероятность, энтропия является мерой беспо-
беспорядка состояния системы. К такому же заключению мы пришли ранее (см. § 72)
из несколько иных соображений.
Сопоставляя неравенство Клаузиуса B8) с формулой B9), можно дать еще
одну формулировку второго начала термодинамики, отражающую его статисти-
статистический характер:
при необратимых процессах, протекающих в конечной изолированной сис-
системе, вероятность состояния системы возрастает, при обратимых процессах —
остается неизменной.
Необходимо подчеркнуть, что второе начало термодинамики (принцип воз-
возрастания энтропии) не столь универсально, как первое начало (закон сохране-
сохранения энергии). В самом деле, случаи уменьшения энтропии (и вероятности сос-
состояния) не исключены: они принципиально возможны, хотя мало вероятны.
Наглядным примером этому служит броуновское движение (см. § 36). Под влия-
влиянием нескомпенсированных ударов молекул броуновская частица может, на-
например, переместиться вверх, против действия силы тяжести. В этом случае
некоторое количество теплоты системы самопроизвольно (без воздействия внеш-
внешних сил) переходит в механическую энергию, т. е. теплота превращается в ра-
работу. Иначе говоря, беспорядочное движение молекул самопроизвольно перехо-
переходит в упорядоченное движение броуновской частицы. При этом энтропия и
вероятность состояния системы уменьшаются, что противоречит принципу воз-
возрастания энтропии.
Как объяснить это противоречие? Дело в том, что принцип возрастания
энтропии применим только к конечным изолированным системам, т. е. к систе-
системам, состоящим из достаточно большого, конечного числа молекул. К бесконеч-
бесконечным системам и системам, состоящим из малого числа молекул, этот принцип
неприменим. Это нетрудно понять. В системе из малого числа молекул вероят-
вероятность равновесного состояния незначительно превосходит вероятность неравно-
неравновесного состояния. Например, в случае системы из двух молекул (см. рис. 143, б)
вероятность равновесного состояния всего лишь вдвое больше вероятности лю-
230

бого из неравновесных состояний. Переход такой системы в неравновесное сое.
тояние и уменьшение ее энтропии весьма вероятны и часто имеют место.
Что касается бесконечной системы (N—>оо), то в этом случае число состояний
становится бесконечно большим. Кроме того, становится бесконечно большим
число способов, которыми может осуществиться любое из этих состояний, как
равновесие, так и неравновесие. Очевидно, что в этих условиях бессмысленно го-
говорить о наиболее вероятном (равновесном) состоянии системы, ибо все ее со-
состояния равновероятны. Поэтому вероятность состояния и энтропия бесконеч-
бесконечной системы остаются неизменными. Следовательно, принцип возрастания энтро-
энтропии неприменим к бесконечной системе.
В середине XIX в. в связи с открытием второго начала термодинамики воз-
возникла так называемая проблема тепловой смерти Вселенной. Суть ее сводилась
к следующему. Энтропия Вселенной как изолированной системы все время воз-
возрастает, стремясь к некоторому максимуму. В связи с этим различные виды энер-
энергии все в большей и большей степени обесцениваются, превращаясь в теплоту.
Теплота переходит от горячих тел к холодным. Наконец, температура всех час-
частей и тел Вселенной уравнивается. Устанавливается полное тепловое равновесие:
все процессы во Вселенной прекращаются, наступает тепловая смерть Вселенной.
Этот реакционный вывод ведет к другому, не менее реакционному выводу:
раз будет конец Вселенной, значит, было ее начало, когда возникло неравновес-
неравновесное состояние, из которого Вселенная переходит постепенно к равновесию. Ре-
Религия не преминула воспользоваться этим выводом для «научного обоснования»
актов сотворения и конца мира.
Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в неправомерном при-
применении принципа возрастания энтропии к бесконечной системе (Вселенной).
На несостоятельность этого вывода указал в свое время Энгельс, исходя из обще-
общефилософских соображений о бесконечности Вселенной во времени. Он отметил
также, что тепловая смерть Вселенной, означая потерю энергией способности
к превращениям, противоречит закону сохранения энергии. Способность к пре-
превращениям является неотъемлемым свойством энергии. Не подлежит сомнению,
что наряду с процессами обесценивания энергии, распространенными в земных
условиях, в иных частях космоса столь же распространены пока мало извест-
известные нам процессы саморазвития Вселенной, ведущие к концентрации теплоты
и превращению ее в другие виды энергии.
Вселенная в целом не находится в равновесии и не стремится к какому-либо
пределу. Она развивается, и возможности ее развития неисчерпаемы и неограни-
неограниченны.
В заключение коснемся тепловой теоремы Нернста, согласно которой
энтропия равна нулю при абсолютном нуле температуры.
S = 0 при Т = 0. C0)
Это утверждение следует из соотношения B9). В самом деле, при абсолютном
нуле состоянию термодинамической системы соответствует минимальный бес-
беспорядок (наибольший порядок): все атомы находятся в определенных местах
(узлах кристаллической решетки твердого тела), а все электроны располагают-
располагаются на самых низких энергетических уровнях. Такое состояние, являясь при абсо-
абсолютном нуле единственно возможным (достоверным), обладает вероятностью,
равной единице. Следовательно, S = k • In I = 0. Отметим, что немецкий
физик Нернст пришел к соотношению C0) иным путем — изучая изменения теп-
теплоемкости тел при низких температурах.
Рассмотренные в этой главе два начала термодинамики и тепловая теорема
Нернста (называемая иногда третьим началом термодинамики) лежат в основе
теплотехники, позволяя анализировать всевозможные термодинамические про-
процессы и рассчитывать различные тепловые машины (двигатели внутреннего сго-
сгорания, паровые и реактивные двигатели).
Задача 38. Кислород массой т = 10 г, находящийся при нормальных
условиях, сжимают до объема У2 == *»4 • 10~3 м3. Найти давление р2 и темпе-
температуру Т2 кислорода после сжатия и работу А сжатия, если кислород сжимают:
а) изотермически; б) адиабатически.
231

Решение, а) Применяя уравнения Клапейрона — Менделеева [(см.
§ 40, формула A1)] к начальному состоянию газа, выразим объем кислорода
до сжатия:
1 М Рг
где, по условию, Тх = 273 К, Р\ = Ю6 Па, М = 0,032 кг/моль. Тогда
у _ 10 кг ' 8'32 Дж/<К ' моль) * 273К _ 7 1 . Ю-» м*
1 0,032 кг/моль • 10й Па "" f
При изотермическом процессе Г2 = Т\ = 273 К = const. Из закона Бойля
Мариотта [см. § 39, формула A)] следует, что
Vx 10* Па • 7,1 . 10~3 м1
к 2 1,4 • 10 8 м3
Работу сжатия определим по формуле E), учитывая, что сжатию подвергну-
подвергнуто ш/М молей кислорода:
л m от 1 V« Ю^а кг • 8,32 Дж/(К - моль) ¦ 273 К In 0,2
Л = —- /^Г! In — = = — 1140 Дж.
М Vx 0,032 кг/моль
б) Применяя законы Пуассона [см. A2) и A1)] и учитывая, что для кислоро-
кислорода отношение теплоемкостей у = 1,4 (см. § 44), получим
р2 « л -~ = 105 Па • 5М =9,5 • 105 Па
Г2 » Гх —— = 273К • 5°'4 = 520К.
Работу сжатия газа определим по формуле A3), учитывая, что сжатию под-
подвергнуто mlM молей кислорода и что его молярная теплоемкость при постоянном
объеме Cv «^ iR/2 (число степеней свободы молекулы кислорода / = 5):
tn m i
a=l~mCv {Tl ~ Га) = ~м ' T R(r»-r«) =
КГ* кг ¦ 5 • 8,32 Дж/(К • моль) • 247 К
- 2 • 0,032 кг/моль =
Итак, работа изотермического сжатия кислорода оказывается меньше ра-
работы его адиабатического сжатия.
В обоих случаях работа сжатия отрицательна, так как ее совершают внеш-
внешние силы (см. § 69).
Задача 39. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно,
совершает за один цикл работу А = 7,35 • 104 Дж. Температура нагревателя
Т\ = 373 К, температура холодильника Т2 = 273 К. Найти коэффициент по-
полезного действия машины т), количество теплоты Qi, получаемое машиной за
один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл
холодильнику.
Решение. По формуле B0) найдем
=?- = 2Z3_=-273 = 0>268
i I Old
232

Согласно формуле A6), работа, совершаемая идеальной тепловой машиной
за один цикл, равна
Но, по формуле A8),
Поэтому
А 7,35. К* Дж
= 27,4. W Дж.
т] 0,268
Тогда
Qt^Qi — Ac* B7,4—7,35) . 104 Дж = 20,05 • 10* Дж.
Задача 40. Кусок льда массой т = 0,1 кг, имевший температуру Т\ =
=240 К, превращен в пар при температуре Т2=373К. Определить изменение
энтропии AS, полагая, что давление р = 10б Па оставалось неизменным. Удель-
Удельная теплоемкость льда ci = 1,8 • 103 Дж/(кг • К), удельная теплоемкость во-
воды с2 = 4,19 • 108 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления льда г = 3,35 X
X 10б Дж/кг, удельная теплота кипения воды А. = 2,26 • 10е Дж/кг.
Решение. Согласно формуле B7), изменение энтропии системы
в
Д5 = |— •
где dQ •— количество теплоты, получаемое (или отдаваемое) системой при тем-
температуре Т\ А и В — характеристики начального и конечного состояний системы
(см. § 72).
В рассматриваемом случае система, переходя из начального состояния (лед)
в конечное (пар), подвергается следующим изменениям!
а) Лед нагревается от температуры Ti до температуры плавления То =
*=» 273 К. При этом, согласно формуле B7), его энтропия изменяется на вели-
величину
где dQi » citndT — количество теплоты, получаемое льдом при изменении тем-
температуры на величину dT.
б) Лед плавится, превращаясь в воду, при постоянной температуре То.
При этом его энтропия изменяется на величину
А о Tt Ml V dT
J Го
Го
где \ dQ2 «a rm «— количество теплоты, полученное льдом при плавлении.
в) Вода нагревается от температуры То до температуры кипения Та. При
этом ее энтропия изменяется на величину
1 Т*
где dQd =¦ c2mdT — количество теплоты, получаемой водой при изменении тем-
температуры на величину dT,
233

г) Вода выкипает, превращаясь в пар, при постоянной температуре Т2.
I_ри этом ее энтропия изменяется на величину
J т2 - т2
где $ dQ4 == Xm — количество теплоты, полученное водой при испарении (ки-
(кипении).
Общее изменение энтропии системы
[Т г Т А. ~\
Ciln ^r-Ь—+ c2ln ^-+-^г\ =
273 3,35 • 105 373 2,26-1
+ " + 4191031n +
[
1-8
10Чп
= 882,4 (Дж/К).

3. Электричество и магнетизм
Глава XII. Электростатика
§ 74. Электризация тел. Электрический заряд
Еще в VII в. до н. э. древнегреческий ученый Фалес указал на спо-
способность янтаря, натертого шелком, притягивать легкие предметы.
Но лишь в конце XVI в. английский врач и физик Гильберт заинтере-
заинтересовался явлением, описанным Фалесом. Он провел соответствующие
опыты и обнаружил, что свойством притягивать легкие предметы
обладает не только натертый шелком янтарь, но и стекло, фарфор
и многие другие тела, предварительно натертые кожей, сукном и тому
подобными мягкими материалами. Это явление Гильберт назвал элек-
электризацией*.
Оказалось, что электризация бывает только двух родов: положи-
положительная (которую приобретает, например, стекло, натертое кожей)
и отрицательная (которую приобретает, например, кожа, натирав-
натиравшая стекло). Выяснилось также, что разноименно наэлектризованные
тела взаимно притягиваются, а одноименно наэлектризованные —
отталкиваются.
Электризацию долгое время объясняли существованием особых
электрических жидкостей (положительной и отрицательной), переме-
перемещающихся внутри тела или перетекающих из одного тела в другое.
Только в 1881 г. была высказана (немецким физиком и физиологом
Гельмгольцем) гипотеза, объясняющая электрические явления суще-
существованием электрически заряженных элементарных частиц. Впослед-
Впоследствии эта гипотеза подтвердилась открытием электрона (в 1897 г.
английским физиком Дж. Дж. Томсоном) и протона (в 1919 г. англий-
английским физиком Резерфордом). Масса электрона m = 9,1091 • 10~31 кг,
его заряд е = —1,6021 • 10~19 Кл (кулон). Протон имеет положи-
положительный заряд, равный по величине заряду электрона; масса протона
в 1836 раз больше массы электрона. Существуют и другие элементар-
элементарные частицы (позитроны, мезоны, нейтроны, нейтрино и т. д.), среди
которых имеются как заряженные, так и нейтральные. С ними мы
познакомимся позже (см. гл. XX).
Все заряженные элементарные частицы имеют одинаковый по
величине заряд, равный заряду электрона и называемый элементарным
электрическим зарядом. Элементарный заряд является наименьшим
От греческого слова ijXexxpov (электрон) — янтарь.
235

(из известных) электрическим зарядом; это своего рода «атом электри-
электричества».
В наэлектризованном (заряженном) теле числа положительных
и отрицательных элементарных частиц различны; в незаряженном
теле эти числа равны между собой.
Тела, в которых электрические заряды могут свободно переме-
перемещаться, называются проводниками. Существуют два рода проводни-
проводников. К проводникам первого рода относятся все металлы. Перемещаю-
Перемещающимися в них зарядами являются свободные электроны; перемещение
не вызывает химических изменений в этих проводниках. К провод-
проводникам второго рода относятся электролиты (растворы солей, кислот
и щелочей), в которых перемещаются положительные и отрицатель-
отрицательные ионы, что ведет к химическим изменениям в самих проводниках.
Тела, в которых возможность перемещения зарядов весьма огра-
ограничена (мало свободных электронов или почти нет ионов), назы-
называются диэлектриками, или изоляторами. К ним относятся, напри-
например, янтарь, стекло, дистиллированная вода, спирт. Промежуточное
положение занимают полупроводники (селен, германий, кремний, гра-
графит и др.). Их электропроводность в значительной мере зависит от
внешних условий, главным образом от температуры. В последующих
параграфах мы более подробно рассмотрим свойства диэлектриков
(см. § 81, 82), проводников (см. § 80, 85—88, 91—93) и полупровод-
полупроводников (см. § 89, 90).
Участвуя в каких-либо процессах, электрические заряды могут
перемещаться с одного тела на другое или перераспределяться в пре-
пределах одного тела, но не могут уничтожаться и создаваться. Иными
словами,
в изолированной системе алгебраическая сумма электрических за-
зарядов остается постоянной.
Это положение называется законом сохранения электрического за-
ряда.
Единицей измерения электрического заряда (количества электри-
электричества) служит, как уже отмечалось, кулон (Кл). Эта единица уста-
устанавливается из соотношения (известного по школьному курсу физи-
физики), связывающего силу постоянного тока / в проводнике с электри-
электрическим зарядом <7, прошедшим через поперечное сечение проводника,
и временем / его прохождения [см. § 84, формула A) 1:
q = lt. A)
Согласно A), кулон—количество электричества, проходящее через
поперечное сечение проводника при токе 1 А за время 1 с:
Кл = А ¦ с.
Единица силы тока — ампер — является основной в СИ (см. § 2).
Она устанавливается на основе взаимодействия двух параллельных
проводников с током и потому точное ее определение будет дано позд-
позднее (см. § 100, а также приложение II).
236

§ 75. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме.
Электрическое поле и его напряженность
Электростатика изучаем взаимодействие и условия равновесия
покоящихся электрически зароенных тел, а также свойства этих тел,
обусловленные электрическими зарядами.
Первые количественные исследования по электростатике были вы-
выполнены в 1785 г. французским физиком Кулоном, который опытным
путем (с помощью крутильных весов) установил, что
два точечных заряда* взаимодействуют в вакууме с силой f t про-
пропорциональной величинам зарядов q{ и q*t обратно пропорциональной
квадрату расстояния г между ними и направленной по линии, соеди-
соединяющей эти заряды (закон Кулона):
B)
где k — коэффициент пропорциональности.
Формула B) справедлива не только для точечных зарядов, но
и для заряженных шаров конечного размера, В этом случае г есть
расстояние между центрами шаров. Сила взаимодействия заряженных
тел иной формы вычисляется путем векторного сложения сил взаимо-
взаимодействия всех точечных зарядов, составляющих заряды этих тел.
Коэффициент пропорциональности в формуле B) целесообразно
(рационально) представить в виде
k = —— , C)
4яе0
где величина е0 называется электрической постоянной (или диэлектри-
диэлектрической проницаемостью вакуума). Заметим далее, что коэффициент k
нельзя положить равным единице (и, следовательно, значение е0
нельзя выбрать произвольно), поскольку единицы измерения всех
физических величин, входящих в формулу B), уже установлены ра-
ранее. Поэтому значение &, а следовательно, и е0 необходимо определить
опытным путем (см. § 7).
Учитывая формулу C), запишем теперь закон Кулона B) для вза-
взаимодействия зарядов в вакууме в окончательном виде:
D)
Опытное определение величины е0 дало для нее значение Ю^/Збя =
= 8,85 • 10~12 единиц СИ. Размерность е0 легко определить из закона
Кулона D):
oi [F] [гЦ н. м*
В § 80 будет показано, что такая размерность соответствует раз-
размерности отношения фарада/метр (где фарада — единица измерения
* Точ?чным называется заряд, находящийся на теле пренебрежимо малого
размера по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он
взаимодействует.
237

электроемкости). Поэтому единица измерения электрической постоян-
постоянной е0 называется фарадой на метр (Ф/м). Итак,
е0 = 8,85 • Ю-12 Ф/м.
Введение множителя 4я в знаменатель коэффициента пропорциальности
в законе Кулона D) обусловлено следующей причиной. Если бы это не было сде-
сделано, то во многие формулы электричества (электростатики и электромагнетиз-
электромагнетизма), в том числе в формулы, часто встречающиеся на практике (в электротехни-
электротехнике и радиотехнике), вошел бы множитель 4л; или 1/4л (см. приложение III).
Чтобы освободить большинство таких практически важных формул от ирра-
иррационального множителя 4л (и тем самым упростить их), достаточно искусствен-
искусственно ввести в правые части формул закона Кулона D) и закона Ампера (магнитное
взаимодействие токов, см. § 95) множитель 1/4я, одновременно изменив в 4л
раз значения электрической постоянной е0 и магнитной постоянной fx0 (см. § 95),
что и было сделано нами. Правда, при этом менее важные в практическом отно-
отношении формулы электричества соответственно усложняются.
Указанное преобразование формул электричества называется их рациона-
рационализацией, и преобразованные таким способом формулы называются рациона-
рационализованными. Международная система единиц измерения (СИ) построена на
рационализованных формулах электричества.
Отметим, что рационализация формул электричества оправдана не только
практической целесообразностью, но и определенным физическим смыслом:
множитель 4л в законе Кулона отражает сферическую симметрию электричес-
электрического поля одиночного заряда.
В применявшихся ранее других системах единиц измерения физических ве-
величин (в частности, в системе СГС) использовались только нерационализован-
ные формулы электричества. Правило преобразования рационализованных фор-
формул в нерацион ал изованные {правило дерационализации) сформулировано в при-
приложении III. Там же приведены некоторые формулы электростатики и электро-
электромагнетизма, записанные в рационализованном и в нерационализованном видах.
Электрические заряды, находясь на расстоянии друг от друга,
взаимодействуют между собой через пространство. Как мы уже знаем
(см. § 12), такое взаимодействие может осуществляться только по-
посредством поля, в данном случае — электрического. Электрическим
полем называется вид материи, посредством которого взаимодейст-
взаимодействуют электрические заряды. Каждое заряженное тело окружено элек-
электрическим полем. Всякий заряд, помещенный в это поле, подвергает-
подвергается, согласно формуле D), действию силы.
Пусть в некоторой точке поля заряда Q находится малый поло-
положительный заряд q0 —так называемый пробный заряд*. На него будет
действовать сила Fo. Отношение F0/q0 представляет собой силу, дейст-
действующую на единичный положительный заряд; оно не зависит от ве-
величины пробного заряда и потому может служить характеристикой
электрического поля. Векторная величина
Е=-?- E)
называется напряженностью электрического поля. Она направлена
так же, как сила Fo (поскольку q0 — скаляр). Таким образом, напря-
напряженность электрического поля в данной точке есть вектор, равный по
* Пробный заряд должен быть малым для того, чтобы его собственное поле
не искажало поля заряда Q.
238

величине силе, дейещвующей на единичный положительный заряду по-
помещенный в эту токки и совпадающий с ней по направлению. Из фор-
формулы E) следует, что э^ единицу напряженности электрического поля
принимается напряженность такого поля, которое действует на
заряд в 1 Кл с силой в 1 Н- Размерность
н
м
= м • кг • с""8 • А.
Как будет показано в § 78, Н/Кл =* вольт/метр (где вольт — едини-
единица измерения потенциала электрического поля). Поэтому единица
измерения напряженности
электрического поля полу-
получила название вольт на
метр (В/м),
Электрическое поле ве-
весьма наглядно изобража-
изображается с помощью силовых
линий. Силовой линией эле-
электрического поля называет-
Рис. 145
ся линия, в каждой точке
которой касательная сов-
совпадает с вектором на-
напряженности поля (рис. 145). Силовые линии проводятся с такой гу-
густотой, чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку
в 1 м2, перпендикулярную полю, равнялось величине напряженности
поля в данном месте. Тогда по изображению электрического поля
можно судить не только о направлении, но и о величине напряжен-
напряженности поля. Например, в окрестностях точки А (см. рис. 145) Е =
= 2 В/м, а в окрестностях точки В Е = 4 В/м.
Рис. 146
Рис. 147
Электрическое поле называется однородным, если во всех его точ-
точках напряженность Е одинакова. В противном случае поле называет-
называется неоднородным.
На рис. 146 и 147 изображены электрические поля положитель-
положительного и отрицательного точечных зарядов. Исходя из положительного
239

заряда (или входя в отрицательный заряд) силорые линии теорети-
теоретически простираются до бесконечности.
Величина напряженности электрического, поля, создаваемого то-
точечным (или шаровым) зарядом qy определяется по формулам D)
и E) следующим образом:
где г — расстояние от заряда, создающего поле, до точки, в которой
определяется напряженность. Таким образом, напряженность поля
точечного заряда оказывается обратно
пропорциональной квадрату расстояния
от этого заряда.
Число силовых линий, пронизывающих
некоторую поверхность (реальную или во-
воображаемую), расположенную в электри-
электрическом поле, называется потоком напря-
напряженности электрического поля N через эту
поверхность. Если поверхность перпенди-
перпендикулярна силовым линиям и напряженность
поля Е одинакова на всей поверхности, то,
очевидно,
Если поверхность не перпендикулярна силовым линиям и напря-
напряженность поля на различных его участках различна, то надо разбить
поверхность на малые площадки AS, на каждой из которых можно счи-
считать напряженность поля Е постоянной (рис. 148). Поток напряжен-
напряженности через такую элементарную площадку будет равен
Где а — угол между силовой линией и нормалью п к площадке AS,
AS' — проекция площадки AS на плоскость, перпендикулярную си-
силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверх-
поверхность представится суммой элементарных потоков:

§ 76.^Электрический диполь. Поле диполя
Электрическим дипЬмм* называется совокупность двух равных
по величине разноименных точечных зарядов qy расположенных на
некотором расстоянии / друу от друга (рис. 149). Произведение
\/ = Р
называется моментом диполя; прямая линия, соединяющая заряды,
называется осью диполя. Обычно момент диполя считают направлен-
направленным по оси диполя в сторону положительного заряда.
Рис. 149
Определим величину напряженности поля на продолжении оси
диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
1. Напряженность поля на продолжении
оси диполя. Согласно рис. 149, напряженность Е поля диполя
в точке А направлена вдоль оси диполя и равна разности напряжен-
ностей Е+ и ?1, создаваемых положительным и отрицательным за-
зарядами:
Е = ?+ - ?_.
Обозначив через г расстояние от А до середины оси диполя, можем
на основании формулы F) написать _
/ \2 *
Тогда после простых преобразований получим
2-(-*-т)
Полагая г>/, т. е. рассматривая поле на доста-
достаточно большом расстоянии от диполя, пренебре-
пренебрежем 12/4. Тогда
Я =_??_ = _Е-. (8)
2. Напряженность поля на пер-
перпендикуляре к середине оси
диполя. Согласно рис. 150, напряженность Е рИс. 150
поля диполя в точке А равна векторной сумме на-
* От греческих слов fit (ди) — два, поХоо (полос) — полюс.
241

пряженностей Е+ и Е_, создаваемых положительным и отрицательным
зарядами:
Е = Е+ + Е_.
Так как по величине заряды одинаковы и г+ = г_, то по величине
Е+ = Е_. Тогда Е является диагональю ромба, поэтому
Е = 2Я+ cos a.
Но
и cos а =
ql
Следовательно,
Полагая, как и раньше, г > /, примем г+ж г Тогда
Рис. 151
Таким образом, на большом расстоянии
'от диполя напряженность электриче-
электрического поля диполя обратно пропорци-
пропорциональна кубу расстояния.
Аналогичные предыдущим построе-
построения вектора напряженности, выпол-
выполненные для других точек пространства,
окружающего диполь, покажут, что по-
поле диполя имеет вид, представленный
на рис. 151.
§ 77. Теорема Остроградского—Гаусса и ее приложения
Определим поток напряженности поля электрических зарядов
<7ь q^y qz, .-., qn через некоторую замкнутую поверхность, окружаю-
окружающую эти заряды (рис. 152)*. Причем будем считать поток отрицатель-
отрицательным, если он направлен внутрь поверхности; в противном случае бу-
будем считать его положительным.
Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом
/?, окружающей один заряд qy находящийся в ее центре (рис. 153).
Согласно формуле F), напряженность поля на всей сфере одинакова
и равна
* Чтобы не усложнять рисунка, силовые линии проведены только для трех
зарядов.
242

Силовые линии ^цаправлены по радиусам, т. е. перпендикулярно
поверхности сферы. ЭН) дает возможность применить для расчета по-
потока напряженности #\(Ьормулу G):
N = ?S\= —L— 4тг/?2 = -?-, A0)
где S = 4я/?2 — площадь сферической поверхности.
Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью»
Как видно на рио. 153, каждая силовая линия, пронизывающая сферу,
пронижет и эту поверхность. Следовательно, формула A0) справед-
справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности*.
Рис. 152
Рис. 153
Теперь вернемся к общему случаю произвольной поверхности,
окружающей п зарядов (см. рис. 152). Очевидно, что поток напря-
напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых
каждым из зарядов:
или окончательно
(И)
Таким образом,
поток напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверх-
поверхность, окружающую электрические заряды, пропорционален алгебраи-
алгебраической сумме окруженных зарядов.
Это положение называется теоремой Остроградского — Гаусса**.
* Это следует также из выраженной формулой A0) независимости потока
от радиуса.
** Первоначально выведена русским математиком М. В. Остроградским
в качестве общематематической теоремы; позднее (независимо от него) установ-
установлена немецким математиком и физиком Гауссом применительно к электрическому
полю.
243

Теорема Остроградского—Гаусса представляет значительный прак-
практический интерес: с ее помощью можно очень просто определять на-
напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной
формы. Рассмотрим несколько примеров.
1. Н а п р я ж е н н о ст ь поля равномерно заря-
заряженной бесконечной прямолинейной нити.
Прежде всего выясним, каков вид поля этой нити. Мысленно разобьем
заряженную нить на бесконечно большое число точечных зарядов
^(рис. 154, а). Из некоторой точки А опустим на нить перпендикуляр
АО. Очевидно, что точечные заряды В и С, симметричные относитель-
1
1
1
я
ч
'
S
5 '
Рнс
. 155
4
:
:
Рис. 154
но Л О, создадут в А напряженность ?, направленную перпендикуляр-
перпендикулярно нити. Так как вся нить состоит из симметричных (относительно
АО) пар точечных зарядов, то результирующая напряженность поля
в точке А будет направлена вдоль линии ОА. Иначе говоря, силовая
линия, содержащая точку Л, есть прямая, исходящая из нити и пер-
перпендикулярная ей*.
Проведя аналогичные рассуждения относительно других точек
пространства, окружающего нить, придем к выводу, что электричес-
электрическое поле равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити
изображается радиальными силовыми линиями, перпендикулярными
нити (рис. 154, б). Такой же вид будет иметь и поле конечной нити;
искажения появятся только в окрестностях ее концов.
Определим теперь величину напряженности пфля нити в некото-
некоторой точке А на расстоянии г от нити (рис. 155). Пусть линейная пло-
плотность заряда нити (т. е. заряд, приходящийся на единицу длины)
равен р (Кл/м). Окружим часть h длины нити воображаемым цилинд-
цилиндром, ось которого совпадает с нитью, а боковая поверхность содер-
* Исходящая линия, если нить заряжена положительно, и входящая, если
нить заряжена отрицательно.
244

жит точку Л. Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток на-
напряженности через пбверхность этого цилиндра равен
A2)
где S qt = pA — заряд части нити, окруженной цилиндром. С другой
стороны, согласно формуле G),
N = ES = Е • 2irrA, A3)
где5=2я/*Л— площадь боковой поверхности цилиндра*. Прирав-
Приравнивая друг к другу правые части соотношений A2) и A3), получим
Е=—?-. A4)
Следовательно, напряженность
поля нити обратно пропорциональ-
пропорциональна первой степени расстояния.
С помощью формулы A4) можно
рассчитывать напряженность поля
заряженного провода, тонкого стер-
стержня и т. п.
2. Напряженностьпо-
ля равномерно заря-
заряженной бесконечной
плоскости. Проводя рассуж-
рассуждения, подобные тем, которые йме- Рис 156
ли место при выяснении вида поля
нити, нетрудно убедиться, что силовые линии поля бесконечной за-
заряженной плоскости перпендикулярны этой плоскости (рис. 156).
Определим величину напряженности поля плоскости в некоторой точ-
точке А. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости (т. е. заряд,
приходящийся на единицу площади) равна а (Кл/м2). Построим во-
воображаемый цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости,
я правое основание содержит точку Л. Плоскость делит цилиндр по-
полол ам.
Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности
через поверхность этого цилиндра
N
п
1 VI °5
ж_ *¦¦ е~
A5)
где 5] qt = oS — заряд части плоскости, окруженный цилиндром,
* Поток напряженности через основания цилиндра отсутствует, так как
силовые линии параллельны основаниям.
245

S — площадь основания цилиндра. Весь поток проходит только че-
через основания цилиндра, так как силовые линии параллельны бо-
боковой поверхности цилиндра. На обоих основаниях напряженность
поля Е одинакова, так как точки А и В симметричны относительно
плоскости. Тогда, согласно формуле G),
N — F . 99 (\Pi\
iV Lj * ^>О, ^1UJ
где 2S — площадь оснований цилиндра. Приравнивая друг к другу
правые части соотношений A5) и A6), получим
A7)
2е0
Таким образом, напряженность поля бесконечной заряженной
плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не
^ ^ зависит от расстояния до плоскости, Следо-
^ вательно, поле плоскости является однород-
однородным.
__ 3. Напряженность поля ме-
между двумя бесконечными па-
— р а л л е л ь н ы м и разноименно
'_2 заряженными плоскостями.
Пусть поверхностные плотности заряда пло-
— скостей равны + о и —о. На рис. 157 дан
вертикальный разрез плоскостей; поле поло-
положительно заряженной плоскости изображена
сплошными силовыми линиями, поле отри-
отрицательно заряженной плоскости — прерыви-
прерывистыми. Так как по величине поверхностные
плотности заряда плоскостей одинаковы, то, согласно форму-
формуле A7), напряженности поля (Е+ и ?_), создаваемого каждой из плос-
плоскостей, одинаковы:
Рис. 157
Как видно на рис. 157, поля между плоскостями складываются (си-
(силовые линии направлены в одну сторону). Поэтому напряженность
поля между плоскостями Е = Е+ + ?L, или
Е =
A8)
Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (силовые линии на-
направлены навстречу друг другу). Поэтому здесь напряженность поля
Е = 0.
Таким образом, поле между двумя бесконечными разноименно за-
заряженными параллельными плоскостями однородно, а слева и справа
от плоскостей оно отсутствует. Такой же вид имеет поле конечных
параллельных плоскостей; искажение появляется только вблизи их
границ.
С помощью формулы A8) можно рассчитывать напряженность по-
поля внутри плоского конденсатора (см. § 82).
246

§ 78. Работа перемещения заряда
в электрическом поле. Потенциал
На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует
сила, которая может перемещать этот заряд. Определим работу А
перемещения точечного положительного заряда q из точки О в точку
л, совершаемую силами электрического поля отрицательного заряда
Q (рис. 158). По закону Кулона, сила, перемещающая заряд, является
переменной и равной
где г — переменное расстоя-
расстояние между зарядами. Заме-
Заметим, что по такому же за-
закону (обратной пропорцио-
пропорциональности квадрату расстоя-
расстояния) изменяется сила, пере-
мещающая массу т в гра- ис*
витационном поле массы М
(см. § 17). Поэтому работа перемещения заряда в электрическом
поле (совершаемая электрическими силами) выразится формулой,
аналогичной формуле работы перемещения массы в гравитационном
поле (совершаемой гравитационными силами):
л_ gQ qQ
4ne0rn
ИЛИ
(*^Ц A9)
Формула A9) выводится точно таким же путем, каким была выведе-
выведена формула (8) в § 17.
Еще проще можно вывести формулу A9) посредством интегрирования:
{".*—* Г"
J
Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся
зарядов величина dr отрицательна, тогда как работа dА — F • dr должна быть
положительной, поскольку перемещение заряда q происходит в направлении
действия силы.
Сопоставляя формулу A9) с общей формулой D) из § 17, придем
к выводу, что величина ( SSL-A представляет собой потенциаль-
потенциальную энергию Wn заряда в данной точке электрического поля:
*•—•&¦¦ <2о>
247

Знак минус показывает, что по мере перемещения заряда силами поля
его потенциальная энергия убывает, переходя в работу перемещения.
Величина
равная потенциальной энергии единичного положительного заряда
\q = + \)у называется потенциалом электрического поля, или элек-
электрическим потенциалом. Электрический потенциал не зависит от
величины перемещаемого заряда и потому может служить характери-
характеристикой электрического поля, подобно тому, как гравитационный по-
потенциал служит характеристикой гравитационного поля.
Подставив выражение потенциала B1) в формулу работы A9),
получим
-Фя>. B2)
или
Фо-ФЛ = —. B3)
Полагая q = + 1, получим
Таким образом, разность потенциалов двух точек поля равна работе
сил поля по перемещению единичного положительного заряда из одной
точки в другую.
Переместим теперь заряд q (действуя против сил поля) из неко-
некоторой точки на бесконечность (гп «* оо). Тогда, согласно формулам
B1) и B3), фп = 0 и
?о = —• B4)
При q = + 1 получим ср0 = Л. Следовательно, потенциал точки
электрического поля равен работе перемещения единичного положи-
положительного заряда из данной точки на бесконечность.
Из формулы B4) установим единицу измерения потенциала, на-
называемую вольтом (В):
В = Дж/Кл. B5)
т. е. вольт является потенциалом такой точки поля, при перемеще-
перемещении из которой заряда +1 Кл на бесконечность совершается работа
в 1 Дж. Размерность потенциала
[<р] « Ж = J5» « ма . КР . с-з . д-1#
Теперь, учитывая формулу B5), можно показать, что установленная
в §75 единица измерения напряженности электрического поля дейст-
действительно равна В/м:
н ^ н-м _ Дж в _в_
Кл Кл»м Кл-м м
248

Если заряд Q, создающий поле, отрицателен, то силы поля пре-
препятствуют перемещению единичного положительного заряда на бес-
бесконечность, совершая тем самым отрицательную работу. Поэтому по-
потенциал любой точки поля, созданного отрицательным зарядом, явля-
является отрицательным (подобно тому, как отрицателен гравитационный
потенциал любой точки поля тяготения). Если же заряд, создающий
поле, положителен, то силы поля сами перемещают единичный поло-
положительный заряд на бесконечность, совершая положительную ра-
работу. Поэтому потенциал любой точки поля положительного заряда
является положительным. Исходя из этих соображений можно за-
записать выражение B1) в более общем виде:
B6)
где знак минус относится к случаю отрицательного заряда, а знак
плюс — к случаю положительного заряда Q.
Если поле создается несколькими зарядами, то его потенциал равен алге-
алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов (потенциал — скаляр-
скалярная величина: отношение работы к заряду). Поэтому потенциал поля любой за-
заряженной системы можно рассчитать на основе приведенных ранее формул,
предварительно разбив систему на большое число точечных зарядов.
Работа перемещения заряда в электрическом
поле, как и работа перемещения массы в гра-
гравитационном поле, не зависит от формы пути,
а зависит только от разности потенциалов на-
начальной и конечной точек пути. Следовательно,
электрические силы являются потенциальными
силами (см. § 17). Поверхность, во всех точках
которой потенциал одинаков, называется экви-
эквипотенциальной. Из формулы B2) следует, что
работа перемещения заряда вдоль эквипотенци-
эквипотенциальной поверхности равна нулю (так как ф0 = фп).
Это означает, что силы электрического поля на-
направлены перпендикулярно эквипотенциаль-
эквипотенциальным поверхностям, т. е. силовые линии поля перпендикулярны экви-
эквипотенциальным поверхностям (рис. 159).
Таким образом, электрическое поле характеризуется двумя фи-
физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика)
и потенциалом (энергетическая характеристика); выясним, как они
связаны между собою. Пусть положительный заряд q перемещается
силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имею-
имеющей потенциал ф0, на близко расположенную эквипотенциальную по-
поверхность, имеющую потенциал фп<ф0 (см. рис. 159). Напряженность
поля Е на всем малом пути Ах можно считать постоянной. Тогда ра-
работа перемещения
ДЛ = ?? • Дл;, B7)
где qE — сила, перемещающая заряд на пути Д#. С другой стороны,
-<рп) = <7-Д<р, B8)
249

где
<Р0 — Vn Z
Из формул B7) и B8) получим
— gradcp;
B9)
знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в
сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала напра-
направлен в сторону возрастания потенциала (см. § 3 и рис. 159).
Итак, напряженность поля равна по величине и противоположна
по направлению градиенту потенциала. Формула B9) также пока-
показывает, что единицей измерения напряженности электрического поля
является 1 В/м.
§ 79. О неустойчивости статических систем
электрических зарядов
Из формулы B0) следует, что потенциальная энергия Wn взаимо-
взаимодействия двух зарядов <7i и ?з, расположенных на расстоянии г друг
от друга, выражается соотношением
C0)
\ъь<0
Рис. 160
где знак плюс соответствует взаимо-
взаимодействию одноименных, а знак ми-
минус — разноименных зарядов.
На рис. 160 представлен график
зависимости взаимной потенциальной
энергии этих зарядов от расстояния
между ними, построенный по форму-
формуле C0) (две гиперболы: верхняя —
для одноименных зарядов, нижняя—
для разноименных). График показы-
показывает, что потенциальная энергия си-
системы двух зарядов не имеет мини-
минимума и, следовательно, ни при ка-
каком их расположении не может нахо-
находиться в устойчивом равновесии (и
вообще в равновесии)*. В самом деле,
одноименные заряды {qiq2 > 0) бу-
будут удаляться друг от друга, пока не
разойдутся на бесконечно большое
* При этом предполагается, что, кроме кулоновских сил, на заряды не
действуют никакие другие силы.
250

расстояние, а разноименные заряды (qiq2<0) —сближаться вплоть
до соприкосновения и взаимной нейтрализации. В обоих случаях
система полностью разрушится.
Можно доказать, что не только у системы из двух зарядов, но и у
системы из любого числа зарядов при любом их расположении по-
потенциальная энергия взаимодействия не имеет минимума и потому
устойчивое статическое распределение электрических зарядов, на-
находящихся на конечных расстояниях друг от друга, невозможно.
Это положение носит название теоремы Ирншоу*.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что устойчивое равно-
равновесие заряженных частиц — молекул в жидких и твердых телах (см.
§ 35) и ионов в кристаллах (см. § 51) не яв-
является статическим. Оно носит динамиче- 7fJ
ский (колебательный) характер и обусло-
обусловлено одновременным действием межмоле-
межмолекулярных сил притяжения и отталкива-
отталкивания. Причем зависимость сил притяжения
и сил отталкивания от расстояния между
заряженными частицами выражается раз-
различными и отличающимися от закона
Кулона закономерностями (см. § 35).
Теорема Ирншоу сыграла важную роль
в развитии теории строения атома. Имен-
Именно из нее был сделан вывод о том, что атом Рис. 161
не представляют собой статическую (не-
(неподвижную) систему зарядов и что устойчивость атома может быть
обеспечена только непрерывным движением его частиц — электронов
(см. § 132). Здесь мы опять встречаемся с примером того, как фи-
физические закономерности подтверждают фундаментальное положение
диалектического материализма о неразрывной связи между материей
и движением.
Система из многих разноименных электрических зарядов при определенном
их взаиморасположении и определенном соотношении между их величинами, во-
вообще говоря, может находиться в равновесии, однако это равновесие не будет
устойчивым. Так, например, пять зарядов qi, q%, ..., q$ составят равновесную
систему, если один из них (qi) помещен в центр квадрата, а остальные — в его
вершинах (рис. 161) и если q\ — + q, a
Однако малейшее случайное смещение А заряда q\ немедленно приведет
к его дальнейшему перемещению вплоть до объединения с другим зарядом
(в данном случае qb)\ одновременно остальные заряды начнут удаляться друг
от друга и разойдутся на бесконечное расстояние. В результате система пол-
полностью разрушится.
Анализ любых других частных случаев равновесия многозарядовых сис-
систем показывает, что все они соответствуют неустойчивому равновесию.
* Выведена в общем виде английским ученым Ирншоу.
** Приведенное соотношение между величинами зарядов рассчитывается
по закону Кулона. Читатель может проделать этот расчет самостоятельно.
251

Рве. 162
До сих пор предполагалось, что заряды и их поля находятся в ва-
вакууме. В последующих параграфах мы рассмотрим, какое влияние
на электрическое поле и на взаимодействие электрических зарядов
оказывает вещественная среда — проводники и диэлектрики.
§ 80. Проводники в электрическом поле. Электроемкость.
Энергия заряженного проводника
Поместим в однородное электрическое поле нейтральный провод-
проводник, например металлический шар. Под влиянием поля свободные
электроны проводника начнут перемещаться против поля. В резуль-
результате левая часть поверхности шара зарядится
[ отрицательно, а правая, на которой окажется
; недостаток электронов, — положительно (рис.
162). Это явление называется электростати-
\ ческой индукцией*. Индуцированные заряды
; создадут внутри проводника свое собствен-
собственное поле, которое, очевидно, будет направле-
; но противоположно внешнему чтолю, перво-
первоначально пронизывавшему проводник. Пе-
Перераспределение зарядов в проводнике будет
происходить до тех пор, пока внешнее поле
внутри проводника не скомпенсируется собственным полем за-
зарядов. При этом результирующее поле внутри проводника отсут-
отсутствует, напряженность становится равной нулю, перераспределение
зарядов прекращается. Отсутствие поля внутри, проводника означает,
что все его точки имеют одинаковый потенциал, т. е. проводник явля-
является эквипотенциальным телом и поверхность проводника служит
эквипотенциальной поверхностью. Но в таком случае силовые линии
внешнего поля вблизи проводника должны расположиться перпенди-
перпендикулярно поверхности проводника. Итак, внесенный в электрическое
поле проводник, если даже он не заряжен, вызывает искажение этого
поля: вблизи проводника оно становится неоднородным. На рис. 162
изображены силовые линии поля (прерывистые) и эквипотенциальные
поверхности (сплошные линии) вблизи проводника.
Очевидно, что электрическое поле будет отсутствовать не только
внутри сплошного проводника, но и внутри полостей, имеющихся
в проводнике, например внутри полого шара. На этом свойстве про-
проводников основана так называемая электростатическая защита:
прибор, который надо защитить от действия внешнего электрического
поля, окружают со всех сторон проводником, например густой ме-
металлической сеткой.
Если проводник заряжен, то сообщенные ему заряды будут уда-
удаляться друг от друга под действием кулоновских сил отталкивания
на возможно большее расстояние. Поэтому электрические заряды рас-
располагаются только на внешней поверхности проводника. Внутри про-
проводника свободных зарядов нет. Наибольшая поверхностная плотность
* От латинского слова induction — наведение, возбуждение.
252

заряда оказывается на выпуклых частях проводника: ребрах, остриях
и т. п. Вблизи этих частей создается наибольшая напряженность поля
заряженного проводника.
Так как поверхность проводника является эквипотенциальной, та
заряженный проводник можно характеризовать потенциалом. Опыт
показывает, что по мере увеличения заряда проводника возрастает
и его потенциал: при изменении заряда на величину dq потенциал
изменяется на величину dcp, но отношения
= — = -2-
C1)
где q — заряд, ф — потенциал проводника, остаются постоянными.
Величина С называется электроемкостью проводника. Это важная
электрическая характеристика проводника, зависящая только от его
размера и формы. Следует, однако, подчеркнуть, что данное утверж-
утверждение справедливо лишь для уединенного проводника. Если же вблизи
проводника находятся другие тела, то поля их зарядов (собственных
или индуцированных) изменяют потенциал, а следовательно, и емкость
проводника. Таким образом, согласно формуле C1), электроемкость
уединенного проводника численно равна заряду, изменяющему потен-
потенциал проводника на единицу.
Единицей электроемкости является фарада — емкость такого
уединенного проводника, которому заряд в 1 Кл сообщает потенциал
в 1 В:
Ф = Кл/В
Согласно формуле C1), размерность электроемкости
[С] = Ж = iM = м-2. кг-1 . С4. Aie
М [В]
На рис. 163 изображе-
изображены с помощью силовых
линий электрические поля
уединенного точечного за-
заряда q (а) и уединенного
проводящего шара (б) ра-
радиусом г, несущего заряд
q. На расстоянии >г от
точечного заряда и от цен-
центра шара эти поля оказы-
оказываются совершенно одина- Рис. 163
ковыми. Поэтому потен-
потенциал поверхности шара радиусом г и емкостью С равен потенции
алу эквипотенциальной поверхности, находящейся на расстоянии г
от точечного заряда (эта поверхность изображена на рис. 163, а пре-
прерывистой линией). Тогда, согласно формулам C1) и B6),
я я
Y С
25$

откуда
С = 4«v C2)
и
«о = -г- • C3)
Из формулы C3) непосредственно следует, что электрическая по-
постоянная s0 должна, как это отмечалось в § 75, измеряться в фарадах
на метр (Ф/м).
Выразим из формулы C2) радиус шара г:
г =
Если С = 1 ф, то, учитывая, что s0 = 8,85 • 10~12 Ф/м, получим
г
—
4- 3,14-8,85- 10-" Ф/м
=9. 109м=9-10вкм.
Следовательно, емкостью в 1 Ф обладает уединенный проводящий шар
радиусом в 9 • 106 км. Это чрезвычайно большая единица емкости.
Поэтому в технике часто пользуются внесистемными единицами —
микрофарадой и пикофарадой: 1 мкФ == 10"* Ф, 1 пФ=10~в мкФ,
что соответствует емкостям уединенных проводящих шаров радиуса-
радиусами 9 км и 0,9 см.
Землю в целом можно считать проводящим шаром радиусом R = 6400 км.
Тогда электроемкость земного шара равна
10чф-711мкФ.
9 • W ы
Для зарядки проводника необходимо совершить определенную
работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными
зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии за-
заряженного проводника. Определим энергию заряженного проводни-
проводника. Пусть первоначально нейтральному проводнику, имеющему
емкость С, сообщается заряд q. Причем зарядка производится посте-
постепенно: малыми порциями заряда dq, переносимыми из бесконечности,
где потенциал ср0 = 0. По мере зарядки потенциал проводника воз-
возрастает. Обозначим этот переменный потенциал через ф. Тогда малая
работа dA, совершаемая при переносе очередного заряда dq, выра-
выразится, согласно формуле B2), соотношением
dA = (<р0 — ср) • dq = — <р • dq.
Согласно формуле C1), dq = С • oftp, поэтому
dA = — Сер • dcp.
Полная работа по зарядке проводника равна сумме всех малых ра-
работ dA:
Л= UA^—i
о
254

Знак минус показывает, что работа совершается внешними силами
против сил поля заряженного проводника. Такую же по величине, но
положительную работу может теперь совершить (в процессе разряд-
разрядки) сам заряженный проводник. Поэтому энергия заряженного провод-
проводника W выразится формулой
или, согласно формуле C1),
Я9 Я2
2 2С~
C4)
C5)
§ 81. Диэлектрики в электрическом поле.
Поляризация диэлектриков
Опыт показывает, что помещенный в электрическое поле диэлек-
диэлектрик приобретает полярность: та часть его поверхности, в которую
входят силовые линии, заряжается отрицательно, а противополож-
противоположная часть — положительно. Это явление называется поляризацией
диэлектрика. По внешнему проявлению процесс поляризации ди-
диэлектрика схож с рассмотренным ранее процессом электростатиче-
электростатической индукции проводника. Однако по существу эти процессы различ-
различны. В диэлектрике нет свободных зарядов, которые могли бы перерас-
перераспределяться под действием поля. Все разноименные заряды в диэлек-
диэлектрике попарно связаны (электронная
оболочка атома связана с его ядром,
отрицательные ионы кристалла связаны
с его положительными ионами и т. п.).
Поляризация кристаллических диэлек-
диэлектриков и диэлектриков, состоящих из
неполярных молекул, обусловлена не-
небольшими смещениями связанных заря-
зарядов друг относительно друга. Поляри-
Поляризация диэлектриков, состоящих из ди-
польных молекул, обусловлена поворо-
поворотом связанных зарядов относительно
центра связи. Рассмотрим перечислен-
перечисленные виды поляризации более подробно.
1.Поляризация диэлек-
диэлектриков, состоящих из не-
неполярных молекул. Неполя-
Неполярная молекула (или атом) может быть
схематически представлена в виде поло-
положительно заряженной центральной обла-
области (атомного ядра), симметрично окру-
окруженной отрицательно заряженной обо-
оболочкой (электронной). Относительно
внешнего пространства такая молекула РИС. 164

является нейтральной (рис. 164, а). Под влиянием электрического по-
поля напряженностью Е положительный заряд сместится в направлении
ноля, а электронная оболочка вытянется в противоположную сторону
{рис. 164, б). Молекула станет полярной (дипольной), подобной эле-
электрическому диполю (рис. 164, в). Такого рода поляризация молекул
«азывается электронной. Очевидно, что при помещении диэлектрика
в электрическое поле все непо-
неполярные молекулы превратятся в
дипольные, расположенные це-
цепочками вдоль силовых линий
поля, как показано на рис.
164, г, где черными кружками
обозначены отрицательные за-
заряды, а белыми — положитель-
положительные.
В результате торцы диэле-
диэлектрика приобретут разноимен-
разноименные заряды — диэлектрик по-
поляризуется. Степень электрон-
электронной поляризации диэлектрика
зависит от его свойств и от ве-
величины напряженности поля Я.
2. Поляризация ди-
диэлектриков, состоя-
состоящих из полярных мо-
молекул. У некоторых диэле-
диэлектриков молекулы всегда (и в
отсутствие внешнего поля) не-
несимметричны в электрическом
отношении, т. е. являются ди-
польными. К таким диэлектри-
диэлектрикам относятся, например, вода,
аммиак, эфир, ацетон. Благода-
Благодаря тепловому движению диполь-
дипольные молекулы расположены в
диэлектрике беспорядочно, т. е.
оси дипольных молекул имеют
самые разнообразные направления (рис. 165, а). Поэтому диэлектрик в
целом оказывается неполяризованным. Под влиянием электрического
поля все дипольные молекулы диэлектрика повернутся так, что их оси
расположатся приблизительно вдоль силовых линий поля*. В резуль-
результате диэлектрик поляризуется (рис. 165, б). Такого рода поляризация
называется ориентационной, или дипольной, поляризацией. Полной
ориентации молекул препятствует тепловое движение. Степень ориен-
Рис. 165
* Внешнее поле действует на заряды диполя с силами, равными по вели-
величине, но противоположными по направлению. Создается вращающий момент,
поворачивающий диполь до тех пор, пока его ось не установится в направлении
поля.
256

тационной поляризации зависит от свойств диэлектрика, величины
напряженности поля Е и температуры.
При исчезновении внешнего поля исчезает и поляризация диэлек-
диэлектрика, так как тепловое движение сразу же разрушает ориентацию
молекул. Существуют, однако, и такие диэлектрики, называемые сег-
нетоэлектриками, у которых значительная поляризация сохраняется
и после исчезновения поля. Это объясняется тем, что в сегнетоэлектри-
ках имеются области самопроизвольной поляризации: микроскопичес-
микроскопические объемы, в каждом из которых все дипольные молекулы ориенти-
ориентированы одинаково. Внешнее поле поворачивает в сегнетоэлектрике
не отдельные полярные молекулы, а целые полярные объемы. После
исчезновения электрического поля тепловое движение сможет дезо-
дезориентировать такие объемы только в случае достаточно высокой тем-
температуры*. В противном случае сегнетоэлектрик остается поляризо-
поляризованным и после исчезнования поля. Типичными сегнетоэлектриками
являются сегнетова соль (NaKC4H4O6 * 4Н2О) и титанат бария
(ВаТЮз).
3. Поляризация диэлектриков, являющих-
являющихся ионными кристаллами. У кристаллических диэлек-
диэлектриков с ионной решеткой каждая пара соседних разноименных ионов
подобна диполю (рис. 165, в). В электрическом поле эти диполи де-
деформируются: удлиняются, если их оси направлены по полю, и уко-
укорачиваются, если оси направлены против поля (рис. 165, г). В ре-
результате диэлектрик поляризуется. Такого рода поляризация
называется ионной. Степень ионной поляризации зависит от свойств
диэлектрика и от напряженности поля Е.
Некоторые кристаллы (кварц, турмалин и др.) поляризуются при
механической деформации. При сжатии пластинки такого кристалла,
вырезанной в определенном направлении, ее плоскости оказываются
разноименно заряженными и внутри пластинки возникает электриче-
электрическое поле. При растяжении пластинки ее полярность и направление
поля изменяются на противоположные. Это явление называется пьезо-
пьезоэлектрическим эффектом, а соответствующие вещества — пьезоэлек-
триками**. Пьезоэлектрический эффект обусловлен деформацией
структурных группировок молекул пьезоэлектрика, нарушающей сим-
симметричность каждой из этих группировок в электрическом отношении.
Существует и обратный пьезоэлектрический эффект (являющийся
частным случаем электрострикции): во внешнем электрическом поле
пластинка пьезоэлектрика деформируется вдоль поля (сжимается или
растягивается в зависимости от направления поля).
Пьезоэлектрический эффект используется в технике для измере-
измерения быстро изменяющихся давлений и для исследования ультразвуко-
ультразвуковых колебаний. Обратный пьезоэлектрический эффект используется
для возбуждения ультразвуковых колебаний. Пьезокварц применяет-
* Эта температура называемая точкой Кюри, различна у разных сегнето-
электриков; например, у титаната бария она равна 391 К.
** От греческого слова тссеСш (пьезо) — сжимаю.
9-31 257

ся для стабилизации высокочастотных электрических колебаний, по-
поскольку частота собственных механических колебаний пьезокварца
характеризуется очень устойчивым постоянством.
§ 82. Электрическое поле в диэлектрике. Диэлектрическая
проницаемость. Вектор электрической индукции
Поляризация диэлектрика в электрическом поле ведет к ослабле-
ослаблению этого поля внутри диэлектрика. Действительно, пусть напряжен-
напряженность поля между двумя безграничными параллельными разноимен-
разноименно заряженными пластинами, находящимися в
вакууме, равна Ео (рис. 166). Поместим теперь
между пластинами однородный изотропный диэле-
диэлектрик. Поляризуясь, он создаст свое собственное
поле напряженностью ?\ направленное против
внешнего поля ?0. Поэтому результирующая на-
напряженность поля в диэлектрике Е меньше Ео на
величину ?':
Е=Е0-Е'.
Отношение напряженности поля в вакууме к на-
напряженности поля в однородной изотропной диэ-
диэлектрической среде при неизменных зарядах, со-
создающих поле, называется относительной диэле-
диэлектрической проницаемостью е этой среды (или про-
просто диэлектрической проницаемостью):
е = -|^- C6)
Рис. 166
Очевидно, что е — величина безразмерная. Относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость количественно характеризует свойство диэлек-
диэлектрика поляризоваться в электрическом поле. Численные ее значения
для различных диэлектриков приводятся в справочных таблицах*
Диэлектрическая проницаемость всех газов близка к единице
A,0001—1,01). У большинства неполярных диэлектрических жидко-
жидкостей е лежит в пределах от 2 до 2,5, у твердых диэлектриков — от 2,5
до 8, у полярных жидкостей —от 10 до 81. У сегнетоэлектриков е
достигает очень больших значений — порядка 104 и, кроме того, су-
существенно зависит от величины напряженности внешнего поля. Для
вакуума, согласно формуле C6), е = 1.
Заметим, что проводник можно рассматривать как неограниченно поляри-
поляризующийся диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = оо. Тогда, со-
согласно формуле C6), напряженность поля внутри проводника
что соответствует выводу, полученному в § 80.
258

Так как напряженность электрического поля равна силе взаимо-
взаимодействия электрических зарядов, рассчитанной на единицу заряда, то
где Fo — сила взаимодействия зарядов в вакууме, F — сила взаимо-
взаимодействия тех же зарядов в диэлектрике. Поэтому формулу C6) можно
переписать в виде
s = А . C7)
Следовательно, диэлектрическая проницаемость показывает также,
во сколько раз уменьшается сила взаимодействия зарядов, находя-
находящихся в вакууме, если он заполнится однородным изотропным ди-
диэлектриком.
Сила Fo взаимодействия точечных зарядов (q% и q2) в вакууме рав-
равна, согласно закону Кулона (см. § 75),
где г — расстояние между зарядами. Тогда, учитывая формулу C7),
получим для силы (F) взаимодействия этих же зарядов в диэлектри-
диэлектрике следующее выражение:
F = _М2_ C8)
4тсе0ега
(закон Кулона для взаимодействия зарядов в диэлектрической среде).
Произведение электрической постоянной е0 на относительную ди-
диэлектрическую проницаемость е среды называется абсолютной ди-
диэлектрической проницаемостью еабс среды:
еабс = еое-
Поскольку е — безразмерная величина, sa6c измеряется в тех же еди-
единицах (Ф/м) и имеет такую же размерность (м~3 • кг • с4 • А2),
что и электрическая постоянная е0.
Подчеркнем еще раз, что значение относительной диэлектрической
проницаемости е определяется только свойствами среды, значение
электрической постоянной s0 -*- только выбором системы единиц изме-
измерения, а значение абсолютной диэлектрической проницаемости за-
зависит как от свойств среды, так и от системы единиц измерения.
Все полученные в предыдущих параграфах данной главы форму-
формулы, описывающие электрдческие поля и взаимодействия электри-
электрических зарядов в вакууме, остаются справедливыми и в случае, ког-
когда эти явления имеют место в однородном изотропном диэлектрике.
Только в формулы, содержащие электрическую постоянную е0,
необходимо вводить относительную диэлектрическую проницаемость
е в качестве сомножителя при е0 (формулы, не содержащие е0, не тре-
требуют никаких дополнений). Таким образом, например, выражения
9* 259

закона Кулона D), напряженности электрического поля точечного
заряда F), потенциала B6) и теоремы Остроградского — Гаусса (И)
применительно к условиям однородного изотропного диэлектрика
примут соответственно вид:
f = -Mb, C9)
4тсе0ег2
Ч <40>
Т =
еое <*¦
D2)
Наиболее сложным оказывается изучение электрических явлений
в неоднородной диэлектрической среде. В такой среде г имеет раз-
различные значения, изменяясь на границах диэлектриков скачкообраз-
скачкообразно (претерпевая разрыв непрерывности). Это затрудняет применение
формул C9) — D1). Что касается теоремы Остроградского — Гаус-
Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл. В самом деле, бла-
благодаря различной поляризуемости разнородных диэлектриков на-
напряженности поля в них будут различными. Поэтому различно и чис-
число силовых линий в каждом диэлектрике. Часть линий, исходящих из
зарядов, окруженных замкнутой поверхностью, будет заканчиваться
на границах раздела диэлектриков и не пронижет данную поверх-
поверхность.
Это затруднение можно устранить, введя в рассмотрение новую фи-
физическую характеристику поля — электрическую индукцию (или век-
вектор электрической индукции). Сделаем это следующим образом. Пред-
Предположим, что в вакууме создано однородное электрическое поле
напряженностью Ео. Заполним вакуум параллельными слоями раз-
различных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями еь е2,
е3 и т. д., располагая их перпендикулярно напряженности поля. Оче-
Очевидно, что напряженности поля в различных диэлектриках будут раз-
различными, равными соответственно Еь Е2, Е3 и т. д. Однако, согласно
формуле C6),
е^ = е2Е2 = е3Е3 = • • • = Ео = const.
Умножая все части этих равенств на электрическую постоянную
е0, получим
Eo8i^i = ео4^2 = ео8зЕз = • • • = е0Е0 = const.
Введем обозначение
еоеЕ - D. D3)
Тогда предпоследнее соотношение примет вид
Dx = D2 = D3 = • • • = Do == const.
260

Вектор D, равный произведению напряженности электрического поля
в диэлектрике на его абсолютную диэлектрическую проницаемость,
называется электрической индукцией; по направлению он совпадает
с вектором напряженности Е*. Электрическая индукция вакуума Do =
Согласно формуле D3), единицей измерения электрической индук-
индукции является кулон на квадратный метр (Кл/м2), а размерность
- [б0] . [Я] - JiLj . Ш = м*.с. А.
В отличие от напряженности Е электрическая индукция D постоян-
постоянна во всех диэлектриках. Поэтому электрическое поле в неоднородной
диэлектрической среде удобнее характеризовать не напряжен-
напряженностью Е, а индукцией D. С этой целью вводятся понятия линий индук-
индукции и потока индукции совершенно таким же образом, каким в § 75
вводились понятия силовых линий и потока напряженности.
В выражении D0) напряженности электрического поля, создавае-
создаваемого точечным зарядом в диэлектрике, перенесем абсолютную ди-
диэлектрическую проницаемость еое в левую часть равенства. Тогда,
учитывая формулу D3), получим выражение электрической индукции
точечного заряда в диэлектрике:
Следовательно, для преобразования формулы напряженности элек-
электрического поля Е в диэлектрике в соответствующую формулу элек-
электрической индукции D достаточно в левой части этой формулы за-
заменить Е на D и исключить из правой ее части абсолютную диэлектри-
диэлектрическую проницаемость е0 е.
Ниже приведены полученные по этому общему правилу выражения:
электрической индукции поля на продолжении оси диполя
D5)
271Г3
на перпендикуляре к середине оси диполя
<46)
бесконечной прямолинейной равномерно заряженной нити
D - -?—, D7)
бесконечной равномерно заряженной плоскости
/> = -!- D8)
* В анизотропных диэлектриках направления D в Е могут не совпадать.
261

и между двумя бесконечными параллельными разноименно заряжен-
заряженными плоскостями
D = а, D9)
где р — момент диполя, р — линейная плотность заряда нити, о —
поверхностная плотность заряда плоскости.
Так как электрическая индукция D не испытывает разрыва на гра-
границах различных диэлектриков, то все линии индукции, исходящие из
зарядов, окруженных некоторой замкнутой поверхностью, прони-
пронижут ее. Поэтому для потока индукции No теорема Остроградского —
Гаусса полностью сохраняет свой смысл и для неоднородной диэлек-
диэлектрической среды. Математическое выражение этой теоремы можно
представить формулой
ND = 2 Я,- E0)
§ 83. Конденсатор. Энергия электрического поля
Как мы уже видели (см. § 80), проводник, обладающий большой
электроемкостью, должен иметь очень большие размеры. Например,
уединенный металлический шар емкостью в 1 мкФ имеет радиус
9 км. Можно, однако, создать
такую систему, состоящую из
проводников, разделенных ди-
\& электриками, которая будет
обладать большой емкостью при
малых размерах. Такого рода
электрическая система называ-
Рис 167 ется конденсатором. Простей-
Простейший конденсатор состоит из
двух параллельных металличе-
металлических пластин — обкладок, разделенных тонким слоем диэлектрика
(рис. 167). Обкладкам этого конденсатора, называемого плоским,
сообщаются разноименные равные по величине заряды.
В соответствии с формулой C1) емкость С плоского конденсатора
равна отношению заряда q одной из его обкладок к разности потен-
потенциалов ф i—ф 2 этих обкладок:
С = -*-. E1)
Введем обозначения: d — расстояние между обкладками конденса-
конденсатора, S — площадь каждой обкладки, о — поверхностная плотность
заряда обкладки, е — диэлектрическая проницаемость среды, на-
находящейся между обкладками. При малом значении d можно считать
поле внутри конденсатора однородным. Тогда, учитывая, что напря-
напряженность поля Е равна по величине градиенту потенциала, можно
написать
ср — ср2 = Ed, E2)
262

или, учитывая формулу A8) и наличие диэлектрика,
«Pi
— Фо = — d.
Подставляя последнее выражение в формулу E1) и учитывая, что
q = aS, получим формулу емкости плоского конденсатора:
С = -^. E3)
-ц,
»
я
ф
Из этой формулы следует, что емкость плоского конденсатора тем
больше, чем больше площадь обкладок и диэлектрическая проницае-
проницаемость среды, разделяющей их, и чем мень-
меньше расстояние между обкладками.
Практически конденсатор обычно изго-
изготовляют из двух тонких, узких и длин-
длинных лент металлической фольги, проло-
проложенных очень тонкой лентой пропарафи- «
нированной бумаги. Получающаяся трех-
трехслойная полоса свертывается плотным ру-
рулоном. Такой конденсатор, имея размеры
спичечного коробка, обладает емкостью
10 мкФ (металлический шар такой же ем-
емкости имел бы радиус 90 км). В конденса-
конденсаторах переменной емкости применяются
обычно газообразные и жидкие диэлек-
диэлектрики.
В связи с тем, что вне конденсатора
электрическое поле отсутствует (см. § 77), заряженный конденсатор
не может индуцировать заряды на расположенных по соседству с
ним проводниках. Поэтому соседние проводники не влияют на ем-
емкость конденсатора. Конденсаторы находят широкое применение в
электротехнике.
Несколько конденсаторов можно объединить в батарею. Опреде-
Определим емкость конденсаторной батареи при параллельном и последова-
последовательном соединениях конденсаторов.
У всех параллельно соединенных конденсаторов разность потен-
потенциалов на обкладках одинакова и равнасрл—фй,так как обкладки сое-
соединены проводником (рис. 168, а). Сумма одноименных зарядов на
обкладках q{ + q2 + ... + qn = q. Емкость такой батареи равна
Рис. 168
Ях
— <?Ь
Яп
— <?Ь
Где
— с — емкость первого конденсатора,
Та —
= С2 — емкость второго конденсатора и г. д.
283

Поэтому
E4)
У последовательно соединенных конденсаторов (рис. 168, б) за-
заряды всех обкладок одинаковы по величине и равны q, а разность
потенциалов
Емкость такой батареи
откуда
= SL
«Pi— <Р/1
2~<Рз
я
н
Где J2i—Л. = величина, обратная емкости первого конден-
q Сг
сатора, ^2""Уз = величина, обратная емкости второго ком-
денсатора, и т. д. Поэтому
1
E5)
Небезынтересно отметить, что орган для накапливания электри-
электрической энергии, имеющийся в некоторых рыб (электрический скат,
электрический угорь и др.), представляет собой батарею конденсато-
конденсаторов значительной емкости, находящуюся под довольно высоким
напряжением и развивающую при разряде большую мощность (у элек-
электрического угря напряжение достигает 1000 В, а разрядная мощ-
мощность — 1 кВт). Эта батарея состоит из тонких чередующихся слоев
проводящей (нервной) и непроводящей (соединительной) ткани. Элек-
Электроэнергия вырабатывается нервной системой спинного мозга.
С помощью плоского конденсатора американский физик Милликен в 1909 г.
впервые осуществил экспериментальное определение величины заряда электро-
на е. Идея опыта Милликена состояла в следующем. Между горизонтально рас-
расположенными пластинами плоского конденсатора приложена разность потен-
Л +
Рис. 169

циалов <pi— ^2i измеряемая вольтметром V (рис. 169). Расстояние между плас-
пластинами d\ нижняя пластина заряжена отрицательно. В пространство между
пластинами вбрызгиваются посредством пульверизатора мельчайшие капельки
жидкого масла, а воздух в этом пространстве ионизируется ультрафиолетовы-
ультрафиолетовыми лучами. Образующиеся ионы могут присоединяться («прилипать») к масля•
ным капелькам. В результате многие из капелек оказываются электрически
заряженными.
На отрицательно заряженные капельки действуют две силы: направленная
вниз сила тяжести
и направленная вверх электрическая сила
где т — масса капельки, д —- ее заряд, Е — напряженность электрического
поля, g •— ускорение силы тяжести. Наблюдая за одной из таких капелек с по-
помощью микроскопа М и изменяя посредством потенциометра R разность потен-
потенциалов, можно подобрать такое значение <рх—ср2, при котором капелька непод-
неподвижно повиснет в воздухе. Это означает, что по величине
откуда
<7 = -f-g. E6)
Так как очень мелкие капельки практически шарообразны (см. § 59), то массу
наблюдаемой капельки можно определить из очевидного соотношения
т==— тШЗр, E7)
о
где D — диаметр капельки, измеряемый с помощью микроскопа М, р — плот-
плотность масла. Подставив в формулу E6) выражение массы E7) и выражение на-
напряженности поля E2), получим соотношение
E8)
6(<P1— ?2)
позволяющее рассчитывать величину заряда д.
На основе многочисленных измерений Милликен установил, что заряд д
оказывается всегда или равным, или кратным некоторому элементарному за-
заряду е, т. е. заряду электрона.
Современные измерения заряда электрона усовершенствованным методом
Милликена и другими методами показали, что
е «1,6021 • Ю-*9 Кл.
Как всякий заряженный проводник, конденсатор (см. рис. 167)
обладает электрической энергией, которая в соответствии с формулой
C4) равна
или, учитывая формулы E2) и E3)
W =
265

Ho Sd = 2 -
pa, поэтому
объем, заключенный между обкладками конденсато-
E9)
Поскольку все электрическое поле сосредоточено внутри конден-
конденсатора, можно считать, что формула E9) выражает энергию электри-
электрического поля конденсатора. При этом оказывается, что энергия элек-
электрического поля пропорциональна квадрату
его напряженности и объему охваченного
им пространства. Этот вывод свидетельст-
свидетельствует в пользу представления о материально-
материальности (реальности) поля.
Энергия электрического поля, приходя-
приходящаяся на единицу занимаемого им объема,
выражается соотношением
2
F0)
Величина w называется плотностью энер-
энергии электрического поля.
Задача 41. Две длинные параллельные одно-
одноименно заряженные нити расположены на расстоя-
Рис. 170 нии г = 0,1 м друг от друга. Линейная плотность
заряда на нитях одинакова и равна р = 10~5 Кл/м.
Найти величину и направление напряженности Е
результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии
а = г =г 0,1 м от каждой нити.
Решение. Изобразим поперечное сечение (ABC) нитей через заданную
точку С, напряженности Ei и Е2 электрических полей этих нитей и напряжен-
напряженность Е результирующего электрического поля (рис. 170).
Так как ДЛВС равносторонний и заряды нитей одинаковы, то Е1 = ?2,
а Е является диагональю ромба (CEiEE2), у которого ^ Е\СЕ = 30е. Посколь-
Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам,
можем написать
— = ?1cos30°.
Но, согласно формуле A4),
е=1 (для вакуума). Тогда получим
где
10~12 Ф/м,
10-6 Кл/м. 0,87
3,14-8,85 • 10-12Ф/м -0,1м
: 3,13
В/М.
Напряженность Е перпендикулярна расстоянию г между нитями и лежит в пло-
плоскости ABC.
Задача 42. Шарик массой т = 1 г и зарядом q = 10~8 Кл перемещается
из точки Л, потенциал которой уА = 600 В, в точку В с потенциалом ув = 0.
Чему была равна скорость шарика в точке Л, если в точке В он-а стала равной
vB ~ 20 см/с?
Решение. Перемещаясь в электрическом поле от большего потенциа-
потенциала к меньшему (т. е. по полю), положительно заряженн-ый шарик ускоряется
силами поля и его кинетическая энергия возрастает. По закону сохранения и
266

превращения энергии (см. § 17), приращение кинетической энергии шарика
A W должно равняться работе Л, совершаемой силами поля:
2 2
Но Д№ = WB — WA — — — m A ., где WB и ^ « кинетические энер-
гии шарика соответственно в точках В и Л. Вместе с тем, согласно формуле B2),
Л = qi$— <pB). Поэтому
mt& /ли
— ~ —=
откуда
600В:
i
<4- — <»4-Тв)-у4.10--./«-—¦w^.
= 0,167 м/с.
Задача 43. Между пластинами заряженного плоского конденсатора вста-
вставлена слюдяная пластинка (е = 6). Какое она испытывает давление при напря-
напряженности электрического поля конденсатора Е = 1000 кВ/м?
Решение. Давление на слюдяную пластинку обусловлено силой вза-
взаимного притяжения F разноименно заряженных пластин конденсатора и равно
где S — площадь каждой пластины. Следовательно, необходимо определить
силу притяжения двух параллельных разноименно заряженных пластин, при-
приходящуюся на единицу площади. Для этого одну из пластин конденсатора будем
рассматривать как создающую электрическое поле напряженность ?i, а дру-
другую — как заряд q2> находящийся в этом поле. Тогда, согласно формуле E),
сила действия первой пластины на вторую F = q2Ei = a2S?i, откуда сила
притяжения пластин, приходящаяся на единицу площади (т. е. давление р),
будет равна
гдео2 — поверхностная плотность заряда второй пластины. Но, согласно фор-
муле A7), Ег = , где ci—. поверхностная плотность заряда первой
2е0 е
пластины.
Учитывая, что для конденсатора ai = a2 = о, можем написать
Так как в соответствии с формулой A8) Е
тельно,
s0 е ?2 8>85 . ю-ia ф/м , 6 . Ю1* В*/ма
р = —— =
26,5Па.
Задача 44. Шар, погруженный в масло (в = 4), имеет потенциал у =
= 4500 В и поверхностную плотность заряда a =» 1,13 • 10" Кл/м2. Найти:
а) радиус г; б) заряд q\ в) емкость Сиг) энергию W шара.
267

q
Решение, а) Согласно формуле C1) <р = -— . Но заряд шара q = aS =
= а *Ыг2 (где S — площадь шара), а согласно формуле C2), емкость шара
С = 4яеоег. Поэтому
откуда
а)
б) 4 =
г) Согласно
а
!
формуле
?
1.3,
а\ Г* ¦
о) \j ¦
C4)
Сер2
2
8
14
,85
• 1,
V
6,2
.
1
45
47Wre ГО
4ite0e/' s0 s
10-12Ф/м . 4 .4500 В
,13. ИГ* Кл/м2 =я1
5 • 10-4ма. 1,13 • Ю-» Кл/
4 500 В =а6'2'10"
10-12Ф .45* . 104В2
2 в '
.,4» Ю-2 м.
taa «2,8.10-
12 ф
3^10-5 дж.
*8Кл.

Глава XIII. Постоянный электрический ток
§ 84. Электрический ток. Сила тока. Электродвижущая сила.
Напряжение
Электрическим током называется упорядоченное (т. е. происхо-
происходящее в определенном направлении) движение электрических заря-
зарядов. За направление тока принято считать направление движения
положительных зарядов. Обычно электрический ток возникает под
влиянием электрического поля.
Зарядим два проводника 1 и 2 разноименным электричеством до
потенциаловф! Иф 2 и соединим их третьим проводником 3 (рис. 171).
Разность потенциалов ф4—ф2, возникающая
при этом на концах соединительного прово-
проводника, создает внутри него электрическое
поле, направленное в сторону падения по-
потенциала. Если соединительный проводник
является проводником первого рода, то в
нем под действием поля начнется перемеще-
перемещение отрицательных зарядов (электронов) в
направлении 231, т. е. по проводнику пойдет
ток в направлении 132.
Количество электричества (величина за-
заряда) Д<7, проходящее за одну секунду через
поперечное сечение проводника, называется ис'
силой тока I;
'-¦?• <"
где At — промежуток времени прохождения заряда Aq. Ток, сила
и направление которого не изменяются со временем, называется по-
постоянным; в противном случае ток называется переменным.
Как уже отмечалось (см. § 74), в СИ единица силы тока — ампер
(А) — является основной, установленной на основе взаимодействия
двух параллельных проводников с током; точное определение ампера
дано в § 100 и в приложении II. По формуле же A) устанавливается
единица заряда в СИ — кулон (см. § 74).
Возвращаясь к рис. 171, заметим, что движение электронов по
соединительному проводнику приведет к разрядке проводников 1
и 2 и к ликвидации разности потенциалов между ними. В результате
напряженность поля внутри проводника будет равна нулю и ток пре-
прекратится. Для поддержания постоянного тока необходимо иметь
специальное устройство Г, внутри которого все время происходило бы
разделение разноименных зарядов и перенос положительных зарядов
на проводник /, а отрицательных — на проводник 2. Такое устройство
называется генератором, или источником тока.
Очевидно, что силы, разделяющие заряды в генераторе, имеют
неэлектрическую природу, так как электрические силы могут только
269

соединять, но не разделять разноименные заряды. Поэтому силы, раз-
разделяющие заряды в источнике тока, называются сторонними электро-
разделительными силами. Природа сторонних сил может быть разно-
разнообразной. В генераторе постоянного тока эти силы возникают за счет
энергии магнитного поля и механической энергии вращения якоря;
в аккумуляторе и гальваническом элементе — за счет энергии хи-
химических реакций; в полупроводниковом фотоэлементе — за счет
электромагнитной энергии (света) и т. п.
Итак, простейшая электрическая цепь постоянного тока должна
состоять из соединительного проводника 3 и источника тока Г, не-
непрерывно заряжающего проводники 1 и 2, называемые полюсами
источника тока (см. рис. 171)*.
Разделению и переносу зарядов внутри источника тока препят-
препятствуют, во-первых, внутреннее электрическое поле, направленное от
положительного полюса к отрицательному, и, во-вторых, сопротив-
сопротивление среды источника тока (например, вязкость электролита в акку-
аккумуляторе или в гальваническом элементе). Поэтому работа сторонней
электроразделительной силы А слагается из работы А±, совершаемой
против сил электрического поля внутри источника тока, и работы
А\ совершаемой против сил сопротивления среды этого источника:
По величине работа
где q — арифметическая сумма зарядов (положительных и отрица-
отрицательных), переносимых сторонней силой на полюсы источника тока
вопреки действию электрического поля. Поэтому можно написать
Работа, совершаемая сторонней электроразделительной силой вну-
внутри источника при перемещении между его полюсами единичного за-
заряда, называется электродвижущей силой источника тока (э. д. с).
Обозначив э. д. с. буквой S, получим
8 = А , или 8 = (срх —ср2) + —. B)
я я
Если полюсы источника тока разомкнуты (соединительный про-
проводник 3 отсутствует), то А' = 0, так как в этом случае сторонняя
сила не перемещает зарядов внутри источника тока, а лишь поддер-
поддерживает установившееся (на полюсах) разделение зарядов. Тогда,
согласно формуле B),
* В цепь могут входить также электроизмерительные, электронагреватель-
электронагревательные и другие электрические приборы и аппараты, носящие общее название эле-
элементов электрической цепи,
270

т. е. электродвижущая сила равна разности потенциалов на полюсах
разомкнутого источника тока. Разность потенциалов на полюсах
источника тока, замкнутого внешней электрической цепью, назы-
называется напряжением источника тока. Напряжение меньше э. д. с. на
величину А 7q. Таким образом, электродвижущая сила равна той мак-
максимально возможной разности потенциалов,которая устанавливается на
полюсах данного источника тока, когда они разомкнуты. На любом уча-
участке внешней электрической цепи, т. е. между любыми двумя попереч-
поперечными сечениями соединительного проводника 3, существует некоторая
разность потенциалов фд—ф& = U; она называется напряжением, или
падением напряжения, на этом участке цепи (см. рис. 171).
Очевидно, что как электродвижущая сила, так и напряжение изме-
измеряются единицами потенциала (вольт).
Источники постоянного тока можно соединять между собой в батареи. Как
правило, батареи составляются из источников, имеющих одинаковые электро-
электродвижущие силы. При последовательном соединении соседние источники присое-
присоединяются друг к другу разноименными полюсами; э. д. с. такой батареи равна
сумме э. д. с. всех источников тока. При параллельном соединении положитель-
положительные полюсы всех источников соединяют вместе; так же поступают и с отрица-
отрицательными полюсами. В этом случае э. д. с. батареи остается равной э. д. с.
отдельного источника; однако от такой батареи можно получить большую силу
тока (равную сумме сил токов отдельных источников).
§ 85. Ток в металлических проводниках. Сопротивление.
Законы Ома. Работа и мощность тока
Как уже отмечалось (см. § 74), ток в металлических проводниках
представляет собой упорядоченное движение свободных электронов
(электронная проводимость). Это представление было окончательно
подтверждено опытами Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси
A912 г.) и Стюарта и Толмена A916 г.)*. Суть опытов состояла в сле-
следующем. Катушка изолированной проволоки приводилась в быстрое
вращение вокруг оси, проходящей через центры проволочных вит-
витков. При резком затормаживании катушки в ней появляется электри-
электрический ток. Количественные измерения показали, что этот ток пред-
представляет собой инерционное движение частиц, имеющих массу и за-
заряд электрона. Ток в катушке оказывается весьма кратковременным,
так как движущиеся по инерции электроны, сталкиваясь с ионами
кристаллической решетки металла, быстро теряют свою скорость
(упорядоченного движения). Таким образом, металлический провод-
проводник оказывает току определенное сопротивление. Для того чтобы пре-
преодолеть это сопротивление и получить постоянный электрический ток,
необходимо поддерживать внутри проводника постоянное электри-
электрическое поле, т. е. необходимо поддерживать постоянную разность по-
потенциалов (напряжение) на концах проводника. Очевидное, что сила
тока должна зависеть по крайней мере от двух факторов: от напря-
напряжения, приложенного к проводнику, и от сопротивления проводника.
Стюарт и Толмен — американские физики.
271

Еще в 1826 г. немецкий физик Ом опытным путем установил, что
сила тока / в проводнике пропорциональна напряжению U между
концами этого проводника:
/ = Я/, C)
где k — коэффициент пропорциональности, называемый электропро-
электропроводностью, или проводимостью у проводника. Величина
«-т-
обратная проводимости, называется электрическим сопротивлением
проводника. Вводя в формулу C) сопротивление jR, получим
Соотношение D) выражает закон Ома для участка цепи (не содержа-
содержащего источника тока):
сила тока в проводнике пропорциональна приложенному напряже-
напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.
Согласно формуле D), за единицу измерения сопротивления сле-
следует принять сопротивление такого проводника, в котором при на-
напряжении в 1 В устанавливается ток силой в 1 А. Эта единица наз-
названа омом (Ом):
Ом = В/А.
Размерность сопротивления
[#] = Ш = А^мг.кр.с-
[/] А
Поскольку сопротивление, оказываемое току металлическим про-
проводником, обусловлено столкновением свободных электронов с иона-
ионами металла, можно предполагать, что это сопротивление должно за-
зависеть от формы, размеров и вещества проводника. Согласно экспери-
экспериментальным исследованиям Ома, сопротивление проводника прямо
пропорционально его длине / и обратно пропорционально площади
поперечного сечения S:
« = Ру. E)
где коэффициент пропорциональности р, характеризующий материал,
из которого изготовлен проводник, называется удельным сопротивле-
сопротивлением вещества проводника. Из формулы E) следует соотношение
p = -fs F)
полагая в нем S = 1 и / = 1, получим р = /?. Следовательно, удель-
удельное сопротивление вещества равно выраженному в омах сопротивлению
272

куба с ребром 1 м из данного вещества при токе, параллельном одному
из ребер куба. Размерность
[р] = JSLH1 = Ом • м - м3. кг . о-3. А-2.
Согласно формуле F), единицей удельного сопротивления являет-
является 1 ом-метр (Ом • м) I удельное сопротивление такого вещества,
куб из которого с ребром 1 м имеет сопротивление 1 Ом.
На практике удельное сопротивление зачастую измеряют во вне-
внесистемных единицах, не имеющих специального названия: Ом * мм2/м
и Ом • см2/см = Ом • см (последняя единица называется иногда
омосантиметром). Очевидно, что
1 Ом • см = 0,01 Ом • м и 1 Ом • мм2/м = 10~в Ом • м.
Сопротивление и удельное сопротивление проводников зависят
от внешних условий, особенно от температуры. С повышением тем-
температуры усиливается хаотическое движение ионов металлической
решетки, затрудняя тем самым упорядоченное движение электронов.
Поэтому сопротивление металлов увеличивается с повышением тем-
температуры. Опыт показывает, что в первом приближении сопротивле-
сопротивление всех металлов связано с температурой линейной зависимостью:
Я = ЯвA •+«<). G)
где RQ — сопротивление проводника при 0 °С, t — температура, а—
температурный коэффициент сопротивления. Для большинства ме-
металлов (при не очень низкой температуре) а » 0,004 К.
На зависимости сопротивления от температуры основано устрой-
устройство электротермометров сопротивления: по величине сопротивления
проводника рассчитывается температура, соответствующая этому со-
сопротивлению.
При очень низких температурах, меньших 8 К, сопротивление некоторых
металлов (алюминия, цинка, свинца и др.) скачкообразно уменьшается до ну-
нуля: металл становится абсолютным проводником. Это явление называется сверх-
сверхпроводимостью. Ток, однажды возбужденный в замкнутом сверхпроводнике,
не встречает сопротивления и потому существует («циркулирует») очень долгое
время (несколько суток!). Явление сверхпроводимости было открыто Камер-
линг-Оннесом еще в 1911 г. Оно может быть объяснено только на основе кван-
квантовой теории.
Введем в формулу D) выражение сопротивления E)i,
1 _ 1 и _ и
Т~~ТТ~ТТ'
где 1/р = 7 — удельная проводимость вещества проводника. Учи-
Учитывая, что градиент потенциала (напряжения) U/1 » Е — напряжен-
напряженность электрического поля в проводнике, а -я- = i — плотность тока
(ток через единицу площади поперечного сечения проводника), по-
получим
f = T?. (8)
273

Это соотношение, связывающее плотность тока в любой точке вну-
внутри проводника с напряженностью электрического поля в данной точ-
точке, называется законом Ома в дифференциальной форме.
Определим-теперь работу, совершаемую постоянным током в про-
проводнике, имеющем сопротивление R и находящемся под напряжением
ф1—фг = U- Так как ток представляет собой перемещение заряда q
под действием электрического поля, то работу- тока можно опреде-
определить по известному соотношению B2), полученному в § 78:
Л= qU.
Учитывая формулу A) и закон Ома D), можно написать для работы
тока еще следующие выражения:
А = W U (9)
А = PRty (9')
А=-Щ-и (9")
где t — время, за которое рассчитывается работа. Поделив обе час-
части каждого из этих равенств на время t, получим соответствующие
выражения мощности N постоянного тока;
N = IV, A0)
N=I*Ry A0')
Если сила тока измеряется в амперах, напряжение — в вольтах, со-
сопротивление — в омах и время — в секундах, то работа тока выражает-
выражается в джоулях, а мощность — в ваттах.
Помимо системных единиц работы (см. § 16) в электротехнике широко при-
применяются такие внесистемные единицы работы тока, как ватт-час, гектоватт-
час и киловатт-час; 1 Вт • ч соответствует работе тока мощностью в 1 Вт в те-
течение 1 ч:
1 Вт • ч = 3600 Вт . с = 3,6 . 103 Дж;
1кВт. ч= 103Вт. ч = 3,6. 10вДж.
Отметим, между прочим, что при вспашке одного гектара земли электротрак-
электротрактор совершает работу приблизительно в 40 кВт-ч.
Опыт показывает, что ток всегда вызывает некоторое нагревание
проводника. Нагревание обусловлено тем, что кинетическая энергия
движущихся по проводнику электронов (т. е. энергия тока) перехо-
переходит в теплоту при каждом столкновении электрона с ионом метал-
металлической решетки проводника. Если падение напряжения V в про-
проводнике вызвано одним только сопротивлением проводника, то вся
работа тока идет на нагревание проводника (и окружающей среды).
274

В этом случае количество теплоты Q, выделяющееся в проводнике,
определяется равенствами:
Q = A = IUt = /*Rt = — t. A1)
R
Данные соотношения выражают закон Джоуля — Ленца. Впервые
этот закон был установлен опытным путем Джоулем A843 г.) и неза-
независимо от него Э. X. Ленцем A844 г.).
На тепловом действии тока основан целый ряд электрических при-
приборов и установок: тепловые электроизмерительные приборы, лампы
накаливания, электропечи, электросварочная
аппаратура, установки для обогрева почвы в
парниках, бытовые электронагревательные при-
приборы и т. п.
Отметим, что в цепи, состоящей из несколь-
нескольких электронагревательных приборов, соеди-
соединенных последовательно, сила тока во всех
приборах одинакова. Поэтому в соответствии с
формулой A1) наибольшее количество теплоты
выделится в приборе с наибольшим сопроти-
сопротивлением. При параллельном соединении эле-
электронагревательных приборов одинаковым будет
напряжение на всех приборах. В этом случае,
согласно формуле A1), наибольшее количество
теплоты выделится в приборе с наименьшим сопротивлением.
В заключение найдем зависимость между электродвижущей силой 8
источника тока и силой тока / в замкнутой электрической цепи
(рис. 172). Сопротивление R проводника, соединяющего полюсы
источника тока, принято называть внешним, а сопротивление г са-
самого источника тока — внутренним сопротивлением. Согласно фор-
формуле B),
«=[/ + -?, A2)
я
где фх—<р2 = U — напряжение на внешнем сопротивлении, А —
работа перемещения заряда q внутри источника тока, т. е. работа
тока на внутреннем сопротивлении г. Тогда, согласно формуле (9),
А' = Iht. Подставляя это выражение работы в формулу A2) и учи-
учитывая, что q = It и U = IR, можем написать
откуда
g = IR + Ir. A3)
Так как, согласно закону Ома D), произведения IR и Ir представляют
собой падения напряжения на внешнем и на внутреннем участке цепи,
то соотношению A3) можно дать следующее толкование: в замкнутой
275

электрической цепи электродвижущая сила источника тока равна
сумме падений напряжения на всех участках цепи.
Приведя соотношение A3) к виду
(Н)
получим выражение закона Ома для замкнутой электрической цепи:
сила тока пропорциональна электродвижущей силе и обратно про-
порциональна полному сопротивлению цепи (R + r).
Понятно, что соотношение A3) также является выражением этого
закона Ома.
Если в цепь источника тока с электродвижущей силой ё и внут-
внутренним сопротивлением г последовательно включить несколько про-
проводников сопротивлениями Ru R2> R3 и т. д., то, согласно соотноше-
соотношению A3), сила тока в такой цепи будет равна
8
Сумма #1 + #2+#з~Ь •.. + г представляет собой полное сопро-
сопротивление цепи. Таким образом, полное сопротивление цепи, состоящей
из нескольких последовательно соединенных проводников, равно сумме
сопротивлений отдельных проводников.
§ 86. Разветвленная электрическая цепь.
Правила Кирхгофа
До сих пор мы рассматривали простейшие электрические цепи,
состоящие только из одного замкнутого проводящего контура
(рис. 173). Такие цепи называются неразветвленными. На всех участ-
участках неразветвленной цепи силы тока одинаковы. Расчет неразветвлен-
ных цепей (т. е. определение силы тока, э. д. с. и сопротивления) лег-
легко выполняется с помощью законов Ома D) и A4).
Более сложной является разветвленная электрическая цепь. Она
состоит из нескольких замкнутых проводящих контуров (А ВС А,
ACDA и т. д.), имеющих общие участки; в каждом контуре может быть
несколько источников тока (рис. 174). Силы тока на отдельных участ-
участках замкнутого контура разветвленной цепи могут быть различными
X

как по величине, так и по направлению (см., например, контур АВСА).
Непосредственный расчет разветвленной цепи по законам Ома за-
затруднителен, но может быть значительно упрощен применением пра-
вил Кирхгофа (сформулированных в 1847 г. Кирхгофом).
Назовем узлами разветвлений такие точки цепи, в которых схо-
сходится не менее трех проводников (например, точка А на рис. 174).
При этом ток, входящий в узел, будем считать положительным, а ток,
выходящий из узла, — отрицательным. Первое правило Кирхгофа
утверждает, что
алгебраическая сумма сил тока в узле разветвления равна нулю:
2/ = 0. A5)
Соотношение A5) выражает тот факт, что при постоянном токе не про-
происходит накопления зарядов в узлах (потенциалы узлов остаются
неизменными). Следовательно, за единицу времени одинаковое ко-
количество электричества входит в узел и выходит из него.
Применительно к узлу А первое правило Кирхгофа запишется так:
Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам раз-
разветвленной цепи. Условимся считать положительным направление
обхода контура по часовой стрелке*. Для контура АВСА оно указано
прерывистой линией со стрелкой. Токи, идущие в положительном
направлении обхода, будем считать положительными, противополож-
противоположные токи — отрицательными. Точно так же будем приписывать
электродвижущим силам знак плюс, если они создают ток в поло-
положительном направлении обхода контура; в противном случае будем
приписывать электродвижущим силам знак минус. Второе правило
Кирхгофа утверждает, что
в замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма
электродвижущих сил источников тока равна алгебраической сумме
произведений сил тока на сопротивления соответствующих участ-
участков этого контура:
Ъ8 = 2/Я. A6)
Соотношение A6) является обобщением закона Ома A3) на случай
контура разветвленной цепи, содержащей несколько источников то-
тока. Отметим, что, не будучи связанным с постоянством тока, второе
правило Кирхгофа применимо также и к цепи переменного тока.
При расчете разветвленной цепи надо, пользуясь правилами Кирх-
Кирхгофа, составить независимые уравнения для нескольких узлов A5)
и контуров A6); число уравнений должно равняться числу искомых
величин (сил тока, э. д. с. и сопротивлений). Для составления не-
независимых уравнений надо испольвовать только такие контуры, ко-
которые различаются хотя бы одним участком, и только такие узлы,
которые различаются хотя бы одной силой тока. Направления иско-
* Вообще говоря, выбор этого направления произволен.
277

мых сил тока выбираются произвольным образом. Если направление,
принятое для какой-либо из сил тока, не соответствует действительно-
действительному, то в результате расчета по правилам Кирхгофа эта сила получит-
получится отрицательной.
Чтобы лучше освоить применение правил Кирхгофа, рассмотрим конкрет-
конкретный числовой пример.
Разветвленная цепь состоит из трех гальванических элементов и трех воль-
вольбй 175 Э
тметров, соединенных по схеме,
|
р р
изображенной на рис. 175. Электродвижущие
силы элементов имеют значения & = 1 В,
82 = 2В и #з = 1,5 В. Вольтметры обладают
сопротивлениями Ri = 2000 Ом, R2 = 3000
Ом и R3 = 4000 Ом. Необходимо определить
силы тока в вольтметрах (пренебрегая сопро-
сопротивлением гальванических элементов).
В цепи имеются два узла А и В и три
контура А1В2А, А2ВЗА и А1ВЗА. Очевидно,
что дЛЯ них Можно составить только три
независимых уравнения (для одного узла и для
двух контуров). Этого достаточно для нахо-
нахождения трех сил тока (/i, /2 и /3). Выбрав
произвольным образом направления сил тока
(указаны на рисунке стрелками), напишем
уравнения:
А
Рис. 175
/i + 1% — /3 = 0»
для контура А\ В2А
для контура А2ВЪА
— $2 —
Выразив из первого уравнения силу тока
и подставив ее в два других уравнения, напишем:
= I3R2-h (Rx + R2),
Подставив численные значения э. д. с. и сопротивлений, получим систему урав-
нений
3000/, —5000/ii
7000/3—зооо/1:
'1,
= 3,Е
II II II
R III T R 111 т r I 11 7 решая которую, найдем /8 = 558 мкА (ми-
?-ф- Я» 11 {7' ^ I f7? "J 117J кроампер) и /i = 136 мкА. Затем из пер-
Рис. 176
рр)
вого уравнения получим /2 = 423 мкА.
Пользуясь правилами Кирхгофа,
легко рассчитать сопротивление цепи,
составленной из нескольких (напри-

мер, трех) проводников, соединенных параллельно (рис. 176).
Для контура ARzBRiA, не содержащего э. д. с, можем написать
откуда
Следовательно, силы тока в параллельно соединенных проводниках
обратно пропорциональны сопротивлениям проводников.
Для узла А
но,
согласно
закону
и
Ома
/ =
D),
= Л
и
+ /
1 +
и
"#Г и
/ - ^
3 Яз
где t/ =фл—фв—напряжение, приложенное к проводникам; R —
полное сопротивление параллельно соединенных проводников. Тогда
получим
JL = JL 4- — А- —
R Ri JRg ^3
откуда
D D D D
Данный вывод справедлив для любого числа проводников. Поэтому
т. е. полная проводимость параллельного соединения проводников рав-
равна сумме проводимостей отдельных проводников. Таким образом, при
параллельном соединении нескольких проводников их общая прово-
проводимость больше проводимости каждого отдельного проводника,
а общее сопротивление меньше сопротивления каждого отдельного
проводника.
На практике часто приходится от тока основной сети ответвлять опреде-
определенную часть в некоторый участок цепи, пропуская остальную часть тока че-
через параллельно подключенное к этому участку сопротивление, называемое
шунтом. Сопротивление шунта рассчитывается на основании формулы A7).
Пусть, например, надо пропустить через амперметр А п~ю часть тока /
(рис. 177, а). Введем обозначения: Rm и Ro — сопротивления шунта и ампермет-
амперметра, /щ и /о — силы тока через шунт и амперметр. Согласно формуле A7),
/о
279

Учитывая, что, по условию, /о = /М, а согласно правилу Кирхгофа, /ш=/-^
— /о = /о(я-^1), получим выражение для расчета сопротивления шунта:
п— 1
Шунтированным амперметром можно измерять силы тока, превышающие те,
для которых данный амперметр был предназначен.
Нередко также встречается необходимость измерять вольтметром напря-
напряжения, превышающие те, для которых он предназначен. В этом случае надо уве-
увеличить сопротивление вольтметра, последовательно присоединив в нему допол-
дополнительное сопротивление /?д.
Рис. 177
Пусть, например, требуется измерить напряжение U на участке 1*~2 элек»
трической цепи вольтметром V, который рассчитан на напряжение ?/о, в п раз
меньшее, чем U (рис. 177, б). Определим величину необходимого дополнитель-
дополнительного сопротивления #д.
Обозначив напряжение на дополнительном сопротивлении через ил и силу
тона в нем через /, можем написать
По условию, U = nUOi тогда
или
что после сокращения на / даст искомое выражение для расчета дополнитель»
ного сопротивления:
Само собой разумеется, что результаты измерений, полученные с помощью
шунтированного амперметра или вольтметра с дополнительным сопротивлением»
надо увеличить в п раз.
§ 87. Контактная разность потенциалов.
Термоэлектрические явления
В 1797 г. итальянский физик Вольта опытным путем установил,
что при тесном соприкосновении двух разнородных металлов между
ними возникает разность потенциалов, зависящая только от их хи-
химического состава и температуры (первый закон Вольты).
280

Рис. 178
Эта разность потенциалов названа контактной. Вольта же выявил
ряд металлов, в котором каждый предыдущий металл при контакте
с одним из последующих приобретает положительный потенциал
(ряд Вольты):
Al, Zn, Sn, Cd, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd.
Под тесным соприкосновением подразумевается сближение по-
поверхностей металлов на расстояние порядка размера ячейки кристал-
кристаллической решетки, что может быть обеспечено, например, путем свар-
сварки металлов. Рассмотрим причины,
вызывающие контактную разность
потенциалов.
На рис. 178 схематически изобра-
изображена часть кристаллической решетки
металла. Силы притяжения к поло-
положительным ионам решетки, действую-
действующие на свободные электроны, нахо-
находящиеся внутри металла, в среднем
взаимно уравновешиваются. Это дает
возможность электронам свободно пе-
передвигаться внутри металла между
узлами решетки. Если же по какой-
либо причине (см. § 88) электрон е
выйдет за пределы металла (через
поверхность ab), то на него начнут
действовать неуравновешенные силы притяжения со стороны ионов
поверхности металла и со стороны того избыточного положительного
заряда, который возник в металле в связи с потерей электрона е. Ре-
Результирующая сила Ft направленная в сторону металла, возвратит
электрон в металл. Таким образом, для того чтобы покинуть металл
и уйти в окружающую среду, электрон должен совершить работу
против сил притяжения к металлу, действующих на расстоянии
порядка размера кристаллической ячейки A0~8 см).
Работа Л, которую необходимо совершить электрону, чтобы уйти
из металла в окружающую его пустоту, называется работой выхода
электрона из металла.
Работу выхода принято измерять в электронвольтах (эВ). Один
электронвольт равен работе перемещения электрона в электрическом
поле между точками с разностью потенциалов в 1 В. Так как заряд
электрона \е\ = 1,6 • 109 Кл, то
1 эВ = 1,6 . Ю-19 Кл • 1В = 1,6 • 109 Дж.
Величина работы выхода у различных металлов различна. Для
чистых металлов она колеблется в пре-
пределах нескольких электронвольт (у цезия / 2
А = 1,81 эВ, у платины А = 6,27 эВ).
Осуществим теперь контакт двух разли-
различных металлов / и 2У имеющих работу вы-
выхода соответственно A i и А 2, причем А 4<Л 2 Рис. 179
~Е -

(рис. 179). Очевидно, что свободный электрон, попавший (в процессе
теплового движения) на поверхность раздела металлов, будет втянут во
второй металл, так как со стороны этого металла на электрон действует
большая сила притяжения (Л 2>^i). Следовательно, через поверхность
соприкосновения металлов происходит «перекачка» свободных электро-
электронов из первого металла во второй, в результате чего первый металл
зарядится положительно, второй — отрицательно. Возникающая при
этом разность потенциалов <р[—ф, создает электрическое поле напря-
напряженностью ?, которое затрудняет дальнейшую «перекачку» электро-
электронов и совсем прекратит ее, когда работа перемещения электрона за
счет контактной разности потенциалов станет равна разности работ
выхода:
или
где е — абсолютная величина заряда электрона. Значение cpt'—ф2'
составляет обычно около одного вольта.
Предположим теперь, что в контакт приведены два металла / и
2, имеющие одинаковые работы выхода Л4 = Л2, но различные кон-
центрации свободных электронов п01 и по2<пО1 (число электронов в еди-
единице объема). Тогда начнется преимущественный перенос свободных
электронов из первого металла во второй. В результате первый металл
зарядится положительно, второй — отрицательно. Между металлами
возникнет разность потенциалов ц>[—ф[, которая прекратит дальней-
дальнейший преимущественный перенос электронов. Теоретический расчет
показывает, что разность потенциалов зависит от соотношения кон-
концентраций свободных электронов в металлах и от температуры Т:
?;-?;=—in-sa-, B0)
е п02
где k — постоянная Больцмана. При комнатной температуре значе-
значения qv—q>! имеют порядок 10"х В.
В общем случае контакта металлов, различающихся и работой
выхода и концентрацией свободных электронов, контактная разность
потенциалов, согласно формулам A9) и B0), равна
B1)
Из формулы B1) непосредственно следует первый закон Вольты,
поскольку контактная разность потенциалов выражается только че-
через характеристики проводников (Л1? Л2, я01 и n02, T).
Приведем в соприкосновение несколько (например, четыре) раз-
разнородных металлических проводников, имеющих одинаковую тем-
температуру (рис. 180, а). Пользуясь формулой B1), легко показать,
282

что сумма контактных разностей потенциалов соприкасающихся пар
проводников
(<Pl — ?2) + (<?2 — <Рз) + (?3 — ?4> = ?1 — Ф4-
Следовательно,
разность потенциала на концах разомкнутой цепи, составленной
из нескольких последовательно соединенных проводников, равна кон-
контактной разности потенциалов, создаваемой концевыми проводника-
проводниками A и 4), и не зависит от промежуточных проводников B и 3).
Это положение, также устано-
установленное экспериментально Воль- j^ 7 j 4
той, называется вторым законом у\ ^Т^ ^Т^ у>\% Ы
Вольты. 1 LU- ^
Если теперь непосредственно
соединить между собой концевые
проводники (рис. 180, б), то суще-
существовавшая между ними разность
потенциалов компенсируется рав-
равной по величине разностью потен-
потенциалов <Pi—-ф4' возникающей в ме-
месте контакта проводников 1 я 4.
Поэтому контактная разность по-
потенциалов не создает тока в замк-
замкнутой цепи металлических прово- Ри ^
дников, имеющих одинаковую тем- ис*
пературу.
Отметим, что упомянутая в § 74 электризация трением также обусловлена
контактной разностью потенциала. При контакте двух диэлектриков внешние
электроны атомов, расположенные у поверхности соприкосновения диэлектриков,
переходят преимущественно на диэлектрик с меньшей диэлектрической прони-
проницаемостью (т. е. на «лучший» диэлектрик, у которого внешние электроны проч-
прочнее связаны со своими атомами)*. В результате тело с меньшей диэлектричес-
диэлектрической проницаемостью заряжается (в месте соприкосновения) отрицательно, а те-
тело с большей диэлектрической проницаемостью — положительно. При разде-
разделении тел они оказываются разноименно наэлектризованными. Так как в
диэлектриках подвижность зарядов очень ограничена, то для ускорения электри-
электризации приходится увеличивать площадь контакта, что достигается путем много-
многократного перемещения одного тела по другому. Это перемещение сопровождается
трением, которое, следовательно, является лишь сопутствующим электризации
процессом.
Контактная электризация имеет место и в коллоидных растворах; жидкость
и взвешенные в ней твердые частицы (или частицы другой жидкости) заряжают-
заряжаются разноименно. При помещении коллоидного раствора в электрическое поле
взвешенные частицы начинают передвигаться вдоль силовых линий поля. Это
явление называется электрофорезом**. Контактной электризацией обусловлено
и явление электроосмоса: перемещение жидкости в неподвижном пористом теле,
помещенном в электрическом поле.
* В § 82 отмечалось (петитом), что проводник можно рассматривать как
предельный случай диэлектрика с относительной диэлектрической проницае-
проницаемостью е = оо. Следовательно, диэлектрик можно рассматривать как провод-
проводник с очень малым значением е; чем меньше е, тем лучше выражены диэлектри-
диэлектрические свойства вещества.
** От греческого слова «рор^етю (форезис) — перемещение.
283

Электрофорез широко используется в производстве для отделения коллоид-
коллоидных взвесей, выделения эмульсий из нефти, очистки фруктовых соков, улавли-
улавливания пыли и дыма из воздуха и т. п. Электроосмос применяется для сушки во-
волокнистых и пористых веществ, например сена (холодная электросушка).
Контактная разность потенциалов играет важную роль в работе электро-
электровакуумных приборов, особенно электронных ламп с сеточным управлением,
влияя на крутизну их вольт-амперной характеристики (см. § 88),
Зависимостью контактной разности потенциалов от температуры
обусловлено явление, называемое термоэлектрическим эффектом.
Составим замкнутую цепь из двух раз-
разнородных металлических проводников 1
и 2. Температуры контактов (спаев) а
и Ъ будем поддерживать различными:
Та>Ть (рис. 181). Тогда, согласно
формуле B1), контактная разность по-
потенциалов в горячем спае больше, чем
в холодном: Д(/а>А(/&. В результате
Рис. 181 между спаями а и Ъ возникает разность
потенциалов
называемая термоэлектродвижущей силой, а в замкнутой цепи пойдет
ток /. Пользуясь формулой B), получим
g _( Л1-Л2 + *Zk in По1\ ( Ai~A* | kTb in 1) =
или
S=a(Ta — Tb), B2)
где коэффициент а = — In — является постоянной величиной для
е п02
данной пары металлов (если пренебречь зависимостью концентраций
электронов п01 и п02 от температуры).
Замкнутая цепь проводников, создающая ток за счет различия
температуры контактов между проводниками, называется термоэле-
термоэлементом, или термопарой. Формула B2) показывает, что термоэлектро-
термоэлектродвижущая сила термопары пропорциональна разности температур
спаев (контактов).
В 1834 г. французский физик Пельтье обнаружил явление, обрат-
обратное термоэлектрическому. Если по замкнутой цепи, составленной из
двух разнородных металлических проводников 1 и 2, пропускать ток
/' от постороннего источника в том же направлении, в котором при
термоэлектрическом эффекте шел бы термоток, то спаи а и Ь приобре-
приобретут различную температуру. Спай а, который при термоэлектричес-
термоэлектрическом эффекте поддерживался бы при более высокой температуре,
будет теперь охлаждаться, спай Ъ — нагреваться (рис. 182). При изме-
284

нении направления тока /' спай а будет нагреваться, спай Ъ — охла-
охлаждаться. Это явление названо эффектом Пельтье.
Физическая сущность эффекта Пельтье заключается в следующем.
Благодаря контактным разностям потенциалов в спаях а и Ъ создаются
контактные электрические поля с напряженностями Е (показаны на
рис. 182 сплошными стрелками). В соответствии с указанным напра-
направлением тока /' электроны в спае b движутся против контактного
поля, а в спае а — по полю (направления движения электронов пока-
показаны прерывистыми стрелками). Следовательно, в спае Ь поле уско-
ускоряет электроны; кинетическая энергия их возрастает. При столкно-
столкновениях с ионами металла в спае
b такие электроны передают
ионам энергию, повышая внут-
внутреннюю энергию спая. Поэтому
спай b будет нагреваться. В спае
а поле тормозит электроны;
кинетическая энергия их умень- Охлаж-Щ„ hU\Нагое-
шается. При столкновениях с дение \Т\ ]Ч\8сшив
ионами металла в спае а такие
электроны получают от ионов
энергию, понижая внутреннюю
энергию спая. Поэтому спай а
будет охлаждаться.
Очевидно, что при изменении ис#
направления тока /' на противо-
противоположное нагреваться будет спай а, а охлаждаться — спай &, так
как теперь в спае а электроны ускоряются, а в спае b — тормозятся
контактным электрическим полем Е.
Следует подчеркнуть, что металлические термопары дают малую
термоэлектродвижущую силу, не превышающую нескольких милли-
милливольт при разности температур спаев, равной 100 К. Коэффициент
полезного действия таких термопар составляет примерно 0,1%. По-
Поэтому практическое использование металлических термопар в качест-
качестве генераторов тока (термоэлектрический эффект) и холодильников
(эффект Пельтье) экономически невыгодно. В этом отношении зна-
значительно большие возможности предоставляют полупроводниковые тер-
термопары, практическое применение которых рассмотрено позже
(см. § 90). Что касается металлических термопар, то их практическое
использование в основном ограничивается измерением температур.
С этой целью составляется цепь, изображенная на рис. 183. Спай b
термопары, составленной из провод-
проводников 1 и 2, поддерживается при /
постоянной известной температуре
Ть (например, при температуре
тающего льда). Спай а помещается
в среду, температура Та которой
подлежит измерению. Зная коэф-
коэффициент а данной термопары и из-
измеряя милливольтметром бтермо- рИСж 183
285

электродвижущую силу 8, рассчитывают температуру Та по формуле
т =
1 а
полученной из соотношения B2). Обычно шкалу милливольтметра
градуируют непосредственно в кельвинах.
Термоэлектрический термометр обладает существенными преиму-
преимуществами перед ртутным. Он очень чувствителен, имеет малую тем-
температурную инерцию, применим в широком диапазоне температур,
позволяет измерять температуру малых объемов среды (практически —
точек среды). Кроме того, он допускает дистанционные измерения,
т. е. определение температуры объекта, расположенного на большом
расстоянии от места измерения или недоступного для непосредствен-
непосредственного измерения (например, определение температуры зерна в засеках
зернохранилища или овощей и клубнеплодов в буртах).
§ 88. Эмиссия электронов. Термоэлектронная эмиссия.
Электронные лампы
В металле всегда имеется некоторое количество свободных элек-
электронов, обладающих повышенной кинетической энергией и потому
способных вылететь за его пределы. Затем вылетевшие электроны
будут вновь втянуты в металл (см. § 87), но на их место вырвутся
другие свободные электроны. Между электронами, вылетающими из
металла и влетающими в него, устанавливается подвижное равнове-
равновесие, в результате которого над поверхностью металла образуется свое-
своеобразное электронное облако. Испускание электронов металлом на-
называется электронной эмиссией*. Это явление отчасти подобно испа-
испарению жидкости.
При нормальных внешних условиях электронная эмиссия выра-
выражена слабо. Для повышения ее интенсивности следует увеличить ки-
кинетическую энергию свободных электронов до значений, равных или
больших работы выхода. Этого можно достигнуть различными спо-
способами. Во-первых, созданием электрического поля очень большой на-
напряженности (порядка 10е В/см), способной вырывать электроны из
металла (холодная эмиссия). Такая эмиссия используется, например,
в электронных микропроекторах (см. § 102). Во-вторых, бомбардиров-
бомбардировкой металла электронами, предварительно разогнанными электричес-
электрическим полем до очень большой скорости. Каждый из бомбардирующих
электронов может вырвать из металла несколько новых электронов
(вторичная эмиссия). В-третьих, интенсивным освещением поверхнос-
поверхности отрицательно заряженного металла (фотоэмиссия). На фотоэмис-
фотоэмиссии основано явление внешнего фотоэффекта и устройство вакуум-
вакуумного фотоэлемента (см. § 136). В-четвертых, нагреванием металла.
Эмиссия электронов, обусловленная нагреванием металла, называет-
называется термоэлектронной эмиссией. Термоэлектронная эмиссия как источ-
источник интенсивных электронных потоков (лучей, токов) широко исполь-
* От латинского слова emissio — выпуск.
286

зуется во многих электронно-вакуумных приборах: электронных
осциллографах (см. § 102), электронных микроскопах (см. § 102),
рентгеновских трубках (см. § 125), электронных лампах и т. д.
С основными закономерностями термоэлектронной эмиссии мы
познакомимся при рассмотрении принципа устройства и действия
электронной лампы. Простейшими электронными лам-
лампами являются трехэлектродная лампа — триод (рис.
184) и двухэлектродная лампа — диод. Триод состоит
из стеклянного баллона 4, внутри которого соосно
укреплены три металлических электрода: тонкая нить
/ (катод или накал), тонкостенный цилиндр 2 (анод)
и помещенная между ними редкая «спираль» 3 (сет-
(сетка). Воздух из баллона откачан. Диод отличается от
триода только отсутствием сетки. На электротехничес-
электротехнических схемах электронные лампы изображаются так,
как показано на рис. 185 (а —триод, б — диод). ,
Принцип действия электронной лампы рассмотрим
сначала на примере диода. Включим диод в элек-
электрическую цепь, схематически изображенную на рис.
186 EН — батарея накала, Ба — анодная батарея).
Вокруг катода, разогреваемого током накала /н, обра-
образуется электронное облако. Под действием электрического поля, созда-
создаваемого анодным напряжением U (приложенным между катодом и ано-
анодом), электроны из этого облака устремятся к аноду и создадут в цепи
анодный ток /а (анодное напряжение измеряется вольтметром У,
Рис. 185
Рис. 186
анодный ток — амперметром А). Очевидно, что анодный ток можно
усиливать, повышая анодное напряжение U (с помощью потенцио-
потенциометра R), так как при этом будет возрастать скорость движения элек-
электронов в лампе. Однако возможности этого способа усиления тока
ограничены. При некотором значении напряжения Um сила анодного
тока достигает максимальной величины и при дальнейшем повыше-
повышении напряжения останется постоянной, равной 1т. Это явление на-
называется насыщенным, а ток 1т— током насыщения. Насыщение обус-
обусловлено тем, что все электроны, испускаемые за некоторый промежу-
промежуток времени катодом, достигают анода за этот же промежуток времени.
287

При токе насыщения электронное облако полностью рассасывается.
Описанная зависимость анодного тока от напряжения графически изо-
изображена на рис. 187. Аналитически эта зависимость (для участка ОС
кривой 1, т, е. при условии U<JJm) выражается формулой Лэнгмю*
ра — Богуславского*
пт /3/2 /OOv
а = OU , B3)
где В — коэффициент, зависящий от фор-
формы, размеров и взаимного расположения
электродов.
Чтобы повысить ток насыщения, необ-
необходимо увеличить число электронов,
испускаемых катодом в единицу време-
времени. Для этого следует повысить темпе-
температуру катода, увеличив ток накала.
Кривая 2 на рис. 187 относится к более
Рис. 187 высокой температуре, чем кривая /.
Зависимость тока насыщения от тем-
температуры катода выражается теоретической формулой Ричардсона**
Im = CST4~A/k\ B4)
где S — площадь катода, Т — абсолютная температура катода, А —
работа выхода электронов из катода, е — основание натуральных ло-
логарифмов, k — постоянная Больцмана, С — эмиссионная постоян-
постоянная, теоретическое значение которой одинаково для всех металлов
и равно С = 6,02 • 105 А/(м2 . К2).
График (рис. 188), построенный на основа-
основании формулы B4), показывает, что (при высоких
температурах) ток насыщения резко возрастает
с повышением температуры.
Подчеркнем, что ток через электронную лам-
лампу может идти только в одном направлении, т.е.
только в том случае, когда анод соединен с по-
положительным, а катод — с отрицательным полю-
полюсами анодной батареи Ба (см. рис. 186). Если
анод соединить с отрицательным полюсом бата-
батареи, то испускаемые катодом электроны оттал-
ис. 188 киваются анодом и возвращаются на катод; то-
тока в цепи не будет — лампа «заперта». Таким
образом, электронная лампа обладает односторонней {вентильной)
проводимостью. На этом основано применение лампы в качестве
выпрямителя переменного тока. Предназначенные для этой цели дио-
диоды называются кенотронами.
* Строгий вывод этой формулы дан в 1923 г. американским физиком Лэнг-
мюром и независимо от него советским физиком С. А. Богуславским. Формулу
B3) иногда называют «законом трех вторых».
** Выведена английским физиком Ричардсоном.
288

\У
Одна из возможных схем кенотронного выпрямителя изображена
на рис. 189. Являющийся обычно синусоидальным (см. § 106), пе-
переменный ток периода Т подается в первичную обмотку трансформа-
трансформатора N. Во вторичной обмот-
обмотке возбуждается ток такого j .t j
же периода. График этого то-
тока представлен на рис. 190, а
(/ — сила тока, / — время).
Цепь вторичной обмотки тран-
трансформатора состоит из двух а
контуров 1421 и 3423. Крайние ^
точки вторичной обмотки / и
3 попеременно, через каждый
полупериод, приобретают по-
положительный потенциал. По-
Поэтому лампы /Ct и /С2 будут 6
«запираться» и «открываться» j
попеременно через каждый
Г\ Г\ Г\
\J \J
ЛЛЛЛЛЛ
Рис. 189
Рис. 190
полупериод. В результате на участках / Кi4k 3K24 возникают токи
противоположных направлений. Эти токи являются пульсирующими,
имеющими полупериодные перерывы (рис. 190, бив). На участке
же 4R2 ток идет все время и притом в одном направлении (исполь-
(используются оба полупериода). График этого выпрямленного тока пред-
представлен на рис. 190, г. Описанный выпрямитель называется двухпо-
лупериодным. Каждый из контуров 1 Ki42 и ЗК%42 в отдельности
представляет собой однополупериодный выпрямитель.
Рассмотрим теперь действие
триода. Анодным током триода
можно управлять посредством
сетки, изменяя напряжение ме-
между сеткой и катодом (при не-
неизменных анодном напряжении
и токе накала). Для этого три-
од включается в цепь по схеме,
изображенной на рис. 191. Се-
точное напряжение UQ создает
между катодом и сеткой допол- Рис. 191
10—31
289

'/77
Рис. 192
нительное электрическое поле, которое, накладываясь на основное
поле (между анодом и катодом), будет ускорять или замедлять (в
зависимости от знака заряда на сетке) движение электронов, испу-
испускаемых катодом, т. е. увеличивать или уменьшать анодный ток /а.
В связи с тем что сетка распо-
расположена близко к катоду (ближе, чем
анод), влияние сеточного напряжения
на анодный ток преобладает над вли-
влиянием анодного напряжения ?/а. По-
Поэтому незначительное изменение сето-
сеточного напряжения вызывает значи-
значительное изменение анодного тока.
При достаточно большом отрицатель-
отрицательном заряде на сетке ее электрическое
поле может оказаться сильнее анод-
анодного поля. В этом случае электроны,
испускаемые катодом, не смогут по-
попасть на анод и анодный ток прекра-
прекратится (сетка «запирает» лампу).
График зависимости анодного тока от сеточного напряжения, на-
называемый сеточной характеристикой лампы, представлен на рис. 192.
Ордината 1т верхнего конца характеристики соответствует току на-
насыщения. Отрицательная абсцисса (— Uo) соответствует сеточному
напряжению, запирающему лампу. Средняя часть АВ характеристи-
характеристики относится к диапазону анодных токов, соответствующих нормаль-
нормальной работе лампы (рабочая часть характеристики). В этом диапазоне
изменение анодного тока связано с изменением сеточного напряже-
напряжения приблизительно линейно. Чем больше крутизна рабочей части
характеристики, тем резче возрастает анодный ток при повышении
сеточного напряжения.
Одним из важных применений триода является использование его в
качестве усилителя слабых колебаний тока и напряжения. Принци-
Принципиальная схема такого усилителя была дана на рис. 191. Если се-
сеточное напряжение Uc и сеточный ток /с претерпевают слабые коле-
колебания, то анодный ток /а будет совершать синхронные (одновремен-
(одновременные) колебания такого же характе-
характера, но значительно усиленные (по
амплитуде). Эти колебания можно
еще раз усилить, подавая их на сет-
сетку второй лампы, затем на сетку тре-
третьей лампы и т. д. (многоступенчатое
усиление). На рис. 193 изображены
сильные колебания анодного тока /а,
воспроизводящие слабые колебания
сеточного тока /с (по оси абсцисс от-
отложено время t).
Другое важное применение трио-
""** да — генерирование электромагнит-
Рис. 193 ных волн —будет рассмотрено в § 112.
I

§ 89. Ток в полупроводниках. Собственная и примесная
проводимости полупроводников
Проводники имеют удельное сопротивление порядка 10 Ом*м
( и меньше), диэлектрики — порядка 108 Ом-м (и больше).
Удельное сопротивление большинства веществ лежит между ука-
указанными пределами. Эти вещества называются полупроводниками.
В научном и практическом отношении наибольший интерес представ-
представляют твердые полупроводники. Типичными их представителями явля-
являются кремний, германий, селен, теллур и некоторые другие.
Как и у металлов, проводимость твердых полупроводников обу-
обусловлена перемещением электронов. Однако условия перемещения
электронов в металлах и полупроводниках существенно различны,
на что, в частности, указывает отмеченное резкое различие значений
удельного сопротивления металлов и полупроводников. В отличие
от металлов полупроводникам свойственны следующие основные
особенности.
Во-первых, сопротивление полупроводников уменьшается с повы-
повышением температуры. Причем влияние изменения температуры ска-
сказывается на изменении сопротивления больше у полупроводника, чем
у металла (при изменении температуры на один кельвин сопротив-
сопротивление металла возрастает в среднем на 0,004, а сопротивление полу-
полупроводника уменьшается в среднем на 0,06 сопротивления при
273 К).
Во-вторых, электрический ток в полупроводниках осуществляется
не только перемещением свободных электронов, но и перемещением
связанных (с атомами) электронов. При некоторых условиях связан-
связанные электроны играют решающую роль в проводимости полупровод-
полупроводника.
В-третьих, небольшое количество примеси может дчень сильно
изменить сопротивление полупроводника. Сотые доли процента при-
примеси могут изменить сопротивление полупроводника в десятки тысяч
раз.
Выясним причины этих особенностей полупроводников, прибегая
к некоторым упрощенным представлениям и схемам.
При низких и нормальных температурах в полупроводнике имеет-
имеется небольшое число свободных электронов: подавляющее большинство
электронов связано с атомами. Этим объясняется плохая проводимость
(большое удельное сопротивление) полупроводников. Немногие из
имеющихся в полупроводнике свободных электронов ведут себя при-
приблизительно так же, как свободные электроны в металле. В отсутст-
отсутствие электрического поля они движутся хаотически, а при наличии по-
поля приобретают еще и направленное движение (против поля), создавая
тем самым слабый ток в полупроводнике. Проводимость, обусловлен-
обусловленная движением свободных электронов, называется электронной, или
проводимостью п-типа (от слова negative—отрицательный).
Для того чтобы связанный электрон стал свободным, необходимо
увеличить его кинетическую энергию. С этой целью надо сообщить
ему извне энергию, равную (или большую) работе освобождения от
10* 291

связи с атомом, что можно сделать, например, путем нагревания по-
полупроводника. Следовательно, с повышением температуры число сво-
свободных электронов в полупроводнике возрастает.
Увеличение концентрации свободных электронов повышает прово-
проводимость и соответственно .снижает сопротивление полупроводника.
Правда, с ростом температуры усиливается хаотическое движение
атомов полупроводника, затрудняя тем самым упорядоченное дви-
движение электронов, что вызывает увеличение сопротивления полупро-
полупроводника. Однако влияние роста концентрации свободных электронов
на сопротивление полупроводника преобладает над влиянием усиле-
усиления хаотического движения атомов. Поэтому с повышением темпе-
температуры сопротивление полупроводника уменьшается.
В металле имеется большое число свободных электронов даже при самых
низких температурах. В связи с этим повышение температуры металла практи-
практически не изменяет концентрацию свободных электронов в нем, а ведет лишь
к усилению хаотического движения частиц металла. Поэтому при повышении
температуры сопротивление металлов возрастает.
Высокое удельное сопротивление полупроводника и резко вы-
выраженная зависимость его сопротивления от температуры позволяют
изготовлять полупроводниковые термометры сопротивления, обла-
обладающие малыми размерами и большой чувствительностью сравнитель-
сравнительно с металлическими электротермометрами сопротивления. Полупро-
Полупроводниковый термометр сопротивления называется термистором*.
Приемная часть термистора может иметь размеры в десятые доли мил-
миллиметра. Это дает возможность использовать термистор для изме-
измерения температуры очень малых объектов, например отдельных ма-
малых (практически — точечных) участков растительных и животных
организмов. Термистором можно обнаруживать изменения температу-
температуры в миллионные доли кельвина. Благодаря столь высокой чувстви-
чувствительности термистор реагирует на изменение освещенности.
Помимо рассмотренной электронной проводимости для полупро-
полупроводников характерен еще один тип проводимости, обусловленный
перемещением связанных электронов. Чтобы понять это странное, на
первый взгляд, явление, следует учесть, что соседние атомы кристал-
кристаллического полупроводника связаны между собой внешними (валент-
(валентными) электронами. Наиболее прочной является двухэлектронная
связь, при которой каждые два соседних атома имеют во внешних
электронных слоях по два общих электрона. Рассмотрим, например,
германий. Он четырехвалентен, т. е. его атом имеет четыре внешних
электрона, каждый из которых одновременно принадлежит одному из
четырех соседних атомов германия.
Германий имеет кубическую гранецентрированную кристалличес-
кристаллическую решетку**. В такой решетке каждый атом германия находится
* От греческого слова 6ер(хт) (терме) — тепло и английского (res)istor —
активное сопротивление.
Строго говоря, термистором называется не весь термометр, а лишь его при-
приемная часть, т е. само полупроводниковое сопротивление.
** Такого же типа решетку имеют кремний и алмаз.
292

в центре тетраэдра (правильного четырехгранника с треугольными
гранями), вершинами которого являются четыре ближайших атома
германия (рис. 194).
Плоскостная схема электронных связей между атомами германия
изображена на рис. 195, а. Кружками обозначены атомы германия
(занумерованы римскими цифрами), точками — внешние электроны
(занумерованы арабскими цифрами), линиями — электронные связи
атомов (каждая линия соответствует связи, осуществляемой одним
электроном).
Пусть под влиянием внеш-
внешнего воздействия (нагревания,
освещения и т. п.) электрон /
из связи атомов /—// стал сво-
свободным (рис. 195, б). Уход эле-
электрона равносилен появлению в
области бывшей связи положи-
положительного заряда р, равного по
величине заряду электрона. Та-
Такой положительный заряд, обра-
образующийся при освобождении
электрона (при разрыве связи),
принято в теории полупроводни-
полупроводников называть «дыркой». Итак,
одновременно с возникновением
свободного электрона образуется
дырка. Разорванная связь может
быть легко восстановлена за
счет любого связанного электро-
электрона из соседней связи, например
благодаря переходу электрона
8 из связи атомов //—/// (рис.
195, в). Перемещение электрона
8 в разрыв связи /—// сопрово-
сопровождается перемещением дырки в
связь //—///. Разорванная
Рис. 195
293

связь II—III может в свою очередь восстановиться, например за счет
перехода связанного электрона 9, сопровождающегося перемещением
дырки в связь III—IV (рис. 195, г), и т. д.
Таким образом, при наличии разорванных связей (дырок) в по-
полупроводнике начинаются переходы (перескоки) связанных электро-
электронов из одной соседней связи в другую и одновременные переходы ды-
дырок в противоположном направлении. В отсутствие внешнего электри-
электрического поля эти переходы носят хаоти-
хаотический характер. При наличии поля на
хаотическое движение накладывается
упорядоченное: связанные электроны пе-
перемещаются против поля, дырки — по
полю. Упорядоченное движение дырок
создает ток в полупроводнике. Проводи-
Проводимость, обусловленная перемещением
дырок, называется дырочной, или про-
проводимостью р-типа (от слова positive —
положител ьн ый).
Прибегая для наглядности к еще
большей схематизации, можно предста-
представить процессы электронной и дырочной
проводимостей посредством рис. 196.
Полупроводник находится в электриче-
электрическом поле напряженностью Е. Электрон,
вырвавшийся из атома IV, становится
свободным и «безостановочно» движется
в направлении, противоположном полю.*
ш Это электронная проводимость. Атом IV,
лишившийся электрона, становится по-
положительным ионом— дыркой (рис. 196,
а). К этому иону присоединяется связан-
связанный электрон из соседнего справа ней-
нейтрального атома V, в результате чего в атоме V образуется дыр-
дырка (рис. 196, б). Затем дырку V заполняет связанный электрон из
атома VI, образуя в этом атоме дырку (рис. 196, в). Потом дырка
образуется в атоме VII и т. д. Эстафетное движение дырок в направ-
направлении поля (или, что то же, движение связанных электронов против
поля) соответствует дырочной проводимости.
Суммарное движение свободных электронов и дырок образует ток
в полупроводнике. Так как освобождение электрона сопровождается
появлением дырки, то число свободных электронов в полупроводнике
должно равняться числу дырок. Опыт и расчеты показывают, что сво-
свободные электроны и дырки перемещаются приблизительно с одина-
одинаковой скоростью. Поэтому ток в полупроводнике приблизительно
в равной мере обусловлен как электронной, так и дырочной прово-
димостями. Такая электронно-дырочная проводимость называется
собственной проводимостью полупроводника.
* В дэижении свободного электрона возможны и остановки, если на его
пути окажется положительный ион — дырка.
294

Можно привести следующую аналогию электронно-дырочной проводимости,
В зале кинотеатра со среднего кресла одного из рядов встает зритель и идет вле-
влево вдоль ряда к выходу. На освободившееся кресло пересаживается соседний
зритель справа, на его место — следующий сосед справа и т. д.
В результате свободное место перемещается вдоль ряда вправо.
Движение первого зрителя слух^ит аналогом электронной проводимости,
пересаживание остальных зрителей — аналогом дырочной проводимости.
В чистых полупроводниках имеет место собственная проводимость.
Однако идеально чистых полупроводников в природе нет, а искус-
искусственная их очистка от всех примесей крайне сложна (практически
невозможна). Между тем наличие даже небольшой примеси в полу-
Освобождающийся
'электрон
Рис. 197
проводнике оказывает большое влияние на его проводимость, соз-
создавая так называемую примесную проводимость полупроводника.
Некоторые примеси обогащают полупроводник свободными электро-
электронами, вызывая в нем преимущественную электронную проводимость.
Такие примеси называются донорными (дающими), а полупроводни-
полупроводники — электронными, или полупроводниками я-типа. Другие примеси
обогащают полупроводник дырками, создавая в нем преимуществен-
преимущественную дырочную проводимость. Такие примеси называются акцептор1
ными (принимающими), а полупроводники — дырочными, или полу-
полупроводниками уо-типа. Поясним сказанное опять-таки на примере гер-
германия.
Введем в германий небольшое количество пятивалентного элемен-
элемента, например мышьяка. Каждый атом мышьяка войдет в связь че-
четырьмя своими внешними электронами с четырьмя соседними атомами
германия. Пятый внешний электрон мышьяка окажется «лишним»,
не участвующим в установлении между атомных связей (рис. 197, а).
Под влиянием теплового движения или иных воздействий этот элек-
электрон легко может стать свободным. Практически каждый атом вве-
введенного мышьяка создает в полупроводнике по одному свободному
электрону @,0001% примеси мышьяка увеличивает число свободных
электронов в германии примерно в 1000 раз!). Существенно, что при
этом число дырок не увеличивается, так как освобождение «лишних»
электронов не разрывает междуатомных связей. В результате герма-
германий обогащается свободными электронами; примесная электронная
295

проводимость становится в нем основной. Германий превращается
в примесный электронный полупроводник.
Введем теперь в германий небольшое количество трехвалентного
элемента, например индия. Каждый атом индия прочно соединится
тремя своими внешними электронами с тремя соседними атомами
германия. Связь с четвертым атомом германия окажется непрочной,
так как у индия нет четвертого внешнего электрона (рис. 197, б).
Поэтому каждый атом введенного индия создаст в полупроводнике
по одной дырке. Существенно, что при этом число свободных электронов
не увеличится. В результате германий обогатится дырками; примес-
примесная дырочная проводимость станет в нем основной. Германий превра-
превратится в примесный дырочный полупроводник.
Таким образом, путем введения в полупроводник малых доз со-
соответствующих примесей можно в широких пределах изменять ве-
величину и даже тип проводимости полупроводника. Изготовление при-
примесных полупроводников с наперед заданными электрическими свойст-
свойствами является важнейшей отраслью производства полупроводников.
§ 90. Запирающий слой. Полупроводниковые выпрямители,
усилители и термоэлектрические батареи
Весьма важное явление имеет место в зоне контакта двух полу-
полупроводников различного типа проводимости — электронного (п) и
дырочного (/?). Так как в первом из них велика концентрация свобод-
свободных электронов, а во вто-
l r ром — дырок, то через поверх-
г—-'тип f *^~у Р~тп ность соприкосновения полу-
^ ' ^ проводников происходит диф-
диффузия свободных электронов
из электронного полупровод-
полупроводника в дырочный (п-+р) и
диффузия дырок в противо-
(ВсЫодные электроны © Вырна положи ом направлении (/?->
->я)*. В результате пограни-
Рис. 198 ЧНЫЙ СЛОЙ СО СТОрОНЫ /7-ПО-
лупроводника заряжается от-
отрицательно, а со стороны п-полупроводника — положительно, т. е.в зо-
зоне контакта образуется «двойной электрический слой» (рис. 198). Воз-
Возникающее в этом слое электрическое поле напряженностью ?" будет,
очевидно, препятствовать дальнейшему переходу электронов в на-
направлении п-+р и дырок в направлении р-+п. В итоге при определен-
определенном значении напряженности Е' установится равновесие: прекра-
прекратятся преимущественные перемещения электронов и дырок в указан-
указанных направлениях.
Толщина слоя I имеет порядок 10~б см, контактная разность по-
потенциалов в слое — порядок 10~1 В (для обычно применяемых в тех-
* Еще раз подчеркнем, что перемещение дырок в направлении р—>п озна-
означает в действительности эстафетное перемещение связанных электронов в на-
направлении п-+р.
296

297
нике полупроводников). Такую разность потенциалов (потенциальный
барьер) могут преодолеть только электроны и дырки, обладающие
большой кинетической энергией, соответствующей температурам в не-
несколько тысяч Кельвинов. При нормальной температуре слой I явля-
является непроницаемым — имеющим очень большое сопротивление — для
перехода электронов в направлении п->р и дырок в направлении
р->п. Поэтому пограничный слой / называется запирающим слоем.
Сопротивление запирающего слоя можно изменить с помощью внеш-
внешнего электрического поля, В самом деле, присоединим к электронному
полупроводнику положительный, а к дырочному — отрицательный
полюсы источника тока (рис.
199, а). Тогда напряженность
внешнего поля Е9 совпадаю-
совпадающая по направлению с на-
напряженностью ?", еще даль-
дальше отодвинет свободные эле-
электроны и дырки от места кон-
контакта полупроводников. За-
Запирающий слой расширится
и его сопротивление возра-
возрастет. Ток через контакт не
пройдет. Точнее говоря, пой-
пойдет очень слабый ток, обусло-
обусловленный собственной прово-
проводимостью полупроводников,
так как внешнее поле способ-
способствует переходу через запи-
запирающий слой неосновных но-
носителей тока: свободных эле-
электронов из дырочного полу-
полупроводника в электронный и
дырок из электронного по-
полупроводника в дырочный. Но концентрации свободных элек-
электронов в дырочном полупроводнике и дырок в электронном полупро-
полупроводнике весьма малы. Поэтому в данном случае ток будет пренебре-
пренебрежимо малым. Направление п-+р, практически не пропускающее тока,
называется запирающим.
Изменим полярность приложенного внешнего напряжения
(рис. 199, б). Тогда напряженность внешнего поля ?, направленная
противоположно напряженности Е\ будет перемещать свободные
электроны и дырки навстречу друг другу. Запирающий слой сузится
и его сопротивление уменьшится. При определенном значении при-
приложенного внешнего напряжения сопротивление запирающего слоя
станет равным сопротивлению самих полупроводников (запирающий
слой исчезнет). Через полупроводники пойдет сильный ток. Направ-
Направление р-^я, пропускающее ток, называется пропускным.
Таким образом, запирающий слой обладает вентильной проводи-
проводимостью, что позволяет использовать его для выпрямления переменного
тока, подобно диоду в ламповом выпрямителе (gm. § 88). Зависимость

силы тока через полупроводниковый диод от приложенного напряжения
изображена на рис. 200. Ветвь кривой ОА соответствует пропускному
току, ветвь ОВ — слабому обратному току собственной проводимости
полупроводников. В электрорадиотехнике наиболее распространены
меднозакисные, селеновые, германиевые и кремниевые диоды.
Запирающий
спой
П'ШП ' р-тип
Рис. 200
На рис. 201 представлена принципиальная схема меднозакисного
(купроксного) выпрямителя. На медную пластину Си наращен слой
закиси меди Си2О. Часть меднозакисного слоя, прилежащая к медной
пластине, обогащается примесью меди и становится электронным по-
полупроводником. Наружная часть меднозакисного слоя обогащена
(в процессе изготовления выпря-
выпрямителя) кислородом и является
дырочным полупроводником. По-
Поэтому в толще закиси меди
образуется запирающий слой с
пропускным направлением тока
от закиси меди к меди
Из полупроводников изготовля-
изготовляются и триоды, называемые транзи-
транзисторами. Транзистор состоит из трех
Рис. 202 полупроводниковых пластин (рис.
202). Крайние пластины Э и /С, на-
называемые соответственно эмиттером
и коллектором, имеют дырочную проводимость; средняя пластина О, называ-
называемая основанием, имеет электронную проводимость*. Очевидно, что в транзи-
транзисторе образуются два запирающих (во взаимно противоположных направле-
направлениях) слоя: один — между эмиттером и основанием, другой — между коллек-
коллектором и основанием.
На рис. 202 представлена простейшая схема транзисторного усилителя
слабых колебаний напряжения. Батарея Бк включена между основанием и кол-
коллектором в запирающем направлении (минус на р-полупроводнике) и потому
* Возможен и другой вариант: крайние пластины изготовлены из электрон
ного полупроводника, средняя пластина — из дырочного.
298

не должна вызывать тока в коллекторе. Батарея Бэ включена между эмиттером
и основанием в пропускном направлении (плюс на р-полупроводнике); под ее
влиянием дырки из эмиттера перемещаются в основание. Затем эти дырки сво-
свободно проходят через запирающий слой между основанием и коллектором, по-
поскольку, как уже отмечалось, для дырок ^-полупроводника переход п—*р явля-
является пропускным. В результате в цепи батареи Бк возникает ток.
Таким образом, эмиттер «впрыскивает» дырки в основание (подобно тому,
как катод электронной лампы впрыскивает электроны в пространство между
катодом и анодом), а коллектор «отсасывает» эти дырки из основания (подобно
тому, как анод лампы отсасывает электроны). Транзистор имеет очень тонкое
основание (его толщина порядка 10 см). Это необходимо для того, чтобы дырки
переходили из основания в коллектор, не успев воссоединиться со свободными
электронами основания.
Напряжение Uc, приложенное между эмиттером и основанием, играет роль
сеточного напряжения лампового усилителя (см. рис. 194). Оно может увели-
увеличивать или уменьшать поток дырок из эмиттера в основание (в зависимости от
того, в каком направлении — пропускном или запирающем — оно приложено)*.
Поэтому в случае колеблющегося напряжения Uc всякое его изменение Д Uc
ведет к изменению концентрации дырок в основании, что в свою очередь вызы-
вызывает соответствующее изменение тока в цепи коллектора и изменение Д Vа на-
напряжения Ua на резисторе R. Так как Ua^>Uc (сопротивление R велико), то
Д(УЙ>Д?/С. Таким образом, слабое колебание напряжения в цепи эмиттера вы-
вызывает сильное колебание напряжения на выходном сопротивлении цепи кол-
коллектора.
Полупроводниковые диоды и триоды могут иметь весьма малые
размеры (порядка 1 см и менее), не нуждаются в нагреве (накале),
просты по устройству, механически прочны, имеют большой срок
службы. Поэтому они успешно конкурируют с электронными лампами
Еще одним важным полупроводниковым прибором, основанным на
действии запирающего слоя, является полупроводниковый фотоэле-
фотоэлемент. С ним мы познакомимся при изучении внутреннего фотоэффек-
фотоэффекта (см. § 136).
В § 87 отмечалось, что термоэлектродвижущая сила полупровод-
полупроводниковых термопар значительно больше, чем металлических. Теперь,
после ознакомления с основными свойствами полупроводников, это
различие нетрудно понять.
Если стержень из электронного полупроводника нагревать с одного
конца и охлаждать с другого, то в горячем конце повысится концент-
концентрация свободных электронов (см. § 89). К тому же эти электроны бу-
будут иметь повышенную кинетическую энергию. Поэтому начнется пре-
преимущественный перенос электронов в направлении падения температу-
температуры, в ходе которого горячий конец стержня будет заряжаться положи-
положительно, а холодный — отрицательно (попутно отметим, что стержень
из дырочного полупроводника приобретает за счет преимуществен-
преимущественного переноса дырок на холодный конец противоположную полярность:
его горячий конец заряжается <этРиЦательн0» а холодный — по-
положительно). Возникающее при этом внутри полупроводника элект-
электрическое поле препятствует дальнейшему преимущественному пере-
переносу электронов на холодный конец стержня. В результате установит-
установится равновесное состояние при определенной для данного полупровод-
* Батарея Бэ подобрана с таким расчетом, чтобы ее напряжение всегда
было больше напряжения Uc. Поэтому дырочный ток в цепи транзистора ни-
никогда не прерывается.
299

спаи
ника разности потенциалов (термоэлектродвижущей силе) между кон-
концами стержня. Существенно, что у металлического стержня подоб-
подобного эффекта не будет, так как концентрация свободных электронов
в металлах практически не
зависит от температуры. По-
Поэтому очевидно, что в замк-
Горячий /l^i ^Щ/кХолодныи нутой термопаре, составлен-
спай \Х /7 спай ной из металла и электронного
полупроводника, возникает
ток, направленный в металле
от горячего (положительно
заряженного) спая к холод-
холодному (рис. 203).
Можно также составить термопару из двух полупроводниковых
стержней — электронного и дырочного. Очевидно, что термоэлектро-
термоэлектродвижущие силы, возникающие в каждом из этих стержней, сумми-
суммируются, поскольку, как уже отмечалось, нагреваемые концы элек-
электронного и дырочного полупроводников заряжаются разноименно.
Термоэлектродвиж у щая
сила полупроводниковых тер-
термопар составляет около 0,1 В
на 100 К разности температур
(примерно в 100 раз больше,
чем у металлических термо-
термопар), а их коэффициент по-
полезного действия доходит до
8% (примерно в 80 раз боль-
больше, чем у металлических тер-
термопар). Это позволяет исполь-
использовать полупроводниковые
термопары не только для из-
измерения температуры, но и в
качестве генераторов тока,
непосредственно преобразую-
щих теплоту в электричество.
На рис. 204, а изобра-
изображен термоэлектрогенератор
ТГК-3, представляющий со-
собой надетую на стекло керо-
керосиновой лампы кольцеоб-
кольцеобразную термобатарею, составленную из большого числа полупровод-
полупроводниковых термопар, расположенных радиально; устройство термобата-
термобатареи схематически показано на рис. 204, б. Внутренние (обращенные
к стеклу) спаи термопар нагреваются до 570 К, внешние спаи имеют
температуру около 330 К. Термоэлектрогенератор ТГК-3 успешно
применяется для питания радиоприемников. Более мощный термо-
термоэлектрогенератор ТГУ-1, нагреваемый керогазом, используется для
питания колхозных и совхозных приемопередающих радиостанций
«Урожай».
Рис. 204
300

Эффект Пельтье (см. § 87) также выражен у полупроводниковых
батарей значительно резче, чем у металлических. Поэтому полупро-
полупроводниковые холодильники оказываются экономически выгодными.
Устройство такого холодильника очень простое. В стенку теплоизо-
теплоизолированного шкафа вмонтирована полупроводниковая термобатарея,
у которой все охлаждающиеся (при пропускании тока) спаи находят-
находятся внутри шкафа, а все нагревающиеся спаи — снаружи. Внутренние
спаи охлаждают воздух в холодильнике, а наружные спаи нагревают
окружающую среду.На этом принципе устроен, например, бытовой
холодильник «Днепр». Очевидно, что при пропускании тока через тер-
термобатарею холодильника в противоположном направлении холодиль-
холодильник превратится в нагревательную установку — сушильный шкаф.
Ограничиваясь пока этими примерами практического использо-
использования полупроводников, отметим, что полупроводники позволяют
просто и экономично разрешать многие технические и научные про-
проблемы. Этим объясняется большое и быстро возрастающее значение
полупроводниковых приборов в народном хозяйстве.
§ 91. Ток в жидкостях. Электролиз. Законы Фарадея
Вещества, раствор которых в воде и некоторых других диэлект-
диэлектрических жидкостях проводит электрический ток, называются элек-
электролитами. К ним относятся главным образом соли, кислоты и ще-
щелочи. Молекулы электролита и раствори-
растворителя являются дипольными (см. § 81). По-
Поэтому в растворе каждую молекулу эле-
электролита окружает группа молекул раство-
растворителя так, как это показано на рис. 205.
Очевидно, что молекулы растворителя
стремятся как бы разорвать молекулу
электролита на две части; этому способ-
способствует также тепловое движение — коле-
колебание атомов в молекуле электролита. В
результате большинство молекул электро-
электролита распадается на положи-
положительные ионы (катионы) и отри-
отрицательные ионы (анионы); на-
например, молекула NaCl распа-
распадается в водном растворе на
катионы Na+ и анионы СГ~. При
этом возможен, конечно, и рас-
распад на ионы некоторых молекул
самого растворителя. Описан-
Описанный процесс называется элек-
электролитической диссоциацией. Рис. 206
Обратному процессу — воссое-
воссоединению (рекомбинации) ионов электролита в нейтральные молеку-
молекулы — препятствует образующаяся на ионах сольватная оболочка,
состоящая из молекул растворителя (рис. 206).
Рис. 205

Степенью, или коэффициентом, диссоциации называется отноше-
отношение числа диссоциированных молекул электролита п к общему числу
его молекул п0:
п0
B5)
(числа п и п0 относятся к единице объема раствора, т. е. представ-
представляют собой соответствующие концентрации). Степень диссоциации за-
зависит от природы электролита и растворителя, от концентрации элек-
электролита п0 и от температуры. В
слабых растворах (яо-^О) почти
все молекулы электролита дис-
диссоциированы (а « 1), с повыше-
повышением концентрации степень
диссоциации уменьшается (за
счет рекомбинации). При повы-
повышении температуры а увеличи-
увеличивается, так как усиливающееся
при этом колебательное движе-
движение атомов в молекулах электро-
электролита способствует распаду этих
молекул на ионы.
В отсутствие электрического
поля ионы электролита вместе со
Рис. 207 своими сольватными оболочками
движутся хаотически. При на-
наличии поля их движение упорядочивается: катионы движутся по
полю, анионы — против поля. В жидкости возникает электрический
ток, обусловленный встречным движением разноименных ионов. Та-
Такого рода проводимость называется ионной.
Кроме указанных растворов ионной проводимостью обладают рас-
расплавы солей и окислов металлов: они также относятся к группе элек-
электролитов.
Определим плотность тока i в жидкости, т. е. заряд, переносимый
за 1 с через воображаемую площадку в 1 см2, перпендикулярную
направлению движения ионов (рис. 207). Так как перенос зарядов
осуществляется ионами обоих знаков, то
i = q+n+v+ + q_n_v_,
где q+ и q_ — заряды катионов и анионов, п+ и п_ — концентрации
этих ионов, v+ и il — средние скорости упорядоченного движения
этих ионов. Учитывая, что раствор в целом нейтрален, можем на-
написать
q+n+
_ == qn,
B6)
где q — заряд иона любого знака, п — концентрация ионов этого
же знака. Величина заряда иона обусловлена потерей (для катиона)
или сохранением (для аниона) валентных электронов при диссоциации
302

молекулы. Поэтому, обозначив валентность иона через г, найдем
q = ez, B7)
где е — абсолютное значение заряда электрона. Тогда, учитывая
формулы B6) и B7), получим
i = ezn (v+ + vj). B8)
В электрическом поле на движение иона оказывают влияние две
силы: во-первых, ускоряющая электрическая сила
F э = дЕ,
где Е — напряженность поля (см. § 75), во-вторых, тормозящая сила
внутреннего трения жидкости FT?. Если ион с его сольватной оболоч-
оболочкой считать шаром с радиусом /\ то, согласно закону Стокса (см. § 58),
где у\ — коэффициент вязкости жидкости. При установившемся дви-
движении (которое наступает практически одновременно о появлением
поля) F9 = FTp, тогда
v = —5— Е = иЕ, B9)
где
C0)
— подвижность иона. Из формулы B9) следует, что и = v при Е = 1.
Таким образом, подвижность иона равна скорости равномерного дви-
движения этого иона под действием электрического поля единичной на-
напряженности. Как видно из формулы C0), подвижность ионов воз-
возрастает с повышением температуры (за счет уменьшения вязкости
жидкости т]). При комнатной температуре и ^ 5 • 10"*8 м2/(В -с).
Учитывая формулу B9), запишем выражение плотности тока B8)
в виде
i = ezn(u+ + u_) ?, C1)
или
i = ??, C2)
где
Т - ezn (u+ + uj C3)
— удельная электропроводность жидкости. Таким образом, выра-
выражения C1) и C2) представляют собой закон Ома в дифференциальной
форме (см. § 85) для жидкости. Величина
7 ezn (u^ -j- «_)
S03

является удельным сопротивлением жидкости. Так как с повыше-
повышением температуры подвижность и и концентрация п ионов возрастают,
то, согласно формуле C4), с повышением температуры сопротивление
жидкости уменьшается (в отличие от сопротивления металлических
проводников).
Подходя к электродам, ионы электролита нейтрализуются (превра-
(превращаются в нейтральные атомы) и оседают на электродах (анионы —
на аноде, катионы — на катоде) или же выделяются около электродов
в виде газа (первичная реакция). Зачастую нейтрализовавшиеся ионы
вновь вступают в реакцию с растворителем, образуя новые ионы, ко-
которые затем оседают на электродах (вторичная реакция).
Выделение на электродах продуктов разложения раствора (рас-
(расплава) электролита при прохождении через этот раствор (расплав)
тока называется электролизом. Отметим, что электролиз является част-
частным случаем электрофореза (см. § 87).
Количественные закономерности электролиза установил в 1836 г.
английский физик Фарадей. Эти закономерности нетрудно вывести
теоретически на основе представления об ионной проводимости.
Если за время t у электрода нейтрализуется п' ионов, каждый из
которых имеет валентность z и массу т, то электрод получит заряд
q = егп\
где е — заряд электрона. При этом на электроде осядет масса вещест-
вещества
М = тп'.
Отношение
?• = -=¦ = * C5)
q ez
есть постоянная для данного вещества величина, называемая элект-
электрохимическим эквивалентом этого вещества. Очевидно, что электро-
электрохимический эквивалент равен количеству вещества, выделяющегося
на электроде при прохождении через раствор единицы количества
электричества. Для серебра, например, & = 1,118 • 10 кг/Кл, для
меди k = 0,329 • 10~6 кг/Кл. Из формулы C5) следует, что
M = kq = kit, C6)
где / — сила тока, протекающего через раствор. Это соотношение
выражает первый закон Фарадея:
масса вещества, выделяющегося на электроде, пропорциональна ко-
количеству электричества, прошедшего через раствор.
Умножим и разделим выражение k C5) на постоянную Авогадро
N
Учитывая, что Л/д/л = А —молярная масса вещества, получим
* = 77' C7)
304

где
F = NAe C8)
— универсальная постоянная, называемая постоянной Фарадея. По-
Постоянная Фарадея равна постоянной Авогадро, умноженной на ве-
величину элементарного заряда. Отношение А/г называется химиче-
химическим эквивалентом вещества. Формула C7) выражает второй закон
Фарадея:
электрохимический эквивалент вещества пропорционален его хими-
химическому эквиваленту.
Объединив оба закона Фарадея, получим
откуда следует, что F = q при М = А/г, т. е.
постоянная Фарадея равна по величине количеству электричества,
при прохождении которого через раствор на электроде выделяется один
килограмм-эквивалент вещества*.
Согласно опытным данным,
F = 9,6487- 10* Кл/моль.
Определив так постоянную Фарадея, найдем величину заряда элект-
электрона, пользуясь соотношением C8):
/М0ШГ1 Кл.
е * MS
NA 6,0225 моль
Электролиз находит весьма широкое применение в технике. Элект-
Электролизом получают некоторые металлы (например, алюминий из рас-
расплава бокситов, содержащих окисел Al2O3) и очищают от примесей
многие металлы, полученные неэлектрическими методами (электро-
рафинирование). Электролизом соответствующих растворов получают
некоторые газы (кислород, водород, хлор и др.) и тяжелую воду**.
Посредством электролиза различные изделия покрывают слоем метал-
металлов (гальваностегия), а также изготовляют рельефные металлические
копии нужных изделий, например типографские клише (гальванопла-
(гальванопластика). На электролизе основана зарядка аккумуляторов.
Отметим, что все жидкости животных и растительных организмов
являются растворами электролитов. Поэтому постоянный ток через
живой организм сопровождается химическими реакциями и перерас-
перераспределением электрических зарядов в организме, что вызывает в нем
разнообразные раздражения. Такие раздражения заставляют рыбу
плыть против электрического поля, созданного в воде. На этом осно-
* Килограмм-эквивалентом называется количество килограммов вещест-
вещества, численно равное его эквивалентной массе (химическому эквиваленту).
** Небольшое количество тяжелой воды D2O всегда содержится в обычной
воде НгО. При электролизе подкисленной воды на катоде выделяется преиму-
преимущественно легкий водород — протий, а остающаяся вода обогащается тяжелым
водородом — дейтерием.
305

ван электролов рыбы (внутри рыболовной снасти помещается электрод,
подключенный к положительному полюсу источника тока).
Интенсивность раздражения и других физиологических действий тока опре-
определяется главным образом силой тока. Токи в несколько сотых долей ампера
приводят к серьезным поражениям человеческого организма, а более сильные
токи могут оказаться смертельными. Сила тока, проходящего через организм
человека, зависит от его электросопротивления, которое в основном опреде-
определяется сопротивлением кожи (удельное сопротивление кожи имеет порядок
Ю3 Ом • м). Вообще говоря, сопротивление человеческого тела весьма значи-
значительно; так, например, при сухой неповрежденной коже рук сопротивление
тела от конца одной руки до конца другой составляет около 15 000 Ом.
Небезынтересно отметить, что среди сельскохозяйственных животных очень
чувствительны к действию тока лошади. Ток, совершенно безвредный для че-
человека, зачастую оказывается смертельным для лощади. Таким образом, рас-
распространенное выражение «лошадиная доза» является в данном случае непод-
неподходящим.
§ 92. Ток в газах. Несамостоятельный и самостоятельный
газовые разряды
В отличие от растворов электролита газ при нормальных усло-
условиях состоит из нейтральных молекул (или атомов) и потому является
изолятором. Проводником электрического тока газ становится толь-
только в том случае, когда хотя бы часть его молекул ионизируется (пре-
(превращается в ионы) под влиянием внешнего воздействия (ионизатора).
При ионизации из молекулы газа вырывается обычно один электрон,
в результате чего молекула становится положительным ионом. Выр-
Вырвавшийся электрон либо остается некоторое время свободным, либо
сразу же присоединяется («прилипает») к одной из нейтральных мо-
молекул газа, превращая ее в отрицательный ион. Таким образом, в иони-
ионизированном газе имеются положительные и отрицательные ионы и сво-
свободные электроны*.
Для того чтобы выбить из молекулы (атома) один электрон, иони-
ионизатор должен совершить определенную работу, называемую работой
ионизации; для большинства газов она имеет значения, лежащие в пре-
пределах от 5 до 25 эВ. Ионизаторами газа могут служить рентгеновские
лучи (см. § 125), радиоактивные излучения (см. § 139), космические
лучи (см. § 145), интенсивное нагревание, ультрафиолетовые лучи
(см. § 120) и некоторые другие факторы.
Наряду с ионизацией в газе идет процесс рекомбинации ионов.
В результате устанавливается равновесное состояние, характери-
характеризующееся определенной концентрацией ионов, величина которой за-
зависит от мощности ионизатора**.
При наличии внешнего электрического поля в ионизированном га-
газе возникает ток, обусловленный движением разноименных ионов
во взаимно противоположных направлениях и движением электронов.
* Свободные электроны и ионы могут оседать на посторонних частиц ах,
взвешенных в газе (пылинках, частицах дыма, капельках и т. п.), образуя тя-
тяжелые ионы.
** Мощность ионизатора характеризуется числом пар ионов, создава емых
этим ионизатором в 1 см3 газа за 1 с,
306

Благодаря малой вязкости газа подвижность газовых ионов в тысячи
раз больше, чем ионов электролита, и составляет примерно
10-4 м2/(В-с).
При прекращении действия ионизатора концентрация ионов в га-
газе быстро падает до нуля (в связи с рекомбинацией и выносом ионов
к электродам источника тока) и ток прекращается. Ток, для сущест-
существования которого необходим внешний ионизатор, называется несамо-
несамостоятельным газовым разрядом.
При достаточно сильном электрическом поле в газе начинаются
процессы самоионизации, благодаря которым ток может существовать
и в отсутствие внешнего ионизатора. Такого рода ток называется са-
самостоятельным газовым разрядом.
Процессы самоионизации в общих чертах заключаются в следую-
следующем. В естественных условиях в газе всегда имеется небольшое коли»
чество свободных электронов и ионов, создаваемых такими естествен-
естественными ионизаторами, как космические лучи и излучения радиоактив-
радиоактивных веществ, содержащихся в атмосфере, почве и воде. Достаточно
сильное электрическое поле может разогнать эти частицы до таких ско-
скоростей, при которых их кинетическая энергия превысит работу иони-
ионизации. Тогда электроны и ионы, сталкиваясь (по пути к электродам)
с нейтральными молекулами, будут ионизировать их. Образующиеся
при соударениях новые (вторичные) электроны и ионы также разго-
разгоняются полем и в свою очередь ионизируют новые нейтральные мо-
молекулы и т. д. Описанная самоионизация газа называется ударной
ионизацией.
Свободные электроны вызывают ударную ионизацию уже при на-
напряженности поля порядка 103 В/м. Что касается ионов, то они могут
вызвать ударную ионизацию только при напряженности поля порядка
105 В/м. Это различие обусловлено рядом причин, в частности тем,
что для электронов длина свободного пробега в газе значительно боль-
больше, чем для ионов. Поэтому электроны приобретают необходимую для
ударной ионизации кинетическую энергию при меньших напряжен-
ностях поля, чем ионы. Однако и при не слишком сильных полях по-
положительные ионы играют весьма важную роль в самоионизации
газа. Дело в том, что энергия этих ионов оказывается достаточной
для выбивания электронов из металла *. Поэтому разогнанные полем
положительные ионы, ударяясь о металлический катод источника по-
поля, выбивают из него электроны, которые в свою очередь разгоняют-
разгоняются полем и производят ударную ионизацию нейтральных молекул.
Ионы и электроны, энергия которых недостаточна для ударной
ионизации, могут, тем не менее, при столкновении с молекулами при-
приводить их в возбужденное состояние, т. е. вызывать некоторые энер-
энергетические изменения в их электронных оболочках. Возбужденная
молекула (или атом) переходит затем в нормальное состояние, испус-
испуская при этом порцию электромагнитной энергии — фотон (процессы
* Работа выхода электрона из металла меньше работы ионизации молекул:
первая составляет несколько электронвольт (см. § 87), вторая, как отмечалось,
составляет несколько десятков электронвольт.
307

возбуждения атомов и испускания и поглощения ими фотонов будут
рассмотрены в § 132—136). Испускание фотонов проявляется в све-
свечении газа. Кроме того, фотон, поглощаемый какой-нибудь из моле-
молекул газа, может ионизировать ее; такого рода ионизация называется
фотонной. Наконец фотон, попадающий на катод, может выбивать
из него электрон (внешний фотоэффект), который затем вызовет удар-
ударную ионизацию нейтральной молекулы.
О ->-©
о
+
//л • "* ВыбиЙание электрона, из катода.
iti^LuJLmmui1 шен^ы h© положительным ионом
йыдиВ^
®-g Фотонная ионизацияттуш
</ Испускание фотона молекулой} Возбужденной
^F столкновением с ионом
Рис. 208
В результате ударной и фотонной ионизации и выбивания электро-
электронов из катода положительными ионами и фотонами количество ионов
и электронов во всем объеме газа резко (лавинообразно) возрастает.
Для существования тока в газе теперь уже не нужен внешний иони-
ионизатор. Газовый разряд становится самостоятельным. Описанный про-
процесс самоионизации газа схематически показан на рис. 208, где ней-
нейтральные молекулы изображены белыми кружками, положительные
ионы — кружками со знаком плюс, электроны — черными кружками,
фотоны — волнистыми линиями.
На рис. 209 представлен экспериментальный график зависимости
силы тока / в газе от напряженности поля Е или от напряжения U
между катодом и анодом источника поля, поскольку
308

где L — расстояние между электродами. На участке кривой Оа ток
возрастает приблизительно пропорционально напряженности поля
{т. е. по закону Ома). Это объясняется тем, что с увеличением напря-
напряженности возрастает скорость упорядоченного движения ионов
и электронов, а следовательно, и количество электричества, проходя-
проходящее за 1 с к электродам (ток). Очевидно, что возрастание тока пре-
прекратится тогда, когда напряженность поля достигнет величины, при
которой все ионы и электроны, создаваемые внешним ионизатором
за 1 с, будут за это же время подходить к электродам. Максимальный
чп
Рис. 209
ток /m, соответствующий этой напряженности Еь, называется током
насыщения (участок be). Величина тока насыщения пропорциональна
мощности ионизатора. При достаточно большой напряженности поля
Ес начинается самоионизация газа, а при дальнейшем увеличении на-
напряженности наступает самостоятельный газовый разряд. Таким обра-
образом, участок кривой Od соответствует несамостоятельному газовому
разряду, а ветвь кривой, лежащая правее точки d, — самостоятель-
самостоятельному газовому разряду.
Таковы общие черты газового разряда. Вместе с тем характер (тип)
разряда существенно зависит от давления, температуры и химичес-
химического состава газа, а также от материала, формы, размеров и взаимно-
взаимного расположения электродов. В следующем параграфе рассмотрены
основные типы самостоятельного газового разряда.
§ 93. Типы самостоятельного газового разряда
1. Искровой разряд. При больших напряженностях
электрического поля (около 30 000 В/см) в газе, находящемся при
нормальном или повышенном давлении, возникает искровой разряд
(пробой газа). Он имеет вид ярко светящегося извилистого разветвлен-
разветвленного канала (стримера), мгновенно возникающего между электрода-
электродами. Разряд носит прерывистый во времени характер (канал то вспы-
вспыхивает, то гаснет) и сопровождается сильным треском.
Искровой разряд обусловлен ионными и электронными лавинами,
вызванными ударной и фотонной ионизацией и выбиванием электро-
309

нов из катода положительными ионами. При этих процессах выделяет-
выделяется большое количество энергии. Поэтому газ в канале разряда нагре-
нагревается до очень высокой температуры (порядка 104 К), чем и вызвано
его свечение. Треск искрового разряда обусловлен звуковыми вол-
волнами, возникающими при резком расширении нагревающегося в ка-
канале газа.
Примером грандиозного искрового разряда в естественных усло-
условиях является молния. Она представляет собой электрическую искру,
проскакивающую между грозовым облаком и Землей или между двумя
грозовыми облаками*. Длина молнии может достигать нескольких
километров, диаметр канала молнии 25 см, сила тока в канале 105 А.
Продолжительность молнии имеет порядок 10 с. Грозовые явления,
в частности молния, были экспериментально исследованы впервые
в середине XVIII в. М. В. Ломоносовым и Г. В. Рихманом и не-
независимо от них американским ученым Франклином.
В лабораторных условиях с помощью искрового разряда получают
плазму (газ в состоянии полной ионизации). Искровой разряд исполь-
используется для предохранения электрических линий передач от перена-
перенапряжения (искровой разрядник), а также для воспламенения горючей
смеси в двигателе внутреннего сгорания. При малой длине газораз-
газоразрядного промежутка искровой разряд вызывает разрушение (эрозию)
поверхности металла. На этом основана электроискровая обработка
металлов (резание, сверление и т. п.).
2. Коронный разряд. При нормальном и повышенном
давлениях газа, находящегося в неоднородном электрическом поле,
вблизи заостренных частей электродов наблюдается коронный раз-
разряд, представляющий собой слабое фиолетовое свечение газа, сопро-
сопровождающееся легким шипением. Разряд обусловлен ударной иониза-
ионизацией газовых молекул электронами и ионами, разогнанными до боль-
больших скоростей сильными электрическими полями, которые, как извест-
известно, создаются вблизи заостренных частей электродов (см. § 80). Свет
испускается возбужденными молекулами газа при их переходе в нор-
нормальное состояние.
Коронный разряд возникает, например, около проводов высокого
напряжения, у вершин мачт и других остроконечных предметов. На
коронном разряде основано действие молниеотвода. Сильное электри-
электрическое поле, возникающее в атмосфере во время грозы, вызывает ко-
коронный разряд у вершины молниеотвода. Этот разряд непрерывно
отводит в землю атмосферные электрические заряды, не позволяя им
накапливаться вблизи здания, и тем самым предохраняет здание от
удара молнии (или принимает удар на себя).
3. Дуговой разряд. Дуговой разряд возникает при срав-
сравнительно небольших напряжениях (около 60 В) между двумя близко
расположенными друг от друга электродами (угольными или метал-
металлическими). При атмосферном давлении он имеет высокую температу-
* Обычно верхняя часть грозового облака бывает заряжена положитель-
положительно, нижняя — отрицательно. При сближении разноименно заряженных час-
частей облаков между ними проскакивает молния.
310

ру 5000—6000 К и сопровождается ослепительно ярким свечением.
Плотность тока в дуговом разряде достигает нескольких тысяч ампер
на 1 мм2.
Дуговой разряд обусловлен в основном термоэлектронной эмис-
эмиссией раскаленного катода. Первоначальный нагрев катода происхо-
происходит за счет теплоты, выделяемой током в месте соприкосновения элек-
электродов, имеющем большое сопротивление. Затем электроды раздви-
раздвигаются и эмиттируемые электроны вызывают ударную ионизацию га-
газа. После этого катод поддерживается в накаленном состоянии за счет
бомбардировки положительными ионами.
Дуговой разряд был открыт в 1802 г. В. В. Петровым. В настоя-
настоящее время этот вид разряда используется для сварки металлов (ду-
Рис. 210
говая электросварка), выплавки специальных сталей (дуговая печь),
освещения [дуговой фонарь, прооюектор) и т. п. Отметим, что свет ду-
дугового разряда в ртутных парах, находящихся при пониженном дав-
давлении, богат ультрафиолетовыми лучами. В связи с этим ртутные ду-
дуговые лампы используются в качестве источника ультрафиолетовых
лучей для научных исследований, а также для лечебных целей «искус-
«искусственное горное солнце»). Баллон лампы изготовляется из кварцевого
стекла, почти не поглощающего ультрафиолетового излучения (по-
(поэтому лампа называется кварцевой).
4. Тлеющий разряд. Тлеющий разряд наблюдается в га-
газе при низком давлении (около 13 Па) и большой напряженности
электрического поля (около 80 В/см)*. Разряд имеет вид спокойно
светящегося столба А (рис. 210), заполняющего почти все простран-
пространство между электродами газоразрядной трубки (положительный
столб); не светящейся остается только небольшая область В около ка-
катода (катодное темное пространство). Свечение создают возбужден-
возбужденные молекулы; цвет свечения зависит от природы газа.
Тлеющий разряд вызван ударной ионизацией, производимой элек-
электронами, выбиваемыми из катода положительными ионами. Вблизи
катода эти электроны еще только начинают ускоряться полем. По-
Поэтому в области В они практически не производят ни ударной иони-
ионизации, ни даже возбуждения молекул газа, чем и объясняется отсут-
отсутствие свечения в этой области. Достигая положительного столба Л,
электроны приобретают уже достаточную кинетическую энергию и
потому ионизируют газ в этом столбе. Образующиеся при ударной
* Напряженность 80 В/см соответствует, например, напряжению в 4000 В
при расстоянии между электродами трубки в 0,5 м.
311

ионизации положительные ионы устремляются к катоду и выбивают
из него новые электроны, которые в свою очередь опять ионизируют
газ в области Л, и т. п. Таким образом, непрерывно поддерживается
тлеющий разряд.
Отметим, что в связи с малой ионизацией области В (сравнительно
с областью А) в ней сосредоточено почти все падение напряжения, соз-
создаваемого источником тока.
Так как в разреженном газе мала концентрация ионов (и нейтраль-
нейтральных молекул), то, во-первых, не происходит пробоя газа и, во-вторых,
общее количество энергии, выделяющееся в газе, оказывается не-
небольшим, в связи с чем свечение газа остается холодным.
При дальнейшем разрежении газа его свечение ослабевает и при
давлении порядка 0,1 Па практически прекращается. Но зато по-
появляется зеленое свечение стекла (стенок) трубки. Свечение стекла
вызвано ударами электронов, которые в условиях столь сильного раз-
разрежения редко сталкиваются с молекулами газа и потому разгоняют-
разгоняются до скоростей, сравнимых со скоростью света. Поток этих электро-
электронов называется катодными лучами, или электронным пучком. Встреч-
Встречный поток положительных ионов называется каналовыми лучами, или
ионным пучком.
При дальнейшем понижении давления зеленое свечение стекла
ослабевает и при давлении порядка 10~3 Па прекращается.
Трубки с тлеющим разрядом применяются в качестве источников
света (лампа дневного света). В этом случае они заполняются парами
ртути с примесью аргона, а стенки трубки покрываются изнутри флу-
флуоресцирующим веществом (люминофором). Такие лампы экономичнее
ламп накаливания (см. § 135). Газоразрядные трубки, заполненные
гелием или неоном, используются для декоративных целей и для рек-
рекламных надписей.
В лабораторных исследованиях и в некоторых электронных при-
приборах тлеющий разряд используется в качестве источника ионных
и электронных пучков.
Примером тлеющего разряда в естественных условиях является
полярное сияние. Оно возбуждается в верхних (разреженных) слоях
атмосферы потоками заряженных частиц, извергаемых из активных
областей Солнца и собираемых магнитным полем Земли в зонах зем-
земных (магнитных) полюсов (см. § 94 и 101).
Задача 45. Небольшая сельская гидроэлектростанция расходует ежеми-
ежеминутно V = 240 м3 воды. Высота напора воды h = 4 м. Сколько электроламп
может обслуживать такая установка, если каждая лампа потребляет ток / =
= 1 А при напряжении U — 220 В? Коэффициент полезного действия всей гид-
гидроустановки т] = 75%.
Решение. Электролампы включаются в осветительную сеть параллель-
параллельно; поэтому в соответствии с первым правилом Кирхгофа A5) сила тока в шинах
электростанции равна л/, где п — число ламп. Тогда, согласно формуле A0),
потребляемая электролампами мощность N = nil/.
С другой стороны, мощность, даваемая электростанцией, равна
A mgh l/pg/i
— Y) = - Y)= -
312

где А — работа, совершаемая падающей водой за время t = 60 с, т — масса
этой воды, р = 103 кгД,3 — плотность воды, g — ускорение свободного паде-
падения. Эта мощность и потребляется электролампами. Поэтому можем написать
пШ =
откуда
Vpghi\ 240 м3 . 103кг/м3 • 9,8 м/с2 ¦ 4м • 0,75
IUt = 1A . 220В • 60с
;535.
Задача 46. Напряжение на шинах электростанции Uo — 6600 В. Потре-
Потребитель находится на расстоянии / = 10 км. Какой площади поперечного се-
сечения S надо взять медный провод для устройства двухпроводной линии пере-
передачи, если сила тока в линии / = 20 А и падение напряжения в проводах U
составляет 3%? Удельное сопротивление меди р == 1,7 • 10~8 Ом • м.
Решение. Согласно формуле E),
2/
$ = ? R >
где R — сопротивление провода.
В соответствии с законом Ома D) U — IR. Но, по условию, U = О,ОЗ?/о.
Тогда
0,03 Uo
~~ /
2/р/ 2 • 104 м • 1,7 • Ю-8 Ом • м • 20А
S=r^= 0.03.66UGB -3,4. 10-tf-М-.
Задача 47. На рис. 211 изображена
схема «мостика Уитстона»*, широко
применяемая для измерения сопроти-
сопротивлений проводников. В схеме имеются
источник тока с электродвижущей силой
$, проводник с известным сопротивле-
сопротивлением Ro, проводник с измеряемым (ис-
(искомым) сопротивлением Rx, гальвано-
гальванометр G и однородный провод АС (рео-
(реохорд), по которому может перемещаться
скользящий контакт. Под реохордом
расположена отсчетная линейка, слу-
служащая для определения длин h и /2
участков (пл-еч) реохорда.
Для измерения сопротивления уста-
устанавливают контакт D в такое положение,
при котором ток в ветви гальванометра
прекращается (стрелка гальванометра
не отклоняется). При этом имеет место соотношение Rx — Ro — , по кото-
которому и определяют искомое сопротивление Rx. Как получить это соотношение?
Решение. Введем обозначения сил тока и сопротивлений для всех уча-
участков разветвленной цепи мостика, указав также направления токов
+]г-
Рис. 211
Предложена в 1844 г. английским физиком Уитстоном.
313

(см. рис. 211). Теперь, используя правила Кирхгофа A5) и A6), напишем:
1Х — !О — /0 = 0 (для узла Я),
/^ /^ + /0 #G — /1К1=0 (для контура ABDA),
/о Яо — /2 ^2 — ^g ^G = ° (Для контура БСШ)
По условию, /g == 0. Поэтому последние уравнения примут вид:
/jc = /о» /i —/2» IxRx — hRi* ^o #0 =/2 #2-
Деля почленно третье уравнение на четвертое и учитывая первые два урав-
уравнения, получим
откуда
Согласно формуле E), #! = р — и R2 — 9 ~т~ > ГДе р и S — удельное со-
противление и площадь поперечного сечения провода АС.
Поэтому
*i к
Задача 48. Спай железо-константановой термопары помещен внутри кар-
картофельного бурта; второй ее спай находится в тающем льде. Какова температура
Т внутри бурта, если стрелка гальванометра термопары отклонена на п = 40
делений? Цена деления гальванометра z = 10" А, его сопротивление г =
= 10 Ом. Сопротивление R проводов термопары пренебрежимо мало. Постоян-
Постоянная термопары а = 5 • 10~5 В/К.
Решение. Согласно формуле B2), термоэлектродвижущая сила 8 —
= а . Д7\ где AT = Т — То> То = 273 К — температура второго спая.
По показанию гальванометра, сила тока в термопаре / = пг. Согласно за-
закону Ома A4), 8 = I(R + г), где, по условию, R и 0. Тогда 8 = Ir = П2Г ==
= а «А Г, откуда
П2г 40 • 10-е а ¦ 10 Ом
ЛТ = "^Г= 5.10-5 В/К =8К>
тогда Т = 381 К.
Задача 49. Какое количество электрической энергии W надо израсходо-
израсходовать, чтобы при электролизе раствора азотнокислого серебра (AgNO3) выдели-
выделилось М = 500 мг серебра? Разность потенциалов на электродах (/ = 4 В,
молярная масса серебра А = 0,108 кг/моль, валентность серебра 2=1.
Решение. Согласно объединенному закону Фарадея C9),
A MFz
М = q, откуда q = — , где F=9,6487-104 Кл/моль — постоянная Фа-
Фарадея.
Потребляемая при электролизе энергия выразится соотношением (см. § 85)
Тогда
MFzU 5 • 10~4 кг • 9,6487 • 104 Кл/моль • 1 • 4В
W «= = — ¦ = 1787 Дж,
А 0,108 кг/моль
314

Глава XIV. Электромагнетизм
§ 94. Постоянный магнит и круговой ток. Магнитные поля
магнитов и токов
Магнитные явления были известны еще в глубокой древности из
наблюдений над свойством природного магнитного железняка (за-
(закись-окись железа FeO • Fe2O3) притягивать железные предметы и на-
намагничивать их. Тогда же были замечены магнитные свойства Земли,
благодаря которым стержневой магнит, уравновешенный на острие,
самопроизвольно устанавливался почти вдоль географического ме-
меридиана. Основанный на этом свойстве компас существовал в Китае
еще примерно 3000 лет тому назад.
Первое подробное исследование и описание свойств постоянных
магнитов было выполнено в 1600 г. Гильбертом. Выяснилось, что по-
постоянный магнит имеет два полюса — концевые области, притягиваю-
притягивающие железные предметы с наибольшей силой, и расположенную меж-
между ними нейтральную зону, которая практически не обнаруживает сил
притяжения, Между полюсами магнита существует различие, вы-
выражающееся в том, что, как уже отмечалось, магнит всегда ориенти-
ориентируется одним определенным полюсом на север, а другим — на юг;
первый назван северным, или положительным магнитным полюсом,
второй — южным, или отрицательным магнитным полюсом. Оказа-
Оказалось также, что разноименные полюсы магнитов взаимно притяги-
притягиваются, а одноименные — отталкиваются *.
В результате этих исследований в физике возникло представление
об особой магнитной субстанции, сосредоточенной в полюсах магни-
магнита и названной соответственно положительной и отрицательной «маг-
«магнитной массой» («магнитным зарядом»). Однако наряду с этим появи-
появилось и серьезное сомнение в реальности такой субстанции, поскольку
оказалось, что никаким способом невозможно разделить полюсы маг-
магнита, т. е. получить отдельно друг от друга положительный и отри-
отрицательный «магнитный заряд» (подобно тому, как отделяют положи-
положительные и отрицательные электрические заряды, образующиеся, на-
например, при электризации тел). Из разрезанного поперек оси магнита
всегда получались два меньших магнита, каждый из которых имел се-
северный и южный полюсы.
Уже в XVIII в. было обращено внимание на намагничивание же-
железных предметов и перемагничивание компаса, если вблизи них про-
происходил грозовой разряд. Это наводило на мысль о связи магнитных
явлений с электрическими. Справедливость такого предположения
была экспериментально подтверждена в 1820 г. датским физиком
Эрстедом, установившим, что, как и постоянный магнит, электри-
электрический ток в проводе воздействует на расположенную поблизости маг-
н ггную стрелку, ориентируя ее вполне определенным образом (перпен-
* Следовательно, вблизи северного географического полюса Земли рас-
расположен ее южный магнитный полюс, а вблизи южного географического полю-
полюса — северный магнитный полюс.
315

дикулярно проводу). Тогда же французский физик Ампер экспери-
экспериментально обнаружил и подробно исследовал магнитное взаимодейст-
взаимодействие двух проводников с током.
Последующие опыты, поставленные в XIX в. рядом ученых, пока-
показали, что магнитные свойства обнаруживает не только ток в проводах,
но и ток в жидкостях и газах и вообще всякий движущийся электри-
электрический заряд. Неподвижный электрический заряд воздействует (по-
(посредством электрического поля) на электрические же заряды, но не
на магнитную стрелку; магнитное воздействие свойственно только
движущимся электрическим зарядам
(и изменяющимся электрическим
полям).
Таким образом, выяснилось, что
вокруг движущихся электричес-
электрических зарядов (токов) возникает еще
один вид поля — магнитное поле,
посредством которого эти заряды
взаимодействуют с магнитами или
с другими движущимися электри-
электрическими зарядами.
Так как магнитное поле являет-
является силовым полем, то его удобно изо-
изображать графически посредством
силовых линий, подобно тому, как
это делалось в отношении электри-
электрического поля (см. § 75). Касатель-
Касательная к магнитной силовой линии в любой ее точке должна совпадать по
направлению с силой, с которой магнитное поле действует в этой точке
на положительный магнитный полюс. Конфигурацию магнитных си-
силовых линий в каждом конкретном случае можно установить, напри-
например, с помощью магнитной стрелки, ориентирую-
ориентирующейся вдоль этих линий; за направление линии
принято считать направление от южного к северно-
северному полюсу стрелки. Как известно из школьного
курса физики, весьма наглядное представление о
магнитных силовых линиях можно также получить
с помощью железных опилок, насыпанных тонким
слоем на стекло. На рис. 212 изображено изученное
таким путем магнитное поле длинного стержнево-
стержневого магнита (магнитной спицы).
В упомянутом опыте Эрстеда силовые линии
магнитного поля, созданного током / в прямоли-
прямолинейном проводе, представляют собой концентри-
концентрические окружности, перпендикулярные проводу,
центры которых находятся на этом проводе (рис.
213). Направление силовых линий магнитного поля
тока определяется по правилу буравчика; рукоятка
буравчика, ввинчиваемого по направлению тока,
Рис. 213 вращается в направлении магнитных силовых ли-
Рис. 212
316

ний. В отличие от силовых линий электрического поля магнитные си-
силовые линии всегда замкнуты (т. е. не имеют ни начала, ни конца).
В соответствии с правилом буравчика магнитное поле кругового
тока / имеет вид, представленный на рис. 214, а; на этом же рисунке
Изображено магнитное поле очень короткого постоянного магнита —
магнитного листка (рис. 214, б). Сравнение рис. 214, аи б обнаружи-
обнаруживает полное сходство магнитных полей кругового тока и постоянного
магнита. Поэтому круговой ток ориентируется во внешнем магнитном
поле точно так же, как и постоянный магнит: он устанавливается своей
осевой линией (т. е. центральной силовой линией собственного маг-
магнитного поля) вдоль внешнего магнитного поля.
Рис. 214
В связи с отмеченным сходством магнита с круговым током Ампер
в 1820 г. выдвинул гипотезу о том, что магнитное свойство постоян-
постоянных магнитов обусловлено существующими в них элементарными
круговыми токами. Однако происхождение этих токов оставалось
неясным вплоть до начала текущего столетия, когда благодаря откры-
открытиям в области строения атома выяснилось, что круговые токи обра-
образованы вращательным движением электронов вокруг собственных
осей и вокруг ядер атомов.
Таким образом, было окончательно установлено, что в природе
нет особой магнитной субстанции — «магнитных масс» или «магнит-
«магнитных зарядов»; магнитные свойства вещества обусловлены элементар-
элементарными круговыми токами в атомах и молекулах этого вещества.
Более подробно вопрос о природе магнетизма мы рассмотрим
в § 99, а сейчас перейдем к изучению магнитного поля и электромаг-
электромагнитных явлений на основе магнитного взаимодействия токов.
Первоначальное изучение электромагнитных явлений и магнитного поля
как силового поля можно осуществить несколькими различными способами.
Во-первых, на основе воздействия поля на постоянный магнит (магнитную стрел-
стрелку); именно этот способ исторически и был использован в качестве исходного для
изучения электромагнитных явлений. Во-вторых, на основе воздействия поля на
замкнутый контур (рамку) с током. В-третьих, на основе взаимодействия токов
посредством их магнитных полей. Эти способы являются лишь методическими
вариантами начала изложения электромагнетизма и приводят, конечно, к оди-
одинаковому результату в описании электромагнитных явлений.
Мы воспользуемся третьим способом — магнитным взаимодействием то-
гоз, поскольку из выражающего это взаимодействие закона Ампера почти не-
непосредственно следуют (легко выводятся) важнейшие закономерности электро-
электромагнетизма: закон Био — Савара — Лапласа и формула Ампера.
317

§ 95. Магнитное взаимодействие токов в вакууме;
закон Ампера
Как уже отмечалось (см. § 94), магнитное взаимодействие токов
было впервые изучено Ампером. С помощью подвижных проволоч-
проволочных контуров, помещаемых в специальное приспособление («станок
Ампера»), Ампер установил, что величина силы AF взаимодействия
двух малых участков проводников (проводов) 1 и 2 с токами пропор-
пропорциональна длинам AU и Д/2 этих участков, силам тока /4 и /2 в них
и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между участками
<рис. 215):
Д/Г „ U* • А/1А/2 а A)
Рис. 215
За направление участков A/t и Д/2 принимаются направления идущих
по ним токов.
Дальнейшие экспериментальные исследования и теоретические рас-
расчеты Ампера и других ученых показали, что сила AFi2 воздействия
первого участка Д/4 на второй Д/2 зависит от их взаиморасположения —
пропорциональна синусам углов а и |3:
AF-
12
sin а sin % B)
где а — угол между Д/4 и радиусом-вектором г12, соединяющим А1{
с Д/2, а C — угол между Д/2 и нормалью rti к плоскости Q, содержа-
содержащей участок Д/i и радиус-вектор г12 (рис. 216). Причем направление
Рис. 216
нормали tii определяется правилом буравчика: оно совпадает с направ-
направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вра-
вращается от участка Alt к радиусу-вектору г12.
Тогда, объединяя формулы A) и B) в одну формулу C) и вводя
коэффициент пропорциональности &, получим математическое вы-
318

ражение закона Ампера для силы магнитного взаимодействия токов
(точнее говоря, действия первого тока на второй):
Л/г _ ь
аг12— к
sin a sin [
C)
Эта сила приложена к участку А/2, перпендикулярна ему и располо-
расположена в плоскости Q. Направление AFi2 также определяется по пра-
правилу буравчика: оно совпадает с направлением поступательного дви-
движения буравчика, рукоятка которого вращается от
Д/2 к нормали rti (см. рис. 216).
Введем теперь понятие элемента тока. Элементом
тока называется вектор, равный по величине прои-
произведению Idl бесконечно малого участка длины dl
проводника на силу тока / в нем и направленный
вдоль этого тока (рис. 217). Тогда, переходя в фор-
формуле C) от малых участков проводников А/ к беско-
бесконечно малым их участкам dl, можно записать закон
Ампера в дифференциальной форме (для элементов
тока):
at12 ~
12
/i/2d/id/2 sin a sin ft
-g
D)
Idl
Г\2
Рис. 217
Подчеркнем, что элементы тока в электромагнит-
электромагнитных закономерностях (в частности, в законе Ампера)
играют такую же роль, какую играют электрические заряды в элек-
электростатических закономерностях (в частности, в законе Кулона).
Следует отметить, что закон Ампера в форме D) находится в кажущемся
противоречии с третьим законом Ньютона: силы dF12 и <?F21, действующие на
первый и второй элементы тока, в общем случае не равны по величине друг
другу и расположены не по одной прямой. Это противоречие объясняется тем,
что на опыте можно осуществить и исследовать только взаимодействие замкну-
замкнутых контуров конечной длины, а не отдельных элементов тока. Поэтому третье-
третьему закону Ньютона должно удовлетворять взаимодействие замкнутых контуров
в целом, а не отдельных его участков. И взаимодействие таких контуров дейст-
действительно удовлетворяет третьему закону Ньютона.
Коэффициент пропорциональности в формуле D) целесообразно
представить в виде
где величина jx0 называется магнитной постоянной (или магнитной
проницаемостью вакуума); делитель 4я введен в связи с рационализа-
рационализацией формул электричества (см. § 75). Заметим далее, что коэффи-
коэффициент k нельзя положить равным единице (и, следовательно, значение
[х0 нельзя выбрать произвольно), поскольку единицы измерения всех
физических величин, входящих в формулу D), уже установлены ра-
ранее. Поэтому значение k, а следовательно, и (х0 необходимо определить
опытным путем.
319

Учитывая формулу E), запишем закон Ампера D) для взаимодейст-
взаимодействия элементов тока в вакууме в окончательном виде:
lz sin a sin fi
Лг
F)
Опытное определение величины [х0 дало для нее значение 4д х
X 10 = 1,26 • 10~6 единиц СИ. Размерность ц0 легко определить
из закона Ампера F):
[F]
М =
[/*] [/¦]
- м • кг . с • А
В § 104 будет показано, что такую же размерность имеет отноше-
отношение генри/метр (где генри—единица измерения индуктивности).
Поэтому единица измерения магнитной постоянной называется генри
на метр (Г/м). Итак,
Но=4гс. Ю-7 Г/м.
§ 96. Напряженность магнитного поля. Формула Ампера.
Закон Био—Савара—Лапласа
Поскольку электрические токи взаимодействуют друг с другом
посредством своих магнитных полей, количественную характеристи-
характеристику магнитного поля можно установить на основе закона этого взаимо-
взаимодействия — закона Ампера. С этой целью представим себе проводник
/ произвольной формы, по которому идет ток / (рис. 218). Разобьем
Рис. 218
проводник на множество элементарных участков и рассмотрим один
из таких участков dl. Он создает в пространстве магнитное поле.
В точку О этого поля, находящуюся на расстоянии г от dl, поместим
элемент тока Iodto. Тогда, согласно закону Ампера F), на этот элемент
будет действовать сила
i*>oIIodldlQ sin QL sin ft
G)
где a— угол между направлением тока / на участке dl (создающем
поле) и направлением радиуса-вектора г, а р — угол между направле-
320

нием элемента тока Iodlo и нормалью п к плоскости Q, содержащей dl
и г.
В формуле G) выделим часть, не зависящую от элемента тока
IodlQf обозначив ее через dH:
J^ (8)
Величина dH зависит только от элемента тока Idlt создающего
магнитное пом, и от положения рассматриваемой точки О в этом поле.
Поэтому величина dH может служить количественной характери-
характеристикой магнитного поля; ее называют напряженностью магнитного
поля. Напряженность магнитного поля — векторная величина, на-
направленная по касательной к силовым линиям поля.
В § 95 (см. рис. 213) отмечалось, что направление силовых линий
магнитного поля определяется по правилу буравчика (рукоятка бу-
буравчика, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направ-
направлении силовых линий). Применяя это правило к рассматриваемому
случаю, нетрудно установить, что напряженность магнитного поля
dH в точке О направлена по нормали п к плоскости Q, содержащей
участок проводника dl (создающий поле) и точку О (см. рис. 218).
Из формулы (8) следует, что размерность напряженности магнит-
магнитного поля
[Д1 а вг.
J И
Эта же величина — ампер на метр — принята за единицу измерения
напряженности магнитного поля (ее определение дано в следующем
параграфе).
При графическом изображении магнитного поля магнитные си-
силовые линии (напряженности) принято проводить с такой густотой,
чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку в 1 м2,
перпендикулярную полю, равнялась величине напряженности поля
в данном месте. Таким образом, вид магнитного поля, изображенного
посредством силовых линий, позволяет определять как направление,
так и величину напряженности этого поля в любой его точке. Поле,
напряженность которого везде одинакова, называется однородным;
в противном случае оно называется неоднородным.
Введем выражение напряженности магнитного поля (8) в закон
Ампера G). Тогда получим
dF = \bolodlodHsm$, (9)
где |5 — угол между направлениями тока (/0) и магнитного поля
(dH). Формула (9), называемая формулой Ампера, выражает зависи-
зависимость силы, с которой магнитное поле действует на находящийся в нем
элемент тока IodlQ от напряженности этого поля. Эта сила располо-
расположена в плоскости Q перпендикулярно dt0 (или направлению тока /0)
и dH (см. рис. 218 и 216). Ее направление легко определяется по «пра-
«правилу левой руки» (известному из школьного курса физики): если ла-
ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор напряженности маг-
П-31 321

нитного поля входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца направля-
направлялись вдоль тока, то отставленный большой палец покажет направле-
направление силы, действующей на этот ток (рис. 219).
Полагая в формуле (9) C = 90° (элемент тока Iodlo расположен
перпендикулярно магнитному полю), получим
dF
(90
Исходя из этого соотношения и из рис. 218, можно дать следующее
определение напряженности магнитного поля: напряженность маг-
нитного поля направлена по касатель-
касательной к силовой линии поля, а по вели-
величине равна отношению силы, с кото-
рой поле действует на единичный
элемент тока (расположенный пер-
перпендикулярно полю в вакууме), к
магнитной постоянной.
Возвратимся теперь к соотноше-
соотношению (8). Оно носит название закона
Био — Савара — Лапласа* и в прин-
принципе позволяет рассчитывать величи-
величину полной напряженности магнитного
поля, создаваемого током, идущим по
проводнику любой формы. Очевидно,
что для вычисления полной напряжен-
напряженности Н магнитного поля, создавае-
создаваемого в точке О током /, идущим по
проводнику / (см. рис. 218), надо геометрически суммировать элемен-
элементарные напряженности dH, создаваемые всеми элементарными участ-
участками dl проводника (и рассчитываемые по закону Био — Савара —
Лапласа).
Если проводник целиком расположен в одной плоскости, то на-
напряженности поля dH от всех его участков имеют одинаковое направ-
направление и потому геометрическое суммирование сводится в этом случае
к алгебраическому суммированию, т. е. к интегрированию. Тогда за-
закон Био — Савара — Лапласа примет вид
Рис. 219
-± f
4* fo
(Ю)
Знак (/) показывает, что интегрирование производится по всей дли-
длине / проводника.
В следующем параграфе рассмотрено несколько примеров расчета
полной напряженности магнитного поля Н по закону Био — Савара —
* Французские ученые Био, Савар и Лаплас в 1820 р. пришли к соотно-
соотношению (8) иным путем. Био и Савар провели обширное экспериментальное иссле-
исследование по определению (измерению) напряженности магнитного поля токов,
идущих по проводникам различных форм, а Лаплас теоретически обобщил ре-
результаты этих измерений» получив в итоге соотношение (8),
322

Лапласа для случаев, когда весь проводник с током, создающим по-
поле, расположен в одной плоскости. Напомним, что направление
напряженности следует определять по правилу буравчика (ввинчи-
(ввинчиваемого по направлению тока).
§ 97. Некоторые приложения закона Био—Савара—Лапласа
1. Напряженность магнитного поля
ного прямолинейного проводника с
Обозначим буквой R расстояние от про-
проводника с током / до точки О, в кото-
которой определяется напряженность поля
(рис. 220). Выделим в проводнике эле-
элементарный участок dl на расстоянии г
от точки О. Так как для всех элемен-
элементарных участков проводника ток / имеет
одно значение, то полная напряженность
магнитного поля Н в точке О, согласно
формуле A0), равна
sin a Jf (И)
к о
т о
н е ч-
к о м.
dl.
Из точки О проведем радиусом г от-
отрезок дуги А В = г • da. Ввиду малости
участка dl, а следовательно, и угла da
можно считать, что отрезок А В пря-
прямолинеен, ^lABC = 90° и ^ВСА = а.
Тогда из /\АВС получим г • da =
= dl • sina, откуда
dl da
t sin a
Рис. 220
ИЛИ,
учитывая,
что
/•sina =
R,
dl __
Г* ""
da
R
Вводя последнее выражение в формулу A1) и переходя от интегри-
интегрирования по длине к интегрированию по углу а в пределах от at до
а 2, получим
я—L7
4% J
R
sina • da
• (COS a2 — COS ax),
или окончательно
IIе
Я = (cos at — cos a2).
A2)
323

Направление Н перпендикулярно плоскости листа (обращено к чи-
читателю).
2. Напряженность магнитного поля беско-
бесконечного прямолинейного проводника с то-
током. Этот расчет легко выполнить, пользуясь формулой A2). В са-
самом деле, в случае бесконечно длинного проводника оц = 0° и а2 =
= 180°. Тогда cosa!—cosa2 = [1—(—1) ] = 2. Поэтому напряжен-
напряженность магнитного поля Н бесконечного прямолинейного тока равна
Я = -Л~. A3)
Практически по этой формуле можно рассчитывать напряженность
поля от конечного, но достаточно длинного проводника, т. е. в слу-
случаях, когда расстояние R значительно меньше
длины проводника / (R<^1).
На основании формулы A3) дается определе-
определение единицы измерения напряженности магнит-
магнитного поля — ампера на метр (о которой упоми-
упоминалось в § 96). Положим в этой формуле /=1 А
и /? = 1/2ти м; тогда получим Н = 1 А/м. Сле-
Следовательно, ампер на метр есть напряженность
магнитного поля, создаваемого длинным пря-
прямолинейным проводом с током в 1 А на расстоя-
расстоянии 1/2тс м от его оси.
3. Напряженность магнитно-
магнитного поля в центре кругового то-
тока . В этом случае a =90°, а / и r=R (где R —
радиус кругового контура) имеют постоянные
значения для всех участков dl (см. рис. 221).
Поэтому в соответствии с формулой A0) напря-
напряженность магнитного поля Н в центре кругового тока равна
Рис. 221
или, поскольку / =
TJ
/
2Я
A4)
Произведение силы кругового тока / на обтекаемую им площадь
S называется магнитным моментом рт кругового тока:
Pm = IS = «R4*. A5)
Магнитный момент является вектором, расположенным перпендику-
перпендикулярно плоскости кругового тока в его центре О и совпадающим по на-
направлению с напряженностью магнитного поля в центре кругового
тока (рис. 221).
* Иногда за магнитный момент кругового тока принимают величину рт *=
= fxo/S, где (ло — магнитная постоянная. Оба эти определения в одинаковой
мере возможны.
324

Как уже отмечалось в § 94, круговой ток подобен постоянному
магниту; во внешнем магнитном поле он ориентируется так, что его
собственное поле совпадает с внешним. Можно, следовательно, ска-
сказать, что круговой ток поворачивается во внешнем магнитном поле
таким образом у что его магнитный момент устанавливается в на-
направлении внешнего поля.
4. Напряженность магнитного поля на оси кру-
кругового тока. Определим полную напряженность поля, создаваемого кру-
круговым током / в точке Л, лежащей на его оси NN'\ круговой контур ориенти-
ориентирован перпендикулярно плоскости листа (рис. 222). Выделим в контуре два
JL
Рис. 222
диаметрально противоположных элементарных участка dl и построим векторы
элементарной напряженности dH полей, создаваемых этими участками в точке
А. Разложим dH на две составляющие: dHT — направленную по оси NN' и
dHB— перпендикулярную ей.
Из рис. 222 следует, что для каждой пары диаметрально противоположных
участков dl составляющие dHB равны между собой по величине и противополож-
противоположны по направлению, а составляющие dHr равны по величине и одинаково на»
правлены. Поэтому при геометрическом сложении элементарных напряженно-
стей dH от всех участков dl составляющие dHB взаимно уничтожаются и полная
напряженность И в точке А будет равна алгебраической сумме всех dHVi т. е.
интегралу, взятому от dHr по всему круговому контуру /:
Согласно рисунку,
dHr == dH cos в = — dH
A6)
Тогда, учитывая, что, по закону Био — Савара *— Лапласа (8),
/d/sina
(Ш:
и что а = 90*, можем написать
325

Подставляя последнее выражение в формулу A6) и учитывая, что /, R
и г для всех участков контура одинаковы, получим
Так как / == 2п R и г =
ности поля примет вид
Эта напряженность направлена вдоль оси кругового тока.
Отметим, что при г о = 0, т. е. для центра кругового тока, выражение A7)
даст
i^-Лто окончательное выражение напряжен"
IR*
A7)
Н ¦
I
2R '
что совпадает с выведенной ранее формулой A4).
§ 98. Магнитные поля соленоида и тороида
Соленоидом* называют катушку цилиндрической формы из про-
проволоки, витки которой намотаны в одном направлении (рис. 223).
Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения
Рис. 223
Рис. 224
полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными
рядом и имеющими общую' ось. На рис. 223 показаны четыре витка
соленоида с током /. Для наглядности полувитки, расположенные
за плоскостью листа, изображены прерывистыми линиями. На этом
рисунке видно, что внутри соленоида силовые линии каждого отдель-
отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между сосед-
соседними витками они имеют противоположные направления **. По-
Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно
направленные участки силовых линий соседних витков взаимно унич-
* От греческих слов crtuXYjv (солен) — трубка, eiSoC (ейдос) — вид.
** Направление силовых линий установлено по правилу буравчика.
326

тожатся, а одинаково направленные участки сольются в общую зам-
замкнутую силовую линию, проходящую внутри всего соленоида и охва-
охватывающую его снаружи.
Детальное изучение магнитного поля длинного соленоида, прове-
проведенное с помощью железных опилок, показывает, что это поле имеет
вид, изображенный на рис. 224*. Внутри соленоида поле оказы-
оказывается практически однородным, вне соленоида — неоднородным и
сравнительно слабым (густота силовых линий здесь весьма мала).
Внешнее поле соленоида подобно полю стержневого магнита (см.
рис. 212). Как и магнит, соленоид имеет северный С и южный Ю по-
полюсы и нейтральную зону.
Напряженность И магнитного поля внутри длинного соленоида
рассчитывается по формуле
Н -il, A8)
где / — длина соленоида, п — число его витков, / — сила тока в нем.
Произведение In принято называть числом ампер-витков
Формула A8) является част*
ным случаем выражения напр я*
женности поля внутри соленоида
конечной длины, которое в свою
очередь выводится следующим
образом.
На рис. 225 изображен про-
продольный разрез соленоида верти-
вертикальной плоскостью, проходящей
через его ось. Длина соленоида
I, радиус его витков R, число
витков п, сила тока, идущего по
соленоиду, /.
Рассматривая соленоид как
совокупность вплотную прило*
женных друг к другу витков
(круговых токов /), имеющих общую ось, определим напряженность ма-
магнитного поля в точке А на оси соленоида как сумму напряженности
от всех его витков. Для этого выделим малый участок длины dro соленоида.
В нем содержится —dr0 витков. Согласно формуле A7), напряженность поля
ч
N.
п
А
1
Рис. 225
I
/Я2
одного витка
дет равна
. Поэтому напряженность поля от участка dr0 бу •
ОН*
/I?
iV.
п
¦ — dr0.
A9)
Из рис 225 видно, что г0 « #ctga. Тогда R2 +1\ ¦* Я2 A + ctg3 tt) «
R2 da
-: я dr0 ш* — R -гт— . Подставляя эти выражения Я2 •+* г\ и dr0 в
sin2« -— -
sin2*
* Соленоид считается длинным, если его длина, по крайней мере,
б раз больше диаметра, а витки вплотную прилегают друг к другу.
в 4—
327

формулу A9) и производя сокращения, получим
In .
dH =* — -ту- sin a • da.
Интегрируя последнее выражение в пределах от а
ную напряженность поля в точке А:
до а = а2, найдем пол-
полIn f In
# = — —- 1 sina • da = -—(cosa2 —
B0)
У достаточно длинного соленоида a2-*0° и ai—>180е. В этом случае формула
B0) примет вид
Н
In
I
соответствующий формуле A8).
Таким образом, внутри достаточно длин-
длинного соленоида напряженность магнитного
поля практически везде одинакова; она на-
направлена вдоль оси соленоида в соответст-
соответствии с правилом буравчика.
Практически важное значение имеет
также магнитное поле тороида — кату-
катушки из проволоки, навитой на тор (рис.
226)*. Магнитное поле тороида одно-
однородно и замкнуто внутри самого торо-
тороида; &не тороида поле отсутствует.
Рис. 226 Тороид можно рассматривать как свер-
свернутый кольцом достаточно длинный со-
соленоид, и для расчета напряженности магнитного поля тороида мож-
можно пользоваться формулой A8):
/je2lLeJiL, Bi)
где / = 2яг — длина оси тороида, г — радиус тороидального коль-
кольца, / — сила тока, п — число витков тороида,
§ 99. Диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные
вещества. Магнитная проницаемость. Магнитная индукция.
Поток магнитной индукции
До сих пор мы предполагали, что рассматриваемые магнитные по-
поля существуют в вакууме (или в воздухе, что практически одно и то
же). Посмотрим теперь, какое влияние на магнитное поле оказывает
среда (вещество).
Опыт и теория показывают, что все вещества, помещенные в магнит-
ное поле, приобретают магнитные свойства, т. е. намагничиваются,
* lop — геометрическое тело, образованное вращением круга вокруг оси,
лежащей в плоскости этого круга, но не пересекающей его, Приблизительно
форму тора имеет накачанная велосипедная камера.
328

и потому в некоторой мере изменяют внешнее (первоначальное) поле.
При этом оказывается, что одни вещества ослабляют внешнее поле,
а другие — усиливают его; первые называются диамагнитными, вто-
вторые — парамагнитными веществами, или, короче, диамагнетиками
и парамагнетиками. Среди парамагнетиков резко выделяется группа
веществ, вызывающих очень большое усиление внешнего поля. Эти
вещества называются ферромагнетиками.
Подавляющее большинство веществ относится к диамагнетикам.
Диамагнетиками являются такие элементы, как фосфор, сера, сурьма,
углерод, многие металлы (висмут, ртуть, золото, серебро, медь и др.),
большинство химических соединений (в том числе вода и почти все
органические соединения). К парамагнетикам относятся некоторые
газы (кислород, азот) и металлы (алюминий, вольфрам, платина, ще-
щелочные и щелочноземельные металлы). В довольно малочисленную
группу ферромагнетиков входят железо, никель, кобальт, гадолиний
и диспрозий, а также некоторые сплавы и окислы этих металлов и не-
некоторые сплавы марганца и хрома.
Выясним физические причины диа-, пара- и ферромагнетизма.
В атомах и молекулах любого вещества имеются круговые токи,
образованные движением электронов по орбитам вокруг ядер — орби-
орбитальные токи. Каждому орбитальному току соответствует определен-
определенный магнитный момент (см. § 97), называемый орбитальным магнит-
магнитным моментом. Кроме того, электроны обладают собственным, или
спиновым, магнитным моментом*. Собственным магнитным моментом
обладает также ядро атома. Геометрическая сумма орбитальных и
спиновых магнитных моментов электронов и собственного магнитного
момента ядра образует магнитный момент атома (молекулы) ве-
вещества.
У диамагнитных веществ суммарный магнитный момент атома
(молекулы) равен нулю, так как имеющиеся в атоме орбитальные, спи-
спиновые и ядерные магнитные моменты взаимно компенсируются
(рис. 227, а; атомы изображены точками). Однако под влиянием внеш-
внешнего магнитного поля у этих атомов возникает (индуцируется) маг-
магнитный момент, направленный всегда противоположно внешнему полю
(рис. 227, б\ индуцированные магнитные моменты изображены стрел-
стрелками; Н — напряженность внешнего магнитного поля). В результате
диамагнитная среда намагничивается и создает собственное магнит-
магнитное поле, направленное противоположно внешнему полю и потому
ослабляющее его.
Под влиянием внешнего магнитного поля плоскости электронных орбит
начинают прецессировать вокруг силовой линии магнитного поля, проходящей
через ядро атома, т. е. начинают совершать движение, подобное тому, которое
* От английского слова spin — вращение. Первоначально предполагалось,
что собственный магнитный момент электрона обусловлен вращением электрона
вокруг своей оси; в этой связи появилось название — спиновый магнитный мо-
момент. Однако в дальнейшем выяснилось, что спиновый магнитный момент явля-
является первичной характеристикой электрона, которую нельзя свести к чему-либо
более простому (подобно тому, как нельзя свести к более простым понятиям
заряд и массу электрона).
329

совершает диск волчка вокруг силовой линии гравитационного поля (вертика-
(вертикали), проходящей через точку опоры волчка.
Прецессионное движение электронных орбит эквивалентно круговому току.
Так как этот ток индуцирован внешним полем, то, согласно правилу Ленца
(см. § 103), его собственное магнитное поле, а следовательно, и его магнитный
момент направлены противоположно внешнему полю.
Индуцированные магнитные моменты атомов диамагнетика сохра-
сохраняются до тех пор, пока существует внешнее поле. При ликвидации
внешнего поля индуцированные магнитные моменты атомов исчезают
и диамагнетик размагничивается.
Н
н
Рис. 227
У атома (молекулы) парамагнитных веществ орбитальные, спино-
спиновые и ядерные магнитные моменты не компенсируют друг друга. По-
Поэтому атомы парамагнетика всегда обладают магнитным моментом,
являясь как бы элементарными магнитами. Однако атомные магнитные
моменты расположены беспорядочно и потому парамагнитная среда в
целом не обнаруживает магнитных свойств (рис. 227, в). Внешнее
поле поворачивает атомы парамагнетика так, что их магнитные мо-
моменты устанавливаются преимущественно в направлении поля
(рис. 227, г); полной ориентации препятствует тепловое движение ато-
атомов. В результате парамагнетик намагничивается и создает собствен-
собственное магнитное поле, всегда совпадающее по направлению с внешним
полем и потому усиливающее его. При ликвидации внешнего поля теп-
тепловое движение сразу же разрушает ориентацию атомных магнитных
моментов и парамагнетик размагничивается. В парамагнетике, ко-
конечно, имеет место и диамагнитный эффект — появление индуциро-
индуцированных магнитных моментов, ослабляющее внешнее поле. Однако диа-
диамагнитный эффект остается незаметным на фоне более сильного пара-
парамагнитного эффекта.
Таким образом, если в пустом пространстве существует магнитное
поле, имеющее напряженность Я, то при заполнении этого пространст-
пространства однородной средой результирующая напряженность магнитного
поля Я' будет равна
Я' = Я±ДЯ, B2)
330

где АН — напряженность поля, создаваемого самой средой; знак
плюс относится к случаю парамагнитной среды, знак минус — к слу-
случаю диамагнитной среды. Добавочная напряженность АН магнитного
поля, создаваемого самой средой за счет диамагнитного или парамаг-
парамагнитного эффекта, пропорциональна напряженности внешнего поля.
Поэтому формулу B2) можно записать в виде
Н' = |хЯ, B3)
где (л, — безразмерный коэффициент пропорциональности, называе-
называемый относительной магнитной проницаемостью среды (или просто
магнитной проницаемостью). Коэффициент ц характеризует магнитные
свойства среды, ее способность намагничиваться под влиянием внеш-
внешнего поля. Очевидно, что у вакуума ц = 1 (#' = #), у диамагнети-
ков |х<1 (#'<#), а у парамагнетиков [х>1 (#'>#). Вообще говоря,
у диамагнитных и парамагнитных (исключая ферромагнетики) ве-
веществ магнитная проницаемость мало отличается от единицы, как это
видно из таблицы, в которой приведены значения магнитной прони-
проницаемости некоторых веществ.
Диамагнетики
Водород . . .
Вода
Медь .....
Висмут ....
0,999937
0,999991
0,999912
0,999824
Парамагнетики
Азот ....
Кислород . .
Алюминий . .
Вольфрам . .
1,000013
1,000017
1,000023
1,000175
Ферромагнетики
Кобальт . .
Никель . . .
Железо . . .
Сталь ....
р-
100—180
200—300
5000—10 009
10 000—20 000
Магнитное поле в веществе принято характеризовать не результи-
результирующей напряженностью Н', а величиной В> равной произведению
Н' на магнитную постоянную |л0 и называемой индукцией магнит-
магнитного поля (магнитной индукцией):
В =
или, согласно формуле B3),
В =
B4)
Размерность [В] = [|ло][Я] = м -кг • с • А • А • м*1 = кг X
X с • А. Единица измерения магнитной индукции называется
тесла (Т)*. Ее определение дано в следующем параграфе.
Как и напряженность магнитного поля Я, магнитная индукция
является вектором. В однородной изотропной среде направления В
и Н совпадают друг с другом.
Произведение [хо[х = [хабс называют абсолютной магнитной прони-
проницаемостью среды. Она имеет такие же размерность и единицу измере-
измерения, что и |л0.
* По имени югославского изобретателя в области электрорадиотехники
Тесла.
331

Так как у вакуума jx = 1, то магнитная индукция в вакууме
Во = ц0Я. B5)
Тогда формулу B4) можно записать в виде
В = [х50, B6)
откуда следует определение величины |х: относительная магнитная про-
проницаемость среды показывает, во сколько раз изменяется индукция
магнитного поля, существовавшего в пустоте, если пространство, охва-
охваченное этим полем, заполняется данной средой.
Введение новой характеристики магнитного поля — магнитной индукции —*
можно в известной мере обосновать тем обстоятельством, что, согласно получен-
полученной в § 96 форуле (9), сила действия магнитного поля на проводник с током не-
непосредственно определяется не напряженностью поля Я, а произведением (лоЯ,
т. е. магнитной индукцией Во (в вакууме). Физический смысл Во следует из
формулы (9) того же параграфа: магнитная индукция в вакууме равна силе,
с которой магнитное поле действует на единичный элемент тока, расположенный
перпендикулярно полю.
Отметим далее, что напряженность поля Н зависит только от макроскопи-
макроскопических токов ( в проводниках), создающих это поле, и не зависит от среды; она
одинакова во всех веществах. Магнитная же индукция В, характеризующая
результирующее поле в веществе, зависит как от макроскопических токов, соз-
создающих поле, так и от микроскопических (молекулярно-атомных) токов в вещест-
веществе (ориентирующихся в поле напряженностью Н)\ она различна в различных ве-
веществах (магнетиках).
В этой связи напряженность Н магнитного поля аналогична электрической
индукции D электрического поля (см. § 82), а индукция В магнитного поля
аналогична напряженности Е электрического поля (см. § 75). Поэтому было бы
вернее назвать магнитную индукцию напряженностью, а напряженность маг-
магнитного поля — индукцией. Однако по историческим причинам им были даны
(и до сих пор сохранены) противоположные названия.
В § 97, 98 были выведены формулы A2) — A4), A7), A8), B0),
B1) напряженности магнитных полей, создаваемых в вакууме провод-
проводниками различной формы с током. Если поля создаются не в вакуу-
вакууме, а в среде с относительной магнитной проницаемостью [х, то, умно-
умножая обе части каждой из упомянутых формул на [хо|л и учитывая фор-
формулу B4), получим соответствующие выражения индукции В магнит-
магнитных полей этих проводников. Например, индукция магнитного поля
кругового тока представится формулой
R — №°1
2R '
где |а0 — магнитная постоянная.
У ферромагнетиков магнитная проницаемость не только очень
велика (см. таблицу выше), но и непостоянна; она зависит от напря-
напряженности намагничивающего поля Н. С ростом Н |а сначала быстро
возрастает, достигая максимума, а затем уменьшается, приближаясь
(при очень сильных полях) к значению |х =¦ 1 (рис. 228, а). Поэтому,
хотя формула B4) остается справедливой и для ферромагнитных ве-
веществ, магнитная индукция в этих веществах уже не будет пропор-
пропорциональна напряженности намагничивающего поля: при сравнительно
небольшой напряженности Нт индукция достигает большого значе-
332

ния Вт (насыщения), после чего она изменяется уже медленно — про-
пропорционально изменению Н (рис. 228, б), т. е. примерно так, как в па-
парамагнитном веществе. Зависимость ^ и В от Н была исследована впер-
впервые в 1872 г. Л. Г. Столетовым.
Втг ^
"/77
Рис. 228
Если в ферромагнетике, намагниченном, например, до состояния
насыщения Вт, начнет уменьшаться напряженность поля Н, то индук-
индукция В тоже будет уменьшаться; однако ее уменьшение происходит
не по линии 10, а по линии 12 графи-
графика намагничивания, представленного
на рис. 229.
При Н = О ферромагнетик не раз-
размагничивается полностью: в нем со-
сохраняется остаточная магнитная
индукция Во*. Для его полного раз-
размагничивания необходимо создать
противоположное внешнее поле на- i [Q V °1 1 „ Ц
пряженностью Н = — Як; эта напря-
напряженность называется коэрцитивной
силой**. При дальнейшем увеличении
противоположного поля ферромагне-
ферромагнетик начнет перемагничиваться (линия
34) и при Н =— Нт намагнитится
до насыщения в противоположном
направлении (В = — Вт). Затем
ферромагнетик можно опять разма-
размагнитить (линия 456) и вновь пере-
перемагнитить до насыщения Вт (линия 61). Рассмотренное явление
отставания изменений магнитной индукции от изменений напряжен-
напряженности намагничивающего поля называется манитным гистерезисом,
а замкнутая кривая 12451 —петлей гистерезиса***.
* Не следует смешивать остаточную магнитную индукцию с магнитной
индукцией в вакууме, обозначенной также буквой Бо.
** От латинского слова coercitio -— удерживание.
*** От греческого слова исттертцша (гистерезис) — запаздывание.
1
1
1
1
1
1
/ 44
1
в
4/7
и
' 0
5,
1 61
/
4
п
~вт
1
г
1
1 Л
Рис. 229
333

Площадь, ограниченная петлей гистерезиса, характеризует рабо-
работу, затрачиваемую внешним полем на однократное перемагничивание
ферромагнетика. Эта работа выделяется в виде теплоты. Очевидно,
что для уменьшения потерь на перемагничивание ферромагнетика
(например, сердечника трансформатора) следует применять ферромаг-
ферромагнетики, имеющие малую площадь петли гистерезиса и, следовательно,
характеризующиеся малым значением коэрцитивной силы (магнитно-
мягкие материалы). Для изготовления постоянных магнитов следует
применять ферромагнетики, характеризующиеся большим значением
коэрцитивной силы (магнитно-жесткие материалы).
Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью:
при определенной (для каждого ферромагнетика) температуре в,
называемой точкой Кюри, они теряют свои магнитные свойства (у
железа в = 1043 К, у никеля 0 = 633 К). При температуре выше
точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик
с \х = 1.
Рассмотренные особенности ферромагнетика обусловлены тем, что
в нем имеется множество сравнительно крупных самопроизвольно на-
намагниченных до насыщения областей, называемых доменами*.
Линейные размеры домена имеют порядок 10~2 см. Домен объединяет
многие миллиарды атомов; в пределах одного домена магнитные мо-
моменты всех атомов ориентированы одинаково**. Однако ориентация
самих доменов разнообразна (рис. 230, а). Поэтому в отсутствие внеш-
внешнего магнитного поля ферромагнетик в целом оказывается ненамаг-
ниченным.
С появлением внешнего поля напряженностью Н домены, ориенти-
ориентированные своим магнитным моментом в направлении этого поля, на-
начинают увеличиваться в объеме за счет соседних доменов, имеющих
иные ориентации магнитного момента; ферромагнетик намагничи-
намагничивается (рис. 230, б). При достаточно сильном поле Нт все домены це-
целиком поворачиваются в направлении поля и ферромагнетик быстро
намагничивается до насыщения (рис. 230, в).
* В этом отношении ферромагнетик подобен сегнетоэлектрику, имеющему
области самопроизвольной поляризации (см. § 81).
¦* Точнее говоря, одинаково ориентированы спиновые магнитные моменты
электронов всех атомов.
334

При ликвидации внешнего поля ферромагнетики полностью не
размагничиваются, а сохраняют остаточную магнитную индукцию,
так как тепловое движение не в состоянии быстро дезориентировать
столь крупные совокупности атомов, какими являются домены. Этим
объясняется магнитный гистерезис. Для размагничивания ферромаг-
ферромагнетика необходимо приложить коэрцитивную силу. Размагничиванию
способствуют также нагревание и встряхивание ферромагнетика. При
температуре, равной точке Кюри, тепловое движение оказывается спо-
способным дезориентировать атомы в самих доменах, вследствие чего
ферромагнетик превращается в парамагнетик.
Ферромагнитные материалы широко используются в технике. Из
них изготовляются магнитные экраны, ленты для магнитной звуко-
звукозаписи, постоянные магниты, сердечники электромагнитов для многих
приборов и механизмов (телефона, телеграфного аппарата, трансфор-
трансформатора, магнитного крана) и т. п.
На свойствах ферромагнетика основано действие магнитной се-
меочистительной машины, служащей для очистки семян с гладкой
поверхностью (льна, клевера, люцерны и других культур) от семян
сорняков с шероховатой поверхностью. Исходный материал смеши-
смешивают с ферромагнитным порошком, обволакивающим шероховатые
семена сорняков, которые благодаря этому притягиваются к электро-
электромагнитному барабану машины. Производительность машины ЭМС-1
составляет около 200 кг зерна в час.
За последнее десятилетие большое значение приобрели искус-
искусственные полупроводниковые ферромагнетики, названные ферритами,
или оксиферрами. Ферриты — сложные металлические окислы (соли
железной кислоты) с магнитной проницаемостью, лежащей в пре-
пределах от 10 до 2000. Удельное электрическое сопротивление ферритов
в миллиарды раз больше, чем металлов. Следовательно, в ферритах
очень малы потери на вихревые токи (см. § 103). В связи с этим из
ферритов изготовляют сердечники трансформаторов и других элек-
электромагнитных приборов, работающих на переменных токах высокой
частоты.
В заключение введем понятия линий магнитной индукции и по-
потока магнитной индукции (магнитного потока).
Магнитное поле в среде удобно изображать графически посред-
посредством линий индукции, т. е. линий, в каждой точке которых каса-
касательная совпадает с вектором магнитной индукции В. Число линий
индукции, пронизывающих воображаемую площадку в 1 м2, перпен-
перпендикулярную полю, должно равняться величине магнитной индукции
на этой площадке.
Поток магнитной индукции Ф через некоторую поверхность S
равен числу линий индукции, пронизывающих эту поверхность. Если
поле однородно и поверхность перпендикулярна линиям индукции, то
Ф = BS - W#S, B7)
где Н — напряженность намагничивающего поля, j* — относитель-
относительная магнитная проницаемость среды, |л0 — магнитная постоянная.
В соответствии с формулой B7) за единицу магнитного потока при-
335

нимают магнитный поток через площадку в 1 м2, перпендикулярную
магнитному полю, магнитная индукция которого равна 1 Т. Эта еди-
единица называется вебером* (Вб); другое определение вебера дано в
§ 103. Размерность [Ф] = IB][S] = м^кг-с^-А.
§ 100. Действие магнитного поля на проводник с током.
Определение ампера
Сила dF, с которой магнитное поле действует на элементарный
участок dl проводника с током /, выражается формулой Ампера (9);
учитывая соотношение B5), эту формулу можно записать в виде
dF = IBodl sin p,
где Во — магнитная индукция в вакууме; 0 — угол между dl и Во.
Если проводник находится не в вакууме, а в среде с магнитной
проницаемостью [х, то индукция магнитно-
^- го поля изменится в |х раз. В этом случае
в формулу Ампера вместо Во следует под-
jT* ставить произведение \ьВ0 = В:
*. dF = IBdlsm$,
^ где В — индукция магнитного поля в среде.
В случае однородного магнитного поля
Рис. 231 (В = const) и прямолинейного проводника
@ = const) конечной длины / (рис. 231)
формула Ампера примет вид
F = IBl sin р - |хо1л#// sin p, B8)
где Н — напряженность поля. Направление силы F, действующей
на проводник, определяется правилом левой руки (см. § 96); на рис. 231
она перпендикулярна плоскости листа и направлена на читателя.
Очевидно, что наибольшая сила действует на проводник, распо-
расположенный перпендикулярно полю @ = 90° и 0 = 270°):
F = IBl = ptfilHl. B9)
На проводник, расположенный вдоль поля, поле не действует: при
0 = О9 и 0 = 180° будет F = 0.
Из формулы B9) определяется физический смысл магнитной индук-
индукции как силы, с которой однородное магнитное поле действует на
перпендикулярный этому полю прямолинейный проводник длиной в
1 м с током в 1 А. По этой же формуле B9) устанавливается единица
измерения магнитной индукции — тесла: Т = Н/(А • м), т. е. тесла
есть магнитная индукция такого однородного магнитного поля, ко-
которое действует с силой в 1 Н на прямолинейный проводник длиной
1 м с током 1 А, расположенный перпендикулярно полю. Размерность
тесла была установлена в § 99.
Рассмотрим практически важный случай действия магнитного
поля на рамку (замкнутый проводящий контур) с током. Пусть рамка
* По имени немецкого физика Вебера.
336

в
I
а
л
/ | ,
т'
С
I
В
d
с
I
, 1
• т
/
d
4
j
L
s
/r
\
7 В
r .
с током / расположена в однородном магнитном поле индукцией 5,
причем плоскость рамки параллельна полю. Рамка имеет только одну
степень свободы — может поворачиваться вокруг оси 00' (рис. 232, а).
На параллельные полю ,
стороны рамки be и da по- ?. О
ле не действует. На сторо-
стороны аЪ и cd, равные /, будет
в соответствии с правилом
левой руки и формулой
Ампера действовать пара
сил F = ВП, которая по-
повернет рамку так, что ее
плоскость окажется пер-
перпендикулярной полю (рис.
232, б). Это положение
является равновесным: со- а °
ответствующий ему момент Рис. 232
пары сил равен нулю; си-
силы, действующие теперь на рамку, могут только деформировать, но
не поворачивать ее.
Практически благодаря инерции рамка не сразу установится в
положение равновесия: сначала она совершит несколько затухаю-
затухающих колебаний около этого положения. Изменим направление тока в
рамке в тот момент, когда она немного перейдет через положение
равновесия (в направлении перво-
первоначального вращения). Тогда силы
F тоже изменят свое направление
на противоположное и повернут
рамку на 180° (в направлении пер-
первоначального вращения) до следую-
следующего положения равновесия. Сле-
довательно, если изменять направ-
ление тока в рамке в моменты
перехода ею положения равнове-
равновесия, то рамка будет непрерывно
вращаться вокруг оси 00'. На этом
явлении основано устройство эле-
электродвигателя, преобразующего электрическую энергию в механи-
механическую.
Определим работу, совершаемую при перемещении проводника с
током в магнитном поле. Рассмотрим случай, когда прямолинейный
проводник длиной / с током / перемещается по направляющим про-
проводам в однородном магнитном поле с индукцией В\ плоскость пере-
перемещения проводника перпендикулярна полю (рис. 233). Очевидно,
что работа dA> совершаемая при перемещении проводника на рас-
расстояние dxy равна
7"
f
/
i
Г
a
В l
с
——>
//
•
Ряс. 233
где Z7 — перемещающая сила; dS = I • dx — площадь, описанная
337

проводником при перемещении. Так как, согласно формуле B7),
В ' dS = do есть поток магнитной индукции через. площадь dS, то
dA = /
C0)
W1
/*
Таким образом, работа перемещения проводника с током в магнит-
магнитном поле равна произведению силы тока на поток магнитной индук-
индукции через площадь, описанную проводником при перемещении.
Рассмотрим замкнутый контур abcda, частью которого является
наш проводник / (см. рис. 233). Очевидно, что относительно этого
контура (деформирующегося в процессе перемещения
проводника [) величина йФ представляет собой измене-
изменение потока магнитной индукции через площадь, обте-
обтекаемую током /. Тогда соотношению C0) можно со-
сопоставить следующую формулировку: работа тока в
магнитном поле равна произведению силы тока на изме-
изменение потока магнитной индукции через площадь, обте-
обтекаемую током. Это самое общее определение работы тока
в магнитном поле. Оно справедливо для случаев любого
движения замкнутого контура с током как в однородном,
так и в неоднородном магнитном поле, а также для слу-
случаев деформирующегося контура и неподвижного кон-
контура, площадь которого пронизывается изменяющимся
потоком магнитной индукции.
В заключение определим силу взаимодействия двух
длинных параллельных проводников, по которым идут
одинаково направленные токи /t и /2 (рис. 234). Пусть
длина каждого из проводников /, а расстояние между
Применяя правило буравчика, установим, что напряжен-
напряженц
и,
г
Рис. 234
ними г
ность поля Я а, создаваемая вторым проводником в том месте, где на-
находится первый проводник, направлена перпендикулярно плоскости
листа за эту плоскость. Согласно формуле A3),
U ^2
Применяя правило левой руки, найдем, что поле второго проводника
действует на первый проводник с силой Ft, направленной в сторону
второго проводника. В соответствии с формулой Ампера B9)
'• г,
Аналогичные рассуждения покажут, что первый проводник дейст-
действует на второй с силой
1&
равной по величине силе Fu но противоположной ей по направлению
(в полном соответствии с третьим законом Ньютона),
338

Таким образом, два проводника с токами одинакового направле-
направления взаимно притягиваются с силой
t
Противоположно направленные токи взаимно отталкиваются с си-
силой, определяемой по этой же формуле C1).
Как уже отмечалось (см. § 74 и 84), на основе взаимодействия
параллельных токов вводится определение единицы силы тока в Меж-
Международной системе единиц — ампера {«стандартного ампера»). По-
Поясним это определение, пользуясь формулой C1).
Пусть два параллельных очень длинных тонких проводника с
токами /4 = /2 = 1 А находятся на расстоянии г = 1 м друг от
друга в вакууме (р- = 1). Тогда, согласно формуле C1), два противо-
противолежащих участка / этих проводников, длиной по 1 м каждый, будут
взаимодействовать с силой
F -= 4гс . 1(Г7м • кг . с • А » 1 А2 - 1 м __ ~ . in-7 И
2п • 1 м
где 4я • Ю~7 м • кг • с • А~2 — значение и размерность магнитной
постоянной |л0. Следовательно, ампер — сила неизменяющегося тока,
который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам
бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным
в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы между ними
силу, равную 2 • 10" ньютон на каждый метр длины.
Отметим, что хотя стандартный ампер и является основной единицей СИ,
его выбор был не совсем произвольным. Стандартный ампер установлен с уче-
учетом того, чтобы его величина практически совпадала с величиной применявше-
применявшегося ранее международного ампера (определяемого на основе электролиза вод-
водного раствора азотнокислого серебра). Стандартный ампер равен 1,00015 меж-
международного ампера, т. е. отличается от него на 0,015%.
§ 101. Движение заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях. Определение удельного заряда
и массы электрона
И электрическое и магнитное поля действуют на движущиеся в них
заряженные частицы. Поэтому заряженная частица, влетающая в
электрическое или магнитное поле, отклоняется от своего перво-
первоначального направления движения (изменяет траекторию), если
только это направление не совпадает с направлением поля. В послед-
последнем случае электрическое поле только ускоряет (или замедляет) дви-
движущуюся частицу, а магнитное поле вообще не действует на нее,
Рассмотрим практически наиболее важные случаи, когда заряженная
частица влетает в однородное поле, созданное в вакууме (е = 1, jx = 1),
имея направление, перпендикулярное полю.
1. Частица в электрическом поле. Пусть части-
частица, имеющая заряд е и массу т, влетает со скоростью v в электричес-
электрическое поле плоского конденсатора (рис. 235, а). Длина конденсатора
339

равна х, напряженность поля равна Е. Предположим для определен-
определенности, что частица является электроном (е < 0). Тогда, смещаясь
в электрическом поле вверх, она пролетит через конденсатор по кри-
криволинейной траектории и вылетит из него, отклонившись от первона-
первоначального направления на
отрезок у. Рассматривая
смещение у как проекцию
перемещения на ось Y рав-
равномерно ускоренного дви-
движения частицы под дейст-
действием силы поля
F = еЕ = та, C2)
можем написать
где Е — напряженность
электрического поля, а —
ускорение, сообщаемое ча-
частице полем, t — время, в
течение которого соверша-
совершается смещение у. Так как,
с другой стороны, t есть
время равномерного дви-
движения частицы вдоль оси
конденсатора с постоянной
скоростью vy то
\У
е
9—
т
-^—
V
•
•
Рис.
X
235
1
i
j
• •
Тогда
Подставляя это значение ускорения в формулу C2), получим соотно-
соотношение
У = — — х2, C3)
т 2v2
представляющее собой уравнение параболы. Таким образом, заряжен-
заряженная частица движется в электрическом поле по параболе; величина
отклонения частицы от первоначального направления обратно пропор-
пропорциональна квадрату скорости частицы.
340

Отношение е/т заряда частицы к ее массе называется удельным
зарядом частицы,
2. Частица в магнитном поле. Пусть та же части-
частица, которую мы рассматривали в предыдущем случае, влетает теперь
в магнитное поле напряженностью Н (рис. 235, б). Силовые линии по-
поля, изображенные точками, направлены перпендикулярно плоскости
рисунка (на читателя). Движущаяся заряженная частица представ-
представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклонит час-
частицу вверх от ее первоначального направления движения (следует
учесть, что направление движения электрона противоположно на-
направлению тока). Согласно формуле Ампера B9), сила, отклоняющая
частицу на любом участке траектории (участке тока) /, равна
F = v^HIL
Но ток
'-7-
где t — время, за которое заряд е проходит по участку Л Поэтому
F = [у/ -?- /.
Учитывая, что l/t = vt получим
F = ev^H. C4)
Сила F называется лоренцевой силой*. Направления F, v и Н вза-
взаимно перпендикулярны. Направление лоренцевой силы F можно
определять по правилу левой руки, подразумевая при этом под на-
направлением тока / направление скорости v и учитывая, что для по-
положительно заряженной частицы направления I я v совпадают, а для
отрицательно заряженной частицы эти направления противоположны.
Будучи перпендикулярна скорости vy лоренцева сила изменяет
только направление скорости движения частицы, не изменяя вели-
величины этой скорости. Отсюда следуют два важных вывода:
1. Работа лоренцевой силы равна нулю, т. е. постоянное магнит-
магнитное пом не совершает работы над движущейся в нем заряженной час-
частицей (не изменяет кинетической энергии частицы)**.
Напомним, что в отличие от магнитного поля электрическое поле
изменяет энергию и величину скорости движущейся частицы.
2. Траектория частицы является окружностью, на которой части-
частицу удерживает лоренцева сила, играющая роль центростремительной
силы. Радиус г этой окружности определим, приравнивая между со-
собой лоренцеву и центростремительную силы:
* По имени голландского физика Лоренца.
** Следует иметь в виду, что это положение относится только к случаю пос-
постоянного поля. Переменное (во времени) магнитное поле изменяет энергию и
величину скорости частицы.
341

откуда
f z—
C5)
Таким образом, радиус окружности, по которой движется частица,
пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален напря-
напряженности магнитного поля.
На рис. 235, б видно, что отклонение у частицы от ее первона-
первоначального направления движения уменьшается с ростом радиуса г.
Из этого можно заключить, учитывая формулу C5), что отклонение
частицы в магнитном поле уменьшается при увеличении скорости час-
частицы. При увеличении напряженности поля отклонение частицы уве-
увеличивается. Если бы в случае, изображенном на рис. 235, б, маг-
магнитное поле было более сильным или охватывало более обширную
область, то частица не смогла бы вылететь из этого поля, а стала
бы все время двигаться по окружности радиусом г. Период обращения
частицы Т равен отношению длины окружности s к скорости частицы v:
Г = -2-
v
2%г
или, учитывая формулу C5),
т =
C6)
Следовательно, период обращения частицы в магнитном, пом не за-
зависит от ее скорости.
** Если в пространстве, где дви-
движется заряженная частица, создать
магнитное поле, направленное под
углом а к ее скорости v, то дальней-
дальнейшее движение частицы представит
собой геометрическую сумму двух
одновременных движений: вращения
по окружности со скоростью vsinoL
в плоскости, перпендикулярной си-
силовым линиям, и перемещения вдоль
поля со скоростью acosa (рис. 236, а).
Очевидно,что результирующая траек-
траектория частицы окажется винтовой
линией, навивающейся на силовые
линии поля. Это свойство магнитного
поля используется в некоторых при-
приборах для предотвращения рассеива-
рассеивания потока заряженных частиц. Осо-
Особый интерес в этом отношении пред-
представляет магнитное поле тороида (см.
§ 98, рис. 226). Оно является свое-
своеобразной ловушкой для движущихся
заряженных частиц: «навиваясь» на
силовые линии, частица будет сколь
угодно долго двигаться в таком поле, не покидая его (рис. 236, б). Отметим,
что магнитное поле тороида предполагается использовать в качестве «сосуда»
для хранения плазмы в термоядерном реакторе будущего (о проблеме управляе-
управляемой термоядерной реакции будет сказано в § 144).
Рис. 236
342

Влиянием магнитного поля Земли объясняется преимущественное возник-
возникновение полярных сияний в высоких широтах. Заряженные частицы, летящие
к Земле из космоса, попадают в магнитное поле Земли и перемещаются вдоль
силовых линий поля, «навиваясь» на них. Конфигурация магнитного поля
Земли такова (рис. 237)*, что частицы приближаются к Земле преимуществен-
преимущественно в полярных областях, вызывая тлеющий разряд
в свободной атмосфере (см. § 93).
С помощью рассмотренных закономерно-
закономерностей движения заряженных частиц в электри-
электрическом и магнитном полях можно эксперимен-
экспериментально определять удельный заряд и массу
этих частиц. Именно таким путем были впер-
впервые определены удельный заряд и масса
электрона. Принцип определения состоит в
следующем. Поток электронов (например,
катодные лучи) направляют в электрическое
и магнитное поля, ориентированные так,
что они отклоняют этот поток в противопо-
противоположных направлениях. При этом подбирают
такие значения напряженностей Е и Я, чтобы
отклонения, вызванные силами электрическо-
электрического и магнитного полей, полностью взаимно компенсировались и эле-
электроны летели прямолинейно. Тогда, приравнивая между собой вы-
выражения электрической C2) и лоренцевой C4) сил, получим
еЕ = evp0H,
Рис. 237
откуда
v =
C7)
По формуле C7) можно рассчитывать скорость электронов, поскольку
значения \ь0Е и Н известны.
После того как достигнута полная компенсация отклонений, элек-
электрическое поле выключают. В оставшемся магнитном поле электроны
начинают двигаться по окружности, радиус которой, согласно фор-
формуле C5), равен
г =
то
C8)
Значение г можно рассчитать по величине отклонения у элект-
электрона в магнитном поле и по ширине х области, охваченной этим полем
(см. рис. 235, б). В самом деле, из рисунка видно, что хг 4- (г — уJ =
= г2. Следовательно,
* Отметим, что согласно последним космическим исследованиям магнитное
поле Земли подобно полю намагниченного шара (рис. 237) только до высоты
около 6500 км. Выше поле искажено воздействием плазмы, испускаемой Солн-
Солнцем.
343

Из соотношений C7) и C8) получается после простых преобразо-
преобразований формула для вычисления удельного заряда электрона:
е
C9)
т
Измерения дали
— = 1,7588- 1011 К л/кг.
т
Так как е = 1,6021 • 10~19 Кл, то масса электрона оказывается
равной
т = 9,1091 • Ю-31 кг.
Подобным же образом можно определять удельный заряд и массу
любых частиц.
Подчеркнем, что приведенное значение массы электрона соот-
соответствует массе покоя. Точные измерения, полученные описанным ме-
методом, показали, что при больших скоростях движения (сравнивае-
(сравниваемых со скоростью света) масса электрона заметно возрастает с уве-
увеличением скорости (см. § 20).
§ 102. О некоторых приборах и установках, основанных
на движении заряженных частиц в электрическом и магнитном
полях
Особенности движения заряженных частиц в электрическом и маг-
магнитном полях широко используются в современных физико-техниче-
физико-технических установках и приборах. Далее кратко описаны принципы устрой-
устройства и действия некоторых из этих приборов.
1. Электронный осциллограф. Основной частью
электронного осциллографа* является электроннолучевая трубка,
устроенная следующим образом. В узком конце вакуумного баллона
находится цилиндрический катод 2, нагреваемый металлической спи-
спиралью 1, через которую пропускается ток (рис. 238). Дно цилиндра 2
покрыто слоем металла, имеющего малую работу выхода электронов.
Диафрагма 3 выделяет из эмиттируемых катодом электронов узкий
электронный пучок (электронный луч). В электрическом поле, соз-
создаваемом между катодом 2 и цилиндрическим анодом 4, электроны
Рис. 238
* От латинских слов oscillo — качаюсь, grafo — пишу.
344

разгоняются до скоростей порядка 104 км/с. Подогреваемый катод,
диафрагма и анод составляют электронную пушку.
Электронный луч проходит через два отклоняющих конденсатора
5 и б, пластины которых расположены во взаимно перпендикулярных
плоскостях, и падает на экран 7, покрытый люминесцирующим ве-
веществом. В месте падения луча на экране появляется светящаяся
точка О.
Если подать на пластины конденсатора 6 постоянное напряжение,
то направление электронного луча изменится и светящаяся точка сме-
сместится вдоль вертикали. В случае переменного напряжения элек-
электронный луч начнет колебаться в
вертикальной плоскости, а на экра- и^
не появится светящаяся вертикаль- D уЛ уЛ уЛ /Л у? ,
ная линия, длина которой зависит / к I/" к к
от величины приложенного напря-
напряжения. По длине этой линии мо-
можно определять величину очень Рис. 239
слабых напряжений и токов.
С помощью специальной схемы на пластины конденсатора 5 по-
подается переменное напряжение U пилообразной формы (рис. 239;
t — время). Под влиянием такого напряжения светящаяся точка бу-
будет равномерно двигаться по горизонтали, например вправо, а затем
скачком возвращаться в крайнее левое положение. Эгот периодичес-
периодически повторяющийся процесс, называемый горизонтальной разверткой
луча, даст на экране горизонтальную светящуюся линию.
Если на вертикальное колебание луча, обусловленное исследуе-
исследуемым напряжением, наложить горизонтальную развертку, то луч
будет описывать на экране кривую зависимости исследуемого напря-
напряжения от времени. Если это напряжение изменяется периодически,
то, подобрав соответствующую частоту горизонтальной развертки,
можно получить на экране неподвижный график исследуемого напря-
напряжения и сфотографировать его.
Электронный луч практически безынерционен. Поэтому с помощью
осциллографа можно исследовать очень быстро протекающие (за
десятимиллионные доли секунды) электрические процессы. Возможно
также, и это весьма важно, осциллографическое изучение неэлектри-
неэлектрических процессов (колебаний температуры, давления, плотности и т. п.),
предварительно преобразованных в электрические процессы с по-
помощью соответствующих электрических датчиков.
Помимо электронного осциллографа электроннолучевая трубка
применяется в радиолокаторе, телевизоре, электронном микроскопе,
электронно-вычислительной машине и многих других приборах.
2. Масс-спектрограф. Масс-спектрограф служит для опре-
определения массы ионов (заряд которых известен). Схема этого прибора
изображена на рис. 240. Поток А ионов исследуемого вещества,
представляющий собой каналовые лучи тлеющего газового разряда
(см. § 93), пропускают через узкую щель диафрагмы D, выделяю-
выделяющую из потока узкий «ионный луч» В. Этот луч проходит сначала че-
через электрическое поле плоского конденсатора Е, а затем через маг-
345

нитное поле #, Электрическое и магнитное боля взаимно перпенди-
перпендикулярны. Силовые линии магнитного поля, изображенные крестиками,
направлены перпендикулярно плоскости рисунка за эту плоскость.
При таком расположении полей ионный луч отклонится в электри-
электрическом и в магнитном полях в противоположных направлениях.
Л7<
Рис. 241
Рис. 240
Предположим, что все ионы имеют одинаковый заряд е и массу
ти но движутся с несколько различными скоростями. Тогда в элек-
электрическом поле ионный луч будет расщеплен: быстрые ионы откло-
отклонятся от первоначального направления меньше, медленные ионы —
больше. Войдя в магнитное поле, эти ионы будут отклоняться в про-
противоположную сторону, причем опять же быстрые ионы отклонятся
меньше, медленные — больше (см. § 101). В результате траектории
всех ионов пересекутся («сфокусируются») в одной точке.
j 7 n j Предположим теперь, что в ион-
ионном луче имеются еще ионы массой
m2<Ctni Все эти ионы сфокусируются
в другой точке 2 Если в луче присут-
присутствуют еще ионы массой тъ<тъ
m4<m» и т Д'»то они сфокусируются
соответственно в точках 3, 4 и т. д.
Расчеты показывают, что «фокусьг> для всех ионов находятся при-
приблизительно на одной прямой CF. Если вдоль этой прямой располо-
расположить фотографическую пластинку, то на ней получится ряд узких
полосок (линий) /, 2, 3, 4 и т. д. (рис. 241). Каждая из этих линий
создана ионами определенной массы ти т2, т9, т4 и т. д.*.
Таким образом, масс-спектрограф разлагает ионный луч по мас-
массам ионов, подобно тому, как оптический спектрограф разлагает све-
световой луч по длинам световых волн (отсюда название «масс-спектро-
«масс-спектрограф»). Совокупность линий, полученных на фотопластинке (см.
рис. 241), называется масс-спектрограммой.
Зная параметры прибора и расстояния между линиями масс-спек-
трограммы, можно вычислить значения масс исследуемых ионов. Отно-
Относительное количество ионов данной массы определяется по величине
суммарного заряда ионов, образующих соответствующую этой массе
линию масс-спектрограммы (величина заряда измеряется чувстви-
чувствительным гальванометром).
* На фотопластинке получаются линии, а не точки, потому что отверстие
диафрагмы D имеет форму щели а не круга.
346

С помощью масс-спектрографа были впервые обнаружены изотопы
химических элементов (см. § 138). Первые точные измерения массы
изотопов и процентного содержания изотопов в их естественных сме-
смесях также были выполнены посредством масс-спектрографа.
3. Электронный микроскоп. С помощью электри-
электрического и магнитного полей можно придавать траекториям заряжен-
заряженных частиц весьма разнообразные формы. Можно, в частности, соз-
создать поле такой конфигурации, что оно будет собирать (фокусировать)
в одну точку параллельные электронные лучи или, наоборот, будет
превращать параллельные лучи в расходящиеся. Электрические и
магнитные поля, способные симметрично отклонять и фокусировать
электронные лучи, называются электронными линзами (электроста-
(электростатическими, или магнитными, или электромагнитными — в зависимос-
зависимости от того, какое именно поле воздействует на эти лучи).
В оптическом микроскопе увеличенное изображение объекта полу-
получается, как известно, благодаря соответствующему ходу световых
лучей, создаваемому системой стеклянных линз (см. § 117).
В электронном микроскопе создается соответствующий ход элек-
электронных лучей при помощи системы электронных линз*.
Электронный микроскоп состоит из герметично закрывающейся
трубы (в которой поддерживается разрежение порядка 10"*3 Па),
электронной пушки, системы электронных линз и люминесцирующего
экрана. Создаваемые пушкой электронные лучи проходят через иссле-
исследуемый объект (помещенный на коллодиевой пленке толщиной около
0,01 мкм) и систему электронных линз и падают на экран. В резуль-
результате на экране получается увеличенное изображение (тень) объекта.
Так как более плотные места объекта задерживают электронные лучи
сильнее, чем менее плотные, то на изображении выявляется струк-
структура объекта: темные области изображения соответствуют более плот-
плотным местам объекта. Изображение в электронном микроскопе полу-
получается настолько четким, что его можно сфотографировать. На
рис. 242 приведены электронно-микрофотографии вирусов табачной
Рис. 242
* В отличие от оптического микроскопа электронный микроскоп дает дейст-
действительное увеличенное изображение предмета (на люминесцирующем экране).
347

мозаики (а), увеличенные в 150 000х и вирусов гриппа (б), увеличен-
увеличенные в 70 ОООх.
В отличие от оптического микроскопа, у которого максимально
возможное увеличение имеет порядок 103 раз, электронный микро-
микроскоп может давать, вообще говоря, сколь угодно большое увеличе-
увеличение. Это связано с очень большой разрешающей способностью элек-
электронного микроскопа, т. е. с его способностью давать раздельное изо-
изображение очень мелких, близко расположенных друг от друга дета-
деталей объекта (см. § 123 и 126). Современные электронные микроскопы
обладают максимальным увеличением порядка 105 раз.
4. Электронный микро-
микропроектор. Электронный микро-
микропроектор представляет собой безлинзо-
безлинзовый электронно-оптический увеличи-
увеличитель, схематически изображенный на
рис. 243. В центре сферического баллона
радиусом R помещен катод — металли-
металлический шарик крайне малого радиуса
г ^ 10~5 см. На внутренней поверхно-
поверхности баллона нанесен слой люминесци-
рующего вещества, служащий экраном
для электронных лучей и одновременно
анодом. В баллоне создано разрежение
порядка 10~6 Па. Напряженность эле-
электрического поля вблизи катода соста-
составляет около 107 В/см. Столь сильное
поле вызывает холодную эмиссию электронов с поверхности катода
(см. § 88). Электроны летят радиально от катода к аноду (экрану).
Под ударами этих электронов экран светится.
Если вблизи катода поместить исследуемый объект, то он будет
задерживать часть электронных лучей, благодаря чему на экране
получится увеличенное теневое изображение (проекция) этого объек-
объекта. Максимальное увеличение, равное отношению /?/г, получится,
очевидно, в том случае, когда объект нанесен непосредственно на по-
поверхность катода.
Электронный проектор дает увеличение порядка 10е раз. С его
помощью удается получать изображения отдельных молекул, адсор-
адсорбированных поверхностью катода проектора. Причем на экране виден
не только общий контур молекулы, но и ее структура (сгущения и раз-
разрежения электронных оболочек).
5. Циклотрон. Циклотрон служит для ускорения движения
заряженных частиц (электронов, протонов, дейтонов, альфа-частиц
и т. д.) до очень больших скоростей, близких к скорости света. Такие
частицы используются для исследования атомных ядер, для полу-
получения радиоактивных изотопов и т. п.
Принципиальная схема циклотрона изображена на рис. 244, а.
Между полюсными наконечниками сильного электромагнита 3 поме-
помещена вакуумная ускорительная камера (не показана на рисунке),
в которой находятся две полукруглые металлические коробки 1 и 2.
Ряс. 243
348

называемые дуантами*. К дуантам приложено переменное напряжение
периода 7\ создающее в промежутке между дуантами переменное
электрическое поле того же периода. Магнитное поле электромаг-
электромагнита перпендикулярно электрическому полю дуант.
Заряженную частицу вводят в центр промежутка между дуантами
(рис. 244, б). Ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным
полями, частица входит в первый дуант / и описывает там полуокру-
полуокружность. К моменту выхода частицы из первого дуанта полярность
Рис. 244
напряжения на дуантах изменяется. Поэтому частица вновь ускоря-
ускоряется электрическим полем и переходит во второй дуант 2, описывая
в нем полуокружность, теперь уже большего радиуса (см. § 101).
Так как, согласно формуле C6), период обращения частицы в магнит-
магнитном поле не зависит от ее скорости, то частица будет ускоряться элек-
электрическим полем всякий раз, когда она входит в промежуток между
дуантами. Для этого, конечно, необходимо, чтобы приложенное к ду-
антам напряжение имело период
где е — заряд частицы, т — ее масса, Н — напряженность магнит*
ного поля, [х0 — магнитная постоянная.
В результате частица будет двигаться по раскручивающейся спи-
спирали, достигнет периферии дуант и вылетит из них (под влиянием
отклоняющего заряда q), имея огромную скорость и большую кине-
кинетическую энергию. Например, протон может быть разогнан в цикло-
циклотроне до энергии в 22 миллиона электронвольт (МэВ).
* Модель дуант можно получить, разрезав консервную банку вдоль вер-
вертикальной оси и немного раздвинув образовавшиеся половины. Действитель-
Действительные размеры циклотрона весьма значительны: диаметр дуант. равный диаметру
полюсных наконечников магнита, достигает нескольких метров Вес электро-
электромагнита составляет тысячи и даже десятки тысяч тонн.
349

Поток
%¦
газа
При очень больших скоростях масса частиц начинает заметно возрастать
с увеличением скорости (см. § 20). В связи с этим период обращения частицы
(как видно из приведенной ранее формулы) тоже возрастает, делаясь не равным
периоду напряжения, приложенного к дуантам. В результате электрическое
поле перестает ускорять частицу и даже начинает тормозить ее. Этот недоста-
недостаток циклотрона можно устранить, если по мере роста - скорости частицы син-
синхронно увеличивать период напряжения, приложенного к дуантам. Ускоритель,
в котором увеличивается период электрического напряжения, называется син-
синхроциклотроном, или фазотроном.
Наиболее мощным ускорителем заряженных частиц является синхрофазо-
синхрофазотрон. В нем частицы разгоняются не по спирали, а по окружности постоянного
радиуса. Для этого необходимо
1 / синхронно изменять напряжен-
напряженность магнитного поля и период
электрического напряжения. В
синхрофазотроне, построенном в
г. Дубне, протоны разгоняются
до энергии в 10 млрд. эВ. Диа-
Диаметр кольцевого магнита этого
синхрофазотрона равен 56 м.
Самым мощным из существу-
существующих сейчас в мире ускорителей
элементарных частиц является
ускоритель протонов, построен-
построенный под г. Серпуховом и пущен-
пущенный в 1967 г. В нем протоны раз-
разгоняются до чудовищной энергии,
достигающей 76 миллиардов эле-
ктронвольт.
6. Магнитогидроди-
намический генера-
генератор. На движении заряженных
частиц в магнитном поле основан разрабатываемый сейчас, в принципе весьма
простой, способ получения электрической энергии — магнитогидродинами-
ческий генератор (МГД-генератор). Газ, предварительно нагретый до высокой
температуры (порядка 2800 К) и потому сильно ионизированный, продувают
через канал поперек постоянного магнитного поля (рис. 245). Под действием
лоренцевой силы положительные и отрицательные газовые ионы движутся в
противоположные стороны (поперек газового потока), и достигая электродов
(/ и 2), изготовленных из хромита лантана» сообщают им противоположные
электрические заряды. С этих электродов во внешнюю цепь отводится электри-
электрический ток. МГД-генератор весьма перспективен, так как превращает тепло в
электрическую энергию непосредственно — без механического преобразования
(и, следовательно, не имеет движущихся деталей). Кроме того, благодаря
очень высокой температуре,рабочего вещества (газа) он обладает повышенным
коэффициентом полезного действия.
Первый опытный МГД-генератор начал работать в СССР в апреле 1967 г.
Задача 50. На рис. 246 изобра-
изображено поперечное сечение прямоли-
прямолинейных параллельных бесконечно
длинных проводников с током. Рас-
Расстояния между проводниками А В =
= ВС = 5 см; силы токов It = /2 и
/3 = 2/х. Найти на прямой АС точку
М, в которой напряженность магни-
магнитного поля токов Ilt /2 и /3 равна
нулю.
Решение. Применение пра-
правила буравчика показывает, что ис-
искомая точка М может находиться
а 0 __ газовые ионы, 1и2 -
Рис. 245
Рис. 246
только на участке АВ, так как толь-

ко на этом участке напряженности полей Ни Н2 и Н3 всех трех токов направле-
направлены не в одну сторону; в этой точке Я2 =¦ Hi + Н8 (см* Рис» 246).
Введем обозначения: AM = х, Л В = а, /, = /. Тогда на основании фор-
формулы A3) можем написать
/ / 21
+
2тс(а — *) 2теж 2ъBа—х) '
откуда после несложных алгебраических преобразований получим
2
*= —-в^ 3,33 см
3
Задача 61. Необходимо изготовить соленоид длиной / = 20 см и диамет-
диаметром D = 5 см, создающий напряженность магнитного поля // = 1008 А/м.
Рассчитать: а) число ампер-витков In этого соленоида; б) разность потенциа-
потенциалов U, которую надо приложить к концам соленоида, если он изготовлен из
медной проволоки диаметром d = 0,5 мм. Удельное сопротивление меди р =
= 1,71 ¦ 10~8 Ом . м.
Решение, а) Согласно формуле A8), И «= lull, где п — число витков
соленоида, / — сила тока в нем. Тогда In = HI « 1008 А/м • 0,2 м =
= 201,6 А « 201,6 ампер-витка (см. § 98).
б) По закону Ома, (/==//? = /р— , где R — сопротивление провода, S =
о
= jxd2/4 — площадь поперечного сечения провода, L =»1х?)л *— длина провода.
Поэтому
4рР(/п) 4» 1,71 • КГ» Ом . м. 0,05*1.201,64
= d* "" 25. КГ» м2 "" '
Задача 52. Два длинных горизонтальных провода с током расположены
параллельно друг другу на расстоянии г == 8 мм один от другого, причем верх-
верхний провод закреплен жестко, а нижний свободно висит в воздухе.
Какой силы /i и какого направления ток должен для этого течь по верхне-
верхнему проводу, если по нижнему идет ток /2 = 1А? Вес одного метра длины ниж-
нижнего провода р = 2,5 • 10"8 Н/м.
Решение. Очевидно, что нижний провод будет свободно висеть толь-
только в том случае, если его вес Р компенсируется силой F притяжения со стороны
верхнего провода, ток в котором должен иметь такое же направление, как и в
нижнем проводе (см. § 100). Поэтому, обозначив длину провода буквой /, мож-
можно написать
F = Р ш* pi
или, учитывая формулу C1),
где магнитная постоянная ро *=* 4я • 10~? м • кг • с*2 • А"*2, относительная маг-
магнитная проницаемость воздуха р « 1. Тогда
2жр 2» 3,14» 8» 10-Зм-2,5. Ю^8 Н/м
1 в ^ "" 4 • 3,14 . 10-' м . кр/(с2 . А2) . 1А "*
Задача 53. В однородном магнитном поле, индукция которого В «
= 0,5 Вб/м2, движется равномерно проводник длиной I » ю см# f]0 провод-
проводнику течет ток / = 2 А. Скорость движения проводника о « 0,2 м/с и направ-
направлена перпендикулярно магнитному полю. Определить работу Л А перемещения
проводника за времяЛ t «= 10 с и мощность Nt расходуемую на это перемещение.
351

Решение. Воспользуемся рис. 233 (из § 100), поскольку он подходит
к условиям данной задачи. Согласно формулам C0) и B7),
АА = / • АФ = IB • AS = IBl • Д*,
еде AS—площадь, описываемая движущимся проводником, АФ—поток маг-
магнитной индукции через эту площадь, А л; = vHt — перемещение проводника за
время А/. Тогда
АЛ = IBlv- Д/=2А=0,5Вб/м2.0,1 м-0,2 м/с- Юс = 0,2А- Вб =0,2А.В.с =0,2 Дж,
М Юс
Задача 54. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ,
влетает в однородное магнитное поле под углом а = 30° и начинает двигаться
по винтовой линии. Индукция магнитного поля В = 1,3 • 10~2 Вб/м2. Найти
радиус г витка и шаг d винтовой линии.
Решение. Прибегая к помощи рис. 236, а (из § 101), соответствующего
условиям этой задачи, и пользуясь формулой C5), можем написать
mv sin a
еВ '
где т = 9,1 • 10~31 кг — масса электрона, е — 1,6 • 10"9 Кл — его заряд,
v — скорость электрона, asina — проекция скорости движения электрона на
направление, перпендикулярное магнитному полю.
Скорость v электрон приобретает в электрическом поле (с разностью по-
потенциалов U). Поэтому кинетическая энергия электрона должна равняться ра-
работе перемещения электрона в электрическом поле, т. е.
mv2
откуда
4,6-107 м/с.
V—-
\ кг
Ю-31 кг
Тогда
mw sin a 9,1 • 10~31кг • 4,6 • 107 м/с . 0,5 в кг • м3
, ;__.
еВ 1,6- 10~19 Кл • 1,3- Ю-2 Вб/м2 Кл • В • с2
Дж'м l0-2l
= 10-2
Дж
Шагом винтовой линии называется расстояние между двумя соседними
ее витками. Поэтому
d = Tv cos a,
где Т — период вращения электрона, ycosa — скорость движения электрона
2пг
вдоль поля. Очевидно, что Т ==—; . Тогда
v sin a
3,14- 10-2м= 0,109 м = 10,9см.

Глава XV. Электромагнитная индукция
и переменный ток
§ 103. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея.
Правило Ленца. Токи Фуко
В § 100 было установлено, что помещенный в однородное магнит-
магнитное поле замкнутый проводящий контур abed с током (см. рис. 233)
подвергается деформадии: участок be = I приходит в движение и
площадь, ограниченная контуром, изменяется. Естественно предпо-
предположить, что может существовать и обратное явление: возникновение
тока в контуре, деформирующемся в магнитном поле. Такое явление
было экспериментально обнаружено в 1831 г. Фарадеем. Более того,
Фарадей обнаружил, что электрический ток возбуждается не только
при деформации контура, но и в случаях, когда жесткий контур дви-
движется поступательно или поворачивается в магнитном поле, а также
в случаях, когда неподвижный контур находится в изменяющемся со
временем (нестационарном) магнитном поле (при этом изменение поля
может осуществляться любым способом).
Ток, возбуждаемый магнитным полем в замкнутом контуре, назы-
называется индукционным током, а само явление возбуждения тока по-
посредством магнитного поля — электромагнитной индукцией. Электро-
Электродвижущая сила, обусловливающая индукционный ток, называется
электродвижущей силой индукции.
Рассмотрим несколько опытов, с помощью которых Фарадей изу-
изучал явление электромагнитной индукции (рис. 247).
1. К замкнутому контуру (плоскость которого перпендикулярна
плоскости рисунка) приближается северный полюо магнита
(рис. 247, а)*. При этом в контуре индуцируется ток 1и вызывающий
отклонение стрелки гальванометра Л Магнитные поля магнита и
индукционного тока изображены линиями индукции В и Вг Если
движение магнита прекращается, то индукционный ток исчезает.
2. Северный полюс магнита удаляется от контура (рис. 247, б).
Тогда в контуре индуцируется ток, противоположный току, индуци-
индуцированному в предыдущем случае.
3. К контуру приближается южный полюс магнита (рис. 247, в).
В этом случае индуцированный ток имеет такое же направление,
как в случае удаления северного полюса магнита.
4. Южный полюс магнита удаляется от контура (рис. 247, г).
Тогда индуцированный ток направлен так же, как в случае прибли-
приближения северного полюса магнита.
5. В контуре включается ток / (ключом К) или же в этом контуре
увеличивается (реостатом R) имевшийся уже ток (рис. 247, д). То-
Тогда в соседнем контуре индуцируется ток Iif направленный проти-
противоположно току /. Если изменение тока / прекращается, то индук-
индукционный ток исчезает.
* В опытах Фарадея контуром служил соленоид, а не один виток провод-
проводника.
12—31 353

6. В контуре выключается или же уменьшается ток / (рис. 247, е).
Тогда в соседнем контуре индуцируется ток /f, направленный оди-
одинаково с током /.
Характерная особенность рассмотренных случаев состоит в том,
что в каждом из них имеет место изменение потока магнитной индук-
индукции через площадь, ограниченную контуром. Действительно, в слу-
случаях а, в, д этот поток увеличивается со временем, а в случаях б, г,
е — уменьшается со временем.
Рис. 247
Обобщая результаты своих многочисленных опытов по электро-
электромагнитной индукции, Фарадей пришел к следующим выводам.
В замкнутом контуре индуцируется ток во всех случаях, когда
происходит изменение потока магнитной индукции через площадь,
ограниченную контуром.
Величина электродвижущей силы индукции 8г пропорциональна
скоросгПи изменения потока магнитной индукции dO/dt:
dt
A)
где Ф — поток магнитной индукции, / — время.
В 1833 г. Ленц установил общее правило для определения направ-
направления индукционного тока, получившее название правила Ленца:
индуцированный ток имеет такое направление, что его собственное

магнитное поле компенсирует изменение потока магнитной индукции,
вызывающее этот ток.
Иными словами, индукционный ток направлен так, что его соб-
собственное магнитное поле препятствует изменению потока магнитной
индукции, вызвавшему этот ток. Нетрудно убедиться, что во всех
рассмотренных случаях (см. рис. 247) направление индукционного
тока соответствует правилу Ленца. Например, при увеличении тока /
в первом контуре (см. рис. 247, д) увеличивается поток магнитной
индукции через второй контур. Для компенсации этого увеличения
собственное магнитное поле Вг тока /,, индуцированного во втором
контуре, должно быть направлено противоположно полю В первого
контура. Отсюда следует, что индукционный ток lt противоположен
току /. При удалении северного полюса магнита (см. рис. 247, б)
поток магнитной индукции через контур уменьшается. Для компен-
компенсации этого уменьшения собственное поле Bt индукционного тока
должно быть направлено так же, как поле В. Тогда, согласно пра-
правилу буравчика, индукционный ток будет направлен по часовой стре-
стрелке (если смотреть в направлении поля).
В любом случае электромагнитной индукции имеет место превра-
превращение энергии из одних видов в другие. Например, при перемещении
магнита относительно контура (см. рис. 247, а, б, в, и г) механическая
энергия движения магнита превращается посредством магнитного по-
поля в электрическую энергию индукционного тока и, конечно, в теп-
теплоту, выделяемую этим током на сопротивлении контура. Так как
при любых энергетических превращениях соблюдается закон сохра-
сохранения энергии, то величину электродвижущей силы индукции мож-
можно определить исходя из этого закона. Для этого вернемся к рис. 233
и посмотрим, какие энергетические превращения имеют место в кон-
контуре abed, содержащем источник тока с электродвижущей силой ё0.
В § 100 мы уже выяснили, что подвижный участок / этого контура
будет перемещаться (вправо). Пусть перемещение участка / на рас-
расстояние dx происходит за время dt. Согласно формуле C0), совершае-
совершаемая при этом работа равна
dA' = / - йФ,
где / — сила тока в контуре, d(D — изменение потока магнитной
индукции через площадь, обтекаемую током (или, что то же, через
площадь, ограниченную контуром).
Одновременно с перемещением участка /, т. е. одновременно о де-
деформацией контура, происходит, согласно закону Джоуля — Ленца,
нагревание всего контура. Работа нагревания контура равна
dA" « PR • Л,
где R — полное сопротивление контура.
Деформация и нагревание контура производятся в конечном счете
источником тока, включенным в контур. Так как работа источника то-
тока за время dt равна dA = 80 Idt, то, в соответствии с законом
сохранения энергии,
dA = dA + dA\ или 801 • dt =* 1 - йФ + PR • dU
12* 355

откуда
-S- *•+(-•?)
Последнее выражение можно рассматривать как закон Ома для кон-
контура, в котором помимо электродвижущей силы ё0 источника тока
имеется добавочная э. д. с, равная — йФ/сН, возникающая в связис
изменением потока магнитной индукции через площадь, ограниченную
контуром. Эта э, д. с. представляет собой электродвижущую силу
индукции 8t:
«,—-*-. П
Таким образом, в соответствии с выводом Фарадея A) электро-
электродвижущая сила индукции оказывается пропорциональной скорости
изменения потока магнитной индукции. Выражение B), называемое
законом Фарадея, является универсальным: оно справедливо для всех
возможных случаев электромагнитной индукции. Знак минус пока-
показывает, что э. д. с. индукции gi направлена так, что магнитное поле
индукционного тока препятствует изменению потока магнитной
индукции d<&: если поток увеличивается (dCD>0), то $^<0 и поле
индукционного тока направлено навстречу потоку; если же поток
уменьшается (d<D<0), то ёр>0 и направления потока и поля индук-
индукционного тока совпадают. Короче говоря, знак минус в формуле B)
есть математическое выражение правила Ленца.
Исходя из формулы B) можно дать другое определение единице
потока магнитной индукции — веберу: если поток магнитной индук-
индукции через площадь, ограниченную контуром, изменяется на 1 Вб
за 1 с, то в контуре индуцируется э. д. с, равная 1 В. Следовательно,
В = Вб/с,
откуда
Вб = В . с.
Остановимся теперь на вопросе о природе электродвижущей силы
индукции. В случаях движения контура в магнитном поле э. д. с.
индукции обусловлена действием лоренцевой силы на заряды, на-
находящиеся в контуре. В самом деле, пусть, например, участок ме-
металлического контура (рис. 248, а) движется со скоростью v, пересе-
пересекая магнитное поле (силовые линии которого, изображенные точками,
перпендикулярны плоскости рисунка). Вместе с этим участком дви-
движутся находящиеся в нем электроны. Поэтому на каждый электрон е
будет действовать лоренцева сила F, направленная вверх (учитывая,
что электрон заряжен отрицательно). В результате на участке I
произойдет разделение зарядов: свободные электроны переместятся
кверху и между концами участка возникнет разность потенциалов,
равная электродвижущей силе индукции.
356

В случаях неподвижного контура, находящегося в переменном
(нестационарном) магнитном поле, возникновение э. д. с. индукции
нельзя объяснить лоренцевой силой, так как она не действует на
неподвижные заряды. Для объяснения природы электродвижущей си-
силы индукции в этих случаях необходимо предположить, как это сде-
сделал Максвелл (см. § 105), что переменное магнитное поле Н создает
в пространстве переменное же электрическое поле Е и что силовые
о •
Рис. 248
линии магнитного поля концентрически охвачены силовыми линиями
электрического поля (рис. 248, б). Такое электрическое поле — с зам-
замкнутыми силовыми линиями—называется вихревым полем*. Силы
вихревого электрического поля производят разделение зарядов в
проводящем контуре, создавая в нем переменную разность потенциа-
потенциалов, равную электродвижущей силе индукции.
Индукционные токи возникают не только в линейных (проволоч-
(проволочных) контурах, но и в массивных сплошных проводниках, пронизы-
пронизываемых изменяющимся магнитным полем. Такие токи называются
токами Фуко по имени французского физика Фуко, впервые обнару-
обнаружившего их.
Токи Фуко являются вихревыми: они замыкаются в толще самого
проводника, проходя в плоскостях, перпендикулярных потоку маг-
магнитной индукции. Так как электрическое сопротивление массивного
проводника невелико, то токи Фуко могут достигать большой вели-
величины, вызывая значительное нагревание проводника. В связи с этим
токи Фуко используются для плавки металлов в специальных элект-
электропечах.
* Напомним, что рассматривавшиеся нами ранее электрические (электро-
(электростатические) поля, создаваемые неподвижными постоянными электрическими
зарядами, являлись невихревыми (потенциальными). Силовые линии этих по-
полей были незамкнутыми: они начинались на положительных и оканчивались на
отрицательных зарядах.
357

Для уменьшения потерь электроэнергии на токи Фуко сердечники
электромагнитов, трансформаторов, электрогенераторов и электро-
электродвигателей собирают из отдельных, электрически изолированных
друг от друга пластин или стержней; в последние годы вместо сборных
железных сердечников широко применяют сплошные сердечники из
феррита (см. § 99).
§ 104. Взаимная индукция и самоиндукция
Взаимная индукция и самоиндукция являются частными случаями
электромагнитной индукции.
Взаимной индукцией называется возбуждение тока в контуре при
изменении тока в другом (соседнем) контуре. Предположим, что в
контуре 1 идет ток Л (рис. 249). В магнит-
магнитном поле этого тока находится соседний кон-
контур 2. Магнитный поток Фг, связанный с кон-
контуром 2, пропорционален магнитному потоку,
связанному с контуром /*. В свою очередь
магнитный поток, связанный с контуром 1,
пропорционален силе тока /4 в этом конту-
контуре; поэтому можно написать
Фг-Mlv (З)
Рис. 249
где коэффициент пропорциональности М на-
называется коэффициентом взаимной индукции, или взаимной индук-
индуктивностью обоих контуров. Само собой разумеется, что если бы ток
проходил по второму контуру, то магнитный поток Фь связанный с
первым контуром, зависел от силы тока /2 во втором контуре и вы-
выражался соотношением, аналогичным C), т. е. Ф4 = М/2.
Предположим теперь, что за время dt ток в контуре / изменяется
на величину d/4. Тогда, согласно формуле C), магнитный поток, свя-
связанный с контуром 2, изменится на величину
йФ2 = М . dlv
в результате чего в этом контуре появится э. д. с. взаимной индук-
индукции, равная (по закону Фарадея)
dt
— М
dt
D)
Формула D) показывает, что электродвижущая сила взаимной индук-
индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения
тока в соседнем контуре и зависит от взаимной индуктивности этих
контуров.
* Здесь и далее мы будем для краткости говорить «магнитный поток, свя-
связанный с контуром» вместо «поток магнитной индукции через площадь, ограни-
ограниченную контуром».
358

Для определения взаимной индуктивности и единиц ее измерения
перепишем формулу C) в виде
M = f. E)
'1
Очевидно, что взаимная индуктивность двух контуров равна магнит-
магнитному потоку, связанному с одним из контуров, когда в другом кон-
контуре идет ток, равный единице. Единицей измерения взаимной индук-
индуктивности является генри (Г)*:
Г = Вб/А.
Размерность взаимной индуктивности (и единицы ее измерения —
генри) равна
|М] = i^l - — = м2. кг . с2. А-2.
V] А
В § 95 было сказано, что размерность магнитной постоянной fxo, равная
м • кг • с • А~а, совпадает с размерностью отношения генри/метр и потому
единица измерения (хо называется генри на метр. Теперь можно убедиться в спра-
справедливости этого утверждения:
м* . кг ¦ <г» . А"*
es м • кр • с 2«А 2.
Взаимная индуктивность зави- i ¦& & j
сит от формы, размеров и взаимно- у
фр, рр у r
го расположения контуров и от Г/ I /{ / I /1
итной проницаемости среды, \/\ j J j _/j j / /
магнитной
но не зависит от силы тока в кон-
контуре**.
Получим выражение взаимной
индуктивности двух однослойных
проволочных катушек, намотанных ис'
на общий железный сердечник
(рис. 250). Пусть катушка 2, имеющая п2 витков, плотно намотана
поверх катушки /, имеющей щ витков (обмотка второй катушки изо-
изображена прерывистой линией). Катушки имеют общую длину / и
почти одинаковую площадь поперечного сечения S; магнитная про-
проницаемость среды равна |л. Ток /lf идущий в первой катушке, создает
магнитное поле, которое пронизывает как первую, так и вторую ка-
катушку. Поэтому каждый виток второй катушки связан с магнитным
потоком
Ф' = ^0|x//tS,
а вся вторая катушка связана с магнитным потоком
Ф2 = Ф'/ц =
* По имени американского физика Генри.
** В ферромагнитной среде М зависит от силы тока, так как в этом случае
магнитная проницаемость зависит от напряженности магнитного поля, а еле
довательно, и от силы тока в контуре (см. § 99).
359

где Hi = nil ill —напряженность магнитного поля, создаваемого пер-
первой катушкой (соленоидом). Тогда
/
откуда, согласно формуле E),
Af
F)
Этой же формулой можно пользоваться для приближенного вычисле-
вычисления взаимной индуктивности двух многослойных катушек, если тол-
толщина слоев мала по сравнению с диаметром катушек.
Если за время dt ток в первой катушке изменяется на величину
dlu то, как следует из формул D) и F), во второй катушке возникает
электродвижущая сила взаимной индукции
I
dt
G)
s,
(rr
H4.
Рассмотренный случай взаимной ин-
индукции двух катушек практически весь-
весьма важен. На нем, например, основано
действие индукционной катушки (боби-
г ны), используемой для зажигания го-
горючей смеси в двигателях внутреннего
сгорания, а также действие трансфор-
трансформатора, широко применяемого в электро-
электрорадиотехнике для изменения силы и на-
напряжения переменного тока.
Трансформатор был изобретен в
1876 г. Я. Н. Яблочковым. Принципи-
Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 251. Первичная
/ и вторичная 2 катушки (обмотки), имеющие соответственно я4 и я2
витков, надеты на замкнутый железный сердечник. Магнитное поле
сердечника изображено линиями магнитной индукции (замкнутые
прерывистые линии).
Если по какой-либо причине магнитный поток в сердечнике изме-
изменяется на величину dO за время dt, то в соответствии с законом Фара-
дея в обмотках индуцируются электродвижущие силы:
Рис. 251
dt
dt
Предположим теперь, что указанное изменение магнитного потока
было вызвано подключением к первичной обмотке внешней переменной
э. д. с, равной 8\. Тогда во второй обмотке появится э. д. с. взаим-
взаимной индукции, равная ё2. Отношение этих э. д. с. равно
Ь. = Jh = k. (8)
360

Величина &, называемая коэффициентом трансформации, пока-
показывает, во сколько раз э. д. с. во вторичной обмотке больше (или мень-
меньше) э. д. с. в первичной обмотке.
Согласно закону сохранения энергии, мощности тока в обеих
обмотках должны быть одинаковыми. Поэтому можно написать
Vi = Vi. (9)
или, учитывая формулу (8),
h. = L- = !± = k, (Ю)
&i h «l
где /i и /2 — переменные токи соответственно в первичной и вторич-
вторичной обмотках. Следовательно, токи в обмотках обратно пропорцио-
пропорциональны числам витков этих обмоток.
Таким образом, применяя трансформатор с соответствующим коэф-
коэффициентом трансформации, можно в любом наперед заданном отно-
отношении повышать или понижать переменную электродвижущую силу и
соответственно понижать или повышать ток. Повышающий трансфор-
трансформатор (?>1) применяется, например, при передаче электроэнергии
на большое расстояние (для снижения потерь на джоулево тепло
в линии передачи, пропорциональных квадрату силы тока). Пони-
Понижающий трансформатор (&<1) используется, например, при элек-
электросварке (поскольку для нее требуется большой ток при низком на-
напряжении).
Отметим, что при выводе формулы A0) не учитывались потери
энергии в самом трансформаторе, хотя в действительности они, ко-
конечно, имеют место (нагревание обмотки, токи Фуко в сердечнике,
утечка магнитного потока, перемагничивание сердечника). Однако
эти потери весьма незначительны: коэффициент полезного действия
современных трансформаторов достигает 98%. Поэтому формула A0)
вполне пригодна для практических расчетов.
Контур, в котором изменяется ток, индуцирует ток не только в
других, соседних, контурах, но и в себе самом: это явление называет-
называется самоиндукцией.
Магнитный поток Ф, связанный с контуром, пропорционален
току / в контуре^ Поэтому можно написать
Ф = 1/, A1)
где множитель L называется коэффициентом самоиндукции, или инду
ктивностью контура.
Предположим теперь, что за время dt ток в контуре изменяется
на величину dl. Тогда, согласно формуле A1), магнитный поток, свя-
связанный с контуром, изменится на величину
dO = L • dl%
в результате чего в этом контуре появится электродвижущая сила
самоиндукции
8 = -™- = -L*L, A2)
dt dt
S61

пропорциональная скорости изменения тока и зависящая от индук-
индуктивности контура. Знак минус показывает, что э. д. с. самоиндукции
(а следовательно, и ток самоиндукции) всегда препятствует измене-
изменению основного (внешнего) тока. Если основной ток увеличивается
/—> О], то ё<Р и ток самоиндукции направлен навстречу основ-
\dt )
ному току. Если же основной ток уменьшается (— < 0], то ё>0 и
ток самоиндукции направлен одинаково с основным током.
Наглядным примером явления самоиндукции служат так называемые
экстратоки замыкания и размыкания, возникающие при включении и выклю-
выключении тока в контуре, обладающем значительной индуктивностью. При вклю-
включении тока возникает экстраток замыкания, направленный противоположно
включенному току и потому задерживающий нарастание этого тока; если в кон-
контуре имеется электрическая лампочка, то она разгорается не сразу, а с замет-
заметным запаздыванием (тем большим, чем больше индуктивность контура). В мо-
момент выключения тока возникает экстраток размыкания, направленный оди-
одинаково с выключаемым током и потому усиливающий этот ток (задерживающий
его спадение). Вследствие этого на размыкаемом участке цепи (ключе, рубиль-
рубильнике и т. п.) образуется искра.
При быстром выключении тока в цепи, содержащей электромагнит с боль-
большой индуктивностью, экстраток размыкания может оказаться столь большим,
что вызовет перегрев обмотки и даже обгорание ее изоляции. Поэтому выклю-
выключение электромагнитов производят постепенно, уменьшая основной ток с по-
помощью реостата.
Из формулы A1) следует, что
Г ф
L
т. е. индуктивность контура равна связанному с ним магнитному
потоку, если в контуре идет ток, равный единице. Очевидно, что инду-
индуктивность L измеряется в тех же единицах, что и взаимная индук-
индуктивность М. Индуктивность зависит от формы и размеров контура
и от магнитной проницаемости среды.
Получим выражение индуктивности соленоида с железным сер-
сердечником (электромагнита). Для этого достаточно положить в формуле
F) tti = п2 = п, так как в данном случае соленоид играет роль и пер-
первичной и вторичной катушек. Тогда
где п — число витков соленоида, / — длина соленоида, S — пло-
площадь его поперечного сечения. По этой же формуле можно рассчи-
рассчитывать и индуктивность тороида (кругового соленоида).
§ 105. Энергия магнитного поля.
Понятие об электромагнитной теории Максвелла
Как мы уже знаем, магнитное поле неразрывно связано с током:
оно появляется, изменяется и исчезает вместе с появлением, измене-
изменением и исчезновением тока. Следовательно, часть энергии тока все-
362

гда идет на создание магнитного поля. Поэтому магнитное поле дол-
должно обладать энергией, равной работе, затрачиваемой током на соз-
создание этого поля, или, что то же, на создание потока магнитной
индукции, связанного с током. Именно наличием энергии у магнит-
магнитного поля объясняется физическая сущность явления электромагнит-
электромагнитной индукции, в частности самоиндукции. Ток, включенный в контур,
не сразу достигает своего максимального значения (определяемого
законом Ома), а нарастает в течение некоторого (небольшого) проме-
промежутка времени, потому что часть энергии тока расходуется в это
время на создание магнитного поля. Это «затормаживание» включае-
включаемого тока равносильно возникновению в контуре противотока само-
самоиндукции. Достигнув максимального значения, ток становится пос-
постоянным. При этом становится постоянным и его магнитное поле.
При выключениии тока его магнитное поле исчезает. Однако, согласно
закону сохранения энергии, энергия магнитного поля не может исче-
исчезнуть. Ола переходит в энергию тока самоиндукции, усиливающего
выключаемый ток.
Таким образом, явление электромагнитной индукции основано на
взаимных превращениях энергий электрического тока и магнитного
поля. Исходя из этих представлений, получим выражение величины
энергии магнитного поля.
Пусть в некотором контуре с индуктивностью L включается ток;
возрастая от 0 до максимального значения, равного /, он создает
магнитный поток
0> = L/.
Изменение тока на малую величину dl сопровождается изменением
магнитного потока на малую величину
йФ = L • dl. A4)
В § 100 было показано, что для изменения магнитного потока на d<P
ток должен совершить работу
dA = / . йФ,
или, учитывая формулу A4),
dA = LI - dl.
Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна
2
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,
*-"• A5)
Пользуясь формулой A5), рассчитаем энергию магнитного пол я то-
роида. Так как напряженность этого поля
363

то сила тока / в тороиде равна
где п — число витков тороида, / — его длина. Подставим в выраже-
выражение A5) значение / из формулы A6) и L из формулы A3). Тогда полу-
чим
w ,
или, учитывая, что 5/ = 2 —объем тороида,
. A7)
Все магнитное поле тороида сосредоточено внутри него. Поэтому объем
тороида Q является вместе с тем и объемом, занимаемым магнитным
полем. Таким образом, энергия магнитного поля оказывается пропор-
пропорциональной квадрату его напряженности и объему охваченного им
пространства.
Из формулы A7) следует, что энергия магнитного поля, приходя-
приходящаяся на единицу занимаемого им объема, т. е. плотность энергии
магнитного поля wM, выражается соотношением
•--ft^L. A8)
Подчеркнем, что формула A8), выведенная для однородного поля
(тороида), остается справедливой для любого магнитного поля.
В § 83 было получено выражение плотности энергии электричес-
электрического поля
аналогичное по форме выражению A8) плотности энергии магнитного
поля.
Если в пространстве имеются и электрическое и магнитное поля,
тю плотность энергии электромагнитного поля будет равна
^эм = о>э + ^м - ^ (е0е?2 + №#2)> A9)
где г0 и ц0 — электрическая и магнитная постоянные, е и jx — относи-
относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.
В 60-х годах прошедшего столетия Максвелл разработал теорию
единого электромагнитного поля, согласно которой переменное элек-
электрическое поле порождает переменное магнитное поле, а переменное
магнитное поле порождает переменное электрическое поле. Эти вто-
вторичные переменные поля имеют вихревой характер: силовые линии
порождающего поля концентрически охвачены силовыми линиями
порождаемого поля. В результате образуется система «переплетен-
364

ных» между собой электрических и магнитных полей. Некоторое пред-
представление о характере переменного электромагнитного поля может
дать рис. 252, являющийся как бы мгновенным снимком этого поля.
Прямая линия Ео изображает одну из силовых линий первичного
переменного электрического поля, горизонтальные окружности Н
изображают силовые линии вторичных переменных магнитных полей,
а вертикальные окружности Е — силовые линии вторичных пере-
переменных электрических полей. Постоянные электрические и магнит-
магнитные поля являются лишь частными случаями единого электромагнит-
электромагнитного поля.
Будучи первоначально связаны с зарядами и токами, переменные
электрические и магнитные поля могут затем существовать незави-
Рис. 252
симо от зарядов и токов (отделяться от них) и, порождая друг друга,
перемещаться в пространстве со скоростью
1
v —
V
B0)
или, если подставить численные значения и размерности s0 и jx0,
Ю8
v =
¦ м/с.
B0')
Такими переменными электромагнитными полями, отделившимися
от породивших их токов, являются радиоволны, свет, рентгеновские
лучи и гамма-излучение (фотоны).
Согласно формуле B0'), в вакууме (е = fx = 1) электромагнитные
поля распространяются со скоростью 3 * 108 м/с = 300 000 км/с,
что, как известно, соответствует скорости света, определенной экспе-
экспериментальным путем.
Совпадение размерного коэффициента C • 108 м/с) в формуле элек-
электромагнитной теории Максвелла B0') со скоростью распространения
света в вакууме не явлйется случайным. Оно указывает на сущест-
существование глубокой связи между электромагнитными и оптическими
явлениями: как будет выяснено в последней части курса, свет пред-
представляет собой распространение электромагнитных волн.
Перемещаясь в пространстве, электромагнитное поле переносит
присущую ему электромагнитную энергию. Плотность потока элек-
электромагнитной энергии k, т. е. энергия, переносимая за единицу вре-
365

мени через единицу площади, перпендикулярной направлению пере-
переноса (см. § 32), выражается соогношением
ft = w,MtN B1)
где юэм и v определяются по формулам A9) и B0).
Поток электромагнитной энергии оказывает давление р на пре-
преграду, находящуюся на его пути; это давление пропорционально
плотности потока:
р = A+Х)о>эм, B2)
где х—коэффициент отражения. Если преграда полностью отражает
поток электромагнитной энергии (х = 1), то р = 2w3M. Если же пре-
преграда полностью поглощает его (х == 0), то р = w9U.
Важным понятием, введенным Мак-
Максвеллом, является ток смещения. Пред-
Предположим, что к обкладкам плоского кон-
конденсатора приложена переменная э. д. с.
(рис. 253). Тогда в подводящих прово-
проводах пойдет переменный ток проводимо-
проводимости, обусловленный движением электро-
электронов. Между обкладками конденсатора,
разделенными вакуумом? заряды отсутст-
отсутствуют и потому тока проводимости быть
не может. Здесь существуют только пе-
ременное электрическое поле напряжен-
ис# ностью Е и порождаемое им переменное
магнитное поле напряженностью Н.
Максвелл предположил, что ток проводимости, идущий во внеш-
внешней цепи, замыкается внутри конденсатора особым током — током
смещения, пропорциональным скорости изменения напряженности
электрического поля Е и равным току проводимости во внешней цепи.
Этому току смещения Максвелл приписал переменное магнитное поле
Н, существующее внутри конденсатора. Так как ток смещения в
вакууме не представляет собой перемещения электрических зарядов,
то он не выделяет джоулева тепла.
Если пространство между пластинами конденсатора заполнено
диэлектрической средой, то изменение электрического поля сопро-
сопровождается поворачиванием электрических диполей (полярных моле-
молекул или атомов), составляющих диэлектрик (см. § 81). Смещение
зарядов при поворотах этих диполей образует дополнительный ток
смещения — поляризационный ток (выделяющий джоулево тепло).
Таким образом, согласно теории Максвелла,
в пространстве, охваченном переменным электрическим полем, воз-
возникает ток смещения, слагающийся из тока смещения в вакууме и по-
ляризационного тока смещения. Переменные токи проводимости, су-
существующие в незамкнутых контурах, всегда замыкаются токами
смещения.
Электромагнитная теория Максвелла подтвердилась многочислен-
многочисленными экспериментальными исследованиями; некоторых из них мы
коснемся в IV части курса.
866

§ 106. Контур, вращающийся в магнитном поле.
Синусоидальный переменный ток. Работа и мощность
переменного тока
Возбуждение электродвижущей силы индукции в контуре, вращае-
вращаемом в магнитном поле, используется в технике для получения элек-
электрического тока.
Рассмотрим плоский прямоугольный контур abed, который может
вращаться вокруг оси 00', перпендикулярной магнитному полю
(рис. 254). Пусть магнитное поле является однородным: индукция
В = const и контур вращается равномерно с угловой скоростью
о = const. Тогда магнитный по-
поток Ф, связанный с контуром в
любой момент времени t, будет
равен
Ф = BS cos ф = BS cos (at,
где S — площадь, ограниченная
контуром, а ф = o>t — угол по-
поворота контура, отсчитываемый
от начального положения кон- Рис 254
тура, при котором S±^B.
При вращении контура поток Ф периодически изменяется. В свя-
связи с этим в контуре возникает периодически изменяющаяся э. д. с.
индукции, равная, согласно закону Фарадея,
at
Так как максимальное значение этой э. д. с. (наступающее при
sin a)/ = 1) равно
ТО
= 8т sinatf.
B3)
Следовательно, если в однородном магнитном поле равномерно вра-
вращается проводящий контур, то в нем возникает переменная электро-
электродвижущая сила, изменяющаяся по закону синуса. Эта э. д. с. создает
в контуре синусоидальный переменный ток силой
/ =
= -^- sinarf = /m sin art,
B4)
гДе fm ^ ®JRq ~ максимальное значение силы тока, а RQ — омическое
сопротивление контура и электрической цепи, в которую отводится
ток (посредством щеток N, скользящих по кольцам К).
Переменный ток является колебательным процессом (гармониче-
(гармоническим колебанием). Поэтому названия характеристик колебательного
процесса (см. § 27) сохраняются и за характеристиками перемен-
367

ного тока. Именно: 8т называется амплитудой электродвижущей
силы, 1т — амплитудой тока, <о — круговой частотой тока, ш/ —
фазой тока. Переменный ток характеризуется также периодом тока
Т и частотой тока v, причем
2п_
Т
B5)
На рис. 255 представлены графики электродвижущей силы и силы
тока Очевидно, что изменения (колебания) э. д. с. и силы тока
совершаются в одинаковых фазах.
Рассмотренный способ получения переменного тока лежит в осно-
основе устройства электромашинного генератора переменного тока*.
В
Рис. 255
Рис. 256
В промышленных генераторах магнитное поле. создается мощным
электромагнитом. Вращающийся контур состоит из п последователь-
последовательно соединенных витков проволоки, намотанной на ферромагнитный
сердечник (ротор генератора). Поэтому электродвижущая сила, воз-
возбуждаемая в таком генераторе, равна
о = BS ®п s\n (at. B6)
Современные генераторы переменного тока могут создавать напря-
напряжение в несколько десятков тысяч вольт; их мощность достигает
300 000 кВт и более.
Ог контура, вращаемого в магнитном поле, можно получить и
постоянный ток. Для этого надо соединить концы контура с полу-
полукольцами Ki и К2 (рис. 2§6). ри повороте контура на 180° направ-
направление тока в нем изменится на проти-
противоположное. Но при этом щетки Nt и
N2 придут в соприкосновение с проти-
противоположными полукольцами К2 и /Ci.
Поэтому во внешней цепи ток идет
всегда в одном направлении. Правда,
этот ток будет пульсирующим (рис.
257). Для сглаживания пульсаций
Т/2 Т
Рис. 257
j/2Tt
* От латинского слова generator — производитель.
368

ротор генератора постоянного тока изготовляется из нескольких много-
витковых контуров, расположенных в различных плоскостях.
Если через обмотку ротора генератора пропускать ток, то под
действием лоренцевой силы ротор придет во вращение. Таким образом,
электромашинный генератор тока может быть превращен в электро-
электродвигатель. Отметим, что первый электродвигатель, имевший прак-
практическое применение, был сконструирован в 1834 г. В. С. Якоби.
В 1839 г. Якоби построил лодку, приводимую в движение электродви-
электродвигателем мощностью в 735 Вт. Лодка везла против течения 14 пасса-
пассажиров (по р. Неве).
Получим теперь выражения работы и мощности переменного тока. В § 85
было показано, что работа Л, совершаемая за время / постоянным током I
на резисторе сопротивлением Ro, равна
, B7)
а мощность N постоянного тока выражазтся соотношением
N = /2 До. B8)
В случае переменного тока величина / изменяется со временем; однако
для очень малого промежутка времени dt можно считать ее постоянной
(/= const). Поэтому для выражения элементарной работы dA, совершаемой пе-
переменным током за время dt> можно воспользоваться формулой B7) и написать
или, учитывая формулы B4) и B5),
I2m Ro • sin W . di = im ко •
dA = I2m RQ - sin W . dt = 4 tf0 • sin2 -^r- • Л. B9)
Работу Л, совершаемую переменным током за один период 7\ получим инте-
интегрированием выражения B9) по времени в пределах от 0 до Т:
т г
о о
T
A = I dA = 4 /^ \ sin2 Z7U • d/ = 'm ^0 Г*. C0)
о
Это интегрирование выполняется следующим образом. В выражении
7 Т
. 2^_ _, 2nt
sin2-—--- d——•
С 2nt TC
з1п2__.л=_ sir
о о
обозначим 2nt/T = «р и перейдем к новым пределам интегрирования (от <р = Q
до <р = 2п). Тогда, учитывая, что
1 — cos 2(p
sin2 <р « ,
получим
m 2nt 2%t Г
sin2-y-.d-Y-=J si
0
2
f
j
о
2тс 2тг
Т— 2
О
1 С% 1 f* 1 2*
— \ d<p — — j cos 2у • d2cp = и 4- — sin 2<p
= те.
369

Среднюю мощность N переменного тока определим, поделив работу А на
период Т:
Введем обозначение
/2
m — /2
и назовем
C1)
эффективной силой переменного тока, или эффективным (действующим) током.
Тогда
N — 7эф ^o (oz)
Из взаимного сравнения соотношений B8) и C2) следует, что мощность пе-
переменного тока можно рассчитывать по формуле мощности постоянного тока B8),
если вместо силы постоянного тока / брать эффективную силу переменного то-
тока /Эф.
Таким образом, эффективная сила переменного тока равна силе такого по-
постоянного тока, который имеет ту же мощность, что и данный переменный
ток. Эффективный ток /Эф и постоянный ток / производят одинаковый внешний
эффект, например выделяют в проводнике одинаковое количество джоулева
тепла (отсюда название — эффективный ток). Согласно формуле C1), эффек-
эффективный ток приблизительно в 1,41 раза меньше максимального (амплитудного)
тока:
/эф ъ 0,71 1т.
Аналогично эффективному току вводится понятие эффективного (действую-
(действующего) напряжения:
C3)
где Uт— максимальное (амплитудное) значение переменного напряжения.
Обычно электроизмерительные приборы показывают эффективные значе-
значения переменного тока и напряжения. Стандартное напряжение электроосвети-
электроосветительной сети, равное 220 В, является именно эффективным напряжением;
амплитудное же значение напряжения составляет около 310 В.
Поэтому
япТ'ЛвТ
о
и, в соответствии с форхмулой C0), работа
370

Пользуясь понятиями эффективного тока и напряжения, можно написать
следующие выражения работы и мощности переменного тока:
U2
А = /*ф Rot = /9ф U^t = —?l tt C4>
2 "L
N = /дф Ro = /эф ^эф == —¦=- • C5)
Следует подчеркнуть, что формулы C4) и C5) выражают работу и мощность
переменного тока на омическом (активном) сопротивлении:
I
где / — длина, S — площадь поперечного сечения, р — удельное сопротивление
проводника (см. § 85). Именно с этим омическим сопротивлением мы встреча-
встречались до сих пор при изучении постоянного тока. Иначе обстоит дело в случае
переменного тока. Емкость и индуктивность электрической цепи создают для пе-
переменного тока дополнительный вид сопротивления — реактивное сопротивле-
сопротивление, к рассмотрению которого мы теперь переходим.
§ 107. Емкостное и индуктивное сопротивления
В цепи постоянного тока конденсатор представляет собой бесконечно боль-
большее сопротивление: постоянный ток не проходит через диэлектрик, разделяю-
разделяющий обкладки конденсатора. Цепи переменного тока конденсатор не разрывает;
попеременно заряжаясь и разряжаясь, он обеспечивает движение электричес-
электрических зарядов, т. е. поддерживает переменный ток во
внешней цепи. Исходя из электромагнитной теории * ж
Максвелла (см. § 105), можно сказать, что перемен-
переменный ток проводимости замыкается внутри конден-
конденсатора током смещения. Таким образом, для пе-
переменного тока конденсатор представляет собой g rZf с dp Uq
конечное сопротивление, называемое емкостным со- "
1
противлением. I
Опыт и теория показывают, что сила перемен-
переменного тока в проводе существенно зависит от формы,
которая придана этому проводу. Сила тока будет, Рис. 258
наибольшей в случае прямого провода. Если же
провод свернут в виде катушки с большим числом
витков, то сила тока в нем значительно уменьшится: особенно резкое
снижение тока происходит при введении в эту катушку ферромагнит-
ферромагнитного сердечника. Это означает, что для переменного тока проводник помимо оми-
омического сопротивления имеет еще дополнительное сопротивление, зависящее от
индуктивности проводника и потому называемое индуктивным сопротивле-
сопротивлением. Физический смысл индуктивного сопротивления состоит в следующем.
Под влиянием изменений тока в проводнике, обладающем индуктивностью, воз-
возникает электродвижущая сила самоиндукции, препятствующая этим изменениям,
т. е. уменьшающая амплитуду тока 1т, а следовательно, и эффективный ток
/эф. Уменьшение эффективного тока в проводнике равносильно увеличению со-
сопротивления проводника, т. е. равносильно появлению дополнительного (инду-
(индуктивного) сопротивления.
Получим теперь выражения для емкостного и индуктивного сопротивлений.
1. Емкостное сопротивление. Пусть к конденсатору
емкостью С (рис. 258) приложено переменное синусоидальное напряжение
(э. д. с.)
? = #msino>/. C6)
371

Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подво-
подводящих проводов, будем считать, что напряжение на обкладках конденсатора
Uc равно приложенному напряжению:
Uc = $ = %т sin со/.
В любой момент времени заряд конденсатора q равен произведению емкости
конденсатора С на напряжение Uc (см. § 83):
q = CUC =C?msino>*.
Если за малый промежуток времени dt заряд конденсатора изменяется на ве-
величину dq, то это означает, что в подводящих проводах идет ток /, равный
da dUn
/ = -^- = С ~5Г = Ct*» C0S Ы = ^m Со> • Sin
Так как амплитуда этого тока
in Ы + _J .
C7)
то окончательно получим
/ = /m sin (* + -?-)• C8)
Запишем формулу C7) в виде
Я-
Последнее соотношение выражает закон Ома; величина 1/<оС, играющая роль
сопротивления, представляет собой сопротивление конденсатора для перемен-
переменного тока, т. е. емкостное сопротивление
*с=-?с- C9)
Таким образом, емкостное сопротивление обратно пропорционально круговой
частоте тока и величине емкости. Физический смысл этой зависимости нетрудно
понять. Чем больше емкость конденсатора и чем чаще изменяется направление
тока (т. е. чем больше круговая частота ш), тем больший заряд проходит за еди-
единицу времени через поперечное сечение подводящих проводов. Следовательно,
/ •— Со). Но сила тока и сопротивление обратно пропорциональны друг другу.
Следовательно, сопротивление Rc .
Рассчитаем емкостное сопротивление конденсатора емкостью С = 10 мкФ =
s=z ю~5 ф, включенного в цепь переменного тока частотой v = 50 Гц:
2.3.14 .бО ¦ 10- °М
При частоте v == 5000 Гц емкостное сопротивление того же самого конденсато-
конденсатора снизится приблизительно до 3 Ом.
Из сопоставления формул C6) и C8) видно, что изменения тока / и напря-
напряжения ё совершаются в различных фазах: фаза тока на тс/2 больше фазы напря-
напряжения. Это означает, что максимум тока fm наступает на четверть периода
{Т/А) раньше, чем максимум напряжения 8т (рис. 259).
S72

Итак, на емксстном сопротивлении ток опережает напряжение на четверть
периода (по времени) или на 90° (по фазе)*.
Физический смысл этого важного явления можно пояснить следующим
образом. В начальный момент времени конденсатор еще не заряжен (Uc « 0).
Поэтому даже очень малое внешнее напряжение 8 легко перемещает заряды
к пластинам конденсатора, создавая ток / (см. рис. 258). По мере зарядки кон-
конденсатора напряжение Ос на его обкладках растет, препятствуя дальнейшему
притоку зарядов. В связи с этим ток в цепи уменьшается, несмотря на продол-
продолжающееся увеличение внешнего напряжения 8. Следовательно, в начальный
г i
Рис 259
момент времени ток имел максимальное значение (/ = 1т). Когда 8, а вместе
с ним и Ос достигнут максимума (что произойдет через четверть периода), кон-
конденсатор полностью зарядится и ток в цепи прекратится (/ == 0). Итак, в на-
начальный момент времени ток в цепи максимален, а напряжение минимально и
только еще начинает нарастать; через четверть периода напряжение достигает
максимума, а ток уже успевает уменьшиться до нуля. Таким образом, действи-
действительно ток опережает напряжение на четверть периода.
2. Индуктивное сопротивление. Пусть через катушку са-
самоиндукции с индуктивностью L идет переменный синусоидальный ток
/ = /msinco*, D0)
обусловленный переменным напряжением (э. д. с.) 8, приложенным к катушке
{рис. 260). При этом в катушке появится электродвижущая сила самоиндукции
= — L
dl
dt
D1)
Пренебрегая падением напряжения на малом оми-
омическом сопротивлении подводящих проводов и самой
катушки (что вполне допустимо, если катушка из-
изготовлена, например, из толстой медной проволоки),
сбудем считать, что приложенное напряжение урав-
уравновешивается электродвижущей силой самоиндукции
(равно ей по величине и противоположно по напра-
направлению):
© Л
Тогда, учитывая формулы D0) и D1), можем написать:
dl
Рис. 260
8
Llm со cos
lm Lo> sin I <ot + —) -
* При этом по-прежнему предполагается, что омическое сопротивление це-
цепи пренебрежимо мало. В противном случае сдвиг фаз будет меньше 90°.
373

Так как амплитуда приложенного напряжения
то окончательно получим
В = 8т sin \ал + —
D2)
D3)
Запишем формулу D2) в виде
Последнее соотношение выражает закон Ома; величина coL, играющая роль со-
сопротивления, представляет собой индуктивное сопротивление катушки само-
самоиндукции:
RL = o)L. D4)
Таким образом, индуктивное сопротивление пропорционально круговой частоте
тока и величине индуктивности. Такого рода зависимость объясняется тем, что,
как уже отмечалось в предыдущем параграфе, индуктивное сопротивление обус-
I I
Рис. 261
ловлено действием электродвижущей силы самоиндукции, уменьшающей эффек-
эффективный ток и, следовательно, увеличивающей сопротивление. Величина же этой
электродвижущей силы (и, следовательно, сопротивления) пропорциональна
индуктивности катушки L и скорости изменения тока, т. е. круговой частоте со.
Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки с индуктивностью L =
= 1 Г, включенной в цепь переменного тока с частотой v = 50 Гц:
RL=<*L = 2nvL = 2 .3,14 -50 Гц.1Г = 314 Ом.
При частоте v = 5000 Гц индуктивное сопротивление той же самой катушки
возрастает до 31 400 Ом.
Подчеркнем, что омическое сопротивление катушки (с железным сердечни-
сердечником), имеющей индуктивность 1 Г, составляет обычно лишь несколько Ом.
Из сопоставления формул D0) и D3) видно, что изменения тока / и напря-
напряжения 8 совершаются в различных фазах, причем фаза тока на я/2 меньше фазы
напряжения. Это означает, что максимум тока наступает на четверть периода
G74) позже, чем максимум напряжения (рис. 261).
Итак, на индуктивном сопротивлении ток отстает от напряжения на чет-
четверть периода (по времени), или на 90° (по фазе)*. Сдвиг фаз обусловлен тор-
тормозящим действием электродвижущей силы самоиндукции: она препятствует
как нарастанию, так и убыванию тока в цепи, поэтому максимум тока насту-
наступает позднее, чем максимум напряжения.
фаз.
374
* Наличие омического сопротивления привело бы к уменьшению сдвига

Если в цепь переменного тока последовательно включены индуктивное и
емкостное сопротивления, то напряжение на индуктивном сопротивлении бу-
будет, очевидно, опережать напряжение на емкостном сопротивлении на полпе-
полпериода (по времени), или на 180° (по фазе).
Как уже упоминалось, и емкостное и индуктивное сопротивления носят
общее название реактивного сопротивления. На реактивном сопротивлении
электроэнергия не расходуется', этим оно существенно отличается от активного
сопротивления. Дело в том, что энергия, периодически потребляемая на соз-
создание электрического поля в конденсаторе (во время его зарядки), в том же ко-
количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь при ликвидации этого
поля (во время разрядки конденсатора). Точно так же энергия, периодически
потребляемая на создание магнитного поля катушки самоиндукции (во время
возрастания тока), в том же количестве и с той же периодичностью возвращает-
возвращается в цепь при ликвидации этого поля (во время убывания тока)*.
В технике переменного тока вместо реостатов (омического сопротивления),
которые всегда нагреваются и бесполезно расходуют энергию, часто применя-
применяются дроссели (индуктивное сопротивление). Дроссель представляет собой ка-
катушку самоиндукции с железным сердечником. Оказывая значительное сопро-
сопротивление переменному току, дроссель практически не нагревается и не расхо-
расходует электроэнергию.
§ 108. Обобщенный закон Ома. Электрический резонанс.
Коэффициент мощности электрической цепи
Рассмотрим практически важный случай электрической цепи: последова-
последовательное соединение омического, емкостного и индуктивного сопротивлений.
При этом воспользуемся методом векторных диаграмм, с которым мы уже по*
знакомились при изучении гармонических колебаний (см. § 27).
Применительно к электрическим колебаниям
{т. е. к переменному току) метод векторных диа-
диаграмм заключается в следующем. Переменную си-
нусоидальную электродвижущую силу (напряже-
(напряжение)
g = $т sin Ы
можно изобразить как проекцию ON на ось ординат
радиуса-вектора ОМ = ?„,, вращающегося против
часовой стрелки с угловой скоростью « (рис. 262).
Фаза электродвижущей силы 8 в любой момент
времени t равна углу ср поворота радиуса-вектора
$т, отсчитываемому от оси абсцисс (ср=о>/). Подоб-
Подобным же образом можно, конечно, изображать и
силу переменного синусоидального тока.
На рис. 263, а представлена векторная диаграм-
диаграмма амплитудных значений тока 1т и напряжения Рис. 262
%т на омическом сопротивлении (сдвиг фаз между
1т и ®т равен нулю).
На рис. 263, бив представлены аналогичные диаграммы для случаев инду-
индуктивного сопротивления Aт отстает от 8т на 90° по фазе) и емкостного сопро-
сопротивления Aт опережает 8т на 90° по фазе).
* Строго говоря, небольшие потери энергии имеют место и на реактивном
сопротивлении. Они связаны с рассеянием энергии электрического поля кон-
конденсатора и магнитного поля катушки самоиндукции, с нагреванием диэлект-
диэлектрика в конденсаторе поляризационным током смещения, с выделением джоулева
тепла на омическом сопротивлении катушки (поскольку любая катушка обла-
обладает некоторым, пусть даже очень малым, омическим сопротивлением).
375

Пусть в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор, конден-
конденсатор (емкостью С) и катушку самоиндукции (индуктивностью L), действует пе-
переменная синусоидальная э. д. с. ё частотой <о (рис. 264). Обозначим сопротив-
сопротивление этих элементов цепи соответственно через RQi Rcn RL t а напряжения на
них — через Uo, Uc и Ul . Очевидно, что по всей цепи будет идти общий ток /.
#
\КоЛ,1
C^ZRc.lL.I
с,"с,1
L \KL,UL,l
Рис. 264
Ътк 1
о,
1т
Рис. 265
Построим векторную диаграмму амплитуды общего тока 1т и амплитуд на-
напряжения на резисторе (Уо, на конденсаторе Uc и на катушке Ul (рис. 265).
Амплитуда внешней электродвижущей силы 8т должна равняться геометри-
геометрической сумме этих напряжений. Выполняя геометрическое сложение, показан-
показанное на рис. 265, получим для величины 8т следующее выражение:
Так как напряжение на участке цепи равно произведению тока на сопротивление
этого участка, то
= 1
= l
D5)
Тогда
откуда
R»J
D6)
376

Поделив обе части последнего равенства на У^ получим соответствующее соот-
соотношение для эффективных значений тока и э. д. с:
/эф = ' D7)
Каждое из последних соотношений D6) и D7) выражает обобщенный закон Ома
для цепи переменного тока. Величина
D8)
представляет собой полное сопротивление цепи пер еменного тока.
На рис. 265 видно, что электродвижущая сила 8т и сила тока 1т сдвинуты
друг относительно друга по фазе на угол <р:
1
tg ср = Л ?. = -Ь _?- = 2iL_ . D9)
Таким образом, величина и направление сдвига фаз зависят от соотношения меж-
между величинами сопротивлений. Если R^.> Rq , то электродвижущая сила опере-
опережает ток. Если Rl <Rc,to электродвижущая сила отстает от тока. Если же
RL— Rc , то колебания э. д. с. и тока происходят в одинаковой фазе (сдвиг
фаз ср = 0). В последнем случае, т. е. при
0I = ~^с * E0)
в цепи наступает так называемый электрический резонанс (резонанс напряже-
напряжений); соотношение E0) выражает условие электрического резонанса. Согласно
формулам D8) и D7), полное сопротивление цепи будет в данном случае на-
наименьшим и равным только одному омическому сопротивлению o>L — ——- =
= 0, поэтому # = jR0 , а ток в цепи — наибольшим и равным
/эФ = ^. E1)
Итак,
при электрическом резонансе (резонансе напряжений) в цепиу состоящей
из последовательно соединенных омического, емкостного и индуктивного сопротив-
сопротивлений, полное сопротивление цепи минимально, а ток максимален и совпадает
по фазе с приложенной электродвижущей силой*.
Согласно условию E0), электрический резонанс наступает при круговой
частоте
E2)
* Отметим, что в цепи, состоящей из параллельно соединенных омического,
емкостного и индуктивного сопротивлений, тоже наступает электрический ре-
резонанс при частоте, определяемой тем же условием E0). Однако в этом случае
в проводах, подводящих напряжение, ток будет иметь минимальное значение;
такой электрический резонанс называют резонансом токов.
377

или при частоте
L E3)
эта частота называется резонансной частотой электрической цепи.
Из примеров, приведенных в § 107, следует, что частота v = 50 Гц являет-
является резонансной для цепи, в которой последовательно соединены конденсатор
емкостью С == 10 мкФ и катушка самоиндукции индуктивностью L = 1 Г;
в этом случае /?<? = R^ = 315 Ом. Если омическое сопротивление этой цепи
Ro = 10 Ом, а эффективное значение приложенной э. д. с. ёэф = 127 В, то
эффективная сила тока
а эффективные напряжения на конденсаторе и на катушке
( UC )эф " ( UL )эф - ^Ф Rc - 'эф RL * 4000 В
При уменьшении омического сопротивления ток в цепи и напряжения на реак-
реактивных сопротивлениях будут, очевидно, возрастать. Например, при Ro =
= I Ом будет /Эф *= 127 A, a (Uc )Эф = (Vl )Эф = 40 000 В.
Таким образом, при резонансе напряжений ток в цепи может достигать
очень больших значений, а напряжения на реактивных сопротивлениях могут
во много раз превышать приложенную электродвижущую силу.
В § 106 было получено выражение средней мощности, выделяемой перемен-
переменным током на активном сопротивлении,
Если в цепи имеется реактивное сопротивление, то сдвиг фаз <р, возникаю-
возникающий между током и напряжением, ведет к некоторому снижению мощности,
выделяемой в цепи. В этом случае средняя мощность равна
М==/Эф^9фсо*ср. E4)
Формулу E4) нетрудно получить путем следующих рассуждений. При на-
наличии сдвига фаз ±ср мгновенные значения тока и напряжения выражаются
соотношениями:
/ «= lm sin (Ы ± <р).
U = (Jm sin ы.
Поэтому мгновенная мощность будет равна
Nt = lU = lm Um sin (ш/ ± <р) sin ш/ = т т [cos (± <р) — со? Bш/ ± ср)] =»
mm
cos 9 — ¦ cos B<*>t ± <p) — /9ф^эф cos у — 19фи9ф cos Bm ±cp)*
» cos 9
Среднее значение мощности N за период Т (а следовательно, и за любой проме-
промежуток времени />Г) равно разности средних значений членов /Эф ?/Эф • cos<p
и /Эф^эф' cos B<o/ ±у). Но первый член есть постоянная величина, не зависящая
от времени, а второй — периодическая функция времени; поэтому среднее его
* Преобразование основано на тригонометрическом тождестве;
sin a sin р « — [cos (а — Р) — cos (а + Р)).
378

значение за период равно нулю [в течение периода cos Bw/ ± <p) одинаково часто
принимает как положительные значения, так и равные им отрицательные зна-
значения]. Таким образом, действительно,
Множитель coscp называется коэффициентом мощности электрической цепи.
Максимальное значение, равное единице, coscp имеет при отсутствии сдвига фаз
между током и напряжением (<р = 0), т. е. при электрическом резонансе. В этом
случае выделяемая в цепи мощность будет максимальной и равной
Следовательно, для повышения мощности, отдаваемой переменным током в цепь,
необходимо добиваться возможно большего значения коэффициента мощности
путем включения в цепь таких индуктивных и емкостных нагрузок, которые
соответствуют условию электрического резонанса E0).
Увеличение коэффициента мощности электрических сетей («борьба за coscp»)
является одной из важнейших народнохозяйственных задач в области электро-
электроэнергетики.
§ 109. Понятие о трехфазном токе
В настоящее время наиболее распространенной системой получения, пе-
передачи и потребления электроэнергии является трехфазная система перемен-
переменного тока, разработанная и впервые осуществленная выдающимся русским
электротехником Доливо-Добровольским в 1888—1891 гг.
Схема генератора трехфазного тока
изображена на рис. 266. На статоре гене-
генератора 4 находятся три полюсные обмотки
/, 2 и 3, смещенные относительно друг дру-
друга по окружности статора на 120®. Внутри
статора вращается постоянный магнит (ро-
(ротор) 5, благодаря чему в обмотках статора
возбуждаются переменные электродвижу-
электродвижущие силы, имеющие одинаковую частоту,
но смещенные друг относительно друга на
120° по фазе (на треть периода по време-
времени):
= $OT sin (<¦>* — 120°),
Такой же сдвиг фаз имеют токи, создавае-
создаваемые в обмотках этими электродвижущи-
электродвижущими силами. Таким образом, генератор трехфазного тока представляет собой со-
совокупность трех генераторов обычного (однофазного) переменного тока.
Существует два способа соединения обмоток генератора: звездой и тре-
треугольником.
При соединении звездой начала всех обмоток объединяются и подключают-
подключаются к одному «нулевому» проводу О линии передачи; концы обмоток /, 2 и 3
подключаются к соответствующим «фазовым» проводам линии (рис. 267, а).
Если между нулевым и каждым из фазовых проводов включены одинаковые
нагрузочные сопротивления (например, электролампы), то в нулевом проводе
тока не будет. Действительно, в данном случае по нулевому проводу пойдут
три тока /i, /2, /3, сдвинутые по фазе на 120е и потому дающие суммарный ток
/ = 0; сложение токов показано на векторной диаграмме (рис. 268). Следова-
379

тельно, нулевой провод оказывается ненужным и четырехпроводная линия
может быть заменена трехпроводной (рис. 267, б)*.
С) С)
Рис. 267
Соединение обмоток генератора треугольником показано на рис. 269;
в этом случае линия передачи является также трехпроводной (/, 2 и 3).
Таким образом, трехфазная система дает существенную экономию в про-
проводах линии передачи: от трехфазного генератора идет трехпроводная (мак-
(максимум четырехпроводная) линия, тогда как для трех однофазных генераторов
потребовалась бы шестипроводная линия передачи.
Другое важное преимущество трехфазной системы
состоит в том, что благодаря отсутствию скользящих
контактов (щеток и коллектора) трехфазный генератор
оказывается весьма простым по устройству и наде-
надежным в действии.
Трехфазный ток создается постоянным по величине
вращающимся магнитным полем ротора генератора.
Опыт и теоретический расчет показывают, что имеет
место и обратный процесс: если обмотки трехфазного
lZ генератора включены в сеть трехфазного тока, то вну-
внутри статора появляется постоянное по величине враща-
вращающееся магнитное поле. На этом основано устройство
и действие трехфазного асинхронного электродвигателя,
схема которого изображена на рис. 270.
Обмотки статора электродвигателя включаются в
сеть трехфазного тока. Ротор электродвигателя имеет
две замкнутые накоротко полюсные катушки К\ и
Кг- Благодаря вращению магнитного поля статора эти катушки пронизы-
пронизываются изменяющимся магнитным потоком, в результате чего в каждой из них
индуцируется ток. Согласно правилу Ленца, индуцированный ток противо-
Рис. 268
А, ¦
) <
Рис. 269
Рис. 270
* Без нулевого провода можно обходиться и в тех случаях, когда величины
нагрузочных сопротивлений несколько (немного) различны.
880

действует изменению магнитного потока. Противодействие выражается в том,
что ротор приходит во вращение, синхронное с вращением поля статора (угло-
(угловые скорости вращения ротора и поля статора становятся одинаковыми). При
этом условии магнитный поток, пронизывающий катушки, перестает изменять-
изменяться и индукционный ток в них прекращается.
Если теперь дать на ротор мотора механическую нагрузку (тормозящий мо-
момент), то вращение ротора начнет замедляться. При этом в катушках К± и К%
вновь появится индукционный ток и ротор опять^ приобретет вращающий момент,
позволяющий мотору преодолевать тормозящий момент нагрузки, т. е. совер-
совершать механическую работу.
Таким образом, ротор нагруженного асинхронного двигателя вращается
с некоторым отставанием от поля статора, т. е. асинхронно. Это отставание ха-
характеризуется так называемым скольжением:
S
где N — число оборотов в минуту поля статора, п — число оборотов в минуту
ротора. При нормальных нагрузках скольжение S составляет обычно 3—4%.
Простота получения вращающегося магнитного поля в трехфазном элек-
электродвигателе является третьим, самым важным преимуществом трехфазной сис-
системы переменного тока.
Задача 56. Реактивный самолет движется со скоростью v = 950 км/ч.
Найти электродвижущую силу индукции &t, возникающую на концах крыльев
такого самолета, если вертикальная составляющая напряженности земного
магнитного поля Н — 40 А/м и размах крыльев самолета / = 12,5 м.
Решение. Металлическое крыло летящего самолета подобно прямо-
прямолинейному проводнику, пересекающему магнитное поле и изображенному, на-
например, на рис. 248, а (см. § 103). Тогда, согласно закону Фарадея B), на кон-
концах крыла возникает электродвижущая сила индукции
dS
где йФ — изменение потока магнитной индукции через площадь dS, описывае-
описываемую крылом за промежуток времени dt. Так как эта площадь имеет форму пря-
прямоугольника со сторонами / и v • dt> то dS = lv • dt и
— 4« . 10-7Г/м.40А/м. 12,5 м -264 м/с =
= --0,166кг-м2/(с3 • А)= — 0,166Дж/(А • с) = — 0,166В.
Задача 56. Соленоид изготовлен из медной проволоки, имеющей пло-
площадь поперечного сечения 5i ~ 1 мм2. Длина соленоида / = 25 см, его оми-
омическое сопротивление R = 0,2 Ом. Определить индуктивность L соленоида
(без сердечника). Удельное сопротивление меди р = 1,71 • 10~8 Ом • м.
Решение. Согласно формуле A3),
где п — число витков, S — площадь поперечного сечения соленоида (или его
витка); магнитная проницаемость jjl = 1 (в отсутствие сердечника).
Введем обозначения: h — длина проволоки, г — радиус витка (т. е. радиус
поперечного сечения соленоида). Тогда можем написать три очевидных равенст-
равенства:
р —— , 1Х = 2ът и 5 =
Из первых двух равенств следует, что
lx RS,
2пп 2ппр
381

Вводя это выражение г в последнее равенство, получим
5 = L,
4тш2р2
откуда
w R* S* _ 4те . 10 Г/м . 0,04 Ом2
4тгр2/ 4те • 2,9 • КГ1* Ом8 • 0,25 м
Задача 57. Соленоид длиной / = 50 см и площадью поперечного сечения
5 = 2 см2 имеет индуктивность L = 2 • 10~7 Г. При какой силе тока / плот-
плотность энергии магнитного поля внутри соленоида w = 10 Дж/м3?
Решение. Согласно формуле A8),
где Н = In/I есть напряженность магнитного поля внутри соленоида, п — чис-
число витков соленоида.
По формуле A3) имеем
\^o^n2S
\ ^ откуда
LI
Подставляя выражения Я и (лО[л в формулу A8), получим после преобразо-
преобразований
/2lSw -. /2 . 0,5м -2-10~4м2 . 10Дж/м3 ^ / Дж
:д1А
кг • мУ(с* • Л2)
Задача 58. В сеть переменного тока напряжением С/Эф = 110 В и часто"
той v = 100 Гц последовательно включены конденсатор емкостью С = 5Х
X 10~бФ и катушка самоиндукции с индуктивностью L = 0,2 Г с омическим
сопротивлением Ro = 4 Ом.
Определить: а) эффективную силу тока /Эф в цепи; б) частоту тока vpe3,
при которой в данном контуре наступит резонанс напряжений (резонансную час-
частоту); в) силу тока /рез в цепи и напряжение на зажимах катушки (U )рез и на
пластинах конденсатора (Uc )рез при резонансе напряжений.
Решение. Условию данной задачи соответствует электрическая схема,
изображенная на рис. 264 (см. § 108), в которой роль активного сопротивления
играет омическое сопротивление самой катушки.
а) Эффективная сила тока определится по обобщенному закону Ома D7):
эф :
Y *+{•*-¦*
882

где<о= 2tcv = 2 • 3,14 • 100 Гц = 628 с— циклическая частота переменного
тока. Поэтому
110 В
Л/ 1
(
160м2 + 628с-1. 0,2Г —
628 с • 5 • Ю-5 Ф
Г Вб В • с ^ с В-с В • с
Так как « -- = -- = Ом и — = —— = -- = Ом, то
с А • с А • с Ф Кл А ¦ с
НОВ
/ = 1,17 А.
/16 Ом2+ 8798,4 Ом2
б) Резонансная частота определится по формуле E3):
1 1
vpe3 '
2ти YLC 2 • 3,14 /0,2 Г • 5 • \(Г*
»рез = 50 с-1 = 50 Гц
в) В соответствии с формулой E0), при резонансе напряжений (UL )рез=
(?/с)рез. Тогда, согласно формуле D7),
Общее значение (UL )рез и (Uc )рез найдем из соотношений D5)?
( UL )рез « /рез Wpe3 i e урез . 2™рез L =» 27,5 А . 2 . 3,14 . 50 Гц . 0,2 Г - 1727 В
А „ „ А . Вб В • с
поскольку А • Гц • Г == = = В.
с • А с
383

Глава XVI. Электрические колебания
и электромагнитные волны
§ 110. Электромагнитные волны
В § 105 отмечалось, что, согласно теории Максвелла, переменное
электромагнитное поле представляет собой совокупность переменных
взаимно перпендикулярных электрических и магнитных полей (см.
рис. 252), перемещающихся в пространстве со скоростью
v =
где s и }i — относительные диэлектрическая и магнитная проницае-
проницаемости среды. Распространение электромагнитного поля сопровождает-
сопровождается переносом электромагнитной энергии.
Источниками электромагнитного поля, или, как говорят, источ-
источниками электромагнитного излучения, служат всевозможные пере-
переменные токи: переменный ток в проводниках, колебательное движение
~ 0 ионов, электронов и других заря-
женных частиц, вращение электро-
электронов в атоме вокруг ядра и т. п.
© I i
©
©
Простейшей системой, эквива-
эквивалентной переменному току, являет-
© ® ся электрический диполь с гармо-
Р=0 P-qL Р=0 P"-qi Р-0 нически изменяющимся моментом
р. В начальный момент заряды + q
Рис. 271 и — q такого диполя совмещены
друг с другом и потому р = 0 (рис.
271). Через четверть периода заряды расходятся на максимальное рас-
расстояние / и момент диполя достигает максимального значения р = ql.
Через полпериода заряды вновь сходятся (р = 0), а затем (через
три четверти периода) расходятся в противоположное стороны на
расстояние /, в связи с чем момент диполя опять становится макси-
максимальным, но имеющим противоположное направление (р =—ql).
Затем процесс периодически повторяется.
Создаваемое диполем и распространяющееся от него электромаг-
электромагнитное поле имеет следующие основные черты (рис. 272):
1. Напряженность электрического поля Е колеблется в плоско-
плоскости оси диполя перпендикулярно направлению электромагнитного
излучения г (т. е. перпендикулярно электромагнитному лучу).
2. Напряженность магнитного поля Н колеблется перпендику-
перпендикулярно электромагнитному лучу г и напряженности электрического
поля Е. Таким образом, векторы Е, Н и г взаимно перпендикулярны.
3. Колебания напряженности Е и Н совершаются в одной фазе*.
* Совпадение фаз колебаний устанавливается только на некотором рас-
расстоянии от диполя.
384

4. Амплитуды напряженностей Ет и Нт зависят от направления
электромагнитного луча (от угла ср): излучение максимально в направ-
направлении, перпендикулярном оси диполя (<р = 90°), и равно нулю в на-
направлении оси диполя (ф = 0°).
Максимум электромагнитного по-
поля, создающийся в некоторый мо-
момент времени в точке А (см. рис.
272), перемещается затем вдоль луча
г со скоростью v. Через промежуток
времени, равный одному периоду ко-
колебания зарядов диполя, в точке А
создается второй максимум поля, пе-
перемещающийся вслед за первым. За
вторым максимумом следует (через
период) третий максимум и т. д.
Таким образом, электромагнитное
поле распространяется в виде попере-
поперечной электромагнитной волны (рис, 273), состоящей из двух сов-
совпадающих по фазе волн — электрической (т. е. волны напряженно-
напряженности электрического поля) и магнитной (т. е. волны напряженности
Рис. 272
Рис. 273
магнитного поля). Период (частота) электромагнитной волны равен
периоду (частоте) колебания излучающего диполя. Длина X, период
Tt частота v и скорость v распространения электромагнитной волны
связаны между собой очевидным соотношением
\ = vT = ^-. A)
Чем чаще следует друг за другом максимумы электромагнитного
поля, т. е. чем больше частота электромагнитной волны, тем боль-
большая энергия переносится этой волной. Расчеты показывают, что
интенсивность электромагнитной волны, или, что то же, плотность
потока электромагнитной энергии*, пропорциональна (при одинако-
одинаковых прочих условиях) квадрату частоты волны (см. § 32). Поэтому
* Количество электромагнитной энергии, переносимое за единицу времени
через единицу площади, перпендикулярной электромагнитному лучу.
13—31
385

источником интенсивных электромагнитных волн, способных перено-
переносить электромагнитную энергию на значительное расстояние, должен
быть переменный ток частоты порядка миллиона герц. Переменные
токи столь высокой частоты принято называть электрическими ко-
колебаниями.
Понятно, что никакие механические (электромашинные) генерато-
генераторы не могут создать переменного тока частотой 10е Гц (для этого
якорь генератора должен был бы совершать миллион оборотов в се-
секунду!). В качестве генератора электрических колебаний и источника
электромагнитных волн высокой частоты применяется колебательный
контур.
§ 111. Закрытый колебательный контур
Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки само-
самоиндукции (рис. 274).
Для возбуждения в контуре электрических колебаний необходимо
предварительно зарядить конденсатор. Тогда в начальный момент
времени /0 (рис. 274, а) контур будет обладать энергией, сосредото-
сосредоточенной в электрическом поле конденсатора. Напряженность этого
поля будет максимальной (Е = Ет). В последующий момент конден-
конденсатор начнет разряжаться. В контуре появится возрастающий со
временем ток /, а в катушке самоиндукции возникнет магнитное
поле-напряженностью Я. По мере разрядки конденсатора его электри-
электрическое поле ослабевает, а магнитное поле катушки усиливается.
В момент времени ti конденсатор полностью разрядится
(рис. 274, б). При этом напряженность электрического поля конден-
конденсатора станет равна нулю (Е = 0), а напряженность магнитного поля
катушки достигнет максимального значения (Н = Нт); максималь-
максимальным станет также и ток (/ = /„J. Теперь вся энергия контура будет
386

сосредоточена в магнитном поле катушки. В последующий момент
времени магнитное поле катушки начнет ослабевать, в связи с чем
в ней индуцируется ток, идущий (согласно правилу Ленца) в том же
направлении, в котором шел ток разрядки конденсатора. Благодаря
этому конденсатор будет перезаряжаться.
В момент времени t2 конденсатор полностью- перезарядится
(рис. 274, в); напряженность поля в нем опять достигнет максималь-
максимальной величины, но будет иметь противоположное направление (Е =
= — Ет); ток в контуре прекратится (/ = 0); напряженность маг-
магнитного поля катушки станет равна нулю (Н = 0). Таким образом,
энергия контура вновь окажется сосредоточенной в электрическом
поле конденсатора. Затем начнется разрядка конденсатора в обрат-
обратном направлении. В контуре появится ток, а в катушке возникнет
магнитное поле. Очевидно, что направления тока и магнитного поля
будут противоположны предыдущим их направлениям.
В момент времени t3 конденсатор полностью разрядится
(рис. 274, г). Электрическое поле конденсатора ликвидируется (Е =
= 0), а магнитное поле катушки возрастет (в противоположном на-
направлении) до максимального значения (Я = — #т). При этом энер-
энергия контура сосредоточится в магнитном поле катушки. В последую-
последующий момент времени магнитное поле катушки начнет ослабевать и
индукционный ток, препятствующий этому ослаблению, перезарядит
конденсатор.
В результате к моменту времени t = Т система (контур) возвра-
возвращается в исходное состояние (см. рис. 274, а) и начинается повторение
рассмотренного процесса.
Таким образом, в контуре возникают электрические колебания с
периодом Т\ в течение первой половины периода ток идет в одном
направлении, в течение второй половины периода — в противополож-
противоположном направлении.
Электрические колебания в контуре сопровождаются периодиче-
периодическими взаимными превращениями энергий электрического поля кон-
конденсатора и магнитного поля катушки самоиндукции, подобно тому,
как механические колебания маятника (изображенные на рис. 274
снизу: vm — максимальная скорость движения маятника) сопровож-
сопровождаются взаимными превращениями потенциальной и кинетической
энергий маятника. В данном сравнении потенциальная энергия ма-
маятника аналогична энергии электрического поля конденсатора, ки-
кинетическая энергия маятника — энергии магнитного поля катушки,
скорость v движения маятника — силе тока в контуре. Роль инер-
инерции маятника играет самоиндукция катушки, роль силы трения,
действующей на маятник, — омическое сопротивление контура.
Если бы в контуре не было потерь энергии (на нагревание провод-
проводников и на электромагнитное излучение), то электрические колеба-
колебания совершались бы по гармоническому закону и были бы незатухаю-
незатухающими, подобно тому, как были бы незатухающими механические ко-
колебания маятника при отсутствии трения.
В соответствии с условием электрического резонанса (см. § 108)
частота электрических колебаний, возникающих в контуре, должна
13* 387

равняться резонансной частоте контура:
1
B)
где L — индуктивность, С — емкость контура. Из формулы B) сле-
следует, что период электрических колебаний в контуре равен
C)
Это соотношение называется формулой Томсона (теоретически полу-
получена Томсоном в 1853 г.).
Для возбуждения электрических колебаний высокой частоты сле-
следует, согласно формуле B), применять колебательный контур малой
емкости и самоиндукции. Например, в контуре, имеющем емкостью
С = 0,0001 мкФ = 10~10 Ф и индуктивность L = 0,0001 Г, часто-
частота электрических колебаний будет равна
v = 1-=г = * Гц » 1,6 • 10е Гц.
2п YLC 2- 3,14 У 1(Г4 • КГ"
Колебания столь высокой частоты могут, как уже отмечалось, созда-
создавать интенсивное электромагнитное излучение. Надо, однако, иметь
в виду, что из-за неизбежных потерь энергии (главным образом на оми-
омическом сопротивлении контура) электрические колебания практичес-
практически очень быстро затухают. Для осуществления непрерывных колеба-
колебаний и, следовательно, для непрерывного генерирования электромаг-
электромагнитных волн необходимо периодически, и притом как можно чаще,
восполнять потери энергии в контуре, подзаряжая конденсатор с по-
помощью какого-либо приспособления.
В качестве такого приспособления немецкий физик Герц в 1886 г.
использовал индукционную катушку (см. § 104). С двадцатых годов
текущего столетия для возбуждения незатухающих электрических
колебаний используется электронная лампа (см. § 88), а в последнее
время — и транзистор (см. § 90).
§ 112. Вибратор Герца. Автоколебательный контур.
О диапазоне частот электромагнитных волн
Герц ввел в колебательный контур искровой промежуток 7, на
который подавалось переменное напряжение со вторичной обмотки
индукционной катушки 2 (рис. 275). Это напряжение заряжало кон-
конденсатор контура. Когда разность потенциалов между обкладками
конденсатора становилась достаточно большой, в искровом проме-
промежутке возникала искра, замыкающая контур и вместе с тем отключаю-
отключающая («закорачивающая») индукционную катушку. В это время в кон-
контуре совершалась серия электрических колебаний. При исчезновении
искры контур размыкался и колебания прекращались. Но тогда индук-
индукционная катушка вновь заряжала конденсатор; в искровом проме-
388

жутке вновь проскакивала искра, а в контуре совершалась повторная
серия электрических колебаний и т. д.
В дальнейшем, чтобы увеличить частоту электрических колебаний
и тем самым повысить интенсивность электромагнитного излучения
контура, Герц в соответствии с формулой B) уменьшил индуктивность
и емкость контура, убрав из него катушку самоиндукции и раздви-
ч
'¦J
Рмс. 275
Рис. 276
нув пластины конденсатора (рис. 276, а). Наконец, он осуществил
так называемый открытый колебательный контур (вибратор Герца):
прямолинейный проводник с искровым промежутком посредине, обла-
обладающий малыми емкостью и индуктивностью (рие. 276, б). В этом
вибраторе переменное электрическое поле
уже не было сосредоточено внутри кон-
конденсатора, а окружало вибратор снаружи,
что существенно повышало интенсивность
электромагнитного излучения.
Очевидно, что вибратор Герца представ-
представляет собой электрический диполь с пере-
переменным моментом, рассмотренный в § ПО.
Электромагнитное излучение открытого
вибратора / (рис. 277) Герц регистрировал
с помощью второго вибратора 2, имеющего
такую же частоту собственных колебаний,
что и излучающий вибратор, т. е. настро-
настроенного в резонанс с излучателем и потому
называемого резонатором. Когда электро-
электромагнитные волны достигали резонатора, в нем возникали электриче-
электрические колебания, сопровождающиеся проскакиванием искры через
искровой промежуток.
Пользуясь вибратором и резонатором, Герц в 1887—1891 гг.
экспериментально исследовал структуру и закономерности распро-
распространения электромагнитных волн. Он установил, в частности, что
электромагнитные волны являются поперечными и обладают свойст-
свойствами, присущими любым другим волнам: отражаются от преград
(металлических), преломляются на границе раздела двух сред (ди-
(диэлектрических) и интерферируют друг с другом.
Рис. 277
389

Герц экспериментировал с электромагнитными волнами длиной порядка
102 см, что соответствует частоте 3 • 108 Гц. В 1895 г. П. Н. Лебедев, приме-
применяя миниатюрный вибратор, получил волны миллиметровой длины. Еще более
короткие волны (длиной около 0,1 мм) были получены в 1923 г. Л. Л. Глаго-
Глаголевой -Аркадьевой с помощью массового излучателя, в котором многочисленными
вибраторами служили искры, проскакивающие между металлическими опил-
опилками, взвешенными в трансформаторном масле. Эти электромагнитные волны
перекрывали область инфракрасных (тепловых) волн, излучаемых колебания-
колебаниями электрических зарядов атомов и молекул.
Существенный недостаток вибратора Герца состоял в том, что час-
частота подачи энергии от индукционной катушки в контур была зна-
Рис. 278
чительно меньше частоты собственных колебаний контура. Поэтому
электрические колебания вибратора Герца представляли собой се-
серии затухающих колебаний, следующие одна за другой через неболь-
небольшие промежутки времени (рис. 278, / — сила тока, t — время).
Для осуществления неза-
незатухающих электрических ко-
колебаний необходимо обеспе-
обеспечить автоматическую подачу
энергии с частотой, равной
частоте собственных колеба-
колебаний контура, т. е. необходимо
создать автоколебательную
систему (см. § 30). Такой
автоколебательный контур
удалось сделать, применяя
электронную лампу (триод).
Одна из схем автоколеба-
автоколебательного контура представлена на рис. 279. К закрытому колебатель-
колебательному контуру / через триод 2 подключен источник постоянного на-
напряжения (батарея 8i). Между сеткой и катодом лампы включена
катушка L% индуктивно связанная с катушкой контура L^
Действие такой электрической системы можно описать, прибегая
к некоторым упрощениям, следующим образом. При включении ба-
батареи накала 82 лампа «отпирается» (см. § 88) и в анодной цепи по-
появляется возрастающий со временем ток /4 (на рис. 279 его направле-
направление показано стрелками). Этот ток, во-первых, зарядит конденсатор
Рис. 279
390

контура и, во-вторых, создаст в катушке Lt магнитное поле, которое
пронижет также катушку L2. Так как это поле усиливается со вре-
временем, то, согласно правилу Ленца, в катушке L2 индуктируется ток
/2, противоположный току /4. Сеточный ток /2 зарядит сетку лампы
отрицательно, в связи с чем лампа «запрется»*.
Таким образом, лампа произвела зарядку конденсатора и затем
отключила контур от источника энергии (батареи 8i), разомкнув
анодную цепь.
Начавшееся в контуре электрическое колебание будет теперь со-
совершаться обычным порядком, рассмотренным нами в предыдущем
параграфе (см. рис. 274). В течение второй четверти периода ток
в контуре перезарядит конденсатор и прекратится. Так как в это
время магнитное поле катушки Lu а следовательно, и катушки L2 осла-
ослабевает, то, согласно правилу Ленца, ток в сеточной катушке L2 про-
продолжает идти в прежнем направлении. Поэтому сетка получит допол-
дополнительный отрицательный заряд и лампа останется «запертой».
В течение второй половины периода в контуре пойдет ток обрат-
обратного направления, сначала усиливающийся (в третьей четверти пе-
периода), а потом ослабевающий (в последней четверти периода). По-
Поэтому, опять-таки в соответствии с правилом Ленца, в сеточной ка-
катушке ?,2 направление тока изменится на обратное и отрицательный
заряд сетки начнет уменьшаться. К концу периода этот заряд ликви-
ликвидируется, лампа «откроется» и произведет подзарядку конденсатора.
Затем начнется повторение описанного процесса.
Таким образом, лампа периодически — к началу каждого периода
колебаний — подает в контур энергию от анодной батареи. Благодаря
этому в контуре совершаются незатухающие электрические коле-
колебания.
Предположим теперь, что с контуром 1 индуктивно связан откры-
открытый колебательный контур 3 (L3 — индуктивность контура 5), имею-
имеющий одинаковую с контуром 1 частоту собственных колебаний (см.
рис. 279). Тогда в открытом вибраторе 3 возникнут незатухающие
электрические колебания и он станет источником непрерывного элек-
электромагнитного излучения.
Электромагнитные волны имеют весьма широкий диапазон частот
v и длин X. Волны различной частоты существенно отличаются друг
от друга как по своим свойствам, так и по способам получения. В
этой связи принято подразделять электромагнитные волны на несколь-
несколько видов. Такое подразделение приведено в таблице (см. стр. 392).
Следует, однако, иметь ¦ в виду, что указанные в таблице гранич-
граничные частоты (и длины) волн являются в некоторой мере условными.
Резкой границы между соседними видами электромагнитных волн не
существует: частотные интервалы соседних видов волн взаимно пе-
перекрываются.
* Напомним, что направление тока противоположно направлению движе-
движения электронов. Следовательно, при токе h электроны движутся к сетке и, на-
накапливаясь на ней, заряжают ее отрицательно.
391

Вид волн
Низкочастотные
волны
Радиоволны
Ультрарадио-
Ультрарадиоволны
Инфракрасные
лучи
Световые лучи
Ультрафиолето-
Ультрафиолетовые лучи
Рентгеновские
лучи
Гамма-лучи
Длина волны,
м
104
104—iori
Ю-1—10-4
10-4—7.7.10-7
7,7.10-7--
—4-Ю-7
4.10—10~8
10-8—Ю-11
<ю-ц
Частота волны,
Гц
< 3-104
3.104—3.101°
3-1010—3.1012
3.1012—4. ЮМ
4-1014—
—7,5.1014
7,5-1014—
3-lOie
3-1016—3-1 Oi0
>3-1019
Источник излучения
Механический
генератор пе-
переменного
тока
Колебатель-
Колебательный контур и
вибратор Герца
Массовый
излучатель
Лампы
Трубки
Рентгена
Радиоактивный
распад
Электрические
колебания
макроскопи-
макроскопических систем
Атомн о-молеку-
о-молекулярные коле-
колебания
Основные свойства и способы получения коротковолновых видов
электромагнитного излучения (свет, рентгеновские лучи, гамма-лу-
гамма-лучи) рассмотрены в последней части курса.
§ 113. Радиосвязь
Идея использования электромагнитных волн для передачи сиг-
сигналов на большие расстояния (идея радиосвязи), была впервые вы-
высказана в 1889 г. Л. С. Поповым. Им же в 1895 г. был построен и
продемонстрирован в действии первый радиоприемник, основанный
на релейной схеме: ничтожно малая энергия электромагнитных волн
использовалась посредством когерера* для управления местным исто-
* Когерер представляет собой стеклянную трубку с металлическими опил-
опилками. Имеет очень большое омическое сопротивление. Включается в цепь, со-
содержащую батарею и электромагнит.
Электромагнитные волны создают в когерере электрические колебания, со-
сопровождающиеся проскакиванием искр между опилками. При этом опилки сва-
свариваются и сопротивление когерера резко уменьшается. В результате ток в цепи
возрастает и электромагнит притягивает стальную пластинку (якорь), которая
замыкает другую цепь, содержащую батарею и электрозвонок. Звонок сигнали-
сигнализирует о приеме электромагнитных волн. Вместе с тем молоточек звонка встря-
встряхивает когерер, разъединяя сварившиеся опилки и подготавливая когерер
к приему следующих электромагнитных волн.
392

чником энергии (электробатареей), питающим регистрирующий аппа-
аппарат (электрозвонок). Уже в 1896 г. Попов осуществил радиотелеграф-
радиотелеграфную связь на расстоянии 250 м, а в 1899 г. (применив изобретенную
им антенну) —- на расстоянии 50 км. В 1900 г. IV Всемирный элек-
электротехнический конгресс присудил Попову почетный диплом и зо-
золотую медаль за изобретение радио.
В современных радиоприемниках для управления местным источ-
источником энергии применяются электронная лампа или транзистор (вме-
Рис. 280
сто когерера). Схемы современной передающей и приемной радио-
радиоаппаратуры весьма разнообразны и сложны. Знакомясь с принципом
радиосвязи, ограничимся рассмотрением простейших (принципиаль-
(принципиальных) схем радиопередатчика и радиоприемника, приведенных на
рис. 280.
Схема радиопередатчика (рис. 280, а) подобна схеме автоколе-
автоколебательного контура, рассмотренной в предыдущем параграфе (см.
рис. 279). Различие между ними заключается только в том, что в се-
сеточную цепь лампы передатчика включена вторичная обмотка по-
повышающего трансформатора Тр, а открытый колебательный контур,
излучающий электромагнитные волны, осуществлен в виде катушки
самоиндукции L, соединенной с высоко поднятой антенной А и зем-
землей В. В первичную обмотку трансформатора включены батарея ё
и угольный микрофон М.
Если в микрофон М не поступают звуковые волны, то в контуре
передатчика совершаются обычные электрические колебания постоян-
постоянной амплитуды (рис. 281, а; / — амплитуда, / — время). Если же
на мембрану микрофона падает звуковая волна, вызванная, например,
393

речью или музыкой, то мембрана
приходит в колебание, соответ-
соответствующее этой звуковой волне
(рис. 281, б). Звуковые колеба-
колебания мембраны оказывают на
угольный порошок микрофона
переменное давление, в связи с
чем такие же колебания испыты-
испытывают сопротивление микрофона
и сила тока в первичной, а сле-
следовательно, и во вторичной об-
обмотках трансформатора. В ре-
результате на сетке лампы создает-
создается дополнительное переменное
напряжение, изменяющееся в со-
соответствии со звуковыми коле-
колебаниями мембраны. Колебания
сеточного напряжения изме-
изменяют амплитуду электриче-
электрических колебаний контура пере-
передатчика. Теперь, как говорят,
высокочастотные электрические
колебания контура несут на
себе звуковые колебания мембраны
микрофона (рис. 281, в). Про-
Процесс наложения звуковых коле-
колебаний на электрические колеба-
колебания контура называется звуко-
звуковым модулированием электриче-
электрических колебаний.
Очевидно, что электромагнит-
электромагнитные волны, излучаемые пере-
передатчиком, несут на себе звуковые
колебания, т. е. также будут
модулированными. Достигнув
антенны приемника (см. рис.
280, б), эти волны вызовут в
катушке Lt и в индуктивно свя-
связанном с ней контуре L2C2 эле-
электрические колебания, подобные
колебаниям в контуре передат-
передатчика (рис. 281, в)*. Контур
L2C2 включен в сеточную цепь
лампы. Поэтому совершающиеся
в нем электрические колебания
будут управлять током и на-
* Для этого необходимо настроить (с помощью переменного конденсато-
конденсатора Си) колебательный контур приемника в резонанс с колебательным контуром
передатчика,
394

г
К передатчикц
пряжением в анодной цепи лампы. В результате в анодной цепи
возникнут электрические колебания, подобные колебаниям в се-
сеточной цепи, но усиленные и выпрямленные (рис. 281, г)*.
Обладая большой инерцией, мембрана телефона не успевает следо-
следовать за колебаниями высокой частоты (электрическими), она реаги-
реагирует только на звуковые колебания, наложенные на колебания
высокой частоты. Благодаря этому мембрана телефона воспроизводит
звуковые колебания, совершаемые мембраной микрофона, т. е. вос-
воспроизводит звуки, поступающие в микрофон передатчика (рис. 281,5).
Таков в общих чертах процесс
телефонной радиосвязи. Эта связь
осуществляется посредством элек-
электромагнитных волн длиной от не-
нескольких километров до нескольких
десятков метров. Принципиаль-
Принципиальные схемы передатчика и приемни-
приемника, приведенные на рис. 280, исполь-
используются и для телевизионной радио-
радиосвязи, но в этом случае микрофон
передатчика заменяется иконоско-
иконоскопом, а телефон приемника — кине-
кинескопом.
Иконоскоп** представляет собой
электроннолучевую трубку (см.
§ 102) особого устройства: вместо
люминесцирующего экрана в ней
н аходится светочувствительная мо-
мозаика М (рис. 282). Эта мозаика со-
составлена из очень большого числа (порядка миллиона) изолирован-
изолированных друг от друга серебряных шариков / (диаметром около 0,1 мм),
покрытых цезием. Шарики размещены на одной стороне слюдяной
пластинки 2, обратная сторона которой покрыта слоем металла, обра-
образующим сигнальную пластину 3. Каждый шарик является миниатюр-
миниатюрным фотоэлементом (см. § 136): при освещении из него вырываются
электроны и шарик заряжается положительно. В совокупности с сиг-
сигнальной пластиной шарики светочувствительной мозаики составляют
конденсатор.
Изображение передаваемого объекта 4 фокусируется на поверх-
поверхность мозаики посредством оптической системы 5. При этом каждый
шарик мозаики приобретает положительный заряд, величина которого
пропорциональна освещенности данного шарика.
Электронный луч 6 пробегает по всей площади мозаики в течение
1/25 с (описывая 625 горизонтальных строчек) и поочередно нейтра-
нейтрализует положительные заряды шариков. При каждой такой нейтра-
нейтрализации происходит изменение заряда сигнальной пластины, вызы-
* См. действие электронной лампы как усилителя электрических колеба-
колебаний (§ 88, рис. 191).
** От греческих слов et^wv (икон) — изображение, аурпш (скопео) — на-
наблюдаю.
Рис. 282
395

вающее соответствующее изменение напряжения на сетке лампы
передатчика. Таким образом, электрические колебания передатчика
модулируются колебаниями заряда сигнальной пластины, зависящи-
зависящими от освещенности отдельных участков передаваемого изображения.
Приемник (телевизор) воспроизводит модулированные колебания
передатчика и после выпрямления и усиления подает их на специаль-
ное устройство, управляющее интенсивностью электронного луча
кинескопа (электроннолучевой трубки). Электронный луч
кинескопа движется строго синхронно с электронным лучом иконо-
иконоскопа, воспроизводя за 1/25 с на люминесцирующем экране (посред-
(посредством светящегося пятна переменной яркости)
все передаваемое изображение — кадр. В тече-
течение 1 с сменяется 25 таких кадров, поэтому
глаз воспринимает их как единое движущееся
изображение (подобное кинематографическому
изображению).
Число сигналов, передаваемых за 1 с, при
телевизионной связи значительно больше, чем
при радиотелефонной. Поэтому телевизионная
связь осуществляется на электромагнитных вол-
Рис. 283 нах более высокой частоты — порядка 107 Гц,
что соответствует длине волны порядка 10 м.
Столь короткие волны не отражаются от верхних ионизированных
слоев атмосферы, а распространяются только по прямой линии. По-
Поэтому телевизионная связь возможна лишь на расстоянии прямой
видимости между передающей и приемной антеннами*.
Важным применением радиосвязи является радиолокация, позволяющая
определять на расстоянии до 200—300 км местоположение крупных предметов,
например самолетов, кораблей, айсбергов, скрытых темнотой или туманом, а так-
также наблюдать на экране локатора силуэты этих предметов, очертания берего-
береговой полосы и т. п.
Радиолокация основана на отражении ультракоротких (обычно дециметро-
дециметровых) радиоволн от препятствий. Местоположение препятствия определяется сле-
следующим образом. В течение очень короткого промежутка времени, измеряемого
миллионными долями секунды, радиолокатор посылает в пространство узкий
пучок радиоволн (импульс электромагнитного излучения). Попадая на препят-
препятствие, импульс отражается от него, возвращается на станцию отправления и ула-
улавливается приемником локатора. Отправленный и отраженный электромагнит-
электромагнитные импульсы регистрируются на экране электроннолучевой трубки локатора
в виде пиков / и 2, появляющихся на горизонтальной развертке (рис. 283). Ло-
Локатор отправляет импульсы периодически через малые промежутки времени,
поэтому пики 1 и 2 видны на экране все время. Время Л t, прошедшее с момента
отправления импульса до момента приема отражения этого же импульса, опре-
определяется по скорости v движения электронного луча, производящего горизон-
горизонтальную развертку, и расстоянию d ме#кду пиками / и 2:
* Сверхдальняя телевизионная связь осуществляется с помощью исскуст-
венных спутников Земли, ретранслирующих телевизионные сигналы, а также
посредством коаксиальных кабельных или радиорелейных линий.
396

Тогда расстояние / между локатором и препятствием, отразившим импульс,
определится из очевидного соотношения
М с
/ = с__ = d
2 2v
где с « 3 • 108 м/с — скорость распространения электромагнитного импульса.
Направление на препятствие определяется по положению (углу поворота)
антенны локатора.
Задача 59. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора
с площадью пластин S = 100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L =
= 10~5 Г. Период электрических колебаний в контуре Т = 10~7 с. Опреде-
Определить расстояние между пластинами конденсатора.
Решение. Исходя из формулы Томсона C), получим
С другой стороны (см. § 83), емкость плоского конденсатора
где ео = 8,85 • 102 Ф/м —электрическая постоянная, г = 1 ^относитель-
^относительная диэлектрическая проницаемость воздуха.
Приравнивая между собой правые части двух равенств, выражающих С,
получим
4^2 eQs LS 4 * 3,142 • 8,85 . 1Q-" Ф/м . 10"» F • 1Q-2 м2
~~ Г2 ~ 104с2
= 3,5 • 10~3 м = 3,5 мм, поскольку
Ф • Г • м2 Кл • Вб • м А • с • В • с • м
В • с2 . А В • с2 • А
' М.
Задача 60. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью
L = 2,5 • 10~6 Г и двух конденсаторов, соединенных между собой параллель-
параллельно, емкостью С = 5 • 10 мкФ каждый. Определить период Т электрических
колебаний в контуре и длину X излучаемых контуром электромагнитных волн.
Решение. При параллельном соединении конденсаторов их общая
емкость С равна сумме емкостей соединяемых конденсаторов (см. § 83). По-
Поэтому С = 2С. Тогда, пользуясь формулой Томсона C), получим
Т = 2тс УШУ =2-3,14 У 2- 2,5- 10"в Г • 5 . ИГ9 Ф = 10-е с>
г ж В » с > Кл А» с2
поскольку Г • Ф = —-—г— = = с2.
А . В А
Согласно формуле A), X = vTt где v = 3 • 108 м/с — скорость распростра*
нения электромагнитных волн, Т « период этих волн. Так как период электро-
электромагнитных волн равен периоду создающих их электрических колебаний
(см. § НО), то
X = vT = 3 . 108 м/с • 10-е с ^ 300 м.

4. Оптика и атомная физика
Глава XVII. Общие сведения о природе
и свойствах света
§ 114. Природа света
Оптика* — раздел физики, в котором изучаются вопрос о природе
света, закономерности световых явлений и процессы взаимодействия
света с веществом.
В течение последних двух с половиной столетий представление о
природе света претерпело весьма существенное изменение. В конце
XVII в. сформировались две принципиально различные теории о
природе света: корпускулярная теория, разработанная Ньютоном, и
волновая теория, разработанная Гюйгенсом. Согласно корпускуляр-
корпускулярной теории, свет есть поток материальных частиц (корпускул), летя-
летящих с большой скоростью от источника света. Согласно волновой те-
теории, свет представляет собой волну, исходящую от источника све-
света и распространяющуюся с большой скоростью в «мировом эфире» —
неподвижной упругой среде, непрерывно заполняющей всю Вселен-
Вселенную. Обе теории удовлетворительно объясняли закономерности, при-
присущие некоторым световым явлениям, например законы отражения
и преломления света. Однако такие явления, как интерференция,
дифракция и поляризация света, не укладывались в рамки этих тео-
теорий.
До конца XVIII в. подавляющее большинство физиков отдавало
предпочтение корпускулярной теории Ньютона. В начале XIX в.
благодаря исследованиям Юнга A801)** и Френеля A815 г.) волно-
волновая теория была в значительной мере развита и усовершенствована.
В ее основу лег принцип Гюйгенса — Френеля, с которым мы уже озна-
ознакомились в главе «Колебания и волны» (см. § 34). Волновая теория
Гюйгенса — Юнга — Френеля успешно объяснила почти все извест-
известные в то время световые явления, в том числе интерференцию, дифрак-
дифракцию и поляризацию света, в связи с чем эта теория получила все-
всеобщее признание, а корпускулярная теория Ньютона была отверг-
отвергнута.
Слабым местом волновой теории являлся гипотетический «мировой
эфир», реальность существования которого оставалась весьма сом-
* От греческого слова cwcufyoC (оптикос) — зрительный.
** Юнг •— английский физик.
388

нительной*. Однако в 60-х годах прошедшего столетия, когда Мак-
Максвелл разработал теорию единого электромагнитного поля (см. § 105),
необходимость в «мировом эфире» как особом носителе световых волн
отпала: выяснилось, что свет представляет собой электромагнитные
волны и, следовательно, их носителем является электромагнитное по-
поле. Видимому свету соответствуют электромагнитные волны длиной
от 0,77 до 0,38 мкм (см. таблицу на стр. 392), создаваемые колебани-
колебаниями зарядов, входящих в состав атомов и молекул. Таким образом,
волновая теория о природе света эволюционировала в электромагнит-
электромагнитную теорию света.
Одним из важнейших экспериментальных доказательств справед-
справедливости электромагнитной теории света послужили опыты Физо
A849 г.)** Фуко A850 г.) и Йайкельсона A881 г.): экспериментальное
значение скорости распространения света совпало с теоретическим
значением скорости распространения электромагнитных волн, полу-
полученным из электромагнитной теории Максвелла. Другим не менее
важным подтверждением электромагнитной теории явились опыты
П. Н. Лебедева A899 г.): измеренное им световое давление на твер-
твердые тела (см. § 137) оказалось равным давлению электромагнитных
волн, рассчитанному на основе теории Максвелла (см. § 105).
Представление о волновой (электромагнитной) природе света
оставалось незыблемым вплоть до конца XIX в. Однако к этому вре-
времени накопился достаточно обширный материал, не согласующийся
с этим представлением и даже противоречащий ему. Изучение данных
о спектрах свечения химических элементов, о распределении энергии
в спектре теплового излучения черного тела, о фотоэлектрическом
эффекте и некоторых других явлениях привело к необходимости пред-
предположить, что излучение, распространение и поглощение электромаг-
электромагнитной энергии носит дискретный (прерывистый) характер, т. е. свет
испускается, распространяется и поглощается не непрерывно (как
это следовало из волновой теории), а порциями (квантами). Исходя
из этого предположения немецкий физик Планк в 1900 г. создал кван-
квантовую теорию электромагнитных процессов, а Эйнштейн в 1905 г.
разработал квантовую тгорию света, согласно которой свет пред-
представляет собой поток световых частиц — фотонов. Таким образом,
в начале текущего столетия возникла новая теория о природе света —
квантовая теория, возрождающая в известном смысле корпускуляр-
корпускулярную теорию Ньютона. Однако фотоны существенно (качественно)
отличаются от обычных материальных частиц: все фотоны движутся
со скоростью, равной скорости света, обладая при этом конечной мас-
массой («масса покоя» фотона равна нулю).
Важную роль в дальнейшем развитии квантовой теории света сы-
сыграли теоретические исследования атомщдх и молекулярных спект-
спектров, выполненные Бором A913 г.), Шредингером A925 г.), Дираком
k В 1881 г. американский физик Майкельсон опытным путем показал, что
«мирового эфира» не существует.
** Физо— французский физик.
399

A930 г.), Фейнманом A949 г.), В. А. Фоком A957 г.) и др.*
По современным воззрениям, свет — сложный электромагнитный
процесс, обладающий как волновыми, так и корпускулярными свойст-
свойствами. В некоторых явлениях (интерференция, дифракция, поляри-
поляризация света) обнаруживаются волновые свойства света; эти явления
описываются волновой теорией. В других явлениях (фотоэффект,
люминесценция, атомные и молекулярные спектры) обнаруживаются
корпускулярные свойства света; такие явления описываются кван-
квантовой теорией. Таким образом, волновая (электромагнитная) и кор-
корпускулярная (квантовая) теория не отвергают, а дополняют друг
друга, отражая тем самым двойственный характер свойств света.
Здесь мы встречаемся с наглядным примером диалектического един-
единства противоположностей: свет является и волной и частицей. Умест-
Уместно подчеркнуть, что подобный дуализм присущ не только свету, но
и микрочастицам веществ, например, как уже отмечалось (см. § 20),
электрон, рассматриваемый обычно как частица, в некоторых явле-
явлениях обнаруживает себя в качестве волны (см. § 126).
Современная физика стремится создать единую теорию о природе
света, отражающую двойственный корпускулярно-волновой характер
света; разработка такой единой теории пока еще не завершена.
В данном курсе волновые свойства света рассматриваются в
гл. XVIII, а корпускулярные (квантовые) свойства света — в гл. XIX
(в связи с вопросом о строении атома). При описании вол-
волновых свойств света мы будем пользоваться принципом Гюйгенса —
Френеля и общими понятиями и характеристиками волнового про-
процесса, введенными в § 31—34 первой части курса (такими, как фронт
световой волны, когерентные источники света, световой луч, частота
света, длина световой волны и т. д.). Поэтому, приступая к изучению
оптики, следует повторно прочесть указанные параграфы.
§ 115. Отражение и преломление света. Полное отражение
Опыт и теория показывают, что в различных прозрачных средах
свет распространяется с различными скоростями, меньшими скорости
света в вакууме. Среда, во всех точках которой скорость распростра-
распространения света одинакова, называется оптически однородной средой.
Рассмотрим исходя из волновой Теории явления отражения и прелом-
преломления монохроматического света** на плоской границе раздела двух
различных, оптически однородных сред.
Пусть плоский фронт световой волны ОА падает на границу раз-
раздела двух сред, скорости света в которых равны d и c2<ci (рис. 284).
Связанные с этим фронтом световые лучи 1 и 2 составляют с нормалью
к границе раздела угол а (угол падения). На границе раздела двух
сред свет частично отражается (лучи 3 и 4), а частично проходит (пре-
* Физики-теоретики: Бор— датский, Шредингер — австрийский, Дирак —
английский, Фейнман — американский, Фок — советский.
** От греческих слов: jxovoC (монос) — один, ХР0^ (хрома) — цвет. Моно-
Монохроматическому свету соответствует какая-либо одна длина волны, или, го-
говоря о субъективном восприятии, какой-либо один цвет,
400

ломляется) во вторую среду (лучи 5 и 6). Применяя принцип Гюйген-
Гюйгенса — Френеля, построим фронты отраженной и преломленной волн.
В точку В свет приходит позднее, чем в точку О, на время
АВ
За это время из точки О (как из вторичного источника света) в первой
среде успевает распространиться полусферическая волна радиусом
= cxt =
Рис. 284
а во второй среде — полусферическая волна радиусом
От всех остальных точек границы ОВ (кроме самой точки В) также
распространяются вторичные полусферические волны, радиусы ко-
которых окажутся убывающими в направлении от О к В (эти вторичные
волны на рисунке не показаны). Огибающая всех волновых полусфер
первой среды даст фронт отраженной волны BD, а огибающая всех
полусфер второй среды — фронт преломленной волны BE.
На рис. 284 видно, что /\ОАВ = ABDO (как прямоугольные,
имеющие общую гипотенузу и по одному одинаковому катету: OD =
= г = АВ). Поэтому ^.АОВ = ^.DBO. Но ^.АОВ = a, a ^lDBO =
= р (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), следо-
следовательно,
где угол р называется углом отражения.
Соотношение A) выражает закон отражения света:
падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпен-
401

дикуляром, проведенным к границе раздела сред в точке падения; угол
падения равен углу отражения.
Если отражающая поверхность является не зеркально гладкой, а шеро-
шероховатой, то свет отражается от нее по всевозможным направлениям; такое отра-
отражение называется диффузным. В реальных условиях отражение бывает всегда
в большей или меньшей мере диффузным.
Возвращаясь к рис. 284, учтем, что
Тогда получим
Jjl = -?l = AIL, AB = OB. sin a, ОЕ^ОВ- sin т.
г2 с2 ОЕ
_ сг
-
sin i c2
где угол т называется углом преломления. Это соотношение выражает
за/соя преломления света:
падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с перпен*
дикуляром к границе раздела сред, проведенным в точке падения; отно-
отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению
скорости света в первой среде к скорости света во второй среде.
Из формулы B) следует, что при а = 0 будет и f =0 (так как
0), т. е. луч, падающий нормально на границу раздела сред,
не преломляется.
Обозначим
^1 == И С2 = >
пх п2
где с — скорость света в вакууме, а щ и пг — безразмерные вели-
величины, называемые абсолютными показателями преломления первой
и второй сред. Абсолютный показатель преломления (или просто по-
показатель преломления) является важной оптической характеристи-
характеристикой среды: он показывает, во сколько раз скорость света в данной сре-
среде меньше скорости света в вакууме. Очевидно, что абсолютный по-
показатель преломления вакуума равен единице.
Значения показателей прело-
показатель мления некоторых веществ для
вещество преломления монохроматического желтого света
с длиной волны X = 0,589 мкм
Воздух
Вода
Спирт (этиловый)
Стекло (крон) . .
Стекло (флинт) .
Алмаз
1,0003 приведены в таблице.
1,333 Учитывая, что показатели пре-
j'j?62 ломления двух сред обратно про-
1752 порциональны скоростям распро-
2[420 странения света в этих средах, мо-
можно записать закон преломления в
виде
sina
ct _ п2
— — =
sin -J c2
402

где п21 = thltii называется относительным показателем преломления
второй среды относительно первой.
Из двух сред, имеющих различные показатели преломления, среда
с меньшим показателем называется оптически менее плотной, а среда
с большим показателем — оптически более плотной.
В соответствии с определением, данным в начале этого параграфа,
можно сказать, что оптически однородной является среда, во всех
точках которой оптическая плотность (показатель преломления) оди-
одинакова.
Земная атмосфера является оптически неоднородной средой: ее показатель
преломления непрерывно уменьшается по мере увеличения высоты над земной
поверхностью. Благодаря этому световой луч, идущий в атмосфере, проходит
как бы через множество тонких параллельных (друг Другу и земной поверх-
поверхности) слоев, показатель преломления которых уменьшается с увеличением
высоты слоя. На границе раздела каждой пары таких слоев происходит прелом-
преломление луча по закону преломления C). В результате луч света в атмосфере
искривляется, оказываясь обращенным выпуклостью вверх (от Земли). Эта
явление называется рефракцией света в атмосфере*.
Рефракция света в атмосфере дает возможность видеть объекты, которые
фактически (геометрически) находятся уже под горизонтом места наблюдения.
Чем сильнее рефракция, тем более удаленные за горизонт объекты представ-
представляется возможным наблюдать.
В этой связи небезынтересно отметить, что очень сильная рефракция имеет
место в нижнем слое (высотой около 12 км) атмосферы планеты Венеры**.
Здесь кривизна световых лучей оказывается больше кривизны поверхности пла-
планеты. Благодаря такой «сверхрефракцииъ лучи света могут проникать далеко
за геометрический горизонт места; на высоте же около 12 км луч может (в прин-
принципе) обогнуть всю планету по кругу.
Если свет проходит из оптически более плотной среды (с показа-
показателем преломления ni) в оптически менее плотную среду (с показа-
показателем П2<пА), например из стекла в воду, то, согласно формуле C),
угол падения а будет меньше угла преломления f (рис. 285, а). По-
Поэтому при некотором угле падения (а = А) угол преломления ока-
окажется равным 909, т. е. преломленный луч будет скользить вдоль гра-
границы раздела сред, не входя во вторую среду (рис. 285, б). Угол А
называется предельным углом падения. При а>Л свет полностью отра-
В
Рис. 285
* От латинского слова refractus — преломленный.
** Эти сведения получены на основе данных исследования венерианской
атмосферы посредством советской автоматической станции «Венера-4», совер-
совершившей 18 октября 1967 г. посадку на поверхность Венеры.
403

жается в первую среду (рис. 285, в). Это явление носит название пол-
полного отражения света.
Согласно формуле C),
sin Л п2 __
~ 21'
откуда sin А = п21.
Исходя из этих соотношений можно определять относительный
показатель преломления двух сред (по измеренному значению угла Л),
а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если по-
показатель другой среды известен. Оптический прибор, служащий для
этой цели и основанный на явлении полного отражения, называется
рефрактометром.
В последнее время явление полного отражения нашло оригинальное тех-
техническое применение. Речь идет о волоконной оптике, сущность которой сос-
состоит в следующем. Стеклянная нить покрывается слоем оптически менее плот-
плотного вещества. Луч света, падающий на торец такой нити, проходит через всю
нить (испытывая многократные полные отражения от ее боковой поверхности)
и выходит через другой ее торец независимо от того, каким образом изогнута
нить. Жгут, составленный из множества таких нитей, образует светопровод,
позволяющий как угодно искривлять путь светового пучка. Если перед торцом
светопровода поместить освещенный объект, то на другом торце светопровода
проявится точное его изображение. Причем сам светопровод может быть про-
произвольным образом изогнут, даже завязан в узел. Светопроводы используются
для изготовления гибких перископов (зондов), с помощью которых можно рас-
рассматривать объекты, недоступные непосредственному наблюдению (например,
внутреннюю поверхность цилиндра автомобильного двигателя, внутренность
желудка и т. п.).
Во многих оптических приборах (поляриметр, рефрактометр, спек-
спектрометр и др.) для преломления света используются стеклянные при-
призмы. На рис. 286 показан ход луча монохро-
монохроматического света в призме. После двукрат-
двукратного преломления (на левой и на правой
гранях призмы) луч оказывается отклоненным
от первоначального направления на угол 8,
называемый углом отклонения. Угол 9, за-
ключенцый между преломляющими гранями,
носит название преломляющего угла призмы.
Угол отклонения 8 зависит от преломля-
преломляющего угла 6 и показателя преломления
. призмы п. Эта зависимость легко устанавли-
устанавливается для призмы с малым преломляющим
углом (тонкой призмы) в случаях малого угла
падения а. Исходя из закона преломления и принимая показатель
преломления воздуха равным единице, можем написать
и п sin ax = sin fv
При малых а и 0 будут также малы f, at и ^i. Поэтому в последних ра-
равенствах синусы углов можно заменить самими углами:
a = nT и ла1==Т1. D)
404

На основании теоремы о внешнем угле треугольника из Л BED
следует, что
в = т + «х- E)
На том же основании из A BCD находим
8 = (а - Т) + (Ti - «i).
Подставляя выражения а и ft из формулы D) и учитывая формулу
E), получим после простых преобразований
8 = (п- 1)в. F)
Отметим, что угол 8 принимает минимальное значение в случае
симметричного хода луча (т. е. когда а = ^4 и луч BD параллелен
основанию призмы).
§ 116. Дисперсия света. Спектры
Значение показателя преломления среды определяется в основном
свойствами этой среды; однако в некоторой мере оно зависит еще от
длины волны (или от частоты) света, так как световые волны различ-
различной длины распространяются в данной среде с различной скоростью.
Поэтому одна и та же среда по-разному преломляет различные моно-
монохроматические лучи.
Зависимость показателя преломления среды от длины волны света
носит название дисперсии света*. В более широком смысле диспер-
дисперсией света называют разложение света в спектр, происходящее при
его преломлении, интерференции или дифракции.
Дисперсия называется нормальной, если показатель преломления
возрастает с уменьшением длины световой волны. В противном случае
дисперсия называется аномальной. Бесцветные прозрачные среды
(т. е. среды, слабо поглощающие свет) обладают нормальной диспер-
дисперсией; они наиболее сильно преломляют фиолетовые (коротковолновые)
лучи. У окрашенных сред может иметь место аномальная дисперсия.
Благодаря дисперсии луч белого света, проходящий через пре-
преломляющую среду, оказывается разложенным на различные монохро-
монохроматические лучи. Попадая на экран, эти
лучи образуют дисперсионный спектр —
совокупность разноцветных полос.
Наиболее отчетливо дисперсионный
спектр обнаруживается при преломле-
преломлении света в веществе, имеющем клино-
клинообразную форму, например в призме.
На рис. 287 показан случай дисперсии
света в стеклянной призме. Так как
стекло обладает нормальной дисперсией,
то угол отклонения для фиолетового -•----———.
луча (Ьф) больше, чем для красного (8К). рис. 287
* От латинского слова dispersio — рассеяние.
405

Угол D между лучами, соответствующими крайним цветам дис-
дисперсионного спектра, называется углом дисперсии; от него зависит
ширина спектра. Из формулы F) и рис. 287 следует, что
й=Ьф — Ьк = (пф — лк)в,
где Пф и пк — показатели преломления призмы для фиолетового и
красного цвета. Разность щ — пк обычно служит количественной ха-
характеристикой дисперсии вещества. Вообще же мерой дисперсии
является отношение изменения показателя преломления An к соот-
соответствующему изменению длины световой волны АХ, т. е. величина
An/AL
Призмы применяются в спектрометрах и спектрографах для полу-
получения дисперсионных спектров.
Внешний вид спектров может быть весьма разнообразным в зави-
зависимости от свойств источника света. Различают три основных типа
спектров: сплошные, линейчатые и полосатые.
В сплошном спектре представлены все цвета (длины волн), причем
переход от одного цвета к другому совершается постепенно (непре-
(непрерывно), как это видно на форзаце в конце книги (поз. а).
Линейчатый спектр состоит из ряда резко очерченных цветных
линий, отделенных друг от друга широкими темными промежутками
(поз. б). Каждой линии соответствует одна определенная длина све-
световой волны*. Полосатый спектр состоит из большого числа линий,
расположенных отдельными группами. В каждой такой группе ли-
линии настолько сближены, что при наблюдении в прибор с неболь-
небольшой разрешающей способностью вся группа представляется в виде
отдельной полосы (поз. в). Таким образом, каждой полосе спектра
соответствует некоторый интервал длин световых волн.
Линейчатые спектры излучаются отдельными (не взаимодейст-
взаимодействующими друг с другом) возбужденными атомами. Излучение обу-
обусловлено переходами связанных электронов на более низкие энерге-
энергетические уровни (орбиты).
Полосатые спектры излучаются отдельными возбужденными мо-
молекулами» Излучение вызвано как электронными переходами в ато-
атомах, так и колебательными движениями самих атомов в молекуле.
Сплошные спектры излучаются совокупностями многих взаимо-
взаимодействующих между собой молекулярных и атомных ионов. Основную
роль в излучении играет хаотическое движение этих частиц (колеба-
(колебательное и вращательное), обусловленное высокой температурой.
Из сказанного следует, что раскаленные твердые и жидкие ве-
вещества и сжатые газы дают сплошной спектр излучения. Для раз-
разреженных газов (атомы и молекулы которых возбуждены, например,
нагреванием или электрическим разрядом) характерны линейчатые и
полосатые спектры. Причем газы, состоящие из многоатомных мо-
молекул (кислород, углекислый газ, водяной пар и т. д.), дают полосатый
спектр, а одноатомные газы (инертные газы, пары металлов, диссо-
диссоциированные многоатомные газы) — линейчатый спектр.
* Точнее, очень узкий интервал длин волн.
406

Для каждого химического элемента (находящегося в состоянии
разреженного газа или пара) характерен вполне определенный спектр
излучения (по числу спектральных линий, их цвету и взаимному рас-
расположению). На этом основан спектральный метод определения хи-
химического состава веществ {спектральный анализ).
Если свет от источника, дающего сплошной спектр, предваритель-
предварительно пропущен через разреженный газ (или пар), то на спектре по-
появляются черные линии (или полосы), которые соответствуют линиям
(или полосам) спектра излучения данного газа. Такого рода спектр,
называемый спектром поглощения, обусловлен тем, что, согласно за-
закону Кирхгофа (см. § 130), газы поглощают точно те линии спектра,
которые они сами излучают. Примером спектра поглощения может
служить спектр поглощения солнечной атмосферы (фотосферы): на
сплошном спектре излучения Солнца отчетливо видны черные ли-
линии поглощения, называемые фраунгоферовыми линиями (поз. г).
Исследование спектров имеет очень большое значение для выяс-
выяснения процессов, происходящих в атомах и молекулах, и познания
структуры вещества.
Более подробно вопрос о спектрах — в частности, механизм их
образования—рассмотрен в гл. XIX на основе квантовых пред-
представлений о природе света.
§ 117. Тонкие линзы. Микроскоп
Для изменения направления световых лучей в оптических при-
приборах широко используются линзы*. Линзой называется прозрачное
(чаще всего стеклянное) тело, ограниченное двумя криволинейными
(обычно сферическими) поверхностями или одной криволинейной и
одной плоской поверхно-
поверхностью. На рис. 288 изобра- ^—^ А \
жены поперечные сечения
двояковыпуклой (а) и двоя-
двояковогнутой (б) сферических
линз (Ru /?2 и Rz — ради-
усы сфер). Прямая SS', а
проходящая через центры
кривизны поверхностей,
образующих линзу, назы-
называется главной оптической осью (или про-
просто осью) линзы.
Мы будем рассматривать только тон-
тонкие линзы, толщина О{О2 которых прене-
брежимо мала по сравнению с радиусами
кривизны линзы (рис. 289). У тонкой лин-
линзы имеется точка О, обладающая тем свой-
свойством, что проходящие через нее лучи
практически не преломляются линзой. Эту Рис. 289
Рис. 288
* От латинского слова lens — чечевица.
407

-s'
точку называют оптическим центром линзы\ она лежит на пересече-
пересечении главной оптической оси со средним сечением NN' линзы. Любая
прямая РР\ проходящая под углом к главной оптической оси через
оптический центр линзы, называется побочной оптической осью. Луч,
идущий вдоль оптической оси (главной или побочной), носит назва-
название центрального луча.
Линзу можно представить как
совокупность множества призм (рис.
290). Тогда становится очевидным,
что выпуклая линза отклоняет лучи
к оптической оси, а вогнутая — от
оптической оси. Поэтому выпуклая
линза называется собирающей, а во-
вогнутая — рассеивающей*.
Покажем, что лучи, исходящие из
некоторой точки Л, лежащей на оп-
оптической оси, под небольшими угла-
углами а к этой оси, собираются линзой в одну точку Аи расположенную
также на оптической оси и называемую изображением точки А (рис.
291).
Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках
М и jV (т. е. в местах падения луча на линзу и выхода его из линзы),
и проведем в эти точки радиусы Rt и 7? 2 кривизны линзы. Тогда луч
Рис. 290
Рис. 291
можно будет рассматривать как луч, преломленный в тон-
тонкой призме с преломляющим углом G. Учитывая малость углов а, р,
аь ^ и толщины линзы**, можно написать следующие приближенные
* Предполагается, что оптическая плотность среды, окружающей линзу
меньше оптической плотности линзы.
** На рисунке эти углы и толщина линзы весьма преувеличены.
408

равенства:
a,
—
:sinj3^-4-,
sin В, =
Ri
G)
где hi — высота (над оптической осью) точки М падения луча на
линзу, Аз — высота точки W выхода луча из линзы, а и b — соответ-
соответственно расстояния от источника света Л, и от его изображения Ai
до оптического центра линзы. Из треугольников AHAi и BEBi сле-
следует, что
Тогда, принимая во внимание формулы G), получим
8__ 1 | 1 тт /нк 1 | 1
___ —— —J— -^—^ J/J \_J ___ —— | ф
a b R2 Rx
Но, согласно формуле F),
8 = (я — 1)8,
где п — абсолютный показатель преломления линзы. Поэтому
а Ь
(8)
Последнее соотношение называ-
называется формулой линзы. В формулу
не входит высота h^ Это озна-
означает, что расстояние b не зави-
зависит от местоположения точки
М, т. е. что все лучи, исходящие
из точки Л, соберутся после
преломления различными частя-
частями линзы в одной точке Л4.
Если точка А находится
бесконечно далеко от линзы (а = оо), т. е. если лучи падают на лин-
линзу параллельно главной оптической оси (рис. 292), то, согласно фор-
формуле (8),
Рис. 292
Соответствующее этому случаю расстояние b = OF = / называется
фокусным расстоянием линзы:
(Я-1)
(9)
Оно зависит только от показателя преломления и радиусов кри-
кривизны линзы. Точки F' и F, лежащие по обе стороны от линзы н# рас-
409

стоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы (соот-
(соответственно передним и задним). Таким образом, фокусом линзы назы-
называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, па-
падающие на линзу параллельно главной оптической оси.
Плоскости Q' и Q, проходящие
через фокусы перпендикулярно
главной оптической оси, носят на-
название фокальных плоскостей лин-
М
Рис. 293
зы.
Можно показать (на чем мы не
останавливаемся), что лучи, па-
падающие на линзу параллельно по-
побочной оптической оси, сходятся
после преломления в точке N, ле-
лежащей в фокальной плоскости. Оче-
Очевидно, что эта точка находится
на пересечении центрального луча MN с фокальной плоскостью
(рис. 293).
Принимая во внимание формулу (9), можно записать формулу лин-
линзы (8) в виде
JL + J- = -L A0)
а ^ Ь f ' V
Величина D, обратная фокусному расстоянию /, называется опти-
оптической силой линзы:
D--L. (И)
Оптическая сила измеряется в диоптриях. Диоптрия равна оптиче-
оптической силе линзы с фокусным расстоянием в один метр.
~f В отличие от собирающей линзы рассе-
рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мни-
мнимом фокусе сходятся (после преломления)
воображаемые продолжения лучей, падающих
на рассеивающую линзу параллельно главной
оптической оси (рис. 294).
Формула линзы A0) остается справедли-
справедливой и для рассеивающей линзы, только в этом
случае расстояния / и Ь следует считать отри-
отрицательными:
Рис. 294
1
Оптическая сила рассеивающей линзы отрица-
отрицательна.
Пользуясь формулой линзы A0), можно определять расстояние Ъ
от изображения предмета до линзы, если известны фокусное расстоя-
расстояние / и расстояние а от предмета до линзы:
Ъ
of
a-f
A2)
410

Линейный размер изображения п определяется по линейному размеру
предмета т из очевидного соотношения (рис. 295)
п=т— = т—?—. A3)
а —
Рис. 296
Отношение
y = JL=JL A4) *Щ -1^ in
т а
Рис. 295
называется линейным увеличением линзы.
Изображение предмета, даваемое линзой, можно получить непо-
непосредственным геометрическим построением, не прибегая к расчету по
формулам A2) и A3). Для этого достаточно провести от каждой из
крайних точек предмета по
два луча. Один луч должен
быть параллельным оптичес-
оптической оси (проходит через фо-
фокус после преломления в
линзе), другой — централь-
центральным (не преломляется лин-
линзой). Пересечение двух таких
лучей дает изображение край-
ней точки предмета. Примеры
построения изображений при-
приведены на рис. 296, 297.
Если предмет помещен ме-
между фокусом и двойным фоку-
фокусом линзы, то изображение
получается действительным,
увеличенным, перевернутым
и находящимся за двойным
фокусом линзы (рис. 296).
Если предмет помещен
между фокусом и линзой, то
изображение оказывается мни-
мнимым, увеличенным и прямым
(рис. 297). Этот случай
соответствует применению линзы в качестве лупы (предмет помещает-
помещается вблизи переднего фокуса, глаз — в заднем фокусе).
Как было показано при выводе форму-
формулы линзы, лучи, исходящие под малыми
углами к оптической оси из некоторой точ- ^^.^^ттл—-^. /
ки Л, лежащей на этой оси, собираются * А^\о\ \ а, ^
линзой в одну точку Аг. Однако при боль-
большом диаметре линзы часть лучей падает
на нее под большими углами к оптической
оси (рис. 298). Такие лучи собираются
уже в другой точке Л2. В результате изображение точки А прио-
приобретает вид размытого пятна. Этот недостаток линзы называется
Рис. 297
Рис. 298
411

сферической аберрацией*. У выпуклой линзы лучи, падающие на ее
края, собираются ближе, чем лучи, падающие на ее центральную
часть (OA2<Oy4i); у вогнутой линзы имеет место обратное явление.
Благодаря этому можно создать оптическую систему из соответст-
соответствующим образом подобранных собирающей и рассеивающей линз, у
которой сферическая аберрация почти полностью отсутствует. В не-
некоторых случаях сферическую аберрацию ослабляют путем диафраг-
диафрагмирования краевых лучей.
В связи с дисперсией фокусное расстояние линзы для лучей раз-
различного цвета оказывается различным (рис. 299). Поэтому при
использовании белого или иного немонохроматического света изо-
изображение предмета, даваемое линзой, имеет окрашенные края. Этот
недостаток линзы называется хроматической аберрацией. Собираю-
Белый Л +,
Рис. 299 Рис. 300
щая линза приближает к оптической оси сильнее фиолетовые лучи,
чем красные (см. рис. 299; FK — фокус для красного луча, F^ — фо-
фокус для фиолетового луча), а рассеивающая линза, наоборот, прибли-
приближает к оптической оси сильнее красные лучи (рис, 300). Благодаря
этому можно создать оптическую систему, не имеющую хроматической
аберрации. Такая система {ахроматическая линза) состоит из склеен-
склеенных между собой собирающей и рассеивающей линз, обладающих раз-
различной дисперсией.
В 1941 г. Д. Д. Максутовым была создана безаберрационная оптическая
система (менисковый телеобъектив), состоящая из вогнутого сферического зер-
зеркала и выпукло-вогнутой сферической линзы (мениска). Зеркало и мениск
в отдельности обладают большими аберрациями (сферическими), имеющими про-
противоположные знаки; в менисковом телеобъективе эти аберрации полностью
компенсируются.
Менисковые оптические системы с большим успехом применяются в теле-
телескопах (менисковый телескоп Максутова), фотоаппаратах и других оптических
приборах.
Для значительного увеличения малых объектов применяется мик-
микроскоп — оптическая система, состоящая в простейшем случае из
короткофокусной собирающей линзы (объектива) О\ с фокусным рас-
расстоянием /об и длиннофокусной собирающей линзы (окуляра) О2
с фокусным расстоянием /ок (рис. 301). Предмет АВ помещается на
расстоянии, немного большем /об, от объектива. Действительное, уве-
увеличенное и перевернутое изображение А'В' оказывается на расстоя-
расстоянии, немного меньшем /ок, от окуляра; оно рассматривается в окуляр,
* От латинского слова aberratio — уклонение
412

гок
как в лупу. В результате получается мнимое, увеличенное и перевер-
перевернутое (относительно предмета) изображение А"В'\ находящееся от
окуляра на расстоянии L, называемом расстоянием, ясного зрения
(для нормального глаза L & 25 см). Расстояние / между «внутрен-
«внутренними» фокусами объектива и окуляра называется оптической длиной
тубуса микроскопа (обычно / =
= 16 см).
На рисунке сильно преувели-
преувеличены расстояния от предмета А В
до фокуса объектива и от изобра-
изображения А'В' до фокуса окуляра. л 0л<
Кроме того, не соблюдено соотно-
соотношение расстояний L, /, /об и /ок; в
действительности /об и/ок гораздо
меньше L и / (по этим причинам
изображение А"В" предмета ока-
оказалось расположенным между объ-
объективом и окуляром, хотя обычно
оно располагается по одну сторону
с предметом Л В от объектива)*.
Учитывая это, получим на основа-
основании формулы A4) следующие при-
приближенные выражения увеличений
объектива уоб и окуляра уок:
L
/об /об
Общее увеличение микроскопа N
объектива и окуляра:
и „.«,
Гок
равно произведению увеличений
IL
Iоб/о
A5)
Практически увеличение микроскопа не может превышать 2500—
3000. Это связано с ограниченной разрешающей способностью мик-
микроскопа, обусловленной дифракционными явлениями (см. § 123).
§ 118. Глаз как оптическая система.
Спектральная чувствительность глаза
Глаз представляет собой довольно сложную оптическую систему,
заключенную в защитной белковой оболочке 1 (рис. 302). К белковой
оболочке прилегают сосудистая оболочка 2 и сетчатая оболочка (сет-
(сетчатка) 5, состоящая из мельчайших светочувствительных элементов
размером меньше 0,001 см. Эти элементы являются окончаниями нерв-
нервных волокон зрительного нерва 4, связывающего глаз с головным
мозгом.
* При соблюдении всех относительных размеров рис. 301 получился бы
слишком большим.
413

Рис. 302
В передней части глаза белковая оболочка переходит в прозрач-
прозрачную роговую оболочку (роговица) 5, а сосудистая оболочка — в ра-
радужную оболочку 6, имеющую посередине отверстие, называемое зрач-
зрачком. Позади зрачка расположен хрусталик 7 — прозрачное упругое
тело в форме двояковыпуклой линзы. Вся полость глаза заполнена
лрозрачной жидкостью. У глазной жидкости показатель преломления
равен 1,33, у роговицы — 1,38 и у хру-
хрусталика— в среднем 1,44.
Изображение предмета, рассматривае-
рассматриваемого глазом, помещается на сетчатке; оно
является действительным, уменьшенным и
перевернутым (правильное впечатление о
расположении предмета создается благода-
благодаря корректирующему действию мозга).
Зрачок глаза играет роль диафрагмы:
его диаметр изменяется в соответствии с
количеством света, попадающего в глаз.
Под действием особой (ресничной) мыш-
мышцы кривизна поверхностей хрусталика, а следовательно, и его фоку-
фокусное расстояние могут изменяться. Этим обеспечивается резкость по-
получаемого на сетчатке изображения предметов, находящихся на
различных расстояниях'от глаза. Способность глаза приспосабли-
приспосабливать фокусное расстояние хрусталика к расстоянию до наблюдаемого
предмета называется аккомодацией*.
В ненапряженном состоянии (при расслабленной ресничной мыш-
мышце) глаз приспособлен к наблюдению далеких предметов, расположен-
расположенных на расстоянии 8—10 м и более. Аккомодация позволяет получать
отчетливое изображение предметов,
находящихся на меньших расстоя-
расстояниях, но не меньше расстояния ясно-
ясного зрения, равного, как уже отмеча-
отмечалось, 25 см.
Размер изображения зависит в ко-
конечном счете от величины угла зре-
зрения а между лучами, идущими в глаз рис. зоз
от крайних точек предмета (рис. 303).
Наименьший угол зрения, под кото-
которым еще можно различать форму предмета, составляет примерно
1 мин, что соответствует рассмотрению отрезка длиной около 0,07 мм,
находящегося на расстоянии ясного зрения. При а<Г все изобра-
изображение помещается на одном светочувствительном элементе сетчатки и
предмет воспринимается как точка.
В связи с существованием предельного угла зрения (а = Г) нево-
невооруженным глазом нельзя рассматривать как близкие, но слишком
мелкие предметы, так и крупные, но слишком далекие предметы. В этих
случаях пользуются оптическими приборами, увеличивающими угол
зрения (микроскопом — в случае мелких близких объектов и теле-
телескопом — в случае крупных далеких объектов).
* От латинского слова accomodatio — приспособление.
414

Наиболее распространенными дефектами глаза являются близору-
близорукость (изображение предмета получается перед сетчаткой) и дально-
дальнозоркость (изображение получается за сетчаткой). Эти дефекты испра-
исправляются посредством очков с рассеивающими (при близорукости)
или собирающими (при дальнозоркости) линзами.
Перейдем теперь к вопросу о чувствительности глаза. Светочув-
Светочувствительные элементы, выстилающие сетчатку, подразделяются на
так называемые палочки и колбочки. Палочки более чувствительны
к свету (благодаря им осуществляется сумеречное зрение), но не реа-
реагируют на различие в цвете. Колбочки менее чувствительны к свету,
но обладают спектральной чувствительностью: благодаря им мы раз-
различаем цвета.
Глаз чувствителен лишь к очень узкому интервалу длин волн —
от 0,77 до 0,38 мкм (видимый свет)*, причем даже в этом интервале
чувствительность глаза к различным длинам волн неодинакова. Наи-
Наибольшей чувствительностью глаз обладает к длине волны Хт =
= 0,555 мкм, т. е. к зеленому цвету. Чувствительность глаза для бо-
более длинных и более коротких волн резко снижается, достигая нуля
для инфракрасного и ультрафиолетового излучений. Поэтому не-
• сколько источников монохроматического света, обладающих одина-
одинаковой мощностью, но испускающих свет различного цвета, представ-
представляются глазу неодинаково яркими. Наиболее ярким кажется источ-
источник зеленого цвета. Для того чтобы, например, красный свет (X =
= 0,76 мкм) казался столь же ярким, как зеленый, необходимо, что-
чтобы его мощность в 20 000 раз превышала мощность зеленого света (!).
Отношение мощности Wm монохроматического излучения с дли-
длиной волны Хт = 0,555 мкм (зеленый свет) к мощности W\ монохрома-
монохроматического излучения с длиной волны X, вызывающего ощущение та-
такой же яркости, как излучение с длиной волны Хт, называется фун-
функцией видности, или коэффициентом видности излучения с длиной
волны X:
Коэффициент видности служит мерой спектральной чувствитель-
чувствительности глаза. Согласно формуле A6), коэффициент видности зеленого
света равен единице.
Значения коэффициентов видности были определены путем усред-
усреднения результатов многочисленных измерений и утверждены Между-
наррдной осветительной комиссией. На рис. 304 представлен график
спектральной чувствительности глаза: по оси абсцисс отложены зна-
значения длин волн X (в микрометрах), по оси ординат — значения коэф-
коэффициентов видности V\.
Отметим, между прочим, что в связи с максимальной чувствительностью
глаза к зеленому свету этот свет был принят в качестве разрешающего сигнала
семафора и светофора.
* У некоторых людей этот интервал более широк (от 0,9 до 0,3 мкм) и за-
захватывает области инфракрасного и ультрафиолетового излучения.
415

Под действием света светочувствительное вещество сетчатки раз-
разлагается, что ведет к снижению чувствительности глаза. В темноте
светочувствительное вещество восстанавливается и чувствительность
глаза сильно возрастает. В этих условиях глаз способен реагировать
на свет ничтожно малой энергии — порядка 10~17 Дж (что прибли-
приблизительно соответствует свету, испускаемому стеариновой свечой, на-
0,J5\0,W W 0,50 0,55 0,60
1 1 I
Рис. 304
ходящейся в совершенно прозрачной атмосфере на расстоянии поряд-
порядка 100 км от глаза).
Интересно отметить, что глаза пчел весьма чувствительны к ультрафиоле-
ультрафиолетовому свету, но совершенно не воспринимают красного. Именно поэтому пче-
пчелы не посещают и не опыляют красных цветов (за исключением цветов красного
мака, которые хорошо отражают ультрафиолетовые лучи солнца и поэтому
представляются пчелам ультрафиолетовыми). Большинство красных цветов по-
посещается и опыляется мелкими птицами благодаря тому, что глаза почти всех
птиц обладают особенно высокой чувствительностью к красному свету.
Вообще говоря, у многих насекомых, в том числе у большинства вреди-
вредителей, максимум чувствительности зрения лежит в ультрафиолетовой части
спектра. В связи с этим разработан и в последнее время успешно применяется
на практике (в сельском и лесном хозяйстве) новый способ борьбы с вредными
насекомыми — «ультрафиолетовая ловушка», где приманкой служит ультрафи-
ультрафиолетовый свет ртутно-кварцевой лампы.
§ 119. Основные фотометрические характеристики
Световое излучение, проходящее через некоторую поверхность, можно ха-
характеризовать количеством энергии, переносимой электромагнитной волной че-
через эту поверхность за одну секунду, т. е. мощностью излучения Wx через дан-
данную поверхность. Эта энергетическая характеристика излучения называется
потоком световой энергии. Однако, как мы уже видели в предыдущем парагра-
параграфе, зрительное ощущение зависит не только от мощности излучения, но и от
спектральной чувствительности глаза (от коэффициента видности). Поэтому
во многих случаях (когда приемником света является глаз) оказывается более
удобным характеризовать световое излучение произведением мощности излу-
излучения Wx на коэффициент видности Vx # Эта психофизическая, или фотометри-
фотометрическая, характеристика излучения, учитывающая спектральную чувствитель-
чувствительность глаза, называется световым потоком Ф :
Фх = Wx Vx . A7)
416

Если излучение осуществляется волнами различной длины, то световой поток
Ф такого немонохроматического излучения слагается из световых потоков Фх
для каждой длины волны:
ф = 2 фх = 2
A8)
Таким образом, можно сказать, что световым потоком называется поток све-
световой энергии, оцениваемый по зрительному ощущению.
Наряду со световым потоком основными фотометрическими характеристи-
характеристиками являются сила света, освещенность и яркость.
Понятие силы света вводится с помощью
представления о точечном источнике света. Ис-
Источник света считается точечным, если его раз-
размер мал по сравнению с расстоянием до места
наблюдения и если он испускает свет равномерно
по всем направлениям. Точечным источником
является, например, звезда, наблюдаемая с Зе-
Земли, или электрическая лампочка, наблюдаемая
на расстоянии нескольких десятков метров, и т. п.
Сила света измеряется световым потоком,
создаваемым точечным источником света в еди-
единичном телесном угле. Если световой поток Ф
создан точечным источником О в телесном угле
Q (рис. 305), то сила света / выразится соотно-
соотношением
Ф_
^ Q '
Рис. 305
A9)
Телесным углом называется часть пространства, ограниченная конической
поверхностью (см. рис. 305). Величина телесного угла измеряется отношением
площади S, вырезаемой этим углом на поверхности сферы (с центром О в вер-
вершине телесного угла), к квадрату радиуса сферы R:
Единицей измерения телесного угла является стерадиан (пространствен-
(пространственный радиан) — угол, вырезающий единичную глэщадь на сфере единичного ра-
радиуса.
Очевидно, что телесный угол, охватывающий все пространство вокруг
источника света, равен 4я стерадиан:
Q
R2
В качестве единицы измерения силы света принята кандела (кд) —сила
света, испускаемая при определенных условиях эталонным источником света
специальной конструкции (см. приложение II)*.
Согласно формуле A9),
Ф-/О, B0)
откуда следует, что единицей светового потока является световой поток, соз-
создаваемый точечным источником с силой света, равной одной канделе, в телесном
угле в один стерадиан. Эта единица называется люменом (лм):
лм = кд-стер.
* Напомним, что сила света является основной физической величиной,
а кандела — основной единицей СИ.
14—31
417

Для количественной оценки освещения поверхностей вводится понятие
освещенности. Освещенностью Е поверхности S называется отношение светово-
светового потока Ф, падающего на данную поверхность, к величине этой поверхности
(рис. 306). Иными словами, освещенность равна световому потоку, падающему
на единицу поверхности:
Ф
B1)
Если линейные размеры поверхности S малы по сравнению с ее расстоянием
до источника света О, то можно написать
где S» — проекция S на плоскость, перпен-
перпендикулярную оси ОМ потока, а — угол ме-
между S и So. Тогда
Рис. 306
cos a
Подставляя это выражение S в формулу B1) и учитывая формулу B0), получим
/cos a
* = —• B2)
Таким образом, освещенность поверхности, создаваемая точечным источником
света, пропорциональна силе света и косинусу угла падения света на эту по-
поверхность и обратно пропорциональна квадрату расстояния до поверхности.
Зависимостью освещенности от угла падения световых лучей объясняется
смена времен года: в северном полушарии освещенность земной поверхности
максимальна летом (когда углы а падения солнечных лучей малы) и минималь-
минимальна зимой (когда углы а велики). Это колебание освещенности вызывает соответ-
соответствующее колебание температуры на земной поверхности.
Уместно также отметить, что в связи с прямой зависимостью Е от cosa
оказывается целесообразным высевать более светолюбивые растения на южных
(в северном полушарии) склонах земной поверхности (которым соответствуют
наименьшие значения углов а).
За единицу освещенности принимается люкс (лк) — это освещенность по-
поверхности площадью 1 м2 световым потоком в 1 лм, падающим перпендику-
перпендикулярно к поверхности:
лк = лм/м2.
Чтобы дать наглядное представление о единицах освещенности, отметим,
что освещенность, создаваемая прямыми солнечными лучами, имеет порядок
105 лк, освещенность, необходимая для чтения, составляет около 40 лк, а осве-
освещенность, создаваемая полной луной, равна примерно 0,2 лк.
До сих пор мы говорили только о точечных источниках света. Однако во
многих случаях источники света являются протяженными: при рассмотрении
таких источников глаз различает их форму и размеры.
Для протяженных источников сила света уже не может служить достаточ-
достаточной характеристикой. В самом деле, из двух источников, излучающих свет оди-
одинаковой силы, но имеющих различные размеры (площади), меньший источник
кажется более ярким, так как он дает большую силу света с единицы площади.
Поэтому для протяженных источников света вводится дополнительная харак-
характеристика, называемая яркостью.
Яркость В протяженного источника света S измеряется силой света, излу-
излучаемого с единицы площади видимой (перпендикулярной направлению N на-
418

блюдения) поверхности этого источника (рис. 307; М — изображение источни-
источника света S на сетчатке глаза):
I
So
B3)
где /—сила света, So—видимая поверхность.
Единицей измерения яркости является
кандела на квадратный метр (кд/м2).
Отметим, что яркость поверхности по-
полуденного Солнца имеет порядок 109 кд/м2,
спирали электролампы накаливания —
—10е кд/м2, пламени керосиновой лампы —
104 кд/м2, ночного безлунного неба —
10"* кд/м2.
Наименьшая различимая глазом яркость
имеет порядок 10 кд/м2.
Рис. 307
§ 120. Поглощение света. О физиологическом действии света
При прохождении света через какую-либо среду всегда имеет мес-
место частичное его поглощение, обусловленное превращением электро-
электромагнитной энергии в теплоту и другие виды энергии.
Вещества, слабо поглощающие свет, принято называть прозрачны-
ми\ вещества, обладающие сильным поглощением, — непрозрачными.
Однако такое подразделение носит относительный характер, посколь-
поскольку прозрачность зависит не только от природы вещества, но и от тол-
толщины его слоя. В самом деле, например, алюминий принято считать
непрозрачным веществом, а воду — прозрачным. Между тем очень
тонкий слой алюминия достаточно хорошо пропускает свет, тогда как
толстый слой воды практически непрозрачен (набольших глубинах оке-
океана царит, как известно, почти полная темнота).
Для количественной оценки процесса по-
поглощения света введем понятие интенсивно-
интенсивности света J. В соответствии с определением
интенсивности волны, данном в § 32, назо-
назовем интенсивностью света (или плотностью
потока световой энергии) количество энер-
энергии, переносимое светом за 1 с через площадь
в 1 м2, перпендикулярную световому лучу.
Пусть параллельный пучок монохромати-
монохроматических лучей падает на пластину поглощаю-
поглощающего вещества перпендикулярно поверхности пластины (рис. 308).
Мысленно выделим внутри пластины бесконечно тонкий слой dx,
находящийся на расстоянии х от ее поверхности. Изменение интен-
интенсивности света dJx, происходящее в этом слое в связи с поглощени-
поглощением, будет пропорционально толщине слоя dx и интенсивности падаю-
падающего на слой света Jx:
dJx = -kJx.dx, B4)
где k — коэффициент поглощения, характеризующий поглощатель-
ную способность данного вещества и не зависящий от толщины слоя.
"X J
Рве. 308
14*
419

Знак минус указывает на ослабление света в слое dx(dJx<0).
Перенесем Jx в левую часть равенства B4) и проинтегрируем по-
полученное выражение по всей толщине а пластины (от х = 0 до х = а
и от Jx = JQ roJx = J):
= — k dx.
Jo 0
Тогда получим, что
In —- = — ka,
Jo
ИЛИ
J = Joe-*«, B5)
где Jo — интенсивность света, падающего на пластину, J — интен-
интенсивность света, прошедшего через пластину. Это соотношение назы-
называется законом Бугера*.
Из формулы B5) следует, что при
а = — будет -^- = е « 2,72.
п J
Таким образом, коэффициент поглощения вещества есть величина,
обратная толщине такого слоя данного вещества, при прохождении
которого интенсивность света ослабляется в е раз (приблизительно
в три раза).
Для различных веществ значения коэффициента поглощения весь-
весьма различны. Например, для воздуха (при нормальном давлении) k
имеет порядок 10 м, для стекла — 1 м, для металлов —
10е м". Это означает, что для трехкратного ослабления интенсивнос-
интенсивности света достаточен слой металла толщиной
а = м = 1 мкм,
ю6
или слой стекла толщиной
а = —м = 1 м,
или слой воздуха толщиной
а =
Вообще говоря, всякое вещество обладает в большей или меньшей
мере селективным (избирательным) поглощением, т. е. значение коэф-
* Открыт в 1729 г. французским физиком Бугером. Отметим, что этот за-
закон справедлив не только для интенсивности света У, но и для силы света /
и светового потока Ф.
420

фициента поглощения зависит от длины волны света. Так, например,
вода и водяной пар сильно поглощают инфракрасное излучение. Обы-
Обыкновенное стекло хорошо пропускает видимый свет, но значительно
ослабляет инфракрасное излучение (с длиной волны Х>2 мкм) и
почти полностью поглощает ультрафиолетовое излучение (Х<
<0,38 мкм). Листья живых растений обладают значительным по-
поглощением во всем видимом спектре, кроме зеленой @,52 мкм<Х<
<0,60 мкм) и темно-красной (Х>0,70 мкм) его части; это поглощение
вызвано пигментом—хлорофиллом*, содержащимся в листьях.
На избирательном поглощении основано действие светофильтров —
стеклянных пластин и желатиновых пленок с примесью определенного
красящего вещества. Светофильтр пропускает свет только в какой-
либо определенной части спектра (соответствующей цвету светофиль-
светофильтра), поглощая все остальное излучение.
Избирательное поглощение лежит в основе так называемого пар'
пикового эффекта. Грунт парника нагревается обычно тремя источ-
источниками тепла: во-первых, видимым светом, свободно проходящим
через стекло парниковых рам, во-вторых, биотопливом и, в-третьих,
специальными обогревательными системами (водяными или электри-
электрическими). Собственное излучение нагретого грунта как тела, обла-
обладающего невысокой температурой, является инфракрасным (см.
§ 131). Но, как уже отмечалось, стекло поглощает инфракрасное излу-
излучение. Благодаря этому значительная часть энергии излучения грун-
грунта вновь превращается в теплоту и используется для обогрева пар-
парника. Таким образом, стекло защищает парник от потери теплоты
путем длинноволнового излучения.
В последние годы в парниковых рамах вместо стекла начинают с успехом
применять прозрачный полимер — полиамидную пленку. В отличие от стекла
пленка обладает высокой прозрачностью не только для видимого, но и для
ультрафиолетового излучения и очень сильно (примерно на 90%) поглощает
инфракрасное излучение. Вместе с тем полиамидная пленка весьма эластична,
легка, достаточно прочна и долговечна. Эти качества позволяют сооружать лег-
легкие временные конструкции для защиты отдельных ценных растений, целых
гряд и даже участков полей.
Парниковый эффект под полиамидным укрытием выражен более резко, чем
под стеклянным. Применение полиамидной пленки ( и некоторых других про-
прозрачных полимеров) ведет к заметному повышению урожайности сельскохозяйст-
сельскохозяйственных культур и улучшению качества урожая.
Поглощением света обусловлены в конечном счете все виды воз-
воздействия света на вещество, в том числе и физиологические его воздейст*
вия.
Самым важным из процессов, протекающих на Земле под дейст-
действием света, безусловно, является фотосинтез.
Фотосинтез заключается в превращении неорганических веществ
{воды и углекислого газа) в органические (углеводы); он осуществляется
под влиянием солнечного света, поглощаемого хлорофиллом, и сопро*
вождается выделением газообразного кислорода.
* От греческих слов ^ХшроС (хлорос) — зеленый «pvAAov (филлон) — лист.
421

Фотосинтез является сложной окислительно-восстановительной ре-
реакцией, которую можно записать (без промежуточных ее звеньев) в
виде следующего условного уравнения:
6СО2 + 6Н2О —^1-^ С6Н12О6 + 6О2.
хлорофилл
По приближенным подсчетам, наземные и водные растения зе-
земного шара ежегодно производят посредством фотосинтеза около
450 млрд. тонн органических веществ.
Непрерывно создавая органические вещества, освобождая атмо-
атмосферу от углекислого газа и пополняя ее кислородом, фотосинтез
обеспечивает условия, необходимые для существования жизни на нашей
планете.
Несмотря на грандиозные размеры общей (на всем земном шаре) фотосин-
фотосинтетической деятельности зеленых растений, лишь небольшая доля энергии сол-
солнечного света, поглощаемая растением, используется непосредственно для фо-
фотосинтеза. Эта доля обычно не превышает 5% (для яровой пшеницы —3,26%,
для картофеля —3,02%, для кукурузы —2,30% и т. п.).
Так как органическая масса растения создается в процессе фотосинтеза
то одним из эффективных путей повышения урожайности сельскохозяйственных
культур является увеличение интенсивности фотосинтеза (увеличение коэф-
коэффициента использования световой энергии для фотосинтеза). По этому пути
идет новая отрасль сельскохозяйственного производства, получившая название
светокультуры (искусственное досвечивание растений при усиленной подкорм-
подкормке углекислотой и проточном методе корневого питания).
Весьма существенное влияние свет оказывает и на животные орга-
организмы. С одним из видов такого влияния мы уже ознакомились в
§ 118 — это действие света на орган зрения. Кроме того, свет дейст-
действует на кожный покров. Видимое и инфракрасное излучения вызы-
вызывают главным образом поверхностное нагревание кожи. Ультрафио-
Ультрафиолетовое излучение вызывает фотохимическую реакцию в наружном
слое кожи, ведущую к образованию коричневого пигмента («загар»).
Этот пигмент, называемый меланином, сильно поглощает ультрафио-
ультрафиолетовые лучи, предохраняя тем самым организм от их чрезмерного
воздействия. Умеренные дозы ультрафиолетового излучения благо-
благотворно влияют на организм: усиливают его сопротивляемость инфек-
инфекционным заболеваниям и улучшают обмен веществ.
Для человека, животных и растений свег является совершенно
необходимым жизненным фактором, поскольку, как показывает опыт,
его отсутствие или недостаток нарушает нормальную деятельность
организма; недостаток света не может быть компенсирован никакими
другими воздействиями (обогреванием, питанием и т. д.).
Ультрафиолетовое излучение длиной волны меньше 0,28 мкм обладает
сильным бактерицидным действием — убивает бактерий; используется для
обеззараживания воздуха в помещениях, для стерилизации молока и т. п. Это
излучение можно создать, например, посредством кварцевой лампы (см. § 93).
В солнечном свете, достигающем земной поверхности, излучение с длиной вол-
волны, меньшей 0,29 мкм, отсутствует, так как оно полностью поглощается озо-
озоном (О3) находящимся в высоких слоях атмосферы (на высотах от 12 до 50 км).
Инфракрасные лучи играют важную роль в жизни змей. Сравнительно сла-
слабо развитые зрение, слух и обоняние компенсируются у змеи острой воспри-
422

имчивостью к инфракрасному излучению. На голове змеи между глазами и ноз-
ноздрями расположены два углубления, в которых находятся своеобразные «тер-
«термолокаторы» — органы, чувствительные к инфракрасным лучам. С помощью
этих термолокатеров змея улавливает даже слабое тепловое излучение, исходя*
щее от мелких птиц и животных, и определяет
их местоположение. Поэтому даже в совер-
совершенной темноте змея точно бросается на свою
добычу.
Задача 61. Луч света падает под углом
а = 30° на плоскопараллельную стеклянную
пластинку и выходит из нее параллельно пер-
первоначальному направлению (рис. 309). Пока-
Показатель преломления стекла п = 1,5. Какова
толщина пластинки, если расстояние между
лучами ВС = / = 1,94 см?
Решение. Полагаем, что окружаю-
окружающей пластинку средой является воздух, пока-
показатель преломления которого близок к едини-
единице. Тогда, по закону преломления света C),
найдем угол преломления^ луча в пластинке:
Рис. 309
sin a
0,5
1,5
= 0,333 откуда р => 19° 30'
Из прямоугольных треугольников ADB и АСВ следует, что
d = v4?-cosp и / =ЛВ • sin (а — р).
Деля первое равенство на второе, найдем
/ cos р 1,94 • 10 м . cos 19° 30'
sin (a —
sin 10° 30'
= 0,1 м.
Задача 62. Показатель преломления стекла для крайних красных лучей
спектра равен п\ = 1,510, а для крайних фиолетовых п2— 1,531. Определить
расстояние А/ между фокусами для красных и фиолетовых лучей двояковыпук-
двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны R\ = R2 = R — 15 см.
Решение. Эта задача о хроматической аберрации линзы (см. рис. 299,
§ 117).
Согласно формуле (9), фокусное расстояние линзы равно
? __
R\
2(n— 1)
Обозначим фокусные расстояния линзы для красных и для фиолетовых лучей
соответственно через Д и /2, тогда можем написать
1 1 \ R(n2 — пг)
2 W-1
0,15м . 0,021
? • 0,51 -0,531
Задача 63. Фокусное расстояние объектива биологического микроскопа
/об = 2 мм, фокусное расстояние окуляра /ок = 4 см, оптическая длина тубуса
микроскопа / = 18 см. Определить увеличение микроскопа N и расстояние d
от объектива до изображения предмета.
Решение. Воспользуемся оптической схемой микроскопа, представ-
представленной на рис. 301 (см. § 117).
423

Согласно формуле A5), увеличение микроскопа равно
/V:
18 см . 25 см
0,2см • 4см
:562,5,
где L = 25 см
расстояние ясного зрения.
Из рис. 301 следует, что d = /Ок + * + /об ~*
— L = 4 см + 18 см + 0,2 см — 25 см = — 2,8 см,
(Знак минус указывает на то, что изображение распо-
расположено по одну сторону с предметом от объектива.)
Задача 64. В эксперименте по светокультуре (см.
§ 120) проводится досвечивание огурцов, растущих
на площадке квадратной формы со стороной / = 160 см
(рис. 310). Источником света служит лампа накалива-
накаливания силой света / = 500 кд, подвешенная на высоте
h = 4 м над центром площадки. Какова максимальная
и минимальная освещенности Е посадки?
Решение. Согласно формуле B2), освещен-
освещенность равна
/ cos a
Рис. dlO где а— уГ0Л падения ЛуЧей, г — расстояние от источ-
источника света до освещаемого места.
Максимальная освещенность ?макс будет, очевидно, в центре посадки; для
этого места а = 0 и потому
/cos 0 500кд
Л2 = 16 м2
= 31,25лк
Минимальная освещенность ?мин будет в угловой части посадки на рас-
расстоянии
cosa
от лампы; для этого места tgа
2h
L
/ cos а / cos3 a
куда a = 15° 40'. Тогда ?мин = ——
2 -4м
500 кд .0,963э
16 м2
=0,28, от-
= 27,81 лк.

Глава XVIII. Волновые свойства света
§ 121. Интерференция света. Интерферометр
Изучая закономерности распространения упругих колебаний сре-
среды, мы познакомились с явлением интерференции волн (см. § 33).
Естественно предположить, что в случае световых (электромагнит-
(электромагнитных) волн такое явление также может иметь место. Опыт подтверж-
подтверждает это предположение: интерференцию световых волн, сходящихся
в некоторой точке пространства, можно непосредственно наблюдать,
если только эти волны являются когерентными (т. е. имеют постоян-
постоянную разность фаз), или, что то же, если когерентны источники этих
волн (см. § 33).
Нетрудно понять, что никакие два светящихся тела не могут быть
когерентными источниками света. В самом деле, свет, исходящий от
светящегося тела (например, от нити электролампы), представляет
собой совокупность множества электромагнитных волн, излучаемых
отдельными частицами (атомами и молекулами) тела. Условия излу-
излучения этих частиц очень быстро и беспорядочно изменяются. Для того
чтобы два светящихся тела являлись когерентными источниками
света, волны, излучаемые всеми частицами первого тела, должны
отличаться по фазе от волн, излучаемых всеми частицами второго те-
тела, все время на одну и ту же величину. Такое событие практически
совершенно невероятно. Поэтому для получения когерентных источ-
.ников прибегают к искусственному приему: «раздваивают» свет, ис-
исходящий от одного источника.
Это «раздвоение» можно осуществить, например,
посредством экрана с двумя малыми отверстиями
(рис. 311). В соответствии g принципом Гюйгенса —
Френеля источник света S создает в отверстиях
экрана вторичные источники света Si nSa. Очевидно,
что всякое изменение фазы волн, излучаемых основ-
основным источником S, сопровождается точно такими же
изменениями фаз волн, излучаемых вторичными исто-
источниками Si и S2. Следовательно, у волн, излучаемых
источниками S4 и S2, разность фаз все время оста-
остается неизменной, т. е. источники являются когерент- Рис- &1*
ными.
Другой способ получения когерентных источников основан на
отражении света от двух плоских зеркал, установленных под углом
а, близким к 180° (рис. 312). Эта оптическая система называется
зеркалами Френеля. Когерентными источниками служат изображения
Si и S2 основного источника света S.
В § 33 было показано, что результат интерференции двух волн
в некоторой точке Р (рис. 61) зависит от величины разности хода
лучей (волн); там же были выведены условия интерференционного
максимума B9) и интерференционного минимума C0). Применим
эти условия к случаю интерференции световых волн, создаваемых
когерентными источниками Sj и S2 и сходящихся в точке Р (см
425

рис. 312). Если в разности хода лучей Д/ = SiP — S2P укладывает-
укладывается целое число волн (четное число полуволн), т. е. если
?
г-—-—-
*г
4
Рис. 312
то в точке Р будет максимум света (X — длина волны, п = 0,1, 2Т
3, ...)- Если же в разности хода укладывается нечетное число полу-
полуволн, т. е. если
Д/
B)
то в точке Р будет минимум света (темнота)*.
Выясним теперь, как выглядит
Р интерференционная картина, соз*
даваемая на экране двумя коге-
х рентными источниками монохрома-
монохроматического света Si и Sa. Пусть рас-
расстояние между этими источниками
d, а расстояние от источников до
экрана L, причем d<^L (рис. 313).
Определим расстояния х от точки
О (одинаково удаленной от St и
S2) до тех точек Р, в которых бу-
будут наблюдаться интерференцион-
интерференционные максимумы (на рис. 313 дан вертикальный разрез экрана).
Из прямоугольных треугольников PCSi и PBS2 находим:
PS* =* L2 ~
Рис. 313
откуда
2xd,
* Предполагается, что амплитуды волн одинаковы. В противном случае
в точке Р произойдет не полное гашение, а лишь ослабление света.
426

или
(PSt — PSJ {PSi + PS2) = 2xd.
Ho
Следовательно,
A/ • 2L =
C)
Учитывая формулы A) и B), получим, что максимумы света распо-
располагаются на расстоянии
х = п— D)
а минимумы — на расстоянии
х = Bп+ I) E)
от точки О. Эти максимумы и минимумы имеют соответственно вид
светлых и темных полос, параллельных друг другу. Центральный мак-
максимум, соответствующий п = О, проходит через точку О. Расстояние
между соседними максимумами (или минимумами), очевидно, равно
А*=-^-. F)
Таким образом, интерференционная картина, создаваемая на
экране двумя когерентными источниками света, представляет собой
чередование светлых и темных полос (рис. 314). Особенно четкой эта
картина получается в случае, когда вместо точечных источников све-
света используются узкие параллельные светящиеся щели.
Так как, согласно формуле F), Ал: обратно пропорционально d9
то при большом расстоянии между источниками света Si и S2 рас-
расстояние между интерференционными полоса-
полосами может оказаться неразличимо малым. р
Поэтому для получения четкой интерферен-
интерференционной картины следует пользоваться исто-
источниками света, расположенными на возможно х4
меньшем расстоянии друг от друга (d<^L).
На основании формулы F) можно экспе- О
риментально определять длину световой вол-
волны по измеренным значениям rf, L и Ах.
Отметим, что при использовании не мо-
монохроматического, а, например, белого света,
интерференционные максимумы для каждой
длины волны будут, согласно формуле D), рИс. 314

смещены друг относительно друга. В результате все светлые полосы
приобретут радужную окраску.
Интерференционная картина очень чувствительна к величине раз-
разности хода интерферирующих волн: ничтожно малое изменение раз-
разности хода вызывает заметное смещение интерференционных полос.
На этом основано устройство интерферометров — приборов, служа-
служащих для точного измерения малых длин и углов, а также для определе-
определения показателя преломления прозрачных сред. В промышленности
интерферометр широко используется для контроля качества (гладко-
(гладкости) металлических и других шлифованных поверхностей.
\ * ../
-h-
N С
V/////////////////////777777i ft
Рис. 315
На рис. 315 приведена принципиальная схема микроинтерферо-
микроинтерферометра Линникау предназначенного для выявления и измерения мик-
микроскопических неровностей поверхности.
Пучок S монохроматических световых лучей (с длиной волны X)
попадает на полупрозрачный слой Р (тончайший слой серебра, нане-
нанесенный на диагональное сечение стеклянного куба). Рассмотрим ход
одного из лучей 1 этого пучка. На полупрозрачном слое луч / «раз-
«раздваивается»: частично проходит через слой и падает на зеркало С
(луч 7'), а частично отражается и падает на исследуемую поверхность
В (луч /")• Затем луч 1' (после отражений от зеркала и от полупрозрач-
полупрозрачного слоя) и луч /" (после отражения от исследуемой поверхности
и прохождения через полупрозрачный слой) идут в микроскоп М*.
Будучи когерентными, эти лучи интерферируют; результат их интер-
интерференции виден в поле зрения микроскопа.
Предположим, что в разности хода лучей /' и 1" (равной удвоен-
удвоенной разности расстояний между полупрозрачным слоем и зеркалом
и между полупрозрачным слоем и исследуемой поверхностью) укла-
укладывается одна длина волны X. Тогда эти лучи дадут в поле зрения
микроскопа интерференционный максимум.
* Участки луча 1' (между слоем Р и зеркалом С) изображены для нагляд-
наглядности раздельно, хотя практически они совпадают. Это относится также и к лу-
лучу 1".
428

Зеркало С составляет очень небольшой угол 9 с нормалью N к пуч-
пучку S. Благодаря этому в пучке S найдется такой луч 2, падающий на
полупрозрачный слой немного выше луча /, что создаваемые им ко-
когерентные лучи 2' и 2" будут иметь разность хода, равную 2Х. Эти
лучи также дадут интерференционный максимум, расположенный ря-
рядом с интерференционным максимумом лучей /' и 1".
Кроме рассмотренных лучей 1 и 2 в пучке S имеются еще и другие
(не показанные на рисунке) лучи <?, 4, 5 и т. д., которые создают пары
когерентных лучей У и <?", 4' и 4'\ 5' и 5" и т. д. с разностями хода,
равными соответственно ЗХ, 4Х, 5Х и т. д. Эти лучи также дадут ряд
интерференционных максимумов.
Исследуемая
поверхность
Рис. 316
Между интерференционными максимумами расположатся интер-
интерференционные минимумы, соответствующие разностям хода, равным
3 5 7
нечетному числу полуволн: —X, —X, —X и т. д. В результате в
Лл /л ?
поле зрения микроскопа возникает система чередующихся светлых и
темных параллельных полос.
В случае гладкой исследуемой поверхности интерференционные
полосы будут прямолинейными (рис. 316, а). Если же на поверхно-
поверхности имеется какая-либо неровность, например борозда, то для лучей,
отражающихся от этой борозды, разность хода изменится, что при-
приведет к смещению (изгибу) интерференционных полос в области,
соответствующей борозде (рис. 316, б). Изгибы интерференционных
полос как бы обрисуют контур борозды. Размер изгиба А (изме-
(измеряемый посредством окулярной шкалы микроскопа) пропорциона-
пропорционален глубине борозды, поэтому по величине А можно определять
глубину борозды. Если неровностью является не борозда, а гребень,
то изгибы интерференционных полос будут направлены в противо-
противоположную сторону.
Таким образом, интерференционная картина, наблюдаемая в мик-
микроинтерферометре, позволяет судить о форме и характере дефекта
исследуемой поверхности и определять размеры дефекта с большой
степенью точности (до 0,01 мкм).
429

§ 122. Об интерференции света, отраженного
от прозрачных пленок
Познакомимся с некоторыми интерференционными явлениями, возникаю-
возникающими при отражении света от тонких прозрачных пластин (пленок).
Пусть на тонкую пленку толщиной d падают параллельные лучи монохрома-
монохроматического света (рис. 317). Очевидно, что из некоторой точки С будут выходить
два практически совпадающих когерентных луча: луч /, отраженный от верх-
верхней поверхности пленки, и луч 2, отраженный от нижней ее поверхности. По-
Понятно, что разность хода А/ этих лучей зависит от
величины угла падения а и от толщины пленки d. Кро-
Кроме того, Л/ зависит еще и от показателя преломления
п вещества пленки, так как на участке ABC луча 2
световые волны распространяются со скоростью в п раз
меньшей, чем на участке DC луча /. Это ведет к увели-
увеличению разности фаз волн, а следовательно, и разности
хода лучей. Поэтому в данном случае следует рас-
рассматривать оптическую разность хода лучей:
Рис. 317
А/:
* (АВ + ВС) п — (CD + — .
Член А/2 появляется в связи с тем, что у световой волны, отражающейся
от оптически более плотной среды, фаза изменяется нал;, а у волны, отражаю-
отражающейся от оптически менее плотной, среды, фаза не изменяется. Так как луч /
отражается (в точке С) от оптически более плотной среды, а луч 2 отражается
(в точке В) от оптически менее плотной среды, то разность фаз этих лучей изме-
изменяется на п, что соответствует изменению разности хода лучей на А/2.
Если разность хода равна целому числу длин волн А падающего света, то
лучи / и 2 максимально усилят друг друга. Нетрудно усмотреть, что (при дан-
данном значении а) такой результат интерференции будет иметь место не только для
точки С, но и для всех других точек поверхности пленки. Поэтому глазу, акко-
аккомодированному на поверхность пленки, вся пленка представится ярко освещен-
освещенной. Если же А/ равна нечетному числу полуволн, то все отраженные от ее по-
поверхности лучи взаимно погасятся и пленка будет „казаться темной.
Таким образом, изменяя угол падения а, мы будем видеть пленку попере-
попеременно то светлой, то темной.
Предположим теперь, что под пленкой находится среда оптически более
плотная, чем пленка; тогда изменение фазы на л произойдет как у луча /, так
и у луча 2. Следовательно, разность хода этих лучей не получит дополнитель-
дополнительного изменения на А/2. В самом деле,
А/ = [{АВ + ВС)п + А/2] — (CD + А/2) = (АВ + ВС)п— CD.
В случае очень тонкой пленки при не слишком больших углах падения можно
считать АВ + ВС = 2d и CD = 0; тогда А/ = 2dn. Поэтому для пленки тол-
толщиной d = А/4я разность хода лучей практически при всех (не слишком боль-
больших) углах падения будет равна А/2, что соответствует условию минимума интер-
интерференции, т. е. взаимному гашению отраженных лучей. Это значит, что от такой
пленки свет практически не отражается и полностью проходит в оптически бо-
более плотную среду, находящуюся под пленкой.
Это интерференционное явление широко используется в оптической про-
промышленности для так называемого просветления оптики. Дело в том, что в слож-
сложных оптических системах (фотобъективах, перископах и т. п.) значительная
часть световой энергии отражается от поверхностей линз; это заметно снижает
яркость и контрастность изображения рассматриваемых (или фотографируемых)
объектов и создает блики. Если на поверхность линз нанести прозрачную плен-
пленку толщиной А/4м, изготовленную из вещества с показателем преломления /г.
* Предполагается, что показатель преломления среды, окружающей плен*
ку, равен единице.
430

немного меньшим показателя преломления стекла линз, то такая пленка не
будет отражать света; благодаря этому качество изображения заметно улучшит-
улучшится (оптика просветлеет).
Обычно на поверхность линз наносят пленку из кремнезема или из фторис-
фтористых солей. Кроме того, просветляющую пленку можно создать непосредствен-
непосредственно на поверхности линзы путем обработки этой поверхности растворами кис-
кислот (метод Я. В. Гребенщикова).
До сих пор мы имели дело с плоскопараллелъной пленкой. Рассмотрим те-
теперь пленку переменной толщины, например клинообразную (рис. 318). В отра-
отраженном свете поверхность такой пленки уже не покажется разномерно освещен-
освещенной, так как разность хода лучей, интерферирующих в различных (по толщине)
местах пленки, будет неодинаковой. Эта разность сохраняется постоянной толь-
только вдоль линий, параллельных ребру клина, и убывает в направлении от осно-
основания к ребру (рис. 318, а). Поэтому поверхность клинообразной пленки пред-
Ршс. 31В
ставится покрытой чередующимися светлыми и темными полосами, параллель-
параллельными ребру клина (рис. 318, б). Очевидно, что чем больше угол клина 8, тем
быстрее изменяется разность хода лучей вдоль клина и тем чаще расположены
интерференционные полосы.
При использовании белого света интерференционные полосы несколько
расширяются, приобретая радужную окраску. Это объясняется зависимостью
разности хода от длины волны: в каждой светлой полосе максимумы для раз-
различных длин волн располагаются раздельно.
В отличие от клинообразной пленки у пленки со случайным распределением
толщины интерференционные полосы могут иметь самую разнообразную кри-
криволинейную форму. При освещении этой пленки белым светом возникает весьма
причудливая по форме и расцветке интерференционная картина. Такую карти-
картину дают мыльные пленки, нефтяные пятна на поверхности воды, крылья мелких
насекомых, жировые налеты на стекле и другие тонкие пленки толщиной по-
порядка 10~4 см. В более толстых пленках цветные интерференционные полосы ока-
оказываются настолько сближенными, что частично перекрывают друг друга и
интерференционная картина становится неразличимой. Поэтому интерферен-
интерференцию света в толстых пленках можно наблюдать только при использовании стро-
строго монохроматического света.
§ 123. Дифракция света. Разрешающая способность
оптических приборов
Если между экраном А и освещающим его источником света по-
поместить другой экран В с отверстием, то на экране А появится свет-
светлое пятно, ограниченное тенью (рис. 319, а и б). Границу тени можно
найти геометрическим путем, полагая, что свет распространяется
прямолинейно,.т. е. световые лучи являются прямыми линиями (см.
рис. 319, а). Однако более тщательное наблюдение показывает, что
граница тени не является резкой; это особенно заметно в случаях,
когда размер d отверстия очень мал по сравнению с расстоянием L
431

от экрана до отверстия (d<^L). Тогда пятно на экране А представля-
представляется состоящим из чередующихся светлых и темных колец, постепенно
переходящих друг в друга и захватывающих также область геометри-
геометрической тени (рис. 320, б). Это го-
говорит о непрямолинейности рас-
распространения света от источника
S, о загибании световых лучей
(волн) у краев отверстия В (рис.
320, а). Описанное явление*непря-
молинейного распространения све-
света вблизи преграды (огибание све-
световым лучом преграды) носит на-
название дифракции света, а полу-
получающаяся на экране картина на-
называется дифракционной. При использовании белого света дифрак-
дифракционная картина приобретает радужную окраску.
Напомним, что дифракция свойственна не только световым, но
и вообще всяким волнам (см. § 34).
Рис. 319
В
Рис. 320
Кроме отверстий в экранах дифракцию вызывают также и непро-
непрозрачные предметы (преграды), помещенные на пути распространения
света, необходимо только, чтобы размер предмета был малым по срав-
сравнению с расстоянием до места наблюдения дифракционной картины.
На рис. 321 приведены фотографии типичных дифракционных кар-
картин, даваемых круглым отверстием а, прямоугольной щелью б, про-
проволокой в и винтом г.
Рис. 321

d
Отчетливые дифракционные картины получаются в случаях, когда
на пути распространения света находятся очень мелкие преграды
размером порядка длины световой волны. Следует, однако, подчер-
подчеркнуть, что вопреки довольно распространенному представлению сра-
сравнимость размера преграды с длиной волны света не является необ-
необходимым условием для наблюдения дифракции.
Дифракционные картины нередко возникают в естественных усло-
условиях. Так, например, цветные кольца, окружающие источник света,
наблюдаемые сквозь туман или через запотевшее оконное стекло,
обусловлены дифракцией света на мельчайших водяных каплях.
Дифракция обнаруживает
волновые свойства света и по- в *
тому может быть объяснена на
основе принципа Гюйгенса —
Френеля следующим образом.
Пусть свет от источника S пада-
падает на экран А через круглое от-
отверстие аЬ в экране В (рис.
322). Согласно принципу Гюй-
Гюйгенса — Френеля, каждая точка
участка аЬ фронта световой вол-
волны (заполняющего отверстие) Рис. 322
является вторичным источником
света. Эти источники когерентны, поэтому исходящие от них лучи (вол-
(волны) / и 2, 3 и 4 и т. д. будут интерферировать между собой. В зависи-
зависимости от величины разности хода лучей на экране Л в точках с, йит. д.
возникнут максимумы и минимумы освещенности. Таким образом,
на экране А в области геометрической тени появятся светлые места,
а вне этой области — темные места, создавая описанную ранее (коль-
(кольцеобразную) дифракционную картину.
Дифракцией света обусловлена разрешающая способность опти-
оптических приборов, т. е. способность этих приборов давать раздельные
изображения мелких, близко расположенных друг к другу деталей
(точек) предмета. Объектив всякого оптического прибора обязательно
имеет входное отверстие. Дифракция света на входном отверстии
объектива неизбежно ведет к тому, что изображения отдельных то-
точек наблюдаемого предмета (самосветящегося или освещаемого) ока-
оказываются уже не точками, а светлыми дисками, окаймленными тем-
темными и светлыми кольцами. Если рассматриваемые точки (детали)
предмета находятся близко друг от друга, то их дифракционные изо-
изображения (в фокальной плоскости объектива) могут более или менее
взаимно перекрываться (рис. 323, а).
Две близкие точки 1 и 2 предмета можно еще видеть раздельно,
если светлые диски их дифракционных изображений взаимно пере-
перекрываются не более чем на величину радиуса диска (рис. 323, б). Если
же диски перекрываются более чем на радиус (рис. 323, в), то раз-
раздельное видение точек становится невозможным; прибор уже не раз-
разделяет, или, как говорят, не разрешает, таких точек.
433

Наименьшее расстояние Ay (см. рис. 323, б), при котором две точ-
точки предмета еще можно видеть раздельно, называют разрешаемым
расстоянием. Разрешающую способность оптического прибора при-
принято измерять величиной ll\yt обратной разрешаемому расстоянию.
Расчеты показывают, что для микроскопа разрешаемое расстоя-
расстояние выражается формулой
G)
п sin и/2
где X— длина волны света, п — показатель преломления среды, на-
находящейся между предметом и объективом, и — апертурный угол*,
т. е. угол, образованный крайними лучами светового пучка, попа-
попадающего в объектив (рис. 324). Произведение nsinu/2 называется
числовой апертурой.
Согласно формуле G), разрешающая способность микроскопа
I/At/ пропорциональна числовой апертуре и обратно пропорциональна
длине волны света. Следовательно, для повышения
разрешающей способности микроскопа необходимо
увеличивать его числовую апертуру. Однако воз-
возможности увеличения апертуры весьма ограниче-
ограничены, поскольку sirm/2 не может быть больше еди-
единицы, а п либо равен единице, если предмет на-
находится в воздухе, либо немногим больше едини-
единицы, если предмет помещен в иммерсионную жид-
Рис. 324 кость**, например, в глицерин (п = 1,47) или кед-
кедровое масло (п = 1,52). Таким образом, числовая
апертура микроскопа имеет порядок единицы. Тогда из формулы G)
следует, что для микроскопа разрешаемое расстояние равно приблизи-
приблизительно половине длины световой волны, т. е. &у « 0,3 мкм (если по-
полагать X « 0,5 мкм). Это означает, что в оптический микроскоп нель-
нельзя рассматривать предметы, размер которых меньше 0,3 мкм
C • 10~5 см).
Разрешающая способность ставит предел полезному увеличению
микроскопа. При увеличении порядка 103 разрешаемому расстоянию
* От латинского слова a-pertura — отверстие.
** От латинского слова unmersio — погружение. У наиболее оптически пло-
плотных иммерсионных жидкостей величина п не превышает 1,6—1,7
434

@,3 мкм) соответствует достаточно крупное изображение @,3 мм).
Очевидно, что добиваться большего увеличения (т. е. более крупного
изображения) не имеет смысла, так как оно не выявит никаких но-
новых подробностей в структуре рассматриваемого предмета.
§ 124. Дифракция от щелей. Дифракционные спектры.
Дифракционная решетка. О рассеянии света в мутной среде
В лабораторной практике дифракционную картину получают обыч-
обычно от узких светящихся щелей. Поэтому случаи дифракции света
от одной, от двух и от многих параллельных щелей мы рассмотрим
более подробно.
1. Дифракция от одной
щели. Пусть на экран В с узкой
прямоугольной щелью падает пучок
параллельных монохроматических лу-
лучей нормально к экрану (рис. 325,jj)*
Все лучи, проходящие через щель в
первоначальном направлении, собира-
собираются линзой С в одну точку О экрана
А у расположенного в фокальной пло-
плоскости линзы (точнее говоря, лучи
собираются в одну линию, проходя-
проходящую через О параллельно щели).
Разность хода между всеми этими
лучами равна нулю, так как линза
не создает разности хода лучей*. Сле-
Следовательно, через точку О пройдет
светлая полоса (максимум освещен-
освещенности), параллельная щели.
Учтем теперь, что благодаря ди-
дифракции лучи от щели пойдут не
только в первоначальном направле-
направлении, но и под различными углами ф
к этому направлению (ф называется
углом дифракции). Рассмотрим пучок
лучей, дифрагирующих от щели под
таким углом ф = фь что разность
в
ог о} о о; о'г
Рис. 325
* Как видно на рис. 325, а, путь света, проходящего от щели до точки О
через утолщенные (центральные) части линзы, короче пути света, проходящего
через тонкие (краевые) части линзы. Однако, с другой стороны, свет, идущий
вдоль «центральных» лучей, распространяется с меньшей средней скоростью,
чем свет, идущий вдоль «краевых» лучей (так как в первом случае он проходит,
более длинные участки пути внутри линзы, где скорость распространения све-
света меньше, чем в воздухе). В результате путь от щели до точки О свет проходит
вдоль всех лучей практически за одинаковое время. Это означает, что линза не
создает разности фаз световых волн, а следовательно, и разности хода лучей.
Поэтому параллельные лучи, собранные линзой в какой-либо точке, сохраняют
ту оптическую разность хода (см. § 122), которую они имели до прохождения
через линзу.
435

хода А/ между крайними лучами пучка будет равна длине
световой волны Х= 2— (рис. 325, б). Тогда весь пучок можно раз-
z,
делить на такие две равные зоны / и //, называемые зонами Френеля, для
которых разность хода между каждым лучом первой зоны и соответ-
соответствующим лучом второй зоны окажется равной Х/2. Будучи собраны
линзой на линии, проходящей через точку Oiy эти лучи проинтерфе-
рируют и взаимно погасятся. В результате через О\ пройдет темная
полоса — дифракционный минимум. Очевидно, что такой же дифрак-
дифракционный минимум пройдет через точку (V, симметричную точке Ох
(ход лучей, образующих этот минимум, на рисунке не показан).
Рассмотрим другой пучок лучей, дифрагирующих под таким углом
ф = ф2, что разность хода А/ между крайними лучами пучка равна
ЗХ/2 (рис. 325, в). Тогда весь пучок можно разделить на три зоны
Френеля: /, // и ///. Понятно, что две соседние зоны (например, /
и //) погасят друг друга (так как разность хода между лучами этих
зон равна Х/2), а третья зона останется непогашенной и даст дифрак-
дифракционный максимум на линии, проходящей через точку О2. Такой же
максимум появится на линии, проходящей через точку 02', симме-
симметричную О2. Освещенность максимумов О2 и 02' будет значительно
меньше освещенности максимума О, поскольку в О попадает весь
световой пучок, проходящий через щель, тогда как в О г и Оъ попадает
только по одной третьей части такого пучка.
Путем аналогичных рассуждений нетрудно показать, что, за мак-
максимумами О2 и 02' расположатся минимумы, создаваемые лучами,
дифрагирующими под углом, при котором пучок лучей можно разде-
разделить на четыре зоны Френеля (А/ = 4Х/2). Далее расположатся мак-
максимумы, создаваемые лучами, дифрагирующими под углом, соот-
соответствующим пяти зонам Френеля (А/ = 5Х/2). В эти максимумы по-
попадает уже по одной пятой части всего пучка, проходящего через щель,
поэтому их освещенность будет меньше освещенности максимумов
О2 и О2'.
Переходя к обобщению, можно сказать, что
пучки лучей, дифрагирующих под углами, соответствующими не-
нечетному числу зон Френеля, создают на экране дифракционные мак-
максимумы, а пучки лучей, дифрагирующих под углами, соответствующи-
соответствующими четному числу зон Френеля, создают дифракционные минимумы.
Освещенность максимумов уменьшается при увеличении угла дифрак-
дифракции лучей, создающих эти максимумы.
Таким образом, дифракционная картина, получаемая от одной
щели, представляет собой чередование темных и светлых полос, сим-
симметрично расположенных по обе стороны от центральной светлой
полосы. Освещенность светлых полос быстро убывает по мере удале-
удаления от центральной полосы. Эта дифракционная картина представ-
представлена на рис. 326 (см. также фотографию на рис. 321, б).
Как мы уже показали, дифракционные максимумы получаются
при разности хода лучей А/ = Bл + 1) —, а дифракционные мини-
436

мумы — при Д/ = 2п—.Но из рис. 325 очевидно, что A/=asinq>,
где а — ширина щели. Следовательно, при дифракции света от одной
щели дифракционные максимумы наблюдаются под углами, для ко-
которых
sin <р = Bл+!)-?-,
Рис. 326
а дифракционные минимумы — под углами, для которых
sin ф = 2п ¦
2а
2. Дифракция от двух и от многих парал-
параллельных щелей. Пусть пучок параллельных монохромати-
монохроматических лучей падает перпендикулярно экрану В с двумя параллель-
параллельными щелями, находящи-
находящимися на расстоянии йдруг
от друга (рис. 327). Тогда
эти щели становятся коге-
когерентными источниками све-
света.
Если за экраном В по-
помещена собирающая линза
С, то на экране Л, распо-
расположенном в фокальной
плоскости линзы, возник-
возникнет дифракционная карти
на, являющаяся результа-
результатом двух процессов: диф-
дифракции света от каждой отдельной щели и интерференции света от
обеих щелей. Однако основные черты этой картины определяются вто-
вторым процессом, к ознакомлению с которым мы и перейдем.
Рис. 327
437

Рассмотрим лучи, падающие, например, на левые края обеих ще-
щелей. Благодаря дифракции свет от щелей будет распространяться
во всевозможных направлениях (рис. 327, а). На рис. 327, б видно,
что разность хода А/ параллельных лучей, дифрагирующих от щелей
под углом ф, равна
А/ = ds\n<p.
Будучи собраны линзой С в одну линию (проходящую параллельно
щелям через точку D экрана Л), эти лучи проинтерферируют; ре-
результат интерференции будет зависеть от величины разности хода А/.
При разности хода, равной целому числу волн, т. е. при
d sin ф == яХ,
лучи дадут на экране А интерференционный максимум. При разности
хода, равной нечетному числу полуволн, т. е. при
d sin ф = Bп + 1) —,
2
лучи дадут на экране интерференционный минимум.
ТакиМ образом, углы дифракции, соответствующие максимумам
освещенности экрана, определятся из соотношения
sin ср = п — , (8)
d
а углы дифракции, соответствующие минимумам освещенности, —из
соотношения
где п — целые (положительные и отрицательные) числа натураль-
натурального ряда (п = ± О, 1, 2, 3, ...)•
Согласно формуле (8), по обе стороны от центрального максиму-
максимума, которому соответствует значение п = О, располагаются первые
максимумы — правый (п = + 1) и левый (п = — 1), далее распола-
располагаются вторые максимумы (п = + 2 и п = — 2) и т. д. Однако воз-
возможное число максимумов является ограниченным: оно не может
быть больше, чем d/X. В самом деле, согласно формуле (8),
d
sm ф = п : —,
к
но 5Шф<^1, следовательно,
Освещенность Е различных максимумов неодинакова. Сильнее
всего освещен центральный максимум (п = 0), первые максимумы
(л = ± 1) освещены слабее, вторые максимумы (п = ± 2) — ещ&
слабее и т. д. (рис. 328; по вертикали откладывается освещенность
438

дифракционной картины, по горизонтали — расстояния до централь-
центрального максимума). Это обусловлено тем, что, как было выяснено при
рассмотрении дифракции от одной щели, освещенность экрана, соз-
создаваемая дифрагирующими лучами, уменьшается по мере увеличе-
увеличения угла дифракции.
Расчеты, которых мы не будем касаться, показывают, что при диф-
дифракции света от совокупности многих параллельных щелей, распо-
расположенных близко друг к другу, создается такая же дифракционная
картина, как в случае двух щелей. Только максимумы получаются
более яркими и узкими, а
разделяющие их миниму-
минимумы — широким-и и прак-
практически совершенно тем-
темными. Расстояние между
соседними максимумами и
их яркость возрастают по
мере увеличения числа
щелей.
Формула (8), определяю-
щая местоположения мак-
максимумов при дифракции от
двух щелей, остается спра-
справедливой и в случае ди-
дифракции от многих щелей.
Согласно формуле (8), местоположение каждого максимума за-
зависит от длины волны света X. Чем больше X, тем больше sinq>, т. е.
тем под большим углом дифракции ф получается максимум для этой
волны. Отсюда следует, что при использовании белого света каждый
максимум (кроме центрального) приобретает радужную окраску, при-
причем внутренний его край (по отношению к центральному максимуму)
станет фиолетовым, а наружный — красным, так как фиолетовому
цвету соответствуют наиболее короткие волны, а красному —на-
—наиболее длинные; между фиолетовым и красным краями максимума
расположатся остальные спектральные цвета (рис. 329). В этой свя-
связи дифракционные максимумы принято называть дифракционными
Рис. 323
Рис. 329

Рис. 330
спектрами, а число п — порядком спектра*. Спектр нулевого поряд-
порядка остается белым, так как, согласно формуле (8), при п = 0 угол
дифракции ф = 0 для всех длин волн X.
л Следует отметить, что дифра-
ая кционные спектры высоких по-
порядков начинают налагаться
друг на друга. Так, в случае
использования белого света спек-
спектры второго и третьего порядков уже частично перекрываются
^длинноволновый участок спектра 2-го порядка налагается на ко-
коротковолновый участок спектра 3-го порядка).
Совокупность большого числа узких параллельных щелей, распо-
расположенных близко друг от друга, называется дифракционной решет-
решеткой, а расстояние d между соседними щелями — периодом решетки
(рис. 330, схема). Решетку, имеющую постоянный период и одина-
одинаковую ширину всех щелей, называют регулярной.
Дифракционные решетки изготавливают путем нанесения тонких
штрихов (царапин) на поверхности стеклянной пластинки (прозрач-
(прозрачная решетка) или металлического зеркала (отражательная решетка).
Очевидно, что в таких решетках роль щелей играют промежутки меж-
между штрихами. Штрихи наносятся алмазным резцом с помощью дели-
делительной машины. Лучшие дифракционные решетки имеют до 1200—
1500 штрихов на милли-
миллиметр, что соответствует пе-
периоду (d) 0,83—0,56 мкм.
Посредством дифракци-
дифракционной решетки проводятся
очень точные измерения
длины световых волн. Для
этого пользуются дифрак-
дифракционным спектроскопом,
схема которого изображена
на рис. 331. Дифракцион-
Дифракционная решетка / установле-
установлена на неподвижном круге 2, имеющем угловые деления. Свет от
источника S проходит через узкую щель коллиматора 3 и падает
на решетку. Поворачивая зрительную трубу 4, набодят ее визир на
исследуемую линию дифракционного спектра. Отсчет угла дифрак-
дифракции ф, соответствующего этой линии, производят с помощью нониуса
5, связанного со зрительной трубой. Затем в формулу
Рис. 331
полученную из формулы (8), подставляют измеренное значение угла
Ф и порядок спектра п, в котором наблюдалась линия, и вычисляют
длину волны X.
* Заметим, что в отличие от дисперсионного спектра (см. § 116) в дифрак-
дифракционном спектре наиболее смещенным оказывается красный цвет а наименее
смещенным — фиолетовый.
440

Вообще говоря, .дифракционной решеткой может служить не толь-
только совокупность щелей, но и совокупность большого числа любых
неоднородностей (отверстий и преград) на плоскости или в объеме;
в последнем случае решетка называется пространственной. Простран-
Пространственной (нерегулярной) решеткой является, например, так назы-
называемая мутная среда, т. е. среда, в которой взвешено множество очень
мелких частиц какого-нибудь инородного вещества. К мутным средам
относятся коллоидные растворы, задымленные газы и т. п.
Проходя через мутную среду, свет дифрагирует от ее беспорядочно
(нерегулярно) расположенных микронеоднородностей и распростра-
распространяется во всевозможных направлениях, т. е., как говорят, рассеи-
рассеивается (не создавая какой-либо определенной дифракционной кар-
картины). Поэтому дифракцию света в мутных средах обычно называют
рассеянием света. Такое рассеяние наблюдается, например, в запы-
запыленном воздухе, пронизываемом солнечными лучами: благодаря рас-
рассеянию света на пылинках лучи становятся видимыми со стороны.
Особый интерес представляет так1 называемое молекулярное рас-
рассеяние света, происходящее в жидкостях и газах, совершенно очищен-
очищенных от посторонних частиц. В данном случае свет дифрагирует (рас-
(рассеивается) от мельчайших уплотнений среды (флуктуации плотности),
обусловленных случайными скоплениями значительного числа мо-
молекул в отдельных местах объема жидкости (или газа); эти скопления
создаются при беспорядочном тепловом движении молекул.
Интенсивность рассеянного света при молекулярном рассеянии
очень мала; она становится заметной лишь в случаях, когда свет про-
проходит через большую толщу рассеивающей среды.
В заключение отметим, что молекулярным рассеянием света в
атмосфере объясняются голубой цвет неба и желтоватый оттенок
солнечного диска. Согласно закону Рэлея,
интенсивность J рассеянного света обратно пропорциональна чет-
четвертой степени длины волны \:
Следовательно, из белого (солнечного) света, проходящего через
атмосферу, рассеиваются преимущественно короткие волны, соответ-
соответствующие синему и голубому цвету. В связи с этим свет, прошедший
через атмосферу, состоит преимущественно из длинных волн, при-
придающих ему и солнечному диску оранжево-желтый оттенок.
§ 125. Дифракция рентгеновских лучей.
Формула Вульфа—Брэггов
В 1895 г. немецкий физик В. Рентген открыл особый вид электро-
электромагнитного излучения (коротковолнового) с длиной волны 10~2—
10~5 мкм, названный впоследствии рентгеновскими лучами. Эти лучи
* Закон открыт английским физиком Рэлеем в конце XIX в. Этот закон
справедлив для рассеивающих центров, размер которых меньше длины волны
света.
441

Рис. 332
вызывают свечение экрана, покрытого люминофором (см. § 135),
и почернение фотоэмульсии, благодаря чему их можно использовать
для фотографирования.
Рентгеновские лучи проходят через непрозрачные для обычного
света тела: дерево, металл, кость, мышечную ткань и т. д. Причем
более плетные вещества поглощают рентгеновские лучи сильнее,
чем менее плотные. Если рентгеновские
лучи проходят через объект, характери-
характеризующийся неравномерным распределе-
распределением плотности вещества, то на экране
(или фотопластинке), помещенном поза-
позади объекта, появляется теневое изобра-
изображение, на котором распределение осве-
освещенности соответствует распределению
плотности вещества в объекте. Так,
например, на теневом изображении ки-
кисти руки (рис. 332) мышечная ткань
дает слабую тень, кость — более силь-
сильную, а металлическое кольцо С и оскол-
осколки пули А и В дают очень резкую тень.
Благодаря таким свойствам рентге-
рентгеновские лучи широко применяются в
медицине и технике для исследования
внутреннего строения тел, например для
обнаружения изменений в организме (рентгенодиагностика) и выя-
выявления дефектов в деталях машин (рентгенодефектоскопия).
Кроме того, рентгеновские лучи используются в лечебных целях.
Больные клетки и ткани организма обладают повышенной чувстви-
чувствительностью к рентгеновским лучам. Поэтому соответствующей дозой
рентгеновского облучения можно подавлять и даже разрушать боль-
больные ткани организма (например, злокачественные опухоли), не по-
поражая соседних здоровых тканей.
Рентгеновские лучи возникают при резкой остановке электронов,
быстро движущихся в рентгеновской трубке. Современная рентге-
рентгеновская трубка состоит из металлического анода А и катода КУ по-
подогреваемого током, проходящим по вольфрамовой спирали /
(рис. 333). Эти электроды на-
находятся б баллоне 2 с высо-
высоким вакуумом A0~5 Па). Ме-
Между катодом и анодом прило-
приложено напряжение U> дости-
достигающее 105 В.
Электроны,, эмиттируемые
катодом и разгоняемые эле-
электрическим полем до скоро-
скоростей порядка 100 000 км/с,
ударяются об анод. Движе-
Движение электронов представляет
собой электрический ток, а
Рентгеноккие
луш
Рис. 333
442

изменение скорости их движения соответствует перемене тока, что, как
известно, сопровождается возникновением электромагнитных волн.
Очень резкое торможение электронов, происходящее при их ударе об
анод, создает коротковолновое электромагнитное излучение, называе-
называемое тормозным рентгеновским излучением. Оно имеет сплошной спектр,
поскольку различные электроны тормозятся с несколько различными
ускорениями и? следовательно, испускают волны различной длины.
При очень больших напряжениях U наряду с тормозным излуче-
излучением возникает так называемое характеристическое рентгеновское
излучение, имеющее линейчатый спектр. Такое излучение создают
атомы анода, возбуждаемые ударами электронов, поэтому вид линей-
линейчатого спектра зависит от химического состава вещества, из которого
изготовлен анод. Более подробно характеристическое излучение рас-
рассмотрено в § 134 (в связи со строением атома).
Рис. 334
Рис. 335
Волновая природа рентгеновских лучей была экспериментально
подтверждена в 1912 г. немецкими физиками Лауэ, Фридрихом и
Книппингом, обнаружившими явление дифракции рентгеновских лу-
лучей от кристаллов. В этих экспериментах кристалл играл роль про-
пространственной дифракционной решетки; рассеивающими центрами
служили узлы (атомы или ионы) кристаллической решетки. На
рис. 334 представлена фотография дифракционной картины, созда-
создаваемой рентгеновскими лучами, проходящими через кристалл бе-
бериллия. Пятна на этой фотографии соответствуют дифракционным
максимумам рентгеновских волн определенных длин (остальные вол-
волны, входящие в сплошной спектр тормозного рентгеновского излу-
излучения, рассеиваются кристаллом равномерно, вызывая равномерное
потемнение фотопластинки — фон).
Дифракция рентгеновских лучей имеет место как при прохожде-
прохождении их через кристалл, так и при отражении от него. Условие, необ-
необходимое для дифракции рентгеновских лучей, можно получить исходя
из следующих соображений.
Пусть пучок параллельных рентгеновских лучей падает на кри-
кристалл под углом скольжения ф к системе параллельных плоскостей,
проходящих через узлы (атомы) кристаллической решетки (рис. 335).
Такие атомные плоскости можно рассматривать как полупрозрачные
зеркала, частично пропускающие и частично отражающие рентгенов-
443

ские лучи. Следовательно, отраженные лучи выходят из кристалла
также под углом ф к атомным плоскостям. Будучи когерентными, эти
лучи создают на фотопластинке изображение дифракционных мак-
максимумов при условии, что разность хода соседних лучей (А В + ВС =
= 2dsin<p) составляет целое число длин волн:
= nX, A0)
где d — расстояние между атомными плоскостями, п = 1, 2, 3
Соотношение A0) называется формулой Вульфа — Брэггов*, Углы <р
измеряются на фотографии дифракционной картины (по положению
дифракционных максимумов).
Если известна длина волны рентгеновского излучения, то по фор-
формуле A0) можно определять расстояния d, характеризующие струк-
структуру кристаллов; такой метод исследования строения тел называется
рентгеноструктурным анализом.
При использовании кристалла известной структуры (с известным
расстоянием d) формула Вульфа — Брэггов дает возможность опре-
определять длины волн, входящих в состав рентгеновского излучения.
На этом основан метод определения химического состава вещества,
называемый рентгеноспектральным анализом. Исследуемое веще-
вещество бомбардируют быстрыми электронами (поместив его, например,
на анод разборной рентгеновской трубки), в результате чего оно
испускает характеристические рентгеновские лучи, падающие на
кристалл известной структуры. Сфотографировав возникающую при
этом дифракционную картину, измеряют углы ф и рассчитывают по
формуле A0) соответствующие длины волн. Полученный таким
образом линейчатый спектр дает возможность судить о химическом
составе излучающего вещества, поскольку каждому химическому эле-
элементу присущ вполне определенный спектр характеристического излу-
излучения (см. § 134).
§ 126. О дифракции микрочастиц и волнах де-Бройля
В 1923 г. французский физик де-Бройль высказал гипотезу о су-
существовании глубокой аналогии между свойствами света и вещества,
предположив, что, подобно свету, вещество должно обладать как кор-
корпускулярными, так и волновыми свойствами. В частности, всякой дви-
движущейся микрочастице должна соответствовать (может быть сопостав-
сопоставлена) волна длиной
то
где т — масса микрочастицы, v — ее скорость, h — 6,625 х
ХЮ~34 Дж«с — постоянная Плбнка. Соотношение A1) получило
название формулы де-Бройля.
* Получена в 1913 г. русским физиком Ю. В. Вульфом и независимо от
него английскими физиками Г. Брэггом и J1. Брэггом (отец и сын).
444

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля
было дано в 1927 г. Дэвиссоном и Джермером, обнаружившими диф-
дифракцию электронов, отраженных от монокристалла никеля. Позд-
Позднее дифракция электронов наблюдалась также при прохождении
электронного пучка через тонкие пленки металлов и других веществ.
При этом возникали дифракционные картины, подобные тем, которые
дает дифракция рентгеновских лучей. На рис. 336 представлена фо-
фотография дифракционной картины, создаваемой электронами, про-
проходящими через кристалл хлористого натрия.
Дифракция является волновым процессом,
поэтому дифракция электронов доказывает
существование электронных волн (волн де-
Бройля). Эти волны дифрагируют от кристал-
кристалла подобно рентгеновским лучам.
Весьма существенно, что формула Вуль-
фа — Брэггов, выведенная для случая диф-
дифракции рентгеновских лучей, оказалась спра-
справедливой и в случае дифракции электронов:
значение длины электронной волны, рассчи-
рассчитанное по формуле Вульфа — Брэггов (по дан-
данным опытов с дифракцией электронов), сов-
совпало с ее значением, вычисленным по форму-
формуле де-Бройля.
Рассчитаем по формуле A1) длину волны X, соответствующую элек-
электронным лучам, используемым в электронном микроскопе (см. § 102).
Скорость v электрона в электронном микроскопе составляет около
140 000 км/с = 1,4 «108 м/с, массу электрона т можно считать рав-
равной его массе покоя то = 9,1'1О~31 кг, поскольку, согласно таб-
таблице (см. §20), при данной скорости отношение m/mo^l. Тогда
Рис. 336
_ h __ 6,625» 1СГ34Дж -с
то
9,1 • Ю-31 кг- 1,4» 108м/с
= 5. 10-вмкм.
Таким образом, длина электронной волны в электронном микро-
микроскопе приблизительно в 100 000 раз меньше средней длины волны
видимого света @,5 мкм). Именно этим объясняется очень большая
разрешающая способность (очень малое разрешаемое расстояние Ду)
электронного микроскопа в сравнении с оптическим микроскопом
(о чем упоминалось в § 102). Действительно, учитывая, что числовая
апертура электронного микроскопа равна примерно 0,05, получим,
пользуясь формулой G), для разрешаемого расстояния электронного
микроскопа значение
= 0,61
5 ' 10~12
и ,0о
6 . 10-" (м) = 6- Ю-9 см
(напомним, что для оптического микроскопа Ду = 3«10~5 см). Раз-
Размер атомов и молекул имеет порядок 10~8 см; следовательно, в прин-
445

ципе под электронным микроскопом можно рассматривать отдельные
атомы и молекулы вещества*.
Помимо дифракции электронов была экспериментально обнару-
обнаружена и исследована дифракция нейтронов, атомов, молекул и других
микрочастиц, что окончательно подтвердило наличие волновых
свойств у микрочастиц и дало возможность рассматривать и описы-
описывать движение этих частиц как некий волновой процесс, характери-
характеризующийся определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле
де-Бройля.
Вообще говоря, волны де-Бройля присущи всяким движущимся
частицам, в том числе и макроскопическим телам. Однако у тел боль-
большой массы эти волны оказываются столь короткими, что их совершен-
совершенно невозможно обнаружить. Например, для ружейной пули массой
т = 9г, летящей со скоростью v = 400 м/с, длина волны де-Бройля
X==JL = 6,625- 1Q-* 2.ю-,4(м)
то 9 • 4 • Ю-1
В связи с этим можно считать (как это и делается d классической
механике), что макроскопические тела не обладают волновыми свойст-
свойствами.
§ 127. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет.
Поляризация света в турмалине. Поляроиды
Свет, излучаемый отдельным атомом, представляет собой электро-
электромагнитную волну, т. е. совокупность двух поперечных взаимно пер-
перпендикулярных волн — электрической (образованной колебанием век-
вектора напряженности электрическо-
электрического поля Е) и магнитной (образо-
(образованной колебанием вектора напря-
напряженности магнитного поля Н),
идущих вдоль общей прямой г, на-
называемой световым лучом (рис.
337).
Луч (свет), у которого электри-
электрические колебания совершаются все
время в одной и только одной пло-
плоскости, называется поляризованным
лучом (светом)**; разумеется, что
при этом магнитные колебания со-
совершаются в другой (перпендику-
(перпендикулярной) плоскости (названной пло-
плоскостью поляризации света). Из дацного определения следует, что
свет, излучаемый отдельным атомом, является поляризованным (во
всяком случае в течение всего периода излучения этого атома).
* Разрешаемое расстояние современных электронных микроскопов дос-
достигает 5 • 10"8 см.
** Точнее говоря, плоско поляризованным или линейно поляризованным,
так как существуют еще круговая и эллиптическая поляризации которых мы
не рассматриваем.
Н
Рис. 337
446

Опыт и теория показывают, что химическое, физиологическое и
другие виды воздействия света на вещество обусловлены главным
образом электрическими колебаниями*. Поэтому, а также для упро-
упрощения рисунков, изображающих световую волну (или луч), мы бу-
будем в дальнейшем говорить только об электрических колебаниях,
а плоскость, в которой они совершаются, называть плоскостью све-
световых колебаний, или просто плоскостью колебаний. Тогда луч по-
поляризованного света можно схематически изобразить так, как это
сделано на рис. 338, а (луч перпендикулярен плоскости'рисунка;
Рис. 338
векторы соответствуют амплитудным значениям напряженности элек-
электрического поля Е)**.
На практике мы никогда не встречаемся со светом от одного отдель-
отдельного атома, поскольку всякий реальный источник света (светящееся
тело) состоит из множества атомов, излучающих беспорядочно, т. е.
испускающих световые волны со всевозможными ориентациями пло-
плоскости колебаний. Эти волны налагаются друг на друга, в результате
чего любому лучу, исходящему от реального (естественного) источ-
источника света, будет соответствовать множество разнообразно ориенти-
ориентированных плоскостей колебания (рис. 338, б). Такой луч (свет) явля-
является неполяризованным и называется естественным лучом (светом).
Обычно интенсивность излучения каждого из атомов, составляю-
составляющих светящееся тело, в среднем одинакова; поэтому у естественного
света амплитудные (максимальные) значения вектора Е одинаковы
во всех плоскостях колебания. Бывают, однако, случаи, когда у
светового луча амплитудные значения вектора Е оказываются неоди-
неодинаковыми для различных плоскостей колебания; такой луч назы-
называется частично поляризованным. На рис. 338, в изображен частично
поляризованный луч, у которого колебания совершаются преимуще-
преимущественно в вертикальной плоскости.
В отличие от естественного поляризованный свет характеризуется
не только интенсивностью (зависящей от амплитуды напряженности
поля Е) и цветом (зависящим от длины волны X), но еще и положением
* В этой связи отметим, что специальное название «плоскость поляриза-
поляризации» следовало бы дать не плоскости магнитных колебаний, как это получилось
по историческим причинам, а плоскости электрических колебаний.
**Векторы, соответствующие амплитудным значениям напряженности магнит-
магнитного поля Н, на рис. 338 (и последующих рисунках § 127, 128) не изображены.
447

плоскости колебаний. Поэтому, например, поляризованные лучи 1,
2 и 3 (рис. 339), интенсивность и цвет которых одинаковы, не тож-
тождественны друг другу. Однако человеческий глаз не обнаруживает
различия между поляризованными лучами, имеющими различную
ориентацию плоскости колебания, и вообще не отличает поляризован-
поляризованного света от естественного.
Естественный свет можно поляризовать, т. е. превратить его в по-
поляризованный свет. Для этого надо создать такие условия, при ко-
которых колебания вектора напряженности электрического поля Е
могли бы совершаться только вдоль одного определенного направ-
направления. Подобные условия могут, напри-
например, иметь место при прохождении есте-
естественного света через среду, анизотро-
. ^ % пную в отношении электрических коле-
j баний. Как известно, анизотропия свой-
свойственна кристаллам (см. § 51). Поэтому
можно ожидать поляризации света,
проходящего через кристалл. Действи-
ис* тельно, опыт показывает, что многие
природные и искусственно созданные
кристаллы поляризуют проходящий через них естественный свет.
В самых общих чертах физическая сущность процесса поляриза-
поляризации света, проходящего через кристалл, состоит в следующем. Сог-
Согласно электромагнитной теории Максвелла (см. § 105), переменное
электрическое поле световой волны вызывает в кристаллическом ди-
диэлектрике переменный поляризационный ток, т. е. переменное сме-
смещение заряженных частиц (атомов, ионов), составляющих кристал-
кристаллическую решетку. Поляризационный ток выделяет джоулево тепло;
следовательно, в кристалле происходит превращение световой энергии
в теплоту.
Благодаря анизотропии кристалла возможная величина смещения
его частиц, а следовательно, и сила поляризационного тока оказы-
оказываются неодинаковыми для различных плоскостей кристаллической
решетки. Очевидно, что световая волна, идущая в плоскости, соот-
соответствующей значительным возможным смещениям частиц, вызывает
сильный поляризационный ток и потому практически полностью по-
поглощается кристаллом. Если же световая волна идет в плоскости,
соответствующей малым смещениям частиц, то она вызывает слабый
поляризационный ток и проходит через кристалл без существенного
поглощения.
Таким образом, из электрических колебаний естественного света,
имеющих всевозможные направления, через кристалл проходят (без
поглощения) только те, которые совершаются в плоскости, соответ-
соответствующей минимуму поляризационного тока; остальные колебания
в той или иной мере ослабляются, так как через кристалл проходят
только их проекции на эту плоскость. В результате у света, прошед-
прошедшего через кристалл, электрические колебания совершаются лишь
в одной определенной плоскости, т. е. свет оказывается поляризован-
поляризованным.
448

К природным кристаллам, поляризующим свет, относится, напри-
например» турмалин. Естественный луч, прошедший через пластинку тур-
турмалина /, вырезанную параллельно оптической оси 00' кристалла,
полностью поляризуется и имеет электрические колебания только в
главной плоскости Q, т. е, в плоскости, содержащей оптическую ось
и луч (рис. 340).
г
Естетбенный
соет
\ По л яри зобан-
\ный едет
\0
Рис. 340
В каждом кристалле имеется направление, относительно которого атомы
(или ионы) кристаллической решетки расположены симметрично; оно называет-
называется оптической осью кристалла*. Подчеркнем, что оптическая ось — это не ка-
какая-то одна линия, а определенное направление в кристалле; все прямые, про-
проведенные в кристалле параллельно этому направлению, являются оптическими
осями.
Если естественный луч идет вдоль оптической оси, то все его электрические
колебания перпендикулярны ей. В таком случае (благодаря симметричному рас-
расположению частиц кристалла относительно оптической оси) все электрические
колебания совершаются в одинаковых условиях и все они проходят через кри-
кристалл. Поэтому естественный луч, идущий вдоль оптической оси, не поляризу-
поляризуется. При всех иных направлениях луча имеет место
его поляризация.
Если за пластинкой / помещена вторая
пластинка турмалина 2, ориентированная
так, что ее оптическая ось перпендикулярна
оптической оси пластинки /, то через вторую
пластинку луч не пройдет (так как его эле-
электрические колебания перпендикулярны гла-
главной плоскости Q пластинки 2). Если же оп-
оптически оси пластинок 1 и 2 составляют угол
а, отличный от 90Q, то свет (луч) проходит
через пластинку 2. Однако, как это следует
из рис. 341, амплитуда Е световых колебаний,
прошедших через пластинку 2, будет меньше
амплитуды Ео световых колебаний, падающих
на эту пластинку:
Е = Ео cos a.
Рис. 341
* У некоторых кристаллов имеется два таких направления; эти кристаллы
называются двухосными. Турмалин относится к одноосным кристаллам
15—31
449

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату ампли-
амплитуды световых колебаний, то
У = J0cos2a, A2)
где Jo — интенсивность света, падающего на пластинку 2, J — интен-
интенсивность света, прошедшего через эту пластинку. Соотношение A2)
называется законом Малюса*.
Таким образом, поворот пластинки 2 вокруг поляризованного лу-
луча сопровождается изменением интенсивности света, прошедшего
через эту пластинку; максимум интенсивности имеет место при a =
= 0°, минимум (соответствующий полному гашению света) — при
a = 90°.
Пластинка 1, поляризующая естественный свет, называется поля-
поляризатором, а пластинка 2, посредством которой изменяется интен-
интенсивность поляризованного света (и тем самым обнаруживается факт
поляризации), называется анализатором. Понятно, что обе пластинки
совершенно одинаковы (их можно поменять местами); данные назва-
названия характеризуют лишь назначение пластинок.
Следует отметить, что турмалин обладает значительным селек-
селективным поглощением — пропускает преимущественно зеленый свет;
это является недостатком турмалина как поляризатора (и анализа-
анализатора).
В последние годы для поляризации света широко применяются так
называемые поляроиды (поляризационные фильтры). Поляроид пред-
представляет собой прозрачную полимерную пленку толщиной около
0,1 мм, содержащую множество мелких искусственных кристалли-
кристалликов — поляризаторов, например кристалликов герапатита (сульфат
йодистого хинина). Оптические оси всех кристалликов герапатита ори-
ориентируются в одном направлении в процессе изготовления поляроида.
Поляроидная пленка сравнительно недорога, весьма эластична,
имеет большую площадь, обладает почти одинаковым (незначитель-
(незначительным) поглощением для всех длин волн видимого света.
Одним из интересных практических применений поляроида является его
использование на автотранспорте для защиты водителей от слепящего действия
фар встречных автомашин. С этой целью на ветровое стекло и на стекла фар
наклеиваются поляроидные пленки, оптические оси которых параллельны и
составляют 45° с горизонтом. Тогда, как это видно на рис. 342, оптическая ось
поляроида ветрового стекла одной машины будет перпендикулярна оптической
Рис. 342
* Открыт в 1810 г. французским физиком Малюсом.
450

оси поляроида фар встречной машины (ориентация оптических осей показана
на рисунке^ стрелками). Согласно закону Малюса, при такой ориентации опти-
оптических осей поляроидов поляризованный свет фар не пройдет через ветровое
стекло встречной машины; следовательно, водитель практически не видит
света фар встречных машин (но увидит, конечно, эти машины в свете фар своего
автомобиля).
§ 128. Двойное лучепреломление. Поляризация света
в исландском шпате. Призма Николя
В связи со сложностью структуры кристалла процесс поляриза-
поляризации света в них является, вообще говоря, значительно более сложным,
чем он описывался в предыдущем параграфе. Оказывается, что из
естественного луча, прохо-
проходящего через кристалл,
образуется не один, а два
луча, поляризованных во
взаимно перпендикулярных
плоскостях. Электрические
колебания одного из этих
лучей перпендикулярны
главной плоскости кри-
кристалла; он называется обы-
обыкновенным лучом (обозна-
(обозначается буквой о). Электри-
Электрические колебания другого
луча совершаются в глав-
главной плоскости; он назы-
называется необыкновенным лу-
лучом (обозначается буквой е). Очевидно, что при любом направлении
обыкновенного луча его электрические колебания перпендикулярны
оптической оси 00' кристалла (рис. 343, а); поэтому обыкновенные
лучи распространяются по всем направлениям с одинаковой скоростью
с0 = const и, следовательно, показатель преломления п0 для обыкно-
обыкновенного луча есть величина постоянная (л0 = с/с0 = const, где с —
скорость света в вакууме) У необыкновенного луча угол между на-
направлением электрических колебаний и оптической осью отличен от
прямого и зависит от направления луча (рис. 343, б); поэтому не-
необыкновенные лучи распространяются по различным направлениям
с различными скоростями: се Ф const. Отсюда следует, что показатель
преломления для необыкновенного луча пе является переменной ве-
величиной, зависящей от направления луча:
пе = -?- ф const*.
Благодаря различию показателей преломления для обыкновен-
обыкновенного и необыкновенного лучей эти лучи претерпевают в кристалле не-
Рис. 343
* За эти необычные с точки зрения геометрической оптики свойства луч
и был назван необыкновенным,
15*
451

одинаковое преломление; они разделяются (раздваиваются) и идут в
нескольких различных направлениях. Это явление называется двой-
двойным лучепреломлением. Оно имеет место и в турмалине и в поляроиде.
Однако эти вещества очень сильно поглощают обыкновенный луч,
поэтому через достаточно толстую пластинку турмалина A мм) или
пленку поляроида @,1 мм)
проходит только один по-
поляризованный луч (необы-
(необыкновенный).
Иначе обстоит дело при
поляризации света в кри-
кристалле исландского шпа-
шпата*. Он одинаково прозра-
прозрачен для обыкновенного и
необыкновенного лучей и
потому обладает ярко вы-
выраженным двойным лучепреломлением, в чем легко убедиться по ка-
кажущемуся раздвоению какого-либо предмета (например, надписи),
рассматриваемого через кристалл исландского шпата (рис. 344).
Кристаллы, полученные из исландского шпата, имеют обычно фор-
форму ромбоэдра — шестигранника, все грани которого являются ром-
Рис. 344
Рис. 345
Рис. 346
бами с тупым углом 102° (рис. 345). Короткая диагональ 00' ромбо-
ромбоэдра является направлением оптических осей исландского шпата.
Все плоскости, параллельные граням ромбоэдра, являются плоско-
плоскостями спайности (см. § 51), по которым шпат легко раскалывается.
Поэтому природный кристалл исландского шпата можно расколоть
не только на ромбоэдры, но и на четырехгранные призмы с гранями
в форме параллелограммов.
На рис. 346 показан ход лучей при двойном лучепреломлении
в кристалле исландского шпата. У этого кристалла показатель пре-
преломления для обыкновенного луча п0 больше показателе преломле-
преломления для необыкновенного луча п*е*. Поэтому угол преломления обык-
* Бесцветная прозрачная разновидность кальцита (СаСО3); добывается
главным образом в Исландии.
** При использовании желтого света (длина волны 0,589 мкм) л о = 1,658,
а переменное значение пе заключается в пределах от 1,658 (в направлении опти-
оптической оси) до 1,486 (в направлении, перпендикулярном оптической оси).
452

новенного луча у0 меньше, чем необыкновенного ^: sin а = п0 sin 70=
= п0 sin?*, но п?>пе, следовательно, то<у^. Интенсивности обыкновен-
обыкновенного и необыкновенного лучей одинаковы и равны половине интенсив-
интенсивности падающего (естественного) луча. При выходе из призмы эти
лучи становятся параллельными и идут на небольшом расстоянии
один от другого. Поэтому при не
очень узком падающем пучке света
пучки обыкновенных и необыкно-
необыкновенных лучей частично налагаются
друг на друга, давая (в области
наложения) неполяризованный свет
(рис. 347).
Исландский шпат широко ис-
используют в качестве поляризотора
и анализатора во многих оптиче- Рис. 347
ских приборах. Для этого из шпата
изготовляют поляризационную призму, пропускающую только один
сорт поляризованных лучей (например, необыкновенные лучи).
Наиболее распространенной поляризационной призмой является
призма Николя*. Для ее изготовления торцовые грани продолгова-
продолговатой четырехгранной призмы (выколотой из куска шпата по плоско-
плоскостям спайности) сошлифовывают так, чтобы они составляли с ребрами
острый угол 68Q (рис. 348). Затем призму распиливают на две части
Рис. 348
вдоль плоскости, перпендикулярной торцовым граням и главной пло-
плоскости. Отшлифовав поверхности распила, их склеивают канадским
бальзамом**.
Показатель преломления канадского бальзама меньше п0 , но боль-
больше пе. Следовательно, для обыкновенного луча бальзам является сре-
средой оптически менее плотной, а для необыкновенного луча — более
плотной, чем исландский шпат Поэтому обыкновенный луч, падаю-
падающий на слой бальзама под углом, большим предельного, претерпе-
претерпевает полное отражение (см. § 115), а необыкновенный луч при любых
углах падения проходит через §тот слой.
Если естественный луч падает на торцовую грань призмы Николя
параллельно основанию призмы А В (см. рис. 348), то необыкновен-
* Изобретена в 1828 г. английским физиком У. Николем.
** Клей вырабатываемый из смолы канадской пихты; его показатель пре-
преломления п = 1,550.
453

ный луч проходит через призму, почти не отклоняясь от первоначаль-
первоначального направления, а обыкновенный луч, претерпев полное отражение
от слоя канадского бальзама, поглощается зачерненной поверхностью
основания А В. Таким образом, сквозь призму Николя проходит толь-
только один поляризованный луч (необыкновенный) с электрическими ко-
колебаниями в главной плоскости призмы
Явление поляризации света служит убедительным эксперимен-
экспериментальным подтверждением поперечности световых (электромагнитных)
волн, поскольку поляризоваться могут только поперечные (а не про-
продольные) волны.
Плоская поляризация света имеет место не только при его прохождении
через кристаллы, но и при преломлении и отражении на границе изотропных
диэлектрических сред. В этом случае
отраженный и преломленный лучи час-
частично поляризуются во взаимно пер-
перпендикулярных плоскостях (у прелом-
преломленного света электрические колебания
совершаются преимущественно в плоско-
плоскости падения). Степень поляризации за-
зависит от величины угла падения. При
некотором определенном угле падения
0Lp (рис. 349) отраженный свет оказыва-
оказывается полностью поляризованным (пре-
(преломленный свет остается частично по-
поляризованным). Угол ар, называемый
углом полной поляризации, связан с от-
относительным показателем преломления
отражающей среды п законом Брю-
стера*
(при этом отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны).
Отметим, что, например, для стекла ар « 57°, а для воды ар « 53°.
129. Вращение плоскости колебаний поляризованного света.
Поляриметр
Некоторые вещества, называемые оптически активными, повора-
поворачивают (вращают) плоскость электрических колебаний поляризован-
поляризованного света, проходящего через них (не изменяя при этом амплитуды
колебаний). Это явление называется вращением плоскости поляризо-
поляризованного света**. Оно схематически показано на рис. 350. При прохо-
прохождении поляризованного луча через оптически активное вещество
А плоскость колебаний Q поворачивается вокруг луча на угол 9.
К оптически активным веществам относится ряд твердых тел (кварц,
киноварь, сахар и др.) и многие жидкости (скипидар, водный раствор
* Установлен английским физиком Брюстером в 1815 г. Так как в рас-
рассматриваемом случае (рис. 349) первой средой является воздух, то относитель-
относительный показатель преломления второй (отражающей) среды практически равен
ее абсолютному показателю преломления п.
** Или вращением плоскости поляризации, поскольку поворот плоскости
электрических колебаний сопровождается таким же поворотом плоскости маг-
магнитных колебаний, т. е. плоскости поляризации света.
454

сахара, никотин, винная кислота и т. д.). Вещества, поворачивающие
плоскость колебаний по часовой стрелке (если смотреть навстречу
лучу), называются правовращающими, а вещества, поворачивающие
эту плоскость в противоположном направлении, — левовращающи-
ми. Многие оптически активные вещества существуют в двух разно-
разновидностях — правовращающей и левовращающей.
Вращение плоскости колебаний поляризованного света обуслов-
обусловлено особенностями структуры активных веществ (асимметричным
строением молекул, не имеющих ни центра симметрии, ни плоскости
симметрии).
Угол 6 поворота плоскости ко-
колебаний поляризованного света г___ 1\ / \ \$
пропорционален толщине / слоя г J
вращающего вещества, через ко-
который проходит свет (рис. 350):
О = а/; в случае раствора этот угол
пропорционален еще и концент-
концентрации раствора С:
в-а/С. A4)
Коэффициент а, называемый удельным вращением, характеризует вра-
вращательную способность вещества (для раствора а равен углу, на ко-
который поворачивается плоскость колебания поляризованного света,
проходящего через слой раствора единичной толщины и единичной
концентрации).
Удельное вращение а зависит от длины волны света X. Поэтому
одно и то же активное вещество поворачивает плоскость колебаний
волн различной длины на различные углы. Так, например, слой вод-
водного раствора тростникового сахара толщиной в 1 дм при концентра-
концентрации в 1 г сахара на 1 см3 раствора поворачивает плоскость колебаний
красного света (\ = 0,656 мкм) на 53°, желтого света (X =
== 0,589 мкм) — на 66,5° и зеленого света (к = 0,535 мкм) — на 82°.
Это явление называется вращательной дисперсией. Обычно 9 возра-
возрастает с уменьшением X.
На вращении плоскости колебаний поляризованного света основан
простой и весьма точный метод определения концентрации раство-
растворов оптически активных веществ; сущность его состоит в следующем.
Свет от источника S пропускают через светофильтр F и поляриза-
поляризатор Р, превращая его в монохроматический поляризованный свет
(рис. 351). Наблюдая в окуляр О, поворачивают анализатор А таким
о5разом, чтобы свет не проходил через него, т. е., как говорят, «уста-
«устанавливают анализатор на темноту». Очевидно, что при этом главные
плоскости поляризатора и анализатора взаимно перпендикулярны.
Отсчет 9i положения анализатора производят по кругу /(, имеющему
угловые деления. Затем между поляризатором и анализатором по-
помещают стеклянную трубку /?, заполненную исследуемым раствором
При этом поле зрения окуляра просветлеет, поскольку раствор по-
повернет плоскость колебаний на некоторый угол в и она не будет уже
перпендикулярна главной плоскости анализатора. Очевидно, что на
455

такой же угол следует повернуть анализатор, чтобы вновь установить
его на темноту. Выполнив это, снимают отсчет ва по кругу К и на-
находят угол в = 6i — в2.
Согласно формуле A4),
C-JL. A5)
а/
Рис. 351
Из этого соотношения можно определить концентрацию С по измерен-
измеренным значениям в и / и известному для данного активного вещества зна-
значению а.
Прибор, служащий для определения концентрации растворов опти-
оптически активных веществ, называется поляриметром; на рис. 351
дана его принципиальная схема. Поляриметр, предназначенный для
измерения концентрации водных растворов сахара [а =«
= 66,5- 10~2-К-м2/кг = 66,5 К*см3/(г*дм) для желтого света 1, носит
название сахариметра; он широко используется в сахарном произ-
производстве и в медицине.
Задача 65. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изо-
изображениями источника света равно d = 0,5 мм, расстояние до экрана L =
= 5 м. В зеленом свете на экране получились интерференционные полосы на
расстоянии Д. х = 5 мм друг от друга. Найти длину волны X зеленого света.
Решение. Условия задачи соответствуют рис. 312—314 из § 121.
Согласно формуле F), расстояние между соседними интерференционными
полосами А х = \Lld. Тогда
5. 10-* м . 5. 10~3м . _ .
Задача 66. На дифракционную решетку нормально падают световые лу-
лучи. При повороте зрительной трубы гониометра на некоторый угол <р в поле
зрения видна линия А. = 0,44 мкм в спектре третьего порядка ( п = 3). Будут
ли видны под этим же углом какие-либо другие спектральные линии, соответ-
соответствующие длинам волн Х^, лежащим в пределах видимого спектра (от 0,4 мкм
до 0,7 мкм)?
Решение. Согласно формуле (8), применимой и к дифракционной ре-
решетке (см. § 124), можем написать
dsin<p =s hk — nxkXt
где d — период решетки, пх — порядок спектра, в котором возможлэ сущест-
существование спектральной линии \х. Тогда
456

Но, согласно условию, отношение Шх заключено в пределах от 0,44/0,4 « 1,1
до 0,44/0,7 « 0,63, т. е.
063<11
х
откуда следует, что 0,63<-^-< 1, i э или, учитывая, что п « 3,
1.89 < л* < 3,3.
Поскольку пх есть целое число, возможны два случая1 пх*= 2 и л*«¦ 3.
Но случай пх= 3 отпадает, так как п тоже равно 3, а линии, относящиеся к одно-
одному порядку спектра, не могут накладываться друг на друга. Следовательно,
пх = 2.
Тогда Х^=Х «» 0,44 мкм —« 0,66 мкм, что соответствует красному
пх 2
цвету; X « 0,44 мкм соответствует синему цвету (см., например, рис. 304).
Итак, на синюю линию (X « 0,44 мкм) спектра третьего порядка наклады-
накладывается красная линия (Х^ = 0,66 мкм) спектра второго порядка.
Задача 67. Электронный пучок, падающий на алюминиевую пластинку,
дает при отражении дифракционную картину, причем угловое отклонение (от
центра этой картины) дифракционного максимума второго порядка а «* г
Период кристаллической решетки алюминия (расстояние между атомными пло-
плоскостями) d = 0,405 нм. Какова скорость электронов в пучке?
Решение. Задача описывает волновые свойства движущихся электро-
электронов (см. § 126).
Длина волны, соответствующая электронам пучка, определится из фор-
формулы Вульфа *~ Брэггов A0)!
2d sin <p
X t=a ,
п
где л « 2 —» порядок максимума, ф ¦« 90 — а есть угол скольжения пучка
(см. j 125).
Согласно формуле де-Бройля A1),
где т — масса электрона, h «- постоянная Планка. Тогда
nh 2. 6,625 . Ю-84 Дж .с
2md sin (90° — а) 2.9,1. 10~81 kf • 4,05 . КГ1» м*0,9998
lt8. 10«м/с.
Задача 68. Чему равен угол а между главными плоскостями поляризато
ра и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через
поляризатор и анализатор, уменыниодась в четыре раза? Поглощением света
пренебречь.
Решение. При прохождении света через поляризатор интенсивность
света уменьшается вдвое. Поэтому /о «" /*/2, где /* — интенсивность естест-
естественного света, /о — интенсивность света, прошедшего через поляризатор.
При прохождении света через анализатор интенсивность света уменьшает-
уменьшается по закону Малюса A2)г
y«J0coss«,
где J — интенсивность света, прошедшего через анализатор. Но, по условию
задачи, / =» /*/4, поэтому
лПТ
откуда cos а «» -Л-— и а » 45°.

Глава XIX. Квантовые свойства света
и строение атома
§ 130. Тепловое лучеиспускание и лучепоглощение.
Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа
Электромагнитное излучение обусловлено, как уже неоднократко
отмечалось, колебаниями электрических зарядов, в частности заря-
зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества. Так, например,
колебательное и вращательное движения молекул и атомов создают
инфракрасное излучение, определенные перемещения электронов в
атсше создают видимое и ультрафиолетовое излучение, торможение
свободных электронов создает рентгеновское излучение и т. д.
Самым распространенным в природе видом электромагнитного
излучения является тепловое излучение, или лучеиспускание; оно со-
совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул ве-
вещества, т. е. за счет внутренней энергии вещества, и потому ведет
к охлаждению излучающего тела. Лучеиспускание присуще всем
телам при любой температуре, отличной от абсолютного нуля. Теп-
Тепловое излучение имеет сплошной спектр, однако распределение энер-
энергии в нем существенно зависит от температуры: при низких темпе-
температурах тепловое излучение является преимущественно инфракрас-
инфракрасным, при высоких температурах — видимым и ультрафиолетовым.
Всякое тело, излучая само, вместе с тем поглощает часть лучис-
лучистой энергии, испускаемой другими (окружающими) телами; этот
процесс называется лучепоглощением. Он ведет к нагреванию данного
тела.
Очевидно, что, теряя энергию путем лучеиспускания и в то же
время получая энергию путем лучепоглощения, данное тело должно
в конце концов прийти в состояние теплового, или лучистого, равно-
равновесия, при котором потеря энергии за счет лучеиспускания компен-
компенсируется притоком энергии за счет лучепоглощения. Температура,
соответствующая этому состоянию, называется температурой лучи-
лучистого равновесия.
Лучистое равновесие является обычным состоянием тел, предо-
предоставленных самим себе.
Для количественной оценки процессов лучеиспускания и луче-
лучепоглощения вводятся следующие характеристики.
Полная лучеиспускательная способность тела Е — величина энер-
энергии, испускаемой с единицы площади поверхности тела за 1 с; изме-
измеряется в Дж/(м2-с)*.
Полная лучепоглощательная способность тела А — отношение лу-
лучистой энергии, поглощаемой телом, ко всей падающей на него лу-
лучистой энергии; очевидно, что А — безразмерная величина.
Значения Е и А зависят от природы тела и температуры.
* Лучеиспускательную способность иногда называют энергетической све-
светимостью.
458

Опыт показывает, что величина энергии, испускаемой (поглощае-
(поглощаемой) телом, различна для различных длин волн. В связи с этим вво-
вводится понятие спектральной лучеиспускательной (лучепоглощатель-
ной) способности.
Спектральной лучеиспускательной способностью тела Е\ назы-
называется лучеиспускательная способность, рассчитанная для узкого
интервала длин волн АХ (от X—ДХ/2 до Х+ДХ/2). Аналогичным образом
вводится понятие спектральной лучепоглощательной способности
Лучепоглощательная способность всех реальных тел меньше еди-
единицы. Так, например, для видимой части спектра лучепоглощатель-
лучепоглощательная способность алюминия равна 0,1, меди—0,5, воды—0,67.
Воображаемое тело, поглощающее при любой
температуре всю падающую на него лучистую
энергию, называется абсолютно черным телом;
лучепоглощательная способность такого тела для
всех длин волн одинакова и равна единице
(Лх = А = 1). Для видимой части спектра те-
телом, близким по своим свойствам к абсолютно
черному, является сажа (А = 0,95).
Практически наиболее совершенным абсолют-
абсолютно черным телом является малое отверстие в рис. 352
стенке замкнутой полости, внутренняя поверх-
поверхность которой зачернена (рис. 352). Луч, попав-
попавший в отверстие, многократно отражается стенками полости и прак-
практически не выходит обратно, поскольку при каждом отражении значи-
значительная часть его энергии поглощается стенками
Абсолютно черное тело, поглощая падающую на него лучистую
энергию, вместе с тем само излучает. Поэтому при низкой температу-
температуре полости отверстие в ней кажется черным; если же полость на-
нагрета до высокой температуры, то отверстие представляется ярко
светящимся. Примерами практически абсолютно черных тел могут
служить зрачок глаза и смотровое отверстие мартеновской печи.
Выясним теперь, как связаны между собой лучеиспускательная и
лучепоглощательная способности тела. Представим себе изолирован-
изолированную систему из двух тел, имеющих различную температуру и могущих
обмениваться энергией только путем лучеиспускания и лучепогло-
щения. Через некоторое время в такой системе установится тепловое
равновесие. Обозначим лучеиспускательные и лучепоглощательные
способности тел при температуре лучистого равновесия соответствен-
соответственно через ?", Е" и Л', А". Предположим, что первое тело испускает
с 1 м2 поверхности за 1 с в п раз больше энергии, чем второе, т. е.
Е' = пЕ\
Но тогда оно должно и поглощать в п раз больше энергии, чем
второе тело, т. е. должно иметь место равенство
А' = пА"\
в противном случае первое тело начнет нагреваться (или охлаждать-
охлаждаться) за счет второго тела и его температура будет изменяться, что про-
459

тиворечит условию теплового равновесий/Из двух последних равенств
следует, что
_Е'_ _ Е^_
А' ~ А" *
Если изолированная система состоит из многих тел с лучеиспу-
лучеиспускательными способностями ?", ?"', ?"", ... и лучепоглощательными
способностями А\ А", Л"', ... и одно из них является абсолютно чер-
черным, то аналогичные рассуждения приведут к следующему выводу:
Е Е* Е'«
6 A)
где § — лучеиспускательная способность абсолютно черного тела
(его лучепоглощательная способность равна единице и потому не на-
написана в качестве делителя при 8).
Соотношение A) представляет собой закон Кирхгофа:
для всех тел при данной температуре отношение лучеиспускатель-
лучеиспускательной способности к лучепоглощательной способности есть постоянная
величина, равная лучеиспускательной способности абсолютно черного
тела при той же температуре.
Этот закон остается справедливым и для спектральных лучеиспу-
лучеиспускательной и лучепоглощательной способностей тел:
Из закона Кирхгофа вытекают три важных следствия.
1. Лучеиспускательная способность любого тела при данной тем-
температуре равна произведению его лучепоглощательной способности
на лучеиспускательную способность абсолютно черного тела при той
же температуре:
ЕА8
2. Лучеиспускательная способность любого тела меньше луче-
лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же
температуре (?" = А8, но Л<1, следовательно, Е<8).
3. Если тело не поглощает каких-либо волн, то оно и не испускает
их (?х = А\ 8\, поэтому при А\ = 0 будет и Е\ = 0).
Соотношения B) позволяют определять лучеиспускательную спо-
способность любого тела, если известна его лучепоглощательная способ-
способность А и лучеиспускательная способность абсолютно черного тела
8\ значения А и 8 определяются опытным путем.
Основным источником нагревания почвы является, как известно, солнечное
излучение. Изменяя лучепоглощательную способность поверхности почвы пу-
путем покрытия этой поверхности различными красителями, можно в довольно
значительных пределах регулировать .температуру теплового равновесия верх-
верхнего слоя почвы. Этот прием, широко применяемый в агрономической практике,
называют мульчированием. В качестве покрытий, носящих общее название
460

мульчи, используют молотый мел, торфяной и угольный порошки, битум, ни-
нигрозин и т. п.
Очевидно, что для увеличения лучепоглощательной способности почвы (и,
следовательно, для повышения температуры почвы) надо применять темную
мульчу, а для уменьшения лучепоглощательной способности почвы (и понижения
температуры почвы) — светлую мульчу.
§ 131. Законы излучения абсолютно черного тела.
Квантовый характер излучения. Формула Планка
Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного
тела было изучено экспериментально к концу прошлого столетия.
В качестве абсолютно черного тела использовалась полость с малым
отверстием (см. рис. 352),
а также уголь.
На рис. 353 представ-
представлен график распределения
энергии в спектре излуче-
излучения абсолютно черного
тела при температуре
Т = 1259 К. По оси аб-
абсцисс отложены длины волн
к (в микрометрах); по оси
ординат отложены (в усло-
условных единицах) отношения ? / / д^ j VaT 5 ВА?мнм
($х/АХ) спектральной лу-
лучеиспускательной способ-
способности абсолютно черного
тела 8\ к интервалу длины волн АХ, в котором определена 8\ *.
Таким образом, площадь, ограниченная кривой распределения и
осью абсцисс, представляет собой полную лучеиспускательную спо-
способность 8 абсолютно черного тела при температуре 1259 К, т. е.
величину энергии, испускаемой с единицы площади его поверхности
за 1 с/V х • АХ = 2j #х = § j . Из графика следует, что при данной
температуре максимум излучения абсолютно черного тела приходится
на длину волны Хт « 2,4 мкм (инфракрасное излучение).
Зависимость полной лучеиспускательной способности 8 от тем-
температуры описывается законом Стефана — Больцмана**:
полная лучеиспускательная способность абсолютно черного тела
пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:
C)
Т-1259 К
8 = \
где а — постоянная Стефана — Больцмана;
о = 5,67 • Ю-8 Вт • м.
* Отношение (fx/ДХ обычно называют спектральной плотностью энерге-
энергетической светимости.
*•* Получен экспериментально в 1879 г. австрийским физиком Стефаном
и в некоторой мере теоретически обоснован в 1884 г. Больцманом.
461

Зависимость длины волны Хт от температуры выражается зако-
законом Вина*:
длина волны, соответствующая максимуму излучения абсолютно
черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре:
т Ь, D)
где b — постоянная Вина\
Ь = 0,28979
Для иллюстрации законов Стефана — Больцмана и Вина на
рис. 354 показано распределение энергии в спектре излучения угля
при различных температурах (спектр излучения угля близбк кспек-
тру излучения абсолютно черного
тела). На рисунке видно, что с по-
повышением температуры лучеиспу-
лучеиспускательная способность возрастает
(площадь, заключенная между кри-
кривой распределения и осью абсцисс,
увеличивается), а длина волны Хт,
соответствующая максимуму излу-
излучения, уменьшается (максимум
кривой распределения смещается
_ влево).
Ч}2 1,6 2,0 2,4 2,83,2 3,6 Л%мкм Наглядным примером, подтвер-
подтверждающим уменьшение Хт с ростом
Рис. 354 температуры тела, является изме-
изменение цвета свечения нагреваемого
металла. Сначала металл остается темным (Хт лежит в инфракрасной
области); затем при достаточно высокой температуре появляется кра-
красное свечение металла («красное каление»), потом оранжевое, жел-
желтое и, наконец, голубовато-белое свечение («белое каление»).
Следует, конечно, иметь в виду, что металл не является абсолю-
абсолютно черным телом. Однако, согласно следствию B), вытекающему из
закона Кирхгофа, характер распределения энергии в спектре излу-
излучения абсолютно черного тела сохраняется в общих чертах и для не-
нечерных тел.
Из рисунка видно, что при температуре Т = 6000 К максимум
излучения приходится на видимый свет (Хт «0,5 мкм). Отсюда сле-
следует, что наиболее выгодный в световом отношении тепловой источ-
источник света должен иметь температуру около 6 000 К. Однако и у та-
такого источника световой коэффициент полезного действия (т. е. отно-
отношение энергии излучения, приходящейся на видимую часть спектра,
ко всей энергии излучения) оказывается малым — порядка 15%,
поскольку, как это видно из рисунка, значительная доля энергии
излучения приходится на инфракрасные лучи. У современных осве-
осветительных электроламп температура нити накала равна приблизи-
приблизительно 3 000 К, что соответствует величине светового коэффициента
* Получен в 1893 р. немецким физиком Вином.
462

полезного действия порядка 3%. Таким образом, электролампа
в большей мере греет, чем светит.
На законе Вина основана оптическая пирометрия — метод опре-
определения температуры раскаленных тел (металла — в плавильной пе-
печи, газа — в облаке атомного взрыва, поверхности звезд и т.п.)
по спектру их излучения. Именно этим методом была впервые опре-
определена температура поверхности Солнца. Максимум энергии солнеч-
солнечного излучения приходится на видимый свет длиной волны Хт =
= 0,47 мкм*. Следовательно, согласно закону Вина, абсолютная тем-
температура поверхности Солнца
Таким образом, верхняя кривая распределения (см. рис. 354)
приблизительно соответствует распределению энергии в спектре сол-
солнечного излучения.
Для нашей планеты Солнце является основным и чрезвычайно мощ-
мощным источником лучистой энергии. На верхней границе земной атмо-
атмосферы интенсивность солнечного излучения составляет около 8,4 х
X Ю4 Дж/(м2 • мин); эта величина называется солнечной постоянной.
На земной поверхности интенсивность солнечного излучения в сред-
среднем на 25% меньше (вследствие поглощения в атмосфере).
Законы Стефана— Больцмана и Вина являются частными закона-
законами излучения абсолютно черного тела: они не дают общей картины
распределения энергии по длинам волн при различных температурах.
В конце прошлого века был предпринят ряд попыток теоретически
установить закон распределения энергии в спектре излучения абсо-
абсолютно черного тела, т. е. получить формулу, выражающую спектраль-
спектральную лучеиспускательную способность 8\ этого тела как функцию
длины волны X и абсолютной температуры Т:
S, = /(X, T). E)
Однако эти попытки приводили к результатам, противоречащим опы-
опыту. Лишь в 1900 г. немецкий физик Планк нашел вид функции E).
Для этого ему пришлось отказаться от установившегося в физике пред-
представления об электромагнитном излучении как о непрерывной элек-
электромагнитной волне, могущей иметь любую частоту и в соответствии
с этим переносить любые количества энергии. Планк высказал чрез-
чрезвычайно смелую гипотезу, согласно которой электромагнитная энер-
энергия может излучаться и распространяться только вполне определен-
определенными (для данной излучающей системы) отдельными порциями е,
или квантами**. Таким образом, можно сказать (пользуясь поня-
понятиями классической физики), что электромагнитные волны переносят
энергию только в количествах, кратных величине кванта энергии е;
* В солнечном излучении, достигающем земной поверхности, максимум
энергии приходится на длину волны 0,56 мкм, а не 0,47 мкм. Такой сдвиг зна-
значения \т обусловлен селективным поглощением света в яемной атмосфере,
** От немецкого слова quantum — количество.
463

количество переносимой энергии может быть равным е или 2s,
или Зе, или вообще т (где п = 1, 2, 3, ...), но не может быть равным
дробному числу квантов, например 3s/4 или 9е/5.
Величина кванта энергии пропорциональна частоте излучения
(обратно пропорциональна длине волны X):
— AV-A-J-, F)
где с — скорость света в вакууме, h = 6,625 • 104 Дж • с —
постоянная Планка, или квант действия*. По формуле F) можно
вычислить величину кванта энергии для излучения любой длины вол-
волны. Например, для зеленого света (X = 0,555 мкм) получим
he _ 6,625- Ю-*4 • 3- 10»
I "' 6,55 . 10~7
Дж - 3,6 • Ю-*9 Дж.
В таблице приведены значения квантов энергии для некоторых
длин волн, соответствующих различным видам электромагнитного
излучения.
Вид излучение
Радиоволны ......
Видимый свет , „ , « .
Рентгеновские лучи . .
Гамма-излучение ....
Длина волны
103 М «= 1 км
10° М = 1 М
5,6-10"'м = 0,56 мкм
10~9м«1 Нм
Ю2 м =1 пм
Частоте
(Гц)
3.10й
3-108
5,4-10J4
3-Ю17
3-Ю20
Величина
«ванта (Дж)
2-Ю-28
2.10~а5
3,6- 10~19
2-10~l«
2.10~*8
Из таблицы видно, что при больших длинах волн величина кван-
кванта крайне мала. Поэтому в общем потоке энергии, исходящем от длин-
длинноволнового излучателя (например, макроскопического генератора
радиоволн), отдельный квант энергии совершенно незаметен, в связи
с чем прерывистость излучения энергии не обнаруживается. В корот-
коротковолновом излучении величина кванта энергии сравнительно боль-
большая. Благодаря этому в потоке энергии, исходящем от коротковолно-
коротковолновых микроизлучателей (атомов и молекул), отдельные кванты энер-
энергии становятся заметными, обнаруживая тем самым прерывистость
(квантовый характер) излучения.
Процесс поглощения электромагнитной энергии веществами так-
же носит прерывистый (квантовый) характер.
Таким образом, между процессами, совершающимися в макро-
и микромире, существует не только количественное, но и качествен-
качественное различие. Поэтому законы классической физики, полученные из
наблюдений над макрообъектами, не могут или, точнее говоря, не
всегда могут быть пригодны для описания процессов, совершающих-
совершающихся в микрообъектах. Именно этим была обусловлена бесплодность по-
* Термин «квант действия» был введен План ком в связи с тем что h имее-±
размерность действия (т. е. произведения энергии на время),
464

пыток теоретически вывести закон распределения энергии в спектре
излучения абсолютно черного тела, исходя из понятий классической
физики.
На основе представлений о квантовом характере теплового излу-
излучения Планк получил следующее выражение спектральной луче-
лучеиспускательной способности абсолютного черного тела:
где X— длина волны, Т — абсолютная температура, с — скорость
света в вакууме, k — постоянная Болышана, е — основание нату-
натуральных логарифмов.
Формула Планка G) находится в полном соответствии с опытными
данными. Из этой формулы получаются как следствия законы Сте-
Стефана — Болышана и Вина.
На основе теории Планка Эйнштейн в 1905 г. создал квантовую
(фотонную) теорию света, а Бор в 1913 г. разработал квантовую
теорию строения атома.
Отметим, что квантование энергии свойственно не только электромагнит-
электромагнитному излучению, но и многим другим физическим процессам. Так, например,
квантованием энергии колебательных и вращательных движений атомов и мо-
молекул объясняется зависимость теплоемкости многоатомных тагов от темпера-
температуры, наблюдаемая при высоких температурах (см § 44)
Квантовые свойства света обусловлены особенностями структуры
микроскопических излучателей света — атомов и молекул. В связи
с этим дальнейшему ознакомлению с квантовыми свойствами света
целесообразно предпослать основные сведения о строении атома.
§ 132. Строение-атома (ядерная модель). Дискретность
энергетических состояний атома. Постулаты Бора
К началу XX в. было с полной достоверностью установлено, что
в состав каждого атома входят электроны. Вместе с тем было извест-
известно, что атом в целом электронейтрален. Отсюда следовало, что отри-
отрицательный заряд электронов должен компенсироваться положитель-
положительным зарядом каких-то других частиц, также входящих в состав атома.
В 1911 г. английский физик Резерфорд предложил ядерную (пла-
(планетарную) модель строения атома. Согласно этой модели, весь поло-
положительный заряд и почти вся масса О99,94%) атома сосредоточены
в атомном ядре, размер которого ничтожно мал (порядка 10~18см)
по сравнению с размером атома A0~8 см). Вокруг ядра по замкнутым
(эллиптическим) орбитам движутся электроны, образуя электронную
оболочку атома. Заряд ядра равен по абсолютной величине суммарному
заряду электронов.
Таким образом, атом в целом является чрезвычайно «ажурным»
микрообразованием: совокупностью небольшого числа очень малых
частиц вещества (ядра и электронов), распределенных в сравнительно
очень большом объеме.
465

Поток
а-частиц
Рис. 355
Предположение о вращении электронов вокруг ядра Резерфорд
сделал в связи с тем, что, согласно теореме Ирншоу (см. § 79), атом
в виде статической системы не может быть устойчивым.
Что касается предположения о наличии в центре атома одного
массивного, но весьма малого ядра, то Резерфорд доказал это экспе-
экспериментально на опытах с рассеянием альфа-частиц, проходящих через
вещество. Альфа-частицы, испускаемые радиоактивными элементами,
движутся со скоростью порядка 104 км/с, имеют положительный за-
заряд, равный двум элементарным зарядам, и массу, в 7350 раз боль-
большую массы электрона (см. § 139).
Схема опытов Резерфорда по-
показана на рис. 355; а-частицы,
испускаемые радиоактивным ве-
веществом, двигались в вакууме и,
проходя через фольгу F (толщиной
около 1 мкм), падали на люми-
несцирующий экран Q. Удар ка-
каждой а-частицы об экран вызывал
кратковременную вспышку —сцин-
—сцинтилляцию*, наблюдаемую в ми-
микроскоп.
Наблюдения показали, что большинство а-частиц проходит сквозь
фольгу без заметного отклонения от первоначального направления,
некоторые частицы отклоняются на небольшой угол и лишь немногие
частицы претерпевают сильное отклонение.
Естественно предположить, что отклоне-
отклонение а-частиц вызвано их взаимодействием
(«столкновением») с массивными атомными
ядрами (рис. 356), поскольку легкие электро-
электроны не могут существенно изменить движение
сравнительно тяжелых и очень быстрых а-
частиц.
Из того факта, что значительное откло-
отклонение испытывают только немногие а-части-
а-частицы, следует, что лишь некоторые из них
проходят вблизи ядер; а это в свою очередь
означает, что атомные ядра имеют малый раз-
размер и расположены в веществе фольги на
очень больших расстояниях друг от друга.
Полагая, что ядро и а-частица взаимодействуют (отталкиваются)
по закону Кулона, Резерфорд теоретически рассчитал картину рас-
рассеяния а-частиц, получив результат, хорошо согласующийся с опыт-
опытными данными.
Исследования Резерфорда позволили определить порядок размера
ядра A0~13 см) и величину его заряда. При этом оказалось, что заряд q
ядра, выраженный в элементарных зарядах е, равен порядковому но-
номеру Z химического элемента в периодической системе Менделеева:
q =eZ
* От латинского слова scintillatio — сверкание, искрение.
Рис. 356
466

и вместе с тем равен числу электронов в электронной оболочке атома.
Однако резерфордовская модель строения атома не укладывалась
в рамки законов классической физики. В самом деле, согласно за-
законам классической электродинамики, электрон, вращаясь вокруг
ядра (т. е. двигаясь с ускорением), должен непрерывно излучать элек-
электромагнитные волны, частота которых равна частоте вращения элек-
электрона. Так как это излучение сопровождается непрерывной потерей
энергии, то электрон должен постепенно приближаться к ядру, дви-
двигаясь по спирали, и в конце концов упасть на ядро. По мере прибли-
приближения электрона к ядру частота вращения электрона, а вместе с ней
и частота электромагнитного излучения должны непрерывно изменять-
изменяться. Следовательно, атом должен давать сплошной спектр излучения.
Таким образом, с точки зрения классической физики атом оказы-
оказывается неустойчивой (недолговечной) системой, дающей сплошной
спектр излучения. Между тем и то и другое противоречит опыту.
В действительности атомы представляют собой весьма устойчивые
образования, характеризующиеся линейчатым спектром излучения.
Тщательные исследования спектров излучения различных разре-
разреженных газов (т. е. спектров излучения атомов) показали, что каж-
каждому газу присущ вполне определенный линейчатый спектр. Более
того, обнаружилось, что спектральные линии можно распределить
по группам (сериям); линии, принадлежащие к одной серии, связаны
между собой определенной закономерностью. Так, например, в ви-
видимой части спектра излучения водорода Бальмер обнаружил серию
линий, частота которых выражается эмпирической формулой
где п = 3, 4, 5,
Х1О15 с.
(8)
R — постоянная Ридберга*, равная 3,28985 х
69Ю
6,2'Ю14
Инфр
красн
Инфра- \Нрасная
красная \
р
ная
Голубая
Уль
ле
Видимый с Bern
Рис. 357
Серия Бальмера схематически представлена на рис. 357. Над
спектральными линиями проставлены соответствующие им значения
длин волн X и частот v, вычисленные по формуле (8). Первая слева ли-
линия На имеет ярко-красный цвет; в формуле Бальмера ей соответст-
соответствует п = 3. Линия #з — голубая (м = 4), линия Ну —синяя (п =
* Сериальная формула полученная в 1885 р. швейцарским физиком Баль
мером, имела несколько иной вид. К данному виду (8) ее привел шведский фи
зик Ридбера.
467

= 5) и линия Нь — фиолетовая (п — 6). Остальные линии этой се-
серии лежат в ультрафиолетовой части спектра.
В спектре водорода имеется еще несколько серий, в частности се-
серия, открытая в 1906 г. английским физиком Лайманом в ультрафио-
ультрафиолетовой части спектра, и серия, открытая в 1908 г. немецким физиком
Пашеном в инфракрасной части спектра. Серия Лаймана описывается
формулой
где п = 2, 3, 4, ..., а серия Пашена — формулой
где п = 4, 5, 6,... Все сериальные эмпирические формулы имеют
одинаковую структуру; причина этого сходства выяснена в следую-
следующем параграфе.
Линейчатый характер спектров излучения (и поглощения) атомов
говорит о том, что атом может излучать (и поглощать) энергию не
в любых количествах (отличающихся друг от друга на сколь угодно
малую величину), а только вполне определенными порциями — кван-
квантами. Отсюда следует, что атом может находиться лишь в определен-
определенных (дискретных) энергетических состояниях; переходя из одного
состояния в другое, он излучает (или поглощает) квант энергии,
равный разности энергий начального и конечного состояний (т. е.
до излучения и после него).
Исходя из представления о дискретности энергетических состоя-
состояний атома датский физик Я. Бор в 1913 г. усовершенствовал атом-
атомную модель Резерфорда, создав квантовую теорию строения атома.
В ее основу положены следующие три постулата (постулаты Бора)*:
1. Электроны могут двигаться в атоме не по любым орбитам, а
только по орбитам вполне определенного радиуса.
На этих орбитах, называемых стационарными, или устойчивыми,
момент количества движения электрона кратен величине h/2n:
тог = п , A1)
где т — масса электрона, v—его скорость; г—радиус орбиты; п —
целое число, называемое квантовым (п = 1, 2, 3, ...); h — постоянная
Планка**. Очевидно, что формула A1) является условием квантова-
квантования радиуса орбит.
2. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровож-
сопровождается излучением (поглощением) энергии.
* От латинского слова postulatum — требуемое. Постулатом называется
утверждение (вообще говоря, не самоочевидное), принимаемое без доказательств
в качестве основы для построения научной теории.
** Момент количества движения равен произведению момента инерции
J тела на узловую скорость w (см. § 21). Так как для электрона, вращающегося
вокруг ядра, / = тг*; и <о= v/r, то Ja> = mvr.
468

3. Переход электрона с одной стационарной орбиты на другую
сопровождается излучением (или поглощением) кванта энергии.
Величина /iv этого кванта равна разности энергии (Wx и W2)
стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения):
b = W1 — W2. A2)
Соотношение A2) называется условием частот.
Таким образом, частота электромагнитных волн, излучаемых ато-
атомом, определяется не частотой вращения электронов в атоме, а раз-
разностью энергии стационарных состояний атома.
Постулаты Бора, сохранив в основном модель атома Резерфорда,
вместе с тем освободили ее от упомянутых ранее двух недостатков (про-
(противоречий опыту).
В настоящее время постулатам Бора придается более общая формулировка:
атом устойчив только в состояниях, соответствующих определенным значениям
энергии (Wi, W2f W3, ...); переход атома из одного устойчивого состояния в дру-
другое сопровождается излучением или поглощением кванта энергии, величина
которого определяется условием частот A2).
§ 133. Квантовая теория строения атома водорода (по Бору).
Объяснение спектров излучения и поглощения водорода
В атоме водорода вокруг ядра (протона), несущего один элементар-
элементарный заряд е, движется один электрон. Ядро можно считать неподвиж-
неподвижным, поскольку его масса в 1840 раз больше массы электрона; орбиты
электрона можно (в первом приближении) полагать круговыми.
Очевидно, что центростремительной силой, удерживающей электрон
на орбите радиусом г, является кулоновская сила притяжения между
электроном и ядром:
2? ?, A3)
где т — масса электрона, v — его скорость, е0 = 8,85 • 10^12 Ф/м —
электрическая постоянная.
Решая уравнение A3) совместно с уравнением A1), получим после
простых преобразований выражение радиуса стационарных орбит
атома водорода
*! A4)
где квантовое число п имеет значения 1, 2, 3, ... . По формуле A4)
можно рассчитать радиус любой стационарной орбиты. Так, напри-
например, радиус ближайшей к ядру орбиты (п = 1) равен
1Ш F,625 ¦ 10-»«Дж -с)*- 8,85 . 1Q-» Ф/м . =
3,14- A,6- Ю-19КлJ -9,1 • 1(Г31кг
В правой части уравнения A4) все величины, кроме и, являются
постоянными. Следовательно, радиусы стационарных орбит относят-
относятся между собой как квадраты чисел натурального ряда, т. е. как
1 : 4 : 9 : 16 и т. д.
469

Орбиты водородного атома, рассчитанные по формуле A4), изо-
изображены на рис. 358; выраженные в пикометрах значения радиуса
орбит равны: /\ = 53, гг = 212, г3 =
= 477, г4 = 848; г5=1325 и лв=1908 пм
(орбиты большого радиуса вычерчены
неполностью).
Определим теперь полную энергию
W электрона в атоме. Она слагается
из кинетической энергии WK поступа-
поступательного движения электрона по орбите
и потенциальной энергии Wn притяже-
притяжения электрона к ядру*.
Учитывая формулу A3), получим
A5)
Рис. 358
Что касается потенциальной энер-
энергии электрона, то она должна быть от-
отрицательна и равна
WB=-
47ieor
[согласно расчету потенциальной энергии системы двух разноимен-
разноименных зарядов, который был выполнен в § 78, формула B0) ]. Поэтому
?t A7)
т. е. полная энергия электрона оказывается отрицательной и равной
по абсолютной величине его кинетической энергии.
Подставляя в формулу A7) выражение радиуса A4), получим
По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любой
стационарной орбиты. Так, например, для ближайшей к ядру орбиты
(п = 1) получим
w== i_ 9,1 - 1(Га1кг- A,6. 10-19КлL _
~~ I2 " 8 • F,625 • Ю-34 Дж • сJ (8,85 • 1(Г12Ф/мJ ~
« — 21,68 • Ю-19 Дж = — 13,55 эВ.
Величина полной энергии электрона, находящегося на стацио-
стационарной орбите, называется уровнем энергии атома (или энергетичес-
энергетическим уровнем). На рис. 359 схематически изображены уровни энер-
энергии водородного атома, рассчитанные по формуле A8); здесь же ука-
указаны соответствующие им значения энергии в электрон вольтах
A эВ = 1,6 • КГ1» Дж).
* Кинетическую энергию вращения электрона вокруг собственной оси не
принимаем во внимание поскольку она одинакова для всех стационарных орбит
470

Согласно формуле A8), энергия атома возрастает с увеличением
квантового числа п, или, что то же, с увеличением радиуса электрон-
электронной орбитьс. Здесь надо учитывать, что энергия W отрицательна-,
поэтому уменьшение ее абсолютной величины соответствует возрас-
возрастанию энергии. Минимумом энергии (W = — 13,55 эВ) атом обла-
обладает при движении электрона по ближайшей к ядру орбите (п = 1),
а максимумом энергии (W = 0) — при движении электрона по самой
дальней орбите (п = оо).
/7=оо
/7=4
77-J
/7=2
/7=/
a
:w=-d5tt
Серия
П пшена
5?
и
Серия
бальмера
Серия
Лаймана
Нормальный
уровень
Рис. 359
При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую
(ближнюю к ядру) орбиту излучается квант энергии, равный разно-
разности энергетических уровней атома до излучения и после него. Так,
например, переход электрона со второй орбиты (п = 2) на первую
(п = 1) сопровождается излучением кванта /iv2-i = — 3,38 —
_ (_ 13,55) = + 10,17 эВ, а переход электрона с третьей орбиты
{п = 3) на вторую (п = 2) сопровождается излучением кванта Av3-*2 =
= — 1,50 — (— 3,38) = 1,88 эВ. Этим излучениям соответствуют сле-
следующие значения частот (длин волн):
•• - 10'17 " 1N * 10~19 ^ 2,46 . 10*5(Гц) ( \^ « 0,122 мкм),
6,625- Ю-34
1,88 .1,6- IP9
6,624 • 104
: 4,55 - 1014 (Гц) (Х3_2 » 0,659 мкм).
471

Самопроизвольный переход электрона на более далекую орбиту
т. е. самопроизвольный переход атома на более высокий энергети-
энергетический уровень невозможен. Для осуществления такого перехода не-
обходимо сообщить атому определенное количество энергии извне,
т. е. возбудить атом. Так, например, переход электрона о первой
стационарной орбиты на вторую совершается при поглощении атомом
кванта, равного 10» 17 эВ. а переход электрона со второй орбиты на
третью — поглощением кванта, равного 1,88 эВ.
Таким образом, атом может излучать и поглощать волны только
вполне определенных частот (длин), чем и обусловлен линейчатый
характер водородного спектра.
Нормальным состоянием атома является такое, при котором элек-
электрон движется по самой близкой к ядру орбите (п ~ 1). В этом случае
атом не может излучать, поскольку электрон не имеет возможности
перейти й этой орбиты еще ближе к ядру. Энергетический уровень
W = — 13,55 эВ, соответствующий нормальному состоянию атома,
называется нормальным уровнем-, все остальные уровни называются
возбужденными.
Выведем теперь общую формулу частоты v излучения атома. Для
этого подставим выражение энергии A8) в условие частот A2):
«4* I «з
где п и W — квантовое число и энергия, еоотвекггвующие началь-
начальному состоянию атома (до излучения), а п$ и WQ - те же характерна*
тики конечного состояния атома (после излучения). Величина постоян-
постоянного множителя, стоящего в правой части формулы A9), оказывается
равной постоянной Ридберга;
B0)
в чем легко убедиться, подставляя в формулу B0) чиеленные значе-
значения универсальных постоянных (/я, г К). Тогда формула A9) примет
вид
* В спектроскопических исследованиях для характеристики линий за
частую пользуются не частотой излучения v, а так называемым волновым чио~
v 1
лом — » —-, где о — скорость света в пустоте, А — длина волны. В этом случае
С А,
формула B1) сохраняет свой вид, но постоянная Ридберга приобретает иное
значение!
472

Сопоставление формулы B1) в эмпирическими сериальными форму-
формулами (8), (9) и A0) показывает, что они являются частными случаями
формулы B1). В самом деле, при п0 « 1 и п = 2, 3, 4, ... формула B1)
дает серию Лаймана, при по== 2 и п = 3, 4, 5, ... — серию Бальмера,
при /г0 = 3 и п =з 4, 5, 6, ... — серию Пашена.
Следовательно, спектральные линии серии Лаймана соответствуют
излучению атома водорода при переходе электрона со второй, третьей,
четвертой и т. д. орбит на первую; линии серии Бальмера соответст-
соответствуют излучению при переходе электрона с третьей, четвертой, пятой
и т. д. орбит на вторую; линии серии Пашена соответствуют излуче-
излучению при переходе электрона в четвертой, пятой, шестой и т. д. орбит
на третью.
Так как газ состоит из множества различно возбужденных атомов,
то в нем одновременно совершаются все возможные типы переходов
электрона. Поэтому в спектре излучения водорода одновременно пред-
представлены линии всех серий (при том, конечно, условии, что атомы все
время возбуждаются посредством какого-либо внешнего источника
энергии).
Образование спектральных серий Лаймана, Бальмера и Пашена
схематически показано на рис. 358 и 359.
Отметим, что в каждой серии расстояние между спектральными
линиями постепенно уменьшается в сторону коротких волн и в кон-
конце концов линии практически сливаются (см., например, рис. 357)*.
Таким образом, каждая серия оказывается ограниченной со стороны
коротких волн. Эта граница называется головой серии; ее частота опре-
определяется по формуле B1) при п = оо что соответствует падению сво-
свободного электрона на одну из стационарных орбит водородного иона
(протона).
Рассмотренная теория строения атома водорода применима и к
водородоподобным атомам, т. е. к ионизированным атомам, содер-
содержащим только один электрон (например, к ионам Не+, Li++, Be+++)
Однако в этом случае при выводе формул следует полагать заряд
ядра равным не е, a eZ (где Z — атомный номер элемента).
Применительно к водородоподобным атомам спектральная форму-
формула Бора B1) примет вид
(^) B2)
Квантовая теория Бора сыграла важную роль в развитии физики.
Количественно объяснив строение атома водорода и сложную струк-
структуру водородного спектра, она наметила правильный подход к изу-
изучению внутриатомных процессов. Правда, непосредственное ис-
использование теории Бора (в том виде, в каком она изложена
ранее) для расчета спектров многоэлектронных атомов оказалось не-
* Это объясняется тем, что коротковолновые линии соответствуют измене-
изменениям состояния атома, происходящим в области высоких энергетических уров-
уровней (см. рис. 359). В этой области разность уровней энергии, а следовательно,
и разность частот излучения очень малы.
473

возможным. Понадобилось дальнейшее развитие этой теории, завер-
завершившееся созданием современной квантовой механики, количест-
количественно объясняющей все особенности строения и свойств атомов и мо-
молекул.
Тем не менее теория Бора дает возможность качественно (и при-
притом весьма наглядно) объяснить общие черты строения многоэлек-
многоэлектронных атомов и их спектров, властности дает возможность обо-
обосновать закономерности расположения химических элементов в пе-
периодической системе Менделеева.
Ограниченность квантовой теории Бора обусловлена тем, что она не вполне
последовательна в своих построениях: базируясь на квантовых исходных по-
положениях (постулатах), она пользуется законами классической механики для
описания движения электронов в атоме (в этом смысле ее можно было бы на-
назвать «полуквантовой» теорией).
Между тем электрон в атоме уже не является обычной (классической) час-
частицей, в чем легко убедиться, применив к этому электрону принцип Гейзен-
берга (см. § 20). Так как скорость электрона в атоме имеет порядок 10е м/с,
то неточность в ее определении по крайней мере не должна превышать величины
самой скорости, т. е. максимально допускаемая неточность A v = 10е м/с. То-
Тогда, согласно соотношению неопределенностей (принципу Гейзенберга), неточ-
неточность в определении координаты
h 6,625 . 10~34
А Ю'10 () 10"
to 2 .3,14- 9,1-Ю-з.. !(¦ * Ю (М) = 10 СМ-
Но 10"8 см есть размер самого атома. Следовательно, понятие местоположения
электрона в атоме теряет смысл. Лишаются содержания и такие классические по-
понятия, как траектория электрона в атоме и перемещение при его переходе
с одной орбиты на другую (т. е. из одного энергетического состояния в другое).
Итак, действительно, атомный электрон не является обычной частицей (в клас-
классическом смысле этого слова).
В связи с этим современная квантовая механика не устанавливает точного
положения электронов в объеме атома, а рассматривает лишь вероятность на-
нахождения электрона в том или ином месте объема. Это значит, что с точки зре-
зрения квантовой механики заряд электрона не сосредоточен в том месте, где в дан-
данный момент находится электрон, а распределен («размазан») по всему объему
атома, образуя электронное облако переменной плотности. Плотность электрон-
электронного облака в любой точке объема атома пропорциональна вероятности нахо-
нахождения электрона в этой точке.
В современной квантовой механике состояние движения электронов в атоме
характеризуется не одним, а четырьмя квантовыми числами (главным, побоч-
побочным, магнитным и спиновым).
Главное квантовое число п принимает только целочисленные значения от 1
до оо.
Побочное (или орбитальное) квантовое число / принимает целочисленные
значения от 0 до п—1 (всего п значений).
Магнитное квантовое число т/ принимает целочисленные значения от — I
до + /, включая 0 (всего 2/ + 1 значений).
Спиновое квантовое число ms может иметь только два полуцелых значения
+ 1/2 и — 1/2.
Совокупность электронов, характеризующихся одним и тем же значением
главного квантового числа (я), образует электронный слой, или энергетический
уровень атома.
Совокупность электронов с одним и тем же значением побочного квантового
числа (/) образует подгруппу, или энергетический подуровень. Электроны дан-
474

ного подуровня несколько различаются между собой величиной энергии, обла-
обладая различными значениями магнитного (т/) или спинового (ms) квантовых чи-
чисел. Таким образом, квантовые числа определяют возможные значения энергий
электронов в атоме, т. е. возможные энергетические состояния атома*.
Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням и подуровням
(т. е. по значениям квантовых чисел) осуществляется на основе следующих двух
принципов:
1) принципа Паули **, согласно которому
в атоме не может быть электронов, характеризующихся одинаковой ком-
комбинацией значений квантовых чисел; иначе говоря, в атоме состояния всех электро-
электронов различны;
2) принципа минимума энергии:
распределение электронов в атоме соответствует минимуму энергии атома
Учитывая принцип Паули, можно найти максимальное число электронов
в любом электронном слое атома. Так как тх имеет B/ + 1) значений, а при каж-
каждом т/ величина ms принимает два значения, то число электронов с данными
п и / равно 2B/ + 1). При данном п величина / принимает п значений от 0 до
(п— 1). Поэтому максимальное число электронов, характеризующееся данным
значением п, т. е. максимально возможное число электронов в данном слое,
равно (в соответствии с формулой суммы членов арифметической прогрессии)
Устанавливаемые квантовой механикой закономерности внутриатомных
процессов с исключительной точностью подтверждаются опытными данными,
однако она уже не обладает той наглядностью и простотой, которые (с позиции
привычных представлений) присущи теории Бора.
§ 134. Понятие о строении многоэлектронных атомов
и образовании оптических и рентгеновских (характеристических)
спектров
Теоретические и экспериментальные исследования в частности
изучение атомных спектров, показали, что, подобно атому водорода,
многоэлектронные атомы обладают дискретными энергетическими
уровнями. Дискретность уровней обусловлена главным образом на-
наличием в атоме ряда электронных слоев с определенными значениями
радиуса. Каждый электронный слой можно схематически предста-
представить как совокупность стационарных эллиптических орбит. Причем
орбиты принадлежащие одному электронному слою, в некоторой
(небольшой) мере различаются между собой либо эксцентриситетом***
* Обычно в целях наглядности квантовым числам придают некоторый гео-
геометрический смысл, полагая, что п определяет размер электронной орбиты, / —
эксцентриситет орбиты, т/ — проекцию магнитного момента орбиты (см. § 97)
на заданную ось к ms — проекцию спина электрона (т. е. собственного момента
количества движения электрона) на эту ось.
** Установлен в 1925 г. швейцарским физиком Паули.
*** Эксцентриситет характеризует степень вытянутости эллипса: измеряет-
измеряется расстоянием между фокусами эллипса.
475

либо ориентацией в пространстве. Поэтому даже электроны, которые
находятся в одном электронном слое, отличаются друг от друга своим
состоянием: они движутся по различным стационарным орбитам. Ио
одной же орбите может двигаться не более двух электронов, которые
в этом случае различаются направлением собственного момента ко-
количества движения (спина). Таким образом,
в одном атоме не может быть двух или нескольких электронов
с тождественным состоянием движения (принцип Паули).
На рис. 360 дана примерная схема одного электронного слоя;
точками изображены электроны, движущиеся по четырем стационар-
стационарным орбитам, образующим этот слой.
Л-5'
Рис. 360
Рис. 361
Электронные слои принято обозначать (начиная с ближайшего к
ядру слоя) буквами /С, L, My N, О и т. д. (в порядке латинского алфа-
алфавита). На рис. 361 представлена схема электронных слоев атома (без
соблюдения их относительного расстояния от ядра).
Наибольшее количество т электронов, которое может находиться
в одном слое, определяется квантовым соотношением (см. § 133):
т = 2п\
B3)
где п — главное квантовое число, являющееся вместе с тем номером
слоя (л= 1, 2, 3, ...). Таким образом, в /(-слое (п = 1) может нахо-
находиться максимум 2 электрона, в L-слое (п = 2) — 8 электронов,
М-слое (п = 3) — 18 электронов и т. д. Общее число электронов в ато-
атоме равно заряду ядра, выраженному в элементарных зарядах.
У невозбужденного атома электроны заполняют ближайшие к
ядру слои, что соответствует минимуму энергии атома.
На рис. 362 схематически изображены атомы химических элемен-
элементов, составляющих первые три периода системы Менделеева (см.
вклейку на обложке). Электроны показаны точками; относительные
расстояния между электронными слоями не соблюдены.
Вообще говоря, диаметр слоев у различных атомов различен. По мере уве-
увеличения заряда ядра диаметр внутренних слоев уменьшается (они как бы «под-
«подтягиваются» к ядру). Что касается наружного слоя, то благодаря экранирующе-
экранирующему действию внутренних слоев его диаметр изменяется незначительно. Поэтому
размеры различных атомов оказываются приблизительно одинаковыми (порядка
10~8 см).
476

Следует подчеркнуть, что приведенная схема является весьма гру-
грубой; мы пользуемся ею исключительно в целях наглядности.
На схеме видно, как происходит заполнение электронных слоев
по мере увеличения заряда ядра. У атомов, относящихся к первому
периоду системы Менделеева (Я и Не), электроны находятся только
в К-слое, причем у гелия этот слой уже заполнен. У атомов, относя-
относящихся ко второму периоду, заполнен /С-слой и имеются электроны
в L-слое, заполнение которого завершается у неона. У атомов, отно-
относящихся к третьему периоду, заполнены слои К и L и имеются элек-
электроны в М-слое, заполнение которого завершается у аргона.
Ш I Ш Ш
GC 7N 80 9Г lONe
II No
18Аг
Рис. 362
Начиная с четвертого периода системы Менделеева порядок заполнения
слоев усложняется. На некоторых участках системы новый слой начинает за-
заполняться раньше, чем завершилось заполнение предыдущего слоя; на других
участках, наоборот, происходит заполнение незаконченных внутренних слоев,
а число электронов в наружном слое остается неизменным.
Эти «аномалии» в порядке заполнения слоев имеют место у атомов с большим
количеством электронов. Они обусловлены взаимодействием электронов, делаю-
делающим такие аномалии энергетически более «выгодными», т. е. соответствующими
минимуму энергии атома.
Нетрудно заметить, что общее число электронов в атоме химичес-
химического элемента (а следовательно, и заряд ядра) равно порядковому (атом-
(атомному) номеру элемента в системе Менделеева, число электронных
слоев равно номеру периода, к которому относится элемент, а число
электронов во внешнем слое равно номеру группы, занимаемой элемен-
элементом в этой системе.
Известно, что все элементы, относящиеся к одной группе системы
Менделеева (например, Н, Li, Na, К, Pb, Cs), обладают сходными хи-
химическими свойствами. Вместе с тем атомы всех этих элементов имеют
во внешнем слое одинаковое число электронов, называемых валент-
валентными. Следовательно, периодичность химических свойств атомов,
установленная Менделеевым, вызвана особенностью строения атомов:
периодическим повторением числа валентных электронов.
Активная роль валентных электронов при химических реакциях
обусловлена следующей причиной. Валентные электроны сравнитель-
477

Рис. 363
но слабо связаны с ядром, так как они наиболее удалены от него и,
кроме того, экранированы внутренними электронными слоями. Энер-
Энергия, поглощаемая или выделяемая при химических реакциях, не
превышает нескольких электронвольт. Такое количество энергии
оказывается достаточным только для перемещения (перераспределе-
(перераспределения) валентных электронов; для перемещения внутренних электронов
(связанных с ядром значительно сильнее) оно является слишком
малым.
Как и у атома водорода, возникновение спектров излучения мно-
многоэлектронных атомов обусловлено переходами электронов из одного
электронного слоя в другой, распо-
расположенный ближе к ядру. Само собой
разумеется, что предварительно атом
должен быть возбужден.
Если энергия возбуждения неве-
невелика (порядка 10 эВ), то возбужда-
возбуждаются только внешние энергетические
уровни атома, т. е. имеют место толь-
только переходы внешних электронов (из
валентного и соседнего с ним слоя) в
более далекие электронные слои (не
заполненные электронами). Через ма-
малый промежуток времени (порядка
10~8 с) эти электроны возвращаются
в исходные слои. При этом испускаются небольшие кванты энергии,
частоты которых соответствуют оптическому спектру (спектру ви-
видимого света и части инфракрасного и ультрафиолетового излу-
излучения).
На рис. 363 схематически показан процесс оптического излуче-
излучения возбужденного атома, у которого слои К, L и М целиком запол-
заполнены, а два валентных электрона переведены из N -слоя в следующие
слои (О и Р). При обратном переходе этих электронов в N -слой излу-
излучаются квантыс частотами чр+м uvo-+n <C^p^n» Излучения изображены
волнистыми линиями.
Атомы, относящиеся к одной группе периодической системы, имеют
сходные оптические спектры, что подтверждает основную роль ва-
валентных электронов в образовании оптического спектра.
Оптический спектр молекулы резко отличается от оптических
спектров атомов, входящих в данную молекулу. Это объясняется тем,
что при образовании молекулы изменяются («обобществляются») ва-
валентные слои атомов, т. е. именно те слои, которые ответственны за
возникновение оптических спектров.
Для того чтобы вызвать перемещение электронов, находящихся
во внутренних слоях атома, необходима большая энергия возбуж-
возбуждения, порядка 104—105 эВ. Это обусловлено, во-первых, сильной
связью внутренних электронов с ядром и, во-вторых, тем, что вну-
внутренние слои целиком заполнены (поэтому внутренние электроны
можно перевести только на периферию атома). Через малый проме-
промежуток времени — порядка 10~8 с — на «вакантное место», освобо-
478

дившееся во внутреннем электронном слое, перейдет электрон из
соседнего внутреннего слоя или с периферии атома. Этот процесс со-
сопровождается испусканием большого кванта энергии; его частота
соответствует характеристическому^ (рентгеновскому) излучению.
Возникновение некоторых серий характеристического излучения
схематически показано на рис. 364. Самой жесткой (высокочастот-
(высокочастотной) является /(-серия. Она возникает при электронных переходах
L->K (линия! Ка), М-+К (линия /(p), iV->/( (линия Ку) и т. д., ко-
которым соответствуют частоты:
W t 117 \J7 W__ Н7 W
L a M J\ N К
и т. д. (где h — постоянная Планка, a WK,
Wl » Wm и Н7#—значения энергии электрона
в слоях К, L, М и N). В пределах этой се-
серии наиболее мягкой (имеющей наимень-
наименьшую частоту) является линия Ка а наи-
наиболее жесткой — линия, соответствующая
непосредственному, переходу свободного
электрона в /(-слой (не показана на ри-
рисунке).
Наряду с /(-серией возникают и более
мягкие рентгеновские серии: L-серия, М-
серия и т. д.
Жесткость рентгеновского излучения
возрастает по мере увеличения заряда ато-
атомного ядра, т. е. по мере увеличения атом-
атомного номера элемента.
В 1913 г. английский физик Мозли
экспериментально установил, что
корень квадратный из частоты v, соответствующей данной линии
характеристического рентгеновского излучения, является линейной
функцией атомного номера Z элемента:
Рис. 364
где а и Ь — постоянные величины. Это соотношение называется за-
законом Мозли.
Объединение атомов в молекулу не затрагивает внутренних элек-
электронных слоев атома, ответственных за возникновение рентгеновского
спектра. Поэтому характеристический спектр молекулы представ-
представляет собой совокупность характеристических спектров атомов, обра-
образующих данную молекулу.
§ 135. Люминесценция. Законы фотолюминесценции
и некоторые ее практические применения
Свечение вещества (т. е. испускание видимого света), обусловлен-
обусловленное переходами атомов и молекул вещества с высших энергетических
уровней на низшие, называется люминесценцией, или холодным све-
479

чением. Люминесценции должно предшествовать возбуждение атомов
и молекул вещества. После устранения возбудителя люминесценция
продолжается в течение некоторого промежутка времени, завися-
зависящего от природы люминесцирующего вещества и изменяющегося в
широких пределах: от миллиардных долей секунды до многих часов
и даже суток. По продолжительности «послесвечения» люминесценция
подразделяется на флуоресценцию (кратковременное «послесвечение»)
и фосфоресценцию (длительное «послесвечение»). Впрочем, это подраз-
подразделение весьма условно.
Свечение, обусловленное тепловым движением атомов и молекул
(т. е. тепловое излучение), не относится к люминесценции. К ней
не относятся также отражение и рассеяние света и некоторые другие
виды свечения тела, прекращающиеся одновременно с устранением
причины, вызвавшей их.
Чтобы отличить люминесценцию от этих видов свечения, ей можно
дать следующее определение: люминесценция есть свечение вещества,
являющееся избытком над тепловым излучением этого вещества при
данной температуре и имеющее конечную длительность (т. е. не
прекращающееся одновременно с устранением вызвавшей его при-
причины).
Вещества, обладающие ярко выраженной способностью люмине-
сцировать, называются люминофорами,
В зависимости от способа возбуждения люминесценции различают
несколько ее видов.
1. Фотолюминесценция возбуждается видимым и ультрафиолето-
ультрафиолетовым излучением. Примером фотолюминесценции может служить све-
свечение часового циферблата и стрелок, окрашенных соответствующим
люминофором.
2. Рентгенолюминесценция возбуждается рентгеновскими лучами;
ее можно наблюдать, например, на экране рентгеновского аппарата.
3. Радиолюминесценция возбуждается радиоактивным излучением
(см. § 139); наблюдается, например, на экране сцинтилляционных
счетчиков (см. § 140).
4. Катодолюминесценция возбуждается электронным лучом; на-
наблюдается на экранах осциллографа, телевизора, радиолокатора и
других электроннолучевых приборов. В качестве люминофора, по-
покрывающего экран, используются главным образом сульфиды и се-
лениды цинка и кадмия.
5. Электролюминесценция возбуждается электрическим полем;
имеет место, например, в газоразрядных трубках.
6. Хемилюминесценция возбуждается химическими процессами
в веществе. Таковы, например, свечение белого фосфора, гниющей
древесины, а также свечения некоторых споровых растений, насеко-
насекомых, морских животных и бактерий.
ТакихМ образом, люминесценция является своеобразным генерато-
генератором (квантовым генератором), непосредственно преобразующим энер-
энергию электромагнитных волн различной длины, а также механичес-
механическую, электрическую и химическую энергию в энергию видимого
света.
480

Степень преобразования поглощаемой энергии Wo в энергию лю-
люминесценции W характеризуется энергетическим выходом люмине-
люминесценции:
Ч--?. B4)
Спектр люминесценции зависит от природы люминесцирующего
вещества и вида люминесценции.
Из всех перечисленных видов люминесценции рассмотрим подроб-
подробнее только фотолюминесценцию, имеющую большое практическое при-
применение.
Экспериментальное изучение спектров фотолюминесценции пока-
показало, что они, как правило, отличаются от спектров возбуждающего
излучения.
Спектр люминесценции и его максимум сдвинуты в сторону более
длинных волн относительно спектра, использованного для возбуждения.
Эту закономерность, называемую правилом Стокса, легко объяс-
объяснить на основе квантовой теории. Энергия поглощаемого кванта /iv0
частично переходит в другие виды энергии, например в теплоту. По-
Поэтому энергия кванта люминесценции /iv должна быть меньше /zv0.
Следовательно, v<v0, а К>\, где X и Хо — длины волн, соответст-
соответствующие излученному и поглощенному квантам.
Иногда может иметь место так называемая антистоксовская люми-
люминесценция, при которой Х<Х0. Это бывает в случае, когда квант по-
поглощался уже возбужденной молекулой. Тогда в квант люминесцен-
люминесценции входит не только часть энергии поглощенного кванта, но и энер-
энергия возбуждения молекулы. Понятно, что в этом случае Av>Av0,
а Х<Х0.
Существенной особенностью жидких и твердых люминофоров явля-
является независимость их спектра люминесценции от длины волны воз-
возбуждающего света. Благодаря этому по спектру фотолюминесценции
можно судить о природе вещества жидких и твердых люминофоров.
Энергетический выход люминесценции может при некоторых усло-
условиях быть очень большим, достигающим 0,8; у жидких и твердых
тел он зависит от длины волны возбуждающего света. Согласно за*
кону Вавилова*,
энергетический выход люминесценции ч\ сначала растет пропор-
пропорционально длине волны возбуждающего света Хо, а затем (достигнув
максимума) резко падает до нуля.
На рис. 365 приведен график зависимости tj от Хо, полученный Ва-
Вавиловым для раствора флуоресцеина.
Как и правило Стокса, закон Вавилова объясняется квантовыми
свойствами света. Действительно, представим себе наиболее благо-
благоприятный случай, когда каждый квант возбуждающего света Av0
приводит к образованию кванта люминесценции /iv. Тогда энергети-
* С. И. Вавилов A891—1951) — крупный советский физик, внесший боль-
большой вклад в изучение люминесценции, с 1945 по 1951 г. — президент АН СССР.
V* 17-31 481

ческий выход люминесценции, очевидно, равен отношению этих кван-
квантов:
/iv v Хо
Г\ = , ИЛИ Y] = = ~~ .
/lv v Л.
Но X не зависит от Хо (у жидких и твердых люминофоров). Следо-
Следовательно, в последней формуле при изменении Хо будет изменяться
только т], т. е. энергетический выход будет пропорционален Хо. Срыв
кривой энергетического выхода про-
происходит при больших длинах волн Хо,
которым соответствуют слишком ма-
малые кванты /iv0, уже не способные
0,8
0,6
0,4
0,1
0 у
возбуждать люминесценцию.
Люминесценция находит широкое
применение в осветительной техни-
технике: на ней, например, основана лю-
. . ,— . минесцентная лампа. Люминесцент-
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 А07мкм ная лампа состоит из стеклянной
Рис. 365 трубки, у которой внутренняя поверх-
поверхность стенок покрыта тонким слоем
люминофора (рис. 366). В торцы тру-
трубки впаяны электроды. Трубка на-
наполнена парами ртути и аргоном;
парциальное давление паров ртути
Рис. 366 составляет около 1 Па, парциальное
давление аргона — 400 Па.
Люминесцентная лампа включается в электросеть последовательно
с дросселем и стартером (служащим для предварительного разогрева
электродов).
Возникающий в лампе газовый разряд вызывает электролюмине-
электролюминесценцию паров ртути. В спектре этой люминесценции наряду с види-
видимым светом имеется ультрафиолетовое излучение (длиной волны
0,257 мкм), оно возбуждает фотолюминесценцию люминофора, нане-
нанесенного на стенки лампы. Таким образом, в люминесцентной лампе
совершается двойное преобразование энергии: электрическая энер-
энергия превращается в энергию ультрафиолетового излучения паров рту-
ртути, которая в свою очередь превращается в энергию видимого излу-
излучения люминофора.
Изменяя состав люминофора, можно изготовлять лампы g требуе-
требуемым спектром фотолюминесценции. Таким путем изготовляются лю-
люминесцентные лампы белого света, тепло-белого света, холодно-бе-
холодно-белого сЕета и дневного света.
Спектральный состав излучения ламп дневного света близок к
рассеянному евету северной части небосвода; лампа холодно-белого
света имеет спектр, подобный спектру прямой солнечной радиации.
В связи с этим люминесцентные лампы успешно применяются для
«досвечивания» сельскохозяйственных культур, выращиваемых на
защищенном грунте*.
* Обычно применяются комбинированные осветительные установки, сос-
состоящие из люминесцентных ламп и ламп накаливания (зеркальных).
482

Распределение энергии №х в спектре излучения лампы дневного
света показано на рис. 367.
Люминесцентные лампы экономичны (их световой коэффициент
полезного действия в 10—20 раз больше, чем у ламп накаливания) и
весьма долговечны (срок службы доходит до 10 000 часов).
Другим важным применением люминесценции является люмине-
люминесцентный анализ — метод определения состава вещества по спектру
его фотолюминесценции, возбуждаемой ультрафиолетовыми лу-
лучами. Будучи очень чувствительным, люминесцентный анализ позво-
позволяет обнаружить малейшие изменения в химическом составе вещест-
вещества и тем самым выявлять различие
между объектами, кажущимися сове- у
ршенно одинаковыми. Этим методом А
можно, например, выявлять самые
начальные стадии загнивания пище-
пищевых продуктов (люминесцентный кон-
контроль свежести продуктов), обнару-
обнаруживать следы нефти в пробах почвы,
извлеченных из буровых скважин
(люминесцентная разведка нефти),
С помощью фотолюминесценции РИС< 367
можно обнаружить тончайшие тре-
трещины на поверхности деталей машин и других изделий {люминесцен-
{люминесцентная дефектоскопия). Для этого поверхность исследуемого изделия
смазывают жидким люминофором. Через 15-—20 мин поверхность
обмывают и вытирают. Однако в трещинах поверхности люминофор
остается. Свечение этого люминофора (при ультрафиолетовом облу-
облучении изделия) отчетливо обрисует конфигурацию трещин.
Укажем, наконец, на использование фотолюминесценции для мас-
маскировочного освещения и декоративных целей (применение флуоре-
флуоресцирующих и фосфоресцирующих красок).
При фотолюминесценции атомы люминесцирующего вещества излучают со-
совершенно несогласованно (беспорядочно): их излучения разновременны, имеют
различные частоты и разности фаз, распространяются по всевозможным напра-
направлениям. Поэтому яркость фотолюминесценции оказывается незначительной.
Однако в последние годы удалось найти способ искусственно вызывать когерент-
когерентное одинаково направленное излучение множества атомов, создающее узкий пучок
монохроматического света, превосходящего по яркости обычную люминесцен-
люминесценцию в миллионы раз. Прибор, в котором осуществляется такое излучение, на-
назван оптическим квантовым генератором, или лазером*.
Название «лазер» образовано из первых букв английских слов: Light Ampli-
Amplification by Stimylated Emission of Radiation (усиление света посредством выну-
вынужденного излучения). В зависимости от применяемого рабочего вещества раз-
различают кристаллические, газовые и жидкостные лазеры.
Чтобы лазер начал действовать, необходимо перевести большое число ато-
атомов его рабочего вещества в одинаковые возбужденные состояния, так называе-
называемые меmacтабильные состояния, в которых атом пребывает сравнительно долгое
* Квантовые генераторы созданы советскими физиками Н. Г. Басовым
и Л. М. Прохоровым и независимо от них американским физиком Ч. Таунсом.
1/217* 483

время (значительно превышающее 10~8 с). Для этого рабочему веществу пере-
передается достаточная электромагнитная энергия от специального источника (метод
«накачки»). Теперь в рабочем веществе лазера (имеющем форму тонкого длин-
длинного цилиндра, одним основанием которого является зеркало, другим — час-
частично прозрачное зеркало) начнутся почти одновременные вынужденные пере-
переходы всех возбужденных атомов в нормальное состояние. Эти переходы сопро-
сопровождаются почти одновременным испусканием множества световых квантов
(фотонов) /iv, имеющих одинаковую частоту и фазу и движущихся по одному
направлению — вдоль оси лазера. Поток этих фотонов и образует узкий, мощ-
мощный пучок монохроматического света, выходящий из лазера.
Лазер дает световой пучок очень малой расходимости. Будучи, например,
направлен на Луну, такой пучок создает на ее поверхности световое пятно диа-
диаметром всего лишь в 3 км (луч обычного прожектора создал бы на таком же рас-
расстоянии световое пятно диаметром в 40 000 км)*. Плотность энергии в луче ла-
лазера исключительно велика — тысячи и десятки тысяч Дж/(см2 • с); причем
расчеты показывают, что это еще далеко не предельные значения возможных
плотностей. С помощью линзы можно сфокусировать свет лазера так, что он
мгновенно расплавит и испарит освещенный участок любого материала.
Все это делает лазер исключительно перспективным прибором, уже сейчас
широко используемым во многих областях науки и техники. Сварка микро-
микрообъектов, сверление и резка сверхтвердых материалов, ускорение хода хими-
химических реакций, передача световых сигналов на сверхдальние расстояния (кос-
(космическая связь), глазная хирургия (разрушение опухолей на сетчатке) — таков
далеко не полный перечень применений лазера.
Отметим, что наряду с оптическими квантовыми генераторами созданы кван-
квантовые генераторы в диапазоне коротких радиоволн —мазеры**
§ 136. Фотоэффект. Законы фотоэффекта. Фотоэлементы
Фотоэффектом называется освобождение (полное или частичное)
электронов от связей с атомами и молекулами вещества под воздейст-
воздействием света (видимого, инфракрасного и ультрафиолетового). Если элек-
электроны выходят за пределы освещаемого вещества (полное освобожде-
освобождение), то фотоэффект называется внешним (открыт в 1887 г. Герцем
и подробно исследован в 1888 г. А. Г. Столетовым). Если же элек-
электроны теряют связь только со «своими» атомами и молекулами, но
остаются внутри освещаемого вещества в качестве «свободных элек-
электронов» (частичное освобождение), увеличивая тем самым электро-
электропроводность вещества, то фотоэффект называется внутренним (открыт
в 1873 г. американским физиком У. Смитом),
Внешний фотоэффект наблюдается у металлов. Если, например,
цинковую пластинку, соединенную с электроскопом и заряженную от-
отрицательно, осветить ультрафиолетовыми лучами, то электроскоп быст-
быстро разрядится; в случае положительно заряженной пластинки раз-
разрядки не происходит. Отсюда следует, что свет вырывает из металла
отрицательно заряженные частицы; определение величины их за-
заряда (выполненное в 1898 г. Дж. Дж. Томсоном) показало, что эти
частицы являются электронами.
Принципиальная измерительная схема, с помощью которой иссле-
исследовался внешний фотоэффект, изображена на рис. 368. Отрицатель-
* Эти и последующие данные относятся к кристаллическим (рубиновым)
лазерам.
** Название «мазер» образовано из первых букв английских слов; Micro-
Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation (усиление микроволн
посредством вынужденного излучения).
484

ный полюс батареи присоединен к металлической пластинке К (ка-
(катод), положительный — к вспомогательному электроду А (анод). Оба
электрода помещены в эвакуированный сосуд, имеющий кварцевое
окно F (прозрачное для оптического излучения). Поскольку электри-
электрическая цепь оказывается разомкнутой, ток в ней отсутствует. При осве-
освещении катода К свет вырывает из него электроны (фотоэлектроны).
устремляющиеся к аноду; в цепи появляется ток (фототок).
Схема дает возможность измерять силу фототока (гальваномет-
(гальванометром G) и скорость фотоэлектронов при различных значениях напря-
напряжения (U) между катодом и анодом и при различных условиях осве-
освещения катода.
Экспериментальные исследова-
исследования, выполненные Столетовым, а
также другими учеными, привели
к установлению следующих основ-
основных законов внешнего фотоэф-
фотоэффекта.
1. Фототок насыщения I (т. е.
максимальное число электронов,
освобождаемых светом в 1 с) пря-
мо пропорционален световому по-
Ш0КУ Ф: Рис. 368
/ = ?Ф, B5)
где коэффициент пропорциональности k называется фоточувстви-
фоточувствительностью освещаемой поверхности (измеряется в микроамперах на
люмен, сокращенно — мкА/лм).
2. Скорость фотоэлектронов возрастает с увеличением частоты
падающего света и не зависит от его интенсивности.
3. Независимо от интенсивности света фотоэффект начинается
только при определенной (для данного металла) минимальной частоте
света, называемой «красной границей» фотоэффекта.
Второй и третий законы фотоэффекта нельзя объяснить на основе
волновой теории света. Действительно, по этой теории, интенсивность
света пропорциональна квадрату амплитуды электромагнитной вол-
волны, «раскачивающей» электрон в металле. Поэтому свет любой часто-
частоты, но достаточно большой интенсивности, должен был бы вырывать
электроны из металла; иначе говоря, не должно было бы существо-
существовать «красной границы» фотоэффекта. Этот вывод противоречит
третьему закону фотоэффекта. Далее, чем больше интенсивность све-
света, тем большую кинетическую энергию должен был бы получить от
него электрон. Поэтому скорость фотоэлектрона должна была бы воз-
возрастать с увеличением интенсивности света; этот вывод противоречит
второму закону фотоэффекта.
Законы внешнего фотоэффекта получают простое истолкование
на основе квантовой теории света. По этой теории, величина свето-
светового потока определяется числом световых квантов (фотонов), па-
падающих в единицу времени на поверхность металла. Каждый фотон
может взаимодействовать только с одним электроном. Поэтому мак-
16—31 485

симальное число фотоэлектронов должно быть пропорционально све-
световому потоку (первый закон фотоэффекта).
Энергия фотона /iv, поглощенная электроном, расходуется на со-
совершение электроном работы выхода А из металла (см. § 87); остав-
оставшаяся часть этой энергии представляет собой кинетическую энергию
фотоэлектрона mv42 (где т — масса электрона, v — его скорость).
Тогда, согласно закону сохранения энергии, можно написать
+ Л.
B6)
Эта формула, предложенная в 1905 г. Эйнштейном и подтвержденная
затем многочисленными экспериментами, называется уравнением
Эйнштейна.
Из уравнения Эйнштейна непосредственно видно, что скорость
фотоэлектрона возрастает с увеличением частоты света и не зависит
от его интенсивности (поскольку ни А, ни v не зависят от интенсивно-
интенсивности света). Этот вывод соответствует второму закону фотоэффекта.
Согласно формуле B6), с уменьшением частоты света кинетиче-
кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (величина А постоянна
для данного освещаемого вещества). При некоторой достаточно ма-
малой частоте v = v0 (или длине волны Хо = c/v0) кинетическая энергия
фотоэлектрона станет равной нулю (tn v2/2 = 0) и фотоэффект пре-
прекратится (третий закон фотоэффекта). Это имеет место при /iv0 = Л,
т. е. в случае, когда вся энергия фотона расходуется на совершение
работы выхода электрона. Тогда
vo-~-, или \>=--^-. B7)
Формулы B7) определяют «красную границу» фотоэффекта. Из
этих формул следует, что она зависит от величины работы выхода
(от материала фотокатода).
В таблице приведены значения работы выхода А (в электрон-
вольтах) и красной границы фотоэффекта Хо (в микрометрах) для не-
некоторых металлов.
Из таблицы видно, что,
например, цезиевая пленка,
нанесенная на вольфрам, да-
дает фотоэффект даже при ин-
инфракрасном облучении, у на-
натрия фотоэффект может быть
вызван только видимым и
ультрафиолетовым светом, а
у цинка — только ультрафи-
Металл
Платина
Вольфрам .....
Цинк
Торий
Натрий
Цезий
Цезиевая пленка на
вольфраме . . .
х0, мкм
0,235
0,276
0,290
0,364
0,552
0,620
л, эв
5,29
4,50
4,19
3,41
2,25
1,89
олетовым.
0,913 1,36 На внешнем фотоэффекте
основан важный физико-те-
физико-технический прибор, называемый вакуумным фотоэлементом (он явля-
является некоторым видоизменением установки, схематически изображен-
изображенной на рис. 368).
488

С дет.
ЧМ*\?
Рис.
Катодом К вакуумного фотоэлемента служит слой металла, нане-
нанесенный на внутреннюю поверхность эвакуированного стеклянного
баллона В (рис. 369; G — гальванометр); анод А выполнен в виде ме-
металлического кольца, помещенного в центральной части баллона.
При освещении катода в цепи фотоэлемента возникает электрический
ток, сила которого пропорциональна вели-
величине светового потока.
Большинство современных фотоэлементов
имеет сурьмяно-цезиевые или кислородно-
цезиевые катоды, обладающие высокой фото-
фоточувствительностью. Кисйородно-цезиевые фо-
фотоэлементы чувствительны к инфракрасному
и видимому свету (чувствительность 20 —
80 мкА/лм); сурьмяно-цезиевые фотоэлементы
чувствительны к видимому и ультрафиолето-
ультрафиолетовому свету (чувствительность 50 -150 мкА/лм).
В некоторых случаях для увеличения
чувствительности фотоэлемента его наполня-
наполняют аргоном при давлении порядка 1 Па.
Фототок в таком фотоэлементе усилива-
усиливается вследствие ионизации аргдна, вызванной
столкновениями фотоэлектронов с атомами аргона. Фоточувствитель-
Фоточувствительность газонаполненных фотоэлементов составляет около 1 000 мкА/лм.
Внутренний фотоэффект наблюдается у полупроводников и в мень-
меньшей мере у диэлектриков. Схема наблюдения внутреннего фотоэффек-
фотоэффекта показана на рис. 370. Полупроводниковая пла- ,—,
стинка Р присоединена последовательное гальвано-
гальванометром G к полюсам батареи. Ток в этой цепи
незначителен, поскольку полупроводник обладает
большим сопротивлением. Однако при освещении
пластинки ток в цепи резко возрастает. Эго обу-
обусловлено тем, что свет вырывает из атомов полу-
полупроводника электроны, которые, оставаясь внутри
полупроводника, увеличивают его электропровод-
электропроводность (уменьшают сопротивление).
Фотоэлементы, основанные на внутреннем фото*
эффекте, называются полупроводниковыми фотоэле-
фотоэлементами, или фотосопротивлениями, Для их изго-
изготовления используют селен, сернистый свинец, се-
сернистый кадмий и некоторые другие полупроводники. Фоточувстви-
Фоточувствительность полупроводниковых фотоэлементов в сотни раз превышает
фоточувствительность вакуумных фотоэлементов. Некоторые фотоэ-
фотоэлементы обладают отчетливо выраженной спектральной чувствитель-
чувствительностью. У селенового фотоэлемента спектральная чувствительность
близка к спектральной чувствительности человеческого глаза (см
рис. 304, § 118).
Недостатком полупроводниковых фотоэлементов является их за-
заметная инерционность: изменение фототока запаздывает относитель-
относительно изменения освещенности фотоэлемента. Поэтому полупроводнике-
т
Рис. 370
16*
487

вые фотоэлементы непригодны для регистрации быстропеременных
световых потоков.
На внутреннем фотоэффекте основана еще одна разновидность фо-
фотоэлемента — полупроводниковый фотоэлемент с запирающий слоем
или вентильный фотоэлемент. Схема этого фотоэлемента дана на
рис. 371.
Металлическая пластинка М и нанесенный на нее тонкий слой
полупроводника Р соединены внешней электрической цепью, содер-
содержащей гальванометр G. Как было показано (см. § 90), в зоне кон-
контакта полупроводника с металлом образу-
8 е т ется запирающий слой В, обладающий вен-
вентильной проводимостью: он пропускает
электроны только в направлении от полу-
полупроводника к металлу*. При освещении
полупроводникового слоя в нем, благода-
м \ ^— 1 рЯ внутреннему фотоэффекту, появляются
свободные электроны. Проходя (в процессе
хаотического движения) через запирающий
слой в металл и не имея возможности
ис# перемещаться в обратном направлении,
эти электроны образуют в металле избы-
избыточный отрицательный заряд. Полупроводник, лишенный части «сво-
«своих» электронов, приобретает положительный заряд. Разность потен-
потенциалов (порядка 0,1 В), возникающая между полупроводником и ме-
металлом, создает ток в цепи фотоэлемента.
Таким образом, вентильный фотоэлемент представляет собой ге-
генератор тока, непосредственно преобразующий световую энергию
в электрическую.
В качестве полупроводников в вентильном фотоэлементе исполь-
используют селен, закись меди, сернистый таллий, германий, кремний. Фо-
Фоточувствительность вентильных фотоэлементов составляет 2000 —
30 000 мкА/лм.
Коэффициент полезного действия современных кремниевых фото-
фотоэлементов (освещаемых солнечным светом) достигает 12—15%; по
теоретическим расчетам, его можно повысить до 22%.
Поскольку фототок пропорционален световому потоку, фотоэлемен-
фотоэлементы используются в качестве фотометрических приборов. К таким при-
приборам относятся, например, люксметр (измеритель освещенности)
и фотоэлектрический экспонометр.
Фотоэлемент позволяет преобразовывать колебания светового по-
потока в соответствующие колебания фототока, что находит широкое
применение в технике звукового кино**, телевидения и т. п.
* В вентильном фотоэлементе могут применяться два полупроводника с раз-
различными типами проводимости — электронной и дырочной (см. § 90).
** Изменения светового потока, проходящего через звуковую дорожку ки-
кинопленки, преобразуются в соответствующие колебания фототока, которые
в свою очередь преобразуются (после усиления) в звуковые колебания (мембра-
(мембраны ^репродуктора).
488

Исключительно велико значение фотоэлементов для телемеханиза-
телемеханизации и автоматизации производственных процессов. В сочетании с элек-
электронным усилителем и реле фотоэлемент является неотъемлемой
частью автоматических устройств, которые, реагируя на световые
сигналы, управляют работой различных промышленных и сельско-
сельскохозяйственных установок и транспортных механизмов.
Весьма перспективным является практическое использование вен-
вентильных фотоэлементов в качестве генераторов электроэнергии. Ба-
Батареи кремниевых фотоэлементов, получившие название солнечных
батарей, успешно применяются на советских космических спутниках
и кораблях для питания радиоаппаратуры. Для этого общая площадь
фотоэлементов должна быть достаточно большой. Например, на кос-
космическом корабле «Союз-3» площадь поверхности солнечных батарей
составляла около 14 м2.
Когда коэффициент полезного действия солнечных батарей будет
повышен до 20—22%, они, несомненно, приобретут первостепенное
значение среди источников, вырабатывающих электроэнергию для
производственных и бытовых нужд.
§ 137. Масса и импульс фотона. Световое давление.
Эффект Комптона. Флуктуации света
В первой части курса (см. § 20) мы познакомились с универсаль-
универсальным законом взаимосвязи {пропорциональности) массы и энергии:
W = тс2, B8)
где в самом общем случае т есть масса материи (частицы, или системы
частиц, или, наконец, области поля), W — ее энергия, с — скорость
света в вакууме. Применим этот закон к световому кванту — фотону —
для определения его массы и количества движения (импульса).
Так как фотон обладает энергией W = /iv, то, согласно формуле
B8), он должен иметь массу
*Пф = -Т" B9)
С
Фотон движется со скоростью света с, поэтому его количество движе-
движения (импульс)
тфс = —. C0>
ф с
Из формул B9) и C0) следует, что с увеличением частоты излуче-
излучения v масса и импульс фотона возрастают; их численные значения
для некоторых видов излучения приведены в таблице.
Вид излучения
Видимый свет
Ультрафиолетовые лучи . .
Жесткие рентгеновские лучи
v, Гц
5,4-1014
3-1015
8-1018
3-102°
/Иф, КГ
4-КГ5*
2,2-105
6-1О2
2,2-1(Г30
тфс, кг-м.с-1
1,2-КГ27
6,6. Ю-27
1,8-Ю-23
6,6. Ю-22
489

Масса фотона оказывается крайне малой; однако для жестких рен-
рентгеновских лучей она уже сравнима с массой электрона, а для гамма-
излучения даже превышает массу электрона.
Поскольку фотоны обладают количеством движения (импульсом),
световой поток должен оказывать давление на преграды, встречаю-
встречающиеся на его пути. Проще всего рассчитать световое давление
на основе квантовой теории, рассматривая свет как поток фо-
фотонов.
Л
Пусть монохроматический пучок света частотой
_ v и интенсивностью J падает нормально на неко-
— торую площадку S (рис. 372). Так как интенсив-
•• - ность J есть энергия света, падающего на пло-
/ Одет щадь в 1 м2 за 1 с, а энергия одного фотона рав-
равна /lV, ТО
Рис. 372
J = iV/zv, C1)
где N — число фотонов, падающих на площадь в 1 м2 за 1 с.
Импульс силы, сообщаемый фотоном площадке S, равен, соглас-
согласно закону изменения количества движения (см. § 8), разности коли-
количеств движения фотона до и после «удара» фотона о площадку.
Если площадка полностью поглощает свет, то этот импульс будет
равен
(количество движения фотона после удара равно нулю, поскольку
поглощенный фотон прекращает свое существование). Если же пло-
площадка полностью отражает свет, то фотон сообщит ей импульс
. JH.) = 2 ±-
С J С
(количества движения падающего и отраженного фотонов имеют
противоположные знаки).
Давление света р равно полному импульсу, полученному за 1 о
площадкой в 1 м2 от всех N падающих на нее фотонов. Следовательно,
(для поглощающей площадки) и
p
с
(для отражающей площадки). Тогда, учитывая формулу C1), получим
Р = — C2)
С
490

(для поглощающей площадки) и
C3)
/Tn
J \ 4
Рис. 373
(для отражающей площадки).
Отметим, что к таким же результатам приводит электромагнитная
(волновая) теория Максвелла [см, § 105, формулы B1) и B2) и два
следствия из них]*.
Экспериментально световое давление было впервые обнаружено и
измерено в 1900 г. /7. Н. Лебедевым посредством очень тонкого и
изящного опыта. Принципиальная схема этого
опыта дана на рис. 373у К стеклянной нити /, на-
натянутой в эвакуированном сосуде 2, прикреплены
две легкие пластинки 3 и 4, одна из которых имеет
зачерненную поверхность (поглощает свет), а
другая — блестящую (отражает свет)
Пластинка, на которую направлялся пучок
света, смещалась под действием светового давле-
давления При этом нить закручивалась на некоторый
угол, измерявшийся с помощью зрителычой тру-
трубы и зеркальца 5, приклеенного к нити. По вели-
величине угла закручивания рассчитывалось давление
света на данную пластинку.
Значения свеювого давления, полученные Лебедевым на опыте,
совпали с теоретически рассчитанными значениями давления света
В частности, оказалось, что давление свега на отражающую поверх-
поверхность (блестящую пластинку) вдвое больше, чем на поглощающую
(зачерненную пластинку)
Несмотря на то что световое давление одинаково успешно объяс-
объясняется и квантовой и волновой теориями, данное явление имеет спе-
специфически квантовый характер Это особенно отчетливо обнаружи-
обнаруживается при освещении малых объектов слабым световым потоком, со-
содержащим небольшое число ^массивных» фотонов, например при
освещении свободных электронов жесткими рентгеновскими лучами.
В этом случае электрон испытывает заметные толчки от отдельных
фотонов.
Взаимодействие фотонов с электронами впервые наблюдалось на
опыте в 1923 г американским физиком Комптоном Он обнаружил,
что при рентгеновском облучении вещества, содержащего свободные
или слабо связанные электроны, происходит рассеяние рентгеновских
лучей, сопровождающееся увеличением длины волны рассеянного
излучения (эффект Комптона).
Схема эффекта Комптона изображена на рис. 374. Фотон, имеющий
энергию /*v0, сталкиваясь с электроном в, передает ему часть свой
энергии В результате электрон отскакивает в сторону, а фотон изме-
* В указанных формулах плотность потока электромагнитной энергии к
соответствует интенсивности света J, а скорость распространения электромаг-
электромагнитного поля v — скорости света с.
491

няет направление своего движения (рассеивается). Очевидно, что
энергия рассеянного фотона /iv</iv0 (поскольку часть энергии фотон
передал электрону). Следовательно, v<v0, а Х>Х0 (где X и Хо — длины
волн рассеянного и падающего фотонов).
Опыт и теория показывают, что увеличение длины волны рассеян-
рассеянного фотона ДХ = X—Хо зависит только от угла рассеяния ©:
ДХ = 0,00242 A — cos в) нм.
Пожалуй, самым простым и наглядным подтверждением кванто-
квантовых свойств света являются опыты Вавилова, непосредственно на-
наблюдавшего флуктуации яркости слабого светового потока, вызван-
вызванные случайными изменениями числа фотонов в этом потоке.
Дело в том, что порог чувствитель-
ности глаза очень низок: в области зеле-
ного света (X = 0,550 мкм) глаз, адапти-
рованный к темноте, способен реагиро-
% _ У\ вать на световой поток, соответствую-
' Падающий *фотон^*^ Ший примерно всего лишь 50—100 фо-
'^Щу*^ тонам, падающим на сетчатку за 1 с.
Ри «74 Вавилов наблюдал пучок света, ко-
который автоматически перекрывался ка-
каждую секунду на промежуток времени
в 0,9 с. Пока световой поток был не слишком слабым, наблюдатель
воспринимал каждую вспышку света (длившуюся в течение 0,1 с).
Однако при достаточно слабом световом потоке некоторые вспышки
уже не оказывали воздействия на глаз наблюдателя Чем слабее
становился световой поток, тем чаще получались пропуски вспышек.
Очевидно, что этим пропускам соответствовали такие участки слабого
светового пучка, в которых число фотонов оказывалось, по случайным
причинам, меньше порогового значения Таким образом, были непо-
непосредственно обнаружены флуктуации числа фотонов в световом потоке,
подтвердившие фотонную структуру света.
Заканчивая обзор свойств света и процессов взаимодействия све-
света с веществом, проведенный в этой и предшествующих главах пос-
последней части курса, следует еще раз подчеркнуть, что свет имеет
двойственную (корпускулярно-волновую) природу: фотон является час-
частицей (массой тф) и вместе с тем волной (частотой v).
С позиции привычных (классических) представлений, основанных
на наблюдении за объектами макромира, такая двойственность ка-
кажется совершенно недопустимой. Частица макромира занимает огра-
ограниченную область пространства и движется по определенной траек-
траектории (или покоится); волна же распределена в пространстве непре-
непрерывно и ее энергия передается всем точкам пространства. Поэтому
нельзя представить себе объект макромира, в котором совмещались
бы и свойства частицы и свойства волны.
Однако нет никаких оснований приписывать микрочастицам все
свойства частиц макромира (тел.) Ведь не пытаемся же мы припи-
приписать, например, электрону какой-либо запах, цвет, шероховатость
и т п., хотя эти свойства, безусловно, присущи макрочастице.
492

Микрообъекты существенно (качественно) отличаются от привыч-
привычных нам объектов макромира. В частности, некоторым микрочасти-
микрочастицам (элементарным частицам) свойственны взаимные превращения
(см. § 145).
Итак, двойственность природы микрочастиц, в том числе и фотона,
следует воспринимать как объективную реальность, отражающую
многообразие свойств материи.
Задача 69. Вследствие лучеиспускания Земля теряет в среднем 91 Дж
в секунду с каждого квадратного метра своей поверхности. Принимая Землю
за абсолютно черное тело, определить среднюю температуру Т ее поверхности
и длину волны Хт, на котирую приходится максимум излучаемой энергии.
Решение. По закону Стефана — Больцмана C),
где 8 = 91 Дж/(м2 • с) — лучеиспускательная способность Земли, «г — по-
постоянная Стефана — Больцмана. Тогда
Т = i/Z = л/ 91
V а V 5,67 . 10-
Дж/(и»-с)
-8 дж/(м2 . с . К4)
Согласно закону Вина D),
где b — постоянная Вина. Поэтому
Таким образом, максимум лучеиспускательной способности Земли приходится
на длинноволновую (инфракрасную) часть спектра.
Необходимо пояснить, что столь низкую рассчитанную нами среднюю (тем-
(температуру 200 К) Земля имела бы в отсутствие атмосферы. Атмосфера (точнее,
всегда содержащийся в ней водяной пар) очень сильно поглощает длинновол-
длинноволновое излучение Земли и нагревается им. Нагретая атмосфера в свою очередь
лучеиспускает. Часть этого излучения идет к Земле и поглощается ею, вызывая
нагревание земной поверхности. Поэтому фактическая средняя температура
Земли оказывается значительно более высокой, чем рассчитанная нами. Таким
образом, атмосфера предохраняет Землю от чрезмерного охлаждения, создает
грандиозный по масштабу (для всей Земли в целом) парниковый эффект (см.
§ 12°)-
Задача 70. Найти угловую скорость ш и период вращения Т электрона
на первой боровской орбите в атоме водорода.
Решение. По первому постулату Бора A1),
h
mvr = n --— ,
где m — масса электрона, г — радиус орбиты, v — линейная скорость элек-
электрона на этой орбите, h — постоянная Планка, п = 1 — квантовое число, со-
соответствующее первой орбите. Учитывая, что v = <s>r% можем написать
h
ma>r2 =¦ п --— .
2%
Согласно формуле A4)*,
r= n2
пте2
493

где е — заряд электрона, е0— электрическая постоянная. Подставляя это вы-
выражение радиуса в формулу первого постулата Бора, получим
3,14 рад- 9,1 . Ю-1 кг- 1,64 - 1<Г* Кл4
4,4-101в рад/с
* п> h* 2 • 8,852 . 10~24 Ф2/м* - 6,6253 ¦ ИГ102 Дж3 • с
рад • кг - Кл4 • м2 рад • Дж • Кл4 рад - Кл2 ¦ В2 ___ рад
ЛжА • ^ • cJ ~~" Дж3 • с • Ф2 ~~ с • Дж2 ~~" с
Период вращения электрона найдем из соотношения
__ _2те 6,28 рад __
~~ о ~~ 4,4 • 1016 рад/с "~ '
Задача 71. Красная граница фотоэффекта для вольфрама Хо = 275 нм.
Определить работу выхода А электрона из вольфрама и максимальную скорость
vm электронов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны X = 180 нм.
Решение. Согласно формуле B7), выражающей красную границу фо-
фотоэффекта,
Х«= — •
где с — скорость света в вакууме. Поэтому
7,2 • Ю-19 Дж
= 4,5эВ.
1,6 • iG"ltf Дж/эВ
Согласно уравнению Эйнштейна B6),
2
где т — масса фотоэлектрона, v = с/Х — частота света. Тогда
2F,625- 10-34Дж - с . 3- 108 м/с — 7,2 - 10~19 Дж . 1,8 • Ш м) _
9,Ы0-31 кг-1,8.10-7 м ^
= 9.1 . 105 м/с.
Задача 72. Вычислить длину волны X фотона, импульс которого равен
импульсу электрона, обладающего скоростью v = 104 км/с.
Решение. Согласно формуле C0), импульс фотона равен ftv/c, где v
не — частота и скорость фотона. Приравнивая этот импульс импульсу элект-
электрона mv, где т — масса электрона, и учитывая, что v = с/Х, получим
h
откуда
h 6,625- 10-34Дж - с
Х =7,
mv 9,1 • 101кг • 107м/с
Такая длина волны соответствует частоте v = 4,1 • 1018 Гц; следовательно,
данный фотон принадлежит к жестким рентгеновским лучам (см., например,
таблицу в § 137).

Глава XX. Атомное ядро
и внутриядерные процессы
§ 138. Общие сведения об атомных ядрах. Изотопы
Исследование атомных ядер началось в XX в., причем наиболее
интенсивно оно проводилось в последние десятилетия (с 30-х годов
по настоящее время). Таким образом, ядерная физика является одним
из самых молодых разделов физики. Тем не менее результаты, кото-
которые уже удалось получит{> в этой области, оказались исключительно
важными в научном и практическом отношении. Достаточно указать
хотя бы на то, что исследование ядер и внутриядерных процессов при-
привело к открытию и практическому использованию ядерной энергии.
Согласно гипотезе, высказанной в 1932 г. Д. Д. Иваненко и явля-
являющейся теперь общепризнанной, в состав всех атомных ядер входит
только два вида элементарных частиц — протоны и нейтроны.
Протон имеет положительный заряд, равный заряду электрона
(т. е, элементарному заряду е = 1,6021 • 10~19 Кл), и массу покоя
тр = 1,6726 • 10~27 кг. Нейтрон не имеет заряда; его масса немно-
немного больше массы протона: тп = 1,6749 • 10~27 кг. Протон принято
обозначать буквой р, нейтрон — буквой п\ общее название этих час-
частиц — нуклоны*.
Массу ядер и элементарных частиц обычно выражают в атомных
единицах массы (а. е. м.). За атомную единицу массы принята 1/12
массы изотопа углерода С12; 1 а. е. м. = 1,66 • 10~а7 кг. Следова-
Следовательно, тр = 1,00728 а. е. м., а тп = 1,00866 а. е. м. Таким обра-
образом,
тр»тя«1а.е.м. = 1,66 • 10~27кг. A)
В § 134 было показано, что заряд атомного ядра любого химичес-
химического элемента, выраженный в элементарных зарядах, равен атомному
номеру Z этого элемента. Но заряд ядра слагается из зарядов прото-
протонов; следовательно,
число протонов N р в атомном ядре элемента равно атомному но-
номеру Z элемента:
NP = Z. B)
Почти вся масса атома заключена в его ядре (см. § 132). Но масса
ядра слагается из масс всех нуклонов, входящих в ядро. Тогда, со-
согласно соотношению A), сумма чисел протонов N р и нейтронов Nn
должна быть равна массовому числу атома, т. е. целому числу А, бли-
ближайшему к атомной массе (выраженной в а. е. м.): Nр + Nn = Ау
или, учитывая формулу B), Z + Nn = Л. Следовательно, число нейт-
нейтронов в атомном ядре элемента равно разности между массовым чис-
числом и атомным номером элемента:
Nn=\-Z. C)
* От латинского слова nucleus — ядро.
495

Таким образом, по массовому числу и атомному номеру химиче-
химического элемента можно непосредственно определять число протонов
и число нейтронов, содержащихся в атомном ядре этого элемента.
Атомные ядра химических элементов принято обозначать симво-
символом ZXA, где X — символ элемента, А — массовое число, Z — атом-
атомный номер. Например, 2Не4 означает атомное ядро гелия, 8О1в — атом-
атомное ядро кислорода и т. п.
На рис. 375 схематически изображены ядра атомов водорода jH1,
гелия 2Не4, лития 3Li7 и бора бВХ1; черными шариками представ-
представлены протоны, белыми — нейтроны.
Атомы, ядра которых состоят из одинакового числа протонов,
но из различного числа нейтронов, называются изотопами. Так,
(Протон)
-частица)
Рис. 375
например, у водорода имеется четыре изотопа: протий (легкий во-
водород) Н, дейтерий (тяжелый водород) D, тритий (сверхтяжелый
водород) Т и недавно открытый четырехнуклонный водород, еще не
получивший специального названия*. Ядро протия (протон) iH1
состоит из одного протона (А = 1), ядро дейтерия (дейтон) fH2 —
из протона и нейтрона (А = 2), ядро трития (тритон) iH3 — из про-
протона и двух нейтронов (А = 3), ядро четырехнуклонного водорода
jH4 — из протона и трех нейтронов (А=4). В соединении с кисло-
кислородом дейтерий образует тяжелую воду (D2O) тритий —сверхтяже-
—сверхтяжелую воду Т2О.
Тяжелая вода всегда содержится в природной воде, правда, в очень не-
небольшом количестве — примерно 0,016%; может быть выделена из природной
воды путем многократной перегонки или посредством электролиза (см. § 91).
Сверхтяжелая вода встречается в совершенно ничтожных количествах (порядка
10~16 %) в дождевой воде.
Все изотопы одного химического элемента имеют одинаковое
строение электронных оболочек. Поэтому у изотопов данного элемен-
элемента одинаковы как химические свойства, так и те физические свойства,
которые обусловлены главным образом структурой электронной обо-
оболочки. Что касается физических свойств, обусловленных структурой
ядра (массовое число, плотность, радиоактивность и т. д.), то они за-
заметно различаются. Понятно, что это различие наиболее отчетливо
выражено у самых легких химических элементов.
* Четырехнуклонный водород открыт в 1963 г. группой итальянских фи-
физиков (Арган, Пьяццоли, Пирачино и др.).
496

Из периодической системы Менделеева (см. в начале книги) видно,
что атомные массы некоторых элементов значительно отличаются
от целых чисел. В 1919 г. английский физик Астон с помощью масс-
спектрографа (см. § 102) установил, что такие элементы представляют
собой смесь нескольких изотопов. Это является главной причиной не-
целочисленности атомных масс элементов; другая причина, связанная
с 1гак называемым дефектом массы, будет рассмотрена в § 142.
В настоящее время установлено, что большинство химических
элементов, встречающихся в природе, представляет собой смесь изо-
изотопов. В частности, природный водород состоит на 99,985% из про-
тия и на 0,015% из дейтерия.
Согласно теории Я- И. Френкеля, атомное ядро можно уподобить
капле жидкости (капельная модель ядра). Нуклоны, составляющие
ядро, связаны между собой особыми силами притяжения — ядерными
силами, подобно тому как молекулы в капле жидкости связаны между
собой молекулярными силами сцепления.
Устойчивость атомных ядер большинства элементов говорит о
том, что ядерные силы исключительно велики: они должны превы-
превышать значительные кулоновские силы отталкивания, действующие
между протонами, расположенными очень близко друг от друга.
Ядерные силы проявляются только на очень малых расстояниях —
порядка 103 см. При незначительном увеличении расстояния меж-
между нуклонами ядерные силы уменьшаются до нуля и кулоновские
силы разъединяют протоны (разрушают ядро).
Ядерные силы являются силами особого рода — не гравитацион-
гравитационными и не электрическими. Их природа и свойства изучены еще не-
недостаточно. В настоящее время наиболее вероятной считается мезон-
ная теория ядерных сил*, согласно которой нуклоны взаимодейст-
взаимодействуют друг с другом путем обмена особыми элементарными частица-
частицами— мезонами (см. § 145).
Благодаря ядерным силам нуклоны столь тесно «упакованы» в ядре, что
плотность р вещества в атомных ядрах оказывается колоссальной. Определим
порядок величины этой плотности. Будем считать ядро шарообразным, имеющим
радиус
г = 105 VI (м),
где Л — число нуклонов в ядре (т. е. массовое число). Масса ядра равна сумме
масс всех входящих в него нуклонов: тА = 1,66 • 10~27 А (кг)**. Тогда
р =—^— = ! !—! ! ^4,1 • 1017кг/м3 = 4,1 . 108т/см3.
JLrcr3 JL. 3,14 • 1(Г4* -Л
3 3
Таким образом, 1 см3 ядерного вещества весил бы около четырехсот мил-
миллионов тонн A), тогда как 1 см3 одного из наиболее тяжелых химических эле-
* Выдвинута японским физиком Юкава.
** Строго говоря, масса ядра меньше суммы масс образующих его нук-
нуклонов на величину дефекта массы ядра (см. § 142). Однако для приближенного
расчета это обстоятельство не имеет значения.
497

ментов ~ платины — весит всего лишь 22,5 грамма. Это сопоставление ука-
указывает на чрезвычайную ажурность структуры атомов, молекул и макроскопи-
макроскопических объектов (тел).
Наиболее устойчивыми являются ядра легких элементов, состоя-
состоящие из приблизительно одинакового числа протонов и нейтронов.
У самых тяжелых элементов (расположенных в периодической систе-
системе после свинца), ядра которых состоят из большого числа нуклонов
(с преобладанием нейтронов), ядерные силы уже не обеспечивают
устойчивости ядра. Такие ядра могут самопроизвольно распадаться,
превращаясь в ядра более легких элементов. Это явление носит на-
название естественной радиоактивности.
Фотографическая пластинка
§ 139. Естественная радиоактивность. Альфа-, бета-
и гамма-лучи. Законы радиоактивного распада
Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г. француз-
французским физиком Беккерелем, обнаружившим, что соли урана испускают
невидимые лучи, способные вызывать люминесценцию, проникать
через слои непрозрачных веществ, ио-
ионизировать газы, вызывать почернение
фотографической пластинки. Дальней-
Дальнейшие исследования, проведенные П. Кю-
Кюри и М. Кюри-СкАодовской, Резерфордом
и другими учеными, показали, что есте-
естественная радиоактивность свойственна
не только урану, но и многим тяже-
тяжелым химическим элементам, в частности
актинию, торию, полонию и радию (два
последних элемента были открыты в
1898 г. Пьером и Марией Кюри). Все
эти элементы были названы радиоак-
радиоактивными элементами, а испускаемые
ими лучи — радиоактивными лучами
(радиоактивным излучением).
По своему составу радиоактивное излучение является сложным:
в него входят три различных вида излучения, получивших названия
альфа-лучей, бета-лучей и гамма-лучей. Познакомимся с природой
и основными свойствами этих лучей.
1. Альфа-лучи отклоняются электрическим и магнитным полями;
представляют собой поток атомных ядер гелия 2Не4, называемых
ос-частицами (см. рис. 375). На рис. 376 изображено отклонение
а-частиц магнитным полем (силовые линии поля, перпендикулярные
плоскости рисунка, направлены на читателя и показаны точками).
Каждая а-частица несет два элементарных положительных заряда
+ 2е и обладает массовым числом 4. Альфа-частицы вылетают из ядер
радиоактивных элементов со скоростями от 14 000 до 20 000 км/с,
что соответствует кинетическим энергиям от 4 до 9 МэВ.
Радиоактив-
Радиоактивный препарат
Свинцовый
цилиндр
Рис. 376
498

Пролетая через вещество, а-частица ионизирует его атомы, дей-
действуя на них своим электрическим полем («выбивает» электроны из
^атомов вещества). Израсходовав энергию на ионизацию атомов, а-час-
а-частица останавливается; при этом она захватывает два электрона (из
имеющихся в веществе свободных электронов) и превращается в атом
гелия.
Путь, проходимый сс-частицей в веществе (до остановки), назы-
называется ее пробегом, или проникающей способностью, а число пар ионов,
создаваемых а-частицей на npooeie, называется ее ионизирующей
способностью. Очевидно, йто чем больше ионизирующая сассобность
частицы, тем меньше ее пробег.
Пробег а-частиц в воздухе (при нормальном давлении) составляет
3—9 см, а их ионизирующая способность равна 100 000 — 250 000
пар ионов (в среднем 30 000 пар ионов на 1 см пробега). Таким обра-
образом, а-частицы обладают высокой ионизирующей способностью, но
небольшой проникающей способностью.
Альфа-лучи полностью пеглощаются, например, слоем алюминия
толщиной 0,06 мм или слоем биологической ткани толщиной
0,12 мм.
2. Бета-лучи отклоняются электрическим и магнитным полями;
представляют собой поток быстрых электронов, называемых ^-части-
^-частицами. Масса их в 7350 раз меньше массы а-частицы. Средняя скорость
ф-частиц составляет около 160 000 км/с. На рис. 376 показано откло-
отклонение fl-частиц магнитным полем
В отличие от ос-излучения Р-излучение имеет сплошной энергети-
энергетический спектр, т. е. содержит C-частицы со всевозможными значения-
значениями энергии (или, что то же, всевозможными значениями скорости).
Ядра одного и того же радиоактивного элемента выбрасывают р-час-
тицы и со скоростью, близкой к нулю, и со скоростью, близкой к ско-
скорости света. Энергия р-частиц лежит в пределах от сотых долей МэВ
до нескольких МэВ.
Поскольку р-частица имеет весьма малую массу, большую (в сред-
среднем) скорость и несет только один элементарный заряд, ее ионизи-
ионизирующая способность значительно — в среднем в 100 раз —меньше,
а пробег во столько же раз больше, чем у а-частицы. Пробег (З-частиц
(высокой энергии) достигает в воздухе 40 м, в алюминии — 2 см,
в биологической ткани — 6 см.
Экспериментально установлено, что атомные ядра одного и того
же радиоактивного элемента теряют при р-распаде вполне определен-
определенное, одинаковое количество энергии. Поэтому все g-частицы, испускае-
испускаемые данным элементом, должны были бы обладать одинаковой энер-
энергией. Между тем, как уже отмечалось, р-излучение характеризуется
сплошным энергетическим спектром, что также было установлено
экспериментально. Таким образом, энергия, уносимая Р-частицами из
ядер, оказывается меньше энергии, испускаемой ядрами при р-рас-
паде. Этот экспериментальный факт не согласуется с законом сохра-
сохранения энергии. В связи с этим Паули высказал в 1931 г. гипотезу
о том, что при каждом акте р-распада вместе с р-частицей из ядра вы-
выбрасывается еще одна крайне легкая, незаряженная частица, назван-
499

ная впоследствии нейтрино*. Нейтрино и fl-частица совместно уно-
уносят из ядра всегда одно и то же количество энергии. Но в различных
актах Р-распада эта энергия распределяется между нейтрино и C-час-
тицей по-разному (случайно), чем и объясняется сплошной характер
энергетического спектра р-иэ л учения.
3. Гамма-лучи представляют собой поток фотонов, имеющих очень
высокую частоту — порядка 1020 Гц, что соответствует очень корот-
короткой длине волны — порядка 10~12 м. Энергия ^-фотонов имеет поря-
порядок 1 МэВ.
Являясь крайне жестким электромагнитным излучением, ^-луад
во многом подобны характеристическим рентгеновским лучам. Они
не отклоняются электрическим и магнитным полями (см. рис. 376),
распространяются со скоростью света, при прохождении через крис-
кристаллы обнаруживают дифракцию. Но в отличие от рентгеновских лу-
лучей, '(-лучи испускаются атомным ядром (при его переходе из воз-
возбужденного состояния в нормальное).
Поглощение f лучей в веществе обусловлено в основном тремя
процессами: фотоэффектом (см. § 136), эффектом Комптона (см. § 137)
и образованием электронно-позитронных пар. Последний процесс (де-
(детально изученный в 1934—1935 гг. французским физиком Ф. Жолио)
состоит в том, что f-фотон, обладающий энергией /iv^l,02 МэВ,
пролетая вблизи атомного ядра, может (под влиянием ядерного поля)
превратиться в пару элементарных частиц — электрон и позитрон —
и прекратить свое существование (позитрон имеет массу, равную мас-
массе электрона, и несет положительный элементарный заряд; обозна-
обозначается буквой е+ или Р+). Ионизирующая способность ^-лучей неве-
невелика; в воздухе она имеет порядок 100 пар ионов (в среднем 1—2 па-
пары ионов на 1 см «пробега»).
Гамма-лучи являются одним из самых проникающих излучений.
Наиболее жесткие ^-лучи проходят через слой свинца толщиной 5 см
или через слой воздуха толщиной в несколько сотен метров; тело че-
человека они пронизывают насквозь.
Подчеркнем, что радиоактивное излучение испускается атомными
ядрами, а не их электронными оболочками. Для а-излучения это оче-
очевидно, поскольку электронная оболочка не содержит протонов и
нейтронов (образующих а-частицу); для Р-излучения это следует из
того факта, что оно не зависит (не изменяется) от каких бы то ни было
воздействий на электронные оболочки радиоактивных атомов. Бета-
частицы не входят в состав ядра, но возникают в нем в процессе ядер-
ядерного распада (благодаря превращениям нейтронов в протоны; см.
§ 141). И а- и Р-распады обычно сопровождаются ^-излучением.
Очевидно, что радиоактивное излучение ведет к превращению ато-
атомов излучающего элемента в атомы другого элемента.
* Экспериментально нейтрино было обнаружено только в 1956 г. американ-
американскими физиками Рейнсом и Коуэном\ обозначается буквой v. Масса нейтрино
меньше 0,0005 массы электрона. Благодаря столь малой массе и отсутствию за-
заряда нейтрино обладает чрезвычайно большой проникающей способностью,
что весьма затрудняет обнаружение этой частицы (делает ее почти неуловимой),
500

При испускании р-частицы заряд ядра увеличивается на единицу,
а масса практически не изменяется (ввиду малости массы Р-частицы).
Следовательно, по мере р-распада радиоактивный элемент превра-
превращается в другой элемент с атомным номером, на единицу большим,
и с тем же массовым числом. Иначе говоря,
при ^-распаде элемент смещается в периодической системе на один
номер вправо без изменения массового числа.
Символически это смещение записывается так:
2ХА -+ z+lYA + р-. D)
Например,
При испускании а-частицы заряд ядра уменьшается на 2 единицы,
а массовое число — на 4 единицы. Следовательно,
при а-распаде элемент смещается в периодической системе на два
номера влево с уменьшением массового числа на четыре единицы:
zz2 E)
Например,
Правила D) и E), определяющие смещение радиоактивного элемен-
элемента в периодической системе, называют законами смещения (сформу-
(сформулированы в 1913 г. немецким физико-химиком Фаянсом и независимо
от него английским радиохимиком Содди).
Радиоактивный распад ведет к постепенному уменьшению числа
атомов радиоактивного элемента. Он носит случайный характер в
том смысле, что нельзя предсказать, когда и какой именно атом рас-
распадется. Можно говорить только о вероятности распада каждого
атома за определенный промежуток времени.
Число атомов dN, распадающихся за время dt, пропорционально
времени и общему числу N атомов радиоактивного элемента:
dN = —\N • dt, F)
где X — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной
распада данного элемента. Знак минус указывает на уменьшение
числа атомов радиоактивного элемента со временем. Из F) следует,
что
х=- dN
N -dt
т. е. постоянная распада равна относительному уменьшению числа
атомов данного элемента в единицу времени.
Интегрируя уравнение F) в пределах от t = 0 до t9 получим
N = Noe-lt, G)
501

где jV0 — число атомов элемента в начальный момент времени, N —
число атомов этого же элемента, оставшихся по истечении времени t.
Соотношение G) называется законом радиоактивного распада; графи-
графически этот закон представлен на рис. 377.
Для характеристики быстроты распада радиоактивного элемента
вводится понятие периода полураспада. Периодом полураспада Т
называется время, в течение которого ко-
личество атомов исходного элемента умень-
шается вдвое. Из G) следует, что
откуда
(8)
Величина т, обратно пропорциональ-
пропорциональная постоянной распада, представляет
среднее время жизни радиоактивного атома:
О Т
Рис. 377
откуда
Следовательно,
Г = т. In 2,
т
-1,44 Г,
In 2
т е. среднее время жизни приблизительно в полтора раза больше пе-
периода полураспада.
Значения Г, т и X у различных радиоактивных элементов весьма
различны (см. таблицу на стр. 503). Наряду с такими «долгоживу-
щими» элементами, как уран 92^238 (Т = 4,5 • 109 лет), встречаются
.и такие «короткоживущие» элементы, как, например, полоний 84Ро214
(Г = 1,5 • 10-* с).
Число атомных распадов, совершающихся в радиоактивном эле-
элементе за 1 с, называется активностью а этого элемента:
а =
dN
dt
(9)
Из формул F), (8) и (9) следует, что
ли N - In 2
Таким образом, активность элемента пропорциональна его количест-
количеству и обратно пропорциональна периоду полураспада.
502

За единицу активности принята активность 1 г радия, получившая
название кюри:
1 Ки - 3,7 ¦ 1010 расп./с.
Продукт радиоактивного распада химического элемента может
сам быть радиоактивным. Поэтому процесс радиоактивного распада
обычно проходит через ряд промежуточных стадий, образуя цепочку
радиоактивных элементов, заканчивающуюся стабильным элемен-
элементом. Такая цепочка элементов называется радиоактивным семейст-
семейством. В настоящее время известны четыре радиоактивных семейства.
1. Семейство урана — радия; начинается с урана 92^238 (Т = 4,5 х
X 109 лет) и заканчивается изотопом свинца 82РЬ208.
2. Семейство нептуния; начинается с трансуранового элемента
нептуния оз^р237 (Т = 2,2 -10е лет) и заканчивается изотопом вис-
висмута 83В\200. Следует отметить, что природного нептуния на Земле уже
лет, так как он полностью распался; сейчас нептуний получают по-
посредством искусственных ядерных реакций.
3. Семейство актиния; начинается с актиноурана 92AcU235 (Г =
== 7,3 «108 лет) и заканчивается изотопом свинца 82РЬ207.
4. Семейство тория; начинается с тория 9oTh232 (T = 1>4 -1010 лет)-
и заканчивается изотопом свинца 82РЬ208.
В таблице приведены все члены радиоактивного семейства ура-
урана-радия (дочерние элементы помещены под материнскими) и указав
вид радиоактивного распада каждого из членов.
Элемент
Уран
Торий
Протактиний
Уран
Торий
Радий
Радон
Полоний
Свинец
Висмут
Полоний
Таллий
Свинец
Висмут
Полоний
Свинец
Символ
««и2"8
9i Pa284
ии»«
88Ra22«
MRn»M
MRo2»«
ГРЬШ
83В1214
мРо2"
вЛ210
нРЬИ°
84РО210
82Pb2W
Вид
распада
а
<?
Р
а
а
а
а
а
р
Р, «
а
а
Стабилен
Период
полураспада
4,5-109 лет
24,1 дня
1,14 мин
2,7.10* лет
8,2-104 лет
1622 года
3,8 дня
3,05 мин
26,8 мин
19,7 мин
1,5-10-* с
1,32 мин
22,2 года
4,97 дня
139 дней
оо
Пользуясь этой таблицей и законами смещения D) и E), нетрудно-
составить символическую запись всей цепи радиоактивных превраще-
превращений, происходящих в данном семействе.

фотографической
§ 140. О методах наблюдения и регистрации микрочастиц
При изучении атомных ядер и внутриядерных процессов (как
естественных, так и искусственно вызванных) приходится иметь дело
с крайне малыми частицами (электронами, протонами, а-частицами
и т. п.). Для наблюдения и регистрации этих микрочастиц ядерная
физика пользуется в основном следующими приборами и методами:
ионизационным счетчиком, сцинтилляционным счетчиком, камерой
Вильсона, пузырьковой камерой,
^ ~7дх толстослойной
р{ \ . п ) t ч 8^^ эмульсией.
\у 2 щ ч/fi^?ж *• Ионизационный счетчик ос-
основан на возникновении газового
разряда при ионизации газа дви-
движущейся заряженной микрочасти-
микрочастицей.
Наиболее распространенным ви-
видом ионизационного счетчика явля-
является счетчик Гейгера — Мюллера*, схема которого представлена на
рис. 378. В стеклянном баллоне / (наполненном газом под давлением
порядка 104 Па) находится цилиндрический конденсатор 2, вну-
внутренним электродом которого служгт металлическая нить 3. На кон-
конденсатор подано напряжение от батареи 4 через высокоомное (поряд-
(порядка 109 Ом) сопротивление 5.
Если в конденсатор влетит заряженная микрочастица, то произ-
производимая ею ионизация газа вызовет газовый разряд. В цепи конден-
конденсатора пройдет кратковременный ток, сопровождающийся падением
напряжения на резисторе 5.
Это колебание напряжения
усиливается обычными радио-
радиотехническими способами и
затем регистрируется вспы-
вспышкой сигнальной лампочки
или движением стрелки элек-
электромеханического^ счетчика.
Таким образом, счетчик
Гейгера — Мюллера реги-
Рис. 379 стрирует каждую ионизирую-
ионизирующую частицу. Разрешающая
способность счетчика (со специальным пересчетным устройством) до-
достигает 10 000 частиц в секунду.
2. Сцинтилляционный счетчик основан на радиолюминесценции,
т. е. на флуоресценции вещества под ударами частиц радиоактивного
излучения.
Сцинтилляционный счетчик, схематически изображен-
изображенный на рис. 379, представляет собой совокупность прозрачного моно-
* Изобретен в 1907 р. немецким физиком Гейгером и Резерфордом\ в 1928 г.
усовершенствован Гейгером и немецким физиком Мюллером.
504

кристаллического люминофора (сцинтиллятора) С и многокаскадного
фотоэлектронного умножителя В. Фотоэлектронный умножитель
имеет один катод К и несколько анодов Аи Аъ А3 и т. д. *; потенциал
каждого последующего анода выше, чем предыдущего.
Счетчик действует следующим образом. Микрочастица, например
а-частица, падая на сцинтиллятор С, вызывает в нем кратковремен-
кратковременную вспышку (сцинтилляцию). Свет этой вспышки вырывает электро-
электроны из катода К. Вырванные фотоэлектроны летят к аноду At и вы-
выбивают из него по нескольку вторичных электронов. Возросший поток
электронов направляется к аноду А 2, где также выбивает вторичные
электроны, и т. д. В результате на выходе фотоэлектронного умножи-
умножителя возникает значительный импульс тока, ре-
регистрируемый счетным устройством.
Таким образом, сцинтилляционный счетчик
отмечает каждую микрочастицу, падающую на
сцинтиллятор. Разрешающая способность сцин-
тилляционных счетчиков на несколько порядков
выше, чем ионизационных счетчиков.
3. Камера Вильсона основана на том, что
ионы, создаваемые в воздухе пролетающей мик-
микрочастицей, становятся ядрами конденсации
(см. § 67) для пересыщенного пара. Изобретена Рис* 380
в 1912 г. английским физиком Вильсоном.
Камера Вильсона состоит из цилиндра /, герметически закрытого
стеклянной крышкой 2, и поршня 5 (рис. 380). При резком опускании
поршня воздух, находящийся в рабочем объеме камеры (над поршнем),
адиабатически расширяется и охлаждается. Водяной пар, содержа-
содержащийся в воздухе, становится пересыщенным и конденсируется на
ионах, созданных микрочастицей, влетевшей в камеру через тонкую
часть стенки цилиндра. Весь путь частицы оказывается усеянным
водяными капельками. Освещая рабочий объем камеры, можно уви-
увидеть и сфотографировать этот путь, или, как его принято называть,
трек.
По виду трека можно судить о природе ионизирующей частицы
(например, трек электрона тоньше и длиннее трека а-частицы).
В 1924 г. П. Л. Капица и Д. В. Скобельцын разработали метод
исследования частиц посредством камеры Вильсона, помещенной в
сильное магнитное поле.
В этом случае треки оказываются изогнутыми (частица имеет за-
заряд). По радиусу их кривизны можно определять массу, заряд и ско-
скорость ионизирующих частиц.
На рис. 381 изображены треки а-частиц, сфотографированные в
магнитной камере Вильсона.
4. Пузырьковая камера основана на том, что ионы, возникающие
на пути заряженной микрочастицы, движущейся внутри растянутой
жидкости (см. § 64), становятся центрами парообразования. Изобре-
* Фотокатод К представляет собою тонкий полупрозрачный слой цезия,
активированного серебром и нанесенного непосредственно на нижнее основание
сцинтиллятора С.
505

Рис. 381
тена в 1952 г. американским физиком Д. Глезером. Представляет
собой сосуд с расширительным устройством, наполненный жидкостью
в состоянии, близком к растянутому. В качестве жидкости применяют-
применяются эфир, фреон, жидкий азот, пропан и др.
Исследуемая микрочастица, пролетая че-
через камеру, ионизирует молекулы жидкости;
одновременно расширительное устройство ре-
резко снижает давление в камере. Жидкость
становится растянутой и закипает; в ней во-
возникают мельчайшие пузырьки пара, в первую
очередь на ионах. Поэтому весь путь микро-
микрочастицы оказывается усеянным пузырьками,
хорошо видимыми благодаря специальному
освещению. Это позволяет наблюдать и фото-
фотографировать треки.
Так как жидкость является достаточно
плотной средой, то движущиеся в ней микро-
микрочастицы сильно тормозятся и останавливают-
останавливаются, пройдя сравнительно короткий путь.
Благодаря этому с помощью пузырьковой камеры можно иссле-
исследовать микрочастицы, обладающие очень высокой энергией (камеру
Вильсона такая частица пронизала бы насквозь, не дав законченного
трека).
5. Метод толстослойных фотографических эмульсий основан на
том, что заряженная микрочастица, попадая в слой мелкозернистой
фотоэмульсии, оставляет в нем скрытый след своего пути.
После проявления фотоэмульсии след
чернеет. По длине, форме, степени почер-
почернения и другим характеристикам следа
(рассматриваемого под микроскопом) мож-
можно определить массу, заряд, скорость и
энергию частицы.
Этот метод разработан в 1926—1929 гг.
Л. В. Мысовским и А. П. Ждановым.
Фотоэмульсией служит желатиновый слой,
содержащий микрокристаллы бромистого
серебра; толщина слоя около 1 мм.
Поскольку фотоэмульсию можно экс-
экспонировать в течение длительного времени, данный метод оказы-
оказывается особенно ценным для наблюдения редко встречающихся ми-
микрочастиц и исследования редких ядерных процессов. На рис. 382
показаны следы, оставленные в фотоэмульсии осколками атомного
ядра, разрушенного ( в точке А) быстрым протоном; один из этих ос-
осколков затем распался (в точке В) на три частицы.
В заключение подчеркнем, что с помощью рассмотренных методов
можно непосредственно наблюдать только заряженные частицы.
Нейтральные частицы непосредственно не наблюдаются, так как они
не производят ионизации атомов вещества (и, следовательно, не дают
треков).
Рис. 382
506

Данные о массе, скорости и энергии нейтральных частиц полу-
получают косвенно, изучая характер действия этих частиц на заряженные
(при расчетах пользуются законами сохранения энергии и количест-
еа движения).
§ 141. Ядерные реакции. Искусственная радиоактивность
Изучение естественной радиоактивности показало, что превра-
превращение одного химического элемента в другой обусловлено внутри-
внутриядерными процессами, т. е. изменениями, происходящими внутри ато-
атомных ядер. В связи с этим были предприняты попытки искусственного
превращения одних химических элементов в другие путем воздейст-
воздействия на атомные ядра. Эффективным средством такого воздействия ока-
оказалась бомбардировка атомных ядер частицами высокой энергии
(от нескольких миллионов до десятков миллиардов электрон-ЕОльт).
Первоначально в каче-
качестве бомбардирующих ча~
стиц использовались а-ча-
стицы радиоактивного из-
излучения. В дальнейшем
стали применять и другие
заряженные частицы, пред-
предварительно сообщая им
очень большую скорость
(кинетическую энергию) в
специальных ускорителях, например в циклотронах (см. § 102). Кро-
Кроме того, теперь используются потоки заряженных и нейтральных
частиц, создаваемые ядерными реакторами (см. § 143).
Процесс превращения атомных ядер, обусловленный воздействием
на них быстрых элементарных частиц (или ядер других атомов)»
называется ядерной реакцией.
Первая искусственная ядерная реакция была осуществлена в
1919 г. Резерфордом, превратившим атомные ядра азота в ядра изо-
изотопа кислорода; в качестве бомбардирующих частиц использовались
а-частицы естественного радиоактивного излучения. Реакция про-
проводилась в камере Вильсона, наполненной азотом. После а-облучения
азота в рабочем объеме камеры появились атомы изотопа кислорода
и атомные ядра водорода, т. е. протоны.
Данная реакция протекает следующим образом (рис. 383): а-час-
тица попадает в атомное ядро азота 7N14 и поглощается им. Образую-
Образующееся при этом промежуточное ядро 9Х18 (ядро изотопа фтора 9F18>
оказывается неустойчивым: оно мгновенно выбрасывает из себя один
протон, превращаясь в атомное ядро изотопа кислорода 8О17. Эту
реакцию можно записать так:
Рис. 383
7№4 + ,Не4-у9Р18-
или
50Т

Сейчас пользуются еще более сокращенным способом записи ядерных
реакций. После символа ядра-мишени указывают в скобках бомбар-
бомбардирующую частицу и все другие частицы, появляющиеся в результате
реакции; за скобкой ставят символ ядра-продукта (атомный номер
элемента обычно не пишут). Применительно к рассматриваемой ре-
реакции этот способ записи выглядит так:
N14(a, р)О17.
На рис. 384, а приведена фотография, на которой зафиксирован
процесс превращения одного из атомных ядер азота в камере Виль-
Вильсона. Веерообразно расходящиеся белые нити являются треками
Рис. 384
а-частиц. На конце одного из треков (точка N) имеется характерное
разветвление — «вилка» (ее схема дана на рис. 384, б). Здесь а-час-
тица вклинилась в ядро азота, в результате чего образовались ядро
изотопа кислорода и протон. Короткий толстый трек ядра кислоро-
кислорода направлен влево вверх, а длинный тонкий трек протона — впра-
вправо вниз.
Таким образом, опыт Резерфорда подтвердил возможность осу-
осуществления искусственных ядерных реакций и вместе с тем непосред-
непосредственно показал, что протоны входят в состав атомных ядер и мо-
могут быть выделены (выбиты) из этих ядер.
Как видно на фотографии (см. рис. 384, а), лишь немногие а-час-
тицы попадают в ядро и вызывают ядерную реакцию. Это объясня-
объясняется, во-первых, тем, что атомные ядра расположены сравнительно
далеко друг от друга, и, во-вторых, тем, что между положительно
заряженным ядром и а-частицей возникают (при их сближении) очень
большие кулоновские силы отталкивания; поэтому в ядро может вкли-
вклиниться только а-частица, обладающая достаточно высокой энергией.
В этой связи отметим, что наиболее эффективными снарядами для
обстрела атомных ядер являются нейтральные частицы (особенно нейт-
нейтрон), поскольку между ними и ядрами нет электростатического оттал-
отталкивания.
508

Рассмотрим еще одну ядерную реакцию (проведенную в 1932 г.
английским физиком Чедвиком), в результате которой был впервые
обнаружен нейтрон. При бомбардировке бериллиевой пластинки
а-частицами (рис. 385) ядро бериллия 4Ве9 захватывает а-частицу и,
испуская нейтрон п, превращается в ядро углерода 6С12:
Нейтроны, вылетающие из бериллия, направляются в камеру Виль-
Вильсона, наполненную азотом. При попадании нейтрона в ядро азота
7N14 образуются ядро бора 5ВИ и а-частица:
Сам нейтрон не дает трека в камере (см. рис. 385), но по трекам ядра
бора и а-частицы можно рассчитать, что данная реакция вызвана нейт-
нейтральной частицей массой в 1 а. е. м., т. е. нейтроном.
Отметим, что свободный нейтрон существует недолго. Он либо
вступает в ядерную реакцию с каким-нибудь атомным ядром, либо
превращается в протон, ис-
испуская р-частицу и нейтри-
нейтрино: п (p,v)p. Следовательно,
нейтрон радиоактивен; согла-
согласно опытным данным, его пе- ® *""
риод полураспада составляет **
около 11,7 мин (см. примеча-
примечание на стр. 527). Веэ
Все ядерные реакции со- ц
провождаются испусканием
тех или иных элементарных
частиц (в том числе -j-фотонов). Продукты многих ядерных реакций
оказываются радиоактивными; их называют искусственно радиоак-
радиоактивными изотопами. Явление искусственной радиоактивности было
открыто в 1934 г. известными французскими физиками Фредериком
и Ирен Жолио-Кюри.
Примером получения радиоактивных изотопов может служить
реакция захвата нейтронов фосфором 1бР31. При этом захвате испус-
испускается т-фотон и образуется радиоактивный изотоп фосфора 15Р32:
Камера Вильсона
Рис. 385
Период полураспада изотопа фосфора Т = 14,3 дня; распад ядра изо-
изотопа, сопровождающийся испусканием |3-частицы*, ведет к обра-
образованию стабильного изотопа серы i6S32:
Как и естественно радиоактивным веществам, искусственно радио-
радиоактивным изотопам свойственны т*»Р" и а-распады. Однако имеются
и такие искусственно радиоактивные изотопы, которые обладают по-
* Напомним, что одновременно с fi-частицей испускается нейтрино (см.
§ 139).
509

зитронным распадом, т. е. испускают позитроны (см. § 139 и 145).
Примером образования позитронно радиоактивного изотопа может
служить реакция бомбардировки алюминия а-частицами, открытая
Жолио-Кюри. В данном случае ядро алюминия l3Al27 испускает нейт-
нейтрон и превращается в ядро радиоактивного изотопа фссфора 15Р30,
период полураспада которого Т = 2,5 мин. Этот изотоп, испуская
позитрон р+*, превращается в стабильный изотоп кремния 14Si30.
Реакция идет по схеме:
В промышленном масштабе искусственные радиоактивные изотопы
получают путем облучения (главным образом нейтронного) соответ-
соответствующих химических элементов в ядерном реакторе.
В настоящее время получено по нескольку изотопов для каждого
химического элемента; их общее число превышает 1 500. Многие из
них широко применяются в качестве меченых атомов (см. § 146) в са-
самых разнообразных отраслях человеческой деятельности.
Элемент
Углерод
Азот
Кислород
Натрий
Фосфор
Сера
Калий
Кальций
Марганец
Железо
Кобальт
Цинк
Мышьяк
Иод
Изотоп
«С"
7N«
8О15
uNa*
uP82
ws8s
20Са«
85Мпб«
26Fe«>
„Сов»
soZn"»
,3As™
MJ131
Вид
распада
f»~. 7
Р-
Р"
Р". 7
Г
Г» т
Период
полураспада
5720 лет
9,9 мин
2,1 мин
2,6 года
14,3 дня
87,1 дня
12,4 часа
152 дня
2,6 часа
46,3 дня
5,3 года
250 дней
26,8 часа
8 дней
В таблице приведены характеристики некоторых искусственных
радиоактивных изотопов, наиболее употребляемых в биологии и сель-
сельском хозяйстве. С помощью этих изотопов исследуются процессы
питания сельскохозяйственных растений и животных, миграция на-
насекомых, фотосинтез, передвижение грунтовых вод, проводится ра-
радиоактивное облучение семян, ведется борьба с вредителями сельско-
сельскохозяйственных растений и т. п (см. § 146).
Для уничтожения вредителей зерна практикуется его облучение перед за-
засыпкой в элеваторы гамма-лучами радиоактивного изотопа кобальта 2?СО<5(*-
При этом погибают личинки амбарного долгоносика и других опасных вреди-
вредителей, но полностью сохраняются питательные и хлебопекарные свойства зерна.
Продуктовый картофель, подвергнутый перед закладкой в хранилище воз-
воздействию определенной дозы радиоактивного облучения, предохраняется от ве-
* Одновременно с позитроном испускается нейтральная элементарная час-
частица ничтожно малой массы> называемая антинейтрино и являющаяся античас
тицей по отношению к нейтрино (см. § 145).
510

сенне-летнего прорастания без всякого изменения пищевых качеств. Вместе с тем
малые дозы предпосевного облучения семян сельскохозяйственных культур,
как правило, ускоряют созревание этих культур, увеличивают количество
и улучшают качество урожая.
§ 142. Энергия связи и дефект массы атомного ядра
Как уже отмечалось (см § 138), нуклоны прочно связаны в ядре
атома ядерными силами. Для разрыва этой связи, т. е. для полного
разобщения нуклонов, необходимо затратить некоторое количество
энергии (совершить некоторую работу).
Энергия, необходимая для разобщения нуклонов, составляющих
ядро, называется энергией связи ядра. Величину энергии связи можно
определить на основе закона сохранения энергии (см. § 18) и закона
пропорциональности массы и энергии (см. § 20).
Согласно закону сохранения энергии, энергия нуклонов, связан-
связанных в ядре, должна быть меньше энергии разобщенных нуклонов на
величину энергии связи ядра #. С другой стороны, согласно закону
пропорциональности массы и энергии, изменение энергии системы
AW сопровождается пропорциональным изменением массы системы
Am:
AW = Атс\ A0)
где с — скорость света в вакууме. Так как в рассматриваемом случае
Дй^и есть энергия связи ядра 8> то масса атомного ядра должна быть
меньше суммы масс нуклонов, составляющих ядро, на величину Ат%
которая называется дефектом массы ядра. По формуле A0) можно рас-
рассчитать энергию связи ядра 8, если известен дефект массы этого ядра
Am.
В настоящее время массы атомных ядер определены с высокой сте-
степенью точности посредством масс-спектрографа (см. § 102); массы
нуклонов также известны (см. § 138). Это дает возможность опреде-
определять дефект массы любого ядра и рассчитывать по формуле A0) энер-
энергию связи ядра.
В качестве примера рассчитаем энергию связи ядра атома гелия.
Оно состоит из двух протонов и двух нейтронов. Масса протона тр =
= 1,0073 а. е. м., масса нейтрона тп = 1,0087 а. е. м. Следователь-
Следовательно, масса нуклонов, образующих ядро, равна 2тр + 2тп =
= 4, 0320 а. е. м. Масса же ядра атома гелия тя = 4,0016 а. е. м.
Таким образом, дефект атомного ядра гелия равен
Am = 4,0320 — 4,0016 = 0,03 а. е. мм
или
Am = 0,03 . 1,66 . Ю-2'» 5 • 10-* (кг).
Тогда энергия связи ядра гелия равна
S = Атс2 = 5- Ю~29.9-10" Дж - 4,5-10"" Дж« 4'5>10~)%В » 28 МэВ.
Общая формула для расчета энергии связи любого ядра в джо-
джоулях по его дефекту массы будет, очевидно, иметь вид
8 = с2 {[Zmp+(A-Z) • тп)~тя1
511

где Z — атомный номер, А — массовое число. Выражая массу нук-
нуклонов и ядра в атомных единицах массы и учитывая, что
с* • 1 а.е.м.= 9'1016-1>66'107эВ===931 МэВ
1,6 • Ю-19
можно написать формулу энергии связи ядра в мегаэлектронвольтах:
^ = 931 [Zmp + (А - Z) тп - тя]. A1)
Энергия связи ядра, приходящаяся на один нуклон, называется
удельной энергией связи е. Следовательно,
У ядра гелия
— - 7 (МэВ).
4
A2)
Удельная энергия связи характеризует устойчивость (прочность)
атомных ядер: чем больше е, тем устойчивее ядро.
Согласно формулам A1) и A2),
931
8 =
) тп —
A3)
250А
Еще раз подчеркнем, что в формулах A1) и A3) массы нуклонов
и ядра выражены в атомных единицах массы (см. § 138).
cfuoR) По формуле A3) можно
g ' , , рассчитывать удельную энер-
энергию связи любых ядер. Ре-
Результаты этих расчетов пред-
представлены графически на рис.
386; по оси ординат отложе-
отложены удельные энергии связи в
МэВ, по оси абсцисс — мас-
массовые числа А. Из графика
следует, что удельная энергия
связи максимальна (8,65 МэВ)
у ядер с массовыми чис-
числами порядка 100; у тяжелых
и у легких ядер она несколь-
несколько меньше (например, 7,5 МэВ у урана, 7 МэВ у гелия). У атомного
ядра водорода iH1 удельная энергия связи равна нулю, что вполне
понятно, поскольку в этом ядре нечего разобщать: оно состоит только
из одного нуклона (протона).
Всякая ядерная реакция сопровождается выделением или же по-
поглощением энергии. График зависимости s от А позволяет определить,
при каких превращениях ядра происходит выделение энергии и при
каких — ее поглощение. При делении тяжелого ядра на ядра с мас-
массовыми числами А порядка 100 (и более) происходит выделение энер-
энергии (ядерной энергии). Поясним это следующим рассуждением. Пусть,
например, произошло разделение ядра урана Um (At = 238) на два
Рис. 386
512

атомных ядра («осколка») с массовыми числами А2 = 119. Удельная
энергия связи ядра урана е4 = 7,5 МэВ, удельная энергия связи
каждого из новых ядер е2 = 8,6 МэВ. Для разобщения всех нуклонов,
составляющих атомное ядро урана, необходимо затратить энергию,
равную энергии связи ядра урана:
g± = нАг = 7,5 • 238 = 1785 (МэВ).
При объединении этих нуклонов в два новых атомных ядра ( с массо-
массовыми числами 119) выделится энергия, равная сумме энергий связи
новых ядер:
gt = 2е2Л2 -2.8,6.119 = 2046,8 (МэВ).
Следовательно, в результате реакции деления ядра урана выделится
ядерная энергия в количестве Д#, равном разности между энергией
связи новых ядер и энергией связи ядра урана:
А8 = 82-81 = 2046,8 — 1785 = 261,8 (МэВ).
Выделение ядерной энергии происходит и при ядерных реакциях
иного типа — при объединении (синтезе) нескольких легких ядер
в одно ядро. В самом деле, пусть, например, имеет место синтез двух
ядер натрия Na23 (А 4 = 23) в ядро с массовым числом А 2 =46. Удель-
Удельная энергия связи ядра натрия е? = 7,9 МэВ, удельная энергия свя-
связи синтезированного ядра е2 = 8,4 МэВ. Для разобщения всех нук-
нуклонов, образующих два ядра натрия, необходимо затратить энер-
энергию, равную удвоенной энергии связи ядра натрия:
8Х = 2е1А1 = 2 • 7,9 • 23 = 363,4 (МэВ).
При объединении этих нуклонов в новое ядро (с массовым числом
46) выделится энергия, равная энергии связи нового ядра:
g2 = s2A, = 8,4 • 46 = 386,4 (МэВ).
Следовательно, реакция синтеза ядер натрия сопровождается вы-
выделением ядерной энергии в количестве А8, равном разности энергии
связи синтезированного ядра и энергии связи ядер натрия:
А8 = 82-81 = 386,4 - 363,4 = 23 (МэВ).
Таким образом, мы приходим к выводу, что
выделение ядерной энергии происходит как при реакциях деления
тяжелых ядер, так и при реакциях синтеза легких ядер. Количество
ядерной энергии А8, выделяемое каждым прореагировавшим ядром,
равно разности между энергией связи 8 2 продукта реакции и энергией
связи Si исходного ядерного материала:
А8 = 82-8v A4)
Это положение является исключительно важным, поскольку на нем
основаны промышленные способы получения ядерной энергии.
Отметим, что наиболее выгодной, в отношении энергетического
выхода, является реакция синтеза ядер водорода Н1 или дейтерия
513

D2, поскольку, как это следует из графика (см. рис. 386), в данном
случае разность энергий связи синтезируемого ядра и исходных ядер
будет наибольшей.
§ 143. Реакция деления. Цепная реакция. Ядерный реактор
Делиться, т. е. распадаться на две части, может только возбужден-
возбужденнее ядро. Для возбуждения ядра необходимо сообщить ему достаточ-
достаточное количество энергии (энергии возбуждения), что можно сделать
путем обстрела ядра, например а-частицами или протонами. Наиболее
эффективными «снарядами» являются, как
уже отмечалось, нейтроны, поскольку они
будучи электрически нейтральными, не
испытывают электростатического отталки-
отталкивания со стороны ядра.
В 1938—1939 гг. благодаря работам
ряда ученых* была открыта реакция деле-
деления ядер урана, обстреливаемых нейтро-
нейтронами. Основываясь на капельной модели
ядра, можно описать эту реакцию следую-
следующим образом.
Захватив нейтрон п ядро урана U ста-
становится возбужденным и деформируется
(рис. 387). Если возбуждение невелико,
то ядро, освобождаясь от излишка энер-
энергии путем испускания ^-фотона или нейтро-
нейтрона возвращается в устойчивое состояние.
Если же энергия возбуждения достаточ-
достаточно велика, то в ядре образуется перетяжка,
аналогичная перетяжке между двумя ча-
частями раздваивающейся капли жидкости. Ядерные силы, действую-
действующие в узкой перетяжке, уже не могут противостоять значительной
кулоновской силе отталкивания одноименно заряженных частей
ядра. Перетяжка разрывается и ядро распадается на два «осколка»,
разлетающихся с огромными скоростями в противоположные сторо-
стороны. Кроме того, в момент деления из ядра выбрасываются 2—3 ней-
нейтрона, называемые мгновенными.
Энергетический спектр мгновенных нейтронов простирается от
очень малых энергий — порядка 1 эВ и менее (соответствующих
тепловому движению нейтронов при нормальной температуре), при-
примерно до 10 МэВ. Большинство мгновенных нейтронов имеет энергию
1—2 МэВ. Нейтроны, обладающие энергией, большей 1,5 МэВ, на-
называются быстрыми, нейтроны меньшей энергии — медленными (нейт-
(нейтроны с очень малыми энергиями носят название тепловых).
Осколки разделившегося ядра являются радиоактивными: они
испускают f-фотоны, C-частицы и нейтроны; эти нейтроны в отличие
* Гана и Штрассмйна — в Германии, Ферми — в Италии, Жолио-
Кюри — во Франции.
514

от мгновенных называются запаздывающими (выбрасываются в те-
течение нескольких минут после акта деления). Число запаздывающих
нейтронов составляет около 1 % всех нейтронов, образующихся при
делении.
Способностью делиться на две части под действием нейтронов
обладают ядра всех тяжелых элементов. Наиболее важными в прак-
практическом отношении делящимися материалами являются >ран 92&238,
актиноуран 92U235> искусственный изотоп урана 92U23? и плутоний
94Ри239. Ядра 92U235, 92U233 и 94Ри239 делятся под действием как быстрых,
так и медленных (в том числе и тепловых) нейтронов, а ядра 92U238 —
только под действием быстрых нейтронов*. Медленные нейтроны по-
поглощаются ураном-238, не вызывая деления Продукты деления тя-
тяжелых ядер разнообразны: их массовые числа лежат в пределах от 70
до 160. Однако чаще всего массы осколков данного ядра относятся
как 2 к 3. Примером такого деления может служить распад актино-
урана на изотопы криптона и бария с испусканием трех нейтронов:
4- п -> зеКг93 + 5вВа"о + зл.
Наряду с делением под действием нейтронов имеет место самопро-
самопроизвольное деление тяжелых ядер, правда, в очень незначительной ме-
мере; например, в 1 г урана происходит всего лишь около 20 самопро-
самопроизвольных распадов в час. Это явление было открыто в 1940 г. со-
советскими физиками К. А. Петржаком и Г. Н. Флеровым.
Энергия, освобождающаяся при делении тяжелого ядра, состав-
составляет около 200 МэВ**, причем примерно 80% этой величины выделяет-
выделяется в виде кинетической энергии осколков; остальные 20% приходят-
приходятся на энергию радиоактивного излучения осколков и кинетическую
энергию мгновенных нейтронов.
Если учесть, что энергия нейтрона, вызывающего деление ядра
{т. е. затрачиваемая энергия), не превышает 7—10 МэВ, а обычно
бывает значительно- меньшей, то окажется, что ядерно делящиеся
материалы могут служить источником колоссальных энергий. Напри-
Например, энергия, освобождающаяся при делении всех ядер, содержащих-
содержащихся в 1 кг урана-235, равна примерно 2,3 • 107 кВт • ч. Для сравне-
сравнения укажем, что такое количество энергии выделяется при сгорании
2 000 000 кг бензина, или 2 500 000 кг каменного угля, или, нако-
наконец, при взрыве 25 000 000 кг тринитротолуола (тротила).
Следует, однако, иметь в виду, что для выделения больших ко-
количеств ядерной энергии необходимо, чтобы делению подвергалась
значительная часть ядер, содержащихся в массе «ядерного горючего».
Поэтому реакция деления должна быть саморазвиваюи^ейся, или цеп-
цепной: при каждом акте деления должны появляться новые нейтроны,
из которых хотя бы один вызывал следующий акт деления.
* Вообще говоря, ядра, состоящие из нечетного числа нейтронов, делятся
под действием нейтронов любой энергии, а ядра, состоящие из четного числа
нейтронов, делятся только под действием быстрых нейтронов (правило Бора —-
Уилера)
** Величина энергии, выделяющаяся при распаде ядра урана-238 на две
равные части, была подсчитана в предыдущем параграфе.
515

Наиболее просто цепная реакция осуществляется в веществе,
ядра которого делятся под действием медленных нейтронов, например
в уране-235. В самом деле, достаточно какому-нибудь случайному
(«блуждающему») нейтрону попасть в одно из ядер урана-235, как
произойдет деление данного ядра (рис. 388). Возникающие при этом
2—3 мгновенных нейтрона попадут в 2—3 других ядра урана, вызвав
их деление. В результате по-
появится 4—9 мгновенных ней-
нейтронов, способных вызвать
деление следующих 4—9 ядер,
и т. д.
Несмотря на то что при
делении каждого ядра урана
возникает 2—3 нейтрона, не
все они вызывают деление
других ядер; часть нейтронов
может быть захвачена ядра-
ядрами неделящихся (или трудно
делящихся) примесей, при-
присутствующих в ядерном горю-
горючем, часть нейтронов может
вылететь через поверхность
материала,
с его
¦ уу ядрами. Существуют и дру-
А~ " _j ч_>ЪсК_у ч_>ъск_-/ ч-х, с<1у гие причины, уменьшающие
1\ J \ I \ число нейтронов, активно
/ ^ f \ г \ участвующих в цепной резк-
резкую / /I / \ 1 \ объема горючего мате]
/ I /I I \ 1\ не Успев столкнуться
^' f j^ ' ' j^. " уЛ ядрами. Существуют и
v>pqC~7 4^>ood? d^od/ С^1 с<1у гие причины, уменьш,
р 388
Развитие цепной реакции
характеризуется так назы-
называемым коэффициентом размножения нейтронов /С, который измеряет-
измеряется отношением числа Nt нейтронов, вызывающих деление ядер веще-
вещества на одном из этапов реакции, к числу Nt^.\ нейтронов, вызвавших
деление на предыдущем этапе реакции:
К- Ni
Например, цепной реакции, изображенной на рис. 388, соответствует
коэффициент размножения нейтронов
К- 4 - 8 -9
2 4
Коэффициент размножения зависит от ряда факторов, в частно-
частности от природы и количества делящегося вещества и от геометричес-
геометрической формы занимаемого им объема. Одно и то же количество данного
вещества имеет наибольшее значение коэффициента К при шаро-
шарообразной форме объема, поскольку в этом случае потеря мгновенных
нейтронов через поверхность объема будет наименьшей (шар имеет
минимальную поверхность при данном объеме).
516

Масса делящегося вещества, в которой цепная реакция идет с
коэффициентом /(= 1, называется критической массой данного ве-
вещества. Для чистого актиноурана критическая масса составляет око-
около 40 кг (при шарообразной форме объема)*.
Если масса ядерного горючего меньше критической, то К<\
и реакция деления не будет развиваться (затухнет). Если масса го-
горючего равна критической, то К = 1 и цепная реакция будет идти
с постоянной интенсивностью; такая реакция применяется в ядерных
реакторах. Если же масса горючего больше критической, то /С>1;
в этом случае цепная реакция будет бурно развиваться и может при-
привести к взрыву. Такая реакция имеет место в атомной бомбе.
В атомную бомбу заложена масса делящегося вещества (например, актино-
актиноурана), превышающая критическую, но разделенная на несколько частей, каж-
каждая из которых меньше критической. Бомба взрывается после того, как эти час-
части быстро сближаются и объединяются (посредством взрыва обычного взрыв-
взрывчатого вещества).
В зоне взрыва атомной бомбы температура повышается до десятков миллио-
миллионов Кельвинов, а давление достигает сотен миллиардов паскалей. Взрыв сопровож-
сопровождается интенсивным испусканием ^-фотонов и нейтронов. Кроме того, мест-
ность в окрестностях взрыва заражается радиоактивными продуктами деле-
деления ядер (ядерными осколками). В дальнейшем это заражение распростра-
распространяется на огромные территории (посредством воздушных и водных течений).
Для промышленного получения ядерной энергии необходимо
управлять цепной реакцией, поддерживая значение коэффициента
размножения нейтронов равным единице. Это осуществляется путем
введения в массу ядерного горючего подвижных управляющих стерж-
стержней, содержащих кадмий или бор, которые являются сильными погло-
поглотителями нейтронов. Вначале управляющие стержни выдвигаются из
котла с ядерным горючим и цепная реакция идет при /С>1. Затем,
когда нейтроны размножатся в достаточном количестве, управляющие
стержни вдвигаются в котел и, поглощая часть нейтронов, замедляют
цепную реакцию. Глубина погружения стержней автоматически
регулируется так, чтобы /С= 1. При этом реакция стабилизируется:
число нейтронов, образующихся в единицу времени, остается постоян-
постоянным.
Установки, предназначенные для промышленного получения ядер-
ядерной энергии, называются ядерными реакторами**.
На рис, 389 изображена схема ядерного реактора, работающего
на природном уране, предварительно обогащенном ураном-235 до 5%
(природный уран состоит на 99,3% из 92U238 и на 0,7% из 92U235).
Уран вводится в реактор в виде стержней.
Цепная реакция ведется на медленных (тепловых) нейтронах, ко-
которые хорошо поглощаются ядрами урана-235, вызывая их деление,
и сравнительно слабо поглощаются ядрами урана-238. Для этого
пространство между урановыми стержнями заполняется замедлителем
нейтронов, в качестве которого используется, например, графит.
* Это значение приведено для актиноурана, взятого в сплошной массе.
Для актиноурана, взятого в растворе (в гомогенном реакторе со сферической
активной зоной), критическая масса составляет около 1 кг.
** Первый атомный реактор был построен под руководством Э. Ферми
в 1942 г. (в Чикагском университете).
517

Осколки урановых ядер, образующиеся в процессе цепной реак-
реакции, затормаживаются замедлителем, отдавая ему свою кинетическую
энергию. Благодаря этому температура в активной зоне реактора по-
повышается до 800—900 К. Посредством теплоносителя (тяжелой воды
или расплавленного металла, циркулирующего по трубам) теплота
отводится из активной зоны реактора и превращается в механическую
и затем в электрическую энергию.
Наряду с выделением энергии в ядерном реакторе происходит обра-
образование и накопление нового ядерного топлива — плутония Р239
Упрабляющий
стержень
Замедлитель
неитроноб
Канал для
обличения
Отражатель
нейтронов
Зашлтньш
корпус
Теплоноситель
УраноВыи
стержень
Y/////////7777777,
Рис 389
Дело в том, что ядро 92U238> поглотив медленный нейтрон, превра-
превращается, испуская -[-Фотон> в ЯДР° радиоактивного изотопа 92U238
с периодом полураспада Т = 23 мин. В свою очередь это ядро испу-
испускает р-частицу и превращается в ядро радиоактивного трансурано-
трансуранового элемента нептуния 93Np239 с периодом полураспада Т = 2,3 дня.
Ядро нептуния, испуская р -частицу, превращается в ядро трансура-
трансуранового элемента плутония 94Ри239. Описанная реакция идет по схеме
it
518

Плутоний-239 является хорошим ядерным топливом: его ядра делят-
делятся под действием медленных нейтронов, подобно ядрам урана-235.
Плутоний радиоактивен: он испускает а-, |3- и -рлУчи- Его период
полураспада Т = 24 100 лет, благодаря чему плутоний можно на-
накапливать в больших количествах.
Ядерный реактор является мощным источником нейтронных пото-
потоков и радиоактивных излучений, используемых для изготовления
искусственных радиоактивных изотопов. Вещества, которые надо
подвергнуть облучению, помещаются в специальные каналы, проде-
проделанные в защитном корпусе реактора (см. рис. 389).
§ 144. Реакция синтеза (термоядерная реакция). Энергия звезд
Синтез двух (или нескольких) легких ядер в одно ядро сопрово-
сопровождается, как мы уже знаем (см. § 142), выделением ядерной энергии.
Например, при реакции синтеза ядер дейтерия и трития в ядро гелия
выделяется энергия 17,5 МэВ:
гц* + tH3->2He4 + п + 17,5 МэВ.
Простой расчет показывает, что если такой реакции подвергнутся
все ядра, содержащиеся в 1 кг смеси дейтерия с тритием, то выделит-
выделится колоссальное количество ядерной энергии W:
w = 1кг-6,02-Ю» моль-» # 1? g . швэВ . jg . Ш-1«дж/эВ =
0,0025кг • моль"
= 7,2 • Ю14 Дж
@,0025 кг • моль — молярная масса смеси, состоящей из равного
числа дейтронов и тритонов). Эта энергия в 8 с лишним раз больше
энергии, выделяющейся при реакции деления 1 кг урана-235.
Очевидно, что для объединения двух ядер в одно они должны,
преодолевая кулоновскую силу взаимного отталкивания, сблизиться
на расстояние порядка 10"3 см; тогда дальнейшее их сближение
(и объединение) совершат уже ядерные силы. Следовательно, объеди-
объединяемые ядра должны обладать достаточно большой кинетической
энергией для совершения работы против кулоновских сил отталки-
отталкивания; это является необходимым условием осуществления реакции
синтеза.
Как показывают расчеты, для осуществления реакции синтеза
дейтерия и трития в гелий дейтроны и тритоны должны обладать кине-
кинетической энергией порядка 0,01 МэВ*. Следовательно, в принципе
синтез гелия можно осуществлять путем обстрела тритонов дейтронами,
ускоренными до энергии 0,01 МэВ. Однако практически этот способ
оказывается совершенно неэкономичным. Дело в том, что ввиду ма-
* Для синтеза более тяжелых ядер потребуется соответственно большая
энергия
519

лости размера реагирующих частиц (дейтронов и тритонов) вероят-
вероятность их столкновения крайне мала: лишь очень немногие дейтроны
будут сталкиваться с тритонами. В результате энергия, затраченная
на ускорение дейтронов, окажется больше энергии, выделившейся
при реакции синтеза.
Реакция синтеза станет эффективной (экономически выгодной)
только в том случае, если в смеси дейтерия с тритием все ядра (или
по крайней мере значительная часть их) будут обладать энергией по-
порядка 0,01 МэВ, Этого можно достигнуть путем нагревания смеси до
такой температуры, при которой средняя кинетическая энергия теп-
теплового движения атомов смеси приблизится к 0,01 МэВ. Нетрудно
показать, что такая температура измеряется десятками миллионов
Кельвинов. Действительно, средняя кинетическая энергия W теплового
движения частицы выражается соотношением
W = — kT
2
где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура (см.
§ 42). Тогда
Т - — • Z. - JL . 0,01-Ю6-М-10-" = 77000000 (К).
3 k 3 1,38- 10~23
Итак, реакция синтеза может идти только при температуре
в десятки миллионов Кельвинов, в связи с чем она получила название
термоядерной реакции. При этой температуре «термоядерное горю-
горючее» является плазмой, т. е. газом, состоящим из электронов и «ого-
«оголенных» ядер (лишенных электронной оболочки).
В земных условиях столь высокие температуры создаются только
во взрывающейся атомной бомбе. Поэтому пока что освоена только
термоядерная реакция взрывного типа, реализуемая в водородной
бомбе.
Водородная бомба представляет собой массивный герметизированный со-
сосуд, наполненный жидкой смесью дейтерия с тритием. В верхней внутренней
части сосуда помещается небольшая атомная бомба, при взрыве которой смесь
дейтерия с тритием мгновенно нагревается до температуры в десятки миллио-
миллионов кельвинов. Благодаря этому происходит бурная термоядерная реакция, за-
заканчивающаяся взрывом водородной бомбы.
Сила взрыва водородной бомбы в десятки раз превосходит силу взрыва
атомной бомбы.
Осуществление управляемой термоядерной реакции встречается
с большими трудностями. Чтобы создать термоядерный реактор,
необходимо обеспечить регулируемое нагревание плазмы до десятков
миллионов кельвинов. Кроме того, что особенно сложно, необходимо
полностью устранить соприкосновение плазмы со стенками какого
бы то ни было вещественного сосуда.
В настоящее время в СССР и других странах ведутся теоретичес-
теоретические и экспериментальные исследования по созданию условий для
управления термоядерной реакцией. Возможно, что плазма будет соз-
520

даваться с помощью искрового разряда (см. § 93) и удерживаться
в определенной области пространства посредством тороидального маг-
магнитного поля (см. § 101).
Осуществление управляемой термоядерной реакции полностью
разрешит энергетическую проблему, поскольку сырье (вода) для по-
получения дейтерия имеется на Земле в практически неограниченном
количестве.
Термоядерные реакции являются, по-видимому, единственным
источником энергии, излучаемой Солнцем и звездами. Эти космические
тела более чем на 50% состоят из водорода, а температура в их цен-
центральной части имеет порядок десятков миллионов кельвинов*.
Таким образом, на Солнце и звездах имеются все необходимые
условия для развития термоядерных реакций.
Одна из таких реакций, называемая протонно-протонным циклом
(р—р-циклом) состоит из нескольких последовательных ядерных
превращений, в результате которых четыре протона объединяются
в ядро гелия; при этом испускаются у-фотон, два нейтрино и два по-
позитрона. Результат р—р-цикла можно записать так:
Энергия, выделяющаяся в каждом р—р-цикле, составляет около
25 МэВ, что соответствует 628 млрд. Дж на 1 г водорода (I).
Расчеты показывают, что запас водорода на Солнце обеспечит осу-
осуществление термоядерных реакций в течение многих миллиардов лет.
§ 145. Космические лучи. Элементарные частицы
Первичные космические лучи представляют собой поток атомных ядер (пре-
(преимущественно протонов и а-частиц), влетающих с огромными скоростями в зем-
земную атмосферу из мирового пространства. Столкновение этих ядер с ядрами
атомов, входящих в состав воздуха, приводит к образованию новых ядер и
различных элементарных частиц; их поток носит название вторичных космичес-
космических лучей. Первичные космические лучи в значительной мере поглощаются атмо-
атмосферой, поэтому земной поверхности достигают главным образом порожденные
ими вторичные космические лучи.
Космические лучи были открыты в 1912 г. немецким физиком В. Гессом.
Происхождение этих лучей еще не выяснено; существует лишь ряд гипотез,
среди которых наиболее приемлемой считается гипотеза В. Л. Гинзбурга и
И. С. Шкловского о генерации космических лучей при вспышках сверхновых
звезд. Для изучения космических лучей используются ионизационные приборы,
описанные в § 140.
Интенсивность космических лучей имеет максимум на высоте около 20 км
над уровнем моря (благодаря образованию вторичных космических лучей).
С уменьшением высоты интенсивность уменьшается (за счет поглощения лучей
атмосферой), достигая на уровне моря минимального значения (здесь лучами
создается в среднем 1,8 пары ионов в 1 см3 воздуха за 1 с).
Средняя энергия частиц первичного космического излучения (на верхней
границе атмосферы) составляет около 104 МэВ, отдельные частицы обладают
энергией порядка 1012 МэВ. Следовательно, космические лучи являются источ-
источником частиц сверхвысоких энергий, еще не достигнутых в лабораторных усло-
условиях (в ускорителях). При взаимодействии таких частиц с веществом происхо-
* Первоначальный разогрев звезд произошел, по всей вероятности, в ре-
результате сжатия звездной материи под действием гравитационных сил (т. е.
в результате превращения потенциальной энергии тяготения в теплоту).
18-31 521

дят принципиально новые ядерные реакции, изучение которых углубляет наши
знания о свойствах ядер и элементарных частиц. Именно в этом состоит главная
научная ценность космических лучей. Уместно отметить, что большинство эле-
элементарных частиц было впервые обнаружено в космических лучах.
Переходя к вопросу об элементарных частицах, следует уточнить определе-
определение этого понятия. Элементарными называются частицы, которым на совре-
современном уровне знаний нельзя приписать определенную внутреннюю структуру,
т. е. нельзя представить их состоящими из каких-либо других частиц. Сейчас
известно 32 вида элементарных частиц, не считая резонансов, т. е. исключитель-
исключительно короткоживущих частиц со средним временем жизни порядка 103 с (в нас-
настоящее время известно около 100 резонансов).
Элементарные частицы характеризуются массой (покоя), электрическим
зарядом, средним временем жизни и некоторыми другими величинами (которых
мы не будем касаться). По значению массы покоя М о элементарные частицы мож-
можно подразделить на следующие 4 класса: фотоны (Мо = 0), лептоны* (Мо>О,
но меньше или равна массе электрона), мезоны** (Мо больше массы электрона,
но меньше массы протона) и барионы*** (Мо равно или больше массы протона,
но меньше массы дейтрона); среди бар ионов различают нуклоны и более тяже*
лые частицы —гипероны****.
В таблице (стр. 525—527) приведены все известные элементарные частицы
(за исключением резонансов) и даны некоторые их характеристики; масса час-
частиц выражена в массах покоя электрона, электрический заряд — в элементар-
элементарных зарядах.
С фотонами, лептонами и нуклонами мы уже познакомились в предшест-
предшествующих разделах курса. Новые элементарные частицы — мезоны и гипероны —
являются неустойчивыми (короткоживущими); они возникают при ядерных ре-
реакциях, вызванных частицами сверхвысокой энергии (миллиарды электрон-
вольт). Кроме того, пи-мезоны и мю-мезоны образуются при распаде ка-мезонов
и геперонов. Пи-мезуны, по-видимому, играют роль ядерных сил: на расстоя-
расстояниях порядка 10~18 см нуклоны взаимодействуют между собой путем обмена
пи-мезонами (см. § 138). Мезоны и гипероны были впервые обнаружены в кос*
мических лучах.
При рассмотрении таблицы обращают на себя внимание следующие факты.
1. Только три из элементарных частиц — электрон, протон и нейтрон —
являются основными: из них построены атомы и в конечном счете весь окружаю-
окружающий нас вещественный мир.
2. Заряд элементарной частицы (выраженный в элементарных зарядах) равен
либо +it либо — 1, либо 0; двух- и многозарядных частиц нет.
3. Большинство элементарных частиц неустойчиво и имеет крайне малое
время жизни.
4. Каждой частице (кроме фотона и пи-ноль-мезона) соответствует так на-
называемая античастица. Частица и античастица имеют одинаковую массу и ве-
величину электрического заряда, но различаются знаком заряда (а при отсутст-
отсутствии заряда — направлением какой-либо из не рассматривавшихся нами харак-
характеристик, например направлением магнитного момента). Примером частицы
и античастицы являются электрон и позитрон (антиэлектрон), протон и антипро-
антипротон, мю-плюс-мезон и мю-минус-мезон и т. п.
При столкновении частицы с античастицей обе они перестают существо-
существовать как таковые, превращаясь в другие элементарные частицы; этот процесс
носит название аннигиляции пар*****. Примерами аннигиляции пар могут слу-
служить превращение протона и антипротона в пи-ноль-мезоны (р+р-*2те°) и превра-
превращение электрона и позитрона в фотоны (е~ + е+-*2у). Выяснено, что вообще все
заряженные элементарные частицы могут аннигилировать со своими античасти-
* От греческого слова АеятоС (лептос) — легкий.
** От греческого слова jaecoC (мезос) — средний.
¦¦* От греческого слова papv? (барис) — тяжелый.
¦*** От греческого слова vnep (гипер) — сверх, над.
***** От латинского слова annihilatio — уничтожение.
522

цами, образуя фотоны *. Наблюдаются также процессы, обратные аннигиля-
аннигиляции, в результате которых возникают частицы и соответствующие им античас-
античастицы. Этот процесс называется образованием пар. Примером образования пар
может служить превращение фотона в электрон и позитрон (см. § 139).
В настоящее время экспериментально обнаружено множество процессов
(помимо аннигиляции и образования пар), при которых одни элементарные час-
частицы превращаются в другие. Приведем несколько примеров.
1. Самопроизвольное превращение свободного нейтрона в протон с испуска-
испусканием электрона и нейтрино:
п -> р + е" + v.
2. Превращение протона, находящегося в атомном ядре, в нейтрон с испус-
испусканием позитрона и антинейтрино:
3. Превращение протона в ка-плюс-мезон и ламбда-ноль-гиперов под
действием жесткого фотона (энергией порядка 1000 МэВ):
Следует подчеркнуть, что при всех взаимопревращениях элементарных частиц
строго соблюдаются основные законы сохранения (массы, энергии, количества
движения, электрического заряда) и закон пропорциональности массы и энер-
энергии.
Способность к взаимным превращениям является фундаментальным свойст-
свойством элементарных частиц.
В заключение отметим, что в последнее время многие физики придержи-
придерживаются гипотезы о существовании очень небольшого числа «истинно элементар-
элементарных частиц», обладающих дробными электрическими зарядами и названных квар-
кварками; из комбинаций кварков образуются все остальные частицы. Предпринятые
для проверки этой гипотезы экспериментальные поиски кварков (в космических
лучах и в потоках, создаваемых мощными ускорителями частиц) уже увенчались
некоторым успехом: в 1969 г. зарегистрировано 11 случаев F в СССР и 5 в
Австралии), которые, по-видимому, соответствуют обнаружению свободных
кварков***.
§ 146. Об использовании ядерной энергии
За последние годы в области практического использования ядерной
энергии сформировались два основных направления: во-первых,
развитие ядерной энергетики и, во-вторых, применение радиоактив-
радиоактивных изотопов.
* В этой связи может возникнуть вопрос: почему не превращаются в фо-
фотоны все электроны и протоны, образующие атомы вещества? Этого не происхо-
происходит только потому, что в Галактике число античастиц (позитронов, антипрото-
антипротонов и т. д.) крайне мало в сравнении с числом частиц.
Возможно, что существуют галактики, в которых, наоборот, очень мало
частиц и атомы вещества (точнее говоря, антивещества) построены там из анти-
античастиц (позитронов, антипротонов и антинейтронов).
** Отметим, что в настоящее время принято называть нейтрино (v) частицу,
испускаемую при позитронном распаде, а антинейтрино *v — частицу испу-
испускаемую при электронном распаде (нейтрино, так сказать, поменялось назва-
названием со своей античастицей). Мы сохранили первоначальные названия этих час-
частиц, поскольку в данном курсе не рассматривается теория элементарных частиц
(в которой проведено отмеченное переименование).
*** В этой связи американскому физику Гелл-Ману, создавшему теорию
кварков, присуждена в 1969 г. Нобелевская премия.
18* 523

Ядерной энергетикой называется осуществляемое в промышленных
масштабах преобразование ядерной энергии в другие виды энергии
(механическую, электрическую и др.), используемые затем для про-
производственных и бытовых нужд. Преобразование совершается обычно
по следующей схеме (рис. 390). Теплота, отводимая теплоносителем
из активной зоны ядерного реактора 1, передается воде, находящейся
в парогенераторе 2, и превращает эту воду в пар. Пар приводит в дейст-
действие паровую турбину 3, которая в свою очередь приводит в действие
электромашинный генератор тока 4.
Возникновение ядерной энергетики следует датировать июлем
1954 г., когда в СССР была введена в эксплуатацию первая в мире
Рис. 390
атомная электростанция (АЭС) мощностью 5000 кВт. Сейчас в СССР,
США и Англии построены более мощные АЗС. Согласно имеющимся
программам Международного агентства по использованию атомной
энергии (МАГАТЭ), общая мощность атомных электростанций во всем
мире будет быстро возрастать.
Ядерная энергия используется также в атомных двигателях.
В этой связи следует упомянуть ледокол «Ленин» с атомным двига-
двигателем мощностью 44 000 кВт, построенный в СССР в 1957—1959 гг.
Эксплуатация атомных электростанций пока что наиболее целе-
целесообразна в тех районах, которые удалены от месторождения обыч-
обычных видов топлива (угля, нефти, газа) и бедны гидроресурсами. Основ-
Основным преимуществом атомных двигателей транспортного типа явля-
является то, что они могут длительное время работать без пополнения го-
горючим; это особенно важно для кораблей полярного плавания и под-
подводных лодок.
В последние десятилетия благодаря быстрому развитию промыш-
промышленности и росту городов во многих странах ощущается недостаток
технической воды. В этой связи сейчас решается проблема опресне-
опреснения морской воды в промышленных масштабах с широким использо-
использованием для этой цели атомной энергии.
Исключительно многообразным является применение ядерной энер-
энергии, излучаемой искусственными радиоактивными изотопами. Радио-
Радиоактивные излучения используются для автоматического контроля
и управления некоторыми технологическими процессами (например,
для измерения и регулирования толщины проката пластмассовых,
металлических, резиновых и других лент и пленок), для стерилиза-
стерилизации лекарственных препаратов (в фармацевтической промышленно-
промышленности) и пищевых продуктов ( в консервном производстве), для лечения
от некоторых кожных и внутренних заболеваний (например, терапев-
524

525

626

527

тическое4 ^-облучение злокачественных опухолей) и т. д. Посредством
радиоактивных изотопов проводится облучение семян сельскохо-
сельскохозяйственных культур и самих растений с целью вызвать изменение
(в нужном направлении) некоторых наследственных свойств расте-
растения (скороспелости, морозоустойчивости, устойчивости к болезням
и т. п.).
Особенно широкое распространение во всех областях научной и
практической деятельности человека получил метод меченых атомов,
основанный на использовании радиоактивных изотопов*. Сущность
этого метода состоит в следующем.
Микроскопическую дозу радиоактивного изотопа (обычно с не-
небольшим периодом полураспада) вводят в один из участков исследуе-
исследуемой системы, например в почву около корней растения, в струю вод-
водного или воздушного потока, в ткань живого организма, в смазку дви-
двигателя и т. п. Затем с помощью счетчика или иного регистратора ра-
радиоактивных излучений (см. §140) наблюдают за перемещением введен-
введенного изотопа в данной системе. Анализируя результаты этих наблю-
наблюдений, можно получить весьма ценные сведения о процессах, совер-
совершающихся в исследуемой системе (и не поддающихся изучению по-
посредством каких-либо других современных методов).
Поясним применение метода меченых атомов на примере исследо-
исследования процесса питания сельскохозяйственных растений фосфором.
В почву под исследуемые растения вносят фосфорное удобрение
с примесью изотопа фосфора 1бР32. После этого растения подвергают
периодическому обследованию о помощью счетчиков радиоактивного
излучения. При этом выясняется (по интенсивности излучения, исхо-
исходящего от различных частей растения): когда фосфор поступает в кор-
корневую систему, с какой скоростью он перемещается внутри растения,
как распределяется в растении, как участвует в обмене вещества
и т. п. Эти исследования обычно дополняют радиоавтографированием
(авторадиографированием): растение срезают, высушивают и наклады-
накладывают на фотографическую пластинку (экспонирование производится
в темноте в течение 20—30 ч). Благодаря действию радиоактивного
излучения меченых атомов на фотопластинке после ее проявления по-
получается отпечаток растения (радиоавтограф). По степени почерне-
почернения различных участков радиоавтографа можно судить о распределе-
распределении фосфора внутри данного растения. Такие радиоавтографы
получают от нескольких растений, срезанных в различное время. Ана-
Анализ серии радиоавтографов и значений интенсивности радиоактивного
излучения, измеренных счетчиком, позволяет получить достаточно
полное представление о процессе питания растений фосфором.
На рис. 391 изображен радиоавтограф томата, срезанного в двух-
двухнедельном возрасте через 36 ч после корневой подкормки меченым
фосфором 15Р82. Этот радиоавтограф показывает, в частности, что
* Впервые этот метод был применен (с использованием естественных радио-
радиоактивных изотопов) в 1913 г. венгерским химиком Хевеши совместно с немецким
физиком Панетом для исследования некоторых химических и биологических
процессов,
528

молодые листья (/ и 2) поглощают фосфор сильнее, чем старые E и 4).
С помощью метода меченых атомов успешно изучаются такие важ-
важные для сельскохозяйственного производства проблемы и вопросы,
как фотосинтез, рациональное применение удобрений, усвоение раз-
различных элементов растениями, внекорневая подкормка растений, пи-
питание сельскохозяйственных животных,
синтез молочного жира и мышечных бел-
белков, передвижение воды и водяного пара
в почве, миграция насекомых, действие
инсектицидов*, износ трущихся деталей
автотракторных двигателей и многие дру-
другие.
В заключение отметим, что даже те весь-
весьма краткие сведения о ядерной энергетике
и применении радиоактивных изотопов,
которые оказалось возможным привести в
данной главе, указывают на очень важную
роль ядерной энергии в народном хозяй-
хозяйстве. Можно с уверенностью сказать, что
эта роль будет с каждым годом возрастать.
Задача 73. В агробиологических исследова-
исследованиях методом меченых атомов зачастую исполь-
используют радиоактивный изотоп фосфора 16Р32 с пери-
периодом полураспада Т = 14,3 дня. При распаде
этого изотопа из ядра его атома выбрасывается
электрон и нейтрино.
Написать ядерную реакцию распада изотопа фосфора и определить числа
Д#! иДЛГ2 атомов, распадающихся за промежутки времени A h = 10 дням и
/2=1 с. Первоначальное число атомов изотопа No = 1,9 • 1019.
Решение. Применяя правило записи ядерных реакций (см. § 141)
и учитывая, что при испускании электрона ядро атома теряет один отрицатель-
отрицательный элементарный заряд, практически не теряя массы, а также то обстоятельст-
обстоятельство, что нейтрино не обладает ни зарядом, ни (практически) массой, можем на-
написать:
Рис. 391
По периодической системе элементов Менделеева найдем, что элементом
с атомным номером 16 и массовым числом 32 является сера leS32. Следовательно,
т. е. при распаде изотопа фосфора образуется стабильный изотоп серы.
Согласно закону радиоактивного распада G),
где X *— постоянная распада, N — число атомов данного радиоактивного изо-
изотопа, оставшееся по истечении времени /.
Так как N = No — AN и, согласно формуле (8), X «*¦ ¦ , то можем на-
написать
-тм
От латинских слов: insecfum — насекомое, caedo — убиваю.
529

Учитывая, что ё№ » 2, получим
2 Г )l910w\l2 14'3/ 1,9- 101* A-0,615)
= 7,3 • 1018 атомов.
В принципе таким же образом рассчитывается число Д#а. Однако при этом
встретится трудность в вычислении величины 2 . В самом деле,
At* 1
—г-= ———-«0,00000081, а 2-о.оооооо81 невозможно вычислить
даже по семизначным таблицам логарифмов. Поэтому в данном случае (и вооб-
вообще в случаях, когдаД tf<T) следует делать приближенный расчет Д N% по форму-
формуле F), переходя в ней от дифференциалов к конечным малым приращениям и
полагая N « No:
AiV2 = \Nd . At2 = NQ -~^- A'* = 1.9 • 1019 • 0,693 . 0,00000081 -» 1 ,Ы0*3 атомов.
Задача 74. При бомбардировке дейтроном (iH2) ядро бериллия 4Ве9 вы-
выбрасывает нейтрон (оЛ1). Записать эту ядерную реакцию и вычислить выделяю-
выделяющуюся в ее ходе энергию Д W.
Р е.ш е н и е. Произведя предварительную запись реакции в виде
найдем по периодической системе элементов, что 5Х10 есть изотоп бора — 5В10-
Следовательно,
Выделяющуюся при реакции энергию определим по закону пропорциональ-
пропорциональности массы и энергии A0):
где с — скорость света в вакууме, Д т — изменение массы при реакции, т. е.
разность между массой частиц, образующихся в результате реакции, и массой
частиц, вступающих в реакцию:
Am = (m4Be, + mi№) - (mftB10 + m^,) .
В физических таблицах найдем: m^Be» = 9,01505 а. е. м., т^р =
= 2,01474 а. е. м., meBie = 10,01612 а. е. м., т%& = 1,00866 а. е. м. Тогда»
произведя расчет, получим
Дт = 0,00501 а.е.м. =0,00501 • 1,66 • 107 кг = 8,317 . 10*-30кг,
Д№ = с2 • Дт = 9 • lO16 м2/са . 8,317 . Ю» кг = 7,5 . 103 Дж =>
7,1 . 10-13Дж
1,6- 10-иДж/эВ- 10«
= 4,7МэВ.
Задача 75. Вычислить энергию связи S и дефект массы Д т ядра изотопа
углерода 6С12.
Решение. Согласно общей формуле A1), выражающей энергию связи
ядра, имеем
ё = 931 [Zmp + (A — Z)mn — тя) ,
530

где mpt mn и тя— соответственно массы протона, нейтрона и ядра X12, выра-
выраженные в атомных единицах массы, Z = 6 — атомный номер данного изотопа,
А = 12 — массовое число изотопа.
Так как тр = 1,0073 а. е. м. и тл= 1,0087 а. е. м. (см. 6 138), а т9 =
= 12 а. е. м., то
ё = 931 [6 ¦ 1,0073 + A2 — 6) • 1,0087 — 12] МэВ =89,37 МэВ »
= 89,37 • 10е • 1,6 • Ю-19 Дж = 1,43 • 10"" Дж.
Дефект массы определим по закону пропорциональности массы и энергии
00):
$ 1,43 • Ю-11 Дж t гл
Задача 76. Атомная электростанция мощностью Р = 500 000 кВт, ра-
работающая на уране 92U235, имеет коэффициент полезного действия yji = 20%.
Тепловая электростанция той же мощности, работающая на каменном угле.
имеет коэффициент полезного действия кJ = 75%.
Определить годовой расход (массу) горючего атомной электростанции (mi)
и тепловой электростанции (т2), если за каждый акт деления ядра92и285 выде-
выделяется энергия Ш1 = 200 МэВ, а теплотворная способность каменного угля
ш2 = 2,93 • 10* Дж/кг.
Решение. Введем обозначения: Л т — масса атома 92U235, n — число
атомов урана, распавшихся за один год работы электростанции. Тогда, учиты-
учитывая, что Д т = M/Na , где М = 0,235 (кг • моль) — молярная масса 92U23P
и Na — постоянная Авогадро, можем написать
А
mi = П • Д/71 = П %г .
Энергия, выделяемая всеми атомами урана, распавшимися за время t ==
= 1 году, равна тал. Часть этой энергии, идущая на совершение полезной ра-
работы и обусловливающая данную полезную мощность Р атомной электростан-
электростанции, будет равна
С другой стороны, очевидно, что
Wx = PL
Приравнивая между собой правые части двух последних равенств, найдем
Pt
Подставив это выражение п в выражение mi, получим
PtA 5 . 108 Вт • C65 • 24 • 60 • 60) с • 0,235 кг/моль
= wx y)! NA "* B . Ю8 . 1,6 . Ю'10) Дж . 0,2 • 6,02 . 1023 моль'1
961
Энергия, выделяемая за год каменным углем, сжигаемым на тепловой элек-
электростанции, равна т2ш2. Часть этой энергии, идущая на совершение полезной
работы, будет равна
откуда
531
Pt 5- 108Вт. 3,15. 10'с
/п« = ss ' = 7.17 • ДО8 кг.
ю% 2,93-10'Дж/кг. 0,75

Таким образом, из отношения
т2 7,17 • 108
= 7,46 • 105 следует, что по
тх 961
массе расход ядерного горючего почти в миллион раз меньше, чем расход
каменного угля.
П р иложение 1
Некоторые физические постоянные
Название
Ускорение силы тя-
тяжести (нормальное)
Гравитационная посто
Скорость света в ва-
вакууме
Постоянная Авогадро
Число Лошмидта . .
Универсальная газовая
постоянная . . , .
Постоянная Больцмана
Постоянная Фа радея ,
Постоянная Планка .
Постоянная Стефана-
Бол ьцмана » .
Постоянная Вина , .
Постоянная Ридберга
(в выражениях час-
частоты)
Постоянная Ридберга
(в выражениях вол-
волнового числа) . . .
Заряд электрона . . .
Масса покоя электро-
электрона ....,,..
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Атомная единица мас-
массы • •••..«.
Сим-
g
с
Na
«0
R
к
F
h
а
Ь
R
R
в
е
т
тп
а.е.м.
Численное значение в системе
международной (СИ)
9,80665 м.с-2
6t670.10-uM3.Kr-i.c-2
2,99793-Ю8 м.с.-1
6,02252.1023 моль-1
2,68713-102» м-*
8,31510Дж-К-1-моль-1
1,38054-Ю-23 Дж-К-1
9,6487-Ю4Кл. моль
6,6249Ы0-34 Дж-с
5,6697 • 1 О*8 Д ж * м~2 х '
xc-i.K-4
2,8979.10-3 м.К
3,28985-101», с-1
10973731 м-1
1,6021.10-1» Кл
9,109Ы0-81 кг
1,6726Ы0-87 кг
1,67491 • 10-*7 кр
1,66053-Ю-27 кр
физической (СГС)
980,665 см.с-2
6,670.10-« см1-г*1-с
2,99793- Ю1» см-с-1
6,02252.102S моль-i
2,68713-10» см-»
8,31510-107 эргх
ХК моль -1
1,38054.10-1« эрг-К
2,8946.Ю14СГСЭдмоль-1
6,6249Ы07 эрг-с
5,6697.10-6 эрг.см-2 х
Хс-1*К"
2,8979-Ю-1 см. К
3,28985-1016 с-1
109737,31 см-1
4,80298.1(Г10 СГСЭ^
9,109Ы0-а8 г
1,6726Ы0-24 г
1,6749b Ю-24 г
1,66053-10~24 р
532

533

534

Основные единицы Международной системы (СИ)
Основными величинами СИ служат длина, масса, время, термодинамичес-
термодинамическая температура, сила электрического тока, сила света и количество вещества.
Ниже даются определения основных единиц этой системы.
Метр (м) — длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения, со-
соответствующего переходу между уровнями 2рю и bdb атома криптона-86*.
Килограмм (кг) — масса Международного прототипа килограмма**.
Секунда (с) — время, равное 9192631770 периодам излучения, соответст-
соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния
атома цезия-133.
Кельвин (К) «— 1/273Л6 часть термодинамической температуры тройной
точки воды.
Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум па-
параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины ц ничтожно малого
кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме,
вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 • 10~7 Н на каждый метр
длины.
Кандела (кд) — сила света, испускаемого с поверхности площадью
1/600000 м* полого излучателя, в перпендикулярном этому излучателю на-
направлении, при температуре затвердевания платины при давлении 101325 Па.
Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столько же струк-
структурных элементов, сколько содержится атомов в нуклиде 12С массой 0,012***.
Приложение III
Некоторые формулы электростатики и электромагнетизма,
записанные в рационализованном и нерационализованном видах
Название закона или физические величины
Закон Кулона для электрических зарядов
Напряженность электрического поля то-
точечного заряда или шара
Напряженность электрического поля бес-
бесконечной прямолинейной заряженной
нити
Напряженность электрического поля бес-
бесконечной заряженной плоскости
Напряженность электрического поля плос-
плоского конденсатора
Теорема Остроградского — Гаусса
Электрическая индукция точечного заряда
Вид формулы
рационализованной
п Я1Я2
Е- q
2тсеоег
Е- '
а
N- J
п q
нерационализованной
F Я1Я2
е0ег2
Е Я
е0ег2
Е 2р
еоег
еое
* Переходу электрона между указанными энергетическими уровнями в атоме
криптона с массовым числом 86 соответствует очень тонкая спектральная линия
оранжевого цвета.
** Платино-иридиевого цилиндра, хранящегося в Париже.
*** При применении моля структурные элементы должны быть специфицированы
и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами
или специфицированными группами частиц.
535

Название закона или физической величины
Потенциал электрического поля точечного
заряда
Электроемкость проводящего шара
Электроемкость плоского конденсатора
Плотность энергии электрического ноля
Закон Био — Савара — Лапласа
Напряженность магнитного поля прямого
тока
Напряженность магнитного поля в центре
кругового тока
Напряженность магнитного поля внутри
длинного соленоида
Сила взаимодействия двух параллельных
токов
Индуктивность соленоида
Плотность энергии магнитного поля
Продолжение приложения III
Вид формулы
рационализованной
С =
G -
w =
ш~
я =
я
я
р
J
Я
4тсе0вг
4хСеое/-
d
еовЕ*
2
/ sin a dl
4пг2
I
I
1=3 2г
In
^ /
2кг
Wn*S
1
2
нерационализо в энной
с =
с =
ИИ
Я =
Я =
Я =
с
4
Я
еоег
4тг^
ео??2
8и
/ sin ad/
г2
2/
г
г
4гс/я
1
г
n\bo\m2S
1
Сопоставляя между собой соответственные рационализованные и нерацио-
нализованные формулы электричества, приведенные в таблице, нетрудно уста-
установить следующее правило преобразования рационализованных формул в не-
рационализованные (правило дерационализации): в рационализованных форму-
лах, содержащих электрическую постоянную ео, или электрическую индукцию
D, или напряженность магнитного поля Я, надо эти величины делить на 4тс,
а в формулах, содержащих магнитную постоянную fxo, надо эту величину мно-
множить на An. В формулах, не содержащих so, D, Н и (ло, различия между рацио-
рационализованным и нерационализованным видами нет. Такие формулы не включены
в данную таблицу.
Нерационализованные формулы применяют только при использовании сис-
системы единиц СГС.
536

Предметный указатель
Аберрация света сферическая 412
— — хроматическая 412
Абсолютная шкала температуры
(Кельвина) 118
Абсолютно твердое тело 66
— черное тело 459
Абсолютный нуль температуры 118,
132
Абсорбция 188
Авогадро закон 120
— постоянная 113
Автоколебания 94, 390
Автоколебательный контур 390
Авторадиография 528
Агрегатные состояния ПО, 158, 192
Адиабата 219
Адиабатические процессы 215—219
Адсорбция 188
Аккомодация глаза 414
Активированный угодь 188
Активность радиоактивных элемен-
элементов 502
Акцепторные примеси 295
Альфа-лучи (частицы) 498, 499
Аморфные тела 162, 208
Ампера закон 319
— формула 321, 336
Ампер-витки 327
Ампер (единица) 339, 536 -
Амплитуда колебания 84
Анализатор 450
Анизотропия 161, 448
Анионы 301
Аннигиляция пар 522
Антинейтрино 509, 523, 525
Антинейтрон 526
Антипротон 526
Антистоксовская люминесценция 481
Античастицы 522
Апертура числовая 434
Апертурный угол 434
Атом 107, 465
Атомная бомба 517
— единица массы 495
— электростанция 524
Атомный вес 495
— двигатель 524
—- номер 477, 495
Ахроматическая линза 412
Аэрация почвы 81
Барионы 522, 526, 527
Бера закон 45
Бернулли уравнение 77—79
Бета-лучи (частицы) 499, 500
Биения 87
Био—Савара—Лапласа закон 322
Близорукость 415
Бобина 360
Бойля—-Мариотта закон 117, 127
Больцмана постоянная 129
— теорема 131
— формула (энтропии) 230
Бора постулаты 468, 469
Бора — Уилера правило 515
Борелли—Жюрена формула 189, 190
Браве гипотеза 160
Броуновское движение 112, 113
Брюстера закон 454
Бугера закон 419, 420
Буравчика правило 23, 316
Вавилова закон 481
— опыты (по флуктуации света)
492
Валентные электроны 477
Ван-дер-Ваальса изотермы 195
— уравнение 195
Вант-Гоффа закон 173, 174
Ватт (единица) 48
Вебер (единица) 336, 356
Вектор 12
Векторных диаграмм метод 375
Вероятность события 227
— состояния системы 227—229
Вес 42
537

Вечный двигатель второго рода 222
первого рода 214
Вещество 36
Взаимная индукция 358
Вибратор Герца 389
Вильсона камера 505, 507
Вина закон 462
— постоянная 462
Вихревое поле 357, 364
Вихревые токи 357
Влажность абсолютная 203
— максимальная 203
— относительная 203
Внутреннее (молекулярное) давление
180, 194
— трение в газе 146, 154, 155
— — в жидкости 176
Внутренняя энергия газа 132, 133
Водородная бомба 520
Водородоподобные атомы 473
Водоструйный насос 80
Возбуждение колебательных степе-
степеней свободы 136, 137
Возбужденные уровни атома 472
Возгонка 209
Волна 94, 95
— плоская 102
— поперечная 95, 96
— продольная 95, 96
— стоячая 100, 101
— сферическая 102
Волновая поверхность 102
—• теория света 398—400
Волновое число 472, 473
Волны де-Бройля 444, 445
Волоконная оптика 404
Вольт (единица) 248
Вольты ряд 281
Вольты законы 280, 282, 283
Вращательная дисперсия 455
Вращающий момент 66
Вращение плоскости колебаний (по-
(поляризации) 454, 455
Второе начало термодинамики 211,
219, 222, 226, 230
Вульфа-—Брэггов формула 444
Вымерзание вращательных степеней
свободы 136, 137
Вынужденные колебания 93
Выпрямитель кенотронный 288
— купроксный 298
Вязкость 146, 154, 155, 176
Газовый процесс 117
— разряд дуговой 310, 311
искровой 309, 310
— — коронный 310
— — несамостоятельный 307, 309
— — самостоятельный 307—309
— — тлеющий 311
Газотурбина 80
Галилея принцип относительности 39
Гальванопластика 305
Гальваностегия 305
Гамма-лучи 500
Гармоническое колебание 83
Гейгера — Мюллера счетчик 504
Гейзенберга принцип 60
Гей-Люссака законы 117—119
Генератор тока 269, 368, 379
Генри (единица) 359
Геотермический градиент 15
Герц (единица) 22
Гидротаран 80
Гидротурбина 79
Гильберта опыты 235, 315
Гинзбурга и Шкловского гипотеза
521
Гипероны 522, 527
Гироскоп 72
Гистерезис магнитный 333
Главная плоскость кристалла 449
Глаз 413—415
Голова спектральной серии 473
Гравитационная постоянная 35
Гравитационное поле 35
Градиент 14, 15
Гребенщикова метод просветления
оптики 431
Гука закон 32
Гюйгенса принцип 102
Гюйгенса — Френеля принцип 104,
398, 433
Давление 78, 123
— гидравлическое 78
— динамическое 78
— под искривленной поверхностью
жидкости 185, 186
— световое 490, 491
— статическое 78
Дальнозоркость 415
Дальтона закон 120
Движение 5, 6
Двойное лучепреломление 451, 452
Двойной электрический слой 296
Дебаевская температура 168
Де-Бройля формула 444
Дейтерий 496
Дейтон 496
Дерационализация формул электри-
электричества 536
Детандер 201
Дефект массы 497, 511
Деформация твердого тела 32, 33,
163—165
— остаточная 163
— пластическая 163
— упругая 32
Джоуль (единица) 47
Джоуля — Коппа закон 168
538

Джоуля — Ленца закон 275
Джоуля — Томсона эффект 199, 200
Диаграмма равновесия фаз 192
Диамагнетики 329, 330
Динамика 25
Диод 287
Диоптрия 410
Дисперсия света 405
Дифракционная решетка 440
Дифракционный спектроскоп 440
Дифракция волн 103
— микрочастиц 445, 446
— рентгеновских лучей 443, 444
— света 431
от двух и более щелей 437—
439
одной щели 435—437
— электронов 445
Диффузия 112
— в газах 145, 148, 149
— в жидкостях 169
— в твердых телах 169, 170
Диффузное отражение света 402
Диэлектрики 236, 255—257
Диэлектрическая проницаемость 259,
260
Длина волны 97
— свободного пробега молекулы 142
Домены 334
Донорные примеси 295
Дроссель 375
Дуанты 349
Дьюара сосуд 153
Дэвиссона и Джермера опыты 445
Дюлонга и Пти закон 168
Единицы измерения физических ве-
величин 8—9, 533—535
Жидкий воздух 200, 201
Закон взаимосвязи массы и энергии
61, 62
— всемирного тяготения 35
— изменения количества движения
(импульса) 27, 28
— момента количества движения 68
— отражения света 401
— преломления света 402
— радиоактивного распада 501, 502
— смещения (радиоактивного) 501
— сохранения и превращения
энергии 55, 56, 214
— — количества движения 28, 29
— — момента количества движения
71
— — электрического заряда 236
Законы фотоэффекта 485, 486
Запирающий слой 297
Затухающие колебания 92
Иваненко гипотеза 459
Идеальная жидкость 75
— тепловая машина 220, 223
— холодильная машина 223
Идеальный газ 124
Изобара 118
Изобарические процессы 117, 118>
215
Изолированная система 28, 226
Изоляторы 236
Изотерма 117
Изотермические процессы 117, 215.
Изотопы 347, 496
Изотропия 162
Изохора 118
Изохорические процессы 117—119
Иконоскоп 395
Иммерсионная жидкость 434
Импульс 27
— момента силы 67
— силы 27
Индуктивность контура 361
— соленоида 362
Индукционная катушка 359, 360
Индукционный ток 353
Индукция магнитная 331
— электрическая (вектор) 261
— электромагнитная 353
— электростатическая 252
Инерциальные системы отсчета 39
Инерция 25
Интенсивность волны 98, 385
— света 419
Интерференция волн 99
— света 425
— — в тонких пленках 430, 431
Интерферометр 428, 429
Инфракрасные лучи 392, 421—423
Ионизаторы 306
Ионизационный счетчик 504
Ионизация газа 306
— — ударная 307
— — фотонная 308
Ионизирующая способность 499
Ионы газовые 306
— электролита 301
Ирншоу теорема 251
Исландский шпат 452
Испарение 202
Источник тока 269
Каналовые лучи 312
Кандела 417, 536
Капельная модель ядра 497
Капиллярная конденсация 206
Капиллярная постоянная 190
Капиллярные явления 187 —189
Капилляры 188
Карно цикл 219, 220
обратный 223
53»

Катионы 301
Катодные лучи 312
Катодолюминесценция 480
Квант действия 464
Квантовая механика 63, 136, 474
— теория света 399, 463—465, 485
Квантовые числа 468, 474
Квантовый генератор 480, 483
Квант энергии 136, 463
Кварки 523
Кварцевая лампа 311, 422
Кенотрон 288
Килограмм массы 25, 535
Киломоль 113
Кинематика 16, 25
Кинескоп 395
Кипение 202
Кирхгофа закон 460
— правила 276, 277
Клапейрона закон 121
Клапейрона —Менделеева закон \2\,
122
Классическая механика 59
Клаузиуса неравенство 226
— уравнение 123
Когерентные волны 99
— источники света 425
Когерер 392
Колебательный контур 386—388
Количество движения 27
•— теплоты 114
— электричества 236
Коллектор 298
Комптона эффект 491
Конвекция 167, 175, 218
Конденсатор электрический 262
Конденсация 202
Контактная разность потенциалов
281
Концентрация раствора 171
Кориолиса сила 44
Корпускулярная теория света 398
Космические лучи 521, 522
— скорости 57—59
Коэрцитивная сила 333
Коэффициент взаимоиндукции 358
— видности 415, 416
— вязкости газа 155
жидкости 176, 177
— диссоциации 302
— диффузии газа 149
—- — жидкости 170
— линейного расширения 166
— мощности электрической цепи 379
— объемного расширения газа 118
— — — жидкости и твердого тела
166
— поверхностного натяжения 181 w
183
— поглощения (света) 419
540
Коэффициент полезного действия сол-
солнечной батареи 488, 489
тепловых машин 223
— — — трансформатора 361
— — — фотоэлемента 488
— размножения нейтронов 516
— самоиндукции 361
— сопротивления температурный 273
— температуропроводности 175
— теплопроводности газа 152, 153
— — жидких и твердых тел 174, 175
— трансформации 361
— трения 34, 35
Краевой угол 187
Красная граница фотоэффекта 485,
486
Кривизна 15
¦— поверхности средняя 186
Кривые фазового равновесия 192
Кристаллизация 207
Кристаллическая решетка 159—162
— — атомная 162
— — ионная 162
— — металлическая 162
— — молекулярная 162
Критическая изотерма 198
— масса (ядерного горючего) 517
— температура 198, 199
— точка 198
Критический объем 198
Критическое давление 198, 199
— состояние 198
Круговой ток 317, 324, 235
Круговые процессы 219
Кулона закон 237
Кулон (единица) 235, 236
Кучевые облака 218
Кюри (единица) 503
Кюри точка 257, 334, 335
Лазер 483
Ламинарное движение 146, 176
Лапласа формула 186
Лебедева опыт 491
Ленгмюра — Богуславского форму-
формула 288
Ленца правило 354
Лептоны 522, 527
Линде машина 199, 200
Линейная плотность заряда 244
Линза магнитная 347
— рассеивающая 408
— собирающая 408
— тонкая 407
— электромагнитная 347
— электростатическая 347
Линзы 407, 408
Линзы формула 409, 410
Линии тока 75
Линника микроинтерферометр 428
Лиссажу фигуры 89

Логарифм натуральный 10
Лошмидта число 129
Лоренцева сила 341
Лупа 411
Луч 95
Лучеиспускание 458
Лучеиспускательная способность 458,
459
Лучепоглощательная способность
458, 459
Лучепоглощение 458
Луч естественный 447
— ионный 345
Лучистое равновесие 458
Луч необыкновенный 451
— обыкновенный 451
— поляризованный 446
— частично поляризованный 447
— центральный 408
— электромагнитный 384
— электронный 344
Люкс 418
Люксметр 488
Люмен 417
Люминесцентная лампа 482
— дефектоскопия 483
Люминесцентный анализ 483
Люминесценция 479
Люминофоры 480
Магнит 315—317
Магнитная постоянная 319
— проницаемость 331, 332
— спица 316
Магнитное поле 316, 363
Земли 343
Магнитно-жесткие материалы 334
Магнитной индукции линии 335
Магнитно-мягкие материалы 334
Магнитный листок 317
—- момент 324
атома 329
— — — индуцированный 329, 330
__ —. — орбитальный 329
— — — спиновый 329
— полюс 315
— поток 335
Магнитно-гидродинамический гене-
генератор 350
Мазер 484
Майера уравнение 135
Максвелла закон распределения 138
— электромагнитная теория 364—
366
Малюса закон 450
Мандельштама и Папалекси опыт 271
Масса 25
— покоя 61
Массовое число 495
Массовый излучатель 390
Масс-спектрограмма 346
Масс-спектрограф 345, 346
Материальная точка 16
Материя 5
Машина 220
Маятник математический 91
— физический 90
Мезонная теория ядерных сил 497,
522
Мезоны 522, 525, 526
Мениск 188
Менисковый телеобъектив 412
Метастабильные состояния атома 483
Механический принцип относитель-
относительности 39
Меченых атомов метод 510, 528, 529
Микроскоп 412
Микрофарада 254
Микрофон 393, 394
Микрочастицы 60
Милликена опыт 264, 265
«Мировой эфир» 398, 399
Модулирование электрических ко-
колебаний 394
Модуль Юнга 33
Мозаика светочувствительная 395
Мозли закон 479
Молекула 107
Молекулярная масса относительная
113
Молекулярные силы 108, 109
Молниеотвод 310
Молния 310
Момент инерции 67—70
— количества движения 67
— силы 66
— электрического диполя 241
Монокристалл 161
Монохроматический свет 400
Мощность 48
— переменного тока 369, 379
— постоянного тока 274
— ионизатора 306
Мутная среда 441
Мысовского и Жданова метод фото-
фотоэмульсий 506
Наклеп 164
Напряжение на участке электричес-
электрической цепи 271
Напряженность магнитного поля
320—322
— электрического поля 238, 239
Начала термодинамики 211
Невесомость 43, 44
Неинерциальные системы отсчета 39
Нейтрино 500, 523, 525
Нейтрон 495, 509, 526
Нейтроны быстрые 514
— запаздывающие 515
— мгновенные 514
541

Нейтроны медленные 514, 517
— тепловые 514, 517
Необратимые процессы 212, 213, 226,
230
Неопределенностей соотношение 60,
61
Нернста теорема 231
Несмачивающая жидкость 187
Николя призма 453
Нормальный уровень атома 472
Нуклоны 495, 526
Ньютона закон (внутреннего трения)
155, 176
— законы (механики) 25, 26
Ньютон (единица) 27
Обесценивание энергии 227
Обобщенный принцип относитель-
относительности 39
Образование пар 500, 522
Обратимые процессы 212, 213, 226,
230
Оксиликвит 201
Оксиферы 335
Ома законы 272, 273, 276, 303, 377
Ом (единица) 272
Оптическая длина тубуса микроско-
микроскопа 413
— ось кристалла 449
— — линзы главная 407
— — — побочная 408
—• пирометрия 463
— плотность среды 403
— разность хода лучей 430
— сила линзы 410
— активность вещества 454
Оптический центр линзы 408
Оптически однородная среда 400,
403
Орбитальные токи, 329
Освещенность 417, 418
Осмос 171
Осмотическое давление 173
Основное уравнение кинетической
теории газа 123—126
Основной закон динамики вращения
67
Остаточная магнитная индукция 333
Остроградского — Гаусса теорема
243, 260, 262
Ось электрического диполя 241
Отдача 30
— непрерывная 30
Относительности теория 41, 63
Падение напряжения 271
Пар 198
Парамагнетики 329, 330
Пар насыщенный 202
Парниковый эффект 421, 493
Пароструйный насос 80
Пар пересыщенный 197, 206
Парциальное давление 120
Паскаль (единица) 78
Паули принцип 475, 477
Пачки скольжения 165
Пельтье эффект 284, 285, 301
Первое начало термодинамики 211,
214
Переноса явления 145—148
Переохлажденная жидкость 162
Период вращения 22
— дифракционной решетки 440
Периодическая система Менделеева
476, 477
Период колебания 84
— полураспада 502
Пикофарада 254
Плавление 207
Плазма 192, 310, 520
Планка постоянная 60, 464
— формула 465
Пластические тела 164
Плато опыт 181
Плоскости спайности 160
Плоскость поляризации 447
— световых колебаний 447
Плотность потока энергии 98, 385
— тока 273, 302
— энергии магнитного поля 364
электрического поля 265, 266
Плотность энергии электромагнит-
электромагнитного поля 364
Поверхностная плотность заряда 245
Поверхностно-активные вещества 184
Поверхностное натяжение 181
Поглощение света 419—422
Подвижность ионов 303, 307
Подъемная сила крыла самолета 80
Позитрон 500, 509, 510, 525
Показатель преломления абсолют-
абсолютный 402
— — относительный 402, 403
Поле 5, 36
Поликристалл 161, 165,
Полимеризация 163
Полимеры 163
Полное отражение света 403, 404
Полупроводники 236, 291
— дырочные 295, 296
— электронные 295, 296
Полупроницаемые перегородки 172,
173
Полюсы источника тока 270
Полюсы магнита 315, 316
Поляризатор 450
Поляризационная призма 453
Поляризация диэлектриков 255—
257
— — дипольная 256
— — ионная 257
электронная 255
— света 446—450, 454
542

Поляриметр 456
Полярное сияние 312, 343
Поляроиды 450
Попова опыты 392, 393
Порядок величины 10
— дифракционного спектра 440
Постоянная распада 501
Потенциал гравитационный 52
Потенциальная яма 109, 159
Потенциальные силы 53, 249
Потенциальный барьер 297
Потенциал электрический 248
Поток магнитной индукции 335
— напряженности электрического
поля 240
— световой энергии 416
— электрической индукции 261
Правило левой руки 321
— параллелограмма 12
— треугольника 13
Предел прочности 163
— упругости 163
Предельный угол падения 404
Преломляющий угол призмы 404
Приведенная теплота 224
Принцип возрастания энтропии 226
Пробный заряд 238
Пробой газа 309
Проводимость вентильная 297
— дырочная 294, 295
— ионная 302
— примесная 295, 296
— собственная 294
— удельная 273
— электронная 291, 295
Проводники второго рода 236
— первого рода 236
Проникающая способность 499
Просветленная оптика 430
Пространственная решетка 160, 161
Протий 496
Протон 235, 496, 507, 526
Протонно-протонный цикл 521
Пуазейля закон 176, 177
Пуассона закон 217, 218
Пузырьковая камера 505
Пучность стоячей волны 101
Пьезоэлектрики 257
Пьезоэлектрический эффект 257
Работа 47, 48
— выхода электрона из металла 281,
486
— газа при адиабатическом расши-
расширении 219
— — — изобарическом расширении
215
изотермическом расширении
215
— ионизации 306
— переменного тока 369
Работа постоянного тока 274
— тока в магнитном поле 338
Радиоавтография 528
Радиоактивность естественная 498
— искусственная 507—510
Радиоактивные изотопы 510 523
528, 529
— лучи 498
— семейства 503
— элементы 498
Радиолокация 396
Радиолюминесценция 480
Радиосвязь телевизионная 395
— телефонная 392—394
Радиус кривизны 15
Размерность 9, 10
Разность потенциалов 248, 271
— хода лучей (волн) 100, 425, 430
Разрешающая способность оптичес-
оптических приборов 433, 434
Разрешаемое расстояние 434
Ракета 30
Рассеяние альфа-частиц 466
Рассеяние света 441
— — молекулярное 441
Расстояние ясного зрения 413
Раствор 171
Растворитель 171
Растянутая жидкость 197
Рауля закон 206, 207
Рационализация формул электри-
электричества 238, 535, 536
Реактивное движение 30
Реакция связи 37
Резонанс 94
— электрический 377
Резонансы 522
Резонатор Герца 389
Рекомбинация ионов 301, 306
Релейная схема 392
Релятивистская механика 63
Рентгеновские лучи тормозные 443
характеристические 443, 479
Рентгенолюминесценция 480
Рентгеноспектральный анализ 444
Рентгеноструктурный анализ 444
Рефрактометр 404
Рефракция света 403
Ридберга постоянная 467, 472, 473
Ричардсона формула 288
Рэлея закон 441
Самодиффузия 150
Самоиндукция 361, 362
Самоионизация газа 307
Самопроизвольной поляризации об-
области 257
Самопроизвольного намагничива-
намагничивания области 334
Сахариметр 456
Сверхпроводимость 273
543

Сверхтекучесть 176
Сверхтяжелая вода 496
Свет 400
Световой коэффициент полезного дей-
действия 462
Световой поток 417
Светокультура 422
Светопровод 404
Светофильтры 421
Свободная энергия поверхности жид-
жидкости 183
Сдвиг фаз между током и напряже-
напряжением 373, 374, 377
Сегнетоэлектрики 257
Сезерленда формула 144
Сжижение газов 199, 200
Сила 25, 26, 31
— возвращающая 90
— вынуждающая 93
— квазиупругая 90
— нормального давления 34
— поверхностного натяжения 181
— света 417
— тока 236, 269
— трения 33, 34
— тяготения 35
— тяжести 42
— упругости 31, 32
— центробежная 38
— центростремительная 36, 37
Силовые линии магнитного поля 316,
335
— — электрического поля 239
— — электрической индукции 261
Силы инерции 40—42
Синхрофазотрон 350
Синхроциклотрон 350
Система отсчета 16, 39
— единиц измерения 8, 533—534
Скаляр 12
Скорость звука в воздухе 79
— мгновения 17
— наиболее вероятная 138
— света в вакууме 61
Смачивающая жидкость 187
Соленоид 326, 327
Солнечная батарея 489
— постоянная 463
Сольватная оболочка 301
Сопротивление активное (омическое)
272, 371
— внешнее 275
— внутреннее 275
— дополнительное 280
— емкостное 371—373
— индуктивное 37?—375
— полное 275, 276, 377
— реактивное 371
— удельное 272, 291, 304
— электрическое 272
Сорбционные явления 188
544
Спектральная лучеиспускательная
способность 459
— лучепоглощательная способность
459
— плотность энергетической свети-
светимости 461
— серия Бальмара 467, 473
Лаймана 468, 473
Пашена 468, 473
Спектральная формула Бора 472
— чувствительность глаза 415, 416
Спектральный анализ 407
Спектр дисперсионный 405
— дифракционный 439, 440
— линейчатый 406, 467
— оптический 478
— поглощения 407
— полосатый 406
— рентгеновский 443, 479
— сплошной 406, 467
Среднее время жизни атома 502
Стационарные орбиты атома 468
Степень диссоциации 302
Стерадиан 417
Стефана—Больцмана закон 461
— постоянная 461
Стокса закон 177
— правило 481
Столетова опыты 333, 485
Сторонние электроразделительные
силы 270
Стример 309
Стюарта и Тольмена опыт 271
Сублимация 209
Суперпозиции принцип 98
Сфера молекулярного действия 180
Сцинтиллятор 504
Сцинтилляционный счетчик 504, 505
Сцинтилляция 464
Тангенциальное ускорение 18
Телесный угол 417
Температура 114, 120
— абсолютная 118
— инверсии 200
— кипения 202
— кристаллизации 207
— лучистого равновесия 458
— плавления 207, 208
— термодинамическая 118
Температуропроводность 175
«Тепловая смерть» 231
Тепловое движение молекул 110
— излучение 458
— равновесие 114, 458
Тепловой контакт 113
Теплоемкость газа при постоянном
давлении 134, 136
объеме 134—136
— жидкостей 169
— молярная 133

Теплоемкость твердых тел 167—169
— удельная 115, 133
Теплопроводность газа 146, 150—-153
— жидких и твердых тел 174, 175
Теплота 113, 114
Термистор 292
Термический коэффициент давления
газа 118
Термобатарея 300
Термодинамика 211
Термодинамическая система 211
Термодинамический процесс 212
Термодинамическое равновесие 211
Термометр газовый 119, 120
— жидкостный 114
— термоэлектрический 285, 286
Термопара 284, 300
Термос 153
Термоэлектрический эффект 284
Термоэлектрогенератор 300
Термоэлектродвижущая сила 284,
300
Термоэлектронная эмиссия 286
Термоэлемент 284
Термоядерная реакция 519
Тесла (единица) 331, 336
Ток насыщения 287, 288
— переменный 269, 468
— постоянный 269
— поляризационный 366
— проводимости 366
— смещения 366
— трехфазный 379, 380
Толстослойных фотоэмульсий метод
506
Томсона формула 388
Тороид 328, 342
Точечный источник света 417
Точка росы 203
Траектория 16
Транзистор 298
Трансурановые элементы 503, 518
Трансформатор 360
Трек 505
Трение внутреннее 34
— качения 34
— покоя 33
— скольжения 33
Третье начало термодинамики 231
Триод 287
Тритий 496
Тритон 496
Тройная точка 192
Трубка тока 76
Турбодетандер 201
Турбулентное движение 178
Тяжелая вода 496
Тяжелые ионы 306
Увеличение линзы 411
— микроскопа 413
Угловая скорость 21
Угловое ускорение 22
Угловой путь 21
Угол атаки 81
— дисперсии 406
—- дифракции 435
— зрения 414
— отражения 401
— падения 400
— полной поляризации 454
— преломления 402
— скольжения 443
Удельная теплота возгонки 209
— — испарения 202
конденсации 202
плавления 208
Удельное вращение 455
Удельный заряд 341, 344
Узел кристаллической решетки 160
— разветвления электрической цепи 276
— стоячей волны 101
Ультрафиолетовые лучи 392, 421, 422,
458, 483
Универсальная газовая постоянная
122, 123, 135
Упругое последействие 164
Упругость насыщенного пара 197,
202, 204-207
Уравнение внутреннего трения (га-
(газа) 155
— волны 97
— гармонических колебаний 84
— диффузии (газа) 149
— неразрывности струи 76
— переноса 148
— состояния системы 211, 212
— теплопроводности (газа) 152
Уровень энергии атома 471
Усилитель тока (напряжения) 290,
298
Ускорение касательное 18, 19
— мгновенное 18
— нормальное 18, 19
— свободного падения 36, 43
— среднее 18
Условие частот 469
Установившееся движение жидкости
75
Фаза вещества 192
— колебания 84
— — начальная 84
Фазовая поверхность 102
Фазовые превращения 192
Фазотрон 350
Фарада 253
Фарадея закон (электромагнитной
индукции) 354, 356
— законы (электролиза) 304, 305
— опыты (по электромагнитной ин-
индукции) 353—355
— постоянная 305
548

Фаянса и Содди законы 501
Ферриты 335, 358
Ферромагнетики 329, 332—335
Физика 5, 6
Фика закон 149, 169
Фитильная смазка 190
Фитотрон 7
Флотационный метод обогащения ру-
руды 187
Флуктуация 229
— света 495
Флуоресценция 480
Фокальные плоскости линзы 410
Фокус линзы 410
— — мнимый 410
Фокусное расстояние линзы 409
Фосфоресценция 480
Фотолюминесценция 480—482
Фотон 307, 308, 399, 486, 489, 490,
500, 525
Фотосинтез 421
Фотосопротивление 487
Фотосфера 407
Фототок 485
Фоточувствительность фотоэлемента
585, 587, 588
Фотоэлектронный умножитель 505
Фотоэлектроны 485
Фотоэлемент вакуумный 486, 487
— вентильный 488
— полупроводниковый 487, 488
Фотоэмиссия 286
Фотоэффект внешний 484—486
— внутренний 484, 487
Фраунгоферовы линии 407
Френеля зеркала 425
— зоны 436
Френкеля теория (строение ядра) 497
Фронт волны 101
Фуко токи 357
Фурье закон 152, 174
Характеристика электронной лампы
290
Характеристическое излучение 443,
479
Хемилюминесценция 480
Химический эквивалент 305
Холодильник полупроводниковый
301
Хрупкие тела 164
Цвет неба 441
Цельсия шкала 114
Цементация 171
Центробежная сила инерции 41 —
43
Центробежные механизмы 38, 42
Центростремительное ускорение 18,
20, 21
Цепная реакция 515, 516
Цикл 219
Циклическая частота 84
Циклотрон 348, 349
Частота 22, 84
— круговая 84
— резонансная 378, 388
Число степеней свободы 130—132
— столкновений молекулы за секун-
секунду 143
Чувствительность глаза 415, 416
Штейнера теорема 70
Штерна опыт 140
Шунт 280
Эйнштейна принцип относительности
39
— — эквивалентности 41
— уравнение (фотоэффекта) 486
Эквипотенциальная поверхность 249
Экспонометр фотоэлектрический 488
Экстратоки 362
Электризация 235, 283
Электрическая постоянная 237, 238
— цепь 270, 276
Электрические колебания 386
Электрический диполь 241, 384
— заряд 235, 236
Электрическое поле 238, 239
неоднородное 239
— — однородное 239
Электродвигатель 337, 369
— асинхронный 381
Электродвижущая сила 270, 271
индукции 353—356, 367, 368
Электроемкость 253
— плоского конденсатора 263
Электролиз 304
Электролит 301
Электролитическая диссоциация 301
Электролов рыбы 305, 306
Электролюминесценция 480
Электромагнитная волна 385, 392,
446
Электромагнитная теория света 399
Электромагнитное излучение 384
— поле 364, 365
Электрон 235, 465, 525
Электронвольт 281
Электронная лампа 287—290
— пушка 345
— эмиссия 286
— — вторичная 286
холодная 286
Электронное облако 286, 474
Электроннолучевая трубка 344
Электронные волны 445
— линзы 347
— слои 575—579
Электронный микропроектор 348
Электронный микроскоп 347
546

Электронный осциллограф 344
Электроосмос 283
Электропроводность 272
Электрорафинирование 305
Электростатическая защита 252
Электрострикция 257
Электротермометр сопротивления 273
Электрофорез 383, 304
Электрохимический эквивалент 304
Элементарная ячейка кристалла 160
Элементарные частицы 5, 235, 522,
523, 525-527
Элементарный заряд 235, 264, 265
Эмиттер 298
Эндрюса изотермы 196
— опыт 196, 197
Энергетическая светимость 458
Энергетические уровни атомов 471
Энергетический выход люминесцен-
люминесценции 481
Энергия 48
— внутренняя ПО, 113, 114, 133
— вращения 72
— заряженного проводника 255
— — конденсатора 265, 266
— звезд 521
— кинетическая 49, 50
— колебания 92
Энергия магнитного поля 364
— покоя 62
— потенциальная 50—53
— связи ядра 511—513
удельная 512
— удельная 78
— электрического поля 266
— электромагнитного поля 364
Энтропия 225, 230
Эрстеда опыты 315, 316
Эффективное напряжение 370
Эффективный ток 370
Ядерная модель атома 465, 466, 469—
471
Ядерная энергетика 523, 524
— энергия 512, 513, 519
Ядерные реакции 507—510
— — деления 512—514
синтеза 512, 513, 519
— силы 497
Ядерный реактор 517—519
Ядра конденсации атмосферные 206,
218
— кристаллизации 208
Ядро атома 465, 495—498
Яркость 418, 419

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение
§ 1. Предмет физики. Связь физики с другими науками и производ-
производством . 5
§ 2. О единицах измерения и размерности физических величин 8
§ 3. О некоторых математических понятиях и символах . . . 10
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Глава 1. Движение материальной точки (основы кинематики)
§ 4. Общий случай криволинейного движения материальной точки;
основные характеристики движения 16
§ 5. Прямолинейное движение материальной точки 19
§ 6. Движение материальной точки по окружности .... 20
Глава 11. Основные законы динамики
§ 7. Законы Ньютона. Масса и сила 25
§ 8. Закон изменения количества движения (импульса) ... 27
§ 9. Закон сохранения количества движения в изолированной сис-
системе 28
§ 10. Силы упругости 31
§ 11. Силы трения 33
§ 12. Силы тяготения (гравитационные силы) 35
§ 13. Центростремительная сила ¦ . 36
§ 14. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Силы инерции 39
§ 15. Вес тел. Ускорение силы тяжести. Невесомость .... 42
Глава 111. Работа и энергия
§ 16. Работа и мощность 47
§ 17 Энергия 48
§ 18. Закон сохранения и превращения энергии ..... 54
§ 19. О космических скоростях 57
§ 20. Границы применимости классической механики .... 59
Глава IV. Вращательное движение твердого тела
§ 21. Основной закон динамики вращения 66
§ 22. Моменты инерции некоторых тел 68
§ 23. Закон сохранения момента количества движения. Кинетическая
энергия вращающегося тела ... .... 71
Глава V. Движение жидкости
§ 24. Основные определения. Уравнение неразрывности ... 75
§ 25. Уравнение Бернулли 77
§ 26. О некоторых приложениях уравнения Бернулли .... 79
Глава VI. Колебания и волны
§ 27. Гармоническое колебание и его характеристики .... 83
§ 28. Сложение гармонических колебаний 86
§ 29. Динамика колебательного движения. Маятник .... 89
548

§ 30. О зату>а:ощих и вынужденных колебаниях • 92
§ 31. Волновой процесс 94
§ 32. Уравнение волны. Интенсивность волны 96
§ 33. Интерференция волн. Стоячие волны gg
§ 34. Фронт волны. Принцип Гюйгенса — Френеля . , . . 101
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Глава VII. Общие сведения о строении вещества
§ 35. Основные положения молекулярно кинетической теории . Ю7
§ 36. О некоторых явлениях, подтверждающих основные положения
молекулярно-кинетической теории ПО
§ 37. О теплоте и температуре 113
§ 38. О предмете и методах молекулярной физики 115
Глава VI11. Газы
§ 39. Экспериментальные газовые законы: Бойля — Мариотта, Гей-
Люссака, Дальтона, Авогадро. Абсолютная температура . 117
§ 40. Уравнение Клапейрона — Менделеева. Универсальная газовая
постоянная 121
§ 41. Основное уравнение кинетической теории идеального газа 123
§ 42. Средняя кинетическая энергия поступательного движения мо-
молекулы идеального газа 12S
§ 43. О числе степеней свободы. Внутренняя энергия газа ... 130
§ 44. Теплоемкости газа. Физический смысл универсальной газовой
постоянной 133
§ 45. Скорость поступательного движения молекул газа. Распреде-
Распределение числа молекул по скоростям 137
§ 46. Средняя длина свободного пробега молекул 142
§ 47. Явления переноса в газах. Уравнение переноса .... 145
§ 48. Диффузия 148
§ 49. Теплопроводность 150
§ 50. Внутреннее трение (вязкость) 154
Глава IX. Жидкости и твердые тела
§ 51. Особенности строения жидкостей и твердых тел .... 158
§ 52. Деформация твердого тела 163
§ 53. Тепловое расширение твердых и жидких тел 166
§ 54. Теплоемкость твердых и жидких тел 167
§ 55. Диффузия в жидких и твердых телах 169
§ 56. Осмос 171
§ 57. Теплопроводность жидких и твердых тел 174
§ 58. Вязкость жидкости. Турбулентное движение жидкости . . 176
§ 59. Внутреннее давление в жидкости. Поверхностное натяжение
и свободная энергия поверхности жидкости 180
§ 60. Дополнительное давление под искривленной поверхностью жид-
жидкости; формула Лапласа 185
§ 61. Капиллярные явления. Формула Борелли — Жюрена . . . 187
Глава X. Изменение агрегатного состояния вещества (фазовые превра-
превращения)
§ 62. Понятие о фазовых превращениях и диаграмме состояний ве-
вещества 192
§ 63. Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса 193
§ 64. Опыт Эндрюса. Критическая температура 196
§ 65. Сжижение газов. Эффект Джоуля — Томсона .... 199
§ 66. Испарение и конденсация. Кипение 201
§ 67. Упругость насыщенного пара над искривленной поверхностью
жидкости и над раствором 204
§ 68. Плавление и затвердевание (кристаллизация). Возгонка . 207
549

Глава XI. Основы термодинамики
§ 69. О некоторых общих понятиях термодинамики. Первое начало
термодинамики 211
§ 70. Работа, совершаемая при изменении объема газа. Адиабатичес-
Адиабатические процессы 214
§ 71. Цикл Карно Второе начало термодинамики 219
§ 72. Энтропия 223
§ 73. О статистическом смысле энтропии и второго начала термодина-
термодинамики 227
3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Глава XII. Электростатика
§ 74. Электризация тел. Электрический заряд 235
§ 75. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме. Электрическое
поле и его напряженность 237
§ 76. Электрический диполь. Поле диполя 241
§ 77. Теорема Остроградского — Гаусса и ее приложения . . 242
§ 78. Работа перемещения заряда в электрическом поле. Потенциал 247
§ 79. О неустойчивости статических систем электрических зарядов 250
§ 80. Проводники в электрическом поле. Электроемкость. Энергия
заряженного проводника 252
§ 81. Диэлектрики в электрическом поле. Поляризация диэлектриков 255
§ 82. Электрическое поле в диэлектрике. Диэлектрическая прони-
проницаемость. Вектор электрической индукции 258
§ 83. Конденсатор. Энергия электрического поля 262
Глава XIII. Постоянный электрический ток
§ 84. Электрический ток. Сила тока. Электродвижущая сила. На-
Напряжение 269
§ 85. Ток в металлических проводниках. Сопротивление. Законы Ома.
Работа и мощность тока 271
§ 86. Разветвленная электрическая цепь. Правила Кирхгофа . . 276
§ 87. Контактная разность потенциалов. Термоэлектрические явления 280
§ 88. Эмиссия электронов. Термоэлектронная эмиссия. Электронные
лампы 286
§ 89. Ток в полупроводниках. Собственная и примесная проводимос-
проводимости полупроводников 291
§ 90. Запирающий слой. Полупроводниковые выпрямители, усили-
усилители и термоэлектрические батареи 296
§ 91. Ток в жидкостях. Электролиз. Законы Фарадея .... 301
§ 92. Ток в газах. Несамостоятельный и самостоятельный газовые
разряды 306
§ 93. Типы самостоятельного газового разряда 309
Глава XIV. Электромагнетизм
§ 94. Постоянный магнит и круговой ток. Магнитные поля магнитов
и токов 315
§ 95. Магнитное взаимодействие токов в вакууме; закон Ампера 318
§ 96. Напряженность магнитного поля. Формула Ампера. Закон
Био —- Савара — Лапласа 320
§ 97. Некоторые приложения закона Био — Савара — Лапласа 323
§ 98. Магнитные поля соленоида и тороида 326
§ 99. Диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные вещества.
Магнитная проницаемость. Магнитная индукция. Поток маг-
магнитной индукции 328
§ 100. Действие магнитного поля на проводник с током. Определение
ампера 336
§ 101. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном
полях. Определение удельного заряда и массы электрона . 339
§ 102. О некоторых приборах и установках, основанных на движении
заряженных частиц в электрическом и магнитном полях . 344
550

Глава XV. Электромагнитная индукция и переменный ток
§ 103. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. Правило Ленца.
Токи Фуко 353
§ 104. Взаимная индукция и самоиндукция 358
§ 105. Энергия магнитного поля. Понятие об электромагнитной теории
Максвелла 362
§ 106. Контур, вращающийся в магнитном поле. Синусоидальный
переменный ток. Работа и мощность переменного тока . . 367
§ 107. Емкостное и индуктивное сопротивления 371
§ 108. Обобщенный закон Ома. Электрический резонанс. Коэффициент
мощности электрической цепи 375
§ 109. Понятие о трехфазном токе 379
Глава XVI. Электрические колебания и электромагнитные волны
§ ПО. Электромагнитные волны . 384
§ 111. Закрытый колебательный контур 386
§ 112. Вибратор Герца. Автоколебательный контур. О диапазоне час-
частот электромагнитных волн 388
§ 113. Радиосвязь 392
4. ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
Глава XV11. Общие сведения о природе и свойствах света
§ 114. Природа света 398
§ 115. Отражение и преломление света. Полное отражение . . 400
§ 116. Дисперсия света. Спектры 405
§ 117. Тонкие линзы. Микроскоп 407
§ 118. Глаз как оптическая система. Спектральная чувствительность
глаза ... 413
§ 119. Основные фотометрические характеристики .... 416
§ 120. Поглощение света. О физиологическом действии света . . 419
Глава XVI11. Волновые свойства света
§ 121. Интерференция света. Интерферометр 425
§ 122. Об интерференции света, отраженного от прозрачных пленок 430
§ Д23. Дифракция света. Разрешающая способность оптических при-
приборов 431
§ 124. Дифракция от щелей. Дифракционные спектры. Дифракцион-
Дифракционная решетка. О рассеянии света в мутной среде .... 435
§ 125. Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа — Брэггов 441
§ 126. О дифракции микрочастиц и волнах де-Бройля .... 444
§ 127. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет.
Поляризация света в турмалине. Поляроиды .... 446
§ 128. Двойное лучепреломление. Поляризация света в исландском
шпате. Призма Николя 451
§ 129. Вращение плоскости колебаний поляризованного света. По-
Поляриметр 454
Глава XIX. Квантовые свойства света и строение атома
§ 130. Тепловое лучеиспускание и лучепоглощение. Абсолютно чер-
черное тело. Закон Кирхгофа 458
§ 131. Законы излучения абсолютно черного тела. Квантовый харак-
характер излучения. Формула Планка 461
§ 132. Строение атома (ядерная модель). Дискретность энергетических
состояний атома. Постулаты Бора 465
§ 133. Квантовая теория строения атома водорода (по Бору). Объяс-
Объяснение спектров излучения и поглощения водорода . . . 469
§ 134. Понятие о строении многоэлектронных атомов и образовании
оптических и рентгеновских (характеристических) спектров 475
§ 135. Люминесценция. Законы фотолюминесценции и некоторые ее
практические применения 479
551

I 136. Фотоэффект. Законы фотоэффекта. Фотоэлементы ..,.,. 484
§ 137. Масса и импульс фотона. Световое давление. Эффект Комптона,
Флуктуации света 489
Глава XX. Атомное ядро и внутриядерные процессы
§ 138. Общие сведения об атомных ядрах. Изотопы 495
§ 139. Естественная радиоактивность. Альфа-, бета- и гамма-лучи.
Законы радиоактивного распада ¦ . 498
§ 140. О методах наблюдения и регистрации микрочастиц . . . 504
§ 141. Ядерные реакции. Искусственная радиоактивность . . 507
§ 142. Энергия связи и дефект массы атомного ядра 511
§ 143. Реакция деления. Цепная реакция. Ядерный реактор . . . 514
§ 144. Реакция синтеза (термоядерная реакция). Энергия звезд . 519
§ 145. Космические лучи. Элементарные частицы 521
§ 146. Об использовании ядерной энергии 523
I. Некоторые физические постоянные 532
И. Единицы измерения физических величин 533
III. Некоторые формулы электростатики и электромагнетизма, за-
записанные в рационализованном и нерационализованном видах 535
Предметный указатель ¦ 537
Ростислав Иванович Грабовский
курс физики
Редактор Г. Н. Дьяченко. Художественный редактор Н. В. Майкова. Технический
редактор Л. А. Григорчук. Корректор М* И. Козлова.
Сдано в набор 15/1-74 г. Подп. к печати 19/VI-74 г. Формат 60X9QVie. Бум. тип. № 2. Объем
34,5 печ. л. 34,5 усл. п. л. 36,47 уч.-изд. л. Изд. № ФМ/531. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 20 к.
План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1974 г.
Позиция № 63. Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14. Издательство «Высшая школа»
Ярославский полиграфкомбинат «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Ярославль, ул. Свободы, 97. Зак. 31.